/
ISBN: 960-8050-93-6
Text
SCHAUM
ГРАММ1КН
АЛГЕБРА
SEYMOUR LIPSCHUTZ MARC LIPSON
3n ЕКбООП
568 nnripwc sniRu|i£V£c склеп*
o£ic |i£ практике £фар|юу85
KaRunt£i 6An tn G£ttpia fivoc
oAOKAnpcopfivou paeriiiatoc
YpaiipiKric anyeppac
ifiaviKO yia finavaAnipn npiv
tic £5fitao£ic
EKAOSEIS TZIOAA
OESSAAONIKH
IEIPA SCHAUM---
Oewpia kqi ПрорЛпрата отг)
ГРАММ1КН АЛГЕБРА
Зп 'Ек5оог|
Seymour Lipschutz, Ph. D.
Temple University
Marc Lars Lipson, Ph. D.
University of Georgia
ЕтцёЛша Метафраотк:
Гсйруюд Л. MnA^pqq
Ка0г|уг|тгк тц. ПЛг|рофор1кгк А.П.0.
Метафраот]:
Dr. Iwdvvqq П. AvruvidSqq
AiddaKWV тр. ПЛпрофориак А.П.0.
EKAOZEIZ TZIOAA
OEZZAAONIKH
TiTXoq прсототипои: Schaum's Outline of Theory and Problems of LINEAR ALGEBRA,
Third Edition, Seymour Lipschutz-Marc Lipson
АпокЛеюпкбтпта yia tt]V eXAnviKf] yAcbooa:
EKAOSEIS TZIOAA
Kevtpiko: ФгЛйтттои 91, T.K. 546 35, Tr]A. 2310 247 887, Fax 2310 210 729
AppevonouAou 23, T.K. 546 35 OeaaaAoviKT], Tr]A./Fax 2310 219 184
Упокатаотгща: Kwv. MeAeviKOU 3, T.K. 54 635, Tr]A. 2310 211.823, Fax 2310 201.274
Internet:
http://www. tziola.gr
http://www. wap. tziola.gr
e-mail: tziolas@the.forthnet.gr
Катботпра AGqvuv:
Evwor] EkSotuv BiOAfou OeoooAoviKnq
STOA TOY BIBAIOY - Ароакею Мёуаро
105 64, ПеорафуАои 5 (Пауепютг|рюи 39)
Катаотг|ра 18,
TqA./Fax 210 32.11.097
Copyright © 2005, 2003 EKAOSEIS TZIOAA
NEA EKAOIH BEATIHMENH
Copyright © 2001 by McGraw-Hill Companies Inc.
ISBN 960-8050-93-6
Апауорейета! г) avampaycoyfi onoiou6rjnoT£ тррратос; тои 6i6Aiou ре опоюбрпоте реоо
(фытотип/а, ектйгтсоог), piKpotpiAp, аповркеиор ое архыо nAripocpopitiv ij aAAp prixaviKij ij
qAEKrpoviKij ревобо) хшР^ еуурасрг] абею тои Екббтт].
No part of this publication may be reproduced or distributed in any form or by any means, or
stored in data base or retrieval system, without the prior written permission of the publisher.
О SEYMOUR LIPSCHUTZ avrjKEi ото цаОгщатисо тцгща той Temple University Kai
лаХаютсра SiSacnce ото Polytechnic Institute той Brooklyn College. EXa0E то Ph.D. той то
1960 ото Courant Institute of Mathematical Sciences той New York University. Eivat eva ano
Toni; noXvypacpoTEpouq ovyypaipEig тт]д OEipaq Schaum’s, Kat e%ei ypa\|/Ei Kat та РфАла
nidavoTrfTEq, nsnspaapsva Мадцраика 2Л ек5оог|, Граррисг] Akys^pa 2Л ек5оог|, Eeki-
vcbvraq ttjv Граррисц Akys/ipa, Ostopia Evvokov, Kai kxoixEicbSrj Madrjрайка YnoXoyi-
arcbv.
О MARC LARS LIPSON avf|KEi ото лроосолисо той University of Georgia Kai лаХаютс-
pa SiSaoKE ста Northeastern University Kai Boston University. EXa0E to Ph.D. той ott]v
oiKOvopiaTO 1994 ало то University of Michigan. Eivai Kai о оиу-оиуура(рЁа<;тои рфАлои
2000Avp£va Про/^ратаАгакрш^Мабцраикаж pa^i це tov Seymour Lipschutz.
Euxapieri&s crnv EMnvixn txSoen
Ztt|v 8еХт1шцё7Г| eXAtivikt] ek6oot| пои крататсп ота х^рю oacJ exouv SiopQwQei, та
пЕрюобтсра пютейоицЕ, апо та Ха0г| пои unqpxav отг| npor|you^Evr| Екбоог]. Ra va
yivEi аитб арк£то( avayvwoTEc; рас; eoteiAov tic; паратпрпоЕк; тоис; tic; otoiec; Kai
оицп£р1Лбвац£ отт] пароиоа Ёкбоот] koi tolk; EuxapioroupE. МЁоа апо аитг] тт] о£Л(ба 0а
0ЁХацЕ i6iaiT£pa va ЕихарюттроицЕ тоис; к.к. Kwvaravr/vo X. Дуа, Ар Ма0гщат1ксо7,
koi OpAdvro Грцуор'дйП фО1тг|тт) тои тцтратос; HXEKTpoXoyinv MrixaviKwv, А.П.0. уют(
це тк; ипобЕЩек; тоис; eof|0r|oav та цЁуюта отт] 6i6p0coor| тои SieXiou.
Avaoraoioc; △. ЛдбХас;
llPOAOrOZ
Ta XEXcuxaia xpovia, r| ГpappiKq АХусРра yivEi Eva avanoanaaxo Kat ouoiwSEg icoppaxi тои
pa0qpaxucov илбра0рои лои алапЕпаь ало p.ta pcyaXq p£pi6a £nioxqpov©v, 6л©д Eivai рсха^у
aXX©v 01 ка0г|ут|Т£<; pa0q рахис© v, oi pqxaviKoi, 01 ЕлюттцюУЕд xqg лХт|ро(рор1кт|д, oi фиоиал, oi
oucovopoXoyoi Kat 01 oxaxioxiKoXoyoi. H aJpwoq auxq avxavaKXa xq oqpaoia Kai xig EvpciEg Eipap-
роуЁд xou ev Xoyw кХабои.
To PtpXio auxo oxE5idoxqKE yia va алохЕХЁСЕ1 xo Eyx£tpi5io piag cnioqpqg oEipag pa0qpax©v
oxq TpappiKq AXyEPpa, q акбра Kai yia va xpq<npcnioiq0Ei ©g оирлХг|р©ра oxa f|5r| imapxovxa
РфХ1а xov avxiKEijiEvov. Еколбд xov Eivai va лароио1аоЕ1 pia Eioaywyq oxq TpappiKq AXyEPpa,
Kai r| Eioaywyq auxq va (pavEi xpqaipq a£ oXovg xovg avayvwoxEg, avE^apxqxa ало xo ле51о xqg
Ei5iK0XT|xdg xovg. To vXiko лои ЛEplXapPdvExal e5© Eivai каха лоХи ЛЕрюобхЕро Kai лХоиоюхсро
ало avxo лои рлорс! va каХиф0Е1 oxig лЕрюобхЕрвд лр©хсд oEipEg pa0qpax©v, Kai avxo 6yiVE yia
Siacpopovg Xoyoug: yia va кахасхт|ОЕ1 xo РфХю лю eveXikxo, yia va KEVxpioEi pEyaXvxEpo svSiacps-
pov yup© ало xo avxiKEipEvo, Kai yEviKa yia va E^aoipaXioxEi Eva xpqoipo РфХю avaipopag.
To ка0Е KEipaXaio ^EKiva jie oacpeig 6qX©GEig x©v oxexik©v opiop©v, apxcg Kai 0E©pqpaxa
ovv5va£6|iEva jie лсраиЁр© лергурасрисб Kai SiaipwxicxiKO vXiko. Avxa aKoXou0ovvxai ало 5ia-
Pa0|iio|iEVEg Kaxqyopifig XvpEvwv Kai aXvxwv npopXqpax©v. Ta Xup6va лрорХгщаха ovvxeXovv
oxr|v Evioxvoq aXXa Kai oxqv алосасртрют] xov коррахюи xqg 0E©piag, ка0шд cnioqg Kai oxqv
ларохл piag KaXqg EnavdXqi|/qg x©v PaoiKcbv i6ioxqxwv, q oq pacta xwv олокоу KpivExai KEipa-
Xai©5qg yia pia алохЕХЕорахист] pfiXdxq. Ta 5e aXvxa лрорХт|раха npoopi^ovxai va anoxfiXdoovv
pia nXqpq avacKOTcqoq xov ©EpaxiKOv ^qxqpaxog xov ка0Е KEipaXaiov.
Ta xpia лршха KEipaXaia npaypax£vovxai xa 5iavvopaxa oxov EvkXe15eio x<opo, xqv aXysPpa
лп'акал' Kai xa ovoxqpaxa ypappiKcbv e^iocooewv. Ta KEipaXaia avxa лapЁxovv xo Kivqxpo aXXa
Kai xa Раотка олоХоуктка EpyaXeia yia xqv Л10 0£©pqxiKq EpEwa xwv 5iawopaxiK(bv x©pwv Kai
xwv ypappiKcbv рЕхаохЛ11ат1с11(Ьу лои PpioKovxai ста KEipaXaia лоу aKoXov0ovv. Ta Eл6pEva
KEipaXaia E^ETa^ovv тоид х<Ьроид EcWTEpiKOV yivopEvov, Tqv op0oywviKOTqTa Kai Tig opi^ovcEg,
yia va aKoXov0qoEi pia ХЕлторврг|д ov^qTqoq nav© eng iSionpEg Kai ста i5io5iavvopaTa, Kai va
5o0ovv 01 ovv0qKEg pE Tig оло1Ед Evag урарржбд TEXECtqg avaлaploтdтal ало Eva 5iay©vio л(уа-
ка. Auto 0a pag oSqyqcEi aptacra exq psXsxq 5ia<p6pwv KavoviK©v popepebv, Kai ovyKEKpipEva
xqg xpiywviKqg KavoviKqg popcpqg, xqg KavoviKqg popipqg Jordan Kai x©v pqxcbv KavoviKibv pop-
<p©v. Та р£Х£Л£1ха KEipaXaia каХблхоиу xig ypappiKEg ovvapxqoEig Kai xo 5vik6 x^po V*, ка0©д
£лктг|д Kai xig SiypappiKEg, xig KavoviKEg Kai xig EppixiavEg рорфЁд, ev© xo XEXEVxaio КЕфаХаю
лраурахЕОЕха1 ypappiKOvg ХЕХвохЁд oe x<bpovg Eo©XEpiKov yivopEvov. ТЁХод, yia лXqp6xqxa ла-
paxi0Exai Ёva лapdpxqpa блои E^Exa^ovxai лоХишуура лdv© oe 6va ле5{о.
Oi РаоисЁд аХХауЁд Kai 01 лроо0г|КЕд oxqv xpixq Ёк5оег| Ёxovv yivEi yia ка0ара ла15ау©у1коид
Xoyovg, Kai 6x1 yia Xoyovg ЛЕрихорЁУОУ. Еуук£кр1рЁУа, q aфqpqpЁvq ёууош piag ypappiKqg алЕ1-
Kovioqg Kai xov nivaKa-avanapdoxaoqg xqg £рфау1^£ха1 npiv ало (Kai ovvioxa xq pEXdxq yia) xig
i8ioxip6g Kai xa i5io5iavvopaxa, Kaixq 8iay©vionoiqoq лlvdк©v (уло opoioxqxa). EлlлXЁov Ёxovv
Eva©pax©0Ei лоХХа ЕЛ1лр6о0Еха Xvpsva Kai aXvxa лрорХг|раха.
TEXEiwvovxag, 0a 0ЁХарЕ va EVxapiaxr|GOvpE 6X0 xo ovvxaKxiKO елпеХею xqg McGraw-Hill
Schaum’s Outline Series, Kai EiSiKOXEpa xqv Barbara Gilson, yia xqv aSidXcwxq ovvEpyaoia xoug.
SEYMOUR LIPSCHUTZ
MARC LARS LIPSON
TUpi&cdii&va
КЕфйЛаю 1...........................................................11
△IANYZMATA ZTOYZ R" KAI C", AIANYZMATA ZTO XQPO....................11
1.1 EIZATQTH.......................................................11
1.2 AIANYZMATA ZTON Rn ... 13
1.3 nPOZOEZH AIANYZMATQN KAI BA0MQTOZ FlOAAAriAAZIAZMOZ...........13
1.4 EZQTEPIKO TINOMENO 15
1.5 nPOZANATOAIZMENA AIANYZMATA, YFIEPFIAANA, EY0EIEZ & KAMF1YAEZ ZTON Rn ...18
1.6 AIANYZMATA ZTON R3 (ZTO XQPO), H ZHMEIOI"PA0IA ijk............21
1.7 М1ГАД1КО1 API0MOI.............................................23
1.8 AIANYZMATA ZTON Cn 25
AYMENA ПРОВЛНМАТА ... 26
AAYTA ПРОВЛНМАТА.... 36
КЕфйЛаю 2..........................................................41
H АЛГЕБРА TON niNAKQN..............................................41
2.1 EIZATQTH......................................................41
2.2 niNAKEZ.......................................................41
2.3 nPOZOEZH niNAKQN KAI BAOMQTOZ FlOAAAriAAZIAZMOZ...............42
2.4 TO ZYMBOAO THZ A0POIZHZ ... 44
2.5 FlOAAAriAAZIAZMOZ niNAKQN............................... ... 44
2.6 О ANAZTPOOOZ ENOZ F1INAKA 46
2.7 TETPATQNIKOI FlINAKEZ .... . . 47
2.8 AYNAMEIZ niNAKQN, F1OAYQNYMA ZE FlINAKEZ 49
2.9 ANTIZTPEIPIMOI (MH-IAIAZONTEZ) FlINAKEZ 49
2.10 EIAIKOI TYF1OI TETPATQNIKQN niNAKQN ..51
2.11 М1ГАД1КО1 FlINAKEZ ...54
2.12 AIAMEPIZMENOI FlINAKEZ .... 55
AYMENA ПРОВЛНМАТА . 57
AAYTA ПРОВЛНМАТА...................................................70
КЕфйЛаю 3..........................................................77
ZYZTHMATA TPAMMIKQN EEIZQZEQN......................................77
3.1 EIZATQTH......................................................77
3.2 BAZIKOI OPIZMOI, AYZEIZ.......................................77
3.3 IZOAYNAMA ZYZTHMATA, ZTOIXEIQAEIZ METAZXHMATIZMOI.............81
3.4 MIKPA TETPATQNIKA ZYZTHMATA TPAMMIKQN EEIZQZEQN...............83
3.5 ZYZTHMATA ZE TPITQNIKH KAI ZE KAIMAKQTH МОРФН.................86
3.6 АПАЛО1ФН GAUSS. 89
3.7 KAIMAKQTOI niNAKEZ, KANONIKH МОРФН QZ nPOZ TIZ TPAMMEZ, IZOAYNAMIA
TPAMMQN........................................................... 94
3.8 АПАЛО1ФН GAUSS, AIATYHQZH ME niNAKEZ 97
3.9 H EEIZQZH niNAKQN ENOZ ZYZTHMATOZ TPAMMIKQN EEIZQZEQN........102
3.10 ZYZTHMATA TPAMMIKQN EEIZQZEQN & TPAMMIKOI ZYNAYAZMOI AIANYZMATQN. 104
3.11 OMOTENH ZYZTHMATA TPAMMIKQN EEIZQZEQN.......................107
3.12 ZTOIXEIQAEIZ niNAKEZ 110
3.13 AnOZYNOEZH LU. 114
AYMENA ПРОВЛНМАТА 116
AAYTA ПРОВЛНМАТА..................................................141
КесрйЛаю 4.........................................................147
AIANYSMATIKOI XQPOI................................................147
4.1 EISATQTH..................................................... 147
4.2 AIANYSMATIKOI XQPOI 147
4.3 ПАРААЕ1ГМАТА AIANYSMATIKQN XQPQN 148
4.4 TPAMMIKOI SYNAYA2MOI, SYNOAA TENNHTOPQN 150
4.5 YnOXQPOl...... 153
4.6 TPAMMIKES EflEKTAZEIZ, О XQPOS TPAMMQN ENOS fllNAKA...........155
4.7 TPAMMIKH EEAPTHSH KAI TPAMMIKH ANEEAPTHSIA. 158
4.8 BASH KAI AIASTASH............................................ 162
4.9 ЕФАРМОГН STOYS niNAKES, О BA0MOS ENOS fllNAKA 165
4.10 A0POISMATA KAI EY0EA A0POISMATA 168
4.11 SYNTETATMENES 169
AYMENA ПРОВЛНМАТА 173
AAYTA ПРОВЛНМАТА 204
КесрйЛаю 5.........................................................215
TPAMMIKOI METASXHMATISMOI..........................................215
5.1 EISATQTH..................................................... 215
5.2 METASXHMATISMOI, SYNAPTHSEIS..................................215
5.3 TPAMMIKOI METASXHMATISMOI (TPAMMIKES AnEIKONISEIS)............218
5.4 О nYPHNAS KAI H EIKON A ENOS TPAMMIKOY METASXHMATISMOY........221
5.5 IAIAZONTES KAI MH-IAIAZONTES TPAMMIKOI METASXHMATISMOI, ISOMOPOISMOL. 225
5.6 nPAEEIS ME TPAMMIKOYS METASXHMATISMOYS........................226
5.7 H АЛГЕБРА TPAMMIKQN TEAESTQN A(V).............................227
AYMENA ПРОВЛНМАТА..................................................230
AAYTA ПРОВЛНМАТА...................................................247
КесрйЛаю 6.........................................................255
TPAMMIKOI METASXHMATISMOI KAI niNAKES..............................255
6.1 EISATQTH.......................................................255
6.2. О niNAKAS-ANAnAPASTASH ENOS TPAMMIKOY TEAESTH.................255
6.3. АЛЛАГН BASHS..................................................260
6.4. OMOIOTHTA..... 264
6.5. niNAKES KAI TENIKOI TPAMMIKOI METASXHMATISMOI.................265
AYMENA ПРОВЛНМАТА. 267
AAYTA ПРОВЛНМАТА.... 288
КесрйЛаю 7.........................................................295
XQPOI ESQTEPIKOY TINOMENOY, OPOOTQNIKOTHTA.........................295
7.1 EISATQTH......................................................295
7.2 XQPOI ESQTEPIKOY TINOMENOY....................................295
7.3 ПАРААЕ1ГМАТА XQPQN ESQTEPIKOY TINOMENOY 296
7.4 H ANISOTHTA CAUCHY-SCHWARZ, EOAPMOTES 299
7.5 OPOOTQNIKOTHTA............................................... 301
7.6 OP0OTQNIA SYNOAA KAI BASEIS.. 303
7.7 H AIAAIKASIA OPOOKANONIKOnOIHSHS GRAM-SCHMIDT 306
7.8 OP0OTQNIOI KAI 0ETIKA OPISMENOI niNAKES 309
7.9 MITAAIKOI XQPOI ESQTEPIKOY TINOMENOY 311
7.10 NOPMAPISMENOI AIANYSMATIKOI XQPOI (ПРОА1РЕТ1КО) 313
AYMENA ПРОВЛНМАТА................................................. 317
AAYTA ПРОВЛНМАТА...................................................338
КефйЛаю 8...........................................................345
OPIZOYZEZ...........................................................345
8.1 EIZATQTH.......................................................345
8.2 OPIZOYZEZ TAEHZ 1 KAI 2........................................345
8.3 OPIZOYZEZ TAEHZ 3 346
8.4 META0EZEIZ.... 348
8.5 OPIZOYZEZ AYOAIPETHZ TAEHZ 349
8.6 lAIOTHTEZ TON OPIZOYZQN 350
8.7 EAAZZONEZ KAI ZYMnAPATONTEZ 351
8.8 YflOAOriZMOZ OPIZOYZQN 352
8.9 О KAAZIKOZ F1POZAPTHMENOZ 353
8.10 EOAPMOITZ ZTIZ TPAMMIKEZ EEIZQZEIZ, О KANONAZ TOY CRAMER......354
8.11 YnoniKANEZ, EAAZZONEZ, KYPIEZ EAAZZONEZ........................355
8.12 AIAMEPIZMENOI niNAKEZ KAI OPIZOYZEZ 356
8.13 OPIZOYZEZ KAI OTKOZ 357
8.14 H OPIZOYZA ENOZ TPAMMIKOY TEAEZTH 358
8.15 ПОЛУГРАММ1КОТНТА KAI OPIZOYZEZ 358
AYMENA ПРОВЛНМАТА. 359
AAYTA ПРОВЛНМАТА....................................................373
КефйЛаю 9...........................................................379
AlATQNIOnOIHZH: IAIOTIMEZ KAI lAIOAIANYZMATA........................379
9.1 EIZATQTH.......................................................379
9.2 nOAYQNYMA niNAKQN............................................. 380
9.3 TO XAPAKTHPIZTIKO nOAYQNYMO, TO 0EQPHMA CAYLEY-HAMILTON.......38 1
9.4 AlAFONIOnOIHZH, IAIOTIMEZ KAI lAIOAIANYZMATA 383
9.5 YnOAOriZMOZ IAIOTIMQN KAI IAIOAIANYZMATQN, AlATQNIOnOIHZH niNAKQN.388
9.6 AlATQNIOnOIHZH HPATMATIKON ZYMMETPIKQN niNAKQN.................390
9.7 TO EAAXIZTO nOAYQNYMO..........................................392
9.8 TO XAPAKTHPIZTIKO nOAYQNYMO &TO EAAXIZTO nOAYQNYMO ENOZ AIAMEPIZMENOY
niNAKA .............................................................394
AYMENA ПРОВЛНМАТА...................................................396
AAYTA ПРОВЛНМАТА....................................................415
КефйЛаю 10..........................................................421
KANONIKEZ МОРФЕ!....................................................421
10.1 EIZATQTH.......................................................421
10.2 TPITQNIKH МОРФН................................................421
10.3 ZTA0EPOTHTA 422
10.4 ZTA0EPEZ AnOZYNOEZEIZ EY0EQN A0POIZMATQN......................423
10.5 nPQTEYOYZA AHOZYNOEZH 424
10.6 MHAENIKOI TEAEZTEZ 425
10.7 KANONIKH МОРФН JORDAN 426
10.8 KYKAIKOI YnOXQPOl 427
10.9 PHTH KANONIKH МОРФН 427
10.10 ХОРО1-ПНЛ1КА 429
AYMENA ПРОВЛНМАТА 430
AAYTA ПРОВЛНМАТА....................................................448
Ке фа Ла ю 11.....................................................453
TPAMMIKEZ МОРФЕ2 KAI AYlKOZ XQPOZ.................................453
11.1 EISATQTH.....................................................453
11.2 TPAMMIKEZ МОРФЕЕ KAI AYlKOS XQPOI............................453
11.3 AYTKH BASH ... ............ . .454
11.4 AEYTEPOS △YlKOS XQPOS 455
11.5 MHAENISTES .. .455
11.6 О ANASTPOOOS ENOS TPAMMIKOY METASXHMATISMOY..................456
AYMENA ПРОВЛНМАТА ............................................... 457
AAYTA ПРОВЛНМАТА .................................................463
КефйАаю 12........................................................467
AITPAMMIKEZ, TETPATQNIKEZ KAI EPMITIANEZ МОРФЕЕ...................467
12.1 EISATQTH.....................................................467
12.2 AITPAMMIKES МОРФЕЕ 467
12.3 AITPAMMIKES МОРФЕЕ KAI niNAKES 468
12.4 ENAAAASSOMENES AITPAMMIKES МОРФЕЕ 469
12.5 SYMMETPIKES AITPAMMIKES МОРФЕЕ, TETPATQNIKES МОРФЕЕ.........469
12.6 ПРАГМАТ1КЕЕ SYMMETPIKES AITPAMMIKES МОРФЕЕ, О NOMOS THS AAPANEIAS473
12.7 EPMITIANES МОРФЕЕ............................................474
AYMENA ПРОВЛНМАТА.................................................475
AAYTA ПРОВЛНМАТА..................................................485
КефйАаю 13........................................................491
TPAMMIKOI TEAEZTEZ ZE XQPOYZ EZQTEPIKOY TINOMENOY.................491
13.1 EISATQTH.....................................................491
13.2 nPOSAPTHMENOI ТЕЛЕЕТЕЕ......................................491
13.3 ANAAOTIA METAEY TQN A(V) KAI C, EIAIKOI TPAMMIKOI ТЕЛЕЕТЕЕ..493
13.4 AYTOnPOSAPTHMENOI ТЕЛЕЕТЕЕ..................................494
13.5 OPOOTQNIOI KAI MON AAI AIOI ТЕЛЕЕТЕЕ 495
13.6 OPOOTQNIOI KAI MON AAI AIOI niNAKES .496
13.7 АЛЛАГН OPOOKANONIKHS BASHS 496
13.8 OETIKA OPISMENOI KAI 0ETIKOI ТЕЛЕЕТЕЕ 497
13.9 AlATQNIOnOIHSH & KANONIKES МОРФЕЕ EE XQPOYS ESQTEPIKOY TINOMENOY 497
13.10 TO 0EQPHMA ФАЕМ ATOS 499
AYMENA ПРОВЛНМАТА....... 499
AAYTA ПРОВЛНМАТА........ 511
EYPETHPIO.........................................................517
KccpdXaio 1
Д/ANYZMATA ZTOYZ R1 KAI
СГ, AIANYZMATA ZTO XQPO
1.1 Е1ЕАГГ2ГН
Ynapxouv 5uo тролен ре тоид onoioug рлоробрЕ va vXonoiqoovpE rqv cwoia svog fiiavvopaTog: site
pe XioTEg api0pcbv Kai Seiktcdv, site xpqtHponoicbvrag p£y£0r| Kai EwoiEg тт|д Фио1КТ|д. ApEocog лю
катсо KavovpE pia елюк6лт|от| yia tov ка0Ёуа ало тоид био аитобд трблоид.
Ебсо 1)ло0£тоир£ oti о avayvcborrig Eivai E^oiKEicopEvog p£ Tig oroixEicb6Eig i6i6TqT£g too леЗюо
лрауратиссоу api0pcov, лоо oupPoXi^ETai p£ R. Ало tt|v aXXq, соотбоо, 0a лара0£ооир£ Tig i6iovr]TEg
too леЗюо piyaSiKibv api0pcov, то олою oupPoXi^ovpE pE С. Ето Еиритвро nXaioio tcov 6iawopaTcov,
та aroixEia tcov 5uo auTcov ле5(соу, лрауралксоу koi piyaSiKcbv api0pcbv, XEyovTai алХа api0poi.
MoXovoti ото KEipaXaio аито 0a лврюрютоирЕ os бюуиората tcov onoicov та oTOixsia npoEpxovrai
ало то R Kai акоХобОсод ало то C, EVTOikoig лоХХед ало тк; лра^ЕЦ Kai Tig i5i6tt|te<; лои 0а боирЕ
рлороиу va EcpappooTOuv Kai ое SiavuopaTa tcov onoicov oi KaTaxcopioEig лроёрхоутас ало калою
au0aip£TO ле5ю, К.
ЛмггЕд Api0pcov
Ад ило0Еооир£ oti та Рсфт| (ое KiXa) октсо pa0T|Tcbv катаурасроутас ое pia Х1ота cog £^f|g:
156, 125, 145, 134, 178, 145, 162, 193
0а рлороиоЕ калоюд va ovpPoXioEi oXfig тт|д TipEg vqg Х1отад xpr|o4107t0l®VTa^ eva povo ovpPoXo,
yia лараЙЕгура то w, aXXa p£ SiacpopETiKoijg 8EiKTEg, йт|Хайг|
W|, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8
Паратт]ройр£ oti о ка0£ Й£1ктт|д 6t|Xcovei vq 0£oq Tqg Tipqg отт] Х(ота. Гю лараЙЕГ/ра,
W!=156, о лреотод api0pog, w2=125, о йготЕрод api0pog, к.о.к.
Mia тетош Xiora api0pcbv,
w=(w1,w2,wj,...,w8)
ovopa^ETai уращикг) парата&] rj diavvapa.
Та Лшуоората orq Фвоисц
ПоАХа (pnaiKa реуЁ01], блсод Eivai г| 0еррокраа(а Kai т] pd£a, AepiypacpovTai povo ало то “ретро”
тоод. Та реуЁОт] аота pnopoov va avanapaoTaQoov ало лрауратисобд api0poog Kai ovopa^ovrai
Ра0рсота (т| povopeTpa) реуЁ0т|. Алб tt]v аАХг|, олархооу реуЁ0т], блюд eivai т] 8ovapr| Kai г| тахбтдта,
yia tt]v ЛЕргурасрт] tcov oaoicov алапЕгсас тосо то “ретро” бао Kai г] “Si£60ovaf|” тоод. Та реубОт]
аота, та олоса рлоробу va ауалараста0ооу ало рЁХт] лов ёхооу та катаХХт]Ха ртрст] Kai 3i£B0Bvaeig
Kai £ekivo6v ало eva ЗвЗорЁУо ar|peio avatpopag О, ovopa^ovrai SiavuopaTiKa реуёбт], f| алХа
SiavuopaTa.
©Есоровре 6ti о avayvcoarT|g Eivai E^oiKEicopevog pc to X“P° R3, блоо 6Xa та ат]рЕ1а ото X“P°
avanapiorcbvrai ало StaTeraypeveg xpiaSeg лрауратиссоу apiQpcbv. УлоОЁтоутад 6ri cog apxn tcov a^ovcov
cjtov R3 EAiXeyETai то от]рею avacpopag О yia та SiavuopaTa лов avacpepape лю лаусо, tote to k60e
Siavoapa ApooSiopi^ETai povaSiKa ало Tig crovTETaypeveg тов лЁратод (ат|р£1оо тЁХовд) тов Kai
avriarpocpa.
Улархову Soo РаоисЁд лра^ид лов oxETt^ovTai р£ та SiavoapaTa отт] Фоаисгр г] лр6а0£ат]
SiavoapaTCOv Kai о Ра0рсотбд лоАХалХаогаорбд. Oi opiapoi tcov лра^Есоу аотсоу, ка0сод Ел(ат|д Kai 01
oXEOEig рета^в tcov лра^Есоу аотсоу Kai tcov лЕратсоу tcov Siavuopdicov, ёхову cog E^rig:
(i) Пр6о0£<я| Аюуворатсоу: To алотЁХеора тдд лрбо0ЕОТ]д u+v Soo Siavuopdicov u Kai v
XapPavETai p£ tov Aeyopevo Kavova тов лараХХт]Хоурарроо. Eopcpcova p£ tov Kavova
авто, то u+v Eivai r] Siaycbviog too лараХХт]Хоурарроо лов oxnpaTi^ETai ало та u Kai v.
ЕлшАёоу, Eav та (a,b,c) Kai (а',Ь',с') Eivai та лЁрата tcov SiavBopaTCOv и Kai v, tote to
(a+a',b+b',c+c') 0а Eivai то лЁрад той SiavijopaTogu+v. Oi i5iOTT]T£g автЁд aAEiKovi^ovrai
ото Sxnpa 1-1 (a).
(P) Ва0цшт6<; ПоХХаяХаашац6<;
ЕхПНа 1-1
(ii) Ва0рсотбд ПоАХалХаошорбд: То yivopsvo ku svog SiavijopaTog и рв eva лраурапкб
api0po k XapPavETai лоХХалХаак^оутад то рЁтро тои и р£ то k Kai Siauipcbvrag tt]v i8ia
5ieu0bvot] Eav k>0, r| tt]v avri0ETT] 5ieu0bvot] Eav k<0. Ел«я]д, Eav to (a,b,c) Eivai to
лЁрад too SiavuapaTog u, tote to (ka,kb,kc) 0a Eivai то лЁрад той SiavuapaTog ku. Oi
i5iOTT]T£g автЁд aAEiKOvi^ovTai ото Ехпра l-l(P)-
Ма0т|рат1ка, тавт^овре то Siavoapa и ре то ат|рЕЮ лЁратод too, (a,b,c), Kai урасрооре и=(а,Ь,с).
Ел1лрба0Ета, ovopa^oope тц ЗштетаурЁУГ] TpiaSa лрауратиссоу api0pcbv (a,b,c) ат|рЕ(о r| Siavoapa,
avaXoya ре tt]v eppr]VEia тт]д. FeviKEOovTag tt]v ёууош аотт|, ovopa^oope Siavoapa pia n-aSa
лрауратиссоу api0pcbv, (а^аг,...^). Qctoco, рлоре! va хРПО1ролои]0Е1 SiacpopETiKog aopPoXiapog
yia та SiavoapaTa ctov R3, та оло1а KaXoovTai SiavoapaTa ато X“P° (Параурасрод 1.6).
1.2 AIANYEMATA ETON Rn
To cruvoXo oAxov tcdv n-aScov лраурапксЬу apiQpcbv, лов crupPoXi^exai pe Rn, ovopa^erai n-ycbpog.
Mia ovyKEKpipEVT) n-a8a chov Rn, yia napaSeiypa q
u=(ai,a2,...,an)
ovopa^eTai спицею q tiiavvopa. Oi apiOpoi a, ovopa^ovrai овутетаурёуед, cruvioTiboeg, KaTaxcopioeig,
r| oTOiyeia too u. ЕлигХёоу, orav лрауратевбрасне то X^po Rn, хрпогцолоюице tov opo apiOpoi yia
та QTOixeia too R.
△bo Siavuapaxa u Kai v eivai iaa, Kai урасровце u=v, eav exoov tov 1810 apiQpo cjbviotcooov Kai oi
avriaroixeg cruvioTcbaeg eivai iaeg. ПарбХо лов та 8iavB<jpara (1,2,3) Kai (2,3,1) nepiExouv товд iSiovg
rpeig apiOpoog, evroBxoig 8ev eivai tea, каОсод 5ev eivai iaeg цехами товд oi avricnoixeg катахсорюец.
To 8iavoopa (0,0,.. .,0), yia napaSeiypa, too олоюв 6Xeg oi катахсорюец eivai 0 KaXenai pr|3eviKo
8iavoopa, Kai aBvqOcog cropPoXi^eTai pe 0.
Парббевура 1.1.
(а) Та акбХовОа eivai SiavoopaTa:
(2,-5), (7,9), (0,0,0), (3,4,5)
Ta 8во лреота SiavixjpaTa avqKOBv chov R2, evco та 8во теХевтага avqKOBv cnovR3. To тр1то
Siavoopa eivai to pqSeviKd Siavoopa chov R3.
(P) Na Ррепе та x, y, z yia та onoia (x-y, x+y, z-l)=(4,2,3).
Алб tov opiopo -n]g юбтт]тад SiavuapaTcov, лреле1 oi avricnoixeg Karaxcopiaeig va eivai ioeg.
'Etch,
x-y=4, x+y=2, z-l=3
Aovovrag то ларалаусо сгиснтща e^iacboecov о8т]уовраоте сна x=3, y=-l, z=4.
AiavvopaTa ETqkqg
MepiKeg срорёд eva Siavuopa otov n-xebpo Rn ypacpeTai катакдръера Kai oxi opi^ovria. 'Eva тётою
Siavuopa ovopa^eTai diawa/ia eveb та лю navco, opi^ovna ypapprva SiavvopaTa, ovopa^ovrai
Siavuafiata уращлг^. 'Etch, yia лараЗегура, та ларакатсо eivai SiavuopaTa отт|Хг]д ре 2, 2, 3 Kai 3
cruvioTcboeg, avTicnoixa.
и- [-•) [JI [j]
EripeioveTai oti олоюЗдлоте лра^т] opi^eTai yia SiavvopaTa ypappfjg, opi^eTai avaXoya Kai yia
SiavuopaTa отт|Хг]д.
1.3 ПРОЕ0ЕЕН AIANYEMATftN KAI BA0MOTOE ПОАААПААЕ1АЕМОЕ
©ecopovpe 3vo SiavuopaTa u Kai v orov Rn, yia лараЗегура та
Kai v=(b„b2,...,bn)
To аОроюра тоъд, лов ypacpeTai u+v, eivai to Siavuopa лов XapPaveTai лрооОётоутад Tig avricnoixeg
cruvicHcbcjeg tcov u Kai v. Ar]Xa8f|,
и + v = (в] + by, a2 + b2, .... a„ + b„)
То Ра0рсот6 yivopevo, п алХа то yivopevo, too 8iavuopaTo<; и це Eva лраураико api0po к, нои ypacpsrai
ku, Eivai то 8iawopa нои XapPavExai лоХХалХао1афута<; Tqv ка0£ ovvtoTcboa той и це то к. Дт]Ха8т|,
ки = к(ах, а2,..., а„) = (Лаь ка2.ка„)
Паратт]ройц£ oti та u+v Kai ku eivai £лил]<; 8iavuopaTa orov Rn. To a0poiopa 8iawopaT©v pe
8ia<popeTtK6 api0po ovviotcoocov 8ev opi^ETai.
To apvT|TiKO evo<; 8iavuopaTO<; Kai д acpafpEoi] 8iawopaT©v opi^ovrai otov Rn ©<; E^ifc:
—u=(—l)u Kai u-v=u+(-v)
To Siavuopa -u XeyETai apvijriKo too u, evco to u-v ovopa^ETai diacpopa tcov u Kai v.
A<; илоОвооирЕ тсора oti pa<; Sivovrai та 8iavvopaTa ubu2,.. .,um otov Rm Kai oi api0poi kbk2,.. ..кщ
ото R. Eav лоХХалХаошооирЕ та Stavuopaia це tou<; avrioToi%ou<; api0pou<; Kai лрооОвооирЕ on]
ouvExsia та лрокйлтоута Ра0рсота yivopsva, 0a оуг|рат1от£[ то 8iawopa
o = *iui + k2u2+kiui + ---+kmum
'Eva TETOio 8iawopa v KaXsiTai урарргкдд aovdvaapdq tcov diavvapatcov ubu2,.. .,um.
Парйбеиура 1.2.
(a) 'Eorco u=(2,4,-5) Kai v=(l,-6,9). Tote
u + u = (2 + l, 4 + (-5), -5+ 9) = (3,-1,4)
. 7u = (7(2), 7(4), 7(-5)) = (14,28, -35)
-v = (-1X1, -6,9) = (-1,6, -9)
3u - 5p,=<6,12, -15) + (-5,30, -45) = (1,42, -60)
(P) H ороюп]та яои napouoia^Ei to pt]8evik6 8iawopa 0=(0,0,...,0) otov Rn p£ tov api0po 0,
syKEtcai ото oti, yia олою8т|лоте Siavuopa u=(a1,a2,...,an).
u + 0 = (a1+0, a2+0....ая+0) = (а1,а2....a„) = и
(у) 'Еотсо u= [ 3j Kai v= £-1J Tote 2m-3u= 6 j + £ (i) * 3 *j = £ 9 J
To 0£©рт|ра нои акоХои0£1 HEpiypacpEi тц PaoiKEt; i8iott|T£<; tcov Siawopcrccov ияб тц лра^Ек; ттц;
лроо0£от]<; Kai тои Ра0рсотои лоААалХаоюорои.
0Ecbpi]pa 1.1: fia оло1аЗт|лот£ SiavuopaTa и, v, w otov Rn Kai олоюио8т|лот£ api0pou<; k, k' ото R,
(i) (u+v)+w=u+(v+w),
(ii) u+0=u,
(iii) u+(-u)=0,
(iv) u+v=v+u,
(v) k(u+v)=ku+kv,
(vi) (k+k')u=ku+k'u,
(vii) (kk')u=k(k'u),
(viii) lu=u.
AvaPaXXoupE tt|v ал68£1^т| тои 0£сорт]рато<; 1.1 yia то КЕсраХаю 2, блои 0a EnavEpcpavioTEi отт|
0£copia tcov nivaKCov.
Eav ило0£ооир£ oti та и Kai v Eivai 8iavuopaTa otov Rn yia та оло(а u=kv yia калою api0po k
8iacpopo тои pt|8evo<; ото R, tote XepE oti to u Eivai Eva лоАЛалХаою тои v. ЕлшХеоу, XepE oti to u
EXEi tt|v i8ia r| avri0£TT| 8iev0vvot| pE to v, avaXoya p£ to Eav k>0 r| k<0.
1.4 EEQTEPIKO TINOMENO
©ЕсороврЕ 8во ав0а(р£та SiavoapaTa u Kai v otov Rn, yia napaSeiypa та
Kai v=(b|,b2,...,bn)
To EOCOTEplKO yiVOpEVO T| 000(1(0X0 yiVOpEVO TCOV U KOI V OBppoXl^ETai |1£ U-V Kai Opi^ETOl ало TT|V
U • v = a1S1 + a2b2 + •• + a„bn
To u-v, 8т|Ха8т|, XappavETai noXXanXaoia^ovra<; tic; avTioT0i%£<; obviotcooei; koi лроо0£тоутск; отт]
ouvEXEia та лроквлтоута yivopsva. Та SiavbapaTa u koi v AiyovTai op0oycbvia (r| ка0£та) &av to
EocoTEpiKO tob<; yivopsvo Eivai pt|8ev, Eav 8r|Xa8f| u-v=0.
Парабсгура 1.3.
(a) 'Eotco u=( 1-2,3), v=(4,5,-l), w=(2,7,4). Tote:
u-v=l(4)-2(5)+3(-l)=4-10-3—9, u-w=2-14+12=0, v-w=8+35-4=39
Евуелох; та u Kai w Eivai opOoycbvia.
(P) Eotcou=^ з] koi v= £-1 J. Tote u-v=6-3+8=11.
(y) YnoOfiTovraq oti u=(l,2,3,4) Kai v=(6,k,-8,2), va Ppeite to k etoi coote та u Kai v va Eivai
opOoycovia.
Вр(оковр£ лрсота то u-v=6+2k-24+8=-l 0+2k. 'Ekeito Оетооце u-v=0 koi Xbvobpe cog лро<; k:
-10+2k=0 f| 2k=10 I) k=5
AkoXobOobv 01 PaoiKEi; i8i6tt|te<; too socoTEpiKOU yivopEvoB otov Rn (01 оло(е<; anoSEiKVUovrai ото
ПрорХтща 1.13).
©Есортща 1.2: Tia оло1а8т|лот£ SiavoapaTa u,v,w otov Rn koi олою8т|лот£ api0po k ото R,
(i) (u+v)-w=u-w+v-w,
(ii) (ku)-v=k(u-v),
(iii) u-v=v-u,
(iv) u-u>0, Evcb u-u=0 Eav koi povo sav u=0.
Ei||i£icbv£Tai oti to (ii) paq Xeei oti to k рлорв! va “Pysi e^co” ало tt|v лрсотт) 0eot| oe Eva eocotepiko
yivopEvo. Алб та (ii) Kai (iii),
u-(kv)=(ku)-v=k(v-u)=k(u-v)
To k, 8т|Ха8т|, рлор£( va “Pysi e^co” Kai ало тт| 8£бт£рт| 0eot| oe Eva eocotepiko yivopsvo.
О %d)po<; Rn p£ Tig лю лаусо лра^Ек; ттуд лр6о0£ОТ|<; SiawopaTCOv, той РаОрсотов лоХХалХаоюорои
Kai той EocoTEpiKoo yivopfivoi) ovopa^ETai EukXeiSeioi; n-x&pog
H N6ppa (п to MqKoq q to Mlrpo) Ev6q AiavuopaToq
H voppa r| то рт|ко<; r| то рётро evo<; Siavuoparoc; u otov Rn, лов оврРоЩвта! p£ ||u||, opi^ETai va Eivai
T| pr|-apvT|TiKT| TETpaycoviKT] pi^a тов u-u. EiyyKEKpipEva, Eav u=(a|,a2,...,an), tote
||u|| = = ^0?+ a|4-------Fai
To ||u||, 5r|Xa5r|, eivai r| тетраусоуист] pi^a tov aOpoioparoq tcov Terpaycovcov tcov ovviotcoocov tov u.
Еяорёусод ||u||>0, eveb ||u||=0 eav Kai povo eav u=0.
'Eva 5iawopa u ovopa^erai pova5iaio 5iawopa eav ||u||=l, r|, ioo5vvapa, eav uu=l. Tia ояоюбг|яоте
pr|-pr|5eviK6 5iawopa v otov Rn, to 5iawopa
. 1 _ v
eivai to povaSiKO pova5iaio 5iawopa nov e%ei tt|v i5ia 5iev0vvor| pe to v. H 5ia5iKaoia evpecrqq tov
v апо to v ovopd^erai KavoviKonoir|OT| tov v.
flapaSeiypa 1.4.
(a) Уяо0ётооре on u=( 1 ,-2,-4,5,3). IIpoKeipevov va Ppovpe to ||u||, PpioKovpe ярсота то ||u||2=uu,
vycbvovraq ото rerpdycovo tt|v ка0е ovvioTcboa tov u Kai ярооОётоутад, coq акоХог>0сод:
Hull2 = I2 + (—2)2 + (—4)2 + 52 + 32 = 1 + 4 + 16 + 25 + 9 = 55
Тоте ||u||=V55
(P) 'Eotco v=( 1 ,-3,4,2) Kai w = ,- ±. Тоте
m = vi+9+i6+4=vm к®
Y 36 36 36 36 V 36
Apa Xoinov to w eivai eva povaSiaio Siawopa, 6%i брак; Kai to v. Mnopovpe соотбоо va
KavoviKonoiTjoovpe to v cog e£,f|c;:
M \v5o’Узо’Узо’Узо/
Avto eivai to povaSiKO pova5iaio 5iawopa nov e%ei tt|v 15la 5iev0vvor) pe to v.
О паракатсо tvnoq (nov ano5eiKvveTai ото ПрбрХт|ра 1.14) eivai yvcooroq cot; avio6tr|Ta Schwarz r|
avio6tr|Ta Cauchy-Schwarz, koi %pr|oiponoieiTai oe pia яХегаба кХабсоу tcov pa0T|paTiKibv.
0есорт]ра 1.3: (Schwarz) Tia ояо1абг|яоте Siavvopara u,v otov Rn, |u-v|<||u|| ||v||.
Xprioiponoicbvra^ tr|v яю navco avio6tr|Ta, ano5eiKvvovpe enior)^ (ПрбрХг|ра 1.15) tr|v aKoXov0r|
i5ioTT|Ta, r| onoia eivai yvcootri cog “тргуомкг] avio6tr|Ta” r| avio6tr|Ta Minkowski.
Oecbpnpa 1.4: (Minkowski) Tia олоих5г|яоте Siavvopara u, v otov Rn, ||u+v||<||u||+||v||.
Апбсттаог], Tcoviec;, ПророХёс;
H аяоотаот| pera^v tcov Siawoparcov u^aj^-.-.a,,) Kai v=(b|,b2,...,bn) otov Rn oopPoXi^erai pe
d(u,v) Kai opi^erai аяб tt|v
d(u, v) = ||u - v|| = y/(ai - bt)2 + (a2 - b2)2 + • • • + (an - 6n)2
Mnopei каяоюд va 5eif,ei on о орюрси; ovtcx; PpioKerai oe ovpcpcovia pe tt| ovvr|0r| ewoia тт|<; аяоотаот|<;
ото EuicXeiSeio ле51о R2 ij ото xtopo R3.
H ycovia 0 рета^и tcov pr|-pr|5eviKcbv SiavuopaTCov u, v otov Rn opi^erai ало tt]v
« w • v
COS0 =-------
MIMI
О орюрб<; аитб<; eivai еларксод орюрёуо<; ка0со<;, ало tt]v ауюбтт]та Schwarz (0ecbpr|pa 1.3),
-1 <--v < 1
" MM -
Er|peicbveTai oti eav u-v=0, тбте G=90° (ij 0=л/2). Aoto, ре tt] oeipa too, Рр1акетаг oe oupcpcovia pe
tov лрог|уоиреуо орюрб rr|g ор0оусоУ1кбтт|тад.
H лроРоХт) evo<; 5iavuopaT0<; u лаусо ae eva pr|-pr|5eviK6 Siavuopa v eivai to Siavuopa лои
оирРоЩета1 pe proj(u,v) (лроёр%ета1 ало тт] Xe£r| “projection” лои OT|paivei лроРоХт)) каг opi^erai
ало tt]v
•/ ч и •v
рпу(и, о) =--у V
М
Етт] ouvexeia Sefyyoupe oti аитб PpioKerai ое oupcpcovia ре тт] ouvr|0T] ewoia тт|д лроРоХгц; 5iavuopaT0<;
ОТТ| ФиО1КТ|.
TlapaSeiypa 1.5.
(а) Уло0ётоире oti и=(1,-2,3) Kai v=(2,4,5). Тоте
4(«, v) = У(1 -2)2 + (-2 -4)2 + (3 - 5)2 = 71+36 + 4 = 741
Прокегрёуои va Рроире то cos 0, блои г| 0 eivai г| рета^и tcov и кас v ycovia, PpioKoupe лрсота
та
и • t> = 2 — 8 + 15 = 9, ||И||2 = 1+4 + 9= 14, ||i>||2 =4+ 16 + 25 =45
Тоте
. uv 9
008 ~ MM ~ 714745
Ел1от|(;,
= SF’=s<2’ *5) - 5<2'4'
(Р) ©есороире та Siavuopara и Kai v ото Е%г|ра 1-2(а) (сод лро<; та лёрата A Kai В). Н (ка0етт|)
лроРоХг| тои и ndvco ото v eivai то Siavuopa и* ре рётро
||и*|| = ||и||СО8 0= Н“11 7Г7П7 =
l|u||v|| ||р||
Tia va Рроире то и*, лоААалХаок^оире то рётро тои ре то povaSiaio Siavuopa лои ёуе1
SieuOuvari той v, XapPavovrag ёто1
* и «и v u v v u v
М ММ IMI2
Аитб eivai то iSio ре tov лю лаусо орюрб тт|д proj(u,v).
1.5 IIPOLANATOAILMENA AIANYZMATA, YIIEPIIAANA, EY0EIEE KAI
KAMIIYAEE ETON Rn
Erqv лараурафо аотт| yivETai pia SiaKpiar] цехами piac; n-aSaq P(a1) = P(a1<a2,...,an) 0£copqp£vr|(; cog
eva QT||i£io otov Rn, Kai piaq n-aSaq u=[cbc2,. ..,cn] 0£copqp£vr|^ coq Eva Siavoapa (ypappq) ало Tqv
архп tcov okovcov О psxpi то отщею C(cbc2,...,cn).
IIpoaavaToXiap£va AiavoapaTa
'Eva олою8т|лот£ ^Ебуос; aripEicov А(а,) Kat B=(b,) otov Rn opi^Ei to npoaavaToXiapEvo Siavoapa f| to
8i£v0uv6|i£vo воОоурарро Tpqpa ало то А ато В, лоо ураф£та1 АВ То АВ TaoTi^srai р£ то Siavoapa
Н npo0oX.fi и* тои u ndvco ато v
(a)
Ездра 1-2
и = В-А = [Д( — аь Ьг—аг, Ьп-ап]
афоота АВ Kaiu£xoovToi8iop£TpOKai-n]v(8ia8iEO0ovar]. AoToanEiKOvi^EraiaroZxripa l-2(p)yia
та aripfiia А(^д2,а3) Kai B(bbb2,b3) otov R3 koi to Siavoapa u=B-A, то лЕрад too олоюо Eivai to
P(b!-ab b2-a2, b3-a3).
Ул£рЕЛ1Л£ба
'Eva олерелЬгеЗо H arov Rn Eivai to aovoXo aripfiicov (xj ,x2,... ,xn) лоо iKavonoiEi pia ypappiKq E^iacoar]
aiXi+a^+.-.+anX^b
олоо to Siavoapa oovteXeotcov, u=(aba2,.. ..a,,], Eivai pr|-pr|8£viK6. Eovsncoc; Eva олерелшеЗо H otov
R2 Eivai pia £o0£ia, evco otov R3 Eva елогеЗо. Ltt| oovexeio, Kai олсос; фаната! ато Ехлра 1-3(а) yia
tov R3,0а Sfii^oopE oti to u Eivai op0oycbvio лро<; оло1оЗт|лот£ SiEoOovopsvo soOoypappo трт|ра PQ,
олоо та P(p,) Kai Q(q,) Eivai aripfiia ато H. [Па то Xoyo аото, раХюта, ХЁрв oti то u Eivai kovoviko
лрод то H, f| oti то H Eivai kovoviko npog ato u.]
Афоо та P(p,Kai Q(q,) avf|Koov ато H, 0a iKavonoioov tt|v лю navco E^iacoar] олерелшеЗоо, SrjXaSq
fliPi + азРг + • • • + влРп = b koi a^i + a2q2 +... + a„q„ = b
Еатсо тира v = ^ = 6 -P = ^! -pb -p2...............q„ -p„]
Tote
u v = 0,(9, -pi) 4- o2(92 -ft) + • • • + an(qn -pn)
= (<*i9i +ft92 + • • • +a„9„)- G*lPi +ftft + • • • + a„p„) = b-b = O
ХпцлЕраоцапка то v = PQ eivai opOoycbvio лрод то u, олсод ioxupiorf|Ka|iE.
EvOeieg otov Rn
H evOeia L otov Rn лои nepva ало то отщею P(b, ,b2,... ,bn)Kai SievOvvot] evog pr|-pr|5eviKov
SiavvopaTog u=[a1,a2,...,an], алотеХепаг ало та отщега X(x!,x2,...,xn)лои iianKMtoiovvtt|v
X=P+tu f|
L(t)=(a,t+b.)
олои т| лараретрод t naipvei 6Xeg тц лрауцапкёд пред. Mia тётою evOeia L otov R3 aneiKovi^ETai
отоЕ/тща 1-3(P).
ЕХПра 1-3
Парйбпуца 1.6.
(a) 'Eorio H то елшебо otov R3 лои avTioroi%£i gtt| ypappiicr| E^iocixyq 2x-5y+7z=4. Паратт|рои|1Е
oti та P( 1,1,1) Kai Q(5,4,2) Eivai Xvoeu; тт|д Е^оюодд. Ката оиуёлвю та Р Kai Q Kai то
5iev0vv6|ievo EvOvypappo тцтща
v=P2=Q-P=[5-l, 4-1, 2-l]=[4,3,l]
PpioKovrai ото ел4ле5о H. To Siawopa u=[2,-5,7] Eivai kovoviko лрод то H Kai, блюд r|Tav
ava|iEv6|iEvo,
u-v=[2,-5,7]-[4,3,l]=8-15+7=0
To u, 5r|Xa5f|, Eivai opOoycbvio лрод то v.
(Р) Na Ppeite pia E^iocoor] tov ипЕрЕпшЁЗои H otovR4, to onoio nspva and то отщею P( 1,3, -4,2)
Kai Eivai kovoviko npog to Siavuopa u=[4,-2,5,6].
Oi ouvteXegte^ tcov ayvcboriov piag E^iacocrqg тои H Eivai oi ouviorcboEg тои kovovikou
SiavvapaTog u. 'Etgi tj e^Iocoot] тои H 0a npsnEi va Eivai тт]д pop<pr]g
4x|-2x2+5x3+6x4=k
AvTiKaQiarcbvTag то P ott|v E^iacocrr] аитт|, naipvoupE
4(l)-2(3)+5H)+6(2)=k n 4-6-20+12=k r| k=-10
Enopevcog T] Ерошат) тои H Eivai r] 4X|-2x2+5x3+6x4=-10.
(y) Na Ppeite tt|v яарарЕтрист] avanapaoTaor] тт]д euOeioc; L otov R4, tj onoia nspva and to
QTipsio P(l,2,3,-4) Kai £%ei tt| SieuGuvot] tou u=[5,6,-7,8]. EninXsov, va Ppeite to crqpEio Q
gtt|v L OTav t=l.
H аут1катаотаот] gtt]v e^ioiogt] ттр; L oStiyei ottjv акоА.оиОт] парарЕтриа)
avanapdoraoT]:
X|=5t+1, x2=6t+2, x3—7t+3, x4=8t-4
r|, icoSuvapa,
L(t)=(5t+1, 6t+2, -7t+3, 8t-4)
AvTiKaOiorcbvrac; to t=l оЗфоираотЕ ото crqpEio Q(6,8,-4,4) orqv L. LqpsicbvETai oti to t=0
oStiyei ото GTipsio P orqv L.
KapnuXeg otov Rn
'Eotio to D sva SiaoTqpa (nsnEpaopEvo q апЕрюрюто) navio oa]v npaYpaTiicq EuOsiaR. Mia ouvExqg
ouvap-n]OT) F: D->Rn Eivai pia каряиАл] otov Rn Enopdvcog, ото ка0£ crqpEio teD avauOErai to
акоХоиОо oqpEio otov Rn:
F(0 = [^(0.^(0......Fn(0]
EmnXsov, t] napaYWYog (Etpdaov vnapxEt) тт]д F(t) oStiyei ото Siavuopa
VIA P™ ^(0 ^,(01
()~ dt "[ dt ' dt ........... dt J
to onoio Eivai Eipanropsvo o-n]v каряиАл]. H KavoviKonorr]crr] тои V(t) oStiyei ©to
Ара to T(t) Eivai to povaSiaio, Eipanropsvo orqv каряиХт] Siavuopa. (Euvf|0io^ xp-qaiponoioupE evtovt)
Ypaq>r| yxa povaSiaia SiavuopaTa YECop£TpiKf|g опои8а1отт|та<;.)
ПарйбЕгура 1.7. ©Eiopoups n]v каряиХт] F(t)=[sin t, cos t, t] otov R3, naipvovrac; n]v napdY<x>Y°
F(0 [л "лк ка0£ ouvioTcbaac; тт]д F(t)] оЗт^оираатЕ ото
V(t)=[cos t,-sin t, 1]
to orcoio eivai Eva 3iawopa ЕсралтбцЕУо ott|v кацлиХт]. KavpviKonoioij|i£ тсора то V(t). Ар%1ка
7taipvov|i£ то
|| V(t)||2=cos2 t+sin21+1=1+1=2
Tote to povaSiaio, ЕсралтбцЕУо ott|v кацлиА.1] Siawopa T(t) Eivai to E^ifc:
TOl - - Г008' ~sinf
u ИМИ 1Л' Л ’Л]
1.6 AIANYEMATA ETON R3 (ETO ХОРО), H ЕНМЕЮГРАФ1А ijk
Ta 5iavvopaTa otov R3, r| аХАлсос; та SiavuopaTa ото %cbpo, Egcpavi^ovTai oe арк£Т£<; £<pappoy€<;, Kai
iSiaiTEpa отт| Фиона]. Tia та 3iavvopaTa аита ovvr|0co<; %pr]oiponoi£iTai pia ei3ikt| oripEioypacpia, r]
ijk, опои:
To i=[ 1,0,0] ооцРоЩе1 to povaSiaio 3iawopa on] 3iev0uvot| x.
To j=[0,1,0] оирРоЩ£1 to |iova5iaio Siavuopa ott| 3iev0uvot| y.
To k=[0,0,l] ооцРоЩе! to povaSiaio Siawopa ott| 3iev0uvot| z.
Tote, олою5т|лот£ Siawopa u=[a,b,c] otov R3 pnopfii va EKCppaoTEi povaSiKa ott| |iop<pr|
u=[a,b,c]=ai+bj+ck
Ка0со<; та 5iavuo|iaTa i, j, k Eivai povaSiaia Kai apoiPaia opOoycbvia, XapPavovgE та ларакатсо
EocoTEpiKa yivopEva:
i i=l, j j=l, k k=l Kai ij=O,ik=O,jk=O
Ел1лр6о0£та, oi лра^Ек; tcov 3iawopaTcov лои £^£таотт|кау лю npiv, цлороиу va Ексрраотооу це тт|
origEioypacpia ijk co<; акоА.об0со<;: Уло0£тоута<; 6ti
и = a,i 4-aJ + a3k Kai v = 6tl 4- 62j 4- 63k
TOTE
и 4- v = (at 4- 6|)14-(a2 4-62)j 4-(a3 4-63)k and cu = cati 4-caj 4-ca3k
блои то c Eivai Eva<; api0po<;. Ел1от|<;, Kai
и v = atbt + a2b2 + ajb3 Kai ||u|| = y/u • й = a] 4- af 4- a3
napdSsiypa 1.8. УлоОетооце 6ti u=3i+5j-2k Kai v=4i-8j+7k.
(а) Г la va PpougE то u+v, лрооОЁтоицЕ тк; avTioToi%£<; ouviotcooec; Kai naipvovgE u+v=7i-3j+5k.
(P) Tia va PpougE to 3u-2v, лоХХалХаою^оицЕ лрсота це tov<; api0poij<; Kai акоХои0со<;
лрооОЁтоицЕ:
3u-2v=(9i+15 j-6k)+(-8i+16j-14k)=i+31 j-20k
(у) Г la va PpougE to u-v, лоАЛалХаокК^оицЕ тц avTioToi%£<; ouviotcooec; Kai Елвига лроо0£тоицЕ:
u-v=12-40-14=-42 .
(8) TsXog, yia va РроврЕ to ||u||, naipvovpe vqv TETpaycovua] pi^a той а0ро(аратод tcov TETpaycbvcov
tcov obviotcoocov:
||U|| = 79 + 25 + 4 = 738
Е^сотерскб Tiv6p£vo
Ynapxei pia eiSikti лра^л yia та SiavoapaTa u Kat v otov R3, л onoia Sev opi^ETai otov Rn yia n*3. H
лра^л аотл ovopa^ETai eocotepiko yivopsvo tcov u Kai v Kai аорРоХфта! p£ uxv. H anopvT|p6v£var|
too толов тои uxv KETOyaivETai ЕвкоХа p£ тт] хрт|от| vqg opiOooaag (та^л? 2) Kai tod apvr|TiKOB тлд,
то aopPoXiapo Kai tov opiapo tcov onoicov рХЁлоорЕ itio катсо:
|c j| = aJ-6c K«i - |c d\=bc-ad
E8cb та a Kai d XfiyovTai Siaycbvia OTOiyEia, evco та b Kai c Eivai та рл-Siaycbvia oTOixeia. Enopfivcog л
opiOouaa Eivai to yivopevo ad tcov 8iaycbvicov otoixeicov psiov to yivopEvo be tcov pr|-8iaycbvicov
otoixeicov, aXXa yia tov apvrjTiKO rrp; орфвоад ioxvei to avTiorpoipo.
УлобЁтоврЕ тсора oti u=a1i+a2j+a3k Kai v=bi+b2j+b3k. Tote
и x v = (a2b3 - a3b2)i + (аз^1 _ ai^j)j + (a\b2 ~
и; г
Ж а2 а3
Авто OTipaivEi oti oi трек; aovioTcbofg тои uxv XapPavovrai ало tt|v ларата^л
al Ъ аз"1
hi b2 63J
(Л оло(а nEpiEXEi Tig ouvioTcbasg tov u navco ало Tig ovviorcboEg tov v) cog Е^лд:
(1) KaXwtTOvpE rqv лреотт] отт|Хт| Kai naipvovpE tt|v opiOovoa.
(2) КаХвлтоурЕ тт) 8ebtept| отт|Хл Kai naipvoBpe tov арултвеб тлд ор^овоад.
(3) КаХолтоврЕ -пр Tpirq отт|Хл Kai naipvoBpe -n|v орс^овоа.
1л peicovETai oti to u x v Eivai Eva Siavoapa. ЕвХоуа, Xoutov, ovopa^ETai Kai SiavBapaTiKO yivopEvo
tcov u Kai v.
ПарйЗсгура 1.9. Na Ppeite to uxv олоо: (a) u=4i+3j+6k, v=2i+5j-3k, (P) u=[2,-l,5], v=[3,7,6].
(а) ХрлсяролоюврЕ -n]v ларата^л 5 3] Jia va лароврЕ uxv=(-9-30)i + (12+12)j+
(20-6)k=-39i+24j+14k
(P) Хрла1ролоювр£ тлу ларата^л yia va лароврЕ uxv=[-6-35, 15-12, 14+3] =
[-41,3,17]
Паратлрлст]: Ta eocotepiko yivopfiva tcov SiavBopaTCOv i, j, k Eivai та Е^лд:
ixj = k, jxk = i kxi=j
jxi=-k, kxj=-i ixk=-j
Zuvencog, eav бесордооире tt|v трсаба (ij,k) кикХскд ретабеод, блои то i акоХоибес то k Kai ара то
к лродуепас тои i, тбте то ycvopevo tcov Зио ало аитсоу отд беборёуд Зсеибиуод 0a eivai то тр1то, аЛЛа
то ycvopevo tcov Зио ало аитсоу отд v аутсбетд Зсеибиуод ба eivai то арудтскб тои трстои.
Ето акбХоибо бе сор др a nepcXapPavovrac Зио одраутскёд сЗютдтед тои е^сотерскои ycvopevou.
Оесордра 1.5: 'Еотсо та и, v, w Зсауиората otov R3.
(а) То Siavuopa их v eivai op6oycovio тосо лрод то и боо Kai л род то v.
(Р) Н албХитд тсрд тои “трслХои ycvopevou”
u-vxw
avanapioTa tov буко тои лараХХдХелслеЗои лои охдратс^етас ало та
Зсауиората и, v, w. [ВХёле Ехдра 1-4(а).]
Прёлес va одрессобес oti та Stavuopaxa и, v, их v охдратс^оиу eva Зе^юотросро оиотдца, Kai oti то
ретро тои uxv SiveTai ало tov ларакатсо тило:
||uxv||=||u||||v||sin6
блои д б eivai д рета^и tcov и кас v ycovia.
1.7 М1ГАА1КО1API0MOI
То ouvoXo tcov piyaSiKcbv api6pcbv оирРоХс^етас ре С. Тилска, evag рсуаЗскбд арсбрбд eivai eva
SiaTeraypevo ^euyog (a,b) лрауратсксоу api6pcov, блои д собтдта, д лрбобеод Kai о лоХАалХаошорбд
opi^ovrai cog е£дд:
(a,b)=(c,d) eav кас povo eav a=c кас b=d
(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)
(a,b)-(c,d)=(ac-bd, ad+bc)
MiyaSiKO етплебо
(fi)
ЕХПЦа 1-4
Таитс^оире tov лрауратскб арсбрд а ре то рсуабскб арсбрб (a,0), ЗдХабд
а (а,0)
Аитб eivac есрсктб, кабсод ос лра^есд тдд лрбобеодд кас тои лоХХалХаосаорои лрауратсксоу apc6pcbv
Siarripouvrat оло tt|v avTioTOixia, 5r)Xa5r|
(а,0)+(Ь,0) = (а+b, 0) Kai (а,0)(Ь,0) = (ab,0)
Apa Xoutov Оесороире то R Eva ияоотл/оХо тои С, Kai аупкаОютоире то (а,0) ре то а, окоте avxo
eivai РоАдко Kai ecpiKTO.
LrjpeicbveTai oxi то cruvoXo C tcov piyaSiKcbv apiOpcbv pe Tig kio kcivco крачек; rr|q кроо0Есгг|д Kai
too коХХакХаосаорой eivai Eva neSio apiOpcbv, оксо; eivai to ouvoXo tcov KpaypaciKcbv apiOpcbv R
Kai to ovvoXo tcov pr)Tibv apiOpcbv Q.
О piyaSiKoq apiOpog (0,1) oupPoXi^ETai pe i, Kai e%ei tt| or|pavTiKf| i5ioTT|Ta 6ti
i2 = и = (0, l)(0,1) = (—1,0) = —1 П i = 4^T
Ката owekeio, окоюо6г|коте рсуабскбд apiOpdg z=(a,b) рлоре1 va урасрте! orq popcpf]
z = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)-(0,l) = a+bi
H mo kcivco лараотася] z=a+bi, окоо та a a Re z Kai b=Im z Xeyovrai, avrioToixa, крауратско Kai
cpavraoTiKo pspoq too z, eivai kio PoXikt] ало tt|v (a,b). Ltt|v лраурат1котт|та, то a0poiopa Kai to
yivopevo tcov piyaSiKcbv apiOpcbv z=a+bi Kai w=c+di pnopovv va E^ayOovv xpipiJAOKoicbvrag алХа tov
аупрета0ет1ко Kai tov ел1рерют1ко vopo, oe ovvSvaopo pe tt|v сбютрта i2=-l:
z 4- w = (a 4- bi) 4- (c 4- di) = a 4- c 4- bi 4- di = (a 4- b) 4- (c 4- d)i
zw = (a + bi)(c 4- di) = ac + bci 4- adi 4- bdi2 = (ac — bd) + (be + ad)i
Opi^ovpe ел!сгг|<; tov apvrjTiKO too z Kai tt|v aepaipeen] ото С ало Tig
-z = -1 z Kai w-z = w+(-z)
Прооохд: To ypappa i лои ауаларюта то ТчГ Sev exei Kapia охёся] pe то Siawopa i=[ 1,0,0] лои
eiSape ott|v Параурасро 1.6.
Miya8iK6g Ev^vyfii;, Andkvrq Tipi)
©ecopovpe eva pvyaSiKd apiGpo z = a+bi. О ou^uyfiq too z ovpPoXi^eTai pe z Kai opi^eTai ало tt|v
z = a + bi = a — bi
Тоте zz = (a + bi)(a - bi) = a2 -b2i2 =a2 +b2 LT]H£i®veTai 6п о z eivai лраурат1ко<; eav Kai povo
eav z = z.
H ал6Ах>тт| Tipi) too z, лои oopPoXi^eTai pe |z|, opi^eTai va eivai я pr|-apvr|TiKf| тетраусоуна) pi^a too
zz. AriXaSri,
|z| = 4^ = \/a2 4- IP-
D]peicbveTai 6ti r) |z| looikai pe tt| voppa evoq SiavuopaToq (a,b) otov R2.
Ai; илоОЁооире 6ti z*0. Тоте о avrioTpocpoq z-1 Kai r) SiaipeoT] ото C too w Sia too z, SivovTai
avrioToixa ало Tig
-1 z a b . w wz ।
z =~= > —i . li 1 Kai — = — = wz
zza24-S2a24-d2 z zz
flapASeiypa 1.10. YhoOetov це on z=2+3i Kai w=5-2i. Tote
z + w = (2 + 3i) + (5 - 2i) = 2 + 5 + 3/ - 2/ = 7 + /
zw = (2 + 30(5 - 20 = 10 + 15i - 4/ - 6/2 = 16 + 1 1/
z = 2 + 3i = 2-3/ Kai iv = 5 - 2i = 5 + 2i
w _ 5 - 2i _ (5 - 20(2 - 30 _ 4 - 19/ 4 19 .
z “2 + 3/“(2 + 30(2-3i)“ 13 “13 13*
|z| = 74 + 9 = 713 Kai H = 725+4 = 729
To Miya6iK6 EnincSo
YnsvOvpi^ETai oti oi лрауратиаи apiOpoi R pnopovv va avanapaoTaOovv ало oT|pEia oe pia EvOsia.
AvaXoya, oi ptyaSiKoi apiOpoi C pnopovv va avanapaoraOovv ало oT|p£ia ото ел(ле5о. ZvyKEKpipEva,
илоОвтоицЕ oti то ОТЩЕ10 (a,b) ото ел(ле5о ауаларюта to piyaSiKo api0po a+bi, олсод cpaivsTai ото
Exfipa 1-4(P). pia тЕтою лЕр1лтсоот|, т| |z| sivai т| алботаот] ало tt]v apxfi tcov a^ovcov О psxpi to
oT]|i£io z. To ел(ле5о це tt]v ауалараотаот] аитд koXeItoi цгуадисд етппеЗо, олсод акрфсод т| sv0Eia
лои ауаларюта то R koXeitoi лраурат1кг| sv0Eia.
1.8 AI AN YEM АТА ETON Rn
To ovvoXo oXcov tcov n-aScov piyaSiKcbv api0pcbv, лои ovpPoXi^ETai це Cn, оvoракетаi piyaSiKog n-
xcbpog. Олсод koi orqv лрауратиа] лЕрштсося], та oToiyeia тои Cn Xeyovrai or] peta r] SiavvopaTa, та
oToixsia тои C Xfiyovrai api0poi, evco т| лрооОвот] SiawopaTCOv koi о Ра0рсот6д лоХХалХаоюорбд otov
Cn SivovTai ало Tig
kl. Z2..Z„] + [Wj, W2.W„] = [Z, + Wj. z2 + w2...z„ + w„]
z[zl, z2,..., z„] = [zzl, zz2,..., zz„]
олоо та z„ w, Kai z avqKovv ото C.
Парабегуца 1.10
©ECopovpE та SiavvopaTa u=[2+3i, 4-i, 3] koi v=[3-2i, 5i, 4-6i] otov C3. Tote
u + v = [2 + 3/. 4-1, 3] + [3 — 2/, 5/, 4 — 6/] = [5 + /. 4 + 4/, 7-6fl
(5- 2i)u = [(5-2/X2 + 3/), (5-20(4-/), (5 - 20(3)] = [16 + 11/, 18-13/, 15 - 6i]
Еосотвржб Tlv6p£VO (TTOV Cn
Ag 0ECopr|oovp£ та SiavvopaTa u=[Z| ,z2,... .zj koi v=[w ] ,w2,... ,wn] otov Cn. To eocotepiko yivopsvo tcov
u Kai v ovpPoXi^ETai pe u-v koi opi^ETai ало tt|v
u i> = ZjWj + z2w2 4-1- z„w„
О opiopog avTog avayETai ott|v лрауратиа] ЛЕригтсоот], ка0сод w, = wt otov to w, sivai лрауратисд. H
voppa tov u opi^ETai ало tt|v
||u|| = TiTu = 7z|zl+z2z2 + --- + z„z„ = x/|Z||2 + |z2|2 + --- + |i)(,|2
Tovi^etoi oti to u v, apa koi to ||u||, Eivai лраурапка koi 0etiko otov u*0, koi 0 otov u=0.
Парабегуца 1.12. ©scopovpE та SiavvopaTa u=[2+3i, 4-i, 3+5i] koi v=[3-4i, 5i, 4-2i] orovC3. Tote
u • о = (2 + 3iX5^4i) + (4 - 0(30 + (3 +
= (2 + 3iX3 + 40 + (4 - iX-5i) + (3 + 50(4 + 20
= (-6 +170+ (-5-200+ (2 + 260 = -9 + 23»
uu = |2 + 3i|2 + |4 — i|2 + |3 + 5i|2 = 4 + 9+16+1+9 + 25 = 64
||u|| = 764 = 8
О хшро^ Cn |i£ ti<5 napanavco прсфц rq<; проо0£от|<; Siawoparcov, тои Рабцштоо поХХапХаоюоцои
каг тои EocoTEpiKoo yivojiEvou, ovopa^ETat jityaStKog EukXeiSeio^ n-x<bpog. To ©Eibpqpa 1.2 yia tov
Rn io%uei Kat yia tov Cn Eav ауакатаоттроицЕ rqv u-v=v-u jie rqv
u-v=w • v
And rqv aXXq, r| aviooTqTEfj Schwarz (©Eibpqpa 1.3) Kat Minkwoski (©Eibpqpa 1.4) io%uouv Kat yia
tov Cn xcopig aXXayeg.
AYMENA ПРОВЛНМАТА
AIANYZMATA ETON Rn
1.1 Na TtpooSiopioETE noia апо та паракатш SiavvopaTa Eivai ioa:
u,=(l,2,3), u2=(2,3,l), u3=(1,3,2), u4=(2,3,1)
Лио SiavvopaTa Eivai ioa povo oTav oi avTioToixEg KaraxcopioEtg Eivai ioEg, apa povo u2=u4.
1.2. 'Eotco u=(2,-7,1), v=(-3,0,4), w=(0,5,-8). Na Ppeite та:
(a) 3u-4v,
(P) 2u+3v-5w.
ЕктеХооце прана то РаОцшто noXXankaoiaopo Kai ЕПЕГса rqv проо0£от| SiavuopaTiov.
(a) 3u-4v=3(2-7,1 )-4(-3,0,4)=(6 -21,3)+( 12,0,-16)=( 18,-21,-13).
(p) 2u+3v-5w=(4,-14,2)+(-9,0,12)+(0,-25,40)=(-5,-39,54)
Г Я Г"1! Г 31
1.3. 'Еотш u= 3,v= 5 w = -1 . Na Ppeite та:
L-4J L 2j L-2j
(a) 5u-2v,
(P) -2u+4v-3w.
ЕктеХооце пршта то рабцшто noXXankaoiaopo Kai ЕПЕпа rqv npoo0Eoq SiavuopaTcov.
-ШЖНЗ
1.4. Na PpevcE та x Kai у, олов: (a) (x,3)=(2, x+y), (P) (4,y)=x(2,3).
(a) Ecpoaov та бюуварата eivai iaa, e^iacbvoBps рета^в товд Tig avrioroixEg катахсорсаец,
кат1 лои pag о5т|уе1 ата
х=2, 3=х+у
ABvovrag Tig ypappuceg e^iacbaetg ла(руовц£ х=2, у=1.
(Р) KaTapx^v ектеХовре tov лоХХалХааюарб pe tov apiOpo х yia va лароврв
(4,у)=(2х,3х). АкоХовбсод e^iacbvoBpe рета^в товд Tig avricnoixEg KaTaxcopiaeig yia
va ларовре
4=2х, у=3х
Awovrag Tig e^iacbaetg ла1руоице х=2, у=6.
1.5. Na урауете то SiavBapa v=(l,-2,5) сод ураррвсб ovvSvaapo tcov SiavBapaTCOv u1=(l,l,l),
u2=(1,2,3), u3=(2,-1,1).
©еХовре va ексррааовре то v атт) popcpr| v=xu1+yu2+zu pe та x, у, z, va eivai лрод то лароу
ayvcoaTOi. ApxiKa еховре
(Orav (JxnpaTi^ovpe урарргковд овубвааровд, KpiveTai лю PoXiko va урасровре та бюуварата
cog oTqXeg лара cog ypappeg.) E^iacbvoope рета^в товд Tig avTiaroixeg катахсорсаесд yia va
ларовре
x + y + 2z= 1
x + 2y- z=—2
x+3y + z = 5
x + y + 2z =
T| y-3z=-3
2y- z= 4
x+j» + 2z= 1
у - 3z = -3
5z= 10
1
H pova5iKT| Хват) тои TpiycoviKou аитои сто о vq ратод eivai т| x=-6, y=3, z=2. Елорёусод
v=-6u1+3u2+2u3.
1.6. Na урауете то v=(2,-5,3) ypappiKO auvSoaapo tcov U!=(l,-3,2), u2=(2,-4,-1),
u3=( 1-5,7).
BpioKoupe to iao5uvapo ouorripa ypappiKcbv e^iacoaecov Kai ott| ovvexeia to Xuvoupe. Архска,
E^iacbvoupe рета^и товд Tig avTiaTOixeg KaTaxcopiaeig yia va ларовре
x + 2y + z = 2
-3x-4y-5z=-5
2x- j» + 7z= 3
x + 2j-+ z= 2
T| 2y-2x= 1
-5^ + 5z = -l
c + 2>-+ z = 2
T1 2y-2z=l
0 = 3
H тргп] e^iocooT), 0x+0y+0z=3, влобеисуве1 oti to овотт|ра 5ev exei Xuot|, koi cog ек товтов то v
5ev рлоре1 va урасрте! cog ypappiKog oBvSBaapog tcov SiavBopctTcov u ।, u2, u3.
EEQTEPIKO TINOMENO, ОР0ОГОМКОТНТА, NOPMA ETON Rn
1.7. Na Ppevce to u-v, блои:
(a) u=(2 -5,6) Kai v=(8,2,-3),
(p) u=(4,2 -3,5 -1) Kai v=(2,6,-l,-4,8).
ПоЛХалХаокт^оирЕ Tig avrioTOixeg ovvioTcboeg Kai лрооОвтоирЕ:
(a) u-v=2(8)-5(2)+6(-3)= 16-10-18=-12
(p) u-v=8+l 2+3-20-8=-5
1.8. 'Egtco v=(5,4,l), u=(3,-4,l), w=(l,-2,3). Пою i^evyog SiavvapaTCOv, Ecpooov илархЕЦ
anoTEXfinai ало opOoycbvia (каОвта) SiavuopaTa;
BpicKOupE TO EQiOTEpiKO yivopsvo TOV каОв ^evyovg SiavuapaTCOv:
u v=15-16+l=0, v-w=3+8+3=14, u-w=5-8+3=0
Еирлвра^оирв, Xoucov, oti та u Kai v Eivai opOoycbvia, та u Kai w Eivai £лктг|д opOoycbvia,
аХХа та v Kai w Sbv Eivai.
1.9. Na Ppeite to k etoi сЬоте та u Kai v va Eivai opOoycbvia, блои:
(a) u=( 1 ,k,-3) Kai v=(2,-5,4),
(P) u=(2,3k,-4,l,5) Kai v=(6,-l,3,7,2k).
УлоХоу^оирв то u-v, то Оетоирв too |ie to 0 Kai теХод XuvovpE cog лрод k:
(a) u-v=l(2)+k(-5)-3(4)=-5k-10. Tote -5k-10=0, f| k=-2.
(p) u-v=12-3k-12+7+10k=7k+7. Tote 7k+7=0, f| k=-l.
1.10. Na Ppeite to ||u||, блои: (a) u=(3,-12,-4), (P) u=(2,-3,8,-7).
BpicjKoupE лрсЬта то ||u||2=u-u vi|/cbvovTa<; ото твтраусоуо тц катаусорюЕк; Kai лрооОвтоутад
Kai ЕЛЕгса РрюкоицЕ то ||и|| = ^||и||2 .
(а) ||и||2=(3)2+(-12)2+(-4)2=9+144+16=169. Tote ||и||= V169 =13.
(Р) ||и||2=4+9+64+49=126. Tote ||и||= V126 •
1.11. YnEvOvpi^ETai oti, то va KavoviKonoir|ooup£ Eva рт|-рт|5£У1кб Siavuopa v oT|paiv£i va Рроире
то povaSiKO povaSiaio Siavuopa v лои exei tt|v (Sia 5ieu0uvot| p£ to v, блои
. =J_
V ~ II vll “
(i 2 П
Na кауоУ1коло1Т|а£Т£ та: (a) u=(3,-4), (P) v=(4,-2,-3,8), (у) w= 2 ’ 3 ’ 4 •
(a) KaTapxnv PpioKoups to ||u|| = V9 + 16 = V25 = 5 . Катбл1У Siaipoups tt|v ка0Е
катахсорют] тои u ps to 5, XduPdvovrdt; etoi u = —j.
(P) E6cb ||v|| = V16 + 4 + 9 + 64 = V93 . Tote
V= 7^)
(y) ZrmElCDVETdl OTI TO W Kdl 0Л0ю5г|Л0ТЕ 0ETIKO ЛоАЛллХоКЯО TOV, 0d EXOVV TT)V (5ld
Kdvovu«moir||i£vr] popcpf|. Enopevcog лоААллАлоюфорЕ лрсЬто то w р£ то 12 yid va
“cuicAEupovpE TdKldopdTd”, 5r)Xa3f| РрюкоорЕлрсотото w'=12w=(6,8,-3). Tote
IM| = V36 + 64 + 9 = У109 Kdl w = ^ = ("-^=,-4=,^=^
\Л09 Л09 VW
1.12. 'Eotco u=(l,-3,4) Kdi v=(3,4,7). Nd Ppeite:
(d) TO COS 0, ОЛОО T] 0 ElVdl T] pETd^V TCOV U Kdl V yCOVld,
(P) TT)V proj(u,v), TT)V ЛроРоЦ TOV U ЛОУСО OTO V,
(?) TT|V d(u,v), TT|V ОЛООТОСТГ] ЦЕТИЛУ TCOV U Kdl V.
KdTdpxqv PpioKOvpE Td u-v=3-12+28= 19, ||u||2= 1+9+16=26, ||v||2=9+16+49=74. Tote,
u-v 19
(a) “ 1Й1Й"Л^’
.. . u-v 19 л ~ /57 76 133\ /57 38 133\
(,) K(u.») = ЦК - «I = IK-2, -7 - 3)|| = 74 + 44 + 4 = 7®.
1.13. Nd dлo5E^^ETE to 0Ecbpr|pd 1.2: Tid олош5т]лоте u, v, w otov Rn Kdi олою5т|лоте k otov R,
(i) (u+v)-w=u-w+v-w, (ii) (ku)-v=k(u-v), (iii) u-v=v-u, (iv) u-u>0, evco u-u=0 eocv Kdi povo sdv
u=0.
'Eotco u=(u,,u2,...,un), v=(v1,v2,...,vn), w=(w„w2,...,wn).
(i) Ecpooov u+v=(u 1 +v 1, u2+v2,..., un+vn),
(U + V) • W = (Uj + Vjhvj + (u2 + v2)w2 4-1- (u„ + vB)wB
= UjWj + V^! + u2w2 4---1- u„w„ + v„w„
= (U!^! + U2w2 + • + U„W„) + («!»*! + V2w2 + • • • + V,
= u • w + V • w
(ii) Ecpooov ки=(киьки2,...,кип),
(ku) v = hqvj + ku2v2 4-1- ku„v„ = Jt(u1 Vj + u2v2 4-1- u„v„) = k(u v)
(iii) U • V = U^! + U2V2 4-1- U„V„ = VtUt + 4-1- V„U„ = V • u
(iv) Ecpooov to u,2 sivdi рг|-арут]Т1к6 yid Kd0s i, Kdi dcpov to a0poiopd pr|-dpvr]TiKcbv
лроуропксоу dpi0pcov ElVdl рг|-орут|Т1к6,
u-u = и? + 1^4-----------hujj > 0
ЕлисрообЕта, u u=0 eav Kai povo eav u =0 yia кабЕ i, 6i]Xa6f| eav Kai povo eav u=0.
1.14. Na anoSei^ETE то ©Есортща 1.3 (Schwarz): |u-v|<||u|| ||v||.
Па олою6г|лоте лраурапко api6po t, Kai xprioiponoicbvrag то 0Ecbpr|pa 1.2, Ё%оир£
0 < (tu + u) • (tu + u) = ?(u• u) + 2t(u • d) + (v t>) = Hull2? + 2(u • v)t + ||i>||2
'Eotco a=||u||2, b=2(u-v), c=||v||2. Tote, yia кабЕ Tipi) too t, a^+bt+c > 0. Auto oripaivEi on to
TETpaycuviKO лоХисбуиро 5ev рлорЕ! va e%ei био лраурапкЁд pi^Eg, кап то onoio ovvEnayETai
on r| 5iaKpivouoa D=b2-4ac < 0, f[, ioo5uvapa, b2 < 4ac. ZuvEncbg
4(u • u)2 < 4||u||2||i>||2
Aiaipcbvrag pE to 4 катаХпуоирЕ ото ЕЛ1бирт]т6 алотЁХЕора.
1.15. Na аяобЕ^ЕТЕ то ©Есортща 1.4 (Minkowski): ||u+v||<||u||+||v||.
Ало tt|v aviooTT|Ta Schwarz Kai ng i6iOTT|TEg too eocotepikou yivopsvov,
11“ +1>||2 = (и + и) • (и + и) = (u • и) + 2(и • v) + (v • и) < ||и||2 + 2||u||||v|| + ||i>||2 = (||и|| + ||и||)2
naipvovrag tt|v TETpaycoviKi) pifyt. Kai tcov био peXcbv, обт]уойраотЕ ott|v ЕЛ1бирт|тт| ауюотт|та.
LHMEIA, EY0EIEE, YIIEPIIAANA ETON Rn
E5cbyivETair|npoava<pEp6EiaaSiaKpiOT] рета^й piagn-a6agP(a|,a2,...,an) б£сорт|рЁУГ|дcogsvaотщею
otov Rn, Kai piag n-a5ag u=[C|,c2,...,cn] бЕсорт|рЁУГ]д cog sva Siavuopa (ypappi)) ало tt|v архи tcov
aKovcov О p£%pi то оцрЕю C(C|,c2,...,cn).
1.16. Na Ppeite to Siavuopa и лои rauri^ETai pe то SiEu6uv6pEvo Еибиурарро трпра PQ yia та
oripsia: (a) P( 1-2,4) Kai Q(6,1 ,-5) otov R3, (P) P(2,3,-6,5) Kai Q(7,1,4,-8) otov R4.
(a) u=P$ =Q-P = [6- 1, 1 — (—2). -5 -4] = [5,3, -9]
(P) u=P$ = Q-P = [7-2, 1-3, 4 + 6, -8 - 5] = [5,-2,10,-13]
1.17. Na Ppeite pia e£iocoot| tov илЕрЕлитЁбои H otov R4 лои лЕруа ало то Р(3,—4,1 ,-2) Kai Eivai
KavoviKO лрод то и=[2,5,-6,-3].
Oi ouvTEXEOTEg tcov ayvcboTCOv piag E^iocoorig той H Eivai oi ouvioTcboEg той kovovikou
Siavuoparog u. Qg ek toutou pia E^iocooi] той H Eivai n]g popcpqg 2xj+5x2-6x3-3x4=k.
AvriKa6ioTcbvrag то P on]v e£iocoot| aurq naipvoupE k=-14. Apa Xoutov, pia e£iocoot| той H
Eivai r| 2x|+5x2-6x3-3x4=-14.
1.18. Na Ppeite pia E^iocoori той ЕлигЁЗои H otov R3 лои ЛЕр1Ё%Е1 то Р( 1 ,-3,-4) Kai Eivai лар<Ш.т|Хо
лрод то ел1ле5о Н’, то олою лрооЗюр1^Ета1 ало tt|v e^iocooti 3x-6y+5z=2.
Та ЕлитЕба Н Kai Н’ Eivai лар<Ш.т|Ха Eav Kai povo Eav oi Kavovudg 6iEu6uvoEig тоид Eivai
лараМл]к£д f[ avrutapdM.T]k£g (avn6En] 5ieu6uvot|). ЕлорЁУсод pia E^iocoori той H Eivai n]g
popeprig 3x-6y+5z=k. АупкабютоирЕ ott|v e^iocooti аитт| то P yia va лароире k=l. Apa pia
E^iocoorj той H Eivai я 3x-6y+5z=l.
1.19. Na Ppeite pia ларарЕтриа) ауалараотаоц n]g Eu6Eiag L otov R4 i] оло1а ЛЕруа ало то
P(4,-2,3,l) Kai Ё£Е1 п] 5ieu6uvot| той и=[2,5,-7,8].
E8cb r| L cwtOTEXevcai ало та oqpEia X(x,) лои iKavonoiouv rqv
X=P+tu q xi=ait+bl q L(t)=(ajt+bj)
Олои q ларарвхрод t naipvEt oXsg xig 0exike<; xipsg. ZuvEncbg naipvoups
X1=4+2t, x2=-2+5t, x3=3-7t, x4=l+8t q L(t)=(4+2t, -2+5t, 3-7t, l+8t)
1.20. 'Eoxco C q KapjrtXq F(t)=(t2, 3t-2, t3, t2+5) oxov R4, блои 0<t<4.
(a) Na Ppeixe xo crqpEio P oxqv C лои avxioroiXEi oxo t=2.
(P) Na Ppeixe xo apxiKO crqpEio Q Kat xo xeXiko crqpEio Q’ xqq C.
(y) Na Ppeixe xo povaSiaio, EcpanxopEvo oxqv KapnuXq C Siavuopa T, oxav t=2.
(a) AvxiKaOtoxoupE xo t=2 oxqv F(t) yia va PpoupE xo P=f(2)=(4,4,8,9).
(P) H napapExpog t naipvEt xipsg ало xo t=0 psxpi xo t=4. Apa Q=f(0)=(0,-2,0,5) Kai
Q’=F(4)=(16,10,64,21).
(y) IlaipvoupE xt|v лараусоуо xqg F(t), SqXaSq xqg ка0Е ouvioxcoock; xqg F(t), q оло1а Oa
pag Scooei sva Siavuopa V xo олою Eivai Ecpanxopsvo oxqv карлиАлр
F(r) = = pr, 3,3г2,2t]
BpioKoups xcbpa xo V oxav t=2. Me aXXa Xoyia, avxiKaOioxoupE xo t=2 orqv E^iocooq
xou V(t) yia va лароирв V=V(2)=[4,3,12,4], Кахблп/ KavoviKonoioups xo V yia va
лароирЕ xo EniOupqxo povaSiaio Есралхбрвуо Siavuopa T. 'ExoupE
«n=V.6 + 9+144 + l4 = Vi»5 Kai *-[-^.-^.-“5.-^]
AIANYZMATA ETO XQPO (ETON R3), ЕНМЕЮГРАФ1А ijk, EEQTEPIKO TINOMENO
1.21. 'Eoxco u=2i-3j+4k, v=3i+j-2k, w=i+5j+3k. Na Ppeixe xa:
(a) u+v, (P) 2u-3v+4w, (y) u-v Kai u-w, (8) ||u|| Kai ||v||.
XEipi^opaoxE xoug auvxEXEoxEg xcov i, j, k олсод акрфсод xElP^6paox£ Kai xig auvioxcboEg svog
Siavuopaxog oxov R3.
(а) ПрообвхоирЕ xoug avxioxoixoug guvxeXeoxes yia va лароирв u+v=5i-2j-2k.
(P) ЕкхвХоирв архька xo Pa0pcoxd лоХХалА.ао1аор6 Kai акоХои0сод xqv лр6о0всл]
Siavuopaxcov:
2u-3v+4w=(4i-6j+8k)+(-9i-3j+6k)+(4i+20j+12k)=-i+11 j+26k
(у) ПоХЛ.алХао1а^оирв xoug avxioxoixoug оиухвХвохвд Kai влвпа лроо0вхоирв:
u-v=6-3-8=-5 Kai u-w=2-15+12=-!
(8) H voppa Eivai q XExpaycoviKq pi^a xou a0poiopaxog xcov xsxpaycbvcov xcov ouvxeXboxcov:
||u|| = V4 + 9+16 = Kai ||i>|| = 79+1+4 = 714
1.22. Na Ppeite tt|v (ларарЕтрио)) E^iocooi] тт|д EO0Eiag L:
(а) лои лЕруа ало та OTipsia Р(1,3,2) Kai Q(2,5,-6),
(Р) лои Л£р1ЕХЕ1 то сттщею Р( 1 ,-2,4) Kai Eivai ка0£тт| ото елшеЗо Н, то олою Siverai ало tt]v
s^iocooi] 3x+5y+7z=15.
(а) ВриткоицЕ лрсота то v= pQ =Q-P=[ 1,2,-8]=i+2j-8k. Tote
L(t)=(t+1, 2t+3, -8t+2)=(t+l)i+(2t+3)j+(-8t+2)k
(P) Acpoo t] L Eivai ка0Етг] ото H, 0a e%ei tt|v ISia 6ie60vvot| це to KavoviKO лрод то H
Siawopa N=3i+5j+7k. ГиУЕлсод
L(t)=(3t+1, 5t-2, 7t+4)=(3t+l)i+(5t-2)j+(7t+4)k
1.23. 'Eotco S t] EnupavEia xy2+2yz= 16 otov R3.
(a) Na Ppeite to KavoviKO лрод tt|v EnupavEia S Siawopa N(x,y,z).
(P) Na Ppeite to ЕсралтбрЕУО ott|v S ел[ле§о H, ото oripsio P( 1,2,3).
(а) О голод yia то KavoviKO лрод pia EnicpavEia F(x,y,z)=0 Siawopa, Eivai о
N(x,y,z) = Fxi + FJ + Fxk
длои oi Fx, Fy, Fz Eivai oi pspiKsg лараусоуоь XpT]oiponoicbvTag tt|v F(x,y,z)=xy2+2yz-
16, naipvoops
Fx=y2, F, = 2xh + 2z, F, = 2y
ZvvEncbgN(x,y,z)=y2i+(2xy+2z)j+2yk.
(P) To KavoviKO лрод tt|v ЕлираУЕса S ото отщею P Eivai to
N(P)=N(l,2,3)=4i+10j+4k
Ара to N=2i+5j+2k Eivai £л1стт|д kovoviko лрод tt|v S ото P. 'Etoi, pia E^iocoori тои H
£%ei тт| рор<рт| 2x+5y+2z=c. АупкаОютоирЕ ott|v e^Iocdot] аитг| то P yia va лароорс
c=18. ГиуЕлсод то ЕсралтбрЕУО ott|v S Елиибо H Eivai to 2x+5y+2z=18.
1.24. Na илоХоу[оЕТЕ Tig ларакатсо opitpooEg Kai apvrjTiKoog opiipoocbv та^лд 86 о:
(a) (i)|j J|, (ii) J’ "J|, (Ш) |з Z’|
(o-|:.‘|. oo-|; IM;
Хрт101ролоюир£ | ® bd | = ad - be Kai -1 ° * j = be -ad. Eiapsvcog
(a) (i) 27-20=7, (ii) 6+4=10, (iii) -8+15=7.
(P) (i) 24-6=18, (ii) -15-24—29, (iii) -8+12=4.
1.25. 'Eotco u=2i-3j+4k, v=3i+j-2k, w=i+5j+3k. Na Ppeite та: (a) и x v, (P) и x w.
(а) Хрт|слроло1оир£ j Kai naipvovpE и x v = (6 - 4)i + (12 + 4)j + (2 + 9)k = 21+16] + 1 Ik
(ft) XpT|otponoiovp£ “J 3] Kaiu X H- = (-9 - 20)1 + (4 - 6)j + (10 + 3)k = -291 - 2j + 13k
1.26. Na ppevcE to uxv, блои: (a) u=(l,2,3.), v=(4,5,6), (P) u=(-4,7,3), v=(6,-5,2).
(a) Хрт|01ролоюир£ 5 3] KainaipvovpE и x v = [12- 15, 12-6, 5 - 8] = [-3,6,-3]
(a) ХрТ|О1р0Л01Оир£ 2 ] Kai rcaipvovjiE и x v = [14 + 15, 18 + 8, 20 - 42] = [29,26, -22]
1.27. Na ppEtcE sva povaSiaio Siavuopa u opOoycbvio лро<; та v=[ 1,3,4] Kai w=[2,-6,-5],
BpioKoupE лрсота то vxw, то onoio sivai opOoycbvio лро<; та v Kai w.
Нларатаф] [J -6 J] 8ivsivxw=[-15+24, 8+5, -6-61]=[9,13,-12].
KavoviKonoioupE to v x w yia va лароирЕ то u=[9/5/394, 13 /5/394, -12/ 5/394 ]•
1.28. 'Еотсо u=(a1,a2,a3) Kai v=(b|,b2,b3), etoi ux v=(a2b3-a3b2, a3b|-a|b3, a|b2-a2b|). Na anoSsi^sTE
oti:
(a) To uxv sivai opOoycbvio лро<; та u Kai v [0scbpi]pa 1 -5(a)],
(P) ||uxv||2=(u-u)(v-v)-(u-v)2 (таитбтт|та Lagrange).
(a) 'ExovpE
и • (и x v) = а|(а26з — a362) + aitajbf — а^з) + — a26f)
= а|в26з — a|a362 + a2a36| — ajOjbj + a|a362 — a2a36| = 0
Ара to uxv sivai opOoycbvio лро<; то u. 'Opoia anoSsucvusrai oti sivai opOoycbvio Kai
лро<; то v.
(P) 'ExovpE
11“ X v||2 = (a2^3 - Я3&2)2 + («3^1 - а|^з)2 + («1^2 - )2
(и • uXv - v) -(u • v)2 = (а? +аг + азХ*1 +*2 + *3) - («i*i +a2*2 +«з*з)2
AvanrvooovTac; та Ss^ia рЁХт] tcov (1) Kai (2), катакг|уоир£ отт| ^тоирвут] таитбтт|та.
М1ГАА1КО1 API0MOI, AIANYZMATA ETON Cn
1.29. Уло0ётоута<; oti z=5+3i Kai w=2-4i, va ppEvrs та: (a) z+w, (P) z-w, (y) zw.
Xpi]oiponoiovp£ tov<; koivouc; Kavovsc; tt|<; alysPpat; pa^i p£ tt|v 13ютт|та i2=-1, yia va XaPovps
та алотЕХЕората ott|v тилиа) popcprj a+b,.
(a) z + w = (5 + 30 + (2 — 40 = 7-г
(ZO z — w = (5 + 30 — (2 — 40 = 5 + Зг — 2+ 4г = 3 + 7г
(у) zw — (5 + 30(2 - 40 = 10 - 14г - 12г2 = 10 - 14г + 12 = 22 - 14г
1.30. Na алХоло1Т|ОЕТ£ та акоХооОа: (a) (5+3i)(2-7i), (Р) (4-3i)2, (у) (l+2i)3.
(а) (5 + 30(2 - 70 = 10 + 6г - 35i - 21г2 = 31 - 29г
(/?) (4 - 302 = 16 - 24г + 9г2 = 7 - 24г
(у) (1 +203 = 1 + 6i1+ 12г2 + 8г3 = 1 + 6г — 12 — 8г = —11 — 2г
1.31. Na аяХояо1Г|0£ТЕ та E^fc: (a) i°, i3, i4, (Р) i5, i6, i7, i8, (y) i39, i174, i252, i317.
(a) i« = l, i3 = i\i) = (-1X0 = -г, г4 = (г2Хг2) = (-1Х-1)=1-
(/?) i3 = (,>) = (1X0 = г, г< = (г>-2) = (1Хг2) = г2 = -1, i7 = i3 = -i, ,8 = ^=1.
(y) Xp0CHgorcoubvTa(;'ngi4=l Katy" = f4’+r = ir = 1ЧГ = i', Siaipovps tov ekOett] n це
to 4 yia va лароуцЕ то олоХоисо, г:
Г39 = f^’H3 _ (f*)9j3 = l’j3 = |3 = —it ‘ ,174 = j2 = —1 j252 _ /> _ | ,-317 _ {
1.32. Na Ppeite to piya5iKO оЦиуг| тои KaOevoq ало тоид ларакатсо:
(a) 6+4i, 7—5i, 4+i, -3-i, (p) 6, -3, 4i, -9i
(a) 6 + 4r = 6-4r, 7=3i=7 + 5r, 4 + r = 4-r, ^T=7=-3 + r.
(fi) 6 = 6, —3 = —3, 4i = —4r, —9r = 9i.
(ET]|iEi(ovETai oti о сги^иугц; evoc; лрауцатисоо apiOpov Eivai о iSioc; о apiOpoc;, 6цсо<; о ov^vyifc
evoc; yvf|oiov (pavTaoTiKoi) apiOpov Eivai о apvr|TiK6<; тои.)
1.33. Na Ppeite та Zz юл |z| отау z=3+4i.
Г1аг=а+Ы,хр1]01цоло101)Ц£Т1(; zz = a2 +b2 Kai z = VzF = Va2 +b2 KaiРркткоицв
zz = 9+16 = 25, |z| = %/25 = 5
1.34. Na алХоло1Т|ОЕТ£ то + ’
Tia va алХоло1Т|ооиц£ Eva кХаоца z/w piyaSiKcbv apiOpcbv, лоХХалХасна^оицЕ тосо tov
apiOpiyn) ooo Kai tov лароуоцаотт| це to w , to ou^vyi) тои лароуоцаотт|:
2 — 7i = (2-70(5-30 = -11 -41г _ _ П _ 41 .
5 + 3r (5 + 30(5-30 34 “ 34 34*
1.35. Na ало5£1^£т£ oti, yia олоюио5т|лот£ piya5iKov<; apiOpov^ z,we e C, (i) z + w = z + w , (ii)
zw = z w , (iii) z = z •
УлоОЁтоицЕ oti z=a+bi Kai w=c+di, блои a,b,c,de R.
(i) z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
= (a + c) — (b + d)i = a + c — bi — di
= (a - bi) + (c - di) = z + w
(ii) zw = (a + bi)(c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i
= (ac — bd) — (ad + bc)i = (a — bi)(c — di) = zw
(iii) z = a + bi = a - bi = a - (—b)i = a + bi = z
1.36. Na алобефте oti, yia олоюиобт|лоте щуабисобд apiOpovg z,we C, |zw|=|z| |w|.
Алб то ПрбрХтща 1.35,
\zw\2 = (zw)(zw) = (zwXzw) = (zz)(ww) = |z|2|w|2
H тетраусоуиа) pi£a Kai tcov 5vo geXcbv цад обт|уе1 ото ел10ицт|тб алотёХсоца.
1.37. Na алобе^ете oti, yia олоюиобт|лоте apiOgovg z,we C, |z+w|<|z|+|w|.
Улобётоице oti z=a+bi Kai w=c+di, олоо a,b,c,de R. ©есорооце та 5iavvogaTa u=(a,b) Kai
v=(c,d) otov R2. Sr|geicbveTai oti
|z| = Л2+*2 = Hull. M = V^+d2 = II v|l
Kai
|z + w| = I(a + c) + (b + rf)i| = J(a + c)2 + (b + d)2 = ||(a + c, 6 + »/)|| = ||u +1>||
Алб tt|v aviodvr|Ta Minkowski (ПрбрХтща 1.15), ||u+v||<||u||+||v||, Kai etoi
||z+w||=||u+v||<||u||+||v||=|z|+|w|
1.38. Na Ppevce та еосотериса yivopeva u-v Kai v-u, олоо: (a) u=(l-2i, 3+i), v=(4+2i, 5-6i),
(P) u=(3-2i, 4i, l+6i) Kai v=(5+i, 2-3i, 7+2i).
Y7tEv0i)gi^eTai oti oi ov^vyeig той беитерои 6iavvopaTog egcpavi^ovrai ото еосотерисб yivogcvo
(l\...Zn) • (Wj...W„) = ZjWj + • • • + z„w„
U • t) = (1 - 20(4 + 2i) + (3 + 0(5 - 60
= (1 — 20(4 — 20 + (3+0(5 + 60 = -10»+ 9 + 23» = 9+13»
(a) t> • a = (4 + 20(T^20 + (5 — 6i)(T+7)
= (4 + 2i)(l + 20 + (5 - 6»X3 -i) = 10» + 9-23» = 9-13»
и • t) = (3 - 20(5 + 0 + (4»X2^30 + (1 + 6»X7 + 2i)
(P) = (3 - 2»X5 - 0 + (40(2 + 3i) + (1 + 60(7 - 2i) = 20 + 35»
v• и = (5 + 0(3^20 + (2 - 30(40 + (7 + 2»)(T+30
= (5 + 0(3 + 21) + (2 - 3»X-4»') + (7 + 20(1 - 6i) = 20 - 35»
Kai otk; 5vo леристсооеи;, v-u=u • v. Avto io%vei yevuca, олсод 0a бойце ото ПрдрХтща 1.40.
1.39. 'Eotco u=(7-2i, 2+5i) Kai v=(l+i, -3-6i). Na Ррепе та:
(a) u+v, (P) 2iu, (y) (3-i)v, (5) u-v, (e) ||u|| Kai ||v||.
(a) u + i> = (7-2j + 1+j, 2 + 5i- 3 - 6i) = (8 -», -1-i)
(fl) 2w = (14i-4i2, 4» 4-IO»2) = (4 4-14», -10+4i)
(у) (З-Ои^З+З!-/-/2, -9- 18i + 3i + 6r2) = (4 + 2i, -15 - 15i)
(J) u • и = (7 — 2»)(T+0 4-(2 4-5i)(—3"—6»)
= (7-2i)(l-0 + (2 + 5iX-3 + 6i) = 5-9i-36-3i = -31-12»
(₽) Hull = У72 + (-2)2 +22 + 52 = 782 каг ||v|| = ^l2 4- 12 4-(—3)2 4-(—6)2 = 747
1.40. Na anoSei^ETE oti, yia ояо1абт|лот£ SiavDagaza u,veCn Kai олоюбт|лот£ api0po zeC,
(i) u-v= v • и , (ii) (zu)-v=z(u-v), (iii) u-(zv)= z (u-v).
YnO0£TOU|l£ OTI U=(Z],Z2,.. .,zn) Kai V=(W],W2,.. .,wn).
(i) Xpriaiponoicbvrac; Tig i5iott|t£c; too oo^vyou<;,
U • U = Wlz1 + H»2Z2 4-1- W„Z„ = wpi 4- w2z2 4-1- и>ягя
= ii'IzI + w2z2 4--1- = z1w1 4- z2w2 4---1- z„wll = u v
(ii) Афои zu=(zz1,zz2,...,zzn),
(zu) • v = zzx й>, 4- zz2w2 4-1- zz„w„ = z(z! Й»! + z2ii»2 4-1- z„w„) = z(u u)
(ZuyKpivETE |i£ to ©всортща 1.2 yia SiavuopaTa otov Rn).
(iii) Xpr|aiponoicbvTa<; та (i) Kai (ii),
и • (zv) = (zv) • и = zfjTH) = zCtFu) = z(u • v)
AAYTA ПРОВЛНМАТА
AIANYZMATA ETON Rn
1.41. 'Еотсо u=(l,-2,4), v=(3,5,l), w=(2,l,-3). Na Ppeite:
(a) to 3u-2v, (P) to 5u+3v-4w, (у) та u-v, u-w, v-w, (5) та ||u||, ||v||, (e) to cos 0, опои r| 0 sivai
т| цЕта^и tcov u Kai v ycovia, (ат) tt|v d(u,v), (Q tt|v proj(u,v).
1.42. Na snavaXaPsTE то ПрбрХтща 1.41 yia та SiavvapaTa “ = 3 J, о = ^1 J, w = ^-2
1.43. 'Еотсо u=(2,-5,4,6,-3) Kai v=(5,-2,1,-7,-4). Na Ppeite:
(a) to 4u-3v, (P) to 5u+2v, (у) to u-v, (5) та ||u|| Kai ||v||, (e) tt|v proj(u,v), (от) tt|v d(u,v).
1.44. Na KavoviKonoif|OET£ та SiavuopaTa:
(a) u=(5,-7), (P) v=(l,2,-2,4), (y) w=(|
1.45. 'Еотсо u=( 1,2,-2), v=(3,-12,4) Kai k=3.
(a) Na Ppeite та ||u||, ||v||, ||u+v||, ||ku||
(P) Na £naXr|0Evo£T£ oti ||ku||=|k| ||u|| Kai ||u+v||<||u||+||v||.
1.46. Na Ppeite та x Kai у, onov:
(a) (x, y+l)=(y-2, 6), (P) x(2,y)=y(l -2).
1.47. Na Ppeite та x, y, z onov (x, y+1, y+z)=(2x+y, 4, 3z).
1.48. Na Ypa\|/£T£ to v=(2,5) cog ypappiKO ovv8vaopo tcov U! koi u2, onov:
(a) U!=(l,2) koi u2=(3,5),
(P) u,=(3,-4) Kai u2=(2-3).
1.49. Na Ypa\|/£T£ to v- ^“3 J cog ypappucog ovv8vaopo tcov ui=^^’ “2 ~ 1 ~ [~3
1.50. Na Ppeite to к etoi coots та u koi v va Eivai opQoycbvia, onov:
(a) u=(3,k ,-2), v=(6,-4 -3),
(P) u=(5,k,-4,2), v=( 1 ,-3,2,2k),
(y) u=(l, 7, k+2, -2), v=(3,k,-3,k).
RPOZANATOAIZMENA AIANYZMATA, YIIEPILAANA, EYOEIEZ ETON Rn
1.51. Na Ppeite to 8iawopa v nov tovti^etoi ps to SisvOvvopEvo EvOvypappo трт|ра PQ yia та
одцЕса:
(a) P(2,3,-7) Kai Q(1 ,-6,-5) otov R3,
(P) P( 1 ,-8,-4,6) Kai Q(3,-5,2,-4) otov R4.
1.52. Na PpsiTE pia E^iocoor] tov vnspsninESov H otov R4, to onoio:
(a) nspiExsi то P( 1,2,-3,2) koi sivai kovoviko npog to u=[2,3,-5,6],
(P) nspiExsi to P(3,-l,2,5) koi Eivai параХХт|Хо npog tt|v 2x|-3x2+5x3-7x4=4.
1.53. Na PpsiTE pia парарЕтриа) avanapaoTaor] trig EvOsig otov R4 t| onoia:
(a) nspva ano та oripsia P( 1,2,1,2) koi Q(3,-5,7,-9),
(P) nspva ano to P(1,1,3,3) koi sivai koOetti ото vnspEninsSo 2x|+4x2+6x3-8x4=5.
AIANYZMATA ZTO XftPO (ZTON R3), ZHMEIOTPAOHA ijk
1.54. AivovTai та u=3i-4j+2k, v=2i+5j-3k, w=4i+7j+2k. Na PpsiTE та:
(a) 2u-3v, (P) 3u+4v-2w, (y) u-v, u-w, v-w, (8) ||u||, ||v||, ||w||.
1.55. Na Ppeite tt|v e^iocoot] tov ns8iov H, to onoio:
(a) exei voppa N=3i-4j+5k Kai nspiExei to oripsio P(1,2,-3),
(P) sivai параХХт|Хо npog tt|v 4x+3y-2z= 11 koi nspiExsi to oripsio Q(2,-1,3).
1.56. Na Ppeite tt|v (парарЕтриа)) E^iocoor] тт|д EvOsiag L, t| onoia:
(a) nspva ano to oripsio P(2,5,-3) Kai exei tt| 8iev0vvot| tov v=4i-5j+7k,
(P) sivai каб£тт| ото еп1пе8о 2x-3y+7z=4 Kai nspiExfii to P( 1 ,-5,7).
1.57. ©ecopeiote tt]v акоХоиОт] карлиХт] С otov R3, блои 0 < t < 5:
F(r) = г3! - + (2r - 3)k
(a) Na Ppeite то ся]р£Ю P ott|v C to onoio ovtiotoixei ото t=2.
(P) Na Ppeite to apxiKO отщею Q koi to teXiko отщею Q'.
(y) Na Ppeite to povaSialo, Есралтореуо ott|v карлиХт] C Siavuopa T, otov t=2.
1.58. ©EtopsioTE sva KivovpEvo ocbpa B, tov onoiov r] 0eot| to xpovo t Sivetoi ало tt|v R(t)=t2i+t3j+2tk.
[Tote oi V(t)=dR(t)/dt koi A(t)=dV(t)/dt ovpPoXi^ovv avTioToixa tt]v тахит^та koi tt]v
£7tiTaxvvoT| тои B.] 'Otov t=l, va Ppeite:
(а) тт| 0£от|, (P) tt]v тахитт]та v, (y) tt]v povopETpr] тахитт]та s, (5) tt]v £niTaxvvor| a tov B.
1.59. Na Ppeite sva kovoviko Siavuopa N koi to ЕсралтбрЕУо ел[ле8о H, ott]v ка0Ер(а ало Tig
ларакатсо EKicpavEisg oe evo SeSopevo oripeio:
(a) snicpavsia x2y+3yz =20 koi oTipsio P(l,3,2),
(P) snicpavEia x2+3y2-5z2=160 koi o7]p£io R(3,-2,l).
ESftTEPIKO TINOMENO
1.60. Na vnoXoyioETE Tig ларакатсо opi^ovoeg кас apvr]TiKovg opi^ovocbv та^г|д Svo:
- |з И I? 4[ II -з|
<*> -I? :|. -p -14 41
1.61. AeSopevcov tcov u=3i-4j+2k, v=2i+5j-3k кас w=4i+7j+2k, va Ppeite та:
(a) uxv, (P) uxw, (y) vxw.
1.62. AeSopevcov tcov u=[2,1 ,3], v=[4,-2,2] кас w=[l,l,5], va Ppeite та:
(a) uxv, (P) uxw, (y) vxw.
1.63. Na Ppeite tov дуко V tov лараХХт]Х£Л1Л£5оу лои охлмот^Етас ало та SiavvopaTa u, v, w ото:
(а) ПрбрХлра 1.60, (P) ПрбрХт]ра 1.61.
1.64. Na Ppeite sva povaStalo Siavuopa u opOoycbvio лрод та:
(a) v=[l,2,3] кас w=[l,-l,2],
(p) v=3i-j+2k кас w=4i-2j-k.
1.65. Na ало8е{£,ЕТЕ Tig ак6Хоо0Ед i8i6TT|TEg tov e^cotepikov ytvopsvov:
(a) u x v=-(v x u) (5) u x (v+w)=(u x v)+(u x w)
(P) uxu=0 yia оло1обг|лот£ Siawopa u (e) (v+w) xu=(vxu)+(wxu)
(y) (ku) xv=k(uxv)=ux(kv) (от) (uxv) xw=(u w)-(v-w)u
MIEAAIKOI API0MOI
1.66. Na arcXoTtoiriQETE та E^ifc:
(a) (4-70(9 + 20, (0) (3 -502. (у) (J) (C) (1 - O’-
1.67. Na алХоло1Т|0£Т£ та акбХоиОа:
(«) i. от ££ от от
1.68. 'Еотсо z=2-5i кас w=7+3i. Na Ppeite та:
(a) v+w, (Р) zw, (у) z/w, (5) z , vv , (е) |z|, |w|.
1.69. Na Secrete oti:
(a) Re z = — (z + z \ (p) Im z = — (z - z ) t (y) T0 zw=0 ovvETtayETae oti z=0 r| w=0.
AIANYZMATA ETON Rn
1.70. 'Еотсо u=(l+7i, 2-6i) кас v=(5-2i, 3-4i). Na Ppecte та:
(a) u+v, (P) (3+i)u, (y) 2iu+(4+7i)v, (5) u-v, (e) ||u|| кас ||v||.
1.71. Na ояоЗес^ете 6tc, уса олоеаЗг|лот£ ScavuopaTa u, v, w otov Cn:
(a) (u+v)-w=u-w+v-w, (P) w-(u+v)=w-u+w-v.
1.72. Na otcoSec^ete 6tc t] voppa otov Cn iKavonoiEi тоид акоХоибоид vopovg:
[NJ Гса олоеоЗт|лот£ Suivuopa u, ||u||>0, sveo ||u||=0 Eav кас povo Eav u=0.
[N2] Гса олоеоЗг|лот£ Suivuopa u кас олосоЗг|лот£ рсуаЗскб apcOpo z, ||zu||=|z| ||u||.
[N3] Tea OTtocaSriTtoTE ScavuopaTa u кас v, ||u+v||<||u||+||v||.
AIIANTHEEIE AAYTQN UPOBAHMATON
1.41. (a) (-3,-16,4), (b) (6,1,35), (c) -3,12,8; (d) 72?, 735, 714,
(e) -3/721735, (f) 762, (g) (3,5,1) = (-&,-£-&
1.42. (AiavtopaTa aTfPns) (a) (-1,7,-22), (b) (-1,26,-29), (c) -15,-27,34,
(<0 Лб, ЛО, (e) -15/(ЛбТ30), (f) 786, (g) -^v = (-1,-|,-f)
f43. (a) (-13,-14,13,45,0), (b) (20,-29,22,16,-23), (c) -6; (d) 790,795,
(e) -&v, (f) 7167
1.44. (a) (5/776,9/776), (fe) (|,j, -|,«), (c) (6/7133,-47133,97133)
1.45. (a) 3, 13, 7120,9
1.46. (а) х = —3,у = 5, (b) x = 0,y=0, and х=1, у = 2
1.47. x=-3,y = 3,z = l
1.48. (а) и = 5U] - и2, (b) v = 16ut — 23и2
1.49. и = 3uj - и2 + 2и3
1.50. (а) 6. (Ь) 3, (с) 1
1.51. (а) v = [-1,-9,2], (Ь) [2,3,6,-10]
1.52. (а) 2х1 + Зх2 — 5х3 + 6х4 = 35, (Ь) 2х, - Зх2 + 5х3 - 7х4 =-16
1.53. (а) [2/+1, -7r + 2, 6r + 1, -Ш + 2], (6) [2г + 1, 4г + 1, 6г + 3, —8г + 3]
1.54. (а) -23j + 13k, (b) 3l-6j-10k, (с) -20,-12,37, (d) 729, Т38, 769
1.55. (а) Зх — 4у + 5х = —20, (6) 4x + 3y-2z=-l
1.56. (а) [4/+ 2, —5г + 5, 7г — 3], (6) [2r + 1, -3t - 5, 7г + 7]
1.57. (а) Р = F(2) = 81 - 4J + к, (b) (? = F(0)=-3k, Q = F(5) = 1251 - 25j + 7к,
(с) Т = (61 - 2J + к)/Т4Г
1.58. (а) l+j + 2k, (6) 2i + 3j + 2k, (с) 717, (d) 21 + 6J
1.59. (а) N = 61 + 7j + 9k, 6х+7у + 9х = 45, (6) N = 61 - 12J - Юк, Зх - бу-5z = 16
1.60. (а) -3,-6,26, (6) -2,-10,34
1.61. (а) 2i + 13j + 23k, (6) -22i + 2j + 37k, (с) 3U-16j-6k
1.62. (а) [5,8,-6], (6) [2,-7, 1], (с) [-7,-18,5]
1.63. (а) 143, (6) 17
1.64. (а) (7,1,-3)/Т59, (6) (51 + 11J — 2к)/л/150
1.66. (а) 50 — 55/, (6) — 16 — 30/, (с) £(4 + 70, (d) |(1+30, (е) —2 — 2*
1.67. (а) -|/; (Ь) £(5 + 270; («) -l.i.-I. (d) £(4 + 30
1.68. (а) 9 — 2/, (6) 29 — 29/, (с) £(-1-410, (<0 2 + 5*, 7-3/, (е) 729,758
1.69. (с) Yxofafy: Av zw=0, тбтс |zw| = |z||w| = |0| =0
1.70. (а) (6 + 5/, 5-100, (b) (-4 + 22/, 12- 160, (с) (-8-41/, -4-33/),
(d) 12 + 2/, (е) 790,754
KecpdXato 2
H ААГЕВРА TQN TUNAKQN
2.1 Е1ЕАГПГН
To KEcpaXaio auro e^etc^ei тоод лтуаквд Kai Tig aXyfiPpiKEg лра^Есд non opi^ovxai navco oe аитобд. Oi
л{уак£д рлоробу va ОесорлОооу opOoycbvisg ларатсфсд otoixeicov, блоо t| ка0£ катахсоркя] Е^арта-
xai ало Soo SsiKTEg (ovyKpivovTag p£ та SiavvopaTa, блои т| ка0£ катахсорюл Е^артютау ало Eva
povo SeIktt].) Та оиотлрата ypappiKcbv e^iocooecov Kai oi Xvosig тоид (KEcpaXaio 3) рлоробу va spEV-
vr|0ovv алот£к£орат1ка хРЛ<яролокЬута<; тт| yXcbooa tcov лгуоксоу. ЕлотХёоу, opiopsva acpaipETiKa
avTiKEipsva лои EioayovTai oe ЕлбрЕУа KEcpaXaia, блсод Eivai yia лараЙЕ1ура л “аХХаул 0аолд”, oi
“ypappiKoi рЕтаохлцатюро!” Kai oi “тЕтрауаткЁд рорсрЁд”, pnopovv вокоХа va ауалараотаОооу ps
nivaKEg (opOoycbviEg ларата^Ек;). Алб tt|v аХХл, л acpaipETiKT] лрауратЕоол тлд ypappiKf|g aXysPpag
лои 0а лароиоюотЕ! арубтЕра, 0а рад лараох£1 УЁвд Х£лторЁр£1Ед, Kai cog ек тобтоо ЛЕрагсЁрсо
уусоол, убрсо ало тл 5opf| tcov Л1уаксоу.
Oi KaTaxcopioEig отоид л{уакЁд рад 0а лроЁрхоУта! ало калою avOaipETO aXXa ота0£рб лейю К,
та owixda тои олоюо XsyovTai алХа apiOpoi. Потбоо, тигота то ouoicoSec; 5ev лрбкЕ1та1 va aXXa^Ei
Eav о avayvcbo-n]<; оло0ёое1 oti to К Eivai то лраураикб ле81о R.
2.2 niNAKEE
'Eva<; л(уака<; А лаусо oe Eva ле51о К, f| алХа £va<; л(уака<; А (бтау то К Е^илакоиЕтаО Eivai pia
op0oycovia ларата^л apiOpcbv, л оло1а ovvfjOcoq napovoia^ETai отлу е£л<; popcpf):
aH al2 ••• aln
a21 a22 а2я
_®ml ^m2 ^nut _
Oi ураррЁс; ev6<; tetoiou л1уака A Eivai oi m opt^ovTisg XioTEq apiOpcbv:
(fln.a12....Oln). (e21.a22. --.fl2«).................. <*«,)
evco oi ott|X£<; too A Eivai oi n катакбрисрЕд XioTEg apiOpcbv:
Елр£1С0У£та1 oti to oroixeio a^, лои ovopa^ETai \}-кагахыркп] л ij-crroi/Eio, Epcpavi^ETai отл ypappf| i
Kai отл отт|Хл j. Evxva oupPoXi^oupE sva tetoio nivaKa ypacpovrag алХа А=[а^].
'Evag nivaKCu; pe m ypappsg Kai n ottiXec; ovopa^ETai mvaicaq m eni n, Kai ypacpsTai mxn. To ^suyog
tcov api6pcbv m Kai n KaXsiTai/zsystfo^Toi) nivaKa. Auo nivaKEg A Kai В sivai iooi, Kai ypacpovps A=B,
sav Eypvv to i5io рвуббод Kai та avTioToixa OTOixsia sivai ioa. 'Етен, r| юбтцта 5uo mxn jiivokcov
looSvvapsi |is sva оиоттща mn ioott|tcov, pia yia кабе ovtiotoixo ^svyog otoixeicov.
'Evag nivaKag ps pia jiovo ypappf| avo\ia(£xa\mvaKaqypapp>jqv\ Siavvapa ураррг/дкал, avrioTOixa,
Evag nivaKag pe pia povo ott|Xt| ovopa^STai nivoxag anjXtjq r| diavvopa trnjAtjg. 'Evag nivaKag too
onoiov oXec; oi KaTaxcopioEig sivai |1t|5ev KaXsiTaiprfaviKoq яыакад, Kai oopPoXi^ETai ouvf|6co<; ps 6.
Oi nivaKsg tcov onoicov 6Xsg oi катахсорюбц sivai лрауцат1ко! api6poi Xsyovrai лрауратшм niva-
Ksg T| nivaKsg navco ото R. AvaXoya, oi nivaKsg tcov onoicov 6Xe<; oi катахсорюек; sivai piyaSiKoi
api6|ioi KaXouvrai piyaSiKoi nivaKsg r| nivaKsg navco ото С. Ето РфХ{о аитб ба gag anaoxoXf|oouv
Kvpicog та био аита si5r| nivaKCOv.
Парй&егуца 2.1.
(a) H op6oycbvia ларата£т| A =p0 ~sivai svag 2x3 яЬ'акск;. Oi ypappsg too sivai oi
(1,-4,5) Kai (6,3,-2), Kai oi ottiXec; tod sivai oi
(P) 0 2x4prjSsviKognivaKagsivaiоnivaKag0=|^ ® ®
(y) Na PpsiTS та z, y, z, t tetoio coots
Ano tov орюро trig юбтцтад nivdKCOv, 6a npsnsi oi Tsoospig avrioToix£<; катахсорювк; va
loouvTai. 'Etoi,
x+y=3, x-y=l, 2z+t=7, z-t=5
Auvovtck; to ho navco оиоттща s^iocboscov PpioKovps x=2, y=l, z=4, t=-l.
2.3 ПРОЕОЕЕН niNAKUN KAI ВАОМПТОЕ ПОЛЛАПААЕ1АЕМОЕ
'Еотсо oi A=[aIJ] Kai B=[b4] 5uo nivaKsg це to i5io ЦЕуЕбод, yia napaSsiypa mxn. To аброюра tcov A
Kai В, пои ypacpsTai A+B, sivai о nivaKCK; пои XapPdvsTai ярооббтоутад та avTioTOixa OTOixsia tcov A
Kai В. Ат|Ха5т|,
вц+Ьц «12+ *12 ••• а1л+*1л
«21 + *21 «22 + *22 • • • «2л + *2л
_«ml + *ml «m2 + *m2 • • • «тл + *тл .
To yivopsvo too TtivaKa А це sva api6po k, лои ypacpsTai k A т| алХа kA, sivai о nivaKag лои XapPa-
vsTai лоХХалХаош^оутад то кабб otoixeio too А ре то k. Ат|Ха5т|,
’*“11 *“12 ••• *“1и
*“2! *“22 ••• *“2л
_*“ml *“m2 ••• *“™
Парахдроире oxi oi А+В Kai кА eivai ел1ат|<; mxn лхуакес;. Opi^oupe егастгц; xou<;:
-A = (-1)A Kai A-B = A+(-B)
О ftivaKaq -A Xeyexai apvr]TiK6q тои nivaKa A, evcb о TtivaKaq A-В Xeyexai Siaipopa tcov A Kai B. To
aGpoiapa kivokcov pe SiacpopexiKa peyeGr] Sev opi^exai.
napaSeiypa2.2. ЕатШл-[; J J J1. T6TS
л+д Г1 +4 2 + 6 3+8 Ip 4 “1
LO+l 4 + (~ 3) 5 + (-7)J [1 I -2 J
DU) 3(-2) 3^]_Г3 "6 9]
L3(0) 3(4) 3(5) J ” [o 12 15 J
2Л-ЗД=Г2 ‘4 6L["12 "18 24] = Г_,° "18
Lo 8 loj L -3 9 21J L -3 17 31.
О TtivaKaq 2A-3B eivai evaq ypapptKoq cruvSuaopoq xcov A Kai B.
AkoXouGouv oi PaaiKe^ iSidxrjxec; xcov kivokcov ило xu; лра^еи; хд<; лрдобесттц; kivokcov Kai xou
PaGpcoxou лоХХалХаоюорой.
0есорт]pa 2.1: ©ecopoupe xpeiq олоюиоЗг]лотЕ TtivaKeq А, В, C (pe xo iSio peyeGoq) Kai Suo олоюио-
3x|7toxe apiGpou^ к Kai к'. Toxe:
(i) (A+B)+C = A+(B+C),
(ii) A+0 = 0+A = A,
(iii) A+(-A) = (-A)+A = 0,
(iv) A+B = B+A,
(v) k(A+B) = kA+kB,
(vi) (k+k')A = kA+k'A
(vii) (kk')A = k(k'A),
(viii) 1A = A.
Ilpenei eSeb va aripeicoGei oxi xo 0 axa (ii) Kai (iii) avaipepexai axo px|3eviKO nivaKa. Ел(ат|^, ало ха
(i) Kai (iv), олоюЗтрсохе aGpoiapa л™аксоу
A!+A2+...+An
Sev алагсе( napevGeoeu;, Kai xo aGpoiapa Sev e^apxaxai ало хт| aeipa xcov nivaKcov. Елисроабеха,
Xprpiponoicbvxac; xa (vi) Kai (viii), exoupe ел(ат|^:
A+A=2A, A+A+A=3A,
Kai ouxco KaGe£,r|q. '
Ц curoSei^T] xou 0ecopf|paxo<; 2.1 avayexai axr|v алоЗе^т] xou oxi oi ij-Kaxa^copioeu; Kai axa Suo
рёХт| K“®e E^ia<0OT|<; nivaKcov, eivai iae<;. (ВХёле ПроРХт|ра 2.3.)
О avayvcborrig ptopei va 5taKpivEi vr|v оцоютт|та цЕта^б тои 0Есорт]цатод 2.1 yia тоид л(уак£д Kat
тои ©Есоргщатод 1.1 yia та бюубоцата. Ett|v лрауцат1кбтт|та, oi лю navco npa^Eig отоид л1уакЕд
jinopouv va 0£copr|0ouv cog yEvtKEUOEig tcov avTioroi/cov npa^ECOv ота бюубоцата.
2.4 TO EYMBOAO THE AOPOIEHE
Протоб opiooujiE tov лоХХалХаоюоцб nivaKCOv, KpivETat алара!тт|то va Еюауауоицв то обцРоХо
тт|д a0poior]g, (to eXXt|viko KEcpaXaio урацца Е1уца).
Ag 1)ло0ЁооицЕ oti T| f(k) Eivai pia aXyEPpncq Ёксрраот] лои ецлХёке! to урацца k. Tote i] Ёксрраот]
E/W rj юоббуаца E*=i/W
ё/ei tt|v E^rjg отщао1а: ©етооце лрсота k=l ott|v f(k), ХацРауоутад то
f(l)
Етт| CTUVE/Eia 0£тоицЕ k=2 ott|v f(k), ХацРауоутад то f(2), то олою Kai лрооОЁтоицв ото f(l) yia va
лароицЕ то
f(l)+f(2)
АкоХоб0сод 0£ТО1)Ц£ k=3 ott]v f(k), ХацРауоутад то f(3), то олою Kai лроо0Ётоиц£ ото лрот]уобц£уо
а0роюца yia va лароицЕ то
f(l)+f(2)+f(3)
Еоуех^ооце тт| 5ia5iKaoia цЁ%р1 va катаХг^овцЕ ото а0роюца
f(l)+f(2)+...+f(n)
ПаратдробцЕ oti ото ка0Е Рлца аи^ауоицЕ tt|v Т1цт] тои к ката 1, цЁ%р1 va сртаооицЕ ото п. То
урацца к оуоца^Етас 5Е1ктт|д, evco та 1 Kai п оуоца^оугац avrioroi/a, avco Kai катсо opto. Або aXXa
ураццата лои хрт|01цолоюбута1 ouxva сод бвсктвд Eivai то i Kai то j.
Млоробцв va у£У1К£боо1)ц£ tov орюцб цад, ЕлгсрЁлоутад ото а0роюца va Екта0Е1 ало sva олою-
5т]лоте аквраю гц oe sva олою5т]лоте акЁраю п2. Ор^оицЕ, 5т|Ха5т|, то
Е /(*) =/("1) +/("1 + О +/(" 1 + 2) + • • • +/(л2)
Парабпуца 2.3.
(Р) Ех*=Х1+*2+*з+*4+*5 Kai Т.а1Ь1 = ахЬх+а2Ь2+-+апЬп
*-1 /-1
(/?) Y.? = 22 +32 +42 + 52 = 54 Kai Е ар/ = а0 + а,х + ^х2 Ч-\-а^
J-2 м>
(У) £ = alxbv + aaby + ; + a^j
2.5 ПОАААПААЕ1АЕМОЕ HINAKUN
То у1Убц£УО 5бо Л1уаксоу A Kai В, лои урасрвта! АВ, Eivai калсод лЕрпгХоко. Tia то Хбуо аитб, 0а
^ЕК1УГ|О01)ЦЕ це ц1а El5lKT| л£р1лтсоот|.
То у1у6цеуо АВ Evog л1уака ураццт]д, А^а,] це Eva л1уака отт|Хт|д, В=[Ь,] це tov 15ю ар10цб
otoixeicov, opit,Exai va eivai о api0po<; (до 1x1 nivaKag) nov XapPavETai noXXanXaoia^ovrag Tig
avxioTOixet; кахахсорюек; Kai прооОЁтоутад. АдХаЗд,
ЛВ = [ах,а2,...,а„]
= atbt + a2b2 + • • • + anb„ = .£ akbk
Tovi^Eiai oxi xo AB Eivai api0po<; (f| 1 x 1 nivaKac;). To yivopsvo AB 5ev opi^Exai oxav oi A Kai В exovv
SiacpopExiKO apiOpo axoixeicov.
Парабыура 2.4.
7(3) + (-4X2) + 5(— 1) = 21-8-5 = 8
(/?) [6.-1.8.3]
= 24 + 9- 164-15 = 34
Kai xcbpa, EipaoTE oe 0еод va opioovps xov noXXanXaoiaopo mvaKcov отд yeviKTi пЕригтсоод.
Орифбд: УпоОетоуце oxi oi A=[aik] Kai B=[bkj] Eivai 8vo nivaKEg tetoioi coote о api0po<; xcov
orqXcbv tov A va loovxai це xov apiOpo xcov ypappcbv xov B. 'Eotco, yia napaSsiypa, о
A evag mxp nivaKag Kai о В 6vaq pxn nivaKag Tote, xo yivopEvo AB Eivai о mxn
nivaKac; xov onoiov д ij-катахсорюд XapPavexai noXXanXaoia^ovrac; хду i-оотд ypap-
цд xov А це vqvj-оотд отдХд xov В. АдХа8д,
onov ciJ = aUblj + ai2b2J + + aipbpJ = £
To yivopsvo AB 8ev opi^Exai sav о A Eivai evaq mxp nivaKaq Kai о В evaq qxn nivaKag, onov p#q.
IIapa6Eiypa 2.5.
(a) Na Ppeite xov AB, onov A=£2 _ij ка1В=Гд
Ecpooov о A Eivai 2x2 Kai о В Eivai 2 x 3, то yivopEvo AB opi^ETai Kai sivai svac; 2x3 niva-
кад. Tia va XaPovpE rqv прсотд урацрд tov nivaKa-yivopsvov AB, noXXanXaoia^ovpE vqv
прсотд ураццд [1,3] tov А це тду кабе отдА.д tov В,
[П [-’] [1]
аут1ото1%а. Аг|Хабг|,
Па va XaPougE тт| беотЕрт) ураццг| тои АВ, noXXanXaoia^ovgE тт| беотЕрт) ураццг| [2,-1] тои
А це tt|v ка0Е отт|Хт| той В. LvvEncbg
-=[4", 0-д _;:]
'E<jt(M = [J ^ка1в = |^ J]. Тбте
(Ю Hi’:» ^:]=[и io] - «Ч’о™ “"И” -»]
То napanavco парабЕгуца 6e(xvei oti о noXXanXaoiaopog nivcuccov 5ev Eivai аут1ЦЕта0ЕТ1к6д, бт|Хабг|
та ytvojiEva nivaKcov AB Kai BA 5ev Eivai апарагст|та ioa. Оотооо, о noXXanXaoiaopog nivaKcov
iKavonoiEi Tig ак6Хоп0Ед i5iott|te<;. -
Oscopqpa 2.2: 'Еотсо oi А, В, C TpEig nivaKEg. Tote, опоте opiCpvTai та yivojiEva Kai та а0ро1оцата,
0a io/vovv та паракатсо:
(i) (AB)C=A(BC) (npooETaipioriKog vopog)
(ii) A(B+C)=AB+AC (ЕШЦЕрюикод vopog апо арютЕра)
(iii) (B+C)A=BA+CA (EntjiEpioriKog vopog ano 6E^ia)
(iv) k(AB)=(kA)B=A(kB), onov to k Eivai api0pog.
Lr||i£icbvETai oti 0A=0 Kai B0=0, onov то 0 Eivai о цт)бЕУ1к6д nivaKag.
2.6 О ANAETPOOOE ENOE IIINAKA
О avaoTpocpog Evog nivaKa A, nov ypacpETai AT, Eivai о nivaKag nov XapPavETai ypacpovrag Tig отт|Х£д
тои А, ЦЕ tt| oEipa, cog отт|Х£д. Па парабЕгуца,
[1 5 «]=[] «] =[_-’]
Me aXXa Xoyia, Eav о A=[a,j] Eivai evag mxn nivaKag, tote о Ат=[Ьу] 0a Eivai evag nxm nivaKag,
onov b—a,,.
Паратт|роуцЕ oti о avaoTpocpog svog 5iavvopaTog ypajiprig Eivai eva 5iawopa orf|Xr|g. 'Opoia, о
avaoTpocpog Evog 5iavvopaTog отт|Хт)д Eivai Eva 5iawopa ураццт|д.
To 0Есорт)ца nov aKoXov0Ei anapi0p£i Tig PaoiKEg 1бютг|тЕд тт|д пра^цд тт|д avaoTpocprig.
OECopqpa 2.3: 'Еотсо oi A Kai В 5vo nivaKEg Kai еотсо to k Evag api0pog. Tote, опоте opi^ETai to
а0роюца Kai to yivopsvo, loxvovv та ак6Хоо0а:
(i) (А+В)Т=АТ+ВТ, (iii) (kA)T=kAT,
(ii) (AT)T=A, (iv) (AB)T=BTAT
Tovi^ETai oti, ano to (iv), о avaarpocpog svog yivo^vou Eivai to yivopsvo tcov avacnpocpcov, aXXa.
ott|v avTiGTpocpT] OEipa.
2.7 ТЕТРАГПМКО1 IIINAKEE
'Evag тетраушvikoq mvaKaq Eivai Evag nivaKag це tov i5io apiQpo ураццсоу Kai OTT|Xcbv. 'Evag nxn
nivaKag XcyETai oti Eivai та&к n Kai ЦЕрскёд cpopsg koXeitoi п-тЕтрауал>1кд<; nivcucaq.
YnEvQvpi^ETai oti 5ev цлороиу 5vo олою15г|лоте nivaKEg va npooTE0ovv r| va лоХХалХаоюотоиу.
Qcftocfo, ©Ecopcbvrag povo TETpaycoviKoog nivaKEg калошд 5e5o|1evt|<; та£т|д n, т| бютарахп аитт| E^a-
cpavi^ETai. ZuyKEKpipEva, oi npa^Eig rr|g лроа0ЕОТ|д, той лоХХалХааюацоъ, той Ра0цсотои лоХХа-
лХасиаацои Kai тт|<; ауаатросргц; цлороиу va ekteXecftovv navco oe олоюио5г|лотЕ nxn nivaKEg, 5ivo-
vrag олотеХеоцо Kai naXi Eva nxn nivaKa.
IlapdSEiypa 2.6. Oi ларакатсо Eivai TETpaycoviKoi nivaKEg та£т|д 3:
Kai
H? 1
-2
Oi ларакатсо Eivai ел(от|<; TETpaycoviKoi nivaKEt; та^т|<; 3:
Aiaycbviog Kai I/vot;
'Еотсо о A=[a,j] Evaq n-TETpaycoviKoq nivaKaq. H Kvpia 8iay<i)Vioqx\ алХа т| diayuvioq too А, олотеХеь
toi ало та otoixeio це тоид iSioug Seikte^, 5т|Ха5г| та
all> a22’ a33> •••> ann
To i%vog той А, лои ypacpETai tr(A) (лроёрхЕта! ало тт| ХЁ£т| “trace” лои crrmaivEi ixyog), Eivai to
а0рокзца tcov Siaycbvicov otoixeicov. ГиукЕкрсцвуа,
tr(>4) = Оц + a22 + a33 +... + am
loXPEi to лю катсо 0ЕСортща.
0ЕСорг]ца 2.4: Уло0етооце oti oi А=[ац] Kai B=[by] Eivai п-TETpaycoviKoi nivaKEg, Kai oti to k Eivai
evag арШцбд. Tote:
(i) tr(A+B)=tr(A)+tr(B), (iii) tj(AT)=tr(A),
(ii) tr(kA)=k tr(A), tr(AB)=tr(BA).
ПарбЗесуца 2.7. 'Еатсо А кеа В си лсуакед А кас В той ПараЗесуратод 2.6. Тоте:
Scaycbvcog той А=[ 1 ,-4,7] кас tr(А)= 1 -4+7=4,
Scaycbvcog той В={2,3,-4} кас tr(B)=2+3-4=l.
ЕлслХёоу,
tr(A+B)=2-1+3=5, tr(2A)=2-8+14=8, tr(AT)=l-4+7=4,
tr(AB)=5+0-35=-30, tr(BA)=27-24-33=-30
'Олсод лерсрёуаре ало то ©ecbpripa 2.4,
tr(A+B)=tr(A)+tr(B), tr(AT)=tr(A), tr(2A)=2 tr(A)
TeXog, poXovori AB^BA, evrouToeg та с%уг| caouvrac.
Таитотскбд Псуакад, Шуакед-ЕиутеХеатёд
О п-тетрауомкод таитотскбд лсуакад, о олосод аирРоХс^етас ре In f| алХа ре I, ecvac о n-Terpaycovc-
код лсуакад ре атос%еса 1 отт] Scaycbvco кас pr|8evcKa аХХои. Н орос6тт]та лои лароиаса^ес о таитотс-
кбд лсуакад I ре tov арсбро 1, еукестас ато отс, уса олосо8г|лоте п-тетраусш/ско лгуака А,
А1=1А=А
Геускотера, eav о В ecvac evag mxn лсуакад, тбте BIn=lmB=B.
Гса олосо8т|лоте арсбро к, о лсуакад kl лои лерсё%ес атос%еса k an] Scaycbvco кас pr|3evcKa аХХои,
каХестас лсуакад-аиугеХеатг|д лои avTcarocxei otov арсбро (auvreXea-cri) к. Парат^роире отс
(к!)А=к(1А)=кА
Auto aripacvec отс, то va лоХХалХаасааоире eva лсуака А ре tov лсуака-аиутеХеатг| kl ecvac саоЗи-
vapo ре то va лоХХалХаасааоире tov А ре tov арсбро к.
Парабесура 2.8. Паракатсо рХелоире тоид таитотскоид лсуакед Ta^ecov 3 кас 4, кас тоид ovtc-
атос%оид лтуакед-аиутеХеатед уса к=5:
Парат1]р11<я) 1: Zvqv лра^т|, кас otov 8ev илархес арсрсРоХса уса vqv илар^т| tcov лерсттсоу
pr|3evcK(bv, та pr|3evcKa аита pnopouv va лараХеслоутас, олсод eyeve ато Зеитеро кас otov тётарто
ало тоид ларалосусо лгуакед.
Паратт]рдат] 2: Н auvapvqaTi АёХта тои Kronecker, 3,г орс^етас ало vqv
8
Eav
Eav
i = J
Zuvencbg о таитотскод лсуакад рлорес va орсатес кас ало vqv 1=[8у].
2.8 AYNAMEIE IIINAKflN, IIOAYflNYMA EE IIINAKEE
'Еотсо о A evo<; n-T£TpaycoviKo<; nivaKag navco oe eva пе5со K. Oi 5uvap£i<; тои A opi^ovTac cog акоХои-
Ocog:
A2=AA, A3 = A2A An+l = AnA, .... касА°=1
EtOv nivaKa A opi^ovTac £лсот|<; кас noXucbvupa. EuyK£Kpip£va, уса опосо5т|поте noAucbvupo
/(x) = a0 + a |X + а2х* + • • • 4- aj?
блои та a, eivac арсОцос ото К, о f(A) орс^етас va eivac о псо катсо nivaKag
/(х) = a^I + atA + а2А2 4--h а„Ап
[ГтщЕссоУЕтас отс о f(A) XapPavETac ало то f(X) avTCKa0coTcbvra<; rq р.£тарХг|тт| х це tov nivaKa А кас
tov арсбцо а0 це tov nivaKa-oovTEXEorq a0I.]. Eav о f(A) Eivac о цт|5еуск6<; nivaKag tote о A ovopa-
^Етас pqSsvcKO q pi^a too f(x).
ПарабЕсура 2.8. УпоОетооце отс
Tote
Yno0£TOvra<; отс f(x)=2x2-3x+5 кас g(x)=x2+3x-10, tote
~-"L: a-t: jh: iH-s in
H.; a-c jh: h :i
Apa Xocnov о A Eivac Eva pqSsvcKo too noXucovupou g(x).
2.9 ANTIETPETIMOI (MH-IAIAZONTEE) IIINAKEE
'Eva<; T£TpaycovcKO<; nivaKag А ХЁувтас avTiOTp£\yipo<; q pq-i5ia^cov Eav unapxei £va<; nivaKag В tetoco<;
COOTE
AB=BA=I
опои о I Eivac о таитотско<; nivaKag 'Eva<; tetocoi; nivaKag В Eivac povaScKog Auto oripaivEc отс, Eav
AB,=B|A=I кас AB2=B2A=I, tote
Bt = Bil = B,(AB2) = (Я,Я)52 = /В2 = B2
'Eva<; TETOcoq nivaKag В каХвстас avrioTpocpo<; тои А кас оицРоЩЕтас це А-1. ПаратцроицЕ отс т| псо
navco охёот] Eivac оиццЕтрскт]. Eav, 5т|А.а5т|, о В Eivac о аутсотросро<; тои А, тоте кас о A Eivac о
avTiorpocpoi; тои В.
ПарабЕсуца 2.9. УпоОётоутад отс л = Р Я кас B=[_i "г! Т°те
-зд; ?] - :]
EuvEncbg oi A Kai В eivai avriarpoipoi.
Eivai уусоатб (0Ecbpr|pa 3.15) oti AB=I Eav Kai povo Eav BA=I. ЕлорЁУСод apKEi va ЕХЁухоирЕ
povo to Eva yivopEvo yia va npoaSiopi^oupE ката лбао 5uo SeSopevoi nivaKEg Eivai f| 6%i avrioTpo-
<poi. (ВХёле ПрбрХт|ра 2.17.)
Ag ило0ЁаоирЕ тсора oti oi A Kai В Eivai аутютрЁцдроь Tote о AB Eivai Ел1от]д аутютрЁцдрод Kai
(AB)_|=B_|A_| TEViKOTEpa, Eav oi A1,A2,...,Ak Eivai аутютрЁцлро!, tote о nivaKag-yivopEvo тоид
Eivai Елют|д аутютрЁцдрод Kai
(АхА2...АкГ' = Akx ...A2'A['
to yivopevo tcov avrioTpocpcov ott|v avTioTpocpi] aeipa.
О Avriarpocpog evdg 2x2 nivaica
'Еатсо о A 6vag ао0а1ретод 2x2 лЬакад, yia napaSeiypa A = J О аколбд pag Eivai va ларауа-
youpe tov голо тои А-1, тои avTioTpocpou тои A. EuyKEKpipEva ava^Toupe 21 2 3=4 api0poug, yia лара-
Seiypa tou<; xb yb x2, y2, yia тоид onoioug
Га dip! х2]_ Г1 0] .Га^+Ьи ax2 4- by21 Г1 0]
Lc dun л J L° d n L"i +^1 L° d
E^iacbvovTag Tig T6aaepig KaTaxcopioeig pE Tig avTioToixeg KaTaxcopiaeig otov таитопкб л1уака, o5r|-
youpaaTE oe TEOOEpig e^iacbaeig, oi onoieg pnopouv va Siaanaorouv oe 5uo 2x2 епхттг|рата cog e^f|g:
aX| + byx = 1, ax2 + by2 = 0
cq + dyx =0, cx2 + dy2 = 1
©Ётоутад |A|=ad-bc (лои ovopa^ETai opi^ouaa tod A) Kai илобЁтоутад oti |A|^0, рлороирЕ va Xu-
aoupE povaSiKa yia тоид лю navco ayvcboToug xb yb x2, y2, XapPdvovrag
d -c-ba
Х,_ЙР Х2"йг У2~]А1
Ката сгиуЁлЕш,
,-1_Га *]'_[ <//И1 -Ь/И|1__1_Г d -ft]
Lc d L-c/hi «/KlJ MlL-c
Me aXXa Xoyia, OTav | A|#=0, о avTioTpocpog Evog 2x2 nivaKa А рлорв! va Xr|<p0Ei ало tov A cog акоХои-
0cog:
(1) AvraXAdaaoupE арофаса та 5uo OTOixeia атт| Siaycbvio.
(2) naipvoupE тоид apvr|TiKOvg tcov aXAcov 5uo otoixeicov.
(3) ПоХХалХасяафирЕ tov лрокилтоута л1уака pE то 1 /| A|, f|, iao5uvapa, SiaipoupE то ка0Е
otoixeIo pe tt|v |A|.
Ett|v ЛЕр1лтсостт| блои |A|=0, о л1уакад A 5ev Eivai аутютрЁцлрод.
Парабегуца 2.10. Na Ppeite rove; avTioTpoepove; tcov a = катв=£*
УлоХоу^оирЕ лреота tt|v |A|=2(5)-3(4)=10-12=-2. KaOebe; |A|#0, о лп/акас; A Eivai avriarpecpipoc; Kai
УлоХоу^оирЕ тсора tt|v |B|=l(6)-3(2)=0. KaOebe; |B|=0, о л(уака<; В 8ev exei avTicrcpocpo.
Паратрр^сл]: H ларалаусо iSiovriTa oti evac; лпшкас; Eivai avTicnpeyipoc; Eav Kai povo Eav e%ei
цт|-цт|8£У1КГ| opi^ovaa, io/uei yia TETpaycovucovc; л1уак£<; оло1аа6г|лот£ та^тц;. (ВХеле КЕсраХаю
8).
О AvTiarpocpoc; ev6<; n x n IlivaKa
Ac; ило0£аоиц£ oti о A Eivai Evac; av0aip£TO<; n-TETpaycovucdc; лёуакас;. H £бр£сгг| тои avTioTpoepov тои
A, A-1, avayETai, блсос; Kai лю лаусо, ott|v Ебреегг) тт|<; Хистц; piac; avXXoyrjc; пхп аоатт|ратсоу урар-
piKcbv e^iocooecov. Н Хбсгг| tetoicov <л>атт|ратсоу, каОсос; елкиц; Kai Evac; алотЕХварапкбе; трблос; yia
tt|v EupEcrri тт|<;, лароисяа£оута1 ато КЕсраХаю 3.
2.10 EIAIKOI ТУПО1 TETPAFQNIKQN IIINAKQN
'Evac; TETpaycoviKoc; лгуака; D=[d,j] Eivai Siaycbvioc; Eav oXec; oi pr|-8iaycbvie; катахсорюек; тои Eivai
PT|8ev. 'Evac; тетоюс; лг^акас; avpPoXi^ETai pEpiKEc; epopee; p£
D=diag(d11,d22,...,dnn)
блои калою г| калош ало та d,„ г| акора Kai бХа та d„, рлор£( va Eivai pr|S£v. Па ларабегура, oi
Eivai Siaycbvioi nivaKec;, oi оло(о1 рлоробу va ауалараатаОобу avTiOToixa алб тоис;
diag(3-7,2), diag(4,-5), diag(6,0,-9,8)
(Паратт|роб£1£ 6ti otov тр(то л[уака, та лЕрпта p^Sevikci лараХг|(р0т]кау.)
'Evac; тЕтрауаткбе; лг^акас; А=[ау] Eivai avco тргуаткбе; г| алХа Tpiycovucdc; Eav oXec; 01 катахсорь
oeic; лои PpiaKOVTai катсо алб tt|v (кбрш) Siaycbvio laouvTai p£ 0, Eav 8т|Ха8г| a,j=O yia i>j. OiyEviKoi
avco TpiycoviKoi лг^акЕс; tcc^ecov 2, 3 Kai 4, exovv сое; е^гц;:
CU C12 Cn Ct4
C22 C23 C2A
c33 c34
C44.
(Олсос; Kai атоис; Siaycbviovc; лп/акЕс;, та ЛЕрпта pi]3£viKa рлоробу va лараХЕшоутаи)
laxvEi то акбХоиОо 0£сЬрт]ра.
0£copi]pa 2.5: УлоОбтоирЕ 6ti 01 А=[ау] Kai B=[by] Eivai nxn (avco) TpiycoviKoi лпшкес;. T6te:
(i) Oi A+B, kA, kB Eivai ел£сгг)<; TpiycoviKoi p£ avTkrcoixEc; Siaycbviovc;:
(aii+*n.......+ (Аап> .... kam), (aubu..........ambm\
(ii) Па олою8г|лот£ noXvcbwpo f(x), о л1Уака<; f(A) Eivai ел(сгг)<; Tpiycovucdc; p£
Siaycbvio
(Цан),^,),...,^)
(iii) О A eivai аутютрёцарод eav Kai povo eav то ка0е 8iaycbvio OTOi/eio a„*0, Kai
oxav unapxEi о A’1 eivai enior|g TpiycoviKog.
'Evag катсо TpiycoviKog nivaKag eivai ёуад TCTpaycoviKog nivaKag тои onoiou 6Xeg oi KaTaxcopioeig
пои PpioKOVTai navco ano тт| Siaycbvio eivai pr|5ev. ErjpeicbveTai oti to 0e<hpr|pa 2.5 е^акоХои0е1 va
eivai аХг|0ёд eav аут1катаотт|ооире tov opo “TpiycoviKog” eire pe tov opo “катсо TpiycoviKog”, eire pe
tov opo “Siaycbviog”.
Паратт|рч<п1: Mia pr|-Kevr| ouXXoyrj nivaKcov, A, KaXevrat aXyePpa (nivaKcov) eav r| A eivai кХеютт|
uno tic; npa^eig тг|д npooOecnjg nivaKcov, тои Ра0рсотои noXXanXaoiaopou Kai тои noXXanXaoiaopou
nivaKcov. Ilpocpavcbg, oi TCTpaycoviKoi nivaKeg piag SeSopevqg та^т|д oxrIPaT^0UV aXyePpa mva-
kcov, бясод аХХсооте oupPaivei Kai pe тоид я1Уакед-оиутеХеотёд, тоид Siaycbvioug, тоид TpiycoviKoug
Kai тоид катсо TpiycoviKoug я(уакед.
EiSiKoi Tvnoi npaypaTiKcbv TerpaycoviKcbv nivaKcov: EuppexpiKoi, OpOoycbvioi, KavoviKoi
Пшакед
Ac; ияо0ёооире тсора oti о A eivai 6vag TCTpaycoviKog nivaKag pe ярауратскёд KaTaxcopioeig, 8г|Ха8т|
6vag яраурат1кбд TCTpaycoviKog nivaKag. H охёот) р£та^и тои A Kai тои avaoTpocpou тои AT, o8r|yei
ae pepiKa oripavriKa eiSr) nivaKcov.
(a) EuppexpiKoi Пшакед
'Evag nivaKag A eivai ouppeTpiKog eav AT=A. looSuvapa, о A=[ay] eivai оирретрисбд eav та oup-
ретр1ка OTOixeia (та каОресртюрёуа oToixfiia сое; npog тт| 8iaycbvio) eivai ioa, eav 8r|Xa8f| ^=ар.
'Evac; nivaKac; A_eivai avTiouppeTpiKog eav AT=-A, f|, looSuvapa, eav то ка0е ay=-ajr Eivai катасра-
veqotiта8iaycbviaoroixEiaaeevaтётою nivaKanp6neivaeivai pr|86v, ка0содто а~ар ouvenayeTai
oti аи=0.
(EripeicbveTai oti evuq nivaKac; А прёпе! va eivai TCTpaycoviKoc; eav AT=A r| At=-A).
nap65eiypa2.il. Еотсо ^=^-3 6 7^,Я=[-3 0 5^,C=£* ®
(a) Me епюк6ят|от|, та стирретрска oToixEia otov A eivai ioa, r| At=A. Zuvencbc; о A eivai ouppe-
трисбс;.
(P) Ta 8iaycbvia oroixEia тои В eivai 0, eveb та оирретриса OTOixEia eivai рета^и тоис; аут10ета, f|
BT=-B. Zuvencbc; о В eivai avriauppeTpiKoc;.
(у) Ka0cb<; о C 8ev eivai TCTpaycoviKoc;, 8ev eivai оите оирретриебс; оите avriauppeTpiKOc;.
(P) Op0oy6vioi Пшакес;
'Evac; npaypaTiKoc; nivaKac; A eivai op0oycbvioc; eav AT=A_|, eav 8г|Ха8т| AAT=ATA=I. Qq ек тоитои
о A 0a прёпе! апарагп]та va eivai TCTpaycoviKoc; Kai аутютрёцирос;.
Г1 I -n
Парйбесура 2.12. Еотсо Л = 5 -J -J .. noXXanXaoia^ovTag tov A pe tov At о8т|уоираоте
La i d
otov I, опбте AAT=I, apa Kai ATA=I. Епорёусос; AT=A-1,8r|Xa8f| о A eivai op0oycbvio<;.
A^ ипо0ёооире тсора oti о A eivai evac, прауратпсбс; opOoycbvio^ 3x3 nivaKag ре ураррёд Tig
“i =(ai.a2.fl3).
Mj =(С1,С2,С3)
Афои о A eivai opGoycbviog, Ga лрЁл£1 va ёхооце AAT=I. Еиук£кр1цЁуа,
AAT
ПоХХалХаою^оутад tov А це tov AT koi E^iocbvovTag tt|v KaGs катах<Ьрют| це ttjv avrioTOixn ката-
XibpiOT] otov I, о6т|уоицаот£ otic; eweo лю катсо E^iocboEig:
aj +а^+а$ = 1, а161+а2^2+аз^з=0>
btai + b2a2 + b3a3 = 0, tf+b£+bf = l,
C\a\ + c2a2 + c3a3 = 0, c,6, + c2b2 + c3b3 = 0,
atCj + a2c2+a3c3 =0
6,C! + b2c2+b3c3 =0
^+^+02=1
Ката ооуёлею, U|U|=1, u2-u2=l, u3-u3=l, Kai u,-Uj=0 yia i*j. ЕлоцЁУсод oi ураццЁд u„ u2, u3 Eivai
^vaSiaia Зшуиоцата, opGoycbvia ЦЕта^и тоид.
MiXcbvrag утка, Хёце oti та Siavuopara ubu2,.. ,,um otov Rn охпца'пфиу ^va opGoKavoviKO ou-
voXo Siavuoparcov, Eav Eivai povaSiaia Siavuopara та оло(а Eivai opGoycbvia цЕта^и тоид, Eav 5т)Ха-
5f|
«2 = (*1Л.*э).
Me aXXa Xoyia, и,^=5у, слои то 6у Eivai л ovvdpTqoT] ДЁХта тои Kronecker.
'ЕуоицЕ Sei^ei oti т) ovvGf|Kr| AAT=I ouvcndyETai oti oi ураццЁд тои А охпцо'с^ооу Eva opGoKavo-
viko ouvoXo Siavuoparcov. 'Opoia, r) ovvGr|Kr| ATA=I оиуЕлауста! oti oi отт|Х£д тои А £лют)д охПРа-
ti^ovv Eva opGoKavoviKO ouvoXo Siavuoparcov. Ел1лрооб£та, кабсод то каб£ Ргща Eivai аутютрслто,
то аутютрофо Eivai £л(от)д аХт)бЁд.
Та ларалаусо оицлсраоцатаyia тоид 3x3 лсуаксд, oXtiGevovvyEviKa. Ioxvei, 5т)Ха5г|, то акоХои-
Go бЕсЬртща.
©Есортща 2.6: 'Еотсо о A Evag лрауцат1код л€уакад. Тоте та акоХоиба Eivai looSvvapa:
(a)
(P)
(Y)
О A Eivai opGoycbviog.
Oi ураццЁд тои А охлцат^оиу ёуо opGoKavoviKO ouvoXo.
Oi отт|Х£д тои А охлцат^оиу Eva opGoKavoviKO ouvoXo.
Tia n=2, ЁхоицЕ то ларакатсо бЕсЬртща (лои ало5£1куи£та1 ото ПрбрХтща 2.28).
©ЕсЬргща 2.7: 'Еотсо о А Ёуад лрауцатисод 2x2 лгуакад. Tote, yia калою лрауцатисо apiGpo G,
cost?
sin#
sin в - cos 6
(у) KavoviKoi IlivaKEg
'Evag лрауцат1код лгуакад A Eivai KavoviKog Eav avripETariGETai це tov ауаотрофб тои AT, Eav
5т)Ха5г| AAT=ATA. Eav о A Eivai оиццЕтрисод, opGoycbviog r| аутюицц£тр1к6д, tote Eivai Kai Kavovi-
код. Улархоиу, соотбоо, Kai aXXa eiSt) kovovikcov Л1уаксоу.
Парабесура 2.13. 'Еотсо А= I 3 6
Кабак; ААТ=АТ=А, о л1Уакад A eivai KavoviKog.
2.11 М1ГАА1КО1 niNAKEE
'Еотсо о A evac; piyaSiKog лсуакад, evac; лсуакад Зт|ХаЗт| ре piyaSiKeg KaTaxcopioeig. Улеубир^етас
(Параурафод 1.7) oti, eav то z=a+b, eivai evac; piyaSiKog api6pog, тбте то z =a-bi eivai о сги£иуг)<;
тои. О cru£uyf|g evog piyaSiKov nivaKa А, лои урафетас j , eivai о лсуакад лои XapPaveTai ало tov A
naipvovrag to ou£vyf| тг|<; кабе катахсорюдд otov A. Eav, Зт]ХаЗт|, A=[ay], тбте А =[by], блои btJ = ау.
(ЕирРоЩоире то yeyovog аитб урафоутад А = [ау ].)
Oi Зио лра^ек; тт)д ауаотрофдд Kaiirig ou^uyiag avripeTaTi6evTaiyia олоюЗт|лоте piyaSiKO лсуака
A, Kai yia то сти^иут) ауаотрофо тои A xpipijuwoievcai о eiSiKog оирРоХюрбд Ан. Ат]Ха8г|,
АН = (А)Т = (А?)
ZripeicbveTai oti, eav о A eivai лрауратскбд, тбте АН=АТ. [MepiKa pip Xia хрт]01цолоюиу то oupPoXi-
орб A* avri тои Ан.]
[2 I 8» 5 — 3» 4 — 7» 1 Г2 ~ — 6’ "I
6i ' 1 - 4/ 3 + 2/J’ Тбте А" = + 3» 1 + 4« j •
EiSiKoi Tvnoi MiyaSiKcbv IIivAkcov: Ер рига vol, MovaSiaioL, KavoviKoi Шуакед
©ecopovpe eva piyaSiKO л^ака A. H oxeot] рета^и тои A Kai тои piyaSiKov cru^uyovg tod, Ah, oSriyei
oe pepiKa одраупка е13т| nivaKcov (та oлoia eivai avaXoya лрод та е(5т] tcov KavoviKcbv лсуаксоу лои
лертурауаре лю лаусо).
'Evag piyaSiKog л^акад A ovopa^eTai Eppmavog т| avri-Eppmavog, avaXoya це то eav
АН=А т[ Ан=-А.
Eivai фауерб oti о А=[ау] eivai Eppvciavog eav Kai povo eav та оирретр!ка oTOi%eia eivai ou£uyf|, eav
Зт]ХаЗт| то кабе av = aJt, ott|v оло1а лероттсоод то кабе Siayibvio OTOi%eio a„ ба лрёле1 va eivai
лраурат1кб. 'Opoia, eav о A eivai avTiouppeTpiKog, тбте то кабе Siaycbvio OTOi%eio ан=0. (Zripeicbve-
Tai oti о А ба лрёле{ va eivai тетрауамкбд eav AH=A r| Ah=-A.)
'Evag piyaSiKog л1уакад A eivai povaSiaiog eav AHA=AAH=I, eav Зт|ХаЗт|
AH=A-’.
ЕиуелсЬд о А ба лрёле1 алара1тг|та va eivai TeTpaycoviKog Kai avTioTpeyipog. ZripeicbveTai oti evag
piyaSiKog лгуакад A eivai povaSiaiog eav Kai povo eav oi ураррёд (отг|Хед) тои oxripaTi^ouv eva
op6oKavoviK6 cnjvoXo cog лрод то еосотерисб yivopevo piyaSiKcbv SiavuopaTCOv.
'Even; jiiyaSiKog nivaKag A XeyExai Kavovucoq eav avx^£xaxi0£xai це tov Ah, eav 8r|Xa8r|
AAH=AHA
(Епоцвусод о A 0a npEnsi va Eivai svag xsxpaycoviKog nivaKag.) О орюцод avxog avaysxai oxov opiopo
xcov прауцах1ксоу nivaKcov, oxav о A Eivai прауцах1код.
Парббвсуца 2.15. ©всорооцв xovg aKoXovOovg mya8iKovg nivaKsg:
[3
1 +2i
4 —7i
=['•" .y
(a) Me £7покб7гг|от|, xa 8iaycbvia oxoixfiia xou A Eivai прауцах1ка, evco xa сл)ццвхр1ка oxoixeia,
8r|Xa8r| xo l-2i це 1 +2i, xo 4+7i це xo 4-7i Kai xo -2i це xo 2i, Eivai цЕха^и xovg ov£vyr|. Ара
о A Eivai Eppixiavoi;.
(P) IloXXanXaoid^ovxag xov В це xov Bh о8т|уоицаох£ oxov I, 8r|Xa8r| BBH=I. Avxo vno8x|Xcbvsi
oxi snior|g BHB=I. Ара BH=B-1, лои ormaivsi oxi о В Eivai povaSiaioi;.
(y) npoKEipEvov va 8е1^ооц£ oxi о C Eivai KavoviKog, упоХоу^оУцв xovg CCH Kai CHC:
Kai opoia cHC = [4 ^44|. 4 64,| Acpov CCH=CHC, о щуа81код nivaKag C Eivai KavoviKog.
np£7C£i е8(Ь va ог|ц£1со0£1 oxi, oxav Evag nivaKag A Eivai прауцахскод, хохе о Epptxtavog Eivai о оиццЕхрь
код Kai о pova8iaiog Eivai о opOoyebviog.
2.12 AIAMEPIEMENOI IIINAKEE
Xpr|aiponoicbvxag sva оиохтща opi^ovxicov Kai KaxaKopvcpcov (8iaK£Koppsvcov) ураццеоу, цлороицЕ
va SiapspioovpE Eva nivaKa A oe вшцЕроуд nivaKfg, nov KaXovvxai vnonivaKEg (r| KfXia) xov A.
H EVKoXia nov napExei о 81ац£рюцод 8vo nivaKcov, yia napaSfiiypa xcov A Kai B, oe vnonivaKEg, Eivai
oxi xo апохЕХвоца Kanoicov npa^fcov oxovg A Kai В цпор£( va npoKvipEi EKXfXcbvxag xovg 8iacpopovg
vnoXoytopovg цЕха^б xcov vnomvaKcov, oncoq акрфсод 0a EKXfXovvxav Eav oi vnonivaKfq avxoi r|xav
xa apxiKa oxoixeia xcov 8vo nivaKcov. Avxo 8i£VKpivi^£xai mo кахсо, onov хРЛстФОЯО1е1та1 о crvpPoXi-
оц6<; А=[Ау] yia Eva 8iap£piop£vo nivaKa А це vnonivaKEi; Ау.
Aq упоОеооуце oxi oi A=[A(J] Kai B=[B(J] Eivai 8ia|i£pio|i£voinivaK£q це xovq i8iovq арЮцоод vnom-
vaKcov ураццеоу Kai oxr|Xcbv, Kai oxi oi avxioxoixoi vnonivaKfq exovv xo (8ю ц£у£0од. Тохе, npooOsxo-
vxaq xovq avxioxoixovq vnonivaKfq xcov A Kai B, 0a npoox£0ovv Kai xa avxioxoixa oxoixeia xovq, evco
noXXanXaoia^ovxai; xov ка0£ vnonivaKa xov А це Eva ар10цо k, 0a noXXanXaoiaoxEi Kai xo ка0£
oxoixeio xov це xo k. Епоцеусос;
^ln
Н лерштсоот] тои лоХХалХаошорои uivaKtov eivai XiyoTepo лросраугц;, соотбоо eivai aXr|0r|<;. Ag
илоОёооире, Xoucov, oti oi U=[Ulk] Kai V=[Vkj] eivai 5iapepiopevoi nivaKet;, tctoioi Лоте о apiOpdt;
tcov отт|ХЛу тои ка0е ололп/ака Ulk va loouTai pe tov aptOpo tcov ураррЛу тои ка0е ололгуака Vkj.
(Apa opi^eTai то ка0е yivopevo UlkVkj.) Тоте
’ f?ll ^2
^21 W22
_wmi wm2
^2л
6 7101)
WtJ = UltVh + Ul2V2j +... + U,pVpj
H албЗес^т] TOI) ларалаусо тилои yia tov UV eivai алХт|, aXXa Хелторерг|<; Kai ектеутц;, Kai acprjveTai
otov avayvci)OTT| cot; аокт|от| (ПрбрХт]ра 2.85).
TeTpaycoviKoi Aiapepiopevoi IKvaKeg
'Еотсо о M evat; 3iapepiopevo<; лгуакад. Тоте Хере oti о M eivai evat; TeTpaycoviKot; 8iapeptopevo<;
лгуакад, eav:
(i) О M eivai evat; TeTpaycoviKot; лгуакад.
(ii) Oi илолгуаке<; o%r|paTi£oi)v eva TeTpaycoviKO лгуака.
(iii) Oi 3iaycbvioi илол1уаке<; eivai ел1от|(; TeTpaycoviKoi лгуакед.
Oi 8i)o Tekei)Taie<; ouv0r|Ke<; XapPavouv %Лра eav Kai povo eav о apiOpdt; tcov opi^ovTicov ypappcbv
eivai о iSioc; pe tov apiOpo tcov катакбрисрсоу ypappcbv Kai oi ypappet; аитё<; TO7to0eTOi)VTai ouppeTpi-
ка.
At; 0ecopr|ooi)pe, yia ларабегура, Tout; 8vo ларакатсо Siapepiopevout; лгуакед:
"1 2 I 3 4 ! 5‘
1__1 LL J ‘J
9 8~] 7 6^ 5"
4 4<4 4 *4"
.3 5i 3 5 [ 3_
’1 2, 3 4i 5"
L-ILL J 1J
9 8 1 7 6l 5
4. _4J_4_ 4 1 4
3 5 J 3 3
О 8iapepiopevo<; TtivaKat; A 8ev eivai evat; TeTpaycoviKot; 8iapepiopevo<; 7tivaKa<;, ка0со<; о 8еитеро<; Kai
0 TpiTOt; 8iaytbvio<; i)7t07tivaKa<; 8ev eivai TeTpaycoviKoi. Алб tt|v аХХт], о 8iapepiopevo<; лп/ака<; В eivai
evat; TeTpaycoviKot; 8iapepiopevo<; лп>ака<;.
Aiapepiopevoi Aiaycbvioi IlivaKeg
'Еотсо о М=[Ау] evat; TeTpaycoviKot; 8iapepiopevo<; лп>ака<;, тётою<; Лоте oXoi 01 pT|-8tayAvtoi ололь
vaKet; va eivai pT]8eviKoi лгуакед, 8г|Ха8г| Ау=0 otov i^j. Тоте о M KakeiTai 6iaf.u:piai.u:voq Siaycbvioq
nivaKaq. MepiKet; cpopet;, ouppoXi^oupe eva тётою бюрерюрёуо 8iayAvio л{уака ypacpovTat;
M=diag(A11,A22,...,Arr) n M = A{] ® A22 +... + Arr
H от]рауг1к6тг|та tcov 8iap£piopEvcov 8iaycbvicov лп/аксоу syKEvcai ато oti t| aXysppa tov 8iapEpiaps-
vou л(уака auxva avayETai ott|v aXyEppa tcov pEpovcopsvcov илол1уаксоу. EuyKEKpipsva, Eav ило0Е-
aoupE отс to f(x) Eivai Eva noXucbvupo koi о M Eivai о лю лаусо 8iapEpiop£vog 8iaycbviog илол(уакад,
tote о f(M) 0a Eivai svag 8iapEpiapEvog 8iaycbviog л(уакад koi
/(Л/) = diag(/(^H),/(^2)....ДА„)
ЕлисХвоу, о M Eivai аутизтрвцлрод Eav koi povo Eav о ка0в Ay Eivai аутштрвцлрод koi, oe pia tetoio
ЛЕр[лтсоаг], о M’1 0a Eivai вл[сгг]д Evag бюрврюрвуод 8iaycbviog л(уакад koi
M 1 = diag^n1 > A22. • • • <A~l)
AvaXoya, Evag твтраусоускод SiapspiapEvog л(уакад Хвувтас diapepiopivoq avco rpiycoviKog nivaKaq
Eav oi илол(уаквд лов PpiaicovTai катсо ало тт| Siaycbvio Eivai pt|8eviko[ л(уаквд, evco ХЁувтас 8iapspi-
орвуод катсо-TpiycoviKog л(уакад Eav oi илол(уаквд лов PpiaKOVTai лаусо ало тт| Siaycbvio Eivai рт|8в-
vikoi лсуаквд.
Парйбпура 2.16. Na лроаЗюр[аЕТЕ notoi ало тоид акоХоиОоид твтрауамкоид SiapspiapEvoug
л(уаквд avco Siaycbvioi, катсо Siaycbvioi т| Siaycbvioi:
!1 2 । 01
3_ _4 । 5 I,
0 °"! 6J
(а) О A Eivai avco 8iaycbviog, асрои о илол(уакад лов ppioKETai катсо ало тт| Siaycbvio Eivai prjSE-
viKog.
(P) О В Eivai катсо TpiycoviKog, acpov 6Xoi oi илол(уакЕ<; лов ppicncovTai лаусо ало тт| Siaycbvio
Eivai pt|8eviko[.
(у) О C Eivai Siaycbviog, acpou oi катахсорктЕк; лои ppicncovTai лаусо koi катсо ало тт| Siaycbvio
Eivai pt|8eviko[.
(8) О D 8ev Eivai oute avco TpiycoviKoi, oute катсо TpiycoviKO<;. МаХюта, KavEvag aXXog 8tapEpi-
арод той D 8ev npoKEiTai va tov рЕтатрвуЕ! oe калош ало Tig 8ио аитвд popcpsg.
AYMENA ПРОВЛНМАТА
ПРОЕ0ЕЕН niNAKfiN KAI ВА0МПТОЕ ПОЛЛАПЛАЕ1АЕМОЕ
Л. Л- , fl -2 31 D Г 3 0 21
2.1. Aivovtoi oi nivaKEg A = К koi В = g ,. Na Ppeite тоид:
(a)A+B,(p) 2A-3B.
(а) ПроаОвтоирв та avriaToixa oroiXEia:
'Hi-? i:? i 5d
(Р) EkteXovpe то Ра0рсотб лоХХалХаосаорб Kai влвста -rqv npoo0Eoq nivaKcov:
»-‘М- -? -«][-» " -»]
(EqpBicbvBTai oti Eivai яротсрбтвро va лоХХалХаошооирв tov В це to -3 Kai va лро-
о0вооирв, лара va tov лоХХалХаосаооирв це to 3 Kai va acpaipEooupE. Аитб cruvq-
0co<; ецло5(£е1 rqv Epcpavioq Xa0cbv.)
2.2. Na Ppeite та x, y, z, t, блои 3^* ^r] = [-l 2r] + [z+r *3^]-
Грасроирв то ка0Е рвХо<; cot; pia ankq E^iocooq:
[3x 3y] _ Г x + 4 x+y + 6]
[3z 3c J “ [z + r-l 2r + 3 J
E^iacbvoupB рвта^и rout; tic; avTiaroiXEt; катахсорюЕк;, yia va лароирв то акбХои0о ouorqpa
TEoaapcov e^iocooecov:
3x=x+4, 3y=x+y+6, 3z=z+t-l, 3t=2t+3
q 2x=4, 2y=6+x, 2z=t-l, t=3
H Xvoq Eivai q x=2, y=4, z=l, t=3.
2.3. Na алобв^ЕТЕ то ©Ecbpqpa 2.1 (i) Kai (v): (i) (A+B)+C=A+(B+C), (v) k(A+B)=kA+kB.
Уло0ето1)це oti А=[^], B=[by], С=[су]. H anoSEi^q avayETai orqv anoSEi^q тои oti oi
avTiOTOixeg ij-KaraxcopioEit; ото ка0Е рЁХод Tqg ка0Е E^iocooqt; nivaKcov, Eivai ioEt;. [АлоЗеь
Kvuoups povo та (i) Kai (v), ка0со<; та илбХоша p£pq тои 0£сорт|рато<; 2.1 рлороиу va алойвь
Xtovv це ларбцою трбло.]
(i) Н у-катахсорют] тои А+В Eivai q а,^Ь1р Kai ара q ij-Karaxcbpioq тои (A+B)+C 0a
Eivai q (ay+by)+cy. Алб -rqv aXXq, q ij-Karaxcbpioq тои B+C Eivai q by+cy, Kai apa q ij-
катахсорип] тои A+(B+C) 0a Eivai q a1J+(b1J+c1J). 'Оцсо<;, yia apiOpovt; ото К, ictxuei
(atf + bv) + cy = av + (btj + Cy)
Елоцеусо<; oi (A+B)+C Kai A+(B+C) exouv TaurooqpEt; Tit; ij-катахсорюЕк;, Kai cot; ek
tovtoi) (A+B)+C=A+(B+C).
(ii) H ij-KaTaxcbpioq тои A+B Eivai q ау+Ь1Г Kai apa q к(ау+Ьу) 0a Eivai q ij-KaTaxwpioq
тои k(A+B). Алб -rqv aAXq, oi ij-KaraxcopiaEit; tcov kA Kai кВ Eivai oi kay Kai kby,
avTiOTOixa. Ei)vetob<; q ка^+кЬу 0a Eivai q ij-Karaxcbpioq тои kA+kB. 'Opcot;, yia api0-
povt; ото K, ioxuei
ktfly+b^kay+kby
ЕлорЁусо<; oi k(A+B) Kai kA+kB exouv TauTOaqpEt; nt; ij-KaTaxcopioEit;, Kai cot; ek tov-
tou k(A+B)=kA+kB.
ПОЛЛАПЛАЕ1АЕМОЕ niNAKflN
2.4. Na илоХоуюете тоид:
(а) Проо0етоире Tig avTioTOixeg KaTaxcopioeig кас лрообётоъре:
(р) ПоХХалХао1а£оире Tig avTioToixsg KaTaxcopioeig Kai лроо0ётоире:
= 24 + 9-21 + 10 = 22
(у) То yivopevo 5ev opi^exai orav о л{уакад ураррт|д Kai о лтуакад отт|Xr|g exovv Зюсроре-
TiKOug api0poug otoixeicov.
2.5. 'Еотсо oti оирРоЩоире це (rxs) eva rxs лп/ака. Алб та ларакатсо yivopeva nivaKcov, va
Ppeite та р£уё0т| ekeivcov лои opi^ovTai:
(a) (2x3)(3x4), (y)(lx2)(3xl), (e) (4x4)(3x3),
(P)(4xl)(lx2), (5)(5х2)(2хЗ), (от) (2X2)(2X4)
Ett|v ка0Е лЕрслтсоот] то yivopevo opi^eTai eav oi EocoTEpiKoi apiGpoi Eivai iooi, олоте to
yivopsvo 0a exei T0 рёу£0од tcov e^coTepiKcbv api0pcov отт) ЗеЗоцеуд oEipa.
(a) 2x4, (y) 3ev opi^ETai,
(P)4X2, (5)5x3,
(e) 5ev optical,
(от) 2x4
2.6.
'Еотсо A = * —i 1 Kai В =
0 J Na Ppeite тоид: (a) AB, (P) BA.
(a)
Ecpooov о A Eivai evag 2x2 Kai о В evag 2x3 л(уакад, то yivopevo AB ор(£ета1 koi
eivai evag 2x3 лтуакад. Tia va Ppovpe Tig катахсорюыд ott]v лрсотт| ypappf] too AB,
локХалХааш^оире avTioTOixa tt]v лрсотт] ypappq [1,3] too A pe Tig отт|Хед
of В, too В, cog акоХоб0сод:
0 “4j = p + 9 0-6 -4+18] = [ll -6 14
Tia va Ppovpe тсора Tig KaTaxcopioeig тт]д Зебтер^д ураррт|д too AB, лоХХалХаош-
^oupe тт| Зебтерт) ypappfj [2,-1 ] tod A pe Tig ovqXeg too B:
1 3]Г2 0 “4]_Г 11 "6 14 1
.2 -lJL3 -2 6_]-|_4-3 0 + 2 - 8-б]
ЕлоцЁУСод
Н” 1 -и]
(Р) То ц£у£0од тои В sivai 2x3 Kai то ЦЕувОод тои A Eivai 2x2. Oi eocotepikoi apiOpoi 3
Kai 2 Sev Eivai iooi, Kai ката ovvekeio to yivopsvo BA Sev opi^ETai.
Г2 3 -11 Г2 -1 ° 6
2.7. Na PpsiTE tov AB, onov A = . __ I;Kai 5 = 1 3 -5 1
L J L4 1 -2 2
Ecpooov о A sivai svag 2x3 лп/акад Kai о В Evag 3x3 nivaKag, to yivopEvo AB opi^ETai koi
Eivai Evag 2x4 nivaKag. ПоХХалХаосафоцЕ tic; ypappsg той А це Tig ottiXe; tov В yia va
napovps
[4+3-4 -2 + 9-1 0-15 + 2 12 + 3-21ГЗ 6 -13 13]
[8-2 + 20 -4-6 + 5 0+ 10- 10 24-2+loJ“[26 -5 0 32]'
2.8. NaPpeiWTOv?: [_] (Я [_т][4 5} « [2 -71[-3 5]-
(а) О лрсотод napayovra; Eivai 2x2 Kai о Sevtepo; 2x1, etoi to yivopsvo opi^ETai cog
Evag 2x 1 nivaKag:
(P) To yivojiEvo Sev opi^ETai, ка0сод о лрсотод ларауоутад Eivai 2x 1 Kai о SEVTEpog 2x2.
(у) О лрсотод ларауоутад sivai 1x2 Kai 0 SsvTspog 2x2, окоте to yivopsvo opi^ETai cog
svag 1 x2 лЬакад (ypappTjg):
[2. -7][ J 5] =[2 + 21, 12 -35] = [23, -23]
2.9. Eivai TtpocpavEg oti 0A=A0, onov та 0 sivai gT|8sviKoi nivaKsg (ps svSsyopsvcog SiacpopETiKa
psys0r|). Na Ppeite Tovg KivaKsg A Kai В це pr|-pr|8EviK£g KaTaxcopiosig, tetoiov; Лоте AB=0.
Еатш^ = []
.ка.8=[_‘
4]. Т6гвЛ2>=[®
2.10. Na ояоЗе^ете то ©Есоргща 2.2(i): (АВ)С=А(ВС).
'Еотсо А=[ац], B=[bjk], C=[ck,].'Еотсо, £л1от|д, AB=S=[sik], BC=T=[tj]]. Tote
sik = L aljbji Kai fji = Ё ьлси
z2(a</^*)c«
ПоХХалХаош^оутад tov S=AB це tov C, t| П-катахсория] too (AB)C 9a Eivai r|
J(1C1; + sacv +... + = £ злси =
*=i
Алб tt]v dXXr|, лоХЛалХаош^оУтад tov А це tov T=BC, t| П-катахсория] too A(BC) 9a Eivai r|
алг» + aaf2i + • • • + = Ё aijfji = Ё Ё ay(bjkcti)
Ta mo лаусо а9ро(ората Eivai ioa, 3r|Xa3f] та avTiOTOixa OTOixeia отоид (AB)C Kai A(BC)
Eivai iaa. Еирл£ра(уоир£, Xoinov, oti (AB)C=A(BC).
2.11. Na олоЗе^ете то 0£шрт]ра 2.2(ii): A(B+C)=AB+AC.
'Еотсо А=[ау], B=[bjk], C=[cjk].'Еотсо, £л(от|д, D=B+C=[djk], E=AB=[elk], F=AC=[flk]. Tote
4* = bjk + СЛ’ еЛ = Ё a()bjk< fii = ^2 ayCjk
Apa r| ik-катахсоркя] too л[уака AB+AC 9a Eivai r|
e* +f* = Ё aybJk + Ё 0^ = £ ay(bJk + cyi)
Алб tt)v aXXr], т| ц-катахсоркя] too л(уака AD=A(B+C) 9a Eivai r|
+ aa<*2k + + = £ aydJk = £ ay(bJk + cyi)
Еоцл£раоцат1ка A(B+C)=AB+AC, scpooov та avrioTotxa oroixeia Eivai ioa.
ANAETPOOOE
2.12. Na Ppeite tov avaoTpocpo too ko9e л(уака:
-<-[} "s «-[2 « 5]. C = [l.-3.5.-n ,D=[-f|
EavaypacpovpE тц ураццЁд too ko9e лгуака cog orr|X£g yia va лароицЕ tov avaoTpocpo too
л(уака:
(Ет)Ц£1сЬу£та1 oti BT=B. 'Evag тбтоюд лсуакад koXeitoi оицц£тр1кбд. Етщ£1С0УЕта1 £Л1ОТ|д oti о
avaoTpocpog too бюуиоцатод ураццдд C Eivai Eva Siavuopa отт|Хт|д, evco 0 avaorpocpog тои
SiavvopaTog отг|Хт|д D Eivai Eva Siavuopa ураццдд.)
2.13. Na аяобе^ЕТЕ то ©Есортща 2.3(iv): (АВ)Т=ВТАТ.
'Еотсо А=[ау] кт B=[bjk]. Тоте т| ij-катахсорют] тои АВ 0а Eivai т|
+ “аЬу + ...+ ainbmj
Аитт| Eivai Kai т| ji-катахсЬркп] (аут1отросрт| oEipa) тои (АВ)Т. Тсора т| отт|Хт| j тои В yivETai
т| ураццт| j тои Вт, Kai т| ураццт| i тои A yivETai т| ураццт| i тои Ат. Епоцёусо; т| у-ката%(Ьрюг|
тои ВТАТ 0а Eivai т|
bV....Мв«1 • аа...ai^]T = Ьуаа + byaa + ...+ Ь^а1т
EvvEncb; (AB)T=BTAT, acpov oi avTioToixs; KaTaxcopiosi; Eivai ice;.
ТЕТРАГПМКО1 niNAKEE
2.14. Na Ppeite tt| Siaycbvio Kai to ixvo; тои ка0Е nivaKa:
(a) Ta aroixEia ano vr|v navco арютЕрт| |iE%pi vr|v катсо Ss^ia ycovia tov A, avyKpoTOVv тг|
Siaycbvio tov A. Ta GTOi%Eia аута Eivai та alb a22, a33. Apa Kovrov, t| Siaycbvio; tov A
anapTi^ETai ano tov; api0pov; 1, -5 Kai 9. To ixvo; tov A Eivai to а0роюца tcov
Siaycbvicov otoixeicov, опоте
tr(A)=l-5+9=5
(P) H Siaycbvio; tov В anoTEXEnai ano tov; api0pov; 2, -7 Kai 2. П; ek tovtov,
tra(B)=2-7+2=-3
(у) H Siaycbvio; Kai to ixvo; opi^ovrai povo yia TETpaycoviKOv; nivaKE;.
2.15. 'Еотсо A = [J Kat еотсо f(x)=2x3-4x+5 Kai g(x)=x2+2x+11. Na Ppeite tov;: (a) A2,
(P) A3, (y) f(A), (5) g(A).
(«> ^=-=[i j][; 4]=[i-n ;]
m 4][_;
(y) ApxiKa avTiKa0iOTOvpE то x це tov A Kai тт| ота0Ера ото f(x) це tov 51, ХацРауо-
vTa; etoi
Л<> = ^-« + 5/ = 2[-^ -s]+5[J ?]
Err] oovexeio ekteXoope to Рабрсото noXXanXaaiaapo Kai Ёлепа rqv лрбобЕат] niva-
kcov:
-“H- uH W ->n]
(5) АупкабютоорЕ то x p£ tov A Kat тт] отабера ото g(x) pe tov 111, Kat ЁлЕпа onoXoyi-
£oops co; ф];:
U M J]-"[o >]
=u -:н‘" -M:]
A (poo о g(A) Eivai о pt|8eviko; лгуака;, о A Eivai pia pi£a too noXocovopoo g(x).
2.16. 'Еотсо A = -з]" PPe^Te ^va M-mSeviko 8iavoapa атт|Хт|; u = tetoio coots
Au=3u. (P) Na 7tEpiypdi|/£T£ 6Xa та SiavoapaTa тт]; Karqyopia; аотт|;.
(а) Ехпрат^ооре лрсота tt]v e^iocoai] nivaKcov Au=3u, Kai отт] oovexeio ypd(poops to
кабЕ рЁХо; coc; Eva pEpovcopEvo nivaKa (Siavoapa отт|Хг|;), co; акоХообсо;:
[1 -’]й=зШкютб1е[^+Л]=Н
E^iacbvoops та avTiaTOixa aroixEia Kai naipvoopE to e^f|; аоатт]ра e^iocooecov:
x + 3y = 3x ,
4x - 3y = 3y 4
2x - 3y = 0
4x - 6y = 0 ’I
2x - 3y = 0
To аоатт]ра avaysTat oe pia pr|-EK(poXiap£vr| ypappiKTj E^iacoai] p£ Soo ayvebaTOo;,
Kai co; ek tootoo exei алврюрюто api6po Xooecov. Tia va Ppoops pia pt|8evikt|
Xoai], бвтоорЕ, yia napaSEiypa, y=2, ояоте x=3. Eovekco; to u=(3,2)t Eivai Eva
ЕЯ1борт|т6 pt|-pt|8evik6 8iavoapa.
(P) Tia va ppoopE тт] yEviKTj Хоат], бЁтоорв у=а,6лоо то а Eivai pia ларарвтро;, Kai avri-
кабютоорЕ то y=a ott|v 2x-3y=0 yia va ndpoops х=2а- Ката aovEKEia, to
avanapioTa 6Xe; ti; Xooei;.
ANTIETPETIMOI niNAKES, ANTISTPO<I>OI
Г1 0 21 Г-н
2.17. Na Ssi^ETE oti oi A = 2 -1 3 Kai В = -4
L4 1 8j [ 6
2 2"|
0 1 Eivai avTioTpocpot.
-1 -1J
YnoXoyi^oops to yivopsvo AB, XapPavovTa;
[-11 +0 + 12 2 + 0-2 2 + 0 —2"| Г1 0 0"|
-22+4+ 18 4 + 0-3 4- 1 -3 = 0 1 о|=/
_44_4 + 48 8+0-8 8 + 1 -8J |_0 О 1J
Acpov АВ=1, цпорооцЕ va ооцпЕрауоуцЕ (©Есортща 3.15) oti ВА=1. Ката ovveneia, oi A Kai
В Eivai avriorpocpoi.
2.18. Na Ppeite tov avrioTpocpo, Ecpooov vnapxei, tov ка0£ nivaKa:
(aM = [* [J’’]. «[14]-
Xpr|oiponoiovp£ tov тупо yia tov avrioTpocpo evo; 2x2 nivaKa nov siSajiE orr|v Параурасро
2.9.
(a) BpioKOvjiE прсота tt)v | A|=5(2)-3(4)= 10-12=-2, Kai ott) ovvexeio avraXXaooovpE apoi-
Paia та 8iaycbvia cTOiyEia, naipvovps tov; apvrjTiKov; tcov pr|-8iaycbvicov otoixeicov
Kai noXXanXaoia^ovpE jie to 1/|A|:
-!][-; J]
(P) BpioKovjiE прсота tt]v |B|=2(3)-(-3)( 1 )=6+3=9, Kai ott| ovvexeio avraXXaooovpE ацоь
Paia та 8iaycbvia oTOixeia, naipvovps tov; apvr|TiKov; tcov pr|-8iaycbvicov otoixeicov
KainoXXanXaoia^ovjiEjiETo 1/|B|:
Hi Я
(у) BpioKovjiE прсота тт] |C|—2(-9)-6(3)= 18-18=0. Acpov |C|=0, о C 8ev exei avriorpocpo.
П 1 11 Г*1 xjl
2.19. 'Еотсо A = J 0 1 2 I. Na Ppeite tov 4*’ = I y2 Уз •
|_1 2 4j |_*i z2 z3J
ПоАЛапХаоса^оута; tov А це tov A’1 Kai E^iocovovraq tu; eweo катахсорюЕк; це ti; eweo
катахсорюЕЦ tov tovtotikov nivaKa I, о8т|уооцаотЕ ота Tpia паракатсо оооттщата Tpicbv
e^iocooecov це трЕЦ ano tov; ayvcborov;:
*i + Л + zi = 1
^+2^=0
xi + 2У1 + 4z, =0
x2+ y2+ z2 = 0
у +2z2 = l
x2 + 2уг + 4z2 = 0
*з + Уз + *3=0
Уз+2г2 =0
Xj+2>»3+4z3 = 1
Avvovra; та оооттщата co; про; tov; eweo ayvcboTov;, naipvov це
X]=0, У1=2, Z!=-l, x2=-2, y2=3, z2=-l, x3=l, y3=-2, z3=l
[0-2 11
2 3-2
(Парап]рг]стт]: То елбреуо кефаХасо Sivec eva алотеХеоратскб троло Хбот)д xcov Tpccbv ои-
отт|ратсоу.)
2.20. 'Еотсо oi А кас В аутсотрёфсрос лсуакед (це то сЗсо рёуеОод). Na Зес^ете отс о АВ eivac елсот)д
аутсотрёусрод кас (АВу’ЧГ’А'1. [Гиуелсод, це елаусоут], (A1A2...Am)'1=Am'1...A2'1A1'1.]
Хрт)осролоссоутад Tqv лрооетасрсотскбтт|та тои лоХХалХаосаороб лсуоксоу, ласруоире
(АВХЛ-’Л-1) = ЛСВВ-’М-1 =^-1 = АА~Х =1
(В~ХА~Х)(АВ) = В~Х(А~ХА)В = А~Х1В = ВГХВ = I
Елорёусод (АВ)‘1=В‘1А‘1.
2.21. Na урауете оХоурафсод тоид Scaycovcovg лсуакед A=diag(4,-3,7), B=diag(2,-6), C=diag(3,-
8,0,5).
ТолоОетобре тоид ЗеЗорёуоид арсОробд отт| Scaycovco кас та рт)8еуска отсд илбХослед 0ёоесд:
2.22. 'Еотсо A=diag(2,3,5) кас B=diag(7,0,-4). Na рресте тоид:
(а) АВ, А2, В2,(Р) f(A), блои f(x)=x2+3x-2, (у) А'1 кас В'1.
(а) То ycvopevo tcov лсуоксоу А кас В eivac eva<; Scaycovcog лсуакад лои XapPaveTac лоХ-
ХалХаоса^оУтад тсд avxioTocxeg катахсорсоесд. 'Етос,
AB=diag(2(7), 3(0), 5(-4))=diag( 14,0,-20)
Та тетраусоуа А2 кас В2 XapPavovTac vvcbvovrag ото тетраусоуо tt|v ка0е Scaycbvca
катахсорсот). 'Етос,
A2=diag(22,32,52)=diag(4,9,25) кас B2=diag(49,0,16)
(Р) О f(A) eivac 6vag Scaycovcog лсуакад лои XapPaveTac илоХоус^оутад то f(x) ott|v ка0е
Scaycbvca катахсорсот]. 'Exovpe
f(2)=4+6-2=8, f(3)=9+9-2=16, f(5)=25+15-2=38
Evvencbg f(A)=diag(8,16,3 8).
(у) О аутсотрОфО<; evd<; Scaycovcov лсуака eivac елсот|<; evag Scaycovcog лсуакад лои XapPa-
veTac ласруоутад tov аутсотрофо тт)д ка0е Scaycbvcag катах(Ьрсот)д. Еиуелсод
A’,=diag^~ аХХа о В Sev exec аутсотрофо, каОсод илархес eva 0 отт| Scaycovco.
2.23. Na Рресте eva 2x2 лсуака А тётосо сооте о A2 va eivac Scaycovcog аХЛа о A va pi]v eivac.
'Еотсо -^ = [3 т6те -42 = [д ?1»£ivai Scaycovcog.
2.24. Na Ppeite Eva avco TpiycoviKO nivaica A tetoio coote A3 — j.
ф ф[; »] „и л>=[$ ф »]-[• '^].T6z£
x3=8, олоте x=2, кас z3=27, олоте z=3. KaToniv илоХоу(^оиц£ tov A3 %pr|aiponoicbvTa<; та
x=2 Kai y=3:
Ара 19y=-57, r| y=-3. Еицл£раоцат1ка, = [о з]’
2.25. 'Еотсо oi A=[ay] Kai B=[by] avco TpiycoviKoi nivaKEi;. Na ало8£1^£Т£ oti о AB Eivai ел1отц; avco
TpiycoviKoi; це Siaycbvio vr|v a, |b| i,a22b22,. .,annbnn.
'Еотсо AB=[cy]. Tote ctJ = ^k^,kbkj Kai c„ = ^k=\a‘^k, УлобЁтоицЕ oti i>j. Tote, yia
олою8т|лоте k, i>k r| k>j, etoi coote eite alk=0 eite bkj=0. Evvekcoi; cy=0, Kai о AB Eivai avco
TpiycoviKoi;. YnoOETovrai; тсора oti i=j, tote, yia k<i ехооце alk=0, evco yia k>i ехооце bkl=0.
Еяоцеусо<; с^ЭцЬ,,, 6лсо<; ^цтобоацЕ. [Auto anoSEucvoEi Eva ц£ро<; тои 0Есорг|цато<; 2.5(i),
evco oi лЕрслтсооЕк; tcov А+В Kai kA acprjvovTai otov avayvcboTTj co<; аокт|О£1<;.]
EIAIKOI ТУПО1 nPATMATIKQN niNAKTlN: EYMMETPIKOI KAI OP0OFQNIOI
niNAKEE
2.26. Na npooSiopioETE ката лбоо о KaOEvai; ало тои<; ларакатсо nivaKEi; Eivai т| oxi ооцц£тр1кб<;,
5т|Ха5г| АТ=А, r| аутюицц£тр1кб<;, 8т|Ха8т| Ат=-А:
(а)Л = -7 8 21, (/?) В= Г-4
L 1 2 -4J [/3
4 -31
0 5 •
-5 0J
« 4° о о]
(а) Me Еяюк6лг|от|, та ооццЕтрска OToixeia (та KaOpEcpTiopeva EiScoXa отт| Siaycbvio)
Eivai то -7 це то -7, то 1 це то 1 Kai то 2 це то 2. EvvEncbi; о A Eivai ооц|1£тр1к6<;, асроо
та оиц|1Етр1ка OToixeia Eivai ioa.
(Р) Me Еяюк6лг|от|, 6Ха та Siaycbvia oToixEia Eivai 0, Kai та ооц|1£тр1ка OToixEia, 8т|Ха8т|
то 4 ц£ то -4, то -3 це то 3 Kai то 5 це то -5, Eivai цЕта^б тои<; аутЮвта, Kai со<; ек
тобтои о В Eivai аутюицц£тр1к6<;.
(у) Асроб о С 8ev Eivai тЕтрауамко<;, 8ev Eivai о6те оицц£тр1ко<; о6те аутюиццЕтр1ко<;.
2.27. Na Ppeite то х Kai tov В, бяои о В = ^2х- 3 х + 1 ]£3vai
Е^юсоуооце цЕта^б тои<; та оиццЕтриса OToixEia х+2 Kai 2х-3, Xappavovrai; 2х-3=х+2 f| х=5.
Ара«=[«
2.28. 'Еотсо о A evag avOaipETog 2x2 (лрауцат1кбд) opOoycbviog nivaKag.
(a) Na алобе^ЕТЕ oti, Eav т| (a,b) Eivai т| лрсотт] ypappi) тои A, tote a2+b2=l Kai
Ч-: И < "[: 4
(Р) Na алдбЕ^ЕТЕ то ©Есортцла 2.7: Па калою лрауцатисб apiOpo 0,
, Г cos0 sin£?1 , jFcosfl sin£?1
— |_-sm0 cosflj — |_sin0 -cosflj
(а) УлоОетоуце oti T] 5eutept| ypappi) tov A Eivai to (x,y). KaOcbg oi ураццбд tov A o%r|-
paTi^ovv Eva opGoKavoviKo ovvoXo, naipvovpe
a2+b2=l, x2+y2=l, ax+by=0
'Opoia, oi отг|Х£д ЕЛ1от|д oxripaTi^ovv Eva opGoKavoviKo ovvoXo, etoi
a2+x2=l, b2+y2=l, ab+xy=O
Елоцвусод x2=l-a2=b2, ало блоо x= + b.
ПЕр1лтсоат| (i): x=b, dpa b(a+y)=O, олоте y=-a.
Пер1лтсоот| (ii): x=-b, dpa b(y-a)=O, олоте y=a.
Avto oripaivEi oti, блюд ^т|тобоацЕ,
Ч-»«] * 4; -‘]
(P) Acpov a2+b2=l, ExovpE -l<a<l. 'Еотсо a=cos 0. Tote b2=l -cos2 0, олоте b=sin 0. Avto
ano6EiKvvEi Kai то ОЕсбртцла.
2.29. Na Ppeite Eva 2x2 opOoycbvio лгуака A tov оло1оу t] лрсотт] ypappi) va Eivai Eva (Oetiko)
лоХХалХаою tov (3,4).
f3 4>l
KavoviKonoiovpE to (3,4) yia va ларооцЕ то I I. Tote, ало то ПрбрХтцла 2.28,
440 * Н 4}
2.30. Na Ppeite Eva 3x3 opOoycbvio л^ака P tov onoiov oi ббло лрсотЕд ураццбд va Eivai лоХХа-
лХаош tcov U]=(l, 1,1) Kai u2=(0,-l,l), avTiowixa. (Ei]MEi<bvETai oti, блсод алагсЕГсац та U]
Kai u2 Eivai opOoycbvia.)
BpioKovpE лрсота Eva цт]-цт]6еу1к6 6idwopa u3 opOoycbvio лрод та U] Kai u3, yia ларабЕгу-
ца to (e^cotepiko yivopEvo) u3=u]xu2=(2,-1,-1). 'Еотсо А о лп/акад tov оло1оу oi ураццбд
Eivai та U], u2, u3, Kai еотсо P о лЬакад лоо XapPdvETai KavoviKonoicbvrag Tig ypappsg tov A.
Tote,
Г» 1 И Г1/Л 1/Л 1/Л]
Я = I 0 — 1 1 каг Р = О -1/Л 1/Л
L2 -I -ij L2/T6 -1/76 -1/V5J
М1ГАА1КО1 niNAKEL: EPMITIANOI KAI MONAAIAIOIIIINAKEE
[a _ с,- т _i л-"] Г 2 — 3l 5 + 8i"|
6 + 7ifi + 8iJ’ (0) Л = -4 3-7i
YnEvSupi^ETai oti AH = AT, о сгифутц; avaoTpocpot; тои A. Елорёусос;
Нг-2 "»:] з'А -']
2.32. Na берете oti о A = ^3~ J 2 ] £ivai pova6iaio<;.
Oi ypappet; too A o%T|paTi^ouv eva op0OKavoviK6 ouvoXo:
(Н^ННЦ'МНН-1
G_|4O.(4._>+H=(|i+0+(4.0=o
Euvenax; о A eivai povabiaio;.
2.33. Na алобе^ете то avaXoyo тои 0есорт|рато<; 2.6 yiaTout; piya6iKOu<;:'Еотсо о A evat; piya6iKO<;
TtivaKa;. Тоте та ак6Хои0а eivai ioo6uvapa: (i) О A eivai pova6iaio<;. (ii) Oi ураррё; too A
axnpaTi^ouv eva op0OKavoviKO ouvoXo. (iii) Oi отт|Хе<; too A oxqpaTi^ouv eva op0OKavoviKO
ouvoXo.
(H an66ei^r| eivai axe66v r| i6ia pe tt|v алобеф] лои PpiaKCTai evTo; тои Парабесуратос;
2.12 yia tt|v лерслтсоот] блои о A eivai evat; 3x3 лраурат1ко<; лгуакас;.)
Улеу0ир1^ета1 oti та 6iavuopaTa ubu2.. ..u,, otov Cn o%T|paTi^ouv eva op0OKavoviKO ouvo-
Xo eav eivai pova6iaia 6iavuopaTa, opGoycbvia цета^и тои<;, олои то еосотерисо yivopevo otov
Cn opi^eTai ало tt|v
(fll. a2> • • • • ал) • (^1 • ^2> • • • • = Ojii + 02^2 + • • • + a„b„
Улобётоире oti о A eivai pova6iaio<;, Kai oti oi R|,R2,...,Rn eivai oi ypappet; too. Тоте oi
RtT,К?,...,R? 0a eivai oiотт|Хе<; тои Ан.'Еотсо тсора ААн=[су]. Me лоХХалХаоюорб л™а-
kcov, с1} = R'Rj = Rt • Rj. Ecpooov о A eivai pova6iaio<;, ё/оире AAH=I. ПоХХалХаош^оУтас;
tov А pe tov Ан кои e^iocbvovrag tt|v кабе ката/сорки] су pe tt|v avrioToixn ката/сорки] otov I,
обг|уовраоте orig ларакатсо n2 e^iocboeig:
R(-Ri=1, R2-R2=l, Rn-Rn=l koi RfRj=l, yia i*j
Apa Xoutov oi ypappeg too A eivai povaSiaia SiavvopaTa, opQoycbvia рета^и тоид, Kai cog ek
tovtov oxnpari^ovv eva opQoKavovuco ovvoXo Siawoparcov. 'Opoia, r| ovv0t|kt| AtA=I Sei-
%vei oti oi отт|Хед тои А ел1от|д ox^pari^ovv eva opQoKavovuco ovvoXo Siawoparcov. Етшгрб-
обета, каОсод то ка0е Рлра eivai аутютрелто, то avriorpocpo eivai ел1от|д аХг|0ед. Авто ало-
SeiKvvei Kai то Оесортща.
AIAMEPIEMENOI IIINAKEE
2.34. Oecopeiore тоид ларакатсо Siapepiopevovg лгуакед (oi олою1 eivai Siapepiopoi тои iSiov л1-
уака):
[1 ~21 ° 31 Г1__-_2_0_;_1__31
2_ _ _3 • 5 _7_] -2 I, (т?) Г2_ _ _3_ 5 [_7_ -2 1
3 Я4 5^ 9J [3 1 < 5 9J
Na Ppevre то рёуеОод тои ка0е Siapepiopevov л1уака, каОсод ел1от|д Kai то рёуеОод тои ка0е
илолгуака.
(а) О Siapepiopevog лсуакад e%ei Svo ураррёд nivaxcov koi Tpeig отт|Хед nivaKcov, dpa to
рёуеОод tod eivai 2x3. Ta peye0r| tcov илолгуаксоу eivai 2x2, 2x2 Kai 2x1 yia tt|v
лрсотт| ypappr|, Kai 1 x2, 1 x2 Kai 1 x 1 yia тт| 5еитерт|.
(P) To peyeOog tod Siapepiopevov лгуака eivai 3x2, evco та peye0r| tcov илолгуаксоу eivai
1 x 3 Kai 1 x 2 yia tt|v KaOepia ало Tig Tpeig ypappeg.
2.35. XprjoiponoicbvTag лоАЛалХаоюоро илолгуаксоу, va илоХоу1оете tov AB, олоо
Г1 21 я ri 2 з; ii
А = I 3 4i0 Kai В = l_4 _5_
[О 0 ] 2J [О 0 0 [ 1J
ЕбсоЛ = g] Ка1 В= [о^з 7^67ЮиО1Е,Р>6, R, S, Т eivai oi 8е8орёуо1илолгуакед, evco
oi 0|х2 Kai 0|ХЗ eivai oi pr|5eviKoi лгуакед tcov evSeiKwopevcov Oeoecov. Елорёусод
2.36. 'Еотсо M=diag(A,B,C), олоо A = B=[5], C=^ j. Na Ppevre tov M2.
Ecpdoov о M eivai Siapepiopevog Siaycbviog, vycbvoupe ото rerpdycovo tov ка0е илолгуака:
4“ *]
ЁТО1
ПО1К1ЛА ПРОВЛНМАТА
2.37. 'Еотсо та f(x) Kai g(x) 5ио яоХосоуица, Kai еотсо о A Eva<; TETpaycoviKoc; nivaKac;. Na аяобЕ^Е-
т£ oti:
(a) (f+g)(A)=f(A)+g(A),
(P) (fg)(A)=f(A)g(A),
(y) f(A)g(A)=g(A)f(A).
УяобЁтооцЕ oti f(x) = ^=|a(x' Kai g(x) = ^jxJ
(а) ПрообЁтоутас; tu; Svvapsic; too x tcov ояокоу oi ооутеХеотёс; Eivai 0, цяороицЕ va
ОЯОбЁОООЦЕ OTI r=S=n. TOTE
_ /(x) + g(x) = E(a/ + fey
Еяоцеусос; <=i
(/ + gM = + bt)A‘ = f M' =/И) +
/=1
(P) 'Exovpe f(x)g(x) = . Tote
fWgW = = E^/,+y = (ЛХЯ)
(у) Хрт]01цояо1сЬутас; tt^v f(x)g(x)=g(x)f(x), ёхооце
f(A)g(A)=(fg)(A)=(gf)(A)=g(A)f(A)
AAYTA ПРОВЛНМАТА
АЛГЕБРА niNAKftN
Та ПрорХтщата 2.38-240 ауасрЁроута! orovc; акбХообоос; ягуокес;:
В
Ц ?]•
2.38. Na Ppeite tov?: (a) 5A-2B, (P) 2A+32B, (y) 2C-3D.
2.39. Na Ppeite toix;: (a) AB Kai (AB)C, (P) BC Kai A(BC). [Er|p£icbv£Tai oti (AB)C=A(BC).]
2.40. Na Ppeite tov<j: (a) A2 Kai A3, (P) AD Kai BD, (y) CD.
2.41. Na Ppeite tov<j: (a) Ат, (P) Вт, (у) (AB)T, (5) ATBT. [Er|p£icbv£Tai oti AtBt*(AB)t.]
Ta ПрорХтщата 2.41 Kai 2.42 avacpEpovrai otov<; ларакатсо л(уак£<;:
H"-:]. -[PH-} «[-]
2.42. Na Ppeite toixj: (a) 3A-4B, (P) AC, (у) BC, (5) AD, (e) BD, (от) CD.
2.43. Na Ppeite tov<j: (a) AT, (P) ATB, (y) ATC.
2.44. 'Еотсо A. Na Ppeite Eva 2x3 л^ака В jie 6iaK£KpipEV£<; pr|-pr|6£viKE(; катаусор{о£к;, tetoio
coote AB=0.
[al a2 a3 <*4*1
Z>, b2 b3 b4 . Na Ppeite toix; e^, e2A,
c, c2 c3 c4 J
e3A.
2.46. 'Еотсо е=[0,...,0,1,0,...,0], блои то 1 Eivair| i-ooTi) катаусбрют). Na Sei^ete oti:
(a) e1A=Al, r| i-ooTi) ypappi) too A.
(P) BejT=Bj, r| j-ooTT| отт|Хг| too B.
(y) Eav e1A=elB, yia ка0£ i, tote A=B.
(5) Eav AejT=BejT, yia ка0£ j, tote A=B.
2.47. Na алобЕ^ЕТЕ то 0£сбрт|ра 2.2 (iii) Kai (iv): (iii) (B+C)A=BA+CA, (iv) k(AB)=(kA)B=A(kB).
2.48. Na алобЕ^ЕТЕ то 0£сбрт|ра 2.3: (i) (A+B)T=AT+BT, (ii) (AT)T=A, (iii) (kA)T=kAT.
2.49. Na 6е1^£те oti: (a) Eav о A Eysi pia pr)6£ViKfj ypappi), tote Kai о AB 0a Eysi pia pt|6evikt|
ypapprj. (P) Eav о В Ey£i pia pr|6£viKf| отт|Хг|, tote Kai о AB 0a Ey£i pia pt|6evikt| ott|Xt|.
TETPAFQNIKOIIIINAKEE, ANTIETPOOOI
2.50. Na Ppeite тц 6iaycbvio Kai to iyvo<; тои Ka0£v6<; ало toix; ларакатсо nivaKEc;:
(оМ=[з 4 -?]. w,=[« j 1]. (,) c=[; д -*]
Та ПрорХт|рата 2.50-2.52 avacpEpovrai oroix; a = "1 ]’Д = [ 1 -б]’M = [з -г]'
2.51. Na Ppeite toix;: (a) A2 Kai A3, (P) f(A) Kai g(A), блои
f(x)=x3-2x2-5, g(x)=x2-3x+17.
2.52. Na Ppeite тоид: (a) В2 Kat В3, (P) f(B) Kat f(B), onou
f(x)=xz+2x-22, g(x)=x2-3x-6.
2.53. Na Ppeite Eva pr|-pr|5EviKd Siavuopa orr|Xr|g u, tetoio coote Mu=4u.
2.54. Na Ppeite tov аутютросро tov Ka0£v6g ало тоид паракатсо nivaKEg (scpocrov unapxei):
^-[s з} '-[« ’]• C-[-2 з} D-[« -з]
2.55.
Na Ppeite тоид avriorpocpoug tcov A
2.56. Yno0£TOvrag oti о A Eivai аутютрвцлрод, va Sei^ete oti Eav AB=AC, tote B=C. Na Scooete
sva napaSsiypa Evog pr|-pr|5EviKOU nivaKa A tetoiou coote AB=AC aXXa B*C.
2.57. Na Ppeite 5vo 2x2 аупатрЕцлроид nivaKEg А каг В yia тоид onoioug A+B#0 Kai о A+B 5ev
Eivai avrioTp£\|/ipog.
2.58. Na Sei^ete oti: (a) О A Eivai аутютрЁцлрод Eav Kai povo Eav о AT Eivai avrioTp£\|/ipog. (P) Oi
npa^Eig тт]д avrioTpo(pf|g Kai тт]д avaoTpo(pf|g avripETaTiOsvrai, 5т|Ха5т| (AT)'1=(A'1)T. (y) Eav
о A exei pia pt|5evikt| ypappq f| pia pt|5evikt| отт|Хг|, tote 5ev Eivai avrioTp£\|/ipog.
AIAHINIOI KAI TPirftNIKOI IIINAKEE
2.59. 'Еотсо A=diag(l,2,-3) Kai B=diag(2 -5,0). Na Ppeite тоид:
(a) AB, А2, В2, (P) f(A), блои f(x)=x2+4x-3, (y) A-1 Kai B-1.
2.60. 'Еотсо 4 = 2]ка1В=^о 1 1 J. (a) Na Ppeite tov An. (P) Na Ppeite tov Bn.
2.61. Na Ppeite бХоид тоид лрауратисоид TpiycoviKoug nivaKEg A yia тоид onoioug A2=B, блои:
<“)»=[$ »]•(»'=[{ 4}
2.62. 'Еотсо = [о *]* РРе(те бХоид тоид apiOpoug k yia тоид олоюид о A Eivai pia pi^a тои
noXucovupou:
(a) f(x)=x2-7x+10, (Р) g(x)=x2-25, (у) h(x)=x2-4.
2.63. 'Еотсо в = [ * 0 . Na Ppeite Eva nivaKa A tetoio coote A3=B.
[_26 27J
Г1 8 51
2.64. 'Еотсо В = 0 9 5 . Na Ppeite Eva TpiycoviKd nivaKa A p£ 0ETiK£g SiaycbviEg KaTaxcopioEig,
Lo 0 4J
TETOIO COOTE A2=B.
2.65. Xprioiponoicbvrag povo та OTOi%eia 0 Kai 1, va Ppeite tov apiOpo tcov 3x3 nivaKCOv oi onoioi
eivai: (a) 5iaycbvioi, (P) avco TpiycoviKoi, (y) pi-iSidC.ovTeg Kai avco TpiycoviKoi. Na yeviKevoeTe
yia nxn nivaKeg.
2.66. 'Еотсо Dk=kl, о TtivaKag-cruvreXEOTfig nov avrjKei otov apiOpo k. Na Зе^ете oti:
(a) DkA=kA, (P) BDk=kB, (y) Dk+Dk'=k+k', (3) DkDk'=Dkk'.
2.67. УяоОеоте oti AB=C, onov oi A Kai C eivai avco TpiycoviKoi.
(a) Na Ppefre тоид 2x2 pT|-pr|5eviKovg nivaKeg А, В, С, onov о В 3ev eivai avco Tpiycovi-
кбд.
(P) YnoOeTovrag oti о A eivai Kai аупотрёцдцод, va берете oti о В npenei eniorig va eivai
avco TpiycoviKog.
EIAIKOI TYIIOI nPArMATIKftN UINAKftN
2.68. Na Ppefre та x, y, z тётоих сооте о A va eivai оуццетрпсод, onov:
(a) A = p 5 jjj, (ft) A= P z
2.69. YnoOeTovrag oti о A eivai evag тетрауамкод nivaKag, va ведете oti: (a) о A+AT eivai ovppe-
TpiKog, (P) о A-AT eivai avriovppeTpiKog, (у) A=B+C, ояои о В eivai сшццетрскбд Kai о C
avTiovppeTpiKog.
2.70. Na урауете tov A cog aOpoiopa evog ovpperpiKov nivaKa В Kai evog avriovppeTpiKov nivaKa C.
2.71. YnoOeTovrag oti 01A Kai В eivai ovppeTpiKoi, va ведете oti 01 ларакатсо eivai eniorig ovppe-
TpiKoi:
(a) A+B, (P) kA, yia ояоюЗт|яоте apiOpo k, (y) A2, (3) An, yia n>0, (e) f(A), yia олоюЗт|лоте
noXvcbwpo f(x).
2.72. Na Ppefre eva 2x2 opOoycbvio nivaKa P, tov onoiov т| лрсотт) ypappf| va eivai eva noHanXdoio
tov:
(a) (3,-4), (P) (1,2).
2.73. Na Ppefre eva 3x3 opOoycbvio nivaKa P, tov onoiov 013vo прсотед ураццёд va eivai noHanXa-
01a tcov:
(a) (1,2,3) Kai (0,-2,3), (P) (1,3,1) Kai (1,0,-1).
2.74. YnoOeTovrag oti 01A Kai В eivai opOoycbvioi nivaKeg, va берете oti 01 AT, A-1 Kai AB eivai
eniorig opOoycbvioi.
2.75. П0101 anoTovgaKoXovOovgnivaKegeivaiKavoviKoi 4 = Г’ з]’Л=[2 з]’С= | 1 1 ’
М1ГАД1КО1 niNAKEE
2.76. Na Ppeite тоид лрауцатисобд apiOpoug x, y, z yia тоид олоюид о A Eivai EpipiTiavog, блои
[3 x + 2i
3-2i 0
yi \-xi
yi
2.77. УлоОЁтоутад oti о A Eivai Evag piyaSiKog nivaKag, va Sei^ete oti oi AAh koi A11 A Eivai Eppi-
Tiavoi.
2.78. 'Еотсо о A Evag TETpaycovucog nivaKag. Na Sei^ete oti: (a) о A+AH Eivai EppiTiavog, (P) о A-
AH Eivai avTi-EppiTiavog, (у) A=B+C, блои о В Eivai EppiTiavog Kai о C avTi-EppiTiavog.
2.79. Na лрообюрюЕТЕ лою1 алб тоид ларакатсо nivaKEg Eivai povaSiaioi:
Л = [л/2 1 + 0’ С = ?[1 + | _|'+( О+']
2.80. УлоОЁтоутад oti oi A Kai В Eivai povaSiaioi, va Sei^ete oti oi Ah, A'1 Kai AB Eivai £литт|д
povaSiaioi.
2.81. Na лрообюрсоЕТЕ лою1 алб тоид акбХоибоид nivaKEg Eivai KavoviKoi:
-h4' ’]•
AIAMEPIEMENOI IIINAKEE
2.82.
'Еотсо
(a) Na Ppeite tov UV yprioiponoicbvraq лоХХалХаошоцб unonivaKcov.
(P) Eivai oi U Kai V SiapEpiopsvoi Siaycbvioi лЬакЕд;
(y) Eivai о UV SiagEpiogEvog Siaycbviog;
2.83. Na SiapfpioTE tov KaOsva алб тоод ларакатсо лЬакЕд, etoi coote va ц£татрал£( oe Eva ТЕтра-
ycoviKO Siaycbvio л(уака це боо to SuvaTO лЕрюобтЕроод Siaycbvioug илол(уак£д:
2.85. Tia tov ка0£ л1уака M ото ПрбрХтща 2.84, va Ppeite tov f(M), блои f(x)=x2+4x-5.
2.86. Уло0еоте oti oi U=[Ulk] Kai V=[Vkj] sivai 8iaji£pio|iEvoi л1уак£<; yia тоид олоюид о UV opi-
^Eiai Kai о api0|idg tcov оттешу тои ка0£ илолЬака Ulk laovrai це tov apiOpo tcov ураццсоу
той ка0£ wtOTtivaKa Vkj. Na Sei^ete oti UV=[Wij], олои Wy
2.87. Уло0Еот£ oti oi M Kai N sivai 8ia|ispio|i£voi 8iaycbvioi л1уак£д олои oi avTioTOi%oi илол1уа-
квд exouv to i8io |iEy£0og, yia ларабвгуца M=diag(Al) Kai N=diag(Bl). Na Sei^ete oti:
(i) M+N=diag(A,+B1),
(ii) kM=diag(kA,),
(iii) MN=diag(A,B,),
(iv) f(M)=diag(f(A,)), yia олою8т|лоте лоХисоуицо f(x).
AriANTHEEIE AAYTQN FIPOBAHMATQN
ЕицРоХюцдд: о A=[R,; R2; ...Rn] ауаларюта tov л(уака А блои R, yia ка0£ i ало 1 Ecog n, блои i r|
OEipa тои л{уака.
2.38 . (a) [-5,10; 27,-34], (b) [17,4; -12,13], (c) [-7,-27,11; -8,36,-37]
2.39 (a) [—7,14; 39,-28], [21,105,-98; -17,-285,296];
(b) [5,-15,20; 8,60,-59], [21,105,-98; -17,-285,296]
2.40 (a) [7,-6; -9,22], [-11,38; 57,-106],
(b) [11,-9,17; -7,53,-39], [15,35,-5; 10,-98,69]; (c) not defined
2.41. (a) [1,3; 2,-4], [5,-6; 0,7], [5,-5; 10,-40]
2.42. (a) [-13,-3,18; 4,17,0], (6) [-5,-22,4,5; 11,-3,-12,18],
(c) [11,-12,0,-5; -15,5,8,4], (d) [9; 9], (e) [11;* 9], (/) not defined
2.43. (fl) [1,0; -1,3; 2,4], (6) [4,0,-3; -7,-6,12; 4,-8,6], (c) not defined
2.44. [2,4,6; -1,-2,-3]
2.45. [a„ a2, a3, a4], [6„ b2, b3,b4], [c„ c2, c3, c4]
2.50. (a) 2, -6, -1. 1г(Л) = -5, (6) 1,1, -1, tr(B) = 1, (c) not defined
2.51. (a) [-11,-15; 9,-14], [-67,40; -24,-59], (6) [-50,70; -42, -46], g(A) = 0
2.52. (a) [14,4; -2,34], [60,-52; 26,-2000], (6) f(B) = 0, [-4, 10; -5,46]
2.53. и = [2a, a]r
2.54. [3,-4; -5.7], [~f,2; 2,-1], not defined, [1, - j; 2,-5]
2.55. [1, 1,-1; 2, —5,3; -1.2,-1], [1,1,0; -1,-3,1; -1,-4,1]
2.56. A = [1,2; 1,2], В = [0,0; 1,1], C = [2,2; 0,0]
2.57. A = [1,2; 0,3]; В = [4,3; 3,0] I
2.58. (c) Hint: Use Problem 2.48
2.59. (а) АВ = diag(2, -10,0), A2 =diag(l,4,9), В2 = diag(4,25,0);,
(В) f(A) = diag(2,9,18), (с) А~' = diag(l,|, -|), С-1 does not exist
2.60. (а) [1.2"; 0,1], (6) [1, п, |л(л - 1); 0,1, л; 0,0,1]
2.61. (а) [2,3; 0,5], [-2,-3; 0,-5], [2,-7; 0,5], [-2,7; 0,5], (b) попе
2.62. (а) к = 2, (Ь) к = -5, (с) попе
2.63. [1,0; 2,3]
2.64. [1,2,1; 0,3,1; 0,0,2]
2.65. Гta va eivai evag nivaKag ava> xpiycoviKog 0a npenei 6Xeg oi Kaxaxcopiaeig nov PpioKovxai ката» ano П]
Siaycovio va eivai 0, ev6 yia va eivai pr]-i3ia^cov 0a npenei 6Xeg oi Siaycovieg Kaxaxwpiaeig va eivai 1.
(a) 8(2-), (p) 26(2”'"l)/2), (y) 2’(2”,”-|,/I).
2.67. (а) Л = [1,1; 0,0], В = [1,2; 3,4], С = [4,6; 0,0]
2.68. (a) x = 4, y = l,z = 3, (6) x = 0, у = -6, z any real number
2.69. (c) Hint: Let В = | (A + Ar) and C = | (A - AT)
2.70. В = [4,3; 3,3], C = [0,2; -2,0]
2.72. (a) [J, -|; |, J], (В) [1/75,2/75; 2/75,-1/75]
2.73. (a) (1/714,2/714,3/714; 0, -2/713, 3/713; 12/7157,-3/7157,-2/7157
(ЬУ Г1/7ГГ. 3/7ГГ. 1/7ГГ: 1/J2. 0. -1/72: 3/722. -2/722. 3/7221
2.75. Oi А, С.
2.76. х=3, у=0, z=3
2.78. Yn65ei^r|: 'Еота> В=у (-4 + Ан ) koi С= ~ (л ~ ЛН ).
2.79. Oi А, В, С.
2.81. О А.
2.82. (a) UV=diag([7,6; 17,10],[-1,9; 7,-5]), (р) oxi, (у) vai
2.83. A: pia ураррт| цехами тт|д пр6тт]д Kai тт|д Зеитерт|д ураццЁд (отт|Хг|д).
В: pia ypappf] рета^и пуд Зеитерт|д koi пуд тргпуд урарруд (стттуХтуд), Kai pia ypappf) рета^и пуд
тётартт]д koi nig пёрпп]д урарруд (сгпуАлуд).
С: о i5iog о С - Зе pnopei va Siapepioxei пераггёрсо.
2.84. (а) М2 = diag([4], [9,8; 4,9], [9]),
М3 = diag([8], [25,44; 22,25], [27])
(b) Л/2 = diag([3,4; 8,11], [9,12; 24,33])
М3 = diag([l 1,15; 30,41], [57,78; 156,213])
2.85. (а) diag([7], [8,24; 12,8], [16]), (В) diag([2,8; 16,181], [8,20; 40,481])
KkydXato 3
ZYXTHMATA ГРАММ!KUN E^IZQZEQN
3.1 Е1ЕАГПГН
Ta оиотт|рата ypappiKcbv e^iocooecov nai^ouv eva Papuoripavro aXXa Kai лротрелпкб рбХо ото pa0qpa
Tqg ypappiKqg aXyEPpag. Ett|v лраурат1кбтт|та, pia nXsiaSa лрорх^ратсоу отт| урарриа) аХуерра
avayoviai ott|v e6peot| тт|д Xuoqg Evog оиотт|ратод ypappiKcbv e^iocooecov. Г ia то Хбуо авто, oi te/vike^
лои 0а Е^Етаотобу ото КЕсраХаю авто 0а Etpappo^ovTai Kai oe acpqpqp6v£g i86eg Kai ewoiec; елореусоу
KEipaXaicov. Алб tqv aXXq, pspiKa ало та оврлЕраората лои 0а лрокбхрову ало Tig acpqpqp6vEg
автЁд ewoiec; tcov елореусоу KEcpaXaicov, 0a PyaXouv ott|v Елкраувю vee<; nXqpocpopiEg убрсо ало vq
8opf| Kai Tig i8i6rr|T£g tcov овотт|ратсоу ypappiKcbv e^iocooecov.
'OXa та овотт|рата ypappiKcbv e^iocooecov лои 0a ЗобрЕ л£р1Ёхоъу api0po6g тбоо cog оъутЕХЕотЁд,
6oo Kai cog ота0Еробд бровд. Tetoioi api0poi рлорЕ1 va лроЁрхоутас ало олоюЗг|лот£ леЗю api0pcbv
К. Qotooo, oxe5ov Kapia ancbXEia Зе 0а ларово1С^Ета1 отц yEviKT| ЛЕрСлтсося], Eav о avayvcboTqg
ило0£ТЕ1 oti oi api0poi авто! лроЁрхоутас ало то лрауратвсб леЗю R, Eav Зг|ХаЗг| тоод 0EcopEi
лрауратсковд арШробд.
3.2 BAEIKOI OPIEMOI, AYEEIE
Ett|v лараурасро аитт| 0а 8o0o6v калоил Paoucoi opiopoi лои ovv8Eovrai це Tig XvoEig оиоттщатсоу
ypappiKcbv e^iocooecov, evco oi акрфЕсд aXyopiOpoi yia rr|v evpeot] tetoicov Xvoecov 0a Е^Етаотобу
арубтЕра.
Грарщкбд E^iocooEig Kai A6o£ig
Mia ура|1|нкт| E^iococrq це ayvcboTOug та x। ,x2,... ,xn Eivai pia e^iocoot) q оло1а рлорв! va ypacpTEi ott|v
толпа] popcpri
aixi+a2x2+-+anxn = 6 (3.1)
блои та ah a,...,a„ Kai to b Eivai ота0£рЁд. H ота0вра ak ХЁу£та1 owTEXEonig too xk, evco to b
KaXsiTai cnaOepdq opoq Tqg E^iocooqg.
Mia Хбот] тт|д ypappiKqg E^iocoor|g (3.1) Eivai pia Х1ота Tipcov yia тоид ayvcboTOug, f|, ioo86vapa,
6va Siavuopa u otov Kn, yia napaSfiiypa
*!=*!, x2 = i2, .... x„=kn f| u = (ki,k2..........k„).
тётою coote т| ак6Хои0т| охёот) (лов XapPavETai avTiKaOioTibvTag ott|v E^iocooq та Xj ps та k;) va
Eivai aXq0f|g:
al*l + fl2^2 -•--------Ь ankn = b
Ее pia тётою neputTCOoq Хёре oti то u iKavonoiei rqv e^iacooq.
Пара-rqpqoq: Н e^iocooq (3.1) вло0ёте1 ev Sovapei oti отовс; ауусЬотовс; акоХов0е1та1 pia aeipa.
Прокирёуов va алосревуовре товс; 8е1кте<;, 0a xpqaiponoioBpe obvt|0co<; та x, у yia 8bo ауусЬотовс;,
та x, у, z yia треи; ауусоатов^ Kai та x, у, z, t yia тёааери; ауусоатовс;, evcb q aXcpapqTiKq aeipa pe Tqv
OTtoia avacpepOqKav e8cb, 0a eivai Kai q aeipa pe Tqv onoia 0a epcpavi^ovTai ae pia e^iocooq.
ПараЗегура 3.1. ©есоровре Tqv тио катсо ypappucq e^iocooq pe треи; ауусЬотовс;, та x, y, z:
x+2y-3z=6
EqpeicbveTai oti q x=5, y=2, z=l, q iao8Bvapa to 8iavBopa u=(5,2,l), eivai pia Xooq Tqc; e^iocooq^,
8qXa8q
5+2(2)-3(l)=6 q 5+4-3=6 q 6=6
Ало Tqv aXXq, to w=(l ,2,3) 8ev eivai XBoq, ка0со<;, eav аут1катаатт|аовре, 8e 0a ларовре eva aXq0e<;
алотёХеора:
l+2(2)-3(3)=6 q 1+4-9=6 q -4=6
EBOTqpa TpappiKcbv E^iocboecov
'Eva aBaTqpa ypappiKcbv e^iocboecov eivai pia Мата ypappiKcbv e^iocboecov pe товс; 18юв<; ауусЬотовс;.
Еиукекрццёуа, ёуа OBaTqpa m ypappiKcbv e^iocboecov LbL2,...,Lm pe n ауусЬотовс;, та X|,x2,...,xn,
рлоре! va урасрте! aTqv твлна) popcpq
anxi + a12x2 + --- + ai„x„ = bx
a2\x\ + a22x2 -1-----b a^n = b2
(3-2)
am1Xl + am2x2 -1-------Ь amirtn =
блов та ay Kai b, eivai отаОерёс;. О api0po<; ay eivai о овутеХеоттц; тов ayvcbcTOB Xj aTqv e^iacoaq Lp
evcb о api0po<; b, eivai о ата0еро<; 6po<; Tq<; e^iocooqc; Lr
To OBaTqpa (3.2) ovopa^eTai mxn (koi 8iapa£eTai m eni n) OBaTqpa, evcb Xxyerai TerpaycoviKo
OBaTqpa eav m=n, eav 8qXa8q о api0po<; tcov e^iacbaecov m ioobtoi tov api0po tcov ayvcbaTcov n.
Лёре oti to OBaTqpa (3.2) eivai ороуеуёс; eav 6X01 oi ата0еро1 opoi eivai pq8ёv, eav 8qXa8q
8=l,...,6,/=0. AiacpopeTiKa, to OBaTqpa Хёуета1 pq-ороуеуё^.
Mia Xooq (q ei8ucq Xoaq) тов оватт|рато<; (3.2) eivai pia Х1ата Tipcbv yia товс; ауусоатовс;, q,
iao8Bvapa, ёуа 8iavBapa и otov К" to onoio eivai Xooq Tqc; ка0ер(а<; ало ти; e^iacbaeu; тов оватт| ратос;.
To obvoXo oXcov tcov Xoaecov тов оватт|рато^ ovopa^eTai tmvoXo X6oEa)vi\ ycviictj Xvmj тов оватт|рато<;.
flapaSeiypa 3.2. 0есоре1ате то ак6Хов0о OBaTqpa ypappiKcbv e^iacbaecov:
xi + x2 + 4*3 + 3x4 = 5
2x1+3x2+ x3-2x4 = 1
x, + 2x2 - 5x3 +4x4 = 3
Авто eivai ёуа OBaTqpa 3x4, асров ё%Б13 e^iacbaeu; pe 4 ауусоатовс;. Na лроа8юр1аете ката лбао (a)
то u=(-8,6,l,l) Kai (p) to v=(-10,5,l,2) eivai Хвоей; тов оватт|рато^.
(а) AvriKaOioTovpE tic; tipe; tov u gtt|v kciOe E^iocoori, XapPavovra;
-8+6+4(l)+3(l)=5 n -8+6+4+3=5 n 5=5
2(-8)+3(6)+l-2(l)=l n -16+18+1-2=1 n 1 = 1
-8+2(6)-5(l)+4(l)=3 n -8+12-5+4=3 n 3=3
Apa to u eivai Xvgt) tov ооотт|рато;, acpov Eivai Xvgt) rq; ка0£ E^iocoori;.
(P) AvTiKa0iOTOvp.£ ti; Tips; tov v gtt|v ка0£ 5ia8oxiKi) e^iocogt], kapPavovTa;
-10+5+4(l)+3(2)=5 r| -10+5+4+6=5 r| 5=5
2(-10)+3(5)+l-2(2)=l r| -20+15+1-4=1 rj -8=1
Apa to v 5ev Eivai Xvgti tov ооотт|рато;, каОсо; 5ev Eivai A,vgt| tt|; 8evtept|; e^iocoot);. (Ae
XPEia^ETai va аут1катаотт|ооур£ то v Kai gtt|v тр1тт| £^iocoor|.)
To ovorripa ypappiKcbv e^igcogecov (3.2) XcyETai оорРфаото Eav exei pia r| лЕрюобтЕрЕ; Xvgei;, Kai
aovpPipaoTO (r| aSvvaTo) Eav 5ev exei Xvor|. 'Отау то ле81о apiOpcbv, K, Eivai алЕрюрюто, yia
лараЗЕгура отау то К Eivai то лрауратско ле8ю R t| to piya8iKo ле81о C, tote ExovpE то лю катсо
GTipavriKo 0£cbpT|pa.
OEcbpijpa 3.1: УлоОетоуто; oti to ле51о К Eivai алЕрюрюто, tote олою8г|лот£ оиотт|ра ypappiKcbv
E^IOCOGECOV, JL
(i) eIte exei pia povaSna) Xvgti, (ii) e(te 5ev exei Avgt|, (iii) eite exei ал£ф£; Xvoei;.
адца 3-1
H катаотася] avrr| anEiKOvi^ETai ото SxTipa 3-1. Oi Tp£i; л£р1лтсЬо£1; exovv уЕсорЕтрпа) EppT|V£ia
отау to ovoTTipa с/алотЕХЕпас ало 5vo e^iocooei; p£ 5vo ayvcboTov; (Параурасро; 3.4).
О Enav^T]p£vo; nivaKa; Kai о nivaKa; EwTsksoTcbv evo; Етотт]рато;
A; 0Ecopr|oovp£ £ava to yeviko ovo-cripa (3.2), m e^iocooecov p£ n ayvcboTov;. 'Eva tetoio ovo-cripa
Eivai ovwcpaopEvo p£ tov; 5vo ларакатсо л1уак£;:
ап а12 ••• а1л ь\
а21 а22 ••• а2л ^2
а11 а12 ••• а1л
ка1Л= fl21 в22 •• **
_ат1 ат2 ••• атл _
_ая1 ат2
О лрсотод л^акад М eivai о Xeyopevog елаи£т|рёуод лСуакад той ouorqpaTog, evco о беитерод
rcivaKag A ovopa^eTai л^акад oovtcXeotcov.
О reivaKag ouvreXeoTcbv A eivai алХа о nivaicag лои nepie/ei тоид оиутеХеотёд, о олоюд оиошотиса
eivai о елаи^тщёуод лЬакад М xcopig rqv теХеита1а отт|Хт| tcov отаберсоу opcov. Мериса 0i0Xia
%ря<лцолоюиу то оир0оХюрб М=[А,В] yia va Scboouv ёрсраот| ота био рёрт| тои М, блои то В
oup0oXi£ei то 5iavuopa отт|Хт|д це тоид отабероид дроид. О елаи^тщёуод л^акад М Kai о лгуакад
ouvTeXeoTcbv А тои оиотт|ратод ото Парабегура 3.2, ёуоиу cog e£qg:
Г1 1 4 3 5"| Г1 1 4 3“|
Л/= 2 3 1 -2 1 Kai А= 2 3 J _2
L1 2 -5 4 3J [_! 2 _5 4J
'Олсод T|Tav avapevopevo, о А алотеХепас ало бХед Tig отт|Хед тои М ектбд ало rqv теХеита1а, т| оло1а
eivai т| отт|Хт| tcov отаберсоу opcov.
Eivai cpavepo oti 6va ouorqpa ypappiKcbv e^iocboecov лрообюрфтас лХг|рсод ало tov елаи£т|рёуо.
тои л^ака М, Kai avnoTpocpa. Еиукекр1рёуа, т| кабе ypappq тои М avriOTOixei oe pia е^осоот] тои
ouorqpaTog, evco т| кабе отт|Хт| avTioToiyei отоид оиусеХеотёд evog ayvcboTOU, ектбд алб rqv теХеита(а
отт|Хт|, т| оло1а avrioToiyei oTig отаберёд тои ouorqpaTog.
ЕксриХюрёуед Г рарщкёд E^iocboeig
Mia ypappucfj e^iocooq Хёуетас eK<puXiop£vq eav 6Xoi oi оиусеХеотёд eivai рт|5ёу, eav 6T|Xa5q ёхЕ1 ttj
popcpri
-----|-0x„ = d (3.3)
H Xuoq piag тётокхд e^iocooqg е^артата1 povo алб ttiv Tipq rqg отаберад b. Еиукекр1рёуа:
(i) Eav b#0, тбте т| e^iocooq 5ev ёх€1 Xuoq.
(ii) Eav b=0, тбте кабе 5iavuopa u=(k2,k2,.. .,kn) otov Kn eivai pia Xuarp-
loxuei то лю катсо бесорт|ра.
©ecbpqpa 3.2: 'Еотсо то J" 6va ouorqpa ypappiKcbv e^iocboecov то олою лер1£ХЕ1 pia eKipuXiopxvq
E^iocooq L, yia ларабегура ре отабера b.
(i) Eav b*0, тбте то ouorqpa о/’беу ёх£1 Xuoq.
(ii) Eav b=0, тбте т| L рлоре1 va 5iaypa<pei алб то ouorqpa XG>pig va aXXa^ei to
ouvoXo Xuoecov той ouorqpaTog.
To (i) лроёрх£та1 алб то yeyovog oti t| CK(puXiop£vq e^iocooq 5ev 6xei Xuoq, koi cog ек тоитои то
ouorqpa 5ev ёх£1 Xuoq, evco to (ii) лроёрх£та1 алб то yeyovog oti to кабе otoixeio otov Kn eivai pia
Xuot| rqg eK(puXiop6vqg e^iocoorig.
О HysTiKog AyvcooTog os pia Мт]-Ек(риХюрЁУ1] Граррио) E^iocoor]
'Еотсо тсора т| L pia рт|-£ксриХюрЁУГ| ypappua) E^iococrq. Аитб oT]p.aiv£i oti Ёуад f| л£рюобт£ро1 ало
тоид оиутвХЕотЁд тт|д L Eivai 6iacpopoi той pr|6£vdg. Me tov opo т|у£Т1кдд ayvcooTog rr|g L, EwooupE
tov лрсото ауусоото ott|v L це рт|-рт|бЕУ1кд ouvteXeott|. Па ларабЕтура, та x3 Kai у Eivai oi T|y£TiKoi
ayvcooToi oTig E^iocboEig
0x1+0x2+5x3+6x4+0x5+8x6=7 Kai 0x+2y-4z=5
avTioToixa. Euvr|0cog oi opoi це тоид рт|б£У1коид оиутЕХЕотЁд лараХбйгоУтац etoi oi ларалаусо
E^iocboEig ypacpovTai Ел1ся]д,
5x3+6x4+8x6=7 Kai 2y-z=5
Lttjv лвристсося] аитт|, о т|у£Т1кбд ауусоотод Epcpavi^Eiat лаута лрсотод.
3.3 IEOAYNAMA EYETHMATA, ЕТО1ХЕШДЕ1Е METAEXHMATIEMOI
©ЕсороицЕ то оиоттща (3.2), m ypappiKcbv e^iocooecov p£ n ауусЬотоид. 'Еотсо Ел1ся]д L r| урарриа)
£^iocooT| лои XapPavETai лоХХалХаоса^оУтад Tig m E^iocbosig p£ Tig ота0£рЁд cbc2,...,c
m, avTioToixa, Kai лрооОЁтоУтад отт| ouvExeia Tig лрокилтоиоЕд E^iocboEig. ЕиукЕкрсрЁуа, Ёотсо L r|
акбХоиОт] урарриа) E^iococrq:
(Clan + • • • + c^jx! + • • • + (Claln + • • • + cmamn)xn = + • • • + cmbm
Tote t| L ovopa^ETai ypappiKog ouvSuaopog tcov e^iocooecov той оиотт|ратод. ЕикоХа рлор£1 калоюд
va 6eI£,ei (ПрбрХт|ра 3.43) oti оло1абг|лот£ Хися] тои оиотт|ратод (3.2) sivai Kai Хися] тои ураррисои
ouv6uaopou L.
ПарабЕгура 3.3. 'Еотсо oti oi Lb L2, L3 oupPoXi^ouv, avTioToixa, Tig TpEig E^iocboEig той
ПарабЕсуратод 3.2, Kai еотсо L t| е^осося] лои XapPavETai лоХХалХаоит^оутадTig Lb L2, L3 avTioToixa
ps та 3, -2, 4 Kai ЁлЕпа лроо0Ётоутад. Дт|Хабт|,
3£b 3xj + Зх2 + 12x3 + 9x4= 15
-ILf. -4x! - 6x2 - 2x3 + 4x4 = -2
4£b 4x! + 8x2 - 2Qx3 + 16r4 = 12
(A0poiopa) L: 3x1+5x2-10x3+29x4=25
Tote t| L Eivai svag ypappiKog ouv6uaopdg tcov Lj L2, L3 кац длсод ЛЕрфЕУарЕ, т| Хися] и=(-8,6,1,1)
тои оиотт|ратод sivai влкя]д Хися] тт|д L. Аут1ка0ютсоутад, бт|Хабт|, то и ott|v L, ла1руоир£ sva аХт|0Ёд
алотЁХбора:
3(-8)+5(6)-10(1)+29(1)=25 т| -24+30-10+29=25 т| 9=9
Io%usi то акбХоиОо 0всЬрт|ра.
©Есорцра 3.3: Дио оиотт|рата ypappiKcbv s^iocboscov Ё^оиу Tig i6isg Xuosig sav Kai povo Eav T| kciOe
е^кяося] той ка0£ оиотт|ратод Eivai ЁУад ypappiKog ouv5uaopdg tcov e^iocooecov tou
аХХои оиотт|ратод.
Апо овоттщата ураццскал/ e^cocooecov Хёуоутас cooSovapa Eav e%ov>v Tig (Seeg XooEcq. H еябреут|
влолараурасрод Secxvec eva трбяо албктг|ог|д coo56vapcov oBorqpaTcov ypappcKcbv e^cocboecov.
ZtoixeuoSeu; Мгтаохпратсорос
Ос акбХов0ед лра^есд oe Eva овотт|ра ypappcKcbv e^cocboecov Ь^Ьг - Лщ ovopa^ovTac oTocxficcbSecq
яра^есд, f|, яю cruxva, отосхЕссобЕсд рЕтаохПра'гюроь
[EJ ApocPaca avTaXXayri 5bo e^cocboecov. H apocPaca avTaXXayri tcov e^cocboecov L, кас Ц 0a
оврРоХс^етас cog e^r|g:
“ApocPaca avraXXayr| tcov L, кас Ц” r| “£,<-> £y ”
[E2] Аутскатаотаот| рса<; е^сосоотц; це eva pT|-pT|5evcKO яоХХаяХаосо топ Байтов тт|д. Н
аутскатаотаот| тт|д е^сосоотц; Lj це rqv kL, (бяов k^O) 0а оврРоХс^етас сод е^г|д:
“Аутскатаотаот] тт|д Lj це kL,” г| “ kLt —> Lt ”
[Е3] Аутскатаотаот] цсад £^сосоог|д це то a0pocopa Evog яоХХаяХаосов цсад аХХт]д £^сосоог|д кас
тт|д iScag тт]д е£сосоот)д Н аутскатаотаот] тт]д е^1сгсосгг)д Ц це то a0pocopa tcov kb, кас Ц 0а
аицРоЩетас cog e^iqg:
“Аутскатаотаот] тт|д Lj це kL,+Lj” г| “ kL, + Lj —> Lj ”
То рёХод —> отовд [Е2] кас [Е3] цяорес va бсаРаотес “аутска0сота”.
Н Рааскт| с5сбтт|та tcov ясо яаусо otocxeccoScov ретаохицатсорсоу лерсёхЕтас ото ак6Хов0о 0есортща
(то ояосо аяобескуветас ото ПрбрХтща 3.45).
Оешрчца 3.4: Уяо0ётоута<; отс ёуа оиоттща ураццсксоу efjocboecov ЖацРауетас аяб ёva оиоттща
ураццсксоу e^cocboecov Л цёосо цса<; яеяераоцёутц; акоХоо0са<; otocxeccoScov
цетаохтщатсоцсоу, тоте та ^кас Лё%ох>у тсд IScEg ХйоЕсд
Паратт]ря<я1: Мерскёд срорёд (лрокесцёуоо, уса яарабесуца, va аяосревуооце та кХаоцата OTav бХос
ос 5e5o^voc арс0цос ecvac акёрасос) цяоробце va есрарцо^оице тосл; [Е2] кас [Е3] ца£с, oe eva Ргща.
Мяоробце, 5т|Ха5г|, va есрарцб^овце tov е^гц; цетаохтщатсоцб:
[Е] Аутскатаотаос] цса<; е£сосоот|<; Ц це то а0росоца tcov kL\ кас к'Ц (бяов kVO), о ояосо<; 0а
овцРоХс^етас сод е^гц;:
“Аутскатаотаос] vqg Lj це kL,+k'Lj” г| “kLt + k'Lj —> £у ”
Тоус^етас отс отов<; цетаохпцатсоцов<; [Е3] кас [Е], цоуо л е£сосоог| Lj трояояосестас.
Н аяаХос<рг| Gauss, т| кврса цё0обо<; евреог|<; ттц; Хвог|<; evo<; бебоцёуов овоттщато»; ураццсксоу
e^cocboecov, характт|рс£етас аяб тт| ХРЛОС] tcov ясо яаусо цетаохтщатсоцсоу, це около тт| цетатролг)
evo<; овоттщато<; oe 6va cooSovapo овоттща тов ояосов т| Хвое] цяорес va Рре0ес евкоХбтера.
Ос Хеятоцёресе<; ттц; аяаХос<рг|<; Gauss ауаятбоооутас ое еябцеуе<; яараурасровд
3.4 MIKPA TETPATQNIKA LYLTHMATA TPAMMIKQN EEILQLEQN
Ztt|v лараурафо aim) ба аахоХг|0ойц£ це tt|v ei5iKi) лерштсоот] picfe^iocooT]g це cva&yvcooro, кабсод
ел1от]д Kai tt|v лер1лтсоот| 56o e^iacboecov це 56o ayvcboTOvg. Та алХа аота оиоттщата e^eza^ovTai
^ехсорюта, кабак; та ovvoXa Xuaecbv тоод цлороиу va nepiypacpouv уесоцетрска Kai oi i8ioTT|Teg тоод
ouviotovv tt| yevita) лерштсоот].
Грацщкт) Е^шсоот] pe'Eva Ayvcooro
To ларакатсо алХб бесортща алобыкубетас ото ПрбрХтща 3.4.
Оейртща 3.5: ©есоробце ц1а урацщю) е^кяоат] ах=Ь.
(i) Eav а*0, тбте то х=Ь/а eivai т| povaSna) Хбот] п]д ах=Ь.
(ii) Eav а=0 aXXa b*0, тбте т| ах=Ь 8ev exei Хбот].
(iii) Eav а=0 Kai b=0, тбте кабе арЮцбд k eivai Хбот] ттуд ах=Ь.
Парабегура 3.4. Na Хбоете та; e^iocboeig:
(а) 4х-1=х+6, (Р) 2х-5-х=х+3, (у) 4+х-3=2х+1-х.
7
(a) Eavaypatpovpe tt|v e^iacooq ое толпа) цорфт), XapPavovrag Зх=7. Ара то х= — eivai т| povaSna)
Хбот] [©есортща 3.5(i)].
(Р) Eavaypatpoupe tt|v e^iocooT] ое толпа) цорфт), XapPavovTag 0х=8. Ара т| e^iocooT] 5ev exei
Хбот] [©есортща 3.5(ii)].
(у) Еауаурафоице tt|v e^iocooT] ое толпа) цорфт), XapPavovrag 0х=0. Ара кабе арсбцбд k eivai
Хбот] ттуд el;iocooT|g. [©есортща 3.5(iii)].
Еботтща Дбо Грацщксоу E^iocboecov ре Дбо Ayvcooroug (Еботтща 2x2)
©есоробце eva оботтща 5бо цт|-екфиХюцёу(ОУ e^iocboecov це 5бо ayvcboTOvg, та х Kai у, то олою
цлоре! va урафте! on]v толпа) цорфт)
Кабак; oi e^iocboeig eivai цт|-екфиХюцёуед, та А] кас В] 5ev цлоробу va eivai ацфбтера цт|5ёу, Kai то
iSio iox6ei yia та А2 Kai В2.
Н yeviKi) Хбот] тои оиот1)цатод (3.4) avr)Kei ое eva ало тоид Tpeig тблоид лои фамтаг ото 2хЛМа
3-1. Eav то R eivai то ле51о tcov арсбцсоу, тбте т| урафиа) лараотаот] ттуд кабе е^1осоот]д ба eivai ц1а
еибе1а ото ел(леЗо R2, Kai oi Tpeig тбло1 цлоробу va лергурафобу уесоцетриса олсод aneiKovi^eTai ото
охпца 3-2. ZvyKCKpipeva:
(1) То оботтща exei акрфсод ц1а Хбот].
Е5со oi 5бо ev6eieg Tepvovrai ое eva отщею [Ехлца 3-2(а)]. Аитб oupPaivei otov oi
ev6eieg exovv 51афОретна) kXiot], i), ioo36vapa, otov oi ouvTeXeoTeg tcov x Kai у 5ev eivai
avaXoyoi:
A A
j * g i), ioo56vapa, A]B2-A2B]^0
Tia ларабегуца, ото ЕхЛМа 3-2(a), 1/2*-1/2.
ь,: х - у - -1
14.3х + 2у- 12
(а)
ЗДцаЗ-2
(2) То оиохтща Sev exei Xuoi].
EScb oi 5ио eu0ei£<; eivai яараХХт|Х£<; [Ехлцо 3-2(0)]. Auxo <n)p.0aivei oxav oi £u0eIe<;
exouv rqv (Sia kXiot] aXXa SiacpopExiKO отщею хоцтц; це tov a^ova у, т| oxav
_£i ,£i
A2 ~ B2 * C2
Tia rcapaSEiypa, oxo ЕхЛНа 3-2(0), l/2=3/6*-3/8.
(3) To оиохтща exei a7t£ip£<; Xuoeii;.
EScb oi 5uo euQeiei; оицяшхоот [ЕхЛЦа 3-2(y)]. Auxo oup.0aivEi oxav oi £U0£i£<; exouv xt)v
i5ia kXIot] Kai xo i5io отщею хоцтц; це xov a^ova y, r| oxav oi ouvxeXeoxei; Kai oi oxa0Epoi
opoi Eivai avaXoyoi,
л2 B2 c2
Tia яарабвгуца, oxo Ехпца 3-2(y), l/2=2/4=4/8.
Паратдрдсн]: H акоХои0г| EKippaai] Kai r| xipi) xrjg KaXfiixai opi^ouoa xd£r|<; Suo:
I*
Oi opi^ouoEi; 0a peXext)0ouv oxo KEipaXaio 9. Apa xo оиохтща (3.4) exei ц€а povaSiKi) Хиот] Eav Kai
цоуо Eav T| opi^ouoa xcov ouvxeXeoxcov xou Eivai Siacpopr] xou цт|5еуо<;. (Аруохвра 0a бв^оицв oxi r|
5т|Хсоот] аихт| oXt|0euei yia O7toio5r|7tox£ xExpaycovtKo оиохтща e^iocooecov.)
AXydpiOpog АяаХо1ф1щ
H Xuot] xou оиохтщахо<; (3.4) цяор£1 va 0pE0Ei це xt) 5ia5iKaoia xrjg artaXoi<pr|<;, це xt) 0or|0Eia xrjg
оло!ад рлорооре va avayayoupe eva crtaTqpa ae pia e^iacoaq це pia povo pexapXqTq. Улобётоутад
oti то avorqpa exei pia pova6iKq Xuaq, о aXyopi6pog avxog xqg алаХо1фТ|д х^Р^61011 Soo axa6ia
AXy6pi0pog 3.1: Н eiao6og anoxeXeixai ало био цц-екфиХитцеуед урарр1кёд e^iacoaeig L, Kai
L2 це био ayvcoaxovg Kai pia pova6iKq Xuaq.
Етйбю А. (АлаХокрт! лрод та Ерлрод) ПоХХалХааш^ооре tt|v кабе e^iacoaq це pia ахабера,
ёто1 соате oi лрокилхоухед аиухеХеахёд evog ayvcoaxov va eivai цета^ъ тоид avxi6exoi,
Kai акоХообсод лроабёхоире Tig био e^iacoaeig yia va лароице pia vea e^iacoaq L лои
va exei eva povo ayvcoaxo.
Етабю В. (AvxiKaxaaxaaq лрод та Шасо) Avvovpe сод лрод tov ayvcoaxo axq vea e^iacoaq L(q
оло1а лер1ёхЕ1 eva povo ayvcocno), avxiKa6iaxovpe xqv xipq auxq too ayvcoaxou ae pia
ало Tig apxiKeg e^iacoaeig Kai axq crvvexEia Xuvovpe yia va Ppoupe Tqv xipq too aXXov
ayvcoaxov.
To Ехабю A too AXyopi6pov 3.1 рлоре! va ефарроахе! ae олоюбт|лоте avaxqpa, акбра Kai av to
crijaxqpa 6ev ex£i pia pova6iKq Xvaq. Ее pia хёхою nepurxcoaq, q via e^iacoaq L 6a eivai eкфvXlapёvq
Kai то Ехабю В бе ба ефарро^етаь
Парабесура 3.5. (Пер(лтсост| Mova6iKqg Avaqg). Na Xvaexe то avaxqpa
£f 2х-Зу=-8
1^ : Зх + 4у = 5
О ayvcoaxog х алаХе!фета1 ало Tig e^iacoaeig ре то axqpaxiapo xqg уёад e^iacoaqg L=-3L|+2L2.
ПоХХалХааш^оуре, 6qXa6q, xqv Lj pe to -3 Kai xqv L2 pe to 2 Kai лроабётоире Tig e^iacoaeig лои
лрокилтоиу cog акоХообсод:
-3£p -6x + 9y = 24
2^: 6x + 8y=10
Проабеся]: 17y=34
Avvovpe тсора xq уёа e^iacoaq cog лрод у, XapPavovxag ёта1 y=2, Kai ёлепа аупкабютобре то y=2 ae
pia ало Tig архскёд e^iacoaeig, yia ларабыура orqv L,, Kai Xuvovpe cog лрод tov ayvcoaTo x, XapPdvovrag
ёта1
2x-3(2)=-8 q 2x-6—8 q 2x=-2 q x=-l
Apa Xomov q x—1, y=2 q to £evyog u=(-l,2) eivai q pova6iKq Xvaq too avavqpaTog. H pova6iKq
Xuaq qTav kciti то avapevopevo, афои 2/3*-3/4. [Гесоретриса, oi ev6eieg лои avTiaToixow aug
e^iacoaeig тёруоута! ато aqpeio (-1,2).]
Парйбетура 3.6. (Перигтсбаеи; Mq-Mova6iK(ov Avaecov)
(a) Na Хоаете то avaxqpa
x- Зу = 4
£j: -2x + 6y = 5
АлаХе1фоире ало Tig e^iacoaeig то x лоХХалХааш^оутад xqv Lj pe to 2 Kai лроабётоутад
то алотёХеара axqv L2, axqpaTi^ovTag 6qXa6q xq vta e^iacoaq L=2L|+L2. Аито pag o6qyei
axqv e^uXu^vq e^iacoaq
0х+0у=13
т] onoia Ё%Е1 |дла рт]-рт]5бУ1кт| отаОвра, то b=13. Ара т] b^Iowot] аитт| Kai то сгиоттща 8ev exouv
Xvot], кат1 то onoio nspipsvaps, каОах; 1/(-2)=-3/6*4/5. (Г всорвтриса, oi еи0в1в<; nov avTioTOixovv
отк; s^iocboeig Eivai параХХт]Хв<;.)
(Р) Na Xvoete то сгботтща
Lt: х — Зу — 4
L/ —2x + 6y = —8
AnaXEicpovps ano тц e^iocooek; to x noXXanXaoia^ovTa<; tt|v Lj це to 2 Kai проо0Ётоута<;
то апотЁХвора ott|v L2, охпцат1^оута<; ЗцХаЗт] тт| УЁа е^юсоот] L=2Lt+L2. Avto рас, o3r|y£i
OTT|V ВКфиХюрЁУГ] Хиат]
0x+0y=0
onov о ота0вро<; 6ро<; sivai £п1ат|<; цт]5ёу. Evvsndx; то ойоттща Ё%£1 ап£1рв<; Хиовк;, oi опо1в<;
avTioTOixovv отк; Xvoek; onoiao3r|noT£ ano ti<; e^iocooek;. Avto r|Tav avapsvopsvo, каОах;
l/(-2)=-3/6=4/(-8). (Гвсорвтриса, oi ev0£ie<; nov avTioTOiyovv отц e^iocooek; ovpninTovv.)
Tia va ppovpE tt| yevikti Xvot], Оётоуце y=a Kai avTiKaOioTOvps ott|v Lj yia va napovps
x-3a=4 t| x=3a+4
Епоцёуок; т] yevikti Xvot| tov сгиотт|рато<; sivai t]
x=3a+4, y=a r| u=(3a+4, a)
onov to a (nov ХЁувта1 парацвтро<;) sivai Ёуа<; опоюоЗт|пот£ api0po<;.
3.5 EYETHMATA EE TPIFQNIKH KAI EE KAIMAKQTH МОРФН
H PaoiKT| цЁ0оЗо<; sniXvaT|<; оиоттщатсоу ypappiKcbv s^iocbosiov, nov sivai t] anaXoi<pr| Gauss, s^ETd^STai
ott|v Параурасро 3.6. Ett|v napovoa napaypacpo 0a аохоХт]0оуцб цв 5vo anXov<;Tvnov<; оиоттщатсоу
ypappiKcbv B^iocboEWv: та ся)отг|рата ов TpiycoviKri popcpri Kai та mo ysviKa ся)отг|рата ов кАдраксотт!
рорсрт).
TpiywviKij МорфТ]
©Ecopovps ТО акбХоуОо OVOTT|pa E^iocboscov, ТО onoio PpiOKETai ОЕ TpiyiOVlKTI рорфтр
2х( + Зх2 + 5х3 - 2х4 = 9
5х2 — х3 + Зх4 = 1
7х3- х4 = 3
2х4 = 8
△т]Ха5г|: о прсЬто<; ауу<пото<; Xj sivai о т]убТ1к6<; ауу<пото<; тт|<; пршттц; в^осоотц;, о 5svTspo<; ауусоото»;
х2 sivai о т|у£Т1ко<; ауусоото<; тт| д Звитбргц; йцосоатк, Kai оитсо каОв^гц;. 'Etoi, ovyKSKpipsva, то оиотт|ра
sivai TBTpaywviKO Kai о каОв т|увт1ко<; ayvcoorot; PpioKETai арЁосо<; ота Ss^ia tov tiyetikov ayvcboTOV
тт|<; npoT]yovpsvr|<; е^осоотц;.
'Eva тётою TpiycoviKO ovoTT|pa Ё%Е1 паута pia pova5iKT| Xvor|, i] onoia pnopsi va PpsOsi ps
аут1катаотаот| npo<; та nioco. А^ХаЗт]:
: Ucbdorl 51ф
aUi 1эХэ ‘Ucbdorl Uicoxnrlipi эо orlUiDoo олэ 50)1770 U orlUiooD oicoxnrlipi олэ ‘рэплэХ Ьтплотуц^
•(5з1к70о1эг1 53>iDo{j-Url U) SsiUydmsrl Зэдэдозуэ Ю1ло^рг1оло <sx iox
гх ‘ioidotaXd 10111079110 ю отлз ‘5з1ку(|ю1эг15эхюо{| Ю1ло^рг1оло ‘5оюг11иооо aoi *х *£x ‘>x ‘ioidotaXd
loxusXtrto ‘^Udotdi^s 5UA3rlaoXUo6it 5Ui ooidotaXo aoxusXU aoi рф§ did idi3xdi6(J ‘Uiro6it aUi 9110
591x3 ‘Udotdi^s 3Qpx aUid 5oidotaXd ЗохизЛк о iox ‘UAsrlDiyato-Url 1ямэ лз§ Udotdi^s oirlox rligDyUy
9 = SX6 -
S= 517 + ^ + EX
£= Sx7-»'xfr+£x-Jx9+ ix£
:Ucbdorl Uicoxnrlipi sd idi3ndi6(| aotsdotdi^s лот>1г1г1о6Х orlUiDOD 010x06011 01110 зт!эу
5jiliy^oi3pv Ьздздлзуз idm Ь^мюод ‘Ucbdopv UxcomdtIiym
•5U^30dx
mao idx ‘Udotdi^s 010103731 озл Ui 5oiAOTioitorliDU6X oiooxigoig Ui зг1оолр(|г1о7оло11э тэХэлао luj
L = гЧ
I- = £x - £xj
L\ = £*5 + гх£- >X7
orlkiDOD 9x10(0X161 01 3ii 006011 00 ‘513dotdi^3 53A3TiaoXUo6it
Su 5379 so p=px 01 srlaoDluDoioxuAo лрэ ‘orlkiDOD 9xiaotXi6iotadii 0111 oid ‘orlXi3gp6oit D1X ‘iDig
•oidotaZo 06319X17 олэ iox Udotdi^3 №319X17 oirl srl orlkiDOD 9>iA<r)Xidi олэ so isXUgo 5orl O0 9iay
•51300)01^3 53A3rlaoXUodu 5n 5379 so srloxUd^j aou Urlu aUi 3rlaoioi0oxiiAo ‘оюсолХр 0101037310611 aoi
5odu 5a) эг1аооо7 ooiodir iox ‘ooidotaXo 0010103731 aoi Urlu aUi srlaod^j oicpdu oocbo ‘Uiao ogo03rf
Ui зт1 DAOTcbrlas (лсохрлш U^oipig 5oiAO)ioiiorlioUdX ioisao7 O0 orlUioao олз 0019 loipioiiorlioUdX
O0 5oioro 0) aioiii 015odu 5UooiopiDNiiAD 501196159N11XO77OA3 5олз 13X6011 : UoUdhiodou
•5oiorlUiDoo aoi Uoo7
ItXlgDAOrl U1ОЛ1Э ‘(t?‘I ‘j-‘£)=n DrloOAOlg 01 ‘orlooagODl ‘U ‘p=px ‘ l=£X ‘7-=гХ ‘£=lX U 5o)113A03
£=ix U 9=1X£ U б=£+*хг lx 0=8-S+9+IxZ
:5а)0ао7охо 5o) lx oidotaXo oicpdit
aoi 5odit 5o) эг1аоло7 юх Uoo)oi^3 Uicpdit aUid p=px ‘ [=£x ‘j-=£x 01 эг1оо1о10охпло ‘50733 (t?)
7-=Zx U oi-=Zxg U 1 = ц+гхд U i=7l+l-3xS
:5o)0ao7oxo 5o) гх oidoiaXo odsiasg
01 5odii 5o) эг1аоло7 юх Uoo)oi^3 Udsiasg Uid p=px iox i=£x 01 odm эг1ао1О10охилу (f)
I=£x U д=£хд U £=ф-£хд
:5o)0ao7oxo 5o) £x oidotaXo 0101037310611 aoi
5o6it 5от эг1аоло7 юх Udotdi^s 0101037310611 aUid p=px Urlu aUi эг1аою10охило Aiit9io^ (j)
p=px
3rlao6pit OA 01X oidotaXo 010103731 aoi 5o6it 5ot Udotdi^s 010103731 aUi oiot6ii зНаолау (j)
Z8 NU3ZUZIE3 NUMimVdJ V1VIAIH1ZAZ
а11х1 + а12*2 +д13*3 + a14*4 H-^а1Л = Ь{
а2лХЛ + в2Л+1ХЛ+1 + ‘ ‘ • + Д2"Хл = Ь2 ..
arj,Xj, + ' " + arnXn = br
блоо l<j2. .<jr Kai Ta a\i»a272 »—,<2гУг Eivai Siacpopa tov цт|б£убд. Oi Paouceg ц£тарХт|тёд Eivai та
xt,xh ,—,xJr. Er||i£icbv£Tai oti r < n.
To ovvoXo Xvoecov олоюъ5т|лот£ кХщаксотоб оооттщатод лвриурафЕта! ото 0£сбртща лои aKokov0£i
(то олою алобЕиалзЕта! ото ПрбрХтща 3.10).
ОЕшрдца 3.6: ©ЕсорооцЕ Eva оиоттща урацщксбу e^iocooecov ое кХщаксотт| цорфт|, yia ларабЕгуца
це г E^iocboEig Kat n ayvcooTovg. △taKpivovgE 6vo лЕроттсооЕц:
(i) r=n. Ynapyovv, 5т|кабт|, toooi ayvcooroi 6o£g Eivai Kai oi E^iocboEig (rpiycoviKrj
|юр(рт|). Tote, to оиоттща exei pia pova6iKT| kvorj.
(ii) r<n. Ynapyovv, 6т|кабт|, Л£рюо6т£ро1 ayvcooroi ало rig E^iocboEig. Tote,
цлорооцЕ avOaipETa va avaOsoovgE тщё; oti; n-r eXevOepe; ц£тарХт|тёд Kai
va XvoovpE povaSiKa cog лрод ng r раоскёд ц£таркт|тёд, XapPavovTag etoi pia
Xvotj тои оооттщатод.
УлоОвтоута; oti Eva кАлцаксотб оиоттща 5ev лЕрюуес лЕрюобтЕроуд ayvcborovg ало ng E^iocboEig,
Kai oti то ле5(о К Eivai алЕрюрюто, tote to оиоттща 0a exei олеще; kvoEig, ка0сод ott|v ка0£ц1а ало
ng n-г eXevOepe; ц£тарХт|тёд цлор£1 va avaT£0£i олоюобт|лот£ арШцбд.
H y£viKT| Xvot| Evog оооттщатод jie eXevOepec; ц£таркт|тёд juropEi va л£ргураф£1 це sva ало rovg 5vo
ларакатш icoSvvapovg тролоод, tov; onoiovg 0a avaXvoovjiE хрт|01цолоквутад то лю лау© кХщакштб
оиоттща це г=3 E^iocboEig Kai n=5 ayvcboTOvg. H лра>тт| лЕщурафТ) ovopa^ETai “ПарацЕтриа) Морфт|”
тт|д kvoTjg, Kai tj Sevteptj “Морфт| EXsvOEpiov М£тарХт|тсоу”.
ПарацЕтщкт] Морфд
ETig eXevOepe; ц£тарХт|Т£д х2 Kai х5 ауа0ётооц£ av0aip£T£g тщёд, Tig оло(£д оуоцй^ооце ларацётроод,
yia ларабЕгуца х2=а Kai x5=b, Kai акокоу0сод хрт|о1цолоюоц£ аупкатаотаот] лрод та люсо yia va
PpovjiE Tig тщёд tcov paoiKibv ц£тарХт|та>у Xj, x3, x4 ovvapTTjoEi tcov ларацётрюу a Kai b. ЕоукЕкрщёуа:
(1) Аут1ка01отооц£ to x5=b orrjv TE^EVTaia £^iaioor| Kai kvvovpE ©g лрод x4:
3x4-9b=6 n 3x4=6+9b n x4=2+3b
(2) AvriKa0ioTovp£ та x4=2+3b Kai x5=b ott| 6evtept| E^ioioorj Kai kvvovpE cog лрод x3:
x3+2(2+3b)+2b=5 tj x3+4+8b=5 tj x3=l-8b
(3) AvTiKa0ioTovp£ та x2=a, x3=l-8b, x4=2+3b, x5=b orrjv лрсотт| E^iocoorj Kai XvvovpE cog
лрод x,:
X!=4-3a-9b, x2=a, x3=l-8b, x4=2+3b, x5=b
tj, ioo6vvapa,
v=(4-3a-9b, a, l-8b, 2+3b, b)
блоо та a Kai b Eivai av0aip£TOi apiOpoi.
Морфд EXsuOlpcov MfTapXqTcov
XpqacponocoupE аупкатаатаот] лрод та лсасо yia va XuaoupE cog лрод ng РааскЁд рвтарХг|тЁд x,, x3,
x4 crvvapTriaEi tcov eXevQepcov р£таРХт|тсоу x2 кас x5. 'Etch, i] тЕХЕитаса Е^сасоат| pag 5(vec x4=2+3x5. H
аупкатаатаот] атт| 6eutept) е£,(сгсоот| рад o6qy£c <jtt|v x3=1-8x5, кас акоХои0сод q аутскатаатасл]
aTqv лрсотт] E^iacoaq рад o6qy£i aTqv X|=4-3x2-9x5. Ката аиуЁЛЕса, т|
х]=4-Зх2-9х5, х2 = sX£u0Epq pETapXq-tq, х3=1-8х5, х4=2+3х5, х5 = EX£u0Epq pETapXqtq
q, cao6uvapa, то
v = (4 - Зх2 - 9х5, х2, 1—8х5, 2 + Зх5, х5)
Eivac q popcpq eXevOepcov pETapXqTeov уса тт| ysvucq Xuaq тои аоатт|ратод.
ПрЁлЕс va tovcotec отс 5ev илархЕс карса бсасрора avapEaa атсд био ларалаусо рорсрЁд тт|д yEvcKqg
Xuaqg, кас отс л ЕлсХоуд тт|д рсад q тт|д aXXqg уса va ауалараатт|аЕс тт| ysvcKq Xuaq, scvac алХа 0Ёра
nponpqaqg.
IlapaTqpqaq: Mia Есбскт] Xuaq тои ларалаусо auarqpaTog рлорЕс va Рре0ес ауаОЁтоутад олосео5г|-
лоте тсрЁд атсд EX£u0EpEg р£тарХг|тЁд кас ЁлЕста Xuvovrag сод лрод тсд рааскЁд р£тарХг|тЁд рв аутската-
атаот| лрод та лсасо. Гса ларабЕсура, 0Ётоутад х2=1 кас х5=1, ласруоирв
х4=2+3=5, х3=1-8=-7, Xj=4-3-9=-8
Ара то и=(-8,1,-7,5,1) sivac q всбскт| Xuaq лои аупатосхес ата х2=1 кас х5=1.
3.6 АПААО1ФН GAUSS
Н кирса рЁ0обод EncXuaqg тои увускоо auarqpaTog ураррсксоу E^cacoascov (3.2) оуора^втас anaXoccpq
Gauss. Оиасаатска алотвХвстас ало био атабса:
Етабсо А. (АлаХос<рт| лрод та Ерлрод) Етабсакс) вХаттсоот] той аиатт|ратод лои обдуве вств ав
рса рг|-£К(риХсарЁУТ| в^сасоот| х^рсд Xuaq (кате лои илобвскуйвс отс оитв то аиатт|ра
Ёхес Хиот|) т| ав Ёуа саобиуаро аиатт|ра ав трсусоускт| т| кХсраксотт| popcpi).
Етйбео В. (Аупкатаатаот] лрод та Шасо) Етабсакт| аутскатаатаот] лрод та лсасо уса va Ррв0вс q
Хиат| той алХоиатврои аиатт|ратод.
То Етабсо В ёхес т|бг) в^втаатве aTqv Параурасро 3.4, кас сод вк тоитои рад хрЕсафтас povo о
аХуорс0род уса то Етабсо А, о олосод кас ларапОвтас лсо катсо.
АХубрсОцод 3.2 уса то £табю А:
Есообод: То mxn аиатт|ра ураррсксоу в^сасбавсоу (3.2).
Bqpa AnaXoccpqg: Врсакоирв tov лреото ауусоато ато auarqpa рв рг|-рг|б£У1к6 аиутвХватг| (о
олосод 0а лрЁлвс тсора va sivac то Х0.
(а) ДсвиОвтоирв Ётас соатв а,]#0. Eav, 5qXa6r|, крс0вс ауаукасо, кауоирв аутаХХауЁд рвта^и tcov
в^сасоавсоу Ётас соатЕ о лреотод ауусоатод X] va Epcpavc^ETac р£ pq-pq6EvcKo аиутЕХ£атт| aTqv
лреотт] Е^сасоат|.
(Р) Хр^асролосоирЕ то а ] ] cog o6qy6 уса va алаХЕссроирЕ то X] ало 6Х£д тсд в^сасоаЕсд Ектод ало
Tqv лреотт]. Дт|Хабт|, уса i>l:
(1) ©ЁтоирЕ прг-ауац, (2) АупкаОсатоирЕ Tqv L, р£ mLj+L,.
То аиатт|ра 0а ёхес тсора Tqv E^qg popepf):
al Iх! + а12х2 + *13*3 Н-ь а1пхл = Ь)
a2hxj2 + --- + a2^n = b2
a"41Xh + ” ' + атпхп = Ъ/1
блои то Х| 8ev Ejitpavi^ETai ое каща E^iocooq Ектбд ало tt|v лрсотг], а, |Х), Kai то хц oupPoXi^Ei
tov лрсото ayvcooTO це цт|-цт|8еу1ко ouvteXeotti ое олою8г|лоте E^iococrq Ектбд ало tt|v лрсотт|.
(у) Е^Ета^оицЕ tt|v ка0Е v6a e£iocoot| L.
(1) Eav т| L e%ei тт| цорфТ| 0X|+0x+...+0xn=b це b*0, tote
ETAMATAME
To оиоттща Eivai аоицрсраото Kai 8ev e%ei Xuoq.
(2) Eav r| L e%ei тт| цор(рт| 0X|+0x2+...+0xn=0 f| Eivai Eva лоХХалХаою piag аХХт|д
E^iocooTjg, tote ЗюурафоицЕ тт| L ало то оиоттща.
Втща Елютрофт^д: ЕлауаХацРауоицЕ то Втща АлаХо1фТ|д, це то ка0Е veo “щкрбтЕро”
илооиоттща va оиукрот£1та1 ало 6Хвд Tig E^iocboEig Ектбд ало tt|v
лрсотг].
'Е^обод: ТЁХод, то оиоттща avayETai ое тргуамкт| f| кХщаксотт] цорфт|, f| XapPavETai
pia цт|-ЕКф1)А.юцЕУТ| E^iocooq xcopig Xuoq, т| оло1а ило8т|Хсоу£1 aouppipaoro
оиоттща.
Oi ларакатсо ларатт|рт|ОЕ1д ауафЁроута! ото Втща АлаХо1фТ|д тои AXyopi0pou 3.2.
(1) О ак6Хои0од api0pdg m ото (Р) koXeitoi лоХХалХао1аотт|д:
_ а(1 _ cmvTEkEGTriq nov прдкепаг va Siaypatpsi /
m~ a,, ~ oSrjyog
(2) EvaXXaKTiKa, ото (P), цлороицЕ va Ефарцо^оицв tov ак6Хои0о цЕтаохтщатюцб:
Аут1катаотаот| тт|д L, pE-a^Li+aiiL)
'Etoi алофЕбуоицЕ та кХаоцата otov 6Xoi oi api0poi Eivai yvr|oioi акЁраюь
Парабвиуца АяаХотфнд Gauss
МЁоа ало то ХвлтоцЕрЁд аитб лара8Егуца 81аоафТ|У1^Ета1 т| цЁ0о8од тт|д алаХоирт|д Gauss. То
лара8Е1уца урт|ощоло1Е1 то ак6Хои0о оиоттща урацщксоу e^iocooecov:
x-3y-2z= 6
L2-. 2x-4y-3z= 8
£3: —Зх 4-бу + 8z = —5
ZrdJio А. Хрт|ощолоюицЕ ott|v лрсотг] е2цосоот| L, то ouvteXeotti 1 тои х сод о8т|уо, лрокЕщЁУои
va алаХ£1фоиц£ то х ало тт| 8eutept| E^iocooq Kai tt|v Tpirq E^iocooq L3. Auto ЛЕти/aivETai cog E^f|g:
(1) ПоХХалХаош^оицЕ rr|v L] це tov лоХХалХао1аотт| m=-2 Kai лроо0ЁтоицЕ то алотЁХЕоца
ott|v L2, 5т|Ха5т|: “Аупкатаотаот] тт|д L2 це -2L]+L2”.
(2) ПоХХалХасяа^оицЕ tt|v L] це tov лоХХалХао1аотт| m=3 Kai лроо0ЁтоицЕ то алотЁХвоца orr|v
L3, 5т|Ха5т|: “Аут1катаотаот| тт|д L| це 3L|+L3”.
Та Ртщата аита цад о5т|уоиу ота:
(—2)£р —2x + 6y + 4z = —12
Lj. 2x-4y-3z = 8
NEa L2: 2y+z=-4
3£p 3x — 9y — 6z = 18
Lj-. — 3x + 6y + 8z — —5
NEaL3: -3y+2z=13
'Etoi, to apxiKO оиоттща аупка0ютата1 ало то ак6Хои0о:
£р x-3y-2z = б
Lj. 2у+ z = —4
Lj. —3y + 2z = 13
(ErmEicbvETai oti oi E^iocoosig L2 Kai L3 охпцсгп^оиу ^va илооиоттща це pia XiyoTEpi] E^iocooq Kai
Eva XiyoTEpo ayvcooTO ало то apxiKO оиоттща.)
Кат6л1У хрт|01цолоюйц£ orq (vEa) 5evtept| e^iocoot] Lj to ovvteXeotti 2 тои у cog о5т|уо, лрокЕщЁУои
va алаХЕиуоицЕ то у ало тт| (уЁа) трггг| E^iocooq L3. Аито ЛЕтиха(УЕта1 сод E^fjg:
(3) ПоХХалХаош^оицЕ tt|v L2 це tov лоХХалХао1аотт| m=— Kai лроо0ЁтоицЕ то алотЁХхоца
3
ott|v L3, 5т|Ха5т|: “Аупкатаотаот] тт|д L3 це - L2+L3” (f|, ЕуаХХакпка, “Аупкатаотаот] тт|д
L3 це 3L2+2L3”, yia va алофиуоицв та кХаоцата).
То Ртща аито ца<; о5т]уЕ1 ото:
jlj: 3y + ^z = -6 3Li. 6y + 3z = -12
L3: -3y + 2z= 13 f| 2Lj- -6y + 4z= 26
7
NEa L3: yz=7 NEaL3: 7z=14
'Etoi, to оиоттща ца<; аупка0ютата1 ало то е£т|<;:
Lp
In-
Lj'.
x-3y-2z= б
2y+ z=-4
7z= 14
(П ^z=7)
To оиоттща PpioKETai тира oe TpiycoviKT| цорфт), олоте to Ета5ю А оицлХт|ра)0т|КЕ.
Етадю В. Oi тщ€<; tcov ayvcoorcov XapPavovrai це tt|v аутютрофт] oEipa, z, у, x, це аупкатаотаот]
лро<; та люсо. ЕиукЕкрщЁуа:
(1) ЛиуоицЕ сод лрод z tt|v L3 сод лрод z yia va лароицЕ z=2.
(2) Аут1ка0ютойцЕ то z=2 ott|v L2 Kai XuvoupE cog лрод у yia va лароицЕ y=-3.
(3) Аут1ка0ютоиц£ та y=-3 Kai z=2 ott|v L] Kai Хоуооце cog лрод x yia va лароицЕ x= 1.
ЕлорЁУсо<; г| Xuoq той TpiycoviKou оиотт|рато<;, ара Kai той apxiKOu оиотт|рато<;, exei cot; E^qt;:
x=l,y=-3,z=2 q, looSuvapa, u=(l,-3,2).
EuvonTiKq Aiara^q
О aXyopi0po<; Tqt; anaXoupqt; Gauss anavrEi va ^avaypacpoupE та Siacpopa оиотт|рата ypappiKcbv
e^iocooecov. MfipiKEt; срорЁс; рлороирЕ va алосрвиуоире tt]v Bninovq aurq 5ia5iKaoia, uio0£TcbvTat; pia
“ouvonTiKq 5шта^г|”. H Surra^q aurq yib rq Xuoq too ларалаусо оиотт|рато<; exei cot; E^qt;:
A/A E^iocooq
(1) x-3y-2z =6
(2) 2x-4y-3z =6
(3) -3x+6y+8z =-5
(2') 2y+z =-4
(3') -3y+2z=13
(3") 7z=14
METaoxqpaTiopot;
Аутисатаотася] Tqt; Ц ре -2L|+L2
Аут1катаотаот| тт|<; L3 рв 3L, +L3
Дут1катаотаот| тт|<; L3 ps 3L2+2L3
AqXaSq: урасроирЕ лрсота tov au^ovra api0po тт|<; ка0в apxucqt; E^iocooqt;, Kai 51лХа Tqv i5ia Tqv
E^iocooq. Ka0cb<; Eipappo^oupE tov aXyopiOpo anaXoitpqt; Gauss ото ouoTqpa, ypacpoupE povo тк; vbb<;
e^iocooek;, ava06TOVTa<; OTqv ка0вр1а ало аитЁ<; pia etiketo, tov au^ovra api0po Tqt; avTiOTOixqt;
apxucqt; E^iocooqt;, аХХа рв Eva лроат10ЁрвУО tovo [to ouppoXo (')]• ЕпшХёоу, SinXa OTqv ка0£ УЁа
E^iocooq ypacpoupE, yia Екласбвитскоис; Xoyout;, to oroiXEicbSq pETaoxqpaTiopo ало tov олою лроЁкиуЕ
q avTiOTOixq E^iocooq.)
To ouoTqpa лои PpioKETai oe Tpiycovucq popcpq алотвХЕпас ало тк; e^iocooek; (1), (2') Kai (3”),
SqXaSq Tout; au^ovTEt; apiOpout; p£ Tout; лЕрюобтЕроис; tovouc;. ТЁХо<;, Есраррб^оутас; аутскатаотася]
лро<; та л1осо отк; e^iocooek; аитЁс;, oSqyoupaoTE Kai лаАл ста х=1, у=-3, z=2.
naparqpqoq: Eav xpeiaoTEi va аУтаХХа^оирЕ 5uo e^iocooek;, yia ларабЕгура yia va лароирЕ Eva
pq-pq5£ViKO ouvteXeotti cot; o5qyo, tote, avri va aXXa^oupE Tit; 0ёоек; tcov e^iocooecov, аутаХХаоооирЕ
алХа Tout; au^ovTEt; api0pou<; Tout;.
x + 2y- 3z=l
Парйбвсура 3.7. Na Xuoete to ouoTqpa: 2x + 5y - 8z = 4
3x + 8y - 13z = 7
AuvoupE to ouoTqpa p£ anaXoupq Gauss.
Хтадю A. (AnaXoupq лро<; та Ерлро<;) XpqoiponoioupE cot; o5qyo то ouvteXeotti 1 той x OTqv
npcbTq E^iocooq L,, npoKEipEvou va алаХЕироирЕ то x ало Tq SEUTEpq E^iocooq L2 Kai Tqv TpiTq E^iocooq
L3. Auto ЛЕ-cuxaivETai cot; E^qt;:
(1) ПоХХалХаоих^оирЕ Tqv Ljp£ tov лоХХалХао1аотт| m=-2 Kai лроо0Ётоир£ то алотЁХЕора
OTqv L2, 5qXa5q: “Аутисатаотася] Tqt; L2 p£ -2L|+L2”.
(2) ПоХХалХао1афир£ Tqv L, p£ tov лоХХалХао1аотт| m=-3 Kai лроо0Ётоир£ то алотЁХЕора
OTqv L3, 5qXa5q: “Аутисатаотася] Tqt; L3 p£ -3L|+L3”.
Та био аита PqpaTa pat; oSqyouv ото:
x + 2y - 3z = 1
y-2z = 2
2y - 4z = 4
, x + 2y - 3z = 1
Л y-2z = 2
(H TpiTq E^iocooq SiaypacpETai, ка0со<; Eivai Ёуа лоХХалХаою Tqt; npcbTqt;.) To ouoTqpa PpioKETai тсора
oe кХщаксотт] цорсрт| це еХеи0ерт| цетарХт|тт| то z.
Хтадю В. (Аут1катаотаот| лрод то Шосо) По va Рроице тт| yeviKTj Хиот|, Оётоице tt|v еХеи0ерт|
цетарХг|тг| z=a koi Xuvoupe сод лрод х koi у це аутскатаотаот] лрод та л!осо. АупкаОютоице то z=a
отт] Зебтерт] e^iocoor] yia va лароице у=2+2а, koi отт| ouvexeia avriKa0toTOupe та z=a koi y=2+2a
ott]v лрсотг] e^iocoor] yia va лароице
x+2(2+2a)-3a=l r| x+4+4a-3a=l r| x=-3-a
Елоцёусод r| yeviKT] e^iocoor] eivai r|
x=-3-a, y=2+2a, z=a r| u=(-3-a, 2+2a, a)
блои то a eivai pia ларацетрод.
IlapdSeiypa 3.8. Na Хбоете то акбХоиОо оиоттща:
X] + Зх2 - 2хэ + 5х4 = 4
2xj+8x2- х3+ 9х4 = 9
3х1 + 5х2 - 12х2 + 17х4 = 7
Хрт|О1цолоюбце tt|v алаХомрт| Gauss.
Zta<5io А. (АлаХокрг] лрод та Ецлрод) Хрт|О1цолоюбце сод оЗт|уб то оиутеХеотт| 1 тои X! ott|v
лрсотг] e^iocooT] L|, лрокещёуои va алаХесц/оице то X! ало тт| Зебтерт] e^iocoor] L2 koi tt|v тр1тт|
e^iocooT] L3. Auto летихаНета! це тоид е£т|д цетаохпцатюцобд:
(1) “Аупкатаотаот] тт|д L2 це -2L(+L2” koi (2) Аупкатаотаот] тт|д L3 це -3L(+L3”.
Аита цад o3r|youv ото:
Х| + Зх2 - 2х3 + 5х4 = 4
2х2 + Зх3 — х4 = 1
— 4х2 — 6х3 + 2х4 = —5
Хрт|о1цолоюице тсора то ouvreXeoTT] 2 тои х2 отт] Зебтерт] e^iocoor] L2 сод оЗт|уб koi tov лоХХалХа-
оюотг| m=2 лрокесцёуои va алаХетц/оице то x2 ало tt|v тр1тт| e^iocoor] L3. Auto летиха1Уета1
ecpappo^ovrag то цетаохпцатюцб “Аупкатаотаот] тт|д L3 це 2L2+L3”, о оло1од тоте цад о5т|уе1 ott|v
екфиХюцёуг] e^iocooT]
Ох । +0х2+0х3+0х4=-3
Н e^iocooT] avTri, ара кас то apxiKO оиоттща, 5ev exei Хиот|:
△Е IYNEXIZOYME
Паратт]рт]от] 1: 'Олсод ота ларалаусо ларабе1уцата, то ЕтаЗю А тт|д алаХоирт|д Gauss цад
Xeei ката лбоо то оиоттща exei л 5ev exei Хиот|, 5т|Ха5т| ката лбоо eivai т| oxi оицРфаотб. Од ек
тоитои, то ЕтаЗю В 5е xpeia^eTai лоте va есрарцб^ета! OTav то оиоттща 5ev exei Хиот|.
Паратт]рт]от] 2: Eav eva оиоттща ypappiKcbv e^iocboecov exei лерюобтеред ало Teooepig e^iocboeig
Kai ayvcboTOug, тбте KpiveTai лю PoXiko va хрлощолоюйце тт| Зитта^т] nivaKCOv yia va Xuvoupe to
оиоттща. H Зшта^т] nivaKCOv е^ета^ета! отт] ouvexeia.
3.7 КЛ1МАКПТО1 HINAKEE, KANONIKH МОРФН ПЕ ПРОЕ TIE ГРАММЕЕ,
IEOAYNAMIA TPAMMflN
'Evag тролод yia va Xvvovpe eva сгиоттща ypappiKcbv e^iocboecov eivai va 8ovXevovpe це xov enav^rjpevo
xov nivaKa M, лара то 13ю то сгиоттща. H napovoa лараурасрод eioayei Tig алара{тт|тед архёд mvaKcov
yia тт| рё0о8о аитт|. Тётоид архёд, oncog eivai oi кАлраксото! nivaKeg Kai oi OToix£i(b8eig
ретаохпратюро! ypappcbv, napovota^ovv eniorjg ave^dpvr|TO еубшерёроу.
KXipaKioToi nivaKeg
'Evag nivaKag A KaXeirai кХщаксотбд nivaKag, r| aXXicbg Xepe oti ppioKerai oe кХщаксотг) popeprj, eav
ioxvovv oi ларакатсо 8vo ovv0r|Keg (блои eva т|ует1ко prj-pr|8eviK6 OTOixeio piag ypapprjg tov A eivai
то лреото pT|-pT|8eviK6 оторею отт| ypapprjg):
(1) 'OXeg oi prjSeviKeg ураррёд, ecpooov vndpxovv, PpioKovrai ото катсо рёрод tov nivaKa.
(2) H кабе т|ует1кг| pr|-pr|3eviKr| катахсорют] oe pia ypapprj Ррюкетас ота 8e£ta тг|д т|ует1кт|д
рт|-рт|ЗеУ1КГ|д катахсорют]д тт|д npoTjyovpevqg ypapprjg.
Me aXXa Xoyia, о А=[ау] eivai evag кХщаксотбд nivaKag eav vnapxovv prj-pr|8eviKeg KaTaxcopioeig
аУ,’а272’-’агЛ ,6nov ji<j2<.-.<jr
pe tt|v iSiOTTjTa oti
a,=0 yia
Oi KaTaxcopioeig aIJt ,a2j2 ,—,arjr, oi onoieg eivai та луетска pij-pijSeviKa oroixeia tcov avrioroixcov
ypappcbv, ovopa^ovrat oSrjyoi tov кАлраксотой nivaKa.
Парабпура 3.9. О паракатсо eivai ёуад кАлраксотбд nivaKag, oi oSrjyoi tov onoiov eivai та
oroixeia nov PpioKovrai рёоа oe KvicXovg.
3 4 5 9 0 7"
0 ® 4 1 2 5
О 0 0 (5) 7 2
0 0 0 0 ® 6
0 0 0 0 0 0
riapatT|povpe oti oi oSrjyoi PpioKovrai ong отг|Хед C2, C4, C6, C7, Kai oti о каОёуад ppioKerai ота
3e£ia tov mo navco. Xprjoiponoicbvrag tov napanavco ovpPoXiopo, oi oSrjyoi eivai та
a\ji = 2> fl2/, = 3. a3h = 5, a4Jt = 8
onov j ]=2, j2=4, j3=6, j4=7. E8cb r=4.
KavoviKH Mopcpi) cog npog xig Граррёд
'Evag nivaKag A Xeyerai oti PpioKerai oe Kavovucrj popeprj cog npog Tig ураррёд eav eivai evag кХфаксотод
nivaKag, eav 8i]Xa8r) iKavonoiei Tig mo navco 18ютт|тед (1) Kai (2), Kai eav ucavonoiei Tig 8vo паракатсо
ешлр6о0етед 18ютт|тед:
(3) О ка0е о8т|уод (т|ует1кг| pr|-pr|8eviKr| катахсорют)) loovrai ре 1.
(4) О ка0е o5qydg eivai q povadiKq pq-pq5eviKq катахсоркя] arqv avTiOTOixq orqXq.
H Расист) diacpopa цехами evdg кХсраксотои nivaKa Kai evdg nivaKa ae KavoviKq popcpq cog npog Tig
ураррёд, eivai oti otov кХсраксото nivaKa npenei va unapxouv pq5eviKa катсо ano тоид odqyoug
[IdunqTeg (1) Kai (2)], evcb otov nivaKa пои Рр1акета1 ae Kavovucq popcpq cot; npog xig ураррёд, о ка0е
odqyog npenei enioqg va laouTai pe eva [IdiOTqTa (3)], Kai enmXeov npenei va unapxouv pq5eviKa Kai
navco ano тоид odqyoug [151отт|та (4)].
О pq5eviK6g nivaKag 0 onoioudqnoTe реуё0оид, ка0сод enioqg Kai о таитоикод nivaKag I onoioudqnoTe
реуё0оид, anoTeXouv xapaKrqpioTiKd, ei5iKa парабе(урата nivaKcov ae KavoviKq popcpq cog npog Tig
ураррёд.
Парабесура 3.10. Oi паракатсо eivai KXipaKcoToi nivaKeg, oi o6qyoi tcov onoicov eivai та aToixeia
nou PpiaKovTai рёоа ae кикХоид.
'(2) 3 2 0
0 0 ф 1
0 0 0 0
0 0 0 0
4 5 -6'
-3 2 0
0 (§) 2
0 0 0
p 0 ф],
[о 0 oj
[0 ф 3 О О 41
0 О О ф О -3
0 О 0 0 ф 2J
О трггод nivaKag eivai eniarig ёуа napaSeiypa nivaKa ae Kavovucq popcpq cog npog Tig ураррёд. О
беитерод nivaKag бе PpiaKeTai ae Kavovucq popcpq cog npog Tig ураррёд, ка0сбд 5ev iKavonoiei Tqv
i5iOTT|Ta (4): unapxei pia pq-pq5evucq катахсбрют] navco ano то беитеро o5qyo, arqv Tpirq orqXq.
ТёХод, оите Kai о прсбтод nivaKag Рр1акета1 ae Kavovucq popcpq cog npog Tig ураррёд, ка0сбд 5ev
iKavonoiei Kapia ano Tig i5idrr|Teg (3) Kai (4): Kanoioi o5qyoi 5ev laouvrai pe 1, evcb unapxouv pq-
pq5evi^g KaTaxcopioeig navco ano тоид o5qyoug.
ETOixEicbbeig МетаохЛМатиф0* Tpappcbv
Упо0ётоире о A eivai evag nivaKag pe ураррёд R| ,R2,...,R„,. Oi ак6Хои0ед npa^eig arov A ovopa^ovrai
aToixEicb6eig npa^eig ypappcbv, q, mo ouxva, aroixEicb6eig peTaoxqpaTiapoi ypappcbv.
[Б,] (ApoiPaia AvTaXXayq Tpappcbv): ApoiPaia avTaXXayq tcov ypappcbv R, Kai Rr Auto 0a
aupPoXi^eTai cog e^qg:
“ApoiPaia avTaXXayq tcov R, Kai Rj” q “ R, <-> Rj ”
[E2] (KXipaKcooq Гpappqg): AvTiKaTaaTaoq Tqg ypappqg R, pe ёуа pq-pq5eviKO noXXanXaaio kR,
тои еаитои rqg. Auto 0a aupPoXi^eTai cog e^qg:
“AvTiKaTaaTaoq Tqg R, pe kR, (k*0)” q “ kR, <-> R, ”
[E3] (Ilp6a0eoq Гpappcbv) AvTiKaTaaTaoq rqg ypappqg Rj pe to a0poiopa evog noXXanXaoiou kR,
piag ypappqg R, Kai rqg i5iag rqg ypappqg. Auto 0a oupPoXi^eTai cog e^qg:
“AvTiKaTaaTaoq rqg Rj pe kR,+Rj” q “ kR, + Ry <-> R} ”
To рёХод отоид [E2] Kai [E3] pnopei va бюРаоте! “avriKa0ioTd”.
Мер1кёд срорёд (прокецлёуои, yia napadeiypa, va anocpeuyoupe та кХаората oTav 6Xoi oi беборёуо!
api0poi eivai акёраии) pnopoupe va e<pappdC,oupe тоид [E2] Kai [E3] paC,i, oe ёуа Pqpa. Mnopoupe,
5qXa5q, va ecpappo^oupe tov e^qg peTaoxqpaTiopd:
[Е] Аупкатаотаот] -rqg Rj це то а0роюца той лоХХалХаоюи kR, щад ураццед R, Kai evoc, цт]-
|iT]5eviKOv лоХХалХао1ои k'R, tov еаитои Trig. Auto 0a оицРоХ1^ета1 cot; E£,f|g:
“Аут1катаотаот| тт|д Rj це kR,+k'Rj (kVO)” f| “kR, + k'Ry —> Ry ”
Tovi^ETai oti отоид цетаохгщатюцоид [E3] каг [E], povo т] уращп) R, трололосепаь
Ioo6uvapia Граццшу, о ВаОцбд evdg Шуака
Леце oti evag irivaKag A eivai ураццойтобиуацод це eva лгуака B, Kai урасроице
A~B
eav о В цлоре! va Xr|<p0ei ало tov А цёосо щад акоХои01ад otoix£ico6cov цетаахтщатюцсоу ураццсбу.
Ztt|v лер1лтсоот| олоо о В eivai ел1от|д evag кХщаксотбд лп/акад, оуоца£ета1 кХщаксотт) цор<рт| тои А.
AkoXouGovv био Раоиса 0есоргщата лаусо отт] урацциа) юобиуаща.
©есортща 3.7: Уло0ётоице oti oi А=[ац] Kai B=[by] eivai 5vo ураццоюобиуацос кХщаксото! л^акед
це avTioTOixovg обт]уоид та
alJi,alh' аЧ, Kai ^l*i’^2*2’ •
Тбте oi A Kai В ё%оиу tov i5io ар10цо цт]-цт]беу1ксбу ураццсбу, бт|Хабг| r=s, Kai oi
oSrjyoi ppioKOvrai ong i6ieg 06oeig, Зт]Ха5г| j|=kb j2=k2,..., jr=kr.
©есортща 3.8: Ka0e л1уакад A eivai ураццоюобиуацод це eva цоуабисб л1уака лои ppioKerai ое
KavoviKf| цорсрт] сод лрод Tig ураццёд.
Oi ano6ei^eig tcov ларалаусо Оесортщатсоу avaPaXXovTai yia то КесраХаю 4. О цоуаб1код л(уакад
ото ©есортща 3.8 KaXenai кауоуиа) сод лрод Tig ураццёд цорсрт) тои А.
Хрт]ощоло1соутад та лю лаусо Оесортщата, цлороице тсора va бсбооице tov лрсбто цад орюцб yia
то Ра0ц6 evog л1уака.
Орюцбд: О Ра0ц6д evog Л1уака А, лои ypacperai rank(A) (ало тт| Хё^т] “rank” лои ormaivei
Ра0ц6д), юоита1 це tov ар10цо tcov обт>усбу ое ц1а кХщаксотт) цорсрту тои А.
О Ра0ц6д eivai ща лоХи отщаутиа) 1бютт|та evog л1уака кац avaXoya це то лерфаХХоу ото оло1о
Хрт]01цоло1е1та1 о л1уакад, о Ра0ц6д 0а opi^eTai це лоХХоид бикроретисоид трблоид. ВёРсна, 6Xoi oi
opiopoi 0а обт]уоиу otov i6io ар10цо.
Н ел6цеут| лараурасрод 5ivei тт| бккта^т] це л1уакед ттуд алаХокрт|д Gauss, т] оло1а ppioKei ща
кХщаксотг) цор<рг| evog олоюибт|лоте л!уака А (ара Kai то Ра0ц6 тои А), олсод ел1от|д PpioKei Kai tt|v
KavoviKT| cog лрод Tig ураццед цорсрт| тои А.
Млоре! калоюд va 6ei£,ei oti г] юобиуаща ураццсбу eivai ща ох£от| юобиуащад. Дт|Хабг|:
(1) А~А yia олоюбт|лоте л1уака А.
(2) Eav А~В, тбте В~А.
(3) Eav А~В Kai В~С, тбте А~С.
Н 1бютт|та (2) алоррёе! алб то yeyovog oti о ка0е oT0ix£ic66i]g цетаохтщстоцбд ураццсбу ёх£1 £va
avrioTpocpo ц£таохг111аТ1а11 (ii)6 тоъ iSiov тилои. Еиукекщцёуа:
(i) О ЦЕтаохгщсгпоцбд “Ацофа1а аутаХХауг| tcov R, Kai Rj” eivai о avrioTpocpog тои еаитои тои.
(ii) Oi ЦЕтаохущатющн “Аупкатаотаот] ттуд R, це kR,” Kai “Аупкатаотаот] ттуд R, це (l/k)R,”
eivai avTiorpocpoi.
(iii) Oi pETaoxnpaTiopoi “Агакатаотаот! Tqg R, це kR(+Rj” Kai “Аутскатаотаот] Tqg Rj це -kR,+Rj”
Eivai avriarpoipoi.
YndpxEi Eva паророю апотёХЕора yia то рЕтаохпратюро [E] (ПрорХтща 3.73.).
3.8 АПААО1ФН GAUSS, AIATYIIQLH ME IIINAKEL
Ett|v лараурафо аитт| 0a Soups Suo aXyopi0poug nivaKCOv, лои ncTUxaivouv та Ef,f|g:
(1) О AXyopi0pog 3.3 цЕтаохгщатф! sva олою5т|лот£ nivaKa A oe кХсраксотт] рорфт|.
(2) О AXyopi0pog 3.4 цЕтаохгщат1^Е1 tov кХсраксото nivaKa ott]v Kavovucr] cot; Tig Tig ураррёд
ЦОрфТ| тои.
Oi aXyopi0poi auToi, oi onoioi yprioiponoiouv тоид otoixeicoSeu; рЕтаохпратюроид ypappcbv, Eivai
алХа avaSiawncbosig Tqg алаХо1фТ|д Gauss, q onoia opcog тсора Ефаррофтас navco oe nivaKsg Kai oxi
navco oe ураррисёд E^iocboEig.
AXy6pi0pog 3.3 (AnaXoicpi) лрод та Ерлрбд): H EiooSog Eivai svag олоюо5т|лоте nivaKag A. (O
aXyopi0pog толо0ете1 pqSEvucd катсо ano tov
ка0Е oSqyo, SoulEuovTag “ano navco npog та
катсо”.) H E^oSog Eivai pia кХ1раксотт| рорфт| тои
A.
Bqpa 1. BpioKOupE Tqv прсотт] orqXq pE pia pq-pqSEvucq катахсорюц. 'Еотсо oti q orqXq au-cq
oupPoXi^ETai p£ j|.
(a) AiEU0ETOupE etoi Coote alyi * 0. Eav, SqXaSq, Kpi0Ei avayKaio, KavoupE
аутаХХауёд рЕта^и tcov ypappcbv etoi va Ерфауфтас pia pq-pqSEviKq
катахсорюп ott]v прсотт] ypappq, ott] orqXq jj.
(P) XprjoiponoioupE to alyi cog о5т]уо yia va napoups pqSsviKa катсо ano аито.
EuyKEKpipsva, yia i>l:
(1) ©ЕтоирЕ m = -aIJt I aiJt, (2) AvriKaOioroups Tqv R, p£ mRj+R,
[ЕфаррофирЕ, SqXaSq, то рЕтаохпратюро - (ayi /а1?1 )/?]+/?,—> R,.]
Bijpa 2. EnavaXapPavoupE то Вт|ра 1 р£ tov unonivaKa пои охпрат^вта! ano oXsg Tig ураррёд
Ектод ano Tqv прсотт]. Е5со oupPoXi^oupE р£ j2 Tqv прсотт] отт|Хт] ото ипооиотт]ра р£
pia рт]-рт]5ЕУ1кг| катахсорют]. 'Etoi, ото тёХод тои Вт|ратод 2, 0а ёхоирЕ а2п Ф 0.
BqpaTa 3 рёхР1 EuvExi^oupE Tqv napanavco SiaSiKaoia рёхрс svag unonivaKag va ёхес povo
рт]бЕУ1кёд ураррёд.
Tovi^ETai oti ото тёХод той aXyopi0pou, oi oSriyoi 0a Eivai та
flV.’ .....a4r
ixKCKt то r oupPoXi^Ei tov api0po tcov ptj-ptjSevikcov ypappcbv otov teXiko кХсраксото nivaKa.
IlapaTiipiiOT] 1: О акоХои0од api0pog m ото Bripa 1 (P) KaXsiTai noXXanXaoiaorrig:
____aVl _ катахсория] поп прбкЕггсп va Siaypacpci
oSqyo;
Паратпрдот) 2: О ЦЕтаохлцатюцб; ото Втцла 1 (Р) pnopsi va аут1катаота0Е1 апо то рЕтаохлратюрб
Аупкатаотаат] Tq; R, це - R, + а1у) Л,
'Etoi апофЕоуоорЕ та кХаората otov 6Xoi oi api0poi sivai yvqoioi акераюи
AXyopi0po; 3.4 (AvTiKOTaoraaq про; та Ilioco): H eiooSo; Eivai Eva; nivaKac; А=[ач] oe
KXipaKCOvq рорфТ| це oSqyoo; та
aV. ’ аЪ1..... аГ),
Н Ё^оЗо; Eivai q KavoviKq со; ярое; тк; ураррб;
рорфт| топ А.
Bqpa 1. (а) (Xpqoiponoioopfi KXipaKCOoq ypappq;, etoi Фоте о teXeotoio; oSqyo; va
loooTai це Eva.) IloXXanXaoia^oopE rqv teXeotoio pq-pqSEvucq ypappq R,. це
то 1/агл .
(Р) (Хрт)01ЦолоюоцЕ тоауг=1 yia va парооцЕ pqSEviKa navco апо tov oSqyo.) Па
i=r-l,г-2,...,2,1:
(1) ©етооце т=-а1)Г, (2) АупкоОютооце rqv R, це mRr+Rr
(Ефарцб^ооцЕ, 8qXa8q, то pETaoxqpaTiopd -atJ Rr + R, —» R,.)
Bq цата 2 Ц^ХР1 r-1. EnavaXapPavoopE то Bqpa 1 yia ti; ypapps; Rr-l,Rr-2,...,R2.
Bqpa г. (XpqoiponoioopE KXipcuccooq ypappq;, etoi Фоте о прсото; o8qyo; va ioootoi це Eva.)
ПоХХапХао1а^ооц£ Tqv R| це l/aly| .
YnapxEi ц!а EvaXXaKTiKq рорфТ| too AXyopi0poo 3.4, Tqv onoia 0апЕр1урафооцЕ тсора Xektikci. Н
vonucq пЕр1урафТ| too aXyopi0poo аотоб афГ|УЕта1 otov avayveborq сое; npopXqpa про<; Xooq.
EvaXXaKTiKog AXyopiOpog 3.4 Топо0етооце pqSEviKa navco апо тоос; oSqyooc;, ураццт| npoc;
ypappq, апо катсо npoc; та navco (koi oxi orqXq npoc; orqXq koi
апо арютЕра npoc; та Se^ici).
О EvaXXaKTiKoc; аХуор10цо<;, otov Ефарцб^Етас oe £va Enao^qpEvo nivaKa M evoc; оооттщатос;
урацщксоу e^iocooecov, Eivai oooiootikci q 3ia3iKaoia поо окоХоо0ооце yia va Хооооце to oooTqpa
cog npoc; тоос; Pooikooc; ayveboTOoe;, tov sva цетсс tov aXXo koi апо катсо npoc; та navco.
Парат^рдся): Tovi^etoi oti q anaXoupq Gauss Eivai ц(а 3ia3iKaoia 3oo otoSicov. ZoyKEKpipEva:
Етабю A (AXyopiOpog 3.3). Tono0£Tqoq pqSEviKcbv катсо ano tov ка0Е oSqyo, ^ekivcovtoc; ano Tqv
npcbTq ypappq R, koi npoxcopcbvTac; npoc; та катсо.
Lxd3io В (AXydpiOpog 3.4). Толо9ётт|от) ^Sevikcov лаусо ano tov кабе о8т)у6, ^ekivcovtoc; ало tt|v
TEkEuxaia ураццт| R,. koi npoxmpcbvxac; ярое; та лavco.
Улархв! Kai £va<; <Ш.о<; аХубребцо;;, о XeyojiEvoc; Gauss-Jordan, о ояоюс; ел(от)<; avaysi eva л(уака
orqv KavoviKT| co<; ярое; тк; ураццёд цорсрт| тои. Н Зюсрора syKEiTai ото oti о Gauss-Jordan толо9ете(
|ir|5£viKd тбоо катсо боо koi лаусо ало tov кабв оЗт)уб, кабсо<; SiaypacpEi tt|v лорЕса тои ало tt|v
лрсотг| ураццт| R] ярое; та катсо. ПарбХо лои о Gauss-Jordan цлорв( va sivai лю evkoXoc; otov орюцб
Kai ott|v катаубт|от| тои, evtovtou; Eivai лоХъ XiyoTEpo алоЗотскбс; ало tov aXyopiOpo алаХоирг|<;
Gauss 3vo oraSicov.
ПараЗегуца 3.11.
Г1 2 -3 1 21
©EcopsioTE tov л1Уака = 2 4 -4 6 10 .
[_3 6 -6 9 13 J
(a) Na хрт|О1цоло1Т|О£Т£ tov AXyopiOpo 3.3 yia va avayaysTE tov A as pia кХсцаксотт) цорсрт|.
(P) Na хрг|оФ°ло11]О£Т£ tov AXyopiOpo 3.4 yia va avaydyETE ЛЕрастёрсо tov A ott|v Kavovua] co<;
ярое; тк; ураццёс; цорсрёс; тои.
(а) Хрт)О1цолоюбц£ лреота сое; оЗт)уо то ан=1 yia va лароицв цт)ЗбУ1ка катсо ало аитб,
всрарцб^оицв 8т)Ха8т| тоис; цвтаохтщатюцобс; “Аутскатаотаол тт|<; R2 це -2R]+R2” koi
“Аупкатаотаот) тт|<; R3 це -3R]+R3”, koi акоХоббсос; хрт)О1цолоюицб сое; оЗт)уб то а23=2 yia
va лароицв цт)ЗбУ1ка катсо алб аитб, всрарцб^оицв Зт)ХаЗт| тои<; цвтаохтщатюцобс;:
3
“Аупкатаотаот) тт|<; R3 це ~ — R2+R3”. Аита ца<; oSrjyovv otov
[1 2 -3 1 21 Г1 2 -3 1 2"|
00 2 4 6 I ~ I 0 0 24 6
00 36 7J [° 0 00 -2J
О л(уака<; PpioKETai тсора ое кАдцаксотт) цорсрт|.
1
(Р) ПоХХалХаоса^оицЕ tt|v R3 це то - - ётос coote т| катахсорют) а35 va ioovtoi це 1, koi отг|
ouv6x£ia xPT)aiM07t0l0^lie т0 а35=1 m<5 оЗт)уб yia va лароицв цт)ЗбУ1ка лаусо алб аитб
всрарцб^оугас; SiaSoxrcd тои<; ц£таохгщатюцои<; “Аут1катаотаот) тг|<; R2 це -6R3+R2” koi
“Аупкатаотаот) тг|<; Rj це -2R3+Rj”. Аита ца<; o3r)yovv otov
[1 2 -3 1 2*1 Г1 2 -3 1 01
00 2 4 6 ~ 0 0 240 .
0 0 0 0 1J |_0 0 0 0 1J
1
ПоХХалХаош^оицЕ тсора tt|v R2 це то — ётос coote т] катахсЬрют) а23 va ioovtoi це 1, Kai
ёл£1та хрт)О1МОЛО1ОйЦ£ то а23=1 сое; оЗт)уб yia va лароицв цт)3£У1ка лаусо алб аитб
Есрарцбфугас; то ЦЕтаохпцатюцб “Аупкатаотаот) тт|<; Rj це 3R2+Rj”. Аитб ца<; oSriysi otov
[1 2 -3 1 01 Г1 2 0 7 01
00 1 2 0 - 0 0 1 2 0.
0 0 0 0 1J |_0 0 0 0 1J
О TskEVTaio^ л(уака<; Eivai т) kovovikti сое; лро<; тк; ураццёс; цорерт) тои А.
Ефарцоуд ос Еиотг|рата Tpappuccbv E^iocooecov
'Even; тропо<; yia va Xvvovpe eva ovarqpa ypappuabv e^iocboecov eivai va боиХеиоире це tov епаиф]рёуо
тои nivaKa M, лара ru; iSiec; tu; e^ioooeig. Еиукекр1рёуа, avayovpe tov nivaKa M ae кХфаксотт]
popepq (q onoia pm; Xeei ката nooo то ovorqpa e%ei Xvoq), Kai акоХоиОсо<; avayovpe перагсёрсо tov М
ovqv Kavovucq co<; npo<; тк; ураррёд рорфт| тои (q onoia ovoiaoriKa 5ivei vq Xvoq too apxiKOV
аиаттц1ато<; ypappuabv e^iocboecov). H 5iKaioX6yqoq yia vq 5ia5iKaaia avrq npoepxETai ano та
акоХоиОа yeyovora:
(1) Onoioo5qnore oroix£icb5q<; рЕтаохпцогюрбв; ypappcbv otov enav^qpevo nivaKa M too
аиатт|рато<; eivai ioo5vvapo<; pe Tqv ефарроут| too avriorotxov ретаохЛМаг1аМ0^ ото iSio то
ovorqpa.
(2) То ovorqpa ex£i Xucrq eav Kai povo eav q KXipaKCorq рорфт| too enav^qpevov nivaKa M 5ev
ex£i pia ypappq rq<; рорфт|<; (0,0,...,0,b) pe b*0.
(3) Zrqv Kavovucq co<; npo<; tu; ураррёд рорфт| тои Епаи^рёуои nivaKa М (anoKXeiovrcu; tu;
pq5evire<; ураррёд), о ovvT£Xeorr|<; rq<; каве Paoucq<; perapXqrqf; eivai even; o5qyo<; пои loovrai
ре 1 Kai eivai q povaSiKq pq-pq5eviKq KaTaxcbpiaq orqv avrioroixq orqXq. Q<; ек rovrov, q
рорфт| еХеиОёрсоу perapXqrcbv rq<; Xvoq<; тои ovorqpaTO<; ypappiKcbv e^iocboecov XapPaverai
ретафёроутса; anXa ru; eXev9epe<; peтapXqтё(; ото 5e^i6 рёХо<;.
H 5ia5iKaoia avrq 5ievKpivi£erai пю катсо.
Парйбпура 3.12. Na Хиоете то каОёуа ano та акоХоиба ovorqpara:
x + 2y + z = 3
2x + 5y — z = —4
3x — 2y — z = 5
(?)
(a) Avayovpe rov епаи^рёуо too nivaKa M oe KXipaKCorq рорфт| Kai ёпепа oe Kavovucq рорфт|
co<; npo<; тк; ураррёд, co<; акоХоибсо*;:
Г1 1 -2 4 5] Г1 1 -2 4 51 Г1 1 0 -10 -9"|
М = I 2 2 -3 1 3 I ~ I 0 0 1 -7 —7 I ~ 0 0 1 -7-7
[_3 3 -4 —2 1J [_0 0 2 -14 -14j [_0 0 0 0 oj
Savaypacpovpe vqv Kavovucq рорфт| сое; про<; тк; ураррёд ре dva cniovqpa ypappiKcbv e^iocboecov
yia va napovpe rq рорфт| еХеибёрсоу perapXqrcbv rq<; Xvoq<;. AqXabq,
X] +x2
- 10x4
x, - 7x4
*1
—9-x2 + 1Qx4
—7 + 7x4
П
(H pqbevucq ypappq napaXeinerai orq Xvoq.) naparqpovpe on та x, Kai x3 eivai 01 Раоисёв;
peтapXqтё(;, eveb та x2 Kai x4 01 eXev9epe<; peтapXqтё(;.
(P) Avayovpe npebra rov епаи^рёуо rov nivaKa M oe KXipaKCorq рорфт| co<; акоХои0со<;:
[1 1 -2 3 4"] Г1 1 -2 3 41 Г1 1 -2 3 41
2 3 3 -1 3 ~ 0 1 7 —7 —5 I ~ I 0 1 7-7-5
5 7 4 1 5j |_0 2 14 -14 15 J [° ° ° ° -5J
Ae xpeia^ETai va <yvvE%ioougE yia va ppoopE ttjv KavoviKT| co<j npog Tig ypappsg popcpq тои M,
ка0шд г] кХсраксотт] рорсрт] рад Xeei DnoSEiKVDEi oti то оооттща Sev exei Xdot|. ZvyKEKpipEva,
т| тргтт] ypappf| тои кАлраксотоо nivaKa avriOTOixEi ottjv EK(pDA.iop£vr| A.dot|
0x1+0x2+0x3+0x4=-5
t| onoia Sev exei Xdot). EDVEncbg то сгиатт|ра Sev exei Xdot).
(y) AvayoopE tov EnaD^ripfivo tod nivaKa M oe кАдраксотт| popcpf| Kat EnEvca oe Kavoviiai pop<pf|
cog npog Tig ypappig, cog акоХооОсод:
'1 2 1 31 Г1 2 1 3] Г1 2 1 31
M = 2 5 —1 —4 ~ 0 1 -3 -10 I ~ I 0 1 -3-10
3 -2 -1 5J |_0 -8 -4 -4 J |_0 0 -28 -84 J
‘12 1 31 Г1 2 0 01 Г1 0 0 21
~ 0 1 -3 -10 ~ 0 1 0 -1 I ~ 0 1 0 -11
0 0 1 3 0 0 1 3J L° 0 1 3J
Enopfivcog то оиотт|ра exei tt] povaSuai Xdot| x=2, y=-l, z=3, f), tooSovapa, to Siavuopa
u=(2,-l,3). ZripEicbvETai oti г] кАлраксотт| popcpf| tod M f)8r) опоЗепсуое oti r] Xdot| f|Tav
pova8iKT|, каОсод avTtoTotxoDOE oe Eva TpiycoviKO оиотт|ра.
Ефарроут] ото 0Ecbpr]pa 'Ynapjjijg koi Mova6iK6rr]Tag
Ettjv ononapaypacpo аотт| 0a Soupr капоид 0Есорг|Т1К£д ouv0r|KEg yia ttjv onap^r] Kai tt] pova8iKOTT]Ta
piag X.DOT|g Evog оиотт|ратод ypappiKcbv e^iocooecov xP6CTlM07r0K‘)VTa(5 "пр Ewoia tod PaOpoo svog
nivaKa.
0Ecbpr]pa 3.9: 0Ecopoup£ Eva ODorqpaypappiKcbv e^iocooecov p£ n ayvcboToog Kai EnaD^rjpsvo nivaKa
tov M=[A,B]. Tote:
(a) To ODonipa exei Eav Kai povo Eav rank(A)=rank(M).
(P) H Xdot| Eivai pova8iKT| Eav Kai povo Eav rank(A)=rank(M)=n.
Axdtei&i tov (a): To оиотт|ра exei Xdot| eclv Kai povo Eav pia KXipaKCOvq popcpf| tod M[A,B] Sev
exei pia ypappf| nig popcpng
(0,0,...,0,b), pE b*0
Eav pia кАлраксотт) popcpq tod M exei pia тетош ypappq, tote to b 0a Eivai о о8г|у6д tod M aAAa 6x1
tod A, Kai apa rank(M)>rank(A). AiacpopETiKa, 01 кХсраксотед popcpsg tcov А кас M 0a exodv тоод
iSioog о8т|уоод, Kai apa rank(A)=rank(M). Adto anoSEiKVDEi to (a).
AnoScify tov (fl): To оиотт|ра exei pia povaSiiai A.dot| Eav Kai povo Eav pia кА.1раксотт| popcpf|
Sev exei eXedOept] р£тарА.т|тт|. Adto oripaivEi oti 0a DnapxEi svag oSrjyog yia tov ка0Е ayvcooro. Ката
ODVEnEia, n=rank(A)=rank(M), kclti to onoio anoSEiKVDEi то (P).
Н лю 7tavco атгобеф] xpi]oig07roiei то ysyovoq (ПрбрХтща 3.74) oti pia кХ1раксотт| pop<pf| too
E7tav£r)|iEvov TtivaKa M=[A,B], o8r]y£i Enioriq аитбрата as pia кХ1раксотт| pop<pf| too A.
3.9 H ESIEQEH IIINAKflN ENOE EYETHMATOE TPAMMIKflN ESIEQEEQN
To ysviKO оботт|ра (3.2), m ypappiKcbv e^iocooecov ps n ayvcboTOoq, sivai ioo8ovapo ps rr)v s^iocoor|
Ttivaiaov
aU a12 ••• а1л
a2l a22 ••• а2л
'bi ‘
b2
.bm_
f| AX=B
_aml am2
олоо o A=[a1J] sivai о nivaKag oovteXsotcov, о X=[xJ to Siavoapa атт|Хту; tcov ayvcoaTCOv Kai о B=[bJ
to Siavoapa атт|Хг|<; tcov OTa0spcbv opcov. (MspiKa РфАла ypacpoov Ax=b avTi AX=B, npoKEipsvoo va
Scbaoov Epcpaari ато ysyovoq oti та x Kai b sivai атсХа SiavoapaTa атт|Хт|<;.)
H 8т]Хсоат] oti sva оботт|ра ypappiKcbv s^iacoascov Kai r| s^iacoari nivaKcov sivai laoSovapa, aripaivsi
oti O7toia8f|7coTE SiavoapaTiKi) Хбат| too аиатт|рато<; sivai Kai Xoar| ттц; е^осоотц; nivaKcov, Kai
avTiaTpocpa.
napdSsiypa 3.13. To ларакатсо абатг|ра ypappiKcbv s^iacbascov Kai sE,iacoar| tcivokcov sivai
laoSovapa:
ErjpsicbvsTai oti t) Xj=3, x2=1, x3=2, x4=1, f|, aXXicbq, to Siavoapa u=[3,1,2,1], sivai pia Xoar| too
aoaTTipaToq. Qq ek tootoo, to Siavoapa (атт|Хт|<;) u sivai sTtiariq pia Хбат| тг]с; s^iacoariq TtivaKcov.
H pop<pf| TtivaKcov AX=B svoq ооатт|рато<; ypappiKcbv E^iacbascov ка01атата1 aripsioypacpiKa лоХо
PoXikt| ката rr)v ava7tro£r) Kai атсдЗбф] i8iott|tcov tcov аоатт)ратсоу ypappiKcbv s^iacbascov. Aoto
SisoKpivi^ETai ps to лрсото paq Эвсорцра (to onoio nspiypacpsTai ото E%f|pa 3-1), to onoio тсора
avaSia-coTccbvoops yia sokoXt) avacpopa.
0s<bpi)pa 3.1: YnoOsTOvraq oti to ns8io К sivai aitspiopiaTO, tote to абатт|ра AX=B: (a) site exei
pia povaSiKi) Хбат|, (P) site Sev exei Xoar|, (y) site exei ansipsq Xbosiq.
Anodei^: ApKsi алХа va Ssi^oops oti sav to AX=B exei nepiaaoTEpEq атсо pia Xbasiq, tote oi
XoaEiq aoTEq sivai anEipEq. Aq oTcoOsaoops oti та u Kai v sivai SiaKEKpipsvsq Xbasiq too AX=B,
8r)XaSf| Au=B Kai Av=B. Tote, yia О7сою8т|7сот£ ke K,
A[u+k(u-v)]=Au+k(Au-Av)=B+k(B-B)=B
ETtopsvcoq, yia кабв ke К, to 8iavoapa u+k(u-v) Eivai pia Хбат| too AX=B. Acpoo oksq аотЁд oi Xbasiq
Eivai 8iaKEKpip£VEq (ПрбрХт|ра 3.47), то AX=B 0a exei атсврюрюто api0po Xbascov.
Паратт)роор£ oti to tcio 7tavco 0£сорт|ра Eivai аЛг|0Ёд otov то К sivai то 7сраурат1к6 7ts8io R (f| to
piya8iKO 7ts8io C). £rr)v Параурасро 3.3 si8aps oti to 0scbpr)pa exei увсорЕтрна) £ppr)v£ia otov to
ооспора anoTE^EiTai атсо 8bo e^iocooek; ps 8bo ayvcbarooq, отсоо r| ка0£ еёдососгг] avanapiOTa pia
EO0sia otov R2. To 0Ecbpr|pa exei Enicrrn; уЕсорЕтрна) EpprjvEia otov to оботт]ра anOTEksiTai атсо трек;
pq-SKipvXiopsvsc; s^iocbosu; ps трек; ayvcbcTOvc;, олоу oi TpEic; s^iocbosu; avTiOTOixovv ота Ел1лЕ8а H|,
H2, Н3 otov R3. EvyKSKpipsva:
(a) Movaducf] Avar]: E8cb та тр1а блисб8а Tspvovrai oe sva акрфсод oqpsio.
(P) Kania Avar]: E8cb, site та блисб8а Tspvovrai ava 8vo aXX.a xcopic; koivo oqpsio Topqc;, site 8vo
аяб та Ея1я£8а sivai лараХХл]Ха.
(у) Aneipeq Avaeiq: E8cb, site та Tpia ЕлисвЗа Tspvovrai oe pia svOsia (pia EXsv0spq pErapXqrq),
sirs оорл1лтоот (8vo sXsvOspsc; psrapXqrEc;).
(a) Mova5iKT| Avar]
(y) Anetpe; Avnet;
(P) Kapa Avar]
ЕЭТраЗ-З
Oi rpsig avrsq лбрштсооЕк; ansiKOvi^ovrai ото Sxnpa 3-3.
H E£,iocoor| IlivdKcov svdg TsrpaycoviKov EvorqpaToq ГpappiKcbv E£,iocboscov
'Eva ovorqpa ypappiKcbv s^iocboscov AX=B sivai TETpaycoviKO sav Kai povo sav о rcivaKac; oovteXeotcov
A sivai TETpaycoviKOt;. Ее pia тетош я£р1ят(оот|, £%оирЕ то ларакатсо oripavTiKO 0£cbpi]pa.
Oscbpijpa 3.10: 'Eva TETpaycoviKO ouovripa ypappuabv e^iocooecov AX=B exei pia pova8iKT|
Moi] Eav Kai povo sav о л1уака<; A sivai avTioTp£\|/ipo<;. Ze pia TETOia
л£р1лтсоот|, о A-1 В sivai т] pova8iKT| Хбот| тои оиотг|рато<;.
Ako8eikvuoup£ s8cb povo oti, Eav о A sivai avTiOTps\|/tpo<;, tots о A_|B sivai pia pova8iKT| Xvoq.
Eav о A sivai avrioTpsi|/ipo<;, tots
A(A~XB) = (AA~')B = IB = B
Kai ара о A-1 В sivai pia Xvoq. УлоОбтоурб тсора oti to v sivai pia оло1а8т|лотб Xvoq, олбтб Av=B.
Т6т€
v = Iv = (A~lA)v = A~l(Av) = A~lB
Euvencbc; r| Xuor| A''B eivai pova8iKT|.
IlapaSeiypa 3.14. ©ecopoupe то акоХоиОо стиотг|ра ypappiKcbv e^iocboecov, yia to onoio SivovTai
enicn]g о nivaKac; ouvTeXeoTcbv A Kai о avTiorpocpoc; A'1:
x + 2y+ 3z= 1 Г1 2 31 Г 3 -8 31
x + 3y + 6z = 3, 4= 1 3 6 . 4“l= 1-1 7 -3 I
2x + 6y+13z = 5 |_2 6 13J [ 0 —2 1J
Ano to ©ecbpripa 3.10, r| povaSucri Хиот] тои оиотт|рато(; eivai о
Дг|Ха8т|, х=-6, у=5, z=-l.
Паратцрдсп]: Препы va xovurcei oti то ©ecbpripa 3.10 ouvriOcoc; 8е рас; Por|0a va Рроире п] Xuoq
evoc; тетраусошкои оиотт|рато<;. То va Рроире, SiqXaSf], tov avriorpocpo evoc; nivaKa ouvreXeorcbv A,
Sev eivai апарагп]та еикоХбтеро ano то va Xuooupe KareuOeiav to ouovripa. 'Etoi, Xoinov, ектбс; eav
8iverai о avTiorpocpoc; evoc; nivaKa ouvreXeorcbv A, oncoc; ото IlapdSeiypa 3.14, eva тетрауамко
оиотт]ра ouvriOcoc; Xuverai pe anaXoupr| Gauss (f| pe Kanoia enavaXr|nTiKT| pe0o8o, tt]<; onoiac; opcoc; r|
е^етаот) PpioKeTai пера ano roue; окопоис; тои napovroc; РфХюи.)
3.10 EYETHMATA TPAMMIKQN EHIEQEEQN KAI TPAMMIKOI EYNAYAEMOI
AIANYEMATQN
YnevOupi^erai oti eva Siavuopa v otov Kn KaXeirat ypappiKoc; avvSvaopoc; tcov 8iavuoparcov
U|,u2,...,um otov Kn eav unapxouv apiOpoi a1,a2,...,am ото К reroioi сооте
+а2и2 + --- + атит
Ката ouveneia, то yeviKO оиотт|ра ypappiKcbv e^iocboecov (3.2) Kai то mo navco looSuvapo Siavuopa
exouv Xuot| eav Kai povo eav to Siavuopa отт|Хг|(; tcov oraOepcbv opcov eivai evac; ypappiKoc; ouvSuaopoc;
tcov OTT]Xcbv тои nivaKa ouvTeXeoTcbv. Aiawncbvoupe тсора тишка tt]v паратт|рг|от| аитт|.
©есорцра 3.11: 'Eva оиотт]ра ypappiKcbv e^iocboecov AX=B exei Xuor| eav Kai povo eav о В
eivai evac; ypappiKoc; ouvSuaopoc; tcov on]Xcbv тои nivaKa ouvreXeoTcbv A.
Euvencbc;, r| anavn]OT] ото прбрХт|ра тт|<; ексрраотр; evoc; Siavuopawc; v otov Kn coc; ypappiKou
ouvSuaopou tcov SiavuopaTCov ubu2,.. .,11^ otov Kn avayeTai ott]v eniXuorj evoc; оиотт|рато(; ypappiKcbv
e^iocboecov
IlapdSEiypa ГpappiKou LuvSuaopou
Ag илобвооирЕ oti ввХоирЕ урац/оирв то Siavuopa v=(l,-2,5) cog ypappiKO ouvSuaopo tcov
SiavuopaTcov
U]=( 1,1,1), u2=( 1,2,3), u3=(2,-l,l)
Архка ypacpoupE v=xu]+yu2+zu3 ps ayvcboTOug та x, y, z, Kai ott| ouvsxsia Рр1окоир£ to looSuvapo
стйотт]ра ypappiKcbv e^iocooecov, to otcoIo koi XuvoupE. LuyKEKpipsva, ypacpoupE лрсота
ИННЫ-;]
Tote
Г *1 ГХ1 M Г22! Гх+'+2г‘1
-2 = * + 2y 4- -z = x + 2y — z
L 5j |_*J L3jpJ L d [_x4-3y + zj
E^iocbvovTag рвта^и тоид Tig avTioroixfig катахсор1о£1д, оЗт|уоираот£ ото акоХоибо ойотт|ра:
х + y + 2z= 1
х + 2у- z = -2
х + 3у + z = 5
Па от|р£юураф1кг| £икоХ1а, вхоирв ypaxpei та SiavuopaTa otov Rn сод отг|Х£д, кабсод etoi ка61отата1
EUKoXoTspo va PpsOsi отт| ouvexeio то looSuvapo оиотт|ра ypappiKcbv e^iocooecov. Itt|v
лраурат1к6тт|та, рлорв( калоюд va pETapsi ало tt|v е£1осоот| SiavuopaTcov (♦) KaTEuOsiav ото ойотт|ра
(**)•
AuvoupE тсора то looSuvapo ойотт|ра ypappiKcbv e^iocooecov, avayovTag то oe кХ1раксотт| popcpi).
Аито рад oSriyei ото
х + y + 2z = 1 x+y + 2z= 1
у - 3z = -3 <ai £Л£1та ото у - 3z = -3
2у- z= 4 5z= 10
Me аут1катаотаот| лрод та лита» naipvoups тт| Хиот| х=-6, у=3, z=2. Ара Xoucov, v=-6u|+3u2+2u3.
flapASsiypa 3.15.
(a) Na ypd\|/£T£ то Siavuopa v=(4,9,19) cog ypappiKO ouvSuaopo tcov
u,=(l,-2,3), u2=(3,-7,10), u3=(2,1,9).
BpiOKOupE to looSuvapo ойотт|ра ypappiKcbv e^iocooecov ypacpovTag v=xU|+yu2+zu3, Kai to
avayoupE oe кХ1раксотт| pop<pr|.'Exoup£
x+ 3y + 2z= 4 x + 3y + 2z= 4
-2x- 7y+ z= 9 n -y+ z=17
3x+l0y + 9z= 19 y + 3z= 7
x + 3y + 2z = 4
Г| -Л- z= 17
8z = 24
Me аут1катаотаот| лрод та л!осо naipvoups тт| Хиот| х=4, у=-2, z=3. Luvsncbg то v sivai svag
ypappiKog ouvSuaopog tcov u(, u2, u3. LuyKEKpipEva, v=4u,-2u2+3u3.
(Р) Na урауете то Siavoapa v=(2,3,-5) cog ypappiKO ouv8uaopo tcov
U]=(l,2,-3), u2=(2,3,-4), u3=(1,3,-5)
BpioKOupe to ioo8uvapo сгиоттща ypappiKcbv e^iocboecov ypacpovTag v=xU|+yu2+zu3, Kai to
avayoupe ae кАсраксотт) popcpq. 'Е%оире
x + 2y + z= 2
2x + 3y + 3z= 3
-3x - 4y - 5z = -5
x + 2y+ z= 2
T| -y+ z=-l
2y — 2z = 1
x + 2y+ 2= 2
T| — 5y+5z = —1
0= 3
To auoTT|pa Sev e%ei Auaq, Kai cog ек toutou to v eivai абшато va урасрте! cog ypappiKdg
ouv8uaopdg tcov ub u2, u3.
FpappiKoi EuvSuaopoi OpOoycbvicov AiavuopdTCOv, EuvreAeor^g Fourier
Катархцу unevOupi^eTai (Параурасрод 1.4) oti to еасотерскб yivopevo u-v tcov Siavuaparcov u=(a|,... ,a„)
Kai v=(b|,...,bn) otov Rn opi^eTai ano tt)v
uv = albl + a2b2-l-----l-a„b„
EninXeov, та SiavuopaTa u Kai v Aeyovrai opOoycbvia eav то еосотер1к6 тоид yivopevo u-v=0.
Ад илоОеаоире тсора oti та Uj ,u2,... д, otov Rn eivai n pr|-pr|8eviKa, ava 8uo opOoycbvia. Auto aripaivei
OTI
(i) u, Uj=0 yia i*j Kai (ii) и,-и,#0 yia каве i
Тоте, yia олою8т|лоте 8iawopa v otov Rn, unapxei evag еикоАод тролод yia va ypacpoupe to v cog
ypappiKO ouv8uaopo tcov ubu2,...,un. О тролод аитод 8ieuKpivi£eTai ото enopevo napa8eiypa.
IlapaSeiypa 3.16. ©ecopoupe та e£,f|g Tpia 8iavuopaTa otov R3:
U]=(l,l,l), u2=(l,-3,2), u3=(5,-1,-4)
Ta 8iavuopaTa аита eivai ava 8uo opOoycbvia, 8qAa8q
U|-u2=l-3+2=0, U]-u3=5-1-4=0, u2-u3=5+3-8=0
Ад илоОеаоире тсора oti OeAoupe va ypaipoupe to v=(4, 14,-9) cog ypappiKO ouv8uaop6 tcov U|, u2, u3.
MIOoSog 1. BpioKoupe to ioo8uvapo ойотт)pa ypappiKcbv efjocboecov, олсод ото IIapd8eiypa 3,14
Kai акоХоиОсод то Xuvoupe, XapPavovTag v=3ur4u2+u3.
M£0o8og 2. (H pe0o8og аитт| xprpiponoiei to yeyovog oti та 8iavuopaTa ub u2, u3 eivai арофа1а
opOoycbvia, Kai apa q apiOpqTiKT) eivai лоХи алАоиотерт].) Грасроире то v cog ypappiKO ouv8uaop6
tcov ub u2, u3 xpqoiponoicbvrag тоид ayvcocTOug apiOpoug x, y, z, cog акоАоиОсод:
(4,19,-9)=x( 1,1,1 )+y( 1 ,-3,2)+z(5,-1 ,-4) (*)
Ilaipvoupe то еасотерскб yivopevo той (*) cog лрод то Uj yia va ppoupe
(4,14,-9)-(l,l,l)=x(l,l,l)-(l,l,l) T| 9=3x T| x=3
(Oi Suo reXeuraioi opoi anaXeicpovrai, каОсЬс; то U] eivai opOoycbvio npo<; та u2 Kai u3.) Karoniv
naipvoupe to eacorepiKO yivopevo too (*) cog npoc; to u2 yia va Рроире
(4,14,-9)-(l,-3,2)=y(l,-3,2)-(l,-3,2) f| -56=14y f| y=-4
ТёХод naipvoupe to eacorepiKO yivopevo too (*) cog npo<; to u3 yia va Рроире
(4,14,-9)-(5,-l,-4)=z(5,-l,-4)-(5,-l,-4) q 42=42z f| z=l
Еирпераорапка, v=3ur4u2+u3.
H SiaSiKaoia лои aKoXouOqOqKe orq Мё0о8о 2 тои Пара8е(урато<; 3.16, eivai yeviKorepa еукирц.
EvyKCKpipeva:
Oecbpqpa 3.12: УпоОётоире oti та ubu2,...,un eivai pq-pq8eviKa, арофа1а opOoycbvia
Siavuopara otov Rn. Тоте, yia onoioSqnore Siavuopa v otov Rn,
V-«| v u2 v u.
V =------U| 4------u2 4- •• •+-----u„
“I “I “2 • «2 мл • U„
Прёли eSeb va roviorei oti, yia va рлоре1 va xpqoiponoiqOei о tunoc; аитод 0a лрёлн va unapxouv
n тётош opOoycbvia Siavuopara u, otov Rn. Eqpeicbverai, enioqg oti to каОе u,-u,^0, каОсЬс; то каОе u,
eivai ёуа pq-pq8eviKO Siavuopa.
naparqpqoq: О паракатсо apiOpoc; k, (о onoioc; epcpavi^erai ото ©ecbpqpa 3.12) ovopa^erai
ouvreXeorqc; Fourier тои v cog npoc; to u,:
к __v ut __v u,
' “< • “c Ни/ll2
Eivai, 8e, avaXoyoc; лро<; ёуа ouvTeXeorq nyg nepicbvupqc; oeipac; Fourier pia<; ouvaprqoqg
3.11 OMOTENH EYETHMATA TPAMMIKftN EEIEQEEQN
'Eva ouorqpa ypappiKcbv e^iocboecov Xeyerai ороуеуёс; eav 6Xoi oi oraOepoi opoi eivai рт]8ёу. Епорёусос;
ёуа ороуеуё<; ouorqpa ёх£1 rq popcpq AX=0. Eivai cpavepo oti ёуа тётою ouorqpa ёх£1 cog Xuoq to
pqSeviKO Siavuopa 0=(0,0,...,0). H Xuoq autq ovopa^erai pqSeviKq q тeтplppёvq Xuoq. 'Etoi, Xoinov,
to evSiaq^pov pa<; ouvqOccg eniKevrpcbverai ото ката nooo то ouorqpa ёх£1 q oxi pq-pqSeviKq Xuoq.
KaOdg ёуа ороуеуё<; ouorqpa AX=0 ёх£1 rouXaxiorov rq pqSeviKq Xuoq, pnopei navra va ypacperai
oe pia KXipaKcorq popcpq. Tia napaSeiypa,
anxi 4- anx2 4- a)3x3 4- al4x4 4- • • • 4- atnx„ = 0
а%ХЛ + а2Л+1ХЛ+1 *-----* а2лХ" = °
arjrXj, + ••• =°
EScb to r oupPoXi^ei rov apiOpo tcov e^iocboecov oe KXipaKcorq popcpq Kai to n rov apiOpo tcov ayvcborcov.
Euvencbc; то кХсраксото ouorqpa ёх£1 n-r eXeuOepec; peтapXqтё<;.
Tia to eiSoc; rq<; Xuoqc; тои ouorqparog SiaKpivoupe Tig Зио паракатсо перштсЬоек;:
(i) r=n. To ouorqpa ёх£1 povo rq pqSeviKq Xuoq.
(ii) r<n. To ouorqpa ёхи pq-pqSeviKq Xuoq.
'Etoi, otov ^EKivaps Exovrag Xiyorspsg E^iacbasig ano тоид ayvcborovg, tote, oe кХщаксотт] popcpq,
r<n, Kai то ovorqpa 6a exei pq-pqSEviKq ^6oq. Auto опотеХе! anoSsi^q тои ларакатсо oqpavciKov
6£copq ратод.
0£copqpa 3.13: 'Eva opoyEVEg оиоттща AX=0 це лЕрюсбтвроид ayvcborovg ало Tig s^iocbosig
EXEI pq-pqSEVlKT| Xvoq.
ПарйбЕсура 3.17. Na лрообюрюЕтв ката лоао то koOevo ало та лю катсо opoyEvq оиоттщата
exei q oxi pq-pqSeviKq Xvoq:
x+ y- x = 0 x+ y- 2 = 0 X! + 2x2 - 3x3 + 4x4 = 0
2x-3>>+ 2 = 0 2x + 4y- 2 = 0 2xj - 3x2 + 5x3 - 7x4 = 0
x - 4y + 2z = 0 3x + 2y + 2x = 0 5X| + бхг - 9x3 + 8x4 = 0
(a) (У)
(a) Avayovps то оиоттща ое кХщаксотт] popcpq сод акоХоббсод:
х + у- 2 = 0 _ 2_q
+ 3z = 0 Kai ёЛ£1Та ~5y + 32 = 0
To оиоттща exei pq-pqSEviKq Xvoq, кабсод arqv кХщаксотт] popcpq vnapxovv rpsig ayvcooroi
aXXa povo Svo E^iacboEig. Ебсо to z Eivai pia sXEvOspq pErapXqrq. Ag Ofiaoups, yia napaSsiypa
z=5. Tote, p£ avriKaraoraaq лрод та л(осо, y=3 Kai x=2. ЕирлЕраорапка то Siavuopa 6=(2,3,5)
Eivai pia EiSiKq, pq-pqSeviKq Xvoq.
(P) Avayoups то оиоттща oe кХщаксотт] popcpq cog акоХоббсод:
x+y- 2 = 0 x+>>-2 = 0
2y+ z = 0 ка1£Л£1та 2y + z = 0
->» + 52 = 0 112 = 0
Ее кХщаксотт] popcpq, vnapxovv rpsig E^iacboEig Kai rpsig ayvcooroi, олоте to ovorqpa exei
povo rq pqSeviKq Xvoq.
(у) To оиоттща ба npsnEi va exei pq-pqSfiviKq Xvoq (©scbpqpa 3.13), acpov vnapxovv TEooEpig
ayvcooroi aXXa povo rpsig E^iacbasig. (EScb Se xpeia^Erai va avayoupE to ovorqpa oe кХщаксотт]
popcpq.)
Baoq yia rq Tevikt] Avoq Ev6g Opoycvovg EvorqpaTog
'Еотсо oti q W ovpPoXi^Ei rq ysviKq Xvoq evog opoyevovg оиаттщатод AX=6. Mia Xiora pq-pqSeviKcbv
Siawoparcov Xvoecov ubu2,...,us tov оиаттщатод Хере oti sivai pia Paoq yia rqv W sav то кабв
Siawopa Xvoqg we W pnopsi va EKcppaoTEi povaSiKa cog ypappiKog ouvSvaapog tcov Siawoparcov
u1,u2,...,us, Eav SqXaSq vnapxovv povaSiKoi api6poi a1,a2,...,as tetoioi coote
h> = a|Ut + a2u2 4---1- asus
О api6pog s tetoicov Siawoparcov Paoqg icovrai p£ rov api6po tcov £X£v6£pcov pErapXqrcbv. Ovopa^srai,
Se, Siaoraoq rqg W, Kai ypacpsrai dim W=s (npospxErai ало rq Xs£q “dimension” nov oqpaivEi
Siaoraoq). Erqv nspinrcooq onov W={6}, orav SqXaSq to ovorqpa exei povo rq pqSeviKq Xvoq,
opiipvpE rqv dim W=6.
To Oscbpqpa nov aKoXov6£i, to onoio anoSsiKWErai ото KscpaXaio 5, pag Seixvei tov rpono ps rov
onoio pnopovps va PpioKovpE pia rsroia Paoq.
0£(bpi]jia 3.14: 'Eoxco W r| yevikt] Xvoq evo<; opoyEvovc; ovoxqpaxo^ AX=0, Kai eoxco oxi r|
кХсраксотт] popcpq xov opoyEvov^ ovoxqpaxo^ e%ei s eXevQepec; p£xapXqx£<;.
'Еотсо £7пат|<; U|,u2,...,us oi Xvoeu; лоо XapPavovxai Qsxovxa^ pia ало хк;
eXevQepe^ ЦЕтарХг|Т£<; ioq це 1 (q це оло1аЗт|лохЕ aXXq pq-pqSEviKq атабвра)
Kat xu; wcoXoucec; eXevQepe^ pExapXqxEc; ioec; це 0. Tote dim W=s, Kat та
Siavvopaxa U|,u2,...,us oxrIP-aT^0VV Mia Pdcrq xq<; W.
Tovi^Exai oti q yevikt] Xvoq W цлорЕ! va e%ei лоХХес; pdoEu;, Kat oti to ©Ecbpqpa 3.14 pa<; 3iv£i pia
povo TETOta pdor|.
IlapdSsiypa 3.18. Na Ppeite tt| Siaoxaoq Kat ц(а Paoq yia xq yevikt] Xvoq W too opoyEvovq
ovoxqpaxoi;
x, 4- 2x2 - 3x3 4- 2x4 - 4x$ = 0
2x, + 4x2 - 5x3 4- x4 - 6x$ = 0
5xj + 10x2 - 13x, + 4x4 - 16x$ = 0
ApxtKa avayovps то ovoxqpa oe кХсраксотт] popcpq. ЕсраррофирЕ xov<; акоХообогх; pfxaoxqpaxiopovi;:
“AvxiKaxaoxaoq xqc; L2 рЕ -2L|+L2” Kat “AvxiKaxaoxaoq xqc; L3 рЕ -5L|+L3”, Kat Елвгта
“Аупкатаотаот] rqc; L3 рЕ -2L2+L3”.
Oi pfixaoxqpaxiopoi avxoi рас; oSqyovv ото
X! +2x2 -Зх3+2х4 -4x$ =0 x, +2x2-3x3 +2x4 -4x$ =0
x3 - 3x4 + 2x$ = 0 Kat £ЯЕ1та ото Xj - 3x4 4- 2x$ = 0
2х3 — 6x4 + 4x$ = 0
To ovoxqpa oe KXipaKCOxq popcpq £%ei xpEic; eXevQepe^ pExapXqxE^, та x2, x4, x5, олоте dim W=3. Tpia
SiavvopaTa Xvoecov лов oxnpaTi^ovv pia pdor] yia Tqv W XapPavovTai co<; e^t|<;:
(1) ©etovpe x2=l, x4=0, xs=0. Me аупкатаотаот] лро<; та л1аа> ла1руоор£ vq Xvoq U|=(-2,l,0,0,0).
(2) ©etovpe x2=0, x4=l, x5=0. Me avriKaTdoTaoq лро<; та л1осо ла1руовр£ xq Xvoq u2=(7,0,3,l,0).
(3) ©ExovpE x2=0, x4=0, xs=l. Me avxiKaxaoxaoq лро<; ха л1аа> ла1руоор£ xq Xvoq u3=(-2,0,-2,0,l).
Ta Siavvopaxa U|=(-2,l,0,0,0), u2=(7,0,3,l,0), u3=(-2,0,-2,0,l) oxqpaxi^ovv pia pdoq yiaxqv W.
Паратдртцл]: Оло1абт|лохЕ Xvoq xov ovoxqpaxo^ xov FlapaSEiypaxo^ 3.18 рлорЕ1 va ypacpxEi oxq
popcpq
au} 4- bu2 4- cu3 = a(-2,1,0.0.0) 4- d(7,0,3.1,0) 4- c(-2,0, -2.0.1)
= (-2a 4- lb - 2c, a, 3b -2c, b, c)
П
X! = -2a 4- lb - 2c, x2 = a, x3 = 3b- 2c, x4 = b, xs = c
олоу xa a, b, c Eivai avQaipEXE^ oxaQspfi;. IlapaxqpovpE 6x1 q ауалараохаот] avxq Sev Eivai xbtoxa
ЛЕрюобхЕро ало xqv ларарЕхрист] popcpq xq<; yEvucq^ Xvoq^, p£ xqv £Л1Хоут| xcov ларарёхрсоу x2=a,
x4=b, x5=c.
Мт]-Ороу£УТ] кои Avritrroixa OpoyEvf] Еоотг|рата
Eav то АХ=В eva pr]-opoyEV£<; оиоттща ypappiKcbv e^iocooecov, tote Хеце 6ti то AX=0 Eivai то
avTioToi%o o|ioyEV£<; оиоттща. Па лараЗЕсура, та
х + 2у - 4z = 7 х + 2у - 4z = 0
3x — 5y + 6z = 3 Kai 3x-5y + 6z = 0
Seixvovv Eva pr]-opoy£V£<; кат to avTioToi/o too opoyEV£<; оиоттща.
H oxeoti рЕта^о тт|<; Xoor|<; U evo<; pT]-opoy£voo<; оооттщато<; AX=B Kai tt|<; Xoot|<; W too avrioroixoo
tod opoy£voo<; оъоттщато<; AX=0 лЕрю/Етас ото ак6Хоо0о 0Е<вртща.
©Есортща 3.15:
'Еотсо то v0 pia ei8ikt| Хбот| той АХ=В Kai еотсо W д yEviKT) Хбот| той АХ=0.
Тоте л ларакатсо Eivai л yEviKT| Хбот| тои АХ=В:
U=v0+W={v0+w: weW}
Н U=v0+W, 8т|Ха8т|, XapPavETai лроо0£тоута<; то v0 ото ка0Е оторею ттц; W. IripEicbvETai oti то
©Есортща аито exei у£соц£тр1кт| EpprjvEia otov R3. SoyKEKpipsva, оло0£тоута<; oti д W Eivai ща so0Eia
лои лЕруа ало ттщ архп tcov a^ovcov О, tote, 6лсо<; алЕоам^Етас ото ЕхПЦа 3-4, т| U=v0+W Eivai д
Eu0Eia лоо Eivai лараАХдХд лро<; ттщ W Kai д оло(а XapPavETai лроо0£тоута<; то v0 ото ка0Е otoixeio
тт|<; W. 'Орош, олоте то W Eivai sva ел1ле8о лоо лЕруа ало ттщ архп tcov a^ovcov О, то U=v0+W 0а
Eivai Eva елЬсеЗо лараАХдХо лро$ то W.
3.12 ETOIXEIQAEIE niNAKEE
'Еотсо oti о е oopPoXi^Ei Eva otoi/eicoSt] ЦЕтаохтщатюцб ypaggcbv Kai то e(A) та алотЕХЁоцата ттц;
Есрарцоут|<; тоо щтаохгщатюцоо е oe Eva л(уака А. 'Еотсо, ел(от|<;, Е о л(уака<; лоо XapPavETai
E(papp6^ovra<; tov е otov таототскб лЬака I, ЗдХа8г|
Е=е(1)
Тоте о Е Eivai о Xfiy6|iEvo<; otoixeico8t]<; л(уака<; лоо avrioToixEi ото otoixeico8t] цЕтаохгщатюцб
ypajijicbv е. Етщ£1соу£та1 oti о Е Eivai лаута £va<; TETpaycoviKO<; лгуака<;.
ПарабЕвуца 3.19. ©Есоробщ тоо$ трЕк; ларакатсо otoixeicoSeu; ЦЕтаох1щатюроб<; ypappcbv:
(1) Арофаса avraXXayr| tcov R2 кас R3.
(2) Аупкатаотася] ттц; R2 p£ -6R2.
(3) Аупкатаотаот] тт|<; R3 pE -4R]+R3.
Oi 3x3 otoixeico8ei<; лгуак£<; лоо avTioToixoov отоо<; лю лссусо otoi/eicoSek; рЕтао/тщатюросх;
ypappcbv, exoov co<; e£t|<;:
[100] Г1 0 01 Г 1 о °1
0 0 1, E2= 0 -6 0 , Ej= 0 1 0
о i oj p ° d L~4 ° d
Ioxdec то акбХооОо Oscbpripa, то onoio апоЗескубетас ото ПрорХдра 3.34.
©ecbpripa 3.16: 'Еотсо е evag отосхЕссЬЗт|д цЕтаорщатюрод ypappcbv кас еотсо Е о аутсотосход
m х m отосх£ссЬЗт|д nivaKag. Tote
e(A)=EA
блои о A Eivac Ёуад олосоо5т|лоте mxn nivaKag.
Me аХХа Хоуса, то алотЁХеора тт|<; Ефарроуяд svog отосхЕссЬЗоод рЕтаохиратюроб ypappcbv с ое sva
лсуака А рлорвс va ХдсрОЕс лоХХалХаосафутад ало арсотвра tov A ps tov аутсотосхо отосхессЬ5т|
nivaKa Е.
Ад олоОЁаоорв тсора отс о е' sivac о аутсотрофод evog отосхЕссЬЗоод рвтаохпрсссюроб ypappcbv е,
кас отс ос Е' кас Е sivac ос avriorocxoc лгуакед. ЕдрЕссоуЕтас (ПрорХдра 3.33) отс о Е sivac аутсотрЁфсрод
кас о Е' о аутсотрофод тои. Аитб OT|paivsc, ооуквкрсрЁуа, отс олосоо8г|лоте лсуакад-ycvopevo
P=Ek...E2E1
otocxeccoScov ncvaKcov Eivac аутсотрЁфсрод.
ЕфарроуЁд EtoixeuoScov IIivaKcov
Хрцосролоссоутад то ©всорцра 3.16, всраотв ов 0Ёод va алоЗвс^оорв (ПрорХдра 3.35) тс<; лсо катсо
РаоскЁд с8сбтт]тед tcov лсуоксоу.
0всЬрт|ра 3.17: 'Еотсо о A Ёуад тетраусоускбд nivaKag. Тоте та акбХоъОа eivac cooSuvapa:
(а) О A Eivac аутсотрЁфсрод (pr|-c8ca^cov).
(Р) О A Eivac урарросооЗбуарод ре tov таитотскб лсуака I.
(у) О A Eivac sva ycvopsvo otocxeccoScov лсуоксоу.
YnEvOvpc^ETac отс Sdo твтраусоускос nivaKeg А кас В eivac аутсотрофос eav AB=BA=I. To enopevo
Oecbpripa (лои алоЗескуоЕтас ото ПрбрХдра 3.36) рад Хёес отс, лрокесрЁУои va алобес^ооре лсод Зио
лсуакед eivac аутсотрофос, аркес алХа va Зес^оорЕ отс sva ало та ycvopsva Scvec то осоотб алотЁХЕора,
уса ларабесура АВ=1.
©ecbpripa 3.18: Уло0Ётоутад отс AB=I, тоте ВА=1 кас ара В=А-1.
Н cooSuvapia ypappcbv рлорес елсот|д va орсотвс хрт|осролоссоутад лоХХалХаосаорб лсуоксоу. Еоуке-
крсрЁуа, Оа алоЗвс^оорЕ (ПрорХдра 3.37) то Е^д:
©ecbpripa 3.19: О В eivac ypappocooSvvapog ре tov A eav кас povo eav илархЕс 6vag рт|-
cSca^cov nivaKag P тЁтосод coote B=PA.
Ecpappoyf) an]v Ебреот] tod Аутиттрофои Evdg nxn Псуака
О паракатсо аХубрсОрод Ррсоквс tov аутсотрофо svog nivaKa.
AXydpiOpog 3.5: H siooSog sivac 6vag твтраусоускбд nivaKag A, evco t| Ё^оЗод sivac ecte о
аутсотрофод tod A, ecte to отс о аутсотрофод Sev Dnapxsc.
Вт|ца 1. Ехтцкт^эицЕ tov пхп (Зюцерюцёуо) лСуака М=[А,1], блои о A eivai то арютерб
цюб тои М Kai о таитотисбд nivaKag I то Зе^ю цюб.
Втща 2. Ауауоице це oToix£ico3eig цетаохпцатюцоид ураццсоу tov М ое кХсцаксотт) цорфт|.
Eav т| 3ia8iKaoia ларауауес ц(а цт|3еуист| урацци otov А, тбте
ГГАМАТАМЕ
О A 3ev e%ei аутютрофо. (Аюфоретска о А ррсокетас ое Tpiycovucri цорфт|.)
Вт|ца 3. Me oToix£ico3eig цетаохтщатюцоид ураццсоу, ауауоице лерагсёрсо tov М ott)v
KavoviKT| cog лрод Tig ураццёд цорфт] тои,
М~[1,В]
блои о таитотисбд л1уакад I ёх£1 аут1катаотт|ое1 tov А ото арютерб цюб той М.
Втща 4. ©ётоице А-1=В, tov л(уака лои ррюкетас тсора ото Зе^ю цюб той М.
Н 31каюХ6ут|ог| yia tov ларалаусо аХубрЮцо e%£i cog e£,f|g: Улобётоице oti о A eivai аутютрёцлцод
Kai oti, yia лараЗесуца, т| акоХоибса tcov otoixeicoScov цетаохтщатюцсоу ураццсоу e,,e2,...,eq
ефарцооцёут] otov M[A,I] avayei то арютерб цюб той, лои eivai о A, otov таитот1кб л1уака I.
'Еотсо, ел1от|д, Е, о ото1Х£коЗт|д nivaKag лои avrioToixsi ото цетаохпцатюцб ег Тбте, ефарцб^оутад
то ©есортща 3.16, лагруоице
Eq...E2E,A=I n (Eq...E2E,I)A=I, ётос А^Е^.Е^,!
О А-1, Зт|Ха8т|, цлоре! va Хт]фбе1 ефарцб^оутад тоид oToix£ico3eig цетаохтщатюцобд ураццсоу
e,,e2,...,eq otov таитотисб л1уака I, о олоюд ецфау^етас ото Зе^ю цюб той М. Еиуелсод В=А_|,
олсод KaOopi^ei о аХубрсбцод.
Г1 0 21
Парйбегуца 3.20. Na рре1те tov аутютрофо той л1уака А = 2 -J 3
Ехпрат^оице лрсота то (Зюцерюцёуо) л1уака M=[A,I] Kai tov ауауоице це oToix£ico3eig цета-
охпцатюцобд ураццсоу ое кХщаксотг| цорфтр
[1 О 21 1 0 0~| Г1 0 2 I 1 0 0“[ Г1 О 2 I 1 0 01
2 -1 з!о 1 0 1~ 0 -1 -1 ! -2 1 0 1~ 0 -1 -1 [-2 1 0
4 1 8i 0 0 1J 1 0,-401] [° 0-1,-611]
Ze кХсцаксотт) цорфт|, то арютерб цюб той М Ррюкетас ое Tpiycovucri цорфт|, ара о А ёх£1 аутютрофо.
Етт) оиуёхЕю, це oroix£ico3eig цетаохтщатюцобдураццсоу, ауауоице лерапёрсо tov М ott)v Kavovucri
сод лрод Tig ураццёд цорфт| той:
[1 0 0 1 -11 2 2] Г1 О О'-П 2 2]
0 -1 0 J 4 0 -1 * 0 1 0,-4 0 11
о oil 6-1-1] |_° ° 1 ! 6-1-1]
О таитотисбд л1уакад ррюкета1 тсора ото арютерб цюб той тезкой л1уака, Kai сод ек тоитои то
Зе^ю цюб eivai о A-1. Me аХХа Xoyia,
Eroix£id>6£ig MsraoxqpaTiopoi ErqXcbv
'Еотсо о A evag nivaKag це orqXsg С] ,C2,.. ,Cn. Oi ларакатсо npa^Eig otov A, oi onoisg Eivai avaXoyeg
лрод тоид oroixsicbSsig psraoxqpariopovg ypappcbv, KaXovvrai oroixsicbSsig psraoxqpariopoi orqXcbv:
[FJ (ApoiPaia AvTaXXayri LrqXcbv): Арофа1а avraXXayq tcov orqXcbv C, koi Cr
[F2] (KXipaKCOOT) LrqXqg): AvriKaraoraoq rqg C, ps kC, (onov k*0).
[F3] (Пр6а0£ОТ) LrqXcbv): AvriKaraorooq rqg Cj ps kC,+Cr
Млороирв va ovpPoXioovps тоид rpsig avrovg psraoxqpariopovg orqXcbv ypacpovrag, avrioroixa,
(1) C, Cy, (2) kC, -> C,, (3) (kC, + C,) -> C,
ЕлшрбаОЕта, о ка0в psraaxqpariapog orqXcbv exei sva avriorpocpo psraaxqpariapo тои i5iov rvnov,
олсод акрфсод о avrioroixog psraaxqpariapog ypappcbv.
'Еотсо тсора oti о f ovpPoXi^si sva oroixsicbSq рЕтаахЛратюро orqXcbv, koi еотсо F о nivaKag лои
XapPavETai scpappo^ovrag tov f otov tovtotiko nivaKa I, SqXaSq
F=f(l)
Tote о F sivai о XsyopEvog oroixsicbSqg nivaKag лои avrioroixsi ото oroixsicbSq р£таохг|рат1ор6
oniXcbv f. Lqpsicbvsrai oti о F Eivai navra svag rsrpaycoviKog nivaKag.
Парйбпура 3.21. ©scopovps тоид ак6Хои0оид oroixsicbSsig рЕтаохчратюроид ottiXcov:
(1) ApoiPaia avraXXayri tcov C| koi C3
(2) AvTiKaraoraoq rqg C3 ps -2C3.
(3) AvTiKaraoraoq rqg C3 ps -3C2+C3.
Oi rpeig avrioroixoi 3x3 oroixEicbSeig nivaKsg, syovv cog s^qg:
[OOI-! Г1 0 Oi Г1 0 0~|
0 10, F2= 0 1 0 , Fi= 0 1 -3 I
1 0 Oj |_0 0 -2J [O 0 1]
To 0scbpqpa лои aKoXov0si sivai avaXoyo лрод то ©scbpqpa 3.16 yia тоид oroixEicbSsig
pETaoxqpaTiopovg ypappcbv.
©scbpqpa 3.20. Па олою5т|лотб л^ака A, f(A)=AF.
Auro oqpaivsi oti, то алотбХбора rqg scpappoyqg svog oroixsicbSoug psraoxqpaTiopov orqXcbv f os
sva лп'ака А рлорв! va XqcpOsi лоХХалХаоса^оутад ало 5s^ia tov A ps rov avrioroixo oTOiyEicbSq
л1уака F.
looSvvapia IIivdKcov
'Evag лп'акад В sivai ioo5vvapog ps sva л(уака A sav о В рлорв1 va XqcpOsi ало rov A psoco piag
aKoXovOiag psraoxqpariopcbv ypappcbv koi orqXcbv. EvaXXaKriKa, о В sivai ioo5vvapog ps rov A sav
vnapxovv pq-iSia^ovrsg nivaKsg P koi Q tetoioi coots B=PAQ. 'Oncog q ioo5vvapia ypappcbv, etoi koi
q ioo5vvapia nivaKCOv sivai pia охесп] ioo5vvapiag.
To paoiKo ovpnspaopa rqg vnonapaypacpov avvqg (to onoio anoSsiKvosrai ото IlpdpXqpa 3.38),
sivai to s^qg:
©scbpqpa 3.21:
Ka0s mxn nivaKag A sivai ioo5vvapog ps sva pova5iKO 5iapspiopsvo nivaKa
rqg popcpqg
[о о]
опои о Ir eivai о r-T£Tpay©viKog таитотисод nivaKag.
loXUEi о то кат© орюрод.
Opiopdg: О рд-арудт1код акЁраюд г ото 0в©рдра 3.21 KaXsiTai Равцдд тои A Kai ypaipETai
rank(A).
Er|pEi©vETai oti о орюрод аитбд PpioKETai oe ou|i(pcovia це tov продуоирвуо орюро тои Pa0pou
svog nivaKa.
3.13 AIIOEYN0EEH LU
Ag uno0£ooup.£ oti о A sivai Evag gr|-i5ia£a>v nivaKag nou pnopsi va avax0ei oe (av©) Tpiy©viKf|
рорфд U xpr|oigonoi©vrag povo pETaoxnpaTiopoijgnpooOEorigypappcbv. О A pnopsi va Tpiy©vonoiT]0£i
ps тд por|0£ia тои паракат© aXyopi0pou, о onoiog %pr|oigonoi£i одрбюураф1а t|Xektpovik©v
unoXoyiOTtbv:
AXydpiOpog 3.6: H EiooSog Eivai svag nivaKag A Kai r| Ё^оЗод Evag TpiymviKog nivaKag U.
Вд pa 1. EnavsIaPs yia i= 1,2,... ,n-1:
Вдра 2. EnavsXaPE yia j=i+1,i+2,... ,n
(a) ©Eos 111),:= aj/a,,.
(P) 0ЁОЕ Rj^myRj+R)
[ТЁХод Ррохои Вд ратод 2.]
[ТЁХод Ррохои Вд ратод 1.]
Oi apiOpoi m,j ovopa^ovrai noXXankatnaatEq. Мвр1кЁд (рорЁд топо0£тоир£ тоид поХХапХаошотЁд
аитоид otov ак6Хои0о кат© Tpiy©viKO nivaKa L:
О О'
О о
о о
-/п„1 -т„2 -т„3 ... 1
О L, ЗдХаЗд, ёх£1 OTOixeia 1 отд 5iay©vio, рдЗеупсо. nav© апо тд 5iay©vio Kai tov арудтисо тои
noXXanXaoiaoTT] my отду ка0£ ц-катах©рюд кат© апо тд 5iay©vio.
О napanav© nivaKag L Kai о Tpiy©viKog nivaKag U пои прокипт£1 ano tov AXyopi0po 3.6, pag
Sivouv vr|v кХаонсд парауоутопо!дод LU svog тЁтоюи nivaKa А. ЕиукЕкрцлЁуа:
0£©рдра 3.22: 'Еот© о Е Ёуад [H]-i3ia£©v nivaKag пои pnopsi va avax0ei oe Tpiy©viKT| цорфд
U хРП°1Ц0Я°1®Утад povo цЕтаохпца^оцойдпрбоОЕоддураццсЬу. Tote A=LU,
опои о L sivai о napanav© кат© Tpiy©viKog nivaKag ps oroixsia 1 отд 5iay©vio
Kai о U Ёуад av© Tpiy©viKog nivaKag x^pig рдЗЕуиса отд 5iay©vio.
flapdSsiypa 3.22. УпоОЁтоирв oti л = -3 -4 13 . ^peiovsTai oti о A pnopsi va avax0ei os
TpiycoviKf] popipf] scpappo^ovrag SiaSo^iKti тоид цЕтаохтщатюцобд “Аупкатаотаот] тт)д R2 це 3R]+R2”
Kai “Аупкатаотаот] тт)д R3 це -2R)+R3” кат ёлегта то цЕтао%гщапоц6 “Аупкатаотаот] тцд R3 це
3
- R2+R3”. 'Etoi,
[1 2 -3“1 Г1 2 -31
О 2 4 ~ 0 2 4
О -3 1J [о О 7J
О л(уакад аитбд цад Sivei n]v кХаогкт] ларауоутолоп]от] A=LU, onov
ПрЁЛЕ1 va toviotovv va s^fjg:
(1)
Oi катахсор(оЕ1д -3, 2, - - otov L sivai oi apvrjnKoi tcov лоХХалХаоюотсоу отоод ларалаусо
OTOiXEicbSsig цЕтаохтщапоцоид ураццсоу.
(2) О U sivai т] TpiycoviKf] popcpf| tov А.
Есрарцоуц as Еоотдцата Грацщксоу E^iocooecov
©ЕсороуцЕ sva aXyopiOpo tjXektpovikov илоХоуютр, М, Kai олоббтооцв oti о С(п) ovpPoXi^si то
Xpovo EKTsXEoqg tov aXyopiOpov сод pia ovvapn]OT] tov psys6ovg n tcov ЗеЗоцёусоу eiooSov. [H
avvdp-aioq C(n) pspiKsg cpopsg koXeitoi xpovuai лоХилХок6тт)та f] алХа лоХилХок6тт)та tov aXyopi6pov
M.] Zvxva о C(n) цЕтра алХа tov apiOpo tcov лоХАалХаошорсоу кас tcov Siaipsoscov лоо SKrsXovvTai
otov M, aXXa Зе ЦЕтра tov apiOpo tcov npooQaipaipeoscov, кабсод аотЁд алапобу лоХб XiyoTspo xpovo
yia va ekteXeotovv.
Ag 0Ecopf]oovps тсора Eva тЕтрауамкб оботтща ypappiKcbv e^iocooecov AX=B, олоо
A = A" = , х„]г, В = [3],..., 3„]r
кас ад олобЁсооцв oti о A exei pia ларауоутоло1т]от] LU. Tote to оботтща цлорЕ1 va avax6fii oe
TpiycoviKf] popcpf| (лрокЕЩЁУоо va EcpappooTEi аупкатаотаот] лрод та л4осо), всрарцо^оутад tov
АХубрЮцо 3.6 otov влао^тщЁУо лп^ака М[А,В] tov оуоттщатод. Н xpoviKf] лоХилХок6тт)та tov
AXyop46pov 3.6 Kai п]д аупкатаотаот]д лрод та л(осо sivai, avnoToixa,
С(л)%|л3 ка1 С(л)%|л2
олоо то n sivai о api6pog tcov e^iocdoecov.
Алб tt]v аХХт], ад олобЁоооцв oti sxovps т)8т] tt]v ларауоутолоп]от] A=LU. Tote, yia va
трсусоуоло1Г|аооц£ то оботтща, арквс алХа va Ecpappdoovps тоод oroixsicbSEig цЕтаохпратюцобд
ypappcbv tov aXyopi6pov (oi олоюс E^aocpaXi^ovrai ало tov лсуака L) ото Siavoapa отт|Хт]д В. Ztt]v
лЕрслтсоот] avrf|, i] xpovucf] лоХолХок6тт)та ба sivai
С(л)«|л2
BsPaia, yia va Ppovps Tqv ларауоутолоищт] A=LU хР^афцаотв tov apxiKO aXyopi6po, олоо
C(n) = — и3. ЕиУЕясод плота 5е ряорЕ1 va аяокорютЕ! це то va Ppe0ei ярсота т| яарауоугояо1Т|ог|
2
LU, otov ЕряХЁкЕтас Eva pEpovcopdvo сгиоттща. Yraipyouv, соотдоо, яЕрштсЬоЕсд, длсод аитт] лои
Е^Ета^Ета! яю катсо, блои т| ларауоутоло1т|от| LU алоб£1куй£та1 хртцяцт].
Ад ияо0ЁооирЕ, yia ларабаура, oti yia Eva бвборЁУо nivaKa А, 0ЁХоир£ va Хиооирв то оиотт)ра
АХ=В
ЕяаУЕйтщцЁуа yia pia акоХои01а 6ia<pop£TiKcbv 5iavuapaTC0v ота0£рсбу dpcov, yia яарабвсура tcov
B|,B2).. .,Bk. Уяо0ёто1)це, ЕЯ1от|д, oti калош ало та Bj E^apTcbvrai ало тт) Хиот| тои оиотт|ратод лои
XapPavETai хрт|01цоло1сЬутад та ярот|уоир£уа бшуйората Вр Ее pia тётош лЕр1ятсоот|, KpivETai яю
аяо5от1кд va Ррюкоирв ярсота ttjv яарауоутояогг|ог| LU тои A, Kai атт) oovdyeia va хртцлрояоюирЕ
ttjv яарауоутояо1т|ог| аитт] yia va XuvoupE то оиотт)ра yia то ка0Е уёо В.
Парйбиура 3.23. ©Есороирв то яаракатсо оиотт)ра ypappiKcbv e^iocooecov:
х+ 2у + z = ki Г 1 2 11 Г*,1
2х+ 3y+3z = k2 т| АХ = В, блои Л= 2 3 3 ка1 В= А,
-Зх+10y + 2z = *3 [-3 ю 2J [*3J
Ад ило0Ёооир£ oti 0ЁХоирЕ va ХиооирЕ то оиотт]ра TpEig срорЁд, дяои то В юоитац yia яарабвгура,
р£ В|, В2, В3. ЕяигХЁоу, ияо0Ётоир£ oti Bt=[l, 1,1]т Kai oti
Bj^Bj+Xj (yiaj=l,2)
дяои T] Xj Eivai л Xuoi] тои AX=Br Ебсо Eivai яю аяотЕХЕорапкд va Рроирв ярсота H]v
яарауоутояо1Т|ог| LU тои A Kai Ёявгса va тт) хрт|а1рояо1Т|аоирЕ yia va ХиооирЕ то оиотт)ра yia то
ка0Е В. (Аитб ярауратояо1Е1та1 ото ПрдрХт|ра 3.42.)
AYMENA ПРОВЛНМАТА
ГРАММ1КЕЕ ESIEQEEIE, AYEEIE, EYETHMATA 2Х2
3.1. Na ярообюрюЕТЕ ката ядоо т| ка0Ер1а аяд Tig яаракатсо E^iocooEig Eivai урарриа):
(a) 5x+7y-8yz=16, (Р) x-Hry+ez=log 5, (у) 3x+ky-8z=16
(a) Aev Eivai урарриа), еяе151) то yivdpEvo био yz био ayvcborcov Eivai бвитЕрои Ра0рои.
(Р) Eivai ypappiKTj, асрои та я, е Kai log 5 Eivai ота0ЕрЁд.
(у) Уяархоиу тЁоо£р1д ayvcooToi: та х, у, z, к, Лоусо тои брои ку, т| е^1осоот| 5ev Eivai
урарриа). Eav, соотбоо, ияо0Ёооир£ oti то к Eivai pia ота0Ера, tote т| E^iocoori 0а
Eivai урарриа] p£ ауусЬотоид та x, y, z.
3.2. Na ярообюрюЕТЕ ката ядоо та акдХои0а бшуйората Eivai XuoEig тт)д х1+2х2-4х3+Зх4=15:
(а) и=(3,2,1,4) Kai (Р) v=( 1,2,4,5).
(a) AvTiKa0ioroup£ yia va яароирЕ 3+2(2)-4(1)+3(4)=15, т| 15=15. Ара то и Eivai Хиот|.
(Р) AvTiKa0ioroup£ yia va яароирЕ 1+2(2)-4(4)+3(5)=15, т| 4=15. Ара то v 6ev Eivai
Хиот|.
3.3. Na Xuoete Tig: (а) ех=я, (Р) Зх-4-х=2х+3, (у) 7+2х-4=Зх+3-х.
(а) Ка0сод е*0, яоХХаяХаош^оирЕ р£ то 1/е yia va яароирЕ х=я/е.
(Р) HavaypacpoupE tt]v е^1осоот| ое тия1кг| popcpi), XapPavovrag Ёто10х=7. Ара i] E^iocoori
5EV ЁХЕ1 Хиот|.
(y) Eavaypacpovpe Tqv e^iocooq oe xvniKq popcpq, XapPavovxag etoi 0x=0. Enopevcog,
ка0е api0pdg к eivai Xvoq.
3.4. Na anoSei^exe xo ©ecopqpa 3.5: ©ecopovpe xqv e^iocooq ax=b.
(i) Eav аД), xoxe xo x=b/a eivai q povaSucq Xvoq xqg ax=b.
(ii) Eav a=0 aXXa b*0, xoxe q ax=b Sev exei Xvoq.
(iii) Eav a=0 Kai b=0, xoxe ка0е api0pog к eivai Xvoq xqg ax=b.
Yno0exovxag oxi a*0, xoxe о api0pog b/а vnapxei. AvxiKa0toxcbvxag xo b/а oxqv ax=b
naipvovpe a(b/a)=b, q b=b, dpa xo b/a eivai pia Xvoq. Ano xqv aXXq, ag vno0eoovpe oxi xo Xq
eivai pia Xvoq xqg ax=b, exoi cboxe ax0=b. IloXXanXaoid^ovxag Kai xa Svo peXq pe xo 1/a
naipvovpe x0=b/a. Eropevcog xo b/a eivai q povaSucq Xvoq xqg ax=b, Kai exoi xo (i) anoSeixxqKe.
Ag vno0eoovpe xcopa oxi а=0. Toxe, yia onoioSqnoxe api0po k, 0a exovpe ak=0k=0. Eav
b*0, xoxe ak*b. Kaxa ovveneia, xo к Sev eivai Xvoq xqg ax=b, Kai exoi xo (ii) anoSeiyxqKe. Eav
b=0, xoxe ak=b. Avxo oqpaivei oxi о api0pog к eivai Xvoq xqg ax=b, Kai exoi anoSeixxqKe Kai
xo (iii).
3.5. Na Xvoexe xo Ka0eva ало xa mo кахсо ovoxqpaxa:
,,2x —5y=ll 2x-3y = 8 2x-3y = 8
( 3x4-4^ = 5 W 6x + 9y = 6 (y) 4x + 6y=-16
(a) AnaXeicpo vpe ano xig e^iocooeig xo x oxq paxiipvxag xq vea e^iocooq L=-3 L, +2 L2. Avxo
pag oSqyei oxqv
23y=-23, Kai exoi y=-l
AvxiKa0ioxovpe xcopa xo y=-1 oe pia ano xig apxiKeg e^iocooeig, yia napaSeiypa oxqv
Lbyia va napovpe
2x-5(-l)=ll q 2x4-5=11 q 2x=6 q x=3
Enopevwg q x=3, y=-l q xo £evyog u=(3,-l), eivai q povaSucq Xvoq xov ovoxqpaxog.
(P) AnaXeicpovpe ano xig e^iocooeig xo x oxqpaxi^ovxag xq vea e^iocooq L=3Lj-i-L2. Avxo
pag oSqyei oxqv e^iocooq
0x-i-0y=30
Avxq eivai pia eKcpvXiopevq e^iocooq pe pq-pq8evucq oxa0epa. Apa q e^iocooq avxq
Kai xo ovoxqpa Sev exovv Xvoq. (Г ecopexpuca, oi ev0eieg nov avxioxoixovv oxig e^iocooeig
eivai napaXXqXeg.)
(y) AnaXeicpovpe ano xig e^iocooeig xo x oxqpaxi^ovxag xq vea e^iocooq L=2L14-L2. Avxo
pag oSqyei oxqv e^iocooq
0x+0y=0
Avxq eivai pia eKcpvXiopevq e^iocooq, onov о oxa0epog opog eivai enioqg pqSev. Qg ек
xovxov xo ovoxqpa exei aneipeg Xvoeig, oi onoieg avxioxoixovv oxig Xvoeig onoiaoSqnoxe
ano xig e^iocooeig. (Г ecopexpiKa, oi ev0eieg nov avxioxoixovv oxig e^iocooeig ovpninxovv.)
Tia va Ppovpe xq yeviKq Xvoq, 0exovpe y=a Kai avxiKa0ioxovpe oxqv L, yia va na-
povpe
3
2x-3a=8 q 2x=3a4-8 q x=—a-i-4
'Etoi г| yevucq Хбот| eivai r|
3
х=—а+4, у=а
блои то a eivai eva<; опоюоЗт|поте api0po<;.
3.6. ©есоре1оте то оботт]ра
х + ау = 4
ах + 9у = Ь
(а) Па noie<; Tipe<; тои a e%ei то оботтща pia povaSiKi) Xvoq;
(Р) Na Ppevre eiceiva та ^evyq Tipcbv (a,b) yia та onoia то ovoTqpa e%ei перюобтерес; ano
pia Xvoeu;.
(a) AnaXeicpovpe ano тц е^юшоец то x охлратИруса*; тт] vea e£,iocoor| L=-aL| +L2. Аитб
pa<; oSqyei ott]v e£,iocoor|
(9-a2)y=b-4a (1)
To оботт|ра e%ei pia povaSucq Xvoq eav Kai povo eav о оиусеХеотг|<; тои у ott]v (1)
eivai pr|-pr|8eviK6<;, eav SqXaSf] 9-a2*0 q a*±3.
(P) To оботпра e%ei перюобтерес; and pia Xvoeu; eav Kai та Збо peXq ттр; (1) eivai pqSev.
To арютерб peXo<; eivai pqSev otov a=+ 3. 'Orav a=3, to 3e£,i6 peXo<; eivai pqSev otov
b-12=0 T| b=12, evco otov a=-3, to Se^io peXo<; eivai pqSev otov b+12=0 q b=-12.
EvpnepaopaTiKa, та (3,12) Kai (-3,-12) eivai та C,evyq yia та onoia то оботт]ра e%ei
перюобтере<; and pia Хбоеи;.
EYETHMATA EE TPIfftNIKH KAI EE KANONIKH МОРФН
3.7. Na прооЗюрюете тц PaoiKe<; Kai тк; eXev0epe<; ретарХт|тё<; ото Ka0eva and та то катсо
оооттщата:
2х, + Зх2 - 6х3 - 5х4 + 2xs = 7
х3 + Зх4 - 7xs = 6
х4 — 2xj = 1
(а)
2х — бу + 7z = 1
4y + 3z = 8
2z = 4
(Д)
x + 2y-3z = 2
2x + 3y+ z = 4
3x + 4y + 5z = 8
(У)
(а) Ее кХщаксотт] popcpi), oi riyeTiKoi ayvcooroi eivai oi PaoiKe<; ретаРА.т|тё<; Kai oi vnoXoinoi
ayvcooTOi eivai oi еХеб0ере<; ретарХт|те<;. ЕЗсо та xb x3, x4 eivai oi PaoiKe<; ретарХт|те<;,
evco та x2 Kai x5 oi еХеб0ере<; ретарХт|тё(;.
(P) Oi riyeTiKoi ayvcooTOi, Kai apa oi PaoiKe<; ретарХт|тё(;, eivai та x, у, z. EXe60epe<;
ретарХг|тё<; Sev vnapxovv (onco<; аХХсооте loxvei oe ка0е TpiycoviKO оботт]ра).
(у) Oi ewoie<; tcov PaoiKcbv koi tcov eXev0epcov perapXriTcbv vcpioTavrai povo oe овотгщата
nov PpicKOVTai oe кХщаксотг] рорсрт|.
3.8. Na Хбоете то TpiycoviKO обот^ра tov ПрорХт|рато(; 3.7(P).
Ka0cb<; npoKevcai yia eva TpiycoviKO оботт]ра, Xvvovpe ре аупкатаотаот] npo<; та nioco.
(i) H TeXevraia e^iocooq Sivei z=2.
2
2 ’
(ii)
Аупкабютоорв to z=2 ott| Sedtept] e^iocooti yia va apoopE 4y+6=8 tj y=
(iii) AvTiKaOioTovgE та z=2 Kat y= - ott|v лреотт) e^iocoot| yia va лароорЕ
ZovEncbg r| x=-5, y=^
z=2 т| то и = -5,-,2 Eivai r| povaSiKi) Xdot| too оиотт|ратод.
3.9.
Na Xuoete то кХфаксото стоттща too ПрорХт|ратод 3.7(a).
AvaOsTovgE ларарвтроод ong EX£D0Ep£g р£тарХг|Т£д, yia napdSEiypa x2=a Kai x5=b, Kai
XuvoopE cog лрод Tig PaoiKsg р£тарХг|Т£д це аупкатаотаот] лрод та лило.
(i) AvriKaOioToupE то x5=b оттр TEkEvraia e^iocooti yia va лароицЕ х4-2Ь=1 т| х4=2Ь+1.
(ii) AvTiKaOioTovpE та x5=b Kai х4=2Ь+1 атт] ЗЕОТ£рг| e^iocooti yia va ларооцЕ
x3+3(2b+l)-7b=6 п
х3-Ь+3=6
т| х3=Ь+3
(iii) AvTiKaOuTtoupE та x5=b, x4=2b+1, x3=b+3, х2=а ott|v лреотт) e^iocooti yia va лароицЕ
3
2x1+3a-6(b+3)-5(2b+l)+2b=7 т| 2xj+3a-14b-23=7 т| Xj=-a+7b+15
Ара Xoinov т|
х1=|а + 7Ь+15, Х2=а, х2=Ь + 3, x4 = 2h+l, x5=b
Г| то
и=| |а + 76 + 15, а, 6 + 3, 26 + 1, 6
Eivai т| ларацЕТриа) рорсрт) тт|д ysviKTjg Хиот|д.
3.10.
EvaXXaKTiKa, цлороицЕ va ХиооирЕ сод лрод Tig PaoiKsg ц£тарХг|Т£д х2, х3, х4 ouvapvrioEi tcov
eXeuOepcov g£TapXr|Tcbv x2 Kai x5 yia va лароицЕ tt]v ак6Хообг| цор<рт| eXedOepcov pETapXr|Tcbv
тт|д y£viKT|g Хиот|д:
x( = |x2+ 7*j + 15, jj=xj + 3, x4 = 2x, + 1
Na алоЗЕ^ЕТЕ то ©Есортща 3.6: ©ЕсорооцЕ то оиоттща (3.4) ypappiKcbv e^iocooecov ое
кХ1раксотг| рор<рт|, г e^iocooecov р£ n ayvcboTovg.
(i) Eav r=n, tote то оиатт]ра e^ei pia povaSna) Xvot|.
(ii) Eav r<n, tote рлороирЕ avOaipETa va avaOsoovpE Tipsg orig n-г ЕХгъОЕрЕд pETapXr|T£g
Kai va ХиооирЕ povaSiKa cog лрод Tig г paoiKEg р£тарХг|Т£д, XapPavovTag etoi pia
Хиот| тои оиотт|ратод.
(i) УлобЁтоице oti r=n. Tote Ёхоицв eva TETpaycoviKO оиоттща AX=B onov о л^ака;
ovvteXeotcov, A, Eivai (avco) TpiycoviKo; ps цт|-цт|5ЕУ1ка Siaycbvia OTOixEia. Luvencb; о
A sivai аугютрЁфщо;, Kai etoi, ало то ©Есортща 3.10, то оиоттща ЁхЕ1 povaSiKi)
Хиот].
(ii) АуабЁтоута; тщё; oti; n-г ЕХсйбЕрЕ; ц£тарХт]тЁ; обт|уойцаот£ се ёуо. TpiycoviKo ои-
оттща це тк; РаоисЁ; цЕтарХтцЁ;, то олою, ало то (i), t%Ei pia povaSiKT] Ivor].
АПАЛО1ФН GAUSS
3.11. Na Xuoete то кабЁуа ало та ларакатсо оиоттщата:
x + 2y — 4z = -4
2x + 5y-9z = -10
3x-2y + 3z = 11
(a)
x + 2y — 3z=—l
-3x4- y — 2z = —7
5x + 3y-4z= 2
W
x + 2y — 3z = 1
2x + 5y- 8z = 4
3x4-8y — 13z = 7
O’)
Хртщщолоквута; tt|v алаХокрт) Gauss, avdyovpE то каОв оиоттща oe TpiycoviKi) f| кХщаксотт)
popcpf):
(а) Ефарцо^оицЕ SiaSoxuca той; цЕтаохтщатюцои; “Аипкатаотаот] ттц; L2 це -2L]+L2”
Kai “Аупкатаотаот] ттц; L3 це -3L]+L3” yia va алаХ£1фоицЕ то х ало тт] Seutept] кат
Tqv тргст] E^iocooT], Kai ЁлЕгса Ефарцо^оицЕ то цЕтаохтщатюцд “Аипкатаотаот] тт];
L3 це 8L2+L/’ yia va алаХЕпуоицЕ то у ало ттщ тр(тт] e^iocoot). Аита ца; oSTjyovv ото
х 4- 2у — 4z = -4 х 4- 2у — 4г = — 4
У ~ z =-2 Kai Ёл£1та ото У ~ z = -2
-8y4-15z= 23 7z = 7
То оиоттща PpiOKETai oe TpiycoviKi) цорфт|. Auvovto; це аипкатаотаот] лро; та л(осо,
Рр(акоиц£ тт] цоуабист] Хиот] и=(2,-1,1).
(Р) АлаХ£(фоиц£ то х ало тт] бвйтЕрт) Kai ттр тргп] e^iocoot) Ефарцо^оута; бгабохтка
тои; цЕтаохтщатюцои; “Аипкатаотаот] ттц; L2 це 3L]+L2” Kai “Аиикатаатаот] ттц;
L3 це -5L]+L3”. Аита ца; o5T]yovv ото юобиуацо оиоттща
х4-2у- 3z= -1
7y-llz = -10
-7y+llz= 7
ЕфарцоСруса; отт] аиуЁхЕю то ЦЕтаохЛЦ^^ЦО “Аупкатаотаот] ттц; L3 це L2+L3”,
о5т]уоицаотЕ оттщ лю катсо ЕКфиХюцЁУТ] e^iocoot] це цт]-цт]5еу1КГ| отабЕра:
0x+0y+0z=-3
Н E^iocooi] аитт], ара Kai то оиопща, 5ev ёх£1 Хиот].
(у) АлаХ£1фоиц£ то х ало тт] Seutept] Kai ттщ тр(тт] e^iocoot] Ефарцд^оута; SiaSoxuca
тои; цЕтаохтщатюцои; “Аипкатаотаот] тт); L2 це -2L]+L2” Kai “Аипкатаотаот] тт);
L3 це -3L1+L3”. Аито ца; о5т]у£( ото уёо оиоттща
(H трттт| e^iocoot] бтаурасрвтат, KaOcbg Eivai eva лоААдлАаото vqg бЕИТЕрдд.) To оиоттща
Рртоквтат oe кАтраксотт] popcpf] це Раотквд рЕтарАдтЁд та x Kai у Kai еАеоОерд
ЦЕтарАт|тт| то z.
Г la va PpovgE tt|v ларарЕтрткт] popcpf] тт|д yEVTKfjg Аиот]д, ОвтоирЕ z=a koi Auvoups cog
лрод x Kai у це аупкатаотаот] лрод та л(осо. АутткаОтотоицЕ то z=a отт] бвитЕрп
E^iocooT] yia va лароицв y=2+2a, koi акоАоиОсод аутткаОтотоирЕ та z=a кат y=2+2a
ott|v лрсотг] e^iocoot] yia va лароицв
x+2(2+2a)-3a=l f| x+4+a=l f| x=-3-a
Елорёусод т] y£viKf| Auot] Eivai T]
x=-3-a, y=2+2a, z=a f| u=(-3-a, 2+2a, a)
блои to a Eivai pia ларацЕтрод.
3.12. Na Auoete to KaOsva ало та акбАоиОа оиоттщата:
xi-3x2 + 2x3- х44-2х5=2
3xj — 9х2 4- 7х3 - х4 4- Зх5 = 7
2xj — 6х2 4- 7х3 4- 4х4 — 5х5 = 7
Xj 4- 2х2 — Зх3 4- 4х4 = 2
2х( 4- 5х2 - 2х3 4- х4 = 1
5х! 4- 12х2 - 7х3 4- 6х4 = 3
(А)
Хрт]отролотсоутад tt|v алаА.отсрт| Gauss, avayoupE то ка0Е оиоттща ое кАтраксотт] рорсрт):
(а) Есраррб^оирв бтабохиса тоид рЕтаохтщапороид “Аупкатаотаот] тт|д Ц pE-3L|+L2”
кат “Аупкатаотаот] тт|д L3 рв -2Lj+L3” yia va алаАхпроирЕ то х( ало тт| бЕитЕрт] Kai
tt|v трттт) E^iocooT], Аита рад обдуоиу ото
X! - Зх2 4- 2х3 - х4 4- 2х5 = 2
х3 4- 2х4 — Зх5 = 1
Зх3 4- 6х4 - 9х5 = 3
Xj—Зх24-2х3— х44-2х5=2
х3 4- 2х4 - Зх5 = 1
(△таурасроирв tt|v L3, каОсод Eivai sva лоАА.алАаою тт|д L2.) То оиоттща Рртоквтат ое
кАтраксотт] рорсрт] ре РаоткЁд рЕтарАдтЁд та Х| кат х3 кат ЕАхиОврЕд рЕтарАдтвд та х2,
х4, х5.
Па va Ppoups tt|v ларарЕтрткт] рорсрт] тт|д y£VTKf|g Аиот]д, ОЁтоицЕ х2=а, х4=Ь,
х5=с, олои та a, b, с, etvot ларарЕтрот. Me аупкатаотаот] лрод та лтосо латруоирЕ
х3=1-2Ь+Зс кат х(=За+5Ь-8с. 'Етот, т] у£уткт| Аиот] etvot т]
X) = За 4- 5b - 8с, х2 = а, х3 = 1 - 2Ь 4- Зс, х4 = Ь, х5 = с
т), TOoSuvapa, то и = (За+5Ь-8с, а, 1-2Ь+Зс, Ь, с).
(Р) АлаАх1сроирЕ то X! ало тт| Seutept] кат tt|v трттт| е^тосоот] Ecpappo^ovTag бтабохтка
тоид рЕтаохпраттороид “Аупкатаотаот] тт|д L2 pE^L^+L/’ кат “Аупкатаотаот] тт|д
L3 рЕ -5L|+L3”. Аитб рад обдуЕТ ото
х1+2х2-Зх3+ 4х4 = 2
х2 + 4х3 - 7х4 = -3
2х2 + 8х3 - 14х4 = - 7
Ефарцб^оута<; orq ouvE%Eia то цЕтаахгщатюцб “AvTiKaTaaTaoq rq<; L3 це -2L2+L3”,
оЗт|уоицаат£ arqv £K<puXia|i£vr| Xuoq 0=-1. ЕицпЕрапюицЕ, Xoinov, oti то аиаттща
3ev е%£1 Xuoq (еотсо koi sav e%ei пЕрюобтЕрогх; ауусоотои<; апо тк; е^юсооек;).
3.13. Xpqoi^noicovra<; тт| ovvonriKq Зиггаф], va Xuoete то:
2y + 3z = 3
х+ у + z — 4
4x + 8y-3z = 35
Н ouvoktikti pop(pf| exei co<; акоХойбах;:
A/A
(2)-ен
(1)-£Э
(3)
(3')
(3")
E^iocooT]
2y+3z=3
x+y+z=4
4x+8y-3z=35
4y-7z=19
-13z=13
М£таохт)цат1оц6<;
<-> L2
L\ <-> L2
Аутиахтаотаот] rq<; L3 це -4L|+L3
Аупкатаотаот] rqg L3 це -2L2+L3
E8co oi (1), (2) Kai (3") охпцат^оиу sva TpiycoviKO оиоттща. (Tovi^etoi oti r| avraXXayq tcov
L| Kai L2 лрауцатояо1£1та1 avraXXaooovTai; anXa toix; av^ovr£<; ар10цой<; tcov L| koi L2,
6mo<; mo mivco.)
Хрг|о1цояо1сЬута<; аупкатаотаот] npo<; та nioco ото TpiycoviKO оиоттща, naipvoupe ano
z=-l ano tt|v L3, y=3 ano tt|v L2 koi x=2 ano tt|v Lf. Еицп£раоцат1ка, r| povaSiKq Xuoq тои
аиоттщато<; sivai т| х=2, у=3, z=-l q т| TpiaSa и=(2,3,-1).
3.14.0£сор£1от£ то оиоттща
х + 2у+ z= 3
ay + 5z — 10
2x + ly + az = b
(a) Na Ppeite тк; т1це<; ekeivei; tod a yia тк; опо(е<; то оиоттща exei ц(а pova3iKf| Xvot].
(P) Na ppEiTE EKEiva та ^fivyr] (a,b) yia та onoia то оиоттща exei п£рюо6т£р£<; ano ц(а
Xvgek;.
Avayoups то оиоттща as кХ1цаксотт| цор(рт|. AnaXeicpoupE, Зт|ХаЗт|, то x ano tt|v тр1тт|
E^iocooT] £(papp6^ovra<; то цЕтаохтщатюцб “Аупкатаотаот| тт|<; L3 це -2L|+L3”, koi епегсо
апаХ£(фоиц£ то у ano rqv тр1тт| e^iocoot] £фарцо^оута<; то цЕтаохтщатюцб “Аупкатаотаот|
тт|<; L3 це -ЗЕ^+аЕ/’. Аита ца<; oSqyovv ото
х + 2у + z = 3
ay + 5z = 10 koi £П£1та ото
Зу + (а - 2)z = Ь - 6
х + 2у+ z = 3
ay + 5z = 10
(а2 - 2а - 15)z = ab - 6а - 30
Е^Ета^оицв rqv TfiXsuTaia E^iocooq (a2-2a-15)z=ab-6a-30.
(a) To оботтща exei pia povaSiKi) Xvoq eav Kai povo eav о ovvreXeovqc; tov z eivai pq-
pqSeviKOc;, eav SqXaSq
a2-2a-15=(a-5)(a+3)*0q а^5 Kai а^-3
(P) To оиоттща exei лерюоотере<; ало pia Хвоек; eav Kai та 5vo цёХт] eivai |ir|5ev. To
арютерб рёХос; eivai |ir|5ev otov a=5 f| a=-3. 'Otov a=5, to Se^io рёХос; eivai |ir|5ev
otov 5b-60=0, q b=12. 'Orav a=-3, to Se^io рёХос; eivai |ir|5ev otov -3b+12=0, f| b=-4.
EvpnepaopaTiKa, та (5,12) Kai (-3,-4) eivai та £evyq yia та onoia то оиоттща exei
перюобтерес; ало ща Хвоек;.
KAIMAKftTOI IIINAKEE, IEOAYNAMIA TPAMMQN, KANONIKH МОРФН QE ПРОЕТ1Е
ГРАММЕЕ
3.15. Na avaydyeTe це owixeicbSeic; peTaoxqpaTiopovc; ypappcbv tovc; ларакатсо nivaKec; ое
кХщаксотт) popq>f|:
[1 2 -3 О'] Г-4 1 -б"|
2 4 —2 2, (fl) В = I 12—5
3 6 —4 3J 6 3 -4J
(а) Xpqoiponoiovpe сое; о5т]уо то Э] ]=1 yia va ларовре pqSeviKa катсо ало авто, SqXaSq
есрарро^овре SiaSoxtKa tovc; peTaoxqpaTiopovc; ypappcbv “Дут1катаотаот| ттц; R2 ре
-2R]+R2” Kai “Аупкатаотаот] ттц; R3 pe-3R]+R3”, Kai orq овуёхеш xpqoiponoiovpe
сое; о5т]уо то а23=4 yia va ларовре eva pqSeviKO катсо ало авто, SqXaSq ecpappo^ovpe
то ретаохпратюрб “Аупкатаотаот] ттц; R3 pe-5R2+4R3”. Oi ретаохлратюро! avToi
рас; oSqyovv otov
[1 2 -3 01 Г1 2 -3 01
00 4 2 ~ 0 0 42
0 0 5 3j L0 0 0 2J
О nivaKac; Рр1окета1 тсора ое кХщаксотт) popcpq.
(Р) Oi vnoXoyiopoi xeipoc; eivai ovvqOcoc; anXovoTepoi отау о oSqyoc; loowai pe eva.
Enopevcoc;, avraXXaooovpe лрсотатк; R! Kai R2. Ett| ovvexeia ecpappo^ovpe SiaSoxtKa
tovc; ретаохпратюровс; “Аупкатаотаот) ттц; R2 pe 4R!+R2” Kai “Аупкатаотаот) ттц;
R3 pe -6R]+R3”, Kai ёпегса то ретаохтщатюрб “Аупкатаотаот) ттц; R3 ре R2+R3”. Oi
ретаохпратюро! avToi рас; обт|уову otov
Г 1 2 -51 Г1 2 -51 Г1 2 -51
В ~ 1-4 1 -6 I ~ I 0 9 —26 I ~ 0 9 —26
L 6 3 -4J |_0 -9 26J [о 0 0J
О nivaKac; Рр1окета1 тсора ое кХщаксотт) рорфту.
3.16. Na лергурауете tov aXyopiOpo avaycoyqc; ре о5т)утуоту Kai va ауасрёрете та лХеоуектгщата,
ecpooov vnapxovv, ттус; хртуотус; tov aXyopiQpov avTOV.
О aXyopiQpoc; avaycoyf)<; pe OTOixeicb5ei<; ретаохлратюробс; ypappcbv ретатрёпетас oe
aXyopiOpo о5т|ут|от|(; eav т| катахсорют) pe тт| реуаХотерт) anoXvTT) тщт| orq ott|Xt| j eniXexrei
сое; о o5qyo<; alyi Kai ecpappoorei о ретаохлратюрбс; ypappcbv
+ л/ R<
То Раслко лХеоуёкттща тои аХуор10цоо о5т|ут]от|д eivai oti о mo navco цетаохтщапоцод
ураццсоу acpopd отт] 5iaipeoT| це tov (трё/cov) о5г|уо atJi кац otov t|Xektpoviko илоХоуютт],
та осраХцата отроууиХоло(т|от|д цлороъу va eXaTTCoGovv ото ekd/ioro otov yiveTai 5ialpeoT|
це eva doo to Suvoto цеуаХотеро ката алоХип] пцт] арШцо.
3.17.
[2-22
-3 6 0
1 -7 10
tov аХуорШцо о5т|ут)от|д.
11
-1 I. Na avayayeTe tov А ое кХ1цаксотт| цорсрт] %рт)О1цоло1сЬутад
2J
Ар%1ка аутаХХаооооце Tig R| koi R2, ёто1 сооте то -3 va цлоре( va %рг|О1цоло1Т|0е1 cog
o5r|ydg, koi акоХооОсод есрарцофице 5ia5o%iKd тоид цетаохтщатюцоод “Аупкатаотаот] тт|д
2 1
R2 це yR|+R2” Kai “Аупкатаотаот] тт|д R3 це ~R|+R3”. Oi цетаохтщапоцо1 аито( цад
o5r|yovv OTOV
[-3 6 0 -IT Г-3 6 0 -1"|
2-2 2 1 - 0 2 2 |
1 -7 10 2J |_ 0 -5 10 jj
АутаХХаоооице тсора Tig R2 Kai R3, ёто1 сооте то -5 va цлоре! va %рт|О1цоло1Т|0е1 сод о5т|уод,
2
Kai ёлыта есрарцофице то цетаохтщатюцо “Аупкатаотаот] тт|д R3 це у R2+R3”. Па1руооце
ёто1 tov
[-3 6 0 -11 Г-з 6 0 -11
0 -5 10 | - I 0 -5 10 *
0 2 2 IJ |_ 0 0 6 1J
О лгуакад e%ei елёХ0ы ое кХ1цаксотт| цорсрт] %рт|О1цоло1сЬутад церист] обт|у1]от|.
3.18.
Na ауауауете tov KaQeva ало тоид ларакатсо лЬакед ое kovovikti цорсрт] сод лрод Tig ураццёд:
[2 2 -1 6 41
4 4 1 10 13 ,
8 8 -1 26 23 J
(Р) В =
[: 1:]
(a) KaTapxqv ауауоице tov А ое кХфаксотт] цорсрт) есрарцофутад лрсота тоид цетаохпца-
тюцоод “Аупкатаотаот] тт|д R2 p£-2R|+R2” Kai “ Аупкатаотаот] Tqg R3 це -4R]+R3”,
koi ёлегса то цетаохпцапоцо “Аупкатаотаот] Tqg R3 )ie-R2+R3” Oi цетаохтщапоцос
аито1 цад обт|уооу otov
[22-1 6 41 Г2 2
00 3 -2 5 - 00
ОО 3 2 7J [О 0
In] ovvd%eia хрт|О1цолоюоце аупкатаотаот] лрод та л1осо лаусо otov кЬцаксото
л(уака, yia va лароице Tqv kovovikt] сод лрод Tig ураццёд цорсрт] тои А. Еиукекрфёуа,
лоХХалХаокт^овцЕ лрсота Tqv R3 це to — yia va ларовцЕ tov o8qyo a34=l, Kai
акоХой0со<; ЕсрарцбфвцЕ SiaSoxuca тов<; цЕтаахтщатюротх; “Аупкатаотасл] тт|с, R2
це 2R3+R2” Kai “Аут1катасггаот| Tq; R] це -6R3+Rj”. Oi ЦЕтаахлцатюцо! авто; ца<;
oSqyoBV arov
[2 2 -1 6 41 Г2 2 -1 0 1"|
00 3-25 — 00 306
0 0 0 1 1J [О 0 0 1
1
Катблгу лоХХалХаосафвцв tt|v R2 це то -, KavovTa; etoi tov oSqyo а23=1, Kai
акоХой0со<; ЕсрарцбфвцЕ то цЕтаа/тщатюцб “Аут1катаатаот| ттц; R] це R2+R]”, yia
va оЗт1ут|0оиц£ otov
[2 2 -1 0 11 Г2 2 0 0 31
00 1 02 - 00 1 02
0 0 0 1 1J |_0 0 0 1 1J
1
ТеХо<;, лоХХалХао1а£овцв tt|v Rj це то — , etoi coote о o8qyo<; at 1 va yivsi loot; це 1.
'Etoi ХацРауовцЕ tt|v акбХоовт] KavoviKq coc, лро<; тк; урацц£<; цорсрг] топ А:
Г! 1 0 0 И
Л— 0 0 1 0 2 I
|_0 0 0 1 |J
(Р) К.а0со<; о В ppioKETai ое кХ1цаксотт| цорсрт], хрт)01цолоюиц£ avTiKaraoTaoq лро<; та
nioco yia va паровцЕ
О теХеотою; irivaKat;, лов sivai о тавтот1ко<; nivaKa»; I, sivai q KavoviKq cog про; тк;
ураццЕ<; popcpq топ В. (Авто qrav avapEvopEvo, асров о В sivai avriorpEipipoc;, Kai ара
q Kavovucq cog про<; тк; ураррёд popcpq тов 0а npEnsi va sivai о I.)
3.19. Na ЛЕргурац/ЕТб tov аХубрЮцо anaXoicpqc; Gauss-Jordan, о onoioc; Enioq; avaysi це otoixeicoSek;
ЦЕтаохтщапоцов^ ypappcov eva au0aipETO nivaKa A orqv Kavovucq coq лро<; тк; урацц&; цор(рг|
тов.
О аХуор10цо<; Gauss-Jordan ларовога^Е! арк£Т£<; оцо16тт|те<; це tov аХубрЮцо алаХокрг|<;
Gauss, цоуо лов еЗсо о ка0£ о5г|у6<; хРП<яцоло1£1та1 yia va толо0етт|0ову цг]5ЕУ1ка dxv ц6уо
катсо, аХХа Kai navco ало автоу, лротов лрохсорг|оовц£ orov елоцеуо oSqyo. ЕлшХеоу, цса
лараХХауг) тов аХуор10цов, KavoviKonoiEi лрсота tt|v ка0£ ураццгц SqXaSq E^aocpaXi^si Eva
povaSiaio oSqyo, лротов авт6<; va xpq<nponoiq0si yia va Tono0£Tq0OBv pqSEviKa отк; вл6Хо1Я£<;
урацц£<;, avri va KavoviKonoiqosi тк; урацц£<; ото teXo<; тов аХуор10цов.
[1-23 1 2"l
1 14—1 3 . Na хРЛстЧхол°1Лстете TOV Gauss-Jordan yia va Ppeite rqv
2 5 9 -2 '8 J
Kavovucq cog лрод Tig ypappfig popcpq тои A.
XpqoiponoioupE cog o5qyo to a, ।=1 yia va лароирЕ pq5sviKa катсо ало аито, Ecpappo^ovrag
5ia5o%iKa тоид pETaoxqpaTiopoug “AvrucaTaoTaoq Tqg R2 це -R]+R2” Kai “AvriKaTaoraoq
Tqg R3 це -2R|+R3”. Аита pag o5qyouv otov
[1-23 1 2"|
0 3 1—211
0'9 3 -4 4]
ПоЛЛалХаок^оирЕ тсора Tqv R2 це to - yia va 0£ooupE tov oSqyo a22=l, Kai елепо
толо0ЕтоицЕ pqSEviKa катсо Kai navco ало то a22 Ecpappo^ovrag тоид pETaoxqpaTiopoug
“AvTiKaTaoTaoq Tqg R3 p£ -9R2+R3” koi “AvTiKaTaoTaoq Tqg R| p£ 2R2+R|”. Oi pETaoxq-
pariopoi аито! pag oSqyouv otov
’1-2 3 1 2*1 Г1 о Y -1 f*
0 1 1 _z J ~ 0 1 I -2 I
_0 9 3 -4 4J |_0 0 0 2 1_
1
ТвХод, лоМ-алХаош^оицЕ Tqv R3 це to - yia va 0£ooup£ tov oSqyo a34=l, Kai акоХои0сод
толо0£тоиц£ pqSsviKa лаусо ало то а34 Ecpappo^ovrag SiaSoxtKa тоид pETaoxqpaTiopoug
2 1
“AvTiKaTaoTaoq Tqg R2 це — R3+R2” Kai “AvTiKaTaoTaoq Tqg R, це ~ R3+R|”. Oi
pETaoxqpaTiopoi аито! цад oSqyouv otov
лои Eivai q Kavovucq cog лрод Tig ypappfig popcpq тои A.
EYETHMATA FPAMMIKftN ESIEQEEQN ME МОРФН FIINAKQN
3.21. Na Ppeite tov Enau^qpevo л^ака M Kai tov лсуака ovvteXeotcov А тои лю катсо оиотт|ратод:
х + 2у - 3z = 4
3y-4z + 7x = 5
6z + 8x-9y= 1
Eu0uypappi£oupE лрсота тоид ayvcboroug тои ovovqpaTog, Kai OTq ovvexeio xpqcriponoioupE
to EU0uypappiopsvo ovoTqpa yia va Ppoups тоид M Kai A. 'Exoups
3.22. Na Xvoete to Ka0£va ало та ларакатсо сгиаттщата xpriaiponoicbvraq tov £nau^T|p£vo too
ляуакаМ:
x + 2y- z = 3
x + 3y+ z = 5
3x + 8y + 4z = 17
(a)
x — 2y + 4z = 2
2x — 3y + 5z = 3
3x-4y + 6z = 7
(Д)
x+ y + 3z=\
2x + 3y- z = 3
5x + 7y+ z = 7
(?)
(a) AvayoupE tov £nau^T|p£vo лсуака M oe кХсраксотс] цорсрт] cog акоХоиОсод:
Г1 2 -1 31 Г1 2 -1 31 Г1 2 -1 31
М = 1 3 1 5 ~ 0 1 2 2 ~ 0 1 22
[З 8 4 17J ' |_0 2 7 8J |_0 0 3 4J
Грасроирв тсора то avrioTocxo трсусоускб оиотдра
x + 2y-z = 3
у + 2г = 2
3z = 4
кас Xvvoups це аупкатасттася] лрод та л coco уса va лароицв тт] povaScKfj Хбот]
* = ¥• У= “?• г = з Я “ = <V'_ з-з)
ЕуаХХактска, avayoups tt|v кХсцаксотт| цорсрт] тои М as kovovckti popcpf] сод лрод тсд
ураццЁд, XapPavovTag етос
(Р) Avayoups лрсота tov елоо^тщеуо лсуака М ое кХсраксотс] цорсрт] сод акоХоиОсод:
[1 -2 4 21 Г1 -2 4 21 Г1 —2 4 21
2 -3 5 3 ~ 0 1 -3 -1 I ~ | 0 1-3-11
3 —4 6 7J |_0 2 -6 1J [о О О 3J
Н трстт] ураццд аутссттосхЕс ott|v ЕксриХсстцЁУТ] е^сстсося] 0x+0y+0z=3, т| олоса Sev ёхес
Хися|. ЕлоцЁУСод “ДЕ EYNEXIZOYME”. То архскб сязстттща £лсся|д Sev exec Хися|.
(ЕтщЕссоУЕтас отс т| кХсцаксотг] цорсрт] олоЗескусзес ката лбоо то сязстттща exec f| бхс
Хися|.)
(у) Avayoups tov £nau^T|p£vo лсуака М ое кХсраксотт] popcpf] кас ЁЛЕСта ое KavovcKf| popcpf]
сод лрод тсд ypappsg:
«=[’ ? j j]~[o ? ; ?]
(Н Tpirq ypappq tov SsvTEpov nivaKa SiaypacpETai, ка0ах; Eivai Eva noXAanXdoio ттц;
SevTEpqc; ypappqc;, то onoio 0а катЁХ-qyE ое pia pqSEviKq ypappq.) ГрасроурЕ то
ovoTqpa nov avTioToi/Ei oTqv Kavovucq ax; npoc; tu; ураррЁс; р.ор<рт| tov M, Kai
акоХоуОах; рЕтасрЁроорв тк; eXev0epe<; рЕтаР^тЁс; ото Se^io рЁХос; yia va ndpovpe
Tqv popcpq ЕХа)0Ёра>у pETapXqTibv ттц; Xvoqc;:
10z = О
7z= 1
Kai
x = -lOz
у = 1 + 7z
E5<b to z Eivai r] povaSiKq eXevOept] pETaPA.qrq. H napapETpiKq Xvoq, xpqoiponoidjvrac;
to z=a, ё/ei ax; e^qg:
x=-10a, y=l+7a, z=a q u=(-10a, l+7a, a)
3.23. Na Xvoete to акоХоуОо ovorqpa xpqoiponoubvrac; tov Enavi;q|^vo tov nivaKa M:
x1+2x2-3z3-2x4+4xs = 1
2x1+5x2-8x3-x4+6x5 = 4
x1+4x2-7x3+5x4+2xs = 8
AvayovpE tov Enav^qprvo nivaKa M oe кХсракаттт] popcpq Kai ЁпЕГса oe Kavovucq popcpq ax;
npoc; тк; ураррЁс;:
TpdcpovpE to ovoTqpa nov avrioToi/Ei OTqv KavoviKq ax; npoc; тк; ураррЁс; popcpq tov M koi
акоХоиОах; рЕтасрЁроирЕ тк; eXev0epe<; рЕтаРАл]тЁ<; ото Se^io рЁХос; yia va PpovpE Tqv popcpq
еХео0ёро>у pETapXqTcbv Tqc; Xvoqc;:
24xj = 21
8x5 = -7
x, = 21 -x3 - 24xs
Kai x2 = -7 + 2x3 + 8X5
x4 = 3-2xs
E5d) та X], x2, x4 Eivai 01 РаоисЁс; рвтаР^тЁс;, evco та x3 Kai x5 01 eXevOepec; рЕтаРАл]тЁ<;.
YncvOvpi^ETai oti q napapETpucq popcpq Tqc; Xvoqc; pnopEi va PpE0Ei and Tq popcpq £к£О0Ёра>у
pETapXqTcbv Tqc;, E^iocbvovTac; anXa тк; eXevOepec; рЕтаРАл]тЁ<; p£ тк; парарЁтроос;. Tia
napaSEiypa, x3=a, x5=b. H 5ia5iKaoia av-rq рас; oSqyEi orqv
X]=21-a-24b, x2=-7+2a+8b, x3=a, x4=3-2b, x5=b
q ото
u=(21-a-24b, -7+2a+8b, a, 3-2b, b)
to onoio Eivai pia aAlq popcpq Tqc; Xvoqc;.
ГРАММ1КО1 ZYNAYAZMOI, OMOTENH ZYZTHMATA
3.24. Na ypayETE to v cog ypappiKO ouvSuaopo tcov ub u2, u3, блои:
(a) v=(3,10,7) кас u,=(l,3 -2), u2=(l,4,2), u3=(2,8,1).
(P) v=(2,7,8) Kai и,=(1,2,3), u2=(l,3,5), u3=(l,5,9).
(y) v=(1,5,4) Kai u,=(l,3 -2), u2=(2,7-1), u3=(l,6,7).
Вр1окоирЕ to looSuvapo оиотт|ра ypappiKcbv e^iocooecov ypacpovrag v=xu,+yu2+zu3.
EvaXXaKTiKa, хриосролоюирв tov Enau^rjpsvo nivaKa M too looSuvapou оиотт|ратод, блои
M=[U|,u2,u3,v], (EScb та ub u2, u3, v sivai oi отдАхд той M.)
(a) H SiawopaTiKTi E^iocoori v=xu,+yu2+zu3 yia та SsSopsva Siavuopara exei cog E^qg:
[?]=iU]+^]+2[?]=[£4£J]
Zxnpari^oupE то looSuvapo оиотт|ра ypappiKcbv s^iocboscov E^iocbvovrag рЕта^и тоид
Tig avTioroixEg KaraxcopioEig, Kai ЁЛЕгса avayoupE то оиотт|ра oe кА.1раксотт| popcprj:
x + y + 2z = 3
3x + 4y + 82 = 10
-2x + 2y+ 2= 7
x + y + 2z = 3
y + 2z = 1 T|
4y + 5z = 13
x+y + 2z = 3
y + 2z= 1
—3z = 9
To ouorripa PpioKETai oe rptycoviKri popcpf|. Me аупкатаотаот] лрод та nioco PpioKoups
тт) pova5iKT| Аиог| х=2, у=7, z=-3, олоте v=2U|+7u2-3u3.
EvaAAaKTiKa, охпраифирЕ tov Елаи^лрЁУО лп>ака M=[ubu2,u3,v] тои looSuvapou
оиотдратод, Kai tov avayoupE ое кА.1раксотт| рорсрт):
[1 1 2 3“| Г1 1 2 31 Г1 1 2 31
3 4 8 10 ~ 0 12 1 ~ 0 1 2 1
-2 2 1 7J |_0 4 5 13J [О 0 -3 9J
О TEXsuTaiog лп>акад avriOTOixfii ое Eva TpiycoviKO оиотт|ра лои exei pia povaSua]
Хиот|. Me аупкатаотаот| лрод та л1осо naipvoups тт| Xuor| х=2, у=7, z=-3, олоте
v=2u,+7u2-3u3.
(Р) 1хлрат1^оир£ tov Елаи^прЁУО лп>ака M=[ubu2,u3,v] тои looSuvapou оиотдратод,
Kai tov avayoups os кАлраксотт) popcpf|:
H тр1тт| ypappf| avTioroixEi orr|v бксриХюрЁУТ] s^iocoori 0x+0y+0z=-4, т| оло1а Sev
exei Аиот]. Enopsvcog то оиотт|ра Ел1ог|д Sev exei Хиот|, Kai cog ek toutou to v Зе рлорЕ1
va ypacpTEi cog ypappucog ouvSuaopog tcov ub u2, u3.
(y) ZxnpaTi^oupE tov Enau^ripsvo л^ака M=[ubu2,u3,v] той looSuvapou оиотдратод,
Kai tov avayoupE oe кАлраксотт) popcprj:
О TEXEUTaiog лп>акад avTioroixEi ото ларакатсо оиотт|ра p£ eAeuOept) р£тарА.г|тт| то
z:
х + 2у + z = 1
j» + 3z = 2
Evvencbc; то v рлоре! va ypacprei cot; ypappiKO^ ouvSuaopoc; tcov u,, u2, u3 ре лоХХоос;
трблоос;. Па napaSeiypa, eav Oeoovpe tt]v еХеоОерт] ретарХт]тт| z=l, тоте, це
аупкатаотаот] ярое; та nioco, 0а лароице у=-1 Kai х=2, олоте v=2u|-u2+u3.
3.25. 'Еотсо та и, =( 1,2,4), u2=(2,-3,1), u3=(2,1,-1) otov R3. Na берете oti та u ।, u2, u3 eivai opOoycbvia
koi vaурац/ете то v ак;ypappiKO ouvSvaopd tcov ub u, u3, блои: (a) v=(7,16,6), (P) v=(3,5,2).
riaipvovpe то еосотерисб yivopevo tcov £evycbv tcov Siavuoparcov yia va Ppovpe
U|-u2=2-6+4=0, u i-11=2+2-4-0, u2u3=4-3-l=0
'Etoi та rpia SiavoapaTa otov R3 eivai opOoycbvia, koi ара рлоробре va %pr]oiponoir|oovpe
ouvreXeorec; Fourier, Зт|ХаЗг| v=xu,+yu2+zu3, олоо
_ u u, _ vu2 _ v u3
y u2 • u2 ’ Z u} • «з
(a) 'E%ovpe
_7 + 32 + 24_63 _ 14 — 48 + 6_-28 14+ 16-6 24
Z 1+4+16 21 ’ У 4 + 9+1 14 ~ ’ Z~ 4+1 + 1 " 6 “4
Enopevcoc; v=3u|-2u2+4u3.
(P) 'Exovpe
_3+Ю + 8_21_ =6“15 + 2_-7_ 1 _6 + 5-2 9 3
X 1+4+16 21“ ’ У~ 4 + 9+1 ~ 14“ 2’ Z~ 4+1 + 1- 6“ 2
1 3
Enopevcoc; v = ux ~~u2 + yM
3.26. Na Ppevre tt| 5iaoraoT| Kai pia Раот| yia tt| yevucfi Xuot| W too KaOevoc; ало та ларакатсо
opoyevri оиотт|рата:
2x| + 4х2 - 5х3+Зх4=0
Зх| + 6х2 — 7х3 + 4х4 = 0
5Х| + 10х2 - 11х3 + 6х4 = 0
(а)
х - 2у - 3z = 0
2х+ у- z = Q
3x-4y-8z = 0
(fl)
(a) Avayovpe то оиотт|ра ое кХсраксотт] рорсрт] xprioiponoicbvrac; топе; ретаохпратюроо^
“Аупкатаотаот] ttjc; Ьз ре -3L|+2L2” Kai “Аупкатаотаот] ttjc; L3 ре -5L|+2L3” Kai
ёлегса то ретаохг|рат1орд “Аупкатаотаот] тт]д L3 ре -2L2+L3”. Oi ретао%тщат1оро(
avroi рас; о5т]уооу ото:
2х,+4х2-5х3+Зх4=0
х3- х4=0
Зх3 - Зх4 = 0
Kai
2х, +4х2 — 5х3 +Зх4 =0
х3- х4=0
То оиотт|ра ое кХщаксотт] рорсрт) e%ei Soo еХебОере^ ретарХт]тё^, то х2 Kai то х4, eroi
dim W=2. Mia Раот) [u,,u2] yia tt|v W pnopsi va XT|<p0Ei cog s^r|g:
(1) Оётоурб x2= 1, x4=0. Me аупкатаотася] лрод та nioco naipvovpe x=0 Kai Елена
x,=-2. Zvvsncbg u,=(-2,1,0,0).
(2) Оётооре x2=0, x4= 1. Me аупкатоютаот| лрод та nioco naipvovpe х3= 1 Kai ёлегга
Х|=1. uvvsncbg u2=( 1,0,1,1).
(Р) Avayovpe то сгиоттща ое кАдраксотт| рорсрт], XapPavovrag
х - 2у - 3z = О X - 2у - 3z = О
5y + 9z = 0 *<ai 5y + 9z = 0
2у + lz = 0 17z = О
△ev vnapxovv eXev6epeg ретарХт]тёд (то сгооттща PpioKSTai ое TpiycoviKi) рор<рг|).
Елорёусод dim W=0, Kai T] W Sev e%£i Paar]. EvyKEKpipeva, T] W алотеХепа! povo ало
тт| ptjSevikti Xvot], STjXaSri W={0}.
3.27. Na Ppeite tt| Зюотаат] Kai pia Paor| yia tt| yeviKf| Avar] W tov лю катсо opoyevovg стоотт|ратод,
ХРЛОфолокоутад popcpi) nivaKcov:
X] + 2x2 + 3x3 - 2x4 + 4xs = 0
2x| + 4x2 + 8x3 + x4 + 9xs = 0
3x| 4- 6x2 4- 13x3 4- 4x4 4- 14xs = 0
0a Sei^ovpe tov троло pe tov олою т] Раат| Sivei rr|v лараретриа) pop<pr| ттц; yEviKfjg A.vOT|g
tov оъотт|ратод.
'Otov eva сгоотт|ра sivai opoyeveq, sivai лротсротеро va to avanapioTovps ps tov nivaKa
ovvtsXsotcov tov, А, пара pia tov enav^pevo tov nivaKa M, кабсод T] TsXsvTaia отт|Хт] tov
snav^Tjpsvov nivaKa M sivai pT]3sviKT| Kai 0a napapsivsi pt]3svikt| ката ttj SiapKEia
onoiao5r|noT6 avaycoyqg ps OTOix£icb3sig ретаохпратюротЗд ypappcbv.
Avayovpe tov nivaKa ovvtsXeotcov A os кАдраксотт] pop<pr|, XapPavovTag
(H TpiTT| ypappri tov SsvTspov nivaKa SiaypacpETai, кабсод sivai sva поАХапХаою тцд Зеотерпд
ypapprjg, то onoio ба катёХт]уе os pia pT]8eviKT| ypappiy) Mnopovps тсора va npoxcopr|oovps
ps Svo Tponovg.
(а) Гpacpovps то avTioToixo ороуеуёд спютт|ра os кХсраксотт] popcpi):
X| 4- 2x2 4- 3x3 - 2x« 4- 4xs = 0
2x3 4- 5x4 4- xs = 0
To ovoTT|pa os кАлраксотт] рор<рг| ёх£1 Tpsig sAxv6spsg рЕтарХт}тёд, та x2, x4 Kai x5,
ёто1 dim W=3. Mia Раот| [ubu2,u3] тцд W pnopsi va XT}cp6si cog s^r|g:
(1) ©ётоурб x2=l, x4=0, x5=0. Ms аупкатаотася] npog та nioco naipvovps x3=0
Kai ёпЕпа Xj=-2. Evvsncbg U|=(-2,l,0,0,0).
(2)
(3)
©ётоурЕ х2=0, х4=1, х5=0. Me аупкатаотаот) лро<; та л!осо naipvoypE х3= - —
19 (19 5 1
Kai ёлЕгга х\=^ 2ууелсЬ<; и, — ,0,--,1,0 .
©ётоурЕ х2=0, х4=0, х5=1. Me аупкатаотаот) лро<; та л1осо naipvoyps х3=‘
2
Kai ЕЛЕгга х,=- - . Еууелсо»; и,=^ ~ Д ~ Д1).
[0а рлороиоарЕ va алофууоурЕ та кХаората отт] Раот| £Л1Хёуоутсц ато (2) х4=2 Kai
ато (3) х5=2, та оло(а 0а pa; о5т]уоуоау ое калош лоХХалХаош tcov и2 Kai и3.] Н
ларац£тр1кт| рорфт| ттц; yEvnafc Xvot|<; XapPavETai ало tov акбХоубо ураррисб
oyvSyaopo tcov 5iawopaTcov раот|<;, xpT|oiponoicbvTa<; тк; ларарётроу<; а, Ь, с:
aut +bu2+cu3 =(-2a + ^b-$c, a, -$b-[c, b, с)
(P) AvayoypE tt)v кАлраксотт] рорфт| too A oe kovovikti рорфт| co<; лро<; тк; ураррё<;:
Г1 2 3 -2 41 Г1 2 0 -% Я
[° ° 1 | |J~[° ° 1 |
KaToniv урафоирЕ ttjv avrioTOixi] рорфг| ЕХЕибёрсоу pETapXqTcbv:
Хртряролокоута»; тк; е^юсооек; аутё<; yia тк; Рао1кё<; р£тарХт]тё<; x1 Kai х3,
EnavaXapPavoupE ttjv ларалаусо SiaSiKaoia yia va лароурЕ pia Раот| [иьи2,и3] yia
ttjv W. Ai]Xa5r|: бётоурЕ x2=l, x4=0, x5=0 yia va лароурЕ то ub бётоурЕ x2=0, x4=l,
x5=0 yia va лароурЕ то u2 Kai бётоурЕ x2=0, x4=0, x5=l yia va лароурЕ to u3.
3.28. Na алобЕ^ЕТЕ то 0£сорт]ра 3.15: 'Еотсо то v0 pia eiSikt) Xvot| тоу AX=B, Kai ёотсо W tj yevikti
Xvot| тоу AX=0. Tote r| U=v0+W={v0+w: we W} Eivai r| yevikti Xvot| тоу AX=B.
'Eotco to w pia Хиот| тоу AX=0. Tote
A(vo+w)=Avo+Aw=B+O=B
Ара to aQpoiopa v0+w Eivai pia Хиот| тоу AX=B. Ало ttjv dXXr], a<; улобёооурЕ oti to v Eivai
Ел1от|<; pia Хиот| тоу AX=B. Tote
A(v-vo)=Av-Avo=B-B=O
Елорёусо<; то v-v0 avr|K£i ott]v W. Афои v=v0+(v-v0), PpioKoypE oti оло1абг|лот£ Хиот| тоу
AX=B рлор£1 va Хг]ф0£{ лрообётоута; pia Хуот| тоу АХ=0 р£ pia Хиот| тоу АХ=В, Kai ёто1 то
0£сорт]ра ало5£1хтт|К£.
ETOIXEIQAEIE IIINAKEE, ЕФАРМОГЕЕ
3.29. 'Еотсо oti oi e ।, e2, e3 ovpPoXi^ovv, avTiGTOixa, tov»; otoixeicoSei»; рвтаохлратюроу»; ypappcbv
“Арофаса avTaXXayi| tcov ypappcbv R| Kai R2”,
“Ауг1катаотаат| тт|<; R3 ps 7R3”,
“Аупкатаотаот| тт)<; R2 ps -3R|+R2”.
Na Ppeite tov»; avTicTOixov»; З-тЕтрауамкоу»; otoixeicoSei»; nivaKE»; Eb E2, E3.
Ecpappo^ovps tov ка0£ рвтаохлратюро otov 3x3 таотопко nivaKa I3 yia va napovpE
[0 I 01 Г1 0 Oi Г 1 ° °1
10 0, £2 = 0 1 0 , £3 = 1-3 I 0 I
0 0 1J |_° 0 7J L 0 0 1J
3.30. ©EcopEioTE tov»; otoixeicoSei»; р£таох,111а'с1ст110^9 ypappcbv too ПрорХт|рато<; 3.29.
(a) Na 7t£piypa\|/£T£ tov»; avrioTpocpov»; pETaoxTmatiopov»; e[', e21, e31 .
(P) Na Ppeite tov<; avTioTOixovv 3-T£TpaycoviKOU<; otoixeicoSeu; nivaK£<; Ej, E2, E3 .
(y) Iloia r| oxeot| рвта^и tcov nivaKcov E]t E2, E3 Kai Eb E2, E3;
(a) Oi avTiorpocpoi tcov eb e2, e3 Eivai, avTiGTOixa, oi e^f|g:
“ApoiPaia аутаХХаут) tcov ypappcbv R| Kai R2”,
1
“Аупкатаотаот| тт|<; R3 p£ — R3”,
“Аут1катаотаот| тт)<; R2 ps 3R|+R2”.
(P) Ecpappo^ovps tov ка0£ avTiorpocpo р£таохлратюр6 otov 3x3 tovtotiko nivaKa I3
yia va napovpE
[0 1 01 Г1 0 (Л Г1 о oi
10 0, £<2= 010, £<3= 310
0 0 1J L° 0 L° 0
(y) Oi nivaK£<; E, , E2, E3 Eivai, avuoTOixa, oi avTioTpocpoi tcov nivaKcov Eb E2, E3.
3.31. Na ураувтЕ tov KaOsva ano tov»; паракатсо nivaKE»; co»; yivopfivo otoixeicoScov nivaKcov:
1 2 31 Г 1 1 21
0 14, (y) C= I 2 38
0 0 1J [-3 -1 2 J
'Eva»; nivaKa»; M ypacpETai co»; yivopsvo otoixeicoScov nivaKcov Eav aKoXovOr|0oi5v та e^t|<; Tpia
Рдрата:
Bfjpa 1. AvayoupE ps oroixEKbSsu; pETaoxyipatiopoi)»; ypappcbv tov M otov таитотскб
nivaKa I, oT|p£ubvovra<; тои»; р£таохЛМат1СТ110^9 яои Ecpappooaps yia rqv
avaycoyf) avrr).
Вдра 2. Гpacpovps тои»; avrioTpocpov»; рвтаохлратюрой»; ypappcbv.
Bqpa 3. Гpacpoups tov M co»; to yivopsvo tcov otoixeicoScov nivaKcov nov ovtiotoixovv
(a) A — [ _2 , (fl) В —
oxovq avxioxpocpovq pexaoxqpaxiopov^. Аито paq Sivei Kai то emOvpqxo
алохёХеора.
(а) (1) Ъхоице
л = [-2 4]~[о -г]~[о >]~[о °]=/
блог» oi pexaoxqpaxiopoi ypappcbv eivai, avxioxoi%a, oi e^q^:
“AvxiKaxaoxaoq xqq R pe 2R|+R2”,
1
“AvxiKaxaoxaoq xrp; R2 pe _ — R2”,
“AvxiKaxaoxaoq xrp; R| pe 3R2+R|”.
(2) Avxioxpocpoi pexaoxqpaxiopoi:
“AvxiKaxdoxaor) xqq R2 pe -2R|+R2”,
“AvxiKaxdoxaor) xqq R2 pe -2R2”,
“AvxiKaxdoxaor) rqq R| pe -3R2+R|”.
(3) -u®-’][;-?]
(P) (D 'Exovpe
[1 2 31 Г1 2 01 Г1 0 Oi
0 1 4 I - 0 1 0 I - |0 1 О I =7
0 0 1J [° 0 d LO 0 1J
onov oi pexao%qpaxiopoi ypappcbv eivai, avxioxoixa, oi e^qq:
“AvxiKaxaoxaoq rqq R2 pe -4R3+R2”,
“AvxiKaxaoxaoq rqq R| pe -3R3+R|”,
“AvxiKaxaoxaoq rqq R| pe -2R2+R|”.
(2) Avxioxpocpoi pexaoxqpaxiopoi:
“AvxiKaxaoxaoq rqq R2 pe 4R3+R2”,
“AvxiKaxaoxaoq rqq R| pe 3R3+R|”,
“AvxiKaxaoxaoq xqq R| pe 2R2+R|”.
[1 0 О]Г1 О 31Г1 2 Oi
0 1 4 II 0 1 olio 1 0 I
0 0 1J|_O 0 1J|_O 0 d
(y) (1) Avayovpe лрсоха xov С oe кАлраксотг) popcpq. 'E%ovpe
Г 1 1 21 Г1 1 21 Г1 1 21
C=I 2 38-014-014
L-3 -1 2j |_0 2 8j |_0 0 Oj
Ее кАлцаксотг| цорфт), о С exei pia pr|8eviKT| ураццт|. “ETAMATAME”. О rriva-
ка<; С Зе propel va ava%0el це атогхегсоЗек; цетаохгщатюцог)(; ураццсоу otov
таитопкб irivaKa I, каг cog ек tovtov Зе propel va урафте! cog yivopevo атоь
Xeico8cbv TtivaKcov. (ErpeicbveTai, аъукекрреуа, oti о C Sev exei аут1атрофо.)
Г 1 2 -41 Г1 3 —41
3.32. Na Ppevre tov avrlazpoipo tov: (a) A = -1 -1 5 , (fl) B= 11 5 -1 .
L 2 7 -3j |_3 13 -6 J
(a) Exnpa^ovpe tov rrivaKa M=[A,I] Kai tov ауауоице це aroixeicbSeic, цетаохтщатюцогх;
ураццсоу ае кХгцаксотт| цорфт|:
[1 2 -4 j 1 0 01
0 1 1 ! 1 10
0 0 2 ]-5 -3 1J
Ее кА.1цаксотт| цорфг|, то арютерб раб той М Рр1акета1 ае тргуамкт| цорфт], ара о А
exei аупатрофо. Ауауоице лерагсерсо tov М ае кауоуиа] цорфт] сод лро<; тк; ураццед:
-11 3‘
Ч L
О теА.1кб<; л1уака<; ехег тт| цорфт] [I, А 1 ], Зг|ХаЗт| о А 1 eivai то 8е£ю раб той. ЕиуелсЬ<;
Г-16 -11 3 1
А'' = 7/2 5/2 -1/2
[-5/2 -3/2 1/2J
(Р) Ехпцат^оице tov л1уака M=[B,I] Kai tov ауауоице це ато^еаЬЗек; цетаахтщат1ацоп<;
ураццсоу ае кАлцаксотт| цорфт|:
[1 3 -4 J 1 0 01 Г1 3
1 5 -1 । 0 1 0 ~ 0 2
3 13 -б’ 0 0 1J [° 4
-4 ! 1 0 01 Г1 3
3 । -1 1 0 I ~ 0 2
6 1-3 0 1J [о 0
-4’1 0 01
3 !-1 10
0 1-1 -2 1J
Ее кА.1цаксотт| цорфт), о М exei pa p|3eviKT| ураццт) ато арютерб цюб той. 'Ета1 о В
Зе цлоре( va avaxOei це aroixeicbSeu; цетаахтщатюцои<; ураццсоу ае TpvycoviKr| цорфт),
Kai со<5 ек tovtov 8ev exei аут(атрофо.
3.33. Na берете oti кабе aToixeicb8r|<; тиуакас; A eivai аутютрёф1цо<; це ауиатрофо eva етатц;
aToixeico8r| туака.
'Еотсо Е о otoixeico5t]<; nivaKag nov avTioTOixEi ото otoixeicoSt] ретаохиратюро е, 5г)Ха5т]
е(1)=Е. 'Еотсо, enioqg, е' о avrioTpocpo^ ретаохлратюр6<; тои е кас еотсо Е' о avTioTOiyo^
oToixEicbSq^ nivaKag, SqXaSq е'(1)=Е'. Тоте
1=е'(е(1))=е'(Е)=Е'Е кас 1=е(е'(1))=е(Е')=ЕЕ'
Evpnepaivovpe, Xoinov, oti о Е' eivai о avriorpocpoc; тои Е.
3.34. Na апобе^ете то Oecbpqpa 3.16: 'Еотсо о е evac; otoixeico5t]<; peiaoxqpanopo^ ypappcbv Kai
еотсо Е о avTioTOixo^ т-тетрауомкб*; oioixetcbSq^ nivaKag, SqXaSq Е=е(1). Тоте е(А)=ЕА,
опои о A eivai evac; onoiooSqnoTe mxn nivaKag.
'Еотсо R, т| ypappq i too А. Аитб оирроЩетасypacpovTac; A=[R,,.. ,,Rm]. Eav о В eivai evac;
nivaKagyia tov onoio о AB opi^eTai, тоте AB=[R1B,...,RmB], ©ётооре enioqg
e, = (0..0,1,0.....0), *=i
E5cb to “=i oripaivei oti to 1 eivai q i-oo-rq катахсорют]. Mnopei капоту va Sei^ei (Ilpopiqpa
2.45) oti e|A=R,. EqpeicbveTai enioqg oti о I=[e],e2,...,em] eivai о tovtotiko^ nivaKag.
(i) 'Еотсо e о oTOixsicbSq^ ретаахПЦат1°ЦО? ypappcbv “ApoiPaia avraXXayq tcov ypappcbv
R, Kai Rj”. Тоте, yia *=i Kai j,
£ = e(/) = [e1.Tj...ej....e„]
Kai
^) = [Л,....Rj....%.......R„]
Evvencbc;
EA = [e}A...e^A,..., e^A..M] = [Я,......Rj...R,.....R„] = e(A)
(ii) 'Еотсо e о oTOixEicb5q<; ретаохпрат1оро<; ypappcbv “Аупкатаотася] Tqt; R, pe kR, (k*0)”.
Тоте, yia *=i,
£ = *(/) = [«!........e„]
Kai
«W = [*i......kR,..R.]
Swencb^
EA = [e,A...k^A.....e„A] = [Я,....kR,...R„] = e(A)
(iii) 'Еотсо e о oroixEicbSpc;ретаохлратюро^ypappcbv“Аупкатаотася] тт]^ R, pekRj+R”.
Тоте, yia *=i,
£ = e(J) = [e|.fy + e,....e„]
Kai
е(Л) = [Я,..kRj+R,........Яя]
Xpqaiponoicbvra(;TT|v (keJ+el)A=k(eJA)+elA=kR)+Rl, exovpe
EA = [etA..... (kej+e,)A....... е^Л]
= [*i.... kR^R,........... Rm] = e(A)
3.35. Na алобеИ;ете to 0ecbpr|pa 3.17: 'Еотсо о A sva^ тетрауоткос; nivaKag. Тоте та акоХоуба
eivai ioo5vvapa:
(a) О A eivai аутютрёцлрос; (pr|-i5ia£cov).
(P) О A eivai ypappoioobvvapo^ pe tov tovtotiko nivaKa I.
(у) О A eivai eva yivopevo otoixeicoScov nivaKcov.
Упобётооре oti о A eivai аутютрёцлрос; Kai oti eivai ypappoiooSvvapoc; pe tov nivaKa B,
о onoioc; PpioKCTai oe kovovikti popcpri coc; npoc; tu; урарред. Тоте vnapxovv ото1Х£каЗец nivaKeg
E1,E2,...Es тётою1 сооте ES...E2E,A=B. Acpov о A eivai аутютрёцлрос; koi acpov кабе
otoix£ico5t|<; nivaKac; eivai аутютрёцлрос;, о В eivai eniorjc; аутютрёцлрос;. Eav opcog B*I, тоте
о В ба exei pia pr|5eviKT| ypappr|, koi coc; ек tovtov 5e 6a eivai аутютрёцлрос;. Zvvencbc; B=I,
koi to (a) ovvenayeTai то (P).
Eav ioxvei то (P), тоте ба vnapxovv oTOix£icb6eic; nivaKeg E1,E2,...,ES тётоки сооте
As..,E2E|A=I. Apa A = (Es...E2E^)"' = E/1 E2'...E~' Oi E~',opcog,eivaienior|c;oroixfiicbSeic;
nivaKeg, опоте то (P) ovvenayeTai to (y).
Eav ioxvei то (у), тоте A=EjE2. . ,ES. Oi E, eivai аутютрёцирос nivaKeg, koi apa о nivaKac;-
yivopevo tovc; A 6a eivai enicTqc; аутютрёцлрос;. Zvvencbc; to (y) ovvenayeTai to (a), Kai ёто1 то
6ecbpr|pa апо5е1хтт|ке.
3.36. Na апобе^ете то 0есорт|ра 3.18: Eav АВ=1, тоте BA=I, koi apa B=A’'.
Упобётоутас; oti о A 5ev eivai аутютрёцдрос;, тоте 5ev eivai ypappoioo5vvapoc; pe tov
tovtotiko nivaKa I, Kai ёто1 eivai ypappoioo5vvapoc; pe eva nivaKa pe pia pr|5eviKT| ypapprj.
Me aXXa Xoyia, vnapxovv oTOiX£ic66eic; nivaKec; E,,.. .Es тётоки сооте о Es.. ,E2E, A va ёх£1 pia
pr|5eviKT| ypappr|. Епорёусос; о ES...E2E1AB=ES...E2E), evag аутютрёцлрос; nivaKac;, eniorjc;
ёх£1 pia pr|5eviKT| ypappr|. Qotooo аутютрёцлрос nivaKec; 5e pnopovv va ёхооу рт|5еУ1кёс;
ураррёд, koi apa о A eivai аутютрёцдрос;, pe avrioTpocpo tov А'1. Тоте, enicTqc;,
В = IB = (A~'A)B = A~'(AB) = A~lI = A~l
3.37. Na ano5ei^ere то 0есбрг|ра 3.19:OB eivai ypappoiooSvvapoc; pe tov A (koi ypacpeTai B~A)
eav koi povo eav vnapxEi £va^ pr|-i5ia£cov nivaKac; P тётоюс; сооте B=PA.
Eav B~A, тоте B=es(.. .(e2(ej(A)))...)=ES...E2EjA=PA, onov о P=ES...E2E, eivai pr|-i5ia£cov.
AvrioTpocpo, ас; опобёооуре oti B=PA, onov о P eivai pr|-i5ia£cov. Ano то 0есбрг|ра 3.17, о P
eivai eva yivopevo otoixeicoScov nivaKcov, koi ёто1 о В pnopei va Xr|cp6ei ano tov А рёосо piac;
aKoXov6iac; otoixeicoScov peraoxnpariopcbv ypappcbv, 5r|Xa5f| B~A. Zvvencbc; to 6ecbpr|pa
апобе1хтт|ке.
3.38. Na anoSei^ere то 0ecbpr|pa 3.21: Кабе mxn nivaKac; A eivai ioo5vvapoc; pe eva pova5iKO
x ' ' Г7' 0] , - ,
Siapepiopevo nivaKa tt|c; popcprjc; J 0 I,, onov о Ir eivai о rxr tovtotiko^ nivaKac;.
H an65ei^r| eivai катаокеуаот1кг|, ёхоутас; тт] popcpri evo^ aXyopi6pov.
Bi]pa 1. Avayovpe pe oroixeicbSeic; ретаохпратюробс; ypappcbv tov A oe kovovikti
popcpri coc; npoc; tic; ураррёд, pe т|ует1кёс; рт|-рт|5еУ1кёс; KaTaxcopioeig та
Вдра 2. AvraXlaooovpe apoiPaia tic; C| Kai Clyi, tu; C2 koi C2j2,..., koi тёХос; tu; Cr
Kat Crj . Аитб ца<; Sivei eva nivaKa ттц; цорфгц; Me ЛУет1КЁ<; цт|-
HT|8evike<; катахсорюЕц та
Вт]ца 3. Хрт|01цоло1обц£ ц£таохтщат1оцоб<; ott|Xcov, це та а„ сос; о8т|уоб<;, yia va
аут1катаотт]оооц£ tt|v ка0£ катахсорют] otov В це Eva цг|8еу1к6. Дт|Ха8т|, yia
i=l,2,...,r Kat j=r+a,r+2,...,n, Ефарцб^оицЕ то цЕтаахтщатюцб
-bvC, +Су -+сг
О teXikoi; л(уака<; exei tt|v ел10оцг|тт| цорфт] po“l“O^'*
IIAPArONTOIIOIHEH LU
г 1 -3 q г i 4 -3-1
3.39. Na Ppeite tt|v алообу0Еот] LU tov:(«) A=l 2 -4 7 I, (fl)B=l 2 8 1.
L-l -2 1J [-5 -9 7j
(a) AvayovpE tov A oe Tpiycovua] цорфт] £фарцб^оуса<; тоъ<; цЕтаохтщатюцохх;:
“Аупкатаотаот] тцд R2 це -2R]+R2”, “Аупкатаотаот] ттуд R3 це R]+R3” koi ekeito то
5
цЕтаохпцатюцб “Аупкатаотаот] ттц; R3 це — R2+R3”.
Oi цЕтаохпцатюцо! ainoi ца<; oSrjyovv ота е^тц;, блои т| Tpiycovua] цорфт] Eivai о U:
Oi катахсорсоЕк; 2,-1, — тои L Eivai oi apvr|TiKoi tcov лоАЛалХаоюотсоу -2, 1, -
otoi)<; ларалаусо цЕтаохпцатюцоб^ураццсоу. (Гю va то еХеу^оъце, лоХХалХаои^оицЕ
tov L це tov U yia va £лаХт]0£бооъц£ oti A=LU.)
(P) AvayovpE tov В oe Tpiycovucri цорфт] Ефарцб^оусас; лрсота тоъ<; цЕтаохтщатюцохх;
“Аупкатаотаот] ттц; R2 це -2R]+R2” koi “Аупкатаотаот] ттц; R3 це 5R|+R3”. Oi
цЕтаохлцатюцо! аито! ца<; o8r|yo6v otov
,~г;; -?1.
[о п —ej
ПараттщобцЕ oti т| 8£бт£рт| Siaycbvio катахсорют] Eivai 0, олоте о В 8е цлоце! va
avax0Ei ое TpiycoviKi] цорфт] x^pi? v“ Ефарцоототл' цЕтаохгща'гюцо! apoiPaicov
avTaXXaycbv ураццсоу. Ката ооуелею, 8ev Eivai Ьи-ларауоутоло1Г|01цо<;. (Уларх£1
ц(а ларауоутоло(г|ог| PLU evo<; tetoiov nivaKa В, блои о Р Eivai sva<; nivaKai;
ц£та0£от]<;, т| onoia соотбоо 8ev е^отлщете! тоъ<; околоб<; тои ларбуто<; РфМоъ.)
3.40. Na Ppeite tt|v A=LDU napayovTonovr|OT| tov nivaKa А тои ПрорА.т|рато^ 3.39.
H A=LDU napayovTonovr|OT| avacpEpETai ott]v катаотаот] onov о L Eivai Evac; катсо
TpiycoviKO^ nivaKag це OTOiysia 1 ott| 5iaycbvio (6nco<; orr|v napayovTonoir|or| LU tov A), о D
Evac; Siaycbvioc; nivaKac; koi о U evoc; avco TpiycoviKOc; nivaKac; це OTOiysia 1 ott| Siaycbvio.
Evvsncbc;, npoKEipEvov va ppovpE tovc; D koi L, anka TpononotovpE tic; SiaycbviEc; катаусоршЕк;
tov nivaKa U ottjv mo navco napayovronoiT|OT| LU tov A, Kavovrac; tic, 6Xe<; lose; це 1. 'Etoi,
naipvovpE
Г 1 0 01 Г1 0 °1 Г1 -3 Я
L= 2 10, D — 0 2 0 , U = I 0 1—3
I-1 -1 J L° ° -d L° 0 d
Г 1 2 1-1
3.41. Na Ppeite tt)v napayovTonoir|OT| LU tov nivaKa Л = 2 3 3.
L-3 -10 2J
Avdyovps tov A oe TpiycoviKT| popepri всрарро^оутас; tovc; паракатсо цЕтаоутщатюцобс;:
(1) “Аупкатаотаот] ттц; R2 це -2R]+R2”,
(2) “Аупкатаотаот] ттц; R3 це 3R]+R3”,
(3) “Ауакатаотаот] ттц; R3 це -4R2+R3”.
Oi ЦЕтаоутщатюцо! avToi рас; o5T|yovv ота е^тц;, onov т| Tpiycovucri цорерту Eivai о U:
Г1 2 П Г1 2 И Г 1 0 °1
Л~ 0 -1 1 ~ 0 -1 1 =t/Kai£= 2 1 0
[о —4 5J [о 0 1J [-3 4 1J
Oi KOTaycopioEic; 2, -3, 4 tov L Eivai oi apvrjTiKoi tcov noXXankaoiaoTcbv -2, 3, -4 orovc; mo
navco цЕтаоутщатюцобс; ypappcbv. (Гю va to eXey^ovpe, noXXankaoia^ovpE tov L ps tov U
yia va EnaXr|9£voovpE oti A=LU.)
3.42. 'Еотсо A о nivaKac; tov ПрорХт|рато<; 3.41. Na Ppeite tovc; Xb X2, X3, onov: о X, Eivai T] A.vot|
tov AX=B, yia: (a) В ] =( 1,1,1), (P) B2=B i+X i, (y) B3=B2+X2.
(a) BpioKovpE tov L^B] Eepappo^ovrac; otov B] tovc; р£таоут|рат1оро1)<; ypappcbv (1) koi
Avvovps ps аупкатаотаот] npoc; та nioco to UX=B yia B=(l,-1,8) yia va napovpE
X=(-25,9,8).
(Р) BpioKovps прсота tov В2=В|+Х|=(1,1,1)+(-25,9,8)=(-24,1О,9). Erq ovvsxEia, oncog
npoqyovpsvcog,
В2 = [- 24,10,9]г (1) ка‘ (2) >[- 24,58,-63]г —24,58,-295]г
Avvovps це avriKaraoraoq лрод та nioco то UX=B yia В=(-24,58,-295) yia va napovps
Х2=(943,-353,-295).
(у) BpioKOvps прсота tov В3=В2+Х2=(-24,10,9)+(943,-353,-295)=(919,-343,-286). Irq
oDVExsia, oncog npoqyovpsvcog,
В3 = [943,-353,-295]г (|) ка‘ (2) >[919,-2181,2671]г —^[919,-2181,11395]г
Avvovps це avnKaraoraoq прод та nioco то UX=B yia В=(919,-2181,11395) yia va
napovps Х3=(-З7628,13576,11395).
ПО1К1ЛА ПРОВЛНМАТА
3.43. 'Еотсо о L svag ypappiKog ovvSvaopog tcov m e^iocooecov це n ayvcborovg тои ovocq ратод
(3.2). Tia napaSsiypa, о L sivai т| s^iocooq
(С|ац + • • • + c^Jx, + • • • + (с(а1я + • • • + длХ = ctbt + • • • + cmbm (0
Na Sei^ete oti onoiaSqnors Ivor] too ovorqparog (3.2) sivai Kai Ivor] too L.
'Еотсо то u=(k|,...,kn) ц!а Ivor] too (3.2). Tote
aii *1 + H----Ь ai»k* = bj (i = 1,2..m) (2)
AvriKaOioTcbvrag to u ото арютвро psXog rqg (1) Kai уртрфопоиоутад rqv (2), naipvovps
(С|вц +-+cmeml)*l + ••• + (qai, + • • • + c„am)k„
= cl(flll^l + • • • + О1Л) + • • • + cm(aml^l + • • • + a™*,)
= c151 -I--t-cmb„
Aoto sivai to Se^io psXog rqg (1), Kai apa to u sivai pia Ivor] too L.
3.44. YnoQsoTs oti sva оиоттща ypappiKcbv e^iocooecov WXapPavsrai ano sva оиоттща «/
scpappo^ovrag sva oroixsabSq цЕтаохтщатюцб (РХепе Параурасро 3.3, vnonapaypacpo
“ZToixEicbSsig Msraoxqpanopoi”). Na Sei^ete oti та WKai «/exovv Tig iSisg Xvosig.
H ка0£ s^iocooq L ото Wfivai svag урацщкбд ovvSvaopog e^iocooecov too Л. Enopsvcog, and
то FlpdpXqpa 3.43, onoiaSqnorE Xvoq tov «/ба sivai Kai Xvoq tov % And Tqv aXXq, о кабв
oroixEicbSqg pEraoxqpanopog exei sva avrioTpocpo, etoi to Л pnopsi va XqcpOsi and to W)
scpappo^ovrag sva oroixsicbSq psraoxqpariopd. Avro oqpaivsi on onoiaSqnorE Xvoq rov WOa
sivai Kai Xvoq rov JL Ewsncbg та «/Kai Wexovv ng iSisg Xvosig.
3.45. Na anoSsi^ETE to ©scbpqpa 3.4: YnoOsrovrag on sva ovorqpa ypappiKcbv s^iocboscov W
XapPavsrai and sva ovorqpa ypappiKcbv s^iocboscov «/psoco piag aKoXovOiag otoixeicoScov
psraoxqpanopcbv, tots та WKai «Zexovv ng iSisg Xvosig.
Kavsva Pqpa rqg aKoXovOiag Sev aXXa^si to ovvoXo Xvoecov (FlpdpXqpa 3.44). Kara
owsnsia, to apxiKO ovorqpa «/ка1 to teXiko ovorqpa W(Kai onoioSqnorE EvSiapsoo ovorqpa)
EXOW ng iSisg Xvosig.
3.46. 'Eva оботтща урацщксоу e^iocboecov «/Хёуета1 оицРфаотб eav Kavevat; урацц!кб<; ouv3uaopd<;
tcov e^iocboecbv тои Sev eivai pia екфоХюцёут) e^iocoor] L це цт]-цт]8еУ1кт| ата0ера. Na Severe
oti то Лeivai оицРфаотб eav Kai povo eav eivai avaycbyi|io oe кХщаксотт] цорфт].
Упо0ётоице oti to «/eivai avaycbyipo oe кХсцаксотт] цорфт]. Тбте то «/exei Хбот], т) onoia
0а прёпе! enioTjt; va eivai Хбот| опоюи8т|поте урацщкоб оиуЗиаоцоб tcov e^tocboecbv тои.
'Etoi ц L,t] onoia Sev e%£i Хбот|, 8e pnopei va eivai ураццисб»; oi)v8uao|id<; tcov e^tocboecov tod
Л, Kai cot; ек тобтои то «/eivai оицРфаотб.
Ano tt|v аХХт], at; ипо0ёооице oti to «/Sev eivai avaycbyipo ое кХщаксотт] цорфт]. Тбте,
ката тт] SiaSiKaaia тт|<; avaycoyrjt;, 0а прёпес va o8i]yr|oei oe pia екфиХюцёут] Хбот| L це цт]-
цт]8еУ1кт| ата0ера. Н Хбот| аитт] eivai 6va<; урацц1кб<; ouvSuaopdt; tcov e^iocboecov тои Л
Епоцёусо<; то «/Sev eivai оицРфаотб, 8т]Ха8т| eivai аоицР1раото.
3.47. Упо0ёоте oti та u Kai v eivai Зшкекрщёуа Зсаубоцата. Na берете oti, yia Зшкекрщёуотх;
ар10цои<; к, та Зшубоцата u+k(u-v) eivai eniorit; Зшкекрфёуа.
Упо0ётоице oti u+k](u-v)=u+k2(u-v). Арке1 anXa va Зе^оице oti k]=k2. 'Ехоице
k|(u-v)=k2(u-v), ка1ёт©1 (krk2)(u-v)=0
Ефбооу та и Kai v eivai Зсакекрсцёуа, u-v^O. Ара k\-k2=0, Kai ёто! kj=k2.
3.48. Упо0ётоута<; oti о AB opi^erai, va апобе^ете та e£r|<;:
(a) Eav о А ё%£1 ц1а цт]8еУ1кт| ураццт], тбте Kai о АВ 0а ё/ei ц1а цт]8еУ1кт| ураццт]
(Р) Eav о В ё%£1 ща цт]8еУ1кт| отт|Хт], тбте Kai о АВ 0а ё%£1 ц1а цт]8еУ1кт| атт|Хт].
(а) 'Еотсо R, т] цт]8еУ1кт| ураццт] тои A Kai Cj,...,Cn oi orf|Xe<; тои В. Тбте, т] i-оотт] ураццт]
тои АВ 0а eivai т]
(R,Cl,R,C2,...,R,Cn)=(0,0,0,...,0)
(Р) О Вт ё%£1 ц!а цт]8еу1кт| ураццт], Kai ёт©1 о ВТАТ=(АВ)Т 0а ё/ei eniorit; ц1а ццЗеуист]
ураццт]. Еицпераоцатиса, о АВ 0а ё%£1 ща ццЗеуист] отт|Хт].
AAYTA ПРОВЛНМАТА
ГРАММ1КЕЕ EEIEQEEIE, EYETHMATA 2Х2
3.49. Na npooSiopioTe ката пбоо т] ка0ец(а апо тк; пю е^юсооек; eivai ураццист]:
(а) ЗхЛу+2уг=8, (Р) ех+3у=п, (у) 2x-3y+kz=4.
3.50. Na Хиоете тц: (а) пх=2, (р) Зх+2=5х+7-2х, (у) 6х+2-4х=5+2х-3
3.51. Na Хиоете то ка0ёуа апо та акбХоиОа оиоттщата:
(а)2х + 3у=1 (Д) 4х-2у=5 (у)2х-4 = 3у (J) Zx-4у = 10
5х + 7у=3 -6х + 3у=1 5у-х = 5 Зх-6у=15
3.52. Оесореюте то ка0ёуа апо та паракатсо оиоттщата це ayvcbcTOut; та х Kai у:
(а) X - ay = 1 (Д) ах + Зу = 2
ах-4у = Ь 12х+ ау = Ь
(у) х + ау=3
Па посе<; tcjiei; тои a £%£i то ка0£ оиоттща jiia jiovaSua] Xuorj, кат yia пота ^вбут] tcjicov (a,b)
EXet П£рюо6т£р£<; ano pia X6oec<;;
TENIKA ZYZTHMATA TPAMMIKQN EEIZQZEQN
3.53. Na Xvoete та:
(a) x + y+ 2z= 4
2x + З7+ 6z = 10
3x + 6y + 10z = 14
(P) x-2y + 3z = 2
2x — 3y + 8z = 7
3x —4y+13z=8
(?) x + 2y+ 3z = 3
2x + 3y + 8z = 4
5x+8y + 19z= 11
3.54. Na Xvoete та:
(a) x-2y = 5 (ft
2x + 3y = 3
3x + 2y = 7
x + 2y-3z + 2t = 2
2x + Sy - 8z + 6r = 5
3x + 4y - Sz + 2t = 4
(y) x + 2y + 4z-St = 3
3x - у + Sz + 2t = 4
Sx-4y-6z + 9t = 2
3.55. Na Xvoete та:
(a) 2x- _y —4z = 2
4x — 2y — 6z = 5
6x — 3y — 8z=8
(ft x+2y- z+3t= 3
2x + 4y + 4z+3t= 9
3x + 6y— z+ 8t = 10
3.56. ©EtopfiioTE to Ka0£va апо та яаракатсо оиоттщата це ayvcboTOuq та х кат у:
(а) х — 2у =1
х- y+az = 2
ay+ 4z = b
(ft x+ 2y + 2z=l
x + ay + 3z = 3
x + 1 ly + az = b
x + ay+ z = 4
ax+ y+ z = b
Гта яоте<; tcjiei; too a £%et to ка0£ оиоттща pia jiovaSiKfj Хбот], кат ута лота ^Evyrj tcjicov (a,b)
EXet л£ртоо6т£р£<; ало jiia Xvoeu;; To ката лбао Eva оботтща exec jiia jiova5cKf| Xuorj, 5ev
в^артатат ало ttjv tcjitj too b. Гтатт;
ГРАММ1КО1 ZYNAYAZMOI, О MOTEN H ZYZTHMATA
3.57. Na ypa\|/£T£ to v cog ypajcjccKo ovvSvaojcd tcov ub u2, u3, блои:
(a) v=(4,-9,2), u,=(l,2 -1), u2=(lЛ.2), u3=(l -3,2),
(P) v=(l,3,2), u,=(l,2,l), u2=(2,6,5), u3=(1,7,8),
(y) v=(l,4,6), u,=(l,l,2), u2=(2,3,5), u3=(3,5,8).
3.58. 'Еотсо та U]=(l,l,2), u2=(l,3,-2), u3=(4,-2,-l) otov R3. Na Secrete бтт та ub u2, u3 sivac
opOoycbvca, кат va ypa\|/£T£ to v cog ypajijicKo ovvSuaojid tcov ub u2, u3, блои: (a) v=(5,-5,-9),
(P) v=(l,-3,3), (y) v=(l,l,l). (YnoSei^r]: Хрт|ощолот£тотЕ ovvteXeotei; Fourier.)
3.59. Na Рресте тг| бтаотаот] кас jiia Раот] ттц; ysviKrjg Хботц; W тои Ka0£vd<; ало та ларакатсо
ojioy£vf| оиотгщата;
(а)
x-y + 2z = 0
2х+у+ z = 0
Sx+y + 4z = 0
(Р) x + 2y-3z = 0
2x+5y + 2z = 0
Зх- y-4z = 0
(У) х + 2у+ 3z+ t = 0
2х + 4у+ 7z + 4t = 0
Зх + бу + Юх + St = 0
3.60. Na Рресте тт| Scaoraorj кас jiia Paorj ттц; уеусктц; Хботц; W тои Ka0Evd<; ало та акбХоиОа
оиоттщата:
x,+ 3x2 + 2x3—x4 — x3 = 0 2x,~ 4x2 + 3x3 — x4 + 2x5=0
w 2xi+ 6x2+ 5x3+x4- xs = 0 W 3x, - 6x2 + 5x3 — 2x4 + 4х5 = 0
5X! + 15x2 + 12x3 + x4 - 3x5 = 0 5x! - 10x2 + 7x3 - 3x4 + 4xs = 0
KAIMAKQTOIIIINAKEE, KANONIKH МОРФН QE ПРОЕ TIE ГРАММЕЕ
3.61. Na avayayETE xov KaOsva ano tod; mo катсо nivaKE; as кАлраксотт] popcpr] кас степа as Kavovucri
popcpri cog npoc; ztg ураррЁ;:
3.62. Na avayayETE tov Ka0£va ano too; паракатсо ncvaKs; as кХсраксотт] popcpri кас Ёпвста as
KavovcKf| popcpri cog npoc; тсд ураррЁ;:
3.63. Xpriocponoccbvra; povo отос%£са 0 кас 1, va катаурасрЕТЕ oXod; tod; ncGavoo; 2x2 ncvaKE;
nov PpccKOvrac oe kovovckt] popcpri co; про; тс; ураррЁ;:
3.64. Xpriocponoccbvra; povo отос%£са 0 кас 1, va Рресте tov apcGpo п tcov ncGavcbv 3x3 ncvaKcov
nov PpcoKOvrac oe Kavovcca] popcpri co; про; тс; ураррЁ;.
ETOIXEIQAEIE niNAKEE, ЕФАРМОГЕЕ
3.65. 'Еотсо отс ос С], e2, e3 oupPoXc^oov, avrcorocxa, tod; okoXodOod; otocxeccoSec; р£таохПЦаггоЦ0^;
ypappcbv:
“ApocPaca avraXXayr| tcov R2 кас R3”,
“Аутскатаотаот] rr|; R2 p£ 3R2”,
“Аутскатаотаот] тт]; R] ps 2R3+R|”.
(a) Na Рресте tod; ovtcotocxod; otocxeccoSec; псуакв; Eb E2, E3.
(P) Na Рресте tod; ovtcotocxod; рЕтаохлратсороо; e"1, e’1, e3' , tod; avrcorocxoD;
otocxeccoSec; псуакЁ; tod; E\, E’2, E3 кас тт] охёот) psra^D aorcbv кас tcov Eb E2,
E3.
(y) Na nspcypacpETE tod; avnoToexoD; otocxeccoSec; рЕтаохлратсороо; avriXcbv fb f2, f3.
(5) Na Рресте tod; otocxeccoSec; ncvaKs; Fb F2, F3 noD avrcorocxoDv otod; fb f2, f3, каОсо;
Епсот]; кас тт] охёот] psra^D aorcbv кас tcov Еь Е2, Е3.
3.66. Na ЕксрраоЕТЕ tov каОЁуа ano tod; паракатсо ncvaKs; со; ycvopsvo otocxeccoScov ncvaKcov:
-[И]. Ч-П} -[•;;]
3.67. Na Рресте tov avrcorpocpo tod KaOsvo; ano tod; паракатсо nivaKE; (Eav DnapxEc):
\ ?1. cJHzn
Ij -4 4j [з io -ij Li 7 d L° 2 d
3.68. Na ppeite tov avrioTpocpo tov KaGevog ano Tovg aKoXovGovg nxn nivaKeg:
(a) О A exei oTOixeia 1 ott| 6iaycbvio Kai ott|v vnep6iaycbvio (r| onoia anoTeXenai ano Tig
KaTaxcopioeig nov ppioKovrai арёосод navco ano tt| Siaycbvio) koi pr|5eviKd aXXov.
(P) О В exei QTOixeia 1 отг| Siaycbvio Kai катсо ano avri), Kai pr|5eviKd aXXov.
IJAPArONTOIIOIHEH LU
3.69. Na ppene tt|v napayovTonoir|or| LU tov KaGevog ano Tovg паракатсо nivaKeg:
Г1 -1 -ll Г1 3 -Я Г2 3 61 Г1 2 31
(a) 3 —4 -2 , 0) 2 5 1 , (?) 4 7 9 . (<5) 2 4 7
|_2 -3 -2 J L3 4 2j L3 5 4J , L3 7 10J
3.70. 'Еотсо A о nivaKag tov ПрорЦратод 3.69(a). Na ppene Tovg Xb X2, X3, X4, onov:
(а) О X] eivai r| Xvor| tov AX=Bb onov B|=(1,1,1)T.
(P) Ha k> 1, о Xk eivai r| Xvor| tov AX=Bk, onov Bk=Bk-1 +Xk-1.
3.71. 'Еотсо В о nivaKag tov ПрорЦратод 3.69(P). Na ppene tt|v napayovTonoir|or| LDU tov B.
ПО1К1АА ПРОВЛНМАТА
3.72. ©есореюте та акоХоова avoir) рата, pe ayvcboTovg та x Kai y:
Уповётоутад oti D=ad-bc*0, va берете oti to каве о6отт|ра exei тг| роуабиа) Xvaq:
(a) x=d/D, y=-c/D, (P) x—b/D, y=a/D.
3.73. Na ppene tov avrioTpocpo tov ретаохпратюроо ypappcbv “Аупкатаотаог) ттр; R, pe kRj+k'R,
(k'^0)".
3.74. Na апобе^ете oti, eav 5iaypacpTei t] TeXevTaia отг)Хт| piag KXipaKcorfjg popeprig (avTiGTOixa,
тт|<; KavoviKf|<j popeprig cog npog Tig ураррёд) evog enav£r|pevov nivaKa M=[A,B], Ga npoKv\|/et
pia кХсраксотг) popcpf| (avTiGTOixa, r| kovovikt) popcpf| cog npog Tig ураррёд) tov A.
3.75. 'Еотсо о e ёуад oroixeicb5T|g ретаохпратюрод ypappcbv Kai E о oT0ixeicb6r|g nivaKag tov, koi
ёотсо f о avTioroixog oT0ixeicb5r|g ретаохпратюрод otti^cov koi F о oToixeicb5r|g nivaKag tov.
Na апобе^ете oti:
(a) f(A)=(e(AT))T, (P) F=ET, (y) f(A)=AF.
3.76. 'Evag nivaKag A eivai ioo5vvapog pe eva nivaKa B, koi ypacpovpe A = B, eav vnapxovv pr|-
i5ia£ovreg nivaKeg P Kai Q тётою1 сооте B=PAQ. Na апобе^ете oti r| = eivai pia ox^07!
ioo5vvapiag, 5г|Ха5т|:
(a) A = A, (P) Eav A = В, тбте В = A, (у) Eav A = В Kai В = С, тоте A = C.
AIIANTHEEIE AAYTQN IIPOBAHMATQN
Zu/z/JoAio/zof.- о A=[R|j R2; ...] сгицРоЩе! eva nivaica А це ураццед R(, R2,.... Ta aTOixeia vr]g
кабе ураццед xcopi^oviai це коццата (та onoia napaXeinoviai опд ураццед це eva oTOiyeio) Kai oi
ураццёд це eXXr|viKd epcorqцапка, evco то 0 стицРоЩег n] цт|5еУ1кт| ураццт]. Па ларабетуца,
Л = [1,2,3,4; 5,-6,7,-8; 0] = | 5 -6 7
|_0 0 0 oj
3.49. (а) 6%!, (Р) vai, (у) eivai урацц1ко це ayvcbcnoug та х, у, z, 5ev eivai урацц1ко це ayvdxiToug та
х, у, z, к
3.50. (а) х=2/л, (Р) кац1а Хися], (у) кабе ар1бцод k eivai Хися]
3.51. (а) (2,-1), (р) кац1а Хиот], (т) (5,2), (5) (5-2а, а)
5 (5
3.52. (а) а#±2, (2,2), (-2,-2), (Р) а#±6, (6,4), (-6,-4), (у) а#—, I р6 I
3.53. (а) (2,1,(р) кац1а Хиот|, (у) и=(-7а+7, 2а-2, а)
3.54. (а) (3,-1), (Р) u=(-a+2b, 1 +2а, а, Ь), (у) кац!а Хиот|
3.55. (о) » = (|а,а,|), (Ь) и = (|(7 — 5Ь — 4а), а. |(1 +Ь), Ь)
3.56. (а) а / ±3,(3,3), (-3, -3), (Ь) а / 5 and а /-1,(5,7),(-1, -5),
(с) а / 1 and а / -2, (1, -2), (-2,5)
3.57. (а) 2,-1,3, (Ь) -5,$,1, (с) not possible
3.58. (а) 3.-2.1, (b). j.-l.J, (с)
3.59. (а) dim W = 1,«, = (-1,1,1), (b) dim W = 0, no basis,
(с) dim W = 2,«, = (-2,1,0,0), и2 = (5,0, -2,1)
3.60. (а) dimlF = 3,«l=(-3,1,0,0,0), «2 = (7,0,-3,1,0), «з=(3,0,-1,0,1),
(b) dim W = 2, «, = (2,1,0,0,0), «2 = (5.0, -5, -3,1)
3.61. (а) [1,0,-|; 0,1,$; 0], (Ь) [1,2,0,0,$; 0,0,1,0,0,0,0,1,2],
(с) [1,2,0,4.5,3; 0.0,1,-5,0]
3.62. (а) [1,2,0,0, —4, -2; 0,0,1,0,1,2; 0,0,0,1,2,1; 0],
(Ь) [0,1,0,0; 0.0,1,0; 0,0,0,1; 0], (с) [1,0,0,4; 0,1,0,-1; 0,0,1,2; 0]
3.63. 5: [1,0; 0,1], [1,1; 0,0], [1,0; 0,0], [0,1; 0,0], 0
3.64. 15
3.65. (а) [1,0,0; 0,0,1; 0,1,0], [1,0,0; 0,3,0; 0,0,11], [1,0,2; 0,1,0; 0,0,1],
(Ь) Я2<->Я3; |Я2->Я2; -2Я, + Я, -► Яь each£] = £7l,
(с) С2 «-► С,. ЗС2 -► С2,2С3 + С, -► Ci, (4) each Ft = Е[.
3.66. Л = [1,0; 3,0][1,0; 0, -2][1,2; 0,1], В is not invertible,
С = [1,0; —1,1][1,0; 0,1][1,6; 0,1][2,0; 0,1],
D = [100; 010; 301][100; 010; 021][100; 013; 001][120; 010; 001]
3.67. А~' = [-8,12, —5; -5,7, -3; 1, -2,1], Я has no inverse,
С"1 =[^.-V-l; 3.-2.1], D-1 = [8,-3,-1; -5,2,1; 10,-4,-1]
3.68. Л~‘= [1.-1,1,-1....; 0,1,-1,1,-1,...; 0,0,1.-1,1,-1,1,...; ...; ...; О,...0,1]
В~' has I’s on diagonal, -l’s on superdiagonal, and O’s elsewhere.
3.69. (a) [100; 310; 211][1,-1,-1; 0.-1.1; 0.0.-1],
(b) [100; 210; 351][1,3,-1; 0.-1.-3; 0,0,-10],
(c) [100; 210; j.f. 1][2, J, 3; 0.1.-3; 0,0,-J],
(d) There is no LU decomposition.
3.70. Xt = [1,1, -1]Г.Я2 = [2.2,0]r, X2 = [6,4,0]г, B3 = [8,6,0]r, X3 = [22,16, -2]r, B< = [30,22, -2]r,
X, = [86,62, -6]r
3.71. В = [100; 210; 351] diag(l,-1,-10) [1,3, -1; 0.1,-3; 0,0,1]
3.73. Replace Rt by -kRj + (1
3.75. (c) f(A) = (e(AT))T = (EAT)T = (AT)TET=AF
3.76. (a) A =IAI. (b) If A = PBQ, then В = P~'AQ~l.
(c) If A = PBQ and В = P'CQf, then A = (PP')C(Q'Q)
KccpdXato 4
AIANYZMATIKOI XQPO!
4.1 Е1ЕАГПГН
To KscpaXaio auro sioaysi тг| v7tOKei|i£vr| 8opq rqg ypappiKqg aXysPpag: rq 8оцт| Evog 8iavaopaTiK0B
Хсоров nsnspaopEvqg 8iaoTaoqg. О орюцод svog 8юуооцат1ков x“P0U Ч та otoixeio too олоюв
XsyovTai (J/avotT/zata, acpopa oe sva ao0aipsTO ле81о К, та OTOixfiia too олоюв Xsyovrai apiOpoi. 0a
Xpqoiponoiobvrai oi s^qg овцРоХюцо! (бктод sav 8qXco0si q uno8qXco0si кап aXXo):
V u, v, w К a, b, c q k о 8е8оц£уо<; бшувоцапкод X“P°? 8шуооцата otov V то 8e8o^vo ns8io ар10цсоу ар10цо1 ото К
LxeSov плота то OBaico8sg 8ev npoKsvcai va aXXa^si Eav влоте0е! oti to К sivai то лрауцапко леЗю
R q to piyaSiKO леЗю C.
О avayvcbovqg цлорв! va вло\|лаотЕ1 oti q лрауцатисг| so0£ia R exei “SiaoTaoq” Eva, to KapTEoiavo
леЗю R2 exei “SiaoTaoq” 3vo Kai о X®P°? R3 exei “3iaoTaoq” Tpia. To KEtpaXaio авто гилолою! Tqv
Ewoia rqg “SiaaTacTqg”, Sivovrag sva орюр.6 о олоюд 0a oopcpcovsi це Tq 8iaio0qoq тов avayvcboTq.
Ie 6Xo to влоХосло рфХю, 0a хрлснцолоювце товд ак6Хов0овд овцРоХюцовд obvoXcov:
aG А a,bG А VxgA 3xgA AcB AnB AuB Ф To cTOixEio a avqKEi ото obvoXo A Ta oTOixsia a Kai b avqKOBv ото A Tia ка0£ x ото A YnapxEi Eva x ото A To A sivai sva влоовуоХо тов В Тоцг| tcov A Kai В 'Evcooq tcov A Kai В Kevo gbvoXo
4.2 AIANYEMATIKOIXQPOI
To ларакатсо opi^Ei Tqv Ewoia £vo<; 8iavoa|iaTiKOB х^ров V, блов то К Eivai то ле8(о tcov apiOpcbv.
Орюрод: 'Еотсо V Eva pq-KEVo obvoXo це 8bo лра^Е1д:
(i) Пр6о0Еот] Ашувоцатсоу: Ava0ET£i ое оло1а8т|лот£ u,vg V Eva аОроюра u+v
otov V.
(ii) ВаОцсотдд ПоХХалХаоюоцдд: Ava0£TEi oe оло1а8т|лот£ ug V, kG К Eva yivo-
pevo kuG V.
Тоте о V ovopa^ETai SiavvapaiiKot; x&pot; (navco ото ле81о К) eav, yia олошбдлотЕ
Зшуиоцата u,v,we V, ioxuouv та акбХоиОа а^коцата:
[A]] (u+v)+w=u+(v+w).
[А2] УлархЕ! sva Siavuopa otov V, лои оицроЩвта! це 0 koi Xsyerai (.irjSeviKo
Siavvapa, tetoio coote, yia олою5г|лоте ue V,
u+0=0+u
[ A3] Г la ка0Е ue V, wcapxEi sva Siavuopa otov V, лои оицроХфта! це -и кас ХёуЕ-
тас apvtjTiKd тои и, tetoio сооте
и+(-и)=(-и)+и=0.
[А4] u+v=v+u.
[М । ] k(u+v)=ku+kv, yia олою5т|лоте apiOpo ке К.
[М2] (a+b)u=au+bu, yia олоюио5г|лотЕ apiOpou; а,be К.
[М3] (ab)u=a(bu), yia олоюио5т|лотЕ apiOpou; а,be К.
[М4] 1 и=и, yia tov api0po-pova8a 1е К.
Та ларалаусо а^соцата xcopi^ovrai це cpuoiKd трбло ое 5ио катт|уор(Е<; (олео; wcoSeikvuetoi koi
ало та ураццата отк; etikbte; tcov а^соцатсоу). Та лрсота тЁоовра acpopouv povo tt|v лроо0вт1кт|
5оцт| тои V, кас цлороиу va ouvo\|/iotouv Xeyovra; oti о V илб n]v лроо0вот| sivai ц(а avripEiadETiKij
ораЗа. Аитб oripaivEi oti:
(а) Олою5т|лотв аОроюца SiavuopaTcov v j+v2+... +vm 8ev алагсв1 ларвуОвовк; koi 8ev Е^артатас
ало тт] osipa tcov лроо0втвсоу.
(p) To цт]8еу1ко Siavuopa 0 sivai povaSiKO, блсо; koi to арудтисб -u evo; бшуиоцато; u.
(y) (Nopo; тт|<; Акирсоотц;) Eav u+w=v+w, tote u=v.
ЕлшХеоу, t] a<paip£mj otov V opi^ETai ало rr]v u-v=u+(-v), блои то -v Eivai to povaSiKO арудтисб
той v.
Алб n]v аХХт], та илбХоига твоовра а^соцата acpopouv n]v “вл18раот|” тои лв81ои apiOpcov К
лаусо ото 8iavuopaTiKO х®Р° V. Хрдосролоссоута; та вл1лрдо0вта аита а^коцата алобвисуиоирв
(ПрдрХтща 4.2) тк; лю катсо алХв; i8i6tt]te<; evo; SiavuopaTiKOU хирои.
ввсортща 4.1: 'Еотсо о V sva; Зшуиоцаико; Х“Р0^ лаусо ое sva ле81о К. Тоте:
(i) Tia олою8г|лоте apiOpo ке К Kai yia то Ое V, к0=0.
(ii) Tia то Ое К koi yia олою8г|лоте Siavuopa ue V, 0и=0.
(iii) Eav ku=0, блои ке К koi ue V, tote k=0 r| u=0.
(iv) Tia оло1о8г|лоте ке К koi олою8г|лоте ue V, (-k)u=k(-u)=-ku.
4.3 ПАРААЕ1ГМАТА AIANYEMATIKS2N XS2PS2N
H лараурасро; аитт| алар10ц£1 калош характт]рют1ка лараб£1уцата бшуиоцапксоу x<opcov, oi 0Л0101
0а хрпсяцолоюиута! аркЕта отт] ouvexeio тои pipXiou.
О Xcbpog Кп
'Еотсо то К eva аиОасрвто ле81о. О оицроХюц6<; Кп хрт]слцоло1Е1та1 ouxva yia va StjXcooei to ouvoXo
oXcov tcov n-a8cov це otoixeio той К. E8co то Kn Eivai sva<; 81ауиоцат1кд<; x®P0(5 navco ото К о олою<;
Хрт]сяцоло1Е1 тк; акдХои0Е<; лра^Ек;:
(i) Прбо0£от] AiavuopdTcov: (a1,a2,...,an)+(b1,b2,...,bn)=(a1+b1, a2+b2,..., an+bn)
(ii) ВаОрсотбд ПоХХалХаспаарбд: k(a1,a2,...,an)=(kal,ka2,...,kan)
To pqSeviKO Siavuopa otov Kn eivai t| n-a8a pqSeviKcbv,
0=(0,0,...,0)
eveb to apvr|TiKO evog Siavuoparog opi^erai ало tt|v
-(ai. a2...a„) = (-ai. -a2....~a„)
Паратг|роире oti oi npa^Eig аитёд eivai oi iSieg pe Tig npa^eig лои opioTT|Kav yia tov Rn ото KecpdXaio
1. H anoSei^q тои oti о Kn eivai evag SiavuopaTiKog xcbpog, eivai лауороютилг| pe tt|v алоЗеф] тои
©есорг|ратод 1.1, yia то олою тсора 0ecopoupe oti о Rn, ре Tig лра^еид лои opioTT|Kav еке1, eivai evag
SiavuopaTiKog xcbpog navco ото R.
О Xcbpog tcov IIoXucovupcov P(t)
'Еотсо oti to P(t) oupPoXi^ei to ouvoXo oXcov tcov лрауратсксоу лоХисоуирсоу тт|д popeprig
p(t) = a0 + ait + a2t2 + ...+aJrt (s = 1,2,...)
блои oi оиутеХеотёд a, avqKouv ое ёуа леЗю К. Тоте то P(t) eivai ёуад SiavuopaTiKog xcbpog лаусо ото
К лои хрт|<лроло1е1 Tig ларакатсо лра^есд:
(i) Прбобеот] Асауиорйтсоу: ЕЗсо то p(t)+q(t) otov P(t) eivai т) оиут|0юрёуг| лра^т] тг|д лрб-
обеот|д SiavuopaTcov.
(ii) ВаОрсотбд ПоХХалХаошорбд: ЕЗсо то kp(t) otov P(t) eivai q ouvr|0top6vri лроф] тои
yivop6vou evog api0pou k pe ёуа лоХисоуиро p(t).
To pT|8eviK0 лоХисоуиро 0 eivai to pqSeviKO Siavuopa otov P(t).
О Xcbpog tcov IIoXucovupcov Pn(t)
'Еотсо oti to Pn(t) oupPoXi^ei to ouvoXo oXcov tcov лоХисоуирсоу p(t) лаусо ое ёуа леЗю К, блои о
Ра0рбд тои p(t) eivai риербтерод r| ioog ре то n, 8т)Ха8г|
p(t) = а0 + atl + a2i* 4-... 4- а/
блои s < п. Тоте то Pn(t) eivai ёуад SiavuopaTiKog xcbpog лаусо ото К сод лрод Tig оиут|0юрёуед лра^Есд
тг|д лрбо0еот|д лоХисоуирсоу Kai тои лоХХалХаоюорои evog упюрёуои ре pia ота0ера (блсод акрфсод
о SiavuopaTiKog xcbpog P(t) лю лаусо). ЕирлерЛарРауоире то рт|8еУ1кб лоХисоуиро 0 сод ёуа оторею
тои Pn(t), акбра Kai eav о Ра0рбд тои eivai алрооЗюрютод.
О Xcbpog tcov IIivAkcov Mm n
О oupPoXiopog Mm>n г| алХа M, 0а-хрт|сяроло1Е1та1 yia va 8r|Xcbvei to ouvoXo oXcov tcov mxn лсуа-
kcov pe KaTaxcopioeig ое ёуа ле8ю К. To Mm>n, тоте, 0a eivai ёуад SiavuopaTiKog xcbpog лаусо ото К cog
лрод Tig оиуг|01орёуед npd^Eig тг|д лрбо0еот|д Kai тои Ра0рсотои лоХХалХаоюорои лсуаксоу, блсод
Ka0opi£ei то ©ecbpqpa 2.1.
О Xcbpog tcov Luvaprr]0£cov F(X)
'Еотсо то F(X) ёуа pq-KEvocruvoXo Kai ёотсо то К ёуа аи0а1рето леЗю. 'Еотсо, ел1от|д, oti то F(X)
oupPoXi^ei то ouvoXo oXcov tcov ouvapTqaECOv тои X ото К. [ZqpEicbvETai oti to F(X) eivai pq-Kevo,
aepou то X eivai pq-Kevo.] Тоте то F(X) eivai ёуад SiavuopaTiKog xcbpog лаусо ото К cog лрод Tig
ак6Хои0ед npa^eig:
(i) Прбо0еот| AiawopdTCOv: То аброюра био ovvapTT|oecov f Kai g otov F(X) eivai r| ov-
vdpTT|oi] f+g otov F(X) пои opi^eTai ano tt|v
(f+g)(X)=f(x)+g(x) vxeX
(ii) Вабрсотбд ПоХХапХаошорбд: To yivopevo evog apiQpou ke К pe pia ovvapTT|oi] f otov
F(X) eivai r| ovvapTT|oi] kf otov F(X) пои opi^eTai ano tt|v
(kf)(x)=kf(x) у хе X
To pr|5eviKO 5iawopa otov F(X) eivai r| pr|5eviicq ovvapTT|OT| 0, r| onoia aneiKovi^ei то кабе хе X ото
pr|5eviKO оторею Oe К, бг|Хабг|
0(x)=0 yxeX
EninXeov, yia кабе ovvapTT|OT| f otov F(X), r| ovvapTT|OT| -f otov F(X) nov opi^eTai ano tt|v
(-f)(x)=-f(x) VxeX
eivai r| apvT|TiKf| тт|д ovvapTT|OT|g f.
IIe6ia кав YnoncSia
Ag ипобеооире oti eva ne5io E anoTeXei епёктаот] evog ne5iov K, oti бг|Хабт| то E eivai eva ne5io nov
nepiexei то К cog vnone5io. Тоте то E pnopei va 6ecopr|6ei evag 6iawopaTiKog xcopog navco ото К, nov
Xpr|oiponoiei Tig акбХообед npa^eig:
(i) Пр6о0£<п] AiawopdTCOv: Ебсб to u+v ото E eivai r| ovvr|0iopevr) прообеот] ото E.
(ii) Вабрсотбд ПоХХапкаоюорбд: Ебсб то ku ото Е, onov ke К Kai ue E, eivai to ovvr|0iope-
vo yivopevo tcov k Kai u cog OTOixeia tov E.
Лг|Хабг|, та октсб а^сбрата evog 5iawopaTiKov x&pov iKavonoiovvrai ano то E Kai to vnone5io tov,
K, cog npog Tig napanavco 5vo npa^eig.
4.4 ГРАММ1КО1 EYNAYAEMOI, EYNOAA TENNHTOPftN
'Еотсо о V evag 5iawopaTiKog хсброд navco oe eva ne5io K. 'Eva 5iawopa v otov V eivai evag ypappi-
Koqmvdvaapdqtcov 5iawopaTcov ubu2,.. .,um otov V, eav vnapxovv api0poi aba2,..ото К тётоии
сботе
v = a1u1 + а2и2 +... + а„и„
EvaXXaKTiKa, то v eivai ёуад ypappiKog ovv5vaopog tcov ubu2).. .,um eav vnapxei Xvor| ott) 6iawopa-
tiki) e^iocooi]
V=X1U| + x2u2 + ... + xmum
onov та xbx2,...,xm eivai ayvcooTOi api0poi.
Парббнура 4.1. (TpappiKoi Evv5vaopoi otov Rn) Ад опобёоооре oti бёА-ovpe va ексрраоооре to
v=(3,7,-4) otov R3 cog ypappiKO ovv5vaopo tcov 5iawopaTC0v
u1=(l,2,3), u2=(2,3,7), u3=(3,5,6)
Ava£r|TOvpe Tovg api6povg x, y, z yia Tovg onoiovg v=xui+yu2+zu3. Аг|Хабг|,
[3*l Г1! Г21 Г3! x + 2y + 3z = 3
7 = x 2 +y 3 + z 5 2x + 3y + 5z = 7
-4 J L3J L7J L6J 3x + 7y+6z=—4
(Па отц1Еюура<р1кт| EVKoXia, ExovpE ypayEi та SiavvopaTa otov R3 cog ovr|XEg, кабсод аито кабюта
ЕикоХбтЕрт] Tqv EijpECTT) tov looSvvapov ооотт|ратод ypappiKcbv e^iocooecov.) H avaycoyr| tov ovott|-
ратод oe кХ1раксотт| popcpf] pag 81vei
x + 2y+3z = 3 x + 2y + 3z = 3
-Д' - Z = 1 ка1 £7г£1та -у - z = 1
y-3z=-13 — 4z=—12
Me аут1катаатаот| лрод та л(осо ла(руоор£ тг| Xvar) x=2, y=-4, z=3, олоте v=2U]-4u2+3u3.
Паратдрдстт]: Г evikci, то ^f|Tr|pa тг|д £к<рраот|д Evog SeSopfvov SiavvopaTog v otov Kn cog ypappi-
код ovvSvaopog tcov SiawopaTCOv ubu2,.. .,um otov Kn Eivai looSvvapo це tt|v ел(Хоот| tov ovorf|pa-
тод ypappiKtov e^iocooecov AX=B, олоо то v Eivai r| arf|Xr| В це Tig отабЕрвд Kai та u oi ovf|XEg tov
лгуака ovvteXeotcov A. 'Eva tetoio сгоатгща рлор£( eite va exei pia pova8iKf| Xvar) (олсод лю лаусо),
eite va exei лоХХЁд XvoEig, eite va pr|v exei Xvar). H TfiXfiVTaia л£р(лтсоот| - кар(а Xvar) - crqpavvEi oti
to v 8e рлор£1 va ypacpTEi cog ypappiKog ovvSvaopog tcov u.
Ilap66Eiypa 4.2. (Грарриал EvvSvaopoi otov P(t)) УлобвтоорЕ oti бёХоире va EKippaoovpE to
KoXvcbwpo v=3t2+5t-5 cog ypappiKO ovvSvaopo tcov noXvcovupcov
Pi=/2 + 2t+l, p2 = 2t2 + 5t + 4, p3 = t2 + 3t + 6
Ava£r|TOvp£ Tovg apiQpovg x, y, z yia Tovg олоюод v=xpj+yp2+zp3, 8r|Xa8f|
3t* + St — 5 = xfj2 +2t + l)+y(2r2 + 5r + 4)+z(/2+3r + 6) (*)
Улархооу 8vo трбло1 yia va ovvExioovpE ало то aripEio аотб.
(1) AvanTvaaovpE to 8e£io psXog тг|д (*), XapPavovTag:
3^ + St - 5 = xt2 + 2xt +x + 2y? + Syt + 4y + zP + 3zt + 6z
= (x + 2y + z)F + (2x + 5y + 3z)r + (x + 4y+6z)
E^iatovovpE рЕта^б Tovg тобд сгоутЕХЕатвд tcov iSicov SvvapEcov tov t, Kai avayovpE то ооатг|-
pa oe кА.1раксотт| popipi):
x + 2y+ z= 3 x + 2y+ z= 3 x + 2y+ z= 3
2x + 5y+3z= 5 f| У+ z = -l f| У+ z=-l
x + 4y + 6z = — 5 2y + 5z = — 8 3z = —6
To ооатг|ра PpiaKETai oe TpiycoviKT| popipi) Kai exei Xvctt). Me аут1катаатаат| лрод та л(асо
ла(руоур£ тг| Хистт) х=3, у=1, z=-2. ЕиуЕлсод
v=3p,+p2-2p3
(2) Н E^iacoari (*) Eivai ott|v лраурат1кбтг|та pia таитбтг|та р£ р£тарХг|тт| то t, 8г|Ха8т| aXr|0£V£i
yia оло1а8т|лот£ Tipi) тои t. ©втоутад то t (сто р£ TpEig оло1£о8т|лот£ Tipsg, рлороирЕ va Ppov-
р£ TpEig E^iacooEig p£ ayvcooTovg та x, y, z. Па лараЗвгура:
©етооце t=0 отгр (*) yia va лароице: x+4y+6z=-5
©етооце t=l оттр (*) yia va napovps: 4x+l ly+10z=3
©етооце t=-l оттр (*) yia va napovps: y+4z=-7
Avayovrag то оиоттща as кХщаксотт] цорсрг] кас Xvvovrag то це аутскатаотаот] ярое; та nioco,
обг|уобцаот£ Kai naXi атт| Хбод х=3, у=1, z=-2. Lvvencbg (£ava) v=3p|+p2-2p3.
EvvoXa rewqTdpcov
'Еотсо о V Evagбшуооцапкодxcbpog navco ото К. Леце oti табсаубацата и),и2,...,ит otov V napd-
yovv tov V, T|, aXXccbg, охпцат^ооу sva ovvoXo yEwr/Topcov too V, sav то ка0£ v otov V Eivai evag
урацщкбд ovv6vaopdg tcov 6iawopaTcov щ ,u2,...,um, Eav бт|Хабт| илархоиу арсбцос a,,a2,...,a„, ото К
TETOIOI COOTE
v = aiUl+a2u2 + ...+amum
Oi ларакатсо ларатт|рт|а£1д nriyd^ovv KaT£v0£iav ало tov орюцб.
Паратцрт|оц 1: YлоОётоутад oti та u । ,u2,... ,1^ napayovv tov V, tote, yia олою6т|лоте 6iaw-
оца w, to ouvoXo w,ubu2,.. .дц,,, Enio^g napayEi tov V.
Паратт|рт|от] 2: YnoOerovrag oti та u । ,u2,... ,1^ napayovv tov V Kai oti to uk Eivai Evag урац-
щкбд ovv6vaopdg Kanoicov and та vnoXoina u, tote та u X“Pig to uk eniorig napayovv tov V.
Паратт|рт|от] 3: Yno0£Tovrag oti та ubu2,.. ..u,,, napayovv tov V Kai oti Eva and та u Eivai to
щ|6еу1ко 6iawopa, тоте та u ХШРЦ to цг|6еу1ко 6iawopa eniorig napayovv tov V.
napadeiypa 4.3. ©ЕсоробцЕ то бштоощткб xebpo V=R3.
(a) Io%vpi£dpaoT£ oti та акоХоиба бсаубоцата oxqpaTi^ovv Eva ovvoXo yEwrjTdpcov tov R3:
e(=( 1,0,0), e2=(0,l,0), e3=(0,0,l)
EvyKEKpipEva, Eav to v=(a,b,c) Eivai Eva опо1о6т|поте 6iawopa otov R3, tote
v=ae|+be2+ce3
Tia параб£1уца, у=(5,-6,2)=5ег6е2+2е3.
(P) Icxupi^dpaoTE oti та акоХооОа бсаубацата Eniorig oxqpaTi^ovv Eva ovvoXo yEwrjTdpcov tov
R3:
w,=(l,l,l), w2=(l,l,0), w3=(l,0,0)
LvyKEKpipeva, Eav to v=(a,b,c) Eivai Eva опо1о6т|поте 6iawopa otov R3, тоте (ПрорХгща
4.62)
v=(a,b,c)=cW| +(b-c)w2+(a-b)w3
Па параб£1уца, v=(5,-6,2)=2w|-8w2+l lw3.
(y) MnopEi капоюд va 6ei^ei (ПрорХгща 3.24) oti to v=(2,7,8) 6e pnopsi va ypacpTEi cog урацщ-
код ovv6vaopog tcov 6iawopaTcov
U1=(l,2,3), u2=(1,3,5), u3=(1,5,9)
Ката ovvEnEia, та ub u2, u3 6ev napayovv tov R3.
Парабевура 4.4. ©EcopoupE то SiavuopaTiKd x<bpo V=Pn(t) лов алотеХспав ало бХа та noXucbvupa
Ра0рои <п.
(a) Профаусод, каОе noXucbvupo otov Pn(t) pnopEi va екфраотев cog ypappiKog ouvSuaopog tcov
n+1 noXucovupcov
1, t, t2, t3, tn
'Etoi Xoinov, oi SuvapEig аитЁд tod t (блои то l=t°) oxqpaTi^ouv eva ouvoXo yEwqTopcov yia
tov Pn(t).
(P) Mnopei калоюд va Sei^ei oti, yia onoioSqnoTE apiOpo c, oi mo катсо n+1 SuvapEig той t-c,
1, t-c. (t-c)2, (t-c)3....... (t-c)”
(блои (t-c)°=l), Enioqg oxqpaTi^ouv Eva ouvoXo y£wr|Tdpcov yia tov Pn(t).
Парйбевура 4.5. ©всороирв то SiavuopaTiKd X<ipo М=М22 лои апотвХвпас ало бХоид тоид 2x2
nivaKEg. ©всороирв, Enioqg, тоид E^rjg TEooEpig nivaKEg otov M:
£,1 = [o 0} £12 = [o o]* £21 = [i 0} £“ = [o 1]
Tote, Eivai npocpavEg oti onoiooSqnoTE nivaKag A otov M pnopfii va ypacpTEi cog ypappiKog ouvSua-
opog tcov TEooapcov nivaKcov. 'Etoi, yia napaSfiiypa,
4 = ^ g ] = 5£ц-6£j2+ 7E21+8£j2
Еирпвраорат1ка, oi TEooEpig nivaKEg ЕИ, E12, E21, E22 napayouv tov M.
4.5 YnOXftPOI
Lvqv napaypacpo aurq EioayETai q Paoucq Ewoia Evdg unoxcbpou.
Орюрод: 'Еотсо о V Evag SiavuopaTiKdg xcbpog navco oe Eva пе51о К, Kai eotco to W Eva unoou-
voXo той V. Tote to W Eivai Evag ило/сирод той V Eav Eivai Kai to iSio Evag Siavuopa-
TiKdg xcbpog navco ото К cog npog Tig npa^Eig Tqg npdo0Eoqg SiavuopaTCOv Kai той
РаОцсотои noXXanXaoiaopou otov V.
О трбпод p£ tov onoio pnopEi Kanoiog va Sei^ei oti onoioSqnoTE ouvoXo W Eivai Evag SiavuopaTi-
кбд xcbpog, eivai va Sei^ei oti to W iKavonoisi та октсо аспирата Evdg SiavuopaTiKou x^pou. Eav,
соотбоо, to W Eivai Eva unoouvoXo Evdg SiavuopaTiKou xcbpou V, tote Kanoia and та аспирата 0a
ioxuouv аитбрата Kai yia to W, ка0сод qSq ioxuouv yia tov V. AkoXou0ouv Kanoia anXa Kpvcqpia yia
tov npooSiopiopo Evdg unoxcbpou.
Ofcopqpa 4.2: УпоОвтоирв oti to W Eivai Eva unoouvoXo Evdg SiavuopaTiKou xcbpou V. Tote to W
Eivai Evag unoxcbpog той V, Eav ioxuouv oi 5uo паракатсо ouv0qKEg:
(a) To pqSEViKO Siavuopa 0 avqKEi otov V.
(P) Tia ка0£ u,ve W, ke K: (i) To a0poiopa u+ve W, (ii) To noXXanXaoio kue W.
H iSiOTqTa (i) ото (P) SqXcbvEi oti to W Eivai kAeioto vno ttjv прдавеот] diavvaparcov, evco q iSiOTqTa
(ii) SqXcbvEi oti to W Eivai kIeictto vied to fladpcoTO noXlairXatnaopd. АрсрбтврЕд oi iSiOTqTEg pnopouv
va ouvSuaoTOUV yia va pag Scboouv Tqv aKdXou0q anXq SqXcooq:
(р') Tia ка0Е u,ve W, a,be К, о ураррскбд oov8oaopog au+bve W.
'Еотсо тсора о V evag олосоо8т|лоте 8сауооратск6д хсорос;. Тоте о V лерсехес аотбрата 8бо олохсо-
роод, то oovoXo {0} лои алотЕХвстас povo ало то рп8еуско 8iawopa, кас tov tSio то Х“Р° V. Mspudg
срорёд ХЁрЕ отс аотос Eivai oi rerpc/z/cEvoc олохсорос тои V. Ад 8обрЕ тсора калош лара8£сурата рп~
тетрсррёусоу олохсорсоу.
ПарабЕсура 4.6. ©ЕсороорЕ tov олохсоро V=R3.
(а) 'Еотсо oti то U алотеХепас ало 6Ха та SiavvopaTa otov R3 tcov олоссоу oi катахсорсоЕсд Eivai
iaeg, 3r]XaSf|
U={(a,b,c): a=b=c}
Г ia лараЗегура, та (1,1,1), (-3 ,-3 ,-3), (7,7,7), (-2,-2,-2) Eivai SiavvopaTa otov U. Г ЕсорЕтрска,
о U Eivai т| Ev0Eia лоо ЛЕруа ало tt]v архп tcov a^ovcov, О, Kai то OTjpEio (1,1,1), олсод cpaivETai
ото Ехпра 4-1 (a). Eivai cpavEpo oti to 0=(0,0,0) avf|KEi ото U, acpov 6Xeg oi катахсор1оЕ1д ото
0 Eivai ioEg. ЕлслХёоу, оло0Ётоор£ oti та и Kai v Eivai av0aipETa SiavvopaTa ото U, yia
лараЗесура u=(a,a,a) Kai v=(b,b,b). Tote, yia олою8т|лоте api0po ke R, та ларакатсо Eivai
Ел1от]д SiavvopaTa ото U:
u+v=(a+b, a+b, a+b) Kai ku=(ka, ka, ka)
ЕоУЕлсод то U Eivai Evag олохсород tov R3.
(p) 'Eotco to W Eva олосо8г|лоте ле81о otov R3 лоо лЕруа ало tt]v архп tcov a^ovcov, олсод cpaivE-
Tai ото Exnpa 4-l(p). Tote to 0=(0,0,0) avf|KEi ото W, acpov оло0ЁоарЕ oti to W ЛЕруа ало
Tqv архп TCOV a^ovcov, О. ЕлслХеоу, оло0Ётоор£ oti та и Kai v Eivai бсаубората ото W. Tote та
и Kai v рлоробу va 0Ecopn0ovv cog рЁХп ото ле81о W, та оло!а ^ekcvoov ало thv архп tcov
a^ovcov, О, олсод cpaivETai ото ЕхПРа 4-1(р). То а0роюра u+v Kai олособплотЕ лоХХалХаосо
ku тои и, ppioKOvrai Ел1опд ото елслеЗо W. Еоувлсод то W Eivai Evag олохсород tov R3.
Парабесура 4.7.
(а) 'Еотсо V=Mn,n, о бсауооратскбд X“P0(o tcov nxn лсуаксоу. 'Еотсо, Елсопд, Wj то олоооуоХо
oXcov tcov (avco) трсусоусксбу лсуаксоу, Kai eotco W2 to олоооуоХо oXcov tcov ооррЕтрсксбу лсуа-
ксоу. Tote to Wj Ecvac Evag олохсород too V, асроо лерсехес то рп8еуско лсуака 0 кас Eivac
кХесото олб thv лроо0Еоп лсуаксоу кас то ра0рсото лоХА.алХаосаор6, 8nXa8f| ос лсуаквд-
а0росората кас та ра0рсота лоХХалХаоса tetoccov трсусоусксоу лсуаксоу Eivac Елсопд трсусоус-
кос. 'Ороса, то W2 Ecvac Елсопд Evag олохсород too V.
(P) 'Еотсо V=P(t), о SiawopariKog x<bp°? TC0V KoXvcovvpcov. Tote о xcbpog tcov noXvcovvpcov jie Pa0p6
то noXv n, Pn(t), ptopEi va 0Ecopr|0Ei Evag олохсород too P(t). 'Еотсо Q(t) r| ovXXoyq noXvcovvpcov
ps povo apTisg Swapsig too t. Г ca ларабвсура, та ларакатсо Eivai лоХосоуира ото Q(t):
Pi = з + 4г2 - 5? Kai p2 = 6 - 7г4 + 9c4 + 3t'2
(Уло0ЕтоирЕ oti оло1абт|лотЕ ота0вра k=kt° Eivai pia apria Svvapq too t.) Tote to Q(t) Eivai
Evag vnoxcbpog too P(t).
Topi) Ynoxcbpcov
'Еотсо oi U Kai W 5vo woxcbpoi evog SiavuopaTiKov xcbpov V. 0a Sei^oupe oti r| торг] Un W Eivai
Eniorig Evag олохсород too V. Ilpocpavcbg Og U Kai Og W, acpov oi U Kai W sivai vnoxcbpoi. ЕлорЁУшд
OGUn W. Ag vno0Eoovps тсора oti та u Kai v avr|Kovv orr|v Topq Un W. Tote u,vgU Kai u,vg W.
Ел1лр6о0Ета, acpov oi U Kai W sivai vnoxcopoi, tote, yia олоюоо5т]лоте apiOpovg a,bG K,
au+bvGU Kai au+bvGW
Apa au+bvG Un W, Kai cog ek tovtov о Un W sivai svag vnoxcbpog tov V.
To лю лаусо алотёХеора ysviKsvsTai cog E^rjg:
©seopi]pa 4.3: H торг] олоюо5т]лоте apiOpov vnoxcbpcov svog SiawopariKov xcbpov V, sivai Ел1от]д
svag олохсород tov V.
О Xcbpog Avoecov Evdg Opoyevovg Evon) ратод
©Ecopovps Eva ovoTT|pa ypappiKcbv e^iocooecov ps n ayvcboTovg, AX=B. Tote, ка0Е Xvotj u рлорвс va
0Ecopr|0Ei Eva Siawopa otov Kn, Kai apa to ovvoXo Xvoecov svog tetoiov ovorri ратод 0a sivai sva
vnoovvoXo tov Kn. Ag vno0soovps тсора oti to ovoTqpa sivai opoysvsg, SqXaSq exei rq popcpri AX=0,
Kai oti to W Eivai to ovvoXo Xvoecov tov. KaOcbg A0=0, to pqSsviKO Siawopa Og W. ЕлшХеоу, уло0ё-
Tovrag oti та u Kai v avqKovv ото W, tote 0a sivai Xvosig tov AX=0, q, ps aXXa Xoyia, Au=0 Kai Av=O.
Елореусод, yia олоюуо5г]лоте apiOpovg a Kai b, 0a sxovps
A(au+bv)=aAu+bAv=aO+bO=O+O=O
ЕотелсЬд то au+bv avqKEi ото W, каОсод sivai pia Xvoq tov AX=0. Zvpnspaivovps, Xourov, oti to W
sivai svag олохсород tov Kn.
Ag SianracboovpE тсора толска то лю лаусо оирлёраора.
©ecbpqpa 4.4: То ovvoXo Xvoecov W svog opoyEvovg ovoTqpaTog AX=0 ps n ayvcborovg sivai svag
улохсород tov Kn.
ПрёлЕ1 eSco va TovioTsi oti to ovvoXo Xvoecov Evog pq-opoyEvovg ovorqpaTog AX=B Sev sivai svag
улохсород tov Kn. Erqv лраурат1котт|та, то pr|5sviK6 Siawopa 0 5sv avr|Ksi ото ovvoXo Xvoscbv tov.
4.6 ГРАММ1КЕЕ ЕПЕКТАЕЕ1Е, О XQPOE TPAMMQN ENOE IIINAKA
Ag vno0soovps oti та u,,u2,..sivai оло1абт|лотЕ Siavvopara os sva SiawopariKO xcbpo V. Улеу-
©vpi^ETai (Параурасрод 4.4) oti олою5т|лоте Siawopa rqg popcpqg a1u1+a2U2+...+amum, блоо та a,
sivai apiOpoi, koXeitoi уращикдс; mvSvaopdq tcov Uj,^,...,^. H ovXXoyri oXcov avrcbv tcov ypappi-
Kcbv ovvSvaopcbv, лоо ovpPoXi^ETai ps
span(ul,u2,...,um) n span(Uj)
ovopa^ETai ypappiKij епёктаат] (т| ypappucr) erpaj) tcov U|,u2,...,um.
Ilpocpavcbg to priSeviKO Siavuopa 0 avf|KEi ото span(Uj), acpou
0=0u1+0u2+...+0um
EninXsov, ипобвтоирЕ oti та v кас v' avrjKOUv ото span(Uj). HanapaSEiypa,
v = atU| + a2u2 + . • • +a„um Kai v'= btut + b2u2 +... + b„um
Tote, yia опоюЗт|пот£ api6po ke K, sxoups
v + v' = (a, + + (a2 + b2)u2 + ... + (am + hm)um
Kai
kv = kaxui+ ka2u2 + ... + kamum
Enopdvcog та v+v' Kai kv Emorjg avf|Kouv ото span(Uj), Kai cog ek toutou to span(Uj) Eivai svag uno/copog
тои V.
TsviKOTEpa, yia onoioSpnoTE unoouvoXo S tov V, to span(S) anoTEXsiTai апо бХоид тоид ypappi-
коид ouvSuaopoug Siavuopancov ото S, f|, otov S=0, span(S)= {0}. 'Etoi, ouyKSKpipsva, to S sivai Eva
ouvoXo y£WT)TOpcov (Параурасрод 4.4) тои span(S).
Ioxvei то акоХоибо бесоргща, то onoio апоЗЕ1хтт)КЕ sv pepei mo navco.
©scopijpa 4.5: 'Еотсо то S eva unoouvoXo svog SiavuopaTiKou ycbpou V. Tote:
(i) To span(S) sivai svag ипохсород тои V пои nspiExsi то S.
(ii) Eav о W sivai svag ипохсород тои V пои nsptsxEi то S, tots span(S) c W.
H ouv6t|kt) (ii) тои ©всортщатод 4.5 pnopsi va spprjvsuTsi XsyovTag oti to span(S) sivai о “рисротЕ-
pog” unox<opog тои V пои nspisxsi то S.
LlapaSeiypa 4.8. ©Ecopoups to SiavuopaTiKd xcopo V=R3.
(a) Eav to u sivai sva опою5т|потб рт|-рт|8бУ1к6 Siavuopa otov R3, tote to span(u) anoTEXsiTai
ano 6Xa та Рабрсота noXXanXaoia тои u. ГвсорЕтриса, то span(u) sivai т] su6sia пои nspva ano
rqv apxn tcov a^ovcov, O, Kai to nspag тои u, oncug cpaivsTai ото ^хЙЦа 4-2(a).
(P) 'Еотсо та u Kai v Suo SiavuopaTa otov R3 та onoia Sev Eivai noXXanXaoia to sva тои aXXou. Tote
(a)
Е/Пра 4-2
(Z?)
то span(u,v) eivai то елшебо лои nspva ano rr|v архп tcov a^ovcov, O, Kai та лерата tcov u Kai
v, олсод cpaivETai ото Ехпра 4-2(P).
(у) ©есоробре та SiavoapaTa с, =(1,0,0), е2=(0,1,0), е3=(0,0,1) otov R3. YnsvOupi^STai [Пара-
5eiypa 4.1(a)] oti кабе Siavoapa otov R3 sivai evag ypappiKog aovSoaapog tcov eH e2, e3,
8т]Ха8т| та eh e2, e3 axrjpaTi^oov Eva aovoXo ysvvr]Tdpcov too R3. Ката aovsnsia,
span(el,e2,e3)=R3.
О Xcbpog Гpappcbv evdg Пшака
'Еотсо о А=[ау] evag аобасретод mxn nivaKag navco as eva ns8io K. Oi ураррёд too A,
Я| = (an• ai2> • • • • ain)> ^2 = (a2|, a22,...,a^), = (aml, am2,..., amn)
pnopoov va 0£copr|0oov cog SiavoapaTa otov Kn, apa napayoov eva олохсоро too Kn. О олохсород
аотбд ovopa^erai xcbpoq ypappcbv too A Kai oopPoXi^erai ps rowsp(A) (лроёрхвтас ало тт| cppdari
“row space” лоо oripaivei x<bpog ypappcbv). Дт]Ха5т|,
rowsp(A)=span(R|,R2,...,Rm)
AvaXoya, oi отт|Хед too А рлоробу va 0Ecopr|0oov cog SiavoapaTa otov Kn та оло1а ооукротобу то
Aeyopevo х<оро arr|Xcbv too А, лоо оорРоЩетас ps colsp(A) (лроёрхетас ало тц cppdari “column
space” лоо aripaivei х^род OTT|Xcbv). Паратт|робре oti colsp(A)=rowsp(AT).
УлЕУ0ор^Ета1 oti Soo лсуакад A Kai В eivai ypappoiaoSovapoi, Kai ypacpoope A~B, eav о В рло-
pei va XrjcpQei ало tov A peaco piag акоХообсад otoixeicoScov ретаахпратюрсоу ypappcbv. Ад олобё-
aoope тсора oti о M eivai о лп>акад лоо XapPaverai ecpappo^ovrag ae eva nivara A eva ало тоод ла-
ракатсо oroixEicbSeig ретаахпратюроод ypappcbv:
(1) Арофаса аутаХАауг) tcov R, Kai Rj,
(2) Аупкатаотаот] rr|g R1 pe kR;,
(3) Аупкатаотаот] rr|g R, pe kR,+R.j
Тбте т] кабе ypappi) too M eivai Kai pia ypappi) too A, r| evag ypappiKdg oovSoaapdg ypappcbv too A.
Ара о xcbpog ypappcbv too M лерсёхвтас ото X“P° ypappcbv too А. Алб tt|v aAXi], рлоробре va
ecpappoooope tov avrioTpocpo ретаахпратюрб ypappcbv otov M yia va ларооре tov А, олоте о x<bpog
ypappcbv too А лерсёхЕтас ото x<opo ypappcbv too M. Ката ооуёлею, oi A Kai M exoov tov iSio X“P°
ypappcbv. Aoto 0a eivai аХт|бёд кабе срора лоо ба есраррб^ооре eva OTOixsicbSi] ретаохпцатюрб
ypappcbv. 'Etoi, Xoutov, ёхооре алобе^ы то лю катсо бесорт]ра.
©ecbpripa 4.6: TpappoiaoSovapoi лсуакед exoov tov iSio X“P° ypappcbv.
EipaoTe тсора ое бёот| va алобе^ооре (ПрорХт|рата 4.45-4.47) калоед раоткёд сбюттред тт|д юо-
5ovapiag ypappcbv (oi оло!ед ep<pavioTT|Kav лрсота ота ©есорт|рата 3.7 кас 3.8 ато КесраХаю 3.)
©ecbpripa 4.7: Улобётооре oti oi A=[a,j] кас В=[Ьу] eivai 5oo ypappoiao5ovapoi кХсраксото! лсуакед
pe avTiGTOixoog обт|уобд та
а\^ауг.....arj, xai
Тбте oi A Kai В ёхооу tov i5io api6po pi]-pi]5eviKcbv ypappcbv, 5т]Хабт| r=s, Kai oi
o5i]yoi тоод PpioKovrai aug iSieg бёаыд, 5т|Ха5г| j|=k|, j2=k2,..., jr=kr.
©ecbpripa 4.8: Улобётооре oti oi A Kai В eivai 56o kovovikoi cog лрод ng ураррёд лсуакед. Тбте oi A Kai
В £%onv tov 1810 %(bpo ypappcbv, eav Kai povo eav e%ouv tu; i8ieg цт|-цт|5еУ1кё<; ураррёд.
Пбрюра 4.9: Кабе nivaKag A eivai ypappoioo8vvapog pe ёуа povaSiKO nivaKa nov PpioKerai oe
Kavovucq popcpq cog npog Tig ураррёд.
Ta napanavco апотеХёората ecpappotpvrai ото enopevo napaSeiypa.
Парабпура 4.9: ©ecopovpe та e^qg 8vo ovvoXa Siawoparcov otov R4:
U|=(l,2,-1,3), u2=(2,4,l,-2), u3=(3,6,3,-7)
w =(1,2,-4,11), w2=(2,4,-5,14)
'Еотсо U=span(u,) Kai W=span(w1). Ynapxovv 8vo rponoi yia va Sei^ovpe oti U=W.
(a) Aeixvovpe oti to кабе u, eivai ёуад ypappiKog ovvSvaopog tcov W! Kai w2, Kai oti to кабе w,
eivai ёуад ypappiKog ovvSvaopog tcov U] Kai u2. napavqpovpe oti прёпе1 va Sei^ovpe oti e£i
ovorqpara ypappiKcbv e^iocboecov eivai оирРфаота.
(P) Exqpari^ovpe tov nivaKa A tov onoiov oi ураррёд eivai та ub u2, u3, Kai tov avayovpe pe
GTOi%eicb6eig peraoxqpanopovg ypappcbv oe KavoviKq popcpri cog npog Tig ураррёд. 'Opoia,
oxqparitpvpe tov nivaKa В tov onoiov oi ураррёд eivai та W! Kai w2, Kai tov avayovpe pe
GTOi%eicb6eig peraoxqpanopovg ypappcbv oe KavoviKq popcpq cog npog Tig ураррёд:
Acpov oi pq-pq8evirag ураррёд tcov nivaKcov oe KavoviKq popcpq cog npog Tig ураррёд eivai
ravrooqpeg, oi %cbpoi ypappcbv tcov A Kai В eivai tool. Епорёусод, U=W.
Eivai cpavepo oti q рёбо8од (P) eivai mo anoreXeopariKri ano rq рёбо8о (a).
4.7 ГРАММ1КН ESAPTHEH KAI ГРАММ1КН ANESAPTHEIA
'Еотсо о V ёуад SiawopanKog xcbpog navco oe eva ne8io К. To mo катсо opi^ei Tig ёууо1ед rqg
ypappiKqg e^apvqoqg Kai rqg ypappiKqg ave^aprqoiag tcov Siawoparcov navco ото К. (Evvq-
бсод 8ev ауасрёрооре то К, orav то ne8io e^vnaKoverai.) Oi архёд аутёд naitpvv eva ovoicbSq
poXo orq 6ecopia rqg ypappiKqg aXyePpag, Kai yeviKorepa ста pa6qpanKa.
Орюрбд: Лёре oti та Siawopara v],v2,...,vm otov V eivai урарриса Е&цлцрыа eav
vnapxovv api6poi aba2,.. ото К, oxi 6Xoi 0, yia rovg onoiovg
cqiq +a2v2 + ...+amvm =0
△lacpoperiKa, Xepe oti та Siawopara eivai урарриса avE^aptrjta.
О napanavco opiopog pnopei va ava8iaTvnco6ei cog e^qg: ©ecopovpe vq SiawopaTiKq e^iocooq
*i”i + x2v2 + ...+xmvm = 0 (*)
блои та x eivai ayvcoorot apt6poi H e^iocooi] аитт| exet navra тт| pr|3eviKf| Xuot| X]=0, x2=0,..xm=0.
Упобётоире oti аитт| eivai Kai t| pova5iKf| Xuoq, oti SqXaSq q
x ] v i+x2v2+... +xmvm=0 ouvenayeTat oti x j =0, x2=0,...» xm=0
Тоте та StavuopaTa vbv2,...,vm eivai ypappiKa ауе£артт|та. Алб tt|v aXXq, eav ипобёооире oti т|
e^iocooq (*) exei pq-pqSeviKq Xuoq, тбте та SiavuopaTa eivai ypappiKa e^apTqpdva.
'EvaouvoXo SiavuopaTCOvotov V, S={vbv2,...,vm}, eivai ypappiKaе^арттщёуоqypappiKaave^apTq-
то, avaXoya ре то eav та SiavuopaTa vbv2,.. .,vm eivai ypappiKa е^арттщёуа q ypappiKa ауе^артт|та.
'Eva алерюрюто ouvoXo SiavuopaTCOv, S, eivai ypappiKa е^арттщёуо q ypappiKa ave^aprr|To, ava-
Хоуа pe то eav unapxouv q oxi SiavuopaTa vbv2>.. ,,vk ото S та onoia eivai ypappiKa e^aprripeva.
Прооохп: To mo navco ouvoXo S={vbv2,...,vm} avanapioTa pia Xioto, q, pe aXXa Xoyia, pia
nenepaopevr) акоХоибса SiavuopaTCOv, опои та SiavuopaTa eivai Зютетаурёуа Kai ештрёлета! т| епа-
vaXqyq.
Oi паракатсо napaTqpqoen; прокилтоиу apeoa ало tov л io navco opiopd.
Паратцр1]<я] 1: Упобётоире oti to 0 eivai ёуа апо та SiavuopaTa vbv2,.. .,vm, yia napaSeiypa
v,=0. Тоте та SiavuopaTa прёпе! va eivai ypappiKa e^apTqpeva, acpou ёхоире tov акоХоибо ypappiKo
ouvSuaopo, блои о оиутеХеоттц; тои v^O:
lt>! + 0t>2 + ...+0t>m = 1 0 + 0 + ... + 0 = 0
Паратцрцсн] 2: Улобётоире oti то v eivai ёуа pr|-pr|5eviKd Siavuopa. Тоте то v, ало povo тои,
eivai ypappiKa ave^aprr|To, кабсо<; та
kv=0, v^O ouvenayovrat oti k=0
Паратцр1]<я] 3: Улобётоире oti Зио ало та SiavuopaTa vbv2>.. .,vm eivai ioa, q oti to ёуа eivai
ёуа Рабрсотб поХХапХаою тои аХХои, yia napaSeiypa Vj=kv2. Тоте та SiavuopaTa прёпе! va eivai
ypappiKa е^артт|рёуа, acpou ёхоире tov mo катсо ypappiKo ouvSuaopo, опои о оиутеХеоттц; тои v^O:
t>i — kv2 + 0t>3 +... + 0vm = 0
Паратцрнся) 4: Auo StavuopaTa Vj koi v2 eivai ypappiKa е£артт|рёуа eav Kai povo eav то ёуа
апо аита eivai ёуа поХХапХаою тои аХХои.
Паратцр1]<я] 5: Eav to ouvoXo {vb...,vm} eivai ypappiKa ауе^артдто, тбте опою5т|поте ou-
voXo-avaStaTa^r] tcov SiavuopaTCOv {v(|, v,2v,_ ) eivai enioqt; ypappiKa ауе^артт|то.
Паратт]рт]О1] 6: Eav 6va ouvoXo SiavuopaTCOv, S, eivai ypappiKa ave£,apTT]To, тбте опою5т|по-
те unoouvoXo тои S eivai enioqt; ypappiKa ауе^артт|то. EvaXXaKTiKa, eav to S nepi6x£i 6va ypappiKa
е^артдрёуо unoouvoXo, тбте Kai to S eivai ypappiKa е^артт|рёуо.
Парйбесура 4.10.
(а) 'Еотсо u=( 1,1,0), v=( 1,3,2), w=(4,9,5). Тоте та u, v, w eivai ypappiKa e^apTqpeva, кабак;
3u+5v-2w=3( 1,1,0)+5( 1,3,2)-2(4,9,5)=(0,0,0)=0
(P) 0a Sei^ovpe oti та SiavvopaTa u=(l,2,3), v=(2,5,7), w=(l,3,5) eivai ypappiKa ave^apTqTa.
ZxqpaTi^ovpe Tq SiawopaTiKq e^iocooq xu+yv+zw=0, блои та x, y, z eivai ayvcooTOi api6poi.
Avto pag oSqyei ото
ЙГ2"| ГЯ Г01 х + 2у+ z = 0 х + 2у+ z = 0
+ у 5 + z 3 = lol q 2x + 5y + 3z = 0 q y+z = 0
L7J L^J L®J 3x + 7y + 5z = 0 z = 0
Me аупкатаотаот] npog та nioco naipvovpe x=0, y=0, z=0. 'Exovpe Sei^ei, Xoinov, oti q
xu+yv+zw ovvenayeTai oti x=0, y=0, z=0
Ката ovveneia, та u, v, w eivai ypappiKa ave^apTqTa.
(у) 'Еотсо V о SiawopaTiKog xcbpog tcov ovvapiqoecov ало to R ото R. 0a Sei^ovpe oti oi ovvap-
-rqoeig f(t)=sin t, g(t)=e‘, h(t)=t2 eivai ypappuca ave^apTqTeg. LxqpaTi^ovpe Tq SiawopaTiKq
efjocooq (Tqv e^iocooq ovvaprqoecov) xf+yg+zh=0, onov та x, y, z eivai ayvcooTOi apiQpoi. H
e^iocooq avTq oqpaivei oti, yia кабе Tipq tov t,
xsin t+ye‘+zt2=0
'Etoi, OTqv e^iocooq avTq, eniXeyovpe катаХА-qXeg пред tov t yia va Ppovpe евкоХа x=0, y=0,
z=0. Tia napaSeiypa:
(i) Аупкабютобре to t=0 yia va napovpe x(0)+y(l)+z(0)=0 q y=0
(ii) AvriKa6iOTOvpe to t=n yia va napovpe x(0)+0(e’t)+z(n2)=0 q z=0
(iii) Аупкабютоуре to t=n/2 yia va napovpe x(l)+0(e"/2)+0(n2/4)=0 q x=0
'Exovpe Sei^ei, Xoinov, oti q
xf+yg+zf=0 ovvenayeTai oti x=0, y=0, z=0
Ката ovveneia, та u, v, w eivai ypappiKa ave^apTqTa.
FpappiKq E^aprqoq otov R3
H ypappiKq e^apTqoq ото SiawopaTiKO x<opo V=R3 pnopei va nepiypacpei уесоретр1ка cog акоХоибсод:
(a) Avo onoiaSqnoTe SiavvopaTa u Kai v otov R3 eivai ypappiKa e^apTqpeva eav Kai povo eav
PpioKovTai navco orqv iSia ev6eia nov nepva ano Tqv apxq tcov a^ovcov, O, oncog cpaiveTai ото
ЕХбМа 4-3(a).
(a) Ta u Kai v sivai уращика c^apTT]pdva
ЕХПРа4-3
(P) Ta u, v Kai w eivai ypappiKa cCppnjpCva
(P) Tpia оло1абт|лотЕ 6iavoopara u, v, w otov R3 eivai ypappiKa E^aprqpeva eav Kai povo eav
PpioKovrai navco ото 1бю ел1ле6о лоо reepva ало rr|v архп T(0V a^ovcov О, блсод cpaivErai ото
Ехпма 4-3(P).
Граррист) Е^йртт]от| koi FpappiKoi Lovboaopoi
Oi 6woieg rqg ypappiKqg E^aprqoqg Kai tcov ypappiKcbv oov6oaopcbv Eivai otevci oov5e5epeve<;.. Eo-
yKEKpipsva, yia лЕрюобтЕра ало sva 6iavoopara 0a бв^оорЕ oti та 6iavoopara V|,v2,...,vm Eivai
ypappiKa E^aprnpEva sav Kai povo Eav eva ало аота Eivai 6vag ypappiKog oov6oaopog tcov олоХоь
ncov.
Ад олоОЁооорЕ, yia ларабЕгура, oti to v, Eivai 6vag ypappiKog oov6oaopog tcov олоА.о1лсоу:
v, = aivj + ... + а,.,у,., + ai+1 p/+1 + ... + amvm
Tote, лроо0Ётоутад то -v, Kai ота ббо рЁА-q, rcaipvoopE
a,i>, + ... + - Vf + a(+1 u,+1 + ...amvm = 0
блоо о oovteXeott|<; too v, 6ev Eivai 0. Enop6vcog та 6iavoopara Eivai ypappuca E^apTqpeva. Avri-
отросра, Eav олобвооорЕ oti та 6iavuopara Eivai ypappiKa E^apTqp6va, yia ларабегура
by i>j + ... + bjVj + ... bmvm = 0, блоо bj / 0 блоо bj/O,
tote рлоробрЕ va koooops cog лрод Vj yia va лароорЕ
v, = b^byVi - ... - bJ-'bj-yVj-y - b^bj+ivJ+i - ... - b~lbmvm
'Etoi to Vj Eivai 6vag ypappiKog oov6oaopog tcov олоХошсоу Siavoopcrccov.
0a бютолсоооорв тсора pia лю loxopq iSiorqra ало tt|v ларалаусо, п оло1а влирЁрЕ1 лоХХЁд oqpavri-
кЁд ооуЁлЕюд.
Aqppa 4.10: УлоОЁтоутад oti 5бо п ЛЕрюобтЕра рп-рпЗтка SiavoopaTa vbv2,.. ,,vm Eivai ypap-
piKa E^aprnpEva, tote eva ало та SiavoopaTa Eivai svag ypappiKog oovSoaopog tcov
nponyoopEvcov SiavoopaTCOv, 5т|^а5т| оларх£1 eva k>l тётою сооте
V*=Cil>i+c2l>2 + ...+c*_il>*_i
Гpappiicq Е^йртцод Kai Юлраксотси Пкакед
©EcopoopE tov лю катсо кХсраксотб л1уака А, тоо олоюо oi o5nyoi Eivai та oroixeia лоо PpioKovrai
рЁоа ое кбкХоод:
0
0
о
о
(2) з
о ф
о о
о о
о о
0
А =
4 5 6 7'
3 2 3 4
0 ф 8 9
0 0 @ 7
0 0 0 0
ПаратпробрЕ oti oi ураррЁд R2, R3, R4 ёхооу pnSsviKa orq бЕбтЕрп отдАл], катсо ало tov обпуб rqg
Ri, Kai apa олоюо6т|лоте ypappiKog oov6oaopog tcov R2, R3, R4 0a лрЁлЕ1 va ЁХЕ1 rq бЕбтЕрп катахсо-
pioq 0. 'Etoi q R! 6e рлорЕ1 va Eivai ypappiKog oov5oaopog tcov ypappcbv лоо PpioKovrai катсо ало
au-cq. 'Opoia, си ураррёд R3 Kai R4 £%ouv pqSeviKa orqv тргст] oTqXq, катсо ало tov oSqyo тт)<; R2 кас
ара т| R2 5е рлоре! va eivai ypappiKog ouvSuaopdg tcov ypappcbv лои PpioKOVTai катсо ало аитт|.
ТёХод, т| R3 Зе pnopei va eivai eva лоХХалХаою rqg R4, кабсод т| reXcuraia e%ei eva pqSevuco orqv
лерстт] orqXq, катсо ало tov oSqyo тт)<; R3. HeKtvcbvrag SqXaSq avanoSa, ало rqv reXcuraia pq-pq3e-
vikt| ypappq кас лрохсорсоутад лрод та лаусо, R4, R3, R2, Rb кара ypappq Sev eivai ypappiKog ouv-
Suaopdg tcov npoqyoupevcov ypappcbv. Euvencbg, ало то Aqppa 4.10, 01 ураррёд eivai ypappiKa ave-
^aprqreg.
To emxeipqpa лои урт|<я|1оло1г|9г]ке otov лю navco кХраксото nivaKa A, propel va ypqoponoiqQei
yia Tig pq-pqSevtreg ураррёд опоюи6т|поте кХфаксотои nivaKa. 'Ехоире, Xoinov, то акоХоибо noXu
Xpqotpo 9ecbpqpa.
©есЬрдра 4.11: Oi pq-pqSevtreg ураррёд evog nivaKa ое KXipaKcorq popcpq eivai ypappiKa
ave^aprqTeg.
4.8 BAEH KAI AIAETAEH
0a Staruncbooupe лрсота Зио ioo3uvapoug opiopoug evog SiavuopaTiKou xcbpou V. (H looSuvapia
aurq anoSeiKvuerai ото IlpopXqpa 4.28).
Орюрбд A: 'Eva ouvoXo Siavuoparcov S={ubu2,.. .,un} eivai piapdorf той V eav ёх£1 Tig e£,qg Зио
tSiorqTeg: (1) to S eivai ypappiKa ave^aprqTO, Kai (2) to S napayet tov V.
Орюрбд B: 'Eva ouvoXo Stavuoparcov S={ubu2,...,un} eivai pia fiounj той V eav то кабе veV
pnopei va ypacprei povaSiKa cog ypappiKog ouvSuaopdg tcov Stavuoparcov Paoqg.
To паракатсо eivai dva 9epeXicb5eg 9ecbpqpa orq ypappiKqg aXyePpag.
©ecbpqpa 4.12: 'Еотсо о V ёуад SiavuopaTiKog xcbpog тётоюд cbore pia Paoq va fyei m oTOixeia
Kai pia aXXq Paoq va ёхес n OTOtxeia. Тбте m=n.
Лёре oti ёуад SiavuopaTiKog xcbpog V eivai Tienepaopevriq 6idcna<n]<; n q n-diacrcatoc;, Kai ypacpoupe
dim V=n
(to dim лроёрхета! ало rq Xd£,q “dimension” лои oqpaivei Siaoracq) eav о V ёх£1 pia Paoq p£ n
oTotxfia. To Oecbpqpa 4.12 рад Xdet oti oXeg 01 Paoeig той V ёхоиу tov ISio api9po otoixeicov, ётос о
орюрод аитод eivai еларксод орюрёуод.
О SiavuopaTiKog xcbpog {0} opi^erai va ёх£1 SiaoTaoq 0.
Eav илобёооире oti ёуад SiavuopaTiKog х^род V Sev ёх£с лeлepaopёvq Paoq, тбте Хёре oti о V
eivai Jidaracnyg q dnEipo-diaoTaToq.
To ларалаусо 9epeXicb5eg Oecbpqpa 4.12 eivai албррта тои акбХоибои “XqppaTog аутисатаота-
oqg” (то олою алобеисуиета! ото IlpopXqpa 4.35).
Адрра4.13: Улобётоиреotiто {vbv2,...,vn} ларауе!tov VKaiotiто {wbw2,...,wm} eivaiypappi-
ка ave^aprqTo. Тбте m<n, Kai о V ларауета! ало 6va ouvoXo rqg popcpqg
h.w2......Wm,
'Etoi, оиукекр1рёуа, n+1 q лерюобтера SiavuopaTa otov V eivai ypappiKa e£aprqp6-
va.
naparqpoupe oti ото лю лаусо Xqppa ёхоире avTiKaTaoTqoei m ало та SiavuopaTa ото ouvoXo yev-
vqTdpcov тои V pe та m ave^aprqTa SiavuopaTa, e£,ao(paXitpvrag Kai ndXi ёуа ouvoXo yewqTopcov.
Парабесурата Baoecov
Lrqv vnonapaypacpo avvr| napovoia^ovrai капою oqpavTiKa яарабесурата Paoecov tcov корютёрсоу
SiawopaTiKcbv x^pcov non epcpavi^ovrai ото napov РфАло.
(a) О SiawopaTiKdg xcopog Kn: ©ecopovpe та акоХоиба n SiavvopaTa otov Kn:
e,=(l,0,0,0,...,0,0), e2=(0,1,0,0,...,0,0), ..., en=(0,0,0,0,...,0,1)
Ta SiavvopaTa avra eivai ypappiKa ave^apqTa. (Exjipa^ovv, yia napaSeiypa, eva лЬака oe
кАлраксотт) рорсрт).) EninXeov, олоюЗгроте Siawopa u=(a|,a2,...,an) otov Kn pnopei va ypa-
фте( cog ypappiKog ovvSvaopog tcov яю лаусо SiawopctTcov. EvyKeKpipeva,
v = aie} +a2e2 + ... + a„e„
'Etoi, та SiavvopaTa oxTipati^ovv pia pdor| tov Kn r| onoia KaXenai mvrjdiopsvr] f| тояскт?
Раот| tov Kn. Enopevcog (олсод 0a nepipeve калоюд), о Kn exei 8idoraoT| n. EvyKeKpipeva,
оло1а8т|лоте aXA.r| Раот| tov Kn exei n oroixeia.
(P) О SiawopaTiKdg x<bpog M=Mr>s dAxov tcov rxs nivaiccov: Oi ларакатсо tfy nivaKeg oxnpa-
ti^ovv pia pdor| tov SiawopariKOV x^pov M23 oXcov tcov 2x3 mvaKcov лаусо ото К:
Г1 о о] Го 1 о] Го о IT Го о о] Го о о] Го о о]
[0 0 oj’ [о 0 oj’ [о О о]’ [1 О oj* [о 1 0_|’ [о 0 1J
TeviKOTepa, ото SiawopariKo х<Ьро M=Mrs oXcov tcov rxs nivduccov, eav о Ey eivai 0 nivaKag
pe qv ц-катахсорют| 1 Kai pr|8eviKd aAAov, тбте okoi avToi 01 nivaKeg oxnpaTi^ovv pia Раот|
tov Mrs, nov ovopd^erai ovvr]0iopevr| f| толнег) Раот| tov Mr s. Ката ovveneia, dim Mr S=rs.
(у) О SiawopaTiKdg x<*>pog Pn(t) dAxov tcov noA.vcovvpcov 0a0pov <n: To ovvoA.0 n+1 яоАосо-
vvpcov, S={l,t,t2,t3,...,tn}, eivai pia Раот| tov Pn(t). EvyKeKpipeva, ояою8т|яоте лоА.осоууро
f(t) Pa0pov<n ряоре! va екерраоте! cog ypappiKog ovv8vaopdg tcov Svvapecov avrebv tov t, evco
ряоре1 калоюд va 8ei^ei oti та яоА-vcbvvpa avra eivai ypappiKa ave^apqTa. Qg ек tovtov,
dim Pn(t)=n+1.
(8) О SiawopaTiKdg X“P0(5 P(t) dAxov tcov noXvcovvpcov: ©ecopovpe eva ояою8т|яоте яе-
яераореуо ovvoA.o S={f|(t),f2(t),...,fm(t)} tcov яоА-vcovvpcov otov P(t), Kai ояобётооре oti to
m ovpPoA.i^ei то реуаАбтеро tcov PaOpcbv tcov яоА-vcovvpcov. Тбте, Kaveva лоА-vcbwpo g(t) pe
Рабрб лоо ояерРа1уе1 то m 8e ряоре! va екерраоте! cog ypappiKdg ovvSvaopog tcov oroixeicov
tov S, Kai ара to S 8e рлоре! va eivai pdor| tov P(t). Avto oqpaivei oti r| бшотаот] tov P(t)
eivai алерюрютт]. ErjpeicbveTai oti to аяерюрюто ovvoA.o S'={l,t,t2,t3,...} лоо аяотеАх1та1
ало 6Axg Tig Svvapeig tov t, яарауе1 tov P(t) Kai eivai ypappiKa ave^dprqTO. Еоряераорат1ка,
то S' eivai pia алерюрютт) Раот| tov P(t).
©есордрата Baoecov
Та ларакатсо Tpia 0есорг|рата (та ояо1а аяобеиаюоуга! ота ПроРА.т|рата 4.37, 4.38 Kai 4.39) 0а
Хрцо1рояоюбута1 ovxva.
0Ешрт]ра 4.14:
'Еотсо о V evag SiawopaTiKog х<Ьрод яеяераорёут]д 8idoraoT|g п. Тбте:
(i) Опо1а8г|поте n+1 г| перюоотера Siavvopara otov V eivai ypappiKa
е^артт|рёуа.
(ii) Опою8г|поте ypappiKa ave^dprr]TO ovvoXo S={u,,u2,...,un} penoroi-
%eia eivai pia pdor| tov V.
(iii) Onoio5rptOTeavvoXoyewr|T6pcovT={v1,V2,...,vn} tov V penoTOi%eia
eivai pia Раот| tov V.
©ecopripa 4.15: Упобётооре oti to S napayei eva SiawapaTiKO xcbpo V. Тоте:
(i) Олоюо5т|лоте рёуютос; api0po<; ypappiKa ave^aprr|Tcov 8iawoparcov
ото S oxnpaTi^ovv pia pdor| tov V.
(ii) Упобётоута<; oti ало то S Siaypacperai кабе 5iawopa nov eivai dva<;
ypappiKog ovvSvaopog tcov npor|yovpevcov SiawopaTiov ото S, тоте
та evanopeivavra 8iavvopara oxripari^ovv pia Раот| tov V.
0Ecopr|pa 4.16: 'Еотсо о V eva; SiawopaTiKoq xcbpog лелераорёгг|д Siaoraoriq koi ёотсо то
S={u, ,u2,.. .,ur} ёуаovvoXoypappiKa ave^dprr|Tcov SiawopaTcov otov V. Тоте
то S eivai eva рёрос; pia<; pdor|<; tov V, 8r|Xa8r| pnopei va електабе1 oe pia
PaoT| tov V.
IlapdSEiypa 4.11.
(а) Та ларакатсо тёооера SiavvopaTa otov R4 oxnpaTi^ovv ёуа nivaKa oe кХщаксотт] popcpri:
(1,1,1,1), (0,1,1,1), (0,0,1,1), (0,0,0,1)
Apa та Siavvopara eivai ypappiKa ауе£артт]та Kai, acpov dim R4=4, oxnpaTi^ovv pia Раот|
tov R4.
(P) Та паракатсо n+1 noXvcbwpa otov Pn(t) eivai av^avopevov Pa6pov:
1, t-1, (t-1)2, ...,(t-l)n
Епорёуак; кауёуа noXvcbwpo Sev eivai ypappiKog ovvSvaopog tcov npor|yovpevcov Siawopa-
tcov, Kai co<; ек tovtov та Siavvopara eivai ypappiKa ауе£артт]та. ЕпшХёоу, oxnpaTi^ovv pia
PaoT| tov Pn(t), кабак; dim Pn(t)=n+1.
(y) ©ecopovpe тёооера опош8г|поте Siavvopara otov R3, yia napaSeiypa та
(257,-132,58), (43,0,-17), (521,-317,94), (328,-512,-731)
Ano to 0ecbpr|pa 4.14(i), та тёооера Siavvopara ба прёпе! va eivai ypappiKa е^артт|рёуа,
кабак; проёрхоута! ano rov 3-Sidoraro SiawopariKO xcbpo R3-
Aidoraoi] Kai Ynoxcbpoi
To 6ecbpr|pa nov акоХоубе! (to onoio anoSeiKvverai ото ПрбрХг|ра 4.40) Sivei тт] Раоиа) охёот] рета-
£v тт|<; 8idoraoT|<; evo<; SiawopariKOv xcbpov Kai rr|<; 8idoraoT|<; evo<; vnoxcbpov.
0Ecbpripa 4.17:
Eav о W eivai evac, vnoxcbpoc; evo<; n-Siaorarov SiawopariKOv xcbpov V, тоте
dim W<n. £оукекр1рёуа, eav dim W=n, тоте W=V.
napaSeiypa 4.12. 'Еотсо о W evac; vnoxcbpog xov прауратгкоб xcbpov R3. Егщекоуетас oxi dim
R3=3. To ©ecbpripa 4.17 pat; Xeei oxi t| 5iaoxaor| xov W pnopei va eivai povo 0, 1,2 f| 3. AiaKpivovpe
xig aKdXovGeg nepinxcboeig:
(a) Eav dim W=0, xoxe W={0}, eva or|peio.
(P) Eav dim W=1, xoxe о W eivai t| evGeia nov nepva ano xr|v apxn xcov a^ovcov, O.
(y) Eav dim W=2, xoxe о W eivai eva neSio nov nepva ano xr|v apxn xcov a^ovcov, O.
(5) Eav dim W=3, xoxe о W eivai оХбкХт|род о xcbpog R3.
4.9 ЕФАРМОГН ETOYE IIINAKEE, О BA0MOE ENOE IIINAKA
'Eoxco о A evat; onoioo5f|noxe mxn nivaKag navco oe evaneSio K. YnevGvpi^exai oxi oiураррёд xov A
pnopovv va Gecopr|Govv cot; Siavvopaxa oxov Kn Kai oxi о xcbpot; ypappcbv xov A, nov ypacpexai rowsp( A),
eivai о vnoxcbpog xov Kn nov napayexai ano xig ураррёд xov A. loxvei xcbpa xo e£f|g орюрбд:
Орюрбд: О /За6цд<; evog nivaKa A, nov ypacpexai rank(A), loovxai pe xo peyioxo apiGpo xcov
ypappiKa ave£,apxr|xcov ypappcbv xov A, f|, looSuvapa, pe xr| 5idoxaor| xov x<bpov ypap-
pcbv xov A.
Ano xr|v аХ1т|, vnevGvpi^exai oxi oi охт|Хед evog mxn nivaKa A pnopovv va Gecopr|Govv cog 5iavv-
apaxa oxov Km Kai oxi о xcbpog oxT]Xcbv T°v A, nov ypacpexai colsp(A), eivai о vnoxcbpog xov Km nov
napayexai ano xig oxf|Xeg xov А. ПарбХо nov xo m 5e pnopei va loovxai pe n, 5r|Xa5f| oi ураррёд Kai
oi oxr|Xeg xov A 5e pnopovv va avr|Kovv oe SiacpopexiKOvg SiawopaxiKovg xcbpovg, exovpe xo акбХоо-
Go GepeXicbSeg Gecbpripa:
©ecbpqpa 4.18: О рёуюход apiGpog xcov ypappiKa ave£apxr|xcov ypappcbv evog onoiov5f|noxe
nivaKa A loovxai pe xo рёуюхо apiGpo xcov ypappiKa ave^apxr|xcov oxr|Xcbv
xov A. 'Exoi, T| 5iaoxaor| xov x<bpov ypappcbv xov A loovxai pe xr| 5iaoxaor|
xov xcbpov axT]Xcbv xov.
Apa Xoinov, о mo navco орюрбд xov PaGpov xov A Ga pnopovoe va avaSiaxvncoGei xprjoiponoicbvxag
axr|Xeg avxi ураррёд.
Прорх^рата Evpeaqg Baaqg
Ext|v vnonapaypacpo avxrj Ga 5ovpe xo ncbg pia кХ1раксохт| popcprj evdg onoiovSrjnoxe nivaKa A pag
Sivei xr| Xvori oe орюрёуа npopXrjpaxa nov acpopovv xov i5io xov A. EvyKeKpipeva, ёохсо A Kai В oi
паракахсо nivaKeg, onov о кХ1раксохбд nivaKag В (xov onoiov oi o5r|yoi eivai xa oxoixeia nov Ррюко-
vxai рёоа ое кбкХоуд) eivai pia кХ1раксохг| popcprj xov A:
(a) Evpeori piag Распад xov xcbpov ypappcbv xov A.
(P) Evpeori xr|g кабе охт|Хг|д Ck xov A nov eivai ёуад ypappiKog ovvSvaopdg xcov nporiyovpevcov
oxr|Xcbv xov A.
(y) Evpeori piag Paor|g xov xcbpov oxr|Xcbv xov A.
(8) EvpEoq tov Раброб tov A.
(a) Mog SivETdi oti oi япсакЕд A Kai В Eivai ypappoiooSvvapoi, Kai apa e^ovv tov iSio xcbpo
ypappcbv. ЕяСотцд, о В PpioKErai oe KXipaKCorq popcpq, ояоте oi pq-pqSEvi^g ураррЁс; tov
Eivai ypappiKa avE^aprqrEg Kai apa oxqpari^ovv pia pdor| tov xcbpov ypappcbv tov В. ЕяорЁ-
vcog, oxqpari^ovv еясотц; pia pdor| tov xcbpov ypappcbv tov A. AqXaSq,
Pam] tov rowsp(A): (1,2,1,3,1,2), (0,1,3,1,2,1), (0,0,0,1,1,2)
(P) 'Еотсо Mk=[C| ,C2,...,Ck] о улолсуакад tov А лои алотЕХЕпас аяб тк; ярсотЕд k orqXeg tov А.
Tote oi Мк_, Kai Мк Eivai, avrioToixa, о ясуакад ovvteXeotcov Kai о Елаи^рЁУод ясуакад ттц;
SiawopariKqg E^iocooqg
XiC] + х2С2 +... +х*_]Ск_1 = С*
То ©Ecbpqpa 3.9 рас; ХЁЕ1 oti to ovorqpa exei Xvoq, q, looSvvapa, о Ck Eivai 6vag ypappiKog
ovvSvaopog tcov ярот|уоур£усоу orqXcbv tov A Eav Kai povo Eav rank(Mk)=rank(Mk-l), блоо
то rank(Mk) OT|paivEi tov apiOpo tcov o8r|ycbv oe pia KXipaKCorq popcpri tov Mk. Ката ovve-
ЯЕ1а,
rank(M2)=rank(M3)=2 Kai rank(M4)=rank(M5)=rank(M6)=3
ЕурлЕраораика, r| ка0Ер(а аяб tu; С3, С5, С6 Eivai 6vag ypappiKog ovvSvaopoc; tcov ярог|-
yOVpEVCOV OTqXcbv TOV A.
(y) To ysyovog oti oi ЕУалорЕПсаутЕд orqXeg С,, C2, C4 Sev Eivai ypappiKoi ovvSvaopoi tcov avri-
otoixcov ярог|уобрЕУсЬу tovc; orqXcbv рас; ХЁЕ1 еясотц; oti Eivai ypappiKa avE^aprqrEg, Kai coc;
ek tovtov oxqpaTi^ovv pia Paoq tov xcbpov orqXcbv tov A. AqXaSq,
Paoq tov colsp(A): [1,2,3,1,2]T, [2,5,7,5,6]T, [3,7,11,8,11]T
Паратт|робрЕ oti oi Cb C2, C4 ряорооу ея1от|<; va xapaKrqpiorovv coc; oi orqXEg ekeivec; tov A
лои ЯЕрйхоуу tovc; oSqyovg oe ояо1аЗг|яотЕ KXipaKCorq popcpq tov.
(8) EScb рХЁяоурЕ oti rpEig Svvaroi opiopoi tov Раброб tov A oSqyovv orqv iSia ripq.
(i) Yraipxovv rpEig oSqyoi otov В, о ояоюд Eivai pia KXipaKCorq popcpq tov A.
(ii) Oi rpEig oSqyoi otov В avrioroixovv orig pq-pqSEviKEc; ураррЁс; tov, oi ояосЕд oxqpa-
ri^ovv pia Paoq tov xcbpov ypappcbv tov A.
(iii) Oi rpEig oSqyoi otov В avrioroixovv orig orqXEg rov A, oi ояо1Ед oxqpari^ovv pia
Paoq rov xcbpov orqXcbv tov A.
LvvEncbc; rank(A)=3.
Ecpappoyq orqv Evpcoq piag Bdoqg yia tov W=span(ut,u2,...,ur)
Evxva pag SivErai pia Xiora Siawoparcov otov Kn, S={u!,u2,...,ur}, Kai pag ^qrEirai va Ppovpc pia
Paoq yia rov олохсоро W rov Kn лоу ларауЕтас аяб та ЗЕЗорЁуа Siavvopara, SqXaSq pia Paoq rov
W=span(S)=span(u । ,u2,... ,ur)
Oi Svo ларакатсо aXyopiOpoi, oi олою1 ovoiaoriKa ЯEplypacpтqкav orqv лpoqyovpEvq уяояараура-
cpo, PpioKOW pia r6roia Paoq (apa Kai rq Siaoraoq) rov W.
AXy6pi0pog 4.1 (AXy6pi0pog Xcbpov Tpappcbv)
Bq pa 1. ExqpaTi^ovpe tov лгуака M той олоюп oi ypappeq eivai та SeSopeva SiavvopaTa.
Bqpa 2. Avayovpe pe oToix£icb8eig peTaoxqpaTiopovg ypappcbv tov M oe KXipaKco-rq popcpq.
Bqpa 3. H ^qTOvpevq Paoq алартфта1 ало Tig pq-pq8evu«g ураррёд tov кХщаксотоо лгуака.
Mepuceg срорёд OeXovpe va Ppovpe pia Paoq лоу va лроёрхЕтси povo ало та apxvca SeSopeva Siavv-
ората. Аитб летиха1уета1 pe tov елореуо aXyopiQpo.
AXy6pi0pog 4.2 (AXy6pi0pog АлороХт]д)
Bqpa 1. LxnpctTi^ovpe tov лгуака M tov олоюу oi спт/Аед eivai та SeSopeva SiavvopaTa.
Bqpa 2. Avayovpe pe oTOixeicbSeig peTaoxqpaTiopovg ypappcbv tov M oe кХераксотт] popcpf|.
Bqpa 3. Tia rqv ка0е orqXq Ck otov кАлраксотб л1уака х®РЦ o8r|y6, Siaypacpovpe (алоРаХ-
Xovpe) то Siawopa uk ало vq Xiora S tcov SeSopevcov SiawopaTcov.
Bqpa 4. H i/|TOvpevq paoq алартфта1 ало та еуалорегуаута SiavvopaTa ото S (та оло1а
avrioToixovv oTig orqXeg ре o8qyovg).
Tovi^erai oti otov лрсото aXyopiOpo та SeSopeva SiavvopaTa eivai oi ураррёд tov лгуака лоу oxqpa-
Ti^ovpe, evco ото Зеотеро oi orqXeg.
IlapaSeiypa 4.13. 'Еотсо W о олохсород tov R5 лоу ларауетас ало та акоХоиба SiavvopaTa:
и, =(1.2,1,3,2), u2 = (1.3,3,5,3), u3= (3,8,7,13,8)
u4 = (1,4,6.9,7), u5 = (5,13,13,25,19)
Na Ppene pia paoq tov W лоу va алотеХе1та1 ало та архека SeSopeva SiavvopaTa, Kai va pреете rqv
dim W.
ЕхЛЦатУрире tov лгуака M tov оло1оу oi orqXeg eivai та apxvca SiavvopaTa, Kai tov avayovpe oe
KXipaKcorq popcpq:
avrioToixovv oTig orqXeg pe oSqyovg tov кХщаксотои л1уака, oxqpari^ovv pia Paoq tov W. Елорё-
vcog, оиукекрщёуа, dim W=3.
naparqpqoq: H SiKaioXoyqoq yia tov AXyopiOpo АлоРоХг|д ovoiaoriKa лергура^ке яю лаусо,
соотбоо rqv елауаХаррсгуоуре eSeb yia околоид ёрсрасл^д. То yeyovog oti q orqXq C3 otov кХ1раксото
л1уака tov ПараЗеёуратод 4.13 Sev ёх£1 oSqyo, oqpaivei oti q SiawopaTiicq e^iocooq
XU|+yU2=U3
ёх£1 Xvoq, Kai ара to u3 eivai ёуад ypappiKog ovvSvaopog tcov u, Kai u2. 'Opoia, to yeyovog oti q C5 Sev
ёх£1 oSqyo, oqpaivei oti to u5 eivai ёуад ypappiKog ovvSvaopog tcov лpoqyovpevcov SiawopaTcov.
'Exovpe, Xoucov, 8iaypa\|/ei ало то apxiKo ovvoXo yewqTopcov, то ка0е 8iawopa лоу eivai ёуад ypap-
piKog ovv8vaop6g tcov лpoqyovpevcov SiawopaTcov. Ката ооуёлеш, та еуалорегуаута 8iavvopaTa
eivai ypappiKa ave^apTqTa Kai oxqpaTi^ovv pia paoq tov W.
Есрарроуд os Opoysvf] Еиотцрата TpappiKWv E^iocboscov
At; 0бсорт|ооирб Kai naXi sva opoysvst; оиотт|ра ypappiKcbv s^iacbascov navco ото К, AX=0, ps n
ayvcboTout;. Ano то ©Есорцра 4.4, о xcbpog Xuoscov W svot; tetoiou оиотт|рато<; Eivai о vnoxcbpog Kn,
Kai dpa о W exei 5idcjraaT|. Igxuei то акоХоибо 0£сорт)ра, т) апббв^т) тои onoiou ava₽dXX£Tai yia то
KEcpdXaio 5.
©ЕсЬрдра 4.19: H Зшатаат] тои xcbpou Xuoecov W svot; opoyfivout; оиотт|рато<; АХ=0 Eivai n-
г, опои то п Eivai о api0po<; tcov ayvcboTcov Kai то г о Pa0p6<; той nivaKa ouvte-
Xeotcov A.
Ett|v nEpinTcocrq onou to ouoTT|pa AX=0 PpioKETai oe кХсраксотт] popcpi), unapxouv акрфсЬ<; n-r
eXeuOepei; р£тарХт|Т£<;. 'Еотсо Vj т) Хиот| пои XapPavsTai 0£TovTa<; xtj =1 (f| onoia8T|noTE pr)-pr)3EviKT|
отаОвра) Kai тк; unoXoinEt; eXeu0epe<; рвтарХг)Тб<; ioEt; рЕ 0. 0а Зв^оирв (ПрорХдра 4.52) oti oi
Хиовк; v1,v2,...,vn-r sivai ypappiKa av£^apTT|T£<;, Kai cot; ek toutou oxnpaTi^ouv pia pdor| той xcbpou
Xuoecov W.
'Exoups t|5t) xpT)oiponoir|o£i tt|v mo navco SiaSiKaoia yia va Рроирв pia Раот| той xcbpou Xuoecov W
ev6<; opoyfivout; оиотт|рато<; AX=0, ott|v Параурасро 3.11. Ето ПараЗвгура 4.50 B^BTdi^ovTai aXXa
Tpia параЗв!урата.
4.10 A0POIEMATA KAI EYOEA A0POIEMATA
'Еотсо та U Kai W Зио unoouvoXa bvo<; SiavuopaTiKou xcbpou V. To aOpoiopa tcov U koi W, nou
ypacpETai U+W, anoTEXEvrai ano 6Xa та а0ро1ората u+w, onou ug U Kai we W.Ar)Xa8r|,
U+W={v: v=u+w, onou ug W Kai wg W}
At; ипо0ёооирв тсора oti oi U Kai W sivai 8uo unoxcbpoi тои V. Tote, викоХа pnopsi Kanoiot; va Ssi^si
(ПрбрХт)ра4.53) otiо U+W sivaisvat;unoxcbpot;тои V. YnsvOupii^TaiotioUh W sivaisniorit;svat;
unoxcbpot; тои V. To Oscbprjpa nou aKoXouOsi (to onoio anoSsiKvusTai ото ПрорХдра 4.58) ouoxETi^Ei
тк; бюотаобк; tcov unoxcbpcov auTcbv.
©всордра 4.20: Yno0sToups oti oi U Kai W sivai 8uo unoxcbpoi nsnspaopsvrit; 51аотаот|<; svot;
SiavuopaTiKou xcbpou V. Tots о U+W sxei nsnspaopsvri SidoTaoT] Kai
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(UnW)
Парабвсура 4.14. 'Еотсо V=M22, о SiavuopaTiKot; xcbpot; tcov 2x2 nivaKcov. 'Еотсо, sniorit;, oti о
U anoTEXsvrai ano Tout; nivaKEt; EKsivout; tcov onoicov tj SsuTspr) ypappi) sivai pr)8sviKT| Kai о W anoTsXsi-
Tai ano EKsivout; Tout; nivaKSt; nou exouv tt| 8витврт| отт|Хт) pt)8bvikt|. Er|p£icbv£Tai oti dim U=2, dim
W=2, dim (U n W)= 1. Епктгц; dim(U+W)=3, kotinou sivai avapsvopsvo ano to ©scbprjpa 4.20. Дт)Ха8т|,
dim(U+W)=dim U+dim V-dim(Un W)=2+2-l=3
Eu0£a A0poiopaTa
О SiavuopaTiKot; х<Ьро<; V KaXsiTai cvOv авроюца tcov unoxcbpcov тои, U Kai W, Kai oupPoXi^sTai ps
v=u®w
sav ка0б vg V pnopsi va ypacpTsi ps sva Kai povo трбпо cot; v=u+w, onou ug U Kai wg W.
To паракатсо Oscbprjpa (nou anoSsiKvusTai ото ПрорХдра 4.59) характг|р1^£1 pia tetoio anoouv-
06OT|.
0ecopr]pa 4.21. О SiawopaiiKog /cbpog V eivai to eu9u аброюра tcov uno/cbpoov tov, U Kat W,
eav Kai povo eav: (i) V=U+W, (ii) U n W={0}.
flapdSevypa 4.15. ©ecopoupe to SiawopaTiKO xcbpo V=R3.
(а) 'Еотсо U to enineSo xy Kai W to enineSo yz, 8r|Xa8f|
U={(a,b,0): a,beR} Kai W={(0,b,c): b.ceR}
Tote R3=U+W, acpov кабе Siawopa otov R3 eivai to аброюра evog SiavuopaTog otov U Kai
evog SiavvopaTog otov W. О R3, cootooo, Sev eivai to evGv aGpoiopa tcov U Kai W, кабсод
тето1а аброюрата Sev eivai povaSiKa. Tia ларабегура,
(3,5,7)=(3,l,0)+(0,4,7) Kai (3,5,7)=(3,-4,0)+(0,9,7)
(P) 'Еотсо U to enineSo xy Kai W о a^ovag z, 8г|Ха8г|
U={(a,b,0): a.beR} Kai W={(0,0,c): ceR}
Тсора, олою8т|лоте Siawopa (a,b,c)e R3 pnopei va ypacpei cog то аброюра evog SiavvopaTog
otov U Kai evog SiavvopaTog otov V pe eva Kai povo троло:
(a,b,c)=(a,b,0)+(0,0,c)
Ката ovveneia, о R3 eivai to ev6v аброюра tcov U Kai W, 8r|Xa8f| R3=U © W.
revucd Еибёа Аброюрата
H ewoia evog ev6eog аброюратод pnopei va avaXv6ei oe лерюобтероод ano eva napayovreg, pe tov
npocpavri трбло. 'Etoi, о V eivai to ev0v авроюра tcov vnoxcbpcov W!,W2,...,Wr, Kai ypacpovpe
V=Wj© W2© ...© Wr
eav кабе Siawopa ve V pnopei va урасрте! pe eva Kai povo троло cog
V=W|+W2+...+Wr
блои w । e W । ,w2e W2,... ,wre Wr.
lo/vovv та акбХоиба бесордрата.
0есорт]ра 4.22: Улобетоире oti V=W! © W2© ... © Wr, Kai oti, yia кабе k, to Sk eivai eva
ypappiKa ave£apTT]TO vnoovvoXo tov Wk. Тоте:
(a) H evcoot) S= Yeivai ypappiKa ave^ap-пуп] otov V.
(P) Eav то кабе Sk eivai pia pdor) tov Wk, тоте r| Y^ eivai pia pdor) tov
V.
(y) dim V=dim W! +dim W2+... +dim Wr.
0ecbpr]pa4.23: Eav V=W1+W2+...+WrKai dimK = dim Wk ,тоте
V=Wj© w2© ...© wr.
4.11 EYNTETATMENEE
'Еотсо о V evac; п-бюотатос; SiawopaTiKOc; xcbpoq navco ото К це Paor] Tqv S={u1,u2,...,un}. Тбте,
оло1о8т|лоте Siawopa ve V pnopei va ексрраоте! povaSiKa coq ypappiKoc; ouvSvaopoc; tcov Siawopa-
tcov Paor]<; ott]v S, yia napaSeiypa
v=a1u1+a2u2+...+anun
Oi n ауто! apiOpoi aba2,...,an Xeyovrai trovreray/tevc?tov v cog npoc; тт] Paor] S, Kat охпралфоу eva
Siawopa [aba2,.. .,an] otov Kn to onoio KaXeiTaidiavvapa cnnnETaypEvcovtov v cognpoc; Tqv S. EvpPo-
Xi^ovpe to Siawopa ovto це [v]s, r| anXa це [v] otov q S е^опакобетаь 'Etoi,
v = a]U| 4- a2u2 4-... 4- a„u„
ПаoqpeioypacpiKT] evKoXia,xpr]oiponoiovpe аукбХес; [...] avrinapevOeoecov (...)yia vaovpPoXi^ov-
це то Siawopa ovvreTaypevcov.
Паратцрцся]: Oi napanavco n apiOpoi aba2,...,an o%r]paTi£ovv enioqc; то Siavvapa mvxETaypEvcov
ураццед [aba2,.. .,an]T tov v cog npoc; Tqv S. H eniXoyf| tov Siavvoparoc; отт|Хг]<; avri tov SiavvopaTOc;
ypappr|<; yia va avanapaoTT]oei to v, е^артатас ало то еорбтеро nXaioio ото onoio xprioiponoieiTai. Н
Хрг|от] tctoicov SiawopaTcov оттуХтдд 0а 8iaoacpr]vioTei арубтера, ото КесраХаю 6.
IlapdSeiypa 4.16. ©ecopovpe то SiawopaTiKO %cbpo P2(t) tcov noXvcovvpcov раОроб 2. Та noXvcb-
wpa
Pl ='4-1, p2=t-l, Рз=('-1)2 = t2-2/4-1
о%г|рат(фоу pia Paor] S tov P2(t). To Siawopa ovvreTaypevcov [y] tov v=2t2-5t4-9 cog npoc; ttjv S,
XapPaverai cog e<^f]g:
©erovpe v=xp]4-yp24-zp3 xprioiponoicbvrac; rove; ayvcoorovc; apiOpovq x, y, z Kai алХолоюбре:
if - St 4- 9 = x(t 4-1) 4-Я' - О 4- z(f - It 4-1)
= xt + x+yt-y + zf -2zt + z
= zf +(x+y-2z)t + (x-y + z)
'Елегса e^iocbvovpe рета^б tov<; тоб<; сготтеХеотёс; tcov iSicov Svvapecov tov t, yia va napovpe то об-
ол] pa
z=2, x+y-2z=-5, x-y+z=9
H Хбот] tov ся)отт|рато<; eivai r] x=3, y=-4, z=2. Zvvencbq
v=3p1-4p24-2p3, koi apa [v]=[3,-4,2].
IIapd8eiypa 4.17. ©ecopovpe tov прауралкб %cbpo R3. Та акбХооОа SiavvopaTa oxnpaTi^ovv
pia Paor] S tov R3:
U]=(l,-l,0), u2=(l,l,0), u3=(0,l,l)
Oi ouvTeTaypevec; tov v=(5,3,4) cog npoq тт] Paor] S, XapPavovrai cog акоХобОсос;:
©ётоуре v=xu]4-yu24-zu3, ексрра^оуре 8т]Ха8г| то v cog ypappiKO ovvSvaopo tcov SiawopaTcov Pa-
oqc; xpr|oiponoicbvra<; tov<; ayvcooTOvq apiOpovq x, y, z. Avto рас; oSrjyei ото:
To looSuvapo оиоттща ypappiKcbv s^iocboscov exei cog E^fjg:
x+y=5, -x+y+z=3, z=4
H Хиот| тои ouoTT| ратод sivai r| x=3, y=2, z=4. Enopsvcog
v=3U|+2u2+4u3, Kai etoi [v]s=[3,2,4].
Паратг|рт|от] 1: Oi ouvTSTaypsvsg svog 8iavuopaTog v cog лрод pia pdor| S yia tov лраурапко
Xcbpo Rn, pnopouv va sppT|vsuTouv yscopsTpiKa. 0a ЕЛЕ^т|ут|ооирЕ тсора тт| уЕСорЕтрскт) аитт| Eppr|VEia,
Xpriotponotcbvrag тт| pdor| S тои R3 ото Парабвсура 4.17. Катархтр Oscopoups то Х“Р° R3 ЦЕ тоид
ouvr|0£ig a^ovsg х, у, z. Тоте, та SiavuopaTa pdor|g npooSiopi^ouv sva veo оиоттща ouvTETaypsvcov
тои R3, yia napaSsiypa ps a^ovsg x', y', z', олсод албскоуфтас ото ЕхЛМа 4-4. Ат|Ха8т|:
(1) О a^ovag x' exei tt|v iSia 8ieu0uvot| psto Uj Kai povaSiaio рт|код ||uj||.
(2) О a^ovag y' exei tt|v iSia 8ieu0uvot| psto u2 Kai pova8iaio ртщод ||u2||.
(3) О a^ovag z' exei tt|v i8ia 8ieu0uvot| ps to u3 Kai pova8iaio ртщод ||u3||.
Tote, to ка0Е 8iavuopa v=(a,b,c) f|, ioo8uvapa, то отщею P(a,b,c) otov R3 0a exei vssg ouvTETaypsvsg
cog лрод тоид vsoug d^ovsg x', y', z'. Oi vssg аитвд ouvTETaypEvsg sivai акрфсод oi [v]s, oi ouvTEraypsvsg
тои v cog лрод тт| pdor| S. 'Etoi, олсод cpaivsTai ото napa8siypa 4.17, oi ouvrsTaypsvsg тои oripsiou
P(5,3,4) ps тоид vsoug a^ovsg охпрат^оиу то 8iavuopa [3,2,4].
IIapaTi]pi|<n| 2: Ад 0scopT|ooups тт| ouvT|0iopsvr| pdor| E={ebe2,...,en} тои Kn лои орфтас
ало та
•> = (5, 3,4) = [3,2,4]
ЕхПЦа 4-4
е1=(1,0,0,...,0,0), е2=(0,1,0,...,0,0), ..., еп=(0,0,0,...,0,1)
'Еотсо, Enioqc;, то v=(a|,a2,.. ..aj eva олою6г|лот£ Siawopa otov Kn. Tote, викоХа pnopsi калоше; va
Ssi^si oti
v=a1e)+a2e2+...+anen, Kai etoi [v]E=[a1,a2,...,an]
Me aXXa Xoyia, to Siawopa oovTSTaypsvcov [v]E, svoc; onoiooSqnoTE SiawopaTOc; v coc; ярое; тт| ovvq-
Oiopsvq раот| E too Kn, sivai таитоот|ро ps to apxnco Siawopa v.
[оорорфюрбс; tcov V Kai Kn
'Еотсо о V svac; SiawopaTiKOt; X“P°? SiaoTaaqc; n navco ото К, Kai еотсо t] S={u),u2,...,un} pia Paor|
тои V. Tote, to ка0в Siawopa ve V avTioTOixsi oe pia povaSiKq n-a8a [v]s otov Kn. Ano vr|v aXXr], q
ка0£ n-аба [cbc2,...,cn] otov Kn avrioTOixfi oe sva povaSiKo Siawopa C|U|+c2u2+...+cnun otov V.
'Etoi, Xoinov, q Paoq S avaysTai oe pia Eva-npo^-sva avrioTOixia рвта^б tcov V Kai Kn. Eninp6o0£Ta,
илоОЁтоутас; oti
v = <2]U| +a2u2 + ... + a„u„ Kai w = b}u} + b2u2 +... + bnun
TOTE
» + * = (aj + Sl)u1 + (a2 + b2)u2 + ... + (a„+ b„)u„
kv = (fcaj )uj + (ka2)u2 + ... + (kan)u„
блои to k Eivai £va<; apiOpoc;. Ката ovvsnsia,
[w + w]s = [в1 + b}, a„ + SJ = l*i.........a„] + [S,..S„] = [tfc + [w]5
[Ms = [kal,ka2....ka„] = , a2,..., an] = *[v]5
Enopdvcoc; q mo navco sva-npocj-Eva avrioroixia рвта^б tcov V Kai Kn Siavr|p£i тц npa^Ei^ npoo0£-
ot|cj SiawopaTiov Kat тои раОрсотоб лоХХалХаошороб. ЛЁрв, tote, oti oi Kn Eivai юорорф1ко1, Kai
ypoupoups
V=Kn
AiatuncovoupE тсора тишка то napanavco аяотЁХЕора.
Oscopqpa 4.24: Eav о V Eivai svac; п-Зшотатос; SiawopaTiKOt; X“P°? navco oe sva nsSio K,
tote oi V Kai Kn sivai юорорф1ко1.
To ак6Хои0о napaSsiypa Sivsi pia практисг) £фарроуг| тои mo navco 0£сорг|рато<;.
napdSsiypa 4.18. Ac; unoOsooups oti 0sXoups va npooSiopiooups ката nooo oi паракатсо niva-
kec; otov V=M2j sivai q oxi ypappiKa s^apvqpsvoi:
Hi о Hi i H-
Ta SiawopaTa ovvTSTaypsvcov tcov nivaKiov orq oovq0iop£vq p<xor| tod M2 3 sxouv coc; £^f|^:
[A]=[ 1,2,-3,4,0,1], [B]=[ 1,3,-4,6,5,4], [C]=[3,8,-11,16,10,9]
LxqpaTi^oupE tov nivaKa M тои onoiou oi ураррЁс; sivai та napanavco SiawopaTa ovvT6Tayp6vcov,
Kai tov avayoups os кХ1раксотт| рорфгр
—3 4 0 1"1 Г1 2
-4 6 5 4 I ~ 0 1
-11 16 10 9 J [_0 2
M
-3 4 011 Г12 —3 4 0 11
-12 5 3-01 -1253
-2 4 10 6j |_0 0 0 0 0 Oj
Ecpooov о кХщаксотбд л1уакад exei novo Suo цц-цт|8£У1К£д ураццёд, та бюуиоцата оиутЕтауцЕУСОУ
[А], [В], [С] ларауооу Eva олохсоро 8iaoTaor|g 2, кас cog ек toutou Eivai урацщка Е^арттщЁуа. Ката
ооуелею, oi apxiKoi nivaKEg А, В, С Eivai урацщка £^арттщ£УО1.
AYMENA ПРОВЛНМАТА
AIANYEMATIKOI XQPOI, TPAMMIKOI EYNAYAEMOI
4.1. Улобётоутад oti та u Kai v avrjKODv oe Eva 8iawopaTiK0 x®P° 4 va олХолощоете tt|v ка0£-
ц(а ало Tig ларакатсо EKcppaoEig:
(а) Е!=3(2и-4у)+5и+7у,
(P) E2=3u-6(3u-5v)+7u,
(y) E3=2uv+3(2u+4v),
(3) E4=5u-|-+5u.
ЕктеХооце тоод лоХХалХаоюоцоид Kai оиХХЁуоицЕ тоод броид:
(a) E]=6u-12v+5u+7v=llu-5v
(Р) E2=3u-18u+30v+7u=-8u+30v
(у) То Е3 3ev opi^ETai, кабсод то yivopsvo SiawopaTcov uv 8ev opi^ETai.
(8) To E4 8ev opi^ETai, кабсод q 8iaip£or| це fiva Siawopa 8ev орфтаь
4.2. Na олоЗе^ете то ©Есортща 4.1: 'Еотсо о V Evag SiawopaTiKog х<Ьрод лаусо ое Eva ле8ю К.
Тоте:
(i) k0=0. (ii) 0u=0. (iii) Eav ku=0, tote k=0 i) u=0. (iv) (-k)u=k(-u)=-ku.
(i) Алб то A^icopa [A2] це u=0, ехооце 0+0=6. 'Etoi, алб то A^icopa [MJ, Ёхоир£
kO=k(O+O)=kO+kO
ПрооОЁтоутад то -kO Kai ота Збо рЁХт), naipvoupE то £Л10орг|т6 алотЁХЕора.
(ii) Tia apiOpoug, 0+0=0. 'Etoi, алб то Айсора [М2], еховце
0u=(0+0)u=0u+0u
ПрооОЕтоутад то -0u Kai ота Збо цеХт|, ласруоицЕ то £Л10ицт|т6 олотеХеоцо.
(iii ) УлоОетооце oti ku=0 Kai k*0. Tote 0a вларх£1 fivag apiOpog k-1 тётоюд coote k“'k= 1
Елоцвусод
и = lu = (k~lk)u = k~ \ku) = Г'О = 0
(iv ) Хрт|01цоло1соутад Tig i8iOTT|T£g u+(-u)=0 koi k+(-k)=O, naipvoupE
0=k0=k[u+(-u)]=ku+k(-u) Kai 0=0u=[k+(-k)]u=ku+(-k)u
Прообётоутад то -ku koi ста био рёХд тдд прсЬтдд е^осоодд naipvoupe -ku = k(-u), evcb
npoo6erovrag то Kai ста био рёХд тдд беитердд е^осоодд naipvoupe -ku = (-k)u. Zuvencbg
(-k)u = k(-u) = -ku.
4.3. Na берете oti: (a) k(u—v) = ku-kv, (P) u+u=2u.
(a) Хрдо1ропо1сЬугад tov орюрб тдд афасреодд, oti u-v=u+(-v), кабсЬд enioqg koi to
©ecbpripa 4.1(iv), oti k(-v)=-k(v), ехоире
k(u-v)=k[u+(-v)]=ku+k(-v)=ku+(-kv)=ku-kv
(P) Xpqoiponoicbvrag to A^icopa [M4] кас eneira to A^icopa [M2], ехоире
u+u=lu+lu=(l+l)u=2u
4.4. Na екфраоете то v=( 1 ,-2,5) otov R3 cog ypappuco ouv5uaopo tcov 5iavuoparcov
u,=(l,l,l), u2=(l,2,3), u3=(2 -1,1)
Ava^rpoupe roug ayvcooroug api6poug x, y, z yia roug onoioug v=xu]+yu2+zu3. 'Ехоире, бдХа-
5r|,
г ii Г1! Г1! Г 21 х+ у+^= 1
—2 =х 1 +у 2 +z -1 * х + 2у — z=—2
L 5J Ш L3J L d *+з>>+ *= s
(Па одреюурафисд еикоАла, урафоире та 6iavuopara otov R3 cog отдХед, кабсЬд аитб кабс-
ота еикоХогерд tt]v ейреот| тои ioo5uvapou оиотд ратод ypappiKcbv e^iocboecov.) Avayovrag
то оиотдра ое кХсраксотг) рорфд, обдуойраоте ото rpiycoviKo оиотдра
x+y+2z=l, y-3z=-3, 5z=10
То оиотдра eivai оирРфаотб Kai ара exei Хйод. Auvoupe pe avrucaraoraoq ярое; та nioco yia
va Рроире тд Хйод x=-6, y=3, z=2. Zuvencbg v=-6u!+3u2+2u3.
EvaXlaKTiKa, урафоире tov епаи^дрёуо nivaKa M тои ioo5uvapou оиотдратод ypappiKcbv
e^iocboecov, onou таи,, u2, u3 eivai oi треи; npebreg отдХед тои М Kai то v q reXeuraia отд Ад,
Kai акоХойбсод avayoupe tov М ое кМраксотд рорфт):
Г1 1 2 11 Г1 1 2 11 Г1 1 2 11
М = 11 2 -1 -2 I ~ I 0 1 -3 -3 I ~ I 0 1 -3 -3 I
L1 3 1 5J [fl 2 -1 4J [О 0 5 loj
О теХеитаюс; nivaKac; avTioroixei ое eva TpiycoviKO стисттт|ра, то onoio Kai exei А.йот|. Auvovrac;
pe аутисатасттаот] npoc; та nioco to TpiycoviKO оиотт|ра, обг|уоираоте отд Хиод х= -6, у=3,
z=2. Zuvencbc; v=-6u]+3u2+2u3.
4.5. Na екфраоете то v=(2,-5,3) otov R3 coc; ypappuco ouv5uaopo tcov 5iavuopaTcov
u,=(l,-3,2), u2=(2,-4,-1), u3=(1,-5,7)
Avaijpoupe roue; ayveoorou^ api6pouc; x, y, z yia roue; onoioug v=xu!+yu2+zu3. 'Ехоире, бдХа-
5д,
Г 21 Г Я Г 21 Г Я х + 2'+ * = 2
Ы_,Ы+'Ы+‘Ы *
AvayovTag то оиотт|ра ое ккщаксотт] рорфт) о8т|уоираотв ото оиоттща
x+2y+z=2, 2y-2z=l, 0=3
То оиоттща eivai aoupPipaoTo Kai cog ek toutou 8ev exeiXuot|. Ара to v 8e рлорв1 va ypaipTEi
cog ypappiKog ouvSuaopog tcov ub u2, u3.
4.6. Na EKippaoETE to noAucbvupo v=t2+4t-3 otov P(t) cog ypappiKO ouvSuaopo tcov лоАисоуирсоу
Pi = t2 - 2t + 5, p2 = 2Г2 - 3r. рг = i + 1
Ауа^тойрв тоид ayvcboTOug x, y, z yia тоид onoioug
?+4/-3=x(?-2/ + 5)+X2?-3/) + z(/ + 3) (*)
Млороирв va лрохсортроирв це 8uo тролоид.
МЁОобод 1. Ауалтиоооирв то 8е^ю рЁАод тт|д (*) koi то вкфра^оирв ouvapTT|O6i 8uva-
рвсоу той t, cog акоАоибсод:
i2 + 4t — 3 = xt2 — 2xt + 5x + 2yt* — 3yt + zt + 4
= (x + 2y)? + (—2x - 3y + z)t + (5x + 3z)
E^tocovoupB тсора рвта^и тоид тоид оиутвквотЁд tcov iSicov Suvapficov tod t, Kai ёлегсо avayou-
ps то оиоттща oe кАщаксотт) рорфт]. Аита pag о8т|уоиу ото
х + 2у = 1 х + 2у = 1 х + 2у =1
—2х —Зу + z= 4 у. у+ z= 6 Й у+ z= 6
5x + 3z = —3 —10y + 3z = —8 13z = 52
To оиоттща Eivai оирРфаотб Kai ара ёхе1 Хиот]. AuvovTaq ps аупкатаотаот] лрод та л toco,
PpioKOups тт] А.иот| x=-3, y=2, z=4. ЕлорЁУСод v=-3p|+2p2+4p2.
МЁОобод 2. H E^iocoori (*) sivai pia таитотт|та ps р£тарХт|тт) то t, 8т|Ха8т| ioxueiyia олою8т|-
лоте тщт] той t. Млороирв Xowtov va ОЁооирв то t too pE TpEig оло1оио8т|лот£ apiOpouq yia va
Ppoups Tig E^iocoosig ps тоид ayvcboroug.
(а) ©Ётоирв t=0 ott|v (*) yia va лароирЕ tt|v e^iocdoti -3=5x+3z.
(P) ©Ётоирв t=l ott|v (*) yia va лароирв tt|v B^iocoori 2=4x-y+4z.
(у) ©Ётоирв t=-l ott|v (*) yia va лароирв tt|v b^ocdoti -6=8x+5y+2z.
AuvoupB то оиоттща tcov Tpicbv outcov e^iocooecov yia va лароирв Kai лаАл тт| А.иот| x=-3, y=2,
z=4. ЕлорЁУшд v=-3p,+2p2+4p2.
4.7. Na вкфраовтЕ tov M cog ypappiKO ouvSuaopo tcov Л1Уаксоу А, В, С, блои
w=[i »]•«”'=[! !] 4U} C=[U]
Ava^rjTovpE tov; ayvcboTov; x, y, z yia tov; onoiov; M=xA+yB+zC. 'ExovpE, 6r]Xa6f|,
[7 >]-'[! ПЧз «Hi
ExnpaTi^ovpE T0 avrioroixo оиоттща e^iocooecov E^iocbvovra; pETa^v tov; tic; ovtiotoixe;
катахсорюЕс;:
x+y+z=4, x+2y+z=7, x+3y+4z=7, x+4y+5z=9
AvayovTa; то ouovripa oe кХщаксотт) popcpi), naipvovps
x+y+z=4, y=3, 3z=-3, 4z=-4
H TEXevTaia E^iocoor) anaXfiicpETai. Avvovra; то оиоттща це аутскатаотаот) яро; та nioco,
naipvovpE z=-l, y=3, x=2. Enopsvco; M=2A+3B-C.
YnOXHPOI
4.8. Na anoSEi^ETE то ©Есортща 4.2: To W Eivai sva; vnoxcbpo; тои V Eav ioxvovv 016vo ларака-
тсо ovv0t|ke;:
(a) Oe W. (P) Eav u,ve W, tote u+v, kue W.
Алб то (a), to W Eivai щ]-кеуо, evco ало то (P), 01 npa^Ei; ттц; прбо0Еот|; SiavuopaTcov Kai
тои РаОрсотоб noXXanXaoiaopov Eivai ЕларксЬ; opiopsvE; yia to W. Enioq;, та аппарата
[A|], [A4], [MJ, [M2], [M3] Kai [M4] ioxvovv ото W, acpov та SiavvopaTa ото W avr|K0vv
otov V. Enopsvco; apKEi алХа va Ssi^ovpE oti ioxvovv Kai та [A2] Kai [A3] ото W. To [A2]
loxvEi, acpov, ало то (а), то pt]6evik6 Siawopa otov V avqKEi ото W. TeXo;, Eav ve W, tote
(-l)v=-ve W Kai v+(-v)=0. Apa io%vei Kai to [A3],
4.9. 'Еотсо V=R3. Na Sei^ete oti to W Sev Eivai vnoxcbpo; tov V, onov:
(a) W={(a,b,c): a>0}, (p) W={(a,b,c): a2+b2+c2<l}
Err]v ка0Е nEpinrcooT], va Sei^ete oti to ©Есортща 4.2 6ev ioxvei.
(a) To W anoTEXsiTai ano та SiavvopaTa ekevvo tcov onoicov г] прсотт] катахсорют) Eivai
pr)-apvr)TiKT|. 'Etoi to v=( 1,2,3) avr|KEi ото W. 'Еотсо k=-3. Tote to kv=(-3,-6,-9) 6ev
avrjKEi ото W, acpov to -3 Eivai apvrjTiKo. EvvEncb; to W 6ev Eivai vnoxcbpo; tov V.
(P) To W anoTEXsiTai ano та SiavvopaTa tcov onoicov то рт|ко; 6e ^Enspva to 1. 'Etoi та
u=( 1,0,0) Kai v=(0,l,0) avf|Kovv ото W, aXXa to u+v=( 1,1,0) 6ev avr|KEi, ка0сЬ;
12+12+O2=2>1. EvvEncb; to W 6ev Eivai vnoxcopo; tov V.
4.10. 'Еотсо V=P(t), о SiawopaTiKo; х<оро; tcov npaypaTiKcbv noXvcovvpcov. Na npooSiopioETE ката
nooo to W Eivai f| 6x1 eva; vnoxcbpo; tov V, onov:
(a) To W anoTEXsiTai ano 6Xa та noXvcbwpa pE aKspaiov; ovvteXeote;.
(P) To W anoTEXsiTai ano 6Xa та noXvcbwpa pE Pa0pd >6 Kai to ptjSeviko noXvcbwpo.
(y) To W anoTEXfitcai ano 6Xa та noXvcbwpa pE povo apTis; SvvapEi; tov t.
(a) 'Oxi, каОсЬ; та РаОрсота noXXanXaoia tcov noXvcovvpcov ото W 6ev avr|KOvv navra ото
W. Tia napaSEiypa,
/(r) = 3 + 6r + 7z2 € W aXXa |/(r) = i + 3r + |z2 ? W
(P) Kai (y) Nat, кабак; arqv кабе nepinrcooq, то W nepie%et то pq5eviKO noXucbvupo, Kat та
абро1ората Kat oi Рабрсото1 noXXanXaoiaopoi tcov noXucovupcov ото W enioqg avq-
kouv ото W.
4.11. 'Еотсо V о SiavuopaTiKot; x<bpog tcov ouvapTqoecov f: R->R. Na берете oti to W eivai evat;
unoxcbpot; тои V, onou:
(a) W={f(x): f( 1 )=0}, 6Xeg oi ouvapTqoeig tcov onoicov q Tipq ото 1 eivai 0.
(P) W={f(x): f(3)=f( 1)}, 6Xeg oi ouvaptqoeig nou ava6eTOUv тк; iSiet; тсрёд ото 3 Kai ото 1.
(у) W={f(x): f(-x)=-f(x)}, oXeg oi nepmeq avvapirjaeu;.
'Еотсо oti to 0 oupPoXi^ei to pqSeviKO noXucbvupo, Kai apa Q (x)=0 Yia кабе Tipq тои x.
(a) 6 G W, acpou 0 (1 )=0. Yпобётоире oti f,gG W. Тбте f( 1 )=0 Kai g( 1 )=0. Enioqg, Yia Tout;
api6poug a Kai b, ёхоире
(af+bg)( 1 )=af( 1 )+bg( 1 )=a0+b0=0
Zuvencbg af+bgG W, опбте то W eivai evag unoxcbpot;.
(P) 6 g W, acpou б (3)=0= б (1). Упобётоире oti f,gG W. Тбте f(3)=f(l) Kai g(3)=g(l).'EToi,
Yia опоюио5т|поте api6poug a koi b, ёхоире
(af+bg)(3)=af(3)+bg(3)=af(l)+bg(l)=(af+bg)(l)
Zuvencbg af+bgG W, опбте то W eivai evag unoxcbpog.
(Y) 0g W, acpou 6 (-x)=0=-0=- 6 (x). Yпобётоире oti f,gG W. Тбте f(-x)=-f(x) Kai g(-x)=
-g(x). Enioqg, Yia тоид арЮроид a koi b, ёхоире
(af+bg)(-x)=af(-x)+bg(-x)=-af(x)-bg(x) = -(af+bg)(x)
Zuvencbg ab+gfG W, опбте то W eivai ёуад unoxcbpog тои V.
4.12. Na апобе^ете то Oecbpqpa 4.3: H Topq опоюибт|поте api6pou unoxcbpcov тои V, eivai enioqg
ёуад unoxcbpog тои V.
'Еотсо то {W,: iG 1} pia ouXloYq unoxcbpcov тои V Kai ёотсо W=n (W,: iG 1}. Acpou то кабе
W, eivai ёуад unoxcbpog тои V, ёхоире 0g W„ Yia кабе iG I. Apa 0g W. Упобётоире тсора oti
u,vg W. Тбте u,vG W„ Yia кабе iG I. Acpou то кабе Wj eivai 6vag unoxcbpog, au+bvG W„ Yia
кабе iG I. Apa au+bvG W. Прокиптец Xoinov, oti to W eivai evag unoxcbpog тои V.
ГРАММ1КЕЕ ЕПЕКТАЕЕ1Е
4.13. Na берете oti та бюуиората U]=(l,l,l), u2=(l,2,3) Kai u3=(l,5,8) парауоиу tov R3.
Прёпе1 va Seifpupe oti ёуа аиба1рето 5iavuopa v=(a,b,c) otov R3 eivai ёуад YpappiKog
ouv5uaopog tcov ub u2, u3. ©ётоире v=xuj+yu2+zu3, 5qXa5q бётоире
(a,b,c)=x( 1,1,1)+у(1,2,3)+z( 1,5,8)=(x+y+z, x+2y+5z, x+3y+uz)
ЕхИЦат^оице то icoSovapo стоттща Kai то ауауоице oe кХщаксотт| рорсрт):
х+ у+ z — a х+у + z — a x-y + 3z = a
x + 2y + 5z = b у; y + 4z — b — a у. 3y-6z = b-2a
x + 3y+8z = c 2y + 7c = c — a 0 = 4a-2b + 3c
To 7uo лаусо оиоттща PpioKCTai oe кХщаксотп рорсрт) koi eivai оорРфаотб. Ett|v лрауратисб-
тт|та pia Xocrq eivai T]
x=-a+5b-3c, y=3a-7b+4c, z=a+2b-c
Ара та ub u2, u3 ларауооу tov R3.
4.14. Na Ppehe oov9f|Keg yia та a, b, c ctoi сооте то v=(a,b,c) otov R3 va avf|Kei otov
W=span(U],u2,u3), олоо
и। =(1,2,0), u2=(-1,1,2), u3=(3,0,-4)
Ексррафоре то v cog ypappiKO ouvSuaopo tcov ub u2, u3, хрт|01ролокЬутад тоид ayvcboTOug x,
y, z. ©етоире, 5т]Ха5т), v=xu|+yu2+zu3. Аитб рад oSTjyei ott|v
(a,b,c)=x(l,2,0)+y(-l,l,2)+z(3,0,4)=(x-y+3z, 2x+y, 2y-4z)
Ехпрат^оире то icoSuvapo оиотт|ра ypappiKcbv e^iocboecov Kai to avayoupe oe кХщаксоп)
popcpf|:
x-y+3z = a x-y + 3z = a x-y + 3z = a
2x+y =b 3y-6z = b-2a 3y-6z = b-2a
2y — 4z = c 2y — 4z = c 0 = 4a - 2b + 3c
To Siavoapa v=(a,b,c) avf|Kei ото W eav Kai povo eav то оиотт|ра eivai оирРфаотб, Kai to
оиотт|ра eivai оирРфаотб eav Kai povo eav 4a-2b+3c=0. LqpeicbveTai, аоукекрщеуа, oti та
ub u2, u3 Sev ларауооу оХ6кХт]ро то х<Ьро R3.
4.15. Na Зе^ете oti о SiavuopaTiKog x^pog tcov лраурат1ксоу noXucovupcov, V=P(t), Se pnopei va
napaxOei ano eva лелераарёуо apiOpo noXucovupcov.
Олою8г|лоте лелераарёуо aovoXo noXucovupcov, S, nepiexei eva noXucbvupo peyiorou Раб-
рой, yia napaSeiypa m. Тбте т] ypappnd) елёктаат] span(S) той S Se pnopei va nepiexei eva
noXucbvupo PaOpou реуаХитерои той m. Елорёусод span(S)*V, yia олою8т)лоте лелераарёуо
ouvoXo S.
4.16. Na алоЗе^ете то ©есортща4.5: Eav то S eivai evaurcoouvoXo touV, тбте: (i) To span(S) eivai
evag олохсород той V лои nepiexei то S. (ii) Eav о W eivai evag олохсород too V лоо nepiexei
to S, тбте span(S)c W.
(i) Ад олобеоооре oti to S eivai kcvo. E£' opiopoo, span(S)={0). Ара to span(S)={0)
eivai evag олохсород too V Kai S c span(S). Ад олобеоооре тсора oti to S Sev eivai
kcvo Kai oti veS. Тбте v=lvespan(S), олоте Scspan(S). Елктрд 0=0vespan(S). Te-
Ход, ад олобеоооре oti u,we span(S), yia napaSeiypa
и = + ... +arur = ^,atut Kai w = b^ + ... + b,w, = ^bjWj
'Олоу UpWjG S Kai aj.bjG К. Тоте та
« + v = + Kai = =
avr|K0i)v ото span(S), кабсод то KaOeva ало аита eivai evag ypappiKog ovvSvaopog
Siawoparcov ото S. Еорлерасуооре, Xoutov, oti to span(S) eivai evag олохсород тои V.
(ii) Улобётооре oti ubu2,.. .,urGS. Тоте бХа та U| avqKovv ото W. Елорёусод 6Xa та лоХ-
ХалХаош а|и2,а2и2,...,агигеW, Kai ётся то аброюра a)U|+a2u2+...+arurG W. То W,
8т)Ха8г|, лер1ё%е1oXovg тоид ураррскобд ovvSvaopovg tcov oroixeicov тои S, f), pe aXXa
Xdyia, span(S) c W, блсод Ka9opi£ei to 9ecbpi)pa.
ГРАММ1КН ESAPTHEH
4.17. Na лрообюрюете ката лбао та u Kai v eivai f| oxi ypappiKa e^aprripeva, блои:
(a) u=(l,2), v=(3,-5), (y) u=(l,2-3), v=(4,5,-6),
(p) u=(l,-3), v=(-2,6), (5) u=(2,4,-8), v=(3,6,-12).
△6o Siavvopara u Kai v eivai ypappiKa e^aprr]p6va eav Kai povo eav to 6va eivai лоХХалХа-
аю тои aXXov.
3
(a) 'Oxi- (P) Nai, yia v=-2u. (y) 'Ox1- (5) Nai, yia v=- u.
4.18. Na лрообюрюете ката лбао та u Kai v eivai i) oxi ypappiKa e^aprripeva, блои:
(a) и = 2? + 4t - 3, v = 4? 4- it - 6, до и = 2? - 3t 4- 4, v = 4? - 3t + 2,
»-[H ” “]
△6o Siavvopara u Kai v eivai ypappiKa е£артт]рёуа eav Kai povo eav to eva eivai лоХХалХаою
тои aXXov.
(a) Nai, yia v=2u. (P) Oxi- (y) Nai, yia v=-4u. (5) Oxi-
4.19. Na лрообюрюете ката лбао та SiavvopaTa u=(l,l,2), v=(2,3,l), w=(4,5,5) otov R3 eivai
ypappiKa е£артт|рёуа.
МёбоЗод 1. ©ётооре ёуа ypappiKO ovvSvaopo tcov u, v, w too pe to pijSeviKO Siawopa,
XPT)oiponoicbvTag товд ayvcborovg x, y, z, yia va ларовре то looSvvapo ороуеуёд ovorripa
ypappiKcbv e^iocboecov, Kai акоХоббсод avayovpe to ovorripa oe кХ1раксотт| popcpri. Avro pag
oSriyei ото
НГ21 Г41 Г°1
4-3 4-Z 5 = lol
Ld L5J L°J
x 4- 2y 4- 4z = 0
x4-3y4-5z = 0
2x4- y + 5z = 0
, x 4- 2y 4- 4z = 0
Л У4- z = 0
To кХсраксотб ovorripa ёхе1 povo Svo рт)-рт)8еУ1кёд e^iocboeig pe rpeig ayvcborovg. Apa ёхе1 pia
eXeuGepti р£тарХт|тт|, koi cog ek toutou pr|-pr|8£viKf| Xucrr). LuvEncbg та u, v, w Eivai ypappiKa
E^apTT)|i£va.
МЁвобод 2. Lxnpari^oupE tov nivaKa A tod onoiou oi отт|Х£д Eivai та u, v, w, koi tov
avayoupE oe кХ1раксотт| popcpf|:
H трпт) gtt|Xt| 5ev e%ei о8т|уо, олоте to тр1то Siavuopa w Eivai svag ypappiKog ouvSuaopog
tcov Suo npcbrcov SiavuopaTCOv, u Kai v. Ката auvEKEia та SiavuopaTa Eivai ypappiKa E^ap-
TT)p£va. (Паратг)роир£ oti о nivaKag A Eivai Eniorig о nivaKag ouvteXeotcov ott) MeGoSo 1. Me
aXXa Xoyia, t| psGoSog auvr| Eivai oe teXikti avaXucrr] t| iSia pE tt)v прсотт) рЁбобо.)
МЁвобод 3. Ехпрат^оирЕ tov nivaKa В тои onoiou oi ураррЁд Eivai та u, v, w, koi tov
avayoupE ое кХ1раксотт| popcprj:
Ecpooov о KXipaKcorog nivaKag Ё%Е1 povo био рг|-рг|бЕУ1КЁд ураррЁд, та rpia Siavuopara Eivai
ypappiKa Е^артт]рЁуа. (Ta rpia бвборЁуа 8iavuopara napayouv Eva %cbpo 8idoraoT|g 2.)
4.20. Na npoo8iopioETE ката nooo та акоХоива Siavuopara orov R3 Eivai f| 6%i ypappiKa E^aprr)-
pdva:
(a) u1=( 1,2,5), u2=( 1,3,1), u3=(2,5,7), u4=(3,l,4),
(P) u=(l,2,5), v=(2,5,l), w=(l,5,2),
(y) u=( 1,2,3), v=(0,0,0), w=( 1,5,6).
(a) Nai, acpou onoiaSrjnorE тЁооЕра Siavuopara orov R3 Eivai ypappiKa Е^артг)рЁуа.
(P) Xpr|oiponoioupE тт) МЁвоЗо 2 oncog прот|уоирЁУСод. Lxnpari^oupE, бт|Хабг|, rov niva-
Ka A rou onoiou oi orfjXEg Eivai та 6£6op£va Siavuopara, Kai avayoupE rov nivaKa oe
кХ1раксотт| popcprp
H koiGe gtt|Xt| ё%£1 ёуо о8т|уо, Kai dpa Kavdva Siavuopa Sev Eivai ypappiKog ouvSua-
opog rcov nporiyoupEvcov Siavuoparcov. Kara оиуЁпЕЮ та Siavuopara Eivai ypappiKa
avE^aprr)ra.
(y) Acpou eva ano та Siavuopara Eivai то 0=(0,0,0), ra Siavuopara Eivai ypappiKa E^ap-
rqpdva.
4.21. Na Sei^ete oti oi ouvaptT|GEig f(t)=sin t, g(t)=cos t, h(t)=t ano to R crro R, Eivai ypappiKa
avE^dprr)TEg.
©ЁтоирЕ dva ypappiKo ouvSuaopo rcov ouvaptT)oEcov too ps tt) pr|8£viKf| ouvaprr)crr| О ХРЛСТ1-
ponoicbvrag roug ayvcooroug apiGpoug x, y, z, вЁтоирЕ 8т|Ха8г| xf+yg+zh=O, Kai orr) ouv^Eia
бахуоице oti x=0, y=0, z=0. Tovi^eiai oti t| xf+yg+zh=0 or|paiv£i oti, yia кабе ирг] тои t,
ЕХООЦЕ xf(t)+yg(t)+zh(t)=O.
'Etoi, ott|v E^iocoor] zsin t+ycos t+zt=O:
(i) ©ЕтоицЕ t=0 yia va лароицв x(0)+y( 1 )+z(0)=0 f| y=0.
(ii) ©Етоирв t=7t/2 yia va лароицв x( 1 )+у(0)+гл/2=0 f| х+лг/2=0.
(iii) ©втоицв 1=л yia va лароицв х(0)+у(-1)+г(л)=01) -у+лг=0.
Oi трек; avTEg e^iacbaeig exoov povo тт| pt|8evikt| Xvor|, 8т]Ха8т] x=0, y=0, z=0. Qg ek tovtov,
oi f, g, h sivai ypappuca av£^dpTi]T£g.
4.22. УлобЁтоутад oti та SiavvopaTa u, v, w Eivai ypappiKa ау£^артт|та, va Sei^ete oti та Siavv-
ората u+v, u-v koi u-2v+w Eivai £л1от|д ypappiKa ау£^артт|та.
УлобЁтоирв oti x(u+v)+y(u-v)+z(u-2v+w)=0. Tote
xu+xv+yu-yv+zu-2zv+zw=0
П
(x+y+z)u+(x-y-2z)v+zw=0
Ecpooov та и, v, w Eivai ypappiKa ау£^артт|та, oi ovvTsXEOTEg ott|v лю лаусо E^iocooi] sivai
6Xoi 0. Apa
x+y+z=0, x-y-2z=0, z=0
H povaSiKi) Xvor| ото лю ларалаусо opoysvEg оботт|ра Eivai т| x=0, y=0, z=0. ЕирлЕраорать
ка та u+v, u-v Kai u-2v+w Eivai ypappiKa ау£^артт|та.
4.23. Na Sei^ete oti та SiavvopaTa u=(l+i, 2i) Kai w=(l, 1+i) otov C2 sivai ypappiKa £^артт|р£уа
лаусо ото piyaSiKO ле8ю C, aXXa ypappiKa ау£^артт|та лаусо ото лрауратисб леЗю R.
YnsvOvpi^ETai oti 8vo SiavvopaTa sivai ypappiKa E^apnipsva (лаусо os sva ле8ю К) Eav koi
povo sav to Eva ало аота sivai sva лоХХалХаою tov aXXov (лоХХалХаоюфрЕУО ps sva otoi-
Xsio ото K). Ecpooov
(l+i)w=(l+i)(l, l+i)=(l+i, 2i)=u
та и Kai w sivai ypappiKa s^apnipeva лаусо ото С. Алб tt]v аЩ, та и koi w sivai ypappiKa
ауб£артт|та лаусо ото R, кабсод Kavsva лрауратисб лоХАалХаою tov w 8ev рлорв! va ioovtoi
ps то u. ZvyKEKpipsva, otov to k sivai лрауратисб, т| лрсотт| ovvioTcboa tov kw=(k, k+ki)
лрЁл£1 va sivai лрауратиа), Kai apa 8s рлорв! лоте va ioovtoi ps tt|v лрсотг] ovvioTcboa 1+i
tov и, т| оло!а sivai piya8iKT|.
BAEH KAI AIAETAEH
4.24. Na лроо8юрю£Т£ ката лбоо та акбХооба охлратИруу f| oxi pia Paor| tov R3:
(а) (1,1,1), (1,0,1), (у) (1,1,1), (1,2,3), (2,-1,1),
(Р) (1,2,3), (1,3,5), (1,0,1), (2,3,0), (8) (1,1,2), (1,2,5), (5,3,4).
(a) koi (р) 'Охч еле18т| pia paor| tov R3 лрЁл£1 va nspiExsi акрфсод 3 OTOixsia, acpov dim R3=3.
(у) Та rpia Siavvopara ахгщат^оиу pia Paoq eav Kai povo eav eivai ypappiKa ave^aprq-
ra. Lxqpari^ovpe, A.oin6v, tov nivaKa тои onoiov oi ураррёс; eivai та 5e5opeva Siavv-
opara, Kai tov avayovpe pe oroixeicbSeic; ретао%г|рат1ороо<; ypappcbv oe кАлраксотг)
popcpri:
г; nu: : q~r; : q
|_2 -i ij |_° -3 -d L° ° d
О кАлраксотос; nivaKac; Sev exei prjSeviKec; ураррёд. Enopevcoc; та Tpia Siavvopara ei-
vai ypappiKa ave^aprqra, Kai apa oxqpari^ovv pia Paoq rov R3.
(6) Lxnpari^ovpe rov nivaKa rov onoiov oi ураррёс; eivai та беборёуа Siavvopara, Kai
rov avayovpe pe oroix£icb6ei<; peraoxqpariopovc; ypappcbv oe кХсраксотг) popcpf|:
r ;q~r; : q~r;:q
|_5 3 4 J |_0 -2 -6j [° 0 °J
О кАлраксотос; nivaKac; ёхес pia pqSeviKq ypappf|. Qc; ек rovrov ra rpia Siavvopara
eivai ypappiKa е^артт^рёуа, Kai apa 6e oxqpari^ovv pia Paoq rov R3.
4.25. Na npooSiopioere ката nooo ra (1,1,1,1), (1,2,3,2), (2,5,6,4), (2,6,8,5) oxqpari^ovv q oxi pia
Paoq rov R4. Eav 6e oxqparitpvv, va Ppeire rq Siaoraoq rov vnoxcbpov nov napayovv.
Zxq^aritpvpe rov nivaKa rov onoiov oi ураррёс; eivai та беборёуа Siavvopara, Kai rov ava-
yovpe pe oroixeicbSeu; peraoxqpariopovc; ypappcbv oe кАлраксо-cq popcpq:
О кАлраксотос; nivaKac; ёх£1 pia pqSeviKq ypappq. Епорёусос; та тёооера Siavvopara eivai
ypappiKa e^aprqprva, Kai coc; ек rovrov 6e oxqpari^ovv pia Paoq rov R4. Acpov о кАлраксотос;
nivaKac; ёх£1 грек; pq-pqSevu^c; ураррёс;, та тёооера Siavvopara napayovv eva vnoxcbpo 6ia-
oraoqc; 3.
4.26. Na enetcreivere ro {U]=(l, 1,1,1), u2=(2,2,3,4)} oe pia Paoq rov R4.
ApxiKa oxqparitpvpe rov nivaKa rov onoiov oi ураррёс; eivai ra U] Kai u2, Kai rov avayovpe
oe кАлраксо-rq popcpq:
r j j :]~D i: q
Tore ra W]=(l,l,l,l) Kai w2=(0,0,l,2) napayovv to i6io ovvoA.o Siawoparcov nov napayovv
Kai ra U] Kai u2. 'Еотсо u3=(0,1,0,0) Kai u4=(0,0,0,l). Тоте ra wb u3, w2, u4 oxqparitpvv ёуа
nivaKa oe кАлраксотг| popcpq. Епорёусос; eivai ypappiKa ave^aprqra Kai oxqparitpvv pia Paoq
rov R4. Lvvencbc; ra ub u2, u3, u4 enioqc; oxqparitpvv pia Paoq rov R4.
4.27. ©ecopeiore to piyaSiKo ne6io C nov пер1ёх£1 го праурапко ne6io R, to onoio pe rq oeipa rov
пер1ёх£1 to pqro ne6io Q. (Епорёусос; то C eivai evag SiawopariKoc; X“P°? navco ото R Kai to R
evac; 6iavuapaTiK0<; x<bpo<; navco ото Q.)
(a) Na берете oti to {1 ,i} eivai pia Paor| too C navco ото R, Kai dpa то C eivai evac;
6iavuopaTiKOc; xcopoc; бсаатаолс; 2 navco ото R.
(P) Na берете oti to R eivai evac; 6iavuapaTiKOc; x®P0(^ пепераорёуцс; б1аатаот|с; navco
ото Q.
(а) Г1аопоюбт|поте veC, ёхоире v=a+bi=a(l)+b(i), onou a,be R. Ара to {l,i} napayei to
C navco ото R. Етпр6о0ета, eav x(l)+y(i)=0 t| x+yi=0, onou x,yeR, тбте x=0 Kai
y=0. Enopevcoc; to {1 ,i} eivai ypappiKa ave£ap-a]TO navco ото R, опбте eivai pia pdor|
yia то C navco ото R.
(P) Mnopei va 6eixrei oti to n eivai evac; иперратисбс; api0pog бцХабт| 6ev eivai pi£a Kavevoc;
noXucovupou navco ото Q. 'Etoi, yia ка0е n, oi n+1 npaypaTiKoi apiOpoi l,n,n2,...,nn
eivai ypappiKa ave^dprr|TOi navco ото Q, Kai dpa to R бе pnopei va exei 6iaoTaor| n
navco ото Q. Ката ouveneia, to R exei аперюрютт] бсаатаот] navco ото Q.
4.28. YnoQeTOvrac; oti to S={u1,u2,...,un} eivai eva unoouvoXo тои V, va берете oti oi ак6Хои0О1
Opiapoi A Kai В pia pdor|c; тои V eivai ioo6uvapoi:
(A) To S eivai ypappiKa ave^dprr|TO Kai napayei tov V.
(В) To ка0е ve V eivai evac; pova6iKOc; ypappiKoc; ouv6uaopoc; 6iavuopaTC0v ото S.
Ac; ипо0ёооире oti icxuei to (A). Acpou to S napayei tov V, to 6iavuopa v 0a eivai evac;
ypappiKoc; ouv6uaopoc; tcov m„ yia парабыура
V = +a2M2 + • • •+аямя KCU V =Ь,и, +Ь2“2 + --- + ^я“я
AcpaipcovTac;, naipvoupe
0 = p - p = (a, - 4- (a2 - b2)u2 +... + (a„ - b„)u„
Ta u„ соотбоо, eivai ypappiKa ave^dp-a]Ta, Kai dpa о ка0е оиутеХеотт|(; o-a]v napanavco охёот]
0a eivai 0:
— bj = 0, a2 - b2 = 0, a„ - b„ = 0
Enopevcoc; a^bj, a2=b2,..an=bn. 'Etoi ц ауапараотаог| тои v cog ypappiKoc; ouv6uaop6<; tcov
u, eivai pova6tKT|, Kai ката ouveneia to (A) ouvenayeTai то (B).
Ac; ипо0ёооире тсора oti ioxuei то (В). Тбте то S napayei tov V. Упо0ётоире oti
0 = quj + c2u2 4-... 4- c„u„
Evtoutou;, ёхоире 0=0u14-0u2+...4-0un
Упо0ётоута<; oti ц avanapaoTaori тои 0 cog ypappiKoc; ouv6uaop6<; tcov u, eivai povaSucrj,
тбте то ка0е c =0 Kai та u, eivai ypappiKa ауе^артцта. Zuvencoc; то (B) ouvenayeTai to (A).
AIAETAEH KAI УПОХПРО1
4.29. Na Ppeite pia pdoT| Kai тг| SiaoTaoT] tov vnoxcopov W tov R3, onov:
(a) W={(a,b,c): a+b+c=0}, (P) W={(a,b,c): (a=b=c)}
(a) ZripEicbvETai oti W*R3, acpov, yia napaSEiypa, (1,2,3)g W. Apa dim W<3. Etipeicove-
Tat EniOT]<; oti та U]=(l,0,-l) Kai u2=(0,l,-l) Eivai Svo avE^dpTrpa SiavvopaTa otov
W. Enopdvcoc; dimW=2, Kai etoi та U| Kai u2 o%r|paTi£ovv pia Paor} tov W.
(P) To Siawopa u=(l,l,l)eW. OnoioSrptOTE Siawopa weW exei tt| рорсрт) w=(k,k,k),
олоте w=ku. Evvfincbc; to u napayEi tov W koi dim W=1.
4.30. 'Eotco W о vnoxcopoc; tov R4 nov napayETai ало та SiavvopaTa
U]=(l-2,5-3), u2=(2,3,l,-4) u3=(3,8,-3,-5)
(a) Na Ppeite pia Раот| Kai tt| SiaoTaoT] tov W.
(P) Na ehekteivete тг| pdoT| tov W oe pia Раот] tov R4.
(a) Ecpappo^ovpfi tov AXyopiOpo Xcopov Г pappcov 4.1. ЕхПМат^оиМ£ xov nivaKa tov onoiov
oi ураррЁс; Eivai та SfiSopsva SiavvopaTa Kai tov avayovpE oe кАлраксотт| рорсрт):
Oi pr|-pr|S£viK£(; ураррЁс; (1 ,-2,5,3) Kai (0,7,-9,2) tov кАлраксотоо nivaKa oxnpaTi^ovv
pia Раот] tov x<bpov ypappcov tov A, apa Kai tov W. Enopsvcoc;, ооукЕкртрЁуа, dim
W=2.
(P) Ava£r|TOvp£ TEOOEpa ypappiKa avE^dpTrpa SiavvopaTa, ота onoia va ovpnspiAxipPd-
vovTai та Svo mo navco SiavvopaTa. Та тЁооЕра SiavvopaTa (1,-2,5,-3), (0,7,-9,2),
(0,0,1,0) Kai (0,0,0,1) Eivai ypappiKa avE^dpTrpa (acpov oxnpcm^ovv Eva кАлраксото
nivaKa), Kai apa oxnpaTi^ovv pia Раот| tov R4, r| onoia anoTfiAxi епектоот] тгц; Раотц;
tov W.
4.31. 'Еотсо W о vnoxcopoc; tov R5 nov napayETai ano та U|=(l,2,-1,3,4), u2=(2,4,-2,6,8),
u3=( 1,3,2,2,6), u4=( 1,4,5,1,8), u5=(2,7,3,3,14). Na Ppeite sva vnoovvoXo tcov SiawopaTcov nov
oxnpati^ovv pia Раот| tov W.
EScb xpr|aiponoiovp£ tov AAyopiOpo AnoPoXi)<; 4.2. ExnpaT^ovpe xov nivaKa M tov onoiov
oi OTfjAxc; (koi oxi oi ураррЁс;) Eivai та бЕборЁуа SiavvopaTa, Kai tov avayovpE oe кАлраксотт|
popcpri:
Oi oSriyoi PpioKOvrai отц отт)Ах<; Cb C3, C5. Enopevcoc; та avrioToixa SiavvopaTa ub u3, u5
oxnpaTi^ovv pia Раот| tov W, koi dim W=3.
4.32. 'Еотсо V о 8iawopariKog xcbpog tcov 2x2 mvaKCOv navco ото К, кас еотсо W о vnoxcbpog tcov
ovpperpiKcbv mvaKCOv. Na Secrete oti dim W=3, PpioKOvrag pia Раот] тои W.
Ynev0vpi^erai oti о nivaKac; A=[ay] Eivai ovpperpiKog Eav AT=A, r|, ioo8vvapa, Eav ка0е
Зц=ал. 'Etoi Xoinov, о A= [ j j j ovpPoXi^ei sva avOaipero 2x2 ovpperpiKo nivaKa. ©erovrag
(i) a=l, b=0, d=0, (ii) a=0, b=l, d=0, (iii) 3=0, b=0, d=l, naipvovpe rovg avrioroixovg nivaKec;:
“[I;!
loxvpi^opaore тсора oti to S={EbE2,E3} eivai pia Раот] тои W, 8r|Xa8r| oti: (a) to S napayei
tov W Kai (P) to S eivai ypappiKa ave^dprr|TO.
(a) О mo navco nivaKag a = j=aE1+bE2+dE3. Evvencbg to S napayei tov W.
(P) YnoOerovpe oti xE]+yE2+zE3=0, onov та x, y, z eivai ayvcooroi apiOpoi. YnoOerovpe,
5т|Ха5т|, oti
£ M M ?]-[’ 5]«t ^=[: s]
E^iocbvovrag pera^v rovg rig avrioroixEg Karaxcopioeig PpioKOvpe x=0, y=0, z=0, ano
to onoio npoKvnrei oti to S eivai ypappiKa ave£aptr)ro.
Apa Xoinov to S eivai pia Раот] rov W, oncog юхорютт)каре.
©EQPHMATA ГРАММ1КНЕ EZAPTHEHE, BAEHE KAI AIAETAEHE
4.33. Na anoSei^ere to Arjppa 4.10: YnoOerovcag on 8vo r| nepiooorepa pr|-pr|8eviKa Siavvopara
vbv2,...,vm eivai ypappiKa e^aprripeva, тоте eva ano та avra eivai evag ypappiKog ovvSva-
opog tcov nporiyovpevcov Siawoparcov.
Acpov ra v, eivai ypappiKa e^aprripeva, 0a vnapxovv apiOpoi зь.. .,3^ oxi 6Xoi 0, reroioi chore
SjVj-f...+3,^=0. Eav то k о peyaXvrepog акёраюд yia rov onoio ak*0, тоте
a^! +-+a*u* + 0ut+I +... + 0i>M =0 r| + • • • +akvk = 0
Ag vnoOeoovpe on k=l. Tore 3^=0, 3^0, Kai eroi Vj=O. Ta v„ opcog, eivai pr|-pr|8EviKa
Siavvopara, onore k>l Kai
vk = -<{'<№ - ... -
To vk, 8т|Ха8г|, eivai evag ypappiKog ovv8vaopog tcov nporiyovpevcov Siawoparcov.
4.34. YnoOeore on to S={vbv2,.. ,,vm} napayei eva SiawapariKo x®po V. Na ano8ei^ere on:
(a) Eav we W, тоте то {w,vb..,,vm} eivaiypappiKa e^aprripevo Kai napayei rov V
(P) Eav to v, eivai evag ypappiKog ovv8vaopog nov v j,...,v,_ j, тоте то S х^рц ro v, napa-
yei rov V.
(а) То Siavuopa w eivai evac; ypappiKoc; ouvSuaopoc; tcov vp acpou то {v,} napayei tov V.
Ката ouveneia, to {w,V|,...,vm} eivai ypappiKa e^apTqpevo. Eivai cpavepo oti to w
pa^i pe та v, napayouv tov V, ка0со<; та v, ало pova тоис; napayouv tov V. To
{w,V|,...,vm}, 8т|Ха6т|, napayeitov V.
(P) Улобётоиреoti vi=k|V|+...+k1_|V1_|.'Еотсо, enioric;, ug V. Ecpooovto {v,} napayeitov
V, то и 0a eivai evoc, ypappiKoc; ouvSuaopoc; tcov v,. Tia napaSeiypa, и=Э| V|+.. .+amvm.
AvTiKa0ioTcbvTa<; to v„ naipvoupe
и = aIvI + ... + a/_Io/_I + a/(*1i>1 + ... + + a/+1i>/+1 + ... + amvm
= (a, + a/*i)uI + ... + (a,., + a^-i)^-i + a/+i^+i + ... + aMi>M
Zuvencbc; to {V|,...,vi-l,v1+l,...vm} napayei tov V. Me aXXa Xoyia, pnopoupe va Sia-
ypayoupe to v, ano to ouvoXo yewr|T6pcov, e^aocpaXi^ovrac; Kai naXi eva ouvoXo yev-
VT|TOpCOV.
4.35. Na апоЗе^ете то Arjppa 4.13: Упо0ётоире oti to {v|,v2,...,vn} napayei tov V Kai oti to
{W|,w2,.. .,wm} eivai ypappiKa ave^apTTpo. Тбте m<n, Kai о V napayeTai ano eva ouvoXo tt)<;
popcprj
(wi. w2....wm, ............p,o J
'Etoi, n+1 r| перюобтера SiavuopaTa otov V eivai ypappiKa e^apTqpeva.
Арке! va anoSei^oupe to Xrjppayiatt)v пер(птсоот| onou та v, Sev eivai 6Xa 0. (AnoSei^Te то!)
Acpou то {vj napayei tov V, ё%оире, ano то ПрбрХт|ра 4.34, oti to
{w„vi,...,vn} (1)
eivai ypappiKa e^apTqpevo Kai eniorjc; napayei tov V. Ano to Arjppa 4.10, eva ano та 6iavu-
ората ото (1) 0a eivai evac; ypappiKoc; ouvSuaopoc; tcov nporjyoupevcov SiavuopaTCOv. To 6ia-
vuopa аитб 5e pnopei va eivai tow,, опбте 0a npenei va eivai eva ano та v, yia napaSeiypa to
vr 'Etoi, ano то ПрорХдра 4.34, pnopoupe va Siaypayoupe to Vj ano to ouvoXo yewrjTOpcov
(1) Kai va napoupe to ouvoXo yewrjTOpcov
....ty-i. <>ж....M (2)
EnavaXapPavoupe тсора тт] 6ia6iKaoia pe to Siavuopa w2. Acpou 6r|Xa6r| то (2) napayei tov V,
to ouvoXo
....”j-i. ty+i...M (3)
eivai ypappiKa e£apTT)pevo Kai eniorjc; napayei tov V. Kai naXi ano to Arjppa 4.10, eva ano та
SiavuopaTa ото (3) 0a eivai evac; ypappiKoc; ouvSuaopoc; tcov nporjyoupevcov SiavuopaTCOv.
Tovi^eTai oti to Siavuopa аитб 6e pnopei va eivai to Wj r| to w2, ка0со<; то {W|,...,wm} eivai
ave£apTT]TO. Apa 0a npenei va eivai eva ano та v, yia napaSeiypa to vk. 'Etoi, and то ПрбрХт|-
pa 4.34, pnopoupe va Siaypayoupe to vk ano to ouvoXo yewr|T6pcov (3) Kai va napoupe to
ouvoXo yewriTOpcov
....V/-1. O/+1...V*_|, c>*+i.<>„}
EnavaXapPavoupe tt] 6ia6iKaoia pe to w3, Kai оитсо ка0е^т|<;. Zto ка0е Рлра, проо0ётоире
eva ano та w Kai acpaipoupe eva ano та v ото ouvoXo yewrjTOpcov. Eav m<n, тбте TeXiKa
7taipvov|iE eva ovvoXo y£wr|T6pcov це tt|v алагсобцЕУТ] цорсрт|:
<”i........%..."...J
TfiXog, 0a лрЁлЕ1 va олокХемоуце tt|v ЛЕригтсоот] m>n. Eav m>n, цЕта ало n ало та ларалаусо
Ртщата, 0а лароицв то ovvoXo yEWTjTOpcov {W|,...,wn}. Аитб ovvEnayETai oti то wn+] sivai
Evag урацщкбд ovv6vaopog tcov wb...,wn, koti лои PpioKETai oe avTicpaor] це tt|v ил60ЕОТ]
oti to {w,J Eivai урацщка ау£^артт|то. Apa то m>n eivai аббуато.
4.36. Каалобе1^ет£то0£сЬрт|ца4.12: Ka0£ Paor] Evogбшууоцапкоб xcopov V exei"cov i5io ар10цо
otoixeicov.
¥ло0етооце oti то {ubu2,....UnJ Eivai ц1а Paor] tov V Kai to {vbv2,...J ц1а aXXr| paor] tov V.
Acpov то {u,} ларауа tov V, r| Paor] {vbv2,...} 0a лцел£1 va лещехе! n T| XiyoTEpa бюубоцата,
5iacpop£TiKa, ало то ПрбрХгща 4.35 (бт|Хабт| ало то Атщца 4.13), 0а Eivai урацщка Е^артт]-
цеут|. Алб tt|v aXXr|, Eav r| Раот] {vbv2,...} лещехе1 XiyoTEpa ало n OTOixfiia, tote, ало то
ПрбрХгща 4.35, г| Раот] {ubu2,.. ,,un} 0а rival урацщка £^арттщ£ут|. ЕоцлЕраоцатиса, г| Раот]
{vbv2,...} Л£р1£ХЕ1 акрфсод п бюубоцата, Kai etoi то ©Есортща oXt|0e6ei.
4.37. Na алобЕ^ЕТЕ то ©Есортща 4.14: 'Еотсо о V Evag бюууоцатскбд хсород л£Л£раоц£УТ|д бшота-
от]д п. Тоте:
(i) Оло1абт|лот£ п+1 т| лЕрюобтЕра бюубоцата otov V Eivai урацщка Е^артгщЕуа.
(ii) Олою6т|лоте урацщка ау£^артт)то ovvoXo S={ubu2,...,unJ це п otoixeio Eivai ща
Раот] tov V.
(iii) Олоюбт|лот£обуоХоу£УУГ|т6рсоуТ={уьУ2,...,уп} tov V це п otoixeio rival ща Раот]
tov V.
УЛО0ЕТОУЦ£ OTI Г| B={wbw2,...,wn} Eivai ща Раот] tov V.
(i) Ecpooov г| В ларауЕ1 tov V, оло1абт|лот£ п+1 т| ЛЕрюобтЕра бюубоцата rival урацщ-
ка Е^артгщЁУа, ало то Атщца 4.13.
(ii ) Алб то Атщца 4.13, та OTOixfiia тт|д В цлоробу va лрооартт|0обу ото S yia va охтща-
tioovv Eva ovvoXo y£wr|T6pcov tov V це n OTOixfiia. Ecpooov to S exei i)6t| n OToixEia,
0a Eivai Kai то 16io Eva ovvoXo yEwr|T6pcov tov V, Kai cog ek tovtov ща Раот] tov V.
(iii ) Уло0етоуц£ oti to T Eivai урацщка Е^арттщЕУО. Tote калом v, 0a Eivai урацщкбд
ооубоаоцбд tcov лрот]уобцЕУСОУ бюууоцатсоу. Алб то ПрбрХтща 4.34, о V ларау£та1
ало та бюубоцата ото Т xcopig то v„ та оло1а п-1. Алб то Атщца 4.13, то ау£^артт|то
ovvoXo В 6е цлор£1 va exei ЛЕрюобтЕра ало п-1 OTOixfiia. Avto бцсод PpioKETai ое
avTicpaoT] це то yEyovog oti то В exei п OTOixfiia. Ара Xourov то Т Eivai урацщка
ау£^артт|то, Kai cog ек tovtov ща раот] tov V.
4.38. Na алоб£1^£Т£ то ©Есортща 4.15: Уло0етооце oti то S ларауа Eva бшууоцатисб хсоро V.
Тоте:
(i) Олоюобт|лот£ цбуютод ар10цод урацщка ау£^артт|тсоу бюууоцатсоу ото S охтщат1-
^ovv ща Раот] tov V.
(ii) Уловётоутад oti ало то S SiaypacpeTai кабе Siavuopa лои eivai evag урацщкбд ouv-
Suaopog tcov npoqyoupevcov SiavuopaTcov ото S, тоте та evanopeivavTa SiawopaTa
oxnpaTi^ouv pia Paoq тои V.
(i) Yловётоире oti то {vj,...,vm} eivai eva peyioro, ypappiKa ave^aprqTo unoouvoXo тои S,
Kai oti we S. Ката оиуёлеш, to {vb.. ,,vm w} eivaiypappiKa e^apTqpevo. Kaveva vk 5e
рлоре! va eivai ypappiKog ouvSuaopog tcov npoqyoupevcov SiavuopaTcov. Елорёусод
to w eivai evag ypappiKog ouvSuaopog tcov v,. Apa we span(v,), Kai apa S c span(v,).
Auto pag o5r]yei ото
V=span(S) c span(v1) с V
Еирлераораика to {v,} napayei tov V кар acpou eivai ypappiKa ave^aprqTO, eivai pia
Paoq тои V.
(ii) Ta evanopeivavra SiavuopaTa o%qpaTi^ouv eva рёуюто, ypappiKa ave^aprqTO unoou-
voXo тои S, Kai apa, ало то (i), апотеХоиу pia Paoq тои V.
4.39. Na апо8е(£,ете то ©ecbpqpa 4.16: 'Еотсо о V evag SiavuopaTiKog усород лелераорёут|д SiaoTa-
от]д Kai еотсо то S={U|,u2,...,ur} eva ouvoXo ypappiKa ave^aprqTCOv SiavuopaTcov otov V.
Тоте то S eivai eva рёрод pia Paoqg тои V, 8qXa8q pnopei va епектаве! oe pia Paoq тои V.
Уповётоире oti B={W|,w2,...,wn} eivai pia paoq тои V. Тоте т] В napayeitov V, Kai apa о V
napayeTai ano to
SUe=(U|,l<2.....Ur, w,,»;...
Ano то ©ecbpqpa 4.15, pnopoupe va Siaypaipoupe ano to Su В каве 8iavuopa пои eivai
ypappiKog ouvSuaopog tcov npoqyoupevcov SiavuopaTcov, yia va Ppoupe pia Paoq В' yia tov V.
Ecpooov to S eivai ypappiKa ave^aprqTo, Kaveva uk 8ev eivai ypappiKog ouvSuaopog tcov npoq-
youpevcov SiavuopaTcov. 'Etoi q В' nepi6%ei каве 8iavuopa ото S, Kai apa to S eivai ёуа рёрод Tqg
Paoqg В' тои V.
4.4в. Na апо8е1£ете то ©ecbpqpa 4.17: Eav о W eivai ёуад unoycbpog evog п-81аотатои 8iavuopaTi-
kou ycbpou V, тоте dim W<n. Еиукекр1рёуа, eav dim W=n, тоте W=V.
Acpou о V eivai SiaoTaoqg n, onoia8qnoTe n+1 q перюобтера 8iavuopaTa eivai ypappiKa
e^aprqp6va. ЕпшХёоу, acpou pia Paoq тои W anoTeXenai ano ypappiKa ave^apTqTa Siavu-
opaTa, 8e pnopei va nepteyei перюобтера ano n oTOiyeia. Ката оиуёпеш, dim W<n.
Еиукекрщёуа, eav to {W|,...,wn} eivai pia paoq тои W, тоте, acpou eivai 6va ave^apTqTO
ouvoXo pe n oToixeia, ва eivai enioqg pia Paoq тои V. Епорёусод W=V отау dim W=n.
О BAOMOE ENOE IIINAKA, XQPOI TPAMMON KAI ETHAQN
4.41. Na PpeiTe то Раврб Kai Tq Paoq тои xcbpou ypappcbv тои кавеубд ano тоид паракатсо nivaKeg:
[1 2 О
2 6-3
3 10 -6
-з], (fl) В =
13 1-2-3“
14 3-1-4
2 3-4-7 -3
3 8 1-7-8
(a) Avayovpe це aTOixsicb8eig ретаахгщи'пацоуд ypappcbv tov A ae кАлраксотг! popcprj:
[12 0-11 Г1 2 0 -И
0 2 -3 -1 I ~ |0 2 -3 -11
0 4-6 -2J |_0 0 0 Oj
Oi 8vo prj-prj8eviKeg урарред (1,2,0,-l) Kai (0,2,-3,-l) -n]g KXipaKCorrjg popcprjg too A
oxr||iaTi£ow pia paarj yia tov rowsp(A). ZvyKeKpipeva, rank(A)=2.
(P) Avayoupe pe aroixeicbSeig рстаахпрсгаароид ypappcbv tov В ae кХфаксотт] popcprj:
Oi 8vo pi]-pT)8eviKeg урарред (1,3,1,-2,-3) Kai (0,1,2,1,-1) n]g кХсраксотлд popcpf|<;
тои В axnpaTi^ovv pia paarj yia tov rowsp(B). ZvyKeKpipeva, rank(B)=2.
4.42. Na Зе^ете oti U=W, onov oi U Kai W eivai oi okoXovOoi илоусорои tov R3:
U=span(u1,u2,u3)=span{(l,l,-1), (2,3,-1), (3,l,-5)}
W=span(W],w2,w3)=span{(l,-l,-3), (3,-2,-8), (2,1,-3)}
Zxrjpari^ovpe TOV nivaKa A tov onoiov oi урарред eivai та u,, Kai tov avayovpe pe aTOixeicb-
8eig ретаахпратюроис; ypappcbv ae KavoviKi) popcprj cog npog Tig урарред:
Ztt| avvexeia аудрат^ооре tov nivaKa В tov onoiov oi урарред eivai та wp Kai tov avayovpe
pe aToixsicbSeig ретаахпратюроид ypappcbv ae Kavovucrj popcprj cot; npog Tig урарред:
KaOcbg oi A Kai В eyovv tt]v i8ia Kavovucrj popcprj cog npog Tig ураррёд, oi ycbpoi ypappcbv Tovg
eivai iaoi, Kai ётас U=W.
"1 2 1
4.43. 'Еатсо = j 2 2
3 6 6
2 3 Г
7 7 4
5 5 6
15 14 15
(a) Na ppeire tov rank(Mk), yia k=l,2,...,6, onov о Mk eivai о vnonivaKag tov A nov
anoTeXeirai ano Tig прсЬтед k arrjXeg CbC2,.. .,Ck tov A.
(P) rioieg arfiXeg Ck+1 eivai ypappiKoi avv8vaapoi tcov nporjyovpevcov arrjXcbv Cb.. .,Ck;
(y) Na ppeire Tig arrjXeg tov A nov axupari^ovv pia paarj yia to xcbpo OTrjXcbv tov.
(8) Na ексррааете тт] атт|Хт) C4 cog ypappuco avv8vaapo tcov отцХсЬу ато (у).
(a) AvayovpE це otoixeicoSeu; рЕтаохпратюробс; ypappcbv tov А ое кХщаксотт] рорфт]:
'12 12 3
0 0 13 1
0 0 13 2
0 0 3 9 5
1] Г1 2 1 2 3 Г
2 0 0 1 3 12
5 0 0 0 0 1 3
12 0 0 0 0 0 0
Паратт]роицЕ oti аито avayEi таутбхроуа oXovc; tovc; nivaKEc; Mk ое кХщаксотт] рорфт].
Па napaSEiypa, oi тёооерц прсотЕс; отт|Хе<; тт|<; кХщаксотт|(; рорфтус; тои A Eivai pia
кХщаксотт] рорфт| тои М4. Pvcopi^ovpE oti о rank(Mk) юобтас це tov api0po tcov
о8т|усоу, f), ioo8vvapa, це tov api0po tcov цт|-цт|8еу1ксЬу ypappcbv oe pia кХщаксотт]
цорфт| тои Mk. ЕпорЁУсос;
гапЦЛ/О = гапк(Л/2) = 1, гапк(Л/3) = гапк(Л/4) = 2
гапк(Л/5) = гапк(Л/6) = 3
(Р) Н 8iawopaTiKf| е£(осоот| Х|С|+х2С2+...+хкСк=Ск+| о6т|уЕ1 ото оиоттща це nivaKa
ovvteXeotcov tov Мк Kai Еяаи^тщЁУО nivaKa tov Mk+1. Ара т| Ск+1 Eivai 6va<; ypappiKoc;
ovvSvaopoc; tcov Cb.. .,Ск Eav Kai povo Eav rank(Mk)=rank(Mk+)) f), icoSvvapa, Eav q
Ck+) 8ev nEpiEXEi о8т|уб. 'Etoi, t| Ka0Epia ano tu; C2, C4, C6 Eivai 6va<; ypappiKoc;
ovvSvaopoc; tcov npoTjyovpEvcov ovr]Xcbv.
(y) Itt]v кХщаксотт] рорфт| too A, oi о8т|уо1 PpioKovrai ott]v прсотт], тр1тт] Kai пЁрптт]
отт|Хт|, Kai apa oi ottiXec; Cb C3, C5 too A oxnpaTi^ovv pia Paor| yia to x©po ott]Xiov
too. EvaXXaKTiKa, SiaypdupovTac; tu; отт|Хе<; C2, C4, C6 ano to ovvoXo y£WT|T6pcov tcov
pE tu; ott|Xe(; (афоб Eivai ypappiKOi ovvSvaopoi aXXcov ovr|Xcbv), naipvovpE, Kai naXi,
tu; C„ C3, C5.
(8) О кХщаксотбс; nivaKac; рас; Xeei oti t| C4 Eivai Evac; ypappiKoc; ovvSvaopoc; tcov ott]Xiov
С, Kai C3. О Enav^TjpEvoc; nivaKac; M tt]<; 8iavvopaTiKf|<; E^iocooTjc; C4=xC|+yC2
anoTEXEnai ano тк; отт|Хе<; Cb C3, C4 tov A, 01 onoisc;, avayopEVEc; oe кХщаксотт]
рорфт| (napaXEinovTac; тк; pt|8evike<; ураррЁс;), o8T|yovv otov nivaKa
[о ! з] '+J“j *1 x=-‘’ y=3
LvvEncbc; C4=-C|+3C3=—C|+3C3+0C5.
4.44. УповЁотЕ oti to u=(aba2...,an) Eivai Evac; ypappiKoc; ovvSvaopoc; tcov ypappcbv RbR2,...,1^
evoc; nivaKa B=[by], yia napaSEiypa u=k|R|+k2R2+...+kmRm. Na апобЕфтЕ oti
ai = + ^21 + • • • + kmbmi, i = 1,2.....n
onov та b|„b21,...,bmi Eivai 01 катахсор1оЕк; ттуд i-ooTf|<; отт|Хт|(; tov В.
Mac; SivETai oti u=k|R|+k2R2+...+kmRm, опоте
(«I, «2......a-) = *i(*i ..Ю + + km(bml..........b,„)
= (klbll + ... + knbml......k^ + ... + к^)
E^tocbvovTac; рЕта^и tovc; tu; avTioroixE? ovviotcooec;, naipvovpE то ЕП10урт|тб апотЁХЕора.
4.45. Na алобе^ете то ©есортща 4.7: Уло0ётооре oti oi A=[atJ] кас В=[Ьу] eivai ббо урарроюобб-
vapoi кХщаксото! л(уаке<; це avTiCTOixooc; обг|уой<; та
aV1,a%' ",a'7r KCtl
(олсос; aneiKovi^et то ЕхЛНа 4-5). Тбте oi A Kai В exoov tov i6io api0po pT]-pT]6eviKcbv ypap-
ЕХПМа 4-5
Eivai cpavepo oti A=0 eav Kai povo eav B=0, олоте арке! алХа va алобе^ооре то бесортща
otov г>1 Kai s>l. 0а бе(фэоре лрсбта oti j|=kj. Уло0ётооре oti j|<k|. Тбте т| jpoo-n) отт)Хт|
too В eivai pT|6eviKf|. Ecpooov r| лрсбтт] ураррт) R* too А рр1окета1 ото xcbpo ypappcbv too B,
ё%ооре R*=C]R|+c2R2+...+cmRm, олоо oi R, eivai oi ураррёд too В. Ел1от]<;, acpoo r| jrooTf|
ott)Xt| too В eivai pr)5eviKf|, ёхооре
аУ) = qO + c20 +... + си0 = 0
Aoto opcoc; ppioKCTai oe avricpaor] pe to yeyovog oti о обт|уб<; alyi * 0. Елорёусос; j|>k] Kai,
opoia, kj>j j. Lopnepaivoope, Xoucov, 6Tijj=kj.
'Еотсо тсора А' о олол(уака<;тоо А лоо XappaveTai бшурасроутас; tt]v лрсотт] ураррт) too А,
Kai ёотсо В' о ололикакас; тоо В лоо XappaveTai бюурасроутас; tt]v лрсотт] ураррт) тоо В. 0а
алобе^ооре oti oi A' Kai В' ёхооу tov 1бю xcbpo ypappcbv. То 0есорт|ра тбте 0а алобеще! ела-
усоуска, ка0со<; oi А' Kai В' eivai ел!от|<; кХщаксото1 л ivaKec;.
'Еотсо т| R=(a1,a2,...,an) pia оло1абт)лоте ураррт) too A' Kai ёотсо Rj.-.-Rh, oiураррёд too
В. Acpoo т| R ppioKeTai ото xcbpo ypappcbv too В, 0a олархооу apiOpoi db..,,dm тётоил сооте
R=d|R]+d2R2+...+dmRm. Ecpooov о A ppioKeTai oe кХщаксотт) рорсрт) Kai r| R 6ev eivai t)
лрсотт] ураррт) too, r| j ]-оотт) катахсорют] ттц; R 0a eivai р^бёу; a =0 yia i=j j=kj. Ел1лрбо0ета,
ecpooov о В рр1окета1 oe кХщаксотт) рорсрт), oXec; oi катахсорюец тт]<; к|-остп)<; стп)Хт|<; тоо В
0а eivai 0 ектбс; алб tt]v лрсотт]: 6И| 0, аХХа б2Л] = 0,..., Ътку = 0. Ара
0 = а2| = dib^ 4- </20 4-... 4- dm0 = dtЬщ
Тсора b}ll> * 0 ка1 ёто1 d|=0. Елорёусос; т] R eivai 6va<;ypappucoc; oov6oaopo<; tcov R2j..,,Rm,
Kai coc; ек тобтоо ppioKeTai ото xcbpo ypappcbv too В'. Acpoo r| R t)tov pia олоюбт)лоте ураррт)
too А', о хсородypappcbv too А' лерсёхетас ото xcbpo ypappcbv too B'. 'Opoia, о xcbpo<;ypappcbv
too В' лер1ёхета1 ото xcbpo ypappcbv too А'. Еорлераорапка oi A' Kai В' ёхооу tov i6io
Xcbpo ypappcbv, Kai ёто1 то ©есортща алобе1хтт]ке.
4.46. Na алобе^ете то ©есортща 4.8: Уло0ётооре oti oi A Kai В eivai ббо kovovikoi со<; лрос; tic;
ураррёс; л(уаке<;. Тбте oi A Kai В ёхооу tov тбю xcbpo ypappcbv, eav Kai povo eav ёхооу тк;
i6ie<; рт|-рт|беу1кё<; ураррёс;.
Eivai npoepavEc; oti, eav oi A Kai В exouv tic; iSieg pq-pqSfiviKEc; ураррЁс;, tote exouv tov iSio
Xwpo ypappcbv. EnopEvcoc; apKsi anXa va anoSEi^oups to avriOsro.
Уяо0Етоир£ oti oi A Kai В exouv tov iSio xcbpo ypappcbv Kai oti r| R^O sivai r| i-ooTf|
ypappq тои A. Tote, unapxouv apiQpoi cb...,cs tetoioicoote
Л = С]Я1 + с2Я2 +... + c,R, (1)
onou oi R, sivai oi pq-pqSsviKEc; ураррЁс; тои В. To Qscbpqpa 0a anoSsixTsi sav Ssi^oups oti
R=R„ oti SqXaSq c,=l aXXa ck=0 yia k^i.
'Еотсо ау о oSqyoc; rqc; R, SqXaSq q npcbrq pq-pqSEvucq ypappq rqg Ano Tqv (1) Kai ano to
ПроРАх|ра4.44,
ay, = ci bV, + c2b^ + • • • + c’b* (2)
Qotooo, ano to IlpopXqpa 4.45, to bIJt sivai evac; oSqyoc; тои В, Kai acpou о В sivai avaypEvoc;
KXipaKCorog 0a sivai Kai q povaSucq pq-pqSsvucq Karaxcbpioq OTqv jOorq orqXq тои В. 'Etoi,
ano rqv (2), naipvoups ayi = c,bUi. 'Opco; atJ = 1 Kai bl} = 1, ка0сЬ; oi A Kai В sivai avayps-
voi KXipaKCOToi. Apa c,=l.
YnoOsroups тсора oti k^i Kai oti to bkjt sivai о oSqyoc; rq; Rk. Ano rqv (1) Kai ano to
IlpopXqpa 4.44,
ay> = ci4 + c2h% + • • • + c'b* (3)
Acpou о В sivai avaypevoc; кХцхаксотбд то bkjt 0a sivai q povaSucq pq-pqSsvucq Karaxcbpioq
orqv jOorq orqXq тои B. Enopsvcoc;, ano rqv (3), a,Jt = ckbkjt. EmnXsov, ano to IlpopXqpa
4.45, to akjt sivai Evac; oSqyoc; тои A, Kai acpou о A sivai avaypEvoc; кХцхаксотбд aIJt = 0.
ZuvEncb; ckbk]t = 0, Kai scpooov bkjt = 1, ck=0. ZupnspaopariKa R=R„ Kai etoi to ©scbpqpa
anoSsixrqKS.
4.47. Na anoSEi^ETE то Пбрюра 4.9: Ka0s nivaKac; A sivai ypappoiooSuvapoc; ps sva povaSiKo
nivaKa nou PpioKsrai os Kavovucq popcpq cog npoc; тк; ураррЁс;.
YnoOsroups on о A sivai ypappoiooSuvapoc; ps roue; nivaKEc; Aj Kai A2, onou oi A( Kai A2
PpioKovrai os Kavovucq popcpq cog npoc; rig ypappsc;. Tote rowsp(A)=rowsp(A!) Kai rowsp(A)=
rowsp(A2), onoTE rowsp(A|)=rowsp(A2). Ka0cb<; oi A, Kai A2 PpioKovrai oe Kavovucq popcpq
cog npoc; тк; ураррЁд ano то Qscbpqpa 4.8, A]=A2, Kai etoi to nopiopa anoSsixTqKE.
4.48. Yno0EOT£ oti oi RB Kai AB opi^ovrai, onou to R Eivai Eva Siavuopa ypappqc; Kai oi A Kai В
Suo nivaKEc;. Na anoSEi^ETE oti:
(a) О RB Eivai evoc; ypappiKoc; ouvSuaopoc; tcov ypappcbv тои В.
(P) О xebpoc; ypappcbv тои AB nspiEXETai ото xcbpo ypappcbv тои В.
(у) О xebp0? orqXcbv тои AB nspiEXETai ото xcbpo arqXcbv тои A.
(8) rank(AB)<rank(B) Kai rank(AB)<rank(A).
(a) Yno0EToups oti R=(a1,a2,...,am) Kai В=[Ьу]. 'Еотсо, Enioqg on oi B|,...,Bm oupPoXi-
£ouv rig ураррЁс; тои В, Kai oi Bb..,,Bn тк; orqXsc; тои. Tote
RB = (RB*, RB?,..., Rtf’)
= (a}bu + a2b2i + ...+ ambml, a}b}„ + + ...+ ambm)
= аДЬ]!, b}2,.... b}„) + a2(b2J, b^,..., b^) + ... + am(bml, bm2,..., b„„)
= atBt + a2B2 + ... + a„Bm
Елорёусод, олсод ^rpovoape, о RB eivai evag ypappiKog ovv5vaop6g tcov ypappcbv too B.
(P) Oi ураррёд too AB eivai oi R)B, олои т] R, eivai t] i-oorf| ypappri too A. 'Etoi, ало то
(a), T] ка0е ypappr] too AB PpioKeTai ото xcbpo ypappcbv тои В. Еиуелсод, олсод £г]тоб-
оаре, rowsp(AB)Crowsp(B).
(у) Xpr]oiponoicbvTag то (Р), ёхоире
colsp(ZB) = rowsp(/tB)r = rowsp(5rHr) с rowsp(Hr) = со1зр(Л)
(5) О хиродypappcbv too AB лерсёхетас ото xcbpo ypappcbv too В, олоте rank(AB)< rank(B).
ЕлигХёоу, о xcbpog ott|Xcdv too AB лершхетас ото xcbpo ott)Xcov too А, олоте rank(AB)
< rank(A).
4.49. 'Еотсо о A evag п-тетраусоу1код л^акад. Na берете oti о A eivai аутютрёцарод eav Kai povo
eav rank(A)=n.
LripeicbveTai oti oi ураррёд too п-тетрауамкоб таитопкои л(уака In eivai ypappiKa ave-
£артт)тед, кабсЬд о In PpioKeTai oe кХсраксотт) рорсрт|. Qg ек tovtov, rank(In)=n. Eav тсора о A
eivai аупотрёцлрод, тоте 0a eivai ypappoioo6vvapog pe tov In, олоте rank(A)=n. Eav opcog о
A 5ev eivai агпотрёцарод, тбте 0a eivai ypappoioo5vvapog pe 6va л(уака о олоюд 6xei pia
pr]5eviKf| ypappf|, олоте rank(A)<n. Прокблтец Xoutov, то сшрлёраора oti о A eivai avn-
отрёц/ipog eav Kai povo eav rank(A)=n.
ЕФАРМОГЕЕ STIS TPAMMIKES EEISftSEIS
4.S0. Na ppeire тт) бшотаот) Kai pia Paot) too xcbpov Xuoecov W tov ка0е opoyevovg ovovqpaTog:
x + 2y + 2z-s + 3t = 0
x + 2y + 3z + J+ t = 0,
3x + 6y + 8z + s + St = 0
(«)
x + 2y+ z-2t = 0
2x + 4y + 4z - 3t = 0
3x + 6y + 7z - 4t = 0
(Д)
x+ y + 2z = 0
2x + 3y + 3z = 0
x + 3y 4- Sz = 0
(y)
(a) Avayovpe to ovorripa oe кХсраксотт) popcpfp
x + 2y + 2z- s + 3t = 0 n t + 2y + 2z- s + 3t = 0
z + 2s-2t = 0 z + 2s-2t = 0
2z + 4s-4t = 0
To ovorripa oe кХсраксотт) popcpf| ёхес 5vo (рт]-рт]5е\пкёд) e^iocboeig pe лёуге ayvcb-
orovg, Kai apa 6xei 5-2=3 eXev0epeg ретарХт]тёд, oi ологед eivai та у, s, t. Lvvencbg dim
W=3. BpioKovpe pia Paoi] yia tov W:
(1)
(2)
(3)
©ётоире у=1, s=0, t=0 yia va лароице тт] Xvoti V]=(-2,1,0,0,0).
©ётоире y=0, s=l, t=0 yia va лароице ttj Xvoti v2=(5,0,-2,1,0).
©ётоице y=0, s=0, t=l yia va лароице ttj Xvoti v3=(-7,0,2,0,l).
To ovvoXo {vbv2,v3} eivai ц(а Paori tov xcbpov Xvoecov W.
(P) (E5cb хрт]01цолоюице тт] Siolto^t] це nivaKeg tov opoyevovg pag оиотт|ратод). Avayovpe
tov nivaKa ovvreXeorcbv A oe кХщаксотт! popcpri:
[12 1-2] fl 2 1 -2] Г1 2 1 -2]
2 4 4 -3 — 0 0 2 1—002 11
3 6 7 -4 J [0 0 4 2j [O 0 0 oj
О л^акад аитод avrioroixei ото оиоттща
x + 2y + 2z-2t = 0
2z+ t = 0
Oi eXevOepeg цетарХт|тёд eivai то у Kai to t, Kai cog ек tovtov dim W=2.
(i) ©ётооце y=l, z=0 yia va napovpe тт] Xvoti U|=(-2,l ,0,0).
(ii) ©ётооце y=0, z=2 yia va napovpe тт] Xvoti и2=(6,0,-1,2).
Тоте то {ubu2} eivai pia Раот] tov W.
(у) Avayovpe tov nivaKa ovvreXeoTcbv A oe кХщаксотг| popcpi):
41 1 -2.i~p: Ji
[1 3 5J [02 3J [0 0 5J
О л^акад avrog avrioroixei oe eva TpiycoviKo оиоттща х®РЦ eXevOepeg ретарХт)тёд.
Enopevcog то 0 eivai т] pova8iKT| Хиот], 8т]Ха8т| W={0}. Ката ovveneia, dim W=0.
4.51. Na Ppene eva opoyeveg оиоттща той оло1ои ti ovvoXo Xvoecov W va napayerai ало то
{иьи2,и3}={(1,-2,0,3), (1,-1,-1,4), (1,0,-2,5)}
'Еотсо v=(x,y,z,t). Тоте ve W eav Kai povo eav to v eivai evag ypappiKog ovvSvaopog tcov
Siawoparcov ub u2, u3 лоо napayovv tov W. 'Etoi, охлрат^оире tov nivaKa M tov onoiov 01
прсотед отг|Хед eivai та ub u2, u3 Kai T] TeXevTaia отт|Хт] то v, Kai enevca avayovpe pe orotxetcb-
Seig ретаохпратюроуд ypappcbv tov M oe кХщаксотт! рорсрт). Avra pag oS^yovv otov
To v, тоте, eivai evag ypappiKog ovvSvaopog tcov ub u2, u3 eav rank(M)=rank(A), onov о A
eivai о vnonivaKag х^РЧ "И отт|Хт] v. Enopevcog Oerovpe Tig Svo TeXevTaieg KaTaxcopioeig тт]д
тётартпд отт|Хт]д ioeg pe 0, yia va napovpe to ^Tovpevo opoyeveg оиоттща:
2x+y+z =0
5x+y -t = 0
4.52. 'Eotco x(| ,x,2 oc eXevOepec; цЕтарХгцЁс; evoc; opoyEvovc; оооттщатос; ураццсксоу E^cocb-
obcov цв n ayvcboTOVc;. 'Еотсо, етпоцд, v, r| Xvot| yia tt|v onoia Xjj=l кас oXec; oi vnoXocnEc;
eXev0epe<; цЕтарХгцЁс; coovvTac ps 0. Na Secrete oti oi Xvoev; vbv2,...,vk sivai урацщка avs-
^артт|т£<;.
'Еотсо A о nivaKac; tod onoiov oi ураццЁс; sivai та v,. AvraXXaoooups ацосраса тк; ottiXec; 1
Kai i j, 2 Kai i2, ..k Kai ik, Kai ХацРауооцв tov kxn nivaKa
"1 0 0 ... 0 0 cu+1 ... с,/
B = [/.q= о i о ... о о cu+l ... С2я
.0 0 0 ... 0 1 co+1 ... cta
О mo navco nivaKac; В PpioKSTai os кХсцаксотт| цорсрт]. Apa oi ураццЁс; тои sivai урацщка
avs^apTT|T6(;, олоте rank(B)=k. Acpov oi A Kai В sivai сообоуацос coc; лрос; тк; orqXEc;, ёхоуу
tov i5io Рабцб, 5r|Xa5f| rank(A)=k. О А, бцсос;, ё%Е1 k ураццЁс;, кас coc; вк tovtov ос ураццЁс;
аотЁс;, 5r|Xa5f| ос v„ sivac урацщка ауЕ^артг|ТЕ<;, олсос; ^товоацЕ.
A0POIEMATA, EY0EA A0POIEMATA, ТОМЕЕ
4.53. 'Еотсо ос U кас W 5vo vnoxcbpoc evoc; бсаууоцатскои xcopov V. Na Secrete 6tc:
(a) О U+W sivac svac; оло/шро; tov V.
(P) Oc U кас W лЕрсЁ/оутас otov U+W.
(у) О U+W sivac о цскротврос; vnoxcbpoc; лоо лврсЁхЕс tovc; U кас W, 5т|Xa5f| U+W=span(U,W).
(5) W+W=W.
(a) Acpov oc U кас W Eivac vnoxcbpoc, 0g U кас 0g W, кас apa to 0=0+0 avf|K6c otov U+W.
УлоОЁтооцв тсора отс v, v'g U+W. Tote v=u+w кас v'=u'+w', олоо u,u'g U кас w,w'-
G W. Tote
av+bv'=(au+bu')+(aw+bw')G U+W
LvvBncbc; о U+W Eivac Ёуас; vnoxcbpoc; tov V.
(P) 'Eotco ugU. Acpov о W Ecvac Evac; vnoxcbpoc;, OgW, кас apa to u=u+0 avf|K6c otov
U+W. Елоцёусос; U c U+W. 'Оцоса, W c U+W.
(y) Ecpooov о U+W Eivac evclq vnoxcbpoc; tov V лоу персёхес tovc; U кас W, 0a прЁпвс va
пврсЁхЕс кас тт| ураццскт) ЕпЁктаот] tcov U кас W. Дт|Ха5г|, span(U,W)c U+W.
Ano tt|v aXXr), Eav vg U+W, tote v=u+w=1u+1 w, onov ug U кас wg W. Apa to v
Eivac Ёуас; ураццскос; ovvSvaopoc; tcov otocxeccov tov U u W, кас Ётос vg span(U,W).
Qq EK tovtov, U+W c span(U,W).
Evv5va£6p6v6<; oc 5vo охёоек; цас; 5ivovv то епс0оцг|т6 апотЁХвоца.
(5) Acpov о W Eivac Ёуас; vnoxebpoc; tov V, 0a Eivac kXecotoc; vno tt|v пр6о0вот| 5cawopa-
tcov, onoTE W+W c W. Enioric;, ano to (a), W c W+W. EvpnfipaivovpB, Xocnov, отс
W+W=W.
4.54. ©scopsiors тоид ларакатсо vnoxcbpovg тои R5:
U=span(ubu2,u3)=span{(l,3,-2,2,3), (1,4,-3,4,2), (2,3,-1,-2,9)}
W=span(w1,w2,w3)=span{(l,3,0,2,l), (1,5,-6,6,3), (2,5,3,2,1)}
Na Ppeite pia Раот] кастт| бгаатаот] tcov: (a) U+W, (Р) Un W.
(а) О U+W sivai о xcbpog лоо napaysrai ало 6Ха та ф SiavvopaTa. Ара Xoinov, охпрать
^ovps tov nivaKa tov onoiov oi ypappsg sivai та s^i SsSopsva SiavvopaTa, koi ако-
XovOcog tov avayovps ps OTOixsicbSsig рЕтаохпратюробд ypappcbv os tcXipaKcorq pop-
cpri:
Oi s£,r| g rpsig prj-prjSsviKsg ypappsg tov кХсраксотоб nivaKa oxnpaTi^ovv pia Paori tov
UnW:
(1,3,-2,2,2,3), (0,1,-1,2,-1), (0,0,1,0,-1)
Zvvsncbg dim(U+W)=3.
(P) 'Еотсо oti to v=(x,y,z,s,t) ovpPoXi^si sva avOaipsro oroixsio otov R5. Apxuca PpioKOv-
ps Svo opoysvTj оосттг|рата tcov onoicov та ovvoXa Xvoecov sivai avrioroixa та U koi
W, блсод ото ПрбрХлра 5.51.
ZxnP-a^ovps tov nivaKa M tov onoiov oi отг|Х£д sivai та u, koi v, koi tov avayovps
os KXipaKCorri popcprj:
©ETOvps Tig rpsig TsXsvTaisg KaTa/copiosig тт|д TsXsvTaiag oniXrig iosg ps priSsv yia va
napovps то okoXovOo opoysvsg ovorripa, tov onoiov to ovvoXo Xvoecov sivai to U:
-x+y+z=0, 4x-2y+s=0, -6x+y+t=0
Ett| ovvexeio, oxnpaTi^ovps tov nivaKa M' tov onoiov oi отг|Х£д sivai та w, koi v, koi tov
avayovps os кХсраксотт) popcprj:
©етоире Kat naXi Tig Tpeig теХеитасед KaTaxcopioeig тт|д теХеита{ад отт|Хг|д ioeg це
pr|6ev yia va napoupe то яю катсо opoyeveg оиоттща, той onoiou то ouvoXo Xuoecov
sivai to W:
-9+3+z=0, 4x-2y+s=0, 2x-y+t=0
Zuv6ua£oupe та био napanavco оиотгщата yia va napoupe eva opoyeveg оиоттща тои
onoiou о xcbpog Xuoecov eivai о U n W, Kai avayoupe то оиоттща oe кХщаксотт| рорсрт|,
XapPavovTag
-x+j + z = 0
ly + 4z + 5 = 0
8z + 55 + 2t = 0
5 - It = 0
Ynapxsi povo pia еХеиОерт] ретарХт]тт|, т] onoia eivai то t. Qg ек тоитои, dim (U n W)=l.
©eTovrag t=2, naipvoupe tt| Xuot| u=(1,4,-3,4,2), t] onoia охпщгпф тт| ^Toupevri
Раот| тои Un W.
4.55. YnoOeore oti oi U Kai W eivai био SiaKeKpipevoi 4-6iaoTaToi unoxcbpoi evog 6iavuopaTiK0u
Xcbpou V, onou dim V=6. Na Ppene 6Xeg Tig биуатед 5iaoTaoeig тои Un W.
Acpou oi U Kai W eivai 6iaKeKpipevoi, о U+W 9a nepiexei катаХХт]Ха тоид U Kai W. Ката
ouveneia, dim(U+W)>4. H dim(U+W), opcog, бе pnopei va eivai реуаХитерт] тои 6, кабсЬд dim
V=6. Enopevcog ехоире био ev6exopeva: (a) dim(U+W)=5 т| (P) dim(U+W)=6. Ano to ©ecbpi]-
pa 4.20,
dim(Un W)=dim U+dim W-dim(U+W)=8-dim(U+W)
Zuvencbg,
(a) dim(U n W)=3 f| (P) dim(Un W)=2.
4.56. 'Еотсо U Kai W oi паракатсо unoxcbpoi тои R3:
U={(a,b,c): a=b=c} Kai W={(0,b,c)}
(ZTjpeicbveTai oti о W eivai to enine6o yz.) Na берете oti R3=U ф W.
KaTapxnv 6eixvoupe otiUn W=0. Yno9eTOvragoti v=(a,b,c)eUn W, тбте a=b=c Kaia=0.
Apa a=0, b=0, c=0, опбте v=0=(0,0,0).
KaTdmv 6eixvoupe oti R3=U+W. Eav v=(a,b,c)G R3, тбте
v=(a,a,a)+(0, b-a, c-a), onou (a,a,a)G U Kai (0, b-a, c-a)G W
Арсрбтеред oi ouv9f|Keg Un W={0} Kai U+W=R3 ouvenayovTai oti R3=U ф W.
4.57. Yno9eore oti oi U Kai W eivai био unoxcbpoi evdg 6iavuopaTiKou xcbpou V, Kai oti to S={u,}
napayei tov U Kai to S' {Wj} napayei tov W. Na берете oti to S u S' napayei tov U+W (Zuve-
ncbg, pe enaycoyri, eav to S( napayei tov W„ yia i=l,2,.. .,n, тбте то Sj и ... и Sn napayei tov
W,+...+Wn.)
'Еотсо vg U+W. Тбте v=u+w, onou ug U Kai wg W. Acpou to S napayei tov U, to u 9a eivai
evag ypappucog ouv6uaopog tcov u„ Kai acpou to S' napayei tov W, to w 9a eivai evag ypappiKog
ouv6uaopdg tcov wr Па napa6eiypa,
и = + a2utj +... + arulr teat v = b^ + b2wJ} + ... + btw^
onov a,,bjG K. Tote
v = и + w = aju^ + a2“<i + • • • + arui, + ^iwjt + ^2wjt + • • + b,wjt
Еорл£раорат1ка, то S о S'^UpWj} ларау£1 tov U+W.
4.58. Na anoSsi^ETE то ©Ecbpqpa 4.20: Уло0ЕтоорЕ oti oi U Kai W Eivai 5vo олохсорт ЛЕЛЕраорё-
vqg Siaoraoqg Evdg SiawopaTiKov xcopov V. Tote о U+W exec ЛЕЛЕраоцЁУГ] SiaoTaoq Kai
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(U n W)
naparqpovpE oti о U n W Eivai evag олохсород тдоо tov U дао Kai tov W. УлоОетоуце oti
dim U=m, dim W=n, dim(U n W)=r. УлоОетооце, Enioqg, otito {vb.. ,,vr} Eivai pia Paoq tov
Un W. Алд то ©Ecbpqpa4.16, pnopovpEvaелектепюоцеto {vj oe pia Paoq tov U Kaioe pia
Paoq tov W. Tia ларабЕгура, та
(Vj....V„ Uj...um_r) Kai (Uj.....V„ Wj....WB_r)
Eivai PaaEig tcov U Kai W, avTiOToixa. 'Eotco
В = (Uj,..., v„ Ui.um_r, Wj..wB_r)
EripEicbvETai дт1 то В exei акрфсод m+n-г oroixEia. 'Etoi, to 0Ecbpr|pa алоб£1КУУЕта1 Eav
5ei^ovpe дт1 то В Eivai pia Paoq tov U+W. Acpov to {vpUj} ларауЕ1 tov U Kai to {vpwk}
ларау£1 tov W, q evcooq B= {vpUj,wk} 0a ларау£1 tov U+W. Enopdvcog, apKEi алХа va 6ei^ovpe
дт1 то В Eivai avE^apvqTO.
Уло0ЕтоорЕ дт1
aj v, + ... + arvr + bt u, +... + bm_rum_r + c, и-j +... + cn_rwn_r = 0 (1)
длоо та a,, bp ck Eivai api0poi. 'Еатсо, Ел1аг|д,
v = a^j + ... + arvr + +... + bm_rum_r (2)
Алд rqv (1), exovpe Ел1аг|д
u=-C1h>i -...-cB_rw„_r (3)
Acpov {v„Uj} c U, тдтЕ, алд rqv (2), ve U. Kai acpov {wk} c W, тдтЕ, алд rqv (3), ve W. Ката
avvatEia, veUn W. To {vj, тсора, Eivai pia Paoq tov Un W, олдтЕ 0avnapxovv oi api0poi
db.. .Д yia Tovg олоюод v=d]V]+.. •+drvr. 'Etoi, алд rqv (3), exouPe
4i t>i +... + drvr + qwj +... + c„_rwn_r = 0
To {v„wk}, dpcog, Eivai pia Paoq tov W, Kai apa Eivai avE^aprqTO. Enopdvcog q лю лаусо
E^iocooq 5ivEi улохрЕсотиса a1=0,...,aT=0, b]=O,...,bm.r=O.
Ecpdoov q (1) ооуЕлауЕтас дт1 дХа та a,, bp ck Eivai 0, to B={Vj,upwk} Eivai avE^aprqTO, Kai
etoi to 0Ecbpqpa алобЕ1ХП]КЕ.
3.59. ИаалобЕ^ЕТЕ то 0Ecbpqpa4.21: V=U© W Eav Kai pdvo Eav (i) V=U+W, (ii) Un W={0}.
Eav vnoOsoovps oti V=U © W, tote олою5т|лотб vs V рлорв1 va ypacpTsi povaSuca ott|
popcpri v=u+w, блои ueU koi weW. 'Etoi, ovyKSKpipsva, V=U+W. УлоОбтоутас; тсора oti
veUn W, tote
(1) v=v+0, блои ve U, Oe W, (2) v=0+v, блои Oe U, ve W.
Еоуелсос; v=0+0=0 koi Un W={0}.
Алб tt|v аМл], ск; vnoOsoovps oti V=U+W koi U n W= {0}. 'Еотсо, ел1от)<;, ve V. KaOcbc; V=U+W,
0a vnapxovv та ue U Kai we W yia та оло(а v=u+w. ПрЁл£1 va Ssi^ovps oti sva tetoio aOpoi-
opa sivai povaSiKo. Eav илоОбооицЕ £л(от)<; oti v=u'+w', блои u'eU Kai w'e W, tote .
u+w=u'+w' koi etoi u-u'=w'-w
'Opcoc; u-u'eU Kai w'-we W. Apa, ало tt|v Un W={0},
u-u'=0, w'-w=0, Kai etoi u=u', w=w'
Еоуелсос; sva tetoio aGpoiopa yia to ve V Eivai povaSuco, Kai V=U © W.
4.60. Na алобв^ЕТЕ то ©всортща 4.22 (yia 5vo ларауоутвс;): УлоОетооце oti V=U © W Kai oti та
S={u1,...,um} Kai S'={wb...,wn} sivai ypappiKa ау£^артт|та олостиуоХа tcov U koi W, avri-
oTOixa. Tote:
(a) H evcoot) S и S' EivaiypappiKa ау£^артт|тт| otov V.
(P) Eavта S Kai S' sivai PaoEu;tcov U koi W, avrioroixa, totet| Su S' Eivai pia Раот) тои V.
(у) dim V=dim U+dim W.
(а) УлоОЁтоирЕ oti a]U]+.. .+amum+b1 W]+.. .+bnwn=0, блои та a„ bj sivai apiOpoi. Tote
+...+a„«„) + (Z>lwl +... + b„w„) = 0 = 0 + 0
блои 0,a]U]+.. .+amume U koi 0,b]W]+.. .+bnwne W. КаОсск; sva tetoio aGpoiopa yia to
0 sivai povaSiKo, аито o5r)ysi otic;
4>iUi +... + a„um = 0 Kai 6|W, +... + bnwn = 0
Acpou to S] sivai ypappiKa avs£apvr|TO, каОв a,=0 Kai, acpov to S2 sivai ypappiKa
avs^apvr|TO, каОв bj=O. Apa Xourov, to S=S] u S2 sivai ypappiKa avs£apvr|TO.
(P) Алб то (a), to S= S] u S2 sivai avs£apvr|TO кар ало то ПрбрХт)ра 4.55, то S=Si и S2
ларауЕ1 tov V=U+W. Еууелсос; to S= Si u S2 sivai pia Раот) tov V.
(y) Avto лрокблтЕ1 apsoa ало то (P).
EYNTETAFMENEE
4.61. Na Ppeiteto SiawopaavvTETaypsvcovtov v co<; лро<;тт| раот) S={ubu2}={(l,l), (2,3)} tovR2,
блоо: (a) v=(4,-3), (P) v=(a,b).
Evr|v каОв лбрпстсоот), OsTOvps
v=xU]+yu2=x(l, l)+y(2,3)=(x+2y, x+3y)
Kai ЕЛЕ1та Xvvovps coc; лро<; x Kai y.
(а) 'Exovpe
(4,-3)=(х+2у, х+Зу) q х + 3^ = -3
Н Xvoq eivai q х=18, у=-7, олбте [v]=[ 18,-7].
(Р) 'Exovpe
(а,Ъ) = (х + 2у, х + Зу) f|
Н Хиот] eivai г| х=За-2Ь, у=-а+Ь, олоте [v]=[3a-2b, -а+Ь].
4.62. Na ppEixE то 5iawopa ouvreiaypevcov too v=(a,b,c) orov R3 coq npoq:
(a) tt] ovvqGiopevq Paoq E={( 1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)},
(P) тт, Paoq S={u„u2,u3}={(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}.
(a) Oi cTuvTETaypEVEq too [v]E coq npoq rq avvqOiopEvq Paoq E Eivai oi iSieq це to v,
5qXa5q [v]E=[a,b,c].
(P) Ексрра^оуре то v coq ypappiKo ovvSvaopo tcov u, , u2, u3 xpqoiponoicbvra^ tovc; ayvco-
orovq apiGpovc; x, y, z. Avto pa^ obqyei ото
ЙГ11 ГП pl x+y+z=a
= x 1 + J 1 +z 0 x+y — b
|_1J |_°J L°J x = <>
Avvovraq то сгиоттща ppioKovpe x=c, y=b-c, z=a-b. Zvvekcoi; [v]s=[c, b-c, a-b].
4.63. ©ECOpEiOTE to SiawopariKO xcbpo P3(t) tcov noXvcovvpcov paGpov <3.
(a) Na берете oti to S={(t-1)3, (t-1)2, t—1, 1} eivai pia Paoq tov P3(t).
(P) Na Ppeite to 5iawopa awTETaypevcov [v] tov v=3t3-4t2+2t-5 coq npoq rqv S.
(a) О PaOpoq tov (t-l)k Eivai k. Eav ypa\|/ovpe та noXvcbwpa tov S pe Tqv avTiOTpocpq
OEipa, 0a 5ovpe oti Kaveva noXvcbwpo 5ev Eivai ypappucoq ovvSvaopoq tcov npoqyov-
pevcov noXvcovvpcov. Apa Xoucov та noXvcbwpa Eivai ypappiKa ave^apiqia Kai, acpov
dim P3(t)=4, axqpari^ovv pia Paoq tov P3(t).
(P) Ексрра^оурЕ to v coq ypappuco avv5vaap6 tcov 5iawapaTC0v Paaqq xpT)CTlM07t0ltbVTa<;
tovc; ayvcocrtovc; apiQpovq x, y, z, s. 'Exovpe
= Зг3+4? + 2z - 5 = x(f- 1)J+Я'- I)2+4'- 1)+41)
= x(P - 3? + 3t - 1) +И? - 2t + 1) + z(t - 1) + 5(1)
= xP -3л2 +3xt-x+yil -2yt+y + zt-z+s
= Xt3 + (—3x +>»)? + (3x -2y + z)t + (-x+y-z + s)
ЪлЕпа E^iocbvovpE pEra^v tovc; tovc; ovvteXeotec; tcov i5icov bvvapECOv tov t, yia va
napovpe
x=3, -3x+y=4, 3x-2y+z=2, -x+y-z+s=-5
Avvovra^ to ovorqpa ppioKovps x=3, y=l3, z=19, s=4. Елоргусос; [v]=[3,13,19,4].
4.64. Na Ppeiie to Siawopa avvTETaypdvcov too = 4 -7 J crcov лрауратисб SiawopaTiKd xcbpo
M=M2 2 cog npog:
wqptons-jf; ;].[; “]}.
(₽) n)OTvne1aMivI1pta|«-{[j J].[J i].[? J].[J ?])
(а) Екфра^оуре tov A cog ypappiKO ovvSvaopo tcov SiawopaTcov Pacn]g хРПстФ°ло1сЬ-
vrag тоид ayvcooxovg api9povg x, y, z, t, cog акоХоибсод:
4 -’]«[: :]Ч* Wi “o]-[; ;]-h:r
E^iocbvovpe рета^б тоид Tig avrioroixeg KaTaxcopiaeig yia va лароице то ovorr|pa
x+z+t=2, x-y-z=3, x+y=4, x=-7
Avvovrag то ovorr|pa PpioKOvpe x=-7, y=l 1, z=-21, t=30, Kai cog ек tovtov [A]s=
[-7,11 ,-21,30]. (Er||ieicbveTai oti to Siawopa ovvreTaypevcov tov A eivai eva Siawopa
otov R4, кабсод dim M=4.)
(P) Ексррафутад tov A cog ypappiKO ovvSvaopo tcov hivcikcov Раот]д, о8т|уобраоте ото
[:.?]-«[: И M М» <]
Zvvencbg х=2, у=3, z=4, t=-7, Kai ара [А]=[2,3,4,-7], 01 ovvioTcboeg tov orcoiov eivai
та OTOixeia tov A ypappeva ypappfj лрод ypappfj.
Паратцрдсл): To алотёАхора ауто oXt]0evei yeviKa. Eav, ЗцХаЗт], о A eivai evag
олоюо8т|лоте mxn л1уакад otov M=Mm n тбте 01 ovvreTaypeveg tov A cog лрод тт|
ovvT]9iopevT] pdoi] tov M 9a eivai та OTOixeia tov A ypappeva ypappq лрод ypappq.
4.65. Eav о xcbpog M=M2>31 va лрооЗюрсоете ката лбоо oi лю катсо л(уакед eivai г] oxi ypappiKa
e£apTT|pevoi:
-П О ?] Ч>0 ? ’]• СЧ 2 п]
Eav eivai ypappiKa e^ap-nipevoi, va Ррепе тт| бшотаот] Kai pia Раот] tov улоусороу W tov M
лоу ларауета! ало Tovg лгуакед.
Ta SiavvopaTa ovvTeTaypevcov tcov ларалаусо лсуаксоу cog лрод тт| ovvr|9iapevr) Раот] tov
M exovv cog e£qg:
[A]=[l,2,3,4,0,5], [B]=[2,4,7,10,l,13], [C]=[l,2,5,8,2,ll]
Lpipati^oupe tov л(уака M tov олоюу oi урарред eivai та лю лаусо SiavvopaTa оуутетаурё-
vcov, Kat tov avayoupe oe кХсраксотг) рорсрг]:
[123 40 5"] Г1 234051
247 10 1 13 - 00 1 2 1 3
1 2 5 8 2 11J [0 0 0 0 0 oj
Ecpooov о кХщаксотбс; nivaKac; exei povo Suo цт|-цт|5еу1кё<; ураррёс;, та Siavuopara ouvreray-
pevcov [А], [В], [C] napayouv eva X“P° Siaoraor|<; 2, Kat co<; ек rourou eivai ypappiKa ef,aprr|-
peva. Ката ovveneta, ot А, В, C eivai ypappiKa ef,apTT|pevoi. Епшрбобета, dim W=2, Kai oi
nivaKec;
Г1 2 31 Г0 0 11
w> = [4 0 5J Kai W2 = [2 1 3]
лои avTioroixouv one; pT|-pr|3eviKe<; ураррёс; тои кХ1раксотои nivaKa, oxnpati^ouv pia Paoq
too W.
ПО1К1ЛА ПРОВЛНМАТА
4.66. ©ecopeiore pia nenepaopEvq акоХоиб1а SiavuopaTcov, S={V],V2,...,vn}. 'Еотсо, enioqc;, T T|
акоХоибса SiavuopaTcov nou XapPaverai ano tt|v S рёосо evo<; ano roue; е^гц; “oroixeicbSeu;
peraoxqpanopouc;”: (i) apoiPaia avraXXayri Suo Siavuoparcov, (ii) noXXanXaoiaopoc; evo<;
Siavuoparoc; pe eva pq-pqSeviKO apiQpo, (iii) прообеот] evoc; Siavuoparoc; pe eva noXXanXa-
oio evo<; aXXou Siavuoparoc;. Na Severe on ra S Kai T napayouv rov ISio x^po W. Enioty;, va
Severe on то T eivai ave^aprqro eav Kai povo eav to S eivai ave^aprqro.
Паратг|роире on, yia tov кабе ретаохпрапорб, та Siavuopara тои T eivai ypappiKoi ouv-
Suaopoi Siavuoparcov rou S. Ano rr|v aXXq, о кабе peraoxqpariopoc; ёх£1 ёуа avriorpocpo тои
18юи типои (AnoSei^re то!), Kai ёто1 та Siavuopara тои S eivaiypappiKoi ouvSuaopoi Siavu-
opaTcov тои T. Q<; ек тоитои, та S Kai Т napayouv tov iSio xcbpo W. EmnXeov, то T eivai
avef,aprqro eav Kai povo eav dim W=n, Kai аито eivai аХт|бё<; eav Kai povo eav to S eivai
enioTjc; ave^aprqro.
4.67. 'Еотсо oi А=[ач] Kai В=[Ьу] Suo ypappoiooSuvapoi mxn nivaKec; navco oe eva neSio K, Kai
ёотсо та V],...,vn onoiaSqnore Siavuopara oe eva SiavuopariKO xcbpo V navco ото К. 'Еотсо,
enioTjc;,
“1 = + <*12»2 + • • • +
“2 = fl21 + a22v2 + ... 4- a2„v„
wl=bnvl + bnv2 + ... + bx„v„
w2 = i»21vl + b22y2 + • • • + b2nVn
“rn = am\ I>1 + am2v2 + ... + a„„v„
= bmiVi + bm2v2 + ... + b„„v„
Na Severe on та {u,} Kai {w,} napayouv tov iSio xcbpo,
H ecpappoyii evoc; “otoixeicoSouc; ретаохпратюрои” тои ПрорХг]рато<; 4.66 ото {u,} юоЗи-
vapei pe tt|v ecpappoyr] evo<; otoixeicoSouc; ретаохпратюрои ypappcbv otov nivaKa A. Acpou oi
A Kai В eivai ypappoiooSuvapoi, о В pnopei va Xncp6ei ano tov А рёосо pia<; акоХоиб(а<;
otoixeicoScov peraoxnP-CiTiopcbv ypappcbv, Kai apa to {wj pnopei va Xncp6ei ano то {u,} рёосо
rqc; avrioTOixn? акоХоиб1а<; peraoxnP-^^P-^v. Еирпераорапка, та {u,} Kai {w,} napayouv
tov iSio x&>po.
4.68. 'Еотсо on та vb...,vn avr|Kouv oe eva SiavuopariKO x<i>po V navco ото К, Kai ёотсо о Р=[ау]
eva^ n-rerpaycoviKOc; nivaKac; navco ото К. 'Еотсо, enionc;,
W1 =allvl + fll2V2 + ---+fllnvn. wn =flnlvl + a„2v2 + • • • + annvn
(a) Уло0ётоута<; oti о P eivai аутштрёцдрос;, va Sei^ere oti та {w,} Kai {v,} ларауооу tov
iSio xcbpo, Kai coc; ек tovtov то {wj eivai ave^dprqTO eav Kai povo eav to {v,} eivai
ave^aprqro.
(P) Уло0ётоута<; oti о P Sev eivai аутютрёцлрос;, va берете oti to {w,} eivai е^арттщёуо.
(у) Уло0ётоута<; oti to {w,} eivai ave^aprqro, va Severe oti о P eivai аутютрёцлрос;.
(a) Ecpooov о P eivai аутютрёцлрос;, 0a eivai ypappoiooSvvapoc; pe tov tovtotiko nivaKa
I.'Etoi, ало то IlpopXqpa4.67, та {w,} Kai {v,} napayovv tov iSio xcbpo. Елорёусос;, то
eva eivai ave^aprqTO eav Kai povo eav to aXXo eivai ave^aprqTO.
(P) Ecpooov о P Sev eivai аутютрёцдрос;, 0a eivai ypappoiooSvvapoc; pe eva nivaKa pe pia
pqSeviKq ypappq. Аитб oTjpaivei oti to {w,} napayei evaxcbpo о олоюс; ёх£1 eva ovvo-
Xo yewqropcov pe XiyoTEpa ало n OTOixeia. Еууелсос; то {wj eivai е^артцрёуо.
(у) Аитб eivai то avriOero ттус; SqXcooqc; тои (Р), Kai ёто1 лрокблте1 ало то (Р).
4.69. Уло0ёотебт1та АьА2,... eivaiypappiKaave^aprqra ovvoXaSiawopaTcovKaiotiA(CA2C....
Na Severe oti t| 6vcoot| A=A1 u A2 u • • • eivai елкпц; ypappiKa ave^aprqrq.
УлоОётоире otiто A eivaiypappiKa е^артт|рёуо. Тбте, 0a v л apxovv SiavvopaTa vb...,vne A
Kai apiOpoi ab....^eK, oxi 6Xa 0, тётош сооте
a,ui + a2u2 +...+a„u„ =0 (1)
Acpov A= u A, Kai та v,e A, 0a улархоуу ovvoXa Ah,..., тётою сооте
'Еотсо k о рёуютос; SeiKrqc; tcov ovvoXcov A^ ; k=max(i1,...,in). Тбте, acpov A1C A2C..., лро-
KVTtrei oti то ка0е At лерсёхетас ото Ak. Елорёусос; vbv2,...,vne Ak, Kai ётоц алб rqv (1), то
Ak eivai ypappiKa e^aprqpcvo, кап лоу PpioKerai oe avricpacrq pe rqv ол60еог| рас;. Ката
ооуёлеш, то A eivai ypappiKa ave^aprqro.
4.70. 'Еотсо то К ёуа ололеЗю evoc; леЗюо L, кас ёотсо то L eva ололеЗю evoc; леЗюо Е. (Елорёусос;
KcLcE, Kai то К eivai ёуа ололеЗю tov Е.) УлоОёоте, ел^с;, oti то Е eivai 3iaoraoq<; n
лаусо ото L, Kai oti то L eivai Siaoraoqc; m лаусо ото К. Na Severe oti to E eivai Siaoraoqc;
mn лаусо ото К.
УлоОётооре oti то {vb.. .,vn} eivai pia Paoq tov E лоусо ото L, Kai oti to {ab.. .,3^ eivai
pia Paoq тооЬлаусо ото К. loxvpi^opaore oti то {ару i=l,...,m, j=l,...,n) eivai pia Paoq tov
E лаусо ото K. Eqpeicbverai dri to {a,Vj} лерсёхЕ1 mn oroixeia.
'Eotco to w ёуа олоюЗтрсоте avOaipero oroixeio ото E. Ecpooov to {vb.. ,,vn} ларауес то E
лоусо ото L, то w 0a eivai ёуа<; ypappiKOc; oovSoaopoc; tcov v, pe ооутеХеотёс; ото L:
M' = fe1Ul + b2vz + .. + b„v„, bi&L (1)
Ecpooov to {ab.. ..am} ларауес то L лаусо ото К, то ка0е b,e L 0а eivai ёуас; ypappiKOc; oov-
Soaopoc; tcov 3j pe ооутеХеотёс; ото К:
AOTlDTiOTl^D AOTElOyOEa AOTI DIOddOED 1DA13 A3§ [‘'PM] 01 5ОТЛЗТ|ОЕЗ П=П] 01 OUT) 5O1N3 Ugnyllg
‘[‘’PM]019En boiN3 aodroX aoNiiDiiooADig 5олз didtIoti^d di nyo 131oeoadni д oi ho sis^isg dn
(O‘^)=(q‘B)jf ton (p+q ‘o+B)=(p‘o)+(q‘B)
511 OED IDlAO^ldo DA Д Л0Ю OTiODlODyEDYYOE О1ОТГ|0О{| 01 TON 11D30D
-odE aIu 3ii ‘(q‘B) Aror^ido AOTNiiDiiAodE лотЛаз^ aota3tIAdi3idi2 aoti лотуо оуолао oi д союз, ££,'£
(л/г+пд)^ (§)
‘л/,-пд+(лг+п£)9=£я (Л)
‘(8+A/>+(*£-nz)S=zH (d)
‘(A+n£)3+(A9-ng)tz=lH (D)
:5i3opdd>N3 otidn
-DdDE 511 313OU10E0YED DA ‘Д odwX ONUDliOClADlg DA3 30 AOONllAD A 1DN П DI 110 5О1ЛО130ОЕД 'XL't
IOJUX IOMI1VBIZANIVIV
vivKHvaodn viaw
•3N
-UlXlSgOED Dlilld(D30 OI TON ‘Я OlO OTADE OlUldp^SAD DNllirlDdA 1DA13 {fA*B} 01 ‘D13E3AQD О1ОЯ
0=““x '••• *о = г“х ,0=1“x ‘0=“lx ‘0 = z'x *0="x
‘Яэ'гх di aodro ‘1013/я 01D otade oiUidp^3AD idai3 ‘5coiio ‘{шв‘ "‘1в} oi
О = “b““x+ • • • + V*x+ ^‘“x ‘o = “d“‘x+ • • • + zt>zlx + ‘d“x
:Q 1DA13 DA 13E3dE D0 5111ОЗу31Л(1О 30DN О ‘q OlO AflONllAD 'л ЛОТ1
5зюзуз1лао otade oie io aodro ton q oio otade oiUidp^3AD DNiiiiiDdAтолп {“л- •‘•л} oi aodiy
0 = U<l(uD,mX + • • • + ZDZ,,X + 1D1"X) + • • • + ‘л(“Ь“‘х + • • • + W'X + >D"x)
11
0 = (Vn"n,x+"' + “nzDp,x+ “^‘d^x)^- ••• + (1л“£>“1х+ ••• + 1n^1X+ kl>D“x)
‘UgDyliv •( га'о),гxrзт1аоХз ‘я/х 5aorl0idD 5aoi diA ‘но зт1ао130ОЕд я
OlO OTADE 01Uldp53AD DNirfrfDdA 1DA13 {•ГЛ1в} 01110 srfao^isg AD3 IDlSAOTdliyETiaO U^sgpED H
‘Я OlO OTADE 3 01 ISipdDE {Гл'в} 01 Ddp TON
‘Я oio 5з1озуз1лао зт1 гл'в aoti 5ог1ооадлао 5oNiiirlDdA 5das idai3 a\ oi 5отлзт1оез я s'Sp ooeo
+ • • • + + • • • + + • • • + + • • • + =
и<1(“0,м'у + • • + 'd‘“y) + • • + Z<1(“D“^ + • • • + >D>^) + + • • + = M
3iiaoAdiDE ‘(f) aIuo 5diaotioi0dnhav яэ^ ooeo
+ • • + №4 + >d‘“y = "q
uDuzll+ -- + zDzzll+'D^=zq
udu^+-- + zdz^ + 'D^=iq
4.73. Na 3ei^ete on то a^icopa [A4] Evog 3iavuopaTiKou xcbpou V, 3r|Xa3r| то oti u+v=v+u, рлорЕ1 va
лрокиц/Ei ало та илбХоша а^аората yia tov V.
4.74. 'Еотсо V то ouvoXo tcov 8iaTETayp6vcov ^Euycbv лраурапксоу apiOpcbv (a,b). Na Secrete oti to
V 3ev Eivai svag SiavuopaTiKog xcbpog лаусо ото R, oTav q лрбобЕот) Kai о Рабрсотод лоХХа-
лХаошорбд opi^ovrai ало Tig:
(i) (a,b)+(c,d)=(a+d, b+c) Kai k(a,b)=(ka,bc),
(ii) (a,b)+(c,d)=(a+c, b+d) Kai k(a,b)=(a,b),
(iv) (a,b)+(c,d)=(O,O) Kai k(a,b)=(ka,kb),
(iv) (a,b)+(c,d)=(ac,bd) Kai k(a,b)=(ka,kb).
4.75. 'Еотсо V то ouvoXo tcov алЕрюрютсоу акоХоибаоу (aba2,...) oe sva леЗю К. Na Secrete oti to
V Eivai svag SiavuopaTiKog x<bpog navco ото К, отау q лрбобЕот) Kai о Рабрсотод лоХХалХа-
oiaopog opi^ovrai ало Tig
(epflj, ...) + (6|.&2, ...) = (a1+6„ a2+b2, ...) Kai k(ax,a2,...) = (kat, ka2,...)
4.76. 'Еотсо oi U Kai V Suo SiavuopanKoi xcbpoi лаусо oe Eva леЗю К, Kai Ёотсо V то ouvoXo tcov
SiaTETaypsvcov ^suycbv (u,w), блои ue U Kai we W. Na Sei^ete oti to V Eivai Ел(от)д svag 8ia-
vuopaTiKdg X“P°g navco ото К, отау q лрбобЕот) Kai о Рабрсотод лоХХалХаошорбд ото V
opi^ovrai ало Tig
(u,w)+(u',w')=(u+u', w+w') Kai k(u,w)=(ku,kw)
(Аитбд о xcbpog V KaXsviai £<fcot£piKd evOv yivopsvo tcov U Kai W.)
УПОХПРО1
4.77. Na лрообюр10ЕТЕ ката лбоо то W Eivai т| oxi Ёуад илохсород тои R3, блои то W алотЕХ£(та1
ало бХа та SiavuopaTa (a,b,c) otov R3 yia та оло(а: (a) a=3b, (Р) а<Ь<с, (у) а+Ь+с=О,
(е) Ь=а2, (от) а=2Ь=Зс.
4.78. 'Еотсо V о SiavuopaTiKog Х“род tcov n-TETpaycoviKcbv л1Уаксоу лаусо ое sva ле8ю К. Na Secrete
oti то W Eivai svag илохсород тои V, Eav алотЕХтас ало бХоид тоид л(уак£д A[a,J oi 0Л0101
Eivai:
(a) ouppETpiKoi (АТ=А т| а^а,,), (Р) (avco) TpiycoviKoi, (у) Siaycbvioi, (5) лЬгакЕд-сиутЕХЕОтЁд.
4.79. 'Еотсо то АХ=В Ёуа рт|-ороуЕУЁд оиотт|ра ypappiKcbv e^iocooecov р£ п ауусоотоид, 8т|Хабг|
В*0. Na Sei^ete oti то ouvoXo Xuoecov Sev Eivai илохсород тои Kn.
4.80. УлобЁтоутад oti 01U Kai W Eivai wroxcbpoi тои V yia тоид олоюид о U u W Eivai Ел1от)д 6vag
илохсород, va Secrete oti U c W r] W c U.
4.81. 'Еотсо V о SiavuopaTiKog X“P°g oXcov tcov ouvap-crioEcov ало то лраурапкб леЗю R ото R. Na
Sei^ete oti to W Eivai Ёуад илохсород тои V, блои то W алотеХгпас ало 6Хед Tig: (а) срраурЁ-
vEg ouvapTTjoEig, (Р) apTiEg ouvaprr|OEig. [YnEvQupi^Eiai oti t| f: R->R Eivai (ppaypEvri Eav
3 Me R тётою сооте, v xe R, |f(x)|<M, evco r| f(x) Eivai dpua Eav f(-x)=f(x), у xe R.]
4.82. 'Еотсо V о SiavuopaTiKog xcbpog tcov anEpiopiorcov okoXouOicov (aj,a2,...) oe eva пе81о К (Прб-
pXrjpa 4.75). Na 8ei^ete oti to W Eivac Evag unoxcbpog тои V, Eav anoTEXEuai ano oXeg Tig
акоХои01Ед це: (a) прсото otoixeio то 0, (P) povo Eva nEnspaapevo apiOpo pT|-pr|8£viKcbv otoi-
XEICOV.
ГРАММ1КО1 EYNAYAEMOI, ГРАММ1КЕЕ ЕПЕКТАЕЕ1Е
4.83. ©EcopEioTE та SiavuopaTa u=( 1,2,3) Kai v=(2,3,l) otov R3.
(a) Na ypa\|/ETE to w=(l,3,8) cog ypappuco ouvSuaopo tcov u koi v.
(P) Na ypa\|/ETE to w=(2,4,5) cog ypappuco ouvSuaopo tcov u koi v.
(y) Na Ppeite to k tetoio coote to w=( 1 ,k,-2) va Eivai Evag ypappucog ouvSuaopog tcov u koi v.
(8) Na Ppeite ouv0f|KEg yia та a, b, c etoi coote to w=( 1 ,b,c) va Eivai Evag ypappucog ouvSua-
opog tcov u Kai v.
4.84. Na ypa\|/ETE to noXucbvupo f(t)=at2+bt+c cog ypappuco ouvSuaopo tcov noXucovupcov p|=(l-t)2,
p2=t-l, p3=l. [EnopEvcogта pb p2, p3 napayouv to xcbpo tcov noXucovupcov PaOpou < 2, P2(t).]
4.85. Na Ppeite Eva Siavuopa orov R3 nou va KaXunTEi tt|v торт| tcov U koi W, onou о U Eivai to
еп(пе8о xy, 8т|Ха8т| U={(a,b0)}, Kai о W Eivai о xcbpog nou napayETai ano та SiavuopaTa
(1,1,1) koi (1,2,3).
4.86. Na anoSEi^ETE oti to span(S) Eivai т| торт| oXcov tcov unoxcbpcov тои V nou nEpiExouv to S.
4.87. Na Sei^ete oti span(S)=span(Su {0}). О xcbpog, 8т|Ха8т|, nou napayETai ano Eva ouvoXo, 8e
PetoPoXXetoi Eav to pqSEvuco Siavuopa evcoOei t| acpaipE0Ei ano to ouvoXo аитб.
4.88. Na Sei^ete oti: (a) Eav ScT, tote span(S) cspan(T). (P) span[span(S)]=span(S).
ГРАММ1КН EEAPTHEH KAI ГРАММ1КН ANEEAPTHEIA
4.89. Na npooSiopioETE ката nooo та паракатсо SiavuopaTa otov R4 Eivai ypappiKa E^aprripEva f|
ypappiKa av£^apTT|Ta:
(a) (1,2,-3,1), (3,7,1,-2), (1,3,7,-4), (P) (1,3,1,-2), (2,5,-1,3), (1,3,7,-2).
4.90. Na npooSiopioETE ката nooo та акбХоиОа noXucbvupa u, v, w otov P(t) Eivai ypappiKa E^ap-
TT|pEva t| ypappiKa аУЕ^артт|та:
(а) и = r3 -4г2 + 3t + 3, t> = P + 2^+4/-I, w = 2P-P-3t + 5,
u = P-512-2t + 3, v = P-4г2-3/ + 4, и> = 2г3 — 7г2 — 7r +9.
4.91. Na Sei^ete oti oi акбХои0Ед ouvaprr|OEig f, g, h Eivai ypappiKa av£^apTT|TEg:
(a) /(') = «(0 = sine, h(t) = t\ (fl) f(t) = < g(t) = Л h(t) = t.
4.92. Na Sei^ete oti та u=(a,b) koi v=(c,d) orov K2 Eivai ypappiKa E^aprripEva Eav koi povo Eav ad-
bc=0.
4.93. Yno0£Tovrag oti та u, v, w Eivai ypappiKa ау£^артт|та SiavuopaTa, va опоЗе^ете oti to S
Eivai Eniorig ypappiKa ау£^артт|то, onou:
(a) S={u+v-2w, u-v-w, u+w}, (P) S={u+v-3w, u+3v-w, v+w}.
4.94. YnoOerovrac; oti to {ub.. ..UpW,,...,ws} eivai eva урацщка ave^apvqTO imocruvoXo too V, va
берете oti span(u,)n span(Wj)={0}.
4.95. Y ло0ётоута<; oti та v ।, v2,..., vn eivai урацщка avet,apiT|Ta, va алобе^ете oti to S eivai ел1от|<;
урацщка ave^apTT|TO, блои:
(a) S={a1v1,a2v2,...,anvn} Kai ка0е a,*0.
(p) S={v1,...,vk.1,w,vk+1,...,vn}Kai w = ^(6,v, Kaibk*0.
4.96. УлоОёоте oti та (а11,...,а|П),(а21,...,а2п),...,(ат1,...,1тп) eivai урацщка ave^apTT|Ta 6iavv-
оцата otov К”, Kai oti та v ।, v2,..., vn eivai урацщка avet,apiT|Ta 6tavuopaTa oe eva 6iawopa-
tiko xcbpo V лаусо ото К. Na берете oti та ларакатсо 6iavvopaTa eivai ел1от)<; урацщка
ауе^артг|та:
w, = a11u1 + ...+а1лия, w2 =a21V! + ...+а2яия,
H'm=amlu1 + ...+awlt>„
BAEH KAI AIAETAEH
4.97. Na Ppene eva илообуоХо tcov ub u2, u3, u4 лои va 6ivei ща Раот] yia tov W=span(u,) too R5,
блои:
(a) «,= (1.1.1,2,3), m2 = (1,2,-1,-2,1), u3 = (3,5,-1,-2,5), m4 = (1,2,1,-1,4)
W u, =(1,-2,1,3,-1), u2 = (-2,4, -2, -6,2), u3 = (1,-3,1,2,1), u4 = (3, -7,3,8,-1)
(y) M, =(1,0,1,0,1), u2 = (1,1,2,1,0), u3 = (1,2,3,1,1), u4 = (1,2,1,1,1)
(3) U| =(1,0,1,1,1), u2=(2, 1,2,0,1), Mj= (1,1,2,3,4), u4 = (4,2,5,4,6)
4.98. ©ecopeiore тои<; илохсорохх; U={(a,b,c,d): b-2c+d=0} Kai W={(a,b,c,d): a=d, b=2c} too R4.
Na Ppevre pia Paor| Kai тт) бгаотаот] tcov: (a) U, (P) W, (y) Un W.
4.99. Na Ppene pia Раот] Kai тт) бшотаот) too x^pou Xuoecov W too Ka0ev6<; алб та акбХоиОа
opoyevrj оиоттщата:
(a) x + 2y — 2z + 2s — t = 0
x + 2y- z + 3s-2t = 0
2x + 4y-7z+ s+ t = 0
(P) x + 2y- z + 3s-4t = 0
2x + 4y — 2z— s + 5t = 0
2x + 4y - 2z + 4s - 2t = 0
4.100. Na Ppene eva opoyeve<; оботтща тои олоюи о x®po<; Xuoecov va ларауетас алб та 6iavuopa-
та:
(a) (1,-2,0,3,-1), (2,-3,2,5,-3), (1,-2,1,2,-2),
(p) (1,1,2,1,1), (1,2,1,4,3), (3,5,4,9,7).
4.101. Na лрообюр1оете ката лбоо то Ka0eva алб та лю катсо eivai pia Раот] тои 6iavuopaTiKou
Xcbpou Pn(t):
(а) (1, 1+с, 1 + с + с2, l+c + ^ + P......... 1 + с+ ? + ... +г"-1 +г"},
(0) (1+с, t + t2, P + t3....... r"-2 + r"-‘, r"-,+r").
4.102. Na Ppene pia Раот] Kai тт| бшотаот) тои илохсорои W tod P(t) лои ларауета1 алб та:
(а) и = р +2i1-2t +1, u = Z3+3z2Z + 4, w = 2г3 + i2 - 7t - 7,
(/?) и = Г3 + Z2 - 3t + 2, v = 2г3 + z2 +1 - 4, w = 4Z3 + 3Z2 - 5z + 2.
4.103. Na Ppeite pia Paoq Kai Tq Siaoraoq tod unoxcbpou W той V=M2 2 лои napayETai and той;
Я-[-1 2} 5} C-[- 5 7} °-[-5 1]
О BAOMOE ENOE IIINAKA, XOPOI TPAMMQN KAI ETHAQN
4.105. Гю k=l,2,...,5, va Ppeite tov apiOpo nk tcov ypappiKa avE^apTqTcov unoouvoXcov nou опоте-
Xouvrai and k отт|Хе;, yia tov KaOeva and той; акоХоиОои; nivaKE;:
4.106.
Гю tov ка0Е nivaKa (onou 01 Cb.. .,C6 oupPoXi^ouv ti; orqXE; tou):
(i) Na Ppeite Tqv Kavovucq co; про; ti; ypappd; popcpf| той, M.
(ii) Na ppEiTE ti; отт|Хе; nou Eivai ypappiKoi ouvSuaopoi tcov npoqyoupsvcov OTqXcbv.
(iii) Na Ppeite ti; orqXE; nou ax’!ратнойv pia Pacrq yia to X“P° crrqXcbv (anoKXEiovTa;
Ti]v C6).
(iv) Na ЕксррааЕТЕ rqv C6 co; ypappuco ouvSuaopo tcov SiavuopaTCOv Pacrq; nou XqcpOqKav
ото (iii).
4.107. Na npooSiopioETE noioi and той; паракатсо nivaKE; e%ouv tov iSio x<bpo ypappcbv:
4.108. Na npooSiopioETE noioi and той; паракатсо unoxcbpou; той R3 Eivai TauTocrqpoi:
= span[(l, 1, -1), (2,3, -1), (3,1, -5)], U2 = span[(l, -1, -3), (3, -2, -8), (2,1. -3)]
C/3=span((l,l,l), (1.-1.3), (3,-1,7)]
4.109. Na npooSiopioETE noioi and той; паракатсо unoxcbpou; той R4 Eivai TauTocrqpoi:
=span[(l,2,1,4), (2,4,1,5), (3,6,2,9)], U2 = span[(l,2,1,2), (2,4,1,3)],
Щ = span[(l, 2,3,10), (2,4,3,11)]
4.110. Na Ppeite pia Раот] yia (i) to xcbpo ypappcbv Kat (ii) to xcbpo orTjXcbv tov kciOe nivaKa M:
4.111. Na Secrete oti sav ano sva nivaKa nov PpioKETai oe кХфаксотт] (avrioToixa, oe Kavovucr] cog
npog Tig ypappsg) popcpi) Siaypacpsi pia onoiaSr|noT6 ypappf], tote о nivaKag nov npoKvnrsi
E^aKoXovOsi va PpioKETai oe кХ1раксотт| (avTioTOixa, oe Kavovucr] cog npog Tig ypappsg) pop-
cpf|.
4.112. 'Еотсо oi A Kai В 5vo avOaipsToi mxn nivaKsg. Na Sei^ete oti rank(A+B)<rank(A)+rank(B).
4.113. Eav r=rank(A+B), va Ppsirs 5vo 2x2 nivaKsg A Kai В, тётоюид coots:
(a) r<rank(A), rank(B), (P) r=rank(A)=rank(B), (y) r>rank(A), rank(B).
AOPOIEMATA, EYOEA AOPOIEMATA, ТОМЕЕ
4.114. YnoOsTOvrag oti oi U Kai W sivai5vo SioSiaoraroivnoxcbpoitov K3, va Sei^ete oti U n W#{0}.
4.115. УпоОёоте oti oi U Kai W sivai 5vo vnoxcbpoi tov V tstoioi сооте dim U=4, dim W=5 Kai dim
V=7. Na Ppsirs 6Xsg Tig Svvarsg Siaoraosig tov Un W.
4.116. 'Еотсо oi U Kai W 5vo vnoxcbpoi tov R3 yia rovg onoiovg dim U=l, dim W=2 Kai U?W. Na
Sei^ete oti R3=U ф W.
4.117. 0£cop£ioT£ rovg акоХоиОоид vnoxcbpovg tov R5:
U=span[( 1,-1,-1 ,-2,0), (1 ,-2,-2,0,-3), (1,-1 ,-2,-2,1)]
W=span[(l,-2,-3,0,-2), (1,-1,-3,2,-4), (1,-1,-2,2,-5)]
(a) Na Ppeite 5vo opoysvf] ооотт|рата tcov noicov oi xcbpoi Xvoecov va sivai avrioroixa oi
U Kai W.
(P) Na Ppsirs pia Раот] Kaiтт| SiaoraoT] tov Un W.
4.118. 'Eotco Ub U2, U3 oi aKoXovOoi vnoxcbpoi tov R3:
Uj=(a,b,c): a=c}, U2={(a,b,c): a+b+c=0}, U3={(0,0,c)}
Na Ssi^ETE 6ti: (a) R3=U]+U2, (P) R3=U2+U3, (y) R3=U]+U3. Поте to аброюра sivai svOv;
4.119. YnoOsTovrag oti oi U, Wj Kai W2 sivai vnoxcbpoi svog Siawoparucov xcbpov V va Ssi^srs oti
(U П Wt) + (U П ff'i) с и П (Wt + W2)
Na Ppeite vnoxcbpovg tov R2 yia rovg onoiovg r| юбтцта 5sv ioxvei.
4.120. Улов его vrag oti oi W ।, W2,..., Wr eivai vno%d)poi evog SiawapariKOv xcopov V, va Severe oti:
(a) span(W],W2„. .,Wr)=W]+W2+.. .+Wr
(P) Eav to S, napayei tov W, yia i=l,...,r, тбте то S] u S2u ... u Sr napayet tov
W]+W2+...+Wr
4.121. Eav V=U ф W, va берете oti dim V=dim U+dim W.
4.122. 'Еотсо та S каг T Svo avGaipera pr|-Keva. ovvoXo (o%i алара!тт|та vnoxcbpoi) evog 8iawapari-
kov X“P°v V Kai еатсо то к evag apiGpog. To aGpoiapa S+T Kai то PaGpcoro yivopevo kS
opi^ovrai ало Tig:
S+T={u+v: ugS, veT},kS={ku: ugS}
[Tpacpovpe enioiig w+S yia to {w}+S]. 'Eotco
S={(1,2), (2,3)}, T={(1,4), (1,5), (2,5)}, w=(l,l), k=3
Na ppeire та: (a) S+T, (p) w+S, (y) kS, (8) kT, (e) kS+kT, (or) k(S+T).
4.123. Na Severe oti oi naparaivco npa^eig tcov S+T Kai kS iKavonoiovv:
(a) Tov avriperaGeriKO vopo: S+T=T+S.
(P) Tov лроаетафюпкб vopo: (S1+S2)+S3=S|+(S2+S3).
(y) Tov eKipepioriKO vopo: k(S+T)=kS+kT.
(8) Tig i8iOTT]Teg S+{O}={O}+S=S Kai S+V=V+S=V.
4.124. 'Еотсо V о SiawapariKog X“P°g tcov n-rerpaycoviKcbv nivaKcov, U о олохсород tcov avco rpiyco-
vikcov nivaKcov Kai W о олохсород tcov катсо rpiycovtKcbv nivaKcov. Na Ppevre Tovg: (a) Un W,
(p) U+W.
4.125. 'Еатсо V то е^сотергкб eoGo aGpoiapa tcov 8iawapaTiKcbv xcbpcov U Kai W navco ae eva леЗю
К. (ВХёле ПрбрХлра 4.76). 'Еатсо, ел1ат]д,
U ={(u,0): ugU} кас lT={(0,w): wgW}
Na Severe 6ti: (a) oi U Kai W eivai vnoxcopoi tov V, (P) V= (j ф w.
4.126. УлоОеате oti V=U+W. Eav о V eivai то e^corepiKO eoGo aGpoiapa tcov U Kai W, va Severe oti
о V eivai laopopcpiKog лрод tov V олб tt|v avrioroixia v=u+w++ (u,w).
4.127. Хр^агролокоутад елаусоут| va алоЗе^ете: (а) то ©ecbpqpa 4.22, (P) to ©ecbpqpa 4.23.
EYNTETAFMENEE
4.128. Ta SiavvopaTa u,=(l,-2) Kai u2=(4,-7) oxqpari^oov pia Paai] S tov R2. Na Ppeire to Siaw-
apa aovreraypevcov [v] tov v cog лрод tt|v S, олоо: (a) v=(5,3), (P) v=(a,b).
4.129. TaSiavvopaTaU|=(l,2,0), u2=(4,-7) Kaiu3=(0,l,3) oxripari^ovv M-i® Р“ОЛ S tovR3. Na Ppevre
to Siawopa avvreTaypevcov [v] tov v cog лрод tt|v S, олоо: (a) v=(2,7,-4), (P) v=(a,b,c).
4.130. H S={t3+t2, t2+t, t+1, 1} eivai pia Paai] tov P3(t). Na Ppevre to Siawopa aovreraypevcov [v]
tov v cd<; npoc; tt|v S, onov: (a) v=2^+t2-4t+2, (P) v=at3+bt2+ct+d.
4.131. 'Eoxco V=M2 2. Na ppeixe xo Siawapa avvxexaypevcov [A] xov A coc; npoc; xr|v S, onov:
4:Я [' ’-'I US] -
4.132. Na Ppeixe xr| diaaxaaq Kai pia Paoq xov vno%cbpov W xov P3(t) nov napayexai and xa
и = f3 + 2? - 3t + 4, = 2г3 + 5? - 4r + 7, w = r3 + 4? + Г + 2
4.133. Na Ppeixe rq 5iaaxaoq Kai pia Paoq xov vno%cbpov W xov M=M2>3 nov napayexai ano xovc;
: ;]• M?: :] ?«]
ПО1К1ЛА ПРОВЛНМАТА
4.134. Na anavxqaexe pe “acoaxo” q “Xa0o<;”. Eav anavxqaexe “Xa0o<;”, va xo anoSei^exe pe avxina-
padeiypa.
(a) Eav xa U|, u2, u3 napayovv xov V, xoxe dim V=3.
(P) Eav о A eivai evac; 4x8 nivaKac;, xoxe onoieaSqnoxe e^i axqXec; xov eivai ypappiKa
e^apxqpeve;.
(y) Eav xa U|, u2, u3 eivai ypappiKa ave^apxqxa, xoxe xa Uj, u2, u3, w eivai ypappiKa ef,ap-
xqpeva.
(5) Eav xa U|, u2, u3, u4 eivai ypappiKa ave^apxqxa, xoxe dim V > 4.
(e) Eav xa U|, u2, u3 napayovv xov V, xoxe Kai xa w,ub u2, u3 napayovv xov V.
(ax) Eav xa ub u2, u3, u4 eivai ypappiKa ave^apxqxa, xoxe Kai xa ub u2> u3 eivai ypappiKa
ave^apxqxa.
4.135. Na anavxqaexe pe “acoaxo” q “Xa0o<;”. Eav anavxqaexe “Xa0o<;”, va xo anoSei^exe pe avxina-
paSeiypa.
(a) Eav onoiaSqnoxe axqXq diaypacpei ano eva nivaKa nov PpiaKexai ae KlipaKcoxq pop-
cpq, xoxe о npoKvnxcov nivaKac; e^aKoXovOei va PpiaKexai ae кХлраксохт| popcpq.
(P) Eav onoiaSqnoxe axqXq diaypacpei and eva nivaKa nov PpiaKexai ae Kavovucq popcpq
coc; npoc; xu; ypappec;, xoxe о npoKvnxcov nivaKac; ef,aKoXov0ei va PpiaKexai ae Kavovucq
popcpq coc; npoc; xu; ypappec;.
(y) Eav onoiaSqnoxe avqXq xcopic; odqyo diaypacpei and eva nivaKa nov PpiaKexai ae ка-
vovucq popcpq coc; npoc; xu; ypappec;, xoxe о npoKvnxcov nivaKac; e£aKoXov0ei va PpiaKe-
xai ae Kavovucq popcpq coc; npoc; xu; ypappec;.
4.136. Na npoaSiopiaexe xq Sidaxacrq xov SiawapaxiKov xcbpov W xcov aKoXov0cov n-xexpaycoviKcbv
nivaKcov:
(a) avppexpiKoi nivaKec;, (P)avxiavppexpiKoi nivaKec;,
(y) diaycbvioi nivaKec;, (5) nivaKe^-avvxeXeaxec;.
4.137. 'Еотсо та t|,t2,.. ..Ц сгирРоХа кас то К eva олоюбг|лоте лебю. 'Еотсо, елсотц;, V т| ларакатсо
ексрраот], блоо a,G К:
ajCj +a2t2 + ...+a„t„
Н лрбстбеот] кас о Рабрсотод лоХХалХаасаарб»; otov V opi^ovrai ало тк;
(ajCi +... + a„r„) + (fcpi + • • • + b„t„) = (aj + fc|)r( +... +
Jt(aj G + a2t2 + ... + a„t„) = top, + ka2t2 + ...+ ka„t„
Na берете отс то V eivai evat; SiawopaTiKOt; X“P0<5 navco ото К pe тк; лю navco лра^ек;.
Ел(от|<;, va берете oti то {t|,... .Ц} eivai pia pdor| too V, блоо
tj = 0/j +... + 0сЛ1 + Uj + 0/>+1 +... + 0c„
AIIANTHEEIE AAYTftN IIPOBAHMATON
4.71. (a) E,=26u-22v
(P) To аброюра 7v+8 6ev opi^eTai, ctoi t| E2 6ev орфтаь
(у) E3=23u+5v
(6) H 6iaipeor| pe to v 6ev opi^eTai, етот t| E4 6ev opi^eTai.
4.77. (a) Nai
(P) '0%i: yia ларабегура, (l,2,3)e W aXXa-2(l,2,3)g W.
(y) Yia ларабегура, (1,0,0),(0,1,0)e W, aXXa oxi Kai то аброюра тоо<;.
(6) Nai
(e) 'Oxi: yia ларабегура, (1,1,1 )e W, aXXa 2(1,1,1) g W.
(от) Nai
4.79. To pT|6eviKo 6iawapa 0 6ev eivai Хбот].
4.83. (a)w=3u!-u2, (P) Абоуато, (y)k=y, (6) 7a-5b+c=0
4.84. Хрт|01роло1сбута<; то f=xpj+yp2+zp3, ла1руооре х=1, y=2a+b, z=a+b+c.
4.85. v=(2,5,0)
4.89. (a) E^apTT|pevo (P) Ave^aprr|TO
4.90. (a) Ave£apTT|TO (P) E^apiripevo
4.97. (а) И|, u2, u3, u4; (ft) u(, u2, u3; (c) U|,u2, u3, u4; (d) u,. u2, u3
4.98. (a)dimU=3, (p) dim W=2, (y) dim(Un W)=l
4.99. (а) Ваот|: {(2,-1,0,0,0), (4,0,1,-1,0), (3,0,1,0,10}, dim W=3
(p) Baoi] : {(2,-1,0,0,0), (1,0,1,0,0)}, dim W=2
4.100. (a) 5x+y-z-s=0, x+y-z-t=0
(P)2x-z=0, 2x-3y+s=0, x-2y+t=0
4.101. (a) Nai
(P) 'Oxi, acpov dim Pn(t)=n+1, aXXa to ovvoXo rccpiEXEi povo n OToixEia.
4.102. (a) dim W=2, (P) dim W=3
4.103. dim W=2
4.104. (a) 3, (P) 2, (y) 3
4.105. (a) H!=4, л2 = 5, л3=л4=л5=0; (Ь) Л| = 4, л2 = 5, л3 = 2, л4=л5=0
4.106. (fl) (j) M = [1,2.0,1,0,3; 0,0,1,2,0,1; 0,0,0,0,1,2; 0];
(ii) C2,C4, C6; (iii) C„Cj,Cj; (iv) C6 = 3Q + C3 + 2C6.
(b) (i) M = [1,2,0,0,3,1; 0,0,1,0,-1,-1; 0,0,0,1,1,2; 0];
(ii) C2, C5, C6; (iii) C„ C3, C4; (iv) C6 = C, - C3 + 2CA
4.107. Oi A Kai C eivai ураццоюобиуацо! це tov j 4 j. aXXa о В 6%1.
4.108. Oi U। Kai U2 eivai ypappoiooSvvapoi це tov 1 [q । j aXXa о LJ3 oxi.
4.109. Oi U j, U2, U3 sivai ураццо(оо5оуацо1 це tov [ q ® ]
4.110. (a) (i) (1,3,1,2,1), (0,0,1,-1,-1), (0,0,0,4,7); (ii) Ch C2, C5.
(b) (i) (1,2,1,0,1), (0,0,1,1,2); (ii) CltC3
4.ПЗ . (a) ;]. «=[-; -j], (»> ^=[j«.[; j}
«Hi ?]
4.115. dim(UnW)=2, 3 f| 4
. 3x + 4y-z-r = 0 .... 4x + 2y-j = 0
4.117. (a) (0 4x + 2y + j = 0 (11) 9x + 2y + z + r = 0
(P) Bam]: {(l,-2,-5,0,0),(0,0,l,0,-l)},dim(UnW)=2.
4.118. To аброюца sivai svOv ота (P) Kai (y).
4.119. Etov R2, eotco oi U, V, W T| EvOsia y=x, о a^ovac; x Kai о a^ovac; y, avrioToixa.
4.122. (a) {(2,6), (2,7), (3,7), (3,8), (4,8)}
(Р) {(2,3), (3,4)}
(у) {(3,6), (6,9)}
(5) {(3,12), (3,15), (6,15)}
(е) Kai (от) {(6,18), (6,21), (9,21), (9,24), (12,24)} •
4.124. (a) Oi Siaycbvioi nivaKeg, (p) О V
4.128. (a) [-41,11], (p) [-7a-4b, 2a+b]
4.129. (a) [-11,13,-10], (p) [c-3b+7a, -c+3b-6a, c-2b+4a]
4.130. (a) [2,-1,-2,2], (p) [a, b-c, c-b+a, d-c+b—a]
4.131. (a) [7,-1-13,10], (p) [d, c-d, b+c-d, a-b-2c+2d]
4.132. dim W=2, paan: {t3+2t2-3t+4, t2+2t-l}
4.133. dim W=2, pam]: {[1,2,1,3,1,2], [0,0,1,1,3,2]}
4.134. (a) AaOog: та (1,1), (1,2), (2,1) napayovv tov R2.
(p) Etooro
(y) AaOog: (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), w=(0,0,0,l).
(8) Ecooro
(e) Ecooro
(or) Ecooto
4.135. (a) Ecooto.
(p) AaOog: yia napaSeiypa, 8iaypa<pr| тт|д C2 ano tov |_o
(у) Еаюто.
4.136. (a) |n(n+l), (p)~n(n—1), (y)n, (8)1
KccpdXaio 5
ГРАММ!KO! METAZXHMATIXMOI
5.1 Е1ЕАГПГН
То курю 0epaxiKO ^f|TT|p.a хт|д ypappiKfjg aXyePpag eivai т] peXexri tcov ypappiKcbv pexaoxnpaxiopcbv
Kai т] avanapaoxaari xovg pe popcprj mvaKCOv. To кесраХаю avxo рек; eioayei oxovg ypappiKovg pexa-
охцратюроид, eveb xo enopevo кесраХаю pag Seiyvei xo nebg oi ypappiKoi pexaoxrjpaxiopoi pnopovv
va avanapaaxaOovv pe nivaKeg.
5.2 METAEXHMATIEMOI, EYNAPTHEEIE
'Eoxco A Kai В 5vo avOaipexa, pTj-Keva ovvoXa. YnoOexovxag oxi axo ка0е oxoiyeio xov A avaxiOexai
eva povabiKO axoixeio xov B, xoxe r] avXXoyf|, f, xexoicov avaOeoecov ovopa^exai рехаохлрахюрбд ano
xo A oxo B, Kai ovpPoXi^exai pe
f: A-»B
To ovvoXo A ovopa^exai ne5io opiopov xov pexaoyr|paxiopov, eveb xo ovvoXo В ovopa^exai ovvoXo
oxoxcov. Tia xo povaSuco oxoixeio xov В xo onoio r| f avaOexei axo ae A, ypacpovpe f(a) Kai xo 8ia0a-
£ovpe “f xov a”.
Mnopei капоюд va 0ecopr|oei xo рехаахлрахюрб f: A->B cog eva TjXeKxpoviKO vnoXoyiaxri о onoiog,
yia кабе xiprj eiao5ov ae A, napayei pia povaSiKTj ё^оЗо f(a)e B.
Паратт|рт]<п]: О брод avvapxr|OT| xprpiponoienai cog ovvcbwpo xr|g Xe^qg рехаохпратюрбд, napo-
Xo nov pepiKa РфХ1а xp^oiponoiovv xr] Xe^r) “avvapxr|OT|” yia pexaaxnpaxiopovg npaypaxiKibv r|
cpavxaaxiKibv xipebv.
Ag Gecopfjoovpe eva pexaaxnpaxiopo f: A->B. Eav A' eivai eva onoio5f|noxe vnoavvoXo xov A,
xoxe xo f(A ) ovpPoXi^ei xo ovvoXo xcov eiKovcov xov A. EninXeov, eav B' eivai eva onoio5r|noxe
vnoavvoXo xov B, xoxe xo Г1 (B') avpPoXi^ei xo ovvoXo xcov oxoiyeicov xov A Kai r| eiKOva xov KaOevdg
ano xa oxoixeia avxa ppicncexai oxo B. ArjXaSfj,
f(A')={f(a): ae A') Kai Г1(В')={ае A: f(a)eB'}
Ovopatpvpe xo f(A') eiKovaxov A' koi xo Г'(В') avxioxpocprj eiKova r| npo-eiKova xov B'. LvyKeKpi-
peva, xo ovvoXo oXcov xcov eiKovcov, 5т|Ха5т1 xo f(A), ovopa^exai eiKova r| ne5io xipebv xov f.
Exov ка0е pexooyripaTiapo f: A->B avxioxoixei xo vnoavvoXo xov AxB nov Sivexai and xo {(a,f(a)):
ae A). Ovopa^ovpe xo ovvoXo avxo ypaepo xov f. Avo pexaaxnpaxiapoi f: A->B Kai g:
А->В opi^ovrai va eivai iooi, Kai ypacpoupe f=g, eav f(a)=g(a) yia кабе aG A, eav 5т|1а5т| exouv tov
iSio урасро. Па то Xoyo аитб Sev Kavoupe бюкрюг] рета^и pia<; ovvdpTT|or|<; Kai tov ypacpou тт|<;. H
apvr|OT| tov f=g ypacpeTai fag Kai eivai r| паракатсо бт|Хсоогр
Ynapxei eva ae A yia to onoio f(a)*g(a).
Мерскёе; срорёс; то “рарбсото” Pekoe; i—> xPrlCTllJ-O7COie^Tai Yia va ovpPokioei rqv eiKova evoe; avQai-
ретоо otoixeiov xg A vno eva ретаохпратюрб f: A->B ypaepovrae;
Avto SievKpivi^eTai ото акбХоибо napaSeiypa.
Парббпура 5.1.
(а) 'Еотсо f: R->R r| ovvapTT|on r| onoia avaQeTei otov кабе праурапкб аребцб x то тетраусоуб
tov x2. Mnopovpe va ovpPokioovpe tt| ovvapTT|on аитт| ypaepovTCn;
f(x)=x2 T| x I—> x1
EScb r| eiKova tov -3 eivai to 9, Kai ctoi pnopovpe va ypdyovpe f(-3)=9. 'Opcoe;, Г1(9)={3,-3}.
Enior|<;, r| f(R)=[0, ~)={x: x>0}eivai T| eiKova tov f.
(P) 'Еотсо A={a,b,c,d} Kai B={x,y,z,t}. Тбте та акбХоиба opi^ovv eva ретаохпратюрб f: A->B:
=y, f(b) = x, f(c) = z, f(d)= t T| f = {(a,y), (b,x), (c,z),
H прсотт| popepn opi^ei то ретаохпратюрб рпта, evcb и беитерп tov opi^ei pe то ypaepo tov.
EScb,
/((a, b, </}) = {f(a)J(b)J(d)} = (y,x,y] = (x.y}
Епшрбобета, и f(A)={x,y,z} eivai и eiKova tov f.
Парббыура 5.2. 'Еотсо V о SiawopaTiKoq x“P°9 noXucovupcov navco ото R, Kai еотсо p(t)=3t2-5t+2.
(a) H napaycoyoe; opi^ei eva ретаохпратюрб D: V->V onov, yia опо1абт|поте nokvcbwpa f(t),
exovpe D(f)=df/dt. 'Etoi
D(p) = D(3r2-5r + 2) = 6r-5
(P) To оХоккт|рсора, yia napaSeiypa ano 0 pexpi 1, opi^ei eva ретаохпратюрб J: V->R. Ат|Ха5т|,
yia опоюбппоте nokvcbwpo f(t),
<>(/) = £/(0 Л, KaieToi J(p) = £(3? - 5r + 2) = |
Паратт|робре oti о ретаохпратюрбе; ото (P) eivai and to SiawopaTiKd x®po V ото Рабрсотб neSio
R, evcb о ретаохпратюрбе; ото (a) eivai and to SiawopaTiKd xcbpo V otov еаото tov.
MeTaoxnpaTiopoi-nivaKee;
'Еотсо A Evaq опоюобг|поте mxn nivaKac; navco ото К. Тоте о A npooSiopi^ei eva ретаохпратюро
Fa: Kn->Km and tt|v
Fa(u)=Au
Fa(u)=Au
олои та бшубоцата ота Kn Kai Km ypacpovrai o-cqXEg. Па ларабвгуца, илобётоугад oti
^ = [2 ~з J] Kal w=[j]
TOTE
-«][_’] = [’“]
Пара-rqpqoq: Па oqpEioypacpiKq еикоИа, 0а оицРоЩоицв ovxva то цЕтао^цатюцб FA це то урац-
ца А, то г5ю 5qXa5q оицРоХо лои xpqoiponoiEiTai Kai yia tov л(уака.
EvvOeoti МЕтаст/тщатюцсоу
©ЕСорооцЕ ббо цЕтаохПЦатюцобд, f: А->В Kai g: В->С лои ларютауоутас сод £^qg:
A—L-+B—S-+C
Н cnjv0£GT| tcov f Kai g, лои оицРоЩЕтас це go f, Eivai о цвтаоэдцатюцдд go f: A->C лои opi^Erai алд
(gof)(a)=g(f(a))
Me aXka Xdyia, Есрарцд^оицЕ лрсота tov f ото ae A Kai ёлЕгса Есрарцд^оицЕ tov g ото f(a)e В yia va
лароицЕ то g(f(a))e C. ©Ecopcbvrag тоид f Kai g шд био qXEKTpoviKodg илоХоуютёд, т| ouv0£oq отщаь
vei va ЕюауауоицЕ ар%1ка то ае A yia va лароицв rqv ё^обо f(a)e В xpqoiponoicbvTag tov f, Kai отт]
оиуё%Е1а va ЕюауауоицЕ то f(a) yia va лароицв -rqv ё^обо g(f(a))e С хрт|О1Ц0Л01сЬутад tov g.
To лрсото цад Ова^ца цад Хёвс oti q ouv0£oq цвтаоэдцатюцсоу iKavonoiei tov лроо£та1рют1к6
УОЦО.
Овсордца 5.1: Еотсо f: А->В, g: В->С, h: C->D. Tote
ho (go f)=(ho g)o f
0a алобвУдоицв тсора то ©Ecbpqpa аитб. 'Еотсо ае А. Тоте
(ho(gof))(a)=h((gof)(a))=h(g(f(a))
((hog)of)(a)=(hog)(f(a))=h(g(f(a))
Ара (h° (go f))(a)=((ho g)o f)(a) yia каОв ae A, Kai ёто1 ho (go f)=(ho g)o f.
М£таор]цат1оцо1 'Eva-npog-'Eva koi Eni
0a yvcopioovpE тсора калоюид Kaivovpyiovg тилоид ЦЕтаоэдцатюцсоу.
Орюцбд: 'Evag цЕтао^цатюцбд f: А->В ovopa^ETai ёуа-лрод-ёуа (q 1-1) Eav бикрорЕпка
oqpEia too A 6%ovv бшсрорЕпкёд EiKOvsg, 5qXa5q:
(1) Eav a^a', tote f(ayf(a').
looddvapa,
(2) Eav f(a)=f(a'), tote a=a'.
Opiopdg: 'Evac; psraoxqpariopog f: A->B ovopa^srai sni (f| aXXicog о f anEiKovi^si to A navco
ото B) eav kclOe be В sivai r| EiKova svog tobXoxiotov ae A.
Орюрбд: О pETaoxqpariopog f: A->B ovopa^Erai Eva-npog-Eva avrioroixia рЕта^в A Kat В
Eav о f Eivai таитб^роуа Eva-npog-Eva Kai Eni.
IlapaSEiypa 5.3. 'Еотсо oti oi f: R->R, g: R->R, h: R->R opi^ovrai ano Tig
/(x) = r. g(x)=?-x, Л(х)=х2
Oi ypacpiKEg napaoraoEig tcov oBvaprqoEcov auTcbv cpaivovrai ото ЕхЛНа 5-1. H oBvaprqoq f Eivai
Eva-npog-Eva. fEcopETpiKct, авто oqpaivEi oti r| ка0Е opi^ovria ypappq 5ev nEpisyEi пЕрюобтЕра ano
Eva oqpEia rqg f. H OBvaprqoq g Eivai Eni. ГЕСорЕТрвса, авто oqpaivEi oti q ка0Е opi^ovria Ypappq
nEpiExei TOBkayiOTOv Eva oqpEio Tqg g. TsXog, q oBvaprqoq h Sev Eivai obte sva-npog-Eva obte Eni.
Ha napaSEiypa, арсрбтЕра та 2 Kai -2 e%obv Tqv ISia EiKova 4, evco to -16 5ev exei npo-EiKova.
TairroTiKoi koi Avriorpocpoi METaoxqpariopoi
'Еотсо A Eva onoioSqnoTE pq-KEvd obvoXo. О pETaoxqpariopog f: A-> А пов opi^Erai ano Tqv f(a)=a,
ano rq OBvaprqoq, SqXaSq, пов ava0ETEi ото ка0Е otoixeio ото A tov Еавто тов, Eivai о Xsyopsvog
тавтот1код pETaoxqpariopog. EopPoXi^Erai oBvq0cog pE 1A q 1 q I. ЕврпЕраорапка, yia onoioSqnoTE
ae А, ЁховрЕ lA(a)=a.
/(z) = 2* g(x) = x* - x A(z) = z1
Ewa 5-1
'Еотсо, тсора, f: A->B. Ovopa^oopE tov g: B->A avriorpocpo pEraoxqpariopo тов f, Kai урасроврЕ
Г*, Eav
f°g = iB Kai g°f=h
Tovi^Erai on о f exei avriorpocpo Eav Kai povo Eav Eivai pia Eva-npog-Eva avrioroixia рЕта^в A Kai
B, Eav SqXaSq о f Eivai Eva-npog-Eva Kai Eni (IlpopXqpa 5.7). EninXsov, Eav be B, tote Г’(Ь)=а, бпов
то a Eivai то povaSiKO otoixeio тов A yia то onoio f(a)=b.
53 ГРАММ1КО1 METAEXHMATIEMOI (ГРАММ1КЕЕ AIIEIKONIEEIE)
Ag ^EKivqooBpE pE Eva opiopo.
Орюрбд: 'Еотсо oi V Kai U SiavoopariKoi xcbpoi navco ото ISio пе81о К. 'Evag pETaoxqpariopog
F: V->U KaXsirai уращикдд цегаахчцатюцд^ q уращикг) aneiKoviari Eav iKavonoisi
rig паракатсо Зво oBv0f|KEg:
(1) fia onoioSqnoTE SiavBopara v,we V, F(v+w)=F(v)+F(w).
(2) Па олою8т|лоте apiOpo к Kai 8iavuopa vg V, F(kv)=kF(v).
Me dXAa Xoyia, о F: V->U Eivai ypappiKog Eav “8iaTT|pei” ng Svo PaoiKEg npa^eig Ev6g Siawopa-
tikov x^pov, 8qXa8q avif] Tqg npoo0eoqg Kai avif] tov РаОцсотоб лоХХалХаошороб.
AvriKaOiorcovrag то k=0 отт] ovvOrjKq (2), ^aipvovpE F(0)=0. 'Etoi, олоюо8т|лоте ypappiKog рвта-
oxqpaTiopdg цЕтасререс то pq8sviKd 8iawopa ото pq8EviKo 8iawopa.
Тсора, yia олоюуо8г|лоте apiOpovg a,be К Kai оло1о8т|лоте 8iawopa v,G V, naipvovpc
F{av + bw) = F{av) + F(bw) = aF(y) + bF(w)
TEViKOTEpa, yia олоюуо8г|лоте apiOpovg a,G К Kai олою8т|лоте 8iawopa v,g V, exovpe tt|v ларака-
тсо paoiKT) i8i6TT|Ta tcov ypappiKcbv pETaoxqpaTiopcov:
F(ait>i + a2v2 + ... + a„vm) = + a2F(i>2) +... +
Паратт|р1|<л]: 'Evag ypappiKog pETaoxqpaTiopdg F: V->U xapaKrqpi^eTai лХт|рсод ало тт| ovv0t)kt|
F(av+bw)=aF(v)+bF(w) (*)
Kai etoi q ovv0t]kt| avif] xpqoiponoieiTai рерькед cpopeg cog о opiopdg tov.
ПарббЕвуца 5.4.
(a) Eotco F: R3->R3 о ретаохт]рат1орбд-“лроРоХг|” ото ху-ел(ле8о, 8qAn8q о F Eivai о pETaoxq-
рапорбд nov opi^ETai алб rqv F(x,y,z)=(x,y,0). 0а 8ei^ovp£ oti о F Eivai ypappiKog. 'Eotco
v=(a,b,c) Kai w=(a',b',c'). Tote
F(u + w) = F(e + o', b + b', c + c') = (a + a', b + b', 0)
= (a, b, 0) + (o', b', 0) = F(u) + F(w)
Kai, yia олою8т|Лоте api0po k,
F(kv)=F(ka,kb,kc)=(ka,kb,O)=k(a,b,O)=kF(v)
ПрокблтЕц Xoutov, oti о F Eivai ypappiKog.
(P) 'Eotco G: R2->R2 о ц£таохлратюц6д-“|1£тасрраот|” лоо opi^ETai ало rqv G(x,y)=(x+1, y+2).
[O G, 8qXa8q, лроо0£ТЕ1 то 8iawopa (1,2) oe олою8т|лоте 8iawopa v=(x,y) otov R2]. Eq-
pEicbvETai 6ti
G(0)=G(0,0)=(l,2>0
Evvencbg, to pq8EviKO 8iawopa 8ev anEiKovi^ETai ото pq8EviKO 8iawopa Kai yia to Xoyo
ауто о G 8ev Eivai ypappiKog.
napdSsiypa 5.5. (МЕтаохлцатюцбд-Параусоуод Kai MEraoxqpaTiopog-OXoKXripcopa) ©Ecopov-
це to 8iawopaTiK0 X“P° V=P(t) yia noXvcbwpa лаусо ото лрауцатскб ле8ю R. 'Еотсо u(t) Kai v(t)
оло1о8т|лоте noXvcbwpa otov V Kai eotco k Evag олоюо8т|лоте apiOpog.
(a) Eotco D: V->V о цетаохлцатюцбд-лараусоуод. Me paGqpaTiKO Xoyiopo ало8Е1КУУЕта1 oti
d(u + o) _du dv d(ku) _ du
dt ~di + di Kai ~di~~kdi
AqXa8q, D(u+v)=D(u)+D(v) Kai D(ku)=kD(u). Apa о цЕтаохлцатюцбд-лараусоуод Eivai ypap-
piKog.
(Р) 'Еотсо о J: V-»R evag ретаохт|ЦИ'п<’Цб<5_о^окА.1!|рсора, Yia ларабегура о
J(/(0) = {/(')<*
Me ра0т|рат1ко Хоуюро, ndXi, апобехкуоетах отх
£[(«(0 + р(0]Л = u(t) * + «0 dt
ках
j" М0Л = *|и(0Л
△т|Хабт], J(u+v)=J(u)+J(v) каг J(ku)=kJ(u). Enopevcog о ретаахг|рат1ор6д-оХокА.г]рсора ei-
vai ypappiKdg.
Парббыура 5.6. (Mr]5eviKoi Kai Таототхкох Метаохг|ратюро1)
(а) 'Еотсо F: V->U о ретаахг|рат1ор6д nov avaOeTei то pr]5eviK6 5iawopa Oe U oe олою5т|лоте
5iawopa ve V. Тоте, yia олоюбплоте 5iavvopaTa v,we V Kai олою5г]лоте apiOpo ke K, e/ovpe
F(i» + w) = 0 = 0 + 0 = F(i») + F(w) Kai F(b) = 0 = kO = kF(v)
Evpnepaivovpe, Xomov, oti о F eivai ypappiKog. О F eivai о ovopa^dpevog pr|5eviK6g рета-
охг|ратюр6д, Kai ovvr|0cog оирРоЩетах pe 0.
(P) ©ecopovpe tov tovtotiko ретаохг|ратюр6I: V-> V, о onoiog aneiKovi^ei ка0е ve V otov eavTO
tov. Тоте, yia оло1абт|лоте 5iavvopaTa v,we V Kai олоюуобт|лоте apiOpovg a,be K, e/ovpe
I(av + bw) = av + bw = al(y) + bl(w)
Evvencbg о I eivai ypappiKog.
To enopevo 0ecbpr|pd pag (to onoio ano5eiKvveTai ото ПрбрХт]ра 5.13) pag 5ivei pia nXr]0cbpa
napa5eiypdTcov ypappiKcbv ретао%г|рат1орсЬу. EvyKeKpipeva, pag Xeei oti evag ypappiKog ретаа%г|-
ратюрод npoo5iopi£eTai nXripcog ano Tig Tipeg tov navco ота oTOi%eia piag pdorjg.
©ecbpTjpa 5.2: 'Еотсо oi V koi U 5iawopaTiKoi%cbpoinavco oe evane5io К.'Еотсото {vbv2,.. .,vn} pia
Pdor] tov V Kai ёотсо та u],u2,...,un опо1абт|поте 5iavvopaTa otov U. Тоте, vnap/ei
evag pova5iKog ypappiKog ретаохт]ратюр6д F: V->U тётоюд сооте F(v1)=u1,
F(v2)=u2,...,F(vn)=un.
Tovi^eTai oti та 5iavvopaTa ubu2>.. .,1^ ото ®есорт]ра 5.2 eivai evreXcbg av0aipeTa: pnopei va eivai
ypappiKa ave£dprr]Ta i) pnopei акорт] va eivai Kai ioa рета^и Tovg.
nivaKeg cog Грарржо! МетаохПЦаТ1ОР°1
'Еотсо A evag опоюобг]поте прауратскод mxn nivaKag. Ynev0vpi^eTai oti о A npooSiopi^ei eva рета-
охцратюрб Fa: Kn->Km ano -n]v Fa(u)=Au (onov ta 5iavvopaTa ота Kn Kai Km ypacpovrai cog ottj-
Xeg). ©a Sei^ovpe oti о Fa eivai ypappiKog. Me noXXanXaoiaopo mvaKcov,
Fx(v + w) = A(v + w) = Av + Aw = FA(v) + FA(w)
FA(kv) = A(kv) = k(Av) = kFA(v)
Me aXXa Xoyia, xpqoiponoicbvTag tov A yia va avanapaorqoovpe то ретаохпи^^цо, exovpe
A(y + w)=Av + Aw Kai A(kv) = k(Av)
'Etoi, о peTaaxqpaTiopdg-nivaKag A eivai ypappiKog.
loopopcpiopdg AiawopaTiKcbv Xcbpcov
H ewoia tov лоте Svo SiawopaTiKoi ycbpoi eivai loopopcpiKoi opiovqKe ото КесраХаю 4 onov е£ета-
oape тк; ovvTETaypeveg evog SiawopaTog cog npog pia Paoq. 0a opioovpe, тсора, £ava avvq vr|v
ewoia.
Орюрбд: Avo SiawapaTiKoi xcbpoi V Kai U navco ото К eivai loopopcpiKoi, Kai ypacpovpe V = U,
eav vnapxEi evag ypappiKog, eva-npog-eva avnoTOiyia ретаохпцат1стц6<5 F; V->U. О
peTaoxqpaTiopog F, тбте, Хере oti eivai evag юорорсрюрбд рета^и V Kai U.
©ecopovpe олою5т|лоте SiawopaTiKd xcbpo V SiaoTaoqg n Kai еотсо S оло1а5т|лоте Paoq tov V. Тбте,
о ретаохпратюрб»;
v i-> Ms
о олою»; aneiKovi^ei то кабе Siawopa ve V ото Siawopa ovvreTaypevcov tov, [u], eivai eva»; юорор-
cpiopog рета^и V Kai Kn.
5.4 О OYPHNAE KAI H EIKONA ENOE TPAMMIKOY METAEXHMATIEMOY
EeKivcbvTag, 0a opioovpe Svo ewoieg.
Орюрбд: 'Еотсо о F: V->U evag ypappiKog ретаохпратюрдд. О nvpqvag tov F, лоу ypacpeTai
Ker F, eivai to ovvoXo tcov oroixeicov otov V та onoia aneiKovi^ovrai ото pqSeviKd
Siawopa 0 otov U. AqXaSq,
KerF = {ve F:F(v) = 0)
H eiKova (q to леЗю Tipcbv) tov F, nov ypacpeTai Im F, eivai to ovvoXo tcov oqpeicov -
eiKdvcov ото U. AqXaSq,
ImF={ue U: vnapxEi eva ve V yia то onoio F(v)=u}
ЕбкоХа anoSeucweTai to okoXovOo Oecbpqpa (IlpdpXqpa 5.22).
Oecbpqpa 5.3: Eav о F: V->U eivai evag ypappucog ретаохпратюрдд, тбте о nvpqvag tov F eivai
evag vnoycbpog tov V Kai и eiKova tov F eivai evag vnoycbpog tov U.
Ag vnoOeoovpe тсора oti та V|,v2,...,vm napayovv eva vnoxcbpo V Kai 6ti о F: V->U eivai ypappi-
кдд. 0a Sei^ovpe oti та F(v1),F(v2),...,F(vm) napayovv rqv Im F. 'Еотсо uelm F. Тбте, vnapxEi eva
ve V тётою сооте F(v)=u. Acpov та Vj napayovv tov V Kai acpov ve V, 0a vnapxovv api0poi aba2,....^
yia Tovg onoiovg
v = a1v1+a2v2 + ...+amt>m
'Etoi,
и = F(V) = F(aiVl + +... + amvm) = aiF(v,) 4- a2F(v2) +... + amF(v„)
Zvvencbg, та SiavvopaTa F(v1),F(v2),...,F(vm) napayovv -rqv Im F.
Ag SiaTvncboovpe, тсора, титака то napanavco апотёХеоца.
Прбтастт) 5.4: Упобётоуре отс та vbv2,.. .,vm napayovv eva SiawapaiiKO xcbpo V. Упобётоуре, eni-
orjg, отс о F: V->U eivaiypappiKog. Тоте, та F(V|),F(v2),.. ,,F(vm) napayovv Tqv Im F.
Парйбегура 5.7.
(а) 'Еотсо F: R3->R3 г] проРоХт) evog SiavvopaTog v ото xy-enineSo [oncog cpaiveTai ото Exnpa 5-
2(a)], Д1]Ха5т|
F(x,y,z)=(x,y,0)
Eivai cpavepo oti i] eucova tov F eivai оХдкХг|ро то xy-enineSo, orjjieia 8r]Xa3f| Tqg popcpf|g (x,
y, 0). EninXeov, о nvpr|vag tov f eivai о a^ovag z, or|peia 8т|ХаЗг| тг|д popcpfjg (0,0, c). Ar|Xa5r|,
Im F={(a,b,c): c=0}=xy-enine5o Kai Ker F={(a,b,c): a=0,b=0}=a^ovag z
(P) 'Еотсо G: R3->R3 о урацщкбд ретаохпратюрод nov nepiorpecpei eva Siawopa v yvpco and
tov a£,ova z реосо piag ycoviag 6 [oncog aneiKovi^erai ото ЕхПЦа 5~2(P)]• Ai]XaSf|,
G(x,y,z)=(xcos 6-ysin 6, xsin 6+ycos 6, z)
Паратт|робр€ oti r| апботаот] evog SiavvopaTog v ano Tqv архп tcov a^ovcov О Sev aXXa^Ei
ката tt|v перютросрд, Kai etoi to prjSeviKO Siawopa 0 aneiKOvi^erai ото pr|6eviK6 Siawopa
0. Enopevcog Ker G={0}. And tt]v aXXr], то кабе Siawopa u otov R3 eivai л eiKova evog Siavv-
opaTog v otov R3 t] onoia pnopei va Xr|(p0Ei перютрёсроутад то u nioco ката pia ycovia б. Ката
ovveneia Im G=R3, оХ6кХг|род 8г]ХаЗг| о xcbpog.
IlapdSEiypa 5.8. ©ecopovpe tov SiawopaTiKO X“P° V=P(t) and noXvcbwpa navco ото прауратско
neSio R, Kai ёотсо H: V->V о теХеотт|д-тр1тт] napaycoyog, 8т|Ха8т| H[f(t)]=d3f/dt3. [Мерисёд срорёдуш
tov H xpi]<JiponoieiTai о oupPoXiopog D3, onov о D eivai о теХеотг|д-лараусоуод]. loxvpi^dpaore,
тсора, oti
Ker H= {noXvcbwpa Раброб <2 }=P2(t) Kai Im H=V
О прсотод loxupiapog npoKvnrei and to yeyovog oti H(at2+bt+c)=0 aXXa H(tn)*0 yia n>3, eveb о Зебте-
pog loxvpiopog anoppdei and to yeyovog oti to кабе noXvcbwpo g(t) otov V eivai т) тр!тт| napaycoyog
Kanoiov noXvcovvpov f(t) [koti nov pnopei va Xr|cp6ei vnoXoyi^ovrag xpeig срорёд tt]v avn-napaycoyo
tov g(t)].
Exnpa 5-2
Ilvpriva; Kai Eix6va M£Taoxnp<iTiop6v-niv6K(ov
A; 0Ecopf|oovpE eva 3x4 л(уака А кои тт| ovvt|0iopevt] paor| {e],e2,e3,e4} tov К.4 (ураррЁУТ] cot; ott|-
SiavvopaTa otov; К.4 кас К3 0EcopovvTai coc; SiavvopaTa отт|Хт|;. EScb та SiavvopaTa ттц; ovvqOiopE-
vt|; Paor]; rcapayovv tov K4, etoi oi eikove; tov; AebAe2,Ae3,Ae4 napayovv tt|v eikovo tov A. 'Opto;,
та SiavvopaTa AebAe2,Ae3,Ae4 Eivai акрфсо; oi ott|Xe; tov A:
Ле, = [alt Sb Cj]r, Ле2 = [a2, b2, c2]T, Ae3 = [a3, b3, с3]г, Ле4 = [a4, b4, c4]T
Apa Xoucov, t] eikovo tov A Eivai акрфсо; о X“P°; ott|1cov tov A.
Алб tt|v aXXr], о 7tvpf|va; tov A алотвХНта! ало 6Xa та SiavvopaTa v yia та оло(а Av=0. Avto
oripaivEi oti о луртра; tov A Eivai о X“P°; Xuoecov tov opoysvov; оиотт|рато; AX=0, nov ovopa^E-
Tai jjrjdEviKdqxcbpoq tov A.
△штилсоуоирЕ, тсора, толиса та ларалаусо алотвХЁората.
Прбтася] 5.5: 'Еотсо о A eva; олоюо8т|лоте mxn лгуака; лаусо ое eva ле8(о К о олою; ©ECopEaai
со; piaypappiKT) алЕ1коуюг| А: Кп->Кт. Тоте,
Ker А = nullsp(A) and Im А = colsp(A)
EScb to colsp(A) ovpPoXi^Ei to X“P° сгтт|1сЬу tov A, evco to nullsp(A) ovpPoXi^Ei to phSeviko X“P°
tov A.
Ba0p6; xai Мд5£У1к6тг]та ev6; Граррисои Мставхпратюрои
'Еотсо о F: V->U evo; ypappiKO; рЕтаохпратюрб;. О Pa0p6; tov F [лоу ypacpETai rank(F)] opi^ETai
co; t] SiaoTaoi] tt|; eikovo; tov, evco г] рт]бЕУ1кбтт|та tov F [лоу ypacpETai nullity(F)] opi^ETai co; n
Siaoraori тои лурт|уа tov. Дт|Ха8г|,
rank(F)=dim(Im F) Kai nullity(F)=dim(Ker F)
Ioxvei то ларакатсо oripavriKO 0Ecbpr|pa (лоо ало8Е1КУУЕта1 ото ПрбрХт|ра 5.23).
ОЕсЬрдра 5.6: 'Еотсо oti о V Eivai ЛЕЛЕраорЁУТ]; SiaoTaoi]; Kai еотсо о F: V->U ypappiKO;. Tote,
dim V=dim(Ker F)+dim(Im F)=nullity(F)+rank(F)
Ул£у0ур{^£та1 oti о Pa0pd; evo; лп/ака A eixe opiorEi ел(от]; va Eivai r) SiaoTaoi] tov x^pov
OTT|lcbv Kai tov x<bpov ypappcbv tov. Eav 0Ecopr|oovpE тсора tov A co; 6va ypappiKO рЕтаохпрсссюрб,
tote vcpioTavTai Kai oi Svo opiopoi, ка0со; rj eikovo tov A Eivai акрфсо; о x^P0? crtT|lcbv tov.
ПарйбЕвура 5.9. 'Еотсо F: R4->R3 о ypappiKO; рЕтаохпратюрб; лоу opi^ETai ало tt|v
F(x,y,z,t)=(x-y+z+t, 2x-2y+3z+4t, 3x-3y+4z+5t)
(a) Na Ppeite pia Paoq Kai т| Siaoraoq тт|д eucovac; тои F.
BpioKOvpe ярсота tt|v eiKova tcov Siawoparcov rq<; ovvqOiopevq^ pdoq^ too R4,
F( 1,0,0,0)=( 1,2,3), F(0,0,1,0)=( 1,3,4),
F(0,1,0,0)=(-1 ,-2,-3), F(0,0,0,1 )=( 1,4,5)
Аяб tt|v IlpOTaoq 5.4, та Siavvopara eiKovac;napayovv tt|v Im F. Apa, ano tov nivaKa M tov
onoiov oi ураррёд eivai avra та Siavvopara eiKovac; Kai о onoioc; avayerai pe OTOiyeicbSei^
Ката ovveneia, та (1,2,3) Kai (0,1,1) oxqpaTi^ovv pia paoq rq<; Im F. 'Etoi, dim(Im F)=2 Kai
rank(F)=2.
(P) Na ppeire pia Paoq Kai q Siaocaoq tov nvpqva rqc; eiKovac; tov peraoxqpaTiopov F.
©ётоуре F(v)=0, onov v=(x,y,z,t),
F(x,y,z,t)=(x-y+z+t, 2x-2y+3z+4t, 3x-3y+4z+5t)=(0,0,0)
E^iocbvovpe рета^и rovq rovq avrioroiyovg opovq yia va o%qparioovpe to okoXovOo opoyeveg
ovorqpa tov onoiov о ycbpo^ Xvoecov eivai о Ker F:
x- y + z+ r = 0 x-y+z+ t = 0 x-y+2+ t = o
2x-2y + 3z + 4t = Q , z + 2t = 0 , »
3x-3y + 4z + 5t = Q П z + 2t = 0 П z + 2t-0
Oi eXevOepe^ ретарАл]тё<; eivai та у Kai t. Apa dim(Ker F)=2 q nullity(F)=2.
(i) ®ётоуреу=1, t=0 yia va napovpe rq Xvoq (-1,1,1,0),
(ii) ©erovpe y=0, t=l yia va napovpe rq Xvoq (1,0,-2,1).
Lvpnepaivovpe, Xoinov, oti та (-1,1,0,0) Kai (1,0,-2,1) oxqpari^ovv pia Paoq yia tov Ker F.
'Опак; avapevape ano to Oecbpqpa 5.6, dim(Im F)+dim(Ker F)=dimR4..
Ecpappoyf] ora LvcrrqpaTa ГpappiKcbv E^iocboecov
'Еотсо AX=B q SqXcooq evoc, ovorqparoc; ypappevov pe popcpq nivaKcov, pe m ypappucec; е^юсооец
Kai n ayvcborovg Тсора о nivaKag A pnopei va OecopqOei coc; eva^ ypappiKog peraoxqpariopo^
A: Kn-»Km
Enopevcoc;, q Xvoq rqc; e^iocooqc; AX=B pnopei va OecopqOei cot; q про-eiKova tov Siavvoparoc; Be Km
vno to ypappiKo peraoxqpaTiopo А. ЕпшрооОета, q Xvoq tov av-aoTOiyov opoyevov^ ovocqpaTOc;
AX=0
pnopei va OecopqOei cog о nvpqvag tov ypappiKOv peraoxqpaTiopov A. Ecpappo^ovrac; to Oecbpqpa
5.16 oe аотб to opoyeveg ovorqpa, oSqyovpaore orqv
dim(Ker A)=dim Kn-dim(Im A)=n-rank A
To n, соотбоо, eivai акрфсод о api0pdg tcov ayvcboTCov ото ороуеуёд оиоттща AX=0. MoXig алобе^а-
pe, Хотлоу, то ак6Хои0о бесоргща той KecpaXaiov 4.
©есорпра 4.19: H бюотаоп той xcopov Xuoecov W evog opoyevovg оиотт|ратодypappiKcbv е^юсо-
oecov AX=0 eivai s=n-r, олои то n eivai о apiOpog tcov ayvcborcov Kai то г о Pa0-
pog тои лсуака ouvreXeorcbv A.
Паратт]роире oti to r eivai ereior|g о api0pog tcov PaoiKcbv ретарХт]тсоу oe pia кХщаксотт] popcpf]
тои AX=0, ётос то s=n-r eivai о api0pog tcov eXeu0epcov ретарХт]тсоу. ЕлслХёоу, та s SiavvopaTa
Xvoecov tov AX=0 nov лертурац/аре ото ©есортща 3.12 eivai ypappiKa ауе^артща (ПрорХтща 4.52).
ТёХод, ка0сод dim W=s, oxnpaTi^ovv pia Раот] yia to x^po Xvoecov W. Елорёусод, ё%оуре ел long
алобе^ег Kai то ©есортща 3.12.
5.5 IAIAZONTEE KAI MH-IAIAZONTEE TPAMMIKOI METAEXHMATIEMOI, IEO-
МОРФ1ЕМО1
'Еотсо о F: V->U ёуад ypappiKog ретао%тщат1ор6д. Yreev0vpi^eTai oti F(0)=0. Лёре oti о F eivai
idia^cov eav T] eiKova калоюу pT]-pT]5eviKOV SiavvopaTog v eivai 0, eav vreapxei 5т]Ха5т| какою v#0
тётою сооте F(v)=0. Kari ало то олою лрокилтег oti о F: V->U eivai pT|-i5ia^cov eav то pT|5eviKO
Siawopa 0 eivai to povaSiKO Siawopa tov олоюо t] eiKOva олб tov F eivai 0, f|, pe aXXa Xoyia, eav
Ker F={0}.
flapaSeiypa 5.10. ©ecopovpe tt]v але1к6уют]-лроРоХг| F: R3->R3 Kai tt]v алескбуюп-лерютро-
<pf| G: R3->R3, лоу рХёлоире ото ЕхПМа 5-2. (ВХёле IlapaSeiypa 5.7.) Ecpooov о лирпуад tov F eivai
о a^ovag z, о F eivai iSia^cov. Ало ttjv аХХт], о лирпуад tov G алотеХепат povo ало то pT]8eviKO
Siawopa 0. Еууелсбд о G eivai pr]-i8ia^cov.
Oi pT]-i8ia^ovreg ypappiKoi ретаохпратюро! рлоробу ел{от|д va характпрютобу cog oi ретаохпра-
Tiopoi eKeivoi лоу ретасрёроиу ауе£артт]та ovvoXa oe ауе£артт]та ovvoXa. Еоукекрсрёуа, алобес-
Kwovpe (ПрорХтща 5.28) то Оесортща лоу акоХоиОеь
©есортща 5.7: 'Еотсо о F: V->U ёуад pr]-i8ia^cov ypappiKog ретаохпратюрод. Тоте, т] eiKova олоюо-
8т|лоте ypappiKa ауе£артт]тои ovvoXov eivai ypappiKa ave^ap-пуп].
loopopcpiopoi
Eav илоОёооире oti ёуад ypappiKog ретаохпратюрод F: V->U eivai ёуа-лрод-ёуа, тоте povo то Oe V
рлоре! va алеисоуюте! ото Oe U, Kai ёто1 о F eivai pn-i6ia^cov. To avrioTpocpo eivai етаопд аХпОёд.
'Etoi, eav илоОёооире oti о F eivai pn-i5ia^cov Kai F(v)=F(w), тбте F(v-w)=F(v)-F(w)=0, Kai apa v-
w=0 f| v=w. Еоуелсод n F(v)=F(w) ооуелауетас oti v=w, 8nXa8f| о F eivai ёуа-лрод-ёуа. Елорёусод
алобе^аре thv акбХоиОп лрбтаоп-
Прбтасн] 5.8: 'Evag ypappiKog ретаохпратюрод F: V->U eivai ёуа-лрод-ёуа eav Kai povo eav о F
eivai pn*i8ia^cov.
Улеу0ир(^ета1 oti ёуад ретаохпратюрод F: V->U KaXeirai юорорсрюрбд eav о F eivai ypappiKog
Kai TavTdxpova ёуа-лрод-ёуа avTioTOixia , eav 8nXa8f| eivai ёуа-лрод-ёуа Kai ел1. УлеуОир^етаг
елюпд oti ёуад SiawopariKog хсород V Хёре oti eivai loopopcpiKdg pe ёуа SiawopaTiKO x<opo U, Kai
ypacpovpe V = U, eav илархет ёуад юорорсрюрбд F: V->U.
loxvei то ларакатсо Оесорпра (то олою алобескуиетат ото ПрбрХпра 5.29).
0£d>pi|jia 5.9: Упобётооре oti о V e%ei пепераорёут) бшотаот] Kai oti dim V=dim U. Упобётоире,
eniorig, oti о F: V->U eivai урацщкбд. Тоте, о F eivai evag юорорсрюрбд eav Kai povo
eav о F eivai pT]-i8ia£cov.
5.6 ПРАЕЕ1Е ME ГРАМ MI KO YE METAEXHMATIEMOYE
Mnopovpe va ovv8va£ovpe ypappiKovg ретаохпратюроид pe Siacpopovg rponovg yia va pag 8ivovv
veovg ypappiKoug ретаохпратюроид. Oi npa^eig аитёд eivai noXv ат|раут1кёд Kai 6a %pr|oiponoioij-
vrai ouxva orq оиуёхею tov РфХюи.
'Еотсо oi F: V->U Kai G: V->U ypappiKoi ретаа%г|рат1аро1 navco oe eva ne8io К. To аброюра F+G
Kai о Рабрсотод noXXanXaoiaopog kF, onov ke K, opitpvrai va eivai oi паракатсо ретао%г|ратюро1
ano tov V otov U:
(F+G)(v) = F(v)+G(v) Kai (kF)(v) = kF(v)
0a беЦрире тсора oti, eav oi F Kai G eivai ypappiKoi, тоте oi F+G Kai kF eivai enioqg ypappiKoi.
Еиукекрсрёуа, yia оло1а8г|лоте SiavvopaTa v,we V Kai олоюио8г|лоте api6povg a,be K,
(F + G)(av + bw) = F(av + bw) + G(av + bw)
= aF(v) + bF(w) + aG(v) + bG(w)
= a[F(0 + G(0] + 6[F(w) + G(W)]
= a(F + G)(v) + 6(F + G)(w)
Kai
(AFXao + bw) = kF(av + bw) = k[aF(v) + bF(w)]
= akF(y) + bkF(w) = a(kF)(v) + b(kF)(w',
Ката оиуёпею oi F+G Kai kF eivai ypappiKoi.
loxvei то паракатсо бесорпра.
0ecbpi|pa 5.10: 'Еотсо oi V Kai U SiawopariKoi %cbpoi navco oe ёуа neSio К. Тоте, r| оиХХоуи
oXcov tcov ypappiKcbv peTao%r|paTiopcbv ano tov V otov U pe Tig napanavco
npa^eig тт|д прообеот|д Kai tov Рабрсотои noXXanXaoiaopov, o%r|paTi^ovv eva
SiawopaTiKO xcbpo navco ото К.
О SiawopaTiKog xcbpog tcov ypappiKcbv peTaoxnpatiopcbv ото mo navco 0ecbpr|pa 5.10 oupPoXi^erai
ovxva pe
Hom(V,U)
E8cb, то Hom проёр%ета1 ano th Хё^п “homomorphism” nov OT|paivei ороюрордлордд. Tovi^erai oti
П anoSei^T] tov ©есориратод 5.10 pag avayei ott]v апобеф] tov oti to Hom(V,U) Sev ucavonoiei та
октсЬ a^icbpara evog SiawopariKOv xcbpov. To pT]8eviKo oroixeio tov Hom(V,U) eivai о pT]8eviKog
ретаохпратюрод ano tov V otov U, nov ovpPoXi^erai pe 0 Kai opi^erai ano tt|v
0(v)=0
Tia опою8т|поте Siawopa ve V.
Eav опобёоооре oti oi V Kai U eivai пепераорёудд 81аотаот|д, тоте ёхооре то паракатсо 6ecbpr|pa.
0ecbpi|pa 5.11: Eav упобёоооре oti dim V=m Kai dim U=n, тоте dim[Hom(V,U)]=mn.
EvvOe<h| TpappiKiov Метаохпратшрсоу
Улобетоире, тсора, oti oi V, U Kai W eivai SiavoapariKoi xcbpoi navco ото ISio neSio К. Улобетоире,
enioqq, oti oi F: V->U Kai G: U->W eivaiypappiKoi ретаохцратюроь napiaravovpe rovq peraaxq-
pariapovq avrovq coq e£,qq:
V X U W
Ynev6vpi£erai oti t| ovvaprqoq ovv6eoqqG<>F eivai о peTaoxqpariapdq ало tov V otov W лои opi^erai
ало rqv (G°F)(v)=G(F(v)). 0a Sei^ovpe oti о G°F eivai ypappiKoq олоте oi F Kai G eivai ypappiKoi.
LvyKCKpipeva, yia onoiaSqnoTe Siavuopara v.we V Kai onoiovaSqnoTe api6povq a,be К, exovpe
(G ° F)(av + bw) = G(F(at> 4- bw)) = G(aF(v) 4- bF(w))
= aG(F(t>)) 4- bG(F(w)) = a(G о F)(c) 4- b(G о F)(w)
Apa о G°F eivai ypappiKoq.
H ovv6eoq ypappiKcbv peraaxqpaTiapcbv Kai oi npaijqq rqq npoa6eaqq Kai той Рабрсотоо noXXa-
nXaoiaopou oxeri^ovrai coq aKoXou6coq.
©есорцра 5.12: 'Еотсо oi V, U, W SiavoapariKoi xcbpoi navco ото К. Yno6erovpe oti oi акоХоо-
6oi peraoxqpaTiapoi eivai ypappiKoi:
F:V->U, F'.V -► U Kai G\U W, G'.U^-W
Тоте, yia onoioSqnore api6po ke K:
(i) Go(F4-F') = GoF4-GoF'.
(ii) (G4-G/)°F = GoF4-G'oF.
(iii) Jt(GoF) = (*G)°F = G°(kF).
5.7 H ААГЕВРА TPAMMIKQN TEAEETQN A(V)
'Еотсо о V evaq SiavoapariKdq xcbpoq navco ae eva neSio K. Erqv napaypaipo aurq 6a e^eraaovpe pia
eiSiKq nepinrcooq ypappiKcbv peraoxqpaTiopcbv ano to SiawapariKO xcbpo V orov eavro tov, SqXaSq,
peraoxqpariapovq rqq popcpqq F: V-> V. Oi peraoxqpaTiopoi avroi ovopa^ovrai ypappiKoi геЛесгг£?г|
ypappiKoipeiaaxppaxiapoiotov V. 0a ypaipovpe A(V) avri Hom(V,V), yia то xcbpo oXcov tcov peraoxq-
pariapcbv rqq Karqyopiaq avrqq.
О A(V), тсора, eivai evaq SiavoapariKoq xcbpoq navco ото К (©ecbpqpa 5.8), кас, eav dim V=n, тоте
dim A(V)=n2. AKopq, yia onoiovaSqnore peraoxqpariopovq F,Gg A(V), q ovv6eoq G°F vnapxei Kai
avqKei enioqq otov A(V). 'Exovpe, Xoinov, eva “noXXanXaaiaapo” opiapevo otov A(V). [MepiKeq (po-
peq ypaipovpe FG avri G°F ото xcbpo A(V).]
Паратдр1](П|: Mia aXyePpa A navco ae eva neSio К eivai evaq SiavoapariKoq xcbpoq otov onoio pno-
pei va opiarei iKavonoiqriKa pia npa^q noXXanXaaiaapov, yia кабе F,G,Hg A Kai кабе ke K:
(i) F(G + lf) = FG + FH,
(ii) (G4-W)F = GF4-HF,
(iii) k(GF) = (kG)F = G(kF).
H aXyePpa ovopa^erai enioqq Kai npooeuupumKri, eav, ешпроабета, (FG)H=F(GH).
О лю лаусо орюрбд piag аХуе₽рад ое ovvSvaopd це прочуобреуа ©есорчрата рад Sivovv то акб-
Xov0o апотёХеора.
©ecbpqpa 5.13: 'Еотсо о V evag SiawopaTiKdg xcbpog лаусо ото К. Тоте т| A(V) eivai pia лро-
оетасрютпсч аХуеРра лаусо ото К ое охёоч це rq ovv0eoq цетаохтщатюцсоу.
Eav dim V=n, тоте dim A(V)=n2.
Tia то Xoyo аито Хёре oti r| A(V) eivai r| аХуеРра ypappiKcbv теХеотсоу otov V.
noXvcbwpa ка< ГpappiKoi ТеХеотёд
Паратчробре oti о таитотскбд ретаохчца™ац6д I: V->V avqKet OTqv A(V). Enioqg, yia олоюЗт|лоте
ураррскб ретаохчратюрб F orqv A(V), ёхоуре FI=IF=F. Mnopovpe aKopq va ox4Ma*iaovpe “Svva-
petg” тои F. Еиукекрщёуа, opi^ovpe:
F°=Z, F2=F°F, F3 =F2°F = F°F°F, F*=F3°F,...
Ел1лр6ст0ета, yia onoioSqnoTe noXvcbwpo p(t) лаусо ото К, yia napaSeiypa то
р(0 = а0 + axt + а2? + ... + а/
pnopovpe va ox4MaTiG°vpE т0 урацщко теХеотт| p(F) лоо opi^eTai ало rqv
p(F) = a^I + axF + a2F2 + ... +
(yia onoioSqnoTe api0po k, о TeXeoTqg kl рерскёд срорёд ovpPoXi^eTai алХа це к.) Еуукекрсрёуа, Хёце
oti то F eivai ёуа pqSeviKo той noXvcowpov p(t) eav p(F)=O.
HapdSeiypa 5.11. 'Еотсо oti о F: К3->К3 ор^етас ало Tqv F(x,y,z)=(0,x,y). Tia onoiaSqnoTe
(a,b,c)G К3,
(F + /Ха. b, с) = (0, а. Ь) 4- (а, Ь, с) = (а, а + Ъ, Ь + с)
FJ(a. b, с) = F2(0, a, b) = F(0,0. а) = (0.0.0)
Evvencbg F3=0, о pqSeviKog ретаохчратюрбд OTqv A(V). Aoto oqpaivei oti to F eivai ёуа pqSeviKo
тои noXvcowpov p(t)=t3.
TeTpaycoviKoi nivaKeg cog Грацщюи ТеХеотёд
'Еотсо M=Mn,n о SiavuopaTiKog x^pog oXcov TCOV TeTpaycoviKcbv nxn mvaKcov лаусо ото К. Тоте, олоюо-
Зт|лоте nivaKag A otov М opi^ei ёуа ураррскб ретаохчратюрб FA: КП->КП ало Tqv Fa(u)=Au (блои
та SiavvopaTa otov Kn ypacpovTai cog orqXeg). Acpov о ретаохчратюрбд eivai ало то Kn otov еаутб
tov, о тетраусоу1кбд лсуакад A eivai ёуад ypappiKog теХеотт|д Kai oxt алХа ёуад ypappiKog ретаохч-
ратюрбд.
Eav уло0ёоооре oti oi A Kai В eivai nivaKeg otov M, тоте то yivopevo nivaKcov AB pnopei va
opioTei. ЕпшХёоу, yia опоюЗт|поте Siawopa (отт|Хг|) u ото Kn,
F^(u) = (AB)u = A(Bu) = A(FB(U» = FA(FB(u)) = (Fx oFe)(u)
Me aXXa Xoyia, to yivopevo mvaKcov AB avrioroixei orq ovv0eoq tcov A Kai В cog ypappiKoi peTaoxq-
paTiopoi. AvrioToixa, to a0poiopa mvaKcov A+B avTioroixei ото a0poiopa tcov A Kai В cog ypappiKoi
ретаохчратюроц eveb то Ра0рсотб yivopevo kA avrioTOixei ото Ра0рсотб yivopevo tov A cog ypappi-
кбд ретаохчР^юрбд.
Avriorplyipoi TEkscnig orqv A(V)
'Еотсо о F: V-> V Evag ypappiKog тЕХботдд. Леце oti о F sivai avrioTpEipipog sav exei avriorpocpo, sav
unapxEi бдХабд evac; F’ 1 отду A(V) тЁтоюд coote FF' 1 =F' 1 F=I. Ало tt|v аХХд, о F sivai avnorp£i|/ipog cog
рЕтаохдратюрод sav sivai TauTdxpova sva-npog-sva Kai sni. Ze pia тетою лЕрштсоод, о F’l sivai sni-
or|g урацщкбд Kai sivai о avrioTpocpog tod F cog ypappiKog рвтаохдратюрбд (кат1 лоо anoSsiKwsTai
ото ПрдрХдра 5.15).
Ад олоОбооорЕ oti о F sivai avriorpsi|/ipog. Tote, povo то Oe V рлорв! va ansiKoviorsi otov souto
tod, Kai etoi о F sivai pT]-i5ia£cov. To avrioTpocpo, соотбоо, 5sv ioxuei. Adto cpaivsTai ото ларакатсо
лараббгура.
ПарабЕгура 5.12. 'Еотсо V=P(t) о SiavuopaTiKog xcbpog noXucovupcov лаусо ото К. 'Еотсо, Ел1от|д,
F о рЕтаохпратюрбд otov V о олосод au^avsi ката 1 tov ек0етд tod t otov каОв бро tod лоХисоуь-
роо, бдХабд
F(o0 + op + o2? +... + o/) = aot + a/ + o2P + ... + o/+1
О F, tote, sivai svag ypappiKog рЕтаохдратюрбд, о олоюд sivai pr|-i6ia^cov. О F, соотбоо, 6ev sivai
Ел1 Kai cog ek todtov 5ev sivai avrioTpEipipog.
О 6iavDopaTiKog x<opog V=P(t) ото лю navco ларабвгура exei алврюрютд бшотаод. Та лраурата,
opcog, aXXa^ouv одраупка otov о V exei лЕЛЕраорбуд бюотаод. ZuyKEKpipsva, ioxuei то акбХоибо
0£сордра.
©есордра 5.14: 'Еотсо о F Evag ypappiKog тЕХЕОтдд ое evo лЕЛЕраорбудд бшотаодд бюувора-
tiko х<вро V. Tote, oi TEoospig ларакатсо ovv0r|K£g Eivai юобиуарвд.
(i) О F Eivai pr|-i5ia^cov: Ker F= {0}.
(ii) О F sivai sva-npog-sva.
(iii) О F sivai svag ел1 рвтаохдратюрбд.
(iv) О F sivai avrioTpsi|/ipog. ,
H алобв^д tod ларалаусо 0£сорд ратод Ратка лрокилт£1 ало то ©всордра 5.6, то олою рад Xssi
OTI
dim V = dim(Ker F) 4- dim(Im F)
Албtt|v Прбтаот| 5.8, та (i) Kai (ii) sivai ioo5ijvapa. ZTjpsicbvsTai otito (iv) sivai looSovapo ps та (ii)
Kai (iii). Елорбусод, npoKsipsvou va ano5si^oups то 0Есбрт]ра, лрбл£1 povo va ano5si^oups oti та (i)
Kai (iii) sivai ioo56vapa. Adto Kavoups apsocog лю катсо.
(а) Ад оло0ЕооорЕ oti ioxvei to (i). Tote, dim(Ker F)=0, apa т] ларалаусо е^осоод pag Xeei oti dim
V=dim(Im F). Adto oripaivsi oti V=Im F, f), ps aXXa Xoyia, о F sivai svag ел1 рвтаохдратюрбд.
Ката овуелею то (i) овУЕлаувтас то (iii).
(P) Ад вло0бооврв тсора oti ioxuei to (iii). Tote V=Im F, koi etoi dim V=dim(Im F). Елорбусод т]
ларалаусо е^осоод рад Xeei oti dim(Ker F)=0, Kai etoi о F sivai pT]-i5ia£cov. Zovsncbg to (iii)
obvsnaysTai to (i).
Еирлераоратиса, koi oi Tsoospig oDV0r|Ksg sivai юобвуарвд.
Паратдрдод: Eav ило0ЁооирЕ oti о A sivai svag TsrpaycoviKog nxn лсуакад, tote о A pnopsi va
0Есорд0£1 cog svag ypappiKog тЕХботт|д ото Kn. Acpov то Kn exei лЕЛЕраорЕУд бшотаод, ioxvei то
©Есбрдра 5.14 yia tov твтрауамкб лгуака А. Аитбд Eivai Kai о Хбуод лов oi opoi “рдчбш^соу” Kai
“аутютрЕцлрод” хрдсиролоюш'тт s^ioou отоид TSTpaycoviKovg nivaKsg.
Парабыура 5.13. 'Еотсо F о ypappiKoc; теХеоттц; orov R2 пои ор^етас апо tt|v F(x,y)=(2x+y,
Зх+2у).
(а) Гса va ЗеЦооре отс о F eivai аутютрё\|/1ро<;, npenei povo va Sei^ovpe oti eivai pr|-i3ia^cov.
©ётоире F(x,y)=(0,0) yia va napovpe то ороуеуёс; ovorripa
2x+y=0 Kai 3x+2y=0
Avvovpe cot; npoc; x Kai у yia va napovpe x=0, y=0. Apa о F eivai pr|-i8ia^cov Kai ovvencbc; eivai
avTiorp6yipo<;.
(P) Па va Ppovpe ёуа тупо yia tov Fl, Оётооре F(x,y)=(s,t) Kai 6toi F’l(s,t)=(x,y). 'Exovpe
2x4- y = s
(2x+y, 3x4-2y) = (M) r| 3x + 2y=,
Avvovpe coc; npoc; x Kai у ovvapvr|oei tcov s Kai t yia va napovpe x=2s-t, y=-3s+2t. Enopevcoc;
F~l(s, t) = (2s - t, -3j4-20 П F~l(x,y) = (2x—y, -3x + 2y)
onov ^avaypacpovpe tov тбпо yia to F’l xprjoiponoicbvTac; та x Kai у avri tcov s Kai t.
AYMENA ПРОВЛНМАТА
METAEXHMATIEMOI
5.1. Na Зт|ХсЬаете ката nooo то кабёуа ano та Зшураррата tov Ехпрато; 5-3 opi^ei eva ретаохп-
ратюрб ano to A={a,b,c} ото B={x,y,z}.
Exnpa 5-3
(a) 'Oxi. Aev avauOeTai тЬсота ото otoixeio be A.
(P) Oxi. Eto cg A avanOevrai 3vo oTOixeia, та x Kai z.
(y) Nai.
5.2. 'Еотсо oti oi f: A->B Kai g: B->C opi^ovTai ano то Exnpa 5-4.
Exijpa 5-4
(a) Na PpeiTe то peTaoxnpa'riopd-ovvQeori (go f): A->C.
(P) Na Ppene tic; eiKovec; tcov ретаохирс^юрсоу f, g, gof.
(a) Хрт|01ролоювр£ tov opiopd tod р£таохпратюров-ову0£ог]д yia va влоХоусоовре та:
(g °f) (a) = g(fW) = g(y) = t, (gof) (b) = g(f(b)) = g(x) = s
(g°f)(c) = gif(c)) = g(y) = t
Паратт|ровр£ oti pлоровце va катаХт|^овр£ ott|v i5ia anavrr|oT] Eav “акоХов0т|оовр£ та
PeXt|” ото ЕхЛРа 5-4:
a-t у-t t, b -> x —> j, c-* у-* t
(P) Алб то Ехпца 5-4, oi Tipeg tcov eikovcov влд то р£таохпратюрд f sivai та x Kat y, evco oi
Tipeg tcov eikovcov влд tov g sivai та r, s, t. Enopevcog
EninXeov, алд то (a), oi Tipeg tcov siKdvcov влд то р£таохпратюрд-ову0£от] g° f sivai та t
Kai s. looSovapa, Im g°f={s,t}. ВХёловре дт1 oi siKdvsg tcov g koi g°f sivai 5iacpopsTiKsg.
5.3. ©scopsioTE то ретаохпратюрд F: R3->R2 лов opi^ETai алд tt|v F(x,y,z)=(yz, x2). Na Ppeite та:
(a) F(2,3,4), (P) F(5,-2,7), (y) F’l(0,0), 5т|Ха5т| дХа та vg R3 yia та onoia F(v)=0.
(a) AvriKa0ioTOBp£ otov твло tob F yia va ларовре F(2,3,4)=(3-4, 22).
(P) F(5, -2,7) = (-2 • 7,52) = (-14,25).
(у) ©Етоврв F(v)=0, длов v=(x,y,z) koi Елегса Хвуовре cog лрод x, у, z:
F(x,y,z) = (yz,x2) = (0,0) 1] yz = 0,x2=0
Enopevcog x=0 koi site y=0 site z=0. Me aXXa Xdyia, x=0, y=0 t| z=0. Ат|Ха5т|, oi
a^ovsg z koi y.
5.4. ©ECopsioTE то рЕтаохпратюрд F: R2->R2 лов opi^ETai алд tt|v F(x,y)=(3y,2x). 'Еотсо S о
povaSiaiog квкХод otov R2, 5т|Ха5т| то obvoXo Xboecov тт|д x2+y2=l. (a) Na пергурауете tov
F(S). (P) Na Ppeite tov F’l(S).
(а) 'Еотсо то (a,b) Eva otoixeio tob F(S). ТдтЕ, влар%£1 £va (х,у)б S tetoio сооте F(x,y)=(a,b).
'Etoi,
(3y, 2x) = (a, b) T| 3y = a,2x = b T| y = ^,x = ^
Ka0cbg (x,y)6 S, 5т|Ха5т| x2+y2=l, £%овр£
n 7-7='
'Etoi, о F(S) Eivai pia eXXei\|H].
(P) 'Еотсо F(x,y)=(a,b), длов (a,b)e S. Тдтв (3y,2x)=(a,b) t| 3y=a, 2x=b. Ka0cbg (a,b)e S, e%ob-
ps a2+b2=l. Enopevcog (Зу)2+(2х)2=1. Euvencbg о F‘1(S) sivai т| еХХещл] 4x2+9y2=l.
5.5. 'Еотсо du oi ретаохпратюро! f: A->B, g: B->C, h: C->D opi^ovTai алд то 5-5. Na
лроо5юр1оЕТЕ ката лдоо т| ка0£р(а алд Tig oBvapTfjosig автвд sivai т| d%i: (a) sva-npog-sva,
(Р) 6Л1, (у) avTiorpsyipri, exei 5т|Ха5т| avriorpocpo.
(а) О рЕтаохпратюрдд f: А->В sivai sva-npog-sva, асров то ка0Е oroixsio тов А £%£! pia бюсро-
psTiKT| siKdva. О рвтаохпратюрдд g: В->С 5sv sivai eva-npog-eva, асров арсрдтбра та х koi
z eyovv rqv iSia EiKova 4. TeXog, о ретаохлратюрбд h: C->D eivai eva-npog-eva.
(P) О pETaoxn par юрод f: A->B 5ev eivai eni, кабсод то ze В 5ev eivai q eiKova Kavevog ало та
OTOixeia too А. О ретаохлратюрбд g: B->C eivai eni, ecpooov то кабе otoixeio too C
eivai г] eikovo Kanoiov otoixeiov too B. Eni eivai enioT|g Kai о ретаохлратюрбд h: C->D.
ЗДца 5-5
(у) 'Evag ретаохлратюрбд cxei avrioTpocpo eav Kai povo eav eivai eva-npog-eva Kai eni. Apa
povo о h exEi avrioTpocpo.
5.6. Упобеоте oti f: A->B Kai g: B->C. Enopevcog vnapxEi о (g°f): A->C. Na anoSei^ere oti:
(a) Eav oi f Kai g eivai eva-npog-eva, тбте о g° f eivai enioqg eva-npog-eva.
(P) Eav oi f Kai g eivai eni ретаохлратюроц тбте о g°f eivai enioqg evag eni ретаохлрап-
ордд.
(у) Eav о g° f eivai eva-npog-eva, тбте о f eivai enioTig eva-npog-eva.
(5) Eav о go f eivai evag eni ретаохпратюрод, тбте о g eivai enioqg evag eni ретаохпратюрод.
(а) Yno6erovpe oti (g°f)(x)=(gof)(y). Тбте g(f(x))=g(f(y)). Ecpooov о g eivai eva-npog-eva,
f(x)=f(y). EninXeov, acpov о f eivai eva-npog-eva, x=y. AnoSei^ape, SqA-aSq, oti л
(go f)(x)=(g° f)(y) ovvenayeTai oti x=y. Evvencbg о go f eivai eva-npog-eva.
(P) Yno6erovpe oti се C. Acpov о g eivai eni, vnapxEi sva be В yia to onoio g(b)=c. Avtioroixa,
acpov о f eivai eni, vnapxEi eva ae A yia to onoio f(a)=b. Enopevcog (go f)(a) = g(f(a))=g(b) =c.
Ката ovveneia о go f eivai eni.
(у) Ад vno6eoovpe oti о f Sev eivai eva-npog-eva. Тбте, vnapxovv SiaKeKpipeva oroixEia x,y-
e A yia та onoia f(x)=f(y). 'Etoi, (go f)(x)=g(f(x))=g(f(y))=(go f)(y). Evvencbg о go f Sev ei-
vai eva-npog-eva. Еорпераорапка, eav о go f eivai eva-npog-eva, тбте о f ба npenei enioqg
va eivai eva-npog-eva.
(5) Eav ае А, тбте (g° f)(a)=g(f(a))e g(B). Apa (g°f)(A)cg(B). Ад vno6eoovpe oti о g Sev
eivai eni. Тбте, то g(B) nepiexErai катаХХдХа ото C Kai eroi то (go f)(A) enioqg nepiexErai
катаХХдХа ото C. Evvencbg о go f Sev eivai eni. Еорпераорапка, eav о go f eivai eni, тбте
о g ба npenei enioqg va eivai eni.
5.7. Na anoSei^ere oti о f: A->B cxei avrioTpocpo eav Kai povo eav eivai eva-npog-eva Kai eni.
Упобетооре on о f cxei avriorpocpo, vnapxEi SqXaSq pia avvaprqcn] Г1: B->A yia rqv
onoiar'of=lAKaiforl=lB. Acpovto 1Aeivaieva-npog-eva, of6anpeneienioqgvaeivaieva-
npog-eva ano то ПрбрХдра 5.6(y), Kai acpov to 1b eivai eni, тбте о f ба npenei enioqg va eivai
eni ano то ПрбрХдра 5.6(5). О f, SqXaSq, eivai ravroxpova eva-npog-eva Kai eni.
Yno6erovpe тсора on о f eivai ravroxpova eva-npog-eva Kai eni. Tore, кабе be В eivai q
eiKova evog povaSiKOV otoixeiov ото A, yia napaSeiypa rov b*. 'Etoi, eav f(a)=b тбте a=b*.
Enopevcog f(b*)=b. 'Еотсо, тсора, on to g ovpPoXi^ei то рЕтаохлратюрб апо то В ото A nov
opi^erai ano rqv b i-> b*. 'Exovpe:
(i) (g»f)(a)=g(f(a))=g(b)=b*=a yia каОе ae A. Apa go f=lA.
(ii) (fo g)(b)=f(g(b))=f(b*)=b yia ка0Е be B. Apa fc g=lB.
Lupnepaivoupe, Xoutov, oti о f exei avriorpocpo. О avriorpocpo; too Eivai о рЕтаохЛрапорб; g.
5.8. 'Еотсо ori о f: R->R optical ало rr|v f(x)=2x-3. О f, rcbpa, Eivai Eva-npo;-sva Kai ел1. ЕлорЁ-
vco; о f exei avriorpocpo, rov рЕтаохПратюрб f 1. Na Ppeite Eva тило yia rov fl.
'Еотсо у г| EiKova rov x илб то ЦЕтаохтщатюцб f. AqXa5f|, y=f(x)=2x-3. 'Etoi то x 0a Eivai r|
EiKova too у илб rov avriorpocpo рЕтаохЛрапорб f 1. AuvoupE, koutov rr|v ларалаусо E^ioco-
ot| coc; лро; x ouvaprr|OEi тои у yia va лароирЕ x=l/2(y+3). Tote, о тило; лои opi^Ei rr|v
avciorpocpri ovvdprr|oT| Eivai о f l(y)=l/2(y+3) f|, xpqtnponoicbvra; то x avri rov y,
./"'(*) = |(x + 3).
ГРАММ1КО1 METAEXHMATIEMOI
5.9. УлоОеоте ori о ЦЕтаохтщатюцб; F: R2->R2 optical ало rr|v F(x,y)=(x+y, x). Na Sei^ete oti
о F Eivai ypappuco;.
0a лрЕЛЕ1 va 5е1^О1)це oti F(v+w)=F(v)+F(w) Kai F(kv)=kF(v), блои та v Kai w Eivai onoia-
5т|лоте oroixEia rov Kai k sva; олоюо5т|лоте api0pd;. 'Еотсо v=(a,b) Kai w=(a',b'). Tote
v + w = (a + a', b + b’) Kai kv = (ka,kb)
'ExovpE F(v)=(a+b, a) Kai F(w)=(a'+b', a'). Apa
F(y + w) = F(a + o', b + b’) = (a + d + b + b’. a + a')
= (a + b, a) + (a' + fe/, a’) = F(v) + F(w)
Kai
F(kv) = F(ka, kb) = (ka + kb, ka) = (a + b, a) = kF(y)
Acpov та v, w, k qrav av0aipEra, о F Eivai ypappuco;.
5.10. УлоОеоте ori о F: R3->R2 optical ало rr|v F(x,y,z)=(x+y+z, 2x-3y+4z). Na Sei^ete on о F
Eivai ypappuco;.
0a то алобЕ^оирЕ pEoco nivaKcov. Tpacpovra; та Siavuopara co; отцХе;, о рЕтаохпрап-
opd; F рлорЕ! va ypacprEi отг| popcpq F(v)=Av, блои v=[x,y,z]T Kai
-‘-[2 —3 1]
Tote, xpqcnponoicbvra; i8i6tt|te; tcov лсуоксоу, ExoupE
F(y + w) = A(v + w)=Av+Aw = F(y) + F(w)
Kai F(kv) = A(kv) = k(Av) = kF(v)
ZuvEncb; о F Eivai ypappuco;.
5.11. Na Sei^ete oti 01 ларакатсо pEraoxnpariopoi 5ev Eivai ypappucoi:
(a) F: R2->R2 лои opi^Erai ало rr|v F(x,y)=(xy,x)
(Р) F: R2->R3 лои орсфтас ало tt|v F(x,y)=(x+3, 2у, х+у)
(у) F: R3->R2 лои орс^етас ало ttjv F(x,y,z)=(|x|, y+z)
(а) 'Еотсо v=(l,2) кас w=(3,4). Тоте v+w=(4,6). Елсот|д,
F(v) = (1(3), 1) = (3, 1) Kai F(w) = (3(4), 3) = (12,3)
Ара
F(v + w) = (4(6), 4) = (24,6) / F(v) + F(w)
(P) Acpou F(0,0)=(3,0,0)*(0,0,0), о F Sev цлорес va ecvac ураццскб^.
(у) 'Еотсо v=(l ,2,3) кас k=-3. Тоте kv=(-3,-6,-9). 'Е%оице
F(v) = (1,5) кас kF(v) = -3(1,5) = (-3, -15).
Елоцёусо^
F(kv) = F(—3, -6, -9) = (3, -15) / kF(v)
Еицлерасуоице, Xoutov, отс о F Sev ecvac ураццскб^.
5.12. 'Еотсо V о ScavuopaTCKOc; xcbpog tcov n-TeTpaycovcKcbv лрауцатсксоу ncvaKcov. 'Еотсо о M evac;
аиОасретос; aXXa отаОерб^ лсуакас; otov V. ТёХос;, ёотсо отс о f: V->V орс^етас ало tt|v
F(A)=AM+MA, блои о A ecvac 6va^ олосообт|лоте лсуакас; otov V. Na берете отс о F ecvac
ураццскб^.
Гса олосоио5г|лоте лсуакес; А кас В otov V кас олособт|лоте арсОцб к, ёуоице
F(A + В) = (А + В)М + М (А + В) = АМ + ВМ + МА + МВ
= (АМ +МА) = (ВМ + МВ) = F(A) + F(B)
кас F(kA) = (кА)М + М(кА) = к(АМ) + Jt(A£4) = к(АМ + МА) = kF(A)
'Етос о F ecvac ураццскб^.
5.13. Na алобес^ете то ©есортща 5.2: 'Еотсо ос V кас U бсауиоцатскос хйрос лаусо ое ёуа лебсо К.
'Еотсо то {V|,v2,...,vn} цса Раот| тои V кас ёотсо та U|,u2,...,un олосабтрсоте бсаубоцата otov
U. Тоте, илархес ёуас; цоуабскбс;ураццскбс; цетаохпратсоцб^ F: V->U тётосод сооте F(V|)=ub
F(v2)=u2,...,F(vn)=un.
То Оесбргща алобескубетас акоХоибсоутад трса Ртщата: (1) Орсфице то цетаохпратсоцб
F: V->U усаtovолосо F(v,)=u„ i=l,...,n. (2) Десхуоицеотсо F ecvacураццскб^. (3) Десхуоице
отс о F ecvac цоуабскб^.
В^ца 1. 'Еотсо vgV. Асроб то {v,,...,vn} ecvac цса Раот| тои V, wcapxouv цоуабскос
арсбцос ab...,anGK уса тоис; олосоис; v=a|V|+a2v2+...4-anvn. Орсфице tov F:
V->U ало rqv
F(t>) = + a2u2 + ... + a„u„
(Асроб ос a, ecvac цоуабскос, о цетаохпратсоцб^ F ecvac еларксос; орсоцёуо^.)
Тсора, уса i=l,...,n,
vf = 0i>| +... + ц +... + 0оя
'Етос
F(vt) = Ou) +... + lu, + ... + 0u„ =
Елорбусод exei <Я)рлА.Т|рсо0Е1 то лрсото Рт|ра ттц; албЗЕ1^т|<;.
Вт]ра 2. УлоОбтоорЕ oti v=a|VI+a2v2+...+anvn Kai w=bIvI+b2v2+...+bnvn. Tote
+ w = (ai + b1)t>1 + (a2 + b2)v2 + ... + (aB + b„)v„
кац yia олою5т|лоте keK, kv=kaIvI+ka2v2+...+kanvn. Алб tov opiopo too
рЕтаохцратюроб F,
F(o)=a|V1+a2v2+...+anvn Kai F’(w)=ft|WI+ft2w2+...+ftnun
F(v + w) = (a, + bju, + (a2 + b2)u2 + ... + (a„ + b„)u„
Apa = (a, u, + a2u2 + ... + anu„) + (bt щ + b2u2 + ...+ b„u„)
= F(v) + F(w)
Kai F(kv) = k(aiu, + a2u2 + ... + аяИ)1) = kF(v)
Еоуелсо<; о F Eivai урацщкбд.
Вт|ра 3. УлоОбтоорЕ oti о G: V->U Eivai урацщкбд Kai oti G(V|)=U!, i=l,...,n. 'Eotco
» = a, . + a„v„
Tote
G(v) = G(a, Vl+a2v2 + ...+ аяи„) = а,6(У1) + a2G(v2) + ...+ a„G(yn)
= aiul + a2u2 + ... + a„u„ = F(v)
Ecpooov G(v)=F(v) yia ка0Е ve V, G=F. Ката ооуелеш о F Eivai povaSiKOt; Kai
to 0Ecopr|jia алобЕ(хтт|КЕ.
5.14. 'Еотсо F: R2->R2 о ypappiKog рЕтаохпратюрб^ yia tov олою F( 1,2)=(2,3) Kai F(0,l)=(l,4).
[SrijiEicbvETai oti to 1,2), (0,1)} Eivai pia pdor| too R2, etoi 6va<; TETOiogурацщкбд рЕтаохц-
ратюрод F олархЕ1 Kai sivai povaSiKog, алб то ©Есортща 5.2.] Na Ppeite 6va тбло yia tov F,
va Ppeite, 5т|Ха5т|, то F(a,b).
Г pdcpoo це то (a,b) cog ypappiKO oovSoaopo tcov (1,2) Kai (0,1) xpT|oiponoicbvTa<; тоо<; ayvcb-
атоос; x Kai y,
(a,b) =x(l,2)+j<(0,1) = (x, 2x + y), ETOI a = x, b = 2x + y
Аоуооце co<; лро<; x Kai у oovapTT|OEi tcov a Kai b yia va ларооцЕ x=a, y=-2a+b. Tote
F(a, b) = xF(l, 2) + yF(Q, 1) = a(2, 3) + (~2a + b)(l, 4) = (b, -5a + 4b)
5.15. УлоОеоте oti sva<; урацщкбд цЕтао/гщатюцб^ F: V->U Eivai sva-npo<;-Eva Kai ел1. Na 5ei-
£ete oti о avrioTpocpot; цЕтао/гщатюцб^ F-1: U->V Eivai елютц; урацщкбд.
УлоОетооце oti u,u'e U. Acpoo о F Eivai sva-npo<;-Eva Kai ел1, onapxoov povaSuca Siavo-
apaTa v,v'e V yia та оло1а F(v)=u Kai F(v')=u'. ЕлшХеоу, acpoo о F Eivai ypappiKog, sxpopE
F(y +1/) = F(v) + F(v') = U + o' Kai F(b) = kF(v) = ku
Алб tov opiopo too avTioTpocpoo рЕтаохцратюроб,
F-'(u) = v, F '(«/) = «/. F~'(u +1/) = v + t/, F~l(ku) = kv.
Tote
F-,(u + i/) = v+i/=F-1(u) + /:”1(i/) Kat F~l(ku) = kv = kF-'(u)
Apa о F 1 eivai ypappiKog.
IIYPHNAE KAI EIKONA FPAMMIKQN METAEXHMATIEMftN
5.16. 'Еотсо F: R4->R3 о ypappiKog ретаохг|рат1ор6<; nov opi^erai ano tt|v
F(x,y,z,t) = (x—y + z + t, x + 2z—t, x+y + 3z-3t)
Na Ppevre pia pdor| Kai tt| 5idoTaor|: (a) tt]<; eiKova»; tov F, (P) tov nvpnva tov F.
(a) BpioKOvpe тк; eikove»; tt]<; ovvr|0iopEVT|<; pdor)<; tov R4:
F(l, 0.0,0) = (1.1,1). F(0,0,1,0) = (1,2,3)
F(0,1,0,0) = (-1,0,1), F(0,0,0, 1) = (1,—1,-3)
Ano tt|v Протаот| 5.4, та Siavuopara EiKova»; napayovv tt|v Im F. Apa, ano tov nivaKa
tov onoiov oi ураррЁ»; Eivai avra та Siavuopara eiKova»; Kai о onoio»; avayEtat ps
otoixeicoSei»; рЕтаохпцатюроб»; ypappcbv ott|v кХсраксотт] pop<pf|:
ЕпорЁУСО»; та (1,1,1) Kai (0,1,2) oxn^ari^ovv Pa Р“аП Yia TTIV Ini E Etoi dim(Im F)=2.
(P) 0ETOVPE F(v)=o, onov V=(x,y,Z,t). ©ETOVpE, 8r|Xa8f|,
F(x,y,z, r) = (x-^ + z + r, x + 2z — t, x + y + 3z — 3t) = (0,0,0)
E^tocboovps ретафЗ rov»; tov»; avrioroixov»; 6pov<; yia va oxnpaTioovpE то aKdXovOo
opoyevE<; ovoTT|pa tov onoiov о х®Р0<э Xvoecov Eivai о Ker F:
x-y + z+ r = o x-y+ z+ t = 0
X + 2z- 1 = 0 . y+ z — 2t = 0 , x-y + z+ t = 0
x + y + 3z-3t = 0 Л 2y + 2z-4t = 0 Л y + z-2t = 0
Oi eXev0epe<; рЕтарХг|тЁ<; Eivai та z Kai t. Apa dim(Ker F)=2.
(i) ©Ётоурв z=-1, t=0 yia va napovps тг| Xvor| (2,1,-1,0).
(ii) ©Ётоурв z=0, t=l yia va napovps тг| Xvor| (1,2,0,1).
EvpnspaivovpE, Xoinov, oti та (2,1,-1,0) Kai (1,2,0,1) oxnpaTi^ovv pia pdor| tov Ker F.
['Onco<; пергрЁуаре, dim(Im F)+dim(Ker F)=2+2=4=dim R4, to neSio opiopov tov F.]
5.17. 'Еотсо G: R3->R3 о ypappiKog ретаохпратюрб»; nov opi^erai ano tt|v
G(x,y,z) = (x + 2y — z, y + z, x+y — 2z)
Na Ppeite pia paoq Kai tt| Siaoraoq: (а) ттц; eikovoc; тои G, (P) тои nvpqva тои G.
(a) BpioKOvps Tig eikovec; тт|д ovvq0iop£vq<; Paoqc; тои R3:
G(1.0.0) = (1,0,1), G(0.1.0) = (2,1,1). G(0,0, !) = (-!. 1.-2)
Ало tt|v Протася] 5.4, та Siavvopara eikovoc; napayovv tt|v Im G. Apa, ало tov nivaKa
тои onoiov oi ураррёс; sivai аита та Siavvopara eikovoc; Kai о onoioc; avaysrai це
otoixeicoSeic; pEraoxqpcmopovc; ypappcbv ott|v KXipaKCorq popcpri:
[10 iq ri o in ri о in
2 1 1 I ~ I 0 1 -1 I ~ 0 1 -11
-1 1 - 2j Lo 1 -1J Lo 0 oj
Ката ovvEnsia, та (1,0,1) Kai (0,1,-1) oxqpari^ovv pia Paoq yia tt|v dim(Im G)=2.
(P) ©ЁтоирЕ G(v)=0, олои v=(x,y,z). AqXaSq,
G(x,y,z) = (x + 2y — z, y + z, x+y — 2z) = (0,0,0)
E^iocboovps psra^v rove; tovc; avrioroixovc; opovc; yia va охтщат^ооир-Е то акбХооОо
opoysvEc; ovorripa rov onoiov о x®P°? Xvoecov sivai о Ker F:
x + 2y- z = 0
y+ z = 0
x + y — 2z = 0
x + 2y - z = 0
q y + z = 0
—y - z = 0
, x + 2y-z = 0
Л y+z=0
H povaSiKq sXsvOspq pErapXqrq sivai to z. Apa dim(Ker G)=l. Osroops z=l. Tors
y=-1 Kai x=3. Enopevcoc; то (3,-1,1) oxqpcrri^Ei pia paoq tov Ker G. [Oncoc; nspipEva-
ps, dim(Im G)+dim(Ker G)=2+l=3=dim R3, то nsSio opiopov rov G.]
[1 2 3 11
1 3 5 -2 .. Na Ppsirs
3 8 13 —3J
pia Paoq Kai rr| Siaoraoq: (a) trig eikovoc; rov A, (P) rov nvpqva rov A.
(a) О x^poc; orqXcbv rov A loovrai ps rqv Im A. Tcbpa, ps otoixeicoSeic; pstaoxqpari-
opovc; rov AT orqv KXipaKCorq popcpq:
Zvvsncbc; to {(1,1,3), (0,1,2)} sivai pia Paoq rqc; Im A, Kai dim(Im A)=2.
(P) E8cb о Ker A sivai о x^poc; Xvoecov tov opoysvovc; ovorqparoc; AX=0, олоу X=(x,y,z,t)T.
Apa, ps otoixeicoSeic; pEraoxqpariopovc; rov лг^ака ovvteXeotcov A orqv KXipaKCorq
popcpq:
Г1 2 3 Я Г1 2 3 Я
0 12-3-012-3 д
[_0 2 4 -6J [О О О 0J
x + 2y + 3z+ t = 0
y + 2z-3t = 0
Oi e^ev0epe<; ретарХдтёс; eivai та z Kai t. Enopevcoc; dim(Ker A)=2.
(ii) ©ётооре z=l, t=0 yia va napovpe тд Хбод (1,-2,1,0).
(iii) ©ётооре z=0, t=l yia va napovpe тд Хоод (-7,3,0,1).
Apa та (1,-2,1,0) Kai (-7,3,0,!) охд pan^ow pia Раад yia tov Ker A.
5.19. Na Ppene pia урарриа) aneucovicn] F: R3->R4 тд<; onoiac; д eiKova napayeTai ano та (1,2,0,-4)
Kai (2,0,-1,-3).
ZXJIpaTi^ovpe eva 4x3 nivaKa, oi отдХе<; tov onoiov anoTeXovvTai povo ano та SeSopeva
SiavvapaTa, yia napaSeiypa tov
YnevOvpi^eTai oti о A npooSiopi^ei eva ypappuco ретаохдратюрб A: R3->R4, д eiKova tov
onoiov napayeTai ano тк; отдХес; tov А. Ката ovveneia о A iKavonoiei тду апаксобреуд ovv-
Одкд.
5.20. УпоОеате oti о f: V->U eivai ypappucog pe nvprjva W, Kai oti f(v)=u. Na Зе^ете oti to “vno-
ovvoXo” v+W={v+w: we W} eivai д про-eiKova tov u, ЗдХаЗд/^и^+У/.
Ilpenei eSeb va anoSei^ovpe oti (i)/^'(u)Gv+W Kai (ii) v+WC/"’(u).
AnoSeucvvovpe прсота то (i). YnoOerovpe oti v'e/^'(u). Т6те./(у')=и, Kai ётсн
f(v' - v) =f(v) -f(v) = и - и = О
ЗдХаЗд v'-ve W. Apa v'=v+(v'-v)e v+W, опбте_Л'(и)c v+W.
0a anoSei^ovpe тсора то (ii). Eav vnoOeaovpe oti v'e v+W, тбте v'=v+w, onov we W. Acpov
о W eivai о nvpr|va<; tov/ exovpe _/(w)=0. Ката ovveneia,
/(«') =f(v + w) +f(v) +/(w) =/(i>) + 0 =f(y) = и
Apa v'e/^'(u), Kai ёта1 v + W
ApcpoTepoi oi ovwnoXoyiopoi ovvenayovTai oti_/^'(u)=v+W.
5.21. YnoOeaTe oti oi F: V->U Kai G: U->V eivai ypappucoi. Na апоЗе^ете oti:
(a) rank(G°F)<rank(G;), (fl) rank(GoF)<rank(F).
(a) Acpov F(V) C U, exovpe enieny; G(F(V)) c G(U), Kai ctoi dim[G(F(V))]<dim[G(U)
rank(G«F) = dim[(G°F)(H)] = dimlWF))] < dim[G(G)] = rank(G).
(/?) 'Exovpe dim[G(F(F))] < dim[F(F)]. Apa
rank(GoF) = dimKGoFXni = dim[G(F(F))] < dun[F(r)] = rank(F)
5.22. Na апоЗе^ете то ©есордра 5.3: 'Еотсо о F: V->U ypappiKoc;. Тбте:
(a) r| Im F eivai evag vnoxcbpog tov U, (P) о Ker F eivai evag vnoxcbpog тои V.
(i) Кабсод F(0)=0, exovpe Oe Im F. Упобётооре тсора oti u,u'e Im F Kai a,be K. Acpov
та u Kai u' avf|KOvv ott|v eiKova tov F, vnapxovv SiavvopaTa v,v'e V тётош сооте
F(v)=u Kai F(v')=u'. Тбте
F(av + bi/) = aF(v) + bF(i/) + au + bt/ € bn F
Zvvencbg r| eiKova tov F eivai evag vnoxcbpog tov U.
(ii) KaOcbg F(0)=0, exovpe Oe Ker F. УяоОётоуре тсора oti v,we Ker F Kai a,be K. Acpov
та v Kai w avf|K0vv otov nvpf|va tov F, F(v)=0 koi F(w)=0. Enopevcog
F(av + bw) = aF(y) + bF(w) = a0 + M = 0 + 0 = 0, Kai 6TOI av + bw € Ker F
Zvvencbg о nvpf|vag tov F eivai ёуад vnoxcbpog tov V.
5.23. Na anoSei^ere to ©ecbpripa 5.6: Eav vno66oovpe oti о V ёх£1 пепераорёут] бшотаот) Kai oti
о F: V-»U eivai ypappiKog, тбте
dim V = dim(Ker F) + dim(Im F) = nullity(F) + rank(F)
Yno06rovpe oti dim(Ker F)=r Kai oti to {wb...,wr} eivai pia Paor] tov Ker F. EninAxov,
упобётоуре oti dim(Im F)=s Kai oti to {vb.. .,vs} eivai pia Paoi] Ti]g Im F. (Ano ti]v Прбтаот]
5.4, г| Im F 6xei пепераорёчи] SiaoTaoi].) Acpov Uje Im F, vnapxovv SiavvopaTa vb.. ,,vs otov V
тётош сооте F(vI)=ub...,F(vs)=us. loxvpi^opaore oti to ovvoXo
В = {и»!.И»,, .Ц,}
eivai pia Раот) tov V, 8г|ка8т|, (i) то В napayei tov V, Kai (ii) то В eivai ypappiKa ave^aprqTO.
Ecpooov anoSei^ovpe та (i) koi (ii), 0a iox»£i dim V=r+s=dim(Ker F)+dim(Im F).
(i) To В napayei tov V. 'Eotco ve V. Тбте F(v)e Im F. Кабсод та Uj napayovv ti]v Im F,
vnapxovv apiOpoi ab...,as тётоюс сооте F(v)=a]U]+...+asus. ©ётоуре
v =a ] v ]+... +asvs-v. Тбте
F(v) = F(alvi+...+ a,vt -v) = + ...+ а^(и,) - F(v)
= a1u1 +... + atut - F(y) = 0
Apa v e ker F. AvrioTOixa, кабсод та w, napayovv tov Ker F, vnapxovv api6poi
b b... ,br, тётоюс сооте
v — blwl +... + brwr = a( +... + a,v, — v
Enop6vcog
p = at +... + — Ь^н^ — ... — brwr
ZvpnepaopaTiKa, то В napayei tov V.
(ii) To В eivai ypappiKa ave£ap-n]TO. Упобётооре oti
X1H'1 + ...+xrH'r+y1u1 = o (1)
блои х„ YjG К. Тоте
0 = F(0) = Ffow, +... +xrwr +...
= + ... + x^wj +>'IF(v1) +... +yIF(yJ)
(2)
Opcog F(w,)=0, асроб w,e Ker F, teat F(Vj)=Uj. AvriKaOiOTcbvra^ ott| (2), 0a лароице
y]U]+.. .+ysus=0. Кабсод та Uj eivai ypappiKa ауе^артт|та, кабе урО. Н аупката-
атаот| ott|v (1) 5ivei х^]+.. .+xrwr. Avrioroixa, кабсод та w, eivai ypappiKa ave-
^артт|та, кабе х,=0. Zovencoc; то В eivai ypappiKa ave^aprqTO.
IAIAZONTEE KAI MH-IAIAZONTEE ГРАММ1КО1 METAEXHMATIEMOI, 1ЕОМОРФ1-
EMOI
5.24. Na лрообюрюете ката лбао о кабёуас; алб тоос; ларакатсо ураррисобс; ретаохпратюробс;
eivai 4 6%i pr|-i5ia^(ov. Eav 8ev eivai, va Ppeire eva pr|-pr|5eviKd Siavuopa v, r| eiKdva tov
onoiov va eivai 0.
(a) F: R2->R2 лоо opi^erai алб tt|v F(x,y)=(x-y, x-2y).
(P) G: R2->R2 лоо opi^erai алб tt]v (2x-4y, 3x-6y).
(a) BpioKOvpe tov Ker F бётоутас; F(v)=0, блоо v=(x,y),
(x-y, x-2y) = (Q,Q) г| 4 *IJZo
H pova5iKT| X.004 eivai r| x=0, y=0. Apa о F eivai pr|-i5ia^cov.
(P) ©ётооре G(x,y)=(0,0) yia va Ppovpe tov Ker F:
(2x — 4y, 3x — 6y) = (0,0) П^Z^Zj т\ж-2у = о
To ovaTTipa e%ei pr|-pr|6eviKe^ Xvoeic;, кабак; то у eivai pia еХебберч ретарХг|тт|. Ело-
pevax; о G eivai pr|-i6ia^a>v. 'Еотсо y= 1 yia va ларооре тт| X604 v=(2,1), nov eivai eva
pr|-pr|5eviKd Siawapa, тётою сооте G(v)=0.
5.25. О ypappucoc; ретаохчратюрбд F: R2->R2 nov opi^erai ano tt|v F(x,y)=(x-y, x-2y) eivai pr|-
idia^cov, ano to nporjyovpevo ПрбрХг|ра 5.24. Na Ppevre ёуа тбло yia tov F’1.
©ётооре F(x,y)=(a,b) ёто1 сооте F'l(a,b)=(x,y). 'Exovpe
(x-y, x-2y) = (a,b) x~_yyZab ^-Уу = аа_ь
Avvovpe cot; npo^ x Kai у ovvaprr|oei tcov a Kai b yia va napovpe x=2a-b, y=a-b. Zvvencb^
F~x(fl,b) = {2a-b, a — b) П F~l(x,y) = (2x-y, x-y)
(H беотерч е^юсооч XapPaverai avriKaOiOTcbvraq та a Kai b pe x Kai y, avrioroixa.)
5.26. 'Еотсо 6ti о G: R2->R3 opi^erai and T4V G(x,y)=(x+y, x-2y, 3x+y).
(a) Na берете 6ti о G eivai p4-i5ia£cov. (P) Na Ppevre ёуа tvno yia tov G'l.
(а) ©ётооре G(x,y)=(0,0,0) yia va Ppoope tov Ker G. 'Exoope
x — 2y, 3x+y) = (0,0,0) t| x+^ = 0, x-2y = 0, 3x+^ = 0
H povaSiKf] kvor) eivai tj x=0, y=0, apa о G eivai pr]-i8ia£cov.
(P) Пароко nov о G eivai pr]-i8ia£cov, Sev eivai avnoTpEipipog, кабсод oi R2 Kai R3 e%ovv
SiaipopeiiKEg SiaoraoEig. (Enopevcog Sev in/vei то ©есортща 5.9.). Svvencbg, Sev vnap-
%ei о G'l.
5.27. YnoOeoredno F: V->U eivaiурацщкбдKaiotiо V eivai nenepaopevrjg 8iaoraor)g. NaSei^e-
те oti о V Kai ц eiKova tov F e%ovv tt]v iSia Siaaracn] eav Kai povo eav о F eivai цд-iSia^cov.
Na npooSiopioere okovg Tovg pr|-i8id^ovTeg ypappucovg peraoxTipariapovg T: R4->R3.
And то ©есортща 5.6, dim V=dim(Im F)+dim(Ker F). Apa то V кас д Im F exovv tt]v iSia
Siaaracn] eav Kai povo eav dim(Ker F)=0 f| Ker F={0), f|, pe oAXa Xoyia, eav Kai povo eav о F
eivai pr|-i8id^cov.
Ecpooov r| dim R3 eivai pucpdrepi] and n] dim R4, exovpe oti t| dim(Im T) eivai piKporepr]
and tt| Siaaracn] rov neSiov opiapov R4 rov T. Evpnepaivovpe, Xoinov, on Kavevag ypappiKog
ретаахгщатюрод T: R4->R3 Sev pnopei va eivai pr|-i8id^cov.
5.28. Na anoSeUgere то ©есортща 5.7: 'Еатсо о F: V->U evag pr]-i8ia^cov ypappiKog ретаохтщап-
apog. Тоте, д eucova onoiovSTjnore ypappiKa ave^aprr|TOV avvoXov eivai ypappiKa aveigap-n]-
ТТ].
YnoOerovpe on та V|,v2,.. .,vn eivai ypappiKa ave^aprr|Ta Siavvapara otov V. Ia%vpi£dpa-
are oti та F(V|),F(v2),...,F(vn) eivai eniar]g ypappiKa ave£aprT]ra. YnoOerovpe on
aiF(vi)+a2F(v2)+ - •+anF(vn)=0> o^ov aiG K. Acpov о F eivai ypappiKog, F(a|V1+a2v2+.. ,+anvn)=0.
Apa
a( v( + a2v2 +... + a„v„ € Ker F
О F, coardao, eivai pr|-i8id^cov, 8т]Ха6т| Ker F={0}. Enopevcog a|V1+a2v2+...+anvn=0. KaOcbg
та v, eivai ypappiKa ave£apn]Ta, oka та a, eivai 0. Evvencog, та F(v,) eivai ypappiKa ave^apn]-
ra Kai eroi то Оесортща апо8е1хтг|ке.
5.29. Na anoSeUgere то ©есортща 5.9: YnoOerovpe on о V exei nenepaopevr] Siaoraor) Kai on dim
V=dim U. YnoOerovpe, enicnjg, on о F: V->U eivai ypappucog. Тоте, о F eivai evag loopopcpi-
opog eav Kai povo eav о F eivai pr]-i8id^cov.
Eav о F eivai evag loopopcpiopdg, тоге povo to 0 aneucovi^erai ото 0, apa о F eivai рт|-
iSia^cov. Avriorpocpa, eav vnoOeoovpe oti о F eivai pr]-i8ia^cov, тоге dim(Ker F). And to ©ecb-
ртща 5.6, dim V=dim(Ker F)+dim(Im F). Enopevcog
dim U = dim V = dim(Im F)
Ecpooov о U exei nenepaopevr) Sidoraor), Im F=U. Avrd orjpaivei on о F aneiKOvi^Ei tov V
navco otov U. 'Etoi о F eivai eva-npog-eva koi eni. Me akla Xoyia, о F eivai evag loopopcpi-
opdg.
ПРАЗЕ1Е ME TPAMMIKOYE METALXHMATIEMOYE
5.30. Oi F: R3->R2 Kai G: R3->R2 opi^ovrai and ng F(x,y,z)=(2x, y+z) Kai G(x,y,z)=(x-z, y). Na
Ppeire rvnovg nov va opi^ovv rovg peraoxripanopovg: (a) F+G, (P) 3F, (y) 2F-5G.
(a)(F + G)(x,y,z)=F(x,y,z) + G(x,y,z) = (2x, y + z) + (x-z, y) = (3x-z, 2y + z)
(fl)(3FKx,y,z) = 3F(x,y,z) = 3(2x, y + z) = (6x, 3y+3z)
(y) (2F - 5GXx,y,z) = 2F(x,y,z) - 5G(x,y. z) = 2(2x, у + z) - 5(x -z, y)
= (4x, 2y + 2z) + (—5x + 5z, -5j) = (-x + 5z, -3y + 2z)
5.31. 'Еотсо отс ot F: R3->R2 кас G: R2->R2 орс^оутас ало тс; F(x,y,z)=(2x, y+z) кас G(x,y)=(y,x).
Na Е^аустЕ толоод лои va opi^ovv too; цЕтаохлратсоцоод: (a) G°F, (P) F°G.
(a) (G о F)(x, y, z) = G(F(x, y, z)) = G(2x, y + z) = (y + z, 2x)
(P) О цЕтаахтщатсоцб; F°G Sev орс^втас, кабсЬд т| ECKOva too G Sev лерсЁ/етас ото леЗсо
opcopov тои F.
5.32. Na алоЗвс^ЕТЕ отс: (а) О цт|8еуск6; цЕтао/тщатсоцодО, лои орс^втас ало tt|v 0(v)g U уса ка0Е
vg V, Eivac то цт|8еуск6 отосхесо too Hom(V,U). (Р) О аруг|тск6д тои Fg Hom(V,U) sivac о
цЕтаохпцатсоцбд (-l)F, 8т|Ха8т| -F=(-1)F.
'Еотсо Fg Hom(V,U). Тоте, уса ка0в vg V:
(a) (F + 0)(р) = F(v) + 0(и) = F(u) + 0 = F(u)
Acpov (F+0)(v) уса ка0£ vg V, sxovps F+0=F. О роса, 0+F=F.
(Р) (F + (—l)F)(u) = F(u) + (—l)F(u) = F(u) - F(u) = 0 = 0(p)
Apa F+(-l)F=0. 'Opoca, (-1)F+F=O. Evvsncog, -F=(-1)F.
5.33. УлоОеоте отс ос F\Gf2,...,\Fn sivac ураццскЁд ал£скоусо£сд ало tov V otov U. Na Secrete otc,
уса олоювоЗг|лот£ apcOpovg aba2,.. .,a„ кас уса олосоЗт|лот£ vg V,
(fljF, + a2F2 +... + a„Fn)(v) = a,F|(v) + a2F2(v) + ... + a„F„(v)
О цЕтаохпратсоцбд a, F| орфтас ало crqv (a|F])(v)=a|F(v). 'Етос то 0£соргща ujxvei yia
n=l. Елоцёусо;, це £лаусоут|,
(aiF! + a2F2 +... + a„F„)(u) = (ajFjXu) + (a2F2 + ...+ a„Fn)(v)
= <»iFi(u) + a2F2(v) + ...+ a„F„(v)
5.34. ©ЕсорЕсотЕ tov; цЕтаохпцатсоцоид F: R3->R2, G: R3->R2, H: R3->R2 лов opc^ovrac ало тсд
F(x,y,z) = (x+y + z, x + y), G(x,y,z) = (2x + z, x + t), H(x,y, z) = (2y, x)
Na Secrete otc oc F, G, H sivac ураццека av£^apn]Toc [cog отосхсса tov Hom(R3,R2)].
Уло0ётоуц£ отс, yea Tovg apc0jiovg a,b,cG K,
(aF + bG + сЯХ«2) = «F(l. 0,0) + bG(0,1,0) + cH(0,0,1)
= a(l,l) + b(2,l) + c(0, l) = (a + 2b, a + b + c)
(ESco to 0 Eivac о цг|8ЕУск6д цЕтаохпцатсоцбд.) Tea e|=(l,0,0)G R3, ёхоуце 0(e,)=(0,0) кас
aF+bG+cH=0
(1)
Apa, ало tt|v (1), (a+2b, a+b+c)=(0,0) Kai etoi
a+2b=0 Kai a+b+c=0 (2)
'Opoia, yia e2=(0,l,0)eR3, sxovps 0(e2)=(0,0) Kai
(aF + bG + cH)(e2) = aF(0,1,0) + bG(0,1,0) + сЯ(0,1,0)
= a(l, 1) + 6(0,1) + c(2,0) = (a + 2c, a + b)
Enopsvco^ а+2с=0 Kai a+b=0 (3)
Хртцяцолоиоутас; tu; (2) Kai (3), naipvovps
A=0, b=0, c=0 (4)
Acpov T| (1) oovsnaysTai tt|v (4), oi рЕтаохт|ратюро1 F, G, H sivai ypappiKa avs^apTT|Toi.
5.35. 'Еотсо то к sva рт|-рт|8бУ1кб Siawopa. Na Ssi^sts oti pia ypappucri ansiKOviori T sivai iSia-
£ovoa sav Kai povo sav ц kT sivai iSia^ovoa. L, ара т| T sivai iSia^ovoa sav Kai povo sav ц -
T sivai iSia^ovoa.
Уловбтоирв oti т| T sivai iSia^ovoa. Tots Ta(co)=O yia калою Siawopa v*0. Apa
(kT)(v) = kT(v) = k0 = 0
Kai etoi T| kT sivai iSia^ovoa.
УлобЁтоирЕ, тсора, oti t| kT sivai iSia^ovoa. Tots (kT)(w)=0 yia калою Siawopa w#0. Ката
ovvntsia
T(kw) = kT(w) = (kT)(w) = 0
Ta k#0 Kai w#0, соотбоо, ovvsnayovTai oti kw^O. Evpnspaivovps, Xoucov, oti t| T sivai влЬ
от|<; iSia^ovoa.
5.36. Na PpsiTE tt| Siaaraori d tcov:
(a) Hom(R3,R4), (p) Hom(R5,R3), (y) Hom(P3(t),R2), (8) Hom(M2,3,R4).
Xprioiponoiovps tt|v dim[Hom(V,U)]=mn, блои dim V=m Kai dim U=n.
(a) </= 3(4) = 12.
(ft </ = 5(3) = 15.
(y) Ecpooov dim P3(t)=4, d=4(2)=8.
(8) Ecpooov dim M2 3=6, d=6(4)=24.
5.37. Na ало8б1^бтб то ©scbpi]pa 5.1 Г. Eav илобЁооирв oti dim V=m Kai dim U=n, tots
dim[Hom(V,U)]=mn.
УлоОбтоирбдпто {V],...,vm} sivai pia Раот] тои V Kaiotito {uj,...,^} sivai р1аРаот]тои
U. Алб то 0бсорт|ра 5.2, svac; ypappucoc; рЕтаохпратюрб^ otov Hom(V,U) npooSiopi^ETai
povaSiKa алб avQaipsTa avaTiQspsva OTOt%sia тои U ота SiawopaTa Pdor]<; v1 тои V. Opi^ov-
ps TOV
Fy € Hom(K U), i=l......m. j=l......n
va eivai о урацщкбд ретаахлратсарод yia tov onoio F1J(v1)=uJ, Kai F,j(vk)=0 yia k#i. О FtJ
8r)Xa5f|, aneiKovi^ei та v, ота Uj Kai та vnoAoina v ото 0. Парагг|робр£ oti to {FtJ} nEpiE/Ei
акрфсбд mn otoi/eio. Apa to 0есортща 0a anoSeixrei eav алоЗефоице oti eivai ща раот) той
Hom(V,U).
АпоЗефт] тои oti to {Fy} napayei tov Hom(V,U). ©есоробце ща аи0а(ретт| оууартт|от)
FeHom(V,U). Yno0eTovpe oti F(v1)=w1,F(v2)=w2,...,F(vm)=wm. Acpoo wkeU, 0a eivai evag
урацщкбд ovvSvaopog tcov u. Tia napaSeiypa,
wk = a*iMi + aau2 + • + а*яип- Л=1,...,т, Лу&К
©ecopovpe тсора то урацщкб цЕтаохтщапорб G = E/Li Acpov о G eivai evag урац-
щкбд ovvSvaopog tcov Fy, г] апбЗефт] tov oti то {Fy} napayei tov Hom(V,U) 0a оХокЛг]рсо0е(
eav anoSei^ovpe oti F=G.
YnoXoyi^ovpe тсора та G(vk), k=l,...,m. Ka0cbg Fy(vk)=0 yia k#i Kai Fkl(vk)=u1,
G(vk) = E pavFv(vk) = '£aliFli(yk)
= ак|И, + a*2u2 + ... + abu„
Lvvencog, and ttjv (1), G(vk) yia ка0е k. AAXa F(vk)=wk yia ка0е k. Enopevcog, and to ©ecbpri-
pa 5.2, F=G. 'Etoi to {Fy} napayei tov Hom(V,U).
АпоЗефг] tov oti to {Fy} eivai ypappiKa ave£,aprr]TO. Yno0eTovpe oti, yia onoiovoSf|noTe
apiOpovg cyG K,
EE^ = «
Fiavk, k=l,...,m,
0 = «К»*) = E icvF^vk) = E^F^) = Xc^uj
<=iy=i J=l >1
= C*|M| + cuu2 +... + cbun
Ta u„ opcog, eivai урарргка ave^apTrjTa. Apa, yia k=l,...,m, exovpe ckl=0,ck2=0,...,ckn=0.
Me akka Xoyia, oka та cy=0, каг ётсп то {Fy} eivai ypappiKa ave£,aprr|TO.
5.38. Na anoSei^ere то ©есортща 5.12: (i) Go(F+F')=GoF+GoF'. (ii) (G+G')°F=GoF+G'oF. (iii)
k(G»F)=(kG)oF=Go(kF).
(i) TiaKaOeveV,
(G о (F + F'JXv) = G((F + ГХ0) = G(F&) + Г(0)
= G(F(v)) + GXF'(v)) = (GoFXv) + (Go^Xv) = (G«>F + Go^Xv)
Lvvencog Go (F+F ')=Go F+Go F'.
(ii) TiaKaOeveV,
((G + G')oF(v) = (G + G'XF(v)) = G(F(v)) + G'(F(p))
= (GoFXv) + (G'oFXv) = (GoF + G'oFXv)
ЕоУЕлсод (G+G')°F=GoF+G'oF.
(iii) ПакабсубУ,
(*(GoF)X0 = *(GoFX«) = *(G(F(t>))) = (*G)(F(t>)) = (kG°F)(v)
Kai (*(G°F)Xv) = *(G°FXv) = *(G(F(t>))) = G(tF(v)) = G((fcFXt>)) = (Gotf»
Enopevcog, k(GoF)=(kG)°F=Go (kF). (Tovi^Eiai oxi 5uo цЕтаахицаиацо! anoSEiKvvE-
xat oti sivai iooi Eav anoSsixTEi oti о KaOsvag ало avTOvg avaOsTEi rr|v iSia EiKova ото
кабе aqjiEio ото ле5ю opiopov.)
АЛГЕБРА rPAMMIKftN AIIEIKONILEQN
5.39. 'Еотсо F Kai G oi ypappiKoi теЛеоте<; otov R2 nov opi^ovrai ало тк; F(x,y)=(y,x) Kai G(x,y)=(O,x).
Na Ppeite тилоид лои va opi^ovv тоид акоХоибоид теХеоте^: (a) F+G, (P) 2F-3G, (y) FG, (5)
GF, (e) F2, (от) G2.
(a) (F + GXx. y) = F(x, y) + G(x, y) = (y. x) + (0, x) = (y, 2x).
W) (2F - 3GXx,y) = 2F(x,y) - 3G(x,y) = 2(y,x) - 3(0, x) = (2y, -x).
(y) (FGXx.y) = F(G(x,y)) = F(0, x) = (x, 0).
(<5) (GFXx.y) = G(F(x,y)) = G(y, x) = (0,y).
(e) F2(x,y)=F(F(x,y))=F(y,x)=(x,y). (Ei]pEicbv£Tai oti F2=I, о таитотисод цЕтаорщатюцбд.)
(от) G2(x,y)=G(G(x,y))=G(0,x)=(0,0). (Ei]p£icbv£Tai oti G2=0, о ppSeviKog цЕтасхПрать
opog.)
5.40. ©EcopEioTE to ypappiKo teXeottj T otov R3 лои opi^ETai ало tt|v T(x,y,z)=(2x, 4x-y, 2x+3y-z).
(a) Na Sei^ete oti о T Eivai аутютрвцлрод. Na Ppeite тилоид yia та: (P) T'1, (у) T2, (5) T’2.
(а) 'Еотсо W=Ker T. XpEia^ETai povo va Sei^oupE oti о T Eivai pr)-i3ia^cov, oti SiyXaSf)
W={0}. 0EToi)ji£ T(x,y,z)=(0,0,0), то олою pag oSpyfii ото
T(x.y.z) = (2x, 4x-y, 2x + 3y-z) = (0,0,0)
Apa to W Eivai о xcbpog Xuoecov tov opoysvoug оиоттщатод
2x = 0, 4x-y = 0, 2x + 3y-z = 0
то олою exei povo n]v TETpippEvi] Xvoq (0,0,0). 'Etoi W={0}. Evvsncbg о T Eivai рд-
iSia^cov, apa Kai аутютрЕцлрод.
(P) 0ETovp£ T(x,y,z)=(r,s,t) [Kai etoi T'](r,s,t)=(x,y,z)]. 'ExovpE
(2x, 4x-y, 2x+ 3y-z) = (r,s,t) f| 2x = r, 4x-y = s, 2x + 3y-z = r
Avvovps cog лрод x, y, z ovvaprr|G£i tcov r, s, t yia va лароорв x= l/2r, y=2r-s, z=7r-3s-t.
Ката ovv&tEia
T_'(r,s,0 = (|r. 2r-s, lr — 3s — t) 1] T~\x,y,z) = (|x, 2x-y, 7x-3y-z)
(y) Ecpappo^ovpfi 5vo cpopsg tov T yia va лароорв
T2(x,y,z) = Т(2х, 4х-у, 2x + 3y — z)
= [4х, 4(2х) - (4х - jy), 2(2х) + 3(4х - у) - (2х + Зу - z)]
= (4х, 4х + у, 14х — бу + z)
(5) ЕфаррдфирЕ био форЁ<; tov Т yia va лароирЕ
Т~2(х, у, z) = T~2Qx, 2х—у, 7x — 3y — z)
= Цх, 2(^х) — (2х — у), 7(}x)-3(2x-y)-(7x-3y-z)]
= (|х, -x+jy, - ^x + 6y+z)
5.41. 'Еотсо oti о V Eivai лЕЛЕраорЁУГц; 6iaoTaoq<; koi еотсо о Т sva<; ураррскдд теХеоттц; otov V yia
tov олою TR=I, yia калою teXeotti R otov V. (Ovopa^oups tov R 5е^ю аутютрофо too T.)
(a) Na Sei^ete oti о T Eivai avrioTpsyipot;. (P) Na Sei^ete oti R=T’. (y) Na Scooete sva лара-
5siypa лои va 5ei%vei oti to napanavco 5ev io%vei алара(тт|та sav о V Eivai алЕрюрюттц;
5iaoTaoq<;.
(а) 'Еотсо dim V=n. Алб то ©Ecopi]pa 5.14, о T Eivai avTioTpsyipot; sav koi pdvo sav sivai
ЕЛ1. Apa о T sivai avTioTps\|/ipo<; sav koi pdvo sav rank(T)=n. 'Exoops
n=rank(I)=rank(TR)<rank(T)<n. Enopdvco<; rank(T)=n koi о T Eivai avrioTpsyipot;.
(p) ТГ^Т'ТЧ. T6te R=IR=(T,T)R=T1(TR)=T1I=T1.
(у) 'Еотсо V о x^pog лоХисоуирсоу ото t лаусо ото К. Гю ларабЕгура,
p(t)=a0+a1t+a2t2+.. .+asts- 'Еотсо, ел(от]<;, Т koi R oi теХеоте^ otov V лоо opi^ovTai алб
Г(р(0) = 0 + aj + a2t +... + a/-1 Kai Я(р(0) = Оо‘ + . + а/+1
'Ехооце
(WHO) = ЦДМО» = + a^ + ...+ a,f+l) = a0+alt+...+a,t’=p(t)
koi etoi TR=I, о tovtotiko^ рЕтаохпратюрд^. Алб tt|v aXXr|, sav ke К koi k^O, t6te
(ЛГХ*) = Л(Г(*)) = Л(0) = 0#*
ЕирлЕраорат1ка, RTVI.
5.42. 'Еотсо F Kai G oi ypappiKoi teXeote^ otov R2 лои opi^ovrai алд tic; F(x,y)=(0,x) koi G(x,y)=(x,0).
Na Sei^ete 6ti: (a) GF=O, о pr|6EviKd<; рЕтаохпратюрд^, aXXa FG^O. (P) G2=G.
(a) (GF)(x,y)=G(F(x,y))=G(O,x). Афои о GF ovoOetei то 0=(0,0) ото ка0Е Siawopa (x,y)
otov R2, sivai о pt|5evik6<; рЕтаохпрсшордд, 5т|Ха5г| GF=0.
Алд tt|v aXXi], (FG)(x,y)=F(G(x,y))=F(x,0)=(0,x). Гш ларабЕгура, (FG)(2,3)=(0,2).
Еоуелсо^ FG*0, кабсод 5ev ovoOetei то 0=(0,0) ото koOe 5iawopa otov R2.
(P) Tia олою5т|лоте 5iawopa (x,y) otov R2, Exovps G2(x,y)=G(G(x,y))=G(x,0)=(x,0)=G(x,y).
ApaG2=G.
5.43. Na Ppeite tu; бюотаоЕк; tcov: (a) A(R4), (P) A(P2(t)), (y) A(M2 3).
ХрТ]а1цолоюицЕ tt]v dim[A(V)]=n2 onov dim V=n. 'Etoi: (a) dim[A(R4)]=42=16, (P)
dim[A(P)2(t)]=32=9, (y) dim[A(M2>3)]=62=36.
5.44. 'Еотсо о E evag урацщкбд теХеоттц; otov V yia xov onoio E2=E. (Evag хбхоюд xe^eoxf]g KaXsi-
xai npoPoXr|.) 'Eoxco, eniorig, U T] EiKova xov E Kat W о nvpr|vag. Na anoSei^Exe oxi:
(a) Eav ue U, xoxe E(u)=u, о E 5т]Ха5т| sivai о xavxoxiKog рЕхаахпрахюцбд oxt|v U.
(P) Eav E#I, xoxe о E sivai iSia^cov, 5т]Ха5т| E(v)=0 yia капою v*0.
(y) V=U©W.
(a) Eav ue U, T] EiKova xov E, xoxe E(v)=u yia капою ve V. Enopevcog, xpT]oijionoicovxag
XT|V E2=E, Exovps
и = E(y) = E2(y) = £(£(u)) = E(u)
(P) Eav E*I, xoxe yia капою ve V, E(v)=u, onov v*u. Ano xo (a), E(u)=u. Evvsncbg
E(y — u) = E(v) - E(u) = и — и = 0, onov - и # 0
(у) 0a Sei^ovpe npcbxa oxi V=U+W. 'Eoxco ve V. ©Exovpe u=E(v) Kai w=v-E(v). Toxe
v = E(v) + v- E(v) = u + w
E£' opiapov, u=E(v)e U, T] eikovo xov E. 0a Зе^оуце xcopa oxi we W, о nvpr|vag xov
E,
E(w) = E(y - E(v)) = E(v) - E2(y) = E(v) - E(v) = 0
Kai 6xai we W. Apa V=U+W.
Err] ovvE%£ia 0a Sfii^ovpE oxi Un W.'Eoxco ve Un W. Ecpooov ve U, E(v)=v ano xo
(a). Acpov ve W, E(v)=O. Lvvencbg v=E(v)=O Kai exoi U n W={0}.
Ajicpoxspsg oi napanavco i5i6vr|X£g ovvsnayovxai oxi V=U © W.
AAYTA ПРОВЛНМАТА
METALXHMATILMOI
5.45. Na npoo5iopio£X£ xov apiOpo xcov 5iacpop£xiK(bv pExaoxqpaxiopcbv ano xo {a,b} oxo {1,2,3}.
5.46. 'Eoxco oxi oi f: R->R Kai g: R->R opi^ovxai ano xig f(x)=x2+3x+l Kai g(x)=2x-3. Na Ppsixs
xvnovg nov va opi^ovv xovg jiExacjxnpa'nojiovg-ovvOEOEig: (a) f<> g, (P) g°f, (y) go g, (5) fof.
5.47. Tia xov Ka06va ano xovg ретаорщатюроид f: R->R va Ppsixs Eva xvno yia xov avxioxpocpo
xov: (a) f(x)=3x-7, (P) f(x)=x3+2.
5.48. Tia опоюЗрпохе pExacyripaxiopo f: A->B, va Sei^exe oxi lBo f=fo 1A.
TPAMMIKOI METAEXHMATIEMOI
5.49. Na Sei^exe oxi oi aKoXovOoi |i£xaaxTlljaTlGlJ0i eivai ypappiKoi:
(a) F: R3->R2 nov opi^sxai ano xt|v F(x,y,z)=(x+2y-3z, 4x-5y+6z).
(P) F: R2->R2 nov opi^exai ano vr|v F(x,y)=(ax+by, cx+dy) onov xa a, b, c, d avrjKOW oxo
R.
5.50. Na Sei^ete oti oi яаракатсо ц£таохлратюцо( Sev Eivai ypappiKoi:
(a) F: R2->R2 nov opi^ETai ало Tqv F(x,y)=(x2, y2).
(P) F: R3->R2 лои opi^ETai ало Tqv F(x,y,z)=(x+1, y+z).
(y) F: R2->R2 лои opi^ETai ало rqv F(x,y)=(xy, y).
(5) F: R3->R2 лои opi^ETai ало Tqv F(x,y,z)=(|x|, y+z).
5.51. Na Ppeite to F(a,b) блои о ypappiKog psraoxq цат юрод F: R2->R2 opi^srai ало Tig F( 1,2)=(3,-1)
KaiF(0,l)=(2,l).
5.52. Na Ppeite Eva 2x2 nivaKa А лои va anEiKovi^Ei:
(a) Ta (1,3)T Kai (1,4)т ота (-2,5)T Kai (3,-1 )T avTioroixa.
(p) Ta (2,-4)T Kai (-1,2)т ота (1,1 )T Kai (1,3)T avrioroixa.
5.53. Na Ppeite Eva 2x2 tSia^ovra nivaKa В лои va anEiKOvi^Ei to (1,1 )т ото (1,3)T.
5.54. 'Еотсо V о SiavuopaTiKog х^род npaypaTiKcbv n-TETpaycoviKcbv nivaKcov, Kai еотсо о M svag
отаОврод, pq-pqSeviKog nivaKag otov V. Na Sei^ete oti oi Зио лрсото1 ало тоид акбХоибоид
pETaoxqpaTiopoug Т: V->V Eivai ypappiKoi, аХХа о триод Sev Eivai: (а) Т(А)=МА,
(р) Т(А)=АМ+МА, (у) Т(А)=М+А
5.55. Na Scooete Eva napaSeiypa Evog pq-ypappiKOu цвтаохлратюцои F: R2->R2 tetoiou coote
F’1(0)={0} аХХа о F va pqv Eivai Eva-npog-Eva.
5.56. 'Еотсо oti о F: R2->R2 opi^ETai ало Tqv F(x,y)=(3x+5y, 2x+3y), Kai еотсо S о povaSiaiog
кикХод orov R2. (O S anoTEXeixai ало бХа та oqpeia лои iKavonoiouv Tqv x2+y2=l.) Na
Ppeite: (a) Tqv EiKova F(S), (P) Tqv лро-EiKova F'’(S).
5.57. ©EcopEiOTE to ypappiKo цЕтаохПра'Лоцб G: R3->R3 лои opi^ETai ало tt|v G(x,y,z)=(x+y+z,
y-2z, y-3z) Kai Tq povaSiaia ocpaipa S2 otovR3, q onoia anoTEXsiTai ало та oqpEia лои iKavo-
noiouv Tqv x2+y2+z2=l. Na Ppeite та: (a) G(S2), (P) G’’(S2).
5.58. 'Еотсо H то ел1ле5о x+2y-3z=4 otov R3 Kai еотсо G о ypappiKog pETaoxqpaTiopog тои Про-
рХгщатод 5.57. Na Ppeite та: (a) G(H), (p) G-'(H).
5.59. 'Еотсо W о илохсород тои V. H алЕ1кбуют|-ЕукХ£1ор6д, лои aupPoXi^ETai це i: W->V, opi^ETai
ало tt)v i(w)=w yia ка0Е we W. Na Sei^ete oti t] anEiKovioq-EyKXsiopog Eivai ypappiKq.
5.60. УлоОеоте oti о F: V->U Eivai урацщкбд. Na Sei^ete oti F(-v)=-F(v).
nYPHNAE KAI EIKONA ITAMMIKSIN METAEXHMATIEMftN
5.61. Tia tt)v ка0Е урацциа) anEiKovioq F va Ppeite pia paoq Kai Tq SiaoTaoq тои nvpqva Kai Tqg
EiKOvagTOuF:
(a) F: R3->R3 лои opi^Eiai ало Tqv F(x,y,z)=(x+2y-3z, 2x+5y-4z, x+4y+z),
(P) F: R4->R3 лои орфта1 ало Tqv F(x,y,z,t)=(x+2y+3z+2t, 2x+4y+7z+5t, x+2y+6z+5t).
5.62. Tia tov ка0Е урацщкб цетаохлцатюцб G, va Ppeite pia paoq Kai Tq Siaoraoq тои nvpqva
Kai Tqg EiKovag тои G:
(a) G: R3->R2 nov opi^ETai ano Tqv G(x,y,z)=(x+y+z, 2x+2y+2z),
(P) G: R3->R2 nov optical ano Tqv G(x,y,z)=(x+y, y+z),
(y) G: R5->R3 nov opi^Etai ano Tqv
G(x,y,z,s, t) = (x + 2y + 2z + s + r, x + 2y + 3z + 2s - t, 3x + 6y + 8z + 5s - t).
5.63. О KaOfivag ano тоид aKoXovOovg nivaKsg npooSiopi^Ei pia ypappucq anEiKovioq ano tov R4
otov R3:
[1 2 О Я Г 1 0 2 -11
2 -1 2 -1 , (fl) B= I 2 3 -1 1 .
1 -3 2 -2J [-2 0 -5 3J
Na Ppeite pia Poor) Kai rq Siaoraoq tov nupqva Kai rqg EiKovag rqg ка0Е ypappiKqg anEiKOvioqg.
5.64. Na Ppeite Eva ypappiKO pEraoxqpanopo F: R3->R3 q EiKova tov onoiov va napayETai ano та
(1,2,3) Kai (4,5,6).
5.65. Na Ppeite Eva ypappiKO pEraoxqpanopo G: R4->R3 о nvpqvag tov onoiov va napayETai ano
ra (1,2,3,4) Kai (0,1,1,1).
5.66. 'Еотсо V=P|0(t), о SiawopariKog xcbpog noXvcovvpcov PaOpov <10. ©ecopeiote vq ypappitcq
anEiKOVioq D4: V->V, onov to D4 ovpPoXi^Ei Tqv rEraprq napaycoyo tov d4/dt4. Na Ppeite pia
Paoq Kai Tq Siaoraoq: (a) Tqg EiKovag Tqg D4, (P) tov nvpqva Tqg D4.
5.67. УпоОеоте oti о F: V->U Eivai ypappiKog. Na SeI^ete oti: (a) q EiKova onoiovSqnoTE vnoxcbpov
tov V sivai Evag vnoxcbpog tov U, (P) q про-EiKova onoiovSqnorE vnoxcbpov tov U Eivai Evag
vnoxcbpog tov V.
5.68. Na Secrete oti Eav о F: V->U sivai sni, tote dim U<dim V. Erq ovvexeio va npooSiopioETE
6Xsg Tig ypappiKEg anEiKovioEig F: R3->R4 nov Eivai Eni.
5.69. ©ECOpEioTE to pqSEviKO pEraoxqpanopo 0: V->U nov opi^Erai ano Tqv 0(v)=0, cogV. Na
Ppeite tov nvpqva Kai Tqv EiKova tov 0.
ПРАНЕ1Е ME TPAMMIKOYE METALXHMATILMOYL
5.70. 'Еотсо oti oi F: R3->R2 Kai G: R3->R2 opi^ovrai ano Tig F(x,y,z)=(y, x+z) Kai G(x,y,z)=(2z,
x+y). Na Ppeite -cvnovg nov va opi^ovv Tovg pEraoxqpanopovg F+G Kai 3F-2G.
5.71. 'Еотсо oti о H: R2->R2 opi^Ejai ano rqv H(x,y)=(y,2x). Xpqoiponoicbvrag Tig anEiKovioEig F
Kai G tov npopXqpaTog 5.70, va Ppeite -cvnovg nov va opi^ovv Tovg pETaoxqpaTiopovg: (a) H°F
Kai HoG, (p) FoH Kai Go H, (y) Ho (F+G) Kai H»F+Ho G.
5.72. Na SeUjete oti oi паракатсо pEraoxqpanopoi F, G, H Eivai ypappiKa avE^ap-cqroi:
(a) F,G,Hg Hom(R2,R2) nov opi^ovrai ano Tig F(x,y)=(x,2y), G(x,y)=(y, x+y), H(x,y)=(0,x),
(P) F,G,Hg Hom(R3,R) nov opi^ovrai ano Tig F(x,y,z)=x+y+z, G(x,y,z)=y+z, H(x,y,z) =
x-z.
5.73. Tia F,Gg Hom(V,U), va Se^ete oti rank(F+G)<rank(F)+rank(G). (E5cb о V exei nEnspaopEvq
SiaoTaoq.)
5.74. 'Еотсо oi F: V->U кас G: U->V ураццскос. Na 5ес£ете oti Eav oi F кас G Eivac |ir]-c6ca^ovTEg,
tote о GoF Eivac p.T|-c5ca^cov. NoScooete sva ларабвсуца опои о G<>F va Eivac p.T|-c5ca£cov aXXa
о G va pT|v Eivac.
5.75. Na Ppecte tt| бсаотася] d tcov: (a) hom(R2,R8), (P) Hom(P4(t),R3), (y) Hom(M2,4,P2(t)).
5.76. Na лрообсорсоЕТЕ ката лоно о ка0Ёуа<; ало тоод ларакатсо ураццскобс; цЕтаохпцатсоцоб»;
Ecvac т| 6^1 p.T|-c5ca£cov. Eav 6ev Eivac, va Ppecte sva цт|-цт|6еуск6 Scawopa v T| eckovo too
олосои va Eivac 0. ЛсасрорЕтска va Ppecte sva голо уса tov avrioTpocpo цЕтао/гщатсоцб:
(a) F: R3->R3 лои орс^Етас ало tt|v F(x,y,z)=(x+y+z, 2x+3y+5z, x+3y+7z),
(P) G: R3->P2(t) лои орс^Етас ало tt|v G(x,yz)=(x+y)t2+(x+2y+2z)t+y+z,
(у) H: R|->P2(t) лои орс^Етас ало tt|v H(x,y)=(x+2y)t2+(x-y)t+x+y.
5.77. Поте цлорвс т| dim[Hom(V,U)]=dim V;
АЛГЕБРА PPAMMIKHN TEAEETQN
5.78. 'Еотсо F кас G ос ураццскос теХеотёс; otov R2 лои opi^ovrac ало тсс; F(x,y)=(x+y, 0) кас G(x,y)=(-
у,х). Na Ppecte тблоис; лои va opi^ouv тоис; ураццскобс; теХеотёс;: (a) F+G, (Р) 5F=3G, (у) FG,
(5) GF, (в) F2, (от) G2.
5.79. Na Secrete отс о ка0Е ураццекбд теХеоттц; Т ото Р2 Ecvac pT|-c6ca^cov кас va Ppecte ёуо тбло уса
rov Та-1, олои:
(а)Т(х,у)—(х+ 2у, 2х + 3у), (ftT(x,y) = (2х -Зу, Зх-4у).
5.80. Na Secrete отс о ка0Ёуа<; ало топе; акбХоиОосх; ураццскобс; теХеотёс; Т otov R3 Eivac цт|-
cSca^cov кас va Ppecte ёуо тбло уса rov К1, блои:
(a)T(x,y,z) = (x-3y-2z, y-4z, z); (ft Т(х, у, z) = (х + z, х-у, у).
5.81. Na Ppecte тт| бсаотаот| тт)д A(V), блои: (a) V=R7, (Р) V=P5(t), (у) V=M34.
5.82. Посос; ало топе; ларакатсо акврасоис; цлорвс va Eivac т| бсаотаот| цсас; aXysPpag A(V) урацце-
kcov anECKOvioECOv:
5, 9, 12, 25, 28, 36, 45, 64, 88, 100;
5.83. 'Еотсо Т о ураццскос; теХеотдс; otov R2 лои орс^Етас ало tt|v Т(х,у)=(х+2у, Зх+4у). Na Ppecte
Ёуа тбло уса то f(t), блои:
(a) f(t)=t2+2t-3, (Р)
ПО1К1АА ПРОВЛНМАТА
5.84. YлоОёоте отс о F: V->U Eivac ураццскос; кас отс о k Eivac evac, арс0цб<; бсасророс; тои цг|6еу6<;.
Na алобЕс^ЕТЕ отс ос олескоусоесс; F кас kF ёхооу tov сбсо лирт|уа кас tt|v сбса eckovo.
5.85. УлоОёоте отс ос F кас G Ecvac ураццскос теХеотёс; otov V кас отс о F Ecvac цг|-сбса^соу. Уло0Ё-
оте, елсот|<;, отс о V ёхес лЕЛЕраоцЁУТ] бсаотаот|. Na 6ес^ете отс rank(FG)=rank(GF)=rank(G).
5.86. 'Еотсо о F: V->U ураццскб<; кас Ёотсо о W svag олохсород тои V. О лЕрсорсоцб»; тои F otov W
eivai г| aJiEiKOviOT] F|W: W->U nou opi^eTai ano tt|v F|W(v)=F(v) yia каОе v otov W. Na
алобе^ете oti: (a) о F|W eivai ypappiKog, (P) Ker(F|W)=(Ker F) n W, (y) Im(F|W)=F(W).
5.87. УлоОеоте oti о V e%ei лелераорёут] бшотаот]. УлоОеоте, enioqg, oti о T eivai eva<; ypappiKog
теХеоттц; otov V тётоюд йоте rank(T2)=rank(T). Na берете oti ker Tn Im T={0}.
5.88. УлоОеоте oti V=U © W. 'Еотсо Ej koi E2 oi ypappiKoi теХеотёд otov V лои opi^ovTai ало тк;
E](v)=u, E2(v)=w, блои v=u+w, ug U, wg W. Na берете oti: (a) £/=£] Kai E22=E2, oti 5qXa-
8r) oi E, Kai E2 eivai лророХё<;, (P) E1+E2=I, о toutotikoi; ретаохпратюрб^, (у) E,E2=0 Kai
Е2Е]=0.
5.89. 'Еотсо oi Е] koi Е2 ypappiKoi теХеотёд otov V oi onoioi iKavonoiovv та (a), (P), (у) тои Про-
рХт) ратод 5.88. Na алобе^ете oti:
V = Im£( ©ImE2.
5.90. 'Еотсо та v koi w otoixeio evog лрауратисои 5iawopaTiKov xcbpou V. To euOuypappo трг|ра L
ало то v ото v+w opi^eTai va eivai to ouvoXo tcov 5iawopaTcov v+tw yia 0<t<l. (ВХеле ^хпра
5.6.)
(a) Na берете oti to evOvypappo трпра L рета^и tcov 6iawopaTC0v v koi u алотеХепас
ало та qqpeia:
(i) (l-t)v+tu yia 0<t<l, (ii) t]V+t2u yia t1-t-t2=l, ц>0, t2>0.
(P) 'Еотсо о F: V->U ypappiKog. Na берете oti r| eiKova F(L) evog evOvypappou трпратод
L otov V eivai eva euOvypappo трпра otov U.
5.91. 'Evag unoxcbpog X evog 5iavuopaTiKOU xcbpou V Xepe oti eivai киртбд eav to euOuypappo
трпра L рета^й био оло1соубг|лоте oqpeicov (5iawopaTC0v) P,Qg X nepiexETai otov X. (a) Na
берете oti r| торг] киртсоу ovvoXcov eivai киртт|. (P) УлоОеоте oti о F: V~>U eivai ypappiKog
koi oti о X eivai киртод. Na берете oti to F(X) eivai киртб.
AIIANTHEEIE AAYTQN IIPOBAHMATQN
5.45. Ewea
5.46. (a)(/ogXx) = 4x2-6r+l, (6)(go/Xx) = 2x2 + 6r-l> (c) (g»gXx) = 4x - 9,
(4) (/°/X*) = x4 + бх3 + 14X2 + 15x + 5
5-47. (a)/-*(x) = |(x + 7), = ^2
5-49. F(x,j.,z) = ^(x,Zz)r,67rov:(fl)4 = [j J e].(*)4 = [" J]
5.50. (a) u=(2,2), k=3, tote F(ku)=(36,36) aUd kF(u)=(12,12).
(ft) F(0) yb 0
(y) u=(1,2), v=(3,4), tote F(u+v)=(24,6) aUd F(u)+F(v)=(14,6).
(5) u=(l,2,3), k=-2, tote F(ku)=(2,-10) aUd kF(u)=(-2,10).
5.51. F(a, b) = (—a + 2b, -3a+ b)
5.52. J].
(P) Aev wtapxEi. Ta (2,-4) koi (-1,2) Eivai ypappiKa E^apvr|p£va aAAa та (1,1) Kai (1,3) oxi.
5.53. В = ® j [УлоЗе^г]: МвтафЕрЕТЕ то (0,1 )т ото (0,0)т.)
5.55. F(x,y) = (xt,yi)
5.56. (а) Вх2 - 42ху + 34/ = 1, (ft) Вх2 + 42ху + 24/ = 1
5.57. (а) х2 — 8ху + 26/ + бхг - ЗЪуг + 14г2 = 1, (Ь) х? + 2ху + Зу2 + 2xz - iyz + 14г2 = 1
5.58. (a)x—y + 2z = 4, (ft) х - 12z = 4
5.61. (a) dim(KerF) = 1, {(7,-2,1)}; dim(ImF) = 2, {(1.2,1), (0,1,2)}
(b) dim(Ker F) = 2, {(-2,1,0,0), (1,0, —1,1)}; dim(Im F) = 2, {(1,2,1), (0,1,3)}
5.62. (fl) dim(KerG) = 2, {(1.0.-1), (1, -1,0)}; dim(Im G) = 1, {(1,2)}
(b) dim(KerG) = 1, ((1,-1,1)}; ImG = R2, ((1,0), (0,1)}
(c) dim(Ker G) = 3, {(-2,1,0,0,0), (1,0,-1,1,0), (-5,0,2,0,1)}; dim(Im G) = 2,
{(1,1,3), (0,1,2)}
5.63. (a) dim(Ker^) = 2, {(4, —2,-5,0), (1, -3,0,5)}; dim(Im A) = 2, {(1,2,1), (0,1,1)}
(ft) dim(KerB) = 1, {(—1, j, 1,1)}; ImB = R3
5.64. F(x,Zz) = (x + 4y, 2x+5y, 3x + 6y)
5.65. F(x,y,z,t) = (x+y-z, 2x+y-t, 0)
5.66. (a) {l.r.r2.^.(ft) {l.r.F.r3}
5.68. Asv iwrapxEi, афоа dim R4>dim R3.
5.69. о = V, Im 0 = {0}
5.70. (F + GXx.j',z) = (y + 2z, 2x—y + z), (3F - 2G)(x, y, z) = (3y - 4z. x + 2y + 3z)
5.71. (a) (H ° F)(x, y, z) = (x + y, 2y), (H°G)(x,y,z) = (x-y, 4z)
(P) Sev opi^Etai,
(с) (Яо(F + G))(x,y,z) = (HcF + HcG)(x,y,z) = (2x-y + z, 2y + 4z)
5.74. F(x, y) = (x, y, y), G(x, y, z) = (x, >)
5.75. (a) 16, (P) 15, (y) 24
5.76. (*) « = (2, -3,1); (b) G-'lat2 + bt + c) = (b -2c, a-b + 2c, -a + b- c);
(у) о H Eivai pr|-i5ia^ci)v, alXa oxi avtiatpEyipoq, каОсос; dim P2(t)>dim R2.
5.77. dim U= 1, 5r)Xa5f| U=K.
5.78. (a) (F + G)(x. у) = (X, x); (b) (5F - 3G)(x,,) = (5x + Sy, -3x); (c) (FG)(x,y) = (x - y, 0);
(J) (GFXx,y) = (0, x +y); (e) F*(x,y) = (x +y, 0) (note that F1 = F); (Л ^(x,y) = (-x, -,).
[Note that G2 +1 = 0; hence G is a zero off(t) = r2 + 1]
5.79. (a) T~l(x,y) = (-3x + 2y, 2x -(b) T~l(x,y) = (-4x + 3y, -3x + 2y)
5.80. (a) T~'(x,y,z) = (x + 3y+ 14t, y-4t, t), (b) T~l(x,y,z) = (y + z, y, x-y-z)
5.81. (a) 49, (P) 36, (y) 144
5.82. Ta TETpaycova: 9, 25, 36, 64, 100.
5.83. (а) Г(х,у) = (6х+14у, 21x + 27y); (b) T(x,y) = (0,0), i.e.,/(T) = 0
(P) T(x,y)=(0,0), 5т|ХаЗг| f(T)=0
КесраХаю 6
ГРАММ!KO! METAZXHMATIZMOI
КА! TUNAKEZ
6.1 Е1ЕАГПГН
A; б£сорг|ооицЕ pia Раот| S={uI1u2,...,un} evog SiavuopaTiKOU xcbpou V лаусо oe ёуа ле8ю К. Ha
оло1о8г|лоте Siavuopa ve V, илобётоицЕ oti
t? = aiU! +a2u2 + ...+a„u„
Tote, to Siavuopa оиутЕтауцёусоу too v cog лрод тг] pdor| S, то олою илобётоицЕ on Eivai ёуа Siavuopa
отт|Хг|д (Ектбд Eav 8т|Хсо6е1 t| ило8т]ХсобЕ1 kclti aXXo), oupPoXi^ETai це [v]s Kai opi^ETai ало tt|v
[t?]s = [a1,a2,...,an]r
Na илЕУбищооицЕ (Параурасрод 4.11) oti о цЕтаохпматюцбд v a [v]s, лои npooSiopi^ETai ало тт|
Раот| S, Eivai ёуад юоцорсрюцбд цЕта^и tcov V Kai Kn.
То KEcpdXaio аитб ба Sei^ei oti unapxei Елют]д ёуад юоцорсрюцбд, о олоюд лроа8юр^£та1 алб тт|
Раот] S, щта^и тт]д dXyEppag A(V) урацщксоу teXeotcov otov V Kai rqg aXysPpag M n-T£TpaycoviKcbv
nivaKCOv лаусо ото К. Елоцёусод о каб£ урацщкбд цЕтаохпцатюцбд F: V->V ба avnoTOixei ае ёуа
п-т£траусоУ1кб л(уака [F]s лои ба лроо8юрфта1 алб тт| Paor] S. 0а 8ei^ou|1£ акбцт| то лсод aXXa^Ei
о л[уакад-ауалараотаот| бтау ЕлсХёуоицЕ аХХт] Раот].
6.2 О IIINAKAE-ANAIIAPAETAEH ENOE TPAMMIKOY TEAEETH
'Еотсо о Т ёуад урацщкбд TEXEovqg (цЕтаахЛИ0110^^ алб ёуа 81ауиоцат1кб х<вро V otov Еаитб тои,
Kai ёотсо oti r| S={u1,u2,...,un} Eivai ща Раот] тои V. Тсора, та T(U|),T(u2),...,T(un) Eivai бюуиоцата
otov V, koi ёто1 то кабёуа ало аита Eivai ёуад урацщкбд оиуЗиаоцбд tcov бюуиоцатсоу отт| Paor] S.
Tia ларабЕгуца,
T(ui) = aHW! + al2u2 + ... + alnu„
T(u2) = a2lut + a22u2 + ... + а2лил
Л“п) = ani“i + ая2и2 + • • • + а„„и„
Ioxuei о акбХоибод орюцбд.
Оршцбд: О avaoTpocpog тои ларалаусо л(уака ouvteXeotcov, лои оицРоХфтас це ms(T) i] [T]s,
оуоца^Етас mvaKaq-avanapdoraar] тои Т сод лрод тт] Раот] S, т| лю алХа л(уакад тои
Т отт| pdori S. (То S цлорЕ1 va лараХт|<рб£1 otov r| Paor| S Е^илакоиЕтаи)
Xpr|oiponoicbvrag то оирРоХюрб evog SiavvopaTog owreraypevcov (отт]Хг|д), о nivaKag-avanapa-
отаот| too Т pnopei va ypatpei атт| popcpf]
”»S(T) = [7Ъ = [Wb...........[Г(М1)]5]
Oi отт|Хед, Зг|ХаЗг|, too m(T) Eivai та Siavvopara ouvrEraypEvcov tcov T(Uj),T(u2),. . .,T(un) avrioroixa.
Парйбесура 6.1.' Еотсо F: R2->R2 о ypappiKog тЕХеотт|д лоо opi^Erai ало tt|v F(x,y)=(2x+3y, 4x-5y).
(a) Na Ppeite tov nivaKa-avanapaoraori tod F cog лрод тт| раат| S={ubu2}={(l,2), (2,5)}.
(1) BpioKovpe прсота то F(U]) Kai акоХоббсод то ypacpoupE сод урацщко ovvSuaopo tcov
SiavuopaTcov Раот|д щ Kai u2. (Ha oT|peioypacpiKf| EVKoXia, xpriaiponoiovpe SiavvopaTa
отт|Хг|д.) 'E%ovp£
«->-'([*])’UHM] m "Л'Л
Avvovpe to ovoTTipa yia va ларовре x=52, y=-22. Apa F(u1)=52u1-22u2.
(2) Ett| ovvexeio PpioKoups to F(u2) Kai акоХоббсод то ypacpoupE cogypappiKO ovvSvaopo
tcov U| Kai u2:
MHSHH’]«“ zJU:-!?
AvvovpE to ovoTTipa yia va napovpe x=129, y=-55. Enopevcog F(u2)=129u!-55u2.
Tpacpovpe, тсора, Tig ovvreraypeveg tcov F^) Kai F(u2) cog отт|Хед yia va napovpe tov
nivaKa
M-*
(P) Na Ppefre tov nivaKa-avanapdoraori tov F cog npog tt| (ovvr)6iopevr]) paor| E={ebe2}=
{(1,0), (0,1)}.
BpioKovpe to F(ej) кас to ypacpovpe cog ypappiKO ovvSvaopo tcov Siawoparcov тт|д
ovvr|6iopevrig pdor|g e! Kai e2, Kai ott| ovvexeia PpioKovpe to F(e2) Kai to ypacpovpe cog
ypappiKO ovvSvaopo tcov e! Kai e2. 'Exovpe
F(e1) = F(l,0) = (2,2) = 2e1+4e2 , _ Г2 3]
F(e2) = F(0,l) = (3,-5) = 3e1-5e2 Kai eroi 1^1£ = [4 _5]
Erjpeicbverai oti oi ovvreraypeveg tcov F(e]) Kai F(e2) oxnpari^ovv Tig orf|Xeg, Kai oxi Tig
урарред, tov [F]e. ErjpeicbveTai, eniorig, oti r| api6pr|riKT| eivai noXv апХоботерт]
Xprjoiponoicbvrag тг| ovvr)6iopevr| paor| tov R2.
TlapdSEiypa 6.2. 'Еотсо V о SiawopariKog X“P°? avvapTf|oecov pe paor| S={sin t, cos t, e3t} Kai еотсо
D: V-> V о SiacpopiKog теХеотт|д nov opi^erai ano tt|v D(f(t))=d(f,t)/dt. YnoXoyi^ovpe tov nivaKa
avanapioTcbvrag to D ott| paor| S:
D(sinr)= cos/= 0(sin/) +l(cos/)+ 00?3/)
D(cos Г) = - sin/ = — l(sin/) + 0(cosr) + (Xe3')
Die3') = Зе3' = 0(sin t) + 0(cos t) + 3(e3')
Kai etoi
[0 -1 01
1 0 0
о о з]
[Etipeicovetoi oti oi ovvTETaypevEg tcov D(sin t), D(cos t), D(e3t) oxn pan^ow Tig ovr|X£g, Kai 6%i Tig
ураццед, too [D].]
METaoxHpaTiopoi-IIivaKEg Kai о Пкакад-Ауаяарйотасп] тоид
©ECopovpE tov акоХоибо nivaKa А, о onoiog pnopsi va 0£сорт| 0е( cog evag ypappiKog тЕХ£отт|д otov R2,
koi тт) раот) S той R2:
л = [’ I*] ка15 = («„.,2) = {['],[^}
(ГрасроицЕ та SiavuopaTa сод отт|Х£д, ка0сод т) anEiK6viof| рад Eivai evag nivaKag.) BpioKOvpE tov
nivaKa-avanapaoraoT) tov A cog npog тт| Раот) S.
(1) Гpacpovps прсота то A(u() cog ypappiKo ovvSvaopo tcov Uj koi u2. Exovps
л<“1> = [4 -з][г] = [-б] =х[г] +,,[з] к<п4x012х+5^ = —в
Avvovrag то оиоттща naipvovps х=7, у=-4. EvvEncbg А(и1)=7и1-4и2.
(2) АкоХог>0сод ypacpovps то А(и2) сод урарргко ovvSvaopo tcov U] koi u2. 'EyovpE
Я<“2,= [4 -s][s] = [-?] “’[2] +4s] rai 4x01 b + 5^-7
AvvovTag то оиоттща ехооце x=-6, y=l. EvvEncbg A(u2)=-6u!+u2. TpacpovTag Tig
ovvTETaypEVEg tcov A(u() koi A(u2) cog отт|ХЕд naipvovgE tov ok6Xov0o nivaKa-
ауапараотаот) tov A:
Паратт)рт)от): Eav vno0eoovp£ oti 0eXov|ie va Рроире tov nivaKa-avanapaoraoT) tov A cog npog tt|
ovvT|0iop£vr] Раот] E={ebe2)={[l,0]T, [0,1 ]T} tov R2, 0a Exovpe
IqpsicbvETai oti о [A]e Eivai о ap/iKog л(уакад A. To алотЁХеора аито oXt|9e6ei koi yEviKOTEpa:
О л{уакад-ауалараотася] олоюо5т|лоте nxn ТЕтрауамкоб л(уака A navco oe sva ле6(о К cog лрод
тт] ouvq0iop6vq Paoq E too Kn Eivai о iStog о л(уакад А, SqXaSq
[A]e=A
AXydpiOpog E6peoqg П ivokcov-Av ал a paoraoecov
Lrq ouvE%Eia акоХоо0Е1 svag aXydpi0pog yia rqv svpEoq evog л(уака-ауалараатася]д. To лрсото
Bqpa 0 Eivai лроасрЕпкд. МлорЕ1 va катаотЕ1 xpqoipo ато Втща 1 (Р), то олою EKavaXapPaverai yia
то ка0Е Siawopa Paoqg.
АХубрсОрод 6.1: Н EiooSog Eivai evag урацщкбд TEXeorqg Т ое Eva SiawopanKd %соро V koi
pia Paoq S={ubu2,...,un} too V. H Ё^обод Eivai о nivaKag-avanapaoraoq [T]s.
Bqpa 0. BpioKovps sva тбло yia Tig ouvrETaypsvEg Evdg av0aipETOv 6iav6oparog v cog лрод rq
Paoq S.
Bqpa 1. EnavaXapPavovpE yia то ка0Е Siawopa Paoqg uk orqv S:
(a) BpioKoupe to T(uk).
(P) Г paipoups то cog ypappiKd ouvSvaapd tcov SiawopaTcov Paoqg и! ,u2,... ,un.
Bqpa 2. LpipaTi^oupe tov mvaKa [T]s, oi orqXeg too олоюо Eivai та Siavvapara ouvrEraypevcov
ото Bqpa 1(P).
napaSeiypa 6.3. 'Eotco oti о F: R2->R2 opi^Erai алб rqv F(x,y)=(2x4-3y, 4x-5y). Na Ppeite tov mvaKa-
ауалараатася] [F]s too F cog лpogтq Paoq 8={и!,и2}={(1,-2), (2,-5)}.
(Bqpa 0) Ap%iKa PpioKovpe ng ouvTETaypsvEg too (a,b)e R2 cog лрод vq Paoq S. 'E%ovp£
Auvovrag cog лрод x Kai у ouvaprqoEi tcov a Kai b naipvoupE x=5a+26, y=-2a-b.
Елорбусод
(x, y)= (5a + 26)И1 + (-2a - b)u2
(Bqpa 1) BpioKovps тсора то F(U]) koi то урафоорЕ cog ypappiKd ouvSvaopo tcov iq Kai u2 %pq-
oiponoicbvrag tov лю navco тбло yia to (a,b) Kai orq ouv£%Eia EnavaXapPavovpE rq
SiaSiKaoia yia to F(u2). 'E%ovp£
F(M1) = F(l,-2)= (—4,14) = 8«! — 6«2
F(u2) = F(2, -5) = (-11,33) = 1 la, - 1 lu2
(Bqpa 2) TEXfiicbvovrag, урафоъре ng ouvrEraypevEg tcov F(U]) koi F(u2) cog orqXEg yia va лароо-
pe to ^qroupevo nivaKa
^=[4 Ji]
ISidrqrEg tcov nivaKCOv-Avanapaoraoecov
Irqv ололараурафо avrq 0a бобрЕ ng paoiKEg iSidrqTEg tcov nivaKcov-avanapaoraoEcov ypappiKcbv
teXeotcov T oe Eva SiawapaxiKO %сЬро V. Прёле! va xoviaovpe oti pag Sivexat navroTE pia ovyKEKpipsvq
Pact] S xov V.
To npcbxo 0£cbpqpa nov 0a SovpE, to onoio anoSeiKvveTai ото npdpXqpa 6.9, pag Xeei oti t| “sni-
Spaaq” evog ypappiKov teXeotti T navco oe Eva Siawopa v SiaTqpEnai ano tov nivaKa-avanapaoTaoq
TOV.
©ecbpqpa 6.1: 'Еотсо T: V~>V evac, ypappucog TEXEorqg, Kai еотсо t| S pia (nenepaopevq) Paoq tov V.
Tote, yia onoioSqnoTE Siawopa v orov V, [T]s[v]s=[T(v)]s.
Парббаура 6.4. ©Ecopovps to ypappiKo teXeott] F otov R2 Kai tt| Paoq S tov Пара8е1уратод
6.3, SqXaSq
F(x,y) = (2x + 3y, 4x-5y) Kai S = (u,. u2} = ((1,-2), (2,-5)}
'Еотсо
v = (5, -7), Kai etoi F(y) = (-11,55)
Xpqoiponoicbvrag tov rvno tov Пара8е(уратод 6.3, naipvovps
Hs=[ll,-3f Kai [F(v)J s= [55, -33f
EnaXqOevovpE to ©Ecbpqpa 6.1 ano ауто to Siawopa v (onov о [F] XapPdtvETai ano to napaSeiypa
AeSopevqg piag Paoqg S evoc, SiawopaTiKov xcbpov V, exovpe avTioTOixioei tov ка0е ypappiKo te-
X£OTq T OTqv aXyePpa A(V) ypappiKcbv teXeotcov otov V p£ eva nivaKa [Т]. To ©ecbpqpa 6.1 pag Xeei
oti q “eniSpaoq” evog ovyKCKpipevov ypappiKov теХеотт) T SiaTqpenai ano Tqv avanapaoraoq avrr|.
Ta enopeva Svo 0есорг|рата (nov anoSencwovTai ота ПрорХт|рата 6.10 Kai 6.11) pag Xeve oti oi Tpeig
PaoiKeg npa^eig OTqv A(V) p£ Tovg теХеотёд avTOVg, Kai ovyKEKpipEva (i) q npoo0£oq, (ii) о Ра0рсот6д
noXXanXaoiaopog Kai (iii) q ovv0eoq, Enioqg SiaTqpovvrai.
©ecbpqpa 6.2: 'Еотсо о V evag п-Зсаотатод SiawopaTiKog X“P0(^ navco ото К. 'Еотсо, Enioqg, q S pia
Paoq tov V, Kai еотсо M q aXyePpa tcov nxn nivaKcov navco ото К. Tote о pETao/q-
ратюрод:
m: A(V)->M nov opi^ETai ano Tqv m(T)=[T]s
Eivai evag loopoptpiopog SiawopaTiKov x<opov. AqXaSq, yia onoiaSqnoTE F,Ge A(V)
Kai yia onoioSqnoTE ke K,
(i) m(F + G) = m(F) + m(G) q [F + G] = [F] + [GJ
(ii) m(XF) = bn(F) q [JtF] = A[F]
(iii) О m Eivai eva-npog-eva avTioroixia (eva-npog-eva Kai Eni).
©Ecbpqpa 6.3: Tia onoiovoSqnoTE ypappiKovg твХЕОтвд F,Ge A(V),
m(G°F)=m(G)m(F) q [G°F]=[G][F]
(Apa to G°F ovpPoXi^Ei Tq ovv0£oq tcov pETaoxqpaxiopcbv G Kai F.)
6.3. АЛЛАГН ВАЕНЕ
'Еотсо о V EvaQ n-Siaorarog SiavuopaTiKog xcbpog navco ое eva neSio К. 'Exoupe Sei^ei oti, acpou
ЕтпАе^оицЕ pia Раот] S тои V, то ка0е Siavuopa ve V pnopei va avanapaoraOei ano pia n-a8a [v]s
ото Kn, koi о каЭе ypappiKog теХеотт|д T ott|v A(V) pnopei va avanapaoTaOei ano eva nxn nivaKa
navco ото К. TШетаi, Xoinov, to e^fjg anXo epcbrripa:
Псод aXXa^ouv oi avanapaoraoeig pag eav eniXe^oupe pia аХХт] Раот];
IlpoKeipevou va Scbooupe anavcr|OT] ото ерсотт|ра аито, 0a хреюотоире прсота eva орюро.
Орюрбд: 'Еотсо i] S= {u । ,u2,... .ц,} pia Paorj evog SiavuopartKOu xcbpou V, koi ёотсо л S '={v । ,v2,... ,vn}
pia аХХт] раот]. (Qg avacpopa, 0a ovopa^oupe tt|v S “naXia” Раот] koi tt|v S' “vea”
Раот].) KaGcbg t] S eivai pia Раот], то ка0е Siavuopa отт| “vea” Раот] S' pnopei va
ypacpei povaSiKa cog ypappiKog ouvSuaopog tcov SiavuopaTcov ott|v S. Tia napaSeiypa,
t>i = вцИ! + al2u2 +... + alnu„
v2 =a2iui +а22М2 + ... + а2лип
v« = aniui +an2»2 + --- + amun
'Еотсо P о avaorpocpog тои napanavco nivaKa ouvreXeorcbv. 'Еотсо, 8т]Ха8т|, P=[pu],
опои ру=а^. Тоте о Р ovopa^erai m'varag aAAayifc fidatjt; (i) m'varag р£гсфася1о) ano
tt|v “naXia” раот] S ott| “vea” раот] S'.
Ilpenei, cootooo, va crqpeicoGouv та e^qg:
Паратдрт|<ут| 1: О napanavco nivaKag aXXayqg раот]д Р pnopei va Эесорт)0ei eniorig cog о nivaKag
тои onoiou oi отт|Хед eivai, avrioroixa, та Siavuopara ouvceraypevcov отг|Хг|д tcov Siavuoparcov “veag”
Pacrqg, v„ cog npog rr|v “naXia” Раот] S. EuyKeKpipeva,
P = [kiL. [»21s. • • •. [«>nb]
Паратирдся] 2: AvaXoya, unapxei evag nivaKag aXXayrig paorjg Q ano rr| “vea” Раот] S' orr|v “naXia”
Раот] S. 'Opoia, о Q pnopei va 0ecopT]0ei cog о nivaKag rou onoiou oi orr|Xeg eivai, avrioroixa, ra
Siavuopara ouvceraypevcov orf]Xr]g rr|g “naXiag” Paoiig, up cog npogrr| “vea” Paoi] S'. EuyKeKpipeva,
Q = [[Mib< (“zb.....[“Js-]
Паратцрдся] 3: EcpooovraSiavuopara vbv2,.. .,vnorr| vea paoi] S eivaiypappiKaave£aprr|ta,
о nivaKag P eivai avnotpei|/ipog (Прорх^ра 6.18). 'Opoia, о Q eivai enioiig avnotpei|/ipog. Ioxvei,
paXiora, т] паракатсо протаот] (пои anoSeucvuerai ото ПрбрХг|ра 6.18).
Прбтася] 6.4: 'Еотсо Р koi Q oi mo navco nivaKeg aXXayqg pdorjg. Тоте Q=P-1.
Ад unoGeooupe тсора on t] S={ubu2,...,un} eivai pia Раот] evog Siavuoparucou х<Ьрои V, koi oti о
Р=[РЧ] £ivai EVd? опоюо8т|поте pr]-i8id^cov nivaKag. Тоте, та n Siavuopara
=рищ +ръи2 + • • • +P^ i = 1.2,.... n
пои avrioroixouv ong orr|Xeg тои P, eivai ypappiKa ave^dprr]ta [ПрбрХг]ра 6.21 (a)]. Apa oxnMaTi4ouv
pia aXXr| paoi] S' тои V. EmnpooGeta, о P 0a eivai о nivaKag aAAayrig pdor]g ano rr|v S ott| vea paoi]
S'.
IlapdSEiypa 6.5. ©ecopeiote тц е£г|<; био pdoEu; tov R2:
S = {u,,u2) = {(1.2), (3,5)) Kai 5' = {v„p2) = {(1,-1), (1,-2))
(a) Na Ppeite tov л[уака aXXayf|<; pdor)<; P ало tt|v S ott| “vsa” Paor) S'.
ГpatpovgE то кабвуа ало та vsa SiavvopaTa Pdorjq S' coq ypappiKO ovvSvaopo tov
apxtKcbv SiawopaTcov pdor)<; Uj каг u2 tt|<; S. 'ExovpE
=х[г] 4] Л 2x + 5y = -l аябтооло(оwaipvovps x=-8, y=3
[-1] =х[г] +л{з] Л 2x + 5y = —1 сото то олою naipvovgE х=-11,у=4
ЕоуелсЬс;
р, = —8u|+3u2 г-8 - 111
р, = —11U.+4U, ка,“Р“ ',= [ э <]'
ETjpEicbvETai oti oi owTETaypevEg tov V] koi v2 Eivai oi orf|X£<;, Kai oxi oi ypappcq, tov лгуака
aXXayf|<; Pdoi]<; P.
(P) Na Ppeite tov л(уака aXXayifc Раотц; Q ало тт| “vsa” Paor) S' л(осо ott|v “лаХш” pdor) S.
EScb ypapovpE то Ka0sva ало та SiavvopaTa “лаХшд” Pdoriq U] Kai u2 tt]<; S cnq ypappiKO
ovvSvaopo tcov SiawopaTcov “veaq” Paoi)<; v, Kai v2 tt|<; S'. Алб аотб о6т|уоираотЕ ото
u, = - 3u2 , n Г 4 11]
4-n4-»4 Kaia₽a е=[-з -»J
'Олсод avapsvapE ало tt|v Протаот) 6.4, Q=P‘'. (МаХюта, 0a рлоробоарв va лароорЕ tov Q
PpioKOVTaq алХа tov P’1.)
Парабпура 6.6. ©ecopeiote Tig Svo ларакатсо pdoeig tov R3:
E = {ex,e2,e3} = ((1.0,0), (0,1,0), (0,0,1))
Kai S = {«„ u2, u3) = {(1,0,1). (2,1,2), (1,2,2))
(a) Na PpsiTE tov л(уака aXXayrjg pdoi]g P ало тт| pdoi) E ott| pdoi) S.
Афоб t] E Eivai t] ovvT|0iop£vr| pdor), рлороирЕ va ypdyovps арёосод то ка0Е otoixeio
PdoT]q rr]g S cog ypappiKO ovvSvaopo tcov otoixeicov Pdoriq тт]<; E. EvyKEKpipsva,
U] =(1,0,1)= e,+ e3 Г1 2 1]
u2 =(2,1,2) = 2ex + e2 + 2e3 Kat etoi P= 0 1 2
u3 =(1,2,2)= et+2e2 + 2e3 |_1 2 2J
ПаХц 01 ovvTETaypEVEq tcov ub u2, u3 Ерфау^оутсп coq 01 отт|Хе<; otov P. Паратт]роир£ oti о P
Eivai алХа о л(уакад tov олоюу 01 ott|Xe<; Eivai та SiavvopaTa pdoriq tt]<; S. Avto ioxvei povo
Kai povo yarn tj apxiKT| pdor) rpav tj ovvr|0iop£vr| pdor) E.
(P) Na PpsiTE tov л(уака aXXayrjg Pdoriq Q ало тт| Paor) S ott| Paor) E.
О opiopoq tov л(уака aXXayriq pdor)q Q paq Xeei va ypay ovps to Ka0sva ало та SiavvopaTa
(ouvq0iopdvqg) Paoqg orqv Е сое; ypappiKo ouvSuaopo tcov otoixeIcov Paoqg rqg S. Auto
oSqyei ста
et = (1,0,0) = —2uj + 2u2 — u3 Г -2 -2 31
e2 = (0,1,0) = —2iq + u2 Kaienopevcog 6=1 2 1-2
e3= (0,0,1)= 3u]—2u2 + u} [_-l 0 1J
\Tovi^erai oti yia va Рроире tov Q, npenei va Хиооире rpia 3x3 ouorqpara ypappiKcbv e^iocboecov -
eva 3x3 ouorqpayia to KaOeva ano та eb e2, e3.
ЕуаХХакпка, pnopoupe va Рроире tov Q=P'* oxipari^ovrag tov nivaKa M=[P,I] Kai avayovrag tov
pe oroiXEicoSeic; peraoxqpaTiopoug ypappcbv oe KavoviKq popcpq coc; npoc; tic; ypappec;:
(EScb xpqoiponoiqoape T0 yeyovog oti о Q eivai о avriorpocpog тои P.)
To апотёХеора тои Пара5е(уратод 6.6(a) aXqOeuei yeviKorepa. Ac; Siaruncbooupe тсора Kai тишка то
апотёХеора аито, каОсод ouvavrarai аркета ouxva.
Прбтасгт] 6.5: О nivaKac; aXXayqg Раотц; ano Tq ouvqOiopdvq Paoq Е тои К” ое onotaSqnore Paoq S
тои К” eivai о nivaKac; Р, oi orqXeg тои onoiou eivai, avTioroiya, та SiavuopaTa Paoqg
Tqc;S.
Есрарроуёд тои nivaKa AXXayqg Bdoqg
KaTapxqv 0a Sei^oupe to ncbg pia aXXayq Paoqc; enqpea^ei tic; ouvreTaypevec; evoc; Siavuoparog oe
eva SiavuopaTiKd X“P° V. To Oecbpqpa nou aKoXouOei anoSeucvuerai ото npdpXqpa 6.2.2.
6ed>pq|ia 6.6: 'Еотсо P о nivaKac; aXXayqg Paoqc; ano pia Paoq S oe pia Paoq S' oe eva SiavuopaTiKd
Xcbpo V. Тоте, yia onoioSqnoTe Siavuopa ve V, ёхоире:
Pfalr = [t^y Kai ёто1 />~1[о]5 = [t^
Auto oqpaivei oti, eav noXXanXaoiaooupe Tig ouvreraypeveg тои v OTqv apxiKq Paoq S pe P’1, 0a
napoupe Tig ouvreTaypevec; тои v orq vea Paoq S'.
naparqpqoq 1: ПароХо пои о Р ovopa^erai ni'vanag aUayrfc flaariq and rqv naXia Paoq S orq vea
Paoq S', rovi^erai on о P'1 eivai aurog nou peraoxqpari^ei ng ouvreraypeveg тои v rqg apxiKq Paoqg
S orig ouvreraypeveg тои v rqg veag Paoqg S'.
Пара-rqpqoq 2: E^airiag rou napanav© ©ecopqparog, аркета PipXia ovopa^ouv nz'vana цЕтсфаотк
and rqv naXia Paoq S orq vea Paoq S' rov Q=P', Kai oxi tov P. Kanoia aXXa PipXia, 6e, avacpepouv
tov Q cog nivaKa aXXayqg ouvreraypevcov.
0a Sei^oupe, пора, rqv anoSei^q rou mo navco ©ecopqparog yia rqv eiSucq nepinrcooq onou
dim V=3. Ag unoOeooupe on о P eivai о nivaKag aXXayqg Paoqg and rq Paoq S={U|,u2,u3} orq Paoq
S'={V|,v2,v3}. Tia napaSeiypa,
vj =а1И1 +a2u2 + a3a3 r .
v2 = + b2u2+b3u3 кенара P= a, ft, c,
«>з =Ci“i 4-c2u24-c3u3 bj Cj
Yno0STOvps тсора oti ve V Kai on, yia napaSsiypa, v=k|V1+k2v2+k3v3. Tote, avriKa0iOTcbvrag та vb
v2, v3 ps та napanavco, naipvovps
v = kjCajU! + a2u2 + a3u3) + ^(b^ + b2u2 4- ft3u3) + Щсм + c2u2 + c3u3)
= (ai *i + *1*2 + с1Лз)м1 + (a2kx 4- b2ki 4- c2X3)u2 4- (a3*i 4- bfa 4- Мз)“3
Г*11 ГMi + *1*2 + cxk3 "I
Enopsvcog Ms< - *2 koi [t>]$ = a2kx 4- b2ki 4- c2k3
L*3j Lfl3*l+*3*2+M3J
Ката ovvsnsta,
[ai ftj cj "I Гki "I ГМ1 4"*i*2 4-M3"|
a2 *2 c2 *2 = Ml + *2*2 + c2*3 =
<h *3 c3_]L*3j LMl+*3*2 + M3j
TsXog, noXXanXaoia^ovrag tt}v e^iocooti [v]s=P[v]s ps P’1, naipvovps
= Р-’РМг = Л»Ь = Mr
To ларакатсо 0s©pr|pa (лои anoSsiKvvsTai ото ПрбрХт|ра 6.26) pag Ssixvsi то псод pia аАХаут}
Раот]? E7n]p£a^£i tov л(уака-ауалараотаот| svog урацщкоб теХеотт].
©гсортцш 6.7: 'Еотсо Р о nivaKag aXXayrig Раоцд ало ц(а Раот| S ое pia Раот) S' ое sva StawopaTiKo
Xcbpo V. Tote, yia onoio5r|noT£ ypappiKO teXeotti T otov V,
ms'='P_,RV’
Me aXXa Xoyia, sav oi A Kai В sivai oi nivaKEtj-avanapaoTaoEig too T cog лрод Tig S
Kai S' avTioroixa, tote
B=P‘AP
IIapd5siypa 6.7. ©ecopeiote Tig E^g 8do pdosig too R3:
£ = (e,.ej.e3} = (d.0.0), (0,1,0), (0,0,1)}
K«l S=(u1,u2,u3} = ((l,0,1), (2,1,2), (1,2,2)}
О nivaKag aXXayrig Раот|д P ano tt|v E ott|v S koi о avrioTpocpog too Pp£0T}Kav ото IlapaSEiypa 6.6.
(a) Na ypaigETE to v=(1,3,5) cog ypappiKO ovvSvaopo tcov ub u2, u3, f), looSvvapa, va Ppeite to
[v]s.
'Evag тропод yia va yivsi ovto sivai va Xvoovps KOTEvOsiav tt| 8iawopaTiKT| e^iocooti
у=хи,+уи2+ги3, 8т|Ха8т|,
ЙГ11 Г2“| ГП х4-2у4- 2= I
= х 0 4-у I 4-z 12 у. y + 2z = 3
Ш L2J L2J x + 2y + 2z=5
Н Хбот] eivai r| х=7, у=-5, z=4, ёто1 v=7u|-5u2+4u3.
Ало Tqv aXXr|, yvcopi^ovpe oti [v]e=[1,3,5]t, ecpooov т| E eivai т) auvT|0iopevT| Расп].
Tvcopi^ovpe, ел(ог]д, r|3r| tov P1. Zvvencbg, ало то ©есортща 6.6,
kb = Mv]£=|^ 2 1 -2][3] = [-3]
Zvpnepaivovpe, Xoinov, лаХц oti v=7U|-5u2+4u3.
Г1 3 "21
(P) 'Еотсо оЛ = 2 -4 1 I, о onoiog pnopei va 0ecopr|0Ei cog evag урацщкбд TeXeorfig otov R .
L3 -1 2j
Na Ppene tov лишка В лои avanapiora tov A cog лрод тт] patrq S.
О орюцбд too тпуака-ауалараотастцд too A cog лрод тт] paor| S цад Xeei va урауооце то
KaOeva ало та A(U|), A(u2), A(u3) cog урацщкб ouvSvaopo tcov SiawopaTcov Patrqg ub u2, u3
тт|д S. Алб аитб о8т|уобцаоте ото
4(«i) = (-1,3,5) = Ии, - 5и2 +6и3 Гц 21 17-|
4(«г) = (1.2,9) = 21ut - 14и2 + 8и3 Ка1£ТО1Я = 1-5 -14 -8 1
Л(и3) = (3, —4,5) = 17и1 — 8в2+2м3 6 8 2J
Tovi^erai oti yia va Рробце tov В, лрёле1 va Хбоооце Tpia 3x3 сгооттщата yia to KaOeva алб
та A(U]), A(u2), A(u3).
Алб tt]v аХХт|, асроб ^ёрооце тоид P Kai P'1, цлоробце va xpr|oiponoir]oov|i£ то ©есортща
6.7. Дт|Ха8т|,
Г-2 -2 3"1Г1 3 —2*1 Г1 2 11 Г П 21 17"|
Я = Р-,ЛР= 2 1-2 2-4 1 II О 1 2 = 1-5 -14 -8 I
L-1 О 1JL3 -I 2_|[1 2 2J [_ 6 8 2j
Аитб, олсод avapevape, Sivei то iSio алотёХеоца.
6.4. ОМОЮТНТА
УлоОётоире oti oi A Kai В eivai TeTpaycoviKoi лишкед yia тоид олоюид vnapyei ёуад аутютрёущод
тпуакад Р тётоюд сооте В=Р‘'АР. О В, тбте, Хёре oti eivai opozog лрод tov А, г] aXXicbg о В XapPaveTai
ало tov А ре ёуа ретаоугщатюро оро1отт]тад. 0а Seifpvpe (ПрбрХтща 6.29) oti т| оцоютцта лишксоу
eivai pia оуёот] looSuvapiag.
Алб то ©есортща 6.7 Kai то ларалаусо оубХю, ёуоире то акбХоиОо раоисб алотёХеора.
©есортща 6.8: Дбо nivaKeg avanapioTovv tov (Зю урацщкб теХеотт] Т eav Kai povo eav oi лишкед
eivai opoioi.
Auto oripaivei oti oXeg oi nivaveg-avanapaoTaoeig evog урацщкоб теХеотт| T oxnpaTi^ovv pia
кХаот) looSvvapiag opoicov juvcckcov.
'Evag ypappiKog теХеотлд T ovopa^eTai diayajvionoirftnuoq eav vnap/ei pia Paor] S тои V тётош
сооте о T va avanapiordrai ало ёуа Siaycbvio лишка. Н Раот] S, тбте, Хёре oti Siaycovionoiei tov Т. То
лрот|уобреуо Оесортща рад Sivei то акбХооОо алотёХеора.
©есортща 6.9: Еотсо А о Л1уакад-ауалараотаот| evog ypappiKOV теХеотт] Т. Тбте о Т eivai
SiaycovionoiTjoipog eav Kai povo eav vnapyei ёуад аутютрёц/щод л1уакад P тётоюд
сооте о Р1 АР va eivai ёуад Siaycbviog л1уакад.
Me aXXa Xoyia, о T eivai Siaycovionovqoipog eav Kai povo eav о nivaKag-avanapaoraof| tov pnopei
va 5iaycovi07toir|9ei pe eva ретаохпратюрб ороютг|тад.
Tovi^erai oti 6ev eivai о кабе TeXeorqg 6iaycovionoir|oipog. 0a <5ei£,ovpe, соотбоо, (KecpaXaio 10)
oti кабе ypappiKog TeXeorqg pnopei va avanapaora6ei and капоюид “nporvnovg” nivaKeg oi onoioi
Xepe oti eivai oi KavoviKeg popepeg tov. Mia тетош <ти^г|тг|сгг| ба anaiTT|oei Kanoia 6ecopia neSicov,
noXvcovvpcov Kai opi^ovocbv.
LvvapTqoei^ koi 'Opoioi nivaKeg
Упобетоире oti t| f eivai pia ovvapTTjoT] oe TerpaycoviKoug nivaKeg nov ava6erei tt)v ISia Tipr| oe
opoioug nivaKeg. Дт|Ха5г), олоте о A eivai opoiog npog tov B, f(A)=f(B). H f, тбте, emcpepei pia
ovvapTT)oT| oe ypappiKoug теХеотед T, nov oupPoXi^erai eniorig pe f, pe tov акоХоибо cpuoiKO трдпо.
Opi^ovpe
/(D=/(Rb)
onov T] S eivai оло1а6г|лоте Paor|. And то ®есорт|ра 6.8, т| ouvapTT)or| eivai еларксод opiopevr).
H opi^ovoa (KecpdXaio 8) eivai iocog to mo oripavriKo napaSeiypa piag тетоихд ouvapTT)or|g, evcb to
i%vog (Параурасрод 2.7) eivai eva aXXo eniorig oripavriKo napaSeiypa.
napaSeiypa 6.8. ©ecopeiore tov паракатсо ypappuco теХеотг) F Kai Tig паракатсо Paoeig E Kai S
tov R2:
F(x,y) = (2x + 3y, 4x — 5y), £={(1,0), (0,1)}, S = {(1,2), (2,5)}
Ало to napaSeiypa 6.1, oi nivaveg-avanapaoraoeig tov F cog npog Tig Paoeig E Kai S eivai, avTioroixa,
-[< 4] -*=[-»
XpT|oiponoicbvrag tov nivaKa A, exovpe:
(i) Opi^ovoa tov F=det(A)—10-12—22, (ii) 'Ixvog той F=tr(A)=2-5—3.
Ano tt)v аХХт], xprpiponoicbvTag tov nivaKa B, exovpe:
(i) Opi^ovoa tov F=det(B)=-2860+2838—22, (ii)'Ixvog tov F=tr(B)=52-55—3.
'Oncog r|Tav avapevopevo, apcporepoi oi nivaKeg o8r|yovv ото iSio апотеХеора.
6.5. niNAKEE KAI TENIKOI ГРАММ1КО1 METAEXHMATIEMOI
ТеХеита(а, 6a Oecoprjooupe ti} yevudi леригтсоот] ypappiKcbv ретаохпратюрсоу ало eva SiavuopaTiKd
Xcbpo oe eva aXXo. Улобетоире oti oi V Kai U eivai SiawopariKoi xcbpoi navco ото iSio neSio К кац
yia napaSeiypa, dim V=m Kai dim U=n. Епшрбобета, илобетоире oti oi
S = {t>], v2.t>mJ Kai S' = {u|, u2.u„J
eivai av6aipeTeg аХХа отаберед Paoeig, tcov V Kai U avTioroixa.
Упобетооре тсора oti о F: V->U eivai evag ypappiKog ретаохпратюрод. Тбте, та Siavvopara
F(V]),F(v2),...,F(vm) avr|Kovv orov U, Kai etoi to Ka6eva and avra eivai evag ypappucog ovvSvaopdg
tcov Siawoparcov Paorig oniv S'. Tia napaSeiypa,
F(vi) = ацМ) + al2u2 + ... + а1яи„
F(v2) = a2iui + O22u2 + ... + a2nun
F(Pm) = + e«2“2 + • • • +
Opiopdg: О avaoTpocpog tov napanavco nivaKa ovvTeXeoTcbv, nov avpPoXi^Eiai pc ms,s-(F) f|
[F]s,s-, ovopa^Eiai mvaKag-avaTtapdoracnj tov F coc; npoc; tic; Paoeig S Kai S'. [0a
Xprjoiponoiovpe tov anXo ovpPoXiopo m(F) Kat [F] oTav ot Paoeig E^vnaKOvoviai.]
To 0Ecbpr]p.a nov aKoXov0ei eivai avaXoyo npoc; to ©ecbpqpa 6.1 yia ypappiKOvc; теХеотёд (ПрорХгща
6.67).
Оесордра 6.10: Па опо1о5т)поте Siawopa vg V, [F]s,s[v]s=[F(v)]s'.
noXXanXaoid^ovrag, Sr]XaSf|, Tig avvTETaypevec; tov v ott| pdcn] S tov V pe [F], naipvovpe tic;
owTCTaypeveg tov F(v) ott| pdcn] S' tov U.
YnevOvpi^eTai oti yia onoiovo5f|noTe SiawopaiiKOvg xcbpovg V Kai U, t] ovXXoyr] oXcov tcov
ypappiKcbv peTaoxnpoitiopcbv ano tov V otov U eivai evac; SiawopaiiKog xcbpog Kai ovpPoXi^eTai pe
Hom(V,U). To mo катсо 0eсорт]pa eivai avaXoyo npoc; to ©ecbpqpa 6.2 yia ypappucovg теХеотёд, onov
тсора to M=Mm,n ovpPoXi^ei to SiawopaTuco xcbpo oXcov tcov mxn mvaKcov (ПрбрХт]ра 6.67).
©есордра 6.11: О ретаохгщатюрос; m: Hom(V,U)->M nov орфтас ano tt|v m(F)=[F] eivai
evcu; юорорсрюрбд SiawopaTuccbv xcbpcov. Дт]ХаЗт|, yia опо1а5т|поте, 5т]Ха5т|,
F,Gg Hom(V,U) Kai опою5т|поте apiOpo k,
(i) m(F+G)=m(F)+m(G) f| [F+G]=[F]+[G]
(ii) m(kF)=km(F) i) [kF]=k[F]
(iii) О m eivai eva-npo^-eva avTioTOixia (eva-npo^-eva Kai eni).
To enopevo 0есорт]ра рас; eivai avaXoyo npoc; то 0есорт]ра 6.3 yia ypappiKOvc; теХеотёс; (ПрбрХт]ра
6.67).
Оесордра 6.12: 'Еотсо oi S, S', S'' paoeig tcov SiawopaTuccbv xcbpcov V, U, W avrioToixa, Kai
ёотсо oi F: V->U Kai G°U->W ypappucoi ретаоугщатюроё Тоте
[G о F[s .S’ =
О nivaKag-avanapaoTaoT], 5т]Ха5т|, тт)д ovv0EOT|g 5vo ретаохгщатюцсЬу cog npog Tig катаХХт]Хед
Paoeig, eivai to yivopevo mvaKcov tcov nivaKcov-avanapaoraoecov tcov pepovcopevcov рЕтаохгщатюцсЬу.
Етт] ovvexEia 0a Sei^ovpe то ncbg епт]реа£ета1 о nivaKag-avanapaoTaoT] evog ypappiKOv
ретаохтщатюцоб F: V->U OTav emXeyovrai veeg Paoeig.
Оесордра 6.13: 'Еотсо P о nivaKag-avanapaoracn] evog ypappucov ретаохгщатюроо F ano pia
Pdcn] e oe pia pdcn] e' otov V, Kai ёотсо Q о nivaKag aXXayfjg Pdcn]g ano pia
Pdcn] f oe pia pdcn] f' otov U. Тоте, yia onoiaSr]noTe ураррпа) aneucovicn] F:
V-»U,
[F^.f = Q-l[F^.fP
Me aXXa Xoyia, eav T] A eivai о nivaKag-avanapaoTaoT] evog ypappiKOv ретаохгщатюроо F cog npog
Tig Paoeig e Kai f Kai т] В eivai о nivaKag-avanapaoraoT] tov F cog npog Tig paoeig e' Kai f, тоте
В = (Г 1ЛР
To xeXevxaio рас; Oecbpqpa, то onoio anoSeiKvvexai ото IlpopXqpa 6.36, Seixvei oxi onoiooSqnoxe
ypappiKOc; pexaoxqpaxiopoc; ano eva SiawopaxiKO xcbpo V oe eva aXXo SiawopaxiKO x<bpo U pnopei
va avanapaoxaOei ano eva noXv anXo nivaKa. Eqpeicbvexai oxi xo Oecbpqpa avxo eivai avaXoyo npoc;
xo ©ecbpqpa 3.18 yia mxn nivaKec;.
©ecbpqpa 6.14: 'Eoxco о F: V->U ypappiKog Kai eoxco rank(F)=r. Toxe, vnapxovv Paoeic; xcov V
Kai U xexoiEq cboxe о nivaKag-avanapdoxaor) xov F va exei xq popcpri
4*. S]
onov о Ir eivai о r-xExpaycoviKoq xavxoxiKoq nivaKac;.
О napanavco nivaKac; A ovopa^exai KavoviKtj poptpri tt]<; ypappitafc cmeiKovioriq F.
AYMENA ПРОВЛНМАТА
niNAKAE-ANAnAPAETAEH TPAMMIKON TEAEETQN
6.1. ©ecopeioxe xo ypappiKO pexaaxqpaxiopo F: R2->R2 nov opi^exai ano xr|v F(x,y)=(3x+4y,
2x-5y) Kai xiq паракахсо Paoetq xov R2:
E = {e„ e2} = {(1,0). (0,1)} Kai S = {u„ u2) = {(1,2), (2,3)}
(a) Na Ppeixe xov nivaKa A nov avanapioxa xov F coc; npoc; xr| paoq E.
(P) Na ppeixe xov nivaKa В nov avanapioxa xov F coc; npoc; xr| Pacrq S.
(a) Acpov q E eivai q ovvqOiopevq Paoq, oi ураррес; xov A eivai anXa oi ovvxeXeoxec; xcov
ovvioxcoocbv xqc; F(x,y). Xpqoiponoicbvxac;, SqXaSq, xo (a,b)=ae]+be2, exovpe
F(ei) = F(l,0) = (3,2) = 3e1+2e2 [3 41
F(e2) = F(0,l) = (4,-5) = 4e1 -5e2 Kai 6X01 A ~ |_2 -5 J
Eqpeicbvexai oxi oi ovvxeXeoxec; xcov Siawopaxcov Paoqc; oxov nivaKa-avanapacrraoq
ypacpovxai coc; oxqXec;.
(P) BpioKOvpe npcbxa xo F(U]) Kai xo ypacpovpe coc; ypappiKO ovvSvaopo xcov Siawopaxcov
Paoqc; iq Kai u2. 'Exovpe
= F(1,2) = (11, -8) = X1.2) +/2,3), Kaiexoi +
Avvovpe xo ovoxqpa yia va napovpe x=-49, y=30. Enopevcoc;
F(u,) = -49ui + 3Qu2
Exq ovvexeia ppioKOvpe xo F(u2) Kai xo ypacpovpe coc; ypappiKO ovvSvaopo xcov
Siawopaxcov Paoqc; iq Kai u2. 'Exovpe
6.2.
F(u2) = F(2,3) = (18, -11) = XI. 2) +X2,3), каг etoi |
AvvovpE cog лрод x Kai у yia va napovpE x=-76, y=47. Apa
F(u2) = -76u1 + 47u2
Гpatpovps тоид ovvrEXEorsg tcov u( Kai u2 cog oTqXsg yia va napovpe В = [ “J5 j
(P') EvaXXaKTiKa, 0a pnopovoapE va Ppovps лрсота Tig ovvTETaypEvsg svog av0aip£TOV
SiavvopaTog (a,b) orov R2 cog лрод rq Paoq S. Erqv л£р1лтсоот| avrq 0a £i%ap£:
(a,6)=X1.2)+X2.3) = (x + 2y, 2x + 3y), Kai ETOI +
Avvovps cog лрод x Kai у ouvapTf]o€i tcov a Kai b yia va napovpE x=-3a+2b, y=2a-b.
EnopEvcog
U, У) = (-За + 2b)ui + (2а - b)u2
АкоХой0сод xpqoiponoiovps tov голо yia to (a,b) yia va ppoups Tig ovvTETaypEvsg
tcov F(U]) Kai F(u2) cog лрод rqv S:
F(u,) =F(1,2) = (11, —8) = -49a1+30a2 Г -49 -761
F(u2) = F(2,3) = (18, -11) = -76U) +47u2 Kai eT°l B ~ [ 30 47 J
©scopEioTE tov ларакатсо ypappiKo teXeott] G otov R2 Kai rqv ларакатсо Paoq S:
G(x,y) = (2z-ly, 4x + 3y) Kai S = {M1, u2) = {(1,3), (2, 5)}
(a) Na Ppeite tov nivaKa-avanapaoraoq [G]s tov G cog лрод Tqv S.
(P) Na EnaXq0EVOETE Tqv [G]s[v]s=[G(v)]s yia to Siawopa v=(4,-3) otov R2.
KaTapxqv ppioKovps Tig ovvTETaypEvsg Evog av0aip£Tov SiavvopaTog v=(a,b) otov R2 cog лрод
Tq Paoq S. 'E%ovp£
IaHDMsI Kai4iai
Avvovps cog лрод x Kai у ovvapTqoEi tcov a Kai b yia va лароирв x=-5a+2b, y=3a-b. Evvsncbg
(a, b) = (-5a + 26)1/) + (3a - b)u2, Kai ETOI M = [-5a + 26, 3a-6]r
(a) Xpqoiponoicbvrag tov туло yia to (a,b) Kai Tqv G(x,y)=(2x-7y, 4x+3y), £%оир£
G(U1) = G(l. 3) = (-19, 13) = 121 a, - 70a2 _ Г 121 201 ]
G(u2) = <7(2,5) = (—31,23) = 201U) — 116u2 Kai eTGl _цб]
(Tovi^ETai oti 01 ovvTEXsoTEg tcov Uj Kai u2 урафоута1 cog orqXsg, Kai o%i cog ypappsg,
otov nivaKa-avanapaoTaoq.)
(P) H xpqoq tov rvnov (a,b)=(-5a+2b)U]+(3a-b)u2 рад Sivsi
v = (4, —3) = -26uj + 15u2
G(v) = G(4, -3) = (20,7) = -131UJ + 80w2
Tote № = [-26,15]r Kai [G(t>)k = [-131,80]r
Ката ovvETTEia,
= ['»] =
(олео; KEpigEvagE ало то ©Ecbpqpa 6.1.)
6.3. ©ecopeiote tov акоХоиОо 2x2 л^ака A Kai Tqv aKoXouSq paoq S otov R2:
' = [} J] Kai S = («,.«,} = {[_']. [_’])
О nivaKag A opi^ei eva урацщко teXeott) otov R2. Na Ppeite tov nivaKa В лои avanapiora то
цЕтаохгщатюцб А со; лро; rq paoq S.
ApxiKa ppioKoups тк; owrETaypsvE; evo; avOaipETOi) SiavuopaTo; (a,b)T ое oxfioq це rq
paoq S. 'Exoups
* -*-*-'*
Auvoupe coc; про; x Kai у ouvapTqoei tcov a Kai b yia va лароице x=7a+3b, y=-2a-b. 'Etoi
(a, b)T = (7a + 36)U) + (-2a - 6)u2
Erq ovvexeio хрт|а1цоло1оиц£ tov голо yia to (a,b)T yia va ppoups ti; ouvrETaypeve; tcov Auj
Kai Au2 со; лро; rq paoq S:
-c
*-e :][-:]-[;Я
Tpacpovra; ti; ouvrETaygEVE; co; orqXE;, naipvougE
-2“]
6.4. Na Ppeite tov лгуака-ауалараотасп] тои koOevo; ало тои; ларакатсо урацщкои; теХеоте; F
otov R3 со; лро; Tq ouvqOiopcvq paoq Е={еье2,е3} тои R3. Na Ppeite, 5qXa5q, tov [F]=[F]e:
(a) F лои opi^ETai ало rqv F(x,y,z)=(x+2y-3z, 4x-5y-6z, 7x+8y+9z).
(p) F лои opi^ETai ало tov 3x3 jrivaKa A = 2 3 4 .
L5 5 5j
(y) F лои opt^ETai ало Tqv F(e()=(l,3,5), F(e2)=(2,4,6), F(e3)=(7,7,7). (To ©Ecbpqpa 5.2
6.5.
SrjXcbvei oti piaypappiKT| алеиамот] opi^erai nXf|pco<; ало ttjv eni8paor| тт|д navco ота
SiavvopaTa oe pia Раот].)
(а) Кабсод т| E eivai q ovvr|6iopevT| paor|, ypacpovpe алХа tovc; ovvTeXeoTeg tcov
ovviotcoocov tov F(x,y,z) coc; ураррес;:
и-[! 41]
(P) Кабсод q E eivai q ovvr|6iopevT| раот], [F]=A, о iSiog о лЬакад A.
(у) EScb
F(e,) = (1,3,5)= е,+Зе2 + 5е3 Г1 2 71
F(e2) = (2,4,6) = 2e1+4e2 + 6eJ Kat ETOI [F] = 3 4 7
F(e3)=(7,7,7) = 7e1+7e2 + 7e3 |_5 6 7j
Oi атт|Хе<;, Sr|Xa8f|, tov [F], eivai oi eiKOveg tcov SiawopaTcov тт|д ovvr|6iopevT|g Paor|g.
'Еотсо G о ypappiKog теХеотт|д otov R3 лоу opi^erai ало ttjv G(x,y,x)=(2y+z, x-4y, 3x).
(a) Na ppevre tov ntvaKa-avanapaoTaor] tov G coc; лрос; тт) Раот]
S = (w1,w2,w3} = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}
(P) Na елаХ1]6еооете oti [G][v]=[G(v)] yia олою8т|лоте Siawopa v otov R3.
BpioKovpe лрсота тк; ovvTeTaypeveg evoc; avOaiperov Stavvoparog (a,b,c)e R3 oe o%eoi] pe
тт| раот] S. rpacpovpe to (a.b.c) coc; ypappiKO ovvSvaopo tcov wb w2, w3 xprioiponoicbvrag
ayvcoorovg api6povg x, у Kai z:
(a,6,c)=x(l. 1. l)+y(l. l,0) + z(l,0,0) =(x+y + z, x+y, x)
E^iocbvovpe рета^и tovc; tovc; avrioTOiyovc; owreXeoreg yia va napovpe to ovorripa e^iocboecov
x+y + z = a, x+y = b, x = c
Avvovpe to ovoTTjpa coc; лрос; x, y, z ovvapTf|oei tcov a, b, c yia va ppovpe x=c, y=b-c, z=a-b.
Lvvencbg
(a, b, c)=cwl+(b — c)w2 + (a - 6)w3, fj, looSvvapa, [(a, b, c)] = [c, b-c, a- b]T
(a) Ecpooov G(x,y,x)=(2y+z, x-4y, 3x),
G(w,) = G(l, 1.1) = (3,-3,3) = 3wj -6x2 + 6x3
G(w2) = G(l, 1,0) = (2, -3,3) = 3w, - 6w2 + 5w3
G(w3) = G(l. 0,0) = (0,1,3) = 3w, - 2w2 - w3
rpacpovpe тк; owreraypevec; tcov G(W|), G(w2), G(w3) cog атт|Хед yia va napovpe
(P) Графооре то G(v) cog ypappiKo ovvSaopd tcov wb w2, w3 блои то v=(a,b,c) eivai eva
avOaipeTo Siawopa otov R3:
G(v) = G(a, b, c) = (2b 4- c, a — 4b, 3a) = 3aw1 4- (—2a — 4b)w2 4- (—a 4- 6b 4- c)h>3
П, looSuvapa,
[G(p)] = [3a, -2д-4Ь, -a4-6Z>4-cf
Ката ovveneia,
Г 3 3 31Г c I Г За I
[G][p]= 1-6 -6 -2 6-c = -2e-4b l=[G(v)]
|_ 6 5 |_-a4-6b4-cj
6.6. ©ecopeioTe tov 3x3 nivaKa A Kai tt| paon S otov R3 лои aKoXovQovv:
Л=[з -1 oj Kai 5 = {иьи2,из}= {pj, p]|
О nivaKag A opi^ei eva ypappiKo теХеотп otov R3. Na ppene tov nivaKa В лои avanapiona то
ретаохпратюрб А сод лрод тп Paon S. (YnevGvpi^eTai oti о A avanарюта tov еаитб тои сод
лрод тп ouvn0iopevn Paon тои R3.)
ApxiKa PpioKovpe Tig ovvneTaypeveg evdg avOaipewv SiavvopaTog (a,b,c) otov R3 oe oxcon
pe тп Paon S. 'Exovpe
Й Г1! Г°~1 Г1! x+ z = a
= x 1 4-У 1 4-z 2 x+y + 2z = b
LU L1 J LU x+y+3z=c
Avvovpe cog лрод x, y, z ovvapTT|oei tcov a, b, c yia va napovpe
x = a + b — с, у = —a + 2b — c, z = c — b
ОЛОТе (x, y,z)T = (a + b- c)U] 4- (-a 4- 2b - c)u2 4- (c - b)u3
'Елегса хРПа1М0Л°1°^Ме T0V ™ло Yia T0 (*. У, Z)T Yia va Ppovpe Tig owneTaypeveg tcov Aub
Au2, Au3 cog лрод тп Paon S:
X(u,) = Л(1,1.1)г = (0,2.3)т =-M14-u24-u3 Г-1 -4 -21
Л(и2) = Л(1,1,0)г = (-1, -1,2)т = -4и, - Зи2 4- 3u3 etoi В = 1-3-11
Л(и3) = Л(1.2,3)т = (0,1,3)т =-2М1-UJ4-2UJ L 1 3 U
6.7. Г ia tov KaOeva ало Tovg aKoXovQovg ypappiKovg ретаохпцатюробд (теХеотед) L orov R2, va
PpeiTe tov л1уака А лоо tov ауаларюта (cog лрод тп ovvn0iopevn Paon T0U R2):
(a) О L opi^eTai ало Tig L(l,0)=(2,4) Kai L(0,l)=(5,8).
(P) О L eivai n лерютрофп orov R2 ката 90° арютерботрофа.
(у) О L eivai n avaKXaoq otov R2 лер1 vnv evOeiag y=-x.
(a) Acpov то {(1,0), (0,1)}Eivai q ovvq0iopevq Paoq тои R2, ypacpovps тк; eikovec; tovc; vno
tov L coc; orqXEc; yia va napovpE
(P) Yno tt|v п£рютросрг| L, ExovpE L(l,0)=(0,l) Kai L(0,l)=(l,0). Apa
(у) Yno tt|v avaKXaoq L, ExovpE L(l,0)=(0,-l) Kai L(0,l)=(-l,0), Apa
6.8. To ovvoXo S={e3t, te3’, t2e3'} Eivai pia Paoq tov SiawopaTiKOV x<i>pov V ovvap-cqoEcov
f: R->R. 'Еотсо D о SiacpopiKog teXeott|<; otov V, SqXaSq D(f)=df/dt. Na Ppeite tov nivaKa-
avanapaoTaoq tov D coc; ярое; тт| Paoq S.
BpioKovpE rqv EiKova тт|<; ка0£ ovvapTqoqc; Paoqc;:
Ще3') =3?' = 3(e3') + O(re3') + O(z2e3') Гз 1 0~l
Dfte3') = е3' + Зге3' = Це3') + ЗС/е3') + О^е3') Kai ovvsncbc; [D] = 0 3 2
Щ/2е3') = 2ге3' + 3/2е3'=0(е3') + 2(ге3') + 3(/2е3') |_0 0 3j
6.9. Na аяоба^ЕТЕ то ©Ecopqpa 6.1: 'Еотсо Т: V->V svac; ypappucoc; теХеотт|<;, Kai еотсо т] S pia
(nsnEpaopEvq) Paoq tov V. Т6т£, yia onoioSqnoTE Siawopa v otov V, [T]s[v]s=[T(v)]s.
Yno0ETOvp£ oti S={U],u2,...,un}. Yno0ETOvp£, Enioqc;, yia i=l,...,n, oti
T(m,) = anu( + aau2 + ... + amu„ = £ a^Uj
>i
О [T]s, tote, Eivai о n-TETpaycoviKoc; nivaKac; tov onoiov T] j-oorq ypappq Eivai T]
(.ay,av..a„) (1)
Yno0ETOvp£ тсора oti
V = *!«! +^u2 + . . . + *лМл =
Гpacpovrac; sva Siawopa oTqXqc; coc; to avaoTpocpo evoc; SiavvopaTog ypappq^, ExovpE
№ = (*». *2....*-)r (2)
EntnXEOv, хртрфОлсисЬутас; vq урарр1котт|та tov T,
r(v) = T(£ *<“<) = t = Ё */( t
= + • • • +a»/*"4
Enopevcog to [T(v)]s Eivai to Siawopa ott|Xt|c; tov onoiov q j-KaTaxcopioq Eivai q
ау^+a^+...+a^ (3)
Ano Tqv aAAq, q j-Kaiaxcbpioq too [T]s[v]s XapPaveTai nokXankaoia^ovrag rqv j-ooTqg ypappq
too [T]s це [v]s, SqXaSq rqv (1) pe rqv (2). To yivojievo, opcog, tcov (1) Kai (2) Eivai to (3),'Etoi
™ [TJsMs Ktu [T(v)]s exovv Tig iSieg KaTaxcopioeig, Kai ovvencbg [T]s[v]s=[T(v)]s.
6.10. Na anoSei^exe to ©ecbpqpa 6.2:'Eotco q S={U|,u2,...,un} pia Paoq yiatov V navco ото К, Kai
eotco M q aXyePpa tcov n-reTpaycoviKcbv nivaKcov navco ото К. Tote, о peTaoxqpaTiopdg m:
A(V)->M nov opi^ETai ano Tqv m(T)=[T]s Eivai evag юорорсрюрбд SiawapaTiKOv x<bpov.
AqXaSq, yia onoiaSqnoTE F,Ge A(V) Kai yia onoioSqnoTE k€ K, Exovpe:
(i) [F+G]=[F]+[G], (ii) [kF]=k[F], (iii) о m Eivai eva-npog-eva Kai eni.
(i) YпоОётооре oti, yia i= 1,... ,n,
F(u() = £ avUj Kal G(M/) = £ byU.
J-' J-i
©ecopovpe tovc; nivaKeg А=[ац] Kai В=[ЬЦ]. Tote [F]=Ar Kai [G]=Br. 'ExovpE, yia
i=l,...,n,
(F + GXu() = F(M/) + G(M/) = t(av + btJ)Uj
Ecpooov to A+B Eivai о nivaKac; (а,3+Ьу), exovpe
[F + G] = (A +B)T = AT +BT = [F] + [G]
(ii) Enioqg, yia i=l,...,n,
(*/=>,) = kF(ut) = к t ayuj = £(ка^
>1 7=1
Ecpooov to kA Eivai о nivaKac; (ka^), exovpe
[itF] = (Jb4)r = kAT == A[F]
(iii ) ТёХос;, о m eivai eva-npog-eva, кабсод evag ypappiKog peTaoxqpcrnopdg npooSiopi^eTai
nXqpcog and Tig пред tov oe pia Paoq. EninXeov, о m eivai Kai eni, acpov о nivaKag
A=[a,j] orqv M eivai q eiKova tov ypappiKOv TeXeorq,
F(«() = /=1........n
j-i
'Etoi to Oecbpqpa anoSeixTqKe.
6.11. Na anoSei^eTe to ©ecbpqpa 6.3: Tia onoiovoSqnoTe ypappiKovg теХеотёд G,F€A(V),
[GoF]=[G][F].
XpqoiponoicbvTag to ovpPokiopd tov npopXqpaTog 6.10, exovpe
(G о FXu() = G(F(u()) = g( £ ayU^j = £ avG(uj)
YnEvOvgi^ETai oti to AB Eivai о TtivaKa; AB=[Cjk], блои сл = aybjk. Ката ctuvekeio,
[G о F] = (AB)T = BTAT = [G][F]
Apa то 0Ебрг|р.а ало5Е1%тт|КЕ.
6.12. 'Еотсо A о л(уака<;-ауалараотаот| evog урацрлкоб teXeotti T. Na okoSei^ete oti, yia олою-
5г|лоте лоХосоуоцо f(t), о f(A) Eivai о л^акад-ауалараотаот] too f(T). [Apa f(T)=0 Eav Kai
povo Eav f(A)=0.]
'Еотсо ф о цЕтао%г|цат1оц6<; лоо р.Ета<рЁрЕ1 EvaTEXsorri Т orov л(уака-ауалараотаот] too,
А. ПрЁлЕ1 va алобЕ^ооцЕ oti ф (f(T))=f(A). Уло0ётооце oti f(t)=antn+.. ,+a^+aQ. H алобЕф]
yivETai це Елаусоут) otov п, то Pa0|i6 too f(t).
Уло0ётооце oti 11=0. YnEvOopi^ETai oti ф (I')=I, олоо о Г Eivai о TaoTOTiKoq ЦЕтао/тщаи-
opoq Kai о I Eivai о toototikoc; л^акад. Еоуелсо;
= ФМ = ъФи') = =f(A)
Kai Ёто1 то 0Есбрт|ца io%6ei yia n=0.
УлоОётооце, тсора, oti то 0Есбрт|ца io%uei yia лоХосоуоца Ра0цоб щкротЕроо тоо п. Тоте,
асроб о ф Eivai dva; юоцор<рюц6<; аХуЕРра;,
МЛ?» = ф(аяГ + ая_, Г-1 +... + а, Т + а^Г)
= аЖ'ПфСГ-1) + ф(ан_1 Г’1 + ... + ахТ + aj)
= АД4"-1 + (ал-1Л"-1 +... + ахА + OqT) = f(A)
Kai Ёто1 то 0Есорг|ца алобЕ1%тт|КЕ.
ААААГН ВАЕНЕ
То 5iavoopa ооутЕтауцЁУСОУ [v]s ото тцгцда аото tcov ooktioecov 0а oopPoXi^Ei лаута Ёуа 5iavoo|ia
отт|Хг|<;, 5т|Хабг|
[t>]s = [ai,a2.а»]Г
6.13. ©ECopEioTE тк; E^ifc PaoEu; too R2:
£ = (е„е2} = ((1,0), (0,1)} Kai S = {и,,и2) = ((1,3), (1,4)}
(a) Na Ppeite tov л(уака aAAayf|<; Раот|<; Р ало тт| ооут|0юцёуг| раот| Е ott]v S.
(Р) Na Ppeite tov л(уака aAAayf|<; Paoi]<; Q ало tt|v S л(осо ott|v E.
(y) Na Ppeite to 5iavoopa oovrETaygEvcov [v] too v=(5,-3) co<; лро<; tt|v S.
(а) Асроб r| E Eivai r| oovr|0io|i£vr| pdor|, урасрооцЕ алХа та бюуиоцата Paor|<; ott|v S
(P) МЁОобод 1. Хрт|01цолоюбцЕ tov орюцо too ллуака aXAayr|<; Paoi^. Ексрра^ооцЕ,
бг|Хабг|, то ка0Е 6iavoojia orr|v Е со<; уращпко oov5oao|i6 tcov бюуооцатсоу orr|v S.
Tia va yivEi аото, лрЁлЕ1 va лрсота va Ppoops тк; ооутЕтауцЁУЕ<; evo<; ао0а(р£тоо
Siavvoparog v=(a,b) cog npog rqv S. 'Eyovpe
(a, 6) =x(l, 3)+y(l,4) = (x+y, 3x +4y) f| 3^ + 4*“ J
Avvovpe cog npog x Kai у yia va лароице x=4a-b, y=-3a+b. 'Etoi
u = (4а - 6)u, + (-За + b)u2 KOI [v^ = [(a, = [4a - b, -3a + b]T
Xpqocponoccbvrag tov napanavco rvno yia to [v]s koi ypacpovrag tu; ovvreraypeveg
tcov e, co<5 orqXeg, naipvovpe
«1 =(1.0) = 4«!-3«2 Г 4 -11
e2 = (0,1) = —и, + «2 каг е = [-з 1]
MIOoSog 2. Кабсод Q=P-1, Ррсокоире tov P-1, xpqocponoccbvrag, yia napaSecypa,
tov rvno yia tov avrioTpocpo evog 2x2 nivaKa. Zvvencbg
H-i и
(у) Мёбобод 1. Грасроире то v cog урацщко ovvSvaopo tcov Scawoparcov orqv S,
Xpqo^onoicbvrag, yia napaSecypa, tov mo navco rvno yia to v=(a,b). 'Exovpe v=(5,-3)
= 23u]-18u2, koi etoi [v]s=[23,-18]t.
MIOoSog 2. Xpqocponocovpe, and to ©ecbpqpa 6.6, to yeyovog on [v]s=P“’[v]E,
кабсод Enioqg кас то yeyovog on [v]E=[5,-3]T:
6.14. Та Scavvopara u(=( 1,2,0), u2=(l,3,2), u3=(0,l,3) oxqpari^ouv ща 0doq S tod R3. Na Рресте:
(a) Tov nivaKa aXXayqg Paoqg P and rq ovvq6copevq paoq E={ebe2,e3} orqv S.
(P) Tov nivaKa aXXayqg Paoqg Q and rqv S nioco orqv E.
(a) Ecpooov q E eivai q ovvq6copevq Paoq, ypacpovpe anXa та Siavvopara Paoqg rqg S cog
orqXeg:
[1 1 01
2 3 1
0 2 3j
(P) MIOoSog 1. Ексррафире то кабе Siavuopa Paoqg rqg E cog ураррско ovvSvaopo
tcov Siavuoparcov Paoqg rqg S PpioKOvcag прсота ng ovvreraypeveg evog av6aiperov
Siavvoparog v=(l,b,c) cog npog rq paoq S. 'Exovpe
Avvovpe cog npog x, y, z yia va napoupe x=7a-3b+c, y=-6a+3b-c, z=4a-2b+c. Enopevcog
v = (a, b, c) = (7a - 36 + с)и, + (-6a + 3b - c)u2 + (4a - 2b + с)и3
q Ms = [(«. M)]$ = [7a —36 + c, -6e + 36-c, 4a-2b + c]T
Xpr|oiponoicbvTag tov mo navco vvno yia то [v]s кас ypacpovrag атт| cruvexeia тк;
ovvTETaypEVEg tcov et cog отт|Х£д, naipvovpE
et =(1,0,0)= 7u, - 6u2+4u3 Г 7 -3 1"|
e2 = (0,1,0) = -Зи, +3и2 -2u} Kai Q = -6 3-1
e2= (0,0,1)= и,- u2+ и, L 4 “2 1J
MIOoSog 2. BpioKonpE tov P-1 avayovrag це отосхЕссЬбвсд рЕтаохпратсоробд Ypap-
pcbv tov M=[P,I] отд popcpf] [I,P-1]:
6.15. УпоОеоте oti oi a^ovsg x кас у ато епспеЗо R2 nEpcorpEcpovrac арсотЕроотросра ката 45° етос
сооте ос veoc afpvsg х' кас у' va Ррсокоутас ката рт|код tcov euQeccov у=х кас у=-х avTcoroc%a.
(a) Na Ppecte tov nivaKa aXXayf|g Раорд Р.
(Р) Na Ppecte тсд ovvTETaypEVEg тоо отщесо А(5,6) vno тт| ЗеЗоцеуг] пЕрсотросрт].
(а) Та povaScaia ScavvopaTa ott|v kotevOvvoti tcov vecov a^ovcov x' кас у' Eivac
и,=(1Л,|Л) кас и2 = (-|Л,|Л)
(Ta povaScaia ScavvopaTa ott|v kotevOvvot] tcov ap%u«bv a^ovcov x кас у Eivac г]
avvT]0cap£vr| Раот] too R2.)'Etoc, ypacpovpE тсд cruvrETaypcvEg tcov u, кас u2 cog ovf|X£g
yea va napovps
ПЛ -|Л]
ил 1Л]
(P) ПоЛХапХааса^оорЕ тсд cruvrETaypcvEg too OT]pEiov ps tov P-1:
1Л1Г5-1 ГМ1
ил J
(Acpov о P Eivac op0oycbvcog, о P-1 0a Eivac anXa о avaorpoepog tov P.)
6.16. Ta ScavvapaTa u,=(l,l,0), u2=(0,l,l), u3=(l,2,2) oxnpaTi^ovv pia Раот] S tov R3. Na Ppecte
тсд ovvTETaypEVEg svog av0aip£rov ScavvapaTog v=(a,b,c) cog npog тт| раот] S.
MIOo&og 1. EKeppa^ovpE to v cog ураррско ovvSvaopo tcov ub u2, u3 xprpcponoicbvrag
Tovg ayvcboTOvg x, y, z. 'E%ovpE
С(а,6,с)=х(1.1.0)+Я0. l.l)+z(1.2.2) = (x + z. x+y + 2z, y + 2z)
лои o5r]yei ото оботтща
x+y + 2z = b
y + 2z = c
у + z = -a + b
y + 2z = c
Л
Avvovrac, це аупкатаотаот] npoc, та nioco, naipvovge x=b-c, y=-2a+2b-c, z=a-b+c. Lvvencbc,,
Mj = [6-c, -2a + 2b-c, a-b + cf
MlOoSog 2. BpioKOvge tov P"1 avdyoviag це OTOixeicbSeig цетаорщатюцсид ураццй™
tov M=[P,I] ott| цор<рт| [I,P_|], onov о P eivai о nivaKag аААаут^д раотк ano тт| ovvr|0iopEvr|
Раот) E ott]v S, f|, це aAAa Aoyia, о nivaKag tov onoiov oi orr|Xe<; eivai та Siavvopaia Раотк
тт]<; S.
Ехоуце
[О 1 -11 Г 0 1 _1-|Га-| г />_с л
-2 2-1 Kai [”]$ =P-1[i>]£ = I -2 2 -1 р = -2а + 26-с
1 -1 1J L 1 -1 1JLCJ L o — b + c J
6.17.
©ecopeiore тк е^тк Svo Paoeig tov R2:
5 = {и1,и2) = {(1,-2), (3,-4)) Kai s' = o2) = {(1,3), (3,8))
(a) Na Ppeite ti<; tyvvrETaypEVEt; tov v=(a,b) cog npog rq Расп] S.
(P) Na Ppene tov nivaKa aXAayf|c, Раотк P ало tt]v S ott]v S'.
(y) Na Ppene тк; cmvreTaypevec, tov v=(a,b) coc, npoc, тт] pdoi] S'.
(5) Na PpeiTe tov nivaKa аХХаутк Раотк Q ano tt]v S' nioco ott]v S.
(e) Na епаХт]0еиоете tt]v Q=P-1.
(or) Na берете oti, yia опоюбт|поте бшууоца v=(a,b) otov R2, P~' [v]s=[v]s-. (BXene ©есортща
6.6. )
(а) 'Еотсо v=xU]+yu2 yia tovc, ayvcboTovc, x Kai у. Дт|Ха5т|,
[:H-W] * -i-^ь л
3 1
Лбуоуце co<; npo<; x Kai у ovvaprr|oei tcov a Kai b yia va пароуце x=-2a-— b Kai у = a+ — b.
Ара
(а, Ь) = (-2а - £)и, + (а + |Ь)и2 Т| [(а, Ь)]^ = [-2а -1b, а + [Ь]т
(Р) XprjoiponoiovpE то (а) yia vaурауооце то KaOeva ало та SiavvopaTa Pdorig Vj Kai v2
vr|g S' cog урацщко ovvSvaopo tcov Siawoparcov pdorig щ Kai u2 тт]д S. △т|Ха5т|,
p, = (1.3) = (-2 - |)u, + (1 + £a2 = -+ iU2
v2 = (3, 8) = (-6 - 12)u, + (3 + 4)u2 = -18u( + 7u2
О P, tote, eivai о nivaKag tov onoiov oi ураррёд Eivai oi ovvrEraypEVEg tcov Vj Kai v2
cog лрод тт] pdcn] S, 8r|Xa8f|
'<1 "!]
(у) 'Еотсо v=xv]+yv2 yia Tovg ayvcborovg apiOpovg x Kai y:
[MH«] * Ж-t * ж+^ь-ъ
Avvovrag cog лрод x Kai у naipvovps x=-8a+3b Kai y=3a-b. ZvvEncbg
(a, b) = (-8a + 3i)p, + (3a - b)v2 f| [(а, 5)Ь = [-8a + 3b, 3a - b]r
(5) XprpiponoiovpE to (y) yia va EKcppaoovpE to Ka0Eva ало та SiavvopaTa pdorig щ Kai
u2 тт|д S cog ypappiKO ovvSvaopo tcov Siawoparcov Paor|g Vj Kai v2 тт]д S':
u( = (1, -2) = (-8 - 6)t>( + (3 + 2)u2 = -14i>( + 5v2
u2 = (3. -4) = (-24 - 12)U] + (9 + 4)p2 = -36t>( + 13t>2
TpacpovpE Tig ovvTETaypEVEg tcov щ Kai u2 cog лрод tt]v S' cog отт|Х£д yia va napovpE
Ч’“ -SJ
...
(от) Хрт|О1ролоюур£ та (a), (у) Kai (8) yia va лароорЕ
О-In ztt. Г-14 -361Г-2О-1*! _ Г-8а + ЗЯ _r 1
p [t'b-CHs-[ 5 13Д a + За-b J "
6.18. УлоОеоте oti о P Eivai о лп/акад aAA.ayf|g pdorig ало pia pdor| {u,} oe pia pdor| {wj Kai oti
о Q Eivai о nivaKag aAAayrig Pdorig ало тт] pdor| {wj nioco ott]v {uj. Na олоЗе^ете oti о P
Eivai avriOTpE\|/ipog Kai oti Q=P-1.
УлоОетооре, yia i=l,2,...,n, oti
Kai, yia j=l,2,...,n,
uj = fyiwi + +... + = £ bjkwk (2)
'Eotco A=[a,j] Kai B=[bjk]. Тбте P=AT Kai Q=BT. H аупкатаотаот] njg (2) ovrjv (1) oSriyei ото
W' =y?^W‘) = S (j?
Ecpooov r| {wj eivai pia Paor], = 3lk , блои то Slk eivai то ДеХта тои Kronecker, 8r|Xa8r|
3lk=l eav i=k aXXa 8lK=0 eav i^k. YnoOexovrag oti AB=[clk], тбте clk=8lk. Хирлераарапка,
AB=I, Kai etoi
QP = BTAT = (AB)T = IT = I
Zvvencbg Q=P_|.
6.19. ©ecopeiore pia nenepaopevr] aKoXov0ia SiawopaTcov S={ubu2,...,1ц}. 'Еотсо S' r| aKoXov0ia
SiawopaTcov лои XapPaverai ало tt)v S pe tt)v ecpappoyf] evog ало тоид ларакатсо “oTOi%eicb-
Seig ретаохпрапоробд”:
(1) Арофаса avraXXayf] Svo SiawopaTcov.
(2) ПоХХапХаошорбд evog Siawoparog pe eva apiOpo Siacpopo tov pr|8ev6g.
(3) Прбо0еог] evog noXXanXaoiov evog Siawoparog oe eva aXXo Siawopa.
Na берете oti oi S Kai S' napayovv tov iSio уло%соро W. Na берете, eniorig, oti t| S' eivai
ypappiKa ave^ap-nyn] eav Kai povo eav r| S eivai ypappiKa ave^apnyny
Паратг)робре oti, yia tov ка0е ретаохпратюрб, та Siawopara S' eivaiypappiKoiovvSva-
opoi SiawopaTcov ott)v S. EmnXeov, acpov r| ка0е преф] e%ei pia avrioTpocpri tov iSiov rvnov,
то ка0е Siawopa ott|v S eivai evag ypappiKog ovvSvaopog SiawopaTcov ott|v S'. Enopevcog
oi S Kai S' napayovv tov iSio vno%cbpo W. TeXog, r| S' eivaiypappiKa ave^apTiyn] eav Kai povo
eav dim W=n, Kai avr6 io%vei eav Kai povo eav r| S eivai ypappiKa ave^ap-nyrr].
6.20. 'Eotco oi A=[a,j] Kai B=[by] ypappouooSvvapoi mxn nivaKeg navco oe eva neSio K, Kai еотсо
та V|,v2,...,vn onoiaSrinore Siawopara oe eva SiawopariKO %cbpo V navco ото К. Гш
i=l,2,...,m, еотсо oti та u, Kai w, opi^ovrai ano Tig
ui — an ”1 + aav2 4-... 4- 0*,^ Kai = 6ni>| 4- bav2 4-... 4- 6*,^
Na берете oti та {U|} Kai {w,} napayovv tov iSio vno%cbpo tov V.
To va ecpappooovpe eva “oTOi%eicbSr| ретаохцратюрб” tov ПрорХлратод 6.19 ото {u,}ei-
vai looSvvapo pe to va ecpappooovpe eva otoixeicoSti ретаохпрапорб ypappcbv otov nivaKa
A. Ka0cbg oi A Kai В eivai ypappo'iooSvvapoi, о В pnopei va Xr|cp0ei ano tov A pe pia okoXov-
0ia OTOi%eicoScbv ретаохпратсорсЬу ypappcbv. Apa to {w,} pnopei va Xr|cp0ei ano to {u,} pe
vr|v avrioroixn aKoXov0ia peraoxupatiopcbv. Ката ovveneia, та {u,} Kai {w,} napayovv tov
iSio xcbpo.
6.21. УяоОёатЕ oti та U] ,u2,.. .un avf|KOuv oe eva SiavuopaTiKd x®P° V navco oe eva леЗю К Kat oti
° P = [aj Eivai Evac n-TErpaycoviKog nivaKag navco ото К. Па i = 1,2, ..., n, еотсо
vI=allu1+al2u2+...+ainiin.
(а) Улобётоутад oti о P Eivai ауаотрЁцдрос, va Sei^ete oti та {u,} Kai {v,} napayouv tov
iSio unoxcbpo тои V, apa to {u,} Eivai ypappiKa ау£^артт|то Eav Kai povo Eav to {v,}
Eivai урацщка аУЕ^артгро.
(P) Yno0£Tovrac oti о P Eivai iSia^cov (pT)-avrioTp£i|/ipoc), va Sei^ete oti to {v,} Eivai
ypappiKa E^apnipEvo.
(y) YnoSeTovTag oti to {vg} Eivai ypappiKa аУЕ^артгро, va Sei^ete oti о P Eivai аутютре-
VlP°C-
(a) Ecpooov о P Eivai avnorpe^ipcx;, EivaiypappoiooSuvapoc npog tov toutotiko nivaKa I.
'Etoi, and то ПрбрХт)ра 6.19, та {v,} Kai {u,} napayouv tov iSio unoxcopo тои V. Zuve-
ncbg to Eva Eivai ypappiKa avE^apripo Eav Eivai Kai to aXXo ypappiKa avE^apripo.
(P) Ecpooov о P Sev Eivai avrioTpeyipog, Eivai ypappoiooSuvapoc npoc ™ nivaKa p£ pia
PT)8£vikt| ypapprj. Auto orjpaivEi oti to {vj napayEi pia ипоотаот] т) onoia exei Eva
ouvoXo yfiwrpdpcov p£ XiyoTEpa ano n oroixsia. ZuvEncbc to {vj Eivai ypappiKa E^ap-
TTjpEVO.
(у) Auto Eivai to avri0ETO тт|с 8г|Хсоот]с ото (P), apa tj anoSEi^n anoppEEi ano то (P).
6.22. Na anoSsi^ETE то ©Ecbpqpa 6.6: 'Еотсо P о nivaKac aXXayf|c Растре ало pia 0аот| S ое pia 0аот|
S' ое eva SiavuopaTiKd X®P° V. Tote, yia опою8т|поте Siavuopa ve V, Exoups P[v]s-=[v]s Kai
apaP-’[v]s=[v]s-.
Yno0£Toup£ oti S={u1,...,un} Kai S'={wb...,wn}. Yno0£Toup£, Enicnic, otiyia i=l,...,n,
= aaui + aau2 + ... + = £ ayUj
7-1
О P, tote, Eivai о n-TETpaycoviK6c nivaKac тои onoiou tj j-ooTT|C ypappri Eivai tj
(<»у ...a^) (1)
Yno0£Toup£, акбра, oti v=k1w1+k2w2+...+knwn=.Tote
Hr = №.*2....k*]T (2)
AvTiKaOiorcbvrac та Wj ott]v e^iocoot] tou v, naipvoupE
« = = Ё*/= Ё
1.1 /=1 \;»i / \/-l /
= + <ty*2 + • • • + a^kjuj
Ката ouvEnEia, to [v]s Eivai to Siavuopa ott|Xt)c tou onoiou tj j-катахсорют] Eivai tj
ay*! +ayki + ...+алД (3)
Ano tt|v аХХт), т) j-катахсорют] тои P[v]s- XapPavETai noXXanXaoia^ovrac tt|v j-ooTT|c ypappri
тои P p£ [v]s-, Si]Xa8r| tt)v (1) ps tt)v (2). To yivopsvo, opcoc, tcov (1) Kai (2) Eivai to (3). 'Etoi
та P[v]s- Kai [v]s exouv tic катахсорюЕЦ, Kai ouvsncbc P[v]s-=[v]s, oncoc Ka0opi^Ei to
©ecbpqpa.
Ешпр6о0ета, noXAanXaoid^ovrac; to mo navco це P-1 naipvovpe P-1[v]s=P_1P[v]s=[v]s.
ГРАММ1КО1 ТЕЛЕЕТЕЕ KAI АЛЛАГН BAEHE
6.23. ©ecopeioTe to ypappiKO ретаахпратюро F otov R2 nov ор^етас ano tt|v F(x,y)=(5x-y, 2x+2y)
кас тк; aKoXov0e<; Paoeu; tov R2:
E = {«i. e2} = {(1,0), (0,1)} Kai S = {ub u2] = {(1,4), (2,7)}
(a) Na Ppefre tov nivaKa aXXayqc; Paoqc; P ano tt|v E orqv S ка0сЬ; enioqc; Kai tov nivaKa
aXXayqc; pdoqc; Q ano Tqv S nioco ott|v E.
(P) Na Ppevce tov nivaKa A nov avanapuna tov F ott| Pacrq E.
(y) Na Ppefre tov nivaKa В nov avanapuna tov F атт| pdoq S.
(a)
Acpov tj E eivai tj ovvq0iopevq pdoq, ypacpovpe anXa та SiavvopaTa orqv S cog o-rqXec;
yia va napovpe tov nivaKa aXXayqc; pdoqc; P. YnevOvpi^eTai, enioqc;, oti Q=P-1.
Enopevcog
'-[1 «» e=p-' = [-J .J]
(P) Гpacpovpe tovc; ovvreXeoTec; tcov x Kai у ott|v F(x,y)=(5x-y, 2x+y) coc; ураррёс; yia va
napovpe tov
(у) МёОобод 1. BpioKOvpe tic; ovvrcTaypevec; tcov F(U]) Kai F(u2) coc; npoc; tt| paoq S.
Avto pnopei va eniTev%0ei PpioKOVTac; прсота tic; ovvTeTaypevec; evoc; av0aipeTOV
Siavuoparoc; (a,b) otov R2 coc; npoc; tt| Paoq S. 'Exovpe
(в.6) = *(1.4)+Я2.7) = (х + 2у, 4x + 7y), Kai ётО1
Avvovpe coc; npoc; x Kai у ovvapvqoei tcov a Kai b yia va napovpe x=-7a+2b, y=4a-b.
Тоте
(a, b) = (—7а + 26)u, 4- (4а - b)u2
Xpqoiponoiovpe тсора tov Tvno yia to (a,b) yia va napovpe
F(tq) = F(l,4) = (1,6) = 5u, - 2u2 Г 5 1]
F(u2) = F(2,7) = (3,11) = «,+ u2 KaieTOl *“[-2 1]
МёОобод 2. And то ©ecbpqpa 6.7, B=P-1AP, опоте
—[-J W:]
6.24. 'Еотсо А=|_д _jj Na Ppefre tov nivaKa В nov avanapuna to ypappiKO TeXeovq A coc; npoc;
Tq Paoq S={U],u2}={[l,3]T, [2,5]T}. [YnevOvpi^CTai oti о A opi^ei eva ypappiKO теХеотт) A:
R2->R2 coc; npoc; Tq ovvq0iopevq Paoq E tov R2].
MIOoSog 1. Врсокооре zig oovreraypeveg tcov A(u,) кас A(u2) cog лрод rq Pacrq S,
Ррсокоусад лрсота тсд oovreraypeveg evog аобасретоо Scavooparog [a,b]T otov R2 cog лрод rq
Pacrq S. Алб то ПрбрХг]ра 6.2,
[а, 5]Г = (-5a + 2b)Ul + (За - b)u2
Xpqacpoлoccbvтag tov тбло уса то [a,b]T, ласруооре
*>-[: ЛзН”]=-—>
ч-»
МбОобод 2. Xpqacpoлocoбp£ rqv В=Р_| АР, олоо о Р ecvac о лсуакад aXXayqg Paoqg ало
rq oovq6copevq Раот| Е orqv S. 'Етос, урасрооре алХа та ScavvopaTa orqv S (сод orqXeg) уса
va ларооре tov лсуака aXXayqg Раот|д P кас отд oovexeca хр^осролособре tov тбло уса tov
Р_|. 'E%ovpe, Xourov,
Г1 3 Я
6.25. 'Еотсо A = 2 5 -4 Na Ppecre tov лсуака В лоо ауаларсота то ураррскд теХеотт| А сод
|_1 “2 2J
лрод тт] Pacrq
S = {wlt и2, и3) = {[1,1,0]г, [0,1,1]г, [1,2,2]г)
[Улеуборс^етас отс о А орс^ес evaураррскд reXeorq A: R3->R3 сод лрод rq oovq6copevq Pacrq
Е too R3].
Мббобод 1. Врсокооре тсд oovreraypeveg tcov A(U|), A(u2), A(u3) cog лрод rq Pacrq S,
PpcoKOvrag лрсота тсд oovreTaypeveg evog аобасретоо Scavooparog v=(a,b,c) otov R3 cog лрод
rq Раот| S. Алб то IlpopXqpa 6.16,
[v]$ = (b - c)iq + (-2a + 2b - c)u2 + (a-b + c)u3
Xpqocponoccbvrag rov тбло аотб уса то [а,Ь,с]т, ласруооре
^(«i) = [4,7, -1]г = 8ut + 7u2 - 5u3, Л(а2) = [4,1,0]г = ut - 6u2 - Зи3
X(u3) = [9,4,1]г = 3u| - 11м2 + 6u3
Tpacpovrag тоод oovreXeoreg tcov ub u2, u3 cog orqXeg oSqyoopaore otov лсуака
M€0o5og 2. Xprioiponoiovpe tt|v B=P-1 AP, onov о P eivai о nivaKag аХХаугц; Раогц; ano
tt| avvr|0ia|i£VT| pdor| E arr|v S. Oi nivaKec; P (oi orf|Xe<; tov onoiov eivai anXa та Siavuopara
ott|v S) Kai P-1 epcpavi^ovrai ото ПрбрХтща 6.16. Evvencbc;
Г 0 1
В = Р~'ЛР = 1-2 2
- 11Г1 3 11Г1 0 11 Г 8 1 З"!
-12 5 -4 111 I 2 I = 7 -6 -11
1JL1 -2 2_||_0 1 2J L-5 3 6j
6.26. Na anoSei^ere то ©ecbpripa 6.7: 'Еотсо P о nivaKac; аХХаугц; раогц; ano pia pdor| S ae pia pdor|
S' ae eva SiawopariKO x<bpo V. Тбте, yia опою5т|поте ypappuco теХеатт] T otov V, [T]s =
P-,[T]SP.
'Еотсо о v evac; SiawopariKOc; хшрос; otov V. Тбте, ano to ©ecbpripa 6.6, P[v]s =[v]s.
Enopevcoc;,
P-47VW = Над = MrWb = [Wb
Opcoc; [T]s [v]s =[T(v)]s.. Apa
^-‘[тът-млгМг
Ecpooov о ретаохпратюрбе; v a [v]s- eivai navco otov Kn, exovpe P_| [T]SPX=[T]S X yia кабе
Xg Kn. EvpnepaopariKa P_| [T]SP=[T]S-, oncoc; Ka0opi£ei to ©ecbpripa.
OMOIOTHTA niNAKHN
6.27. Еато>Л = [* “*];KaiP=|J J J
(a) Na Ppeire tov B=P_,AP. (P) Na enaXn0evoere tt|v tr(B)=tr(A). (y) Na enaXn0evoere tt|v
det(B)=det(A).
(a) BpioKovpe прсота tov P_| хРПсФ0710К^та<; tov тупо yia tov avriorpocpo evoc; 2x2
nivaKa. 'Exovpe
'"‘11 -'J
Tore
•—[1 -ill: ii: iM4 -s]
(P) tr(A)=4+6=10 Kai tr(B)=25-15=10. Apa tr(B)=tr(A).
(y) det(A)=24+6=30 Kai det(B)=-375+405=30. Apa det(B)=det(A).
6.28. Na Ppeire to ixvoc; tov Ka0ev6<; ano tovc; ypappiKovc; ретаахлратюробс; F otov R3 tov
npopXriparoc; 6.4.
BpioKovpe to ixvoc; (to a0poiopa tcov Siaycbvicov otoixeicov) onoiov8r|nore nivaKa-
avanapdoraoric; tov F oncoc; tov nivaKa-avanapdoraori [F]=[F]E tov F coc; npoc; tt| avvr|0iopevq
pdor| E nov 560т1ке ото ПрорХдра 6.4.
(a) tr(F) = tr([F|) = l-5 + 9 = 5.
(fl) tr(F) = tr([F]) = 1 + 3 + 5 = 9.
(у) tr(D = tr([F|) = l+4 + 7 = 12.
6.29. TpdipovpE A = B eav о A eivai броюд лрод tov B, eav 5т|ка5т| vnapxEi evag аутютрёц/щод
nivaKag P твтоюд шоте A=P-iBP. Na ояоЗе^ете oti t| = Eivai pia охеот] looSvvapiag (oTovg
TETpaycoviKovg nivaKEg). Na Sei^ete 5т|Ха5т|, oti
(a) A = A yia кабЕ A. (P) Eav A=B, tote B = A. (y) Eav A = B Kai B = C, tote A = C.
(а) О таитот1к6д nivaKag I Eivai avrioTpsyipog, Kai Г'=1. Кабшд A=I_|AI, eyoupe A=A.
(P) Aipov A = B, vndpxei svag avrioTpsipipog nivaKag P твтоюд шоте A=P_| BP. Enopevcog
B=PAP-1=(P_|)-1AP Kai о P-1 Eivai Eniorig avTiorpsipipog. EvvEncbg B = A.
(y) Aipov A = B, vndpxei svag avrioTpsipipog nivaKag P твтоюд шоте A=P-iBP, Kai aipov
В = C, vnapxEi svag avrioTpsipipog nivaKag Q твтоюд шоте B=Q_|CQ. EvvEncbg
A = P-'BP = P-'(Q-'CQ)P = (P~l Q~l)C(QP) = (QP)-'C(QP)
Kai о QP Eivai Enioqg avTiorpsyipog. Apa A=C.
6.30. УпоОеоте oti о В Eivai броюд npog tov A, yia napaSEiypa B=P-1AP. Na опоЗе^ете oti:
(a) Bn=P_| AnP Kai etoi о Bn Eivai броюд npog tov An.
(P) f(B)=P-1 f(A)P, yia опою8т|поте noXvcbwpo f(x), Kai etoi о f(B) Eivai броюд npog tov
f(A).
(у) О В Eivai pia pi£a tov noAvcovvpov g(x) Eav Kai povo Eav о A Eivai pi^a tov g(x).
(a) H anoSEi^ri yivETai p£ Епаушут| ото n. YnoGsTovpE oti to апотёХвора ioxvei yia n=l.
Zrr] ovvsxEia vnoGsTovpE oti n>l Kai то апотёХвора ioxvei yia n-1. Tote
В” = BB?~X = (P~lAP)(P~lA"~,P) = P-'A'P
(P) YnoOeTovpE oti f(x)=anxn+...+a|X+a(3. Xpr|oiponoi(bvTag tov EmpEpioTiKO vopo ano
арютЕра Kai ano SE^ia, oe ovvSvaopo p£ to (a), Eyoupe
P~'/(A)P = Р-,(аяАя + ...+ atA + a^P
= Р~х(аяАя)Р +...+P~l(atA)P+P~l(a0I)P
= а„(Р~хАяР) + ...+ OI(P-1AP) + а0(Р~'1Р)
= алВ? +... + a\B + affl = f(B)
(у) Ano то (P), g(B)=0 Eav Kai povo Eav P-1g(A)P=0, 5т|Ха5т| Eav Kai povo Eav g(A)=
P0P_|=0.
IIINAKEE-ANAIIAPAETAEEIE FENIIO2N rPAMMIKflN METAEXHMATIEMftN
6.31. 'Еотш F: R3->R3 r| ypappucf] anEiKovioq nov opi^ETai ano vr)v F(x,y,z)=(3x+2y-4z, x-5y+3z).
(a) Na Ppeite tov nivaKa tov F oTig паракатш PaoEig tcov R2 Kai R3:
5 = {wi.W2.wj} = {(1,1,1), (1.1.0), (1,0,0)} Kai S' = {Ml, u2} = {(1, 3), (2,5)}
(P) Na Ел:аХг|0ЕиоЕТЕ то ©всортща 6.10: H £л(5раот| too F 5iaTT|p£vrai ало tov л[уака-
ауалараотасп) too. △r|Xa5f], yia олою5т|лот£ v otov R3, exovpe [F]s,S'[v]s=[F(v)]s,
(а) Алб то ПрбрХтща 6.2, (a,b)=(-5a+2b)u,+(3a-b)u2. Елорбусод
F(»i) = F(l, 1,1) = (1, -1) - 7ui +4u2
F(w2) = F(l, 1,0) = (5, -4) = -33u, + 19u2
F(w3) = ^(1.0,0) = (3,1) = - 13uj + 8u2
Графооцв Tig aovTExaypEVEg tcov F(w,), F(w2), F(w3) cog orf]X£g yia va лароицв
(P) Eav v=(x,y,z), tote, ало то ПрбрХтща 6.5, v=zw,+(y-z)w2+(x-y)w3. ЕлслХеоу,
F(d) = (Зх + 2y - 4z, x - 5y + 3z) = (-13x - 2Qy + 26z)u, + (8x + Пу - 15z)u2
Apa [v]s = (z, y-z, x-у)т ка1 [Г(Р)1у = Г ~^Х~ 1
r L 8x+ lly- 15z J
Ката ооуёлею
6.32. 'Еотсо F: Rn->Rm о ураццосбд цЕтаоутщатюцбд лои орфтас cog акоХоббсод:
F(X1-*2.....хл) = (auxi + ... + allrx„, а21х1 + ... + а2лхл.amlx, + ... + алихл)
(a) Na ЗеЬ^ете on ог ураццвд too тауака [F] лои avcucapiora tov F cog лрод Tig ouvr|0io|i£v£g
PaoEig tcov Rn Kai Rm Eivai oi огутЕХвотЁд tcov x; orig ouvioTcbosg too F(xb.. ,,xn).
(P) Na Ppeite tov лгуака-ауалараатаот] too кабвубд ало тоид ларакатсо ураццскобд
цЕтаохпца-поцоид сод лрод тт] ouvr|0iop.£vr] Расп] too Rn:
(i) F: R2->R3 лоо optical ало tt|v F(x,y)=(3x-y, 2x+4y, 5x-6y).
(ii) F: R4->R2 лоо opi^ETai ало Tqv F(x,y,s,t)=(3x-4y+2s-5t, 5x+7y-s-2t).
(iii) F: R3->R4 лоо opi^ETai ало Tqv F(x,y,z)=(2x+3y-8z, x+y+z, 4x-5z, 6y).
(а) 'Ехооце
F(l,0....Q) = (ац.а21..a«,) a" •• a>"
1....0) = (<»i2.e22..вяй) каюоУЕлсод [F]= °2' °22
F(0.0.....1) = (а1л,а2л...am) Le-i e-2 •• e™ .
(P) Алб то (a), apKEi алХа va копа^ооцв yia тоод aovrsXEOTEg tcov ayvcborcov x,y,... OTig
F(x,y,...).'EToi
6.33.
'Еотсо А=^ 1 _4 7 Ynev0upi^eTai oti о А npooSiopi^ei eva цетаохгщатюцб F: R3->R2
лои оратае ало tt|v F(v)=Av, блои та SiavuopaTa ypacpovrai cog отт|Хед. Na ppene tov лсуака
[F] лои ауаларюта то ретаохпцотюрб cog лрод Tig e^r|g Paoeig tcov R3 Kai R2:
(a) Oi ouvr|0iopeveg Paoeig tou R3 Kai tou R2.
(P) S = [wl,w2,w3] = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} Kai S'= {«j,m2) = {(1,3), (2,5)}.
(а) Пд лрод Tig ouvr|0iopeveg Paoeig, о [F] eivai о iSiog о лсуакад A.
(P) Алб то ПрбрХтща 9.2, (a,b)=(-5a+2b)U]+(3a-b)u2. Еиуелсод
6.34.
Грасроутад тоид оиутеХеотед tcov F(w,), F(w2), F(w3) cog отт|Хед обт|уоираоте otov
и ;]
Oecopeiore to ypappiKo ретаохпротюрб T otov R2 лои opi^eTai ало tt|v T(x,y)=(2x-3y, x+4y)
Kai Tig лю катсо Paoeig tou R2:
E = {eb e2} = {(1,0), (0,1)} Kai S = {M1, u2] = {(1,3), (2,5)}
(a) Na ppeire tov лсуака А лои ауаларюта tov T cog лрод Tig Paoeig E Kai S.
(P) Na ppevce tov лсуака В лои ауаларюта tov Т сод лрод Tig Paoeig S кас E.
(Млороире va 0ecopr|ooupe tov T cog eva ураррскб ретаохпратюрб ало eva xcbpo oe eva
aXXo, о Ka0evag це tt| Siki) tou Paon.)
(а) Алб то ПрбрХт|ра 6.2, (a,b)=(-5a+2b)u!+(3a-b)u2. Apa
T(et) = T(l, 0) = (2,1) = -8u,+ 5u2
T(e2) = T(0,1) = (-3,4) = 23uj - 13u2
. Г—8 231
KaieToi 4= 5 ! I
(P) 'Ехоире
T(Ml) = T(i,3) = (-7,13)
Г(и2) = Г(2, 5) = (—11,22)
-7e. + 13e, , „ Г-7 -ill
-llel+22e2 Kai eTai 2Г=[ 13 22 J
6.35. Псод ovoxETi^ovrai oi nivaKeg A Kat В ото ПрбрХтща 6.34;
Ало то 0есорт|ра 6.12, oi nivaKeg A Kat В eivai ioo5vvapoi. Ynapxovv, 5т|Ха5т|, pT|-i5ia£ovreg
nivaKeg P каг Q tctoioi сооте B=Q-1AP, onov о P eivai о nivaKag aXXayf|g pdorig ano rr)v S
ott)v E Kai о Q о nivaKag aXXayrig Pdorig ano tt)v E ott)v S. Zvvencbg
-и «-И4
"-I: t: :sj[; m;
6.36. Na anoSei^ere то 0есорт|ра 6.14: 'Еотсо о F: V->U ypappiKog Kai еотсо rank(F)=r. Тоте,
vnapxovv paoeig tcov V Kai U тетогед сооте о nivaKag-avanapdoraor] tov F va exei tt)v okoXovSt]
popcpri, onov о Ir eivai о r-rerpaycoviKog ravroriKog nivaKag:
4* S]
YnoOerovpe oti dim V=m Kai dim U=n. 'Еотсо W о nvprjvag tov F Kai U' t| eiKova tov F.
Mag Siverai oti rank(F)=r, onore т| бшотаот) tov nvprjva tov F eivai m-r. 'Еотсо то
{W],...,wm_r} pia pdor] tov nvprjva tov F, Kai avro to eneKreivovpe oe pia Paor| tov V:
("1...Vr> *1.rl
©erovpe “i = FM' u2 = FM.....*r = E(t»r)
'Etoi to {u b... ,1^} eivai pia Paor| rr|g U', rr|g eiKovag tov F. Avto to eneicreivovpe oe pia Paor|
tov U, yia napaSeiypa ott]v
{“1...“r.“r+l.
Пара-nipovpe oti
FiKj) = U] = luj + 0u2 +... + 0ur + 0ur+1 +... + 0u„
F(i»2) = u2 = Ouj + luj +... + 0ur + 0ur+1 +... + 0u„
F(vr) = ur = Ouj + 0u2 +... + lur + 0ur+l +... + 0u„
F(wt) =0 = Ouj + 0u2 +... + 0ur + 0ur+1 + ... + 0u„
F(wm-r) = 0 =0и1+0м2 + ... + 0иг + 0ur+1 +... + 0u„
Zvpnepaivovpe, Xoinov, oti о nivaKag tov F orig napanavco Paoeig exei tt)v anaiTovpevr| pop<pf|.
AAYTA ПРОВЛНМАТА
niNAKEL KAI ГРАММ1КО1 ТЕЛЕЕТЕЕ
6.37. 'Еотсо о F: R2->R2 nov opi^erai an6 -n]v F(x,y)=(4x+5y, 2x-y).
(a) Na Ppefre tov nivaKa A nov avanapiora tov F ott| ovvi]0iopevr| pdor| E.
(P) Na Ppefre tov nivaKa В nov avanapiora tov F oti] Paor| S={u],u2}={(l,4), (2,9)}.
(у) Na Ppeixe xov P yia xov onoio B=P *AP.
(8) Па v=(a,b), va ppeire та [v]s Kai [F(v)]s. Na епоЛцОЕоаете oti [F]s[v]s-[F(v)]s.
6.38. 'Eoxco oxi о A: R2->R2 opi^exai ano xov nivaKa A = *].
(a) Na Ppeixe xov nivaKa В nov avanapioxa xov A cog npog xr| Paoq S={ubu2}=
{(1,3), (2,8)}. (Ynev0vpi^exai oxi о A avanapioxa xo pexaoxqpaxiopd A cog npoc; xr|
ovvq0iopevq Paoq E.)
(P) Tia v=(a,b), va Ppeixe xa [v]s Kai [A(v)]s.
6.39. Tia xov кабе урацщкб pexaoxqpaxiopd L oxov R2, va Ppeixe xov nivaKa A nov avanapioxa
xov L (coc; npoc; xr| ovvq0iopevq paoq xov R2):
(a) О L eivai r| nepioxpocpq oxov R2 каха 45° арюхербохросра.
(P) О L eivai r| avaicXaoq oxov R2 nepi xr|v ev0eia y=x.
(у) О L opi^exai ano xig L(l,0)=(3,5) Kai L(0,l)=(7,-2).
(8) О L opi^exai ano xic; L( 1,1 )=(3,7) Kai L( 1,2)=(5,-4).
6.40. Na Ppeixe xov nivaKa nov avanapioxa xov ка0е урацщкб pexaoxqpaxiopd T oxov R3 сое; npoc;
xq ovvq0iopevq paoq xov R3:
(a) T(x,y, z) = (x,у, 0). (Д) T(x,y,z) = (z, у+ z, x+y + z).
(y) T(x,y,z) = (2x-7y-4z, 3x + y + 4z, 6x-iy + z).
6.41. Na enavaXapexe xo ПрорХтща 6.40 xprioiponoicbvxac; xr| paoq S={U|,u2,u3} =
{(1,1,0), (1,2,3), (1,3,5)}.
6.42. 'Eoxco L о урацщкбе; pexaoxqpaxiopoc; oxov R3 nov opi^exai and xic;
£(1,0,0) = (1,1,1), £(0,1,0) = (1,3,5), £(0,0,1) = (2,2,2)
(a) Na Ppeixe xov nivaKa A nov avanapioxa xov L coc; npoc; xr| ovvq0iopevq Paoq xov R3.
(P) Na Ppeixe xov nivaKa В nov avanapioxa xov L coc; npoc; xq paoq S xov ПрорХгщахос;
6.41.
6.43. 'Eoxco oxi о D ovpPoXi^ei xo SiacpopiKO xeXeoxf], 8qXa8q D(f(t)) =df7dt. To Ka0eva and xa
ovvoXa nov aKoXov0ovv eivai ща paoq evoc; SiawopaxiKov xcopov ovvapxf|oecov, V. Na Ppeixe
xov nivaKa nov avanapioxa xov D oxqv ка0е Paoq:
(a) (e'.e2', Ге2*}. (Д) (1, t, sin3r, cos3r}. (у) (e5', Ге5', ^e5').
6.44. 'Eoxco oxi о D ovpPoXi^ei xo SiacpopiKO xeXeoxf] oxo SiawopaxiKO X“P°, 4 ovvapxf|oecov pe
Paoq S={sin 0, cos 0}.
(a) Na Ppeixe xov nivaKa A=[D]S.
(P) Na xpqaiponoiqoexe T0V A yia va Sei^exe oxi о D eivai eva pqSeviKO xqc; f(t)=t2+l.
6.45. 'Eoxco V о SiawopaxiKoc; X“P0(^ 2x2 mvaKcov. ©ecopeioxe xov aKoXov0o nivaKa M Kai xqv
aKoXov0q ovvq0iopevq Paoq E xov V:
"-[° 5] Kal £-([o o}[o 0} [1 ?] [0 1])
Na Ppeite tov nivaKa nov avanapicrca tov KaGsva ano тоид паракатсо ураррскобд TsXsoTsg T
otov V cog npog rqv E:
(a) T(A)=MA, (p) T(A)=AM, (y) T(A)=MA-AM.
6.46. 'Еотсо oti та lv кас 0v ovpPoXi^ovv tov таитотско кас pqSsvuco teXeott] avTcoroc%a, oe Eva
ScawopaTCKO %cbpo V. Na Secrete otc, уса onocaSqnoTE Paoq S tov V: (a) [ 1 V]S=I, о таототскод
nivaKag, кас (P) [0v]s=0, 0 pqSevcKog nivaKag.
АЛЛАГН BAEHE
6.47. Na Рресте tov nivaKa aXXayqg Paoqg P ano Tq ovvqGcopEvq paoq E tov R2 oe pia paoq S, tov
nivaKa aXXayqg Paoqg Q ano Tqv S orqv E кас тсд ovvTETaypEvsg tov v=(a,b) cog npog Tqv S,
уса тсд s^qg pdoscg S:
(a) S = {(1,2), (3,5)). (y) S={(2,5), (3,7)}.
(Д) S = {(l,-3), (3,-8)). (J) S = {(2,3), (4,5)).
6.48. ©EcopsioTE тсд pdoscg S={(1,2), (2,3)} кас S'={(1,3), (1,4)} tov R2. Na Рресте tov nivaKa
aXXayqg Paoqg:
(a) P ano rqv S orqv S'. (P) Q ano rqv S' nioco orqv S.
6.49. YnoGsoTE otc oe a^ovsg x кас у ото sninsSo R2 перютрёсроутас ката 30° арсотвроотросра уса
va oSqyqoovv отоод vsovg a^ovsg x' кас y'yea то епспе8о. Na Рресте:
(a) Ta povaScaia ScavuopaTa orqv KarsvOvvoq tcov vecov a^ovcov x' кас у'.
(P) Tov nivaKa аХХлуг|д Paoqg P yea to veo ovoTqpa ovvTETaypsvcov.
(y) Teg vssg ovvTETaypEvsg tcov oqpsicov A(1,3), B(2,-5), C(a,b).
6.50. Na РрвстЕ tov nivaKa aXXayqg Paoqg P ano rq ovvqGcopEvq paoq E tov R3 oe pia Paoq S, tov
nivaKa aXXayqg Paoqg Q ano rqv S nioco orqv E кас тсд ovvTETaypEvsg tov v=(a,b,c) cog npog
rqv S, onov q S апотвХЕстас ano та ScavuopaTa:
(а) и, = (1,1,0), u2 = (0,1,2), u3 = (0,1,1).
(Д) u( =(1,0,1), u2 = (1,1,2), u3 =(1,2,4).
(у) U| = (1,-2,1), u2 = (1,3,4), u3 = (2,5,6).
6.51. YnoGsoTE otc oe Sb S2, S3 sivac pdoscg tov V.'Еотсо P кас Q oe nivaKsg aXXayqg Paoqg, ano rqv
S, orqv S2 кас ano Tqv S2 OTqv S3, avrioToc%a. Na ano8Ei£,ETE отс 0 PQ sivac 0 nivaKag aXXayqg
Paoqg ano Tqv S, orqv S3.
ГРАММ1КО1 ТЕЛЕЕТЕЕ KAI АЛЛАГН BAEHE
6.52. ©scopsioTs то ураррскб teXeott) F tov R2 nov орс^етас ano Tqv F(x,y)=(5x+y, Зх-2у) кас тсд
паракатсо pdoscg tov R2:
S = {(1,2), (2,3)) кас S'= {(1,3), (1,4))
(a) Na Рресте tov nivaKa A nov avanapcora tov F cog npog rq paoq S.
(P) Na Рресте tov nivaKa В nov avanapcoTa tov F cog npog Tq paoq S'.
(у) Na Рресте tov nivaKa aXXayf|g Paor|g P ano n]v S orqv S'.
(5) Псод cruoxETi^ovrai oe nivaKeg А кас В;
6.53. 'Еотсо отс о A: R2->R2 орс^етас ano tov nivaKa А=^ j j. Na рресте tov nivaKa В nov
avanapcoTa то ураррскб теХеотт| A cog npog tt|v каберса ano тсд акбХообед Paoecg:
(a) S={(1,3)T, (2,5)T}. (p) S={(2,3), (4,5)}.
6.54. 'Еотсо отс о F: R2->R2 орс^етас ano n]v F(x,y)=(x-3y, 2x-4y). Na Ppevce tov nivaKa A nov
avanapcoTa tov F cog npog n]v каберса ano тсд e£,f]g Paoecg: (a) S={(2,5), (3,7)},(P) S={(2,3),
(4,5)}.
6.55.
'Еотсо отс о A: R3->R3 орс^етас ano tov nivaKa A~ ? 4^а рре(те TOV nivaKa В nov
avanapcoTa то ураррскб теХеотт| A cog npog n] pdor| S={(1,1,1)T, (0,1,1)T, (1,2,3)T}.
OMOIOTHTA niNAKftN
6.56. 'ЕотсоA = касР=[* ^5]-
(a) Na Рресте tov B=P-1AP. (P) Na епаХг|бебоете отс tr(B)=tr(A). (у) Na епаХг|бебоете отс
det(B)=det(A).
6.57. Na рресте то i%vog кас tt|v opi^ovoa tov кабеубд ano Tovg акбХообоуд ypappucovg
|1етаахП11ат1о|10У? GTOV R2:
(a) F(x,y) = (2x - Зу, 5x + 4y). (fl) G(x,y) = (ax +by, cx + dy).
6.58. Na Рресте то ixvog тт|д кабереад апо тсд псо катсо ураррскёд anecKOvcoecg otov R2:
(а) F(x, у, z) = (х + Зу, Зх - 2z, х - 4у - 3z).
(fl) G(x,y,z) = (y + 3z, 2x — 4z, 5х + 7у).
6.59. Упобёоте отс r| S={ub и2} ecvac pia Раот| tov V кас о Т: V->V орс^етас апо тсд T(u])=3u]-2u2
кас T(u2)=U|+4u2. Упобёоте, eniorig, отс т] S'={wb w2} ecvac pia Paor| tov V уса n]v onoia
W|=U]+u2 кас w2=2U]+3u2.
(a) Na Рресте rovg nivaKeg А кас В nov avanapcorovv tov T cog npog тсд Paoecg S кас S',
avTCOToexa.
(P) Na ppeire tov nivaKa P yea tov onoio B=P-1AP.
6.60. 'Еотсо о А ёуад 2x2 nivaKag тётоюд сооте povo 0 A va eivac opocog npog tov eavro tov. Na
берете отс о A eivac ёуад псуакад-ооутеХеотт|д, бт]Хабг| отс А = ° J
6.61. Na берете отс бХос oc nivaKeg nov eivac оросос npog ёуа аутсотрёуеро псуака eivac eniorig
аутеотрёуерос. Геускбтера, va берете отс оросос псуакед ёхоуу тоу сбсо Рабро.
IHNAKAE-ANAIIAPAETAEH TENIKHN FPAMMIKHN METAEXHMATIEMQN
6.62. Na Ppeixe xov nivaKa-avanapaoxaoq xqg KaOepiag ano xig паракахсо уращнкёд aneiKOvioeig
cog npog xt| ovvqOiopevq Paoq yia xov Rn:
(a) F: R3->R2 nov opi^exai ano xqv F(x,y,z)=(2x-4y+9z) 5x+3y-2z).
(P) F: R2->R4 nov opi^exai ano xqv F(x,y)=(3x+4y, 5x-2y, x+7y, 4x).
(y) F: R4->R nov opi^exai ano xqv F(x1,x2,x3,x4)=2x1+x2-7x3-x4.
6.63. 'Eoxco oxi о G: R3->R2 opi^exai ano xqv G(x,y,z)=(2x+3y-z, 4x-y+2z).
(a) Na Ppeixe xov nivaKa A nov avanapioxa xov G cog npog xig Paoeig
$ = ((1,1,0), (1,2,3), (1,3,5)] Kai $' = ((1,2), (2,3)}
(P) Tia onoio5qnoxe v=(a,b,c) oxov R3, va Ppeixe xa [v]s Kai [G(v)]s'.
(y) Na enaXqOevoexe oxi A[v]s=[G(v)]s-.
6.64. 'Eoxco oxi о H: R2->R2 opi^exai ano xqv H(x,y)=(2x+7y, x-3y) Kai 0ecopeioxe xig e£,qg Paoeig
xov R2:
$ = ((1,1), (1,2)} Kai $' = ((1,4), (1,5)}
(a) Na Ppeixe xov nivaKa A nov avanapioxa xov H cog npog xig Paoeig S Kai S'.
(P) Na Ppeixe xov nivaKa В nov avanapioxa xov H cog npog xig Paoeig S' Kai S.
6.65. 'Eoxco oxi о F: R3->R2 opi^exai ano xqv F(x,y,z)=(2x+y-z, 3x-2y+4z).
(a) Na Ppeixe xov nivaKa A nov avanapioxa xov G cog npog xig Paoeig
$ = ((1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} Kai $'=((1,3), (1,4)}
(P) Na enaXqOevoexe oxi, yia onoio5qnoxe v=(a,b,c) oxov R3, A[v]s=[F(v)]s-.
6.66. 'Eoxco oi S Kai S' Paoeig xov V, Kai eoxco lv о xavxoxiKog pexacxqiiaxiopog oxov V. Na Sei^exe
oxi о nivaKag A nov avanapioxa xov lv cog npog xig Paoeig S Kai S' eivai о avxioxpocpog xov
nivaKa aXXayqg Paoqg P ano xqv S oxqv S', 5qXa5q A=P_|.
6.67. Naano5ei£exe xa©ecopqpaxa: (a)6.10, (P)6.11, (y)6.12, (5)6.13. [Упо<5«^.- Aeixe xig ano5ei£eig
xcov avaXoycov ®ecopqp.axcov 6.1 (Ilp6pXq|ia 6.9), 6.2 (npopXqpa 6.10), 6.3 (Ilp6pXq|ia 6.11)
Kai 6.7 (IlpopXqpa 6.26).]
ПО1К1ЛА ПРОВЛНМАТА
6.68. YnoOeoxe oxi о F: V->V eivai ypappiKog. 'Evag vnoxcbpog W xov V Xepe oxi eivai oxaOepog
vno xov F eav F(W) c W. YnoOeoxe xcbpa, oxi о W eivai oxaOepog vno xov F Kai dim W=r. Na
5ei£exe oxi о F exei eva Siapepiopevo Siaycbvio nivaKa-avanapaoxaoq м = £ j onov о A
eivai evag rxr vnonivaKag.
6.69. YnoOeoxe oxi V=U+W Kai oxi о KaOevag ano xovg U Kai V eivai SiapepiopEvog vno eva ypappiKO
p.exaoxqp.cixio|i6 F: V->V. YnoOeoxe, акоца, oxi dim U=r Kai dimW=s. Na 5ei£exe oxi о F exei
eva Siapepiapevo Siaycbvio nivaKa-avanapaoTOT]. M = [g ® j onov oi A Kat В eivai oi rx г Kat
sxs unoxcbpot.
6.70. Avo ypappiKoi reXeoreg F Kat G otov V Xeyovrai opoioi eav unapxei evag avrtoTpe\|/tpog
ypappiKog теХесгтг|д T otov V reroiog chore G=T-1 °F°T. Na anoSei^ere on:
(a) Oi F Kat G eivai opoioi eav Kai povo eav, yia onoiaSrinore Paar] S той V, oi [F]s Kai
[G]s eivai opoioi nivaKec;.
(P) Eav о F eivai 5iaycovionoif|cnpog (opoiog npoc; eva Siaycbvio nivaKa), тбте опоюа5г|поте
opoiog nivaKag G eivai eniorig 5iaycovionoif|oipog.
AIIANTHLEIL AAYTQN nPOBAHMATQN
Zv(j.pokia/idq: о M=[Rb R2; ...] avanapiara evanivaKa M peypappeg Rb R2,...
637. (a) A = [4,5; 2,-1] (b) В = [220,478; -98,-217] (c) P = [l,2; 4,9]
(d) [ub = [9a-26, -4a + b]r and [F(p)] = [32a + 476, -14a-216]r
638. (a) В = [-6,-28; 4,15]
(6) [p] = [4a — b, — |a + fb]r and [d(p)]$ = [18a — 8b, |(-13a + 76)]
639. (a) [72,-72; 72,72] (6) [0,1; 1,0] (c) [3,7; 5,-2]
(d) [1,2; 18,-11]
6.40. (a) [1,0,0; 0,1,0; 0,0,0] (6) [0,0,1; 0,1,1; 1,1,1]
(c) [2,-7,-4; 3,1,4; 6,-8,1]
6.41. (a) [1,3,5; 0,-5,-10; 0,3,6] (6) [0,1,2; -1,2,3; 1,0,0]
(c) [15,51,104; -49,-191,351; 29,116,208]
6.42. (a) [1,1,2; 1,3,2; 1,5,2] (6) [6,17,26; -4,-3,-4; 0,-5,-8]
6.43. (a) [1,0,0; 0,2,1; 0,0,2] (6) [0,1,0,0; 0; 0,0,0,-3; 0,0,3,0]
(c) [5,1,0; 0,5,2; 0,0,5]
6.44. (a) A = [0,-1; 1,0] (6) Л2+/ = 0
6.45. (a) [a, 0,6,0; 0,a,0,6; c.O.d.O; O.c.O.d]
(6) [a, c, 0,0; b, d, 0,0; 0,0,a,r, 0,0, b.d]
(c) [0, —c, 6,0; -6, a - d, 0,6; c, 0, d - a, -c; 0, c, —b, 0]
6.47. (a) [1,3; 2,5], [-5,3; 2, -1], [»] = [~5a + 6, 2a-b]T
(6) [1,3; -3,-8], [-8,-3; 3,1], [»] = [-8a - 36, 3a-bf
(c) [2,3; 5,7], [-7,3; 5, -2], [v] = [-7a + 36, 5a-26]r
(d) [2,4; 3.5]. [-f.2; |.-1], [a] = [-fa + 26, fa-bf
6.48. (a) P = [3,5; -1,-1] (6) 0 = [2,5; -1,-3]
6.49. (a) (|Тз4),(-МТЗ) (6) P=[J73,-f; |.|ТЗ]
(c) [Л] = Рг[1,3]г, ДО = Pr[2, -5]r, [Q = Pr[a, b]r
6.50. P is the matrix whose columns are ut, u2, мэ, Q = P-1, [p] = Q[a, 6, c]T
(a) Q = [1,0,0; l.-l.l; -2,2,-1], [p] = [a, a-b + c, -2a + 2b-c]T (6)
2 = [0,-2,1; 2,3,-2; -1,-1, !],[»] = [-26 + c, 2a + 36-2c, -a-b + cf (c
e = [-2,2,-1; -7,4,-1; 5, -3,1], [p] = [-2a + 2b - c. -la + Ab-c, 5а-ЗЬ + с}'
6.52. (a) [-23,-39; 13,26] (b) [35,41; -27,-32] (c) [3,5; -1,-2] (d) B = P~'AP
6.53. (a) [28,42; -15,-25] (b) [13,18; -^,-10]
6.54. (a) [43,60; -33,-46] (b) [- ^,- f,£]
6.55. [10,8,20; 13,11,28; -5,-4,10]
6.56. (a) [-34,57; -19,32] (b) tr(B) = = -2 (c) det(B) = det(^) = -5
6.57. (a) tr(F) = 6, det(F) = 23 (b) tr(G) = a + d, det(G) = ad - be
6.58. (a) tr(F) = -2 (b) tr(G)=O
6.59. (a) ^ = [3,1; -2,4], В = [8,11; -2,-1] (b) P = [l,2; 1,3]
6.62. (a) [2,-4,9; 5,3,-2] (b) [3,5,1,4; 4,-2,7,0] (c) [2.3,-7,-11]
6.63. (a) [-9,1,4; 7,2,1] (b) [v]s = [-a + 2b - c, 5a - 5b + 2c, -3a + 3b - cf, and
[G0>)b =Ra-llb + 7c, 7b-4c]r
6.64. (a) Л=[47,85; -38,-69] (b) В = [71,88; -41,-51]
6.65. ^=[3,11,5; -1.-8.-3]
КесраХаю 7
XQPOI ESQTEPIKOY TINOMENOY,
OPOOTQNIKOTHTA
7.1. Е1ЕАГЯГН
0 opiapog evog бюуваратсков х<Ьров V acpopa ae eva ав0а4рето леЗю К. E8cb, apxiKa лерюрт^овре
то К va eivai то лрауратвсб neSio R, ott|v onoia лер1лтсоот| о V ovopa^eTai праураикдс; diavvopaaKoc;
'/wpoq. ZTig теХевтатед лараурасровд too кесраХаюв автов, електе(уовре та алотеХеарата рад ovr]v
леригтсоот] олоо то К eivai то piyaSiKO neSio С. О V, тбте, ovopa^eTai ptyaSucog Зшуворатгкбд xcopog.
ЕлшХеоу, вю0етовре тоид оврРоХюровд tcov npoqyoBpevcov KecpaXaicov, cropcpcova це тоид олоювд:
та u, v, w eivai SiavoapaTa otov V
oi a, b, c, k eivai apiOpoi ато К
Ел1лр6о0ета, oi SiavuapaTiKoi xcbpoi V ато кесраХаю авто ёхову лелераорёут] Siaaraar), ектбд eav
8qXco0ei q Bno8qXco0ei то аут10ето.
Улеу0врфта1 oti oi ewoieg тои “рт|ковд” Kai тт|д “ор0оуймкотт|тад” Sev epcpaviorqKav ott|v
е^ётасл] tcov au0aipeTCOv SiavBapaTiKcbv xcbpcov V (poXovoTi epcpaviorqKav ато КесраХаю 1, атовд
XcbpougRn Kai Cn). EScb 0a е^етааовре pia ел1лрба0етт| Sopq ae eva SiavBopariKO X“P° V npoKeipevou
va ларовре eva х®Р° Еасотервсов yivopevou. Oi ewoieg автёд, Xoutov, opi^ovrai ато napov кесраХаю.
7.2. XOPOI EEOTEPIKOY TINOMENOY
Ag ^eKivqaoupe pe ёуа opiapo.
Орюрбд: 'Еатсо о V evag SiavBopariKog x^P0^ Уло0ётовре oti ae ка0е ^евуод SiavBopdrcov u,
ve V avari0erai ёуад лрауратскбд api0pog, лов аврРоХ^етас pe H oBvaprqoq
автт| ovopa^eTai (лрауратскб) Еоштергко yivopevo otov V eav iKavonoiei та ларакатсо
а^тсората:
[I]] (TpappiKfi I6i6n]Ta): «au]+bu2, v))=a((u1,v))+b«u2,v»
[I2] (EoppeTpiKi] ISidrqTa): <(u,v))=«v,u))
[I3] (Оетиса Opiop6vq ISidrqTa): ((u,u))>0, evco ((u,u))=O eav Kai povo eav u=0.
О SiavBopaTiKog x®pog V pe еасотержб yivopevo KaXenai (лраурапкбд) xcbpot;
eacoiepiKoo yivopevov.
To a^icopa [I,] 8r|Xcbvei oti pia aBvaprqar) еасотервсов упюрёуов eivai ypappucri orqv лрсотг] 0ёат|.
XpqoiponoicbvTag то [I J кат то a^icopa [I2] тт|д аврретр1ад, ла(руовре
{и, cvt + dv2) = {cvi + dv2, и) =c(v1,u) +d{v2,u) =c(u,vx) +d{u,v2)
Н сгиуартг|стт| eocotepikou yivopevou, 8г|Ха8т], Eivai Eniorig ypappiKT| Kai отт] Seutept Осот, тг|д.
ZuvSuaipvrag тк; био аитед i8i6tt|te<; xpn°lH07I0UbvTag TT)V Еяаусоуг[, о6г|уоираотЕ otov E^rig yeviko
голо:
(Е а/«/. Е bjvj) = Е ЕаА<и«’
Zupcpcova р£ tov тило аито, sva ЕосотЕрисб yivopevo ypappiKcbv ouvSuaopcbv SiavuopaTcov loourai ps
sva ypappiKO ouvSuaopo tcov eocotepikcov yivopsvcov tcov SiavuopaTcov.
flapdSEiypa 7.1. Еотсо о V evac, лрауратисбд ycbpoq eocotepikou yivopsvou. Tote, аяб ttj
урарр1котт]та,
(3«! - 4u2, 2vt - 5i>2 +6t>j) = 6(U], V|) - 15(м(, t>2) + t>3)
- 8(m2, t>,) + 20(m2, t>2) - 24(u2, v3>
(2u — 5v, 4u + 6v) = 8(u, u) + 12(u, v) — 20(t>, u) — 30(i>, v}
= 8(u, u) — 8(i>, u) — 30(i>, v)
Паратт]роирЕ oti ottjv TEXeuTaia e^iocoot] хрт|О1рояо1Г|6т|КЕ r] iSiovqTa rr|g ouppETpiag, <(u,v))=«v,u)).
Паратдрл<я1: To a^icopa [Ij] ало povo тои ouvEnayETai oti «0,0))=((0v,0))=0«v,0))=0. LuvEncbg
та Ui], [1гЪ П3] eivai tooSuvapa ps та [If], [I2] Kai то акбХоибо a^icopa:
[Г3] Eav u*0, tote to <(u,u» Eivai 0etik6.
Me alia Xoyia, pia ouvdpvqoT] лои ucavonoiEi та [I(], [I2], [I 3] eivai eocotepiko yivopsvo.
H Ndppa (f| то Мдкод д то Мётро) evdg AiavuopaTog
Алб то тр1то a^icopa [I3] evoq eocotepikou yivopEvou, to Eivai pr|-apvr|TiK6 yia олоюЗт|лоте
Siavuopa u. Enopcvioq, Sev unapxei tj 0etikt| TETpaycoviKT] тои pi^a. XprjoiponoioupE то ouppoXiopo
IM = v/M
О pq-apvrjTiKO^ аитбс; api0pd^ XEysrai voppa r| prjKoq r| pcipo тои u. H oy£or| ||u||2=((u,u)) 0a
Xprptponoir|0Ei аркЕТЁд (рорёд отт] auvEyeia.
Паратт|рт]от]: Eav ||u||=l r| Eav, looSuvapa, <(u,u))=l, tote to u KaXciTaipovadiaio Siawapa Kai
AepE oti Eivai KavoviKonoirtpEvo. To ка0Е pr|-pr|8EviK6 Siavuopa v otov V pnopEi va лоХЛалХао1аотЕ1
ps tov avTioTpocpo тои pr|Koug тои yia va TtpoKuyei to povaSiaio Siavuopa
. 1
v = — v
IM
to onoio Eivai sva 0etik6 лоХХалХаою тои v. H SiaSiKaoia аитт| ovopd^ETai KavoviKOTioirjori тои v.
7.3. ПАРААЕ1ГМАТА XftPftN ESftTEPIKOY ITNOMENOY
Ztt]v лароиоа лараурасро 0a yvcopiooups та кирютвра napaSEiypaTa xcbpcov eocotepikou yivopsvou
лои xpn°m07I0l0uvTai ото pipXio аито.
О EvKleiSeiog n-xcbpog Rn
©ecopoupe to SiavuopaTiKO xcbpo Rn. To еосотерисб yivopevo f| Ра6рсотб yivopevo otov Rn opi^eTai
ало tt|v
и • v = atbt + a2b2 + ...+ anbn
onov u=(a,) Kat v=(b,). H ouvapTT)OT| аитт| opi^ei eva eoanepiKO yivopevo orov Rn. H voppa ||u|| tov
SiavuopaTog u=(a,) ото xcbpo аитб eivai л
||u|| = y/iTu = Уа]+а| + ... + а2
Алб tt]v <Шл], ало то Пибаубрею 6ecbpi]pa, т] алботасп] ало tt]v apxn tcov a^ovcov О otov R3 ое eva
спцхето P(a,b,c) 5iveTai ало tt)v 7a2 + Z>2 + c2 • H ттцг) аитт| eivai акрфсЬд i] i6ia це tt) voppa tov
SiavvopaTog v=(a,b,c) orov R3 nov орютт)ке mo navco. КабсЬд то Пибаубрею бесор^ра eivai anoppoia
tcov a^icopaTCOv ттц; EuicXeiSeiag yecopeTpiag, о SiavuopaTiKog xcbpog Rn pe to napanavco еосотерисб
yivopevo Kai rr)v napanavco voppa ovopa^eTai EuicXeiSeiog n-xcbpog. ПарбХо nov unapxouv noXXoi
Tponoiyia va opioTei eva еосотерисб yivopevo otovR1*, epeig ба бесоробре аитб то еосотерисб yivopevo,
ектбд eav 8r]Xco6ei r| vno5r]kco6ei капою aXXo. Ovopa^eTai, 5e, ouvr|6iopevo (f| тилисб) еосотерисб
yivopevo orov Rn.
Паратдртрн]: Zu/ya та SiavuopaTa otov Rn 6a avanapiOTOvvTai pe SiavuopaTa отт|Хг|д, 5г]Ха5г]
pe nx 1 nivaKeg-orr|Xeg. Ze pia тетоих nepinrcooT|, о тилод
(и, v) = uTv
opi^ei to ouvr|6iopevo еосотерисб yivopevo otov Rn.
napdSeiypa 7.2.'Еотсо u=(l,3,-4,2), v=(4,-2,2,l), w=(5,-l,-2,6) orov R4.
(a) E^’ opiopou,
(u, w) = 5 - 3 + 8 + 12 = 22 Kai (i>, w} = 20 + 2 - 4 + 6 = 24
ZripeicbveTai oti 3u-2v=(-5,l 3,-16,4). Apa
(3u-2v, w) = -25 - 13 + 32 + 24 = 18
'Oncot; avapevape, 3«u,w))-2«v,w))=3(22)-2(24)=18=<(3u-2v, w)).
(P) E^’ opiopou,
Hull = Vl +9+16 + 4 = Ло Kai ||v|| = V16 + 4 + 4 + 1 = 5
KavoviKonoioupe та и Kai v yia va napoupe та ларакатсо povaSiaia SiavuopaTa otk; Siaoraoeu;
tcov и Kai v, avTtoTOtxa:
“ = м“ = (тзГЖЛо’ж) Kai 8=НР=(|’Т’И)
О Xcbpog ZwapTTjOECOv C[a,b] Kai о Xcbpog noXucovupcov P(t)
О oupPoXiopog C[a,b] ypr|Oiponoi£iTai yia va 5r|Xcboei to StavuopaTuco x®P° oXcov tcov ouvexcbv
avvaprriaecov ато кХеюхо 6iaaxT|pa [a,b], олоо, 6т|Ха6т|, a < t < b. H
(/.g) = £/(0g(0<*
opi^ei eva eacoxepiKO yivopevo axov C[a,b] олоо oi f(t) каг g(t) eivai avvaprriaeig axov C[a,b].
Ovopa^exai, de, avvr|0iapevo eacoxepiKO yivopevo axov C[a,b].
О (SiawapaxiKog xcopog P(t) oXcov xcov лоХосоуорсоу eivai evag олохсород xov C[a,b] yia олою6т|лохе
6iaaxT|pa [a,b], Kai exai xo ларалаусо eivai ел1ат|д eacoxepiKO yivopevo axov P(t).
napabeiypa 7.3. ©ecopeiaxe xig f(t)=3t-5 Kai g(t)=t2 axov x<opo лоХосоуорсоу P(t) pe eacoxepiKO
yivopevo
(/.g) = jo/(Og(r)A-
(a) Na ppeixe xo <(f,g)).
'Exovpe f(t)g(t)=3t3-5t2. Apa
= £(3^ -5?)dt = Jr4
(P) Na ppeixe xa ||f]| Kai ||g||.
'Exovpe [f(t)]2=f(t)f(t)=9t2-30t+25 Kai [g(t)]2=t4. Toxe
II/II2 = (/./) = £(9? - ЗОГ + 25) dt = 3? - 15? + 25/| = 13
llg|l2 = (g.g) = |o?* = J?| =|
— ________________ 1 _
Елореусод, ||f]|= V13 Kai||g||=Vi/5=- Vs .
О Xcopog IIivaKcov M=Mmn
'Eaxco M=Mm,n, о SiawapaxiKog xcopog oXcov xcov лраурахшоу m x n nivaKcov. 'Eva eacoxepiKO yivopevo
opi^exai axov M ало xt|v
(A,B) = tr(BrA)
олоо, cog avvr|0cog, xo tr() eivai xo ixvog, xo a0poiapa 6r|Xa6f| xcov Siaycbvicov axoixeicov. Eav A=[a1J]
Kai B=[by], xoxe
(A, B) = tr(BTA) = £22aijby Kai v = (bit b2,...)
Avxo ar)paivei oxi xo <(A,B)) eivai xo a0poiapa xcov avxiaxoixcov Kaxaxcopiaecov axovg A Kai В Kai,
avyKCKpipeva, xo <(A,A)) eivai xo a0poiapa xcov xexpaycbvcov xcov Kaxaxcopiaecov xov A.
О Xcopog Hilbert
'Eaxco V о SiawapaxiKogx^pog oXcov xcov coceipcov aKoXov0icov лраурахшоу api0pcbv (a,, a2, a3, ...)
лоо 1кауолоюоу xt|v
22 a? = a? + a| + ... < oo
8r|Xa8f| to aGpoiopa ovyKXivei. H npoo6eor| Kai о Рабрсотод noXXanXaoiaopo^ opi^ovrai otov V
ovpcpcova це tt| oeipa pe tt|v onoia ovvavrovvTai oi ovviorcboec;. Eav, 8r|Xa8f|,
и = (aba2,...) Kai v = (b}, b2, .)
тоте u+ !? = (□]+£>!, a2 + b2, ...) Kai ku = (kax,ka2,...)
'Eva eocorepiKb yivopevo opi^erai otov V and tt|v
(u, 0 =axbx +a2b2 + ...
To mo navco аброюра ovyKXivei anoXvra yia опою8г|поте ^evyoc; oripeicov otov V. Enopevcog to
eocorepiKO yivopevo eivai епарксос; opiopevo. О х<Ьро<; avroc; eocorepiKov yivopevov Xcyerai l2-xcbpo<; f|
Xcbpog Hilbert.
7.4. H ANIEOTHTA CAUCHY-SCHWARZ, ЕФАРМОГЕЕ
0 voitoc, nov aKoXovGei (nov anoSeiKvveTai ото ПрбрХг|ра 7.8) ovopa^eTaiavzado/ra Cauchy-Schwarz
r| aviadzTjra Schwarz Kai хрпстфояо1егса1 oe аркетобс; KXaSovc; tcov paGrjpaTiKcbv.
Оесордра 7.1: (Cauch-Schwarz) Па onoia8r|noTe Siavvopara u Kai v oe eva x<bpo eocorepiKov
yivopevov V,
(u, 02 < (u, u){v, v) П l(u, 01 < Hull1101
Ztt| ovvexeia e^era^ovpe tt|v avio6rr|Ta avrf| oe ovyKCKpipeve^ перштсооец.
IlapdSeiypa 7.4.
(a) ©ecopovpe onoiovoSfinore npaypariKovc; apiOpov^ ab.. ..a^ bb.. .,bn. Тоте, and tt|v aviodrr|Ta
Cauchy-Schwarz,
(«1*1 +a2b2 + ...+e,fc,)2 <(a] + ...+a?X*i + ...+b?)
Ar|Xa5f|, (u-v)2<||u||2||u||2, onov u=(a1) Kai v=(b,).
(P) 'Еотсо oi f Kai g ovvexei? ovvapTT|oei<; ото povaSiaio Siaorripa [0,1]. Тоте, and tt|v aviodrr|Ta
Cauch-Schwarz,
[ jo/(Og(O л] < jo/2(O Л Jo ^(r) Л
Ai]Xa8r|, (((f,g)))2^||fl|2||v||2. E8cb о V eivai о x^po? eocorepiKOV yivopevov C[O,1].
To паракатсо Gecbpr|pa (nov ano8eiKvveTai ото ПрорХт|ра 7.9) рас; 8ei%vei tu; Pooikec; i8idrr|Te<; piac;
vdppac;. H ano8ei^r| тт|<; Триггу iSiorriTac; anavrei тг| ХРЛ01! "И? aviooTT]Tag Cauchy-Schwarz.
©есордра 7.2: Eav о V eivai Evag %(i)poq eocorepiKov yivopevov, тоте r| voppa otov V iKavonoiei tic;
e£f|<; i8idTT|Te<;:
[Nj] ||v||>0, eveb ||v||=0 eav Kai pdvo eav v=0.
[N2] ||kv||=|k|||v|
[N3] ||u+v||<||u||+||v||
H i3i6vr)Ta [N3] KaXsirai rpiycoviiaj aviadvita, yiari eav ЭвсортроирЕ to u+v tog ti]v nXsupa svog
rpvycbvou pe nXsupsg u Kat v (олсод cpaivsTai ото Exnpa 7-1), tote, oupcpcova це ttjv [N3], to рт)код vr|g
piag nXsupag тои rpiycbvou 5ev pnopsi va sivai psyaXurspo ало to aOpoiapa tcov pr|Kcbv tcov Suo
aXXcov nXsupcbv.
Tpiycovudi AviadrqTa
ЗДра7-1
H Метали tcov Aiavuoparcov Гео via
Tia onoia5r|noT6 pr]-pr]5eviKa Siavuopara u Kai v os sva xcbpo socoTspiKOU yivopsvou V, -q ycovia
psra^u tcov u Kai v opi^srai va sivai t| ycovia 9 yia ttjv onoia loyusi 0<9<n Kai
—ЙЙ
Ano ti]v aviooTi]Ta Cauchy-Schwarz, - l<cos 9<1, Kai etoi tj ycovia unapxei Kai sivai povaSiKT).
ITapaSsiypa 7.5.
(a) Eav Gscopriooups та Siavuopara u=(2,3,5) Kai v=( 1 ,-4,3) otov R3, tote
(u, t>) = 2 — 12 + 15 = 5, ||M|| = 74 + 9 + 25 = 738. ||t>|| = 71 + 16 + 9 = 726
Tote, t| ycovia 9 psra^u tcov u Kai v Siverai ano tt)v
ErjpEicbvETai oti t| 9 sivai o^sia, ка9сод то cos 9 sivai 9etiko.
(P) 'Еотсо f(t)=3t-5 Kai g(t)=t2 ото Х“Р° noXucovupcov P(t) ps socoTspiKO yivopsvo
<(f,g))= J . Ano to napaSsiypa 7.3,
11/11 = Из. Hgll=iT5
Tote, tj “ycovia” 9 рвта^й tcov f Kai g Siverai ano ti]v
-H____________«
(V53XJ./5) 1271575
ErjpEicbvETai oti tj 9 sivai apPXsia, ка9сод то cos 9 sivai apvrjTiKO.
7.5. OPOOrftNIKOTHTA
Еотсо о V evoc,xcopog еосотерисобyivopevov. Ta SiavvopaTau,vg V XeyovTaiорОоуалпакалто и eivai
opOoycbvio npog to v eav
«u,v))=0
H oxeot] avTT| eivai кабара оорретр1кт|. Eav, 8r|Aa8r|, то и eivai opOoycbvio npog to v, тбте ((u,v))=0,
Kai ctoi Kai to v eivai opOoycbvio npog to u. LrjpeicbveTai oti to 0g V eivai opOoycbvio npog каве vg V,
кабсод
(0, v) = (Ov, v) = 0(v, v) = 0
Avriorpocpa, eav то u eivai opOoycbvio npog кабе vg V, тбте «и,и))=0 Kai apa, ano to [I3], u=0.
Паратт|робце oti та и Kai v eivai opOoycbvia eav Kai povo eav cos 0=0, onov r) 0 eivai т] рета^б tcov u
Kai v ycovia. Enicrqg, ауто eivai аАл]0ёд eav Kai povo eav та и Kai v eivai “каОета” рета^б Tovg, eav,
SnXaSri, 6=n/2 (n 0=90°).
IlapaSeiypa 7.6.
(a) Eav Oecoprjaovpe та SiavvopaTa u=( 1,1,1), v=( 1,2,-3), w=( 1 ,-4,3) otov R3, тбте
<«,v) = 14-2-3=0, (u,w) = 1-44-3 = 0, (v, w) = 1 -8 -9 = -16
Lvpnepaivovpe, Xoinov, oti to u eivai op6oycbvio npog та v Kai w, аХХа та v Kai w Sev eivai
opOoycbvia.
(P) Ag 6ecopr|aovpe тсора Tig ovvapTr|aeig sin t Kai cos t ото SiawapaTiKO xcbpo C[-n,n] ovvexcbv
ovvapTTiaecov ото кХеютб 8iaoTT|pa [-п,п]. Тбте
(sine,coso = j* sinrcoscA = | sin2 f|-« =0-0 = 0
Паратцрчтр 'Eva Siawopa w=(xbx2,.. .,xn) eivai opOoycbvio npog to u=(aba2,.. ..aj otov Rn eav
(«, w) = в|Х| 4- a2x2 4-... 4- a„x„ = 0
Avro OTipaivei oti to w eivai opOoycbvio npog то u eav ucavonoiei pia opoyevfj e^iococrq, oi ovvreXeoTeg
тт)д onoiag eivai та OTOi%eia tov u.
ITapaSeiypa 7.7. Na PpeiTe eva рт]-рт]8ЕУ1к6 Siawopa w nov va eivai opOoycbvio npog та U!=(l,2,l)
Kai u2=(2,5,4) otov R3.
'Eotco w=(x,y,z). ©eXovpe, тсора, ((ubw))=0 Kai ((u2,w))=0. Avto oSriyei ото opoyeveg оботт]ра
x + 2y+ z = 0 , x + 2y+ z = 0
2* 4- 5y 4- 4z = 0 "l y + 2z = 0
To z eSeb eivai t] povaSuaq еХебОерт] ретаРАлуп) ото кАлраксотб оботт]ра. ©ётоуре z=l yia va napovpe
y=-2 Kai x=3. 'Etoi, to w=(3,-2,1) eivai 6va emOvp^TO pT]-pT]8eviK6 Siawopa, opOoycbvio npog та Uj
Kai u2.
OpOoycbvio npog та Uj Kai u2 Oa eivai enicrqg опою8т|поте noAA.anAaoio tov w. KavoviKonoicbvrag
to w, naipvovpe to e^iqg povaSiaio Siawopa, opOoycbvio npog та u( Kai u2:
OpOoycbvia ЕирлХдрсората
'Еотсо то S eva unoouvoXo evog xcbpou еосотерисои yivopevou V. To opOoycbvio оирпХдрсора tou S,
nou oupPoXi^ETai pe 51 Kai SiaPa^eTai “S-каОето” апотеХеиас ano та SiavuopaTa EKeiva orov V
nou eivai opOoycbvia просто каОе Siavuopa ug S. АдХаЗд,
S1 ={vg V: (<u,v))=0 yia каОе ug S}
ZuyKEKpipeva, yia eva SeSopevo Siavuopa и otov V, ёхоире
it1- = (o g V : (v, u) = 0}
nou oqpaivEi oti to u1 anoTeXeiTai ano 6Xa та SiavuopaTa orov V nou Eivai opOoycbvia npog to
SeSopevo Siavuopa u.
0a 3e troupe oti to S1 Eivai pia ипботаог] тои V. Eivai cpavepo oti 0g 51, acpou to 0 Eivai opOoycbvio
npog to kciOe Siavuopa otov V. Eav ипоОёооире тсора oti v,wg 51, tote, yia опоюиобдпоте apiOpoug
a Kai b Kai опоюЗдпоте Siavuopa ug S, Oa ёхоире
{av + bw, u) = a(v, u) + b(w, u)=a-0 + b-0 = 0
Ката ouvsnEia av+bwG 51, Kai etoi то 51 Eivai evag unoxcbpog тои V.
0a ЗютипсЬооирЕ тсора титка то апотёХеора аитб.
Прбтаод 7.3: Eav то S Eivai eva unoouvoXo evog SiavuopaTiKou Х“Рои Ч тбте то 5- eivai evac,
unoxcbpog тои V.
Паратдрдод 1: Eav unoOeooupe oti to u eivai eva рд-рд8еУ1кб Siavuopa otov R3, тбте unapxei pia
раОдратисд nepiypacpn tou u1 . ZuyKeKpipeva, to u1 eivai to neSio otov R3 Siapeoou ттц; архдд tcov
a^ovcov О Kai каОето npog to Siavuopa и. Аитб cpaiveTai ото Zxnpa 7-2.
Паратдрдод 2: 'Еотсо W о xcbpog Xuoecov evoc, mxn opoyevoug оиотдратод AX=0, onou A=[a,j]
Kai X=[x,]. YnevOupi^enai oti о W pnopei va 0ecopr|0ei cog о nuprjvag tou ypappiKou ретаохдратюрои
A: Rn->Rm. Mnopoupe тсора va Scbooupe pia аХХд еррдуеса тои W хрдосропокЬутад тду ewoia тдд
ор0оусоУ1кбтдтад. ZuyKeKpipeva, то каОе Siavuopa Хиодд w=(xbx2,...,xn) eivai opOoycbvio npog тду
каОе ураррд тои A, Kai ара то W eivai то opOoycbvio оирпХдрсора тои xcbpou ypappcbv тои А.
flapdSeiypa 7.8. Na Ppeite pia pdor] yia tov vnoxcbpo tov R3, onov u=(l,3,-4).
Zqpeicbverai oti то ц1 anoreXeirai ano 6Xa та SiavvopaTa w=(x,y,z) yia та onoia ((u,w))=0, q
x+3y-4z=0. Oi eXevOepeg perapXqreg sivai та у Kai z.
(1) ©erovpe y= 1, z=0 yia va napovpe tt| Xvoq Wj=(-3,1,0).
(2) ©erovpe y=0, z= 1 yia va napovpe tt| Xvoq w2=(4,0, 1).
Ta SiavvopaTa Wj Kai w2 oxqpari^ovv pia Paoq yia to xcbpo Xvoecov тт|д e^iocooqg, Kai enopevcog pia
Paoq yia to .
YnoOerovrag oti о W eivai evag vnoxcbpog tov V, тоте apcporepoi oi W Kai WL eivai vnoxcbpoi tov
V. To 0есорт)ра nov aKoXov0ei, tov onoiov л anoSei^q (IlpopXqpa 7.28) anavrei тт) ХРЛСТП
anoreXeoparcov enopevcov napaypacpcov, eivai noXv paoiKo отт| ypappucq aXyePpa.
©ecbpqpa 7.4: Eav о W eivai evag vnoxcbpog tov V, тоте о V eivai то evOv aOpoiopa tcov W Kai ,
SqXaSq V=W ф w1.
7.6. OP0OFQNIA EYNOAA KAI BAEEIE
Ag Oecopqoovpe eva ovvoXo S={u],u2,...,ur} pq-pqSewabv Siawoparcov oe eva xcbpo eacorepiKOv
yivopevov V. To S ovopa^erai opOoycbvio eav то каОе £evyog Siawoparcov oe avro eivai opOoycbvio,
eveb ovopa^erai opOoKavoviko eav eivai opOoycbvio Kai то каОе Siawopa oe avro exei pova8iaio pqKog.
△qXaSq:
(i) OpOoycbvio: ((up Uj))=O yia i^j
jo yia i * j
(ii) OpOoKavoviKd: ((u„U)»=| T i = j
H KavoviKonoiqoq evog opOoycbviov ovvoXov S avacpeperai ott| 8ia8iKaoia noXXanXaoiaopov tov
каОе Siawoparog ото S pe tov avrioTpocpo rov pqKOvg rov, npoKeipevov va peraoxqpanorei to S oe
eva opOoKavoviKQ ovvoXo Siawoparcov.
Ioxvovv та паракатсо Oecoprjpara.
©ecbpqpa 7.5: Eav vnoOeoovpe on to S eivai eva opOoycbvio ovvoXo pq-pqSewabv Siawoparcov,
тоте to S eivai ypappiKa ave^aprqro.
©ecbpqpa 7.6: (IlvOaydpag) Eav vnoOeoovpe on to {ubu2,...,ur} eivai eva opOoycbvio ovvoXo
Siawoparcov, тоте
||ut + u2 +... + ur|| = ||ut || + ||u21| +... + ||ur||
Ta Oecopqpara avra anoSeiKwovrai ora npopXqpara 7.15 Kai 7.16 avrioroixa. EScb 0a anoSei^ovpe
to IlvOayopeio Оесорцра ott|v eiSiKq, yveootq popcpq yia Svo Siawopara. ZvyKeKpipeva, vnoOerovpe
on ((u,v))=0. Tore
||u + v||2 = (u + v, и + v) = (u, u) + 2(u, v) + (v, v) = (u, u) + (v, v) = ||u||2 + ||v||2
Kai etoi nqpape то anoreXeopa pag.
napaSeiypa 7.9.
(а) 'Еотсо Е={еье2,е3}={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} т| ovvq0iopevq pdoq tov EvKXeiSeiov x<bpov R3.
Eivai cpavepo oti
(e„ e2) = (e„e3) = (e2,e3) = 0 Kat (eb= (e2,e2) = (e3,e3) = 1
H E, SqXaSq, eivai pia op0OKavovucq Paoq tov R3. TeviKorepa, q ovvqGiopdvq paoq tov Rn
eivai op0OKavoviKT| yia ка0е n.
(P) 'Еотсо V=C[-n,n] о SiavuopaTiKog xcbpog ovvexcbv ovvaprqoecov ото Siaorqpa -n<t<n pe
eocorepiKO yivopevo nov opi^erai ano rqv ((f,g))= J* f(t)g(t)dt. Тбте, то параката) eivai eva
кХаоисб napaSeiypa evdg op0oycbviov ovvoXov orov V:
(1, cos t, cos 2t, cos 3/.sin t, sin 2t, sin It,...}
To opOoycbvio аото ovvoXo nai^ei OepeXicbSq pdXo ott| 0ecopia tcov oeipcbv Fourier.
OpOoycbvia Baoq koi TpappiKoi EvvSvaopoi, EvvreXeor^g Fourier
'Еотсо oti to S anoreXeirai and та e^f]q rpia Siavvopara otov R3:
u, =(1,2,1), u2 = (2,1,—4), u3 = (3, - 2,1)
О avayvcborqg pnopei va enaXq0evoei oti та Siavvopara eivai opOoycbvia, Kai apa eivai ypappiKa
ave^apTTjTa. Lvvencbg о S eivai pia opOoycbvia paoq tov R3.
YnoOerovpe oti OeXovpe va ypaipovpe to v=(7,1,9) cog ypappuco ovvSvaopd tcov ub u2, u3. Apxuca
Оётооре to v cog ypappuco ovvSvaopd tcov ub u2, u3 xpqaiponoicbvrag rovg ayvcborovq xb x2, x3 cog
o = x1u1 +x2u2+x3u3 f| (7, l,9)=x1(l,2, 1)+x2(2, 1, —4)+x3(3, —2, I) (*)
Mnopovpe va npoxcopqoovpe pe Svo rponovg.
M£0o5og 1: Avanrvooovpe rqv (*) (oncog ото KecpaXaio 3) yia va napovpe to ovorqpa
*! + 2x2 + 3x3 = 7, 2Xj +x2 - 2x3 = I, Xj-4x2+x3 = 7
Avvovpeto ovorqpa peanaXoupq Gaussyia vanapovpe X]=3, x2=-1, x3=2. Enopevcog
v=3uru2+2u3.
M£0o6o<; 2: (H рёОобод avrq xpqoiponoiei to yeyovdq on та Siavuopara Paoqg eivai opOoycbvia,
Kai q api0pqrucq eivai noXv anXovorepq.) Eav napovpe to eocorepuco yivopevo rov
ка0е peXovg rqg (♦) cog npog to up 0a e%ovpe
(V,Uj) = (х,и2+х2и2+х3и3. U,) f| (l), Ut) = X/lUj, Ut) TI x/=-rL^
1 1 (u.. u.\
EScb oi Svo opoi anaXeicpovrai, ка0сод та ub u2, u3 eivai opOoycbvia. Kara ovveneia,
{у,щ} _ 7 + 2 + 9 _ 18 = (v, u2) _ 14+ 1 - 36 -21
(U|,U|) 1+4+1 6 ’ X2-(u2,u2)-4 + 1 + 16_21_
= (v, u3) = 21 - 2 + 9 = 28
*3 {u3,u3) 9 + 4+1 “14
'Etoi, koi лаХц naipvovpe v=3uru2+2u3.
H SiaSucaaia лои aKoXou0q0qKe orq Мб0обо 2 aXqOevei yeviKa. EvyKeKpipeva, exovpe то акбХоиво
Oecbpqpa (то олою алобескубетас ото ПрбрХтща 7.17).
Oecbpqpa 7.7: 'Еотсо то {u!,u2,...,un} pia opOoycbvia Paoq тои V. Тбте, yia олоюбг|лоте vg V,
„=М. jMfiL ।
<«1.И|) 1 1 («..И.) "
naparqpqoq: О apiOpog к, - , 1 ovopa^erai сгиутеЛеспт/д Fourier тои v cog лрод то и „ кабсод
eivai avaXoyog лрод eva owreXeorr] отт| oeipa Fourier piag ovvaprqoqg. Ел1ог]д, о apiOpog аитбд exei
уесоретр1кт| eppqveia, г| олога Kai е^ета^ета! отт| ovvexeia.
Пророкёд
'Еотсо о V evag х“Р0<5 еосотерскои yivopevov. Уловётоире oti то w eivai eva 5e5opevo pq-pq6eviK6
Siawopa otov V Kai oti to v eivai eva aXXo Siawopa. Аитб лои ava^qroupe eivai r| “лророХг| тои v
ката pqKog тои w”, г| оло!а, олсод cpaiveTai ото ЕхЛМа 7-3(а), 0а eivai то лоХХалХаою cw тои w yia
то олою то v'=v-cw eivai opOoycbvio лрод то w. Аитб oqpaivei oti
ЕХПРО 7-3
Елорбусод, г) лроРоХт| тои v ката р^код тои w oupPoXi^erai ре proj(v,w) (лробрхетас алб тт| A6^q
“projection” лои oqpaivei лроРоХг|) Kai opi^erai алб rqv
•/ ч w)
ргоЛ».») = ™ = —
О api0pog с eivai povaSiKog кт ovopa^erai avvreAeanfc Fourier тои v cog npog то w т| avviOTcboa тои
v ката рлкод тои w.
Н лю navco ewota yeviKeverai cog e^i)g (рХёпе ПрбрХтща 7.25):
Оешрдца7.8: Уповётооре oti та wbw2,...wr oxnpaTi^ovv eva opOoycbvio ovvoXo pTi-pT]5eviKcbv
Siawoparcov otov V Kai oti to v eivai eva опою6т|поте Siavuopa otov V. Opi^ovpe,
eniorig,
v' = V — (Cj W| + c2w2 + ... + crwr)
блои
_ (V, W|) _ {v, w2) _ {v, wr)
C| “ (w,, W]) ’ C2~ (w2, w2) ’ Cr (wr, wr)
Тоте, то v' eivai opOoycbvio npog та w1;w2,.. .wr.
ZilpeicbveTai oti to каве с, ото napanavco Oecbp^pa eivai л ouvioTcboa (о owreXeorrig Fourier) тои v
ката цт]код tov SeSopevov w,.
Паратдрдод: H ewoia ттц; npoPoXr|g evog SiavvopaTog vg V ката рт|код evog vnoxcbpov W tov V
opi^erai cog e£qg: Ano to 0ecbpr|pa 7.4, V=W ф W1, кас ёто1 то v pnopei va eKcppaorei povaSuca ott|
popcpri
v=w+w', onov wg W Kai w'g w1
Opi^ovpe to w va eivai r| npopoXi) tov v ката рт|код tov W Kai to ovpPoXi^ovpe pe proj(v,W), oncog
cpaiverai ото ЕхЛРа 7-2(P). LvyKCKpipeva, eav W=span(W],w2,...,wr), onov та w1 о/Пpau^ovv eva
opOoycbvio ovvoXo, тоте
proj(l>, W) = C|W| + c2w2 + ... + crwr
EScb to c, eivai r| ovvioTcboa tov v ката рт|код tov w„ oncog Kai mo navco.
7.7. H Д1АД1КАЕ1А OP0OKANONIKOIIOIHEHE GRAM-SCHMIDT
Ag vnoGeoovpe otito {v„v2,..,,vn) eivai pia Раот) evog xcbpov eocorepucov yivopevov V. H Paor| avrr|
0a pnopovoe va xpr|oiponoir|0ei ano Kanoiov yia va KaTaoKevaorei pia opOoycbvia Раот) {w,,w2,... ,wn}
tov V, вётоутад:
wi = ui
(«2< wl>
w2 = v2 --------4^,
(Hj.W,) (V3,W2)
W3 = ”3 “ T2----T W1 ~ T2----w2
(w2,w2)
u. W2) _
(WpW!) ‘ (W2,W2}W2
4.ww-i)
(Wn_!, Wn_,)
Me aXXa Xoyia, yia k=2,3,...,n, opi^ovpe tt|v
«’* = «'*- QiH-i ~ C*2W2 - • • • -
опои to ck =((vk,wl))/((w1,wl)) eivai q ovviorcboa tov vk ката pqKot; тои wr Алб то ©есортща 7.8, то
каОе wk eivai opOoycbvio npoq та npoqyovpeva w. Enopdvcot; та w( ,w2,... ,wn oxqpaTiOovv pia opOoycbvia
Pacrq yia tov V, oncot; einape Kai лю navco. H KavoviKonoiqoq тои каве w, 0a oSqyqoei ae pia
opOoKavoviKq Paoq yia tov V.
H napanavco катаокеуг) eivai yvcoo-rq cot; цёОодод opOoKavoviKonoirjoriq Gram-Schmidt. loxvovv
та акоХооОа:
IlapaTqpqcrq 1: To каОе Siawopa wk eivai eva<; ypappiKOt; ovvSvaopdt; tov vk Kai tcov npoqyovpevcov
w. 'Etoi, pe enaycoyq, 0a pnopovoe Kanoiot; va Sei^ei oti to каОе wk eivai eva<; ypappiKOt; ovvSvaopdt;
tcov v1,v2,...vn.
IlapaTqpqcrq 2: Acpov q opOoycuviKOTqTa Sev enqpea^eTai eav napovpe та noXXanXaoia tcov
SiawopaTcov, pnopei va катаоте!mo anXo otovi; vnoXoyiopovt; xeipot; to va anaXeicpovpe та кХаората
ото каОе veo wk, noXXanXaoia^ovrat; то wk pe eva катаХХ-qXo api0pd, npiv npoxcopqoovpe ото enopevo
wk+l.
IlapaTqpqcrq 3: YnoOdwvpe oti та ubu2,.. .i^ eivai ypappiKa ave^aprqTa, Kai ёто1 oxq part^ow pia
Paoq yia tov L^spar^uJ. Ecpappd^ovTat; rq рёОоЗо opOoKavoviKonoiqoqt; Gram-Schmidt ота u,
oSqyovpaoTe oe pia opOoycbvia Paoq yia tov U.
To Oecbpqpa nov aKoXovOei (nov anoSeiKwerai ота ПрорХгщата 7.26 Kai 7.27) xpqotponoiei tov
aXyopiOpo Kai тк; napaTqpqoeu; nov eiSape mo navco.
©ecbpqpa 7.9:'Eotco to {V],v2,...,vn} pia onoiaSqnoTe Paoq evdt; x<bpov eocorepiKov yivopevov V.
Тбте, vnapxei pia opOoKavoviKq Paoq {u1,u2,...,un} tov V тётош сооте о nivaKat;
aXX.ayqt; Paoqt; and to {vJoto {ujva eivai TpiycoviKoi;, SqXaSq, yia k=l,...,n,
ak2v2 + •••+***”*
Oecbpqpa 7.10: Eav vnoOdoovpe oti q S={W],w2,...,wr} eivai pia opOoycbvia Paoq yia dva
vnoxcbpo W evot; SiawopariKOV xcopov V, тоте q S pnopei va епектаОе! oe pia
opOoycbvia Paoq yia tov V. Mnopovv, SqXaSq, va PpeOovv SiavvopaTa W],... ,wn
тётош сооте то {W],w2,...,wn} va eivai pia opOoycbvia Paoq yia tov V.
Парббесура 7.10. Ecpappooovpe rq рёОоЗо opOoKavoviKonoiqoqt; Gram-Schmidt yia va Ppovpe
pia opOoycbvia Paoq Kai orq ovvdxEia pia opOoKavoviKq Paoq yia tov vnoxcbpo U tov R4 nov napdyerai
and та
v, =(1,1,1,1), v2 = (1,2,4,5), u3 = (1,-3,-4,-2)
(1) ApxiKa Оётооре w^v^l,1,1,1).
(2) YnoXoyiOovpe to
t>2-. 2 = u2- —w, =(-2,-1,1,2)
(wi.Wi) 4
©ётоуре w2=(-2,- 1,1,2).
(3) YnoXoyiOovpe to
АлаХвссроирЕ та кХаората yia va яароирЕ w3=(-6,-17,-13,14).
ZvvEncbt; та wb w2, w3 opipaTi^ouv pia opOoyovia раот] yia tov U. KavoviKonoioupe
та SiavuopaTa аита yia va яароирЕ pia opOoKavovucr] Pctcrr| {ubu2,u3} tou U. Exovpe
llwdM, ||w2||2=10, ||w3||2=910, etoi
и, =1(1,1,1,1),
“3=^(16'-17’-13’14)
Ilapd&Eiypa 7.11. 'Еотсо V о SiavuopaTiKot; x®P°9 noXucovupcov f(t) p£ eocotepiko yivopEvo
<(f,g))=J . Есраррб^оирЕ tt] peOoSo op0oycovionoir|oT|<; gram-Schmidt ото {1, t2, t3} yia
va PpoupE pia opOoycbvia раот] {f0,fbf2,f3} yia tov P3(t).
EScb xpilaiHonoioupE to yeyovo; oti, yia r+s=n,
, ts\-f tndt - 1"+' I _12/(л + 1) 6’Tav T0 n ovai
' ’ ‘ J-1 л + 1|_, I ° orav T0 n &Уа1 nepivKx;
(1) ApxiKa 0£TovpE f0= 1.
(».l)
(2) YnoXoyi^oupe to t= (l)=t-O=t. ©ётоире f]=t.
(3) YnoXoy troupe to
ПоХХалХаокк^оире p£ to 3 yia va яароирЕ f2=3t2=l.
(4) YnoXoy troupe to
P _£Л(П - - (Л a? -1)
r (1,1)(1) (r,r)(0 (3r*-l, 3r2-l)pr 1}
= <3-0(1)-|(0-0(3»г-1) = «3-р
ПоХХалХаокк^оире p£ то 5 yia va яароирЕ f3=5t3-3t.
EvvEwix; to {1, t, 312-!, 5t3-3t} Eivai t] ^Toupsvr] opOoycbvia p<ior|.
Паратт)рт](Я]: H кауоУ1кояо(т|от| tcov noXucovupcov тои ПарабЕсурато; 7.11, etoi coote p(l)=l,
oSriyEi ота noXutbvupa
1, r, |(3? -1), 1(5?-30
Аита Eivai та теоовра ярсота яоХисоуира Legendre, та ояо!а Epcpavi^ovrai отт] peXettj tcov SiacpopiKtbv
E^IOCOOECOV.
7.8. ОРООГЛМ1О1 KAI OETIKA OPIEMENOI HINAKEE
H параурафод avvr| лрауратеоета! Svo -cvnovg mvaKcov 01 onoioi eivai otevo ovvSeSepevoi pe Tovg
npaypaciKovg xcbpovg eocoTepiKov yivopevov V. ЕЗсо та SiavvopaTa otov Rn 0a avanapiOTOvvTai pe
SiavvopaTa orqXqg. 'Etoi, to <(u,v))=utv ovpPoXi^ei to еосотерисо yivopevo otov EvKXeiSeio x<bpo
Rn.
OpOoycbvioi nivaKeg
'Evag npaypamog nivaKag P eivai opdoyd>vioq eav eivai pq-i8ia^cov Kai P’I=PT, q, pe aXXa Xoyia, eav
PPT=PTP=I Ag 0vpq0ovpe, opcog, лрсота, (©ecbpqpa 2.6) eva oqpavriKo xapaKrqpioTiKo tctoicov
mvaKcov.
©ecbpqpa 7.11: Eav о P eivai evag лрауратисбд nivaKag, тоте та акоХоиба eivai looSvvapa:
(а) О P eivai opGoycbviog. (P) Oi урарред tov P oxqpaTi^ovv eva opGoKavoviKO
ovvoXo. (y) Oi OTqXeg tov P oxqpaci^ovv eva opGoKavoviKO ovvoXo.
(To ©ecbpqpa ауто aXrjGevei povo otov xpqoiponoieiTai T0 <rvvq0iopevo еосотерисо yivopevo otov
Rn. Aev aXrjOevei otov otov Rn avaTiOeTai onoioSqnoTe dXXo еосотерисо yivopevo.)
IlapdSeiypa 7.12.
(a)
Г1/Л
Еотсо P = I 0
1.2/76
1/73 i/Тз]
1/72 1/72 .Oi урарред tov P eivai op0oycbvieg рета£6 Tovg Kai eivai
-1/76 -l/Тб J
povaSiaia SiavvopaTa. Evvencbg о P eivai evag op0oycbviog nivaKag.
(P) 'Еотсо о P evag 2x2 op0oycbviog nivaKag. Тоте, yia капою прауратисо api0po 0, 0a exovpe
[соав sin01 , р_Гсо80 sin01
-sin0 cosflj — [sin0 -cosflj
Ета Svo паракатсо 0есорг|рата (та onoia anoSeiKvvovrai ота ПрорХт|рата 7.37 Kai 7.38) 9aivovTai
Kanoieg oqpav-пкёд ороютт|тед рета^и tcov op0oycbvicov mvaKcov Kai tcov op0OKavoviKcbv pdoecov
evog npaypaTiKOv xcbpov eocoTepiKOv yivopevov V.
©ecbpqpa 7.12: Yno0eTovpe oti 01 E={e,} Kai E'={e',} eivai op0OKavoviKeg Paoeig tov V, Kai
еотсо P о nivaKag aXXayqg paoqg ano tt| Paoq E отт] Paoq E'. Тоте о P eivai
op0oycbviog.
©ecbpqpa 7.13: 'Еотсото {eb...,en} piaop0OKavoviKf| раот| evogxcbpov eomepiKovyivopevov
V, Kai еотсо о Р=[^] evag op0oycbviog nivaKag. Тоте та паракатсо n SiavvopaTa
oxqpaTi^ovv pia opOoycbvia pdoq yia tov V:
efl = auel+a2le2 + ... + anien, i=l,2....n
©ETiKd Opiopevoi nivaKeg
'Еотсо о A evag прауратскод ovppeTpiKog nivaKag, SqXaSq AT=A. Тоте о A KaXenai 0ет1ка opiopevog
eav, yia ка0е pq-pq8eviKO Siawopa v otov Rn,
(u,Au) = uTAu > 0
Kanoiovg aXyopi0povg nov апофао^оуу ката nooo evag nivaKag A eivai 0ет1ка opiopevog q 6x1, 0a
бойце арубтера, ото КесраХаю 12. Оотбоо, уш 2x2 лпсакед та Kpvcr|pia лои exovpe eivai лю алХа,
Kat та бштолсоуоуре толиса ото 0есорт|ра лои акоХоибе! (то олою алобеисуйетас ото ПрбрХг]ра
7.43).
©ecbpqpa 7.14: 'Evac; 2x2 лраурапкбд ovppeTpiKdg л{уакад А = = [б eivai
0ет1ка орюрёуод eav Kat povo eav oi Staycbvieg Karaxcopioeig a Kat d eivai
0ет1кёд Kai r| opiipvoa |A|=ad-bc=ad-b2 eivai 0етисг|.
Парйбевура 7.13. ©ecopovpe tovc; лю катсо сгирретрской; л(уакед:
'l = [’ ’} '“[-2 C=[-2 s]
О A 5ev eivai 0ет1ка орюрёуод, ка0сод т) |A|=4-9=-5 eivai арут|Т1кг|. О В ел1сл|д 5ev eivai 0ет1ка
орюрёуод, ка0сод т| 5iaycovia катахсбркл] -3 eivai apvT|TiKf|. О С, соотбоо, eivai 0ет1ка орюрёуод,
ка0сод oi 5iaycbvieg Karaxcopioeig 1 Kai 5 eivai 0ет1кёд Kai т| opiipvoa |C|=5-4=1 eivai ел!сл|д 0ет1кт].
loxvei то ларакатсо 0ecbpr|pa (лоо алобеисуиетас ото ПрбрХт|ра 7.44).
©есбрдра 7.15: Eav о A eivai ёуад лраурат1кбд, 0ет1ка optopevog л(уакад, тбте т| оууартт|ат|
(<u,v))=ugAv eivai ёуа еосотер1кб yivopevo otov Rn.
О Шуакад-Ауаларйотася] evdg Еосотержой Tivopdvov
To 0есорт)ра 7.15 рас; Хёе1 oti ка0е 0епка орюрёуод л1уакад A npooSiopi^ei ёуа еосотер1кб yivopevo
otov Rn. Н ололараурасрод avrf] рас; 5ivei то “avriorpocpo” tov yeyovoToq аитой.
'Еотсо о V ёуад лраурапкбд x®pog еосотерской упюрёуои pe Расп] S={ubu2,.. .,u„}. О л{уакад
А=[аи], блои ay^Upiij))
ovopa^erai nivaKa^-avanapaoraari tov eaoTspiKOv yivopevov otov V cog лрод тт| Paor] S.
Паратт|ройр€ oti о A eivai ovppeTpiKdg, ка0сбд то еосотерисб yivopevo eivai ovppeTpiKO, 5г|Ха5т]
((ul,uJ))=((uJ,ul)). ЕлисХёоу, о А е^артата! тбоо ало то еосотер1кб yivopevo otov V doo Kai ало тт|
Раот| S yia tov V. ТёХод, eav r| S eivai pia opOoycbvia Расп], тбте о A eivai 5iaycbviog, evco eav r| S eivai
pia opOoKavoviKi) Расл|, тбте о A eivai о таутопкод л!уакад.
Парйбевура 7.14. Та бшуйората Uj=( 1,1,0), и2=(1,2,3), и3=( 1,3,5) oxnpaTi^ovv pia Раот] S yia
tov EvKXei5eio X®P° R3- Na Ppevre tov лисака А лоо ауаларюта то еосотер1кб yivopevo otov R3 cog
лрод тт| Paai] S.
KaTapxqv улоХоуИруре то ка0е ((u„Uj)) yia va лароире та
(и1.и1) = 1 + 1+0 = 2. (ult u2) = 1 + 2+ 0 = 3, (upUj) = 1+3+0 = 4
(u2,u2) = 1+4 + 9= 14, (u2,u3) = 1 +6+ 15 = 22. (u3, u3) = 1 + 9 + 25 = 35
Г2 3 41
Apa A = 3 14 22 .'Олсод лерсрёуаре, о A eivai ovppeTpiKdg.
[4 22 35 J
loxvovv та aKdXov0a 0e co pi) рата (лоу anoSeiKvuovrai ота ПроРХт]рата 7.45 Kai 7.45 avrioroixa).
©есордра 7.16: 'Еотсо А о л!уакад-ауалараотасл| evog еосотерской yivop6vov cog лрод тт| Расл|
S yia tov V. Tote, yia оло1абт|лоте SiavuopaTa u,vg V, ёхоире
(u, v) = [и]гЯ[и]
блои та [u] Kai [v] оирРоЩоиу та SiavuopaTa ouvTSTaypevcov (отт|кт|д) cog
лрод п] pdcn] S.
0есбрт|ра 7.17: Eav о A sivai о л[уакад-ауалараотаот] олоюи6т|лоте socoispiKOv yivopevou
otov V, tote о A Eivai 0етиса opiopevog.
У
7.9. М1ГАД1КО1 XftPOI EEftTEPIKOY TINOMENOY
H лараурасрод аитт) s^stc^si SiavuopaTiKOug X“POU^ navco ото piyaSiKo лебю С. Ag 0ирт)0оире opcog
лрсота калосед iSiovqTsg tcov piyaSiKcbv api0pcbv (Параурасрод 1.7), Kai i3iaiT£pa Tig охёоец рета^и
svog piyaSiKoi) apiOpov z=a+bi, блои a,be R, Kai too piyaSiKOU ou^uyoug too z =a-bi:
zz = a2 + b2, |z| = >/a2 + &, Zj + z2=z[ + z$ zxz2 = zxz2, z = z
EaucXsov, о z Eivai лрауратисбд Eav Kai povo eav z =z-
Ioxvei о ларакатсо орюрбд
Орюрбд: 'Еотсо о V evag SiavuopaTiKog Х“Р0<^ 7tavco orov С Kai еотсо oti ото ка0е ^suyog
SiawopaTcov u,vg V avaTiOsTai evag piyaSiKdg apiOpog, лои оирРоЩетас ps <(u,v)).
H ouvapvqoT) аитт) ovopa^sTai (piyaSiKo) еааперисд yivopevo otov V Eav 1кауоло1£1
та ларакатсо аспирата:
[I/] (Граррист) 1б1бтпта) «а^+ЬД v))=a«u1,v))+b«u2,v))
[I2‘] (MiyaSiiai LuppsrpiKT] I5i6rqTa) <(u,v))=(u,v)
[I3*] (0etik6 Оршрёут] I6i6rr]Ta) ((u,u))>0, evcb (<u,u))=0 sav Kai povo sav u=0.
О SiavuopaTiKog xcbpog V лаусо orov C p£ eocoTspiKO yivopevo ovopa^erai (piyaSiKdg) xcbpog cvampiKov
yivopevov. ПаратлроирЕ oti eva piyaSiKo eocotepiko yivopevo Siacpepei ало eva лрауратисб povo ото
беитеро a^icopa [I2‘], To a^icopa [l/] (Граррист) I6i6vr)Ta) sivai looSuvapo ps Tig s^f|g Suo ouvOr|K6g:
(a) (M1 + u2, v) = (ub v) + {u2, v), (P) (ku, v) = k{u, v)
Алб n]v аХХт), scpappo^ovrag та [l/] Kai [I2‘] ла1руоирв
(и, kv) = {kv, u) = k{v, u) = k^) = k{u, v)
Прелец 5т)Ха5т|, va ла1руоире то ou^uyii evog piyaSiKOU apiOpou OTav аитбд Pyaivei e^co алб n]
беитерт) 0ёсп] evog piyaSiKOU еосотерисои yivopevou. £n]v лраурат1кб-п]та (ПрорХдра 7.47), то
еосотерисб yivopevo eivai ou^uysg ypappuco отт) беитерт) 0ёот), бт)Хабт|
{и, av, + bv2) = а{и, v,) + b{u, v2)
Euv6ua£ovTag п] ураррисб-п]та on]v лрсотт| 0еот) ре п] ои^иут) ураррисб-п]та ап] беитерт) 0еот|,
ла1руоире, ре елаусоут),
La/“i. Lbjvjj = L»j)
0a лрвлЕс va 5o0ei лроооуг| ота акбХоо0а.
Паратт]рт](Я] 1: То a^icopa [l/] ало povo too ovvEnayErai oti ((0,0))=((0v,0))=0«v,0))=0.
2л)рлЕраорат1ка, та [I,*], [I2‘] Kai [I3*] Eivai looSvvapa p£ та [I,*] [I2‘] Kai то акбХоо0о a^icopa:
[I3*'] Eav u*0, tote (<u,u))>0.
Me aXXa Xoyia, pia <тиуартт|ст] лоо iKavonoisi та [I,], [I2‘] Kai [I3*'] Eivai Eva (piyaSiKo) eocotepiko
yivopEvo otov V.
Паратт]рт](Я] 2: Алб то [I2‘], ((u,u))=(w,w), apa to <(u,u)) лрвлЕ1 va Eivai лраурапкб. Eveb ало то
[I3*J, то лрЕЛЕ1 va Eivai pr|-apvr)TiKd, Kai apa Sev vnapyEi Л 0etikt|, лрауратиа] т£траусоУ1кг|
too pi£a. 'Олсод Kai orovg лрауратисобд ycbpovg eocotepikov yivopEvov, opi^oopE to ||u||= va
Eivai T) voppa f| to pf|Kog too u.
Паратт]рт](Я] 3: Ектбд ало тт) voppa, opi^oopE Ел(от]д tk; swoiEg тт)д ор0оусоУ1кбтг)тад, too
op0oy<bvioo оорлХг)ршратод Kai tcov op0oy<bvicov Kai op0OKavoviK<bv ovvoXcov блсод nporjyovpEvcog.
Ztt)v лраурат1кдтт)та, oi opiopoi тт)д алдотаот]д, too ovvteXeott] Fourier Kai tcov npoPoXcbv Eivai
акрфсЬд oi ISioi p£ avrovg ттрд лрауратиспд леригтсоо^д.
ПарйЙЕсура 7.15. (О MtyaStKog ЕокХе15ею<; Xcbpog Сп). 'Еотсо V=Cn Kai еотсо та u=(Zj) кас
v=(w,) Siavvopara otov Cn. Tote to
(u, v) = = Z1W7 + z2H^ + . . . +z„HT
Eivai sva eocotepiko yivopEvo otov V Kai ovopa^Erai oovr)0iopEvo r| oravrap eocotepiko yivopEvo
otov Cn. О 6e V, p£ аотд to eocotepiko yivopEvo, koXeitoi MiyaSiKdg EoKXciSEiog Xcbpog. Zto E^f|g 0a
0ЕсоробрЕ аотд to eocotepiko yivopEvo otov Cn, Ектбд Eav Sr)Xco0Ei f| ило5г)Хсо0Е1 кап aXXo.
Yno0ETOvrag oti та и Kai v Eivai Siavvopara отт|Хг)д, то лю navco eocotepiko yivopEvo pnopEi va
opioTEi алб tt)v
(u, v) = UTV
блоо, блсод Kai orovg nivaKEg, to v ovp0oXi^Ei to ov^vyf) rov kcc0e otoi/eiov tov v. Eav та и Kai v
Eivai лраурапка, 0a EyovpE wt =wt. Ztt)v лЕригтсоот] avrr|, to eocotepiko yivopEvo avayErai ото
avaXoyo eocotepiko yivopEvo otov Rn.
ПараЙЕгура 7.16.
(a) Eav о V Eivai о SiawopariKdg ycbpog piyaSiKcbv ovvEycbv ovvaprrioEcov ото (лраурапкб)
5iaoTT|pa a<t<b, tote to ларакатсо Eivai to ovvr|0iop£vo eocotepiko yivopEvo otov V:
(/.«) = £/(г)М5л
(P) Eav о U eivai о SiawopariKoc; xcbpoq mxn mvaKcov navco otov C Kai xa A=(z) Kai B=(w,j)
eivai oroixeia too U, tote to ларакатсо sivai to ovvr)0iopevo eocotepiko yivopevo otov U:
(Л, B) = tr(5"X) = E E wyzy
1-0-1
Qg ovvi)0co<;, gH =вт, SrjXaSi] о BH sivai о ои£иут|д avaorpocpoc; тоо В.
AKoXov0ei тсора pia Xiora 0ecopr]pdrcov yia piyaSiKOvc; xcopovc; eocorepiKov yivopevov, та onoia
sivai avaXoya лрос; та EKsiva тт)<; npaypawcqc; nepintcooi]<;. EScb evac; EppiTiavoq nivaKac; A (evac;
nivaKac; onov j" = Jr = A) wai^eitov iSio poXo nov nai^eiKai evac; ovpperpiKdc;nivaKac; A (evaq
nivaKac; onov AT=A) ott|v праураикр nepinrcooi]. (To ©есортща 7.18 anoSevcwerai ото ПрбрХрра
7.50.)
Oecbprjpa 7.18: (Cauchy-Schwarz) Eav о V sivai svac; piyaSiKdc; xebpoc; eocorepiKov yivopevov, TOTS |(u,v)|<MHv||
OscbpTjpa 7.19: Eav о W sivai evac; vnoxcbpoc; evoc; piyaSiKov xcbpov eocorepiKov yivopevov V, тбте V=W® w1.
OscbpTjpa 7.20: YnoOerovpe oti to {u1,u2,...,un} eivai pia pdor] yia eva piyaSiKO xcbpo eocorepiKov yivopevov V. Тбте, yia опоюбрпоте ve V, («„«,) ' T (U2.ih> 1 («..«.I
Oecbpqpa 7.21: YnoOerovpe oti to {U|,u2,...,un} eivai pia pdor] yia eva piyaSiKO xcbpo eocorepiKov yivopevov V, Kai еотсо A=[a,j] о piyaSiKdc; nivaKac; nov opi^erai ano tt|v a—^Upiij)). Тбте, yia onoiaSf|nore u,ve V, («, v) = [и]ГЛ[Ц] onov та [u] Kai [v] eivai та SiavvopaTa owreraypevcov атт|Хт]<; on] SeSopevr] Paor] {u,}. (Паратт]рг]от|: Лере oti avroc; о nivaKac; A avanapiora to eocorepiKO yivopevo otov V.)
Oecbprjpa 7.22: 'Еотсо о A evac; EppinavoqnivaKac; (SpXaSr], j" =AT = А) тётоюс; сооте о X т АХ va e^vai лрауратскбс; Kai 0ет1кб<; yia ка0е pr]-pr]SeviKd Siawopa Хе Cn. Тбте то <(u,v))=Mr Av eivai eva eocorepiKO yivopevo otov Cn.
Оесорцра 7.23: 'Еотсо A о nivaKac; nov avanapiora eva eocorepiKO yivopevo otov V. Tore о A eivai Eppinavdc;, Kai о XTAX eivai праурапкбс; Kai 0ет1кб<; yia опою8г]поте pi]-pT]5eviKd Siawopa otov Cn.
7.10. NOPMAPIEMENOI AIANYSMATIKOI XflPOI (ПРОА1РЕТ1КО)
Ac; ^eKivrjoovpe pe sva opiopo.
Орюцдд: 'Еотсо V evac; праурапкбс; r] piyaSiKdc; SiawopariKoc; xebpoc;. Eav vno0eoovpe oti oe
ка9е ve V avari9Erai evag npayparucog api9pog лои оирРоЩета1 це ||v||, tote aurq т|
ovvaprqoq 11-|| ovopa^ETai voppa otov V eav iKavonoiei та акбХоъОа a^icbpara:
[N1] ||v||>0, evcb ||v||=0 eav Kai povo eav v=0.
[N2] ||kv||=|k| ||v||.
[N3] ||u+v||<||u||+||v||.
'Evag SiavuopaTiKog xcbpog V pe voppa KaXeirai voppapiopevog SiawopariKog xwpog.
Ag илоОЁооирЕ oti о V eivai evag voppapiopevog SiavuopaTiKog xcbpog- Тбте, т| anooraoq рета^и
Svo SiavuopaTCOv u Kai v otov V oupPoXi^Erai pe d(u,v) Kai opi^erai ало rqv
d(u, v) = ||u - t>||
To Oecbpqpa лои акоХоиОе! (то олою anoSeucvuerai ото npdpXqpa 7.56) eivai о Kvpiog Xoyog yia tov
олою q d(u,v) KaXevrai алботаот] рета^и tcov u koi v.
Oecbpqpa 7.24: Eav о V eivai evag voppapiopevog SiavuopaTiKog xcbpog, тбте q ovvaprqoq
d(u,v)=||u-v|| iKavonoiei та rpia паракатсо a^icbpara evog ретрисои xcbpov:
[MJ d(u,v)>0, evcb d(u,v)=0 eav Kai povo eav u=v.
[M2] d(u,v)=d(v,u).
[M3] d(u,v)<d(u,w)+d(w,v).
Noppapiop£voi AiawopaTiKoi Xcbpoi Kai Xcbpoi EocorepiKou Fivopfvov
YnoOeTovpe oti о V eivai evag xcbpog еосотержоб yivopevov. Ynev9vpi£erai oti q voppa evog
SiavvopaTog v otov V opi^erai and Tqv
IM = J(v, v)
Mnopei va anoSeixrei (Oecbpqpa 7.2) oti q voppa aurq Sev iKavonoiei та [NJ, [N2] Kai [N3]. 'Etoi,
ка9е xcbpog eocorepiKOV yivopevov V eivai evag voppapiopevog Siavuoparucog xcbpog. Ano Tqv aXXq,
eivai Suvorov va unapxouv voppeg oe eva SiavuopariKo xcbpo V oi onoieg va pqv npoepxovrai ano eva
еосотерисб yivopevo otov V, oncog 9a Sovpe паракатсо.
Ndppeg eroug Rn Kai Cn
Oi паракатсо oxeoeig opi^ovv Tpeig oqpavriKeg voppeg OTOvg Rn Kai Cn:
llfai...aJHoo = max(|a,|)
||(ai,....a„)||| = |a|| + |a2| + ... + |a„|
H(ai....a„)lh = yiejp + lajp + .-. + laJ2
(Zqpeicbverai oti oi беистед °°, 1 Kai 2 ота прсота peXq tcov nio navco oxdoecov xpqoiponoiovvrai yia to
Siaxcopiopo tcov Tpicbv voppcbv.) Oi voppeg Ц-Ц.,, ||-||} Kai ||-||2 ovopa^ovrai avrioroixa voppa aneipov,
voppa-eva Kai voppa-dvo. napavqpoupe oti q ||-||2 eivai q voppa otov Rn (avrioroixa, orov Cn) rqv
onoia enicpepei to ouvqGiopevo еосотерисб yivopevo orov Rn (avrioroixa, orov Cn). Zro e^qg 9a
оирРоЩоире pe d„, db d2 rig avrioroixeg ouvaprqoeig anooraoecov.
napaSeiypa 7.17. ©ecopoupe та Siavuopara u=(l,-5,3) Kai v=(4,2,-3) orov R3.
(a) H voppa aneipov eniXeyei хт) рёуюхт) xcov anoXvxcov xipebv xcov ovviaxcoocbv. 'Exoi,
||«||0O = 5 Kai IM® = 4
(P) H voppa-eva npooGexei xi<; anoXvxe^ xip£<; xcov ovvioxcoocbv. 'Exoi,
llulh = l+5+3=9 Kai IMi = 4 + 2 + 3 = 9
(у) H voppa-5vo loovxai pe xrjv xexpaycoviKf| pi£a xov aGpoiopaxoc; xcov xexpaycbvcov xcov
ovviaxcoocbv (eivai, 5т]Ха5г|, q voppa xr|v onoia enicpepei xo ovvi]0iopevo eocoxepiKO yivopevo
oxov R3.) 'Exoi,
ll«||2 = VI + 25 + 9 = 735 Kai llflh = 716 + 4 + 9 = 729
(5) Ecpooov u-v=(l-4, -5-2, 3+3)=(-3,-7,6), exovpe
d„(u, 0 = 7, dt(u. 0 = 3 + 7 + 6= 16, d2(u, 0 = 79 + 49 + 36 = 794
Парббегура 7.18. ©ecopovpe xo Kapxeoiavo neSio R2 nov cpaivexai oxo £хПМа 7-4.
(a) 'Eoxco Dj xo ovvoXo xcov cnipeicov u=(x,y) oxo R2 yia xo onoio ||u||2=l. Toxe, xo D1 anoxeXeixai
ano xa oqpeia (x,y) yia xa onoia ||u||22=x2+y2=l. Evvencbc; xo Dj eivai о povaSiaioc; kvkXoc;,
6nco<; cpaivexai oxo ЕхЛМа 7-4.
(P) 'Eoxco D2 xo ovvoXo xcov cnipeicov u=(x,y) oxo R2 yia xo onoio ||u||]=l. Toxe, xo D1
anoxeXeixai ano xa oqpeia (x,y) yia xa onoia | |u|| (=|х|-ь|у|= 1. Evvencb<; xo D2 eivai xo xexpanXevpo
evxo<; xov povaSiaiov kvkXov, 6nco<; cpaivexai oxo S%r|pa 7-4.
(y) 'Eoxco D3 xo ovvoXo xcov oqpeicov u=(x,y) oxo R2 yia xo onoio ||u||ee= 1. Toxe, xo D3 anoxeXeixai
ano xa oqpeia (x,y) yia xa onoia ||u||ee=max(|x|,|y|)=l. Evvencb^ xo D3 eivai xo xexpaycovo nov
nepiPaXXei xov povaSiaio kvkXo, 6nco<; cpaivexai oxo Sxnpa 7-4.
ЕХПМа 7-4
N6ppeg otov C[a,b]
©ecopovpe xo SiawopaxiKo xcbpo V=C[a,b] npaypaxiKcbv ovvexcbv ovvapxfjoecov oxo 5iaon]pa a<t<b.
YnEvGvpi^ETai oti to ларакатсо opi^ei eva eocotepiko yivopevo otov V:
(f.g) = j7(Og(O<*
Ката ovvenEia, то ларалаусо eocotepiko yivopevo opi^Ei tt|v ак61оо0т] voppa otov V=C[a,b] (r| олоса
sivai avaXoyri лрос; п] voppa ||-||2 otov Rn):
dt
evco та ларакатсо opi^ovv тк; aXXeg voppsg otov V=C[a,b]:
ll/lli = £ 1/(01 dt Kai Н/U = max(|/(0l)
Tia tic; Svo avTEg voppsg кабсод Kai yia tic; avrioTOixeg ovvapTfjOEig алоотаоЕсоу tovc;, vnapxovv
yscopETpiKEc; лЕргурасрвд oi олоюд лер1ура<роута1 лю катсо.
Н лрсотг] voppa алЕ1коу1^£та1 ото ЕхПМа 7-5. EScb
||f]|] = т) лврюхп ретафо тт]<; ovvapTr|OT)<; |f] Kai tov d£ova t-axis
d|(f,g) = n лврюхп petc^v tcov ovvapTTjoEcov f Kai g
H voppa avTT| Eivai avaXoyn лрод th voppa ||-||| otov Rn.
H SsvTEpr] voppa anEiKOvi^ETai ото ЕхПРа 7-6. EScb
||f]|„ = т] рвуютт] алботаот] рвта^о тт|д f Kai tov a^ova t-axis
d«(f,g) = Л p£yioTT| алботасл] pETa^v tcov f Kai g
(fi) dJJ, 8)
(a) II/II.
AYMENA ПРОВЛНМАТА
ЕЕПТЕР1КА TINOMENA
7.1. Na avanrv^ETE та E^qg:
(a) (5ui + 8m2, 6vj - 7v2),
(fi) (3м + 5v, 4м — 6v),
(у) ||2m — 3v||2
Xpqoi|ionoio6|i£ rq ура|1|ик6тт|та Kai ©Tig 5vo 0Eosig (цорсрёд) Kai, onou Eivai ni0avo, rq
ovpiiETpia, <<u,v))=«v,u)).
(a) naipvovgE ста арютЕра то Еосотерисб yivopevo tov ка0Е opov, цетасрёроутад tov
ка0Е opo ота Se^ia:
(5uj + 8u2, 6t>j - 7t>2) = (5u,, 6t>j) + (5ub -7t>2) + (8u2,6u,) + (8u2, -7^)
= 30(ub t>j) - 35(ult t>2) + 48(u2, t>j) - 56(m2, p2)
[naparqpqoq: Прооё^те rqv opoiOTqTa цета^б tov napanavco ауалтбуцатод Kai tov
avanrvypaTog (5a-8b)(6c-7d) orqv KOivq aXyePpa.]
;3u + 5t>, 4u-6t>) = 12(u,u)-18(u,t>)+20(t>,u)-20(t>,t>)
= 12(u, u) + 2(u, v) - 30(0, v)
(y) ||2u - 3v||2 = (2u - 3t>, 2u - 3v> = 4(u, u) - 6(u, t>) - 6{v, u) + 9{v, t>)
= 4||u||2 - 12(u, v) + 9||v||2
7.2. ©EcopEioTE та SiavuopaTa u=(l,2,5), v=(2,-3,5), w=(4,2,-3) otov R3. Na Ppeite та E^qg:
(a) u-v, (P) u-w, (y) vw, (5) (u+v)-w, (e) ||u||, (от) ||v||.
(a) noXXanXaoia^ovpE рета^б xovg ug avTioToiyeg ovvioicboeg Kai проо0ётоорв yia va
napovpE u-v=2-6+20=16.
(P) и • W = 4 + 4 - 12 = -4.
(у) V w = 8 -6- 15 = -13.
(5) BpioKOvpE лрсота то u+v=(3,-l,9). Tote (u+v)-w= 12-2-27=-17. EvaXXaKTiKa,
XpqcilMMtoicbvTag to [IJ, (u+v)-w=u-w+v w=-4-13=-17.
(e) BpiaKOvpE лрсота то ||u||2 vycbvovTag Tig ovviorcbosq tov u Kai лроо0£тоутад:
||u||2 = I2 + 22 + 42 = 1 + 4 + 16 = 21, Kai etoi ||u|| = 721
(от) ||1>ц2 = 4 + 9 + 25 = 38, Kai etoi ||t>|| = 738.
7.3. Na EnaXq0£VOETE q o%Eoq nov aKoXov0Ei opi^Ei Eva eocotepiko yivopEVO orov R2:
(u, t>) = — Х1У2 — xj)>i + Зх2У2, onov и = (xb x2), t> = (yj,уг)
0a то ano5Ei^ov|iE цеосо nivaKcov. MnopovpE va EKcppaaovgE to <(u,v)) це nivaKEg cog E^qg:
(«.«)=л»=[х1.х,)[_; j][*]
Acpov о A eivai лрауратисбд Kai ovppeTpiKog, арке! алХа va anoSei^ovpe oti eivai Kai 0ет1ка
opiopevog. Та Siaycbvia OTOi%eia 1 Kai 3 eivai 0ет1ка, Kai r| opi^ovoa ||A||=3-1=2 eivai 0етисг|.
Zvvencbg, ало то ©есортща 7.14, о A eivai 0ет1ка opiopevog, Kai етоц ало то 0есорг|ра 7.15,
то <(u,v)) eivai еосотерисб yivopevo.
7.4. ©ecopeioTe та SiavvopaTa u=( 1,5) Kai v=(3,4) otov R2. Na Ppene:
(a) To <(u,v)) cog лрод то ovvT)0iopevo еосотерисб yivopevo otov R2.
(P) To <(u,v)) cog лрод то еосотерисб yivopevo otov R2 too ПрорХт|ратод 7.3.
(у) To ||v|| xpr|oiponoicbvTag то ovvT)0iopevo еосотерисб yivopevo otov R2.
(5) To ||v|| xprioiponoicbvrag то еосотерисб yivopevo otov R2 той лрорХдратод 7.3.
(a) (u, 0 = 3 + 20 = 23.
(ff) (u, 0 = 1- 3 — 1-4 — 5-3 + 3- 5- 4 = 3—4—15+60 = 44.
(у) IMI2 = {v, v} = ((3.4), (3,4)) = 9 + 16 = 25, apa |p||=5.
(J) IMI2 = (V,0 = ((3,4),(3,4)) =9- 12 - 12+48 = 33, apa IMI = 7з5.
7.5. ©ecopeioTe та ларакатсо noXvcbwpa otov P(t) pe еосотерисб yivopevo
о
f(t) = t + 2, g(t) = 3t — 2, Л(0 = ?-2г-3
(a) Na Ррепе та <<f,g>> Kai <(f,h)).
(p) NappeiTeTa||fl|Kai||g||.
(y) Na KavoviKonoiT|oeTe та f Kai g.
(a) OXoKXripcbvovpe cog e£,f|g:
<Z. g> = jQ(' + 2ХЗГ - 2) dt = J°(3p + 4/ - 4) Л = (p + 2? - 4r) |1 = -1
(P) (/./) = Jo‘0 + 2ХГ + 2) dt = V; apa ||/|| = ft = 1757
fc. g\ = £ (3r - 2X3r - 2) = 1; apa ||g|| = 71 = 1
(y) Ecpooov ||f||= 1/3 yfsi Kai to g eivai T|Sr| eva povaSiaio Siawopa, e%ovpe
? = СТ/ = ^7('+2) Kal « = » = 3'-2
7.6. Na PpeiTe to cos 0 блои r| 0 eivai r| ycovia рета^и:
(a) tcov u=(l,3,-5,4) Kai v=(2,-43,4,l) otov R4,
(P) tcov^ = [’ ® ^Kai5=^ 2 onov <(A,B))=tr(BTA).
Na xpT|oiponoir|O£T£ vr|v cos 0= ||u||||v|| •
(a) Ynokoyi^ovpe та:
EOTCT(i>? 00,0 = -^= = ^
(P) Xpr|oiponoiovp£ tt|v ((A,B))=tr(BTA)= sx,a(/„ , TO aGpoiopa tcov yivopEvcov
tcov avTiaTOi/cov KaTa/copiaecov.
(A,B) =9+16 + 21 +24 + 25 + 24= 119
Ztt| ovvExeia xpr|<nponoiovp£ tt|v ||A||2=«A,A))= , to aGpoiopa tcov
TETpaycbvcov oXcov tcov otoixeicov tov A.
Mil2 = (A,A) = 92 + 82 + 72 + 62 + 52 + 42 = 271, Kat ETOI MH = V271
||B||2 = (В, B) = I2 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 91, Kal ETOI ||B|| = >/9T
Enopcvco; cos 0 =
7.7.
Na £яаХг|0Еоа£Т£ то Ka0£va ало та акоХоиба:
(а) То Nopo тои ПараХЛл]Хоураррои: (ЕхПНа 7-7): ||u+v||2+||u-v||2=2||u||2+2||v||2.
(Р) Tr|v поАлкт) рорсрт) yia то ((u,v)) (т) onoia Seixvei oti to eocotepiko yivopevo pnopei va
Xr|(p0£i ano tt| ovvapTT|OT] voppa;):
(u.v) =i(l|u + v|l2 - llu-v||2).
AvanrvaaovpE cog e£t|; yia va napovps:
||u + o||2 = (u + v, и + о) = ||и||2 + 2(u, t>) + M2
||u - p||2 = (u - v, и - v) = ||u||2 - 2(u, v) + |H2
Проо0£тоир£ тц (1) Kai (2) yia va о5г|ут|0оир£ otov Kavova тои ПараААг|Хоурарроу
(a). 'EnsiTa acpaipovps ano tt|v (1) tt| (2) yia va napovps
||u + v||2-||u-v||2=4(u, v)
TcXoq, ScacpoupE це to 4 yia va лароирЕ tt|v (лрауратскл) лоХскт| pop<pf| (P).
7.8. Na anoSfii^ETE to 0£(bpr|pa 7.1 (Cauchy-Schwarz): Па та u Kat v oe eva лрауратскб xcbpo
EOCOTEpcKOU yCVOpEVOU V,
(u.u)2 < (u,u)(v, v) f| Ku, f)l < MM-
Па олоюЗг|лот£ лрауратскб apiOpo t,
(tu + v, tu + v) = ?(u, u) + 2t(u, v) 4- (o, v) = Г2||u||2 + 2t(u, v) + ||v|f2
'Еотсо a=||u||2, b=2«u,v)), c=||v||2. КабсЬд ||tu+v||2>0, ExoupE
at1 + bt + c > 0
yia олосабт|лот£ тсрт) tou t. Auto orjpacvEc oti to тЕтрауамкб noXucbvupo 5ev рлорсс va exei
5uo лрауратскЁд pti^eq, кате лои оиуЕлауЕтас oti b2-4ac<0 r), looSuvapa, b2<4ac. Ката ouvEKEta
4(u, v)2 < 4||u||2||v||2
H 5ta(p£OT) |i£ то 4 paq 5cvec то Елс0ирг|т6 алотЁХЕора.
7.9. Na алобЕ^ЕТЕ то 0£(bpr|pa 7.2: Н voppa ae eva xcbpo ЕосотЕрскои ycvopEvou V скоуолосес та
ФК
(a) [NJ ||v||>0, Evcb ||v||=0 eav кас povo eav v=0.
(P) [NJ ИМ = |*IM.
(Y) [N3]||u + v||<||u|| + IM.
(a) Eav v*0, tote((v,v))>0 кас apa ||v||= J(y, v) >0. Алб tt|v aUi], Eav v=0, tote((0,0))=0.
ZuvEncbq ||0||= Vo =0, кас ётас то [NJ aXi]0£U£c.
(P) 'ExoupE ||kv||2=((kv,v))=k2((v,v))=k2||v||2. nacpvovraq tt|v TETpaycovuo) pc^a кас tcov 5uo
PeXcov, о5с]уоираат£ ото [N2]-
(y) Хрт)асролосоир£ tt|v аусабтт|та Cauchy-Schwarz уса va о5т)ут|0оир£ qtt|v
Hu + vH2 = <“ + ”. U 4- v) = (u, u) + (u, v) 4- (u, v) 4- (v, v)
< Hull2 + 2||u||||v|| + IM2 = (||uH + ||t>H)2
naipvovraq tt|v тЕтраусоуиа) pc^a кас tcov 5uo peXcov, о51]уоираатЕ ото [N3].
OP0OFQNIKOTHTA, OP0OKANONIKA LYMIIAHPQMATA, OP0OFQNIA LYNOAA
7.10. Na Рресте то k Ётас coote та u=(l,2,k,3) кас v=(3,k,7,-5) otov R4 va Ecvac opOoycbvca.
Врсокооре лрсота то
(u,v) = (l,2,k, 3)(3,Jt,7, -5) = 3 + 2*+ 7*-15 = 9*- 12
'Елена Оётооре то ((u,v))=9k-12=0 yia va ларооре k=4/3.
7.11. 'Еотсо W т| ол6отаот| too R5 лоо ларауетас ало та u=(l,2,3,-l,2) кас v=(2,4,7,2,-l). Na Рресте -
pea Раот| too opOoycbvcoo оорлХтщсЬратод w1 too W.
Ava£r|TOope 6Xa та бсаубората w=(x,y,z,s,t) уса та олоса
(w, u) = x + 2y + 3z - s + 2t = 0
(w, v) = 2x + 4y + 7z + 2s - Г = 0
АлаХеёфОУтад то x ало тт| бебтерт] е^сосоот], Ррсокооре то сооббуаро оиоттща
X + 2у + 3z - s + 2t = О
z + 4j —5г = 0
Ос eXeoOepeg eivac та у, s кас t, олоте :
(1) ©ётооре у=-1, s=0, t=0 уса va ларооре тт| Хоот| Wj =(2,-1,0,0,0).
(2) ©ётооре у=0, s=l, t=0 уса va ларооре тт| Хоот| w2=(13,0,-4,l,0).
(3) ©ётооре у=0, s=0, t=l уса va ларооре тт| Хоот| w3=(-17,0,5,0,1).
То ouvoXo {W],w2,w3} eivac pia Раот| too w1 .
7.12. Eav то w=(l,2,3,l) eivac eva 6cavoopa otov R4, va Рресте pia opOoycbvca Раот| уса to w1 •
BpioKOope pia рт|-рт|беускт| Хоот| тт|д x+2y+3z+t=0, уса ларабесура то V]=(0,0,1 ,-3). 'Елеста
Ррсокооре pia рт]-рт]беускг| Хоот| тоо ооотт| ратод
х + 2у + 3z +1 = 0, z —Зг = О
уса ларабесура то v2=(0,-5,3,l). ТёХод, Ррсокооре pia рт]-рт]беускг| Хоот| тоо оооттщатод
X + 2у + 3z +1 = 0, -5> + 3z + c = 0, z — 3t = 0
уса ларабесура то v3=(-14,2,3,1). 'Етос, та V], v2, v3 ©хпратсфоу pia opOoycbvca Раот| уса то
w1 •
7.13. 'Еотсо отс то S алотеХестас ало та ларакатсо бсаубората otov R4:
и, = (1,1,0,-1), u2 = (1,2,1,3), и3 =(1,1,-9,2), и4 = (16, -13,1, 3)
(a) Na берете отс то S eivac opOoycbvco кас eivac pia Раот| too R4.
(P) Na Рресте ng ооутетаурёуед evog аоОасретоо 6cavdopaTog v=(a,b,c,d) otov R4 cog
лрод тт| PaoT| S.
(а) УлоХоус^ооре та
u, u2 = 1 + 2 + 0-3 =0, u,-uj = l + 1+0 -2 = 0, u,u4 = 16-13 + 0-3 = 0'
u2 • u3 = 1 + 2 - 9 + 6 = 0, u2 • u4 = 16 -26 + 1 +9 = 0, u3 u4 = 16 - 13 - 9 + 6 = 0
Елорёусод то S eivac opOoycbvco, кас apa eivac ураррска ave£aprr|Ta. Ката ооуёлеса
eivai pia pdor| тои R4, кабсод оло1абг|лоте ypappiKa ауе^артцта 6iavvopara
oxnpttTi^ovv M-ia Pdor| тои R4.
(Р) Ecpooov то S eivai орбоуамо, apicei алХа va Ppovpe тоид ovvreXeoreg Fourier тои v
сод лрод та SiavvopaTa pdxrr|<g, олсод ото ©есортща 7.7. Еууелсбд та
_ (о,U|) _a + b — d _ (v,u3) _a + b —9с+ 2d
1 ~ («,.«,) ~ 3 ** “ («3. «з)" 87
_ (и, и2) _ а + 2 + с + 3d _ (v, и4) _ 16а - 136 + с + 3d
В ’ 435
eivai oi ovvreraypeveg tov v cog лрод тт| Раот] S.
7.14. Улобёоте oti та S, Sb S2 eivai та vnoovvoXa tov V. Na алобе^ете та акбХооба:
(a) 5 c 5х1.
(P) Eav S] £ S2, тоте S2 = 5,1 •
(у) 51 = span(S)1
(a) 'Eotco we S. Тоте ((w,v))=0 yia кабе vg 51, apa we 5х1. Еоуелсбд, S c 5±x .
(P) 'Eotco wg S2 Тоте ((w,v))=0 yia кабе vg S2. Acpov Sj c S2, ((w,v))=0 yia кабе v=Sb
Еоуелсбд wg Sx , Kai apa S2 = Sf
(y) Ecpooov ScspanfS), то (P) pag 6ivei span(S)1 cS. Тоте, vnapxovv W],w2,...,wk
otov S reroia сооте v=a1w1+a2w2+...+akwk. 'Etoi, xPrla4I07I0l®VTa^ to ue 5х, ба
exovpe
(u,v) = (u, a,wj +a2w2 + ...+aiwi)=ai{u,wl)+a2(u,w2) + ...ai(u,wl[)
= aI(0) + a2(0)+...ai(0) = 0
Enopevcog uGspan(S)1, Kai eroi S1 c spanfS)1 Apcpdrepoi 01 ovwnoXoyiopoi
oSnyovv ото ^rovpevo, 51 = span(S)1
7.15. Na алобе^ете то ©есбрцра 7.5: Eav олобёоооре oti to S eivai eva op6oycovio ovvoXo рц-
pT|6eviKcov 6iawopaTC0v, тоте то S eivai ypappiKa ave^aprr)TO.
Улобётооре oti S= {uj ,u2,... ,ur} Kai oti a1u1 + a2«2 + • • • + arur= 0
naipvovrag то еосотерисб yivopevo т^д (1) pe to ub 6a exovpe
0 = (0,Uj) = (0)14) + a2u2'+... + arur, «0
= ai («1. «1) + «2(«2. «1) + • • • + ar(ur, u0
= в](«],«]) +a2 0+ ... +ar 0 = a|(ubU|)
Acpov Uj^O, exovpe (<ubU]))*0, apa aj=O. 'Opoia, yia i=2,.. ,,r naipvovrag to eocorepiKO yivopevo
тт|<; (1) p£ to u„
0= (0,uz) = (a|U| + ...arur, u,)
= a, («!aju,,«,) + ...+ a,(ur, ut) = at{uh ut}
'Opco<; «U],U]»*0, Kat dpa ^=0. Еирл£раорат1ка, то S sivaiypappiKa av£^aptr|TO.
7.16. Na олоЗе^ете то ©Ecbpripa 7.6 (ПиОаубра^): Eav илоОЁооирв oti то {ui,u2,. . .,ur} sivai sva
opOoycbvio ouvoXo SiavuopaTCOv, tote
ll«J + u2 + . . . + „r||2 = ||M11|2 + ||„2||2 + ... + ||„r||2
Avanruooovrai; to eocotepiko yivopevo, naipvoupe
||u, + u2 +... + ur||2 = (u, + u2 +... + u„ ut+u2 + ... + ur)
= («1. «1) + («2. U2) +... + (ur. Ur) + Uj}
w
To 0£cbpr|pa лрокилт£1 ало то yeyovoi; oti «UpUjHIuJI2 Kai ((и„и,))=0 yia i*j.
7.17. Na олоЗе^ете то ©Ecbpripa 7.7: 'Еотсо то {U],u2,.. .,un} pia opOoycbvia pdor| тои V. Tote, yia
оло1о8г|лот£ ve V,
v= <ЛЦ')Ц|+-^_Ц2) (у.«я)ц
(“2. «2) "
УлоОЁтоирЕ oti v=kIuI+ku2+.. .+kniin. IlaipvovTat; to eocotepiko yivopevo Kai tcov 8uo peXcbv
p£ TO U|, о6т|уоираот£ OTO
(U,U|) = (^Uj+^Uj + .-.+^U,, U|)
= *1(«1.«1) +^(U2.Ui) + ...+*B(u„,Ui)
= M«1.«1) +*2-0 + ... +*,-0 = *, («„«!>
Enop£vco<; kj= • 'Opoia, yia i=2,...,n,
(V, U,) = (*,«! +*2«2 + • • •Ц)
= *1 («!.«/) + ^(«2. «/) + •• +kn(UH, Ut)
= *1 • 0 +... + ki{uh ul) + ...+k„-0 = ki(u„ul}
Еиу£лсо<; ki=(M u у E“v аут1катаотт|ооир£ та k, ott|v e^iocooti u=kIuI+...+knun, 0a
катаХг|^оир£ ото £Л10ирт|т6 алотЁХЕора.
7.18. УлоОеоте oti т| E={eI,e2>..,,en} Eivai pia opOoycbvia pdor| тои V. Na олоЗе^ете oti:
(a) Tia оло1о8т|лот£ ue V, 0a £%oup£ u=«u,eI))eI+«u,e2))e2+...+«u,en))en.
(P) О’!*! + - -a„e„, btei + ... + b„e„) = atb2 + a2b2 + ... + a„b„.
(у) Па оло1абт|лотЕ u,ve V, 9а ехоуце «u,v))=«u,e|)X(v,e|))+.. ,+«u,en»«v,en».
(а) УлоЭетооце oti u=k|e|+k2e2+.. •+knen. IlaipvovTag то eocotepiko yivopsvo тои u це to
eb
(u.e,) = (*,e,+*je2 + ... + *Be«. «1)
= *i (e,, ej) + ^(e2, e,) + ... + k„(e„, e,)
= *1(l) + *2(0) + ...+*„(0) = Jt1
Opoia, yia i=2,...,n,
(u, e,) = (*,e, + ... + *<«/ + ... + k„e„, et)
= *i («1. e() + ... + kfa, et) + ... + e,)
= *,(0) + ...+*/(1) + ... + *и(0) = *(
AvTiKa9ioT(bvTag та к, це ((u.ej) ott|v e^iocoot] u=k|e]+...+k, 9a о5т]ут]9оицЕ ото
ЕЛ19ицт]т6 алотвХЕоца.
(Р) 'Ехооце
^Е aiei> Е = £ afr = а,Ь, + а2Ь2 + ... + апЬ„
Оцсод (( е„е)))=0 yia i*j, Kai «е„е3»=1 yia i=j. Елоцвусод, блсод ^тоооацв,
^Е аЛ. Е = а,Ь, + а2Ьг +... + аяЬ„
(у) 'Ехоицв, ало то (а),
и = (и, е, )е, + ... + (и, e„)e„ Kai и = (v, е,)е, +... + (t>, e„)e„
ЕиуЕлсод, хРЛ°1Цоло1а)Ута<; то (Р),
(и, и) = (и, е,)(и, е,) + (u,e2)(u,e2) + ... + (и, ея) (и, ея)
ПРОВОАЕЕ, ААГОР10МОЕ GRAM-SCHMIDT, ЕФАРМОГЕЕ
7.19. Уло9еоте oti w*0. 'Еотсо то v Eva олою5т|лоте Зшуиоца otov V. Na Sei^ete oti о
_ (v, w) _ {v, w)
~ w) ~ || W||2
Eivai о цоуаЗисод арЮцбд yia tov олою to v'=v-cw Eivai op9oycbvio лрод то w.
Па va Eivai to v' op9oycbvio лрод то w 9a лр£Л£1
{v - cw, w) = 0 fj (t>, w) - clyv, w) = 0 т| (к, w) = c(w, w)
ЕиУЕЛсЬд c= (w . AvrioTpoipa, Eav олоЭеоооце oti c= ,
TOTE
(v — cw.
(u, w)
w) = (v, w) — c(w, w) = (v, w)---------------- (w, w) = 0
(w, w}
7.20. Na Ppeite to ovvteAeotii Fourier c Kai tt|v лроРоХд той v=( 1 ,-2,3, -4) ката рдкод тои w=( 1,2,1,2)
otov R4.
УлоХоу^оорс та ((v,w))=l-4+3-8=-8 Kat ||w||2=l+4+l+4=10. Tote,
c = -^=_5 Kat proj(u, w) = cw = (-$,-8,-|,-8)
7.21. ©ecopeiote tov олохсоро U тои R4 лои ларауета! ало та SiavvopaTa:
i>i =(1,1, 1,1), ^ = (1,1,2,4), w3 = (1,2,-4,-3)
Na Ppeite (a) pia opOoycbvia Раот] tov U Kai (P) pia opOoKavovucri Раот] tov U.
(а) Хрт]о1роло1оур£ tov aXydpiOpo Gram-Schmidt. HEKivapE Getovtck; W|=u=(1,1,1,1).
Ltt| ovvEXEia PpioKOvpc to
©Ётоуре, тсора, w2=(-1,-1,0,2). 'ЕлЕГса PpioKOvpE to
IlM'iir l|w2|r 4 6
= (M’-3.D
ДлаХ£1<роурЕ та кХаората yia va лароурЕ w3=(l,3,-6,2). Елорсусод, та wb w2, w3
opipaTi^ovv pia opOoycbvia Раот| tov U.
(P) KavovuamoiovpE tt|v opOoycbvia Раот| лоу алотеХтас ало та wb w2, w3. KaGcbq
|| w 11|2=4, ||w2||2=6 Kai ||w3||2=50, та ларакатсо SiavvopaTa охпратс^оиу pia opOoycbvia
Paor] tov U:
«i=|(l. l.l.D. u2 =-^(-1,-1,0.2), Mje-^(|,3,-6,2)
7.22. ©ecopeiote to SiawopaTiKo xcbpo P(t) pE eocotepiko yivopevo «f,g»=| /(0^(0^ • Na
EcpappooETE tov aXyopiOpo Gram-Schmidt ото ovvoXo {1, t, t2} yia va лроки\|/Е1 то opOoycbvio
ovvoXo {f0,fbf2} pc акЁраюод owTEXcoTEg.
Apxuca Getovpe f0=l. Кат6л1У PpioKOvpE to
АлаХ£1сроорЕ та кХаората yia va лароорс fj=2t-l. АкоХоовсод PpioKOvpE to
AnaXsicpovps та кХаората yia va napovps f2=6t2-6t+l. ZvpnspaopariKa, то
{1, 2t-l, 6t2-6t+l} sivai то Cqrovpsvo opQoycbvio ovvoXo.
7.23. YnoQsors oti v=(l,3,5,7). Na Ppeite rqv npoPoXq too v navco orov W, f], це aXXa Xoyia, va
Ppeite to wg W nov sXa%ioTonoi£i to ||v-w||, onov о W sivai о vno%cbpoc; tov R4 nov napaysrai
ano та:
(a) U|=(l,1,1,1) Kai u2=(l,-3,4,-2),
(P) у^алл.Ока^и.г.з.г).
(a) Ecpooov та u, Kai u2 sivai opQoycbvia, apKsi anXa va vnoXoyioovps tovc; ovvtsXeotec;
Fourier:
c = (t>,«,) 14-34-54-716
C‘ («„и,) 1 + 1+ 1 + 1 4
c = (t>, m2) 1-9 + 20-14-2 ,
°2 (мг.иг) 1+9 + 16 + 4 “ 30 “ 15
Tote, w = proj(t>, W) = c,ut + c2u2 = 4(1,1,1,1) - £(1, -3,4, -2) = (“, &, ,«).
(P) KaQcbc; та V| Kai v2 Ssv sivai opQoycbvia, scpappotpvps прсота tov aXyopiQpo Gram-
Schmidt yia va Ppovps pia opQoycbvia paoq yiatov W. ©STovps W|=(l,l,l,l).'En6ira
PpiGKOV|l£ TO
©srovps w2=(-l,0,l,0). YnoXoyi^ovps тсора та
c _ i + 3+ 5 +7 16
C‘ (W..W,) 1 + 1+ 1 + 1“ 4“
c = -1+0 + 5 + Q -6
C1 1+0+1+0 “ 2 “
Tots,
w = proj(u,»9 = c1w1 +c2m>2=4(1, 1,1, l)-3(-l,0,1,0) = (7,4,1,4).
7.24. YnoQsors oti та W| Kai w2 sivai pq-pqSsviKa opQoycbvia Siavvopara Kai sorco to v sva
onoioSqnors Siawopa otov V. Na Ppsirs та c, Kai c2 etoi coote to v' va sivai opQoycbvio npoc;
та W| koi w2, onov v'=v-C|Wrc2w2.
Eav to v' sivai opQoycbvio npoc; to wb tots
0= (v-qw! -c2w2, wt) = (u.Wi) -qiwi.Wi) -C2(w2,w0
= (v, W0 -qiwj.w,) — c20 = {v, W0 -qiwpwj
Apa C|=«v,W| »/«w, ,W|)). (To C|, SqXaSi), sivai q ovviorcboa tov v ката pqKOc; tov w,.) 'Opoia,
sav to v' sivai opQoycbvio npoc; to w2, tots
Q=(v- ciwt - c2w2, w2) = {v, w2) - c2(w2, w2)
Apa c2=((v,w2))/((w2,w2)). (To C2, SqXaSq, sivai q ovviorcboa tov v ката pqKoc; tov w2.)
7.25. Na anoSei^ETE то ©Ecbpqpa 7.8: Yno0Erovp£ oti та wbw2,.. ,wr axqpari^ovv sva opOoycbvio
ovvoXo pq-pqSsviKcbv SiavuopaTcov otov V Kai еотсо ve V. Opi^ovpc, Enioqg,
i/ = v-(c1w1+c2w2 + ... + crwr), onov ct =
(w„ w,)
Tote to v' Eivai opOoycbvio лрод та wbw2,.. ,,wr.
Tia i=l,2,...,r Kaixpqaiponoicbvrag то ((w^Wj^O yia i^j, sxovpE
(V - CjWj - c2x2 - ... - crw„ wt) = (V, w,) - c, (wb w,) - ... - c,(w„ и-,) -... - cr(w„ w,)
= (i>, w,) - c, • 0 - ... - ct{wt, wt} - ... - Cr • 0
= {V, w,) - c,(w„ W,) = (V, Wi) - (w„ wt} = 0
'Etoi to Oscbpqpa anoSEixrqKE.
7.26. Na алобЕ^ЕТЕ то ©Ecbpqpa 7.9: 'Еотсо то {vbv2,...,vn} pia onoiaSqnorE Paoq svog x“P0U
eocotepikou yivopsvov V. Tote, vnapxei pia opOoKavoviKq Paoq {ubu2,...,un} тои V tetoio
сооте о nivaKag aXXayqg Paoqg ало то {v,}oto {u,}va Eivai rpiycoviKog, SqXaSq, yia k=l,.. .,n,
u* = aki o, + a*2w2 + • • • + auvk
H anoSEi^q xpq^iponoiei tov aXyopiOpo Gram-Schmidt Kai Tig naparqpqoEig 1 Kai 3 rqg
Параурасрои 7.7. Аито oqpaivEi oti Ecpappo^ovpE tov aXyopiOpo ото {v,} yia va лароирЕ rqv
opOoycbvia Paoq {w„...,wn} Kai orq ovvexeio KavoviKonoiovpE to {w,} yia va napovpE rqv
op0OKavoviKq paoq {u,} tov V. О ovyKEKpipsvog aXyopiOpog Eyyvarai oti to ko0e wk Eivai
svag ypappiKog ovvSvaopog tcov vb... ,vk Kai apa то ка0Е uk Eivai svag ypappiKog ovv8vaopog
tcov vb...,vk.
7.27. Naano8Ei^ETETO0Ecbpqpa7.1O: Eav vnoOsoovpE on q S={wbw2,...,wr} EivaipiaopOoycbvia
Paoq yia sva vnoxcbpo W tovV, tote q S pnopsi va епектоОе! oe pia opOoycbvia Paoq yia tov
V. Mnopovv, SqXaSq, va PpeOovv Siavvopara wr+l,...,wn тетою сооте to {wbw2,...,wn} va
Eivai pia opOoycbvia Paoq yia tov V.]
EnEKTEivovpE rqv S oe pia Paoq S'={wb...,wr, vr+l,...,vn} yia tov V. Ecpappo^ovrag tov
aXyopiOpoGram-Schmidtorqv S',naipvovpEпрсотаTawbw2,...wracpovq S EivaiopOoycbvia,
Kai aKoXovOcog naipvovps та Siavvopara wr+l,...,wn, onov to {wbw2,...wn} Eivai pia
opOoycbvia Paoq yia rov V. Evvsncbg to Oscbpqpa anoSsixTqKE.
7.28. Na anoSsi^ETE to ©Ecbpqpa 7.4: Eav о W Eivai Evag vnoxcbpog rov V, tote V=W® FK1 •
Ano to ©Ecbpqpa 7.9, vnapxei pia opOoycbvia Paoq {ub...,ur} rov W, Kai ano to ©Ecbpqpa
7.10 pnopovpE va EnEKTEivovpE rq Paoq avrq oe pia opOoycbvia paoq {ubu2,...,un} rov V.
'Etoi ur+1,... .u^e 1. Eav ve V, tote
v=a1u1+...+anun, onov ajiij+.-.+apije W Kai afi-lUfi-1+...+anUne ffl1
Ката ovvsnEia, V=W+ jy1.
Ano rqv aXXq, Eav we W n FK1, ^ote (<w,w))=0. Avt6 oSqysi ото w=0, quote W n FK1={0}.
Oi Svo ovvOqKEg V=W+p^1 Kai Wn ^1={0} Sivovv to EniOvpqro anorsXEopa
V=W®
Паратдр11<я|: Dipeicbvexai он то Оесорпра апо8е1ххт|ке yia tt|v nepinxcooT) onov о V exei
ЯЕпераарЁУГ) 8iaoxaoT|. Qoxoao, toxvei Enior|g Kat yia xcbpovg av6aipETT|g 8iaoxaoT|g.
7.29. YnoOeoxe oxi о W eivai Evag vnoxcbpog evog x^P011 V nenepaapevqg 8iaoxaoT|g. Na anoSei^exe
oxi W=hzj-l .
Ano xo ©есортща 7.4, V=W® w1, кабсод enioTjg V=jy1 ф w-LL. Enopevcog
dim W = dim V - dim WL Kai dim W11 = dim V - dim WL
Ano avxa npoKvnxei oxi dim W=dim jp11. 'Opcog Wc jp11 (pXene ПрбрХт|ра 7.14). Apa
W=|y-LL, oncog фусоиоаре.
7.30. Na anoSei^exe xo e^rjg: YnoOeoxe oxi xa wbw2,.. .,wr oxnpaxi^ovv eva opOoycbvio ovvoXo рт|-
pr|5eviKcbv Siawopaxcov oxov V. 'Eoxco xo v eva onoio8i)noxe Siawopa oxov V Kai eoxco xo c,
T| ovvioxcboa xov v каха рт|код xov w,. Toxe, yia onoiovaSr]noxe apiOpovg ab.. ..a,., exovpe
| v - E I - Iv " £ fl*w* j
To 2}c,w, , 8т|ХаЗт|, eivai q mo Kovxivq npooeyyioT| oxo v cog ypappiKog ovvSvaopog xcov
wb...,wr.
Ano xo ©ecbpripa 7.8, xo v- X ct и\ eivai opOoycbvio npog xo кабе w, Kai apa eivai opOoycbvio
npog onoioSrpcoxe ypappuco ovvSvaopo xcov wbw2,...,wr. Enopevcog, xpr|oiponoicbvTag to
FlvOayopeio бесорпра Kai aOpoi^ovxag ano k=l pexpi r,
= [i>-EQM-t + £(Q-a*)wtj2= ||t> - Eqw* j2+j£(q - a*)wt j2
> Ь-Еср^и2
Eav napovpe xt|v хехрауамкг| pi^a Kai xcov Svo peXcbv, 0a npoKvyei xo бесЬртща рад.
7.31. YnoOeoxe oxi xo {ebe2,...er} eivai eva opOoKavoviKO ovvoXo Siawopaxcov oxov V.'Eoxco xo v
eva onoioSfjnoxe Siawopa oxov V Kai eoxco xo с1 о ovvxeXeoxrig Fourier xov v cog npog xo ur
Na anoSei^exe xt|v aviooxT|xa Bessel:
E 4 < IMI2
Zripeicbvexai oxi c^fye,)), кабсод HeJ^l. Toxe, xpnaiponoicbvxag xo «е„е^)=0 yia i*j Kai
aGpoi^ovxag ano k=l pexpi r, naipvovpe
0<(t>-Ecte*, 1>-Eq,e*) = (v,v) -2{v, £c*et) + = (o, v) - E2ct(t>, et) +
= (t>. t>) -E^ + Ec* = («• 0-Ec*
Avxo Sivei Kai xt| ijixovpevr] aviooxT|xa.
OPQOrnNIOI niNAKES
7.32. Na Ppeixe eva opOoycbvio nivaKa P xov onoiov rj прсохт| ypappi) va eivai xo U]=(l/3,2/3,2/3).
ApxiKa ppioKOvpe eva pr)-pr)8eviKO Siawopa w2=(x,y,z) то олою eivai opOoycbvio npog to
U|, 8т)Ха8т| yia то олою
0= (Mi,w2) =| + y +J = O T| x + 2y + 2z = 0
Mia TETOia Xvor| Eivai to w2=(0, 1,-1). KavoviKonoiovpe тсора то w2 yia va napovpe тт| 8ептерг|
ураррт) тои Р, 8т)Ха8т| то
и2 = (0,1/72,-1/72).
Етт| ovvEXEia PpioKOvpe Eva pr)-pr)8eviKo Siawopa w3=(x,y,z) то олою Eivai opOoycbvio тбоо
лрод то U] 6oo Kai лрод u2, 8т)Ха8т| yia то олою
х 2у 2z
0= (u,,w3) = j + y + j = 0 f| x + 2y+2z = 0
0=(u2,w3)=^=--^= = 0 t| y-z = 0
©ЕтоирЕ z=-l Kai Ppicncovpe tt| Xvot] w3=(4,-l,-l). 'Enevra KavoviKonoiovpe to w3 yia va
napovpe Kai tt|v тр!тт| ypappi) too P, 8т)Ха8т| то
u3 = (4/718, -1/718, -1/718).
Епорёусод
l/y/2 -1/72
-l/3y/2 -l/3>/2.
Tovi^ETai 6т1 о ларалаусо nivaKag P 8ev Eivai pova8iK6g.
[1 1 -11
1 3 4 .Na лроо8юр1о£тЕ ката nooo : (a) oi ураррёд too A Eivai
7 —5 2 J
opOoycbvieg T| oxi, (P) о A Eivai evag opOoycbviog nivaKag T| oxi, (y) oi урарред too A eivai
opOoycbvieg T| oxi.
(a) Nai, acpov (l,l,-l) (l,3,4)=l+3-4=0, (l,l,-l)(7,-5,2)=7-5-2=0, Kai (l,3,4)(7,-5,2)=
7-15+8=0.
(P) ©x1» a<pov oi ураррёд tov A 8ev eivai pova8iKa 8iavvopaTa. Tia napa8eiypa,
(1,1,1)2=1+1+1=3.
(y) Oxi- Tia napa8eiypa, (l,l,7)-(l,3,-5)=l+3-35=-31*0.
7.34. 'Еотсо В о nivaKag nov прокбптес ano tt|v KavoviKonoir)OT| тт|д каОе ypappqg tov А ото
ПрбрХт)ра 7.33.
(a) Na Ppene tov B.
(P) Eivai о В opOoycbviog;
(у) Eivai oi отт|Хед tov В opOoycbvieg;
(a) Troupe 1(1.1.-1)||> = 1+ i + i=3. |KI. 3.4)||i = । +,+16 = 26
||(7, -5,2)||2 = 49 + 25 + 4 = 78
Luv£ncb<;
Г 1/7з 1/7з -1/Л1
я =11/726 3/726 4/726
L 7/778 -5/778 2/778 J
(Р) Nai, Ecpooov oi ypa|i|i£<; too В E^aKoXouOouv va Eivai op0OYcbvi£<; Kai Eivai тсора
povaSiaia Siavuopara.
(y) Nai, Ecpooov oi Ypappsg тои В oxnpcrti^ouv eva opOoKavoviKO ouvoXo Siavuoparcov,
кас apa, ало то 0eсорт]pa 7.11, oi orf]X£g тои В 0a npenEi auropara va oxripaTi^ouv
Eniorig eva opOoKavoviKO ouvoXo.
7.35. Na anoSEi^ETE to KaOeva ало та акбХоиОа:
(а) О P Eivai opOoYcbvioc; Eav Kai povo Eav о PT Eivai opOoYcovioc;.
(P) Eav о P Eivai opOoYcovioc;, tote кас о P’1 Eivai opOoYcovioc;.
(y) Eav oi P Kai Q Eivai op0OY<bvioi, tote Kai о PQ Eivai opOoYcbviog.
(a) 'ExoupE (PT)T=P, опоте о P Eivai opOoYCOviog Eav Kai povo Eav PPT=I, Eav Kai povo sav
PtTPt=I, Eav Kai povo Eav о PT Eivai opOoYcbviog.
(P) 'ExoupE PT=P’', Ecpooov о P Eivai opOoYcovioc;. Euvfncbc;, ano то (а), о P'1 Eivai
opOoYcovioc;.
(Y) 'ExoupE PT=P-' Kai QT=Q-', apa (PQ)(PQ)T=PQQTPT=PQQ'1P-1=I. Enopfivcoc;
(PQ)T=(PQ)’', кас etoi о PQ Eivai opOoYcovioc;.
7.36. YnoOsrovrac; 6ri о P sivai Evac; opSoYcoviog nivaKac;, va Sei^ete oti:
(a) ((Pu,Pv))=«u,v)) Yia onoiaSr|noTE u,vg V.
(p) ||Pu||=||u|| YiaKaOEueV.
Na xpT]oiponoir|OETE tic; oxeoeic; PtP=I Kai <(u,v))=uTv.
(a) (Pu, Pv) = (Pu)r(Pv) = uTPTPv = utv = {Ui v}
(P) 'ExoupE (|Л||2 = (Pu, Pu} = uTP^pu = UTU = (u, U) = ||M|(2
naipvovrac; n]v TErpaYCOviKrj pi^a Kai tcov Suo psXcbv, оЗцхоираотЕ ото (jiroupsvo anoreXeopa
7.37. Na anoSEi^ETE то ©Есорцра 7.12: YnoOsroupE oti oi E={eJ Kai E'={e',} Eivai opOoKavoviKEc;
PaoEu; тои V, Kai еотсо P о nivaKac; аХХауп; Paorjc; ano tt)v E ott|v E'. Tote о P Eivai opOoYcoviog.
YnO0£TOUpE OTI
«с = *n«i +f>ae2 + .-.+bl„el„ i=}.....n (1)
XpT]oiponoicovra<; то ПрорХцра 7.18(P) Kai to yeyovoc; oti t] E' Eivai op0OKavoviKT|, naipvoups
= («с. в/) = ЬаЬл + ЬаЬл + ... + b^ (2)
'Еотсо тсора B=[b,j], о nivaKac; tcov ouvteXeotcov orr|v (1). (Apa P=BT.) Eav unoOsooupE oti
BBt=[c,j], TOTE
су = ЬлЬл+ЬаЬл + ...+Ь1яЬ]п (3)
Ало тк; (2) koi (3) exovpe су=51р олоте BBt=I. Ката avveneta о В eivai opOoycbvtoc;, ара Kai
о Р=ВТ eivai opOoycbvio^.
7.38. Na алобе^ете то ©есортща 7.13: 'Еатсо то {ен...,en} pia op0OKavoviKf| Pacyq evoc; хсороъ
еасотер1кои yivopevov V, Kai еатсо о P=[a1J] evaq opOoycbvio^ nivaKac;. Тбте та ларакатсо п
бюуиарата axq pan^ow pia opOoycbvia Pacyq yia tov V:
e'i = ai,«i + a2le2 4-... 4- ал1ел, i = 1,2.n
Acpov to {ej eivai pia opOoKavoviKq Paaq, naipvovpe, ало то npdpXqpa 7.18(P),
« = Wij 4- 4-... 4- anianj = (Q, C,)
олоо то C, avpPoXi^ei Tqv i-arqXq tov opOoycbviov nivaKa Р=[ау]. Acpov о P eivai opOoycbvio^,
oi отт|Хес; tov axqpaTi^ovv eva opOoKavoviKO avvoXo. Avto ovvenayeTai oti
((e'1,e'J))=((C1,CJ))=51J. Ката avveneia to {e\} eivai pia opOoKavoviKq Paaq.
ЕЕПТЕР1КА TINOMENA KAI ©ETIKA OPIEMENOI IIINAKEE
7.39. П0101 ало tovc; ларакатсо avppeTpiKovc; nivaKec; eivai OeTiKa opiapevoi;
(а) Л = [’ <]. ОТ C = [J _}]. OTD=[’ J]
Xpqaiponoiovpe to ©ecbpqpa 7.14 лоо рас; Xeei oti even; 2x2 лрауратисос; аирретрскбе;
nivaKac; eivai 0ет1ка opiapevoi; eav oi 5iaycbviec; катахсорсаек; tov eivai Оетскёс;, 6лсо<; eniaqc;
Kai q opi^ovaa tov.
(a) '©xi, acpov |A|=15-16=-1, eivai apvqTiKq.
(p) Nai.
(y) '©Xl> a(pov q 5iaycbvia катахсорил] -3 eivai apvqTiKq.
(5) Nai.
7.40. Na Ppene tu; тсрёс; tov k nov KaOiarovv tov KaOeva ano tovc; паракатсо nivaKec; Оеика opiapevo:
W ^ = [-4 ’J]. OTi=[J J]. (rtC = [* J]
(a) KaTapxqv, о k npenei va eivai Оетисбс;. EmnXeov, q |A|=2k-16 npenei eniaqc; va eivai
OeTiKq, 5qXa5q 2k-6>0. Evvencbc; k>8.
(P) QeXovpe q |B|=36-k2 va eivai OeTiKq, 5qXa5q 36-k2>0. Enopevcog k2<36 q -6<k<6.
(у) О С поте 5ev pnopei va eivai OeTiKa opiapevoc;, каОсос; exei pia apvqTiKq 5iaycbvia
катахсорил], то -2.
7.41. Na Ppene tov nivaKa A nov avanapicna to avvqOiapevo еасотерисо yivopevo otov R2 coc; npoc;
Tqv KaOepia ano tic; aKdXovOec; Pacieic; tov R2: (a) {V|=(l,3), v2=(2,5)}, (P) {w!=(l,2), w2=
(4,-2)}.
(а) УлоХоу^оорв та ((v! .v^ 1 +9= 10, «V! ,v2))=2+15=17, (<v2,v2))=4+25=29. Елорвусод
л-Г10 171
Л~ [17 29 J’
(Р) YnoXoyi^ovpe та <<w1,w1))= 14-4=5, ((wbw2))=4-4=0, <(w2,w2))= 16+4=20. Елорвусод
л = Г5 °1
[о 20 J' (Ecpooov та SiavuopaTa Раот|д Eivai opQoycbvia, о лсуакад A Eivai
Siaycbviog.)
7.42. ©ЕшрЕютЕ то SiawopaitKO xcbpo P2(t) це eocotepiko yivopsvo <(f,g))= J .
(a) Na Ppeite to <(f,g)), блои f(t)=t+2 Kai g(t)=T2-3T+4.
(P) Na Ppeite tov nivaKa A too eocotepikov yivopsvov сод лрод тт) раот] {1, t, t2} too V.
(y) Na ЕлаХт|0£бо£Т£ то ©есортща 7.16 SEixvovTag oti ((f,g))=[f]TA[g] сод лрод тт) Раот]
{l,t,t2}.
(a) </•«> = J_((' +2X^-3/ +4) Л = |1(?-?-2/ + 8)Л=^-^-? + 8^|1 =y
(P) ЕЗсо хрт|01цолоюйц£ то ysyovog oti, Eav r+s=n,
. tr\-[' tndt - /Л+1 f _(2/(л + 1) e“v T0 n ^vai apnoq
' ’ ' J-1 л + 1|_| I ° e“v T0 n &vai
Tote <(1,1))=2, «l,t))=0, «l,t2))=2,3, «t,t))=2/3, «t, t2))=0, «t2,t2))=2/5. lovEncbg
(у) 'Ехооце [f]T=(2,1,0) Kai [g]T=(4,-1,3) cog лрод тт] ЗеЗоцеут] раот]. Tote
(/Msl=<2.1.0)|j | о][-з]=(Ч.$)[-з] =¥ = (/.,)
7.43. Na алобЕ^ЕТЕ то ©ЕсЬртща 7.14:0-4=^ j Eivai QetikA opiogEvog Eav Kai povo Eav та a
Kai d Eivai Qetikcc Kai t| |A|=ad-bc=ad-b2 Eivai 0etikt|.
'Еотсо u=[x,y]T. Tote
/(u) = urXu = (x,y][j =aJ + 2bxy + d/
Уло0£тоутад oti f(u)>0 yia ка0£ u#0, tote f(l,0)=a>0 Kai f(0,l)=d>0. 'Exovpe, £л1от]д, f(b,-
a)=a(ad-b2)>0. Acpov a>0, naipvovpE ad-b2>0.
AvnoTpocpa, ояо0Етоорб oti a>0, b=0, ad-b2>0. ЕоряХт|рсЬуоорб to TETpaycovo yia va
napovps
Горявраоратиса, f(u)>0 yia кабе u/0.
7.44. Na аяо8е1^ЕТЕ то ©Есоргща 7.15: Eav о A Eivai sva<; npaypariKOt;, беттка opiopsvoc; nivaKag,
tote T| ovvaprr|OT] ((u,v))=uTAv Eivai sva eocotepiko yivopsvo otov Rn.
Па оло1а5т|яот£ SiavvopaTa ub u2 Kai v,
(i>i + u2, v) = (»! + u^)TAv = (u[ + u2)Av = u[Av + u2Av = (U], u) + (u2, i>)
Kai, yia ояою5т|яот£ api0pd k Kai ояо1а8т|яотб SiavvopaTa u, v,
(leu, v) = (ku)TAv = kuTAv = k(u, v)
Apa iKavonoiEnai to [Ij].
Ecpooov to uTAv Eivai evac; api0po<;, (uTAv)t=uTAv. Ея1от|<; AT=A, acpov о A Eivai ovpp£rpiKO(j.
EnopEvcoc;
(u, i?) = uTAv = (uTAv)r = tZ/Tu77 = vTau = (v, u)
Apa iKavonoiEnai to [IJ.
TsXog acpov о A sivai 0etikoi opiopsvog XTAX>0 yia ояою8т|яотб рт|-рт|8бУ1кд Xe Rn.
'Etoi, yia ояою8т|яотб рт|-рт|8бУ1к6 8iawopa v, ((v,v))=vTAv>0. EnuiX^ov, <(0,0))=0TA0=0.
Apa iKavonoiEiTai Kai to [I3]. Apa Xoutov, t| ovvaprr)OT| ((u,v))=Av sivai sva socoTspiKd
yivopsvo.
7.45. Na ano8sUj6T6 то 0бсорт|ра 7.16:'Еотсо А о я1уака<;-ауалараотаот| svo<; socorspiKov yivopsvov
cog ярое; тт] Раот| S tov V. Tots, yia ояо1а8т|яотЕ SiavvopaTa u,vg V, sxovps
(u,v) =МгЛ[о]
Уяо0ЕТоорб oti S={w],w2,...,wn} Kai A=[ky]. Apa ky^WpWj)). Уяо0ЕТОорб, тсора, oti
u = aIwI + a2H>2 + ... aewe Kai v = btwt +b2w2 + ... +b„w„
Tots (u, t>) = £ £ a^w,. wj (1)
Аяб tt)v (Ш.т|,
МгЛ[р] = (e„ aj,
’^11 *12 ••• *1»
*21 *22 • •• *2л
-*»1 *я2 ••• *<и -
Ё«Л1. Eatka,
<£1 Ы1
(2)
Oi e^iocboeig (1) Kai (2) gag Sivovv то алотёХеора лои ^qrape.
7.46. Na anoSei^ere то ©есортща 7.17: Eav о A eivai о nivaKag-avanapaoraoq onoiovSqnore
eocorepiKov yivopevov otov V, тбте о A eivai Оепка opiopevog.
Ecpooov ((WpWj^^Wj.w,)) yia onoiaSqnore SiavvopaTa Paoqg w, Kai wp о nivaKag A eivai
ovppeTpiKdg. 'Еотсо to X eva onoioSqnore pr|-pr|5eviKd Siawopa otov Rn. Тбте [u]=X yia
капою pr|-pr|5eviK6 Siawopa ue V. Evpcpcova pe to ©ecbpripa 7.16, XTAX=[u]TA[u]=((u,u))>0.
Evvencbg о A eivai Оепка opiopevog.
MITAAIKOI XQPOI EEQTEPIKOY TINOMENOY
7.47. Eav о V eivai evag piyaSiKog x<bpog eocorepiKov yivopevov, va enaXqOevoere rq oxeoq
(и, avt + bv2) = a(u, vx) + b(u, v2)
Xpqoiponoiovpe та [I2‘], [I/] Kai рета то [I2‘] yia va Ppovpe
(u, av1 + bo2) = (<Wj + bv2, u) = a(Vi,u) + Ь(о2,и) = a{vt,u) + b{v2, u) = a(u, v^) + b{u, v2)
7.48. Улобёоте oti ((u,v))=3+2i oe eva piyaSiKO xcbpo eocorepiKov yivopevov V. Na ppeire та:
(a) ((2 — 40u, v) (b) (u, (4 + 30v) (c) <(3-60u, (5 - 2f)v)
(/0((2 - 4i)u, v) = (2 - 40(u, v) = (2 - 40(3 + 20 = 14 - 18»
(y) (u, (4 + 30v) = (4 + 30(u, v) = (4-30(3 + 20 = 18 - i
(<5)((3 - 60u, (5 - 20v) = (3 - 60(5 - 20(u, v) = (3 - 60(5 + 20(3 + 20 = 137 - 30/
7.49. Na ppeire to ovvreXeorri Fourier (tt| ovviorcboa) c Kai Tqv npopoXq cw rov v=(3+4i, 2-3i)
ката рт|код rov w=(5+i, 2i) otov C2.
YnevOvpi^erai on c=((v,w))/((w,w)). YnoXoyi^ovpe та
(v. w) = (3 + 40(S+0 + (2 - 30(20 = (3 + 40(5 -0 + (2 - 30(-20
= 19 + 17i - 6 - 4i = 13 + 13i
{w, w) = 25 + 1 + 4 = 30
13 13 . <26 39. -В 1 Л
Enopevcog c=( 13+131)/30=— + — *, олоте proj(v,w)=cw= — + — h — + — J
7.50. Na anoSei^ere to ©ecbpqpa 7.18 (Cauchy-Schwarz) : Eav о V eivai evag piyaSiKog x<opog
eocorepiKov yivopevov, тбте |«u,v»|<||u|| ||v||.
Eav v=0, q avioorqra yiverai 0<0 Kai enopevcog eivai Paoipq. YnoOerovpe, rcbpa, on v*0.
Xpqoiponoicbvrag ng z^=z2 (yia onoioSqnore piyaSiKO apiOpo z) Kai ,
avanrvooovpe rqv ||u-((u,v))tv||2>0, onov to t eivai onoiaSqnore npaypanKq npq:
0 < ||u - (u, v)rv||2 = (u - (u, v)tv, и - {и, v)tv)
= (и, и) - (и, v)t(u, v) - {и, v)t{v, и) + (и, v)(u, vtfiv, v)
= Hull2 - 2r|(u, v)|2 + |(u, v) |¥II v||2
©exovpe t=l/||v||2 yia va Ppovpe xqv 0<||u||2< ц ц2 , ano Tqv onoia |«u,v»|2<||u||2||v||2.
flaipvovxac; tqv xExpaycoviKq pi£a Kat tcov Svo peXcbv, KaxaXqyovpe orq ^qxovpevq aviooxqxa.
7.51. Na ppeixe pia opOoycbvia Paoq yia xo Mx oxov C3, onov u=(l, i, i+1).
E5cb xo u1 anoxeXeixai ano 6Xa xa Siavvopaxa s=(x,y,z) yia xa onoia
(w.u) =x-iy + (l -i)z = 0
BpioKovpe pia Xvoq, yia napaSeiypa xo W|=(0, 1-i, i). Lxq ovve%eia PpioKOvpe pia Xvoq xov
ovoxqpaxoc;
x — iy + (l -0z = O, (l+i)y-B = 0
EScb xo z eivai eXevQepq pexapXqxq. ©exovpe, Xoinov, z=l yia va napovpe y=i/(l+i)=(l+i)/2
Kai x=(3i-3)/2. floXXanXaoid^ovxac; pe xo 2 oSqyovpaoxe orq Xvoq w2=(3i-3, 1+i, 2). Ta
Siavvopaxa W| Kai w2 o%qpaxi^ovv pia opQoycbvia Paoq yia xo Mx.
7.52. Na Ppeixe pia opQoKavoviKq Paoq xov vno%cbpov W xov C3 nov napayexai ano xa
V]=(l,i,0) Kaiv2=(l,2, 1-i).
Ecpappo^ovpe xov aXyopiQpo Gram-Schmidt, ©exovpe W!=V|=(l,i,0), Kai vnoXoyi^ovpe xo
x 1-4'. 1-0
floXXanXaoia^ovpe pe xo 2 yia va anaXeii|/ovpe xa кХаораха Kai va napovpe w2=(l+2i, 2-i,
2-2i). AkoXovQco^ PpioKOvpe xa ||W]||=72 Kai llw2ll=Vi8 • KavoviKonoicbvxac; xo {wbw2}
naipvovpe xqv aKoXovQq opQoKavoviKq Paoq xov W:
7.53. Na Ppeixe xov nivaKa P nov avanapioxa xo ovvqQiopevo eocoxepiKO yivopevo oxov C3 coc; npoc;
xq Paoq {1, i, 1-i).
YnoXoyi^ovpe xa e^qc; ф eocoxepiKa yivopeva:
(1.1) =_1. (l.Q =?=-,, (l,l-0 = T7ri=l+i
(,,0 = « = l. (,. 1 -0 = i(l -0 = -1 +». (1-i, 1-0 = 2
Lxq ovvexeia, xpqoiponoicbvxag xqv «u,v))=(w, v), naipvovpe
Y’
(О P, oncoc; nepipevape, eivai Eppixiavoc;, SqXaSq PH=P.)
NOPMAPIEMENOI AIANYEMATIKOI ХПРО1
7.54. ©EcopeiaTE та Siavvopara u=( 1,3,-6,4) Kai v=(3,-5,1 ,-2) otov R4. Na Ppeite та:
(a) hL Kai ||v||., (p) ||u||, Kai ||v||,, (y) ||u||2 Kai ||v||2, (8) d.(u,v), d,(u,v), d2(u,v).
(a) H voppa aneipov EniXfiyei tt| p£yiorr| tcov anoXvrcov npcbv tcov ovviotcoocov. 'Etoi,
||u||00 = 6 Kal Halloo = 5
(P) H voppa-Eva npoo0£T£i tu; ал6Хот£<; np£<; tcov ovviotcoocov. 'Etoi,
llulh = 14-3 + 6 + 4= 14 KailMi = 3 + 5 + 1+ 2 = 11
(у) H voppa-8vo loovrai це tt|v TETpaycoviKf) pi^a тои a0poioparo<; tcov TETpaycbvcov tcov
ovviarcoacbv (Eivai, 8r|Xa8f|, r| voppa rr|v onoia EnupEpEi to avvr|0iap£vo eocotepiko yivopEvo
otov R3.) LvvETicbq,
||u||2 = 71+9 + 36 + 16 = 762 Kai IMh = 79 + 25 + 1+4 = 739
(8) BpioKovpE прсота то u-v=(-2,8,-7,6). Tote,
4oo(m. 0 = llu - ulloo = 8
di(u, V) = ||u - И11 = 2 + 8 + 7 + 6 = 23
</2(u, v) = ||u - c||j = 74 + 64 + 49 + 36 = 7153
7.55. ©ECOpElOTE TT) OVVdpTT|GT| otov C[0,3].
(a) Na Ppeite ttiv ||f]|., (P) Na o%£8ido£T£ ttiv f(t) ото nsSio R2, (у) Na Ppeite ttiv ||f]|।, (8) Na
Ppeite tt]v ||f]|2.
(a) Ava^T|rovp£ ttiv ||f]|.=max(|f(t)|). Ecpooov r| f(t) Eivai 8iacpopioipr| ото [0,3], r| |f(t)| 0a
exei eva psyiaro oe sva Kpioipo oT|p£io ттц; f(t), 8т| Xa8r| orav т| napaycoyog f (t)=0, f| oe
sva nEpag rov [0,3]. Acpov f(t)=2t-4, Oetovpe 2t-4=0 yia va napovpE to t=2 cog Kpioipo
GT|p£io. Zrr| ovv^XEia vnoXoyi^ovpE та
/(2) = 4 —8 = —4, /(0) = 0-0 = 0, /(3) = 9 - 12 = —3
Enop£vco<;Hfl|.=Hfl|2=|-4|=4.
(P) YnoXoyi^ovpE ttiv f(t) yia 8iacpope<; rip£<; rov t ото [0,3], yia napaSsiypa,
ll/lloo = ll/(2)| = |-4| =4.
Exe8ia^ovp£ та ©T|p£ia ото R2 Kai отт) ovvexeio EvcbvovpE pEra^v rovg та ©T|p£ia avra
p£ pia ovvExopEvi] карпОХт], 6nco<; cpaivErai ото ЕхПНа 7-8.
(у) Ava£r|Tovp£ ttiv ||f]|i=Jo \f (0^ 'Оясо<; pXEnovpE ото ЕхПНа 7-8, т| f(t) sivai apvr|TiKf|
OTO [0,3], ОПОТЕ
1/(01 = -(? - 40 = 4r -12.
(6)
Enopevcog ||f]|2=
7.56. Na алоЗе^ете то ©есортща 7.24: Eav о V eivai evag voppapiopevog SiawopaTucog xcopog,
тбте т) <Juvap-n]CTT) d(u,v)=||u-v|| ucavonoiei та rpia ларакатсо а^аората evog ретрисоб xcopov:
[М] ] d(u,v)>0, evcb d(u,v)=0 eav koi povo eav u=v.
[M2] d(u,v)=d(v,u).
[M3] d(u,v)<d(u,w)+d(w,v).
Eav u*v, тбте u-v*0, Kai apa d(u,v)=||u-v||>0. ЕлтлАеоу, d(u,u)=||u-u||=||0||=0. Apa
to [MJ iKavonowiTai. 'Exovpe, етпсгг|д,
4(и, v) = IIU - v|| = II(u - w) + (w - v)|| < ||u - w|| + ||w - v|| = d(u, w) + d(w, v)
кас d(U, v) = ||u - v|| = || - l(v - u)|| = | - 11IIv - u|| - IIV - u|| = d(y, u)
Apa iKavoTtoiovvTai Kai та [M2] koi [M3].
AAYTA ПРОВЛНМАТА
EEOTEPIKA TINOMENA
7.57. Na елаХт]0ебоете oti to ларакатсо eivai еосотерисб yivopevo otov R2, олоо u=(xbx2) Kai
у=(УьУ2):
/(“-») » - 2x^2 - 2xjy| + 5x^2
7.58. Na Ppevre Tig Tipeg tov k yia Tig олошд то ларакатсо eivai еосотерисб yivopevo otov R2, олоо
u=(xbx2) koi v=(yby2):
f(u, v) = *17! - 3x^2 - ЗХ2У1 + kxjy2
7.59. ©ecopeiote та SiavvopaTa u=(l,-3) koi v=(2,5) otov R2. Na Ppeire:
(а) То <(u,v)) cog лрос; то ouvr]0cop6vo eocotepiko yevopsvo otov R2.
(P) To <(u,v)) coc; лрос; то Еосотврскб yevopsvo otov R2 too ПрорЦратод 7.57.
(у) To ||v||, хрг|осролоссЬутад то ouvrjOeopsvo Еосотврскб yevopsvo otov R2.
(5) To ||v||, хрвосролоссоусад то Еосотврскб yevopsvo otov R2 too ПрорЦратод 7.57.
7.60. Na Secrete отс to KaOsva ало та акбХоиОа Sev Eivac Еосотврскб yevopsvo otov R3, олоо
u=(xbx2,x3) кас v=(yI,y2,y3):
(a) «u,v))=X|y|+x2y2 кас (p) <(u,v))=X|y2x3+y|X2y3.
7.61. 'Еотсо V о ScavuoparcKog xebpoc; mxn лсуаксоу лаусо otov R. Na Secrete otc t] (<A,B))=tr(BTA)
OpC^EC Eva EOCOTEpCKO yevopsvo otov V.
7.62. УлоОеоте otc |«u,v))|=||u|| ||v||. (AriXaSi], т] аусодтцта Cauchy-Schwartz ауаувтас oe собтт|та.)
Na Secrete otc та u кас v Ecvac ураррска Е^арттщЕуа.
7.63. УлоОеоте otc та f(u,v) кас g(u,v) Ecvac восотврска yevopsva oe Eva бсауиоратскб xcbpo V лаусо
otov R. Na алобве^ЕтЕ отс:
(a) To aOpocopa f+g Ecvac Еосотврскб yevopEvo otov V, блои (f+g)(u,v)=f(u,v)+g(u,v).
(P) To РаОреотб yevopsvo kf, yea k>0, Eivac Еосотврскб yevopsvo otov V, блои
(kf)(u,v)=kf(u,v).
OP0OFQNIKOTHTA, OP0OFQNIA ЕУМПАНРЛМАТА, OP0OFQNIA EYNOAA
7.64. 'Еотсо V о ScavuoparcKog xebpoc; noA.ucovupcov ps PaOpo <2 лаусо ото R, це Еосотврскб yevopsvo
лои орс^втас ало tt|v <(f,g))= £ . Na ррвств pia Раот] тои илохсорои W, о олоеод
Eivac opOoyebveog лрос; то h(t)=2t+l.
7.65. Na Ppsirs pia Раот] тои илохсорои W тои R4, о олоеод Eivac opOoyebveog лрод та U|=(l ,-2,3,4)
кас и2=(3,-5,7,8).
7.66. Na Ppsirs pia Раот] тои илохсорои W тои R5, о олоеод sivac opOoyebveog лрод та Scavuopara
и]=( 1,1,3,4,1) кас и2=( 1,2,1,2,1).
7.67. 'Еотсо то w=( 1 ,-2,-1,3) sva Scavuopa otov R4. Na ppsirs:
(a) pia opOoyebvea Paor] yea to w1 »(P) Pa орОокауоускг] Paor] yea to w1 •
7.68. 'Eotco W о илохсород тои R4, о олоеод sivac opOoyebveog лрод та U|=(l, 1,2,2) кас и2=(0,1,2,-1).
Na Ppsirs:
(a) pia opOoyebvea Paor] yea tov W, (P) pia орОокауоускг] Paor] yea tov W. (Еиукрсубтв ps to
ПрбрАл]ра 7.65.)
7.69. 'Eotco otc to S алотеХгётае ало та акбХоиОа Scavuopara otov R4:
q= (1,1,1,1),
u2= (1,1,-1,-1),
u3= (1,-1, 1,-1),
(a) Na берете oti to S eivai opOoycbvio Kai eivai pia Paoq too R4.
(P) Na урац/ете то v=(l,3,-5,6) co<; ypappuco ouv6uaopd tcov ub u2, u3, u 4
(y) Na Ppene tu; ouvreTaypevec; evoc; auOaiperou 6iavvopaTO<; v=(a,b,c,d) orov R4 coc;
ярое; тт) Paoq S.
(5) Na KavoviKOnoiTjaeTe to S yia va прокиц/ei pia opOoKavovucf) pden] tov R4.
7.70. 'Еотсо о М=М2,2 pe еосотерисб yivopevo <(A,B))=tr(BTA). Na берете oti to ларакатсо eivai
pia opOoKavovucf) pdor| yia tov M:
IP :] [: ;] [: П [: Я
7.71. 'Еотсо о M=M2,2 ре еосотерисб yivopevo <(A,B))=tr(BTA). Na Ppene pia opOoycbvia pdor| yia
to opOoycbvio crvpnXqpcopa: (a) 6iaycbvicov nivaKcov, (P) ovppeTpuccbv nivaKcov.
7.72. УлоОётоута^ oti to {ubu2>...,ur} eivai eva opOoycbvio ovvoXo 6iavuopaTC0v, va берете oti to
{k|Ubk2u2,...,krur} eivai eva opOoycbvio ovvoXo yia опоюиобт|поте apiOpouc; kbk2,.. ,,kr
7.73. 'Еотсо oi U koi W unoxcbpoi evoc; x®Pou еосотерисоб yivopevov V, nenepaopevq^ 6idoraor|<;.
Na берете oti:
(a) (17+ИЗ1 = и1ПЙ'1, (P)(UnfP)1 = U1 + Hrl.
ПРОВОАЕЕ, ААГОР10МОЕ GRAM-SCHMIDT, ЕФАРМОГЕЕ
7.74. Na Ppene то ouvTeXeorq Fourier c koi rqv npoPoXq cw tov v ката pqKoc; tov w, onov:
(a) v=(2,3,-5) koi w=(l,-5,2) otov R3.
(P) v=(l,3,l,2) Kai w=(l,-2,7,4) orov R4.
(y) v=t2 koi w=t+3 otov P(t), pe еосотерисб yivopevo <(f,g))= £ .
(6) v=[j 4^ Kaiw=[* 1] otov M=M2,2, pe еосотерисб yivopevo ((A,B))=tr(BTA).
7.75. 'Еотсо U о unoxebpoc; tov R4 лои napayerai ало та
V! =(1.1.1,1), t>2 = (1, —1,2,2), v3 = (1.2, -3,-4)
(a) Na есраррбоете tov aXyopiOpo Gram-Schmidt yia va Ppene pia opOoycbvia Kai pia
opOoKavovucf) Paor| yia tov U.
(P) Na Ppene rqv npoPoXq той v=(l,2,-3,4) navco otov U.
7.76. YnoOerovra^ oti v=(1,2,3,4,6), va Ppene rqv npoPoXq той v navco otov W, q, pe aXXa Xoyia,
va Ppene to we W nou eXa^ioronoiei to ||v-w||, onou о W eivai о unoxebpoc; tou R5 nou napayerai
and та:
(a) u,=(l,2,1,2,1) koi u2=(l,-l,2,-l,l), (P) v,=( 1,2,1,2,1) Kai v2=( 1,0,1,5,-1).
7.77. ©ecopeiore tov vnoxcbpo W=P2(t) too P(t) це еосотерисб yivopevo ((f,g))= jQf(t)g(t)dt. Na
Ppefre rqv npoPoXq той f(t)=t3 navco otov W. (Уходе ify: Xpqoiponoieiore та opOoycbvia
noXvcbwpa 1, 2t-l, 6t2-6t+l nov PpeOrpcav ото IlpdpXqpa 7.22.)
7.78. ©ecopeioTe tov P(t) pe еосотерисб yivopevo ((f,g))= J i f(f)g(t)dt Kai tov vnoxcbpo W=P3(t).
(a) Na Ppefre pia opOoycbvia Paoq tov W ecpappo^ovrag tov aXyopiOpo Gram-Schmidt
ото {1, t, t2, t3}.
(P) Na Ppefre rqv npoPoXq tov f(t)=t5 navco otov W.
OPGOrftNIOI ПЖАКЕЕ
7.79. П6001 Kai noioi eivai 012 x 2 opOoycbvioi nivaKeg rqg popeprig Q * ] •
7.80. Na Ppefre eva 3x3 opOoycbvio nivaKa P tov onoiov 01Svo npebreg ураррёд va eivai noXAanXaoia
tcov u=( 1,1,1) Kai v=( 1 ,-2,3) avrioroixa.
7.81. Na Ppefre eva ovpperpuco opOoycbvio nivaKa P rov onoiov r| npcbrq ypappq va eivai q (1/3,
2/3,2/3). (EvyKpivere pe to IlpdpXqpa 7.32.)
7.82. Лёре 6n Svo npayparucoi nivaKeg A Kai В eivai opOoycbvia looSvvapoi eav vnapxei evag
opOoycbviog nivaKag P тётоюд chore B=PTAP. Na Severe on q охёот] avrq eivai pia oxeoq
looSvvapiag.
©ETIKA OPIEMENOIIIINAKEE KAI ЕЕПТЕР1КА HNOMENA
7.83. Na Ppefre rov nivaKa A nov avanapiora то avvqGiopdvo еосотерисб yivopevo otov R2 cog npog
rqv KaOepia and ng паракатсо Paoeig:
(a) {V| =(1,4), v2 = (2,-3)}, (8) (w,» (1,-3), m-2 = (6,2)}.
7.84. ©ecopeiore to e£qg еосотерисб yivdpevo otov R2:
/(и, v) = XlX! - 2xiy2 - 2Х2У1 + 5Х2У2. 6nov И = frl. x2) V = (У1. л)
Na Ppefre rov nivaKa В nov avanapiora то еосотерисб avro yivopevo otov R2 cog npog rqv
KaOepia and ng Paoeig rov IIpopXqpaTog 7.83.
7.85. Na Ppefre rov nivaKa C nov avanapiora rq ovvqOiopdvq Paoq otov R3 cog npog rq Paoq S rov
R3 q onoia anoreXefrai and ra Siavvopara Uj=( 1,1,1), u2=( 1,2,1), u3=(l,-l,3).
7.86. 'Еотсо о V=P2(t) pe eocorepuco yivdpevo ((f,g))= £ f (t)g(f)dt.
(a) Na Ppefre to ((f,g)), dnov f(t)=t+2 Kai g(t)=t2-3t+4.
(P) Na Ppefre rov nivaKa A rov eocorepucov yivopdvov cog npog rq Paoq {1, t, t2} rov V.
(y) Na enaXqOevoere to ©ecbpqpa 7.16, SqXaSq dn ((f,g))=[f]TA[g] cog npog rq Paoq
{l.t, t2}.
7.87. Na лрообсорсоете лосос ало тоид mo катсо лсуакед eivai бепка opiapevoi:
(a) [J ’].<» [2 *], « [5 ?] CT [_‘
7.88. Улобётоутад 6ri oi A Kai В eivai бепка opiapevoi nivaKeg, va Severe oti: (a) о A+B eivai
бетска opiopevog Kai (P) о kA eivai бепка opiopevog yia k>0.
7.89. Улобётоутад oti о В eivai evag лраурапкбд, pr)-c6ca£cov лсуакад, va берете oti: (a) о BTB
eivai оорретрскбд Kai (P) о BTB eivai бепка opiopevog.
М1ГАА1КО1 ХПРО1 EEQTEPIKOY TINOMENOY
7.90. Na елаХ^беоаете oti
(в]»] + a2u2 + b2Vi) = i>i) + аЛ(<<1.+a2bi(u2, + a2bi(u2, v2)
ГeviKOTepa, va алобефте 6ti (££, aiuh EJLi W = Z,tJ a^h v,).
7.91. ©ecopeiare та u=(l+i, 3,4-i) Kai v=(3-4i, 1+i, 2i) otov C3. Na Ppene та:
(a) «u,v)), (p) «v,u)), (y) ||u||, (5) ||v||, (e) d(u,v).
7.92. Na Ppevre то аиутеХеатт| Fourier c Kai tt|v лророХт] cw tcov:
(a) u=(3+i, 5-2i) ката рт|код tov w=(5+i, 1+i) arov C2,
(P) u=(l-i, 3i, 1+i) ката рт|код tov w=(1, 2-i, 3+2i) arov C3.
7.93. 'Еатсо 6п та u=(zbZ2) Kai v=(wbw2) avf|KOvv arov C2. Na елаХс]беооете 6п то ларакатсо
eivai eva еосотерисб yivopevo arov C2:
/(и, v) = zt й-j + (1 + Oqwfc + (1 - OzjWj + 3z2w2
7.94. Na Ppeire pia op6oycovia Kai pia op6oKavovucr| paarj yia tov олохсоро W rov С3 лоо ларауетас
ало rau]=(l,i,l) Kai u2=(l+i, 0, 2).
7.95. 'Еатсо on та u=(zbz2) Kai v=(wbw2) avf|KOov arov С2. Tea лосед пред tcov a,b,c,de C eivac to
ларакатсо eva еосотерисб yevopevo arov C2;
f(u, v) = azjW! + bz}w2 + cz2w} + dz2w2
7.96. Na алобеИдете tt|v mo катсо popcpf] yea eva еосотерисб yevopevo ae eva рсуабскб X“P° V:
(u, v) = I ||u + vll2 -1 ||u - v||2 +1 ||u + w||2 -1 ||u - w||2’
[SuyKpivere pe то ПрбрАл]ра 7.7(P).]
7.97. Eav о V eivac evag лраурапкбд X“P°? eocorepucoo yevopevoo, va берете отс:
(a) ||u||=||v|| eav кас povo eav «u+v, u-v))=0,
(P) ||u+v||2=||u||2+||v||2 eav кас povo eav «u,v))=0.
Na берете це avrmapaSeiypara oti oi mo navco iSiorrireg 8ev aXr|0evovv, yia napaSeiypa, yia
tov C2.
7.98. Na Ppevre tov nivaKa P nov avanapiora to ovvr|0iopevo еосотергкб yivopevo otov C3 cdc; npog
тт] Раот] {1, l+i, l-2i}.
7.99. 'Evag piyaSiKog nivaKag A eivai povaSiaiog eav eivai avriorpevipog Kai A’,=AH. EvaXXaKriKa,
о A eivai avTiorpe\|/ipog eav oi урарред (otf|Xeg) той oxqpari^ovv eva op0OKavoviK6 ovvoXo
Siawoparcov (cog npog to ovvr|0iopevo еосотерисб yivopevo otov Cn). Na Ppeire eva povaSiaio
nivaKa той onoiov r| прсотт) ypappf] va eivai: (a) noXXanXaoio rov (1, 1-i), (P) noXXanXaoio
““(г
NOPMAPIEMENOI AIANYEMATIKOI XftPOI
7.100. ©ecopeiore ra Siavvopara u=(l,-3,4,l,2) Kai v=(3,1,-2,-3,1) otov R5. Na Ppeire ra:
(a) ||u||. Kai ||v||», (p) ||u||] Kai ||v||,, (y) ||u||2 Kai ||v||2, (8) d»(u,v), d,(u,v), d2(u,v).
7.101. Na enavaXaPere то ПрбрХт|ра 7.100 yia ra u=(l+i, 2-4i) Kai v=(l-i, 2+3i) otov C2.
7.102. ©ecopeiore rig ovvaprf|oeig f(t)=5t-t2 Kai g(t)=3t-t2 otov C[4,0]. Na Ppeire ra:
(a)d.(f,g), (P)d,(f,g), (y)d2(f,g).
7.103. Na anoSei^ere ori:
(a) H ||-|| j eivai pia voppa otov Rn.
(P) H ||-||» eivai pia vdppa otov Rn.
7.104. Na anoSei^ere on:
(a) H II-IIj eivai pia voppa otov С[а,Ь].
(P) H ||-||» eivai pia voppa otov C[a,b],
AIIANTHEEIE AAYTQN IIPOBAHMATQN
XvfiPohafidq: о M=[Rb R2; ...] ovpPoXi^ei eva nivaKa M pe урарред Rb R2,...
7.58. k>9
7.59. (a)-13,(P)-71,(y) 729,(5) 789
7.60. 'Еотсо u=(0,0,1). Tore, Kai orig Svo nepinrcboeig, ((u,u))=0.
7.64. (7/2 _ 5,. 12/2 _ 5}
7.65. {(1,2,1,0), (4,4,0,1В
7.66. (-1.0.0,0,1). (-6,2,0.1.0), (-5,2,1.0,0)
7.67. («) (0,0.3,1). (0.3. -3.1). (2,10. -9,3),
(b) (0,0,3.1)/VTO. (0.3, -3,1)/719, (2,10. -9.3)/T194
7.68. (®) (0.2,-1,0), (-15.1,2,5). (b) (0,2,-1,0)/75, (-15,1,2,5)/T255
7.69. (6) v = J (5u, + 3u2 - 13u3 + 9u4),
(c) [v] = | [e + 6 + c + 4, a + b — c — d, a — b + c — d, a — b — c + d]
7.71. (a) [0,1; 0,0], [0,0; 1,0], (b) [0,-1; 1,0]
7.74. W c = ~w (*) c = |. («) c = &, (<0 c = £
7.75. (a) w, = (1,1,1,1), w2 = (0, -2,1,1), w3 = (12, -4, -1, -7),
(6) proj(v, I/) = £(-14,158,47,89)
7.76. (a) proj(v. IF) = |(21,27,26,27,21),
(P) BpioKOvpE ярсота pia opOoycbvia Раац yia tov W, yia ларабЕгура,
1
w,=(l,2,l,2,l)Kaiw2=(0,2,0,-3,2). Tote, proj(v,W)=— (34,76,34,56,42).
7.77. proj(/, lF) = |/2-|/ + £
7.78. (a) (1. г, З/2-!, 5?-3r), proj(/, W) = = fit
7.79. ТЁаоЕрц: [a, 6; b, -a], [a, b; -b, -a], [a, -6; b, a], [a, -b; -b, -а] блои a= ~ Kai b= - V8
7.80. P = [1/a. 1/a. 1/a; M*. -2/6,3/6; 5/c, -2/c, -3/c], блои а = 7з, 6 = V14, с = Т38
7.81. J[1.2,1; 2,-2,1; 2,1,-2]
7.83. (a) [17,-10; -10,13], (6) [10,0; 0,40]
7.84. (a) [65,-68; -68,25], (6) [58,16; 16,8]
7.85. [3,4,3; 4,6,2; 3,2,11]
7.86. (a) И’ W [l»a, 6; a, 6, c; 6, c, d], where a = J, 6 = |, c = |, d = |
7.87. (a) 'Oxi, (p) Nai, (y) Oxi, (5) Nai.
7.91. (<») -4i, (6) 4i, (с) 728, (4) ЛТ, (e) 759
7.92. («) c = £(19-51), (6) c = £(3 + 60
7.94. (vi=(l.i.l)/73, v2 = (2i, l-3i, 3-0/724}
7.95. Oi a Kai b Eivai лрауратиаи Kai Oetikoi, evco oi c=fr Kai ad-bc Eivai Oetikol
7.97. u = (l,2), v = (i,2i)
7.98. ^ = П. l-«. 1+2/; l+i. 2, -2 + 3i; l-2i, -2-3i, 5]
7.99. («О (1/ЛМ1. 1-i: l+i. -1].
(ft) [a, ai, a — ai; bi, -b, 0; a, -ai, -a+ ai], where a = | and ft = l/>/2.
7.100. (a) 4 Kat 3, (P) 11 Kat 13, (у) 7Й ^24 > (5) 6, 19, 9
7.101. (a) V20 Kat 713 , (P) 71 + 720 Kat Тг+ТЙДу) 722 Kai 715,(5)7,9, ^53
256
7.102. (a) 8, (P) 16, (y) —
KccpdXaio 8
OPIZOYZEZ
8.1. Е1ЕАГПГН
Ztov кабе n-TETpaycoviKO nivaKa А=[а^] avaxiGETai evag Ei8iKog apiQpog nov ovopa^ETai opUpvaa
tov A Kai ovpPoXi^ETai це det(A) (npoepxEtai ano тт| Щт] “determinant” nov cnmaivEi opi^ovoa) tj
|А|П
«11 «12 ••• «1»
«21 «22 • • • «2л
«wl an2 am
Tovi^Exat oti r| парата^г| nxn otoixeicov nov пЕргкХЕитаг ano 8vo кабЕТЕд уращхЁд Kai koAeitoi
opi&vaa ra^rjg n, 8ev sivai nivaKag, aXAa ovpPoXi^si tt]v opi^ovoa vqg nEpiKAsiavrig avrqg парата£г|д
otoixeicov, 5r]AaSr| tov nspiKXEiorov nivaKa.
H ovvapTTicrq тт]д opi^ovoag ауакаАо<р9т)К£ apxvca ката тт| SiapKEia тт|д 5iEp£vvT|or|g оуоттщотсоу
урацщксоу e^iocooecov. 'Oncog 9a Зоуце, t] opi^ovoa Eivai Eva апараггт|то EpyaXEio yia п] 3i£p£vvT]OT|
tcov i8iott|tcov tcov TETpaycoviKcbv nivchccov, aXXa Kai yia tt| Xt|1|/t| vecov i5iott|tcov.
О орюцбд Kai oi пЕрюобтЕрвд ano Tig 18ютт|Т£д тдд opi^ovoag Ecpappo^ovrai Eniorjg Kai ott|v n£pi-
ЛТСООТ] onov oi KaraxcopioEig svog nivaKa npoEpxovrai ano sva ЦЕтарапко ЗактиХю.
0a ^ekivt|oovji£ це Tig EiSiKsg nspinTcboEig tcov opi^ovocov tc^ecov 1, 2 Kai 3, Kai аруотвра 9a
opioovjiE Tig opi^ovoEg av9aip£TT|g Ta^Tjg. KpivsTai бцсод avayKaio va npOT|yr|9£i tov yevikov avrov
opiojiov тт)д opi^ovoag pia avacpopa orig ц£та9£ОЕ1д.
8.2. OPIZOYZEZ TAZHZ 1 KAI 2
Oi opi^ovoEg Ta^scov 1 Kai 2 opi^ovrai cog E^pg:
laul=an koi
I «11 «12 I
I «21 «22 I
= «11 «22 ~«12«21
Ката ovv£n£ia, r| opi^ovoa svog 1 x 1 nivaKa A=[a] j ] sivai о iSiog о api9ji6g a] j, 8г|Аа8т| det(A)=|a] ] |=a 11.
H anojivrigovEVOT] тцд opi^ovoag Ta^rjg 2 yivsrai mo evkoAtj це tt| XPH^l tov aK6Xov9ov 8юураццатод:
H opi^ovoa, 8r|Xa8f|, ioovtoi |ie to yivopEvo tcov otoixeicov ката цт|код tov 9etikol проотщаоцвуоу
PfiAovg psiov to yivojiEvo tcov otoixeicov ката цт|код tov apvqTiKa проотщаоцЕУОУ pEXovg. (Xprjotpo-
поюоцЕ Eva avaXoyo бшурацца yia opi^ovosg та^цд 3, aXXa oxi Kai yia opi^ovosg psyaXvTEpcov
to^ecov.)
Парббегура 8.1.
(а) КабсЬд г| opi^ouoa та^г|<; eva eivai о i6io<; о арсбрбс;, ёхоире:
det(27) = 27. det(-7) = -7. dct(f - 3) = t - 3
(P) J* ’| =5(6)-3(4) = 30- 12= 18. |J ^1=21 + 10 = 31
Ефарроут] отц Граццисёс; Е^юсооек;
Ас; 6ecopqaoupe био ураррисёс; е^юсоаеи; це Suo ayvcborouc;, yia napaSeiypa тк;
а,х + 6,у = с1
ay + by = с2
koi еотсо D=a}b2-a2b\ т| opi^ouaa тои nivaKa ouvTeXeoTcbv. Тбте, то ouorqpa exei pia povaSucq Xuoq
eav koi povo eav D*0. Ее pia тётою nepinrcooq, r| povaSucq Xuoq pnopei va ексрраате! nXqpcoc;
ouvaprqoei tcov opi^ouocbv co<; e£q<;:
b2Cj - bjC2
D axb2 — a2bx
Ci £>i
c2 b2
ai bx
a2 b2
fli C1
Ny atc2 — a2ct a2 c2
У D axb2 — a2bx Zq
a2 b2
EScb r| D epcpavi^erai otov napovopaorq koi tcov Suo nqXiKcov. Oi ар10рт|тё<; Nx koi Ny tcov nqXiKcov
yia та x koi y, avrioroixa, pnopouv va Xqcp6ouv аупкабютсоусас; otov nivaKa ouvreXeorcbv тт| orqXq
tcov ouvreXeorcbv тои ЗеЗорёуои ayvcborou pe тт| orqXq tcov отаберсоу opcov. Ano Tqv aXXq, eav D*0,
тбте то ouorqpa pnopei va pqv ёхес Xuoq q pnopei va ёхес nepiooorepec; ano pia Хиаек;.
llapdSeiypa 8.2. Na Хиоете pe opi^ovoec; to ovoTqpa
4x-3>= 15
2x + 5>= 1
BpioKovpe прсота Tqv opi^ovoa D too nivaKa ovvTeXeoTcbv:
D=|j ’|=4(5)-(-3X2) = 20 + 6 = 26
Ecpooov D#0, to ovoTqpa ёхес pia povaSiKq Xuoq. Tia va Рроире тои<; aplбpqтё<; Nx Kai Ny, anXa
аупкабютоире otov nivaKa оиутеХеотсЬу тои<; оиутеХеатёс; tcov x koi y, avrioTOixa, pe тои<; отаберои^
opovc;, koi oTq оиуёхею naipvoupe тк; ор^оиоё^ тои<;:
Тбте, q povaSiKq Xuoq тои оиатт|рато<; eivai q
78 ,
X = -D=26 = 3-
Ny -26
D ~ 26
8.3. OPIZOYEEE TASHE 3
©ecopovpe ёуа аиба!рето 3x3 nivaKa А=[а^]. H opi^ouoa tou A opi^eTai coc; e£q<;:
|«11 a12 а13
det(/l) = a21 a22 a23
I «31 a32 a33
= «11«22«33 + al2a23a3l + al3a21a32 ~ «13«22«31 ~ «12«21«33 ~ «11«23«32
ПараттщооцЕ oti vnapxovv £^i yivopeva, to Ka0sva ало та onoia anoTeXeiTai ano тр(а OTOixeia tov
apxiKov nivaKa. Tpia ano та yivopeva аота eivai 0etikci проотщаощуа (5iarr|povv то проотщо tov;),
evco та vnoXoina Tpia sivai apvr|TiKa npocrr|paap£va (aXAa^ovv то проотщо tov;).
Та бшураццата ото ЕхПМа 8.1 poi]0ovv ott|v anopvr]p6vEVOT| tcov ф napanavco yivopEvcov ott|v
det(A). H opi^ovoa, Зт|ка5т|, ioovtoi це to а0роюца tcov yivopsvcov tcov oToixeicov ката щ)ко; tcov
Tpicbv 0ЕТ1ка проотщаоцЕУСОУ PeXcov tov Ехпцато; 8-1, ovv to аОроюца tcov apvr|TiKcbv tcov yivopsvcov
tcov oToixeicov ката цт|ко; tcov Tpicbv apvr|TiKa прост] paopsvcov PeXcov. TovI^etoi oti 5ev vnapxovv
tetoie; бсаураццатскв; SiaTa^Ei; yia tt]v апоцутщоУЕоот] opi^ovocbv цЕуаХотЕрт]; та£т];.
Ехпца 8-1
Парббыуца 8.3.'Еотсо А = I 0 5 -2 I Kai 5=1-4 5 -11. Na Ppeite ti; det(A) Kaidet(B).
XpT]oiponoiov|i£ та бшураццата tov Ехпцато; 8-1:
detGO = 2(5X4) + 1 (-2X1) + Ц-ЗХО) - 1(5X0 - (-3X-2X2) ~ 4(1X0)
= 40-2 + 0-5-12-0 = 21
det(B) = 60 - 4 + 12 - 10 - 9 + 32 = 81
EvalXaKTiKf] Mopcpfj yia pia Opi^ovoa 3
H opi^ovoa evo; 3x3 nivaKa А=[а^] цпор£1 va ^avaypacpsi coc; e^i);:
det(^) — 011(022023 — O23O32) — Oi2(a2]a33 - o23a}|) + o)3(a21a32 — o22a3()
I a22 a231 I о21 o231 I a21 a22
= «11 -«12 +«13
I «32 «331 |a3I a33 j |a3| e32
Eivai, 8т|А.а8т|, Eva; урацщко; ооубоаоцб; Tpicbv opi^ovocbv та^т|; 2,01 ovvteXeote; tcov onoicov (це
ЕУаХХаоооцЕУа проогща) охпцат^ооу tt|v прсотт] ураццт| tov 5е5оцеуоу nivaKa. О урацщко; аото;
ооуЗоаоцб; цпорЕ1 va avanapaoTa0£i це тт| цорсрт|
«11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
«11
-а,2 а2)
«31
«12 «13
«22 «23
«32 «33
«41 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
Zqpetcbverai oti о кабе 2x2 nivaKag pnopei va Xqcp6ei ano rq Siaypacpq, otov ар%гк6 nivaKa, rqg
ypappqg каг Tqg orqXqg лои nepuxovv то ovvtEXEorq too.
IlapdSeiypa 8.4.
= 1(2 - 15) - 2(-4 + 0) + 3(20 + 0) = -13 + 8 + 60 = 55
8.4. META0ELEIE
Mia ц£та0ЕОТ| a too ctvvoXov {1,2,...,n} eivai evag eva-npog-eva цетаохлратюцдд too ovvoXov otov
eavro тои, q, looSvvapa, pia avaSiara^q tcov api6pcbv 1,2,.. .,n. Mia тЁтога pera6eoq о ovpPoXi^Erai
це
° =^2 ’' 6лои ji=°0)
То ovvoXo oXcov tcov ретабёоесоу avTcbv ovpPoXi^Erai це Sn, evcb о аргбцбд tetoicdv ретабёоесм eivai
n!. Eav oe Sn, тоте о avriOeTog peraoxqpcmopog o-1e Sn, evcb eav о,те Sn, тбте о цетао^цатюцбд-
ovvOeoq ооте8п. Enioqg, о таототисбд цетаохдцатюцбд e=oooeSn. (Erqv npaypaTiK6rqra,
e=123...n.)
Парйбесуца 8.5.
(a) Ynapxovv 2!=2-l=2 цетабёоесд ото S2: eivai to 12 Kai to 21.
(P) Ynapxovv 3!=1-2-3=6 цетабёое1д ото S3: eivai та 123, 132, 213, 231, 312, 321.
To Ilpdoqpo (q q looripia) piag MeTdOeaqg
©ecopovpe ц1а av6aiperq цетабесл] о ото Sn, yia napaSeiypa Tqv o=j i j2, • • • jn- Лёре oti q о eivai apna
q nepirrq pera6£oq, avaXoya pe to eav о api6p6g tcov avriorpocpcbv orqv о eivai apnog q nepivrog. Me
tov 6po avrioTpocpq orqv о ewoovpe ёуа ^evyog aKepaicov (i,k) тётою chore i>k, аХХа to i va npoqyeirai
rov k orqv o. Tore, to npooqpo q q looripia rqg о ovppoXi^erai pe sgn о (проёрхетас ano rq Xe£,q
“sign” nov oqpaivei npooqpo) Kai opi^erai ano rqv
sgn o=
1 eav t] a eivai apna
-1 eav tj a eivai nepirnj
napdSeiypa 8.6.
(a) Na ppeire to npooqpo rqg o=35142 ото S5.
Tia то кабе otoixeio k, perpape rov api6po rcov otoixeicov i yia та onoia i>k Kai to i va
npoqyEirai tov k orqv o. Ynapxovv:
2 api6poi (to 3 Kai to 5) peyaXvrepot Kai npoqyq66vreg tov 1,
3 api6poi (to 3, to 5 Kai to 4) peyaXvrepoi Kai npoqYqбёvтeg tov 2,
1 apiOpo; (то 5) peyalvrepo; koi npoT|yr|0ei; тои 4.
(Р) Н таотопкт] рета0еат] е= 123... n sivai apria етсетбт] 5ev vnapxovv avriarpocpe; астр e.
(у) Eto S2, t| рета0еат| 12 sivai apria, evco t| рета0еат| 21 sivai пергттт]. Eto 5s S3, oi peraOeaei;
123, 231, 312 eivai apme;, svcb oiperaOeaei; 132, 213, 321 eivai nepivre;.
(5) 'Еатсо т t] цетабеот] nov avraXXaaaei apoiPaia tovc; apiOpov; i Kai j Kai acpf|VEi aca0epov;
tovc; vnoXotnov;. Лт)Ха8т],
r(i)=j, T(j)=i, т(к)=к onov k#i j
H т Xeyerai avapetdOecnj. Eav i<j, tote vnapxovv 2(j-l=l)+l avriarpocpe; arr|v t, onore t|
avripera0ear| т Eivai nepirrf|.
Паратдрдсл): Mnopei капою; va Sei^ei oti, yia опою8т|поте n, oi piae; ano ri; peraOeaei; ото Sn
Eivai apne;, evco oi vnoXotne; piae; sivai nepirre;. Па napaSeiypa, 3 ano ng 6 peraOeaei; ото S3 sivai
apme; koi 3 sivai nepirre;.
8.5. OPIZOYEEE AY0AIPETHE TASHE
'Еатсо о A=[ay] sva; rerpaycoviKo; nivaKa; ra£r|; n navco as sva ns5io K.
©ecopovpe, sniar|;, sva yivopevo n acoixeicov tov A, tetoio coote ano ttjv ка0е ураррт] va npofipxetai
eva Kai p6vo sva otoixeio, Kai ano tt|v ка0е атт|Хт] va npoepyerai emar|; sva Kai povo sva otoixeio.
'Eva tetoio yiv6p£vo pnopei va ypacprei ott| popcpf)
аУ1а%--а"А
ott|v onoia, 8r)Xa8f|, oi napayovre; npoepxovrai ano бшбохскё; ypappe;, Kai etoi oi npcoroi Severe;
PpioKovrai an] cpvaiKT| aeipa l,2,...,n. Tcbpa, Ecp6oov oi napayovre; npoepxovrai ano бшерорепкё;
arf|Xe;, г) aKoXovOia tcov Sevrepcov Seiktcovapiparcel pia peraOear] a=j,j2..,jn ото Sn. Avriorpocpa, л
ка0е р£та0ЕОТ| ато Sn npoaSiopi^ei eva yivopevo tt|; mo navco popcpf];. Enopevcog о nivaKa; A nepiexsi
n! reroia yiv6peva.
Орюцбд: H opi^ovaa tov A=[aIJ], nov avpPoXi^erai pe det(A) f| |A|, eivai to aGpoiapa oXcov tcov
napanavco n! yivopevcov, onov то ка0е тётош yivopevo noXXanXaaia^erai pe ttjv sgn
a. Ar)XaSf|,
ИI = E(sgn <т)а1ла%...апЛ
О
п и I = Е (sgn а)а Ie( ... ane(n)
H opi^ovaa tov n-rerpaycoviKOv nivaKa A ovopa^erai opi&voa т&к n.
To napaSeiypa nov aKoXov0ei Seixvei oti о napanavco opiapo; PpiaKerai ae avpcpcovia pe tov
npoTjyovpEvo opiapo tcov opi^ovacov та^т|; 1, 2 Kai 3.
IlapdSeiypa 8.7.
(а) 'Еатсо о A=[aH] eva; 1 x 1 nivaKa;. Ecpoaov to Sj exsi pia p6vo ретаОеац, т| onoia eivai артш,
det(A)=aH, о iSio; о apiOpo;.
(P) 'Еатсо о A=[a]J] sva; 2x2 nivaKa;. Eto S2 г) рета0еаг| 12 eivai apna, evco г) рета0еаг| 21 eivai
nepirrq, dpa
det(,4) = I ®n “12 I = aiia^ - al2a2l
I «21 «22 I
(у) 'Еотсо о A=[a,j] evat; 3x3 nivaKat;. Eto S3 oi ретабёоек; 123, 231, 312 eivai apriet;, eveb oi
ретабёоек; 321,213, 132 eivai лерггф, apa
I «11 «12 «13 I
det(4) = a2i a22 = аца^зз + а12а2за}1 + 013021032 - «1з«22«31 ~ «12«21«зз _ «п«23«32
I «31 «32 «зз I
naparqpqoq: KaGcbt; то n au^averai, 0 apiGpot; tcov opcov ott|v орфиаа yiveTai e^aiperiKa peya-
'koq. Tia то Хбуо аито xpqoiponoioupe ёрреае<; peGoSout; yia tov илоХоуюрб орфиасоу, avri той
opiapou rqt; орфиаа<;. Прауратц Ga алоЗефире eva apiGpo i8iott|tcov лои aepopouv Tit; орфиае<;,
0 onoiot; Ga pat; елпрёле! va ouvropeuoupe a^iooqpeicora Tout; unoXoyiopout; pat;. 0a Зефире, au-
yKeicpiprva, oti pia орфиаа ra^qt; n laourai pe ёуа ypappiKO ouvSuaopo орфиасоу тоф|<; n-1,6лсо<;
отцу лер1лтсоот| блои n=3 лои eiSape лю лаусо.
8.6. IAIOTHTEE TON OPIZOYEftN
0a Зоире тсора pia Мата PaaiKcbv i8iott|tcov rqt; орфиаа<;.
©ecbpqpa 8.1: H орфиаа evot; л1уака A Kai тои avaarpoepou тои Ат laouvrai. AqXaSq, |А|=|АТ|.
Алб аито то Gecbpqpa (лои anoSeiKvuerai ото IlpopXqpa 8.22), олоюЗт|лоте Gecbpripa yia tt|v
орфиаа evot; л1уака А лои Ga асрора тк; ураррёд тои A, Ga ё%е1 ёуа avaXoyo лро<; аито Gecbpripa лои
Ga асрора тк; arqXet; тои А.
То enopevo Gecbpripa (лои anoSeiKvuerai ато IlpopXqpa 8.24) pat; Sivei Siacpopet; леригтсоаек; атк;
олоф г| орфиаа рлоре! va XqcpGei apeaa.
©ecbpqpa 8.2: 'Еатсо о А ёуа<; TeTpaycoviKot; л1уака<;.
(i) Eav о А ё%е1 pia ypappq (arqXq) pqSeviKcbv, тоте |A|=0.
(ii) Eav о А ё%е1 Suo rauToaqpet; ураррёд (arqXet;), тоте |A|=0.
(iii) Eav 0 A eivai rpiycoviKot;, eav ё%е1 SqXaSq pqSeviKa лаусо q катсо ало Tq 81a-
ycbvio, тоте |A| = to yivopevo tcov Siaycbvicov aroixeicov. 'Etoi, оиукекрсрёуа,
|I|=1, блои о I eivai о rauroriKOt; nivaKat;.
To enopevo pat; Gecbpqpa (лои anoSeiKvuerai ата npopXqpara 8.23 Kai 8.25) pat; Seixvei то лсо<;
eлqpeoфтal q орфиаа evot; л1уака ало rout; aroixeicbSeit; ретаохпратюроид ypappcbv Kai oTqXcbv.
©ecbpqpa 8.3: Уловётоире oti о В XapPaverai ало tov A pe ёуа OToixeicbSq ретаохпратюрб ypap-
pebv (OTqXcbv).
(i) Eav avraXXaxGqKav apoiPaia Зио ураррёд (otqXet;) тои А, тоте |B|=-|A|.
(ii) Eav noXXanXaoiaoTqKe pia ypappq (orqXq) тои A pe ёуа apiGpo k, тоте
|B|=k|A|.
(iii) Eav лpoaтёGqкe ёуа лоХХалХааю piat; ypappqt; (arqXqt;) тои A ae pia aXXq
ypappq (orqXq) тои А, тоте |B|=|A|.
Oi Mei^ovet; ISidrqret; tcov Opi^ouocbv
0a бштилсоооире тсора био ало та лю oqpavriKa кас лю %pr|oipa Oecopqpara navco отк; opi^ouoet;.
0есЬрт|ра 8.4: Н opi^ouoa тои yivopevou био nivaKcov А кас В Eivai то yivopevo tcov opi^ouocbv Tout;,
5qXa5q
det(AB) = det(/4) det(B)
To Oecbpqpa аитб pat; Xeei oti q opi^ouoa eivai pia noXXanXaoiaoTiKq ouvaprqoq.
Oecbpqpa 8.5: Eav о A eivai evat; rerpaycoviKOt; nivaKat;, тбте та ларакатсо eivai looSuvapa:
(i) О A eivai avrioTpeipipot;, e%ei 5qXa5q avriorpocpo, rov A'1.
(ii) To AX=0 e%ei povo rq pqSeviKq Xuoq.
(iii) H opi^ouoa rou A eivai 5iacpopq rou pqSevot;, 5qXa5q det(A)#0.
naparqpqcrq: AvaXoya pe to ouyypacpea тои каОе РфХюи, evat; pq-i5ia£cov nivaKat; A opi^erai va
eivai evat; avriorpeipipot; nivaKat; A, q evat; nivaKat; A yia tov onoio |A|*0, q evat; nivaKat; A yia tov
onoio to AX=0 e%ei povo rq pqSevucq Xuoq. To mo navco Oecbpqpa 5ei%vei oti oXoi auroi oi opiopoi
eivai ioo5uvapoi.
0a anoSei^oupe та ©ecopqpara 8.4 koi 8.5 (ота ПрорХт|рата 8.29 Kai 8.28 avrioroixa) xpnaiM0'
noicbvrat; rq Oecopia rcov otoixeicoScov nivaKcov koi to акбХоиОо Xqppa (nou anoSeucvuerai ото Прб-
pXqpa 8.26), то onoio eivai pia eiSucq nepinrcooq tou ©ecopqparot; 8.4.
Aqppa 8.6: Eav о E eivai evat; oroixeicbSqt; nivaKat;, тбте, yia onoioSqnore nivaKa A, |EA|=|E||A|.
YnevOupi^erai oti oi nivaKet; A koi В eivai opoioi eav unapxei svac; pq-i8ia^cov nivaKat; P reroiot;
more B=P'1 AP. Xpqotponoicbvrat; rqv noXXanXaoiaoriKq iSiorqra rqt; opi^ouoat; (©ecbpqpa 8.4), pnopei
еикоХа va ano5eixrei (IlpopXqpa 8.31) то паракатсо Oecbpqpa.
©ecbpqpa 8.7: Eav unoOeooupe oti oi A Kai В eivai opoioi nivaKet;, тбте |A|=|B|.
8.7. EAAEEONEE KAI EYMflAPAFONTEE
©ecopoupe eva n-rerpaycoviKO nivaKa A=[ay], Kai еотсо oti о My oupPoXi^ei tov (n-l)-rerpaycoviKO
unonivaKa tou A nou XapPaverai and rq Siaypacpq rqt; i-ootqt; ypappqt; koi rqt; j-oorqt; orqXqt; тои. H
opi^ouoa |Му| KaXeirai eAdaacov tou oroixeiou ay tou A, evcb opi^oupe tov oupnapayovra tou a,j (nou
oupPoXi^erai pe Ац) va eivai q “npooqpaopevq” eXaoocov:
Ay = (-1)'+Wyl
Eqpeicbverai oti та “npooqpa” (-l)1+j nou ouvoSeuouv th; eXaooovet; oxqpari^ouv eva прбтипо арака
pe + orqv кирю 5iaycbvio:
Tovi^erai oti о My oupPoXi^ei eva nivaKa, evcb о Ay oupPoXi^ei eva apiOpo.
Паратцрдоц: То лроотщо (-l)'+j тоо ооцларауоута Ау оохуа XappavErai xpriaiponoicbvrag то
лрбтоло арака. EoyKEKpipEva, ^EKivcbvrag це + Kai EvaXXdooovxag та лроотща, 5т]Ха5т|
толо0етооце та + каг та - ото катаХХг|Хо твтраусоуо.
ПарАбаура 8.8.'Еотсо л= 4 5 6 . Na Ppeite rig EXaooovEg Kat тоод ооцларауоутЕд лои
I 7 8 9j
акоХоо0ооу: (а) |М23| Kai А23, (Р) |М31| Kai А31.
(а) |И„|= 4 5 б|:=|1 2| = 8-14 = -б. KaiEToi .4и=(-1)2+3|Ми1 = -(-6) = 6
(Р) |Wjil = p 5 б|=|2 3| = 12-15 = -3, Kai etoi Л31 = (-1)1+3|А/31| = +(-3) = -3
То Дуйлтиуца Laplace
Ioxuei то ак6Хоо0о бесортща (лои алобвисубЕтас ото ПрбрХтща 8.32).
Овсордца 8.8: (Laplace) Н opi^oooa evog ТЕтраусоуособ лсуака А=[ац] looorai це to aOpoiopa tcov
yivopevcov лои XapPavovrai лоХХалХасла^оУтад та oroixeia оло1аобт|лот£ ураццбд
(orf|Xr|g) це roog avrioroixoog ооцларауоутед rovg:
ИI = <*nAn + aa^a + • • • + айЗ/л = 22
ИI = OfjAy 4- ayAy + ...+ a„jA„j = £
Oi лю лаусо тило1 yia rr|v | A| ovopa^ovrai ауалтоудата Laplace ттц; opi^oooag rov A cog лрод tt)v i-
oorf| ураццт| Kai rr|v j-oorf| orf)Xr|. Ma^i це rovg otoixeicoSeu; цстаохтщапоцоид ураццсоу (oniXcbv),
цад лроосрЕрооу ц€а це0о8о ал1ооотЕоот|(; тои илоХоуюцоо тт|<; |А|, т| оло(а nspiypacpErai ацЁосод
лю катсо.
8.8. УПОЛОГ1ЕМОЕ OPIZOYEftN
О аХу6р10цо<; лоо акоХоо0£1 eXottcovei tov олоХоуюцо ц(ад opi^oooag та^тц; n otov олоХоуюцб
Ц1ои; opi4oooa<; тоф]д п-1.
AXy6pi0pog 8.1: (ЕХаттсоот] тт><; rd^g piag opi^ovaag) Н вюобод sivai svag цг|-цг|8ЕУ1к6д,
п-т£траусоУ1к6д тауакад А=[ау] це п>1.
Вдца 1. Ел1Хеуооце Eva oroixeio а$=1, f|, еХХец/ei аотоо, а^О.
Вт|ца 2. Хрт|01цоло1сЬутад то сод о8т|уо, Есрарцо^ооцЕ OTOiyEicbSeig цЕтаохгщапоцоид ураццсоу
(отт]ХсЬу) yia va толо0етт|оооц£ цт|б£У1ка ое 6Х£д rig олоХоисЕд 0£osig тт]д отт|Хг|д (ураццЁд)
ЛОО ЛЕР1ЕХ61 то ajj.
Bijpa 3. АуалтиоооирЕ tt|v opi^ovoa cog лрод тт| оп]Хт| (ypappij) лои nspisxei то aij.
ПрвлЕ! va or]psico0ovv та s^ng:
Паратдр1]<н) 1: О AXy6pi0pog 8.1 ovvf|0cog хрт|СТ1цоло1Епа1 yia opi^ovosg та^вд 4 f| рбуаХбтбрт]д.
Me opi^ovosg та^цд цгкр6т£рт]д тои 4, хрг|а1цолоюиц£ тоод ovyKEKpipsvovg runovg yia tt)v opi^ovoa.
Паратцрцот] 2: Н апаХокрт) Gauss, r|, ioo8vvapa, т| snavaXapPavopsvr] хрт|сп] той AXyopi0pov 8.1
pa^i ps арофасвд avraXXaysg ypappcbv, pnopsi va ypr|cnponoir|0£i yia va рЕтаахПратгооорЕ sva nivaKag
A oe avco TpiycoviKO nivaKa, i] opi^ovoa tov onoiov 0a Eivai to yivopsvo tcov Siaycbvicov KaTaxcopicjEcbv
tov. Пр£Л£1, соотбоо, va ExovpE vnoi|/T| pag tov api0po tcov apoiPaicov avTaXXaycbv ypappcbv, ка0сод т)
ка0£ apoipaia aviaXXayf] ypappcbv aXXa^Ei то лроот|ро тцд opi^ovoag.
Парабаура 8.9. Na хРВСяропофовтЕ tov AXy6pi0po 8.1 yia va Ppeite tt|v opi^ovoa tov
Хрт)01ролоюбр£ то a23=l cog о5т|уб yia va толо0Етт|ооор£ pr|5EviKa OTig vnoXoinsg 0£OEig тт|д Tpirqg
отт]Хг]д. Ecpappd^ovpE, 8r|Xa5f|, 5ia5oxiKa Tovg рЕтаохвратюробд ypappcbv “Аупкатаотаот] тт]д Rj
p£ -2R2+R|”, “Аупкатаотаот] n]g R3 p£ 3R2+R3” Kai “Аупкатаотаот] тт]д R4 p£ Rj+R*’. Алб то
0EcbpT]pa 8.3(iii), t] npf| n]g opi^ovoag 5ev aXXa^Ei катсо ало avTovg Tovg рЕтаохпратюробд. Evvsncbg
AvanniooovpE, тсора, сод лрод tt|v тр(тт] отт|Хт]. ZvyKEKpipsva, ayvoovps oXovg Tovg opovg лоу
ЛЕртЕхоуу 0 Kai хрт)<лролоюор£ то ysyovog on то лрбот)ро тт|д EXaooovog M23 sivai (-l)2+3=-l.
Елорбусод
-(4 - 18 + 5 - 30 - 3 + 4) = -(-38) = 38
8.9. О KAAEIKOE IIPOEAPTHMENOE
Еотсо 0 A=[a,j] svag n x n nivaKag лаусо oe sva ле51о К Kai eotco on to Ay ovpPoXi^Ei to ovpnapayovra
тои a^j. О кХсипкдд тгроиартгц^ос;tov А, лоу ovpPoXi^ETai p£ adj А (лробрхЕтас алб тт) Xe^t] “adjoint”
лои oqpaivEi лрооартт|р£Уод), Eivai о avaoTpocpog тои лтуака ovpnapayovrcov tov A, 8r|Xa5f]
adjX = H/
ЛбрЕ “кХасякбд лрооартт|рбуод” Kai 6x1 алХа “лрооартт|рЁУод”, yian о брод “лрооартт|р£Уод”
XPT]oiponoiEiTai yia pia TEXfiicog SiacpopsnKi] оутбтт|та ото РфХю аотб.
IlapaSEiypa 8.10.
'Еотсо a =
. Oi оирларауоутЕд tcov Ewsa otoixeicov tov A sivai
01 okoXovOoi:
s|=2’
xa = +|J -}| = и.
О avaorpotpog тои napanav© nivaKa ovpnapayovr©v oSriyei otov kXooiko npooaprripevo тои A,
Зт]ХаЗт| otov
[-18 -11
2 14
4 5
loxvei то 0£©pr]pa nov aKoXov0ei (to onoio ano8eiKvverai ото ПрбрХтща 8.34).
©ewprjpa 8.9: Eav о A eivai evag опоюо8г|поте тетрауамкод nivaKag, тоте
A(adj A)=(adj A)A=I
onov о I eivai о таутопкбд nivaKag. Zvvemog, eav |A|*0,
Л-«=2|(афЛ)
IlapAdeiypa 8.11. 'Еотсо A о nivaKag tov Пара8е1уратод 8.10. 'E%ovpe
det(A)=-40+6+0-16+4+0=-46
Enopev©g о A e%ei avriorpocpo, кац ano то ©ecbpripa 8.9,
й|мл)=
-ii -i»i г i а ап
14 -4 = -£ -я £
5 “8 J |_-£ sJ
8.10. ЕФАРМОГЕЕ ETIE ГРАММ1КЕЕ ESIEHEEIE, О KANONAE TOY CRAMER
Ag 0e©pr|oovpe eva ovorripa AX=B n ypappiKcbv e^iocooecov pe n ayvcborovg. E8cb о A=[aIJ] eivai о
(тетрауаткод) nivaKag ovvreXeorcbv Kai о B=[bJ eivai to 8iawopa отт|Хт]д ora0epcbv. 'Ест© A, о
nivaKag nov XapPdverai ano tov A orav t] i-oorf|g ott|Xt] tov A avrucaOiorarai ano to 8iawopa
отт]Хг|д В. Епшр6о0ета, eor©
D = det(J), Ni = detC^), N2 d det(J2), N„ = det(J„)
AKoXovOei T] 0epeXi©3r]g oxeorj pera^v r©v opi^ovocbv Kai тг|д Xvorjg tov <я>отт|ратод AX=B.
©ecbpijpa 8.10:
To (rerpayrnviKo) ovorripa AX=B exei pia Xvor| eav Kai povo eav D*0. Zrr|v
nepinr©or| avrf|, T] pova8iKi) Xvor| 8iverai ano та
N„
Xi = —;, X2 = , X. =
1 D 2 D " D
To mo nav© 0e©pr]pa (nov ano8eiKvverai ото ПрбрХтща 8.10) eivaiyv©oro ©g Kavovag tov Cramer
yia тт| Хиоц ouorT|pdrcov ypappuabv E^iocboecov. Tovi^erai oti to 0ecbpr|pa аито avacpeperat povo oe
eva оиоттща це tov i5io api0po e^iocboecov koi ayvcborcov, koi oti 5ivei tt| Хиоц povo orav D*0. Ett|v
праурапк6тт|та, Eav D=0, 5ev naipvoupe карта nXripocpopia ало то 0ecbpr|pa yia то ката лбоо то
ovorripa exei Хиот| f| oxi- Потбоо, ott|v nepinrcoor| evoc; opoyevouc; ouorf|paro<;, ioxvei то ак6Хои0о
Xpi]oipo 0ecbpr|pa (то олою ^r|TEiTai va anoSeixrei ото ПрорХг|ра 8.54).
©есоргща 8.11: 'Eva rerpaycoviKO opoyeveq оиотт|ра АХ=0 exei pia pT]-pr|5eviKf| Xuot| Eav koi
povo eav D=|A|=0.
napaSeiypa 8.12. Xpr|oiponoi6vraq opi^ovoec;, va Xuoere to ovorripa :
IX+ ?+ Z= 5
x-2y-3z=-l
2x+ y- z = 3
YnoXoy troupe прсота tt|v opi^ovoa D tov nivaKa ouvreXeorcbv :
D=|l -2 -з| =2-6+1+4 + 3 + 1 =5
Ecpooov D*0, то ovorripa exei pia povaSua] Хиот|. Па tov unoXoyiopo tcov Nx, Ny, Nz, avnKa0ioroupe
avrioroixa roue; ouvreXeorec; tcov x, y, z otov nivaKa ouvreXeorcbv ps roue; ora0epou<; opouc;. Аито рас;
oSpyei ота
Уж = |-1 —2 —з|=20, АГ, = |1 -1 -з| = -10, АГ, = |1 -2 -11 = 15
'Егор т| povaSua] Хиот| тои оиотрратос; Eivai т| x=Nx/D=4, y=Ny/D=-2, z=Nz/D=3,брХабр то Siavuopa
u=(2,-l,0).
8.11. YnOniKANEE, EAAEEONEE, KYPIEL EAAEEONEE
Еотсо A=[a1J] о rerpaycoviKoc; nivaKac; ra^pc; n. ©ecopoupe r ураррёс; Kai г orpXec; tov A. ©ecopoupe,
SpXaSp, eva onoioSpnore ovvoXo I=(i1,i2> - »ir) M® r Seucrec; ypappcbv Kai eva onoioSpnore ovvoXo
J=(jiJ2»- • • Jr) M® r Seiktec; ottiXcov. Tote oi I Kai J opi^ovv sva rxr vnonivaKa rov A, nou oupPoXi^erai
pe A(I;J) koi XapPaverai ano tt| 5iaypacpf| tcov ypappcbv Kai tcov ott|Xcov tod A, tcov onoicov oi 6еЬсге<;
6ev avr|KOuv ото I f| ото J, avrioroixa. Ar|Xa5r|,
^(/;J) = [flrt: sel.teJ]
H opi^ovoa |A(I;J)| KaXeirai cAaaacov too A ra^r|<; r koi r|
1)G+G+-+W>+y1+-+/, j)|
Eivai r| avrioroixn прооцраорЁУТ] EXaoocov. (ZripEicbverai on pia eXooocov ra^r|<; n-1 Eivai pia EXaoocov
oncoc; ekeIvt] ттц; Параурасрои 8.7, evco r| avrioroixi] прооцраорЁУТ] EXaoocov Eivai evac; oupnapayovrac;.)
Eninp6o0Era, eav та I' Kai J' ovpPoXi^ouv, avrioroixa, roue; unoXoinouc; 6еЬссе<; ypappcbv koi orr|Xcbv,
TOTE T]
И(Г;Л1
ovpPoXi^Ei tt| ouрпХгщсорапкг| EXaoocov, кас то прооцро ttjc; (ПрбрХт|ра 8.74) Eivai то i5io pe то
прося] po ттц; i5ia<; ttjc; eXaooovoc;.
Парйбееура 8.13. 'Еотсоо A=[a,j] sva;S-TerpaycoviKognivaKagкасЁотсо 1={ 1,2,4} касJ={2,3,5}.
Тоте, Г={3,5} кас J'={ 1,4}, evco т] avriorocxn eXaoocov |М| кас т] avriorocxn оирлХпрсоратскп eXaoocov
|М'| sivac ос s^ng:
|а12 а13 ai$ I ii
|Л/| = |Л(/; J)| = аи аи a2S Кас |М'| = И (Л •/')! = в31 в34
|<»42 <»43 а4$| 1ая ам1
Кабсод о 1+2+4+2+3+5=17 eivac лерсттод, п -|М| sivacг| яроопраорЁси] eXaoocov, evco п -|М'| sivac п
яроотщаорЁУТ] оъряХт|рсоратскг| sXaoocov.
KYPIEE EAAEEONEE
Mia eXaoocov sivac кирса Eav ос бескгед ypappcbv кас ott|Xcov sivac ос сбсос, n, coo6uvapa, Eav та
Scaycbvca отосхвса rng sXaooovog npoepyovrat апо тт| Scaycbvco too nivaKa. EripEccbvsrac отс to ярбопро
реек; кореек; sXaooova Eivac raivra to +1, кабсод то абросора tcov Secktcov ypappcbv кас rauroonpcov
oTT]Xcbv ярЁябс raivra va Eivac aptco.
Г 1 2 ->1
Парйбгеура 8.14. 'Еотсо л = 3 5 4 . Na Ppecte та аброеоратаС1,С2 кас С3 tcov Kupccov
sXaooovcov тои А, та^тц; sva, био кас rpia avrioroexa.
(a) Ynapxovv rpeig кирсед e^aooove; та^т]; Eva. Aureg Eivac ос
|11=1, |5|=5, |-2|=-2, кас Ётос Cj=l+5-2=4
LripeicbveTai отс то Cj Eivac апХа то ixvog too А, бт]А.абт| Cj=tr(A).
(P) Ynapxouv rpeig трбяос yea va ешХЁ^ооре био and та трса бсауама отосхвса, кас г| кабе eniXoyf]
6ivEc pia EXaooova та^г]д био. АотЁд eivac ос
15 }}- 1-5 41='- I? -SI—
(EripEccbvETac отс ос e^aoooveg аотЁд та^т]д био eivac ос oopnapayovreg А33, А22 кас Ан тои
A, avTioToexa.) Lovencbg
C2=-l+l-14=-14
(у) Ynapxec povo Ёуад тропод уса va eniXe^oope кас та трса аяб та трса бсауама отосхвса.
ЕяорЁуеод т] pova6cKT| eXaoocov та^г]д трса Eivac т] сбса т] opi^oooa тои А. 'Етос
С3=| А|=-10-24-3-15-4+12=-44
8.12. AIAMEPIEMENOII1INAKEE KAI OPIZOYEEE
Н яараураерод аитт| еотса^ес ото ларакатсо бЕсЬрт|ра (то олою алобескуиетас ото ПрбрХт|ра 8.36).
0£<bpi|pa 8.12: Eav илобЁооире отс о М sivac evoq avco (катсо) трсуамкод бшрерюрЁУод
лсуакад ре бсауама отосхвса та А] ,А2,...,АП, тоте
det(Af) = detGO det(H2)... det(Hn)
Парабпуца 8.15.
Na Ppene tt|v |M|, блои M =
-1 513 2 1
’О vi-tj
0 0|3 -1 4
0 Oi 5 2 6
Zr|p£icbv£Tai oti о M Eivai svag avco TpiycoviKog Siapepiopevog nivaKag. YnoXoyi^ovpE tt|v opi^ovoa
tov ка0£ Siaycbviov vnonivaKa:
|-1 5| = 10 + 3 = 13. |3 “I 4 J = —12 + 20+ 30 + 25 — 16 — 18 = 29
Tote |M|=13(29)=377.
Паратпр1]<л]: Eav vnoOsoovpE oti M = j, onov 01 А, В, C, D Eivai TETpaycoviKoi nivaKEg,
tote Sev Eivai navTa аХт}0ед то oti |M|=|A||D|-|B||C|. (ВХепе ПрбрХтща 8.68.)
8.13. OPIZOYEEE KAI ОГКОЕ
Oi opi^ovoEg ayETi^ovrai це Tig ewoieg tov EpPaSov Kai tov букоу cog E^g: 'Еотсо та ubu2,...,un
SiavvopaTa otov Rn Kai еотсо S to (otepeo) параХХ^ХЕпЬтЕбо nov npooSiopi^ETai ano та SiavuopaTa,
5т|Ха5г|,
S={a1u1+a2u2+...+anun: 0<a<l yia i=l,...,n}
(Otov n=2, to S Eivai параХХт]Хбурарро.) 'Еотсо, тсора, oti to V(S) ovpPoXi^Ei tov буко tov S (i) to
EpPaSov tov S OTav n=2). Tote
V(S)= t| andAvTT| Tipi) тт|д det(A)
onov о A Eivai о nivaKag це ypappsg Tevikoi, V(S)=0 Eav Kai povo Eav та SiavuopaTa
ub... ,Un Se охпцат^оуу Eva ovorripa owrEraypevcov yia tov Rn, Зт]Ха8г| Eav Kai povo Eav та Siavvopara
Eivai ypappiKa E^aprqpEva.
napaSeiypa 8.16. 'Еотсо U]=( 1,1,0), u2=( 1,1,1), u3=(0,2,3). Na Ppeite tov буко V(S) tov
napaXXTjXEninESov S otov R3 (Еутща 8-2) nov npooSiopi^ETai and та тр(а SiavuopaTa.
YnoXoyi^ovpe tt|v opi^ovoa tov nivaKa tov onoiov 01 урарред Eivai та ub u2, u3:
|1 1 11 = 3 + 0+ 0 — 0 — 2 — 3 = —2
Ара V(S)=|-2|=2.
8.14. Н OPIZOYEA ENOL TPAMMIKOY ТЕЛЕЕТН
'Еотсо о F svag ypappiKog теХеотд^ ое sva SiawopaTiKd xcbpo V ps пвпЕраорЁУд бюотаод, кас еотсо
А о ппюкад-ауапараотаод too F cog npog какою раод S too V. Tote, opi^ovps ttjv opi^ovoa too F,
кои ypacpsTai det(F), ano ttjv
det(F)=|A|
Eav о В sivai dvag aXXog л1Уакад-ауалараотаод too F cog npog pia аХХд раод S' too V, tote oi А кас
В sivai opoioi nivaKsg (©всордра 6.7) koi apa |B|=|A| ало to ©всордра 8.7. Me aXXa Xoyia, о лю navco
орюрбд det(F) Eivai аув^артдтод ano ttj ооуквкрсрвуд раод S too V. (ЛЁрв oti о орюрод sivai впарксод
opiopevog.)
To 9всордра nov aKoXov9si (to onoio ^TEiTai va anoSsixTsi ото ПрорХдра 8.62) прокуптвс ano
avaXoya 9всордрата os nivaKsg.
©всордра 8.13: 'Еотсо oi F koi G ypappiKoi твХвотЁд oe eva SiawopaTiKd xcbpo V. Tote
(i) det(F°G)=det(F)+det(G).
(ii) О F sivai avrioTps\|/ipoq sav Kai povo sav det(F)#O.
Парйбвгура 8.17. 'Еотсо F о акоХообод ypappiKog тЕХвотдд ото R3 koi еотсо A о nivaKag nov
avanapiora tov F cog npog тд ооуд9юрвуд раод tov R3:
F(x,y,z) = (2x-4y + z, x-2y + 3z, 5x + y-z) Kai Л=^1 -2 3^
Tote
det(F) = И1 = 4- 60 + 1 +10-6-4 =-55
8.15. IIOAYrPAMMIKOTHTA KAI OPIZOYLEL
'Еотсо о V evag SiawopaniKog xcbpog navco oe Eva nsSio K, Kai eotco _^=Vn, бдХабд о .^алотЕХвпа!
ano 6Xsg tu; n-aSsg
A=(AbA2,...,An)
onov та A, sivai SiavvopaTa otov V. loxvovv oi ok6Xov9oi opiopoi.
Орюрбд: Mia ovvdp-гдод D: ovopa^STai noXvypappiKi) sav sivai урарриа) отду ка9в
ovvioTcboa, 5дХа5д:
(i) Eav A=B+C, tote
D(A) = D(..., B + C, ...) = ...) + D(...,C,...)
(ii) Eav A=kB, onov keK, tote
D(A) = D(... ,kB,...) =
XpqoiponoioupE елсотц; tov dpo п-ооттц; ypappiKT] yia pia лоХиурарриа) ouvdpvr|OT],
Eav unapyouv n auviarcboEt;.
Opiopdg: Mia ouvdpvr|(jT] D: _Л->К ovopa^ETai EvaXXaaadp£vr| Eav D(A)=0 ка0Е cpopa лои r| A
e%ei 8uo таитосгг]pa OTOiyEia, 8qXa8r|
D(AbA2,...An) олоте A=AJ(
'Еатсо тсора oti to M aupPoXi^Ei to auvoXo oXcov tcov n-TETpaycoviKcbv nivdKcov A navco oe Eva ле81о
К. О А рлорЕс va 0Ecopr|0Ei cog pia n-a8a лои алотЕХггса! ало та SiavoapaTa урарргц; тои A j, A2,...,A^.
Млороирв, 8т|Ха8т|, va 0£сорт|ооир£ tov А ott| popcpri A=(A1,A2,...,An).
To ларакатсо ©Ecbpqpa (лои anoSEiKvuETai ато ПрдрХг|ра 8.37) характт|р1^Е1 тт) auvdpTT)ar] ттц;
opifpuaag
©Ecbpqpa 8.14: Уларх£1 pia pova8iKT| auvdpTqor] D: M->K тетош coote:
(i) r| D va Eivai лоХиурарриа),
(ii) r| D va Eivai EvaXXaaadpEvr|,
(iii) D(I)=1.
Autt| r| auvapTTjOT] D Eivai r| auvapTTjOT] ттц; opi^ouoag, 8qXaSr| D(A)=|A| yia
олою8т|лоте nivaKa Ac M.
AYMENA ПРОВЛНМАТА
УПОЛОПЕМОЕ OPIZOYEQN
8.1. Na unoXoyioETE rqv opiCpuaa той Ka0Evdt; алд тои<; ларакатсо nivaKE<;:
la b\
XpqaiponoioupE tov тило I J = ad -be-
И1 = 6(3) - 5(2) = 18 - 10 = 8
|B| = 14+12 = 26
|C| = -8-5 = -13
|D| = (Г - 5ХГ + 2) - 18 = ? - 3r - 10 - 18 = ? - 10Г - 28
8.2. Na unoXoyiaETE Tqv opi^ouaa той Ka0Evdt; алд Tout; ларакатсо nivaKEt;:
Г2 3 4“| Г1 —2 3“| Г1 3 -5-|
(a) A= 5 4 3 , (fi) B= 2 4 -1 , (у) C= 3 -1 2
Ll 2 1J [15 —2J [1 —2 1J
Xpqaiponoioups та 8iaypappaTa той Ехлрато<; 8-1 yia va лароирЕ та e^i yivdpEva:
(а) |Л | = 2(4X1) + 3(3X1) + 4(2X5) - 1(4X4) - 2(3)(2) - 1(3X5) = 8 + 9 + 40 -16-12-15 = 14
(Р) 5| =-8 + 2 + 30-12 + 5-8 = 9
(?) |С| = —1 + 6 + 30 — 5+4 — 9 = 25
8.3. Na илоХоуюЕТЕ tt|v opi^ovoa tov KaQevog ало тоид ларакатсо nivaKsg:
(а) Млороицв va алХоло1Т|оооц£ rig KaraxcopioEig acpaipcbvrag лрсота 8vo срорЁд tt|v лрсотт|
ypappq ало тт| SfUTEpq ypappq, Ecpappo^ovrag 8qXa8q то pEraoxqpariopo ypappcbv
“AvTiKaTaoTaoq rqg R2 ps -2R!+R2”. Tote
|Л| = 5 6 7 = 1 0 -11=0-24 + 36-0+ 18-3 = 27
|в 9 1| |8 0 1|
(Р) О В Eivai rpiycoviKog, etoi |В| = то yivopsvo tcov Siaycbvicov KaraxcopioEcov = -120.
(у) H api9pT|TiKT| yivETai ajcXovoTEpq Eav anaX£icp0ovv лрсота та кХаората. Apa, лрЁл£1
va лоХХалХаошооорЕ ttjv лрсотт] ypappf| R| ps to 6 Kai tt| SEVTEpq ypappfj R2 ps to
4. Tote
24C=|3 2 -41 = 6 + 24 + 24 + 4 - 48 + 18 = 28, so |C| = = J
8.4. Na илоХоу(о£Т£ Tqv opRovoa too KaOfivog ало rovg ларакатсо л(уак£д:
(а) Xpqolpoлolovp£ то а31=1 cog o8qyo yia va толо0£тЁ|ооир£ pqSsviKa о-rqv лрсо-rq orqXq,
scpappo^ovrag SiaSoxtKa rovg pETaoxqpaTiopovg ypappcbv “AvTiKaraoraoq rqg Rj ps
-2R3+R]”, “AvTiKardoraoq rqg R2 ps 2R3+R2” Kai “AvriKaraoraoq rqg R, ps R3+R4”.
Tote
= 10 + 3 - 36 + 36 - 2 - 15 = -4
(P) EXarrcbvovpE лрсота то PaOpo rqg |B| ало то 5 ото 4, Kai слепа ало то 4 ото 3, yia va
pnopsoovps va xpT|aip.onoir|aovjiE то Siaypappa too ЕхПНато? 8-1. ApxiKa
XpqoiponoiovpE то c22= 1 co; o8qyo yia va Tono9stqoovp6 pqSsviKa orq Ssvrspq orqXq,
scpappo^ovra; SiaSoxiKa tov; pETaoxqpaTiapov; ypappcbv “AvTiKaTaaTaoq rq; R| p£
-2R2+R|”, “AvriKaraoraoq rq; R3 ps -R2+R3” Kai “AvriKaTaoraoq rqg R5 p£ R2+R5”.
Tote
5 3 —5 J =21 +20- 10 — 3 + 10- 140 = -102
EYMIIAPArONTEE, KAAEIKOI IIPOEAPTHMENOI, EAAEEONEE, KYPIEE
EAAELONEE
8.5.
(a) Na Ppeite tov A23, to oupnapayovra (npooqpaopEvq sXaoocov) tov 7 orov A.
(P) Na Ppeite Tqv sXaooova Kai Tqv npooqpaopsvq sXaooova тои vnonivaKa M=
A(2,4; 2,3).
(y) N a Ppeite Tqv Kvpia sXaooova nov npooSiopi^srai ало Tqv npcbrq Kai Tqv rpirq Siaycbvia
Karaxcbpioq, SqXaSq ало tov M=(l,3; 1,3).
(a) IlaipvovpE Tqv opi^ovoa tov vnonivaKa A nov XapPaverai ano vq Siaypacpq Tq; ypappq;
2 Kai Tq; orqXq; 3 (ekeive; nov nspisxovv to 7), Kai orq avvExeia noXXanXaoia^ovpE
ps то (-1)2+3:
I2 1 4|
Ли = - 4 0 -3 =-(-61) = 61
О EK0€Tq; 2+3 npospxETai ano tov; Seikte; tov A23, SqXaSq ano to ysyovo; oti to 7
spcpavi^srai orq ypappq 2 Kai orq orqXq 3.
(P) Oi Seikte; ypappcbv sivai to 2 Kai to 4, Evcb oi Seikte; orqXcbv Eivai to 2 Kai to 3.
Enopsvco; q sXaoocov sivai q opi^ovoa
|M| = fc --20+14 =-6
Kai q npooqpaopsvq sXaoocov sivai q (-l)2+4+2+3|M|=-|M|=-(-6)=6.
(у) H Kvpia sXaoocov sivai q opi^ovoa
HS 2l-l« 1|=12+,2=24
Er|peicbveTai oti тсора oi 5iaycbvieg KaTaxcopioeig too ononivaKa eivai 5taycbvie<;
катахюрюеи; too apxiKOo nivaKa. EntnXeov, to npooqpo тт|<; корю»; eXaaaovog eivai
0ет1к6.
8.6. 'Еотсо В = 12 3 4 . Na Ppene: (a) tt]v |B|, (P) tov adj B, (y) tov В'1 xpTpiponotcbvrac; tov
|_5 8 9 J
adj B.
(a) |B|=27+20+l 6-15-32-18=-2.
(P) Ilaipvoope tov avaoTpocpo too nivaKa oopnapayovrcov:
[1 2 31
4 5 6 , koi еотсо oti to Sk oopPoXi^ei то аброюра tcov Kopicov eXaoaovcov
0 7 8j
too А, та^т|<; k. Na Ppene to Sk yia:
(a) k=l, (p) k=2, (y) k=3.
(a) Oi Kopieg eXaoooveg та£т)<; 1 eivai та 5iaycbvia OTOixeia. Ката ooveneia to Sj eivai to
ixvog too А, 5т|Ха5т|
S,=tr(A)= 1+5+8= 14.
(P) Oi Kopie<; ekaaaove<; та^т|<; 2 eivai oi oopnapayovTe<; tcov 5iaycbvicov otoixeicov, ет©1
‘|+|; ’|+|; ’|
(y) Ynapxei povo pia Kopia eXaaacov та£т|<; 3, т) opi^ooaa too А. Тбте
$з = |Л| =40 + 0 + 84 - 0 - 42 - 64 = 18
8.8.
'Еотсо A=
3
2
О
-2
. Na Рресте tov арсбро Nk кас то аброюра Sk Kvpccov eXaooovcov
тсфк:
(a) k=l, (p) k=2, (у) k=3, (5) k=4.
To кабе (pr|-Kev6) ovvoXo тт|д Scaycoviov (fj, cooSvvapa, то кабе prj-Kevo ovvoXo tov
{1,2,3,4}) лрообсорс^ес pea Kvpca eXaooova tov А. Алб тсд кореец avre<; eXaooovet;, oc
N‘ "Lr H(n-ky.
Ewemo; "i = (1)=4, N, = {*)=«, W, = (*)=4. W. = ({) = !
(a) $c = HI + |2| + |3| + |4| = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
= 14 + 3 + 7 + 6+10+14 = 54
I I 3 01 I I 3 -l| 11 0 -11 I 2 5 11
(y) S3 = —4 2 5 + —4 2 1 + 1 3 -2 + 0 3 -2
I 1 0 3| | 3 —2 4| |3 1 4| 1-2 1 4|
= 57 + 65 + 22 + 54= 198
(5) S4 = det^) = 378
OPIZOYEEE KAI EYETHMATA TPAMMIKQN ESIEftEEftN
|3y + 2x = z+l
8.9. Xpriocponoccbvra!; opi^ovoeg va Xvoere то ovorripa j 3x + 2z = 8 - 5y
[ 3z- 1 =x-2y
Архска 5cev0^TOvpe тсд efjoeboeeg сооте va ep0ovv ott)v tvtcckti popcprj, кас ёлеста VTtoXoyiCpvpe
tt|v opi^ovoa D tov лЬака owreXeoTcbv:
2x + 3y- z= 1 |2 з -i|
3x + 5y + 2z= 8 KatD= 3 5 2 =-30 + 6 + 6 + 5 + 8 + 27 = 22
x-2,-3z = -l |j _2 _3|
Кабсод D#O, to ovorripa e%Ec pea pova5cKT| Xvorj. Tea va vnoXoycoovpe та Nx, Ny, Nz,
avTCKa6coTovpe, avTcorocxa, tov<; owreXeoTet; tcov x, y, z otov лЬака ovvreXeorcbv pe rovq
отаберос)<; opovg Тоте
"=|л J -Г“-
LuvEKcbg
_^_66_3
Х~ D ~22~ ’
Ч -;р.
Ч i -il-44
44
22
= 2
Ikx+y + z= 1
x + ky + z = 1
x+y + kz = 1
Na хрт)О1ролоп)оЕХЕ opi^ouoEg yia va Ppeite xig xipsg ekeive^ tod к yia xig onoifig то ouoxr|pa:
(a) exei pia pova5iKT| Xuoq, (P) exei лЕрюобхЕрЕд ало pia XuoEig, (y) 5ev exei Xuot).
(a) To оиохт|ра exei pia pova5iKT| Xuoq oxav D*0, олоо xo D Eivai T) opi^ouoa xou nivaKa
ouvxeXeoxcov. YnoXoyi^oupE, Xoutov, xt|v
D=|l к l|=*3 + l + l-*-*-* = *3-3* + 2 = (*-l)2(* + 2)
Елорбусод xo оиохт|ра exei pia povaSiKq Xuoq oxav
(k-l)2(k+2)*0, oxav SqXaSq k*l Kai k*2.
(a) H алаХоирт) Gauss pag Seixvei oxi xo ouoxr|pa exei лЕрюобхЕрЕд ало pia XuoEig
(J3) oxav k=l£vcb 5ev exei Xuot] oxav k=2.
ПО1К1АА ПРОВЛНМАТА
8.11. Na Ppeixe xov буко V(S) xou лараХХт|ХЕЛ1Л£5ои S oxov R3 лои npooSiopi^Exai ало xa
Siavuopaxa:
(a) u, =(1,1,1). m2 = (1,3,-4), u3 = (1.2. -5).
M1 =(1,2,4). u2 =(2,1, -3), u3 = (5,7,9).
(a)|M| = |; ’ —41 = —!5 — 4 + 2 — 3 + 8 + 5 = —?. ApaV(S)=|-7|=7.
(P) |М| = |г 1 -з| = 9-30+ 56-20 +21 -36 = 0.. Apa V(S)=0,n,pEaXXaX6yia,xau1,
u2, u3 PpioKovxai oe Eva ел1ле5о Kai Eivai ypappiKa E^apxr|p£va.
8.12. Na Ppeixe xt|v det(M), блои M
3 4 0 0 0"| ГЗ 4 । 0 । 0 0
2 5 0 0 0 _2_51°1°_0
09200 = 09i2i00
00434 0 0 । 4 । 3 4
О M eivai Evag (катсо) TpiycoviKog Siapspiopsvog nivaKag, олоте vnoXoyi^ovps rqv opi^ovoa
тои ка0£ Siaycbviov nivaKa:
I’ J|-I5-. = 7, |2| = 2. |f f| = 24 —21=3
'Etoi, |M|=7(2)(3)=42.
8.13. Na Ppeite Tqv opitpvoa too F: R3->R3 nov opi^ETai ano Tqv
F(x,y, z) = (x + 3y- 4z, 2y + lz, x + 5y - 3z)
H opi^ovoa svog ypappiKOV teXeott) F looikai pe Tqv opi^ovoa onoiovSqnoTE nivaKa nov
avanapiora tov F. EnopEvcog, ppioKovps прсота tov nivaKa A nov avanapiora tov F orq
avvqOiopEvq Paoq (oi ураррёд Tqg onoiag, avTioroiya, anoTEXovvrai ano Tovg ovvTEXEorEg x,
y, z). Tote
A=p 2 ^.KaiETOl det(F) = MI =-6 + 21+0 + 8-35-0 =-8
8.14. Na EKippaoETE pqra Tqv g=g(x1,x2,x3,x4), onov
^х1(х2,...,хя) = П(х<-ху)-
To ovpPoXo xPrlCTlM07I0l£iTai Yia va EKippaoEi Eva yivopEvo opcov, ps tov iSio трдпо nov
to ovpPoXo У, xpqotponoiEiTai yia va EKippaosi Eva aOpoiopa opcov. AqXaSq, to
I"£<y (x, _ ) crqpaivEi to yivopsvo oXcov tcov opcov (x,-Xj) yia Tovg onoiovg i<j. Enopsvcog,
g=g(Xi.....X4) = (Xj - X2XX1 - XjXXj - x4Xx2 - XjXx2 - x4Xxj - x4)
8.15. 'Еотсо q D pia 2-oorqgypappiKq, pETaPaXXopEvq avvaprqoq. Na SeI^ete oti D(A,B)=-D(B,A).
Ecpdoov q D sivai pETapaXXopsvq, D(A,A)=0, D(B,B)=0. 'Etoi
D(A + В, A + B) = D(A, A) + D(A, B) + D(B, A) + D(B, B) = D(A, B) + D(B, A)
'Opcog, D(A+B, A+B)=0. Zvvsncbg D(A,B)=-D(B,A), oncog ^qrovoapE.
META0EEEIE
8.16. Na npooSiopioETE Tqv icoTipia (npooqpo) Tqg pETaOsoqg o=364152.
MsTpaps tov apiOpo tcov avriorpocpcbv. AqXaSq, yia to kciOe otoixeio k, pETpaps tov apiOpo
tcov otoi/eicov i orqv a yia та onoia i>k Kai to i npoqyEtcai tov k orqv a. ZvyKEKpipeva,
k=l: 3 apiOpoi (3,6,4)
k=2: 4 apiOpoi (3,6,4,5)
k=3: OapiOpoi
k=4: 1 apiOpog (6)
k=5: 1 apiOpog (6)
k=l: OapiOpoi
Ecpooov то 3+4+0+1+1+0=9 sivai nspvcrog, q a sivai nspiTTq psTaOsoq, Kai apa sgn o=-l.
8.17. 'Еотсо oi о=24513 кас т=41352 био рета0Еаесд ото S5. Na Рресте тсд: (а) т°о, (Р) о'1.
УлеуОорс^етас отс ос о=24513 каст=41352 ecvac обуторос трблос це тоид олоюид ypacpovrae
ос
4 5 1 з) П а(1) = 2, а(2) = 4, а(3) = 5’ а(4) = 1, а(5) = 3
T = G 13 5 1) т(1) = 4, Т(2)=1, т(3) = 3, т(4) = 5’ т(5) = 2
(а) Ос елсбрааесд tcov а кас т лаусо ота 1, 2, 3, 4, 5 ecvac ос е£т|<д:
1 —> 2 —> 1, 2 —> 4 —> 5. 3 —> 5 —> 2, 4 —> 1 —> 4, 5 3-> 3
[Ai]Xa6f), уса ларабесура, (тоо)( 1 )=т(о( 1 ))=т(2)= 1.] Еиуелсод то?о= 15243.
(Р) Е^' орсороб, o'*(j)=k eav кас povo eav o(k)=j. Apa
’--(и 31 ’)-c? и о
8.18. 'Еотсо я o=j]j2...jn рса олоеа6т|лоте рета0еот| ото Sn. Na берете отс, уса tt|v ка0е рета0еот|
(i,k) блои i>k aXXa то i лрог|уестас тои k ott|v а, влархес eva ^ебуод (i* J*) тетосо сооте
i*<k* кас o(i*)>o(j*) (1)
кас avriorpoepa. Н о, 6e]Aa6r|, eivac артса г) лерсттт| avaXoya ре то eav о арсбрбд tcov £евусоу
лои скауолоюбу тт|у (1) eivac артсод т| лерсттбд.
ЕлсАеуовре та i* кас к* етос сооте o(i*)=i кас o(k*)=k. Тоте i>k eav кас povo eav o(i*)>o(k*),
кас то i лрот)уестас тои k ott|v a eav кас povo eav i*<k*.
8.19. ©ecopeiore та лоАвсоувра g=g(xj,...,хп) кас o(g) лои opi^ovrai ало тсд
g = g(xi....xn) = ПО. - </) кас a(g) = П^о - xa(f))
(ВАёле ПрбрХг|ра 8.14.) Na берете ore o(g)=g orav r| o eivac pia артса рета0еот|, кас o(g)=
-g orav г] о eivac pia лергстт| рета0еот|. Дт|Аабг|, o(g)=(sgn o)g.
Ka0cbg г] о eivac Ёуа-лрод-Eva кас еле,
°(g) = П(*«(0 - = П (*/ - *j)
Елорёусод o(g)=g r| s(g)=-g, avaAoya pe to eav о арс0рбд tcov opcov тт|д popcpr|g x,-Xj, блои i>j,
eivac артсод i) лерсттбд. Lripeicbverai ore yea то ка0е ^evyoq (i j) уса то олою
i<j кас o(i)>o(j)
илархес evag брод (Xa(i)-Xa(j)) ото o(g) yea rov олою o(i)>o(j). Асроб e] o eivac артса eav кас
povo eav влархес evag артсод apc0poq ^evycbv лои екауолоюбу tt|v (1), exoupe o(g)=g eav кас
povo eav r| о eivac артса. Ката овуелеса, o(g)=-g eav кас povo eav r| о eivac лереттт).
8.20. 'Еотсо o,re Sn. Na берете ore sgn(roo)=(sgn r)(sgn о). Ката овуелеса то yevopevo 660 aprccov
q Svo TtepiTTcbv psraOEOECOv Eivai артю, Kai то yivopevo piag лЕр1Тгг|д Kai piag apTiag pEraOeoqg
Eivai TtEpiTTO.
XprjoiponoubvTag то IlpopXqpa 8.19, £%ovp£
sgn(r о a) g = (т о аХ?) = r(<r(g)) = r((sgn a)g) = (sgn r)(sgn a)g
ЕоуЕлсод sgn(T°o)=(sgn T)(sgn o).
8.21. ©ecopeiote тт| рЕта0Естг| o=j]j2.. .jn. Na Sei^ete oti sgn o’1=sgn о Kai oti, yia тоид apiOpovg a,j,
вЛ«вЛ2 • • аЛ" = al*ia2*J • • • ank.
onov o‘l=k|k2...kn.
'E%ovpE o'1 °c=£, t| TavTOTiKT| р£та0ЕОТ|. KaOcbg r| e Eivai apTia, арфотеред oi o’1 Kai о 0a
Eivai nEpiTTEg. Apa o‘,=sgn o.
Ecpooov t| o=j]j2...jn Eivai pia pETaOsoq, aJiXaJj2...a^n = aXk a2ki -a„kii. Т6тЕтак],к2,...,кп
£%ovv rqv iSiovqTa:
tf(*i) = l. tf(*2) = 2, <r(k„) = n
'Еотсо тсора т=к1к2...кп. Tote, yia i=l,...,n,
(ffoTXO = ff(T(i)) = ffW = «'
EvvEncbg oot=e, r| таототпст) р£та0Еог|, олоте т=о’1.
АПОЛЕ1НЕ1Е ©EQPHMATQN
8.22. Na аяоЙЕУдЕТЕ то ©Ecbpqpa 8.1: |АТ|=|А|.
Eav A=[a,j], tote AT=[b,j], pE Ьц=а,,. Apa
ИГ| = 22 (SB11 ff)*le(2)*2e(2) • • • *"«(") = 52 (SB11 lfl«(2),2 • • • ae(n).n
oeS. aeS.
'Еатсо t=o-’. Алб то IlpopXqpa 8.21, sgn T=sgn о Kai аст(1)>1аст(2).2 ...аст(я).„ = alT(1)a2T(2)...a„T(n).
'Etoi
ИГ| = 22 (SB11 Ф1((1)в2т(2) • • • airr(")
aeS.
'Олсод брсод т| о ЗсалЕруа 6Ха та oroi%Eia tov Sn, etoi Kai r| т=о'' Sianepva 6Ха та oqpEia tov
Sn. Ката ovv&iEia, |АТ|=|А|.
8.23. Na алоЙЕ^ЕТЕ то ©Ecbpripa 8.3(i): Eav avraXXa%0ovv арофа1а Svo ураррёд (отт|Х£д) tov A,
tote |B|=-|A|.
AnoSeiKvvovpE to 0Ecbpr|payia rqv лЕр(лтсоот| олоо Svo отт|Х£д avraXXdooovrai apoiPaia.
'Eotco t q avTipETa0Eoq q оло(а avraXXaooEi apoiPaia Tovg Svo apiOpovg лоу avTioToi%ovv
orig Svo orqXEg tov А лоу avraXXaooovTai apoiPaia. Eav A=[a,j] Kai B=[b,j], tote bjj=a,T(j).
'Etoi, yia оло1аЗт|лотЕ pETaOsoq o,
*l«(l)*2e(2) • • • ^iwC») = fllr« afl)a2ro a(2) • am<> «(n)
ЕууЕлсод
1^1 = 22 (sgn .. bnei„y = £ (sgn ^11» а(1)а2т» a(2) • • вит« a(n)
A(pov т) avTipeTa0eoq т eivai pia пергстт) ретаОеся], sgn(TOo)=(sgn r)(sgn a)=-sgn ст, олоте
sgn CT=-sgn(xoCT) Kai ётсн
1*1 = - E [sgn(t° <r)]alt<>^>02,.. a„o
eeS.
'Oncoc; брсос; q ст Sianepva ока та стто1%Е(а тои Sn, ётсн Kai q тост Sianepva ока та oroixeia тои
Sn. Ката сготёпеш |В|=-|А|.
8.24. Na ало5е(£ете то ©ecbpqpa 8.2: (i) Eav о A exei pia ypappri (oTqkq) pqSeviKcbv, тбте |А|=0.
(ii) Eav о A exei Svo TavTocrqpec; ураррёд (CTrqkec;), тбте |А|=0.
(iii) Eav о A eivai rpiycoviKoc;, тбте |А| = то yivopevo tcov Siaycbvicov aroixeicov. 'Етен, |I|= 1.
(i) О каОе брод cttov A nepwxei eva napayovra ало rqv каОе ypappri, ара Kai ало тт|
ypappf| tcov pqSeviKcbv. Apa о каОе брод too |A| eivai pr)5ev, Kai apa |A|=0.
(ii ) УлоОётоире on 1+1#0стто K. Eav avrakka^ovpe apoipaia Tig Svo TavTooqpeg ypappec;
тои A, 0a napovpe Kai naki tov nivaKa A. Enop6vcog, ало то Прбркт)ра 8.23, |A|=-|A|,
Kai ётсн |A|=0.
УлоОётоире тсора oti 1+1=0 стто К. Тбте sgn о=1 yia ка0е сте Sn. Ефбстоу о A exei
Svo TavTooqpeg ypappec;, pnopovpe va SievOerqCTOvpe rovg opovg тои А сте £evyq
iacov opcov. Ка0сод то ка0е ^evyog eivai 0, т) ор^оиста тои A eivai pqSev.
(iii ) УлоОётоире oti о A=[a1j] eivai катсо TpiycoviKog, SqkaSq oi катахсорюеи; лои PpioKovrai
navco ало тт| Siaycbvio eivai 6 keg pqSevuca: a1J=0 олоте i<j. ©ecopovpe eva opo t Tqg
opi^ovcrag too A:
t = (sgn оУа11)а211 --a^, onov a = 1^'2 ...i„
Eav илоОёстоире oti ц#0, тбте 1 <ij Kai ётсн ah| =0, apa t=0. Ar)ka5f|, о ка0е брод yia
tov onoio i]*l eivai pq56v.
УпоОётоиретсораon i]=l akka a2*2. Tore 2<i2, Kai ётсн =0, apat=0. Епорёусод
о ка0е брод yia tov onoio ij^l f| i2*2 eivai pq56v.
'Opoia, naipvovpe oti о ка0е opoc; yia tov onoio ij*l q i2*2 q ... q in*n, eivai pq56v.
Еирперастрапка, lA^ana^...^ = to yivopevo tcov Siaycbvicov aroixeicov.
8.25. Na anoSei^ere то ©ecbpqpa 8.3:0 В kapPaverai ano tov A pe 6va aroixeicbSq ретаохлрапстрб.
(i) Eav avrakkax0r)Kav apoipaia Svo ypappec; (сттг|кед) той А, тбте |B|=-|A|.
(ii) Eav поккапкаст1асттт|ке pia ypappq (CTrqkq) той A pe 6va apiOpo к, тбте |B|=k|A|.
(iii) Eav npoar60qKE 6va nokkankacno piag ypappqg (orqkqg) той А сте pia akkq ypappq
(CTTqkq) той А, тбте |B|=|A|.
(i) Avto anoSeixrqKe стто Ilpopkqpa 8.23.
(ii ) Eav q j-OCTTqg ypappq tov А поккапкасиастте! pe к, тбте о ка0е opoc; crrqv |A| enioqg
0a поккапкасяастте! pe k, Kai ётсн |B|=k|A|. AqkaSq,
|S| = £ (sgn <r)aU1aai • • • (*<ty) • • • = * E (sgn <0aUiaaj -.. = *И1
(iii ) УпоОётооре oti q к-осттдс; ypappq просттШета! с форёс; orqv j-ocTcqc; ypappq tov A.
Xpqcnponoicbvrac; to ovpPoko yia va Sqkcbcrovpe rqv j-ocrcq 0ёся] сте 6va opo rqc;
opi^ovcrac;, 0a ёхооре
|Л| = E (sgn <0аИ| . (caUt + aJt/)... ал/>
= с £ (sgn . •. ал/, + £ (sgn а)а„>а2/г
To npcbro аброюра eivai q opi^ouoa evog nivaKa tod onoiou q k-oorqg ypappq Kat
q j-oorqg ypappq eivai ioo8uvapeg. Enopevcog, ano to ©ecbpqpa 2(ii), то аброюра
eivai pq8ev. To Зе Зеитеро аброюра eivai q opi^ouoa тои А, опоте |B|=c-0+|A|=|A|.
8.26. Na ano8ei^ere to Aqppa 8.6: Eav о E eivai evag oroixeicbSqg nivaKag, тоте |EA|=|E||A|.
©ecopoupe тоид oroixeicb8etg peraoxqpariopoug ypappcbv: (i) IloXXanXaoiaoE pia ypappq
pe pia атабера k*0, (ii) AvraXXa^e арофа(а Зио урарред, (iii) Прообеое eva noXXanXaoio
pia ypapprjg oe pia aXXq ypappq.
'Еотсо Ej, E2, E3 oi avrioTOixoi oroixeicbSeig nivaKeg. AqXaSq, oi Eb E2, E3 XapPavovrai
ecpappo^ovrag тоид napanavco ретао/лратюроид otov таитопко nivaKa I. Ano to IlpdpXqpa
8.25,
|£,|=*|/|=*. |£2| = —1/| = —1, |£3| = |7| = 1
Ynev6upi£erai (©ecbpqpa 3.11) oti о EtA eivai raurooqpog pe tov nivaKa nou Xappaverai
ecpappo^ovrag tov avrioroixo ретао/лратюро otov A. 'Etoi, ano to ©ecbpqpa 8.3, naipvoupe
та акоХоиба, та onoia Kai anoSeiKvuouv to Xqppa pag:
|£,Л| = *KI = |£, IKI. \ЕгА\ = -KI = |£2IKI. 1^1 = KI = IKI = |£3IKI
8.27. Упобетоусад oti о В eivai ypappoiooSuvapog npog eva тетрауамко nivaKa A, va anoSei^ere
oti |B|=0 eav Kai povo eav |A|=0.
Апб to ©ecbpqpa 8.3, q eniSpaoq ev6g owixeicbSoug peraoxqpariopou ypappcbv eivai oti
aXXa^ei to npocrqpo rqg opi^ouoag q q opi^ouoa noXXanXaoia^erai pe eva api6po Siacpopo
тои pqSevog. Zuvencbg |B|=0 eav Kai povo eav |A|=0.
8.28. Na anoSei^ere to ©ecbpqpa 8.5: Eav о A eivai evag n-rerpaycoviKog nivaKag, тоте та mo катсо
eivai looSuvapa:
(i) О A eivai avriorpeyipog, (ii) To AX=0 exei povo rq pqSevucq Xuoq, (iii) det(A)X).
H anoSei^q yiverai pe tov aXyopi6po Gauss. Eav о A eivai avriorpeyipog, eivai
ypappoiooSuvapog npog tov I. Opcog |I|*0, Kai apa, ano to IlpopXqpa 8.40, |A|*0. Eav о A Sev
eivai avTiorpeyipog, eivai ypappoiooSuvapog npog eva nivaKa pe pqSevucq ypappq, apa
det(A)=O. Zuvembg та (i) Kai (iii) eivai looSuvapa.
EmnXeov, eav to AX=0 exei povo rq Xuoq X=0, тоте о A eivai avriorpeyipog
ypappoiooSuvapog npog tov I Kai avriorpeyipog. Avriorpoepa, eav о A eivai avriorpeyipog pe
avriorpoepo rov А'1, тоте q
X = a = (Л-*Л)У = A~l(AX) = Л-‘О = 0
eivai q povaSucq Xuoq rou AX=0. Zuvencbg ra (i) Kai (iii) eivai looSuvapa.
8.29. Na anoSei^ere to ©ecbpqpa 8.4: |AB|=|A||B|.
Eav о A eivai iSia^cov, тоте о AB eivai enierqg iSia^cov Kai eroi |AB|=0=|A||B|. Ano rqv aXXq,
eav о A eivai pq-i8ia£cov, тоте A=En.. .E2Eb eva yivopevo oroixeicoScbv mvcuccov. Tore, ano to
Aqppa 8.6 Kai pe enaycoyq, oSqyoupaore ото
ИЛ| = |Е„.. ,ЕгЕхВ = |Е„|... |Е2||Е, ||Е, ||В| = |ЛЦВ|
8.30. YhoQetovtcu; oti о Р Eivai аутютрЁтрщос;, va алобв^втв oti (P^HPI"1.
P-’P=I. Ара 1=|I|=|P-'P|=|P’,||P|, Kai etoi IP-'НРГ1.
8.31. Na anoSsi^ETE то ©Есортща 8.7: Eav ояоОЁооорЕ oti oi A Kai В sivai opoioi TtivaKsq, tote
|A|=|B|.
Ecpooov oi A Kai В sivai opoioi, vnapxei evag avTioTpsipipoi; nivaKaq P тётоюд coots B=
P^AP. ЕяорЁУС0<;, хрт|ощояо1сЬута(; то IlpopXqpa 8.30, яа{руоор£ |В|=|Р’1АР|=|Р‘1||А||Р|=
|А||Р-Ч|Р|=|А|.
ZqpEicbvErai oti лароХо лоо oi я1уак£(; Р'1 Kai A 8ev рлорооу va avapErarEOovv, evtovtok;
oi ор^оооЁс; rovi; IP’1] Kai |A| avripErariOEvrai, KaOcbg sivai apiOpoi ото лв8(о К.
8.32. Na аяобв^ЕТЕ то ©Есортща 8.8 (Laplace): 'Еотсо A=[a1J], Kai Ёотсо oti то AtJ ovpPoXi^si то
ооряарауоута tov а,г Tote, yia ояоюЗт|яот£ i f| j,
И1 = влЛ1 + • • • + aiiAin Л И1 = aij^ij + • • • + anj^nj
Acpov |A|=|AT|, apKsi алХа va алобв^оорв Ёуа ало та ауалтиурата, yia лара8в1ура то
ярсото ovvaprqoEi tcov ypappcbv tov А. О кабв opoi; orqv |A| яврсЁхе! pia Kai povo pia
катахсЬркя] rqq j-oorqc; ypappifc (а,],^,...,^) tov A. Apa ряороорЕ va ypaipovpE ttjv |A|
ott) popcpq
И1 = + ая^6 + • • • +
(ZqpEicbvsrai oti to Ац* sivai sva аброюра opcov то олою Sev лврйарРаув! Kapia катахсЬркя]
тт|<; j-oorqc; ypappqi; tov A.)'Etoi to Oscbpqpa 0a алоЗвисуувта! sav ряорЁооорЕ va Ssi^oopE
OTI
A*v = Av = (-l),+J\My\
олоо о M,j sivai о лсуакск; лоо XapPavBrai Siaypacpovrac; rq ypappq Kai ttjv orqXq лоу nspidxovv
rqv катахсорют| a,r (loropiKa, q Ёкcppaoq Ay* opi^orav cog о оурларауоутад tov а,р Kai Ёто1
то Oscbpqpa avayErai orqv curoSEi^q tov oti oi Svo opiopoi tov ооряарауоута Eivai looSvvapoi.)
ApxiKa Oscopovps Tqv лврслтсосп] ояоу i=n, j=n. Tote to аброюра tcov opcov orqv |A| лоо
яЕрсЁхооу то a„n Eivai то
ff)ale(l)a2e(2) • • -ая-1.в(я-1)
олоо aOpoi^ovpE лаусо oe oXec, тк; рвтаОЁовк; oe Sn yia тк; олосвс; o(n)=n. Avro, opcog, sivai
looSvvapo (vaто алобв^втв!) psto vaaOpoioovpsokec,тк; рЕтаОЁоЕк;tov {1,..,,n-1}. Zvvsrabc;
Ann*=|Mnn|=(-l)n+n|Mnn|.
©scopovps тсора ояо1о8т|яоте i Kai j. AvraXXdooovps Tqv i-oorqi; ypappq ps Tqv ка0Е Eя6p£vq
ypappq, psxpi va сртаооурб orqv TsksvTaia, ка0со<; влйэтц; Kai Tqv j-ооттц; orqXq ps rqv ка0Е
Eя6pEvq orqXq, рЁ%р1 va cpraoovps orqv TsXsvraia. Zqpsicbvsrai ori q opi^ovoa |My| Sev
£лqp£a^£тal, ка0сЬ<; oi охет1ке<; 0ёоек; tcov уяоХо1ясоу ypappcbv Kai orqXcbv Sev £7tqp£a^ovrai
ало тк; apoiPaifii; аутЁ<; аутаХХауЁ<;. Qorooo, то “лроолро” tcov |А| Kai |Ау*| aXXa^si n-1 Kai
ЁяЕпа n-j (рорЁд. ЕорлЕраорапка,
Л* = (-1)"-'+"->|А/(/| =(-1)'+у|М(,|
8.33. 'Еотсо A=[a,j] кас еотсо В о лгуакас; лои XapPavErat ало tov А avriKaGiorcbvrac; rqv i-oorq<;
ypappq тои А ре то Siavuopa ypappqc; (blb...,bin). Na Sei^ete oti
|5| = bnAn + baAa +... + ЬпАъ,
ЕлисрбоОЕта, va Sei^ete oti, yia j*i,
aji4i + aflAn + • • • + ajnAm = 0 Kai + •••+ anJA^ = 0
'Еотсо B=[b,j]. Алб то ©Ecbpqpa 8.8,
|B| = + baBa +... +
Acpou о В ,j Sev E^aprarai ало rqv i-oorqc; ypappq тои В, ласруоирЕ Ву=Ау у la j= 1,... ,n. Apa
|£| = bnAa + baAa +... + bj„A„
'Еотсо тсора oti о A' XapPavErai ало tov A avriKaGionbvrac; Tqv i-oorqc; ypappq tou A p£
Tqv j-oorqc; orqXq tou. Ecpooov о A' exei Suo raurooqpEc; ypappsc;, |A'|=0. Елореусос;, ало то
ларалаусо алотёХеора,
|Л'| = а^Аа + адАа +... + Oj„A„ = О
Хриосролокоутас;rqv |АТ|=|А|, ла(руоире елсодс; otia]jAll+a2jA2l+...+anjAn=0.
8.34. Na алобЕ^ЕТЕ то ©Ecbpqpa 8.9: A(adj A)=(adj A)A=|A|I.
'Еотсо A=[a,j] Kai A(adj А)=[Ьу]. H i-oorqc; ypappq tou A Eivai q
(a,i,aa..ata) (1)
Acpou о adj A Eivai о avaorpoepoc; тои лгуака оирлараубутсоу, q j-oorq<; orqXq rou A 9a Eivai
о avaorpoepoc; rcov оирлараубутсоу rqc; j-oorqc; ypappqc; tou A, SqXaSq
....^)r (2)
Tebpa to by, q Karaxcbpioq ij orov A(adj A), Xap0avErai лоХХалХата^оутас; тк; ЕкерраоЕк; (1)
Kai (2):
by = atiAji + aaAfl +... +
Алб то ©Ecbpqpa 8.8 Kai to IlpopXqpa 8.33,
b JM ‘=j
4 [ 0 Eav i * j
Kara ouv&CEia, о A(adj A) Eivai о Siaycbvioc; лгуакас; p£ to koGe Siaycbvio otoixeio |A|. Me
aXXa Xoyia, A(adj A)=|A|I. 'Opoia, (adj A)A=|A|1.
8.35. Na cotoSei^ete to ©Ecbpqpa 8.10 (Kavovac; rou Cramer): To (rErpaycoviKo) ouorqpa AX=B
EXEi pia povaSiKq Xuoq Eav Kai povo Eav D^O. Zrqv ЛЕрштсосп] aurq, x=N/D yia ка0Е i.
Алб та лpoqyoup£va алотЕХЁората, то АХ=В exei pia povaSiKq Xuoq Eav Kai povo Eav о A
Eivai avriorpEcpipoc;, Kai о A Eivai avriorpEipipoc; Eav Kai povo Eav D=|A|^0.
Улобётоире rebpa on D*0. Алб то ©Ecbpqpa 8.9, A',=( 1/D)(adj А). ПоХХалХата^оутас; то
АХ=В ре tov А’1, naipvovpe
X = А~'АХ = (1/DXadj Л)В (1)
ErjpeicbveTai oti Т] i-ooTi) ypapprj тои (1/D)(adj A) eivai tj (l/D)(A11,A21,...,Ani). Eav
B=(bI,b2>.--,bn)T, тоте, ало tt|v (1),
х, = (1/DXMu + Ми + • • + MJ
'Opco<;, блок; Kai ото npopXrjpa 8.33, bIAI1+b2A21+...+bnAn ,=N„ tj opiCpvoa too nivaKa лои
XapPaverai аупкабютсоутас; tt|v ьооттц; ott|Xt] too А це to Siawopa ott|Xti<; В. Enopevcog
х =(1/D)N„ 6псо<; ^rjTovoape.
8.36. Na алоЗе^ете то ©есортща 8.12: Улобетоице oti о М eivai evac; avco (катсо) TpiycoviKo;
Siapepiopevoc; nivaKag це Siaycbvia oroixeia та A|,A2,...,An. Тоте
det(Af) = det(J j) det(^2)... det(Jn)
Арке! anXa va алоЗеtroupe то бесортща yia n=2, orav Зт]ХаЗг] о M eivai evag TerpaycoviKog
nivaKag rr|q рорсргц; M = [q j. H an68ei£n too yeviKov бесортщатод yiveTai gtt| ovve%eia
ебкоХа це enaycoyrj.
Упобетооре oti о А=[ац] eivai r-TerpaycoviKoc;, о В=[Ьу] eivai s-TerpaycoviKoc; Kai о M=[m,j]
eivai n-TerpaycoviKog, блои n=r+s. E£’ орюцоб,
det(AO = 22 (sp1 ff)mle(l)m2e(2) • • • тм(л)
eeS.
Eav i>r Kai j<r, тоте ту=0. Apa бесоробце povo eKeiveq tu; ретабеоеи; о yia Tig onoieg
ff{r+l,r+2......r + j} = {r+l,r+2.......r + j} Kai ff{l,2...r} = {l,2....r}
'Еотсо o,(k)=o(k) yia k<r Kai o2(k)=o(r+k)-r yia k<s. Тоте
(sgn • ты(я) = (sP1 • • • %и(Ч“ аг)*1»1(1)*2в1(2) • • •
кат1 то олою ovvenayeTai oti det(M)=det(A)det(B).
8.37. Na алоЗе^ете то ©ecbpqpa 8.14: Ynap%ei pia povaSiKi) ovvapTT|cn] D: M-> тетош сооте:
(i) т] D va eivai лоХиураррист), (ii) i] Dva eivai evaXXaooopevrj, (iii) D(I)=1.
Avtt| tj ovvapTT|cn] D eivai rj ovvapTT|cn] тцд opiCpvoag, 3i]Xa3r| D(A)=|A|.
'Еотсо D T] ovvapTT|GT) тт|д opi^ovoag, D(A)=|A|. 0a npenei va Sei^ovpe oti tj D iKavonotei та
(i), (ii) Kai (iii) Kai oti eivai tj povaSiKi) ovvapTT|or) лоо iKavonotei та (i), (ii) Kai (iii).
Алб то 0есорт)ра 8.2, т) D iKavonotei та (ii) Kai (iii). 'Etoi 6a Sei^ovpe povo oti eivai
лоХиурарриа). Улобетооре otit] i-ooTifcypapprj tov A=[a1J] e%ei tt| popcprj (b.j+c,,, b12+ c12,
•••» b,n+c,n). Тоте
D(A) = D(AI....Bt + Ct.......Л„)
= £(sgn <x)a10<1)... + сщ)...
= £ (sgn ... b^f)... + £(sgn ff)ale<1)...
= D(Al.....Bt....AJ + D(4i.....Ct.....Ая)
Eniorig ало то ®есорт]ра 8.3(H),
D(Ai...kAt,... ,А„) = kD(Al..А,..А„)
Evvencb<; г] D eivai noXvypappiKf], Зт]ХаЗг| iKavonoiei то (i).
Етт] ovvexEia 0а npenei va anoSei^ovpe тт| pova8iKOTT]Ta тт|д D. Улобетоире oti т] D
iKavonoiei та (i), (ii) koi (iii). Eav то {eb.. ,,en) eivai T] ovvr|0iopevr| Раот] too Kn, тбте, ano to
(iii), D(ebe2,...,en)=D(I)=l. XprjoiponoicbvTag to (ii), exovpe enioqg oti
D(e(i, etj.e/<) = sgntr, onov o’= «i«2 • • «я (1)
Упобетоуре тсора oti А=[ау]. Паратт]робре oti q к-оотт|д ypappri Ak tov A eivai q
= (a*b a*2..eta) = a*lcl + a*2e2 + • • + а/яе1,
Apa
D(A) = fKane! + ... + а1ле„, a21e( +... + e>e„.anlei + ... + a„e„)
Xpqoiponoicbvra<; ttjv поХъурарр1котт|та rqg D, pnopovpe va ypayovpe ttjv D(A) cog eva
aOpoiopa opcov тт)д popcprj
£>(Л = 52 D(au, ei,’an2ea.a<e0
onov то aOpoiopa yiveTai navco oe oksc, oi aKoXovOieg i।i2...in, onov ikG {1,... ,n}. Eav Svo ano
Tovg SeiKreg eivai iooi, yia napaSeiypa eav ij=ik aXXaj*k, тбте, and to (ii),
Ката ovveneia, то aOpoiopa ott|v (2) apKei anXa va yivei navco oe 6Xeg тц peraOeoeig o=i j i2... in.
Xprjoiponoicbvrag ttjv (1), naipvovpe теАлка
D(A) = Е(аИ1аИ1..., eh.......ej
= H(S8nff)aU1a2Ji -eid,. onov er = ili2 -in
Apa t] D eivai r] ovvapTTjoT] тт|д opi^ovoag, koi etoi to 9есорт]ра апоЗе1хтт|ке.
AAYTA ПРОВЛНМАТА
УПОЛОПЕМОЕ OPIZOYEON
8.38. Na vnoXoyioeTe Tig:
(«) I4 l|’(fl |з -z|’(y) |-5 -5| W |1 -з|’ (г) |вб* a + J
8.39. Na Ppevre бХа та t yia та onoia: (a) p24 12 91 = 0> (fi) Рз*
8.40. Na vnoXoyioETE tt|v opi^ovoa tov ko0ev6<; and tovc; ларакатсо nivaKEg:
[211] [3-2 -4] [-2 -1 4] Г7 6 5]
(a) 0 5 -2 , (Д) 2 5 -1 , (y) 6 -3 -2 . (J) 1 2 1
[1 -3 4j L° 6 1J L 4 1 2 J [3 —2 1J
8.42. Na олоХоуюЕТЕ тц:
EYMIIAPArONTEE, KAAEIKOIIIPOEAPTHMENOI, ANTIETPOOOI.
8.44 Na Ppeite та det(A), adj А кас А’1, олоо.
[110] Г1 2 2"|
I I I LA= з I 0
0 2 1J L1 1 d
8.45 Na Ppeite tov kXooiko лроаарттщЕУО tov ка0Е лсуака ото ПрорХтща 8.41.
8.46
'Еотсо
(a) Na Ppeite tov adj A.
(p) Na Secrete oti adj(adj A)=A.
(у) Поте a=adj A;
8.47 Na Secrete oti Eav о A Eivai Siaycbviog (TpiycoviKog), tote Kai о adj A Eivai Siaycbviog (тргусЬрлко^)
8.48 Уло0£тоутад oti eov о A=(aij) Eivai TpiycoviKog, va Sei^ete oti:
(a) О A Eivai avTioTpEipipog Eav Kai povo Eav то ка0Е Siaycbvio otoixeio a„^0.
(p) Ta Siaycbvia otoixeio tov A’1 (Ecpooov vnapxEi) Eivai та а,/1 ,та avTioTpocpa tcov
Siaycbvicov otoixeicov tov A.
EAAEEONEE, KYPIEE EAAEEONEE.
8.49 'Еотсо
npooT)paopevr| ekaooova nov avTioTOixovv otov<; aKokovOovq vnonivaKEq.
(a) A(l,4;3,4), (p) B(l,4;3,4), (y) A(2,3;2,4), (8) B(2,3;2,4).
8.50 fia k=l ,2,3, va Ppevce to аброюра Sk oXcov tcov Kvpicov eXaooovcov тофц; k yia tov<;:
8.51 fia k=l,2,3, va Ppeite to аброюра Sk oXcov tcov Kvpicov eXaooovcov та^тц; k yia tov<;:
OPIZOYEEE KAI ГРАММ1КЕЕ ESIEftEEIE
8.52. Na XvaETE ps opi^ovoeq та акоХооба оват^цата:
. f3x + 5> = 8 f2x —3j>=—I ax —26y = c ,л.
(a)|4x-2>= Г ^|4x + 7y= -I’ (y) | Зах - 5by = 2c
8.53. Na Xvoete ps opi^ovoeq та акоХооба оват^рата:
I2x-5> + 2z = 7 [2z + 3=> + 3x
x + 2y - 4z = 3, (P) I x - 3z = 2y + I
3x-4>-6z = 5 [3> + z = 2-2x
8.54. Na апобе^ете to ©ecbpripa 8.11: To ovonipa AX=0 exei pia pri-pr^eviKri Xvor] eav Kai povo
eav D=|A|=0.
META0ELEIL
8.55. Na Ppene tt|v laoTipia tcov ретабеоесоу a=32154, t=1 3524, n=42531 ото S5.
8.56. Tia тк; ретабеоеи; tov ПрорХт|рато<; 8.55, va Ppeue tu;:
(a) Too, (P) noo, (y) o’1, (5) T'1.
8.57. 'Еотсо те Sn. Na берете oti, 6nco<; q a Sianepva to Sn, ctoi Kai q тоа Sianepva to Sn, SriXaSri
Sn={Toa: oeSn}.
8.58. 'Еотсо oti q oe Sn exei -n]v i5io-n]Ta o(n)=n, Kai еотсо oti q o*e Sn., opi^eTai ano -n]v o*(x)=o(x).
(a) Na Sei^ete oti sgn o*=sgn a.
(P) Na ЗеЦете oti, 6лсо<; т| a Sianspva to Sn, блои o(n)=n, etoi Kai t| a* Sianspva to Sn-1,
8т|Ха8т|
5B_i = {a* : a e S„, a(n) = л}.
8.59. ©ecopeiote pia |1£та0£от| a=j|j2-jn- Eotco {ej t] ouvT)0iop6vr) раот| too Kn, koi ёотсо A о
л(уака<; тои олоюи т| j-oorr|<; ypap.p.f| Eivai т| е} , 8т|Ха8г| А=(е?| ,eh ,—,е^ ). Na ЗеЦете oti
|A|=sgn о.
OPIZOYLA TPAMMIKHN TEAELTQN
8.60. Na Ppeite n]v opi^ovoa too ko0£v6<; ало tov<; ларакатсо ypappiKov<; |1£таохпцатю|1ои<;:
(a) T: R2->R2 лои opi^ETai ало n]v T(x,y)=(2x-9y, Зх-5у),
(P) T: R3->R3 лои opi^ETai ало n]v T(x,y,z)=(3x-2z, 5y+7z, x+y+z),
(у) T: R3->R2 лои opi^ETai ало n]v T(x,y,z)=(2x+7y-4z, 4x-6y+2z).
8.61. 'Eotco D: V->V о SiacpopiKOt; teXeott|<;, 8т]Ха8г) D(f(t))=df/dt. Na Ppeite tt|v det(D) Eav о V
Eivai о 8iavvo|iaTiKd<; xcopog ouvapTT|0£cov це тц ак6Хои0£<; раовц: (a) {1 ,t,... ,t5},
(p) {e‘,e2,,e31}, (y) {sin t, cost}
8.62. Na алоЗе^ете то ©Есортща 8.13: 'Еотсо oi F koi G уращико! теХеотё<; oe 6va SiawojiaTuco
Xcbpo V. Tote:
(a) det(FoG)=det(F)det(G), (ii) о F Eivai avrioTp6\|/i|io<; Eav koi povo Eav det(F)#O.
8.63. Na ало8£1^£Т£ oti: (a) det(lv)=l, блои о lv Eivai о таитотисбд teXeottji;, (P) -detfT-1^
det(T)’1 otov о T Eivai avrioTp£\|/ipo<;.
ПО1К1АА ПРОВЛНМАТА
8.64. Na Ppeite tov буко V(S) той лараХХт]Х£Л1лЁ8ои S otov R3 лои лрооЗюр^ста! алб та ларакатсо
SiavvopaTa:
(a) Ml = (1,2, -3), и2 = (3,4, -1), и3 = (2, -1,5),
(Z0 «,=(1.1.3), и2 = (1, -2, -4), и3 = (4,1,2).
8.65. Na Ppeite tov буко V(S) тои лараХХт|Х£Л1лЁ8ои S otov R4 лои лроо8юр€^£та1 алб та ак6Хои0а
SiavuopaTa:
=(1,-2,5,-1), м2=(2,1,-2,1), «3= (3,0,1-2), и4 = (1,-1,4,-1)
8.66. 'Еотсо V о х<Ьро<; 2x2 лсуаксоу м= лаусо otov R. Na лроо8юр(о£Т£ ката лбоо о
D: V->R Eivai 2-урар.р.исб<; (сод лро<; тц урар.рЁд) r| oxi, блои:
(a) D(M) = a + 4. (у) D(M)=ac-bd, (с) D(M) = 0
(ft D(M) = ad, (<5) D(M) = ab-cd, (<^ D(M) = 1
8.67. Eav о A Eivai ёус^ п-т£траусоУ1кб<; л^акад va олоЗе^ете oti |kA|=kn|A|.
8.68. 'Еотсо oi А, В, С, D n-TETpaycovucoi л{уак£<; лои avTi|i£TaTi0£VTai. ©EcopcbvTat; tov
Zn-rsrpaycoviKd Siapspiopsvo nivaKa M = J], va апоЗефте oti |M|=|A||D|-|B||C|. Na
Secrete oti то anorEXsopa pnopsi va prjv sivai aXq0E<; sav oi nivaKeg 5sv avTipETaTi0Evrai.
8.69. Yno0soTS oti о A sivai opOoycbvio;, 8qXa8q ATA=I. Na Sei^ete oti det(A)= + 1.
8.70. 'Еотсо V о SiavuopaTiKog X“P0^ m-TErpaycoviKcbv nivaKcov nov ©scopouvrai cot; m-aSst;
SiavuopaTCOv ypappqg. Y no0sors oti о D: V ->K sivai m-ooTqg ypappiKog koi svaXXaooopsvog.
Na Ssi^ETE oti:
(a) D(...,A,...,B,...)=-D(...,B,...,A,...): то npooqpo aXXa^si otov avraXXaooovTai
apoipaia Suo ураррёд.
(P) Eav та A|,A2,...,Am sivai ypappiKa E^aprqpEva, tote D(A1,A2,...,Am)=0.
8.71. 'Еотсо V о xcbpog m-TETpaycoviKcbv nivaKcov (oncog mo navco) koi еотсо D: V->K. Na Sei^ete oti
q паракатсо 8qXcooq sivai looSuvapq ps to va sivai о D EvaXXaoodpsvog:
D(A],A2,...,An)=0 опотЕ A=A,+ 1 yia капою i
'Еотсо V о xcbpog n-TErpaycoviKcbv mvaKcov navco ото К. Yno0eore oti о Bg V sivai avnorpeyipog
koi etoi det(B)*O. Упо0еоте sniorit; oti о D: V->K opi^erai ano tt|v D(A)=det(AB)/det(B),
onou Ag V, опотЕ
D(Ai. A2...A„) = det^B, A2B....A„B)/dtX(B)
onou T| Aj sivai tj i-ooTqg ypappq tou A, koi etoi tj A,B sivai tj i-ooTqg ypappq tou AB. Na
Ssi^ETE oti о D sivai noXuypapptKog koi EvaXXaooopEvog, ка0сод Enioqg oti D(I)= 1. (Mspuca
PipXia xprjcnponoiouv tt| ps0o8o aurq yia va anoSei^ouv on |AB|=|A||B|.)
8.72. Na Ssi^ETE oti g=g(x1,...,xn)=(-l)n Vn.](x) onou to g=g(x,) sivai to yivopsvo Siacpopag tou
npopXqparog 8.19, x=xn koi q Vn-1 sivai q opi^ouoa Vandermonde nou opi^srai ano rqv
x2 x2 ...
x2
8.73. Eav о A svat; onoiooSqnore nivaKat;, va Seiners oti та npooqpa piag eXaooovog A[I,J] Kai rqt;
oupnXqpcopariKqg EXaooovog rqt; [I',J'] sivai ioa.
8.74. 'Еотсо о A svat; n-TErpaycoviKog nivaKat;. О Pa0p6g rqt; opi^ouoag tou A sivai о Pa0p6g tou
реуаХитерои TsrpaycoviKou unonivaKa tou A (nou XapPaverai Siaypacpovrag ураррЁд koi orqXst;
тои A) tou onoiou q opi^ouoa Ssv sivai pqSsv. Na Sei^ete oti о Pa0p6<; rqt; opi^ouoat; tou A
loourai ps то Pa0p6 tou, SqXaSq to psyioro api0po ypappiKa avs^aprqTCOv ypappcbv (q orqXcbv).
AI1ANTHEEIE AAYTQN FIPOBAHMATQN
о M=[Rb R2; ...] овцРоЩе! eva nivaKa це ураццЁс; Rb R2,...
838. (a) —22, (b) -13, (c) 46, (d) -21, (e) ^Ч-аЬ + Ь2
839. (a) 3,10, (6) 5,-2
8.40. (a) 21, (6) -11, (c) 100, (d) 0
8.41. (a) -131, (6) -55
8.42. (a) 33, (b) 0, (c) 45
8.43. (a) -12, (b) -42, (c) -468
8.44. (а) |Л| = —|,adj Л = [-1,-1,1; -l.l.-l; 2,-2,0],
(6) И1 =-1. adj Л = [1,0,-2; -3,-1,6; 2,1, -5]. Also, A~l = (adj Л)/|Л|
8.45. (а) [-16, -29, -26, -2; -30, -38, -16,29; -8,51, -13, -1; -13,1,28, -18],
(b) [21, -14, -17, -19; -44,11,33,11; -29,1,13,21; 17,7, -19, -18]
8.46. (a) adj^=[d,-b; -с,а], (с) A = kJ
8.49. (а) -3,-3, (b) -23,-23, (с) 3,-3, (d) 17,-17
8.50. (а) -2,-17,73, (b) 7,10,105, (с) 13,54,0
8.51. (а) 6,13,62,-219; (6) 7,-39,29,20
8.52. (а) х = £,у = £, (Ь) х=-^,у = Х (с) x = -j,y = -f
8.53. (а) х = 5,у =1,2=1, (b) since D = 0, the system cannot be solved by determinants
8.55. (a) sgn a = 1, sgn т = — 1, sgn n = — 1
8.56. (a) to a = 53142, (b) it°a = 52413, (c) a"1 = 32154, (d) t"‘= 14253
8.60. (a) det(T) = 17, (b) det(T) = 4, (c) not defined
8.61. (a) 0, (b) 6, (с) 1
8.64. (a) 30, (b) 0
8.65. 17
8.66. (a) no, (b) yes, (c) yes, (d) no, (e) yes, (f) no
КесраХаю 9
AIATQNIOTIOIHXH:
lД!OTIМЕХ KA! lAIOAIANYXMATA
9.1. Е1ЕАГПГН
Oi i86sg nov avanrvooovrai oe аитб то кЕфаХаю pnopovv va e^etootovv катсо ало био бюфорЕтскЁд
олтскЁд ycoviEg.
Н Олт1кт| Гсо via tov nivaKa
Уло0Ётоурв oti рас; SivETai 6vag n-TETpaycoviKog л(уакад А. Лёце oti о nivaKac; A Eivaidiaycovioxoir/-
ощод Eav vnapxei evag pr|-i8ia^cov nivaKac; P тётоюс; coote о
B=P-'AP
va Eivai Siaycbviog. To КЕфаХаю аотб npaypaTEVETai tt| 8iaycovionoir|OT| evoc; nivaKa A. IvyKEKpipi-
va, SivETai 6vag aXyopi0pog yia tt|v EypEcrq tov nivaKa P, OTav vnapxei.
H OnriKfj Г covia tov Г pappiKov ТеХеотт]
УпоОётооце oti цад 8iv£Tai 6vag ypappiKog т£Х£отт|д T: V->V. Лёце oti о ураццскос; teXeottjc; T Eivai
Siayuvionoir/ai/wq Eav vnapxei pia Paor] S tov V тётою coote о nivaKag-avanapaoTaoT| tov T coc;
npoc; tt| Paor| S va Eivai 6vag Siaycbviog nivaKac; D. To КЕфаХаю аотб e^etci^ei SicwpopEg ovv0r|KEg
катсо ano tic; onoiEg о урацщкбд teXeottic; T Eivai 8iaycovionoif|oipog.
H Отгпкт] Гco via тт]д looSvvapiag tcov Avo Er|psicov
Oi Svo mo navco 6woi£g Eivai ovoiaoTiKa iSiEg. EvyKEKpip6va, 6vag TETpaycoviKog nivaKac; А pnopEi va
0£copr|0£i cog 6vag урацщкбд т£Х£отт|д F nov optical ano tt|v
F(X)=AX
Onov то X Eivai 6va Siawopa ovqXrig, о 8e B=P-1 АР avanapioTa tov F cog npog 6va уёо оботтща (Pa-
ot|) ovvTETayp6vcov S, та OTOixfiia tov onoiov Eivai oi отг|Х£д tov P. Ano tt]v аХХт|, опоюоЗт|пот£
урацщкбд т£Х£отт|д Т цпорЕ1 va avanapaoTa0£i алб 6va лп>ака А сод лрод ща Раот|, Kai otov елЛё-
yETai pia 3evtept| Раот|, о Т ауаларютата! алб tov nivaKa
В=Р'АР
Onov о Р Eivai о nivaKag aXXayrig Раот|д.
Та ЛЕрюобтЕра 0есорг|рата 0а Sia-nmcbvovrai рЕ Svo трблоод: ovvapTf|OEi Л1уаксоу A Kai ovvap-
тг|ОЕ1 ypappiKcbv ретаохлратюрсоу T
О РбХод tov YnoKEipevov IIeSiov К
То vnoKsipsvo tteSio apiOpcbv К Sev snails капою ei8iko рбХо ora npor|yovp£va KEcpaXaia onov e^e-
xa^apE xovg 8iawopaxiKov<; xcbpov^ Kai той; ypappiKovg pExaoxnpaxiopov^. Evxovxoig, т| 8iaycovio-
noir|OT| evoc; nivaKa A f| evoc; ypappiKOv xeXeoxti T 0a E^apxaxai ano tu; pi^Ec; evoc; noXvcowpov A(t)
navco ото K, oi Se pi^Ec; ovtec; 0a E^apTcbvxai ano то K. Tia napa8siypa, at; vno0£oovp£ oti A(t)=t2+1.
Tote to A(t) Se 0a exei pi^sc; sav K=R, то прауратисб пеЗю, evco 0a exei pi^E<; ± i Eav K=C, to piya8iKO
nfiSio. Ептр6о0£та, r| evpeot] xcov pi^cbv evoc; noXvcowpov це Pa0p6 pEyaXvTspo xov 2 Eivai sva aXXo
£r|XT||ia (nov E^Exa^Exai ovxva oxa ра0г|рата Api0pr|TiKT|^ AvaXvor]^). Qc; ek tovtov, xa napa8siypa-
xa рас; 0a o8r|yovv ovvr|0co^ oe ekeivo xa noXvcbwpa A(t) xcov onoicov oi pi^£<; pnopovv evkoXo va
npooSiopioxovv.
9.2. nOAYfiNYMA IIINAKQN
©EcopovgE Eva noXvcbwpo f(t)=antn+...+a1t+a() navco oe sva пеЗю К. Yn£v0v|ii^Exai (Параурасрос;
2.8) oxi sav о A Eivai Evag onoioo3r|nox£ xExpaycoviKOc; nivaKac;, xoxe opi^ovpE xt|v
f(A) = a„A” 4-... + a}A 4- a0I
onov о I Eivai о xavxoxiKoc; nivaKac;. ZvyKEKpipEva, Хеце oxi xo A Eivai pia pi£a xov f(t) Eav f(A)=O, о
PT|8evik6c; |i£xaoxr||iaxio|i6(;.
napaSeiypa 9.1. Eoxco л = [J J]. ТбхЕЛ’»^ £]. Eav
/(0 = 2? - ЗГ 4- 5 Kai g(0 = ? - 5Г - 2
XOXE
Kai
.“]+[ - 2]
ZvvEncbc; xo A Eivai Eva pt|8evik6 xov g(t).
Ioxvei xo паракахсо 0£сЬргща (xo onoio ano8£iKVV£xai oxo ПрорХгща 9.7).
0ЕсЬрт]ца 9.1: 'Eoxco xa f Kai g noXvcbwpa. Tia onoio8r|nox£ xExpaycoviKo nivaKa A Kai опою8т|похе
api0po k,
(i) (f+g)(A)=f(A)+g(A)
(ii) (fg)(A)=f(A)g(A)
(iii) (kf)(A)=kf(A)
(iv) f(A)g(A)=g(A)f(A)
To (iv) рас; Xeei oxi onoia8r|nox£ 8vo noXvcbwpa oxov A avxip£xaxi0£vxai.
nivaKec; кав ГpappiKoi ТеХеотёс;
Ac; vno0£oovp£ xebpa oxi о T: V->V Eivai svac; ypappiKoc; xeXeoxti^ evoc; 8iawopaxiKov xcbpov V. Oi
8vvap£ic; xov T opi^ovxai ano xi]v npa^rj xr^ ovv0ech]^, 8r|Xa8r|
T2 = Tor, T3 = T2°T,
Enioqt;, yia опою8т|потб noXvcbwpo f(t)=antn+...+a|t+a0, opi^ovps tov f(T) це tov 1810 тропо nov
Kdvaps Kat yia tov<; nivaKEt;, 8r|Xa8f]
f(T) = anT" + ... + a\T + aol
onov о I Eivai тсора о tovtotikoi; рЕтаохт|ратюро<;. Леце snioqt; oti to T sivai sva цт|8еу1к6 t| pi£a tov
f(t) sav f(T)=0, о цт|8еу1ко<; psTaoxnpaTiopdt;. ZripsicovsTai oti oi охёоек; tov ©Есортщато^ 9.1 ioxvovv
koi yia ypappucovt; teXeotei;, oncot; ioxvovv yia nivaKEt;.
Паратцряот]: Eav vno0soovpE oti о A sivai о nivaKat;-avanapdoTaon evo<; ypappiKOV teXeott] T,
tots о f(A) sivai о nivaKat;-avanapdoTaoT] tov f(T), Kai ovyKSKpipsva f(T)=0 sav koi povo sav f(A)=0.
9.3. TO XAPAKTHPIZTIKO nOAYQNYMO, TO OEQPHMA CAYLEY-HAMILTON
Еотсо о А=[ау] Evat; n-TETpaycoviKot; nivaKag. О nivaKat; M=A-tIn, onov о In sivai о n-TETpaycoviKdt;
TavTOTiKdt; nivaKat; koi to t pia акабдрюп] поодтт|та, pnopsi va npoKv\|/£i Eav and та 8iaycbvia otoi-
X£ia tov A acpaipEoovpE to t. О apvrjTiKOt; tov M sivai о nivaKat; tIn-A, koi t| opi^ovoa tov
A(0 = det(C/n - A) = (-1)" det(4 - tln)
t) onoia sivai sva noXvcbwpo ото t 0a6pov n, ovopa^ETai характт]рют1кд noXvcbwpo tov A.
0a 8iaTvncboovps тсора sva oripavriKo 0scbpi]pa n](; ypappiKf|<; aXysppat; (to onoio ano8siKvvsTai
ото ПрорХцра 9.8).
Osdtpiipa 9.2: (Cayley-Hamilton) Ka0s nivaKat; A sivai pia pi^a tov характт|рют1коб tov noXvcovv-
pov.
Паратцряот]: YnoOsTOvrat; oti о А=[а^] sivai svat; rpiycuviKo; nivaKat;, tots о tl-A sivai svat;
TpiycoviKdt; nivaKat; ps 8iaycbvis<; катаусорюЕк; t-a„ koi apa
A(0 = det(tf - A) = (t - anMt - an)... (t - am)
Пара-nipovpE oti oi pi^st; tov A(t) sivai та 8iaycbvia otoixeio tov A.
napa8siypa 9.2. 'Еотсо-<4 = [J 5]-To характт]рют1кд tov noXvcbwpo sivai to
А(О=|С/-Л| = |'“* {j’|=(t-lXt-5)-12 = r2-6t-7
'Oncot; r|Tav avapsvopsvo and то ©бсорцра Cayley-Hamilton, 0 A sivai pia pi^a tov A(t), 8т|Ха8т|
At; vno0soovps тсора oti 01 A koi В sivai opoioi nivaKst;, yia napa8siypa 8=?'^?, onov о P sivai
avTiorpsyipot;. 0a 8si^ovps oti 01A koi В Ё-ypvv to 1810 характт]рют1ко noXvcbwpo. XpTjoiponoicb-
VTat; tt|v tI=P-ltIP, sxovps
Дя(0 = det(rZ - В) = det(rZ - Р~'АР) = det^'t/P - P~lAP)
= det[p-‘(rZ - Я)Р] = det(P-‘) det(tf - A) det(P)
Xprioiponoicbvrag to yeyovog oti oi opi^ovoeg eivai api6poi Kai avTiperaTi6evTai koi oti det
(P-1)=det(P)=l, naipvovpe reXiKa
Д5(с) = det(tf-J) = Дл(с)
Enopevcog то 6ecbpr|pa лоо акоХообе! poXig апо8е1хтт)ке.
Оешртща 9.3: 'Opoioi nivaKeg exoov to iSio характ^ритакб noXvcbwpo.
Характт] ритка noXvcbwpa BaOpcbv 2 кат 3
AnXoi rvnoi Sivovv та хараки]рют1ка noXvcbwpa nivaKcov Pa6pcbv 2 Kai 3.
(а) Yno6erovpe oti A ]• Тбте
Д(г) = г2 - (аи + аи)г + det(J) = г2 - <г(Л) 14- det(/1)
EScb то tr(A) ovpPoXi^ei то ixvog too A, 5r|Xa3f| то аброюра tcov Siaycbvicov otoixeicov too.
[аП - a12 «13 1
«21 «22 «23 Тбте
«31 «32 «33 J
Д(0 = t* — *г(Л) f2 + (/1ц +^22 + 433)r ~det(4)
(EScb та A]|, A22, A33 ovpPoXi^ovv, avrioroixa, тоод ovpnapayovreg tcov 3ц, a22, a33.)
Парббпуца 9.3. Na Ppevre то характт)рют1кб noXocbvupo too Ka6evdg алб тоид ларакатсо л(-
уакед:
<«> /-[’<й»-[’ 4 «с=[4 4
(a) 'Exovpe tr(A)=5+10=15 Kai |А|=50-6=44, ара A(t)=t2-15t+44.
(Р) 'Exovpe tr(B)=7+2=9 Kai |B|=14+6=20, apa A(t)=t2-9t+20.
(у) 'Exovpe tr(C)=5-4=l Kai |C|=-20+8=-12, apa A(t)=t2-t-12.
IJapaSeiypa 9.4. Na Ppeire то характт)рют1кб noXvcbwpo tov 4 = 3 2 J
'Exovpe tr(A)= 1+3+9=13. Oi сязрларауоутед tcov Siaycbvicov otoixeicov tov eivai oi e^f|g:
a.=|^ 5|=2i. 4a=|; 5|=7. ^,=|; ;|=э
Enopevcog Ац+А22+А33=31. Ел1от]д, |A|=27+2+0-6-6-0=17, олоте
Д(0 = Г3-13Г2 + 31Г-17
Паратт|р11<л]: Oi ctvvteXzotec; tov %арактт|ркгпкои noXvcowpov A(t) tov З-тетрауолчкоу nivaKa
A eivai, pe evaXXaooopeva лросттща, ot e£,f|<;:
S] = <г(Л), S2 = Atl + A22 +A33, S3 = det(4)
LripeicbveTai oti to ка0е Sk eivai то аброюра oXcov tcov Kvpicov eXaooovcov та£т|<; k tov A.
To 0ecopr|pa nov aKoXov0ei, tov onoiov opcoq r| andSei^r] Sev e^vnripeTei Tovg CKonovq koi tu;
npo0eoei<; ovtov tov pipXiov, pag Xeei oti r| napanavco паратт|рт]от] aXr|0evei yeviKOTepa.
Оесордра 9.4: 'Еотсо о A evag п-тетрауолчкос; nivaKac;. Тоте то характт|рют1к6 tov noXvcbwpo eivai
то
Д(0 = f - vl + S2r"'2 + ... + (-1)"S„
onov to Sk eivai to a0poiopa tcov Kvpicov eXaooovcov та^дс; k.
To Харакгцриткд IloXvcbwpo evoc; ГpappiKov TeXeorq
Ac; vno0eoovpe тсора oti о T: V-> V eivai evac; урсщ/икд^ teXeottiq oe eva SiawopaTiKo xcbpo V nene-
paopevqc; Зюотаот]^. Opi^ovpe то характт|рют1кд noXvcbwpo A(t) tov T va eivai то характт|рют1кд
noXvcbwpo onoiov5r|noTe nivaKa-avanapaoTaorjc; tov T. Ynev0vpi£eTai oti eav 01A koi В eivai niva-
Ke<;-avanapaoTaoeu; tov T, тоте B=P-1 AP, onov о P eivai evag nivaKac; aXXayf]; pdor];. Zwencbg 01A
koi В eivai opoioi, koi ano to ©ecbprjpa 9.3, exovv to iSio характт]рют1к6 noXvcbwpo. He, ек tovtov,
to xapaKTTipioTiKO noXvcbwpo tov T eivai ave£apTT|To ano tt| ovyKeKpipevr] роют) ott|v onoia vnoXo-
yi^eTai о nivaKag-avanapaoTaoT] tov T.
Ecpooov f(T)=0 eav koi povo eav f(A)=0, onov to f(t) eivai eva опою8т|поте noXvcbwpo koi о A
eivai evac; опоюо8г|поте nivaKaq-avanapdoTaor) tov T, exovpe то mo катсо avaXoyo 0ecbpr|pa yia
ypappiKOvq teXectceq.
©есордра 9.2': (Cayley-Hamilton) 'Evac; ypappiKoc; теХеотт)^ T eivai eva pr|5eviK6 tov xapa-
KTTjpiOTlKOV tov noXvcowpov.
9.4. AIArQNIOnOIHSH, IAIOTIMES KAI IAIOAIANYSMATA
Eav о A eivai evac; опоюо8г|поте п-тетрауолчкос; nivaKac;, тоте о A pnopei va avanapaoTa0ei ano (r|
eivai opoioc; npoc;) eva Siaycbvio nivaKa D=diag(k1,k2,...,kn) eav koi povo eav vndpxei pia pdor] S r|
onoia anoTeXeiTai ano SiawopaTa (отт|Хг|д) u!,u2,...,un тетою сооте
Aui = kiUi
Au2 = k2U2
Ли„ = kn»n
Ze pia тетою перигтсоот], о A KaXenai Siayajvionoitjffipot;. Епшр6о0ета, D=P-1AP, onov о P eivai о
pr)-i8ia£cov nivaKac; tov onoiov 01 ovqXec; eivai, avTiOToixa, та SiawopaTa pdorje; U],^,...,!^.
H mo navco паратт|рг|от] рас; oSriyei otov opiopo nov aKoXov0ei.
Opiopdg: 'Еотсо о A evag опоюо8т|поте тетрауалчкод nivaKac;. 'Eva; apiOpoc; X ovopa^eTai 1810-
Tipr| tov A eav vndpxei eva pr]-pr|8eviKd Siawopa (отт|Хг|^) v тетою сооте
Av=Xv
OnoioSqnoTE Siawopa iKavonoiei Tq ox£oq avrq ovopa^ETai iSioSiawopa tov А nov
avqKEi OTqv iSiOTipq X.
0a лр£я£1 eSco va oqpeico0ei oti ка0£ Ра0ршт6 поХХапХаою kv evog iSioSiawopaiog v лов avqKEi
OTqv X Eivai Enioqg Eva iSioSiawopa, кабсЬд
A(kv)=k(Av)=k(Xv)=X(kv)
To ovvoXo Ex oXcov avTcbv tcov iSioSiawopaTCOv Eivai evag vnoxcbpog tov V (ПрбрХтща 9.19), Kai
ovopa^ETai iSioxcbpog тт|д X. [Eav dim Ex=l, tote to Ex ovopa^eTai iSiocvdcia Kai то X /tatfpcvrdg
napayovraq.]
MepiKEg cpopeg ott| pipXioypaipia ovvavrcbvrai oi opoi xcxpaKTqpioTiKq Tipq Kai характт|рют1к6
Siawopa ott| 0eoq tcov opcov iSiOTipq Kai iSioSiawopa, avTioTOixa.
H napa-rqpqoq Kai oi opiopoi nov eiSape яю navco pag Sivovv то ак6Хоо0о Oecbpqpa.
©ecbpqpa 9.5: 'Evag п-тЕтрауомкод nivaKag A Eivai opoiog лрод Eva Siaycbvio nivaKa D Eav Kai povo
Eav о A exei n ypappiKa ave^apiqia iSioSiavvopaTa. Evqv nepimcooq avvr|, та Siaycb-
via oroixEia tov D Eivai oi avrioioiXEg iSiOTipEg Kai D=P'АР, onov о P Eivai о nivaKag
tov onoioi oi oTqXeg Eivai та iSioSiavvopaTa.
Ag vnoOeoovpe oti Evag nivaKag А pnopei va 6iaycovionoiq0Ei олсод лю navco, yia napaSeiypa
P1 AP=D, onov о D Eivai Siaycbviog. Tote о A exei Tqv e^aipeiiKa xpqoipq Siaycbvia napayovronoiqoq
A=PDP-'
Xpqoiponoicbvrag rqv napayovronoiqoq avrq, q aXyeppa tov A avayerai orqv aXyeppa tov Siaycb-
viov nivaKa D, q onoia pnopsi evkoXo va vnoXoyioTEi. EvyKEKpipsva, vno0ETOvrag oti
D=diag(k|,k2,...,kn), tote
Am = (PDP~l)m = PIFP-' = P diagOtf....^)P-'
TEviKOTEpa, yia onoioSqnOTE noXvcbwpo f(t),
/(Л) =/(PDP-') = 7У(Л)Р-' = P diagt/OM. /(^2)./(An))/»-1
Ептр6о0ета, Eav 01 SiaycbviEg катахсорю£1д tov D Eivai pq-apvqTiKEg, еотсо
5 = Pdiag(A-A.........A)*’"1
Tote, о В Eivai pia pq-apvqTucq TETpaycovucq pi^a tov A, SqXaSq B2=A Kai 01 iSiOTipEg tov В Eivai pq-
apvqTiKEg.
IlapdSEiypa 9.5. 'Еотсо ^ = [2 2] Kai ^отй) V| = [-2] Kai V2 = [1]' ^°T£
^' = [2 z][-2] = [-2] =Vl Kai^ = [z i][I] = [1] =4v2
EvvEncbg та v, Kai v2 Eivai iSioSiavvopaTa tov A nov avqKovv, avrioTOixa, oug iSiOTipEg X^l Kai
Хг=4. IlapaTqpovpE oti та vf Kai v2 EivaiypappiKa avE^apTqTa Kai dpa oxqpaTiCpvv pia paoq tov R2.
'Etoi, о A Eivai Siaycovionoiqoipog. Епшр6о0£та, еотсо P о nivaKag tov onoiov 01 oiqXeg Eivai та
iSioSiavvopaTa v, Kai v2. 'Еотсо, 5т|Ха5т|,
P=[-2 !]• «пета. /-' = [>
Tote о A eivai opoiog лрод to Siaycbvio nivaKa
—HI -Iffi j-: H!]
'Oncog nepipevape, та Siaycbvia oroi%eia 1 Kai 4 too D eivai oi iSiOTipeg nov avrioroi%ovv ота iSio-
SiavvopaTa V] Kai v2 avTioroi%a, та onoia eivai oi отцХед tov P. EvyKeKpipeva, о A e%ei tt)v napayo-
vTonoir|OT]
[-::][::][! 1J
Ката ovveneia,
^4 = Г 1 11Г1 olH -ИГ171 851
[-2 1 J|_0 256 J[j 1J [170 86J
EninXeov, упоОётоуре oti f(t)=t3-5t2+3t+6, apa f(l)=5 Kai f(4)=2. Тбте
—J: J! i]
TeXog, XapPavovpe pia “deruaj TEipaycovuaj piCp. ” tov A. EvyKeKpipeva, xprioiponoicbvrag Tig 71 =1
Kai 74 =2, XapPdvovpe tov nivaKa
•—UMI 1HI i]
onov B2=A koi о В e%ei 0ет1кёд iSiOTipeg та 1 Kai 2.
Паратдрдсл): Ее око то кесраХаю ovto, 0а xprioiponoiovpe то ok6Xov0o yeyovog:
_ 1Г» Г* Я , р-1 Г rf/|P| -W4
EavlfP=[c J.™ Р- =[_с/1/>| в/|л].
О Р'1,5т|Ха5т|, XappaveTai evaXXaooovrag та Siaycbvia OTOi%eia a Kai d tov P, naipvovrag enevra Tovg
apvrjTiKOvg tcov pr|-5iaycbvicov OTOi%eicov b Kai c, Kai SiaipcbvTag TeXiKa то ка0е oroi%eio pe tt)v opi-
£ovoa |P|.
I<SiOTi]T£g tcov ISioripcbv Kai tcov ISioSiawopuTiov
To napanavco napaSeiypa 9.4 vnoSevcvvei та пХеоуектт|рата piag Siaycbviog avanapaoTaorig (napa-
yovTonoir|OT]g) evog тетрауамкоб nivaKa. Eto 0ecbpr|pa nov акоХоу0е( (to onoio anoSevcvveTai ото
ПрбрХт|ра 9.20), anapiOpovvrai Kanoieg 18ютт|тед nov pag Pot|0ovv ott)v evpeor] piag тётоюд avana-
раатася]д.
©есордра 9.6: 'Еотсо о A evag тетрауамкбд nivaKCtg. Тбте та mo катсо eivai looSvvapa.
(i) 'Evac; api6po<; X eivai pia iSiOTiprj tov A.
(ii) О nivaKag M=A-XI eivai iSia^cov.
(iii) О api6pd<; X eivai pia pi£a тои характт|рют1коо noXvcowpov A(t) tov A.
О iSioxcbpoc; Ex piag i5iOTipr|q X eivai о xcbpog Xvoecov tov opoyevovc; ovottiратод MX=0, onov M=
A-XI, 5т|Ха5т| о M XapPaveTai acpaipcbvTaq ало та Siaycbvio oTOixeia tt|v X.
MepiKoi nivaKeg Sev eyovv iSiOTipeq, apa ооте koi iSioSiawopaTa. XprjoiponoicbvTac;, cootooo, to
0есорт|ра 9.6 koi to 0epeXicb8eq ©есорцра ttjc; AXye0pa<; (кабе noXvcbwpo navco ото piyaSiKo neSio
C e%£i pia pi£a), катаХт|уооре ото акоХообо бесорцра.
©ecbpqpa 9.7: 'Еотсо о A evaq TeTpaycoviKoq nivaKac; navco ото piyaSiKo neSio С. Тоте о A ё%£1 тооХа-
Xiorov pia iSiOTipi).
Та паракатсо бесорт|рата ба xpr)oiponoii)6ovv SiaSoyiKCt. (To 6ecbpi)pa nov looSvvapei pe to 0ecb-
рт|ра 9.8 yia ypappucovc; теХеотёс; anoSeiKweTai ото ПрбрХт|ра 9.21, eveb то 0есорт|ра 9.9 anoSei-
KvveTai ото ПрбрХт|ра 9.22.)
©ссЬрцра 9.8: У no б етооре oti та vbv2,...,vn eivai pr)-pi]8eviKd iSioSiawopaTa evog nivaKa A nov
avr|KOvv otic; SiaKEKpipevec; iSiOTipec; X^,...^. Тоте та vbv2,...,vn eivai ypappiKa
ave^apTT|Ta.
©Ecbpijpa 9.9: Упобетооре oti to характт|рют1к6 noXvcbwpo A(t) evoc; п-тетрауомкоо nivaKa A
eivai eva yivopevo n SiaKeKpipevcov napayovTcov, yia napaSeiypa A(t)=(t-a|)(t-a2)...
(t-aj. Тоте о A eivai opoioc; npoc; to Siaycbvio nivaKa D=diag(aba2,.. ..a,,).
Eav t] A eivai pia iSiOTiprj evog nivaKa А, тоте г) аХуеРрна) поХХапХ6тт|та "пуд A орфтас va eivai г)
поХХапХ6тт|та тгр; А со<; pia pi£a tov характт|рют1К015 noXvcowpov tov A, eveb т) уесоретр1кт| noXXa-
пХ6тт|та тг|д A opi^eTai va eivai т] Зюотаод tov iSioxcbpov tov, dim Ex. loxuei то mo катсо бе сорт) pa
(tov onoiov to looSvvapo yia ypappiKovq теХеотёд anoSeucweTai ото ПрбрХт|ра 9.23).
©Есорцра 9.10: H уесоретрнст] поХХапХ6тт|та pia iSiOTipifc A evoc; nivaKa A Se ^enepva tt|v
aXyePpiKT| ттц; поХХапХотт|та.
Aiaycovionoiifcni ГpappiKcbv TeXecrrcbv
©ecopovpe eva уращикд теАеотц T: V->V. Тоте, KaXeiTai Siaycovionoirjoipoc; eav pnopei va avanapa-
отабе1 ano eva Siaycbvio nivaKa D. Lvvencbq о T eivai Siaycovionoirjoipoc; eav koi povo eav vnapxfii pia
0аот) S={ubu2,...,un} tov V yia tt|v onoia
T(«i) = X1u1
T(u2) = kiU2
TM= '^un
Ze pia тетою nepinreoor), о T avanapioTOTai ano to Siaycbvio nivaKa
D = diag(£bA2......k„)
co<; npoc; тт| 0аот] S.
H паратт|рт|от) av-rq рас; oSrjyei otovc; opiopovc; koi ота бесорт|рата nov okoXov6ovv, та onoia
eivai avaXoya npog tovg opiopovg Kai та бесорт|рата yia nivaKeg nov e^eTaarqKav mo navco.
Орюрбд: 'Еотсо о T evaq уращикд<; теАесгп^;. 'Evag apiOpdg A ovopa^erai iSiOTipq too T eav
vnapxei eva pq-pq8eviKO Siawopa v тётою сооте
T(v)=Xv
Кабе Siawopa nov iKavonoiei Tq oxeaq avTq ovopa^eTai iSioSiawopa tov T nov
avr|Kei ott|v iSiOTipq A.
To ovvoXo Ex dXcov tcov iSioTipcbv nov avqKovv oe pia iSiOTipq X eivai evag vnoxcbpog tov V, nov
ovopa^eTai idio%d>po<; rrj^A. (EvaXXaKrucd, r| A eivai pia iSiOTipq tov T eav о XI-T eivai iSia^cov, Kai
ott|v nepinrcooT) avTq, to Ex eivai о nvpqvag tov XI-T.) H aXyePpucq Kai q уесоретрисг) поХХапХ6тт)та
piag iSioTipqg X evog ypappiKov TeXearq T opi^ovrai pe tov 1810 тропо nov opiorqKav yia pia iSiOTipq
evog nivaKa A.
loxdovv та акоХоуба бе сорората yia eva ypappiKo теХеотт| T oe eva SiawopaTiKd X“P° V nenepa-
apevqg Sidoraaqg.
Oecbpqpa 9.5': 0 T pnopei va avanapaoTa6ei ano eva Siaycbvio nivaKa D eav Kai povo eav vnapxei pia Paoq S tov V nov anoTeXeiTai ano iSioSiavvopaTa tov T. Erqv nepinrcooq av-cq, та Siaycbvia oroixeia tov D eivai oi avrioToixeg iSioTipeg.
Oecbpqpa 9.6': 'Еотсо о T evag ypappucog TeXeoTqg. Тбте та паракатсо eivai ioo8vvapa. (i) 'Evag api6pog X eivai pia iSiOTipq tov T. (ii) 0 ypappucog TeXeoTqg Xl-T eivai iSia^cov. (iii) 0 api6pog X eivai pia pi^a tov xapcucrqpioTucov noXvcowpov A(t) tov T.
Oecbpqpa 9.7': Упобётоутад oti о V eivai evag piyaSiKdg StawopaTucog xcbpog, T°TE ° T exei TovXaxujTov pia iSiOTipq.
Oecbpqpa 9.8': Упобётоире oti та V],v2,.. .vn eivai pq-pq8evuca iSioSiavvopaTa evog ypappi- Kov TeXeorq T nov avqKovv OTig SiaKCKpipeveg iSioTipeg X^Xj,...^. Тбте та vbv2,.. .,vn eivai ypappiKa ave^aprqTa.
Oecbpqpa 9.9': Упобётоире oti to xapaKTqpioriKO noXvcbwpo A(t) tov T eivai eva yivopevo n SiaKeKpipevcov napayovTcov, yianapaSeiypa A(t)=(t-a|)(t-a2).. .(t-a,)). Тбте о T pnopei va avanapaoTa6ei and to Siaycbvio nivaKa D=diag(aba2,...,an).
Oecbpqpa 9.10': H уесоретрисг) noXXanXoTqTa piag iSioTipqg X tov T 8e ^enepva Tqv aXyePpucq rqg noXXanXdrqTa.
IlapaTqpqcrq: To акоХоибо 6ecbpqpaavayeiTqv epevva yia Tq 8iaycovionoiqaq evdg ypappucov теХе-
отт| T o-ni Staycovionoiqaq evog nivaKa A.
Oecbpqpa 9.11: Eav vno6eoovpe oti о A eivai evag nivaKag-avanapaoTaoq tov T, тоте о T eivai Siaycovionoiqoipog eav Kai povo eav о A eivai Siaycovionoiqoipog.
9.5. УПОЛОПЕМОЕ lAIOTIMftN KAI lAIOAIANYEMATftN, А1АГПМОПО1НЕН П1-
NAKftN
Ett|v napaypacpo avTq 6a бобре eva aXydpi6po yia Tqv evpeori iSioTipcov Kai i8io8iawopaTcov yia eva
5e5o|ievo Siaycbvio nivaKa A Kai yia xov npoo8iopiop6 too ката лбоо vnapxei f| oxi evac; pq-i8id^cov
nivaKac; P тетоюс; coote о P'AP va sivai Siaycbviog.
AkydpiOjiog 9.7: (AXy6pi0pog Aiaycovionoiqoqc;) H EiooSoc; sivai svac; n-TSTpaycoviKOc; niva-
кас; A.
Bqpa 1. BpioKovps то характт|р1от1кд noXvcbwpo A(t) too A.
Bqpa 2. BpioKovpE tu; pi^eq too A(t) yia va napovps tic; iSioTipec; too A.
Bqpa 3. EnavaXapPavovpe та (a) Kai (P) yia tt|v кабв t8iOTipf| X too A.
(а) Lxqpaii^ovpE tov nivaKa M=A-XI acpaipcbvrac; tt|v X ano та Siaycbvia OTOixeia
too A.
(P) BpioKovps pia pdoi] yia to X“P° Xuoecov tou opoyEvovc; оиоттщатос; MX=0.
(Аита та SiavvopaTa pdor|<; sivai ypappiKa ауб^артт|та iSioSiavvopaTa tov A
nov avr|KOvv gtt|v X.)
Bqpa 4. ©scopovps тт] ovXXoyri S= {v,,v2,...,vn} oXcov tcov iSioSiawopaTCOv nov XqcpOqKav ото
Bf|pa3.
(a) Eav m*n, tots о A Sev sivai Siaycovionoirjoipoc;.
(P) Eav m=n, tots о A sivai 8iaycovionoif|oipo<;. EvyKSKpipsva, sav о P sivai о
nivaKac; tov onoiov oi ott)Xe<; sivai та i8io8iavvopaTa vbv2,.. ,,vn, tots
D = p-,AP = diag(A1,A2........2„)
onov T] X, sivai r] i8ioTipf| nov avrioTOixsi ото i8io8idwopa vr
IlapdSEiypa 9.6.
0a scpappooovps tov aXyopiSpo 8iaycovionoir]or|<; otov л = I з
(1) YnoXoyi^ovps то характпрюпко noXvcbwpo A(t) tov A. 'Exovps
tr(4) = 4 - 1 = -3, |Л| =-4-6=-10;
apa
A(t) = ? - 3r - 10 = (r - 5Х/ + 2)
(2) ©ETovps A(t)=(t-5)(t+2)=0. Oi pi^eq X,=5 Kai X^-2 sivai oi i8ionpE<; tov A.
(3)
(i) BpioKovps to i8io8iawopa v । tov A nov avr|K6i orqv i8ionpr| X,=5. Ano та 8taycbvia
OTOixeia tov A acpaipovps Tqv X,=5 yia va napovps tov nivaKa M = [ 3 . Ta
i8io8iavvopaTa nov avqKovv ott]v X,=5 oxqpaTi^ovv tt| Xvor| tov opoyEvovc; ov-
отт|ратос; MX=0, 8qXa8f|
[ 3 -б][>] = [о] П з^-6> = 0 П -x + 2> = 0-
To ovoTqpa sxei povo pia sXsvOspq р£тарХг]тт). Lvvsncbc; pia pq-pq8sviKr| Xvoq,
yia napa8siypa to V|=(2,l), sivai sva i8io8idwopa nov napaysi tov i8ioxcbpo ttjc;
X,=5.
(ii) BpioKOvpe eva iSioSiawopa v2 tov A nov avrjKei ott|v i8iOTipf| ^=-2. Acpaipovpe
to -2 (f| прооОётооре to 2) ano та Siaymvia oTOixeia tov A yia va napovpe tov
nivaKa
А/ = [з l] KaiT0 ооотпра f| 3x+y = 0.
To ovo-n]|ia £%£i povo pia ave^dp-пуп] Xvot|. Evvencbg pia pr|-pr|8eviKr| Xvot|, yia
napaSeiypa to v2=(-1,3), eivai eva iSioSiawopa nov napayei tov iSioympo vr]q
V-2.
(4) Еотсо P о nivaKag tov onoiov oi отт|Хе^ sivai та iSioSiawopaTa v, Kai v2. Tote
P=[l з]' Kaietoi = [_i z]
Ката ovveneia, о D=P-1 AP Eivai о diaywvioq mvaKaq tov onoiov oi SiaymviEq катаусорь
oeic; sivai oi avTioTOiyEg iSiOTipeq, 8r|Xa8f|
•НИ
napaSeiypa 9.7. ©ecopovpe tov nivaKa B=[ $ ^’Exovpe
tr(B)=5+3=8, |B|=15+1 = 16, etoi A(t) = t2-8t+16=(t-4)2
EvpnspaopaTiKa, r| X=4 Eivai r| povaSiKi) i5ioTipf| tov B. Acpaipovpe ttjv X=4 ano та 8ia-
ycbvia OTOi%£ia tov В yia va napovpe tov nivaKa
_}] Kai to opoyevec;ovoTrjpa Л x-j' = 0
To ovo-cripa £%ei povo pia ауе£артт|тт| Xvor|, yia napaSeiypa ttjv x=1, y=l. 'Etoi to v=(1,1) Kai та
noXXanXaoia tov sivai та povaSiKa iSioSiawopaTa tov В. Ката ovveneia о В 8ev sivai 8iaycovionoif|-
oipoc;, каОсод 8ev vnapxsi pia pdor| nov va anoTeXevcai ano та iSioSiawopaTa tov B.
napaSeiypa 9.8. ©ecopovpe tov nivaKa A = j- tr(A)=3-3=O Kai |A|=-9+10=l. Apa to
A(t)=t2+1 eivai то характт|рют1к6 noXvcbwpo tov A. AiaKpivovpe Svo перштсооец:
(a) О A eivai evac; nivaKac; navco ото прауратисо neSio R. Тоте то A(t)=(t-i)(t+i) Sev exei (npay-
ратисёс;) pi^eq. Ivvencb^ о A Sev exei iSiOTipec; Kai iSioSiawopaTa, Kai apa Sev eivai Siaycovio-
noif|oipog.
(P) О A eivai evac; nivaKac; navco ото piyaSiKo neSio С. Тоте то A(t)=(t-i)(t+i) exei Svo pit,£<;, to i
Kai to -i. Enopevcog о A exei Svo SiaKeKpipevec; iSiOTipeq, to i Kai tov -i, Kai apa exei Svo
ave£,dpTT]Ta iSioSiawopaTa. Ката ovveneia vnapxEi evag prj-iSid^cov nivaKac; P navco ото pi-
yaSiKO neSio C yia tov onoio
Еорпвраорапка, о A eivai Siaycovionoiqoipo; (navco ото С).
9.6. НАГЯМОПОШЕН ПРАГМАТИСТ EYMMETPIKQN niNAKT
Ynapxovv noXXoi праурапко! nivaKEt; A nov Sev Eivai Siaycovionoiqoipoi. Evqv npaypariKOTqra, ка-
noioi праурапко! nivaKEt; pnopEi va pqv exovv кара (npaypariKq) iSiOTipq. Qorooo, Eav о A Eivai
Evat; праурапко; ovppErpiKo; nivaKat;, tote та npopXqpara avra Sev vcpioravrai. EvyKEKpipeva,
EXOvgE та акоХооОа 0Ecopqpara.
©ecbpripa 9.12: Eav о A Eivai Eva; праурапко; ovppErpiKo; nivaKat;, tote t| ка0Е pi£a X tov
XapaKTT|piaTiKOV tov noXvcovvpov Eivai npaypariKq.
©есортща 9.13: 'Еотсо о A svat; праурапко; ovppErpiKo; nivaKat;. YnoOErovra; oti та u Kai v
Eivai iSioSiavvopaTa tov A nov avqKOvv on; SiaKEKpipEVE; iSionpE; X, Kai
X2, tote та u Kai v Eivai opOoycbvia, SqXaSq ((u,v))=0.
Ta Svo napanavco 0Ecopqpara pat; Sivovv то акоХооОо OepeXicoSe; 0Ecbpr|pa.
©ecbpripa 9.14: Eav о A Eivai Eva; праурапко; ovppErpiKo; nivaKat;, tote vnapxei Eva; opOo-
ycbvio; nivaKat; P tetoio; coote о D=P’'AP va Eivai Siaycbvio;.
О opOoycbvio; nivaKa; P XapPavErai KavoviKonoicbvTa; pia paoq opOoycbvicov iSioSiawoparcov tov
A, onco; SievKpivi^ETai ото napaSfiiypa nov okoXovOei. Ее pia tetoio ПЕр1птсоот|, Хере oti о A Eivai
“opOoycbvia diaycovionoiriaipoc;”.
Парйбегура 9.9. 'Еотсо о = [J $ Eva; праурапко; ovppsTpiKo; nivaKa;. Na Ppeite sva opOo-
ycbvio nivaKa P tetoio coote о P'1 AP va Eivai Siaycbvio;.
ApxiKa PpioKovps то характт]р1от1ко noXvcbwpo A(t) tov A. 'ExovpE
tr(A)=2+5=7, |A|=10-4=6, etoi A(t)=t2-7t+6=(t-6)(t-l)
Ката ovvEnEia, 01 X,=6 Kai X2=l Eivai 01 iSionpE; tov A.
(a) AcpaipcbvTa; rqv X,=6 ano та Siaycbvia oroixeia tov A oSqyovpaorE otov nivaKa
w=[_2 -i] Kai to opoyEVE; ovorqpa Л 2x+y=0
Mia pr|-pr|8EviKf| Xvoq Eivaito U]=(l,-2).
(P) AcpaipcbvTa; Tqv X2=l ano та Siaycbvia oroixeia rov A oSqyovpaorE orov nivaKa
M = £ 4 j Kai to opoysvE; ovorqpa x-2y=0
(H SevTEpq E^iocooq anaXeicpErai, каОсо; Eivai Eva поХХапХаою rq; npcbrq;.) Mia pq-pqSsvi-
kt| Xvoq Eivai to u2=(1,-2).
'Onco; qrav avapevopevo ano to ©Ecbpqpa 9.13, та u( Kai u2 Eivai opOoycbvia. KavoviKonoicbvra; та u(
Kai u2 oSqyovpaorE ora opOoKavovuca Siavvopara
u, = (1/75,-2/75) Kai U2 = (2/75,1/75)
TeXo;, еотсо P о nivaKa; rov onoiov 01 orqXe; avrioroixa та йх Kai й2. Tote
'Олсод nepipevape, oi Siaycbvieg ovTorqTeg tov P_1AP eivai oi iSiOTipeg nov avriaroixovv arig orqXeg
tovP.
H SiaSiKaaia nov aKoXovOqOqKe ото mo navco napaSeiypa 9.9 rvnonoieiTai arov aXyopiOpo nov
aKoXovOei, о onoiog PpioKei eva opOoycbvio nivaKa P тетою сооте о P-1AP va eivai Siaycbviog.
AXydpiOpog 9.2: (AXydpiOpog OpOoycbviag Aiaycovionoiqoqg) H eiooSog eivai evag npaypa-
TiKog оорретрисбд nivaKag A.
Bqpa 1. BpioKovpe то xapaKrqpiaTiKo noXvcbwpo A(t) tov A.
Bqpa 2. BpioKovpe Tig iSiOTipeg tov A, oi onoieg eivai oi pi£eg tov A(t).
Bqpa 3. Tia Tqv каОе iSioTipq X tov A tov BqpaTog 2, ppiaKovpe pia opOoycbvia paoq tov
iSioxcbpov Tqg.
Bqpa 4. KavoviKonoiovpe 6Xa та iSioSiavvopaTa tov BqpaTog 3, yia va ©xqpaTiaTei pia opOo-
KavoviKq Paoq tov Rn.
Bqpa 5. 'Еотсо P о nivaKag tov onoiov oi orqXeg eivai та KavoviKonoiqpeva iSioSiavvopaTa
tov BqpaTog 4.
Ecpappoyq ae TerpaycoviK^g Морсрёд
'Еотсо to q eva прауратскб noXvcbwpo pe peTapXqTeg xbX2,...,xn тетоюд сооте о каОе брод tov q va
f-Xei PaOpo Svo, SqXaSq
...*B) = EcPc? + EVPcy onov c„d,y€R
To q, тбте, KoXevrai TeTpaycovucq popcpq. Eav Sev vnapxovv oi opoi е^сотержоб yivopevov x,xp eav
SqXaSq 6Xa та б-=0, тбте Хере oti то q eivai Siaycbvio.
H napanavco TeTpaycovucq popcpq q npoaSiopi^ei eva лрауратскб оорретрскб nivaKa A=[a1J], onov
a,=c, Kai a4 = a „
1 ,
— «у. EvyKeKpipeva, to q pnopei va ypacpTei orq popcpq mvaKCov
q(X)=XTAX
onov to X=[x1,x2,...xn]T eivai to Siawopa orqXqg tcov peTapXqTcbv. ЕпшрбаОета, eav vnoOeaovpe
oti то X eivai pia ypappucq avriKaTaoraoq tcov peTapXqTcbv, тбте q аутскатаатасл] orqv TeTpaycovucq
popcpq pag oSqyei ото
q(Y) = (PY)TA(PY) = YT(PrAP)Y
Zvvencbg о PTAP eivai о nivaKag-avanapaoTaoq tov q ©Tig veeg peTapXqTeg.
Ava^qTovpe eva opOoycbvio nivaKa P тетою сооте q opOoycbvia avriKaTaoraaq X=PY va oSqyei ae
pia Siaycbvia TeTpaycovucq popcpq. Ava^qTovpe, SqXaSq, tov nivaKa P yia tov onoio о PTAP eivai
Siaycbviog. Ecpooov о P eivai opOoycbviog, PT=P-1, Kai apa PTAP=P’1AP. H napanavco Oecopia oSqyei ae
sva тетою opOoycbvio nivaKa P.
napaSeiypa 9.10. ©ecopovpe rqv TeTpaycovucq popcpq
^.,) = 2j-4V + S/=XTAX. = кт
Алб то ПарабЕсура 9.9,
^-Г‘ А-Лебкаиг-Г 2/<|
1° >J [-2Л/5 I/Vsj
О nivaKag Р avTioTOi%Ei orqv aK6Xov6q ypappacq op6oycbvca аутскатаатасгг| tcov pETapXqTcbv х кас у
ovvapTT|oEi tcov pETapXqTcbv s кас t:
12 2 1
Ж-7Г+Л'’. y-~V5s+^‘
Н аутскатаотаот] аотт] ott|v q(x,y) рас; o6qyEi отт| 8caycbvca т£траусоускт| popcpq q(s,t)=6s2+t2.
9.7. ТО EAAXIETO nOAYQNYMO
'Еотсо о А svag олосоо8т|лоте тЕтраусоускбд nivaKag, кас еотсо отс то J(A) ovpPoXi^Ec тт| cnjXXoyq
oXcov tcov noXvcovvpcov f(t) уса та onoia о A Eivac pia рс^а, уса та onoia, 6qXa6q, f(A)=0. То ovvoXo
J(A) 8ev Eivac kevo, кабсод то ©Ecbpqpa Cayley-Hamilton 9.1 рас; Хеес отс то характт|рсотск6 noXvcb-
wpo AA(t) tov A avqKEC ото J(A). 'Еотсо, тЁХод, отс то m(t) avpPoXi^Ec то KavovcKonocqacpo noXvcb-
wpo це то цскрбтЕро Рабрб ото J(A). (Eva тетосо noXvcbwpo m(t) vnapxEc кас Eivac роуабскб.) Tote,
to m(t) Eivac то XEyopEvo eXo/coto noXvcbwpo tov nivaKa A.
napaTqpqcrq: 'Eva noXvcbwpo f(t)*O Eivac KavovcKonocrjocpo Eav о qyEiiKog оуутеХеоттц; tov coov-
тас pE Eva.
Ioxvec то лсо катсо 6Ecbpqpa (то onoio алобЕскуоЕтас ото ПрбрХт]ра 9.33).
©scbpqpa 9.15: То ЕХаусото noXvcbwpo m(t) evoc; nivaKa (ураррскоо teXeott]) А бсасрвс ка0Е
noXvcbwpo nov exec tov A cog pt|8evcko. ZvyKEKpcpsva, to m(t) 8cacpEc to xa-
рактт|рсотск6 noXvcbwpo A(t) tov A.
Ynapxec pea aKopq caxvpoTEpq oxeot| pETa^v tcov m(t) кас A(t).
©scbpqpa 9.16: To характг]рсот1к6 noXvcbwpo A(t) кас то eXoxcoto noXvcbwpo m(t) svog ni-
vaKa A exovv Tovg i6covg apEcconovg napayovTEg.
To 0Ecopqpa аотб (nov апобЕскубЕтас ото IlpopXqpa 9.35) 8ev pag Xeec 6tc m(t)=A(t), пара povo
отс onocoo8qnoTE арЕссотод napayovTag tov svog 0a npsnEc va 8cacpEi to aXXo. ZvyKEKpcpEva, кабсод
svag ураррскбд napayovTag Eivac арЕссотод, та m(t) кас A(t) exovv Tovg i8covg ураррскобд napayovrEg
кас cog ek tovtov exovv тсд iScsg pi^Eg. 'ExovpE Xocnov то паракатсо 6Ecbpqpa.
©scbpqpa 9.17: 'Evag арсбрбд X Eivac pia cScoTcpq tov nivaKa A Eav кас povo Eav то X Eivac pia
pi£a tov EXaxcorov noXvcowpov tov A.
Пар68Ecypa 9.11. Na Рресте to еХохсото noXvcbwpo m(t) tov A=^3 7 ~15^-
BpioKOvpE прсота то харсчсгг)рссттск6 noXvcbwpo A(t) tov A. 'ExovpE
tr(A)=5, A11+A22+A33=2-3+8=7 кас |A|=33
Apa
A(r) = r3 - St1 + 7r - 3 = (t - l)2(r - 3)
To eXaxioro noXvcbwpo m(t) 0a npenei va Siaipei to A(t). EnmXeov, о ка0е apeicoroc; napayovrac;
tov A(t), Si]Xa8f| to t-1 Kai to t-3, 0a npenei va eivai enioi]<; evoc, napayovrac; tov m(t). Evvencbc; to
m(t) 0a npenei va eivai акрфсос; eva ano та ак6Хоо0а:
f(t)=(t-3)(t-l) f| g(t)=(t-3)(t-l)2
Fvcopi^ovpe, ano to ©ecbpqpa Cayley-Hamilton, oti g(A)=A(A)=0. Ара, арке( va eXey^ovpe povo to
f(t). 'Exovpe
Г1 2 -51Г-1 2 -5 "I ГО 0 01
/(Л) = (Л-/)(Л-3/)= 3 б -15 3 4 -15 = 0 0 0
[1 2 -5_|[ 1 2 -7j [_0 0 oj
Evvencbc; to f(t)=m(t)=(t-l)(t-3)=t2-4t+3 eivai то eXaxioro noXvcbwpo tov A.
FlapdSeiypa 9.12.
(a) ©ecopovpe tovc; e^f|<; Svo r-rerpaycoviKovc; nivaKec;, onov a*0:
О прсЬтос; nivaKac;, nov KaXeitat diafiEpiofiivoq nivaKat; Jordan, exei oroixeia X orr] Siaycbvio,
oroixeia 1 ott]v vnepSiaycbvio (-n]v onoia anoreXovv oi Karaxcopioeu; nov PpioKovrai navco
ano tu; Siaycbviec; Karaxcopioeu;) Kai pi]5eviKa aXXov. О 8e SevTepoc; nivaKac; exei oroixeia X
ott] Siaycbvio, oroixeia a orr]v vnepSiaycbvio Kai pTjSeviKa aXXov. [Apa о A eivai pia yeviKevori
rov J(X,r).] Mnopei капоюс; va Sei^ei oti to
f(t)=(t-X)r
eivai ravroxpova то характт|рют1к6 noXvcbwpo Kai то еХахюто noXvcbwpo, apcporepcov rcov
J(X,r) Kai A.
(P) ©ecopovpe eva av0aipero KavoviKonoif|oipo noXvcbwpo
f(t) = e + а„_хе-' + ... + a\t + ай
'Еотсо C(f) о n-rerpaycoviKOc; nivaKac; pe oroixeia 1 orr]v vnoSiaycbvio (rr]v onoia anoreXovv oi
Karaxcopioeu; nov PpioKovrai катсо ano тк; Siaycbviec; Karaxcopioeu;), rove; apvririKovc; rcov
ovvreXeorcbv orr]v reXevraia отпХт] Kai pTjSeviKa aXXov, coc; e^fjc;:
C(/) = 0 1 ... 0 —a2
О C(f), тбте, ovopa^erai nivaKat; mvodeiag tov noAvcovvpov f(t). Entnp6o0era, тбоо to eXaxi-
ото noXvcbwpo m(t) 600 koi то характт|р1сп1ко noXvcbwpo A(t) тои л(уака ovvoSEiac; C(f),
ioovvtoi це то apxtKO noXvcbwpo f(t).
То Ekd/ioro noXvcbwpo evoc; Грарржоб ТеХеотт)
То ekaxioto яоЛисЬущю m(t) evoc; ypappiKov теХеотт| Т optical va Eivai то KavoviKonoifpipo noXvcb-
wpo ре то piKpoTEpo Ра0р6 yia tov олою о Т Eivai pia pi£a. Qarooo, yia олою5т|лоте noXvcbwpo
f(t), exovpe
f(T)=O Eav Kai povo Eav f(A)=0
блои о A Eivai evac; олоюо5т|лоте л1уака<;-ауалараотаог| тои T. Ката ооуелею, oi A Kai Т exovv та
iSia ЕХа^юта noXvcbwpa. Qc; ек tovtov, та ларалаусо 0Есорг|рата yia то ЕХа^юто noXvcbwpo evoc;
nivaKa icrxvovv ел(сгг)<; koi yia то ЕХахюто noXvcbwpo evoc; ypappiKov teXeott|. Ioxoovv, 8т|Ха8т|, та
ак6Хоо0а.
0Е(Ьрт]ра 9.15': To eXcixioto noXvcbwpo m(t) evoc; ypappiKov teXecttti T SiaipEi ка0Е noXvcb-
wpo лоо exei tov T coc; pi£a. IvyKEKpipeva, to m(t) SiaipEi то характт|р1сгпк6
noXvcbwpo A(t) tov T.
0ЕсЬрт)ра 9.16': To характпрктпкб noXvcbwpo Kai to eXcixioto noXvcbwpo evoc; ypappiKov
teXeotti T exovv tovc; iSiovc; apEicoTovc; ларауоутЕс;.
©Ecbpqpa 9.17':
'Evac; api0po<; X Eivai pia iSiOTiprj evoc; ypappucov teXeotti T Eav Kai povo Eav
то X Eivai pia pi£a tov eXaxiorov noXvcovvpov m(t) tov T.
9.8 TO XAPAKTHPIETIKO nOAYONYMO KAI TO EAAXIETO nOAYONYMO ENOE
AIAMEPIEMENOY IIINAKA
H лараурасрос; avrr| e^etc^ei tt]v swoia tov характт|ркткоо noXvcovvpov koi tov eXcixiotov noXvco-
vvpov ое калоюус; (тЕтрауомкобс;) Siapepiopevovc; лшаквс;.
Характцрктко noXvcbwpo Kai AiapEpiapdvoi TpiycoviKoi Hivokec;
Yno0£Tovp£ oti о M Eivai Evac; Siapspiopfivoc; Tpiycovucdc; nivaKac;, yia napaSeiypa M = & j олоо
oi Aj Kai A2 Eivai TETpaycovucoi nivaKEc;. Tote 0 tl-M Eivai Enicrqc; evoc; Siapcpiopevoc; Tpiycovucdc;
nivaKac;, pE Siaycbviovc; vnonivaKEc; tovc; tl-A! Kai t!-A2. Елореусос;
1^-л/| = |^ qAi ^2| = |*-аж-л2|
Me aXXa Xoyia, то характг|рют1ко noXTcbwpo tov M Eivai to yivopevo tcov xapaicrripioTiKcbv лоХосо-
wpcov tcov Siaycbvicov vnonivaKcov A! Kai A2.
Me Елаусоуг| naipvovpE to okoXov0o xprpipo 0Есорт|ра.
0£(bpi)ga 9.18: Уло0£тоор£ oti о M Eivai Evac; SiapepiopEvoc; Tpiycovucdc; nivaKac; p£ Siaycb-
viovc; vnonivaKEc; AbA2,... Ar. Тоте to характт|рют1ко noXvcbwpo tov M Eivai
to yivopevo tcov характт]рктксЬу noXvcovvpcov tcov Siaycbvicov vnonivaKcov
Ap 8т|Ха8т|
Ам(0 = АЛ)(0Ал2(0..Ал(0
Парббаура 9.13.
©Ecopovps tov nivaKa M =
Tote о M sivai svag Siapspiopsvog Siaycbviog nivaKag це Siaycbviovg vnonivaKEg Tovg
.=[’ {[em
tr(A)=9+3=12, det(A)=27+8=35, Kai etoi AA(t)=t2-12t+35=(t-5)(t-7)
tr(B)=3+8= 11, det(B)=24+6=30, Kai etoi AB(t)=t2-11 t+30=(t-5)(t-6)
Ката ouvEHEia, to xapaKTqpiaTiKo noXvcbwpo too M sivai to yivopevo
Am(0 = Ax(0Ae(0 = (r - 5)2(c - 6)0 - 7)
EXaxioro noXvcbwpo koi Aiapepiopivoi Aiaycbvioi nivaKsg
Ioxvei то mo катсо Oscbpripa (to onoio anoSsucwsTai ото Пр6рХг|ра 9.36).
Оесордра 9.19: YnoOsTovps oti о M sivai svag Siapspiapsvog Siaycbviog nivaKag ps Siaycb-
viovg vnonivaKsg AbA2,...Ar Tote to еХахюто noXvcbwpo tov M ioovtoi ps
to eXoxioto koivo noXXanXaoio (ЕКП) tcov eXoxiotcov noXvcovvpcov tcov 5ia-
ycbvicov vnonivaKcov A,.
Паратт|рД(П]: Tovi^srat oti to Oscbpripa avro scpappo^ETai oe Siapspiopsvovg Siaycbviovg niva-
icsg, Eveb to ©Ecbpripa 9.18 yia та характт|рют1ка noXvcbwpa scpappo^srai oe Siapspiopsvovg тргусо-
viKovg nivaKsg.
napaSeiypa 9.14. Na Ppeiis то характдркутисб noXvcbwpo A(t) Kai to eXoxioto noXvcbwpo
m(t) tov Siapepiopevov Siaycbviov nivaKa
= diagHlt Л2,Л3),
onov Л, = [J гР2 = [з 5p3 = [71
To A(t), tote, sivai to yivopsvo tcov xapaKiripioriKcbv noXvcovvpcov A j(t), A2(t),A3(t) tcov Ab A2, A3,
avTioToixa.
Mnopsi капоюд va Ssi^si oti
A,(O = (r-2)2. A2(c) = (c — 2)(c — 7), A3(0 = r-7
Apa A(t)=(t-2)3(t-2)2. ['Oncog nepipEvape, deg A(t)=5.]
Та вХахюта noXvcbwpa m^t), m2(t), m3(t) tcov avrioToixcov Siaycbvicov vnonivaKcov Ab A2, A3
loovvTai ps та характт|рют1ка noXvcbwpa, 5r|Xa5f|
m1(0 = (/-2)2, m2(/) = (c-2)(C-7), m3(t) = t-7
To m(t), opcog, laovTai ps to eXoxioto koivo noXXanXaoio tcov m^t), m2(t), m3(t). Evvsncbg m(t)=
(t-2)2(t-7).
AYMENA ПРОВЛНМАТА
HOAYONYMA HINAKON, XAPAKTHPIZTIKO HOAYONYMO
9.1. 'Еотсо A = $ j.Na Ppeite tov f(A), блои:
(а) /(г) = ?-Зг + 7, (ZO /(0 = t2-6r+13
BpioKovpe лрсота tov A2 = s] = [24 17 ]• Tote:
(а) /(Л) = Л2-ЗЛ + 7/ = [ 2J n] + [_i2 -is] + [o ?] = [12 9]
(P) /(Л) = л2-бл + 13/ = ["^ "n] + [_2$ Joj + po 1з] = [о o]
[Apa о A eivai pia pi£a tov f(t).]
9.2. Na Ppeite то характт|р1от1к6 noXvcbwpo A(t) tov KaOevog ало tov<; ларакатсо nivaKeg:
и л-[* ’] <я в=[;и с=[’:’]
Xprjoiponoiovpe tov голо (t)=t2-tr(M)t+|M| yia eva 2x2 лсуака М:
(а) &(Л) = 2 + 1 = 3, |Л| = 2-20 =-18, etoi Д(с) = ? - Зс - 18
(Д) tr(B) = 7 — 2 = 5, |В| = —14 4-15 = 1, ЁТО1 Д(г) = С2 - 5г 4-1
(у) tr(Q = 3 — 3=0, |С| = -9 + 18 = 9, Ётсн Д(г) = ? + 9
9.3. Na Ppevce то характт|р1от1к6 noXvcbwpo A(t) tov koOevoi; ало Tovq aKoXovOovg лсуакЕ^:
[1 2 3"| Г 1 6 -21
3 0 4 , (Д)В= -3 2 0
6 4 5J |_ 0 3 —4J
Хрт)О1ролоюбрЕ tov голо A(t)=t3-tr(A)t2+(A|1+A22+A33)t-|A|, блоо о А„ Eivai о сгирла-
payovrag tov an otov 3x3 л(уака A=[ay].
(a) tr(^)= 14-0 + 5 = 6,
Л11=|° 5|=-16' Ли = |б 5| = -13’ Лзз = |з o| = “6
All+An+AJJ = -35, Kai HI = 48 + 36- 16-30 = 38
Enopsvcog Д(0 = ?-6?-35Г-38
(/?) tr(B)= 1+2-4 = -l
ч -и ч; -н 2бн
Яц + Я22 + SJ3 = ®> Kai |Я| = — 8 + 18 — 72 = —62
Enopsvcog Д(г) = ? + ?-* +62
9.4. Na Ppeite то характт|р1ат1к6 noXvcbwpo Д(1) тои Ka0Ev6g ало тоид ларакатсо nivaKsg:
(а) О A sivai Siapspiapsvog Siaycbviog ps Siaycbviovg vnonivaKEg тоид
ч: ччч
Ара Д(г) = Дл (г)ДЛ1 (0 = (? - 6г + 3)(? - 6г + 3)
(Р) Acpov о В sivai TpiycoviKdg, A(t)=(t-l)(t-3)(t-5)(t-6).
9.5. Na PpsiTE то характт|рют1к6 noXvcbwpo A(t) tov KaGsvog ало Tovg s^g ypappiKovg teXe-
атвд:
(a) F: R2->R2 лоу opi^ETai ало ttjv F(x,y)=(3x4-5y, 2x-7y).
(P) D: V->V лоо opi^ETai ало ttjv D(f)=df/dt, олоо о V sivai о ycbpog ovvapTT|(J6cov ps
Paai] S={sin t, cos t}.
To yapaKTTipujTiKO лоХосоууро A(t) svog ypappiKov teXeotti laovTai ps то характт|рют1к6
лоХосоууро оло1оо5г|лотб nivaKa А лоо ауаларюта то ypappiKO teXeott|.
(a) BpioKovps tov nivaKa A nov avanapicnd tov T cog npog tt| ovvr|0iapEvr| Раот] tov R2.
'Exovps
^ = [2 -7]’ etoi Д(0 = г2-&(Я)г + И1 = '2+4с-31
(P) BpioKovps tov nivaKa A nov avanapiaTa to SiacpopiKO teXeotti D cog npog тт| Раот] S.
'Exovps
D(sm/) = cos/ =O(sinO+l(cosf) . . _ Г0 -1]
D(cosO = -sinr = — l(sinr) + O(cosr) Kai ETai [1 o]
Enopevcog A(r) = r2 - и(Л) t + И1 = t1 + 1
9.6. Na берете oti о nivaKat; A Kat о ауаотрофод tou At exouv to i5io характт|рют1к6 noXucbvu-
po.
Ano tt)v npa^T] rr)g ауаотрофт|д, (tI-A)T=tIT-AT=tI-AT. КабсЬд evag nivaKag каг о ava-
отрофод тои exouv ttjv i5ta opi^ouoa,
Дл(0 = - A\ = |(tZ - Л)г| = - Лг| = Длг(г)
9.7. Na апобе^ете то ©есортща 9.1: 'Еотсо та f Kat g noXucovupa. Tia опоюбт|поте тетрауомко
nivaKa A Kat опоюбт|поте api6po k,
(i) (f+g)(A)=f(A)+g(A)
(ii) (fg)(A)=f(A)g(A)
(iii) (kf)(A)=kf(A)
(iv) f(A)g(A)=g(A)f(A)
Упобетоире oti f=antn+...+a]t+a0 Kat g=bmtm+...+b1t+b0. Тоте, e£’ opiopou,
f(A) = a„A” + ...+alA+a<iI Kai g(A) = b„Am + ... + btA + b^I
(i) Упобетоире otim<n Kai еотсо b=0 eav i>m. Тоте
f + g = (a« + Ь„)? + ... + (ai+bi)t + (a1) + b0)
Apa
(f + gXA) = (a. + . + (a, + + (ao + b0)I
= + Ь„АЯ + ... + fl| A + blA + a^I + b$I =f(A) + g(A)
(ii) E£’ opiopou, Jg = c«+m<"+" + • • • + qr + c0 = c***. onou
q = аоб* + а(6*_| + ... + akb0 = £ а{Ь^{
ьл
Apa (JkX-4) = E с*Л* Kai
f(A)g(A) =(talAl)(tbJA>) = tt щЬ^ = "f = (JgM)
Xi^o J\j=a / mj^o м
(iii) E£’ opiopou, kf=kantn+.. ,+ka^+kao, Kai eToi
(*П(Л) = ка„Ая +... + kaxA + W = Jt(a^" + ... +а,Л +aoT) = kf(A)
(iv) Ano to (ii), g(A)f(A)=(gf)(A)=(fg)(A)=f(A)g(A).
9.8. Na апобе^ете то Cayley-Hamilton 0есорт]ра 9.2: Кабе nivaKag A eivai pia pi^a тои характт]-
рюпкои tou noXucovupou A(t).
'Еотсо о A evag avOaiperog n-iEipaycoviKog nivaKag кас Ёотсо то A(t) то характг|рют1к6 тои
noXvcbwpo, yia napaSeiypa то
A(r) = |tf-Al = Г + ая_11я~1 + ... + a1c + a0
'Еотсо тсора oti о B(t) ovppoXi^ei tov кХаоисб npooapTT|pevo tov nivaKa tl-A. Ta oroixeia tov
B(t) eivai ovpnapayovTeg tov nivaKa tl-A, Kai apa eivai noXvcbwpa ото t pe paOpo nov Se
Jgenepva to n-1. Evvencbg
B(/) = В„_1Г" 1 +... + Bxt + Bo
onov oi B, eivai n-TerpaycoviKoi nivaKeg navco ото К oi onoioi eivai ave^ap-cr|TOi tov t. Ano tt|
0epeXicb8r| iSiOTT|Ta tov kXooikov npooapTripevov (0ecbpr|pa 8.9), (tI-A)B(t)=|tI-A|I, f|
(tl - AKB„_f-x +... + Bxt + Bo) = (r" + . + a,c + а0У
Acpaipcbvrag Tig napevOeoeig Kai e^iocbvovrag рета^о Tovg Tig avrioroixeg Svvapeig tov t, oSr|-
уоураоте ота
Д.-1 = /, B„_2 - AB„_X = a„_xI, BO-ABX = axI, —AB0 = arf
rioXXanXaoidtpvrag Tig mo navco e^iocboeig pe Tovg An, A”'1,..., A, I, avrioToixa, o8r|yovpa-
оте ота
АЯВЯ_Х = Anl, АЯ~'ВЯ_2 — АЯВЯ_Х = ая_хАя~', АВО-А2ВХ = ахА, -АВ0 =
ПрооОетоусад Tig mo navco eJgiocboeig mvaKcov naipvovpe ото арютерб реХод 0 Kai ото 8е^ю
реХод А(А), 8т|Ха8т|
О = Ая + вя_1^я '+...+ ахА + Oq7
Ара Xomov А(А)=0, nov eivai то 0ecbpr|pa Cayley-Hamilton.
IAIOTIMEE KAI IAIOAIANYEMATA 2x2 IIINAKQN
9.9. EOT(1U=[’ ’J],
(a) Na ppevce 6Xeg Tig 18ют1рЁд Kai avrioToixa iSioSiawopaTa.
(P) Na ppevce nivaKeg P Kai D тЁтоюод сооте о P va eivai pr|-iSia£cov Kai о D=P’'AP va
eivai Siaycbviog.
(a) BpioKovpe прсота то характт^рктко noXvcbwpo A(t) tov A:
A(c) = c2 - tr(/<) r-t И1 = c2 + 3c - 10 = (c - 2Xc + 5)
Oi pi^eg X=2 Kai X=-5 tov A(t) eivai oi 18юпрЁд tov A. BpioKovpe avrioToixa 181081a-
wopaTa.
(i) Acpaipovpe ano та 8iaycbvia oToixeia tov A tt|v X=2 yia va napovpe tov niva-
Ka M=A-2I, onov to avrioToixo ороуеуЁд ovorripa MX=0 o8r|yei ота i8ioSia-
wopara nov avTioroixovv ott|v X=2. 'Exovpe
/___1^1 х — 4у = 0 ,
|_2 -8_|’лои avTiaxoixEi ато 1л_ 8'=0 т| х-4у = 0
То оиоттща exei цоуо pia в1£и0врг| цвтаР1т|тг|, Kai то v]=(4,l) Eivai pia цг|-
|ir|5£viKr| luor], Zuvsncbg to v]=(4,1) sivai sva iSioSiavuopa лоо avr|K£i gtt|v
(koi лараувг tov iSioxcbpo tt]<;) 1=2.
(ii) Алб та Siaycbvia OTOixfiia tod A асращоицв tt|v l=-5 (tj, avrioToixa, лроо0в-
тоицв то 5) yia va лароицв tov
1/ _ Г 8 8x-4v = 0 , _
M - |_2 -i J’лои avrioToiXEi ато 2x_ у = 0 T| 2x-> = 0
To оиоттща sxei povo Ц1а в1£и0врт| цвтар1т|тт|, Kai to v2=(1,2) Eivai pia цт|-
|ir|5£viKr| luor]. Euvsncbg то v2=(l,2) Eivai Eva iSioSiavuapa лои avr|K£i arr|v
1=5.
(P) 'Еатсо P о лгуакад тои олоюи oi отт|1вд Eivai та Vj koi v2. Tote
'-[f J] кт о-я-'ля-fj J]
9.10.
Er||i£icbv£Tai oti о D Eivai о 8iayd>vioq mvaicaq той олоюи oi SiaycbviEg KaTaxcopiosig
Eivai oi iSioTipxg той А лои avriaroixouv ота iSioSiavuapaTa лои Egcpavi^ovrai otov
P.
Парат^рдот]: EScb о P Eivai о ли/акад allayrig Paor]g ало тт| ouvt]0icj|1£vt] Раот] тои R2 атт|
Paai] S={vbv2}, koi о D Eivai о л(уакад лои ауаларюта tov А (тт| оиуартт|от] лгуака А) сод
лрод тт| vsa Раот] S.
•ЕтШл = [5 *].
(a) Na Ppeite 61£д Tig гбютгцвд koi avTioToixa iSioSiavuapaTa.
(P) Na Ppeite Eva pr|-i8ia£ovTa лгуака P тетою coote о D=P"*AP va Eivai Siaycbviog, ка-
0cbg £Л1ат]д Kai tov P'1.
(y) Na Ppeite тоид A6 Kai f(A), блои f(t)=t4-3t3-6t2.
(5) Na PpsiTE pia “0etikt| TSTpaycoviKt] pi£a” той A, 5r|la5f| sva лгуака В tetoio coote oi
B2=A koi В va exouv 0£Т1КЁд iSioTipsg.
(a) ВрюкоицЕ лрсота то характт|рют1к6 nolucbvupo A(t) той A:
А(Г) = ? - tr(/<) t + |Л| = t2 - St + 4 = (t - 1 Xr - 4)
Oi pi^sg 1=1 Kai 1=4 той A(t) sivai oi iSioTipsg той A. BpioKoups avrioToixa iSioSia-
vuapaTa.
(i) Acpaipoups tt]v 1=1 алб та Siaycbvia oroixsia той A yia va лароицв tov niva-
Ka M=A-1I, блои то avriaroixo оцоувувд оиоттща MX=0 oSriysi ота iSioSia-
уиоцата лои ovt|kouv ott|v 1=1. 'Ехоицв
Л/= Г1 21 x + 2y = 0 ,
[1 2_|’ avTiaTOi/et ото x + 2y = о 4 x + 2y = 0
To ovorqpa exei povo pia avs^aprqrq Xvoq, yia napaSeiypa rqv x=2, y—1.
'Etoi to V!=(2,-l) Eivai sva iSioSiawopa nov avqKEi OTqv (Kai napayei tov
i5iox<opo rqg) X=l.
(ii) Acpaipovps Tqv X=4 ano та Siaycbvia otoixeio tov A yia va napovpe tov
w Г-2 2] , -2x + 2y = 0 ,
Af = L _1J.nov avTioroixEioTO x_ '_0 q x-y = 0
To ovorqpa exei povo pia ave^aprqrq Xvoq, yia napaSeiypa rqv x=l, y=l.
'Etoi to v2=(1,1) sivai sva iSioSiawopa nov avqKEi orqv X=4.
(P) 'Еотсо P о nivaKag rov onoiov oi orqXsg sivai та v( Kai v2. Tors
/>=[_; ’]. о™ -*]
(y) Xpqoiponoicbvrag rq Siaycbvia napayovronoiqoq A=PDP'' Kai ng 16=1 Kai 46=4096,
naipvovps
2 ЧГ1 °1р -П = Г13“
[-1 1J|_O 4096j[| jj [1365 2731J
Enioqg, f(l)=2 Kai f(4)=-l. Apa
;][’ _»][i
(8) EScb oi [ ±1 j sivai rerpaycoviKeg pi^eg tov D, опбте q Osrucq rsrpaycoviKq pi^a rov
A sivai о
U:][; Ж1HIЯ
9.11. О KaQevag ano rovg паракатсо праурапкопд nivaKeg opi^si svag ypappuco psraoxqpariopo
rov R2:
<«)><=[’ _«], w э=[* wc_[j -j]
Na Ppeirs, yia rov кабе nivaKa, 6Xsg ng iSionpsg Kai sva peyioro ovvoXo ypappiKa ave^aprq-
rcov iSioSiawoparcov, S. П0101 ano avrovg rovg ypappiKovg reXsorsg sivai Siaycovionoiqoi-
poi, pnpopovv SqXaSq va avanapaoraOovv ano sva Siaycbvio nivaKa;
(a) BpioKOvps npcbra to A(t)=t2-3t-28=(t-7)(t+4). Oi pi^sg X=7 Kai X=-4 sivai 01 iSion-
psg rov A. BpioKOvps avrioroixa iSioSiavvopaTa.
(i) Acpaipovps tt]v Х=7 ало та 8iaycbvia oroixeia тои A yia va napovps tov
„ Г-2 6] -2х + 6у = 0 , , .
м = I 3 _9 I. лои avTioTOi%£i ото Зх _ 9у _ 0 л *-Зу = о
Е8со то V|=(3,l) sivai pia рг|-рг|8бУ1кт| Xvot].
(ii) Acpaipovpe rr]v X=-4 (л npooOerovps то 4) ало та Siaycbvia oroixeia тои A yia
va napovps tov
.. [9 *1 9x + 6y = 0 , , „ .
M = I 3 2 J, лои avTioTOi%£i ото зх + 2^ = о Л 3x + 2>' = 0
E8cb to v2=(2,-3) sivai pia pri-priSEViKf) Xvot].
Tote to S={V|,v2}={(3,1), (2,-3)} sivai sva psyioro ovvoXo ypappiKa avs^dprr|Tcov
i8io8iawoparcov. Кабсод to S sivai pia pdor| tov R2, о A sivai 8iaycovionoir|oipog.
Xpr|oiponoicbvrag тт] pdor] S, о А avanaptorarat ало то 8iaycbvio nivaKa D=diag
(7,-4).
(Р) BpioKOvps лрсота то характпрюпко noXvcbwpo A(t)=t2+1. Asv vnapxovv npaypari-
кед piC,E<;. Evvsncbg о В, svag праурапкод nivaKag nov avanapiora sva ypappiKO ps-
таохлратюро tov R2, 8ev sx£l iSionpsg Kai i8io8iawopara.'Etoi, ovyKEKpipsva, о В
8sv sivai 8iaycovionoir|oipog.
(y) BpioKovps прсота то A(t)=t2-8t+16=(t-4)2. Apa r| X=4 sivai r| pova8iKf| i8ioripr| tov
C. Acpaipcbvrag rr]v X=4 ano та 8iaycbvia oroixeia rov C, naipvovps rov
nov avTioroixei orr]v x-y=O.
To opoysvsg ovorripa sxei povo pia avs^dprr|TT| Xvot], yia napa8siypa rr]v x=l, y=l.
'Etoi to v=( 1,1) sivai sva i8io8iawopa rov C. EmnpdoOsra, acpov 8sv vnapxovv aXXsg
i8ioripsg, to pova8iK6 ovvoXo S={v}={(1,1)} sivai sva psyioro ovvoXoypappiKaavs-
£dprr]TCOv i8io8iawoparcov rov C. TsXog, кабсод то S 8sv sivai pia pdor] rov R2, о C
8sv sivai 8iaycovionoir|oipog.
9.12. YnoOsors oti о nivaKag В rov ПрорХлратод 9.11 avanapiora svaypappucd teXeotti ото piya-
8ik6 х<Ьро C2. Na Ssi^srs oti, ott]v nEpinrcoor] avrr|, о В sivai 8iaycovionoir|oipog PpioKovrag
pia pdor) S rov C2 nov anoTsXsirai and i8io8iawopara rov B.
To xapaKTTipioriKO noXvcbwpo rov В s£aKoXov6si va sivai to A(t)=t2+1. 'Ovrag sva noXvcb-
wpo navco ото С, to A(t) napayovronoisirat. EvyKSKpipsva, A(t)=(t-i)(t+i). Evvsncbg oi X=i
Kai X—i sivai oi i8ioripsg rov B.
(i) Ano ra 8iaycbvia oroixsia rov В acpaipovps n]v X=i yia va napovps to opoysvsg ov-
orripa
( £ + (-l-i)y = 0 П (1-'>-3' = °
To ovonipa sx£l m6v0 Mia avs^dp-nyn] Xvoti, yia napa8siypa n]v x=l, y=l-i. 'Etoi to
V|=( 1, 1-i) sivai sva i8io8iawopa nov napaysi rov i8iox<bpo rr]g X=i.
(ii) Алб та Siaycbvia axoixeia тои В асращобцв rqv X—i (q лроаОвтоицв то i) yia va
лароице то o|ioyeve<; оботтща
(l+‘>- > = 0 n
2x + (—1 + i)> = 0 П
(l+i)x-> = 0
To оботтща exei povo pia avE^aprqrq Xuoq, yia ларабвгуца rqv x=l, y=l+i. 'Etoi to v2=
(1, 1+i) sivai sva i5io5iavuo|ia лои ларауб1 tov i8ioxcbpo try; X=-i.
'OvTa<; sva<; щуа81кб<; лЬака<;, о В Eivai 51аусоуюло1Г|ащо<;. Еиуквкрщ^а, то S={vbv2}=
{(1,1-i), (1,1+i)} sivai pia Раот] тои С2 лои алотбХб1та1 ало i5io5iav6o|iaTaтои В. Xpqoqio-
лоиЬута<; тт] Paoq S, о В ауаларютатас ало то Siaycbvio л1уака D=diag(i,-i).
9.13. 'Еотсо L о урацщкбд p£TaoxqpaTiopo<; otov R2 лои avravaicXa то ка0£ отщею Р Siapsoou ттц;
su0sia<; y=kx, блои k>0. (ВХеле Ехтща 9-1.)
(a) Na Sei^ete oti та V|=(k, 1) Kai v2=( 1 ,-k) Eivai iSioSiavvopaTa тои L.
(P) Na Sei^ete oti о L Eivai бшуамолощощо^ Kai va PpsiTE pia Siaycbvia ауалараотаот]
D.
(a) To Siawopa V|=(k,l) PpioKSTai лаусо orqv svOsia, Kai apa exei арютерб povaSiaio
otoixeio tov L, SqXaSq L(V|)=vb 'Etoi to V! Eivai eva iSioSiawopa тои L лои avf|K£i
orqv iSiOTipq X|=l.
To Siawopa v2=( 1 ,-k) Eivai каОето лро<; rqv evOeia y=kx, Kai apa о L avravaKXa to
v2 ото apvT|TiKO тои, SqXaSq L(v2)=-v2. 'Etoi to v2 sivai eva iSioSiawopa тои L лои
avf|K£i orqv iSiOTipq X2=-l.
(P) EScb to S={V],v2} Eivai pia Paoq тои R2 лои алотеХепа! алб iSioSiavvopaTa тои L.
2д™елсЬ<; о L Eivai StaycovioKoiqoipoq, це rq Siaycbvia avaлapaoтaoq D-
(со<; лро<; rq Paoq S).
IAIOTIMEE KAI IAIOAIANYZMATA
9.14. 'Еотсо Л=|^2 5 -2J.
(a) Na PpsiTE 6Xe<; tu; iSiOTipst; тои A.
(P) Na Ppeite Eva цвуюто ouvoXo урацщка ave^aprqTcov iSioSiawamrccov тои A, S.
(y) Eivai о А 81аусоуюло1г|01цо<;; Eav vai, va PpsiTE tov P yia tov олою о D=P_|AP sivai
8iaycbvio<;.
(a) BpioKovpe лрсота то xapaKTqpioriKo noXvcbwpo A(t) too A. 'Exovpe
Сг(Л) = 4 +5+ 2 = 11 кас И1 = 40-2-2 + 5 + 8-4 = 45
BpioKovpe, enioqc;, tov каОе ovpnapayovra А„ tov an otov А:
Л11 = |1 г| = 12’ Ли = |1 г|=9, Лзз = |г s| = 18
Ара Д(г) = г3 - tr^)/2 + (Ли +A23 + AJ3)t - И1 = f3 - 11г2 + 39с - 45
Уло0ётоута<; отс то A(t) ёхес pia рт|тт| рс^а, 0а лрёлес т| рс^а avrq va eivac цса ало тсс;
±1, ±3, +5, + 9, +15, +45. ЕАёухоуга^, ре ovvOeTCKq Seaipeoq, naipvovpe
31 1-11+39-45
| 3-24 + 45
1-8+15+ О
Evvencbc; то t=3 eivac pia рс^а tov A(t), кас то t-3 eivac eva; napayovrac;. Apa
A(f) = (t - ЗХГ2 - 8r + 15) = (t - ЗХ/ - 5)(f - 3) = (f - 3)2(r - 5)
Enopevco; ос X=3 кас X=5 eivac ос сЗсотсрёс; tov A.
(P) BpioKovpe ураррска ave^aprqra cSeoSeavvopara yea Tqv каОе cSioripq tov A.
(i) Acpacpovpe Tqv X=3 ano та Scaycbvca oroixeia tov A yea va napovpe tov niva-
Ka
M = 2 “2 J • nov avTCorocxei orqv x+y-z=0.
EScb та u=( 11,0) кас v=( 1,0,1) eivac ураррска ave^dprqrec; Xvoeu;.
(ii) Acpacpovpe rqv X=5 ano та Scaycbvca oroixeia tov A yea va napovpe tov niva-
Ka
Г-1 1 -1*1 -x+y- z = 0 x _ z = 0
А/= I 2 0 -2 ,nov avrccjTOixei ото 2x- 2z = 0 q y-2z = 0
L ' 1 ~ 3J x+y — 3z = 0
Movo to z eivac eXevOepq perapXqrf]. EScb pia Xvoq eivac to w=( 1,2,1).
Enopevco^ro S={u,v,w}={(1,-1,0), (1,0,1), (1,2,1)} eivac eva peyeoro ovvoXo
ураррска ave^aprqrcov cSeoSeawoparcov tov A.
naparqpqoq: Ta Seawopara u кас v encXexrqKav ётас chore va qrav ave^dprqre; Xvoei; tov
ovorqparoc; x+y-z=0. Ano rqv aXXq, to w avropara eivac ave^dprqro tcov u кас v, acpov avqKee oe
pia SeacpopercKq eSeorepq tov A. Evvencbc; та rpia Seavvopara eivac ураррска ave^aprqra.
(у) О A eivac Siaycovionoiqoipot; ка0сЬ; ёхес rpia ураррска ave^aprqra cSeoScavvopara.
Eav о P eivac о nivaKac; pc orqXec; та u, v, w, тбте
Г3 -1 Я
9.15. Na enavaAdPere то ПрбрХг|ра 9.14 yia tov nivaKa 5 = 7 -5 11.
|_6 -6 2j
(a) BpioKovpe лрсота то характт|рют1к6 noXvcbwpo A(t) too В. 'Exovpe
trtf) = O, |5| = -16, Ян=-4, Ви=0, B„ = -8, etoi ЕВи = -12
i
Enopevcoc; A(t)=t3-12t+16=(t-2)2(t+4), опбте 01 X,=2 кас X2=-4 eivai 01 iSionpec; tov B.
(P) BpioKovpe pia Paor] yia tov iSioxcbpo ttjc; кабе iSiOTipq tov B.
(i) Алб та Siaycbvia oroixeia tov В acpaipovpe tt]v X,=2 yia va napovpe tov
I1 -1 *1 x~ y+z~° , _0
7 “7 1 • nov avTiOTOixei ото 7x-7y+z = 0 f] x y 2
6 -6 oj * 6x-6y =0 1 z"°
To ovonipa exei povo pia ave^dprryn] Xvor], yia napaSeiypa tt]v x=1, y=l,
z=0. 'Etoi to u=( 1,1,0) oxnpari^ei pia Paor] yia tov iSioxcbpo ттус; X,=2.
(iii) Ano та Siaycbvia oroixeia tov В acpaipovpe tt]v ^=-4 (f| лрообётоуре to 4)
yia va napovpe tov
I I 7x — у + z = о x _ у + z = о
M~ Z “1 H• nov avTioroixeiото 7x- y+ z = 0 f| 6y-6z = 0
L6 “6 6J 6x-6y + 6z = 0 У
To ovorripa exei povo pia ave^ap-nyn] Xvor], yia napaSeiypa tt]v x=0, y=l,
z=l. 'Etoi to v=(0,1,1) oxqpari^ei pia Paor] yiatov iSioxcbpo riy; X2=-4.
Apa to S={u,v} eivai eva рёуюто ovvoXo ypappiKa ave£,dprT]Tcov iSioSiawoparcov
tov B.
(y) Ecpooov о В exei то noXv Svo ypappiKa ave^aprrjra iSioSiavvopara, Sev eivai opoioq
npoc; eva Siaycbvio nivaKa, 8r|A.a8f| Sev eivai Siaycovionoirjoipoc;.
9.16. Na Ppeire tt]v aXyePpiKi) Kai тт] уесоретриа) поХХапХоттра vry; iSioTipfjc; X,=2 tov nivaKa В
ото ПрбрХг]ра 9.15.
H aXyePpiKfj поХХапХ6тт|та тту; X,=2 eivai 2, кабсос; то t-2 epcpavi^erai pe екбётт] 2 ото A(t).
Qotooo, г, уесоретриа) поАХапХот^та ny; X,=2 eivai 1, кабсос; dim =1 (onov о E^ eivai о
iSioxcbpoc; пу; X,).
9.17. 'Еотсо oti о T: R3->T3 opi^erai ano tt]v T(x,y,z)=(2x+y-2z, 2x+3y-4z, x+y-z). Na Ppeire oXec;
tic; iSioripec; rov T, кабсос; eniory; Kai pia Paor] tov кабе iSioxcbpov. Eivai о T Siaycovionoifjoi-
|ло<^- Eav vai, va Ppeixe rq Paoq S tov R3 nov Siaycovionoiei tov T, каОсЬс; eniaqc; Kai rq Siaycb-
via avanapaaTaoq rqc; D.
BpiaKovpe лрсота tov nivaKa A nov avanapiaTa tov T cog лрос; rq ovvqOiapevq Paoq tov
R3 ypaepovrac; tovc; оиутеХеатёс; tcov x, y, z cog orqXec;, Kai ёлегга PpioKOvpe to xapaKTqpiaTi-
k6 noXvcbwpo tov А (кас tov T). 'Exovpe
Г2 1 ~21 tr(/l) = 4, H| =2
^=m= h з -4 ка1 Лн = 11 Ли=0, ^33=4
L1 1 ЕЛ„ = 5
Enopevcoc; △(t)=t3-4t2+5t-2=(t-l)2(t-2), кас ётас oi X=1 Kai X=2 eivai oi i5iOTipe<; tov A (Kai tov
T). AkoXovOcoc; PpiaKOvpe ypappiKa ave^apTqTa iSioSiavvopaTa yia Tqv каОе iSiOTipq tov A.
(i) Acpaipovpe Tqv Х=1 ало та Siaycbvia oroixeia tov A yia va napovpe tov niva-
Ka
M ~ ^2 2 -2^ ’лои avTiaT°iXei OTqv x +y ~ 22 = 0
E5cb та у Kai z eivai eXevOepec; peTapXqTeg олоте vnapxovv Svo ypappiKa
ave^aprqTa iSioSiavvopaTa nov avqKovv orqv X=1. Avo тётош iSioSiawapa-
та eivai yia napaSeiypa та u=(l,-l,0) Kai v=(2,0,l).
(ii) Acpaipovpe Tqv X=2 ano та Siaycbvia oroixeia tov A yia va napovpe tov
[° 1 "21 y-2z = 0
1 1 I’лои avTiaTOlX£iaT0 2X^-jZ = q Л X y —2z = 0
Movo to z eivai eXevOepq peTapXqTq. EScb pia Xvoq eivai to w=( 1,2,1).
Ivvencbc; о T eivai Siaycovionoiqaipog каОсЬс; ёхЕ1 xpia ave^apTqTa iSioSiaw-
ората. EvyKeKpipeva, етХёуоутас; то
S= (u, v.w) = {(1,-1,0), (2,0,1), (1,2,1))
cog pia Paoq, о T avanapioTaTai ano to Siaycbvio nivaKa D=diag(l,l,2).
9.18. Na anoSei^ETe та e^qq yia eva ypappiKO теХеотт) (nivaKa) T:
(a) О apiOpdc; 0 eivai pia iSiOTipq tov T eav Kai povo eav о T eivai iSia^cov.
(P) Eav q X eivai pia iSiOTipq tov T, onov о T eivai аутютрёцлрос;, тбте q X-1 eivai pia
iSiOTipq tov F1.
(a) 'Exovpe oti to 0 eivai pia iSiOTipq tov T eav Kai povo eav vnapxEi eva Siawopa v*0
тётою сооте T(v)=0v, SqXaSq eav Kai povo eav о T eivai iSia^cov.
(P) Acpov о T eivai аутютрёцдрос;, eivai pq-iSia^cov. Apa, ano to (a), X*0. Ano tov opiapo
piae; iSiOTipqc;, vndp%Ei to eva v*0 yia to onoio T(v)=Xv. Eepappo^ovTac; tov F1 Kai
ота Svo pёXq, naipvovpe
v = 7~l(Av) = AT~l(v), Kai ёта1 Г“‘(и) = Л“'и
Enopevcoc; q X"1 eivai pia iSiOTipq tov F1.
9.19. 'Еотсо tj X pia iSionpq evo<; ypappiKov teXeotti T: V-> V Kai еотсо oti о Ex anoTsXEirai ало oXa
та iSioSiavvopaTa nov avf|Kovv ott|v X (Kai koXeItoi iSioxcbpot; rq<; X). Na anoSsi^ETE oti о Ex
sivai Evat; vnoxcbpog tov V. Na anoSsi^ETE, SqXaSq, on:
(a) Eav ue Ex, tote kue Ex yia onoioSqnorE apiOpo k.
(P) Eav u,ve Ex, tote u+ve Ex.
(a) Etpdoov ue Ex, Exovpe T(u)=Xu. Tote T(ku)=kT(u)=k(Xu)=X(ku), Kai etoi kue Ex. (Tia
va sivai о Ex Evat; unoxcbpoi; tov V, 0£copovp£ to pqSeviKo Siawopa Oe V cog sva
“iSioSiawopa” тт|д X.)
(P) Etpdoov u,ve Ex, exovpe T(u)=Xu кат T(v)=Xv. Tote T(u+v)=T(u)+T(v)=Xu+Xv=X(u+v),
Kai etoi u+ve Ex.
9.20. Na anoSsi^ETE то ©Ecbpqpa 9.6: Та акоХоиОа sivai looSvvapa: (i) О api0po<; X sivai pia iSio-
ripq tov A. (ii) О nivaKat; XI-A sivai iSia^cov. (iii) О apiOpot; X sivai pia pUja tov xapaKrqpi-
otikov noXvcovvpov A(t) tov A.
О apiOpot; X sivai pia iSionpq tov A sav Kai povo sav vnapxei eva pt|-pt|8evik6 Siawopa v
TETOIO COOTE
Av=Xv q (XI)v-Av=0 q (XI-A)v=0
q о XI-A vasivai iSia^cov. Ie piarsroiaп£р1птсоот|, то XEivai pia pi£atov A(t)=|tl-A|. Enioqg
to v ppioKETai otov iSioxcbpo Ex rqt; X Eav Kai povo sav ioxvovv oi napanavco ox£a£4- Apa to
v Eivai pia Xvoq tov (XI-A)X=0.
9.21. Na ano8£i^£T£ to ©Ecbpqpa 9.8': Yno0£rovp£ oti та vbv2).. .vn Eivai pq-pqSsviKa iSioSiavv-
opaTa tov T nov avqKOW otk; SiaKEKpipsvEt; iSionpEt; XbX2,...,Xn. Tote та vbv2,...,vn Eivai
ypappiKa avE^aprqra.
At; vnoOsoovpE oti to ©Ecbpqpa Sev aXqOsvEi.. 'Еотсо то V|,v2,...,vs Eva EXaxioro ovvoXo
Siawoparcov yia to onoio to Oscbpqpa Sev aXqOsvEi. 'ExovpE s> 1, atpov v,*0. Enioqg ano Tq
ovvOqKq tcov EXdxicjrcov, та v2,...,vs Eivai ypappiKa avE^aprqra. IvvEncbt; to v, Eivai svat;
ypappiKoi; ovvSvaopdt;tcov v2,.. ,,vs. TianapaSsiypa,
«I = a2v2 + a3 Vj +... + asvs (1)
(onov капою ak*0). Etpappot,ovra<; tov T OTqv (1) Kai xpqoiponoicbvrat; Tq ypappiKorqra tov
T, oSqyovpaorE orqv
T(vj) = T(a2v2 + ajVj + ... + a,vs) = a2T(v2) + a3T(y3) + ... + a,T(vt) (2)
Etpdoov to Vj Eivai sva iSioSiawopa rov T nov avqKEi orqv Xj, sxovpE Tty^X^. AvriKaOi-
orcbvrat; orqv (2) naipvovpE
Л] V] = a2X2v2 + + ... + (3)
noXXanXaoia^ovrat; rqv (1) p£ rqv Xb naipvovps
AjP] = a2Atv2 + азА|У3 + ... + (4)
E^iocbvovrat; psra^v rov<; та Ss^ia pdXq rcov (3) Kai (4), q atpaipcbvrat; rqv (3) and rqv (4),
oSqyovpaorE orqv
a2(^i - Wb + “ ^>3 + • • • + a,(^i - AJu, = 0
(5)
Афой та v2,v3,...,vs eivai ypappiKa ave^aprqra, 6X01 oi ouvreXeoreg orqv (5) 0a лрёли va
eivai pqSev. AqXaSq,
a2(X1-X2) = 0, fl3(2|—23) = 0........ a,(A( - 2,) = 0
Oi A,, соотбоо, eivai 5iaKeKpipeveg. Apa -Х,^0 yia j> 1, олбте a2=0, a3=0,... ,35=0. Auto opcog
PpioKCTai oe avripaaq це to yeyovog oti калою ak*0, олбте то ©ecbpqpa алобе1хтт]ке.
9.22. Na алобе^ете то ©ecbpqpa 9.9: УлоОетоире oti то A(t)=(t-a|)(t-a2)...(t-an) eivai то хара-
ктт]рют1к6 лоХисоуиро. УлоОетоире, ел1сгг|д, oti 01 п pi^eg a, eivai SiaKCKpipeveg. Тоте о А
eivai броюд лрод то Siaycbvio л1уака D=diag(aba2,.. ..a,,).
'Еотсо Tavbv2,...,vn (pq-pq5eviKa) i6io6iavuopara лои avTioroixouv orig iSioTipeg а,. Тоте
та n i6io6iavuopara v, eivai ypappiKa ave^aprqra (©ecbpqpa 9.8), Kai apa oxqратнойv pia
Paoq той Kn. Ката ouvaceia о A eivai SiaycovuMtoiqoipog, SqXaSq eivai броюд лрод eva л1уа-
ка D, Kai та Siaycbvia OTOixeia той D eivai 01 iSiOTipeg a,.
9.23. Na алобе^ете то ©ecbpqpa 9.10': H уесоретриа] noXXanXorqra piag iSioTipqg X той T Sev
£,enepva Tqv aXyePpucq Tqg лoXXaлX6тqтa.
УлоОетоире oti q aXyePpucq лoXXaлX6тqтa Tqg X eivai г. Тоте о iSioxcbpog Tqg, Ek, nepiexEi r
ypappiKa ave^aprqra i6io6iavuopara vb...,vr. Електе1уоире то ouvoXo {vj oe pia Paoq той
V, yia ларабегура то {v„..,,vr,wb.. ,,ws}.'Exoupe
T(V)) = Xvb T(v2) = Xt>2....... T(vr) = 2vr,
T(Wj) = out»! +... + alrv, + bllwl+...+ bt,w,
T(w2) = «и»! + • • • + O2,vr + b2l + ... + bbw,
T(w,) = +... + a„vr + btiw, 4-... + b„w,
Тоте o W = eivai о л1уакад тои T OTqv ларалаусо Paoq, блои А=[аи]т Kai В=[Ьи]т.
Афой о М eivai 6iapepiopevog 6iaycbviog, то xapaicrqpioTiKO лоХисоуиро (t-X)r тои илоль
уака Х1г 0а лрёли va 6iaipei то хара^р^тскб лоХисоуиро тои М, ара Kai тои Т. Еирле-
paivoupe, Xowc6v, 6ti q aXyePpucq лoXXaлX6тqтa Tqg X yia tov T eivai тоиХахютоу г, блсод
£qwuoape.
Л1АГПМОПО1НЕН ПРАГМАТ1КПИ EYMMETPIKftN IIINAK£2N
9.24. 'Еотсо '4 = ^7 Na Ppeire eva opOoycbvio л1уака P тетою сооте о D=P-1AP va eivai
6iaycbviog.
ApxiKa Ррюкоире to xapaKTqpioriKO лоХисоуиро A(t) той A. 'Exoupe
Д(г) = t1 +и(Л) t + И1 = t1 -6t- 16 = (r- 8Xr + 2)
Apa 01 i6ioTipeg той A eivai 01 X=8 Kai X—2. ETq ouvexeia PpioKoupe avTioroixa i5io5iavu-
ората.
Афафоире Tqv X=8 ало та 5iaycbvia oroixeia той A yia va лароире tov л1уака
M = L 3 -9J' лои avTlOTOlXei <«o ^*1^ = 0 П x-3y=0
Mia pr|-pr|8eviKr| Xuot] eivai to U!=(3,l).
Acpatpoupe tt|v X—2 (т| прооОётоире то 2) ало та Siaycbvia oroixeia tod A yia va лароице
tov л^ака
M = [3 j j, лои avTiOTOiyei ото 3* + ^Zq Л 3x+y=0
Mia pr|-pr|SeviKr| Xuoi] eivai to u2=(1,-3).
'Олсос; r|Tav avapevopevo, асрои о A eivai сгирретрисбд, та iSioSiavuopaTa Ui Kai u2 eivai
opOoycbvia. KavoviKonoioupe та и, Kai u2 yia va лароице, avrioroixa, та povaSiaia Siavuopa-
та
й| = (з/УТо, i/Vio) Kai а2 = (i/Vio, -з/Vio).
ТёХод, еотсо P о nivaKag той onoiou oi orriXeg eivai та povaSiaia SiavoapaTa и, Kai u2,
avTioTOixa. Тбте
Гз/Ло 1/VTol [8 01
[i/Ло -з/Ло] ксп D = p ^-[о -2]
'Oncog пещцеуаце, oi Siaycbvieg Karaxcopioeig тои D eivai oi 18ют1рёд тои А.
[11 -8 4"|
-8 -1 -2
4 -2 -4J
(a) Na Ppeire 6Xeg Tig 18ют1рёд тои В.
(Р) Na Ppevre eva цёуюто ouvoXo pr|-pr|6eviKcbv, opQoycbvicov iSioSiavuoparcov той В, S.
(у) Na Ppeire eva opOoycbvio nivaKa P тетою сооте о D=P_|BP va eivai Siaycbviog.
(a) KaTapxnv Ррюкоице то характпрютисо noXucbvupo тои В. 'Ехоице
tr(B) = 6, |В|=400, Вц=0, =-60, В33 = -75, ётО1 Ев„ = -135
Ара A(t)=t3-6t2-l 35t-400. Eav то A(t) ёхе1 pia акёраю pi^a, 0а прёпе! va Siaipei то
400. AoKipa^ovrag то t=-5, це ouvOctikti Siaipeoi] па1руоице
-5 I 1 - 6- 135-400
1 - 5+ 55 + 400
1-11- 80+ 0
Enoprvcog то t+5 eivai ёуад napayovTag тои A(t), Kai
Д(г) = (/ + 5ХИ - 1 iz - 80) = (t + 5)2(r - 16)
Oi 18ют1цёд той В eivai oi X—5 (поХХапХ6тт|тад 2) Kai X=16 (поХХапХ6тт|та 1).
(P) Врюкоице pia opOoycbvia Paoi] yia tov каОе iSioxcbpo. Eav ano та Siaycbvia OTOixeia
той В асрафёооире tt|v X—5 (т| прооОёооире то 5), 0а пароире то ороуеуёд оиотт|ра
16x-8y+4z=0, -8x+4y-2z=0, 4x-2y+z=0
△qXaSf|, 4x-2y+z=0. To ovoTqpa exei Svo avE^aprriTEt; Xvoek;. Mia Xvoq Eivai to
V!=(0,1,2). Ava^qrovps rcbpa pia SEVTEpq Xvoq, то v2=(a,b,c), лои va Eivai opOoycbvio
npot; то vb SqXaSq yia то олою
4a-2b+c=0, Kai Enioqt; b-2c=0
Mia тетою Xvoq Eivai to v2=(-5,=8,4).
AcpaipovpE rqv X=16 ало та Siaycbvia oroixeia too В yia va napovpE то opoysvEg
ovorqpa
-5x-8y+4z=0, -8x-17y-2z=0, 4x-2y-20z=0
To ovorripa аитб рек; обт|уЕ1 oe pia pq-pqSEviKq Xvoq v3=(4,-2,1). (Oncot; f|rav avapE-
vopsvo ало то ©Ecbpqpa 9.13, to iSioSiawopa v3 Eivai opOoycbvio npot; та Vj Kai v2.)
Tote ravh v2, v3 oxqpari^ovv sva pEyioro ovvoXo pr|-pr|8EviKcbv, opOoycbvicov iSio-
Siawoparcov rov B.
(y) KavoviKonoiovpE та Vj, v2, v3 yia va napovpE tt|v op6oKavoviKq pdor|
Dj = vx/>/5, v2 = Pj/TlM, = Рз/л/21
Tote о P Eivai о nivaKat; rov onoiov oi orqXEt; Eivai та v,, v2, v3. Qt; ek tovtov,
[О -5/7105 4/ЛТ-1 r_5 -|
1/75 -87105 -2/751 I Kai D = P-iBP=| _5
2/75 4/7105 1/751J [ 16J
9.26. 'Еотсо q(x,y)=x2+6xy-7y2. Na Ppeite pia opOoycbvia avTiKardoraori nov va Siaycovionoiei to q.
BpioKovpE to ovppErpiKo л^ака A nov avanapiora to q Kai то xapaKrqpioriKo rov no-
Xvcbwpo, A(t). 'ExovpE
Л = [з -?] xai Д(0 = /2 + 6^-16 = а-2)(с + 8)
Oi iSioripEt; rov A Eivai oi X=2 Kai X—8. 'Etoi, xpqoiponoicbvrat; cot; vee<; pErapXqrEt; та s Kai
t, pia Siaycbvia popcpq rov q Eivai q
q(s, f) = 2? - 8?
H avrioroixri opOoycbvia avriKardoraoq XappdvErai PpioKovren; Eva opOoycbvio ovvoXo iSio-
Siawoparcov rov A.
(i) AcpaipovpE rr|v X=2 ano та Siaycbvia oroixeia rov A yia va napovpE rov nivaKa
A/ = ^ * nov avrioroixei ото q q -x+3y=0
Mia pq-pqSEViKq Xvor| Eivai to U]=(3,l).
(ii) AcpaipovpE tt|v X—8 (f| npoo0£rovpE to 8) ano та Siaycbvia oroixeia rov A yia va
лароице tov л!уака
.. Г 9 31 , 9x + 3y = 0 , - . n
M = l_3 1 |,7I0U avTiGTOi/ei ото 3jc+ y = o Л 3x+y=0
Mia |ir|-|iT|5eviKf| Xvor| eivai to u2=(-l,3).
'Олсос; лерщёуаре, acpov о л!уака<; A eivai слщретрисбс;, та i5io5iavvopara U| koi u2 eivai
opOoycbvia.
Кауоусколоюоре тсора та U| koi u2 yia va лароице, avriaroixa, та povaSiaia SiavvopaTa
й1 = (3/-/10, 1/-/10) Kai й2 = 3/Л0).
ТёХос;, ёотсо P о л1уака<; tov олоюу oi атт|Хе<; eivai та povaSiaia SiavvopaTa и, koi u2 ,
avTioTOi%a, koi apa to [x,y]T=P[s,t]T eivai л anavrovpevri opOoycbvia aXXayr| слтетауцёусоу.
Дт|Ха5т|,
= I з/Ло -1Л0] 3s-t s + 3t
|1/Ло з/yioj Kai x~ Ло ’ y~ Ло
Млоре! ел!от)<; калоюс; va eKcppaoei та s Kai t ovvaprqoei tcov x koi у хРлтролокЬутас; tt|v
P-'=P. Дт|Ха5т|,
EAAXIETO nOAYftNYMO
[4 -2 21 ГЗ -2 2 "I
6 -3 4 koi J= 4 -4 6 . To характт|рют1к6 локисоууро apcporepcov
3 —2 3j |_2 -3 5j
tcov лсуаксоу eivai to A(t)=(t-2)(t-1 )2. Na Ppeire to eXaxioro локисоууро m(t) rov каОе л!уака.
To eXdxioro локисоууро m(t) 0a лрёле1 va Siaipei to A(t). ЕлигХёоу, о каОе ларауоутас; rov
A(t), 5т|Ха5т| то t-2 koi to t-1,0a лрёле1 va eivai ел1от|<; ёуас; ларауоутас; rov m(t). Еууелсос;
то m(t) 0a лрёле1 va eivai акрфсос; ёуа ало та акбХооОа:
f(t)=(t-2)(t-l) n g(t)=(t-2)(t-l)2
(а) Алб то ©есортща Cayley-Hamilton, g(A)=A(A)=0, ара арке! va еХёу^ооце povo то
f(t). 'Exovpe
Г2 —2 г-! ГЗ -2 21 ГО 0 01
f{A) = (Л - 21)(Л - I) = I 6 -5 4 6 —4 4 = 0 0 0
|_3 -2 1_||_3 -2 2J |_0 0 Oj
Елорёусос; то m(t)=f(t)=(t-2)(t-l)=t2-3t+2 eivai то еХахюто лоХосоууро rov А.
(Р) Kai лаХ1 g(B)=A(B)=0, ара арке! va eZiy^ovpe povo то f(t). Ilaipvovpe
[I -2 21Г2 -2 21 Г-2 2 -2l
4 -6 6 4 -5 6 = 1-4 4 -4 # 0
2 -3 3j|_2 -3 4j |_-2 2 -2 J
Елоцёусо<; m(t)*f(t). ЕвцлЕраоцатиса, то m(t)=g(t)=(t-2)(t-l)2 eivai то eXa%ioro ло-
Хвсоувцо tod В. [Tovi^Erai oti 8ev xpeia^ETai va еХсу^овцс то g(B), асров, ало то
©Есортща Cayley-Hamilton, уусор^овцЕ oti g(B)=0.]
9.28. Na Ppeite to eXoxioto лоХвсоувцо m(t) tob koOevo^ ало товс; e^ik л1уак£<;:
‘“’Ч’;]. Wi=[o 2 з]. <,)C=[; -•]
(a) To %арактт]р1стт1к6 лоХвсоувцо tob A Eivai то A(t)=t2-12t+32=(t-4)(t-8). Асров то
A(t) £%£i SiaKEKpigEvoB^ ларауоутЕ^, то сХахюто лоХвсоувцо Eivai то m(t)= t2-l 2t+32.
(P) Асров о В Eivai Siaycbvio^, oi iSiotijjec; tob Eivai та Siaycbvia oroixeia 1, 2, 3, Kai etoi
то %арактт|р1от1к6 тов лоХвсоувцо Eivai to A(t)=(t-l)(t-2)(t-3). Ecpooov to A(t) e%ei
Зшкекщцеуовс; ларауоутЕ^, m(t)=A(t).
(у) To характт|р1от1к6 лоХвсоувцо tob C Eivai to A(t)=t2-6t+9=(t-3)2. Apa то eXoxioto
лоХвсоувцо tob C Eivai to f(t)=t-3 r| to g(t)=(t-3)2. Qotooo, f(C>0, 5т|Ха5т| C-3I*0.
Евуелсос;
m(t)=g(t)=A(t)=(t-3)2
9.29. УлоОеоте oti r| S={u1,u2,...,un} Eivai pia Paor| тов V. УлоОеоте, Елиод, oti oi F Kai G Eivai
ypappiKoi теЛеотё<; otov V tetoioi сооте о [F] va exei цт|8еу1ко ott| Siaycbvio Kai катсо ало
автт], кас о [G] va e%ei oroixeia a*0 ott|v влсрбюусоую Kai цт|8еу1ко аХХов. Дт|Ха8т|,
Na Sei^ete oti: (a) Fn=0, (P) Gn-l*0, aXXa Gn=0. (Oi obvOtikec; автвс; ioxbobv ел1от|<; Kai yia
tob<; [F] Kai [G].)
(а) 'Еховце Р(и])=0 Kai, yia г>1, о F(u,.) Eivai evac; урацщкбд овубваоцб^ бюувоцатсоу
лов лрот|уовута1 тов ц. ott|v S. Дт|Ха8т|,
F(wr) = ar)U| + ar2u2 + ...+
Apa o F(u1)=F(F(ur)) Eivai svac; урацщкбд ову8ваоцб<; Siavooparcov лов лрот|уов-
vrai тов Ц.-1, Kai овтсо кабЕ^г|<;. Елоцеусос; Fr(ur)=0 yia кссОе г. ЕвуелсЬ^, yia кссОе г,
Fn(ur)=Fn'r(0)=0, Kai etoi Fn=0, 6лсо<; £г|товоац£.
(Р) 'Еховце G(U])=0 koi, yia кссОе k>l, G(uk)=auk_]. Ара Gr(uk)=aruk.r yia r<k. KaOcbc;
a*0, an-1*0. Елоцеусо^, Gn-1(un)=an-1u1*0, Kai etoi Gn-1*0. 'Оцсос;, ало то (а), Gn=0.
9.30. 'Еотсо В о л!уака^ тов Пара8£1уцато<; 9.12(a) о олоюс; exei otoixeio X отт] Siaycbvio, блов
Х*0, OTOixeia 1 ott]v влЕрбтусоую Kai цт|б£У1ка аХХов. Na Sei^ete oti то f(t)=(t-X)n Eivai
тавтбхроуа то характт]рют1кб лоХвсоувцо A(t) Kai то ЕХахюто лоХвсоувцо m(t) тов А.
Асров о A Eivai Tpiycovucoc; це oroixeia X отт] Siaycbvio, то A(t)=f(t)=(t-X)n Eivai то характер-
pioriKO tov noXvcbwpo. Enopevco; to m(t) Eivai pia Svvapq tov t-X. Алб то IlpopXqpa 9.29,
(A-Xiy-1 #0, apa m(t)=A(t)=(t-X)n.
9.31. Na Ppeite to %арактт|р1ат1к6 noXvcbwpo A(t) Kai to eXq/ioto noXvcbwpo m(t) tov kcc0e niva-
ка:
(a) M =
0 4
0 0
0 0
0 0
0 0 0’
1 0 0
4 0 0
0 4 1
0 0 4
0
0
1
-2
O'
0
1
4
0 0
(а) О M Eivai SiapEpiapdvo; Siaycbvio; pE Siaycbviov; vnonivaKEg tovc;
j >] Ю|.[; J]
To %арактг|р1ат1к6 Kai eXo/ioto noXvcbwpo tov A Eivai to f(t)=(t-4)3, Evcb to xapa-
KTT|piaTiK6 Kai eXcixioto noXvcbwpo tov В Eivai to g(t)=(t-4)2. Tote
△(t)=f(t)g(t)=(t-4)5 aXXa m(t)=EKJI[f(t), g(t)]=(t-4)3
(onov то ЕКП Eivai to eXo/ioto koivo поХХапХаою). Tovi^etoi 6ti о екОеттц; ото m(t)
Eivai то реуебо; tov psyaXvTEpov vnonivaKa.
(P) EScb о M' Eivai StapEpiopEvo; Siaycbvio; p£ Siaycbviov; vnonivaKEg tovc; A’ = j
Kai V = 4 j To характт|р1от1кд Kai ЕХсфото noXvcbwpo tov A' Eivai to f(t)=
(t-2)2. To характт|р1от1к6 noXvcbwpo tov B' Eivai to g(t)=t2-5t+6=(t-2)(t-3), to onoio
exei SiaKEKpipevovc; napayovre;, Kai coc; ek tovtov Eivai TavToxpova Kai то еХохюто
noXvcbwpo tov В'. Ката ovvEneia,
A(0 =/(Og(r) = (t - 2)3(r - 3) aXXa m(r) = LCM[/(r), g(r)] = (t - 2)\t - 3)
9.32. Na Ppeite eva nivaKa A tov onoiov eXccxioto noXvcbwpo va Eivai f(t)=t3-8t2+5t+7.
Г0 0 -71
AnXa A = 11 0 —5 ,o nivaKa; ovvoSeio; tov f(t) [nov opiorqKE ото IlapaSEtypa 9.12(P)J.
Lo 1 8 J
9.33. Na anoSEi^ETE to ©Ecbpqpa 9.15: To eXccxioto noXvcbwpo m(t) evoc; nivaKa (ypappiKov teXe-
arq) A SiaipEi ка0Е noXvcbwpo nov exei tov A co; pqSEviKO. ZvyKEKpipeva (ano то ©Ecbpqpa
Cayley-Hamilton), to m(t) SiaipEi to xapcucrripurciKO noXvcbwpo A(t) tov A.
Yno0£Tovp£ oti to f(t) Eivai eva noXvcbwpo yia to onoio f(A)=0. And tov aXyopiOpo Tq;
SiaipEaq;, vnapxovv noXvcbwpa q(t) Kai r(t) yia та onoia f(t)=m(t)q(t)+r(t) Kai r(t)=O q
deg r(t)<deg m(t). AvriKaOiOTcbvra; to t=A orqv E^iacooq av-cq Kai xpqcnponoicbvra; ti; f(A)=0
Kai m(A)=0, naipvovps r(A)=0. Eav r(t)#O, tote to r(t) Eivai eva noXvcbwpo ps Pa0p6 pucpo-
TEpo ano аото tov m(t) nov exei tov A co; pqbEviKo. Avto opco; PpioKETai oe avricpaaq pE tov
орюро тои еХахютоо noXvcovvpov. Zvvencbg r(t)=O, кас etoi f(t)=m(t)q(t), SqXaSq то m(t)
Siaipei to f(t).
9.34. 'Eotco to m(t) to еХахюто noXvcbwpo evog п-тетрауамкоб nivaKa A. Na апоЗе^ете oti to
Характт|рют1к6 noXvcbwpo A(t) tov A Siaipei to [m(t)]n.
УпоОетооре oti m(t)=tr+c1tr’1+...+cr.1t+cr. Opitpvpe nivaKeg B} cog акоХоббсод:
Bo =1 etoi I = B0
Bl=A + clI etoi ctI = Bt-A = Bt -AB0
B2 = A2 + ctA + c2I ETOI c2I = B2-A(A+CiI)=B2-ABi
Br-i = *r~l + CiAr~2 +... + cr_tI etoi cr_il = Br_i - ABr_2
Тбте
-ABr_i = c,J - (Ar + CiAr~l + ... + cr_[A + сД) = cj - m(A) = cj
B(r) = r'Bo + f-2B, +... + tBr_2 + Br_i
©етоуре
Тбте
(tl - A)B(t) = (fB0 + f-‘B1 +... + tBr_i) - (f-'ABo + t^ABi +... + ABr_i)
= fBo + - AB0) + f“2(B2 - ABi) + ... + t(B,_i - ABr_2) - ABr_t
= fl + Cif-'I + c2f~2I +... + cr_iti + c,I = m(t)I
IlaipvovTag rqv opi^ovoa koi tcov Svo peXcbv exovpe |tI-A| |B(t)|=|m(t)I|=[m(t)]n. Acpov to |B(t)|
eivai eva noXvcbwpo, to |tI-A| Siaipei to [m(t)]n, SqXaSq to xapctKTqpiOTiKO noXvcbwpo tov A
Siaipei to [m(t)]n.
9.35. Na апоЗе^ете to ©ecbpqpa 9.16: To xapaKrqptoTiKo noXvcbwpo A(t) koi to ЕХахюто noXvcb-
wpo m(t) tov A exovv Tovg iSiovg apeicoTOvg napayovTsg.
Упобётоуре oti to f(t) eivai eva apeicoTO noXvcbwpo. Eav to f(t) Siaipei to m(t), тбте Siaipei
koi to A(t) [acpov to m(t) Siaipei to A(t)]. And Tqv aXXq, eav to f(t) Siaipei to △(!), тбте, and to
IlpdpXqpa 9.34, Siaipei koi to [m(t)]n. To f(t), opcog, eivai apeicoTO, apa to f(t) Siaipei koi to
m(t). 'Etoi та m(t) koi A(t) exovv Tovg iSiovg apeicoTovg napayovreg.
9.36. Na апоЗе^ете to ©ecbpqpa 9.19: To ЕХахюто noXvcbwpo m(t) evog Stapepiopevov Siaycbviov
nivaKa M pe Siaycbviovg vnonivaKeg A! ioovtoi pe то еХахюто koivo noXXanXaoio (ЕКП) tcov
eXaxiOTCOv noXvcovvpcov tcov Siaycbvicov vnomvctKCOv Ar
©a anoSei^ovpe to Oecbpqpa yia rqv nepuvrcooq onov r=2. H anoSei^q tov yeviKov Oecopq-
ратод yiveTai oTq ovvexeia ебкоХа pe enaycoyq. YnoOeTovpe oti M = ® j, onov oi A koi В
eivai TeTpaycoviKoi nivaKeg. npenei va Sei^ovpe oti to еХахюто noXvcbwpo m(t) tov M eivai
то еХахюто koivo noXXanXaoio tcov еХахютсоу noXvcowpcov g(t) koi h(t) tcov A koi B, ovti-
QToixa.
Г m(A) 0 ]
Ecpooov to m(t) eivai то еХахюто noXvcbwpo tov M, m(M)= I о m(B)|=0, koi apa
m(A)=0 koi m(B)=0. Кабсод то g(t) eivai то еХахюто noXvcbwpo tov A, 9a Siaipei to m(t).
'Opoia, to h(t) Siaipei to m(t). Zvvencbg to m(t) eivai eva noXXanXaoio tcov g(t) koi h(t).
'Еотсо, тсора, то f(t) eva aXXo noXXanXaoio tcov g(t) Kat h(t). Тоте f(M) = ® 1 =
L ° /WJ
= [q q j = ° - To m(0, sivai T0 еХахюто noXvcbwpo too M, епорёусо; Siaipei to f(t).
Evpnepaivovpe, Xoinov, oti to m(t) eivai то eXa%ioro koivo noXXanXaoio tcov g(t) Kai h(t).
9.37. Упобёоте oti to m(t)=tr+ar_|tr-,+...+a|t+a0 eivai то еХа%юто noXvcbwpo evo; п-тетрауом-
kov nivaKa A. Na anoSei^eTe та акбХоъба:
(a) О A eivai pr|-i8ia^cov eav Kai povo eav о отаберб; opo; ao#O.
(P) Eav о A eivai pr|-i8ia£cov, тоте о A-1 eivai eva noXvcbwpo too А це Pa0p6 r-l<n.
(а) Та акбХооба eivai looSvvapa: (i) о A eivai pr|-i8ia^cov, (ii) то 0 Sev eivai pi^a too m(t),
(iii) ao#O. Enop6vco; t| 8t|Xcoot| aXr|0evei.
(P) Ecpooov о A eivai pr|-i8ia^cov, a^O, ало то (a). 'E%ovpe
m(A) = A' + +... + atA + oq! = 0
----(A' * + о,_]Лг 2 +... + O]I)A = I
ao
'Etoi
Ката ovv6neia A ’ = ’ +ar-\A' 2 + ...+ai/)
AAYTA ПРОВЛНМАТА
nOAYftNYMA niNAKftN
9.38. 'Еотсо A = [2 ""j j кас В = f * 3]- Na Ppefre tov; f(A), g(A), f(B), g(B), блоо f(t)=2t2-5t+6
Kai g(t)=t3-2t2+t+3.
9.39. 'Еотсо A = Гq j |- Na Рресте tov; A2, A3, An, блоо n>3, Kai tov A-1.
[8 12 O'!
0 8 12 .Na Ppefre eva лрауратисб nivaKa А тетою сооте B=A3
0 0 8j
9.41. Tia tov кабе nivaKa, va Ppefre eva noXvcbwpo nov va e%ei co; pi^a tov nivaKa:
9.42. 'Еотсо о A evaq опоюо8г|поте тетрауомкб; nivaKa; кас ёотсо то f(t) ёуа опою5т|поте noXvcb-
wpo. Na апобе^ете oti: (a) (p-'AP)n = Р-’Л’Р. (fi) f(P~'AP) = r'f(A)P. (?) f(AT) = [/(Л)]г,-
(5) Eav о A eivai ovppeTpiKd;, тоте о f(A) eivai ovppeTpiKd;.
9.43. 'Еотсо о M=diag[A ।,...,Ar] ёуа; бшрерюрёуо; Siaycbvio; nivaKa;, Kai ёотсо то f(t) ёуа onoio-
8т|поте noXvcbwpo f(t). Na Зе^ете oti о f(M) eivai Зюрерюрёуо; Siaycbvio; Kai f(M)=
diagWA,),...,^)].
9.44. 'Еотсо о М Evag StapEpiopEvog TpiycoviKog лсуакад це Siaycbviovg влолсуакЕд A|,...,Ar, Kai
еотсо to f(t) Eva олоюЗт|лот£ Kolixbwpo f(t). Na Secrete oti о f(M) Eivai Enioqg Evag Siapspi-
opEvog TpiycoviKog nivaKag, це Siaycbviovg BnonivaKsg f(A|),.. ,,f(Ar).
IAIOTIMEZ KAI lAIOAIANYZMATA
9.45. Tia tov каОвуа ало товд ларакатсо nivaKEg, va Ppeite 6Xsg Tig сЗютсцЁд Kai та аутсотосуа
ypappiKa ау£^артт|та iSioSiavvopaTa:
(«>.<=[2 -?] «I wc’D -’]
'Опов Eivai SvvaTo, va Ppeite tov pq-iSia£cov nivaKa P лов SiaycovionoiEi tov nivaKa.
9.46. 'Еотсо Я = [J "J],
(a) Na Рресте iSioTipEg кас avrioToixa iSioSiavvopaTa.
(Р) Na ppEiTE Eva pq-i8ia£ovTa nivaKa P tetoio coote о D=P_|AP va Eivai Siaycbviog.
(y) Na Ppeite tovc; A6 Kai f(A) длов ф)=14-5Р+712-21+5.
(8) Na Ppeite Eva nivaKa В tetoio coote B2=A.
9.47. Na ЕлауаХаРЕТЕ то ПрдрХтща 9.47 yia tov Я = [ J
9.48. Tia tov каОЁуа ало товд nivaKEg лов okoXovOovv, va Ppeite 6Xsg tu; сЗсотсцЁд Kai Eva рвуюто
ovvoXo ypappiKa av£^apTT|TC0v cSioSiawopaTCOV, S:
(а)Л=Гз -5 Я, ^)5=[? -5 11, (у)С=Г 1 2 -11
[_6 -6 4 J L6 ~6 2J L"1 1 4J
П0101 nivaKsg pnopOBV va SiaycovionocqOoBV Kai yum;
9.49. Tia tov каОЁуа ало товд ураццсковд ТЕХвотЁд T: R2->R2 лов okoXovOovv, va Ppeite дХвд тсд
iSiOTipEg Kai pia Раот| yia tov kciOe iSioxcopo:
(a) T(x,y)=(3x+3y, x+5y), (p)T(x,y)=(3x-13y, x-3y).
9.50. 'Еотсо о A = [ ® ] evag лрау цатскод лсуакад. N a Ppeite avayKaisg Kai ЕларкЕи; ovv0r]K£g yia
та a, b, c, d etoi coote о A va Eivai Siaycovionovqoipog, 8r]Xa8f| va exei Svo (лрауцат1ка)
урацщка ау£^артт|та iSioSiavvopaTa.
9.51. Na Sei^ete oti oi л(уак£<; A Kai AT exovv tu; ISiEg iSiOTipEg. Na Scooete Eva лараб£1ура svog
2x2 л(уака А блоо oi A Kai AT exovv SiacpopETiKa iSioSiavvopaTa.
9.52. УлоОеоте oti to v Eivai Eva iSioSiawopa ypappiKcbv teXeotcov F Kai G. Na Secrete oti to v
Eivai £л1от|<; Eva iSioSiawopa tov ypappiKov teXeotti kF+k'G, onov та k Kai k' Eivai apiOpoi.
9.53. УлоОеоте oti to v Eivai Eva iSioSiawopa Evdg ypappiKov teXeotti T лоо avr|K£i ott|v i8iOTipr|
X. Na алоЗЕ^ЕТЕ oti:
(a) Tia n>0, to v eivai eva i6io6iawopa too Tn nov avf|Kei ottjv Xn.
(p) H f(X) eivai pia i6iOTipf| tov f(T) yia опоюбдпоте noXvcbwpo f(t).
9.54. УпоОёоте oti t| X*0 eivai pia i6iOTipf| tt|<; ovvOeoT)^ FoG ypappiKcbv теХеотшу F Kai G. Na
берете oti t| X eivai enioq^ jiia i6ioTipf| tt|<; ovvOeoT)^ GOF. Aei^re oti to G(v) eivai
eva i6io6iawopa tov G°F.]
9.55. 'Еотш E: V->V о ретаохлратюрб^-пророХт), 6qXa6f| E2=E. Na берете oti о E eivai Siaycovio-
noufrinoQ Kai oti, ottjv праурат1котт)та, pnopei va avanapaoraOei ano то 6iaycbvio nivaKa
M = [0 j, onov то r eivai о pa0po<; tov E.
AIAFQNIOnOIHEH ПРАГМАПКПИ EYMMETPIKftN IUNAKHN
9.56. Tia tov KaOeva ano tov<; паракатш ovppeTpiKov^ nivaKeg A, va ppene eva opOoycbvio nivaKa
P тетою шоте о D=P’'AP va eivai 6iaycbvio^:
(a)^=[2 J]. (£)Л = [_1 "J], (yM = [j J]
9.57. Tia tov KaOeva ano tovc; aKoXovOovc; ovppeTpiKov^ nivaKeg B, va ppene тк; i6ionpe<; tov, eva
реуюто opOoycbvio ovvoXo i6io6iawapcncov, S, каОшс; enioq^ Kai eva opOoycbvio nivaKa P
тетою шоте о D=P’,BP va eivai 6iaycbvio<;:
(а)2Г=Г1 0 11, (/M=[4 5 в!
[J 1 Oj |_4 8 17 J
9.58. Na ppene pia opOoycbvia аупкатаотаот) nov va 6iaycovionoiei tt)v ка0ер1а ano тк; паракатш
тетраушУ1кё$ рорфёс;:
(a) q(x,y) = 4л2 + 8xy - 1 ly2, (/J) q(x,у) = It2 - 6xy + lOy2
9.59. Г 1a Tqv ка0ер1а ano тк; тетраушуисёс; рорфёс; q(x,y,z) nov aKoXovOovv, va ppevre pia opOoycb-
via аупкатаотаот) екфра^оутас; та x, у, z ovvapTqaei тшу r, s, t, каОшс; eniaqc; Kai tt)v q(r,s,t):
(a) 4(x,y,z) = 5г2 + 3/ + 12xz, (Д) q(x,y, z) ^Зх2 - 4xy + 6/ + 2xz - 4yz + Зх2
9.60. Na ppene eva праурапко 2x2 оорретрисо nivaKa A pe i6ionpec;:
(a) тк; X= 1 Kai X=4 Kai i6io6iawopa to u=( 1,1) nov avf|Ke ott)v X= 1,
(p) n<; X=2 Kai X=3 Kai i6io6iawopa to u=( 1,2) nov avqKei orqv X=2.
Ett)v ка0е пер1птшот|, va ppene eva nivaKa В yia tov onoio B2=A.
XAPAKTHPIETIKO IIOAYQNYMO KAI EAAXIETO nOAYQNYMO
9.61. Na ppene то характгрюпко noXviowpo Kai то еХахюто noXviowpo tov Ka0ev6<; ano tov<;
паракатш nivaKeg:
(а)Л=[ 2 4 J], (/?)Я=[з 8 -з]
[1 1 01 Г2 0 01
О 2 0 шЛ= 0 2 2 . Na 6е(^ете oti oi A Kai В exouv SiacpopETiKd хара-
0 О 1J L° ° 1J
ктт]рют1ка noXucbwpa (Kai etoi Sev Eivai opoioi), aXXa exouv to ISio ЕХахюто noXucbwpo.
EnopEvcoc; pr|-6poioi nivaKEq pnopEi va exouv to iSio ЕХахюто noXucbwpo.
9.64. 'Еотсо о A £va<; n-TETpaycoviKoq nivaKag yia tov onoio Ak=0 yia калою k>n. Na Sei^ete oti
An=0.
9.65. Na Sei^ete oti Evaq nivaKag A Kai о avaoTpocpoq tod At exouv to iSio ЕХахюто лоХисоуиро.
9.66. УлоОеоте oti to f(t) Eivai sva apsicoTo KavoviKonorqoipo лоХисоуиро yia то олою f(A)=0 yia
sva nivaKa A. Na Sei^ete oti to f(t) Eivai то ЕХахюто лоХисоуиро тои A.
9.67. Na Sei^ete oti о A Eivai Evaq nivaKa<;-ouvT£X£OTf|<;, kl, Eav Kai povo Eav то ЕХахюто noXucbw-
рб тои Eivai to m(t)=t-k.
9.68. Na PpEiTE Eva nivaKa A tod onoiou то ЕХахюто noXucbwpo Eivai to: (a) t3-5t2+6t+8,
(P) t4-5t3-2t2+7t+4.
9.69. 'Еотсо та f(t) Kai g(t) KavoviKonoiTjoipa noXucbwpa (8т|Ха5т| p£ г|у£Т1кой<; ouvteXeote<; 1) p£
tov ЕХахюто Pa0p6 yia tov onoio о A Eivai pia pi^a. Na Sei^ete oti f(t)=g(t). [Apa то ЕХахюто
noXucbwpo тои A Eivai povaSiKO.]
AIIANTHEEIE AAYTQN IIPOBAHMATQN
Zvp.pohcp.dq: о M=[Rb R2; ...] oupPoXi^Ei Eva nivaKa p£ ураррёс; Rb R2,...
9.38. f(A) = [-26. -3; 5, -27], g(A) = [-40,39; -65,-27],
/(2») = [3,6; 0,9], g(B) = [3,12; 0,15]
9.39. л2 = [1,4; 0,1],Л’ = [1,б; 0,1], Л" = [1,2л; 0,1], = [1,-2; 0,1]
, 1
9.40. 'Еотсо А=[2,а,Ь; 0,2,с; 0,0,2]. ©ЕтоирЕ В=А3 Kai тоте а=1, Ь=_ —, с=1
9.41. ВрюкоирЕ то A(t): (a) t2+t-l 1, (Р) t2+2t+13, (у) t3-7t2+6t-l
9.45. (a) X=l, u=(3,l) Kai X=-4, v=(l,2)
(P) X=4, u=(2,l)
(y) X—l, u=(2,l) Kai X=-5, v=(2,3). Movo о A Kat о C pnopovv va 5iaycovionon]0ovv. Xpipi-
ponoiovpe tov P=[u,v].
9.46. (a) X= 1, u=( 1,1) Kai X=4, v=( 1,-2)
(P) P=[u,v]
(y) f(A) = [19, -13; -26,32], A* = [21 846, -21 845; -43 690,43 691],
(5) > = g,-J; -M]
9.47. (a) X=l, u=(3,-2) Kai X=2, v=(2,-l)
(P) P=[u,v]
(Y) ЛЯ) = [2,-6; 2.9], A6 = [1021,1530; -510,-764],
(5) £ = [-3 + 475, -6 + 675; 2-275. 4 —375]
9.48. (a) X=-2, u=( 1,1,0), v=( 1,0,-1) Kai X=4,w=( 1,1,2)
(P) X=2, u=( 1,1,0) Kai X=-4, v=(0,1,1)
(у) X=3, u=( 1,1,0), v=( 1,0,1) Kai X=l, w=(2,-l,l). Movo о A Kai о C pnopovv va Siayamonoii]-
0ovv. Xprjaiponoiovpe tov P=[u,v,w].
9.49. (a) X=2, u=(3,-l) Kai X=6, v=(l,l)
(P) Aev vnapxovv npaypaTiKec; iSiOTipec;.
9.50. npenei [-tr(A)]2-4[det(A)] > 0 i=| (a-d)2+4bc > 0.
9.51. A=[l,l;0,l]
9.56. (а) Р = [2,— -1,2]/Л, (b) P = [l,l; , -l]/75, (c) P = [3.-l; 1,3]/710,
9.57. (a) X—l, u=( 1-1,0), v=(l,l,-2) Kai X=2, w=( 1,1,1)
(P) X=l, u=(2,l,-l), v=(2,-3,l) Kai X=22, w=(l,2,4)
KavoviKonoiovpe та u, v, w yia va napovpe та й, v, vv Kai Оётоуре P=[ й , v, vv]-
(Паратт|ртрут|: та u Kai v 5ev eivai pova5iKa.)
9.58. (fl) x = (4s + t)/J17,y = (-s + 40/717, q(s, t) = 5s2 - 12?,
(6) x = (3j - 0/710, у = (s + 30/716, 9(j, 0 = x2 + 11 ?
9.59 (e) x = (3j + 20/713,у = r, z = (2s - 30/713, q(r, s, 0 = 3г2 + 9s2 - 4?,
(b) x = 5Ks + Lt.y = Jr + 2Ks-2Lt,z = 2Jr-Ks-Lt, where J =1/75, К = 1/730, £ = 1/Тб;
9(r,s,0 = 2r2 + 2s2+8?
9.60. ^=|[5,-3; -3,5],S = |[3,-1; -1,3],
Л=|[14,—2; -i], £ = (72 + 473, 275 + 273; 275 + 73,475 + 73)
9.61. A(0 = m(t) = (Г - 2)\t - 6), (6) A(0 = (r-2)2(r-6),m(0 = 0-2)(r-6)
9.62. A(0 = (Г - 2)30 - 7)2. m(0 = (t - 2)2a - 7),
A(0 = (r-3)s.m(0 = (r-3)3,
A(0 = (t - 2)2(r - 4)2(r - 5), m(0 = (t - 2)(r - 4)(r - 5)
9.68. 'Еотсо о А о л(уака^ ouvoSeiaq [ПараЗегуца 9.12(Р)] це teXebtoio отт|Хг| tt]v: (а) [-8,-6,5]т,
(₽) [-4,-7,2,5]т
9.69. Yndtei&i: О A Eivai ц(а pi£a tov h(t) = f(t)-g(t) блов h(t) = 0 т| о РаОцб^ тов h(t) sivai рлкро-
тврос; ало то РаОр.6 тов f(t).
КесраХаю 10
KANONIKEX МОРФЕЕ
10.1 Е1ЕАГПГН
Еотсо о Т ёуад урацщкбд TEXeorqg ое eva diawopariKO x<bpo лелераацёуцд 6idoTaoqg. 'Олсод ei6ape
ото КесраХаю 6, о Т 5ev pnopei va ёхЕ1 eva Siaycbvio nivaKa-avanapdoraoq. Eivai, соотбоо, aKopq
Sward va “anXonoiqoovpe” tov nivaKa-avanapdoraoq too T pe Siacpopoug rponovg. Аитб eivai Kai to
корю 0ёра too KecpaXaiov avrov. EuyKCKpipeva, 0a бобре то Oecbpqpa npcorevovoag anoovvOeoqg,
Tqv rpiycoviKq KavoviKq popcpri, tt]v KavoviKq popcpri Jordan, кабсод ел1от|д Kai rq pqrq KavoviKq popcpq.
Прёле1 va oqpeicoOei oti q rpiycoviKq KavoviKq popcpq Kai q KavoviKq popcpq Jordan vnapxovv yia
tov T eav Kai povo eav то xapaKrqpioriKO noXvcbwpo A(t) тои T exei 6Xeg Tig pi^eg too ото PaoiKO
лебю К. Аитб aXqOevei navra orav то К eivai то piyadiKO пебю С, aXXd 6ev pnopei va eivai alq0eg
orav то К eivai то лраурапкб лебю R.
Enioqg, ото кесраХаю аитб, eiodyerai q i6ea evog x<bpov nqXiKOv. Прокеггас yia eva navioxupo
epyaXeio, koi 0a xpqaiponoiqOei orqv алббеф) rqg vnap^qg rqg rpiycovucqg Kai rqg pqrqg Kavovucqg
popcpqg.
10.2 TPirftNIKH МОРФН
Еотсо о T evag ypappiKog reXeorqg oe eva п-бшотато 6iawopariKO x<bpo V. Уло0ётооре oti о T
pnopei va avanapaoraOei алб tov TpiycoviKO nivaKa
all al2 ••• aln
A = a22 ••• *2л
алл_
Тбте to xapaKTqptoTiKo noXvcbwpo A(t) tov T eivai eva yivopevo ypappiKcbv napayovrcov, 5qXa6q
A(r) = det(r/ - A) = (t - aH)(r - a22)
To avriorpocpo eivai enioqg aXq0eg, Kai paXiora anoreXei eva aqpavrtKo Oecbpqpa (лоо anobeiKwerai
ото IlpopXqpa 10.28).
Oecbpqpa 10.1: 'Еотсо о T: V-> V evag ypappiKog reXeorqg, to xapaKvqpioriKO noXvcbwpo rov
onoiov avaXverai oe ypappiKa noXvcbwpa.. Tore vnapxEi pia Paoq tov V orqv
onoia о T avanapiorarai ano eva TpiycoviKO nivaKa.
Oecbpqpa 10.1: (EvaXXaKTiicq Mopcpq) 'Еотсо о A evag rerpaycoviKog nivaKag, то xapaKrqpi-
otiko noXvcbwpo rov onoiov avaXverai oe ypappiKa noXvcbwpa. Tore о A
eivai opoiog npog eva TpiycoviKO nivaKa, vnapxEi 6qXa5q evag avriorpEipipog
nivaKag P тётоюд сооте о P-1 AP va eivai rpiycovucdg.
Лёре oxi eva ypappiKog xeXeoxqg Т pnopei va ep0ei ae xpiycovucq popcpq eav pnopei va avanapaoxa6ei
ano eva xpiycoviKO nivaKa. Eqpeicbvexai oti oxqv nepinxcooq avxq, oi iSioxipet; too T eivai акрфсод ot
катахсоргаец eKeiveg nov epcpavi^ovxai orqv Kvpia Siaycbvio. Ag Sovpe ae napaSeiypa pia ecpappoyq.
IlapdSeiypa 10.1. 'Еотсо о A evag xexpaycovucog nivaKag navco ото piyaSiKo neSio С. Упобёхоухад
oti q X eivai pia iSioxipq tov A2, va берете oti q В П - VX eivai pia iSioxipq tov A.
Ano to ©ecbpqpa 10.1, oi A Kai A2 eivai opoioi, avrioToixa, npog xpiycoviKovg nivaKeg Tqg popcpqg
Mi *
B = *
Кабсод opoioi nivaKeg exovv Tig iSieg iSiOTipeg, X=p2 yia капою i. Apa q pj= 7X Л Л Pj=- л/Л eivai pia
iSioTipq tov A.
10.3 . ETA0EPOTHTA
'Еатсо oti о T: V->V eivai ypappiKog. Лёре oti ёуад vnoxcbpog W tov V eivai охабербд vno tov T q
Т-охаберод eav о T aneiKovi^ei tov W otov eavxo tov, eav SqXaSq to vg W ovvenayeTai oti T(v)g W.
Exqv nepinrcooq avrq о T перюрюрёуод otov W opi^ei eva ypappiKO xeXeoxq otov W, SqXaSq о T
епмрёре1 ёуа ypappiKO xeXeoxq f: W-> W nov opi^exai ano Tqv f (w)=T(w) yia кабе wg W.
Ilapdbeiypa 10.2.
(а) 'Еотсо T: R3->R3 о акоХообод ypappiKog xeXeoxqg, о onoiog перюхрёсры то кабе Siawopa v
yvpco ano tov a^ova z ката pia ycovia 6 (oncog cpaiveTai ото Exqpa 10-1):
T(x,y,z) = (xcosfl-ysinfl, xsinfl+ycosfl, z)
Exqpa 10-1
Ilapaxqpovpe oti to кабе Siawopa w=(a,b,0) ото xy-neSio W парарёуе1 ото W vno to
p£TaoxqPcmop6 T, епорёусод то W eivai Т-отаберб. Ilapaxqpovpe акора 6ti о z-a^ovag U
eivai охабербд vno tov T. Епшрбобета, о перюрюрод tov T otov W перютрёсре1 то кабе
Siawopa yvpco ano Tqv apxq xcov a^ovcov О, Kai о перюрюрод xov T oxov U eivai о xavxoxiKog
pexaoxqpaxiopog xov U.
(P) Mq-pq8eviKa iSioSiawopaxa evog ypappiKOv xeXeoxq T: V->V pnopovv va xapaKxqpioxovv
cog yewqxpieg T-oxa6epcbv povoSiaoraxcov vnoxcbpcov. 'Exoi, eav опобёоооре oxi T(v)=Xv, v*0,
tote W={kv, keK}, о povoSiaorarog unoxcbpog nov napayeTai ano to v, eivai отаберб uno
tov T enei5r|
T(kv)=kT(v)=k(Xv)=kXve W
Avriorpocpa, опобётооре oti dim U=l, to u#0 napayei tov U, Kai о U eivai отабербд vno tov
T. Тбте T(u)e U Kai ётсн то T(u) eivai ёуа поЛЛапХаою too u, 5r|Xa5r| T(u)=pu. Apa to u eivai
ёуад iSioSiawopa too T.
To бесоргща nov акоХообе! (to onoio anoSeucwerai ото ПрбрХг|ра 10.3) pag 5ivei pia OT|pavrucf|
та£,т| атаберсоу vnoxcbpcov.
0ecbpT|pa 10.2: 'Еотсо о T: V->V ёуад опоюо5т|поте ypappucog теХеотт|д, Kai ёотсо то f(t) ёуа
опою5т|поте noXvcbwpo. Тбте о nvprjvag tov f(T) eivai отабербд vno tov T.
H 6woia тт]д отабербт^тад oxETi^erai pe Tovg nivaKeg-avanapaoTaoeig (ПрбрХг|ра 11.5) cog e^f|g:
0£cbpr|pa 10.3: Eav vno66oovpe oti о W eivai 6vag отабербд vnoxcbpog tov T:V->V, тбте о T
, , e , [A Bl , A , ,
exei eva Siapepiopevo nivaKa-avanapaoraor] q I, onov о A eivai evag
nivaKag-avanapaoTaoT] tov nepiopiopov f tov T otov W.
10.4 ETAOEPEE AIIOEYNOEEEIE EY0EQN A0POIEMATQN
'Evag Siawoparucog х^род V ovopa^eraievdv aOpoiopa tcov vnoxcbpcov Wb.. .,Wr, Kai ypacpeTai
V = Wx ф W2 ф... ф Wr
eav то кабе Siawopa ve V pnopei va ypacpTei povaSiKa ott| popcprj
v = w1 + w2 4-... 4- pe Wj e W,
loxvei то паракатсо 6ecbpr|pa (nov anoSeiKwerai ото ПрбрХг|ра 10.7).
0£<bpi]pa 10.4: Упобётооре oti oi WbW2>.. ,,Wr eivai vnoxcbpoi tov V Kai oti oi
bi = <wlb*12. • • •. Br = (wrb wr2...wn }
eivai Paoeig tcov WbW2,...,Wr, avTioroixa. Тбте о V eivai то ev6v аброюра
tcov W, eav Kai povo eav r| 6vcoor| В = и... и Вr eivai pia Paorj tov V.
Упобётооре тсора oti о T: V->V eivai ypappucog Kai о V eivai to ev6v аброюра (pr|-pr|5evuccbv)
T-ora6epcbv vnoxcbpcov W1>W2,...,Wr, 5r|Xa5r|
V = Wx ф... ф Wr Kai T(Wt) c W„ i =l......r
'Еотсо oti to T( ovpPoXi^ei tov перюрюрб tov T ото W,. Тбте Лёре oti о T eivai апостувЁтцос; oe
теХеотёдT(,i) aXXicbgоTeivaitoev6v аброюраtcovTp KaiypacpeTai T = T{ ®...®Tr. Лёре, eniorig,
oi vnoxcbpoi Wp.^.W, eXaTTcbvovv tov T r| oxnpari^ovv pia Т-отаберг| anoovv6ecn] еобёод a6poi-
оратод tov V.
©ecopovpe тсора tt|v ei5ucf| nepinrcoor] onov 5vo vnoxcbpoi U Kai W eXaTTcbvovv ёуа теХеотт|
Т: V->V, yia napaSeiypa dim U=2 Kai dim W=3, Kai vno 9 ётоуре oti та {ubu 2} Kai {W|,w2,w3} eivai
Paoeig tcov U Kai W, avTioTOiya. Eav та T, koi T2 ovpPoXi^ovv тоид nepiopiopovg тои T отоуд U Kai
V, avTioTOiya, тоте
^l(“l) = ei|Wl +в|2“2 ТДМг) = в21“1 + «22M2 r2(w,) = SjjWj + 612w2 + 613w3 ^2(w2) = ^21W1 + ^22 w2 +/’23w3 T2(w3) = 631w, + 632w2 + b33w3
Ката ouverceia, 01 aKoXovOoi nivaKeg А, В, М eivai oi nivaKeg-avanapaoTaoeig tcov Tb T2, T3,
avTiOTOiya:
О Siapepiopdvog Siaycbviog nivaKag M прокилтес and to yeyovog oti to {ubu2,wbw2,w3} eivai pia
Раот] тои V (©есортща 10.4) Kai ano to oti T(u,)=T|(ui) koi T(Wj)=T2(Wj).
TeviKevovrag to ovXXoyiopo аотд, о6г|уобраоте ото паракатсо Оесортща.
©есортща 10.5:
УпоОётооре oti о Т: V->V eivai урацщкбд Kai oti о V eivai то evOv аброюра
T-OTa0epcbv vnoxcbpcov, yia napaSeiypa tcov Wb...,Wr. Eav о A, eivai evag
nivaKag-avanapaoTaoT] tov nepiopiopov tov T ото W„ тбте о T pnopei va
avanapaoTaOei ano to Siapepiopevo Siaycbvio nivaKa
M=diag(Aj ,A2,..., Ar)
10.5 IIPQTEYOYEA AIIOEYN0EEH
To 0ecbpr|panov aKoXovOei Seixyei oti опоюо6т|поте теХеотт] g T: V->V eivai anoovv^ecn/cogoe теХеатёд
tcov onoicov та еХауюта noXvcbwpa eivai Svvapeig apeicoTCOv noXvcowpcov. Avto eivai то прсото Рлра
yia tt]v Xrp|/r| piag KavoviKqg popcprjg yia tov T.
©есортща 10.6: (Оесортща Прсотеооооад AnomjvOeaqg) Еотсо о Т: V->V evag ypappiKog теХеотт|д pe еХахюто noXvcbwpo то ™(0=/1(0",/2(0"’...Л(0"' onov то та f,(t) eivai SiaKCKpipeva KavoviKonoir|oipa apeicora noXvcbwpa. Тбте о V eivai to evOv dOpoiopa tcov T-oTa0epcbv vnoxcbpcov Wb.. ,,Wr, onov о W1 eivai о nvpr|vag tov / (T)"‘. EntnXeov, to f (t)"' eivai то еХахюто noXvcbwpo tov nepiopiopov tov T otov Wr
Ta mo navco noXvcbwpa ft (t)"' eivai oxetiko прсота, Kai cog ек tovtov to napanavco Оесортща
прокипте! (ПрбрХтща 10.10) ano та е£т|д Svo Оесортщата (та onoia anoSevcwovTai ота ПрорХгщата
10.9 Kai 10.11, avrioTOixa).
Оесортща 10.7: УпоОётоуре oti о T: V->V eivai ypappiKog, Kai oti f(t)=g(t)h(t), onov та f(t), g(t) Kai h(t) eivai noXvcbwpa тётош сооте f(T)=O Kai та g(t) Kai h(t) va eivai oxETiKa прсота. Тбте о V eivai то evOv аброюра tcov T-OTa0epcbv vnoxcbpcov U Kai W, onov U=Ker g(T) Kai W=Ker h(T).
Оесортща 10.8: Eto ©ecbpripa 10.7, eav to f(t) eivai то еХахюто noXvcbwpo tov T [koi та g(t) Kai h(t) eivai KavoviKonoirjoipa], тбте та g(t) Kai h(t) eivai та еХахюта
noXucbvupa tcov nspiopiopcbv тои Т oroug U каг W, avrioroixa.
0а xpr)oiponotr]ooupE етттстп^ то бесортща npcoTEUOuaag anoouv0Eoi]g yia va anoSei^oupE то
ларакатсо ХРЛСТФ° характт^рюцб ypappiKcbv teXeotcov (РХеле ПрорХцра 10.12 yia vr)v алоЙЕ^т])-
Oscbpripa 10.9: 'Evag ypappiKog teXeott]; Т: V->V Eivai 8taycovionoir|oipog Eav Kai povo Eav
то ЕХахюто лоХисоуиро too, m(t), Eivai eva yivopEvo SiaKEKpipEvcov ypappuabv
noXvcovvpcov.
Oscbpripa 10.9: (EvaXXaKTUcq Mopcpi])'Evag nivaKag A Eivai броюд лрод eva Siaycbvio nivaKa
Eav koi povo Eav то ЕХахюто noXucbwpo tov Eivai sva yivopEvo SiaKEKpipEvcov
ypappuabv лоХисоуирсоу.
Парйбегура 10.3. УлоОеоте oti о A^I Eivai svag rerpaycoviKog nivaKag yia tov onoio A3=I. Na
npooSiopioTE ката nooo о A Eivai r| oxi opoiog npog Eva Siaycbvio nivaKa, Eav о A Eivai evag nivaKag
navco: (i) ото прауратисо пе8ю R, (ii) ото piyaSiKo пе8ю С.
Ecpooov A3=I, о A 0a Eivai sva pt)8eviko той noXucovupou f(t)=t3-l=(t-l)(t2+t+l). To ЕХахюто
noXucbvupo m(t) той A Sev pnopsi va Eivai to t-1, каОсод A^I. Apa
m(t)=t2+t+l r| m(t)=t3-l
KaOcbg KavEva ano та Suo аита noXucbvupa Sev Eivai sva yivopevo ypappuabv noXucovupcov navco ото
R, о A Sev Eivai Siaycovionoirjoipog navco ото R. Ano vr]v aXXr), to Ka0sva ano та Suo noXucbvupa
Eivai sva yivopsvo StaKEKptpsvcov ypappiKcbv noXucovupcov navco ото C, Kai apa о A Eivai
Siaycovionoirjoipog navco ото C.
10.6 MHAENIKOI TEAEETEE
'Evag ypappiKog теХеотг^ T: V->V koXeitoi ццбЕмсдс; Eav Tn=0 yia капою Oetiko акераю n.
Ovopa^oupE tov k Seiktt] vr|g рт|8еУ1к6тг|тад той T Eav T^O aXXa Tk l^0. AvaXoyo, evag rsrpaycoviKog
nivaKag A koXeitoi nrjdcviKoq sav A"=0 yia капою Oetiko акераю n, koi ps Seiktt] k Eav Ak=0 aXXa
Ак-|Д). TivETai cpavEpo oti to eXoxioto noXucbvupo evog ptjSevikou теХеотт] (nivaKa) pE 8е1ктт| k Eivai
to m(t)=tk, опоте to 0 Eivai r) pova8iKT| той i8ioTipr|.
Парйбсгура 10.4. Айо nivaKEg пои 0a xpr)oiponoir)0ouv koi ott] ouvexeio tou KEcpaXaiou аитои,
Eivai oi okoXouOoi:
N = N(r) = '0 1 0 ... 0 o' 0 0 1 ... 0 0 koi J(A) = 'A 1 0 ... 0 O' 0 A 1 ... 0 0
0 0 0 ... 0 1 0 0 0 ... 0 0_ 0 0 0 ... A 1 0 0 0 ... 0 A
О прсотод nivaKag, N, nou ovopa^Erai pridEviKoq vnomvaKaq Jordan, anorEXeirai ano otoixeio 1
navco ano vr| 8iaycbvio (ovr| Xey6pevr| vnepdiaycbvio) koi pt)8eviko aXXou. flpoKEirai yia sva pt)8eviko
nivaKa pE 8е1ктг| r. (O nivaKag N Ta^rjg 1 Eivai anXa о 1 x 1 prideviKdq nivaKag [0].)
О 8вйтЕрод nivaKag, J(X), nou ovopd^Eraiunon/vcucag Jordan nou avr|KEi ovr]v i8ioTipr| X, anoTEXeiTai
ano OTOixEia X avr) 8iaycbvio, oroixeia 1 ovr)v unEp8iaycbvio koi pr)8eviKa aXXou. Паратт]роирЕ oti
J(X)=XI+N
Lvr]v праурат1к6тг|та, 0a ano8Ei^oupE oti опоюо8т|поте ypappiKog ТЕХ£сттг|д T pnopsi va anoouvTE0Ei
ое тЕХЕотЕд, о кабЁуад ало тоид олоюид sivai то аброюца svog Рабцсотои теХеотд Kai svog цдЗеускоо
teXeott] .
AkoXov6eI sva бЕЦЕХссЬЗЕд бЕсордца (лои ало3£1куи£та1 ото ПрбрХдца 10.16) лаусо отоид цдЗвускоид
т£Х£отЕд.
©есордца 10.10: 'Еотсо о Т: V->V Evag цдЗЕУисбд ТЕХЕотдд це 8е1ктд к. Тоте о Т e%ei Eva
5iap£pio|iEvo Siaycbvio л1уака-ауалараотаод otov олою д каб£ Siaycbvia
ката%сЬрюд Eivai svag цд8£У1кдд илол1уакад Jordan, N. 'Evag тоиХа%ютоу N
Eivai та^дд k, svcb 6Xoi oi ил6Х01Л01 N Eivai to^ecov <k. О арсбцбд tcov N ko6e
лсбаудд та^дд лрооЗюр^Етас povaSiKa ало tov T, evco о ouvoXiKog арсбцбд
tcov N oXcov tcov tcl^ecov loovrai це тд цдЗЕуисбтдта той Т.
Н ал63Е1^д той ©Есордцатод 10.10 Seixvei oti о арсбцдд tcov N це та^д i loovrai це 2mt -ml+l - ,
блои то nit Eivai д цд8£У1кбтдта той Т,.
10.7 KANONIKH МОРФН JORDAN
'Evag тЕХЕотдд Т цлор£1 va те6е1 ое кауоускд цорсрд Jordan Eav то характдрюпко Kai то £Ха%юто
лоХисоуицо той avaXuovTai ое урацц1ка лоХисоуица. Аитб аХдб£и£1 лаута бтау то К Eivai то Ц1уа31кб
леЗю С. Ее олоюЗдлоте лЕригтсоод, цлороицЕ va електесуооце то paoiKd леЗю К ое sva леЗю ото
олою то характдрюпкб Kai то £Ха%юто лоХисоуицо avaXvovrai ое ураццскоид тЕХЕотЕд. Елоцвусод,
ое ц1а svpEia Bwoia, кабв твХвотдд e%ei ц1а KavoviKf) цорсрд Jordan. AvaXoya, кабв л1уакад Eivai
бцоюд лрод sva л1уака ое KavoviKf) цорсрд Jordan.
То акоХоибо бЕсордца (лои ало8б1куивта1 ото ПрбрХдца 10.18) л£ргураср£1 тду KavoviKf] цорсрд
Jordan J svog урацщкои теХеотд Т.
©есордца 10.11: 'Еотсо о Т: V->V Evag ураццисбд твХвотдд той олоюи то уарактдрюпкб
лоХисоуицо Kai то £Ха%юто лоХисоуицо Eivai, avTioroi%a, та
Д(0 = (г - V ... (г - Лг)"' Kai m(t) = (t- ... (г -
блои та X, Eivai 3iaK£Kpipsvoi api6poi. Tote о T e%ei sva ЗюцЕрюцЁУО Siaycbvio
л1уака-ауалараотаод J otov олою д кабв Siaycbvia ката%сЬрюд Eivai Evag
илол1уакад Jordan J-ij=J(XJ. Tia то кабв X,p oi avrioToi%oi Jy exovv Tig в^дд
13ютдт£д:
(i) УлархЕ1 TOvXaxioTOv Evag Jy та^дд m,. 'OXoi oi илдХоигсн Jy Eivai
та^дд <1X1,.
(ii) To аброюца tcov to^ecov tcov Jy Eivai n,.
(iii) О арЮцбд tcov Jy loovrai це тд уЕсоцЕтрисд лоХХалХбтдта той X,.
(iv) О ар1бцбд tcov Jy каб£ лсбаудд та^дд лрообюрфтас цоуаЗиса ало
tov Т.
Парабесуца 10.5. УлобЕтоицЕ oti то характдрюпкб Kai то еХохюто лоХисоуицо svog теХеотд
Т Eivai, avrioTOixa, та
A(t)=(t-2)4(t-5)3 Kai m(t)=(t-2)2(t-5)3
Tote д KavoviKf) цорсрд Jordan тои T Eivai ц!а ало тоид ларакатсо ЗюцЕрюцвуоид Siaycbviovg л1уак£д:
Q лрсохос; nivaKag vcpiaxaxac oxav о T e%ec 5vo avs£dpxr]xa сбсобсаубацаха лои avf|Kovv axr]v с5сохсцг|
2, о 5e 5svxspo<; oxav о T e%ec xpia avE^dpxx]xa iSioSiavuajiaxa лои avf|Kovv oxo 2.
10.8 KYKAIKOI YnOXQPOI
'Eaxco о T svac; ураццскос хеХеохтц; as sva SiavuapaxiKO xcbpo, V, лблЕраацЁУТ]<; бсаахаатц; navco axo
К. УлоОехооце, Елину;, oxi ve V кас v*0. To ovvoXo oXcov xcov Scavuajiaxcov xrjg p.opcpf|g f(T)(v), блои
xov f(t) EKXEivExac navco as 6Xa xa noXvcbwpa navco axo K, sivac svac; Т-ахабврбс; vnoxcbpoc; xov V
nov ovopa^Exac T-kvkXikoc; vno%(bpo<;iox) V nov napaysxac ano xo v. Tov vnoxcbpo avxo avpPoXi^ovps
це Z(v,T), evco xov пЕрсорсацб xov T axov Z(v,T) avpPoXi^ovpE це Tv. Ano xo ПрбрХтща 10.56, 0a
цпоробаацЕ caoSvvaga va аоцРоХсаооцЕ це Z(v,T) tqv хоцд oXcov xcov T-axa0Epcbv vnoxcbpcov xov V
nov nEpCEXOW XO V.
Ac; 0Есорг|аооцЕ xcbpa xt)v акоХооОса
V, T(v), T2(v), T3(v),...
це боуацвсс; xov T nov sncSpovv navco axo v. 'Eaxco, епсотц;, k о цскрбхЕро<; ак£расо<; уса xov олосо xo
Tk(v) Ecvac Evac; ураццскос; аоубоаацбс; xcov Scawa^ixcov ekecvcov xa олоса npoTjyovvxac xov Tk(v)
axx)v aKoXovOia. Tea ларабвеуца,
T*(y) = -a*_,T*~\v) - ... - axT(y) - aov
Toxe xo = r* -+- .. att -+- a0
Eivac xo цоуабскб кауоусколост|асцо лоХоамцо це хо цскрбхвро РаОцб уса хо олосо mv(T)(v)=0.
Оуоцс^ооце хо mt(v) Т-цт)5еусохт| xcov v кас Z(v,T).
laxvEc хо акбХооОо ©Есортща (хо олосо алобвскууЕхас ахо ПрбрХтща 10.29).
©Есортща 10.12: 'Eaxco бхе ос Z(v,T), Tv, mv(t) opi^ovxac олсод лсо лаусо. Тохе:
(i) То avvoXo {v, T(v),..., Tk'*(v)} sivac цса раат) xov Z(v,T), apa
dim Z(v,T)=k.
(ii) To sXa%caxo лоХоамцо xov Tv sivac xo mv(t).
(iii) О лсуака^-ауалараахаат! xov Tv atqv ларалаусо раат| sivac алХа о
ovvoSsvxckoc; nivaKag C(mv) xov mv(t), 5т)Ха5т|
‘0 0 0 ... 0 -ao
1 0 0 ... 0 -ai
C(me) = 0 1 0 ... 0 -a2
0 0 0 ... 0 — ak_2
0 0 0 ... 1 -a*_.
10.9 PHTH KANONIKH МОРФН
Exx]v лараурасро avxr| 0a лароуасааоуцв vqprj-nj Kavovnajpop/pr/yia Ёуаураццекб xsXsaxri T: V->V.
Tovi^erai oti т] цорсрд avrf] vnapxei акоца Kai oxav то еХахюто лоХисоуицо Sev цпоре! va avaXvOei
ое урацщка noXvcbwpa. (Ynev0vpi^erai oti avrf| Sev eivai т] перштсоод yia rr]v Kavovucri цорсрд
Jordan.)
Адцца 10.13: 'Еотсо о T: V-> V ёуад урацщкод теХеотдд тои onoiov то характдрюпко лоХисоуицо
eivai то f(t)n, блои то f(t) eivai eva кауоускопощащо аце!сото лоХисоуицо. Тбте о V
eivai то ev0v аброюца
V = Z(vl,T)e...®Z(vr,T)
T-kvkXikcov unoxcbpcov Z(v„T) це avriaroixovg Т-цд8еуютёд та
7(0"'. 7(0"’.....n = л, > n2 > ... > nr
Опошбдпоте аХХд апооиу0еод той V ae Т-кокХисобд vnoxcbpovg 0a exei tov iSio
ар10цб ouvioTCoacbv Kai to iSio ovvoXo Т-цт|5еУютсЬу.
Tovi^erai oti to napanavco Хдцца (то onoio anoSeiKvverai ото ПрбрХтща 10.31) Se цад Xeei oti та
Siavvopara v, д aXXoi T-kvkXikoi vnoxcbpoi Z(v„T) npoaSiopi^ovrai povaSiKa and tov T, aXXa oti to
ovvoXo T-pqSevioTcbv npoaSiopi^erai povaSiKa and tov T. 'Etoi о T exet eva povaSiKO Зюцерюцёуо
Siaycbvio nivaKa-avanapaoraoTi
M=diag(C1,C2,...Cr)
'Onov oi C, eivai ovvoSevriKoi nivaKeg. Ltt|v прауцапкотдта, oi C, eivai oi ovvoSevriKoi nivaKeg tcov
noXucovupcov
XpT|aiponoicbvTag то ©есортща Прсотеиоиоад Anoovv0eor|g Kai то Ад ppa 10.13, обдуоираоте ото
акоХооОо Оесортща.
©есордца 10.14: 'Еотсо о evag ypappiKog теХеотдд це еХахюто noXucbvupo то
НО =/1(0’"/2(0,П2
onov та f,(t) eivai Зюкекрщёуа KavoviKonoirjoipa аце1сота noXucbvupa. Тоте
о Т exei sva povaSiKO Зюцерюцёуо Siaycbvio nivaKa-avanapaaraor|, tov
М = diag(C,,, С12...С1Г)....С„, С12....С„г)
onov oi Су eivai ovvoSevriKoi nivaKeg. Еиукекрсрёуа, oi Су eivai oi ovvoSevriKoi
nivaKeg tcov noXucovupcov f (t)nij, onov
лд = лн > л12 > ... > л1Г1, .... mt = л,! > ns2 > ... > л^
О mo navco nivaKag-avanapaaraori rov T eivai д Хеуореуд ptj-nj KavoviKtj poptpr) rov, evcb та
noXucbvupa f ovopa^ovrai atoixEicodeig diaipexeq tov T.
Парабетуца 10.6. 'Еотсо о V ёуад SiawapariKog x<bpog Siaaraorig 8 navco ото рдто neSio Q, Kai
ёатсо о T ёуад урацщкод теХеотдд otov V tov onoiov то еХахюто поХосоууцо eivai то
HO =/i(0/2(02 = (f4 - 4? + 6? - 4r - 7)(r - 3)2
Тбте г] рдтт| KavoviKT) цорсрд M tov T 0a прёпе1 va ёхЕ1 ёуа vnonivaKa то ovvoSevriKO nivaKa tov f, (t)
Kai ёуа vnonivaKa to ovvoSevriKO nivaKa tov f2(t)2. Ynapxovv Svo evSexdpeva:
(а) Ша^С^-ДР + бг2-4r-7), C((r-3)2), C((r - 3)2)]
(fi) diaglQr4 - 4p + 6? - 4t - 7), C((t -3)2). C(t - 3), C(t - 3)1
Ат|Ха8т|,
10.10 ХПРО1-ПНЛ1КА
Еотсо о V evag SiawopaTiKOt; X“PO(^ navco oe eva пе8ю К koi еотсо о W svat; илохсород tod V. Eav to
v sivai Eva O7toio5f|7coT£ Siawopa otov V, tote ypacpoupE v+W yia то aOpoiopa ouvoXcov v+w ps
we W, 8т]Ха8т|
v+W={v+w: we W)
Ta ouvoXa аита ovopa^ovTai vxoovvoXa tov IVotov V, koi oncot; 0a Soups (ПрбрХт]ра 10.22), 8iaanouv
tov V oe apoiPaia E^apOpcopEva unoouvoXa.
napaSeiypa 10.7. 'Еотсо W о илохсород тои R2 лои орфтас ало tt]v
W={(a,b): a=b}
О W, 8т]Ха8т|, Eivai т] euOeio лои 8ivetoi ало tt]v e^iocooti x-y=0. Me pia аХХт] £ppr|V£ia, 0a рлорои-
oap£ va 0£copf|ooupE to v+W cot; tt]v euOeio лои XapPdvETai npoaOsTOvrat; to 8iawopa v ото кссОе
от|р£ю тт|д W. 'Oncot; cpaivETai ото Ехпра Ю-2, то unoouvoXo v+W Eivai елкггц; pia euOeio, т] onoia
sivai параХХт]Хт] npot; tt]v W. Euvsncbt; та unoouvoXa той W otov R2 Eivai акрфшд 6Xe<; oi параХХт]-
Xe<; npot; tt]v W euOeiei;.
Eto 0£сорт]ра лои okoXouOei, xpT]oiponoioup£ та unoouvoXa Evot; илохсорои W svot; 8iawopaTiKou
Xcopou V yia va opiooupE Eva veo 8iawopaTiKO х<Ьро, to Xsyopsvoхиро-пт^ко той V 8ia той W, tov
0£d>pi)pa 10.15: Eav о W Eivai Evat; илохсород svot; 8iawopaTiKOu x<bpou navco oe Eva ле81о К,
tote та unoouvoXa той W otov V oxnpaTi^ouv Eva 8iawopaTiK0 x<opo navco
ото К p£ тк; ак6Хои0£<; npa^Eit; np6o0£crr|(; koi Ра0рсотой noXXanXaoiaopou:
(i) (u+w)+(v+W)=(u+v)+W, (ii) k(u+W)=ku+W, onou ke К
Etipeicovetoi oti, ott]v an68£i^T] той 0£сорт|рато(; 10.15 (ПрбрХт]ра 10.24), Eivai прсота апара1тт]то
va Ssi^oupE oti oi npa^Eit; Eivai £парксо<; opiopEVEt;, 8т]Ха8т| опоте u+W=u'+W koi v+W=v'+W,
тбте
(i) (u+v)+W=(u'+v')+W Kai (ii) ku+W=ku'+W yia олоюЗг|лоте ке К
Ett|v леригтсоот] evo; отабероб ило/сорои, exovpe то акбХоубо хргщщо бесортща (то олою алобеь
Kvverai ото ПрбрХтща 10.27).
©есортща 10.16: Улобётоуре oti о W eivai evco; илохсорои отаберб; vno eva урацщкб теХеотт]
Т: V->V. Тбте о Т елирёре! ёуа урацщкб теХеотт] 7 otov V/W лоу opi^erai
алб ттщ 7 (v+W)=T(v)+W. ЕлшХёоу, eav о Т eivai 6va pr|3eviK6 evo; onoiov-
Зт|лоте noXvcovvpov, тбте то i3io ба eivai Kai о f. Елорёусос то еХахюто
noXvcbwpo tov 7 Siaipei то еХахюто noXvcbwpo tov Т.
AYMENA ПРОВЛНМАТА
ETAOEPOI УПОХОРО1
10.1. Улобёоте oti о T: V->V eivai ypappiKog. Na Severe oti to кабёуа алб та акбХоуба eivai
отаберб vno tov T:
(a) {0}, (P) V, (у) 0 nvprjva; tov T, (3) r| eiKova tov T.
(a) 'Exovpe T(0)=0e {0}, apa to {0} eivai отаберб vno tov T.
(P) Па кабе ve V, T(v)e V, apa о V eivai отаберб; vno tov T.
(у) 'Еотсо ue Ker T. Тбте T(u)=0e Ker T, acpov о nvpr|va; tov T eivai 6va; vnoxcbpog tov V.
Lvvencb; 0 Ker T eivai отаберб; vno tov T.
(3) Acpov T(v)e Im T yia кабе ve V, 6a eivai олсооЗгщоте аХг|бё; orav ve Im T. Елорёусо;
т] eiKova tov T eivai отаберг| vno tov T.
10.2. Улобётоутад oti to {WJ eivai pia ovXXoyri алб Т-отабероб; vnoxcbpov; evo; 3iawopariK0v
Xcopov V, va Severe oti г| торт) W = n, Wt eivai ел(от|; Т-отаберг|.
Улобётоута; oti ve W, тбте ve W, yia кабе i. Ecpooov 0 W, eivai Т-отаберб;, T(v)e W, yia
кабе i. Lvvencb; T(v)e W Kai ёто1 о W eivai Т-отаберб;.
10.3. Na алоЗе^ете то ©есортща 10.2: 'Еотсо oti о Т: V->V eivai ypappiKo;. Tia олоюЗг|лоте ло-
Xvcbwpo f(t), 0 nvpr|va; tov f(T) eivai отаберб; vno tov T.
Улобётоуре oti ve Ker f(T), Зт]ХаЗг| f(T)(v)=0. Прёле1 va 3ei£ovpe oti to T(v) avr|Kei ел1-
ot]; otov nvpr|va tov f(T), Зг|ХаЗг| f(T)(T(v))=(f(T)oT)(v)=0. Кабсо; f(t)t=tf(t), ба ёхоире
f(T)°T=T°f(T). Lvvencb;, олео; ^тобоаре,
(/(Г)о T)W = (Го/(Г)Х0 = Г(/(Т)(р)) = Т(0) = 0
10.4. Улобётоута; oti о А = [ j j 6ecopeirai ёуа; теХеотг|; otov R2, va ppeire 6Xov; rov; ота-
бероб; илохсорои; rov A.
Алб то ПрбрХтща 10.1, та R2 Kai {0} eivai oraOepoi vno rov A. Eav тсора о А ёхе1 олою-
Зг|лоте dXXo отаберб vnoxcbpo, ба лрёлес avro; va eivai povoSiaoraro;. 'Орео;, то характг|р1-
otiko noXvcbwpo rov A eivai to
Л(0 = ? - «г(Л) t + HI = ? + 1
Елорвусос; о A 5ev exei iSiOTips^ (ото R), apa ovte iSioSiawopaTa. Qotooo, oi povoSiaoTaTOi
ота0£ро1 vnoxcbpoi avTiOTOixovv oe iSioSiawopaTa. ZvpnEpaopaTiKa, та R2 Kai {0} sivai oi
povaSiKoi axaGspoi vno tov A vnoxcbpoi.
10.5. Na аяобв^ЕТЕ то 0£cbpr|pa 10.3: Yno0£Tovp£ oti о W Eivai Т-ота0£рб<;. Tote о T exei pia
TpiycoviKT| SiapEpiopsvri avanapdoTaor] j блои о A Eivai о nivaKa^-avanapaoraori
TOO ПЕрюрюроб f TOD T OTOV W.
ЕтаХЕуоицЕpiaРаот] {wb...,wr} tod WKaittjvEnEKTEivovpEoepiapdor| {wb...,wr,vb...,vs}
too V. 'ExoupE
П'»'1) = T(w1) = a11w1 + ...+alrwr
T(yv2) = T(w2) = a21 w, +... +
T(wr) = T(wr) = arwi +...+ a„wr
T(l»i) = ЬнМ»! + . . . +Ь|ГИ'Г Ч-Сц»! +... +clfp,
r(u2) = fe2iw, +... + b^w,. +c21t>, +...+сь1>,
И»,) = 6,1W, + ... + b„Wr + CjjV] +... + c„vf
'Орсос; о nivaKag too T orq pdor| avrr| Eivai о avaorpocpoc; tod nivaKa ovvteXeotcov ото mo
navco ovoTTipa e^iocooecov (Параурасрос; 6.2). EnopEvco^ 0a exei tt| popcpf| [q £ J onov о A
Eivai о avaorpocpoc; too nivaKa owteXeotcov yia to npocpavsc; vnoovonipa. Me to i5io окЕлпкб,
о A Eivai о nivaKac; той f asc, npoc; tt| pdor| {w,} той W.
10.6. 'Еотсо oti to f ovpPoXi^Ei tov лЕрюрюрб evoc; teXeotti T oe sva ота0£рб vnoxcbpo W. Na
anoSEi^ETE oti:
(a) Tia onoio5f|noT£ noXvcbwpo f(t), f( f )(w)=f(T)(w).
(P) To eXoxioto noXvcbwpo tov f SiaipEi to eXoxioto noXvcbwpo tov T.
(a) Eav f(t)=O f| to f(t) Eivai pia ота0£ра, 5r|Xa5f| Eivai PaOpov 1, tote to £t|tovpevo
ioxvei ^Ека0ара.
Yno0£Tovp£ тсора oti deg f=n>l, koi oti to £t|tovpevo ioxvei yia noXvcbwpa Pa0pov
piKpOTEpOV TOV n. YnO0£TOVp£, £П1ОТ|<;, OTI
/W = + •.. + atl + a0
T6x£ /(DM = (а.Г + а..,Г| + ... + a0/Xw)
= (a„r-*)(f(W)) + (ал_, Г*’1 +... + ао/)(и,)
= (аяГ-')(Г(и-)) + (ая_. Г"1 + ... + a0/)(w) =/(Г)(н>)
(Р) 'Еотсо oti то m(t) ovpPoXi^Ei то ЕХахюто noXvcbwpo tov Т. Тоте, апо то (а),
m( f )(w)=m(T)(w)=0(w)=0 уш кабе wgW, SqXaSq о f eivai eva pqSeviKO tov
noXvcovvpov m(t). 'Etoi to еХахюто noXvcbwpo tov f Siaipei to m(t).
ETA0EPEE AIIOEYN0EEEIE EY0EQN A0POIEMATQN
10.7. Na апоЗефте то 0ecbpqpa 10.4: Упобётооре oti oi WbW2,...,Wr sivai vnoxcbpoi tov V це
aVTlOTOlXE^ РСЮЕЦ
Bi = {wu, wl2...wI(Ii), Br = {wri,wr2...h%J
Tote о V sivai to ev6v аброюца tcov W, sav Kai povo sav r| evcooq В = ^J,Bi sivai ц1а paoq
tov V.
Упобётооре oti т| В sivai ц1а р<5ют| tov V. Tote, yia onoioSqnoTe vg V,
p = a|,W|| + ... + ai„1H'1„1 + ... + arlwrl +... + + w2 + ... + w,
onov w, = a(l w(1 +... + a,„ w,n G Wt. Ett| ovvexeio 0a Sei^ovpe oti Eva tetoio аброюца Eivai
povaSiKd. Упобётооре oti
v = + vJ2 + ... + vJr, onov vJi € W,
Acpov to {wj,..., wlllt} Eivai ц!а paoq tov W„ wt '= bti w(l +... + bMf wini, koi etoi
u = b11w11+... + ft1B1w1Bi + ... + briwri + ... + bnwn,r
Ecpooov q В Eivai ц1а Paoq tov V, ау=Ьу, yia кабе i Kai yia кабе j. Епорёусо^ w,=w'„ koi etoi
то аброюца yia to veivai povaSiKd. Ката оууепею, о V Eivai то ev6v аброюца tcov W,.
AvrioTpocpa, Eav опобёоооре oti о V Eivai to ev6v аброюца tcov W„ tote yia onoioSqnoTe
vg V, v=W]+.. .+wr, onov w,G W,. Acpov to (wy } sivai pia pdor| tov W„ to кабе w, sivai tvaq
ypappiKoc; ovvSvaopdc; tcov , koi etoi to v sivai svac; урацщкод ovvSvaopo^ tcov OTOixeicov
rqc; B. Evvencbc; r| В napayei tov V. 0a Sei^ovpe тсора oti r| В sivai ypappiKa ave^apTqTq.
Упобётоуре OTI
+ ... + a1B1 w1Bi + ... + ariwrl ... + =0
EqpEubvETaiOTi a(1w(1 +-- + a1Bjw1B/ G Wt .'Ехооцеетпотц;oti0=0+0...OgW,. КабсЬдsvatetoio
аброюца yia to 0 sivai цоуабисб,
лп’*п + ---+%’*ц=0 yiai=l,...,r
H avs^apTqoia tcov Paoficov {wy( } ovvsnayETai oti 6Xa та a sivai 0. 'Etoi q В sivai урацциса
avs^apTqrq, Kai dpa sivai pia paoq tov V.
10.8. УпобЁотЕ oti о T: V-> V sivai ypappiKog Kai oti T = Ф T2 coc; ц1а Т-отаб£рт| anoovv6soq
ev6eo<; аброюцатос; И = U ф W • Na Sei^ete oti:
(a) To m(t) sivai то еХахюто koivo поХХапХаою tcov m^t) koi m2(t), onov та m(t), m,(t),
m2(t) eivai та еХа/юта noXvcbwpa tcov T, Tb T2, avrioroixa.
(P) A(t)=A j(t)A2(t), onov та A(t), Aj(t),A2(t) eivai та характт)рют1ка noXvcbwpa tcov T,
Tb T2, avrioroixa.
(a) Ano то IlpopXqpa 10.6, то KaOeva ano та m^t) Kai m2(t) Siaipei to m(t). УпоОётоутад
тсора oti то f(t) eivai eva noXXanXaoio apcporepcov tcov m^t) Kai m2(t), тбте f(T i)(U)=0
Kai f(T2)(W)=0. Eav ve V, тбте v=u+w pe ue U Kai we W. Tcbpa
f(T)v =f(T)u +f(T)w =/(Г1)и +/(Г2> = 0 + 0 = 0
О T, SqXaSq, eivai eva pqSevuco tov f(t). Evvencbg to m(t) Siaipei to f(t), опбте eivai to
еХахюто koivo noXXanXaoio tcov mj(t) Kai m2(t).
°1
(P) Ano to ©ecbpripa 10.5, о T exei eva nivaKa-avanapaoTaoq м - I о в J* onov oi A Kai
В eivai oi nivaKeg-avanapaoTaoeig tcov Tj Kai T2, avTioroixa. Тбте, oncog ^rpovoape,
Д(0 = И - M| = |a ~ A fI Q_ B | = |tf - Л||г/ - B| = 4,(^0
10.9. Na anoSei^ere to ©ecbpripa 10.7: YnoOeTovpe oti о T: V->V eivai ypappiKog, Kai oti
f(t)=g(t)h(t), onov та f(t), g(t) Kai h(t) eivai noXvcbwpa тётош сооте f(T)=0 Kai та g(t) Kai h(t)
va eivai охепка прсота. Тбте о V eivai то evOv аОроюра tcov T-oraOepcbv vnoxcbpcov U Kai W,
onov U=Ker g(T) Kai W=Ker h(T).
0a npenei KaTapxqv va oripeicoOei oti oi U Kai W eivai T-oraOepoi, ano то ©есорцра 10.2.
Tcbpa, ка0сод та g(t) Kai h(t) eivai охЕтска прсота, 0a vnapxovv noXvcbwpa r(t) Kai s(t) тётош
сооте
r(t)g(t)+s(t)h(t)= 1
Apa, yia tov теХеотт] T, r(T)g(T)+s(T)h(T)=l (*)
'Eotco ve V. Тбте, ano tt)v (*), v=r(T)g(T)v+s(T)h(T)v
'Орсод о прсотод eivai то аОроюра nov avqKei otov W=Ker h(T), каОсод
h(T)r(T)g(T)v=r(T)g(T)h(T)v=r(T)f(T)v=r(T)0v=0
'Opoia, о Зебтерод брод avqKei otov U. Епорёусод о V eivai то аОроюра tcov U Kai W.
FIpoKeipevov va anoSei^ovpe oti V = U Ф W, 0a np6nei va Sei^pvpe oti 6va аОроюра v=u+w
pe ue U, we W, npooSiopi^erai povaSiKa ano to v. Ecpappo^ovrag tov теХеотт] r(T)g(T) ото
v=u+w Kai xpr]oiponoicbvTag rqv g(T)u=0, naipvovpe
r(T)g(T)v=r(T)g(T)u+r(T)g(T)w=r(T)g(T)w
Enicrqg, ecpappo^ovrag rqv (*) pepovcop6va ото w Kai xpncnponoicbvrag Tqv h(T)w=0, naipvovpe
w=r(T)g(T)w+s(T)h(T)w=r(T)g(T)w
ApcpoTepoi oi napanavco ivnoi рад Sivovv w=r(T)g(T)v, Kai ёто1 то w npooSiopi^erai povaSuca
ano to v. Opoia, to u npooSiopi^erai povaSuca ano to v. Ката ovv6neia V = U ф W, бпсод
(jjTovoape.
10.10. Na anoSei^ETE то ©scbpripa 10.8: Ето 0Е(Ьрг|ра 10.7 (ПрбрХт]ра 10.9), sav то f(t) sivai то
EXayioro noXvcbwpo тои T (koi та g(t) Kai h(t) sivai KavoviKonoif|oipa), tote to g(t) sivai to
EXdyioro noXvcbwpo tov nspiopiopov T । tov T otov U koi to h(t) sivai то ЕХауюто noXvcbwpo
tov nspiopiopov T2 tov T otov W.
'Еотсо m^t) koi m2(t) та вХауюта noXvcbwpa tcov Tj koi T2, avrioToiya. ZripsicovsTai oti
g(T])=0 koi h(T2)=0, snsiSfi U=Ker g(t) Kai W=Ker h(T). EnopEvcog
to m](t) Siaipsi to g(t) Kai to m2(t) Siaipsi to h(t) (1)
Алб то ПрорХгща 10.9, то f(t) sivai то бХауюто koivo noXXanXaoio tcov m^t) Kai m2(t). 'Opcog
та Ш| (t) koi m2(t) sivai оуепка прсота, acpov та g(t) Kai h(t) sivai оуепка прсота. Ката ovvsnsia,
f(t)=m1(t)m2(t). 'Eyovps Eniorig oti f(t)=g(t)h(t). Oi Svo avTsg E^iocbosig, pa£i ps tt|v (1) koi to
yeyovog oti 6Xa та noXvcbwpa sivai KavoviKonoifioipa, ovvsndyovTai oti g(t)=m1(t) Kai
h(t)=m2(t), oncog £qTovoaps.
10.11. Na anoSsi^ETE to ©scbpqpa IIpcoTsvovoag AnoovvOscnig 10.6:'Еотсо о T: V->V svagypappiKog
TsXsoTTig ps sXayioTO noXvcbwpo to
т(0=/1(0л,/2(0"2.Л(0л'
onov то та f,(t) sivai 8iaKSKpipsva KavoviKonoirjoipa apsicoTa noXvcbwpa. Tote о V sivai to
ev0v aOpoiopa tcov Т-OTaOspcbv vnoycbpcov Wb...,Wr, onov о W, sivai оnvpf|vag tov f (ТУ'.
EninXsov, to f (t)"‘ sivai to sXayioro noXvcbwpo tov nspiopiopov tov T otov W,.
H an68si^T| yivsTai ps snaycoyi) ото r. H nspinrcoor] r=l sivai TSTpippsvr). YnoOsTovps oti to
0scbpr|pa sysi anoSsiyTsi yia r-1. Ano to ©scbpripa 10.7, pnopovps va ypaipovps tov V cog to
sv0v aOpoiopa tcov т-OTaOspcbv vnoycbpcov Wj Kai Vb onov о Wj sivai о nvpf|vag tov f (T)n‘
koi о V2 о nvpf|vag tov f2(T}ni .:fr(T)n'. Ano to ©scbpripa 10.8, та вХауюта noXvcbwpa
tcovnspiopiopcbv tov T owvg W] koi V] sivaiта /](Г)Я| Kai /2(r)"2.../r(r)"r, avTioroiya.
ZvpPoXi^ovps tov nspiopiopo tov T otov Vj ps f,. Ano tt|v snaycoyiKT) vnoOsoi], о V] sivai
to svOv tcov vnoycbpcov W2,... Wr yia Tovg onoiovg о W, sivai о nvpfjvag tov f (T})"' Kai to
f (t)"' sivaiто бХауюто noXvcbwpo yia tov nspiopiopo tov otov Wr 'Opcog, о nvpf|vagtov
f(T)n', yia i=2,...,r, nspiXapPavsTai апара!тт]та otov Vb ка0сод то Siaipsi to
f2(l)”2 ...fr(t)”'. Enopevcog о nvpf|vagtov f (T)n‘ sivai о iSiog ps tov nvpf|va tov f(7\)"', о
onoiog sivai о Wr EmnXsov, о nspiopiopog tov T otov W, sivai о iSiog ps tov nspiopiopo tov
7] otov W, (yia i=2,...,r), koi cog sktovtov to sivai sniorig to sXdyioro noXvcbwpo yia
tov nspiopiopo tov T otov W,. Zvvsncbg т] V = ®...®Wr sivai л sni0vpr]Tf|
anoovv0soT] tov T.
10.12 Na anoSsi^ETE to ©scbpripa 10.9:'EvagypappiKogTsXsoTrigT: V->V sysi sva Siaycbvio nivaKa-
avanapaoraori sav Kai povo sav то бХауюто noXvcbwpo tov, m(t), sivai sva yivopsvo
SiaKEKpipsvcov ypappiKcbv noXvcovvpcov.
YnoOsTovps oti to m(t) sivai sva yivopsvo SiaKEKpipsvcov ypappiKcbv noXvcovvpcov, yia na-
paSsiypa
m(r) = (r-X1Xr-X2)...(f-Xr)
onov та X, sivai SiaKSKpipsvoi apiOpoi. Ano to ©scbpripa Прсотеиоостад Anoovv0sor|g, о V
sivaito svOv aOpoiopa tcov vnoycbpcov Wb...,Wr, onov W=Ker(T-X,I).'Etoi, sav vg W„ tote
(T-X,I)(v)=0 q T(v)=X,v. Me aXXa Xoyia, то ка0е Siawopa otov W, eivai eva iSioSiawopa
nov avqKei orqv iSiOTipq X(. Алб то ©есордца 10.4, q evcooq Paoecov yia tov; Wb.. ,,Wr eivai
pia paoq tov V. H paoq avcq anoTeXeiTai ano iSioSiavvopaTa, Kai eroi о T eivai Siaycovio-
noiqoipo;.
AvrioTpoipa, a; vnoOeaovpe oti о T eivai Siaycovionoiqoipo;, e/ei SqXaSq pia Раот| T) onoia
апотеХеаа! ano iSioSiavvopaTa tov T. 'Еотсо Xb... ,X$ oi SiaKeKpipeve; iSioripe; tov T. Тбте, о
теХеотг|<;
/(n = (r-VXT-V)...(r-V)
aneiKovi^ei то каОе Siawopa paoq; ото 0. Enopevco; f(T)=0, Kai dpa то еХа/юто noXvcbwpo
m(t) tov T 0a Siaipei to noXvcbwpo
/(0 = G-A1)(r-A2)...(r-AJ)
LvpnepaopaTtKa, to m(t) eivai eva yivopevo SiaKeKpipevcov ypappiKcbv noXvcovvpcov.
MHAENIKOI ТЕЛЕЕТЕЕ, KANONIKH МОРФН JORDAN
10.13. 'Еотсо oti о T:V eivai ypappiKo;. YnoOeTovra; oti, yia ve V, Tk(v)=0 aXXa Tk-l(v)*0, va ano-
Sei^eie oti:
(a) To ovvoXo S={v, T(v),..Tk-I(v)} eivai ypappiKa ave^apTqTo.
(P) О vno/cbpo; W nov napayeTai and to S eivai Т-ота0ерб;.
(у) О nepiopiopo; T tov T otov W eivai pqSevuco; pe 8е1ктт| k.
(8) Q; про; tt] pdor| {Tk-I(v),..., T(v), v} tov W, о nivaKag tov T eivai о k-TerpaycoviKo;
pqSeviKo; vnonivaKa; Jordan, Nk, pe Sebcrq k (PXene IlapaSeiypa 10.5).
(a) YnoOeTovpe oti
в» + в1Т(») + 4%Т1(») + ... + в*_17*_1(») = 0 (*)
Ecpappo^ovTa; tov Tk-1 аф (*) Kai xpqoiponoicbvTa; rqv Tk(v)=0, naipvovpe
aTk-I(v)=0. Ka0cb; Tk-I(V)?tO, a=0. Erq ovve/eia ecpappd^ovpe tov Tk-2 orqv (*) Kai
Xpqoiponoiovpe tu; Tk(v)=0 Kai a=0, yia va Ppovpe oti a1Tk-l(v)=0, опбте aj=O.
Ecpappo^ovpe enevca tov Tk“3 orqv (*) Kai xpqoiponoiovpe ti; Tk(v)=0 Kai a=a|=0, yia
va napovpe a2Tk-I(v)=0, Kai dpa a2=0. Zwex^ovra; rq SiaSiKaoia avTq, PpioKOvpe
oti 6Xa та a eivai 0, Kai co; ек tovtov to S eivai ave^dpiqio.
(P) 'Еотсо ve W. Тбте
v = bv +T(y) + bjlfy) +... + bi-iT'-'W)
XpqotponoicbvTa; tt]v Tk(v)=0, exovpe oti
T(v) = bT(v) + bi T2(i>) +... + Ьк_гТ*~1(р) e W
Zvvencb; о W eivai Т-ота0ер6;.
(у) YnoOerovpe OTiTk(v)=0. Apa, yia i=0,...,k-l,
Т*(Т*(у)) = T**(v) = 0
Avto oqpaivei oti, ecpappo^ovra; tov fk orqv ка0е yewqTpia tov W, naipvovpe 0.
Ара Тк =0 Kai etoi о f eivai ptjSsvikoc; це Ssuctt] то лоХб к. Алб ttjv аХХт),
t(v) = Г*’1 (v)*0, Kai сое; ек тобтои о Т sivai prjSsviKoc; це 5е1ктт| акрфсо^ к.
(5) Па тт| Раот| {Tk-1(v), Tk-2(v),..., T(v), v} too W,
f(7*-'(v)) = 7*(v) = 0
f(7*-2(v)) = !*-'(»)
f(r*-’(v)) = I*-2(v)
Г(Г(«)) = I2(v)
r(v) = I(v)
Zuvsncb^, олсос; £г]тобоарб, о nivaKac; too T ott| Paor| auvr| Eivai о k-TSrpaycovucoc;
PT|5evikoc; unonivaKac; Jordan, Nk.
10.14. 'Еатсо oti о T: V->V sivai ypappucoc; Kai eotco U=Ker T1 Kai W= Ker T1+1. Na Severe oti:
(a)UcW,(p) T(W)CW.
(а) УлоОЕтоутас; oti ue U=Ker T1, tote T'(u)=0 Kai etoi T1+i(u)=T(T‘(u))=T(0)=0. Zuvsncbc;
ueKer T1+I=W. Аитб opcoc; oXt)0e6si yia ка0Е ue U, apa UcW.
(P) Opoia, sav we W=Ker T1+1, toteT1+i(w)=0. Enopsvcog T1+1(w)=T1(T(w))=T‘(0)=0, Kai
etoi T(W)CW.
10.15. 'Eotco oti о T:V sivai ураццисбс; Kai eotco X=Ker T-2, Y=Ker T'-l, Z=Ker T1. Enopevcog
(ПрбрХт)ца 10.14), X^YcZ. УлоОетоутос; 6ti oi
{U|, . . . , Ur}, {Uj, . . . , Ur, Pj, . . ., Vj}, {Uj, .... Ur, Pj,.... pJt w,...., w,}
sivai Paoeig tcov X, Y, Z, avrioroixa, va Seiners 6ri to
5 = {u,.....ur.T(w,)......F(w,)}
nspisxsrai otov Y Kai sivai ypappuca avs^aprqro.
Алб то ПрбрХтща 10.14, T(Z) cY, Kai apa ScY. Eav илоОеооире тсора oti to S sivai
урацциса ave^aprr|TO, tots 0a илар%£1 pia o%6or|
a,u, +... + arur + ftilCwi) +... + btT{wt) = 0
блои TOuXaxiorov evag ouvrcXeorrig 0a sivai Siacpopog той pi)5cv6g. ЕлигрбоОета, асроб то
{и,} sivai avs£apn]TO, rouXaxiorov sva алб та bk 0а лрёле1 va sivai 5iacpopo тои pr)5evog.
МетаОётоггад roue; opoug, PpioKOupe
b\T(wi) +... + b'TlWt) = -OjU] -... - arur e X = Ker Г*-2
Apa T*~\b\ 7(w,) +... + VW) = 0
Luvencbg +... + = 0, Kai etoi b\w, +... + btwt eY = Ker T*~l
Ecpooov to {iipVj} ларау£1 tov Y, 0a лароирв pia oxeot| avapBoa ота и,, vp wk блои svac; алб
roue; ouvtsXsotec;, 5i)Xa5f| sva алб та bk, 0a Bivai Siacpopoc; той pr|5ev6c;. Аитб PpioKBrai ob
avricpaori рв то ysyovoc; oti to {u„ vp wk} Eivai av£^apn]TO, Kai coc; ek toutou to S 0a лрвл£1
£л1ог|<; va sivai avs^aprrjro.
10.16. Na опоЗе^ете то ©Ecbprjpa 10.10: 'Ear© о T: V-> V sva<; pt|5evik6<; теХеоттц; це 5eiktt| к. Tote
о T exei sva povaSiKd SiapspiopEvo Siaycbvio nivaKa-avanapaoraor] о onoioq anoTEXsiTai ало
PT|5evikou<; unonivaKEq Jordan, N. 'Evag rouXa/iOTOv N Eivai та£,т|д к, svcb 6Xoi oi unotannoi N
Eivai te^e©v <k. О cruvoXiKoq aptOpoq tcov N olcov tcov to^ecov iooutoi це tt| рт)5£У1кбтт|та тои
T.
УлоОетооце oti dim V=n, Kai еотсо W]=Ker T, W2=Ker T2,..., Wk=Ker Tk. ©ЁтоирЕ Enior]q
m=dim W„ yia i=l,...,k. Ecpooov о T e%ei Seik-ct] k, Wk=V koi Wk.(e V Kai etoi mk.]<mk=n.
Алб то ПрбрХтща 10.14,
£ W2 c ... c wk = V
Елоцеусо<;, це Елаусоут), цлоробцЕ va EntAE^oups pia Раот] {u!,...,un} тои V тетою coote то
’Mm(} va Eivai PM T0U Wr
EniXsyoups тсора pia veo Раот] yia tov V co<; npo<; tt]v оло(а о T va e%ei tt]v Ет0ирт]тт| popcpf|.
0a pag f|Tav PoXiko va ovpPoXiooups та рЁХг| Trig veaq аиттц; Раот|<; ps ^Evyr] Seiktcov. Ag
^EKivf|ooup£ 0Ётоута<;
o(1.4) = u„il+l, o(2, 4) = иЯ1 _|+2, =
Kai
o(l,4- 1) = 7X1,*), v(2,k- l) = Tv(2,k), v(mi-mk_l,k-l) = Tv(mt-mlt_l,k)
Алб то nporjyovpEvo лрбрХт|ра, то
S| ={U| ...,U„4 2Х1Д- 1)....v(mk -mk_hk- 1)}
Eivai EvaypappiKo avE^dprr|TO unocruvoAx) тои Wk.]. EnEKTEivoups to Sj oe pia раот] тои Wk.
! лрооОЁтоутад (eav kotootei avayKaio) veo aroixEia, та onoia оирРоЩоирв ps
o(m*-m*_| + l, 4-1), v(m*-m*_|+2, к - 1), фп*-| - тк-2~ к - 1)
Ztt] ovvExeia ОЁтоорЕ
o(l. к - 2) = Tv(l. к - 1), o(2. к - 2) = То(2, к - 1),
о(шк_[ — к — 2) = 7"o(mt_| — шк_2, к — 1)
Kai naXi, апо то nporiyoopsvo npopXrjpa, то
S2 = {U|,..., «л,,.,. o(l,A - 2),..., o(mt_| - mt_2, к - 2)}
Eivai Eva ypappiKa avE^dprr|To unoovvoAxi too Wk.2, to onoio pnopovpE va EnEKTEivoupE oe
pia Раот] tou Wk-2 прообЁтоутад otoixeio
o(mt_| - mk_2 + 1,4 - 2), o(m*_1 - mt_2 + 2.4 - 2), <>0n*-2 - «*-3.4 - 2)-
LuvExi^ovraq pE tov iSio трбпо, 0a napoupE pia v6a Раот] yia tov V, tt|v onoia yia Xoyouq
EUKoXiaq Si£u0ETOupE ©q акоХоъ0шд:
o(l,4) .... o(m* - m*_|, 4)
o(l,4- 1)....o(mt -m*_It4- 1) ...,o(m*_| -mk_2,k- 1)
o(l. 2), .... v(mk - m*_|. 2).......v(mk- mt_2,2)..............o(m2 - mb 2)
o(l, 1). .... o(m* - т2_|, 1).......О..........................»(m2 “ mi. 0......»(mi. 0
Н TEXfiuraia ypappi] охпpari^Ei pia Раот] тои W ।, oi TEXfiuraiEg Зио урарред oxnpaTi^ouv pia
Раот] тои W2, Kai оитсо ка0е^т]д. Аито opcog лои pag EvSiatpepEi eSco, Eivai oti о T aneiKovi^ei
то ка0Е Siavuopa ото apeocog ало катсо Siavuopa otov nivaKa, f| ото 0 Eav to Siavuopa
PpioKETai ott|v TEXeuraia ypappq. AqXaSq,
.. Yia j>\
Tv(hj) = \ 0 Yta ; = 1
TivETai nXeov cpavEpo [РХепе IlpopXqpa 10.13(8)] oti о T 0a exei tt|v Eni0upqTq popcpf| Eav та
v(i,j) PpioKovTai oe Xe^iKoypacpiKq OEipa: ^EKivcovrag p£ to v(1,1) Kai npoxcopcovrag ott|v
лрсотт| o-cqXq pEXpi то v(l,k), pETanqScbvrag елегго ото v(2,l) Kai npoxcopcovrag ott| Seutept]
o-cqXq ooo рлороирЕ, Kai оитсо KaOe^qg.
EninXeov, 0а unapxouv акрфсод mk-mk_] 8iaycovieg KaTaxcopioeig ra^qg k. 0а unap/ouv,
Enioqg,
(m*_i m*_2) (m* m*-i) 2mi_1 тк тк_2 giaycovieg KaTaxcopioeig тоф]д к-1
2m х - m2 Siaycovieg KaTaxcopioeig Ta^qg 2
2m2 - m, - m3 Siaycovieg KaTaxcopioeig Ta^qg 1
6лcog pnopsi калоюд va SiaKpivEi KaTsu0siav ano tov nivaKa пои Sqpioupyqoaps mo navco.
EuyKSKpipsva, acpou oi apiOpoi m ],... ,mk npooSiopi^ovrai ano tov T, о api0 рос; tcov Siaycbvicov
KaTaxcopioEcov ка0Е Ta^qg enioqg 0a npooSiopi^ETai povaSiKa ano tov T. TeXog, q таитотт|та
snaXqOsuosi oti apcporspoi oi A Kai В Eivai pq8eviKoi p£ Seiktti 3, SqXaSq A3=0 aXXa A2*0,
Kai B3=0 aXXa B2#0. Na Ppeite oe Kavovud] popcpf] тоид pr]8€viKoug nivaKEg MA Kai MB, oi
onoioi Eivai opoioi npog тоид A Kai B, avnoToixa.
Acpou oi A Kai В Eivai prjSfiviKoi p£ 8е!ктг| 3, о Ka0Evag ano тоид MA Kai MB 0a npEnEi va
nEpiExei Eva pt]8evik6 unonivaKa Jordan та^цд 3, Kai Kavsvag ano тоид Suo ps та^т] реуаХитЕрт]
тои 3. ErjpEicbvETai oti rank(A)=2 Kai rank(B)=3, etoi nullity(A)=5-2=3 Kai nullity(B)=5-3=2.
'Etoi, о Ma 0a npEnEi va nEpuxei 3 Siaycovioug unonivaKEg, ano тоид onoioug о svag 0a npEnEi
va Eivai та^т]д 3 Kai oi unoXoinoi Suo та^цд 1, evco о Mb 0a npEnEi va nEpiExei 2 Siaycovioug
10.18. Na anoSei^ere то ©ecbpqpa 10.11 лои асрора tt|v KavoviKq popcpri Jordan yia eva reXeorq T.
Алб то Оесортща лрсотебоиоад anoovv0eor|g, о Т eivai апо<я)у0ёощод ое теХеотёд Ть.. .Тг,
Зг|ХаЗг| Т = Г] ©... © Тг, блои то (/ - Л, )m‘ eivai то еХахюто noXvcbwpo тои Т,. 'Etoi, ov-
укекрщёуа,
(Ti - Xi/)"1 = 0... (Tr- W' = 0
©ётоуре N, = Т,-Х,Т. Тбте, yia i=l,...,r,
Г, = Nt + V- блои N? = о
О Тр SqXaSr], eivai то аОроюра тои РаОрсотоб теХеотт) Х,Т Kai evog pqSeviKOv теХеотт) N„ о
onoiog exei SeiKrq m„ каОсод то (/ - Л( )m' eivai то еХахюто noXvcbwpo тои Т,.
Тсора, ало то ©есортща 10.10 лаусо отоид pqSeviKOvg теХеотёд, pnopovpe va етХё^ооре
pia Раог| ётос сооте о N, va PpioKerai ое KavoviKrj pop<pf|. Ztt] Paor| аитт|, о T^N^XJ avana-
piorarai ало ёуа Зюрерюрёуо Siaycbvio nivaKa М„ oi Siaycbvieg Karaxcopioeig тои олоюи
eivai oi Siaycbvioi nivaKeg Jy. То ev0v аОроюра J tcov mvaKcov М, PpioKerai ое KavoviKq
popcpri Jordan, кас алд то ©есортща 10.5, Оа eivai evag nivaKag-avanapaoraoq тои Т.
0а лрёле1 тсора va Setroupe oti oi vnonivaKeg J(j iKavonoiovv Tig ^qrovpeveg tSiorqTeg. H
iSiorqra (i) npoKvnrei ало то yeyovog oti о N, ёхе1Seiiccq m,. H iSiorqra (ii) aXq0evei, каОсод
oi T Kai J ёхоиу то iSio характтщюпкб noXvcbwpo. Н iSiorqra (iii) aXq0evei, acpov т| pqSevi-
кбтт)та тои N^T.-XJ icovrai pe тт) yecoperpncq лоХХалХбтт)та тт)д iSionpqg X,. ТёХод, т| iSid-
тт)та (iv) алоррёес ало то yeyovog oti oi Т, Kai ара oi N, npooSiopi^ovrai povaSiKa ало tov T.
10.19. Na npooSiopioere oXeg Tig ш0ауёд кауоУ1кёд рорсрёд Jordan, J, yia ёуа ypappiKd reXeorq
T: V->V, tov onoiov то хорюслщюпкб noXvcbwpo eivai to A(t)=(t-2)2Kai то еХахюто no-
Xvcbwpo eivai to m(t)=(t-2)2.
О J 0a прёпе1 va eivai evag 5x5 nivaKag, каОсод то A(t) ёхе1 РаОрб 5, evcb бХа та Siaycbvia
OTOixeia 0a прёпе1 va eivai 2, каОсод то 2 eivai r| povaSiKf| iSionpq. EninXdov, ecpooov о ек0ё-
rqg tov t-2 ото m(t) eivai to 2, evag vnonivaKag Jordan tov J 0a np6nei va eivai ra^qg 2, Kai oi
vnoXoinoi 0a np6nei va eivai ra^qg 2 f| 1. Enopevcog vnapxovv povo Svo evSexdpeva:
J = diagQ2 J], [2 I]. [2]) q J = diagQ2 J], [2]. [2], [2])
10.20. Na npooSiopioere oXeg Tig ni0av6g KavoviK6g рорсрёд Jordan yia ёуа ypappiKd reXeorq
T: V->V, то характг|рют1кд noXvcbwpo tov onoiov eivai to A(t)=(t-2)3(t-5)2. Lrqv ка0е nepi-
nrcoori, va Ppeire то еХахюто noXvcbwpo m(t).
Ecpooov ro t-2 ёхе1 ек0ётг| то 3 A(t), то 2 0a прёпес va epcpavi^erai rpeig срорёд on) Siaycbvio.
'Opoia, ro 5 0a прёпе1 va epcpavi^erai Svo срорёд. Епорёусод vnapxovv ё^1 evSexdpeva:
(a) diag
(У) diag([2 ‘}], [2], [5 J]), (<5) diag( 2 [2]. [5]. [5]).
(e) diag([2], [2], [2], [5 J]), (or) diag([2], [2], [2]. [5], [5])
О EK0erqg ото ЕХахюто noXvcbwpo m(t) юобта1 це то реуебод тои peyaXvTEpov ололсуака.
Evvencbg:
(a) m(t) = (t- 2)3(t - 5)2, (/7) m(t) = (t - 2)3(r - 5). (у) m(/) = (t — 2)\t - 5)2,
(<5) m(r) = (t - 2)2(r - 5), (£) m(t) = (t- 2\t - 5)2, (ar) m(r) = (t - 2)(r - 5)
ХПРОЕ-ПНЛ1КО KAI KANONIKH МОРФН
10.21. 'Еотсо о W evag илохсород evog 6iawopaTiKov xcbpov V. Na dei^exe ота та ларакатсо Eivai
iao6vvapa:
(i) ue v+W, (ii) u-ve W, (iii) ve u+W.
Eav илоОёооирЕ oti ue v+W, tote 0a иларх£1 eva woe W тетою сооте u=v+w0, олоте
u-v=woe W. AvrioTpocpa, ълоЭётоутад oti u-ve W, tote u-v=w0, блои woe W. Apa u=v+woe W,
Kai cog ек tovtov та (i) Kai (ii) Eivai ioo6vvapa.
'Exovpe enioqg oti u-ve W Eav Kai povo Eav -(u-v)=v-ue W, Eav Kai pdvo Eav ve u+W.
'Etoi, та (ii) Kai (iii) Eivai Enioqg ioo6vvapa.
10.22. Na алобЕ^ЕТЕ то e^qg: Та илообуоХа тои W otov V Siaonovv tov V oe apoiPaia E^ap0pcop£va
ovvoXa, 6qXa6q:
(а) Onoia6qnoTE 6vo vnoovvoXa u+W Kai v+W, Eivai eite TavTooqpa eite E^apOpcopEva.
(P) Ka0E ve V avf|KEi oe sva vnoavvoXo. Ztt|v лраурат1кбтт|та, ve v+W.
Ел1лрбо0Ета, u+W=v+W Eav Kai pdvo Eav u-ve W, Kai etoi (v+w)+W=v+W yia onoio6qnoTE
weW.
'Еотсо ve V. KaOcbg Oe W, exovpe v=v+0e v+W, то олою оло5е1ку6е1 to (P).
УлоОЁтоирЕ тсора oti та vnoovvoXa u+W koi v+W 5ev Eivai E^apOpcopsva. Tia napa5eiypa,
то 6iawopa x avf|KEi TavToxpova ота u+W Kai v+W. Tote u-xe W Kai x-ve W. H anddet^q
тои (a) oXoKXi|pcbv£Tai Eav алобЕ^оирЕ oti u+W=v+W. 'Еотсо to u+w0 Eva onoio6qnoTE otoixeio
ото vnoavvoXo u+W. Ecpooov та u-x, x-v, w0 avqKOvv otov W,
(u + w0) - о = (u - x) + (x -1>) + w0 e W
Enopevcog u+woe v+W, Kai ара то vnoavvoXo u+W nEpiexETai ото vnoavvoXo v+W. 'Opoia,
TO V+W ЛЕр1£ХЕТа1 ото u+W, олдтЕ u+W=v+W.
H TEXEUTaia 6qXcooq npoKvnxei алд то yeyovog oti u+W=v+W Eav koi pdvo Eav ue v+W
кар ало то npdpXqpa 10.21, аито Eivai ioo6vvapo p£ to u-ve W.
10.23. 'Еотсо W о xcbpog Xvoecov rqg opoysvovg e^iocooqg 2x+3y+4z=0. Na лериуртрЕте та vnoovvoXa
той W otov R3.
О W Eivai sva ле6ю бюрвоои rqg apxqg tcov a^dvcov 0=(0,0,0), evco та vnoovvoXa той W
Eivai та лЕб1а лои Eivai лapdXXqXa лрод то W. Iao6vvapa, та илообуоХа той W Eivai та
ouvoXa Xuoecov Tqg oiKoyeveiag e^iocooecov
2x+3y+4z=0, ke R
Lcqv npaypaTiKOxqTa, то илооиуоХо v+W, блои v=(a,b,c) Eivai to ovvoXo Xvoecov Tqg ypappiKqg
E^iocooqg
2x+3y+4z=2a+3b+4c q 2(x-a)+3(y-b)+4(z-c)=0
10.24. Yno06TOvra; oti о W eivai eva; vnoxcbpo; evo; 5iawapaTiKOv xcopov V, va берете oti oi
правей; ото ©есортща 10.15 eivai епарксо; орюрёуе;. EvyKeKpipeva, va берете oti eav
u+W=u'+W Kai v+W=v'+W, тбте:
(a) (u+v)+W=(u'+v')+W Kai (0) ku+W=ku'+W yia олоюбт|лоте keK
(a) Acpov u+W=u'+W Kai v+W=v'+W, арсрбтера та u-u' Kai v-v' 0a avf|K0vv otov W.
Тбте, opco;, (u+v)—(u'+v')=(u—u')+(v—v')e W. Evvencb; (u+v)+W=(u'+v')+W.
(0) EninXeov, ка0со; то u-u'eW ovvenayeTai oti k(u-u')eW, тбте ku-ku'=k(u-u')eW.
Ката avveneia, ku+W=ku'+W.
10.25. 'Еатсо о V ёуа; 6iavvapaTiKoq xcbpo; Ktn ° W eva; vnoxcbpo; tov V. Na берете oti tj <pvoiKr|
aneiKovicrr] n: V->V/W, лоо opi^eTai алб tt|v n(v)=v+W, eivai урарриа).
Tia оло1абт|лоте u,ve V Kai олоюбт|лоте ke K, exovpe
n(u+v)=u+v+W=u+W+v+W=n(u)+n(v)
Kai
n(kv)=kv+W=k(v+W)=kn(v)
Evpnepaivovpe, Xotnov, oti tj n eivai урарриа).
10.26. 'Еотсо о W eva<; vnoxcbpo; evo; 6iawopaTiK0v xcopov V. Yпо0ётооре, eniori;, oti то {w ।,... ,wr}
eivai pia 0aor| tov W Kai oti to ovvoXo vnoavvoAxov {v,,...,vf}, олоо то vy = vy + W eivai
pia 0aor| tov xcbpov-nr|XiKOv. Na берете oti to ovvoXo 6iawopaTC0v B={V|,...,vs,W|,...,wr}
eivai pia 0aor| tov V. Епорёусо; dim V=dim W+dim(V/W).
УлоОётоуре oti ue V. Acpov to } eivai pia 0aor| tov V/W,
й = u + IF = + a2v2 + ... + a,v,
Apa u=a|V|+...+asvs+w, onov we W. Acpov to {w,} eivai pia 0aor| tov W,
u = ai V| +... + a,v, + +... + brwr
Ката оууёлею, то В napayei tov V.
0а 6ei£ovpe тсора oti то В eivai ypappiKa ауе^артт]то. Улобётооре oti
quj +... + c,v, + +... + drwr = 0 (I)
Тбте q»! +... + сД = 6 = W
Acpov to {y7} eivai ave^aprqTO, 6Xa та c 0a eivai 0. AvriKaOiOTcbvra; ott]v (1), 0pioKOvpe
d|W|+...+drwr=0. 'Opoia, acpov to {w,} eivai ave^dprriTO, 6Xa та d 0a eivai 0. Evvencb; то В
eivai ypappiKa ауе^артт]то, Kai co; ек tovtov eivai pia 0асл] tov V.
10.27. Na алобе^ете то ©ecbprjpa 10.16: УлоОётооре oti о W eivai eva; олохсоро; отаОерб; vno
6va ypappiKo теХеатт| T: V->V. Тбте о Т ешсрёрес ёуа ypappiKo теХеотт] f otov V/W nov
optical ano tt|v f (v+W)=T(v)+W. ЕпшХёоу, eav о T eivai ёуа pi|6eviK6 evo; опоюобт]лоте
noXvcovvpov, тбте то i6io 0a eivai Kai о T . Епорёусо; то еХахюто noXvcbwpo tov f 5iaipei
то еХахюто noXvcbwpo tov T.
0а Seifpvpe катарутр oti о т Eivai еларксЬд opiopcvog, SqXaSq eav u+W=v+W, tote
j7(u+W)= f (v+W). Eav u+W=v+W, tote u-veW Kai, acpov о W sivai Т-отабврод,
T(u-v)=T(u)-T(v)e W.'Etch,
T(u + W) = T(u) + W = T(t>) + W = T(t> + FF)
олсод ^qTovoapE.
Ltt| aovEXEia 9a Sei^ovpE oti о f sivai урацщкод. 'Exovpe
Т((и + jy) + („ + JF)) = f(u + v + = T(u + u) + W = T(u) + T(t>) + W
= T(u) + W + T(v) + W = T(u + W) + T(y + W)
ЕлшрбоОбта
T(k(u + FF)) = Щи + FF) = Цки) + FF = Щи) + FF = k(T(u) + FF) = kt(u + FF)
Lvvencbgo 7 sivai урацщкод.
Тсора, yia onoioSqnoTE vnoavvoXo u+W otov V/W,
P(u + FF) = T2(u) + FF = Г(Г(и)) + FF = T(T(u) + FF) = Г(Г(и + FF)) = Г2(и + FF)
Enopevcog = 72. 'Opoia, _ f" yia onoioSqnoTE n. Apa Xoinov, yia onoioSqnoTE
лоХисоуицо
f(t) = a„e + ... + ао = Ео/
7(fj(u + FF) =/(TXu) + W = Ea,r(u) + FF = '£al(Tl(u) + FF)
= E О/Йи + W) = E aj*(u + FF) = (E a,F)(u + FF) =f(T)(u + FF)
Kai etoi f(t) = f(T)- Ката ovvfnEia, Eav о T sivai ц1а pi£a tov f(t) tote
f(t) = 0 = IV = f (f), SqXaSq 0 7 Eivai Enioqg pia pi£a tov f(t).
'Etoi to 9scbpqpa anoSsixTqKE.
10.28. Na ало8£1^£Т£ то ©Есортща 10.1:'ЕотсооТ: V->V Evagурацщкод тЕХЕотдд, то характт)рют1к6
лоХисоуицо tov onoiov avaXvETai ое ypappiKa noXvcbwpo.. Тоте о V Eyei pia Paoq ott]v
onoia о Т avanapioTcrcai ano eva TpiycoviKO nivaKa.
Н anoSsi^q yivETai це Епаусоуг) navco orq SiaoTaoq tov V. Eav dim V=1, tote каве nivaKag-
ауапараотаот) tov T sivai svag 1 x 1 nivaKag, 0 onoiog sivai TpiycoviKog.
УпобетоуцЕ тсора oti dim V=n> 1 koi oti to бвсортща laxvsiyia xcbpovg Siaoraoqg щкротврцд
tov n. Ecpooov to xapciKTTipiOTiKO noXvcbwpo tov T avaXvETai os урацщка поХиа^ца, о T
9а exei TOvXaxiOTOv ща 18ют1щг|, Kai ара TovXaxioTov sva pq-pqSsviKO iSioSiawopa v, yia
napaSsiypa T(v)=a] ] v. 'Еотсо W 0 povoSiaoraTog vnoxcbpog nov napaysTai ano to v. ©Ётоусад
jz=V/W, tote (IlpopXqpa 10.26) dim j7=dim V-dim W=n-1. EqpsicbvETai Enioqg oti 0 W
sivai отаЭврод vno tov T. Ano to ©scbpqpa 10.16, о T Enicpspsi Eva ypappuco teXeott] 7 orov
у , tov onoiov to xapaKrqpioriKO noXvcbwpo Siaipsi to sXaxioro noXvcbwpo tov T. KaOcbg
to xapciKTqpioTiKO noXvcbwpo tov T sivai sva yivopevo ypappiKcbv noXvcowpcov, to iSio 9a
sivai Kai то еХахюто noXvcbwpo tov, koi cog ek tovtov koi to еХахюто Kai то харакпрютисб
noXvcbwpo tov f. Enopsvcog 01 у Kai 7 ucavonoiovv Tqv vn69£oq tov 9£сорт|ратод. 'Etoi,
ps snaycoyq, 0а vndpxei pia Paoq {v2v„} тои у тетою coots
Г(г2) = auv2
Г(5з) = а32й2 + <я33й3
T(j>n) = ая2б„ + + ... + ат»„
'Еотсо, тсора, та v2,...,vn oTOixsia тои V лои avqKovv ота илообуоХа v2,...,vn, avTioToixa.
Tote то {v,v2,...,vn} sivai pia Paoq тои V (IlpdpXqpa 10.26). Ecpooov Т2 = a22v2, sxovps
Т(у2) - = о, Kai etoi t(v2) - a22v2 e W
О W, соотбоо, napayETai ало то v, ара то T(v2)-a22v2 Eivai eva noXXanXaoio тои v. Гю
napaSsvypa,
T(v2) - aj2V2 = a2|U, Kai ETOI T(y2) = a2iv + a22v2
'Opoia, yia i=3,...,n,
Г(и() - aai>2 - aav3 - ... - a„Vi € Kai ETOI Г(и() = a(1u + <Jav2 + ... + a„vt
Enopevcog
T(i>) = flnu
Г(и2) = <j21i> + <j22v2
T(t>„) = W + a„2u2 + ... + amv„
Kai ара о nivaKag тои T отт| Paoq avrq sivai тргуамкод.
KYKAIKOI YIIOXQPOI, PHTH KANONIKH МОРФН
10.29. Na anoSsi^STS то ©scbpqpa 10.12:'Еотсо о Z(v,T) svag Т-кикХисод илохсород, Tv о перюрюрод
тои Т otov Z(v,T) Kai mv(t)=tk+ak_1tk',+...+a0 о T-pqSsviorqg тои v. Tote:
(i) To ovvoXo {v, T(v),..., Tk-1(v)} sivai pia pdor| tov Z(v,T), apa dim Z(v,T)=k.
(ii) To бХахюто noXvcbwpo tov Tv sivai to mv(t).
(iii) О nivaKag tov Tv ott|v napanavco Paoq sivai о ovvoSsvTiKog nivaKag C=C(mv) tov
mv(t) [o onoiog sxsi oroixsia 1 катсо and tt| Siaycbvio, Tovg apvqTiKovg tcov owteXeotcov
ao,ab.. .ak_] tov mv(t) orqv твХеЬтаса GTqXq, koi pqSsviKa aXXov].
(i) And tov opiopo tov mv(t), To Tk(v) sivai то прсото Siawopa ovqv aKoXov0ia v, T(v),
T2(v),..., to onoio sivai evag ypappiKog ovvSvaopog tcov SiawapaTCOv ekeivcov nov
npoqyovvrai tov Tk(v) OTqv aKoXov0ia. Apa to ovvoXo B={v, T(v),..., Tk“’(v)} sivai
ypappiKa avs^apTqTO. ApKsi тсора anXa va SsiEpvps oti Z(v,T)=L(B), q ypappiKq sns-
Kraoq tov B. And та napanavco, Tk(v)eL(B). 0a anoSsi^ovps snaycoyiKa oti Tn(v)-
e L(B) yia Kd0s n. YnoOsTovps oti n>k Kai Tn l(v)e L(B), SqXaSq to Tn-I(v) sivai svag
ypappiKog ovvSvaopog tcov v,...,Tk-l(v). Tots to Tn(v)=T(Tn-1(v)) sivai svag ypappi-
код ovvSvaopog tcov T(v),.. ,,Tk(v). 'Opcog Tk(v)e L(B), snopsvcog Tn(v)e L(B) yia ка0в
n. Ката ovvsnsia, f(T)(v)e L(B) yia onoioSqnoTE noXvcbwpo f(t). ZvpnspaopaTiKd
Z(v,T)=L(B), koi etoi то В sivai pia Paoq, oncog Ka0opi£si to Oscbpqpa.
(ii ) YnoOsTovps oti to m(t)=ts+bs_1ts-1+.. ,+b0 sivai то вХахюто noXvcbwpo tov Tv. Tots,
acpov vg Z(v,T),
0 = m(T„)(U) = m(FXv) = Ho) + b,_} r~\v) + ... + bov
Apa to T^v) eivai evac;ypappiKOc; ovvSvaopoc; tcov co, T(co),..Ts-1 (v), Kai enopdvcoc;
k<s. 'Opcoc;, mv(T)=0 Kai ётси mv(Tv)=0. Тбте то m(t) Siaipei to mv(t), Kai ётсн s<k.
Ката ovvdneia, k=s Kai apa mv(t)=m(t).
r,(v) = T(v)
Wv)) = ^(t,)
(iii ) r„(T*-2(u)) =
7'd(7'*-’(i>)) = T*(u) = -aou-a1T(u)-a2r2(u)...-a4_1T*-,(v)
E£’ opiopov, о nivaKac; too Tv orq Paoq avrq eivai о avacnpocpoc; too nivaKa
ovvTeXeoTcbv too napanavco ovoTqpaToc; e^iocboecov, apa eivai о С, oncoc; ^qrovoape.
10.30. 'Еотсо oti о T: V-> V eivai ypappiKOc;. 'Eotco, enioqc;, о W dvac; Т-отаОербс; vnoxcbpoc; tov V Kai
о T о TeXeoTqc; V/W nov enupdpei о T. Na апобе^ете oti:
(a) О T-pqSevioTqc; tov vg V Siaipei то еХахюто noXvcbwpo tov T.
(P) О T -pqSevioTqc; tov v e V/W Siaipei то еХахюто noXvcbwpo tov T.
(a) О T-pqSeviorqc; tov vg V eivai то еХахюто noXvcbwpo tov nepiopiopov tov T otov
Z(v,T), Kai coc; ек tovtov, and то ПрбрХт|ра 10.16, Siaipei то еХахюто noXvcbwpo tov T.
(P) О T -pqSevioTqc; tov v g V/W Siaipei то еХахюто noXvcbwpo tov f, to onoio pe rq
oeipa tov Siaipei то еХахюто noXvcbwpo tov T, ano to ©ecbpqpa 10.16.
naparqpqoq: Erqv nepinrcooq onov то еХахюто noXvcbwpo tov T eivai to f(t)n, onov to f(t) eivai
dva KavoviKonoiqcnpo apeicoTO noXvcbwpo, о T-pqSeviOTqc; tov vgV Kai о f -pqSevierrqc; tov
v g V/W 0a eivai rqc; popcpqc; f(t)m, onov m<n.
10.31. Na апобе^ете to Aqppa 10.13: 'Еотсо о T: V->V dvaq ypappiKOc; теХеотт|<; tov onoiov to
XapaKrqpioTiKO noXvcbwpo eivai to f(t)n, onov to f(t) eivai dva KavoviKonoiqoipo apeicoTO
noXvcbwpo. Тбте о Veivai то evOv аброюра T-kvkXikcov vnoxcbpcov Z =Z(v„T), i=l,.. .,r, pe
avTioToixovc; T-pqSevioTdc; та
....п = п} >n2> ... >nr
OnoiaSqnoTe aXXq anoovvOeoq tov V oe T-kvkXikovc; vnoxcbpovc; 0a ёх£1 tov iSio apiOpo
ovviotcoocov Kai to iSio ovvoXo T-pq5evioTcbv.
H anoSei^q 0a yivei pe enaycoyq navco orq Siaoraoq tov V. Eav dim V=l, тбте о iSioc; о V
eivai T-kvkXikoc; Kai to Xqppa ioxvei. УпоОётооре тсора oti dim V>1 Kai oti to Xqppa ioxvei
yia tovc; SiawapaTiKOVc; xcbpovc; nov dxovv SiaoTaoq piKpoTepq and eKeivq tov V.
Ecpooov то еХахюто noXvcbwpo tov T eivai to f(t)n, vnapxEi dva v^ V тётою сооте f(T)n-
(V|)#0, ара о T-pqSeviorqc; tov V] eivai to f(t)n. 'Eotco Z|=(vbT). YnevOvpi^eTai oti о Z, eivai
Т-отаОербс;. 'Еотсо, enioqc;, К = V/Zt Kai T о ypappiKOc; TeXeoTqc; otov V tov onoio enupdpei
о T. And то ©ecbpqpa 10.16, то еХахюто noXvcbwpo tov T Siaipei to f(t)n, опбте q vnoOeoq
ioxvei yia tovc; V Kai T Evvencbc;, pe enaycoyq, о V eivai to evOv аОроюра T -kvkXikcov
vnoxcbpcov,. Tia napaSeiypa,
Й = 7(р2,7)ф...ф7(рг,7)
onov oi avxioxoixoi T -pTjSevioxec; eivai xa , n > n2>...> nr.
loxvpi^opaoxe oxi vnapxei eva Siawopa v2 oxo vnoovvoXo v2 xov onoiov о T-pr|8evioxT|<;
eivai xo f(t)"2,o T -pr|8evioxf|<; xov v2. Eav xo w eivai eva onoioSrjnoxe Siawopa oxo v2,
xoxe f (ТУ1 (w)Zt. Enopevcoc; 0a vnapxei eva noXvcbwpo g(t) yia xo onoio
/(D',2(H') = g(D(v1) (1)
Ecpooov xo f(t)n eivai xo eXaxioxo noXvcbwpo xov T, exovpe, ano xt|v (1),
О=/(Г)"(и-)=/(Г)"-"’?(ГХ«1)
'Opcoc; xo f(t)n eivai о T-pr)8evioxr|(; xov vb apa xo f(t)n Siaipei xo f(t)n~ni, Kai exei
g(0 = f(ty2 h(t) yia капою noXvcbwpo h(t). ©exovpe
v2=w-h(T)(V])
KaOcbc; w-v2=h(T)(v1)eZ1, xo v2 0a avrpcei enior^ oxo vnoovvoXo v2. Evvencbc; о T-px]8evi-
oxr|<; xov v2 0a eivai eva поХХапХаою xov f -px]8evioxr| xov v2. Ano xt|v aXXx], ano xt|v (1),
ЛП>2) =fmw - Л(ГХМ) = Aiy(w)-^»!) = 0
Kaxa ovveneia о T-pT|8evioxr|<; xov v2 eivai xo f (t)"2, oncoc; юхррюхцкаре.
'Opoia, 0a vnapxovv Siavvopaxa v3,.. .,vre V xexoia cboxe v, e v, Kai о T-px]8eviaxr|(; xov v,
va eivai xo , о f -px]8eviaxr|(; xov v,. ©exovpe
Z1=Z{v1.T)......... Zr = Z(vr,T)
ZvpPoXi^ovxac; pe d xo Pa0p6 xov f(t), xo f(t)n' 0a e%ei Pa0p6 dnr Toxe, acpov xo eivai
xavxoxpova о T-px]8evioxT|(; xov v, Kai о T -pr|8evioxT|<; xov v(, yvcopi^ovpe oxi xa
1«(.Ц»()..Г41'-1^)) Kai {р(.7(оЭ..Г4-"'^))
eivai раоек; yia xovc; Z(vbT) ка Z(vltT) avxioxoi%a, yia i=2,...,r. 'Opcoc;
V =Z(v2,T)®...®Z(vr,T), apa xo
to....r4”-1^)......T^U))
eivai pia paor| yia xov у . Enopevcoc;, ano xo ПрорХдра 10.26 Kai xt| o%eor| T‘ (v) = T' (v)
(PXene ПрорХдра 10.27), т)
(«1...r4,|'1(«i). t>2........... vr....Г41'-1^)}
eivai pia Paor| yia xov V. Evvencbc;, ano xo ©ecbprjpa 10.4, V = Z(v,, T) ®® Z(vr, T) , oncoc;
^rjxovoape.
AnogEVEi тсора va SEi^oupE oti oi ек0ёте<; n ।,... ,nr npooSiopi^ovrai povaSuca ало tov T. Ecpooov
d = о Pa0p6<; too f(t),
dim V = d(nt + ... + nr) Kai dimZ, = Л1„ i=l,...,r
Etuot)(j, Eav to s Eivai eva<; олоюо6г|лот£ Oetiko^ акЁраю^, tote (IlpopXqpa 10.59) о f(T)s(Z,)
Eivai even; kukXiko^ илохсород лои лараувта! ало то f(T)s(v,), Kai exei Siaoraoq d(n,-s) Eav
n(>s Kai Siaoraoq 0 Eav n<s.
Тсора оло1оЗг|лоте Siavuopa vg V рлорЕ1 va ypacpTEi povaSiKa orr] popcprj v=W|+...+wr,
блои w,G Z,. ЕлорЁУСо^ олою5г|лоте Siavuopa otov f(T)s(V) рлорЕ( va ypacpTEi povaSuca orq
popcpri
ww +... +/(гую
блои f(T)s(w()G f(T)s(ZI). Eav to t Eivai о E£aprqp6vo<; алб то s акЁраю<; yia tov олою
tote
Л] > S....... nt> s, л,+1 > s
ЖУ(У) =f(TKZx) ф... ©/(№,)
Kai etoi
<М/(7У(Ю] = <4(л, - s) +... + (n, - $)]
(2)
Oi apiOpoi ота арютЕра rq<; (2) npooSiopi^ovrai povaSuca алб tov T. ©ЁтоирЕ s=n-l, ЁТ01
сооте r| (2) va npooSiopi^Ei tov api0pd tcov n; ioo pE n. Zrq ouv6xeia ©ЁтоирЕ s=n-2, ЁТ01 сооте
r| (2) va npooSiopi^Ei tov apiOpo tcov n, (Eav илархоиу) ioo pE n-1. EnavaXapPavoupE rq
SiaSiKaoia p6xpi va ОЁооирЕ s=0 yia va лрообюрюоирв tov apiOpo tcov n( ioio p£ 1. Ката
оиуЁлЕш та П| npooSiopi^ovrai povaSiKa алб тои<; Т Kai V, Kai то Xqppa алобв^хпкЕ.
10.32. 'Еотсо о V sva^ 7-8idoraTO<; SiavuopariKO^ x“P°9 navco ото R, Kai Ёотсо о T: V-> sva^ ypappiKog
teXeottii; pE ЕХахюто лоХисоуиро to m(t)=(t2-2t+5)(t-3)3. Na Ppeite 6Xe<; ti<; 8иуатЁ<; pqr6<;
KavoviKq рорсрЁ^ M тои Т.
То aOpoiopa tcov ra^scov tcov ouvoSeutikcov лсуаксоу лрЁл£1 va Eivai p6xpi 7. Enioqg, Ёуа<;
ouvo8eutik6(J л1уака<; 0a лрЁлЕ1 va Eivai о C(t2-2t+5) Kai 6va<; aXXo<; о C((t-3)3)=
C(t3-9t2+27t-27). 'Etoi, о M 0a лрЁлЕ1 va Eivai sva^ алб rou<; £^q<; 8iapspiop6vou<; Siaycovioug
7rivaK£^:
(rt *“*[[? ’2} [i ? -”]•и PI
ПРОВОАЕЕ
10.33. Eav V = W\® ...®Wr, tote q лроРоХг] тои V otov илохсоро тои, Wk, Eivai о р£таохлратюрб<;
E: V->V лои opi^Erai алб rqv E(v)=wk, блои v=W|+...+wr, w,G W,. Na Sei^ete oti: (а) о E
eivai ypappucog, (P) E2=E.
(a) Ecpooov то аброюра v=w1+...+wr, w.eW лрооЗсорс^етас povaSuca ало то v, о
ретаахт|ратюр6<; E eivai еларксод opiopevog. Улобётоире oti, yia ue V, u=w' j+.. .+w'r,
w',e W,. Тбте та
и + и = (и»! + м/J + ... + (wr + Н^.) Kai kv = kwx +... + kwr, kwl,wi + -*/ie Wt
eivai та povaSuca абросората лои ovtcotocxouv ста v+u Kai kv. Apa
E(v + u) = w* + = E(v) + E(u) Kai E(kv) = kwk + kE(v)
Kai елорёусод о E eivai ypappiKog.
(P) 'E%oupe oti to
wk=0+.. ,+0+wk+0+.. .+0
eivai to povaSiKO аброюра лои avTcoTocxei ото wkeWk, олоте E(wk)=wk. Тбте, yia
олосо8г|лоте ve V,
E\v) = E(E(y)) = E(w*) = wk = E(u)
Еиуелсод E2=E, олсод ^qTouoape.
10.34. Улобёоте oti о E: V->V ecvac ypappucog Kai E2=E. Na Зес^ете oti: (a) E(u)=u yia олосо8г|лоте
ue Im E, 8qXa8q о лерюрюрбд тои Е orqv eiKova тои eivai о таитотисбд ретаохлмояитрод.
(Р) О V eivai то еиби аброюра rqg eiKovag Kai той Tcvpqva той Е: V=Im Еф Ker Е. (у) О Е
eivai q лроРоХг) той V orqv Im Е, rqv eiKova той. Enopevcog, ало то npoqyoupevo лрбрХлра,
evag ураррисбд ретаохлратюрбд Т: V->V eivai лроРоХл eav Kai povo eav T2=T. H iSidvqTa
auvf] piag лроРоХлд хРЛ°Ф07С01е1га1 auxva cog opiopdg rqg.
(a) Eav ue Im E, тбте илархес eva ve Ve yia то оло1о E(v)=u.
Enopevcog, олсод ^qrouoape,
E(u)=E(E(v)=E2(v)=E(v)=u
(P) 'Eotco veV. Млороире va ypavpoupe то v orq popcpq v=E(v)4-v-E(v). Tcbpa E(v)e
Im E, Kai ecpooov
E(v-E(v))=E(v)-E2(v)=E(v)-E(v)=0
v-E(v)e Ker E. Ката оиуёлеса, V=Im E4-Ker E.
Улобётоире тсора oti we Im E n Ker E. Алб то (a), E(w)=w елес8г| we Im E. Алб rqv
aXXq, E(w)=0 елес8г| we Ker E. Еиуелсод w=0, кас ётос Im EnKer E={0}. Oc Suo
аитёд ouv6qKeg ouvenayovrac отс о V eivac то еиби аброюра rqg ecKovag кас тоид
nvpqva той Е.
(у) 'Еотсо ve V кас v=v4-w, блои ue Im Е кас we Ker Е. Eqpeccbverac отс, ало то (а), Е(и)=и
кас E(w)=0 елесЗл we Ker Е. Ара
E(v)=E(u4-w)=E(u)4-E(w)=u4-0=u
О Е, SqXaSq, eivac q лроРоХг| той V orqv ecKdva той.
10.35. Упобёоте oti V=U ф W Kai oti о T: V*> V eivai урацщкод. Na берете oti oi арсротерт U Kai
W eivai T-crraOepoi eav Kai povo eav TE=ET, блои о E eivai т| лроРоХт] тои V otov U.
Паратт|роире oti E(v)gU yia кабе vgV, Kai oti (i) E(v)=v eav Kai povo eav vgU,
(ii) E(v)=0 eav Kai povo eav vg W. Улобётоире oti ET=TE, Kai еотсо ug U. Etpdoov E(u)=u,
T(u)=T(E(u))=(TE)(u)=(ET)(u)=E(T(u))gU
'Etoi о U eivai T-otaOEpoq. 'Еотсо тсора wg W. Etpdoov E(w)=0,
E(T(w))=(ET)(w)=(TE)(w)=T(E(w))=T(0)=0, кш ёто1 T(w)g W
'Etoi о W eivai enioqg Т-атавЕрдд.
AvrioTpotpa, илобётоире oti арсротерт oi U Kai V eivai T-aradEpoi. 'Еотсо, enioqg, vg V Kai
v=u+w, onou ug T Kai wg W. Тоте T(u)g U Kai T(w)g W, Kai apa E(T(u))=T(u) Kai E(T(w))=0.
Епорёусод
(ET)(v)=(ET)(u+w)=(ET)(u)+(ET)(w)=E(T(u))+E(T(w))=T(u)
Kai (TE)(v)=(TE)(u+w)=T(E(u+w))=T(u)
AqXa6q, (ET)(v)=(TE)(v) yia кабе vg V, Kai cog ек тобтои ET=TE, oncog ^qTouoape.
AAYTA ПРОВЛНМАТА
ETAOEPOI YnOXOPOI
10.36. Упобётоутад oti о W eivai отаберод uno tov T: V->V, va берете oti eivai enioqg отаберод
uno tov f(T), yia оло1обт|лоте noXucbvupo f(t).
10.37. Na берете oti кабе unoxcbpog тои V eivai отабербд ило тоид I Kai 0, tov таитопко Kai то
pq6eviKO теХеотт).
10.38. 'Еотсо otioWeivaiотабербдилотоидТ(: V->VKaiT2: V*>V.Na апобе^ете oti eivai enioqg
отабербд ило тоид Т,+Т2 Kai Т|Т2.
10.39. 'Еотсо oti о Т: V->V eivai ypappiKog. Na апобеНдете oti олошобтроте i6io%copog Ex eivai
Т-отавЕрдс;.
10.40. 'Еотсо о V ёуад 6iavuopaTiKog хсород nepiTrqg 6iaoTaoqg (peyaXuTepqg тои 1) navco ото
лрауратскб лебю R. Na беУдете oti олоюобт|лоте ypappiKog теХеотт|д orov V ё%е1 ёуа отаберо
ило%соро, лёрау тои V q тои {0}.
10.41. ©есорсоутад tov А = j eva ypappuco теХеотт) otov (i) R2, (ii) C2, va лрообюр(оете то
отаберо ило%соро too.
10.42. Улобётоутад oti dim V=n, va беИдете oti о T: V*> V ёхЕ1 ёуа TpiycoviKO nivaKa-avanapaoTaoq
eav Kai povo eav unapxouv Т-отаберо1 unoxcbpoi W} c JV2 c... c Wn yia тоид onoioug dim
Wk=k, k=l,...,n.
LTA0EPA EY0EA A0POIEMATA
10.43. Oi vnoxcbpoi W],...,Wr Xsyovrai avE^aprqToi eav r| W]+...+wr=0, w,gW„ avvEnayeTai oti
ка0е w =0. NaSevere oti spanfW,) = JVt Ф...Ф Wr Eav Kai pdvo Eav oi W, Eivai avE^dprqToi.
[EScb to span(WI) ovpPoXi^Ei тт) ypappncq enEKTaoq tcov W,.]
10.44. Na Severe oti V = Wx Ф...Ф Wr eav Kai pdvo Eav: (i) V=span(WI) Kai (ii) yia k=l,2,...,r,
Wk n span{Wx,..., Wk_,, JVk+l,..., Wr) = {0}.
10.45. NaSevere oti span(W\) = Ф...Ф Wr EavKaipdvo eavdim[(span(W1)]=dim Wj+..,+dim Wr.
10.46. УлобЕотЕ on то характт|рют1ко noXvcbwpo tov T: V->V Eivai to A(t)= j\ (t)n' f2 (t)"2 ...fr (t)n',
onov та f,(t) Eivai SiaKeKpipeva KavoviKonoiqoipa арЕкота noXvcbwpa. 'Еотсо, enioqg,
V = W\ Ф ...Ф Wr r| npcoTEvovoa anoovv0Eoq tov V oe Т-ота0еройд vnoxcbpovg. Na 5ei^ete
oti to f (t)n‘ Eivai то характт|р1от1ко noXvcbwpo tov nEpiopiopov tov T oto Wi.
MHAENIKOI ТЕЛЕЕТЕЕ
10.47. Yno0£OTE oti oi Tj Kai T2 Eivai pqSeviKoi teXeote^ nov avTiperaTiOevTai, SqXaSq TiT2=T2T].
Na берете oti oi Tj+T2 Kai T]T2 Eivai Eniorig pqSeviKoi.
10.48. Yno0£OTE oti о A Eivai evag vnEpSiaycbviog nivaKag, svag nivaKag SqXaSq tov onoiov dXcg oi
KaTaxcopioEig оттр Kvpia Siaycbvio Kai катсо and avcr| Eivai 0. Na Sei^ete oti о A Eivai pqSeviKog.
10.49. 'Еотсо V о SiawopaTiKog x<bpog noXvcovvpcov Pa0pov <n. Na Severe oti о TeXEOTqg-napaycoyog
otov V Eivai pqSeviKog pE 8eIktt| n+1.
10.50. Na Severe oti onoiooSqnoTe pqSeviKog Siapepiopevog nivaKag Jordan, N, Eivai opoiog pE tov
avaoTpocpo tov, Nt (tov nivaKa pE oroixeia 1 катсо and тт) Siaycbvio Kai pqSevuca aXXov).
10.51. Na Severe oti Svo pqSeviKoi nivaKEg Ta^qg 3 Eivai opoioi Eav Kai pdvo Eav exovv tov iSio
SeIktti pqSeviKorqTag. Етт) ovvExeia va берете, рёосо napaSeiyparog, oti r| SqXcooq avrq Sev
oXt|0evei yia pqSeviKovg nivaKEg ra^qg 4.
KANONIKH МОРФН JORDAN
10.52. Na Ppeite dXcg Tig Svvareg KavoviKeg popepeg Jordan yia Tovg nivaKEg eKeivovg tcov onoicov to
Характт|рют1ко noXvcbwpo A(t) Kai то ЕХахюто noXvcbwpo m(t) Eivai та e^qg:
(а) Д(Г) = (Г - 2)4(r - 3)2, m(r) = (t - 2)2(r - 2\t - 3)2,
(fi) A(r) = (r-7)J, m(C) = (r-7)2, (y) A(r) = (r —2)7, m(c) = (r-2)J
10.53. Na SeI^ete oti kol0e piyaSiKog nivaKag Eivai opoiog npog tov avacrcpocpo tov. (Ynotei&i:
Xpr|oiponoiEioTE tt)v Kavovucq popcpq Jordan.)
10.54. NaSei^ete oti oXoioi nxn piyaSiKoinivaKEg AyiaTovgonoiovgAn=I aXXaAk#I, Eivaiopoioi.
10.55. Yno0£TOVTag oti о A Eivai Evag piyaSiKog nivaKag pE pdvo праурапкёд iSioripEg, va Sei^ete
oti о A Eivai opoiog npog Eva nivaKa ps pdvo npaypariKsg KaTaxcopioeig.
KYKAIKOI YnOXQPOI
10.56. Улобёхоухад oxi о T: V-> V Eivai ypappiKog, va алобЕ^ЕТЕ oti о Z(v,T) Eivai r| xopr| oXcov xcov
T-axa0Epcov vnoxcbpcov лои лЕрихоиу xo v.
10.57. 'Eaxco xa f(t) Kai g(t) oi Т-рт|8ЕУ1охёд xcov u Kai v, avxioxoixa. Na Sei^exe oxi Eav xa f(t) Kai g(t)
Eivai oxexikoc лрсоха, xoxe xo f(t)g(t) Eivai о T-pr|8Evioxr|g xou u+v.
10.58. Na ало8Е1^ЕХЕ oxi Z(u,T)=Z(v,T) Eav Kai povo Eav g(T)(u), блои xo g(t) Eivai oxexikoc лрсохо
лрод xov Т-цд8еуюхт| xou u.
10.59. 'Eaxco W=Z(v,T) Kai eoxco oxi о T-pr|8Evioxf|g xou v Eivai xo f(t)n, блои xo f(t) Eivai sva
KavoviKonovqaipo apEicoxo лоХисоуиро це Рабцб d. Na Sei^exe oxi о f(T)s(W) Eivai ёуад кикХскбд
илохсорои лои ларауЕха1 ало хо f(T)s(v), Kai oxi exei 8iaaxaar] d(n-s) Eav n>s Kai 8iaaxaar] 0
Eav n<s.
PHTH KANONIKH МОРФН
10.60. NaPpeixe 6Xe<;xigSuvaxsgрт|хёд рорсрёдyiaeva6x6 л(уакалаусо axoR p£EXaxioxoлоХисоуиро
xo:
(a) m(t)=(t2-2t+3)(t+l)2, (P) m(t)=(t-2)3
10.61. 'Eaxco о A svag 4x4 л(уакад p£ EXaxioxo лоХисоуиро xo m(t)=(t2+l)(t2-3). Na Ppeixe xtj рт|хт|
KavoviKfi рорсрт] yia xov A, Eav о A Eivai svag л(уакад лаусо: (a) axo рг|хб ле8(о Q, (P) axo
лраурахисб ле8(оК, (у) axo piyaSiKO ле8юС.
10.62. Na Ppeixe xtj рт|хт| Kavovucri popcpri yia xov 4-xExpaycoviKO илол(уака Jordan pE axoixEia X axr|
Siaycbvio.
10.63. Na ало8Е1^ЕХЕ oxi xo харакхдрюхисб лоХисоуиро Evog xeXeoxti T: V->V Eivai sva yivopEvo
xcov axoixEico8cbv 8iaipExcbv xou.
10.64. Na ало8Е1^ЕХЕ oxi 8uo 3x3 л(уакЕд pE xo (8io EXaxioxo Kai харакхпрюхткб лоХисоуиро Eivai
opoioi.
10.65. 'Eoxco oxi о C(f(t)) oupPoXi^Ei xo guvo8euxik6 лгуака oe sva auOaipExo лоХисоуиро f(t). Na
8eI£exe oxi xo f(t) Eivai xo харакхдрюхисб лоХисоуиро xou C(f(t)).
ПРОВОАЕЕ
10.66. УлобёохЕ oxi V -W} Ф... Ф Wr Kai eoxco oxi о E, oupPoXi^Ei xrjv лроРоХг) xou V oxov W,. Na
ало8Е1^ЕХЕ oxi: (i) Е^=0, i*j, (ii) I=Ej+...+Er.
10.67. 'Eoxco oi Eb...,Er ypappucoi ХЕХЕохёд oxov V xexoioi cooxe:
(i) E,2=E„ 8т|Хабг| oi E, va Eivai лроРоХёд, (ii) E,Ej=O, i*j, (iii) I=E]+...+Er
Naano8Ei^EXE oxi K = Im£l Ф...Ф1т£г.
10.68. УлобёохЕ oxi о E: V->V Eivai pia лроРоХт), 8т|Ха8г| E2=E. Na алобЕфхЕ oxi о E exei sva
л1уака-ауалараохася] xrjg рорсрдд q], блои xo r Eivai о Рабрбд xou E Kai о Ir Eivai о
r-xExpaycoviKog xauxoxiKog л(уакад.
10.69. Na алобе^ЕТЕ on onoi£o6f|noxE био про₽оХЁд £%ouv xov 1610 Pa0p6, Eivai opoug. (YxodEi&i:
Xpr|oiponoi£iox£ xo апохЁХЕора xov ПрорХг|раход 10.68.)
10.70. Упо0ЁхоУхад oxi о E: V->V Eivai pia npoPoXi), va ano6si^EXE oxi:
(i) О I-E Eivai pia npoPoXi) Kai V = Imf® Im(/ - E), (ii) о I+E Eivai аухюхрЁцарод (Eav
l+l#0).
ХЛРО1-ПНЛ1КА
10.71. 'Eoxco о W Evag unoxcbpog xov V. УлоОёохе, Eniorig, oxi xo ouvoXo unoouvoXcov {V|+
W, v2+W,...,vn+W) axov V/W Eivai ypappiKa av£^dpxT]xo. Na 6ei^exe oxi xo ouvoXo
6iavuopaxcov {V|,v2,...,vn} axov V Eivai Eniorig ypappuca avE^apxT|xo.
10.72. 'Eoxco о W Evag unoxcbpog xov V. УлоОёохе, Eniorig, oxi xo ouvoXo 6iavuopaxcov {ubu2,...,un}
oxov V Eivai ypappiKa av£^apxT]xo, Kai oxi L(u,)nW={0). Na 6ei^exe oxi xo ouvoXo
unoouvoXcov {U|+W,...,un+W} oxov V/W Eivai EniorigypappiKa av£^apxT|xo.
10.73. УлоОёохе oxi V=U®W koi oxi xo {ub...,un} Eivai pia pdor| xov U. Na 6ei^exe oxi xo
{U|+W,...,Un+W} Eivai pia pdor| xov хсорои-пт|Хисои V/W. (ПарахцрЕюхЕ oxi 6ev unapxei Kapia
ovv0r|ia] yia хц 6iaoxaor| xov V i) xov W.)
10.74. 'Eoxco W о xcbpog Xuoecov хцд ypappucqg E^iocoorig
aixi + а2х2 + ... + а1Гхя = 0. a, € К
Kai ёохсо v=(bbb2,...,bn)eKn. Na алобЕ^ЕХЕ oxi xo unoouvoXo v+W xov W oxov Kn Eivai xo
ovvoXo Xuoecov хцд ypappucf|g E^iocoorjg
+ a2x2 + ... + a„x„ = b, блои b = 0,6, + ... + a„b„
10.75. 'Eoxco V о 6iavuopaxiKog xcbpog noXucovupcov navco oxo R Kai Ёохсо W о unoxcbpog noXucovupcov
nou 6iaipouvxai pE xo t4, бт]Хабт| хцд popeprig a0t4+a)t5+...+an-4tn. Na 6ei^exe oxi о xebpog-
7O]XiK0 V/W ЁХЕ16iaoxaor| 4.
10.76. 'Eoxco oi U koi W unoxcbpoi xou V хЁхоил cooxe WqUcV. LqpEicbvExai oxi опою6т|похе
unoouvoXo u+W oxov U pnopEi Eniorig va 0ECopr]0Ei cog eva unoouvoXo xou W oxov V, ка0сод
xo ue U ouvEnayExai oxi ue V. Qg ek xouxou, о U/W Eivai dva unoouvoXo xou V/W. Na опо6е1^ехе
oxi: (i) о U/W Eivai Ёуад unoxcbpog xou V/W, (ii) dim(V/W)-dim(U/W)=dim(V/U).
10.77. EavoiUKaiW EivaiunoxcbpoixouV,va6ei^exeoxixaunoouvoXaxouUnWoxovV pnopovv
va Xi](p0ouv хЁруоухад xo ка0Е unoouvoXo xou U oxov V p£ xo ка0Е unoouvoXo xou W oxov V:
V/(U n f?) = {(i> + U) n (v' + W): i>, v' € У)
10.78. 'Eoxco oxi о T: V->V' Eivai ypappucog p£ nupiyva W koi eikovo U. Na 6ei^exe oxi о xebpog-
nr|XiKO V/W Eivai loopopepiKog npog xov U uno xo pExaoxnpaxiopo 0: V/W->U nou opi^Exai
ano xt|v 0(v+W)=T(v). ЕпшХёоу, va 6ei^exe oxi T=io0oM y
onou: о n: V->V/W Eivai о (puoiKog рЕхаохпратюрбд xou | \ r
V oxov V/W, 6r]Xa6f| n(v)=v+W, Kai о i: U->V' Eivai о ’I n.
рЕхаохлрсс'порбд-ЕукХЕюрбд, бт]Хабг| i(u)=u. (ВХёпе г/ir г и
6iaypappa.) * ‘
△шурарра
AIIANTHEEIE AAYTQN IIPOBAHMATflN
10.41. (a) R2 and {0}, (Л) С2, (0}, Г, = span(2, 1 - 2i). W2 = span(2, 1 + 2i)
.«.si. (.) Цр [2p ;]).<Цр и. и. p *]).
<*) p р)).он([7 }]. га. га. га).
(у) 'Еотсо отс о Мк снфРоЩес sva илолсуака Jordan це Х=2 кас тсф] к. Тоте:
diagCMj.Mj.MO, diag(M3,M2,M2), diag(M3,M2,MbM|), diagCMj.Mi.Mi.Mi.M,)
юле. еотш^=[? -’p=p »-12]-°=[? “I]-
10.61. 'Еатш л=p -;].«=[«
(a) diagG4,5), (b) diag(^, 75. -75), (c) diag(i, -i, 75, -75)
10.62. 'Evac; ovvoSevtckoc; лгуакас; це теХеотосо атт|Хт| tt|v [-X4, 4X3, -6X2, 4X]T
КесраХаю 11
Г РАМ Ml KEZ МОРФЕ!
КА! ДУ/ КО! XQPO!
11.1 Е1ЕАГЯГН
Leo КЕфаХаю аито 0а pEXEiqoovpE ypappiKOvg pETaoxqpaTiopovt; ало eva SiawapaTiKO %(bpo V
ото пеЗю tov, К. (0а 0£copovp£ то пеЗю apiOpcbv К cog Eva SiawopaTiKO %cbpo navco otov eovto tov,
Ектод Eav 3qXco0£i q vno3qXco0Ei кате aXXo.) Ovonca, 6Xa та OscopqpaTa кас ot iSioTqTEt; nov EiSapE
yia av0aip£Tov<; pETaoxqpaTiopovt; otov V, ioxvovv Kai yia rqv EiSncq avrq nspinreooq. Qotooo,
SianpayparEvopaoTE tovc; pETaoxqpariopovt; avrovt; ^вхсорюта E^airiat; тт|д OepeXicoSovc; onovSaid-
rqrat; tovc;, aXXa Kai EnEiSq q EiSncq ©XEoq tov V ото К 81vei Tq афоррт) va avaKvyovv vee<; ewoiec;
Kai iSidrqTEt;, oi onoiEc; Sev ioxvovv orq yfivncq nEpinreooq.
11.2 ГРАММ1КЕЕ МОРФЕЕ KAI AYIKOE XQPOE
'Еотсо о V Evac; SiawopaTiKOt; X®P°? rcavco oe sva nsSio К. 'Evac; pETaoxqpariopot; ф: V->K koXeitoi
ypappncq рорфг] sav, yia ка0Е u,ve V Kai ка0Е a,be K,
0(au+bv)=a0(u)+b0(v)
Me aXXa Xoyia, pia ypappncq рорфГ| otov V Eivai Eva; ypappnedt; pETaoxqpaTicipoc; and tov V ото К.
FlapaSsiypa 11.1.
(а) 'Еотсо n,: Kn->K о i-оотдс; psTaoxqpaTiopog-npoPoXq, SqXaSq ni(a),a2,...,an)=ai. Tote о nj
Eivai ypappiKoc; Kai cog ek tovtov Eivai pia ypappncq рорфт) otov Kn.
(P) 'Еотсо V о SiawopaTiKOt; x<bpo<; noXvcovvpcov ото t navco ото R, koi еотсо J: V->R о теХеоттц;-
oXoKXqpcopa nov opi^srai ano Tqv J(p(t))= £ p(t)dt. YnsvOvpi^Erai oti о J Eivai ypappiKog
Kai apa Eivai pia ypappncq рорфт| otov V.
(у) 'Еотсо V о SiawopaTiKOt; x<bpot; n-T£TpaycoviKcbv mvcnccov navco ото К, koi еотсо T: V->K о
pETaoxq paTtopoq-ixvoc;
T(A)=a11+a22+...+ann, onov А=^]
О T, SqXaSq, ava0£TEi oe Eva nivaKa A to aOpoiopa tcov Siaycbvicov otoixeicov tov. H anEiKovioq
avrq Eivai ypappncq (IlpopXqpa 11.24), Kai etoi sivai pia ypappncq рорфт) otov V.
Ano to ©Ecbpqpa 5.10, to ovvoXo ypappiKcbv рорфсоу oe sva SiawopaTvco X“P° V navco oe sva
пеЗю К Eivai Enioqc; Evat; SiawopaTiKOt; х<Ьрод navco ото К, p£ npooOscrq Kai РаОрсотд noXXanXaoiaopo
nov opi^ETai ano тк;
(ф+о)(у)=ф(у)+о(у) Kai (кф)(у)=кф(у)
блои oi ф Kai a Eivai ypappiKEc; рорфёс; arov V Kai ке К. О x“P°S аитбс; ovopa^ETaitSofKogxcopogToo
V Kai oopPoXi^ETai це V*.
IlapdSEiypa 11.2. 'Еотсо V=Kn, о 8iawopariK6<; xebpoc; n-a5cov, tic; onoiEc; урафоорЕ coc; 8iavo-
ората охт|кт|<;. Toxe о Sihkoc; x<8po<; V*pnop£i va xaoxioxEi ps xo xcbpo Siawopaxcov ypappr|<;. Тоукв-
KpipEva, оло1аЗт|лох£ypappucf| рорфт| ф=(а1,...,ап) oxov V* 0a exeixt|v avanapaoxaori
Ф(х1,х2....x„) = [aba2.a„][x2,x2..x„]r = a(x, +a2x2 +... + a„x„
loxopiKa, т| т1)Л1кт| ЕКфраог| oxa Ss^id ovopaoxr|KE ypappiKT| рорфт|.
11.3 AYIKH BAEH
Ac; ono0Eooop£ oxi о V Eivai 6va<; SiawopaxiKO^ x“P°5 8шохаот|<; n navco oxo К. Ало xo ©Ecbpqpa
5.11, x| 8iaoxaor| too Sihkov xcbpoo V* Eivai Enioric; n (каОсос; xo К Eivai Siaoxaoric; 1 navco oxov Еаото
too). Exr|v npaypaxiKoxr|xa, т| ка0Е 0aor| xoo V npooSiopi^Ei pia 0aor| xoo V* co<; e£,t]c; (РХеле Прб-
рХцра 11.3 yia xr|v anoSEi^Tj):
Оесортща 11.1: Yno0Exoop£ oxi xo {V],...,vn} Eivai pia pdoi] xoo V navco oxo K, Kai eoxco
фi,...,фпе V* oi ypappiKEc; рорфёс; noo opi^ei t|
(1 Eav i = j
О «xv i*J
Toxe xo {фь.. ,,фп} Eivai pia 0аот| xoo V*.
H mo navco раот| {ф,}Х£у£ха1 дшкг/ npog xo {vj 0аот|, f| ankaSvi’Kij 0аот|. О napanavco топос;,Se о
onoioc; xpip’-P-onoiEi то ДвХта too Kronecker 8,р Eivai svac; oovropoc; трбпос; yia va ypayoops
</»1(u1)=l, </»!(v2) = 0. </»i(f3) = 0....... Ф1М = 0
</»2(vi) = 0, ф2(у2)=\, ФМ = 0............. Ф2М = 0
ФМ = 0. ФМ = 0.........</>„(4.-1) = °. ФМ = 1
Апо то ®£сорт|ра 5.2, oi ypappiKOt aoroi pETaoxnpaTiopoi ф, Eivai povaSiKoi Kai Епарксо^ opiopcvoi.
flapdSciypa 11.3. ©ecopeiote тт] 0аот| {V]=(2,l), v2=(3,l)} too R2. Na Ppeite тт] 8о(кг| раот|
{ФьФгЬ
Ava^ToopE ypappiKE^ рорф£<; ф](х,у)=ах+Ьу Kai ф2(х,у)=(сх+с1у), tetoie^ coote
Ф1(»1) = 1. Ф1(”2) = 0. Фг(и2) = 0- Ф2(и2)=1
Oi теооерц аот£<; oov0t|K£<; рас; o8x|yoov ота акоХооОа 8бо ооотт|рата ypappiKcbv e^iocooecov:
Ф10>1) = Ф1(2,1) = 2а + Ь=11 ф2(о1) = Ф2(2.1) = 2с + </ = 01
Ф1(»2) = Ф|(3.1) = За + Ь = 0| коц ф2(о2) = ф2(3,1) = Зс + </= 1 J
Oi Xooeu; Eivai oi a=-l, b=3 Kai c=l, d=-2. Apa та ф](х,у)=-х+3у Kai ф2(х,у)=х-2у oxqpaTi^oov тг|
8oiKT| Pdor|.
Ta био ларакатсо 0есорг|рата (лои anoSeiKvuovrai ага ПрорХпрата 11.4 Kai 11.5 avrioTOixa) Sivouv
Kanoie<; охёоец рета^и Paoecov Kai tcov Suikcov tou<;.
0£cbpnpa 11.2: 'Еотсо to {vb...,vn} pia Paar] той V Kai еотсо {фь...,фп} т] Suikti Ранг] otov
V*. Тбте:
(i) Tia олоюбплоте Siavuopa ue V, и=ф! (u)v! +ф2(и)у2+... +фп(и) vn.
(i i) Tia олоюбплоте урарриа] рорерт] oe V,
о=о(у1)ф1+о(у2)ф2+.. .+о(уп)фп.
0£cbpnpa 11.3: 'Еотсо та {vb...,vn} Kai {wb...,wn} рбоеи; тои V, Kai еотсо {фь...,фп} Kai
{ob...,ov} oi Раоеи;тои V*, 6uiKe<; лро<; та {v,} Kai {Wj} avnoToixa. Уло0е-
Tovra<; oti о P eivai о nivaKag аХХаут|<; рбсл]<; ало tt|v {v,} ott|v {w,}, тбте о
(Р‘*)т 0a eivai о nivaKag aXXayn<; Расл]<; ало tt|v {ф^ ott|v {o,}.
11.4 AEYTEPOE AY I KO L XflPOE
EnavaXapPaveTai oti: каОе SiavuopaTiKog x<bpo<; V ex£i eva Suiko xcbpo V*, о олою<; алотеХепас ало
okec; ти; ypappuce<; popcpe<; otov V. Еиуелсо<; Kai о V* рет,] oeipa тои 0a ex£i sva бийсб xcbpo, tov V**.
О V** ovopa^eTai 6еитеро<; дийедд tov V Kai алотеХепас ало 6Xe<; тк; ypappiKe<; popcpe<; otov V*.
0a Sei^oupe тсора oti ка0е то veV лрообюр^ес eva ouyKCKpipevo otoixeio pe V**. KaTapxnv,
yia олоюбплоте фе V**, opi^oupe tt|v
Р(Ф)=Ф(у)
Anopevei тсора va Sei^oupe oti аитп т] аликбукл] p: V*->K eivai урарриа]. Tia олоюиобплоте
api0pou<; a,be К Kai олоиобллоте ypappuce<; popcpe<; ф,ое V*, ехоире
P (аф+Ьо)=(аф+Ьо)(у)=аф(у)+Ьо(у)=а P (ф)+Ь P (о)
To p, 6т]Ха6т|, eivai ypappuco Kai etoi p e V**. lo/uei то ак6Хои0о 0есорт]ра (то олою алобескуиетас
ото ПрбрХпра 11.7).
0£сЬрт]ра 11.4: Eav о V ex£i лелераореуп Зюотаот], тбте о ретаохт)ратюрб<; va Р Eivai
eva<; юорорсрюрб); тои V лаусо otov V**.
О лю лаусо ретаохпратюрб); va Р KaXevcai (pvoiKoq цетаохп^10^ тои V лаусо orov V**.
Tovi^eTai oti о ретаохпратюрб); аитб<; Sev eivai лоте лаусо otov V** eav п бюотаоп тои V Sev eivai
лелераорёуп. Eivai, соотбоо, лаУта ураррисб); Kai елшХеоу eivai лаута еуа-лро<;-еуа.
А<; ило0еооире 6рсо<; тсора oti о V 6ev ex£i лелераореуп бшотаоп- Алб то ПрбрХпра 11.4, о
tpvaiKoqцетаохл^10^ лрообюр^ес eva юорорсрюрб рета^и tcov V Kai V**. Ето е£п<;, ре то рета-
охпратюрб аитб 0а таит^оире tov V ре tov V**, ектб<; eav 8nXco0ei k6ti aXXo. Ката оиуёлею, 0а
0ecopoupe tov V cog то xcbpo ypappiKcbv popepebv otov V* Kai 0a ypacpoupe V=V**. LnP£icbv£Tai oti
eav то {ф,} eivai n Paon тои V* лои eivai Joikz? лро<; тп Paon {v,} тои V, тбте то {v,} eivai п Расп] тои
V**=V лои eivai Зиткт] лро<; -n]v {ф,}.
11.5 MHAENIETEE
Еотсо то W eva илооиуоХо (Kai oxi аларагепта eva<; илохсоро<;) evo<; SiavuopaTiKou xcbpou V. Лере
oti pia урарриа] popepn фе V* eivai even; pn8evioTT|<; tou W eav ф(\у)=0 yia ка0е we W, eav бп^абп
ф(5Л9={0). 0a Sei^oupe oti to ouvoXo oXcov auTcbv tcov ретаохпратюрсоу, лои oupPoXi^eTai pe W°
Kai Xcyerai/^efeviernfc rov eivai evag илоусброд тои V*. Eivai cpavepd oti Oe W°. Yno6erovpe тсора
oti ф,ое W°. Тоте, yia onoiovoSqnore api6povg a,be К Kai yia onoioSqnore we W,
(a0+bo)(w)=a0(w)+bo(w)=aO+bO=O
Evvencbg аф+boe W°, koi apa о W° eivai evag илохсород too V*.
Erqv nepinrcooq блои о W eivai evag илохсород too V, exovpe rqv ларакатсо oxeoq цета^б too W
koi too pqSeviorq too, W° (pXene IlpdpXqpa 11.11 yia rqv anoSei^q).
©ecbpqpa 11.5: Упобетоутад oti о V exei nenepaopevq Siaoracrq Kai oti о W eivai evag
илохсород тои W, тоте:
(i) dim W+dim W°=dim V Kai (ii) W°
EScb W°={ve V: ф(у)=0 yia кабе фе W0}, q, iao6vvapa, W0=(W0)0, onov о W° Oecopeirai cog evag
vnoxcbpog tov V, vno rqv ravnoq tcov V Kai V**.
11.6 О ANAETPOOOE ENOE ГРАММ1КОУ METAEXHMATIEMOY
'Еотсо T: V->U evag avQaipeTog ypappiKog цетаохпратюцбд ало eva SiawopaTiKO xcbpo V oe eva
SiawapaTiKO xcbpo U. T cbpa yia onoiaSqnore ypappncq popcpri фе U*, r| ovv6eoq ф° T eivai evag ypap-
piKdg ретаохг|Цат1оР0д ano tov V ото К:
т ♦
V—~u—-к
AqXaSq, ф«> Те V*. Enopevcog r| avnoroixia
фа фоТ
eivai evag peraoxqpanopog ало tov U* otov V*, tov onoio ovpPoXi^ovpe pe T‘ Kai ovopa^ovpe
avampotpo rov T. Me eiXXa Xoyia, о T‘: U*->V* opi^erai ano rqv
Т‘(ф)=фоТ
Evvencbg (Т‘(ф))(у)=ф(Т(у)) yia кабе ve V.
©ecbpqpa 11.6: О avaarpotpoQ psiaoxripauapoq T nov opiorqKe mo navco eivai ypappiKog.
Anotei&i: Tia onoiovoSqnore apiGpovg a,be К Kai onoieoSqnore ypappiKeg popepeg ф,ое U*.
Г(аф + ba) = (аф + ba) ° T = а(ф° T) + b(a° T) = аГ(ф) + ЬГ(а)
О Т, SqXaSq, eivai ypappiKog, oncog KaOopi^ei то Oecbpqpa.
Tovi^erai oti, eav о T eivai evag ypappiKog peTaoxqpaTiopdg and rov V otov U, тоте о T‘ 0a eivai
evag ypappiKog peTaoxqpaTiopdg and rov U* otov V*. О iSiog “avaorpoepog” yia to peraoxqpanopd
T‘ anoppeei avapcpipoXa and то акоХообо 6ecbpqpa (to onoio anoSeiKvuerai ото IlpdpXqpa 11.16).
©ecbphqpa 11.7: 'Еотсо on о T: V->U eivai ypappiKog, Kai еотсо A о nivaKag-avanapaoraoq
rov T cog npog ng paoeig {v,} Kai {u,} tcov V Kai U, avrioroixa. Тоте о
avaorpoepog nivaKag AT 6a eivai о nivaKag-avanapaoraoq rov T‘: U*~> V* cog
npog ng SviKeg npog ng {u,} koi {v,} paoeig.
AYMENA ПРОВЛНМАТА
AYIKOI XQPOI KAI AYIKEE BAEEIE
11.1. Na Ppeixe хт| Paor) {<t>i,Фг,Фз} Л onoia eivai 5в1кт| лро<; xr|v ак6Хов9т| Paor) xov R3:
{V1=(l,-1,3), v2=(0,l,-l), v3=(0,3,-2)}
Oi урацц1кё<; рорсрёд pnopovv va ексрраохову ovq popcpri
фДх.у.г) = a1x + a2y + a3z, ф2(х,у,г) = bxx + by + b3z, ф3(х,у,г) = с^ + сгу + с^
Ano xov орюро хт|<; 5шкт|<; Расн]<;, ф,(^)=0 yia i*j, aXXa 01(vJ)=l yia i=j.
Вр1оковре xt|v ф] 9ёхоуха<; Ф1(у()=1, 0i(v2)=O, ф](у3)=0. Ало авхб лроквлхы
ф](1, —1,3) = O! — o2 + Зо3 = 1, ф1(0.1,-1) = а2-а3=0, <^(0,3,-2) = 3o2 - 2д3 = 0
Avvovxa^ xo овохт|ра e^iocboecov ла1руовре a^l, a2=0, a3=0. Евуелсос; ф](х,у,г)=х.
Врюковре xcbpa xr|v ф2 9ёхоуха<; 02(V])=O, Фг(у2)=1, 02(v3)=O. Ало avco лроквлхе1
ф2(1.-1,3) = Ь1 -b2 + ba3 = 0, ф2(0,1,-1) = Ь2 — Ь3 = 1, ф2(0,3, -2) = ЗЬ2 - 2Ь3 = 0
Auvovxa,; хо овохт|ра e^iocboecov ла!руовре b 3=7, Ь2=-2, Ь3=-3. Евуелсос; ф2(х,у,г)=7х-2у-3г.
ГёХо<5, PpioKOBpe xr|v ф3 9ёхоуха<; Фз(У|)=0, Фз(у2)=О, Фз(у3)=1. Ало авхб лроквлхе1
ф3(1,-1,3) = с1 — с2+са3 =0, ф3(0,1, —1) = с2 — с3 = 0, ф3(0,3.-2) = Зс2 - 2с3 = 1
Avvovxac; хо овохт|ра e^iocboecov лагруовце С]=-2, с2= 1, с3=1. Евуелах; ф3(х,у,г)=-2х+у+г.
11.2. 'Eoxco V={a+bt: a,beR} о 5iavBopaxiKO<; xcopog лрауцахиаоу лоХвсоувцсоу Ра9цов <1. Na
Ppeixe хт| Расп] {vbv2} хов V yia xt|v оло1а о V eivai 8в'йс6<; лро<; хт| Расп] {фрфг} тов V*, лов
opi^exai ало хц
Ф1(/(0)= [7(0Л Kai Ф2(/(0)= [7(0 Л
Jo Jo
'Eoxco v^a+bt koi v2=c+dt. Ало xov орюцб хт|<; 5в’1кт|<; Paor)<j,
Ф1(^1)=1, Ф1(у2)=0 koi Ф2(у1)=0, ф1(у])=1
Елоцёусо<;
ФМ = £(a + bt)dt = a + ±b= 1 | Ф1(«2) = ^‘(с + Л)dt = c + ^d = 0 |
Ф2(‘'1) = ^(о + ЬОЛ = 2л + 2Ь = о| КСЦ Ф2(о2) = J^(c + dt)dt = 2c + 2d= 1 J
Abvovxo<; хо ка9е овохтща ла{руовце а=2, b=-2 koi с=~2’ ^=1- ЕвуелФд хо
= 2-2Г, v2
~ + Q eivai т| Раот) хов V т| оло1а eivai 5в1кт| лро<; xr|v {ф],ф2}.
11.3. Na алобв^ЕТЕ то ©всортща 11.1: УлоОвтоурв oti то {vb...,vn} sivai pia Раот| тои V navco
ото К. Eav oi фь...,фпеУ* opi^ovrai ало тк; ф,(^)=0 yia i#j кас ф,(^)=1 yia i=j, tote то
{ф1,..,,фп) 0а sivai pia Раот| тои V*.
0а бв^оирв лрсота oti то {фь.. .,фп) лараув1 tov V*. 'Еотсо о ф sva avOaipETO otoixeio too
V*, Kai еотсо
ф(у1)=к1, ф(у2)=к2, .... ф(уп)=кп
©втоурв o=k^|+...+^n. Тоте
<*>>) = (*, + ... + ММ = к^) + ^(v,) + ... + к„фМ
= ki-l+k2O + ... + knQ=;ki
'Opoia, yia i=2,...,n,
= (к1фх+...+ кпф„)(у<) = М1(ч) + • • + *,Ф,(ц) + + М„(Ц) = к,
Enopevcoq Ф(у1)=о(у1) yia i= 1,... ,n. KaGcbq та oi ф Kai о PpioKovrai oe ovpcpcovia ота 6iavvopaTa
Раот|<;, ф=о=к1ф1+.. .+кпфп. Q.q ek tovtov, to {фь.. ,,фп) лараув1 tov V*.
Алорвув1 тсора va бв^оирв oti то {фь...,фп} EivaiypappiKa ауЕ^артрто. УлоОвтоирв oti
а1ф1+а2ф2+...+апфп=0
Ecpappo^ovraq Kai та био рёХту ото vb naipvovpE
О = «КМ = (а1Ф1 + • • • + аяФя)(«1) = <»1Ф1(Р1) + а2Ф2<У1) + + “.ФМ
= at • 1 + а2 • 0 + ... + а„ 0 = at
Opoia, yia i=2,...,n,
О = 0(v,) = (a, ф, +... + аяфя)(Р,) = MiM +... + а,<Ш) + ... + а„фМ = a,
Ат|Хабг| a|=O,...,an=O. Еоувлсод то {фь...,фп} sivai ypappiKa avs^ap-nyco Kai apa sivai pia
Раот| tov V*.
11.4. Na алобв^бтв то ©scbpripa 11.2: 'Еотсо то {vb...,vn} pia Раот| tov V Kai еотсо {фь...фп} r|
5viKT| Раот| otov V*. Па олоюбт|лотб ue V Kai олоюбт|лот£ oe V*, (i) и = £ <l>l(u)vl Kai
(ii) ° = S,0(v,M •
УлоОбТОУрВ OTI
u=a,v1+a2v2+...+anvn (1)
Tote
Ф1 (“) = aiФ1 (v,) + ъф^ъ) + ... + а„ф1(у„) = flj • 1 + fl2.0 +... + fl. о = fl,
Opoia, yia i=2,...,n,
ф,(и) = а^ф^) + ... + аД(р,) +... + аяф((Ря) = Ч
Ar|A.a5r| ф1(и)=а1, ф2(и)=а2,...,Гп(и)=ап. AvTiKaOioTcbvTac; та алотвАёората аота ovr]v (1),
o6r|yovpaoT£ ото (i).
Ett) ovvExeia 0a алобе^оицЕ то (ii). Ecpappo^ovra^ п] ураццисг) цорсрт) о каг ота Зио цеАл]
тои (i),
<т(м) = ^(uMvi) + Ф^иХЛУг) +... + фп{и)а(уп)
= <’’(*’1)01 (“) + ^(РгУФгМ + • • • + а(уя)Фя(и)
= (<r(«>i)0i + ФгУФг + • • • + Фя)ФяХи)
Ecpooov то napanavco ioxvei yia ка0£ ug V, о=о(У])ф1+о(у2)ф2+.. .+о(уп)фп, oncoc; Ka0opit,£i то
(ii).
11.5. Na anoSfii^ETE то ©Есортща 11.3: 'Еотсо та {v,} каг {w^ PaoEtc; tov V, каг еотсо {ф,} каг {о,}
ot avrioroixec; Svikec; Раоец otov V*. Yno0£TOvra^ oti о Р Eivai о nivaKac; аХХаутц; Раогц; апо
tt|v {v,} ott|v {w,}, tote о (P-1)T 0a Eivai о nivaKac; аХХаутц; Paor|<; ano Tqv {ф,} ott]v {о,}.
Yno0£TOvp£ oti, yia i=l,...,n,
wi = e/ivi + aav2 + • • • + W, Kai + Ьпфг +... + atov„
Tote P=[ay] Kai Q=[by]. Екопос; pag Eivai va апобв^ооцЕ oti Q=(P-1)t.
EvpPoXi^ovrac; це R, tt|v i-оотт) ураццт) tov Q Kai це Cj tt|v i-оотт) ott)Xt| tov Pt, tote
Л/ = (Ь/l. bn.bto) Kai C} = (ayl, .....a^)r
Ano tov орюцо rqc; SviKTjc; Paor|<;,
°’ХИ7)'= (^лФ1 + Ьаф2 + ... + + • • • + aj„vn)
= bnaji + baaj2 +... + b^ajn = RjCj = by
onov to 5y Eivai то АЁХта tov, Kronecker. XvvEncbc;
QPT=[RICJ]=[8y]=I
Епоцеусос; Q=(PT)-1=(P-1)T, oncoc; Ka0opit,£i то 0£сЬртща.
11.6. Упо0Ётоута<; oti vg V, v#0 Kai dim V=n, va Sei^ete oti vnapxei evac; 0gV* tetoioc; coots
ф(у)#О.
Епектепюоце to {v} oe ц!а Paor| {v,v2,.. .,vn} tov V. Ano то ©всоргща 5.2,0a vnapxei evag
povaStKOc; урацщкос; ЦЕтаохпцатюцос; ф: V->K tetoioc; сооте ф(у)=1 Kai ф(у,)=О, i=2,...,n.
'Etoi о ф 0a Exei tt|v £П10уцг|тг| iSiovriTa.
11.7. Na anoSsi^ETE то ПрорХтща 11.4: Eav опо0еоооце oti dim V=n, tote о cpvoucoc; цЕтаохпца-
тюцос; v H>v Eivai sva^ юоцорсрюцос; tov V navco otov V**.
0a апобЕ^ооцЕ прсота oti t| an£iK0vior| va v eivai ураццисг), 5т|Ха5т| yia onoiaSrjnoTE
Siavvopara v,wg V Kai onoiovoSrjnoTE ар10цоис; a,bG K, Tia onoiaSrjnoTE ураццисг) цорсрт)
феУ*,
av + Ьп(ф) = 0(av + bw) = аф(р) + Ьф(п) = аЦф) + Ы^ф) = (av + ЬИ>ХФ)
Ecpooov av + bw(ф) = (av + bwXФ) yia ка0£ фбУ*, ехоуце av + bw = av + bw. EvvEncbc; r|
an£iKovior| v a v eivai ураццисг).
УлобЁтоирЕ тсора отс vg V, v*0. Тоте, ало то ПрбрХгща 11.6, ба илархес evaq фе V* тётою;
coote ф(у)*0. Ара v (ф)=ф(у)*О, кас етос у *0. КабсЬс; то vX) оиуЕлауЕтас отс у *0, т] олескоусот]
у l->v Eivac prj-i5cd^ouoa кас со; ek тобтои Eivac Ёуа; юорорсрсорб; (©Есордра 5.14).
Тсора dim V=dim V*=dim V**, елес5т| о V ехес лЕЛЕраорЁУГ] бсаотаот]. ЕирлЕраорапка,
т| алЕскбусот] у а у eivac evck; соорорсрсорб; too V navco otov V**.
MHAENIETEE
11.8. Na Secrete otc, eolv о фе V* цт|5еус^ес Eva илообуоХо S too V, тоте ба цт|5еус^ес кас тт| урарриа)
ЕЛЕктаот] L(S) too S. ЕлорЁУСо; S°=[span(S)]°.
УлобЁтоирЕ отс vespan(S).T6TE ба илархоиу та W],...,wrGS уса та олоса
v=a ] w ] +a2 w2+...+aTwr.
ф(у) = + а2ф(н>2) +... + агф(н>г) = а,0 + a20 +... + ar0 = 0
Ecpooov to v T|Tav sva аибасрЕТО otocxeco too span(S), о ф ба prjSEvi^Ec то span(S), олео;
ф]тобоарЕ.
11.9. Na Рресте pia Paorj тои цт]5еусотт| W0 тои олохсорои W too R4 лои ларауЕтас ало та
Vi=(\,2,-3,4) кас v2=(0,1,4,-1)
Ало то ПрбрХтцш 11.8, аркЕС алХа va Рробрв pia Paorj too ovvoXov ураррсксоу popcpcbv ф,
тетоса coote ф(У])=0 кас ф(у2)=0, олоо ф^.х^Хз.х^ах^Ьхг+схзН^Хд. ЕлорЁУСо;
ф(1,2,-3,4)=а+2Ь-Зс4^=0 кас ф(0,1,4,-1)=Ь+4с^=0
То оботт|ра 5бо e^cocooecov ре ayvcboTov; та a, b, с, d РрсокЕтас ое кХсраксотт| popcpf) рв
еХе66ере; рЕтарХдтЁ; та с кас d.
(1) 0ЕтоорЕС=1, d=0 уса va лароирЕ тг| X6orj а=11, b=-4, с=1, d=0.
(2) ©ЕтоирЕ с=б, d=l уса va лароирЕ тт| Хбот] а=6, b=-l, с=б, d= 1.
Ос ураррскЁ; рорсрЁ; ф1(х1)=11Х]-4х2+хз кас ф^х^^х^хг+хд охпца'пфсл' M-ioc Paorj too W°.
11.10. Na Secrete otc: (a) Tea олосо5т|лоте илообуоХо S too V, S c S°. (P) Eav S] c S2, tote S2 c S,° •
(а) 'Еотсо vgS. Tote, уса кабЕ ураррскг] popcprj фс8°, у(ф)=ф(у)=б, олоте yG(S0)0.
ЕлорЁУСОс;, ило ttjv табтсот] tcov V кас V**, vg S°. Ката ооуёлесо, Sс S0.
(Р) 'Еотсо фе S2 Тоте ф(у)=б yia кабЕ vg S2. Opcoc; S] С S2, dpa о ф prjSEvi^EC кабЕ orocxeio
too Sb 5rjXa5r| фе 5°. ЕлорЁУСОс; S° c S°.
11.11. Na алобЕс^ЕТЕ то ©Ecbprjpa 11.5: УлобЁтоутас;отсо V Ёхес ЛЕЛЕраорЁУТ) 5саотаог| кас отс о W
Eivac Ёуас; олохсоро; too W, тоте:
(i) dim W+dim W°=dim V, (ii) W°.
(i) УлобЁтоорЕ отс dim V=n кас dim W=r<n. ©ЁХоирЕ va SEc^ovpE oti dim W°=n-r.
ЕлсХЁуоирЕ pia Paorj {wb...,wr} too W кас ttjv електесуооре oe pia Paorj too V, yia
napaSEiypa tt|v {w1,...,wr,v1,...,vn.r}. ©EcopovpE EnioT|gtt| Svhktti Раот|
{ф1,...фг,о1,...,оп.г}
Алб tov opiapo тт|д 3v'iKT|g Раот]д, то Ka0£va ало та лю navco о 0а pr]5£vi^£i то ка0Е
w„ ара ob.. .on.re W°. loxvpi^opaoTE oti то {oj Eivai pia Раот| too W°. Tcbpa to {a,}
Eivai трт|ра piag Paor]g too V*, Kai etoi Eivai ypappiKa avE^apvr|TO.
АкоХоб0сод 0a SEi^ovpE oti to {ф}} napayEi tov W°. 'Eotco oe W°. Алб то ©Ecbpqpa
11.2,
a = а(п\)ф\ + ... + о^г)фг + <t(v,)<7, +... + <т(и„_г)<7„_г
= Оф, + ... + Офг + <7(v,)<7, + .. . + <т(и„_г)<7я_г
= + • • + ff(v„_r)<T„_r
Елорбусод то {О],... ,оп.г} napayEi tov W° кас etoi Eivai pia Раот| тои W°. Ката ovvsnEia,
олсод ^тобоарЕ,
dim W°=n-r=dim V-dim W.
(ii) Уло0ЁтоирЕ oti dim V=n Kai dim W=r. Tote dim V*=n кар ало то (i), dim W°=n-r.
'Etoi, ало то (i), dim W°=n-(n-r)=r, олоте dim W=dim W°. Алб то IlpopXqpa 11.10,
W c W°, Kai cog ek tovtov W=W°.
11.12. 'Eotco oi U Kai W vnoxcbpoi tov V. Na опоЗе^ете oti ([/ + 1F)° = U° n W° •
'Еотсо фе (U+W)°. Tote о ф prjSsvi^Ei tov U+W, Kai etoi, ovyKEKpipeva, prjSsvi^Ei Tovg U
Kai W. Дт]ХаЗт| фе U° Kai фе W°, apa фе [/° n IF0 • ZvvEncbg ((/ + IF)0 c U° n W°
Алб tt|v aXXr], vno0£TOvp£ oti oe U ° n W° Tote о о prjSsvi^Ei tov U, ка0сод Ел(от]д Kai
tov W. Eav ve U+W, tote v=u+w, onov ue U Kai we W. Enopsvcog o(v)=o(u)+o(w)=0+0=0.
Apa о о p7]3svi^Ei tov U+W, Зт]ХаЗт| oe (U+W)°. IvvEncbg U° +W° c (U + W)°•
IvvSva^dpsvEg oi 3vo oxeoEig EyKXsiopov рад Sivovv tt|v EniOvpiyn) юбтт|та.
Паратдрясп]: naparqpovpE oti ottjv mo navco an63Ei£q о napayovTag Зшотаот] Eivai
aSiacpopog. 'Etoi, to апотЁХЕора 0a ioxvei tooo yia xcbpovg пЕПЕраорбут]д, ooo Kai yia xcbpovg
anEpiopioTTjg 3iaoraoT|g.
О ANAETPOOOE ENOE TPAMMIKOY METAEXHMATIEMOY
11.13. 'Еотсо ф r] ypappiKT] рорсрт) otov R2 nov opi^ETai and ttjv ф(х,у)=х-2у. Tia tov Ka0Eva ano
Tovg паракатсо ypappiKovg тЕХЕотвд T otov R2, va Ppeite tov (Т'(ф))(х,у):
(a) T(x,y)=(x,0), (p) T(x,y)=(y, x+y), (y) T(x,y)=(2x-3y, 5x+2y)
E£’ opiopov Т'(ф)=фоТ, Зт]ХаЗт| (Т'(ф))(у)=ф(Т(у)) yia ка0Е v. Apa:
(а) (Г(ф))(х,7) = ф(Т(х,у)) = ф(х, 0) = x,
(fi) (^(Ф)Х^. у) = Ф(Т(х. у)) = ф(у, х+у)=у- 2(х + у) = -2х - у
(У) (Г'(Ф)Хх. у) = ф(Г(х. у)) = ф(2х - Зу, 5х + 2у) = (2х - Зу) - 2(5х + 2у) = -8х - 7у
11.14. 'Еотсо oti о Т: V->V Eivai ypappiKog Kai Ёотсо T*: U*->V* о avaoTpocpdg tov. Na Sei^ete oti
о nvprjvag тои Т1 eivai о pr|6evioTT|g тт|д eiKovag тои Т, бг|Хабг| Ker Т-(1т Т)°.
Уловётоире oti фе Ker Т1, бг|Хабг| Т'(ф)=ф°Т=О. Eav ue Im Т, тоте u=T(v) yia какою ve V,
елорёусод
ф(и) = фт) = (ф о Г)(и) = 0(о) = О
'E/oupe oti ф(и)=0 yia каве ue Im Т, ара фе (Im Т)°. Luvencbg Ker Т с (Im Т)°.
Алб tt|v аЛЛт), иловётоире oti oe(Im Т)°, бг|Хабг| о(1т Т)={0}. Тоте, yia каве ve V,
(Г(а)Х«>) = (а о ГК») = <№»)) = 0 = 0W
'Exovpe (T*(o))(v)=0(v) yia каве ve V, олбте Т*(о)=0. Zvvencog ое Ker Т1, koi ётт (Im Т)°с
Ker Т*.
Zvv5va£6peveg oi био охёошд еукХеюрои pag 6ivouv тт| £г|тоиреут] юбтт|та.
11.15. Уловёате oti oi V koi U ё/ovv лелераорёуг] бшотаог] koi oti о Т: V->U eivai ypappiKog. Na
алобе^ете oti rank(T)=rank(Tt).
Уловётоире oti dim V=n koi dim U=m. Уловётоире, eniorig, oti rank(T)=r. Алб то ПрбрХг|ра
11.5,
dim(Im T)°=dim u-dim(Im T)=m-rank(T)=m-r
Алб то ПрбрХг|ра 11.4, Ker T-(Im T)°, елорёусод nullity(T*)=m-r. Zupnepaivoupe Xoinov,
блсод £г|тоиоаре, oti
rank(T*)=dim U *-nullity(T*)=m-(m-r)=r=rank(T)
11.16. Na алобе^ете то ©ecopripa 11.7: 'Еотсо oti о Т: V->U eivai ypappiKog, koi ёотсо А о nivaKag-
avanapaoTaori тои T OTig paoeig {v,} той V koi {и,} той U. Тоте о avaorpocpog nivaKag Ат ва
eivai о nivaKag-avanapaoTaori той T‘: U*->V* ong бшкёд лрод Tig {и,} koi {v,} paoeig.
Уловётоире oti, yia j=l,...,m,
Tty) = ajl u, + aj2u2 + ...+aj„u„ (1)
©ёХоире va алобе^оире oti, yia i= 1,... ,n,
T'(ffj) = апф| + аИф2 +... + amlv„ (2)
блои та {о,} koi {ф3} eivai oi бшкёд лрод Tig {и,} koi {^} paoeig, avTioroixa.
'Еотсо ve V koi ад иловёооире oti v=k)vl+k2v2+...+kmvni. Тоте, ало tt|v (1),
T(v) = *, T(u,) + kiT^) +... + knT(vm)
= Мвц“1 + • • •+а1яИя)+ *2(а21И1 +...+eb,S) + .-. + Ma.i«i
= (*iflt i + *2fl2i + • • + )u, + ... + (Л,а1я + + • + ^a^u,,
= E(Mi< + *2*2, + • • • + kmam,)u,
i=i
Елорёусод, yia j= 1,... ,n,
(П*/Х0) = <rj(T(v)) = ff/E(*iai/ + k2a2i + +
V/“' 7 (3)
- kiay + k^ay + ... + kmamj
Ano rqv aXXq, yia j=l,...,n,
(aij4i + ауф2 + ... + a„^m)(v) = (ауф{ + ауф2 + ...+ а^ф^к^ + Л^г + • • • + k„v„)
= ^+^ + ... + ^0^ ( '
Ecpooov то vg V qrav auOaipEro, oi (3) Kai (4) ouvsnayovrai ori
Г(<гу) = ауфх + ауф2 + ... + ап]фт, j = 1.n
nou Eivai q (2), олоте to Oecbpqpa anoSeixrqKE.
AAYTA ПРОВЛНМАТА
AYIKOI XQPOI KAI AYIKEL BASEIL
11.17. Na Ppeite: rig: (a) ф+о, (Р)3ф, (у) 2ф-5о, блои oi ф: R3->R Kai о: R3->R opi^ovrai ало rig
ф(х,у,г)=2х-3у+г Kai o(x,y,z)=4x-2y+3z
11.18. Na Ppeite rq SuiKq Paoq rqg KaGepiag ало ng акбХоивед PaoEig too R3: (a) {(1,0,0), (0,1,0),
(0,0,1)}, (P) {(1,—2,3), (1,-1,1), (2,-4,7)}.
11.19. 'Еотсо V о SiavuopaTiKog xcbpog noXucovupcov лаусо ото R PaGpou <2, Kai еотсо ф(, ф2, ф3 oi
ypappiKsg рорсрбд orov V nou opi^ovrai ano ng
Ф1(/(0) = [ /(0 Л. Ф2(/(0) =/(1), ф3(/(г)) = /(0)
Jo
EScb f(t)=a+bt+ct2G V, Evcb to f'(t) oupPoXi^ei rqv napaycoyo rou f(t). Na Ppeite rq Paoq
{fi(t),f2(t),f3(t)} тои V nou Eivai SuiKq npog rqv {ФьФг.Фз)-
11.20. УпоОеоте oti u,vg V Kai on q ф(и)=0 ouvEnayfirai on ф(у)=0 yia бХоид тоид фе V*. Na Sei^ete
oti v=ku yia капою apiGpo k.
11.21. УпоОеоте oti ф,ое V* Kai on q ф(у)=0 ouvEnayfirai on o(v)=0 yia 6Xa та vg V. Na Severe on
о=кф yia капою apiGpo k.
11.22. 'Еотсо V о SiavuopaTiKog x<bpog noXucovupcov navco ото К. Па aG К, о фа: V->K opi^erai ano
rqv фа(ф))=Г(а). Na Severe on: (a) о фа Eivai ypappiKog, (P) Eav а*Ь, tote фа*фь.
11.23. 'Еотсо V о SiavuopaTiKog xcbpog noXucovupcov PaGpou <2. 'Еотсо, Enioqg, ra a,b,CG К SiaKEKpi-
psvoi apiGpoi, Kai еотсо фа, фь, фс oi ypappiKEg рорфбд nou opi^ovrai ano ng фа(Г(1))=Г(а),
фь(Г(0)=1(Ь), фс(ЦО)=Г(с). Na Severe on q Paoq {фа,фь,фс} eivai ypappiKa avE^aprqrq Kai va
Ppeite rq SuiKq rqg Paoq {fi(t),f2(t),f3(t)} тои V.
11.24. 'Еотсо V о SiavuopaTiKog x<bpog rerpaycovuccbv nivaKcov ra^qg n, Kai еотсо T: V->Ko psraoxq-
panopog-ixvog, SqXaSq Т(А)=ан+а22+...+апп, onou A=(ay). Na Severe on о T Eivaiypappi-
кбд,
11.25. 'Еотсо о W svag unoxcbpog тои V. fia onoiaSqnorE ypappucq рорфг| ф orov W, va Sei^ete on
vnapxei gia урацщкт| цорсрт) о arov V тётош (bare a(w)=0(w) уш опоюбт|поте wg W, бт|Хабт|
т| ф eivai о перюрюцбд тт|д a arov W.
11.26. 'Еатсо {eb...,en} т| ai)vr|0iajievr| Раат| тои Kn. Na берете oti т| 5uiKf| раат| eivaiто {П],...,^},
блои о л, eivai о ьцетаахт|Ма'па|16(;-лроРоХт|, бт|Хабт| л|(а,,...,ап)=а|.
11.27. 'Еатсо о V evag бшууацатскбд х®Р°? navco ато R. Улобётоутад oti фьф2бУ* кас oti о
a: V->R лои optical ало tt]v а(у)=ф|(у)ф2(у) avr|Kei ел1ат|д otov V*, va берете oti ehe ф]=0
е1те ф2=0.
MHAENIETEE
11.28. 'Еатсо W о олохсород тои R4 лои ларауетас ало та (1,2,-3,4), (1,3,-2,6), (1,4,-1,8). Na Ppene
pia раат| тои цт|беуютт| тои W.
11.29. 'Еатсо W о олохсород too R3 лоо ларауетас ало та (1,1,0) Kai (0,1,1). Na Ppene pia paar| too
|iT|6eviaTr| too W.
11.30. Na берете oti, yia олоюбт|лоте олоооуоХо S too V, span(S)=S°, олоо то span(S) eivai r|
урацщкт) елёктаат| too S.
11.31. 'Еатсо oi U Kai W олохсоро! evog бшуоацатскоб x^poo V пепераацёут|д 6iaaTaar|g. Na
алобе^ете oti (u r\ W)° =U° + W0.
11.32. Улобётоутад oti V=Uф W, va алобе^ете oti y° = U° ®W°•
О АИАЕТРОФОЕ ENOE TPAMMIKOY METAEXHMATIEMOY
11.33. 'Еатсо ф т| урацщкт) цорсрт) arov P2 лоо opi^eTai ало tt|v ф(х,у)=3х-2у. Гш tov кабёуа ало
тоод ларакатсо урацщкобд цетаохтщатюцобд Т: R3->R3, va Ppene tov (Т‘(ф)(х,у,г)):
(a) T(x,y,z)=(x+y, y+z), (P) T(x,y,z)=(x+y+z, 2x-y)
11.34. Улобётоутад oti oi Tb U->V Kai T2: V->W eivai ypappiKoi, va апобе^ете oti
(Т2 ОТ, У = Г/ оГ2 •
11.35. Улобёате oti о Т: V->U eivaiурацщкбд Kai oti о V exei пепераацеут] 5iaaraar|. Na алобе^ете
oti T*=(Ker T)°.
11.36. Улобётоутад oti о T: V->U eivai урацщкбд Kai oti ug U, va алобе^ете oti ug Im Тт) vnapxei
6vag фб V* тётоюд сооте Т*(ф)=О Kai ф(и)=1.
11.37. 'Еатсо oti о V eivai nenepaapevqg 6iaaTaar|g. Na берете oti о цетаохтщатюцбд Та Т1 eivai
evag юоцорсрюцбд ало tov Hom(V,V) лаусо otov Hom(V*,V*). (Ебсо о Т eivai ёуад олоюа-
бт|лоте урацщкбд теХеотт)д otov V.)
ПО1К1АА ПРОВЛНМАТА
11.38. 'Еатсо о V evag бшуиацатскбд х<Ьрод navco ато R. То еиббураццо тцтща лои evcbvei та
агще1а u,vg V optical ало tt]v uv = {tu+( 1 -t)v: 0 < t < 1}. 'Eva vnoavvoXo S тои V eivai киртб
eav to u,vg S ovvenayeTai oti uv c S. 'Еатсо фб V*. Opi^ovpe та
JT*- = (t> € V: <Mv) > 0), W = (vg V: <Kv) = 0}, W~ = (t> € V: ф(р) < 0}
Na апобефте 6п та W+, W Kat W- eivai карта.
11.39. 'Еотсо о V evat; 6iavuopaTiKogxcopog nenepaopevT)g 5iaoraor|g.'Eva vnepnXavo H тои V pnopei
va opiorei cog о napf|vag piag pr)-pr)5eviKT|g ypappoaig popeprig ф otov V. Na берете oti ка0е
илохсород тои V eivai т| торг) evog nenepaopevou apiOpou ало unepnXava.
AIIANTHEEIE AAYTftN IIPOBAHMATftN
11.17. (a)6x-5y+4z, (P) 6x-9y+3z, (y) =-16x+4y-13z
11.18. (a) <h=x, ф2=у, ф3=г, (Ь) ф} =-Зх - 5y - 2z, ф2=2х+у, ф3=х + 2у + г
11.22. (Р) 'Еотсо f(t)=t. Тоте 4>a(f(t)) = а*Ь=фь(ф)), Kai enopevcog фа#фь.
и п 1/ТЛ - ** “ (Ь + с)1 + Ьс z/л <*-(« + <* + « Г2 - (a + b)t + afe|
Ч-И- Г”’ /1(,)= (c-aXe-W |
11.28. (фДх.у.г, t) = 5x-y + z, ф2(х,у,г,{) = 2у-{}
11.29. {0(x,y,z)=x-y+z}
11.33. (а) (Г(ф»(х,у,х) = 3х+у-2х, (Ь) (Г(ф)Хх,у.г) = -х + 5у + Зг
КесраХаю 12
Al ГРАММ/KEZ, ТЕТРАГОЫ/KEZ
КА! EPMMANEZ MOPQEZ
12.1 . Е1ЕАГПГН
То кесраХаю аито yeviKevei тк; ewoieg tcov ypappiKcbv ретаохлратюрсоу ка! tcov ypappiKcbv popcpcbv.
LvyKEKpipeva, 0a eioayayoupe tt|v ewoia piag Siypappucqg popcpqg. Oi Зсурарркёд аитёд aneiKOvi-
oeig 0a pag 3cbooov tt|v acpoppq yia va е^етаооире Kai Зио aXXa eiSq popcpcbv, Tig тетрауомкёд Kai Tig
EpptTiaveg рорсрёд. Парой oi тетрауаппкёд popepeg avaepep0r|Kav Kai oe npoqyoupevo кесраХаю,
соотбоо ото кесраХаю аито 0a е^етаотоиу ave^aprqTa tcov naXaiOTepcov апотеХеоратсоу.
Av Kai то neSio К eivai аиОа{рето, evrouTOig отт| ooveyeia 0a eiSiKeuoovpe OTig neputTcbaeig K=R
Kai K=C. ЕлшХёоу, рерисёд срорёд pnopei va ypeia^eTai va Siaipovpe pe to 2. Ее тётоюд леригтсооек;,
0a лрёлес va ило0ётоире oti 1+1^0, кай то олою aXq0evei отау K=R q K=C.
12.2 А1ГРАММ1КЕЕ МОРФЕЕ
Еотсо о V ёуад SiavuopaTiKog усород лелераорёут|д SiaoTaoqg navco ое ёуа ne8io К. Mia Siypappucq
popcpq otov V eivai ёуад ретаохлратюрбд f: VxV->K тётоюд сооте, yia 6Xa та a,be К Kai 6Xa та
Uj.VjG V:
(z) f(qu{ +bu2,v)=ctf(u,,v) + bf (u2,v),
(zz) /(zz,aV| + bv2) = af(u,v}) + bf (u,v2)
Ексрра^оире rq ouv0r|Kq (i) Хёуоутад oti q f eivai ypappiKrj OTqv npcbTq peTapXqTq, Kai Tq ouv0qKq
(ii) Хёуоутад oti q f eivai уращику OTq SevTepq peTapXqTq.
IlapaSeiypa 12.1.
(а) 'Еотсо f то еосотерисб yivdpevo otov Rn. AqXaSq, yia u=(a;) Kai v=(bj),
f(u, v) = и • v = a)bi + a2b2 + ...+ a„b„
Тоте о f eivai pia diypappiKri pop<pri otov Rn. (ETqv npaypaTiKOTqTa, onoioSqnoTe еосотерисб
yivopevo oe ёуа прауратисб SiavuopaTiKO x<bpo V eivai pia Siypappucr) pop<pri otov V.)
(p) 'Еотсо oi ф Kai о аи0а!рета ураррисёд рорсрёд otov V, Kai ёотсо oti о f: V x V -> К. opi^eTai ano
Tqv f(u,v)=0(u)o(v). Тоте о f eivai pia Siypappucq popcpq, ка0сод о ка0ёуад ano тоид ф Kai о
eivai ypappiKog.
(у) 'Еотсо о A=[ajj] ёуад onoiooSqnoTe nxn nivaKag navco oe ёуа neSio К. Тоте о A pnopei va
TaimoTei pe Tqv mo катсо ypappncq popcpq F otov Kn, опои та Х=[х,] Kai Y=[yj] eivai Siavv-
ората ovqXqg pe peтapXqтёg. Еиукекр1рёуа:
f(X, У) = ХТАY = £арм = at 1xlyl + al2x,y2 + ... + агщх„у„
Н napanavco тошкт| EKcppaoq це ug petapXqteg х„ у, Xeyetai SiypappiKO noXvcbwpo nov
avtiotoixei otov nivaKa A, evcb T] e^iocooq (12.1) nov 0a Sovpe mo катсо Seixvei oti, ката pia
ewoia, каОе SiypappiKq popcpq eivai tov rvnov avtov.
О Xcbpog AiypappiKdg Mopcpcbv
'Еотсо oti to B(V) ovpPoXi^ei to ovvoXo oXcov tcov Siypappuccbv popcpcbv otov V. Mia Sopq
SiawopauKov xcbpov evanotiOetai ото B(V), onov yia onoiaSqnote f,ge B(V) Kai onoioSqnote ke K,
opi^ovpe tovg f+g Kai kf cog акоХобОсод:
(f+g)(u,v)=f(u,v)+g(u,v) Kai (kf)(u,v)=kf(u,v)
loxvei то акоХоуОо Oecbpqpa (то onoio anoSeucvvetai ото ПрдрХтща 12.4).
Oecbpqpa 12.1: 'Еотсо о V evag Siawopatucog xcbpog Siaotaoqg n navco ото К, Kai еотсо то
{фь.. .фп} pia onoiaSqnote Paoq tov Svikov xcbpov V*. Тоте то i,j=l,.. .,п}
eivai pia Paoq tov B(V), onov о f„ opi^etai ano tqv Гу(и,у)=ф,(и)+ф^у).
Zvvencbg, avyKeKpipeva, dim B(V)=n.
12.3 А1ГРАММ1КЕЕ МОРФЕЕ KAI IIINAKEE
'Еотсо q f pia Siypappucq popcpq otov V Kai еотсо q S= {u j,... ,1^} pia Paoq tov V. Eav vnoOeoovpe oti
u,ve V Kai
u = alul +... + anun Kai v = blu] +... + b„u„
tote
f(u, v) =f(a}u, + ... + a„u„, b1U1 +... + bnun) = £a,b/(u„ uy)
Enopevcog t] f npooSiopi^etai nXqpcog and Tig n2 mpeg f(u„Uj).
О nivaKag A=[a,j] onov a—^UpUj) KdXevcai nivajcaq-avanapatnacn] rqg f cog npog rq Paoq S, f| mo
anXa “o nivaKag Tqg f OTqv S”. “Avanapiora” Tqv f vno Tqv ewoia oti, yia дХа та u,ve V,
/(«. v) = EaA/(“«. (12.1)
[£2g ovvqOcog, to [us] ovpPoXi^ei to Siawopa ovvtetaypevcov (ovqXqg) tov u orq Paoq S.]
AXXayq Bdoqg, EvyicXivovreg nivaKeg
©ETOvpe tcbpa to epcbtqpa: Псод ретаохлрап^ета! evag nivaKag nov avanapiora pia Siypappucq popcpq,
orav emXeyerai pia vea Paoq; H anavrqoq Siverai ото Oecbpqpa nov aKoXovOei (to onoio anoSeucvverai
ото npdpXqpa 12.5).
©ecbpqpa 12.2: 'Еотсо о P evag nivaKag aXXayqg Paoqg and pia Paoq S oe pia aXXq Paoq S'.
Eav о A eivai о nivaKag nov avanapiora pia Siypappucq popcpq orqv apxncq
Paoq S, tote о B=PTAP Oa eivai о nivaKag nov avanapiora tqv f orq vea Paoq
S'.
To mo navco Oecbpqpa ovviota tov акоХооОо opiopo.
Оритрбд: 'Evag nivaKag В eivai ovyicXivcov npog eva nivaKa A, Kai ypacperai BzA, eav vnapxei
evag pr|-i6ia^cov nivaKag P тётоюд сооте B=PTAP.
'Etoi, ano то ©есортща 12.2, nivaKeg nov avanapiorovv tt|v iSia&ypa/z/zHa; popcpri eivai ovyrcXivovreg.
ErjpeicbveTai oti ovytcXivovreg nivaKeg exovv tov iSio 0абрб, enei5f| oi P Kai PT eivai pr)-i8ia£ovreg, Kai
cog ек tovtov о паракатсо орюрдд eivai епарксод opiopevog.
Орюрбд: О Рабрбд piag 8iypappua)g popcpf|g f otov V, nov ypacpeTai rank(f), eivai о Рабрбд
onoiov5f|noTe nivaKa-avanapaoTaor|g тт|д f. Лёре oti t) f eivai eK<pvXiopevr| f| рт)-
ексроХюрёуг), avaXoya pe to eav rank(f)<dim V f| rank(f)=dim V.
12.4 ENAAAAEEOMENEE Д1ГРАММ1КЕЕ МОРФЕЕ
'Еотсо t| f pia Siypappua) popcpri otov V. Тбте т) f Хёуетаи
(i) EvaXkaaadpEvri eav f(v,v)=0 yia кабе vg V,
(ii) avri-aoppccpiKri eav f(u,v)=-f(v,u) yia кабе u,vg V.
Eav ипобёооире тсора oti to (i) eivai аХт|бёд, тбте то (ii) ба eivai eniorig аХт]бёд, кабсод yia опо1абт)поте
u,vg V,
0=f(u+v, u+v)=f(u,u)+f(u,v)+f(v,u)+f(v,v)=f(u,v)+f(v,u)
Ano tt|v аЛХт), ад опобёоооре oti to (ii) eivai аХт|бёд Kai oti 1+1*0, тбте то (i) ба eivai eniorig аХт|бёд,
кабсод yia кабе vgV, ёхоуре f(v,v)=-f(v,v). Me aXXa Xoyia, oi 6woieg "evaXlaoodpevri" koi
“avriavppETpiKij ” eivai looSvvapeg otov 1+1*0.
To бесортща тт|д Kvpiag 8opf|g tcov evaXXaooopevcov SiypappiKcbv popcpcbv (nov anoSeiKvveTai ото
ПрбрХт]ра 12.23) 6xei cog е<Е,т)д:
Оесорцра 12.3: 'Eotco r) f pia evaXZaooopevr] Siypappua) рорсрт) otov V. Тбте vnapxei pia
Раот| tov V orr|v onoia r) f avanapioTarai ano eva Siapepiopevo Siaycbvio
nivaKa M тт|д popcpfjg
"=«•4-? i} [-? J]...............[J i]. 14. [OJ. - m)
Emnteov, о api6pog tcov pT|-pr|8eviKcbv vnomvaKcov npooSiopi^erai povaSuca
1
ano tt|v f [acpov ioovtoi pe — rank(f)].
EvyKeKpipeva, to napanavco бесордра Seixvei oti опош8г|поте evaAAaooopevr) Siypappua) рорсрт)
прёпет va ёхе1 артю Рабрб.
12.5 EYMMETPIKEE Д1ГРАММ1КЕЕ МОРФЕЕ, TETPATQNIKEE МОРФЕЕ
Ztt|v napaypacpo avri) ба Siepevvrjoovpe ng отщаупкёд 6woieg tcov ovppeTpuabv SiypappiKcbv popcpcbv
koi tcov TerpaycoviKcbv popcpcbv, кабсод eniorig Kai tt|v avanapaoraor) Tovg рёосо ovppeTpuabv mvaKcov.
О povaSiKog перюрюрбд ото neSio К eivai oti 1+1*0. Ztt|v Параурасро 12.6, ба nepiopioovpe то К
va eivai то праурапкб neSio R, кап nov ба рад o8r)yf|oei oe отщаупка, eiSiKa апотеХёората.
Euppsrpuclg AiypappiK^g Mopcplg
'Еотсо г| f pia ypappncq popcpq otov V. Tote q f XsyExai mppeipiKij Eav, yia kccGe u,vg V,
f(u,v)=f(v,u)
MnopEi капоюд va SeUjei oti q f Eivai ovppExpiKq, Eav Kai povo Eav onotooSqnoxE nivaKag-
avanapaoxaoq A xqg f Eivai Evag ovppExpiKog nivaKag.
AkoXovOei to paaiKO 0Ecbpqpa yia tu; ovppExpiKEg SiypappiKEg рорсрёд (то олою лои anoSEiicvvExai
ото FlpdpXqpa 12.10). (Tovi^Exai oti vno0ExovpE ncog 1+1*0.)
©Ecbpqpa 12.4: 'Еотсо q f pia ovppExpucq Siypappucq popcpq otov V. Tote о V e/ei pia Paoq
{vb...,vn} oxqv оло1а avanapioxaxai ало sva Siaycbvio nivaKa, блои SqXaSq
f(Vi,Vj)=0 yia i*j.
©Ecbpqpa 12.4: (EvaXXaKxiKq popcpq)'Еотсо о A Evag ouppexpiKog nivaKag navco ото К. Tote
о A Eivai ovyKXivcov npog sva Siaycbvio nivaKa, SqXaSq vnapxei svac; pq-i8ia£cov
nivaKag P хёхоюд сооте о PtAP va Eivai Siaycbviog.
AlydpiOpog Aiaycovionoiqoqg
YnsvOvpi^Exai oti Evag pq-i8ia£cov nivaKag P Eivai sva yivopEvo otoixeicoScov mvaKcov. Qg ek tovtov,
Evag трдлод yia va napovpE xq Siaycbvia popcpq D=PTAP Eivai pE pia aKoXovGia otoixeicoScov
pETaoxqpaTiopcbv ypappcbv Kai xqv iSia aKoXovOia oxoixeicoScov pExaoxqpaxiopcbv oxqXcbv. H iSia
avxq aKoXovOia oxoixeicoScov pExaoxqpaxiopcbv ypappcbv oxov xavxoxiKO nivaKa I 6a oSqyqoEi oxov
Рт. О ev Xoyco aXyopiOpog xvnonoiEixai mo кахсо.
AXydpiOpog 12.1: (Aiaycovionoiqoq EvyKXioqg svdg EvppsxpiKov nivaKa) H EiooSog Eivai svag
ovppExpiKog nivaKag А=[а,^ xa^qg n.
Bqpa 1. Lxqpaxi^ovpE xov nx2n (SiapEpiopEvo) nivaKa M=[AbI], onov о Aj=A sivai xo
apioxEpo piod xov M Kai о xavxoxiKog nivaKag I xo Se^io.
Bqpa 2. E^Exa^ovps xqv Kaxaxcbpioq aj j. AiaKpivovpE xpEig nEpinxcboEig.
ПерЬттхоот] I: aii*0- (XpqoiponoiovpE xo a] j cog oSqyo yia va xono0Exqoov-
p£ pqSsviKa кахсо and xo a, ] oxov M Kai oxa Ss^ia xov Э] j oxov
Ab) Tia i=2,...,n:
(a) Ecpappo^ovps xo pExaoxqpaxiopd ypappcbv “AvxiKa-
xaoxaoq xqg R, pE - aJRj+ацК”.
(P) Ecpappo^ovps xov avxioxoixo pExaoxqpaxiopd oxqXcbv
“AvxiKaxaoxaoq xqg C, pE -aJCj+ацС”.
Oi pExaoxqpaxiopoi avxoi avayovv xov nivaKa M oxq
popcpq
"-[“’o °,:о
ПерЬтоаг! II: a] ]=0 aXXa akk*0, yia калосо k> 1.
(а) Ефарцб^ооцв то цЕтаохтщатюцб ураццеоу “Ацофаса
аутаХХаут] tcov R| кас Rk”.
(P) Ефарцб^ооцв tov аутсотосхо ЦЕтаохтщатюцб отт]ХсЬу
“Ацофаса avraXXayr] tcov Cj кас Ck”.
(Ос ЦЕтаохтщатсоцос аотос фбруооу то akk ott|v лрсотт| Зсаусо-
vca 0£от|, кате то олою avaysc tov лсуака ott|v Пецслтсоот] I.)
nepimaxTri III: 'OXfig ос ScaycbvcEg катахсорювед аи=0 аХХа калою ^*0.
(а) Ефарцб^ооцв то ЦЕтаохтщатюцб ураццеоу “Аутска-
таотаот] -rqg R, це Rj+R”.
(Р) Ефарцб^оицЕ tov аутютосхо ЦЕтаохтщатюцб отт]ХсЬу
“Аутскатаотаот] -rqg С, це Cj+C”.
(Ос цЕтаохтщатюцос аотос фбруооу то 2ау ott|v i-8caycovca
0£от], кате то олою avaysc tov лсуака ott|v Пврслтсоот] II.)
Елоцбусод о М ауаувтас твХска отт| цорфт) (*), блоо о А2 sivac svag ооццЕтрскбд
лсуакад та£т]д цскрбт£рт]д тоо А.
Втща 3. ЕлауаХацРауооце то Втща 2 це tov ка0£ veo лсуака Ak (ayvoebvTag tt|v лрсотт| урац-
цт| кас тт|у лрсотт| отт|Хт] тоо лрот}уобц£уоо лсуака), цвхре va ЗсаусоуюлостфЕс о А.
Тоте о М цЕтаохтщатс^Етас отт| цорфт) M'=[D,Q], блоо о D sivac Scaycovcog.
Веща 4: ©етооце P=Qt. Tote D=PtAP.
Паратдрдсл) 1: Tovi^ETae отс ото Втща 2, ос цЕтаохтщатсоцос ураццеоу 0а aXXa^oov кас та
Збо цеХт] too М, Evcb ос цЕтаохтщатсоцос отт]ХсЬу 0а aXXa^oov цоуо то арютврб цюб тоо.
Паратдрдсл) 2: Н oov0f|KT| 1+1*0 хрпосцолосеётас отт|У Пврелтсоот] III, блоо олоОетооце отс
2ау*0 бтау ау*0.
Н ЗскаюХ6ут|ог| уса то лю лаусо аХубрсОцо вцфауфтас ото ПрбрХтща 12.9.
Парабауца 12.2.
'Еотсо Л
2 5-4 . Ма ЕфарцбоЕТЕ тоу АХубрсОцо 9.1 уса va ррвств
sva цщсЗсафута лсуака Р тетою coote о D=PtAP va sivac Scaycovcog.
Архска охтщатс^ооцЕ то ЗсацЕрсоцбуо лсуака М=[А,1]. 'Еотсо, 8т]Ха8т|,
Г 1 2 —з 1 1 0 0"|
А/ = И,Л= 2 5 —4 [ 0 1 0 I
L-3 -4 810 0 1J
Ефарцб^ооце 8са8охска orov М тоод цЕтаохтщатюцобд ураццеоу “Аутскатаотаот] тт|д R2 Ц£ -2R]+R2”
кас “Аутскатаотаот] тт)д R3 це 3R]+R3”, кас акоХобОсод тоод аутсотосхоод цЕтаохтщатюцобд ott|Xcov
“Аутскатаотаот] тт|д С2 це -2С|+С2” кас “Аутскатаотаот] тт|д С3 це ЗС]+С3” уса va ларооцв tov
Г1 2 —3 1 1 0 0“1
0 1 2; -2 1 о
1.0 2 -1 । 3 0 1J
Г1 0 О' 1 0 0]
кас Елвста tov ! 0 1 2 ! ~2 1 °
.0 2 -11 3 0 1J
Етт) oovexeio Есрарцб^ооцв то pETaoxqpaTiopd ypappcbv “AvriKaTaoTaoq тт|д R3 це -2R2+R3” Kat
акоХобОсод tov avTioToi/o pETaoxqpaTiopd orqXmv “AvTiKaTaoTaoq тт|д С3 це -2С2+С3” yia va
парооце tov
1 о о • 1 о o’] Г1 о oi 1 о о!
01 2 -2 10 , 0 1 01 -2 10
0 0 -5 J 7 -2 1J KatEKEiTaTov |_0 Q _5. ; JJ
Тсора о A exei Siaycovionoiq0£i. ©ётооце
р=Г« ~2i 41 , Г10 °1
|_0 0 1J’ кастоте D = P~lAP= р 1 о
Tovi^ETat oti о Р sivai о avaoTpocpog тоо Зе^юо цюоб too teXikoo nivaKa.
TerpaycoviKlg Mopepig
Ад ^EKivqooopE це sva орюцб.
Орюцбд A: 'Evag цвтас^ратюцдд q: V->K sivai ц{а TETpaycoviKq popcpq Eav q(v)=f(v,v) yia калош
стоцц£тр1кт| Siypappucq popcpq f otov V.
Eav 1+1*0 ато К, тоте q Siypappucq popcpq f pnopei va XqcpOei ало Tqv TETpaycoviKq popcpq q рЁосо
Tqg aKoXooOqg noXiKqg popcpqg Tqg f:
f(u, v) = 1 fa(u + v) - q(u) - 9(t>)]
Ад олоОеоооце тсора oti q f avanapiOTaTai ало Iva ооррЕтрисб nivaKa А=[ау], Kai oti 1+1*0.
ЕоцРоЩоутад це X=[xJ Iva Siavoopa orqXqg це цЕтарХртЁд, то q pnopei va avanapaoTaOei orq
Popcpq
q(X) =f(X, X) = XTAX = £ аух,Х) = fry? + 2 £ аух^
>J I KJ
H mo navco Tonncq EKeppaoq це Tig |i£TapXqT£g x, оуоца^Ета! Enicrqg xErpaycoviKri цор^. Еоук£кр1Ц£Уа,
еХооце tov ак6Хоо0о Зеотецо орюцб.
Орюцбд В: Mia TETpaycoviKq popcpq q це Ц£таР?л]тЁд Xj ,х2,... ,xn Eivai sva поХосоуоцо тетою coote
о ка0£ брод va exei Ра0цб Soo, SqXaSq
9(xi,x2, • • • ,x„) = £c,x? +
1 ><J
Xpqoiponoicbvrag rqv 1 + 1*0, q TETpaycoviKq popcpq q otov Орюцб В npoaSiopi^Ei Iva аоццЕтрисб
1
nivaKa A=[a1J], onoo a^c, Kai a1J=aJ = ~ dy. ЕпоцЁУСод oi Орюцо! A Kai В Eivai orqv oooia iSioi.
Eav о nivaKag-avanapaoTaoq A rqg q Eivai Siaycbviog, tote q q 0a exei rq Siaycbvia avanapaoTaoq
q(X) = XTAX = at ,x? 4- 4-... 4-
Aoto cnmaivEi oti to ТЕтрауомкб поХосоуоцо noo avanapioTa rqv q Se 0a n£pi£X£i opoog “e^cotepikoo
yivopsvoo”. EninXlov, ano to ©ecbpqpa 12.4, ка0£ TETpaycoviKq popcpq exei ц1а тётош avanapaoTaoq
(orav 1+1*0).
12.6 ПРАГМАТ1КЕЕ EYMMETPIKEE Л1ГРАММ1КЕЕ МОРФЕЕ,
О NOMOE THE AAPANEIAE
H napaypacpog avxfj npaypaxsvsxai стиррехрисЁд SiypappiKEg рорсрЁд Kai xsxpaycovuc6g рорсрЁд as
SiawapaxiKovg X®P0U? V navco axo npaypaxiKO nsSio R. H siSucrj cpvar| xov R smxp6nsi xt|v avanxv^q
piag avs^apxqxqg 0£copiag, Eveb xo PaaiKo ©scbpqpa axo onoio axqpi^sxai r| 0£©pia avxf| (xo onoio
anoSEiicvvExai axo IlpopXqpa 12.14) £%£i cog s^qg:
©scbpqpa 12.5: 'Eaxco r| f pia ovppsxpiicq popcpq axov V navco axo R. Toxe vnapxei pia pdar|
xov V oxt|v onoia r| f avanapiaxaxai ano sva Siaycbvio nivaKa. Ka0s alXog
Siaycbviog nivaKag-avanapdaxaari xr|g f 0a ex£i TOV iSio apiOpo 0exikcov
Kaxaxcopiascov, p, Kai xov iSio apiOpo apvqxiKcbv Kaxaxcopioecov, n.
To napanavco Oscbpripa pspiKEg срорЁд KaXsixai Nopoq irjq Adpaveiaq f| дгсоргцла tov Sylvester. О
pa0pog Kai r| vnoypacpq xr|g ovppsxpiicqg Svypappucqg popcpqg f avpPoXi^ovxai avxiaxoixa pe rank(f)
Kai sig(f) (xo xsXsvxaio проЁрхеха! ano хт| Хё^т| “signature” nov ar|paiv£i vnoypacpq) Kai opi^ovxai
ano xig
rank(f)=p+n Kai sig(f)=p-n
Avxa sivai povaSuca орюрЁуа ano xo ©scbpqpa 12.5.
Mia npaypaxucq ovppsxpiicq Siypappucq popcpq fteysxai:
(i) Осика opiopcvt] eav q(v)=f(v,v)>0 yia ка0е v*0,
(ii) pri-apvrjTiKa ripiopiopivt] sav g(v)=f(v,v)>0 yia ка0£ v.
napaSeiypa 12.3. 'Eaxco f xo eocoxepiKo yivopsvo axov Rn. Ynsv0vpi^sxai oxi о f sivai pia avp-
psxpucq Siypappucq popcpq axov Rn, Kai aripsicbvsxai oxi r| f sivai sniarig Osxucd opiopdvq. AqXaSq, yia
OrtOioSqnoxs u=(a,)^0 axov Rn,
/(«,«) = O|+a2 + ...+aJ >0
H napaypacpog 12.5 Kai xo KscpdXaio 13 pag Ssixvovv ncbg va Siaycovionoiovps pia npaypaxucq
xsxpaycoviicq popcpq q, f| iao8vvapa, Ёуа npaypaxuco avppsxpiKo nivaKa A ps xq Poq0sia evog op0o-
ycbviov nivaKa psxaPaorig P. Eav о P sivai pspiKcbg pq-iSia^cov, xoxe q q pnopsi va avanapaaxaOsi as
Siaycbvia popcpq ps pq-pqSsviKOvg аоУхеХеахЁд povo xa 1 Kai-1. ЕиукЕкрсрЁуа, Ёхоирв xo ак6Хоо0о
nopiapa.
Пбрюра 12.6: Onoia8f|rtoxs npaypaxuci) xsxpaycoviicri popcprj q Ёхе1 pia povaSiKi) avanapa-
axaor| axrj popcprj
f(*i.*2....*»)=*i+•••+*£ “Ч+! - -4
onov xo r=p+n sivai о Pa0p6g xqg popcpr|g.
Пбрюра 12.6: (EvaXXaKnicq Mopcpq) OnoioaSfjnoxs avppsxpiKog nivaKag A sivai avyicXivcov
npog xo povaSiKo Siaycbvio nivaKa
D=diag(Ip, -In, 0)
onov xo r=p+n sivai о pa0pog xov A.
12.7 EPM1TIANEE МОРФЕЕ
'Еотсо о V eva; SiavuopaTiKog xcbpog nenepaopevq; Siaoraoq; navco ото piyaSiKo neSio C. Mia Eppi-
Tiavq popcpq otov V eivai eva; ретаохПЦат1°ЦО? £ Vx V->C тетою; сооте, yia 6Xa та a,be C Kai oXa
та u„ve V,
(i) f(aux+bu2, v)=af(ux,v)+bf(u2,v),
(ii) /(u,v)= /(u,v)
(Q; ouvq0co;, то к aupPoXi^ei to piyaSiKo ou^uyq тои ke C.)
Xpqoiponoicbvra; та (i) Kai (ii), naipvoupe
f(u, av, 4- Sv2) = f(avx 4- bv2, u) = af(yx, u) 4- bf(v2, u)
= af(vx, u) 4- bf(v2, u) = af(u, v,) 4- bf(u, v2)
AqXaSq,
(iii) f(u, av, + bv2) = af(u,v} )+bf(u,v2)
'Oncoc; Kai npoqyoupevco;, ексрра^оире тт| ouv0qicq (i) Xeyovra; oti t| eivai урарриа) ott|v прсотт| рета-
pXqrq. Ano tt|v aXXq, yia тт| ouv0qicq (iii) Xepe oti t| f eivai “ov&yrjq ypappucrj ” отт| Seurepq perapXq-
тт|. Епшр6о0ета, r| ouv0qicq (ii) рас; Xeei oti y(u,v) = /(u,v), Kai apa r| f(v,v) eivai npaypariKq yia
ка0е ve V.
Та апотеХёората (iSiorqre; koi 0ecopqpara) tcov flapaypacpcov 12.5 Kai 12.6 yia tu; oupperpuce;
рорсрё; e%ouv та avrioTOixa roue; yia tic; Eppiriave; рорсрё;. 'Etoi, о ретаохпратюрбе; q: V->R nou
opi^erai ano Tqv q(v)=f(v,v), ovopa^erai Eppiuavrj тстраусюисг/ popcprj q piyaditcrj тстрауамкг/ popcprj
пои оиохетКета1 Me EppiTiavq popcpq f. Mnopoupe ano Tqv q va napoupe Tqv f peoco rq; noXucq;
popcpq;
/(“. 0 = i [<?(“ + 0 - <?(“ -01 + 1 [<?(“ + «0 - <?(“ - «0]
YnoOeTovrac;тсора otiq S={u1,...,un} eivai pia Paoq тои V, тоте о nivaKa; H=[h,j], onou Ьи=Ци„ир
KaXeirainivaKa;-avanapaoTaoq rq; forq Paoq S. Ano To(ii), /(u,,uy)= /(uy,u,), apaоnivaKa;H
eivai EppiTiavo;, Kai ouyKCKpipeva, 01 Siaycbvie; Karaxcopioeu; тои eivai праурапкё;. Euvencb;,
onoiaSqnore Siaycbvia avanapaoraoq Tq; f nepiexei povo праурапкё; Karaxcopioeu;.
To ©ecbpqpa пои акоХои0е! (to onoio ^qreirai va anoSeixrei ото npdpXqpa 12.47) eivai to piyaSiKo
avaXoyo tou ©ecopqpaTo; 12.5 tcov npaypariKcbv oupperpiKcbv SiypappiKcbv popepebv.
Oecbpqpa 12.7: 'Еотсо q f pia EppiTiavq popcpq otov V navco ото С. Тоте unapxei pia Paoq tou
V orqv onoia q f avanapiorarai ano eva Siaycbvio nivaKa. Ka0e aXXo; Siaycbvio;
nivaKa;-avanapaoTaoq Tq; f 0a exei tov 1610 api0po 0ctikcov катахсорюесоу,
p, Kai tov iSio api0po apvqriKcbv катахсорюесоу, n.
Kai naXi, о Pa0po; Kai q unoypacpq Tq; EppiTiavq; popcpq; f oupPoXi^ovrai avTiGTOixa pe rank(f)
Kai sig(f) Kai opi^ovrai ano ti;
rank(f)=p4-n koi sig(f)=p-n
Аита eivai povaSiKa opiopeva, ano to ©ecbpqpa 12.7.
AvaXoya, pia EppiTiavq popcpq fХёуетак
(i) бейка opiopevrj eav q(v)=f(v,v)>0 yia кабе v^O,
(ii) pr]-apvt]riKd rjpiopiapevt] eav q(v)=f(v,v)>0 yia кабе v.
Парббесура 12.4. 'Еатсо f то eocotepiko yivopevo otov Cn. AqXaSq, yia onoiaSqnoTe u=(z,) koi
v=(w,) otov Cn,
/(u, V) = U • V = ZjW»! + z2w2 + ... + z„w„
Тбте о f eivai pia EppiTiavq popcpq otov Cn, q onoia раХюта eivai бепка opiapevq, кабсод yia
onoioSqnoTe u=(z,)#0 otov Cn,
f(u,u) = z1z1 + z2z2 + ... + z„z„ = |zjI2 + |z2|2 + ... + |z„|2 > 0
AYMENA ПРОВЛНМАТА
AITPAMMIKES МОРФЕЕ
12.1. 'Еатсо u=(X],x2,x3) koi v=(yby2,y3). Na ексррааете tov f pe рорсрт) nivaKcov,
f(u, v) = Зх^] - 2x^3 + + 7x^2 “ ^зУз + *хзУ2 ~ ^зУз
'Еатсо A=[ay], блои о a,j eivai о avvTeXearqq тои х,уу Тбте
/(и,и) = Хг4Г = [х1.х2,х3]^5 7
12.2. 'Еатсо о A evaq nxn nivaKaq navco ото К. Na берете oti о peTaaxqpaTiapoq f nov optical
ano rqv f(X,Y)=XTAY eivai pia Siypappucq рорсрт) otov Kn.
Tia onoiaSqnoTe a,be К koi onoiovaSqnoTe XpYjG Kn,
f(aXx + bX2, Y) = (aX1 + bX2)TAY = [aXf + bX?)AY
= aX^AY + bX2AY = af[Xx, Y) + bf[X2, Y)
E5cb о f eivai ypappiKoq aTqv npcbTq peTapXqTq. EninXeov,
f(X, aYi + bY2) = XTA(aYi + bY2) = aXTAY} + bXTAY2 = af(X, Zj) + bf(X, Y2)
Apa о f eivai ypappiKoq Kai arq SevTepq peTapXqvr), Kai coq ек tovtov eivai pia Siypappucq
popcpq otov Kn.
12.3. 'Еатсо f q Siypappucq popcpq otov R2 nov opi^eTai ano Tqv
/T(X1. X2), O'!. y2)l = 2xtyt - 3xty2 + 4Х2У2
(a) Na Ppene tov nivaKa A Tqq f aTq Paaq {iq^ 1,0), u2=( 1,1)}.
(P) Na PpeiTe tov nivaKa В Tqq f aTq Paaq {V]=(2,l), v2=(l,-l)}.
(y) Na PpeiTe tov nivaKa aXXayqq Paaqq P ano Tq Paaq {uj aTq Paaq {vj, koi va
enaXq6evaeTe oti B=PtAP.
(a) ©втоорЕ А=[ау], блои a1J=f(u1,uJ). Аотд о5т|уе( ота
«и =/1(1.0), (1,0)] = 2-0-0 = 2, а21 =/1(1,1). (1.0)] = 2
«12 =/1(1.0), (1.1)] = 2-3-0 =-1, ап =/1(1,1), (1.1)] = 3
ТоУЕлсод о Л = ^ 3] eivai о ткск;Tqg f атт1 Р<5ют| {ubu2}.
(Р) ©втоорЕ В=[Ьу], блои b1J=f(v1,vJ). Avto o6qy£i ата
Ьц =/I(2,1), (2,1)] = 8 — 6 + 4 = 6, =/1(1, -1), (2,1)] = -3
Ь1г =/1(2,1). (1,-1) = 4 +6-4 = 6, bu =/1(1, -1), (1,-1)] = 9
Еоуелсод о В = [ _j | j Eivai о л(уакад тт]д f oTq Раад {v ],v2}.
(у) Грасроутад та Vj Kai v2 oovaptqoEi tcov u„ o6qyoopaoTE oTig V]=U]+u2 Kai v2=2uru2.
Tote
'=[! -?]• -!]
«> *«-=[* _;][] -*][; _?]-[_$ $]-»
12.4. Na алобЕ^ЕТЕ то ©ecbpqpa 12.1: 'Еотсо о V svag п-бкютатод SiavuopaTiKog усоросд лаусо ото
К,Kai еотсо то {фь...фп} pia олО1абт|лотЕ Paoq тоо бо(коб х<Ьроо V*.Тоте то {f^: ij=l,...,n}
Eivai pia Paoq tov B(V), блоо о fy opi^erai ало rqv Ги(и,у)=ф1(и)+ф^у)- Елорёусод dim B(V)=n2.
'Еотсо {ub.. .,un} q 5v(kt| лрод rqv {ф,} Paoq tov V. 0a Sei^ovpe лрсота oti to {f,j} ларау£1
tov B(V). Улобвтоутад oti feB(V) Kai f(u1,uJ)=aIJ, laxvpi^dpaoTE oti f = • ApKEi
va SEi^ovps oti
/(“,. “») = (E u,) yia s,t= 1,... ,n
'ExovpE
(E «»/#)(“/•«») = E®»/A’ “») = EMX“/W“») = EV^A = a« =/(«,.«»)
блсод ^qTOvaapE. Apa to {fy} ларау£1 tov B(V). Erq ovvexeio олобётооре oti ^ayfv =0.
Tote, yia s,t=l,...,n,
0 = 0(u,, u,) = (Ety/yXu,, u,) = a„
To TE^EVTaio Pqpa лроколт£1 блсод лю лаусо. Ката оууелею то {fy} Eivai avE^apTqTO, Kai
apa Eivai Paoq tov B(V).
12.5. Na алобЕ^ЕТЕ то ©Ecbpqpa 12.2: 'Еотсо о P о л(уакад aXXayqg Paoqg ало pia Paoq S oe pia
aXXq Paoq S'. Eav о A Eivai о л(уакад лоо ауаларюта pia 6iypappiKq popcpq orqv Paoq S,
tote о B=PTAP 0a Eivai о л(уакад лоо ауаларюта Tqv f orq VEa Paoq S'.
'Еотсо u,veV. Асроб о P Eivai о л1уакад aXXayqg Paoqg ало Tqv S OTqv S', 0a sxoopE
P[u]s=[u]s Kai Enioq; P[v]s =[v]s, apa [u]Ts=[u]TsPT. Eovencb;
/(«. v) =
Ecpooov та u Kai v eivai aoGaipexa oxoixeia tod V, о PTAP Ga eivai о nivaKac; xq; f oxq vea
Paoq S'.
EYMMETPIKEE А1ГРАММ1КЕЕ МОРФЕЕ, ТЕТРАГЯМКЕЕ МОРФЕЕ
12.6. Na Ppeixe то ooppexpiKO nivaKa non avxioxoixfii oxqv KaOepia ano tic; паракатсо хехрауамкё;
рорсрё;:
(a) ?(x, у, z) = Зх2 + 4xy - у1 + 8xz = 6yz + z2,
(JJ) q'tx.y, z) = Зх2 + xz - 2yz, (?) <f(x,y, z) = 2x? - 5y* -Iz?
О ooppexpuco; nivaKa; A=[a,j] nov avanapioxa tt|v q(xb...,xn) Ga ёх£1 tt|v Siaycbvia
Kaxaxcbpioq ah ioq це то oovxeXeoxq tod xexpaycoviKOD opoo x,2, Kai ti; pT|-8iaycbvie;
KaTaxcopioei; ay Kai aJ1 ice; pe to pioo tod oovxeXeoxq tod opoo e^coxepiKoo yivopevoo, x,Xj.
'Etoi
[3 2 4~| ГЗ 0 |1 Г2 0 Oi
2 -1 -3 = 0 0 -1 L (y)A"= 0 -5 0
4 -3 1J [I 0 °J [° 0 “7J
О xpixo; nivaKa; A" eivai Siaycbvio;, KaGcb; T| xexpaycoviKq popcpq q'' eivai Siaycbvia, SqXaSq
Sev ёхес opoo; e^coxepiKoo у1Уорёуоо.
12.7. Na Ppette Tqv xexpaycoviKq popcpq q(X) noD avxioxoixfii otov кабёуа ano tod; okoXodGod;
ooppexpiKoo; nivaKe;:
H TeTpaycoviKq popcpq q(X) noD avxioxoixfii oe ёуа ooppexpiKO nivaKa M opi^exai ano Tqv
q(X)=XTMX, 6noD xo X=[xJ eivai xo Siavoopa oxqXq; pe ayvcboxoo;.
(a) YnoXoyi^oope co; e^q;:
q(x,y) = XTAX = (x,y][ J 8][y] = l5x ” 3y'
= 5X2 - 3xy - 3xy + 8/ = 5X2 - 6xy + 8/
-3x + 8>'][^]
'Onco; qxav avapevopevo, о oovxeXeoxq; 5 xod xexpaycoviKOD opoD x2 Kai о oovxeXeoxq;
8 xod xexpaycoviKOD opoD y2 eivai xa Siaycbvia oxoixEta xod A, evcb о oovxeXeoxq; -6
xoo opoo e^coxepiKoo yivopevoo xy eivai xo aGpoiopa xcov pq-8iaycbvicov oxoixeicov -3
Kai 3 xod A (q: xo pq-8iaycbvio oxoi%eio -3 eni 2, KaGcb; о A eivai ooppexpiKo;).
(P) Асроо о В eivai ёуа; 3-xexpaycoviKo; nivaKa;, Ga onapxoov xpei; ayvcooxoi, yia
napaSeiypa oi x, y, z q xb x2, x3. Toxe
q(x,y, z) = 4? - I Oxy - бу2 + 14xz + 16yz - 9г2
q q(xt, x2, x3) = 4x? - 10x,x2 - 6x| + 14х,х3 + 16x2x3 - 9x§
EScb xptpiporcoiovpe to yeyovog on oi ovvceXeoreg tcov rerpaycoviKcbv opcov хД x22,
x32 (q x2, y2, z2) eivai та avrioroixa Siaycbvia crroixeia 4, -6, -9 too B, evco о owreXeorfig
rov opov eocorepiKov yivopevov x,Xj eivai to aGpoiopa tcov pq-8iaycbvicov otoixeicov b1}
Kai Ь}1 (q to otoixeio Ьу eni 2, acpov Ьу=Ь}1).
(у) Acpov о C Eivai evag 4-TerpaycoviKog nivaKag, 9a vnapxovv reooepig ayvcooroi. Apa,
<?(x,,x2,x3,x4) = 2x? - 7x£ + 3xj +xj + 8x,x2 - 2xtx3
+ 10x,x4 - 12x2x3 + 16x2x4 + 18x3X4
Г 1 -3 21
12.8. 'Еотсо A = —3 7 -5 .Naecpappooererov AXy6pi9po 12.1 yia va Ppeire eva pq-iSia^ovra
L 2 -5 8J
nivaKa P тетою coote о D=PtAP va Eivai Siaycbviog, Kai ott| ovvexeia va Ppeite rqv sig(A), rqv
vnoypacpq tov A.
ExnpaTi^ovps Karapxqv to Siapepiopevo nivaKa M=[A,I]:
[1-3 2’1 0 01
-3 7 -5 J 0 1 0 I
2-5 81O 0 1J
Xpqoiponoicbvcag to aj (=1 cog oSqyo, ecpappooovpe SiaSoxiKa otov M rovg peTaoxqpaTiopovg
ypappcbv “Аупкатаотаот] rqg R2 pe 3R(+R2” Kai “Аупкатаотаот] rqg R3 pe -2R]+R3”, Kai
eneira orov A rovg avricrroixovg peraoxqpanopovg orqXcbv “Аупкатаотаот] vqg C2 pe 3Cj+C2”
Kai “AvtiKaraoraaq rqg C3 pe -2C(+C3” yia va napovpe tov
Г1 -3 2 j 1 0 0] Г1 0 0'1 0 01
0 -2 1,3 1 0 Kai eneira tov 0 -2 1 ! 3 1 0
LO 1 4,0 0 1J |_0 1 4 Jo 0 1J
AKoXovGcog ecpappooovpe to peraoxqpariopo ypappcbv “AvtiKaraoraaq rqg R3 pe R2+2R3”
Kai eneira rov avrioroixo peraoxqpariopo orqXcbv “AvtiKaraoraaq rqg C3 pe C2+2C3” yia va
napovpe rov
[:
0 0 I 1 0 0] Г1 0 01 1 0 0*1
“2 1 ! 3 1 0 Kai eneira rov 0-2 0’310
0 9 , -1 1 2J |_0 0 18! -1 1 2J
Tcbpa о A exei SiaycovionoiqQei, кас о avaarpocpog rov P PpioKerai ото Se^io pioo tov M.
Enopevcog Gerovpe
P= I 0 1 11, кастбте D = P7kP=|o -2 ol.
Lo 0 2j |_0 0 18j
Eqpeicbverai on о D exei p=2 бепка Kai n=l apvqriKa Siaycbvia oroixeia, onore q vnoypacpq
tov A 9a eivai sig(A)=p-n=2-l=l.
12.9. Na SiKaioXoyqoETE tov AXyopiOpo 12.1, о onoiog SiaycovionotEi (илб оиукХия]) eva оиррвтрпсб
nivaKa A.
©scopoups то Siapspiopsvo nivaKa М=[А,1]. О aXyopiOpog scpappo^si pia акоХои01а
otoixeicoScov psTaoxqpaTiopcbv ypappcbv кас тоид avTiOToixoug pETaoxqpaTiopoug OTqXcbv
ото арютбро psXog тои M, nou Eivai о nivaKag A. Auto Eivai looSuvapo p£ to va npo-
noXAanXaoiaoTsi о Ape pia aKoXouOia otoixeicoScov mvaKcov, yia napaSEiypa тоид EbE2,.. .,Er,
Kai va рбта-noXXanXaoiaoTsi p£ тоид avaoTpocpoug tcov Er 'Etoi, OTav 0a tsXsicooei о
aXyopiOpog, о Siaycbviog nivaKag D ото арютЕрб psXog тои M 0a icouTai p£
D = Er...E2EiAE{El...ETr = QAQr, onou Q = Er...£2£,
Ano rqv aXXq, о aXyopiOpog scpappo^si povo тоид gtoixeicoSek; pETaoxqpaTiopoug ypappcbv
otov таитот1ко nivaKa I ото Ss^io psXog тои M. 'Etoi, OTav о aXyopiOpog 0a tsXeicoosi, о
nivaKac; ото 8e^i6 psXog тои M 0a юоитас p£
£r...£2£lZ = £r...£2£1 =Q
©ETOvrag P=QT, naipvoupE D=PTAP, nou Eivai pia Siaycovionoiqoq тои A uno ouyicXioq.
12.10. Na anoSsi^STS to ©scbpqpa 12.4: 'Еотсо q f pia ouppETpncq Siypappucq popcpq otov V navco
ото К (опои 1+1*0). Tote о V exei pia Paoq orqv onoia q f avanapioraTai ano sva Siaycbvio
nivaKa.
О AXydpiOpog 12.1 Seixvei oti ка0£ ouppETpiKog nivaKac; navco ото К sivai оиукА-ivcov npog
Eva Siaycbvio nivaKa. Auto sivai looSuvapo ps Tq SqXcooq oti q f exei pia Siaycbvia avanapa-
GTaoq.
12.11. 'Еотсо q q TSTpaycovncq popcpq nou auoxeti^STai ps Tq ouppETpncq Siypappucq popcpq f. Na
1
snaXqOsuoSTS oti q noXncq TauTOTqTa f(u,v)=— [q(u+v)-q(u)-q(v)]. (УпоОеоте oti 1 + 1*0.)
'Exoups
q(u +1>) - q(u) - q(y) =f(u +1>, и +1>) -f(u, u) -f(v, t>)
=/(“, u) +/(u, t>) +/(t>, u) +/(t>, t>) —/(и, u) -f(v, v) = 2f(u, t>)
Eav 1+1*0, pnopoups va Siaipsooups ps to 2 yia va napoups Tq ^qToupsvq TauTOTqTa.
12.12. QscopsioTS Tqv TSTpaycovncq popcpq q(x,y)=3x2+2xy-y2 Kai Tq ypappncq avTiKaTaoTaoq
x=s-3t, y=2s+t
(a) Na £avaypai|/6T6 Tqv q(x,y) ps popcpq mvaKcov Kai va Ppeite tov nivaKa A nou Tqv
avanapioTa.
(P) Na ^avaypaipsTS Tq ypappncq аупкатаотася] xpr|oiponoicbvTag popcpq mvaKcov Kai va
PpsiTS tov nivaKa P nou avTiOTOixsi OTqv аупкатаотася].
(у) Na PpsiTS Tqv q(s,t) xpqoiponoicbvrag apsoq аупкатаотася].
(5) Na PpsiTS Tqv q(s,t) xpqoiponoicbvTaq popcpq mvaKcov.
(a) EScb q(x,y)= [x,J _} ][*]. apa A = [ J _}Kai q(X)=XTAX, onou X=[x,y]T.
(Р) EScb ЭД = [2 1][*]араР=[г J ]• Ел^д, X = ЭД, Y = ЭД кси X=PY.
(у) AvrucaOiOTOups та х Kat у orqv q yia va лароирв
q(s, t) = 3(s - 3r)2 + 2(s - 3/X2J + /) - (2s +1)2
= 3(? - 6st + 9?) + 2(2s2 - 5sr - 3?) - (? + 4sr + ?) = 3? - 32sr + 20г2
(5) E8cb q(X)=XTAX Kat X=PY, олоте Xt=YtPt. Елорёусод
= M[-16 ~2о][’] = 3?-32,' + 20^
[Олсод лврфёуарв, та алотеХёората ота (у) Kat (5) Eivai ioa.]
12.13. ©есорйутад sva олою5т|лоте Siaycbvio лсуака A=diag(ab.. .aj лаусо ото К, va Sei^ete oti, yia
олоюио5т|лотЕ Scacpopoug too pqSevog api0poug ki^.-.k^eK, о A Eivai ouyKlivcov лрод sva
Siaycbvio л(уака D ps Scaycbvceg катахсорсоесд ajk|2,.. ..a^c,,2. ЕлслХёоу, va Secrete oti:
(a) Eav K=C, tote рлороирв va елсХё^оире tov D etoi coote 01 SiaycbviEg катахсорсоЕЦ
too va sivai povo 0 Kai 1.
(p) Eav K=R, tote рлороирв va елсХё^оире tov D etoi coote 01 Scaycbvceg катахсорсоесд
too va eivai povo 1, -1, 0.
'Еотсо P=diag(kb...,kn). Tote, олсод ^тойоаре,
D = PTAP = diagfo) diag(a() diag(*<) = diag(a,tf......a,^)
(a)
'Еотсо P=diag(b,), блои
Eav
Eav
a, *0
a, = 0
Tote о PtAP exei tt|v ала1тойреут| popcpq.
(P)
h -b/Jhl edv
'Еотсо P=diag(b,), блои b> ~ 1
a, *0
a, = 0
Tote о PtAP exei tt|v алаиоирвут) popcpq.
naparqpqoq: Tovc^eiac бтг to (p) лаиЕ1 va sivai аХг|0ёд sav q “ouyKXioq” аупкатаота0Е<
ало Tqv “EppiTiavq ouyKXcoq”.
12.14. Na алобе^ете то ©ecbpqpa 12.5: 'Еотсо q f pia ouppETpucq Siypappucq popcpq otov V лаусо
ото R. Tote иларх£1 pia paoq той V orqv оло(а q f ауаларсотатас ало sva Siaycbvio л1уака.
Ka0E aXXog Siaycbviog лсуакад-ауалараотасгг| Tqg f 0a exei tov iSio api0po 0etikcov катахсорь
oecov, p, Kai tov 1810 api0po apvqTiKcbv KaTaxcopioscov, n.
Алб то ©Ecbpqpa 12.4, иларх£1 pia paoq {ub...,un} той V OTqv оло!а q f ауаларютата!
ало sva Siaycbvio л1уака о олоюд exei, yia лара8е1ура, p 0ет1кёд Kai n apvqTiKsg катахсор!-
osig. Уло0ётоирЕ тсора oti to {wb..,,wn} sivai pia aXXq paoq той V, orqv оло1а q f ауаларь
oxaxai ало eva Siaycbvio nivaKa p£ p' 0exik6<; koi n' арутупкЁд Kaxa%copio£i<;. МлоробрЕ va
оло0Ёооор£ х®РЦ COTibXfia ysviKEvoqt; oti oi 0etike<; Kaxa%copio€i<; axov ка0£ nivaKa Epcpavi-
i^ovxai лрсох£<;. Ecpooov rank(f)=p+n=p'+n', apKEi va ano5£U;ovp£ oxi p=p'.
'Eaxco U r| ypappiKq ЕлЁкхаат| xcov ub...,up koi eoxco W r| ypappiKq ЕлЁкхаат] xcov
wp'+l. wn. Toxe f(v,v)>0 yia ка0£ pq-pq5sviK6 vg U, koi f(v,v)<0 yia ка0£ pq-pq6£viKO vg W.
Enopfivcot; U n W={0}. EqpEicbvExai oxi dim U=p Kai dim W=n-p'. EvvEncbt;
dim(C/ + F) = dim U + dim IF - dim(t/ DFF) = p + (n-p')-O = p-p' + n
'Opcot; dim(U+W)<dim V=n, олохе p-p'+n<n q p<p'. Opoia, p'<p koi cot; ek xovxov p=p',
6лсо<; ^qxovoapE.
napaxqpqoq: To лю лаусо ©Ecbpqpa koi т| anoSEi^f] xov E^apxcbvxai povo ало xt|v ewoio xqt;
0£xiK6xT|xai;. fit; ek xovxov xo 0£cbpr|pa aXq0£V£i yia олоюбт|лох£ улоле6ю К xov лраурахс-
kov ле5юу R, 6лсо<; Eivai yia ларабвгура xo рт|хо ле61о Q.
0ETIKA OPIEMENEE ПРАГМАТ1КЕЕ ТЕТРАГЯМКЕЕ МОРФЕЕ
12.15. Na алоб£1^£х£ oxi oi лю кахсо opiapoi piat; 0exikoi opiopEvqt; xExpaycovucqt; popcpqt; q Eivai
ioo6vvapoi:
(а) Ее оло1абт|лох£ 6iaycbvia avanapaoxaoq xqt; q, 6X£<; oi 6iaycbvi£<; KaxaxcopiaEit; Eivai
0£XIKE<;.
(P) q(Y)>0, yia олоюбтргохЕ pq-pq6£viKo 6iawopa Y oxov Rn.
Уло0Ёхоур£ oxi q(Y)=a1y12+a2y22+...+anyn2. Eav Eivai 6X01 oi ovvxeX£oxe<; 0exikoi, xoxe
£вка0ара q(Y)>0 олохе Y*0. Еууелсо<; xo (a) ovvEnayExai xo (P). Avxiaxpocpa, aq vno06oovp£
oxi xo (a) 6ev Eivai aXq0£<;. Yno0£xovp€ 6qXa6q, oxi калош 6iaycbvia Kaxaxcbpioq ak<0. 'Eaxco
ek=(0,...,l,...,0) xo 6iawopa xov onoiov 6Xe<; oi KaxaxcopiaEit; Eivai 0 ekxoi; ало pia, лоо
PpioKExai oxqv k-ooxq 06oq Kai exei xqv xipq 1. Toxe r| q(ek)=ak 6ev Eivai 0exikt|, koi exoi xo
(P) 6ev Eivai аАт|0Е<;. Me аХХа Хоуш, xo (P) ovvEnayExai xo (а). Еорл£раарах1ка, xa (a) Kai (P)
Eivai iao6vvapa.
12.16. Na лрообюрюЕХЕ каха лбоо т| ка0£р1а ало хи; ларакахсо xExpaycoviKEt; popcpst; q Eivai 0exikoi
opiopEvq:
(a) g(x,>-,z) =r2+ 2/-4xz-4yz +7?
(fi) 9(x,y,z)=x2+/+2xz + 4yz + 3z2
ДшусоуюлоюбрЕ (олб avyicXiari) xo ovpp£xpiK6 nivaKa А лоо avxioxoixEi axqv q.
(a) Ecpappo^ovpE бшбохска xovt; pExaaxqpaxiapovt; “AvxiKaxaoxaoq xqt; R3 p£ 2R!+R3”
koi “AvxiKaxaoxaoq xqt; C3 p£ 2С]+С3”, Kai ЁлЕпа xovt; “AvxiKaxaoxaoq xqt; R3 p£
R2+R3” koi “AvxiKaxaoxaoq xqt; C3 p£ C2+C3” yia va o6qyq0ovp£ oxov
Г 1 0-21 Г1 0 01 Г1 o o]
Я = I 0 2-2 ~ 0 2 -2 I ~ I 0 2 0 I
[-2 —2 7j [o —2 3j L° 0 1J
H 6iaycbvia avanapaoxaoq xqt; q л€р1Ё%€1 povo 0exik6<; Kaxa%copio£i<; oxq 6iaycbvio, xa
1,2, 1, apa q q Eivai 0exikoi opiopEvq.
(Р) 'EXovp£
Г1 0 11 Г1 0 0"| Г1 0 0"|
Л = I 0 1 2 I ~ I О 1 2 ^ 0 1 О
[1 2 3_| [О 2 2J |_0 О -2J
Ynapxei pia apvqTiKq катахсорют] атт| Siaycbvia avanapaoraoq Tqg q, то -2, ара q q
8ev sivai 0£Т1ка opiopsvq.
12.17. Na Sei^ete oti q q(x,y)=ax2+bxy+c2+cy2 sivai Ostikci opiopsvq sav Kai povo sav a>0 Kai q
8iaKpivovoa D=b2-4ac<0.
YnoOsTovps oti v=(x,y)#0. Tots sits x#0, siTs y^O. 'Еотсо, yia napaSsiypa, y^O. 'Еотсо,
snioqg, t=x/y. Tots
<№) = /[aix/y)2 + b(x/y) + c] = /(a? + bt + c)
Qotooo, та ларакатсо sivai ioo8vvapa:
(i) q s=at2+bt+c sivai Ostiki) yia ка0б Tipq tod t.
(ii) q s2=at2+bt+c PpioKSTai navco otov t-a^ova.
(iii) a>0 Kai D=b2-4ac<0.
Enopsvcog q q sivai 06TiKa opiopsvq sav Kai povo sav a>0 Kai D<0. [Паратуруау: To D<0
sivai to i8io ps to det(A)>0, onov о A sivai о ovppsTpiKog nivaKag nov avrioroixei ott|v q.]
12.18. Na npoo8iopiosT6 ката nooo q Ka0spia ano Tig mo катсо TSTpaycoviKEg popcpsg q sivai q oxi
06TiKa opiopsvq:
(a) ч(х>у) = *? - 4xy + ly1, (fl) ?(х,Л’) = х2 + 8ху + 5^, (у) q(x,y) = Зх2 + 2xy +j?
YnoXoyi^ovps Tq SiaKpivovoa D=b2-4ac Kai Kaconiv xpqoiponoiovpe та оурпвраората
tov TlpopXqpaTog 12.17.
(a) D=16-28=-12. Ecpooov a=l>0 Kai D<0, q q sivai 06TiKa opiopsvq.
(P) D=64-20=44. Ecpooov D>0, q q 8sv sivai 06TiKa opiopsvq.
(y) D=4-12=-8. Ecpooov a=3>0 Kai D<0, q q sivai 06TiKa opiopsvq.
EPMITIANEE МОРФЕЕ
12.19. Na npoo8iopiosT6 ката nooo oi nivaKsg nov aKoXovOovv sivai Eppraavoi:
[2 2 + 3i 4-5«1 Г 3 2-i 4 + Л Г 4 -3 5"]
2 — 3/ 5 6 + ?« L (fl) 2-i 6 i , (y) -3 2 1 I
4 + 5/ 6-2/ -7 J |_4 + / i 7 J 5 1 -6J
'Evag piyaSiKog nivaKag А=[ау] sivai Eppvaavog sav A*=A, SqXaSq sav ay = aJt.
(a) Nai, acpov icovTai ps to ov^vyq avaorpocpo tov.
(P) 'Oxi, napoXo nov sivai ovppETpiKog.
(y) Nai. Err|v npaypaTiKOTqTa, svag npaypaciKog nivaKag sivai Eppvciavog sav Kai povo
sav sivai ovppsTpiKog.
12.20. Eav о A sivai svag Eppvciavdg nivaKag, va 8si^6Ts oti о f, nov opi^STai ano Tqv f(X, Y)= x T A Y >
sivai pia Eppraavq popcpq otov Cn.
Tia 6Xa та a,beC Kai 6Xa та X|,X2,YeCn,
f(aXi + ЬХ2, У) = (a*i + bX2)rAY = (aX[ + bX{)AY
= aX[AY + bX2AY = af(Xx, Y) + b/(X2, Y)
Apa о f Eivai ypappiKog arqv npcbrq pETapXqrq. Enioqg,
f(X,Y) = XTAY = (XTAY)T = YTATX = YTA *X = YTAX =f(Y,X)
Enopcvcog о f eivai pia EppiTiavq y.opcpf| otov Cn. (Парат^р^ац: XpqoiponoiobpE to ysyovog
oti ° xTAY EEVai optOpog, Kai apa 0a ioootoi це tov avaoTpocpo too.)
12.21. 'Еотсо т| f pia EppiTiavq popcprj otov V Kai еотсо H о nivaKag rqg f oe pia paoq S={u;} too V.
Na anoSEi^ETE та акоХооОа:
(a) f (u, v) = [u]£ H[ v] 5 yia 6Xa та u,ve V.
(p) Eav о P Eivai о nivaKac; aXXayqc; paoqc; ano rqv S oe pia vsa paoq S' too V, tote о
B = pTHP (Л 0 B=Q*HQ, onoo Q=p ) Eivai о nivaKac; rqg f orq vea paoq S'.
LqpEicbvETai oti to (p) Eivai to piyaSiKo avaXoyo too ©EcopqpaTog 12.2.
(а) 'Еотсо u,ve V. Yno0£ToopE, Enioqg, oti 0=3^1+.. +anun Kai v=b|U]+.. .+bnun. Tote, oncoc;
(jjToooapE,
/(«, v) = /(«!«! +... + a„u„, btut +... + b„u„)
= Z^b/(Ui, Vj) = [a,................V = [ullm
(p) Асроо о P Eivai 0 nivaKac; aXXayqc; paoqc; ano rqv S orqv S', Oa ЁхоорЕ P[u]r = [u]5
Kai P[v]5. = [v]5, apa [u]£ = [u£.Pr Kai [v]5 = P[v]5. . lovEncbg, ano to (a),
/(«. 0 = Ml Ж = Mf Pr№
'Opcoc; та u Kai v Eivai aoOaipETa otoixeio too V, apa 0 PTHP 0a Eivai 0 nivaKac; rqg
f orq paoq S'.
Г 1 l+i 2i “I
12.22. 'Еотсо о H = -2i 4 2 - 3/ , svac; EppiTtavoc; nivaKac;.
[-2/ 2 + 3i 7 J
Na Ppeite sva pq-i5ia£ovTa nivaKa P tetoio coote 0 p = pTHP VQ Siaycbvioc;. Enioqg,
va Ppeite rqv onoypacpq too H.
XpqotponotoopE tov rpononoiqpEvo AXyopiOpo 12.1 noo Ecpappo^Ei тоод iSioog pETaoxq-
ратюроод ypappcbv aXXa тоод avTioroixoog oo^oyEig pETaoxqpariopoog orqXcbv. 'Etoi, oxq-
pari^oopE прсота то SiapEpiopsvo nivaKa M=[H,I]:
[1 1+i 2i 1 1 0 0"|
1-i 4 2 - 3i [ 0 1 0 I
-2i 2 + 3i 7 1 0.0 1J
Ecpappo^ovpE 8ia8oxiKa тоид pETaoxrjpanopovg ypappcbv “Аупкатаотаот) тт)д R2 це
(-l+i)Ri+R2” кат “Аупкатаотаот) тт|<; R3 це 2iR|+R3” Kai ёяепо tovc; avrioToixovg ov^vyEig
цЕтаохпцатюцопс; ott)Xcov “Аупкатаотаот) тт|д C2 це (-l-i)C]+C2” Kai “Аупкатаотаот) тт|д
C3 це -2iC,+C3” yia va napovpE tov
[1 l+« 2ii 1
0 2 -5i'-1+i
0 5/ 3 । 2i
0 01
1 0
° d
Kai ЁлЕ1та tov
p;
[o 5i
Oi I 0 01
-5<;-1+/ 1 0
3 I 2i 0 1J
АкоХоо0сод Ecpappo^ovpE то ЦЕтаохлцатюцо ypappcbv “Аупкатаотаот) n]g R3 р£ -5iR2+2R3”
Kai tov avnoroixo ov^vyf) рЕтаохпратюро ott)Xcov “Аупкатаотаот) тт|д C3 pE 5iC2+2C3” yia
va napovpE tov
[10 0 । 1
0 2 -5i [ -1+/
0 0 -19 I 5 + 9i
0 01 Г1 0 0 ' 1 0 01
1 0 Kai ЁЛЕпа tov ° 2 0 J-l+i 1 0
-5i 2 J [0 0 -38 i 5 + 9» -5i 2 J
Tcbpa о H exei 3iaycovionoiT)0Ei, Kai о avaoTpocpog tov Se^iov pioov tov M Eivai о P. ЕлорЁУсод
Oetovpe
ETjpEicbvETai oti о D exei p=2 0ЕпкЁд Kai n=l арапка OTOixfiia, олоте tj vnoypacpf) tov H 0a
Eivai sig(H)=2-l=l.
ПО1К1АА ПРОВЛНМАТА
12.23. Na олоЗе^ете то 0£сЬрт)ра 12.3: 'Еотсо т) f pia svaAlaooopEvr] popcpf) otov V. Tote vnapxei
pia Раот) tov V ovqv onoia tj f avanapioTcrrai ano sva Siapepiopevo Siaycbvio nivaKa M pE
Г 0 П
vnonivaKEc; тт|д popcprjg I _ । q i) 0. О api0pog tcov pT)-pT)3EviKcbv vnomvaKCOV npooSiopi-
^ETai povaSiKa ano tt|v f [acpov ioovtoi p£ - rank(f)].
Eav f=0, tote то 0£сорт)ра Eivai npocpavcbg аХг]0Ёд. Eniorig, eav dim V=l, tote f(k|U,k2u)=
k|k2f(u,u)=0 Kai etoi f=0. Evvencbg pnopovpE va vno0£oovpE on dim V>1 Kai f#0.
Ecpooov frO, 0a vnapxovv (рт)-рт)3£У1ка) ubu2e V tetoio coote f(ubu2)#0. Ettjv праурапкб-
тт]та, noXXanXaoia^ovrag то U| p£ sva кат<Ш.т)Хо napayovra, pnopovpE va vno0£oovpE on
f(ubu2)=l Kai etoi f(u2,U|)= -1. Tcbpa та u, koi u2 Eivai ypappiKa ау£^артт)та, EnEiSf) Eav, yia
napaSEiypa, u2=kub tote f(u1,u2)=f(U|,kU|)=kf(U|,U|)=0. 'Eotco U=span(ubu2). Tote:
(i) О nivaKag-avanapaoTaoi] tov nEpiopiopov n)<; f otov U on] pdoi] {ubu2} 0a Eivai о
J].
(ii) Eav ue U, yia napaSEiypa u=au,+bu2, tote
f(u,U|)=f(aU|+bu2, U|)=-b koi f(u,u2)=f(au|+bu2, u2)=a
'Еотсо on о W anoxsAsixai ano EKsiva xa Siavvopara we W yia xa onoia f(w,U])=0 Kai f(w,u2)=0.
looSuvapa,
W={we V: f(w,u)=0 yia кабб ue U}
loxvpi^opaore oxi V=Uф W. Eivai cpavspo oxi Un W={0}, Kai exoi anopsvsi va Ssi^oups oxi
V=U+W. YnoOerovrac; oxi ve V, Gsxoups
u=f(v,u2)u1-f(v,u1)u2 Kai w=v-u (1)
Acpou xo u sivai svac; ypappiKog auvSuaapoc; xcov uf Kai u2, ue U.
Exq auvsxsia 9a Ssi^oups oxi we W. Ano xt]v (1) Kai xo (ii), f(u,U])=f(v,U]), onoxs
f( w,u j )=f(v-u, u । )=f(v,u i )-f(u,U] )=0
'Opoia, f(u,u2)=f(v,u2), Kai exoi
f(w,u2)+f(v-u, u2)=f(v,u2)-f(u,u2)=0
Toxe we W Kai apa, ano xt]v (1), v=u+w, onov ue W. Avxo Ssixvsi oxi V=U+W, Kai snopsvcoc;
v=u@w.
Tcbpa о nspiopiapoc; xtjc; f axov W sivai pia svaXXaaaopsvq Siypappucq popcpri oxov W.
AnoSsiKvvsxai snaycoyiKa oxi unapxsi pia Раад u3,...,Un xov W axqv onoia о nivaKac; nov
avanapiaxa xqv f nspiopiapsvq axov W exei xqv smOupqxq popcpq. EupnspaapaxiKa, xo
ubu2,u3,...,un sivai pia Paaq xov V axqv onoia о nivaKac; nov avanapiaxa xqv f exei xqv
smOupqxq popcpq.
AAYTA ПРОВЛНМАТА
А1ГРАММ1КЕЕ МОРФЕЕ
12.24. 'Eaxco u=(xbx2) Kai v=(yby2). Na npooSiopiosxs noise; ano xu; паракахсо sivai SiypappiKSc;
popepse; axov R2:
(a) f(u,v)=2x1y2-3x2yb (y) f(u,v)= 3x2y2, (s)f(u,v)=l,
(p) f(u,v)=x1+y2, (5) f(u,v)=x1x2+y1y2, (ox) f(u,v)=0
12.25. 'Eaxco q f pia SiypappiKq popcpq axov R2 nov opi^Exai ano xqv
/[(*1. *2). 01. Л)] = 3*1^1 “ + 4X2>>2 “ ЪУ2
(a) Na Ppsixs xov nivaKa A xqc; f axq Paaq {U|=(l,l), u2=(l,2)}.
(P) Na Ppsixs xov nivaKa В xqc; f axq paaq {V]=(l,-1), v2=(3,l)}.
(y) Na Ppsixs xov nivaKa aXXayqc; Paaqc; P ano xqv {uj axqv {vj, Kai va EnaXqGsuosxs
6xiB=PTAP.
12.26. 'Eaxco V 0 SiavuapaxiKOc; x<bpo<; 2-xsxpaycoviKcbv mvaKcov navco axo R. 'Eaxco, sniaqc;,
M = [3 5]’ Kai f(A,B)=tr(ATMB), onov A,BeV Kai xo “tr” aupPoXi^si xo ixvoc;. (a) Na
Sei^exe 6x1 q f sivai pia SiypappiKq popcpq axov V. (P) Na Ppsixs xov nivaKa xqc; f axq paaq
ID 2]. D ;] D 2]. [2 ?]}
12.27. 'Еотсо B(V) то ovvoXo 8iypappiKcbv popcpcov axov V navco ото К. Na anoSsi^Ers та акоХооОа:
(a) Eav f,ge B(V), tote f+g, kg e B(V) yia опою8г|поте ke K.
(P) Eav oi ф кас a sivai ypappiKsg ovvapTqosig otov V, tote я f(u,v)=4>(u)o(v) avqKEi ото
B(V).
12.28. 'Еатсо oti о [f] ovpPoXi^si tov nivaKa-avanapdoraoq piag 8iypappucqg popcpq; f otov V coc;
про; pia pdori {u,}. Na Ssi^srs oti о рбтаоэдратюрод f l-> [f] sivai sva; юорорсрюрод tov
B(V) navco ато 8iawopariK0 %copo n-rsrpaycoviKcov nivaKcov, V.
12.29. 'Еатсо r| f pia Siypappucq popcpq otov V. 'Еатсо, snioqg, yia опою8т|поте vnoovvoXo S tov V,
51 ={ve V: f(u,v)=O yia каОв ue S} Kai ST={ve V: f(u,v)=O yia каОв ue S}
Na 8si£sTE oti: (a) oi 51 Kai ST sivai vnoxcbpoi tov V, (P) r| c S2 ouvsnaysrai oti S2 c
Kai S2TcS(T,(y) {o}1 ={0}T = V.
12.30. YnoOsTOvrag oti t| f sivai pia Siypappucq popcpq otov V, va ano8si£sTE oti: rank(f)=dim
V-dim V1 =dim V-dim VT Kai dpa dim VL =dim VT.
12.31. 'Еатсо т| f pia Siypappucq popcprj orov V, Kai Еатсо oti 01 й : V->K Kai и ' V->K opi^ovrai and
ng u (x)=f(x,u) Kai и (x)=f(u,x), yia KdOs ue V. Na anoSsi^ers та s£qg:
(a) О KaOsvag апо тоид й Kai и sivai ypappucog, SqXaSq u ,u e V*.
(P) О KaOsvag апо тоид u l-> й Kai u !-► и eivai svag ypappucog psraoxqpanopdg ano tov
V arov V*.
(y) rank(f)=rank(ul->u)=rank(ul->u).
12.32. Na 8si£sTE oti q ovyKXioq nivaKcov (nov ovpPoXi^srai ps =) sivai pia o%soq iao8vvapiag,
SqXaSq:
(i) A=A. (ii) Eav A=B, tots B=A. (iii) Eav A=B Kai B=C, tots A=C.
EYMMETPIKEE Д1ГРАММ1КЕЕ МОРФЕЕ, ТЕТРАГПМКЕЕ МОРФЕЕ
12.33. Na Ppsirs то ouppsrpiKo nivaKa A nov avqKEi arqv KaOspia ano Tig паракатсо rsrpaycoviKsg
popcpsg:
(а) Я(.х>У<г) - - вху + у2 - 16xz + 14yz + 5т2, (у) q(x,y,z) =xy+y2 ч-Дхг+т2
W 9(x.y.z)=x2-xz+y2, (<5) q(x,y,z)=xy+yz
12.34. Г1a tov KaOsva ano тоид паракатсо cruppsrpiKovg nivaKsg A, va Ppsirs sva pq-t8id^ovra nivaKa
P tetoio coote 0 D=PTAP va sivai 8iaycoviog:
12.35. 'Еотсо q(x,y)=2x2-6xy-3y2 Kai x=s+2t, y=3s-t.
(a) Na ^avaypaysrs ttjv q(x,y) ps popcpri nivaKcov Kai va Ppeite tov nivaKa A nov
avanapiora rr)v rsrpaycovucq popcpri.
(P) Na ^avaypacpsrs tt| ypappncq avriKaraoraoq xpqaiponoicbvrag popcpf| mvaKcov Kai va
Ppsirs tov nivaKa P nov avTioroi%£i ott|v avriKaraoraaq.
(y) Na PpsirE tt|v q(s,t) xpqcnponoicbvrag: (i) apsoq avTiKaraoraor], (ii) popcpri mvaKcov.
12.36. Tia rr]v KaOspia ano ng rsrpaycoviKsg рорсрЁд q(x,y,z) nov aKoXovOovv, va Ppsirs pia pq-
iSia^ovoa ypappncq avriKaraoraoq, SKcppa^ovrag ng psrapXqrsg x, y, z ovvaprqosi tcov
psrapXqrcbv r, s, t, rsroia coots q q(r,s,t) va sivai Siaycbvia:
(a) q(x,y,z)=rl + 6xy + 8y2 -4xz + 2yz-9z2,
(0) q(x,y, z) = 2x*-3xy + 8xz+l2yz + 25?,
(?) q(x,y, z) = x2 + 2xy + 3/ 4- 4xz 4- 8yz 4- 6?.
Zrqv ка0б nspinrcooq, va Ppsirs to PaOpo Kai rqv vnoypacpq.
12.37. Na Scbosrs sva napaSsiypa piag rsrpaycoviKqg popcpqg q(x,y) rsroiag coots q(u)=0 Kai q(v)=0
aXXa q(u4-v)#0.
12.38. 'Еотсо on q S(V) ovppoXi^si 6Xsg ng ovppsrpiKsg SiypappiKsg popcpsg otov V. Na Ssi^srs on:
(a) H S(V) sivai svag vnoxcbpog rov B(V).
1
(P) Eav dim V=n, tote dim S(V)= — n(n4-l).
12.39. ©EcopsiorE sva праурапкб rsrpaycoviKo noXvcbwpo q(x ।,... ,xn)=^(x1,..., x„) = aijxtxj< onov
aij=ajr
(a) Eav aH#0, va Ssi^srs on q avTiKaraoraoq
Х1 =У' ~^^,2У2+ • + ai">'")’ Х2=У2' Хп=Уп
oSqysi orqv s^iocooq q(X|,...,xn)=any|24-q'(y2,...,yn), onov to q' sivai snioqg sva
rsrpaycoviKO noXvcbwpo.
(P) Eav a11=0 aXXa, yia napaSsiypa, a]2*0, va Ssi^srs on q avriKaraoraoq
Х1=У1+Л. Х2=У1-Л. x3=y3, x„=y„
oSqysi orqv s^iocooq q(x,,...,xn)=^Z>yy, у y , onov Ьц*0, кап то onoio avaysi rqv
nspinrcooq avrq orqv nspinrcooq (a).
Паратг!priori: H psOoSog avrqg rqg Siaycovtonoiqoqg rov q sivai yvcoorq cog ovpnXqpcooq
rov rsrpaycbvov.
0ETIKA OPIEMENEE TETPATftNIKEE МОРФЕЕ
12.40. Na прообюрюете ката nooo т) KaOepia ало тк; акбХоъОед тетрауаткёд рорсрёд eivai и 6%i
0епка opiapevri:
(a) q(x,y) = 4x1 + 5ХУ + 1У1, (у) q(x,y,z) = Р + 4ху + 5/ + 6xz + 2yz + 4?
(fl) q(x,y) = 2x2-Зху-у2, (J) q(x,у, z) = x2 + 2xy + 2/ + 4xz + 6yz + 7?
12.41. Na Ppene тк; тсрёд eKeiveg тои k yia тк; onoieg т) беборёуп тетрауамкп рорсрт] eivai 0епка
opiopevT|:
(a) q(x,y) = 2х*-5ху + ку*, (fl) q(x,y) = 3xl-кху + 12/
(у) q(*,y,z) = x? + 2ху + 2у* +2xz + 6yz + kz?
12.42. Упо0ётоутад oti о A eivai evac; праурапкбд оирретрисбд, 0епка opiopdvog nivaKac;, va берете
oti A=PTP yia капою pn-i6ia£ovra nivaKa P.
EPMITIANEE МОРФЕЕ
12.43. Na тропопО1Г|аете tov AXy6pi0po 12.1 ёто1 сооте, yia eva беборёуо Eppmavo nivaKa H, va
PpioKei ёуа pr|-i6id^ovTa nivaKa P yia tov onoio о D=PTAP va eivai 5iaycbviog.
12.44. Tia tov ка0е Eppmavo nivaKa H, va Ppene ёуа pn-i6ia£ovTa nivaKa P тётою сооте о
D = pTHP va е™а1 Siaycbvio»;:
(“>»=[_'j] W» = [J3/ 2+3'] «"-[Д ‘г+1 >g']
En]v ка0е nepinrcoor], va Ppene to Pa0p6 Kai n]v unoypacprj.
12.45. Eav о A eivai evac; piya6iKdg pn-i5ia£cov nivaKac;, va берете oti о H=A*A eivai Eppmavog Kai
0ет1ка орюрёуод.
12.46. Лёце oti о В eivai Eppmavog ovyicXivcov npog tov A eav unapx£i ёуад рп-idid^cov nivaKag P
тётоюд сооте в = Рт АР »П юоббуара, eav unapx£i svag |ir|-i6id^cov nivaKag Q тётоюд сооте
B=Q*AQ. Na берете oti tj Eppmavn оиукХют] eivai pia охёот| ioo6i)vapiag. (Егще^ог): Eav
Р = ё,т6те PrJP=Q*AQ.)
12.47. Na апобе^ете то ©есортща 12.7: 'Еотсо т) f pia Eppniavri popcpri otov V. Тбте unapxEi pia
Раот] S тои V ott|v onoia T] f avanapiorcnai and ёуа 6iaycbvio nivaKa, evco ка0е аХХт] 5iaycbvia
avanapaoraar] ёх£1 tov i6io api0pd 0enKcbv катахсорюесоу, p, Kai tov i6io api0pd apvr|TiKcbv
Karaxcopioecov, n.
ПО1К1АА ПРОВЛНМАТА
12.48. 'Еотсо oti to e oupPoXi^ei 6va otoix£ico6t] ретаохпратюрб ypappcbv Kai to f* tov avrioTOixo
oi)£uyr| ретаохпратюрб ornXcbv (опои о ка0е api0pdg k otov e avTiKa0ioTonai ano то к otov
f*). Na берете oti о OTOix£iib6ng nivaKag пои avrioroiXEi otov f* eivai о ои^иупд avaorpocpog
тоид oTOix£iib6oug nivaKa nou avriOTOixEi otov e.
12.49. 'Eotco oi V Kai W 5iawopaTiKoi xa»poi navco ото К. 'Evag ретаохпратюрбд f: VxW->K
ovopa^erai 6iypappiKT| рорсрт] tcov V Kai W eav:
(i) f(av]+bv2, w)=af(vbw)+bf(v2,w)
(ii) f(v, aw]+bw2)=af(v, Wj)+bf(v, w2)
yia KdOs a,be K, v,e V, WjG W. Na anoSsi^sxs та s£r|g:
(a) To ouvoXo B(V,W) SiypappiKcbv popcpcov oxoug V кас W sivai svag unoxebpoc; xou
SiavuapaxiKou xcbpou auvapxf|OECOv ano tovVxW ото K.
(P) Eavxo {ф),...,фт} sivai pia pdor| xou V* Kaixo {ab...,an} pia P<xcrq xou W*, xoxe xo
{fy: i=l,...,m, j=l,...,n} sivai pia Paor| xou B(V,W), onou о fy opi^sxai ano xr|v
fij(v»w)^i(v)Oj(w)- Enopsvcog dim B(V,W)=dim V dim W.
[Zx|p£icbv£xai oxi sav V=W, xoxe naipvoupE xo xcbpo B(V) nou E^Exdoxx|KE oxo napov KscpaXaio.]
я Форе?
12.50. 'EoxcooVevaq SiavuopaxiKoq xcbpog navcooxovK.'Evag р£хаохт]ратюр6д f :V xVx...xV К
Xsysxai поХиурарриа] (i) m-ypappiKf|) popcpi) oxov V sav о f sivai ypappiKog oxr|v ка0Е psxa-
pXqxf), 5т]Ха5т|, yia i=l,...,m,
au+'bv, = + ...)
onou xo oupPoXi^si xo i-ooxo oxoixeio, Kai xa unoXoina oxoixeia napapsvouv oxaOspa.
Zuvsxi^ovxag, piam-ypappiKT| popepr) fXsysxaisvaXXaoo6psvT| sav f(vv^O, onoxs v =Vj
yia i*j. Na anoSsi^sxs xa акоХоиОа:
(a) To ouvoXo т-ypappiKcbv popepebv oxov V, Bm(V), sivai svag unoxcbpog xou Siavuopa-
xikou xcbpou ouvapxr|OECOv ano xov у x V x...x V ото К.
(P) To ouvoXo svaXXaooopsvcov т-ypappiKcbv popepebv oxov V, Am(V), sivai svag unoxcbpog
xou Bm(V).
Паратт]рт]ст1] 1: Eav m=2, xoxe naipvoups xo xcbpo B(V) пои Е^Ехаохт|КЕ oxo napov
KsepaXaio.
Паратт]рт]ст1] 2: Eav V=Km, xoxe i] ouvapxr|or| xr|g opi^ouoag sivai pia svaXXaoo6psvr|
m-ypappiKi) popepr) oxov V.
A1IANTHEEIE AAYTftN IIPOBAHMATQN
ХицРокацдд: oM=[R]; R2; ...] crvpPoXi^si sva nivaKa M psypappsgRj, R2,...
12.24. (a) vai, (P) oxi, (y) vai, (5) oxi, (e) vai, (ox) vai
12.25. (a) A=[4,l; 7,3], (P) B=[0,-4; 20,32], (y) P=[3,5; -2,2]
12.26 (P) [ 1,0,2,0; 0,1,0,2; 3,0,5,0; 0,3,0,5]
1233. (a) [2,-4,-8; -4,1,7; -8,7,5], (b) [1,0,-1; 0,1,0; -|,0,0],
(c) [0,|,2; 1,1,0; 2,0,1], (d) [0,j,0; j,0,1; 1,0,1; 0,1,0]
1234. (a) P = [l,0, -2; 0,1,-2; 0,0,1], D = diag(l, 3, -9),
(6) P = [l,2,-ll; 0,1,-5; 0,0,1], D = diag(l, 1, -28),
(c) P = [1,1,-1,-4; 0,1,-1,-2; 0,0,1,0; 0,0,0,l], D = diag(l, 1,0, -9)
12.35. А = [2, -3; -3,-3], Р = [1,2; 3,-1], q(s, t) = -43? - 4st + 17г2
12.36. (a) x = r-3s-19r, y = s + 1t, z = t; q(r,s, t) = r2 -? + 36г2,
(ft) x = r — 2t, у = s + 2t, z = 1; q(r, s, t) = 2? - 3? + 29г2
12J7. q(x,y) = x2 и = (1,1), v = (1, -1)
12.40. (а) yes, (ft) no, (c) no, (d) yes
12.41. (а) *>f, (ft) к < -12 or к > 12, (c) k>5
12.44. (а) (с) P = [\,i\ 0,1], D = 7,s = 2, (ft) P = [1,-2 + 3j; 0,1], D = diag(l,-14), s = 0, P = [l,/,-3 + f; 0,1,»; 0,0, l],D = diag(l, 1,-4),s=l
КесраХаю 13
ГРАММ I KOI TEAEZTEZ ZE
XQPOYZ EZQTEPIKOY UNOMENOY
13.1 Е1ЕАГПГН
To КЕфаХаю аитб EpEwa то xcbpo A(V) урацщксоу teXeotcov T oe Eva xcbpo eocotepikov yivop6vov, V.
(ВХёпе КЕфаХаю 6.) 'Etoi, to пе5ю Paor|g К 0a Eivai eite oi npaypaTiKoi apiOpoi R eite oi piyaSiKoi
api0poi C. Ett|v прауцат1кбтт|та, 0a xptloiponoiovvTai бюфорЕпкЁд opoXoyiEg yia ttjv прауцатиа] Kai
tt| |iiyaSiKf| ЯЕрслтсоог]. Хрг|01цолоюбц£ Eniorig то yeyovog oti та eocotepiko ytvopeva otov прауцапкб
EvkXeiSeio xcbpo Rn koi ото piyaSiKO EvkXeiSeio xcbpo Cn pnopovv va opioTOvv avTioTOixa ало тк;
(u,v)=uTv Kai (u,v)=uTv
блои та u Kai v Eivai SiavvopaTa отг|Хг|д.
KaXo 0a r|Tav о avayvcborrig va ava0Ecopr|OEi лрсота то КЕфаХаю 7, etoi coote va Eivai е^оскессоцё-
vog це Tig 6woi£g tt|<; убрцад (цт|коуд), n]g ор0оусоУ1кбтт)тад Kai tcov op0OKavoviKcbv Paoscov. Zt|-
pEicbvETai eniorig oti evco ото КЕфаХаю 7 аохоХг|0г|каце Kvpicog це прауцапкобд xcbpouc; eocotepikov
yivopevov, ото КЕфаХаю аотб 0a вло0ётоуце oti о V Eivai 6vag piyaSiKog x<bpog eocotepikov yivop6-
vov, Ектбд Eav 5i]Xco0£i т| vnoSr|Xco0Ei koti aXXo.
ТЁХод, 0a лрЁл£1 va or|pEico0£i oti, ларбХо лоо ото КЕфаХаю 2 ovpPoXi^apE то ov£vyr| ауаотрофо
svog piyaSiKov nivaKa А це Ah, 5r|Xa5f| ioxve Ан - AT , Evrovroig о ovpPoXiopog аотбд Sev олоте-
Xei лрбтоло: noXXa РфХСа, Kai iSianspa та лрохсоргщЁуа, xpipiponoiovv to ovpPoXiopo A* yia eva
тётою nivaKa. О ovpPoXiopog аотбд 0а хрт|снроло1Г|0Е1 Kai ото napov КЕфаХаю. Тсора, 8т|Ха6т|, 0а
ёхооце А*=ЛГ.
13.2 IIPOEAPTHMENOI ТЕЛЕЕТЕЕ
0а ^ек1уг|оооце це tov лю катсо PaoiKO орюцб.
Орюцбд: 'Evag ураццисбд ТЕХ£огг|д Т ое 6va xcbpo eocotepikov yivop6vov V ХЁувтас oti ёх£1 6va
лрооарттщЁУО teXeottj T* otov V £av(T(u), v)=(u, T*(v)), yia ка0£ u,vg V.
To ларабвгуца nov aKoXov0£i Seixvei oti vnapxei ц€а anXr| п£р1урафг| yia tov прооарттщЁУо teXe-
отт| цЁоа ото yEviKOTspo nXaioio tcov цЕтаохпцатюцсоу nivaKCOv.
FlapaSsiypa 13.1.
(а) 'Еотсо о A 6vag n-T£TpaycoviKog nivaKag ©ЕсортщЁУод cog 6vag урацщкбд тЕХ£отт|д otov Rn. Tote,
yia ка0£ u,ve Rn,
(Au, v) = (Au)Tv = uTATv = (и, ATv)
Enopevcog о avdoipocpog Ат tov A eivai о прооартгщЁУод tov А.
(Р) 'Еотсо о В evat; piyaSiKog п-тетрауамкбд nivaKag бесордрёуод cog evat; урацщкбд тЕХЕотдд otov
Cn. Тоте, yia кабе u,ve Cn,
(Ви, 0 = (Bufv = uTBTv = urB*v = u, B*t>)
Enopevcog о оо^оудд avaoTpocpog B* tov В eivai о прооартдрёуод tov В.
Пара-Гарден]: Гpaepovrag В * pnopei va ewoovpe eire tov прооартд pevo tov В cog ypappiKOv теХе-
отд, е(те to piyaSiKo ov^vyr] tov В cog nivaKa. Eto LlapaSeiypa 13.1 (P), соотбоо, т] 51а<рорет1к6тт|та аутд
8ev Kavei Kapia Siacpopa, кабсод о В* ovpPoXi^ei то iSio avriKeipevo.
To паракатсо бесордра (nov anoSeiKvuerai ото ПрбрХдра 13.4) eivai то PaaiKO ovpnepaopa аутдд
тдд napaypaepov.
©есорд pa 13.1: 'Еотсо о T evag ypappiKog теХеотдд oe eva x®P° еосотерскоб yivopevov, V, nene-
раорёудд 5iaoraor|g navco ото К. Тоте:
(i) Ynapxei 6vag povaSiKog ypappiKog теХеоедд T* otov V тётоюд сооте
(T(u), v)=(u, T*(v)) yia кабе u,ve V. (Me aXXa Xoyia, о T exei £va npo-
оартдрёго T*).
(ii) Eav о A eivai о п(уакад-ауапараотаод tov T cog npog pia опою8дпоте
op6oKavoviKT] раод S={uI} tov V, тоте о туакад-ауапараотаод tov T*
отд Раод S eivai о ov^vyrjg avdoipocpog A* tov А (д о avaorpoepog AT
tov A orav то К eivai праурапко).
Tovi^erai 6ti pia тетою апХд охеод рета^и tcov mvaKcov nov avanapiorovv rovg T koi T*, Sev vnapxEi
eav д Раод Sev eivai орбокауоуисд. Svvencog eSco pXenovpe pia хрдсярд гёютдта tcov op6oKavoviKcov
Paoecov. Ilpenei еп(одд va roviorei oti to бесордра avro Sev vcpioTaTai eav о V exei аперюрютд Зюота-
од (ПрбрХдра 13.31).
To бесордра nov акоХоубе! (то onoio anoSeiKvoerai ото ПрбрХдра 13.5) ovvoipi^ei рерскёд ano Tig
18ютдтед tov прооартдрёуои.
©есордра 13.2: 'EotcooiT, TbT2 ypappiKoi теХеотёд otov V Kai ёотсо ke К. Тоте:
(i) (T,+T2)*=T,*+T2*,
(ii) (kT)*=£T*,
(iii) (TJ^W,
(iv) (T*)*=T.
Паратдробре тду ороютдта рета^и tov mo navco бесордратод Kai tov ©есорд ратод 2.3, ooov асрора
Tig 18ютдтед tov avaorpoepov ретао/дратюроб oe nivaKeg.
Граррисёд Морсрёд koi Xcbpoi Еосотержоб Tivopevov
Ynev6vpi£eTai (КесраХаю 11) oti pia ураррисд рорсрд ф oe ёуа 8iawopaTiK6 x®P° v eivai ёуад
ypappiKog ретаохд рано род 0:V->K. Н vnonapaypaepog аотд nep^xsi £va одраупкб бесордра (то
©есордра 13.3), то onoio хрдощопоюпа! отду ап68ес^д tov napanavco Pooikov ©есордратод 13.1.
'Еотсо о V evag xcbpog eocoxepiKou yivopevou. То кабе ue V npoo5iopi^ei eva pexaoxqpaxiopo
й : V->K nov opi^exai ало tt|v
и (v)=(v,u)
Тсора, yia onoia6qnoxe a,be К Kai onoia6qnoxe v( ,ve V,
и(в1>! 4- bv2) = (avi 4- bv2, и) = a(o1, и) 4- b(v2, и) = au(yi) 4- bu(y2)
To й, 5qXa5q, eivai pia урарриа) popcpq oxov V. To avxioxpocpo eivai enioqg aXq6eg yia xebpoug nene-
paopevqg 5iaoxaoqg, eivai бе xo акоХоибо ouotcb5eg 6ecbpqpa (лои anodeucvuexai oxo IlpopXqpa
13.3).
Oecbpqpa 13.3: 'Eoxco т| ф pia урарриа) popcpq oe eva xcbpo eocoxepiKou yivopevou, V, nenepa-
opevqg Siaoxaoqg. Toxe unapxei eva pova5iKO 5iavuopa ue V xexoio cboxe
0(v)=(v,u) yia кабе ve V.
Eqpeicbvexai oxi xo лю navco 6ecbpqpa 5ev loxuei yia xebpoug anepiopioxqg 5taoxaoqg (IlpdpXqpa 13.24).
13.3 ANAAOriA METASY TQN A(V) KAI C, EIAIKOI ГРАММ1КО1 TEAEETEE
Eoxco oxi q A(V) oupPoXi^ei xqv aXyePpa oXcov xcov ypappiKcbv xeXeoxcbv oe eva xcbpo eocoxepiKou
yivopevou, V, nenepaopevqg 5iaoxaoqg. О npooapxqpevog pexaoxqpaxiopog T|->T* oxqv A(V) eivai
каха noXu avaXoyog npog xo ou^uyq pexaoxqpaxiopo z |-> f oxo piya5iKO ne5io C. npoKeipevou va
napaoxqooupe xqv avaXoyia auxq, uno5eiKvuoupe oxov IlivaKa 13-1 opiopeveg xa^eig xeXeoxcbv
Те A(V), xcov onoicov q oupnepicpopa uno xqv npooapxqpevq aneiKovioq napouoia^ei Koiva oqpeia pe
xq oupnepicpopa uno ou^uyia Kanoicov yveooxebv xa^ecov piya5iKcbv api6pcbv.
IlivaKag 13-1
Tafr/ niyaSiKcbv apiOfubv Evfimpitpopa vno ov^vyia Ta&i TeXemav <m)vA(V) Evpxepupopa wed ttjv npocaprypEVT] aseeiKovian
MovaSiakx; kvkXo5(|z|=1) z=l/z OpOoycbvun teXeot^ (ярауцатист) KEplnrcoaq) MovaSiatoi teXegt^ (|nya5iKT| лЕрЬгтакгг]) ТФ=Г!
Прауратгкб^ z=z Аитояроаартт)ц£уо1 teXect^ Ovo|Ki£ovTai EjrfoT],;: SvppEtpucoi (лрауца-пкг| тирЬпсжщ) Ep|imavo( (piyaSiKT, KEpfatTCixrr]) T*=T
ФаутаспкЛ; z—z AvrutpoaapTT)p£voi teXeot^ Ovopd^ovrat Елйлу;: AvnavppETpucot (ярауратист) яЕрйггахл]) Avn-EpptTiavoC (ptya5tiCT| я£р(ягахэтО T*—T
вспкСх; лраурат1к6<; d^ovcu; (0,оо) z=ww, w*0 ©Епкй opiapdvoi teXeot^ T=S*S ЦЕ TOV S HT|-tSui£ovTa
Н avaXoyia цета^и avTcbv tcov teXeotcov T Kat tcov piyaSiKcov apiGpcov z кабресрт^етас ото
ETcopevo Оесортща.
Oecbpqpa 13.4: 'Еотсо т| X pia iSionpq evo; ypappiKov теХеотт] T otov V.
(i) Eav T*=T'1 (8qXa8q о T eivai op6oycbvio<; q povaSiaiot;), тбте |X|= 1.
(ii) Eav T*=T (SqXaSq о T eivai avTorepooapTqpevot;), тбте т| X eivai герау-
рапкт|.
(iii) Eav Т*=-Т (8qXa8q о Т eivai avTirepooapTqpevot;), тбте т| X eivai yvqoia
cpavraoTiicq.
(iv) EavT=S*S petov S pq-i8ia^ovra (8qXa8q о T eivai бетисаopiopevog),
тбте т| X eivai герауратиа) koi бетиа).
Anodei^n: Erqv кабе reepireTcooq, ёотсо то v eva pr|-pr|8eviKd iSioSiawopa too T лоо avqKei orqv X,
SqXaSq T(v)=Xv pe v#0, apa to (v,v) eivai бет1кб.
AnoSsify tov (i): △ei/yoope oti AA (v,v)=(v,v):
AA(v, v) = {lv, Xv) = (T(v), T(y)) = (v, T*T(v)) = = (v, v)
Opcot;(v,v),*0, ereopevcot; AA =1 Kaieroi|X|=l.
AnodEi&i tov (ii): Де^уоире oti A (v,v)=J (v,v):
A(v, v) = (Av, v) = (T(v), v) = (v, 7*(v)) = (v, T(v)) = (v, Av) = A(v, v)
'Opcot;(v,v)/0, ereopevcot; A = A koietoiq X eivai repay ратиа).
Anoteifyi tov (iii): △eixvovpe oti A (v,v)= - A (v,v):
A(v, v) = (Av, v) = (T(v), v) = (v, T*(v)) = (v, -T(v)) = (v, -Av) = -A(v, v)
'Opcot; (v,v)^0, ereopevcot; A = -А П A = -A > Kai e^vai yv?)aia ^агтаапк^.
АлоЗе^г] tov (iv): KaTapxqv oqpeicbverai oti S(v)X), ereeiSi) о S eivai pq-i8ia^cov. Qt; ек tovtov, to (S(v),
S(v)) eivai бетко. ДесууоурЕ oti X(v,v)=(S(v), S(v)):
A(v, v) = (Av, v) = (T(v), v) = (S*S(v), v) = (S(v),S(v))
'Opcot; to(v,v) koi(S(v), S(v)) eivai бет1ка, ereopevcot; q X eivai бетиа).
napaTqpqcn]: О Ka6eva<; ared tov<; гею reavco ypappiKovt; теХеотё<; T аупр£тат(бета1 pe tov repooap-
Tqpevo tov, SqXaSq TT*=T*T. Tetoioi теХеотё<; ovopa^ovrai kovovikoi.
13.4 AYTOIIPOEAPTHMENOI ТЕЛЕЕТЕЕ
'Еотсо о T evat; avTonpooapTrinEvoq теАесгп/f oe eva xcbpo eocoTepiKov yivopevov, V. Угеобётоуре, Sq-
XaSq, 6ti
T*=T
(Eav о T opi^erai ало eva nivaKa А, тбте о A eivai оиццетр1кбд д Eppvaavog, avaXoya це то eav eivai
прауцатисбд д piya5ucog). Алб то ©есордца 13.4, oi i6ioTipeg тои T eivai лрауратисёд. Mia аАХд
aT||iavTiKr| 15ютт]та тои T, eivai д ларакатсо.
©есордца 13.5: 'Еотсо о Т evag аитолрооартдцёуод теХеотдд otov V. УлоОётоутад oti та и
Kai v eivai сбюбшуиоцата тои Т лои avfjKouv ое бшкекрщёуед сбютщёд, тбте
та и Kai v eivai opOoycbvia, бдХабд (u,v)=0.
Anodsify: УлоОётоице oti T(u)=X,u Kai T(v)=A2V, блои X,^. Aei%voupe oti X/u.v^A^u.v),:
A] (u, v} = (A]U, v} = (T(u), v} = (u, T*(v)> = (u. T(v))
= (u, A2v} = Л2(и, v} = Л2{и, v}
(H тётартт] юбтдта хрдсяцолосе! то yeyovog oti T*=T, evcb д теХеита!а /рдо1цоло1е1 то yeyovog oti д
сбюпцд А2 eivai лрауцатисд.) Ecpooov Х,#^, naipvoupe (и, v)=0, Kai ёто1то Оесордца алобещдке.
13.5 ОР0ОГЯМЮ1 KAI MONAAIAIOI ТЕЛЕЕТЕЕ
'Еотсо о U evag ураццисбд теХеотдд ое eva xcbpo еосотерисои yivopevou, V, лелераоцёудд бшотаодд.
УлоОётоице, елкгдд, бп
U*=U-’ д юобиуаца UU*=U*U=I
Улеу0ищ£ета1 oti о U Хёуета1 opdoycbvioq д povaSiaioq, avaXoya це то eav то илоке!цеуо лебю eivai
лрауцатисб д щуабисб. То Оесордца лои акоХоиОе! (то олою алобеисуиета1 ото ПрбрХдца 13.10) 6ivei
evaXAaKTiKa характдрюпка tcov TeXeorcbv аитсоу.
©есордца 13.6: Oi акбХоиОед оиуОдкед ое 6va теХеотд U eivai юобиуацед:
(i) U*=U-1, бдХабд UU*=U*U=I. [О U eivaipovadiaioq (opOoycbviog).]
(ii) О U бютдре! та еосотериса yivopeva, бдХабд yia каОе v,we V, (U(v),
U(w))=(v,w).
(iii) О U бштдре! та цдкд, бдХабд yia каОе ve V, ||U(v)||=|| v||.
Парабеиуца 13.2.
(а) 'Еотсо Т: R3->R3 о урацщкод теХеотдд лои лерютрёсре1 то каОе бшуиоца v уирсо ало tov a^ova
z ката pia отаОерд ycovia 0, олсод cpaiveTai ото ЕхЛНа Ю-1 (Параурасрод 10.3). О Т, бдХабд,
opi^eTai ало тду
T(x,y,z)=(xcos 0-ysin 0, xsin 0+ycos 0, z)
Едцеиоуета1 oti та цдкд (oi алоотаоесд ало тду архд tcov a^ovcov) 6iarnpouvTai илб tov Т.
Euvencbg о Т eivai 6vag opOoycbviog теХеотдд.
(P) 'Еотсо V о 12-хсород (xcbpog Hilbert) лои орютдке отду Параурасро 7.3, Kai ёотсо Т: V->V о
урацщкод теХеотдд лои opi^erai ало тду
Т(а|,а2,а3,...)=(0,а1,а2,а3...)
Пpocpavcbg о Т бштдре! та еосотериса yivopeva Kai та цдкд, соотбоо 6ev eivai ел!, acpou yia
ларабегуца то (1,0,0,...) 6ev avf|Kei отду eiKovaтои Т, олоте о Т 6ev eivai аутютрёц/щод.
ZujinEpaivoujiE, Xourdv, oti to 0£cbpT)pa 13.6 8ev ixpiaTcrraiyia xcbpoui; алЕрюрюпр; бюотаотц;.
'Evac; юорорсрюрос; ало Eva xcbpo eocotepikou yivopsvou oe Eva aXXo sivai svac; рЕтаохпратюрбс;
Ёуа-лро<;-Ёуа avricTOixia (8i]Xa8f| iya-itpog-iya Kai ел{) лои 8ian]p£i tu; трЕк; РааисЁс; лра^Ек; evoc;
Xcbpou £асот£р1кои упюрЁУои: tt|v лр6о0£<тг| SiavuopaTcov, то Рабрсотб лоХХалХаслаорб Kai та eoco-
TEpiKa yivopEva. ЕлорЁУсос; oi ларалаусо цЕтаохпцатюцо! (о opOoycbvioi; Kai о pova8iaio<;) рлороиу
£Л1от|(; va харсхктг|рютоиу coc; oi loopopcpiopoi тои V otov Еаитб тои. ZTjpEicbvETai oti Ёуас; тётоюс;
рЕтаохпратюрбс; U елют)с; 8ia-cr|p£i тк; алоотаоЕк;, кабсос;
||U(v)-U(w)||=||U(v-w)||=||v-w||
ЕиХоуа, Xowrov, ХЁрЕ oti о U Eivai pia wopsipia.
13.6 OPOOFftNIOI KAI MONAAIAIOIIIINAKEE
'Еотсо о U evoc; ypappiKoc; teXeottjc; oe sva xcbpo eocotepikou yivopcvou, V. Алб то 0£сорт)ра 13.1, XapPd-
voupE та акбХоиба:
ОгсЬрдра 13.7А: 'Evac; piyaSiKog л^акас; А ауаларюта sva pova8iaio teXeotti U (coc; лрос; pia
op6oKavoviKT| Раот|) Eav Kai povo Eav A*=A-1.
©гсордра 13.7B: 'Evac; лраураикод л^акас; А ауаларюта sva op6oycbvio teXeotti U (coc; лрос;
pia орбокауоуиа] Раот|) Eav Kai povo Eav AT=A-1.
Та 8uo ларалаусо б£сорт|рата ouviotouv тоис; акоХоибоис; орюроис; (тоис; олоюис; ouvavTT|oap£ Kai
оси; Параурасроис; 2.10 Kai 2.11).
Оршрбд: 'Evac; piyaSiKog л1уакас; yia tov олою A*=A-1, KaXEiTai povadiaioq mvaicaq.
Орюрбд: 'Evac; лраураикод л1уакас; yia tov олою AT=A-1, koXeitoi opdoycbvioq nivoxat;.
EnavaXapPdvoupE тсора то 0£сорт)ра 2.6, то олою характт|р^£1 тоис; лю лаусо лсуокес;.
©Есордра 13.8: Oi ларакатсо ouv6r|K£(; yia sva л1уака A Eivai ioo8uvapeq:
(i) О A Eivai povaSiaioq (орбоусоуюс;).
(ii) Oi ураррес; тои A ox4Ma'r^ouv sva орбокауошко ouvoXo.
(iii) Oi aTTjXsc; тои A oxnpcrri^ouv Eva op6oKavoviK6 ouvoXo.
13.7 ААААГН OP0OKANONIKHE BAEHE
Oi орбокауоу1кЁс; Рсюек; ла^оиу sva iSiavrspo poXo отт] 6£copia tcov xcbpcov eocotepikou yivopcvou, V.
△iKaioXoyr|p£va, Xourov, £Л18Е1КУиоир£ вубюсрЁроу оти; i8i6tt|tec; тои л1уака аХХаугц; Раотц; ало pia
тётою раот| ое pia aXXr|. Ioxuei то акбХоибо 6scbpr|pa (лои ало8£1куи£та1 ото ПрбрХт|ра 13.12).
©гсордра 13.9: 'Еотсо то {и(,.. .,1^} pia op6oKavoviKr| Раот| evoc; xcbpou eocotepikou yivopcvou, V.
Tote о лсуакас; aXXayqc; Раотц; ало tt|v {и,, отт| pia аХХт) орбокауоуиа) Раот|
Eivai povaSiaioc; (op6oycbvioc;). AvrioTpocpa, Eav о P=[a1J] Eivai svac; pova8iaio<;
(орбоусоуюс;) nivaKac;, tote to ларакатсо Eivai pia op6oKavoviKf| Paor|:
W = Oh“i +a2{u2 + ... + a„{un:i=l...л)
YnevOupi^exai oti Suo nivaKeg A Kai В лои avanapiaxouv xov iSio ypappuco xeXeoxq T eivai opoioi,
SqXaSq B=P-1 АР, блои о P eivai о (pq-i3ia£cov) л^акас; aXXayqg Paoqg. Алб xtjv aXXq, eav о V eivai
evag xcopog eacoxepucou yivopevou, xoxe ouvqOcog pag evSiacpepei т] nepinxcooq блои о P eivai pova-
Siaiog (q opOoycbviog), олсод npoxeivei xo ©ecbpqpa 13.9. (YnevOupi^exai oxi о P eivai povaSiaiog eav
о ou^uyqg avaaxpocpog P*=P-1, evco о P eivai opOoycbviog eav о avaaxpocpog PT=P-1.) Auxo oSriyei
axov лю кахсо opiapo.
Орюрдд: Ado piyaSiKoi nivaKeg A Kai В eivai povaSiaia icoSuvapoi eav unapxei- evag pova-
Siaioq л^акад P yia xov onoio B=P*AP. AvaXoya, Збо npaypaxiKoi nivaKeg A Kai В
eivai opOoycbvia iao86vapoi eav unapxei evag opOoycbviog nivaKag P yia xov onoio
B=PTAP.
Eqpeicbvexai oxi, opQoycbvia laoSuvapoi nivaKeg eivai anapaixqxa au^uyeig.
13.8 OETIKA OPIEMENOI KAI OETIKOI ТЕЛЕЕТЕЕ
'Eoxco о P evag ypappucog xeXeoxqg ae eva xcbpo eacoxepucou yivopevou, V. Toxe:
(i) О P Xeyexai втка opiopivoq eav P=S*S yia капою pq-i8ia^ovxa xeXeoxq S.
(ii) О P Xeyexai веикдд (q pq-apvqxiKog q qpiopiapevog) eav P=S*S yia капою xeXeoxq S.
Та паракахсо Oecopqpaxa Sivouv evaXXaKxucoug xapaKxqpiapoug yia xoug xeXeoxeg auxoug.
Oecbpqpa 13.10A: Oi акбХоиОедauvOqKeg yia eva xeXeoxq P eivai laoSuvapeg:
(i) P=T 2 yia капою pq-i3ia^ovxa auxonpoaapxqpevo xeXeoxq T.
(ii) О P eivai Oexuca opiopevog.
(iii) О P eivai auxonpoaapxqpevog Kai (P(u), U),>0 yia каОе u^O oxov V.
AKoXouOei xo avxioxoixo Oecbpqpa yia OexiKoug xeXeoxeg (xo onoio anoSeucvuexai oxo Пр60Хг]ра 13.21).
Oecbpqpa 13.10B: Oi акбХоиОедauvOqKeg yia eva xeXeoxq P eivai laoSuvapeg:
(i) P=T 2 yia капою auxonpoaapxqpevo xeXeoxq T.
(ii) О P eivai OexiKog, SqXaSq P=S*S.
(iii) О P eivai auxonpoaapxqpevog Kai (P(u), u),>0 yia каОе ug V.
13. 9 AIArftNIOnOIHEH KAI KANONIKEE МОРФЕЕ EE XftPOYE EEftTEPIKOY Г1-
NOMENOY
'Eoxco о T evag ypappucog xeXeaxqg oe eva xcbpo eacoxepucou yivopevou, V, nenepaapevqg Siaoxaoqg navco
oxo К. H avanapaoxaoq xou T ano eva Siaycbvio nivaKa e^apxaxai ano xa iSioSiavuapaxa Kai xig 1810x1-
peg xou T, Kai apa ano xig pi£eg xou xapaKxqpioxucou noXucovupou A(t) xou T. To A(t), pe xq aeipa xou,
avaXuexai navxa oe ypappiKa noXucbvupa navco oxo pvyaSuco neSio C, cooxoao pnopei va pq v exei ypap-
piKa noXucbvupa navco oxo npaypaxuco neSio R. Qg ек xouxou, q Kaxaoxaoq oxoug npaypaxucoug xcbpoug
eacoxepucou yivopevou (nou eivai yvcoaxoi Kai cog EuKXeiSeioi x<bpoi) napouaia^ei pia eyyevq Siacpopexuco-
xqxa ae oxeoq pe xqv Kaxaoxaoq axoug piyaSucoug xcbpoug eacoxepucou yivopevou (nou eivai yvcoaxoi Kai
cog povaSiaioixcbpoi). ©axoug Sianpaypaxeuopaoxe, Xoinov, ^excopiaxa.
npaypaxiKoi Xcbpoi EocoxepiKou ITvopdvou, EuppexpiKoi koi OpOoycbvioi ТеХеотбд
laxueixo паракахсо Oecbpqpa (xo onoio anoSeucvuexai oxo Ilp6pA.qpa 13.14).
0ЕсЬрдра 13.11: 'Ест© о Т svag ovppETpiKog (аитолрооартт]рЁУод) т£Х£отг|д ое sva лраурап-
кб хсоро EocoTEpiKov yivopsvov, V, лЕЛЕраорЁУГ|д Sidoracrrig. Tote ияар%£1 pia
opOoKavovucri Paorj тои V лои алотЕХвгсаг ало iSioSiavvopaTa тои T, 87jXa8f|
о Т рлорЕС va ava7tapaoTa0Ei ало sva Siaycbvio лсуака cog лрод pia opQoKavo-
vucr) Paorj.
AkoXov0ei i] avTioroixn 8f|Xcoor| yia л(уакЕд.
©ЕсЬрдра 13.11: (EvaXXaKTiKfj Морфд) Eav о A Eivai Evag лраурапкод оиррЕтрисдд лшакад,
тоте илар%£1 svag opOoycbviog л{уакад P
тЁтоюд coote о B=P’1 AP va Eivai 8iaycbviog.
Млороирв va ЕлсХДоирЕ Tig отт|Х£д тои лю лаусо л!уака Р va Eivai KavovuaraoirjpEva opQoycbvia
iSioSiavvopaTa tov A. Tote, oi Siaycovug ката%сор(о£1д tov A 9a Eivai oi avrioroiyEg iSioTipsg.
Алб ttjv dXXrj, svag opOoycbviog ТЕХ£отт|д T Se xpEia^Exai va Eivai ovppETpiKog, Kai etoi Se pлop£i va
ауалараота0£1 ало sva Siaycbvio лкака cog лрод pia op0oKavoviKr| Paorj. Qorooo, t] Kavovncf| ауала-
раотаот] svog tetoiov лсуака T Sev Eivai алХт), кап то олою cpaivETai ото ларакатсо 0£сорт]ра (лоо
cucoSEiKvvETai ото ПрорХдра 13.16).
©Есордра 13.12: 'Еотсо о Т Evag opOoKavoviKog TEXsTqg ое sva лрауратскб xcbpo EocoTEpiKov yivo-
psvov, V. Тоте оларх£1 pia opOoKavoviKi) Paorj tov V ottjv оло!а о T ауаларь
OTorcai алб sva Siapspiopsvo Siaycbvio лсуака M njg popeprig
w Г Г0080! —sinQil Fcos0r -sm0r"]\
= [sins, cosdj......... [sine; eos(>J)
О avayvcboTTjg pnopEi va 31ал1отсЬо£1 6ti о KaGsvag алб Tovg 2x2 илол(уакЕд ауаларюта pia лЕрь
orpocpri orov avTioroixo 8со8саотато олохсоро, кабсЬд Елсот|д Kai 6ti rj k60e Siaycbvia катахсЬрют) -1
avanapiora pia avaKXaorj orov avrioroixo роуоЗюотато олохсЬро.
MiyaSiKoi Xcbpoi EocorepiKov Fevopdvov, Kovovckoc Kai TpiycoviKoi ТеХЕОтёд
'Evag ypappiKdg TEXEOTrjg T ХбуЕтас KavoviKog Eav аутсрЕтатЮвтас p£ tov лрооартцрЕУО tov, 8rjXa8f|
Eav TT*=T*T. LrjpEicbvETai oti oi kovovikoI ТЕХвотЁд оорлЕрсХарРауооу тбоо Tovg аотолрооартт]-
pevovg, doo Kai Tovg povaSiaiovg ТЕХвотЁд.
AvaXoya, Evag piyaSiKdg л1уакад A ХЁувтаслауоуслбдвау avTipETariOETai ps to erv^vyr] avaorpoepo
tov, S7]XaSr| eov A*=A*A.
flapdSsiypa 13.3. 'ЕотсоA = 3j. Tote a* = [| 3 ~‘2.j.
ЕлшХеоу, AA* = + 3 j ЕууЕлсЬд о A Eivai KavoviKog.
Ioxvei то акоХооОо 0£сЬрт]ра (то олою алобЕ1КУТ)Ета1 ото Про0Хг)ра 13.19).
©ЕсЬрдра 13.13: 'Еотсо о Т svag KavoviKog TEleotijg ое sva piyaSiKo X“P° EocoTEpiKov yivopE-
vov, V, лЕЛЕраорЕУцд Siaoraorig. Тоте оларх£1 pia op0OKavoviKT| 0dor] tov V
лоу алот£Х£1та1 ало iSioSiavvopaTa tov T. О T, 8r|Xa8r|, рлор£1 va ауалара-
ота0£1 ало Eva 8iaycbvio л!уака cog лрод pia op0OKavoviKT| paorj.
AkoXov0ei tj avaXoyrj 8f|Xcoorj yia л1уак£д.
бесордра 13.13: (ЕуаХХакпкц Морфд) Eav о A eivai evag KavoviKoq nivaKac;, тоте vnapxei
Evac,pova3iaioq nivaKac; P тётоюс; сооте о B=P-1 AP=P*AP va eivai Siaycbviog.
To enopevo Qecbpqpa (nov anoSeucvverai ото ПрбрХдра 13.20) Seixvei oti aprioi pq-KavoviKoi reXe-
отёс; oe povaSiaiovc; x^povc;, exovv pia oxetiko cmXq popcpi).
бесордра 13.14: 'Еотсо о T evac; avQaiperoc; теХеотдс; oe eva piyaSiKo xcbpo eocorepiKov yivope-
vov, V, пепераорёудс; Зшотаспц;. Тоте о T pnopei va avanapaoTaOei ano eva
TpiycoviKo nivaKa coc; npoc; pia opQoKavoviKq pdcn] tov V.
Oecbpqpa 13.14: (ЕуаХХакпкд Морфд) Eav о A eivai eva; avQaiperoc; piyaSiKog nivaKac;, тоте
vnapxei evac; povaSiaioc; nivaKac; P тётоюс; сооте о B=P‘1AP=P*AP va eivai
TpiycoviKdc;.
13.1 0 TO 0EQPHMA ФАЕМАТОЕ
To бесордра Фаоратос; eivai pia avaSiarvncocrq tcov ©ecopqparcov Siaycovionoiqcrqc; 13.11 Kai 13.13.
бесордра 13.15: (бесордра Фаоратос;) 'Еотсо о Т ёуас; KavoviKot; (avpperpiKoc;) теХеотдс; ое
ёуа piyaSiKo (прауратисо) xcbpo еасотерисоо yivopevov, V. Тоте vnapxovv ypap-
piKoi теХеотёс; ЕЬ...,ЕГ otov V Kai apiOpoi Х],...^тётоки сооте:
(i) T=X1E1+X2E2+...+XrEp
(ii) E12=E„E22=E2,...,Er2=Ep
(iii) E]E2+...+Er=I,
(iv) E,Ej=Oyiai*j.
Oimo navcoypappiKoiтеХеотёс; Eb.. .,Er eivai пророХёс;, vno rqv ewoiaoti E 2=E,. ЕпшХёоу, Хёуо-
vrai opdoyuvieq про/Зокк;, кабсос; ёхооу rqv епшрбобетд iSiovqra oti E,Ej=0 yia i*j.
To napaSeiypa nov aKoXovOei Seixvei vq охеот] pera^v evoc; Siaycbviov nivaKa-avanapdoraaqc; Kai
tcov avrioToixcov opdoycbvicov npo/3oXd)v.
О avayvcborqc; pnopei va enaXqOevoei oti:
(i) A=2E]+3E2+5E3, (ii) E|+E2+E3=I, (iii) E 2=E„ (iv) E,E=0yia i*j.
AYMENA ПРОВЛНМАТА
nPOSAPTHMENOI
13.1. Na Рре(те tov npooapтqpёvo tov F: R3->R3 nov opi^eTai ano Tqv
F(x,y,z)=(3x+4y-5z, 2x-6y+7z, 5x-9y+z)
BpioKovpe прсота tov nivaKa A nov avanapiora rov F crcq avvqOiapevq Pacrq rov R3, SqXaSq
rov nivaKa A rov onoiov oi ураррёс; eivai oi ауутеХеотёс; tcov x, y, z, Kai aKoXovQcoc; oxqpari-
^ovpe rov avaorpocpo AT rov T. Avro oSqyei otov
О лрооартг|рёуод F* avanapiaratai ало tov avaorpocpo тои А, ара
F*(x,y,z)=(3x+2y+5z, 4x-6y-9z, -5x+7y+z)
13.2. Na Ppeite tov лроаарттщЕУо too G: C3->C3 лои opi^ETai ало tt|v
G(x,y,z)=[2x+(l-i)y, (3+2i)x-4iz, 2ix+(4-3i)y-3z]
BpioKOupE лрсота tov лсуака В лои ауаларюта tov G атт| ouvi]0iopEvr| раот| тои С3, кас
акоХой0сод охгщат^оицЕ то ov^vyf] avaorpocpo В* тои В. Аитб о5т|уеъ otov
Г 2 1 -1 0 "I Г 2 3 - 2i -2i "I
3 + 2/ 0 -4/1 кас ЕЛЕста otov В* = I 1 + / 0 4 + 3/1
L 2«- 4 — 3/ -3J [о 4/ -3 J
Tote G*(x,y,z)=[2x+(3-2i)y-2iz, (1 +i)x+(4+3i)z, 4iy-3z].
13.3. Na алоЗеъ^ЕТЕ то ©Есортща 13.3: 'Еотсо т] ф pia ypappiKT] popcpf] as Eva n-Siaoraro xcbpo
eocotepikov yivopEvov, V. Tote иларуес eva povaStKO Siawopa ug V tetoio coote 0(v)=(v,u),
yia ка0Е vg V.
'Eotco to {wb.. .,wn} piaop0oKavoviKf| paor] тои V. ©etovpe, Ел1от|д,
“ = Ф(м'1)н’1 + <Kwi)w2 + +
Eav ovpPoXiooupE ps u tt| ypappucf] рорсрт] тои V лои opi^ETai ало tt|v Q (v)=(v,u), yia ка0Е
vG V, tote, yia ка0£ i= 1,... ,n, 0a sxpvpE
и(м'1) = ("i. “) = (wt, <p(w1)w1 + . . . + 0(h-„)h-„) = ф^)
Ecpooov oi й Kai ф PpioKovrai as ovpcpcovia ото ка0Е Siawopa Paorjg, й =ф.
Y ло0£тоутад тсора oti to u ' sivai Eva aXXo Siawopa otov V yia то олою ф(у)=(у,и'), yia ка0£
vg V, tote (v,u),=(v,u'), r| (v, u-u'\=0. EvyKSKpipsva, аитб oAj]0eveiyia v=u-u', Kai etoi (u-u',
u-u'),=0. Auto oSriysi orig u-u'=0 Kai u=u'. Еуувлсод Eva tetoio Siawopa и sivai povaSiKO,
олсод Ka0opi£si to 0scbpT|pa.
13.4. Na алобЕъ^ЕТЕ то ©scbpripa 13.1: 'Еотсо о T svag ypappiKog ТЕХ£отг|д as sva n-Siaoraro X“P°
socoTspiKou yivopsvou, V. Tote:
(a) Y лархЕ16vag povaSiKog ypappiKog TEXsonig T* otov V тётоюд coote
(T(u), v),=(u, T*(v)), yia 6Xa та u,vg V.
(P) Eav о A sivai о лгуакад лои ауаларюта tov Т сод лрод pia op0OKavoviKf| раот| S={u,},
tote о ои^иупд avaorpocpog А* той А ауаларюта tov T* gtt| vsa paor] S.
(a) ApxiKa 0a opiooups то рЕтаохпнат1стн6 T*. 'Eotco to v Eva au0aip£TO aXXa oraOspo
oToixeio той V. H ал£1кбуют| и |-+ (T(u),v), Eivai pia ypappixfi popcpi] otov V. Apa,
ало to 0E(bpr)|ia 13.3,0a vnapxei eva povaSiKd oroixeio v'g V тетою шоте (T(u), v) =
(u,v'), yia кабе ugV. Opi^ovpe tov T*: V->V ano tt|v T*(v)=v', опбте (T(u), v) =
(u,T*(u)), yia кабе u,vg V.
Ztt| ovvexEta 6a 5ei£ovjie oti о T* eivai урацщкбд. Па onoia5r|noTe u,v,g V koi
onoiaSrinore a,be K,
(u, T*(avi + bv2)) = (T(u), av{ + bv2) = a(T(u), v,) + b(T(u), v2}
= a(u, T*(v})} + b(u, T*(v2)) = (u, aT*(v,) + bT*(v2))
Avto бреве; eivai аЛт|бё<; yia кабе ug V. Enopevcog T*(av1+bv2)=aT*(V|)+bT*(v2), koi
ката ovveneia о T* eivai урацщкбд.
(P) Oi nivaKec; А=[ау] koi B=[by] nov avanapiorovv avTiOTOixa tovc; T koi T* cog npog tt|v
op6oKavoviKT| Paor| S Sivovrai ano th; а^Ди,), u,) koi Ьу=(Т*(и^), u,) (ПрорХгща 13.67).
Apa
by = ut) = (u/( T*(uj)) = Uj) = aj
Zvvencbg B=A*, oncoc; Ka6opi£ei то бесортща.
13.5. Na апо5е1^ете то ©есортща 13.2:
(v) (T1+T2)*=T1*+T2*,
(vi) (kT)*=£T*,
(vii) (T^T/T.*,
(viii) (T*)*=T.
(i) Гio onoia5r|noTe u,vg V,
((T, + T2)(u). v) = (Г,(и) + T2(u), v) = (Г,(и), v) + (T2(u), v)
= (u. Tf(v)) + (u, T?(v)) = (u, Tt(v) + H(v)>
= (u, (Tf + TJXv))
H pova5iKOTT|Ta tov npooapTT||ievov ovvenayeTai oti (T1+T2)*=T1*+T2*.
(ii) Гla onoiaSrinoTe u,vg V,
((*TXu), v) = (Щи), v) = k(T(u), v) = k(u, T*(v)) = (u, kT'(v)) = (u. (kT’Xv))
H pova5iKOTT|Ta tov npooaprT||ievov ovvenayerai oti (kT)*= T*.
(iii) Гla onoia5r|noTe u,vg V,
((Г,Г2Хи), V) = (адм), v) = (T2(u), Tf(v))
= (и.т?(гг(р))) = (И,(ппх0)
H pova5iKOTT|Ta tov npocap-cripevov ovvenayeTai oti (T |T2)*=T2*T j*.
(iv) Гla onoia5r|noTe u, vg V,
(T*(u). v) = (v, T*(u)> = (T(v),u) = (U, T(t>))
H pova5iKOTT|Ta tov прооарттщеуоу ovvenayeTai oti (T*)*=T.
13.6. Na берете on: (a) I*=I Kai (P) 0*=0.
(a) Па кабе u,vg V, (I(u), v),=(u,v),=(u, I(v))„ apa I*=I.
(P) Па ko0e u,vg V, (0(u), v),=(O,v),=O=(u,O),=(u, 0(v))„ apaO*=O.
13.7. Yno0£Tovra<; on о T Eivai avrioTpsipipo»;, va 5e(^ete on ('П1)*=(Т*)“1.
I=I*=(TT1)*=(T-,)*T*, apa ('T1)*=(T*)-1.
13.8. 'Еот© о T £va<; ypappiKog teXeott]^ otov V Kai еотсо о W evac; Т-ота0врб<; vnoxcbpog тои V.
Na Sei^ete oti о w1 Eivai ота0врб<; илб tov T*.
'Еатсо ug . Eav wg W, tote T(w)g W Kai etoi(w, T*(u)),=(T(w), u),=0. Enopsv©<; T*(u)g
W1, ка0со<; sivai op0aycbvio<;npo<;Ka0£WGW. Ката ovvsnsia о p/1 sivai ora0sp6<; vno tov T*.
13.9. Eav о T sivai evag ypappiKog теХеоттц; otov V, va SeI^ete oti t| Ka0spia ало тц лю кат©
oi)v0T|K£<; ovvsnaysTai on T=0:
(i) (T(u), v)=OyiaKa0Eu,vG V.
(ii) О V sivai evag piyaSiKdg /©pot; Kai (T (u), v)=0 yia ка0в ug V.
(iii) О T sivai аътолрооартт] psvog Kai (T(u), v)=0 yia ка0£ ug V.
Na бсоавтЕ sva парабвгура svo<; teXeotti T oe sva лраурапкб X“P° V yia tov олою
(T(u), v),=0 yia ка0£ ug V aXXa T^O. [Enopsv©<; to (ii) 5e xpeia^Exai va ioxvei yia sva лраура-
пкб x“P° V.]
(i) ©EToups v=T (u). Tote (T (u), v)=0 Kai etoi T (u)=0, yia ка0в ug V. Q<; ek tovtov, T=0.
(ii ) Yno06Tovps 6n(T(v+w), v+w)=0 yia onoiaSqnoTE v,wg V. Avanrvooovraq Kai ©etovtcu;
(T(v), v)=0 Kai(T(w), w)=0, PpioKovps
(T(v), w)+(T(w), v)=0 (1)
ZqpsicbvsTai on to w Eivai av0aipsTO on]v (1). AvriKa0ioT©vra<; to w ps то iw Kai xpq-
oiponoi©vra<;Ti<;(T(v), iw)=Z (T(v), w)=-i(T(v), w) Kai(T(iw), v),= (iT(w), v),=i(T(w),
v), PpioKovps
-i(T(v), w)+i(T(w), v)=0
A laipovps oXov<; tov<; 6pov<; ps to i Kai npooOsrovps on]v (1) у la va napovps (T (w), v) =0
yia onoiaSqnoTE v,wg V. Алб то (i), T=0.
(iii ) Алб то (ii), то алотЁХЕора io%vei yia rq ргуабиа) nspinrwoq, £nopsv©<; apKsi алХа va
0s©pqoovps Tqv лраурапкт| л£р(лт©от|. AvanrvooovTCu; Tqv(T(v+w), v+w)=0 naipvov-
ps Kai naXi Tqv (1). Acpov о T sivai avTonpooaprqpsvo<; Kai acpov sivai evag лраурапкод
X©po<;, 0a sxovps (T(w), v)=(w, T(v))=(T(v), w). AvriKaOiorovps orqv (1) Kai naipvovps
(T(v), w),=0 yia оло1абт|лотб v,wg V. Алб то (i), T=0.
Q<; napaSsiypa, 0s©povps to ypappiKo TsXsorq T orov R2 nov opi^ETai ало rqv
T(x,y)=(y, -x). Tots (T(u), u)=0 yia ка0в ug V, aXXa T*0.
OP0Orf2NIOI KAI MONAAIAIOI ТЕЛЕЕТЕЕ KAI IIINAKEE
13.10. Na anoSei^ete то ©Ecbpqpa 13.6: Oi ларакатсо ovvOqKEgyia sva теХеотт] U sivai looSvvapEg:
(i) U*=U-1, SqXaSq о U sivai povaSiaiog.
(ii) (U(v), U(w))=(u,w).
(iii) ||U(v)||=l|v||.
Ag vnoOsoovpE oti ioxvei to (i). Tote, yia ка0£ v,we W,
(C/(t>), U(w)) = {v. U*U(w)} = (v, I(w)) = (v, w)
Tote to (i) ovvEnayETaiTO (ii). Tcbpa, eav ioxvei to (ii), tote
II C/(f)ll = VWv), U(y)) = = ||t>||
Елоцеусо^ to (ii) ovvEnayETaiTO (iii). AnopevEiXoinov va Ssi^ovpE oti to (iii) ovvsndyETaiTo (i).
УлоОвтоорЕ oti to ioxvei to (iii). Tote, yia ка0£ ve V,
(U*U(v)) = \U(v), U(v)) = (v. v) = (Z(0. v)
Apa <(U*U-I)(v), v)=0 yia ка0£ veV. 'Opcog о U*U Eivai avTonpooapTqpEvog (АпоЗе^те
to!). EnopEvcog, ало то IlpopXqpa 13.9, Е/рорЕ U*U-I=0 Kai etoi U*U=I. ZvvEncbg U*U=U-1,
олсод Ka0opi^£i to 0£cbpr|pa.
13.11. 'Еотсо о U svag povaSiaiog (opOoycbviog) TEXEOTqg otov V Kai eotco о W svag ота0£род vno
tov U олохсород. Na Sei^ete oti о W1 Eivai Ел1от]д ота0£род vno tov U.
Acpov о U Eivai pq-i8ia^cov, U(W)=W. Avto oqpaivsi oti, yia onoioSqnoTE we W, vnapxei
sva w'e W tetoio coote U(w')=w. 'Eotco тсора ve w1. Tote, yia onoioSqnoTE we W,
(U(y), w) = (t/(t>), = (v, h/) = 0
Zvvfncbg о U(v) avf|K£i otov W1, ара о WL Eivai ота0£род vno tov U.
13.12. Na алобЕ^ЕТЕ то ©Ecbpqpa 13.9: О nivaKag aXXayqg Paoqg ало pia opOoKavoviKq Paoq
{ut,... ,uT)}oe pia aXXq opOoKavoviKq Paoq Eivai povaSiaiog (opOoycbviog). AvTioTpocpa, Eav о
P=[ay] Eivai povaSiaiog (opOoycbviog), tote та SiavvopaTa и,. = ари} oxqpaTi^ovv pia op-
OoKavovncq Paoq.
Уло0£тоор£ oti to {vj Eivai pia aXXq opOoKavoviKq Paoq. Yno0£Tovp£, Enioqg, 6ti
t>/ = bnu1+bQu2 + ... + Ь1яия, i = l.л (1)
Ecpooov q {v,} Eivai opOoKavoviKq,
vj) = ЬцЬ}1 + ЬаЬд +... + b^bj, (2)
'Еотсо В=[Ьц] о лЬакад ovvteXeotcov orqv (1). (Tote о Bt 0a Eivai о nivaKag aAAayqg Paoqg
ano Tqv {u,} OTqv {v,}.) Tote ВВ*=[Сц], блои cy =bAbj} +bl2bj2 + ... + binbjn . Ano Tqv (2),
c1J=81J, Kai ЕлоцЕУШс; BB*=I. Kata ovvenEta о В, apa Kat о BT, Eivai povaSiaioq.
AnopEVEi тсора va anoSEi^ovpE oti t| {u'J Eivai opGo KavoviKq. Алб то IlpopXqpa 13.67,
uj) = a^j + aj&j + ... + = (C„ Cy)
блои т| Cj ovpPoXi^Ei rqv i-oorq orqXq tod povaSiaiov (opGoycbviov) nivaKa P=[a)J]. Aipov о P
Eivai povaSiaioq (opGoycbvioq), oi orqXsq tov Ga Eivai opGoKavoviKEq, ара(и„и3),=(С„С]),=8у.
EvpnEpaopariKa то {u'J Eivai pia opGoKavoviKq paoq.
EYMMETPIKOITEAEETEE KAI KANONIKEZ МОРФЕЕ EE EYKAEIAEIOYE XOPOYE
13.13. Eav о T Eivai svaq ovppsrpiKoq TEXsoTqq, va Sei^ete oti: (а) то xapaKrqpioriKO noXvcbwpo
△(t) tov T Eivai Eva yivopsvo ypappiKcbv noXvcovvpcov (лаусо ото R). (P) О T e%ei sva pq-
PT|3evik6 iSioSiawopa.
(a) Eav о A Eivai svaq nivaKaq лоо ауаларюта tov T coq лро? pia opGoKavoviKf| paoq tov
V, tote A=AT. 'Еотсо, snioqq, A(t) то xapaKTqpioriKo noXvcbwpo tov A. ©scopcbvraq tov
A sva piyaSiKo avTonpooaprqpsvo teXeotti, tote, ano то ©scbpqpa 13.4, о A Ga exei povo
npaypanKsq i8ioripsq. Enopevcog
△(t)=(t-X,)(t-X2) ... (t-X,,)
'Onov 6Xsq oi X, sivai npaypariKsq. Ms aXXa Xoyia, to A(t) sivai sva yivopsvo ypappiKcbv
noXvcovvpcov navco ото R.
(P) Ano то (а), о T exei TOvXaxiorov pia (npaypanKq) iSioripq, Kai coq ek tovtov exei sva pq-
PT|8evik6 iSioSiawopa.
13.14. Na anoSsi^srs to 0Ecbpr|pa 13.11: 'Еотсо о T svaq ovppsrpiKoq TsXsoTqq oe sva праурапкб
n-Siaoraw x®P° eocorspiKov yivopsvov, V. Tote vnapxei pia opGoKavoviKq paoq tov V nov
anorsXsiTai ano iSioSiawopaTa tov T. (Enopsvcog о T pnopsi va avanapaoraGsi ano sva
Siaycbvio nivaKa coq npoq pia opGoKavoviKf| paoq.)
H anoSsi^q yivETai p£ Enaycoyf] navco отт| Siaoraoq tov V. Eav dim V= 1, to GEcbpripa ioxvei
rsrpippsva. YnoGsrovps тсора oti dim V=n>l. Ano то ПрбрХт|ра 13.13, Ga vnapxei eva pq-
PT|8evik6 iSioSiawopa V| tov T.'Еотсо W о X™P°? nov napayETai ano to V| Kai еотсо to U| sva
povaSiaio Siawopa otov W.'Еотсо, yia napaSsiypa, Ui=V|/||V|||.
Acpov to V| Eivai sva iSoSiawopa tov T, о vnoxcbpog W tov V Ga Eivai oraGEpoq vno tov T.
Ano то ПрбрХт|ра 13.8, о WL Ga Eivai oraGspoq vno tov T*=T. LvvEncb^ о nEpiopiopo^ f tov
T otov WL Ga Eivai svaq ovppsrpiKoq TEXsorqq. Ano то 0Есорт|ра 7.4, V=W ф W1. Apa dim
И''1=п-1, KaGcbq dim W=l. EnaycoyiKa anoSsiKWErai oti vnapxei pia opGoKavoviKq paoq
{u2,...,Un} tov w1 nov anorsXsiTai ano iSioSiawopara rov T, Kaiapatov T. Opco^CupuJ^O
yia i=2,...,n, EnEiSri i^e WL. Ката ovvEnEiato {u1,u2,...,un} Eivai Eva opGoKavoviKO ovvoXo
Kai anoTEXswai ano iSioSiawopaTa tov T, Kai etoi to GEcbpripa апоЗЕ1хтт]КЕ.
13.15. 'Еотсо q(x,y)=3x2-6xy+l ly2. Na Ppeite pia opGoKavoviKf| aXXayf| ovvTETaypsvcov (ypappiKf|
аутскатаотаот]) nov va SiaycovionoiEi Tqv ТЕтраусоуно] popcpq q.
BpioKovpe то ovppErpiKo nivaKa A nov avanapiora rqv q, KaOcbq enioqq каг то %арактт|р1-
otiko too noXvcbwpo, A(t). 'Exovpe
л = [_3 fj] Kai Д(0 = t1 -tr(A) t 4- И1 = r2 - 14r 4- 24 = (r -2Xr - 12)
Oi iSionpeq eivai oi X=2 Kai X= 12. Apa pia Siaycbvia popcpq nyq q eivai q
q(s,t)=2s2+12t2
(onov xpqoiponoiovpe та s Kai t cog veeg perapXqreq). H avrioroixq opOoycbvia aXXayq owreray-
pevcov XapPdverai ppicKOvrag eva opOoycbvio ovvoXo iSioSiawoparcov rov A.
Acpaipovpe tt|v X=2 and та Siaycbvia oroixeia rov A yia va napovpe rov nivaKa
M = [ g j nov avTioroixEi ото _3* ~ “ q q x-3y=0
Mia pq-pqSevucq Xvoq eivai to iq^.l). Srq ovvexeio acpaipovpe rqv X=12 and та Siaycbvia
oroixeia rov A yia va napovpe rov nivaKa
.. Г-9 “31 -9x-3y = 0 , _ n
™ = I -3 -i ] nov avrioroixei ото _3j y _ 0 q -3x-y=0
Mia pq-pqSevucq Xvoq eivai to u2=(-1,3). KavoviKonoicbvraq та iq Kai u2, naipvovpe rqv
opOoKavovucq paoq
ut = (3/<Лб, 1/<Лб). «2 = (-1/<Лб, 3/-Л6)
'Еотсо тсора Р о nivaKag tov onoiov oi orqXeg eivai та u, Kai й2. Тоте
р=Гз/Ло -i/Ио! ет,0_^=л,=Р »1
(_i/VTo з/VIoJ Lo 12 J
'Etoi q anairovpevq opOoycbvia aXXayq ovvreraypevcov eivai q
0a pnopovoe enioqg капоюд va eKcppaoei та s Kai t ovvaprqoei rcov x Kai у xpqoiponoicbvrag
rqv P-^P1-:
^3x4-у -x 4- 3y
s~ Л6 ’ “ VTo
13.16. Na anoSei^ere to Oecbpqpa 13.12: 'Еотсо о T evag opOoycbviog reXerqg oe eva праурапко x<o-
po eacorepiKOv yivopevov, V. Tore vnapxei pia opOoKavovucq paoq rov V orqv onoia о T ava-
napiorarai and eva Siapepiopevo Siaycbvio nivaKa M rqq popcpqq
.. /, , . . TcosOi -sin0<1 TcosO, -sinOr]\
***('........... ... ' M «»»d................cosd)
'Еотсо S=T4-T-1=T4-T*. Tore S*=(T+T*)*=T*+T=S. Apa о S eivai evaq ovpperpiKoq reXe-
ovqq otov V. Алб то ©есортща 13.11, onapxei pia op0OKavoviKf| Раот| тои V лои алотеХекас
ало iSioSiavvopaTa tov S. Eav oi oopPoXttpov tic; Зюкекрщеуес; iSiOTipeg tov S,
тбте о V pnopei va anooovTe0ei ото ео0б аОроюра V=Vj ф V2 ф ... ф Vm, onov oi V, апоте-
XovvTai ало та iSioSiavvopaTa tov S лоу avqKovv avr|v X!. loxvpi^opaorE oti о каОе V, Eivai
атаОербс; олб tov T. YnoOeTOvTog oti ve V, tote S(v)=X,v Kai
S(T(v)) = (Г + Т-’)Г(и) = T(T + Г-’)(и) = Щи) = Щ,и) = А(Г(и)
△i]Xa8r|, T(v)eV,. Enopevcog о V, Eivai атаОербд vno tov Т. Ecpooov oi V, Eivai opOoycbvioi
рета^б tovc;, pnopoope va nepiopiooope vr] 5iEpevvi]or| рас; otov трбло pE tov олою о T
eniSpa navco otov каОе pepovcopevo V,
Ze eva SeSopevo V,, exovpe (T+T'1)v=S(v)=Xiv. ПоХХапХасяафутас; pe tov T, naipvovpe
(T2-X,T+I)(v)=0
©ecopovpe ^excopiora Tig перипсооец onov X1= + 2 Kai X,^ + 2. Eav X,=+ 2, тбте (T +I)2=0, алб to
onoio npoKvnrei (T + I)(v)=0 f| T(v)= + v. 'Etoi, о T nepiopiapsvog oe аотб tov Vj eivai evce I eke
-I.
Eav тсора ± 2, тбте о T Se 0a e%ei iSioSiavvopaTa otov V,, каОсод алб то ©есортща 13.4, oi
povaSiKEg iSiOTipeg too T 0a eivai то 1 f) to -1. Ката ovveneia, yia v#0, та SiavvopaTa v Kai T(v)
eivai ypappiKa ауе£артт)та. Eav о W eivai о олохсород лоо napayETai алб та v Kai T(v), тбте о
W 0а eivai атаОербд олб tov Т, каОсод
T(T(v))=T2(v)=X,T(v)-v
Алб то ©есортща 7.4, V =Wф рр1. Ел1лрбо0ета, алб то ПрбрХтща 13.8, о w3- 0а eivai слипу;
отаОЕрбд олб tov Т. Млоробре Xoinov va anooov0eooope tov V, ото ео0б аОроюра tcov SioSia-
отатсоу onoxcopcov Wp олоо oi Wj eivai opOoycbvioi рета^б тоод Kai о Ka0Evag алб аотобд eivai
отаОврод олб tov Т. ZovEncbg рлоробре va лерюрюооре тт) 5iepeovr]OT| рас; otov трбло ре tov
олою о Т EniSpa navco otov ка0е pepovcopcvo Wp
Ecpooov T2-X,T+I=0, то характт|р1от1кб noXocovopo A(t) too T EmSpovra navco otov Wj 0a
eivai to △(t)=t2-XlT+l. EnopEvcog t| opi^oooa too T 0a eivai 1, noo eivai о отаОврод брод ото A(t).
Ano то ©есортща 2.7, о nivaKac; A noo avanapiora tov T EmSpovra navco otov Wj coc; npoc; pia
onoia5f|noTe opOoycbvia Paor| too Wj, 0a npenei va eivai tt)<; popeprig
cosfl — sin fl "I
sin fl cos fl J
H evcooT| tcov Paoecov tcov Wj Sivei pia op0OKavoviKf| Раот| too V,, evco tj evcooti tcov Paoecov too
V, Sivei pia op0OKavoviKf| Раот| too V ottjv onoia о nivaKac; noo avanapiora tov T exei ttjv
em0opr)TT| popcpf).
KANONIKOI ТЕЛЕЕТЕЕ KAI KANONIKEE МОРФЕЕ EE MONAAIAIOYE XOPOYE
13.17. Na npooSiopioETE noioi ano тоод паракатсо nivaKeg eivai kovovikoi:
»•-[;*[! ii.]
Ka0cbg A A* A, о nivaKac; A Sev eivai KavoviKog.
m “•[: 2;,]Ц VH-' л/Н*
Ka0cbg ВВ*=В*В, о nivaKag В eivai KavoviKog.
13.18. Eav о T eivai evag KavoviKog xeXeoTqg, va anoSei^exe та ак6Хои0а:
(a) T(v)=0 eav Kai povo eav T*(v)=0.
(P) О T-XI eivai Siaycbviog.
(y) Eav T(v)=X(v), tore T*(v) =Л v. Enopevcog onoioSqnoxe iSioSiavuopa тои T eivai eni-
oqg eva iSioSiavuopa tod T*.
(5) EavT(v)=X|(v) KaiT(w)=X2(w) onou Xj^, xoxe(v,w)=0. AqXaSq, iSioSiavuopaxaxou T
nou avr|Kouv oe SiaKCKpipeveg iSioxipeg eivai opOoycbvia.
(a) Aeixvoupe 6xi(T(v), T(v))=(T*(v), T*(v)):
(Г(о). T(u)) = (v, T*T(v)) = (p, 7T*(p)) = (Г*(р), T*(p))
'Exoi, ano xo [I3] oxov opiopo xou eocoxepiKou yivopevou oxr|v Параурасро 7.2, T(v)=0
eav Kai povo eav T*(v)=0.
(P) Aeixvoupe oxi о T-XI avxipexaxiOexai pe xov npooapxqpevo xou:
(r - щг - at)* = (T - л/xr* - = тт* - at* - at + й/
= T*T -AT- AT* + AAJ = (T* - AJ)(T - AT)
= (T - AT)*(T - AT)
Euvencbg о T-XI eivai KavoviKog.
(y) Eav T(v)=Xv, xoxe (T-XI)(v)=0. Tcbpa, ano xo (P), о T-XI eivai KavoviKog. Enopevcog,
ano xo (a), (T-XI)*(v)=0, SqXaSq (T*-XI)(v)=0, onoxe T*(v)=J v.
(5) Aeixvoupe oxi X/v.w^X/v.w):
Xi (i>. w) = и») = (T(v), w) = (v. T*(w)) = (v, A2w) = A2(v, w)
'Opcog X,^, apa(v,w)=0.
13.19. Na anoSei^exe xo ©ecbpqpa 13.13: 'Eoxco о T evag KavoviKog xeXeoxqg oe eva piyaSiKo x^po
eocoxepiKou yivopevou, V, nenepaopevqg Siaoxaoqg. Toxe unapxei pia op0OKavovucf| Paoq xou V
nou anoxeXeixai ano iSioSiavuopaxa xou T. (Euvencbg о T pnopei va avanapaora0ei ano eva
Siaycbvio nivaKa cog npog pia op0OKavoviKq paoq.)
H anoSei^q yivexai pe enaycoyq navco oxr| Siaoxaoi] xou V. Eav dim V=l, xoxe xo ©ecbpqpa
loxuei xexpippeva. Yno0exoupe xcbpa oxi dim V=n>l. Ecpooov о V eivai evag piyaSiKog x^pog
eocoxepiKou yivopevou, о T 0a exei xouXaxioxov pia i8ioxipf|, Kai apa eva pi]-pT]8eviK6181081a-
vuopa v. 'Eoxco W о unoxcbpog xou V nou napayexai ano xo v, Kai eoxco xo U| eva povaSiaio
Siavuopa oxov W.
Acpou xo v eivai pia iSioxipf| xou T, о unoxcbpog W 0a eivai oxa0epog uno xov T. To v, opcog,
eivai enioqg eva iSioSiavuopa xou T*, ano xo IlpopXqpa 13.18, Kai cog ек хоихои о W 0a eivai
enioqg отаОерод илб tov Т*. Алб то ПрбрХгща 13.8, о 1 eivai отаОеродилб tov Т**=Т. То
илоХошо rqg andSei^qg eivai акрфсЬд то iSio це то теХисо рёрод rqg andSet^qg тои ©ешргща-
тод 13.11 (IlpdpXqpa 13.14.)
13.20. Na алоЗефете то ©ecbpqpa 13.14: 'Еотсо о Т ёуад олоюа8г]лоте теХео-cqg ое eva piyaSiKo
X<bpo eacoTepiKou yivopevou, V, лелерастцёут|5 Siaoraoqg. Тбте о Т pnopei va avanapaoTaOei
ало eva TpiycoviKO nivaKa сое; npog pia opOoKavovucq 0aoq тои V.
Kai naXi q алоЗефт] yiveTai ре enaycoyq navco orq SiaoTaoq тои V. Eav dim V=l, тбте то
Oecbpqpa ioxuei TeTpippeva. Улобётоире тсора 6ti dim V=n> 1. Ecpooov о V eivai evag piyaSiKdg
SiavuopaTiKog x<opog, о T 0a exei TouXdxioxov pia iSiOTipq, koi apa TouXaxiorov eva pq-pq8evi-
ko iSioSiavuopa v. 'Еотсо W о илохсород тои V лои napayeTai ало то v, koi еотсо то u, eva
povaSiaio Siavuopa orov W. Тбте то и, 0а eivai iSioSiavuopa тои Т кац yia napaSeiypa,
Т(и|)=аци|.
And то ©ecbpqpa 7.4, V= W® WL. 'Еотсо oti о E oup0oXi£ei Tqv opOoycbvia npo0oXq V
orov WL. Eivai cpavepo 6ti о WL eivai отаОерод uno tov TeXeorq ET. EnaycoyiKa anoSei-
kvuctoi otiunapxei pia opOoKavovucq 0aoq {u2,...,un} tou w1 тётою сооте, yia i=2,...,n,
£Т(и() = aau2 +л и3 + ... +
(EqpeicbveTai6tito {U|,u2,....иф eivaipiaopOoKavovucq 0aoqтои V.)'OpcogоEeivaiq opOoycb-
via npo0oXq тои V navco otov jy1, apa 0a прёпес va ёхоире
T(u() = anu, + aau2 +... + аЙи,
yia i=2,.. .,n. H c^oq au-cq, ouvSua^dpevq pe Tqv T(U|)=a, ,иь pag SiveiTO eniOupqTd апотёХе-
ора.
ПО1К1АА ПРОВЛНМАТА
13.21. Na апоЗефете to ©ecbpqpa 13.10 В: Та акоХоиОа eivai looSuvapa:
(i) P=T2 yia капою auTonpooapTq рёуо TeXeorq T.
(ii) P=S*S yia капою TeXeorq S, SqXaSq о P eivai Оетисдд.
(iii) О P eivai auтonpooapтqpёvog Kai (P(u), U)>0 yia каОе ug V.
Ад ипоОёооире oti ioxuei to (i), SqXaSq P=T2 onou T=T*. Тбте P=TT=T*T, Kai ёто1 то (i)
ouvenayeTai to (iii). УпоОётоире тсора on ioxuei to (ii). Тбте P*=(S*S)*=S*S**=S*S=P, Kai ёто1
о P eivai auronpooaprqpevog. ЕшлХёоу,
(P(u), u) = (S*S(u), u} = (S(u), S(u)) > 0
Euvencbg to (ii) ouvenayeTai to (iii), koi 6toi anop6vei va апоЗефоире oti to (iii) ouvenayeTai to
(i).
УпоОётоире Xoinov oti ioxuei to (iii). Ecpdoov о P eivai auтonpooapтqpёvog, unapxei pia opOo-
Kavovucq 0aoq {ub.. .,un} тои V nou anoreXeiTai and iSioSiavuopaTa тои P. Tia napaSeiypa,
P(u1)=X1u1. And to ©ecbpqpa 13.4, oi Xj eivai праурапкёд. Xpqoiponoicbvrag to (iii), 0a Sei-
фэире oti oi X, eivai pq-apvqTirog. 'Ехоире, yia каОе i,
0 < №), u,) = (Am, ut) = At{uh ui)
'Etoi, ка0со<; (u„u,>>0,0а ioxvei ипохрвсопка X>0,6nco<; апагсоиоарв. Ката ovvfrtsia то 0а
sivai svac; праурапкбс; api0po<;. 'Еатсо тсора Т о ypappiKOc; теХеоттц; лои opi^srai ало rqv
T(ui)=V^"M< Yia i=l,- -,n
Асрои о Т avanapiorarai ало sva праурапкб Siaycbvio nivaKa сое; npoc; tt|v opOoKavoviKq
Paoq {и,}, 0а Eivai auronpooapTqpsvoc;.
Ел1лр6а0£та, yia ка0£ i,
Т2(и() = T(y/TlUl) = Jm) = = Л/И/ = Р(и()
Ecpooov oi Т2 Kai Р ppioKOvrai ое oupcpcovia ое pia Paoq тои V, Р=Т2, олоте то 0scbpqpa anoSsi-
ХП]К£.
Пара-rqpqoq: О лю navco теХеоттц; Т sivai о povaSiKog 0etik6<; теХеотт|<; yia tov олою Р=Т2,
Kai sivai q Xsyopsvq 0sriKq TETpaycoviKq pi£a тои P.
13.22. Na Ssi^srs oti onoiooSqnors teXeott|<; T sivai to a0poiopa evoc; auronpooapTqpsvou Kai evoc;
avnnpooaprqpevou TEXsarq.
1 1
©Етоирв S=- (T+T*) Kai U=- (T-T*). Tote T=S+U, блои
= [|(T + T*)]* = |(T* + Г**) = |(T* + T) = S
I/* = [1 (T - T*)J* = |(T* - T) = -|(T - T*) = -U
О S SqXaSq sivai auronpooapTqpevoc;, Kai о U avnnpooaprqpEvoc;.
13.23. Na алоЗбфтб то е£,г|<;: 'Еотсо о T svac; auOaipsroc; ypappucog теХеоттц; oe sva x<bpo eocorepi-
kou yivopevou, V, nBnBpaopEvqc; Siaoraoqc;. Tote о T sivai sva yivopsvo evoc; povaSiaiou
(op0oycoviou) teXeotti U Kai evoc; povaSiKou 0etikou теХеотт) P, SqXaSq T=UP. EninXeov, eav
о T sivai avriorpEipipoc;, tote о U Enioqc; npooSiopi^srai povaSuca.
Ano to ©Ecbpqpa 13.10, о T*T sivai svac; 0etik6<; теХеоттц;, Kai apa 0a unapxsi svac; (povaSi-
кбс;) 0stik6<; теХеоттц; P тетоюс; coote P2=T*T (IlpopXqpa 13.43). naparqpoupE on
ПРИИ2 = m P(p)) = (^(p). p) = (T*P(p). p) = (Пр). T(p)> = II Пр) H2 (1)
©всороирв тсора ^Excopiora тк; пЕрштсооЕк; опои о Т sivai avnoTpsyipoc; Kai опои sivai pq-
avnoTps\|/ipo<;.
Eav о T sivai avnoTpsyipoc;, tote ©Етоирв U =PT’1, Kai SfixvoupE on о U sivai pova-
Siaioc;:
U* = (PT"1)* = TX*P* = Kai u^U = (T^-'PPT~l = (Т^-'Т^ГГ1 = I
'Etoi о [7 sivai povaSiaioc;. Erq ouvsxsia ©sroups U=(/-1. Tors о U sivai snioqc; povaSiaioc;
Kai T=UP, oncoc; ^qrovoaps.
Tia va anoSsi^oups rq povaSiKdrqra, unoOsroups on T=U0P0, опои о Uo sivai povaSiaioc; Kai
о Ро 0£Т1кбд. Тоте
Г*Г = PJUJC/qPo = W) = Ро
'Оцсод т] 0£Т1кт| TETpaycoviKT| pi^a too Т*Т Eivai povaSucr) (ПрбрХтща 13.43), олбтЕ Ро=Р.
(ZqpEicbvETai oti т] аут1отр£\р1цбтг|та тоо Т 5е %рт]01цоло1£1та1 yia va алоЗахта т] цоуаЗосб-
тт)та too Р.) Eav тсора о Т Eivai аутютрбцацод, тоте, ало tt)v (1), о Р 0а Eivai Етт1сгг|д avriGTpE-
цицод. ПоХХалХаоюСрутад tt)v UoP=UP це tov Р_| ота Зе^ш, ла(руооц£ U0=U, ZovEncog о U
Eivai £л(от|д pova3iKog отау о T Eivai avTiOTpapipog.
Ag оло0еоооце тсора oti о T 3ev Eivai avTiorpsipipog. 'Еотсо W t] EiKova too P, Зт]ХаЗг|
W=Im P. Ел[от|д, opitpopE tov Uf: W->V ало tt)v
U|(w)=T(v), блоо P(v)=w (2)
0a лр£л£1 vaЗе^ооце oti о U, Eivai ЕларксодopiopEvog, 8т]Ха8г| otit] P(v)=P(v') ооУЕлауЕтас
oti T(v)=T(v'). Aoto алор.Еа ало то ysyovog otit] P(v-v')=0 Eivai ioo36vapr) це tt]v ||P(v-v')||=0,
t) оло(а, ало tt)v (1), 3iv£i оло%р£сот1ка ||T(v-v')||=0. Apa Xoutov о U| Eivai Еларксод орюцЁ-
vog. АкоХоб0сод opi^oopE tov U2: W->V. ZqpEicbvETai oti, ало rr|v (1), oi P Kai К 0a exoov
тоод 18100g лортщЕд. fig ek tootoo, oi EiKovEg tcov P Kai T 0a exoov tt|v iSia бюотаот], Зт)ХаЗг|
dim(Im P)=dim W=dim(Im T). 1орл£раорат1ка, oi w1 Kai (im Т)1 0a exoov £л[от|д tt)v iSia
Зшатаод. Zto crqpEio аотд оло0етооце oti о U2 Eivai Evag юорорсрюрдд рЕта^б tcov Kai
(imT)1.
ZovEx^ovrag, ©етооце U=U| ф U2. [ЕЗсо о U opi^ETai cog £^i)g: Eav vg V Kai v=w+w', блоо
wgW, w'g w1. tote U(v)=U|(w)+U2(w').] О U тсора Eivaiурацщкбд (ПрбрХтща 13.69) кар
Eav vg V Kai P(v)=w, t6te, алб rqv (2),
T(v)=U j (w)=U(w)=UP(v)
ZovEncbg T=UP, блсод ^тобоацЕ.
Алоцеуе1 va Зе^ооце 6ti о U Eivai pova3taiog. Тсора, ка0£ Siavuopa xg V цлор£( va ypacpTEi
отт) popcpq x=P(v)+w', блоо w'g w 1. Тоте U(x)=UP(v)+U2(w')=T(v)+U2(w'), блоо, албtov
орюрб ТОО U2, (T(v), U2(w'))=0. ЕлшХеоу, ало tt)v (1), (T(v),T(v))=(P(v),P(v)), олбтв
(L/(x), l/(x)) = (T(v) + 1/2(м0, T(v) + С/2(м0) = m, T(v)) + (С/2(и/), С/2(и/))
= (P(y), P(y)) + (и/, и/) = (P(v) + и/, P(y) + w') = (x, x)
[Хр^ощолощоацЕ Елктдд то yeyovog 6ti (P(v), w'),=0.] 'Etoi о U eivai pova3iaiog, Kai to
0есЬртща алоЗе(хтт|ке.
13.24. 'Еотсо V о Зшуооцапкбд х<Ьрод лоХосоуоцсоу лаусо ото R це еосотерскб усубцеуо лоо opi^eTai
ало тт|у
.Na Зсооете eva лараЗауца ц(а урацц1кт|д цорсрлд ф otov V yia tt)v оло(а то ©Есортща 13.3
3ev ioxvei, Зт]ХаЗт| yia tt)v оло(а 3ev оларха KavEva лоХосоуоцо h(t) тетою сооте 0(f)=(f,h),
yia ка0£ fG V.
'Еотсо 6ti т] ф: V->R opi^ETai алб tt)v ф(1)=Ц0). Н ф, Зт]ХаЗг|, алотсца то f(t) ото 0, Kai ара
то aneucovi^ei стто отаОерб бро тоо. YnoOeTovpe oti vnapxei eva noXvcbwpo h(t) yia то onoio
Ф(П=/(0) = J/(W)* (1)
yia ка0Е noXvcbwpo f(t). IlapaTqpovpe OTiq ф aneucovi^Ei то noXvcbwpo tf(t) стто 0. Apa, ano
tqv(l),
£ ДОЛГО * = 0 (2)
yia ка0Е noXvcbwpo f(t). EvyKexpipeva T| (2) 0a npenei va ioxuei yia f(t)=th(t), SqXaSq
j ?Л2ГО* = 0
To oXoKXqpcopa аото vnoxpecbvei то h(t) va Eivai to pqSevtKo noXvcbwpo. 'Etoi, 6(f)=(f,h),
=(f,0),=0 yia каОе noXvcbwpo f(t). Avto cootooo PpioKeTai cte avTicpaoq це to yeyovog oti t| ф
3ev Eivai T| pq6evucq p.op<pr|. Evpnepaivovpe, Xoinov, oti to h(t) 3ev vnapxei.
AAYTA ПРОВЛНМАТА
nPOEAPTHMENOE
13.25. Na Ppeite tov npooapTqpevo tov:
= «+’!] w'-[< -а} (,)с = [5з]
13.26. 'Еотсо oti о T: R3->R3 opi^eTai ano Tqv T(x,y,z)=(x+2y, 3x-4z, y). Na Ppeite tov T*(x,y,z).
13.27. 'Есттсо oti о T: C3->C3 opi^eTai ano Tqv T(x,y,z)=[ix+(2+3i)y, 3x+(3-i)z, (2-5i)y+iz]. Na Ppei-
te tov T*(x,y,z).
13.28. Tia tt|v ка0е ypappucq ovvapTqoq ф cttov V, va Ppeite eva ue V tetoio coote 6(v)=(v,u), yia
ка0е ve V:
(а) ф: R3->R nov opi^ETai ano tt|v ф(х,у,г)=х+2у-3г.
(P) ф: C3->C nov opi^ETai ano Tqv 6(x,y,z)=ix+(2+3i)y+(l-2i)z.
(у) ф: V->R nov opi^ETai ano tt|v 6(f)=f(l), onov о V eivai о SiawopaTiKog x&pogгог) Про-
pXqpaTog 13.24.
13.29. Yno0ETOvrag oti о V exei nenepaopevq SiaoTaoq, va апобе^ете oti t| eiKova tov T* eivai to
opOoycbvio ovpnXqpcopa tov nvpqva tov T, SqXaSq (Im T)=(Ker T)+. Enopevcog rank(T)=rank(T*).
13.30. Na берете oti q T*T=0 ovvenayeTai oti T=0.
13.31. 'Еотсо V о SiawopaTucog xtupog noXvcowpcov navco ото R це еосотерисб yivopevo nov opi^eTai
ano Tqv (f,g)=£/(Z)g(Z)c/Z.'Еотсо, enioqg, D о TeXeorqg-napaycoyog otov V, SqXaSq D(f)=
df/dt. Na берете oti Sev vnapxei Kavevag TeXeorqg D* otov V тётоюд боте (D(f), g),=
(f, D*(g)), yia ка0е f,ge V, SqXaSq oti о D 8ev exei npooapTqpevo.
13.32. Na Ppene eva povaSiaio (opOoycbvio) nivaKa tov onoiov q npcbTq ypappq va eivai:
(а) то (2/713 .3/713 )> (Р) EvanoUanXaoio tov (1, 1-i), (у) то 2*’ 2~2.‘
13.33. Na опоЗе^ете oti та yivopEva Kai oi avrioTpocpoi opGoycbvicov nivouccov Eivai opGoycbvioi..
(ЕпорЁУСод oi opOoycbvioi nivaKeg о^Пцат^оиу pia opaSa vno noXAanXaoiaopo, tt| XcyopEvr]
opOoycbvia opaSa.)
13.34. Na anoSsi^ETE oti та yivopEva Kai oi avrioTpocpoi povaSiaicov nivaKCOv Eivai pova5iaioi. (Eno-
рЁУСод oi povaSiaioi nivaKeg a%r|paTi^ovv pia opaSa vno noXXanXaoiaopo, tt| Xeyopevri/wva-
diaia оцада.)
13.35. Na Sei^ete oti Eav evag opOoycbviog (povaSiaiog) nivaKag Eivai rpiycoviKog, tote Eivai Siaycb-
viog.
13.36. YnEvOvpi^ETai oti oi piyaSiKoi nivaKEg A Kai В Eivai povaSiaia looSvvapoi Eav vnapxEi Evag
povaSiaiog nivaKag P тЁтоюд coote B=P*AP. Na SeI^ete oti r| ayeor] ovtt| Eivai pia ayeor] iooSv-
vapiag.
13.37. YnEvOvpi^ETai oti oi npaypaTiKoi nivaKEg A Kai В Eivai opOoycbvia looSvvapoi Eav vnapxEi
Evag opOoycbviog nivaKag P тЁтоюд coote B=PtAP. Na SeI^ete oti r| oxeoti ovtt| Eivai pia охёот]
looSvvapiag.
13.38. 'Еотсо о W Evag vnoxcbpog tov V. 'Eotco Eniorig, yia опою8т|поте ve V, v=w+w', onov we W,
w'e И71 • (Eva тетою aGpoiopa Eivai povaSiKO EnEiSf| V=W® .) Eav о T: V->V opi^Erai
ano tt|v T(v)=w-w', va SeI^ete oti о T Eivai Evag avwnpooapTTipEvog povaSiaiog тЕХ£отт|д
otov V.
13.39. 'Еотсо о V Evag xcbpog eocotepikov yivopEvov Kai eotco oti о U: V->V (pr|v упоРёоете oti Eivai
ypappiKog) Eivai Eni Kai SiarripEi та eocotepiko yivopsva, 8r|Xa8f| (U(v), U(w))=(u,w) yia koGe
v,we V. Na опо8е^ете oti о U Eivai ypappucog, koi apa povaSiaiog.
0ETIKOI KAI OETIKA OPIEMENOI ТЕЛЕЕТЕЕ
13.40. Na SeI^ete oti to aGpoiopa Svo Getikcov (Getiko optopevcov) teXeotcov Eivai Getiko (Getiko
орюрЁУо).
13.41. 'Еотсо о T Ёуад ypappucog теХеогг]д otov V koi ёотсо oti о f: VxV->K opi^Erai ano tt|v
f(v,v)=(T(u), v). Na SeI^ete oti о iSiog о f Eivai ёуо eocotepiko yivopEvo otov V Eav Kai povo
Eav о T Eivai Getiko орюрЁУод.
13.42. УпобЁтоутад oti о E Eivai pia opGoycbvia npo0oXr] navco oe капою vnoxcbpo W tov V, va
Ведете oti о kl+E Eivai бЕпкод (Getiko орюрЁУод) Eav k>0 (k>0).
13.43. ©ecopeiote on о тЕХ£отт|д T opi^ETai ano tt|v T(u,) = <rn]v апобЕф] tov
0£сорт|ратод 13.10A. Na Ведете oti о T Eivai бЕтисод Kai oti Eivai о povaSiKog GETucog teXe-
отт|д yia tov onoio T2=P.
13.44. УпобЁтоутад oti о P Eivai Tavroxpova GETucog Kai povaSiaiog, va опоЗе^ете oti P=I.
13.45. Na npooSiopiosrs noioi ano тоид яаракатсо nivaKsg Eivai Oetikoi (Ostiko opiopsvoi):
13.46. Na anoSsi^srs oti svag 2x2 piyaSiKdg nivaKag = [c d] e^vai б^код Eav Kai povo Eav
(i) A=A* Kai (ii) та a, d, ad-bc Eivai pq-apvqriKoi npaypariKoi apiOpoi.
13.47. Na anoSsi^srs oti svag Siaycbviog nivaKag A sivai OsriKog (Oetikoi opiopsvog) Eav Kai povo Eav
r| кабв Siaycbvia Karaxcbpqori Eivai pq-apvqriKog (Обпкод) праурапкод apiOpog.
AYTOnPOEAPTHMENOI ТЕЛЕЕТЕЕ KAI EYMMETPIKOI IIINAKEE
13.48. Tia onoioSqnors teXeotti T, va Ssttgsrs oti о T+T* sivai avronpooapvqpsvog Kai о T-T* avri-
npooapvqpsvog.
13.49. YnoOsrovrag oti о T sivai avronpooapvqpsvog, va Ssttgsrs oti t| T2(v) ovvsnaysrai oti T(v)=0.
Xpqoiponoicbvrag auro, va anoSsi^srs orq ovvsxsia oti r| Tn(v)=0 sniorig ovvsnaysrai oti T(v)=0
yia n>0.
13.50. 'Еатсо о V svag piyaSiKog xcbpog socorspiKOV yivopsvov. YnoOsrovrag oti to (T(v), v), sivai
праурапко yia каОб ve V, va Ssi^srs oti о T sivai avronpooapvqpsvog.
13.51. YnoOsrovrag oti oi T] koi T2 sivai avronpooapvqpsvoi, va Ssttgsrs oti о T]T2 sivai avronpo-
oapvqpsvog sav Kai povo sav oi T] Kai T2 avripsTaTiOsvrai, SqXaSq T]T2=T2T].
13.52. Tia tov KaOsva ano Tovg паракатсо ovppsrpiKovg nivaKsg A, va PpsiTS sva opOoycbvio nivaKa
P yia tov onoio о PTAP sivai Siaycbviog:
4] . 4]. Мл=[’
13.53. Na PpsiTS pia opOoycbvia aXXayri ovvrsraypEvcov nov va Siaycovionotsi rqv KaOspia ano Tig
aKoXovOsg rsrpaycoviKsg popcpsg:
(a) q(x,y)=2x2-6xy+10y2, (P) q(x,y)=x2+8xy-5y2, (y) q(x,y,z)=2x2-4xy+5y2+2xz-4yz+2z2
KANONIKOITEAEETEE KAI IIINAKEE
13.54. 'Еатсо A = £ * 2]'^“ ercaXqOsvasTS oti о A sivai KavoviKog Kai va Ppsirs sva povaSiaio niva-
Ka P tetoio coote о P*AP va sivai Siaycbviog. Eniorig, va Ppsirs tov P*AP.
13.55. Na SsUgsTE oti svag TpiycoviKog nivaKag sivai KavoviKog sav Kai povo sav sivai Siaycbviog.
13.56. Na anoSsi^ETS oti sav о T sivai KavoviKog otov V, tots ||T(v)||=||T*(v)|| yia KaOs ve V, Kai va
Ssi^ETE oti to avriorpocpo ioxvsi os piyaSiKOvg xebpoug socorspiKov yivopsvov.
13.57. Na Ведете oti avTonpooaprqpEvoi, avTucpooapTT|pEvoi Kai povaBiaioi (opOoycbvioi) ТЕХеотЁд
eivai KavoviKoi.
13.58. УлобЁтоутад oti о T Eivai KavoviKog, va алоВЕ^ЕТЕ oti:
(а) О T Eivai аотолрооартт|реуод Eav Kai povo Eav oi iBioTipdg tov Eivai лраурапкЁд.
(P) О T Eivai povaBiaiog Eav Kai povo Eav oi iBioTipeg tov exovv алдХптт] Tipi] 1.
(у) О T Eivai OsTiKog Eav Kai povo Eav oi iSioTipsg tov Eivai pr|-apvr|TiKoi npaypaTiKoi apiO-
poi.
13.59. Na Ведете oti Eav о T Eivai KavoviKog, tote oi T Kai T* exovv tov iBio 7tvpr|va Kai ti]v iBia
EiKova.
13.60. УлоОеоте oti oi T| Kai T2 Eivai KavoviKoi Kai avTipETaTiOsvTai. Na Ведете oti oi T|+T2 Kai
TjT2 Eivai ЕЛ1от|д KavoviKoi.
13.61. УлоОеоте oti о T] Eivai KavoviKog Kai avTipETanOETai p£ tov T2. Na 3eI£,ete oti о T| avripETa-
TiOETai Ел1от|д ps tov T2*.
13.62. Na олоЗе^ете to E^r|g: 'Еотсо oi T। Kai T2 KavoviKoi твХеотЁд oe ava piyaSiKo xcbpo eocotepi-
kov yivopEvov, V, ЛЕЛ£раор£УТ|д 8idoTaoi]g. Tote vnapxei pia орбокауоуиа] Paoi] tov V nov
anoTEXEvcai ало iBioBiavvopaTa tooo tov T] doo Kai tov T2. (Oi T। Kai T2, 8т|Ха8т|, pnopovv
va 8iaycovionoir|6ovv TavToxpova).
ПРОВАНМАТА1ЕОМОРФ1ЕМОУ Г1А XQPOYL ELQTEPIKOY riNOMENOY
13.63. 'Еотсо т| S={u2,.. ..Un} piaорбокауоуиа] pdoi] evdg xcbpov eocotepikov yivopevov, V, лаусо ото
К. Na Ведете oti о рЕтаохпратюрдд va [v]s Eivai svag юорорсрюрдд (xcbpov eocotepikov
yivopevov) pera^v tcov V Kai Kn. (ЕЗсо to [v]s оирРоЩ£1 to Siawopa ovvrETaypevcov tov v
отд Раот] S.)
13.64. Na Ведете oti Bvo xcbpoi eocotepikov yivopevov V Kai W лаусо ото К Eivai loopopcpiKoi Eav
Kai povo Eav exovv tt|v iSia Biaoraoi].
13.65. УлоОеоте oti та Kai {u'b...,u'n} Eivai орбокауоускЁд PaoEig tcov V Kai W, avTi-
OTOixa. Eavr| T: V->W eivai r| ypappucq aneucdvioi] nov opi^ETai and tt]v Т(и,)=и', yia кабв i,
va Ведете oti о T Eivai svag юорорсрюрдд.
13.66. 'Еотсо о V svag xcbpog eocotepikov yivopevov. Ynev&vpi^ETai oti кабе ue V npoo8iopi^Ei pia
ypappiKT) popcpi] й это Bviko xcbpo V* ало tov орюрб й (v)=(u,v), yia кабе ve V (ВХёпе to
KEipevo nov лрот|уЕ1та1 tov ©есорт|ратод 13.3). Na Ведете oti r| anEiKOvior] u|->u Eivai ypap-
piKi] Kai pr|-i8id^ovoa, Kai apa Eivai svag юорорсрюрдд алд tov V otov V*.
ПО1К1АА ПРОВАНМАТА
13.67. УлобдотЕ dTi то {ub.. ..u,,} Eivai pia орбокауоуиа) Раот] tov V. Na олоВе^ете oti:
(a) (a]U| -1- a2u2 + • • • + o„u„, b|U| -1- b2u2 +... + b„u„) = a(6| + a2b2 +... a„b„
(P) Eav о A=[aIJ] Eivai о nivaKag nov ауаларюта tov T: V->V ott| pdcrr] {u,}, тдтЕ аи=
<T(u,), Uj).
13.68. NaSsUjsxs ononap^si pia opSoKavovucr] paar] {иь...,ип} тои V лои anoxsXsixai ало 181081a-
voopaxa xoo T sav Kai povo sav onapxoov op0oy©visg лроРоХбд Eb..,Er Kai apiQpoi Xj,..
xExoiEg (Kai xexoioi) ©oxe:
(i) T^jEj+.-.+A^p (ii) E|+...+Er=I, (iii) E,Ej=0yia i*j
13.69. Yno0£OX£dxiV=U®U. УлоОеохе, £л1ат]д, oxioiTp U->V KaiT2: W->V EivaiypappiKOt. Na
Sei^exe oxi о Т=Т|фТ2 sivai Ел1ат|д ypappiKog. ЕЗ© о T opi^Exai ©g £^r|g: Eav vgV Kai
v=u+w олоо ug U, wg W, XOXE
T(v)=T,(v)+T2(w)
AIIANTHEEIE AAYTQN IIPOBAHMATQN
ХьцРоХюцдд: о [R(; R2;...; RJ oopPoXi^Ei Eva nivaKa p£ ypappsg R|, R2,...,Rn.
13.25. (a) [5+2i, 4+6i; 3-7i, 8-3i], (P) [3,-1; -5i,2i], (y) [1,2; 1,3]
13.26. T*(x,y,z)=(x+3y, 2x+z, -4y)
13.27. T*(x,y,z)=[-ix+3y, (2-3i)x+(2+5i)z, (3+i)y-iz]
13.28. (a) u=(l,2,-3), (P) u=(-i, 2-3i, l+2i), (y) u=^(18i2 - 8r + 1з)
13.32 (a) (1/ТТЗ)[2,3; 3,-2], (b) (1/73)[1, 1-i; 1+i, -1],
(c) |[1, i, 1-i; V2i, -Л, 0; 1, -i, -1+i]
13.45. ©sxiKoi sivai povo oi (i) Kai (v), sv© QsxiKa opiopsvog sivai povo о (v).
13.52 (aKaib) P = (l/75)[2,-l; -1,2], (с) P = (1/710)[3,-1; -1,3]
13.53. W х = (3/-У)/710,у = (/ + ЗУ)/710, (6) х = (2х'-У)/>/5, у = (х/ + 2У)/>/5,
(с) х = Y/73 +//Л + г'/Тб, у = Y/73 - 2//Л, г = //Л-//Л + г'/Тб
13.54. (а) Р = (1/72)[1,-1; 1,1], PMP = diag(2 + i, 2-i)
EYPETHPIO
Cayley-Hamilton 381
n-TSTpaycoviKdc; nivaKac; 47
sgn 348
unitary piya6iKcov nivaKcov 54
A
абро1ората 168
аХубрсброс;
anaAoicpiiq 84
ano8oXf|q 167
6iaycovionolr|or|c; 388, 470
opOoycbviac; 6iaycovionolr|or|c; 391
Xcbpou ypappcbv 167
avdmuypa Laplace 352
avdoTpocpoq nivaKa 46
aviodir|Ta Minkowski 16
avTipcTaOeor] 349
avTipETa9ETiKf| ораба 148
avuorpeipipoc; nivaKac; 49
avTlorpocpoc; nivaKac; 49, 50
avTi-oupp£TpiKf| 6iypappiKf| popcpii 469
dvco TpiycoviKoc; 51
anaAoupii Gauss 89
апбХитт] Tipf| 24
anoouvOsoipoc; teXeottic; 424
apiOpo! 147
apvr)TiKO 6idvuopa 14
apvr)TiKdc; 43
apna рЕтабЕог] 348
auTonpooapiripEvoc; теХеотУ|<; 494
acpalpEor] 148
В
баброс; nivaKa 96, 165
бабрсотб yivdpsvo 15
бабрсотос; napayovrac; 384
бабрсотос; noXXanXaoiaopoc; 12, 147, 149
6аог| 162
Г
yvrioia cpavTaoriKf] 494
ураррска avE^dpTT|Ta 6iavuopara 158
ypappiKa E^apTTipdva 6iavuopara 158
ypappiKf] £^артт]от] 161
YpappiKii E^locoor] 77
ypappiKf] ЕпЁктаог] 156
YpappiKii 6f|Kri 156
ypappiKfi popcpf) 453
YpappiKii парата^п 11
ураррскб 6idvuopa 11
ypappiKoc; ouv6uaopoc; 155
ypappiKoc; ouv6uaopoc; 6iavuopdrcov 14, 104
ypappiKoc; auvduaapoc; e^iocooecov 81
ypappiKoc; теХеотУ|с; 380, 386
YpappiKdq теХеотУ|с; 383, 491
ypappoioo6uvapoc; nivaKac; 96
A
бситсрос; би'Скос; xcbpoc; 455
6iaycbvia oroixeia 22
6iaycovionolr|or| ypappiKcbv teXeotcov 386
6iaycijvionolr|or| оиукХют|с; оиррвтрисои nivaKa 470
6iaycovionoif|oipoc; ypappiKoc; teXeottic; 379
6iaycijvionoif|oipoc; nivaKac; 379, 383
6iaycbvioc; 47
6iap£piopsvoi 6iaycbvioi nlvaKEc; 395
6iap£piopfvoc; dvco TpiycoviKoc; nivaKac; 57
6iap£piopfvoc; 6iaycovioc; nivaKac; 56
6iap£piop£voc; nivaKac; 55, 356
diapepiopfivoc; nivaKac; Jordan 393
6idvuopa 11, 13
6idvuopa ypappiic; 13
6idvuopa ypappiic; 42
6idvuopa отг|Хг]с; 13, 42
6idvuopa ouvTETaypdvcov 170
6idvuopa ouvTETaypevcov ypappiic; 170
6iavuopara ypappiKa av£^dpTT|Ta 158
6iavuopauKdc; xwpoc; 148
6iavuopauK6c; x<bpoc; n£n£paopovr)c; 6idoraor|c; 162
бюотасл] 164
6idoraor| x<bpou Xuoecov 168
бюсрора 6iavuopdTcov 14
6uiKii 6dor| 454, 463
бискос; x<bpoc; 454
6uvdpsic; nivaKa 49
E
ЕКфиХюрЁУГ] ypappiKf] E^locooi] 80
sXaoocov 351, 355
sXaoocov oplijouoa 355
EXaxioro noXucbvupo 392, 394, 395
svaXXaoodpsvri бгураррист] рорфй 469
eocotepiko yivopsvo 22
snauJjipsvoc; nivaKac; оиатпратос; 80
Eppiuavri рорфй 467, 488
EppiTiavri TETpaycoviKf| рорфй 474
Eppinavol piya6iKcov nivaKcov 54
eowTepiKO Yivopevo 15, 25
ЕиОЁа аОро(арата 168
eu0u аброюра 168, 169
eu0u аброюра ипохшршу 423
EukXe(6eio<; n-хшрос; 15
Н
qpiopiopdvoi; ypappiKoi; теЛеоттк 497
О
бЕТ1ка opiopEvri EppiTiavf| popcprj 475
бЕпка opiopdvr) аиррЕтрскт] 6iypappiKf| 473
бЕпка opiopdvoi; ypappiKoi; теХеситц; 497
6etikt] TETpaywviKf] pl^a 385
6etik6<; ypappiKdi; теХеоттц; 497
бЕшрпра
Cayley-Hamilton 383
Minkowski 16
Schwarz 16
Sylvester 473
прштЕйоиоас; anoouv6Ear)i; 424
сраоратос; 499
I
i6io6iavuopa 387
i6ioeu6eIo 384
i6ioxcbpo<; 387
iao6uvapla ypappcbv 96
caoSuvapla mvaKcov 115
юорЕтрса 496
loopopcpiKdi; 451
cooTipla МЕтабЕОтц; 348
(xvoc; 47
К
KavoviKf] popcprj 421
KavoviKonolqor] 16
kovovikoc; ypappiKdi; теХеотес; 498
kovovikoc; рсуабскбс; nivaKac; 55, 498
kovovikoc; nivaKac; 53, 54
kovovikoc; теХеотес; 494
катахсорют; 41
кХааскбс; npooapTTipsvoc; 353
кХаоскбс; npooapTTipsvoc; nivaKac; 353
кХсраксотг] popcpf] 87
кХсраксотбс; nivaKac; 94
кирю 6iaycbvioi; 47
кирю EXaooova 355, 356
Л
XIotec; api6pcbv 11
M
рЁуЕбос; nivaKa 42
рёбобос; op6oKavoviKonolr|0r]c; Gram-Schmidt 307
рЕтабсат] 348
рЁтро бюуиоратос; 15, 296
pr|-apvr|TiKd прюрюрЁУТ] EppiTiavf] popcpf] 475
pq-apvr|TiKd прюрюрЁУГ) oupperpiKf] 6iypappucf| 473
pq-apvT]TiKdc; ypappiKdi; теХеотес; 497
pr|6EViKf| Xuor] 107
pqdEViKO 49
PT)6evikoc; nivaKac; 42
pqdEViKdc; теХеотес; 425
pqdEviKdc; ТЕтрауамкос; nivaKac; 425
pqdEviKoc; unonlvaKac; Jordan 425
pr|-6iaycbvia orotxEla 22
pr)-i6idz;cjov nivaKac; 49
pf|KOc; diavuoparoc; 15, 296
pn-opoysvdc; ойотпра 78,110
рсуабскт] TETpaycoviKf] popcpf] 474
рсуабскб еп1пе6о 25
рсуабскбс; арсброс; 23
рсуабскбс; EukXe(6eioc; n-хшрос; 26
рсуабскбс; nivaKac; 54
рсуабскбс; ou^uyfji; 24
рсуабскос; xcbpoi; eocotepikou yivopdvou 311
povadiala ораба 512
pova6ia(o 6iavuopa 16, 296
povadialoi; nivaKac; 496
pova6ialoc; теХеотес; 495
popcpf) Jordan 426, 439, 449
N
vopoc; a6pavEiac; 473
vopoc; napaXXqXoypdppou 319
voppa 296
voppa anslpou 314
voppa бюуиоратос; 15, 296
voppa-6uo 314
vdppa-dva 314
voppaptopdvoc; бюуиоратскбс; x^poc; 314
О
opoyEvdc; auoTTipa 78
op6oycovia 15
op6oycbvia 6iaycovionoiTioipoc; nivaKac; 390
opOoycbvia бюуиората 15, 301
opOoycbvia оирпХпрсЬрата 302
opOoycbvio ouvoXo 303
opOoycbvioi; nivaKac; 52, 309, 496
opOoycbvioi; теХеоттк 495, 497
opOoKavoviKT] 6dor) 496
opOoKavoviKO ouvoXo 303
opOoKavoviKonolqar) GRAM-SCHMIDT 306
opl^ouoa 50, 345, 356, 358
opl^ouoa Td^rjc; n 345, 349
п
napapexpiKri popcpf) 88
nsdia 150
nepiTTf) ретаОвог] 348
nivaKac; m х n 42
nivaKac; avanapaoraar) 468
nivaKac; ураррпс; 42
nivaKac; отУ)Хг|с; 42
nivaKac; ouvodeiac; noXucDVupou 393
nivaKac; ouvtbXbotbc; 48, 80
nivaKac; xd^qc; n 47
noXXanXaoiaopoc; mvdKWV 44
noXXanXaaiaoxEc; 114
noXXanXaaiaoxf|c; 97
поХиурацц1кбтт|та 358
npaypaTiKoi x«bpoi eowrepiKoii yivopsvou 497
npoaavaxoXiapsva diavuopaxa 18
npoaapxripdvoc; 511
npoaapxripEVOc; твХвспт]с; 491
npooripo pexd9eor|<; 348
прбобвог) diavuapaxwv 12, 147, 148, 149
прсотвиоиоа anoouvGsar) 424
P
pr|xf| KavoviKf| popcpri 427, 428
pi<a 49
I
aripsio 13
oraGspdc; unoxcbpoc; 422, 448
OTOlXEiO 41
otoixeicdSeic; SiaipsxEc; 428
OTOixsiwdEic; рЕтаохлрапаро! 82
OTOixsicbdEic; psxaoxripaTiapoi Ypappcbv 95
otoixeiwSeic; psxaoxripaTiapoi OTT)Xcbv 113
otoixeiwSeic; npa^sic; 82
axoixEid)6r|<; nivaKac; 110
au^uYnc; ураррект] 474
aupp£xpiKf| YpappiKf| popcpf) 470
auppsxpiKfi 6iYpappiKf| popcpf) 470
auppsrpiKdc; nivaKac; 52
оиррвтрекбс; твХвсп¥]с; 497
auvTEXscmic; Fourier 305, 306
aucnripa ypappiKcbv e^iocboewv 78, 104
T
xauxoTiKOc; nivaKac; 48, 49
TsxpaYwviKd оиотлра 78
TExpaYwviKdc; diapspiopdvoc; nivaKac; 56
TExpaYWViKdc; nivaKac; 47
rsrpippEvri Хйог) 107
T-kukXik6c; unoxwpoc; 427
xpiYwviKii aviadTTfra 16, 300
xpiYWViKii рорсрт] 86
xpiYWViKdc; 51
Т-отабврбс; unoxwpoc; 422
Y
unspdiaYwvioc; 425
ипвр8п(пвба 18
unonivaKac; 355
unonivaKac; Jordan 425
unoouvoXa 429
Ф
cpuoiKdc; psraoxTipaTiopdc; 455
X
Xcbpo rniXiKO 429
Xcbpo OTT]Xcbv 157
Xebpoc; Kn 148
Xebpoc; ypappcbv 157
Xebpoc; noXuwviipwv 149
idaviKO ропепца yia фогспгёс ri ano-
фопоис Tjinjidtwv MaenyaiiKwv.
ФиО1КГК, ПАПрОфОр1К11С, Oikovomi-
kwv Kai noAutsxviKuv oxoflwv
Ecipd
SCHAUM
Bipnia тпс oEipdc RavEniotnpiaKuv ponenpatuv Schaum exouv рЕтафраотЕ) oe поААёс уЯйооЕС
xai exouv 5iat£0£i oe пЕрюобтЕра ano 30 EKaroppupia avtituna psxpi aripspa.
Ta pipnia тпс OEipac exouv anoOEixesi iSiaittpa бпроф1Аб avapEoa oe фоиптЁс koi апофоиоис
Betikuv axoAuv, 6i6ti
• KaAunwuv me noRu paid, ouvoutiko aAAd xaucoxpova оАокАприрЁУо tpono dAn тп ectopia
nou nspiAapBavstai oe Еюауиужа xai npoxupnpcva раебрата tuv ovtiotoixuv ovtikeipe-
vuv, xupic va Koupd?ouv tov avayvuotn pc перитёс пАпрофор1ЕС
• HEPIEXOUV EKaTOVTdSEC Rupsva парабЕ1урата aoxrioEwv pc avaAutiKdtatn napouoiaon tnc;
Ruonc, Pripa npoc pripa. nou ponOouv atnv npaxTixri E^doxnon tou avayvuotn
• riEpisxouv поААёс оирпАприратжЁс aaxrioEic, n OEpatoAoyia tuv onoiuv sivai прооЕктжа
EmREYPEvn wote va napExouv npaxTixn Е^аокпоп cvtaypEvn ото 6Ro nAaioio tnc епютп-
pnc ri tuv Emotnpuv пои to ovtikeipevo tou pipRiou афора.
• Eivai оиррата pe tnv uRn avtiatoixuv 6i6aKtiKcov pipRiwv navsmotnpiaKuv oxoAuv
Etnv пароиоа рвтафраоп тои pipRiou tnc rpappixric AHycppac tnc OEipac Oa Ppeite. peto^u dA-
Auv:
• ЕафЕ(с xai EUKORovonTEC епе^пупоек Yia tic ewoiec tnc ifiiOTipric, idioSiavuopaToc, YPap-
pixwv pEtaoxnpatiopwv, ouatnpatuv YPappixuv e^iowoewv xai mvaxwv
• noRRa Rupsva npoparipata nou oxEti?ovtai pe Tnv EmoTripn пои oac афора
• EuvonTixri napouoiaon тпс OEupiaq koi noRRsc oupnflnpwpatiKEC aoxrioEic nou xaOiotouv
to pipRio idavixo yia EnavdRm|in npiv tic e^etooeic
AvaRuTixoTEpa, та кЕфаНаю тои pipRiou nspiAappavouv: fliavuapata ото xwpo R" xai Cn, AAys-
ppa mvdKwv, ГрарржЁс E^iowoeic. AiavuopaTixoiic xupouc, rpappixsc anEixovioEic. napacrtdoEic
Ypappixuv ansiKOvioEwv pe nivaxEC, Хыроис eowtepikou yivopevou xai opOoKavoviKdtnta, OpRou-
oec. AiaYwvionoinon: iSiodiavuopaTa xai idiotipEC, Kavovixsc рорфЁс. ГрарржЁс ouvaptnoiaKEC
xai Диабжоис xupouc. Д|урарржЁс. tEtpayuviKEC xai EppniavEc рорфЁс. Грарржоис теАеотёс па-
vu ое xupouc ЕоитЕржои у I vo рЁ vo и. Enionc, то парартпра npaypatEUEtai pe noAuuvupa uc 6ia-
vuopata.
www.schaums.com
EKAOZEIZ TZIOAA
KevrpiKo: ФМппои 91, 54 635 ©есоаЛоуСкг], Тг]Л. (2310) 247.887, Fax (2310) 210.729
ApnevonoOAou 23, 546 35 ОсаааЛсллкг], Tr|X./Fax: (2310) 219.184,
BipAioncoXeio: Kcov. MeAevlkou 3, 546 35 ©еоааЛсмкг], Tr]A./Fax (2310) 201.274
Internet: e-mail :tziolas@the.forthnet.gr
http://www.tziola.gr
http://www.wap.tziola.gr
Катаатпра A0r|vwv:
ZTOA TOY BIBAIOY - Ароакею Мёуаро
105 64, ПеацафуЛои 5 (Flaveniorripiou 39) Катаопща 18, Tr|A./Fax (210) 32.11.097
ISBN 960-8050-93-6