/
Text
К. А. КРУГ
ы
И
КРУГ
Г ОСЭН Е Р Г О И 3 Д А Т 1946
Проф. К. А. КРУГ
основы
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
В ДВУХ ТОМАХ
ТОМ ВТОРОЙ
Scan AAW
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА 1946 ЛЕНИНГРАД
Проф. К. А. КРУГ
ТЕОРИЯ
ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ
Утверждено Всесоюзным комитетом по делам высшей, школы
при Совнаркоме СССР
в качестве учебника для энергетических втузов
и электротехнических факультетов
ШЕСТОЕ, СОВЕРШЕННО ПЕРЕРАБОТАННОЕ ИЗДАНИЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА 1946 ЛЕНИНГРАД
Рецензенты.
Проф. К. М. Поливанов
Доц. С. В. Страхов
Во втором томе изложены теория переменных токов
и электромагнитное поле. Особое внимание уделено не-
стационарным явлениям в цепях с сосредоточенными по-
стоянными.
Книга предназначена для студентов втузов, готовя-
щих специалистов в различных областях электротехники.
Объем и содержание соответствуют программе курса
теоретических основ электротехники, утвержденной для
wfiux втузов.
СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА ПЕРВ АЯ
СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ТОКИ
1. Периодические переменные токи .......................... 9
2. Составные элементы цепи переменного тока............... 25
3. Последовательное соединение сопрогивления, индуктивности
и емкости. Резонанс напряжений.........•.................. 42
4. Параллельное соединение ветвей. Резонанс токов......... 55
5. Падение и потеря напряжения ........*............ .... 66
6. Измерения переменных токов............................. 71
7. Символический метод.................................... 82
8. Законы Ома и Кирхгофа и выражение мощности в символической
форме...........• . . •.................................. 91
9. Нахождение распределения токов в сложных цепях переменного
тока.................................................• • 96
10. Мост Уитстона при переменном токе .....................ЮЗ
11. Схемы для получения сдвига в 90° и схемы Бушеро.......109
12. Взаимная индуктивность в цепях переменного тока.......115
13. Метод контурных токов в применении к цепям переменного тока.
Закон взаимности.........................................125
14. Схемы замещения. Четырехполюсники . . •...............131
15. Метод инверсии........................................141
16. Построение круговых диаграмм методом инверсий.........148
17. Построение круговых диаграмм на основании векторных уравне-
ний ................................................. ... 160
ГЛАВА ВТОРАЯ
МНОГОФАЗНЫЕ ТОКИ
18. Многофазные системы ...........• .....................172
19. Соединение звездой............ . . •.................176
20. Соединение многоугольником............• . . . . • • • • 188
21. Симметричные смешанные соединения, преобразование симмет-
ричного многоугольника в си ^етричную звезду и наоборот . 192
6 Содержание
22. Мощность симметричных многофазных систем.............199
23. Неравномерные нагрузки трехфазной системы.....• ... 201
24. Взаимодействие индуктивности и емкости в трехфазных систе-
мах ......................................................210
25. Преобразование многоугольника в звезду и обратно.....217
26. Измерение мощности трехфазяого тока..................22!
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ТОКИ
27. Периодические функции и ряд Фурье....................227
28. Аналитические разложения некоторых периодических функций
в ряд Фурье...............................................235
29. Разложение периодических величин по заданным кривым . . . 242
30. Явления в цепях с несинусоидальными переменными токами . . 252
31. Измерение несинусоидальных токов................... 257
32. Мощность несинусоидальных токов......................262
33. Высшие гармоники в трехфазных системах............- . 268
34. Взаимная связь форм кривой магнитного потока и кривой наво-
димой им э. д. с...................................... 273
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА СО СТАЛЬНЫМИ СЕРДЕЧНИКАМИ
35. Влияние магнитного насыщения на форму кривой тока и напря-
жения .......................................•............277
36. Потери в стали..............• •....................28-^
37. Катушка со стальным сердечником......................294
38. Последовательное и параллельное соединение катушек со сталь-
ным сердечником и конденсаторов. Феррорезонанс............304
ГЛАВА ПЯТАЯ
ТРАНСФОРМАТОРЫ
39. Однофазные трансформаторы............................311
40. Схема замещения иопределение параметров трансформатора . . 321
41. Трехфазные трансформаторы............................329
42. Измерительные трансформаторы.........................335
43. Автотрансформаторы и регулировочные трансформаторы .... 338
44. Преобразование трехфазного тока в двухфазный по схеме Скотта 342
45. Умножение частоты при помощи трансформаторов. Пик-трансфор-
маторы. Стабилизаторы напряжения........................ 344
Содержание
7
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ВРАЩАЮЩЕЕСЯ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
46. Двухполюсное вращающееся поле .................. 347
47. Многофазное многополюсное поле ...................357
48. Действие вращающегося магнитного поля в асинхронных двига-
телях . . ............................................361
49. Аналогия между асинхронным двигателем и трансформатором . • 365
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ
50. Разложение несимметричной трехфазной системы на симметрич-
ные составляющие......................................371
51. Степень несимметрии и мощность несимметричной трехфазной
системы............................•..................381
52. Действие трехфазной несимметричной системы напряжений на
симметричный трехфазный приемник энергии..............384
53. Нахождение токов короткого замыкания в симметричных трех-
фазных системах.......................................392
ГЛАВ А ВОСЬМАЯ
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ
ПОСТОЯННЫМИ
54. Переходный и стационарный режим в цепях с сосредоточенны-
ми постоянными.....................• •................399
55. Включение индуктивной катушки на синусоидальное напряжение 401
56. Включение цепи, состоящей из емкости и сопротивления, к пере-
менному напряжению.........................•..........406
57. Включение к синусоидальному напряжению цепи, состоящей из
сопротивления, индуктивности и емкости................408
58. Выключение цепей переменного тока . . . . •.......414
59. Операторный метод Хевисайда.......................418
60. Переходная проводимость. Уравнения Дюамеля-Карсона • . . . . 428
61. Интегральное уравнение Карсона. Теоремы символических пре-
образований ......................................... 432
62. Интегралы Фурье, Лапласа и Бромвича............. 439
63. Включение и отключение отдельных ветвей...........451
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПОСТОЯННЫМИ
64. Параметры Длинных линий...........................456
65. Уравнения длинной линии......................... 470
66. Бесконечно длинная линия..........................474
8 Содержание
67. Длинная линия, нагруженная на конце.............. . 484
68. Гиперболические функции...............................487
69. Передача энергии по линии без потерь . . •........ . . 498
70. Передача энергии по линии с потерями..................503
71. Нахождение постоянных волны и линии по опытам холостого
хода и короткого замыкания.................................510
72. Упрошенные формулы для расчета линий электропередач . . . 513
73. Телеграфные и телефонные линии........................522
74. Электрические фильтры.................................525
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЦЕПЯХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПОСТОЯННЫМИ
75. Движение волн Jno длинным линиям......................532
76. Включение длинной линии (открытой, короткозамкнутой и нагру-
женной на конце активным сопротивлением) на постоянное на-
пряжение ..................................................540
77. Правило Петерсена—Пфифнера. Включение на постоянное на-
пряжение линии, замкнутой на индуктивность и емкость .... 550
78. Отражение волн на стыке двух линий....................562
79. Отключение длинной линии, нагруженной на конце........570
80. Блуждающие волны..........•......................* . . 572
81. Уравнения электромагнитного поля ^Максвелла...........573
82. Плоская электромагнитная волна........................577
83. Передача электромагнитной энергии ... •...............583
84. Отражение и преломление электромагнитной волны в непрово-
дящих средах.............................• . . . . • . . • . 587
85. Распространение волны в полупроводящей и проводящей одно-
родной среде......................................•........594
86. Отражение и преломление синусоидальной волны у поверхно-
сти проводящей среды..................................• . . 600
87. Скин-эффект в круглых проводах........................606
88. Оттеснение тока в проводах, уложенных в пазах электрических
машин.............................................• . . . . 616
89. Диполь Герца........................................ 621
Алфавитный указатель...................................629
ГЛАВА ПЕРВАЯ
СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ТОКИ
1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ТОКИ
Под переменными токами можно понимать любые
токи, величина которых меняется в течение времени, в том
числе и так называемые постоянные токи или токи постоянного
направления, изменяющие свою величину в зависимости от вре-
мени, например, токи при зарядке конденсаторов или при
включении индуктивных катушек.
Однако под переменными токами обычно понимают, если
нет особых оговорок,
такие токи, которые через определенные проме-
жутки времени меняют свое направление и значе-
ния которых представляют собой периодическую
функцию времени-
«=?(0=?^+Г)=?а+2О=-.-=?(^О. (1.1)
В отношении терминов может быть было бы более пра-
вильным называть переменные токи возвратными токами, а
постоянный ток — прямым током»
Время Г, в течение которого ток или соответствующая
э. д. с. совершает полный цикл своего изменения (фиг. 1,1),
после чего опять повторяются те же значения в той же по-
следовательности, называется периодом или циклом пе-
ременного тока, а число периодов или циклов в единицу вре-
мени— частотой колебаний или просто частотой:
fT=l. (1,2)
10
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Частота измеряется в герцах. Колебание имеет частоту,
тт 1 \
равную одному герцу ( 1 Hz=— j, когда оно в одну се-
кунду совершает полный цикл или полный период.
В технике сильных токов переменные токи получаются
при помощи электрических машин, в которых проводники дви-
жутся в магнитном поле, создаваемом постоянным током. При
этом или проводники вращаются в магнитном поле или же
проводники остаются неподвижными, а вращается магнитное
поле.
Фиг. 1,1.
Простейшей такой машиной
или генератором переменного
тока является замкнутый про-
водник или контур, вращаю-
щийся с постоянной угловой
скоростью в однородном маг-
нитном поле между двумя по-
люсами.
В таком генераторе каждый
оборот соответствует одному
полному периоду и угловая
скорость равна:
со=2-/. (1,3)
При вращении плоскость
контура меняет свое положе-
ние по отношению к магнит-
ному полю, и угол а между
плоскостью контура и плос-
костью, перпендикулярной к
направлению поля (фиг. 1,2),
изменяется пропорционально
времени а=<оЛ
§ 1 ] Периодические переменные токи ] }
В соответствии с этим магнитный поток, пронизывающий
контур, изменяется при вращении пропорционально косинусу
угла а:
Ф=Вт-2а1 соза=ФЛЛ cos<»/, (1,4)
где '2а1 — площадь контура, а <Ьт = Вт-2а1 — максимальное
значение потока, принизывающего контур.
А э. д. с., наводимая во вращающейся обмотке, будет из-
меняться по закону синуса:
d<b d'V
е = —w—=—— — sin и/, (1,5)
dt dt
где w — число витков вращающейся обмотки; обмотку мы
предполагаем осуществленной таким образом, что вс;е витки
ее лежат в одной плоскости и'пронизываются в любой мо-
мент одним и тем же магнитным потоком.
То же выражение для наводимой э. д. с. мы получим,
если просуммируем э. д. с. ё, наводимые на отдельных так
называемых активных участках (отрезках) каждого витка
(тп и pq) при движении их в магнитном поле с линейной
скоростью v=2kaf=^a в результате пересечения магнит-
ных индукционных линий:
e’=lBmvsin(Bmv) = lvBm sin a = lBv, 1
е =2<we,=2wl^aBmsin^l=^^msln^t, j '
Наводимая на отдельных участках обмотки э. д. с. ё про-
порциональна проекции вектора магнитной индукции на на-
правление, перпендикулярное к направлению движения про-
водника в магнитном цоле В=Вт чиа. Поэтому, если одно-
родное магнитное поле заменить таким полем, в котором маг-
нитная индукция была бы во всех точках нормальна к на-
правлению движения проводника и изменялась бы вдоль
окружности по закону синуса, то получится такая же э. д; с.,
как и при вращении контура в однородном магнитном поле.
Соответствующее синусоидальное распределение магнит-
ной индукции показано на фиг. 1,3, на которой LMPQL—раз-
вернутая длина окружности, описываемой какой-нибудь точ-
кой активной длины проводника.
Примерно такое распределение магнитной индукции мы
обычно имеем в электрических машинах, в которых для по-
лучения сильных магнитных полей магнитный поток прохо-
дит через сталь на всем своем протяжении за исключением
воздушного промежутка, отделяющего подвижные части ма-
шин от неподвижных. Синусоидального распределения маг-
нитного поля стремятся достигнуть, или придавая полюсам
12
Синусоидальные переменные токи
[гл. 1
соответствующие очертания (при выступающих полюсах) или
соответствующим распределением вдоль воздушного зазора
намагничивающей обмотки, создающей магнитное поле (при
неявных полюсах).
Для получения надлежащей частоты (числа периодов в
секунду) при тихоходных первичных двигателях приходится
Фиг. 1,3.
Фиг. 1,4.
прибегать к многополюсным
машинам. Такая многопо-
люсная машина с вращаю-
щимися полю ами представ-
лена на фиг. 1,4. Полюсы
имеют одинаковое очерта-
ние, и после того как они
повернутся на двойное по-
люсное деление (2т), все
провода будут иметь такое
же положение по отноше-
нию к полюсам, как и перед
этим, так что поворот полюс
2к
ного колеса на угол — , где
Р
2р — число полюсов будет
соответствовать одному пол-
ному периоду наводимой в обмотке э. д. с. Если машина
делает п оборотов в минуту, то частота равна
/=^Нг. (1,7)
В европейских и во всех других странах кроме США. для
передачи и распределения энергии установилась в качестве
стандартной частота /=50 Hz. В США стандартной частотой
является/=60 Hz. Для специальных целей в технике силь-
ных токов применяются и другие частоты. Так, для одно-
§ И
Периодические .переменные токи
13
фазных электрических дорог jf=121/2 Hz и /zzje/gHz, для
быстроходных двигателей /=100 Hz и т. п.
В технике связи употребляемые частоты гораздо более
высокого порядка, особенно в радиотехнике, где частоты из-
меряются в килогерцах (1 kHz =1 000 Hz) и доходят до де-
сятков тысяч килогерц.
Переменные токи таких больших частот получаются уже
не механическим путем, а при помощи колебательных контуров,
состоящих из последовательно соединенных емкостей и ин-
дуктивностей. Колебания в таких контурах поддерживаются
при помощи так называемых генератор) ых катодных ламп,
питаемых от постоянного тока и связанных обратной связью
с колебательным контуром.
Получаемые при помощи машин или другим путем пери-
одические э. д. с. переменного тока могут изменяться в те-
чение периода и не по закону синуса, и вообще говоря, кри-
вые изменения их могут иметь люб}ю форму. Но синусои-
дальное изменение характерно тем, что лишь в этом случае
при неизменности входящих в цепи сопротивлений, ин-
дуктивностей и емкостей как э. д. с. и напряжения, так и токи
изменяются по одному и тому же закону — по закону синуса.
В остальных случаях напряжения и токи будут изменяться
не по одному закону. Поэтому синусоидальное изменение,
называемое также гармоническим изменением, представляет
собой наиболее простой закон периодического изменения.
Синусоидальная э. д. с. получается в том случае, когда
внутри контура магнитный поток или магнитное сцепление
изменяется в зависимости от времени по синусоиде или ко-
синусоиде. Например, Ф = Фтсо8ш/ или
Ф = ъуФ = Фт cos а)/=Фт sin f -f- у
и
е =>— w — =-----= sin со/ = Em sin ш/.
dt dt M m
Наибольшее значение или амплитуда наводимой э. д. с.
при этом равняется
E„ = vw&m = 2rf^m = 2TtfVm. (1,8)
Угол ш/ представляет собой так называемый фазовый угол
или фазу гармонического изменения, aw — так называемую
угловую частоту. По численному значению ш=2тг/^= у пред-
ставляет собой число периодов в 2тг единиц времени.
14
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Если определить для разных моментов времени мгновен-
ные значения магнитного потока (или сцепления) и наводи-
мой им э. д. с., отложить эти значения в прямоугольной си-
стеме координат (фиг. 1,5) и соединить концы ординат оги-
бающей кривой, то получается две ^синусоиды, сдвинутые
друг относительно друга.
В момент /=0 мы имеем, что Ф —Фт и е=0. Когда a=<x>t
меняется в пределах от а=0 до а=<о-~ ~ маг-
нитный поток уменьшается, а наводимая э. д. с. нарастает. При
прохождении значения магнитного потока через нуль наво-
димая э. д. с. достигает своего максимального значения е=Ет.
Т т
В дальнейшем в интервале времени от t= —до /= —или
от а_-|-д0
a скорость изменения магнитного потока в про-
тивоположном направлении постепенно уменьшается и в связи
с этим значения наводимой э. д. с., сохраняя то же направление,
Т
уменьшаются; в момент t= —магнитный поток достигает сво-
его отрицательного максимума, а наводимая э. д. с. равна нулю.
После этого магнитный поток и наводимая э. д. с. изменя-
ются так же, как и за первую половину периода, но только
Ф и е получают противоположные по сравнению с первой
половиной периода значения.
Если мы сравним одновременные значения магнитного по-
тока и э. д. с., то увидим, что, когда магнитный поток до-
стигает своего максимума, наведенная э. д. с. равна нулю,
так как в этот Момент магнитный поток для двух бесконеч-
но близких t не меняется и — =0; когда же магнитный по-
dt
§ п
Периодические переменные токи
Таблица Г
О
Ет Sill —— &]
О
Ет sin (я + «1) = -
О
Ет sin (2л + «1) ~
ток меняет свое направление по отношению к витку и про-
ходит через нулевое значение, изменение магнитного потока*
отнесенное к единице времени, — =шах, имеет наибольшее
dt
значение, и наводимая э. д. с. достигает своего максимума.
Сравнивая одновременные значения магнитного потока и
э. д. с., мы находим, что магнитный поток на четверть пе-
риода раньше проходит через значения нуля и своего макси-
мума, чем э. д. с., или, другими словами, магнитный поток
в своем периодическом колеб «нии опережает э. д. с. на чет-
верть периода, что соответствует разности фазовых углов
или разности фаз в —, или 90°.
Гармоническое изменение величин (по закону синуса) го-
раздо нагляднее, чем на линейной диаграмме, может быть
изображено при помощи так называемых векторных диаграмм.
В этих диаграммах изменяющуюся по закону синуса вели-
чину изображают в виде отрезка или вектора, равного в опре-
деленном масштабе амплитуде этой величины (например,
пусть будет Ет=пгЕ-ОЕ^, который воображается,вращаю-
щимся с равномерной угловой скоростью (равной угловой
частоте) около некоторого центра, так что угол, который со-
ставляется этим вектором с начальной горизонтальной линией
ОА, будетв любой момент равен фазовому углу (фиг. 1,5)..
16
Синусоидальные переменные токи
[ гл. I
Масштаб тЕ указывает, скольким вольтам соответствует
единица длины отрезка ОЕт. Проекции этого вектора на ли-
нию, перпендикулярную к начальной линии отсчета углов,
дадут нам мгновенные значения этой величины (например,
е = тв -Оё) в соответствующие моменты времени. Если век-
тор ОЕт проектируется на отрицательное направление вер-
тикальной оси ОВ\ то это
будет указывать на то,
что в данный момент
э. д. с. имеет, отрицатель-
ное значение и действует
в сторону, противополож-
ную положительному на-
правлению. Так как кри-
вая магнитного потока
опережает кривую э. д. с.
на четверть периода, то
вектор магнитного потока
должен быть в вектор-
ной диаграмме изображен
отрезком ОФ^, т. е. Фт=
=/пф • ОФ«, который с век-
тором э. д. с. составляет
угол в 90°, откладыва-
емый в сторону опереже-
ния, т. е. в сторону вра-
Фиг. 1,6.
щения векторов.
Для получения мгновенных значений мы можем себе пред-
ставить также все векторы неподвижными, а вращать неко-
торую проходящую через начало ось, называемую осью вре-
мени, с той же угловой скоростью, но в противоположную
сторону, т. е. по направлению движения стрелки часов, и
на эту вращающуюся ось проектировать неподвижные век-
торы (фиг. 1,6).
Если на векторах как на диаметрах провести окружности
(проходящие через начало, т. е. через центр вращения оси
времени), то эти окружности будут отсекать на вращающей-
ся оси времени мгновенные значения величин, представляе-
мых векторами.
Векторы, применяемые для графического представления
переменных токов, отличаются от векторов, применяемых в
механике, электростатике, электродинамике и т. д. Там век-
торы изображают физические величины, имеющие в про-
странстве определенное направление, здесь—это так называе-
мые радиусы-векторы, вращающиеся на чертеже с опреде-
ленной угловой скоростью и служащие лишь для геометри-
§ И
Периодические переменные токи •
17
ческого нахождения мгновенных значений гармонически из-
меняющихся переменных величин. Правильнее было бы для
таких „векторов" ввести какое-нибудь другое название,
например, слово верзор или ротатор.
Ниже приводятся соотношения (теоремы), которыми при-
дется часто пользоваться при дальнейшем изложении.
I. Сумма ординат двух синусоид одинакового периода дает орди-
нату синусоиды того же периода.
Пусть даны две синусоиды
a^Ai sin (cd/—<pj) и а2=Л2sin
Так как в момент / = 0 ординаты аг и а2 не равны нулю, а обраща-
ются в нуль лишь по истечении времени, когда —?i~0 для первой
и когда ю/—?2 —0 Для второй синусоиды, то в линейной диаграмме на-
чала синусоид находятся вправо от начала отсчета времени на расстоя-
?9 ?9
ниях и /9~— » или, если по оси абсцисс откладывать углы, то
1 (О со J
на расстояниях ?i и ?2 (фиг. 1,7).
Фиг, 1,7.
Сумма ординат двух синусоид может быть выражена через
а — а\ + а2 — (^1cos 4"^2cos Тг) sin — (^i sin4~ А2 sin ?2) cos
Заменяя постоянные выражения в скобках через:
Д COS -j- А2 COS ?2 = A COS ?,
Al sin + A2 sin ?2 — Л sin ?,
мы находим, что эта сумма
ar -f- а2 — A cos f sin — Л sin ? cos — A sin (co/ — <p) (1,9)
может быть представлена ординатой синусоиды того же периода, ампли-
туда которой равна
A =VA2 cos2 ? + A2 sin2 ? =
~Уа^ + А2 4-2Лр42(со5 ?i cos ?24 sin с?! sin ?2) ~ 10)
V^1 + А2 -^2А]А2 cos (?! — ?2),
а фазовый угол ? определяется через тангенс
A sin ? Ai sin ?i 4- А2 sin ?9
tg ? =------— — ---л------------72 . (1,11)
A cos ? Л2 cos ?i 4- Л2СО8 ?2
2
К. А, Круг, т. II.
18
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
____Если мы обратимся к векторной диаграмме и сложим векторы ОАХ
и ОА2 геометрически по правилу параллелограма, то проекция равнодей-
ствующей ОА на вертикальную ось, равная
Оа = О A cos [90° — (со/ — ср)] = О A sin(co/ — <р) z=.Oa1 4- ага = Оаг + Оа2 =
= OAt sin (со/— cpj) 4- ОА2 sin (со/ — <р2),
будет как раз равняться сумме мгновенных значений и а2 в рассматри-
ваемый момент /. Так как это соотношение имеет место для любого мо-
мента времени, то отсюда следует, что синусоида, получающаяся от
сложения ординат двух синусоид одного периода, может быть представ-
лена вектором, определяемым по величине и фазе, как геометрическая
сумма векторов слагаемых синусоид О A =z ОАХ -f- ОА2,
Обобщая полученный результат, мы можем сказать, что вектор сум-
мы ординат нескольких синусоид одного и того же периода по величи-
не и направлению равен замыкающей стороне многоугольника, который
получается, если у конца вектора первой синусоиды провести линию,
равную и параллельную вектору второй слагающей, и от полученной та-
ким образом точки провести линию, равную и параллельную вектору
третьей синусоиды и т. д. (фиг. 1,8).
В случае если из ах~Ах sin (со/—? J требуется вычесть а2—А2 sin (со/—<р2),
то мы искомую разность этих двух величин можем рассматривать как
сумму первой величины и второй величины, взятой с обратным знаком:
аг — а2 sin (со/— fj) — А2 sin (со/ — <р2) — Аг sin (со/—?х)4-
+ А2 sin (со/ — <р2 тг) = Af sin (со/ — <р')»
л г------------------------------ (1,12)
А —V А2 + А2 — 2AjA2 cos (f! — ip2).
л, sin т, - s.„ (u3)
Аг COS —A2 COS ?2
Переменить знак у какой-нибудь синусоидальной функции — значит
изменить ее фазу на 180°, в векторной же диаграмме это будет соответ-
ствовать повороту вектора на 180°.
Поэтому, если у конца Аг первого вектора OAi построить отрезок,
равный по величине, но обратный по направлению вектору ОА2 второй
синусоиды A1A'=z —ОА2, то замыкающая линия О А' представит собой
по величине и фазе вектор искомой разности (фиг. 1,9). Разность двух
§ И
Периодические переменные токи
19
векторов может быть определена простым соединением концов этих
векторов; вектор, представляющий разность, направлен от конца вычита-
емого вектора ОА2 к концу вектора ОА19 из которого вычитается другой:
О А} — ОА2 О А' = А 2^1»
Подобно тому как в механике всякая сила может быть разложена
на слагающие, мы всякий вектор, изображающий какую-либо синусоиду,
можем разложить геометрически на несколько векторов, которые по
величине и направлению вполне определят те отдельные синусоиды, на
которые этим самым разлагается синусоида, определяемая заданным век-
тором.
II. Среднее (медианное) зна-
чение положительных ординат
синусоиды за время полупериода
о
равно - = 0,637 амплитуды.
7С
Среднее значение положи-
тельных ординат синусоиды за
время полупериода, в течение
которого ординаты будут иметь
одно и то же направление (фиг.
1,10), определяется как высота
прямоугольника с основанием ОВ,
Т
соответствующим — , и с пло-
щадью, равной площади, ограни-
ченной половиной синусоиды и осью абсцисс. Эта площадь, умноженная
на масштаб времени изменяющейся величины, выражается через
7
2
т т
2 2
A sin = ~
ОЭ
2 с t
cos——
о
ТА ТА
2 к 7С
средняя же ордината (умноженная на масштаб) будет равна:
(1,14)
Среднее значение ординат синусоиды за целый период равно
нулю.
2*
20
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
III. Произведение ординат двух синусоид одинакового периода рав-
няется ординате синусоиды, с двойным числом периодов с амплитудой,
равной полупроизведению амплитуд данных синусоид, и с осью сим-
метрии, сдвинутой относительно оси абсцисс на величину, равную
полупроизведению амплитуд, умноженному на косинус угла сдвига фаз
заданных синусоид.
Пользуясь тригонометрическим соотношением:
sin a sin р = -^cos (а — f) -r--^-cos (а + ₽)•
мы можем представить пройзведение двух синусоид
аг — Аг sin (со/—^) и а2 — А2 sin (<о/ — <р2)
в виде:
аха2 — AiA2 sin'(со/ — f х) sin (со/ — <р2) —
= уу cos — ?2) — [2 u>t ~ (?1 + ?г)]- (1.15)
Это произведение состоит из постоянной величины -^1^2 cos (f £ — <р2),
2
где (?! — <р2) “ сдвиг фаз между синусоидами, и из ординаты косинусоиды
(или синусоиды со смещенным началом), изменяющейся с двойной частотой
Л1Л?
(2 со = 2я-2/) и амплитудой равной —
Если fi не равно <р2, то искомая синусоида за время одного периода
четыре раза пересекает ось абсцисс в тех точках, для которых ах или а2
равны нулю (фиг. 1,11). Положительные значения произведения будут
чередоваться с отрицательными.
IV. Среднее значение произведений ординат двух синусоид равно
полупроизведению амплитуд, умноженному на косинус угла сдвига
между синусоидами.
Среднее значение произведений ординат равно расстоянию средней
линии синусоиды, представляющей эти произведения, от оси абсцисс;
поэтому мы можем написать:
Т
Л! sin (со/— fj-H2sin (со/ — ®2)~ dldlcos (<Pi — ?2)у (1,16)
т J 2
и
В частном случае, когда синусоиды сдвинуты одна относительно другой
на четверть периода, что соответствует разности фаз в 90° (фиг. 1,12),
ось искомой синусоиды совпадает с осью абсцисс, так как
A
-у COS (?! — ?2) = 0
и среднее значение произведений ординат равно нулю.
Когда фазы обеих синусоид совпадают, <р2 —?1 (фиг. 1,13), то одно-
временно будут меняться знаки у а} и а2 и произведения будут всегда
положительными. Синусоида, представляющая произведения ординат
Aj А2 Аг Л2
а1а2=-----— —-—cos 2 со/,
2
§ 1]
Периодические переменные токи
21
Фиг. 1,13,
22
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
касается оси абсцисс, и среднее значение, равное расстоянию ее средней
линии от оси абсцисс, буХет:
т
1 Г
л А
'»t- ?!) • А2 sin (<о t — f3) dt=—
(1.17)
О
V. Среднее значение квадратов ординат синусоиды за период (или
полупериод) равно половине квадрата амплитуды.
Полагая, что перемножаемые синусоиды имеют одинаковые амплитуды
и фазы, А1 = А2 = A, — ?2, мы на основании предыдущего получаем,
Л2
что среднее значение квадратов ординат синусоиды должно равняться —.
Это соотношение можно было бы получить и непосредственно:
Т 7
А? sin2 со/ dt А* Г( 1 — cns 2 (о^) dt
TjT т J
и о
Л2
2Г-2ш
о
7
Л2 Л2 о. 2-2и Л2
— — —----- sin----, —
2 4шГ Т 1 2 ’
(Ы8)
о
Среднее значение квадратов ординат синусоид не зависит от частоты.
Если в цепи действует э. д. с., меняющаяся периодически
по величине и направлению, то получающийся в цепи ток
будет также меняться как по величине, так и по направлению.
Электрический ток мы определяем как количество
электричества, протекающего через сечение
проводника в единицу времени. При переменном
периодическом токе, когда через равные промежутки времени
изменяется направление тока, общее количество электричества
(заряда), протекающего через проводник, в течение каждого
полного периода равно нулю. Но если ограничиться бесконеч-
но малым промежутком времени dt и если за это время через
dq
сечение проводника протекает заряд dq, то отношение
дает мгновенное значение тока.
При синусоидальном изменении э. д. с. ток в случае по-
стоянства входящих в цепь элементов, как-то: г, L и С
меняется также по закону синуса:
§ 1]
Периодические переменные токи
23
Амплитуда 1т и угловая частота со =2 к/ вполне харак-
теризуют ток в любой момент. Однако, как амплитуда, так
и мгновенные значения тока поддаются измерению лишь при
помощи весьма сложных приспособлений. Все измерительные
приборы, которые применяются для измерения переменных
токов, дают нам не амплитуду и не среднее значение за
время полупериода, а так называемое эффективное зна-
чение. Поэтому принято переменный ток оценивать его
эффективным значением, равным значению такого эквива-
лентного постоянного тока, который, проходя через то же
сопротивление, что и переменный ток, в каждую единицу
времени выделяет такое же количество энергии.
Энергия, поглощаемая в сопротивлении г за промежуток
времени dt, равняется rPdt. Так как каждый период повто-
ряет явления предыдущего, то мы можем ограничиться рас-
смотрением одного периода. За время одного периода погло-
щенная энергия составит:
т т
^rPdt=r\iidt.
о о
Эквивалентный постоянный ток, который обозначим через Л
за тот же промежуток времени и в том же сопротивлении г
поглощает энергию гРТ. Приравнивая оба выражения погло-
щенной энергии,
т
r^dt=I2rT,
О
и сокращая на г, мы получаем, что величина эквивалентного
постоянного тока:
-у (1.19)
представляет собой корень квадратный из среднего значения
квадратов мгновенных значений переменного тока за время
одного периода.
Если ток изменяется по закону синуса, i=Im sin <о/, то
среднее значение квадратов тока равняется половине квад-
рата амплитуды (теорема V),откуда следует, что эффек-
тивное значение синусоидального тока
24
Синусоидальные переменные токи
[ гл. )
равняется амплитуде (или максимальному значению) тока,
деленной на J/2.
Равным образом и переменная э. д. с. измеряется своим
эффективным значением, которое точно так же определяется,
как корень квадратный из среднего значения квадратов
мгновенных значений э. д. с.:
При синусоидальном изменении э. д. с., e=Emsin®t, эффек-
тивное значение э. д. с. равно амплитуде, деленной на К 2 :
Е=-$г №
В технике переменных токов под значением токов, э. д. с.
й напряжений подразумевают всегда эффективные значения
этих величин. В дальнейшем мы будем обозначать их боль-
шими буквами. Мгновенные значения будем обозначать ма-
ленькими буквами, а амплитуды — большими буквами с ин-
дексом т внизу.
Среднее арифметическое значение э. д. с. находится в
простом соотношении с величиной максимального значения
магнитного потока, наводящего эту э. д. с. Так как е =
=Emsin<oZ=—w —, то среднее значение э. д. с. за время по-
dt
лупериода, в течение которого она имеет одно и то же на-
правление, будет равно
Е —
umed —
Т
2
dt= — 2fw \ с1Ф =
о
2
Меняющийся в зависимости от времени магнитный поток
имеет максимум или минимум тогда, когда первая производная
его повремени равна нулю, а это как раз соответствует момен-
Т
там времени t= 0 и t— —, когда и э. д. с. равна нулю.
§ 2 ] Составные элементы цепи переменного тока 25
Из фиг. 1,5 видно, что Ф = -4-Ф иФ т = — Фи
/=0 тп — щ
2
поэтому:
^ = 4>ФОТ. (1,23)
Это соотношение между средним значением э. д. с.
и максимальным значением магнитного потока имеет место
во всех случаях, когда магнитный поток в катушке меня-
ется между равными, но противоположными по направлению
пределами и кривая изменения магнитного потока не имеет
седлообразной формы.
Отношение эффективного значения к среднему арифме-
тическому называется коэфициентом формы кривой.
Для синусоидальной э. д. с.
1,11, (1,24)
Emed 2/2
и отсюда
= = 4,44/о>Фда. (1,25)
2. СОСТАВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
В электрических цепях прохождение электрического тока
сопровождается образованием магнитного поля как вокруг
проводника, так и в самом проводнике. Вследствие этого при
прохождении переменного тока через проводник под влиянием
магнитного поля, образующегося внутри проводника, особенно
при больших сечениях проводников и больших частотах,
плотность тока неодинакова в разных точках сечения и в
результате увеличиваются падение напряжения и потери на
джоулево тепло. Если разделить потери мощности в каком-
нибудь проводнике с большим сечением на квадрат эффек-
тивного значения переменного тока, то получаются значения
сопротивления больше, чем значения сопротивления при по-
стоянном токе, определяемые по закону Ома, т. е. по фор-
п 1
муле R = — р.
о
Поэтому при рассмотрении явлений в цепях переменного
тока оперируют не с „омическими* сопротивлениями, а с
так называемыми активными сопротивлениями, ко-
торые для данной частоты определяются как отношение по-
глощаемой в сопротивлении мощности к квадрату эффектив-
26
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
ного значения тока. Увеличение сопротивления при невысо-
ких частотах может быть выражено следующей приближен-
ной формулой:
гакт
Г пост
(2,1)
48рМ0~8’
где |лг—относительная магнитная проницаемость;/—частота
1
в герцах; р =-----удельное сопротивление проводника в
й cm; d — диаметр сечения в сантиметрах. Для высоких
частот при тех же обозначениях:
гакт V-rf .
гпост Г
(2,2)
Более точные формулы приводятся в параграфе 87. При
малых частотах и небольших сечениях разница между значе-
ниями активного и „омического" сопротивления делается не-
заметной. Активные сопротивления мы будем обозначать
через г малое.
При переменном токе в проводах кроме активного паде-
ния напряжения мы будем иметь явление наведения в этих
проводах индуктивных э. д. с. от собственного магнитного
поля. Эти э. д. с. могут быть равномерно распределены по
всей длине провода, что, например, имеет место в катушках,
в которых активное сопротивление и индуктивность распре-
деляются по всей обмотке.
Когда через все части цепи проходит один и тот же ток,
величина тока не изменится, если предположить, что сопро-
тивление и индуктивность отделены друг от друга, т. е.
если рассматриваемую катушку, имеющую сопротивление и
индуктивность, заменить двумя элементами, из которых один
имеет лишь активное сопротивление (например, ^сли провод
этого сопротивления сложен вдвое и расположен таким об-
разом, что в двух рядом лежащих частях токи направлены
в противоположные стороны, так что магнитное поле одной
части компенсируется противоположным магнитным полем
другой части), а другой элемент представляет собой лишь
индуктивность без активного сопротивления, т. е. катушку,
выполненную как бы из сверхпроводящего материала. Такое
разделение возможно лишь при низких частотах, когда во
всех частях цепи ток имеет одно и то же значение.
При больших частотах и очень протяженных проводниках
значения тока в разных частях цепи могут быть и неодина-
ковы, что обусловливается емкостными токами и токами
утечки.
§ 2 ] Составные элементы цепи переменного тока
27
Особенно резко это * явление сказывается в длинных ли-
ниях, вследствие того что электромагнитные процессы рас-
пространяются не мгновенно, а с определенной скоростью
(скорость распространения электромагнитных процессов равна
скорости света, в вакууме она равна с=3-1010cm/sec).
В дальнейшем мы рассмотрим явления и в длинных ли-
ниях с распределенными по всей длине сопротивлением, индук-
тивностью и емкостью, в ближайших же главах мы будем
рассматривать такие цепи, которые состоят из раздельных
элементов сопротивления, индуктивности и емкости, сосре-
доточенных каждый в одном месте и не влияющих друг на
друга своими полями. В таких цепях можно считать, что в
любой момент ток во всех частях неразветвленной цепи имеет
одно и то же значение, как и при постоянном токе.
Для большей наглядности рассмотрим соотношения между
напряжением и током для каждого из вышеуказанных эле-
ментов в отдельности.
При прохождении переменного тока через (активное) со-
противление (фиг. 2,1), около которого не образуется магнит-
ного потока и которое не обладает поэтому индуктивностью,
между током и напряжением у зажимов этого сопротивления
в любой момент имеет место следующее соотношениг:
i = — , или и = ri. (2,3)
Если ток изменяется по закону синуса z = /wsino>/, то и
напряжение будет меняться по такому же закону:
u = ri=rlm sin ^t—Um sin (2,4)
28
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Ток и напряжение имеют одну и ту же фазу и могут
быть представлены или двумя синусоидами с совпадающими
начальными точками или двумя совпадающими по направле-
нию векторами (фиг. 2,1). Так как амплитуды и эффективные
значения отличаются лишь множителем У 2 , то безразлично,
что откладывать на векторной диаграмме — амплитуды или
эффективные значения; они могут быть представлены одним
и тем же вектором, но в разных масштабах.
Амплитуда тока равняется амплитуде напряжения, делен-
ной на сопротивление или умноженной на проводимость. В
таком же соотношении находятся эффективные значения этих
величин:
l=1^=^=-r=gu- (ад
Мощность переменного тока является величиной, перио-
дически меняющейся. Если в момент t через сопротивление г
проходит ток i и если в этот момент напряжение на концах
сопротивления равно к, то значение мгновенной мощности
выразится через
p~ui—- Um sin to/-• 1 msinw£ = -^^(1—cos 2^t), (2,6)
Мгновенная мощность оставаясь все время положитель-
ной, меняется в пределах от нуля до Umlm, совершая в тече
ние одного периода переменного тока два полных цикла
(фиг. 2,1).
Если говорят про мощность переменного тока, то под этим
всегда подразумевают среднюю мощность, которая для лю-
бого периода при установившемся режиме есть величина не-
изменная. Средняя мощность или, просто, мощность
переменного тока, проходящего через активное сопротив-
ление, равна полупроизведению амплитуд (см. § 1, теорему III)
напряжения и тока.
Заменяя амплитуды эффективными значениями, мы полу-
чаем, что
т
J9 uidt
р 2________U nJm m в m fJJ (2 7)
Т 2 V 2 N 2 ’ k '
т. e. если в цепи имеется только активное сопротивление,
то мощность переменного тока равна произведению эффек-
тивных значений напряжения и тока или просто произведе-
нию напряжения и тока.
§ 2 ] Составные элементы цепи переменного тока 29
Предположим далее, что нам дана индуктивная катушка
с постоянной индуктивностью L и с сопротивлением г=0.
Индуктивность катушки только тогда представляет собой
постоянную величину, когда магнитный поток пропорциона-
лен току, как, например, в катушках, не содержащих сталь.
При прохождении через катушку переменного тока
Z = в катушке создается переменный по величине
и направлению магнитный поток (или поток сцепления):
Ф=—
который в любой момент совпадает по фазе с током и кото-
рый поэтому в линейной диаграмме представляется синусои-
дой, отличающейся от синусоиды тока только масштабом,
а в векторной диаграмме — вектором, имеющим то же на-
правление, что и вектор тока. Изменение тока в катушке за
время dt на величину di будет сопровождаться наведением
э. д. с. изменившимся магнитным потоком:
б/Ф __ т dt т т 1_
= — L = — COS Ш =
dt-----------dt-m
Наведенная э. д. с. по фазе отстает от точа на четверть
периода или на угол -у-. Поэтому в линейной диаграмме си-
нусоида индуктированной э. д. с. сдвинута вправо на чет-
верть периода, а в векторной диаграмме (фиг. 2,2) соответ-
ствующий вектор ОЕ повернут по отношению к вектору то-
ка на 90° в сторону, обратную движению векторов. Так как
индуктивная э. д. с. имеет всегда такое направление, что она
препятствует всякому изменению тока, то, для того чтобы
через индуктивную катушку проходил переменный ток
30
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
к зажимам индуктивной катушки должно быть
приложено напряжение и, которое в любой момент должно
быть равно и противоположно индуктивной э. д. с.:
и=— eL— — L =— <»LImsin(ut — —) =
= wLlmsin(wl-\- y)- (2>9)
Таким образом, напряжение у зажимов катушки без со-
противления представляется синусоидой или вектором, кото-
рые равнопротивоположны синусоиде или вектору индуктив-
ной э. д. с. Другими словами, при одной только индуктивно-
сти в цепи вектор напряжения опережает вектор тока на 90°:
и
(2,10)
и величина амплитуды напряжения равна Um=^Llm.
Из сказанного вытекает, что если у зажимов индуктив-
ной катушки, сопротивление которой равно нулю, действует
синусоидальное напряжение и =Ums\n at, то ток будет изме-
няться также по синусоиде:
>=/.sin (»/- -J- ) = S|„ («< - -J-) ,
(2,11)
вектор которой будет отставать от вектора напряжения на
90° или на четверть периода. Амплитуда тока равна.
I
Она прямо пропорциональна амплитуде напряжения и об-
ратно пропорциональна индуктивности и частоте. В таком
же соотношении находятся эффективные значения тока и на-
пряжения:
/.— т ____ т ______ &
К 2 ~ <dL
Из этих соотношений следует, что величина должна
измеряться в таких же единицах, как и сопротивление, т. е.
в омах. Величину мы будем называть реактивным
сопротивлением индуктивности или реактан-
сом индуктивности и обозначать через
(2,14)
§ 2]
Составные элементы цепи переменного тока
31
Индуктивное сопротивление не представляет собой неиз-
менной величины, оно увеличивается пропорционально часто-
те переменного тока.
Мгновенная мощность переменного тока в индуктивной
катушке
p=ai=Umsin ----— ) =
* Tib тп 1 2 /
U-mha. cos J!-cos f 2<о/------—
2 2 2 \ 2
(2,15)
представляется синусоидной с двойным числом периодов, ось
симметрии которой совпадает с осью абсцисс. Как видно из
фиг. 2,2 промежутки времени, в течение которых энергия
извне сообщается индукционной катушке, чередуются с та-
кими же промежутками, когда эта энергия возвращается об-
ратно. В момент, когда ток равен нулю, магнитное поле и
накопленная в поле энергия отсутствуют. По мере возраста-
ния тока увеличивается энергия магнитного поля, которая
ввиду отсутствия потерь (г=0) должна равняться энергии
получаемой извне. За четверть периода, когда ток от нуля
возрастает до своей максимальной величины, накопленная
энергия будет равна:
— __
4 4 лпг
С uidt— f L— idt = \— =£*.
J J dt | 2 2
0 0 0
(2,16)
В следующую четверть периода ток уменьшается от Im
до 0, и одновременно накопленная перед этим энергия по-
степенно освобождается и возвращается в сеть, пока (при
Z —0) она не будет возвращена полностью.
В дальнейшем ток изменит свое направление, и процессы
намагничивания с накоплением энергии и размагничивания
с отдачей энергии будут чередоваться каждую четверть пе-
риода.
Так как в катушке отсутствуют потери, то происходит
лишь периодический переход энергии извне к катушке и об-
ратно, т. е. средняя мощность равна нулю:
р= ^?соS— -^-cos — = £77 cos 90°=0. (2,17)
2 2 V2 /2 2 '
Когда цепь состоит из сопротивления г и индуктивности L
(фиг. 2,3), то при прохождении синусоидального тока
Z=/msino)/ напряжение на концах цепи в любой момент ела-
32
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
гается из двух величин — из так называемого активного
падения напряжения, совпадающего по фазе с током:
иа = ri = rlm sin о/
и из слагающей, уравновешивающей э. д. с. индуктив-
ности:
иг— — ег = —(— L —\—L — =<nZJ cos
L L \ dt J dt m
опережающей ток на четверть периода или на фазовый угол
в 90°:
« — =/7msin и)/—|-шА/тsin . (2,18)
Z —.
п "Е* Вектор О А первой слагающей
Г1т =ти-0А совпадает по напра-
i г J влению с вектором тока, вектор
и же второй слагающей
Фиг. 2,3.
ioLlm = xllm=rnu- Ои^Шу- AU опережает вектор тока
на 90°. Коэфициент тц указывает, скольким вольтам рав-
няется единица длины отрезков, представляющих напряже-
ние в векторной диаграмме.
Геометрическая сумма OU этих двух векторов по вели-
чине и направлению определяет напряжение* которое должно
§ 2 ] Составные элементы цепи переменного тока 33
действовать в цепи. Амплитуда этого напряжения соответ-
ствует гипотенузе OU:
mu.OU = Um=]f
а по фазе напряжение опережает ток на угол ср, тангенс ко-
торого может быть определен из чертежа:
tgcp =— = — — _L . (2,19)
° ‘ О А г г 4 ’ 7
Таким образом, при токе i = Im sin напряжение должно
равняться
u = Im]f r2-[^L)2 sin (o/-|-cp)=[//nsin(a)/-|-cp), (2,20)
и отношение между амплитудами напряжения и тока полу-
чается равным
= V г3 + (<оЛ)2 — z. (2,21)
Выше мы задавались током и определяли напряжение.
Если же нам дается напряжение, действующее в цепи,
U^sinotf, то ток будет меняться следующим образом:
i= — lm sin (а)/—ф), (2,22)
+ (со£)2
ток будет по фазе отставать от напряжения на угол ср; эф-
фективное значение тока будет равно
7= = —<7'”:1>/'2 — —. (2,23)
VI + 2
Благодаря индуктивности происходит уменьшение тока.
Эффективное значение тока не равняется эффективному зна-
чению напряжения, деленному на активное сопротивление у ,
что имело бы место при отсутствии индуктивности, а равно
напряжению, деленному на ]/72-|-(и)£)3. Благодаря индуктив-
ности происходит как бы увеличение сопротивления цепи,
и, кроме того, ток отстает по фазе от напряжения на угол
ср — arc tg —.
г
Выражение
/г2+(ш7.)2=.г
называется полным, иди кажущимся, сопротивлением,
или импедансом цепи. Оно измеряется в омах и опреде-
ляется как гипотенуза прямоугольного треугольника, постро-
енного на катетах ги &L=xl.
3 К. А. Круг, т. II.
34
Синусоидальные переменные токи
t гл. 1
Величина, обратная полному сопротивлению,
z
(2,24)
представляет собой полную проводимость цепи. Если
эффективное значение напряжения умножить на полную про-
водимость, то получаем непосредственно эффективное зна-
чение тока
т U тт
I = — —Uy.
Z
(2,25)
Фиг. 2,4.
Так как эффективные значения
находятся в определенном отноше-
нии к амплитудам (1:V2), то во
всех векторных диаграммах вместо
амплитуд для напряжения и тока
могут быть отложены их эффектив-
ные значения. Взаимное расположе-
ние векторов напряжений и тока
при заданном напряжении может
быть найдено следующим образом:
строим прямоугольный треугольник
полного сопротивления, откладывая
в некотором масштабе r — mz- Оа?
и перпендикулярно к нему в сто-
рону вращения векторов о>£ = xL =
= ab (фиг. 2,4). Затем на
направлении гипотенузы ОЬ откладываем напряжение
[J—niy-OU и проводим на OU, как на диаметре окруж-
ность. Продолжая Оа, получаем две слагающих, из которых
первая Ua=rl=mu-OA совпадает по фазе с током и пред-
ставляет собой активное падение напряжения или
активную слагающую напряжения, а вторая U2 =
= <s)LI = mu-AU, опережающая ток на 90°, уравновешивает
э. д. с. индуктивности и представляет собой так называемую
реактивную слагающую напряжения. Угол UOA
измеряет сдвиг фаз между напряжением и током.
Мгновенная мощность цепи, состоящей из активного со-
противления и индуктивности, выражается через
р — ui=Um sin u>tlm sin (coZ — cp)~
— UnJjn coS cos — cp). (2,26)
2 2
§ 2 ] Составные элементы цепй переменного тока 3S
Между током и напряжением существует сдвиг фаз, и
промежутки времени, когда и и i имеют одно и то же направ-
ление, чередуются с промежутками, когда и и i имеют раз-
ные направления; в первом промежутке времени энергия по-
лучается извне (мгновенная мощность положительна), во
втором — она возвращается обратно (мгновенная мощность
отрицательна). Так как в цепи имеется активное сопротив-
ление, поглощающее энергию, то получаемая энергия должна
быть больше отдаваемой.
Среднее значение мощности, или просто мощность пере-
менного тока (теорема III), определится через
Р=~т-^ cos = -^-cos ф = UI coscp, (2,27)
2 К2 К2
оно не равно произведению (эффективных значений) напря-
жения и тока, а равно произведению напряжения и тока,
умноженному на косинус угла сдвига между напряжением и
током.
Отношение между средней мощностью переменного тока
и произведением (эффективных значений) напряжения и тока
называют коэфициентом мощности. При синусоидаль-
ном изменении напряжения и тока он измеряется косинусом
угла сдвига между ними:
-~- = cos?. (2,28)
Так как энергия поглощается только в активном сопро-
тивлении, то мощность переменного тока должна равняться
джоулеву теплу, поглощаемому этим сопротивлением в еди-
ницу времени:
P=UI coscp=t7 coscp7=r/3.
Она равна произведению активной слагающей напряже-
ния (проекции вектора напряжения на направление вектора
тока) Ua=U cos^—rl на ток. Эту мощность, фактически
потребляемую в цепи,
P—Pa—UaI=Ul cos ? (2,29)
называют активной мощностью переменного тока
в отличие от так называемой реактивной мощности
и обозначают ее через Р со знаком а. Реактивная мощность
представляет собой произведение реактивной слагающей на-
пряжения (проекции вектора напряжения на направление, пер-
пендикулярное к направлению вектора тока) на ток:
Pr=U sin ср I=UrI. (2,30)
3*
36
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Реактивная мощность, которая обозначается через Р с
индексом г, является фиктивной величиной, так как индук-
тивность энергии не поглощает и средняя мощность в индук-
тивности равна нулю; реактивную мощность обозначают
иногда также через букву Q. Совокупность активной и ре-
активной мощности дает полную характеристику потребителя
энергии.
Корень квадратный из квадратов активной и реактивной
мощности
Р\ -\-Р* LPP cos2 ?+C73/3sin2 ср = U1 (2,31)
равен произведению напряжения на ток. Это произведение,
обозначаемое через Р с индексом называется кажу-
щейся мощностью. Он) определяет ту номинальную
мощность, на которую должны быть рассчитаны отдельные
элементы системы, например, трансформаторы.
В то время как емкость в цепи постоянного тока при
установившемся рекиме является как бы местом разрыва
цепи, так как ток в цепи конденсатора при установившемся
режиме равен нулю, для переменных токов емкость такой
преграды не представляет. Если емкость находится в цепи
какого-нибудь источника тока с изменяющимся напряжением,
то на поверхности обкладок конденсатора меняется количе-
ство заряда и меняется электрическое поле в диэлектрике.
Изменение заряда на обкладках связано с перемещением за-
рядов в проводах, соединяющих обкладки конденсатора с
зажимами источника тока, т. е. с электрическим током во
внешней части цепи, продолжением которого в электриче-
ском поле диэлектрика является индукционный ток или ток
смещения.
Пусть конденсатор с емкостью С присоединен к синусои-
дальному внешнему напряжению u — Um sino>Z проводами,
сопротивлением которых можно пренебречь (г = 0). В этом
случае внешнее напряжение и напряжение конденсатора в
любой момент будут равны между собой и будут направле-
ны в противоположные стороны: w —— ес-
Внешнему напряжению и в какой-нибудь момент t соот-
ветствует на обкладках конденсатора заряд
q = Cu = CUmsinvt. (2,32)
Если за малый промежуток времени dt внешнее напря-
жение изменяется на величину du, то заряд на обкладках
изменится на
dq~Cdu=& CUт cos ^tdt—^ CUm sin “J
§ 2]
Составные элементы цепи переменного тока
37
и ток, протекающий в этот момент через соединительные
провода и переходящий в диэлектрике в ток смещения, вы-
разится через
/= = (2,33)
С4 L LLl \ ус ] \ £ /
На чертеже (фиг. 2,5) представлены кривые изменения п,
вс — — uni в зависимости от времени. Когда напряжение
хс = ~ увеличивается — >0 (первая четверть
------о 6 ч
ng периода), конденсатор заряжается, и ток
f. 11 в цепи имеет то же направление, что и
] । внешнее напряжение.
г----и —
Фиг. 2,5.
Когда напряжение достигает своей максимальной вели-
чины ^при / = -^ = 0, зарядка конденсатора прекра-
щается, и ток равен нулю. Затем во вторую четверть пери-
ода внешнее напряжение уменьшается, и на обкладках кон-
денсатора получается избыток зарядов: конденсатор разря-
жается и происходит перемещение зарядов в обратном на-
правлении— ток отрицателен. Когда й = 0, ток имеет отри-
цательный максимум, так как в этот мбмент напряжение и
заряд изменяются наиболее резко. При дальнейшем измене-
нии внешнего напряжения (zz<0) в третью четверть периода
происходит зпрлдка конденсатора в обратном направлении, и
ток продолжает оставаться отрицательным до тех пор, пока
при и =—Uт не закончится зарядка в обратном направле-
нии и т. д.
Ток, проходящий через емкость, изменяется, так же как
и приложенное к нему внешнее напряжение, по синусоиде,
38
Синусоидальные переменные токи
[гл. 1
которая, однако, не отстает от синусоиды напряжения, как
в случае индуктивности, а опережает синусоиду напряжения
на 90°. В векторной диаграмме вектор тока опережает век-
тор внешнего напряжения на 90°.
При синусоидальном изменении напряжения амплитуда
тока в конденсаторе выражается через амплитуду напряже-
ния следующим образом: Im=^CUm.
Разделив амплитуды на ]/*2, мы получаем, что
1
со С*
J7
хс
(2,34)
Ток в емкости при заданном напряжении пропорционален
емкости и частоте. Из последнего соотношения видно, что
1 U . „
величина — — — , представляющая собой отношение между
эффективными значениями напряжения и тока, должна иметь
размерность сопротивления и измеряться в омах. Мы эту
величину
± = (2,35)
сои
будем называть реактансом емкости и обозначать
через хс.
Выше мы задавались напряжением между обкладками
конденсатора и определяли ток. Если, наоборот, нам задается
ток, проходящий через емкость Z = /msina>Z, то к конден-
сатору должно быть приложено напряжение, равное заряду
на его обкладках, деленному на емкость. Из уравнения (2,33)
, dq idt
du= 7- = —следует, что внешнее напряжение между об-
с*
i
f idt
кладками конденсатора должно равняться и = J -7г ’
I G
1 т
При синусоидальном изменении напряжения и тока внеш-
нее напряжение, а следовательно, и заряд конденсатора
равны нулю в тот момент, когда ток имеет максимальное
значение (фиг. 2,5). Поэтому интеграл ^idtпри установившемся
режиме должен быть взят в пределах от момента, когда и*
меняясь с минуса на плюс, проходит через нуль или когда
ток равен своему положительному максимуму f это будет, ког-
§ 2)
Составные элементы цепи переменного тока
39
да t = — ) до рассматриваемого нами момента /, для кото-
4 J
рого мы хотим определить и, и когда ток равен I:
t t t
Г idt C Z^sin Im . I I
a — J —= J —------7——- =---— cos о)/ I =----coso)/ =
т С т \т &C
44 4
==^sin(\»£—^) = C/>in (2,36)
wu \ 2 J \ 2 /
Мы получаем, что при синусоидальном изменении тока
потребное напряжение будет тем меньше, чем больше емкость
и чем больше частота, и что напряжение отстает от тока на
фазовый угол в 90°
Мгновенная мощность переменного тока в цепи, в которой
имеется одна емкость (см. § 1, теорему III), равна произведе-
нию мгновенных значений напряжения и тока:
n — iii — ITsm ®tlm sin ( — )=
i in i 1 2 /
cos (--cos ( 2 u)Z 4“ —•
2 \ 2 J 2 \ 2 /
(2,37)
Она представляется синусоидой с двойной частотой, ось
симметрии этой синусоиды совпадает с осью абсцисс. Во
время зарядки в промежуток времени, равный четверти пе-
риода, в течение которого и меняется от 0 доUm, происходит
накопление энергии:
7
4
J uidt =
О
тиС~ dt — С \ udu =
dt
(2,38)
0^.
2
Эта энергия, накапливающаяся в электрическом поле между
обкладками конденсатора, освобождается в следующую чет-
верть периода. Зарядка и разряд конденсатора в совокупности
не требуют затраты энергии, и средняя мощность равна нулю:
р = (^a.cos (-------------1_) = £77cos 90°=0. (2,39)
Сравнивая два случая, когда в цепь включена одна лишь
индуктивность и когда в цепи имеется лишь одна емкость,
мы ) идим, что при одном и том же напряжении ток в первом
случае обратно пропорционален частоте и индуктивности, а
во втором — прямо пропорционален частоте и величине емко-
40
Синусоидальные переменные токи
[гл. 1
сти. В случае индуктивности вектор тока отстает от вектора
напряжения, а в случае емкости — опережает вектор напря-
жения на 90°. В обоих случаях (средняя) мощность равна
нулю.
Если цепь переменного тока состоит из емкости и актив-
ного сопротивления, соединенных последовательно (фиг. 2,6),
то при прохождении через эту цепь переменного тока, пред-
ставленного на векторной диаграмме вектором О/, напря-
Фиг. 2,6.
жение в каждый данный момент должно состоять из двух
слагающих. Одна слагающая напряжения, так называемая
активная слагающая, преодолевает активное сопротивление,
и вектор ее совпадает по направлению с вектором тока;
эффективное значение этой слагающей равно rl и изобража-
ется вектором О А. Другая, так называемая реактивная,
слагающая преодолевает реакцию емкости, и вектор ее OUC
отстает от вектора тока на 90°. Эффективное значение этой
слагающей равно хс1 = -I и изображается вектором
сои
OUC=AU.
Эффективное значение напряжения цепи определится как
геометрическая сумма этих двух слагающих:
и = vW+(xcZ)2 Уr^^=zl, (2,40)
1 \У"
=г <2’41)
так называемое полное сопротивление, или импеданс цепи.
§ 2]
Составные элементы цепи переменного тока
41
Если напряжение изменяется по закону zz = t/wsino)^, то
изменение тока представляется уравнением
1 = тгёгг'sin (в>^+<?')=/Я1 sin(wZ4-<p'),
У Г2Н-Х2с
указывающим, что ток опережает по фазе напряжение на
угол, тангенс которого равен
‘8<?' = 4£ = ^гг- '-,3)
Влияние емкости в цепи не сказывается, когда С = оо. В
этом случае Z — г, ср' = 0 и 7 = Для пояснения этого возв-
ел
мем плоский конденсатор, для которого С = — . Уменьшая
d
расстояние d между обкладками, мы увеличиваем емкость, и
в пределе, когда rf = O, емкость конденсатора С=со, но одно-
временно с этим обкладки как бы коротко замыкаются и
составляют неразрывный электрический проводник. Раздвигая
обкладки (увеличивая d), мы уменьшаем емкость, и вместе
с этим z увеличивается. Когда d будет велико, то С=^0 и
z=^co, что соответствует разрыву цепи.
Если мы реактанс емкости будем считать величиной от-
рицательной, то во всех вычислениях и построениях мы мо-
жем применять те же выводы, которые были сделаны для
цепи, состоящей из активного сопротивления и индуктивно-
сти. Действительно, при u = Umsin ток равен
sin (о/—ср)= lm sin («)£—ср),
(2,44)
причем угол сдвига ср будет отрицателен:
хг
tg <?=
(2,45)
и вектор тока опережает вектор напряжения. Разделив зна-
чения длин треугольника OAU на значение тока /, мы можем,
выбрав соответствующий масштаб, построить треугольник
полного сопротивления ОаЬ9 подобный треугольнику напря-
жений. При данных г и хс он строится таким же образом,
как и для случая с индуктивностью, с той разницей, что
величина активного сопротивления r=mz- Оа откладыва-
ется по направлению вектора тока; но в то время как реак-
ция индуктивности, перпендикулярная к Оа (как величина
положительная), откладывалась в сторону вращения векторов
42
Синусоидальные переменные токи
(гл. 1
реакция же емкости — xc = mz -ab строится также перпенди-
кулярно к Оа, но (как величина отрицательная) откладыва-
ется в сторону, обратную вращению векторов; замыкающая
ОЬ по величине равна полному сопротивлению:
z=Vг2+(—%с) 3= niz • Ob-t
внешнее напряжение совпадает с направлением полного со-
противления.
Мощность переменного тока определяется и в данном слу-
чае как произведение эффективных значений э. д. с. и тока,
умноженное на косинус угла сдвига:
P=UI cos y=Ucos с? 1=гГ\ (2,46)
Эта мощность поглощается активным сопротивлением и
переходит в теплоту.
3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ,
ИНДУКТИВНОСТИ И ЕМКОСТИ. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ
Рассмотрим теперь общий случай, когда в цепь входят
три разнородных элемента: сопротивление, индуктивность и
емкость (фиг. 3,1)
7Д
Фиг. 3,1.
В такой цепи ток равен сумме внешнего напряжения и
э. д. с. действующих в цепи, деленной на сопротивление цепи.
Кроме внешнего напряжения и в рассматриваемой цед< будут*
действовать э. д. с. индуктивности:
и э« д. с. емкости, которая равна:
J idt
С
5 3]
Последовательное соединение
43
(знак минус здесь должен быть поставлен потому, что э. д. с.
емкости направлена в сторону, противоположную приложен-
ному к ее обкладкам напряжению), поэтому ток i будет равен:
+ + t
Г ’
а напряжение выразится через
u = ir—eL —ес-
(3,1)
Решение этого диференциального уравнения в общем виде
требует больших математических выкладок. Мы можем очень
упростить это решение, если будем исходить из того, что при
установившемся режиме все напряжения и ток изменяются
по закону синуса с одной и той же частотой, и если для на-
хождения соотношения между напряжениями у клемм отдель-
ных элементов будем пользоваться не тригонометрическими
формулами, а векторной диаграммой.
Пусть 01—вектор искомого тока /=тг • 01 (так как амп-
литуда и эффективные значения отличаются лишь множите-
лем ]/2, то безразлично, будем ли мы откладывать на диа-
грамме амплитуды или эффективные значения, разница будет
лишь в масштабах).
Напряжение на концах активного сопротивления (между
точками а и b) rl совпадает по фазе с током и может быть
представлено вектором ОА, имеющим то же направление, что
и вектор тока.
Напряжение между клеммами индуктивной катушки (ме-
жду точками b и с) по величине равно UL — AD и
опережает вектор тока на 90°.
Напряжение между обкладками конденсатора (между точ-
ками с и d) при прохождении через него тока I выражается
через —•/ и может быть изображено вектором DU.
ч>С
Складывая векторы этих трех слагающих, мы в сумме
должны получить вектор эффективного значения внешнего
напряжения:
СМ + AD + DU=OA +AU—OU,
rI—mu-OA-, wLl----— • 1—тп- AU-
и ’ шС и >
OU2— OA2-\-AU\
r2+( a>L---—У
•А
(3.2)
44
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
На основании вышеприведенного геометрического построе-
ния мы можем найти соотношение между эффективными зна-
чениями внешнего напряжения и тока в цепи:
(3,3)
Умножая все отрезки в векторной диаграмме на мы
получим диаграмму амплитуд.
Ток в общем случае не будет совпадать по фазе с внеш-
ним напряжением. Угол ср соответствующего сдвига фаз мо-
жет быть определен по тангенсу:
o)LI— — -I (i)L— —
tg = ............=___________«£_ =
О A rl г г V 1
поэтому, если внешнее напряжение задается нами через
u—U^ — Uт sin
то мгновенные значения тока, получающегося в цепи от этого
напряжения, выражаются через
i =---==z==rr= — sin <р). (3,5)
, Г ( 1 \2 z
Ток по своей фазе может или отставать от напряжения
или опережать его. Сдвиг фаз измеряется углом между век-
торами напряжения и тока.
Когда в цепи преобладает реактанс индуктивности ’
то ток по фазе отстает от напряжения и угол ср считается
положительным; если же реактанс емкости больше реактанса
индуктивности, то, наоборот, ток опережает напряжение и
угол ср получается отрицательным.
Отношение между эффективными значениями (или ампли-
тудами) внешнего напряжения и тока представляет собой
полное или кажущееся сопротивление или импе-
данс цепи:
T~T! = Z==}/" f2+ (u,L~~^y ~ ^2+(xl —xc)3- (3>6)
1 Im V \ uC J
§ 3]
Последовательное соединение
45
Полное сопротивление может быть получено и геометри-
ческим построением (фиг. 3,1), если численные значения длин
всех отрезков в векторной диаграмме напряжений разделить
на численное значение тока /, то получим диаграмму при
токе, равном 1 А, и полученные отрезки по численной своей
величине будут равны сопротивлениям г, —cdZ, х — -L-hz.
Таким образом, хотя активное сопротивление, реактансы
индуктивности и емкости и полное сопротивление не пред-
ставляют собой векторов наподобие векторов поля или вра-
щающихся векторов э. д. с., напряжений и токов, тем не ме-
нее геометрическое их сложение заменяет вычисления и, кроме
того, соответствующие треугольники сопротивлений z2=r24-
+(х£ — хс)2 дают взаимное расположение векторов напря-
жений и тока.
Внешнее напряжение совпадает с направлением z, а ток с
направлением г, и сдвиг фаз между ними равен tgcp =--—•
Мощность (средняя) в рассматриваемой цепи будет равна
произведению эффективных значений внешнего напряжения
и тока, умноженному на угол сдвига фаз между ними (1,16):
т т
Р — Y^uidt n ®z7msin (at—<?) dt—
о и
cos (p_f//cos (3,7)
Tак как из диаграммы напряжений следует, что ОA=OUcos <р,
или л7=£7 cos % то мощность может быть представлена и
следующих^ образом:
P=U1 cos v=rP. (3,8)
Мощность поглощается лишь в сопротивлении, где она
переходит в джоулево тепло. В индуктивности и емкости
нет потерь энергии, так как мы приняли, что индуктивность
не имеет активного сопротивления и потерь на перемагни-
чивание окружающей катушку среды, а емкость—потерь в
диэлектрике.
Таким же образом определяется ток в цепи, если нам
задано не напряжение, приложенное к концам какой-нибудь
ветви, а э. д. с. e=Em sin ш/, действующая в какой-нибудь
замкнутой цепи:
I _ Em sin (°^—<?)
* У
г \ соС /
(3,9)
4ё
Синусоидальное переменное токи
t тЛ. 1
а угол сдвига фаз определяется по тангенсу:
tg? =
1
шА— ——
со С
(3,10)
Мощность, развиваемая э. д. с., будет равна:
P=EI cos
(3,11)
Переменные токи имеют
то одно, то, через полпе-
риода, противоположное на-
правление. Однако, для
удобства рассмотрения
явлений переменного тока
одно какое-нибудь направ-
ление тока в цепи прини-
мается произвольно за по-
ложительное направление
тока или, как обычно гово-
фиг 32 рят, за направление тока
’ в цепи. Что касается на-
правления напряжения, дей-
ствующего между двумя какими-нибудь точками цепи, то за
положительное или просто направление напряжения будем
на схемах принимать направление, совпадающее с положитель-
ным направлением тока, если к этим точкам присоединить
какое-нибудь активное сопротивление и согласованное с об-
щим направлением тока в цепи, как это показано на фиг. 3,2;
в этой цепи при выбранном направлении тока напряжение
между точками а и b принимается направленным от а к Ь,
напряжение между b и с от b к с, напряжение между с и d
от с к d и напряжение между а и d от а к d. Рассматривая
напряжения между концами отдельных элементов цепи как
соответствующие действующей в цепи э. д. с., направление
которой должно совпадать с направлением тока, мы полу-
чаем, что
^=(гг./)+(х,./) + (г/)4-(шА/)+
\cdG /
(3,12).
или
7П0 [5- (г/) - (х,/)] =^+<7 bc +Ucd=Uad,
где rt и xi=<oLl—сопротивление и индуктивность источника
переменного тока (якоря машины).
Последовательное соёдинейиё
47
Для того чтобы напряжение, которое должно действовать
на концах цепи, состоящей из ряда последовательно соеди-
ненных приемников энергии: г\ и хь и х2, гз и и т- Д«
(где х могут иметь или положительные или отрицательные
значения), при прохождении через нее тока 7, представлен-
ного по величине и направлению вектором 01 (фиг. 3,3), мы
должны определить напряжения на концах отдельных при-
емников:
7/г^Х} =z1l=tnu • О A, Xj>0,
г[~\-х22 =г21=ти АВ, х2<0,
= ~aI=mb.-BU, Л3>О, ит.д.
Геометрическая сумма
всех этих напряжений даст по ве-
личине ,и направлению то напряжение, которое должно
быть приложено ко всей цепи:
m^OU^U^ (7Srft)3-|_ (/S^)2 =
= (SrA)4(s^)3 = lz>
SXk=ш ZX ^ZXZh
откуда
U
1
(3,13)
48
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Рассматриваемая цепь может быть заменена эквивалент-
ной цепью, которая состоит из сосредоточенного в одном
месте активного сопротивления г — ^rk и реактивного сопро-
тивления х = ^хк. Разделив значения всех векторов на зна-
чение тока 7, мы получаем, что сопротивление всей цепи равно
геометрической сумме полных сопротивлений отдельных при-
емников: г2, 23,...
Величина этого общего полного сопротивления опреде-
ляется как гипотенуза прямоугольного треугольника, один
катет которого совпадает с вектором тока и равен SrA, а дру-
гой равен ^xk и откладывается перпендикулярно к нему по
направлению вращения векторов, когда и против на-
правления вращения векторов, когда
Если, наоборот, для данной цепи известно действующее
напряжение, то для нахождения тока строят треугольник
эквивалентного полного сопротивления. По направлению гипо-
тенузы откладывается вектор напряжения U, а вектор тока
будет совпадать с направлением сопротивления. Эффективное
значение тока будет равно /= — , а по фазе ток будет отста-
вать от напряжения на угол ср:
, Sr
Если то ток опережает (внешнее) напряжение.
При заданном напряжении u = Um sin wt мгновенное значе-
ние тока выразится через
sin (W — <р)
Соответствующая же мощность равна:
Р --U /cos ср.
Если при неизменности параметров цепи г, L и С и посто-
янстве эффективного значения внешнего напряжения U будет
меняться угловая частота о (число периодов в 2 тг секунд),
то одновременно будут меняться ток и напряжения у сопро-
тивления, емкости и индуктивности:
UC=L И Ul = ^LI.
г \ со С/
§3]
Последовательное соединение
49
Особенно характерно такое состояние, когда напряжения
у конденсатора и у индуктивности равны и взаимно уравно-
вешиваются, т. е. когда:
UC—UL= —=<D LI\ — = соЛ, или xL = xc. (3,15)
О) С со С'
Это явление называется резонансом напряжений
(емкости и индуктивности). Оно имеет место при определен-
ном соотношении индуктивности, емкости и угловой частоты
<о2= или если L и С заданы, то при определенной частоте,
называемой резонансной частотой,
— — “о- (3,16)
В случае резонанса ток совпадает по фазе с внешним
напряжением:
и = Uт sin (d0Z;
Sin (и,,/—_____
/г2 + (^-^)2
так как
—"“г
1 с\
tg ср —-----У— = 0 и
При резонансе напряжений ре-
актансы емкости и индуктивности
взаимно компенсируют друг друга
и величина тока такова, чкак будто
бы в цепи имеется только актив-
ное сопротивление (фиг. 3,4).
Резонансная частота в цепи пе-
ременного тока, при которой имеет
место резонанс напряжений, совпа-
дает с частотой собственных коле-
баний контура, который был бы с
индуктивности и емкости и который не имел бы сопро-
тивления. И если бы конденсатор был бы заряжен до на-
пряжения, равного амплитуде напряжения на конденсатор-
при переменном токе, то в обоих случаях получался бы неза-
тухающий переменный ток с той же частотой и того же зна-
4 К. А. Круг, т. II.
z = r. (3,18)
U м
------о------
Фиг. 3,4.
оставлен из той же
50
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
чения (см. т. !z § 90). В цепи переменного тока, настроен-
ной в резонанс, потери напряжения в сопротивлении покры-
ваются за счет приложенного внешнего напряжения.
Если, в цепи, настроенной в резонанс, активное сопротив-
ление мало, то, несмотря на большие величины реактансов
о)Л и —, могут получаться как весьма значительные токи,
со С
так и весьма значительные перенапряжения на клеммах индук-
тивности и емкости, что бывает особенно опасно в технике
сильных токов.
Интересно еще отметить, что при заданных значениях L и С
при резонансе реактансы индуктивности и емкости приобре-
тают определенную величину, не зависящую от частоты, а
именно:
целей
Проследим, как изменяются ток и напряжения у емкости
и индуктивности в зависимости от частоты при постоянном
внешнем напряжении. Для этого приведем выражения для
тока 1 и напряжений Uc и UL к более удобному для
исследования виду.
В случае резонанса ток в цепи будет:
(3,20)
(3,21)
и ем-
а напряжения у индуктивности и емкости составят:
UL = Uc=l <00 L=
с 0 г т
Корень квадратный из отношения индуктивности
кости имеет размерность сопротивления, и отношение ак-
тивного сопротивления к этому корню:
г: i/'-£ = r:po = r:<ooZ —r:-L=/ra (3,22)
г С w0C
представляет собой весьма характерную для цепи г, L и С
величину. Напряжения у индуктивности и емкости при резо-
нансе будут тем больше, чем меньше значение т, т. е. чем
меньше относительное значение сопротивления цепи.
§ 3]
Последовательное соединение
51
При какой-нибудь произвольной частоте
(В = А(1)0,
(3,23)
где k — числовой коэфициент, который может меняться в
пределах от 0 до оо, ток в цепи определится как
В этом случае напряжение между обкладками конденса-
тора может быть выражено через
(3,25)
а напряжение у индуктивности:
UL=k ^LI = k^I=
Uk
(3,26)
и, наконец, тангенс угла сдвига между током и напряже-
нием— через
1
———
к (OqC
tg<?
____1_
т km
(3,27)
Так как в цепях активное сопротивление обыкновенно
неразрывно связано с индуктивностью, а индуктивное паде-
ние напряжения равномерно распределяется вдоль витков,
то наиболее опасным является ббычно перенапряжение на
емкости. Интерес может представить также значение напря-
жения Uz на катушке, включающей в себя активное сопротив-
ление и индуктивность:
Uz=lV r2-\-k2u20Lz=rI 1/1 4-—
* т%
UV m2-\-k2
j/ m2+ ------
.(3,28)
Па фиг. 3,5; 3,6 и 3,7 представлены так называемые резо-
нансные кривые, построенные на основании выведенных выше
формул в зависимости от угловой частоты.
4*
52
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Сравнивая кривые, по-
строенные для разных
значений т, мы прежде
всего видим, что при очень
малых частотах (Л=^0) ток
равен нулю (вследствие
большого значения реак-
• 1 \
танса емкости — —---------) ,
(оС /
напряжение у индуктив-
ности также равно нулю,
а напряжение у конден-
сатора равно внешнему
напряжению; равным об-
разом при очень больших
частотах (&—оо) ток так-
же равен нулю (в этом
случае бесконечно велик
реактанс индуктивности
a)Z,=^o)0Z,i=:co), и наобо-
рот, напряжение у кон-
денсатора равно нулю, а
Фиг. 3,6.
получаются при частотах,
напряжение у индуктив-
ности равняется внешне-
му напряжению.
Характер кривых ре-
зонанса для Uc и (jL,
равно как и для UZi за-
висит от значения гп-
Чем меньше т—г\ ,
тем большие значения по
сравнению с внешним
напряжением U приобре-
тают напряжения UCi UL
и Uz. При этом макси-
мумы напряжений на ем-
кости и индуктивности
стоты.
отличных от резонансной ча-
Максимум напряжения у конденсатора Uc — UCmax мы по-
лучаем при таком значении k = kCi когда
f) 3]
Последовательное соединение
53
или.
^(£3/и24-£*--2£2+ 1) =
~m2^-2k2c-2 — 0,
т. е. при kc, равном
При этом напряжение
у конденсатора будет равно
(3,30)
Напряжение у индуктивно:{и будет иметь максимум UL=
=max, когда
ди г д Uk
=------------------------- п
dk dk /' / 1 \ 2" ’
пли
—-------------------= 0; т’+ К — 2 4- — —
*’) ,„s + 4!_2+_L Ч
№
откуда мы находим, что
т?-+- -----2 = 0,
1 Л2
L
или у индуктивности получится максимальное напряжение
при частоте, для которой
(3'3,)
54
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Таким образом, индуктивность и емкость имеют максимум
напряжения при разных частотах, но относительные значе-
ния этих частот (в долях резонансной угловой частоты) свя-
заны соотношением
1 •
(3,32)
При нашем способе построения кривых, при котором для
частот от нуля до резонансной частоты откладываются непо-
средственно значения А, а для частот выше резонансной—об-
ратные значения, , в обратном направлении, кривые для
Uc и Uj получаются симметричными.
Абсолютные значения UСтах и ULmax будут равны между
собой, но получаться онибудуть при разных частотах: kc<l
Чем меньше т, т.
в цепи по
сравнению с —
ULwax , тем ближе k
е. чем меньше значение сопротивления
, тем больше будут £7Стах и
и kL к единице. При весьма малых
значениях т максимумы тока / и напряжений у емкости Uс
и индуктивности UL будут иметь место примерно при одной
и той же частоте (горбы кривых будут выше и будут сбли -
жаться). С увеличением т максимумы будут уменьшаться, и
частоты, при которых они получаются, будут больше от-
стоять друг от друга (горбы кривых Uc и UL будут сни-
жаться и расходиться к k—0 и £=оо). Максимумы t/си UL,
превышающие внешнее напряжение, получаются лишь при
значениях т меньших, чем т — У‘2, для которых 2 — т2>0.
При/п2 — 2 максимум Uc совпадает с внешним напряжением,
когда £с=0, а максимум UL, когда kL—co. При ;n>]/“2Z7c
не имеет максимума, оно непрерывно уменьшается до
нуля при изменении k от нуля до бесконечности, a Ul не-
прерывно возрастает от нуля до U при том же изменении
k от нуля до бесконечности.
На тех же фигурах показано, как меняется величина на-
пряжения у зажимов катушки, включающей в себе активное
сопротивление и индуктивность.
Максимум напряжения у катушки, содержащей ги А, опре-
деляется аналогичным образом. Этот максимум имеет место
при частоте (^zwo)
1 -4- V 14-2/zz
bz —
(3,33)
§4]
Параллельное соединение ветвей
55
меньше т, тем острее по-
лучаются кривые. Рассмотренные кривые для тока /, напря-
жений у емкости Uc и индуктивности UL, построенные как
функции частоты и выявляющие максимумы при определен-
ной частоте, называются кривыми резонанса. При этом ча-
стоты могут откладываться на оси абсцисс обыкновенным
образом, т. е. А = 0; 0,5; 1; 1,5; 2 и т. д.
Аналогичные кривые получаются, если менять не частоту,
a L или С.
4. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ВЕТВЕЙ. РЕЗОНАНС ТОКОВ
Вместо того чтобы разлагать напряжение на две слагаю-
щих: одну совпадающую с током, а другую, сдвинутую по
фазе на 90°, при вычислениях, когда мы имеем дело с па-
раллельными ветвями, иногда удобнее бывает разлагать ток
в каждой ветви на две слагающих так, чтобы одна, так на-
зываемая активная слагающая, совпадала по фазе с
напряжением, а другая — реактивная — была бы сдвинута
на 90° (фиг. 4.1).
Пусть напряжение и ток в цепи, содержащей сопротивле-
ние и индуктивность, будут
u = Umsin о) t,
i— ---— sin (<И——ср),
У Г2 +
/— и = JL
~~ Y лГ" z
56
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Эффективное значение активной сла-
тающей тока, как это вытекает из век-
у торной диаграммы, определится через
X. / _\ /a=mI-Ola—Icos^=
XVA = « . ' =
а ^^7 Vr2+^L v r2+xi
ФИГ. 4,1?
а реактивной слагающей тока:
» U XL
l=mr-01=lsln<?= ..- =
Г 1 Т KfS+xf V>2-|-x2
= _^££_ = 4 -U=bLU. (4(2)
Г2_|_Х2 22
Величину
S= “ = -^т ад
называют активной проводимостью, а — величину
"1=^=^г
реактивной проводимостью; размерность g и b об-
ратна размерности сопротивления.
Разложение тока на указанные две слагающие соответ-
ствует замене цепи, состоящей из последовательно соеди-
ненных активного сопротивления и индуктивности, двумя па-
раллельно соединенными ветвями, из которых в одной ток
совпадает с напряжением, h в другой ток отстает от напря-
жения на 90°.
Энергия будет поглощаться только в первой ветви, и мощ-
ность в этой цепи составит:
UIacos 0=U-gU=gU2, (4,5)
во второй же ветви мощность будет равна нулю:
UIr cos ~ = U-bU cos dO°=bU2 cos9Q°—Q. (4,6)
Поэтому мощность переменного тока вычисляется как про-
изведение эффективных значений напряжение и активной
слагающей тока.
$ 4]
Параллельное соединение ветвей
57
Если значения сторон треугольника токов 01 а1 разделить
на значение напряжения то получится новый треугольник
(фиг. 4,1), так называемый треугольник проводимо-
стей Ocd\ в нем g = =ту 'Ос представляет собой актив-
ную проводимость, bL ~~~ mY -cd— реактивную проводи-
мость, а гипотенуза соответствует полной или кажу-
щейся проводимости цепи:
/2±±=_1=--± (4 7)
У (гЗфЛ-2)3 — z •
Фиг. 4,2.
Следует обратить внимание на разницу в геометрическом
нахождении полного сопротивлениям и полной проводимости у.
При нахождении z отрезок Оа, соответствующий величине
активного сопротивления (г— mz-Od), откладывается по на-
правлению вектора тока (фиг. 4,2), затем нормально к Оа
откладывается отрезок ab, соответствующий реактансу ин-
дуктивности (xz — ^L=mz • ab), причем угол в 90° откла-
дывается в сторону вращения векторов, тогда замыкающая
Ob(z=rnz • Ob) указывает нам направление вектора напря-
жения по отношению к вектору тока (м относительно г по-
вернуто по направлению вращения векторов).
При геометрическом нахождении полной проводимости у
отрезок активной проводимости Ос {g—mY • Ос) отклады-
вается по направлению напряжения, а отрезок, изображаю-
щий реактивную проводимость cd(bL =mY-cd), откладывается
на линии cd, наклоненной к линии Ос под углом в 90°, взя-
тым в сторону, обратную вращению векторов; замыкающая
Od(y—mY-Od) повернута по отношению к Ос в сторону, об-
ратную вращению векторов, и указывает цдм направление
ректора тока.
58
Синусоидальные переменные токи
[гл. 1
Углы ЬОа и cOd равны между собой и представляют
соб^й угол сдвига между напряжением и током:
х т Ь т
<4’8)
В случае если цепь переменного тока содержит сопроти-
вление и емкость, ток / опережает напряжение U. В соответ-
ствии с этим реактивная слагающая тока опережает вектор
напряжения на 90°. Для такой цепи активная и реактивная
слагающие тока выражаются через:
/ = —7 - —• COS Ф =
а Гг2+(-хс)2 Y
=-7-...-Д7 = — rJL = gu, (4,9)
/Г2 + (_Лс)3 .|/г2+(-хс)2 22 S
=7=b^=b£=w оз»)
/Г2.|.(_Хс)3 Z2 с ’ 4
где^= )Гпредставляет собой активную, а
с
2_|_( х )2 реактивную проводимости цепи.
Для геометрического нахождения полной проводимости у
конца отрезка Ос, совпадающего по направлению с вектором
напряжения и соответствующего активной проводимости g,
строится нормально к Ос отрезок реактивной проводимости
(bc=inY-cd), который в данном случае откладывается в сто-
рону, противоположную той, в которую откладывался отрезок
реактивной проводимости индуктивности (фиг. 4,2). Замыкаю-
щая сторона треугольника соответствует величине полной
проводимости цепи:
y=m у-Od=yg^ (_ ису —
r2 + (-хс)3
tr2 + (-xc)p
7- f4’1”
с ее направлением совпадает вектор тока.
Если даны активная и реактивная проводимости какой-
нибудь ветви, то может быть решена и обратная задача на-
хождения активного и реактивного сопротивлений этой ветви
r=zcos<?=------- — 4
У У 7
§4]
Параллельное соединение ветвей
59
и к — zsin^ = — • — — —. (4,12)
• v у у2 7
При параллельном соединении нескольких приемников
энергии, предположим гх и xlt /2 и х2, г3 и х3 и т. д. (фиг. 4,3)
в точке их соединения в каждый данный момент для мгно-
венных значений токов имеет место первый закон Кирхгофа:
Фиг. 4,3.
а так как токи изменяются по закону синуса, то вектор
тока I=inI • 01, протекающего по неразветвленной части
цепи, будет равен геометрической сумме векторов токов,
протекающих по отдельным ветвям. Разлагаем ток в каждой
ветви на две слагающих, активную и реактивную:
г ___~ ГХЦ
1а ’ч । v
z _ г2^
*2а 2 . 2
—2-'и о = = ь.и,
'-12+и“ г1з 1 ’
xaU
/ _
I
=ьъи,
z2
- _____ ___— hl]
sr r2|r2 у2 V3U ’
'3 z3
60
Синусоидальные переменные токи
[гл. 1
Здесь U—напряжение между точками разветвления. В
средней ветви мы предположили емкость, а потому й2<0и/2г
опережает вектор OU {U^=mU'0U') на 90°. Проекция век-
тора тока в неразветвленной части цепи на вектор напряже-
ния 047, т. е. активная слагающая равнодействующего тока,
равна сумме активных слагающих тока в отдельных ветвях:
= + g.U±g3U = U>2gk. (4,13)
Равным образом мы получаем реактивную слагающую
равнодействующего тока:
= lir + /2Г + /3), = bxU^-b,U+b3U = UT. Ьа. (4,14)
Ток в неразветвленной части цепи равен:
1= . (4,15)
При параллельном соединении складываются проводимости
и несколько параллельно соединенных приемников энергии
могут быть заменены одним эквивалентным приемником, ак-
тивная и реактивная проводимости которого равны сумме со-
ответствующих проводимостей отдельных приемников:
g = ZgK и b = Zbk. (4,16)
Если все векторы тока (фиг. 4,3) уменьшить в отношении
47:/ и полученные значения вычертить в масштабе проводи-
мостей Шу, то получится многоугольник полных проводимостей:
— =g = m v-Оа, -^ = b~mv-Oc9 ~=y=mY-Ob9
U Y U Y и Y
= g = /п . Оа,, — =Ь1^т-Ось — =у1 = т -Obt
U Y U Y U
и т. д. На основании этого следует, что при параллельном
соединении нескольких ветвей общая полная проводимость
равна геометрической сумме полных проводимостей отдель-
ных ветвей.
Если умножим напряжение U на значение общей проводи-
мости, то получим величину тока:
l = yU, где у = /(S^)l 2+(S^ - - . (4,17)
£
§ 4]
Параллельное соединение ветвей
61
Направление же вектора тока определится из соотношения
1g'P = ^> (4.18)
1g k
когда tg ср > 0, ток отстает от напряжения, в противном
случае ток опережает напряжение между точками разветвления.
Мощность всех параллельных ветвей определяется как
р = gД3 + gJP + gsU* = gU*=u”-- -£- = UI cos <?, (4,19)
* у
где у и z — кажущаяся проводимость и кажущееся сопротив-
ление эквивалентной ветви, заменяющей все параллельно
соединенные ветви.
Заслуживает внимания явление так называемого резо-
нанса токов, которое имеет место при параллельном со-
единении двух ветвей, когда одна ветвь содержит индук-
тивность, а другая емкость и когда реактивные слагающие
токов в этих ветвях взаимно компенсируют друг друга (по
отношению к внешней цепи). При этом в неразветвленной
цепи ток по фазе совпадает с напряжением, приложенным к
точкам разветвления.
В простейшем случае параллельного соединения одной
индуктивности и одной емкости (фиг. 4,4) эффективные зна-
чения токов в этих ветвях равняются
t U U т птт U
/1= — , I2 = ^CU= -----;
XL хс
по отношению к вектору U ток отстает по фазе на 90°
и /2 опережает на 90°, эффективное значение тока в нераз-
ветвленной части цепи равняется их разности.
7 = Ц = и(—------
\
62
Синусоидальные переменные токи
[гл. 1
Если при неизменном эффективном значении напряжения U
частота меняется от 0 до °°, то при со = 0 [это соответ-
ствует приложению к точкам разветвления напряжения по-
стоянного тока w=2 к/ — —— =0, Т—оо] ТОк в индуктивности
при отсутствии сопротивления будет равен бесконечности,
а ток в емкости будет равен нулю. По мере увеличения ча-
стоты ток в индуктивности уменьшается, а в емкости уве-
личивается, при этом пока ----ток отстает от напря-
жения на 90° (<?>0). Когда частота достигает такой величи-
ны, что — =О)С или
1
Vlc
(4,20)
то токи в обеих ветвях будут равны а ток 1 равен
нулю. При дальнейшем увеличении частоты ток в емкости
будет перевешивать ток в индуктивности, общий ток / бу-
дет опережать U на 90° (ф< 0) и при <в=со ТОк в индуктив-
ности будет равен нулю, а ток в емкости и в общей цепи
будет бесконечно велик.
При резонансной частоте о)0, хотя ток в неразветвленной
части цепи и равен нулю, токи в обеих ветвях будут иметь
конечное значение. В замкнутом контуре, состоящем из А и С,
если обходить его в одн-jm направлении, условно принятые
положительные направления токов прямо противоположны,
а так как мгновенные значения токов в L и С при резонансе
равны и имеют разные знаки:
z\ = — sin (со/— 90°) и z2=<nCZ7m sin (ш/-(-90о)=—z\,
coL
то при резонансе ток в этом контуре замыкается сам на
себя, не ответвляясь во внешнюю цепь. В этом случае мы
имеем заряд и разряд конденсатора через индуктивность в
цепи без потерь (см. т. I, § 90) с собственной резонанс-
ной частотой колебаний, совпадающей с частотой приложен-
ного напряжения.
Для внешней цепи две параллельные ветви, состоящие
из L и С без сопротивления и настроенные в резонанс с ча-
стотой внешнего напряжения, представляют для тока такой
частоты бесконечно большое сопротивление (электрическую
пробку), так как при резонансе
у= —-----акС=0 и Z-— =°°.
<*>оА У
Параллельное соединение ветвей
63
г. , k
Выразим переменную частоту через =
до оо тогда токи определятся через
где k меняется
от О
^1= 4 = ——.
_ 1
__ -^2 _ <&С
При резонансе токов реактивные слагающие токов долж-
ны уравновешивать друг друга:
4-=Л,- + hr—b Д+ b^U—Q,
а потому резонанс токов будет иметь место при условии:
1
bi~hb2 = 0 или ------—------==--------------
r2 , _L_
2+ <1>qC3
64
Синусоидальные переменные токи
[гл. 1
Преобразуя это равенство
и’ Lcl Л 4- -у-У=1 + °>0
2 •
и вынося за скобку <о0, мы получаем соотношение.
^LCr^-U)=rl----
С*
или
Следует отметить, что резонанс токов в двух параллель-
ных ветвях возможен лишь при условии, что одновременно
г1 и г2 больше или меньше |/"так как только при
этом условии о)о получает вещественное значение.
Когда сопротивления в обеих ветвях подобраны таким об-
разом, что
4-.
то резонанс токов получается при любой частоте. В этом
случае ток в индуктивности меняется от при <о=^ю0=0
до 0 при со=оо, а ток в ветви с емкостью от нуля, когда
U
w _ о, до — , когда (о=оо, а ток в неразветвленной части
§ 4]
Параллельное соединение ветвей
Со
ц< пи сохраняет одно и то же значение — при всех частотах:
/=(^+^=
ф<о3А
(4.23)
и совпадает по фазе с напряжением U.
Фиг. 4,7.
Рассмотрим еще параллельное соединение двух ветвей,
из которых в одной имеется индуктивность с сопротивле-
нием, а в другой одна емкость (фиг. 4,7). При изменении ча-
стоты от 0 до °° ток в индуктивности меняется от ~ до
г
нуля, а ток в емкости от нуля до бесконечно большой ве-
личины. Ток в неразветвленной части цепи будет:
L(^i2 "F °)2^2)2
со/,
Г12 (о2£2
(4,24)
при этом, пока------------<
> w С ток 1 отстает по фазе от
напряжения U, При частоте:
=ш0С
5 К. А. Круг, т. II.
66
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
или
(га=г,: |/ А)
г 1 Г12
наступает резонанс, который возможен лишь когда — > ~ ’
При дальнейшем увеличении частоты ток 7 будет по фазе
опережать напряжение U,
Наименьшее значение ток в неразветвленной части цепи
приобретает при частоте, определяемой из уравнения =0.
Фиг. 4,8.
Ток 7=min при частоте
<О2= -L
LC 1—nfl
немного большей, чем частота резонанса токов в обеих вет-
вях. На фиг. 4,8 представлены кривые 7Ь /2 и 1 в долях от
5. ПАДЕНИЕ И ПОТЕРЯ НАПРЯЖЕНИЯ
Рассмотрим передачу энергии по линии, в начале которой
поддерживается постоянное напряжение U} (фиг, 5,1). Пусть
активное сопротивление (обоих проводов) линии будет гА, а
реактанс Петли, образуемой обоими проводами линии, хА=а)£,
и следовательно, полное сопротивление zk = и
гк
§ 5 ] Падение и -потеря напряжения
Предположим далее, что нагрузка на конце линии меняется,
сохраняя постоянный угол сдвига между напряжением и то-
ком cosc? = const, и обозначим переменное полное сопротивле-
ние приемника энергии через z (фиг. 5,1), Рассматриваемая
цепь будет вполне тождественна с цепью, в которой действует
постоянная э. д. с. и в которую включено перед переменным
сопротивлением z = У г-\-х* постоянное сопротивление zk —
Если U2—tnu-OU2— вторичное напряжение (фиг. 5,2);
I — mj-OI—ток в цепи, то для получения первичного напря-
жения -OUr мы должны к U2 геометрически приба-
вить падение напряжения в zk, состоящее из активного па-
Фиг. 5,1.
дения напряжения rl=inu-U2A1 совпадающего с направле-
нием вектора тока 01 и реактивного падения напряжения
xkI = mu-AUu опережающего вектор тока на 90°:
ти-и2их = /]/
Из диаграммы видно, что потеря напряжения, определяе-
мая как арифметическая разность между напряжениями в
начале и в конце линии, будет меньше, чем падение напря-
жения в линии:
t/j—— Ux—U2<Zzkl. (5,1)
При небольших падениях напряжения в первом прибли-
жении можно ОС (проекцию OUX на направление OZ72) при-
равнять OUb тогда:
Ui—U2—mv • U2C~inv -(U2A- cos ф2 -f~* sin ?з) —
= гк1 cos sin та-
68
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
На чертеже (фиг. 5,3) повторена та же диаграмма для опе-
режающего тока, и здесь
U х—U2 — Шд • U 2В—ти • (U2 А • cos 2—U± • s i п <р2)=
=rkl cos ®2—xkI sin ®2.
В общей форме потерю напряжения можно выразить через
—U2 = г J cos ®2+-*V sin ®2> (5,2)
если условиться, что угол сдвига ®2 при емкостной нагрузке
будет отрицательным.
Фиг. 5,2. Фиг. 5,3.
При очень больших опережениях тока и большом реак-
тансе линии xk вторичное напряжение может быть даже боль-
ше, чем первичное. Это будет, когда AM>AN или
xk sin ?2>^ cos <p2 или tgcp2>tg^. (5,3)
Аналогичные соотношения диаграммы получаются и для
генератора, если вместо Ux подставить э. д. с. генератора Е
и если rk и Xk рассматривать как сопротивление и реак-
танс якоря генератора.
§ 5 ] Падение и потеря напряжения 69
Определим мощность, передаваемую по линии приемнику
энергии или мощность по внешней цепи генератора с постоян-
ной э. д. с. и постоянным импедансом zk. Ток и напряже-
ние у приемника связаны уравнением
где z2—полное сопротивление приемника энергии. Мощность
равна:
Z72
Р2 =U2I cos — cos ср2- (5,4)
Z
Из треугольника напряжений OUJJ^ (фиг. 5,2) следует, что
OU{= О£722+^^1+2 • OUS U2U, • cos Z CU2Ut
или
^=^+^2+2^a/cos (?a-?2).
Выражая в последнем уравнении 1 через U2i мы находим,
что
„ 2 4^2 2 -2
^=С/ +^2.+_2_Acos fe-?2),
Z2
откуда
2 2^^cosk(^ —f2)’
Подставляя U2 в выражение для мощности, мы получаем
следующее выражение для полезной мощности в зависимости
от z:
Z2U2. COS <f>2 cos Фр
Р.= . 2 , ; 1 - ------“=-2--------L~ -----------(5,5)
4 + г2 + 2г? Ч cos (п - »2) Ч + 22 + 22ft cos (n _ ?2)
ч
Полезная мощность при заданном cos <р2 будет иметь ма-
z2h
ксимум, когда переменная часть знаменателя г2Н—^будетми-
z2
нимум или когда
т. е. когда
(5,6)
70 Синусоидальные переменные токи [ гл. 1
другими словами, когда полное сопротивление приемника
энергии по своей численной величине будет равно полному
сопротивлению линии, или применительно к генератору, когда
полное внешнее сопротивление равно полному внутреннему
сопротивлению генератора, при этом фазовые углы г2 и zk
могут и не равняться друг другу.
В этом случае падение напряжения в линии или в гене-
раторе равно напряжению у приемника энергии:
zkl—z2l—lJ2. (5,7)
Это положение можно было бы выразить также следую-
щим образом: данный источник переменного тока (генератор)
дает наибольшую мощность тогда, когда падение напряже-
ния внутри источника равно внешнему напряжению. При наи-
большей мощности вектор падения напряжения в линии U2UX
и вектор напряжения на конце линии OU2 составляют равно-
бедренный треугольник.
Если в уравнение (5,5) вместо z2 подставить zk9 то полу-
чим максимальную мощность при заданном cos<?2, которая
будет равна
_ t7?cos<p3
T^max—— — - ~ (О,о)
2zk [1 -j-COS ?2)J
Эта величина в свою очередь зависит от величины угла
сдвига во внешней цепи <ра и Р2тах будет иметь максималь-
ное значение, когда
дР
2тах __л
—
или когда
— [1 +cos (?я—?3)]sin<?3—cos <с2 sin (с?й—<?3)=0;
— sin <р3 — sin (% — ?2+<р2) = 0,
откуда следует, что при
?2= —и z3=zk
мы получаем наибольшую мощность, которую вообще
получить во внешней цепи,
(D А — ^1СО8П _ и21 _^1
jniax max 4гЛСОЗ 4гй
В этом случае реактанс индуктивности линии должен
компенсироваться реактансом емкости внешней цепи:
xft=2ftsin^ и х2—zAsin(—<?*) = — z*sin?ft, (5,11)
(5,9)
можно
(5,10)
§ 6]
Измерения переменных токов
71
а активные сопротивления линии и приемника энергии должны
быть равны между собой:
^ = ^cos<P4=z3cos(—<р*)=г2. (5,12)
Коэфициент полезного действия в этом случае равняется
только половине:
г2Р
+ г2) /2
=0,5.
(5,13)
6. ИЗМЕРЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ
Для записи кривых зависимости от времени мгновенных
значений как периодических, так и непериодических пере-
менных токов опытным путем служат так называемые осцил-
лографы. Наиболее употребительными являются вибратор-
ные (инерционные) и катодные (безинерционные) осцил-
лографы.
Вибраторные осциллографы представляют собой вибратор-
ный (петлевой) гальванометр, состоящий из узкой и короткой
петли, перекинутой через маленький ролик, оттягиваемый пру-
жинкой и находящийся в сильном магнитном поле постоян-
ного магнита (фиг. 6,1). К середине петли прикрепляется лег-
кое зеркальце, которое под действием протекающего по сто-
ронам петли в противоположном направлении тока и маг-
нитного поля может поворачиваться в ту и другую сторону.
Падающий от источника света и .концентрированный на зер-
кальце луч фиг. 6,2 после отражения от зеркальца собирает-
ся линзами и направляется на движущуюся перпендикулярно
к направлению отклонения луча фотографическую бумагу или
на вращающийся барабан. При периодических процессах для
визуального наблюдения отклоненный зеркальцем луч света
фиг. 6Д.
фиг. 6,2.
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
направляется на многогранное призматическое зеркало, вра-
щающееся синхронно с частотой исследуемого тока. Отра-
женный от вращающегося призматического многогранного
зеркала луч направляется далее на матовое стекло. От
повторного прохождения отклоненного вибратором луча по ма-
товому стеклу на стекле получается неподвижная кривая,
определяющая в прямоугольных координатах зависимость
тока от времени за один или несколько периодов.
Для того чтобы, инерция вибратора и его собственные ко-
лебания не отражались на записи кривых, вибраторы делаются
из тонкой проволоки, и зеркальце берется малых размеров
так, чтобы частота собственных колебаний была во много раз
больше частоты измеряемого тока (порядка 5 000-4—10 000 Hz).
Кроме того, вибратор помещают для заглушения собственных
колебаний в специальные стйканы, заполненные прозрачным
маслом.
Вибраторные осциллографы пропускают лишь небольшие
Токи (не более десятой доли ампера). Поэтому измеряемый ток
пропускается через шунт и к зажимам шунта присоединяется
уже вибратор. При измерении напряжений в цепь вибратора
должно быть включено достаточно большое сопротивление.
В целях одновременной записи кривых тока и напряже-
ния в нескольких ветвях, а также выявления сдвига фаз меж-
ду ними в одном и том же приборе устанавливаются не-
сколько вибраторов (до шести) для одновременного наблюдения
отклонения этих вибраторов.
Катодные или безинерционные осциллографы основаны на
отклонении катодного луча в электростатическом или магнит-
ном поле. Основной частью катодного осциллографа является
так называемая трубка Брауна (фиг. 6,3), вакуумный прибор
обычно с накаленным катодом. Электроны, испускаемые
накаленным катодом К, под действием электрического поля
между анодом А и катодом К перемещаются сочень большой
Ь1гиг1гЧ|||—-e|ip
фиг. 6Д
§ 6]
Измерения переменных токов
73
скоростью (^= । и ,по — заряд и масса элект-
/и0
рона, Ua — напряжение между анодом и катодом), проходят
через отверстие в аноде и направляются в виде тонкого
электронного луча к экрану на противоположном расширен-
ном конце трубки. Экран покрывается флуоресцирующим ве-
ществом и под действием попадающих на него электронов
на нем получается светящееся пятно. Для предохранения ка-
измеряемой величины.
тода от положительных ионов, разрушающих катод, между
анодом и катодом вводят иногда защитный экран (/)). Меж-
ду анодом и экраном Э помещают плоский конденсатор С
внутри трубки и катушки В вне трубки. Под действием эле-
ктрического поля конденсатора движущиеся электроны ка-
тодного луча получают в направлении электростатического
поля отклонение, пропорциональное приложенному к конден-
сатору напряжению. Под действием магнитного поля катушек,
если магнитное поле по направлению совпадает с направле-
нием электростатического поля, катодный луч, представляю-
щий собой электрический ток, получает отклонение, пропор-
циональное току в катушках и направленное перпендику-
лярно к направлению магнитного поля. Если напряженность
одного из полей периодически изменяется пропорционально
времени, а другое поле изменяется пропорционально измеряе-
мой периодической величине, то светящаяся точка на экра-
не будет описывать кривую, ординаты которой будут про-
порциональны мгновенным значениям
Вместо конденсатора и катушек
катодные осциллографы снабжаются
также двумя впаянными в трубку
конденсаторами, т. е. двумя взаимно
перпендикулярными парами пластин
и С2, с соответствующими выво-
дами, дающими два взаимно пер-
пендикулярных электрических поля.
Периодическое изменение напряжен-
ности одного поля пропорционально
времени (так называемая развертка
времени) и может быть получено пе-
риодическим изменением напряже-
ния на одном конденсаторе (или
тока в катушке) путем вращения
рукоятки рычага (фиг. 6,4), скользя-
щего по расположенной по окружности спирали. Для полу-
чения развертки времени может быть использовано также
изменение напряжения на конденсаторе при зарядке его от
постоянного напряжения через сопротивление, если парал-
лельно к нему включить неоновую лампу.
74
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
В начале зарядки напряжение на конденсаторе меняется
приблизительно пропорционально времени:
uc=U[ 1— е RC ]=U
t
RC
RC
Фиг. 6,5.
Когда напряжение на конденсаторе достигает определенной
величины, лампа загорается, конденсатор сразу разряжается
и процесс зарядки начинается сначала. Путем соответствую-
щего подбора емкости можно изменять промежуток времени
между двумя последовательными загораниями лампы и таким
образом добиться совпадения периода отклонения луча в
двух взаимно перпендикулярных направлениях и получать не-
подвижные кривые, которые могут быть сфотографированы.
Осциллографы, приспособленные не для записи, а лишь для
наблюдения кривых глазом, называются осциллоскопами.
Измерение частот в технике
сильных токов чаще всего произ-
водится при помощи так называе-
мых вибрационных часто-
томеров, сравнительно простых
приборов, состоящих из продоль-
ного металлического стержня
(фиг. 6,5), в который впаян ряд тон-
ких и гибких стальных язычков с за-
гнутыми и окрашенными в белый
цвет концами. Эти язычки подби-
раются таким образом, чтобы ча-
стота собственных их колебаний
отличалась в последовательном
порядке друг от друга на 0,25 или 0,5 Hz. К продольному
стержню прикрепляется поперечная железная полоска, кото-
рая испытывает со стороны электромагнита, через который
пропускается переменный ток искомой частоты, периодиче-
скую силу притяжения двойной частоты. Колебания попе-
речной полоски передаются через стержень гибким язычком.
Из всех язычков с наибольшей амплитудой будет колебаться
тот, частота собственных колебаний которого совпадает с
двойной частотой измеряемого тока, при этом загнутый конец
этого язычка превращается для наблюдателя в продолго-
ватую белую полосу. С значительно меньшей амплитудой
колеблются смежные язычки. Измеряемая частота отсчиты-
вается на расположенной сверху или снизу ряда язычков
градуированной шкале. Частотомеры имеют относительно
большое сопротивление и присоединяются к зажимам источ-
ника переменного тока так же, как вольтметры,
§ 6]
Измерения переменных токов
Для определения высоких частот используют так называе-
мые вол номеры (фиг. 6,6), представляющие собой коле-
бательные контуры со сменными катушками и плавно изме-
няющейся емкостью. Состояние резонанса определяется при
помощи какого-нибудь индикатора, например, теплового при-
бора, введенного в цепь колебательного контура, или лам-
почки, присоединяемой последовательно к емкости. Изме-
ряемая частота отсчитывается по положению стрелки, свя-
занной с подвижной частью конденсатора. Если такой колеба-
тельный контур находится в пределах действия поля источ-
ника токов высокой частоты, то в нем под влиянием элект-
ромагнитной индукции будут наводиться токи, которые до-
стигнут своего максимума, когда колебательный контур бу-
дет соответствующим изменением емкости настроен в резо-
нанс с измеряемой частотой.
В качестве нулевого прибора при измерении напряжений
и токов могут служить телефон и в и б р а ц и о н ,н ы й г а л ь-
ванометр. Один из типов вибрационного гальванометра
предсывлен на фиг. 6,7. Он состоит из электромагнита, на-
бираемого из стальных листов, имеющего последовательно
соединенную обмотку постоянного тока и последователь-
ные обмотки переменного тока w2, насаженные на развет-
вленные части полюсов таким образом, что магнитные потоки
от постоянного и переменного тока направлены в середине
прибора перпендикулярно друг к другу. Подвижная часть
состоит из вставляемой в прибор эбонитовой оправы. В этой
оправе помещается железная маленькая пластинка, подве-
шенная на бронзовой ленточке, к которой прикрепляется ма-
ленькое ^.зеркальце. Эта пластинка путем поворота оправы
устанавливается таким образом, чтобы ось ее совпадала с
направлением магнитного поля постоянного тока (что бывает
достигнуто, когда при включении и выключении постоянного
тока и отсутствия тока переменного зеркальце не дает от-
клонения). При прохождении через прибор переменного тока
пластинка совершает периодические колебания, и размани
76 Синусоидальные переменные токи [ гл. 1
колебаний будут наибольшими, когда частота переменного
тока совпадает с частотой соответственных колебаний под-
вижной системы, т. е. когда будет иметься резонанс между
периодом воздействия переменного магнитного поля и перио-
дом собственных колебаний подвижной системы. Для дости-
жения такого резонанса меняют ток в обмотке постоянного
тока так, чтобы при данном значении переменного ^тока
размах колебаний был наибольший. Размахи колебаний на-
блюдаются по ширине освещаемой зайчиком светлой полосы
на матовом стекле с нанесенными делениями.
Для измерения периодических переменных токов и на-
пряжений могут служить те из измерительных приборов по-
стоянного тока, в которых действующая на подвижную си-
стему сила пропорциональна квадрату измеряемой величины.
Такими приборами являются приборы электротермиче-
ские (I, § 35) или тепловые, электродинамические
(I, § 82), электромагнитные, а также электростати-
ческие (I, § 27). Магнитоэлектрические (I, § 58) приборы
(с постоянными магнитами), в которых действующая сила про-
порциональна первой степени проходящего через них тока,
несмотря на прохождение через них тока, показаний давать
не будут, так как среднее значение периодического переменного
тока равно нулю. Действующий в приборах переменного тока
момент вращения меняется с двойной частотой [при о/,
Z2=0,5 Рт (1—cos 2 о)/)]. Приборы переменного тока снабжаются
успокоителями воздушными и в тепловых приборах электро-
магнитными. Благодаря этому и вследствие собственной инер-
ции подвижные системы приборов переменного тока не мо-
гут следить за периодическими колебаниями действующего
на них момента сил (при 50 Hz момент достигает в секунду
100 раз своего максимума) и они устанавливаются в поло-
жении, соответствующем среднему квадратичному значению
момента вращения, т. е. эффективному значению измеряемой
величины.
Указанные типы приборов могут градуироваться постоян-
ным током, так как в пределах технических частот при од-
ном и том же эффективном значении переменного тока и
эквивалентном ему постоянном токе такие приборы дают од-
ни и те же показания. Исключение составляют приборы элек-
тромагнитные (с намагничиваемым измеряемым током желе-
зом), требующие градуировки переменным током, так как
намагничивание железа при постоянном токе и при перемен-
ном токе, когда ток меняется от — Im и обратно под
влиянием гистерезиса, протекает по-разному.
Существуют приборы, при помощи которых можно изме-
рять только переменные токи, так называемые индукци-
онные приборы, как, например, приборы типа Феррариса,
§ 6]
Измерения переменных токов
77
основанные на действии вращающегося магнитного поля
(см. § 46 — 47) и индукционные приборы с экраном. Схема-
тически такой прибор показан на фиг. 6,8. Он состоит из
электромагнита, набранного из стальных листов, через ка-
тушку которого пропускается измеряемый переменный ток.
В зазоре между полюсами электромагнита может вращаться
легкий алюминиевый (или медный) диск, связанный с пру-
жинкой, устанавливающей его в нулевое положение. К по-
люсам электромагнита прикрепляются медные пластины-
экраны Г, которые прикрывают лишь часть поверхности.
Наводимые в экране вихре-
вые токи имеют направление
противоположное направлению
подводящим токам в обмотке
электромагнита, и потому ос-
лабляют (экранируют) магнит-
ное поле под экранами и уси-
ливают поле у непокрытой экра-
нами части полюсов. Наводимые
в алюминиевом диске и в экра-
нах замкнутые токи, стремясь
к совпадению, выводят диск фиг>
из положения равновесия, пока
момент сил притяжения не бу-
дет уравновешен моментом сопротивления пружины. В каче-
стве успокоителя действует постоянный магнит /И, который
тормозит качания диска. Для расширения пределов измерения
токов одним и тем же прибором в технике сильных токов
применяют обычно так называемые измерительные
трансформаторы.
Вольтметры, служащие для измерения напряжений пере-
менных токов, базируются на тех же принципах, как и ам-
перметры переменного тока, с той разницей, что соответ-
ствующие обмотки у вольтметров имеют большее число вит-
ков и меньшее сечение проволоки по сравнению с ампервит-
ками. Для того, чтобы показания вольтметров, определяющих
эффективное значение измеряемого напряжения, по возмож-
ности не зависели от частоты, необходимо, чтобы при данном
напряжении ток, потребляемый вольтметром
Кг2 + “2£2
мало менялся от частоты, т. е. чтобы сопротивление в цепи
вольтметра г было во много раз больше реактивного сопро-
тивления соЛ в этой цепи. Поэтому цепь вольтметра содер-
78
Синусоидальные переменные токи [ гл. 1
Фиг. 6,9.
жит обычно дополнительное активное сопротивление, монти-
руемое чаще всего в самом приборе.
Расширение пределов измерения вольтметров особенно,
когда речь идет об измерении высоких напряжений (500 V
и выше), осуществляется обычно при помощи так называе-
мых измерительных трансформаторов напряжения.
Метод трех вольтметров. При помощи трех вольтметров
можно определить
мощность, потребля-
емую приемником
энергии, а также его
сопротивление, реак-
танс цепи и полное
сопротивление, если
последовательно с
приемником вклю-
чить активное сопро-
тивление известной
величины (фиг. 6,9).
Пусть С72 — на-
пряжение на концах
приемника энергии,
— на концах известного активного сопротивления гг и J7 —
напряжение, получающееся при последовательном соедине-
нии искомого сопротивления приемника с z2—т% ~1~х2 и
сопротивления гР По этим трем напряжениям строим тре-
угольник OUJJ, и пусть
Ui=rxI=mu-OUi-, U2=ly r^x2 U^=mb-OU.
Из этого треугольника следует, что
C^cos % = f- 2tWcos ?3,
где <р2 — угол сдвига между напряжением и тском в прием-
нике энергии. Из этого соотношения может быть определена
искомая мощность:
г. r о*-/Я-и2
P2 — U2l cos <р2 =-----
2ri
(6,1)
гг 1 <Л
Но мощности и току I—-- нетрудно уже определить со-
r 1
противление и реактанс приемника энергии:
_ U2 _ 1/2Г1 . _ Р2 _ .
I t/j 2 /2 ~ и2
х2 — Уг2 — г2. (6>2)
§ 6 ] Измерения переменных токов 79
Этот метод применяется при измерении весьма малых
мощностей; для достижения надлежащей точности U2 и U1 долж-
ны быть примерно равны. Для этого необходимо включать в
цепь большое сопротивление последовательно с ветвью, мощ-
ность в которой подлежит измерению.
Метод трех амперметров. Мощность можно измерять
также при помощь
трех амперметров,
если параллельно к
приемнику энергии,
мощность которого
должна быть опре-
делена, присоединить
активное сопротивле-
ние известной вели-
чины гх (фиг. 6,10) и
измерять токи как в
обеих параллельных
ветвях /2 и Л, так
и в общей цепи 1.
Ток совпадает по . Фиг. 6,10.
фазе с напряжением
U1 = rJ1~U2=U. являющимся общим как для rit так и для
исследуемой цепи. Из треугольника, построенного по трем
сторонам, имеем:
/2 = /2 “Р Л “J- 2^2A COS ^2 —~' А-!-1 2/ 2 “ CQS %
откуда
= /22 + /2 + 2 —>
r 1
= (?2-Z22-/2)r; .
(6,3)
При применении этого метода для получения надлежащей
точности требуется примерное равенство /2 и что связа-
но с большими потерями.
Обыкновенно мощность переменного тока измеряется при
помощи электродинамических ваттметров, со-
стоящих из двух катушек без стали,—одной толстой (ампер-
ной обмотки), которая делается неподвижной и через которую
протекает потребляемый ток, и другой — подвижной (воль-
товой), присоединяемой через большое сопротивление к дей-
ствующему у потребителя напряжению (фиг. 6,11 и 6,12).
Показания прибора пропорциональны среднему значению про-
изведений мгновенных значений токов в толстой и тонкой
катушках. Эти показания будут пропорциональны (фиг. 6,11)
/3/у c°s(<p4—<ру), (6,4)
Синусоидальные
переменные токи
[ гл. 1
где 72 действующее значение тока в толстой, а —в тон-
кой катушках, а и —сдвиг фаз этих токов по отноше-
нию к напряжению. Ток в ответвлении равен:
Z7o cos
^2
(6,5)
и
где гц и Ьи — сопротивление
ветвленной цепи.
индуктивность во всей от-
и
Фиг. 6,11.
Фиг. 6,12.
Если выражение (6,4) умножить на ги, то показания ватт-
метра будут пропорциональны выражению
^A/*LrC0S ?а)
(от умножения на постоянную изменится только коэфи-
циент пропорциональности).
Подставив затем 7^, мы найдем, что показания ваттметра
будут пропорциональны
Р'=IJju cos (<рл— =/2гуа COS cos (<?л— Фу)=Са' (6,6)
(где а' — угол отклонения стрелки прибора), в то время как
действительная мощность составляет
Р2 = £79/2 cos <?2.
§ 6]
Измерения переменных токов
81
Поэтому для получения действительной мощности необхо-
димо показания ваттметра умножить на поправочный коэфи-
циент:
р ___pi______^2^2 CQS ?2___ __
2 U2I2cos^u cos (<рл — Ttf)
=Са’-------------. (6,7)
/2 COS ?^(cos COS Vu 4" sin Sin Чу)
Обыкновенно токи в толстой обмотке и у потребителя
ввиду малой разницы их величин можно приравнять, /3=/ь
и считать их совпадающими по фазе =?2- При этих
условиях поправочный коэфициент будет равен:
COS <р2 1 + tg2 ?Ц . (6,8)
cos ^(cos <jf2 COS + sin <f>2 sin 1 +tg Mg ?£/
Он зависит от tg , следовательно, и от час-
ги
тоты, а также и от сдвига фаз в измеряемой цепи (ср2). Для
того, чтобы этот коэфициент был по возможности близок к
единице, т. е. чтобы показания ваттметра были действитель-
но пропорциональны измеряемой мощности, необходимо, что-
бы tgcp^ был по возможности меньше, что может быть до-
стигнуто включением в цепь тонкой обмотки большого со-
противления г так, чтобы
tg?v = ^=O. (6,9)
ги
При точных измерениях малых мощностей необходимо
учесть еще и ту мощность, которая потребляется самим
ваттметром и которая им учитывается сверх мощности, отда-
ваемой потребителю. При соединении тонкой обмотки после
ваттметра (фиг. 6,11) эта поправка, которая должна быть
вычтена из показаний ваттметра, равна 1£г=-----------, а при
присоединении тонкой обмотки до ваттметра (фиг. 6,12) эта
поправка равна /2гл, где гА— сопротивление толстой обмотки
ваттметра. При высоких напряжениях и небольших токах
следует давать предпочтение второй, а при низких напряже-
ниях и больших токах—первой схеме, так как в таком слу-
чае поправки на потребление самого ваттметра делаются
весьма незначительными. Кроме ваттметров электродинами-
ческого типа существуют и другие типы ваттметров, напри-
мер, ваттметры типа Феррариса.
6 К. А. Круг, т. II.
82
Синусоидальные переменные токи
[гл. 1
При помощи измерения напряжения, тока и мощности
можно на основании значений U, 1 и Р вычислить полное,
активное и реактивное сопротивление (индуктивности какой-
нибудь ветви):
U Z7 cos Р
г=Уг, + в,1’ =у> —i=T^’
wL —г2".
(Определение таким путем реактивного сопротивления ем-
кости вследствие появления значительных высших гармоник
при отступлении кривой напряжения от синусоиды дает не-
точные результаты).
7. СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД
Д^етод векторных диаграмм дает наглядное представление
о взаимных соотношениях изменяющихся величин, характери-
зующих явления в простых цепях синусоидальных перемен-
ных токов. Однако, определение числовых значений этих ве-
личин путем геометрического построения векторных диаграмм
не всегда дает желаемую точность благодаря погрешностям,
свойственным всем графическим методам. Кроме того, вектор-
ные диаграммы для разветвленных цепей получаются иногда
чересчур сложными.
Аналитические способы определения величин имеют весьма
большие преимущества перед графическими. В электротех-
нике из аналитических методов наибольшее распространение
получил так называемый символический метод, осно-
ванный на применении комплексных чисел. Этот метод дает
возможность выражать соотношения между величинами, изме-
няющимися по закону синуса, весьма простыми, наглядными
алгебраическими уравнениями и применять для цепей пере-
менного тока основные законы электрических цепей (закон
Ома и законы Кирхгофа) в той же форме, как и для цепей
постоянного тока.
Комплексом или комплексным чи-
слом в математике называют алгеб-
раическую сумму, состоящую из дей-
ствительного или вещественного числа
и так называемого мнимого числа, пред-
ставляющего собой корень квадратный
из отрицательного числа: a -J- У—Z?2—
— а 4-]/— 1 • b — а -\-J-b (фиг. 7,1).
Графически комплексы могут быть
представлены в так называемой число-
вой плоскости в виде отрезков, имею-
щих определенное направление, или в
виде условных векторов, равных гео-
метрической сумме двух отрезков, от-
ложенных в выбранном масштабе (на-
пример, 1 шт длины равен тп едини-
§ 7]
Символический метод
83
цам) по двум взаимно перпендикулярным осям; одной так назы-
ваемой оси вещественных значений и другой, повернутой относи-
тельно первой на 901 против часовой стрелки, так называемой оси мни-
мых значений (фиг. 7,1)
mOB^a-Y jb. (7,1)
В зависимости от знаков а и b откладываются по положительному
или отрицательному направлению этих осей. Оси, сохраняя взаимно пер-
пендикулярное расположение, могут занимать любое положение на чер-
теже, но ось должна быть повернута по отношению к положитель-
ному направлению вещественных значений (оси-|-) на 90° против часовой
стрелки. Кроме формы OB — cL-\-jb вектору на числовой плоскости может
быть придана еще или тригонометрическая или показательная форма:
О В — a-\-jb — г cosa + jr sina — reJa , (7,2)
где г —так называемый модуль комплекса или длина соответствующего
вектора, а а — угол поворота вектора относительно оси вещественных
значений. Угол а считается положительным, если вектор относительно
положительной полуоси вещественных значений повернут против часовой
стрелки.
В американской литературе принято еще обозначать комплексы через
модуль, к которому рядом приписывается угол, например:
ге^а — г cos a -f- jr sin а ye~JV—y cos ? — Jy sin ? =y/_— <p.
Из уравнения г/а —cos a-|-jsin а, если а приравнять
Зя
л — ± —’ ± «, ± р ± 2тс,
следует, что
. ±J'K . 'т
е 2 = + J-, е 2 — —j, е = — 1; е 2 Т j,
+ j2n , , j(a = 2л) ja
е — -f-1; е ~е .
(7,3)
Если комплекс изображать в виде некоторого вектора, занимающего
определенное положение в числовой плоскости, то умножение комплекса
7<Р
на множитель е равнозначно повороту этого вектора на угол <р против
Л/ —Л
стрелки часов, а деление вектора на е ( или умножение на е , так
1 —/? \
как — е ] равнозначно повороту этого вектора на угол ? по стрелке
е '
часов. Пусть нам дан вектор ОД (фиг. 7,2 и 7,3).
--- /а
т • О A —re — а + jb = г cos а 4" Jr sin а-
6*
84
Синусоидальные переменные токи
(гл. 1
Умножаем и делим его на * =cos?4-/sin?:
(т*ОА) е е^=ге^а^г^= г cos («+<?) + Jr sin (а + ?), 1
— № —JV ?(а — ф) I
(т • UА) :е ~re е =.re = г cos (а—<р) jr sin (а —?), J
Фиг. 7,2. Фиг. 7,3.
и мы получаем векторы
повернутые на угол у по
направлению и против на-
правления стрелки часов
относительно вектора ОА-
i-£
Так как, j~e 2 , то умно-
жение комплекса на + j
соответствует повороту век-
тора, представленного ком-
плексом на 90° против ча-
совой стрелки,
а умножение на — = т. е. деление на j — повороту вектора
на 90° по стрелке часов (фиг. 7,4 и 7,5).
{т • О А) (+ j) = re j—re 2 = (а -|- jb) j= — b-{~ ja m • О А ц
__ . . —/— ________________________________________
{tn• OA) (—/)=: — re7* j—reJ(*e 2 —{a-j-jb) {—J)~-^b--ja=zm• OA2.
(7,5)
Мгновенные значения изменяющейся в зависимости от вре-
мени по закону синуса величины, например тока Z — sinew/
в векторной диаграмме, определяются через проекции на опре-
Фиг. 7,4.
Фиг. 7,5.
Символический метод
85
деленную ось соответствующего вектора im = mi-OI, вра-
щающегося с равномерной угловой скоростью <о около центра
и составляющего с начальной линией угол а = ш/.
Такой вращающийся вектор может быть представлен в виде
cos т sin о)Л (7,6)
Если ось вещественных значе-
ний принять за линию начала от-
счета времени, то в комплексном
выражении вращающегося вектора
мгновенное значение переменной
величины i = lm sin определяется
через проекцию на ось мнимых зна-
чений (фиг. 7,6) 1=1т(1те^*), т. е.
через мнимую часть (без множи-
теля /).
В. дальнейшем при применении
символического метода мы величи-
ны, изменяющиеся по закону синуса, будем обозначать
через их эффективные значения (например, /= с Т04"
кой наверху, т. е. через 1.
Для нахождения связи между напряжением и током, вы-
раженными в комплексной форме, можно исходить или из
векторных - диаграмм или из уравнения напряжения.
В цепи, состоящей из активного сопротивления и индук-
тивности, внешнее напряжение составляется из активного па-
дения напряжения, которое в комплексной форме может быть
выражено через rl = ти • О А (фиг. 7,7) и из слагающей напря-
Фиг. 7,7.
86
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
жения преодолевающей э д. с. индуктивности. Если бы послед-
няя слагающая по фазе совпадала с током, то ее выражение бы-
ло бы о>Л7, а так как она по фазе опережает ток на четверть
периода, или 90\ то мы должны этой слагающей приписать
множитель /, т. е. JшLl=inu-AU: Поэтому в комплексной
форме внешнее напряжение может быть выражено через:
U=rl -\-juLI = (г + J^L)l=Ize^ = ZJ. (7,7)
В случае синусоидального изменения напряжения и тока вы-
ражение
'==-
+ (cosср /sin ф) = zez<? =-z (7,8)
представляет собой полное сопротивление в комплексной
форме, которое указывает, что для определения вектора на-
пряжения мы должны умножить пектор тока на £, а затем
х1
повернуть его на угол ср = arctg ~ против стрелки часов.
Комплексы полного сопротивления и полной проводимо’
сти обозначаются большими буквами Z и Y без точек, а их
абсолютные значения — маленькими буквами z и у.
Если нам дан вектор напряжения, то для определения
вектора тока в цепи, состоящей из последовательно вклю-
ченных активного и индуктивного сопротивления г и г- wA,
мы должны разделить напряжение на комплекс полного со-
противления:
1 =^=-^=Uye~*=YU (7,9)
z zeJ»
или умножить на проводимость, выраженную в комплексной
форме, т. е. на
у=: 1=_J____
Z г+/хд Г-/ГД
г Xj — ]’Ь
= . (7,10)
г2 z-
Комплекс проводимости ветви, состоящей гз сопротивления
И индуктивности, имеет отрицательную мнимую составляющую.
§ 7]
Символический метод
87
Комплексные выражения полного сопротивления и полной
проводимости связаны уравнением
ZY^r^-jXl){g^ib ^=ze^уе Л=2Г=1, (7,11)
т. е. числовые значения их взаимно обратны, а фазовые углы
равны и противоположны.
Если напряжение умножить на комплекс полной проводи-
мости, выраженный в символической форме, мы непосред-
ственно получаем активную и реактивную слагающие тока
(фиг. 7,8):
j=YU=gU-bjU = Ja+fr]_ 1 (7,12)
1 = 1гь^О1\ ia = mI-OIa; i = mj-O}r /
Когда в цепи имеется сопротивление г и емкость С, то
внешнее напряжение определяется как сумма активного па-
дения напряжения г/, совпадающего по фазе с током, и сла-
гающей с амплитудой, равной ^*и отстающей от тока на 90°,
О)С
а потому мы эту слагающую должны умножить на—/:
u^ri-i L = (r-^\i={r-jxc)i=zi'. (7,13)
о)С \ (ос/
В данном случае комплекс полного сопротивления
= г + 7^- = т -jxc =у еЛ=ге~Л' (7,14)
со С jcoS ‘
имеет перед реактивным сопротивлением символ —/, а фа-
—
зовый угол arctg —— имеет отрицательное зна*
чение,
88
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Если определять ток по напряжению (фиг. 7,8), то следует
разделить напряжение на полное сопротивление или умножить
на полную проводимость:
1 _ 1
Z r—jxc
= g+Jbc^=ye
= Г (7,15)
И
i=z = YU=gU 4- bcjU=ia+4=/n7 • 6Ia+m, . OIr. (7,16)
В комплексах полного сопротивления и полной проводимо-
сти какой-нибудь цепи мнимые части имеют всегда проти-
воположные знаки у у, при этом в случае индуктивности
реактанс считается положительным: x=-f-xL =&L, а в случае
емкости — отрицательным числом: х= — хс— —.
В общем случае, когда в цепи имеются и индуктивность
и емкость, полное сопротивление и полная проводимость вы-
ражаются через:
а ток и напряжение связаны соотношениями:
и = Z'l= [г+/ (хд —Л-С)]4
i=YU=[g-j(bL-bcy\L/.
(7,19)
(7,20)
Последнее соотношение между напряжением и током мы
могли бы получить также из уравнения напряжений
+ (7,21)
Производная по времени от величины Z=/msin<oZ£, симво-
лически обозначаемой через /:
= id/^cos w/^sin
Символический метод
89
изменяется также по закону синуса с той же частотой,
амплитуда этой производной равна амплитуде этой величины,
умноженной на угловую частоту со, и колебания производной
происходят с опережением фазы в 90°. Поэтому производная
по времени символического вектора / символически выра-
жается через
символический вектор /, поворачивает- фиг 7 д
ся на угол А (<»/) и изменяется
] 71
на величину О/х — 01 = /Д — 01Д (со/) в 2, которая повер-
нута относительно О/ на угол —против стрелки часов. По-
этому
_ — J —
(101 п 11^ (art) 2 •
----=lim со 1—<- = о) Qle оц
dt A(o)f)
что совпадает с уравнением (7,22).
Интеграл по времени от синусоидально изменяющейся
величины:
idt— {lm sin о tdt = — — cos ю/C = — sin (at— —4- C
J О) у 2 /
представляет собой также величину, изменяющуюся по закону
синуса. Колебания интеграла происходят с амплитудой в
w раз меньшей и отстают по фазе на 90°. При установившемся
режиме в цепях синусоидальных переменных токов напряже-
ния и токи не содержат постоянных слагающих и С может
быть приравнено нулю: С — 0. Поэтому уравнение в символи-
ческой форме может быть переписано следующим образом:
2 — L.
со 7а>
(7.23)
90
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Если в уравнении (7,21) все входящие в него величины
в предположении, что они изменяются по закону синуса, вы-
разить через символические векторы и сложить их, то мы
получим:
U=ri 4-j^Li + =Г — лс)1 /
1 J 1 усои L J
(7/24)
При применении символиче-
ского метода для представления
напряжений и токов, с одной
стороны, и полного сопротивле-
ния и полной проводимости —
с другой, следует помнить,что
напряжения и токи меняются
в зависимости от времени по
закону синуса, сопротивление
же и проводимость от времени
не зависят. Выражая полные со-
противления и проводимости
через комплексы, мы тем самым
только характеризуем сдвиги
фаз между напряжением и то-
ком в отдельных элементах
цепи.
Выше мы символически
изображали напряжение и ток
т. е. уравнение (7,19).
Фиг. 7,10.
через U и 7 , но если оказывается удобным, мы величину
каждого из этих векторов можем определять через их про-
екции на две взаимно перпендикулярные оси, или через их
числовые значения и угловой множитель, определяющий по-
ложение этих векторов на чертеже по отношению к началь-
ной линии (фиг. 7,10).
fa U"
U=mu^OU = UJ -\-jU:r = Ue , tga^,
/' = m, • 01 = Г tg ₽ = у .
По проекциям двух векторов
угол между ними:
может быть определен и
U'T-W
UT
(7,25)
§ 8]
Законы Ома и Кирхгофа
91
8. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА И ВЫРАЖЕНИЕ МОЩНОСТИ
В СИМВОЛИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Символический метод дает возможность в весьма нагляд-
ной и простой форме устанавливать соотношения между на-
пряжениями и токами в случае синусоидального их изменения
как для простых, так и для разветвленных цепей, применяя
основные законы Ома и Кирхогофа в том же виде, как и
для постоянного тока.
Закон Ома. Если неразветвленная цепь состоит из ряда
последовательно соединенных приемников энергии:
Z1 = rx -\-jxx — zxe Л1; Z3=r3+/x3 =
~ I • №
^3 = Гз+/^3
(где реактансы хь х2, х3 и соответствующие фазовые углы
Та» ?з могут иметь положительные или отрицательные
значения), и если в цепи действуют несколько э. д. с.:
Ex=E'x+jE"x- E2^E'2+JE"2; 4 = ^з+/^з,
то ток в цепи по величине и фазе определяется как отноше-
ние суммы э. д. с. к сумме полных сопротивлений, где все
величины выражаются в комплексной форме:
Г-1 + ^2+^з+/(^1+^2ГУ+/;Г3)
ri+r2+r з+Лх i+^s+^s)
(8,1)
а напряжения на отдельных элементах составят:
U}= u\ +JUrrx=Z. 1 = +jx}\
и г=c/'2+/V"3=z2/= (r3+A3) (/'+#').
Вычисления с комплексами иногда могут быть упрощены, если вместо
алгебраической формы выражать комплекс в виде модуля и соответствую-
щего угла. Определение модуля и угла по действительной и мнимой
частям комплекса может быть сделано при помощи счетной линейки. Пред-
положим, требуется определить модуль и угол комплекса Z=l,2+/0,6.
Для этого устанавливаем движок таким образом, чтобы на его лицевой
стороне оказались синусная и тангенсная шкалы, и делим меньшее число
на большее, т. е. 0,6 на 1,2, ставим волосок бегунка на цифру 6 нижней
неподвижной шкалы и затем продвигаем бегунок таким образом, чтобы
его левый конец совпадал с цифрой 1,2, тогда волосок бегунка на шкале
тангенсов (на подвижной шкале) отсчитает непосредственно угол 2S°30'.
Для определения модуля необходимо 0,6 разделить на sin 26~30',
92
Синусоидальные переменные токи
(гл. 1
Обыкновенно шкала синусов, так же как и шкала тангенсов, связана с
нижней шкалой. Мы получим модуль, если, оставляя бегунок, неподвиж-
ным, передвинем подвижную шкалу так, чтобы волосок совпадал с углом
26°30' на шкале синусов, тогда начало (единица) подвижной шкалы на
нижней шкале дает значение модуля z=l,35.
Если действительная часть меньше мнимой, например, Z=7-f-/12,
то опять делим меньшее число 7 на большее число 12, для чего бегунок
ставим на меньшее число, отсчитанное на неподвижной шкале, в нашем
случае на 7, а левый или правый конец движка—на цифру большего числа,
в нашем случае левый конец подвижной шкалы на цифру 12 нижней
неподвижной шкалы, тогда волосок бегунка отсчитает на подвижной
шкале тангенсов угол 30°15', который является дополнительным углом к
искомому 90°—30°15'=59°45'. Модуль же получится, если меньшее число,
т. е. 7, разделить на cos 59°15' или на синус дополнительного угла, т. е.
на синус 30° 15'. Дла этого мы, оставляя бегунок неподвижным, переме-
щаем подвижную шкалу до тех пор, пока цифра угла 30° 15' на шкале
синусов не совпадет с волоском бегунка, тогда конец (единица) подвиж-
ной шкалы укажет нам значение модуля 13,9.
Первый закон Кирхгофа. Если условно принять за по-
ложительное направление переменных токов в ветвях, exo-,
дящихся в одной точке, направление, обращенное к общей
точке этих ветвей, то сумма мгновенных значений токов во
всех этих ветвях в любой момент должна равняться нулю:
4+4+4+Ч+. ..=0,
где 4, i2i 4, могут быть получены как проекции векто-
ров Д, /2, /3,... на какую-нибудь ось, которая может быть вы-
брана произвольно. Отсюда вытекает, что геометрическая
сумма соответствующих векторов токов также должна рав-
няться нулю:
4+ /2+4+...=2 7=0. (8,2)
Последнее уравнение является выражением первого
закона Кирхгофа для синусоидальных токов в комлексной
форме. Если же выбранные положительные направления токов
в ветвях, сходящихся в одной точке, имеют разные напра-
вления, то сумма векторов притекающих токов должна рав-
няться сумме векторов утекающих токов.
Второй закон Кирхгофа. Для любого момента времени по
второму закону Кирхгофа сумма мгновенных значений э. д. с.,
действующих в каком-нибудь контуре, должна равняться
сумме мгновенных значений падения напряжения в отдельных
частях этого контура. Мгновенные значения э. д. с. и паде-
ния напряжения можно при синусоидальных токах получить
как проекции соответствующих векторов. И так как это со-
отношение должно иметь силу независимо от оси, на которую
проектируются векторы, то отсюда следует, что сумма век-
торов э. д. с. в каком-нибудь контуре должна равняться
§8]
Законы Ома и Кирхгофа
93
сумме векторов падения напряжения в отдельных частях
этого контура (за положительное направление падения на-
пряжения мы принимаем направление, совпадающее с напра-
влением тока):
ЪЕ = bZI или se — SZ /=о. (8,3)
Если положительные направления переменных токов вы-
браны таким образом, что при обходе контура мы будем про-
ходить какую-нибудь часть контура в направлении, противо-
положном выбранному положительному направлению тока,
то соответствующий вектор тока должен быть взят со зна-
ком минус.
На основании законов Кирхгофа мы можем заменить две
параллельные ветви (фиг. 8,1) с полными сопротивлениями
Zt и Z2 одним сопротивлением Z, определяемым из соотношений:
— z1i1=z^iz.
i
z
(8,4)
Полное сопротивление двух параллельных ветвей может
быть найдено простым геометрическим построением (фиг. 8,2)г
Последнее соотношение можно написать, приравняв:
Z—ze^-, 23=г2Лг; Z14-Z2=Za=z2fle/?a
И
71 + 2,_Za_ za j(4a - /(?i - ?)
— ' ' 1 tz —— Cz }
^2 ^2 % 2 %
94
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
и построить соответствующие комплексы в числовой плос-
кости в виде отрезков:
Zx=• ОА\ Z2=mz- О В \Z1ArZ2—Za—inz • {OA-{~OB)=mz • О М
и
Z—m2-0C;
Z rj Z1 _
из равенства —и <р0 — <?а—?1— <р вытекает, что треуголь-
22 z
ники ОМВ и ОАС подобны, так как они имеют равные уг-
лы между пропорциональными сторонами. Поэтому для нахож-
дения Z мы должны на плоскости построить Zu Z2 и Za—Zi~\-Z2
и на стороне Z^m^OA построить треугольник с
ХАОС=^МОВ=<?а — ?3 и ^ОАС=/ОМВ=<?1-<?а.
Точка пересечения сторон этих углов и даст конец отрез-
ка ОС, определяющего искомое полное сопротивление по
величине z=mz-OC и по фазе <^—/CON.
При параллельном соединении нескольких ветвей для вы-
числений удобнее пользоваться полными проводимостями
вместо полных сопротивлений:
/! =У,й=-.^-Jbj и, i2= ~= r2 i/=(g2- ib2)й,
Z3
i = Л +4+ Л4~- • -=(У 1 + ^з+- •) [£'1+£’2+£’з+
Л^+МЛ-Ь-.)] й=Уй,
откуда мы получаем, что эквивалентная полная проводимость
нескольких параллельных ветвей в комплексной форме равна
сумме комплексов проводимостей отдельных ветвей:
Г=К,+К>+У8+.. Y=gl+g2+g2+
-j-...—j(А-Н’зЧ' ^з4~- • •)• (8,5)
Мгновенная мощность переменного тока определяется как
произведение мгновенных значений напряжения н—f7msin(<otfa)
и тока i=lm sin Р)
p—ui — ^т^т- {cos (а— р) — cos [2 шН-(а_Н)]}
= U1 cos <р —U1 cos (2 о
§ 8]
Законы Ома и Кирхгофа
95
она колеблется около своего среднего значения
Ul cos (а — Р) = Ul cos ср
с двойной частотой. Если вместо произведения мгновенных
значений напряжения и тока взять произведение их ком-
плексов:
• • /я 73
UI—Ue Ie=Ule =£77cos(a+P)+/i7/sin(a+₽),
то полученное произведение ни в своей действительной, ни
в своей мнимой части не дает того, что могло бы быть
использовано для определения мощности.
Однако если взять комплексные выражения напряжения
/а . 73
и тока U=Ut-\-jUn = Ue , I =Г-\-/Г — 1е и в одном из
них изменить знак у мнимой части, например, в комплексе
тока, т. е. вместо комплекса тока взять его сопряженный
комплекс (сопряженный комплекс мы обозначим через звез-
дочку наверху) и перемножить соответствующие комплексы:
pi=u *=(U'-\-jU")(r-jl")=U'r+U"r'+j(U"P—UfI").
или
Р.=£/ 7=Uejale= иleJ (e“₽)
= Ul cos cp-|~7(7/sincp—Pa+JPr. (8,6)
. *
Вещественная часть произведения U1 дает значение а к-
тивной мощности:
P=Pa—UIcGS® -UIa9 (8,7)
равной произведению напряжения и активной слагающей
тока. Что касается второй слагающей
Pr = Ul sin ср = UIri (8,8)
равной произведению напряжения на реактивную слагающую
тока, то это произведение представляет собой так называе-
мую реактивную мощность, условную величину, при-
меняемую при исследовании работы электрических систем,
питаемых от нескольких генераторов. Действительная мощ-
ность реактивного тока (сдвинутого на 90° по отношению
к напряжению) равна нулю, однако, произведение UIr=Pr
вводится в расчеты, так как эта величина совместно с вели*
96
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
чиной активной мощности позволяет определять нагрузку
машин током
Л-2/ р‘+р‘ (8'9)
и сдвига фаз между напряжением и током
= (8,10)
Если реактивная мощность обусловлена емкостью, или
когда нагрузка определяется работой синхронного двигателя,
то ток опережает напряжение р>а и угол ф имеет отрица-
тельное значение. В этом случае реактивная мощность Рг
будет отрицательна.
Можно было бы получить выражения активной и реак-
тивной мощностей умножением комплекса тока на сопряжен-
ный комплекс напряжения:
Р. = Ul= (Ur — JU”)(1'+JI") =Urr^ U"I"—j\U"r — ич") =
= Ue~Ja Ie$ = UIei(1 ~₽) = U1 cos ’i—jUlsin <?=Pa-jPr> (8Л0
в этом случае, наоборот, реактивная мощность для индук-
тивности нагрузки должна приниматься как величина отри-
цательная, а для емкостной нагрузки как положительная
величина.
Вместо стандартных обозначений Pz, Ра и Рг весьма часто
применяется также обозначение для кажущейся мощности о,
для активной мощности Р, а для реактивной Q:
S=P+/Q. (8,12)
9. НАХОЖДЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКОВ В СЛОЖНЫХ ЦЕПЯХ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Уравнения, связывающие токи и напряжения в отдельных
ветвях разветвленных цепей, могут быть при синусоидальном
их изменении составлены так же, как и при постоянном токе,
если э. д. с., напряжения и токи выразить в виде символи-
ческих векторов Е, U и 7, а полные сопротивления и про-
водимости отдельных ветвей через комплексы Z и Y. При
этом могут быть применены те же методы определения токов
и напряжений, что и в случае постоянного тока, как-то:
метод уравнений Кирхгофа, метод контурных то-
ков, метод суперпозиции, метод Гельмголъца-Теве-
нена, метод трансфигурации треугольника в звезду
и обратно, метод замены нескольких параллельных
источников тока одним эквивалентным (см. I, § 38).
§ 9J
Распределение токоп в сложных целях
97
При решении соответственно составленных уравнений
вместо символического обозначения напряжений и токов мы
должны подставить выражения этих напряжений и токов в виде
комплексов проекций их векторов на две взаимно перпен-
дикулярные оси, а вместо символического обозначения пол-
ного сопротивления или проводимости отдельных элементов
их активные и реактивные слагающие в комплексной форме.
После освобождения от мнимых множителей в знаменателях
и приведения обеих сторон уравнения к однородному виду,
мы на основании того, что вещественные и мнимые части
обеих сторон уравнений должны быть порознь равны между
собой, получаем, что каждое уравнение, написанное в ком-
плексной форме, представляет собой по существу два урав-
нения.
Рассмотрим некоторые из вышеуказанных методов нахож-
дения распределения токов.
Метод суперпозиции. Пусть два источника переменного
ток с э. д. с. и F2 и с внутренними сопротивлениями
Zj и Z2 питают общую ветвь, полное сопротивление кото-
рой Z (фиг. 9,1 а).
В общем случае для любого числа э. д. с. значение тока
в каждой ветви составляется из суммы значений тех токов,
которые получались бы в этой
рассматриваемой системы (или
схемы) действовала независимо
от других. Для нахождения зна-
чения тока в какой-нибудь
’ ветви мы должны сначала опре-
делить токи для того случая,
когда действует только первая
э. д. с. другие же э. л. с.
равны нулю, затем определить
распределение токов, когда
действует лишь э. д. с. Е2, а
остальные равны нулю.
Фиг. 9,16. Фиг. 9,1 в.
7 К. А. Круг, т. II.
98
Синусоидальные переменные тонн
[ гЛ. 1
При этом, считая каждый раз все э. д. с. за исклю-
чением одной равными нулю, мы должны оставлять во
всех ветвях все сопротивления, в том числе и внутрен-
ние сопротивления источников тока, дающих э. д. с. На
фиг. 9,1 бив вычерчены схемы, которые получаются, если
мы одну из э. д. с. приравниваем нулю.
Когда действует только э. д. с. Ег (фиг. 9,16), ток в Zx
выразится через:
/ = А _ +
1 7 , ZZ> ZZ^ !- + Z2Z ’
Z1 + z+z2
который распределяется между ветвями Z и Z2 обратно про-
порционально сопротивлениям этих ветвей:
у/_______^2^1_____ pj р__________ZE\_______
z^ + ZiZo + ZnZ 2“'zz14:z1z24-z27 *
Если будет действовать только э. д. с. Е2 (фиг, 9,1 в), то
токи в ветвях Z2, Z и будут равны:
р, = Р2 = (^+^1)^2_____
2 ZZj ZZj + ZiZ2 + Z2Z’
^2 + Z + Zi
jpr_ ^1^2 ,
ZZ] -j- ZXZ2 -f- Z2Z
zz2_______
ZZj —j— Z|Z2 —{- ZoZ
Учитывая выбранные нами в схемах а, б и в направле-
ния э. д. с. и токов и складывая полученные значения токов,
мы найдем:
j____р __pi ___ ^2) ZE2 .
1 “ 1 1 ZZi+ ZiZ2 + Z2Z ’
j __ in _p ___(Z Z}) e2 z .
2” 2 2“zz1 + z1z2 + z2z’
j __ p I pt ___ ^2 Pj ~P ^1^2_
~ -T" ~zz1-i-z1z2+z2zt
(9,1)
Метод Гельмгольца-Тевенена, иногда весьма значительно
упрощающий нахождение напряжения и тока в какой-нибудь
ветви разветвленной цепи, заключается в том, что мы рас-
сматриваем всю остальную часть системы, за исключением
этой ветви, как источник энергии со сложным внутренним
сопротивлением и нагруженный рассматриваемой ветвью.
§ 9 ] Распределение токоз в сложных цепях
90
Через U мы обозначим напряжение между точками си-
стемы, к которым в схеме присоединяется эта ветвь при
условии, что она перед этим была бы отключена, т. е. на-
пряжение у зажимов источника тока при отсутствии нагрузки
(при холостом ходе). Ток при нагрузке такого источника тока
рассматриваемой ветвью может быть выражен через
/ = ——,
(9,2)
где Z/есть как бы внутреннее сопротивление этого сложного
источника тока.
в В
Фиг. 9,26.
Фиг. 9,2а.
Значение этого сопротивления Zk определяется как со-
противление всей системы между точками присоединения рас-
сматриваемой ветви, если э. д. с., действующие в системе,
приравнять нулю. Это сопротивление можно было бы изме-
рить и опытным путем, если сначала измерить напряжение
между соответствующими точками присоединения ветви, когда
цепь этой ветви разомкнута, а затем измерить ток в этой
ветви, когда сопротивление ее будет котротко замкнуто:
k. o+z;
Z
k~ I
lk
(9,3)
(доказательство этого метода см. т. I, § 38).
Применим этот метод к определению тока в перемычке
мостика Уитстона (фиг. 9,2 а). Для этого удалим сначала со-
противление в ветви BD и определим напряжение между точ-
ками В и D (фиг. 9,26).
Если между точками А и С присоединена э. д. с^ Л’, то
100
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
• z»2
напряжение между В и С равняется Ubc=-----------------— амеж-
2’1 + +
__ * ^4
ду точками D и С оно равно Udc=-----------------Е> а поэтому
^4 + ^3
напряжение между точками В и D составляет:
U = U bd — U вс — UDC = [---——
\ ^1 + ^2
/4
Z3 + Zi
__ ^2^3— £
Внутреннее сопротивление си-
стемы Zk (между точками В и D)
состоит, как видно из фиг. 9,2в, из
двух последовательно соединенных
групп: первая состоит из парал-
лельно соединенных сопротивлений
Z{ и Z2 (точки А и С коротко со-
единены), а вторая — из параллель-
но соединенных сопротивлений Z3
и Z4, поэтому:
2? __" ^1^2 I ^3^4 _________ ^1^2 1^3 4~ ^4) + ^3^4(^1~Ь^2)
ft— Z! + Z2 Z3 + Z4
(Z1 + Z2)(Z3±Z4)
Подставляя полученные значения U и Zk в уравнение,
получаем таким сравнительно простым образом искомый ток
в' перемычке:
(^2^3 ^1^4) &
• (9,4)
2(Zj + 22) (Z3 4- Z4) + ZjZ2 (Z3 + Z4) + Z3Z4 (Z4 + Z2)
Метод трансверсии. Исследование разветвленных цепей
сводится обычно к нахождению в первую очередь токов в
отдельных ветвях, а затем по этим токам—напряжений на
концах отдельных элементов цепи. При этом, .исходя из обоих
законов Кирхгофа, выражают искомые значения токов че-
рез заданное напряжение или э. д. с. источника энергии. Но
можно путем небольших преобразований показать, что ис-
точник энергии, дающий напряжение (или э. д. с.), изменяю-
щееся по определенному закону, может быть заменен источ-
§ 9]
Распределение токов в сложных цепях
101
ником энергии, посылающим в цепь ток, изменяющийся по
аналогичному закону. Неизвестными величинами, подлежащи-
ми определению, будут в этом случае не токи, а напряже-
ния между точками разветвления, так называемые узловые
напряжения, и вместо полных сопротивлений отдельных эле-
ментов в уравнения, которые придется решать, будут вхо-
дить полные проводимости отдельных ветвей.
Поясним это на примере, сначала на простом, а потом на
более сложном.
Пусть нам дан источник энергии э. д. с. £*0 и пусть
7 1
Zo =------полное сопротивление в ветви, где помещается этот
о
источник энергии, и Z — у---полное приведенное сопротив-
ление всей остальной части цепи, которая может состоять
из как угодно соединенных элементов (фиг. 9,3а). Для ука-
занной цепи может быть написано следующее уравнение:
£0=Z0/ -I- zi. (9.5)
Если мы теперь через U обозначим напряжение на кон’
цах приведенного сопротивления Z, то ток /, даваемый ис-
точником энергии и посылаемый в сопротивление Z, может
быть выражен:
ZQ Z Zq Zq z
Последнее уравнение, которое может быть написано в
следующем виде:
io^Yol)-\-Y й (9,6)
соответствует схемам (фиг. 9,3 б), которая отличается от за-
данной схемы тем, что источник энергии с э. д. с. Ей заме-
102
Синусоидальные переменные токи
L гл. 1
нен источником энергии, дающим ток /0= —2 и что к при-
Z)
веденному сопротивлению Z параллельно присоединено еще
сопротивление Zo, так что вместо двух последовательных
сопротивлений Zo и Z мы имеем две параллельных прово-
димости — = Fo и — = Y. Уравнения (9,5) и 9,6), соответ-
Фиг. 9,46.
ствующие заданной и видоизмененной схеме, являются вза-
имно обратными в том отношении, что э. д. с. заменена то-
ком, ток заменен напряжением, а сопротивления—проводимо-
стями. Этот метод, основанный на возможной взаимной за-
мене напряжений и токов, сопротивлений и проводимостей,
называемый иногда принципом дуальности, позво-
ляет в некоторых случаях значительно сократить число урав-
нений, подлежащих решению. Так, например, в схеме
фиг. 9,4а имеются 5 неизвестных токов. Эта схема может
быть преобразована в схему фиг. 9,46, в которой
§ 10]
Мост Уитстона при переменном токе
103
которая будет содержать лишь два неизвестных и t/2:
/о=(^о+^)^1 + (Гз+Г4)?73,
Последнее уравнение мы могли бы получить также, если бы
Ux мы рассматривали как напряжение источника энергии и
заменили бы источник энергии с напряжением источником
энергии, дающим ток К2 для чего согласно предыдущему
мы к остальной части цепи, состоящей из ветвей К3 и К4,
должны были параллельно присоединить ветвь с проводи-
мостью
JZ3f71=(^ + r3 + YJt2.
10. МОСТ УИТСТОНА ПРИ ПЕРЕМЕННОМ ТОКЕ
Мост Уитстона, Составленный из четырех сопротивлений:
Л1 ~ Л 2 7 Лз ~
) Z2--^2^ ’ ^3--^З^ » ^к
образующих замкнутый четы-
рехугольник (фиг. 10,1), в одну
диагональ которого включает-
ся источник переменного тока,
а в другую — прибор, устанав-
ливающий отсутствие тока (те-
лефон или вибрационный галь-
ванометр), может быть приме-
нен для опытного определения
индуктивностей и емкостей.
При отсутствии тока в диаго-
нали BD между точками В и D
не должно быть напряжения.
Это наступит, когда падения
напряжения между точками А
и В и между точками А и D,
с одной стороны, и между точ-
ками В и С и точками С и D —
J'fi
е .
с другой, будут равны между
собой по величине и фазе, т. е. когда Z^j =Z3/3 и Z2/2=Zt/4
Так как при отсутствии тока в ветви BD токи Ц = 1<ъ и
1^ = 1^ то, деля одно уравнение на другое, мы находцм:
А =; А, или Ле = Л2- е^3'^
^4 22 ^4
(10.1)
104
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
откуда следует, что для того, чтобы мост находился в
равновесии, необходимо, чтобы числовые значения полных
сопротивлений четырех ветвей составляли пропорцию и что-
бы, кроме того, разности углов сдвига в двух прилегающих
ветвях моста были равны между собой:
— —— и ©! — ср2 = <р3 — <р4, или ?! — <р3=?а — cpj. (10,2^
^2 z±
Если построить для уравновешенного
моста Уитстона векторную диаграмму
(фиг. 10/'), то векторы падения напря-
жения в ветвях АВ и AD, а также в
ветвях и ВС и DC должны совпадать:
1Г1и'АВ— = U^—Z3I3,
ти-ВС = UBC=Z^ = UBD=Zju
а углы, образованные направлениями
токов, дают значения разностей углов
— ?3 И ?2 “
Если в двух смежных ветвях вклю-
чены активные сопротивления:
и Z2=r2, т. е. ф1 = ф2 = 0)
то в двух ветвях должны быть включе-
Фиг. 10 2 ны однородные сопротивления, например,
два активных сопротивления (cp3=zcp4=0)
или индуктивности (% и — положительны) или же емкости
(?з и — отрицательны). Наоборот, если активные сопротив-
ления включены в противоположных ветвях моста, например:
и Z4=r4, т. е. ?1 = ф4 = о,
то в двух других противоположных ветвях должны быть
включены: в одной—индуктивность, а в другой — емкость,
так как только при этих условиях и могут иметь про-
тивоположные знаки и может быть достигнуто равновесие
моста.
Так, например, если сравнивается неизвестная емкость С3
с эталоном емкости (фиг. 10,3), то в две смежные вет-
ви включаются активные сопротивления: Zj —и Z2=r2,
а в две другие соседние ветви включаются емкости:
§ 10]
Мост Уитстона при переменном токе
105
Z3 = —j —и Z4 =—/_1— . При равновесии Z1:Z2 — Z3:Z4,
или r1:r2=^-: =C4:C3, откуда C3 — Ci , (10,3)
соС?з C0C4 Г 4
емкости обратно пропорциональны сопротивлениям. Если из-
вестны С4, г2 и гР то можно вычислить С3.
Фиг. 10.3. Фиг. 10,4.
При сравнении индуктивностей катушек, которые всегда
имеют активное сопротивление, должна быть применена схе-
ма фиг. 10,4. В этом случае сопротивления ветвей будут:
Za = r2; Z3=r3+/uL3 и Z4=r4+>£4. (10,4)
Равновесие будет достигнуто, когда
— = : r2r3-{-j^L3r2
г2 г4 “Г
или когда
г1г1=г2г3 и (10,5)
откуда мы получаем условия равновесия моста, а именно
одновременно должно быть удовлетворено равенство трех от-
ношений:
'3
>4
^3
£4 *
(10,6)
£1_
г2
106
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Чтобы определить неизвестную индуктивность Z3 через
эталонную индуктивность £4, предварительно уравновеши-
вают мост при постоянном токе так, чтобы — = — , а за-
Г2 Ч
тем при переменном токе, не меняя и г3, меняют одновре-
менно /*2 и так, чтобы сохранялась пропорция — = —, по-
^4
ка мост не уравновесится.
Искомая индуктивность бу-
дет равна £3=Л4-3 = Л4—-.
г4 гз
Когда же при помощи мо-
ста Уитстона сравниваются
емкость и индуктивность,
то последние должны быть
включены в противополож-
ные ветви (фиг. 10,5). При
этом параллельно к емко-
сти должно быть включено
активное сопротивление,
чтобы мост мог быть урав-
новешен. Полные сопроти-
вления ветвей выражаются
через:
_____Г2
1 -|- ’
Z3 = r3-b/a)^3 и Z4=r4.
Подставляем выражения полных сопротивлений в урав-
нение ZXZ4=Z2Z3, характеризующие равновесие моста:
1 foCtf 2
или
= г2-3+/а)£3г2. (10,7)
Приравнивая порознь вещественные и mhhm&iq части, мы
подучаем;
— Г2Г3 — -~-
с2
Q0,8)
§ 10]
Мост Уитстона при переменном токе
107
И здесь поступают таким же образом, как и выше: сна-
чала уравновешивают мост при постоянном токе, добиваясь
равенства Г1Г4=г2гз> а затем при переменном токе, сохраняя
отношения — = — , меняют одновременно г2 и г*> пока мост
г3 Г4
не уравновесится.
Метод моста Уитстона может
быть применен также для опре-
деления емкости и потерь (мощ-
ности) в диэлектриках конден-
саторов при высоком напряжении.
По схеме, предложенной Шерин-
гом, в одну ветвь моста Уитстона
включают активное сопротивление
Z] — гь в противоположную —
воздушный конденсатор извест-
ной емкости без потерь:
1
-j—.
С0С4
Исследуемый же конденса-
тор, который может быть пред-
ставлен как идеальный конденса-
тор без потерь с емкостью С-
параллельно к которому включе2
но сопротивление г2, включают
Фиг. 10,6.
как и сопротивление г3 с парал-
лельно присоединейной к нему проградуированной переменной ем-
костью С3, в две другие противоположные ветви (фиг. 10,6).
Полные сопротивления соединенных параллельно емкости и активно-
го сопротивления могут быть выражены следующим образом:
Г2( j шС2) г2 Ч
------у = —Г-;--------- И 2з =------— .
_ f 1 1 J^2r2 1 + /^С3Г3
2 ' <оС2
Подставляя значения полных сопротивлений в уравнение равновесия
Z1Z4—Z2Z3, мы получаем, что
—#1 ___________________Г2Г3_____________
<*>6*4 (1 4“ /(О^2Г2) (1 4~
ИЛИ
Г2Г3юС4=:—/ГХ[1 —W3^2r2^3r3 4"/(ш^2г2 4" ^З'з1]*
это уравнение путем отделения действительных величин от мнимых рас*
падается на два:
ст
Г2Г3ЮС4 — ((|)С2Г2 "Ь 1 И 1 —
108
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
тивление утечки г2-~
Из этих двух уравнений без труда определяется неизвестное сопро-
Г1(1 4- <о8Сзг|)
обыкновенно ничтожно мала по сравнению с еди-
ницей, и потому искомое сопротивление г2 может быть представлено в
виде:
Величина <»2Cl
Г2 --------
<о2С3С4
2*
3
(10,10)
Из этих же двух уравнений находим
С4г3
С2 —
неизвестную емкость С2:
V’
(Ю.1П
Фиг. 10,7.
угол, образуемый суммарным
Обыкновенно в этих измерениях паде-
ние напряжения в сопротивлении гг и в
двух параллельных ветвях г3 и С3 весьма
мало по сравнению с падением напряже-
ния в конденсаторе С2 и в параллельном
к нему сопротивлении г2» а также и в С4,
а потому напряжение у обкладок испы-
туемого конденсатора можно приравнять
к внешнему напряжению U и в соответ-
ствии с этим потери в диэлектрике конден-
сатора С2 могут быть выражены через
£2 __ Tj2
При определении потерь в диэлек-
триках вычисляют не потери, а вычис-
ляют так называемый угол потерь, т. е.
током с зарядным током (фиг. 10,7),
tg 8 = tg < (/г.7с) = ~ : (ЫСг = = шСзГз. (10>12)
'2 шг2и2 <°rlC4r3
Мост Уитстона может быть использован и для абсолютного определе-
ния частоты строго синусоидальных э. д. с. при помоши калибрированных
сопротивлений и емкостей, если в одну ветвь моста Уитстона включить
емкость и сопротивление параллельно (С2 и г2) в другую—емкость и со-
противление последовательно, а в две остальные ветви два сопротивления
(Г1 и г3).
Оставляя Г1 и г3 постоянными, а также сохраняя без изменения, на-
пример, г2 и С?, а изменяя лишь одновременно г4 и С4, можно добиться
равновесия в мосту, что будет иметь место при условии, что сдвиги фаз
между током и напряжением в ветви г2 и С2 и в ветви г4 и С4 будут
равны между собой. Тангенс угла опережения в ветви г2> ^2 будет:
'— ^2 • >2 — ' г2>
Г2
§ П]
Схемы для получения сдзига фаз
109
а ветви г4, С4
1 1
*g f —
(ВС4 <^С4*/4
Приравнивая тангенсы углов, мы получаем:
(i)Cq • t*о ' ,
С0С4 • / 4
откуда угловая частота определится через:
_______1___________
С* 2 * ^*4 '^2 ^4
и частота
2тс С2-С4-г2-г4
Вместо емкостей С2 и С4 можно было бы во вторую и четвертую ветви
ввести индуктивности, но ввиду трудностей выполнения индуктивных ка-
тушек с ничтожно малым сопротивлением схема с емкостями является
более удобной.
11. СХЕМЫ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ СДВИГА ФАЗ В 90° И СХЕМЫ БУШЕРО
В счетчиках и других измерительных приборах встречается иногда
необходимость иметь сдвиг фаз в 90° между внешним напряжением U
и током в (тонкой) измерительной катушке. Одной из таких схем явля-
ется схема,предложенная Гергесом. Она представляет собой мост (фиг. 11,1),
в двух противоположных ветвях которого включены тождественные из-
мерительные обмотки = rx + jxb в двух других ветвях — равные ак-
тивные сопротивления а в перемычке также активное сопротивление г4.
Вся схема соединяется последовательно с импедансом Z~r-± jx.
Фиг. 11,1.
по
Синусоидальные переменные токи
f гл. 1
Следствием симметрии моста является то, что токи в противополож-
ных ветвях АВ и CD, а также в ветвях ВС и CD имеют одни и те же
величину и фазу. Из схемы вытекают следующие соотношения для узлов
ВиС:
А-Л+ 4 и11+/2=1 (11,1)
и для контуров ЛВСЕ и ABD
r\+(r2+Z) i2 (Г,2)
Z-Ji г4/4 — г2 i 2—0
Z j 1+ r4( Л — ^2)— r 2^2—0*
T ^14“ r4 J
Определяя из последнего уравнения -------------j--Л и подстав-
г2 + г4
ляя его значение в уравнение для U:
[/ + ^1 +
(^i+r4)(r2+Z)
Г2 + Г4 I
Г I t f (Г14-Г4+Л1)(г+ г2+Л)Ъ
= p'+/x+n+^i+-----------—г-------- Л>
L г2 -Г Г4 J
ны,после отделения мнимой части выражения в скобках от действитель-
ной:
(П + г4) + г2) — ххг
г2 “+ г4
и=:\ r 4-^i +
Фиг. 11,2.
L r2 + r4 J
найдем, что ток Ц будет сдвинут на 90° по
отношению к напряжению U, когда выраже-
ние, стоящее в первой скобке, будет равно
нулю, т. е. когда
'г + п
Это уравнение и дает искомую связь
между активными и реактивными сопроти-
влениями отдельных элементов, входящих в
рассматриваемую схему для получения сдви-
га в 90° между U и Zp
На фиг. 11,2 представлена векторная
диаграмма напряжений и токов. В этой диа-
грамме стороны параллелограма ABCD пред-
ставляют собой падения напряжения в соот-
ветствующих ветвях контура ABCD (фиг. 11,1)’
СхеМы .для получения сдвйга фаз
111
ти • АВ — Ши • DC— тц • АН-\- ти ф jx\lx\
ти . AD — Шу • BC=r2 ти 'BD— ЪЦ»
ти • CU — (гф jx)i.
При правильно подобранных сопротивлениях вектор тока должен
быть перпендикулярен к вектору U=mjj • AU,
От схемы Гергеса легко перэйтл к схеме Гуммеля. Если точки В и D
в схеме Гергеса закоротить, т. е. принять, что — 0, то эта схема пре-
вратится в схему фиг. 11,3. В этой последней схеме две последовательно
соединенные тождественные группы, состоящие из параллельно соединен-
ных элементов г2 и Z\, можно заменить од-
ной, состоящей из импеданса
Z'j — r'\-\-jxf1 — 2/vj
с присоединенным к нему параллельно сопро-
тивлением г'2 = 2г2, и т. гда мы получим схе-
му Гуммеля (фиг. 11,3). Ток в Zt будет от-
ставать от U на 90° при условии, Koiopoe опре
деляется из уравнения (11,4), если в нем под-
г'1 х\ г'2
ставить г4 — 0; гх — —»’ хг = — и г2 = — ’
М-~ +
‘2
или
Фиг. 11,4.
= r'jr'2.
(П.5)
2
— = 0
2
и
112
Синусоидальные переменные токи
[ гл. I
Векторная диаграмма
для схемы Гуммеля (фиг.
11,4) отличается от вектор-
ной диаграммы схемы' Гер-
геса тем, что точки В и D
совпадают и параллелограм
ABCD превращается впря-
мую АС.
Бушеро были предло-
жены несколько схем, при
помощи которых можно
добиться автоматического
постоянства величины тока
в приемнике энс. ии неза-
висимо от величины и ха-
рактера нагрузки при
условии постоянства напря-
жения сети. Одна из таких
схем изображена на фиг.
11,0 и 11,6.
Г Определим, каковы и в
каком соотношении должны
быть полные сопротивления
Z\ и Z, чтобы ток /2 сохра-
нял при всех значениях Z2
постоянную величину. В не-
разветвленной части цепи
ток равен:
Ь)
Фиг. 11,6.
Z.Z.2
Z-YZ2
Этот ток распределяет-
ся между двумя парал-
лельными ветвями обратно
пропорционально полным
сопротивлениям Z и Z2этих
ветвей:
ZUX .______Z?U}_____
Z^ + Z.CZ + Zi) И '“ZZi + ZJZ-hZO
Для того, чтобы ток 12 при всех значениях Z2 имел одно и то же
значение, необходимо, чтобы /2 не зависело от Z2 или чтобы множитель
§ И]
Схемы для получения сдвига фаз
113
при Z2 равнялся нулю. Выражая Z и Zx через их активные и реактивные
сопротивления:
Zi = г -F А + и + Jxi= о,
мы найдем, что это условие будет соблюдено, когда
г -f- Fi = 0 и х + *i = 0, (11,6)
т. е. когда оба элемента, Z и Zb не имеют активного сопротивления и
их реактансы противоположны: в одном элементе включена индуктивность,
а в другом—емкость, и когда индуктивность и емкость находятся в ре-
зонансе с частотой сети — и Z Z^—j^L——0.
соС соС
При этом или индуктивность или емкость могут находиться в ответв-
лении (фиг. 11,6). Предположим, что в ответвлении находится емкость,
т. е. что
Zi = j<i>L и Z= —
cdG
1
При условии = — ток в правой ветви имеет постоянное значение
(П.7)
независим ) от величины Z2, и по фазе он отстает от внешнего напряже-
ния на 90°. При активной нагрузке Z2 = r2 первичный ток равен:
А =
Z + Z2
ZZi
til , _
Zi + ZZj
(11.8)
совпадает с внешним напряжением и увеличивается по мере увеличения г2.
Напряжение на зажимах приемника энергии отстает от напряжения
Ul на 90°:
r2
О2 ТоГ2— —/ U 1-
(П.9)
8 К. А. Круг, т. II.
114
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Соответствующая диаграмма напряжений .и токов представлена на
фиг. 11,7.
Интересно отметить, что когда правая часть цепи схемы разомкнута,
г2=:оо, то мы имеем одну неразветвленную цепь, в которой имеет место
резонанс напряжений, приводящий к бесконечно большому значению на-
пряжения U2—°° и первичного тока Ц^со, а также тока в ответвлении
I = оо, поэтому в нагрузочной ветви сопротивление г2 не должно пре-
вышать определенной величины.
Другая схема для получения переменного тока постоянной величины,
также предложенная Бушеро, изображена на фиг. 11,8. В этой схеме, на-
поминающей мост Уитстона, в одной
паре противоположных сторон вклю- 27
чаются одинаковые индуктивности L,
а в другой паре — одинаковые ем-
Фиг. 11,8.
Фиг. 11,7.
кости С, которые находятся в резонансе с частотой сети <dL— — • При
сои
этих условиях ток в перемычке BD имеет постоянную величину незави-
симо от значения сопротивления г2 (нагрузка перемычки может быть и
любого другого характера). В силу симметрии токи в противоположных
ветвях АВ и CD должны быть равны по величине и фазе, как и в вет-
вях ВС и AD.
Для этой схемы мы можем написать следующие уравнения:
II “^2 + Ic
и
и як j^LlL IQ—jibUjl 1cY^foLl^
откуда
/2=А
ju>L
О ... . r2U
г----: И U2—r2I2= — J----г—
(П,Ю)
§ 12]
Взаимная индуктивность в цепях
115
мы получаем, что ток /2 в перемычке имеет постоянное значение неза-
висимо от сопротивления г2 и отстает от внешнего напряжения на 90°.
Для контура ABD мы имеем:
j ш Ll^r2 ^2 —
или, так как
r2tj г2й
~ L
С
и так как /д—1с — 12* то
и
Эта схема отличается от предыдущей тем, что в ней имеются две
индуктивности и две емкости, через которые проходят половинные токи.
И в этой схеме, когда г2=оо, мы имеем полный резонанс напряжений
£72=оо, и токи во всех четырех ветвях четырехугольника будут бесконечно
велики.
Практическое значение этих схем невелико, так как даже при ин-
дуктивной нагрузке коэфициент мощности невелик, и кроме того, долж-
ны быть включены в цепь большие индуктивности и, что особенно труд-
но осуществимо, весьма большие емкости.
В таблице 2 приведены активные и реактивные сопротивления и
проводимости для простейших схем.
12. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ В ЦЕПЯХ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Когда ток, протекающий по одному контуру, создает маг-
нитный поток, пронизывающий другой контур, то такие два
контура обладают взаимной индуктивностью, и изменение
тока в одном контуре наводит в другом контуре э. д. с. Эта
э. д. с. при условии, что магнитные потоки пропорциональны
токам, может быть выражена через
=-м«^' (12.')
где 2И13— взаимная индуктивность, измеряемая величиной на-
водимой в одном контуре э. д. с. при изменение в единицу
времени тока в другом контуре на единицу.
8*
116
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Таблица активных и реактивных сопротивлений
Z = г jx = z (cos <? -f- j sin <р) = zeJ^;
Схема z= r + jv 1 z = y_
Л L —'inr-ww^- г -f- /u)L Vr2 (л2 L2
г £ 1 coG 1/ г2^~2Г2 1/ to2C2 1 -j- r2 to2 C2 coC
г L С r+'(‘“L ос) 1 — со£ <лС К (1 — ш£ шС)2 -|- Г2 со2 С2
шС со С
i Г(О2 L2 . r2 CO L ,-2_|_ш2^2 1 rZ^ufliy. гсо£ УГ2 Ш2 [2
г r , r2<o C 1-1_г2ш5С2 ~ •/1+г2Ш2С2 Г У 1 Г2Ш2(72
1 gg - - r- 4- (1 — coAcoC)2 + r2 ^C2~ u>L — a)C (r2 -j- co2A2) + 1 1 — mA <oC)2+r2®2C2) га>2£2ю2 C2 У Г2 (О2ДЗ
У (1 — <о£ wC^-\-r^
/?”
г с
(1—co£ (J)C)2 -|- r2(O2 C2 (&L (1—<o£ u)C--|-r2<o2 C2) ”4(1 — <OL и(?)3 Г2Ш 2C2 Г(02 L2 <аГ.У 1-yr^C'i
У(1 — ti>L <оС)2 Г2 „>2 С2
£л п п г**0 и гсо£
r2(l — o)£ <oC)2 + <o2L2 ' r2w£(l—(o£ (oQ +;r2 (1 __ (oA uC)2 + co2£2
Уг2 (1 _ о,/, „Q2 Ш2Д2
§ 12]
Взаимная индуктивность в цепях
117
и проводимостей простейших схем,
Y — g— Jb = у (cos ? — /sin ср) = ye~~J4
Таблица 2
tgf У Y = g—jb
г 1 УГ24- B2£i г . (о£ r24-<""72 ~'Zr24-®2£2
1 г со С <лС V1 -\-г2а>‘С2 ГО)2 С2 . (дС “1~’/ 14-Г2Ф2С2
1 со Л — —— о)С (оС Г 0)2 С2
(1 — <й£<й(?)2 4-г2(02С2 +
г 1 —<s>LmC г С 1^(1 — 0)Д (J)C)2 г2(о2 С2 о)С(1 — о)£ (оС) ‘ У( 1 _ ш£ (оС)2 _р Г2Ш2С^
г <j>L К г2_|_(„2£3 го>£ 1 1 г } <а L
— гшС ]/ 14-rZm2C3 Г + /o)G г
0)£ — соС(Г24-0)2£2) Г г
К(1 — <->£<оС)2 4- гЗ <0'3 £2 У + Li Г2 W2£2 о)£ — i£>C (г2 w2 А2) —1 Г* 4- «>2 £2
1 — о)£ (дС -f- г2 о>2 С2 Г 0)2(72
V (1 — (о£ <i)G )2 г2 <*>“ С2 1 —Г2а> 2(72 . 1 — <1>£а><?4-72(а2(;2 ~J а>£(1 4-г2<о2(?2)
Г<а L&2 С2 <о£]/ 14-Г2о>2С2
г(1 — (qC) 1 1 — о)А (оС — —7 т • г &L
^Г2(1 — <о£ ыС)2 4-<о2 £2
(о£ ro)L
118
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Как было показано в § 79 первого тома, взаимная индук-
тивность всех контуров (или двух катушек) имеет одно и то
же значение независимо от того, будет ли изменяться ток в
первом контуре (или катушке) или наоборот:
/И12=/И21 = М (12,2)
При синусоидальном изменении токов, когда, например,
sin со/, э. д. с. взаимной индукции также изменяется
по закону синуса:
е2М = — М = — cos со/ = со/И/1т sin ^со/-----------0. (12,3)
Эта э. д. с., как, и э. д. с. самоиндукции, пропорциональ-
на угловой частоте со и амплитуде наводящего тока 11т. Она
отстает по фазе от наводящего тока на 90°, или на четверть
периода. Если последние два уравнения написать в символи-
ческой форме, то току Д будет во втором контуре соответ-
ствовать э. д. с. взаимной индукции:
(12,4)
Предположим, что нам даны два контура или две ветви:
r19 и г2, ^2» связанные взаимной индуктивностью М, в
которых действуют два отдельные источника переменного
тока с одинаковой частотой, дающие напряжения иг и U2
(фиг. 12,1), и пусть токи с выбранными нами положитель-
ными направлениями создают совпадающие по направлению
магнитные потоки. В этом случае э. д. с. взаимной индукции,
так же, как и э. д. с. самоиндукции, должны быть преодолены
соответствующими слагающими внешних напряжений. Слагаю-
щая напряжения для первого контура в комплексной форме
равна:
= (12,5)
§ 12]
Взаимная индуктивность в цепях
119
а для второго контура эта слагающая внешнего напряжения
составляет:
&2М = ^2М (12,6)
Уравнения напряжений для обоих контуроз могут быть
таким образом написаны в следующем виде:
J7i—r1/1 -[-/(dZj /j -j-y о М12,
(12,7)
Когда энергия подводится только к одному контуру, пред-
положим, к первому, а второй контур, не имея своего источ-
ника энергии (U2 = 0), но, будучи замкнут сам на себя, по-
лучает энергию из первого контура посредством взаимной
индукции, соответствующие уравнения для обоих контуров
будут:
f71 = + J&LJj -J- j^Mi2i
0=r2l2~[~j^L2i2 /ЪМ> (12 8)
или '
7^2— j^Mlx — Г 2^2~\~}^^2^29
где B2=—j&MIx является для второго контура той э. д. с.,
которая и вызывает ток.
Взаимная индуктивность двух катушек может быть срав-
нительно просто определена при помощи моста Уитстона.
Для этой цели одну из двух катушек включают в главную
цепь, подводящую ток к схеме моста, а другую в одну из
ветвей схемы моста, причем так, чтобы токи в обеих катуш-
ках были направлены таким образом, что магнитные по-
токи от этих токов были направлены в противоположные
стороны. Три остальных ветви моста набираются из простых
сопротивлений. Пусть и Lx— сопротивление и индуктив-
ность одной из катушек (фиг. 12,2). Предварительно урав-
новешивают мост при постоянном токе, приравняв Гх=г3 и
Гъ = г±.
При переменном синусоидальном токе мост будет урав-
новешен, когда падения напряжения в ветвях АВ и AD,
с одной стороны, и ВС и DC—с другой, будут равны между
собой, т. е. когда
/W14 — ^М1^-гх1х=г^1й и Га?! =rjz.
Так как
7=4+4’и 4=71 ~ >
4 г4
120
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
то для равновесия моста необходимо, чтобы
ywZi—/шЛ/f 1 4-АА ={зГ4_г
\ г2 / г2
Это условие будет 'Соблюдено, если, оставляя г3=г1( менять
одновременно г2 и г<, увеличивая или уменьшая их значения,
но так, чтобы 1\=г2, тогда
1 будет равно нулю и
М —-
'з'Ч _
Г-
Фиг. 12,2.
(12,9)
взаим-
когда
дальней-
шее мы
лишь на
парал-
На действии
ной индукции,
энергия подводится
лишь к одному кон-
туру, основана работа
трансформаторов, кото-
рые нами будут рас-
смотрены в
шем. Здесь
остановимся
рассмотрении
дельного и последова-
тельного соединений
двух связанных взаим-
ной индуктивностью
ветвей.
При параллельном соединении на концах обеих ветвей
действует одно и то же напряжение:
U=r2t^Lj2+j^Mi. JwM
Из этих уравнений могут быть ^определены как токи в
каждой ветви:
% _ [г2+/<о(А2-)] U
1 (r 1+>^1) (f
И
1 =---1ГгЬ'№,-Л<)1 о_
- (г,ЧАП,
так и суммарный ток:
[гj-—27W)] U
(г (г 24"/^$)+
§ 12]
Взаимная индуктивность в цепях
121
а.
При тождественности обоих контуров, i\ = r2 =г и L^L2—L
в обеих ветвях протекают одинаковые токи:
7 =/ = 1 — U _ U (12 12^
71 2 (г+/со£)2—(>Л1)2 r+j^L+M) V J
Когда токи в обеих ветвях намагничивают среду в раз-
ных направлениях, .то в формулах (12,11) перед М должен
быть поставлен знак —, и в этом случае суммарный ток
обеих ветвей будет:
7 —/-и/— й (12 ig\
1 2 • (^1+;-А1)(г2+м2)+ш2м2 ’ 1,7
а при тождественности обеих ветвей (гг=г2 = г; L^L^L)
А=4 = т = ^ЬйГ-
При последовательном соединении один и тот же ток бу-
дет проходить через обе ветви, и внешнее напряжение по-
мимо преодоления активного сопротивления и э. д. с. само-
игдукции каждой из ветвей должно уравновесить в первой
ветви также и э. д. с., которые наводятся в этой ветви бла-
годаря прохождению тока во второй ветви, и во второй вет-
ви— благодаря прохождению тока в первой ветви:
LJ—г Ji j^Ml -\-rj
= (Г1 + Гз)/
откуда
(12,15)
В случае, когда обе ветви соединены последовательно
таким образом, что намагничивающие действия их направ-
лены в противоположные стороны, протекающий через них
ток будет:
При тождественности обеих ветвей i\—r2—r и
ток при последовательном соединении будет равен:
U
/=
2г4-2/«>(/,±Л1)
(12,17)
122
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Знак плюс относится к случаю одинаково направленного
намагничивающего действия токов в обеих ветвях, знак ми-
нус— к случаю, когда намагничивающее действие направ-
лено в противоположные стороны.
Когда два контура, связанные взаимной индуктивностью,
включают в себе, кроме сопротивления и индуктивности, так-
же и емкость и что только в одном имеется источник пере-
менного тока (фиг. 12,3), то уравнения равновесия напряже-
ния для обоих контуров напишутся следующим образом:
«1
di2
'2
dt
(12,18)
2
или если их представить в комплексной форме, то они при-
нимают следующий вид:
+>^=^4+^/2.
о)С ।
О = г2/2+М2/2 — 1=z2/24-2ж/1.
(12,19)
В этих уравнениях для большей наглядности и упроще-
ния введены следующие обозначения:
—-^i, I
О)С1 / I
7Г^=Г2 + /•Х2 = ^2> I
<оС2/ I
/шЛ4=2’Л1, ।
(12,20)
§ 12]
Взаимная индуктивность в цепях
123
где Д и Z3— полные импедансы каждого контура независи-
мо от другого, a Zм—их так называемый взаимный импеданс.
Из уравнений (12,19) могут быть найдены значения 1Х и /3:
£i_ — =______________41____________,
Г1+д 1+ Г1+ 47/х_______^2/2. \
z2 /'2+ул'2 r2+x>2 \ r‘+x' /
(>1+/X1) (Г2+А2)
j<S>M
ZM
Г1Х2+Г2Г1
co/И
Г\Г-—Х^
а)М
(12,21)
а следовательно, и передаваемая во вторичный контур мощ-
ность
Ря = гг?=
2
о)Л4
_____________r,U\ t
2—-r1r2 \2 2J2 (12,22)
О)М J 21
где —величина знаменателя в последнем уравнении.
21
Предположим, что rt и г2 остаются неизменными и что
мы можем менять xlf х2, а также М (или <о/И). Максимум пе-
редаваемой мощности Р2 будет получаться, если z21 будет
минимальным.
Если мы будем менять только хь то уравнение
41 2х1(г22+х3) on Х1 П9 00Ч
-~^- =--------— -------2х>=0 дает, что—— =----------------, (12,23)
дХ! O)W2 2 х2 z2
2
если менять только х2, то
dz2 2х2 (г2+*2)
__21 — 1 1
дх2 а)2М2
—2xj=0 и
Х2
*1
(12,24)
1
124
Синусоидальные переменные токи
{ гл. 1
и, наконец, если менять только связь между контурами,
dz2 — 2(г2-|-х2) (г2+^2)
---21 --------1---1--2---2 I 2(D/J4=zO
и
(о2/И2=^г2. (12,25)
Если удовлетворены два условия, то одновременно удов-
летворяется и третье, так как из трех уравнений [(12,23),
(12,24), (12,25)] одно является следствием двух других, на-
пример, третье следствием двух первых.
Настройка контуров на максимум вторичной мощности или,
что то же самое, на максимум вторичного тока (г2 = const),
приводит к подобию обоих контуров. Разделим уравнение
(12,23) на уравнение (12/24), тогда:
= — ^~Г1+Л1 __П._ Zi — (12,26)
xi *2 -./АГА ~ r2 г2
У г * *
^22 2
При двойной настройке х или х2 и М токи в первичном
и вторичном контуре будут равняться [см. формулы (12,20)
и (12,25)]:
Мощность, передаваемая во вторичный контур при двой-
ной настройке, равна:
- А (12.28)
- 4г,’
она не зависит от величины г2 вторичного сопротивления.
При наибольшей мощности во вторичном контуре такая
же мощность будет поглощаться в первичном контуре:
Г‘/:=4^=Г1':'
(12,29)
§ 13]
Метод контурных токов
125
Коэфициент полезного действия при такой передаче равен
только половине:
. 2 3=0.5- (12,30)
Г1 У+Г‘/2
Интерес представляет случай, когда первичный и вторич-
ный контуры настраиваются в резонанс с внешней частотой,
т. е. когда
= ----— = 0 и x2 = o)Z2---i—= 0,
ZXZ2— К (/ 4- X^) r1r2.
Из последнего уравнения вытекает, что при заданных со-
противлениях и г3 максимум мощности удается получить
только путем регулирования М, что при относительно ма-
лых значениях г± и г2 приводит к необходимости иметь весьма
слабую связь между контурами, но дает очень острую на-
/ м \
стройку (коэфициент связи равен k= -I-
\ У
13. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ В ПРИМЕНЕНИИ К ЦЕПЯМ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА. ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ
При нахождении распределения токов и напряжений в
сложных цепях переменного тока, когда отдельные ветви не
только соединены непосредственно электрически между со-
бой, но и связаны друг с другом взаимной индуктивностью,
метод контурных токов может значительно облегчить состав-
ление и решение уравнений, придавая последним однообраз-
ный вид и сокращая иногда число уравнений, подлежащих
решению.
По этому методу, вместо того, чтобы писать оба закона
Кирхгофа в явной форме, предполагают, что в ветвях, вхо-
дящих в два смежных контура, ток состоит из двух состав-
ных частей или двух токов. Из них один представляет собой
ток первого контура, а второй—второго контура, а действи-
тельный ток в ветви, входящей в два соприкасающихся кон-
тура, равен сумме или разности этих слагающих токов в за-
висимости от условно выбранных нами положительных на-
правлений токов в отдельных контурах. Так, например, для
схемы (фиг. 13,1) мы для тока в ветви АВ пишем, что ток
в этой ветви равен сумме токов В соответствии с
126
Синусоидальные переменные токи
( гл. I
этим и падении напряжения в этой ветви будет составляться
из двух слагающих:
Л (,г+/(й^+7Д-')+4Д+/ш^4- ДА
\ У“С / \ ju>C /
Такой прием избавляет нас от применения первого закона
Кирхгофа и сокращает число искомых значений токов.
Фиг. 13,1.
Если две ветви связаны не электрически, а индуктивно
(фиг. 12,3), то эту связь рассматривают так же, как общую
ветвь. Падение напряжения в этой условной общей ветви в
связи с выбранными направлениями тока в первом и втором
контурах выразится для первого контура через
а для второго — через JwMI^—
Для сокращения письма при методе контурных токов со-
ставляют выражения полных сопротивлений всех элементов,
входящих в каждый контур, обозначая полные импедансы
целого контура через Zaa с двумя одинаковыми индексами,
а также так называемые взаимные полные импедансы для
каждой общей ветви, которая входит в два соприкасающихся
контура,— через Zab с двумя индексами, указывающими, в
какие-два контура входит рассматриваемая ветвь. Так, на-
пример, для схемы (фиг. 13,1) можно написать:
A* = r-f-r, -Ь/ш (£+Л)+1 (1 + -Г);
Аз=г+гз+7о) (М-А)+4- ГД + Д
Jet) \ G ^2 /
^12=^21 =Г
(13,1)
§ 13]
Метод контурных токов
127
Импедансы с одинаковыми индексами, но поставленными
в обратном порядке, равны между собой.
Если бы во втором контуре II мы за положительное на-
правление тока приняли противоположное направление, то г
/шЬ и _L в последнем уравнении мы должны были бы взять
со знаком минус.
Для схемы фиг. 12,3:'
/(О Сг
Д2 = Г2+/Ш(Л2 + 7И) + ^-;
7о> С 2
2Х2 =£21= j J) Л4.
(13,2)
Применяя второй закон Кирхгофа к каждому кбнтуру и
учитывая падение напряжения от всех слагающих токов в
отдельных ветвях контура, мы получаем столько линейных
и однообразно составленных уравнений, сколько у нас кон-
туров.
Предположим, что система состоит из трех контуров:
2ц Л+2^21/34-23173=£’ъ
212 Л“Ь^22^2“b232/з=^*2/
21з А+2234+233/3=£’3.
(13,3)
Здесь Ё19 Ё2 и ^з—э. д. с., действующие в соответствую-
щих контурах. Если в каком-нибудь контуре нет э. д. с.,
то правая часть соответствующего уравнения должна быть
приравнена нулю. Равным образом, если какие-нибудь два
контура не имеют общей ветви, то их взаимный импеданс
(например, Z13) равен нулю.
Решая приведенные выше уравнения по методу детерми-
нантов, мы можем решения для искомых токов, привести к
следующему виду:
/3=(ПкА + (Г)23Д3 + (К)зз^з, >
'зХЬзХСПззХСПзз^
(13,4)
128
Синусоидальные переменные токи
[гл. 1
OT„=|f’g| :О; (Ю„ = (П.. = 1ЙЙ| ;D'
(П..= (П,1=|§Й| :О,
(Г)„= -D-, = = -.D,
(1ъ= |f;g| --D
^11^21^31
D = ^12^22^32 •
^13^23^33 ,
(13,5)
Коэфициенты (У) имеют размерность проводимости, так
как степень знаменателя на единицу больше степени чис-
лителя (числитель у нас имеет вторую, а знаменатель третью
степень от Z). Их можно рассматривать как приведенные
проводимости (У), проводимости с двумя одинаковыми индек-
сами представляют собой приведенную проводимость данного
контура, которая, будучи помножена на э. д. с., действую-
щую в этом контуре, определяет ток в этом контуре при
условии, что во всех остальных контурах нет э. д. с., но
оставлены внутренние сопротивления соответствующих ис-
точников тока. Например, если ^¥=0, а Ё2=Ё3=0, то ток
в первом контуре равнялся бы /\ = (У)пЁ1.
Проводимости (Г) с двумя разными индексами мы можем
рассматривать как приведенные взаимные проводимости,
определяющие ток в одном контуре для такого случая, если
действует э. д. с. лишь в одном из других контуров. Напри-
мер, если действует э. д. с. во втором контуре (2?2 =¥= 0), а
все остальные э. д. с. равны нулю, то ток в первом контуре
равнялся бы
Уравнения (13,4) отражают на себе принцип наложения
(суперпозиции). Ток в каждом контуре или ветви состав-
ляется из слагающих токов, которые получались бы в этом
контуре, если бы в данной системе каждая э. д. с. дей-
ствовала обособленно, независимо от других.
Так как в детерминанте D горизонтальные строки и вер-
тикальные столбцы при любом числе контуров в системе
совпадают (Z21=Z12, Z32 = Z23 и Z31~Z13), то соответствую-
щие коэфициенты приведенных взаимных проводимостей равны
между собой, т. е:
(Г)21 = (К)12> (У)31=(Г)18, (К)32 = (Г)28, (13,6)
Это равенство имеет своим следствием то, что если сна-
чала во всей системе действовала, при любом числе конту-
§ 13]
Метод контурных токов
129
ров в системе, только одна э. д. с. Еа в ветви а и при этом
в ветви b получался ток lbi то при переносе этой э. д. с.
в ветвь b (с сохранением прежних сопротивлений в этих вет-
вях) в ветви а получится ток Iai равный по величине току 1Ь,
который раньше протекал в ветви Ь. Вышеприведенный
вывод и является доказательством так называемого закона
взаимности, согласно которому, если в какой - нибудь
сложной системе с одной э. д. с. в ветви а перенести эту
э. д. с. в какую-нибудь другую ветвь 6, то ток в ветви а
будет иметь такую же величину (и фазу), какую до этого
имел ток в ветви Ь.
Если в отдельных контурах направление тока выбрано
совпадающим с направлением действующей в этом контуре
э. д. с., то фазовый угол полной приведенной проводимости
для этого контура, т. е. фазовый угол (У) с двумя одинако-
выми индексами, например (У)п, (У)2з,—, будет меньше 90°.
Что касается фазовых углов взаимных приведенных прово-
димостей (У)12, (У)1з с разными индексами, то фазовые углы
могут быть и больше и меньше 90°, в зависимости от того,
совпадают ли направления составных слагающих тока в дан-
ной ветви от э. д. с., действующей в другой ветви, с перво-
начально выбранным направлением положительного тока в
рассматриваемой ветви или нет.
Расчет распределения токов в сложных системах, напри-
мер, в разветвленных сетях электроснабжения крупных рай-
онов, связан с необычайно сложными и кропотливыми вычис-
лениями, и на практике распределение токов находится на
так называемых расчетных столах, на которых собираются
модели сетей. Полные и взаимные приведенные импедансы
сравнительно просто могут быть найдены на моделях сетей,
если включать одну и ту же э. д. с. в разные контуры и
одновременно измерять во всех ветвях токи по величине
и фазе. Отношение соответствующих токов к напряжениям с
учетом сдвига фаз дает значение приведенных проводимостей.
В распределительных сетях все э. д. с. обыкновенно отдают
энергию в сеть, и если в какой-нибудь ветви мысленно вы-
ключается э. д. с. (с оставлением внутреннего сопротивления
генератора), то ток в этой , ветви получится обратного на-
правления, поэтому мы перед числовыми значениями взаимных
проводимостей должны ставить знак минус:
.(Пи=а)11₽ (п32=су)ме;?22, (п33=(Лз
(^)12- (У)12 > (П13-- (-У)13б >
z —У?23
(^)зз~ (ЛОзз е
—Лзз
е :
(13,7)
9 К. А. Круг, т. II.
130
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Если
—. —Ji'S
Ег=Ег, Е2=Е2 е , Е3—Е2 е
э. д. с., действующие в отдельных ветвях, то полные токи
могут быть выражены через:
—7? п — /(Фз+Т1з) —ЛФз+Ъз))
Л=(Л1^1е ....,1(13,8)
г t .л с “"/(Фг+Тй) z . г, —Л1г /че- —ЛФз+?’з) |
Л—(-У)зз^з (^)13^1^ (>)зз^3е ...J
Активные мощности, отдаваемые отдельными э. д. с.
(генераторами) в сеть, будут равны сумме произведений
э. д. с. на слагающие тока и косинус угла между э. д. с. и
слагающими тока.
Р1а ==У11 Е21 cos ФИ —_у12 Е& cos (Фз+<?1з) — )
—Ji3^Acos(<p8+<p13), I (139)
Лв=Лз^3зСОЗ<Рзз— Лз^зСОЗ^з—?1з)— I V ’ 7
—У23 ^3^3 COS (ф3— ф3 — ф33).. ., )
а реактивные мощности —произведению э. д. с. на слагаю-
щие тока и на синус угла между э. д. с. и слагающими тока:
PiT=ynEi sin <₽п—у12 ЕгЕ2 sin (ф3+®1з) —
—УиЕ Asin(<l»8 + ?13),
Р2г =Лз^з3 sin <р32 — j12 ЕгЕ2 sin (ф2 — <р12) —
—Узз ЕзЕз Sin (Фз — Фз —Фзз)-
(13,10)
Таким образом может быть разрешена в общем виде за-
дача распределения токов и мощностей в сложных сетях.
14. СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
Как бы ни была сложна заданная система и из каких бы
элементов она ни состояла, токи во всех ветвях системы
прямо пропорциональны действующей в этой системе э. д. с.
(при условии, что активные сопротивления, индуктивности и
емкости при всех значениях токов и напряжений сохраняют
свои значения). Если в системе действуют несколько а. д. с.,
то ток в любой ветви равен сумме токов, которые получа-
лись бы в этой ветви, если бы каждая э. д. с. действовала
в отдельности, но при условии, что в системе остаются вклю-
ченными внутренние сопротивления (г и L) источников пере-
менного тока, э. д. с. которых исключаются из рассмотрения
§ 14]
Схемы замещения. Четырехполюсники
131
Отсюда следует, что как напряжения между концами
отдельных ветвей, так и токи в разных ветвях могут быть
связаны между собой лишь уравнениями первой степени.
Это вытекает непосредственно из законов Кирхгофа, которые
связывают напряжения и токи линейными уравнениями.
Если в системе действует лишь одна э. д. с. (или внеш-
нее напряжение), то рассмотрение соотношения между то-
ками и напряжениями при изменении нагрузки одной из вет-
вей во многих случаях (например, при исследований режима
работы трансформаторов, асинхронных двигателей, длинных
линий, фильтров и т. п.) может быть приведено к рассмот-
рению весьма простых эквивалентных электрических схем,
так называемых схем замещения, состоящих из соответственно
подобранных активных сопротивлений, индуктивностей и ем-
костей и имеющих две перевичных и две вторичных клеммы.
К двум первичным клеммам подводится энергия, а к двум
вторичным — присоединяется нагрузка.
Можно для одной и той же системы составить большое
количество самых разнообразных схем замещения, которые
вс* будут удовлетворять данной системе, т. е. при той же
нагрузке они будут давать те же напряжения и токи в це-
пи нагрузки и в цепи источника энергии.
Самыми простыми схемами замещения являются так на-
зываемая Т-образная и П-об разная схемы (фиг. 14,1).
Фиг. 14,1.
Т-образная схема замещения составляется из постоянного
импеданса Za, последовательно соединяемого с двумя парал-
лельными ветвями. Импеданс одной ветви Zc остается неиз-
менным, а в другой ветви последовательно с постоянным
импедансом Zb включается переменная нагрузка.
П-образная схема замещения представляет собой посто-
янный импеданс Zc, в начале и конце которого параллельно
присоединяются импедансы Zл и ZB. На конце схемы парал-
лельно к ZB включается переменная нагрузка внешней цепи.
132
Синусоидальные переменные токи
(гл. 1
Если можно поменять места источника энергии и приемни-
ка и если при этом не изменяется ни напряжение ни ток в
приемнике энергии, то такая система является симметрич-
ной, и схемы замещения в этом случае также должны быть
симметричны, т. е. Za = Zb в Т-образной схеме и ZA=ZB в
П-образной схеме.
Для любой из этих четырехполюсных схем при условии
синусоидального изменения напряжений и токов и неизмен-
ности значений г, L и С, входящих в эти схемы, независи-
мо от того, из каких элементов будет состоять система и
какая схема замещения будет применена, между напряжением
и током, и 1Ь в начале схемы и напряжением и током,
и /2, в конце схемы (у приемника энергии) существует
линейная зависимость, которая может быть выражена следую-
щими двумя уравнениями первой степени:
U^AU. + Bl. (14,1)
и
i^CU. + Dlb (14,2)
где коэфициенты Л, В, С и D—комплексные величины, не
зависящие ни от нагрузки, ни от напряжения источника энер-
гии, а определяемые лишь значениями сопротивлений, индук-
тивностей и емкостей отдельных элементов, составляющих
неизменную часть системы. Эти коэфициенты связаны меж-
ду собой следующим простым соотношением:
AD—BC=1.
(14,3)
Чтобы это доказать, поменяем сначала местами источник
энергии и приемник энергии и определим зависимость между
напряжениями и токами через коэфициенты Л, В, С и D
(фиг. 14,2). При таком перемещении напряжения сохраняют
свое направление, токи же меняют свой знак, поэтому урав-
нения напряжений и токов должны быть написаны в следую-
щем виде:
lj\=AU\—ВГ2 D С
-l\=CU’-Di'2 В Л
Определяем из этих двух уравнений 67'3 и 1'2'
U г — AD — BQ U 1 + AD — ВС V (14,4)
= AD — BC U'1 AD—BC I'1' (14,5)
§ 14]
Схемы замещения. Четырехполюсники
133
Из закона взаимности следует, что если мы приложим
напряжение Ur — U один раз к первичным клеммам и ко-
ротко замкнем вторичные клеммы #2=0, а затем то же на-
пряжение U2=U приложим ко вторичным клеммам и корот-
ко замкнем первичные клеммы, £/'j=0, то должны получиться
одни и те же токи в проводах, осуществляющих эти корот-
кие замывания.
Фиг. 14,2.
Ток короткого замыкания в первом случае будет равен
/а — [уравнение (14,1)], а во втором случае ток короткого
замыкания будет [уравнение (14,4)]:
Л-"(ЛР-ВС)=/2=|’
откуда мы получаем искомое соотношение (14,3).
Поэтому, если заменить первичные клеммы вторичными
и вторичные первичными, то связь между напряжениями и
токами выразится через
U\=DU\+Bl\, (14>6)
/'3=Сб7,1-]-Л/,1, (14,7)
что мы получим, если в уравнениях (14,4) и (14,5) подставим
AD—ВС~\.
В симметричных системах такая замена не должна отзы-
ваться на значениях напряжений и токов, поэтому из срав-
нения уравнений (14,1), (14,2), (14,6) и (14,7) вытекает, что
в симметричных системах коэфициенты А и D должны быть
равны между собой и связаны с коэфициентами В и С соот-
ношением
A2=D*=14-ВС. (14,8)
Как видно из уравнений (14,1) и (14,2), первичное напря-
жение Ur и первичный ток Л состоят каждый из двух ела-
134
Синусоидальные переменные токи
[ гл. I
тающих, из которых одна пропорциональна вторичному на-
пряжению U2, а другая—-вторичному току /2.
Эти слагающие представляют собой не что иное, как
напряжения и токи на первичной стороне при холостом ходе
и коротком замыкании на вторичной стороне.
Действительно, пусть нам заданы по величине и фазе
вторичное напряжение и ток: U2 и /2- Рассмотрим сначала
холостой ход, когда вторичная цепь разомкнута, /2—0, но
вторичное напряжение равно (72. тогда напряжение и ток на
первичной стороне будут
Uu=AU^iw-=CUv (14,9)
При коротком же замыкании вторичной цепи £72=0, но
при условии, что ток короткого замыкания во вторичной це-
пи равен току при нагрузке /3, первичное напряжение и ток
составят:
uik=B it и (14,10)
(величинам, относящимся к холостому ходу, мы приписы-
ваем индекс 0, а к короткому замыканию — индекс k).
Складывая (геометрически) напряжения и токи при холо-
стом ходе и коротком замыкании вторичной цепи, мы полу-
чаем, что
йх=дй,+В12=йм + й1к, (14,п)
Л =О72 +74 = 4+4* (14,12)
(первичное напряжение и первичный ток, соответствующие
нагрузке вторичной цепи и при напряжении U2 и токе /2,
складываются из суммы первичных напряжений и токов, со-
ответствующих режимам холостого хода при напряжении £72,
и короткого замыкания при токе /2 на вторичной стороне).
Комплексные коэфициенты А, В, С и D, входящие в урав-
нения, связывающие напряжения и токи, могут быть опре-
делены из опытов холостого хода и короткого замыкания
для любых четырех пол юснйх схем независимо от того, из
каких элементов состоит система и как эти элементы со-
единены между собой (независимо от вида схемы замещения).
Из опыта холостого хода путем измерения напряжения (У10,
тока /10 и мощности Pj0—Z710/10cos мы можем определить
угол сдвига между напряжением и тогюм:
?ю — arc cos ~~ (14,13)
V]0' 19
§ U]
Схемы замещения. Четырехполюсники
135
и по значениям £/10, /10 и ср10 найти по величине и фазе пол-
ное (входное) сопротивление (импенданс) со стороны первич-
ных клемм при холостом ходе вторичной цепи, которое со-
гласно уравнениям (14,9) равно отношению коэфициентов А и С;
Zw=^=^ej‘w=z10emQ =-А. (14,14)
Ло 'ю с
Таким же образом может быть по напряжению Ulk, току/]А
и мощности P1A = t/1A/ucos ср при коротком замыкании
определено полное сопротивление со стороны первичных
клемм при коротком замыкании вторичных зажимов:
= =zike/fik =£ . (14,15)
Л* Л» и
Значения Z10 и Zlk не зависят от того, при каком напря-
жении производятся опыты. Опыт холостого хода произво-
дится обыкновенно при номинальном напряжении, опыт же
короткого замыкания во избежение чрезмерных токов — при
пониженном напряжении. Углы <р10 <р1А считаются положитель-
ными, когда ток отстает от напряжения, и отрицательными,
когда напряжение отстает от тока.
Для заведомо симметричных систем достаточно ограни-
читься определением Zlo и Zlk для одной какой-.нибудь сто-
роны, так как в этом случае A — D и Д’— ВС=\. В этом
случае, деля и умножая уравнения (14,14) и (14,15), мы нахо-
дим:
Д _ у. 7 Л2 __ Zw _ Л2 ,
С — 10 1Й’ ВС~Zin~А*— 1 ’
из этих уравнений мы можем определить Д:
^1ЛД2=Z\qA“ z^,
и на основании уравнений (14,14) и (14,15)
B = AZlk и С = -А-. (14,17)
Z10
Если схема несимметрична, т. е. если Л у-D., то опыт хо-
лостого хода и опыт короткого замыкания с одной стороны
(первичной) недостаточны, и приходится производить, кроме
того со стороны вторичных клемм еще один опыт или холо-
стого хода или короткого замыкания.
136
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Если питать схему со стороны вторичных клемм (фиг. 14,2),
то на основании уравнений (14,6) и (14,7) при холостом ходе,
когда первичные клеммы разомкнуты (/\ = 0), сооветствую-
щий импеданс может быть определен на основании значений
напряжения, тока и мощности t/2o> ^20> 7>'20=t/'a0/'2ocos ?2о
следующим образом:
• _____t/'2O ______U'w D
20—У- - 7'2о —С
'20
(14,18)
Вместо опыта холостого хода можно произвести опыт ко-
роткого замыкания, т. е. замкнуть накоротко первичные
клеммы U\ = Q. Если опыт дает значения U'2k, l2'k и Р^—
Г к cos <р ал» то соответствующий импеданс будет:
24 41'4 л 7
Полученные значения Zlo, Zw Z20h Z2s не являются произ-
вольными. Если разделить уравнения (14,14) на (14,15) и
(14,17) на (14,18), то получаются равенства:
__ -40 ___AD 2io Zzo Л4 9П1
'ВС ’ Z~k—~BC И 2^~2^’ U
связывающие четыре импеданса. Поэтому достаточно опре-
делить три из них, определение четвертого может служить
для контроля.
Если полные сопротивления холостого хода заменить со-
ответствующими проводимостями:
iz 1 1 —Лю v 1
Г’° —210 — 220 —
*10*
то соотношение f 14,20) может быть представлено в следую-
щем виде:
~ 20^2А>
или, если раскрыть комплексы, y10zlke^^k Т1о) ==_У2о W^2*
ТО 4^10^14 4^20^24 И TlA ?10 = 'т’зй ?20- (14,21)
§ 14]
Схемы замещения. Четырехполюсники
137
Rnn вычислений коэфициентов А, В, С и D составляем
уравнения:
1 _ = 1 _ = AD~BC _ _L
Z10 AD AD AD*
Затем, если разделить уравнение (14,15) на (14,19):
Zu _ ВА __ А
Z2k~~ DB~ D ’
то из последних двух уравнений может быть определено А:
.2_Z\k . / -ЗДо _______ zio
Z2k I ^10 / ^*2/г(^*10 ^1/г) ^20(^10—^Ife)
^10_________1 /______£ю_______ _
^2/г(^10— Z\k) * ^20(^10 ^1^)
_ =ае^ (14,22)
— у Z^-Z2k
Коэфициент а является передаточным числом между пер-
вичным и вторичным напряжениями при холостом ходе. Если
система, связывающая первичную и вторичную цепи, содер-
жит трансформаторы, то коэфициент а может иметь значе-
ния, сильно отличающиеся от единицы. Угол а есть угол
сдвига между векторами первичного и вторичного напряже-
ний при холостом ходе.
Зная коэфициент А, нетрудно определить и другие коэ-
фициенты:
D ~ Я ГЫ J* , Л )
В = Z2kA = z2ke ае —z2kae —be ,
n A —Л10 D /(а-?1о) Л
C=^=j/]0^ =ce > } (14,23)
n— 13 —Z2kA _ I
u— ——e —de . I
Zik Zlk ZAk )
Угол а обыкновенно не поддается непосредственному
определению, например, при передаче энергии на большие
расстояния. В таких случаях коэфициент А приравнивают а
(определяемому по отношению показаний вольтметров при
холостом ходе в начале и конце линии), что соответствует
одновременному повороту векторов первичного напряжения
и тока на угол а, что для расчетов не играет роли:
А = „. C^ay„e-Ji"„ 0=^/^’“’. (14,24)
138
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Пользуясь методом Тевенена-Гельмгольца, можно опреде-
лить предельную мощность, которая может быть получена
на стороне вторичных зажимов четырехполюсника. Четырех-
полюсник со стороны вторичных клемм может рассматри-
ваться как источник переменного тока с э. д. с., равной на-
пряжению при холостом ходе у вторичных зажимов, когда
/2 — 0, т. е. с/2()=-^- и с внутренним сопротивлением д>
где Z2k = z2ke^2k —полное сопротивление, измеренное со сто-
роны вторичных зажимов при коротком замыкании первичных
клемм. На основании уравнения (5,8) максимальная мощ-
ность при заданном <р2 будет:
Р = {1oCOS?2 ^C0S n
2max 2^2* 11 + cos(f2fe—<р2)] 2a2^2A.[l-j-COS (f2fe—<p2)] ’ 1 '
где a — число, обратное передаточному числу при холостом
ходе — = —. Наибольшая же мощность при изменении cos
U\ а
может быть получена [уравнения (5,9) и (5,10)], когда z2=z2k и
ср2=—и она будет равна:
/ \ iP и2
[р _ = ___ Г14 26)
\ 2тах/гаах 4*2* cos <р2/г 4a2^2fc
Что касается к. п. д. т], то он в отличие от простой не-
разветвленной цепи переменного тока, для которой т)тах по-
лучается, когда цепь не нагружена, будет максимум при
определенной нагрузке Р2.
Определим первичную мощность для симметричного четы-
рехполюсника
Zio=Z20=Z0,
путем помножения комплекса первичного напряжения
U. = XZ2/2+SZ3=X(Z2+ ZA)/2
на комплекс, сопряженный комплексу тока
и определения вещественной части произведения
P^-RelUjl
=/?^А4
§ 14]
Схемы замещения. Четырехполюсники
139
/а * —jz. * —у<р2
Подставляя А—ае ,4 —ае , Z2—z2e ‘ ,Z2 — Z2e
Zk^=zke , Z^=z^e =— е YQ=yQe
1 У'РО 7 7* 19
^=Уое
о
мы находим; что
D D ^2 Л, 2 Л Z‘° Я?Н'?0~?2) . /?2 . Л^г2
Р1-^а?\уйг2е-\.у0г^2е -\-z2e +zke Д 2=
=«2[лг2 cos '?o+j%z, cos («44-%—?3)4-
4-2'2cos<f>24-zA cos <?4 ] 1\ .
Вторичная же мощность равна
P2=J72/2cos ?2=^2cos у21\.
Поэтому к. п. д. будет
л2 [yo^l cos?o+Jo^2Cos(^H-ip0— ?2)-f-^2 cos cos ’ (14,27)
Он будет иметь наибольшее значение, когда — = 0и — =0.
^2 <*<?2
Для определения наибольшего значения т] в зависимости
от z2, разделим числитель и знаменатель на z2 и приравняем
нулю производную от
d / г Zu cos ®ь \ Л
—(Л^З COS Фо-{- - ^) = 0.
dz2\ z2 /
Это дает для z2, при котором — = 0, следующее значение:
dz2
Z2 — . zfec°s = (14,28)
?ocos<p0 g0
где rk — активное сопротивление при коротком замыкании, а
—активная проводимость при холостом ходе. Подста-
вляем найденное выражение для z2, разделив числитель и
знаменатель на z2 cos ср2-
1
_-------------------------------------—
a2 ^^4-y0^cos(^4-(?0)+yo^sin(®^+®0)tg^^^
Lc°S<P2 cos <р2J
и прйравняем нулю проиводную по от
i2 [тМз +-vo"/.sinf ?4-j-?0;tg<?2 J=o.
140
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Отсюда мы получаем, что к. п. д. будет иметь максимум при
условии, когда
z3=i/ 21 и
JVfeSinGpfej- ?0)
2 Г г0 go
(14,29)
Из соотношения:
, U3 rk
z2=-l=-
I2 go
следует, что
g(fl2U2—— г —rkIik
потери холостого хода при напряжении U2 на вторичных за-
жимах и потери короткого замыкания при токе /2 на вто-
ричной СТОрОНе раВНЫ Друг Другу При 7)Шах.
Кроме ТОГО При 7)тах
+ ~ р
---------
Л 1+^2
(14,30)
отношение первичного напряжения к первичному току равно
отношению вторичного напряжения ко вторичному току, но
сдвиги фаз между напряжением и током на первичной и вторич-
ной стороне равны, но и противоположны, так как -^=z2e .
Л
Это следует из того, что если в уравнение подставить 2^соз<рЛ
и zk sin из уравнения:
Z3+ZA = z2e ?2+^ cos Sin <рд=
J ?2 . 2 . n . . . 2 .
4- _уог2 cos <PO —j 2 z2 sin ?3 -j-jy0z2 sin <f>0=
hi . 2 Йо hi , „ —ifг
= z2e -]-y0z2e —z2e -]-z2e =
= (l+y0Z3)z3e~/?2
§ 15]
Метод инверсий
141
15. МЕТОД ИНВЕРСИИ
Для исследования цепей переменного тока в зависимости
от различных условий нагрузки, например, при передаче энер-
гии, в асинхронных моторах и т. д. можно применять графи-
ческий метод, состоящий в нахождении обратных векторов
и называемый методом инверсии. Прежде чем перейти
к изложению этого метода, выведем несколько геометриче-
ских положений, на которых
Фиг. 15,1.
основан метод инверсии.
I. От умножения или деле-
ния векторов, концы которых
лежат на некотором геометри-
ческом месте на не-
которое постоянное число по-
Фиг. 15,2.
лучается подобное геометрическое место, причем соответ-
ствующие точки лежат на одной прямой с началом векторов.
Так, если заданное геометрическое место — прямая AjB^
(фиг. 15,1), то при умножении векторов на некоторый число-
вой множитель а мы получаем:
или
СМ2=ОД.а; ОВ2 = ОВ1-а; ОС^ОС^а,
ОЛп __О&2___
ОА} ОВ\ ОС\
(15,1)
Новое геометрическое место представляет собой также
прямую А2В2С2.
Если кривая является окружностью А^ВуС^ (фиг. 15,2),
то при делении векторов на а мы получаем, что
ОВ2 = ^\ ОС2=^-,
а а а
или
ОА2 _ОВ2 _ОС2 __ 1
ОАг ~OBi ~OCt ~ а ’
(15,2)
142
Синусоидальные переменные токи
{гл. 1
т. е. что новое геометрическое место с тем же началом век-
торов О представляется также окружностью, центр и радиус
которой определяются из отношения:
При умножении векторов геометрического места на какое-
нибудь комплексное число, например, ге , все векторы долж-
ны быть увеличены в отношении г: 1 и повернуты на угол <р
против стрелки часов (фиг. 15,3).
ООг___Ог^г ___
OOj OjAj
^0,00^
В случае, если бы геометрическое место А1В1С1 пришлось
jt
делить на ге , то, уменьшив все векторы в отношении г:1,
полученное новое геометрическое место пришлось бы повер-
нуть около точки О на угол <р по часовой стрелке.
Как при умножении векторов геометрического места, так
и при их делении на какое-нибудь комплексное число при
перемещении концов векторов по кривой А^В^С^, предполо-
жим, в направлении, указанном стрелкой, концы полученных
соответствующих векторов будут перемещаться по другой
кривой Л2в2С2 в том же направлении.
§ 15]
Метод инверсий
143
II. Два проведенных из одной точки вектора, произведе-
ние которых равно постоянной величине, называются вза-
имно обратными или взаимно инвертными, а
нахождение обратных векторов — инверсией.
Если геометрическое место прямых векторов задано какой-
нибудь кривой, например, прямой линией (фиг. 15,4) A.Bfi.
с центром инверсии в "точке О, то обратные векторы должны
удовлетворять условию:
О А • ОА2 = ОВ. • ОВ2=ОС. - ОС2=k, (15,4)
или
k
OB. ’
оа2
k
ОА^’
ов2
ос2
k
ОС. ’
Кривая, обратная прямой, есть окружность, проходящая
через начало векторов. Центр ее лежит на перпендикуляре
к прямой. Действительно, пусть линия ОО.В2В} перпендику-
лярна к А.В.С.. Из подобия “треугольников ОВ£. и ОВ2С2,
которые имеют общий острый угол у О и стороны которых
ОВ-\ ОС-\ g, о
пропорциональны: -----= —, следует, что угол у любой
ОС2 ОВ2
точки С2 всегда прямой, опирающийся на постоянный отрезок
ОВ2 = -^—, т. е. что кривая А2В2С2, обратная прямой
ов.
есть окружность, проходящая через начало О.
Таким же образом можно доказать и обратную теорему,
что если заданная кривая является окружностью, проходящей
через начало векторов, то кривая обратных векторов представ-
ляется прямой, перпендикулярной к линии, соединяющей
начало векторов с центром окружности.
Если кривая прямых векторов есть окружность, не прохо-
дящая через начало векторов, то кривая обратных векторов
будет также окружностью, не проходящей через начало
(фиг. 15,5). Расстояния соответственных точек от начала
должны удовлетворять условию:
ОА = —, ОВ„
2 OAi ’
k
овг
ос2
k
OCt '
Перемножая расстояния от начала до точек, принадле-
жащих к одной и той же окружности и лежащих на одной
прямой,
ОВ2-ОС2=
&
OBVOCX
№
OAf
— const,
144
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
мы на основании того, что произведение секущих равно квад-
рату касательной, находим, что кривая обратных векторов
Л2б2С2 есть окружность. Следует обратить внимание на то,
что при перемещении концов векторов одной окружности
в каком-нибудь направлении, например, по часовой стрелке
относительно своего центра, концы обратных векторов пере-
мещаются по другой окружности в обратном направлении
относительно центра этой второй окружности.
Фиг. 15,5.
Фиг. 15,6.
Можно так выбрать масштаб, что обе окружности будут
совпадать (фиг. 15,6). Это упрощает построения и решения
задач. Тогда
ОВ. • ОВ2 = ОС. • ОС2 = const = О А2. (15,5)
Если начало векторов О лежит внутри заданной окруж-
ности (Фиг- 15,7), то по теореме о постоянстве произ-
ведения отрезков хорд, пересекающихся в одной точке:
О А. • ОА'2 = О В. • ОВ\ = ОС. • ОС’2=const,
§ 15J
Метод инверсии
145
обратный вектор по величине будет равен отрезку продол-
жения прямого вектора от центра инверсии до противопо-
ложной части окружности. Однако полученный отрезок ОА'2
имеет не направление прямого вектора OAlf а направление,
ему противоположное. Поэтому, если мы на направлениях
прямых векторов ОА19 ОВЪ ОСг и т. д. отложим значения
их обратных векторов ОА2 = OAr2, ОВ2 = OB'2i ОС2 = ОС'2,
то получим инверсную кривую А2В2С2, представляющую
Фиг. 15,7.
собой такую же окружность, но повернутую относительно
центра инверсии О на 180°. Окружности А1В1С1 и А2В2С2
взаимно повернуты относительно центра инверсии на 180°.
Вместо того чтобы строить две окружности А1В1С1 и А2В2С2,
можно рассматривать одну и ту же окружность А^В1С1
одновременно как кривую прямых и обратных векторов и
отсчитывать обратные векторы также от начала инверсии О,
но только в противоположном направлении, т. е. обратные
векторы будут повернуты на 180°.
Полное сопротивление и полная проводимость электри-
ческой цепи являются величинами взаимно обратными; ZY =
Для одной и той же цепи мы получим две различных
диаграммы в зависимости от того, будем ли мы для задан-
ного тока находить соответствующее напряжение или же,
наоборот, для данного напряжения будем искать соответ-
ствующий ток. В первом случае (фиг. 15,8) мы принимаем
за исходный вектор вектор тока/ = ш7-О/, расположенный
по горизонтали. Определяем для этого тока активное падение
напряжения rl — ти-0иа и к нему прибавляем индуктивное
падение напряжения jxl = гли-иaU, которое откладываем под
прямым углом в сторону вращения векторов, т. е. по поло-
10 К. А. Круг.
146
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
жительному направлению оси 4-/. Искомое напряжение будет
равно: ___
и — rl Н- ixi=zier‘ =Z'l = mv = mv-OU.(\5,6)
Сокращая на 7, мы получаем в выбранной нами системе
координат, что отрезок полного сопротивления Z — у — г~\~
jx — mz-OZ по отношению к начальному вектору тока,
расположенному по оси действительных чисел, будет повер-
нут против часовой стрелки на угол ср = arctg — .
С другой стороны, для той же цепи, если исходить из
заданного напряжения U и это напряжение откладывать также
по оси действительных чисел Lf = mu-OU (фиг. 15,9), то ак-
тивная слагающая тока la = gU = in^OIa будет по направ-
лению совпадать с напряжением (с горизонтальной осью-}-),
а реактивная слагающая тока 1Г — —jbU = будет от-
ставать на 90° (совпадать с осью—/) и вектор тока
L=gU—jbU = уйе~^ = YU=mI-Ola-\-ml-7j= т,-О! (15,7)
расположится ниже горизонтали (оси действительных чисел)
под тем же углом ср.
Сокращая на U, мы получаем, что отрезок полной прово-
димости
Y=L.=g—Jb = myOY (15,8)
будет повернут по отношению к начальной (горизонтальной)
оси на угол cp=arctg— по часовой стрелке.
Геометрические построения обратных векторов отличаются
от данного построения тем, что они дают числовые значения
Метод инверсии
147
прямого и обратного векторов на одной прямой и в одном
направлении. Пусть, например, геометрическое место концов
векторов полного сопротивления Z задано кривой АГВХС\
(фиг. 15,10). Для точки А1
Z = r-l- jx ~ze^= mz • О Д, (15,9)
гЛе rnz—известный нам масштаб, указывающий, скольким
омам ' соответствует единица длины чертежа, например,
mz — 2£l[cm. Численное значение обратного вектора может
быть измерено секущей ОД, лежащей на той же прямой ОА19
если применить надлежащий масштаб ту для проводимости.
Фиг. '15,10.
Так как г_у = 1, то, полагая, что у = ту-ОВь мы из соотно-
шения:
1 _zy = т^-ОА1чпУ'ОВ1 (15,10)
можем определить масштаб
1
т .
Y mz-OAvOB1
(15,11)
в котором мы должны измерять на чертеже значения обрат-
ных векторов ^пусть на чертеже ОАХ=29Ь cm и ОД=4,4 ст,
тогда т v — J-JTl-----------— 0,0455 --—— .
Y 22-2,5 cm-44,4 cm 2 cm/
10*
148
Синусоидальные переменные токи
[гл. 1
Но если мы для обратных векторов хотим учесть и их
фазу
y = ± = 1Ь=уе~”= ту. ОЛ2, (15,12)
Z z* Z*
Фиг. 15,12.
то на чертеже мы должны расположить этот вектор ниже
горизонтали на такой же угол ср, на который прямой вектор
mz*OA1 лежит выше горизонтали. Геометрическое место
концов обратных векторов для случая, когда геометрическое
место прямых векторов является окружностью, представляет
собой такую же окружность Л252С2, являющуюся зеркальным
изображением первой окружности по от-
ношению к горизонтали.
Чтобы не строить зеркальных изображе-
ний, обычно совмещают части чертежа, ле-
жащие по обе стороны оси О-|-. Так как в
большинстве случаев приходится находить
значения тока при заданном напряжении
или находить проводимость цепи, то сов-
мещают обыкновенно верхнюю половину
чертежа с нижней (фиг. 15,11).
При таком совмещении активное сопро-
тивление г откладывается по направлению
какой-нибудь начальной оси О а реак-
тивное сопротивление индуктивности (поло-
жительные х) откладывается по оси О (—у), повернутой на
90° в сторону вращения часовой стрелки по отношению к этой
начальной оси.
Что касается проводимостей, то активная проводимость g
откладывается на той же оси, что и г, а реактивная про-
водимость b при индуктивной нагрузке — по оси О (—у).
В случае емкостной нагрузки г и g откладываются также
по оси О—|—, а реактивное сопротивление и реактивная про-
водимость откладываются по оси О (-[-/).
В дальнейшем систему координат мы будем располагать
таким образом, чтобы ось О-р, на которой откладываются
г и g, была направлена по вертикали вверх, а ось О(—у)
с откладываемыми на ней х и Ьу соответствующими индук-
тивной нагрузке,— по горизонтали слева направо (фиг. 15,12).
16. ПОСТРОЕНИЕ КРУГОВЫХ ДИАГРАММ МЕТОДОМ ИНВЕРСИЙ
Рассмотрим, как меняется ток в простых цепях перемен-
ного тока при постоянном внешнем напряжении, когда, на-
пример, индуктивное сопротивление в цепи постоянно, а ме-
няется одно активное сопротивление (фиг. 16,1).
§ 16 ] Построение круговых диаграмм методом инверсий
149
На основании предыдущего от точки О откладываем по
горизонтали в некотором масштабе величину постоянного
индуктивного сопротивления xk — ^L = inz-Oak (если бы
в цепи была постоянная емкость, то соответствующий реак-
танс пришлось бы отложить от точки О влево). От точки ak
в том же масштабе откладываем под прямым углом (в сто-
рону вращения векторов) переменное сопротивление пг =
— mz-akb, где п — переменный числовой множитель. Расстоя-
ние от начала до точки b представляет собой полное сопро'
тивление цепи:
(16,1)
V n2r2-^x^=z—mz-Ob.
При изменении \п конец вектора полного сопротивления Z
перемещается по прямой akbc.
Конец вектора полной проводимости Y — —, а также и
конец вектора тока I = YU при меняющемся сопротивлении
цепи будут перемещаться (вследствие постоянства напряже-
ния U) по окружностям, центры которых лежат на линии Oak.
Так как ток и проводимость в нашем случае пропорциональны,
то они могут быть представлены одним и тем же отрезком,
только в разных масштабах. При коротком замыкании,
когда пг=0, полное сопротивление будет равно xk — ms-Oak.
* f и
а ток будет равен 4=—.
xk
Отрезок OBk, отложенный в определенном масштабе
{in1-OBk = /ft), и будет диаметром окружности, представляю-
150
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
щей собой геометрическое место векторов тока. По мере
увеличения сопротивления пг точка b удаляется по прямой akc
в бесконечность, а конец вектора / премещается от
точки Вк по дуге BkBO, и наконец, когда п = °°, вектор тока,
отсекаемый на окружности направлением полного сопротив-
ления, превращается в точку, и ток становится равным нулю.
Угол сдвига между напряжением и током получается непо-
средственно на чертеже:
cf = arctg 1) = Х_АОВ. (16,2)
При nr — r-^ этот угол равен нулю; когда сопротивление пг
очень велико по сравнению с х, ток в цепи почти совпа-
дает по фазе с напряжением; по мере уменьшения сопроти-
вления угол с? увеличивается и возрастает до прямого угла
при коротком замыкании. Теоретически конец вектора тока
может лежать и на нижней (пунктирной) части окружности,
что соответствует отрицательному значению сопротивления.
Такое отрицательное сопротивление можно представить себе
таким образом, что во внешнюю цепь введена добавочная
э. д. с., которая подобрана так, что она пропорциональна
току и совпадает с ним по фазе.
Напряжение сети U=mv- О А распадается на две сла-
гающих: одну—совпадающую по фазе с током:.
Ua — U cos y = nrl = пги-ОЭ, (16,3)
и другую
Ur=U sin^ = xkl = niu^DAt (16,4)
опережающую ток на 90°. поэтому если на ОА, как на
диаметре, описать окружность, то продолжение вектора тока
отсечет на ней отрезок, равный напряжению на концах сопро-
тивления, ти-OD — nrl.
Поглощаемая в этом сопротивлении мощность
Р = nrP иal = и cos ср/ = Unij. О В • cos ср =
= Um, • 0F=mp -OF (16,5)
может быть представлена в определенном масштабе отрезком
OF (так как U = const). Масштаб мощности будет mp — Un}r
Таким образом, отрезки одной и той ж 4 линии ОВ дают
одновременно значения всех величин, характеризующих со-
стояние цепи при определенной нагрузке пг.
При постоянном сопротивлении цепи rk и переменном
реактивном сопротивлении х (индуктивности или емкости)
§ 161 Построение круговых диаграмм методом инверсий
151
геометрическое место концов полных сопротивлений будет
перемещаться по прямой линии, которая отстоит от начала
инверсии на расстоянии Oak = — (фиг. (16,2). При индуктив-
mz
ной нагрузке реактанс nx=-n^L~inz- akb должен быть
отложен вправо от точки ak, а при емкостной нагрузке
п
пх —-----откладывается от точки ak влево.
соС
Величина полного сопротивления цепи определится на
диаграмме длиной вектора ОЬ;
z — У гк2-\-п?х2—гп2-ОЬ. (16,6)
Для нахождения значений тока 1=— необходимо найти
___________________________ Z
величины, обратные векторам ОЬ. Концы таких векторов бу-
дут лежать на окружности с центром на линии Oak и с диа-
метром, соответствующим наименьшему значению z (т. е.
тг-Оа^, когда я = 0. Этот ток inI*OBk = — соответствует
короткому замыканию реактивного сопротивления.
Напряжение сети распадается на падение напряжения
в активном сопротивлении
Ua = U cos (? = г^=ти-0О (16,7)
и на падение напряжения в реактивном сопротивлении:
—Us\n^ = nxI — mu-DA — mu-OD1. (16,8)
152
Синусоидальные переменные токи
t гл. I
Этот последний вектор опережает вектор тока на 90° и
своим концом лежит на окружности ODAD'. Для того чтобы
не строить каждый раз вектор под прямым углом к направ-
лению тока, мы можем окружность ODA повернуть в проти-
воположную сторону на 90°, т. е. по стрелке часов; тогда
OD будет совпадать по направлению с током, и отрезок ОС,
отсекаемый направлением тока на окружности ОСН, дает
искомое напряжение. При емкостной нагрузке напряжение
у обкладок конденсатора отстает на 90° от тока, а потому,
чтобы иметь возможность отсчитывать численное значение
напряжения конденсатора на направлении тока, необходимо
повернуть окружность ODA против часовой стрелки.
Фиг. 16,3.
Рассмотрим еще цепь, в которой имеются постоянное
сопротивление Zk = rk-{-jxk = zke ik и затем переменное со-
противление Z2= nZ = nr Аг jnx = nze' с постоянным фазовым
углом <р. Здесь п — опять числовой множитель, меняющийся
в пределах от 0 до °о
Согласно предыдущему откладываем в произвольном
масштабе mz постоянное активное сопротивление (фиг. 16,3)
rk—mz-Oa и постоянное реактивное сопротивление цепи
= так что Zk = mz-Ob.
Затем под углом ср к вертикальной линии проводим пря-
мую Ьс. При изменении сопротивления внешней цепи nZ
соответствующие значения этого сопротивления на чертеже
будут представляться отрезками Ьс
nZ = mz-bc, (16,9)
§ 16] Построение круговых диаграмм методом инверсий
153
причем по мере уменьшения сопротивления внешней цепи nZ
точка с будет перемещаться из бесконечности к точке Ь. При
коротком замыкании, т. е. когда я = 0, точка с совпадает с точ-
кой Ь. Складывая постоянное сопротивление Zk—mz • Ob с пере-
менным сопротивлением nZ = mz -be, мы находим, что геомет-
рическое место концов векторов полного сопротивления всей
цепи Zk-\-nZ=mz' Ос есть прямая Ьс.
Геометрическим местом векторов проводимостей, т. е.
обратных векторов, будет окружность, проходящая через
начало инверсии О, центр которой лежит на перпендику-
ляре Og, опущенном из О на прямую Ьс. Для построения
этой окружности нам необходимо знать еще одну точку
окружности; для этого определим вектор проводимости при
коротком замыкании. Вектор этот будет на чертеже направлен
по линии Obz и величина его будет равна yk — — — — 1 --.
Zk
Откладываем эту проводимость в удобном для вычерчивания
масштабе yk=mY- OBk и затем через точки О и Bk проводим
окружность, для чего из точки Bk проводим перпендикуляр
к OBk, пересечение которого с линией Og, перпендикуляр-
ной Ьс, и даст другой конец диаметра искомой окружности.
При помощи этой диаграммы мы для каждого значения
сопротивления nZ=tnz-Lc можем найти соответствующее
значение полной проводимости по величине и фазе Y = ту-ОВ.
Если мы умножим проводимость на напряжение Ulf то на
том же чертеже мы можем отсчитать значение тока
1 = YUX = Ujity-ОВ = пг1-~ОВ, (16,10)
причем масштаб, в котором измеряется ток, будет равен
mf = Uglily.
При разомкнутой цепи, п — ^, луч Ос становится парал-
лельным Ьс, и вектор тока сокращается до точки — ток равен
нулю. По мере уменьшения сопротивления nZ=mz-bc конец
вектора тока В перемещается по окружности от точки О
к точке В& и при коротком замыкании, когда ток достигает
своей максимальной величины, точка В совпадает с точкой В&.
Рабочая часть окружности будет ^ограничена дугой OBBk.
Так как напряжение отложено по вертикали, то ZJJ\OB—yx
дает нам угол сдвига между внешним напряжением и током.
Если около О провести окружность радиусом, равным еди-
нице, то проекция такого радиуса, совпадающего с направ-
лением тока, на вертикальную линию дает значение cos
154
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
или коэфициента мощности источника тока при данной
нагрузке: cos^^^CW.
Если постоянный отрезок OBk приравнять внешнему на-
пряжению иг или то отрезок Выдает значение
(но не фазу) напряжения у зажимов переменного сопротив-
ления nZ. Действительно, если стороны треугольника сопро-
тивлений QBC умножить на значение тока /, то сторона ОЬ
будет пропорциональна падению напряжения в постоянном
сопротивлении Izk, сторона Ьс — напряжению на зажимах
сопротивления Inz—U, а замыкающая сторона Ос будет
пропорциональна внешнему напряжению Uv Сторона Ос
этого треугольника, соответствующая постоянному внешнему
напряжению Ult имеет переменную длину, поэтому мы тре-
угольник ОЬс заменяем подобным ему треугольником OBBk,
как имеющим общий угол BOBk и пропорциональные стороны
Л /ПП HL OB OBk BBh f
ОВ-Ос — OBk-Ob или — = —- — —- (так как окружность и
А ОЬ Ос Ьс 4
прямая Ьс — взаимно обратные кривые). Отсюда видно, что
стороны этого треугольника OBBk также будут соответственно
пропорциональны напряжениям. Сторона ОВ, пропорциональ-
ная Ой, будет пропорциональна напряжению zj, сторона BBk,
пропорциональная Ьс, будет пропорциональна nzI—U,& сто-
рона OBk, имеющая в этом треугольнике постоянную длину,
будет пропорциональна внешнему напряжению Ог как про-
порциональная стороне Ос. Поэтому, если мы отрезок OBk
приравняем или U1 — mu-OBk> то отрезки ОВ и Выдадут
в том же масштабе падение напряжения в постоянном сопро-
тивлении zk и напряжение у зажимов переменного сопротив-
ления nz\
zbl = ntjj-OB и U—nzI = mTT-BBb. (16,11)
На этой круговой диаграмме можно получить как мощ-
ность всей цепи, которая будет представлена в масштабе
znpl = (71/n1 отрезком BDX,
Р1 = UJ cos <рх = U1m1-BO1=:mPi-BDx, (16,12)
так и мощность, поглощаемую в сопротивлении nz. Эта
последняя мощность выражается через
P = t77coscp = m^rij-BB^OB coscp. (16,13)
Если через точку В провести линию BD^ параллельную Ьс,
то из подобия треугольников OD2B и OBBk, подобных в
свою очередь треугольнику ОЬс, следует, что
= или BBk-OB = OBk-BD2,
ОВк OB’ k а а>
§16] Построение круговых диаграмм методом инверсий
155
а отсюда мы получаем, что мощность, поглощаемая в сопро-
тивлении nz,
P~UI cos ср =/7?^ • mI • OBk • BD2 • cos ср = игт x • cos ? • BD2
может быть в определенном масштабе тр = Ultn1 cos ср изме-
рена отрезком BD2.
Наибольшее значение мощности Р мы будем иметь, когда
точка В будет находиться в точке касания касательной,
проведенной к окружности параллельно линии OBk.
В этом случае треугольник OBBk, а также треугольник
сопротивлений ОЬс будут равнобедренны, т. е. nz = zk, когда
числовые значения постоянного и переменного сопротивлений
будут равны между собой (ср. § 5).
- На этой диаграмме можно получить еще отношение мощ-
ности, поглощаемой в переменном сопротивлении, к мощности
всей цепи, т. е. к. п. д. цепи
Р ZYpnpcos BD2
7] — — = —— --------J = COS Ср.
Pi U^nyBDi BDX
Для более удобного отсчета этого отношения на чертеже
проводим из точки О линию, параллельную Ьс, и затем произ-
вольную горизонтальную линию LM. Мы получаем две пары
подобных треугольников: ОВК и OLM, дающих отношени
OK LM 0L
—=------, и OKDr> и О LN, дающих отношение —*- =—— .
ВК OL 3 OK LN
Если перемножить эти две пропорции и каждую получен-
ную часть вычесть из единицы, то мы получаем:
— BK — DjK _LN — LM ВР2 _ MN
ВК~~ LN ’ ВК ~ ‘ —
но так как BDx = BKcqs^,
мощностей
Р ЯР,
7] = - = --------
Pi P/Ccos?
определяется отношением .отрезка MN, отсекаемого направ-
лением тока, к постоянному отрезку LN, поэтому, если LN
выбрать так, чтобы он- равнялся 100, например, 100 mrn, то
отрезок MN даст непосредственно это отношение в процентах.
Одна из общих схем замещения, которая может быть положена
в основу при рассмотрении рабочего процесса в трансформаторах, асин-
хронных двигателях, длинных линиях и электропередачах, изображена
на фиг. 16,4. Она состоит из сопротивления Za, соединенного последо-
вательно с двумя параллельными ветвями, в одной из которых сопротив-
LN
ВК LN
то мы находим, что отношение
MN
(16,14)
156
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
ление Zc не меняется, а в другой последовательно с постоянным сопро-
тивлением включается однородное сопротивление nZ — nze^ с по-
стоянным углом сдвига. Покажем, пользуясь методом инверсии, что при
изменении сопротивления nZ конец вектора первичного тока l\ переме-
щается по окружности, т. е. что для схемы получается круговая диаграмма.
Чтобы это доказать, разобьем задачу на три части:
I
Найдем сначала геомет-
рическое место векторов
полного сопротивления и
полной проводимости пра-
вой ветви (фиг. 16,4). Для
этого откладываем в произ-
вольном масштабе mz2 (фиг.
16,5) постоянное сопроти-
вление всей правой ветви
(вторичной цепи)
Гь-т^-О^а,
xb~mZc> -ab.
z2 *ь*-tnz2‘ ^2^-
Затем через точку Ь
проводим линию Ьс. Пред-
положим, что сопротивление
nZпредставляет собой чис-
то активное сопротивление.
Так как в этом случае .угол
= 0, то геометрическое
место полных сопротивле-
ний будет вертикальной ли-
нией Ьс. Кривая проводимо-
стей будет окружностью.
Она будет проходить через
начало данной инверсии
О2 и центр ее будет лежать
на горизонтали O2d. Прово-
дим окружность произволь-
ного диаметра O2d и приравниваем этот диаметр проводимости правой
ветви в том случае, когда в последней нет активного сопротивления
— mv -O2d,
xb
откуда и определяется масштаб
1
mv =------— ,
“ *ь ’ Ozd
(16,15)
(16,16)
в котором будет измеряться проводимость всей правой ветви:
~7—...................-1 - = «К • Otf. (16,17)
У Хь2 + (г&+ пгу
При коротком замыкании правой ветви, = проводимость правой
ветви будет определяться линией O2Pk- Таким образом, при изменении
§ 16 ] Построение круговых диаграмм хМетодом инверсий
157
внешнего сопротивления пг от бесконечности до нуля конец вектора
проводимости перемещается по дуге окружности Ooppk между точками
О2 И рк.
Значение активной слагающей проводимости правой ветви будет равно
проекции отрезка 0%р на вертикальную ось, а значение реактивной прово-
димости— проекции на горизонтальную ось.
II
Определяем проводимость, а затем сопротивление двух параллельных
ветвей, ответвления Zc и правой ветви Zb пг. Проводимости при парал-
лельном соединении складываются геометрически, поэтому к проводи-
мости правой ветви О2Р мы должны приложить проводимость ответвления,
т. е. у конца отрезка О2р построить отрезок, который представлял бы
собой проводимость ответвления
1 Гс хс
/<; = — = — -j—’ = gc - ]ЬС.
Zc Z2
Так как безразлично, в каком порядке производить геометрическое
сложение, то ввиду постоянства удобнее на чертеже отложить сначала
проводимость Ус, а затем от его конца уже откладывать переменные
_ гс
проводимости правой ветви. Для этого мы откладываем вниз gc = ~Г —
X
z=zniY2*O2h и влево от точки h откладываем Ьс~—- т у2 • hO, тогда от-
резок ОО2 по величине и направлению представит собой проводимость
ответвления
~ = тг2 • °°2-
(16,18)
Прикладывая к этой проводимости проводимость правой ветви, мы
получаем, что проводимость обеих параллельных ветвей будет опреде-
ляться отрезками Ор, концы которых лежат на дуге O2ppk, и измеряться
масштабами mY . При разомкнутой правой ветви проводимость опреде-
ляется отрезком ОО2» а при коротком зэмыкании внешнего сопротивления
общая проводимость будет равна отрезку Ор^.
Для нахождения полного сопротивления обеих параллельных ветвей
мы должны будем найти векторы, обратные векторам проводимости. Так
как кривой обратной окружности может служить та же окружность, то мы
можем рассматривать окружность O2ppkd как обратную кривую. Прямому
вектору проводимости Ор на чертеже будет соответствовать обратный
вектор сопротивления Oq, определяемый отрезком между точкой О и
другой точкой q пересечения окружности линией Ор. Для определения
масштаба сопротивления, который в данном случае не является произ-
вольным, выберем наиболее простой в этом отношении режим, когда
правая ветвь разомкнута и ее проводимость равна нулю. Тогда проводи-
мость двух параллельных ветвей на чертеже определяется отрезком ОО2,
а обратная ей величина сопротивления — — Уrc2Jf-xc2 —отрезком С^о,
Ус
совпадающим по направлению с ОО2. Поэтому, измерив на чертеже длину
отрезка Oq^ мы можем определить и масштаб для измерения сопро-
тивления обеих параллельных ветвей
= Vr^-\-xc^ mZi Одй,
Синусоидальные пёреМейиЫе токй
[ гЛ. 1
откуда
Таким образом, сопротивление обеих параллельных ветвей при разомк-
нутой правой ветви определяется отрезком OqQ. При коротком же замы-
кании внешнего сопротивления nr(/z = 0) сопротивление будет опреде-
ляться отрезком Oq^ как отрезком, обратным отрезку Ор^.
Рабочая часть окружности ограничивается дугой q^qq^ от точки q$ до
точки q^.
Ill
Теперь мы можем определить сопротивление всей схемы. Для этого
необходимо к сопротивлению обеих параллельных'ветвей mz^-Oq приба-
вить в том же масштабе mz сопротивление Za, включенное перед парал-
лельными ветвями. Эго мы осуществляем таким образом: откладываем от
точки О по вертикали вниз ra-=mz -Ok и влево по горизонтали ха~
~mz *kO\. Полученный отрезок О^О по величине и направлению будет
Za~mz Сумма векторов О^О и Oq дает в масштабе mz полное
сопротивление всей схемы при этом конец суммарного вектора
сопротивления перемещается от точки q§ до разомкнутой правой ветви
через точку q до точки при коротком замыкании. ‘
Для того, чтобы определить первичный ток /р осталось определить
проводимость всей схемы, которая измеряется векторами, обратными
векторам сопротивления. Прямому вектору сопротивления Orf соответ-
ствует обратный вектор проводимости ОуВ. При разомкнутой правой ветви
или так называемом холостом ходе вектор проводимости будет представ-
лен отрезком О1#0, отсекаемым окружностью на прямой OrfQ. Для корот-
кого замыкания внешней цепи полную проводимость мы получим,
если продолжим Orfk до другой точки пересечения с окружностью.
Масштаб для измерения проводимости всей схемы проще всего опреде-
лить, исходя из рассмотрения ненагруженной схемы, когда nr=zoo.
В этом случае цепь состоит из последовательно соединенных сопро-
тивлений Za и Zc, и проводимость цепи будет равна
1 —Оту-О.бл, (16,20)
V (Га + Гс^ + ^а+ХсР
Из последнего соотношения может быть вычислен масштаб
Если общую проводимость умножить на первичное напряжение, мы
получим первичный ток.
Таким образом, ток при разомкнутой правой ветви (холостом доде)
на круговой диаграмме определяется отрезком
Ло =-: : —3 Uу* == ^1 * О А • 06,21)
+ гсУ!‘ + (ха+ Хс )2
При нагрузке, определяемой отрззком Ьс, первичный ток бу ет
Ii^mj'Ofi, а при коротком замыканий переменного сопротивления гц а-
вой ветви (аненней ьепь) I\k — tnfO^Bk.
Таким образом, мы показали, как путем последовательных инверсий
можно найти для зщанной схемы геометрическое место концов первич-
ного тока при п стоянном первичном напряжении и переменном сопро-
тивлении во внешней цепи. Эг> геометрическое место представляет собой
часть окружности (BqBB£.
§ 16] Построение круговых диаграмм методом инверсий
159
Мы ограничимся лишь нахокдением
первичного тока. Остальные величины,
которые могут интересовать нас в этой
схеме, как-то: ток во внешней цепи;
напряжение и мощность вторичной цепи;
к. п. д. и т. д., гораздо проще выво-
д-тся, если исходить из векторных
уравнений (см. § 17).
При построении диаграммы фиг.
16,5 мы предпола! али, что все элемен-
ты, входящие в обшую схему, ииеют
индуктивный характер. Если в отдель-
ных частях входят емкости то, хотя
круговая диаграмма строится таким же
образом, но в конечном результате она
П'лучает другое расположение (фиг.
16, э)
Пу.ть емкость входит в ответвле-
ние Zc\ сопротивление и проводимости
правой ветви стр )ятся таким же об-
разом, как и в предыдущем примере:
Фиг. 16,6.
r*=mZ2-°2a'' xb~ mZ2ab< Zb-mZ2-°tb’
Zb-\- nr — mz^{O2b -\-bc) — mz^ O2c; (16,22)
проводимость при холостом ходе равна нулю, при коротком замыкании
1
Vrb^-i-x^
= mY2-O2pk.
(16,23)
Проводимость же ответвления, равная
1
+J---------------— gc~\~fbc>
Гс2~^ (ОЗС.2
(16,24)
откладывается своей активной частью вниз: ^.= ^у2-О2/г, а реактивной —
не влево, а вправо: bc~ mY? *hOf так что проводимосто ответвления
получается в виде отрезка ОО2> и центр инверсии О для определения
сопротивления обеих ветвей располагается внутри окружности. Поэтому,
инвертируя эквивалентные проводимости обеих параллельных ветвей при
холостом ходе niY2*OO2i при нагрузке Шу2-Ор и при коротком замыка-
нии мы получаем соответствующие обратные векторы сопро-
тивлений Zc=.mZ1' Oqo\ Oq и Oq^, которые направлены в стороны
противоположные проводимостям. Поэтому, прибавляя к эквивалентному
сопротивлению обеих параллельных ветвей сопротивление Za, мы сла-
гающие Za должны откладывать также в противоположном направлении;
а именно ra~mZ1 • Ok — не вниз, а вверх, и xa — ,nZi • kO± — не влево,
а вправо. Таким образом, полное сопротивление всей схемы сложился из
160
Синусоидальные переменные токи
{ гл. 1
сопротивления Za=zzwZ1 • <?!<?, имеющего направление от точки Ох
к точке Оу и из сопротивлений обеих параллельных ветвей: для холо-
стого хода
«21 -(OiO + ^o)=«Zi- Otfo-
для нагрузки mZ1 • (О^О -j- Oq) mz^ • O^q и для короткого замыкания
mZ1(OiO + Oq^}= mZl Orfk.
Инвертируя относительно нового центра О\ векторы полных сопро-
тивлений всей схемы, мы получим векторы полных проводимостей всей
схемы: для холостого хода
...—----- ----- = ту • O^Bq. (16,25)
+ гс)2 Н~ (ха + хс)2----------------------1
для нагрузки tnYl • ОгВ и для короткого замыкгния ту^ • ОгВ^
Если умножить приводимость всей схемы на первичное напряжение
то мы из круговой диаграммы можем получить по величине и направ-
лению ток холостого хода
ilQ-=U1mYl • = пц ' G6, 6)
ток при__нагрузке Ц — • О^В и при коротком замыкании I^k —
= • охвк.
Пеовичное напряжение направлено по линии О^А, и рабочей частью
окружности является дуга В^ВВ^
17. ПОСТРОЕНИЕ КРУГОВЫХ ДИАГРАММ НА ОСНОВАНИИ
ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Построение круговых диаграмм для разного рода схем
замещения может быть гораздо проще и скорее проведено,
если связь между напряжениями и токами, с одной стороны,
и постоянными цепи, с другой, выражать через векторные
уравнения и на основании таких векторных уравнений нахо-
дить соответствующие геометрические места.
Прежде чем применять этот метод, рассмотрим векторные
уравнения простейших геометрических мест: прямой и окруж-
ности.
Если
А = а1 + ja" = aeJa (17,1)
представляет собой некоторый постоянный вектор, занимаю-
щий на чертеже (фиг. 17,1) определенное положение, то
уравнение
М = nA = nar jtta!’ — naJ* (17,2)
§ 17] Круговые диаграммы йй основании векторных уравнений 161
(где п — множитель, меняющийся от —со до-{-оо) соответ-
ствует прямой линии, проходящей через начало координат.
В зависимости от значения п вектор М будет иметь ту или
другую длину, но направление его остается постоянным.
Уравнение
М~ А-\-пВ — nbel$ (17,3)
представляет собой уравнение прямой, проведенной через
конец вектора А и составляющей с осью действительных
значений постоянный угол р (фиг. 17,2). При каком-нибудь
значении п вектор М слагается из постоянного вектора Л и
переменного пВ. Таким образом, начало вектора М совпадает
с точкой О, а конец лежит на прямой cd.
Уравнение
М=------Д-7- (17,4)
1 -|- пе^
где А — заданный постоянный вектор, ф— постоянный угол,
а п — произвольный числовой множитель, соответствует век-
торам, проходящим через начало координат, концы которых
лежат на некоторой окружности. Напишем последнее урав-
нение в следующем виде:
M-\-Mne® = A. (17,5)
При всех значениях п сумма искомого вектора М=ОМ
и другого вектора Мпе^= МА, по длине в п раз большего,
11 К. А. Круг, т. II,
162
Синусоидальные переменные токи
t ГJf. 1
чем М, и составляющего с ним неизменный угол ф, должна
всегда равняться заданному вектору А = О А. Если угол ф
положителен, то вектор Мпе^= МА должен быть повернут
относительно М = ОМ против часовой стрелки (фиг. 17,3).
а
Фиг. 17,3.
Фиг. 17,4.
Наоборот, если угол
отрицателен, то вектор
Мне поворачивается
относительно М=ОМ
по часовой стрелке
(фиг. 17,4).
Так как угол у
вершины треугольника
ОМА, образуемый сто-
ронами ОМ и ТИА,
имеет всегда одну и
ту же величину я — ф
и он опирается на один
и тот же отрезок ОА,
то конец искомого век-
тора при изменении п
будет перемещаться по
окружности, которая
может быть построена
по заданному вектору
А —О А и по углу ф.
Для этого мы продол-
жаем вектор ОА и у
его конца А отклады-
ваем угол ф против
стрелки часов, когда ф
положительно, и по ча-
совой стрелке, когда ф
имеет отрицательное
значение. Сторона AN
угла ф должна совпа-
дать с направлением
касательной к искомой
окружности. По хорде
и касательной нетру-
дно построить окруж-
ность.
Когда тг = О, вектор ТИ совпадает с вектором О А, а
Мпе^~ МА будет равен нулю, т. е. точки М и А сольются
И направление вектора МА будет совпадать с направлением
§ 1?] Круговые диаграммы па основании векторных уравнений 163
касательной в точке А. По мере увеличения п конец вектора
М будет перемещаться по дуге АМО. При п = оо точка М
совпадает с точкой О, вектор М — ОМ будет равен нулю,
а вектор MneJ^= О А будет совпадать с заданным вектором
Д = ОД.
Покажем, что для любого четырехполюсника при постоян-
ном первичном напряжении Ur — const и при однородном
изменении сопротивления во вторичной цепи (cos ср2 = const)
концы вектора первичного тока перемещаются по окружности
независимо от того, какова внутренняя схема четырехполюс-
ника (фиг. 17,5).
При однородном из-
менении сопротивления
во внешней цепи отно-
шение между вторич-
ным напряжением и то-
ком может
ставлено в
быть пред-
виде
^-=nz2
К
= nz2e^-,
Фиг. 17,5.
2?г
Л
&
где п — числовой множитель, меняющийся в пределах от О
до со; очевидно, что п = 0 соответствует короткому замыка-
нию, а п = холостому ходу, когда вторичная цепь разом-
кнута.
Если в уравнения, связывающие первичные и вторичные
напряжения и токи, подставить вместо U2 = nZ2I2
AU2-\~BI2~ (AnZ2 -“г 5)/2,
Л = CU2+DI2 = (CnZ2+D)/2
и исключить /2, то мы получим зависимость первичного тока
Д от нагрузки nZ2:
I _ bx{Cnz2+P) ___ d\~^‘AnZ*3r~XB+D~ д д]_
1— Дл^24-В AnZ2-\-B
UVC
А
йу(АР-ВС)
Д(Длг2 }
uvc
А
(17,6)
11*
164
Синусоидальные переменные токи
[гл. 1
когда л = оо, мы получим в первичной цепи ток холостого
хода
т _ _ £1.
10 A Z10 ’
когда п = 0, мы будем иметь первичный ток при том же
напряжении Ub соответствующий короткому замыканию
вторичной цепи
А АВ 10 АВ ’
Зная токи холостого хода /10и короткого замыкания /lft,
£/i Ui j г
мы можем определить = llk — /10.
Кроме, того = Z2k = z2keJ^2k представляет собой импе-
данс со стороны вторичных зажимов при коротком замыкании
первичных зажимов [см. уравнение (14,19)].
Подставляя полученные выражения в уравнения для I п
мы находим, что
I\k Ло ____ г I
‘ -Ло +
1 + 7^
^2/г
— / j Ла — Ло
“ 1 1 ¥2*)
iik — Ло
?2«)
z2k
(17,7)
Последнее уравнение представляет собой уравнение неко-
торой окружности, которую можно построить следующим
образом (фиг. 17,6): под соответствующими углами у10 и <р1А,
к вектору первичного напряжения Ux = OUX откла-
дываются токи холостого хода /10 = тЛ-О/10 и короткого
замыкания Ilk~tnIx-Ollk.
Соединяют концы векторов /10 и IAk линией и У конца
Iik этой линии под углом <р2 —прбводят линию Ilkg и затем
по заданной хорде и касательной l\kg строят-” окруж-
ность ЛоЛ/ш которая является геометрическим местом концов
вектора первичного тока.
На фиг. 17,6 и 17,7 построены окружности для двух слу-
чаев: когда ток при холостом ходе отстает и когда он
опережает первичное напряжение.
§' 17] Круговые диаграммы на основании векторных уравнений 165
При разных значениях нагрузки (но при постоянном зна-
чении cos %) конец вектора первичного тока будет переме-
щаться по дуге ЛоЛЛ^ от точки /10, соответствующей холо-
стому ходу, до точки Ilki соответствующей короткому замы-
канию.
Фиг. 17,7.
На тех же диаграммах мы можем отсчитать и вторичный
ток /2. Из уравнений следует:
й^Ай^вЦ -с,
/\=cu2-\-d/2 -а,
h = = л7> - с0'=4
ди— ВС, \ л J
166
Синусоидальные переменные токи
[гл. 1
Разность вектора — До на чертеже представляется
отрезком Д0Д.
Д — До = ^71 • ОД — ^ОДо = ^Zi • ДЛ
поэтому длина отрезка может служить мерой значения
вторичного тока (но не его фазы). Если числовое значение
комплекса А будет равно а, то числовое значение вторичного
тока 72 может быть выражено через
Д — ДоД-
Вторичное напряжение U2 измеряется отрезком так
как из построения окружности следует, что
(17,8)
т Т __ ^У^\к
7юЛ —------
1 + |3
^2к
ИЛИ
102Ц
^2к
откуда, мы получаем, что
hhk
г j Л^2
^2k
Если вместо векторов взять их числовые значения, то,
учитывая уравнение (17,8), мы находим, что
I j I j ___________ I2^‘2'2 U2
lilik — ЛоЛ * — — —— — >
^2/г CLm[^2k amJ^2k
ИЛИ
t73 — anijZ^ • ‘
(17,9)
где
(17,10)
mu=ainIz2k,
это и требовалось доказать. Что касается масштаба, то его
проще определить следующим образом: при холостом ходе
/2 = 0 точка Д совпадает с точкой /10. Согласно уравнению
(14,1) вторичное напряжение при холостом ходе /2 = 0 будет
равно [720 =—, с другой стороны, это напряжение будет
А
§ 17] Круговые диаграммы ьга основании векторных уравнений 167
измеряться отрезком Д0/1/е, поэтому t/20 = —= -/10/1А,;
а и2
масштаб для вторичного напряжения определится через
где Д071А, непосредственно измеряется по чертежу.
Круговая диаграмма позволяет находить также сопротив-
ление вторичной цепи nz2f соответствующее первичному
току Д = ;п^«ОД. Искомое сопротивление равняется
U2
Отношение двух переменных отрезков и Д0Д можно
заменить отношением переменного отрезка к постоянному,
если в точке Iik построить к линии I1QIlk угол ф2—Ък (в ДрУ"
гую сторону, чем это делалось при'построении окружности),
т. е. провести через точку Ilk линию, параллельную каса-
тельной к окружности в точке До, и продолжить линию Д0Д
до пересечения с этой линией. Из подобия треугольников
ДоДДа? и До^Д/г> имеющих общий угол F/10/u и равные углы:
ZL Д(/1Д/г — Z^ ДоДл^ = к (?2 ?2л)>
следует, что
ДсА ЛоА/г Д:т/2 До А а?
откуда мы получаем, что
п т'и
^- = nz^----------IlkF = mz-IlltF (17,12)
12 1П1 ’AoAfc
2
— сопротивление внешней цепи —пропорционально отрезку
IAkF. Масштаб mz определится через
ти am, z2k
и? ч 2t>k
т —--------— =-------------= —,
ал^-ДсДа? amIx АоАа?
если мы выразим длину отрезка в единицах длины,
а сопротивление г2/г, измеренное между вторичными клеммами
При коротком замыкании первичных зажимов, выразим в омах.
168
Синусоидальные переменные токи
[ гл. 1
Если точка F не получается в пределах чертежа, то можно
на ЛоЛа на расстоянии, например, одной десятой этого отрезка
от точки /10 провести линию, параллельную на
этой последней линии сопротивления будут отсекаться в мас-
штабе, в десять раз меньшем (tnz будут иметь в десять раз
большее значение).
На круговой диаграмме могут быть отсчитаны и мощности.
Первичная активная мощность, определяемая как произведе-
ние первичного напряжения и проекции первичного тока на
вектор первичного напряжения,
Рг = U1I1 cos = U • 01 х • cos —
= U1inI^Iiai = mp^I1a1 (17,13)
измеряется в масштабе mp=Uдлиной перпендикуляра Ца19
опущенного из конца вектора первичного тока на горизон-
таль, проходящую через начальную точку О.
Для нахождения вторичной (активной мощности) проводим
из той же точки линию /га2, параллельную FIlk, до пере-
сечения с линией /ц/и- Из подобия треугольников и
следует, что
ЛоЛа?--Т ГТ т --------------- т т Т а
т г -- т > или 71V1 11071—1 IO71k * 1а2>
Л(И1 1^2
вторичная же мощность равна
P2 = U2I2 cos ?з = /яу -Л/г"1/ 'ЛоЛ'cos ?2 =
cos<f>3./n -m. • /юЛ*-Лй2 'ami С03Ф2-Ла2 =
и2 з а-1101 ik 1
=Ujn cos <р2 • = mP2' (17,14)
а потому она будет измеряться в масштабе = U^n^cos ср2
отрезком
При помощи этой же круговой диаграммы можно опреде-
лить к. п. д. передачи энергии из первичного контура во
вторичный:
_ Р, __ C0S ?2^-Л«2 = Ilfl2.C0S ?2
Аа1
§ 17 j Круговые диаграммы н-а основании векторных уравнений 169
Если мы сделаем следующее построение: продолжим линию
ЛлЛо Д° пересечения с горизонталью (точка с), затем соеди-
ним точки Ц и с и пересечем продолжения линии Ilkc и 1^с
произвольной горизонтальной линией ef, а также опустим из
точки Ц перпендикуляр Ixd на линию Ilkc, то из чертежа
следует:
Ца = сЦ • sin / Цса^
Ixd — • sin (<р2—?2Л) ~ * sin Z I\Cd,
cos <?2
или
__ /^2-cos I^-cos ср2 _£Zsin Z, Ixcd
ЛЛ1 4«rsin(?2—to) sin(<p2 — to)
= sin cosj?^ = Xcos ?2---------=/д (17>15)
SinZ,c/£ sin(?2—to) ec sin(?2 — to)
Поэтому если мы выберем отрезок ес равным
100 cos
ес — -------— миллиметрам,
sm(?2— to)
то отрезок ef, выраженный в миллиметрах, дает в процентах
к. п. д. всей схемы.
Фиг. 17,8.
Иногда требуется, например, при передаче энергии, чтобы
при постоянстве первичного напряжения на станции напря-
жение у потребителя сохраняло свою величину независимо
от мощности нагрузки. Этого можно добиться путем подклю-
чения параллельно к потребителю чисто реактивной нагрузки,
осуществляемой при посредстве так называемых синхронных
компенсаторов, представляющих собой работающие вхоло-
стую (без нагрузки) синхронные двигатели с широким регу-
лированием возбуждения (фиг. 17Д). Перевозбужденный син-
хронный компенсатор дает емкостную, а недовозбужденный
индуктивную реактивную нагрузку. Регулируя возбуждение
и изменяя характер и величину реактивного тока, включае-
мого параллельно к потребителю, можно регулировать вто-
ричное напряжение, поддерживая его постоянным и давая
ему в известных пределах значения большие и меньшие, чем
при холостом ходе.
170
Синусоидальные переменные токи
[гл. 1
Суммарный ток, подаваемый во вторичную сеть, может
быть выражен через [см. уравнение (14,1) и (14,19]:
/9 = й'- Ай?.. = й\— , (17,16)
в В \ А 7 Z2k ’ < •
Гт
где —— напряжение у вторичных зажимов четырех-
^4
полюсника при отсутствии какой бы то ни было нагрузки.
Фаза вторичного напряжения и вторичного тока опреде-
ляется помимо характера и величины нагрузки фазой первич-
ного напряжения Ux = AU2() ^или £720 = °Днако> чтобы
удобнее было вычерчивать диаграмму, примем за исходный
вектор вторичного напряжения, имеющий постоянную число-
вую величину и2—ти-Ои2, Тогда суммарный вторичный ток
на векторной диаграмме [уравнение (17,16)]:
/2 = — (Ос/20 — OU2]e —m^ U2U2Q-e
z2k
будет в масштабе щ1 = — определяться отрезком U2U2$
(фиг. 17,9).
Фиг. 17.9.
§' 17] Круговые диаграммы на основании векторных уравнений 171
При постоянстве первичного и вторичного напряжений
Z71 = tz-f720 = const (где а—числовое значение множителя Л)
и U2 = const конец вектора U2U20, а именно точка U20 будет
при разных режимах нагрузки лежать на окружности, описан-
ной из точки О радиусом OU20 — —. Вектор U2U22, рав-
ный
Т~Г~-— г г • г i f2ft г
muU2u.M=^r2J2-\-jx2J2^=z2ke I2,
составляет с направлением тока угол Поэтому если мы
к вектору U2 — тиОи2 проведем под углом ф2Л линию U2M,
то угол MU2U2Q будет на чертеже определять угол сдвига <р2
между напряжением U2 и /2. Это следует из того, что если
172А || О12 есть направление вектора тока, составляющего
с LJ^=z пъиОи2 угол <?2, т0 направление U2U2$ будет состав-
лять с О,U2 угол B(J2U2q = (o2k — ф2, а потому угол / U2q(J2o,—
— ?2Л ^^2^20 = ?2’
Проекция отрезка U2U2Q на линию U2M по величине равна
активной слагающей суммарного вторичного тока /2coscp2 =
= а длина перпендикуляра, опущенного из точки t720
на линию U2M, реактивной слагающей суммарного вторич-
ного тока Z2 sin = nij -U2Q)p.
Если значения этих отрезков помножить на вторичное
напряжение U2, то те же отрезки в масштабе
позволят нам непосредственно отмерить активную и реактив-
ную мощности всей вторичной цепи.
Pa — U2I2cos^2 = mp-U2p и Pr=U2I2sin<?2 = mp-U2Qp. (17,17)
Таким образом, для того чтобы при заданной мощности
Pa = mpU2p и при постоянном первичном напряжении U2Q =
= inиОи2$ вторичное напряжение имело неизменное значение,
равное U2 = ти0и2, необходимо, чтобы сдвиг между вторич-
ным напряжением и суммарным вторичным током равнялся бы
определенному углу <р2- Из диаграммы мы видим, что при ма-
лых мощностях,забираемых от вторичных зажимов (точка убу-
дет находиться ближе к точке U2\ нагрузка должна иметь резко
индуктивный характер с?2>0, при больших нагрузках (точ-
ка р'), напротив, ток должен опережать напряжение (угол с/2).
Q увеличением нагрузки вектор первичного напряжения $с§
172
Многофазные токи
[ о. 2
больше должен опережать вторичное напряжение. При отдаче
энергии во вторичную сеть конец вектора U2() будет пере-
мещаться от точки b влево. Когда точка СЛ>о совпадет с точ-
кой Ь, % = 90°, активная мощность равна нулю, для поддер-
жания напряжения необходимо нагрузить вторичные зажимы
чисто индуктивной нагрузкой. Часть круговой диаграммы
направо от точки b будет соответствовать режиму работы,
когда на стороне вторичных зажимов не будет забираться
энергия, а наоборот, на стороне вторичных зажимов будет
присоединен источник энергии — генератор. Это может иметь
место, когда вектор OU2 будет опережать вектор OIJ2Q. На
другой диаграмме фиг. 17,9 повторено то же самое построение,
когда вторичное напряжение при нагрузке больше, чем при
отсутствии какой бы то ни было нагрузки U2^>U20. Повышение
напряжения при нагрузке достигается наличием весьма боль-
шого опережающего тока. В этом случае суммарный вторич-
ный ток должен содержать еще большую опережающую
реактивную слагающую.
Для того чтобы суммарный вторичный ток имел к данной
активной слагающей еще определенную реактивную слагаю-
щую, как указывалось выше, параллельной потребителю
присоединяется так называемый синхронный компенсатор,
который дает необходимую величину реактивного тока. Так,
например, если т1-0Г,2 = /2, ток, забираемый потребителем,
то, для того чтобы при том же значении активной слагающей
(при той же мощности) ток имел бы сдвиг фаз ф2 и равнялся
бы /2 — nifll2i необходимо, чтобы от вторичных зажимов
брался еще добавочный реактивный ток = =
= ntj-rf2IГУ который и берется синхронным компенсатором.
ГЛАВА ВТОРАЯ
МНОГОФАЗНЫЕ ТОКИ
18. МНОГОФАЗНЫЕ СИСТЕМЫ
Под многофазной системой или системой
многофазных токов понимают систему нескольких
цепей переменного тока, в которых действуют э. д. с. одной
и той же частоты, но сдвинутые в своих фазах. Хотя в много-
фазных системах э. д. с. и токи могут изменяться по любому
закону, однако мы в этой главе будем рассматривать лишь
такие системы, в которых напряжения и токи изменяются
UQ закону синуса с одной и той же частотой.
§ 18]
Многофазные системы
173
Части цепей, по кото-
рым текут токи одной и
той же фазы, н. зываются
также фазами, соответ-
ствующие токи — фазо-
выми токами, а дей-
ствующие в фазах э. д. с.
и напряжения —фазо-
выми э. д. с. и напря-
жениями.
Таким образом слову
«фаза» приписывают кро-
ме понятия состояния ко-
лебания также и назва-
ние части цепи в много-
фазной системе.
Многофазная система
может быть получена сле-
дующим образом: на якоре
генератора, вращающемся
в магнитном поле, поме-
щается столько обмоток
или катушек, сдвинутых
по окружности якоря друг
относительно друга, сколько фаз имеется в системе (фиг.
18,1); э. д. с., наводимые в этих обмотках, будут одной и
той же частоты, но сдвинуты по фазе:
ei — sin е2 = Е2т sin (wt — aj; e3 = £3я1 sin (<o/— a2).
Многофазные системы могут быть подразделены на:
1) симметричные и несимметричные системы;
2) несвязанные (раздельные) и соединенные (сцеп-
ленные) системы; в сцепленных системах отдельные фазы
могут быть соединены или в звезду или в многоугольник,
однако мы можем иметь и смешанное соединение звездой и
многоугольником;
3) уравновешенные и неуравновешенные
системы.
Многофазная система является симметричной в том
случае, когда во всех фазах действуют э. д. с. одной и той же
амплитуды и когда э. д. с. в двух смежных фазах сдвинуты
на один и тот же угол а = —, где т — число фаз. В такой
174
Многофазные Токи
[ гл. 2
системе мгновенные значения э. д. с. в отдельные фазах
выражаются через:
ех — Ет sin wZ;
zr [ j. 2я \
e2 = cmsin ( шг-j
^3 —^sin (at—2 —
Ё^ = Ё-
2 л:
" j~71
£ 2 = Ее
. 2л:
• ~/2 m
E^ — Ee
Г 2”~
em = £,mSin «>/ — (in — 1)--
— j(m — 1) —
4=^
Фиг. 18,2.
(IE П
Эти э. д. с. могут быть представлены или при помощи
синусоид (фиг. 18,2), сдвинутых по фазе на угол — и даю-
щих мгновенные значения, или при помощи векторов, повер-
2~
нутых друг относительно друга на один и тот же угол ~ .
Векторы на диаграмме располагаются симметрично вокруг
центра, и если мы будем эти векторы складывать геометри-
чески, то получим правильный замыкающийся многоугольник,
т. е. в симметричной системе сумма векторов, а следова-
тельно, и сумма мгновенных значений э. д. с., равна нулю:
е\ 4“^2 4" + • • • -*гет —
или
^1+4+^+.. • = (18,2)
При схематическом изображении многофазных систем
ветви отдельных фаз, относятся ли они к генераторам или
§ 18]
Многофазные системы
175
к приемникам энергии, распо-
лагаются для наглядности на
чертеже таким образом, чтобы
углы между расположением
ветвей отдельных фаз соот-
ветствовали бы углам сдви-
га э. д. с. или напряжений,
действующих в этих ветвях
(или фазах) (см. фиг. 18,3 и
18,4).
Если число фаз системы четное, то, соединяя каждую
пару противоположных фаз последовательно, но в противо-
положном направлении (в контрсоединение), можно число фаз
сократить вдвое. На фиг. 18,3 изображена схематически
шестифазная система в виде шести симметрично расположен-
ных зигзагообразных линий, обращенных одними концами
к центру,- а другими — от центра. Если соединить противо-
положные фазы, например, первую и четвертую своими кон-
цами (не зажим аг с зажимом а зажим Ьх с зажимом Ь±
и соответственно Ь2 с Ьъ и Ь2 с #б), то шестифазную систему
можно преобразовать в трехфазную, в которой каждая фаза
состоит из двух взаимно противоположных фаз шестифазной
системы. В каждой фазе этой преобразованной системы бу-
дет действовать э. д. с., равная разности э. д. с. обеих со-
ставных частей:
ег — е± — Ет sin — Ет sin (о>/ — ^) _ 2Ет sin = 2^;
Ё. - Ё, = Ё. - (- = 2Ёи (18,3)
так как последние в любой момент равны и противоположны,
то э. д. с. в преобразованной системе будут иметь удвоенные
значения и будут сдвинуты по фазе на —, или 120°.
3
176
Многофазные токи
Г гл. 2
at
в.
-Л
rN'W'h*
ег
4т и*
аг
&з
1%
%
I 1
йз
и4 — Of 02 ___________а?
е4 ег
Фиг. 18,4.
последовательно (в контр-
Если
соединение) соединить противопо-
ложные фазы в симметричной че-
тырехфазной системе (фиг. 18,4), то
мы получим двухфазную систему
со сдвигом 90°:
eA — ex — e^ = Ет sin ш/ —
—Ет sin (at— = 2Ет sin w/ = 2#ь
^=2EmSin и eB = 2Emsin(at—yj.
Двухфазная система является системой несимметричной:
сумма фазовых э. д. с. не равна нулю. Двухфазная система
довольно часто применялась в первый период развития тех-
ники переменных токов (в США и во Франции). В настоящее
же время в технике сильных токов для передачи и распре-
деления энергии применяется почти исключительно трехфаз-
ная система.
19. СОЕДИНЕНИЕ ЗВЕЗДОЙ
В многофазных системах для передачи и распределения
энергии каждая фаза может быть соединена со своей отдель-
ной цепью и в то же время не иметь электрического соеди-
нения с другими фазами. Такая система ^представляет собой
т изолированных друг от друга цепей однофазного тока одной
И той же частоты, в которых э. д. с. сдвинуты друг отно-
§ 19]
Соединение звездой
177
Фиг. 19,1.
сительно друга. В симметричных системах угол сдвига равен
—. Такая несвязанная трехфазная система представлена на
т
фиг. 19,1.
При одинаковой нагрузке всех фаз э. д. с. (или напряже-
ния) и токи в каждой фазе определяются как:
e1 = Fmsin
е2 — Ет sin
\ in J
eg = Esin (Mt — 2 — Y
V in J
h — An sin (°^ —
, . / , Q 2it
?3 — 'm sin ( U)Z'J_ 2----------?
ems=^Em sinf — (m—r 1) —
A,= In sin Г Mt - (tn, - 1) -<? I,
или в векторной форме:
Fi = F;
— j—
Ё,= Е.е m-
— j2 —
Es = E-e m
— J(m- 1) —
Ёт = Ё.е m-
I2 = le m ;
-/2
/3 = ie m ; (19.1),
2т
— j(m— ) —
. (19,2)
В такой системе для соединения каждой фазы источника
энергии со своим приемником необходимы два провода (пря-
12 К. А. круг, т. II
178
Многофазные токй
t гл. 2
мой и обратный), всего 2 т проводов. Цепи отдельных фаз
можно электрически связать между собой, соединив все
обратные провода вместе в один провод (фиг. 19,2), сократив
при этом число проводов с 2 тгь до яг 1 (в трехфазной
системе с 6 до 4).
Такое соединение, в котором все фазы своими концами
соединяются в одну общую, так называемую нейтральную
или нулевую точку, называется соединением звездой.
В объединенном проводе, называемом нулевым или ней-
тральным, мгновенное значение тока при одинаковой
нагрузке всех фаз симметричной системы будет всегда равно
нулю, что следует из векторной диаграммы, в которой век-
торы тока, как и векторы э. д. с., представляются равными
отрезками, составляющими между собой равные углы:
—О,
ИЛИ
Л + 4 + Л + - • = (19,3)
Так как при тождественной нагрузке всех фаз ток в ней-
тральном проводе равен нулю и концы его имеют всегда один
и тот же потенциал (который может отличаться от потен-
циала вземли), то можно обойтись и без этого нейтрального
провода (сократив таким образом число проводов с 2 in до пг)
(фиг. 19,3 и 19,4).
В системах, соединенных звездой в одноименных фазах
генератора и приемника энергии, а также в соединительных
проводах, протекают одни и те же токи, равные по величине
и по фазе:
Zi = tA, i2 — i3 — ic ...,
А = 4=4. 4 = 4--- (19,4)
Соединение звездой
179
Фиг. 19,3.
Фазовые э. д. с. и токи (их положительные значения) в гене-
раторе считаются направленными от» нейтральной точки к
внешним зажимам, а фазовые напряжения и токи в прием-
нике энергии, если его рассматривать совместно с генерато-
ром, от внешних зажимов приемника энергии к его нейтраль-
ной точке.
Что касается так называемых линейных или между-
фазовых напряжений, т. е. напряжений между внеш-
ними зажимами генератора, приемника энергии или между
проводами, соединяющими внешние зажимы соответствующих
фаз генератора и приемника энергии, то мгновенные их зна-
12*
180 Многофазные токи [гл. 2
чения при отсутствии падения напряжения в генераторе и
в линии определяются как алгебраическая разность мгновен-
ных значений э. д. с., действующих в соответствующих фазах
генератора; так, в генераторе между зажимами а2 и аг
(фиг. 19,3 и 19,4; на пути ВОА действует э. д. с., равная
е21 — ех — е2 — Ет sin — Ет sin (<о/ —
= £2 sin — cos (^t — — = £Z7Z2sin — -sin АоЛ-j- — —(19,5)
m т V ™ J m \ 2 mJ
В векторной форме эта э. д. может быть выражена через
£2i — Вх Ё2-
(19,6)
что следует также из векторной диаграммы 19,5 и 19,6:
£21 — ти-Е2Е1 = 2Д£\ = 2ОЕг sin —,
Фиг. 19,5.
§19]
Соединение звездой
181
и вектор /?21 = опережает вектор Ег = т^ОЕ^ на
зажимами а2 и а2 (по пути а20а2), по величине и фазе опре-
деляется вектором
Е^2 № и ’ 3^2
и т. д. Эти э. д. с. создают вне генератора (по отношению
к внешней цепи) между зажимами генератора и приемника
энергии междуфазовые напряжения, положительные направ-
ления которых направлены от А к В, от В к С и соответ-
ственно от Аг к Въ от Вг к С\ и т. д.; векторы этих между-
фазовых напряжений образуют замкнутый правильный много-
угольник с числом сторон т, равным числу фаз. Эти между-
фазовые напряжения распадаются в приемнике энергии на
фазовые напряжения 77ь положительные значения ко-
торых направлены, как и положительные значения токов,
от зажимов приемника энергии к его нейтральной точке
(фиг. 19,3 и 19,4). При определении напряжений и токов
симметричные многофазные системы, в которых и генера-
тор и приемник энергии соединены в звезду, могут быть,
если мысленно коротко замкнуть нейтральные точки гене-
ратора и приемника энергии, разбиты на ряд независимых
однофазных неразветвленных цепей, для которых весьма
просто могут быть определены напряжения и токи и по-
строены соответствующие векторные диаграммы. Так пусть
э. д. с. одной, положим первой фазы генератора будет
(фиг. 19,7 и 19,8):
Ёг = mv • ОЕЪ
сопротивление одной фазы генератора Zx = i\ -f- Jxu сопро-
тивление линии, отнесенное к одной фазе, Z = r-\-jx и
Z2 = r2-\-Jx2 сопротивление одной фазы приемника энергии,
тогда ток в рассматриваемой фазе системы будет равен по
величине и фазе:
/ Д___________ _Ёхе =т, Ъ'1) (19,7)
^1 + Z + ^2 ^(Г1 + г + гг)2+ (Х14“ х -’г)3
где — угол сдвига между э. д. с. и током в генераторе
(19,8)
182
Многофазные токи
f гл. 2
Зная ток, мы можем найти фазовое напряжение между зажи-
мом первой фазы генератора и его нейтральной точкой, вычтя
из вектора э. д. с. фазы вектор падения напряжения в ней:
йА — Ёг~Z1/1 = m^OEi-j-EiAj — тцОА,
=-]хх1\-гхЦ = m^EJ+fA},
вектор—=x1l1e 2 = mu-E1f отстает от вектора тока
на 90°, а вектор — =
mi • fA имеет направле-
ние, противоположное на-
правлению вектора 7Х.
Если мы из напряже-
ния ОА вычтем падение
напряжения в линии, то
мы получим напряжение
между зажимом первой
фазы приемника энергии
по отношению к нейтраль-
ной точке генератора или,
что то же самое, по отно-
шению к нейтральной
точке приемника энергии,
т. е. фазовое напряжение,
действующее в первой
фазе приемника энергии.
Если построить такие
же векторные диаграммы
для всех других фаз, то
мы получим для рассмат-
риваемой системы так
называемую топогра-
фическую диаграм-
м у. Топографическими
диаграммами называются
такие диаграммы, в кото-
рых каждой точке систе-
мы на диаграмме соответ-
ствует определенная точ-
ка, положение которой
фиксируется вектором на-
пряжения этой точки си-
стемы по отношению [[к
§ 19]
Соединение звездой
183
какой нибудь другой точке, потенциал которой принимается
за нуль. В электротехнике понятию потенциала дают рас-
ширенное толкование, подразумевая под этим словом иногда
также и гармонически изменяющееся напряжение одной точ-
ки системы по отношению к другой, например, по отноше-
нию к точке, соединенной с землей.
Топографические диаграммы дают наглядное представле-
ние о распределении напряжения в системах и позволяют
определять напряжение по величине и фазе между любыми
двумя точками системы. Для этого достаточно соединить
соответствующие точки на диаграмме прямой линией, длина
которой определит величину искомого напряжения, а направ-
ление ее—фазу этого напряжения.
Так, в трехфазной системе междуфазовые напряжения
у генератора определяются отрезками:
U .— тп-ВА, йгп — т„‘СВ, UАО — тп-АС
ад и J со и 1 ас и
и у приемника энергии:
= ГГ1и * A±CX — ttlu • Д1СР
При сопоставлении схем соединений с векторными диаграм-
мами следует обратить внимание, что в схемах соединения
расположение фаз на чертеже является чисто условным;
так, трехфазная система с нулевым проводом может быть
изображена так, как это показано на фиг. 19,2. Далее при
вычерчивании векторной диаграммы, общей для генератора
и приемника, векторы токов, являющихся одними и теми же
как для генератора, так и для приемника энергии, направ-
ляются от начала координат, в то время как в приемнике
энергии токи считаются направленными к нейтральной точке.
Напряжения, действующие в цепи, мы рассматриваем как
составные части э. д. с. и считаем, что ток в каком-нибудь
сопротивлении совпадает с направлением действующего на
его концах напряжения и потому для приемника энергии
направление векторов напряжений и токов на векторной
диаграмме прямо противоположно принимаемым (положитель-
ным) направлениям напряжений и токов в ’общей схеме
соединения генератора и приемника энергии. Во избежание
этого расхождения при вычерчивании схем соединения
приемника энергии, независимо от генератора в схеме соеди-
нения положительные направления напряжений и токоц при-*
184
Многофазные токи
[ гл. 2
нимаются ' направленными от нейтральной точки, как это
показано на фиг. 19,9.
В наиболее часто встречающейся из многофазных систем
в трехфазной системе (фиг. 19,2 и 19,3) фазовые напряжения
Фиг. 19,9.
и токи при одинаковой нагрузке сдвинуты друг относительно
2 тс
друга на —, или на 120°:
3
sin Z! = /OTsin(<of — ср),
w3 = ^ms’n((B^—120°), Ь=1тsin (to t—120° — <p), > (19,9)
Ut = Um sin (ш t — 240°), h-Im sin (ш — ?40° — ®),
где ^1~Нз-М8 = 0.
Угол <о^=2 к ft измеряется в дуговых единицах, и в со-
ответствии с этим вместо 120° и 240° следовало бы писать
~ и 2—, но для наглядности удобно иногда сдвиг фаз
3 3
выражать в градусах.
В векторной форме те же
величины выражаются через:
Lj1=rlt J\
. 27С .
u2=uie 3, I2=fe 3 ,
2 ~ 2~
U3=Uie~j2~, ,
A 4"
(19,10),
§19]
Соединение звездой
185
Мгновенные значения междуфазовых напряжений в трех-
фазной системе, соединенной звездой, определяются через:
н21=м1 — u2=Um sin<H — Um sin (ад i— 120°) =
= Um • 2 sin 60° • sin (ад /+30°) = sin (ад /+30°);
п3 — V 3 Um sin (<» t—J-270°); 1
м1з — из—3 Um sin (ад 150°). /
(19,11)
В векторной форме те же междуфазовые напряжения изо-
бражаются следующим образом:
£/31 = йг — Ur.—mu-0Ul —ти • OU2—mu-U3Uj =
ТС тс
= mL!-\r6 OVxe b=K 3 Uге ”.
U3i=U2—U3—tnu-UsU2 = mu-y‘iOUye
= ^~^йге }'2 =—jV~3Ut
5 ТС
U13= U3— U1=mu-Uj7s=muV3OU1e ° =
5 тс
= ]/ 3 иге .
(19,12)
Междуфазовые или линейные напряжения в трехфазной
системе соединенной звездой, в / 3 раза больше фазовых
%=^13 =
В несимметричных системах, соединенных звездой, на-
пример, в m-фазной системе, где напряжения в отдельных
фазах сдвинуты друг относительно друга не нй угол —, а
т
на угол а=-- (фиг. 19,10), ток в нейтральном проводе даже
т
при одинаковой нагрузке не равен нулю. Ток в нейтральном
проводе по величине и направлению определяется замыкаю-
щей линией. О/0 многоугольника, построенного на векторах
186
Многофазные токи
(гл. 2
токов в отдельных фа-
зах. Если все фазы
одинаково нагружены,
то* при геометриче-
ском сложении векто-
ров тока вектор тока в
нулевом проводе полу-
чается в виде отрезка,
равного замыкающей
стороне половины пра-
вильного многоуголь-
ника:
Oh __ h
sin— sin Л (19,13)
2 2т 4 '
В несимметричную
систему может превра-
титься, например, сим-
метричная трехфазная
система, если одна ка-
кая-нибудь фаза присо-
единена неправильно,
например, если вторая
фаза (фиг. 19,11) при-
соединена в обратную
сторону, т. е. если с
нулевой точкой соеди-
няется не конец фазы
Ь2, а начало ее а2.
В этом случае, как это
следует из чертежа,
ток в нулевом прово-
де будет равен не
нулю а двойному фа-
Фиг. 19,10.
зовому току; междуфазовое напряжение между а3 и аг
будет равно К 3 Ub а между и Ь2 и между Ь2 и а3 оно
будет равно
К несимметричным
система (фиг. 19,12).
системам принадлежит и двухфазная
Напряжения и токи в этой системе
определяются как:
u1 = Um sin &t,
Uz~Um sin (о)/ —90°),
— ср), )
§ 19]
Соединение звездой
187
Если оба обратных провода соединить вместе, то ток в
общем нулевом проводе составит:
/0=Л + 4 = Iт sin О t — ?)-\-Im sin (<o t — 90° — cp)=
= /OT-2sin((»f — 45° — <p)• cos45° = V 2 /msin(W — 45° — ?),
или
l0 = ix Ц = тг01х -\-mi-OI2 = пц-OI0 = K 2 lxe
т. e. по величине равен току в одной из фаз, умноженному
на V 2 :
/0= /2 I
(19,16)
188
Многофазные токи [ гл. 2
и отстает от тока в первой фазе на угол в 45°. Междуфа-
зовое, или линейное, напряжение, т. е. напряжение между
зажимами и а2, равно
—u2—Um sin ubt—Um sin —90°) —V 2 Um sin (at 45°)
или ___ ________ ________
й21 = иг — U2—mu - — CU2=mu'U2U^
равно фазовому напряжению, умноженному на j/ 2 , и опе-
режает напряжение первой фазы на 45°.
20. СОЕДИНЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОМ
В соединении многоугольником все отдельные фазы
многофазной системы соединяются последовательно таким
образом, что как в генераторе, так и в приемнике энергии
конец одной фазы соединяется с началом следующей фазы.
При этом прямые и обратные провода двух смежных фаз
окажутся соединенными параллельно, и они могут быть за-
менены одним проводом, так что число проводов, соединяю-
щих генератор с приемником энергии, сокращается вдвое и
становится равным числу фаз (фиг. 20,1, 20,2 и 20,4). Соеди-
нение многоугольником в генераторах возможно лишь тогда,
когда сумма э. д. с. или напряжений во всех фазах равна
нулю, что мы имеем в. симметричной системе, в которой гео-
метрическая сумма векторов напряжений всех фаз составляет
замкнутый многоугольник (фиг. 20,3 и 20,5), в противном
случае может получиться короткое замыкание.
h
Фиг. 20,1.
§ 20]
Соединение многоугольником
189
Фиг. 20,2.
Фиг. 20,3.
190
.Многофазные токи
t гл. 2
При вычерчивании схем многофазных систем очередность
фаз принимается расположенной по стрелке часов таким об-
разом, чтобы э. д. с. напряжения и токи каждой следующей
фазы отставали (в симметричной системе на угол —) от тех
же величин предыдущей фазы. При таком вычерчивании в
замкнутой цепи, образуемой отдельными фазами, соединен-
ными многоугольником, положительное направление э. д. с.
и токов будет направлено против часовой стрелки, а в зам-
кнутой цепи приемника энергии положительные значения
напряжений и токов по часовой стрелке. При отсутствии
нагрузки, т. е. при отключенном приемнике энергии, в сим-
метричном генераторе, соединенном в многоугольник, при
геометрическом сложении векторов э. д. с. последовательных
§ 20]
Соединение многоугольником
191
фаз получается замкнутый правильный многоугольник со
столькими сторонами, сколько фаз в генераторе, и сумма
э. д. с. в замкнутой цепи генератора равна нулю, а потому
при отсутствии нагрузки ток в генераторе равен нулю.
В системе, соединенной многоугольником, напряжение
между смежными зажимами или проводами, соединяющими
генератор с приемником энергии, равняется по величине и
направлению напряжению на концах соответствующих фаз
(фиг. 20,2 и 20,4)
^АВ = ил^и^иф. (20,1)
Если и генератор и приемник энергии в симметричной
системе соединены оба в многоугольник, то токи в одно-
именных фазах генератора и приемника энергии также равны
между собой и «совпадают по фазе. Это вытекает из того, что
если мы каждый провод заменим двумя проводами и рас-
цепим соединения в вершинах многоугольника, то мы получим
неразветвленные цепи с одним и тем же током в соответ-
ствующих элементах системы.
Токи же в проводах линии не равны токам в фазах и
сдвинуты относительно них. Ток в линии равен разности
токов в двух смежных фазах. Токи в проводах мы будем
всегда считать направленными от генератора к приемнику
энергии (фиг. 20,4). Ток в каком-нибудь проводе равняется
разности токов в двух соприкасающихся фазах и притом
разности тока в последующей фазе и тока в предыдущей
фазе. Если нам дана /ft-фазная система, соединенная в много-
. - 2г,
угольник, то токи в двух смежных фазах сдвинуты на угол —.
Г 2г
iA = — im =Im sin («tf—<p) - Im sin (in—1) — — <?)
= /w-2sin — -sin -----с?
т L \ 2 т J
Такой же результат получается при геометрическом вычитании
(фиг. 20,5):
/л =Л— 1т = т! ОЦ — тг ОГт =
= • 2sin Ы-е
/. = 71-2sin —.
л т
(20,2)
192
•Многофазные токи
[ гл? 2
При соединении многоугольником, как и при соединении
звездой, сумма всех линейных токов равна нулю, действительно,
1А=1Х 1т, 1{^—12 1С~1>2 £3,...,
откуда
-Нс~Ь--==0- (20,3)
Это соотношение имеет место и при неравномерной на-
грузке.
В трехфазной симметричной системе, соединенной треуголь-
ником, токи в линейных проводах соответственно равны:
1А — г\ — Ц — Im sin (юг!—ср) — Im sin (ш/ — 240° — <?) =
—У 3 /msin (со/ — 30° — ср),
iB — УЗ /msin (v>t — 150°—ср),
ic = УЗ/^sin (oj/ — 270° — ср),
или в векторной форме:
1А = Л— Iз= • 01 j — т, • OIз = ч
— т, • ЦЦ — УЗ Це 6,
I В~У ЗЦе J~, (20>4>
ic=y3i/ 2 =/уз Ц-
При соединении треугольником в симметричной трехфазной
системе токи в подводящих проводах в У3 раза больше, чем
в фазах, образующих треугольник.
21. СИММЕТРИЧНЫЕ СМЕШАННЫЕ СОЕДИНЕНИЯ,
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИММЕТРИЧНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА
В СИММЕТРИЧНУЮ ЗВЕЗДУ И НАОБОРОТ
Соединение многоугольником может быть скомбинировано
с соединением звездой, например, генератор может быть соеди-
нен звездой, а приемник энергии—многоугольником, и наобо-
рот. Такое смешанное соединение для трехфазной системы
представлено на фиг. 21,1. В этом случае линейные токи
совпадают с фазовыми токами той части системы, которая
соединена звездой, а междуфазовое напряжение звезды равно
фазовому напряжению треугольника.
§ 21]
Симметричные смешанные соединения
193
При одинаковой нагрузке всех фаз в схемах со смешан-
ным соединением нахождение токов в фазах и линиях, а также
падений напряжения и напряжений у зажимов приемника
энергии проще всего достигается приведением (трансфигура-
цией) соединения многоугольником в эквивалентное соедине-
ние звездой. Трансфигурация производится так, чтобы при
тех же напряжениях между внешними зажимами в каждой
фазе действовала бы прежняя мощность, все токи в соедини-
тельных проводах (в линии) сохраняли бы свои прежние зна-
чения и сдвиги между напряжением и током в фазах были
бы те же, что и до трансфигурации.
Предположим, требуется преобразовать /n-фазную сим-
метричную систему, соединенную многоугольником, в такую
же /я-фазную систему, соединенную звездой (фиг. 21,2). Обо-
значим величины, относящиеся к одной фазе, в схеме много-
угольника через соответствующие буквы с индексами а:
.Та»
а величины, относящиеся к одной фазе звезды, через буквы
с индексом 1:
^1? Л, *^1» ?1'
Фазовый ток в звезде /х=/л равен току в линии, в много-
угольнике же ток в линии выражается через фазовый ток
следующим образом:
/ =/i=4 • 2sin — .
А т
13 К. А. Круг, т. II.
(21.1)
194
Многофазные токи
[rjf. 2
Фиг. 21,2.
Так как токи в подводящих проводах при трансфигурации
должны сохранить свое значение, а мощности и сдвиги в
каждой фазе должны также остаться без изменения:
UJX cos<pi=t/0/acos<p0; <pi—<ра;
rJi=raIah tg<Pi = tg?o =
ri га
то искомые сопротивления звезды выразятся следующим
образом через сопротивления многоугольника:
Л
I2 г
1а г — га
— —о7 Л Г
- 4sin2—-—
т
гх _ ха
----- }
Га 4sin2jL_
(21,2)
т
zx=-^—
4 sin2
т
Изменяя сопротивления каждой фазы согласно этим урав-
нениям, которые имеют силу только для симметричных систем
при одинаковой нагрузке, мы можем соединение фаз много-
угольником заменить соединением звездой; при этом фазовое
напряжение в звезде будет равно
иа
2sin_2L_
т
(21,3)
§ 21]
Симметричные смешанные соединения
195
так как при соединении многоугольником фазовые и линей-
ные напряжения равны, в соединении же звездой фазовые
и линейные напряжения связаны уравнением (21,3) и напря-
жения между внешними зажимами не должны изменяться
при трансфигурации.
Если требуется заменить трехфазный генератор, соединен-
ный в треугольник, эквивалентным генератором, соединен-
ным в звезду, то э. д. с. должны быть связаны таким же
соотношением, как и напряжения:
^i=—а—• (21,4)
2 sin——
т
Пользуясь этими формулами, можно сделать и наоборот:
соединение звездой, если это потребовалось бы, заменить экви-
валентным многоугольником. В этом случае сопротивления
многоугольника выразились бы через сопротивления звезды
следующим образом:
га=1\ • 4 sin2 — ; xa~==xi • 4 sin2 —,
т т
а напряжения и токи были бы:
U.^U^sin— и1а =—. (21,Ь)
А т 2sin_
т
При преобразовании трехфазных симметричных схем
(фиг. 21,3) имеем:
Л=УзЛ; ^ = 7=; j
ГА=ГЛ; (21,6)
г _ га х
г\—— и Xi —V’
3 3
т. е. при переходе от треугольника к звезде все сопротив-
ления надо уменьшить в три раза. Фазовые э. д. с. и на-
пряжения в звезде будут в КЗ раза меньше, а фазовые то-
ки в КЗ раза больше, чем э. д. с. напряжения и токи в
треугольн-ке. При преобразовании звезды в треугольник все
сопротивления надо увеличить в три^раза фазовые э. д. с,
и фазовое напряжение увеличить в КЗ раза, а фазовые токи
уменьшить в КЗ раза:
ra=3ri; ха = 3Х1; ^ = ^3; Ц=^=- (21>7)
13*
196
Многофазные токи
[ гл. 2
ФигЛ21,3.
Рассмотрим применение транс-
фигурации к симметричной системе,
когда генератор и приемник энер-
гии, соединенные в треугольник,
соединены между собой (линией)
проводами, падением напряжения
в которых нельзя пренебречь (фиг.
21,4). Заменяем генератор и п, ием-
ник энергии эквивалентным генера-
тором и приемником энергии, соединенными ~
э. д. с. трех фаз генератора, соединенного
будут:
звездой. Пусть
треугольником,
Ъ — Е&
а сопротивление одной его фазы
?ь Г а -|-JXai
§ 21]
Симметричные смешанные соединения
197
Фиг. 21,5.
сопротивление линии, отнесенное к одной фазе, Z=r4-/x
и сопротивление одной фазы приемника энергии, соединен’
ного треугольником,
Z=Zb=Zc=r'a\-jx'a.
При трансфигурации э. д. с. генератора, соединенной
р
звездой, будет Ег ——— и сопротивление одной его фазы
V з
—-f-/ —, а сопротивление одной фазы приемника энергии
3 3
при соединении его звездой будет — . Обозначим за-
3 3
жимы генератора и приемника энергии буквами Л, В, С и
Лр Z?p Ср фазы, противоположные этим зажимам в треуголь-
никах, будем снабжать индексами а, b и саз. д. с., напряже-
ния и сопротивления в фазах звезды-генератора и приемника
энертии, примыкающих к зажимам Л, В, С и Ль Вх и С19 ин-
дексами 1, 2 и 3.
Если Еа—э. д. с. в фазе а генератора, соединенного тре-
угольником, то э. д. с. в фазе 1 генератора, соединенного
звездой, будет (фиг. 21,5):
Е\=Еае <2'.8)
которая опережает э. д. с. в фазе а на 90°,
198
Многофазные токи
[ гл. 2
Выберем нейтральную точку генератора, соединенного
звезюй, за начальную и пусть вектор Ёх~ тцОЕх совпадает
с вертикалью. Ток в первой фазе звезды будет равен:
-------------------------Е- ----—> (21,9)
где
tgT1=-?---------5-. (21,10)
з з
Положение точек А, В, С на топографической диаграмме
определится, если из соответствующих векторов ОЕг, ОЕ3 и
ОЕ3 вычесть падение напряжения в сопротивлении фазы ге-
нератора:
'OA^OE1A-E^A> 0В = 07ч + Ё^В, ОС = ОЁ3+Ё£,
где
Стороны треугольника ВАС дают напряжения между зажи-
мами В и А, С и В, А и С. Таким же обр 1зом находится по-
ложение точек Аъ Bi и Съ если у точек А, В и С по-
строить векторы —и—niy-ZI^.
Треугольник ВгАхС1 своими сторонами представляет на-
пряжения между зажимами приемника энергии.
Что касается токов в фазах треугольника, то
= (2Ui)
и угол между векторами и [ъ равен 120°, причем вектор
Ц опережает вектор на угол 30°, поэтому если на век-
торе 01 х ~mi *О/г построить равнобедренный треугольник
на отрезке ОЦ с углами в 30® у основания, то
— — Ib=mrT^, Ii=mi'^Oli). (21,12)
§ 22] Мощность симметричных многофазных систем 199
22. МОЩНОСТЬ СИММЕТРИЧНЫХ МНОГОФАЗНЫХ СИСТЕМ
Мгновенная мощность переменного тока (см. § 2)
p = ui=Umsin at-/msin (at— <p) = -n^m [cos COS (2at—«)]
есть величина переменная, которая при среднем значении
£^2cos? = L7cos? (22,1)
изменяется с двойной частотой и достигает за период дваж-
ды своего максимума:
Ртах =Wos? -|-1) (22,2)
и дважды своего минимума, который имеет отрицательное
значение:
/’min=t7/(cos<p—1). (22,3)
Благодаря пульсациям мощности генераторы и моторы
однофазного тока испытывают переменный момент вращения,
и в этом отношении система однофазного тока представляет
собой систему неуравновешенную.
В многофазной системе мгновенная мощность равна сум-
ме мгновенных значений мощностей составляющих ее фаз.
Если нам дана яг-фазная симметричная система со сдвигом
2ti:
— между отдельными фазами (что соответствует сдвигу во
Т
времени —у то мгновенные мощности отдельных фаз соот-
ветственно равны:
Pi —«14 = p2 = u2t2= * и п = и i = = —[cos ф —cos (2o)Z — ср)]; — ^COS<P—COS ^2(1)^ — ^[cos<f> — cos ^2<i)/—2——> (22,4) ?/cos ®—cos [ 2at — (m — 1) —— <pl. 1 L w J y
200
Многофазные токи
[ гл. 2
При сложении сумма вторых членов дает нуль, а потому
мгновенная мощность:
p=Pi +р^ра-\-...-\-рт=т^^~ cos ^=mUI cos ^=Р (22,5)
в многофазной симметричной системе есть величина постоян-
ная, ье зависящая от времени. ,
Мгновенная мощность будет постоянна и тогда, когда
. 2п к
сдвиги между отдельными фазами равны не — , а — при
условии одинаковой нагрузки всех фаз, в силу того что мощ-
ность пульсирует с двойной частотой. В этом отношении си-
стема двухфазного тока, хотя она и представляет собой не-
симметричную систему, все же является системой уравнове^
шенной, так как сумма мгновенных мощностей двух ее фаз
равна среднему значению мощности обеих фаз:
рх—и^ = и(о/-Z^sin (W—?)= [cos ср — cos (2coZ — о)],
Л
p2—u2i2 =Um$An (tot — 90°)-/msin (uf— 90°—?)=
= —[cos ?— cos (2<»£— 180° — ?)],
2
p=pl-^p2 = 2^^cos<? = 2L7Zcost?=zP. (22,6)
Мгновенная мощность трех фаз симметричной трехфазной
системы в случае одинаковой нагрузки трех фаз определяет
ся как:
= 77msin <в t• /msin (to t — ?)= - т^т [cos ? — cos (2«)£—ср)];
р2 — u2i2 = f/msin (u> t — 120°) • /msin (tot — 120° — ?)—
[cos? — cos(2o) t—240° — ?];
Pa=uah = t'mSin (tot — 240°) • /msin (шг! — 240° — ?) =
[cos? — cos(2(o/— 120° — ?)];
P=?=A+ A+p з= 3 ^2 cos ? = ЗСГ /^cos ? (22,7)
&
§ 23]
Неравномерные нагрузки трехфазной системы
201
и равна средней мощности. В последнем уравнении иф и 1ф—
эффективные значения фазовых напряжений и токов, а <р—
угол сдвига между ними.
Обыкновенно в трехфазной системе даются линейное на-
пряжение и линейный ток, т. е. напряжение между зажимами
или проводами и ток в проводах, по которым передается
энергия.
В случае соединения звездой ток в фазе равен линейному
току 1ф~1л, а фазовое напряжение Уф=—•
В случае же соединения треугольником фазовое напряже-
ние равно линейному напряжению Пф=ил, а ток в фазе ра-
г
^=FF-
Поэтому мощность трехфазной системы в случае одина-
ковой нагрузки всех трех фаз независимо от схемы соедине-
ния может быть выражена одной и той же формулой:
Р = 3U#I$cos ср = V3£7/Лсоз ср = j/36Vcos ср, (22,8)
где U—эффективное значение линейного напряжения; I—эф-
фективное значение тока в линии; ср — угол сдвига не между
линейным напряжением и линейным током, а угол сдвига
между напряжением и током в фазе.
Рассмотренные выше системы при одинаковой нагрузке
фаз как системы, дающие постоянную мгновенную мощность,
являются системами, уравновешенными в отличие от систе-
мы однофазного тока и таких же многофазных систем с не-
одинаковой нагрузкой фаз.
23. НЕРАВНОМЕРНЫЕ НАГРУЗКИ ТРЕХФАЗНОЙ СИСТЕМЫ
При неодинаковой нагрузке многофазной системы симметрия
напряжений и токов в отдельных частях цепи может быть
в значительной мере нарушена. В таких случаях нельзя
свести расчет многофазной системы к расчету однофазной
цепи, и приходится прибегать к аналитическому способу
решения при помощи векторных (комплексных) уравнений.
Попутно полезно строить топографическую диаграмму напря-
жений.
Предположим, что к трехфазному генератору (или транс-
форматору), соединенному звездой (фиг. 23,1), внутренним
падением напряжения в котором мы можем пренебречь,
присоединен приемник энергии, соединенный звездой,
нейтральная точка которого соединена с нейтральной точкой
генератора, имеющим некоторое сопротивление.
202
Многофазные токи
[ гл. 2
Фиг. 23,2.
Фиг. 23,1.
Пусть фазовые напряжения
генератора имеют произволь-
ные значения, которые опре-
деляются на топографической
диаграмме положением точек
А, В и С, фиг. 32,2 соотве-
тствующих зажимам генера-
тора по отношению к нейтраль-
ной точке генератора О, при-
нимаемой нами за нуль
= z/Z/7 • CM, U2=niv • ОВ и -ОС\
и пусть проводимости звезды приемника энергии и нейтраль-
ного провода соответственно равны:
rs=l, r, = j-,
Zi Z2 Z3 Zg
Если напряжение точки А по отношению к точке О будет
{У^т^-ОА, то очевидно, что напряжение первой фазы при-
емника энергии будет:
U}r = U\— й()—ти- ОА-ти- 00' =ти- OfA,
а ток в первой фазе будет:
£isAI=ri(p1_i/e)
и аналогично токи в других двух фазах:
72=y2(tf3-tf0),
(23,1)
§ 23]
Неравномерные нагрузки трехфазной системы
203
Складывая все токи, мы получаем уравнение:
Л -"ЬЛ "НЛ—/0,
- ^о) - ц,)+Ш- Го)=у0й0,
из которого мы можем определить по величине и фазе на-
пряжение между нейтральной точкой приемника и нейтраль-
ной точкой генератора:
П — г2^2 + У*и3 _ хуу /9о 9ч
Uq~ у1+у2-|-уз+у0 ' — vy-ty0 •
Это напряжение определяется как сумма произведений
напряжений отдельных фаз на их проводимости, деленная
на сумму проводимостей всех фаз и проводимости нулевой
ветви.
От системы, соединенной в ззезду с нулевым проводом,
легко перейти к системе звезды без нуле юго провода. Для
этого следует лишь предположить, что при отсутствии со-
единения нулевых точек проводимость нулевой ветви Уо =
1 1 А
= — = — = 0 равна нулю, и тогда напряжение между нуле-
во СО
выми точками определится через
fr - + = ХУУ (23 Зл
У1 + У2 + У3 ХУ • k ’ 7
По величине UQ мы можем определить токи в отдельных
фазах по уравнениям (23,1).
Если нам задаются не фазовые напряжения, а линейные
напряжения, приложенные к концам фаз UBA, UCB и UAC
(фиг. 23,3), составляющие замкнутый треугольник, который
может быть и неравносторонним, то можно определить рас-
пределение напряжений и токов следующим образом:
Пусть искомые фазовые напряжения будут:
Ux — ти О A, U2 = ШуОВ и Uc = mu- ОС.
Они связаны с линейными напряжениями уравнениями:
й^й.-й,, исв =й2—й3, йАС^й3~йг.
Сумма токов, сходящихся в нулевой точке звезды, должна
равняться нулю:
204
Многофазные токи
[гл. 2
Фиг. 23,3.
Подставляя в последнее уравнение вместо й2 = йг—Uba
и U3 = Ux 4" ^ас> мы из уравнения:
YfiA-Y^-uBA} + к3(?71+гглс)=0
можем определить
Y^ba ~ Y^ac = y^b4 + Y3UCA
К1+У2+Г3
^Ч-Гг+Гз
= mu-OA (23,4)
и аналогично для других фаз:
Ygl^BC^YiU в а
Yi+Y^Ys
Y^ca + Y2Ucb
ri+Гг+Гз
строим векюр:
Y& BA'YYjUcA _
П+М-Гз
Зная же <71( U2 и U3, можно определить и токи /н/2и/3.
Для построения диаграммы вычерчиваем по трем сторонам,
пропорциональным заданным напряжениям UAB, UBC и UCAt
треугольник АВС, а затем у точки А
—U-i= — Шу - О A =mv-A0 = —
______________Y&AC
§ 23 ] Неравномерные нагрузки трехфазной системы 205
Значение вектора — =тц- АО может быть найдено или
вычислением или графическим путем. В последнем случае
разбиваем — на две слагающие:
У2^ АВ У 2т U ' АВ . У$ ' Uдс У^и ' АС
и находим их путем построения (фиг. 23,4). Для этого опре-
деляем вектор суммы проводимостей:
YY=Y1-\-Yt-\-Yi — mY • Охаг-\~ту- O^a^niy- Ota
и строим подобные треугольники:
ДД5Л1г<^ ДО1ая2 и /\ACI\f Д О^аа^
которые дадут нам отрезки АМ = АВ- AN'=AC •
Д
sr '
Геометрическая сумма этих отрезков:
__ (j Y О уз _________
•Л/У = -^7-2+-^-=ту. АО = - Д
и определяет положение нулевой точки звезды в векторной
диаграмме.
Фиг. 23,4.
206
/Многофазные токй
f гл. 2
Задача о неодинаковой нагрузке трехфазной системы,
соединенной в треугольник, решается просто, так как по за-
данным линейным напряжениям легко находятся токи в каж-
дой фазе. Для лучшей ориентации будем приписывать токам,
сопротивлениям и проводимостям в сторонах (фазах) треуголь-
ника в качестве индексов малые буквы, соответствующие
большим буквам противоположных вершин (фиг. 23,5). При
таком обозначении мы имеем:
Т --у TJ -- &СВ . т -у т‘т — АС
—1 аи СВ— z ’>1b—1[b(JAC— '
^YcUba=U-^. (23,5)
Токи в подводящих проводах определяются как геометри-
ческие разности токов в смежных фазах:
Л = 4-4,.',
. (23,6)
ic=ib-ia, >
Если векторы токов в фазах построить около какой-
нибудь точки О
!a~mi . Ба; -ob-, lc=ml • ос,
§ 23 ] Неравномерные нагрузки трехфазной системы 207
то линейные токи будут равчы взятьем в соответствующем
масштабе сторонам треугольника, вершинами которого яв-
ляются концы векторов токов в сторонах треугольника:
iA=mi Ь^1в=т1 -са, Ic=mI
Рассмотрим ряд частных случаев:
I. Кигда сопротивления или проводимости всех трех вет-
вей звезды равны между собой: У1=У2=У3, Это могут быть
или активные сопротивления, или индуктивности, или ем-
кости, или соединения из них. В этом случае нулевая точка
лежит в центре тяжести треугольника напряжений
(фиг. 23,6). Действительно, для этого случая:
[j я С А т U * АВ~\~т\з -АС ту-АМ
ABC
(23,7)
О
з
(нулевая точка лежит на одной
трети диагонали параллелограма,
построенного на двух сторонах
треугольника линейных напряже-
ний или на 2/з медианы, считая от
вершины треугольника).
И. Когда звезда состоит из
трех ветвей с одинаковыми
полными сопротивлениями, из £
которых одна представляет со-
бой реактивное сопротивление
„ 1 '
Л = ~— = —Zb а две Других
(фиг. 23,7)—сопротивление ак-
тивное в виде двух ламп нака-
ливания У2 = Уз=У> то пРи по-
мощи такой звезды можно опре-
3
A
в
Фиг. 23,6.
Фиг. 23,7.
208
Многофазные токи
[ гл. 2
делить последовательность фаз симметричной трехфазной
системы (U±-\-U8=О):
. _ —J'yui+yui+yus__ (j
Ua~ —Jy+y+y 2-j
2 4-;^
2+;
1 . .3 . .
=~TUl-TJUx-
Напряжение же каждой из фаз звезды (Ft, У2 и У3), если
мы систему координат выберем так же, как это показано на
фиг. 23,7, будет:
U'^Ui-U^^+j-U, ^ = 1,34 £7i;
5 5
1 VT 1 3
С7'2 = Ch— Uo= — v Ui—i — Ui + =
= —О.З^ —0,266/£7i; Z72 = 0,4£7x;
C73 = Us - Ua=~ \ Ut+j C7l+ ± £71+/| U. =
= — 0,3£A+ 1,466/^; ^=1,5^.
Если теперь построить на основании этих уравнений век-
торную диаграмму [)119 и'2 и и'39 то мы увидим, что лам-
почка, включенная в последующую фазу (третью), горит при
U5(7i
напряжении, примерно в 04^' —3,7b раз большем, чем лам-
почка во второй фазе (фиг. 23,7).
Если же в первую фазу включить емкость, то лампочка
во второй фазе будет, наоборот, гореть при большем напря-
жении, чем третья.
III. Когда ветви звезды состоят из однородных сопротив-
лений, дающих во всех фазах одинаковые сдвиги между фа-
зовыми напряжениями и токами:
V Х7 IZ ““Л
У1=Уге , Y2=y2e 9Y2=y2e ,
то уравнение для определения напряжения между нулевыми
точками весьма упрощается:
—-У1 ^2~кУз ^8
>’1+з/2“ЬУз
§ 23 j Неравномерные нагрузки трехфазной системы
209
/^YAUi— Uo)=e
^1г2^3 ___
Z\Z2Z3
(23,8)
и ток, например, в первой фазе будет:
—У? . . . .
У1 -V2( ^1— ^2) Ь713!з( &1— /73)
.Уг1О'2*ЕУз
_ u2Hz2( йг- //з) е .
zlz2~i~z2z3~]~z3zl
Если выбрать направление U^ — U— совпадающим с по-
ложительным направлением оси действительных величин (по-
ложим по вертикали), то:
и^й,= ~и+1^п
и
и~йа=^ v-j^-u,
а потому ток Ц в комплексной форме выразится через
3 УТ (z2~~z3) —Г<0 2 о Jr L = Ue , (23,9)
а числовое значение тока Ц будет равно:
11= -?--2 и. Z1Z2~\~Z2Z3~TZ3Z1 (23,40)
Токи в других фазах получаются путем круговой замены
индексов. Применяя последнюю формулу, удается иногда
определить распределение токов проще, чем при помощи ме-
тода симметричных составляющих.
IV. Когда два из трех однородных сопротивлений остают-
ся неизменными (фиг. 23,8), а одно меняется по своей вели-
чине:
—— л —л
; Уз — ; Yx — nyre
где п — числовой множитель, меняющийся в зависимости от
величины, введенной в первую фазу проводимости.
При такой нагрузке:
14 к. А. Круг, т. II.
_ У 2е ! ' ^АВУУ^ АС — У^АВ+Уъйлс ;
^+У^+У^ <Л+Л)(1+^)
210
Многофазные тОкй
(гл. 2
Фиг. 23,8.
вектор— с/р или линия АО, имеет постоянное направление,
т. е. при изменении нагрузки первой фазы нулевая точка пе-
ремещается по прямой линии. Когда пуА = 0, т. е. первая фа-
за разомкнута, то вторая и третья фазы будут соединены
последовательно, через них будет проходить один и тот же
ток (;/з = /2), и действующее на их концах напряжение
усв = тивс будет делиться ввиду однородности У2 и
прямо пропорционально сопротивлениям или обратно пропор-
ционально численным' значениям проводимостей второй и
третьей фаз. Поэтому при nYi=0 точка О будет находить-
ся на линии СВ и ее положение будет определяться из со-
отношения:
СМ _
СВ Z2-f~^3 ^2“Ь^з
Когда же /гК1=с», что соответствует короткому замыка-
нию первой фазы, нулевая точка будет совпадать с точкой А.
Таким образом, при изменении проводимости первой фазы
от 0 до или ее сопротивления от со до 0 нулевая точка
перемещается по линии МА от А к М, и геометрическое
место нулевой точки ограничивается отрезком AM.
24. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИНДУКТИВНОСТИ И ЕМКОСТИ
В ТРЕХФАЗНЫХ СИСТЕМАХ
На взаимодействии индуктивности и емкости основано из-
менение последовательности фаз (опрокидывание Фаз), кото-
рое наблюдается у приемников энергии, когда в одной вет-
ви трехфазной системы включено реактивное сопротивление
противоположного знака по сравнению с реактивным сопро-
тивлением приемника энергии.
Такой случай может иметь место, когда приемник пред-
ставляет большую индуктивность, например, ненагруженйый
асинхронный двигатель или ненагруженйый трансформатор,
соединенные в звезду, и когда в рассечку одной фазы вклю-
§24]
Взаимодействие индуктивности и емкости
211
чена емкость, например, если питание происходит от раз-
ветвленной кабельной сети, в которой одна жила питатель-
ного фидера имеет разрыв (фиг. 24,1). Пусть U19 Uv [J3 —Фа“
зовые напряжения генератора, питающего сеть, ZL—j^L —
индуктивное сопротивление каждой из трех фаз приемника
~ 1 nwL
энергии и Zc— —:;------------переменное реактивное сопро-
тивление емкости
У — -------!--- =-----=2---- ; = У3 ==
. / r 1 \ (1—n)&L &L
11 coL— )
\ /
Фиг. 24,1.
Нейтральная точка у приемника будет сдвинута относи
тельно нейтральной точки генератора на величину:
. . ..
г;-_ 6 и2+’3 й.л = 1-» JUi =
0 ГгН2+Г8 - > -j-j
\—1l
3—2/1 3—2л ’
3(1—п) й . .. • • —З/t/
Uo'A = in- Uo~ ; Л =к, U0,4 = ’
Благодаря включению в первую фазу емкости равносто-
ронность треугольника напряжения у приемника энергии бу-
дет искажаться. Чтобы определить влияние емкости, мы долж-
ны определить напряжение между точками А и Д'
иАА’^ zci^=--------Ь- = — Д- ифЛ= .
с /<оС J 3—2л и
14*
212
Многофазные токи
L гл. 2
Последнее уравнение указывает, что на топографиче-
ской диаграмме точка А' при разных значениях п будет пере-
мещаться по линии, совпадающей с направлениемUx—muOA.
Когда С=от или п—0, что равноценно короткому замыка-
нию точек А и А', эти точки будут иметь один и тот же по-
тенциал, и они на диаграмме совпадут. По мере уменьшения
емкости, но при условии — и — < — ш/, или<оСА> —,
2 о)С 2 3
точка А' будет перемещаться по вертикали вверх [^лл, >0].
3 13
Когда — или — = — <оА, наступит резонанс напряже-
2 и>С 2
ний в первой фазе, и теоретически точка А' переместится в
бесконечность вверх. Когда —, т. е. век"
тор U АА, = mA А' будет отрицателен, и точка Л' окажется
ниже линии СВ. При этом изменится (опрокинется) последо-
вательность фаз, т. е. если в сети последовательность фаз
АВС направлена по часовой стрелке, то у приемника после-
довательность фаз будет А’ВС и будет направлена против
часовой стрелки. Когда п=3 или—^—= 3wZ, точка Аг будет
соС
совпадать с вершиной правильного треугольника А'ВС,
т. е. на приемник энергии будет действовать симметричная
система А'ВС, но с обратной последовательностью фаз.
И наконец, когда С=0, что равноценно полному отключению
первой фазы, точка А' совпадет с точкой М, ибо в этом слу-
чае вторая и третья фазы окажутся соединенными последо-
вательно без ответвлений. Таким образом, геометрическим
местом вершин искаженных треугольников у приемника энер-
гии будет прямая линия от точки А вверх и от точки М
вниз.
При помощи надлежащим образом подобранных индуктив-
ностей и емкостей, включаемых последовательно с фазами
несимметричного приемника энергии, можно добиться одина-
ковой нагрузки всех фаз симметричного генератора (фиг. 24,2)
Пусть три неодинаковых сопротивления Zi = r1-{-ix1, Z2—.
=r3-\-jx2 и Zs=r2-\-jxs соединены в звезду и /х/, /х2' и jx3—
реактивные, искомые, подлежащие определению сопротивле-
ния, индуктивные или емкостные (х положительно или отри-
цательно), введенные последовательно с Zx, Z2 и Z3 в фазы
звезды, которая питается от симметричной трехфазной систе-
. _fZ.
мы с фазовыми напряжениями йи й2—йхе з И U3—Uxe
При симметричной нагрузке генератора токи в фазах звезды
должны быть равны и отставать друг от друга на 120°.
§ 24 1
Взаимодействие индуктивности и емкости
213
Фиг. 24,2.
Если UQ—напряжение нейтральной точки звезды по отноше-
нию к нейтральной точке генератора, то токи будут:
• 2~
_ • —j т _и'е } 3
2— 16? — ZiH-A?
/3—I хе
(24,2)
Определяем из этих уравнений сопротивления звезды:
. 2^
. ] Г
7 и. . , и, и.е
Ч~JX1 т 9 ^2 + JX2 — j ' У И
^'3~И/Л’з — т
Л
. 4^
r: J 3
Задача эта допускает множество решений. Приравниваем
U\ . . (п+^+'з)
Д =г+ух=--------
Л 3
. (x1+v2+vb)
+J------3—
(24,3)
где г и х — средние значения активных и реактивных сопро-
тивлений заданной звезды; обозначим через;
^оН“/А'0= -А (24,4)
214
Многофазные токи
[ гл. 2
пока нам неизвестное значение отношения Тогда мы по-
Л
лучаем три уравнения:
№ 2т: ... 2л 1 , .Уз 1 .}<3~
е 3=cos -+/SH1 - = — ,е J,
г у +Jx1^jx'1=r-\-jx—r0—Jx0,
r2~i~/x2~\~Jx2—r~\~1Х—(ro+A'o)(-2~ ) =
_ -I r° I ^3X0./, -‘о г0У 8 \
“Г 2 "I" 2 "ГД^Т 2 2 /’
'з+Аз +Аз' = Г н- +/ (*+? + т) • <24’5>
Так как вещественные и мнимые члены обеих сторон этих
уравнений должны быть тождественно равны, то
. го , Узх0 , го У*3хо
Г1=Г—г0, г2 = г+- + -у1 иг3 = г+у-----эти равен-
ства позволяют нам определять г0 и х0:
Приравнивая мнимые части уравнений и подставляя г0 и х0>
мы можем вычислить значения х'2 и х\,
уv______Х1 + х2 ~h хз v v __ Х2 + хз — 2*1
Ai—л ло Л1— Q Л1 ло— ~ о • j‘
и о
Ъ—Гз
У~Т
и путем круговой замены находим, что
ri _ *з + *"1 — 2хг га г, , _ Xj -f х8 —• 2х3 Г1 — r2
*2- 3 ГТ И з~ 3 '
Если сложить эти уравнения, то мы после сокращении
подучаем, что
(24,7)
Это равенство может быть удовлетворено только при усдо,п
вии, что л/р х'з и х?3 не будут иметь одинаковые знаки, т. е»,
что если а одну фазу вводитса индуктивность, то, по край»,
ней мере в одну из даух други? фаз должнд быть, введена
едЖТЬ и оборот.. велншм ввля’
§ 24]
Взаимодействие .индуктивиости и емкости
215
ются минимальными значениями реактивных сопротивлений,
подлежащих включению в соответствующие фазы приемника
энергии, но так как симметричная нагрузка симметричного
генератора не может быть нарушена, если в каждую из фаз
ввести дополнительно одно и то же сопротивление, то к
найденным величинам х'2 и х'3 мы можем прибавить лю-
бые одинаковые индуктивные (положительные) или емкост-
ные реактивные сопротивления, другими словами, добиться
симметричной нагрузки генератора, вводя в фазы несиммет-
ричной звезды нагрузки или одни индуктивные или одни
емкостные нагрузки.
Интерес представляет схема катушки Петерсена, приме-
няемой в трехфазных электропередачах для гашения дуг
при случайных заземлениях одной какой-нибудь фазы. Каж-
дая фаза линии передачи обладает по отношению к земле
определенной емкостью. Катушка Петерсена включается ме-
жду нейтральной точкой трансформатора (или генератора)
и землей (фиг. 24,3). Определим условия, при которых ток
в заземляющем сопротивлении г = — при всяком значении г
будет равен нулю. Положим, что заземляется третья фаза
линии. Приведем схему соединения в более удобный вид
(фиг. 24,4) и пусть проводимости емкости первой и второй
фазы равняются = Y2 — J^C, а проводимость третьей фазы
С. Напряжение между точками (У и О, т. е. меж-
ду землей и нейтральной точкой трансформатора, опреде-
лится через
U = = J^^i + j^CU2 + (g+j^C)iJ3
— —1—
CD L
= j^C{U, + U2 + lJ3)^gU3
g + J f з c — — 'J
В симметричном генераторе U1-\rU2-\-U3 — 0. Следова-
тельно,
U ___________________
и о ~ - / 1 \ •
» 4- /( з с — — \
\ CD £/
Напряжение между С н О' составляете
al f I ( 3 0> С ™
+ rf r) g )
' \ \
216
Многофазные токи
[ гл. 2
Фиг, 24,3.
Фиг. 24,4.
а ток в заземляющей ветви:
j (зшС —
i.=gu’, = ^7—'-Ц-Л.
s+l{3"c^~L}
Ток при всяких значениях g будет равен нулю, когда
ЗшС-----— = 0.
о) L
и когда таким образом индуктивность катушки Петерсена
В этом случае при всяком соединении какой-нибудь из
трех фаз с землей даже через конечное сопротивление (г —
соответствующая фаза приобретает потенциал земли;
у = и и\-и,-и
§ 25]
Преобразование многоугольника в звезду
217
25. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКА В ЗВЕЗДУ И ОБРАТНО
Когда приемник энергии соединен в треугольник, то при
неодинаковой нагрузке фаз линейные токи получаются не-
равными, следовательно, и падения напряжения в отдельных
проводах получаются также неодинаковыми. Поэтому прихо-
дится превращать треугольник в эквивалентную звезду и
к полному сопротивлению каждой фазы эквивалентной звезды
прибавлять полное сопротивление соответствующего провода
линии и уже для такой звезды находить распределение токов
и напряжений. Затем, вычтя из напряжения источника энер-
гии падение напряжения в проводах, можно определить на-
пряжения на зажимах приемника энергии и токи в отдельных
его фазах.
Преобразование треугольника в эквивалентную звезду
было нами уже рассмотрено в томе I. Поэтому, не повторяя
приведенных там рассуждений, напишем соответствующие
соотношения, заменив сопротивления через комплексные вы-
ражения полных сопротивлений и проводимости—через ком-
плексные выражения полных проводимостей (фиг. 25,1):
(25,1)
где Z2, Z3—полные сопротивления фаз звезды, примы-
кающих к зажимам Л, В и С; Za, Zb и Zc—полные сопроти-
вления фаз треугольника, противолежащих зажимам А, В и С.
При обратном преобразовании звезды в треугольник полные
Фиг. 24Д
.218
Многофазные токи
(гл. 2
приводимости фаз треугольника будут находиться в следую-
щем соотношении с полными проводимостями звезды:
,z
r3h
ь —
(25,2)
1 г2
где У,==—, У3 = —, Yb — — относятся к фазам звезды, а
Zi Z2 Z3
к
—, Уь = ~, Уг = —
у ’ ° у ’ С -7
Фиг. 25,2.
Z
А'
Z
Z
С-МАЛАЛ
В'
К многократной трансфигурации звез-
ды в треугольник и обратно приходится
прибегать в тех случаях, когда, напри-
мер, к линии с значительным падением
напряжения присоединены параллельно
приемники энергии с неодинаковой на-
грузкой фаз, соединенные в звезду (фиг.
25,2). Для нахождения распределения
напряжений и токов сначала каждую
из двух звезд Z'3, Z'3 и Z'u Z\>
трансфигурируют в треугольник и
определяют проводимости соответствующих фаз У'о1 У\, У'€
и гв, У%, У"с] затем складывают проводимости одноимен-
ных сторон обоих треугольников, соединенных параллельно:
re+r0~re,
§ 25]
Преобразование многоугольника в звезду
219
Заменив две параллельные звезды одним эквивалентным
треугольником, преобразовывают последний в звезду Z1? Z2, Z3
и таким образом упрощают всю схему, приведя ее к одной
звезде Z-\-Zu Z-f-Z2, Z-j-Z3, для которой уже нетрудно,
как было показано выше, определить токи в отдельных фа-
зах, а также и напряжения между точками Л', В' и С1. Зная
напряжения между началами фаз приемников энергии Z\, Z'2, Z'3
и Z'\, Z"2, Z"3, мы можем определить токи и напряжения
в каждой из фаз.
Преобразование /n-фазной (яг-лучевой) звезды с не-
одинаковыми сопротивлениями фаз в эквивалентный много-
угольник (фиг. 25,3) возможно лишь, когда в многоугольнике
кроме сопротивлений между смежными вершинами будут
включены еще сопротивления в диагонали многоугольника.
Фиг. 25,3.
Фиг. 25,4.
Пусть {/и — напряжения концов заданной звезды
по отношению к какой-нибудь произвольной точке и Y\= — >
Y2= — = —----проводимости отдельных фаз звезды.
Обозначим через [/0 напряжение нулевой точки звезды по
отношению к -той точке, к которой нам даны напряжения
концов звезды. Тогда токи, притекающие извне к фазам
звезды, могут бЫть выражены через
(25,3),
а так как сумма токов, сходящихся и ну ледой точке, долж'
На равняться нулкз, то
220 Многофазные токи [ гл. 2
И
h—tn „ , . . ч Л=/п _z . . krm
Е Y^Uk—U^ Е Ykuk — u0 S Yk =
k=l A-l k=l
= T YkUk-YoUo^O, (25>4)
k^l
где
Y0 = ~~ = Л + Y2 + .. + Km= -j- + -y- + ••+ (25.5)
Z.Q Zj Zg t'fn
эквивалентная проводимость, если сопротивления всех фаз
звезды соединить параллельно. Уравнение (25,4) позволяет
нам определить напряжение нулевой точки
Й = -^ТГ.С7. (25,6)
'0 text
и ток, например, в первой фазе звезды
<25’7>
Г0 k- 1
С другой стороны, при замене звезды многоугольником
(фиг. 25,4,) ток /р подводимый извне, например, к первому
зажиму многоугольника, должен равняться сумме токов во
всех ветвях, примыкающих к этому зажиму. Эти токи будут:
7и = y 12(й^— й2), 112=y^и,— # 3)„„ iim=YZm(ux— йт)
всего т—1 токов, поэтому
. . . . , , . . k-=m k—m т_ . хл,—
А = Л3+Л3 + - + /1ш= и. Е Yik— Е rlft-1/*.(25,8)
k—2 kx2
Так как при одних и тех же напряжениях концов звезды и
вершин многоугольника подводимые токи должны иметь од-
но и то же значение, то j для звезды и многоугольника
должны быть равны [уравнения (25,7) и (25,8)], поэтому
IZ • Y1 тл • • к~т v k-m V
YyUi—~~- S YtUk=Ui £ Yu— £ YXkn
k=2 k=^2
или, если раскрыть суммы
7r_Zil\ fr г,к2 . . __22kt7-...=
( 11 Y I Ui - (Ji Ch'-- v uk
\ Q / *0 *0 '0
₽ 2 ^18(7^ ••• ’-v (25*9)
§ 26 J Измерение мощности трехфазного тОка ‘>21
Так как это равенство должно иметь силу при всяких зна-
чениях £/, то соответственные коэфициенты при и должны
быть равны
У 2 k~.ni
----L — Е
__ z Н 3
13 у , • • •
' о
(25,10)
V ___ Г И 2
1 12 — — i
Y О
у -Y'Yk
1 ik -------
Y о
проводимость
что
(25,11)
Отсюда следует,
две вершины многоугольника, должна
нию проводимостей тех двух фаз звезды, которые примыкают
к соответствующим концам звезды, деленному на эквива-
лентную проводимость всех фаз звезды, соединенных парал-
лельно, или если взять обратные величины,
у 2п'2k
^nk — 7
Мы получаем, что (полное) сопротивление ветви между
двумя вершинами многоугольника п и k равно произведению
сопротивлений соответствующих двух фаз звезды, деленному
на сопротивление, эквивалентное сопротивлению, если все
фазы соединить параллельно. Таких уравнений, как (25,10)
и (25,11) мы можем составить для каждой вершины т—1, а
всего, учитывая, что каждая ветвь примыкает к двум вер-
шинам —1) уравнений.
Если отрешиться от диагоналей в многоугольнике, поло-
жив ZrtX=oo, или Улк = 0, то уравнения (25,10) и (25,11) бу-
дут удовлетворяться лишь для случая треугольника.
Обратная задача преобразования многоугольника в экви-
валентную звезду в общем случае неразрешима, так как для
определения сопротивлений т фаз требуется лишь т, урав-
нений, а т неизвестных сопротивлений звезды должны удов-
летворять 1) уравнениям, что в общем случае не-
выполнимо.
Взаимное преобразование многоугольника (без диагоналей)
в звезду и обратно возможно лишь для трехконечной звез-
ды и треугольника, так как в этом случае число уравнений
-у • 3-(3—1) = 3 соответствует числу неизвестных.
26. ИЗМЕРЕНИЕ МОЩНОСТИ ТРЕХФАЗНОГО ТОКА
Для измерения мощности многофазной системы в общем
случае необходимо измерить мощность каждой фазы, а за-
тем сложить мощности отдельных фаз. При одинаковой на-
грузке симметричной многофазной системы достаточно изме-
ветви, соединяющей'1
равняться произведем
222
Миоюфазиые токи
[ гл. 2
рить мощность одной фазы и полученный результат умно-
жить на число фаз.
При одинаковой нагрузке симметричной трехфазной систе-
мы мощность одной фазы может быть измерена в случае
звезды путем включения толстой обмотки ваттметра в линию,
а тонкой—между линией и нулевой точкой (фиг. 26,1) а при
соединении треугольником—включением толстой обмотки
ваттметра в разрез фазы, а тонкой его обмотки—к концам
соответствующей фазы (фиг. 26,2).
Если нулевая точка недоступна или треугольник не мо-
жет быть разъединен, то при одинаковой нагрузке фаз мощ-
ность может быть измерена при помощи одного ваттметра.
Для этого нужно создать искусственную нулевую точку,
при помощи трех сопротивлений г19 г2 и г3, как это показа-
но на фиг. 26,3. Если г—сопротивление тонкой обмотки ватт-
Фиг. 26,3.
§ 26]
Измерение мощности трехфазного тока
223
метра, то при усло-
вии, что г-\-т\—г2—
—г3, искусственная
нулевая точка совпа-
дает с центром пра-
вильного треуголь-
ника напряжений
АВС, и показания
ваттметра равны од-
ной трети общей
мощности.
Реактивная мощность трехфазной
системы при одинаковой нагрузке фаз
может быть измерена одним ваттмет-
ром, если толстую обмотку ваттметра
включить в один провод линии, ~ а
концы тонкой обмотки соединить с
двумя другими проводами (фиг. 26,4),
показания ваттметра будут равны:
(26,1)
Pr — U22Ixcqs (90—3U /sin ср.
При неодинаковой нагрузке трех фаз можно включить три
ваттметра—по одному в каждую фазу, соединив вторые концы
тонких обмоток или с нулевой точкой, если она имеется и
доступна, или с искусственной нулевой точкой (фиг. 26,5).
Если мы обозначим через щ, и29 и и3 мгновенные фазовые'
напряжения у приемника энергии, а через z/0— напряжение
между искусственной нулевой точкой и нулевой точкой при-
емника энергии, то мгновенные мощности, учитываемые ватт-
метрами, выразятся через
p\ = u\h = {ih—u^i^px—u^y,
pr 2 — ll' 2i2 — (U2 ^о)^2 = Рч
р*з = ^3^3 = («3 з =/>з ЗДи
224
Многофазные токи
Так как в приемнике энергии
Л~Н*2“Нз —о,
то
P,i~JrP,2JrP,3—Pi "гА+Рз (26,4)
(сумма показаний ваттметров) будет правильно учитывать
мощность приемника энергии, хотя измеряемая каждым ватт-
метром мощность и не будет равна мощности соответствую-
щей фазы. Включенные ваттметры будут правильно учиты-
вать мощность и тогда, когда приемник энергии соединен в
треугольник.
Фиг. 26,6, Фиг. 26,7.
Обыкновенно для измерения мощности трехфазного тока
при неодинаковой нагрузке пользуются двумя ваттметрами,
включенными по схеме Арона, а именно таким образом, что
толстые обмотки двух ваттметров включаются в два провода
линий, а тонкие—между соответствующим проводом и третьим
проводом (фиг. 26,6 и 26,7).
Мощность, учитываемая в какой-нибудь момэнт времени
первым ваттметром, при соединении приемника энергии в
звезду (фиг. 26,6) равна
а вторым ваттметром
^ВС^'В ^ВС^2 = (^2 ^з)^2’
§ 26]
Измерение мощности трехфазного тока
225
Сумма мгновенных мощностей, учитываемая обоими ватт-
метрами, в виду того что Л-Нз-Нз=0>
(«1 — + («3 — «3)z2=-\-u2i2 —
—«3(h+^)=«lZl+«2^2+«3b
(26,3)
равна мгновенной мощности всех трех фаз, независимо от то-
го, будут ли фазы одинаково нагружены или нет.
То же самое мы имеем в случае соединения приемника
энергии треугольником (фиг. 26,7). На долю первого ваттмет-
ра приходится
иАС^А ~ UCA^c h) ~UCA^b UCA^e^
а на долю второго
и В ci В ~ й ВС^a ic)~u вс^а UBC^c*
Так как для замкнутого контура
иАВ~^~ПВС~^иСА =0»
то мы получаем, что мощность, измеряемая обоими ваттмет-
рами,
11AciA~\~UBciB~UB(/a~\~UCA^b (UBC 4~ йСд)^ =
иВС^аЛ~исА^Ь UAB^C (26,4)
равна мощности всей системы, независимо от того, как на-
гружены фазы.
Таким образом, два ваттметра, соединенных по схеме Аро-
на, измеряют всю мощность трехфазной системы, независимо
от схемы соединения приемника энергии и при любой на-
грузке каждой из ее фаз.
Правильность схемы Арона вытекает также из того сооб-
ражения, что, так как сумма токов в трех проводах равна
нулю, мы два провода можем рассматривать как прямые про-
вода, а третий — как общий обратный провод, поэтому два
ваттметра должны учитывать общую мощность.
Показание первого ваттметра будет определять мощность
= ас^a cos ( ^дс» 4),
а второго
Р2 — ивс1Bcos (UВс, 1в ).
15 к. А. Круг, т. 11.
226
Многофазные токи
[ гл. 2 и 3
При одинаковой нагрузке всех трех фаз показания ватт-
метров, как видно из фиг. 26,8, выразятся через
Л = UACjAcos (<р — 30°) = СЛ cos (с? — 30°) (26,5)
и
P2^UBClBcos (ср H-30°) = L7cos (с?4-30°). (26,6)
Фиг. 26,8.
Если мы сложим и вычтем показания ваттметров, то по-
лучим:
р=р1-|_рз - t//[cos ( ф - 30°)-{-cos (тЧ-ЗО0)] =
= Ul-2cos cos 30° = [/3£71 cos <?;
Pj — P^ — U / [cos (<p—30°) — cos£?-|-300)] =
= £/7-2sin<p •sin30°=J7/sin<p.
Разделив второе уравнение на первое, мы можем опреде-
лить тангенс угла сдвига:
(26,7)
Последняя формула для определения сдвига фаз приме-
нима лишь при синусоидальных токах и при полной тожде-
ственности всех трех фаз. При неодинаковой нагрузке и при
§ 27]
Периодические функции и ряд Фурье
наличии высших гармоник этот метод определения сдвига
фаз дает неправильные результаты.
Как видно из вышеприведенных уравнений, показания
обоих ваттметров при одинаковой нагрузке будут одинаковы
лишь в том случае, когда сдвиг между напряжением и током
в фазах равен нулю, ?=0, т. е. при чисто активной нагрузке.
В противном случае даже при одинаковой нагрузке всех трех
фаз один ваттметр будет показывать больше другого. При
индуктивной нагрузке когда ?>60°, угол между UBC и
будет больше 90°, и первый ваттметр даст отрицательное по-
казание. Так как стрелки ваттметров дают обыкновенно от-
клонение только в одну сторону, то тонкую обмотку одного
ваттметра приходится переключать, и в этом случае для
получения общей мощности следует брать не сумму, а раз-
ность показаний обоих ваттметров.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ТОКИ
27. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И РЯД ФУРЬЕ
До сих пор явления переменного тока рассматривались
нами в предположении, что э. д. с. изменяются гармонически
по закону синуса, и было найдено, что при синусоидаль-
ных э. д. с. и при неизменном значении элементов цепи г,
L и С токи изменяются также по закону синуса с той же
частотой. На самом же деле на практике приходится иметь
дело не с синусоидами, а с более или менее сложными иска-
женными кривыми. Так, э. д. с., наводимые в генераторах,
отступают от синусоиды в зависимости от распределения
индукционных линий магнитного потока в воздушном зазоре,
которое может меняться в зависимости от нагрузки. Затем
даже при синусоидальных э. д. с. форма кривой тока может
резко отличаться от синусоиды как вследствие изменения
активного сопротивления (например, если в цепь введена
вольтова дуга),^так и вследствие реактивного сопротивления
(например, если в цепи имеется индукционная катушка с
насыщенным железным сердечником).
Явления, происходящие в цепях с несинусоидальными
э. д. с., проще всего поддаются исследованию, если несину-
соидальную э. д. с., периодически меняющуюся, разложить
на сумму постоянной слагающей и ряда из переменных сла-
гающих, состоящего из основной синусоиды, меняющейся с
таким же числом периодов, как и заданная кривая э. д. с.,
и высших гармонических синусоид, число периодов которых
в 2, 3, 4, 5,,.. раз больше числа периодов основной синусоиды.
228
НесинусоиДаЛьные переменные токи
( гл. 3
Фурье показал, что всякую конечную периодическую
функцию, получающую через равные промежутки времени
те же значения,
Я<оО=ЛК*4-7),] или /(а)=/(а+2к) (27,1)
можно разложить в тригонометрический ряд или в ряд сину-
соидальных функций:
/(<»/)=4+4 sin (<i)f-{-'}’i)+4 Sin (2а>£Ц-Фа)+
k=oo
+4 sin (3<о/ 4-ф3)4-...=40+ J] Ak sin
/г--1
или
/(х)=4+4 sin (х+Ф1)+Я2 sin (2л>Нз)+
+4 sin (Зх-Нз)4-=4 + ^4 sin (£х-Ш). ^27,2^
A—1
Синусоида Д= sin(x-J->pi) является основной, а ос-
тальные высшими гармоническими синусоидами
[например, Д sin (7х-]-ф7)—синусоидой седьмого порядка].
Иногда периодические функции представляют в виде двой-
ного ряда, который легко получается, если каждый член
предыдущего уравнения разложить по формуле:
Ak sin (Ax-f-'h)—4 cos Ф* sin kx-\-Ak sin cos kx.
Приравнивая
4 cos<p*=4'ft и 4sin<h=4",
мы можем изобразить ряд Фурье в виде двойного ряда сину-
сов и косинусов, которые в начале координат не имеют
сдвига фаз:
/(x)=j/=i40-|-^ifsinx-]-i4/sin 2x-|~Afsin3x-]-...-]-^A sin&x+
+А" cos х-}-Л3"cos 2х~|-Л3" cos 3x--f-...+4/' cos kxЦ-... (27,3)
В тех случаях, когда средняя ордината за целый период
равна нулю, в ряде Фурье должна отсутствовать постоян-
ная слагающая Ло. Это следует из того, что среднее значение
ординат кривой должно равняться среднему значению слагае-
мых ряда Фурье за целый период, а так как среднее значение
ординат любой синусоиды за целое число периодов равно
§ 27]
Периодические функции и ряд Фурье
229
нулю, то среднее значение ординат заданной кривой равно
постоянному члену ряда Фурье:
2я 2 я k~ оо
Л»=Уydx = У [Ло+ S
О О Л=1
sin
dx =
2я k=co Чх-k
= j (27>4)
0 k~l о
Если провести так называемую среднюю линию, парал-
лельную оси абсцисс, на расстоянии До, то эта линия будет
отсекать равные площади, т. е. площади, получающиеся
выше и ниже этой линии и ограниченные этой линией и
заданной кривой, будут равны между собой. Отсюда следует,
что если ось абсцисс совпадает со средней линией, то Ао—О,
и кривая может быть представлена следующим рядом:
Jfe=4lr.sinXx+<|>1)+^8 sin (2х-Н>2)+Д3 sin (Зх+фз)+~+
Н-ДАз1п(Лх+фЛ)+... (27,5)
В технике сильных то-
ков приходится иметь де-
ло большей частью с
такими э. д. с. и токами,
кривые которых симме-
тричны относительно оси
х в том отношении, что
ординаты в последующие
друг за другом моменты
времени, считая от на-
Фиг. 27,1.
чала периода и от начала
второй половины периода,
равны по величине, но противоположны по направлению
(фиг. 27,1), т. е.
Л*)= -Лх+к),
ИЛИ
яо=-/(<+ f).
В этом случае мы должны иметь:
До-[-Д4 sin (x-|->}»i)-|-^2 sin (2-^+Фз)-1-(Зх-|-фз)_Ь
4~Д4 sin (4x-]-<J»4)-|-... = —Дц—A s^n (ЛН~ТС4*Ф1)—
—Д3 sin (2х-|-2л-|-<р2)—А3 sin (3%4 3~+'Ю—
^Д4 sin (4х-|-4к-{-<Ь4)—...
230 Несинусоидальные переменные токи I гл. 3
Так как изменение фазы синуса на или на е четное
число к меняет знак у синуса, а изменение фазы на или
на четное число у синуса знака не меняет, то последнее
равенство превращается в
2А0-^2А2 sin (2%+’l)2)+241sin (4*+т..=0»
которое может иметь место только при условии, что Ло, А29
Д4, Д6,..., равны нулю. Отсюда следует, что в кривой, сим-,
эдетричной относительно оси х, считая от начала первой и
второй половицы периода, должны отсутствовать постоянная
слагающая и гармоники четных порядков, и такая кривая
может быть представлена в виде ряда
/(х)== Д( sin (х+ф1)-Ь48 Sin (Зх-На)+А sin (5х-Н5)4-,~>
или
sin Лд sin
+ДБ81п(5ш^-}-ф5)+... (27,6)
Так, например, если мы сложим две синусоиды с числами
периодов f и 2/, то, как видно из фиг. 27,2 соотношение
/(х)=—/(хД-тг) недействительно, так как если кривую сдви-
нуть на полпериода или на л, мы не получим зеркального
изображения кривой за вторую половину периода, если же
сложить две синусоиды с числами периодов /и 3/ (фиг. 27,3),
то последнее соотношение будет иметь место, и кривые за
первую и вторую половины периода будут отличаться толь-
ко знаками своих ординат.
Если кривая периодически переменной величины вдобавок
еще и симметрична относительно оси, проходящей через
середину между точками пересечения кривой с осью абсцисс
(фиг. 27,4 и 27,5), а именно
/(*)=/(*—*),
ИЛИ
/(*) = —/(—х),
то основная синусоида и все высшие гармоники пересекают
ось абсцисс в одной точке.
Действительно, мы должны иметь, что
4/ sin х Д-А/ sin ЗхД-Д/ sin 5хД-... Д-
-[-Д/' cos хД-Д3" cos ЗхД-Д5" cos 5х Д~...
=—Л/ sin (—.г) — А3' sin (—Зх)—A.' sin (— 5х)—
—A," cos (—х)—Л3" cos (— Зх)—Л5" cos (—5х)—...
§ 271
Периодические функции и ряд Фурье
231
Фиг. 27,6.
Фиг. 27,7.
Так как синус—функция нечетная, а косинус—четная,
вследствие чего синусы меняют свой знак при изменении
знака аргумента, а косинусы не меняют, то указанное усло-
вие может быть соблюдено только, если
А”=Аj sin Ф1=0; А^=А3 sin ф3=0; Д5"=Д5 sin ф5=0,
т. е. когда %, ф3, Ф- и т. д. равны нулю или тг.
Ряд Фурье в .гом случае принимает вид:
f(x}=Aj sinх-|-Д3 sin 3%+^ssin 5x+... + ЛА sin kx-}--, (27,7)
где коэфициенты Ai9 Д3, Д5,..., Ak могут быть положитель-
ными или отрицательными величинами. Несколько таких
кривых представлено на фиг 27,4—27,7.
232
Несинусоидальные переменные токи
[ гл. 3
Если начало координат сдвинуть на ~ , т. е. за начало
координат принять точку на оси абсцисс, лежащую посре-
дине между точками пересечения такой кривой, то уравне-
ние такой кривой будет содержать лишь члены с косинусами
f(x)=HjCosx-]- Д3 cos 3%+Д5 cos 5х...,
где амплитуды могут иметь как положительные, так и от-
рицательные значения.
Чтобы определить амплитуду и фазу Ak и как основ-
ной, так и любой высшей гармоники порядка А=1, 2, 3,...,
умножают ординаты заданной кривой на ординаты синусои-
ды порядка k с амплитудой, равной единице и имеющей
то же начало, что и выбранное нами начало заданной кри-
вой, и находят среднее значение этих произведений за пол-
ный период данной кривой, т. е. берут среднее значение ин-
теграла в пределах от 0 до 2тс:
2к 2к
J/(*) sin £ J Ao sin kx dx-\-
0 о
2к
+ J Ai sin(x-j-<p1)sin£xd%-|- J Л, sin (2х-{-фз) sin£xd*+
о 0
2k 2k
+J Aa sin (&x-|-W sin kx J ^msin sin kxdx-\*
о 0
1 2k
= — A) J sin kxdxA- "7^ j /lwsin (ягх-ф-ф^) sin kxdx.
0 0
Первый член правой части уравнения равен нулю, так
как он представляет собой среднее значение ординат сину-
соиды Л-го порядка за k целых периодов.
Кроме того, правая часть содержит сумму отдельных ин-
тегралов, представляющих собой среднее значение произве-
дений ординат синусоид разных частот за полный период за-
данной кривой. Из них лишь одно будет являться произве-
дением ординат синусоид Ak sin sin kx одного и того
же периода порядка k.
Для определения значений отдельных слагаемых правой
части воспользуемся следующими соотношениями:
2к 1 sin kxdx—Q, когда nt^k,
о
§ 27]
Периодические функции и ряд Фурье
233
Ат sin (//гл:-j-ф^) sin kx dx= cos когда in = k. (27,8)
о
Первое соотношение указывает, что среднее значение про-
изведений ординат двух синусоид разных периодов равно
нулю, а второе—что среднее значение произведений орди-
нат двух синусоид одинакового периода равно полупроизве-
дению амплитуд (в данном случае одна амплитуда равна
единице), умноженному на косинус угла сдвига между нача-
лами синусоид. Поэтому все интегралы второй части урав-
нения обратятся в нуль за исключением лишь одного интег-
рала, содержащего произведение ординат синусоид порядка kx
2тс 2тс
Ак sin (kx-\-ty^ sin kx dx =
о о
2 2 ’
ИЛИ
2л
А'к Ак cos = — С у sin kx dx. (27,9)
7С J
О
Затем ординаты заданной кривой умножают на
— | у sin kxdx= — I
2л J 2л J
или на ординаты синусоиды с амплитудой, равной единице
и опережающей на четверть периода заданную кривую, и
находят среднее значение этих произведений. Математически
это выразится так:
2л 2л
cos kx = Ао cos kx dx-\-
o о
m—то 2 л 2л
y- ^Am sin (/ихЦ-'Ю cos kx dx= -1— J Ao cos kx dx-j-
rti=\ 0 0
j Amsin (/nx4-<pm)sin
0
dx.
234
Несинусоидальные переменные токи
' гл. 3
На основании вышеприведенных соотношений среднее
значение произведений ординат двух синусоид разных перио-
дов, а также первый член правой части будут равны нулю,
а среднее значение произведений ординат синусоид одина-
кового периода — полупроизведению амплитуд и косинуса
угла сдвига:
Ат sin (wx-f-^cos kx dx^
о
2к
Ат sin Qnx + sin (kx-\- -J-) dx — Q,
когда m^k, и
2jt
—- V Am sin (mx cos kx dx =з
2тс J
о
2tc
= ~J Am sin sin (kx -J- y) dx —
0
когда m=k.
Поэтому мы получаем, что
2т:
-Ц jcos^=
2kJ 2 2
о
ИЛИ
2к
Д% = ЛЛ8Ш^= — cqs kx dx. (27,10)
о
Зная слагающие амплитуды гармоники порядка А, мы мо-
жем определить величину амплитуды и фазу гармоники:
Ак= и = (27,11)
А k
§ 28 ] Аналитические разложения периодических функций
235
\ и A'k в отдельности, так,
При определении угла следует учитывать не только
знак дроби , но и знаки Д"
A' k
например, если A”k и А\ будут оба иметь знак минус, то
угол будет лежать в третьем квадранте.
Последовательно беря k равным 1, 2,..., можно опреде-
лить все величины, которые необходимы для составления
ряда.
Точное разложение кривой удастся лишь в том случае,
если кривая задается в виде определенных уравнений, кото-
рые после умножения на sin&tf ц cos^ поддаются интег^
рированию.
Фиг. 28,1.
38. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ В РЯД ФУРЬЕ
Рассмотрим разложение в ряд кривой трапецеидальной
формы (фиг. 28,1). Так как эта кривая симметрична за обе
половины периода и симметрична относительно средней ли-
нии по отношению к точкам пересечения с осью абсцисс, то,
если эту точку выбрать за начало координат, можно огра-
ничиться рассмотрением лишь одной четверти периода и,
кроме того, искать только A'k, т. е. амплитуды синусоидаль-
ного ряда, так как Л%=0.
В наклонной части от х = О
до х = а кривая может быть
представлена уравнением
а
и в прямой части от х=а до
х = — — уравнением
y=f(x) = B.
Подставляя эти выражения
мы получаем в пределах от 0 до —(так как интеграл берет-
ся не за целый период, а только за четверть периода, то
перед интегралом вместо — должно быть поставлено у
\ 4/
в уравнение для амплитуд,
а
2 С
~ Jу sin kxdx = — j
о v о
2
sin kxdx-]-— J Z?sin kxdx=A'k.
a
236
Несинусоидальные переменные токи
[ гл. 3
Первый интеграл равен
а а
\ В — sin kxdx— — | В — d cos kx — —( uv — I vdu
J a j ka \ J
о о
ОС ОС
___qX COS kx
ka
0 0
cos kxdx__
ka
a
В COS k a r Bsin^x Bsinka ________ В COS ka
k №a №a k
0
Второй интеграл равняется
те те
7 *2
Св sin kxdx= — B_coskx
J k
a a
Подставляя значения этих интегралов в выражение для
Д\, мы получаем
л, 4В / sin ka cos ka , cos ka \ 4B . .
A\ —— (---------------------] =------• sin «2.
it \ №a k kJ ax№
Так как Д"А=0, то, приравнивая k— 1, 3, 5 и т. д., мы
приходим к следующему ряду для трапеции:
Лх)=—fsinasinx-j- — sin За sin Зх 4- — sin 5а sin 5x4-.. .4-
ак \ 9 “ 25
+ ^-sinAasin^x4~ ...Y (28,1)
От трапеции мы можем
перейти к разным частным
случаям.
Если а= у, то тра-
пеция превращается в
треугольник (фиг. 28,2) с
амплитудой В. Для кривой
треугольной формы ряд
Фурье принимает вид
ь-1
у = 8 ,В (sin х — — sin 3x4- — sin 5х —.. .4-^-——
л2 \ 9 1 25 к*
2
sin kx...^ .
(28,2)
§ 28 ] Аналитические разложения периодических функций 237
При треугольной форме кривой амплитуда основной сину-
соиды Л' = -^ 5=0,81 В меньше максимальной ординаты кри-
вой. Амплитуды высших гармоник сравнительно быстро убы-
вают: амплитуды третьей гармоники составляют 11,1%-
амплитуды основной синусоиды, пятой — 4%, седьмой — 2%
и т. д.
Если в трапеции а=0, то она превращается в прямо-
угольник (фиг. 28,3). Выражение для амплитуд получает не-
определенное значение, которое легко приводится к следую-
щей величине:
д, 4В I sin ka I 0 4В kcoska 4В
। | 0 r^k k nk
«—О а—0
А^ — 48, A's=~ и т. д.
К O7Z
и ряд Фурье для прямоугольной кривой получается в виде
f(x) = — В fsin х 4"— sin Зх-}-y sin 5x4“ — +4 s’n Ax4~...\
(28,3)
Кривая прямоугольной формы, как и вообще кривые ту-
пой формы, дает для амплитуды основной синусоиды
(—В—1,21 В ) величину большую, чем максимальная орди-
\ к /
ната кривой. Амплитуды высших гармоник в прямоугольной
кривой значительно больше, чем в треугольной. В прямо-
угольной кривой амплитуды третьей гармоники составляют
33,3%, пятой —20%, седьмой 15% и т. д. от амплитуды
основной синусоиды.
238
Несинусоидальныё переменные токи
[ гл. 3
Интересен еще случай, когда в трапеции а = — , тогда
в ряде Фурье члены sin За, sin 9а и т. д. превращаются в
нуль, т. е. в ряде Фурье пропадают третьи гармоники и все
высшие гармоники, кратные трем:
у= (sin60°• sinx-}-sin 180°--^р +sin 300° • 2^+.„) =
=LEClBfsinx-^+s—Г+. -V (28.4)
rfi \ 25 1 49 121 1 / 4 7
Этим объясняется, что, когда намагничивающая обмотка
роторов в турбогенераторах занимает две трети полюсного
деления (фиг. 28,4), то, э. д. с. в статоре не содержит
третьих гармоник. Рассматриваемая трапецоидальная кривая
а=—довольно близко приближается к синусоиде. Амплитуда
з
основной синусоиды 6-Х3. £?=1,05 Z? лишь на 5% больше
ТС2
максимального значения кривой (высоты трапеции).
Кривая содержит лишь пятую, седьмую, одиннадцатую
и т. д. гармоники, причем пятая составляет лишь 4%, седьмая
2% от высоты трапеции. Остальные гармоники не играют
роли.
Если бы а ——
k
то в ряде пропали бы все высшие гар
моники порядка, кратного k.
Рассмотрим еще кривые, получаемые при выпрямлении
синусоидальных токов при помощи так называемых в ы-
трямителей или вентилей, пропускающих ток только
в одном направлении. Сравнительно простые кривые, состоя-
щие из отдельных отрезков синусоид, получаются, если прене-
§ 28 ] Аналитические разложения периодических функций
239
бречь падением напряжения в источнике переменного тока
и в выпрямителях, и если в питаемой цепи имеется лишь
активное сопротивление.
При полупериодном выпрямлении однофазного тока (/n—1)
действующее в питаемой цепи напряжение может быть в
зависимости от времени представлено в виде кривой, состоя-
щей из верхних половин синусоиды с промежутками, когда
напряжение равно нулю (фиг. 28,5).
Так как получающаяся при этом кривая симметрична
относительно оси, совпадающей с амплитудой синусоиды
В cos х,=В cos(—л), то соответствующий ряд Фурье содержит
лишь гармоники четного порядка по отношению к основной
гармонике.
Постоянная слагающая ряда Фурье для этой кривой рав
няется (27,4) А
2п 2
1 Р 1 Р в
Ао — — । ydx = — I В cos xdx= — ,
о о
а амплитуды гармоник порядка k=l, 2, 4...
ТС
2тс 2
Ак = A"k = — С у cos kxdx =— Jb cos x • cos kxdx=
о о
2B
7C
r *
COS k y
£2—1 ’
* a
a
tn — 1,
cos(m£—l)x dx—
J cos x cos mk xdx —— j
о 0
[sin {ink + l)a sin {mk — l)a] 2(ffl£ sin inka cos a-j-cos mka sin a)
mk 1 mk — 1
m2k2— 1
(28,5)
240
Несинусоидальные переменные токи
[ гл. 3
При подстановке &=1 получается неопределенность:
А
0 2 В
“ о — тс
(COS k —
dk V 2
£.(£2—1)
dk
Кривая выпрямленного напряжения при полупериодном вы?
прямлении может быть, таким образом, представлена уравне-
нием
(28,6)
2 п 2 , . 2 ~
—cos 2 х-----------cos 4хч--------cos ox...
1-3 3-5 1 5-7
Фиг. 28,6.
При двухполупериодном выпрямлении (/п=2), когда по оче-
реди выпрямляются две синусоиды, сдвинутые на тс или 180°,
кривая действующего в цепи напряжения состоит из чере-
дующих верхних половин синусоид (фиг. 28,6). Эта кривая
имеет двойную частоту по сравнению с частотой выпрямлен-
ного тока и уравнение ее можно получить, если уравнение
(28,6) сложить с таким же уравнением, в котором аргумент х
сдвинут на тс:
.. В Г1 i 71 |2 п 2 л ।
У = — 14-----------cos х 4-------cos 2 х---------cos 4х 4-
Тс L 2 1 1-3 3-5 ’
-ь ~ [1 + 7COS (х + «) + -Дсоэ 2 (х + к) — -—-cos4 (*+«)...
ТС L 1*3 и • О
< f 2 Q
14------cos 2 х
1 1-3
2 Л f 2 с
— cos 4х-4-------cos ох —..
3-5 1 5-7
(28,7)
При выпрямлении m-фазного тока (например, т=3 фиг. 28,7
и т=6 фиг. 28,8) при пренебрежении потерь напряжения в
обмотках источника тока и в выпрямителях питание током
внешней цепи переходит от одной фазы к другой в моменты,
когда напряжение ( или э. д. с.) последующей фазы стано-
вится больше напряжения предыдущей фазы. При этих уело-
§ 28 ] Аналитические разложения периодических функций
241
виях кривая выпрямленного напряжения состоит из симмет-
рично расположенных верхушек синусоид и эта кривая имеет
частоту в т раз большую, чем частота выпрямляемого тока.
Так как ординаты кривой меняются по закону j/=Bcosx в пре-
делах от----— до -f--4 то средняя ордината равна:
т т
421
-tn
= I ( Bcosxdx
2 г. тВ . тс
— — —sin—,
т
(28,8)
т
ТС
т
а амплитуда гармоник, частота которых в т, 2т, 3m,...mk
больше частоты выпрямленного тока равняется
тс тс
—
1 т т
В cos х cos nikxdx —
тс J тс j
~ о
cos mkx dx —
т
2 тВ cos А? тс sin
тс~ * т№ — 1
(28,9)
16 К. А. Круг, т. II.
242
Несинусоидальные переменные токй
t гл. 3
Уравнение кривой выпрямленного напряжения трехфазного
тока будет:
ЗУ 3 D fi г 2 cos 3 х 2 cos 6 x ,
V — -----d 1 -4------------------------
2z [ 1 2 4 b-7 1
। 2 cos 9 x _ 2 cos 11 x
8-10 ~Ть1з ~ 1 ’
для выпрямленного шестифазного тока:
3 В “j । 2 cos 6х . 2 cos 12 х . 2 cos 18 х
тс L * 5-7 11-13 ‘ 17-19 —
2 cos 24 х ,
23-25 ‘
.(28,11)
С увеличением числа фаз отклонения от среднего значения
делаются все меньше и меньше.
29. РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
ПО ЗАДАННЫМ КРИВЫМ
Когда периодически изменяющиеся величины даются в
виде кривых, то в зависимости от точности самой кривой
ограничиваются при разложении ее на гармоники небольшим
числом этих высших гармоник.
По методу, предложенному Перри, разбивают период на
определенное число, положим т равных частей, &х — -^~
и вместо интеграла произведений ординат кривой на орди?
наты соответствующих синусоид берут сумму следующего
вида:
1
—J f(x) sin kxdx^Z ‘^/(х) sin kx A x —
о
_ 2 S'Wsin kx A, (29, 1)
tn
Аналогичным образом определяется и другая слагающая
амплитуды ЛА":
2 ?-e(.*lS.0S kx Д" (29,2)
т
Если переменная изменяется симметрично как в первую,
так и во вторую половину периода f(x) ——/(х-|-7г), то
среднее значение произведений ординат на sin£x и cos£x
можно брать не за целый период, а лишь за полпериода.
§ 291
Разложение периодических величий
243
В случае же, если кривая, кроме того, симметрична относи-
тельно оси, проходящей через середину между точками пере-
сечения кривой осью абсцисс, то можно ограничиться опре-
делением среднего значения произведений ординат лишь за
четверть полного периода.
В виде примера рассмотрим разложение на гармоники кривой, изоб-
раженной на фиг. 29,1.
Начав су=:0, разбиваем полупериод на 12 равных частей и произ-
водим вычисления, располагая все числа в табличку, причем для сокра-
щения произведем подсчет амплитуд лишь для основной и пятой гармоник.
Деля сумму на число слагаемых (12) и умножая на 2, находим слагаю-
щие основной синусоиды и пятой гармоники:
А\ — 77,48; —18,46; Л'5 = —3,47; А"ь~ 1,72.
Определяя затем амплитуды и углы сдвига:
Ak — У А2+а"2 И — arc tg
k k A'k'
мы можем, выразить заданную кривую следующим уравнением:
у ~ 79,6 sin —13°) + 20,5 sin (Зо> t 4 51 °) 4 3,8 sin (5 со t — 26°) 4 ...
Следует обратить внимание, что при определении угла необходимо
по знаку синуса и косинуса установить, в каком квадранте находится угол.
Так, если синус положителен, а косинус отрицателен, угол лежит во вто-
ром квадранте. Затем, при построении синусоид следует учесть то обсто-
ятельство, что масштаб абсцисс для разных гармоник неодинаковый: для
гармоники порядка k масштаб абсцисс в k раз меньше, чем для самой
кривой и ее основной синусоиды. Так как на протяжении 2 тс по оси
абсцисс укладываются k полных синусоид, то при построении кривой на
qva абсцисс вместо необходимо откладывать На стр. 244 при-
ведена таблица вычислений амплитуд указанных гармоник.
16*
244
Несинусойдалыше йеремейные токи
t'rjf. 2
Таблица
СО Ю СО
ооооооооооооо
О О L0 О Ю О НО О Ю О LO о
Ь. Ю СМ Г*- m СМ о Ю СМ О
г-«СМСОСО^ЮЮСО^ООО)
э
ю
Весьма простой графи-
ческий метод нахождения
амплитуд высших гармо-
ник и фаз был предложен
Роте. Этот метод совпа-
дает с методом Перри, но
в нем вычисления заменя-
ются геометрическими по-
строениями. Он состоит
в следующем: полный пе-
риод заданной периодиче-
ской кривой y=zf(x) делят
на равное число частей,
положим, на /п = 24, и на-
ходят соответствующие
ординаты кривой:
Уф Ук У2, Л, • • •, Ут-1-
Затем проводят из ка-
кого-нибудь центра т ра-
2 к
диусов под углом — друг
к другу (фиг. 29,2).
Для нахождения ам-
плитуды высшей, гармони-
ки порядка k отклады-
вают на этих т радиусах,
начиная от горизонтальной
линии (которую мы прини-
маем за направление, со-
ответствующее началу
отсчета), последовательно
О
т
Q #-2гс
о-------,
. т
k-2 к
под углами
о k*2 я
£ )
т
... (т — 1)
т
ординаты у3, ...9у^^
причем если какая-нибудь
ордината у имеет отри-
цательное значёнйе,. то её
откладывают не нд хамом
радиусе, а на его продол*
жении в противоположную
сторону.
§ 29 ] Разложение периодических величин 245
Фиг- 29,?.
246
Несинусоидальные переменные токи
[ гл. 3
Полученные на радиусах отрезки геометрически склады-
вают. Геометрическая сумма этих отрезков, деленная на
т
~2'
дает в соответствующем масштабе искомую амплитуду по-
рядка А, а угол, образуемый направлением геометрической
суммы с вертикальной линией, дает фазу этой гармоники.
Этот способ основан на следующем математическом вы-
воде:
Геометрическая сумма построенных указанным образом
отрезков может быть представлена в виде:
____ уО т J т т
ОЛ1—у0е -^е +у2е -j-yae +••• +
т
• (29,3)
Мнимые степени е мы можем заменить через косинусы и
синусы:
---- 2- 2гс 2г
OM=y0cos 04-JiCos A~+y2c0S 2A--[-y8cos ЗА — +
+..«+>m-icos (m — 1)A -2- 4-/Гу0 sin 04-j/x sin k— _j_
m 1 •'L m '
r2 sin2A— sin ЗА—(in— 1)k ~ 1. (29,4)
m ' m 1 m J ,
Действительная и мнимая части последнего уравнения
представляют собой, с одной стороны, проекции геометри-
ческой суммы на две взаимно перпендикулярные оси, с дру-
гой стороны, они пропорциональны слагающим амплитуды
гармоники k. Действительная часть представляет собой сум-
му отдельных ординат уф ylt y2,...,ym--i заданной кривойy=f[x}
умноженных на cos kx, так как
v0 cos 04-J4COS k 2" +у2 cos 2А2- +••• +
т tn
-гУт-1(ш— 1)А ~ — ^/(x)cosAx,
и аналогичным образом мнимая часть выражается:
VoSin 0 -j— j/jSin k — --p-J^oSin 2А—
tn m
+^m-iSin(/n—1)A— = V/(x)sin Ax,
но указанные суммы, как это было выведено выше при рас-
смотрении способа Перри [уравнения (29,1) и (29,2)], равны
§ 29]
Разложение периодических величин
247
порознь проекциям амплитуды гармоники k на две взаимно
т
перпендикулярные оси, умноженным на — :
^/kx)cosA!X = y-4"A
И
/(x)sin &*= -у А'к.
(29,5)
(29,6)
Поэтому мы можем написать, что геометрическая сумма
т ординат кривой, отложенных последовательно под углом
г 2"
k • — друг к другу, равна:
т
ОМ = ^f(x)cos^x-[-j^f(x)sin kx= ^-(Д"а+/Д'а). (29,7)
Отсюда следует, что длина отрезка геометрической сум-
мы:
= ' (29,8)
1 ~ т
равна амплитуде гармоники /г, взятой —раза, а
отношение
проекций геометрической суммы
дн
А-х~к=^к (29,9)
л k
определяет тангенс угла сдвига фазы рассматриваемой гар-
моники.
Когда заданная кривая симметрична, т. е. когда во вто-
рую половину периода ординаты последовательно имеют те
же значения, что и в первую половину, то можно ограни-
„ т .
читься делением на равное число частей — полупериода и
откладыванием ординат под углом k-. — .
тл * 2ОМ ЮМ
Искомая амплитуда будет тогда равна не --, а-----. Фа-
зовые углы считаются положительными, когда геометри-
ческая сумма отклонена от вертикальной линии в сторону
часовой стрелки. Для каждой гармоники построение должно
быть проведено особо.
В случае если кривая симметрична относительно оси х, а именно
может быть применен весьма простой и быстро приводя-
щий к конечному результату аналитический способ, предложенный Рун-
ге. По этому способу для нахождения первых одиннадцати гормоник по-
248
Несинусоидальные переменные токи
[ гл. 3
ловина периода делится на 12 равных частей; соответствующие ординаты
пишутся в два рада показанным ниже образом, и образуются сумма и
разность ординат, стоящих друг под другом:
3'1 У2 Уз 3’4 З'о 3'6
.Ун З'ю Л Л Л 0
Сумма Si s2 s2 s± s6
Разность d\ d2 d2 d± d$ d$
Кроме того вычисляют следующие выражения:
+ ^3 — 55j
r2 ~ s2 — s6;
?i — — d% — db.
Значения этих выражений помещают в нижеследующую таблицу,
предварительно умножив их на синус угла, указанного в той же горизон-
тальной строке.
После указанных в таблице операциий мы получаем значения слагаю-
щих амплитуд.
Таблица 4
Ak ди
Для гармоник 1 и 11 I 3 и 9 5 и 7 1 и 11 | [ 3 и 9 I ! 5 и 7
X sin а X sin а
sin 15° ~0,259 S1 *5 d.
sin 30° = 0,5 . S2 d<x . di
sin 45° = 0,707 *3 И —$з d3 —d^
sin 60° — 0,866 s4 -s4 6?2 —d^
sin 75° = 0,966 % Si dx —d± d3
sin 90° — 1 . . • г2 • ^6
Сумма первого
столбца . . 51 Si Si 5i Si
Сумма второго
столбца . . So S2 S2 s2
Сумма этих
чисел . . 6 Ax' 6 л/ . 6Л5' . 6 А/' . 6 Д3" • □ Л" .
Разность этих
чисел . . . . 6 А' . 6 л/ . 6Л11" . 6 Д9" . 6 Af
Слагающие
амплитуд . . Ах 4' V Из" Ar"
Af а& . Л/ . A,," A," A^
Приведем еще способ Фишер-Гиннена, который не требует слооМ5
построений и вычислений.
§ 29]
Разложение периодических величин
249
В основу этого способа положены следующие тригонометрические
формулы:
П — П1
2кп
т
=0,
(2\Ю)
k
когда — есть
т
дробь, и
—W
tn / J
-т sin (kx-Ш, ' (29,11)
k
• когда — — ц^лос число.
т
Правильность этих соотношений вытекает из следующего. Обе сум-
мы представляют собой суммы ординат синусоид одной и той же ча-
стоты, сдвинутых друг относительно друга, а потому арифметическое
сложение мгновенных значений может быть заменено геометрическим
сложением их векторов. Эти векторы разнятся друг от друга по фазе
на угол
Л k
2к- —л, где вместо п мы должны подставить последовательно
т
k
т. Когда— — целое число, векторы отличаются друг от друга
на целое число 2к, поэтому все векторы совпадают по напра-
1, 2, 3,...
по фазе
влению и дают одну и ту же проекцию на вертикальную ось. Когда же
Л
— есть дробь, то^мы, переходя от одного вектора к другому, смещаемся
каждый раз на часть 2п, а так как т таких частей должны составлять
целое число 2гс, то векторы будут равномерно расположены около центра
и в сумме дадут нуль, а потому и сумма проекций этих векторов будет
равна нулю.
Предположим, что требуется разложить кривую, представленную на
фиг. 29,3, в'ряд, кончая высшей гармоникой одиннадцатого порядка.
Фин 29.3,
250
Несинусоидальные переменные токи [ гл'. 3
Выбираем произвольную точку О за начало координат. Относительно
этой точки кривая у может быть представлена в виде:
у—/(х)=Ai cos sin х -|- А3 cos ^3 sin 3 с
4-/Ц sin'^cos x-j-/3sin^3 cos 3x-|-..
—A'i sinx-j-Л'з sin Заг-|-/Г5 sin 5x+
-f-Л"! cos x A"3 cos 3x -j- Л''5 cos 5x + ... --j-
Ордината j'o в начале координат (x~0), если ограничиться гармони-
кой одиннадцатого порядка, выразится через
Mi—y^Ai sin ^i-b^3sin ^3~F^5 sin'Ъ Ч" • • *^11 sin Фп—
-Л"1 + 4"3-|-А'-+. .. + Лн. (29,12)
Делим расстояние Оа, соответствующее одному периоду, на tn рав-
ных частей, например на 3, и находим алгебраическую сумму соответ-
ствующих ординат:
ЛЬ-Л1 +Л11+ЛШ- (29,13)
Если , .Уз11 и .Уз111 заменить суммой ординат гармоник, вместо х
С) ц О
подставив —> 2~— и ° ~~~, и сгруппировать ординаты, принадлежащие
3 3 3
синусоидам одного и того же периода, то мы получим, что сумма трех
равно отстоящих друг от друга ординат может быть представлена сле-
дующим образом:
На основании приведенных выше тригонометрических формул сумма
каждой группы равна нулю за исключением групп тех синусоид, поря-
док которых кратен трем и для которых сумма ординат равна тройной
ординате для х = 0 или х — 2~;
7И3 = ЗЛ3 sin д3 + ЗЛ9 sin <Ь9 = 3(Л3" + Л"9). (29,14)
Далее, делим расстояние Оа на пять равных частей и находим алгеб-
раическую сумму соответствующих пяти ординат, которая должна
равняться пятикратной ординате синусоиды пятого порядка для значе-
ния х— 0 или х=:2",
ЛТ5 = 5/Г5 sin ф5 — 5Л"5.
Равным образом находим сумму семи, девяти и одиннадцати равно-
отстоящих ординат за период
Aly — 7/4 j
ЛГ9^--9Л"с; (29,15)
Мц= 1M"UJ
S’ 29]
Разложение периодических величин'
251
Таким.образом, мы получаем шесть уравнений с шестью неизвестны-
ми, из которых легко определяются А '3, Л"5,..., А"п.
Перенесем теперь начало координат в новую точку О' (фиг. 29,4),•
отстоящую от выбранного нами раньше начала координат О на рассто-
7С
янии ~
Подставляя в выражение/(х) [уравнение (29,12)] величину
вместо х и принимая во внимание, что
sin ( )= cos
и что для & —3, 5, 7 и т. д. соответствующие синусы выразятся через
косинусы
/ k л \ k — 1
sfa^—-b<b )=(-!)—— cosh.
Т
мы находим, что ордината соответствующая моменту — от нача-
ла отсчета, равна
N— z0 — Ar ccs б] — /Ijcos <13 + /5cos ф5 —...— cos =z
=/zi — А'3 -J- А'5 — А'7 Д'9 — А'п.
Затем берем отрезок O'b~ 2п, делим его сначала на три равные
части и находим N3—алгебраическую сумму соответствующих трех ор-
динат. Она равна
^3 = 4 + 4' +4" (29,16)
С другой стороны, эта сумма равна тройной сумме ординат синусоид
порядка кратного трем ля х — — или х~ — —2^:,
Лг3 = 3
3 [ — А3 cos ф3-|- Ад cos фр] — 3 ( — Л'3 -f- Л'р).
(29,17)
252
Несинусоидальные переменные токи
[ гл. 3
Точно также, деля О'Ъ на 5, 7, 9
и 11 частей, находим, что алгебраи-
ческие суммы соответствующих ор-
динат составляют:
= 5Д'5; ЛГ7 = — 7Л'5; N9-=
9А9'; ЛГи^-ИЛ'ц. (29,18)
Из нового ряда шести уравнений
находим шесть неизвестных:
А'ь Л'з, /Г5, Д'7, Л'9, А'п.
После того как известны Л\ и
Л'Г!,Л'3 и Л'3, Л'5 и Л”5 и т. д., не-
трудно определить амплитуды и вза-
имное расположение синусоид, как
это было указано выше. Например,
амплитуды синусоиды седьмогб по-
рядка
Л7 = fA'ij + Л"27 = У(А7 COS ф7)2 + ( Д7 sin ф7)2,
и начало этой синусоиды сдвинуто относительно выбранной нами точки О
на угол ф7, для которого
Д"7 Л7зМ7
tg Ф7 =:----
Л'7 Л7 cos ф7
На фиг. 29,5 показаны кривая и синусоиды, на которые она может
быть разложена, кончая синусоидой пятого порядка.
30. ЯВЛЕНИЯ В ЦЕПЯХ С НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ
ПЕРЕМЕННЫМИ ТОКАМИ
По какому бы закону ни изменялось напряжение, дей-
ствующее в цепи, состоящей из неизменных элементов г, £ и С,
оно в любой момент распадается на три слагающих: актив-
ное падение напряжения, слагающую, уравновешивающую
противодействующую индуктивную э. д. с., и напряжение,
равное и противоположное разности потенциалов на обклад-
ках конденсатора:
^ir+L^+-c^+LT,+i\idt- (30.1)
О
Диференцируя это уравнение, мы получаем, что между
напряжением и током должно существовать соотношение
du_г di । dH г i
dt~~ dt' dt*' C
Если напряжение представляется сложной периодической
кривой, то оно может быть разложено по ряду Фурье на
постоянную слагающую, которую мы обозначаем через £70,
основную синусоиду и высшие гармоники:
W = ^o + ^lmsin + Sin
H-C73fftsin(3w/+^)-|-,,, (30,3)
§ SO ] Явления в Цейях с неейнусоидальными переменными токами 253
По принципу суперпозиции (принципу наложения) мгно-
венное значение тока в цепи при установившемся режиме
будет равно сумме мгновенных значений токов, которые по-
лучились бы в этой цепи, если бы в ней действовали совер-
шенно независимо друг от друга как постоянная слагающая
и основная синусоида, так и каждая из высших гармоник
напряжения в отдельности. Постоянная слагающая напряже-
ния дает слагающую тока лишь в случае, если в цепи нет
емкости.
Предположим, что Uo = O и что кривая тока содержит
только гармоники нечетного Порядка
При неизменном значении элементов цепи г, L и С как
основная синусоида, так и каждая из высших гармоник на-
пряжения должны в отдельности удовлетворять вышеприве*
денному диференциальному уравнению. Ток, получаемый в
цепи при установившемся режиме только под действием
какой-нибудь одной из составных синусоид (основной или
высшей гармонической), например, третьей гармонической
?73/nsin (3<oZ-f- ф3), будет удовлетворять диференциальному
уравнению, если он будет изменяться следующим образом:
где
Э'П (3<1>^+Ф3— ®3)
Узт Sin (3wf-|-ф3 —<р3)
1
3<dC
Зо>£-
tg?3
Для третьей гармоники угловая частота равна не со, а 3«),
поэтому реактанс индуктивности равен ЗшЛ, а реактанс ем-
кости равен
Действительный ток в цепи будет состоять из основной
синусоиды
где
254
Несйиусоидальные переменные токи
[ гл. 3
и ряда высшик гармоник; он может быть представлен в виде
k = со
i = V, sin 1+ n)
/ 1 \з’
г2 k^L — —— )
\ А* со С /
где
k&L —------
tg <?A =----------
(ЗЭ,4)
Так как полное сопротивление для каждой из гармоник
имеет свою особую величину и свой угол сдвига, то состав-
ные синусоиды тока имеют амплитуды, не пропорциональные
амплитудам составных синусоид напряжения, и взаимный
сдвиг гармоник тока отличается от взаимного сдвига гармо-
ник напряжения, а потому форма кривой тока может весьма
значительно отличаться от формы кривой напряжения. Лишь
в частном случае, когда цепь содержит одно только актив-
ное сопротивление, ток в каждый момент пропорционален
напряжению и кривая тока отличается от кривой напряже-
ния только масштабом.
Если в цепи имеется только индуктивность (r = 0, С —
= оо), то
i sin Л<»£4-sin (Зшг?4-63 —+
+ ...+ ^sin(^i + -h-f)i (30,5)
и амплитуды высших гармоник тока убывают быстрее, чем
амплитуды соответствующих синусоид напряжения, вслед-
ствие того, что полное сопротивление увеличивается пропор-
ционально частоте
______ Ujm. г Узт . г - Uкт
1т~ шЬ ’ Зт 3mLкт~ ka>L
(30,6)
Когда в цепи имеется только емкость (г = 0, £ = 0),
ток равен
i — <s>CUlm
-\-ku>CUk sin
(W-f- >
(30,7)
И благодаря уменьшению полного сопротивления
-l_=zA с
§ 50] Явления в цепях с йесийусоидальнЫМй переменными токами 255
повышением частоты амплитуды высших гармоник для то-
ка относительно увеличиваются:
= = ^km= (30,8)
Таким образом при несинусоидальных напряжениях в
случае индуктивной нагрузки ток приближается к синусои-
де; в случае же емкостной нагрузки (например, ненагружен-
ная кабельная сеть) весьма сильно выступают высшие гар-
монические слагающие тока, и ток изменяется по более
искаженной кривой, чем напряжение.
В случае если в цепи имеется лишь индуктивность или
лишь емкость, то для заданной кривой напряжения можно
найти кривую тока без разложения кривой напряжения в
ряд Фурье. При г = 0 .мгновенные значения напряжения и
тока при наличии в цепи только индуктивности L связаны
уравнением
-г
r di
и —L — , или i
dt
о
. Для нахождения кривой тока мы выбираем какую-нибудь
точку на оси абсцисс за начало координат, например, момент,
для которого п = 0, и определяем, начиная от точки О, по-
следовательно площади ОаЬ, Оа'Ь' и т. д. (фиг. 30,1). Вели-
t k—n
чины этих площадей пропорциональны ^udt или Uk
О к— о
для t =
Фиг. 30,1.
256
Несииусоидальные переменные токи
( гл. 3
Деля значения этих площадей на L и откладывая их в
соответствующем масштабе на ординатах, мы получаем кри-
вую тока относительно некоторой неизвестной еще оси абс-
цисс. Так как в нашем случае при установившемся режиме
количество зарядов, которые текут в одну сторону, должно
за время одного полного периода равняться количеству за-
рядов, текущих в другую сторону, то для нахождения мгно-
венных значений тока мы должны провести для получения
кривой тока ось абсцисс таким образом, чтобы она отсекала
от кривой равные площади. Максимум или минимум тока
мы имеем в точках, для которых п=0, так как при этом
первая производная от/равна нулю:
di
dt
=0.
Если в цепи имеется лишь емкость, то исходным для
определения тока является уравнение
q = Си, или i — С -- ,
dt
т. е. мгновенное значение тока пропорционально тангенсу
угла, который касательная к кривой напряжения составляет
с осью абсцисс (фиг. 30,2). Из того же соотношения следует,
что ток р^вен нулю, когда напряжение имеет максимальное
значение.
Когда цепь состоит из последовательно соединенных ак-
тивного сопротивления, индуктивного сопротивления и емко-
сти, то возможно, что для какой-нибудь из высших гармо-
ник будет иметь место явление резонанса или близкое к
резонансу состояние, для которого k^L —^0.
k&C
Фиг. 30,2.
§31]
Измерение несинусоидальных токов
257
В кривой тока эта высшая гармоника будет проявляться
весьма резко, и при весьма небольшом значении амплитуды
соответствующей синусоиды по сравнению с амплитудой
основной синусоиды напряжения, амплитуда тока этой гар-
моники может быть во много раз больше амплитуды основ-
ной синусоиды тока. На этом основано выделение высших
гармоник при помощи резонанса.
31. ИЗМЕРЕНИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКОВ
Переменный ток произвольной формы измеряется его эф-
фективным значением, равным такому эквивалентному по-
стоянному току, который, проходя через то же сопротивле-
ние, поглощает в секунду такое же количество энергии. Ес-
ли сопротивление равно г, то количество энергии, поглощен-
ной в* единицу времени, выражается через
Т г
Р = rP dt=r “*р2 dt — rP.
о о
Выражая i в виде гармонического ряда, получаем:
т
р — г^\ [7o+4n sin sin (3^+Фз — ?з)+
о
+-+4m sin — %)+...] 2Л.
(31,1)
После возведения в квадрат интеграл распадается на ряд
интегралов, дающих в результате, с одной стороны, квадрат
постоянной слагающей У20 и средние значения квадратов
мгновенных значений отдельных синусоид, которые на осно-
вании уравнения (1,18) будут равны
т
Pkm sin3 (Ы
о
а с другой стороны, интеграл (31,1) содержит интегралы,
представляющие собой средние значения удвоенных произ-
ведений мгновенных значений синусоид разных порядков.
Эти последние как средние значения произведений ординат
разных синусоид равны нулю:
т
~-^2/Ля1з1п — sin —<р„)^ = 0.
и
17 К. А. Круг, т. II.
258
йесинусоиДальные переменные токи
t гл. 3
Таким образом
= г (/« + l\ + l\ +-+Р, + ) = гГ. (31,2)
Отсюда следует, что эффективное значение периодиче-
ского тока, изменяющегося по произвольной периодической
кривой, равно корню квадратному из суммы квадратов эф-
фективных значений отдельных гармоник
? dt = /Го+/31 + /22 + „ ,+/За+. . .
(31,3)
Аналогично этому эффективное значение э. д. с. или на-
пряжения сложной формы
и = U0+Ulm sin (^4-'W+^73m sin (Зш/4-фз) f-
+ sin (31,4)
равняется корню квадратному из суммы квадратов эффек-
тивных значений отдельных гармоник:
(31,5)
Эффективные значения
могут быть найдены та-
ким образом, что на
ординатах откладывают
квадраты соответствую-
щих мгновенных значений
(31,1) и извлекают из
средней ординаты за пе-
риод или полпериода ко-
рень квадратный или,
когда кривая квадратов
симметрична относитель-
но начала обоих полупе-
риодов, поступают еще
проще: строят по спо-
собу, предложенному Кен-
нелли, графически данную
кривую в полярных координатах (фиг. 31,2). На радиусах-
векторах проведенных под углом а=о)£, откладывают соот-
§ 311 Измерение несйнусоидаЛьйых токод
259
ветственные мгновенные значения. Если длину абсциссы,
равной полупериоду, приравнять те, то эффективное значение
кривой может быть выражено таким образом:
--- представляет собой элементарную площадку между
двумя бесконечно близкими друг к другу радиусами-векто-
ограниченную кривой, проходящей через концы радиусов-век-
торов. Эта площадь S может быть найдена планиметром.
Если заданная кривая была бы синусоидой, то в полярных
координатах она представлялась бы окружностью с диамет-
ром, равным амплитуде. Поэтому, если мы построим круг
5=^®, равновеликий площади, очерченной заданной кри-
вой в полярных координатах, то диаметр круга, деленный
на '/'Ти даст искомое эффективное значение напряжения:
(31,7)
Изображение заданной кривой в полярных координатах
дает наглядное представление о. том, насколько она отсту-
пает от синусоиды.
Вольтметры и амперметры, измеряющие переменные на-
пряжения и токи, дают эффективные значения этих величин.
Для определения индуктивности какой-нибудь катушки,
активным сопротивлением которой можно пренебречь (/’=0),
при синусоидальных напряжениях нужно разделить эффек-
17*
260
йесинусоидаЛьнУё йереМеннЫё токй
(гл. 8
тивное значение напряжения на эффективное значение тока и
полученную величину разделить еще на угловую частоту:
(31,8)
при несинусоидальном напряжении
/U2 ifl I
эффективное значение тока будет равно корню квадратному
из эффективных значений гармоник тока (31,3)
7=1/ Ш . ^32 , т ,~_
У ш'+а "I-ушз L3 “Г25ш2Д2 I-
= %/l-L_^ + JZk +
у 9Uf 25U21 '
Если бы мы для определения индуктивности применили
формулу (31,8), то получили бы для индуктивности вели-
чину 77:
/~1+^ + Ч+ (31,9)
u= I+u?+uf+-
"Т" 91Р1 2oU\
которая была бы больше действительной величины L, так
как в дроби, стоящей под корнем, знаменатель меньше чис-
лителя. Однако ошибка при этом была бы невелика.
Предположим, что U3=Q,2U1 и 775=0,1^, тогда
1-ь 0,04+ 0,01 _1 02
1 + 0,0044 + 0,0004 ’ ’
т. е. ошибка составляет около 2%.
Если подобным же образом мы стали бы определять ем-
кость, измеряя напряжение между обкладками и ток в цепи
<х>С=^-, или С=/, (31,10)
и и>и
то, так как ток при наличии только емкости в цепи равен
7=/ч>ъСъи\ 4- 9o)2C2C/t24-25«>2C277’4-... =
= (oCf71l/’ 14-9^+25^+... ,
V ul ul
(31,11)
§ 31]
Измерение несинусоидальных токов
261
мы получили бы следующее выражение для емкости:
/1+9Э+257г+--
с-с1/ 7+75+^+'--------------------------->с‘ (31,12)
F Т t/2i ' Z721 -•
т. е. мы получили бы величину емкости, значительно боль-
шую, чем действительная.
Для той же кривой напряжения, что и в случае индук-
тивности,
/Г+9-0,04+ 25.0,01
—!___’ !____’ =] 24
1+0,04 + 0,01 х ’
т. е. вычисленная величина емкости на 24% была бы боль-
ше действительной.
При несинусоидальных на- /
пряжениях в цепях перемен- А
ного тока, состоящих из емко- I \
сти и индуктивности и срав- / \
нительно небольшого сопроти- / \
вления, наблюдаются весьма J \
интересные явления, если ме- д У
нять в широких пределах или
емкость или индуктивность. г _____________=*-
При плавном изменении емко- 0
сти или индуктивности эффек- фиг. 31,3.
тивное значение тока изме-
няется по так называемой резонансной кривой, которая
может иметь несколько пикообразных максимумов.
Как было выведено выше, ток в цепи равен
н-+..
где отдельные слагающие зависят от амплитуд соответствую-
щих гармоник и от значений полного сопротивления для
этих гармоник:
Меняя постепенно, например L, можно последовательно
создавать резонанс для отдельных гармоник, т. е. каждый
раз, когда L приближается к значению L= —-—, соответ-
ствующая гармоника тока порядка k резко увеличивается,
становясь равной 1~ — , и дает пик в кривой резонанса.
как это, например, показано на кривой фиг, 31,3,
262
Несинусоидальные переменные токи
[гл. 3
32. МОЩНОСТЬ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКОВ
Мощность периодического переменного тока произвольной
формы определяется как средняя мощность за целый период
т
о
Если подставить вместо и и i их выражения через, три-
гонометрический ряд, то .
т
Ра= j: j1^о+Uim sin ФО 4- uim sin (2ш^+ф3)+....
о
-+Vhm Sin (W-HJX
X [/O+Asin(a>^+<1>1—<Pi)44sin (2<oZ-J-42 — <p3)4-...-4-
•••+4»sinO/-|-<pA— ®0+-] dt-
После перемножения последний интеграл может быть раз-
ложен на ряд интегралов, а именно
т
о
затем следующая группа интегралов будет содержать про-
изведения напряжений и токов, относящихся к одним и тем
же гармоникам, как, например:
г
sin (^4-ф,) /1и sin (соН-ф! — COS ?!
и
ИЛИ
т
(W44a—?ftyf=t/A/Acos ?a.
u
Остальные интегралы будут равны нулю, так как они пред-
ставляют собой или произведение постоянных слагающих
напряжения или тока (и0 или /0) на среднее значение сину-
са за целый период (или несколько целых периодов) или
произведение напряжения и тока разных гармоник, которые
равны нулю.
Таким образом средняя мощность при несинусоидальных
напряжениях и токе выражается следующим образом через
составляющие напряжения и тока, получаемые при их раз-
ложении в ряд Фурье:
c°s фх+^Л cos cos (32,1)
§ 32] 'Мощность несинусоидальных токов
263
Из этого следует, что если несинусоидальное напряжение
и ток, действующие в цепи, разложить на составляющие
ряда Фурье, то средняя мощность может быть представле-
на в виде суммы средних мощностей, которые получались
бы, если бы каждая составляющая гармоника напряжения
взаимодействовала только с составляющей гармоникой тока
той же частоты независимо от токов и напряжения других
частот (постоянные составляющие напряжения и тока можно
рассматривать как гармоники нулевой частоты, имеющие
2 тс
бесконечно большой период ш—0, 7==--==оо).
(О
Если напряжение и ток не содержат постоянных состав*
ляющих Uq—О и /о-О, то мощность несинусоидального тока
может быть выражена через
Pa=C7i/i cos ^+и212 cos<p24-...==2 UkIk cos (32,2)
Эта действительная или активная мощность в общем слу-
чае будет меньше* так называемой кажущейся мощности,
определяемой через произведение эффективных значений на-
пряжения и тока, P—UI,
где
U^=U\+U\-YU\^...=W\
и
/2=Л2+Л2+Л2+-=^2-
Лишь в частном случае, если для любого момента вре-
мени отношение мгновенного значения напряжения к мгно-
венному значению тока постоянно ~-=г, мы будем иметь ра-
венство
7 Г т Г т
Pa=fyidt=l/ ±(u2dt-l/ i2 dt =U1, (32,3)
О F и F о
что можно проверить, если и2 заменить через uir и Р через ~
В остальных же случаях мы всегда будем иметь, что
Отношение активной мощности к кажущейся называют
коэфициентом мощности и приравнивают его коси-
нусу некоторого условного угла
= — cos <? и P=Pa=UI cos (32,4)
264
Несинусоидальныр переменные токи
[ гл. 3
Этот угол ср представлял бы собой сдвиг фаз между такими
синусоидальными напряжением и током, эффективные значе-
ния которых соответственно равнялись бы эффективным
значениям данных несинусоидальных напряжений и тока, и
которые давали бы такую же активную мощность, как и
данные несинусоидальные напряжение и ток.
Для синусоидального тока квадрат кажущейся мощности
может быть представлен как сумма квадратов активной и
реактивной мощности
Р? = Р*+Р?,
где P^UI определяется как произведение эффективных зна-
чений синусоидальных напряжений и токов.
Для несинусоидальных токов активная мощность равна
сумме активных мощностей всех гармоник [уравнение (32,2)].
Если бы мы для несинусоидальных напряжений и токов
определили реактивные мощности всех гармоник в отдель-
ности и взяли бы их сумму
Pr=Usin (32,5)
то эта сумма оказалась бы меньше, чем произведение эф-
фективных значений несинусоидальных напряжений и тока,
умноженное на синус условного угла <р, определяемого из
уравнения (32,4)
S UkIk sin ®k<UI sin ср
или
Р~ UI= у sinV>]/ Pa2 + P? =
=K(S Uklk cos <PA)2 + sin <pA)3.
Корень квадратный из разности квадрата кажущейся
мощности и суммы квадрата активной мощности и квадрата
суммы реактивных мощностей всех гармоник называют мощ-
ностью искажения:
^=ГР?-(^а+^'2). (32,6)
Вводя мощность искажения, мы получаем следующее соотно-
шение между Pj, Ра, Рг и Р^.
Р^Ра^Р'г^Р^ (32,7)
§32]
Мощность несинусоидальных токов
265
Если известны эффективные значения напряжения и тока
и сдвиги фаз между ними для всех грамоник, то мощность
искажения может быть высчислена. Квадрат кажущейся мощ-
ности может быть выражен через
р?=и>р=[и^+иг+иг+...] [л2+v+v -к.]=
=6/12/12+^2а2+^2/з2+...+^2а2+^2а2+-.
+^342-1-^2Л2+-
В первых членах этой суммы разлагаем квадрат токов на
сумму квадратов их активных и реактивных слагающих:
1г=1г cos^+A2 sin2 ?1, /а2=42 cos2 %4Л2 sin2
и прибавляем и вычитаем ряд выражений:
cos cos ?«+sin срА sin ?л=
^Uh!kUala cos (?А—®я),
где k и п независимо друг от друга получают значения
1, 2, 3,..., но так, чтобы k не равнялось п. Тогда Р? может
быть представлен в виде:
р?=(s Uklk cos ?a)2+(S uh[k sin <h)2+
4-S [^2/n2+^2V-2t//A/„ cos (?,-?„)]. (32,8)
Первый член равен квадрату активных мощностей всех
гармоник; это есть квадрат активной мощности цепи (32,2),
второй член равен квадрату суммы реактивных мощностей
всех гармоник (32,5), а третий член представляет собой
мощность искажения:
P„2=S [C7A2/„2+t/„2/A2-2^/^n/n cos (?а-?я)]. (32,9),
Мощность искажения равняется нулю лишь в том случае,
если для всех гармоник угол сдвига между напряжением и
током будет один и тот же и когда отношение между
эффективными значениями напряжения и тока для всех гар-
моник будет иметь одно и то же значение:
и-п
Л ч ч ’
а это осуществимо, когда в цепи имеется дищь одцо актив’
цое сопротивление,
266
Несинусоидалыше переменные токи
[ гл. 3
Понятием мощности искажения пользуются главным обра-
зом в таких установках, как установки с мощными ртут-
ными выпрямителями или с мощными вольтовыми дугами, в
которых кривая тока значительно отличается от синусоиды.
Если считать, что напряжение не содержит высших гармоник
U=UV Z72={73 = Z74=„ —О,
а ток содержит высшие гармоники
^=42+V+42+...,
то квадрат кажущейся мощности выразится через
р-и^Р=и^ (7^+^+/^+...)=
=^12Л2 cos2 ср^-^Д* sin2 (7^+^+^+...)=
=pa2-f-p;2+PM2, (32,10)
а квадрат мощности искажения определится как квадрат на-
пряжения, умноженный на сумму гармоник тока кроме основ-
ной синусоиды. В то время как активную мощность можно
всегда измерить соответствующими ваттметрами, так назы-
ваемая реактивная мощность Рг в однофазных системах
может быть измерена только для основной синусоиды, а в
симметричной трехфазной системе при одинаковой нагрузке
всех трех фаз может быть измерена и реактивная мощность всех
гармоник (фиг. 26,4), мощность искажения непосредственному
измерению не поддается, а может быть определена лишь
путем вычисления по формулам (32,9) и (32,10).
При последовательном прохождении несинусоидального
тока через ряд приемников энергии общая активная мощность
всей цепи должна равняться сумме активных мощностей от-
дельных звеньев всей цепи:
Pa^Pa+Pa-W, + ^^ COS ср. (32,11)
Если известно эффективное значение тока в цепи и для
каждого звена цепи эффективное значение напряжения у его
зажимов U', U” и 4/"', а также коэфициент мощности, при-
равниваемый косинусу условного угла cos?', cos ср" и cos ср'",
то для каждого звена цепи может быть построен треуголь-
ник напряжений. Так как мощность всей цепи равна,
Р^хяЕ.и'1 cos vr-\-UrrI cos cp"4^,/f/ cos
и
£ =U' cos cos ?"-f-U’" COS <?'"4-.r>*t7co§ <p, (32,12)
§32]
'Мощность несинусоидальных токов
267
то так ’называемая активная слагающая всего напряжения
U cos ср, будет равняться сумме тех катетов треугольников
напряжения, которые совпадают с направлением тока.
Что касается реактивных слагающих напряжений, то в
общем случае реактивная слагающая суммарного напряжения
не будет равна сумме реактивных слагающих напряжений
отдельных звеньев.
U’ sin sin sin </"+•..7^6/sin ср.
Лишь в частном случае, когда последовательно соединяе-
мые звенья подобны, т. е. когда для каждых двух звеньев
активные и составные части реактивных сопротивлений на-
ходятся в постоянном отношении:
1 1
г’ k^Lr Ь k'^O С1
F ~ МГ ~ L” ~ 1 ~ 1 ~
ЫС" С"
можно складывать и реактивные слагающие напряжений от-
дельных звеньев, так как в этом случае коэфициенты мощ-
ности всех звеньев будут одинаковы и треугольники напря-
жений будут подобны.
При параллельном соединении у зажимов всех ветвей
действует одной то же напряжение и из равенства мощностей:
cos ф'+UI" cos cos
следует, что
/coscp^?coscpr+r cosy' 4-/"'cos (32,13)
Ta e. что активная слагающая суммарного тока в неразвет-
вленной части цепи равна сумме активных слагающих токов
в параллельных ветвях.
Реактивная слагающая суммарного тока будет не равна
алгебраической сумме реактивных слагающих в параллель-
ных ветвях за исключением того случая, когда параллельные
ветви подобны, т. е. когда ср'=ср"=у,г=...
В таких электрических цепях, в которых нет емкостей и
приемников энергии, которые включали бы в себе элементы,
сильно искажающие форму кривой тока подобно выпрямителям
или вольтовым дугам^ высшие гармоники по сравнению с
основными синусоидами обыкновенно весьма невелики и в
таких случаях сложение реактивных слагающих напряжений
при последовательном соединении и реактивных слагающих
Токов при параллельном соединении обыкновенно Не вносит
268
Несинусоидальные переменные токи
[ гл. 3
существенных ошибок в конечные результаты, и ^потому обыч-
но при незначительных отступлениях кривых напряжений и
токов от синусоиды для них строят такие же векторные диа-
граммы, как и для синусоидальных токов.
Сложнее обстоит дело, когда имеется несколько параллель-
ных ветвей, в которых действуют несколько э. д. с. с разными
формами кривых при параллельной работе неоднотипных
генераторов. При одинаковом эффективном значении э. д. с.
даже при совпадении фаз основных синусоид в замкнутой
цепи двух параллельных генераторов могут получаться бла-
годаря неуравновешенности отдельных составляющих гармо-
ник весьма большие так называемые выравнивающие токи.
Ясно, что при разных формах кривых э. д. с. вследствие на-
личия гармоник с разными сдвигами э. д. с. разнотипных
генераторов при одинаковых эффективных значениях никогда
не могут быть приведены к полному совпадению фаз и что
арифметическая сумма реактивных токов генераторов будет
больше реактивного тока во внешней цепи.
33. ВЫСШИЕ ГАРМОНИКИ В ТРЕХФАЗНЫХ СИСТЕМАХ
Если фазовые напряжения в симметричной трехфазной си-
стеме отступают от синусоиды, то, учитывая, что напряжения
двух смежных фаз сдвинуты в своих фазах по времени на
Т
одну треть периода — и что о>Г=2к, мгновенные значения
3
напряжений в фазах А, В и С могут быть представлены
следующим образом:
UA = Uim sin «tf+^зт sin (3o>Z'+'l)3)+L76zre sin (5а>Н-фз)+
sin(7«/+^)-|-...,
t—г^Ч~Фз о
UB^ ^imsin <0
Нsin [5о> ( t-sin^7w (t-
— Ulm sinw(f— 120°)-|-t/3msin_(3<j)Z!4-J>3)+775msin (Ewf—240°+
+ФЖ» sin(7«>Z— 120°+Ш-...,
Uc^UlmsinW(^t—2L^-]-USmsm [За>^—y)-H8 ••• +
= uim sin (atf—240°)-|-Z78m sin (3<о/-]-ф3)+
f<75msin (5«>/-120o-t-^6H^msin(7^-240°+^)+..,(33,l)
§ 33 J Высшие гармоники в трехфазных системах 269
Сравнивая эти напряжения, мы находим, во-первых, что
все высшие гармоники, кратные трем (третья, девятая и т. д.),
имеют во всех трех фазах в любой момент тождественные
значения, затем, если измерять сдвиги фаз в угловых единицах,
то остальные высшие гармоники во второй и третьей фазах
будут сдвинуты относительно соответствующих гармоник в
первой фазе на 120° и 240°, но при этом следует обратить
внимание, что в то время как седьмая (тринадцатая и т. д.)
гармоники сдвинуты так же, как и основные синусоиды, т. е.
во второй фазе эти гармоники сдвинуты на 120°, а в третьей
на 240°, пятая (одиннадцатая и т. д.) имеют противоположную
последовательность, т. е. эти гармоники в третьей фазе от-
стают на 120°, а во второй на 240°. Если три фазы соединены
в звезду, то линейные напряжения, равные разности напря-
жений двух смежных фаз, не будут содержать напряжений,
кратных трем:
-|- (5о)^~{-ф5—30°)-|-У’3?77/я sin (Усо^-ф-фт+ЗО0)-^
--|--У’ЗОг11да sin (Иш^-ф-фи—30°),
исв=ив~ис= j/3i71OTsin(^-90°)+
(б^+фз + 90°)+/3t/7znsin (7^+ф7-90°)4-
+Г^иПт sin (11^+фп-90°). (33,2)
Так как в линейном (междуфазовом) напряжении пропа-
дают гармоники, кратные трем, то при несинусоидальных
напряжениях отношение линейного напряжения к фазовому
будет меньше УзУ
Эффективное значение фазового напряжения может быть
выражено следующим образом через основную синусоиду и
высшие гармоники:
1 / U2 U2 U2 U2 U2 U2
1/^= I/ [ 3m |_Ьт | Чт j 9m | 11т ... —
’2 2 2 2 2 2
=/°;+»;+i';+“;+w;+o;,......... (ззд
а междуфазовое
^BA=l/’3l/’z72 _Lt/2 -Lt/2 -U72 ~ (33>4)
r F 1/m 1 5m 1 7m 1 11ZM
Ясно, что ^7вл<1/'зЦ.
270
Йесйнусойдальйь1е йеремейные токй
См. 3
Если в приемнике энергии, соединенном звездой, сопро-
тивление и индуктивность непостоянны в течение периода
(например, при холостой работе трехфазных трансформаторов,
когда вследствие насыщения железа отношение мгновенных
значений магнитного потока и намагничивающего тока ме-
няется в течение периода или когда трехфазная система ра-
ботает на ртутные выпрямители), то при синусоидальном
междуфазовом напряжении в каждой из фаз могут появлять-
ся высшие гармоники, а потому в этих случаях токи в про-
водах (фазовые токи) могут иметь высшие гармоники.
Фиг. 33,1.
Если трехфазная система, соединенная звездой, имеет ней-
тральный провод (фиг. 33,1), то в случае несинусоидальных
токов при одинаковой нагрузке всех трех фаз, т. е. когда
токи во всех трех фазах имеют одно и то же эффективное
значение, в нейтральном проводе ток не будет равен нулю.
Ток в нейтральном проводе должен равняться сумме токов
трех фаз. Основные синусоиды и все высшие гармонические
токи всех трех фаз за исключением высших гармоник поряд-
ка, кратного трем, будут взаимно уравновешиваться и дадут
в сумме нуль. Гармоники же порядка, кратного трем, имеют
в любой момент одну и ту же величину и направление, а
потому ток в нейтральном проводе будет равен тройной сум-
ме высших гармоник порядка, кратного трем:
/о = ^+/л'Нс = 3/3я1 sin (Зш^ — <ps)-}-3/9msin (9otf —
и /0=:37з+3/9 + ... (33,5)
При отсутствии нейтрального провода ток в каждой из
фаз не имеет высших гармоник третьего порядка, так как
сумма токов в любой момент для каждых из высших гармо*
5 33 ]
Высгйие гармоники в трехфазных системах
271
ник тока должна равняться нулю, а высшие гармоники третье-
го порядка совпадают в своих фазах. Но так как в систе-
ме, соединенной в звезду, отсутствуют третьи гармоники то-
ка, то в трехфазных цепях, соединенных в звезду и содержа-
щих приемник энергии с насыщенным стальным сердечником,
в фазовых напряжениях могут появляться весьма значитель-
ные гармоники напряжения порядка, кратного трем.
При параллельной работе нескольких генераторов на трех-
фазную сеть с нулевым проводом обычно нулевая точка толь-
ко одного генератора присоединяется к нейтральному проводу,
так как иначе в проводе, соединяющем нейтральные точки
Фиг. 33,2.
генераторов, даже при ненагруженной сети могут, в случае
неодинаковой формы кривых фазовых напряжений обоих ге-
нераторов получаться весьма значительные токи высших гар-
моник, кратных трем.
В трехфазных системах, соединенных треугольником
(фиг. 33,2), при несинусоидальных фазовых напряжениях, сум-
ма напряжений, действующих в замкнутом контуре АВС, не
будет равна нулю, что имело бы место при синусоидальных
напряжениях, а будет равна тройной сумме высших гармо-
ник порядка, кратного трем, ибо последние в любой момент
имеют одно и то же направление. Если разомкнуть генера-
тор и включить в цепь вольтметр последовательно с тре-
мя фазами (фиг. 33,3), то вольтметр будет измерять третьи
гармоники, так как остальные в сумме дадут нуль:
еа + eb + ес — 3ESm sin (3«>/ + ф8)+
+ 3f9m sin (SM 4- <р9) + 3£15m sin (1 SwZ-f- ф15)
измеряемое вольтметром напряжение будет равно:
£"'=3)/f (33,6)
272
Несинусоидальные переменные токи
[ гл. 3
где Е" есть внутренняя э. д. с., получаемая от сложения
э. д. с. трех фаз, которая вызывает в замкнутом треугольни-
ке внутренний ток. Этот ток протекает в замкнутом тре-
угольнике даже и тогда, когда
внешняя цепь генератора ра-
зомкнута. (При синусоидаль-
ных напряжениях ток в трех
фазах генератора, соединенных
треугольником, когда внешняя
цепь разомкнута, равен нулю.)
Эта внутренняя э. д. с. Е”,
состоящая из третьих гармо-
ник, при замкнутом треуголь-
Фиг. 33,3. нике, не будет выявляться
между зажимами фаз, так как
она будет поглощаться во внутреннем сопротивлении фаз.
Фазовое напряжение, т. е. напряжение между зажимами фаз,
будет равно:
(ЭД
Если г и L — сопротивление и индуктивность каждой фазы,
то внутренний ток в треугольнике будет равен:
/"'=]/ __________I___5______L _ (33,8)
Г Г2+9ш212 У 7з~1 'э-ГЛб-Г...
Внутренние токи тройной периодичности благодаря боль-
шой величине реактивного сопротивления вообще невелики.
Если мы измерим токи в стороне треугольника и во внеш-
нем отводящем проводе, то ток во внешнем отводящем про-
воде не будет содержать третьих гармоник тока, так как ток
во внешнем проводе равен разности токов в сторонах тре-
угольника: iA = ic — ib и в этой разности третьи гармоники,
как совпадающие по фазе, выпадут. Если ток в стороне тре-
угольника равен
7л=к/2.н72+/2+/2+72+...,
то во внешнем проводе ток составляет:
/a=V3-^+W+J„+-; (зз,9)
и будет меньше, чем при чисто синусоидальных токах.
§ 34] Взаимная связь кривой магниты, потока и наводимой им э.д.с. 273
34. ВЗАИМНАЯ СВЯЗЬ ФОРМ КРИВОЙ МАГНИТНОГО ПОТОКА
И КРИВОЙ НАВОДИМОЙ им э. д. с.
Зависимость между э. д. с., наводимой в какой-нибудь
катушке, и величиной магнитного потока, проходящего в
соответствующий момент через эту катушку, выражается
соотношением:
d(w$) с№ /ол
е —--5——w------------. (34,1)
dt dt 4 7
Проследим на ряде частных примеров, как будет изме-
няться магнитный поток внутри катушки, когда кривая на-
водимой им э. д. с. имеет ту или иную форму.
1. Электродвижущая сила в течение одного полупериода
постоянна:
= £’/n=const;
в течение следующего полупериода э. д. с. имеет ту же
величину, но направлена в противоположную сторону. Гра-
фически такая э. д. с. представлена на фиг. 34,1.
Из формулы (34,1) следует,
что
=-----dt =—— dt.
w w
Интегрирование этого уравнения дает ®=const----t.
w
Магнитный поток достигает своего максимального или
минимального значения, когда э. д. с. равна нулю, так
как в эти моменты — — 0. На основании этого, приравни-
вая I нулю, получаем, что Ф^ = const. С другой стороны,
среднее значение э. д. с. за полпериода, в течение которого
она имеет одно и то же направление, выражается через
7 т т
2~ 2* 2
dt=-2fW ^Ф=2/м(Фта-Фт1а).
о 0
18 К. А- Круг, т. II.
274
Несинусоидальные переменные токи
[гл. 3
Полагая, что магнитный поток за полпериода колеблется
между двумя противоположными, но равными значениями,
т. е. что
ф =Фт и Ф . = — Фт,
шах ш mln
находим, что
= (34,2)
Это соотношение имеет место независимо от формы кри-
вой э. д. с., лишь бы э. д. с. в течение полупериода не
меняла знака.
Е
В нашем случае Emed—Em, а потому const — > и маг‘
нитный поток изменяется согласно уравнению:
— 4ft), (34,3)
4fw w 4fw
или Ф = Фт(1 “7 )•
Мы видим, что магнитный поток изменяется по прямой,
изображенной на фиг. 34,1 линией АВ. В следующем полу-
периоде кривая изменения магнитного потока представляется
прямой ВС и т. д. Кривая магнитного потока имеет вид ло-
маной линии.
Так как в'рассматриваемом случае максимальное, эффек-
тивное и среднее значения э. д. с. равны между собой, то
отношение эффективного значения к среднему, представляю-
щее собой коэфициент формы кривой, равно еди-
нице:
^=/-=1. (34,4)
гт СсР
Для характеристики формы кривой вводят иногда еще
второй коэфициент, так называемый коэфициент ампли-
туды, определяя его как отношение максимального значе-
ния к эффективному. Для прямоугольной прямой коэфициент
амплитуды также будет равен единице:
= (34,5)
2. При синусоидальном изменении э. д. с.
кривая изменения магнитного потока в зависимости от времени,
как это нами было доказано
раньше, представляется так-
же синусоидой (фиг. 34,2):
Ф = Фт sin (св ^4-90°);
1С
§ 34 ] Взаимная связь кривой магниты, потока и наводимой им э.д.с. 275
Е = ф« = Д’ >ф« = 4,44M>J
У 2/ V £ Г 4
Л = (34,6)
turned 4
^==^-=/2=1,414. (34,7)
E
3. Предположим теперь, что кривая изменения э. д. с.
представляется в виде ломаной О BCD (фиг. 34,3), которая
в пределах четверти периода может быть выражена уравне-
нием:
г. t 4Emt d$
,Л7 Т dt
4
Tw
. 2Emt2
и следовательно, Ф~ const------
Tw
Так как в момент, когда £=0 и £=0, Ф имеет макси-
мальное значение, то const = ФШ.
Подставляя вместо const и Ет их значения, получаем:
ф=ф _ 2~8-/ге,ф'* = ф h - ЛЛ’
Tw L \Т )
(34,8)
Кривая магнитного потока представляет собой параболу,
вершина которой лежит в точке М, а ось симметрии совпа-
дает с линией МО.
18*
276
Йесйнусойдальйые переменные токи
[ гл. 3 и 4
Эффективное значение э. д. с., изменяющейся по тре-
угольной кривой, равно:
коэфициент формы кривой равен:
г Е 8 . 2 1 1 гг
k —-----= :4 =-—= 1 155
Ened /3 Гз
и коэфициент амплитуды для этой кривой равен:
=г з‘= 1,732.
Е
1/'п"ь med
(34,9)
(34,10)
Как и для рассмотренных кривых, так и для любой кри-
вой мы можем написать следующее соотношение:
E=kEmed = №fw®m.
Сравнивая кривые фиг. 34,1^—34,3 находим, что тупым
кривым э. д. с. соответствуют острые кривые изменения
магнитного потока, и наоборот, чем более острую форму
имеет кривая э. д. с., тем более тупой получается кривая
изменения магнитного потока. Из приведенной ниже сводной
таблицы видно, что, чем острее кривая э. д. с., тем больше
для нее коэфициент формы кривой k и что при одном и
том же эффективном значении э. д. с., имеющей более острую
кривую, соответствует меньший максимальный магнитный
поток.
Для целей освещения при ненормально малом числе
периодов тупая кривая была бы выгоднее, так как мгновен-
ное значение мощности колебалось бы в меньших пределах
и свет был бы ровнее. При передаче энергии, когда в сети
имеются трансформаторы, напряжения с острой кривой дают
меньшие потери в стали, так как в стали при тупой кривой
магнитного потока максимальная индукция будет меньше.
Но с другой стороны, более острые кривые при одном и том
же эффективном значении э. д. с. дают большие величины
для максимальных значений э. д. с., а от величины последних
§ 35]
Влияния магнитного насыщения
277
Кривая э. д. с,
Кривая магнит-
ного потока
Таблица 5
4/W Фт
4fW^m
1
6,28/ w Фт
№ Фщ
4,4Afw Фт
1,414
8/w Фт
4/ w Фт
4&/м Фт
1,155
1,732
Ещ —•
ЕСр ~
зависит прочность изоляции как между отдельными частями
обмотки, так и в кабелях, подводящих ток. Мы здесь имеем
факторы, взаимно противоречащие друг другу, а потому,
принимая еще во внимание наличие высших гармоник, которые
всегда имеются, когда кривая отступает от синусоиды, и
которые вызывают дополнительные потери и могут повлечь
за собой нежелательное явление резонанса, на практике всегда
стремятся к тому, чтобы кривая э. д. с. по возможности
ближе подходила к синусоиде, что дает весьма простые со-
отношения между напряжениями и током, чего мы не имеем
при других формах кривых.
. ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА СО СТАЛЬНЫМИ
СЕРДЕЧНИКАМИ
35. ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО НАСЫЩЕНИЯ НА ФОРМУ КРИВОЙ
ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ
Когда к зажимам индукционной катушки прикладывается
переменное напряжение, то в любой момент внешнее напря-
жение и может быть разложено на две слагающих, из ко-
торых одна преодолевает активное сопротивление, а другая
уравновешивает противодействующую э. д. с. индуктивности:
. / ^Ф\ . f (1Ф
u = rt — е — п — ( — w — \=ri-+-‘w —.
\ dtj dt
(35,1)
278
Цепи переменного тока со стальными сердечниками [ гл. 4
Если катушка имеет стальной сердечник, то между маг-
нитным потоком Ф и током i существует определенная за-
висимость, Ф =/(/), характеризуемая так называемой кривой
намагничивания.
Для у прощен л я предварительного рассмотрения предпо-
ложим, во-первых, что все витки катушки пронизываются
одним и тем же магнитным потоком, т. е. что нет магнитного
рассеяния, и что активное сопротивление настолько мало,
что активным падением напряжения можно пренебречь,
т. е. что г^О.
При таких условиях мгновенное значение внешнего на-
пряжения в любой момент будет равно
6?Ф
и = 18) —
dt
(35,2)
и если внешнее напряжение меняется по закону синуса
«=t7/nsino)Z, то магнитный поток будет также меняться по
закону синуса:
Ф=Ф sin fwZ— —— — Y (35,3)
\ 2 J Ш \ 2 /
Эффективное значение напряжения и максимальное зна-
чение магнитного потока при синусоидальном изменении на-
пряжения связаны соотношением
U =у= = ^даф/п = 4-44 (35>4)
Ф
т 4,44fw *
Кривая магнитного потока представляется синусоидой,
которая по фазе отстает от синусоиды внешнего напряжения
на четверть периода, или 90°.
Отвлечемся на время от явлений гистерезиса и вихревых
токов в стали.
При малых насыщениях можно считать, что магнитный
поток изменяется пропорционально току (по закону прямой)
Ф = const -i и что поэтому ток также меняется по синусоиде,
совпадающей по фазе с синусоидой магнитного потока
(фиг. 35,1). В векторной диаграмме вектор магнитного пото-
ка Ф/и^^ф-ОФ^ отстает от вектора напряжения Z7=-^rz=
— т^Ои на 90°. Точно так же и вектор намагньчивающего
§ 35]
Влияния магнитного насыщения
279
тока составляет с вектором напряжения OU
угол в 90°.
При больших индукциях наступает магнитное насыщение,
и отношение магнитного потока к намагничивающему току
по мере увеличения значения магнитного потока умень-
шается. Если бы не имело места явление гистерезиса, то
мы могли бы построить кривую намагничивающего тока, на-
ходя для каждого мгновенного значения магнитного потока
Ф по кривой намагничивания соответствующее значение то-
ка i и откладывая это значение i на той же ординате, что и Ф.
Огибающая концов этих ординат и дает кривую намаг-
ничивающего тока.
При насыщении стали, но при отсутствии гистерезиса и
вихревых токов кривая тока получает заостренную симмет-
ричную форму,.1 начало этой кривой сдвинуто, как и сину-
соида магнитного потока, по отношению к синусоиде напря-
жения на четверть периода. Нулевые точки и амплитуды
кривой тока совпадают с нулевыми точками и амплитудами
синусоиды магнитного потока. Чем больше насыщение стали,
тем острее кривая тока, тем резче в кривой тока выступают
в первую очередь третья гармоника, а затем и пятая гар-
моника (фиг. 35,2). Так как процессы намагничивания и раз-
I. агничивания стали, если не учитывать явления гистерези-
са, протекали бы однообразно (по одной и той же кривой
намагничивания), то вся энергия, накапливаемая в стали во
время намагничивания, возвращалась бы обратно в сеть во
время размагничивания и средняя мощность, забираемая из
сети, была бы равна нулю.
Выше мы рассматривали форму кривой тока при синусо-
идальном изменении напряжения. Рассмотрим теперь, как
будет меняться напряжение на концах катушки с стальным
сердечником, если по закону синуса будет меняться ток,
проходящий через катушку (при условии, что отсутствует
явление гистерезиса). Для этого по кривой первоначального
280
Цепи переменного тока со стальными сердечниками Г гл.
намагничивания находим для каждого мгновенного значения
тока i соответствующее мгновенное значение магнитного по-
тока Ф. Так как при малых значениях i (малых значениях
напряженности поля) магнитная проницаемость больше, чем
при больших значениях Z, то кривая магнитного потока по-
лучает приплюснутый (тупой) вид (фиг. 35,3). А как было
выведено в § 33 тупой кривой магнитного потока соответ-
ствует острая кривая напряжения. Если кривую магнитного
потока разложить на высшие гармоники, то мы увидим, что
максимальное значение магнитного потока будет меньше,
чем значение амплитуды основной гармоники магнитного по-
тока:
Ф Ф< ------Фр»м ---------• • •
тп 1m отп I 0/71 I
Электродвижущая сила, наводимая действительным маг-
нитным потоком, будет состоять из основной синусоиды и
ряда высших гармоник:
£'1т = 2тг/а»Ф1т; £3т = 2тг-3/®Ф3т; £’5т = 2тг.5/®/Ф6от...
Так как при том же значении магнитного потока э. д. с.
пропорциональна числу периодов, то амплитуда, например,
третьей гармоники э. д. с., а следовательно, и напряжения,
может быть больше амплитуды основной синусоиды напря-
жения.
§ 35]
Влияния магнитного насыщения
281
Фиг. 35,3.
282
Цепи переменного тока со стальными сердечниками [ гл. 4
36, ПОТЕРИ В СТАЛИ
Намагничение стали зависит не только от мгновенного
значения намагничивающего тока (напряженности магнитного
поля), но и от того магнитного состояния, в котором нахо-
дилась сталь в предшествующий момент. Явление это,
называемое гистерезисом, при периодическом перемагни-
чивании связано с поглощением энергии, переходящей в теп-
лоту.
Предположим, что активное сопротивление катушки,
охватывающей стальной сердечник, ничтожно мало, и что
вихревые токи сведены на-нет; это может быть достигнуто
подразделением стального сердечника на листы. Тогда при
синусоидальном внешнем напряжении
u — Um sin o)Z
кривая магнитного потока будет также синусоидой с ампли-
тудой
Ф
т 4,Mfw
сдвинутой относительно синусоиды напряжения на четверть
периода. Для нахождения кривой тока мы по кривой гисте-
резиса, а не по кривой первоначального намагничивания,
должны найти для каждого значения магнитного потока со-
ответствующее значение тока i. Будем строить кривую тока,
начиная с—Фт, когда мгновенное значение тока, найденное
по кривой гистерезиса, равно — 1рт. При уменьшении абсо-
лютного значения магнитного потока (по синусоиде) абсолют-
ное значение соответствующего тока будет спадать весьма
быстро по кривой — Фт— Фост и при некотором значении
магнитного потока — Ф= — Фост ток будет равен нулю. Далее
при Ф = 0 ток будет равен ir, а затем с увеличением Ф ток
будет нарастать сначала медленно, а потом весьма быстро,
пока поток не достигнет значения -f-Ф^ (фиг. 36,1).
Фиг. 36,1.
§ 36?
Потери в стали
283
Если магнитное насыщение при синусоидальном напряже-
нии заостряет кривую тока, не нарушая ее симметрии, то
гистерезис, кроме того, эту симметрию нарушает. Хотя ам-
плитуды магнитного потока и тока совпадают, однако, нуле-
вые точки кривой магнитного потока и тока сдвинуты друг
относительно друга. Средняя мощность за период не будет
равна нулю. Для упрощения предположим, что сердечник
катушки имеет кольцеобразную форму и что витки равно-
мерно распределены по кольцу; тогда мы будем иметь:
Н= — - Ф = BS; u = w — — wS —
I dt dt
средняя мощность, поглощаемая под влиянием гистерезиса,
за период будет равна
Рн=-fadl= - f w— idt—f fas — -—dt =
H T J T j at •'J dt w
0 0 0
=fSl^HdB = jVfHdB. (36,1)
Потери на гистерезис могут быть вычислены для задан-
ного объема стали V и максимальной индукции стали Вт
по формуле Рихтера:
а —-—
100 Hz
Д» г b _f_ ( Вт у
10 000 Gs ~ 100 Hz \ 10 000 Gs/ .
(36,2)
где f—частота в герцах; Вт — индукция в гауссах; G — вес
стали в килограммах, а коэфициенты а и b имеют значения,
помещенные в таблице 6.
Таблица 6
Таблица коэфициентов, определяющих потери в стали
Обыкновенное динам- ное железо Высоколегирован- ное железо
Толщина листов, mm 1 0,5 0,35 0,5 0,35
Коэфициент at W/kG 0,9 0,9 0,9 0,4 0,3
„ в я » 3,5 3,5 3,8 2,6 2.1
• ’n . . . 4,4 4,4 4,7 3,0 2,4
• V 22,5 5,7 3,0 1,3 0,7
284
Цепи переменного тока со стальными сердечниками [ гл. 4
При практических подсчетах для больших индукций (вы-
ше 10000 Gs) потери на гистерезис подсчитываются обыкно-
венно по упрощенной формуле:
Рн — ан ~—
н н 100 Hz
у g>
10 000 Qs /
(36,3)
где О, как и выше, — вес стали в kG, а коэфициент зн при-
равнивается к числам, приведенным в таблице.
Потери на гистерезис дают активную слагающую тока.
Кривая тока может сильно отличаться от синусоиды, и это
обстоятельство затруднило бы вычисления, если бы мы по
кривым напряжения и тока стали каждый раз определять
кривую мгновенных мощностей ui=j\t) и по этой кривой —
среднюю мощность. На практике оперируют с некоторыми
эквивалентными синусоидами и полагают, что если построить
кривую тока по гистерезисной кривой намагничивания, то
эффективное значение тока составляется из двух слагающих,
сдвинутых на 90°: одной отстающей на 90° от напряжения
(или вернее, от слагающей внешнего напряжения, равной и
противоположной противодействующей э. д. с. индукции
U = — Е = Е') и равной по величине максимальному значе-
нию намагничивающего тока, деленному на
; = ^:. (36,4)
г
и другой, совпадающей по фазе с Е' и по величине равной
потерям на гистерезис, деленным на величину э. д. с.:
4=-^. (36,5)
Таким образом ток, проходящий, через катушку, при от-
сутствии вихревых токов определяется через
+Рн . (36,6)
Изменяющийся магнитный поток, проходящий через
металлическое тело, наводит в нем э. д. с., являющиеся при-
чиной так называемых вихревых токов Фуко (или па-
разитных токов), которые нагревают это тело и вызывают
бесполезную трату энергии. С целью уменьшения потерь от
вихревых токов в электрических машинах и аппаратах
стальные сердечники, через которые проходит переменный
магнитный поток, подразделяют поверхностями, параллель-
ными индукционным линиям, на части, которые электриче-
ски изолируются друг от друга. Благодаря такому подразде-
§ 36]
Потери в стали
285
лению поперечное сечение отдельных частей будет меньше,
и в контурах, по которым замыкаются вихревые токи, будут
наводиться меньшие э. д. с., так как токи будут охватывать
меньший магнитный поток, и в конечном результате потери
на вихревые токи будут также меньше.
Если сердечник состоит из изолированных друг от друга
круглых стальных проволок и магнитный поток совпадает
по направлению с осью проволок, то вихревые токи распо-
лагаются по концентрическим окружностям.
Выделим часть проволоки длиной Zji
рассмотрим полый цилиндр с радиусбмх
и толщиной стенки dx (фиг 36,2). Величина
потока, проходящего через кольцевую пло-
щадку в предположении, что направление
индукционных линий совпадает с осью про-
волоки и что магнитная индукция равно-
мерно распределяется по всему сечению,
будет:
•Ф — ти к; В
хт v т>
I
а величина наведенной э. д. с.
Сопротивление этого контура равно:
2яг
Гх =----Р>
х Idx
где р—удельное сопротивление стали; 2тгх—
длина и Idx—поперечное сечение контура.
I
Фиг. 36,2.
Количество энергии, поглощаемое в единицу времени в рас-
£2
сматриваемом контуре, выразится через dPx = —, а во всем
гх
объеме проволоки длиной I — через
a d
2 2
Рр = f 42 А2/2 (™2 ВV -Z — f- к B\l С х3 dx
J 2ял:р р J
о о
£
2
=-k2 В2 mlxi
р
и
^=^k2f2d2B2mV, (36,7)
где V—объем одной проволоки. Из этого уравнения следует,
что потери мощности на вихревые токи в круглой стальной
286
Цепи переменного тока со стальными сердечниками [ гл. 4
проволоке пропорциональны квадрату частоты, квадрату
магнитной индукции и квадрату диаметра и обратно пропор-
циональны удельному сопротивлению стали.
Вышеприведенная формула (36,7) применима лишь для
небольших диаметров железных проволок (порядка 1—2 mm)
и для не ысоких частот; при больших диаметрах и высоких
частотах благодаря размагничивающему действию самих вих-
ревых токов, текущих по концентрическим окружностям, маг-
нитная индукция к середине стального сердечника будет
уменьшаться и будет отличаться по фазе от магнитной ин-
дукции на периферии
" .... " у| сечения.
Подобным же обра-
зом в предположении
равномерного распреде-
ления магнитной индук-
ции могут быть опреде-
лены потери от вихре-
вых токов в том случае,
когда сталь, подвер-
гающаяся перемагничиванию, состоит из электрически изо-
лированных друг от друга стальных листов. Вихревые токи
можно считать протекающими по прямоугольным контурам,
которые ввиду большой ширины листов по сравнению с их
толщиной могут быть приняты имеющими длину, равную
ширине листа 6, а ширину, равную 2х (фиг. 36,3); э. д. с.,
наводимая в контуре, отстоящем от середины на расстоянии х,
будет:
Ex = Ufb.2xBm.
При определении сопротивления этого контура мы можем
ограничиться лишь сопротивлением длинных его сторон ввиду
незначительного размера толщины листа и ничтожно малого
сопротивления боковых сторон контура:
Потери в единицу времени в бесконечно тонком контуре
равны
dPx =
гх
§ 36]
. Потери в стали
287
а во всем объеме составляют
d а
2 2
р _ f \Wpb^4^mldx=22k^b В^т1С хЧх _
Р‘ J 2bp р J
о и
= - J-k*fd2B2m(lbd)= - -k2fd2B2mV. (36,8)
3 р 3 р
Для стальных листов потери от вихревых токов выража-
ются подобной же формулой, как и для круглых проволок,
которая указывает, что потери пропорциональны квадратам
частоты, толщины листов и магнитной индукции.
Так как магнитная индукция в сердечнике и магнитный
поток, наводящий э. д. с. в катушке (Ф—55), изменяются
по одному и тому же закону, то коэфициент формы кривой k
в формуле для потерь на вихревые токи будет иметь ту
же самую величину, как и для противо- э д. с., которая
при малом сопротивлении катушки (г=0) равна и противо-
положна напряжению у зажимов. Отсюда следует, что при
одном и том же эффективном значении напряжения у зажи-
мов потери на вихревые токи не зависят от формы кривой
этого напряжения и от частоты, так как для одного и того
же значения напряжения E=^kfwBmS{S—сечение сердечни-
ка) величина kfBm постоянна. При синусоидальном изменении
э. д. с. k= 1,11.
Удельное сопротивление стали, отнесенное к 1 ст3,
р^10"5Йст. Подставляя вместо р и k их значения и выра-
жая диаметр проволоки и толщину листов в миллиметрах,
мы для потерь от вихревых токов получим следующие фор-
мулы:
для круглых проволок
1,112[^- ——1г=
2 L Hz 10 mm 108Gs J cm3
= 0,62[—— —10-13lT
L Hz mm Gs J cm
и для листов
p,=4_±i 1,11’fi.A. BrTJL.r=
F 3 LHz mm 108GsJ cm3
= 1гб4[-^-— 10-13 W
9 L Hz mm GsJ cm3
или в общем виде
р—i(-^—.^sY— ю-13 w,
F \Hzmm Gs/ cm3
(36/)
(36,10)
где V— объем всей стали в кубических сантиметрах: Вт —
максимальная индукция в гауссах и d — в первом случае
288 Цепи переменного тока со стальными сердечниками [ гл. 4
диаметр проволоки, а во втором — толщина т:иста в милли-
метрах.
Приведенный для стальных листов коэфициент $ зависит
от свойств стали. Для некоторых сортов он доходит до 2.
Путем добавления в небольшом количестве силиция и от-
части алюминия удалось выработать такие сорта так на-
зываемой легированной магнитной стали, которые имеют
большее удельное сопротивление, чем обыкновенная сталь
и благодаря этому — меньшие потери на вихревые токи.
При 2н-3,5% содержания силиция удается понизить потери
от вихревых токов в 4-н5 раз, при этом магнитная прони-
цаемость немного ухудшается. Что касается потерь на
гистерезис, то они в легированной стали также немного
меньше, чем в обыкновенной стали.
Так как потери на вихревые токи пропорциональны квад-
рату толщины стальных листов, то казалось бы, что, умень-
шая толщину листов, мы могли бы довести потери на вих-
ревые токи до какой угодно малой величины; однако так
как листы должны быть изолированы друг от друга (ма изо-
ляцию каждого листа уходит до 0,05 шт), то деление ста-
ли на большее число слоев при той же индукции требует
для получения того же магнитного потока увеличения об-
щего сечения (объема), занимаемого сердечником, При неиз-
менном же общем сечении (объеме) сердечника чрезмерное
подразделение стали может настолько уменьшить полезное
сечение, что вследствие увеличения магнитной индукции по-
тери, особенно на гистерезис, настолько возрастут, что в
конечном результате потери в стали не уменьшатся, а
увеличатся.
При практических подсчетах потерь на вихревые токи
обыкновенно исходят не из объема, а из веса перемагничи-
ваемой стали и определяют эти потери по формуле
P—a(-L----------Ъ^\2с, (36,11)
F f\100Hz lOOOOGs/ 4
где G — вес стали в килограммах, а коэфициент а? прирав-
нивается в зависимости от толщины листов к значениям,
приведенным в табл. 6.
В электрических аппаратах и машинах» стальные части,
подверженные переменному намагничиванию, обыкновенно
набираются из стальных листов толщиной от 0,35 до 0,5 mm.
При таких толщинах и частоте, не превышающей 50 Hz,
увеличение потерь на вихревые токи вследствие неравномер-
ного распределения магнитной индукции ничтожно. При
больших толщинах стальных листов и при более высокой
частоте под влиянием вихревых токов весьма заметно на-
§ 3G]
Потери -в стали
289
Фиг. 36,4.
рушается равномерное распределение магнитной индукции в
сечении стальных листов, она значительно возрастает у краев
сечения и снижается в середине, вследствие чего увеличива-
ются потери в стали. Подробнее об этом явлении будет
изложено в § 88.
Потери от вихревых токов в стальном сердечнике покры-
ваются соответствующей активной слагающей тока, прохо-
дящего через намагничивающую обмотку.
Пусть Фт = пг$' ОФт есть вектор магнитного потока
(фиг. 36,4), проходящего внутри катушки и возбуждаемого
током = • 01^ тогда
вихревые токи в сердечнике
отстают от в°ктора (№т на
90° [мы предполагаем, что
короткозамкнутые контуры,
на которые могут быть раз-
ложены отдельные стальные
листы сердечника, не обра-
зуют собственного магнит-
ного поля и что поэтому
(вихревые) токи в них сов-
падают по фазе с наводи-
мыми в них э. д. с.]. Для
компенсации этих вихревых
токов ток в обмотке катушки
кроме слагающей 01
и активной слагающей, по-
крывающей потери от гистерезиса, должен иметь еще актив-
ную слагающую, покрывающую потери от вихревых токов,
которая по фазе прямо противоположна вихревым токам.
Величина этой слагающей может быть определена из потерь
на вихревые токи: р
1Р=,пГО1Р=^.
Вектор этой слагающей совпадает по направлению со
слагающей внешнего напряжения ОЕ\, уравновешивающей
противодействующую э. д. с., наводимую в обмотке магнит-
ным потоком Ф^.
Складывая потери от перемагничивания стали, обуслов-
ленные гистерезисом и вихревыми токами, мы получаем для
малых индукций
100Hz 10 000 Gs 100 Hz\ 10 000 Gs/
------VIg (36,12)
1 \ 100 Hz 10 000 Gs / _
19 К. А. Круг, т. П.
290
Цёпй перёмейнбго тока со стальными сёрдечнйкамй [ гл. 4
и для больших индукций, >10000Gs
р =r0//_Z_(—S'*—V4-о (-L-----------—уЪ, (зе.13)
Fe L 100 Hz\ 10 000 Gs/ 1 'AlOOHz 10 000 Gs J J
где G — вес стали. Потери получаются в ваттах, если G да-
но в килограммах, так как а, ан и имеют размерность
UZ/kQ.
Потери на гистерезис бывают обыкновенно значительно
больше, чем потери от вихревых токов.
Общая активная слагающая тока может быть выраже-
на через потери на перемагничивание стали:
la , (36,14)
где £’1 = 4Л/^Ф.
Она совпадет по направлению с вектором, уравновеши-
вающим противо-э. д. с., наводимую в катушке (фиг. 36,4).
Геометрическая сумма намагничивающей и активной слагаю-
щих и определяет тот ток, который проходил бы через ка-
тушку при внешнем напряжении U=E^=mu ОЕ\, если[бы
активное сопротивление было ничтожно мало, r—Q
I. • 01.. (36,15)
Этот ток в катушке без активных потерь в меди отставал
бы от соответствующего напряжения на угол &0:
(36,16)
1а
Этот угол тем меньше, чем больше потери в стали.
В случае, если магнитная цепь состоит из отдельных
стальных частей, имеющих разные сечения и разные индук-
ции или же набранных из разных сортов стали, то подсчи-
тывают потери для отдельных частей в соответствии с имею-
щимися там максимальными индукциями и объемами или
весами этих частей. Складывая затем потери в отдельных
частях магнитной цепи, находят общие потери на перемаг-
ничивание (гистерезис и вихревые токи), а затем, деля зна-
чение потерь на э. д. с. [уравнение (36,14)], определяют ак-
тивную слагающую тока так же, как это было сделано выше.
Благодаря потерям (на гистерезис и вихревые токи) сталь,
подвергаемая переменному намагничиванию, нагревается. Эти
потери в динамомашинах, покрываются за счет работы, совер-
шаемой валом машины, а в дроссельных катушках, трансфор-
маторах, моторах энергия, покрывающая потери, доставляет-
ся извне через электромагнитную индукцию.
§ 361
Потери й стали
291
На величину потерь кроме химического состава стали
имеет также большое влияние способ механической и терми-
ческой обработок стали. Кроме того, потери увеличиваются
благодаря тому, что в местах стыков при переходе магнитно-
го потока с одних листов на другие индукционные линии
располагаются нормально к стальным листам. Сверх того
в результате обработки (заусенцев) получается местами эле-
ктрическое соединение. смежных листов. Вследствие этого
получаются неравномерное распределение индукции и иногда
весьма значительное увеличение потерь на гистерезис и вих-
ревые токи.
Потери в листовой стали определяют обыкновенно при
помощи аппарата Эпштейна, в котором четыре пакета, на-
бранные из нарезанных из листов изолированных друг от дру-
га полос, помещаются в четыре соединенных последователь-
но кат^ шкиграсположенные по сторонам квадрата (фиг. ?6,5),
так что пакеты стали образуют замкнутый магнитопровод.
Каждая катушка состоит из толстой обмотки, через которую
пропускают намагничивающий ток, и тонкой измерительной
обмотки с тем же числом витков, служащей для измерения
магнитной индукции и к которой присоединяются вольтметр
и катушка напряжения ваттметра. Токовая обмотка ваттметра
включается последовательно с толстой обмоткой катушек.
Если U—напряжение на концах измерительной обмотки,
то из уравнения i7=4,44 fwSBm может быть определена ам-
плитуда магнитной индукции в стали. Измеренная ваттмет-
ром мощность с соответовующими поправками на потери
энергии в тонкой обмотке аппарата определяют потери в ста-
ли при заданной частоте / и индукции Так как потери в
стали слагаются из потерь на гистерезис, пропорциональных
частоте, и потерь на вихревые токи, пропорциональных квад-
рату частоты, то потери мощности в стали могут быть вы-
выражены через
(36,17)
19*
292
Цепи переменного тока со стальными сердечниками [гл. 4
Если определять потери при одной и той Же индукции Вт,
но при разных частотах и наносить в виде диаграммы отно-
шение
= (36,18)
в зависимости от /, тона диаграмме фиг. 36,6 мы должны по-
лучить прямую МХМ2> продолжение которой на оси ординат
отсечет отрезокМ=т -ОМ (где т—масштаб, указывающий
W
скольким — равна единица длины ординат), который опреде-
ляет потери в данном весе (или объеме) стали на гистерезис,
отнесенные к одному гер-
цу, тангенс же угла на-
клона линии Л47И3 к гори-
зонтали
— Nf-mf
* О a mp-f
или
(36,19)
mf
позволяет нам определить
потери на вихревые токи
в данном весе при той же магнитной индукции, отнесенные
также к одному герцу.
Качество стали в отношении потерь принято характери-
зовать так называемым числом потерь. Под этим числом под-
разумевается число ватт, поглощаемых 1 kQ стали при тем-
пературе в 30°С и /=50 Hz, когда Вт равна 10 000 или
15 000 G.
В нижеследующей таблице приведены эти числа потерь.
Таблица 7
Сорт стали Толщина rf, mm Удельный вес Потери в W/kG
при Вт = ~ 10 000 G Ло при Вт = = ьооо о />15
Обыкновенная сталь . . . 0,5 7,8 3,5 8
Слабо легированная сталь . 0,5 7,75 2,6 6
Высоколегированная сталь 0,5 7,55 2 4
То же 0,35 7,55 1,5 3,5
§ 36 ] Потери в стали 293
В отличие от большинства аппаратов переменного тока,
как, например, дроссельных катушек и трансформаторов, в
которых намагничивание стали происходит попеременно лишь
в двух взаимно противоположных направлениях, в электри-
ческих машинах магнитная индукция, например, во вращаю-
щихся частях машины (в якоре или роторе) (фиг. 36,7) сохра-
няет большей частью свое значение, но меняет свое напра-
вление по отношению к вращающимся частям машины.
Вследствие этого сталь вращающихся частей испытывает
вращательное намагничивание.
При продвижении какой-нибудь точки якоря а от север-
ного полюса, т. е. из положения 7, в котором намагничение
направлено по радиусу, в по-
ложение 2, магнитная индукция
изменяет свое направление по
отношению к радиусу на 90°;
Фиг. 36,7.
при приближении к южному полюсу (положение 3) направление
намагничивания изменится на 180° к первоначальному направ-
лению и при приближении к следующему северному полюсу
намагничение примет прежнее направление. Таким образом
если машина имеет 2р полюсов, то сталь якоря за один обо-
рот машины подвергнется р полным циклам вращательного
намагничивания. При этом магнитная индукция может в раз-
ных направлениях иметь и разные значения.
Если значения магнитной индукции в каждом объемном
элементе стали, меняющиеся не только по направлению, но и
по величине, откладывать в виде векторов, то в общем слу-
чае концы этих векторов будут описывать замкнутую кривую
(фиг. 36,8), которая может отступать от окружности.
Потери в стали при вращательном намагничивании, как
показывают опыты, зависят от максимального значения
магнитной индукции и частоты перемагничивания. Отсту-
пления от гармонического изменения магнитной индукции
(по закону синуса) не оказывают заметного влияния на
величину потерь*
294 Цепи переменного тока со стальными сердечниками [ гл. 4
В общем потери в стали при вращательном намагничивании
и при намагничивании в противоположных направлениях по
имеющимся в настоящее время опытным данным мало отли-
чаются друг от друга. При больших индукциях, п< рядка
15 000-^20000 Qs, потери на вращательный гистерезис стано-
вятся немного меньше, чем при линейном намагничивании.
Однако при решении практических задач для упрощ. ния
расчетов предполагают, что потери при вращательном намаг-
ничивании будут такие же, как и при линейном намагничи-
вании, и подсчитывают их по тем же формулам
37. КАТУШКА СО СТАЛЬНЫМ СЕРДЕЧНИКОМ
Рассмотрим теперь катушку, внутри которой находится
стальной сердечник и сопротивление обмотки которой рав-
няется конечной величине г.
В зависимости от
Сердечник может быть замкнут или
он может иметь воздушный зазор.___
Напряжение у зажимов U—my OU
(фиг. 37,1) распадается на две сла-
гающих: одна,— ЕА ~ту' OEJ, уравно-
вешивает противо-э. д. с., наводимую
магнитным потоком Фт = ОФт, а
другая, гЦ—ШуЕ'^и. покрывает актив-
ное падение напряжения и по фазе
совпадает с током. Последний в свою
очередь также состоит из двух слагаю-
щих: одна, 1^Ш\ • 01^ [уравнение
(36,4)] возбуждает магнитный поток и
отстает от вектора ОЕ\ (а не от Ot/)
на 90°, а другая, 1а — т\ • О1а обус-
ловливается потерями в стали и по
фазе совпадает с Ос/,
степени насыщения стали отношение
у-меняет свою величину, а потому ток /0= ]/’в ка-
тушке при заданном напряжении у зажимов О может быть
найден лишь путем приближенного подсчета. Активное па-
дение напряжения бывает обыкновенно сравнительно невели-
ко, и как первое приближение противо-э. д. с. может быть
приравнена напряжению у зажимов:
(37,1)
Из этого уравнения можно вычислить магнитный ноток,
и из расчета магнитной цепи найти соответствующее этому
§ 37]
Катушка со стальным сердечником
295
потоку необходимое число ампервитков. Разделив последнюю
величину на число витков и на 1^2, мы получим эффективное
значение намагничивающей слагающей тока / . Вычислив по-
тери в стали для отдельных частей сердечника катушки в зави-
Ф
симости от магнитной индукции Вт — — для данного маг-
нитного потока и суммируя потери в отдельных частях маг-
r Fe
нитной цепи, мы найдем другую слагающую тока Iа =---
Равнодействующая этих двух слагающих
/о =/<+/’ (37.2)
V г а
даст ток в катушке, когда магнитный поток равен вычис-
ленной выше величине Ф^. Для нахождения напряжения у
зажимов к слагающей —Е^ mv • ОЕ\, уравновешивающей
противо-э. д. с., мы должны прибавить активное падение
напряжения г/0, которое по фазе совпадает с током. Получен-
ное напряжение U=mu*OU может оказаться большим, чем
действительное напряжение у зажимов вследствие того, что
мы в первом приближении пренебрегли активным падением
напряжения. В небольших пределах ток можно считать про-
порциональным напряжению, а потому для получения надле-
жащей величины тока следует всю диаграмму пропорциональ-
но уменьшить. Сдвиг фаз между U и /0 можно определить
непосредственным измерением угла ф или на основании урав-
нения мощности:
C/’70COS<?=srZ’4-/’Fe>
откуда коэфициент мощности будет равен
cos <Р =------
(37,3)
uiQ
Напряжение у зажимов и состоит из геометрической сум-
мы двух векторов: г/0 и Д, а потому катушку, содержащую
сталь, мы можем рассматривать как совокупность двух при-
емников энергии, соединенных последовательно (фиг. 37,2) —
один приемник имеет лишь активное (неиндуктивное) сопро-
тивление г, и в нем напряжение совпадает по фазе с током,
в другом же приемнике (Л) ток /0 отстает от напряжения Ё\
на угол 8^ Проводимость последнего приемника мы можем
представить себе состоящей из двух проводимостей: актив^
ной g& и реактивной bQ.
296 Цепи переменного тока со стальными сердечниками [ гл. 4
Активная проводимость второго приемника определяется
из соотношения
\/ / I \
1а — /0 cos % = g0E\ I где tg &0—_±_ |, откуда
\ /
g0=j2- = -аЕ'1' = — > (37,4)
60 £'i £'j2 £7 4 1
а реактивная проводимость — из соотношения
4 =/0sm&0 = &0£,'1>
откуда
*о = £. (37,5)
Е 1
Зная gQ и bQ, можем определить активное сопротивление
Го=^4- (37,6)
и реактанс
xQ = о)£0 — 2 тсfLQ = 2 0 з (37,7)
go4"^o
второго приемника энергии, если бы мы его хотели заменить
последовательным соединением активного и реактивного со-
Фиг. 37,2.
противлений. На/ основании всего сказанного векторная ди-
аграмма катушки, содержащей стальной сердечник, будет
тождественна с диаграммой для схем соединений, изображен-
ных на фиг. 37,2 справа или слева.
§ 37]
Катушка оо стальным сердечником
297
Катушки со стальным сердечником находят себе широкое
применение в разных автоматах и реле. Хотя механические
силы, получающиеся в таких аппаратах под действием пе-
ременного магнитного поля (они направлены всегда в одну
сторону), и колеблются между нулем и некоторой максималь-
ной величиной, пропорциональной квадрату амплитуды маг-
нитной индукции, однако благодаря большому числу пере-
мен в единицу времени обычного, переменного тока (2/=100Hz)
даже легковесные части не в состоянии следовать за быст-
рыми изменениями механических сил, а потому при расчетах
можно принимать, что в этих аппаратах действуют силы,
пропорциональные среднему значению квадратов магнитной
#2
индукции, т. е. —
При помощи катушек, содержащих стальные сердечники,
можно без большой затраты энергии (в противоположность
неиндуктивным сопротивлениям) в значительной мере пони-
зить напряжение; такие катушки называются иногда дрос-
сельными.
Дроссельные катушки должны при заданном напряжении
у зажимов и заданном токе обладать определенным реак-
тивным сопротивлением.
Так как при замкнутом стальном сердечнике требуется
весьма малая намагничивающая сила и реактивное сопротив-
и *
ление получается очень большим х , то, чтобы умень-
шить реактивное сопротивление такой катушки, приходится
вводить в магнитную цепь воздушный зазор. Меняя величину
воздушного зазора, мы имеем возможность изменять при за-
данном токе напряжение у зажимов катушки (или, наоборот,
при заданном напряжении изменять ток). Увеличивая воз-
душный зазор, мы при постоянном напряжении увеличиваем
намагничивающий ток и, наоборот, уменьшая воздушный за-
зор, мы при заданном напряжении уменьшаем ток, т. е. ка-
тушка с большим воздушным зазором представляет меньшее
реактивное сопротивление, чем катушка с небольшим воз-
душным зазором.
(В электрических установках, однако, избегают применять
дроссельные катушки для снижения напряжения ввиду по-
лучающегося сдвига между напряжением сети и током и
предпочитают ставить вместо них трансформаторы или авто-
трансформаторы, которые при той же затрате энергии дают
значительно больший коэфициент мощности.)
Выше мы предполагали, что все витки пронизываются
одним и тем же магнитным потоком, который проходит через
стальной сердечник, занимающий все пространство внутри
298
Цепи переменного тока со стальными сердечниками [ гл. 4
катушки. Однако, если кроме магнитного потока, проходяще-
го через стальной сердечник, витки катушки пронизываются
еще и магнитным потоком, замыкающимся помимо стального
сердечника (фиг. 37,3), то наводимая в катушке противо-э. д. с.
будет состоять из двух сла-
гающих: 1) одной (в большин-
ствеслучаевболеезначитель-
ной), наводимой магнитным
потоком Фт=тф-ОФт, про-
ходящим через сталь и
отстающим от тока в ка-
тушке /0 на угол 90° — 80
(фиг. 37,4), 2) другой, на-
водимый магнитным потоком
Ф5 = тф . 0Ф5, проходящим
большую часть своего пути
Фиг. 37,3. не через сталь и совпадаю-
щим по фазе с током /0.
Последний магнитный поток называют обыкновенно маг-
Внешнее напряжение, прилагаемое к зажимам катушки,
должно кроме слагающей уравновешивающей э. д. с., на-
водимую основным магнитным потоком Фт и опережающую
вектор тока /0 — -OIQ на угол &о<90°, и активного падения
напряжения rl^m^EJA, совпадающего по фазе с током,
содержать еще одну слагающую, уравновешивающую э. д. с.,
наводимую магнитным потоком рассеяния Ф55 находящимся в
фазе с током /0. Эта слагающая внешнего напряжения Es~
=4,44/^Ф5 как чисто индуктивное падение напряжения будет
опережать ток на 90°.
§ 37]
Катушка со стальным сердечником
299
в обмотках трех фаз, соответ-
В соответствии с этим мы для построения векторной ди-
аграммы и численных расчетов можем в основу положить
схему замещения (фиг. 37,4), которая состоит из двух частей:
одной, состоящей из активного сопротивления г и реактивного
Es
сопротивления =, не содержащего стали, и другой,
Л)
которая представляет собой катушку со стальным сердеч-
ником без магнитного рассеяния и без активного сопротив-
ления и которая эквивалентна двум параллельным ветвям
с соответствующими активными и реактивными проводи-
мостями gQ и £0, определяемыми по потерям в стали и на-
магничивающему току (или
же одной ветви с двумя
последовательными элемен-
тами г0 и х0).
Для трехфазного тока
сердечники трех однофаз-
ных катушек могут быть
объединены в одну общую
магнитную систему, если
замкнуть три стержня (фиг.
37,5) с обоих концов общими
ярмами (стержнями, набран-
ными из стальных листов).
Трем э. д. с., наводимым
ствуют три магнитных потог
d*A
ев = — w~- — fmsin (w t —120°),
г/Фг
ес ——w —г:- = Е si n (o>Z—240°),
С dt т 4
Ф =Ф COS tot,
А т ’
Фв = cos (o>if—120°), (37>8)
Фс =Фт cos (®t—240°),,
равные по своим амплитудам, опережающие соответствующие
э. д. с. на 90° и сдвинутые в своих фазах друг относительно
друга на 120°. Сумма мгновенных значений этих трех ма-
гнитных потоков равна нулю, а потому они взаимно уравно-
вешивают друг друга
ф^ -j-Фв +Фс =0. (37,9)
, . Вследствие несимметрии путей магнитных потоков отдель-
ных фаз (неравенство длин пути индукционных линий) нк^
магничивающие токи в фазах будут отличаться друг от друга.
Если обмотки соединены в треугольник, или в звезду с
300
Цепи переменного тока со стальными сердечниками [ гл, 4
нулевым проводом, то токи в фазах, у которых длиннее путз
индукционных линий, будут больше, как это следует и)
уравнений намагничивающих сил
тХ»=|нРл+^8.],'
^1cw=[hbcIc+^c .],
(37,10
где /л, /в, 1С—эффективные значения намагничивающих то-
ков; Вт — магнитная индукция в воздушном зазоре; /7Fe=
Вт
— ~----напряженность магнитного поля в стали; lA, 1в,1с—
длина индукционных линий отдельных фаз в стали и 8Д, 8вь
8С—величина воздушного зазора в каждой фазе.
Если обмотки трех фаз.соединены в звезду без нулевого
провода, то токи в трех фазах будут не равны между собой
и угол сдвига между ними будет отличаться от 120°.
В этом случае задача проще всего решается путем на-
хождения реактивной проводимости каждой фазы в отдель-
ности. Если намагничивающая сила У2/л^72/, действующая в
первом стержне на участке между точками разветвления
магнитных потоков, создает поток
Фл =V2Ia<w\
1а
У5А
(где — сечение стального сердечника, у-—магнитная про-
ницаемость стали, определяемая из отношения р*=—и So—
HFe
полезное сечение воздушного зазора), то реактивное сопро-
тивление будет равно
v _ еа _ 4,44«уФл _
ЛА— Т —' Г — I. 5 • (б/,11)
1А 1А __л_____________|_
И^А рЛ
Аналогичным образом могут быть найдены и реактивные
сопротивления для обмоток двух фаз хъ и хс. Если пренеб-
речь активными сопротивлениями для обмоток и потерями в
стали, то мы можем положить, что полные проводимости
трех фаз будут равны
’ ___________, ________J у ____________________________у ______________________________________ J
§37]
Катушка со свальным сердечником
301
По проводимостям трех фаз нетрудно определить смещение
нейтрали относительно центра равностороннего треугольника
напряжений
/7- У A Wb UAYc()3
° Ya + Yb+Yc
Напряжения на концах каждой обмотки будут:
йА =йг - и0, йв =й2- и0 и ис =й3-1)0,
а токи
Когда, как. это обыкновенно бывает, пути магнитных
потоков крайних катушек одинаковы YА =YC, то, так как
4+ й2± tzs=o,
(фиг. 37,6) и напряжение на концах средней катушки
. . . Зх D . __
^£=^2““ Ц)= ХА±2хв =ти ' UfPs
будет меньше фазового напряжения сети U2t но будет с ним
совпадать по фазе. Ток в средней катушке будет отставать
по фазе от U2 на 90°. Что касается токов в крайних катуш-
ках, то они между собой равны по величине 1А=1С, будут
больше 1В и будут относительно 1В повернуты в разные сто-
роны на один и тот же угол, так как /л+/в + /с —0,
При практическом решении такой задачи можно поступить
следующим образом.
Пусть 1'А — Гс и Гв—эффективные значения намагничи-
вающих токов в трех фазах в случае, когда все три фазы
пронизываются магнитными потоками одной и той же вели-
чины, сдвинутыми на 120°, и пусть
А РВ = С — 1’в= 4-
Если бы звезда имела нулевой провод, то через нулевой
провод протекал бы ток
4+4+4=-4
302
Цепи переменного тока со стальными сердечниками ( гл. 4
так как, если бы мы к Гв прибавили /0, то мы имели бы
симметричную трехфазную систему токов.
Положим теперь, что нулевого провода нет. Чтобы вос-
становить равновесие токов в нейтральной точке звезды,
необходимо наложить на ток — /0 ток обратного направления,
т. е. /0, который по фазе будет совпадать с током 1В и будет
поровну делиться между тремя обмотками. Соответствующее
построение сделано на фиг. 37,6.
Для получения векторов напряжений на концах отдельных
катушек мы должны провести линии
ти-U0UA = UA, mJUjjB=UB, ти-UJJC=UC.
Фиг. 37,6.
больше 90°. Хотя общая сумма
Из диаграммы вид-
но, что ток 1В в сред-
ней катушке отстает
от напряжения на ее
концах на 90°, а по-
тому поглощаемая в
средней катушке мощ-
ность равна нулю; что
касается двух других
фаз, то угол в третьей
фазе между напряже-
нием Uc-=muUJUс и
токсм /с = mi 01С мень-
ше 90°, а в первой
фазе угол между напря-
жением UА — ти UJUА
и током /л=т7 • 01А
мощностей во всех трех
фазах при отсутствии потерь равна нулю, но в результате
несимметрии магнитной цепи фаза С будет поглощать
энергию из сети и отдавать ее через фазу А обратно
в сеть.
Кроме несимметрии магнитной цепи на токи в отдельных
фазах может оказывать большое влияние насыщение стали.
Для упрощения рассмотрения этого явления предположим,
что ветви магнитной цепи, приходящиеся на каждую фазу,
тождественны.
Если бы каждая фаза питалась сомостоятельно от сину-
соидального внешнего напряжения, например, при соединении
обмоток в треугольник или в звезду с нулевым проводом,
то при синусоидальном изменении магнитных потоков в слу-
чае насыщения стали намагничивающие токи кроме основных
§ 37]
КаТуШкй со стальным сердечником
303
синусоид содержали бы ряд высших гармоник, из которых
особо выделялась бы третья гармоника
h =ЛЯ cos wt + I3m cos (3 wt — <?3) -j- l6m cos (5 <x>t — <p5)...;
As=Amcos(w/—120°)4-/3mCos(3«>Z—<f>3)+/5mcos (5o)^_2400—<p6)...;
^8=Amcos (o)^—240o)4-/3mcos (3o>z—%)-H5mcos (5«Z—120°—cp5)...;
Линейные токи кроме основных синусоид и третьих
гармоник будут содержать еще пятые, седьмые и т. д. гар-
моники, которые при соединении в звезду будут компенси-
ровать друг друга в нулевой точке и не попадут в нулевой
провод.
Фиг. 37,7.
Фиг. 37,8.
При соединении треугольником третьи гармоники токов
замыкались бы в самом треугольнике и не попадали бы в
сеть. При- соединении в звезду с нулевым проводом, даже
•при синусоидальном напряжении сети, в нейтральном проводе
будет протекать ток, равный тройной сумме всех гармоник
кратных трем.
Иначе обстоит дело, если три фазы соединены в звезду
без нулевого провода. Так как в этом случае токи в фазах
не могут содержать третьих гармоник, то это равноценно
выпадению из намагничивающей силы третьих гармоник. По-
этому магнитные потоки в фазах будут изменяться не по
закону синуса, а по другому закону, им будет не доставать
до ^синусоид тех слагающих, которые обусловлены были бы
третьими гармониками тока, другими словами, на синусоидаль-
ное изменение магнитных потоков в каждой фазе будут на-
кладываться магнитные потоки тройной частоты, которые
304
Цепи переменного тока со стальными сердечниками [ гл. 4
во всех трех обмотках будут совпадать в своих мгновенных
значениях, т. е. будут направлены в трех стержнях всегда
в одинаковую сторону. Эти магнитные потоки тройной час-
тоты в трех стержнях не будут уравновешивать друг друга,
а будут замыкаться через окружающее пространство.
Магнитные потоки тройной частоты наводят в трех обмот-
ках одинаковые э. д. с. тройной частоты. Если трехфазная
система симметрична относительно земли, то нулевая точка
трехфазной катушки будет менять свое напряжение по отно-
шению к земле с тройной частотой. Если же трехфазная
питающая сеть совершенно изолирована относительно земли,
а заземлена нулевая точка катушки, то вся система будет
менять свой потенциал с тройной частотой соответственно
э. д. с. тройной частоты, наводимых в стержнях.
Следует еще здесь упомянуть о дроссельных катушках
с подмагничиванием постоянным током, позволяющих в ши-
роких пределах менять индуктивность дроссельных катушек
(фиг. 37,7). Меняя при неизменном значении переменного тока
величину подмагничивающего постоянного тока, мы тем
самым изменяем амплитуду колебаний магнитного потока в
стальном сердечнике дросселя, вследствие чего изменяется
напряжение у зажимов обмотки дросселя (фиг. 37,8).
38. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ
КАТУШЕК СО СТАЛЬНЫМ СЕРДЕЧНИКОМ И КОНДЕНСАТОРОВ.
ФЕРРОРЕЗОНАНС
Весьма своеобразные явления наблюдаются в цепях, со-
стоящих из катушек со стальными сердечниками и емкостей,
благодаря зависимости индуктивности таких катушек от
степени магнитного насыщения стали.
Для упрощения рассмотрения этих явлений предположим,
что активное сопротивление катушек ничтожно мало и что-
потерями в стали можно также пренебречь. Далее будем
считать, что при синусоидальных напряжениях кривые токи,
хотя они и будут особенно при сильных насыщениях стали
значительно отступать от синусоид, могут быть заменены
эквивалентными синусоидами, дающими те же эффективные
значения, и что для выяснения взаимоотношений между
напряжениями и токами применимы обычные векторные
диаграммы, как и для синусоидальных токов.
При таком предположении, когда к синусоидальному
напряжению последовательно включаются катушки со сталь-
ным сердечником (фиг. 38,1) и емкость напряжения у
катушки UL = mg -OUL опережает ток 1 = т^О1 на 90°, а
§ 38]
Последовательное и параллельное соединение
305
напряжение у емкости йс = —— = т OUC отстает от тока
W С и
на 90° и внешнее напряжение равняется их геометрической
сумме
U = UL +UC = (OUL+ OUC} = ти • OU.
Зависимость напряжения у катушки от тока определяется
кривой ОВХВВ^ аналогичной кривой намагничивания стали
(фиг. 38,2).
Фиг. 38,1.
Фиг. 38,2.
20 к. А. Круг, т. п.
306
Цепи переменного тока со стальными сердечниками [ гл. 4
Если напряжение между обкладками конденсатора Uc =
I
(О С
при разных / откладывать на той же кривой
вниз
от горизонтали, то зависимость Uc от / определится наклон-
ной прямой линией ОС, а разность ординат кривой ОВ и
прямой ОС дает кривую ОАХАА2, ординаты которой опре-
делят значение внешнего напряжения, которые могли бы
потребоваться при разных токах
Если ордината кривой ОАг АА2 лежит выше оси абсцисс,
то это указывает на то, что ток в цепи по фазе отстает на
90° от внешнего напряжения, если ордината кривой ОАА3
лежит ниже оси абсцисс, то ток на 90° опережает внешнее
напряжение.
Точка пересечения кривой U =f(T) с осью абсцисс в
точке /0 соответствует резонансу напряжений у
катушки и у конденсата'^%огда оба эти равнопротивополож-
ные напряжения IqBq--IqCq взаимно компенсируют друг
друга и когда при отсутствии потерь для поддержания тока
в короткозамкнутой цепи теоретически не потребовалось
при раз установившемся режиме приложения внешнего
напряжения.
Для удобства рассмотрения часть кривой U =/(Г), лежащей
ниже оси абсцисс, вычертим в виде зеркального изображения
этой части кривой выше оси абсцисс (пунктирная линия /0Д4).
Из построенной таким образом характеристики U = /(/)
следует, что при заданном напряжении U — OUX возможны
три значения тока ОД, О12 и О/3, причем при первых двух
значениях тока ток отстает от внешнего напряжения, а при
значении О13 ток опережает внешнее напряжение.
Устойчивы будут только О/1 и О/3, так как здесь мы
имеем восходящую характеристику, когда с увеличением
напряжения ток возрастает, а с уменьшен ем напряжения
уменьшается, ток же О/2 представляет собой неустойчивое
состояние, так как здесь характеристика ниспадающая; с
уменьшением напряжения ток увеличивается, а с увеличе-
нием напряжения ток уменьшается, так что малейшее откло-
нение напряжения в ту или другую сторону вызывает- про-
тивоположное изменение тока. Состояния О13 можно добиться
лишь путем первоначального повышения и затем постепен-
ного понижения внешнего напряжения. Если внешнее напря-
жение постепенно повышать с нуля, ток будет увеличи-
ваться, причем будет увеличиваться также напряжение у
катушки Л Вг и напряжение у емкости Д с\. Когда внеш-
нее напряжение достигнет величины IA и соответ-
ственно с этим UL — m,u'IB и ис = 1гь^1С, мы получаем
§ 38 ] Последовательное и параллельное соединение 3 7
предельное (критическое) внешнее напряжение, при котором
ток отстает от напряжения. При дальнейшем повышении
напряжения получается скачок тока; значение тока сразу
увеличивается с 01 до О/4, при этом произойдет опроки-
дывание фазы тока, т. е. ток будет теперь уже опере-
жать внешнее напряжение. Одновременно с этим изменится
на 180° фаза напряжения у зажимов индукционной катушки
и у емкости. В дальнейшем с увеличением U мы будем
иметь плавное увеличение тока. Если теперь начать умень-
шать внешнее напряжение U, то мы можем получить при
внешнем напряжении Ur = т • 73 Л3' ток, который будет опе-
режать напряжение, при этом U^^niyd^B^ и UQ — my-I^ А3
при £7=0, ток в цепи пре-
кратится.
Зависимость UL,I и Uc от
внешнего напряжения U при
постоянной частоте предста-
влена на фиг. 38,3. Мы ви-
дим, что сначала Lh и Uc
увеличиваются примерно
пропорционально внешнему
напряжению U, при этом
и Vс оба нарастают про-
порционально U, но U L
нарастает быстрее, чем Uc,
Когда же внешнее напряжение достигает критического
значения, то происходит опрокидывание фаз, ток скач-
кообразно сразу увеличивается, и одновременно вместо
отставания ток будет опережать внешнее напряжение 77.
При дальнейшем увеличении U напряжение у катушки со
сталью достигает некоторой постоянной величины UL = ® Ы=
= const, так как магнитный поток, пропорциональный Z7,
благодаря насыщению будет весьма мало увеличиваться с
увеличением тока.
Описанные выше явления имеют место лишь в том слу-
ч; е если кривая зависимости от I (фиг. 38,2) при малых
значениях I имеет большие ординаты, чем кривая 77с, т. е.
когда начальный наклон кривой ОВВА больше наклона пря-
мой ОС. В противном случае кривая 77=//) будет меняться
монотонно, не меняя знака.
До сих пор мы не учитывали падения напряжения в
активном сопротивлении. Последнее мы могли бы учесть,
20*
308
Цепи переменного тока со стальными сердечниками [ гл. 4
если бы по оси ординат откладывали не токи, а пропорци-
ональные им падения напряжения в активном сопротивле-
нии rI = Uri которые по фазе совпадают с током. Так как
активные и реактивные падения напряжения складываются
под прямым углом, то зависимость между током и внешним
напряжением для каждого тока I определялась бы по вели-
чине и фазе гипотенузой или расстоянием от точки О до
соответствующего конца ординаты, восстановленной в конце
вектора rl.
Поэтому для определения тока при каком-нибудь напря-
жении и=Шц-Ои следует провести окружность с центром
в начале координат (фиг. 38,4)
с радиусом OU. Абсциссы
точек пересечения этой окруж-
ности с кривой ОА опреде-
ляют возможные значения то-
ка. Точки пересечения этой
окружности с восходящей
ветвью кривой О А или с опро-
кинутой частью кривой DA%
соответствуют устойчивому
току, а точки пересечения
окружности с нисходящей
ветвью AD — неустойчивому
состоянию.
В результате наличия активного падения напряжения в
обмотке катушки и потерь в стали, а также наличия выс-
ших гармоник действительная кривая зависимости напря-
жения от тока при последовательном соединении катушки
со стальным сердечником и конденсатора лежит выше, как
это показано на фиг. 38,2 пунктиром.
Проследим еще явления, происходящие в цепях, в кото-
рых последовательно соединена катушка, содержащая сталь-
ной сердечник, с емкостью при постоянном значении внеш-
него напряжения, но при переменной частоте. Без учета
активного падения напряжения и потерь имеем, что внешнее
напряжение равно
U=Ui.-\-Uc = (<x>L----
\ (о С J
, которое будет приблизительно равно
При весьма малых частотах Ul = uLI будет значительно
меньше Uc — —
со
внешнему напряжению. Ток при этом будет опережать
внешнее напряжение.
§ 38]
Последовательное и параллельное соединение
309
С увеличением частоты ток, а вместе с ним и UL и Uc,
будут увеличиваться до тех пор, пока не будет достигнута
такая частота, при которой дальнейшее увеличение частоты
повлечет за собой не увеличение тока, а его уменьшение,
т. е. пока изменение частоты не приведет к полосе неустой-
чивой (ниспадающей) части характеристики. При этой час-
тоте будет иметь место опрокидывание фазы, и в дальней-
шем ток уже не будет опережать, а будет отставать от '
внешнего напряжения и одновременно с током изменят свои
направления UL и Uc.
Фиг. 38,5.
Характер дальнейшего изменения напряжений U L и Uc
при увеличении частоты зависит от относительной величины
внешнего напряжения, но в общем можно сказать, что после
опрокидывания фазы ток, а вместе с ним UL и Uc умень-
шаются по своей величине, причем UL приближается к
внешнему напряжению, a Uc приближается к нулю.
При параллельном соединении катушки со стальным сер-
дечником и конденсатора (фиг. 38,5), если не учитывать
активного падения напряжения в катушке и потерь в стали
и считать, что ток в катушке изменяется по синусоиде,
можно принять, что токи в обеих ветвях будут иметь про-
тивоположную фазу и общий ток будет равен арифметиче-
ской разности токов в обеих ветвях. Как и при последова-
тельном соединении, будем при построении диаграммы
откладывать по вертикали внешнее напряжение, а по гори-
зонтали—токи. Ток в катушке со стальным сердечником
отстает от напряжения на 90° и его значение откладываем
по горизонтали вправо, а ток в конденсаторе опережает
напряжение на 90°, и на чертеже мы его откладываем по
горизонтали влево (фиг. 38,6). Если концы напряжения и
тока рассматривать как некоторые координаты, то они будут
определять кривые, дающие зависимость между напряже-
нием и токами. Для катушки мы будем иметь кривую ОЛ,
313 Цепи переменного тока со стальными сердечниками [ гл. 4 и 5
напоминающую кривую намагничивания, а для емкости —
наклонную прямую О1С,
Разность абсцисс этих двух кривых /с—— 1 опреде-
лит кривую тока в неразветвленной части цепи при раз .ых
значениях внешнего напряжения U, Зависимость между
внешним напряжением и током во внешней цепи определится
кривой ОАг А2 А3. Эта кривая указывает на то, что если
внешнее напряжение меньше UQ = mu'OU{}i ток опережает
внешнее напряжение, а при напряжениях больше U$ — hiu-OUq
общий ток отстает от внешнего напряжения. Пользуясь этой
Фиг. 38,6.
кривой, мы можем определить, какое должно быть прило-
жено внешнее напряжение, для того чтобы общий ток имел
заданное значение. Для этого мы заданное значение тока
/ = mi -01 откладываем по оси абсцисс и находим соответ-
ствующую ординату на кривой ОАХА2А2. Как видно из чер-
тежа, возможны три значения напряжения OU^ OU2 и OU%.
При первых двух значениях внешнего напряжения ток будет
опережать напряжение, при третьем значении OU% ток будет
отставать от напряжения. Из этих трех возможных значений
работа в ниспадающей части характеристики (при уменьше-
нии напряжения ток увеличивается) будет неустойчива. На
этом участке изменение напряжения в весьма небольших
пределах, как говорят, опрокинет фазу тока. Точка пересе-
чения кривой ОАХА2А3 с вертикальной линией является
точкой резонанса, когда токи в обеих параллельных ветвях
равны и противоположны по фазе. Теоретически при этом
ток во внешней цепи должен был бы равняться нулю, в
действительности же благодаря потерям (активным в меди
и на перемагничивание стали) ток никогда не будет спадать
до нуля.
При условии, что зеркальное изображение прямой О1С
относительно оси ординат пересекает кривую OIL (в двух
§ 39]
Однофазные трансформаторы
311
точках) возможны три устойчивых состояния тока 1 = т1О1
в неразветвленной части цепи при трех разных значениях
приложенного внешнего напряжения U = ти/А1, U = Ши1А2
^U = mu-IA^ При токах больших, чем заданное
значение тока в О/2 во внешней цепи может быть полу-
чено лишь при одном значении внешнего напряжения. Если
повышать внешнее напряжение U от нуля, то точки в обеих
ветвях будут все время увеличиваться по кривой соответ-
ственно абсциссам прямой О1С и кривой O1L и сначала ток
в неразветвленной части цепи будет также увеличиваться
соответственно абсциссам ветви ОА^. Затем при дальней-
шем увеличении напряжении U9 несмотря на увеличение зна-
чений токов в параллельных ветвях, ток в неразветвленной
части будет уменьшаться (ветвь AQUQ). И когда внешнее
напряжение достигнет значения и^ — тиОи^ соответствую-
щего точке пересечения кривой OA-^A^Uq, ток в неразвет-
вленной части цепи теоретически должен уменьшиться до
нуля. Эта точка является точкой, определяющей резонанс
токов в двух параллельных ветвях, когда токи в этих
ветвях противоположные по фазе будут равны между собой
UqIl — UqIc. При U = Uq происходит опрокидывание фазы
тока во внешней цепи и при дальнейшем увеличении £7>£7О
этот ток, который до этого опережал внешнее напряжение U,
будет увеличиваться, но уже отставать от него (на 90°).
Благодаря падению напряжения в катушке и потерям в
стали, а также вследствие наличия высших гармоник дей-
ствительная кривая зависимости U — f(J) будет отличаться
от теоретической. Фактическая кривая тока неразветвленной
части цепи в зависимости от приложенного напряжения
имеет вид, представленный на фиг. 38,6 пунктиром.
ГЛАВА ПЯТАЯ
ТРАНСФОРМАТОРЫ
39. ОДНОФАЗНЫЕ ТРАНСФОРМАТОРЫ
Трансформаторы являются аппаратами (а не ма-
шинами, поскольку в них нет движущихся частей),
служащими для изменения напряжения и сил то-
ка переменных токов индуктивным путем.
Частота при этом не меняется. В§ 45 будет показано, как
при помощи двух однофазных трансформаторов можно изме-
нять ч 1стоту.
Технический трансформатор состоит из сердечника, наби-
раемого из стальных листов для уменьшения потерь от вих-
312
Трансформаторы
[ гл. 5
ревых токов, на котором располагаются две обмотки: одна—
первичная, имеющая витков, к которой подводится энер-
гия при одном напряжении, и другая—вторичная, имеющая w2
витков, которая отдает энергию при другом напряжении.
Различают два типа трансформаторов: стержневой —
с неразветвленной магнитной цепью (с наружной обмоткой),
представленный на фиг.39,1а и б и броневой с разветвлен-
ной магнитной пепью (с внутренней обмоткой), изображен-
ный на фиг. 39,1 в.
Фиг. 39,1а.
Фиг. 39,16.
Фиг. 39,1в.
Во избежание большого магнитного рассеяния первичную
и вторичную обмотки не размещают отдельно на разных
стержнях. Обыкновенно как первичную, так и вторичную
обмотки подразделяют на отдельные катушки (в большин-
стве случаев последовательно соединенные), которые распола-
гают на стержнях таким образом, чтобы число витков в каж-
дой обмотке делилось поровну между обоими стержнями.
В первом приближении можно пренебречь потерями в со-
противлении обмоток и в стали, т. е. предположить, что
/“!=(), г2=0 и PFe=0, и считать, что первичная и вторичная,
обмотки в любой момент охвтываются одним и тем же маг-
нитным потоком, т. е. что всякая индукционная линия, про-
ходящая через одну обмотку, проходит и через другую обмот-
ку. Тогда мы получаем, что первичное напряжение всегда
будет равно и противоположно по фазе э. д. с., наводимой
общим магнитным потоком:
dW ( d<&\ \
их— —ех =------= — — — )= W, — =е\,
dt к 1 dt) 1 dt >(39,1)
§ 39]
Однофазные трансформаторы
313
где k — коэфициент формы кривой, равный для синусои-
дальных напряжений А = 1,11; f—частота; — число пер-
вичных витков; Фт—амплитудное значение магнитного пото-
ка. Вектор первичного напряжения OUX (фиг. 39,2) опере-
жает вектор общего магнитного потока ОФт на 90° и проти-
воположен по фазе э. д. с., наводимой этим потоком в пер-
вичной обмотке, OUX =—ОЕХ=ОЕ'Х.
Наводимая во вто-
ричной обмотке э. д. с.
ввиду принятых на-
ми условий: ничтожно
малого сопротивления
(г 2=0) и_отсутствия
магнитного рассеяния,
будет совпадать по
величине и по фазе с
напряжением у вторич-
ных клемм:
Фиг. 39,2.
dWo d<S>
dt at
U^E^kfw^m,
(39,2)
где w2 — число вторичных витков. __ ____
На векторной диаграмме вектор OU2—OE2 отстает на 90°
от вектора магнитного потока ОФт.
Первичное и вторичное напряжения в любой момент при
принятых нами условиях противоположны по фазе и отно-
сятся как числа витков. В таком же отношении находятся
и эффективные значения напряжений у клемм:
«2 _ ^2 . и2 _ WW'&m (39 3)
ux WX9 U! wx
314
Трансформаторы
[ гл. 5
п—отношение вторичного напряжения к первичному—назы-
вается передаточным числом трансформатора.
При холостой работе трансформатора, т. е. когда вторич-
ная цепь разомкнута, через первичную обмотку проходит ток
(холостого хода) такой величины, что его намагничивающая си-
ла f’0=w1Z0 возбуждает в сердечнике так ш магнитный поток
Ot>m> который наводит в первичной обмотке э. д. с., равную
и противоположную первичному_напряжению. Вектор тока
холостого хода 010 отстает от оих на 90°. *
Если трансформатор нагрузить, замкнув вторичную цепь
на какое-нибудь внешнее сопротивление Z, предположим на
какое-нибудь активное или индуктивное сопротивление, то
получающийся во вторичной цепи ток изменяет магнитный
поток. Вследствие этого в первичной обмотке уменьшается
противо-э. д. с. и первичный ток увеличивается. В первичной
обмотке устанавливается ток такой величины, что от сов-
местного намагничивающего действия первичной и вторичной
обмоток в стальном сердечнике получается магнитный поток,
имеющий величину и фазу, необходимые для того, чтобы
навести в первичной обмотке такую э. д. с., которая урав-
новесилась бы первичным напряжением. Для этого необхо-
димо, чтобы геометрическая сумма (фиг. 39,2) намагничива-
ющих сил первичной и вторичной обмоток (A^w^, F2 =
— w2/2) равнялась по величине и фазе намагничивающей
силе при холостой работе, т. е. чтобы
ИЛИ
o?74-oF2=oF0.
или, если мы возьмем мгновенные значения намагничивающих
сил, то должны получить
^izo- (39,4)
Мы могли бы истолковать последнее соотношение и та-
ким образом, что при нагрузке первичный ток должен состоять
из двух слагающих, из которых одна дает намагничиваю-
щую силу холостого хода, а другая равна и противополож-
на размагничивающей силе вторичной обмотки, т. е. компен-
сирует вторичную намагничивающую силу:
А=Л+(-Л), OF1=OFo+(-^8)
или
Wi = 4- (— ®3гг).
§ 39 । Однофазные трансформаторы 315
Ток холостого хода обыкновенно весьма мал по сравне-
нию с первичным током при нагрузке, им мы можем пренеб-
речь, а потому
w1Z1==—
или
А. —
В таком же отношении будут находиться и эффективные
значения первичного и вторичного токов:
/о _____ _1_
Il w2 п
Вторичные и первичные токи будут противоположны по
фазе, и отношение их эффективных значений обратно пере-
даточному числу. Последнее соотношение можно было бы
сформулировать и таким оэр<
ные ампервитки (эффективные
значения) равны между собой
Выше мы предполагали, что
как при холостой работе, так
и при нагрузке обе обмотки
трансформатора имеют совер-
шенную ^Магнитную связь,
т. е, что обе обмотки охваты-
ваются одним общим магнит-
ным потоком, или что все ин-
, что первичные и вторич-
дукционные линии, проходя- фиг
щие через первичную обмотку,
проходят и через вторичную обмотку и наоборот. На самом
деле не все индукционные линий, которые возбуждаются пер-
вичной обмоткой, охватывают вторичную: часть их будет
замыкаться помимо вторичной обмотки, как это схематиче-
ски показано на фиг. 39,3. Точно так же и через вторичную
обмотку проходят такие индукционные линий, которые рас-
сеиваются в окружающей среде, не попадая в первичн)ю
обмотку и которые поэтому сцеплены только с витками вто-
ричной обмотки.
Указанное явление, состоящее в том, что не все индукци-
онные линии, создаваемые током в одной обмотке, охватывают-
ся другой обмоткой, называется магнитнымрассеянием.
Магнитное рассеяние может иметь место и в отношении каж-
дой обмотки в отдельности, когда не все ви1ки охватываются
одним и тем же магнитным потоком, как это показано на
фиг. 39,3. В дальнейшем мы будем определять магнитные
316
Трансформаторы
[ гл. 5
потоки какой-нибудь обмотки как среднее значение магнит-
ного потока, приходящееся на один вйток, например, Фх=—*
Благодаря рассеянию среднее значение магнитного потока
Ф12, которое будет приходиться на один виток вторичной об-
мотки, будет меньше Фп и разностью этих потоков
Ф1-Ф13= Ф1,
мы будем определять поток рассеяния первичной обмоткй.
Точно так же если ток проходит только через вторичную
обмотку Ф21—среднее значение магнитного потока, приходя-
щееся на один виток вторичной обмоткй, больше среднего
значения магнитного потока витка вторичной обмотки и раз-
ность их определяет поток рассеяния вторичной обмотки
Ф3-Ф21=Ф^.
Потоки рассеяния зависят .от взаимного расположения
витков первичной и вторичной обмотки и от насыщения ста-
ли. Чем равномернее вдоль сердечника и чем ближе друг
к другу и к сердечнику распределены витки той и другой
обмотки, тем рассеяние индукционных линий меньше. Маг-
нитное рассеяние зависит также от значений и сдвига фаз
токов в обеих обмотках. Потоки рассеяния не занимают фи-
ксированного местоположения в магнитном поле трансформа-
тора. Картина поля (распределение индукционных трубок)
будет разная, будет ли ток проходить только через первич-
ную, или только через вторичную, или через обе обмотки од-
новременно.
При рассмотрении рабочего процесса трансформатора маг-
нитные потоки разделяют на:
Фт—магнитный поток, общий обеим обмоткам, через посред-
ство которого происходит передача энергии из первичной
цепи во вторичную. Этот поток почти целиком замыкается
через стальной сердечник. Ф15—поток рассеяния первичной
обмотки, представляющий собой часть магнитного потока
первичной обмотки, которая наводит э. д. с. только в пер-
вичной обмотке, так называемая э. д. с. (самоиндукции) рас-
сеяния первичной обмотки, и которая в передаче энергии
не участвует, и Ф2{?—поток рассеяния вторичной обмотки,
который, будучи связан только с витками вторичной обмотки,
составляет поток (самоиндукции) рассеяния вторичной об-
мотки.
Общий магнитный поток Фт создается под действием
намагничивающих сил первичной и вторичной обмоток
Fe = f, + F,
§ 39]
Однофазные трансформаторы
317
или
w170==w1/1 -f-®у27з.
(39,6)
и проходят через сталь-
Фиг. 89,4.
Вследствие потерь на гистерезис и вихревые токи поток
Фт не совпадает по фазе с геометрической суммой первич-
ных и вторичных ампервитков, а отстает на некоторый угол
90—% (фиг. 39,4).
Магнитные потоки рассеяния во много раз меньше общего
потока, так как они хотя частш
ной сердечник, но замыкаются
вокруг своих витков вне сталь-
ного сердечника, через простран-
ство, представляющее значи-
тельно большее магнитное со-
противление, чем стальной сер-
дечник. Можно считать, что по-
токи рассеяния, связанные с со-
ответствующими обмотками, про-
порциональны Фи току Д и Ф25
току /2.
Эти магнитные потоки рас-
сеяния наводят каждый в своей
обмотке э. д. с. подобно тому,
как это мы имеем в любой ка-
тушке, через которую проходит
переменный ток. Поэтому при рас-
смотрении рабочего процесса мы
можем трансформатор с магнит-
ным рассеянием заменить транс-
форматором без магнитного рассе-
яния, у которого как первичные,
так и вторичные витки охватываются одним и тем же магнит-
ным потоком, но у которого перед первичной обмоткой и после
вторичной обмотки включены добавочные реактивные катуш-
ки, в которых наводятся такие же реактивные э. д. с., какие
наводятся в соответствующих обмотках магнитными потоками
рассеяния (фиг. 39,5). Если далее предположить, что эти
реактивные катушки имеют такое же активное сопротивле-
ние, как и обмотки трансформатора, то мы получим транс-
форматор без активных потерь в меди и без магнитного рас-
сеяния, но у которого перед первичной обмоткой включена
реактивная катушка с сопротивлениями 1\ и %1=2'я/51 и на
вторичной стороне после вторичной обмотки—катушка с со-
противлениями г2 и x2—2^fS2f где и S2—индуктивности
рассеяния этих добавочных катушек.
Такое фиксированное разделение магнитных потоков на
общий магнитный поток и два магнитных потока рас-
318
Трансформаторы
[ гл. 5
сеяния в действительности не имеет места, так как магнит-
ное поле, созда аемое каким-нибудь током, распространяется
не на какой-нибудь ограниченный объем, а на все окружаю-
щее пространство и отношение потока рассеяния данной
обмотки к току в этой обмотке зависит от тока в другой
обмотке. В технических трансформаторах ампервитки пер-
вичной и вторичной обмоток при полной нагрузке можно
считать равными и противоположными по фазе, и в этих
условиях допустимо считать магнитные потоки рассеяния
пропорциональными токам, а реактансы рассеяния—постоян-
ными величинами. (По Роговскому эги реактансы рассеяния
могли бы быть определены экспериментально, если обе об-
мотки питать отдельно извне таким образом, что^ы энергия
не передавалась из одной обмотки в другую, т. е. чтобы Ф^=0.)
Указанное допущение, внося малую ошибку, весьма об-
легчает исследование трансформаторов и упрощает постро-
ение соответствующих векторных диаграмм.
При построении векторных диаграмм трансформатора будем
исходить из общего магнитного потока ОФП1 (фиг. 39,6).
Для создания этого магнитного потока необходима намаг-
ничивающая сила представляемая вектором OF0,
который опережает на угол 90—% общий обеим обмоткам
магнитный поток Ф/п. Этот магнитный поток наводит в обмот-
ках э. д. с.: Ех -Akfw^m в первичной обмотке и E^Akf'wflm
во вторичной. Эти э. д. с., ОЕХ и ОЕ2, совпадают между собой
по фазе и отстают от вектора магнитного потока ОФт на 90°.
В зависимости от характера нагрузки вторичной цепи ток вто-
ричной цепи О/2, может отставать от э. д. с. UE2 или опере-
жать ее.
На фиг. 36,6 вычерчены три диаграммы: когда нагрузка
индуктивная, ф2>0, когда нагрузка чисто активная, <у3—q,
и когда нагрузка носит емкостный характер, ф2<0.
§ 39]
Однофазные трансформаторы
319
Фиг. 39,6.
При активной нагрузке ток 12 — тгО12 совпадает со вто-
ричным напряжением U2=niv-OU2, и если мы к внешнему
вторичному напряжению U2 прибавим активное падение на-
пряжения во вторичной обмотке, совпадающее по фазе--е-'
током г24 = /Я£7-^2^2>_^инДуктивное падение напряжения
/2 к}S2I2=jx2l2 = ти • А2Е2, опережающее ток на 90°, то должны
получить э. д. с. Ё2 = ти-ОЕ2, наводимую во вторичной об-
мотке. При индуктивной и емкостной нагрузках мы будем
иметь аналогичные построения с той разницей, что активное
падение напряжения г212=тц- Ц2А2 будет составлять с внеш-
ним напряжением U2—mu-OU2 угол ф2, а индуктивное —
угол—90°—<р2. Для всех нагрузок можем написать следующее
уравнение равновесия напряжений:
£2 = ('з+А2) 4 + ^2. (39,7)
где t72 = Z/2(Z— полное сопротивление внешней части вто-
ричной цепи), или
оё2=ои2 + ТЦа2 +
Сдвиг фаз во вторичной цепи между э. д. с. и током
будет определяться углом ф2, отличным от угла сдвига ®2
во внешней цепи. Мощность, передаваемая во вторичную
цепь, выразится через E2I2 cos ф2 и будет равна сумме мощ-
ности, передаваемой во внешнюю цепь, и потерь в меди
вторичной обмотки:
Е212 cos ф2 — U2I2 cos ®2-\-r2I\ = Р2 ф- г2/%. (39,8)
320
Трансформаторы
[ гл. 5
Переходя к первичной цепи, мы прежде всего должны
установить величину и фазу первичного тока /Р Этот ток
будет определяться тем, что его намагничивающая сила
должна, с одной стороны, дать намагничивающую
силу Fq—wJq, возбуждающую общий магнитный поток Фт, и с
другой стороны, скомпенсировать намагничивающую силу
вторичной обмотки, т. е. дать слагающую Ff2 —— F%=—
А = —Л; w14 = ^1/0—w2/2,
или
4 = /0— 4^= г— i п^1 — г
1 U "Wi U " v я
Таким образом ток в первичной обмотке при нагрузке
трансформатора должен состоять из двух слагающих: одной,
создающей магнитный поток Фт и другой, обратной по фазе
вторичному току и по величине равной вторичному току,
умноженному на передаточное число трансформатора 7'2=—12п.
Первичное внешнее напряжение Ut должно, во-первых,
уравновесить э. д. с., наводимую в первичной обмотке общим
магнитным потоком (эта слагающая напряжения будет
равна вектору Е\ =—Е1=ти- OE'J, и затем покрыть па-
дение напряжения в сопротивлении, равное г^Ц—Ши- Е\А1
и совпадающее по фазе с током /1? а также реактивное па- ,
дение напряжения, обусловленное магнитным рассеянием
опережающее ток на 90° и равное
/о)51 Ц—jxJ^inu-A^^
В соответствии с этим мы можем написать
^1 = (Г1+А!) 4+^'1. (39,9)
Сдвиг фаз между первичным напряжением и током опре-
деляется углом с?! (между векторами Оих и ОД), который
больше нуля (?!>(), т. е. ток Д отстает от напряжения
при индуктивной и активной нагрузках и может быть мень-
ше нуля (<?1<0, т. е. Ц опережает когда нагрузка транс-
форматора емкостная.
Первичная мощность должна состоять из полезной мощ-
ности, отдаваемой во внешнюю цепь, и, кроме того, покрыть
все имеющиеся в трансформаторе потери как в меди т\Рх-}-г2Р2,
так и в стали PFe:
Л = t/i/jCOS-p! =772/2 COS <р2 4- rj\ 4- г2/а2 4- Рре =
=^+^Си+^е« (39,10)
§ 40]
Схема замещения и определение параметров
321
Магнитное рассеяние не требует увеличения активной
мощности с первичной стороны, но увеличивает реактивную
мощность (при индуктивной и неиндуктивной нагрузке), ухуд-
шая cos
40. СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ
ТРАНСФОРМАТОРА
Трансформатор представляет собой четы-
рехполюсник, для которого может быть составлена схе-
ма замещения. Для составления последней необходимо при-
вести обе обмотки трансформатора к одному и тому же числу
витков. Если приводить схему к числу витков первичной
обмотки (можно сделать и наоборот), то все сопротивления,
активные и реактивные, вторичной цепи должны быть изме-
нены таким образом, чтобы общая мощность вторичной цепи,
а также мощность, отдаваемая во внешнюю цепь, равно как
потери в отдельных частях цепи, сохранили свои величины,
а также сдвиги фаз между отдельными слагающими вторич-
ной э. д. с. и током не изменились, т. е. чтобы
Е2Ц cos ф2 = Е'2Г2 cos <Ь2,
cos <р2 = U’21’2 cos <р2,
г2/22 = г'2/'22; = -2/'2-; и т. д
•^2-^2 х\^2 г2 Х2
Так как число витков вторичной системы теперь будет
уже не w2, a то
£'2 — — 1
Е2 w2 л
или
e'2^=e2--L-=e1.
Из написанного ряда уравнений следует, что
Г3 = 1^ = п12, U'2 = U2.^~,
Е ] tl
(40,1)
Изменив в указанном отношении все величины, относя-
щиеся ко вторичой цепи, и обозначая теперь через Е2, I2nU2
21 К. А. Круг, т. П.
322
Трансформаторы
[ гл. 5
уже приведенные величины мы получим, что э. д. с. в обеих
катушках, наводимые общим магнитным потоком Фт, бу-
дут равны между собой: Ёх = Е2 =—Ё'2, и что первичный
ток будет равен геометрической сумме /о и /'2 = —/2.
Векторная диаграмма трансформатора, приведенного к од-
ному числу витков, весьма упрощается, если ту часть диа-
граммы, которая относится ко вторичной цепи, повернуть на
1а0° (фиг. 40,1). Тогда точка Е2 совпадает с Е\, точка /2 с /'2,
точка U2 с U'2 и точка Л2 с Д'2.
Для получения численных соотношений и исследования
рабочего процесса трансформатора на основании вышеприве-
денной диаграммы можно положить в основу некоторую экви-
валентную электрическую схему (фиг. 40,2); которая сво-
дится к замене электромагнитной связи между первичной и
вторичной обмотками связью электрической. В этой схеме
Г1 и х1 = 2те/51, и г'2 и x'2 = 2tc/S'2 представляют собой ак-
тивные сопротивления и реактивные сопротивления рассея-
ния первичной и вторичной обмоток, выделенные в виде от-
дельных реактивных катушек, приведенных к одному и то-
му же числу витков, а г0 и х0, включенные в ответвлении,
определяются из уравнения 2r0 = |/r”4-x’= — (где /0 — ток
0 0 io
Фиг. 40,1.
§ 40 ] Схема замещения и определение параметров 323
Фиг. 40,2.
холостого хода, состоящий из намагничивающей и активной
слагающих, а Е\ — э. д. с., наводимая общим магнитным по-
током) и из уравнения //o = jDFe (где потери в стали
трансформатора от гистерезиса и от вихревых токов);
гг„. Вместо г0 и х0, соединенных последовательно,
иногда в эквивалентной схеме вводят в ответвлении две па-,
раллельных ветви g0 — ^ и Ь0—т/У—g\ где = .
Г. Г о 0 jC 1
Построим для такой схемы векторную диаграмму. Пусть
U2 = mu-OU'2 и Г2^=ТП1-ОГ2 — напряжение и ток во внеш-
ней цепи (фиг. 40,1). Чтобы найти напряжение между точ-
ками разветвления, мы к U'2 должны прибавить активное па-
дение напряжения r'2 — направив его параллель-
но /'2, и падение напряжения вследствие рассеяния /х'2/'2—
=ти-А,2Е1 — перпендикулярно к /'2; g\ — mu-OE\ = [j2Ar
Для нахождения тока д мы геометрически
складываем ток во внешней цепи и ток в ответвлении
71=/04-/3. Приложив к Е\ вектор — ,Пи Ё\А1 парал-
лельно 4 и А1/1 —нормально к /р мы получаем
напряжение у первичных зажимов (ji—mu~6U-
Мы видим, что векторная диаграмма трансформатора
вполне совпадает с векторной диаграммой электрической
схемы замещения, которая была рассмотрена в § 14. Отсю-
да следует, что для трансформатора можно построить кру-
говую диаграмму, т. е. если напряжение у первичных зажи-
мов поддерживается постоянным, Ux =const, то при различ-
ных нагрузках трансформатора и при постоянном сдвиге фаз
во внешней цепи, cos<p3 =cos(772, /2) = const, конец вектора
первичного тока перемещается по окружности. Для техни-
21*
324
Трансформаторы
[ гл. 5
ческих трансформаторов, у которых магнитное рассеяние
незначительно (Xj и х'2 невелики), эта окружность получает-
ся очень большого диаметра. Часть этой окружности, соот-
ветствующая нормальной работе трансформатора, представ-
ляет собой почти прямую, совпадающую с линией
(фиг. 40,1). Если не принимать во внимание изменения на-
магничивающего тока в зависимости от нагрузки, то при
разных нагрузках, но при cos у2 — const конец вектора пер-
вичного тока будет перемещаться по прямой 4Д.
Так как ток холостого хода в трансформаторах мал по
сравнению с током при нагрузке, то токи Ц и Г2 можно
считать приблизительно равными по величине и направлению
(Д Г2 — 1). Такое равенство будет иметь место, если
предположить, что полное сопротивление ответвления г0 в
схеме весьма велико. В этом случае мы получаем еще бо-
лее простую эквивалентную схему (фиг. 40,3) и векторная
диаграмма трансформатора еще более упрощается, именно
векторы £/2Л2 и (Фиг- 40>4), с одной стороны, и векто-
ры А2Е'\ и AxUv с другой, — будут параллельны между со-
Фиг. 40,3.
Фиг. 40,4.
§ 40]
Схема замещения и определение параметров
325
бой. Если U\=й'2 = ту -QU 2 и 1 ~ /'2 = //Zj • 01 — напряжение
и ток во внешней цепи, сдвинутые друг относительно друга
на угол U2OI = ср3, то напряжение у первичных зажимов
определяется как геометрическая сумма двух векторов:
=. U2 -f- I — ту • OU2 -f- zz/y • U2U1,
где
Zk —/(Г1+Г'2) 2+(-^1+л'2)2 • ,
(40,3)
из которых второй представляет собой падение напряжения
в трансформаторе и состоит из слагающей
^а=(г1 + = ntu-U^A,
совпадающей с током, и слагающей
]1 xk — ]\х + х\)1 = ’ AU19
опережающей вектор тока на 90°. На фиг. 40,4 представле-
ны диаграммы для трех случаев нагрузки, когда ср2>0, ?2=0
и ?2<0. За основное нал, авление в этих диаграммах взято
направление нагрузочного тока и по отношению к нему по-
строены векторы напряжений.
Необходимые для исследования работы трансформатора
и для составления схемы замещения параметры трансфор-
матора, а именно передаточное число, сопротивления и реак-
тансы трансформатора могут быть получены из опыта хо-
лостого хода и короткого замыкания.
Ввиду относительно небольшого значения тока холостого
хода по сравнению с током при полной нагрузке можно с
достаточной точностью
считать, что при холо-
стом ходе первичное
напряжение равно про-
тиводействующей э.д.с.
Е\. А это дает
нам возможность, из-
мерив при холостом хо-
де первичное и вторич-
ное напряжения (фиг.
40,5), о 1ределить пере-
даточное число или отношение чисел витков обмоток транс-
форматора (на схемах трансформаторы обозначаются двумя
спиралями):
U2 =
(40,4)
326
Трансформаторы
[ гл. 5
Первичная мощность при холостом ходе, которая может
быть измерена ваттметром, слагается из потерь в меди в
первичной обмотке от тока холостого хода и из потерь на
перемагничивание стали
Л = ^ю/ю cos Фю = rJw2-\-PPe_ (40,5)
Не будет большой ошибки, если мощность холостого хо-
да приравнять потерям в стали:
P^PF(i (40,6)
или
^lAoCOs cpjo^ PFe = ^'1Ло cos &0,
и так как U^E\, то мы получаем, что угол сдвига между
напряжением и током при холостом ходе может быть при-
равнен углу между слагающей, уравновешивающей э. д. с.
и током. На основании последнего соотношения мы можем
определить эквивалентные сопротивления и проводимости
ответвления:
- f1 = z0 cos »0= т5 = г0 и z0 sin %=х0
110 110 I
или
7Г = ^Г Jo cos • =^о и Л sin &0=£0. (40,7)
£ i £'i2
При так называемом опыте короткого замыкания вторич-
ные за-жимы трансформатора замыкают накоротко, фиг. 40,6
(можно вторичные
зажимы замкнуть на
амперметр), и посте-
пенно повышаютпер-
вичное напряжение
до тех пор, пока по-
казания амперметров
не будут соответ-
ствовать номиналь-
Фиг. 40,6. ным значениям тока.
Получающееся при
этом напряжение Uik не превышает обыкновенно 5-4-10% от
первичного напряжения Ux при нормальной работе.
Если вторичную обмотку заменить эквивалентной обмот-
кой с приведенным к первичной обмотке числом витков, то
мы получим приблизительно одинаковые значения для актив-
ных и реактивных сопротивлений первичной и вторичной об-
§ 40 ] Схема замещения и определение параметров 327
моток, т. е. гх — г\ и хх—х\ (хх и примерно в 5ч-10 раз
больше г и г'2).
Благодаря приблизительному равенству zx и
zx—yfr\ “Fх\ и z*=Vr*-\rx“, (40,8)
и небольшому значению намагничивающего тока при корот-
ком замыкании и при номинальном токе, мы будем иметь,
что 1Х = Г2. Наводимая в обмотках общим магнитным пото-
ком э. д. с. будет равна половине напряжения у первичных
зажимов, т. е. около 2,5н-5% от э. д. с. при холостом ходе.
В связи с этим магнитная индукция в стали при опыте
короткого замыкания будет составлять лишь 2,5н-5% от
магнитной индукции при нормальной работе. А так как по-
тери в стали на гистерезис и на вихревые токи могут быть
приняты приблизительно пропорциональными квадрату маг-
нитной индукции, то потери в стали при опыте короткого
замыкания фактически могут быть приравнены нулю. На-
магничивающая слагающая первичного тока вследствие по-
нижения магнитной индукции и отсутствия насыщения при
таких малых индукциях фактически будет ничтожно мала по
сравнению с Д, а потому мы будем иметь, что измеряемая
при опыте короткого замыкания мощность
+ Н-г'2)/л1=гй/31 (40,9)
будет равна потерям лишь в меди.
Зная мощность и ток короткого замыкания, мы можем
определить так называемое активное сопротивление короткого
замыкания
Гй = Г1+г'з = Л + 4 = — (40J0)
Па J
1
^обыкновенно в трансформаторах сопротивления приведенных
обмоток равны между собой, г1=-^- = /2^.
Полученные из опыта короткого замыкания значения ак-
тивных сопротивлений первичной и вторичной обмоток бу-
дут на 5н-25 % больше, чем значения сопротивлений этих об-
моток, измеренных постоянным током. Добавочные потери в
меди против расчетных обусловливаются вихревыми токами,
которые образуются под действием магнитных потоков рас-
сеяния как в самых проводах обмоток, так и в соседних с
обмотками массивных металлических частях, например, в ко-
жухе или в стенках бака, в котором помещается трансфор-
матор.
328
Трансформаторы
[ гл. 5
Опыт короткого замыкания позволяет нам определить об-
щий реактанс рассеяния трансформатора:
= + (х1+хр2, |
xA=xi~frx',=Vrz‘/i — rfc — ^i*sincp1A. (4°Л0
j
Обыкновенно принято считать, что
т. е. что после приведения к одному и тому же числу вит-
ков реактансы рассеяния обеих обмоток равны между собой.
По данным опыта холостого хода и короткого замыкания
может быть вычислен к. п. д. трансформатора, который опре-
деляется как отношение мощности, отдаваемой трансформа-
тором, к мощности, получаемой им, и выражается через
____ ______U<J2cos ?2 _____ _______________
cos <?2+^>Fe+rl^l2H-r2^22_______________________^2+^Fe+^Cu
^2+^10+^lA
PFe—потери в стали на гистерезис и вихревые токи, а
Р —г I 2-Ur 7 2 — г 7 2 —
ГСи—Г121 1^л222 -rk‘l -
41 * «2
потери в меди могут быть определены из уравнения (40,9).
При заданном напряжении к. п. д. достигает своей мак-
симальной величины при такой нагрузке, при которой потери
в меди равны потерям в стали. Действительно, разделив
числитель и знаменатель на /2
_______^2 COS ?2___
Z72ccs?24-Ue_|_^ /2
мы находим, что т] будет иметь максимум, когда знаменатель
будет минимальным. Из уравнения
A (^C°S ;з)= — if + -f = 0
следует, что это будет тогда, когда
Л-. = /,’=Г.Л1=/’С..
(40,14)
(40,15)
что и требовалось доказать.
§ 41]
Трехфазные трансформаторы
329
41. ТРЕХФАЗНЫЕ ТРАНСФОРМАТОРЫ
Для преобразования энергии трехфазного тока одного на-
пряжения в энергию трехфазного тока другого напряжения
можно применять или три отдельных однофазных трансфор-
матора для каждой фазы (как это, например, часто делается
в Америке) или же один трехфазный трансформатор (как это
делается, главным образом, в Европе), в котором три маг-
нитных потока соединяются вместе. На фиг. 41,1 схематиче-
ски показан трех-
фазный трансформа-
тор стержневого ти-
па. Трем э. д. с., на-
водимым в трех фа-
зах, соответствуют
три магнитных пото-
ка, равные по своим
амплитудам, опере-
жающие соответ-
ствующие э. д. с.
на 90° и составляю-
щие между собой
углы в 120°.
Трехфазные транс-
форматоры могут
быть и броневого
типа (фиг. 41,2), хо-
тя такой тип упо-
требляется сравни-
тельно редко. Такой
трансформатор мо-
Фиг. 41,1.
жет рассматривать-
ся, как три однофазных трансформатора броневого типа, сло-
женных вместе (на чертеже по пунктирным линиям). Магнитные
потоки в трех стержнях, на которых сидят обмотки, будут
равны между собой, Фл =ФВ =ФС, но сдвинуты на 120°.
Магнитный поток, который проходил бы через цепь / и 2,
в случае раздельных трансформаторов равнялся бы 0,5 Фл
через цепь 3 и 4—равнялся бы 0,5 Фв и т. д. Поэтому, если
мы части 2 и 3 соединим вместе, то в стержне 2—3 бу^ет
проходить ’поток, равный разности между 0,5 Фд и 0,5 Фв>
но так как Фл иФв будут сдвинуты по фазе на 120°, то
амплитуда этой разности будет равна “у^Фл.
Первичные и вторичные обмотки трансформаторов могут
быть соединенными обе в звезду Y/Y (фиг. 41,3) или обе в
330
Трансформаторы
[ гл. 5
Фиг. 41,2.
Фиг. 41,3. Фиг. 41,4.
треугольник Д/Д (фиг. 41,4) или одна в треугольник, другая
в звезду (фиг. 41,5 и 41,6), или одна может быть соединена
в звезду или в треугольник, а другая в так называемый
зигзаг Y/Z или Д/Z (фиг. 41,7 и 41,8), при котором каждая
фаза зтой обмотки делится на две части причем, если идти
от нулевой точки, одна половина одной фазы в противосо-
единение соединяется последовательно с другой половиной
другой фазы,
§ 41]
Трехфазные трансформаторы
331
а и с
Фиг. 41,5.
Фиг. 41,6.
Фиг. 41,7.
Фиг. 41,8.
Внешние зажимы на стороне высшего напряжения обыкно-
венно обозначаются через Л, В и С, а на стороне низшего—
через а, b и с\ противоположные концы фаз обозначаются
через X. У, Z и х, у, z.
Если построить треугольники напряжений между первич-
ными зажимами, с одной стороны, и вторичными зажимами,
с другой стороны, то мы увидим, что присоединении обмо-
ток по схемам Y/Y и Д/Д напряжения между соответствую-
щими зажимами на первичной и вторичной сторонах совпа-
дают по фазе, а на зажимах остальных схем треугольник
вторичных напряжений . повернут в сторону отставания от
треугольника первичных напряжений на 30°. Если переставить
332
Трансформаторы
[ гл. 5
фазы на какой-нибудь стороне в том же круговом порядке,
например, на вторичной стороне первой фазой сделать вто-
рую, второй—третью и третьей—первую, то треугольник abc
напряжений повернется относительно треугольника АВС еще
на 120° по часовой стрелке; если же первой сделать третью,
второй первую и третьей вторую фазу, то треугольник abc
повернется относительно треугольника АВС по часовой стрелке
на 240°.
Мы получаем, таким образом, сдвиги треугольников в
0; 30; 120; 150; 240 и 270°.
Можно в рассмотренных выше схемах соединения, напри-
мер, на первичной стороне изменить направление напряже-
ний, т. е. концы {АВС) сделать началами, а начала {xyz)
концами. Это дает соединения л/Y, v/A и аМ, А/Y, что по-
вертывает треугольники друг относительно друга еще на 180°,
и мы можем, таким образом, получить поворот напряжений
одной стороны относительно другой на 180; 210; 300; 330;
60; 90°. Применяя ту или другую схему, можно, сохраняя
ту же последовательность фаз, сдвинуть друг относительно
друга напряжения на углы, кратные 30°.
Если в какой-нибудь из вышеприведенных схем пере-
крестить на одной стороне две какие-нибудь фазы, то пер-
вичная и вторичная стороны будут иметь последователь-
ности, направленные в разные стороны (одна — по стрелке
часов, другая—против стрелки часов).
Таблица 8
Соединения обмоток UAB иаь UABIUab la fAlfa
пер- вич- ной вторич- ной
Y Y J/3U20 W1/W2 Г^ф W2IWi
V V и2ф Wilw2 У^Ьф У 3 1?ф W2IW1
Y V К3 и2ф У 3 w^w2 Цф уз^ф
V Y Ъф У^и2ф wiiy3w2 Уы1ф
V Z и1ф to I со <8* 2 , - 0 У^ф 12ф 3 , J W2/W1
Y Z У~зи1ф to | со £ 2 Г2ф 3 — w2lwx
§ 41]
Трехфазные трансформаторы
333
Отношение первичных и вторичных напряжений зависит
не только от числа витков п^рличной и вторичной обмоток
Wj и w2, но и от схемы соединения. Если и —фазо-
вые напряжения, наводимые при последовательном соеди-
нении всех витков одной обмотки, сидящих на одном стержне,
а и Z2fl5— фазовые токи, то, если пренебречь потерями
и намагничивающими токами, мы получим соотношения ме-
жду напряжениями на клеммах UАВ и UаЪ и между токами в
подводящих проводах 7ли 1а> представленные в табл. 8.
Приведенные соотношения для соединений треугольником
и звездой не требуют особых пояснений, так как фазовые
напряжения относятся, как числа витков, а фазовые токи
обратно пропорциональны числам витков.
В * зигзагообразном соединении фазовое напряжение на
вторичной стороне складывается из э. д. с., которые наводятся
в двух половинных обмотках, сидящих на двух разных
стержнях. Эти э. д. с., как видно, например, из схемы У/Z,
сдвинуты друг относительно друга на 69°, поэтому, если
— э. д. с., наводимая в каждой половине, то фазовое
напряжение Оа будет
равно ^.и2ф,
а напряжение между
точками а и b будет равно
С41'1)
При одинаковой нагрузке всех фаз, если пренебречь на-
магничивающими слагающими, ампервитки первичной и вто-
ричной обмоток должны быть равны между собой. Ампер-
витки первичной обмотки равны У^. Ампервитки вторичной
обмотки слагаются из двух частей, каждая из которых со-
w9
держит -у витков
но токи, протекающие через эти части
(токи 1а и УД сдвинуты друг относительно друга на 60°,
следовательно, сумма их будет равна
^2ф 2 * 2 ’
откуда
_ £3^2
Т2ф 2 ’
(41,2)
3 )4 Трансформаторы •* гл. о
Если
Если
В
(41,3)
(41,4)
сильно
напря-
первичная обмотка соединена в треугольник,
А ________________ _ 3 w2
I а ^2ф 2 Wi
же первичная обмотка соединена в звезду, то
_ ]/л w2
^2ф % Wi
трехфазных трансформаторах, в которых сталь
насыщена, появляются высшие гармоники в кривых
жений и токов. Если первичная и вторичная обмотки со-
единены в звезду (или в зигзаг), то в кривых тока не могут
существовать третьи гармоники, вследствие чего в кривых
изменения магнитных потоков появляются гармоники, крат-
ные трем, которые совпадают по времени во всех фазах
(см. § 37).
Эти гармоники наводят в обмотках э. д. с. с частотами,
кратными трем, которые не влияют на
линейные напряжения
(так как при опре-
делении линейных
напряжений, равных
разности напряжений
двух смежных фаз,
они выпадают), но
которые, если, напри-
мер, нулевая точка
на вторичной сторо-
не заземлена, меняют
потенциал линейных
одна или обе обмотки
проводов по отношению к земле. Если
соединены в треугольник, то этого явления не наблюдается,
так как тогда в этих обмотках появляются гармонические
токи, кратные трем, которые и позволяют принимать кривым
магнитных потоков синусоидальную форму.
Если же первичная обмотка соединена в звезду, а вторич-
ная обмотка будет соединена так, что треугольник будет
не замкнут, то вольтметр, присоединенный к соответствую-
щим зажимам, измерит лишь гармоники, кратные трем, U =
(Фиг- 41,9). Этой схемой при насыщении
стали трансформатора можно пользоваться для утроения часто-
ты сети.
Когда все три фазы трехфазного трансформатора одина-
ково равномерно нагружены, то каждую фазу можно рассмат-
ривать независимо от другой и работа каждой фазы трех-
фазного трансформатора ничем не отличается от работы од-
нофазного трансформатора.
§42]
И эм-ери тельные тра исфор м атор ы
335
Для параллельной работы двух трехфазных трансформа-
торов, у которых как первичные обмотки, так и вторичные
обмотки соединяются параллельно, требуется кроме равен-
ства напряжений (передаточных чисел) еще, чтобы сдвиг фаз
между треугольниками напряжения первичной и вторичной
обмоток был у обоих трансформаторов одинаков. Так напри-
мер, два трансформатора, из которых один соединен по схе-
ме Д/Y, а другой Y/Y, параллельно работать не могут, а транс-
форматоры, соединенные один по схеме Y/Y и другой по схе-
ме Д/гилиД/У, Y/Z, могут быть соединены параллельно, если
соответственным образом выбраны начала и концы фаз.
Кроме вышеуказанных условий, при которых только и
возможна параллельная работа, обыкновенно ставится еще тре-
бование, чтобы вся мощность, передаваемая из первичной сети
во вторичную, распределялась между трансформаторами про-
порционально номинальной мощности этих трансформаторов.
Для удовлетворения этого требования необходимо, чтобы
вторичные напряжения трансформаторов (первичное напряже-
ние у них будет одно и то же) были в точности равны как
при холостой работе, так и при полной нагрузке трансфор-
матора и чтобы падения напряжения между напряжением
холостой работы и напряжением полной нагрузки у обоих
трансформаторов были равны по величине и совпадали по фазе,
т. е. чтобы активное и реактивное падения напряжения при
коротком замыкании, выраженные в процентах, были бы оди-
наковы у обрн^с трансформаторов. Если это условие невыпол-
нено, то между трансформаторами будут возникать выравни-
вающие токи, в результате которых один трансформатор может
оказаться перегруженным, в то время как другой будет
недогружен.
42. ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ТРАНСФОРМАТОРЫ
При измерениях высоких напряжений и больших токов измеритель-
ные приборы не могут быть соединены непосредственно с сетью, и их
приходится включать посредством так называемых измерительных транс-
форматоров (фиг. 42,1). Измерительные трансформаторы напряжений имеют
большое число витков для первичной и малое число витков для вто-
ричной обмоток для того, чтобы снизить непосредственно измеряемое
напряжение:
w2 U\
О2=щ -2 = и их= и2Пи (42.1)
W1 пц
Вторичное напряжение (J2 выбирается обычно таким образом, чтобы
оно равнялось 100 V. Для того чтобы измерение давало точные результа-
ты, необходимо, чтобы на отношение между напряжениями у первичных
и вторичных зажимов трансформатора не влияла величина тока, потреб-
ляемого присоединенными к нему (параллельно) измерительными при-
борами, и поэтому сумма всех токов присоединенных приборов должна
находиться в соответствии стоком, на который рассчитан измерительный
трансформатор напряжения.
336_________
Трансформаторы
t i л. 5
Фиг. 42,1.
Измерительные трансформаторы тока имеют лишь один или несколь-
ко первичных витков и большое число вторичных витков. Этим дости-
гается снижение величины тока, подлежащей непосредственному измере-
нию. Иногда они выполняются и таким образом, что небольшой стальной
сердечник, на котором намотана вторичная обмотка, надевается на при-
вод или шину, через которую проходит измеряемый ток. Такие транс-
форматоры применяются, например, для измерения токов высокого на-
пряжения и помещаются они на выводных втулках трансформаторов и масля-
ных выключателей. Соотношение между измеряемым током и током во
вторичной обмотке выражается уравнением
. . w9
Л='о+—f2 = 4 + 4”,. (42,2)
Для того чтобы не нарушалась пропорциональность между Д и /2*
необходимо, чтобы намагничивающая слагающая 1$ была по возможности
меньше. Для этой цели сертечник точных измерительных трансформато-
ров набирают из целых стальных листов. Напряжение у зажимов транс-
форматора тока пропорционально ^о, и поэтому, если во вторичной цепи
трансформатора тока соединено последовательно большое число прибо-
ров (амперметр, ваттметр, счетчик, реле), то ток /о будет больше, чем в
том случае, когдч присоединен только один прибор; вследствие этого мо-
гут получиться искаженные показания. Если пренебречь /0, то мы имеем
что
(42,3)
Вторичный ток 12 берется обычно равным 5А. При большом числе
приборов, включаемых последовательно во вторичную цепь, сдвиг фаз
между /2 и А будет меньше 180°, что также должно влиять на уменьше-
ние показаний ваттметра и счетчика. Вторичная обмотка трансформато-
ров тока всегда должна быть замкнута, иначе в сердечнике образуется
потак, пропор’ио «альный Л» который дает большое напряжение у первич-
ных клемм трансформатора и вызовет чрезмерное нагревание стали сер-
дечника.
Для измерения мощности и энергии могут быть использованы те же
трансформаторы, что и для измерения напряжения и тока. Тонкие обмот-
ки ваттметра или счетчика энергии соединяются параллельно с вольтмет-
ром, а толстые обмотки—последовательно с амперметром.
§1 42]
Измерительные трашоформаторы
337
Пусть мощность, потребляемая приемником энергии, равна
(Z^cos <рь (42,4)
а мощность, измеряемая ваттметром, составляет
Р2~6/2/2со5 ?1", (42,5)
где —соответствующий угол между
Векторы напряжений на первичной и вторичной сторонах измери-
тельного трансформатора напряжения, так же как и векторы токов в
обеих обмотках измерительного трансформатора тока не будут прямо
противоположны. В то время как в трансформаторах напряжений эта
ошибка ничтожно мала и ею можно пренебречь, в трансформаторах тока
особенно когда к нему присоединено много приборов, разница в углах
может достигать нескольких градусов. Предположим, что сдвиг между
векторами /72и^1 будет между /2 и А будет ар тогда
?1' = <Р 1 — (а/ +а и ) — Т1 — 5
и .
cos = cos cos о 4- sin ?iSin о — cos ^cos о (1 4- tg о tg <pi);
так как о — угол очень небольшой, то можно принять, что cos и
tgSz^d, тогда получаем
cos /1
cos ?i— 1-^dtgcpi.
Подставляя вместо Л и cos ai их значения, мы получаем, что иско-
мая мощность равна
Р1=О2Пи Л/*/ 1+gtg ?i- == j + 5tg“ (12,6)
Фиг. 42,2.
22 К. А. Круг, т. и.
338
Трансформаторы
[ ГЛ. 3
—показанию ваттметра Р2» умноженному на произведение передаточных
чисел измерительных трансформаторов напряжения и тока и на попра-
вочный коэфициент, который зависит от угла сдвига фаз нагрузки <fi.
Если пренебречь поправочным коэфициентом, приравняв его единице,
то получим
Р^пиП1Р2. (42,7)
На фиг. 42,2 показана схема включения вольтметров, амперметров
и ваттметров (по схеме Арона) через измерительные трансформаторы.
Трансформатор напряжения может быть соединен открытым треугольни-
ком. Для измерения токов достаточно двух измерительных трансформато-
ров тока, так как в первичной системе
41
или
4=-('л+'с)- (42,8)
и во вторичной системе
?2В = —(i 2д+ 7гс)> <42,9)
следовательно, амперметр Ав будет измерять ток в фазе В.
Для предохранения измерительных приборов от высокого напряже-
ния в случае порчи измерительных трансформаторов необходимо, чтобы
измерительная цепь была заземлена хотя бы в одной точке.
43. АВТОТРАНСФОРМАТОРЫ И РЕГУЛИРОВОЧНЫЕ
ТРАНСФОРМАТОРЫ
Для изменения напряжения в сети в небольших пределах
употребляются трансформаторы с одной обмоткой — так на-
зываемые автотрансформаторы. На фиг. 43,1 представ-
лена схема такого автотрансформатора для повышения на-
пряжения в сети. Напряжение U2 между точками А и b бу-
дет равно геометрической сумме напряжений сети (J и на-
пряжения U’2 между точками В и b. иг и U2 будут почти
совпадать по фазе, а потому
1/2 ^2
И
и2 = и (43,1)
\ W1 J
где и — числа витков тонкой и толстой обмоток. Ав-
тотрансформатор можно рассматривать как трансформатор,
в котором первичная обмотка соединена последовательно со
вторичной. Мощность, на которую должен быть рассчитан
такой трансформатор, будет (72/2. Токи в тонкой и толстой
обмотках имеют противоположное направление, и если пре-
небречь величиной тока холостого хода, то (/,—/2)wi —/2w2
§43]
Автотрансформаторы
339
Фиг, 43,3.
Фиг. 43,4.
и ток в толстой обмотке будет равен 73= ——— , а ток,
W1 +w2
который берется из сети, составит
/1 = 7з+/3«!а, (43,2)
Такие автотрансформаторы применяются и для трехфаз-
ного тока (фиг. 43,2).
Понижение напряжения в сети также может быть достиг-
нуто при помощи автотрансформатора (фиг. 43,3). Напряже-
ние между точками А и b будет относиться к напряжению
сети, как соответствующие числа витков, т. е.
Ц2 __
Ui Wi+w2
(43,3)
22*
340
Трансформаторы
гл.
о
Добавочный трансформатор
И
Фиг. 43,5.
Если пренебречь опять
током холостого хода, то
ток, который берется из
сети, может быть опре-
делен из равенства ампер-
витков = (Д— A)W
w2
/-/2 —. (43,4)
W1 + W2
Трансформаторы, с од-
ной обмоткой могут слу-
жить также для деления
напряжения в трехпро-
водных сетях однофазно-
го тока (фиг. 43,4)- На том
же принципе основаны
так называемые д и в и з о-
ры, или делители на-
пряжения, применяе-
мые, например, для дуго-
вых фонарей, соединенных последовательно. При таких дели-
телях имеется возможность включать и выключать каждый
фонарь отдельно и независимо от других, cos ср всегда будет
близок к единице, и потребляемая энергия будет пропор-
циональна числу включенных фонарей.
Регулировка напряжения, даваемого трансформатором, если она тре-
буется в небольших пределах, осуществляется изменением числа витков—
путем переключения на соответствующие анцапфы (фиг. 43,5). Если тре-
буется лишь повысить или понизить имеющееся напряжение, то измене-
ние напряжения в ту или другую сторону может быть осуществлено
при помощи двух трансформаторов: одного регулировочного и другого
добавочного (фиг. 43,6). Перемещая контакт у регулировочного транс-
форматора, можно прибавить через добавочный трансформатор к сете-
вому напряжению дополнительное напряжение U, которое может
иметь то же или противоположное с ним направление.
Вышеуказанная схема позволяет регулировать напряжение лишь сту-
пенями. Для плавного регулирования напряжения в широких пределах
применяются так называемые вращающиеся потенциал-регу-
лятор ы, в которых может меняться относительное расположение
первичной и вторичной обмоток (фиг. 43,7).
§ 43]
Автотрансформаторы
341
Фиг. 43,9.
В зависимости от угла поворота а (внутренней части) меняется вели-
чина магнитного потока, проходящего через вторичную обмотку, и тем
самым изменяется величина э. д. с., наводимой во вторичной обмотке.
Для регулирования напряжения трехфазного тока применяют затор-
моженный асинхронный двигатель, одна обмотка которого соединяется в
треугольник или звезду, а другая делится на части, которые не соеди-
няются между собой, а включаются последовательно в три фазы линии
(фиг. 43,8); поворотом ротора относительно статора можно менять взаим-
ное расположение векторов добавочных э. д. с., наводимых вращающимся
магнитным полем £7'2; и U',f2 (сдвинутых друг относительно друга
на 120°), по отношению к треугольнику напряжений сети АВС и тем
самым менять напряжение после потенциал-регулятора в пределах тре-
угольников Л'2В'2С'2 и Л"оВ"2Сг2 (Фиг. 43,9). Если фазовые напряжения
первичной и вторичной обмоток равны к ежду собой, = 472, регули-
рование может быть произведено от нуля до двойного напряжения сети.
342
Трансформаторы
L гл. 5
U
Фиг. 43,10.
Когда первичная и вторичная обмотки заторможенного трехфазного
асинхронного двигателя не связаны друг с другом, то при повороте ро-
тора изменяется фаза между первичными и вторичными напряжениями,
и такой асинхронный двигатель может служить фазорегулятором.
Трансформаторы могут быть выполнены и таким образом, чтобы при
неизменном напряжении в первичной цепи ток во вторичной цепи был
почти постоянен независимо от нагрузки. Достигается это большим магнит-
ным рассеянием (фиг. 43,10). Благодаря этому при токе холостого хода
70 = ту 01$ круговая диаграмма получается сравнительно небольшого
диаметра, и если трансформатор будет работать в пределах, близких к
короткому замыканию, то ток /2 при разных сопротивлениях вторичной
цепи будет меняться очень мало.
Такая схема для получения переменного тока постоянной величины
применяется в установках для электрической сварки.
44. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРЕХФАЗНОГО ТОКА В ДВУХФАЗНЫЙ
ПО СХЕМЕ СКОТТА
Трехфазный ток может быть преобразован в двухфазный, и наоборот
по схеме, предложенной Скоттом (изображенной на фиг. 44,1) при помо-
щи двух однофазных трансформаторов. Один конец первичной обмотки
первого трансформатора соединяется с серединой первичной обмотки
второго трансформатора, и получающиеся три конца присоединяются к
трехфазной системе. При таком соединении напряжение у первичных
клемм второго трансформатора будет равно линейному напряжению трех-
фазной сети Uy а первичное напряжение первого трансформатора будет
з и 'V' з
равно — . —1— =---------Uy (высоте правильного треугольника) и
2 ГЗ 2
по фазе оно будет сдвинуто по отношению к первичному напряжению
второго трансформатора на 90°. Так как напряжения у вторичных клемм
обоих трансформаторов по величине равняются линейному напряжению,
а потому равны между собой, то передаточные числа у обоих трансфор-
маторов не будут одинаковы. Если для второго трансформатора переда-
точное число то для первого оно будет
Uy W"y
иг — — 2я" = 2®пг ,
/3 *>'\ fa
§44]
Преобразование трехфазного тока в двухфазный
343
.44,1. гиФ
Если обе фазы двухфазной системы равномерно нагружены и токи в
обеих ее фазах равны по величине и сдвинуты по фазе на 90°, т. е.
/"2 =__у/'о, то на основании того, что ампервитки первичных и вторич-
ных обмоток должны быть равными, мы получаем следующие соотноше-
ния (фиг. 44,1)
. . ш’2 • 2до"2
I A ^2 “ ’
А ' »i V3w"i
или
'а-4=-^5'я- (,,л
Так как для трехфазного тока + ?с~—/д, то, решая два послед-
них уравнения, мы получаем, что
/=1--+;]^ к (44,з).
с L 2 2 J А'
Таким образом токи, поступающие из трехфазной сети в оба трансфор-
матора, будут равны между собой
IA=h=lc
и будут сдвинуты между собой на 120°, т. е. при одинаковой нагрузке
двух фаз двухфазной системы и трехфазная будет одинаково нагружена
во всех своих фазах при условии, что индуктивные падения напряжения
вследствие рассеяния в обоих трансфоома горах не будут нарушать сим-
метрии трехфазной системы. В действительности вследствие того, что в
двух половинах второго трансформатора токи сдвинуты на 180°—120*=60р,
второй трансформатор будет работать в несколько ненормальных усло-
виях, и индуктивное падение напряжения в нем будет значительно бод^
ше* чем в обыкновенных трансформаторах.
344
Трансформаторы
f гл. 5
45. УМНОЖЕНИЕ ЧАСТОТЫ ПРИ ПОМОЩИ ТРАНСФОРМАТОРОВ.
ПИК. ТРАНСФОРМАТОРЫ. СТАБИЛИЗАТОРЫ НАПРЯЖЕНИЯ
Пользуясь тем, что при синусоидальном токе кривая изменения
магнитного потока трансформатора отлична от синусоиды, можно при
помощи двух трансформаторов, работающих в разные моменты времени
с разным насыщением, выделить одну из высших гармоник и таким об-
разом увеличить число периодов.
По схеме Арко первичные обмотки двух одинаковых трансформа-
торов соединяются последовательно, вторичные же обмотки соединяются
в контрсоединение и путем изменения переменной индуктивности и ем-
кости вторичная цепь настраивается на двойное число периодов (фиг. 45,1).
Несимметрия в степени намагничения достигается третьей обмоткой, через
которую проходит постоянный ток и которая намагничивает сердечники
трансформаторов в противоположном направлении, так что в течение
одного пол) периода в одном трансформаторе намагничивающие силы
первичной и вспомогательной обмоток складываются, а во втором вычи-
таются, в течение же следующего полупериода, наоборот, в первом вы-
читаются, а во втором складываются. Благодаря влиянию гистерезиса и
разному насыщению стали э. д. с. во вторичных обмотках будут изме-
няться по кривым, представленным на фиг. 45,2, и в результате благодаря
противосоединению вторичных обмоток резко выделится вторая гармоника.
Если вторичный контур будет настроен на двойное число периодов, то
в кривой тока остальные гармоники почти совершенно не скажутся.
По схеме Эпштей н-Д ж о л и удается устроить частоту (фиг. 45,3).
Здесь отсутствует третья обмотка. Несимметрия достигается тем, что пер-
вичная обмотка одного трансформа-
тора имеет малое, а другого—боль-
шое число витков, благодаря чему
при одном и том же токе в первич-
ной обмотке кривая магнитного по-
тока в первом трансформаторе имеет
заостренную, а во втором притуплен-
ную форму. И в той и в другой
кривой имеется значительная третья
гармоника, которая и может быть
выделена путем противосоединения
вторичных обмоток и настройкой
вторичного контура на тройную
частоту.
фиг. 45,1.
ь
ж
а
ж
Ж
ж
к
4
9 45 ] Умножение частоты при помощи трансформаторов 345
Фиг. 45,4.
Такое преобразование частоты применялось на радиостанциях, питае-
мых от машин высокой частоты. Так как частоте, которую можно получить
от машины, ставится предел допустимым числом оборотов и количеством
полюсов, которое может быть расположено на периферии якоря, то при-
бегают к умножению частоты путем многократного применения преобра-
зователей частоты, что позволяет повысить частоту, получаемую от ма-
шины, раз в 8—9.
На неодинаковой степени насыщения отдельных частей сердечника
основано действие так называемых пиктрансформаторов, предназначаемых
для подачи импульсов напряжения на сетки ионных приборов. Одна из
схем таких пиктрансформаторов представлена на фиг. 45,4. П-образный
сердечник из стальных листов замыкается пакетом листов из пермалоя,
и кроме того имеется еще набираемый из стальных листов магнитный
шунт. На П-образный сердечник насаживается первичная обмотка, питае-
мая от синусоидального напряжения, вторичная обмотка помещается на
перемычке из пермалоя. Синусоидальный магнитный поток, возбуждаемый
первичной обмоткой, проходит через пермалой, пока не будет достигнуто
его насыщение, после чего остальная часть потока замыкается через
магнитный шунт. Вследствие этого кривая э. д. с., наводимсй во вторич-
ной обмотке (фиг. 45,5), состоит из двух пик. направленных в разные
стороны и сдвинутых между собой на полпериода.
Если на П-образный сердечник поместить еще обмотку постоянного
тока, то, меняя величину подмагничивающего тока, можно сдвигать мо-
менты перем гничивания пермалоя и тем самым смещать пики вторичного
напряжения, приближая их друг к другу.
На нелинейной характеристике катушек со стальным сердечником,
т. е. на непропорциональности тока и приложенного напряжения с одной
стороны и на резонансе токов с другой, основано действие так называе-
мых стабилизаторов напряжения, служащих для снижения колебания на-
пряжения у потребителя энергии при колебаниях напряжения сети.
Если последовательно соединить две катушки фиг. 45,6 со стальными
сердечниками а и £,из которых у одной сердечник будет не насыщен, а у
другой весьма насыщен, то колебания приложенного напряжения более
резко будут сказываться у катушки с ненасыщенным сердечником, чем
у катушки с насыщенным сердечником.
346
Трансформаторы
J гл. 5 и 6
Так, если кривые OU2
и OU± фиг. 45,7 предста-
вляют собой зависимость
напряжения у зажимов
катушек от тока, а
кривая OU (U-U^U2)
внешне® напряжение, то
изменение внешнего на-
пряженияЛ£7==Д171-|- ДС72
большей своей долей
ляжет на катушку с
ненасыщенным сердечт
ником Д771>Ди2.
Это соотношение сохра-
нится и тогда, когда парал-
лельно к катушке с насы-
щенным сердечником бу-
дет присоединен приемник
энергии, ток в котором
меньше, чем ток в катушке
с насыщенным сердечником.
Для уменьшения реактивной
слагающей тока,забираемого
из сети, намагничивающий
ток в катушке с насыщен-
ным сердечником уравно-
вешивается путем присо-
единения параллельно к ней
соответствующей емкости,
так чтобы получился ре-
зонанс токов (фиг. 45,8).
Кроме того полагающиеся
Фиг. 45,9.
Фиг. 45,8.
небольшие изменения напряжения у приемника энергии при колебаниях
напряжения сети могут быть скомпенсированы при помощи добавочной
обмотки на катушке с ненасыщенным сердечником. Эта добавочная об-
мотка соединяется в цепь приемника энергии, чтобы наводимая в ней
э. д. с. увеличивала бы U2 при уменьшении Ux (и наоборот). Сердечники
обеих катушек могут быть объединены, как это показано на фиг. 45,9.
Первичная и компенсирующая обмотки сидят на среднем стержне с срав-
нительно большим сечением и небольшой магнитной индукцией, вторич-
ная обмотка сидит на другом стержне с малым сечением. По достиже-
нии состояния насыщения этого стержня магнитный поток, создаваемый
а среднем стержне^ замыкается через регулируемый магнитный шунт
§ 46]
Двухполюсное вращающееся поле
347
при помощи таких стабилизаторов можно добиться изменения напряжения
у приемника энергии в 0,5% и меньше при колебаниях напряжения сети
до 15%. Коэфициент полезного действия таких стабилизаторов напряже-
ния невысок.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ВРАЩАЮЩЕЕСЯ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
46. ДВУХПОЛЮСНОЕ ВРАЩАЮЩЕЕСЯ ПОЛЕ
Одним из главных преимуществ многофазных токов
является возможность получения вращающегося ма-
гнитного поля, на действии которого основан рабочий
процесс так называемых
Простейшая схема об-
разования вращающегося
магнитного поля состоит
из двух тождественных
катушек, расположенных
так, чтобы плоскости их
витков были нормальны
друг к Другу, и питаемых
двухфазным переменным
током
= Im sin ы/ и
Z3 = /msin (at--
асинхронных двигателей.
Каждая катушка в от-
дельности при прохожде-
нии через нее переменно-
го тока дает пульсирую-
Фиг. 46,1.
щее магнитное поле, ко-
торое в середине может
быть принято направленным перпендикулярно к плоскости
витков. Это поле меняется по величине и направлению то
в одну, то в противоположную сторону.
При выбранных на фиг. 46,1 положительных направлениях
тока в обеих катушках (точка обозначает острие, а крест —
хвост стрелки) положительное направление магнитного поля
цервой катушки, соответствующее положительному значению
тока будет совпадать с осью у, а для второй катушки—
с осью х
Полагая, что магнитная индукция пропорциональц^ току,
мы для магнитной индукции в середине катушки ^ожем
записать
348
Вращающееся магнитное поле
[ гл. 6
Мгновенное значение индукции равнодействующего поля
равно геометрической сумме мгновенных значений индукций
слагающих полей:
B = Вт. (46,1)
Индукция равнодействующего поля равна постоянной
величине, а угол, который направление поля составляет с
вертикальной линией,
4 v
sa=~^=~rr
z COS w/—
2
a = co/ — — ,
2
(46,2)
увеличивается пропорционально времени. Таким образом от
сложения двух взаимно перпендикулярных полей, изменяю-
щихся с одинаковой амплитудой, но сдвинутых во времени
на четверть периода, получается магнитное поле, вращаю-
щееся с постоянной угловой скоростью
о _ 2 тг/ (46,3)
Первая фаза
Вторая фаза
Третья фаза
в направлении от начала первой фазы (катушки) к началу
второй фазы (катушки). Если изменить направление тока в
одной фазе (начало сделать концом, а конец началом), то
направление вращения поля изменится на обратное.
Вращающееся магнитное поле можно получить и при
помощи трехфазного тока. Для этого надо разместить три
тождественных катушки так, чтобы плоскости их витков со-
ставляли между собой углы в 120°, и пропустить через эти
катушки трехфазный ток (фиг. 46,2).
Выберем такую систему координат, чтобы ось х совпа-
дала, а ось у была бы перпендикулярна к плоскости витков
первой фазы и совпадала с направлением поля, создаваемого
первой катушкой при положительном значении тока. Тогда
положительные направления полей второй и третьей фаз
будут составлять с осью х углы—30° и —150°, а с осью
у—углы —120° и -{-120°. Поэтому проекции магнитной индук-
ции полей отдельных обмоток на осях х и у с учетом сдвига
фаз во времени будут:
Ось х
0
Вт sin (о/—120°) cos 30°,
—Вт sin (o3/-|-120°)cos 30°,
________Ось у________
Вт sin о) t.
—Bmsin(a)Z—120°)sin 30*
—B^sinfcoZ+^O^sin 30°
§ 46 ] Двухполюсное вращающееся, поле
349
Складывая проекции на оси координат, мы получим сла-
гающие равнодействующего поля
Вх = Вт [sin (w t — 120°) — sin (w t120°)] cos 30° =
— — В 2 cos о t sin 120° cos 30° = — — B cos o> t;
By = Bm sin o) t — Bm [sin (ш t — 120°)—[— sin (W-j-1200)] sin 30° =
= B sin t — 2 В simo / cos 120° sin 30° = — В sin co/.
**• /*« 2 ***
Индукция результирующего поля
в = УВ\-^-В*у = | вт = con st (46,4)
будет постоянна по величине и в момент t составит с осью
угол, который определяется из уравнения
COS (dt . J , ( 1 ъ\
-----== — ctg a>/=tg 4>t — - ,
sin (dt \ 2 J
ig«—
ИЛИ
a = о)^---------
2
(46,5)
угол изменяется пропорцио-
времени. От сложения трех
Этот
X.нально
тождественных однородных полей про-
странственно наклоненных друг к
другу на 120° и сдвинутых во вре-
мени на 73 периода, получается маг-
нитное поле с постоянной индукцией
Фиг. 46,2.
350
Вращающееся мйгийтное поле
[<гл. 6
равномерно вращающееся с угловой скоростью, равной угло-
вой частоте трехфазного тока.
Поле будет вращаться по часовой стрелке от начала
первой фазы по направлению к началу второй фазы. Для из-
менения направления вращения трехфазного поля необходимо
и достаточно заменить две фазы друг другом, например, про-
пустив через обмотку В ток
а через обмотку С ток
j3 = 7msin со/--—
\ &
так как тогда ток будет достигать своего максимального
значения не в порядке обмоток 7, 2, 3, а в порядке 7, 3, 2, и
поле будет вращаться в обратную сторону.
На практике, когда все три фазы связаны в общую си-
стему, т. е. соединены звездой или треугольником, изменение
направления вращения магнитного поля (а вместе с ним и
изменение направления вращения асинхронного двигателя)
достигается введением в две фазы переключателя (фиг. 46,3).
Изменение направления тока во всех фазах не изменяет
направления вращения поля. Изменение направления тока в
одной фазе дает эллиптическое вращающееся поле. Положим,
что мы изменили направление тока в третьей фазе. Тогда
Вх = Вт [sin (о) t — 120°)-рsin (о) /-[-120°)] cos 30° —
= В 2 sin о t cos 120° cos 30° =-В sin co t,
m 2 rn ’
— sin co t — Bm [sin (co t— 120°) — sin 120°)] cos30° =
£? sin co /-[-5 cos co t,
m 1 2 m
___________в*=УВ\-±в*^____________________
= BmJ^/r~- sin2 co /-f~sin2 co t-уУ 3sin o> t cos co /-[- cos2 <01 =
— B_\/—-[-sin2co/-[--bJL sin2co/ =
my 4 1 1 2
n -a / 3 r 1 — cos 2 w t . 3 . q ±
^Вт]/ 7 4----------2----f~ —sm2®* =
~ ^mj/" 14- Sin (2 co t - 30°). (46,6)
§ 46]
Двухполюсное вращающееся йолё
Если для разных <И определить Вх и Ву и найти путем
построения индукции результирующего поля, то концы век-
торов, характеризующих индукцию поля, будут представлять
эллипс (фиг. 46,4).
Фиг. 46,3. Фиг. 46,4.
В этом случае индукция результирующего поля не будет
постоянна по величине, а станет изменяться от
в„„=в,)/-j+i = |s. да s«In=B-.]/7-i = 7B»
(46,7)
и будет вращаться против часовой стрелки с переменной
угловой скоростью, в то время как при правильном соедине-
нии индукция вращающегося поля постоянна по величине
1В = ~Вт V а угловая скорость вращения ее направлена
по часовой стрелке и имеет неизменное значение.
При практическом осуществлении вращающегося магнит-
ного поля в электрических машинах при помощи многофаз-
ных токов обмотки разных фаз располагают рядом в пазах,
имеющихся на цилиндрических поверхностях, обращенных к
воздушному зазору, отделяющему неподвижную часть машины
(статор) от подвижной части (ротора) (фиг. 46,5).
Рассмотрим магнитное поле, которое создается перемен-
ным током одной фазы. Для этого развернем окружности,
ограничивающие воздушный зазор. При равномерном рас-
пределении расположенных рядом проводов одной фазы, в
которых ток имеет одно и то же направление, намагничиваю-
552
вращающееся магнитное иоле
[ гл. 6
щая сила и пропорцио-
нальная ей индукция мо-
гут быть представлены
в виде трапеции (фиг.
46,6).
Индукционные линии,
замыкаясь вокруг про-
водников с током, рас-
пределяются симметрич-
но относительно середины
ширины каждой стороны
катушки, имея по обе
стороны катушки проти-
воположное направление.
Применяя закон полного
тока и полагая, что для
стали р- со, мы получаем
для точек, отстоящих от
середины катушек на
расстоянии х\
im) X
где 8—величина воздушного зазора; w —число витков катуш-
ки; b—ширина катушки. Для точек, лежащих между сторо-
нами катушки, магнитная индукция равняется
Фиг. 46,6.
§ 46 ] Двухполюсное вращающееся поле 353
В зависимости от соотношения ширины катушки b и
полюсного деления т кривая распределения магнитной индук-
ции в большей или меньшей степени будет отличаться от
синусоидального распределения. Для общего рассмотрения
многофазных вращающихся магнитных полей мы можем при-
нять, что магнитное поле, создаваемое током одной фазы,
распределяется вдоль воздушного зазора по синусоидальной
кривой
Bx = Bas\xm— — Bm sin со/sin тс —,
т т
а так как поле создается переменным током i =1sin со/, то
помимо синусоидального распределения мгновенных значений
магнитной индукции вдоль воздушного зазора мы будем иметь
изменение высоты синусоиды распределения магнитной индук-
ции в зависимости от времени. Магнитное поле одной фазы
будет пульсировать, т. е. колебаться вверх и вниз, изменяя
свое направление, но оставаясь неподвижным.
На фиг. 46,5 показано, как может быть осуществлено в
машинах двухполюсное вращающееся поле при помощи трех-
фазного тока. Провода каждой фазы располагаются на двух
противоположных сторонах окружности, занимая в каждом
месте ширину, равную одной трети полюсного деления:
2 к R 2т т ,
—-—= — = —, причем начала двух смежных фаз сдвинуты
на две трети полюсного деления ( — J. В предположении,
что каждая фаза, взятая в отдельности, дает намагничиваю-
щую силу, расположенную вдоль воздушного зазора по сину-
соидальной кривой с переменной амплитудой, мы можем для
каждого момента времени вычертить кривые распределе-
ния магнитной индукции для каждой фазы и затем найти
кривую распределения равнодействующего магнитного поля
(фиг. 46,7).
Пусть ахагг — развернутая длина окружности вдоль воз-
душного зазора и пусть a1bi — отрезок, на протяжении кото-
рого магнитная индукция направлена вверх (по радиусу от
центра), аЬха\ — отрезок, на протяжении которого магнитная
индукция направлена вниз, когда ток в первой фазе имеет
положительное значение, и в соответствии с этим отрезки
я2#2и (сдвинутые своими началами на две трети
полюсного деления от начала отрезков а1Ь1 и Ь1а'1) охваты-
вают часть воздушного зазора, вдоль которых при положи-
тельном значении тока во второй фазе магнитная индукция
будет направлена вверх (отрезок а2^2) и вниз (отрезок
^2a\-]-ai аг2), и равным образом магнитная индукция будет
направлена вверх на отрезке и вниз на отрезке
23 к. А. Круг, т. П.
354
Вращающееся магнитное поле
[ гл. 6
Фиг. 46,7.
b3as, когда ток будет иметь положительное направление в
третьей фазе.
Так как магнитные индукции пропорциональны намаг-
ничивающим токам, а последние при трехфазном токе сдви-
нуты друг относительно друга на 120°, то амплитуды (высоты)
синусоидальных кривых распределения магнитной индукции
полей отдельных фаз могут быть представлены следующим
эбразом:
Blm sin u>t =з Вт sin
Вz — В2т sin (®Z — 120°) == Вт sin (ш/ —120°); •
Bs =ВЪт sin (®/— 240°) — Bm sin (®Z—240°).,
(46,8)
.§ 46]
Двухполюсное вращающееся поле
355
В момент / = когда ток в первой фазе равен нулю и
магнитное поле первой фазы равно нулю (кривая поля сов-
падает с линией аг а\), магнитная индукция второй фазы
будет иметь отрицательное значение и высота синусоиды
Уз*
будет равна Вт sin (— 120°) =--— Вт (см. векторную диа-
грамму), поэтому на протяжении отрезка а2 Ь2 магнитная
индукция будет направлена вниз, а на протяжении Ь2а\ —
а2 — вверх. Для третьей фазы В3 = Вт sin (— 240°) ——
——Вт, а потому магнитная индукция на протяжении
а3 Ь2 будет направлена вверх, а на протяжении Ь% а3—
вниз. Для получения равнодействующего поля мы должны
сложить поле второй и третьей фаз. Это сложение дает
опять синусоидальное распределение магнитной индукции.
На фиг. 46,7 равнодействующая синусоида вычерчена
сплошной жирной линией, синусоида первой фазы — сплош-
ной тонкой, второй фазы — пунктирной, третьей фазы — пун-
ктиром с точкой.
Т
Через промежуток времени t = — ток во второй фазе до-
стигнет своего отрицательного максимума, а в первой и
третьей фазах токи будут равны между собой и равны-у, а
7
потому для — мы получаем три синусоиды распределения
магнитных полей трех фаз, как это показано на чертеже, ко-
торые при сложении дадут кривую распределения поля с
той же амплитудой, что и для момента / = 0, но сдвинутой
вправо на
27' Т
Когда поле третьей фазы равно нулю, а поля
первой и второй фаз будут определяться индукцией
и
в.=- ^Вт,
равнодействующее поле будет слагаться только из полей
первой и второй фаз и притом поля будут направлены вверх
между точками а1Ь1 для первой и Ь2а\-\-ага2 для второй.
Сумма ординат этих двух синусоид дает синусоиду с той
23*
356
Вращающееся магнйтноё поле
[ гл. 6
же амплитудой, что и прежде, но сдвинутой еще дальше
вправо на ~.
Если бы мы стали определять величину и распределение
ЗГ
магнитного поля в последующие моменты времени t= — ,
АТ
— то мы получили бы такое же синусоидальное рас-
пределение, но начала синусоид каждый раз передвигались
бы на —, т. е.
6
со скоростью
кривая распределения поля передвигалась бы
v = —
6
Магнитная
щих значений
-=-=2Д
12 Т
индукция в любой точке слагается из следую-
магнитных индукций отдельных полей:
В1Х = Bm sin sin — X;
(46,9)
г* • / J. 2гс\ . гс / 2т
В^ — Вт sin( --------' sin—(х----
\ 3 / Т \ 3,
2п
X------
3,
и
= ^sin ^-(х —
п • / j 4те\ , (it 4я\
— 5™ sin ( <oZ------)sin — х----------.
k 3/ \Т з/
Если мы сложим эти три слагающие и разложим произ-
ведение синусов по формуле
sin a sin р = jcos (а —Р) —у cos (а р),
то получим
Bx = Bix+B2x^BZx = B-?\w>
—cos
§ 47]
Многофазное многополюсное поле
357
Сумма второго, четвертого и -шестого слагаемых равна
нулю, а поэтому действующая в точке х намагничивающая
сила выразится через
Вх = ~ В mcosfw/— —(46,10)
2 \ т /
Таким образом, три синусоидальных поля, сдвинутых по
2т „ 1
месту на — и действующих со сдвигом во времени на -пе-
3 3
риода (или 120°), дают бегущее синусоидальное поля с ам-
плитудой, равной 3/2 амплитуды слагающих полей, и переме-
щающееся со скоростью ^ = 2/т.
В результате вдоль воздушного зазора будет перемещать-
ся синусоидально расположенное магнитное поле, которое в
своем действии будет вполне тождественно с вращающимся
однородным магнитным полем.
47. МНОГОФАЗНОЕ МНОГОПОЛЮСНОЕ ПОЛЕ
Выше мы рассматривали двухфазное и трехфазное вращающиеся маг-
нитные поля, т. е. поля, создаваемые двухфазным и трехфазным токами.
Поля эти двухполюсные, так как ту часть внутренней цилиндрической
поверхности, несущей обмотки, из которой выходят индукционные линии,
мы можем рассматри ать как северный, а ту часть, в которую входят
индукционные линии, как южный полюс, и вся цилиндрическая поверх-
ность делится поровну между двумя полюсами (которые перемещаются
со скоростью v —ф).
Если на окружности вдоль воздушного зазора, например, при трех-
фазном токе, расположить не 3-2=6 групп проводов (фиг 46,5), а 3-2 р
групп (фиг. 47,1) рядом лежащих проводов, принадлежащих к одной фа-
зе, в которых ток имеет одно и то же (но не щ отивоположное) направ-
ление, таким образом, чтобы по-
следовательность групп отдель-
ных проводов была такая же,
как и выше, т. е. чтобы группы
проводов отдельных фаз чередо-
вались таким образом: группа
прямых проводов (с крестиком)
первой фазы, группа обратных
проводов (с точкой) третьей цазы,
группа прямых проводов второй
фазы, группа обратных проводов
первой фазы, группа прямых про-
водов третьей фазы, группа об-
ратных проводов второй фазы, а
затем в том же порядке группа
прямых проводов первой фазы
и т. д. Ьсли таких повторе ий вдоль
окружности будет р, то мы полу-
чим 2р-полюсн>е поле. Кривая
распределения намагничивай щей
силы представится в виде р пол-
ных синусоид, а так как каждая
Фиг. 47,1.
358
Вращающееся магнитное поле
[ гл. 6
полот ина синусоиды соответствует
одному полюсу, то мы и получим
2р-полюсное поле. Кривая распре-
деления магнитной индукции поля
будет перемещаться вдоль окружно-
сти со скоростью v = 2/т, где по-
люсное деление
2к/?
т=-----равно дли-
не окружности, деленной на 2р.
Число оборотов, которое делает
многополюсное вращающееся поле
в единицу времени, т. е. число
окружностей, которое поле об ;йдет
в единицу времени, определится из
соотношения
V f 1Л1 n
(47Л
т. e. число оборотов в единицу вре-
мени равно частоте переменного
тока, деленной на половинное число
полюсов.
Многофазное вращающееся магнитное поле образуется под действием
наложенных друг на друга стольких пульсирующих намагничивающих
сил, сколько имеется фаз
Каждое синусоидально расположенное (неподвижное) пульсирующее
поле (фиг. 47,2) мы можем себе представить как результат наложения друг
на друга двух перемещающихся в противоположные стороны с равномер-
но 1 скоростью синусоидально расположенных полей с половинной ампли-
тудой (высотой).
Н м гничивающая сила или магнитная индукция В\х одной фазы в
какой-нибудь точке х може» быть представлена в виде
_ К Вт ( ТС \ Вт I ТС \
Blx-=z Вт sin <о/ sin—х =. —-cosl ю/——х ) — — cos х =Bflx-^-B,'lx.
ъ 2 \ т / 2 \ т /
Первая слагающая
ВП1 /
Blx = — cos I — — х
2л \ X
(47,2)
представляет собой бегущую синусоид ’льную волну, перемещающуюся
в сторону поло ительчых х, так как нулевая точка этой синусоиды опре-
деляется из уравнения
, ТС ТС / ТС \ Т т Т
Вторая слагающая
# 1л? ~------------ COS 4 — X )
2 \ т /
(47,3)
представляет собой волну, движущуюся в сторону отрицательных х, так
как для нулевой точки мы имеем
7С 7С f TZ \ Т Т Т
тх=7 и х-( т-2к/ч-=
§47]
Многофазное многополюсное поле
359
Фиг. 47,3.
На фиг. 47,3 показано и в векторной и в линейной диаграммах раз-
ложение синусоидального пульсирующего поля на два вращающихся в
противоположные стороны.
Пользуясь таким разложением каждого пульсирующего поля на два
поля, вращающих я в противоположные стороны, мы можем определить
вели ину вращающегося поля, получающегося от m-фазного тока.
При /^-фазном токе обмотки отдельных фаз в машине сводной парой
. 2к
полюсов будут наклонены друг к другу под углом —, или, если считать
2т
по окружности, смещены на ~ (фиг. 47,4).
360
Вращающееся магнитное поле
[ гл. 6
представить
Магнитную индукцию поля какой-нибудь фазы п можно
в виде
5njr = Bmsin «>/ — (« —
1)-
т
л Г 2т1
sin— х — (n — 1)— =
* L т_
Г 2л'
= 5^ sin mt—(п—1)—
L
л
sin — х — (п —
1)- .
т\
Разложим магнитную индукцию поля каждой фазы на две слагающие,
вращающиеся в противоположные стороны: на правую и левую или на
поля прямой и обратной последовательностей с половинной амплитудой,
и построим векторную диаграмму для момента, когда право- и левовра-
щающиеся поля первой фазы (п — 1) совпадают, что будет соответствовать
моменту, когда ток в первой фазе равен своей амплитуде.
Пусть соответствующие векторы первой фазы В^х и совпадают
и занимают в данный момент направление ОА, которое мы будем рас-
сматривать как направление поля первой фазы. Поле второй фазы сме-
2т 2л
щено относительно поля первой фазы на —, что соответствует углу —»
ш т
а поэтому на диаграмме направление второй фазы будет совпадать с ли-
2л
пией ОВ, составляющей с линией ОА угол —. Когда ток в первой фазе
т
будет i~Iт> то ток во второй фазе, как отстающий во времени на угол
2л
—, не дойдет еще до своего максимума, и поэтому правовращающиися
т
и левовращающийся векторы намагничивающей силы второй фазы не
/Л
дойдут до направления ОВ на угол —, т. е. вектор В'2х> как вращающий-
ся вправо, будет занимать положение, совпадающее с ОА, а левовра-
// 2л
сдающийся вектор В будет составлять с ОВ угол , а с ОА — угол
TH
§48]
Действие вращающегося магнитного поля
361
2—. Точно так же направление поля третьей фазы будет совпадать с
2 тс
линией ОС, составляющей с ОА угол 2 —. Вследствие сдвига во време-
ни тока в третьей фазе по сравнению с током в первой фазе на угол
о 2п:
2 — правивращающийся вектор поля третьей фазы не дойдет до поло-
2 л:
жения ОС на угол 2 —, т. е. будет совпадать с направлением ОА, а ле-
вовращающийся будет находиться по другую сторону направления ОС
2л:
и будет с О А составлять угол 4—.
т
Таким образом, если мы для каждой фазы разложим пульсирующее
поле на два вращающихся, то векторы правовращающихся полей или по-
лей прямой последовательности все будут совпадать, а так как каждый
Вт
вектор имеет амплитуду-—
то сумма их будет равна
В—т—^. (47,4)
Векторы же обратной последовательности будут сдвинуты друг относи-
2л:
тельно друга на угол 2— и как равномерно расположенные вокруг цент-
ра в сумме дадут нуль. В последующие моменты времени составляющие
векторы пульсирующих полей, вращаясь одни в одну, а другие в дру-
гую сторону будут всегда расположены таким образом, что правовра-
щающиеся векторы всех фаз будут всегда совпадать и непосредственно
складываться, а левовращающиеся будут всегда сдвинуты один относи-
тельно другого и будут друг друга всегда компенсировать. Поэтому мы
от /и-фазной системы получаем вращающееся магнитное поле с постоян-
ной амплитудой, равной амплитуде пульсирующего поля одной фазы,
умноженной на половинное число фаз. Для двухфазного тока т — 2 и
3
B = для трехфазного тока ля = 3 и В = -у Вт.
4S. ДЕЙСТВИЕ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
В АСИНХРОННЫХ ДВИГАТЕЛЯХ
Асинхронный двигатель состоит из неподвижной внешней части, на-
зываемой статором, и вращающейся внутренней части, называемой
ротором. Статор и ротор состоят из цилиндров, набираемых из листо-
вой стали. Обмотки статора и ротора помещаются в пазах, располагаемых
в теле статора и ротора. Многофазный ток подводится обыкновенно к
статору. Обмо1ка ротора при нормальной работе бывает всегда корот-
козамкнута.
Хотя обмотки статора и ротора могут быть выполнены на разное
число фаз с разным числом витков в каждой фазе и работа асинхронно-
го двигателя не зависит от числа фаз статора и ротора (лишь бы число
фаз не было меньше двух), мы будем предполагать, что обмотки стато-
ра и ротора вполне тождественны в отношении числа фаз, числа витков
в ф.зе и расположения проводов каждой фазы. Разница заключается
лищь в том, что обмотка статора, соединенная в звезду или многоуголь-
362 Вращающееся магнитное поле [ гл. 6
ник, присоединяется к внешней сети, от которой получает энергию, об-
мотка же ротора непосредственно из сети энергии не получает, а корот-
козамкнута, т. е. начало и конец каждой фазы ротора соединены между
собой. Если обмотка ротора соединена в звезду, то это значит, что в од-
ну точку соединены все начала фаз, а в другую точку—концы всех фаз.
Если короткозамкнутый ротор неподвижен, то многофазный ток из
сети, проходящий через обмотку статора, дает вращающееся магнитное
поле, кривая которого перемещается вдоль зазора со скоростью
f
и делает при 2р полюсах — оборотов в единицу времени, вращаясь, пред-
положим, по стрелке часов. Благодаря тому что обмотка неподвижного
ротора имеет относительное движение во вращающемся поле, двигаясь
относительно него в противоположную сторону (т. е. против стрелки ча-
сов) с линейной скоростью v = 2/т, в обмотке- ротора наводятся э. д. с.
Так как многополюсное поле с 2р полюсами симметрично распола-
гается по окружности и расстояние между двумя смежными одноимен-
ными полюсами (например, двумя северными) равно 2т, то мимо каждого
проводника неподвижного ротора одна полная волна магнитного поля бу-
v .
дет проходить в единицу времени ~ = — —f раз, и потому наводимая
2т 2т
в обмотке неподвижного ротора э. д. с. будет совершать в единицу вре-
мени / периодов вне зависимости от числа полюсов, т. е. будет иметь ту
же частоту, что и стагор.
Вследствие того что фазы ротора короткозамкнуты, в проводниках
подвижной части двигателя (ротора) получаются токи, которые, вступая
во взаимодействие с магнитным полем, будут давать механические силы
и увлекать ротор во вращение в ту же сторону, в какую вращается маг-
нитное поле. Э о непосредственно вытекает из общего закона Ленца,
что токи, наводимые в проводниках при движении их в магнитном поле,
имеют всегда такое направление, при котором они препятствуют движе-
нию, вызвавшему эти токи, а потому возникающие механические силы,
как препятствующие относительному движению (против часовой стрелки)
проводников во вращающемся магнитном поле, должны быть направлены
по стрелке ч icob, т. е. должны действовать в ту же сторону, в какую
вращается магнитное поле.
Если двигатель не югружен и на ротор не действуют внешние силы
сопр >тивления, то силам взаимодействия между наведенными в роторе
токами и вращающимся полем придется преодолевать лишь инерцию
вращающихся частей. Скорость вращения ротора будет постепенно уве-
личив 1ться до тех пор, пока она не достигнет скорости вращающегося
магнитного поля. В этом случае ротор будет вращаться синхронно с вра-
щающимся магнитным полем, проводники ротора не будут пересекать ли-
ний поля, или, что то же самое, магнитный поток внутри витков ротора
вслед тв ie отсутствия относительного движения не будет изменяться и
в обмотке ротора не будет наводиться э. д с. Следовательно, в случае
синхронизма, который был бы во можен при отсутствии трения, ток во
вращающемся роторе будет равен нулю.
Если мы теперь нагрузим синхронно вращающийся ротор, то он за-
тормозится и в своем вращении станет отставать от вращающегося поля.
При установившемся режиме ротор хотя и будет вращаться с посто-
янной скоростью, но эта скорсть будет меньше, чем скорость вращаю-
щегося поля. Ритор и магнитное поле будут вращаться, как говорят, асин-
хронно: будет происходить нечто вроде скольжения ротора относительно
вращающегося магнитного поля.
Потери напряжения в обмолах статора вследствие активного сопро-
тивления и магнитного рассеяния вообще невелики, а потому можно счи-
тать, что магнитный поток в воздушном зазоре будет иметь приблизитель-
§ 48]
Действие вращающегося магнитного поля
363
но постоянную величину, так что внешнее напряжение, приложенное к
каждой фазе статора, будет уравновешиваться наводимой в статорной об-
мотке противо-э. д. с. наподобие того, как мы это имели в трансформа-
торах:
Е1 = 4,44 kwf Wi Ф^: const,
2
где Ф = — —магнитный поток, пронизывающий воздушный зазор на
л
протяжении полюсного деления; Z— осевая длина ротора (или статора),
isd\—число витков одной фазы статора; /—частота внешнего тока, a kw—
обмоточный коэфициент, зависящий от расположения витков статора. Из
последнег > уравнения следует, что Ф const.
Ясно, что чем больше будет нагружен мотор, т. е. чем больший мо-
мент вращения должен развивать ротор, тем больше при постоянном зна-
чении магнитного потока должен быть ток в роторе, а следовательно, и
наводимая в обмотке ротора э, д. с. Так как последняя пропорциональна
относите 1ьной скорости перемещения проводов ротора во вращающемся
магнитном поле, то очевидно, что момент вращения ротора при нор-
мальных нагрузках пропорци нален скорости отставания ротора о г вра-
щающегося магнитного поля. Эго отставание, или, как приняю называть,
скольжение, обыкновенно измеряется в долях синхронной скорости.
^2
Обозначим его через 5=:---, где —линейная скорость (проводов) ротора
v
при его относительном движении во вращающемся магнитном поле, а
v—линейная скорость вращающегося поля в воздушном зазоре.
Частота наводимой в роторе э. д. с., определится как число пар полю-
сов, мимо которых в единицу времени пройдет провод ротора, движуще-
гося в магнитном поле со скоростью v2 = sv. Провод проходит в поле в
единицу времени v2 единиц длины, ширина поля, соответствующая двум
смежным, северному и южному, полюсам, равна 2т, а потому частота ро-
торного тока определится как:
^2
sv 2ft
— — =z .*? —sf.
2т 2т 2т J
Отсюда следует, что частота роторного тока равна частоте статорно-
го тока (или сети), у^ножешой на скольжение.
Относительное число оборотов вращения ротора в единицу времени
f
во вращающемся магнитном поле будет s—^~, а число оборотов ротора
по отношению к неподвижному статору будет равно разности чисел обо-
ротов вращения магнитного поля и относительного движения ротора в этом
поле
7-0-»=
где nQ — синхронное число оборотов или число оборотов при холостом
ходе в единицу времени.
При нагрузке ротора помимо полезной роботы на его валу в обмот-
ке его поглощ ется энергия, так как проводники всегда имеют активное
сопротивление. Энергия эта будет переходить в теплоту. На основании
принципа сохранения энергии мощность вращающегося поля Р должна
равняться сумме полезной мощности Р2 и потерь в роторе:
р= Л + w2r2z|,
или
mzr2ll=P— Рг. (48,1)
364
Вращающееся магнитное поле
[ гл. 6
Здесь /и2—число фаз ротора; Z2—эффективное значение тока в роторе;
г2—соответствующее сопротивление одной фазы ритора.
Мощность вращающегося поля Р равна мощности, получаемой из се-
ти за вычетом потерь на ш.гр вание статорной обмотки и на перемагни-
чивание железа. Так как действие должно равняться противодействию,
то круящий момент, создаваемый вращающимся магнитным полем при
действии его на провода ротора, должен равняться моменту сопротивле-
ния всех внешних сил, действующих на вал ротора, т. е. крутящий мо-
мент вращающегося магнитного поля должен равняться крутящему мо-
менту, который ротор развивает на своем валу. Разница в числах оборо-
тов поля и ротора обусловливается тем, что часть передаваемой че{ ез маг-
нитное поле энергии теряется в виде джоулева тепла в обмотке ротора.
Мы здесь имеем подобие пе-
редачи энергии от ремня к шкиву.
Разность натяжений ведущей и
ведомой частей ремня, если пре-
небречь потерями на трение о
воздух и на изгибы ремня, равна
окружному усилию, вращающему
шкив, хотя скорость ремня и
обода шкица вследствие скольже-
ния неодинакова (фиг. 48,1). Чем
больше будет нагружен шкив,
тем значительнее будет скольже-
ние. Отношение скорости шкива
к скорости ремня равняется отно-
шению мощности, развиваемой на
валу шкива, к мощности, подво-
димой ремнем; отношение это
представляет собой к. п. д. передачи энергии от ремня к шкиву. Потери
вследствие скольжения, отнесенные к единице времени, равны произ-
ведению окружного усилия на разноегь скоростей ремня и обода шкива
т. е. на относительную скорость отставания шкива от ремня.
Эго явление представляет собой аналогию действия вращающегося
магнитного поля; мощность поля равна моменту вращения, с которым
поле действует на ротор, умноженному на угловую скорость поля: мощ-
ность, развиваемая на валу ротора, равна произведению того же момен-
та на угповую скорость ротора, а разность этих мощностей представля-
ет собой потери в роторе:
Р=зЛЬ2л — ; P2 = A4.2it — (1-5);
Р Р
m2r2 l\— М-2л— Р—Р2; (48,2)
отсюда
/И2Г2 Р
4 = 1-5иР2 = Р(1-5). (48,3)
2it/s Р
Из этих уравнений видно, что при одном и том же моменте враще-
ния скольжение тем больше, чем больше сопротивление ротора. Если бы
можно было выполнить обмотку с сопротивлением, равным нулю, то ро-
тор, доведенный до синхронизма, при всяких нагрузках вращался бы, не
отставая от магнитного поля. Подобная обмотка в действит 'льности не
выполнима, а потому мощность вращающегося магнитного поля не мо-
жет быть использована полностью; часть ее всегда поглощается в обмот-
ке ротора и переходит в теплоту.
§ 49 ] Аналогия между асинхронным двигателем и трансформатором 365
Из всего вышесказанного следует, что скольжение всегда связано
с потерей энергии и что к. п. д. передачи мощности вращающегося маг-
нитного поля к валу ротора равен
Р2
—=-1-$. (48,4)
49. АНАЛОГИЯ МЕЖДУ АСИНХРОННЫМ ДВИГАТЕЛЕМ
И ТРАНСФОРМАТОРОМ
Между многофазным асинхронным двигателем и многофазным транс-
форматором имеются определенные сходство и аналогия. В трансформа-
т( ре и асинхронном двигателе энергия подводится к первичной (статор-
ной) обмотке, которая электрически не связана со вторичной (роторной)
обмоткой, энергия передается электромагнитным полем через охватыва-
ющий обе обмотки магнитный поток.
Разница заключается в том, что в трансформаторе вторичная обмотка
неподвижна и вся передаваемая из первичной обмотки через магнитный по-
ток мощность получается во вторичной цепи в виде электрической энергии.
Хотя между первичной и вторичной обмотками действуют механические
силы, но благодаря тому, что обмотки жестко закреплены и неподвижны,
эти силы работы не совершают.
В асинхронном же двигателе вторичная обмотка подвижна, поэтому
и силы взаимодействия между первичной и вторичной обмотками совер-
шают работу, и потому мощность, передаваемая через магнитный поток
из первичной обмотки, лишь частично передается в виде электрической
энергии.
Хотя в асинхронном двигателе ротор и подвижен, но кривые распо-
ложения намагничивающих сил статора и ротора, вращаясь вместе с по-
лем, неподвижны друг относительно друга. Эго вытекает из следующих
соображений: максимум э. д. с. будет наводиться в любой момент в том
проводе ротора, который находится в данный момент в той точке, где
магнитная индукция вращающегося поля имеет максимум, независимо от
того, вращается ли ротор или неподвижен; от скорости ротора будет
зависеть величина этого максимума, но не местоположение провода с
максимальной э. д. с.; отсюда следует, что взаимное расположение
мгновенных значений токов (но не их числовых значений) в простран-
стве будет определяться положением вращающегося магнитного поля,
другими словами, кривая расположения токов в роторе будет переме-
щаться вместе с вращающимся полем, а положение последнего зависит
от расположения мгновенных значений токов в статоре.
Поэтому кривые распределения токов в статоре и роторе, переме-
щаясь вместе с вращающимся магнитным полем, будут неподвижны отно-
сительно друг друга.
Если обмотку ротора разрезать и ввести в каждую фазу добавочное
сопротивление, нг меняя момента сопротивления на валу ротора, то
эффективное значение тока в роторе не изменится, так как момент вра-
щения зависит лишь от величины магнитного потока и тока в роторе.
Вследствие же увеличения активного сопротивления в цепи каждой фазы
ротора число оборотов д игателя уменьшится, а вместе с этим умень-
шится и полезная мощность на валу ротора, хотя момент вращения
f
и останется прежним. Так как мощность вращающегося поля Р— Л4 2т:
при введении добавочного сопротивления не меняется, то и ток в рото-
ре (а также и в статоре) сохранит прежнюю величину, а потому умень-
шение мощности на валу двигателя должно равняться потере энергии в
единицу времени в добавочном сопротивлении. Если ввести в каждую из
фаз ротора как раз такое добавочное сопротивление г, чтобы ротор оста-
366
Вращающееся магнитное поле
[ гл. 6
новился, развивая тот же момент вращения, то тогда энергия, перехо-
дящая в джоулево тепло, в единицу времени в этом добавочном сопро-
тивлении будет равняться полезной мощности, которая развивалась бы
на валу двигателя, если бы добавочное сопротивление не было введено.
Можно вычислить величину этого добавочного сопротивления для любой
полезной мощности Р2;
m2rl* ~Р2 — М-2к — (1— s), (49,1)
Р
но с другой стороны, потери в самой обмотке ротора равны
f
m2r^ = s,
откуда
Г __ 1—5
г2 — S
или
r = r20—1). (49,2)
Общее сопротивление в каждой фазе, равное сумме сопротивлений
самой обмотки и добавочного, составит:
Величину добавочного сопротивления можно определить и на осно-
вании следующих соображений: так как в неподвижном роторе э. д. с.
будет больше э. д. с., наводимой при вращении ротора в отношении
Л72=1^> (49,3)
то для того, чтобы ток в роторе сохранил свое прежнее значение, необ-
ходимо сопротивление каждой фазы увеличить в отношении
(r2+r):r2—l:s,
откуда все сопротивление одной фазы будет
а величина добавочного сопротивления определится, как
r=r2 f— —1^ . (49,4)
\ 5 /
Аналогию между трансформатором и асинхронным двигателем мож-
но также вывести из общих уравнений.
Предположим, что число фаз обмоток статора и ротора одинаково:
и что обмотки на статоре и роторе выполнены вполне тождест-
венно и пусть гг и Lsi, г2 и Ls2 — сопротивление и индуктивность рассея-
ния статора и ротора.
Для первичной обмотки реактивное сопротивление рассеяния будет
Если U\—первичное фазовое напряжение, —ток в одной фазе ста-
тора, то
(49,5)
где £=4,44 kwfw Ф— слагающая перви »ного напряжения, уравновеши-
вающего противо-э. д. с., наводимую вращающимся магнитным потоком в
обмотке рассматриваемой фазы.
§ 49 ] Аналогия между асинхронным двигателем и трансформатором 367
Действующая во вторичной обмотке э. д. с. имеет частоту а
потому она может быть выражена через
Е2~$,№ kwsJ$—sE,
и эта э. д. с. должна покрыть падение напряжения в сопротивлении вто-
ричной обмотки и уравновесить э. д. с., наводимую потоком рассеяния
s^fL^—sx^ поэтому мы для вторичной цепи можем напи-
сать
Ё2 — sE—f2 ^2* (49,6)
(В последнем уравнении фаза Ё2 и /2 изменена на 180°).
Кроме того, так как намагничивающая сила статора должна компен-
сировать (как в трансформаторе) намагничивающую силу ротора и дать
еще слагающую, поддерживающую вращающееся магнитное поле, то, при-
нимая во внимание одинаковое число витков, мы можем написать
(49,7)
Намагничивающий ток зависит от э. д. с., которую он должен наво-
дить. Рассматривая статор как катушку со сталью, мы для намагничи-
вающего тока будем иметь
W = (го + Jb0) Ё= -Е (49,8)
г0 "Г JXQ
Если теперь обе части уравнения (49,6) разделить на s,
Ё=!±12+ jxzf. (49,9)
и сопоставить уравнения (49,5), (49,7), (49,8) и (49,9), то мы увидим, что они
соответствуют схеме замещения фиг. 49,1, и потому в основу исследова-
Фиг. 49,1.
ния асинхронного двигателя может быть положена указанная схема заме-
щения, дающая круговую диаграмму.
Для построения круговой диаграммы асинхронного двигателя мы
должны знать по величине и фазе ток холостого хода
Olw,
который определяется из опыта холостого хода, когда двигатель враща-
ется вхолостую без нагрузки (szzO); затем мы должны знать ток корот-
кого замыкания который получается из так
называемого опыта короткого замыкания, когда двигатель полностью за-
торможен (s= 1) и роторная обмотка, как и при холостом ходе, коротко
замкнута (опыт этот проводится обыкновенно при пониженном напряже-
368
Вращающееся магнитное поле
( гл. .6
F
Фиг. 49,2.
нии, и надлежащее значение тока получается путем увеличения значения
тока, полученного при опыте пропорционально напряжению); и, наконец,
угол — Угол сдвига между напряжением и током, если бы опыт ко-
роткого замыкания производился при подведении напряжения со сторо-
ны вторичной, т. е. роторной, обмотки. Обычно углы сдвига фаз при ко-
ротком замыкании совпадают по своим значениям (plfe=<p2A,zz(pfe. Поэтому,
построив векторы токов холостого хода_и короткого замыкания 01^ и
OIlk и соединив концы их Прямой /ц/u» мы у точки /lk строим угол
90° и проводим нормзль к середине отрезка /10 /lft. На пересечении
стороны этого угла и нормали и лежит центр окружности круговой ди-
аграммы (фиг. 49,2).
Как было выведено в § 14, первичная мощность, подводимая к асин-
хронному двигателю (как и ко всякому четырехполюснику) при каком-ни-
будь первичном токе 01^ определяется через отрезок
где Ui—фазовое напряжение статора; nij —масштаб, указывающий, сколь-
ким амперам равна единица длины чертежа, а множитель 3 указывает,
что выражение мощности относится к трехфазному асинхронному двига-
телю
Полезная мощность, равная мощности, поглощаемой в эквивалентном
г2(1 — <$)
внешнем сопротивлении----------, определяется отрезком прове-
денным параллельно касательной к окружности вточке/10 до линии Z10/lft,
Р2 — 3Uim t • /1Л2—nip -7^2.
§ 49 ] Аналогия между асинхронным двигателем и трансформатором 369
Для определения в круговой диаграмме мощности, передаваемой во
вторичную цепь, равной сумме полезной мощности двигателя Р2 и поте-
рям в роторной обмотке
P=P2 + 3r2Zl,
найдем зависимость первичного тока А от значения сопротивления внеш-
г2(1 — 5)
ней цепи ----------Для этого мы должны в точке провести линию
параллельную касательной к окружности в точке До, и откладывать
г г2(1— 5) v
на линии /1д,г значения -------"nz^=mz ч^г в масштабе —«
$ АоА*
Чтобы учесть потери на нагревание в сопротивлении з’2, равные в каж-
дой фазе г2/2, мы в этом же масштабе откладываем сопротивление г2 =
z=zzwz*Aaj<7, соединяем точку G с точкой /10 и продолжаем по этой линии
отрезок 1^2, т. е. Ал. Мощность, передаваемая из статорной обмотки
вращающемуся полю, относится к полезной мощности двигателя, как со-
противление всей вторичной цепи относится к эквивалентному внешнему
сопротивлению:
P2+3r2/2
^2
“ Г2(1 — g) /2
5 2
mz *hkFJrmz
mz •Az/'
Г2(1—5) _1_г
___________________!____
” гг(1 ~ s) ~~ 1 — 5 ~
GF
Лл2 •
(49,10)
Поэтому, если отрезок Дл2 измеряет полезную мощность Р2, то от-
резок Ал в том же масштабе будет измерять мощность вращающегося
поля Р:
Р—Зи^ту Iха~тр *1ха.
Положение точки G можно с достаточной точностью найти еще про-
ще. Обыкновенно в асинхронных двигателях полные и активные сопро-
тивления короткого замыкания, приведенные к одному числу фаз, могут
быть приняты соответственно равными
z2kz~~zlk-~:zk~ “~г
hk
и
„ _ *2*COS <?*
2 2 2
поэтому
QP___Г2__ r2^1Jlk __ *2feCos ^‘AoAfe __ АоАг COS
~mz z^k ' Wk 2
Момент вращения равен мощности вращающегося поля Р, деленной
на механическую угловую скорость S = 2ял =:-, поэтому
Р
Р рР Зр
M~—=h=£fu'mvha' (49,11)
24 К. А. Круг, т. II.
370
Вращающееся магнитное Поле
гл. 6 и 7
Так как СЦ измеряется в вольтах и Д—в амперах, то мы получим мо-
мент в джоулях; чтобы получить его в килограммометрах мы должны по-
W sec
лученные значения М еще разделить на 9,81 ---.
kGm
Круговая диаграмма позволяет определять также скольжение и число
оборотов при разных нагрузках; для этого мы должны взять отношение
IikF . GF-IxkF QIlk
1—s’— ---- ; s—---------—------,
GF GF GF
или, если мы проведем линию LN параллельно линии 710G и рассмотрим
две пары подобных треугольников:
ЛАгА710
и
дающих отношения
GI\k _ LI1Q
/10G ~ LN
и
GF _LIw
I^G ML
Разделив одно отношение на другое:
Gtlk LM $
GF LN
мы получим, что скольжение измеряется отношением переменного отрезка
LM к постоянному отрезку LN. Поэтому, если мы LN разделим на 100
равных частей, то LM даст нам скольжение непосредственно в процентах,
а отрезок MN—число оборотов в долях синхронного числа оборотов:
MN LN—LM =1 LM __ 1
LN LN LN
так как число оборотов мотора в единицу времени равно
n = -L(l—s). (49,12)
Р
На диаграмме может быть еще отсчитан коэфициент мощности cos <р1э
как косинус угла, составляемого линией О1Х с вектором напряжения OUX.
Коэфициент полезного действия обыкновенно на диаграммах не от-
считывают, так как он более точно определяется путем вычисления на-
подобие того, как это делается для трансформаторов:
^2
(49,13)
где PFe— потери в стали, которые могут быть приравнены потерям при
холостом ходе.
§ 50 j
Разложение Несимметричной трехфазной системы
ЗЛ
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ
50. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕСИММЕТР 1ЧНОЙ ТРЕХФАЗНОЙ СИСТЕМЫ
НА СИММЕТРИЧНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
Метод симметричных составляющих, предло-
женный Фортескью, состоит в приведении несимметричных
трехфазных систем к симметричным. Применяется он главным
образом для нахождения токов короткого замыкания при раз-
личных аварийных режимах в разветвленных электрических
сетях, хотя этот метод может быть применен и при расчете
всякой несимметричной системы.
Основан этот метод на разложении каждого из трех за-
данных или искомых векторов трехфазной системы, например,
UOA,UOB и Uqc> на СУММУ трех векторов (фиг. 50,1):
UOB^Ua+U1e~J4-UieJ^=UQ+^iJ1+aU.,
йос=и0 + иге и2е ~ = й^ай^й,. .
(50,1)
Первые составляющие(£70), называемые составляю-
щими нулевой последовательности, равны между
собой и совпадают по фазе. Вторые составляющие также по
величине равны между собой, но сдвинуты друг по отноше-
Фиг. 50,1.
24*
372
Метод симметричных составляющих
[ гл. 7
нию к другу на 120° в одной (прямой)последователь-
__j 273
н о с т и, а именно: вторая составляющая з второго
. 4т:
вектора [)ов отстает на 120°, а вторая составляющая J 3
третьего вектора Uoc отстает на 240° от второй составля-
ющей их первого вектора Uqa- Третьи составляющие также
равны между собой по величине, но сдвинуты на 120° друг
по отношению к другу в другой (обратной) последов а-
. 2тс
г г
тельности, а именно: третья составляющая вто-
рого вектора опережает на 120° и третья составляющая
U2e 3 третьего вектора опережает на 240° третью составля-
ющую U2первого вектора.
Для упрощения формул вводится комплексный множитель
/ 2ZL 2тг , . 2тз 1 . . ^3“
а=е 3 =c°s-3-+/sin 2^ 2 ’ (50,2)
Умножение какого-нибудь вектора на множитель а озна-
чает поворот этого вектора в направлении положительного
отсчета углов, т. е. против часовой стрелки на 120°. Умноже-
ние какого-нибудь вектора на:
а2—а-а=е J s =cos ——/sin —=
о О
1 . /3~
~~~2 J 2
означает поворот одного и того же вектора дважды на 120°
или всего на 240° против стрелки часов, или поворот век-
тора на 120° по стрелке часов.
Умножение вектора на а3=а-а-а равноценно повороту
его трижды на 120°, или всего на 360°, а так как вектор
при повороте на 360° возвращается в свое прежнее положе-
ние, то
а3=1. (50,4)
Комплексный (поворотный) множитель а обладает следую-
щими свойствами:
1-Н+я2=0. (50,5)
Это легко иллюстрировать геометрическим построением^
если провести окружность радиусом, равным единице, вы-
брать оси действительных и мнимых значений, как это ука-
§ 50]
Разложение несимметричной трехфазной системы
373
зано на фиг. 50,2, и построить три вектора под углами 120°
друг к другу.
Из вышеприведенных формул и из чертежа следует, что,
если 1=0А, то
,2л: ,2л:
3 J т/'З 3 1 у о ______
а=е =ОС=—-+j^-,a2=e =— -------=
& £ £ L
тс
___ ____ —j~z 1 уй-
— а=— ОС —ОЕ =е 3 = Т ~У~2~ ; — а2=
= OD=e'3=^+J~;
а2—а=бВ—ОС= СВ= -jV 3;
а2=ВА=--\б^Л и
2 1 2
а - 1 = АС=-(50,6)
Симметричные составляю-
щие 47q,£7i и й2 трех векторов
UoaiUob* Uос могут быть
— I
Фиг. 50,2.
бов и йос нетрудно опреде-
определены, когда эти векторы
даны по величине и направле-
нию (фазе).
По заданным векторам U0A,
лить векторы t/0, и U2.
Составляющая нулевой последовательности равна одной
трети (геометрической) суммы векторов Uоа, ^ови^ос> так
как при сложении уравнений (50,1) мы получаем, что
^0А+и0В+и0С=зиМи,+йЛ- (iy+«2) = 3t>o
И
ол+^ов+ U ОС
(50,7)
Этот вектор можно найти, пользуясь следующим построе-
нием. Если провести тривектора U 0А, О0BuUос из общей
точки О (фиг. 50,3)
&0А~™и ’ ОС~1П,и ’
374
Метод симметричных составляющих
[ гл. 7
то искомый вектор • ОС0 по
величине и фазе равен вектору,
соединяющему общее начало О с
центром тяжести (точкой f70) тре*
а угольника АВС, что следует иг
отношений
ОЛ+О5=2О5"; AD—DB.
Соединение точек С и D дает
вектор
4
и0
О
Фиг. 50,3.
CD = OD — ОС = — ±^- — ОС.
Если взять две трети от СО, т. е. СО0= —СО, и соеди-
нить О с UQf то
OZ70=OC-|-CU0 =-0С+ A CD =0С +
[ JL (ОА+ОВ _ ос\_ ОЛЧ-ОВ+бС t
3 \ 2 / 3
что и требовалось доказать, так как центр тяжести тре-
угольника АВС отстоит от вершины С на расстоянии 2/з Дли"
ны медианы СО.
Для определения составляющей прямой последовательно-
сти умножаем йОв на а и U ос на а2, а для определения
составляющей обратной последовательности U2 умножаем
Сов на а3 и Uос на а, тогда
^од=^о+^+^2; ' й0А^й^й^й.-,
а йOB=:sa^0~^~^а*йОВ~а'йо+й
aU0C~atf0^ U2.
Если сложить уравнения одного столбца и разделить сум-
му на три, то мы получим, что
UОА-\-айов-\-ос
J—' 3
(50,8)
ц UpA^' а^РВ~\ ^РС
(50,9)
3
§ 50] Разложение несиммегричнс й трехфазной системы
375
Уравнения (50,8) и (50,9) определяют симметричные со-
ставляющие прямой и обратной последовательности для век-
тора й0А. Аналогичным образом могут быть определены и
симметричные составляющие для lJ0BwU0C\ мы получим те
же числовые значения составляющих векторов, но они бу-
дут сдвинуты по отношению иг и й<> соответственно на уг-
лы +120° и —120°.
Составляющие прямой и обратной последовательности мо-
гут быть найдены так же, как и £70, путем геометрического
построения (фиг. 50,4). Для
этого соединяем концы двух
векторов, положим точки С и
В, на линии СВ по ту и дру-
гую сторону, как на основании
строим равносторонние тре-
угольники СМВ и CNB и со-
единяем вершины этих тре-
угольников Л4 и ЛГ с концом
третьего вектора, т. е. точкой А,
Тогда, разделив соответствую-
щие отрезки AM и A/V на три
части, получим, что симметрич-
ные составляющие прямой и
обратной последовательности
для вектора й0А=ти О А по
величине и направлению будут
равны
ЛМ r-r ~NA
Это вытекает из следую-
щего: U CB—U ов U oc~f''uCB*
Фиг. 50,4.
Вектор МС, равный по велич 1яе СВ, повернут относитель-
но СВ на 120° проттв стрелки часов:
ти • МС ~a-7i„-CB—aUnR—ай пг.
U U (Jd C/U
Вектор же МА равен сумме векторов МС и СА — О А —
— Оъ, поэтому 7НУ • МА— айов—a U0C-\-U0A—U0C—Uод+
4" ов~^'а2^ ос~^г-
376 Метод симметричных составляющих L гл. 7
Если же мы вектор СВ повернем на 60° против часовой
стрелки, что соответствует умножению на множитель —а2,
то мы получаем вектор
тп • СМ=—а?-тп- СВ ——a2 UnR-\-d?Unr
Вектор же NA равен разности векторов С А и CN, по-
этому
nigNA—niy С A iriy-CN—U 0А & ов & &ос~
— U0A}-a2 U ос~3& г,
что и требовалось доказать.
Подобным же образом могут быть найдены составляю-
щие прямой и обратной последовательности для векторов
U0B и ^ос по величине и фазе, если повторить то же по-
строение, взяв за основание равностороннего треугольника
отрезки АС и ВА.
Когда О А, ОВ и ОС представляют собой фазовые напря-
жения трех фаз, соединенных в звезду, и если начало век-
торов совпадает с центром тяжести треугольника АВС, то
фазовые напряжения не содержат составляющей нулевой
последовательности, они будут иметь лишь составляющие
прямой и обратной последовательности.
Когда трехфазная система задана в виде соединения тре-
угольником, то векторы напряжений между концами фаз
U Ав — ти- АВ, исв^туСВ и UAC=m,uAC составляют зам-
кнутый треугольник, и поэтому фазовые напряжения в этом
случае также не содержат составляющей нулевой последо-
вательности
^УсвА'^асА'^ва
[СВ+АС+ВА Uo.
И в этом случае составляющие прямой и обратной последо-
вательности могут быть найдены следующим геометрическим
построением (фиг. 50,5). Для этого берем какую-нибудь сто-
рону треугольника АВС, например СВ, за основание. Пово-
рачиваем около точек С и В отрезки С А и В А на 120° в ту
и другую стороны. Тогда отрезок DC будет повернут отно-
сительно АС на угол 120° против часовой стрелки, a FC
относительно АС—на 120° по часовой стрелке, поэтому
DC = aAC и FC==aMC,
§50] Разложение несимметричной трехфазной системы 377
Фиг. 50,5.
а вектор BE будет повернут относительно В А по стрелке
часов на 120° и вектор BG — на 240°, поэтому
ВЕ=а2ВА и BG = аВА.
Если мы проведем векторы DE и FG, то будем иметь
а*ВА=
==®u\ св~^а йлс~г О^ВА jln~
FG=FC-\- CB-^BG = CB-[-azAC-\-atiA =
= - (осв+^иАс+айВА ) = А . й2.
ти\ / ти
Таким образом
Т && Г 1 PG
и1 — ти— и U2 = mu----
3 3
Из других способов нахождения симметричных соста-
вляющих укажем еще на сле-
дующие.
У вершин треугольника
АВС (фиг., 50,6) проводят под
углами в 30° по обе стороны
сторон треугольника прямые,
которые образуют ромбы С МВт,
ANCn и ВРАр со сторонами,
СВ
соответственно равными —— ,
Уз
М
Фиг. 50,6.
378 Метод симметричных составляющих ? гл. 7
Если соединить прямыми вершины ромбов, лежащие как
вне, так и внутри треугольника АВС, то тогда равносторон-
ний треугольник NPM образует треугольник симметричных
составляющих прямой последовательности, а треугольник
тпр — треугольник составляющих обратной последователь-
ности. Действительно:
.я . те
NP = 7TA \-~АР = -AN—Bp=-^e } 6 — ^eJ 6 =
V з V з
откуда следует, что
гг ________________ СВ -j- aAC а2ВА
Ui=mu' —-------J.
Аналогичным образом доказывается, что
-- . и; ---- . к
пр=Ар — Ап= — ВР— Ап =--------------------J~6 =
Г’з V з“
ГТ I \ 2 2 / \ 2 2 Л
1Г-(йА +acUsa I- ±-j^JL\+AC
СВ + а^АС+ /50
г} UCB + a2UAC-+ а UАВ
U — Ши
Фиг. 50,5 и фиг. 50,6 дают следующее тождественное разло-
жение на симметричные слагающие:
[)св = Ux А-(Л=ти(СЬ + ЬВ) = ти(КР+пр\_
йдс^^и^сй^трАс-^сС^—т^РМА-ртп),
UBA=(iU1-\-alU2—mu[Ba-\-aA}—mu{MN-\-mn).
§ 50 ] Разложение несимметричной трехфазной системы 379
Другой способ состоит в том,
что для определения составляю-
щих вектор a UCB = тцСВ
соединяют (фиг. 50,7) противо-
положную вершину А с сере-
диной линии СВ и строят на
линии АВ как на катете пря-
моугольный треугольник АВ6
с углом в 30° у точки А.
Тогда
и^тцСЬ и й2^=тиЬВ9
ибо
Cb —CF 4 Fb= — +-AF tg 30° • / 2 = — 4-j^—™ . -U =
n 2 s 2 J 2 V a
= dJ±CB+/AC^--/ВА-^l
3 [ 2 2 i J 3
что совпадает с формулой (50,10).
Симметричные слагающие могут быть вычислены и ариф-
метически, если заданы по величине три меж д/фазовые на-
пряжения
Uсв, U ас и Uba*
Из треугольников СВЬ, АСс ВАа и из фиг. 50,5 сяедует,
что
U2CB = mvCB = U/+ U2 + 2 UXU2 cos ф,
U2а с = п^АС = U,U2 cos (12J° -ф ф),
U2вА — тиАВ = UI г2-{-% cos (120° — ф),
где ф— фазовый угол между симметричными слагающими
напряжения UCB. Если сложить эти три соотношения
[cos (120° — 6) = cos (240°-ф-ф)] , то мы получим, что
9 9 # Д + 4- U,?A
и\ + и\ (50,11)
3
Сумма квадратов симметричных слагающих прямой и обрат-
ной последовательности р *вна среднему значению квадратов
несимметричных векторов, образующих замкнутый треуголь-
ник.
Другое соотношение между Ux и U2 мы получим, если
определим площадь треугольника АВС и площади равносто-
ронних треугольников со Сторонами и U2. Площадь тре-
380
Метод симметричных составляющих
[гл. 7
угольника АВС равна полупроизведению двух его сторон СВ
и АС на синус угла между ними или мнимой части скаляр-
ного произведения вектора СВ на вектор, сопряженный век-
тору АС.
— Д ABC— —Jm{UCB• Оле \
m2 2 I J
но
_/ф • • -У— • /—-О
UCB^U^U2e , UAC=Uxe 3 з V
И
поэтому
-\-^ABC——Jm
ти 2
0^-02е
1 ,
—-----Jin
2
Если через Uобозначить сторону равностороннего тре-
угольника, равновеликого треугольнику, построенного на за-
данных числовых значениях векторов Ucb, Uca* UBa, то, так
ТПГ, >2
как площадь равностороннего треугольника равна —--с/д , то
мы получаем, что
-4- /\АВС = —Ul ==— - —UJ (50,12)
т,г 4 4 4
или что площадь треугольника, построенного по заданным
числовым значениям 3 векторов, образующих замкнутый тре-
угольник, равна разности площадей равносторонних треуголь-
ников со сторонами, равными их симметричным составляющим
прямой и обратной последовательности. Из тригонометрии
известно, что площадь треугольника следующим образом
выражается через стороны треугольника
А = /5.(5 - UBC) (5- £7сл) (5 - UBA\ (50,13)
где 5 — полусумма сторон треугольника.
§ 51]
Степень несймметрий
381
Из уравнения
и?-и;-=и\
(50,14)
и из уравнения (50,11) могут быть получены значения U2 и J722:
(50,15)
6
иЛ + иЛ + иЛ-згЛ
и 2 =------------
(50,16)
6
Для определения угла сдвига ф между иг и U2 опреде-
ляем
Uba — i/4c=2t/it7s[cos(120°-<l»)-cos(120°+<p)]=2K 3UXU2 sin ф
И
2 Uc2b - (^лс+^вл) = 4 UtU2 cos ф - 2UtU3 [cos (120° - ф) +
-j- cos (120° ф)] = 2U 2 cos ф,
откуда
VBA--UAC
^^CB— ^AC~^ BA
(50,17)
Знаки числителя и знаменателя определяют квадрант, в ко-
тором лежит угол ф.
Изложенное выше разложение трех векторов на симме-
тричные составляющие в одинаковой мере относится как
к разложению трех векторов напряжения, так и трех
векторов тока.
51. СТЕПЕНЬ НЕСИММЕТРИИ И МОЩНОСТЬ НЕСИММЕТРИЧНОЙ
ТРЕХФАЗНОЙ СИСТЕМЫ
Наличие в трехфазных системах составляющих нулевой
и обратной последовательности нарушает симметрию и сни-
жает степень использования установок.
В трехфазных симметричных системах нулевая и обратная
последовательность напряжений и токов отсутствует, даже
если заземлена нейтральная точка генератора или какого-
нибудь приемника энергии. Если заземлена не нейтральная,
а какая-нибудь другая точка системы, то при наличии
емкостей между отдельными частями системы, например, в
электропередачах, нарушается симметричность системы. На-
пряжения и токи нулевой последовательности, получающиеся
382
Метод симметричных составляющих
[ гл. 7
в системах с четвертым проводом при неодинаковой нот рузке
фаз, вызывают излишние токи и падения напряжения что
связано с потерей энергии. Появляющиеся при несимметрич-
ной нагрузке фаз составляющие обратной последователь-
ности неблагоприятно отзываются на раЗоте электрических
машин. Так, в асинхронных и синхронных машинах состав-
ляющие прямой и обратной последовательности образуют
поля, вращающиеся в противоположные стороны, что снижает
при тех же токах момент вращения и вызывает дополнитель-
ные потери. Поэтому стремятся всегда к тому, чтобы система
при всех режимах приближалась к симметричной. Отступле-
ние от симметрии характеризуется степенью несим-
метрии, для напряжений и токов она определяется как от-
ношение величин симметричных
_________________________.
составляющих
(51,1)
Для напряжений степень несимметрии по стандарту не
должна превышать 5%.
Что касается мощности тоехфазной несимметричной си-
стемы, то она равняется сумм** мощностей тр ех фаз.Актив-
ная и реактивная мощности каждой фазы могут быть най-
дены как вещественная и м ’Имая часть произведения век-
тора напряжения на вектор, сопряженный вектору тока.
Учитывая, что множители а и а2 являются взаимносопряжен-
ными комплексами, мы для получения мощности должны взять
попарно произведения от
г — I 4-/ 4- /*;
СВ 1 О I 1 I I 1 2
иВА=й^ай^й2
i\c = C+ii',+^r2.
Так как l-{-a-|-as=0, то активная мощность несимметрич-
ной системы будет равна
/;+3t72 /:]=3rVoCos?0+
cos 3 £73/зcos (51,2)
где cp0, cp-t и <?2—углы сдвига между соответственными со-
ставляющими напряжения и тока. Реактивная мощность
будет равна
pr=im [з£/0 Го н-з и.Ц н-зи. /; ]=
= 3t70/0sin<p0-|-3t/'1/1sin»1-|-3ty2/2sincp2. (51,3)
Степень песимметрйй
______383
а корень из суммы квадратов активной и реактивной мощности
определит кажущуюся мощность несимметричной системы
Р^=^РаЧРг2-
Напряжение и токи нулевой последовательности, имея
во всех фазах каждое мгновение одно и то же значение и
представляя собой однофазный ток, поровну делящийся между
тремя фазами системы, имеют своим следствием неуравнове-
шенность системы (пульсацию мгновенной мощности).
В случае отсутствия составляющих нулевой последователь-
ности
Z70 = 0 и /О = 0
Р^зи^ cos -\-3U2l2 cos
и
Pr—3UXIX sin с?! -|- 3U2I2 sin c?2 (51,4)
мощность определяется как сумма мощностей двух симметрич-
ных систем, из которых каждая является как бы уравно ешен-
нойс Однако, так как последовательность этих систем прямо
противоположна, то наложение друг на друга мгновенных
значений мощностей отдельных фаз не дает постоянной вели-
чины. Мгновенное значение мощности системы равняется
где
и! = V2 [иг sin со/ U2 sin (<о/ — Ф) ],
i'—V2 [1г sin (со/—4 sin (со/——ср2)] ,
zz"= /2 sin (со/—120°) + U2 sin (<о/4-120° — б)],
/" = ^2 [/i sin (со/—120°—sin (со/120°— 6—72)] ,
iP'-~V2 [Ui sin (со/—240°—sin (<°/-|-240°—9)] ,
/"' = / 2 [Ц sin (о/—240°—4Л sin (co/4-240—О—?3)].
Если подставить эти значения и и i в уравнение для р,
то сумма будет состоять из следующих групп: сумма
произведений слагающих напряжений на слагающие токов
той же последовательности для трех фаз дает постоянную
величину:
3/7/j cos ?i+3t72/2 cos о2;
384
Метод сймметрйчных составляющих
[гл. 7
произведения напряжений одной последовательности и
другой последовательности дают для трех фаз
J7iZ2[ cos (ф+?2) + cos (ф-F<p2 + 240°) + cos (ф+<р2+48О0)] +
+ [cos (Ф—cp^-j-cos (ф—^Pi4-240°)-f— cos (Ф—?iH~48O0)] -{-
+ ЗС/Уз cos —?2)~гЗ —ф—ср3). (51,5)
Таким образом мгновенная мощность несимметричной
системы трехфазных напряжений и токов без нулевой последо-
вательности слагается из постоянной мощности St/^cos ^4-
-ф 3t72/2 cos <р2, на которую накладывается пульсирующая с
двойной частотой переменная мощность —фх—ср2)4*
+ ЗС/2/х cos (2coZ—Фх—epi). Амплитуда этой пульсирующей мощ
ности равняется
з ^17a2-|-t/2V13+2t/1t72/1Z2 cos
где cpj—с?2 есть угол сдвига фаз обеих слагающих пуль-
сирующей мощности. Степень неуравновешенности такой
системы будет определяться отношением
__Рпульс _ V+ 2U1U?I1l2 COS (<P1-?2j
P~ Pa “
Если система напряжений симметрична (£72=0), то степень
неуравновешенности мощности равняется несимметрии токов
= (51,7)
52. ДЕЙСТВИЕ ТРЕХФАЗНОЙ НЕСИММЕТРИЧНОЙ СИСТЕМЫ
НАПРЯЖЕНИЙ НА СИММЕТРИЧНЫЙ ТРЕХФАЗНЫЙ
ПРИЕМНИК ЭНЕРГИИ
При нахождении напряжений и токов в трехфазных систе-
мах целесообразно заменять все имеющиеся соединения тре-
угольником путем трансфигурации их в эквивалентные сое-
динения звездой и всю систему приводить к системе одного
источника энергии (генератора) и одного приемника энергии,
соединенных 3 проводами и в частном случае 4 проводами,
из которых один нулевой, соединяющий нулевые точки ис-
точника и приемника энергии. Пусть в такой приведенной
системе (фиг. 52,1) действует в начале линии между фазами
Л, В и С и нулевым проводом нессиметричная система напря-
жений О0А, U0BnU0C и пусть система нагрузки представ-
ляет собой симметричную линию передачи, что может быть
достигнуто транспонировкой (взаимной перестановкой) про-
водов через равные расстояния, на конце которой присоеди-
нен симметричный приемник энергии, состоящий из трех оди-
наковых фаз, соединенных в звезду, нулевая точка которой
через сопротивление Z"o соединена с нулевым проводом ис-
точника энергии. В предположении, что к данной системе при-
меним принцип суперпозиции, мы можем разложить данные
напряжения U 0А, Uов, Uoc на симметричные составляющие и
найти симметричные составляющие тока/0,Д и /2, соответ-
ствующие симметричным составляющим напряжения и
U2. Составляющие нулевой последовательности напряжения
£70, буду 4 и одновременно приложены к точкам Л, 5, С, с од-
ной стороны, и нулевому проводу—с другой, дают во всех
трех фазах тождественные токи /0, которые, сходясь в ну-
левой точке приемника энергии О', дают в нейтральном про-
воде ток 3/0Л Напряжение С70 в одной фазе< например Л,
распадается на следующие составляющие:
1. Падение напряжения в линии, которое состоит из актив-
ного и индуктивного падения напряжения (г +/^А0)/0 от то-
ка в этой фазе (где г = гА =гв — гс— сопротивление
провода, a L^=L0A==.L0B=L0C—индуктивность петли, состав-
ленной из провода данной фазы и нулевого провода) и из
индуктивного падения напряжения в результате действия
взаимной индукции тока /0 в петле фаза В—нулевой провод
и тока /0 в петле фаза С—нулевой провод
/о)Л4вл70+/и)Л7сл/0=2/и)Л7 /0
(так как система симметрична, то Л4вл=Л4сл= М).
Кроме того мы должны прибавить падение напряжения
в нулевом проводе/у 3/0-Таким образом падение напряжения
в линии от составляющей тока нулевой последовательности
/0, одинаковое во всех фазах, будет равно
[г+Л(£о+2Л1)+Зг0]4=2л4.
25 к. А. Круг, т. II.
386
Метод сймметрйчных составляющих
[ гЛ. ?
2. Падение напряжения в фазе приемника энергии. Если
три фазы приемника энергии не связаны общими магнитны-
ми потоками (потоками взаимной индукции), т. е. если про-
хождение тока водной фазе не наводит э. д. с. в двух других
фазах, то для составляющих токов всех последовательно-
стей фазы будут представлять одно и то же сопротивление.
Если же фазы приемника энергии связаны общим магнитным
потоком, то для составляющей тока нулевой последователь-
ности сопротивление фаз будет иное, чем для составляющих
токов прямой и обратной последовательности, как это имеет,
например, место в трехфазных трансформаторах и машинах,
ибо в них магнитные потоки
Фиг. 52,2.
ческих машинах. Падение
нулевой последовательности
замыкаются не через общую
магнитную цепь, а вне ее через
окружающее пространство.Так,
если мы одновременно через три
обмотки трехфазного трансфор-
матора пропустим совпадаю;
щие по фазе токи /0, то магнит-
ные потоки в стержнях будут
иметь одинаковые фазы и не
будут замыкаться через ярмо,
а вне его (фиг. 52,2). Магнит-
ная цепь для этих потоков
имеет весьма большое магнит-
ное сопротивление, и потому
реактанцы для токов нулевой
последовательности могут быть
весьма малы. Аналогичное яв-
ление мы имеем и в электри-
напряжения в каждой из трех
мы можем
сопротивление
фаз при прохождении через них токов /0
представить в виде Z'O7O, где Z'o обозначает
нулевой последовательности.
3. И, наконец, падение напряжения в общем сопротивле-
нии, включенном между нулевой точкой и нулевым проводом
3Z"o/0.
Таким образом, для составляющей нулевой последователь-
ности можем составить уравнение
—Zq/q,
(52,1)
где
Zo-r+7a)(Zo+2^0+Z'04-3ro + 3Z%.
(52,2)
§ 52 ] Действие трехфазной несйМметричной системы 387
Составляющие прямой последовательности а2их и
aUlt действующие между точками А, В и С, с одной стороны,
и нулевой точкой приемника энергии—с другой, дают в сим-
метричной системе во всех фазах одинаковые токи по вели-
чине, но сдвинутые по фазе на 120° и 240°, токи и а21х и
а/1( которые замыкаются в нулевой точке приемника энер-
гии, не давая тока в нулевом проводе.
Если мы возьмем, например, фазу А, то напряжение
Ц\ распадается на следующие составляющие:
1. Падение напряжения в линии. Оно состоит из актив-
ного падения напряжения гД и индуктивного. Так как сумма
токов прямой последовательности во всех фазах равна нулю
/14-л2Л-Ь'1 Л=0, то ток в фазе А мы можем разложить на
две слагающих—а2 Д и — а'х и определить индуктивное паде-
ние напряжения вдоль провода, как слагающееся из полови-
ны индукционного падения напряжения в петле АВ и поло-
вины падения напряжения в петле АС
^-j^LAB ^—а21х -у-/" ^ас (—«А
=-^-j<s>LAB Д =fa>L • Д,
где
L ~ Lab — Lee — Lac
для симметричной линии равно половине индуктивности пет-
ли, образуемой двумя фазными Проводами.
2. Падение н пряжения в фазах приемника энергии при про-
хождении трехфазного тока через 3 фазы приемника энергии.
Обозначим отношение фазового напряжения между зажи-
мом приемника и его нулевой точкой к току при прохождении
тока прямой последовательности через £'• Тогда мы будем-
иметь для фазы А
U^r^L+Z'^Zj,, (52,3)
где Zj представляет собой сопротивление прямой последова-
тельности системы. Для двух других фаз мы будем иметь
a2Ux—Z1 • а21! и aU1 = Z1ai1.
Аналогичное уравнение для третьих симметричных состав-
ляющих напряжений и токов обратной последовательности
может быть составлено для трех фаз системы
4> aU2—Z2al2w. a2U2—Z2a2l2. (52,4)
25*
388
Метод симметричных составляющих
[ гл. 7
Для составляющих тока обратной последовательности ли-
ния представляет такое же сопротивление (импеданс), к.ж
и для составляющих прямой последовательности; то же имеет
место и для остальных частей симметричны., систем (Z\=Z\
и Zj=Z2) за исключением тех случаев, когда в системе име-
ются вращающиеся машины.
Для электрических’ машин импедансы обратной последо-
вательности значительно меньше импедансов прямой после-
довательности. Эго объясняется тем, что в то время как
вращающееся масни ное поле, создаваемое токами прямой
последовательности, неподвижно относительно магнитного
поля, создаваемого током возбуждения в машине, токи обт
ратн й последовательное^ созд>ют поле, вращающееся в
противоположною сторону с двойной скоростью или сЪ сколь-
жением в 20)%; так как сопротивление всей цепи ротора
невелико, то для ток в обратной последовательности вра-
щающляся машина может быть уподоблена асинхронному
двигателю, короткозамкнутый ротор которого движется внеш-
ней силой в обратную сторону с двойной скоростью. Такой
режим при данном напряжении создает большой ток, мало
отличающийся от тока коротк го замыкания; поэтому мы по-
лучаем соответствующий импеданс, равный отн шиению на-
пряжения к тику значительно меньшей величины, чем реак-
танс прямой последоьательности.
Рассмотрим еще несимметричную нагрузку симметричной
тре> фазной питающей системы. Для решения этой задачи
примен м метод симметрии пях составляющих вместе с мето-
дом Гельмгольца-Гевенена. По методу Гельмгольца-Гевенела
ток в какой-нибудь ветви определяется как отношение на-
пряжения U между узлами, к которым приключена эта ветвь,
когда эта ветвь разомкнута, к сумме сопротивления этой
ветви Z и внутреннего сопрот вления системы между этими
узлами Zk
7== "ztzt ; °=z (ЭД
Последнее соотношение можно толковать и таким обра-
зом, что напряжение между какими-нибудь двумя узлами при
выключенной между ними нагрузке равно сумме падения на-
пряжения в приемнике энергии, U'=Z19 т. е. напряжению
между узлами при нагрузке, и добавочного падения напря-
жения Zkl, которое вызывается во внутреннем сопротивле-
нии системы вследствие прохождения через него тока на-
грузки в рассматриваемой ветви или в рассматриваемом при-
емнике энергии.
§ 52 ] Действие трехфазной несимметричной системы 389
Предположим теперь, что в какой-нибудь сложной трех-
фазной системе, симметрично нарушенной и дающей в ка-
ком-нибудь месте симметричные напряжения между прово-
дами и нулевым проводом, a2U и aU, присоединяется
какой-нибудь несимметричный приемник, который нарушает
симметрию напряжений (фиг. 52,3). Разложим напряжения,
которые установятся после включения этого приемника меж-
ду линейными проводами и нулевым проводом, равно как и
токи, которые будут проходить через отдельные фазы вновь
приключенного приемника, на симметричные составляющие,
и пусть эти составляющие фазовых напряжений будут 47о,
Ux и U2i а составляющие тока /0, и Д.
Так как напряжение холостого хода U (до включения со-
противлений) имеет только составляющую прямой последо-
вательности, а ее составляющие обратной и нулевой после-
довательности равны нулю, то напряжение прямой последо-
вательное ги 6 (при разомкнутой цепи) должно равняться со-
ставляющей напряжения прямой последовательности у при-
емника энергии, когда он включен, плюс (внутр* инее) паде-
ние напряжения от тока прямой последовательности в задан-
ной симметричной системе:
O^zJ^u.
(52,6)
390
Метод симметричных составляющих
[гл. 7
Далее, так как при холостом ходе (отсоединенном при-
емнике) симметричные составляющие обратной и нулевой
последовательности в напряжении симметричной системы от-
сутствуют, т. е. равны нулю, то при нагрузке составляющие
фазовых напряжений этих последовательностей U2 и UQ долж-
ны уравновешиваться падени ми напряжения токов соответ-
ствующих последовательностей в их импедансах обратной и
нулевой последовательностей:
tZ2+Z2Z2=0, (52,7)
U0+ZQ lQ=0. (52,8)
Мы нашли три основных уравнения, связывающие симметрич-
ные составляющие напряжений £70, U1hU2 у зажимов при-
емника энергии с соответствующими симметричными состав’
ляюшими токов, поступающих в приемник энергии. Как бы
то ни был соединен несимметричный приемник энергии, мы
его всегда в нужном случае путем трансфигурации можем
привести к трем импедансам ZA, ZB hZc, соединенным в
звезду.
л Если звезда не имеет соединения с нулевым проводом
(с землей), то внутреннее сопротивление системы нулевой по-
следовательности должно быть приравнено Zo=O и в связи
с этим /о=О
Рассмотрим систему, в которой отдельные фазы не связа-
ны между собой взаимной индуктивностью. Подставляя вме-
сто фазовых напряжений при нагрузке и фазовых токов их
выражения через их симметричные составляющие:
UA0=ZA zA (4 +4+ /2); ч
Ubo=Zb1b~ U^~\~a U2=Zg(Z0-{-zz A~H*Z2) / (52)9)
2 . ... . 2 I
Uco—Ze lc=U^at72=Zc(Z04-^Zl-|-a 4)>
мы получаем вдобавок к уравнениям (52,6), (52,7), (52,8) еще
три уравнения, которые и позволяют определить шесть не-
известных симметричных составляющих напряжений и токов,
т. е. t70, U2, /0, и/2. Для нахождения составляющих то-
ков определяем из первых трех уравнений и tZ2 и П°Д’
ставляем их значения во вторые три:
-z^+u-z, i^z^z^i^i^iw
d U—d Zj^—aZ2i2=Z^ (704-& Zp-|--#Z2),
* —aZjJi—a Zjz^Z c( Zq-J- ci 1 Z
§ 52]
Действие трехфазной несимметричной системы
391-
Последние три уравнения могут быть приведены к соот-
ветствующим трем уравнениям:
(Zo+zA) 70 +(zt+zA) /; 4- (z3+z4 )/3=ц I
(Z0+ZB)/04-а2 (21+2в)А + (-22+-2в) (52,10)
(Z0+Zj/0+a(Z1+Zc)/1 + a2(Z3 + Zc)/3=ai/) j
которые и позволяют, зная напряжение при холостом ходе
U и все импедансы, определить неизвестные составляющие
токов.
При определении импедансов разных последовательностей
для сложных трехфазных систем, включающих ряд генера-
торов и приемников, связанных между собой через трансфор-
маторы, обыкновенно всю систему после замены всех со-
единений треугольником соединениями звездой приводят к
одному и тому же напряжению путем пересчета всех актив-
ных и реактивных сопр >тивлений пропорционально квадра-
там передаточных чисел трансформаторов и пренебрегают при
этом намагничивающими слагающими тока в трансформаторах,
что значительно упрощает схему, так как наличие трансфор-
маторов будет сказываться лишь во включении последо-
вательно в цепь импедансов короткого замыкания.
Реактансы прямой последовательности в сложных сим-
метричных системах, состоящих из машин, трансформаторов,
линий передач, приемников энергии, соответствуют-реактан-
сам при нормальной работе этих систем. Реактансы обрат-
ной последовательности для элементов системы (в том числе
и приемников энергии), не связанных с вращающимися элек-
трическими машинами (например, линий передач и транс-
форматоров), имеют те же значения, что и реактансы прямой
последовательности.
Когда в системе имеются части, соединенные параллельно,
как это, например, показано на фиг. 52,3, то импедансы раз-
ных последовательностей двух параллельных частей сим-
метричной системы могут быть найдены по общим формулам:
Zo = -^^-Zx=-^^--,Z2=-^^-, (52,11)
где Zo0, Zat, Za3 и Z60, ZM, Zb2 — импедансы нулевой, пря-
мой и обратной последовательностей той и другой параллель-
ной части системы.
В нашем частном случае правая половина не имеет со-
единения нулевой точки (нулевая точка не соединена.с землей),
поэтому для правой половины
Z&0=°°
392
Метод симметричных составляющих
[гл. 7
И
Za= — = Za0. (52,12)
V 7 । у Uu х. ' s
^aOi^bO ^аО [ j
Таким образом, путем замены параллельно соединенных
импедансов соответствующими эквивалентными импедансами
и более сложные схемы могут быть приведены к простой
схеме.
53. НАХОЖДЕНИЕ ТОКОВ КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ
В СИММЕТРИЧНЫХ ТРЕХФАЗНЫХ СИСТЕМАХ
На практике при применении метода симметричных со-
ставляющих к определению значений токов короткого замы-
кания в сложных трехфазных системах все расчеты весьма
облегчаются, так как на величину токов оказывают влияние
главным образом реактивные сопротивления, так что все ак-
тивные сопротивления гри определении токов короткого замы-
кания могут быть прирав-
нены нулю, а это упрощает
все расчеты вследствие
однородности всех вели-
чин импедансов (все Zo,
Zb и Z2 будут состоять
только из мнимых вели-’
чин). Дальнейшее упроще-
ние может быть проведе-
но, если все реактансы
выражать не в омах, а в
процентах падения напря-
жения от номинального
Фиг. 53,1. напряжения при прохож-
дении номинального тока.
Предположим, в симметричной системе с напряжением U
каждой фазы по отношению к земле (фиг. 53,1) имеет место
однофазное короткое замыкание между фазой А и землей:
^0=^о+^+^2 = 0;
=/0 4-a2 4*j-4z/2 =0
и
4?= 4—о,
4(®2 — а)= /2 (а2—а), или li~i2
и далее, так как —1, то
4=4+4 (Л + а2) — 4—4=0 или 4=4=4-
§ 53]
Нахождение токов короткого замыкания
393
Обозначив черезU^,UX ии2 и /0, Д и 72 симметричные со-
ставляющие фазовых напряжений и токов, мы находим, что
все три симметричные составляющие тока 1а — +4
равны между собой и
/0=4=4=^. (53,1)
Подставляя эти величины в расчетные уравнения (52,6),
(52,7) и (52,8)
t70+ 4~zo=o, йг+^-z^u,
и принимая в расчет, что LJQ^ U2 = UAO=0, мы нахо-
дим, что ток короткого замыкания /д равен
/ _ ____3 й
А ^о4"^14"^2 ’
и что симметричные составляющие напряжений выражаются
через
---------------------------------
0 3 ^o+z1+z2
и — и _ = --£(2о+22) , (5з,з)
3 Z0+Zi+Z2
О =_ 1^2 = , ^2
3 Zq-\-Z\-\-Z2
По этим симметричным составляющим могут быть найдены
и напряжения фаз UB0 и Uco по отношению к земле:
ljco=Ut + aU, + aV,= Zi4,+/i [(a-l)Z,+(a—.
Если пренебречь активными сопротивлениями и предполо-
жить, что все элементы состоят из реактивных сопротивлений
Zo—Z1=/x1 и Z2=jx^ то численные значения UB0 и
394
Метод симметричных составляющих
[ гл. 7
Uc0 могут быть представлены сравнительно просто, принимая
во внимание (фиг. 50,2), что
Д2_ 1 = ОА=АВ=УЗе
а2—а=ОВ—ОС=СВ'=Узе >
. 5л
а—1 = ОС—ОА=АС= Уз е '
а ~7а‘г= ОС— 'ОВ=ВС= У3е~-
Угол между комплексами а2—1 и а2 — а, а также между
а—1 па—а2 равен— — — = — — 60°. Поэтому численные зна-
г 6 2 3 J
чения напряжения незаземленных фаз по отношению к земле
будут
TJ т ^UV^q2+2xqX2 cos 60°Н-х22 _
uBO=Uco^ — *
VХ^-]гХ(}Х9-\-Х22 /gg ^х
Напряжение между незатронутыми коротким замыканием
фазами определится, как
^го= 0
оС HU CU
7 , 7 ,7 (а2 a)Zo-}-2(a~ d)Z2 ;
u
(53,5)
Рассмотрим, далее, короткое замыкание двух фаз без
соединения с нулевым проводом (землей, например), фаз В
и С. В этом случае (фиг. 53,2)
UB0^lJco=U^a2U^aU2=U. [aU^U.
Из этого уравнения следует, что
(а2 — d)U^= (а2 — a)U2 и йг= U2.
Кроме того^
4=4+4+4=0
и
4= 4»
§53]
Нахождение токов короткого замыкания
395
ИЛИ
4+«24-F«4= —/0 — «Д—а2/2,
т. е.
2/0-Ь(й2 + й)Л+(й-|-й2)/2=
==24-4-4=з/о-(4+4+4)=о,
откуда 1о^=О и 4 —“4-
Подставляем найден-
ные значения симметрич-
ных составляющих на-
пряжений и токов в ра-
счетные уравнения (52,6),
(52,7), (52,8):
77o+0-Z0=0,
или L72—IXZ2—Q.
А
гАЛАЛ/Vr
7777777777777777777777777Ш7/77Л
Фиг. 53,2.
Из этих уравнений следует, что
^=О;'1=-4 = '5Г=^;У1=^=^. (53.6)
Зная, таким образом, симметричные составляющие токов
и напряжений, мы ъожем определить ток короткого замыка-
ния между фазами В и С\
п
1С=1О + а2 4 + а 4 = 0+(а2 - а) 4 = ~~~ '
<L~rZ2
Zs«/C = lli£, (53,7)
*i4-x2
a также напряжения всех фаз по отношению
u^u.+u^u^+w^-^, иА0=
Zl+Z2
U bo'=^Uо 1Н” я£7 з= (^2 "’Ь 1 '==z
к земле:
2£7x?
х1+*2
УГ2
A+^2
(53.8)
U во—IJ со
67г2
х14-х2
396
Метод симметричных составляющих
[ гл. 7
и напряжение между фазами
т'т _т'т __TJ т'т _____ 2и?2 I U?2 _____ 3U?2
илв-илс-ияо —Ubo—
(53,9)
*1Н-*2
Рассмотрим, наконец, короткое замыкание двух ф з (В и С)
на нулевой провод (землю) (фиг. 53,3). В этом случае
^о=^-|-й3А + 4 = 0и £7co=t7o + «t7i+«3^3 = 0.
“ЛЛЛЛЛг4?'
Фиг. 53,3.
Симметричные составляющие напряжений будут
Г Г _^ло+ ^ВО-\-^СО__UАО
0— 3 ~ 3
. UA0 + aUBa + afUC0 IJAO
---------з-------’
т т ^AO~f~a2^Bo + a^CO _^UAo
^2= ~ 3 '
(53,10)
з
Далее, для фазы А, не имеющей соединения с землей,
Л = 4 + А + 4 = 0.
Подставляем Un, U<nU, в расчетные уравнения (52,6),
(52,7), (52,8)
A-Uao+^z^q, -±-uA0a- 1^=0, ^-uA0^izzz=a
О О <$ •
И определяем из них /0, 1г и /2.
§ 53]
Нахождение Токов короткого замыканий
397
Так кай /л=0, то
и АО Цао
3 Zx 3 z%
Это уравнение позволяет нам определить напряжение
между незаземленной фазой и землей и его симметричные
составляющие
— &2
Uao
3
___ UZi}Z2 _____________________ U 4* *2
Z0Zj + ^1^2 ^2^0 *0*1 4“ *1*2 4~ *2*0
__________3L/X() V2_____
*0*1 4" *1*2 + -*2*0
(53,11)
По симметричном составляющим напряжения легко опре-
деляются симметричные составляющие токов
_ & до ______U ^2______•___' Ux2
3 о Zo^i-f-Zi^ + ^O ^*0*1 + *1*2 4" *2л0
: U-— 412 =_UZq4~Z2) . Ц(х0 + -*2)
Zj 3Zi Z0Zi 4~ ZiZ2 4~ Z2Z0 *0*14" *1*2 4“ *2*0 1
= _ ^АО =_UZQ^= . Цхр
3Z2 ZOZ1 + Z1Z24-^2^O *0 v1+*1*2 4~ Л2*0 >
По этим составляющим токов мы можем определить и
сами токи:
Zb — Нт А Н~ Л =
jU (*2 — Д2*0 — д2 V2 + Д*р)
*0*1 -Ь *1*2 4-*2*0
= JU [(а-а^хо + (1-аУх2]
*0 Ч 4” *1*2 4" *2*0
Гс = 10 -I- а/, + a2i2=jtJ (Х2 ~ ахо ~ gX2+ °2Х||) =
*0*1 4” *1*2 4“ *2*0
а) *0 + (1 — «) *21_
*0*1 4" *1*2 4” *2*0
398
Метод симметричных составлякндйх
[гл. 7 и 8
Встречающиеся в последних уравнениях комплексные мно-
жители могут быть на основании чертежа (фиг. 50,2) заме-
нены через следующие значения:
• т: ' .тг
_ ' г___J 2 - г— 16
а —а2 —ВС —У Зе 1—а2=ВА=УЗе ’
а2 — а — СВ—Уз e~~i2; 1—а=—СА—У3е~} 6,
которые указывают на то, что х0 и х2 в числителе должны
быть отложены на сторонах угла в 60°, умножены на V з
и полученные векторы сложены геометрически. Так как углы
между угловыми множителями а — а2 и 1 — а2 = ВА, а также
между а2— а = СВ и 1 — а=СА равны 60°, то квадрат мо-
дулей числителей равен
х02 + 2 х0х2 cos 60° + х22 = х02 -f- х0х2 + *а3,
и поэтому
lB=zlc = УЛУ^2+_хоЧ-\:.х22. . (53,13)
XflXl-f- Х1Х2-]-Х2Г0
Ток заземления будет
7В + 1С = / g.(2-^-a)x2 = .-ЗЦх^----. (53>j4)
*(Л+*1*2’Ьх2Л0 «^0-^1 4" *^1-^2 “И-^2-^0
Короткое замыкание всех трех фаз с заземлением или без
заземления, Uао = & bo = Uco = Q> не Нарушает симметрии,
а потому /о = 0 и /2 = 0, t70 — 0 и Z72 —0, а следовательно,
из трех расчетных уравнений остается одно, которое дает
для тока короткого замыкания в каждой фазе
О+i^=U, h =
Л=/о+4+4=4=Л /в=«24=«24-
Z1 Z1
7с=а71 = а-—, (53,15)
а общий ток, уходящий в землю, будет равен нулю:
Za4" /в -|- Д (1 4" й3 -j- а) — 0,
Выше мы вывели формулы для определения токов корот-
кого замыкания при различных видах этих коротких замыка-
ний, если известны импедансы всех последовательностей.
О 541
Переходной и стационарный реЖймы
390
Пользуясь этими формулами, можно, наоборот, по токам ко-
роткого замыкания определить импедансы разных последо-
вательностей, положим, для какого-нибудь генератора. Для
этой цели мы из опыта находим токи короткого замыкания
при трехфазном, двухфазном и однофазном коротком замыка-
нии и, пользуясь соотношениями
• Ё . Ё . ЗЁ
Л + Z, И ^==Z0-f-Z1 + Z2’ (53>16)
можем вычислить Zb Z2 и Zo— значения импедансов прямой,
обратной и нулевой последовательностей для данной машины
(в большинстве случаев импедансы могут быть заменены
реактансами, что упрощает формулы).
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЦЕПЯХ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПОСТОЯННЫМИ
54. ПЕРЕХОДНЫЙ И СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМЫ В ЦЕПЯХ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПОСТОЯННЫМИ
В неразветвленной цепи с сосредоточенными постоянными,
состоящей из сопротивления, индуктивности и емкости, при
включении в эту цепь источника энергии для любого момента
времени как для момента включения, так и для всех после-
дующих моментов должно иметь место следующее соотно-
шение:
u=riJrL-^+^idt, (54,1)
независимо от того, успел ли в цепи установиться некоторый
стационарный режим или нет.
Ток в неразветвленной цепи с сосредоточенными постоян-
ными во всех ее частях имеет одно и то же значение. При-
ложенное внешнее напряжение распадается на три сла-
гающих: на активное пад< ние напряжения, на слагающую,
уравновешивающую противодействующую индуктивную
э. д. с., и на слагающую, равную и противоположную напря-
жению между обкладками конденсатора.
Когда в цепи сопротивление или индуктивность беско-
нечно малы, то в указанном уравнении необходимо соответ-
ственно г или L приравнять нулю, если же отсутствует ем-
кость, то величина С должна быть приравнена бесконечности,
так как при бесконечно большой емкости напряжение между
обкладками при всяком конечном заряде будет равно нулю,
что равносильно короткому замыканию между обкладками.
400
Явления в целях с сосредоточенными постоянными (гл. $
После достижения стационарного режима в цепи устанав-
ливается некоторое принужденное состояние под действием
внешнего напряжения. При постоянном токе, когда внешнее
напряжение постоянно, ток стационарного режима будет иметь
постоянную величину; при переменном токе, когда внешнее
напряжение изменяется гармонически по закону синуса, ток
и напряжение у конденсатора и индуктивная э. д. с. будут
совершать принужденные колебания с такой же частотой,
как и внешнее напряжение.
При всяком изменении состояния цепи, например, при
включении или выключении или при изменении нагрузки, ста-
ционарное состояние устанавливается не сразу, а по истечении
некоторого времени, необходимого для перехода к новому
режиму.
Как во время перехода от одного стационарного режима
к другому, так и по окончании переходного состояния имеет
место вышеприведенное соотношение (54,1) между внешним
напряжением и его отдельными слагающими. Если написать
это уравнение равновесия напряжений для стационарного —
пр шужденного режима, то мы получим уравнение, анало-
гичное (54,1)
“=”,„ +(54,2)
U4 G J
где inp — установившийся принужденный ток.
Вычтем это уравнение из первого, что возможно лишь,
когда г, L и С остаются неизменными при всех значениях
тока
Г (г - inp)+L C(Z - Ze>Z=O,
at GJ
и обозначим разность между значениями действительного
тока и тока принужденного режима, если бы таковой уста-
новился с самого начала, через ics=i — inp {ice — ток свобод-
ного режима):
rZce-hZ_^__j_ (54,3)
dt С J
Процесс, происходящий в цепях во время переходного
режима до достижения стационарного режима, мы можем
рассматривать, как состоящий из двух наложенных друг на
дуга процессов: одного принужденного, соответствую-
щего стационарному режиму, если бы таковой мог устано-
виться мгновенно с самого начала переходного режима, и
другого так называемого свободного, добавочного про-
цесса, наблюдаемого только в переходный период. Наложе-
нием друг на друга обоих этих процессов и достигается в
§ 55 ] Ёключенйе Индуктивной катушки 401
переходный период постепенное и непрерывное приближение
к новому стационарному состоянию. Соответственно с этим
ток в переходный период может быть разложен на две со-
ставные части: стационарный, или принужденный ток i
и некоторый добавочный, так называемый свободный, ток Zce,
который постепенно спадает до нуля и который должен удо-
влетворять уравнению (54,3).
Добавочный (свободный) ток, равно каки связанные с ним
напряжения свободного режима в момент изменения состоя-
ния цепи определяются как дополнительные слагающие к
соответствующим величинам принужденного режима и, на-
кладываясь на них, должны удовлетворять начальным усло-
виям. В дальнейшем токи и напряжения свободного режима
изменяются уже не под действием внешнего напряжения, а
протекают в замкнутой цепи, как бы свободно предоставлен-
ные самим себе.
Таким образом, как ток, так и связанные с ним напряже-
ния на концах отдельных элементов цепи могут быть пред-
ставлены для переходного режима, как состоящие из двух
слагающих: слагающей принужденного {пр) и слагающей сво-
бодного {св) режимов. Если для заданной цепи известны за-
коны изменения тока и напряжений как для принужденного,
так и для свободного режимов, то, накладывая оба режима
друг на друга таким образом, чтобы были соблюдены усло-
вия начала и конца переходного состояния, мы можем про-
следить изменение тока и прочих величин за время пере-
ходного режима.
55. ВКЛЮЧЕНИЕ ИНДУКТИВНОЙ КАТУШКИ НА СИНУСОИДАЛЬНОЕ
НАПРЯЖЕНИЕ
При включении к синусоидальному напряжению с посто-
янной амплитудой U mi индуктивной катушки, содержащей
индуктивность L и сопротивле-
ние/* (фиг. 55,1), значение тока п п п п
в переходный период зависит от
того момента, в который про-
исходит включение. Предпо-
ложим, что момент включения
определяется углом (фазой на-
пряжения) ф и что включение
мы будем считать происходя-
щем в момент £=0: Фиг. 55,1.
n^{7wsin (^+ф).
26 к. А. Круг, т. П.
462 Явления в цепях с сосредоточенными поётся'Н1НЫМи ( гл. §
Для нахождения тока в переходное время мы должны опре-
делить значение тока принужденного режима, если бы тако-
вой установился сразу с момента включения:
где
При этом ввиду независимости амплитуды Uт от нагруз-
ки мы должны считать, что сопротивление и индуктивность
источника энергии по сравнению с г и L приключаемой цепи
равны нулю.
Приравнивая /=0, мы получаем
d \ __ Z7msin^ — ?)_47,^ sin (ф — <р)
^ = 0- -
Так как в момент включения t=Q общий ток равен нулю:
Г=О'Л/>)/=оН“(Г’«)/=О= +(^4=0=°>
то ток свободного режима в момент включения должен рав-
няться
_(1 ч __ <7CTsin(<!>—у) _ UOT sin (ф—у) /теса
1О-(^Л_Э- ~ ~2 • VA4)
Ток свободного режима изменяется независимо от прило-
женного напряжения, и в предположении, что сопротивление
источника тока равно нулю, ток свободного режима изме-
няется так, как изменяется ток в короткозамкнутой цепи, со-
стоящей из индуктивности и сопротивления.
Как было показано в § 87 I тома, такой ток, постепенно
затухая, изменяется по экспоненциальному закону
t
, (55,3)
Г 1
где а = —=-------коэфициент затухания, а обрат-
27
ная ему величина т — так называемое время редакции, а
потому ток в переходный период будет изменяться по следую-
щему закону:
t
i=inp-\-ice = [sin (ш/-|-ф—<р)—sin (ф— ср) е т ]. (55,4)
Z
Для получения кривой тока вычерчиваем синусоиды внеш-
него напряжения и и стационарного тока inp (фиг. 55,2), и в
точке, соответствующей моменту включения Z=0, отклады-
ваем в противоположную сторону значение стационарного
Включение индуктивной катушки
403
тока в этот момент, iQ——строим кривую /Сб=^ и
складываем* ординаты кривой принужденного и свободного
режимов, которые в сумме и дадут ординаты кривой тока в
переходное время.
Значения тока в переходный период зависят от момента
включения. Свободного тока не будет совершенно, если вклю-
чение происходит в такой момент, когда значение принуж-
денного тока равно нулю, т. е. когда ф—ф = 0 или тг..
При малых сопротивлениях (г ==0) и больших индуктивно-
стях
(f=°)
наибольшее значение тока в переходное время
не может быть больше двойной амплитуды стационарного
тока. Если бы сопротивление равнялось нулю
г
7
- = 0,
z? = —— ) то ток после включения
2
i— -^-sin fotf-pp---—— ^-sin (ф---------—(55,5)
а>£ \ 2 / V 2 / '
теоретически состоял бы из двух слагающих, из переменного
и постоянного токов, и если включение имело место в момент,
когда ф=0 или к, то он имел бы постоянное направление
-£а(1 —cos <0 0 (55,6)
и колебался бы в пределах от нуля до —
Сложнее обстоит дело, когда к переменному напряжению
присоединяется катушка со стальным сердечником, например,
ненагруженный трансформатор. Внешнее напряжение в этом
26*
404
Явления в цепях с босрейоточёййымй 'пдсгдянишми [ гл. S
случае должно преодолевать сопротивление цепи и уравно-
вешивать противо-э. д. с.
u=t7msin .
dt
или
ЛФ= sin (ш< -|- V)dt— — idt.
w w
Интегрируем последнее уравнение в пределах от 0 до t:
или
t
Ф,=Ф0 —cos (atf-t-ф)4- cos ф — f —idt. (55,7)
СОШ J W
О
Последнее уравнение указывает, что мгновенное значение
магнитного потока может быть составлено из четырех сла-
гающих: первая (постоянная) слагающая Фо определяет собой
величину потока остаточного магнетизма, который пронизы-
вает катушку в момент /=0. Вторая слагающая равняется тому
магнитному потоку, который имел бы место при стационарном
режиме, если бы сопротивление цепи равнялось нулю; при
малом относительном значении сопротивления (ф=90°) вторая
слагающая может рассматриваться как магнитный поток при
стационарном режиме, изменения которого наводят э. д. с„
уравновешиваемую внешним напряжением. Третья слагаю-
щая пэедставляет собой величину того свободного магнит-
ного потока
(Фее )/=о= cos ф——Ф тирсов ф, (55,8)
который в начальный момент равен и противоположен маг-
нитному потоку принужденного режима
(Ф«Р)<=0 + (Фее )/=о=---COS Ф + COS Ф =0. (55,9)
соШ <ОШ
И, наконец, четвертая слагающая определяет то умень-
шение свободного потока Фгв, которое обусловлено падением
напряжения в сопротивлении цепи. Таким образом магнитный
поток может быть выражен через
Ф,=-Ф npmcos (Ш/-Н) +Ф„ +Ф0 - . (55,10)
§ 55]
Включение индуктивной катушки
405
Если бы падение напряжения в сопротивлении цепи и потери
в стали при перемагничивании не снижали с течением времени
свободного магнитного потока, то магнитный поток состоял
бы из некоторой постоянной слагающей = Фо“Ь
Н~Фт пр cos ф и переменной слагающей — Фт пр cos (о)£-|-ф), т. е.
Ф/ = Фо+^ т пр cos ф— <$>т пр cos (otf + ф).
Постоянная слагающая получает наибольшую величину
Фо4“Ф/плр, когда ф=0, т. е. когда включение происходит в
момент прохождения внешнего напряжения через нуль. В
этом случае магнитный поток колеблется в пределах от
Фо“1"2Ф/п пр Д£>
Для нахождения кривой тока как функции времени не-
обходимо по петле гистерезиса для каждого значения Ф,
найти соответствующее значение i (фиг. 55,3), обращия при
этом внимание на последовательность изменения магнитного
потока от одного состояния к другому.
Благодаря насыщению стали первая амплитуда тока при
включении, например, ненагруженного трансформатора, как
это видно из фиг. 55,4, может оказаться значительно боль-
ше даже амплитуды тока при полной нагрузке. В даль-
нейшем амплитуды тока будут спадать вследствие сни-
жения значения Ф0~рФ^ ~~ dt (около которого колеблет-
J w
ся переменный магнитный поток Ф^ Пр соз(о)/+ф) (из-за по-
терь в стали и падения напряжения в сопротивлении особен-
но в первые периоды, ког-
да значения тока, напра-
вленного в одну сторону,
больше значений тока
направленного в другую
сторону.
I
Г А
Фиг. 55,3.
фиг. 55,4.
406
Явления в цепях с сосредоточенными постоянными [ гл. 8
Во избежение чрезмерных толч-
ков тока при включении, которые
вызывают большие механические
усилия между частями обмотки,
трансформаторы можно включать
через ступенчатые выключатели
(фиг. 55,5), имеющие вспомогатель-
ные контакты; между последними
имеется сопротивление, которое на весьма короткое время
вводится в цепь, а затем коротко замыкается.
56. ВКЛЮЧЕНИЕ ЦЕПИ СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ЕМКОСТИ
И СОПРОТИВЛЕНИЯ, К ПЕРЕМЕННОМУ НАПРЯЖЕНИЮ
При включении к переменному напряжению
u—Um sin (ш/-|-ф)
цепи, состоящей из емкости С и сопротивления г (фиг. 56,1),
напряжение между обкладками конденсатора и ток будут в
переходное время составляться из двух слагающих:
ИС = «СПр+«Ссв и Z = Z«p+4e-
Если принужденный режим устанавливался бы сразу, то
ток выразился бы через
Чр— . sin (“/-j-ф—?)= ~ sin (“/—|—ф—ф), (56,1)
1/ г2-]—— г
У 1 <оЗС-=
где 1
tg®~—w— — —- =sin ф, (56,2)
r <oCr u>Cz
а напряжение между обкладками конденсатора было бы
испр-=—«'c«p=^-sin <ш/+ф—=
laCz \ 2 /
= —Um sin с? cos —'*?)• (56,3)
г
фиг. 56Д.
Слагающая внешнего напря-
жения и!Спр, уравновешиваю-
щая напряжение между об-
кладками конденсатора,отстает
по фазе от тока на 90° (фиг.
56,2), а напряжение между об-
кладками конденсатора испр
опережает, следовательно, ток
на 90° (угол ср имеет отрица-
тельное значение).
§ 56 ] Включение цепи, состоящей из емкости и сопротивления
407
В момент включения. конденсатор напряжения не имеет,
и следовательно,
(«с)<=0 = (И СиД=0+(«С:=о’ <56’4)
а ток в цепи равен
V sin (Ф-?) -Но= у* sin ф =
—— sin ф. (56,5)
z cos®
В момент включения (/=0)
внешнее напряжение равно
Uт si-пф и напряжение меж-
ду обкладками конденсатора
равно нулю, поэтому в мо-
мент включения слагающая
напряжения конденсатора,
соответствующая свободно-
му режиму, выражается че-
рез
Яо= (Ус np)t~O~
— Umsm ? • cos (ф—?), (56,6)
а так как свободный режим
протекает таким образом,
как будто в цепи нет источ-
ника тока, и благодаря тому,
Фиг. 56,2.
что в цепи имеется лишь емкость и сопротивление, то напря-
жение на конденсаторе свободного режима и ток будут
изменяться, как это было выведено в § 55 I тома по'^экспо-
ненциальным кривым,
_________________________t__ _t__
= 'с И 'с. (56,7)
Поэтому, если мы сложим значения принужденного и свобод-
ного режимов, то получим значения переходного режима
(фиг. 56,3.):
ис=«с пр+ис св^- U Jsin ® cos («>/+ф—ф)-Ь
______________________________£
-(-L^sin <р cos (ф—ф) е гС, (56,8)
_ t
i=inp4-Zce=^a-sin (и^Ц-ф—ф)4~ sin <р cos (ф— <?)е . (56,9)
408 Явления в цепях с сосредоточенными постоянными [ гл. 8
Ток при включении будет иметь максимум, если включение
произойдет в тот момент, когда мгновенное значение внешнего
7С ЗТС г)
напряжения равно амплитуде, т. е. когда Ф= -- или о
этом случае ток при включении будет равен
Если сопротивление цепи невелико, например, если к пере-
мер ному сопротивлению присоединяется кабельная сеть с
большой емкостью, то в первый момент может получиться
очень большой ток. Этот ток может быть снижен, если при-
менить ступенчатый выключатель. Что касается напряжения
между обкладками конденсатора, то очевидно, что это на-
пряжение будет тем больше,, что меньше сопротивление цепи.
_ t
гС
В предположении, что мы будем иметь, что е весь-
ма быстро спадет до нуля; наибольшее напряжение, которому
может подвергнуться конденсатор, не может быть больше
амплитуды внешнего напряжения.
57. ВКЛЮЧЕНИЕ К СИНУСОИДАЛЬНОМУ НАПРЯЖЕНИЮ ЦЕПИ,
СОСТОЯЩЕЙ ИЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ, ИНДУКТИВНОСТИ И ЕМКОСТИ
Когда к синусоидальному напряжению присоединяется
цепь, состоящая из сопротивления, индуктивности и емкссти
(фиг. 57,1), то для определения величин, определяющих в
переходный период значения тока в цепи и напряжения между
L
Фиг. 57,1.
57]
Включение к синусоидальному напряжению цепи
409
обкладками конденсатора, мы должны для момента включения
(£=0) в отдельности определить значения принужденного
и свободного режима этих величин. Для тока стационарного
режима мы имеем
*прт= ^y-sin(wZH-<!>—
(57,1)
где
(о£—« —
а для напряжения между обкладками конденсатора при при-
нужденном режиме:
«с пР= sin -£^7 cos (ш/Н-ф-ср). (57,2)
В начальный момент t=Q
W<=o=(%)/=o+(U<=o= уsin (Ф-?)+г0=о
(«с)/=0 = (ИСлД=0+(«СсД=о = cos (Ф-?)+«о=О.
Эти два последних уравнения позволяют определить зна-
чения напряжения конденсатора и тока для начального мо-
мента свободного режима:
«0=----~соз(ф —ср) и /0=— — sin (ф—'р). (57,3)
410
Явления в цепях с сосредоточенными постоянными [ гл. 8
Что касается характера свободного режима, то он зависит
1 г2 П г3 i
от соотношения между величинами — и — . При — > —
J LC 4£2 к 4L2 LC
свободный режим будет иметь апериодический характер, и
исв и ^св будут изменяться согласно уравнениям [том I], в
которые вместо zz0 и /0 должны быть подставлены вышеука-
занные их значения [уравнения (57,3)]. Поэтому для переход-
ного периода мы будем иметь
__________________________________________________
«C=«c„p+Mcce= —C0S(^+W)—(е — е Т2) +
_ _ _£
Н-----——(v T1—v Т2)>
'1—т2
_ __
sin («rf-f-ф—?)- 10 — (т3е —х,е "'2)
г (tj—т2)
__L
+ —и-^—{е 4 -е "2).
'1—ъ
Так как слагающая принужденного режима напряжения
конденсатора колеблется с неизменной амьлитудой, а слагаю-
щая свободного режима будет иметь наибольшее (абсолютное)
значение, если включение происходит в тот момент, когда
иСпр имеет максимум, т. е. в момент, когда <]>—<р=0 или
ф=<р, то отсюда вытекает, что напряжение конденсатора во
время переходного режима не может быть больше двойного
значения амплитуды напряжения между обкладками конден-
сатора при стационарном режиме. Максимум тока мы будем
иметь при условии, что по истечении примерно полупериода
после включения слагающая тока свободного режима будет
иметь максимальное значение, т. е. когда включение проис-
ходит в момент максимума тока при принужденном режиме
или когда Ф—©= . Поэтому наибольшее значение тока
при включении апериодической цепи также не может быть
больше двойной амплитуды стационарного тока (через пол-
периода после включения при условии, что Ф—©= .
Когда рассматриваемая цепь с постоянными г, L и С
представляет собой колебательный контур, т. е. когда
§ 57] Включение к синусоидальному напряжению цепй 411
>—, то на колебания принужденного режима будут наклады-
412
ваться колебания свободного режима. По найденным началь-
ным значениям слагающих напряжения конденсатора zzo и
тока z0 (57,3), соответствующих свободному режиму, мы на
основании уравнений [том I] можем определить изменение
исв и 1св в зависимости от времени и, складывая слагающие
принужденного и свободного режимов, получим следующие
уравнения для искомых значений напряжения конденсатора
и тока в переходный период в зависимости от времени:
«с = ипр + «св = cos (^+Ф - ?)-
С7ОТ cos (Ф—<р) _bt Umsln (ф—?) _ы .
- za> Csin~x ~g smC^ + z)-]----------—с— е sin«V, (57,4)
i=Z ~ sin («>^+'?—?)— ———) е~ы sin o>0f -f-
пр i св z к u 1
Umsfn('W) —ы . . , 4 Z_„K.
H----Jsiiix e 510 Z)> (57,5)
где
0)o= / TC - -h~ ’ b= 2L И T • (57’6>
Как показывают эти два уравнения (57,4) и (57,5), мы
имеем во время переходного режима кроме принужденного
колебания с частотой внешней э. д. с. еще и колебания с соб-
ственной угловой частотой а)0, которая вообще не будет
совпадать с частотой принужденных колебаний. Колебания
свободного режима в свою очередь состоят из двух коле-
баний, сдвинутых в своих фазах на угол X = arctg —. По-
ь
этому при включении в любой момент (при любом ф) мы
всегда будет иметь добавочные колебания напряжения кон-
денсатора и тока. На фиг. 57,2 показано изменение тока при
включении цепи, содержащей г, L и С в предположении,
что ф—ср=О.
Для выяснения наибольших возможных значений ис и i
в переходный период по сравнению с теми же значениями
при установившемся режиме предположим самый невыгодный
в этом отношении случай, когда сопротивление бесконечно
1
мало, г=0, а следовательно, b—0, Uq— и
со =;
— возьмем -----------
2 \. 2
412 Явления в цепях с сосредоточенными постоянными [ гл. 8
При таком предположении мы будем иметь
иг= —-^-sin (coZ-1-Ф)-}—-—Г sin’i cos <»0 ^4_~~cos'? sin<o0N (57,7)
z u>C zwCL J
и
/ = cos (tn— Г — sin'l» sin o)o^— cos Ф coso)oZ 1. (57,8)
z z L w J
Амплитуды собственных колебаний для напряжения кон-
денсатора и для тока будут
ucem=^-t/ sin2 H--^Jcos?^,
Z<o С I/ СО(/
св т —
Z
СО32ф.
(57,9)
(57,10)
В технике сильных токов частота собственных колебаний а)0
обыкновенно во много раз больше частоты внешнего на-
пряжения, т. е. о)0>о), и в этом случае амплитуды собствен-
ных колебаний напряжения конденсатора и тока будут иметь
максимум, когда <р=—, т. е. если включение произойдет в
тот момент, когда внешнее напряжение будет, равно своей
амплитуде. Тогда амплитуды собственных колебаний напря-
жения конденсатора будут равны т. е. амплитуде напря-
жения конденсатора при стационарном режиме, а так как
принужденные и собственные колебания происходят с разной
частотой, то через некоторое время после включения ампли-
туды их могут совпасть. Однако, максимальное напряжение,
которое может получиться на конденсаторе, не может быть
больше двойного значения максимального напряжения при
установившемся режиме.
Предельный максимум тока будет
/ f Г _____Цщ I О)0 _СО0 СО Um ,-7 1
Jnp пГТ^вт — —-j —-— , V>/,1
Z со Z (Л Z
так что при условии <оо>а) ток в переходный период может
быть во много раз больше амплитуды тока при стационар-
ном режиме.
Наоборот, если бы оказалось, что частота собственных
колебаний меньше частоты внешнего напряжения <o0<^cd, то
амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе имели бы
максимум, когда Амплитуды напряжения конденсатора
для свободного колебания равнялись бы — и при
•9 $7] Вклк5чёииё к ёйнусдидальному напряжению цепи 413
совладении амплитуд принужденных и собственных колебаний
U„„ „+ +- . (57,12)
г о)0 ZmG Wq 2(лС,
у конденсатора могли бы получиться перенапряжения, более
чем в два раза больше, чем напряжения при установившемся
режиме.
При максимум амплитуды собственных колебаний
тока будет иметь место при <Ь=0 и будет равен амплитуде
тока принужденных колебаний, а потому наибольшее значе-
ние тока в переходный период после включения цепи, полу-
чающееся при совпадении амплитуд принужденных и соб-
ственных колебаний, не может быть больше двойной ампли-
туды тока при установившемся режиме.
Фиг. 57,3.
Рассмотрим еще случай, когда частота внешнего напря-
жения равна частоте собственных колебаний цепи: о)0=о).
В этом случае амплитуды собственных колебаний напряжения
конденсатора и тока не будут зависеть от момента включения:
и св т = /sin2 Ф +cos2 6 (57,13)
Z&C Z^C
1свт=£я. ]/sin2di4-cos2<p =^, (57,14)
и будут равны соответствующим слагающим стационарного
(принужденного) режима, ибо в момент включения слагаю-
щие напряжения конденсатора и тока принужденного и сво-
бодного режимов равны и противоположны. Оба колебания
будут происходить с одной и той же частотой, и стационар-
ный режим будет достигаться постепенно без всяких пере-
напряжений и без токов, которые были бы больше соответ-
ствующих токов при стационарном режиме (фиг. 57,3).
414
Явления в цеИях с сосреДогочённЫми постоянными [ гл. §
58. ВЫКЛЮЧЕНИЕ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
При выключении цепи, в которой г, L и С присоединены последова-
тельно к постоянному внешнему на ряжен .ю, ввиду отсутствия тока
в цепи размыкание происходит без образования дуги или искры. При пере-
менном же токе между контактами выключателя могут получатыя пере-
напряжения. Если при расхождении контактов выключателя ток обры-
вается при первом переходе через нуль, то заряд и напряжение конден-
сатора будут иметь как раз максимальное значение, и когда в течение
следующего полупериода внешнее напряжение достигнет противополож-
ной амплитуды, между контак ьми будет разность потенциалов, равная
сумме амплитуды внешнего напряжения и амплитуды напряжения конден-
сатора (равной амплитуде при стационарном режиме). Эта разность потен-
циалов может перекрыть промежуток между контактами, произойдет так
называемое обратное зажигание, и цепь опять окажется включенной через
дугу.
В этом случае на оставшееся напряжение конденсатора будет накла-
дываться напряжение переходного режима включения, которое при co0>w
может достигнуть двойной амплитуды внешнего напряжения.
Таким образом при первом повторном образовании дуги напряжение
на конденсаторе может достигнуть двойной амплитуды внешнего напря-
жения, увеличенной на амплитуду напряжения конденсатора при стацио-
нарном режиме, т. е. примерно тройной амплитуды внешнего напряжения.
Особенно большие перенапряжения возможны при выключении цепи
состоящей из параллельно соединенных емкости и индуктивности, напри-
мер, кабеля, на конце которого присоединен нснагру » енный трансформа-
тор. При размыкании оставшаяся в цепи энергия
Cuq2 . Lip2
2*2
вызовет ко-
лебания, которые постепенно и израсходуют эту энергию, но при этом,
теоретически напряжение на конденсаторе может дойти до величины
где «о и — напряжение у конденсатора и ток в индуктивности в момент
выключения.
Обыкновенно между контактами образуется дуга, которая имеет совер-
шенно иной характер, чем при постоянном токе. Отношение напряжения
между контактами выключателя к току не представляет собий постоянной
величины. Напряжение зависит от тока, от расстояния между контактами,
а так е от состояния контактов и от среды, разделяющей контакты (от
температуры среды и степени ее ионизации). Состояние же контактов, а
главным образом, свойства среды в какой-нибудь момент времени, зависят
от предыдущего состояния, т. е. от значения тока в предшествующие
моменты времени.
Для выяснения зависимости напряжения от тока строят так называе-
мые динамические характеристики вольтовой дуги. Эти характеристики
получаются, если по оси абсцисс откладывать мгновенные значения тока,
а по оси ординат—соответствующие мгновенные значения напряжения
между контактами (фиг. 58,1). Характеристики эти показывают, что тече-
ние кривых неодинаково при изменениях тока от нуля в сторону увели-
чения и в сторону уменьшения тока. Когда дуга горит и среда ионизи-
рована, то все же после прохождения тока через нуль для повторного
зажигания дуги требуется повышенное напряжение, затем по мере уве-
личения тока напряжение уменьшается (вольтова дуга при постоянном
направлении тока имеет ниспадающую характеристику) и приближается
Выключение цепей переменного тока
415
к некоторой постоянной величине, которая уже не зависит от значения
тока. Затем при уменьшении тока требуется меньшее напряжение, чем
при увеличении тока; при спадании тока до нуля и напряжение спадает
до нуля. В следующий полупериод при изменении направления тока мы
получаем аналогичную кривую. При быстром изменении направления тока,
когда ни температура электродов ни состояние среды не успевают
измениться, падение напряжения приближается к некоторой постоянной
величине, которая не зависит от мгновенного значения тока, но которая
меняет свой знак вместе с изменением направления тока (динамическая
характеристика приближается к прямым линиям О A, BA, CD, СО, фиг. 58,2).
При индуктивной нагрузке в момент прохождения значения тока
через нуль напряжение между контактами не буд т равно нули и под
влиянием этого напряжения, если контакты недостаточно раздвинуты и
среда, разделяющая их, не успела деионизироваться, происходит вторичное
зажигание дуги, которое может повторяться несколько раз.
Наличие дуги связано с определенным падением напряжения между
‘ постоянным, н* зависящим от зна-
мы можем учесть, полагая, что в
направл.нная всегда против тока,
вместе с изменением направления
контактами. Если это падение считать
чения тока, то вольтову дугу в цепи
цепи существует противо-э. д. с. Д U,
Эта э. д. с., меняя свое направление
Т
тока через промежутки времени — будет давать некоторую допол-
нительную слагающую тока. Обозначая эту дополнительную слагающую
тока чер.з I', мы получаем уравнение
= + (58,2)
at
Решением этого диференциального уравнения является
i’ ~ Ло 4" Atf?* 4*
п дставляя это значение V в уравнение (58,2), мы получаем
-М r _rJ
MJ = Лог 4- А^е L — LA\-^e L = А^г.
416
Явления в целях с сосредоточенными постоянными (гл. 8
откуда
(58,3)
Так как для установившегося режима тока I' в моменты изменениi
Т я
знака Д17, например, в моменты /=0 и t — ———, должны иметь рав-
2 <о
ные и противоположные значения, то
Г
Ло е L “ — Ло — А\в ,
откуда
— 2Д0 — 2Д17
Л1 ==--------= ------------
г К
\-\-e <*L г(14-/<»£),
а потому
ди/' Lt \
—ZZ/’ (5М)
1+е
Будем отсчитывать время с момента фактического изменения направ-
ления переменного тока в цепи, включающей дугу, и пусть в этот момент
времени, принимаемый за ноль (/—0), напряжение имеет фазу ф, тогда
^sin(<i>^4-<!>—?)
Z
Отсюда мы можем вычислить значение угла ф и в соответствии с
этим, вычертив кривую слагающей тока I", равной току при отсутствии
дуги, а затем кривую тока Z', сложить ординаты этих двух кривых и по-
лучить кривую переменного тока i
в цепи, включающей дугу (фиг. 58,3).
Благодаря дуге изменение направле-
ния тока происходит раньше, чем без
дуги, и в точке изменения направле-
ния кривая тока имеет перелом.
Такой вид имела бы кривая тока,
если бы напряжение дуги имело по-
стоянную величину. В деист: итель-
ности же при изменении направле-
ния тока для зажигания дуги в обрат-
ном направлении и при малых значе-
ниях тока требуется повышенное на-
пряжение, что видно из динамической
характеристики дуги. Вследствие этого мы имеем повышенное напряжение
дуги и при спадании тока. Кроме того, благодаря удлинению дуги вслед-
ствие раздвигания контактов напряжение дуги постепенно может увели-
чиваться, при этом горение дуги может сделаться весьма неустойчивым
и дуга может сразу оборваться при конечном значении тока, вследствие
чего в цепи могут возникнуть весьма большие перенапряжения.
§ 58]
Выключение цепей переменного тока
417
Горение дуги связано с весьма большим выделением тепла, особен-
но при больших токах. Электрическая энергия А. поглощаемая дугой за
один полупериод, может быгь принята равной напряжению дуги AU,
умноженному на среднее значение тока за полпериода
7 2 Т
W —~ Im~ Т ^Ulm' (58,6)
Если учесть, что по мере раздвигания контактов AU возрастает, все
более приближаясь к полному напряжению, то мы увидим, что с каждым
лишним полупериодом, в течение которого горит дуга, выделяется боль-
шее количество тепла, которое при высоких напряжениях и больших то-
ках может достигнуть весьма значительных величин.
Поэтому при больших мощностях, подлежащих выключению, приме-
меняют масляные выключатели, при помощи которых стремятся разорвать
дугу при первом прохождении тока через нуль или в конце следующего
полупериода. Достигается это тем, что раздвигающимся контактам при-
дают очень большую скорость и погружают их в герметически закры-
тый сосуд, заполненный маслом. Масло не позволяет нагреваться контак-
там, и кроме того, образующиеся под влиянием теплоты, выделяемой ду-
гой, пары создают весьма большое давление внутри масляника, которое
увеличивает напряжение зажигания. Все это вместе взятое позволяет бы-
стро прерывать образующуюся дугу и размыкать большие мощности, ко-
торые в мощных сетях при коротких замыканиях достигают иногда милли-
онов киловольтампер.
Вследствие опасности воспламенения масла, сопровождающегося
взрывом и пожаром, за последнее время стали применять выключатели
в которых разрыв цепи происходит или в атмосфере сжатого воздуха или
в нейтральном газе, или же осуществляют разрыв цепи в камерах, запол-
ненных негорючей жидкостью, которая во время разрыва образует пары,
создающие большое давление. В Америке за последнее время нашли се-
бе применение так назы ваемые деиочные выключатели, в которых обра-
зующиеся при в ^зникновении дуги ионы проходят через каналы мимо
металлических поверхностей, быстро деионизируются, и газы становятся
непроводящими, так что дуга быстро гаснет.
Как масляные, так и другие выключатели, приводимые в действие
автоматически при токах, превышающих нормальный ток (например, при
коротких замыканиях), имеют то существенное преимущество перед
плавкими предохранителями, что плавкие предохранители перегорают
примерно тогда, когда ток равен своему максимуму, в то время как вы-
ключатели переменного тока разрывают цепь тогда, когда ток равен нулю.
Выше мы рассмотрели размыкание цепи пои индуктивной нагрузке..
Иначе обстоит дело, когда выключается емкость, например, какая-нибудь
кабельная сеть. Предположим, что сопротивление цепи весьма мало и что
поэтому между рабочим напряжением и током .имеется сдвиг примерно
в 90°. Если размыкание происходит в момент, когда ток равен нулю, то
емкость, отключенная в момент размыкания, будет иметь благодаря сдви-
гу фаз напряжение, равное амплитуде. Емкость сохранит свой заряд, и
следовательно, когда через полпериода напряжение источника энергии
опять будет равно амплитуде, но будет иметь противоположное направ-
ление, мзжду контактам! выключателя будет действовать напряжение,
равное двойной амплитуде, и если контакты не успели раздвинуться до-
статочно далеко, то между ними снов i может образоваться дуга. Если в
цепи, кроме того, имеется индуктивность, соединенная последовательно
с емкостью, то может образоваться колебательный контур, который еще
больше повысит напряжение (возможно до тройного значения амплитуды
напряжения). Изоляция конденсатора должна выдержать это повышенно©
напряжение
27 к. А. Круг, т. Ц.
418 Явления й цепях с сосредоточенными постоянными [ рл. 8’
59. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ХЭВИСАЙДА
Английским электротехником Хэвисайдом был введен осо-
бый символический метод решения линейных диференциаль-
ных уравнений, описывающих переходные процессы в элект-
рических цепях с неизменными г, L и С, когда до вклю-
чения цепи (в момент /=0) в цепи не было накопленной
энергии. Суть этого метода заключается с одной стороны в
форме записи диференциальных уравнений. Производные по
времени в этом методе обозначаются через некоторый опе-
ратор/?, заменяющий символ производной, например,
di . d2i n. d3i ч. >
—pl, —2 =P21, —. =PZ1 и т. д. (59,1)
dt dt* dfl
и интеграл по времени в пределах от нуля до t обозначает-
ся через интегрируемую величину, деленную на /?, например,
t t t
Jidt^ — , j*dt§idi— — и т. д. (59,2)
о V ' о о &
С другой стороны, в дальнейшем, в диференциальных
уравнениях, приводимых, таким образом, к алгебраическому
виду, оператор/? рассматривается уже не как символ образо-
вания производных и интегралов по времени от искомой ве-
личины, а как алгебраический множитель, который может
быть отделен от соответствующей переменной величины. На-
пример, диференциальное уравнение, описывающее включе-
ние цепи г и L на постоянное напряжение,
ri-^L — =U,
' . dt
пишется в виде
ri Lpi — (г 4* Lp)i—U • 1
и
r-\-Lp
Множитель 1 или 1(0 есть так называемый единичный
множитель. Единичный множитель поставленный позади
какой-нибудь функции времени, например, /(Z), указывает, что
/(Z) = 0, когда £<0,
и /(0=/(0> когда />0.
В уравнении 59,3 множитель 1 после U указывает, что по-
стоянное напряжение U начинает действовать лишь с мо-
мента £ = 0.
gs9]
Операторный метод Хэвисайда
По Хэвисайду ток i, определяемый из уравнения (59,3)
Г
а 1 г
------1, где а — — ,
v a---L
(59,4)
разлагается в ряд путем последовательного деления а на
U / а аз ^4
I—— (— —-------------
г \ р р2 р2 р*
и сопоставляется с решением, получаемым на основании ре-
шения диференциального уравнения обычным способом, кото-
рое также разлагается в ряд
Из такого сопоставления устанавливаются следующие соот-
ношения:
1 1 _ 1 —
р ~ ’ р* ~' 2! ’ рЗ “ з| и т- д-
(59,6)
Эти соотношения получаются,
интегрирования по времени от О
если — уподобить символу
до t:
Таким образом операторная функция—'’— 1 от р может
быть преобразована в функцию времени (1 —е а/) 1 .Такое преоб-
разование функции ?(р)= —-у— в функцию времени /(/)—
—of
= 1—е мы будем обозначать знаком соответствия, вве-
денным Van der Pol’ ем, причем функцию времени /(/)
мы будем называть оригиналом, а соответствующую ей функ-
цию оператора р — изображением этой функции времени
?(Р)Ч=/(Л или /(/)=7ф(р).
(59,7)
27*
420
Явления в ц&пйх с сосредоТОЧ-енйьГМи постоянными
[ гл. $
В нашем случае
—at
—е
(59,8)
а
# + а
1
Это соотношение может быть обобщено не только, когда
а — положительная вещественная величина, но и когда а—
величина вещественная отрицательная, когда а—положитель-
ная или отрицательная мнимая величина или комплексная
величина с положительными или отрицательными веществен-
ными и мнимыми составными частями.
Из Соотношения (59,8) можно получить целый ряд новых
соотношений. Гак, если обе части уравнения разделить на а,
то мы получим:
_1_ 1 /
v-\-a ’ а \
или, если обе части уравнения (59,8) вычесть из единицы, то
мы будем иметь
-P—==e~at.^ (59,10)
Если в уравнении (59,10) положить, что а — —/а>, то
(59,11)
р-р* *
и — -Z!-----|_у =e^=cos «)/-]-/ sin
Р—P^'J® P2~kш2 p2-j-w2
откуда после отделения вещественных от мнимых частей, мы
находим, что
— z£coso)Z и - ——- = sin art, (59,12)
p2-f О)2 * р2-| -(О2
Существует много готовых решений, дающих соотноше-
ния м<жду функциями времени и их изображениями. Неко-
торые из них приведены в табл. 9.
Применим рассматриваемый операторный метод для на-
хождения тока при зарядке конденсатора, емкость которого С
через сопротивление г от постоянною напряжения U.
Уравнение для тока в этом случае будет
t
rl+^idt=U
о
или
гг+ —=(г+—У=£7, (59,13)
~ Ср \ ' Ср) г^1_ г(р)
Ср
1
— = t.
P
1 . 1
— “ —Г tn-
pn n!
p , — at
---------Z=2 6
1 • * 1 n ~at.
---~—fl — e )
1 . t
p(p + a) “ a
p2 . 1
1
' Я2
— at
e
a2 *
t —at —bt
(ae — be
(p -f a) (p -|- b) • a — b
P . 1
1
f —bt — at
------------------_ e \
(j> + a)(P + b) • a — b V '
____ 1 1 te~bt _e-at
(p -F a) (P + b) ab ' b — a\ b a
0) p
---——-— = sin o) t.
p% -J- o>2
P2
p2 ц)2
0)2
--------- 1 — COS 0) t.
p%
= COS <0 £
Таблица операторных соотношений
Таблица 9
vPe . .
-----—v—— == e sin o) t,
(P + /?)2 + a)2
-------------—e cos o) t.
(p -|- ^)2 -f- о)2 •
p 0 cos <P ± /)2 Sjn
------- ----=sin (o> <P).
//2 -j- o)2
p2 cos Ф 3“ o) p sin Ф
-------- -------------= cos (<o t + f).
p^ -4- u)^
<0/1 cos? ±p(p + b) sin cp . — bt
(₽ + »)!+„> Я» <»< + »).
p (/’4~ COS У 4 <0 p sin у
(p + ^2 + «>2
r .
— е
— bt
COS (о) t + f).
1
(p2 + 0)2) (p -j- b) ’ Z/2 + u)2 ^(Oj/ £2_|_ц)2 Sin( t
Ct)
где tg<? = —.
0
— at 1
7—,---o —~7- I 1-^ U + ^) •
(p + a)2 a2 L J
p —at
--------—7- =
(p4-a)2
(p + a)2 •
(p - al2
(p + a)s
1
1
§ 59 ] Операторный метод Хэвисайда
—
(1 - «0.
— at
1 — 4 ate
Явления в цепях с сосредоточенными постоянными
v гл. 8
Придав выражению для тока I вид, соответствующий левой
стороне соотношения (59,10)
U Р _U
L — • —
' ”+й '
р 1
-у—, где а = —,
р + а гС
мы сразу мсжем на основании соотношения (59,10) написать
решение
t
- U р . U л —at* U ~ гС
t s — • —-— — в = — с
г р-}-а * г г
Пусть теперь к постоянному напряжению U в момент / = 0
присоединяется цепь г, L и С. Уравнение для тока будет
1 dt 1
1
С
о
или в операторной форме
откуда мы получаем изображение искомого тока
где
1=-------,
Z(j>)
(59,14)
Z(p) — г Lp -|-
(59,15)
составлено таким же образом, как полное сопротивление для
цепи при синусоидальном токе Z(j<s>) =rL-\—±— с той
/соС
лишь разницей, что вместо /о) в операторном выражении по-
лного сопротивления стоит оператор р.
Таким же образом были составлены уравнения (59,3) и
(59,13), которые могут быть написаны в виде
где Z(p) = r-\-Lp
где Z(p)~r-\——
Zip) Ср
§59]
Операторный метод Хэвисайда
423
Следует обратить внимание на то, что если операторное
уравнение полного сопротивления приравнять нулю,
ад=о,
то мы получаем уравнения, совпадающие с характеристиче-
ским уравнением соответствующего диференциального урав-
нения
Р2+ _£ _1
г -|- Lp -j- 7- =---—, или р2 4~ — р 4~ ~ 33 о.
Ср OIL ? 1 LrTLC
Как в случае упомянутых выше простых цепей, так и в
случае более сложных цепей с неизменными г, L и С, при
применении операторного метода исследования переходных
процессов, составляются уравнения на основании законов Ома
и Кирхгофа в операторной форме, при этом падение напря-
жения в сопротивлении, индуктивности и емкости выражает-
ся через ri, Lpi и . Из получаемых таким образом линей-
ных алгебраических уравнений определяется путем исключе-
ния переменных или каким-нибудь другим образом выраже-
ние искомого тока или искомого напряжения, которое при
постоянном U может быть представлено для тока в виде
О 1 М(р)
I —------, где ----- = - — ==----------------------------.
Z(p) Z(p) N(p) bnpn+bn_1pn_r+...+b1p+bo
—— в общем случае представляет собой рациональную дробь»
^\Р)
числитель и знаменатель которой состоит из многочленов
разных целых степеней от р, причем обычно наибольшая сте-
пень в знаменателе будет больше наибольшей степени от р
в числителе (п>/п).
При применении операторного метода Хэвисайда правиль-
ная рациональная дробь —— раскладывается на сумму
£\р)
простых дробей
1 __^1 I ^2 I В3
Z(p) Р-Pl r р—р2 °~Рз
k=k
, (59,16)
Р—Рь
k=i
о—рк
где Bv В2,..., Bk—постоянные коэфициенты, не содержащие д
а ри Рэ ..-,рк —корни уравнения, которое получается, если
424
Явления в цепях с сосредоточенными постоянными
[ гл.' 8
Z(p) прирзвнять нулю. Для определения коэфициентов Bk
помножаем обе части уравнения (59,16) на р — pk
P—Pk
Z(p)
= Bi + (P-Pl)[-^
B2
р-Pi
Квадратная скобка не зависит от pk. Подставляя
в последнее уравнение p=pkt мы получаем в левой части
неопределенность, а в правой Bk, поэтому
Bk = ~
* О
r; ip—Pk)
dp
~d
Tpz^
„ _ Z'(pk)
P—Pk
где Z'(p£) — производная от Z(p)
подставлено pk. Поэтому полное
ной форме может быть разложено на сумму следующих про-
стых дробей
по р, в которую вместо р
сопротивление в оператор-
k-k
_L=y.
Z(/>) Al (p-pk)Z\pk)
1
(59,17)
Таким образом, изображение искомого дика может быть
представлено в виде:
k—k k-zzk
= .
Zip) id Р—Рк. id ip—Pk)Z'iPk)
A—-1 A—1
На основании соотношения (59,9/ приравнивая $ =—pk
1 ___1У 1
P~Pk ‘ Vk\ '
мы можем по изображению тока найти его оригинал
А=1
PkZ'tPk) и PkZ'iPk)
А=1
Последнее выражение оригинала может быть упрощено,
а именно, если мы в уравнении (19,17) Р приравняем нулю,
ТО мы получим, что
АявА
_L = _ V 1
?(0) Zj pkZ'ipti ‘
§59]
Операторный метод Хевисайда
425
Таким образом искомый ток будет следующим образом
изменяться в зависимости от времени
k=k Pkt
i=— . (59,18)
2(0) ZJ PkZ'(pk) 4 7
Первая слагающая c p—Q соответствует стационарному
режиму, когда токи уже не изменяются и Lpi= L = 0,
dt
а емкости представляют бесконечно большое сопротивление
1 1
— = — = со»
Ср СО
Уравнение (59,18) представляет собой формулу Хэви-
сайда для постоянного тока, позволяющую опреде-
лять изменения токов, когда в момент / = 0 вступает в дей-
ствие какое-нибудь постоянное напряжение или какая-нибудь
постоянная э. д. с. и когда в цепи нет накопленной энер-
гии, без интегрирования диференциальных уравнений и без
нахождения постоянных интегрирования, соответствующих
начальным (/=^0) и конечным условиям (/ = оо).
В этом заключается преимущество операторного метода
Хэвисайда.
Формула (59,18) может быть применена не только для-
определения тока, но и для определения напряжения в какой
нибудь части цепи, например, напряж^ ния конденсатора при
включении цепи на постоянное напряжение. И в этом слу-
чае на основании законов Кирхгофа составляются оператор-
ные уравнения, из которых определяется искомая величина
в виде:
ис=-и-. (59,19)
с Щр) 4
Приравнивая знаменатель нулю, находим корни уравнения
/7(р) = 0 и подставляем эти корни в уравнение
k-к pk t
«с = —-------------— • (59,20)
с Я(0) &РкН’(Рк)
к=1
Применим эту формулу для нахождения изменения тока
и напряжения на обкладках конденсатора при зарядке его
через г и L от U—const.
Ток и напряжение на конденсаторе изобразятся через
• U V р. 1
Г+Лр+Л L Тс L Z(P)
Ср L LC
426
Явления в цепях с сосредоточенными -постоянными
[ гл. 8
Уравнения Z(p)=0 и Я(р)=0 имеют тождественные корни.
г, 1 г2
Положим, что — >• —•, тогда
LC 4£2
Рг=— Ь-№> где b— ~L
Находим производные от Z(p) и Н(р}
и, подставляя рх и р2 в эти величины и в формулу Хэви-
сайда, мы для тока и напряжения конденсатора получаем:
—bt
U е . .
—------ Sin о)/,
-bt
е
<&LC
Ь sin w cos
= и 1
-bt
e sii(<o^-{-x)
sin X
где b=V b2 -j- 0)2 cos x, ш=У b2 -f*0)3 sin X и tg %=— .
Полученные формулы выведены нами ранее обычным ме-
тодом (§ 91, т. I).
Если цепь присоединяется в момент /=0 не к постоян-
ному, а к синусоидальному напряжению u—Um sin(a>£-|-’t)»
которое мы можем в комплексной форме представить в виде
гт /(“Н'Ф)
Ume =Ue -е
j 59]
Операторный метод Хэвисайда
427
то при решении подобных задач опрераторным методом на-
ходят изображение действующего напряжения и делят его на
операторное выражение соответствующего полного сопроти-
вления, а затем для полученного таким образом изображения
тока находят его ор гинал в виде функции времени.
В нашем случае изображение синусоидального напряжения
[см. уравнение (59,11)] будет
/ф /ш/ /ф
£7 е е =£/„, е
т • т
р
p—J“> ’
и если Z(p)—полное сопротивление для тока, то изображение
тока будет
{р-тр)
Для нахождения оригинала i разлагают дробь 1
на сумму простых дробей. Это разложение отличается от
предыдущего тем, что знаменатель (р—joi)Z(p') кроме корней
уравнения Z(p)=0 имеет еще один добавочный корень p—J®.
Применяя формулу (59,17), мы можем написать, что
I у
1
р=рк
но
dp
В соответствии с этим изображение тока будет
/ф k~r=k-\-1
i=u е у_________________________р_____________
т и (p-pk}[Zipk)-[-(Pk-hV'(pk)]
к-1
Оно состоит из суммы простых дробей, в которых вместо
pk по очереди должны быть подставлены значения корней
уравнения (р—/ф)2(р)=0.
Подставляя /о> вместо р, мы получаем слагаемое, оригинал
которого будет
Z(№
P -ите -е
ад
428
Явления в цепях с сосредоточенными постоянными
[ гл. 8
При подстановке остальных корней сумма остальных
слагаемых будет
k=zk
и eJ'W-P--------------1_____.
т Li p—Pk (pk—p^'tPk)
k=i
Переводя каждое слагаемое этой суммы в функцию вре-
мени, заменяя -р? • через еРк* [уравнение (59,10)] и склады-
вая их с предыдущим слагаемым, мы получаем формулу
Хэвисайда для синусоидального переменного
тока
„ /И-Н) Pkt
i— /Z"»g______—---------------).
l~ z(/<o) Li (Ph-WlpS
k=d
В этой формуле при переводе ее в тригонометрический
вид часть первой слагающей, имеющая перед собой множи-
тель /, будет представля!Ь собой значение тока в зависи-
мости от времени, после достижения током стационарного
режима, остальные слагаемые представляю? собой слагаю-
щую свободного режима, содержащую столько членов, сколько
корней в уравнении Z(p)z=z0. Если эти члены содержат мно-
жители с мнимыми показателями, что будет свидетельство-
вать о наличии собственных свободных колебаний, то для
приведения первого члена его к тригонометрическому виду
должна быть взята лишь та часть комплексов, которая имеет
перед собой множитель.
60. ПЕРЕХОДНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ. УРАВНЕНИЯ
ДЮАМЕЛЯ КАРСОНА
Переходная проводимость при единичном на-
п р я ж е н и и по своей численной величине представляет собой
ток, который получается в цепи или в какой-нибудь ветви ее,
когда приложенное напряжение равно единице и когда оно
начинает действовать с момента /=0, при условии, что до этого
в цепи не было накоплений энергии Когд i известны переходные
значения тока (или какой-нибудь другой величины, например,
напряжения конденсатора), при постоянном значении действую-
щего напряжения или э. д. с., то переходные проводимости
могут быть найдены, приравнивая прикладываемое напряжен
ние единице U — 1(/).
§60]
ПерехоДнай проводимость
420
Так, для цепи г и L переходная проводимость тока выра-
жается через
rt
Д)1(/), (60,1)
для цепи г и С переходная проводимость тока будет:
t
A.(t) = y-e~rC l(t), (60,2)
а переходная проводимость для напряжения емкости
t
лс(/)=(1-е “ с)1(0- (60,3)
Если неразветвленная цепь содержит г, Z. и С, то пере-
ходная проводимость при единичном напряжении будет, если
1 \ г2
А (0 — 6isin 1 (0> (60,4)
а проводимость для напряжения конденсатора
_ —bt .
Лс(0 = Г1-£— cos <0/ ( (60 5)
С 1 L «>£(? 62+шз0 J v 1
Кроме переходной проводимости при единичном напряже-
нии различают еще переходную проводимостьпри
единичном импульсе напряжения. Под единичным
импульсом напряжения понимают напряжение, действующее
ничтожно малое время (/->0) и интеграл которого по времени
равен единице
т
Js(Od/=i.
О
Если в цепи имеется индуктивность или емкость, то все
же, несмотря на всю кратковременность действия импульса
напряжения, в цепи накапливается некоторое количество
энергии за счет которого и поддерживается ток в замкну-
той цепи, после прекращения действия напряжения, пока не
иссякнет вся накопленная энергия.
В дальнейшем мы будем принимать, что напряжение им-
пульса в течение времени т имеет постоянное значение
S(ty=F и Fv=l. Такой импульс напряжения можно себе пред-
ставить, как получающийся в результате действия двух про-
тивоположных единичных напряжений вступающ ix в дей-
ствие со сдвигом во времени т, как это показано на фиг. 60,1.
430
Явления в цепях с сосредоточенными постоянными t гл.
В соответствии с этим переходная проводимость для
тока а.(/) при единичном импульсе напряжения определяется
через
at (0 = 11111 С|>Л,.(0 — ГЛДг—т)1 = Ит -АД.(^) =
t^oL —J т->о~
=^‘=Д'(/). (60,6)
dx
Для цепи г, L переходная проводимость для тока при еди-
ничном импульсе напряжения будет
(ад
Особенно должна быть отмечена
переходная проводимость при
единичном импульсе напряже-
ния, когда переходная проводи-
мость при единичном напряжении
имеет конечное значение, как,
например, в цепи г и С. В этом
случае t^jc в начальный момент
может быть выражен через
^(/)=A(O)S(Z), (60,8)
где S — - имеет значение,
отличное от нуля лишь в преде-
лах времени от £ = 0 до £ = т, при S(Z) = O.
У равнения (60,6) и (60,8) могут быть объединены в одно
аД/)-Д(0)5(') + Лг(^
(60,9)
ибо при А (0) S(f) — имеет большое значение и вто-
X
рое слагаемое не оказывает влияния на значение при
£>т первое слагаемое равно нулю. Для цепи г и С
'С. (60,10)
Для цепи г, £ и С
~ы
ai (Z) =-^-- (— b sin <%£ (0о cos соо/). (60,11)
§ 60]
Переходная -проводимость
43i
Зная значения пере-
ходной проводимости
искомой величины при
единичном напряжении
и при единичном им-
пульсе напряжения, мо-
жно, пользуясь прин-
ципом суперпозиции,
находить значения ис-
комой величины как
функцию времени при
любом значении внеш-
него напряжения, всту-
пающего в действие
при t=Q. Положим, что
внешнее напряжение
U (Z) 1 задается в виде кривой фиг. 60,2. Это напряжение
можно себе представить как получающееся от наложения
на начальное значение напряжения U(0) через равные про-
межутки времени Дт ряда элементарных напряжений
дт = г/'(т)Дт,
\ dt
где £7'(т)— значение внешнего напряжения в момент т, когда
вступает в действие новая слагающая £7'(т)Дт.
В соответствии с этим ток в момент t будет слагаться
из слагающей от начального напряжения A(f)U (0) и токов
последующих приращений напряжений £7'(т)Дт. Так как
приращение £7'(т)Дт вступает в действие по сравнению £7(0)
позднее на время т, то слагающая тока, обусловленная при-
ращением £7'(т)Дт будет A (t—т)£7'(т)Дт. Суммируя отдель-
ные слагающие тока от всех слагающих напряжений, всту-
пающих в действие за промежуток времени от т=0 до t—t
и переходя к пределу, когда Дт-»0, мы получим, что ток
в момент t равен
t
i (/) = A (t) U (0) + J A (t — т) U' (x)dx. (60,12)
О
Последнее уравнение представляет собой одну из форм инте-
грала Дюамеля-Карсона. Если суммирование слагаю-
щих тока производить не в порядке последовательного всту-
пления их в действие, т. е. от т = 0, до т = Z, а в обратном
порядке, начиная от z = прибавляя последовательно сла-
гающие тока, вступающие в действие в более раннее время,
что равносильно замене t — т через т, а т через t—т, то
уравнение преобразуется в
i (/) = A (Z) U (0) + уД (т) U’(t — т) d т. (60,13)
432
Йелепия в цепях с сосредоточенными постоянными
[ гл. 8
Фиг. 60,3.
К определению тока
в момент t можно по-
дойти и по - другому.
Действие напряжения
U (/) за время от 0 до t
мы можем прирав-
нять действию ряда
последовательных им-
пульсов напряжения
U (т) Дт, где т — момент
времени, когда начи-
нает действовать соот-
ветствующий импульс,
а Дт — длительность
этого импульса (фиг.
63,3). От каждого такого импульса ток в моменг t получает
слагающую
a(t — = — т)£7(т)Дт.
Если переходная проводимость при вступлении в действие
единичного напряжения в первый момент не равна нулю, то
при суммировании токов от отдельных импульсов напряже-
ния необходима учесть, что от последнего импульса t/(Z)Ат =
= 5(7) Ат получается еще слагающая тока <4(0)67(4). Поэтому
ток в момент t может быть выражен через
t
i(t) = А (0) U (t)+^A!{t — (?) d т. (60,14)
О
Если при суммировании изменить порядок отдельных слагае-
мых, то уравнение преобразуется в
t
i(£) = Д(0) и (t) — и (t— x}dt. (60,15)
о
Уравнения (60,14), а также (60,15) могут быть обобщены в
виде следующих уравнений:
— т) U (?) dt = j А (?) U (t — x)dt. (60,16)
о и
6!. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ КАРСОНА. ТЕОРЕМЫ
СИМВОЛИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В электротехнике ш *роко пользуются символическими изо-
бражениями и символическими преобразованиями. Так изме-
няющееся по закону синуса напряжение и—^2 f/sin (юТ-рр)—
r_______+ ф)-. 7?
z=Jni\y 2 Ue ] имеет своим изображением вектор Ux—Ue ,
«61]
Интегральное уравнение Карсона
433
где U есть изображение u=K2 t/sinw^;-------—------------
r + b>J+ ‘
/ш С
является изображением проводимости цепи при установив-
шемся синусоидальном токе и т. д.
Карсоном было выведено интегральное уравнение, уста-
навливающее связь между переходной проводимостью и ее
изображением, которое, будучи распространено на функции
времени любой переменной величины, позволяет вывести ряд
правил (теорем) символических преобразований при исследо-
вании переходных процессов.
Вывод интегрального уравнения Карсона базируется на
следующем. Пусть в момент £ = 0 к цепи прикладывается
напряжение ер\ где р или положительная вещественная вели-
чина или комплекс с положительной вещественной частью.
Получающийся при этом ток может быть разложен на две
части, на вынужденную слагающую, которая изменяется по
такому же закону ер\ как и приложенное напряжение, т. е.
пропорциональное ept9 и на свободную слагающую &(/), закон
изменения которой зависит лишь от постоянных цепи (г, £иС)
и пограничных условий и не зависит от р. Принужденная
слагающая может быть выражена через
J—, где Zip) имеет
tv же структуру, что и для синусоидальных токов, если
заменить через р9 что может быть показано, если при реше-
нии диференциальных уравнений, освобожденных от интегра-
лов путгм диференцирования, вместо искомой величины под-
ставить const ер\ например:
con st ept = pept, откуда
. 1
const =----------------
' + +
1
Z(p)
Таким образом ток в переходной период может быть вы-
ражен через
pt
Z(p)
28 к. А. Круг, т. II.
434
Явления в цепях с сосредоточенными постоянными
[ гл. &
Если теперь через A(t) обозначить переходную проводи-
мость цепи и применить интеграл Дюамеля-Карсона (60,13).
учтя, что и(1) = е?*, £7(0)= 1, L4t)=peft и ^'(/-т) = ер(^\
то мы получим, что
pt t
+ k(f) = Л(0+ tpep«-x)
Z(p) J
и, если мы разделим обе части на ер‘, то
£\Р) ее
При /—>оо k(f) исчезает. Равным образом, если в цепи ток при
единичном напряжении не может достигнуть бесконечно боль-
той величины, то при Z-»oo и —~ также превращается в
еи
нуль. Поэтому, полагая, что /=оо, мы получаем интег-
ральное уравнение Карсона
1 00
^=^=p^'df,
связывающее переходную проводимость Д(/), являющейся
функцией времени, с ее изображением ф(р), являющейся функ-
цией параметра р. Это уравнение может быть применено
для нахождения изображения не только переходной проводи-
мости, но и для нахождения изображения ?(/?) какой-нибудь
другой функции времени /(/)
сю
(61,1)
о
Сокращенно это уравнение будем выражать через
?О)==/(0.
Интегральное уравнение Карсона совпадает с известным
в математике преобразованием Лапласа, обозначае-
мым буквой Л, функции одной переменной в функцию дру-
гой переменной, в данном случае функции от t в функ-
цию параметра р
со
А/(/)=У/(ф"Рк (61,2)
о
9 6J]
Интегральное уравнение Карсона
4с 5
Л /(/) после интегрирования и подстановки пределов t = со
и Z = 0 от t уже зависеть не будет, а будет зависеть от р.
Если сопоставить уравнения (61,1) и (61,2), то мы получим
следующее соотношение, связывающее изображение /(/) с
лапласовским преобразованием функций
00
(ы,з)
Пользуясь приведенным выше уравнением преобразова-
ния функций, можно вывести целый ряд теорем символи-
ческих преобразований, которые являются обоснованием и
развитием предложенного Хэвисайдом операционного метода
решения линейных диференциальных уравнений.
/. Теорема изображения постоянной величины.
Если /(/) — a=const, то
а/а, (61,4)
т. е. изображение постоянной величины есть та же постоян-
ная величина.
11. Теорема сложения.
Если ?i(p)=/i(Z) и <р2(/>)=/2(0, то
•М - <Рз(?) =/1(0 ±/з(0. (61,5)
111. Теорема умножения и деления на постоянный мно-
житель.
Если а— не зависящий от времени множитель, то
при <f-(p) =/(/), a<i>{p)== af{t) И . (61,6)
а а
Эти теоремы доказываются весьма просто путем подста-
новки соответствующих функций в уравнение (61,3).
IV. Теорема диференцирования по параметру а.
Если ?(р) =/(/), то (61.7)
Эта теорема непосредственно вытекает из теорем II и Ш.
V. Теорема умножения изображения на параметр р.
Если обе стороны уравнения (61,3) помножить на пара-
метр р*.
ио оо
р^[р)=рЛ f^e~ptdi=—p^f{t)d\e~pt^
О о
28*
436
Явления в цепях с сосредоточенными постоянными (гл. 8
и проинтегрировать его по частям, то мы получим
со со
м(р)=- pf(fy~pt\ dt'
о о
P'?(.p)—pf^)=P§f(t)e P‘dt,
О
откуда следует, что
Р ? (р) —.pf№=f'(t) =
at
Если предыдущее соотношение еще раз :
произведем интегрирование правой части
получим, что
(61,8)
помнэжим на р и
по частям, то мы
со оо
-pt •
di=-p\fl(t
о
оо
-pt р —pt
dt—pf(Q)-\-p I f"(f)e d t,
о
— pt
Р
о
со
-p* p
— —pf(t)e +/Л
0 0
откуда следует (в сокращеннЬм виде).
р2?(р)-л(о) -яо)=/'(о=^-- (ед.
at*
Если продолжать дальше помножать эти соотношения на р
и производить интегрирования по частям, то мы придем к
следующему общему соотношению:
p\{p}-pnf^)-pn~4^-.-pf~\^ = • (61,10)
ас
Лишь в случае, если /(0) = 0,/(0) = 0,..., мы имеем
р?(р) =^/'(0> Р3?(Р)==/"(0 • • • и р n^p)=f (Z). (61,1.1)
VI. Теорема деления изображения на параметр р.
СО СО t
о о
t co ОО
-pt г г г
= е f(f)dt +
-р/
е dt,
° о
о
—со
-pt
в
-со
о
§ 61 ] Интегральное уравнение Карсона
о t
t)dt == J/(Z)rfZ.
—оо
Если /(/) = 0 при £с0, то
о
____437
(61,12)
(61,13)
Теоремы V и VI показывают, что замена символа произ-
водной — через множитель р и символа интегрирования
dt
t
J через — являются вполне закономерными лишь при опре-
0
деленном условии, что при £<<0 функция fit) и ее производные
равны нулю. При этом р уже не есть символ математиче-
ских операций, а некоторый обобщенный параметр, который
может рассматриваться как алгебраический множитель и по-
этому может быть отделен от исследуемой функции.
Если при £<0 функция времени не равна нулю/(^=#0, то
при переходе от производной и интеграла функции времени
к ее изображению необходимо учесть уравнения 8ч-10 и 12.
VII. Теорема смещения параметра р.
Если к параметру р прибавить или отнять какую-нибудь
величину а, то уравнение (61,1) преобразования функ-
ций будет
оо
р — (p±a)t
<f(p±a) = (р—а) I f(t)e dt.
О
Помножим обе стороны на , тогда
р±а
со
^-^(j>^.d)==p^f{t)e е Р dt.
~~ о
Для того, чтобы это уравнение было применимо, необходимо»
чтобы вещественная часть р±а была больше нуля. Из это-
го уравнения следует соотношение
= е ±atfc), (61,14)
р± а
которое указывает, что умножение изображения на ——
р 4- а
±at
соответствует умножению оригинала на множитель е
438
Явления в цепях с сосредоточенными постоянными
; [ гл. 8
Если к уравнению (61,14) применить теорему V деления на
параметр р, то мы получим соотношение
= j f(f)e ±atdt. (61,15)
~ о
VIII. Теорема запаздывания (смещения начала счета
времени).
Если <i(py==f(t), то
(61,16)
при условии, ЧТО при функция f(t—то) = О. Чтобы это
—
доказать, помирим обе стороны уравнения (61,1) на е
__п- г°° —ХО-я>)
е <?(/?) =pj/( 0е
и
Если теперь приравнять /-[-т0 = /1э t = —т0, dt = dtlt то
_ 00 -Ph
е ф(р)= р то)^ ^i-
л
Заменив теперь tx через t и учтя, что /(/1У) = О, при
мы получим, чго
со
е~%(/>) = pj Kt ~ О e~ptdl,
о
что отвечает соотношению (61,16).
IX. Теорема подобия.
Если параметр р в изображении помножить на какую-ни-
будь положительную вещественную величину а (большую
или меньшую единицы), то в функции /(£) независимая пере-
менная должна быть разделена на а.
Если ^(р)=±/(0, то <р(ар)=/^_ (61,17)
Чтобы это доказать, в уравнении (61,1) заменим р через aq
и введем новую переменную t так, чтобы £ = —и dt = — ,
а а
со —aqf со
тогда 4(aq) = aq\ — е dt‘
е v 7 о v 7
§ 62]
Интегралы Фурье, Лапласа и Бромвича
439
•Обозначая в последнем уравнении q через р и Z' через £,
мы получаем соотношение (61,17).
Теорему подобия можно сформулировать и таким образом,
что р и t изменяются в обратном отношении, и как i след-
ствие из этой теоремы вытекает, что, когда /-»оо, то р->0.
Отсутствие в изображении оператора р указывает, что ори-
гинал, т. е. /(/), от времени не зависит. Это будет йметь ме-
сто лишь тогда, когда при г->оо /(0=const.
X. Теорема умножения изображений.
Если
и <р3О) =±/3(г),
’ТО
t
I ?1(Р)-?2(Р) 0^=у.Л(*-0/3(0^. (61,18)
и и
Эту теорему, называемую также теоремой Борелля*
.мы приводим здесь без доказательства.
Все приведенные выше теоремы выводятся на основании
линейного интеграла Карсона (или Лапласа) преобразования
функций, и потому и каждой из перечисленных выше теорем
соответствует и обратная теорема, если соответствующие
соотношения читать не слева направо, а справа налево.
62. ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ, ЛАПЛАСА и БРОМВИЧА
Вышеизложенный так называемый операторный, или сим-
волический, метод решения диференциальных уравнений,
•описывающих переходные процессы в электрических цепях с
неизменными элементами г, £ и С, может быть более строго
выведен при помощи интеграла Фурье и лапласовского пре-
образования функций.
В § 27 было показано, что всякая периодическая функ-
ция с периодом Т=~ = — может быть разложена в триго-
/
аометрический ряд
k-=ОО k=CQ
/(0 = ДО + ^ sin k «>/ -4SAcos£o>0
4=1 4=1
440 Явления в цепях с сосредоточенными постоянными' [ гл. 8
где
Ло=г1Л°Л’
и
A* = y-J/(Osin W dt,
^ = yj/(0cos м dt-
о
Ряд Фурье может быть представлен и в комплексной фор-
ме, если sin и cos заменить мнимыми степенями
ikut —jM
A0=A+g л1А----
JM, — jkwt
+S АЛ—‘V-
Z?-l
Если обозначить через
__ ^1а + /^2Й „ _ ^\k~J^2k
_ и с__ _
Сл и С ft являются сопряженными комплексами, то периоди-
ческая функция может быть выражена через
/(0=
^~оо
(62,1)
Коэфициенты Ck могут быть определены из уравнения
• — —/^lfeH~^2fe
'А— 2
J . Т —jkut:
^y-J/(O-°S '7;Sinfru,^^j/(0^ ^.(62,2)
0 и
Если = й выражает напряжение, то на основании прин-
ципа суперпозиции, применимого к линейным системам, значе
ние тока может быть выражено через
£=00
cke
Z(jkv>)
(62,,3>i
где Z(jkri)— импеданс при частоте kv».
§ 62]
Интегралы Фурье, Лапласа и Бромвича
44 Р
При помощи интеграла Фурье и непериодическая функ-
ция /(/), которая при t<^0 равна нулю и при £-» со остается
конечной, например функция, изображенная на фиг. 62,1, мо-
жет быть разложена в тригонометрический ряд с бесконечно
малыми интервалами частот, или, как говорят, на непрерыв-
ный спектр частот.
Для этого предположим, что период действия напряжения
Т
f(t) = u стремится к бесконечности Тчто при 1 =----------
до Z — 0 функция /(/) = 0 и что лишь при />0 функция f(t)
получает конечное значение. В соответствии с этим основ-
2^
ная частота изменения 1(1) будет бесконечно мала ^(0 = — .
Чем ближе при разложении в ряд частота одной гармони-
ки к частоте смежной гармоники (чем меньше Д^), тем мень-
ше становится амплитуда каждой гармоники. Поэтому Сь в
уравнении (62,1) может быть заменено через
Ck — <Ь(/£а))Дси
и
л——оо
Если перейти к пределу и заменить через da и
через о), то мы получим так называемый интеграл Фурье
£ mSJU>td^. (62,4)
<Q — —00
-442
Явления в цепях с сосредоточенными постоянными
[ гл. 8
Коэфициенты ф(/о)), определяющие амплитуду и фазу коле-
баний в интервале частот между ш и могут быть най-
дены из уравнения
ф(/о>) =
Ck = СкТ ,
Дои ’
со
1 (* —J^t
^z'0,)=^rj dt.
0
(62,5)
Уравнение (62,4) и (62,5) представляют собой два вза-
имно обратных преобразования: (62,4)—преобразование функ-
ции переменной /ш (или ш) в функцию от переменной t, а так
как при /<0 по условию /(/)=0, то уравнение (62,5) можно
было бы написать и таким образом:
+со
1 р —jut
j ЛО* dt-
-ГП
(62,6)
Уравнение (62,6) дает обратное преобразование функции t в
функцию от /«).
Это преобразование возможно лишь, когда /(/) = 0, при
//~>со. Для того чтобы можно было произвести это преобра-
зование и в том случае, когда при /-»со /(0¥=0 (например,
если мы имеем единичное напряжение или незатухающее сину-
соидальное напряжение, вступающее в действие при Z = 0),
—ct -\-ct
помножим f(t) на е и е ,
ctV —ct'
тде c>0—положительная вещественная величина, которая
при переходе к пределу после интегрирования может быть
приравнена нулю.
Применим уравнения (62,4) и (62,5) не к функции f(t), а
—ct
«функции Д/)е , которая при £-н>оо равна нулю
ОО . оо
Ф(/<») — А- f(t)e с е Ja>t dt = -^ f(i)e ” dt.
0
§ 62]
Интегралы Фурье, Лапласа и Бромвича
443
где р=с-1-/<», и подставим это выражение <]>(уш) в уравне-
ние (62,4)
_г/ +°° /шГ °О
_.зо в
»НО
— Pt
f(t)e dt = <^p)
и
•есть изображение функции /(/), поэтому
- •+•'1° ju»t
—оо
ct
Если теперь обе стороны помножить на в , произвести заме-
щу с-\-/'ш=р и й?о>=-^и затем перейти к пределу с->0, то
мы получим уравнение
с+/°° , pi
f dt, (62,7)
Г->0 2rj J p
C—jjO
которое служит для определения функции времени /(/), если
известно ее изображение ср(р). Это может быть изображение
тока, напряжения или какой-нибудь другой величины, зави-
сящей от времени.
Таким образом нахождение функции времени по ее изоб-
ражению сводится к интегрированию по комплексной пере-
менной с постоянной положительной вещественной частью,
стремящейся к нулю, и с переменной мнимой частью, изме-
няющейся от—/оо до-p/oo. Соответствующий интеграл (62,7)
носит название интеграла Бромвича.
Интегрирование по комплексной переменной имеет свои
•особенности. Комплексная переменная на числовой плоско-
сти определяется ее координатами (фиг. 62,2):
z = x-(-/v=j/x2-pJ/2 eJ' = Vх2--j-J,2 (cos <p—f-/sinco),
*
иинтеграл ^f(z)dz в пределах от zx до z2 зависит не только
ют положения начальной и конечной точки на числовой плос-
444
Явления в цепях с сосредоточенными постоянными
[ гл. 8
кости, но и от той линии между точками zx и г3, вдоль ко-
торой производится интегрирование, а таких линий можно
провести бесконечное множество (фиг. 62,3). Ясность в этом
вопросе вносит теорема Коши. Коши доказал, что интег-
рал функции комплексной переменной
/(*) = ?(л\у)+/Ж.У)
по замкнутой кривой, ограничивающей область регулярных
точек этой функции, равен нулю
Функция в данной области точек называется регул я рной
аналитической или голоморфной, если производ-
ная в какой-нибудь точке в этой области не зависит от на-
правления перемещения координаты, вдоль которой берется
эта производная, что имеет место, когда функция комплекс-
ной переменной в данной области удовлетворяет условиям
Римана—Коши, а именно, когда (см. том I, § 27)
i = = (62,9)
дх ду ду дх
Для доказательства разбиваем область, ограничиваемую
замкнутой кривой, на ряд бесконечно малых прямоугольни-
ков со сторонами, параллельными осям х и у (фиг. 62,4). При
обходе одного такого прямоугольника (фиг. 62,b) abed со сто-
ронами dx и dy (против часовой стрелки) получается, что
ff(z)dz = (х~\~ ,у }dx + ф(х + фг, j-f-
—х -Ь У + ф/^х—ф (x,j/+y^y——
— — dx dv -1 - — dx dy = 0.
dx ' { dy
§ 62]
Интегралы Фурье, Лапласа и Бромвича
445
Интегралы по двум соприкасающимся сторонам двух смеж-
ных прямоугольников взаимно уничтожаются. При бесконеч-
но большом числе таких прямоугольников крайние стороны
прямоугольников, прилегающих к контуру, совпадут с са-
мим контуром, а потому линейный интеграл по всему кон-
туру, ограничивающему область регулярных точек функции,
равный сумме контурных интегралов по контурам отдельных
прямоугольников, обращается в нуль.
О
x,y+rfy
с
x+dx,y+dv
bx+dx,y
Фиг. 62,5.
Точки, в которых /(z) не удовлетворяют условиям Ри-
мана— Коши, называются особыми точками. Особыми
точками являются точки, в которых функция превращается
в бесконечность, или в точках, в которых производная имеет
неопределенное или несколько значений (например, в точках
разветвления).
Так для функции —точка z = 0, для функции
точка а, для —5— точки Z—0, s 2 я... являются особыми точ-
sinz
S/7 Zn
ками. Для функции особыми точками являются значе-
ния, при которых знаменатель превращается в нуль и, если
п____
п>т9 то также при Z — оо. Для функции а-\-п Уz—Сточ-
ка z = b и т. п. Если в особой точке f(z) превращается в
бесконечность, но — остается регулярной, то такая точка
называется полюсом функции /(г), и если в такой точке
функция /(г) превращается в бесконечно большую величину
л-ro порядка, то говорят, что данная функция в этой точке
имеет полюс /г-го порядка. Так функция имеет один по-
люс второго порядка в точке z=Q;—-—имеет три полюса
23+*0
446 Явления в цепях с сосредоточенными постоянными [ гл. 8-
первого порядка в точках z=co, Ж— (1 +/) и z —
——(1—/), ——имеет бесконечно большое число
r J 0 2 sin z
полюсов первого порядка в точках z=0, тг, 2л...,—~г
— 2тг и т. д.
Если функция f(z) имеет в точке z—a полюс n-го поряд-
ка, то такая функция в точках, прилегающих к точке а, мо-
жет быть разложена на сумму.
Как следствие, из теоремы
/У Коши вытекает, что контур-
ный интеграл комплексной пе-
/ \ ременной сохраняет свою вели-
а lZzM А I чину при замене замкнутой
V К кривой (фиг. 62,6), по которой
должно производиться интегри-
рование другой замкнутой кри-
__________________________________________вой, при условии, что на чис-
0____________________ловой плоскости между этими
Фиг. 62.6. двумя замкнутыми кривыми
нет особых точек.
Чтобы это доказать, разрежем оба контура А и В в то -
ках а и Ь и соединим их двумя бесконечно близкими ли-
ниями ab и Ьа. Обойдем контур Лот точки а против стрелки
часов до точки а, затем по линии а дойдем до контура В и
обойдем его от точки b по стрелке часов до точки b и
замкнем обход по линии Ьа. Поскольку между контурами
А и В нет особых точек, контурный интеграл при таком об-
ходе должен равняться нулю, а потому интегралы по конту-
ру Л и контуру Z?, если их обходить в одном направлении,
должны быть равны между собой.
Таким образом, если внутри какого-нибудь контура име-
ется особая точка, то величина контурного интеграла не из-
менится, если мы контур приблизим бесконечно близко к
этой особой точке.
Посмотрим, чему равен интеграл функции /(z)= —по
контуру, окружающему точку z — Q. Заменим заданный кон-
тур окружностью с радиусом г. Так как z = re}^ и dz
—jre^dy, то интеграл при обходе полной окружности бу-
дет равен
£ — dz= (f)——
7 2 ге^
2л
• jre^dy, j J d'^ = 2ту.
и
(62,10)
§ 62]
Интегралы Фурье, Лапласа и Бромвича
447
Значение контурного интеграла функции вокруг особой точ-
ки или полюса, разделенное на 2к/, в иностранной литерату-
ре называется Resideum или Residue, что означает остаток,,
осадок. В нашей литературе вместо слова Residue упо-
требляют слово интегральный вычет функции в особой точке
(полюсе). Для функции /(z) = — интегральный вычет в точ-
z
ке z = 0 равен единице
Res
(62,1
Подобным же образом находится интегральный вычет функ-
ции f(z) = —!—в точке z = a. Заменяя z — а —и, dz = dur
z — а
мы получаем, что
Res—!— — _J— (f—!— dz = —— (/)— du— 1. (62,12)
z—a a 2тс/ J z—a 2~j J и
Интегральный вычет в некоторых случаях может рав-
няться и нулю, например, для j\z)=— при п =2, 3, 4....
Z
1
2тугг~1(я—1)
--Лл-1)?
С/
2к
= 0.
(62,13>
Когда при деформации контура последний пересекает по-
люс, то из контура выпадает полюс, и значение контура
уменьшается на значение интегрального вычета функции это-
го полюса. Поэтому, если контур охватывает несколько по-
люсов функции /(г), то интеграл функции по этому контуру
равен сумме интегральных вычетов функции заключенных в
этом контуре полюсов или, другими словами, интеграл по
данному контуру может быть заменен суммой интегралов
по отдельным кружкам, окружающим полюса (фиг. 62,7),
Res/(г) . (62,14).
448
Явления в цепях с сосредоточенными постоянными
[ гл. S
Если функция может быть представлена в виде дроби
Дз)
- -, числитель которой является регулярным в точке а, то
z—а
(интегральный вычет функции в этой точке равен /(а)
Res^-
z—а
(62,15)
z^a 2п J z—a J z—л
ибо при приближении контура бесконечно блцзко к точке а
функция /(г) во всех точках контура имеет одно и то же
значение. Если обе стороны уравнения (62,15) диференциро-
вать по а, то мы будем иметь
“т-д- (62'16>
Res^l
QW.z=a
Если функция может быть
представлена в виде дроби
P(z)
-----, числитель и знаме-
<?(*)
натель которой являются
регулярными в точке а, и
если знаменатель при z = a
обращается в нуль(?(а) = 0,
но производная знаменателя
при этом значении а в нуль
не обращается (другими
словами, что z = a является
однократным полюсом зна-
менателя и полюсом функ-
ции-----), то
_ Р(д)
Q'(a) *
Чтобы это доказать, представим интегральный вычет в
виде
z—а
z—а
г>
Res —-
Q(z?
= lira 4~.(£
z=a z—>а 1т] J
Р(г)
4?Гг)-(?(*)
dz,
(62,17)
но lim =
z-^a z — a
Q'(a), потому на основании уравнения
(62,15)
п 1
Res----- =-----
Q(z) |z-a 2л:/
1 Р(г) dz= Р(а)
Q’(a) z — a Q'(a) '
(62,18)
§62]
Интегралы Фурье, Лапласа и Бромвича
449
Применим изложенный выше метод нахождения значе-
ния интегралов комплексных переменных к определению
функции времени, когда дано изображение функции вре-
мени. В отличие от математики, где комплексные числа
обозначаются буквой z, мы параметры, определяющие пере-
ходные процессы, в том числе и комплексные параметры,
обозначаем через букву р.
Нахождение значения функции времени по ее изображе-
нию может быть проведено при помощи интеграла Бромвича
(62,7), чю сводится к интегрированию по прямой сгс2, па-
раллельной оси у от — со до -}- со (фиг. 62,8). Согласно след-
ствию из теоремы Коши интегрирование по прямой сгс2 мо-
жет быть заменено интегрированием по пути где
линия bxb2 параллельна схс2,
лишь бы при плавном пере-
ходе от одного пути к дру-
гому не пересекались по-
( v pt
люса функции в ко-
Р
торых эта функция пре-
вращается в бесконечность. ~
Если прямую Cj£2 передви-
гать вправо, то полюса пе-
ресекаться не будут, ибо,
если бы это было не так,
то это означало бы, что
функция обращается в
Р Фиг. 62,8.
бесконечность при значении
р с положительной веще-
ственной частью, а это в свою очередь при со давало бы для
р/
/(/) [уравнение (62,7)] бесконечно большую величину (е -»со),
что противоречило бы начальному условию. Поэтому веще-
ственная часть координат параметрар (абсциссы р) может иметь
лишь отрицательное значение или в крайнем случае равня-
f ч pt
ется нулю, а это значит, что полюса функции 1------ могут
находиться или на оси v, или левее оси. Так как при |р|=оо
и />0, эга функция превращается в ноль, то интегрирова-
ние по прямой схс2 может быть заменено контурным интег-
ралом по замкнуто! кризой, состоящей из бесконечной пря-
мой схс2 и из дуги бесконечно большого радиуса |р|=по, за-
мыкающей линию схс2 слева от оси у. В свою очередь этот
29 К. А. круг, т. II.
450
Явления в цепях с сосредоточенными постоянными
[ гл. ®
контурный интеграл равняется сумме контурных интегралов^
pi
вокруг полюсов функции ——
р
Dt Dt
[ №_dp=l_ f №. dD==
C-*° < P 24p£oo °
^-P I . (62,19)?
У \pk
Таким образом для нахождения функции /(/) по ее изоб-
ражению <р(р) мы должны взять сумму интегральных выче-
, .pt
тов функции . Полагая, что у(р) — рациональная дробь,,
и обозначая через
Р{р} *(p)ept
Q(p) Q(P) 9
мы получим выражение искомой функции /(/) в виде суммьь
k — k
k = 1
pi
Res
P
h — k
У P(pk)
(62,20)/
где pk корни уравнения Q(/?) = 0.
В виде примера найдем оригинал изображения
^)=~т^да.
Приравнивая
y(p)gP< __ ept __________________Р(р)
» Р(Р2 + “2) Q(P) ’
находим корни уравнения Q(p)=O. Эти корни будут />,=0^
р2 = и pz=—р», и определяем Q'(p')=p2-[-<o2-[-2p2.
Искомая функция /(/) будет равняться:
*=3 J»t —ju>t
У — _L _|—£------------[_-£------=_L(1_COS®Z)-
4.8 1 —2>« 1 — 2>3 O>24
(62,21>
§ 63 ]
Включение и отключение отдельных ветвей
451
63. ВКЛЮЧЕНИЕ И ОТКЛЮЧЕНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ ВЕТВЕЙ
Исследование переходных процессов при разных пере-
ключениях (коммутациях) в электрических цепях требует
при применении обычных методов диференциальных уравнений
определения начальных и конечных пограничных условий
этих процессов, что бывает связано иногда с весьма трудо-
емкими выкладками и вычислениями.
Решение может быть значительно упрощено и нахождение
пограничных условий облегчено, если применить к переход-
ным процессам при переключениях метод Тевенена-Гельм-
гольца. По этому методу токи в отдельных ветвях и напря-
жения между точками разветвления определяются как сумма
двух слагающих: одной слагающей, которая имела бы место,
если бы никаких переключений или изменений в системе не
было бы, и второй слагающей, вызванной приложенным ис-
точником энергии, дающим э. д. с. равную напряжению, ко-
торое сводится к нулю при включении или дающий ток,
равнопротивоположный току, который разрывается при от-
ключении. При этом в рассматриваемой системе должны от-
сутствовать э. д. с. и энергии.
Так, пусть к точкам А и В в момент /=0 присоединяется
ветвь z путем замыкания рубильника k (фиг. 63,1а). Если
напряжение между контактами разомкнутого рубильника
равняется UAB и направлено от точки А к точке В, то замы-
кание рубильника равносильно приложению к контактам
рубильника э. д. с., равной напряжению UAB и действующей
в том же направлении. Действительно, если между контакта-
ми разомкнутого рубильника включить источник тока с э. д. с. е*
равной и противоположной напряжению UАВ (фиг. 63,1б)р
то ток в ветви z останется равным нулю, что соответствует
разомкнутому рубильнику, и введение этой э. д. с. ничего
не изменит в распределении токов и напряжений в системе.
Если же в дополнение к этой э. д. с. ввести между контак-
тами разомкнутого рубильника еще такую же э. д. с., н©
направленную в противоположную сторону (фиг. 63,1 в), то
59*
452
Явления в цепях с сосредоточенными постоянными
[ гл. 8
напряжение между Контактами рубильника будет равно
нулю, что соответствует замкнутому состоянию рубильника.
Следовательно, замыкание рубильника равноценно введению
между его контактами источника тока без сопротивления с
э. д. с. (фиг. 63,1г), которая равнялась бы напряжению между
А и В, как в момент замыкания рубильника, так и во все
последующие моменты (если бы включение ветви z не имело
бы места). Токи и напряжения в системе после присоедине-
ния ветви z будут, как во время переходного режима, так
и в дальнейшем при новом установившемся режиме, равнять-
ся сумме тех значений, которые имели бы эти величины, если
бы продолжался прежний стационарный режим, и затем
тех значений, которые получаются от введения указанной
э. д. с.
В виде простого примера определим ток в ветви г3 схемы,
указанной на фиг. 63,2, когда в момент /=0 включается
рубильник А, а через время рубильник Ток в цепи
при включении рубильника k определяется через
Фиг. 63,2.
Введем новую переменную времени’т^—tx. Тогда ток в ветви
гь£ при может быть выражен через
Д7>3'2)
что следует также из теоремы запаздывания VIII, форм. (61,16).
Электродвижущая сила, которая должна быть введена
между контактами рубильника вместо его замыкания,
будет
^a(P) = r2^i(P). (63,3)
а ток в ветви г3 после включения этой ветви
r, (п\- uab(p)
З^Р)— ra+Zk(p) ra+Zk(p)
(63,4)
§63]
Включение и отмючение отдельных ветвей
453
где
ад-
г2(Гг|-£р)
Обозначим через р= -’Г2- г?-—Гг-Г1-и через Ь=— , тогда
r2 L
1 __________
гз+^аСр) r i/‘24~/“гЛгН’з,1’1_г/'2^-Р
r2L(p-Y^L)
1 р~Уа
гг р-\-Ь
Подставляя выражения для (r3-{-ZA(p)]-1 и /^(р) в уравне-
ние (63,4), мы получаем, что ток в приключаемой ветви изо-
бражается через
Р+а _ U
Р~Г^ ? 14"г 2
II а~ь c~atl р 1.
j
(63,5)
Если теперь перевести изображение тока i’\ в функцию
времени, то мы на основании уравнений (59,9) и (59,10)
получим
... и ft I Л—/ 1 ~bt\ ~~at* -М
‘аднад+ад* 1-* )~e e ]• (63,6)
В частном случае, когда г3=0, т. е. когда имеет место корот-
кое замыкание между точками А и В, мы будем иметь в цепи
рубильника А, что р=Г1, Ь= ~, а—b — ~ , и ток короткого
замыкания будет равен
in —
i 3—
U /Г2 „-W-tJ -at\
-(-г 4-е (63,7)
Аналогичным образом могут быть найдены значения токов
и напряжений при отключении какой-нибудь ветви. Отклю-
чение какой-нибудь ветви (фиг. 63,3) эквивалентно присоеди-
нению параллельно к ветви, подлежащей отключению, такого
источника тока, который посылал бы в систему ток, равный
и противоположный току в отключаемой ветви, так, чтобы
ток в проводах, соединяющих отключаемую ветвь с систе-
мой, равнялся бы нулю. Тогда значение каждого тока и на-
пряжения в системе после отключения рассматриваемой ветви
454
Явления в цепях с сосредоточен ними постоянными
[ гл. 8
Фиг. 63,3.
будет равняться сумме двух слагающих, а именно: 1) значения
этой величины, если бы отключения не было, и 2) значения
этой величины, если бы в эту систему, освобожденную от
э. д. с. и не несущую никакой энергии от источника, при-
соединенного параллельно к отключаемой ветви, поступал
бы ток, равный и противоположный току в отключаемой
ветви. Этот источник тока должен давать в концах отклю-
чаемой ветви напряжение
Uab(P') = zk(p)i(p). (63,8)
где zk(p)—сопротивление всей системы между концами от-
ключаемой ветви (исключая отключаемую ветвь).
Применим указанный выше метод для определения так
называемого восстанавливающегося напряжения при отклю-
чении короткого замыкания в линии электропередачи. Пусть
трехфазная линия электропередачи (фиг. 63,4) питается от
Фиг. 63,4.
сети бесконечно большой мощности через трехфазный транс-
форматор с наглухо заземленной нейтралью на вторичной
стороне и пусть однофазное короткое замыкание на землю
произошло за реактором, вклиненным между масляным вы-
ключателем и линией электропередачи. ,
Пусть для трансформатора реактансы прямой и обратной
последовательности будут z^Z£==^LT и реактанс нулевой
последовательности ^ = 0,3^ = 0,Зф£г, а для реактора
zo = o>z;?.
$63]
Включение и отключение отдельных ветвей
455
Тогда амплитуда тока короткого замыкания будет на
•основании уравнения (53,2)
I
km Z<o(2,3Lr+3L^) ’
э'де Uф—фазовое напряжение на вторичной стороне транс-
форматора.
Разрыв цепи переменного тока происходит в момент про-
хождения тока через нуль и потому, принимая момент раз-
рыва цепи за Z = 0, мы мгновенное значение тока короткого
.замыкания можем выразить через
h — 4«sino)t
Для определения восстанавливающего напряжения важно
знать, как изменяется напряжение между контактами в тече-
ние первых микросекунд
после выключения. На ве-
личину этого напряжения
весьма существенным об-
разом влияет, с одной сто-
роны, емкость Ст между
обмоткой трансформатора
и землей и з выводе (бу-
шинге) его в, с другой,— фИГв 63,5.
емкость между обмоткой
реактора и землей. В основу расчета напряжения может
<быть положена схема фиг. 63,5.
. Величина тока короткого замыкания определяется реак-
тивными сопротивлениями нулевой, прямой и обратной после-
довательности трансформатора и реактора.
Сопротивление между контактами выключателя может быть
выражено через
1 LtP'c'P *k(P) — j L,p+cT ’ CRP Р I Р ‘ 1 ’ / 1 \ 1 / 1 ' Lkp+-^~- ст(р2+т~г) Ср\.р2+Г~со
sa изображение тока вшду быстроты процесса может быть
представлено через
km
у а J. bfU
р
456
Цепи с распределенными постоянными
л. 9
Поэтому изображение искомого напряжения будет
(Р) — Ч (р) • ik (р) — со + । СR{p*+ *><?) ]’
о 1 о 1
где —----------- и со93 = ——.
^rCR " LrCR
На основании соотношения (62,21) мы можем найти значе-
ние напряжения между контактами как функцию времени
На фиг. 63,6 представлена кривая изменения напряжения
между контактами в предположении, что f7$=63 kV, со=314,
Zr —0,025//, LR = 0>0lHt Ст = 1,5- 10~3|xF, Cr= 1,2- 10~4уР>
R . , z.- 3-63 000
(»l=0,163 -10 Hz, (O2=0,91 • 106Hz, Ikm—j/^2 3j4^2>?-0,025-p3-0,01)=
= 9,75-103A,
w=76,5 (1 — cos 0,163 • 106/) + 31 (1 — cos 0,91 • 106/).
Быстрота роста восстанавливающегося напряжения может
быть определена по максимальному наклону касательной,
проведенной из начала координат.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПОСТОЯННЫМИ
64. ПАРАМЕТРЫ ДЛИННЫХ ЛИНИЙ
До сих пор мы рассматривали гепи переменного тока,
состоящие из последовательного или параллельного соедине-
ния сосредоточенных сопротивлений, индуктивностей и емко-
стей, цепи, в которых время распространения электромагнит-
ной энергии вдоль отдельных ветвей ничтожно мало по»
§64]
Параметры длинных линий
457
сравнению с временем, в течение которого устанавливается
стационарный режим.
В отношении таких цепей можно считать, что токи имеют
всегда одно и то же значение во всех элементах (г, L и С\
входящих в каждую из ветвей таких цепей.
При рассмотрении таких цепей мы не учитывали действия
зарядов на поверхности соединительных проводов, равно как
не принимали во внимание индуктивного влияния, которое
оказывают токи в соединительных проводах.
Однако, если длина проводов весьма велика (например,
в линиях электропередач или в линиях дальней связи) и мы
имеем дело с высоким напряжением или большой частотой,
то ток, проходящий через такие длинные провода вследствие
влияния емкости между проводами, распределенной по всей
длине, а также утечки тока вследствие несовершенства
изоляции между проводами, уже не будет иметь одного и
того же значения вдоль длины проводов, и потому магнитный
поток между проводами, образуемый переменным током в
проводах, будет неодинаково распределен вдоль длины линии.
В результате неодинакового значения тока и неодинакового
значения наводимой э. д. с. самоиндукции падение напряже-
ния, отнесенное к единице длины длинной линии, в разных
точках линии будет иметь разное значение и фазу.
Для исследования явлений, происходящих в длинных линиях
с распределенными постоянными, необходимо предварительно
знать, с одной стороны, активное сопротивление г0 и индук-
тивность £0, приходящиеся на единицу длины линии, а с
другой,— емкость (между проводами) Сои проводимость между
проводами gQ, приходящиеся на ту же единицу длины. Активное
сопротивление г0 при небольших сечениях и малых частотах
определяется просто по сечению провода, его длине и удель-
ной проводимости или удельному сопротивлению:
r =r.=_L=x
0 i ?s s’
При больших сечениях и высоких частотах должно быть
учтено увеличение сопротивления в результате поверхностного
эффекта.
Проводимость между проводами на единицу длины gQ не
поддается расчету. В технике сильных токов, где ток утечки
по сравнению с токами в проводах ничтожно мал, g0 прини-
мается обыкновенно равным нулю. Для длинных линий связи,
работающих с весьма малыми токами, ток утечки может пред-
ставить собой уже заметную величину, и ее берут по некоторым
средним опытным данным. Что касается индуктивности
и емкости Со единицы длины, то определение значения их
для двухпроводной линии было рассмотрено в томе I, §§ 25 и 27.
458
Цепи с распределенными .постоянными
' гл. 9
Поэтому в этой главе мы оста-
новимся лишь на определении индук-
тивностей и емкостей для трехфаз-
ных линий. Поскольку трехфазные
схемы приводятся к однофазным, мы
для трехфазных линий будем опре-
делять так называемые рабочие
индуктивности и емкости, предста-
вляющие собой расчетные значения
Ао и Со, которые следует вводить
в расчеты длинных линий, чтобы
получить взаимоотношения между
напряжениями и токами.
Для трехфазной линии зависи-
мость между потенциалами и заря-
дами может быть выражена форму-
лами Максвелла (см. том I, § 30)
— =аАА 41 аАв42~\гаАс4^
aBA 41 “Ь &ВВ 42 “Ь авс 4з9
ср п3 — ciCA qx -|- ^св 4з +асс 4з> *
(64,1)
тде ®А — иъ у в—и2 и <pc=zz3 — мгновенные значения напря-
жений трех фаз по отношению к земле; ql9 q29 q%— мгновен-
ные значения зарядов трех фаз, причем провод А принадле-
жит первой фазе, провод В — второй и провод С — третьей;
аАА> алв> аАС — потенциальные коэфициенты, которые могут
быть определены, если землю зтменить зеркальными отображе-
ниями проводов Л, В, С9 т. е. проводамиа,Ь,с с противополож-
ными зарядами — qi9 —q2, —q3 (фиг. 64,1). .Потенциальные
коэфициенты с одинаковыми буквами в индексах, например,
аАД9 представляют собой величину потенциала на поверхно-
сти провода А9 когда заряд его будет равен единице, заряд
зеркального отображения — минус единице, азаряды на двух
.других проводах будут равны нулю:
— 1 1п _ 1 1 dBb )
1П R ;авв~ ‘2Ы 1п R ’ I
_ 1 1 г)
асс~~ 2ке1 1П R • )
тде R — радиус проводов.
Потенциальные коэфициенты с разными буквами в индексах
представляют собой потенциал, который получает одни про-
ход, например А, если заряд на другом проводе В равен плюс
§ 64]
Параметры длинных линий
459
-единице, а на его зеркальном отображении — минус единице,
заряды же на первом и третьем проводах будут равны нулю;
аАВ~ z2ba = — In — 2лс/ dAB _ 1 2 ^sZ In dBa dBA \
°AC= ~2СА 1 . dAc = In — 2пг/ &дс _ 1 ~2^Z In dCg dCA i 1 ! (64,3) 1
авс~ 2 СВ = — In — 2 dBC _ 1 2 In dGb dCB J 1
Если подставить значения этих коэфициентов в формулы
Максвелла, то мы получим три уравнения:
H1== 1 l 2яз/ 1 Л dAb d Ac \ । n "y • <7i“Hn — •*7з~Нп У' Яз )> R aAB “ AC I (л Лва dBb 1 dBc \
^2 2 jccZ ’ In > • ^1+In R ’<7з-Нп q3 , \ aBA n aBC / (64,4)
«3 = 1 i 2ягД 'in^-q^n-^-q^n^qX “CA “CB K / z
Для воздушной линии при симметричном расположении
проводов, когда dAB = dBC=dCA = d,n при достаточно большом
•отдалении от земли, когда мы можем принять, что высота
подвеса для всех проводов одна и та же, т. е. что dAa =dBb=
= dCc = dBa = dAb = dAc = dCa~ dBc~ dCb = 2h' УрЯВНеНИЯ
Максвелла значительно упрощаются, а именно:
1 г, 2Л । , 2Л , . ‘
"=2^LinV,,+ln7-(?I+?l).
2 яг/ [ R а
1 Г. 2/г । । 2Л / 1 ч
ur= 7У1п У ?з+ ,П У (<7з+?1)
(64,5)
Так как для изолированной системы в любой момент
то
1 /, 2Л , 2й\ 1 . d
и. =------- In —-------In — <7, =----------In — -qb
2кг/ \ R dj 1 2~aI R
1 /, 2Л , 2Л \ 1 , d
«а =-------(In —-------1П— )7а =~--------- П — • q2,
Чме.1 \ R d Г 2тл1 R
1 /, 2h . 2Л\ J . d
8 2гее/ \ R d ) 8 2г.г/ R 3
(64,6)
460
Цепи с распределенными .постоянными
l гл. 9
Мы получаем, что при достаточном удалении от земли в
симметричной трехфазной системе заряды на поверхности про-
водов пропорциональны фазовым потенциалам, т. е. фазовым
напряжениям, а потому мы можем говорить о рабочей емко-
сти одной фазы как об определенной и постоянной величине:
С = = (64,7)
«1 ш А
R
.. 1 F
Или если для воздуха подставить s=s0 -——— ------------и от-
4я-9.10п ст
нести емкость к 1 km (1 km = 105 cm), то
Со = — = =--------АА-----------L. =-----1----А. (64,8)
1 In А 4- • 9 • 10nln A km 18 In A km
R R R
Близость земли нарушает симметрию даже при расположении прово-
дов по вершинам правильного треугольника. В этом случае уже нельзя
говорить о емкости одной фазы.
Действительно, решая три уравнения для и2 и относительно qy
^2 и (7з, мы получаем вторую систему уравнений, дающих выражения
зарядов в зависимости от фазных напряжений:
01 = ?ЛЛ + $ABU2 + ₽ ДС^З,
02 — и\ + $BBU2 + Рвс^з»
03 = ^САМ1 4“ $CBU2 “Г?ССМ3-
(64,9)
Здесь
аВВасС~~а2ВС ‘ аВС аАС~~аАВ аСС
?АЛ~ д » РАВ = ?ВЛ- Д
_ аСС аЛЛ”"а2СЛ 0 0 аАС аАВ~аВСаАА
$ВВ~---------7-----> ?ВС = РСВ= ----------------’ (64’10)
А А
__ аААаВВ~а2АВ _ аАВ аВС~а АС аВВ
РСС~ --------7-----» РСЛ—РЛС— ---------;-------->
А А 7
а А — детерминант из девяти коэфициентов а при q в системе уравнений
(64,1). Этот детерминант равен
А =
аАА аАВ аАС
аВА аВВ аВС
аСА аСВ аСС
~ аАА(аВВасС "* а2вс) + aAB(aBG*AC ~ аСС аАВ^ + аСА^АВаВС~~а АСаВВ^ ==
~ аААаВВаСС~^~^АВ аВС аСА “ аААа2ВС аВВ^2СА аССа2АВ' (64,11)
§ 64]
Параметры длинных линий
461
Уравнения (64,9) для заря- lyUQCmok
дов q2 и ^з, показывают, что
отношение заряда к напряже- .* А— >
>
нию одной фазы — не будет ____& j
постоянным, но будет изме-
няться в течение каждого пе-
риода. Однако даже при не-
симметричном расположении проводов могут
вые условия работы всех грех фаз путем транспозиции проводов.
Пусть в круговом порядке через равные отрезки длины фазы по
очереди занимают положения Л, В и С (64,2)
If уча ст ок ///участок
J---с---V-----в--
С—4—ч—с—-
v—--8--------А---.
Фиг. 64,2.
быть достигнуты одинако-
фаза I фаза II фаза III
Первая треть всей длины .... А В С
Вторая „ „ в С А
Третья „ „ „ С А В
Пусть qiB и qic будут мгновенные значения зарядов первой
фазы на трех последовательных участках, тогда
Q1A = ₽ЛЛ М1 + $АВи2 + ₽ЛСИ3,
$ВВи1 + ₽В?М2 + ₽ВЛИ3»
ЯсС~ $ССи1 4“ ?ЛСМ2 4" $СВиЗ-
(64,12)
Суммируя заряды первой фазы, мы получаем, что суммарный заряд
первой фазы будет
Я1 — Я\а 4~ Я\в + Я\с — (?лл 4; $вв 4“ 4*
4"(?лв 4- с+ Рсл 4~ мз)- (64,13)
Если линейные напряжения симметричны и нейтральная точка трех-
фазной системы имеет потенциал земли, то и2-\-и2 =—п1 и мы имеем
постоянное соотношение между зарядом и напряжением каждой фазы.
Следовательно соответствующая емкость будет
£ = “= $ааЛ-$ввЛ-$сс — $ав — $вс~~$са> (64,14)
и1
При определении коэфициентов аир для линий с транспозицией фаз
Z
вместо I должно быть везде поставлено — . Если во время работы одна
3
из фаз получает заземление, то симметрия всей системы нарушается.
В случае если над трехфазной линией имеется заземленный трос, то
первая система уравнений Максвелла будет им ть вид:
И1 = алл ^14* аАвЯг 4~ «лс?з 4~ алп^о» 1
и2 = аВА^1 4" аВвЯг + авс?3 4- aBD^ I
п3 = асл7! -|- aCBq> + 4- aCD #о» | (64,15)
0 ~ aDA^l + aDB^2 4- aDC^3 + aDD Я to I
462
Цепи с распределенными постоянными
I гл. 9
где аА&, aBD* aCD и aDD— потенциальные коэфициенты для заземленно-
го троса, для которого мы также должны построить зеркальное изобра-
жение. Пусть радиус троса будет 2?0, тогда
1 In dAd , dAD aCD~ 1 2-sZ ln-^, dCD
i aBD~ ” In dBd, aDD~ 1
dBD 2ftcZ Ro
(64,16)’
Из первой системы четырех уравнений мы находим вторую систему
уравнений;
~ $AAU1 + ?ABU2 + ₽ ACtl^ 'j
<7 2 ~ $BAU1 ~Ь $BBU2 + ?ВСМ3» I
<73 = ₽ СЛ«1 + ₽СВМ2 + ?ССИ3» | (64,17)»
4" $DBU2 + ₽ОСМ3* I
Путем транспозиции проводов трех фаз (а не заземленного троса) и
здесь можно получить полную симметрию и пропорциональность между
зарядом и потенциалом фазы. Искомая емкость одной фазы в этом слу-
чае будет опять равна
с ~ $аа + + $сс — $АВ ₽сл- (64,18>
Коэфициенты рлл, ?сс ?>АВ, $всп$СА вУравнениях (64,10)—(64,14>
и в уравнениях (64,15)—(64,18) имеют разные значения.
Емкость воздушных линий мы можем подсчитать лишь приблизитель-
но, поскольку высота подвеса проводов над землей вследствие их про-
веса на протяжении лиши неодинакова. Кроме того, в местах укрепле-
ния проводов имеются емкости, образуемые гирляндами изоляторов, ко-
торые увелич: вают емкость линии.
Для трехжильного кабеля с заземленной свинцовой оболочкой
(фиг. 64,3)
аАА “ аВВ “ аСС и аАВ ~ аВС = аСА> (64,19}
а потому, так как + #2 + #з — 0» то
М1 ~ aAA^i “г аАВ^2 + аАС^З = аАА^1 4~ аАВ^2~Ь^з):=(аАА~~аАВ^У (64,20>
Для определения потенциальных коэфициентов построим отображе-
ния электрических осей жил А, В и С относительно внутренней поверх-
d
ности свинцовой оболочки. Если с == “75=’ — расстояние между осью жилья
у 3
м осью кабеля и Rk— радиус кабеля, то расстояние d$ между сопряжен-
ными осями, например, А и а, определится из выражения (том I, § 25)
/?А2= rfoc + c2, ИЛИ da=dAd —---.
Потенциальные коэфициенты будут равны
1 dAa 1 1
алл =----In - - =-----In
АА 2ksZ R
____L ,
aAB
1
-----1
2яг/
2^7 1П
Rc
dAb
d
(64,21 >
§64]
Параметры длинных линий
4ба
Из чертежа следует, что
^аь №ьв~№во 4" <WoS 60°)3+ d20A cos2 30° =
Для кабеля диэлектрический коэфициент отличен от диэлектрического’»
коэфициента воздуха
е=^о=
для пропитанной бумаги ег равно примерно 4. Если мы подставим значе-
ние е и отнесем емкость к 1 km, то получим
Со —
— 1km
d
(64,23>
18 In
При треп фазном токе магнитные поля всех трех фаз свя-
заны между собой и индуктивное падение напряжения полу-
чается как результат одновременного воздействия магнитных,
потоков, образующихся в каждой из трех петель.
Возьмем три произвольно расположенных провода треХ-
фазной линии (фиг. 64,4). Так как в любой момент сумма
токов равна нулю и ток ix в проводе А равен сумме токов,
в двух других проводах В и С, взятой с обратным знаком,.
—(ч+ч\
464
Цепи с распределенными постоянными
[ гл. 9
то провод А является как бы обратным проводом двух петель
АВ и ЛС, и в соответствии с этим индуктивное падение
напряжения в проводе А слагается из половины (как в одном
из двух проводов петли) падения напряжения в петле АВ
и из половины падения напряжения в петле АС:
аА — еА — ? (LAB^LACdfy.
Равным образом мы можем написать
(64,24)
или, если от мгновенных значений перейти к комплексам, то
А-- ~^~^^АВ ^АС 4),
Uв~ 2 ^з4л/ш Lba Л), }
(64,25)
Индуктивности рассматриваемых петель как индуктив-
ности двухпроводных линий выразятся через (см. том 1,§ 79)
ij» = Tz(ln^ + °’25)'
LRC=-£-l fin 1^4-0,25^
вс « \ к 1 J
0» %!-+».26)-
те \ к /
(64,26)
В случае симметричного расположения проводов (по вер-
шинам правильного треугольника) dAB = dBC —dCA — d индук-
тивности петель будут равны между собой:
и
L —L —L =~
иАВ — ^ВС ^СА п
Ь0,25
(64,27)
Так как, кроме того,
4+ 4 4“ 4— 6 и 44е 4— Л>
§ 64]
Параметры длинных линий
465
то
uA=jJ^ix=^Lix,
иК —Jw Li2,
йc=J а-тг ш ^4.
и индуктивность одной фазы будет
L = —Lab =^1 (In — + 0,25^
2 Ав 2я \ R 1 J
(64,28)
(64,29)
в два раза меньше, чем индуктивность двухпроводной линии
при таком же расстоянии между проводами.
Так как среда, разделяющая провода линий передач, имеет
относительную магнитную проницаемость, равную единице,
то поэтому
— и0 — 4 т: 10 “9—.
ст
Если мы подставим это значение для р и отнесем индук-
тивность к единице длины, то индуктивность 1 km выра-
зится через
Zo = —= —In — = 2 In—• 10~4—=0,2 In— —, (64,30)
I ir. R R km R km 4 7
где величина 0,25 как обычно малая по сравнению с 1п—
R
опущена.
Только при симметричном расположении проводов можно
говорить об индуктивности одной фазы как об опре-
деленной величине. Лишь в этом случае индуктивное падение
напряжения в проводе фазы пропорционально току в этой
фазе; при несимметричном же расположении проводов паде-
ние напряжения будет зависеть от тока в двух других фазах,
и даже тогда, когда в рассматриваемой фазе не будет тока
(например, /t=0 и z2=—/3), мы можем иметь в ней индук-
тивное падение напряжения.
При передаче энергии на большие расстояния применяется
транспозиция проводов, которая кроме достижения симметрии
фаз уменьшает мешающее влияние токов электропередач на
линии связи.
30 К. А. Круг, т II.
466
Цепи с распределенными постоянными
[ гл. 9
При транспозиции индуктивное падение напряжения в пер-
вой фазе на трех следующих друг за другом участках сла-
гается из следующих трех слагающих:
_____L// I т dh\
2 \АВdt ' ^АС dt )’
1tn _ 1 (т I г di^\ ।
2 \LBCdt 'BAdt)’ (64,31)
,.w __ 1 (j din j di%\
u i- 2\CAdt^CBdt)'
Если сложить эти три величины, то получим
«.=«, + Ч‘, + и"', = -UlaB + LBC + LCJ (S+J) =
\ CL l Ul J
— (^дв + ^дс + ^сд)^-
Выражая L через(LAB ~H ^вс'^^са) и принимая во вни-
мание, что в выражениях для LAB, LBC и LCA мы при этом
1 I
должны вместо I подставить —, мы получаем, что при транс-
позиции индуктивность одной фазы будет равна (величину
0,25 как относительно малую мы отбрасываем)
L = — ± — (1г/лв +1п^+1п^Ц==
2 it 3 R R R у
— ±£1П dABdBCdCA (64,32)
2я R
Индуктивное падение напряжения в первой фазе транспо-
нированной линии выразится через
= (64,33)
at
и аналогичные выражения получаются и для других фаз:
= и а9—Ь—.
dt dt
Последние формулы показывают, что при транспозиции
через равные промежутки индуктивное падение напряжения
даже при неодинаковой нагрузке фаз пропорционально току
в' фазе, и индуктивность одной фазы равна индуктивности
одной фазы такой симметричной линии, у которой расстояние
между проводами равно среднему геометрическому соответ-
ствующих трех расстояний между проводами данной линии.
§ 64]
Параметры длинных линий
467
K'i
Когда трехфазная линия имеет четвер-
тый, так называемый нулевой, провод (фиг.
64,5), ток в четвертом проводе по вели-
чине должен равняться сумме трех осталь-
ных, й если считать условно за положи-
тельное направление тока во всех прово-
дах направление от источника энергии к
приемнику энергии, то ток в чег вертом
проводе выразится через —(Л + 4 + 4)-
Провод каждой фазы мы можем рассматри-
вать. как составляющий половину петли,
образованной из провода этой фазы и
четвертого провода в виде обратного про-
вода. Индуктивное падение напряжения
в такой петле, положим первой фазы а,
составится из индуктивного падения на-
пряжения от преходящ го в этой петле то- О
ка и затем из индуктивного падения напря- ф g^ 5
жения вслед твие взаимной индуктивности * ’ *
петлм а и двух других петель b и с, которая получается благодаря тому,
что часть магнитного потока этих последних петель пронизывают петлю а.
Индуктивное паде ие напряжения, приходящееся на долю проводов фаз
А, В и С, будет равно половине полного индуктивного падения напряже-
ния (от собственной и взаимной индуктивностей) в соответствующих пет-
лях и может быть представлено следующим образом:
1 dL , 1 di9 1 dU
~ ~L°di+~M“sz+3M“'di'
а, - ’-Л,О Н
в 2 bdt~ 2 bc dt 2 badt
1 т d^ 1 1 dii 1 1 di2
— Lg -l- —I— ЛА с ь
c 2 dt^ 2 dt ~ 2 dt
(64,34)
Индуктивное падение напряжения в четвертом проводе будет равно
пол вине суммарного индуктивного падения напряжения в трех петлях
— л, b и с:
11D
Д, . 1 г
2 Ladt + 2 Lbdt + 2
<Ц>\
dt Л
(64,35)
В этих формулах La обозначает индуктивность петли, состоящей из
провода А как прямого провода и нейтрального провода D как обратного
провода, Lb и Lc — индуктивности таких же петель, образованных, с одной
стороны, провода и В и С и нейтральным проводом Z), с другой стороны,
а МаЬ = МЬа— взаимную индуктивность петли а на петлю Ь, и наоборот,
а равным образом Мас = Мса и МЬс~ МсЬ обозначают взаимные индук-
тивности между петля ии а и с, b и с.
Для определения взаимных индуктивностей /И, например, ЛАаЬ « МЬа
между пзтлями а и Ь, мы можем исходить из следующих рассуждений:
магнитный поток, образующийся в петле bt когда через нее щ ©ходит
единица тока, распадается на две части, из которых одна пронизывает
петлю аг а другая — петлю ш. Поэтому индуктивность петли Ь должна
30*
468
Цепи с распределен1НЫ'М1И постоянными
[ гл. 9
равняться сумме взаимной 1ыдук.износги МЬа петли b на петлю а и
взаимной индуктивности МЬт петли b на петлю т:
A/Ifra "Г ^Ьт*
(64,36)
Аналогичные в лражения могут быть написаны для индуктивностей
петелэ а и т:
= ^ab “h
= Мта -Ц
Из этих трех уравнений может быть определено МаЪ:
1
Маь ~ 2 ^т)
1 ( У' .. dDA
--- ---Zin ----
2 \ г. /?
р./ dDAdDB
и аналогично
y.1
Mbc = — In
2 ft
dDBdDC
dBCR
pZ dDCdDA
Мса — In—-——
dCAR
(64,37)
Таким обрзЕои не представляет труда определить путем вычисления
все коэфициенты для нахождения uA, ив и uQ. Однако уравнения для
uАу ив и ас показЫваюг, что между индуктивным падением напряжения
в одной фазе и током в этой фазе не может быть пропорциональности
за исключением того случая, ко да система имеет симме1ричное в гео-
метрическом отношении расположение (ко да провод D в центре равно-
стороннего треугольника АВС, тогда МаЬ = Мас, так как магнитные
потоки петел» b и с пронизывают петлю а с противоположных сторон)
и когда ток в нулевом проводе равен нулю.
Следует отметить, что если бы для определения индук-
тивного падения напряжения в какой-нибудь фазе мы приме-
нили вспомогательный (измерительный) проводник, соединен-
ный одним концом с началом провода, а другим концом через
вольтметр — с другим концом провода, то показания вольт-
метра не давали бы нам падения напряжения в проводе, так
как к индуктивному падению напряжения в испытуемом про-
воде присоединились бы э. д. с. взаимной индуктивности от
магнитных полей, образуемых токами во всех проводах, и в
зависимости от расположения измерительного проводника
получались бы различные показания вольтметра.
Для трехжильных бронированных кабелей индуктивности
могут быть определены по формулам, выведенным для сим-
метричной воздушной трехфазной линии. Броня весьма мало
влияет на индуктивность, так как при условии, что сумма
470 Цепи с распределенными постоянными Чл. 9
токов в жилах в любой момент равна нулю, намагничиваю-
щее действие этих токов на железную броню практически
не играет роли.
При вычислении индуктивностей мы предполагали, что
расстояние между осями проводов весьма велико по сравне-
нию с радиусом сечения проводов. При больших сечениях
жил и малых расстояниях между ними вычисленная величина
индуктивности может оказаться немного меньше действи-
тельной, кроме того, при малых расстояниях между жилами
как на величину индуктивности, так и на величину актив-
ного сопротивления будет влиять неравномерное распределе-
ние тока в сечении жилы.
В таблице 10 сделана сводка выведенных формул для
определения емкостей и индуктивностей длинных линий.
65. УРАВНЕНИЯ ДЛИННОЙ ЛИНИИ
Передача Энергии по длинным линиям с распределенными
по всей длине постоянными г0, Ло, gQ и Со, отличается от
передачи по коротким проводам тем, что благодаря большой
протяженности длинных линий, сопротивления и индуктив-
ности по всей длине, напряжение между проводами будет
меняться по всей длине линии как по величине, так и по фазе;
благодаря этому и токи, переходящие от одного провода к
другому, будут также меняться как по величине, так и по
фазе вдоль линии, и в результате величина тока в начале
и в конце линии будет неодинаковой. Поэтому для нахож-
дения взаимной связи между напряжением и током прихо-
дится решать вопрос предварительно в диференциальной
форме, рассматривая изменения, происходящие в бесконечно
малом элементе длины линии, а затем, определив, как меня-
ются величины напряжения и тока на бесконечно малой
длине, суммировать эти изменения путем ли интегрирования
или каким-нибудь другим образом.
Пусть нам дана линия с заданными постоянными, распре-
деленными по всей длине. Пусть г0— сопротивление единицы
длины прямого и обратного проводов; LQ — индуктивность
петли линии, также отнесенная к единице длины; gQ — актив-
ная проводимость (утечка) между проводами на единицу дли-
ны и Со—емкость между проводами на единицу протяжения
проводов.
Такую длинную линяю мы схематически можем представить
себе (фиг. 65,1) как состоящую из последовательно соеди-
ненных элементов длиной dl с сопротивлением r^dl и индук-
тивностью L^dl, причем в точках соединения двух смежных
элементов включены ответвления с активной проводимостью
g$dl и емкостью C^dl. При этом хотя падение напряжения
имеет место в обоих проводах, при схематическом изобра-
женин линии мы можем считать, что это падение напряжения
сосредоточено только в верхней половине каждого элемента.
Пусть и — напряжение между проводами в начале элемента
(сечение du — изменение напряжения на протяжении
этого элемента (на протяжении dl). Это уменьшение вызыва-
ется падением напряжения в сопротивлении и индуктивным
падением напряжения
— dl^r^dl+L^dl^ (65,1)
i — мгновенное значение тока в этом элементе.
В конце элемента (сечение KS) ток в линии изменится на
—di, так как он уменьшится на величину тока ответвления
на протяжении dl.
Ток ответвления составляется из тока проводимости и
тока смещения между проводами, вызываемого изменением
напряжения во времени:
-^dl^udl^^dl. (65,2)
Разделив оба уравнения на dl, мы получаем два диферен-
циальных уравнения:
- = (65,3)
01 ot
и
(65,4)
01 ос
указывающих, что изменение (уменьшение) напряжения, от-
несенное к единице длины, слагается из активного падения
напряжения в сопротивлении единицы длины и из индуктив-
472
Цепи с распределенными постоянными
l гл. 9
ного падения напряжения в индуктивности единицы длины
линии, и что изменение (уменьшение) тока, отнесенное к еди-
нице длины, слагается из тока проводимости между прово-
дами на протяжении единицы длины и из емкостного тока
в емкости между проводами также на протяжении единицы
длины линии.
При синусоидальном изменении напряжения источника
энергии, питающего линию, очевидно, что при установив-
шемся режиме все напряжения и токи будут изменяться
также по закону синуса с той же частотой.
Полагая, что U и I—напряжение и ток в какой-нибудь
точке линии, отстоящей от начала на расстоянии Z, можно
в применении к синусоидальным токам написать последние
два уравнения в комплексной форме:
~^- = M-^L0)/=:Z0/ (65,5)
И
—^-=(^o+/‘»Co)i7=K()t7, (65,6)
где
Z0=z0eJi\
го = |/7>^=|/ АЙГlg
Л = /«’+«2С1
’ г о
^0
io
(65,7)
(65,8)
— полное сопротивление (вдоль проводов) и полная проводи-
мость (между проводами) единицы длины линии (значения
и _у0 не являются величинами взаимно обратными).
Таким образом для синусоидальных токов мы получили
два простых диференциальных уравнения, показывающих,
что изменение (уменьшение) напряжения в длинных линиях на
единицу длины равно току, протекающему в данной точке
через линию, умноженному на полное сопротивление единицы
длины, а изменение (уменьшение) тока на единицу длины
равно напряжению, действующему между проводами в дан-
ной точке, умноженному на полную проводимость между про-
водами на единицу длины линии.
Если взять вторые производные от уравнений (65,5) и (65,6)
и подставить первые производные по этим уравнениям
„ — у — Z Y U
dp ai — 0 ’
d2I afj
-------— V — 7 V 1
(IP *0 dl
§65]
Уравнения длинной линии
473
то мы получим два одинаковых уравнения
. (65’9)
^=20K0/+f/, |
где
f = ? +/a = 20Г0 = (r0 +/x0)(g0 47^o)-
Решением так называемого телеграфного уравнения (65,9)
являются уравнения
U = А^' + А^'1',
—7/ -I-?/ (65,10)
I —Вхе 7 4-Я/1 ‘ ,
Коэфициенты Аи А2, Вх и В2 определяются из погранич-
ных условий. Если нам даны по величине и фазе напряжение
71 и ток 4 в начале линии и если расстояния отсчитывать
от начала, то для 7=0
и 4=^+^.
Если производные от U и 7 по 7 подставить в (65,5) и (65,6)
и приравнять 7=0, то
-
- ^r|,_„=7CS1-B,) = r0Z71.
Эти уравнения позволяют нам определить коэфициенты:
Ai— у (^14- у А) (А14-47 ),
^2= ~2 (^А т" а) ’
В1=-О+л)=1(% + 4).
52=у( 7^i+a)=-2 (— 4-а),
где
V — — = гоН~Ао
С 7 Го К Го И ^о+Ло
474
Цепи с распределенными постоянными
L гл. 9
Если теперь подставить эти значения Аи Аа, Вг и Ва в
уравнения (65,10), то мы получим следующие выражения для
U и 1 в точке, отстоящей от начала на расстояние Z
й=иг
2
V Г*
е — е
2
—й} ch у/ — Zc sh у Z,
ТТ ~tl V , ~tl
7 = - + / ---=
Zc 2 2
,= — ~z~ shy I + Zj ch yZ1.
} (65,11)
Если, наоборот, нам задаются напряжение и ток на конце
линии й2 и /2 и если расстояния I отсчитывать не от начала,
а от конца линии, то исходными уравнениями вместо (65,5) и
(65,6) будут
-*=zoz„ (65,12)
и мы, решая эти уравнения таким же путем, как выше, по-
лучим, что напряжение и ток в точке, отстоящей от конца на
расстоянии Z, следующим образом выражаются через напря-
жение U2 и ток /2 на конце
ch у/ + Zci2 sh у/, j .
7 = ф- sh yZ + /2 ch yZ. ( (65,13)
J
66. БЕСКОНЕЧНО ДЛИННАЯ ЛИНИЯ
В бесконечно длинной линии отношение напряжения к току
во всех точках линии должно иметь постоянное значение,
так как любая точка линии может рассматриваться как на-
чало такой же бесконечной линии
— = const или U — const/.
I
1 См. § 68,
§ 66]
Бесконечно длинная линия
475
Если взягь производную от этого соотношения и под-
ставить их значения в (65,5) и (65,6)
— =—const -~г = Zo 1 = const Y0U ~ const Ув7,
то мы найдем, что
= const ^i/ ^- = ZC (66,1)
I У zo
и что в бесконечно длинной линии отношение напряжения к
току при установившемся синусоидальном токе равняется
U __ 7 _ , f ^0 _ , f
i c у у. у s+JbQ *
Это соотношение приводит нас к следующим уравнениям
для напряжения и тока
—~ = YoU = Y,zcl =Vzjri^l.
Интегрирование этих уравнений
<zz7 ,, di „
— — — ''dl и---= — ^dl
и i
дает для U и I следующее решение:
—yZ . —yZ
U—Axe и 1 —В^е ,
Если сообщаемое в начале (7=0) напряжение равно
то
—7^ i
U=U^e '
и . ?
(66,2)-
У С * '
Эти уравнения являются уравнениями установившейся,
непрерывно движущейся (падающей) волны связанных между
собой напряжения и тока. Коэфициент у представляет собой
так называемый коэфициент распространения волны,
476
Цепи с распределенными постоянными
[ гл. 9
a Zc—так называемое сопротивление волны. 7 и
Zc могут быть вычислены, если известны постоянные линии
r0, и Q и угловая частота синусоидального напряже-
ния со
7= Р +/а = / Z^Yo=V (г0 +/л0) (g0 ,
где x0 — (»L0 и Ь0 — шС0,
f — р2—а2 -{.узар = r.g, — хйЬ0 +/(r0&0 + goxo).
Это уравнение распадается на два
р2 — а3 = г0^0 — л0&0|
И (66,3)
2a^ = r0b0-\-x0g0. |
Кроме того,
^ + P2 = |Z0||yo|=2;oj0
[см. (65,7) и (65,8)], откуда
а ~ У^~Т (гоЛ>+*<Л- ^о)' (66’4)
Коэфициент а, как это будет видно из дальнейшего,
является коэфициентом изменения фазы, а р —
коэфициентом затухания колебаний на едини-
цу длины.
Если возвести Zc в квадрат и отделить Вещественную
часть от мнимой, то гс и хс выразятся через:
Гс~ ]/‘2^Г^о+го^’о+-^о). ]
г — 1 77 f (66,5)
с~~ V зд'^оЛ-'-og’o—^о)- j
Сопротивление волны можно на основании уравнений
(65,7) и (65,8) выразить еще следующим образом:
§ 66]
Бесконечно длинная линия
477
Подставим полученные значения 7 и zc в уравнения (66,2)
х. —3/ —ы
U=Ut)e -е
; й0 -V -W).
I =.^- е -е
(66,7)
Последние уравнения' написаны в символической форме.
От комплексных вырая^ний легко перейти к мгновенным
значениям.
Если напряжение в начале линии (Z=0), изменяется по
закону:
«(= /2t70 sin о>/,
то напряжение и ток в какой-нибудь точке, отстоящей от
начала на расстоянии Z, будет:
- — V 1
u = V2Uoe sin (wZ—aZ), I
,/orr —3/ _ —3/ <(00,0)
i~ —5—- e sin (wZ—al—&)= V2 Zoe sin (wZ—aZ—&). I
а) Движение синусоидальной волны вдоль линии без
потерь.
Рассмотрим сначала линию, в которой сопротивление
может быть приравнено нулю (го=0), а сопротивление изоля-
ции между проводами—бесконечности f— =со и gQ — 0 ).
\£о /
Для такой линии коэфициент распространения волны состоит
лишь из мнимой части:
(0^Уа)^о)(0~И/а)^о) Со—_/я, д)
а характеристическое сопротивление волны представит собой
вещественную величину:
Z с=гА А с~ 1 / - = 1 f — ; Лс=0; tg &=0.
У o+J«>c0 у с0 ё
Подставляя значения у и Zc в уравнения бегущей сину-
соидальной волны, мы получаем значения напряжений и
токов в зависимости от расстояния I от начала линии в
символической форме:
' = А, 1/ — е «“л“'+>) = ij„ . /Ае
V у Л) ’)
478
Цепи с распределенными постоянными
[ гл. 9
или в тригонометрической форме:
sin («)/ — о) уЬцСу), j
^sin(w/-«)/ZA0- (66,11)
На основании этих уравнений можно сделать следующие
выводы:
1. Напряжение и ток в каждой точке совпадают по фазе.
2. Как мгновенные значения напряжения и тока, так и
их амплитуды находятся в постоянном соотношении
и
L
V2I.
— const.
(66,12)
3. Амплитуды колебаний напряжения и тока имеют вдоль
всей линии одни и те же значения, ^2(70 и ^2(70 1/ —»
У У
которые не зависят от расстояния до начала линии.
4. Колебания напряжения (и тока) в смежных точках не
совпадают в своих фазах. Угол сдвига фаз между колебаниями
напряжения в начале линии (/—0) и в точке, отстоящей от
начала на расстоянии Z, определяемый величиной aZ=<o/ £осо/,
растет пропорционально расстоянию.
5. В любой момент времени (fc=const) распределение на-
пряжений (и токов) вдоль линии (/—var) - представляется
бесконечной синусоидальной кривой.
6. Если на оси абсцисс откладывать расстояния от нача-
ла линии Z, а на ординатах — напряжения в соответствующих
точках, то для разных моментов времени (Z — 0, tb и т. д.)
мы получим ряд смещенных друг относительно друга сину-
соид (66,1).
Фиг. 66,1.
У 66]
Бесконечно длинная линия
479
7. Нулевая точка таких синусоид распределения напря-
жений
и = У 2 £/0 sin (о) t — о/Z0C0/') = О,
со t — со/— О
не будет оставаться на месте, а будет с течением времени
перемещаться с равномерной линейной скоростью, которая
может быть определена из уравнения
-=—=%г. (66,13)
t а
С такой же скоростью будут перемещаться синусоиды
распределения напряжения. Выражение v = — называют фа-
зовой скоростью; она представляет собой скорость
перемещения вдоль линии точек с одной и той же фазой
колебания.
Для линии без потерь фазовая скорость по свой величине
совпадает со скоростью распространения электромагнитной
энергии
1
— ——-
2 "
_______________ 1
d V 8(л
(66,14)
[см. формулы (64,8) и (64,29)]. В линии без потерь благодаря
бесконечно большой проводимости проводов (го = О) ток отте-
сняется к самой поверхности проводника, вследствие чего
внутри проводника не будет магнитного поля, а потому сла-
гаемое 0,25 в формуле (64,29) для LQ пропадает.
Если мы подставим в выражение для v
1
F . 1Л—9 Н
г — е -------------------И ц = и • 4 и • 10 —
4~-9- Ю11 ст ст
мы получим, ЧТО
1 <71 __ 1
и ,/ 1 . , -gA-sec V-sec V 4?: 10 ’ г 4^9-Ю11 cm-V ст-А
3-1010 ст _____ с ст
sec see
(66,15)
480
Цепи с распределенными постоянными
Г1л. 9
Для воздушных линийег—1 H|jy— 1 и фазовая скорость v
в линии без потерь совпалхет со скоростью света:
V — C — 3-1010 — =300 000 —.
sec sec
Если подставим — вместо У LqC0 в уравнения для на-
v
пряжения и тока, то мы получим уравнения:
которые показывают, что колебания напряжения и тока в
точке I запаздывают на время ~~9 необходимое для переда-
чи одной и той же фазы колебания от начала линии до точки I.
Напряжение и ток распространяются волнообразно. Длина
волны, определяемая как расстояние между двумя ближай-
шими точками, с одинаковыми фазами колебания или со сдви-
гом фаз в 2 тс, может быть вычислена из соотношения
— /' = X=*S v= — = vT.
2*f f
Длина волны равна расстоянию, на которое передаются
колебания в течение одного периода.
Таким образом напряжение и ток в длинной линии без
потерь меняются по времени и по длине, совпадая в каждой
точке по фазе и сохраняя амплитуду колебаний.
Хотя в линии без потерь и не имеет места поглощение
энергии, тем не менее, бесконечно длинная линия все время
будет забирать энергию из источника электрического тока,
к которому она присоединена. Мгновенное значение мощности
будет
z? = = |/^ 2 t70sin cot • У 2 £70l/ sin —
F Ао
— U\ (1 — cos 2 oZ), (66,17)
а средняя мощность равна
F ь0 Г Gq Z Г L0C0
(66,18)
§ 66 J
Бесконечно длинная линия
481
Затрата энергии обусловлена тем, что бегущая волна напря-
жения и совпадающая с ней по фазе волна тока будут про-
двигаться все дальше по бесконечно длинной линии и будут
создавать на вновь проходимых участках электрическое и
магнитное поля, на что и будет тратиться поступающая из
источника тока энергия.
D CnU2o Л/2о
В последнем уравнении и -у1 —средние значения
энергии электрического и магнитного полей, приходящиеся
на единицу длины линии.
б) В бесконечно длинной линии, сопротивление проводов
которой не равно нулю и сопротивление утечки не равно
бесконечности (го¥=О, — ¥=°°, go¥=O), амплитуды колебаний
go
напряжения и тока вдоль линии [уравнения (66,7)] не оста-
ются постоянными, а уменьшаются по мере удаления от на-
чала в геометрической прогрессии, пропорционально множи-
телю е~~$1.
Если на оси абсцисс откладывать расстояния точек от
начала, а на оси ординат — амплитуды, то концы ординат
будут лежать на экспоненциальной (показательной) кривой
у 2 U = V"2UQe^1.
Мгновенные значения напряжений будут для каждой точки
изменяться в пределах 2UQe~~^. Так как амплитуды
тока пропорциональны амплитудам напряжения, то мгновенные
значения тока будут в каждой точке колебаться между ана-
логичными пределами 2 — е""^, но колебания напряже-
2 с
ния и тока в каждой точке будут сдвинуты в своих фазах
на определенный угол.
В большинстве случаев характеристическое сопротивле-
ние волны имеет емкостный характер, так как активная про-
водимость единицы длины линий обыкновенно ничтожно мала
(^о 0) по сравнению с емкостной проводимостью (й0=о)С0) и
. Ьо соСл
tg = со,
go go
т. е. угол v весьма близок к 90°, в то время как угол
p/tg \ значительно меньше 90°, а потому фазо-
\ ’ го го /
вый угол характеристического сопротивления &— -- - бу-
31 К. А. Круг, т, II.
482
Цепи с распределенными постоянными
[ ГЛ. 9
дет иметь отрицательное значение; колебания тока будут опе-
режать колебания напряжения.
Колебания напряжения (а также и тока) в какой-нибудь
точке, удаленной на расстояние I от начала, отличаются от
колебаний в начале линии как по своей амплитуде, так и по
своей фазе. Чем дальше рассматриваемая точка удалена от
начала, тем больше степень затухания амплитуды колебаний
3/ и тем больше угол отставания а/ фазы колебаний.
Кривые распределения напряжения и тока представляются
(фиг. 66,2) бесконечно повторяющимися синусоидами с непре-
рывно уменьшающи-
мися амплитудами.
Синусоиды переме-
щаются вдоль линии
со скоростью, кото-
рая определяется как
скорость перемеще-
ния точки, сохраняю-
щей в последующие
моменты времени
фазу колебания [уравнение (66,8)]
о/ — al — const, или — а.1—8 — const.
Если мы от последних уравнений возьмем первую произ-
dl г.
водную по времени о) — а— — 0, то мы получим так называ-
емую фазовую скорость или скорость перемещения кри-
вой распределения напряжения и тока вдоль линии
dl оз 2 2 г.
— — V — — =------= —.
dt а а Та
Фазовая скорость v лишь для линий без потерь совпадает
со скоростью распространения электромагнитной энергии.
В линиях с потерями индукционные линии магнитного и элек-
трического полей не будут лежать в плоскостях, перпенди-
кулярных к оси линии, и потому мы не будем уже иметь
плоской волны, перпендикулярной к оси проводов, и скорость
распространения энергии (вектор. Пойнтинга)1 не будет парал-
лельна оси проводов, а будет направлена по искривленным
линиям (см. § 80). Фазовая скорость хотя и на весьма малую
величину всегда в линиях с потерями бывает меньше скорости
распространения электромагнитной энергии в окружающей
среде. Обыкновенно, если не требуется большой точности,
фазовую скорость приравнивают скорости распространения
электромагнитной энергии.
1 См. § 89.
§ 66 ] Бесконечно длинная линия 483
Продвигаясь вдоль линии с одинаковой скоростью, сину-
соиды распределения напряжения и тока будут получать все
меньшие амплитуды, вписываясь в промежутки, ограниченные
кривыми К 2 U^e и К 2 /ое .
Длина волны распространяющихся напряжения и тока вдоль
линии равна длине, на которую синусоида перемещается за
время одного периода, т. е. расстоянию между двумя бли-
жайшими точками, имеющими сдвиг фаз 2тг, и определяется
из уравнения
о/ — аГ — со/ — аГ + 2 тг,
откуда
Г — l' = \ = ^ = ^L — vT. (66,19)
а а
Уравнения волн напряжения и тока, бегущих по беско-
нечно длинной линии с потерями, могут быть также напи-
саны следующим образом:
и = ийе~^1 sin (oj t — a I) — УТUoe~$l sin w(t—-Y
\ J
^sin(co£—al—&)=У2l^e %in
zc
Кривые распределения напряжения и тока перемещаются
вдоль линии с одинаковой скоростью но, с определенным
сдвигом, соответствующим углу сдвига фаз &. Так как дли-
не волны X соответствует сдвиг, равный 2к, то нулевые точ-
ки перемещающихся синусоид распределения напряжения и
тока будут всегда находиться на расстоянии
= . (66,21)
2^ 2^ « 4 ’ }
Мощность, проходящая через какое-нибудь сечение беско-
нечной линии,
P=f7/cos 9 = t70/0e cos & (66,22)
будет уменьшаться по мере удаления от начала, так как на
каждой единице длины будет поглощаться энергия, которая
за единицу времени слагается из потерь в сопротивлении
провода и в проводимости изоляции
- ~ = 2 ₽ UQIoe -2?Z cos & (66,23)
al
о//— )-&
31*
484 Цепи с распределенными постоянными [ гл. 9
67. ДЛИННАЯ ЛИНИЯ, НАГРУЖЕННАЯ НА КОНЦЕ
Когда мы имеем длинную линию не бесконечной, а ко-
нечной длины, нагруженною на конце, то явления, имеющие
место при установившемся режиме, могут рассматриваться,
как получающиеся от одновременного движения по линии в
противоположных направлениях двух непрерывных волн: од-
ной— так называемой падающей или бегущей волны, иду-
щей от источника энергии в направлении к приемнику энер-
гии, другой — отраженной волны, идущей в обратном на-
правлении.
Когда через данную точку линии проходят две встречных
волны с одинаково направленными в данный момент напря-
жениями (предположим, что верхний провод является плюсом
а нижний — минусом), то обе волны сообщают в этом месте
проводам заряды одного и того же знака как верхнему (по-
ложительные заряды), так и нижнему проводу (отрицатель-
ные заряды). Заряды на каждом проводе складываются, а
так как заряды на единицу длины равны емкости единицы
длины, умноженной на напряжение между проводами, то на-
пряжение, которое получится в данной точке от наложения
двух встречных волн, равно сумме напряжений, которые име-
ли бы место в этой точке от каждой волны в отдельности.
Волна, движущаяся вдоль линии, несет с собой электромаг-
нитную энергию, которая определяется напряжением между
проводами и током в проводах. При том же знаке напряже-
ний между проводами встречных волн токи в каждом про-
воде, сопровождающие эти волны, будут направлены в про-
тивоположные стороны, а потому ток, получающийся в прово-
де от наложения двух встречных волн, оудет равен разно-
сти токов этих двух волн. При этом имеет место переход
части энергии магнитного поля в энергию электрического поля.
Таким образом как в начале линии, так и в конце ее, а
также в любой точке действительное напряжение будет рав-
но сумме напряжений двух встречных волн, а действитель-
ный ток будет равен разности токов падающей и отражен-
ной волн:
1)=ипад+йотр9 (67,1)
(67,2)
Пусть напряжение в конце линии у приемника энергии
равно £72, ток в приемнике энергии 72> а в начале линии
Ui и 4
Напряжение U2 на конце линии получается от наложе-
ния друг на друга напряжения U2Пад=1 %Пад Zc волны, которая
§ 67]
Длинная линия, нагруженная на конце
485
подходит к концу линии, двигаясь от начала, и напряжения
Uomp—homp Zc волны, которая, отразившись у приемника
энергии, уходит обратно от конца к началу
и2'== &2 пад ^2 отр.
Ток падающей волны, подойдя к концу, делится на две
части: одна часть проходит в приемник энергии, а другая—
отражается. Поэтому
пад:==^2~\^^ отр>
ИЛИ
। j > _ U2 пад U2 отр .
у2 *2 пад 1% отр % . £ *
Из двух уравнений: U2—U2 пад-^ръ отр И — ^2 пад
—U2omp можно, зная напряжение U2 и ток /2 у приемника
энергии, определить значения напряжений падающей и отра-
женной волн на конце линии:
г 'j ______ ^2 | ^с^-2
U 2 пад --- 2 1 2 *
тУ _________ U2 2^2
<-> 2 отр — ~2 2 ‘
Для того чтобы падающая волна могла, дойдя до конца, иметь
в конце напряжение U2nad~I->nad^Cy она должна иметь, от-
правляясь от начала, напряжение
. • 7Z . 7Z
U\nad'=-U2 пад& ^с^2 пад& ^^^с^хпад »
так как, дойдя до конца, только такая волна будет иметь
соответствующее напряжение
. • 7Z • 7Z —7Z
Uznad^^^Uхпад& =(£У2пад&
Что касается отраженной волны, имеющей на конце на-
пряжение Uzomp, то, дойдя до начала линии, она будет иметь
пониженное напряжение
U 1 отр—U2 отр& —^с^2 отр& —отр*
Складывая для начальной точки напряжения падающей
и отраженной волн и, вычитая токи этих волн, мы можем
определить то напряжение и тот ток, который должен в на-
486
Цени с распределенными постоянными
f гл. 9
чале линии давать источник энергии, чтобы напряжение и
ток в приемнике энергии были U2 и /2:
\ornp---
• • • • 14 • " ।
Ui —zi U угад H ‘ U\omp —-U2пад& ” H 'ъотр&
r ~7Z
—e _____________________________________
'3
Uio/np __
~~
—1? 7Z , ~7Z
e —e 1 z e “И _______
2 1 '3 "2" —
г _ 7 7 __U}nad
—*\nad ~ Jiomp— 7
_ 1/2
= sh '{I -j- /s ch i'/.
I (67,3)
—e
Эти уравнения совпадают с уравнениями (65,13).
Как напряжение, так и ток в начале линии могут быть
разложены на две слагающих: одну—так называемую сла-
гающую холостого хода, и другую — так называемую
слагающую короткого замыкания. Первая слагающая напря-
жения и тока в начале линии получается тогда, когда на
конце нет нагрузки (4 = 0), но на конце действует напря-
жение и2
[jw=U2ch-[l и /10=-^-shi/; (67,4)
7 — *Ло _zrch 7Z_ Z^
10 Ло sh th ?Z ’
(67,5)
Вторая слагающая напряжения и тока в начале линии по-
лучается, когда конец линии коротко замкнут (7/2=0), но че-
рез провод, осуществляющий короткое замыкание, проходит
такой же ток, как при нагрузке/3:
Uik—hZr sh и U ch ; (67,6)
Zlk= = ~-Sly- = zc th V. (67,7)
Л/г Chv/
Из уравнений (67,5) и (67,7) следует, что
Zc * Zik* (67,8)
Полные импедансы холостого хода и короткого замыка-
ния Zw и ZtA, выражаются сравнительно просто через харак-г
§ 68 j Гиперболические функции 487
теристическое сопротивление линии (при данной частоте) и
через коэфициент распространения волны 7 и длину линии /.
Таким образом напряжение и ток в начале линии могут
быть выражены как сумма напряжений и токов в начале
линий, когда конец линии разомкнут и коротко замкнут при
условии, что в первом случае напряжение равно напряже-
нию при нагрузке и ток равен нулю, а во втором случае
ток равен току при нагрузке и напряжение равно нулю
u^u^uik.
(67,9)
68. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Гиперболический синус sh и гиперболический косинус ch от какого-
нибудь аргумента х определяются как
ех—е~х ех-]~е~х
sh х= ---------— и ch х —------------
,2 2
(68,1)
причем х может быть числом вещественным, мнимым или являться комп-
лексом из действительного и мнимого чисел.
Когда х — число вещественное, то shx и chx являются также числа-
—g-о £О_|_£-о
ми вещественными. Для х=0, shO= -------------- = 0, ch 0 = —~— = 1.
2 2
sh х — функция нечетная, с переменой знака х, sh х также меняет
свой знак, chx— функция четная, с переменой знака х, chx знака не
меняет. По мере увеличения аргумента sh х и ch х непрерывно растут до
бесконечности, не меняя знака.
Отношение shx к chx представляет собой гиперболический тангенс
th v =
ех—е~х
ех-\-е~х
(68,2)
th х— функция нечетная, которая для положительных х меняется от th xz=0,
когда х=0, и асимптотически приближается к единице, когда х=оо, так как
ех^—е-ъх) 1—е-2*
В справочниках, например Hiitte, приведены числовые значения
shx, ch х и th х для аргументов х—0 до х=6. Для значений х 6 прини-
мают sh x^z ch x^z —, так как слагаемое е-х для х>6 приближается к
нулю. На фиг. 68,1 sh х и ch х даны в виде кривых.
В случае отсутствия таблиц sh х, ch х и th х могут быть вычислены
на основании уравнений (68,1) и (68,2) при помощи счетной линейки, кото-
рая позволяет находить значения ех в зависимости от х, а следовательно
и е-х = 1 :ех.
488 Цепи с распределенными постоянными[ гл. 9
Когда х — мнимая величина, например х — jy,
функции превращаются в круговые:
то гиперболические
=7 sinj\
jy* *<—jy
« . е А_р -
ch jy—------!----— cos_y,
2
> (p8,3)
. sh/y jsin_y
th jy = —- — ---------— j tg y.
ch jy cos^y
Последние соотношения можно пояс-
нить при помощи векторной диаграммы.
Проведем окружность (фиг. 68,2) ради-
усом равным единице, = 1, и прове-
дем два луча О А и ОВ под углами у и
____ jy ------ -J’y
—j1, тогда ОА —е и ОВ — е
Фиг. 68,2.
jy -~iy ____ — — ---
sh jy = е... ~е— = ОА—ОВ = ВЛ = 2 С Л = . sjn у (68
2 2 2 2
по абсолютной величине равна синусу угла у, по направлению же эта
полуразность совпадает с осью 4“ «А т. е- гиперболический синус от
мнимого числа равен круговому (тригонометрическому) синусу от того
же числа, умноженному на /.
Точно так же и гиперболический косинус от мнимого числа Jy мы
можем представить как полусумму двух единичных векторов, наклоненных
под одним и тем же углом ± .у к осиПолусумма совпадает с осью -4-,
а потому гиперболический косинус от мнимого числа равен круговому
косинусу от того же числа без мнимого знака:
jy . —jy —________ ______ ______
ch />= ±£— - = Cos у. (68,
2 2 2 2
§ 68]
Гиперболические функции
489
Рассмотрим теперь гиперболические синус и косинусу от комплекса
х-[-/у. Для этого выразим гиперболические синус и косинус через по-
казательные функции аргумента и разложим на группу членов:
1 x-b/у .у , X
sh (х -\-jv)~—-(е —е )——[е (cosy 4“/sinу)—
2 2
— е (cosy — У sin у)] ~ sh х ch jy 4- ch х sh jy — sh x cosy +/ch x siny;
(68,6)
аналогично
ch (x 4- ;y) = ch x ch jy 4* sh x sh jy = ch x cos у 4- j sh x sin y. (68,7)
Таким образом мы показали, что гиперболические синус и косинус от
комплексов являются также комплексами, которые могут быть представ-
лены в виде векторов. Абсолютные значения гиперболических синуса и
косинуса от комплексов могут быть определены, если взять сумму квад-
ратов их действительной и мнимой частей и извлечь из суммы квадрат-
ный корень:
5= fsh (х -Г jy) | sh2 х cos2у + ch2 x sin2 у=
(68,8)
c— |ch (х+уу)!=У"ch2 x cos2у-p sh2xsin2y =
i/",Ae 2X 1 /" ch2x4-cos2y
= L/ —i---- Ч-'ТГ' (cos2_y—sin2_y) —1/ --“-----’ (68>9)
* 4 2 1/2
По составляющим комплексов могут быть определены также и углы
поворота векторов sh (х4~/у) и ch(x-|-/y). Для вектора гиперболиче-
ского синуса тангенс угла поворота равен
ch х siny __ tg v
tg 5 —-------------Г
shxcosy th x
и для вектора гиперболического косинуса
tg^ = shxsin> =thAtgv
ch х cosy
Таким образом гиперболические синусы, косинусы и тангенсы могут
быть выражены через комплексы:
sh (.v 4- Jv) = s = i f — (ch 2x — cos 2y); tg 5= ,
' |/ 2 thx
ch (x jy) = с/'; с =|/ 4 (Ch 2X C°S 2^’ ~ th X
(68,10)
490 Цепи с распределенными постоянными ' гл. 9
и
sh(x-{ jy) , Л
—---------—
ch (*-Н>)
ch 2х — cos 2у
ch 2x -j- cos 2y
T — a — ;;
tg* = tg(a — £) =
tgq —tg£
1 + tg a tg
tgj' / 1
1 + tg3_y \th x
siny cos y ( e -j-e
cos3 у 4- sin3 у I x -X
\e —e
sin 2y. 4
2 2x —2a
e —e
sin2y
sh 2x ’
(68,11)
Для гиперболических функций существуют соотношения, аналогичные
соотношениям для круговых функций:
ch2 х— sh2 х
sh (х ± у) == sh х ch _у rt ch х sh j’; ch (x 4- у) -= ch x ch_y ct sh x sh_y,
thx + thj' Л x+y , x~+y
X-]~y X—V *+v X—y
ch x 4- ch у = 2 ch----------ch —- : ch x — ch у — 2 sh--------------sh .
1 J 2 2 2 2
(68,12)
Гиперболические функции можно диференцировать подобно круговым.
d sh х ~ ch х dx\ d ch x = sh x dx. (68,13)
Гиперболические функции также могут быть разложены в ряд:
Гиперболические синусы и косинусы могут быть найдены также гео-
метрическим построением (фиг. 68,3).
§ 6S]
Гиперболические функции
491
Предположим, что х и у
изменяются пропорционально
^=а/, X jy — + /а/,
Выражение
Ч jy $l+jal ₽/ jal
е —е —в е —ОА
соответствует вектору О А, уве-
личенному по отношению к
единице в раз и повернуто-
му от начала отсчета (от оси-}-)
на угол al против часовой стрел-
ки. Когда / = 0, вектор равен
единице и совпадает с линией
начала отсчета
По мере увеличения I числовой множитель увеличивается, тем са-
мым увеличивается длина вектора ОА~е^ и одно ременно с ним уве-
личивается и угол поворота al.
Равным образом выражение
г-г-/у e~Jal=OB
соответствтет некоторому’вектору OR, повернутому в сторону отрица-
тельного отсчета углов, т. е. по стрелке часов на тот же угол но умень-
шенному ве^ разбили увеличенному ве = --раз).
Векторы ОА и ОВ своими концами лежат на одной и той же лога-
рифмической спирали, облад юшей тем свойством, что касательная к спи-
рали в любой точке образует с радиусом-вектором постоянный угол ф;
а ту
tg ф = . В полярных координатах уравнение спирали R = ае , где 9—
изменяющийся угол, а ли т — постоянные величины; при изменении
угла на dy ппоекциа элемента дуги на нормаль к радиусу-вектору будет
а* проекция на радиус-вектор
dR
dR = — ame
dy
my , _
dy = mRdy,
а потому
, Rdy
1
m
. my pl 1 у a
в нашем случае y~al; e —e ; откуда tg 6 = = a» —- .
m pi 3
492
Цепи с распределенными постоянными
[ ГЛ. Г1
Таким образом гиперболические синус и косинус от комплекса
^l-X-JCll 3—Z—inl - - - о л
е __е J UA—OB ВА — —
sh (х+ЛУ) = sh ftl-L-jal) —------------g = g = -у " CA=OS ,
2
ch (-<+?»=ch (₽/+Л0
2 ~ 2 - g -ОС
представляют собой: первый — полуразность, а второй—полусумму двух
векторов, отклоняющихся в разные стороны на один и тот же угол от
начальной лини i, концы которых лежат на логарифмической спирали.
Для того чтобы проследить, ка < меняются по величине и фазе
sh(p/_!_ya/) и ch (3Z+/aZ) при пропорциональном изменении действительной
и мнимой частей аргумента, построим логарифмическую спираль (фиг. 68,4)
с начальным радиусом 00= —• в ту и
Л
Другую стороны (в стороны поло-
жительного и отрицательного отсчетов углов) так, чтобы касательная
а
составляла с радиусом-вектором угол ф = arctg——, и проведем 12 лучей
Р
под углом 30° друг к другу так, чтобы углы, которые составляют векторы
01, 02, 03,...\ с линией 00 равнялись 30°, 60° 90°, ... а углы мжду 00 и
0Г 02', 03',... были 30°, — 60°,—90°,... Поворот какого-нибудь вектора
на 30° соответствует изменению мнимой части аргумента на
2л
а-М =—,
12
Затем произведем геометрическое вычитание и сложение векторо в,
имеющих на конце одну и ту же цифру. Например, чтобы определить
гиперболические синус
2 л
косинус для aZ=4a*AZ=, берем два вектора:
о
и
l-di. 2
— la ZaZ i a
04 =— e eJ =— e
2 2
2л
3
. 2л
] 3 — 1
e и 04' = —
• 2
P 2л 2л
e
Если мы из вектора 04 вычтем вектор О1‘, т. е. у конца 04 в точке 4
построим вектор 4S±= — 04, то мы получим OS4 — вектор гиперболи-
ческого синуса, если же у точки 4 мы построим вектор 40^=04',то по-
лучим вектор гиперболического косинуса ОС$.
Таким образом мы мокем построить по величине и фазе sh(₽Z-|-/aZ) и
ch (PZ-|-/aZ) для любого значения Z. Если мы найденные таким образом
концы векторов О, S2, • • Gh С2,. • • соединим кривой, то мы по-
лучим две спиралеподобные развертывающиеся кривые. Кривая векторов
sh (₽Z-|-jil) начинается от нуля и сразу быстро возрастает, кривая
ch (PZ—H/aZ) начинается от точки Со, отстоящей от точки О на расстоянии
единицы, и вначале меняется не так резко, как гиперболический синус.
В пределах от al = 0 до aZ =
л
(точки
О, С2, *$3
и точки Со,
С1,
С2. С3,) гиперболический синус по фазе опережает гиперболический ко-
синус. Из диаграммы видно, что величины векторов гиперболических си-
§ 68]
Гиперболические функции
493
нуса и косинуса то увеличиваются, то уменьшаются, максимумы и мини-
мумы последних сдвинуты примерно на 90° (или четверть волны). С уве-
личением аргументов значения гиперболических синусов и косинусов
приближаются друг к другу как по величине, так и по фазе. Существуют
таблицы гиперболических функций от комплексных аргументов, например,
494
Цени с распределенными Достоянными
[ гЛ. 9
составленные Кеннелли, дающие значение гиперболических синусов, ко-
синусов и тангенсов в виде комплекса, состоящего из вещественной и
мнимой частей, или в виде вектора, т. е. модуля и поворотного угла.
Значения гиперболических функций от комплексных аргументов могут
быть определены и пои помощи счетной линейки на основании уравне-
ний (68,10) и (68,11).
Весьма удобным для быстрого нахождения модулей и поворотных углов
гиперболических функций от комплексных аргументов являются номо-
граммы, составленные Блонделем. В этих номограммах на оси абсцисс
откладывается вещественная часть х переменного аргумента x-\-jy. а по
оси абсцисс — его мнимая часть у. Хотя вещественную и мнимую части
можно откладывать в одних и тех же единицах, но для того чтобы было
удобно отсчитывать sh (v-f-yy) и ch (x-\-jy) на одной и той же номог-
рамме с одной сеткой, мнимую часть аргумента измеряют не в простых
единицах, а в дуговых единицах, или в градусах. На чертеже по оси
ординат отложены градусы, поэтому если, например, мнимая часть равня
аЦ то, чтобы отложить ее на оси ординат, мы должны а/ перевести в
градусы:
360°
2г.
•aZ= 57°,3-aZ = y°.
Каждому аргументу соответствует на плоскости номограммы опреде-
ленная точка. Рассмотрим сначала номограмму гиперболических синусов
(фиг. 68,5). На этой номограмме построены два семейства кривых. Одно
семейство кривых представляет собой совокупность точек, для которых
величина гиперболического синуса имеет один и тот же модуль, другое
семейство кривых — совокупность точек, имеющих один и тот же фазо-
вый угол (аргумент). Для нахождения, например, sh (PZ-J-pZ) мы отклады-
ваем по оси абсцисс х = j3Z и по оси ординат 57°,3-aZ=y0, Эти координа-
ты х и yQ фиксируют определенную точку в плоскости. Величину гипер-
болического синуса (модул ) мы отсчитываем по положению этой точки
между кривыми равных модулей (сплошными кривыми); предположим,
что точка x-[~jyo лежит посретине линий модулей 1,1 и 1,2, следователь-
но, модуль будет равен 1,15. Положение той же точки по отношению к
кривым равных фазовых углов (пунктирные кривые) будет определять
поворотный угол а гиперболического си ’уса. На чертеже кривые равных
модулей проведены с интервалами в 0,2, т. е. мы имеем кривые одина-
ковых модулей 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1 и т. д. Кривые одинаковых фа'овых
углов проведены через 10°. Там, где кривые сильно расходятся, про-
ведены промежуточные кривые для модулей 0,9; 0,95; 0 975; 1,05; 1,075;
1,1 и для фазовых углов 1°; 2°; 3°; 4°; 5° и 10°.
Так как
s=|sh(x4-/»|=
/ch 2х— cos 2у
2
tga=
tg V
th х ’
и
то перемена знака у мнимой части у комплексного аргумента не меняет
величины (модуля) гиперболического синуса, но меняет лишь знак фазо-
вого угла. Поэтому, если учитывать знаки фазовых углов, мы на приведен-
ной номограмме можем отсчитывать гиперболические синусы для комплекс-
ных аргументов в пределах для действительной части — от нуля до -р 3,
а для мнимой—от нуля до±90°.
495
§ 68]
Гиперболические функций
____________ . — - - ——
496
Цепи С ра£предёлеш-1ьгМ1й постоянными
[ гл. 9
Е ели х>3, то можно с достаточной для практических целей точно-
стью считать
ех jy
sh (х+/»=^ch (х Ну) — -е ,
и модуль равным
е*
а поворотный угол _у°=57°,3-al.
Номограмма гиперболических синусов от комплексного аргумента
может также служить для нахождения гиперболических косинусов от
комплексных переменных, если мнимую часть аргумента выразить через
тс гс т:
его дополнение до 90°, или —— , т. е. у— -——у и у' = —
2 2 2
ch (x\-jy)=^ ch
-jy’ -X-J — Л-jy'
p 2. i 9 I Az
e_______ 4-g_________2
2
x—iy' —(x—iy')
e — e
----------2----------
= /sh (x—jy')=j sh
Абсолютное значение (модуль) гиперболического косинуса от комп-
лекса x-j-'jy равно модулю гиперболического синуса от х—»
а так как при перемене знака мнимой части модуль гиперболического
синуса не меняется, то для получения модуля ch (х~р jy) мы должны
Г I 71 \'
найти на диаграмме гиперболических синусов модуль sh х + J ( ~-—у \ .
Что касается поворотного угла £ для гиперболического косинуса, то
/ гс \ th х 1
tgs=thxtgjz==thxtg(--yJ= —=—-
; он ра-
вен дополнительному
ческого синуса от х-\-]
до 90° углу от поворотного угла гиперболи-
. Кривые равных поворотных углов для
гиперболических косинусов будут те же, что и для гиперболических
синусов, только углы, которые соответствуют гиперболическим косину-
сам, будут дополнительными к углам гиперболического синуса. На диа-
грамме они указаны в скобках.
Когда мнимая часть у комплексного аргумента х+/у = PZвы-
раженная в градусах, больше 90°, то мы гиперболический синус заме-
няем гиперболическим косинусом, и наоборот
sh (х-\-jy)~sh
। / гс . Д
л' + Д-2'+-У /
ГС ГС
x+Jir+jy - х - -/у'
е 2 — е 2
2
-У ch (х+ ; ch
[., + ;(,- 1)];
cos(x-f-jfy) = /sh p+jh- —
§68]
Гиперболические функция
497
Множитель j в правой части этих соотношений указывает, что для
получения искомых поворотных углов поворотные углы правых частей
должны быть увеличены на 90°.
Если мнимая часть у больше л, или 180°, то
sh (х + /» « — sh [х (у — я)] и ch (х+/у) = — ch [х+/(^—-л)] и т. д
Таким же образом, как и номограммы гиперболических синусов и
косинусов, построена номограмма гиперболического тангенса (фиг. 68,6).
Действительная часть заданного комплексного аргумента откладывается
по оси абсцисс, а по оси ординат *—мнимая часть аргумента, переведен*
82 К, А* Круг, т. II.
498
Цепи с распределенными постоянными
[гл. §
ная в градусы. В номограмме имеются два семейства кривых: (сплошные)
кривые равных модулей и (пунктирные) кривые равных поворотных уг-
лов. Для заданного комплексного аргумента x-\-jy находится точка на
номограмме, соответствуют.я этому аргументу и по положению эт й точ-
ки по отношению к кривым номограммы определяются модуль и угол по-
ворота.
На фиг Ь8,6 представлена номограмма гиперболических та тенсов.
Как и в номограммах slur исИх, на оси абсцисс отложены вещественные
значения х, а по оси ординат мнимые значения у, переведенные в гра-
/ Л 360 \
дусы = -у—У )' ^плошными линиями вычерчены кривые равных
модулей, пунктирными — кривые равных фазовых углов-
69. ПЕРЕДАЧА ЭНЕРГИИ ПО ЛИНИИ БЕЗ ПОТЕРЬ
Для линии без потерь (г0 —0 и gQ = 0) коэфициент рас-
пространения волны и характеристическое сопротивление
волны выражаются через
7 = ₽ +/ а = У%Е0 — / (/"о +/(й^о)(^р+АСо) =
—]<х>УцСй =Ja, р = 0,
а~и>У~ЦС~й~v — -±=,
00 v V ер.
Z. — -s/— ro+JM^
V y0 V go+j^o
(69,1)
(69,2)
Если значения у и zc подставить в уравнения (65,13) на-
груженной длинной линии, то получим
Uх —U2 ch fZ + zch sh ‘7 — U* chM + zc h sh Jal =
= UZ cos aZ4~/44 sin al, (69,3)
4 = — sh -{14- Z2 ch — zcU2 sh Jal 4* 4 ch Jal =
Zc
—lzc • Z/2 sin aZ 4* /2 cos al. (69,4)
Рассмотрим сначала отдельно холостой ход и короткое замы-
кание.
При холостом ходе, когда линия на конце не нагружена,
4=0.
Z/io — Z73cosaZ, lw = jzc- Z73sinaZ, (69,5)
напряжение между проводами во всех точках линии имеет
одну и ту же фазу, совпадающую с фазой напряжения на
конце линии или прямо противоположную фазу (когда aZ>—)
§ 69 j
Передача энергии по линии без потерь
499
Во всех точках (для разных значений I) напряжение одно-
временно достигает своей амплитуды и ^одновременно прохо-
дит через нуль, но сами амплитуды К 2 U2 cos а/, как и
эффективные значения t/2cosaZ, меняются в зависимости
от расстояния / от ко ца по закону косинуса. Вдоль линии
получается стоячая волна с пучностями на конце и во всех
точках, для которых а I = 0, к, 2 тт,3 я,.. -, или I 0, у, X...
г к 3 к 5 с
и с узлами в точках, для которых al— —, ~. или
г X 3 к 5 л 2 л 2 с v v
I — —f —, —,.так как -—=------------=—=л.
4 4 4 а со /
Равным образом и ток во всех точках ненагруженной ли-
нии без потерь будет иметь одну и ту же или прямо противо-
положную фазу, опережающую по времени фазу напряжения
в той же точ<е на четверть периода (/ — е 2), имея всегда
значение нуль на конце и изменяясь по мере удаления от
конца по закону синуса, образуя также стоячую волну с
узлами на конце и в точках, отстоящих от конца на четное
число полуволн. Стоячие волны напряжения и тока сдзинуты
своими узлами и пучностями друг относительно друга на
четверть длины волны.
Так как значения напряжения и тока в любой точке коле"
блются со сдвигом фаз в четверть периода, то мощность»
потребляемая линией без потерь конечной длины, открытой
на конце при установившемся режиме, равна нулю:
Ло ~ t/юЛо cos — 0.
Следует отметить, что при отсутствии потерь, когда длина
линии менее четверти длины волны, напряжение на конце
линии С72 может быть во много раз больше, чем напряжение
£710, питающее линию, и теоретически, когда Z = —, al=~,
напряжение в начале линии может равняться даже нулю,
или, другими словами, при очень малых напряжениях в начале
линии мы можем получить весьма значительные напряжения
в конце, что, например, имеет место в прямолинейных антен-
нах, когда высота антенны равна нечетному числу — -
При коротком замыкании линии без потерь (£/2 = 0):
-7-/3 sin aZ, /и=/2 cos al. (69,6)
32*
500
Цепи с распределёй1йыйй постойнйЫмй
[ гЯ. §
Токи во всех точках линии имеют одну и ту же фазу,
совпадающую с фазой тока на конце линии, или фазу, прямо
противоположную; напряжения во всех точках также будут
иметь одну и ту же или прямо противоположную фазу, но
фаза напряжения будет опережать фазу тока на четверть
периода (или тока в каждой точке будут отставать по фазе
ог напряжения на четверть периода).
Распределения кривых напряжений и токов вдоль линии
при коротком замыкании в последовательные моменты вре-
мени также образуют (каждое) стоячую волну, как и при
Хэл ост ом ходе, с той разницей, что при коротком замыкании
кривые значений напряжения будут иметь на конце всегда
узел, а кривые распределения токов — пучность.
Средняя мощность, поступающая в линию без потерь при
коротком замыкании на конце, равна нулю.
При коротком замыкании ток в начале линии может быть
и меньше, чем в конце, и теоретически, если длина линии
равна нечетному числу ток в начале линии может рав-
няться нулю.
Распределение напряжений и токов вдоль линии без по-
терь при нагрузке можно получить, если найти в каждой
точке д 1Я данною момента напряжения и токи при холостом
ходе и при коротком замыкании, а затем д я каждой точки
определить сумму этих векторов напряжений и токов при
холостом ходе и коротком замыкании:
£7, = и10+й1к, (69,7)
При неиндуктивной нагрузке (cos ?=!) напряжение и ток
на конце совпадают по фазе: (73=£/3, /3 = /3. Напояжение
и ток в каждой точке будут состоять из двух взаимно пер-
пендикулярных векторов:
t/j=£/3 cos а/ -J-/г/з sin al—U\ -f-jU'\, (69,8)
иг—VUcos2a/ -|- гсг1^ • siotal,
4=faU2 sin al + 4 cos al — 4"/А, (69,9)
li=Vz<?U sin2aZ-J~42 cos2 a/.
Если построить векторы напряжения и тока для точек, отсто-
ящих на разных расстояниях I от конца, т. е. для разных al,
при Z73 = const и /3 = const, то концы этих векторов будут
лежать на эллипсах, ибо
(Ру+(С1)- = 1 „ (69.Ю)
XV2 / \ 2(^2' \ ‘2 / \ ^2 /
§69]
Передача энергии по линии без потерь
501
На фиг. 69,1 вы чер-
чены соответствующие
эллипсы: через точки
7, 2, 3... об значены
концы векторов напря-
жений в точках, отсто-
ящих от конца на —,
2-^-, 3—..., что со-
12’ 12
ответствует сдвигу
фаз или значениям а/,
равным 30°, 60°, 90°..
а через точки 2', 3'...
положение соответ-
ствующих концов век-
торов тока. При cos<?2=l
в пределах первой чет-
верти волны Ux отста-
ет от 1и в пределах
второй четверти волны
Ux опережает Д.
При сдвиге фаз на
конце линии эллипсы
напряжений и токов,
сохраняя свою форму,
повернутся своими ося-
ми при индуктивна й на-
грузке против часовой
стрелки, как это пока-
зано на фиг. 69,2, при
емкостной нагрузке они
повернутся в обратную
сторону.
Когда сопротивле-
ние приемника энергии
по своей величине равно характеристическому сопротивлению
волны:
U1 = U2(cosal-\-f sinal\ UX=U2\^
7f=72(zsinaZ-|-cdsaZ), IX=I^ cos2aZsin2a/ =/2,
(69,11)
напряжение и ток во всех точках будут иметь одно и то же
значение (эллипсы будут иметь форму окружностей), они В
502
Цепи с распределенными постоянными
L гл. 9
каждой точке линии будут совпадать между собой по фазе,
а угол сдвига их по отношению к напряжению и току в
конце линии будет изменяться пропорционально расстоянию
jj.1
от конца (cosa/-|-/sinaZ = e ). Концы векторов напряже-
ния и токов будут лежать на окружностях.
Так как в рассматриваемых линиях нет потерь, то мощ-
ность, проходящая через любое сечение линии, будет иметь
постоянное значение и будет равна мощности, потребляемой
приемником энергии.
Особый интерес представляет собой передача энергии на
расстояние, равное четверти и половине длины волны.
т-т j__ \ ._2 тс X __ тс
При Z=— или -------------j-™— напряжение и ток вна-
чале линии будут:
— i2s\nal—J'Zi /2, I
I^j-zc-U2 sinaZ4V3cosaZ=y-zr‘L/2. J
(69,12)
В этом случае векторы напряжения в начале линии про-
порциональны току в конце линии, а ток в начале линии
пропорционален напряжению в конце линии, при этом Соот-
носительно /2 и 0 относительно U2 повернуты на 90° против
часовой стрелки, и для поддержания на конце постоянного
напряжения U2 необходимо в начале линии поддерживать
постоянным не значение напряжения, а значение тока /х, на-
подобие того, как это имеет место в схеме Бушеро.
При длине линии, равной полуволне Z = -~, или а/=
2т: X
=———=я, напряжение и ток в начале линии:
ij1~U2cosal’-[-jzc!2sinal= — U2i
1\ —jzcU2 sin al -J- /2 cos al — — /2.
(69,13)
равны по величине и противоположны по фазе напряжению
и току в конце линии, т. е. если не считать поворота век-
тора на 18)°, питание приемника энергии от источника энер-
гии происходит таким образом, как будто бы самой линии
передачи совсем нет.
§ 70]
Передача энергии по линии с потерями
Такая передача энергии имеет лишь теоретический инте-
рес, так как, во-первых, линии без потерь не осуществимы,
а во-вторых, при технических частотах, /=50 Hz, и нормаль-
ном выполнении линии длина волны равняется около
з.к»5а
v sec
J 5<Л
сек
6 000 km.
Если бы можно было путем применения нескольких парал-
лельных проводов увеличить емкость единицы длины Со при
холостом ходе и включением через равные промежутки до-
полнительных реактивных катушек увеличить индуктивность
единицы длины £0 и тем самым уменьшить фазовую скорость
и уменьшить длину волны
1 . v 1
... ..t As- -----
Л A . . <
то все же — и — были оы значительно больше тех расстоя-
ний, на которые производится в настоящее время передача
энергии при технических частотах.
70. ПЕРЕДАЧА ЭНЕРГИИ ПО ЛИНИИ С ПОТЕРЯМИ
Напряжение и ток в каждой точке длинной линии, нагру-
женной на конце, слагаются из значений напряжений и токов
при холостом ходе и коротком замыкании.
Напряжение и ток при холостом ходе
4710=t/ach7/ и /10=-^shf/. (70,1)
Представление о распределении напряжений и токов вдоль
длинной линии при холостом ходе, а также угла сдвига между
ними можно получить при помощи векторных диаграмм, если
построить в полярных координатах кривую концов векторов
напряжений и токов холостого хода (фиг. 70,1).
Для этого мы от какой-нибудь линии, например, гори-
зонтали, строим, как было указано в § 68, в полярных коор-
динатах (фиг. 68,4) кривую концов векторов холостого хода
(710=(72 chf/так, чтобы начальный вектор равнялся не еди-
нице, а и^тц'ОО^. Пусть точки Сх, С3, С3 соответствуют
2я X
интервалам в ~ считая от конца длинной линии.
504
Цепи с распределенными постоянными
[ гл. 9
Для построения кривой концов векторов токов холостого хода
т и2 V 1 U- U 1
/0= ~ shy/ — ~е shy/ мы за исходную линию должны
£ Zc
взять не горизонтальную линию, а линию OS12, наклоненную
по горизонтали под углом — 0 (насколько угол & в длинных
линиях имеет обыкновенно отрицательное значение, угол—$
должен быть отложен против часовой стрелки), и от этой
линии построить кривую — shy/, согласно § 68, взяв за ис-
ходный вектор не единицу, а —. В построенной кривой тока
Zc
точки 52, 53 соответствуют концам векторов тока холо-
стого хода в точках, отстоящих друг от друга на
Из этой диаграммы мы видим, что при холостом ходе на-
пряжения по мере удаления от конца сначала уменьшаются, а
токи увеличиваются до тех пор, пока напряжение не достиг-
нет некоторого минимума, а ток—максимума, после чего
напряжение начинает возрастать, а ток падать и т. д. Мак-
симумы и минимумы, постепенно сглаживаясь, чередуются
через интервалы в полуволну, причем максимумы напряжения
сдвинуты на четверть длины волны по отношению к мак-
симумам тока.
Из этой же диаграммы видно, что~на протяжении первой
четверти длины волны, благодаря отрицательному^знцченц^д Q
§ 70]
Передача энергии
по линии с потерями
505
вектор тока холостого хода
опережает вектор напряже-
ния холостого хода (векторы
OS2, OS3 опережают
векторы ОСи ОС2, ОС3). Да-
лее ток отстает от напряже-
ния (О54 и О55 отстают от
ОС4 и ОС6), и, начиная с
третьей четверти, ток хо-
лостого хода опережает на-
пряжение, причем угол сдви-
га приближается к углу 0.
Числовые значения напряжений и токов вдоль линии могут
быть определены, если заменить chfZ и sh \1 их модулями:
0io=|02 ch @Z4-/aZ)[ •= О3 -L.(ch 2 pZ-J-cos 2 aZ)
/10 = |-£-3 sh (₽Z + fa I) j 4~(ch 2 cos 2 aZ)
(70,2)
На фиг. 70,2 построены кривые ch2j3Z и cos2aZ в зави-
симости от Z, а также кривые ch2p/ztcos2aZ, ординаты
которых пропорциональны (7^ и Из этих кривых отчет-
ливо видно, vT0 ^io и меняются с чередующимися мак-
симумами и минимумами, причем в общем значения их посте-
пенно увеличиваются, и отношение максимума к минимуму
постепенно приближается к единице.
Подобным же образом, как и при холостом ходе, может
быть найдено распределение токов короткозамкнутой на конце
длинной линии
Ulk—Zcl2sh\l и/1Л = /2сЬ^ (70,3)
путем построения векторных диаграмм.
При построении кривой /2 ch V с целью ее дальнейшего при-
менения следует за начальный вектор кривой /2 ch 7Z вы-
брать вектор 1\ = тгО12, наклоненный к горизонтали под уг-
лом <р2, соответственно сдвигу фаз при нагрузке. В приве-
денных на фиг. 70,3 кривых одинаковые индексы у концов
векторов токов С и напряжений 5 соответствуют одним и
тем же точкам, удаленным друг от друга на расстояние
Из этих кривых видно, что при коротком замыкании на конце
напряжения, считая от конца, сначала уцелцчипаются от нуля,
506
Цепи с распределенными постоянными
[ гл. 9
Фиг. 70,3.
атоки уменьшаются; на расстоянии примерно четверти волны
напряжение достигает своего первого максимума, а ток—сво-
его первого минимума, после чего напряжения по мере уда-
ления от конца уменьшаются, а токи увеличиваются и т. д.
Минимумы и максимумы напряжений и токов будут чередо-
ваться через промежутки, равные кратным длинам полуволны,
максимумы напряжения и тока сдвинуты между собой на
четверть длины волны. У точек, близких к концу, напряже-
ние опережает ток, затем угол сдвига то увеличивается, то
уменьшается, приближаясь по:ле нескольких полуволн к
углу
Численные значения напряжений и токов могут быть вы-
числены также по формулам:
£71A=|Zt/3 sh (₽Z+/a /) | ~zcl, у_l_(ch 2 31 — cos 2 al)
Aft— ch (P7 + /«/) I — А|/Г-|~(ch2 p/-f-cos 2 a/) ,
(70,4)
§ 70 ] Передача энергии по линии с потерями
507
На фиг. 70,4 построе-
ны кривые ch 2р/ и cos 2а/,
а по ним—кривые ch 2,3/гр:
qz cos 2aZ, пропорциональ-
ные и i\k— квадра-
там напряжений и токов
при коротком замыка-
нии. Эти кривые име-
ют такой же характер,
как и кривые U\Q и 7^
(фиг. 70,2), с той разни-
цей, что при коротком за-
мыкании мы имеем на конце максимум тока и нуль напря-
жения, а при холостом ходе—наоборот.
Чтобы получить распределение напряжений и токов вдоль
линии с распределенными п ,стоянными (r0, Zo, и Сп), на-
груженной на конце, мы должны геометрически сложить по-
лученные выше значения векторов и напряжений и токов при
холостом ходе и при коротком замыкании:
ux~uz ch v+iz sh ti=ux 0+6'U)
/i = ^shl/+/3chY/=: /;0+4.
(70,5)
При наложении (фиг. 70,5) диаграмм (фиг. 70,1 и 70,3) напря-
жений холостого хода и короткого замыкания начальные ли-
нии кривых Ur, ch '[Z и Zc/3 sh yZ должны быть сдвинуты между
. . ------ft)
собой на угол между U. = U3 и Zcl3 — ZcI3e ' ,т . е. на
угол ?2—& по стрелке часов.
Фиг. 70,5.
508
Цепи с распределенными постоянными
[ гл. 9
Складывая на фиг. 70,5 векторы ОСЬ ОС2 ... фиг. 70,1 и
векторы OS19 О52... фиг. 70,3
и1=ти (рс1 -X-'OS1')=^mu • (рСх + С^?')=/иу• Ой\
и"= ти• (ОС2 + OS3)— ти- (ОС2 + Cjj")= ти • О?7",
Un,= ти (OC8+OS3)= тц (OC3-[-C3u"r)= rnjOU"1.
и т. д., мы можем построить векторы напряжений для точек,
12 3 г.
отстоящих от конца на—; —, -------;... длины волны. На-
12 12 12
чальные векторы отложены под углом —8, в предположе-
нии, что угол 8 имеет отрицательное значение.
Таким же образом могут быть найдены векторы токов
(фиг. 70,6). Для этого накладываем друг на друга диаграммы
токов при холостом ходе и коротком замыкании (фиг. 70,1
и 70,3) так, чтобы начальная линия для диаграммы холостого
хода составляла бы с горизонталью угол—8, а начальная
линия диаграммы короткого замыкания угол — <ра> так как
Фиг. 70,
Передка эпергйи по лйнйа с потерями
so§
§ ?0i
Z3=Z3e ‘^2. На фиг. 70,6 принято, что угол & имеет отрица-
тельное значение. Затем складываем векторы равноудален-
ных от конца точек
/= ntj• (UCi+ • (OCl=~C^f)= mf "of,
/'= m, (OC3+O52)= mt • (OC2 -\-ОС2/Г)=тг • 01 ",
l"l= mt • (Оё34-аГ3)= m, (00^-0^'")= m, • o7 w.
В заключение укажем, что уравнение длинной линии (65,13)
для постоянной нагрузки, определяемой векторами О., и /2 t
могут быть преобразованы следующим образом:
Ui=Uz ch yZ Zc /а sh у I =M sh (b -J-.yZ) = M sh b ch yZ+
M ch b sh f I,
ix = sh fZ + 4 ch y/=AZ ch (b + yZ) =
= ZVsh b sh yZ 4" Mh ch "l/-
Приравнивая соответствующие коэфициенты при ch yZ и
shvZ:
Mshb= U2-, Mehb = Zj2,
Kshb = ~?-; ZVchZ» = /2,
мы находим, что
Л. A U2 23 г2 Лт2—&) , Л
th Ь — —т- = v- — — е =te ,
ZJ2 Zc zc
M=^hv.
sh b ch b
После подстановки значений Af и /if уравнения длинной
линии приобретают необычайно простой вид:
[)i= U2 sh (b+tl) j _ h ch (H-lO (70 6\
sh/> 1 ch b ‘ \ )
Особого внимания заслуживает передача по линии так
называемой натуральной мощности, что имеет место,
когда сопротивление приемника энергии по величине и фазо-
вому углу согласовано с сопротивлением волны в линии, т. е.
когда
Z2= Z2 = Ze и ?2=».
Цепи с распределенными постоянными [гл. Ф
Напряжение и ток для такой линии определяются следующим
образом:
Ul = U2,c^\l^Zjis'a\l=U2(zh^l-irsh\l) —U^ =
, f Л/
=U 2 е -е ,
/ —^shv/4-4chiZ = /2(shT/H-chy/)— (70>7)
Zo
--/2 '
6 этом случае в каждой точке линии напряжение и ток на-
ходятся в таком же отношении, как(72к /3
^- = ^=Z^ZC (70,8)
h h
и сдвинуты между собой на тот же угол с?2— По мере
удаления от конца, концы векторов U1 и Д описывают лога-
рифмические спирали, начальные линии которых сдвинуты
на угол Поворот вектора на 360° соответствует рас-
стоянию равной длине волны. Чем меньше затухание, тем
меньше расходятся спирали, при р = 0 спирали превраща-
ются в окружности, как это мы имели в предыдущем пара-
графе в линии без потерь.
Так как< (t7b Л) — <С (^2» 4)» то посылаемая в линию
мощность будет:
Рх = U1I1 cos 9 = UJ2 cos & Л1=Р2 е (70,9)
и коэфициент полезного действия линии определится через
^2—
(70,10)
71. НАХОЖДЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ ВОЛНЫ И ЛИНИИ ПО ОПЫТАМ
ХОЛОСТОГО ХОДА И КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ
По данным измерения напряжения, тока и мощности при
холостом ходе 7710, /10 и Р10 —7710 /10cos©10 и при коротком
замыкании Ulk, llk и Р^-^и cos мы можем найти полные
сопротивления холостого хода и короткого замыкания:
Uio /?1о /®ю и1я j*}k
10 (7М)
(ввиду того, что при холостом ходе ток может опережать
напряжение, угол <р10 может иметь отрицательное значение).
На основании уравнений (67,5) и (67,7)
^ю— th и %ik = th у/,
§ ] Нахождение постоянных волны -и линии 511
которые мы умножаем и делим друг на друга, мы может
определить (для данной частоты) величину и поворотный
угол характеристического сопротивления волны:
7 —iZv Z —f о Атю+Т1я)
— V Zio^ik—' ziozike
j (У’пЧ-УНг)
=/z10ZiS е 2 —Zce}
(71,2)
где
th 7/ —
а также гиперболический тангенс 7/:
> 1/ _
F
у ?to~yife
е 2 —te.
(71,3)
или по
Значение аргумента проще всего определяется
таблицам, или по номограмме гиперболических тангенсов. В
последнем случае ищем на номограмме положение точки,
лежащей на пересечении кривых модулей i— у' и пово-
г 210
ротных углов , и по положению этой точки опре-
деляем соответствующую ей абсциссу pZ и ординату (aZ)°,
которую приводим к дуговым единицам _
PZ и aZ можно также определить, решая уравнение
7' — tl Ы .
е —е е — 1
27/, , ’
е 4-1
th 7Z —
7'. -7/
е е
которое дает соотношение
2f/ 23/ 2/я/ 1-f-thfZ
е =е е ,
1 — th 7/ ’
позволяющее вычислить в отдельности pZ и al.
Зная р и а, а также Zc, нетрудно определить постоянные
линии r0, Lo, g0, Со. Так как
(71,4)
и
7
Zc
(71,5)
812
Цепй с распределенными постоянными
[ гл. 9
то на основании уравнений
(₽+fa)(re + /X) = ₽ГС — ахс +J(arc + $хс) = г10 +/х10
И
Р+Л . r—jXC РГс+^с I у ^ГС—?ХС
rC~\~JXC ГС JXC Z“c
— giarHbio
мы можем вычислить постоянные линии
г^ = ^гс — ахс и х]о = о)Ло = агс-|-^
?Ге+ахе аГс~?хе
zc& и Z>10—соСо— ,
£10=
(71,6)
Этот способ нахождения постоянных линии и волны по
ного напряжения мы
данным холостого хода и корот-
кого замыкания дает правиль-
ные результаты только в том слу-
чае, когда напряжения и токи имеют
синусоидальную форму.
Укажем еще здесь, что по дан-
ным опытов холостого хода и корот-
кого замыкания можно опреде-
лить напряжение и ток в начале
линии для любой нагрузки. Из со-
отношения
£Д>с11 у/ U2 (71 7)
Лй ^2 СЙ у/ 4
следует, что угол между векторами
£/10и/1А равен углу между векто-
рами U2 и /2.
Поэтому для построения соот-
ветствующей диаграммы первич-
должны у вектора U10==niu-OUlQ
(фиг. 71,1) под углом <р2 построить вектор О/1А, аза-
тем под углом <р1А к нему построить вектор напряжения
короткого замыкания U}k=ma-0Ulk.
Геометрическая сумма
U^m^OU^OO^m^UU^
дает первичное напряжение. А если под углом <р10 к О£710 по-
строить вектор 710=/nz-O/10 и сложить его с вектором /’iA=
= /п1>О/1А, то мы получим первичный ток
A=Ao+4=»iz - 01^т-г01^те01 ъ
§ 72] Упрощенные формулы для расчета линий электропередач 513
Аналитически первичные напряжение и ток могут быть
вычислены по формулам, вытекающим непосредственно из
диаграммы:
£Л= U\^UwUlk cos (?u+?7), (71,8)
Л== +" j2ik ~Ь cos (?io + %). (71,9)
а мощность по формуле
' Л=^1(/10 cos cos cos %+
+CW10 cos(?ia4"?io %)• (71,10)
72. УПРОЩЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ЛИНИЙ
ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧ
В технике сильных токов при расчете линий, передающих
энергию на далекие расстояния, задаются обыкновенно на-
пряжением на конце' линии L73 и нагрузкой при соответствую-
щем коэфициенте мощности, что позволяет определить по
величине и фазе ток на конце линии /2.
Нахождение по этим данным напряжения и тока в начале
линии по формулам не представляет никаких затруднений,
особенно если пользоваться таблицами или номограммами
гиперболических функций от комплексных переменных. Однако
на практике применяют более упрощенные формулы для
аналитического расчета линий.
Эти формулы, составленные в свое время Блонделем и
введенные в практику Штейнметцем, вытекают из точных
формул, если гиперболические функции sh у/ и ch у/заменить
соответствующими рядами, ограничившись лишь первыми
двумя членами, что допустимо, когда третий член разложения
исчезающе цал:
sh и chy/^l-f-—-. (72,1)
Подставляя эти значения в основные формулы и учиты-
вая, что
T = /V7;Zc=j/’А; Z(1=Z0 и -^-=Г0,
мы получаем две формулы:
= <71(1 + ^)+w(1 + ^); (72,2)
33 К. А. Круг, т. II.
514 Цепи с распределенными постоянных! и (гЛ. $
л^£(1+^)+?>(1+^) =
=iw(i+TWi+^)- <72'3>
Встречающаяся в этих формулах величина Zo( представляет
собой произведение полного сопротивления единицы длины
на всю длину линии, т. е. полное сопротивление всей линии
без учета параллельно присоединенных проводимостей. Обо-
значим такое полное сопротивление через Zal—Za
Равным образом и УО/=УЛ представляет собой полную
проводимость всей линии для случая, если бы вся эта про-
водимость была сосредоточена в одной точке и сопротивле-
ние и индуктивность линии не оказывали бы влияния на
распределение токов проводимостей.
Подставляя ZA и Уя вместо Z0Z и Уй1, мы получаем сле-
дующие упрощенные формулы для расчета линий:
(1+ 1,гл (1+; (72,4)
л =» щул (1++/3 (1+• (ад
Эти формулы при частоте /~50 Hz дают ошибку в опре-
делении для расстояний порядка /—200 km до 2%.
. Длинная линия представляет собой четырехполюсник, ко-
торый может быть замещен схемами с сосредоточенными
сопротивлениями и проводимостями. Схемы замещения дол-
жны быть так подобраны, чтобы при всех нагрузках было
такое же соотношение между напряжениями и токами на
первичной и вторичной стороне, как и в рассматриваемой
длинной линии.
Так как длинная однородная линия симметрична относи-
тельно своих концов, то схема замещения должна быть также
симметрична и для нее, как для симметричного четырехпо-
люсника, должно иметь место соотношение:
^1 = Л//2+5/2,
(72’6)
причем А2—ВС=1.
Всякий симметричный четырехполюсник, у которого отдель-
ные элементы подобраны таким образом, что
Л = сЬу/,В = 2£8Ьу/,С=-^Д,
может служить схемой замещения длинной линии.
§'72 ]• Упрощенные формулы дЛя расчета линий Электропередач 51S
Положим, что требуется заместить длинную линию с
Z Z
двумя продольными импедансами — и — в линии и с по-
перечной проводимостью Y в середине между ними в ответ-
влении (фиг. 72,1)
При холостом ходе напряжение между точками 2 и 2'
и А и В равно £/2, ток в ответвлении равен УТ/2, падение
Z.Y '
напряжения между точками / и А — U2 и напряжение между
точками /и V
ZY . .
— £У2 = AU^U2 ch у/
или
^-=Л=Ц- ch у/.
(72,7)
(72,8)
С другой стороны из сравнения токов холостого хода в
схеме замещения и в длинной линии вытекает
/1О=СС73 = КС7з= р sh у/.
Из последних двух уравнений могут быть определены
элементы Т-образной схемы замещения
у_ shjZ
(72,9)
П-образной
7 _ 2 (ch yZ—1; 2 (ch yZ-1) _ 2(A-1)
~ Y ~ sh7Z c~ C
Если требуется заместить длинную линию
схемой (фиг. 72,2) с продольным сопротивлением Z1 в линии и
с поперечными проводимостями — и -• в ответвлениях по
концам этого сопротивления, то при холостом ходе ток в правой
36*
(72,10)
516
Цепи с рас1йреДёЛёйньши йостояййёШй
[ гл. 9
у/ ♦
проводимости будет yZ72, падение напряжения в сопротивле-
Z'K' •
нии Z' будет равно и напряжение холостого хода при
напряжении U2 на конце
{/10 = С73-Ь — U2 = AU2= U2 ch TZ
или
= 1 + ^22—д = сЬт/. (72,11)
U2 2
При коротком замыкании вторичных клемм £/3=0, напря-
жение на первичной стороне при токе /3 будет
(jlk=B’Ia=Z'i9 = Zci2 shy/. (72,12)
Из двух уравнений Z' и F' для П-образной схемы опреде-
ляются через
Z'= Zc sh у/= 5', (72,13)
р — 2(chT/-l) _ 2(4-1),
Zc sh 7/ В ’
(72,14)
При решении практических задач нахождения Т- или П-
образных схем замещения можно пользоваться упрощенны-
ми формулами, вводя так называемые коэфициенты
Кеннеди, равные
и
2(chy/—1)
7I sh 7 I
у2/2 . о2/2
—— J -4— -
12 1 12tf
(72,15)
YZ4_ W_i_
7/ ф 6 6v2’
(72,16)
так как в формуле для у
у =/Zo Ко=/ (r0 4-/o>£o)(go
§ 72] Упрошенные формулы для расчета линий электропередач 517
обыкновенно gQ и г0 во много раз меньше о)А0 и шС0, то в
коэфицлентах Кеннеди можно 72 приравнять 72——w2Z0C0=
со9
=----— , и последние получают весьма простую, приведенную
в уравнениях (72,15) и (72,16) форму для расчета, где для
воздушных линий v — с = 300 ОСО .
sec
Учитывая, что
/Л Г(/—— Гл -\~}Хл —£д
представляет собой полное сопротивление линии, а
£ =Y0l=g9l+^Cal=gjl +jba
ч/ ZQ
V Fo
представляет собой полную проводимость между проводами
всей линии, мы получаем следующие упрощенные формулы
для вычисления элементов Т-образной схемы [см. (72,9) и
(72,10)]
as Z K^—Zf 1+ — \
е| yZsh^Z " л\ 12у2/
И
у_____________________'jl sh у / ___ у _у (. \
~ Zefl ~~ Л 2 r?V 6v2 /
(72,17)
и для П-образной схемы [(см. (72,13) и (72,14)]
z'=zc у /s-^ zk.=гл fi——) 1
с 1 т/ л ' л V 6у- J I
2<ch yZ— 1) __у к _г Л . щзрх [(72,18)
Zc tlsh^l л 1 Л\ "I- V2 / J
Замена длинной линии с распределенными постоянными
Т- и П-образными схемами с элементами, подсчитанными по
формулам (72,17) и (72,18), дает одинаковые по точности ре-
зультаты.
При точном расчете передачи энергии, состоящей из по-
вышающего трансформ .тора, линии и понижающего транс-
форматора, удобно, чтобы не делать промежуточных подсче-
тов, привести всю электропередачу к одной П-образной схе-
ме. При этом мы оба трансформатора также заменяем экви-
валентными схемами.
На фиг. 72,3 показано, в какой последовательности де-
лается трансфигурация. Сначала Т-образные схемы транс-
518
Цели с распределенными постоянными
[ гл. 9
Фиг. 72,3.
форматоров преобразовываются в П-образные схемы. Затем
соприкасающиеся в схеме параллельные проводимости П-
образной схемы линии складываются. После этого получаю-
щееся в середине П-образное соединение заменяют Т-образ-
ным и, наконец, Т-образное соединение, которое образуется
с другими сопротивлениями у краев схемы, заменяют П-об-
раавдм соединением и додубающиеся вд концах прододимоста
§ 72] Упрощенные формулы для расчета линий электропередач 519
складывают с ранее полученными. Таким образом вся система
передачи энергии, состоящая из трансформатора, линии элек-
тропередачи и трансформатора, приводится к единой П-образ-
ной схеме.
Приведенные в начале этого параграфа уравнения могут
служить также для решения обратной задачи—замещения
данного симметричного четырехполюсника эквивалентной од-
нородной линией с равномерно распределенными параметра-
ми, причем в линии могут быть включены последовательно
элементы емкости, а в ответвлении и элементы индуктивности.
Такое замещение весьма облегчает рассмотрение цепо-
чечных схем, когда мы имеем цепочку последовательно соеди-
ненных симметричных четырехполюсников (фиг. 72,4).
Если для одного элемента цепочки, взятого независимо
от других, отношение между первичным и вторичным напря-
жениями при холпстом ходе определяется через комплекс,
который может быть приравнен к гиперболическому коси-
нусу от некоторого комплекса
-£• = А== М+/М = ch (b
ио
то для цепочки, состоящей из п элементов, отношение меж-
ду напряжениями в начале и в конце цепочки при холостом
ходе может быть выражено через
yf- = ch (nb-\-jna), (72,19)
где b, заменяющее р/ длинной линии, определяет затухание
проходящей волны на участке длинной линии, замещающей
один элемент и a = al—сдвиг фаз на том же участке1.
1 Значение коэфициентов b и а может быть вычислено по данным
одного элемента: уравнение
U1
==Al+/Af=chZ>-cosa+/sh #-sinn
распадается на два
М = ch d-cos a, iV = shd’Sina,
№ --^(ch2^- 1)(1 — cos2a)> /W2+№4_i=ch2^coS2au
520
Цепи с распределенными постоянными
[ гл. 9
по отношению
еще емкость
Сопротивление волны
в длинной линии может
быть определено по зна-
чениям полного сопроти-
вления одного элемента
цепочки при холостом хо-
де и коротком замыкании
^10 И
Z,=/Z10-Z1A . (72,20)
В .качестве примера
рассмотрим распределе-
ние напряжений в гир-
лянде изоляторов высоко-
вольтной подвески. Каж-
дый из п элементов (та-
релок) такой подвески
имеет емкость (С) между
двумя металлическими
закрепами (арматурой) та-
релки и, кроме того, в
подвешенном состоянии
каждая сторона армату-
ры (каждый закреп) имеет
к мачте (земле). В отно-
шении распределения напряжений каждый элемент может
быть замещен ГР образной схемой (фиг. 72,5) со значениями
ушС.
Подставляем эти значения в уравнение
с h (b-\-Ja) — 1Ц- —1Ц- — =ch b • cos a-\-js h b • sin
2 2C
Из полученного уравнения следует, что /V—sh Л-sin а=0
йли я=0, а потому
7W=ch Л*cos O=chb=] 4- .
1 2С
откуда
И
ch Ь =; ~
2
V (лн-i )Ч-Л2 + V(M — 1 )з+^
1 Г г_______________ __________ ...... 1
С os а — У (/И—1)2+Л’2 L
Л | Л
§ 72 ] Упрощенные формулы для расчета линий электропередач 521
Так как обыкновенно невелико, мы b можем опреде-
лить, разложив chZ? в ряд, и ограничиться 2 членами ряда:
ch 6=^1 -1—откуда JSl . (72,21)
Если гирлянда состоит из п элементов, то вся подвеска
будет эквивалентна длинной линии со степенью затухания в
п раз большей. Так как верхний элемент одним своим кон-
цом заземлен (соединен с мачтой), то мы один конец схемы
будем иметь короткозамкнутым. Предположим, что ток, про-
ходящий через точку подвеса, равен /2; напряжение нижнего
конца гирлянды, несущего провод, равное фазовому напря-
жению линии, можно рассматривать как напряжение (по от-
ношению к земле) в начале гирлянды при коротком замыка-
нии другого конца гирлянды (на землю):
U п~ I2Zcsh(nb-\-jna) — Zci2$h tib
или
ZL = -^-- (72,22)
с “ sh nb
(72,24)
Н шряжения же между арматурой первого, второго и т. д.
изоляторов и точкой подвеса (землей) будут
t/i = Z/2sh6, U2 = Z^sh2b,U3 = Zc/2sh3b ... (72,23)
или же &-тый изолятор сверху (нижний его закреп) будет
иметь напряжение по отношению к земле:
(/„sh kb
Ut = ZcKAkb=-^
На фиг. 72,6 представлено ц
распределение напряжения по tti—г-
отношению к земле в гирлянде,^--
состоящей из 10 элементов для о#
-^ = 0; 0,05; 0,1 и 0,5. Чем боль-47
с „ 05
ше емкость Со по отношению к
земле, тем больше кривая откло- ™
няется от прямой линии. 0,4
Разность двух смежных op- 02
динат дает напряжение, дей- 02
ствующее на соответствующий Q/
изолятор. Наибольшая разность 01
напряжения приходится на по- У f 2345678910
следний изолятор, считая сверху. Фиг. 72,&
522
Цепи с распределенными постоянными
[ гл. 9
В долях всего напряжения эта разность напряжения выра-
зится через
Vn-Un x
j___sh
Uп sh nb
Если число элементов велико, то мы последнее выраже-
ние можем упростить:
ТТ ТТ лГт (п~1)Ь — (п—1)Ь
Uп У/г-Л । £—g
ТТ ТТ nb —nb
ип е —е
(72,25)
1
ь
е
. 2(«—1)*
1—е
, 2пЬ
1—е
2
(72,26)
' 2
V С 2С '
Мы видим, что напряжение, под которым находится по-
следний изолятор при большом числе изоляторов, от числа
изоляторов не зависит, а потому не имеет смысла увеличи-
вать число элементов гирлянды выше определенного предела.
73. ТЕЛЕГРАФНЫЕ И ТЕЛЕФОННЫЕ ЛИНИИ
Уравнения, связывающие напряжение и ток при рас-
пространении синусоидальных волн, применимы также и к
длинным линиям связи, поскольку несинусоидальные токи
могут быть разложены на основную синусоиду и ряд выс-
ших гармоник. Однако линии связи представляют некоторые
особенности.
Так, например, кабельные линии связи благодаря весьма
близкому расположению проводов обладают сравнительно
малой индуктивностью (х0 = wZ0 0), которой можно пре-
небречь по сравнению с активным сопротивлением провода г0.
Кроме того, активная проводимость (утечки) между прово-
дами в кабелях связи также ничтожно мала (gG 0) по срав-
нению с проводимостью емкости. Поэтому для кабелей мож*
но принять
4~Л°А) г0 и Yq = go^J®CQ j(nCQt (73,1)
что дает для р, а и Zc следующие выражения [см. уравне-
ния (66,4)]
₽=|/ Y (^оУо—XtM-roZo) —
~ (2oJo+^o^o—=
/qU>C0, 1
0>
(73,2)
_________ .11
§ 73 ] Телеграфные и телефонные ликии
523
Из этих уравнений мы видим, что коэфициенты р— от-
носительного затухания амплитуды и а—относительного из-
менения фазы на единицу длины пропорциональны корню
квадратному из частоты, и потому в кабельных линиях бо-
лее высокие гармоники затухают (ослабляются) сильнее, чем
более низкие, что искажает тембр звука и затрудняет пере-
дачу речи. Поэтому кабельные телефонные линии без осо-
бых приспособлений не пригодны для передачи разговоров
на большие расстояния.
Лучше передают колебания разных частот воздушные
линии благодаря их большей индуктивности. Для этих ли-
ний благодаря относительно малому значению г0 и gQ по
отношению к х0 и bQ при ’определении фазового коэфици-
ента можно принять, что
Z0=/r2+(°>4)2 * Г0=Г^+(а>С0)2 =* (73,3)
И
го и go - о,
что дает для а ____
Ot — со]/* Z0C0
и для р [на основании уравнения (66,3)]
о _ ____ r0 / Cq I go / ~Ц /уд
2а 2 ]/ Тр *2 j/ q * ’
Если не говорить о некотором наблюдающемся увеличении
проводимости g0 с уменьшением частоты, то относительный
коэфициент затухания почти не зависит от частоты, равным
образом и фазовая скорость волны v = __ — — = с
а У LqCq
для колебаний всех частот одна и та же. Так как обы-
кновенно числовое значение rQ значительно больше числово-
го значения gQ, то увеличение индуктивности единицы дли-
ны будет уменьшать затухание и минимум Р будет иметь
место при Ао, при котором
сМ-'/Ч- с-М = -
uLq dLp \ 2 2
4-^— goto 1/2£о 1/2=0, т. е. когда r0C0 = g0L0
или когда
£р Гр Zq
Cq <q Kq
(73,5)
524
Цепи с р а определенным и постоянными
[ гл. 9
Этот наименьший ксэфициент затухания при пропорцио-
нальности четырех постоянных линии будет равен
+ РЭД
Обыкновенно в линии /0 значительно меньше —
и для увеличения индуктивности в линию включают индук*
тивные катушки (катушки Пупина) примерно через
каждые 1,5 — 2 km.
Краруп предложил увеличивать индуктивность кабель-
ных линий путем обмотки жилы (поверх изоляции) тонкой
проволокой диаметром 0,2—0,3 mm из пермаллоя, обладаю-
щего чрезвычайно высокой магнитной проницаемостью.
Введением определенной добавочной индуктивности до-
стигается некоторый минимум коэфициента затухания и по-
путно получается независимость его от частоты. При этих
условиях колебания всех периодов, вызываемые речью и
соответствующие определенному звуку, будут более или ме-
нее ослабляться в одинаковой мере, а потому такой линией
речь будет передаваться без искажения и благодаря умень-
шенному коэфициенту затухания может передаваться на
значительно большие расстояния, чем без применения кату-
шек Пупина.
При соблюдении условия = — характеристическое со-
Q ъО
противление линии равно
а = о.
(73,7)
Если вдобавок сопротивление приемного аппарата согла-
совано с характеристическим сопротивлением (сопротивлени-
ем волны)
(что делается во избежание отражения волн и в целях до-
стижения хорошей двухсторонней передачи), т. е. к^гда ли-
ния работает при сопротивлении приемника, согласованном
с характеристическим сопротивлением линии, то в такой ди-
S74]
Электрические фильтры
525
нии, не искажающей форму кривых передаваемых токов, по-
сылаемая мощность будет равна
Р1==Р3е^1, (73,8)
а относительные мощности
= е^1 _ 1 ~ 20Z (73,9)
могут быть благодаря малому значению p=j/7~a0 весьма
сильно снижены.
На практике в так называемых пупинизированных линиях
дают вводимым добавочным индуктивностям меньшую ин-
дуктивность, чем это требуется по расчету, так как опыт
показывает, что улучшение слышимости может быть достиг-
нуто меньшими дополнительными индуктивностями.
74. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
Под электрическими фильтрами понимают та-
кие четырехполюсники, составленные из индуктив-
ностей и емкостей, которые, будучи вк моченными
между источником и приемником энергии, пропус-
кают из общгго диапаз та колебаний лить коле-
бания только ниже или выше определенной ча-
стоты.
Это так называемые односторонние фильтры.
Существуют и двойные (полосные) фильтры, которые
пропускают лишь узкую полосу частот, отсеивая все коле-
бания выше и ниже предельных частот этой полосы.
Для упрощения выяснения явлений, вносимых включением
в цепи переменного тока электрических фильтров, в зависи-
мости от частоты, мы ограничимся рассмотрением лишь сим-
метричных фильтров и прежде всего таких, которые состоят
лишь из индуктивностей и емкостей L и С без сопротивле-
ний и утечек. Как бы ни были соединены индуктивности и
емкости в фильтре, состоящем из одного или нескольких
последовательно соединенных тождественных элементов,
каждый элемент, являющийся четырехполюсником, может
быть приведен к Т или П-образной схеме (фиг. 72,1 и 72,2),
которая в свою очередь может быть заменена длинной ли-
нией с равномерно распределенными L и С и к которой мо-
жет быть применено уравнение длинных линий:
-^ = ch (*+/<0=1 + у = 1 = Л, (74,1)
С/г 1
где Z и У относятся к Т-образной, a Z' и У' к П-образной
схеме- Так как Z и У (или Z' и У) при отсутствии потерь
526
Цепи с распределенными постоянными
[ гл.
величины мнимые, то А является положительной или отри-
цательной вещественной величиной. Поэтому уравнение
ch (6 + /а)—ch b cos а 4-/sh b sin а = А
распадается на два:
ch b • cos а = А,
sh b-sin а —
(74,2)
(74,3)
Тригонометрический косинус может иметь лишь значения
между— 1 и-Н» а гиперболический косинус может быть боль-
ше-|-1. Поэтому для того, чтобы второе(74,3) уравнение было
удовлетворено, необходимо или чтобы b = 0, или чтобы а = 0.
Первый случай будет иметь место, когда А Судет лежать в
пределах между—1 и—}—1, при этом b будет равной нулю, а
это значит, что волны будут проходить через элемент фильт-
ре без затухания (е =1). Во втором случае, когда А или
меньше—1, или больше4“Ь колебания будут заглушаться,
при этом фаза колебаний будет оставаться такой же (а = 0)
или же колебания будут иметь противоположную фазу (а=тг).
Для выяснения того, какие частоты пропускаются и какие
частоты заглушаются, вычисляют для заданной схемы фильт-
ра значения коэфициента А для разных частот и строят
кривую Л=/(о>) (фиг. 74,1). Абсциссы точек пересечения этой
Фиг. 74,1.
JWL
кривой и горизонтальной
линии с ординатами меж-
ду — 1 и 4~ 1 определяют ча-
стоты, в пределах которых
колебания пропускаются без
затухания (между частотами
и 0)2 И 0)3 И 0)4).
В качестве примера рас-
смотрим П-образную схему
фильтра фиг. 74,2 с индук-
тивностью в линии и емко-
2 стями в ответвлении
о У'=/о)С
Л=1+^=1-^, (74,4)
2 2
О-— - '6-------------
I
Фиг. 74,2.
Через фильтр будут про-
пускаться лишь колебания
с частотой о), для которой
rfLC
2
<1, (74,5)
з mj
Электрические фильтры
527
т. е. будут пропускаться
колебания с частотами от
2
ш —0 до u)0 = -r==.. По-
V Lb
следняя частота является
резонансной частотой для
контура, состоящего из
индуктивности L и двух
последовательно соеди-
пенных емкостей — и
2
С
2 ’
На фиг. 74,3 вычер-
чены кривые b и а как
функции от как вид-
(0Q
но из этих кривых, при Фиг. 74,3.
частотах со *> ш0 колеба-
ния затухают весьма значительно. Значение сопротивления
волны определится как среднее геометрическое [уравнение
71,2)]:
Z' + 4/P
Ао—
(74,6)
Оно имеет характер активного сопротивления в полосе про-
пускаемых hjctot и емкостный характер, когда со>со0.
Аналогичным образом действует фильтр с индуктивно-
стью в линии, если L и С соединены по Т-образной схеме,
528 Цепи с распределенными постоянными [ гл. 9
лишь сопротивление волны будет другое, ибо для Т-образ-
ной схемы
^/2- ~
ZI2+HY ’
(74,9)
1 - 4 (74,10)
(О02
При этом, когда Ош0, Zc носит
Если емкость включена в линию,
ветвлении (фиг. 74,4)
индуктивный характер,
а индуктивность в от-
7
Фиг. 74,4.
Z'—z= —— ,
/со С
Y=Y'=—1— ,
j^L
тогда будем иметь, что
л = 1 + 4
= 1---1— .
(74,11)
Через фильтр будут пропускаться без затухания только
такие частоты, для которых
— 1<1 - —- <1, (74,12)
2о>2£С
1
т. е. лишь частоты, для которых «)>(%, гДе ^о— <2Vl(T~
так называемая резонансная частота. Частоты ниже ю0 бу-
дут заглушаться (фиг. 74,5). Сопротивление волны при П-образ-
ной схеме будет
а при Т-образной схеме
9 74]
Электрические фильтры
529
сопротивление, когда же
то при П-образной
схеме Z'с имеет емкост-
ный, а при Т-образной схе-
-ь-------
Фиг. 74,6.
ме индуктивный характер.
Если последовательно соединить два фильтра, один, кото-
рый пропускал бы колебания, начиная с частоты и дру-
гой, который задерживал бы колебания, с частотой свыше
<о2, то мы пслучим так называемый полосовой фильтр,
пропускающий лишь полосу частот между и <о2. Имеется
ряд схем, в которых оба фильтра с предельными частотами
совмещаются в одном, как, например, в фильтре, изображен-
ном на фиг. 74,6. Для этого фильтра
Z' =/ш£+ , Y' =^j Ш С2,
A — i-]-— =14
1 2 1
С2
2СХ
о)2ДС2
2
(74,15)
и он будет пропускать колебания с частотами, определяе-
мыми из неравенства
Со «
—---------- <ч
2СХ 2
34 К. А. Круг, т.п.
530
Цени с распределенными постоянными
с гл.
Это будут частоты
1 I С2 СОрЛСо I 1
Н----------4-^=1 ИЛИ <»!=-==
1 2С\ 2 1 V ЦС
— 1=1+ ---или Шз =-|/'4/£
2с?1 2
(74,16).
(74,17)
L
которые соответствуют, с одной стороны, резонансной частоте-
продольной ветви ( <b1L =—-—'j и резонансной частоте кон-
\ (DyC J
тура, состоящего из индуктивности L и трех емкостей
Сь 2С2 и 2С2.
Фиг. 74,7.
9 74]
Электрические фильтры
531
2
Фиг. 74,8
В таблице фиг. 74,7, взятой из книги Кюпфмюллера, при-
ведены схемы фильтров и соответствующие им кривые коэ-
фициентов b в зависимости от частоты.
Рассмотрим еще схему, которая хотя и не является фильт-
ром, но метод исследования которой совпадает с методом
исследования фильтров, а именно крестообразную схему,
напоминающую схему моста Уитстона, в которой две одина-
ковых индуктивности включены в линию, а две одинаковых
емкости — крестообразно в ответвления (или наоборот),
(фиг. 74,8).
Вторичное напряжение при холостом ходе будет
Г] ___ #10^2 UlnZ, _____т*т Z2 Z\
U ---------- --------- -1 п • -------
20 Z14-Z2 Zj + Z2 10 Zt + Z2
(74,18)
Если Zx — /ф£, Z2 = -7—, то
/<оС
1 — о>2£С
#20
--у} — ^1+^2
Z2 —
juiL
1 -f. <о2£С C°S °"
(74,19)
Так как А — вещественная величина и А меняется в пре-
делах от—|—1 до—1 при изменении от 0 до то такая
схема пропускает колебания без затухания, но в зависимости
от частоты между первичным и вторичным напряжением
получается сдвиг фаз а. Такие схемы служат для изменения
фазы колебаний. Сопротивление волны для всех частот будет
Zc=/Z10Zn=l/^±^.^r=|/Z1Za=i/A (74,20)
Г * Г ь
34*
532 Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЦЕПЯХ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПОСТОЯННЫМИ
75. ДВИЖЕНИЕ ВОЛН ПО ДЛИННЫЙ ЛИНИЯМ
В этой главе рассматриваются нестационарные явления,
имеющие место в длинных однородных линиях, т. е. в це-
пях с равномерно распределенными постоянными.
Включение и выключение длинных линий, всякое измене-
ние нагрузки, влияние атмосферных электрических зарядов
и пр. нарушают равновесие стационарного электромагнитно-
го состояния линии. При этом образуются электромагнитные
волны, распространяющиеся с очень большой скоростью, сов-
падающей в воздушных линиях со скоростью света.
Вследствие относительно небольшого расстояния прово-
дов друг от друга по сравнению с длиной линии электро-
магнитные волны можно считать плоскими, т. е. можно при-
нять, что линии смещения (пунктирные линии на фиг. 75,1),
получающиеся между двумя проводами, имеющими разные
потенциалы, и магнитные индукционные линии, образующие-
ся вокруг проводов, лежат в плоскостях, перпендикуляр-
ных к оси проводов.
В § 65 нами было выведено, что изменение напряжения
и тока, отнесенное к единице длины, определяется следую-
щими уравнениями (65,3) (65,4), где г0, ^0, и Со относят-
ся к единице длины:
* I » di dt I du /ггс i \
—57 “г»‘ + л» 77 " -17 =^“+с» у, <75'‘>
Если продиференцировать первое уравнение по Z, а вто-
рое по t
дЧг ш , г d4 дЧ du } г д2и
~дР~Га dl dtdl ~дГ
Фиг. 75,1.
§ 75 ] Движение волн по длинным линиям 533
и произвести соответствующую подстановку, то мы полу-
чим диференциальное уравнение в частных производных, в
которое входит лишь одно н:
I Z | 7 ч ди . г д2и
~ ~т, (75,2)
ol£ dt ot2
а аналогичным образом может быть получено такое же урав-
нение для i:
= W+(r0Co+^oU 37 + ЦС0 . (75,3)
oia ot at*
В общем виде решение этих диференциальных уравнений
весьма сложно. Сравнительно простое решение получается
для так называемой линии без искажения, для которой ге,
Ль £о, и Со связаны соотношением
£о Со
(75,4)
Для такой линии решение может быть представлено в
виде произведения двух множителей
—at
u — Ue
из которых U зависит как от расстояния /, отмериваемого
—at
от какой-нибудь точки линии и от времени, а е —только
от времени, где а определяется из соотношения (75,4). .
Подставляя выражение для и и ее производные
ди __fdU
dt \ dt
aU\e
dt2 \ dt2 dt '
a2U V
—at
™=LC
dP ° °
\ 1 dt ' dpj
в уравнение (75,2), мы получаем уравнение
04J -at . „ Г -ГТ I п ди о -ГТ ' д"и c>dU | ^,2Г/1г>
р —L-C^cC-UA-la----------2а-и — — -2a—^-a-U \е ,
дР е ° °[ dt дР dt J
534
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. It
которое после сокращения приводится к виду:
(75,5)
<9/2 0 0 dfl ’
совпадающему с уравнением колебаний струн, для которых
было дано решение Даламбером
где
Правильность этого решения может быть проверена под-
становкой.
Таким образом для линии без искажения напряжение
вдоль линии в зависимости от места и времени изменяется
следующим образом:
u = e~at ^)+/з(Н-^0]. (75,7)
Выражение для тока мы получим, если и и — подста-
вим в уравнение (75,1)
dt Г / <2л <2М1
Так как ^о=Соа и Сог»=р//Г^, то
—__ ~at
dl~ у L0[di dl) '
Интегрирование последнего уравнения дает следующее вы-
ражение для тока,
—at
е
(75,8)
Таким образом, напряжение и ток в каждой точке линии
могут быть разложены на две слагающие. Если в линии от-
сутствуют потери го=0, £о = О, а = 0, то /(/—^представ-
ляет собой волну напряжения, которая без изменения пере-
мещается со скоростью &= -- в сторону возрастающих I,
§ 75]
Движение волн по длинным линиям
53$
ибо для всех точек, для которых/—vt=const или dl—vdt=Q,
напряжение этой слагающей будет иметь одно и то же зна-
чение, а отсюда следует, что кривая распределения напря-
жения ///—vt) перемещается со скоростью — г/. Слага-
ющая представляет также волну, но перемещаю-
щуюся в сторону отрицательных I.
Слагающие тока также представляют собой волны, про-
порциональные волнам напряжения. Отношение значения
напряжения волны в какой-нибудь точке к значению тока
волны
(75,9)
представляет собой сопротивление волны, имеющее
размерность сопротивления.
Для выяснения физической стороны явления движения
волны вдоль линии рассмотрим длинную линию без потерь,
присоединенную к источнику постоянного тока с напряжением
Uq. После присоединения вдоль линии пойдет волна///—vt) =
—Uq (l>vf)9 которая от одной точки к другой заряжает линию
до напряжения UQ. Предположим, что в момент I волна до-
шла до сечения пт (фиг. 75,2), так что во всех точках ле-
вее сечения пт между проводами имеется одно и то же на-
пряжение /70, а правее этого сечения напряжение равно ну-
лю. В соответствии с этим левее сечения пт заряд на еди-
Фиг. 75,2.
536 Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. Ю
ницу длины будет равен qQ=CbUQ1 а правее—нулю. За вре-
,мя dt волна переместится на расстояние тр-~ dl^vdt.
На поверхности верхнего провода происходит накопление
положительного заряда, и так как правее сечения тп отрезок
получает заряд dq—q^dl—C^dlU^ который должен пройти по
верхнему проводу через сечение тп и через любое сечение
верхнего провода левее тп, то поэтому ток на всем протя-
жении верхнего провода от источника тока до сечения тп
будет равен
j;=C0^0. (75,10)
at at
Одновременно и неразрывно с распространением положи-
тельного заряда по поверхности верхнего провода линии
происходит.накопление отрицательного заряда на поверхно-
сти нижнего провода. Распространение отрицательного за-
ряда на нижнем проводе слева направо связано с электри-
ческим током в нижнем проводе, который направлен в про-
тивоположную сторону, т. е. справа налево.
Процесс распространения зарядов мы можем представить
себе таким образом, что по мере перемещения волны слева
направо элементы верхнего провода один за другим приоб-
ретают некоторый положительный заряд и такой же поло-
жительный заряд отнимается от нижнего провода. Противо-
положные заряды образуют электрическое поле между про-
водами по всей длине, по которой прошла волна. При
возникновении электрического поля у фронта волны между
вновь заряжаемыми отрезками проводов (между элементами
тр и nq, фиг. 75,2) будет протекать ток смещения. Этот
ток смещения замыкает цепь тока, которая от плюса источ-
ника тока идет по верхнему проводу, замыкается у фронта
волны током смещения в диэлектрике и затем идет по ниж-
нему проводу к минусу. По мере распространения заряда
цепь эта расширяется, но ток в цепи остается неизменным—
он равен
В контуре, охватываемом этой цепью, образуется магнит-
ный поток, индукционные линии которого лежат в плоско-
стях, перпендикулярных к оси проводов. При перемещении
волны на длину mp=dl=vdt, магнитный поток увеличивает-
ся на величину LQtdl=Lrfvdt. Здесь Ао—индуктивность еди-
ницы длины линии; при возникновении этого потока полу-
чается противо-э. д. с. индуктивности
71 ~~ L(* 7t С75’1 O'
§ 75]
Движение волн ио длинным линиям
537
которая в контуре mnpq направлена против стрелки часов
Направление наводимой э. д. с. можно определить следую-
щим образом: если смотреть по направлению магнитных ин-
дукционных линий и если при этом магнитный поток увели-
чивается, то э. д. с. направлена против часовой стрелки; в
данном случае индукционные линии направлены за плоскость
чертежа (что обозначено косыми крестиками-хвостами стре-
лок).
Таким образом, э. д. с. индуктивности у фронта волны
направлена по линии qp и уравновешивается напряжением
сообщаемым волной каждой следующей точке по мере
продвижения волны. Поэтому величины напряжения волны
и э. д. с. индуктивности, возникающих у фронта волны,
должны быть равны друг другу:
L^vi=U^ (75,12)
Из уравнений (75,6) и (75,12) следует, что
у = j/4 А — ze. (75,13)
Мощность, т. е. энергия, доставляемая в единицу време-
ни источником тока, равна В единицу времени волна
перемещается на длину V. Каждой единице длины пути,
пройденного волной, сообщается энергия на ооразова-
ние электрического поля и на образование магнитного
поля. На основании принципа сохранения энергии мы дол-
жны иметь
(75,14)
Подставляя в левую часть этого уравнения мы
получаем соотношение
Г75,15)
2 2’
указывающее на то, что во время движения волны значения
энергии электрического и магнитного полей по всей длине,
пройденного пути равны между собой.
Скорость распространения электромагнитных волн для воз-
душных линий равна v = с 300 000 —1- .
sec
’538 Явления в цепях с распределенными постоянными £ гл. 10
Если провода окружены средой, для которой магнитная
проницаемость равна у. и диэлектрическая проницаемость е,
то соответственно с этим индуктивность увеличится в у.„ а
емкость — в ег раз. Поэтому скорость распространения волн
в таких случаях (например, в кабелях) будет
v= —U с. (75,16)
В силовых кабелях скорость распространения волн при-
мерно вдвое меньше, чем в воздушных линиях.
Если напряжение в начале линии меняется во времени
u — то процессы, происходящие при включении длинной
линии, можно рассматривать как результат наложения друг
на друга процессов, получающихся от отдельных постоян-
ных слагающих напряжения п0, вступающих в дей-
ствие в начале линии с опозданием на время 0, т2...
(фиг. 75,3) и в сумме равных напряжению п, действующему
в начале (в момент t). Если после достижения некоторого
максимума напряжение в начале линии уменьшается, то со-
ответствующие слагающие будут иметь отрицательные зна-
чения.
Так как при отсутствии потерь в линии (го=О и ^о = О)
постоянное напряжение, приложенное в начале, передается
без изменения вдоль линии в виде волны с постоянным фрон-
том со скоростью V— —-— и одновременно с этим вдоль ли-
jA(A
нии распространяется такая же волна тока, то в какой-ни-
будь точке, отстоящей от начала на расстоянии /, напряже-
ние в момент t составляется из тех слагающих напряжения
§ 75]
Движение волн по длинным линиям
539
в начале линии u = F(f) иъ п2.которые за время t ус-
пеют дойти до точки Z, а так как для этого требуется вре-
мя —, то напряжение в точке I в момент t будет состоять
из тех слагающих начального напряжения, которые вступили
в действие за время от 0 до —
т. е. напряжение в точке
в момент t будет равно
\ V М
(75,17)
а соответствующий ток
— I)
И (75,18)
i= —------------- .
Если при вычерчивании кривой и = F(t) и длинной линии
масштабы времени и длины выбрать таким образом, чтобы
то абсциссы кривой напряжения u=F(t) на фиг. 75,3
будут равны расстояниям, пройденным волной за соответст-
вующие промежутки времени.
Кривая распределения напряжения вдоль линии при та-
ком выборе масштабов будет являться зеркальным изобра-
жением кривой u~F(f) относительно вертикальной оси, про-
ходящей через точку Л Эта кривая распределения напряже-
ния, которая может быть представлена уравнением и=f(l—vf),
при l>vt перемещается вдоль линии со скоростью v и с та-
кой же скоростью распространяется и кривая распределения
тока, ординаты которой в каждой точке пропорциональны
ординатам кривой распределения напряжения. Потери в ли-
нии оказывают заметное влияние на форму кривых распре-
деления напряжения и тока лишь в весьма длинных
линиях. В линиях длиной в десятки и сотню километ-
ров это влияние невелико. Так, в линиях электропередач от-
ношение—бывает порядка 50-н 150• если принять, что
Lq sec
а = 120 и / = 100 km, то для пробега этого расстояния тре-
буется--------=---------sec и значения напряжения и тока
J 300 000 3 000 г
уменьшаются лишь на 1—e~at= 1—е 25 =^0,04, т. е. всего
®а 4%, поэтому для коротких линий затухание волн при
540 Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
первых прохождениях ими линий
можно не принимать во внимание.
Волна, получающаяся при вклю-
чении линии к источнику тока (па-
дающая волна), дойдя до конца ли-
нии или к какой-нибудь точке линии,
где имеется нагрузка или меняются
параметры линии, отражается, и
вдоль линии в обратном направле-
нии двигается встречная (отражен-
ная) волна. Если падающая и от-
раженная волны заряжают линию в одном и том же напра-
влении (Д и /2 имеют одинаковые знаки), то заряды, сообщае-
мые встречными волнами, накладываясь друг на друга, дают
напряжение отдельным элементам линии, равное сумме на-
пряжений встречных волн + что ка-
сается тока, то так как движение зарядов одного знака на-
правлено в разные стороны, то ток в линии равен разности
встречных волн Z= — [fx(l— vf)—/2G~b^)]-
zc
В силовых линиях время прохождения волн от одного
конца до другого составляет лишь небольшую долю одного
периода (при 1= 100km, = sec ил„ 1/60
периода), поэтому при рассмотрении явлений, имеющих место
при включении силовых линий, можно считать, что напря-
жение в начале линии остается за время первых пробегов вол-
ной линии постоянным и равным амплитуде синусоидального
напряжения, ибо приходится всегда считаться с наиболее
неблагоприятным случаем.
При включении линии к источнику с постоянным напря-
жением от источника тока идет волна с крутым фронтом.
Как показали исследования с катодным осциллографом, на-
пряжение в начале линии при включении не изменяется сра-
зу скачком от нуля до i70; при включении, особенно при вы-
соких напряжениях, между контактами рубильника при вклю-
чении проскакивает искра и напряжение в начале линии в
первые моменты совершают колебания с весьма высокой ча-
стотой, которые весьма быстро затухают и приближают на-
пряжение в начале линии к значению напряжения источника
тока. Вследствие этого, а также в результате скин-эффекта
фронт волны не имеет прямоугольной формы, нарастание на-
пряжения происходит не мгновенно, и гребень волны имеет
немного закругленную форму (фиг. 75,4). В дальнейшем мы
такое искажение фронта волны учитывать не будем.
9 76]
Включение длинной линии
541
76. ВКЛЮЧЕНИЕ ДЛИННОЙ ЛИНИИ
(ОТКРЫТОЙ, КОРОТКОЗАМКНУТОЙ И НАГРУЖЕННОЙ НА КОНЦЕ
АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ) НА ПОСТОЯННОЕ
НАПРЯЖЕНИЕ
При включении линии, открытой на конце, к постоянному
напряжению UQ (фиг. 76,1, а) на всем пути, пройденном вол-
ной, напряжение между проводами равно напряжению источ-
ника и на каждой единице длины, пройденной волной, имеется
заряд на одном проводе и—qb — — CJ-h на дру-
гом. По проводам будет проходить ток
где г,— j / —, и между проводами на каждый элемент
, V С°
длины линии на протяжении пути, пройденного волной, об-
разуется магнитный поток = Через— единиц вре-
V
мени после включения эта так называемая падающая, или
бегущая, волна достигнет конца линии. В этот момент меж-
ду проводами по всей линии напряжение будет равно
(фиг. 76,1, 6), по всей длине линии по проводам будет про-
ходить ток Zo, и вся энергия, сообщенная линии, составит
/г; I | W
(76,1)
Этим заканчивается первая четверть периода распростране-
ния волны.
Так как концы проводов изолированы друг от друга, то
на конце линии ток всегда будет равен нулю. Как только
падающая волна дойдет до конца, ток у фронта волны в
конце разомкнутой линии мгновенно спадет до нуля, и этот
скачок тока от /0 до нуля будет последовательно распрост-
раняться от конца линии к началу со скоростью распростра-
нения волны (фиг. 76,1, с).
Процесс распространения волн в линии можно предста-
вить себе таким образом, что после того, как фронт бегу-
щей от источника волны дошел до конца линии, на бегущую
волну, которая продолжает непрерывно двигаться, налагает-
542
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10j
Фиг. 76,1.
9 76]
Включение длинной линии
543>
ся отраженная волна, которая движется с той же скоростью
от конца линии к началу.
У открытого конца линии отражение происходит без пе-
ремены знака. Это надо понимать таким образом, что отра-
женная волна, взятая сама по себе, представляет собой та-
кую же волну, как и бегущая, но только она движется в
обратную сторону от конца к началу; отраженная волна со-
общает единице длины верхнего провода заряд -]-^0 = C0t70
и единице длины нижнего заряд — <70 =— C0t70. Так как
отраженная волна движется справа налево, то и ток отра-
женной волны направлен в верхнем проводе также справа
налево (в нижнем проводе направление тока противополож-
ное). Бегущая и отраженная волны, накладываясь друг на
друга, дают двойной заряд и двойное напряжение между
проводами. Токи же взаимно компенсируют друг друга и по-
тому на протяжении, пройденном отраженной волной, ток
будет равен нулю, и на этом участке не будет магнитного
поля. За все то время, пока отраженная волна не дойдет до
начала линии, от источника тока непрерывно поступает энер-
гия. В конце второй четверти периода, которая заканчи-
2Z
вается через промежуток времени — от начала включения,
по всей линии напряжение будет равно 2t70 (фиг. 76,1, d) ток
по всей длине линии будет равен нулю, а потому мы будем-
иметь лишь энергию электрического поля
С°/(26'о)г = 2CJUJ=——-— = £70г0 - , (76,2)
2 1 До ------1--- v
У Со
которая равняется энергии, доставленной источником тока
за все время от начала включения.
Как только отраженная волна достигнет начала линии,
напряжение у фронта волны, равное 2f70, спадает до величи-
ны напряжения источника тока, т. е. до величины t70, и это
уменьшение напряжения начнет распространяться со ско-
ростью движения волны от начала к концу линии (фиг. 76,1, в)
при этом заряд на единице длины уменьшится с 2^0 до
Половина заряда стечет с проводов обратно к ис-
точнику тока. За этот промежуток времени, составляющий
третью четверть периода, ток в верхнем проводе направлен
справа налево, а в нижнем — слева направо, т. е. ток в этот
период имеет направление, обратное его направлению в тече-
ние первой и второй четвертей, при этом часть накопленной,
в линии энергии возвращается источнику тока.
.544 Явления в цепях с распределенными постоянными ' гл. 10
, сообщающая проводам заряды (в допол-
Понижение напряжения с 2LZ0 до L/o можно себе предста-
вить происходящим таким образом, что после того, как от-
раженная волна дошла до начала линии, от этого начала
стала распространяться новая волна с напряжением — Uo
и током — z0 —---1
Zc
нение к прежним зарядам) — Qq — — CqUq (верхнему) и-}-^0=
— Cq(Jq (нижнему).
Этот ток( — у 1 создает между проводами магнитное
' Zc )
поле, линии которого направлены от чертежа к зрителю (точ-
ки— острия стрелок; пунктирные линии представляют собой
линии смещения, плотность которых пропорциональна раз-
ности потенциалов между проводами).
Когда фронт новой волны дойдет до конца линии
(фиг. 76,1,/) напряжение между проводами по всей длине бу-
дет равно £70, а заряд + ^0 = + С0(/0 на верхнем и — на
нижнем проводе.
Ток во всех сечениях провода будет равен — tQ =----и
Zc
направлен в верхнем проводе от конца к началу, в нижнем —
от начала к концу линии. Этот ток будет создавать магнит-
ный поток, линии которого направлены на нас.
В дальнейшем, как только, эта новая волна дойдет до
конца, ток сразу спадет до нуля (так как концы линии изо-
лированы), и это изменение будет распространяться с той
же скоростью от конца к началу (фиг. 76,1, g). Одновременно
с исчезновением магнитного потока происходит постепенное
разряжение линии от конца к началу.
Этот разряд можно себе представить, как происходящий
вследствие наложения на предыдущие три волны новой вол-
ны, получившейся вследствие отражения волны—£70,—
от открытого конца линии, которое, как было пояснено выше,
совершается без перемены знака. Разряд линии составляет
четвертую четверть периода, после которой процесс начи-
нается опять сначала.
Таким образом при включении длинной линии на посто-
янное ншряжение получается периодический процесс, период
которого равен времени четырехкратного прохождения вол-
о qn__4/
нои длины линии 1 = ~ , в соответствии с этим ток и на-
гл
пряжение между проводами будут изменяться также перио-
дически. На ф1Г. 76,2 показано, как при этом будет ме-
няться ток в начале линии, а на фаг. 76,3 — напряжение в
9 76]
Включение длинной явив®
545
конце линии в зависимости от
включения.
Из вышесказанного следует,
длинных линий напряжение ни
времени, считая от момента
что при включении открытых
в одной точке линии не мо-
Фиг. 76,2.
{Фиг. 763.
жет быть больше двойного напряжения источника тока и что
предел наибольшего значения тока в момент включения не
может быть больше величины Z0= —В действитель-
ности явление происходит сложнее: сопротивление проводов
и поверхностный эффект способствуют затуханию колебаний,
и вся линия быстро приобретает напряжение источника тока.
При включении линии без потерь, короткозамкнутой на
конце, от источника тока идет волна (фиг. 76,4 а), сообщаю-
щая заряд 4~7о — проводу, соединенному с плюсом,
и заряд — <7о = —проводу, соединенному с минусом,
при напряжении между проводами, равном э. д. с. источника
тока. Ток, идущий от источника, равен/ф=—, а энергия (на
единицу д тины линии) электрического поля равна энергии
магнитного поля: .
2 2
Когда волна дойдет до короткозамкнутого конца, напря-
жение между проводами с величины спадает сразу до ну-
ля, и это явление распространяется последовагельно до всей
линии от конца к началу (фиг. 76,4 с к d)> при этом энергия
электрического поля в совокупности с непрерывно прибыва-
ющей энергией о г источника переходит целиком в энергию
магнитного поля, и ток удваивается. Падающая волна отра-
жается от короткозамкнутого конца, как принято говорить,
с переменой знака: после того как падающая волна достиг-
нет короткозамкнутого конца линии, иа падающую волну на-
кладывается отраженная волна обратного знака, сообщающая
проводам линии противоположное напряжение и противопо-
ложные заряды. Поэтому от взаимодействия падающей и от-
раженной волн на участке, пройденном отраженной волной9
не будет заряда, не будет и напряжения* Гок, связанный с
35 К. А. Круг, т. П.
§46 Явления в цепях 9 распред ел еннымц постоянными [ гл. 10,.
- 2^
О
h
Фиг. 76,4.
У 76]
Включение длинней линии
547
бегущей волной, в проводе, соединенном с плюсом, направ-
лен слева направо, ток же, связанный с отраженной волной
в том же проводе, будет направлен справа налево и будет
иметь обратный знак, и, поскольку токи встречных волн вы-
читаются, в совокупности падающий и отраженный токи дают
двойной ток. Когда отраженная волна подойдет к началу ли-
нии, ток по всей линии будет 2/0^ и напряжение между
проводами будет равно нулю.
Так как напряжение между проводами равно нулю, то,
как только отраженная волна Дойдет до начала линии, от
источника тока пойдет новая воЛНа, которая снова зарядит
провода до напряжения Uo и будет брать от источника ток
70=—, который будет накладываться на имеющийся уже
zc
ток 2/0, вследствие этого ток в проводах будет уже 2г04~
Ц-/О = 3го (фиг. 76,4, е и /).
Такой ток будет даваться источником тока до тех пор,
пока эта новая волна, отразивгцись От короткозамкнутого
конца, не дойдет до начала линии (фиг. 76,4, g и А), тогда
ток сразу увеличится до 5 /0 и т. д. — теоретически до бес-
конечности.
Таким образом при включении короткозамкнутой линии
без потерь ток увеличивается равными ступенями (фиг. 76,5)
9/
через интервалы времени, равные —. В такой линии ток при
V
£70 == const (т. е. при бесконечно мощном источнике тока) и
при отсутствии потерь в линии возрастал бы до бесконеч-
ности. В дсйствительЕости же благодаря потерям в линии
и в источнике энергии скачки тскц постепенно уменьшаются
. ОД
и ток приближается к своему предельному значению — .
*го
При включении линии, замкнутой на активное сопро-
тивление, от источника тока (фиг. 76,6,а) идет падающая
волна, характеризуемая напряжением Uo и током
(76>3)
zc
Когда волна, дойдет до конца, она частью пройдет через
сопротивление, а частью отразится.
Пусть ток, проходящий через сопротивление г2, будет /2.
Тогда на конце линии установится напряжение t/2=zv2, кото-
рое в свою очередь должно равняться напряжению, со-
35*
548
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
общэемому концу линии волнами
падающей и отраженной. Первая
сообщает проводам напряжение
^0—Z^nad- Что касается отражен-
ной волны, то для нее ток равен
разности между током падающей
волны и током в сопротивлении г2>
а именно ^omp=h— Ч- По-
этому эта отраженная волна дает
напряжение Uomp = zc (i0 t2).
Сумма напряжений падающей и
отраженной волн должна рав-
няться напряжению на конце
линии:
+ U<>mp—2А "1“ zc Оо 4) —
-: 2 2 Uq ==
= U2 = r2i2, (76,4)
откуда
,• _ 2V0 ul/ _
19 --- И СУ о -----------
Г 2-j~^c r2~\~zc
Фиг. 76,6.
. (76,5)
Мы видим, что ток в сопротивлении г2 равен току,
который получился бы в цепи с двойным напряжением
(267), в которой последовательно с сопротивлением г2 вклю-
чено сопротивление zci равное по величине сопротивлению
волны.
9 76]
Включение длинной линии
549
Напряжение на конце линии U2 зависит от величины и
знака отраженной волны (фиг. 76,6, d)
U.„ = =Z. О=и, - и,=г.и.,
г2~Г2с r 2~Tzc
; __^отр ГЪ гс _
отр Zc r2+zc ' Zc ~ *'
U2=U0-j-Uomp — (l-HO ^0> *2 — Z0 iOmp — О П)
Если линия на конце открыта, г2=оо, то
1 —
__г 2—zc _____ Г2---------|
r2~\~zc | | zc
r2
И Uотр U9 ^отр
волна отражается полностью без перемены знака. Напряже-
ние линии U2 — 2U удваивается, а ток на конце 4—0 про-
падает (фиг. 76,1 с).
Если линия на конце коротко замкнута, г2=0, то п= =
+zc
= — 1 и Uom? = — U^iomp = — 4, волна .отражается пол-
ностью с переменой „знака". От совместного действия падаю-
щей и отраженной волн напряжение пропадает: ?72=0 и ток
Z2=2Zo удваивается.
Вообще можно сказать, что если сопротивление приемника
энергии больше характеристики линии г2>^, п>0, то отра-
женная волна будет иметь тот же знак, что и падающая
волна и мы будем иметь на конце линии повыше-
ние напряжения Z72 = (l-|-л)670> 67с; если же г2<гс> то
л<0, отраженная волна будет иметь противоположный знак,
и на конце линии 'мы будем иметь понижение напряжения
С72—(l-j-n)-t70<{/0.
Если г2 по своей численной величине равняется характе-
ристике линии r2=^ = |/|?, то n=0, Uomp = Q, iomp — Q и
отраженной волны не будет. Как только волна дойдет до
конца» в цепи сразу установится стационарный ток, и вся
энергия, доставляемая бегущей (падающей) волной, погло-
щается в сопротивлении.
550 Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
Когда сопротивление приемника энергии и характеристи-
ческое сопротивление отличаются друг от друга, состояние
равновесия не может установиться сразу, так как лишь часть
волны проникает в приемник энергии, другая же часть от-
ражается. Ток в цепи устанавливается лишь после ряда коле-
баний, когда закончится нестационарный режим.
На фиг. 76,7 показан характер изменения тока, поступаю-
щего в линию из источника в зависимости от времени:
а) когда б) когда г2<гДп= — 0,5).
На тех же фигурах показано тонкими линиями изменение
напряжения на конце линии. Повышение напряжения наблю-
дается только когда и наибольшее значение напряже-
ния будет иметь место, когда первая волна дойдет до конца.
77. ПРАВИЛО ПЕТЕРСЕНА—ПФЙФНЕРА.
ВКЛЮЧЕНИЕ НА ПОСТОЯННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ ЛИНИИ,
ЗАМКНУТОЙ НА ИНДУКТИВНОСТЬ И ЕМКОСТЬ
Лишь в однородной линии без потерь волна передвигается
без каких-либо изменений от одной точки к смежной. В точ-
ках нарушения однородности, будь то конец линии с соответ-
ствующей нагрузкой или какое-нибудь ответвление или пере-
ход волны с одной линии на другую, непосредственно или
через какое-нибудь сопротивление, происходит частичное
или полное отражение падающей волны.
Пусть в какой-нибудь момент времени t в месте отраже-
ния напряжение и ток падающей волны и2пад и i2nad, напря-
жение и ток отраженной волны и2отр и t2omp\ пусть далее
и2 и г2— значение действительного напряжения между про-
водами и значение действительного тока в проводе линии в
месте отражения и обозначим через г2 отношение значений
напряжения и тока за точкой отражения (<г2 может быть
функцией времени).
i’77]
Правило Петерсена — Пфифнера
551
Эти величины связаны соотношениями
М2 — и2пад 4“ и2отр —
^2пад homp „ ^2пад ^2отр
zc
Из этих двух уравнений, исключив и2отр, мы можем опре-
делить мгновенное значение проходящего тока Z2 через мгно-
венное значение падающей волны
• __ ^и2пад
(77,1)
Последнее уравнение выражает правило Петерсена—Пфиф-
нера, заключающееся в том,
что ток в точке, где имеет место отражение
падающей во мы, будет такой же, как в цепи, в
которой действует напряжение, равное двойному
напряжению падающей волны и которая состоит
из последовательного соединении сопротивления,
равного сопротивлению волны (до т>чки отраже-
ния) и сопротивления г2, эквивалентного сопро-
тивлению веек элементов, находящихся по другую
сторону точки отражения (фаг. 77,1).
Так, если прямоугольная волна подходит к концу линии,
где к линии присоединена индукционная катушка r2, L2
(фиг. 77,2), проходящий через катушку ток Z2 может быть
определен, как ток в цепи, состоящей из последовательно
Фиг. 77,1.
соединенных элементов zc, г2 и Л2 и к которой в'момент 7—0
прикладывается напряжение 2£7О. Ток в такой цепи будет
/ Ze+r2
Н /""Т"
= ——11 — в
ZcVr-l \
(77„2)
552
Явления & цепях с распределенными постоянными ; гл. 10
и соответственно, напряжение
в конце линии на зажимах
индукционной катушки опре-
делится через
Фиг. 77,3.
u2=2U Q—i2zc — и^и0
2гг
—— е
ra+2C
. (77,3)
+
На фиг. 77Да показано, как изменяются а2 и Ч в зави-
симости от времени.
После того как волна достигнет конпа линии, напряжение
и ток на конце в противоположность примерам, рассмотрен-
ным в предыдущих параграфах, непрерывно меняются. В
первый момент, когда волна достигает конца (/=0), напряже-
ние равно двойному линейному напряжению 2t7n и ток равен
нулю. В дальнейшем напряжение постепенно понижается, а
ток увеличивается. Рассматривая напряжение, действующее
на конце, как результат одновременного действия падающей U*
и отраженной ^тр волн, а ток на конце линии — как
получающийся от наложения тока падающей волны UQ
и отраженной
’ %2атр %е$2отр’ ^2отр $0
мы видим, что в момент подхода волны к концу линии £=0,
/2 = 0, 1отр:=1& ui9mp = UQ падающая волна полностью отра-
жается 9без перемены знака,* совершенно так же, как если бы
9 77]
Правило Петерсена — Пфифнера
553
конец линии был открыт. Через промежуток времени t отра-
женная волна распространится на расстояние vt = mi • IM от
конца (фиг. 77,3, с) Вследствие стремления к выравниванию
смежные с концом точки будут получать те же напряжения,
что и конец линии. Это выравнивание происходит не
мгновенно, а со скоростью распространения волны, и
все точки линии, начиная с конца, будут последовательно
получать те же значения напряжения и тока, какие перед
этим были на конце линии у индуктивного сопротивления.
Поэтому, если вычертить кривые изменения Z2 и и2 как
функции vl, то для характеристики напряжения и тока в
любой точке линии для какого-нибудь момента t во время
приближения отраженной волны к началу достаточно про-
двинуть кривые и2 и Z2 от конца на расстояние vt. Когда
волна достигнет начала линии, распределение напряжения и
тока вдоль линии будет таким, как это показано на фиг. 77,3,б/.
После этого от начала пойдет новая выравнивающая волна*
от наложения которой на две предыдущие волны напряжение
линии будет приближаться к
напряжению источника тока,
т. е. к величине UQ.
Наибольшее возможное на-
пряжение будет иметь место
при первом отражении волны
и будет равно двойному напря-
жению источника тока.
Когда к концу линии при-
соединены сопротивление и ем-
кость г2 и и когда по ли-
Фиг. 77,4.
нии распространяется прямо-
угольная волна Ub=zcif» -то, применяя правило Петерсена—
Пфифнера, мы для определения тока в конце линии можем
применить схему (фиг. 77,4), ток /2 выразится через
(77.4)
1
Ьа - — tz
гс+г2
напряжение на конце линии будет
е
и напряжение на обкладках конденсатора
г ______1__
«c=2£/0-(^+r2)i2=2t/0 1-е <^+^2
(77,6)
554
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
В вышеприведенных уравнениях за начало счета времени
принят момент подхода падающей волны к концу.
Ток и напряжение отраженной волны у конца линии будут
иметь следующие значения:
12отр—*0 12—
1
2^0 е (гс~}~г2) ^2
2с+Г2
(77,7)
1
и z I —.у е (гс-{-Г2)С2 f (77 О\
U2omp—Zcl2omp— U ® ~ '
Мы видим, что в первый момент (Л—Э)
у»-S'= £7.Ьг' <77'9)
r2~vzc r$Tzc
Г
2отр
r2~Ze
Т 2Г z с
(77,10)
отражение происходит таким образом, как будто конденсатор
коротко был бы замкнут и к концу присоединено одно со-
противление г2. Если к тому же г2—0, то в первый момент
мы получаем полное отражение и20тр— — и Чотр =
—-----zoc переменой знака, что соответствует короткому
Zc
замыканию линии. С течением времени по мере зарядки кон-
денсатора напряжение на конце повышается, а ток умень-
шается. Если емкость очень мала С2^0, например, если линия
присоединена к собирательным шинам, обладающим весьма
малой емкостью, напряжение на конце быстро повышается
до двойного напряжения, а ток на конце приближается к
$77 J
Правило Петерсена — Пфифнера
555
нулю, что соответствует состоянию линии, разомкнутой на
конце. На фиг. 77,5, а показано изменение и2 и i2omp в зави-
симости от времени. Когда волна достигнет конца, после отра-
жения напряжение и2 передается смежным точкам. Кривая и2.
а вместе с ней и кривая i2, построенные как функции vt,
перемещаются справа налево (фиг. 77,5 а). Когда отраженная
волна достигнет начала (фиг. 77,5, rf), от источника тока
пойдет новая волна, стремящаяся выравнить напряжение
линии с напряжением источника тока.
Если линия без потерь замкнута на сопротивление г2,
индуктивность L2 и емкость C2i тэ при подходе к концу
линии прямоугольной волны UQ—zci^ ток в конце линии
может быть определен на основании схемы фиг. 77,6 из
следующего диференциального уравнения
2f70= (r^-zc) L, + А, +—f i2dt.
° v ' CJ - 1 J dt ' c2J 2
о
(77,11)
Это уравнение приводится после диференцирования к виду:
^2 | r2~\~zC ^2 I 1 / ___О
dt* 1 L2 dt 1 L2C2 ’
(77,12)
аналогичному уравнению для цепи с сосредоточенными по-
стоянными, состоящей из сопротивления r2-\-zcy индуктивно-
сти L2 и емкости С2, которая приключается к постоянному
внешнему напряжению 2t70. Поэтому для решения этого урав-
нения мы можем непосредственно воспользоваться выво-
дами, приведенными в § 91 т. I.
В зависимости от того, будет ли больше или меньше
Фиг. 77,6.
S56
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10s
----, ток будет или изменятся апериодически или совершать
^2^2
периодические колебания с затухающими амплитудами. По-
следний случай возможен при включении длинной линии, к
концу которой через измерительный трансформатор тока или
катушку автоматического выключателя присоединены шины
со сравнительно малой емкостью (фиг. 77,7).
Пользуясь выводами, приведенными в § 91 т. I, мы дляЛ2
получаем
-------—t
g 2Ла sinо>2/, (77,13)
<о2^3 ю2^2
ГДе
W2—2к/2 = И Ь1= (77>14>
—собственная частота колебаний контура гс-|-г2, -^2 и С2 и
коэфициент затухания колебаний.
Напряжение, действующее на обкладках конденсатора
(в частном случае напряжение между шинами), будет
ис—
1~е Ь2‘- l/-^lsinb/-p2)
' “2
(77,15)
tg/2— ~ =
г2_Ьгс
(77,16}
При очень малом значении емкости С2 частота колебаний
может быть весьма большой, так что время даже несколь-
ких периодов будет невелико, и поэтому для упрощения рас-
§77]
Правило Петерсена — Пфифнера
557
сматриваемого явления мы можем пренебречь влиянием зату-
хания колебаний, т. е. положить, что
гг+гс
0 2L i = 1, tg Z3^ оо, у и 1
2 I/ «>22 ~ 1.
Тогда
•®з=-г==. t2 = —Лз1п <&J=2U0 1/"% sin <s>2t, (77,17)
У L2C2 <°2L2 I/ Lt
напряжение на конце линии будет равно
u2=2Uq—zci2—2U0 (1------------sin <о2^ • (77,18)
и напряжение на обкладке конденсатора (на шинах)
«е=27/0[1—sin ^+-^-)]=2t/0(l—cosw30. (77,19)
На фиг. 77,8 представлены кривые изменения п2, Z2, ис
в зависимости от времени соответственно вышеприведенным
уравнениям.
Особый интерес представляет случай, когда период коле-
баний в цепи £2, С2 равен времени прохождения волной ,че-
1 4/
тырехкратнои длины линии—=—; в этом случае имеет
/2 v
место резонанс, который может привести к очень высоким
перенапряжениям.
Когда волна Uq=zcIq достигнет конца линии, она почти
полностью отражается вследствие весьма малого значения Z2
по сравнению с 70. Ввиду этого на-
пряжение на конце линии будет пери-
одически изменяться (фиг. 77,9) при-
близительно так, как если бы линия
была на конце открыта, т. е. в те-
2/
чение времени — , считая от мо-
мента первого подхода волны к
концу, оно будет равно 2£70, затем
в течение следующего отрезка вре-
2Z
мени — равно нулю, затем опять
будет равно 2£7О, и т. д. В течение
2Z 1
времени —=—, считая от момен-
Фиг. 77,9.
558
Явления в цепях с распред елейными постоянными [ гл. 10
та первого отражения волны у конца, конденсатор будет за-
ражаться и достигнет в конце этого периода напряжения
Ис =2f/0(l—cos «>2О=2С7о(1 — cos^S- )=4t/0, (77,20)
ток в этот момент будет равен нулю.
После этого конденсатор будет разряжаться через индук-
тивность Л2 и линию zc. Разряд конденсатора будет сопро-
вождаться колебаниями и будет совершаться с той же ча-
стотой. Напряжение конденсатора будет изменяться в преде-
лах между + 467О и —4t70 (фиг. 77,9).
При этом на собственные колебания конденсатора будут
накладываться дальнейшие заряды конденсатора, когда на-
пряжение на конце линии будет равно опять 2t/0. По исте-
bl
чении времени — после первого отражения конденсатор бла-
годаря собственным колебаниям будет иметь заряд,соответ-
ствующий напряжению 4t70; к этому присоединяется новый
заряд, повышающий напряжение еще на 4f70, т. е. напряже-
ние конденсатора будет равно 8t/0. Через каждые — единиц
V
времени напряжение конденсатора будет повышаться каж-
дый раз на 4t70 и теоретически может дойти до бесконеч-
ности. В действительности, напряжение будет нарастать до
тех пор, п жа не произойдет непосредственный разряд меж-
ду обкладками конденсатора (шинами). Перенапряжения воз-
можны даже и тогда, когда к шинам приключен, например,
трансформатор, так как последний представляет для волны
большое сопротивление и на колебательные токи он не бу-
дет оказывать влияния. Во избежание подобных колебатель-
ных токов параллельно к обмоткам измерительных трансфор-
маторов и катушек-автоматов в установках высокого напря-
жения присоединяют иногда активные сопротивления. /
Если включение линии производится не в начале ее, а на
конце линии, находящейся под напряжением, то процессы,
происходящие в линии и в ветви нагрузки на основании
принципа суперпозиции, могут рассматриваться как резуль-
тат наложения на предшествующее состояние линии Процес-
са, получающегося от приложения к контактам рубильника
источника тока с напряжением равного напряжению меж-
ду контактами рубильника и действующим в ту же сторону:
в предположении, что линия не находится под напряжением
и что в начале она коротко замкнута (фиг. 77,10).
§77]
Правило Петерсена — Пфифнера
569
При включении нагрузки ток в конце линии будет:
(77,21)
а напряжение, которое будет состоять из двух слагающих,
одной — имевшей место до момента включения, и второй
слагающей zci2, налагающейся на первую после включения
и заряжающей линию в противоположном направлении
_ zc+r2
u2==U0-zci2 = U0-^-----\-U0—^—-e . (77,22)
'Zc+r2 zc+^2
Эти значения напряжения и тока и2 и i2 на конце линии
будут передаваться от точки к точке, от конца линии к ее
началу со скоростью v (фиг. 77,11).
Аналогичным образом могут быть найдены напряжения и
токи на конце линии, когда к концу линии, находящейся под
напряжением, приключается приемник энергии в виде г2,
или г 2^ L>2 и С %*
560
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл; 10
Выше мы предпола-
гали, что источник тока
имеет постоянное на-
пряжение и что от не-
го при включении ис-
ходит прямоугольная
волна. Рассмотрим не-
которые волны, фронт
которых более или ме-
нее подходит к франтам действительных волн, например,
волну в виде ломаной линии, изображенной на фиг. 77,12.
Напряжение такой падающей волны в конце линии, если
считать время с момента подхода ее к концу линии, мо-
жет быть выражено через
и.2пад= когда и /<ТО
то
U2nad = — t— ~ (t—т0) = t70, когда t >т0,
то то
(77,23)
Рассмотрим сначала действие первой слагающей — t,
z
Если в конце линии присоединены сопротивление г2 и индук-
тивность А3, то согласно правилу Петерсена—Пфифнера мы
можем написать, что
2с+*2 ’
Применим операторный метод при решении этой задачи
и разделим изображение двойного напряжения падающей
волны на символическое выражение сопротивления эквива-
лентной цепи, тогда
Цр) = ______I____= ^0_________!___,
W zc+r2+L2P р(р + а2)
(77,24)
где а2—
^2
Разлагая дробь с оператором р на сумму простых дробей
1
1
1
р(р + Д2)
аЖР + а2)
(77,25)
& 77]
Правило Петерсена — Пфифнера
561
мы на основании соотношений (59,6) и (59,8) можем изобра-
жение тока перевести в функцию времени
' t 1-е \_ 2U0
т0^2 I а2 I
t L2
-----------------1—е
то (zc + r2)r0 I
(77,26)
когда 0<7<х0. Напряжение при этом в конце линии будет:
. 2£/оГ 2^ 2UQrcL2 / —
Щ = 2и2пад - zci2 = + {г^..Г2)^ (1 ~s )• (77,27)
По истечении времени т0 вступает в действие слагающая
2Z70 z
7“ (^ — ^о)> которая у индукционной катушки создает
напряжение
— то) ‘MJtfcLz
(zc + r 2)^0 (zc~}~r 2)2t
Поэтому, когда />т0, напряжение у индукционной катушки
будет:
—то)'
(77,28)
Если
к концу
2 1 ^^0гс^2 Г ^2^ то) —^2^
п2= —,-------—г--------«— е — е
zc~¥r2 ('C~t~r2)2z0 L
принять, что напряжение падающей волны, попадая
линии, изменяется согласно уравнению
—at
= Ц)( 1 )>
. (77,29)
и если на конце включены сопротивление г2 и
то, разделив напряжение
-at 2U(\a
^U2nad =2t70(l е ) т—
(77,30)
емкость С2,
(77,31)
на символическое выражение сопротивления
j (z<?4~r2)
^(/О^
Р
где
1
б?2— ~ ,
(г<?+г2) ^2
мы получим изображение тока в конце линии
2 U$ap
Up\ —
(zc + гг) (Р + а) (Р + а2)
— 2 и^а Г Р_________р 1
м-ъ) L р+а2 р+а J 1
(77,32)
36 К. А. Круг, т. II.
562 Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 1G
которому соответствует следующая функция времени
2U„a Г
и—----------°- — -к — е
(а—а2) [
(77,33)
Напряжение же на обкладках конденсатора будет изме-
няться следующим образом:
ие=2и2„ад—(хс+г2)1.^2ий--^(ае~^--а.,е а‘} (77,34)
U—(Jo \ /
78. ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН НА СТЫКЕ ДВУХ ЛИНИЙ
Когда волна 770=гс1г0 подходит к месту оыка двух ли-
ний с различными характеристиками zcx= 1/ и z
* Coi с
=1/ — то она частью отражается, частью переходит во
г 0)2
вторую линию. И в этом случае может быть применено пра-
вило Петерсена—Пфифнера. Действительно, если напряжение
и ток отраженной волны uom=zc{iomp, т0 напряжение волны,,
которое передается во вторую линию, будет в месте стыка
определяться, как сумма напряжений падающей и отражен-
ной вол! ы в первой линии, с другой стороны, это напряже-
ние в месте стыка будет равно сопротивлению волны во
второй линии, умноженному на ток во второй линии
U 2—U[)-\~uomp =U (T^~ze^omp zcih —
~~zc2i2. (78,1)
Таким образом ток проходящей волны (поступающей во
вторую линию) будет равен (фиг. 78,1)
^2 *0 iomp
= 2(/0
^riT-^2
(78,2}
двойному напряжению падающей волны, деленному на сумму
характеристик обеих линий, а напряжение в месте стыка
Фиг. 78,1.
6/2=26/0-гсЛ = -^3-.
Предположим, что волна из
кабеля zcl переходит в воздуш-
ную линию zc2 (фиг. 7 8,2), так
какдля воздушной линии харак-
теристика больше, чем кабеля
zc£>zcv то в месте соединения
кабеля и воздушной проводки
« 78]
563
будет наблюдаться повышение напряжения (фиг. 78,2,d).
Если воздушная линия на конце разомкнута, то волна с
напряжением U2t достигнув открытого конца воздушной
линии (фиг. 78,2,в), отразится с повышением напряжения
вдвое (фиг. 78,2,/), т. е. до 2t72, так что наибольшее напря-
жение, которое может получиться, составит:
2t/,= _±£2_ .[J (78,3)
zcl~\~zc2
Так, например, если ^2=10гс1, то наибольшее напряжение,
которое может появиться при включении такой составной
линии, может достигать почти четырехкратного рабочего на-
пряжения.
Аналогичное повышение напряжения может иметь место,
когда включается линия (кабель или воздушная), на конце
которой присоединена одним полюсом машина или трансфор-
матор (фиг. 78,3). Обмотку машины или трансформатора мож-
но рассматривать как цепь с’ распределенными постоянными
(фиг. 78,4); обмотка, с одной стороны, и станина или сер-
дечник— с другой, представляют собой обкладки конден-
саторов, и каждый виток составляет часть обще й индуктив-
ности. Предположим, что напряжение источника тока распре-
36*
564
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
деляется таким образом, что при включении кабеля один
полюс получает по отношению к земле напряжение
4- —, а другой----- . Волну, возникающую в кабеле, мы
2 2
разбиваем на две половины и рассматриваем ту ^предполо-
жим, -|- -, которая образуется между нулем и тем про-
водом, к которому присоединен трансформатор. Волна, достиг-
нув конца кабеля, частью отразится, частью проникнет в
обмотку трансформатора, причем напряжение на конце может
почти удвоиться, т. е. достигнуть величины 2-^-=t70. Эта
волна с напряжением £70, двигаясь по обмотке и дойдя до
противоположного конца ее, снова отразится с удвоением
напряжения, таким образом у другого конца обмотки напря-
жение по отношению к земле (станине) может достигнуть
величины 2t70, несмотря на то, что напряжение в начале
линии делится по отношению к земле пополам и равно всего
и при подобном включении может произойти пробивание
изоляции у невключенного конца обмотки с.
Движение волны в обмотке помимо возникновения двойного
рабо чего напряжения сопряжено еще с опасностью пробивания
изол яции между смежными витками вследствие того, что
вэлн а эта имеет крутой фронт (фиг. 78,5). При стационарном
режиме нагряжение между двумя смежными витками равно
рабоче му напряжению, деленному на число последовательно
соеди ненных витков. При движении же волны с крутым
фронт ом напряжение между смежными витками достигает
величины напряжения волны.
В виду большого затухания волны и сглаживания фронта
необходимо выполнить лишь первые витки у концов обмотки
с усиленной изоляцией.
9 78]
Отражение воли на стыке двух линий
565
Величина возможных перенапряжений
может возрасти еще больше, если маши-
на или трансформатор присоединены од-
ним полюсом не прямо к кабелю, а при
посредстве некоторой, хотя и короткой,
воздушной линии ab (фиг. 78,2), так как
в этом случае при движении волны
дважды имеет место повышение напря-
жения (в точках а и Ь}.
Машины и трансформаторы должны
включаться всегда таким образом, чтобы
одновременно присоединялись все полюса или фазы. Как
бы точно ни были выполнены многополюсные выключатели,
один полюс всегда будет присоединяться раньше, чем Дру-
гой; однако после включения одного полюса расстояние меж-
ду контактами у другого полюса выключателя будет на-
столько мало, что между этими контактами образуется искра
или дуга, и поэтому, несмотря на некоторое зшаздывание
в соприкосновении контактов, включение при помощи мно-
гополюсных выключателей мы можем рассматривать как
одновременное включение всех полюсов или фаз.
Разберем еще явления, происходящие при включении линии,
состоящей из воздушной линии zcV к концу которой при-
соединен кабель zc2 (фиг. 78,6,а). Предположим что zcX =
=3гс2 и что середина (нулевая точка) обмотки генератора
(или трансформатора) заземлена. Предположим, далее, что
волна сейчас же после включения, распространяясь по воз-
душной линии (фиг. 78,6,#), сообщает верхнему проводу на-
i Uq UQ rr
пряжение-[——,анижнему-----—. Когда волна достигнет места
2 2
соединения кабеля с воздушной линией (фиг. 78,6,с)» она
частью отразится, частью вступит в кабель, причем напря-
жение, общее кабелю и воздушной проводке (напряжение
одного провода по отношению к земле), будет равно
_ J----и (78,4)
2 2 4
т. е. для принятого нами отношения — =3 напряжение
ZC2
уменьшится вдвое. Это напряжение будет распространяться
по обе стороны места соединения (фиг. 78,6,^). В воздушной
линии это напряжение по отношению к земле составляется
из напряжения, сообщаемою падающей волной t70, и напря-
жения, сообщаемого отраженной волной, которое будет 'авно
Uo_ и.
2 “ 4 2 “ 4 ’
566 Явления в цепях с рцепреденен-иыми постоянными , ГЛ- Ю
Фиг. 78,6.
Когда эта отраженная волна достигнет генератора (фиг. 78,6,е),
то вследствие большого значения характеристики в генера-
торах (или трансформаторах) она почти полностью отразится
с удвоением напряжения (фиг 78,6,/), при этом напряжение
у зажимов генератора будет равно
Если бы хсЛ было больше, чем Згс2, то напряжение у за-
жимов генератора получилось бы отрицательным, в то время
как первый смежный с зажимами виток имел бы по отноше-
нию к земле (станине) рабочее напряжение -|-£72. Поэтому
между первыми смежными с зажимами витками может сразу
получиться напряжение больше рабочего, которое может
пробить между ними изоляцию. Таким образом и отдельные
части генератора (или трансформатора), к которому присоеди-
няется линия, могут подвергнуться действию перенапряжений.
Включая между двумя линиями активное сопротивление,
можно понизить напряжение проходящей волны до любой ве-
3 78]
Отражение волн на стыке двух линий
567
личины, однако посто-
янно включенное в ли-
нию сопротивление по-
нижает не только на-
пряжение проходящих
волн, но также и на-
пряжение при стацио-
нарном режиме, что
связано с потерей энер-
гии.
В случае если меж-
ду двумя линиями
включена дроссельная
катушка (индуктив-
ность) L (фиг. 78,7л),
то при переходе волны
из одной линии на дру-
гую напряжение в по-
следней повышается
постепенно. Напряже-
ние, которое после от-
ражения образуется в
Ь
конце первой линии, должно рав-
няться сумме двух слагающих: слагающей, уравновешиваю-
щей э. д. с. индуктивности в дроссельной катушке, и сла-
гающей, равной напряжению в начале второй линии:
: z.J9, (78,5)
dt ' dt ~ "
или
( 4-(78,6)
dt
Решение этого диференциального уравнения дает для
значение
4"-г? L
и для U2
(78,7)
£/. -_х zc2i2— - 2.С^а_ И _ е
L
(78,8)
Напряжение в начале второй линии f/2 изменяется в за-
висимости от времени, как эго показано на фиг. 78,7,6, на-
чиная от нуля и постепенно увеличиваясь до предельного
568
Я'Влейия в цепях с распределенными постоянными [гл. 10
значения —— . На той же фигуре (78,7,6) пунктиром
zc\~Vzc2
показано изменение напряжения на конце первой линии в
зависимости от времени:
____zcl~^zc2 4-
2t/0 — 2^2 = 2U<>Zcl—I-----U°Zc2 e L ' (78,9)
zc\~\~zc2 zcl~\~zc2
Разность afa” между соответствующими ординатами кри-
вых представляет собой величину э. д. с., которая наводится
в дроссельной катушке. Напряжение в начальной точке вто-
рой линии получает последовательные значения 0, ти-аа\
trty-bb^ niy-cc' и т. д.; это напряжение передается по второй
линии поочередно от одной смежной точки к другой, рас-
пространяясь со скоростью <и. В какой-нибудь момент А счи-
тая от момента подхода волны к дроссельной катушке, рас-
пределение напряжения вдоль второй линии может быть изоб-
ражено кривой MN (фиг. 78,6,d), ордината которой в началь-
ной точке равна АМ=аа' и которая, отличаясь только мас-
штабом абсцисс, вполне тождественна с кривой Оа!. Если
кривую Uг построить от точки Af влево и продолжить ее за
точку 7И, то распределение напряжения в последующие мо-
менты времени мы можем получить, перемещая кривую NMP
направо со скоростью V. Подобным же образом мы можем
найти распределение напряже-
ния в первой линии. Отражен-
ная волна будет перемещаться
от конца первой линии в об-
рат! ом направлении в момент
отражения напряжения, напря-
жение на конце будет равно
2t70, затем оно будет постепен-
но понижаться, приближаясь к
тому же пределу:
2(7oZ(<2
Емкость С, включенная па-
раллельно к проводам двух
соприкасающихся линий (фиг.
78,8,а), действует примерно
так же, как и индуктивность,
включеннг.я в цепь приводов..
Волна б/0~г61г0, достигнув
места соединений обеих линий,
9 78]
Отражение волн на стыке двух линий
560
частью отразится, частью пройдет в виде тока смещения че-
рез конденсатор и частью пройдет во вторую линию. Пусть
напряжение в некоторый момент t в месте соединения линии
равно U2, ток в проводах второй линии равен i2=—, а за-
ряд на обкладках конденсатора пусть будет q2 = CU2. Если
напряжение U2 меняется, то через конденсатор будет
проходить ток 1с = С—-^ поэтому ток отраженной волны,,
двигающейся обратно по первой линии, составит:
| z~* dU2
' ~dt j
а напряжение в конце первой линии, равное U29 а слагаю-
щееся из напряжения падающей волны UQ и напряжения от-
раженной волны, выразится через
£72=t70 + ^p0-(/2+C^)],
откуда
2£/0 = _*£1±5«_ и2 + Сгл d^. (78,10)
zc2 dt
Это диференциальное уравнение аналогично уравнению
(78,6) (вместо z2 мы здесь имеем U2, вместо + — выра-
жение —и вместо L мы имеем Czfl). Решение его при-
ZC2
водит к следующему выражению для U2 и i •
u2^=- 2ZaVQ— [1 — e~aZ], где д = *cl+2>2 , (78,11)
zc2 zclzc2^'
________________ Щ _____________2С7р г 1 __ 2zc2a&0 o~at
lomp_____________________________i 11 J I
zcl zcllzc2 zcVrzc2
_______zc2~~zCl fj ____ ^zc2^ 0"~at
zcl(zcl~hzc2) ° zcl(zcl~Tzr2)
Напряжение U2 в начале второй линии будет изменяться
в зависимости от времени по такой же кривой, как и в пре-
дыдущем случае, приближаясь к тому же предельному зна-
чению—(фиг. 78,8,Ь).
zcl~hzr2
(78,12)
570 Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
Если мы подберем емкость таким образом, что zcVzc2C — Z,
где L — индуктивность дроссельной катушки в предыдущем
случае, то U2 будет получать для тех же I те же самые зна-
чения. Разница между рассматриваемым случаем и предыду-
щим заключается в том, что в предыдущем случае волна в
конце первой линии в первый момент полностью отражалась
с удвоением напряжения, как будто бы в этом месте имелся
разомкнутый конец, в рассматриваемом же случае конец
первой линии и начало второй имеют всегда одно и то же
напряжение, и когда волна подходит к месту соединения,
напряжение сразу спадает до нуля, как будто в точке при-
соединения емкости имеется короткое замыкание, и лишь по
мере зарядки конденсатора напряжение постепенно повы-
шается. На фиг. 78,8,d показано распределение-напряжения
в первой и второй линиях через время t после подхода вол-
ны к месту соединения этих линий.
79. ОТКЛЮЧЕНИЕ ДЛИННОЙ ЛИНИИ, НАГРУЖЕННОЙ НА КОНЦЕ
Для упрощения рассмотрения явлений, происходящих при
отключении длинных линий, мы будем пренебрегать потеря-
ми в сопротивлении линий и потерями утечки и будем счи-
тать. что отключение линий происходит мгновенно без обра-
зования дуги между контактами выключателя, т. е. что при
•отключении линии ток в месте отключения сразу спадает
до нуля.
Как было показано выше, явления, происходящие в це-
пи, после отключения какой-нибудь ветви цепи могут рас-
сматриваться, как наложение на предыдущее состояние (до
отклонения) цепи токов и напряжений, получающихся от
приложения к точкам отключения генератора, который давал
бы ток, равный и противоположный отключаемому току.
Поэтому, если до отключения напряжение между прово-
дами было и ток в линии /, то после отключения начала
линии на ток /, текущий по линии от источника, будет на-
кладываться волна с током—I и с напряжением — ипад~~—zc^
которая будет перемещаться со скоростью v------—— от
*ЛоСо
начала к концу. В результате наложения этой волны на пре-
дыдущее состояние волны на протяжении, пройденном этой
волной, ток будет равен i — /~0, а напряжение f/0 — ^пад -^
= —zci (фиг. 79,1).
Если ток нагрузки i меньше зарядного тока при включе-
нии линии на напряжение t/0, т. е. , то Z70 — zi бу-
9 79 J
Отключение длинной линии, нагруженной на конце
571
дет положительно и
после отключения на
пройденном волной уча-
стке сохранится неко-
торая доля напряжения
того же направления,
если же —, то ли-
zc
ния на соответствую-
щем участке будет за-
ряжена в противопо-
ложном направлении.
Когда эта волна—ипаэ—
——zci дойдет до кон-
ца, она частью прой-
дет через приемник
энергии, а частью от-
разится и мы будем
иметь в линии нало-
жение на напряжение
Uq и ток i падающей
ВОЛНЫ---ипад = ^гс1 И
отраженной волны, и
т. д., и каждый раз, ког-
да волна будет дохо-
дить до начала или кон-
ца линии, напряжение
будет изменяться скач-
ком. Это будет проис-
ходить до тех пор, пока
не иссякнет
гия, которая
чёния была
в линии и в
энергии
2
5
U^Zct
~Zci
Z3Z
вся энер-
до отклю-
накоплена
приемнике
L0!P
2
(79,1)
* 2
Наибольшее воз-
можное напряжение в
линии мы получим,
если пренебрежем потерями энергии в линии. Это падени
напряжения равно:
и <‘
max z-»
с0
L{)li- L2i2
(79,2)
572
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
Если отключение нагруженной линии производится не в
ее Н1чале, а где-нибудь посредине, то после отключения от
места размыкания пойдут две волны, волна — ипад — — zci
по направлению к концу линии и волна и’пад = — zci к ис-
точнику.
В результате напряжение на участке влево от места от-
ключения повысится до U\ — Unad=l-Jo-\-zci и вправо от этого
места UQ—zci (фиг 79,2).
80. БЛУЖДАЮЩИЕ ВОЛНЫ
Помимо появления волн при включении, выключении, ко-
ротком замыкании или изменении нагрузки, а также при слу-
чайных заземлениях возможны еще возникновения волн под
действием атмосферных явлений.
Соседство грозовых туч, снег, дождь, движение воздуха,
особенно во время восхода и заката солнца, изменение по-
тенциала земли — все это может привести к накоплению на
изолированных проводах статических зарядов.
Значительные заряды могут образоваться, когда по со-
седству с линией находятся грозовые тучи. Грозовая туча,
имеющая, предположим, отрицательный заряд, действует че-
рез электростатическую индукцию таким образом, что раз-
деляет в проводах на соответствующей длине линии поло-
жительные и отрицательные заряды. Положительные заряды
в проводах будут находиться в связанном состоянии с заря-
дами тучи и могут быть сосредоточены на небольшой длине
линий, а свободные отрицательные заряды по мере своего
возникновения будут распространяться по всей длине линии.
Действие их будет незаметно благодаря малой плотности
этих зарядов. Когда грозовая туча внезапно разрядится с со-
седними облаками или с землей или пронесется дальше, быв-
шие до этого в связанном состоянии положительные заряды
на проводах не будут больше удерживаться зарядами тучи.
Эти заряды не могут оставаться на одном месте, так как
после исчезновения электрического поля тучи они сообщают
точкам проводов потенциалы более высокие, чем потенциалы
остальных участков линии. Вследствие этого освобожденные
заряды будут перемещаться к точкам с более низкими по-
тенциалами, и в результате от места накопления зарядов в
Ту И Другую СТОрОНЫ ПОЙДуТ и ‘ЛНЫ.
В однородной длинной ли}*'и всякс~ распределение на-
пряжений (или пропорциональных и... нарядов q=Crfi) и токов
вдоль линии может рассматриваться ка получающееся от
наложения двух встречных волн (двигающихся в противо-
положные стороны).
§81]
Уравнения электромагнитного поля Максвелла
573
В начальный момент (/—0), когда заряды неподвижны,
ток в линии равен нулю
0— — [/1(х—v-0)—Л(хН-г’-О)], /1(х)=;2(х). (80,1)
zc -
Накопленные заряды в
линии после их освобожде-
ния от удерживающих сил
(от влияния) грозовой тучи
распадаются на две одина-
ковые волны с половинными
Значениями напряжений, ко-
торые перемещаются в про-
тивоположные стороны (фиг.
30,1). Пока волны не ра-
зойдутся, напряжения в со-
отвегствующих точках скла-
дываются, а токи вычита-
ются. В дальнейшем эти
половинные волны будут
перемещаться независимо
друг от друга к концам ли-
нии, и если отражение у
концов линии будет проис-
ходить полностью без пере-
мены знака, то они будут
двигаться навстречу друг
другу, накладываясь друг
на друга при встрече, затем
опять разойдутся и т. д.,
пока не иссякнет энергия
волны.
81. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ МАКСВЕЛЛА
М^жду электрическим и магнитным полем существует не-
разрывная взаимная связь, которая выражается в том, что
при всяком изменении электрического поля или во время его
создания появляется магнитное поле, и наоборот, всякое ма-
гнитное поле во время своего создания или изменения свя-
зано с полем электрическим. Образование электрического
поля сопровождается магнитным полем, и образование ма-
гнитного поля не может происходить без участия поля эле-
ктрического. Совместное электрическое и магнитное поле,
получающееся не путем наложения друг на друга незави-
симых друг от друга статического электрического и магнит-
574 Явления в цепях с распределенными постоянными ё гл. 10
ного поля, а создаваемое взаимным возбуждением или на-
ведением одного поля другим, представляет собой поле
электромагнитное. Статическое электрическое или ма-
гнитное поле может рассматриваться как частный случай
электромагнитного поля. Электростатическое поле есть поле
неподвижных, накопленных зарядов, но, как только заряды
начинают перемещаться, например, в связи с передвижением
заряженных тел или в виде электрического тока, или же
когда изменяется напряженность электрического поля и воз-
никают токи смещения, появляется поле магнитное. Точно
так же и магнитное поле, например от постоянного магнита
никакого электрического поля по внешней среде не создает,
но если двигать магнит или контур с током или если в ка-
ком-нибудь контуре меняется ток, то в окружающей среди
возникает поле электрическое. Весьма важным обстоятель-
ством во взаимной связи электрического и магнитною поля
является то, что взаимное их влияние во всем окружающем
пространстве, которое бесконечно велико, не происходит
мгновенно, а передается последовательно в виде волн от од-
ного элемента объема к смежному с определенной конечной
скоростью, совпадающей со скоростью распространения света
в соответствующей среде.
Что образование электрического и магнитного поля в
смежных точках происходит не мгновенно, а с опозданием
в одной по отношению к другой точке, можно проследить,
на простом примере замыкания небольшого контура, питае-
мого от источника постоянного тока (фиг. 81,1). До замыка-
ния на поверхности разъединенных частей контура получают-
ся противоположные заряды, которые образуют электрическое
поле между контактами. При приближении контактов плот-
ность поверхностных зарядов на них увеличивается; напря-
женность поля между кон-
тактами усиливается, что
сопровождается возникнове-
нием токов смещения и об-
разованием магнитного поля
вблизи контактов еще до их
соприкосновения. Когда кон-
такты соприкоснутся, про-
тивоположные заряды на
поверхности проводников
будут постепенно стекать
к месту соприкосновения контактов и взаимно разряжаться,
захватывая все более удаленные точки; электрическое поле
будет между этими точками ослабевать, вместо токов сме-
щения между контактами по проводнику будет течь ток про-
водимости, и магнитное поле, усиливаясь, постепенно распро-
Фиг. 81,1.
У 8] ] Уравнения электромагнитного ноля Максвелла 575,
странится вдоль линии цепи, пока оно не дойдет до всех
точек пространства, в котором находится контур. При посто-
янном токе или при переменном токе низкой частоты длины,
волн
Х=---у —VT (81,1)
весьма велики (при постоянном токе f—Q, Г = со) и пере-
дача действия электромагнитного поля от одной точки поля
к другой в пределах ощутимого ею действия, скажем в пре-
делах нескольких десятков метров, происходит настолько
быстро, что с явлением запаздывания прохождениия элект-
ромагнитного поля в пределах рассматриваемого простран-
ства можно не считаться. Так мы принимаем, что в замкну-
том контуре, даже тогда, когда через него проходит пере-
менный ток, ток во всех сечениях проводника контура имеет
одно и то же значение. Если же мы имеем дело с больши-
ми расстояниями, как, например, в длинных электропередачах
и линиях связи, или с высокими частотами, как, например,
в радиотехнике, скорость распространения электромагнитно-
го поля и длина волны оказывают уже весьма существен-
ное влияние на распределение напряжений и токов вдоль
проводов и на распределение электрических магнитных полей.
Диференциалгные уравнения полного тока и электромаг-
нитной индукции (см. т. I, § 62 и § 78) являются на самом деле
уравнениями электромагнитного поля; они впервые были
выведены Максвеллом и носят название первого и
второго уравнения Максвелла.
В неподвижной среде, в которой отсутствуют движущие-
ся объемные заряды (конвекционные токи), первое уравне-
ние Максвелла в векторной форме и в принятой нами систе-
ме единиц пишется в следующем виде:
rot/7=Y£4--^, (81,2)
а второе уравнение Максвелла
rot£=-^. (81,3}
Эти два уравнения Максвелла совместно с уравнениями::
5=;х Н (81,4), divZT-0, (81,5)
(81,6), div D~-'> или 0 (81,7}.
576
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 1,0
В полной мере описывают электромагнитные явления,
происходящие в однородной неподвижной среде с постоян-
ными у. и е. Если среда неоднородна, то на границе неоднород-
ных тел должны быть соблюдены следующие пограничные
условия. Должны быть равны:
1. Нормальные составляющие магнитной индукции
= (81,8)
(это вытекает из условия div В = 0).
2. Тангенциальные слагающие напряженности магнитного
поля, если по поверхности раздела не течет ток
Hu=H2t (81,9)
(это вытекает из условия, что поверхностный ротор равняет-
ся нулю rot//=9).
3. Нормальные составляющие плотности тока в той и в
другой среде при условии отсутствия накапливания зарядов
на поверхности раздела
(81,10)
(это вытекает из условия div8 = 0).
На границе двух проводников или двух диэлектриков это
условие выразится через
или 81 =га ; (81,11)
ot ot
на границе же металла с диэлектриком ток проводимости
переходит в ток смещения, и мы там имеем:
(81,12)
4. Тангенциальные составляющие напряженности электри-
ческого поля
Е’и = £’2^ (83,13)
(это вытекает из того, что J rotZ? dS— (f) £ dl = Qt если кон-
тур выбран в виде бесконечно узкого прямоугольника с
длинными сторонами по обе стороны плоскости раздела).
Если кроме тока проводимости и тока смещения в рас-
сматриваемой точке пространства имеются движущиеся за-
ряды, то в первом уравнении Максвелла в правой части при-
бавляется член pv
rotZ/=i£4"^ , (81,14)
9 82]
Плоская электромагнитная волна
577
а в телах, движущихся в магнитном поле, будь то провод-
ник или диэлектрик, возникает благодаря движению доба-
вочная слагающая электрического поля [v3]f и второе урав-
нение Максвелла в этом случае будет:
rot£ =— +rot (81,15)
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь электромаг-
нитные поля в неподвижных средах, в которых отсутствуют
движущиеся заряженные тела [^ = 0 в уравнениях (81,11) и
(81,15)] и в которых между D и Е, В и Н существует прямая
пропорциональность, т. е. в которых е и р. являются одними
и теми же постоянными величинами для всех точек рассмат-
риваемого пространства.
Уравнения Максвелла дают связь между электрическими
и магнитными величинами, определяющими электромагнитное
поле, т. е. Е и Н в пределах бесконечно малого объема
пространства в зависимости, с одной стороны, от координат
рассматриваемой точки (левые части уравнений (81,2) и (81,3)
зависят только от координат точки) и, с другой стороны, от
времени (в правой части этих уравнений имеются производ-
ные по времени).
В этих уравнениях скорость распространения электро-
магнитного поля в явной формене фигурирует, но если от
рассмотрения соотношений в пределах бесконечно малых
расстояний перейти к расстояниям большим и весьма боль-
шим, т. е. интегрировать эти уравнения в пределах больших
расстояний, то волновой характер распространения и скорость
распространения электромагнитной энергии обнаруживаются
в явной форме.
Это было установлено Максвеллом как следствие его ис-
следований электрического и магнитного поля и впервые было
подтверждено опытным путем Герцем. На базе этих опытов
выросла вся современная радиотехника.
82. ПЛОСКАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА
Волновой характер распространения электромагнитного
поля и соотношение между электрической и магнитной со-
ставляющей электромагнитного поля проще всего могут быть
уяснены на примере так называемой плоской волны в иде-
альном диэлектрике (ч = 0). Такая волна может быть полу-
чена на достаточно большом расстоянии от вертикальной ан-
тенны; на поверхности земли напряженность электрического
поля,, исходящего от антенны, поскольку поверхность земли
может рассматриваться как поверхность равного потенциала,
37 к. А. Кр5г, т. II.
578
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. К
2 нормальна к поверх-
ности земли, а напря-
г женность магнитного
* поля параллельна к
- к поверхности земли и
перпендикулярна к ра-
v диусу.
7”^ " В плоскости, пер-
пендикулярной к ра-
диусу, в смежных точ-
II ках напряженность
электрического поля
имеет одно и то же
Фиг. 82 1. значение и направле-
ние, и они могут быть
представлены в виде ряда параллельных линий Е. Точно так
же и напряженность магнитного поля во всех точках такой
плоскости одинакова по величине и направлению и может
быть представлена параллельными линиями перпендикуляр-
ными к линиям Е.
Уравнения Максвелла для плоской_волны в идеальном
иэлектрике (7 — 0) упрощаются, так как Е и //зависят лишь
от расстояния, пройденного волной, и от времени. Выберем
систему прямоугольных координат так, чтобы ось у совпа-
дала с нормалью к плоскости, в которой лежат Е и Н,
ось х параллельна Н и ось z параллельна Ё (фиг. 82,1).
Тогда
НХ=Н, Ну=0, Н2 = 0, (82,1)
£А--0, Еу=0, Е2=Е. (82,2)
При татсих значениях проекций/:' и Н на оси координат
лишь rot2H и rotx Е будут отличны от нуля:
rotz Н = . дНу __ дНх дх ду _ дН дЕ, _ dt дЕ dt (82,3)
~ ду
и го!Л. Е — dEz дЕ; _ ду dz дЕ _ ду дНк Lt — ' dt дН dt ' (82,4)
Диференцируя имеем: первое уравнение по t, а второе по у,
д / дН _ д*Н - . д*Е
dt и \ ду ) dtdy dfl
д2Е д2Н
---~—и------•
ду2 dydt
82]
Плоская электромагнитная -волна
579
исключая из уравнений ,
мы получаем следующее, так на-
зываемое телеграфное уравнение для напряжен-
ности поля:
д2Е д2Е
---— г и-----
ду2 1 dt2
(82,5)
и аналогичное уравнение получается для напряженности
магнитного поля
д2Н д2Н
-----= .
0»у2-()t2
Мы видим, что как Е , так и Н зависят одновременно от
у и от /.
Решение уравнений, подобных (82,5) и (82,6), было дано
Даламбером в виде дв^х слагающих
£=fi(y — ‘Vt) + МУ -Г ^) = + E-f (82,7)
Если это решение подставить в уравнение (82,5)
dy 1/з’ ду* -fl dt~ 71 1 Л’
= г A").
то для v получается, что
1
V
— представляет собой бегущую плоскую волну, пе-
ремещающуюся со скоростью v в сторону возрастающих J/,
так как одно и то же значение //у — vt) будут иметь точки,
для которых y — = const и = , ЛСу-p^Z) представ-
dt
ляет встречную волну, двигающуюся в обратную сторону, так
как при const, v —.
Для нахождения связи между электрической и магнитной
слагающей электромагнитного поля подставляем Е из урав-
нения (82,7) в уравнение (82,3);
— = е ~~ = — s vf^y — Vt) + svf2'(y + vt)
oy ot
37^
58Э Явления в цепях с распределенными постоянными J гл. 10
и интегрируем под' [при f=const,rfy — d(yqzvty]’.
dy=ev J/i'Cv — vt) diy—vt)— s'»j,/2'(Jz+ vt}d(y -f- vf)
или, так как e »='! /—
k
H=^~-^Afy-vt)-)/~^f2(y + ^) = f/l~H2. (82,8)
Последнее уравнение показывает, что если напряженности
электрического поля бегущей и встречной волны сов-
падают, то напряженности их магнитных полей имеют проти-
воположное направление.
Скорость распространения электромагнитной волны в од-
нородной непроводящей среде с постоянными значениями
диэлектрической и магнитной проницаемости зависит лишь
от значений е и у.; для вакуума (и для воздуха)
v=-L.= с, (82,9)
а для какой-нибудь другой однородной среды
Значения напряженности электрического поля и напря-
женности магнитного поля как для падающей (бегущей), так
и для встречной (отраженной) волны находятся в определен-
ном отношении, имеющем размерность сопротивления.
Для вакуума (а также и для воздуха) это отношение
равно
ч =t=|/v=2 = l/4"10 9'4’9'1о" =
= 120тг = 377 Q , (82,11)
для какой-нибудь другой диэлектрической среды
(82,12)
Если электрическое поле излучается антенной и
распространяется в бесконечное пространство, то такое поле
9 82]
Плоская электромагнитная волна
581
может быть представлено уравнениями:
E=f(y — vf) (82,13)
и
Я=]/ j/ (82’14)
Направление движения бегущей волны, если даны на-
правления Е и Н, может быть определено kпо правилу
штопора, а именно, если ручку штопора повернуть таким
образом, чтобы Е по кратчайшему пути совпало с Н, то на-
правление движения волны совпадает с поступательным дви-
жением штопора.
Из последнего уравнения следует, что
— ЕЕ или—= —— ^-2=— (82, >5)
[л 2 2 2 2
в движущемся поле бегущей электромагнитной волны плот-
ность энергии электрического поля и магнитного поля в
одной и той же точке равны между собой.
Если в уравнениях (82,13 и 82,14) приравнять £ = const,
то /СУ — ^0 и ‘|/</Су—представляют собой кривые рас-
пределения вдоль направления движения напряженностей
электрического и магнитного поля в момент t. В непроводя-
щей среде для плоской волны эти кривые без искажения
перемещаются с такой же скоростью, как и волна.
Распределение электрической и магнитной составляющей
Е и Н бегущей волны, определяемой функцией / Су — ^),
зависит от того, какие волны излучает источник электро-
магнитных волн. Если источник испускает синусоидальные
волны и если в какой-нибудь удаленной от антенны точке
поля, принятой за начало координат, напряженность элект-
рического поля будет меняться по закону
£,O=£’omSino)^
то напряженность магнитного поля (перпендикулярного к
награвленйю электрического поля) в этой точке будет ме-
няться следующим образом:
^о—slnu)*’
Г (А
& в какой-нибудь точке, отстоящей от этой точки на расстоя-
582
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
нии у, напряженность электрического и магнитного поля
можег быть выражена через
Е — sin о)
Ош
sin со ( t— —
(82,16)
или если гармонические колебания изображать через комп-
лексы, то
и
-у— —J^y
Ещ V Е()тпе
} (82,17)
/ _AV —_L t —Ду, I
/Ут = г p E^e v z E^e
1 1ТП ‘ *-*1/72 *-*0/77 j
co 7tJ 2л .
где a — — — — =z-----изменение фазы колебаний волны вдоль
v v 1 .
линии распространения волны, отнесенное к единице дли-
ны, а X — длина электромагнитной волны.
Фиг. 82,2.
На фиг. 82,2 показано распределение напряженностей Е,
и Н вдрлъ плоской синусоидальной волны. Колебания элек-
триче кой и магнитной слагающих электромагнитной волны
происходят в двух взаимно перпендикулярных плоскостях,
линия пересечения которой совпадает с направлением дви-
жения волнь;.
9 83]
Передача электромагнитной энергии
583
83. ПЕРЕДАЧА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ
Вместе с движением электромагнитной волны происходит
и передача энергии по направлению ее движения. Плотность
энергии, т. е. энергия в единице объема в какой-нибудь точ-
ке пространства, через которую в данный момент проходит
волна, составляется из плотности энергии электрических и
магнитных составляющих электромагнитного поля, которые
для плоской волны равны между собой [уравнение (82Д5)]
о J о ’
(83,1)
а так как поле движется со скоростью V, то через единицу
площади, нормальной к направлению распространения вол-
ны, в единицу времени проходит энергия:
s=edv = ^=e.,/11,e=eh (83,2)
У SfA V Р'
Плотность движения энергии по величине и направлению,
т. е. количество энергии, проходящей в единицу времени че-
рез единицу площади, нормальной к направлению движения
волны, определяется так называемым вектором Пойн-
тинга, равным векторному произведению векторов напря-
женности электрической и магнитной составляющей электро-
магнитного поля:
5 = [£Я]. (83,3)
Чтобы это доказать, рассмотрим изменение (уменьшение) энер-
гии за бесконечно малое время в бесконечно малом объеме:
----dW —--------е----k|x— \d V =—( Ег--4- hb — \dV,
д t\ J о A 2 1 2 / \ dt 1 1 d t)
Подставляя из первого уравнения Максвелла
$Е , vj ъ ЭН
8-- =rot/7 — чс и из второго р-—=—rote,
dt dt
получим
_ А (^Г) = [у£2 + Нrot Ё— £rot H\dV.
Но на основании векторного анализа (т. I, § 10)
Нх<ЛЕ — £rot H = div[E //] — div 5
584
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
мы, обозначая через w*» — энергию электромагнитного
поля, заключающуюся в единице объема, находим, что
dw d /s£2 (л/¥2 \ /оо лх
^ = ^(T+M=1£+dlvS- (83'4)
Уменьшение энергии в единице объема за единицу време-
ни распадается на две части: на часть энергии ^Е2, погло-
щаемой в этом объеме за единицу времени токами проводи-
мости, возникающими в проводящей среде под влиянием
электрического поля, и на часть энергии, которая в едини-
цу времени выходит из единицы объема через его поверхность.
Если энергия не исходит из рассматриваемого объема, а
поступает в него из окружающей среды, то за единицу вре-
мени поступающая в него электромагнитная энергия может
быть выражена через
—fs dF= — JdivS dV = (jy + dV. (83,5)
Здесь dF вектор элемента площади поверхности объема V
направлен изнутри объема во внешнее пространство
— S dF = — SdF cos (5, dF) положительно, когда угол между
5 и dF больше 90°, т. е. когда вектор 5 направлен извне
внутрь объема К Электрическая энергия, поглощаемая в
проводнике при прохождении через него тока и переходящая
в тепло, поступает в проводник из внешней среды через
электромагнитное поле.
Это можно иллюстрировать на прямолинейном проводе
(фиг. 83,1) при прохождении через него постоянного тока /,
вокруг провода образуется магнитное поле, напряженность
.гчк которого на поверхности про-
\ вода равна и на-
с у/ правлена по касательной к
s' окружности сечения, где
s' а — радиус сечения прово-
\ I X да’ Напряженность электри-
.S X S ческого поля на поверхно-
S <7 \s сти провода складывается
[ \ s s' из напряженности электри-
ч \ I yS ческого поля Еп нормальной
\L< к его поверхности вслед-
ствие того, что данная точка
Фиг. 83,1. провода имеет определенный
9 83]
Передача электромагнитной энергии
Фиг. 83,2.
потенциал по отношению к окружающей среде и из слагающей
электрического поля вдоль провода, которая равна =
£' = Ёп-\- Ех .
Энергия, поступающая извне в провод на длине I, будет
равна
— fy dF — dF — 70 • ~ • 2naZ = =RF, (83,6)
J J 2ка
ибо S^=EH (угол между Е и Н прямой), и S'dP =
— EHdFcas (E-.E^=EtHdF и плотность тока §=-Ц.
4 1 L 7ZZZ2
В тех местах, где имеются посторонние э. д. с., например,
в гальванических элементах электрических цепей, вектор
Пойнтинга, а следовательно, и поток энергии направлены из
этих элементов в окружающее пространство (сплошные ли-
нии на фиг. 83,2. Линии электрического поля показаны пунк-
тиром, а следы линий магнитного поля, перпендикулярного
к плоскости чертежа, косыми крестиками.
Передача энергии происходит не в проводах, а осуществ-
ляется через электромагнитное поле в пространстве, окру-
586
Явления в цепях с р-аслределен-нымп постоянными [ гл. 10
жающем провода. Роль
проводов заключается
лишь в направлении
электрической энергии
к местам ее потребле-
ния.
Рассмотрим далее
передачу энергии по
длинной линии. В та-
кой линии передачи ин-
дукционные линии ма-
гнитного поля образу-
ют окружности, лежа-
щие в плоскостях, пер-
пендикулярных к осям
проводов. Линии элек-
трического поля, если
бы не было падения
напряжения в проводах, были бы также окружности, нор-
мальные к линиям магнитного почя. Падение напряжения в
проводах немного искажает электрическое поле, но тан-
генциальная слагающая напряженности поля обычно нич-
тожно мала по сравнению с нормальной слагающей; так,
«х А
если плотность тока в проводе о------~, то падение напря-
mm2
жения на 1 cm будет
1А
0,0!ст2-60-104
= 0,15 -10~ 4 —
( m
в то время как нормальная слагающая напряженности поля
на поверхности провода при постоянном токе порядка воль-
та и выше на ст, а в электропередачах высокого напряже-
ния нормальная составляющая электрического поля на по-
верхности проводов доходит до 10-4-20—.
QII1
Если всю плоскость, нормальную к проводам, разделить ли-
ниями электрического поля и проекциями линий магнитного
поля на элементарные площадки dFt фиг. 83,3, то энергия,
проходящая через эту плоскость в единицу времени, рав-
няется
Р— dF = \sndF,
где Sn — проекция вектора Пойнтинга на нормаль к плоско-
сти F _
^ = |[гй]|„=£,й
9 84]
Отражение и преломление электромагнитной волны
587
где Еп—слагающая напряженности электрического поля, ле-
жащая в плоскости, нормальной к проводам. Проекции ли-
ний поля на эту плоскость будут также окружности.
Проведя линии магнитного поля и проекции линий электри-
ческого поля достаточно близко друг к другу, мы можем
разбить всю плоскость на большое множество дуговых четы-
рехугольников с прямыми углами у вершин и с площадями
dF = dadb, где_da совпадает с направлением Ё, а db— с
направлением Н, поэтому
EnHdadb = J Enda (j) Hdb = ui, (83,7)
так как интеграл ^Enda, взятый от однсго провода к дру-
гому, равен напряжению между проводами, а интеграл
JHdb—i согласно закону полного тока равен току в проводе.
84. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
В НЕПРОВОДЯЩИХ СРЕДАХ
Когда плоская волна попадает на плоскость, разделяющую
две диэлектрических среды, то у поверхности раздела плос-
кая волна частично отражается и частично преломляется.
Пусть нам дана плоская волна, двигающаяся по некото-
рому направлению в диэлектрической среде с постоянными
£ь Pi Но и 7г=0 и падающая на плоскость АВ, разделяю-
щую первую среду от второй, постоянные которой е2,
и 72 = 0. Выберем оси координат таким образом (фиг. 84,1),
чтобы начало лежало в плоскости раздела и на линии Z, ось z
была бы нормальна к плоскости раздела и ось у лежала
бы в плоскости, проведенной через направление волны и пер-
пендикуляр к плоскости раздела. Эта плоскость, проходящая
через направление движения волны и перпендикулярная к
плоскости раздела, называется плоскостью падения волны.
Колебания электрического и магнитного поля электромаг-
нитной волны, происходящие с одной и той же фазой в пло-
скости MNPQ (или AW) перпендикулярной к направлению
движения волны, будут передаваться смежным точкам в на-
правлении распространения волны I, и, когда эти колебания
достигнут до соответствующих точек раздела двух сред, то
от этих точек начнут распространяться колебания (принцип
Гюйгенса) как в первой (отражение колебания), так и во
второй среде (преломленные колебания).
Колебания в каждой среде распространяются с постоян-
ной скоростью
]/’£1Н /£1И-0 е2^0
588
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
Фиг. 84,1.
и совокупность ря-
дом расположенных
точак, в которых ко-
лебания напряжен-
ности электрического
и магнитного полей
будут иметь одну и
ту же фазу как для
отраженной, так и
для преломленной
волны, будет пред-
ставлять плоскости,
т. е. и отраженная и
преломленная волна
будут волнами пло-
скими.
В тех точках
отраженной волны
и преломлен-
ной волны M2N2 ко-
лебания будут иметь
одну и ту же фазу,
до которых колеба-
ния от плоскости MN будут доходить за одно и то же
время, или, другими словами, колебания как в плоскости
так и в плоскости M2N2 будут иметь одну и ту же
фазу, когда за один и тот же промежуток времени будут
проходиться пути AiA-\~ AMV и равным обра-
зом МА-\-АМ2, NB-}-BN2 и т. д.
Проведем через какие-нибудь две точки А и В, лежащие
на линии пересечения плоскости раздела и плоскости паде-
ния волны в плоскости падения линии АЬ, Ва и Вс, перпен-
дикулярные к направленным падающей, отраженной и пре-
ломленной волны. Исключая равные отрезки из общего прой-
денного пути между плоскостями MN и MXNX и между /ИЛГ
и M2N2, мы получаем, что за один и тот же промежуток вре-
мени должны быть пройдены пути в В — падающей, Аа—
отраженной и Ас преломленной волнами
dB Аа Ас
Vi v2
Обозначим угол между направлением падающей волны и
перпендикуляром, восстановленным в точке падения падаю-
щей волны, т. е. угол падения через а, угол между этим пер-
пендикуляром и направлением отраженной волны — угол от-
ражения—через aj и угол между перпендикуляром и направ-
5 84 ] Отражение и преломление электромагнитной волны
589
лением преломленной волны — угол преломления — через а2.
Тогда
65 = /4Z?sina; Аа = /45 sin 04 и A? = /45sina2.
Подставляем эти выражения в предыдущие уравнения
sn a sin Oh Sin a2 /о л \
---=------ ——. (84,1)
Vl Vi v2
Эти уравнения указывают, что при отражении угол па-
дения равен углу отражения a = и что при преломлении
отношение синусов угла падения и угла преломления равно
отношению скоростей распространения в той и другой сре-
де и представляет постоянную величину, зависящую от ди-
электрических свойств обоих диэлектриков:
sin 04 ____
s in a2 v2
(84,2)
Отношение синуса угла падения к синусу угла отраже-
ния называется углом преломления.
Под показателем преломления данной среды
понимают обыкновенно показатель преломления, когда волна
поступает из вакуума в данную среду
Sin СЕ У^О _ Г_£2 ______ г_____ п
Sin сс2 ^2 У £0 г
где ег— коэфициент относительной диэлектрической прони-
цаемости диэлектрика.
Рассмотрим теперь, в каком соотношении к амплитуде
падающей волны будут находиться амплитуды отраженной
волны.
У падающей плоской волны взаимно перпендикулярные
направления магнитного и электрического поля, вообще
говоря, могут и не совпадать с плоскостью падения волны
и с плоскостью к ней перпендикулярной. Поэтому, рассматри-
вая общий случай, мы падающую электромагнитную волну
£*, Н (фиг. 84,2) разложим на две совпадающие по фазе волны:
одну, как говорят, поляризованную перпендикулярно к
плоскости падения волны, у которой колебания магнитного
поля перпендикулярны к плоскости падения, а следовательно,
колебания электрического поля происходят параллельно пло-
скости падения
Н'= Нsin ср, Е — f’sincp, — f— , (84,3)
Е' у
и другую, поляризованную параллельно плоскости паде-
ния, у которой колебания магнитного поля происходят
590
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
/V
Фиг. 84,2.
параллельно плоскости падения, а колебания электрического
поля перпендикулярно к ней
Н" = Н cos ср, Е"= Е cos ср, ~ — -рЛ. (84,4)
Обозначим через Е', Н, Е'и Н\ и Е\ и Н\ напряженности
электрического и магнитного поля слагающей падающей вол-
ны, поляризованной перпендикулярно к плоскости падения
волны, и соответственно через Е", Н", Е”, Н" и Е% и /У2"
напряженности электрического и магнитного поля составляю-
щей падающей волны, поляризованной параллельно плоско-
сти падения.
Так как тангенциальные слагающие напряженности элект-
рического и магнитного поля в точках плоскости раздела
обеих сред должны быть равны между собой, то для волны,
где а —«у—-угол падения и отражения, а2—угол преломления.
Заменяя
sin а
=sTnV' мы из ДВУХ Уравнений
pi pt-. C0S а2 Р I pt | р ' sjn а Р 1
----------- ------^2 И С ~Г 23 1 ~------ 23 2
£OS «£ Sin «2
можем определить значения £*/ и Е'2\
£ f________2£z_________4cos а] • sin a2 p
3~~sina1 j cosa2 —sin 2^ +sin 2a2 ’
sin a2 cos 04
cosa1 sina2
P COS a2 sin OC1 p Sin 2 a! — Sin 2 g.2 p
1 sin a2 cos 04 sin 2 at 4" Sin 2 ai
Sin «! COS a2
Напряженности электрической слагающей отраженной и
преломленной волны, поляризованной перпендикулярно к пло-
скости падения, относятся между собой, как
E'l Sin 2 04 — sin 2 a2 sin (aj — a2)-cos («14-«2)
E'2 4cosa!«sina2 2C0Sa!*Sina2
(84,8)
592
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
(84,9)
(84 Л 0)
Для волны, поляризованной параллельно плоскости падения
соответствующие тангенциальные слагающие трех электро-
магнитных волн (фиг. 84,4) будут
Е"-]-Е"~Е2', Н’cos31 — ///'cosа, = H."cosa2
ИЛИ
cos g2 Sinar cos a2 & „
COS 04 2 COS 04 sin a2 2
Из этих уравнений легко определяются следующие зна-
чения для преломленной и отраженной волны,'поляризованной
параллельно плоскости падения:
к __ 2 COS a] sin a2
2 Sin (аг a2) ’
g* if_ sin (04 a2) git
1 Sin(ax4-a2)
И
Ei" sin (ai — a2)
E>" 2 cos 04• sin a2
u
(84,11)
Вышеприведенные
уравнения имеют си-
лу для любой фазы
колебаний в точках
раздела обеих сред,
поэтому они дают
также и соотноше-
ния между амплиту-
дами падающей, от-
раженной и прелом-
ленной синусоидаль-
ной волны. Хотя пло-
ские волны независи-
мо от того, в какой
плоскости они поля-
ризованы, отражают-
ся и преломляются
под одинаковыми уг-
лами, все же ампли-
-z
Фиг. 84,4.
туда колебаний отраженной и преломленной волны зави-
сит от того, как поляризована падающая волна по отно-
шению к плоскости падения. Когда волна падает из сре-
ды с меньшим диэлектрическим коэфициентом в среду с
большим диэлектрическим коэфициентом £i<£2, то ПРИ °Д"
ном и том же угле падения и при том же значении ампли-
84 ] Отражение и преломление электромагнитной волны 593
туды падающей волны волна поляризованная перпендику-
лярно к плоскости падения волны, в меньшей мере отражается
и в большей мере преломляется, чем волна, поляризованная
параллельно плоскости падения, что следует из соотношения
4? : =cos (a^Xl. (84,12)
-С 2 -^2
Рассмотрим частный случай, когда падающая волна на-
правлена нормально к плоскости раздела. В этом случае
безразлично, в какой плоскости поляризована волна. Из ра-
венства тангенциальных слагающих следует, что
Е Ei —Е2
и
Н+Н^Н., „ли (B+E^^/S в,.
откуда . __
1 A-i
f2=-----и Е,= — Е (84,13)
*+/1?-
В таком соотношении будут находиться и амплитуды ко-
лебаний напряженности магнигнаго поля.
Зная амплитуды падающей, отраженной и преломленной
волны, мы можем определить также распределение энергии
падающей волны между отраженной и преломленной волной.
Так как напряженности электрического и магнитного поля
имеют совпадающие фазы, то максимальное значение энер-
гии, проходящей в единицу времени через единицу площади,
нормальной к направлению движения падающей волны, будет
S=\k тН„\, а среднее значение
S Л — 1 р рг — Гei ръ —J—-1 /~Ь. (Р'2 -4- Р,2\
сред =* 2 ^тПт— 2р/ ^Ст — 2 р/ М() С т).
(84,14)
Соответствующая энергия падающей волны
(в4,15)
а преломленной волны
5«р=4-|/й(£,>«+£"-)- <MJ6)
38 К. А. Круг, т II.
594
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
Электромагнитные волны распространяются так же, как
и волны световых ; лучей, они по таким же законам отра-
жаются и преломляются. Гипотеза, что распространение све-
та в среде есть не что иное, как распространение электро-
магнитных волн, была высказана впервые Максвеллом на
основании тождества уравнения распространения света и со-
ставленных им уравнений распространения электромагнит-
ных волн а также на основании равенства скорости света
и отношения между электромагнитными (( GSM) и электро-
статическими единицами (CGSE), установленного Вебером и
КольраушеМа
Эта гипотеза Максвелла получила блестящее подтверж-
дение в работах Герца, получившего направленные электро-
магнитные волны и показавшего, что эти волны распро-
страняются. отражаются и преломляются так же, как и волны
световые. Опы ы Герца положили конец бесконечным спорам
относительно того, в какой плоскости происходят световые
колебания, в плоскости поляризации или перпендикулярно
к ней, так как сделали эти споры беспредметными: колеба-
ния происходят в том и другом направлении, в одной пло-
скости происходят колебания электрические, в другом—маг-
нитные электромагнитной волны, создаваемой световым лучом.
85; РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНЫ В ПОЛУПРОРОДЯЩЕЙ
И ПРОВОДЯЩЕЙ ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Так как электромагнитные явления в однородной среде
описываются линейными уравнениями и к ним применим
принцип суперпозиции и так как всякое изменение во вре-
мени может рассматриваться, как состоящее из ряда гармо-
нических изменений (по закону синуса), то рассмотрение
плоской волны в полупроводящей или проводящей среде мы
можем ограничить рассмотрением плоской синусоидальной
волны.
Выберем систему координат опять таким образом, чтобы
ось у совпадала с направлением распространения волны,
ось х—с направлением магнитной слагающей, а ось г совпа-
дала с электрической слагающей (фиг. 82,1).
Тогда: ЬХ=ЕУ =0; Н=Н- НУ = НУ — Н — О.
Подставляем эти значения в уравнения Максвелла
- дН„ дНг
rot. И — ---------5—
2 дх ду
3R
5 85]
Распространение волны в среде
595
и
- дЕг дЕ дНх х ду dz r dt
или --^=у£+е-^ (85,1) ду dt
и (85,2) ду Г dt 4 7
Полагая, что Е и Н меняются по закону синуса, мы эти
величины и их производные в последних уравнениях можем
заменить, через их. изображения, т. е. Е и Н через Ет и Нт
дЕ дН . « I ’
и ТТ" и "ТГ чеРез nj®Hm , тогда
01 ОТ
, (85’3)
и
д-^ — —^Нт. (85,4)
ду
Взяв производную по у от уравнения (85,4) и подставляя
из (85,3), мы получаем следующее уравнение для Ёт\
^-=^-\-1Ъг)Ёт = ^Ёт (85,5)
оу3
и такое же уравнение получается и для Нт
=/wKT +/ше) — у2 (85>6)
Решениями уравнений (85,5) и (85,6) для бегущей волны
являются выражения:
E,^Elnie-v в = (85.7)
где Ё^т и н^т представляют собой амплитуды напряжен-
ности электрического и магнитного поля в точке, принятой
за начало координат, a v — ко=фициент распространения вол-
ны, определяемый из уравнения
v2 = (р + /а)2 = /0)^(7+/а)г). (85,8)
38*
596
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
Составные части этого коэфициента могут быть опреде-
лены путем отделения вещественной части от мнимой
Р2 — а2 — — со2гр, 2а48 = юр;'
и на основании равенства модулей
= + = где т= —,
(Ос
1 Q
после замены ер=—, для р и а получаются следующие зна-
^/2
чения:
₽ = = (85,9)
из уравнения (85,4) следует, что
нт = —= ё ~'’у=ё^
Jew. оу Пт6 Zc
Величину
а~ft ]/^4-а2-г Ji 0)|/2;л |Л + m’i
где
= 1= = ___ „ т
V1H-W2+1
(85,10)
мы можем рассматривать как сопротивление волны в полу-
проводящей среде.
Таким образом в проводящей среде напряженности элек-
трического и магнитного поля синусоидальной электромаг-
нитной волны вдоль линии ее распространения могут быть
представлены уравнениями:
~3? — jay
т--~ & !
——jay
Нт^НОте е --
Е ,„ — Е
ЕПт —
О/Я -е -е
zc
(85,11)
9 85 ] Распространение 'волны <в среде 597
или в тригонометрической форме
—ay) = sin») (t--—Y 1
\ I
H— ^sin (<oZ—ay—$)= J. (85,12)
z J
= —- — d. I
L \ v$ f J *
Мы видим, что в проводящей среде амплитуды колеба-
ний напряженностей электрического и магнитного поля элек-
тромагнитной волны по мере продвижения уменьшаются про-
порционально множителю е (фиг. 85,1), где р— коэфи-
циент затухания колебаний, отнесенный к единице длины, и
что колебания одной и той же фазы при установившейся
волне передаются от одной точки к другой с фазовой ско-
ростью
у _______ О) V
(85,13)
Фиг. 85,1.
598
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
которая меньше скорости распространения электромагнитно-
го поля \ф= -1— в среде.
V вц
Отношение амплитуды колебаний магнитного и электри-
ческого поля отличается от отношения амплитуд этих на-
пряженностей в идеальном диэлектрике на множитель V 1+т*
Н
в.
*^2-|-(о2£2
(i)2g3
(85,14)
и колебания магнитного поля отстают от колебаний элек-
трического поля на угол 5, а кривые ропределении Н и Е
вдоль линии распространения, сдвинуты друг относительно
друга на расстояние
Если f приравнять нулю, т. е. предположить, что мы
имеем дело с непроводящей средой, то т = 0 и
р=0, а=^ = ^, v=/a=/-^ и гс=^. (85,15)
Тогда вышеприведенные уравнения для Е и Н совпадут с
уравнениями, полученными для идеальных диэлектриков.
В слабо проводящих средах и высоких частотах, что со-
ответствует, например, прохождению радиоволн через про-
водящие каменные стены, т невелико, и К1-4--^—
2
и потому для таких ср ед
§ 85 j Распространение волны о среде
599
В сравнительно хорошо проводящих средах и при низких
частотах
v2J=(/'«>)2 1 4
V =]/*шур. • в = }/*оур. I -j- j —-— I *
\ 2 2 /
₽=_j/^=f = /^- <85Л8)
П заточу электрической составляющей бегущей электро-
магнитной волны
Е=ЕОте~~^sin®/7----(85,19)
\ vfi /
соответствует магнитная составляющая
И= )-45° 1, (85,20)
у u>,J. L * V$' J
которая отстает по фазе от электрической составляющей
яа 45°.
Величину
^zc (85,21)
можно рассматривать как сопротивление волны в проводя-
щей среде. Поэтому, если электрическую слагающую элек-
тромагнитной волны выразить через
Ёт= Ёоте~"у = Ёоте^Шя)у, (85,22)
то магнитная слагающая выразится через
А (85,23)
ze se
Среднее значение энергии, проносимой электромагнитной
волной в единицу времени через единицу поверхности, нор-
мальней к направлению движения волны, определяется сред-
ним значением вектора Пойнтинга, которое будет равно ве-
щественной части полупроизведения вектор>а амплитуды
600
Явления в цепях с р»а определенными постоянными [ гл. 10
напряженности электрического поля на сопряженный вектор
амплитуды напряженности магнитного поля
S,, = —/?<? f £ • Нт\— Ёт' cos?,
еР 2 \Ст Пт) 2 \Ст Zc J 2zc
f. а ши
НО COS С = --------, zc^— .
У [12 -f- а? У [12 _|- a2
поэтому
5 = _^V~2b’ (85,24)
f₽ 2о>|л 2«>f*
а изменение среднего значения плотности потока энергии
при продвижении волны на единицу длины [уравнения (85,15)
и (85,17)]
_ е .е =1 Е" (85,25)
dy 2<ор. <opv2 т
равно потери энергии в единице объема за единицу времени.
Отношение среднего значения поглощаемсй в единице объема
энергии к количеству энергии, проходящему через этот
объем, называют коэфициентом поглощения сре-
ды. Этот коэфициент выражается через
"77 : = =т- = =»М- (85,26)
dy р v2 <ое
Чем выше частота колебаний электромагнитной волны и
чем больше магнитная проницаемость и проводимость среды,
тем большая доля электрсмагнитной энергии проходящей
волны поглощается в среде.
86. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ ВОЛНЫ
У ПОВЕРХНОСТИ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ
Пусть плоская синусоидальная волна из непроводящей
среды (е1>р.1 = р.о, Yi=0) падает нормально на плоскость, отде-
ляющую ее ст проводящей среды (р2Ъ)- ^а основании вы-
водов предыдущего параграфа коэфициенты распростране-
ния синусоидальной волны, коэфициенты затухания и изме-
нения фазы на единицу длины, а также сопротивления волн
определяются следующими уравнениями [(85,15), (85,18) и
(85,21)]:
. г --- «> .2л П [ .
§86]' Отражение и -преломление синусоидальной волны 601
обозначим далее через £0 пад и Но пад — ~
напряженности электрического и магнитного поля падающей
волны в плоскости раздела и соответственно через
К* и й ___________ Ео отр
£*0 отр **0отр—
и
Eq прел И НОпрел —^2-пт,е^
^с2
напряженности электрического и магнитного поля отражен-
ной волны в первой среде (диэлектрике) и преломленной
волны во второй (проводящей) среде.
Напряженности электрических полей встречных волн
складываются, а напряженности магнитных полей вычитают-
ся. В плоскости раздела напряженности электрического и
магнитного поля в той и другой среде должны иметь одни
и те же значения, поэтому
Eq Ёопад~^ Eq отр ^Опрел) (86,1)
Hq = Hq пад Но отр~—- Но прел-, (86,2)
где-^0, Но, Ёопрел и Но прел — значения напряженности фак-
тического электрического и магнитного поля в точках пло-
скости раздела. Последнее уравнение (36,2) может быть пе-
реписано в следующем виде:
Ео — Еопад_____ Ео отр — Ео прел
Zc\ ZC2
что позволяет совместно с уравнением (86,1) определить зна-
602
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
чения величин, характеризующих отраженную и преломлен-
ную волну в зависимости от падающей волны:
(86’3)
Ёоотр=~ -^У~~-1Ёйпад. (86,4)
Т Zc2
Проникновение волны в проводящую среду зависит от ZcX
vl Zcz, для воздуха |Zcl| =3772, для проводящей среды
(86,5)
зависит от частоты, магнитной проницаемости и проводи-
мости этой среды. В с <учае, если проводящая среда металл,
то, например, для меди
^2— Ро=4тг-10 Н/cm, 72 = 55-104"^"
и при
о) = 2тс-50Нг, |Zc2| = 2,67-10 £2,
для стали (железа) при р2= 100 ц0. .?2 = 10-104^
и при
ф = 21г-106Ш, |ZJ = 8,9-10~*£Х
Как в случае меди, так и стали | Zc21 Zcl | и лишь
ничтожная доля падающей волны проникает в металличе-
скую среду, волна почти полностью отражается с переме-
ной знака.
Если Eq—напряженность электрического поля, образую-
щегося у поверхности металла в результате наложения друг
на др?га падающей и отраже 1ной волны, то в проводящей
среде будет распространяться бегущая волна, напряженность
электрического и магнитного поля которой будут:
с2— Епрел— Ецв — EqC -С
И
fj — /у = е~'у — J^e~$ye~ia •
2 прел. j у
(86,6)
§ 86]
Отражение и преломление синусоидальной волны
603
или
и
Ei — Eome ^sin(o)^ — ay)
e ~ ^sin (ш^ —ay — £).
(86,7)
Для меди (f2 —55-104^, H—jj-o и <u = 2n50Hz) ct2=p2 =
2л.50-55-lOMrc-10 , nc 1
I/ ---------g~ опИ амплитУДа ПРИ прохож-
дении 1 cm уменьшится в е^2 1 =s 3,5 раза; фазовая
скорость равна v& = — = 0,30 . В случае если (f2 =
= 10-104 — , t*3=100l*3 и <о = 21г 106 Hz), а2 = Р2 = 628—,
2 ст
амплитуда по прохождении 1 ст будет фактически равна
-628 51 km
нулю (е ^=0), а фазовая скорость равна ^ = 31,4“-
Для суждения о том, насколько глубоко падающая на поверх-
ность металла плоская волна проникает вглубь металла, опре-
деляют так называемую глубину проникновения
волны А, которая приравнивается пути электромагнитной
волны в металле, по прохождению которого амплитуды ко-
лебаний уменьшаются в £ = 2,718раз т.е. е \ откуда
' 2 _ Г 2
(ад
2г. у fwr
Иногда за глубину проникновения принимают такую глу-
бину, пройдя которую, амплитуда преломленной волны умень-
—
шается до 0,01 своей первоначальной величины е =0,01,
^=111100=4,6 и
(86,9)
1 ₽ у fWr
для меди при /=50 Hz, h—1 cm, для стали при /=10eHz и
;хг= 100, h = 0,0016 cm.
На применении токов высокой частоты основана высоко-
частотная закалка стальных изделий. Закаливаемая деталь
помещается на короткое время в поле высокочастотных токов;
604 Явления в целях с распределенными постоянными £ гл. 10
энергия проникающих в
деталь электромагнитных
волн поглощается в тон-
ком слое, прилегающем к
поверхности ее, и благо-
даря тому, что деталь
сейчае же после нагрева
охлаждается, поглощен-
ная энергия накаляет
лишь внешние слои де-
тали, не успев распро-
страниться на все тело
детали и благодаря этому
закаливается лишь тон-
кий внешний слой дета-
ли без деформации ее.
Рассмотрим еще на-
магничивание стальных
листов под действием пе-
ременного магнитного по-
ля в электрических трансформаторах и машинах.
Намагничивание стального листа можно себе представить
как получающееся от проникновения с двух сторон электро-
магнитных волн, векторы Пойнтинга которых нормальны к
поверхности листа и направлены навстречу друг другу
(фиг. 86,1). Выделим один лист и положим, что напряженность
магнитного поля по обе стороны поверхности изменяется по
закону синуса Ha=Hamsn^t.
Напряженности магнитного поля обеих встречных волн
будут иметь одно и то же, а напряженности электрического
поля прямопротивоположное направление.
Если через Напад обозначить напряженность магнитного
поля на поверхности листа и за начало координат взять точ-
ку, лежащую посредине листа, то напряженность магнит-
ного поля движущейся справа налево волны в какой-нибудь
точке внутри листа может быть выражена через
Ну под — На пад&
—ч2(л-у)
где 2а—толщина листа, а напряженность поля встречной
волны, идущей с противоположной стороны,
Н
у встпр
— Йа пад &
—Ч<*+у)
В нашем случае напряженности магнитного поля обеих
*§ 86 ] Отражение и преломление синусоидальной волны 605
волн складываются, а потому напряженность поля в какой-
нибудь точке у будет равна
—у) • —Wa4-y) —'^а
Ну= Нападв + Нападв ' =2Нападе “ ch
а так как напряженность результирующего (действительного)
магнитного поля в точках соприкосновения внешнего поля
и магнитного поля в стали должна иметь в обеих средах
одно и то же значение, то
На пад& ch V26l,
а потому напряженность магнитного поля внутри стального
листа в зависимости от расстояния от серединной плоскости
выражаться будет через
ch^2<2
(86,10)
При y2 = const магнитная индукция в стальном листе рас-
пределяется следующим образом:
Ву=-^^У- , (86,11)
у ch v2a 7
где Ва—магнитная индукция в стали на периферии листа.
Выразим среднее значение магнитной индукции в сталь-
ном листе через магнитную индукцию на его краю
а , а
=~Н ^=gV,fhav2gJch v 2^(v2y)=-^- th v 2«, (86,12)
о и 2
а затем произведя преобразование сторон уравнений (86,11)
и (86,12), заменив v2 (85,18) через
-------^/2 1 j^/2
V2=1Z O)u2y2 е = kxe ,
где
kt =у<0^,
606 Явления в цепях с распределенными постоянными гл. 10
мы на основании уравнений (68,8) и (68,9) (x=y=k^) полу-
чаем, что
_ /"ch 2^+cos 2М
У а ch2A?1a-|-cos2A?1a
и
ВСр
К
1
/2^
ch 2^]Д — cos tkxa
ch 2/^а 4" cos
87. СКИН-ЭФФЕКТ В КРУГЛЫХ ПРОВОДАХ
При прохождении переменного тока через проводники,
особенно при высоких частотах и больших сечениях, плотность
тока неодинакова в разных точках сечения проводника
вследствие того, что магнитное поле, создаваемое током
внутри проводника, при своем изменении (во времени) наво-
дит внутри проводника добавочные противодействующие
э. д. с., вследствие чего ток частично оттесняется к перифе-
рии проводника и плотность тока внутри проводника стано-
вится меньше, чем у внешней его поверхности.
Это явление оттеснения тока к внешней поверхности под
действием собственно переменного магнитного поля назы-
вается поверхностным эффектом или скин-эффек-
том.
Рассмотрим это явление в длинном прямолинейном круг-
лом проводе (фиг. 87,1) при условии, что обратный провод
достаточно далеко удален, так что под его влиянием не на-
рушается в проводнике симметрия в распределении плотно-
сти тока вокруг оси проводника. При такой симметрии векто-
ры напряженности электрического поля направлены парал-
лельно оси проводника и имеют во всех равноудаленных от
оси точках одно и то же значение, а векторы напряженности
магнитного поля, линии которого окружности, направлены
перпендикулярно к радиусам.
Для того чтобы найти распределение плотности тока внут-
ри проводника проведем внутри проводника две ци-
линдрические поверхности с радиусами г и r-^-dr. Энергия,
поступающая за время dt на длине I через поверхность ра-
диуса г, будет:
dWr=2wlSdt=^rlEHdt9
а энергия, которая за то же время поступает через поверх-
ность радиуса r-\-dr, будет
d dr}= 2 itrlEHdi+(2nrlEH)drdt.
9 87]
Скин - эффект в круглых проводах
607
Фиг. 87.1.
Разность значений этих энергий есть энергия, которая за
время dt сообщается объему 2-rldr.
Часть этой энергии необратимо переходит в тепло, причем
в каждой единице объема поглощается \E2dt, другая часть
переходит в энергию магнитного поля, изменяя эту энергию
в каждой единице объема рассматриваемого нами полого ци-
линдра с величины -— до величины ——
2 2
д \
2 )
dt.
Поэтому мы можем написать, что
(2 п rlEH) drdt=2 г. г Idr
Разделив обе части этого уравнения на 2^rldrdt и взяв
соответствующие производные, мы получаем
(— + —к+ — Н—^Е-Е^--Н.
\ . г г dr } дг ' dt
(87,1)
Это уравнение распадается на два:
и
Н . дН „ Ь — = г дг (87,2)
дЕ дН dr. r dt (87,3)
что может быть доказано, если мы применим закон полного
тока !к замкнутому контуру abcbada, обойдя окружности с
608 Явления в целях с распределенными постоянными [ гл. 10
радиусами r-\-dr и г и с напряженностями Н + — dr и Н в
разных направлениях
2тг(rU-rfr)fН + j- dr \ —^nrH—^E^rdr
или
Н . дН , 1 дН . г,
----------------dr=\E.
г 1 дг г дг 1
Отбросив бесконечно малую величину в левой части, мы
получаем уравнение (б7,2). Уравнение (87,3) мы получим,
если к контуру abef применить закон элекфимагнитной ин-
дукции. Разность напряжения dr^ I по линии be, на-
пряжения Е1 по линии af обусловлена э. д. с., наводимой из-
менением магнитного потока, пронизывающего Koniyp befa
и равной с учетом направления тока и магнитного потока
о
[E+~rdr\l—El = -~(;f HUr) ,
что после сокращения на Idr даст уравнение (87,3).
При синусоидальном изменении Е и Н и обозначении их
через их символические векторы Ё, Н и-^-=уш Н и соответ-
ственно с этим напряженности электрического и магнитного
поля внутри проводника могут быть определены из 2 урав-
нений
7^#=^. (87,4)
7^ (87,5)
с одной переменной г.
Диференцируя по г (87,5), мы можем исключить Н и из
уравнения (87,4), что даст для Ё
<№ Ё . 1 d Ё . ё л /г>_ z->\
~а^ + — -dr~ w Е=0 (87,6)
§ 87 ] Скин-эффект в круглых проводах 600
и аналогичным образом, взяв производную от уравнения
(87,4) и подставляя-4^ из (87,5), получается уравнение для Н
+ 4- 44 - н 4- 4-) "=°- <87-7)
Оба эти уравнения могут быть приведены к виду так на-
зываемых бесселевых уравнений, если ввести пере-
менную
и—У -—J' kr,
где
k= /т "
Так как в этом случае
♦ du ль du2 ;
dr— - -_ , dr ~ г—- и /сочу=/л",
V-jk ’ V-jk J k 1 J
то замена г через и приводит наши уравнения к виду
^4 + — 4^+£ =° (87>8)
du2 и du 1 4 7
и
S?+4-w+(i-4)/'=°- (ад
Эти уравнения являются частными случаями бесселевых
уравнений, общий вид которых имеет форму
г_ — Г fl-------\у=0. (87,10)
dxi X dx \ х2 )
Уравнение для Е представляет собой бесселево урав-
нение нулевого порядка (п = 0), уравнение для И бес-
селево уравнение первого порядка (га = 1). Поскольку для
точек на оси Ё имеет конечное значение, а Н равно нулю,
решениями уравнений являются бесселевы функции первого
рода нулевого /0(и) и первого порядка Л(«):
<87’н)
и
(V-ikr^C^ii). (87,12)
Здесь Со и Cj—-комплексные постоянные (векторы) инте-
грирования, зависящие как от тока, протекающего по про-
воду, и его частоты, так и от физических свойств провод-
ника и его диаметра.
39 К. А. Круг, т. II.
610 Явления в цепях с раСпределёя-пымн постоянными [' гл. 10
Бесселевы функции (первого рода) нулевого порядка опре-
деляются бесконечным рядом:
у = J0(x) = 1- (—У + —(—У У+— (87,13)
\ 2 J 2’2 \ 2 J З!2 \ 2 /
Что этот ряд является решением уравнения (87,10) при
d у Д?2у
п=0, можно убедиться путем подстановки у,— и —ов урав-
dx dx-
нение (87,10). В нашем случае u = x=V—jkr—комплексное
число, поэтому J0W будут комплексными числами. Подставляя
К—j х вместо х в ряд разложения функции —jх\ мы
получим:
/0(/-А)=1-
X4 | X8 ./ X2
2!224 ‘ 4!228 ”* ‘ \ 1!222
х6 . х-°
3!226 512210
По этому ряду J0(K—jx) может быть вычислено для за-
данного значения х с желаемой точностью.
При п=1 решением уравнения (87,10) является бесселева
функция первого рода первого порядка, связанная с функ-
цией нулевого порядка соотношением
J&)= - (87,14)
dx
Действительно, если в уравнении (87,10) п приравнять нулю,
подставить J0(x) вместо у и взять производную с обратным
знаком от этого уравнения:
6Z2JO(X) । 1 tZJp(x)
dx- х dx
/о(х)=О,
rf2 Г П____1г rf[—У*)1
dx* [_ dx x2 L dx
। d Г j ____________ d-Jj(x) ।1 б/У](х) । f । 1
dx\_ 0 _ dx* * x dx \ x2,
В табл. 11 приведены значения J0(j/—/х)=/0У—/Аг) и
Л (У—/х)=/2(—У far) для значений х от 0 до 10 в виде моду-
лей и поворотных углов
Jo(V~jX) =boe j>’°,
(87,15)
Л(/—jx)=b}e J,,>.
(87,16)
§ 87 j
Скин-эффект в Круглых пройоЛйх
Таблица 11
Модули и аргументы бесселевых функций нулевого и первого
порядков: jo(z) = где z = V— jkr,
krba
и производные величины ---- и ₽i~45° —f0
kr ^0 ₽0° ь\ ?1° kr Ьй 2 Р1-45°-?0
0,0 1,0000 — 0,000 0,0000 45,000 1,0000 0,000
ОД 1,0000 — 0,150 0,0500 44,931 1,0000 0,091
0,2 1,0001 — 0,567 0,1000 44,714 1,0001 0,281
0,3 1,0002 — 1,283 0,1500 44,350 1,0001 0,633
0,4 1,0003 — 2,28. 0,2000 43,854 1,0003 1,137
0,5 1,0010 — 3,617 0,2500 43,213 1,0006 1,830
0,6 1,0020 — 5,150 0,3001 42,422 1,0017 2,572
0,7 1,0037 — 7,000 0,3502 41,489 1,0032 3,489
0,8 1,0063 — 9,150 0,4010 40,358 1,0054 4,508
0,9 1,0102 — 11,550 0,4508 39,207 1,0084 5,757'
1,0 1,0155 — 14,217 0,5014 37,837 1,0128 7,054
1,1 1,0226 — 17,167 0,5508 36,343 1,0188 8,510
1,2 1,0319 — 20,333 0,6032 34,706 1,0265 10,039
1,3 1,0439 — 23,750 0,6549 32,928 1,0361 11,678
1,4 1,0584 — 27,367 0,7070 31,011 1,0481 13,378
1,5 1,0768 — 31,183 0,7599 28,952 1,0627 15,136
1,6 1,0983 — 35,167 0,8136 26,768 1,0800 16.935
1,7 1,1243 — 39,300 0,8683 24,451 1,1004 18,751
1,8 1,1545 — 43,550 0 9233 22,000 1,1239 20,550
1,9 1,1890 — 47,883 0,9819 19,428 1,1506 22,311
2,0 1,2286 — 52,283 1,0411 16,732 1,1805 24,015
2,1 1,2743 — 56,750 1 1022 13,923 1,2135 25,673
2,2 1,3250 — 61,233 1,1659 • 11,000 1,2497 27,233
23 1,3810 , — 65,717 1,2325 7,970 1 2888 28,687
2,4 1 4421 — 70,183 1,30.9 4,838 1,331 30,021
2,5 1,5111 — 74,650 1,3740 1,613 1 375 31,263
2,6 1,5830 — 79,114 1,4505 — 1,701 1,422 32,413
2,7 1,6665 — 83,499 1,5300 — 5,099 1,470 33,400
2,8 1,7541 — 87,873 1,6148 — 8 570 1,521 34,303
2,9 1,8486 — 92,215 1,7045 -12,111 1,572 35,104
3,0 1,9502 - 96,518 1,7998 -15,714 1,625 35,804
3,1 2,0592 —100,789 1,9012 — 19,372 1,679 36,417
3,2 2,1761 — 105,032 2,0088 -23,081 1,733 36,941
3.3 2,3000 —109,252 2,1236 —26,833 1,787 37,419
3,4 2,4342 —113,433 2,2459 —30,622 1,842 37,118
39*
612 Явления в цепях с распред елейными постоянными [гл. 10
Продолжение табл. 11
kr ^0 Ро° Ьу ₽°1 kr bo 2 ₽г-45°-Р0
3,5 2,5759 — 117,605 2,3766 — 34.445 1,897 38,160
3,6 2 7285 — 121,760 2,5155 — 38,295 1,952 38,465
3,7 2,8895 — 125,875 2,6640 — 42.171 2,006 38,704
3,8 3,0613 — 12Л943 2,8226 — 46,067 2,060 38,876
3,9 3 2443 —134,096 2,9920 — 49,978 2,114 39,118
4,0 3,4391 —138,191 3,1729 — 53,905 2,168 39,286
4,1 3,6463 — 142,279 3,3662 — 57,840 2,221 39,439
4,2 3,8671 — 146 361 3,5722 — 61,789 2,273 39,572
4,3 4,1015 —150,444 3,7924 — 65,743 2,326 39,701
4,4 4,3518 —154,513 4,0274 — 69,706 2,378 39,807
4,5 4,6179 — 158,586 4,2783 — 73,672 2,429 39,914
4,6 4,9012 —162,657 4,5460 — 77,638 2,480 40,019
4,7 5,2015 — 166,726 4,8317 — 81,615 2,530 40,111
4,8 5,5244 — 170,795 5,1390 — 85,590 2,581 40,205
4,9 5,8696 — 174,865 5,4619 — 89,571 2,631 40,294
5,0 6,2312 — 178,933 5,8118 — 93,549 2,682 40,384
5,1 6,6203 176,988 6,1793 — 97.533 2,732 40,469
5,2 7,0339 172,929 6,5745 —101,518 2,782 40,5ьЗ
5,3 7,4752 168,860 6,9960 —105,504 2,832 40,634
5,4 7,9455 164,781 7,4456 — 109,492 2,881 40,717
5,5 8,4473 160,721 7,9253 —113,482 2,931 40,797
5,6 8,9821 156,652 8.4370 —117,473 2,981 40,875
5,7 9,5524 152 583 8,9830 —121,465 3,030 40,952
5,8 10,160 148,513 9,5657 -125, *59 3,080 41,028
5,9 10,809 144,444 10,187 —129,454 3,130 41,102
6,0 11,501 140,375 10,850 —133,452 3,180 41,173
6,1 12,239 136,306 11,558 — 137,450 3,230 41,.44
6,2 13,027 132,238 12,313 -141,452 3,279 41,310
6,3 13,865 128,170 13,119 —145,454 3,329 41,376
6,4 14,761 124,103 13,978 —149,458 3,379 41,439
6,5 15,717 120,036 14,896 -153,462 3,429 41,502
6,6 16,737 115,969 15,876 —157,469 3,479 41,562
6,7 17,825 111,902 16,912 —161,477 3,529 41,621
6,8 18,986 107,836 18,038 —165,486 3,579 41,678
6,9 20,225 103,772 19,228 —169,498 3,629 41,730
7,0 21,548 99,706 20 500 —173,510 3,679 41,784
7,1 22,959 95,642 21,858 —177,523 3,729 41,835
7,2 24,465 91,578 23,308 178,464 3,779 41,886
7,3 26,074 87,514 24,856 174,446 3,829 41,932
7,4 27,790 83,460 26,509 170,429 3,879 41,969
§87]
Скин-эффект в круглых проводах
613
Продолжение табл. 11
kr Ьй ₽0° Ь1 ₽1° kr bQ Т ьг fi-450-ft.
7,5 29,622 79,378 28,274 166,411 3,929 42,023
7,6 31,578 75,326 30,158 162,392 3,979 42,066
7,7 33,667 71,264 32,172 158,373 ! 4,029 42,109
7.8 35 896 67,202 34,321 15,354 ! 4,079 42,152
7,9 38,276 63,141 36,617 150,330 1 4,129 42,189
8,0 40,817 59,080 39,070 146,308 ! 4,179 42,228
8,1 43,532 55,019 41,691 142,284 4,229 42,265
8,2 46,429 50 958 44,487 138,261 4,279 42,303
8,3 49,524 46,898 47,476 134,236 4,329 42,338
8,4 52,829 42,838 50,670 133,210 4,379 42,372
8,5 56,359 38,778 54,081 126,185 4,429 42,407
8,6 60,129 34,718 57,725 122,158 4,479 42,440
8,7 64,155 30,659 61,618 118,132 4,52 4 42,473
8,8 68,455 26,600 65,779 114,104 4,579 42,504
8,9 73,049 22,541 70,222 110,075 , 4,629 1 42,534
9,0 77,957 18,484 74,971 106,047 4,679 42,563
9,1 83,199 14,423 80,048 102,019 4,729 42,596
9,2 88,796 10,365 85,466 97,989 4,779 42,624
9,3 94,781 6,3J7 91,259 93,959 4,82 J 42,652
9,4 101,128 2,249 97,449 89,929 4,879 42,680
9,5 108,003 — 1,811 104,063 85,898 4,929 42,709
96 115,291 — 5,868 111,131 81,867 4,979 42,735
9,7 123,110 — 9,925 118,683 77,836 5,029 42,761
9,8 131,429 —13.983 126,752 73,803 5,079 42,786
9,9 140,300 —18,041 135,374 69,771 5,129 42,812
10 149 831 —22,099 144,586 65,734 5,179 42,833
Постоянные интеграции Со и Сг для данного провода и
данной частоты могут быть определены, если дан ток /,
протекающий через провод. На основании закона полного
тока напряженность магнитного поля на периферии провод-
ника равна:
где а — радиус сечения проводника, откуда
с= -
1 ;М)
614 Явления в цепях с распределенными постоянными i гл 10
Н~ — . . (87,17)
2~а J^V—jka)
На основании уравнения (87,11) мы можем написать:
__d
dr dr
V —/hr) —
=J^H=/.V±-
2r-a J^—jka)
откуда
. 3"
,___ ______1 ”4"
(—]/—j——e J-/—в ’v'd-e = e ,j—e ) ,
-'т,-
. e i
C^—--------7-7=^— и так как why — /г2, то напряженность
0 2ita1kJ1(V—jka) 1
электрического поля и плотность тока в точке, отстоящей
от оси на расстоянии г будут:
, 4 •
. . ---- ke т
E—CoJ0(]f—jkr)=-—-----1-
kr)
J-i’V—jka)
J 4 * /-
л . ke I J^V—jkr)
e — ^E —-------. ---—
2wi J^V-ika)
ИЛИ
kle boe J'° . kf l-n '^ie—j-—3o)
=----------------=-=----------e
2ка . ~J?ia 2'a h-a
u\aF
ki z>o
— • v—e .
2t:(z b\a
(87,18)
(87,19)
Вследствие неравномерного распределения плотности тока
по сечению провода увеличивается его активное сопротивле-
ние и в связи с этим и падение напряжения вдоль провода.
Падение напряжения на каком-нибудь отрезке проводника
слагается из активного падения напряжения га1, тд& га —
активное сопротивление, и из индуктивного падения напряже-
ния, которое составляется из индуктивного падения напряже-
ния, обусловленного, с одной стороны, внешним магнитным
9 87 ]
Скин-эффект в круглых проводах
615
потоком, замыкающимся вне проводника, и с другой,—маг-
нитным потоком, замыкающимся внутри проводника. Обозна-
чим индуктивность от внешнего потока соответствующего
отрезка длины через Le, а приведенную индуктивность, обусло-
вленную внутренним потоком — через £;. Тогда падение на-
пряжения на отрезок длины / может быть выражено через
Lt и Le следующим образом:
= (^-Me-j->£;)/. (87,20)
Индуктивное падение напряжения от внешнего магнитного
потока для всех трубок, на которые можно разбить рассматри-
ваемый проводник, имеет одно и то же значение. Что ка-
сается индуктивного падения напряжения от внутреннего
магнитного потока, то трубки, непосредственно прилегающие
к внешней поверхности, не будут охватываться внутренним
магнитным потоком, и для них А,=0. Поэтому мы можем
написать:
О — z 0) Lj — (га+/ш£г) =
__J к
5 I Iks 4 J0(V"^Jka) .
= ¥=.=---------- • I, (87,21)
V 2? ^aJ^V—ika) v 7
где % — вектор эффективного значения плотности тока на
периферии (на расстоянии а от оси) проводника, а— = р—
1
удельное сопротивление проводника. Сокращаем последнее
уравнение на /, выражаем значения бесселевых функций через
их модули и поворотные углы и делим обе части на сопро-
тивление при постоянном токе отрезка / длины проводника
/ ip 1 \
\Гпост — -~ =---, тогда мы получим, что
~j?0a
rnocm l 9Л о
__01л T~ ) /gy 22)
Выражая правую часть уравнения (54,1) через комплекс,
состоящий из действительной и мнимой величин, мы получаем
отношение активного сопротивления к сопротивлению при
постоянном токе
М . cos (Ри - 45° - (87,23)
1 пост *
616 Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
На фиг. 87,2 показано распределение плотности тока и от-
ношений —— и —-вдоль радиуса в медном проводе (у =
^пост Г пост
= 51-1041/стй, р = 4тт-10~9Н/ст диаметром 1а —1,2 ст при
/=2500 Hz и /=110 А.
Ниже приводятся упрощенные формулы, взятые из книги
Jahnke и Emde:
н
Гпост
Гд
гпост
где
S4
3
3
—£-----
64с
3_
128г2
ДЛЯЗ>1,
(87,24)
(87,25)
3
64е
ГПОСШ
88. ОТТЕСНЕНИЕ ТОКА В ПРОВОДАХ, УЛОЖЕННЫХ В ПАЗАХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Выше мы рассмотрели симметричное оттеснение перемен-
ного тока в круглых проводах под действием собственного
магнитного поля. Аналогичное оттеснение тока, но не сим-
метричное, имеет место в проводах, уложенных в пазы элек-
трических машин.
Предположим, что во всех проводах одного паза (фиг. 88,1)
течет один и тот же ток, что провода имеют прямоугольное
сечение и что индукционные линии поля рассеяния нормальны
к боковым стенкам паза. Вследствие неодинакового сцепле-
ния линий рассеяния с отдельными нитями тока, на которые
можно разложить ток, текущий в проводе, в разных частях
провода наводятся неодинаковые э. д. с. рассеяния, в резуль-
9 88]
Оттеснение тока в проводах
617
тате чего плотность тока рас-
пределяется неравномерно по
сечению провода.
Для нахождения распределе-
ния плотности тока в л-ном про-
воде, считая с основания паза,
выберем систему координат,
как указано на фиг. 88,1 и
88,2, и применим закон полного
тока к контуру abdc, шириной
в dy,
~dy^c— Hc — ^Ebdy,
(88,1)
ду с
Фиг. 88,2.
и закон электромагнитной индукции к контуру mnqp
_(E'dE_d\i'Ei =---------d_(pHldy) _ _ ^ldy дН_ ,
\ ду J dt dt
(88,2)
ay ' dt
В предположении синусоидального изменения тока в про-
воде Е и Н могут быть выражены через их комплексные
векторы, что приводит уравнения (88,1) и (88,2) к виду
rf/7 ъ 5 А
dy 1
(88,3)
(88,4)
618
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
и дает для Е и Н следующие диференциальные уравнения:
где
d^E
d у”
Iwri
Е='Г-Е ,
С
(88,5)
(88,6)
(88,7)
Решение уравнений (88,5) и (88,6) может быть написано
в следующем виде:
7 -''У ''У \
Ет 1 дЕ '>( л \ ‘л ' \
Н — ---"з— — ~—( — А.лС —{— А2^ j •
Постоянные интегрирования могут быть определены по
значениям напряженности магнитного поля рассеяния на верх-
ней поверхности тг-го провода (у=а)
нп=~=-^(-А^ +А^ ) (ад
и напряженности магнитного поля у нижней кромки провода
(у=—а)
Нп (88,9)
С
—ча
Помножая уравнение (88,8) на е и уравнение (88,9) на
va
е и вычтя (88,9) из (88,8), мы можем исключить А, и опре-
делить Др
. г. t \а
j _ ywp/ ne — (n—1)^
1 c\ 2 sh 2va
9 88]
Оттеснение тока в проводах
619
и аналогичным образом определяется
\а —у а
:___/юр/ пе —(п— 1)с^______
2sh 2^л
Подставляя значения хц и Л, в уравнения для Е и А/, мы
получаем, что
. •; —''(я-Г-У) '<(а—у) Аа~\-У) . —ч(а—у)
р _ пе j)g ->г пек
2sli Ъа
£___№1 п ch у (а -{-30 — (я — 1) ch v (а — у)
tv sh 2va
и
уу_____1 d Е___/_ п sh 'Ла + у) + (” ~ 0 sh v (Q—3)
/tori dy c sh 2^а
Распределение плотности тока в л-ном проводе
может быть найдено, если в уравнении (88,10) найти значе-
ние Е в зависимости от у, для чего необходимо гиперболи-
ческие косинусы и синусы заменить их вещественными и
мнимыми составными частями и вычислить модули |£|. На
фиг. 88,3 показаны распределения плотности тока в случае,
если в пазу расположен один высокий провод или провода
один над другим. Плотности тока в проводах по высоте па-
за отличаются не только своими величинами, но и сдвигом
фаз. В верхних проводах оттеснение тока к краям сказы-
вается сильнее, так как оттеснение тока в верхних прово-
дах происходит не только под влиянием магнитного поля тс-
ка, протекающего через соответствующий провод, но и под
влиянием магнитного поля, создаваемого токами в нижеле-
жащих проводах.
Неравномерное распределение плотности тока по сечению
провода влечет за собой увеличение джоулевых потерь. Эти
Фиг. 88,3.
620
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
потери в одном прозоде при длине его в пазу, равной Z и
ширине Ь, могут быть вычислены, если взять интеграл
P^bl^\E\2dy^raKmP.
—а
(88,12)
Потери в том же проводе, если бы переменный ток распре-
делялся бы так же, как при постоянном токе, равнялись бы
Р =R Р~ — Р
= пост yh
Если проинтегрировать уравнение (88,12) и взять отно-
шение потерь при переменном токе и потерь при том же зна-
чении постоянного тока, то мы получим относительное уве-
личение активного сопротивления по отношению к сопротив-
лению при постоянном токе
Гдкт _ sh 4^g+sin Мга J
Rnocm ch 4ka—cos 4ka
—l)4&a
sh 2/?zz—sin Ska
ch 2&a-b-cos 2ka
(88,13)
или
= ф(х) + n(n — 1 )ф(х). (88,14)
Knoctn
v / x sh 2x-4-sin 2r , / \ n sh x—sin x
Кривые ср(x) = x------—------ и Ф (x) = 2x--------------- ,
ch2x—cos2v ch x-|-cos x
где x = 2ka = 2a и 2a —высота
ны на фиг. 88,4.
провода, приведе-
У 89 J
Диполь Герца
621
Если бы в больших маши-
нах, например, турбогенерато-
рах, один сплошной провод за-
нимал всю высоту паза, тоджо-
улевы потери благодаря не-
равномерному распределению
плотности тока возросли бы во
много раз по сравнению с
равномерным распределением. Для достижения равномерного
распределения плотности тока в мощных машинах провода
делаются не сплошными, а выполняются из отдельных прут-
ков половинной ширины, изгибаемых таким образом, что
эти прутки, прилегая друг к другу и переходя по очереди
из одной стопы в смежную, на протяжении осевой длины па-
за один раз обернулись вокруг себя (фиг. 88,5). При таком
расщеплении сплошного провода каждый раз два прутка его
образуют две переплетающиеся между собой петли, которые
пронизываются противоположными магнитными потоками, в
результате чего влияние потока рассеяния на распределение
тока в прутках устраняется.
89. ДИПОЛЬ ГЕРЦА
Герцем было дано решение уравнений Максвелла для
идеального диэлектрика, когда электромагнитная волна ис-
ходит из какого-нибудь элементарного источника электромаг-
нитных волн. Таким источником Герц принял диполь, сос гон-
ящий из двух равных и противоположных зарядов, находя-
щихся на малом расстоянии друг от друга и меняющихся
путем взаимного обмена по величине и знаку. Заряды эти
можно себе представить сосредоточенными на концах прямо-
линейного проводника. Во внешней среде между концами
проводника образуется электрическое поле, и концы провод-
ника можно рассматривать как обкладки конденсатора, ди-
электриком которого служит окружающая среда, а проводник,
вокруг которого при движении зарядов по проводнику обра-
зуется магнитное поле, как индуктивность. Таким образом
мы здесь имеем соединение емкости и индуктивности в од-
ну цепь, в которой напряжения между концами и ток в
проводнике будут совершать колебания, благодаря чему бу-
дут периодически меняться электрическое поле в окружаю-
щей среде между концами проводника и магнитное поле
вокруг проводника и эти периодические изменения будут
передаваться в окружающую среду все дальше, и таким
образом от такого источника колебаний, называемого также
вибратором Герца, будут исходить электромагнитные
волны (фиг. 89,1).
622 Явления в цепях с распределёнными Постоянными 'L гл. 10
Фиг. 89,1.
Для решения уравнений Макс-
велла применительно к элемен-
тарному источнику электромаг-
нитных волн J^epij ввел вектор-
ную функцию П (вектор Гер-
ц а), ротор производной от кото-
рой по времени выражает напря-
женность магнитного поля
H=rot—» (89.1)
dt
где п—подлежащая определению
векторная величина, зависящая
также от данных вибратора.
Если сопоставить вектор Гер-
ца П с вектор-потенциалом маг-
нитного поля, то они связаны со-
отношением
Н — — rot А = rot
р-
Замена вектор-потенциала А через облегчает инте-
dt
грирование уравнений Максвелла.
Подстановка вместо Н его выражения в уравнения Макс-
велла дает
,77 , 1 dll dE
rot /7 = rot rot — = г — ,
dt dt
(89,3)
. ь d / , an \ .^n
ro L £ = — ’X — rot — = — ’X rot —
1 d/ I dt 1 d/3
Последнее уравнение
rot
- i dsn]
f + lA— —о
dt2
(89,4)
указывает, что поле вектора (£'-'гр.^П | не имеет вихрей,
\ d/2 /
з 89]
Диполь Герца
623
и потому этот вектор может быть приравнен градиенту не-
которой скалярной потенциальной функции v
Л2П
£ + н = — grad ®, (89,5)
иг*
дП —
которое, если у-— заменить через А, совпадает с известным
нам уже уравнением (т. I § 5)
Е~-= — —grade?. (89,6)
Разница между значениями А и <? в этих уравнениях за-
ключается в том, что А и ф в уравнении (89,6) зависят от
времени дохождения волны от вибратора до рассматривае-
мой точки поля, в- уравнении же (т. I, § 5) это время при-
нимается равным нулю.
Из уравнения (83,8) следует, что
д — —
“(rotrot П—s£’)=0
или
rot rot П — гЕ — const.
Так как это соотношение должно иметь место для любой
точки в любое время, когда волна еще не успела дойти до
рассматриваемой точки, то const должна равняться нулю.
А потому (т. I)
Е -- — rot rot П = (grad div П — Vfl j. (89,7)
Если это выражение Е подставить в уравнение (89,4), то
мы получим уравнение
rot
--grad divFI-~
(Ж1
U ---
= 0,
а так как ротор от градиента всегда равен нулю, то
, Г п д2п] п
rot [у2 П — su. ^-j= 0.
624 Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
Частным решением последнего уравнения будет:
V2 П — ей = о или V2 П = ей, > (89,8)
которое совпадает с телеграфным уравнением.
В нашем случае, поскольку волны исходят из вибратора,
весьма (бесконечно) малого по сравнению с окружающей
средой, сумму вторых производных выгоднее изображать в
сферических координатах.
Так как
x2-]-y2-[-z2 —г2, xdx~rdr, — — •—; • —=— ЕЛ.,
дх г ox Or дх г or
агп__ £/йпХ—1 ari /1 ап\. _
дх* дх \dx / г дг * г дг / дх
_.^LjL / 1 ffi \ । 1 <ш ,
г dr \ г or /' г дг ’
то
v П = х2+?2+^2 д / 1 лТ \ , з ап__
г dr \ г dr г дг
I 2 1 Л(гТп f899)
‘ г дг ~ г дг* * 1,7
Герц дает следующее решение диференциального уравне-
ния для случая электромагнитных волн, исходящих из беско-
нечно малого вибратора:
(89,10)
где П— вектор, направленный по оси г, П = П, Пл= 0, Пу =
= 0; г — расстояние рассматриваемой точки от центра коле-
баний; f—функция, зависящая от характера колебаний; v—
скорость распространения волн.
Правильность этого решения может быть проверена путем
подстановки П в уравнение (89,8).
о — 1 д* f г \
г — =
г dr* J \ v )
V
1
Последнее уравнение удовлетворяется, если V— > что
мы неоднократно получали и раньше.
9 49:
Дилоль Герца
625
Фиг. 89,2.
Определим теперь H
и Е. Так как по условиям
симметрии вектор Н ле-
жит в плоскостях, пер-
. пендикулярных к оси виб-
ратора (оси z), и для то-
чек, лежащих в одной та-
кой плоскости и равно-
удаленных от оси, имеет
одно и То же значение, то
для определения Н мы
можем взять точку, ле-
жащую в плоскости zy и
отстоящую от оси виб-
ратора на расстоянии г (лг=О, у=у, z=z) (фиг. 89,2)
„ д / . ™ д R П2 д Пг 1 <Э2П _
dt dt [ dy dz J dtdy
= Al =(t------------q_ JL f'ft-----LA
dy [ r \ v /] r2 \ v ) vr2 \ v /
Если исследуемая точка лежит в экваториальной плоско-
сти (х=0, y=r, z=0), то
Н,
дПг
... , —f'(i------Y (89,11)
Г2 \ V J vrJ \ V /
Для определения ~ используем уравнения (89,5) и (89,8)
Е=— grad div П — .
По соображениям симметрии Е лежит в плоскости, про-
ходящей через ось z, поэтому определим проекции Е в точ-
ке (л=0, у=у, z—z):
гНутТ_ д Пж _1_ ЭПу I д П2
U1V11— ~dx* dy dz
oz r \ V / r3\ v )
d2TT_ 1 d2~ff .
dt2 t>2s dt2 '
p 1 j j- rF d2 Hv d2TIz
ЕУ =— gf4 divn -p. -wr^^di =
'i— W—f(t-
< V ) v2r \
1 [r2—Зг2 f t
~ £
r2 — Z2
^2f3
— JLf (А
е r2 [ гзJ / vr*
p 1 .< j- rF д2П
EE=-~ Srad* div П — fx
, f3 —3Z2 / r \
v
гь .
v
vr4
40 R. А. Круг, т. II.
626
Язлення в цепях с распределенными постоянными L гл. 10
Определим Ддля точки в экваториальной плоскости (х=0,
у=г, г=0),
(89,12)
МьГ видим, что 2? состоит из трех слагающих, которые в
экваториальной плоскости уменьшаются пропорционально г3,
г2 и г. Для малых значений г последние две слагающие мо-
гут быть отброшены по сравнению с первой. Первая же сла-
гающая напряженности электрического поля от диполя±^ с
плечом 27г может быть подсчитана (фиг. 89,3)
£z—2- —cos а—--------------
4ле/-2 2иег3
(89,13)
Если мы возьмем первую производную по времени от обе-
их1^ половин уравнения (89,13) и примем во внимание, что
— ~ =i и уравнение (89,11), отбросив второй член правой
части, то для небольших расстояний г напряженность ма-
гнитного поля в экваториальной плоскости выразится через
Нх=-----—
х г2 \ V / 2 яг2
(89,14)
Последнее значение Нх совпадает с выражением напря-
женности магнитного поля от тока i в элементе длины 2й
на расстоянии г
f — . (89,15)
\ v ) 2я
s 89 J
Диполь Герца
627
При гармоническом изменении тока в вибраторе функция
fit----— । принимает вид
\ v /
f(t----— УУ.- sin (о (i--—\ (89,16)
\ v J 2 it \ V J
Если мы будем удаляться от вибратора на весьма боль-
шое расстояние, то при определении числовой величины И и
Е будут иметь значех ие только последние члены, поэтому
для удаленных точек (л=0, >—г sin &, z=r cos fl)
rr „ У ~,(t r\ У V'2Ih (. r\_
H—Hx = — —<o —COSo>^---------
— ад У %ih cos <» (t--— \
2wr \ v /
c 1 .nrг \ 1 Sin0cos$ .Г /1 Г \
Ev =-------—f It------1=----------о) V 2 /я cosuf t--;
£ fAr3 \ V J 2lt £ V2r \ V /
Ez =----— a) У 2Ihcos^(t-----------—
2 2*£ ti3f3 \ v /
1 sin2 & т/л JU (. r \
=— ---------(о V 2 In cosuf t------).
2яе v2r v J
(89,17)
Из последних двух уран нений определяется значение на-
пряженности электрического поля Е*
£• = / Е2^е1 = ш /2 lh cos v(t- (89,18)
а также и направление
P-z _ У
•tg &.
Вектор Е лежит в меридиональной плоскости и перпенди-
кулярен к направлению радиуса.
Таким образом в точках, весьма отдаленных от вибрато-
ра, векторы Е и Н , совпадая в своих фазах, совершают
гармонические колебания; амплитуды Е и Н изменяются об-
ратно пропорционально расстоянию г и зависят от синуса
угла наклона радиуса г к оси вибратора. Векторы Е и Н
взаимно перпендикулярны и находятся в соотношении Е—
— =^Hv=H , образуя плоскую волну, продвигаю-
щуюся по направлению г.
628
Явления в цепях с распределенными постоянными [ гл. 10
Л
I
I
I
Фиг. 89,4.
В предположении, что вибратор со-
стоит из одной половины, поднимаю-
щейся над поверхностью земли, т. е.
что мы имеем антенну, один конец
которой заземлен, излучаемая в еди-
ницу времени энергия (проходящая
сквозь поверхность полусферы) рав-
няется (фиг. 89,4)
ТС
__________ _ 2
р— $\EH]dS—
о
я
2 л «>22/2^2 , /, г \ J . , « .А
= ——---------cos2 <» (t--1 ф sin5 v а8.
4я2£Р3 \ v / J
2
ф sin5 8^8 ——
о
J (1—cos2 8)rf cos 8— | cos &
о
COS3 &
3
к
T
Среднее же значение излучаемой энергии будет (— —
\
р__ 2-4.О)2да/2 . p=_^_z р — р .р
3-я2ег,з 2 Зв» V 3 с X2 *
Излучаемая в единицу времени энергия пропорциональна
квадрату тока и некоторой условной величине Rs, которую
можно рассматривать как сопротивление излучения
(^=377-2):
п 4я / h V л лПП/ Л \ 2 п
=—zc\ ) =1 600(— Q.
4 з Ч х ) \ х /
Эта формула, которая имеет силу лишь при условии, что
h
— мало, указывает, что излучаемая энергия пропорциональ-
на квадрату высоты антенны и обратно пропорциональна
квадрату длины волны.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автотрансформаторы 338
— трехфазного тока 339
Активная мощность 95
----переменного тока 35
— проводим-ость 56
------ напряжения 267
----суммарного тока 267
---- тока 55
— слагающая напряжения 267
Активное падение напряжения 32,
34
— сопротивление короткого замы-
кания трансформатора 327
Активные сопротивления 25
Амплитуда собственных колебаний
412
Амплитуды. колебаний напряжен-
ностей электрического и магнит-
ного поля электромагнитной вол-
ны в проводящей среде 597
Аналогия между асинхронным дви-
гателем и трансформатором 365
Арко схема 344
Арона схема 224
Бесконечно длинная линия 474
Бесселева функция первого поряд-
ка 610
Бесселево уравнение 609
----нулевого порядка 609
Бесселевы функции нулевого по-
рядка 610
Блондель 513
Блуждающие волны 572
Брауна трубка 72
Бромвича интеграл 443, 449
Бушеро схема 114
Ваттметры электродинамические
Вебер 594
Векторная диаграмма катушки со
стальным сердечником 296
----схемы Гуммеля 112
----уравновешенного моста Уит-
стона 104
Векторные диаграммы 15
Векторы переменных токов 16
Вентили 238
Взаимная индуктивность 115
-----двух катушек 119
Взаимно обратные векторы 143
Вибрационные частотомеры 74
Включение и отключение отдель-
ных цепей 451
— индуктивной катушки на сину-
соидальное напряжение 401
— к синусоидальному напряже-
нию цепи, состоящей из сопро-
тивления индуктивности и емко-
сти 408
— короткозамкнутой линии 545
— линии без потерь 545
-----, замкнутой на активное со-
противление 548
-----, к концу которой присоеди-
нен кабель 565
-----, открытой на конце 540
Внутреннее сопротивление 100
Волномеры 75
Вольтметры для измерения напря-
жения переменных токов 77
Вращательные намагничивания 293
Вращающееся магнитное поле в
асинхронных двигателях 361
--------трехфазного тока 348
Вращающиеся потенциал-регуля-
торы 340
Вращающийся вектор 65
Выделение тепла при горении ду-
ги 417
Выключение цепей переменного то-
ка 414
Выпрямители 238
Выпрямления т-фазного тока 240
— трехфазного тока 242
Высшие гармоники 228
-----в трехфазных системах 268,
336
Гальванометр вибрационный 75
Генератор переменного тока 10, 173
Генераторные катодные лампы 13
Геометрическое место векторов
проводимостей 153
-----при умножении векторов на
630 Алфавитный указатель
комплексное число 142
----------------числовой мно-
житель 141
— нахождение полной проводимо-
сти 58
— определение прямой и обратной
последовательности 375 и сл.
— построение обратных векторов
147
Гергеса схема 109
Герц 577, 594
Герца вектор 622
— диполь 621
Гиперболические функции 487 и сл.
Глубина проникновения 603
Графическое изображение ком-
плексов 82
Гуммеля схема 111
Даламбера решение 534, 579
Движение волны в обмотке транс-
форматора 564
Двухпериодные выпрямления тока
240
Двухполюсное вращающееся поле
347
Двухфазная система 176, 186
Двухфазное короткое замыкание
394
Делители напряжения 340
Динамические характеристики
вольтовой дуги 415
Длина волны 480
Длинная линия как четырехполюс-
ник 514
Доказательство круговой диаграм-
мы для четырехполюсника 163,
и сл.
Дроссельная катушка с подмагни-
чиванием постоянным током 304
Дроссельные катушки 297
Дюамеля-Карсона интеграл 430
Единичный множитель 418
Емкостные токи 26
Емкость воздушной линии 462
— трехжильного кабеля 462
Закалка стальных изделий 603
Закон взаимности 129, 133
Замена трехфазного генератора,
соединенного в треугольник, эк-
вивалентным генератором, сое-
диненным в звезду 194
Заторможенный асинхронный дви-
гатель 341
Изменение заряда на обкладках
конденсатора 36
— магнитного потока при больших
индукциях 279
----------малых насыщениях
278
— направления вращения асин-
хронного двигателя 350
— фазы колебаний волны вдоль
линии 582
Измерения малых мощностей 81
— мощности трехфазного тока 221
—> несинусоидальных токов 257
— переменных токов 71
Измерительные трансформаторы
335
Импедансы обратной последова-
тельности 388
— прямой последовательности 388
Индуктивности э. д. с. 32
Индуктивность трехжильного бро-
нированного кабеля 468
— трехфазной линии 464
— фазы линии при транспозиции
466
Индукционные приборы 76
Индукционный ток 36
Интеграл по времени символиче-
ского вектора 89
Интегральный вычет 447
Искусственная нулевая точка 222
Кабельные линии связи 522
Кажущаяся мощность 36
Кажущееся сопротивление 33, 44
Ктпсона интегральное уравнение
433, 434
Катушка со стальным сердечником
278
Качество стали в отношении по-
терь 292
Кеннеди коэфициенты 516
Кирхгофа второй закон в симво-
лической форме 92
— первый закон 59
-------в символической форме
92
Кольрауш 594
Комплексы полного сопротивления
86
— полной проводимости 86
Короткое замыкание двух фаз на
землю 396
-----трех фаз 398
-----четырехполюсника 134
Короткозамкнутая обмотка 361
Короткозамкнутый ротор 362
Коши теорема 444
Коэфициент амплитуды 274
— затухания колебаний 476» 1556
— изменения фазы 476
Алфавитный указатель
631
— мощности 35, 263
— поглощения среды 600
— полезного действия асинхрон-
ного двигателя 370
— —• — линии 71
к. п. д. распространения 475
-----волны 595
— трансформатора 328
— формы кривой 25, 274, 313
— четырехполюсника 138
Краруп 524
Кривые, получаемые при выпрям-
лении синусоидальных токов 238
— при резонансе токов 66
— тока при несинусоидальных на-
пряжениях 255
Круговая диаграмма асинхронного
двигателя 367
Лапласа преобразование 434
Легированная магнитная сталь 288
Линейное напряжение 179
Линейные напряжения в трехфаз-
иой системе, соединенной звез-
дой 185
Линия без искажения 524, 533
— натуральной мощности 509
Магнитное рассеяние 315
Магнитные потоки рассеяния
трансформатора 317
Магнитный поток рассеяния 298
Максвелла второе уравнение 575
— гипотеза 594
— первое уравнение 575
— уравнения для плоской волны
в диэлектрике 578
— формулы 458, 459, 461
Масляные выключатели 417
Мгновенная мощность 28
-----многофазной системы 199
-----переменного тока в индук-
тивной катушке 31
-----симметричной трехфазной си-
стемы при одинаковой нагрузке
фаз 200
— — цепи, имеющей емкость з9
-----цепи, состоящей из актив-
ного сопротивления и индукгиз-
ности 34
Мгновенные значения линейных на-
пряжений в трехфазной системе,
соединенной звездой 185
Метод Гельмгольца - Тевенена 98,
138, 388
— инверсии 141
— контурных токов 126
— Перри 242
— Роте 245
— Рунге 247
— суперпозиции 97
— трех амперметров 79
— — вольтметров 78
— Фишер-Гиннена 248
— Фортескью 371
Многократная трансфигурация 218
Многополюсная машина 12
Многофазное вращающееся маг-
нитное поле 353
— многополюсное поле 357
Многофазные системы 172
Момент вращения двигателя 364,
369
Мост Уитстона при переменном то-
ке 103
Мощность в символической форме
95
— вращающегося поля 361, 365
— искажения 264
— несинусоидальных токов 262
— передаваемая по линии 69
Мощность трехфазной несиммет-
ричной системы 382
— — системы при одинаковой на-
грузке фаз 201
Намагничивание и размагничива-
ние стали 279
Направление тока в цепи 46
Напряжение между нейтральной
точкой приемника и нейтральной
точкой генератора 203
— у индуктивности и емкости при
резонансе 50
Нахождение распределения токов
в сложных цепях 96
Неодинаковая нагрузка трехфазной
системы, соединенной в тре-
угольник 206
Несвязная трехфазная система 177
Несимметричная нагрузка симме-
тричной трехфазной системы 388
-— система 173
Несимметричный четырехполюсник
135
Неуравновешенная система 173
Нормальные составляющие магнит-
ной индукции 576
--- плотности тока 576
Нулевой или нейтральный провод
Общий реактанс рассеяния транс-
( форматора 328
Однофазное короткое замыкание
392
Ома закон в символической форме
632 Алфавитный указатель
Омическое сопротивление 25
Оператор Р 418
Оперативный метод 418
Определение емкости и потерь ме-
тодом моста Уитстона 107
-----при несинусоидальнем на-
пряжении 260
— имледансов разных последова-
тельностей 391
— индуктивности при несинусои-
дальном напряжении 260
— напряжения токов в симметрич-
ных многофазных системах 181
— потерь в диэлектриках 108
— токов короткого замыкания в
сложных трансформаторных си-
стемах 392
Определение частоты мостом Уит-
стона 108
О пр окидывая не фазы тока 307
Опыт короткого замыкания транс-
форматора 326
Основная гармоника 228
Особые точки 445
Остаток (Resideum) 447
Осциллографы катодные 72
— шлейфовые 71, 72
Осциллоскопы 74
Ось В1ремени 16
Отключение длинной линии, на-
груженной на конце 670
Отражение волн на стыке двух ли-
ний 562
— преломления электромагнитной
волны 587
Отраженная волна 539
Падающая волна 539
Падения напряжения 66
Параллельное соединение двух
связанных взаимной индуктивно-
стью ветвей 120
----- приемников 59
Параллельные соединения катуш-
ки со стальным сердечником и
конденсатора 309
Первичная мощность при холостом
ходе трансформатора 326
Передаточное число 137
-----трансформатора 314
Передача электромагнитной энер-
гии 583
— энергии по линии без потерь 498
Переменные токи (определение) 9
Переход от системы, соединенной
в звезду с нулевым проводом, к
системе звезды оез нулевого
провода 203
Переходная проводимость при еди-
ничном напряжении 428, 429
Период переменного тока 9
Петерсена катушка 215
Петерсена-Пфифнера правило (оп-
ределение) 56
------- (применение) 563
Плоская электромагнитная волна
577
Плотность энергии 583
П-образная схема замещения 131
Поверхностный эффект 606
Пойнтинга вектор 482, 583
Показатель преломления среды 589
Поле электромагнитное 574
Полная или кажущаяся проводи
мость 57
— проводимость цепи 34
Полное сопротивление 33
Положительное направление то-
ка 46
Полупериодные выпрямления одно
фазного тока 229
Полюс функции 445
Поляризованная параллельно плос-
кости падения волна 590
— перпендикулярно к плоскости
падения волна 590
Последовательное соединение двух
связанных взаимной индуктив-
ностью ветвей 121
----- приемников 42
Постоянная слагающая напряже-
ния 253
Построение круговых диаграмм
методом инверсий 149
Потенциальные коэфициенты 458
Потери в стали 282
-------при вращательном намаг-
ничивании 293
— на вихревые токи 284
----------в стальных листах 286
----- гистерезис 283
-----напряжения в обмотках ста-
тора 362
Потеря напряжения 66
Потоки рассеяния 316
Предельный максимум тока 412
Преобразование звезды в треуголь
ник 194
— многоугольника в звезду и об-
ратно 221
— > -фазной звезды с неодинако-
выми сопротивлениями фаз в эк-
вивалентный многоугольник 219
— • -фазной симметричной систе-
мы, соединенной многоу голыш-
ником, в -фазную систему, со-
единенную звездой 193
— треугольника в эквивалентную
Алфавитный указатель
633
звезду и обратно 217
Приборы типа Феррариса 76
Применение операторного метода
для нахождения тока при заряд-
ке конденсатора 420
Применение символического векто-.
ра для представления напряже-
ний и токов 9о
Принужденный процесс 400
Принцип суперпозиции 253
Проекция вектора Пойнтинга 586
Произведение ординат двух сину-
соид 20
Производная по времени символи-
ческого вектора 89
Проникновение волны в проводя-
щую среду 602
Процесс распространения зарядов
в длинной линии 536
Пульсация мощности 199
Пульсирующее поле 358
Пупина катушки 524
П уп и низиро ванные линии 525
Рабочая емкость одной фазы ли-
нии 460
Рабочий процесс трансформатора
316
Развертка времени 73
Разделение потерь в стали 292
Разложение в ряд прямоугольной
кривой 237
------- трапецеидальной кривой
235
------- треугольной кривой 236
— синусоидального пульсирую-
щего поля на два вращающихся
359
Распределение напряжений в гир-
лянде изоляторов 520
Расширение пределов измерения
вольтметров 78
Реактанс емкости 38, 41
-----внешней цепи 70
— индуктивности 30
----- линии 70
Реактансы прямой последователь-
ности в сложных симметричных
системах 391
— рассеяния по Роговскому 318
Реактивная мощность 25
переменного тока 35
— проводимость 56
— слагающая напряжения 34, 267
-----суммарного тока 267
----- тока 55 ч.
Реактивное сопротивление индук-
тивности 30
Регулярные функции 444
Резонанс напряжений 49
— приводящий к высоким напря-
жениям 567
— токов 61
-----в двух параллельных вет-
вях 64
Резонансная частота 49, 62
Резонансные кривые 52, 261
Решение телеграфного уравнения
473
Римана-Коши условия 444
Роль проводов в передаче энер-
гии 586
Свободный процесс 400
Связи между электрической и маг-
нитной слагающей электромаг-
нитного поля 580
Сглаживание фронта волны в ре-
зультате скин-эффекта 540
Сдвиг фаз между током и напря-
жением 35
Символический метод 82
Симметричная система 173
Симметри чные четырехполюсник и
133
Скин-эффект 606
Скольжение 364
Скорость распространения электро-
магнитных волн 537, 580
Скотта схема 342
Слагающая принужденного режи-
ма 401
Смешанное соединение трехфазной
системы 192
Собственная частота контура 556
Соединение звездой 178
— многоугольником 188
Сопоставление схем соединения с
векторными диаграммами 183
Сопротивление волны 476, 535
— излучения 628
Составляющие нулевой последова-
тельности 371
— обратной последовательности
372
Сравнение емкости индуктивности
106
— индуктивностей катушек 105
Среднее значение квадратов орди-
нат синусоиды 22
-----ординат синусоиды 19
-----произведений ординат двух
синусоид 20
-----энергии электромагнитной
волны 559
Средняя мощность 28
-----в индуктивной катушке 31
-----при несинусоидальных на-
пряжении и токе 262
634
Алфавитный указатель
Стационарное состояние 401
Степень несимметрии 382
---- токов 384
— ^уравновешенности мощности
384
Ступенчатые выключатели 406
Сумма ординат двух синусоид 17
Суммарные потери в стали 289
Схема замещения 131
----трансформатора 332
— соединения обмоток трансфор-
матора 329 и сл.
Схематическое изображение много-
фазных систем 174
Тангенциальные слагающие напря-
женности магнитного поля 576
— составляющие напряженности
электрического поля 576
Телеграфное уравнение 473, 579
Телеграфные и телефонные ли-
нии 522
Теоо^мы символических преобра-
зований 435 и сл.
Технический трансформатор 311,
324
Т-образная схема замещения 131
Ток в цепи при резонансе 50
— смещения 36, 574
Токи утечки 26
Топографическая диаграмма 182,
183
Транспозиция линии 461
Трансформатор броневой 312
- — как четырехполюсник 321
— стержневой 312
Трансформаторы напряжений 335
— (определение) 311
— с одной обмоткой 340
— тока 336
Тоеугольник проводимостей 57
Треугольник сопротивлений 40, 43
Трехфазная система с нулевым
проводом 183
Трехфазные трансформаторы 329
Увеличение индуктивности кабель-
ных линий 524
— сопротивления при высоких ча-
стотах 26
--------невысоких частотах 26
Угловая скорость 10
Удельное сопротивление стали 287
Уменьшение тока благодаря индук-
тивности 33
Умножение частоты 344
Упрощенные формулы для расчета
линий электропередач 513
Уравнение длинной линии 470
— окружности 161
— прямой 161
Уравновешенная система 173
Условия параллельной работы двух
трехфазных трансформаторов 335
— .резонанса токов 63
Фазовая скорость 479, 482
Фазовые напряжения 173, 184
— токи 173, 184
Фазовый угол 13
Феррорезонанс напряжений 306
— токов 311
Фильтры двойные 525
— односторонние 525
— полосовые 529
— симметоичные 525
Фурье интеграл 439, 441
— ряд в комплексной форме 440
Харак герпетическое сопротивление
волны 481
Холостой ход трансформатора 315,
325
----четырехполюсника 134
Хэвисайда фопмула для постоян-
ного тока 425
--------синусоидального тока 428
Цикл переменного тока 9
Частота колебаний 9
— наводимой в роторе э. д. с. 363
— собственных колебаний 412
Число оборотов многополюсного
вращающегося поля 358
Числовая плоскость 82
Шеринга схема 107
Штейнметц 513
Э. д. с. емкости 43
Эквивалентная цепь 48
Эквивалентный постоянный ток 23
Электрическая пробка 62
Электрические фильтры (определе-
ние) 525
Электрический ток (определение)
22
Эллиптическое вращающееся по-
ле 350
Эпштейна аппарат 291
Эпштейн-Джолли схема 344
Эффективное значение несинусо-
идальной э. д. с. 158
— несинусоидального тока 258
---- переменного тока 23
----синусоидального тока 23
----э. д. с. 24
!Н. В. Горохов
А. И. Соболев
Технический редактор А. Д. Чаров
Сдано в пр-во 28/111946 г. Подписано к печати 28/VIII 1946г. Объем 393/4 п. л.
45 уч. авт. л. Тираж 25 000. Формат 60X92 2/i6
А-05842 45280 тип, знак, в 1 печ. л. ______Заказ № 1039____________
Типография Госэнергоиздата МЭС. Москва, Шлюзовая наб„10