Теоретические основы электротехники. Часть 1. Основы теории цепей - Ионкин П.А., Мельников Н.А., Даревский А.И., Кухаркин Е.С.

Author: Ионкин П.А. Мельников Н.А. Даревский А.И. Кухаркин Е.С.

Tags: электроника электротехника

Year: 1965

Similar

Теоретические основы электротехники. Часть 1

Теоретические основы электротехники. Электрические цепи

Text

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Часть 1
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ
П. А. ИОНКИН, Н. А. МЕЛЬНИКОВ,
А. И. ДАРЕВСКИЙ, Е. С. КУХАРКИН
Под общей редакцией проф. П. А. Ионкина
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов электротехнических,
энергетических и радиотехнических
вузов и факультетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва— 1965
Учебник «Теоретические основы электротехники» под об-
щей редакцией П. А. Ионкина предназначен для студентов
электротехнических специальностей высших учебных заве-
дений.
Содержание курса соответствует программе, утвержден-
ной министерством по дисциплине того же наименования.
Курс состоит из двух частей: ч. I—«Основы теории
цепей», написанной П. А. Нонкиным, Н. А. Мельниковым,
А. И. Даревским и Е. С. Кухаркиным, и ч. II — «Основы
теории электромагнитного поля», написанной А. И. Дарев-
ским и Е. С. Кухаркиным.
В первой части рассмотрены явления в цепях постоян-
ного и переменного токов и изложены методы расчета этих
цепей. Книга снабжена большим количеством примеров и
вопросами для самопроверки.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данный учебник состоит из двух частей и издается в двух
книгах: ч. I—-«Основы теории цепей» и ч. II —«Основы тео-
рии электромагнитного поля».
Изложение первой части курса теоретических основ электро-
техники начинается с общей физической характеристики типо-
вых электротехнических задач и их идеализации. Поэтому пер-
вые три главы содержат материал, известный в основном из
физики, но приспособленный к-постановке задач электротехни-
ки. Этот материал должен помочь студентам не только повто-
рить и закрепить знания, полученные при изучении физики,
но и понять принятую систематизацию задач электротехники по
характеру исследуемых явлений и процессов, в соответствии с
которой изложен весь последующий материал курса теоре-
тических основ электротехники.
После изучения первого раздела более четкими должны
представляться задачи, рассмотренные в последующих главах
курса; более ясными должны быть принимаемые ограничения
и возможные случаи их применения при решении практиче-
ских электротехнических .задач. ,
Однако при полном согласовании курса физики и требова-
ний курса теоретических основ электротехники первый раздел
может не изучаться студентами.
Изложение материала основной части курса начинается с
установившихся рабочих режимов цепей постоянного тока, в
которых явления оказываются наиболее простыми. Большое
внимание уделено практическим методам расчета рабочих ре-
жимов сложных электрических цепей, причем, наряду с класси-
ческими методами приведены и различные упрощенные и при-
ближенные способы, которые позволяют ускорить и облегчить
выполнение расчетов. Последующее применение изученных на
простом материале методов расчета для исследования устано-
вившихся режимов в линейных цепях с синусоидальными и не-
синусоидальными токами и напряжениями приводит лишь к
изучению особенностей цепей, связанных с применением уже из-
вестных методов решения.'
Несколько подробнее изложен материал, касающийся элек-
трических цепей с взаимными индуктивностями и элементами
трансформации. В частности, показана возможность примене-
ния дуальных схем, что позволяет выполнять соответствующие
расчеты схем, обладающих свойством взаимности, без примене-
ния элементов взаимной индуктивности и трансформации.
1*
3
В упрощенном виде изложены методы расчета цепочечных
схем и цепей с распределенными параметрами при установившем-
ся режиме.
Отдельная глава посвящена общим вопросам моделирования
цепей и применения вычислительных машин для расчета рабо-
чих режимов сложных цепей при установившихся процессах.
Обращено внимание на применение и определение обобщенных
параметров электрических схем. В частности, даны некоторые
сведения о многополюсниках.
Рассмотрены также особенности совместного расчета взаим-
но связанных электрических и магнитных цепей. Несколько
расширен материал по несимметричным трехфазным цепям.
В соответствии с современными тенденциями в области ана-
лиза сложных цепей, В|книге показана возможность примене-
ния алгебры матриц.
Вторая часть учебника, кроме вопросов, предусмотренных
программой курса, содержит решение задач Сирла для цилин-
дрической поверхности раздела двух сред, а также применение
теории комплексного потенциала для расчета полей на основе
формулы Келдыша — Седова. Кроме того, в эту часть курса
включены вопросы приближенного расчета поверхностного эф-
фекта и эффекта близости, а также рассмотрены плоские волны
в гиромагнитных средах.
Обе книги снабжены большим количеством числовых при-
меров, которые сочетаются с излагаемым текстом и органически
с ним увязаны.
Работа между авторами по написанию первой части распре-
делялась следующим образом: Введение, гл. 1,2,4-4-13,15,
§ 19.1-4-19.5, 20.11 и Приложение 1 написаны проф. П. А. Нон-
киным и проф. Н. А. Мельниковым; гл. 3 — проф. А. А. Соколо-
вым; гл. 14 и § 19.12, 19.13 — доц. А. И. Даревским и проф.
П. А. Нонкиным; гл. 16,17 и § 19.6, 19.7 — доц. А. И. Дарев-
ским; гл. 18 и Приложение 2 — доц. Е. С. Кухаркиным; § 19.8-^—
-4-19.11 и гл. 20 (за исключением §20.11) — проф. П. А. Нонки-
ным и доц. В. И. Константиновым.
Общее редактирование обеих книг выполнено проф.
П. А. Нонкиным.
Авторы выражают благодарность всем лицам, участвовавшим
в обсуждении содержания рукописи учебного пособия, и в осо-
бенности коллективу кафедры теоретических основ электротех-
ники Киевского института Гражданского воздушного флота,
руководимой чл.-корр. АН УССР Г. Е. Пуховым, и проф.
В. В. Ясинскому, тщательно просмотревшим рукопись книги и
сделавшим много весьма полезных замечаний.
Авторы будут благодарны читателям, которые пришлют свои
замечания и отзывы на данный учебник по адресу: Москва, И-51,
ул. Неглинная д. 29[14, издательство «Высшая школа».
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
Принятая XXII съездом Программа КПСС исходит из того,
что электрификация, являющаяся стержнем строительства эко-
номики коммунистического общества, играет ведущую роль в
развитии всех отраслей народного хозяйства,, в осуществлении
всего современного технического прогресса. Утвержденный
съездом план электрификации страны предусматривает опережаю-
щие темпы производства электрической энергии. С этой целью
годовое производство электроэнергии должно быть доведено к
концу 1980 года примерно до 2 700—3 000 млрд, квт-ч. Одно-
временно с увеличением мощности электростанций предстоит
построить сотни тысяч километров высоковольтных магистраль-
ных и распределительных сетей во всех районах страны. Будет
создана единая энергетическая система СССР, дающая возмож-
ность передавать электрическую энергию из восточных районов
в Европейскую часть страны. По мере удешевления производ-
ства атомной энергии развернется строительство атомных элек-
тростанций.
Намеченный Коммунистической партией двадцатилетний план
электрификации страны иредусматривает: увеличение в ближай-
шее десятилетие электровооруженности труда в промышленности
почти в три раза; широкое развитие на базе дешевой электро-
энергии электроемких производств; осуществление массовой
электрификации транспорта и быта.
Все большее место в технологии производства займут радио-
электроника, полупроводники, ультразвук. Автоматизация уже
сейчас связана с широким применением кибернетики, электрон-
ных вычислительных и управляющих устройств в производ-
ственных процессах промышленности, строительной индустрии
и транспорта, в научных исследованиях, в плановых и проект-
но-конструкторских расчетах, в сфере учета и управления.
Одну из важнейших задач коммунистического строительства
составляет электрификация сельского хозяйства. Все совхозы и
колхозы будут обеспечены электроэнергией для производствен-
ных и бытовых целей. Во втором десятилетии намеченной
двадцатилетней программы должна быть в основном завершена
электрификация всей страны.
В настоящее время трудно себе представить жизнь совре-
менного человека без таких важных проводников культуры,
как электрическое освещение, кино, радио и т. д. Только на
базе электричества оказалось возможным широкое развитие но-
вейших научно-технических направлений в автоматике и радио-
электронике, которые привели к покорению космоса, появле-
нию вычислительных машин и к возникновению кибернетики.
Широкое и разнообразное применение электрической энер-
гии объясняется тем, что она имеет весьма большие преимуще-
ства перед другими видами энергии. Электрическая энергия
сравнительно просто получается (из других форм энергии), пе-
редается на различные расстояния и преобразуется в другие
формы энергии. Все это может происходить в самых различных
количествах и использоваться достаточно экономично. Всем
известны такие устройства, как, например, электрические дви-
гатели, электрические печи, электрические лампы, электромаг-
ниты и т. п. Электрической энергией могут приводиться в дей-
ствие как самые тонкие хирургические инструменты, так и
самые мощные прокатные станы (блюминги). Поэтому электри-
ческая форма энергии до сего времени является для народного
хозяйства незаменимой.
Электромагнитные явления очень своеобразны: в большин-
стве случаев их нельзя наблюдать непосредственно (без спе-
циальных приборов), обычно они протекают весьма быстро,
связаны с целым рядом сопутствующих явлений, однако ими
можно сравнительно просто управлять и регулировать. Их
можно заранее рассчитать, в процессе наблюдения — измерить
и зарегистрировать, а при желании — и моделировать, но при
этом в процессе использования готовой электрифицированной
установки требуется весьма высокой квалификации обслужива-
ющий персонал. Если электрическую лампу, плитку или утюг
может включить почти каждый человек, то для включения элек-
трического двигателя требуется некоторый навык, а для работы
на электронной счетной машине — специальная предварительная
подготовка. Естественно, что специальная подготовка требуется
и для расчета и проектирования электротехнических установок.
Электротехникой в широком смысле слова называется об-
ширная область практического применения электромагнитных
явлений.
Много открытий и изобретений, наряду с иностранными уче-
ными, сделали русские ученые и инженеры, положившие нача-
ло важнейшим отраслям электротехники. М. В. Ломоносов соз-
дал оригинальную теорию атмосферного электричества, открыл
закон сохранения массы и движения. После изобретения А. Воль-
том гальванического столба появилась возможность получать
электрический ток. Исследуя явления в электрической цепи,
В. В. Петров открыл (1802 г.) электрическую дугу и указал
на возможность практического применения ее для освещения,
плавки и сварки металлов.
Очень важную роль в развитии учения об электромагнитных
явлениях сыграл английский ученый М. Фарадей, открывший
в 1831 г. явление и закон электромагнитной индукции.
6
В 1832 г. П. Л. Шиллингом был построен первый в мире
электромагнитный телеграф.
В 1833 г. русский академик Э. X. Ленц открыл закон, ус-
танавливающий связь между направлениями индукционных то-
ков и их электромагнитными и электродинамическими взаимодей-
ствиями. В частности, им был установлен принцип электро-
магнитной инерции. В 1844 г. он, независимо от Д. Джоуля,
установил, что количество тепла, выделяющегося в проводнике
при прохождении тока, прямо пропорционально сопротивлению
проводника и квадрату тока.
В 1845 г. немецким физиком Г. Кирхгофом были сформули-
рованы основные законы для разветвленных электрических це-
пей, имеющие огромное значение для развития теоретической
и практической электротехники.
Изобретенная русским ученым П. Н. Яблочковым электриче-
ская свеча (1876 г.) положила начало электрическому освеще-
нию. Первая лампа накаливания с угольным стерженьком была
создана русским инженером А. Н. Лодыгиным.
Из других русских ученых второй половины XIX столетия
необходимо отметить А. Г. Столетова, впервые подробно иссле-
довавшего магнитные свойства железа, и Н. А. Умова, зало-
жившего основы для вывода уравнений движения электромаг-
нитной энергии в телах.
Таким образом, за периоде 1800 по 1880 гг. в тесной связи
с развитием прикладной электротехники и, в частности, с те-
леграфией, гальванопластикой и техникой электрического осве-
щения развивалась теория цепей постоянного тока. За этот
период были установлены основные понятия теории электриче-
ских цепей и созданы первые методы их расчета.
Начало применению переменных токов положил в 1876 г.
П. Н. Яблочков. Переменный ток обеспечивал равномерность
сгорания углей в его свече и давал возможность легко осуще-
ствлять питание многих ламп от одного источника электриче-
ской энергии.
Расширение потребления электрической энергии выдвинуло
проблему передачи ее на значительные расстояния. Для реше-
ния этой проблемы требовалось применение различных на-
пряжений для передачи и распределения электрической энер-
гии. Эта задача легко разрешалась для переменного тока путем
применения трансформаторов, изобретенных также П. Н. Яб-
лочковым.
Переменный ток получил всеобщее признание и широчай-
шее применение в электроэнергетике благодаря изобретениям
русского инженера и ученого М. О. Доливо-Добровольского.
Им была разработана трехфазная система, получившая повсе-
местное распространение. В 1889 г. он построил первый
трехфазный двигатель, разработал все остальные звенья трех-
7
фазной цепи и в 1891 г. осуществил передачу электрической энер-
гии трехфазным током на расстояние 175 км. Применение перемен-
ного тока требовало решения многих вопросов и послужило ос-
нованием для разработки целой области теоретических основ
электротехники — теории переменных токов. Особенно значи-
тельным в развитии теории переменных токов было введение
крупным электротехником Ч. П. Штеймецом метода комплек-
сных величин для расчетов цепей.
Наряду с необходимостью решения теоретических задач, от-
носящихся к электрическим и магнитным цепям, практическая
электротехника поставила задачи по расчету электромагнитных
полей. Конструирование электрических машин и электромаг-
нитных аппаратов требовало расчета магнитных полей. Созда-
ние надежной изоляции токоведущих частей приводило к не-
обходимости расчета элект{йшеских полей.
В 1873 г. английский ученый Д. Максвелл в классическом
труде «Трактат об электричестве и магнетизме» изложил в мате-
матической форме основы теории электромагнитного поля, пред-
ставляющей собой расширение и дальнейшее развитие идей
М. Фарадея о физической реальности электромагнитного поля.
Экспериментальное подтверждение и развитие теории электро-
магнитного поля, разработанной Д. Максвеллом, было осуще-
ствлено немецким физиком Г. Герцем в 1887—1889 гг. в его
опытах по получению и распространению электромагнитных
волн, а также русским физиком П. Н. Лебедевым, доказав-
шим давление световых волн.
В 1895 г. А. С. Попов изобрел радиосвязь, открывшую
новую эру в культурной жизни человечества. Развитие радио
послужило мощным толчком к разработке как теории электри-
ческих цепей, так и теории электромагнитного поля. Так, в
1904 г. в Петербургском политехническом институте проф.
В. Ф. Миткевич начал читать курс «Теория электрических и
магнитных явлений», а в 1905 г. в Московском высшем техни-
ческом училище проф. К. А. Круг — курс «Теория перемен-
ных токов», который был издан в 1906 г. Первой книгой в
России, в значительной мере охватывающей весь комплекс воп-
росов теоретических основ электротехники, была изданная в
1916 г. книга К. А. Круга «Основы электротехники».
Следовательно, в развитии электротехники можно отметить
второй этап (1880—1917 гг.), характеризующийся формирова-
нием самостоятельной дисциплины «Теоретические основы элек-
тротехники».
Следует иметь в виду' что при расчетах многих электротех-
нических установок встречаются весьма большие трудности, так
как при этом требуется некоторая идеализация задач в процес-
се их математической постановки. Такая идеализация может
быть выполнена только на основе некоторого опыта, с использова-
нием уже имеющихся методов расчета и с некоторыми допуще-
ниями, для которых подчас требуется дополнительная экспери-
ментальная проверка. Это тем более важно, так как практи-
чески наиболее целесообразными являются самые простые
методы расчета.
Возможны два принципиально различных подхода к решению
электротехнических задач и к рассмотрению электромагнитных
явлений: с использованием интегральных величин, характери-
зующих работу установки в целом, и с использованием диффе-
ренциальных понятий, характеризующих состояние того или
иного материала в разных местах этого устройства. Так, на-
пример, расчет электрической цепи, в которую включены раз-
личные приемники электрической энергии (лампы, двигатели),
может заключаться в определении токов в проводах и напряже-
ний на зажимах приемников, а расчет некоторой изолирующей
конструкции может потребовать определения напряженности
электрического поля в отдельных местах диэлектрика. Первому
аспекту задачи отвечает теория цепей, а второму — теория элек-
тромагнитного поля. В ряде случаев для одной и той же уста-
новки приходится решать задачи обоими методами. Физически
более общей и детальной является задача, формулируемая в
теории электромагнитного поля. Однако, как правило, такая
задача может быть решена только в отдельных частных случаях
и бывает весьма сложной. Кроме того, постановка ее во многих
случаях не является необходимой, так как, во-первых, изучае-
мое явление во всех деталях может не рассматриваться и, во-
вторых, она достаточно полно характеризуется задачей, форму-
лируемой в теории цепей.
В основе теории цепей лежат законы Ома и Кирхгофа, в
простейшем виде известные из курса физики; в основе теории
электромагнитного поля — уравнения Максвелла, дающие мате-
матическую формулировку электромагнитных процессов в про-
странстве. Основной математический аппарат, используемый в
этих разделах электротехники, различный. Если теория цепей
связана с исследованиями системы алгебраических уравнений
(при исследовании установившихся режимов) или дифференци-
альных (при исследовании перехбдных процессов), то теория
электромагнитного поля связана с уравнениями математичес-
кой физики, т. е. с дифференциальными уравнениями в част-
ных производных. Известны случаи, когда решения задач элек-
тротехники приводили к необходимости дальнейшего развития
математических методов (функции комплексного переменного,
операционное исчисление, теория информации и т. д.).
В течение последних десятилетий теоретические основы элек-
тротехники получили дальнейшее развитие не только в преде-
лах того же курса, но и в ряде специальных областей, которые
достаточно быстро выделялись в самостоятельные дисцип-
9
лины, а именно: основы теории связи, основы радиотехники,
теория электрических машин, теория электрических сетей и т. д.
В специальных областях задачи теоретической электротехники
рассматриваются применительно к конкретным установкам,
обладающим существенными особенностями и получившим боль-
шое Самостоятельное развитие. Такие задачи рассматриваются
в теоретических основах электротехники только в самой общей
постановке, без деталей, требующих специальной подготовки.
Таким образом, курс теоретических основ электротехники
является основной теоретической дисциплиной, которая служит
базой для всех специальных электротехнических дисциплин.
Качественные и количественные стороны исследуемых элек-
тромагнитных явлений и процессов находятся в неразрывной
связи. Поэтому изучение курса теоретических основ электро-
техники в высшей школе, как б^ло отмечено выше, основы-
вается на знаниях, полученных из курсов физики и математи-
ки. Эти знания в курсе теоретических основ электротехники
расширяются и развиваются в направлении разработки методов
анализа, расчета и экспериментального исследования явлений
и процессов, протекающих в электрических и магнитных цепях
и в электромагнитных полях.
Как при исследовании физических процессов в цепях, так
и при изучении электромагнитных полей различных устройств
единственным научным методом познания является диалектиче-
ский метод: «От живого созерцания,-—говорит Ленин,— к
абстрактному мышлению и от него к практике, таков диалек-
тический путь познания истины, познания объективной реаль-
ности».
Необходимо отметить, что, по мере дальнейшего развития
техники каждый инженер в процессе творческой деятельности
должен встретиться с многими новыми задачами, не отраженны-
ми в настоящем курсе. Поэтому необходимо стремиться к тому,
чтобы при изучении материала данного курса получить наи-
большую самостоятельность в решении практических задач.
В курсе теоретических основ электротехники рассмотрены ре-
шения лишь типовых задач, систематизированных на основе
имеющегося опыта. За истекшее время курс теоретических основ
электротехники, как было отмечено выше, неоднократно допол-
нялся новыми задачами и теориями и, несомненно, еще будет
дополняться в дальнейшем. Поэтому нельзя считать, что в на-
стоящее время он дает ответы на все возможные вопросы, ко-
торые встречаются сейчас в практической жизни, а тем более
будут встречаться в дальнейшем. В наибольшей мере это отно-
сится к нелинейным задачам, которые получили большое раз-
витие в последнее время, и, по-видимому, должны получить
еще большее развитие в ближайшем будущем.
Раздел первый
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Глава I
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ЦЕПИ
ПРИ ПОСТОЯННЫХ ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ
§ 1.1. Основные величины и соотношения,
характеризующие электрическое поле
Пусть для передачи электрической энергии применены пло-
ские проводники *, параллельно расположенные, изолированные
и обращенные друг к другу широкими сторонами (рис. 1.1).
Предполагается, что изолирующая среда, окружающая эти про-
водники, не обладает заметной электропроводностью. Если
в начале такой линии сравнительно небольшой длины присо-
единить источник электрической энергии с постоянной э.д.с. е,
то при отсутствии в конце линии потребителя электрической
энергии на указанных проводниках практически очень быстро
появятся разноименные заряды:
qA = q+ и qB = q_.
Одновременно с этим в изолирующей среде, окружающей
проводники, „образуется электрическое поле, не изменяющееся
далее с течением времени. Такое поле сохранится и при отклю-
чении источника электрической энергии (рис. 1.2). Следует отме-
тить, что источниками электрической энергии могут служить:
генератор постоянного тока, батарея аккумуляторов, гальвани-
ческий элемент и т. д.
Качественной и количественной характеристикой электриче-
ского поля является вектор напряженности электрического
* Задача намеренно упрощена в целях облегчения представлений.
11
поля Е, величину которого можно определить как предел отно-
шения силы F, действующей на внесенный в электрическое поле
положительный (проб-
ный) заряд qa, к вели-
чине этого заряда:
£== iim£. (1.1)
<7о->о чо
Если выразить еди-
Рис. 1.2
работы (энергии) в 1 дж к пути (длине) в 1 м, а в каче-
стве единицы измерения количества электричества принять 1 к,
то единицей измерения напряженности электрического поля
является
„ ед. F .дж 1 . дж
ед. Е =------= 1------— 1 — •
ед. q м 1 к M-к
Единицу работы в 1 дж можно заменить произведением из
единицы заряда в 1 к на единицу напряжения (разности потен-
циалов) в 1 в; тогда
Г-. К*в 1 в
ед. Е = — = I — ♦
А М'К м
Графически электрическое поле условно изображается лини-
ями напряженности электрического поля. Такие линии опреде-
12
ляются непрерывной совокупностью точек, в каждой из которых
вектор Е совпадает по направлению с касательной к ней. Число
линий напряженности электрического поля, приходящихся на
единицу поверхности, нормальной к направлению поля, должно
быть пропорционально величине напряженности электрического
поля в данной точке. Если в рассматриваемом случае (рис. 1.1)
длина I и ширина b проводников значительно больше рассто-
яния d между ними, то в однородной окружающей среде напря-
женность электрического поля между этими проводниками оди-
накова во всех точках. Такое поле называется однородным
(равномерным).
В действительности, у краев пластин поле будет несколько
искаженным (краевой эффект), однако при d<^.b<^.l влияние
этого искажения практически незначительно отражается на кар-
тине поля в его средней части, где линии напряженности элек-
трического поля представляют собой семейство отрезков прямых,
имеющих одинаковое направление и одинаковую плотность
(рис. 1.2).
Для определения напряженности электрического поля, обла-
дающего каким-либо видом симметрии (осевой, радиальной),
можно воспользоваться теоремой Гаусса, устанавливающей для
однородной среды связь между потоком вектора напряженности
поля сквозь замкнутую поверхность S и свободным зарядом Hq,
находящимся внутри этой поверхности:
2?
$Eds — ^- —
s eF°
где е—диэлектрическая проницаемость вещества (безразмерная
величина);
8О—электрическая постоянная:
1 ,
ЕП = 5-п 1П» Кв-М.
° 4Л-9-109 '
Величина s показывает, во сколько раз напряженность элек-
трического поля в данном диэлектрике меньше, чем в пустоте
при том же значении 2g. Произведение ss0 = ea называется
абсолютной диэлектрической проницаемостью вещества.
В пустоте
(SEds = ^-.
s 8°
С большой степенью точности это равенство справедливо и для
воздуха (при небольших давлениях).
У поверхности проводника, при отсутствии пространственных
свободных зарядов в прилегающих слоях изотропного диэлек-
трика, поверхностная плотность заряда
a = ee0E = D. (1.2)
13
(1.3)
В случае равномерного распределения заряда
S S’
где S—соответствующая поверхность проводника.
Вектор D называется вектором электрического смещения.
Если между плоскими проводниками (рис. 1.1 и 1.2) поме-
стить положительный заряд qa, то под действием сил электри-
ческого поля этот заряд будет перемещаться в направлении от
проводника с положительным зарядом к проводнику с отри-
цательным зарядом. При этом силы поля совершат работу
A = Fd = Eqod. (1.4)
Отношение работы, совершаемой силами электрического поля
любой формы, к величине перемещаемого,^ ряда, численно равно
разности потенциалов между соответствующими точками поля:
—я-~<Рд —<Рв= ^дв- (I-5)
q0
В однородном поле разность потенциалов
UAB = Ed. (1.6)
Единицей измерения разности потенциалов (и потенциала)
является 1 в:
,, ед. А 1 дж .
ед. U = —— = -j-т- = 1 в.
ец. q 1k
Из (1.2), (1.3) и (1.6) следует, что в случае однородного
электрического поля величина зарядов, связанных с таким полем,
определяется по формуле:
\q+\ = \q-\ = U™0±- = UC, (1.7)
где С—емкость двух проводников, составляющих плоский кон-
денсатор :
г &
Выражение (1.7) справедливо и для конденсатора, образо-
ванного двумя проводниками любой формы.
Из выражения (1.7) следует, что емкость конденсатора равна
абсолютному значению отношения заряда одной из обкладок
конденсатора к разности потенциалов между ними при условии,
что обкладки имеют одинаковые по величине и противополож-
ные по знаку заряды.
Из (1.6) получается выражение для напряженности электри-
ческого поля:
£ = —
£ d
14
В общем случае при неравномерном электрическом поле
напряженность электрического поля равна градиенту потенциала
с обратным знаком, т. е.
£ = ~n°S?==~grad(f’- (L8>
Отрицательный знак в этом выражении означает, что вектор
напряженности электрического поля всегда направлен в сторону
спада потенциала (рис. 1.2). Единичный вектор п0 также нап-
равлен в сторону наибольшего спада потенциала.
Одним из наиболее характерных свойств электрического поля,
создаваемого неподвижными зарядами и называемого электро-
статическим полем, является независимость работы его сил от
формы пути перемещения заряда
в
= — (1.9)
А
Иначе говоря, работа сил электрического (электростатиче-
ского) поля по любому замкнутому контуру /, не проходящему
через источник электрической энергии, равна нулю:
(f~Fdl=(f~Eq0 dl = 0,
i i
или, например, для рис. 1.2 по пути АтВпА
(f~Edl =(f)Edl=O (1.10)
i i
Такие поля называются потенциальными. Разность потенциалов
между любыми точками потенциального поля однозначна и неиз-
менна.
Работа перемещения заряда по поверхности, нормальной
к направлению поля, равна нулю. Такие поверхности называются
поверхностями равного потенциала, или равнопотенциальными
(эквипотенциальными).
§ 1.2. Энергия электрического поля и емкость
системы двух проводников
В самом электрическом поле всегда имеется определенный
запас энергии. Эта энергий, поступая от источника электриче-
ской энергии, накапливается в электрическом поле в процессе
его образования.
Объемная плотность энергии электрического поля, или удель-
ная энергия, в случае изотропной среды
ее0 £2 ED
— 2 ~ *
(1.И)
15
Следовательно, энергия всего электрического поля, занимаю-
щего объем V,
(1.12)
v
Энергия равномерного и однородного электрического поля,
заключенного в пространстве между плоскими проводниками
(рис. 1.2),
W3 = w3V=^^-bdl,
vjifi V — bdl.
Из последнего выражения и (1.6) легко получить:
_ ееоьг ^2ав _ eBoS и*дв
Wa~ d 2 “ d 2 ’
или
uzb=ct==t- О-13)
Выражение (1.13) справедливо и в случае двух проводников
любой формы. Два проводника любой формы, разделенные
. диэлектриком, образуют конденсатор. Величп-
yZ<~“ J ной, характеризующей свойства конденсатора,
/ \ является емкость С. Емкость конденсатора оп-
I ( / \ \ ределяется геометрическими размерами и фор-
т Г т мой его электродов (образующих его провод-
\ X. X/ у ников), а также абсолютной диэлектрической
проницаемостью вещества.
Формула для определения емкости плос-
кого конденсатора (без учета влияния краев)
Рис. 1.3 была получена из выражения (1.7) и приве-
дена на стр. 14.
Емкость сферического конденсатора с однородным диэлек-
триком (рис. 1.3)
4лее0 R,R2
R2—R, '
Емкость цилиндрического конденсатора (без учета влияния
его концов, рис. 1.4) с однородным диэлектриком
г 2лее0 Z
Пример 1.1. Вывести приближенную формулу для подсчета емкости
двухпроводной линии передачи электрической энергии длиной I, с круг-
лыми цилиндрическими проводами (рис. 1.5), без учета влияния земли.
При этом следует считать, что радиус Ro поперечного сечения проводов
значительно меньше расстояния d0 между ними и ед=1 (воздух).
16
Решение. Приближенно можно принять, чТо при
г><*о>Я0
заряды распределяются равномерно по поверхности каждого провода
и влиянием их концов можно пренебречь. При этом действительное поле
можно рассматривать как результат наложения двух электрических полей,
обладающих осевой симметрией и связанных с зарядами каждого из про-
водов в отдельности.
Применяя теорему Гаусса, можно определить напряженность каждого
из составляющих электрических полей в любой точке, расположенной на
Рис. 1.4
прямой АВ и находящейся на расстоянии Rx от провода А (рис. 1.5):
напряженность электрического поля, связанного с зарядом провода А,
Е, =_______________________________?___
Ах 2ле0 I Rx ’
а напряженность электрического поля, связанного с зарядом провода В,
Е----------------------------------?_____
Вх 2™ol(do-Rx) •
Напряженность результирующего электрического поля
Ех = ЕАх+ЕВх=2~Т + •
На основании формулы (1.9) .
Но ^о~~ Но
Uлв~ J = J ExdRx^=
&о~Но Но
[^о~ Но d0 — Но
С ёя*_ С <*(<*<,—я*) =
J (d0—я*)
«о
=у-Ц- 2 in ц. in ^°~R°.
2ле01 Ro ле01 Ro
2
Теоретические основы электротехники, ч. 1
17
Следовательно, искомая емкость
ч
Uab
С =
ле0 I
\ndo~rR°
К О

Емкость конденсатора, образованного двумя электродами
любой формы,
ее0 J Е dS
’ (U4>
Е dl
причем поток вектора напряженности электрического поля
можно определять по любому сечению поля, а линейный интеграл
от напряженности электрического поля — по любой линии, сое-
диняющей электроды конденсатора.
Единицей измерения емкости является 1 ф
ел. С
_ ед ? = 1 к 1
ед U 1 в
§ 1.3. Схематическое изображение электрической цепи
с конденсатором
Более полное рассмотрение цепи, показанной на рис. 1.1,
потребовало бы учета влияния электрического поля, возникаю-
щего и в других областях пространства вблизи от этой цепи *.
Строго говоря, заряды будут располагаться не только на внут-
ренних поверхностях проводников линии, но и на боковых
и внешних поверхностях. Кроме того, заряды будут также и на
соединительных проводах, и на электродах (зажимах) источника
электрической энергии.
Электрическое поле в любой области пространства, окру-
жающего цепь, характеризуется одними и теми же величинами,
хотя может иметь и достаточно сложную форму. Теми же свой-
ствами будет обладать и электрическое поле .внутри источника
электрической энергии, если для этой цели применить заряжен-
ный конденсатор. Если же источником электрической энергии
служит гальванический элемент, аккумулятор, термоэлемент,
фотоэлемент, пьезоэлемент и т. п., то явления усложняются:
появляются неэлектрические причины (химическое действие,
действие тепла, лучистой энергии, давления и т. Д.) разделения
электрически нейтральных молекул и атомов на противоположно
заряженные частицы — ионы и электроны,— которые в различ-
ных частях пространства создают свободные объемные заряды
* При достаточно большом удалении от цепи поле исчезающе мало.
18
разной концентрации. Еще сложнее оказываются явления внутри
и вблизи электромагнитного генератора.
Как видно, при такой постановке решение простейшей тех-
нической задачи встречает значительные теоретические и рас-
четные трудности. Практически же часто возникает необходи-
мость в решении -и более сложных за-
дач. Во многих случаях подобные за- I
дачи могут быть решены значительно + q
проще, если их представлять в несколь- еГ|
ко ином виде, применяя интеграль- -”Т“
ные понятия. Так, цепь, изображен-
ную на рис. 1.1, можно представить --------------------1
в виде емкости С и э.д.с. е (рис. 1.6).
Здесь емкость С отражает наличие за- с'
рядов противоположного знака на двух
проводниках произвольной формы, разделенных диэлектриком
(или несколькими различными диэлектриками), а э.д.с. указы-
вает на возможность поддержания между этими проводниками
определенного напряжения.
Величины напряженности поля в различных точках прост-
ранства данной схемой не отражаются, не видна при этом
и форма электрического поля. Емкостью С можно определять
не только заряды, расположенные на электродах, имеющих про-
стую геометрическую форму, но и заряды, расположенные на
соединительных проводах и на зажимах источника электриче-
ской энергии. В некоторых случаях удается определить и напря-
женность электрического поля в отдельных точках, если известна
картина поля.
Соотношение (1.14) в данном случае определяет состояние
цепи. Оно может быть, в частности, применено для определения
величины емкости С в случае проводников любой формы. Неиз-
менная э.д.с. источника электрической энергии обычно опреде-
ляется из опыта — путем измерения напряжения между зажимами
при отсутствии тока.
Линии, показывающие на схеме соединение источника элек-
трической энергии с э.д.с. е и конденсатора с емкостью С
(рис. 1.6), свидетельствуют лишь о наличии электрической связи
и не отражают, например, накопления заряда на соединитель-
ных проводах, изображенных на рис. 1.1.
Вопросы для самопроверки
1.1. Определить напряженность электрического поля в любой точке
диэлектрика сферического конденсатора, если известны радиусы R, и Т?2
сферических электродов и напряжение U между ними.
Ответ. При однородном диэлектрике электрическое поле является
радиальным, или, как говорят, обладающим радиальной симметрией.
2* 19
В любой точке иа концентрической сфере радиуса R
F=U_
R2 ’ R.-R.
1.2. Выразить напряженность электрического поля в любой точке
диэлектрика сферического и цилиндрического конденсаторов с радиусами
внутренних электродов Ro через напряженность поля Ео у поверхности
внутреннего электрода.
Ответ. В любой точке на концентрической сфере радиуса R в поле
сферического конденсатора
В любой точке на коаксиальном цилиндре радиуса R в поле цилинд-
рического конденсатора
F — F
R '
1.3. Почему приведенная выше формула (стр. 18) для подсчета емкости
сферического конденсатора в принципе более точна, чем формулы для под-
счета емкости плоского и цилиндрического конденсаторов? Почему проверка
формулы емкости сферического конденсатора опытным путем связана с вне-
сением ошибок?
Ответ. Формулы для подсчета емкости плоского и цилиндрического
коидеисаторов выведены без учета влияния краев электродов; сферический
конденсатор не имеет краев.
Провод, присоединенный к внутреннему электроду сферического кон-
денсатора, должен исказить картину поля.
1.4. Во сколько раз напряженность электрического поля у поверхности
внутреннего электрода цилиндрического н сферического конденсаторов
больше напряженности поля в плоском конденсаторе при той же толщине
d диэлектрика и том же приложенном напряжении? При каком соотноше-
нии напряжений между электродами указанных конденсаторов напряжен-
ность электрического поля ни в одной точке диэлектрика не будет превы-
шать заданной величины?
Ответ. В цилиндрическом конденсаторе наибольшая напряженность
d "
поля в -----------гт- раз больше, чем в плоском и
+~rJ
в сферическом. Напряжения должны находиться в
раз больше, чем
BKi
обратном отношении
1.5. Изменится ли напряженность электрического поля и электриче-
ское смещение, если промежуток между плоскими проводниками (рис. 1.1)
заполнить диэлектриком с большей абсолютной диэлектрической проницае-
мостью при неизменном напряжении источника электрической энергии?
Изменится ли ответ, если предположить, что замена диэлектрика про-
изойдет после отключения конденсатора от источника электрической энер-
гии или если электроды конденсатора имеют какую-либо другую форму?
Ответ. Напряженность электрического поля не изменится; электриче-
ское смещение увеличится во столько раз, во сколько увеличится абсолют-
ная диэлектрическая проницаемость среды. В отключенном конденсаторе
напряженность электрического поля уменьшится во столько же раз, во
сколько увеличится диэлектрическая проницаемость вещества, а электри-
ческое смещение останется неизменным. Если все пространство с электриче-
ским полем, заполняется однородным изотропным диэлектриком, то оба
20
ответа остаются справедливыми и в случае конденсатора с электродами
любой формы.
1.6. Указать возможные пути повышения4 электрической прочности,
электроизолирующей конструкции, как правило, разделяющей два провод-
ника с заданным напряжением между ними.
Ответ. Сделать поле более равномерным: не допускать поверхностей
с малым радиусом кривизны, применять экраны, уравнивающие поле.
1.7. Почему нельзя касаться протяженной изолированной конструкции,
находившейся под высоким напряжением (например, отключенного от сети
кабеля высокого напряжения)?
Ответ. Изолированная конструкция является электродом конденса-
тора, а заряженный конденсатор является источником питания с некоторым
запасом энергии.
1.8. Чему равен поток вектора напряженности электрического поля
через замкнутую поверхность, охватывающую два тела с равными зарядами
противоположного знака?
Ответ. Поток вектора напряженности электрического поля через такую
поверхность равен нулю, хотя электрическое поле существует.
1.9. Изменится ли картина электрического поля, если в некоторой части
какой-либо равнопотеициальной поверхности расположить очень тонкий
проводник?
Ответ. Любая поверхность равного потенциала может быть проводя-
щей; картина поля от этого ие меняется.
§ 1.4. Основные величины и соотношения, характеризующие
магнитное поле
Если в конце линии, присоединенной к источнику электри-
ческой энергии, подключить приемник, характеризующийся со-
противлением г, то в образовавшемся проводящем контуре
(состоящем из источника электрической энергии, соединитель-
ных проводов, проводников линии и приемника электрической
энергии) под действием э.д.с. источника электрической энергии
практически очень быстро установится постоянный электрический
ток (рис. 1.7). Приемниками электрической энергии могут быть
электрические двигатели, электрические печи, осветительные
лампы и т. д.
При отсутствии заметной проводимости диэлектрической
среды вдоль всего проводящего контура (в любом поперечном
сечении) ток будет иметь одинаковое значение, неизменное во
времени:
7 = 4’ (11б>
где Q—заряд, переносимый заряженными частицами через лю-
бое поперечное сечение проводящего контура за время t.
Единицей измерения тока является 1 а:
При наличии электрического тока, кроме электрического
поля в диэлектрической среде (картина которого несколько от-
лична от картины поля в той же цепи при отсутствии тока),
21
имеется электрическое поле и в проводниках. Кроме того, воз-
никает магнитное поле как в окружающей среде, так и внутри
проводников.
При сравнительно небольшой толщине проводников в пер-
вом приближении можно ограничиться рассмотрением магнит-
ного поля лишь в окружа-
ющей среде. В данном случае
(рис. 1.7) при прежнем ус-
ловии
/^> b ^>d,
магнитное поле в простран-
стве между плоскими про-
водниками получается прак-
тически однородным (равно-
мерным).
Качественной и количественной характеристикой магнитного
поля является вектор магнитной индукции В. Численное зна-
чение вектора В определяется отношением силы F, действую-
щей на тонкий проводник длиной I с током i, к произведению И
(рис. 1.8), если на всей его длине I проводник оказывается
в однородном магнитном поле и расположен в пределах пло-
скости, нормальной к направлению магнитного поля. При этом
принимается, что ток t не влияет на рассматриваемое магнит-
ное поле.
Взаимное направление векторов В, F и I* определяется сле-
дующим соотношением: _
F — i[lB].
* Направление вектора I принимается совпадающим с направлением
тока в проводнике.
22
Единица измерения магнитной индукции в Международной
системе единиц (СИ): <
„„ г> ед. F . дж 1 , в-сек .
ед. В = —;, = 1 — • —г— = 1 —г = 1 тл.
ед, i-eд. I м 1 а -1 м мг
Эта единица сравнительно велика; обычно применяется более
мелкая единица (из абсолютной электромагнитной системы еди-
ниц)— 1 ес:
1 л 1 гч — &6*Ceiv 1Л-8 & * СбК « 1А —4
1гс= 10 —5-=10 —г=1-10 тл.
м2 см2
Графически магнитное поле изображают линиями вектора
магнитной индукции (индукционными линиями), которые прово-
дятся так, чтобы вектор магнитной индукции совпадал по
направлению с касательной к ним в любой точке, а плотность
индукционных линий (число линий, пронизывающих единичную
площадку, нормальную к направлению поля) была пропорцио-
нальна величине магнитной индукции в данном месте поля.
При расчетах магнитного поля, применяется также вектор
напряженности магнитного поля Н, определяемый из следую-
щего выражения:
я = А = (1.16)
m Ра ’
где р— магнитная проницаемость вещества (безразмерная вели-
чина);
р0—магнитная постоянная:
и,Л = 4л> Ю 7--.
‘° а-м
Произведение рр0 = ра называется абсолютной магнитной
проницаемостью вещества.
Из выражения (1.16) получается единица измерения напря-
женности магнитного поля
ед. В , в-сек 1 . а
ед. Н = — = 1 —;------------= 1 — .
ед. р0 Mi । в-сек м
а-м
Основным законом, выражающим связь между величинами,
характеризующими постоянное магнитное поле, и электрическими
токами, создающими это поле, является закон полного тока:
(f)Hdl = SI. (1.17)
Линейный интеграл вектора напряженности магнитного поля,
взятый по замкнутому контуру, равен сумме токов, охватывае-
мых этим контуром. Положительное направление токов согла-
суется с направлением обхода контура интегрирования в соот-
ветствии с правилом правого винта.
23>
Уравнением (1.17) можно пользоваться для определения
картины магнитного поля в простейших случаях симметричных
полей.
Одной из интегральных величин, характеризующих магнит-
ное поле, является магнитный поток, определяемый в общем
случае, при неравномерном поле, следующим выражением:
(1.18)
s
При одном и том же граничном контуре значение магнитного
потока не зависит от поверхности интегрирования.
В частном случае, при однородном магнитном поле, когда
угол между векторами В и 5 равен нулю,
Ф = В5. (1.19)
Единицей измерения магнитного потока в Международной
системе единиц является 1 вб:
ед. Ф = ед. В • ед. 5 = 1в-^ 1 мг = 1 вб.
Обычно пользуются более мелкой единицей измерения маг-
нитного потока, взятой из абсолютной электромагнитной системы
единиц, — 1 мкс:
1 мкс = 10’8 вб.
Из (1.19) можно определить магнитную индукцию как плот-
ность магнитного потока
R ф
направленного перпендикулярно к данной площадке.
Здесь следует подчеркнуть, что между электростатическим и
магнитостатическим полями имеется принципиальное различие.
Электрическое поле в проводящей среде соответствует рас-
пределению потенциалов в электрической цепи и связано с про-
странственным распределением свободных зарядов и с распреде-
лением токов внутри проводников. Электростатическое поле
в диэлектрике имеет своим началом заряды одного знака и кон-
цом—заряды другого знака. Магнитное поле связано с нали-
чием токов и соответствует их пространственному распределению.
При этом индукционные линии охватывают контуры токов, имея
вид замкнутых кривых — без фиксированных начал и концов.
Магнитное поле непрерывно; никаких магнитных зарядов, по-
добных электрическим зарядам, не существует *.
Магнитное поле, возникающее в пространстве, окружающем
проводники электрической цепи, называют внешним, а внутри
проводников—внутренним.
* Иногда для удобства рассуждений вводится понятие магнитной массы.
24
Если электрическая цепь образует несколько витков w, то
применяют понятие потокосцепления. В том случае, когда
с каждым витком цепи связан (сцеплен) один и тот же магнит-
ный поток Ф, потокосцепление
Т-Фда. (1.20)
В более общем случае, когда с отдельными витками сцеплены
разные магнитные потоки
Y = 2Фш.
Пример 1.2. Определить напряженность магнитного поля вблизи цилинд-
рического круглого провода двухпроводной линии при условии, что рас-
стояние между осями проводов d„ значительно больше радиуса круглого
сечения каждого провода: da
Решение. При указанном условии можно предположить, что магнит-
ное поле вблизи провода будет обладать осевой симметрией. Тогда, иа
основании (1.17), на расстоянии а от оси провода
Н‘2ла — 1,
откуда
Н — х—
2ла
Пример 1.3. При каком условии магнитное поле катушки с кольцевым
сердечником (рис. 1.9) можно считать практически равномерным? Если
угловую плотность кольцевого тока
по поверхности катушки принять не-
изменной вдоль оси, то внешним маг-
нитным полем можно пренебречь.
Решение. Из (1.17) для ок-
ружности радиуса R (рис. 1.9) имеем:
или
где
Если
то
/f^2n/? = S7,
Н —
2л/?’
7?о Гц /?0,
const.
Вектор Н направлен по оси сер-
дечника.
§ 1.5. Энергия магнитного поля и индуктивность цепи
Образование магнитного поля, так же как и электриче-
ского, сопровождается накоплением в нем энергии, которая по-
лучается от источника электрической энергии в процессе уста-
новления в цепи тока.
25
Объемная плотность энергии магнитного поля, или удельная
энергия,
№ В2 НВ
— РНо 2 — ~ 1Г •
Энергия магнитного поля, сосредоточенного в некотором
объеме V,
= (1.21)
V
Для внешнего (по отношению к проводам) магнитного поля
1Ем=^^рг/5-ф^^=ф^
1 S 1
При нескольких витках
ZI = Iw
и, следовательно,
W =
w И 2
Пример 1.4. Определить энергию, запасенную в магнитном поле ка-
тушки с кольцевым сердечником, предполагая это поле равномерным
(рис. 1.9).
Решение. Из (1.21) имеем:
Я2
^cpS-
Пользуясь выражением, полученным в примере (1.3) на основе
закона полного тока, найдем:
IV/ S (2/)г
№м = ННоТ • 2 ’
‘ср
Если обмотка этой катушки имеет ш витков, то
5 г 1г
^« = 14*.tw -2 ’
*ср z
ИЛИ
ГМ = Ц, . (1.22)
где
J _ pp0Sffii2
ь ~ I
*ср
Выражение (1.22) справедливо также и для любой другой
цепи.
Из выражений (1.22) и (1.21), можно получить для внешнего
магнитного поля
L==y = 2^. (1.23)
Величина L является важной интегральной характеристикой *
электрической цепи и называется ее внешней индуктивностью.
* Данная характеристика является недостаточно полной, поскольку не
отражает влияния внутреннего магнитного поля.
26
Она определяет запасенную во внешнем магнитном поле цепи
энергию в зависимости от тока, связанного с этим полем.
Из выражения (1.23) следует, что индуктивность есть ска-
лярная величина, характеризующая связь потокосцепления
самоиндукции с током в рассматриваемой электрической цепи;
эта величина равна отношению потокосцепления самоиндукции
в цепи к току, протекающему в ней.
Внешняя индуктивность цепи так же, как и емкость про-
водников, зависит от формы и геометрических размеров про-
водящей части цепи, а также от магнитных свойств среды,
которые здесь характеризуются магнитной проницаемостью. По-
скольку для неферромагнитных сред магнитная проницаемость
постоянна, то и внешняя индуктивность для электрических
цепей с такими средами также постоянна.
Единицей измерения индуктивности является 1 гн'.
ел- L =
ед. ¥
ед .7
1 в-сек
1 а
1 гн.
Пример 1.5. Определить внешнюю индуктивность двухпроводной линии
(рис. 1.10) при условии, что /!> d0> Ra.
Решение. В этом случае магнитное поле воздушной линии можно
рассматривать как результат наложения магнитных полей, связанных с то-
ком каждого провода в от-
дельности и обладающих
осевой симметрией. Тогда
в некоторой точке х, нахо-
дящейся на прямой ab на
расстоянии Rx от оси про-
вода а, магнитная индукция
поля, связанного только с
током в проводе а,
• р0/
ax~2nRx’
а магнитная индукция поля,
связанного с током в про-
воде Ь,
Bh -
х 2n(da—Rx)‘
Магнитная индукция
результирующего поля
Рис. 1.10
вх=вах + Bbx=bL
Магнитный поток, пронизывающий
единице длины линии равен:
плоскость между осями проводов, иа
Ф =
do~ Ro
J Вх dRx
Ro
dQ—R,
e
2л J
Ro
dRx = ^ In
x л
Po
«0
+
1
4FF
27
Из (1.23), с учетом полученного выражения, индуктивность двухпро-
водной ЛИНИН
д=-Н»
Л ₽0 Л Ra
§ 1.6. Схематическое изображение электрической цепи
Электрические и магнитные поля образуются не только
в диэлектрической среде, но и внутри самих проводников. Это
связано с тем, что электрический ток имеется во всей прово-
дящей среде.
При неизменном токе (при установившемся режиме) в одно-
родном проводнике с постоянным по длине поперечным сече-
нием S, при неизменной его форме (рис. 1.7 и 1.10) ток равно-
мерно распределяется по поперечному сечению проводника (за
исключением концевых участков), т. е. во всех точках имеет
одинаковую плотность:
В общем случае плотность тока является вектором, который
направлен перпендикулярно к площадке, соответствующей наи-
большей плотности тока в данном месте проводящей среды.
Тогда ток в проводнике представляет собой поток вектора плот-
ности тока:
/=$ 6ds. (1.24)
s
Поле вектора плотности тока так же, как магнитное поле,
непрерывно. При одном и том же граничном контуре значение
тока не зависит от формы поверхности интегрирования.
Линии вектора плотности тока могут изображаться графи-
чески так же, как линии напряженности электрического поля
и индукционные линии магнитного поля. Линии вектора плот-
ности тока так же, как индукционные линии магнитного поля,
имеют вид замкнутых кривых.
Электрические свойства проводящего материала характери-
зуются удельной проводимостью у или удельным сопротивле-
нием Q.
Наличие тока в проводнике сопровождается падением (сни-
жением) потенциала, которое можно определить через напря-
женность электрического поля:
£ = е6=- = ^п0. (1.25)
к у dl 0 ' '
Единица измерения плотности тока
28
Если учесть, что единицей измерения сопротивления является
1 ом
ед. U 1 в .
ед. г —----г = -г- = 1 ом,
ед. / 1 а ’
то единицей удельного сопротивления является
11
ед. Е м .
ед. о = —г =-----= 1 ом-м,
v ед. 6 j а_
м
а единицей измерения удельной проводимости —
ед. 6 1 . сим
ед. у = = т------= 1 — .
1 ед. Е 1 ом-м м
В практике чаще пользуются несколько иными единицами
измерения: для плотности тока
для удельного сопротивления
, ОМ-ММ2
1 -----= 10 ом-м,
м
или
1 ом • см = 10г ом • м
и для удельной проводимости
। м 10_______б
ом-ммг м
Магнитное поле в проводящей среде связано с полем век-
тора плотности и обладает теми же свойствами, что и в ди-
электрике. Поэтому выражение для закона полного тока имеет
следующий вид:
6dS.
i s
Если учесть, что в общем случае приходится считаться н с
проводимостью диэлектрика, то легко представить себе, что
совместное исследование электрического и магнитного полей
и поля вектора плотности тока является весьма сложным.
Только частные (в большинстве случаев симметричные) задачи
сравнительно просто решаются способами математической физики.
Практически в большинстве случаев удается воспользоваться
упрощенными представлениями на основе применения интеграль-
ных величин. При этом можно раздельно рассматривать расчет
электрической цепи и расчет магнитной цепи. Отдельно- можно
рассчитывать электрическую цепь с конденсаторами. В расчете
электрической цепи обычно применяются величины напряжений,
токов и сопротивлений.
29
Из (1.25) следует, что для однородного проводника разность
потенциалов между любыми двумя равнопотенциальными по-
верхностями 1 и 2 равна:
2 2
(У12 = $ Edl^Q^ bdl,
1 1
причем интегрирование можно выполнить по любой кривой,
соединяющей указанные поверхности и не проходящей через
э.д.с.
Сопротивление проводника между теми же поверхностями
2
r12 = ^=(epdzWpds) , (1.26)
1 s
причем интегрирование в знаменателе можно выполнить по
любому сечению рассматриваемой части проводника (не обяза-
тельно по равнопотенциальной поверхности).
Если проводник имеет по всей длине одинаковые сечения
и форму, то
Источник электрической энергии в цепи с током не может
быть охарактеризован только одной э.д.с., так как обычно
напряжение на его зажимах зави-
сит от тока нагрузки. Если зависи-
мость напряжения на зажимах ис-
точника электрической энергии от
его тока или внешняя характери-
стика U (/) прямолинейна (рис. 1.11),
то достаточно двух постоянных ве-
личин, определяющих свойства ис-
точника электрической энергии. Та-
кими величинами могут быть, нап-
ример, э.д.с. е и внутреннее сопро-
тивление гв. Последнее определяется
соотношениекГ"
г
в“ Ц-!' '
где одинаковые индексы относятся к одному и тому же (про-
извольному) режиму источника электрической энергии.
Для рассмотренного ранее случая (рис. 1.7) схематическое
изображение цепи показано на рис. 1.1'2. Каждое сопротивле-
ние, изображенное на рисунке, соответствует определенному
участку цепи: у- — сопротивлению каждого из проводов линии,
—сопротивлению каждого из соединительных проводов и т. д.
30
При этом сопротивления одинаковых элементов можно объеди-
нить и представить схему в упрощенном виде (рис. 1.13).
Приведенная зависимость (1.26), связывающая величины
тока и напряжения, известна под названием закона Ома. При
одинаковых положительных направлениях для тока и напря-
жения, принятых от высшего потенциала к низшему, эту зави-
симость можно записать как для любого участка цепи,
так и для цепи в целом
е = /гс,
на сумму всех соп-
где гс—суммарное сопротивление всей цепи.
Магнитные цепи чаще всего приходится рассчитывать в тех
случаях, когда сердечники катушек изготовлены из ферромаг-
нитных материалов. При этом для непосредственного расчета
магнитной цепи применяют величины: полного тока (магнито-
движущей или намагничивающей силы) Iw, маг-
нитного потока Ф или потокосцепления Y и
магнитного сопротивления RK, которое полу-
чается аналогично сопротивлению проводя-
щей цепи.
Пример 1.6. Рассмотреть распределение потенциала
вдоль иеразветвленной электрической цепи.
Решение. Распределение потенциала вдоль не-
разветвленной электрической цепи можно наглядно
представить при помощи графика. На рис. 1.14 изоб-
ражена схема простейшей цепи с источником э.д.с.
et и е2, внутренними сопротивлениями гв1 и гв2 и соп-
ротивлениями г, и г2.
Пусть э.д.с. е, больше э.д.с. е2. В этом случае
ток I равен алгебраической сумме э.д.с., деленной
ротивлений цепи, т. е.
J __________е1 ^2___________
ri + rei + гг + гв2
и совпадает по направлению с э.д.с. е,. Для однозначного определения
потенциала каждой точки рассматриваемой цепи необходимо произвольно
31
выбрать потенциал какой-нибудь одной точки. Например, можно положить
потенциал <ря точки а равным нулю. Тогда потенциалы остальных точек
определятся по формулам:
Ч>Ь = фа—ri/ = —'J;
Фа = Фь + «1—гв J=— г J+ «1 — гв JP,
Фа = Фа—= — rtI + et—reJ—r2I.
Наконец, при переходе через второй источник энергии потенциал понижа-
ется как вследствие влияния э.д.с. е2 (по определению э.д.с. потенциал
Фй > фа'), так и вследствие внутреннего падения напряжения, причем
потенциал точки а должен быть равен нулю:
Фа = Фа—е2—г в г1 = — г J + е,—гв21—гг1—е2—гв2Т = 0.
Необходимо отметить, что из последнего выражения легко получается
приведенная выше формула для определения тока I.
Если по оси абсцисс откладывать в определенной последовательности
сопротивления участков, а по оси ординаты — потенциалы соответствующих
точек (рис. 1.15), то легко пвлу-
Г чить график распределения потен-
Рис. 1.15
циала вдоль неразветвленной цепи,
или так называемую потенциальную
диаграмму. Пользуясь этим графи-
ком, можно определить напряжение
между любыми точками цепи. В ча-
стности, из графика следует, что
напряжение на зажимах первого ис-
точника энергии Uci, = <fc — 4>ь =
=ei—reJ меньше его э.д.с. е, на вели-
чину внутреннего падения напряже-
ния, а напряжение Uda между зажи-
мами второго источника энергии,
наоборот, больше э.д.с. е2 иа вели-
чину его внутреннего падения напряжения, т. е.
и da = Фа — Фа = ег + гв21.
Отношение напряжения к сопротивлению любого пассивного участка
цепи равно току участка и на графике потенциала определяется тангенсом
угла наклона соответствующей прямой к оси абсцисс. Поэтому наклон прямых
(например, ab и cd иа рис. 1.15), определяющих изменение потенциала
вдоль всех пассивных участков неразветвленной цепи с одним и тем же
током, является одинаковым.
График распределения потенциала внутри источинка энергии может
иметь разный вид. В простейшем случае, когда можно принять распреде-
ление гв и е внутри источника равномерным, график изменения потенциала
внутри источника энергии имеет вид прямой, показывающей или непре-
рывный рост (в источнике с э.д.с. пунктирная прямая Ьс), или непре-
рывное уменьшение потенциала (в источнике с э.д.с. е2 пунктирная пря-
мая da).
Вопросы для самопроверки
1.10. Как изменится электрическое поле между равяопотенциальнымн
поверхностями, если однородный диэлектрик заменить однородным про-
водником и поддерживать (с помощью источника электрической энергии)
неизменной разность потенциалов между этими поверхностями?
Ответ. Картина поля не изменится, ио характер явления будет дру-
гой. В частности, наличие электрического поля в проводящей среде связано
с электрическим током.
32
1.11. Можно ли утверждать, что внутри плоского проводника, на его
концах (рис. 1.7), равнопотенциальиыми поверхностями будут плоскости,
перпендикулярные к его оси?
Ответ. Нет, нельзя. Это зависит от поверхности соприкосновения
с соединительным проводом и от распределения плотности тока по сечению
последнего.
1.12. С какой величиной для проводящей цепи сходна величина емкости
конденсатора, если сравнить напряжение между электродами конденсатора
с напряжением между равнопотенциальными поверхностями в проводящей
среде и поток вектора электрического смещения с потоком вектора плот-
ности тока? Является ли это сравнение показательным с точки зрения
свойств электрической цепи?
Ответ. При указанном сравнении выражение для емкости конденса-
тора оказывается похожим иа выражение для проводимости проводящей
среды. Однако эти величины характеризуют различные свойства электри-
ческой цепи; сходство получается только в математической форме записи
выражений.
1.13. Провести аналогичное сравнение магнитного поля с полем
вектора плотности тока.
Ответ. Отношение потока вектора магнитной индукции к линейному
интегралу от вектора напряженности магнитного поля определяет индук-
тивность цепи (при одном витке). Отношение тока к линейному интегралу
от вектора напряженности электрического поля определяет проводимость
(величину, обратную сопротивлению). С точки зрения свойств электричес-
кой цепи, эти величины совершенно не сравнимы.
1.14. Определить сопротивление проводящего шарового слоя, располо-
женного между двумя концентрическими сферическими поверхностями
равного потенциала с радиусами и /?2.
Ответ. Искомое сопротивление получается из симметричного шарового
поля:
, 6 Rt—Ri
4л RiRz '
1.15. Получить выражение для вращающего момента прямоугольной
рамки, состоящей из w витков тонкой проволоки н помещенной в равно-
мерное магнитное поле с индукцией В так,
что ось вращения рамки перпендикулярна
направлению поля в случае, если в каждом
проводнике рамки имеется ток i (рис. 1.16).
Ответ. Величина вращающего момента
зависит от угла поворота плоскости рамки к
направлению поля:
MB = 2Bilwd cos а.
1.16. Определить потокосцепление для
прямоугольной плоской рамки, выполненной
из w витков тонкой проволоки и помещенной
в равномерное магнитное поле так, что ось
ее вращения оказывается перпендикулярной
к направлению поля.
Ответ. Потокосцепление зависит от зна-
чения угла между плоскостью рамки и нап-
равлением поля:
Рис. 1.16
¥ — wBld sin а.
1.17. Определить ' энергию, запасенную во внешнем магнитном поле
электрической цепи, обладающей индуктивностью в 0,2 гн при неизменном
токе в 10 а.
Ответ. Из (1.22) имеем № =|0 дж_
3
Теоретические основы электротехники ч, I
33
1.18. При каких условиях две линии равной длины, но с проводами
(круглыми) разных поперечных сечений и с различными расстояниями между
ними обладают одинаковой внешней индуктивностью?
Ответ Индуктивности равны, если отношения расстояний между про-
водами к их радиусам одинаковы.
1.19. Определить энергию, запасенную в магнитном поле внутри мед-
ного круглого цилиндрического проводника с радиусом поперечного сече-
ния /?0, если в проводнике имеется постоянный ток I Поле вектора плот-
ности тока можно считать равномерным
Ответ. Из (1.21) энергия, приходящаяся на единицу длины проводника,
«о «о
№м= ppoj ~~ 2n/W = у 62/?2 -J- RdR = l-^ = 0,5.F!-10-9 дж.
о о
Магнитная проницаемость р здесь приближенно принята равной единице.
1.20. Почему индуктивность цилиндрической катушки, длина которой
значительно больше ее поперечных размеров, приближенно можно опреде-
лить по формуле, полученной для катушки с кольцевым сердечником, если
вместо длины средней линии кольцевого сердечника подставить в нее длину
оси катушки?
Ответ. Вне полости цилиндрической катушки магнитная индукция мала,
поэтому линейный интеграл определяется главным образом участком пути
внутри катушки
1.21. Определить э д с. источника электрической энергии, если из опыта
известны значения напряжений и токов для двух различных режимов и
если внешняя характеристика является линейной.
Ответ. Из линейной зависимости U = е — г! можно получить
._UJt—U Ji
ц-ц
§ 1.7. Энергетические соотношения в электрической цепи
Если под действием неизменной э.д.с. е источника электри-
ческой энергии (рис. 1.7) через любое поперечное сечение элек-
трической цепи за время t перемещается заряд Q, т. е. в замк-
нутой цепи возникает постоянный ток
то за это же время от источника передается электрическая
энергия
A„ — eQ = eIt.
Эта энергия получается путем преобразования из какой-либо
другой формы энергии, например, механической (генератор),
химической (аккумуляторы), тепловой (термоэлементы), лучистой
(фотоэлементы) и т. д.
Некоторая часть электрической энергии теряется в самом
источнике электрической энергии, обычно выделяясь в виде
тепла, а остальная часть
ABH = Ult
34
поступает во внешнюю цепь, где снова преобразуется в другие
формы, производя нужную работу. Явления преобразования
энергии в электрической цепи постоянного тока характеризу-
ются неизменной интенсивностью.
Мощность, развиваемая источником электрической энергии,
Ри = ^' = е/, (1.27)
а мощность потребления энергии (пли, как не совсем точно
говорят*, расходуемая или потребляемая мощность) во внеш-
ней цепи
Рвн = 6щ= UI = rI\
Величина электрической энергии, выработанной ее источ-
ником, равна сумме величин энергии, выделенной за то же
время на всех п участках цепи:
fe=l
Условие баланса справедливо и для величин мощностей
(1.28)
k =1
Выражения (1.27) и (1.28) соответствуют закону сохранения
энергии.
В электрической цепи с одинаковым током I во всех ее
участках на основании приведенных соотношений получается:
k=i k=i
где Uk—напряжение на k-м участке цепи;
rft—сопротивление &-го участка цепи.
Из предыдущего следует
e^^Uh,
fe=l
что соответствует условию однозначности потенциалов, и
е = / 2гЛ,
k-t
или
/ = |, (1.29)
* См.§ 4.2.
3*
36
где
k = l
Уравнение (1.29) известно под названием закона Ома для
всей цепи.
Из (1.9) и (1.24) следует, что для любой части трубки поля
вектора плотности тока *, заключенной между равнопотенциаль-
ными поверхностями, в проводящей части цепи мощность
P = ^EdT ^8-dS = ^E8-dV = §p-dV, (1.30)
е S X V
где р — удельная мощность^ расходуемая в элементарном объеме
проводника dV — dl-dS; при этом было учтено, что
векторы Е, dl, 6 и dS — параллельны.
Из (1.30) и (1.25) получается:
р^6£ = у£'2 = о62.
Последнее выражение называется законом Ленца-Джоуля
в дифференциальной форме; оно определяет количество тепла,
выделяемого в единице объема.
Пример 1.7. Рассмотреть баланс мощностей для простейшей неразвет-
вленной цепи.
Решение. Пусть электрическая цепь, изображенная на рис. 1.14,
состоит из одной машины постоянного тока с э.д.с. е, и внутренним сопро-
тивлением г81 и аккумуляторной батареи с э.д.с. е2 и внутренним сопро-
тивлением rgj, а сопротивления нагрузки rt = r2 = 0. Электродвижущие
силы машины и аккумуляторной батареи направлены навстречу друг другу.
Если э.д.с. ег больше э.д.с. е2, то действительное направление тока /
совпадает с направлением э.д.с. е,. Напряжение U на зажимах обоих
источников меньше э.д.с. et на величину внутреннего падения напряжения
гв,1 в машине и больше э.д.с. е2 на величину rsJ-.
U = ei — reJ,
ИЛИ
= +
После умножения обеих частей первого уравнения на Z и перестановки
слагаемых, имеем:
eJ = re^ + UI.
Левая часть этого уравнения представляет собой мощность, развиваемую
машиной; первое слагаемое правой части определяет мощность тепловых
потерь в обмотке машины, а второе слагаемое — мощность, отдаваемую
машиной и, следовательно, мощность потребления энергии аккумуляторной
батареей.
* Поток вектора плотности тока (величина тока) через любое сечение
трубки остается неизменным. ।
36
Умножая правую и левую части второго уравнения на ток /.получим:
UI=rtal*+eJ.
Из этого уравнения непосредственно вытекает, что мощность UI потребле-
ния энергии аккумуляторной батареей расходуется на тепловые потери
ге,/2 и иа зарядку аккумуляторов е2/.
Полученные соотношения для баланса мощностей применимы не только
к цепи для зарядки аккумуляторов, но и к любым другим цепям. Все
отличие состоит лишь в том, что в приемниках другого рода энергия рас-
ходуется не на зарядку аккумуляторов, а на. другие процессы, например
на совершение механической работы, как это имеет место в электрических
двигателях
При анализе энергетического баланса в неразветвленной
электрической цепи основное внимание было сосредоточено на
явлениях, происходящих в проводниках, образующих замкну-
тый контур электрического тока. Можно показать (в теории
поля это положение доказывается строго), что процесс передачи
электрической энергии вообще не мыслим без участия всего
электромагнитного поля, в частности, без участия поля той
диэлектрической среды, в которой находятся проводники с током,
образующие контур. Выше было отмечено, что при b^>d
(рис. 1.7) электрическое и магнитное поля сосредоточены глав-
ным образом в пространстве между проводами. Если пренебречь
сопротивлением проводов линии и краевым эффектом, то можно
принять электрическое и магнитное поля однородными (рис. 1.7).
При этих условиях напряженности электрического и магнитного
полей в начале линии определяются следующими выражениями:
E=d и Н—ь-
Из этих уравнений получается:
U = Ed и 1 = НЬ.
Подставив значения U и I в формулу мощности, легко полу-
чить
P-EHd-b = EHS,
где S — площадь поперечного сечения пространства, в котором
совместно действуют электрическое и магнитное поля.
Из полученного уравнения следует, что
Вектор П называется вектором ГГойнтинга, и, как это
доказывается в теории поля (ч. II, гл. 6), в общем случае он
определяется векторным произведением Е на Н, т. е.
П = [ЕН].
37
р
Из выражения П — ЕН~-$ следует, что величина вектора
Пойнтинга определяет энергию, поступающую в единицу времени
в электромагнитное поле линии через единицу площади попе-
речного сечения того пространства, в котором совместно дейст-
вуют электрическое и магнитное поля. Направление вектора П
в каждой точке поля определяется по правилу векторного про-
изведения в соответствии с его определением. В частности, на
рис. 1.7 вектор П показан направленным параллельно прово-
дам линии, что говорит о передаче энергии в направлении
к приемнику.
Из (1.9) и (1.7) для любой замкнутой поверхности S, распо-
ложенной в диэлектрике и охватывающей некоторый участок
проводящей цепи с источником электрической энергии, можно
показать (в теории поля это доказывается), что мощность Р
расходуется в той части проводящей цепи, которая оказывается
внутри данной поверхности и определяется как поток вектора
П сквозь замкнутую поверхность S, т. е.
p^fTidS.
Поле вектора П имеет истоки в источнике электрической
энергии и стоки — в местах преобразования энергии электро-
магнитного поля в другие формы. Поток вектора П через зам-
кнутую поверхность, расположенную в идеальном диэлектрике
(без заметной проводимости) и не пересекающую проводящей части
цепи, равен нулю; запасенная энергия здесь неизменна, а выде-
ления энергии нет. Поток вектора через замкнутую поверхность,
расположенную в проводящей среде, определяет потерю мощ-
ности в охватываемом объеме.
Выше было отмечено, что если провода линии передачи
не обладают сопротивлением, то векторы напряженностей элек-
трического и магнитного полей направлены поперек оси линии
(рис. 1.7), а векторы П—вдоль оси, что означает передачу
электрической энергии вдоль линии с помощью окружающей
среды.
В действительности, разность потенциалов между проводами
линии изменяется вдоль нее, уменьшаясь (вследствие падения
потенциала в проводах линии) по направлению от источника
к приемнику электрической энергии; изменяется соответственно
и поверхностная плотность электрических зарядов на провод-
никах; искажается картина электрического поля в окружающей
диэлектрической среде; появляется продольная составляющая
векторов напряженности электрического поля, и, следовательно,
поперечная составляющая векторов П. На рис. 1.17 показано
искажение картины электрического поля между плоскими про-
зе
водниками линии и направления вектора П в некоторых мес-
тах пространства в предположении равномерного магнитного
поля. На рис. 1.18 приведена картина поля только вектора П
между теми же проводниками.

Рис. 1.17
«4
Поскольку в любой точке внутренней поверхности провод-
ника напряженность электрического поля имеет только продоль-
ную составляющую (при идеальном диэлектрике), то вектор П
имеет поперечное направление и свидетельствует о проникно-
вении энергии в проводник из окружающей диэлектрической
среды.
Таким образом, процесс передачи электрической энергии от
источника к потребителю электрической энергии происходит
Рис. 1.18
при помощи всей окружающей среды. Провода линии при этом
являются как бы направляющими, вокруг которых распреде-
ляется энергия электромагнитного поля и передается вдоль оси
линии, частично расходуясь в металле проводов.
Здесь полезно рассмотреть передачу энергии по концентри-
ческому кабелю (рис. 1.19), принимая для проводников q = 0 и
для диэлектрика у = 0. При указанных условиях ток в кабеле
распределяется по наружной поверхности радиуса внутрен-
него круглого цилиндрического проводника и по внутренней
поверхности радиуса R1 наружного трубчатого проводника.
В силу симметрии конструкции, электрическое поле должно
быть радиальным*, как в цилиндрическом конденсаторе, по-
* Если пренебречь влиянием концов кабеля.
39
скольку напряжение U между проводниками вдоль линии
не изменяется; тогда напряженность электрического поля на
расстоянии Rx от оси кабеля
£ _____Ч___
х — R "
^0
Магнитное поле должно быть симметричным кольцевым; на-
пряженность магнитного поля на расстоянии Rx от оси ка-
беля
Н 1
х 4nRx ‘
Рис. 1.19
Поскольку векторы Е и Н расположены в плоскостях, пер-
пендикулярных оси кабеля, то вектор Пойнтинга во всех точках
диэлектрика направлен вдоль оси кабеля:
П — пхЕН.
На расстоянии Rx от оси кабеля
п =
Л1Х р
2л 1п^
Ко
Из полученного выражения следует, что передача электри-
ческой энергии через среду происходит с различной интенсив-
ностью: в слое, непосредственно примыкающем к поверхности
внутренней жилы кабеля, вектор Пх имеет наибольшее значение.
40
Поток вектора Пх через любое поперечное сечение диэлек-
трика
«1
Р = J nxdS = Г UI
s
Я,
UI Г dRx_nf
«о /<0
т. е. равен мощности передачи.
В практических задачах приходится считаться не только
с влиянием сопротивлений проводников линии, но и с прово-
димостью диэлектрической среды. Картина электромагнитного
поля при этом усложняется. В частности, напряженность маг-
нитного поля в точках, отстоящих на одинаковых расстояниях
от проводов линии, уменьшается вдоль линии по направлению
от источника питания к потребителю электрической энергии.
Тогда вектор Пойнтинга уменьшается вдоль линии не только
в связи с уменьшением напряженности электрического поля, но
н в связи с уменьшением напряженности магнитного поля;
дополнительная часть энергии будет расходоваться в диэлект-
рике. Такую цепь называют цепью с распределенными парамет-
рами и характеризуют интегральными погонными (на единицу
длины) параметрами. Вдоль такой цепи изменяется не только
напряжение, но и ток.
Таким образом, все пространство, в котором происходят
электромагнитные процессы, связанные с перемещением энергии,
можно характеризовать дифференциальными параметрами е, н
и у (или р), относящимися к каждой точке и в совокупности
определяющими свойства этого пространства. При постоянных
э. д. с. и установившемся режиме электромагнитное поле харак-
теризуется неизменными во времени дифференциальными вели-
чинами Е (или D), В (или Н) и д, относящимися к каждой
точке пространства и полностью определяющими условия ра-
боты установки во всех ее частях. Дифференциальными вели-
чинами, характеризующими энергетическое состояние цепи,
является вектор П или удельная энергия wa.
Следует иметь в виду, что если электрическое поле в неко-
торой части пространства связано с одним источником электри-
ческой энергии, а магнитное поле в том же месте—с другим,
то величина П в большинстве случаев теряет смысл.
_ Пользуясь понятием трубки поля для векторов D, В, 6 и
77, можно оперировать интегральными величинами в виде по-
токов соответствующих векторов: заряда q, магнитного потока
Ф, тока 7 и мощности Р, а также величинами напряжения U,
э. д. с. е, намагничивающей силы Iw (равными соответствующим
значениям линейных интегралов) и энергией А. Для отдельных
участков трубок можно с помощью параметров С, L, R,, и г
пользоваться интегральной характеристикой свойств среды.
41
Все интегральные величины можно условно показать на
схематическом изображении цепи, которое является достаточно
общим в том отношении, что, например, может отражать явле-
ния, связанные с электрическим током и с преобразованием
электрической энергии независимо от физического характера
цепи (материалов, форм, размеров и т. д.) и происходящих в
ней физических процессов (выделения тепла, механической ра-
боты, химических реакций и т. д.).
Представление об электрической цепи дает возможность
производить многие практически важные и необходимые расчеты
и измерения на основе применения только интегральных по-
нятий, что, как правило, существенно облегчает исследование.
В дальнейшем электрической цепью будем называть любое
соединение устройств с проводниками, в которых под действием
источников электрической энергии может возникать электри-
ческий ток. Для определения электрического состояния цепи
достаточно применять лишь интегральные понятия.
По аналогии с этим будет применяться и понятие о маг-
нитной цепи, связанной с электрическим током.
Вопросы для самопроверки
1.22. Показать, что выражение (1.29) справедливо для любой части
неразветвленной цепи, состоящей из произвольного числа участков, если
э д. с. е заменить в них напряжением U, равным разности потенциалов
на концах этой части цепи.
Ответ. Справедливость указанного выражения следует из применения
закона сохранения энергии к данной части цепи. В случае применения
к отдельному участку цепи, выражение (1.29) соответствует закону Ома.
1.23. Определить поле вектора П в толще круглого цилиндрического
проводника радиусом поперечного сечения /?0 при условии равномерного
распределения тока / по сечению.
Ответ. Поле вектора П симметрично -Относительно оси; векторы П
направлены радиально. Величина вектора Пх на расстоянии Rx от оси
провода
1.24. Определить приближенно вектор Пойнтинга у поверхности провода
(не иа поверхности) двухпроводной линии (рис. 1.10), считая напряжение
равным U, а ток равным /. Потерями энергии в проводах и утечкой пре-
небречь. ___________
Ответ. Вектор П направлен параллельно осн провода; по величине
он приблизительно равен
4л^1п^ ’
1.25. Как повлияет на энергетический баланс линии передачи увеличе-
ние сопротивления проводов при всех прочих равных условиях? Как это
отразится на векторе Пойнтинга?
42
Ответ. Несколько большая часть мощности, развиваемой источником
электрической энергии, будет расходоваться на нагревание проводов.
Вектор Пойнтинга будет иметь на всех участках цепи несколько большую
поперечную составляющую.
1.26. Чему равен поток вектора Пойнтинга через поверхность, охватываю-
щую только источник электрической энергии?
Ответ. Поток вектора Пойнтинга равен мощности, получаемой от источ-
ника электрической энергии. __
1.27. Чему равен поток вектора П через поверхность, охватывающую
всю внешнюю (по отношению к источнику электрической энергии) часть
электрической цепи? __
Ответ. Поток вектора П равен мощности, расходуемой во внешней
цепи и отличающейся от мощности, получаемой от источника электриче-
ской энергии, только направлением __
1.28. Что означает противоположное направление векторов Биб.
Где это может быть обнаружено?
Ответ. Это указывает на генерирование электрической энергии, что
имеет место в источниках электрической_энергии.
1.29. В какой среде векторы Б и б в общем случае не совпадают по
направлению?
Ответ. В диэлектрике, обладающем заметной проводимостью.
1.30. Как при схематическом изображении проводящей цепи отразить
существование таких интегральных величин, как магнитный поток и заряды
иа электродах конденсатора? ч
Ответ. Магнитный поток отражается величиной индуктивности, а за-
ряды на электродах—емкостью конденсатора.
Глава II
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ЦЕПИ
ПРИ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ
§ 2.1. Явления электромагнитной индукции,
самоиндукции и взаимной индукции
Более сложные процессы наблюдаются в электрической цепи
(включая и окружающую среду) при питании ее от такого
источника электрической энергии, э. д. с. которого изменяется
во времени. Тогда все дифференциальные и интегральные вели-
чины, характеризующие состояние цепи, изменяются во времени;
при этом обнаруживаются принципиально новые явления.
При изменении магнитного поля проявляется закон электро-
магнитной индукции, выражающий связь между э. д. с. индук-
тированной в некотором замкнутом контуре, и скоростью изме-
нения магнитного потока, сцепленного с этим контуром,
</Ф
е'~ di •
43
Отрицательный знак в этой формуле означает, что положи-
тельная э. д. с. индуктируется в контуре при уменьшении
положительного магнитного потока, если положительные на-
правления э. д. с. и магнитного потока согласованы между
собой по правилу правого винта.
Закон электромагнитной индукции может проявляться в
различной форме. Качественная характеристика этого закона
в наиболее общем виде дается законом Ленца: индуктированная
электродвижущая сила всегда противодействует причине, вызы-
вающей изменение состояния. В
этом проявляется принцип элек-
тромагнитной инерции.
На рис. 2.1 показан электро-
магнит, в поле которого со ско-
ростью v вводится проводящий
замкнутый виток. В этом витке
во время его движения индукти-
руется э. д. с., направление кото-
рой определяется правилом пра-
вой руки. Согласно закону Ленца,
направление индуктированной
э. д. с., совпадающее с направле-
нием вызванного ею тока, должно
быть таким, чтобы направление
магнитного поля, обусловленного
этим током, было противоположно направлению поля электромаг-
нита (действие э. д. с. электромагнитной индукции направлено в
сторону сохранения прежнего значения сцепленного с контуром
магнитного потока). При удалении витка из магнитного поля
электромагнита (рис. 2.1) индуктированная э.д.с. изменяет
свое направление на обратное (в соответствии с тем же дейст-
вием э. д. с. электромагнитной индукции).
Э. д. с. будет индуктироваться и в неподвижном витке — при
изменении магнитной индукции поля электромагнита,—а также
при движении некоторой его части, и т. д.
Э. д. с. индуктируется в любом замкнутом контуре, если
изменяется связанное (сцепленное) с ним потокосцепление.
Если изменяющийся магнитный поток Ф сцеплен с каждым
из витков катушки, то э. д. с., индуктированная в этой катушке,
d&

В более общем случае, когда с отдельными витками сцеплены
разные магнитные потоки, индуктированная э.д.с.
dW
dt ‘
(2.1)
44
В указанных условиях э. д. с., индуктируется не только в
проводящих контурах, но и в полупроводящих и в непрово-
дящих, т. е. во всей среде, которая пронизывается изменяю-
щимся магнитным полем. В индуктированном электрическом
поле линейный интеграл напряженности по любому контуру
определяет соответствующую э. д. с. Иначе говоря, линейный
интеграл от напряженности электрического поля вдоль замк-
нутого контура, выделенного в произвольной среде, равен э. д. с.,
индуктированной в контуре переменным магнитным потоком,
пронизывающим поверхность, ограниченную этим контуром:
I
Если в цепи имеется изменяющийся во времени ток
i = i (/) t
то изменяющимся во времени получается и соответствующее
этому току магнитное поле, а это является причиной индукти-
рования э. д. с. В частности, э. д. с. индуктируется и в том
контуре, в котором имеется убывающий ток. В соответствии с
законом Ленца индуктированная э. д. с. здесь должна быть
направлена в сторону поддержания прежнего значения тока.
Указанное явление называется явлением самоиндукции, а
индуктированная э. д. с.—э. д.-с. самоиндукции.
В значительном числе практических случаев проводящая
йасть цепи выполняется из сравнительно тонких проводов,
влиянием внутреннего магнитного поля которых (возникающего
внутри проводов) можно пренебречь. Тогда с учетом (1.23)
э. д. с. самоиндукции
В проводниках сравнительно большого сечения э. д. с. самоин-
дукции, вызванные внутренним магнитным полем, могут оказать
заметное влияние на распределение тока по сечению.
Если в магнитном поле, связанном с проводящей частью
цепи, в которой ток = изменяется во времени, находится
другая проводящая цепь, то индуктированная в ней э. д. с.
называется э. д. с. взаимоиндукции (или взаимной индукции).
Если потокосцепление с проводящей частью второй цепи * обо-
значить через Т’1а, то э. д. с. взаимной индукции
у
где М12 = —-—взаимная индуктивность цепей.
h
* Проводник предполагается достаточно тонким, а цепи взаимно не-
подвижными.
45
В этом выражении отрицательный знак имеет тот же смысл,
что и для э. д. с. самоиндукции.
Из выражения М1г = следует, что взаимная индуктив-
ность есть скалярная величина, характеризующая связь потоко-
сцепления взаимной индукции одной электрической цепи с током
в другой цепи. Эта величина равна отношению потокосцепления
взаимной индукции одной из цепей к току в другой цепи.
Единица измерения взаимной индуктивности совпадает с
единицей измерения индуктивности
.. ед.1? 1 в-сек .
ед. М = г = —т— = 1 гн.
ед. г 1 а
Взаимная индуктивность цепей определяется аналогично
индуктивности. В частности, для двух катушек с числом вит-
ков w, и а'2, равномерно распределенных по сердечнику коль-
цевой формы,
.. w,w, с
*ср
где /ср—средняя длина сердечника;
S — площадь его поперечного сечения.
Взаимная индуктивность двух цепей зависит от их формы,
геометрических размеров и взаимного расположения, а также
от магнитных свойств окружающей среды.
Если в двух цепях, расположенных достаточно близко друг
к другу, имеются изменяющиеся во времени токи, то э. д. с.
индуктируются в обеих цепях, причем в каждой из них индук-
тируется как э. д. с. самоиндукции, так и э. д. с. взаимной
индукции:
, di. .. di,
— L.——M .
1 1 at at
Всегда
Л412 = Л12, = М.
Энергия магнитного поля, сцепленного с двумя проводящими
цепями,
Л = у (/.,11 + A2i2) ±
при этом слагаемое Mij.2 входит в выражение энергии с поло-
жительным знаком в том случае, когда магнитное поле, созда-
ваемое током i2, усиливает магнитное поле, создаваемое током z,,
и с отрицательным знаком—когда ослабляет его.
В случае наличия токов в обеих цепях может происходить
передача энергии из одного контура в другой при посредстве
магнитного поля.
Явления самоиндукции и взаимной индукции в цепи посто-
янного тока в установившемся режиме не проявляются. Поэтому
величины индуктивности L и взаимной индуктивности М в соот-
ветствующих схемах обычно не применяются.
46
Случаи неустановиБ'лихся процессов рассматриваются особо.
Процессы, связанные с переходом от одного установившегося
состояния к другому, называются переходными, или неустано-
вившимися.
Вопросы для самопроверки
2.1. Будет ли изменяться ток в цепи катушки, в которую включен
только источник электрической энергии с постоянной э. д. с., если к торцу
катушки быстро приблизить массивный кусок стали?
Ответ. В связи с изменением магнитного состояния окружающей среды
изменяется магнитное поле катушки, в результате чего индуктируется
э. д. с., а следовательно, изменяется и ток в цепи.
2.2. Будут ли изменяться токи в катушках, получающих питание от
источников с постоянными э. д. с., если изменять положение одной катушки
относительно другой?
Ответ. Влияние будет лишь в том случае, если изменится величина
взаимной индуктивности.
2.3. По какому закону должна изменяться индукция однородного маг-
нитного поля, чтобы при установившемся режиме наведенный ток в непо-
движной (относительное поля) проводящей цепи, расположенной в этом
поле, был неизменным во времени?
Ответ Магнитная индукция должна изменяться по линейному закону,
т. е. с постоянной скоростью.
2.4. Какие токи называются вихревыми? Какова причина их появления?
Ответ. Вихревые токи появляются в проводниках под действием элек-
трического поля, вызванного изменениями магнитного поля.
2.5. Чем объяснить, что металлический диск, помещенный перед полю-
сами вращающегося магнита, начинает вращаться. Почему при этом диск
может нагреваться? Откуда берется энергия, рассеиваемая в виде тепла?
Может ли диск вращаться с топ же скоростью, с какой вращается магнит
(если она постоянна)?
Ответ. Вращение диска происходит в результате взаимодействия вих-
ревых токов в диске с полем вращающегося магнита. Наличие вихревых
токов связано с выделением тепла. Энергия потребляется в виде механи-
ческой, расходуемой на вращение магнита. Если диск будет вращаться с
той же скоростью, с которой вращается магнит, то действие электромаг-
нитной индукции прекратится, поэтому диск должен вращаться с меньшей
скоростью.
2.6. Будет ли вращаться магнит, если вращать помещенный перед его
полюсами металлический диск?
Ответ. Магнит будет приводиться во вращение по причинам, указан-
ным в ответе к предыдущему вопросу.
2.7. По какому закону будет изменяться индуктированная э. д. с.
в катушке, если ее потокосцепление изменяется по закону
Т = ¥т sin wt.
Ответ. На основании (2.1)
e = <o4r,„sin ( col — у) ,
т. е. э. д. с. будет изменяться по тому же закону, по с отставанием во
времени на четверть периода.
2.8. Как будет изменяться индуктированная э. д. с. в замкнутом витке
из тонкой проволоки, если его равномерно вращать вокруг оси, располо-
женной в плоскости витка и перпендикулярной к индукционным линиям
магнитного поля, и если поле, в котором вращается виток, равномерно
(влиянием тока витка на поле пренебречь)?
47
Ответ. Если в начальный момент времени предположить плоскость
витка нормальной к направлению магнитного поля, то индуктированная
э. д. с. будет изменяться по следующему закону:
e = <oBS sin cuZ,
где В — магнитная индукция поля;
S—площадь витка;
со — угловая скорость вращения витка.
2.9. Как изменится ответ предыдущей задачи, если величина магнитной
индукции поля будет изменяться по экспоненциальному закону
В = Boe-Z'T cos со/?
Ответ. Поскольку в данном случае потокосцепление выражается в виде
произведения двух функций, закон изменения э. д. с. заметно усложняется:
е== B0Se_/,T cos со/+<о sin <а/^ .
§ 2.2. Переходные процессы в цепи с конденсатором;
соотношения между векторами Е, D и Р
Рассмотрим процесс, происходящий при включении плоского
конденсатора в цепь источника электрической энергии с посто-
янной э. д. с. (рис. 2.2). Для упрощения задачи можно пред-
положить, что диэлектрики конденсатора и окружающей среды
не обладают проводимостью (у = 0), электроды конденсатора
имеют форму дисков, а соединительные провода выполнены из
тонких проводов.
До включения рубильника существует некоторое электриче-
ское поле в пространстве, окружающем источник электрической
энергии и провода, соединенные с его зажимами. В момент
включения рубильника происходит изменение условий состоя-
ния цепи. Одновременно во всей цепи наступает переходный
процесс, который приводит к новому установившемуся состоя-
нию. Это состояние не может возникнуть сразу (мгновенно) уже
потому, что изменение запаса энергии (в данном случае в элек-
трическом поле) ни в каких случаях в природе не происходит
48
мгновенно. Кроме того, поскольку заряды на электродах кон-
денсатора могут появиться только в результате прохождения
электрического заряда по соединительным проводам, то мгно-
венное появление заряда конечной величины соответствовало бы
бесконечно большому току, что при конечном значении сопро-
тивления проводов могло бы иметь место только при бесконечно
большой э. д. с. источника электрической энергии. Мало того,
в принципе конечной должна быть даже скорость нарастания
тока в цепи, так как в противном случае э. д. с. самоиндукции
в цепи имела бы бесконечно большое значение и ее действие
могло бы компенсироваться только бесконечно большой э. д. с.
источника электрической энергии.
Таким образом, после включения рубильника в проводящей
части цепи должен возникнуть постепенно увеличивающийся ток,
приводящий к накоплению зарядов на электродах конденсатора
и накоплению энергии в электрическом поле (рис. 2.2).
В это же время в диэлектрике конденсатора происходит про-
цесс поляризации. Под действием сил электрического поля,
возникающего одновременно с накоплением зарядов на электро-
дах конденсатора *, молекулы диэлектрика, которые до того
могли находиться в нейтральном состоянии, упруго деформи-
руются, причем их положительные заряды сместятся в сторону
действия вектора Е, а отрицательные—в противоположную сто-
рону.
Для количественной характеристики этого явления вводится
понятие диполя—двух разноименных связанных зарядов, обла-
дающих в совокупности электрическим моментом
где <?0—заряд диполя;
I—среднее расстояние взаимного смещения разноименных
зарядов, 'направленное от отрицательного заряда к поло-
жительному.
Если в единице объема диэлектрика содержится п диполей,
то суммарный электрический момент единицы объема диэлектрика
Р = рп.
Вектор Р называется поляризованностью, или интенсивно-
стью поляризации. Для большинства диэлектриков он совпадает
по направлению с вектором Е и пропорционален его значению:
P = k3E, (2.2)
где k3—диэлектрическая восприимчивость вещества.
* Аналогичное явление происходит и в окружающей среде.
4
Теоретические основы электротехники ч, I
49
Образование электрического поля в диэлектрике связано
с явлением поляризации. Для любой замкнутой поверхности,
охватывающей
где q—заряд,
Из (2.4), (1.2)
и
один электрод конденсатора, по теореме Гаусса
(j) eaEdS = q + qp,
s
находящийся на электроде конденсатора;
q —некомпенсированный заряд диполей
(рис. 2.3):
qp = -$PdS.
Из этих уравнений заряд
q = (f) (г0Ё + P)dS = (j)DdS,
S
откуда вектор
(2.3)
s
электрического смещения
О = е0£ + Р. (2.4)
PhD измеряются в одних
Величины
единицах:
ед. Р = ед. D = 1 .
(2.2) следует, что
Еа = еео = 6 о + К-
Так как диэлектрическая восприимчивость является положи-
тельной величиной, то диэлектрическая проницаемость всегда
больше единицы.
При переходном процессе ток в проводящей части изменяется
во времени
i-g. _ (2.5)
Из уравнения (2.5) с помощью выражения q = $DdS, в слу-
s
чае равномерного поля получается
i = S^,
т. е. ток в проводящей части цепи, или ток проводимости, как
бы продолжается в виде тока смещения в диэлектрике, вслед-
ствие чего, несмотря на наличие диэлектрика, образуется замк-
нутый контур электрического тока.
Необходимо отметить, что понятие тока смещения в диэлек-
трике принципиально отличается от понятия тока проводимости:
если ток проводимости представляет собой упорядоченное дви-
жение свободных зарядов в проводнике под действием сил элек-
трического поля, то ток смещения обусловлен скоростью изме-
нения электрического поля в пустоте ( е0 о ) и скоростью
50
изменения поляризации диэлектрика под действием изменяю-
(dP
щегося электрического поля
Общим важным свойством тока проводимости и тока смеще-
ния является наличие связанного с ними магнитного поля.
В рассматриваемом примере магнитное поле создается при пере-
ходном процессе не только внутри и вне проводников цепи, но
и в диэлектрике конденсатора.
Пример 2.1. Определить магнитное поле, возникающее в диэлектрике
при зарядке плоского конденсатора с дисковыми электродами. С помощью
вектора Пойнтинга установить энергетические соотношения, возникающие
при зарядке конденсатора.
Решение. Индукционные линии магнитного поля имеют форму кон-
центрических окружностей. Если расстояние Ь между электродами конден-
сатора мало по сравнению с диаметром дисков 2Р0, то можно считать элек-
трическое поле однородным.
Напряженность магнитного поля определяется по закону полного тока:
Я.2яР = блР2,
где
. dD
следовательно,
„ R dD
изменяется пропорционально расстоянию—от нулевого значения в центре
до наибольшего у цилиндрической поверхности диэлектрика. На рис. 2 4
индукционные линии магнитного поля показаны точками и крестиками.
Вектор Пойнтинга имеет в данном случае радиальное направление
(рис. 2.4 — внутрь диэлектрика) и по величине уменьшается по мере удале-
ния от оси симметрии:
П-РИ-К Pd2.
П ЕН 2 • Е dt •
Это означает, что при зарядке конденсатора энергия запасается в про-
странстве между его электродами. _
В любой момент времени поток вектора П, направленный из окружаю-
щей среды через боковую поверхность диэлектрика конденсатора, соответ-
4*
51
ствует электрической мощности
П • 2л/?0Ь = ЕЫ>л R J = uci = р,
где ис—напряжение иа конденсаторе.
При определенных соотношениях между параметрами цепи величины
напряженностей электрического и магнитного полей в любой точке диэлек-
трика (за исключением точек, расположенных иа оси симметрии, где Я = 0)
изменяются во времени в соответствии с кривыми, показанными на рис. 2.5.
За время t — О до t = tm значения И и Е увеличиваются, вследствие чего
энергия, поступающая от источника электрической энергии, непрерывно
запасается как в электрическом, так и в магнитном полях. Начиная
с момента t — tm, рост Е замедляется, а Н начинает падать:'энергия элек-
трического поля, хотя и растет непрерывно, но менее интенсивно, а энергия
магнитного поля убывает, переходя в энергию электрического поля.
По мере приближения значения напряжения иа конденсаторе к вели-
чине э.д.с. источника электрической энергии переходный процесс затухает.
Рассмотренный переходный процесс обычно протекает довольно быстро.
Интенсивность его протекания определяется соотношением между парамет-
рами цепи.
§ 2.3. Интегральное представление переходного процесса
в цепи с конденсатором
На рис. 2.6 показана приближенная электрическая схема,
с помощью которой можно исследовать процесс зарядки не-
заряженного конденсатора.
На этой схеме сопротивле-
ние всей цепи, включая и
внутреннее сопротивление ис-
точника электрической энер-
гии, сосредоточено в одном
месте и обозначено через г,
конденсатор представлен ем-
костью С,появление магнит-
ного поля в цепи отражено
индуктивностью L. Схема не
отражает распределенной ем-
кости между проводами, ко-
торая практически оказы-
вает весьма малое влияние.
Для неразветвленной схемы, приведенной на рис. 2.6, баланс
напряжений
e = ri + L^ + uc, (2.5')
где
ri—напряжение на сопротивлении г;
т di
—часть напряжения, уравновешивающая э.д.с.
самоиндукции;
ис = = —напряжение на конденсаторе.
Решив совместно эти уравнения, можно получить выражения
для тока в цепи и для напряжения на конденсаторе. Первое
52
выражение будет подобно закону изменения напряженности
магнитного поля Н, а второе—напряженности электрического
поля Е (см. рис. 2.5).
С помощью уравнения (2.5) можно установить и энергетиче-
ские соотношения для цепи. После почленного умножения этого
равенства на idt = dq и представления его в интегральной форме
оно примет следующий вид:
t t t i
^eidl =r t* 2 dt L j i di + uz idt,
0 0 0 0
или, с учетом равенства
i = C ,
at
после замены переменных,
t t i uc
^eidt — r^i2 dtL idi-^C J uc duc.
0 0 0 0
В результате интегрирования получается уравнение энергети-
ческого баланса*:
Электрическая энергия, вырабатываемая источником за вре-
мя t, за это же время частично выделяется в виде тепла в про-
водящей части цепи, частично запасается в магнитном поле и по
мере усиления электрического поля конденсатора запасается
в нем.
В некоторых случаях можно еще более упростить анализ
процесса, если пренебречь влиянием параметра L (рис. 2.7), что
допустимо при сравнительно небольшом значении энергии, за-
пасаемой в магнитном поле цепи.
Уравнение баланса напряжений для полученной схемы
е = п‘4-ис,
или
e = rC^+uc.
При таком предположении протекающий процесс представ-
ляется в несколько искаженном виде—идеализируется. В част-
ности, в последней схеме оказывается возможным скачкообразное
* Постоянная интегрирования равна нулю, поскольку напряжение на
конденсаторе в начальный момент времени равно нулю, т. е.
’ ± Си2 =0.
2 со
53.
изменение тока. В этом случае закон тока в цепи и напряже-
ния на конденсаторе упрощается (рис. 2.8).
В действительности, ток в цепи, обладающей малой индук-
тивностью, нарастает с очень большой скоростью, но без скачков.
Поэтому начальная стадия процесса данной схемой отражается
менее точно. Более того, если энергия, запасаемая в магнитном
поле цепи, соизмерима с энергией, запасаемой в электрическом
поле, то принятое упрощение может привести к неправильному
представлению о протекании переходного процесса. Так, напри-
мер, при некоторых соотношениях параметров в схеме, изобра-
женной на рис. 2.6, могут возникнуть
которые не обнаруживаются в схеме.
Более поздние стадии пере-
ходного процесса упрощенной схе-
электрические колебания,
показанной на рис. 2.7.
Г1
'•аду*

е
Рис. 2.7 Рис. 2.8
мой отражаются точнее. Новое установившееся состояние обеими
схемами отражается одинаково. В общем случае возможность
того или иного упрощения схемы должна быть специально уста-
новлена— в зависимости от соотношений параметров и интере-
сующей стадии процесса.
Пример 2.2. Рассмотреть процесс разряда конденсатора при соединении
его зажимов через проводящую цепь, обладающую сопротивлением г.
Решение. Если цепь образует один виток, а емкость конденсатора
достаточно велика, то схему для расчета можно ограничить только емкостью
и сопротивлением (рис. 2.9).
До замыкания цепи, при незначительной проводимости диэлектрика
конденсатора, с зарядами на электродах конденсатора связано только элек-
трическое поле.
После замыкания цепи заряженный конденсатор действует как источник
электрической энергии: в цепи возникает электрический ток проводимости
в проводящей части цепи и ток смещения в диэлектрике конденсатора
(явлениями в окружающей среде можно пренебречь). С течением времени
происходит нейтрализация разноименных зарядов, находящихся на электро-
дах конденсатора, снижается напряжение на конденсаторе, а следовательно,
затухает ток в цепи. В установившемся состоянии напряжение на конден-
саторе и ток в цепи отсутствуют.
Уравнение состояния цепи (баланс напряжений) можно записать в виде
ий п,
54
или
откуда (рис. 2.10)
и —и p-t/rC
и ОС с
и
- __ У ОС е- ЦгС
г
Величина гС имеет размерность времени и называется постоянной вре-
t t
ис idt =r J i2 dt
о о
видно, что энергия, выделяемая из электрического поля конденсатора за
время процесса, переходит в тепловую в сопротивлении г. К концу процесса
вся энергия, запасенная в
электрическом поле конден-
сатора, полностью перехо-
дит в тепловую
cuL_
2 Г
i2 dt
Поскольку магнитное
поле в диэлектрике конден-
сатора при его зарядке и
разрядке имеет противопо-
Рис. 2.11
ложное направление, то про-
тивоположное направление имеет и вектор Пойнтинга (рис. 2.11). При раз-
рядке конденсатора энергия убывает вследствие уменьшения электрическо-
го поля.
Вопросы для самопроверки
2.10. Определить наибольший ток, возникающий в цепи, при подключе-
нии конденсатора, обладающего емкостью С — 4мкф, к источнику электри-
ческой энергии с э.д.с. е=100в, если сопротивление проводящей части
Цепи г —1 ом. Влиянием индуктивности цепи можно пренебречь.
Ответ. Независимо от емкости конденсатора наибольший ток в цепи
•f=100a. В начальный момент времени конденсатор как бы закорочен.
55
Только через некоторое время, после накопления на электродах конденса-
тора' зарядов, напряжение конденсатора компенсирует часть э.д.с. источника
электрической энергии.
2.11. Как будет протекать переходный процесс в неразветвленной цепи,
содержащей источник электрической энергии, конденсатор и соединительные
провода, если э.д.с. источника электрической энергии изменится скачком
на Де и если до указанного изменения э.д.с. цепь находилась в установив-
шемся состоянии?
Ответ. Так же, как и при включении конденсатора к источнику элек-
трической энергии с э.д.с. Де в той же цепи.
2.12. Как будет протекать переходный процесс в цепи, если к источ-
нику электрической энергии с э.д.с. е подключить заряженный конденсатор
с напряжением t/c и если проводами будут соединены зажимы противопо-
ложной полярности?
Ответ. Так же, как и при включении конденсатора к источнику элек-
трической энергии с э.д.с. е~1~Ос в той же цепи.
2.13. Будет ли вызван переходный процесс в цепи постоянного тока
путем отключения заряженного конденсатора при установившемся режиме?
Ответ. Нет, не будет, если диэлектрик конденсатора не обладает замет-
ной проводимостью, так как при установившемся режиме в ветви такого
конденсатора отсутствует электрический ток. Если диэлектрик конденсатора
обладает заметной проводимостью, то характер переходного процесса зави-
сит от проводимости диэлектрика и индуктивности цепи.
2.14. Через какое сопротивление должен разряжаться конденсатор
емкостью в 10 мкф, чтобы через 1 сек после начала разряда напряжение на
конденсаторе было в 2,72 раза меньше его первоначального значения?
Ответ. 105 ом.
2.15. Почему напряжение на конденсаторе может изменяться только
плавно, независимо от свойств диэлектрика?
Ответ. Изменение напряжения на конденсаторе всегда связано с изме-
нением энергии, запасенной в электрическом поле, а запас энергии в дан-
ной области пространства может изменяться только плавно.
2.16. Индуктируется ли- э.д.с. самоиндукции в диэлектрике конденса-
тора при его зарядке и разрядке?
Ответ. Индуктируется.
2.17. К заряженному до напряжения Uc конденсатору с емкостью Ct
подключается незаряженный конденсатор емкостью С2. Определить закон
изменения тока при переходном процессе, если влиянием индуктивности
цепи можно пренебречь, а сопротивление проводящей части цепи считать
равным г.
Ответ.
Г
где
с С£г
с^сг-
2.18. Как определить переходный процесс в неразветвленной цепи при
разрядке конденсатора на сопротивление, если в некоторый момент времени
сопротивление изменяется скачком? Величиной индуктивности цепи можно
пренебречь.
Ответ. Переходный процесс делится на две части. Момент изменения
сопротивления является началом нового переходного процесса, рассматри-
ваемого как результат включения конденсатора, заряженного до напряже-
ния, полученного в конце предыдущего процесса, на новое сопротивление.
В момент изменения сопротивления ток цепи (при указанном допущении)
изменяется скачком.
.56
2.19. Как должен изменяться ток в ветви конденсатора (независимо от
схемы цепи, в которую он включен), если напряжение на конденсаторе
изменяется: по синусоидальному (uc=Ucm sin at) и по экспоненциальному
(uc = Ucoe~p1) законам?
Ответ. В первом случае
где
i — aCUcm cos at — lm cos at,
1
величина имеет размерность сопротивления.
Во втором случае
i = — pCU(.oe~pi = — rae~pt,
1
величина имеет размерность сопротивления и является коэффициен-
пропорциональности между напряжением на конденсаторе и током ветвн
где
том
конденсатора в течение всего процесса.
§ 2.4. Переходные процессы в цепи с катушкой;
соотношения между векторами В, J и И
В целях большей общности следует рассмотреть цепь катушки
с сердечником, выполненным из ферромагнитного материала
(железо, чугун, сталь, никель, кобальт, некоторые сплавы).
Пусть сердечник катушки имеет кольцевую форму, причем
обмотка катушки равномерно распределена по его поверхности
(рис. 2.12). После замыкания неразветвленной цепи (переклю-
чатель находится в положении а), содержащей такую катушку
и источник электрической энергии, в цепи возникнет изменяю-
щийся во времени электрический ток (рис. 2.13), который будет
сопровождаться соответственно изменяющимся магнитным и элек-
трическим полями в проводниках и окружающей среде, включая
и сердечник катушки, а также передачей электрической энергии
от ее источника.
При большой индуктивности цепи нарастание в ней тока
при заданной э.д.с. источника будет сравнительно медленным.
Практически влиянием внешнего магнитного поля на проте-
кание рассматриваемого процесса можно пренебречь и считаться
57
только с появлением магнитного поля внутри сердечника ка-
тушки. Малое влияние на протекание процесса будет оказывать
также и электрическое поле в среде, окружающей катушку.
Значительно большее влияние может оказывать электрическое
поле, вызванное индуктированной э.д.с. в массивном сердечнике
катушки, результатом действия которого будет появление в сер-
дечнике вихревых токов и искажение магнитного поля. В началь-
ной стадии процесса незначительное влияние может оказывать
и сопротивление цепи ~
fl*'-.
Puc. 2.14

г. Таким образом, в начальной его стадии
процесс в цепи определяется процессом
в самой катушке.
На рис. 2.14 показано поперечное сече-
ние сердечника катушки с магнитным по-
током Ф, направленным за чертеж. Как
уже указывалось ранее, при достаточно
большом диаметре кольца по сравнению
с диаметром его сечения, прн медленных
изменениях магнитный поток может счи-
таться равномерно распределенным по
сечению сердечника. При этом линии нап-
ряженности электрического поля имеют
вид концентрических окружностей, рас-
положенных в плоскости поперечного сечения сердечника.
Напряженность электрического поля на любом расстоянии R от
оси сердечника определяется скоростью изменения магнитного
потока
E2nR =
наибольшее значение она имеет у поверхности сердечника, сни-
жаясь до нуля на его оси.
Во всех точках сердечника вектор Пойнтинга получается на-
правленным к его оси; наибольшее значение он имеет у поверх-
ности и на оси равен нулю. Это свидетельствует о накоплении
энергии в магнитном поле сердечника при передаче ее от источ-
ника электрической энергии через окружающую среду.
По мере возрастания тока в цепи все большее влияние ока-
зывает на процесс ее сопротивление г. Скорость возрастания
тока заметно снижается. Следовательно, снижается и скорость
нарастания магнитного потока и величина напряженности элек-
трического поля в каждой точке сердечника.
При установившемся процессе в цепи будет постоянный ток
а в сердечнике—постоянный магнитный поток. При этом ин-
дуктированная э.д.с. исчезнет, а запасенная энергия не меняется.
В цепи будет происходить только переход электрической энергии
68
в тепловую в связи с нагреванием проводов. В начальной ста-
дии процесса это явление было мало заметным в связи с не-
значительной величиной тока в катушке.
При образовании магнитного поля в сердечнике катушки
происходит намагничивание вещества сердечника. Для количе-
ственной характеристики явления намагничивания ферромаг-
нитного вещества вводится понятие магнитного момента т
(рис. 2.15), вызванного внутримолекулярным кру-
говым током t0, iffl
m = i„S, Г $
где S—плоская площадка, охватываемая контуром
тока i0; положительное направление нормали кпло-
щадке согласовано с направлением тока t0 по пра-
вилу правого винта. i-о
В размагниченном состоянии вещества магнит- Рис 215
ные моменты в любом его конечном объеме имеют
произвольные равновероятные пространственные направления.
В силу этого их результирующий магнитный момент равен нулю.
При возникновении внешнего магнитного поля отдельные магнит-
ные моменты постепенно устанавливаются по направлению этого
поля, что и соответствует процессу намагничивания вещества.
Магнитное состояние вещества характеризуется намагничен-
ностью J, которая определяется как предел отношения резуль-
тирующего магнитного момента в элементе
объема вещества к величине его объема:
Намагниченность вещества, в свою
очередь, оказывает значительное влияние
на магнитное поле.
На рис. 2.16 показана часть намаг-
ниченного сердечника с некоторым коли-
чеством ориентированных внутримолеку-
лярных токов. Если в единице объема
вещества содержится п таких элементар-
ных токов, которые пронизываются ли-
нией обхода I в направлении поля, то в
элементе объема А/AS их количество рав-
но мА/ AS. Следовательно, суммарный
ток, сцепленный с линией обхода на участке AZ,
i0 nAlAS = тп Ы — J Ы.
Так как в общем случае вектор намагниченности J не сов-
падает с направлением обхода А/ в данном месте вещества, то
59-
выражение для суммарного тока должно иметь вид скалярного
произведения:
2(тД7) = 7д7.
Для всего замкнутого контура полное значение сцепленного
с ним тока можно записать в виде интеграла
i
На основании закона полного тока
В dl = |i0 (21 + $ J dl),
или ф dl = ^i.
i
Полученное выражение справедливо для любой намагничен-
ной среды
ф)Н ~dl =
I
Отсюда следует, что
(2.6)
М-0
Если принять, что намагниченность пропорциональна маг-
нитной индукции
7=-в,
Но
то, с учетом (2.6),
7= А# = х/7,
где х—магнитная восприимчивость вещества.
При этом
5 = р.0(1 4-х)Д = рор Н,
откуда
ц= 1 -}-х.
§ 2.5. Интегральное представление переходного процесса
в цепи с катушкой
Уравнение баланса напряжений для рассматриваемой цепи
имеет следующий вид:
е = (2.7)
где ri—напряжение на сопротивлении г цепи;
_____напряжение, уравновешивающее э.д.с. самоиндукции, ко-
dt торая индуктируется в витках катушки.
60
Поскольку сердечник катушки изготовлен из ферромагнит-
ного материала, то в общем случае потокосцепление Т не про-
порционально току I.
Из (2.7) можно получить уравнение баланса энергии:
t t t
i dt = ^i2 r dt + i dV.
0 0 0
Левая часть этого уравнения определяет электрическую энер-
гию, полученную от ее источника за время от t — О до неко-
торого момента t. Первое слагаемое правой части определяет
энергию, выделившуюся за то же время в сопротивлении г
цепи в виде тепла; второе слагаемое №м = pd’F— энергию, по-
о
глощенную за то же время в связи с возникновением магнит-
ного поля в сердечнике катушки. Величину Ц7М можно пред-
ставить графически в виде площади oab, ограниченной кривой
Т = Y (t), осью ординат и пря-
мой, параллельной оси аб-
сцисс, проходящей через точку
Ч^, ц (рис. 2.17).
На рис. 2.18 показана схема,
с помощью которой можно
получить общее представление о протекании процесса в рас-
сматриваемой цепи (рис. 2.12). Однако эта схема в данном
случае является нелинейной, поскольку параметр L(t) зависит
от величины тока i. Больше того, зависимость 4r = 4f(t) оказы-
вается неоднозначной.
Если в некоторый момент времени tlt когда ток в цепи до-
стигнет значения 1\, рубильник мгновенно (без разрыва цепи
катушки) переключить в положение Ь (рис. 2.18), то ток в
катушке не прекратится мгновенно, так как в цепи, облада-
ющей индуктивностью, ток скачком изменяться не может. Ток
в цепи будет поддерживаться в связи с запасом энергии в маг-
нитном поле, которое может быть неизменным только при на-
личии тока в обмотке. Поэтому в течение некоторого времени
61
катушка будет являться источником электрической энергии с
э.д.с., зависящей от скорости изменения потокосцепления 'Г,
величина которого должна соответствовать значению тока i.
Для этой цепи уравнение баланса напряжений несколько
упрощается
° = ri+^. (2.8)
Упрощается и уравнение баланса энергии
О ri* dt + J id Т,
tt t,
Из этого уравнения видно, что с течением времени энергия
магнитного поля должна уменьшиться на величину энергии,
выделившейся в сопротивлении
1'1 гв виде тепла. По мере ослаб-
ления магнитного поля будет
\ уменьшаться и ток в цепи.
Одновременно будет снижаться
и скорость его уменьшения
(рис. 2.19). В установившемся
—___ состоянии в такой цепи тока не
_1__________ будет. Интенсивность протека-
0 t ния всего процесса зависит от
соотношения параметров схе-
Рис. 2.19 мы> изображенной на рис. 2.18.
Пример 2.3. Найти закон изменения тока в неразветвленной цепи с катуш-
кой, обладающей постоянной индуктивностью L, если в цепи нет других
источников электрической энергии. Сопротивление цепи равно г. В началь-
ный момент времени ток равен 1а.
Решение. Из (2.8)
O = r/ + L^ .
at
После преобразования и решения этого уравнения получается:
__t_
т,
где
L
т = —
г
имеет размерность времени и называется постоянной времени цепи.
Возвращаясь к схеме, изображенной на рис. 2.18, легко
установить, что при ослаблении магнитного поля в сердечнике
вектор напряженности электрического поля имеет направление
(рис. 2.20), противоположное тому, которое обнаруживалось
при его усилении (рис. 2.14). Поэтому и вектор Пойнтинга
изменяет направление на противоположное (рис. 2.20). У по-
верхности сердечника он направлен в пространство, окружа-
62
ющее катушку. Это значит, что энергия выделяется (преобра-
зуется) при ослаблении магнитного поля и «уходит» из него.
Следует, однако, отметить, что в данном случае не вся
запасенная энергия преобразуется в электрическую, превраща-
ющуюся затем в тепло. Некоторая ее часть затрачивается на
намагничивание и размагничивание
вещества сердечника, а также ос-
тается в магнитном поле в связи с
остаточной намагниченностью.
В установившемся состоянии, при
отсутствии тока в цепи, сердечник
катушки остается намагниченным.
Это выражается в том, что процесс
размагничивания вещества характе-
ризуется другой зависимостью Y (i),
которая изображается кривой аг,
располагающейся выше кривой на-
магничивания оа (рис. 2.17). Энер-
гия магнитного поля, выделившаяся
за время переходного процесса в виде
электрической, определяется пло-
щадью abr. Разность площадей oab и abr
, т. е. площадь оаг, опреде-
ляет величину энергии , которая затрачивается на намагничивание
и размагничивание вещества сердечника катушки. Если принять
магнитный поток Фг, сцепленный с каждым витком катушки,
одинаковым, а магнитную индукцию B0CT считать постоянной
по всему сечению S сердечника катушки, то величина остаточ-
ной магнитной индукции
r
Яост - s - wS •
При наличии в катушке переменного тока с низкой частотой
i = lm sin и/
кривая будет иметь вид замкнутой петли, называемой пет-
лей гистерезиса.
Если сердечник катушки изготовлен из неферромагнитного
материала, то общий характер переходных процессов в цепи
будет аналогичен характеру рассмотренных процессов. Однако
при этом индуктивность цепи L будет неизменной*, магнитный
поток пропорционален току, а запасенная в магнитном поле
энергия полностью возвратится при уменьшении тока в цепи
До нуля. Такая цепь является линейной.
* Предполагается, что в магнитном поле катушки нет массивных ме-
таллических сред или замкнутых контуров. В противном случае необходимо
принимать во внимание действие вихревых токов или э.д.с. взаимной ин-
дукции.
63
Вопросы для самопроверки
2.20. Источник электрической энергии с постоянной э.д.с., равной 4 в,
включается в цепь обмотки трансформатора (например, для измерения
сопротивления цепи). В течение нескольких первых секунд ток в цепи
возрастает практически с постоянной скоростью, равной 0,1 а/сек. Оценить
величину индуктивности цепи, предполагая сопротивление цепи сравни-
тельно малым.
Ответ. £ = 40 гн.
2.21. Почему в момент разрыва цепи постоянного тока, обладающей
большой индуктивностью, между расходящимися контактами возникает
электрическая дуга?
Ответ. Возникает большая э.д.с. самоиндукции, которая может выз-
вать пробой промежутка.
2.22. Определить постоянную времени замкнутой накоротко обмотки
катушки с кольцевым сердечником, изготовленным из неферромагнитного
материала, с числом витков обмоткн ыу = 10 000 при равномерном распре-
делении ее по длине сердечника. Диаметр оси кольцевого сердечника
0 = 50 см, диаметр его сечения 2/?0 = 5 см, диаметр круглого сечения мед-
ной обмоточной проволоки 6^=1 мм. Внешний диаметр обмотки (изоли-
рованной проволокой) принять равным 7 см. Температура обмотки равна
20°С.
Ответ. т=0,1 сек.
2.23. Как влияет на величину постоянной времени катушки, изготов-
ленной из медного провода, изменение температуры в пределах от 0 до
100° С?
Ответ. Постоянная времени уменьшится с Tt до т2>
причем
2.24. Почему в металлическом кольце, доведенном до состояния сверх-
проводимости, ток, вызываемый индуктированной э.д.с., может длительное
время циркулировать при отсутствии источника электрической энергии?
Ответ. Наличие тока связано с запасом энергии в магнитном поле.
В состоянии сверхпроводимости металл не обладает заметным сопротивле-
нием. Следовательно, прохождение тока не связано с выделением тепла.
Поскольку энергия не исчезает, ток не прекращается. Постоянная вре-
мени такой цепи получается весьма большой: т—> оо.
2.25. Определить закон изменения тока в неразветвленной цепи, со-
держащей катушку с постоянной индуктивностью £=1 гн, если при
установившемся состоянии сопротивление цепи изменяется скачком с г,=
= 10 ом до г2 — 5 ом. Э.д.с. источника электрической энергии постоянна
и равна е= 100 в.
Ответ. ( = 20—10e-st.
2.26. Определить закон изменения тока в неразветвленной цепи, если
э.д.с. источника электрической энергии изменяется скачком с ^=100 в до
е2 = 50 в. Цепь обладает индуктивностью в 1 гн и сопротивлением 5 ом.
Ответ, i — 10-|- 10 e~st.
2.27. По какому закону должна изменяться э.д.с. самоиндукции в не-
разветвленной цепи, обладающей постоянной индуктивностью L и сопро-
тивлением г, чтобы ток в этой цепи изменялся по экспоненциальному за-
кону: i~Il)e~Pt?
Ответ.
ei = It(r — рЕ)е~Р*.
Здесь величина pL имеет размерность сопротивления и является коэф-
фициентом пропорциональности между величиной э.д.с. самоиндукции и то-
ком цепи.
64
2.28. По какому закону будет изменяться э.д.с. самоиндукции, если
ток в цепи, обладающей постоянной индуктивностью L, будет изменяться
по синусоидальному закону: i = ZmsinwZ?
Ответ.
ei= —<nLIт cos wZ = —Ет cos a>t.
Здесь величина ы/, имеет размерность сопротивления.
2.29. Из полости цилиндрической катушки, включенной в цепь посто-
янного тока, удаляется ферромагнитный сердечник. Вызовет ли это дей-
ствие изменение тока в цепи, до этого находившейся в установившемся
состоянии? Зависит ли результат действия от скорости удаления сердеч-
ника?
Ответ. Вызовет, поскольку указанное действие связано с изменением
магнитного поля. Увеличение скорости удаления сердечника приведет к
большому броску тока в цепи в связи с ростом индуктированной э.д.с.
Установившееся значение тока будет прежним.
§ 2.6. Цепь переменного тока малой протяженности
Как следует нз предыдущего, направление потока энергии,
определяемое вектором Пойнтинга, непосредственно не зависит от
направления тока в проводах. Так, например, одновременное
изменение направлений векторов Е и Н, связанное соответст-
венно с изменением знака приложенного напряжения и направ-
ления тока в цепи, не вызывает изменения направления вектора
П. Поэтому передача электрической энергии в желаемом на-
правлении возможна и при переменном токе.
Здесь уместно отметить, что при переходе от величин и
понятий, характеризующих электромагнитное поле, к интег-
ральным величинам, применяемым для характеристики цепей
переменного тока, допускается некоторая идеализация. Дейст-
вительно, все энергетические преобразования в электротехни-
ческих устройствах происходят при участии всего электромаг-
нитного поля. Однако не всегда необходимо учитывать всю
сложность физических процессов, протекающих в цепях пере-
менного тока. Больше того, структура современных электро-
магнитных цепей обычно способствует идеализации, так как
соответствующие элементы цепей, в которых происходит пре-
образование электрической энергии, как правило, занимают
ограниченные объемы; в последних искусственно сосредотачи-
вается преимущественно или энергия электрического поля, или
энергия магнитного поля.
Например, концентрация энергии и уменьшение объема
среды, в которой возникает электрическое поле, осуществляется
с помощью конденсаторов, заполненных диэлектриком с высо-
кой диэлектрической проницаемостью, а концентрация энергии
и уменьшение объема магнитного поля производится с помощью
катушек с ферромагнитными сердечниками с высокой магнит-
ной проницаемостью. Поэтому энергию электрического поля
конденсатора и ее проявление можно с достаточной точностью
5
Теоретические основы электротехники ч, 1
65
учесть в цепи с помощью емкости С, пренебрегая при этом
ничтожно малой величиной энергии магнитного поля и незна-
чительными тепловыми потерями в диэлектрике конденсатора.
Аналогично, энергию магнитного поля, сосредоточенную в ка-«
тушке, можно учесть в цепи с помощью индуктивности L,'-
пренебрегая при этом энергией электрического поля между
витками катушки и ее тепловыми потерями. Следует отметить,
что в случае необходимости, тепловые потери
в конденсаторе и в катушке можно учесть с
помощью соответствующих активных сопротив-
лений. g
Преобразование электромагнитной энергии|
в тепловую в проводящих материалах точной
так же очень часто происходит в отдельных
участках цепи и поэтому при малых значе-
ниях энергии электрического и магнитного по-
лей может быть учтено в цепи с помощью ак-
тивного сопротивления г или проводимости g.
Наконец, следует обратить внимание на одно
существенное обстоятельство, связанное с при-
менением интегральных понятий и определе-
нием напряжения между двумя точками реаль-
ной цепи переменного тока, зависящего в общем
случае от пути, вдоль которого определяется
напряжение.
На рис. 2.21 показаны два провода линии
передачи электрической энергии. В начале
линии присоединен источник синусоидального
напряжения. Переменный ток i создает в про-
Рис. 2.21 водах линии и в окружающем пространстве
переменное магнитное поле, показанное услов-
но крестиками и точками (в соответствии с направлениями токов
для данного момента времени). Для определения напряжения
между точками а и b можно воспользоваться линейным интегра-
лом от напряженности электрического поля по замкнутому кон-
туру, проходящему через точки а и Ь, т. е.
§ Edi=§Edl + §E'dl==e = -— .
anbtna anb Ьта
В этом выражении $ Е dl = UапЬ и ^Edl=Ubma=—Uamb.
anb bma
Следовательно, разность напряжений Uanb и UатЬ равна э.д.с.,
т. е.
,, .. _ </Ф____
anb атЬ
Таким образом, напряжения между одними и теми же точ-
ками, определяемые вдоль двух различных путей, отличаются
66
друг от друга на величину э.д.с., индуктируемой в замкнутом
контуре (anbma), образованном этими участками контура.
Очевидно, напряжения Uanb и Uamb равны друг другу в том
случае, когда контур не пронизывается переменным магнитным
потоком или когда скорость изменения потока равна нулю
(при постоянном токе). При идеализации элементов необходимо
считать, что все магнитные поля сосредоточены в индуктивно-
стях и любые пути, вдоль которых определяются напряжения,
не проходят через переменные магнитные поля. При таком
условии напряжения на участках не зависят от путей интегри-
рования, и отдельные точки схемы можно характеризовать потен-
циалами, а напряжения между соответствующими точками
определять в виде разностей потенциалов. Изменение потенциала
вдоль любого замкнутого контура такой идеализированной цепи
равно нулю.
Здесь необходимо рассмотреть основные соотношения для
простейших цепей с э.д.с., изменяющимися по синусоидальному
закону.
Синусоидальным переменным током обычно называется такой
ток, который изменяется с течением времени по гармоническому
закону, например,
i = Im sin +
где 1т — амплитуда тока;
и—угловая частота;
фг-—начальный фазный угол.
Из свойства периодических функций
где Т — период изменения, следует, что в данном случае
<>>Т = 2л,
или
<о = 2л/,
где
. 1
f — —частота, измеряемая в герцах:
ед. f - - —= — =1 ги.
' едТ сек
В цепях, обладающих линейными свойствами и именуемых
потому линейными, переменные синусоидальные токи устанав-
ливаются с течением времени вследствие действия переменных
синусоидальных э. д. с.
e = Emsin И + фД
получающихся, например, таким способом, как это описано на
стр. 47 (вопрос 2.8).
5*
67
Действительно, в цепи с постоянными интегральными пара-
метрами г, L и С синусоидально изменяющемуся току соответ-
ствуют синусоидально изменяющиеся напряжения и э. д. с.
с той же угловой частотой о>, хотя и с различными начальными
фазами. Напряжение на сопротивлении г от тока i
ri = rlm sin (wt + ф;).
Э. д. с. самоиндукции в ветви, обладающей индуктивностью L,
вызванная изменением тока I,
eL = — LTt = <s>Lf^ sin + г) '
Э. д. с. взаимной индукции, вызванная током i в некоторой
ветви, связанной с данной ветвью взаимной индуктивностью М,
ем-^ —Л1 = <оЛ1/га sin (и/ + ф;. — Л) .
В диэлектрике конденсатора, обладающего емкостью С, при
синусоидально изменяющемся напряжении на его электродах
uc=(7Cmsin (с^ + ф„),
ток смещения
t-= с = sin (^+г|,я+д.).
В то же время известно, что сумма и разность синусоидаль-
ных функций одинакового периода дают также синусоидальные
функции с тем же периодом изменения, хотя и с другой началь-
ной фазой и другой амплитудой. Нетрудно убедиться, что при
этом должны изменяться по закону синуса и величины Е и D,
Н и В, определяющие электрические и магнитные поля в любом
месте цепи, а также соответствующие им интегральные величины
и и q, i и Ф. При заданной угловой частоте со каждая из этих
величин определяется двумя вещественными значениями — ампли-
тудой и начальной фазой (например, 1т и ф,).
Для упрощения расчета цепей с синусоидальными токами
и напряжениями приходится, как будет показано в теории
переменных токов, несколько изменять представление о парамет-
рах цепей. Так, в связи с изменением магнитного поля внутри
проводов, в них появляется неравномерное электрическое поле,
приводящее к неравномерной плотности тока по сечению прово-
дов и к повышенному выделению тепла. При интегральном
представлении это выражается в увеличении результирующего
значения сопротивления проводов, которое называется активным
сопротивлением. Величина активного сопротивления цепи, ес-
тественно, получается зависящей от частоты.
Величины <»L и аМ называются реактивными сопротивле-
ниями, обусловленными соответственно индуктивностью и вза-
имной индуктивностью цепи. Напряжения на этих сопротивле-
68
ниях (с соответствующим сдвигом по фазе) дают возможность
получить составляющие напряжений, уравновешивающие соот-
ветственно э. д. с. самоиндукции и взаимной индукции.
Величину называют емкостным реактивным сопротив-
лением, а иС—емкостной реактивной проводимостью. С помощью
этих параметров и при учете соответствующего сдвига по фазе
определяется ток смещения.
Пример 2.4. Определить э д. с. е, развиваемую источником электричес-
кой энергии, который включен в цепь катушки, если в этой цепи устано-
вился ток
1 = 1 т sin <at.
Активное сопротивление г и индуктивность L цепи известны.
Решение. Напряжение на сопротивлении г
ri = rlm sin mt. ,
Э. д. с. самоиндукции
вд = — ч)Ыт cos a>Z.
Из условия баланса напряжений е + ед = п следует:
е = Im (г sin оЦ + cos o>Z) = zlm sin (o>Z -f- <p) = Em sin (<oZ + <p),
где
r = zcos(p; wZ. = zsinq>,
z=/r2+(w/.)2 и (p = arctg^.
Величина
,__
lm
определяет связь между амплитудами э.д.с. и тока в цепи и называется
полным сопротивлением.
Величина <р определяет сдвиг по фазе синусоиды тока относительно
синусоиды э. д. с.
Несколько сложнее изменяются в этом случае величины мощности
и энергии.
Электрическая мощность, обусловленная активным сопротивлением,
всегда положительна (кроме моментов отсутствия тока, когда мощность
равна нулю):
rJ2m
rl2 = rlzm sin2wZ = —£— (1—cos 2<oZ).
По такому же закону изменяется энергия, запасенная в магнитном поле,
г;2 Л/2
ITm=^-=^(l-cos2WZ).
Мощность, обусловленная реактивным сопротивлением,
F Т
i(—e[) = iui= т sin 2<oZ
изменяется синусоидально, с двойной частотой; вся энергия магнитного
поля, запасенная при возрастании тока, полностью возвращается при умень-
шении тока.
Следует отметить, что в общем случае изменение условий состояния
Цепи переменного тока приводит к переходному процессу, вызванному
69
несоответствием между существующим электрическим состоянием цепи и но-
выми условиями. Исследование переходных процессов в линейных цепях
переменного тока, по существу, ведется так же, как п для цепей постоян-
ного тока.
§ 2.7. Цепь переменного тока большой протяженности
В протяженных цепях изменение состояния в какой-либо
одной цепи не сразу отражается на изменении в других ее частях.
Отставание или опережение во времени получается тем большим,
чем больше расстояние между этими частями.
Поскольку передача электрической энергии происходит глав-
ным образом посредством окружающей среды, то скорость у
распространения электромагнитных возмущений в виде электро-
магнитного поля определяется также главным образом свойст-
вами окружающей среды. Эта скорость для пустоты, а прибли-
женно и для воздуха, равна скорости света, т. е.
с = ~= = 310’° см1сек.
V еоцо
В тех случаях, когда образующееся магнитное поле является
периодическим во времени, его распространение в пространстве
носит волновой характер. Расстояние, на которое распростра-
няется электрическая волна в течение одного периода, назы-
вается длиной волны
H = vT.
Здесь рассматриваются энергетические преобразования в цепи,
состоящей из источника электрической энергии и коаксиальной
кабельной линии (рис. 2.22) с нагрузкой, включенной на ее
конце. Для простоты анализа можно считать, что линия питается
от источника электрической энергии с э. д. с., изменяющейся во
времени по синусоидальному закону (рис. 2.23). Под действием
синусоидальной э.д.с. источника электрической энергии во всех
точках проводящей части цепи установится синусоидально изме-
няющийся ток, который, в свою очередь, вызовет во всех точках
70
пространства магнитное поле, изменяющееся во времени также
по синусоидальному закону. Одновременно с этим, вследствие
наличия переменной разности потенциалов между проводами
линии, появятся изменяющиеся заряды на поверхностях прово-
дов линии, в результате чего
вода линии, возникнет пере-
менное электрическое поле.
Следовательно, переменная
э.д.с., действующая" в этой
цепи, вызывает, с одной сто-
роны, ток и напряжение, из-
меняющиеся во времени, а с
другой—переменное электро-
магнитное поле.
В любой точке поверх-
ности проводов линии часть
электрического тока прово-
в пространстве, окружающем про-
димости на границе раздела
проводника с диэлектриком переходит в ток смещения и ток утечки
между внутренней жилой и оболочкой кабеля. Величина тока будет
изменяться вдоль проводов кабеля, что ведет к изменению маг-
нитного поля. Одновременно с этим происходит изменение по
длине линии разности потенциалов между проводами, вследст-
вие падения напряжения в сопротивлении проводов линии
и наличия э. д. с. самоиндукции, возникающей в проводниках
при изменении магнитного поля. В соответствии с изменением
разности потенциалов изменяется электрическое поле по длине
линии.
Распределение напряжения и тока вдоль линии, при сину-
соидальном изменении этих величин во времени, можно найти
Рис. 2.24
путем решения уравнений, определяющих связь между измене-
ниями тока и напряжения по длине линии. Для этого обычно
представляют линию в виде совокупности бесконечно большого
числа бесконечно малых элементов (рис. 2.24), каждый из ко-
торых характеризует физические процессы, протекающие в соот-
ветствующем элементе. Напряжение du на элементе длины dx
71
линии (рис. 2.24) состоит из падения напряжения в активном
сопротивлении проводов линии raidx и части напряжения, урав-
новешивающего э. д. с. самоиндукции в этом элементе Lo dx , т. е.
du = r<jldx-1rLadx^-, (2.9)
где г0—сопротивление прямого и обратного проводов единицы
длины кабеля;
La — индуктивность той же единицы длины кабеля.
Изменение тока на том же самом бесконечно малом элементе
складывается (рис. 2.24) из тока утечки goudx и тока смещения
CJ du
>dxdT’т- е-
dt = godxu4-Codx^, (2.10)
где ga — проводимость утечки на единицу длины кабеля;
Со—емкость той же единицы длины кабеля.
Пользуясь этими уравнениями, можно установить энергети-
ческие соотношения для любого элемента длины линии. С этой
целью необходимо умножить уравнение (2.9) на idt, а (2.10) —
на udt:
i-du-dt = rodxi* dt + Ladx-i -di
и
u-di-dt ~gadx-u*-dt -{-Cadx u-du.
Если разделить правые и левые части этих уравнений на dx и
сложить полученные уравнения, то
( i -г и т-] dt = (r.i2 4- g.u*) dt 4~ L.i di 4- Cnu du,
\ dx ' dxJ \ о । ьо / о 'o
или
(III) dt = (r0i2 4- g0u2) dt 4- Lai -di + C^u-du.
Необходимо отметить, что переменные х и t в этих уравне-
ниях являются независимыми. Интегрируя правую и левую
части полученного уравнения в пределах от 0 до некоторого t,
легко получить:
J (ш) dt = J (г012 4- g.u’) d t 4- ’
о 0
где u(f) и i (/) определяют напряжение и ток’в некоторой точке
линии, соответствующие моменту времени /.
Левая часть этого уравнения определяет энергию, поступив-
шую в линию за время t. Первое слагаемое правой части дает
значение тепловых потерь на единице длины линии за время t,
а сумма двух других слагаемых определяет энергию электро-
72
магнитного поля, запасенную на участке длины линии за то
же время t.
Таким образом, установлена связь между энергией, посту-
пающей в линию от источника электрической энергии, и ее
распределением по цепи при помощи интегральных величин
{и, i, r0, ga, Lq и Со), без применения величин, характеризую-
щих электромагнитное поле. Однако в этом случае, как и в
предыдущих, передача энергии от источника электрической энер-
гии к потребителю происхо- -
дит при участии всего элек- —--------, -----
тромагнитного поля.
Для иллюстрации этого 1
положения можно рассмот-------------------------------
реть тот же пример передачи и---------------------------—
энергии по кабельной линии, рис 2 25
пренебрегая при этом для
упрощения сопротивлением проводов и проводимостью утечки.
При этих условиях ток будет только на поверхности прово-
дов. Чтобы внутри провода появился ток, он должен из-
мениться от нуля на какую-то величину (до этого ток в про-
воде отсутствовал); но при этом должно измениться магнитное
поле в проводнике, а следовательно, должно возникнуть элек-
трическое поле, чего быть не может, ибо при отсутствии сопро-
тивления это соответствовало бы появлению бесконечно больших
плотностей тока и токов, связанных с бесконечно большими
запасами энергии.
Сначала следует рассмотреть случай холостого хода линии,
т. е. когда /, = 0. Для линии без потерь, при отсутствии на-
шЯИ
Рис. 2.26
грузки на ее конце и синусоидальном изменении напряжения
и тока в зависимости от времени, распределение напряжения
и тока вдоль кабельной линии будет синусоидальным. На рис. 2.25
показано распределение тока и напряжения вдоль линии для
некоторого момента времени, при этом на линии получилось
меньше четверти длины волны. На рис. 2.26 показана пример-
ная картина распределения электромагнитного поля по длине
73
линии для того же момента времени. Магнитное поле вне ка-
беля равно нулю, что следует из закона полного тока.
Здесь необходимо отметить, что в конце линии при отсут-
ствии сопротивления нагрузки ток равен нулю, а напряжение —
максимальному значению. Распределение напряжения н тока
вдоль линии неразрывно связано с распределением электромаг-
нитного поля, определяемого в рассматриваемом случае соотно-
шениями:
Е* и у у I
= и “х= 9 ттТ? ' •
Rx In £1 2 1<х
х Ro
Иначе говоря, величина напряженности электрического поля
на одном и том же расстоянии Rx от оси кабеля определяется
вующих точках линии, а напряженность магнитного поля
определяется значением тока в тех же точках. Кроме того, в
этом случае амплитудные, нулевые и промежуточные значения
напряжения и тока в одной и той же точке линии появляются
не одновременно, причем значения тока наступают раньше
соответствующих значений напряжения на четверть периода.
На рис. 2.27 показаны синусоидальные кривые напряжения
и тока в начале линии, а на рис. 2.28—кривые изменения
Е1Х и Н1Х за один период для некоторой точки в начале ли-
нии, находящейся на расстоянии Rx от оси кабеля. Пользуясь
этими кривыми, легко показать, что среднее значение энергии,
поступающей в линию за один период, в этом случае равно нулю.
В первую четверть периода, например для момента t =
ток и напряжение имеют одинаковые знаки. В этом случае
приближенная картина электромагнитного поля показана на
рис. 2.26, из которой видно, что поле вектора Пойнтинга
направлено параллельно проводам от источника к концу линии.
74
В следующую четверть периода, например для момента f = i2
(рис. 2.27), ток п напряжение имеют разные знаки, вследствие
чего поле векторов П направлено от линии к источнику элек-
трической энергии.
Таким образом, за первую четверть периода энергия посту-
пает от ее источника в линию и запасается в электромагнитном
поле, а за следующую четверть периода — обратно возвращается
из электромагнитного поля к источнику электрической энергии
(рис. 2.29).
Если в конце линии без потерь (рис. 2.26) включить сопро-
тивление гг — , то изменение напряжения и тока, а еле
линии будут одинаковыми и их соответствующие значения на-
ступают одновременно (рис. 2.30). Можно показать, что в этом
случае электрическая энергия от ее источника будет непрерывно
передаваться к приемнику. Действительно, в первую половину
периода, например для момента времени t = tx (рис. 2.30), когда
напряжение и ток имеют положительные значения, поток вектора
Пойнтинга направлен от источника электрической энергии к
приемнику. При отрицательных величинах тока и напряжения,
т. е. в пределах следующей половины периода, направление
потока вектора П будет таким же, каким оно было в первую
половину периода (рис. 2.30).
Наличие сопротивления проводов линии и проводимости
утечки искажает картину электромагнитного поля. В частности,
в результате влияния сопротивления проводов линии появляются
нормальные к поверхностям проводов составляющие вектора
П, имеющие тот смысл, что энергия поступает из электромаг
нитного поля в провода линии на покрытие тепловых потерь.
Выше было отмечено, что чем ниже частота, тем больше
Длина волны и тем меньше скорость изменения электромагнитного
75
поля. При частоте / — О длина волны равняется бесконечности,
что равносильно наличию в цепи постоянного тока и постоян-
ного напряжения, а следовательно, и неизменного во времени
электромагнитного поля. В этом случае токи смещения между
проводами линии и э. д. с. самоиндукции в проводах равны нулю.
Поэтому, несмотря на то, что передача энергии осуществляется
с помощью всего электромагнитного поля, линия передачи
электрической энергии при постоянном токе и постоянном напря-
жении может быть представлена совокупностью бесконечно боль-
шого числа бесконечно малых элементов, содержащих сопро-
Рис. 2.31
тивление проводов линии и проводимость утечки между прово-
дами (рис. 2.31).
Подводя итог всему сказанному в этой главе, можно отме-
тить, что изменение токов и напряжений во времени значительно
усложняет не только характер протекания процессов в электри-
ческих и магнитных цепях, но и методы их практического ана-
лиза. Однако принципиальная возможность применения интег-
ральных понятий для исследования электрических и магнитных
цепей остается и в этих случаях.
Следует иметь в виду, что не все электротехнические задачи
целесообразно решать при помощи интегральных представлений
цепей. Многие задачи не могут быть решены без применения
дифференциальных представлений поля, а иногда параметры
цепей и поля целесообразно применять совместно.
Вопросы для самопроверки
2.30. С чем связано понятие малой или большой протяженности цепи?
Ответ. Понятие малой протяженности цепи применяется в случае,
когда ее геометрические размеры малы по сравнению с длиной волны рас-
сматриваемых электрических колебаний. Одна и та же цепь может считаться
при низкой частоте цепью малой протяженности, а при высокой — большой
протяженности.
2.31. Почему в цепи малой протяженности при наличии катушки с до-
статочно большим числом витков обычно не считаются с индуктивностью,
обусловленной магнитным полем, созданным другими частями цепи?
Ответ. Потому, что влияние этого поля сравнительно мало при ука-
занных условиях.
2.32. Что представляют собой индуктивное н емкостное сопротивления
при синусоидальных токаХ и напряжениях в них?
76
Ответ. Индуктивное сопротивление—величина, заменяющая действие
в цепи э. д. с. самоиндукции. Емкостное сопротивление — величина, заменяю-
щая действие в цепи напряжения или зарядов конденсатора
2.33. Почему при расчете режимов линейных цепей переменного тока
удобнее пользоваться величинами реактивных сопротивлений, чем величи-
нами э. д. с. самоиндукции и зарядов конденсаторов?
Ответ. Потому, что величины э. д. с. самоиндукции и зарядов конден-
саторов зависят от искомых электрических величин (напряжений, токов), а
реактивные сопротивления в линейных цепях при заданной частоте явля-
ются неизменными, так как они в основном определяются формой и гео-
метрическими размерами соответствующих частей цепи и свойствами среды.
2.34. Что является носителем энергии при протекании электрических
процессов?
Ответ. Диэлектрическая среда, окружающая проводники, по которым
идет ток. Потребление энергии в какой-либо части цепи связано поэтому
с соответственным изменением картины электромагнитного поля
2.35. Почему при прохождении переменного тока по массивному про-
воднику большого поперечного сечения плотность тока получается различ-
ной: большей у поверхности проводника и меньшей — в середине?
Ответ. В результате действия э. д. с. самоиндукции, которая имеет
большее значение в средней части провода и меньшее — у поверхности.
Появление поверхностного эффекта тем сильнее, чем толще провод и выше
частота изменения тока.
2.36. Почему активное сопротивление и индуктивность цепи, содержа-
щей массивные проводники, зависят от частоты?
Ответ. В связи с проявлением поверхностного эффекта. В зависимости
от частоты изменяются картины поля плотности тока и магнитного поля
в массивном проводнике.
2.37. Какой величиной мощности можно пользоваться для определения
энергии, переданной по линии (через какое-либо ее сечение) при синусои-
дальном токе и напряжении за достаточно большой промежуток времени?
Ответ. Величиной средней мощности, если этот промежуток времени
содержит целое число периодов или весьма велик по сравнению с длитель-
ностью одного периода.
§ 2.8. Излучение энергии
Пусть передача электрической энергии осуществляется пере-
менным током с помощью двухпроводной линии (рис. 2.21).
С повышением частоты колебаний напряжения и тока длина
волны А уменьшается и может стать в несколько раз меньше
длины линии. Тогда на линии уложится несколько волн. Так,
например, при тональной (звуковой) частоте 1000 гц (такого
порядка частота применяется на линиях связи) длина волны
А = 300 км. При повышении частоты тока и напряжения увели-
чивается скорость изменения электромагнитного поля и начи-
нает излучаться энергия в окружающее пространство с помощью
электромагнитных волн. Это явление было впервые экспери-
ментально изучено Герцем в 1880 г. Он доказал существование
электромагнитных волн, предсказанное еще в 1863 г. Максвеллом.
В опытах Герц пользовался открытым (незамкнутым) вибра-
тором, состоящим из двух разделенных искровым промежутком
проводов, на концах которых имелись пластины или шары
77
(рис. 2.32). Полученная таким путем система обладает сравни-
тельно небольшой индуктивностью и малой емкостью распреде-
ленного характера и способностью к электрическим колебаниям
с весьма большой частотой.
Если электроды вибратора присоединить к индуктору (источ-
нику электрической энергии с
результате изменения напряжения
будет происходить процесс заряд-
ки вибратора также, как и в кон-
денсаторе. Когда напряжение
между электродами достигнет оп-
ределенной величины, появится
искровой разряд и начнется ко-
лебательный процесс с очень боль-
шой частотой. При этом колеба-
ния будут затухающими, так как
запасенная энергия будет излу-
чаться в пространство и расходо-
ваться на тепловые потери. После
этого вибратор вновь зарядится,
и процесс повторится: будет по-
лучаться серия затухающих коле-
бательных разрядов, так как про-
цесс затухания колебаний проис-
[йс
Рис. 2.32
ходит значительно быстрее, чем изменяется напряжение в ин-
дукторе.
Если частота вынужденных колебаний, получаемая от источ-
ника электрической энергии, будет настолько большой, что сов-
падет с частотой собственных колебаний самого вибратора, то
колебания станут незатухающими. При этом необходимость в
искровом разряде отпадет. Энергия должна непрерывно посту-
пать от ее источника.
Еще лучший эффект излучения можно получить путем даль-
нейшего развертывания контура (рис. 2.33, а). Если вдоль двух-
проводной линии укладывалась четверть волны собственных
колебаний, то после развертывания контура получается поло-
вина волны — полуволновой вибратор. Распределение напряжения
и тока в этом случае показано на рис, 2.33. Все величины
78
напряжения и тока изменяются во времени по синусоидальному
закону (гармонически). Наибольшее напряжение получается
между концами вибратора: заряды проводов всегда противопо-
ложны по знаку: потенциалы проводов изменяются по их длине
но синусоидальному закону. В любой момент времени ток по
длине вибратора имеет одинаковое направление; его синусо-
идальное изменение вдоль вибратора обусловлено токами сме-
щения. По концам вибратора амплитуды тока равны нулю.
С переменными токами и зарядами вдоль вибратора связано
электромагнитное поле в окружающей среде. При сравнительно
низкой частоте колебаний электрическое и магнитное поля об-
наруживаются только в непосредственной близости от вибратора;
на расстоянии, соответствующем нескольким длинам волн, поле
исчезающе мало. При этом токи сдвинуты относительно напря-
жения по фазе на четверть периода (на рис. 2.33, б показаны
графики зависимости амплитудных значений! тока и напряжения
от места вибратора). В этом случае происходит в основном про-
цесс пульсации энергии от источника питания в электромагнит-
ное поле и обратно. Таким образом, явления протекают так же,
как и в линии без потерь, разомкнутой на конце (2.29).
При достаточно высокой частоте колебаний магнитное поле,
быстро изменяющееся во времени и пространстве, создает замет-
ное переменное электрическое поле, а электрическое поле быстро
изменяющееся во времени и пространстве — переменное магнит-
ное поле. Это своеобразное «вторичное» электромагнитное поле,
уже как бы не связанное непосредственно с зарядами и токами
самого вибратора, превращается в электромагнитный волновой
процесс: возникают электромагнитные волны, распространяю-
щиеся в окружающем пространстве во все стороны от вибратора
(в связи с увеличением поверхности фронта постепенно ослаб-
ляющиеся). При этом обнаруживается излучение (распростра-
нение, перенесение, передача) энергии в пространство электро-
магнитными волнами. Такой процесс аналогичен процессу, про-
текающему в линии; нагруженной на активное сопротивление,
равное волновому сопротивлению линии, или процессу, проте-
кающему в бесконечно длинной линии.
Рассматривая действительное электромагнитное поле вибра-
тора как результат наложения двух полей, можно выделить
из него ранее описанное поле, непосредственно связанное с за-
рядами и токами в вибраторе и возникающее в соответствующих
размерах при любой низкой частоте колебаний. Другая состав-
ляющая поля, появляющаяся только при достаточно высоких
частотах колебаний, называется составляющей излучения. На
достаточно больших расстояниях от вибратора (в несколько длин
волн) практически остается только составляющая излучения.
Эта составляющая электромагнитного поля и определяет энер-
гию, безвозвратно (при отсутствии специальных устройств)
79
распространяющуюся в окружающем пространстве. Эта энергия
непрерывно (с периодически изменяющейся интенсивностью) по-
лучается от источника электрической энергии.
Чем выше частота колебаний, тем больше интенсивность
(мощность) излучения. Мощность излучения пропорциональна
квадрату частоты колебаний и при низких частотах практически
не обнаруживается.
Явление распространения электромагнитных волн нашло
весьма широкое применение в радиотехнике, где оно исполь-
зуется для передачи различных сигналов на большие расстояния
через окружающую среду. Для передачи сигналов путем излу-
чения на радиостанциях применяют генераторы высокочастотных
колебаний и антенны, которые являются современными вибра-
торами. Для приема сигналов применяются радиоприемники,
работа которых основана прежде всего на явлении резонанса,
т. е. на явлении возникновения колебаний в специально настро-
енном приемном контуре.
В радиотехнике применяются колебания с частотой в еди-
ницы, десятки и сотни мегагерц. Так, например, длине волны
в 100 м соответствует частота в 3 Мгц.
Мощность излучения зависит от формы излучающей цепи.
В частности, изменяя форму антенны, можно получить некото-
рую направленность излучения.
Излучения происходят и от замкнутых цепей. Однако излу-
чения будут тем меньше, чем меньше расстояние между прово-
дами разной полярности, так как при этих условиях электро-
магнитное поле возникает главным образом в пространстве между
проводами. При передаче электрической энергии по кабельным
линиям излучение практически отсутствует, поскольку прово-
дящая оболочка кабеля (свинцовая рубашка и стальная броня)
является своеобразным экраном для электромагнитного поля.
Электромагнитное излучение дает возможность передавать
энергию без проводов.
Вопросы для самопроверки
2.38. Какое направление имеет вектор Пойнтинга па достаточно большом
расстоянии от вибратора, изображенного на рис. 2.33?
Ответ. Волны по форме приближаются к сферическим, с вибратором,
расположенным в центре сферы. Вектор Пойнтинга направлен по нормали
к сфере, от ее центра — в окружающее пространство.
2.39. Чем отличаются векторы Пойнтинга в точках пространства, рас-
положенных на одном направлении по радиусу, но иа разных расстояниях
от вибратора?
Ответ. При достаточном удалении от вибратора, в точках, соответст-
вующих одинаковым фазам волн, вектор Пойнтинга по величине обратно
пропорционален квадрату расстояния от вибратора; на длине одной волны
он по величине пропорционален синусу фазного угла.
2.40. Какое действие оказывает электромагнитное поле на проводник,
расположенный в пространстве?
80
Ответ. В проводнике возникают в основном поверхностные токи, свя-
занные с расходом энергии. Форма волн при этом будет соответственно
искажена.
2.41. Определить частоту колебаний, производимых генераторами радио-
станции, которая работает на волне 30 м.
Ответ. f= 107 гц = 10 Мгц
2.42. Как зависит длина волны от параметров среды?
Ответ. Обратно пропорциональна корню квадратному из произведения
диэлектрической и магнитной проницаемостей.
2.43. Зачем в радиоприемниках используется явление резонанса?
Ответ. Для получения более сильных колебаний, так как принимаемые
колебания оказываются очень слабыми.
2.44. Почему радиоприемник может реагировать на грозовой разряд
(молнию)?
Ответ. Грозовой разряд можно рассматривать в виде большого искро-
вого вибратора, вызывающего появление электромагнитных волн с соответ-
ствующим излучением энергии. На радиоприемники эти волны действуют
в виде помех.
2.45. Почему трудно осуществить передачу энергии без проводов для
установок большой мощности?
Ответ. Требуется очень большая частота колебаний и очень точная
направленность излучения, иначек.п.д. установки получается очень низким.
Глава III
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОБ ЭЛЕКТРОННЫХ
И ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРАХ
§ 3.1. Свойства электронных приборов
и их работа в схемах
В устройствах контроля и управления электронные схемы,
или электронные узлы, работают в качестве преобразователей
параметров режима электрических цепей. Наиболее распростра-
нены электронные преобразователи, изменяющие только вели-
чину электрических параметров режима (усилители напряжения,
тока и мощности, преобразователи сопротивления, умножители
и делители частоты).
Существуют также электронные преобразователи, которые
изменяют род электрических параметров режима, при этом,
входные и выходные величины имеют различные размерности.
Например, частотный и фазовый дискриминаторы преобразуют
изменение частоты или фазы в приращение напряжения посто-
янного тока. Одновибратор преобразует величину напряжения
постоянного тока в длительность импульса.
Другие электронные преобразователи изменяют форму кри-
вых напряжения или тока (дифференциаторы, интеграторы,
электронные реле и др.).
Теоретические основы электротехники, ч. 1 81
Большинство электронных преобразователей работают с ма-
лыми к.п.д. В цепях управления величина к.п.д. не имеет су-
щественного значения. Для автоматики значительно более важны
надежность работы, простота, чувствительность, малая инерцион-
ность, удобство настройки. По этим показателям электронные
преобразователи превосходят преобразователи любых других
типов.
Благодаря уникальным свойствам, электронные приборы
интенсивно проникают во все отрасли науки и производства.
Здесь следует отметить наиболее важные свойства электрон-
ных приборов. С помощью электронных усилителей измеряют
весьма малые сигналы с напряжением порядка 5-10-9 в и по-
стоянными токами порядка 10~15 а. Входная мощность элек-
тронного усилителя составляет лишь 10~18—10~6em.
Применяя последовательное соединение нескольких электрон-
ных или транзисторных усилительных каскадов, можно получить
большие усиления тока, напряжения и мощности. Усиления
мощности до 109 применяются в типовых приборах электронной
автоматики.
Многие электронные устройства срабатывают в течение не-
скольких микросекунд, долей микросекунды или нескольких
наносекунд. Среди всех, созданных до настоящего времени
приборов, электронные — самые быстродействующие.
Электронные стабилизаторы напряжения имеют погрешность
порядка 0,005—О,1°/о. Погрешность многих электронных изме-
рительных схем составляет менее 10-4 °/0.
Существенными преимуществами являются: гибкость элек-
тронных схем, легкость их регулировки, отсутствие искрящихся,
изнашивающихся контактов и механических движущихся частей,
малые габариты, вес и стоимость.
Наиболее распространенные приемно-усилительные лампы
чувствительны к вибрациям и ударам, их срок службы невелик
и достигает порядка 1000—2000 час. Разработаны электронные
лампы, выдерживающие ускорения 100 g*; некоторые лампы
имеют срок службы 104 час. Транзисторы разных типов выдер-
живают ускорения от 100 до 20 000 g и имеют срок службы от
10 000 до 600 000 час.
§ 3.2. Электронные лампы
Электронная лампа представляет собой несколько металли-
ческих изолированных электродов, жестко укрепленных внутри
герметически запаянной колбы, из которой удален воздух.
Основным электродом лампы служит катод, с поверхности ко-
торого под действием высокой температуры электроны выходят
в вакуум, т. е. получается термоэлектронная эмиссия. Выходя
* g—ускорение силы тяжести, равное 9,81 м]сек*.
82
из металла, электрон преодолевает потенциальный барьер, со-
вершая при этом «работу выхода».
Электроны в металле ведут себя как электронный газ, ча-
стицы которого имеют различные скорости. Небольшое число
электронов имеет большие скорости: это число быстро возра-
стает при увеличении температуры. Чем меньше работа выхода
и чем выше температура, тем большее число электронов выходит
из металлического катода и тем больше ток термоэлектронной
эмиссии.
Наиболее распространены оксидные катоды, имеющие отно-
сительно малую работу выхода, которая дает возможность ра-
ботать при относительно низких температурах катода порядка
1000—120(?К.
В приемно-усилительных лампах оксидный «подогревный»
катод выполнен в виде никелевого цилиндра, покрытого сверху
тонким слоем окислов щелочноземельных металлов. Этот слой
и представляет собой катод. Внутри никелевого цилиндра встав-
лена нить подогрева — вольфрамовая проволока, изолированная
алундом.
Нить подогрева обычно питается от обмотки трансформатора
напряжением 6,3 в; при этом затрачивается мощность 2—4 вт
и выделяется тепло, нагревающее оксидный катод до темпера-
туры, при которой получается достаточная термоэлектронная
эмиссия. После момента включения нити подогрева, через не-
сколько десятков секунд, вследствие тепловой инерции подогрев-
ного катода, возникает термоэлектронная эмиссия. Следует
заметить, что катод и нить подогрева электрически изолированы
друг от друга.
Простейшая электронная лампа, состоящая из двух элек-
тродов— анода и катода,— называется диодом. Когда к аноду
приложено внешнее положительное напряжение относительно
катода, то поток электронов устремляется к аноду, и диод про-
водит прямой ток; сопротивление между анодом и катодом мало
(50—300 ом). При обратной полярности внешнего напряжения,
электроны, выходящие из катода, возвращаются обратно к ка-
тоду. В этом случае обратный ток между катодом и анодом очень
мал или равен нулю; сопротивление между электродами велико
и составляет несколько мегом. Таким образом, диод служит
выпрямителем тока.
Анодный ток диода следует за анодным напряжением с очень
малым запаздыванием. Если электрон выходит из катода с ну-
левой скоростью, то на анод он приходит со скоростью
v=600 У ил (в) км[сек, (3.1)
где иа — напряжение между анодом и катодом. Если расстояние
между электродами равно 0,6 см, то при иа=100 в, время про-
лета электрона равно 2-Ю-9 сек.
6*
S3
Выпрямительные свойства диода характеризуются коэффици-
ентом выпрямления Кв, равным отношению прямого тока к об-
ратному при заданных прямом и обратном напряжениях. У
электронного диода Кв~ 10’, крутизна диода 5 = ^- = 0,6ч-
-н 1,5 ма/в, внутреннее сопротивление /?, = ~ = 50 -4- 300 ом.
Теоретически, анодный ток диода
I3=aU^^aUna, (3.2)
где а—постоянная величина, зависящая от конструкции диода
и материала катода. При больших напряжениях (7а ток почти
не зависит от него.
Типовые схемы включения диодов для получения выпрям-
ленного напряжения показаны на рис. 3.1.

Рис. 3.1
На рис. 3.1, а показаны схема полупроводникового выпря-
мителя и кривые изменения напряжения и источника питания
и выпрямленного напряжения на нагрузке ип. Из этих кривых
видно, что uH<u вследствие падения напряжения на диоде.
При отрицательном напряжении диод не пропускает тока, и на-
пряжение на нагрузке отсутствует.
84
На рис. 3.1, б изображены схема двухполупериодного выпря-
мителя и кривые напряжения и и ип. В этой схеме каждый
диод пропускает ток в нагрузку через половину периода. На
рис. 3.1,в показана схема двухполупериодного выпрямителя,
работающего на сопротивление нагрузки гн, параллельно кото-
рому включена сравнительно большая емкость С. При этом можно
получить почти неизменное напряжение на нагрузке (рис. 3.1, в),
если подобрать гнС>4,6Т, где Г —период выпрямленного тока.
Триодом называется электронная лампа, между анодом и ка-
тодом которой установлена металлическая сетка с электродом,
чем изменения анодного напряжения. На рис. 3.2 и 3.3 пока-
заны статические анодные и сеточные характеристики триода, ко-
торые находятся на равных расстояниях (при равных прираще-
ниях величины, выбранной в качестве параметра). Характери-
стики триода нелинейны только при малых анодных токах.
Свойства триода определяются статическим коэффициентом
усиления р, крутизной S и внутренним сопротивлением Rf.-
и=-^| =2-|«о-
/a=const
S = ^-| =0,8—6 ма1в,
dU Q I
Ua = const
= =0,5 — 50 ком. (3.3)
U =const
c
85
В режиме линейного усиления триод работает на линейном
участке сеточной (и анодной) характеристики, при отрицательном
напряжении на сетке и отсутствии сеточного тока. В этом слу-
чае при отсутствии сигнала рабочая точка 2 устанавливается
между точками 1 (в которой прямолинейный участок характе-
ристики переходит в криволинейный) и 3. Точка 3 соответствует
началу появления сеточного тока. Установка рабочей точки до-
стигается посредством напряжения сеточного смещения Uz.
Анодный ток в этом случае
(3.4)
где U3 и Uz—анодное и сеточное напряжения, определяемые
относительно катода.
Схема усилительного каскада постоянного тока на триоде
показана на рис. 3.4. На этом рисунке га—сопротивление анодной
нагрузки, гк— сопротивление авто-
матического смещения сетки, гс —
сопротивление утечки сетки, необ-
ходимое для стекания с сетки элек-
тронов. Падение напряжения 1лгк = е<.
образует сеточное смещение.
При подаче на сетку лампы
(рис. 3.4) положительного входного
сигнала напряжения Дивх анодный
ток и падение напряжения на сопро-
тивлении анодной нагрузки га уве-
личивается, и потенциал анода понижается. Отношение изменения
потенциала анода 'к величине изменения входного напряжения
называется коэффициентом усиления.
Из уравнения (3.4) можно найти величину коэффициента
усиления усилительного каскада (рис. 3.4) по формуле:
iz _ dUBux _____—Цга_____
^nx га + ^1 + (1 + и) гк
(3-5)
На триоде можно получить небольшое усиление напряжения,
равное 50—70. Емкость между анодом и сеткой у него велика —
порядка 3 пф, что вызывает нежелательную обратную связь
выхода усилительного каскада с его входом.
При помощи пятиэлектродных ламп — пентодов, имеющих
р.= 1000—7000, можно усилить напряжение в несколько сот раз.
У пентодов емкость Сас = 0,003 — 0,05 пф, благодаря чему можно
получить устойчивое усиление в широкой полосе частот.
Основное преимущество электронной усилительной лампы
состоит в том, что управление ее анодным током осуществляется
86
с помощью электрического поля. Поэтому от источника сигнала
требуется чрезвычайно малая мощность.
Таким образом, управление потоком электронов, летящих в
пустоте, оказывается достаточно простым и делает лампу весьма
ценным прибором для научных исследований и устройств авто-
матизации.
§ 3.3. Ионные приборы
Ugt
Рис. 3.5
действия тепла.
В вакуумных электронных приборах плотность газа очень
мала и вероятность столкновения электронов с молекулами газа
редка. В ионных приборах, наоборот, плотность газа большая
и вероятность столкновения электронов с молекулами газа
велика.
Первичный электрон, имеющий достаточно большую кинети-
ческую энергию, при ударе об атом газа отрывает от него один
из валентных электронов внешней элек-
тронной оболочки, т. е. ионизирует
этот атом. Вторичный электрон, полу-
ченный в результате ионизации, также
принимает участие в электропровод------J
ности газа. Электрически нейтральный
атом после ионизации становится поло-
жительным ионом. Ток в газе представ-
ляет собой движение электронов против
электрического поля и движение поло-
жительных ионов в обратном направле-
нии, т. е. вдоль поля. Масса иона в ты-
сячи раз больше массы электрона,
поэтому ионы движутся значительно
медленнее, чем электроны. Носители
зарядов, которые так же, как и ней-
тральные элементарные частицы, ведут
себя аналогично упругим шарикам и,
кроме направленного движения в элек-
трическом поле, движутся во всех
возможных направлениях вследствие
Пусть стеклянная колба с двумя впаяными плоскими элек-
тродами наполнена нейтральным газом. Присоединим через со-
противление г к одному электроду (аноду) положительный зажим
источника Е, а к другому электроду (катоду)—отрицательный
зажим того же источника и будем увеличивать Е (рис. 3.5, а).
Вследствие космического излучения и наличия следов радио-
активных элементов, имеющихся повсюду, образуется начальная
ионизация газа в колбе. Ток начальной ионизации очень мал
и составляет доли микроампер. Падение напряжения г!л мало,
напряжение £7а между электродами практически равно напря-
'а
87
жению источника (рис. 3.5, а). В точке 1 кривой (рис. 3.5,6)
достигается насыщение потому, что все носителй увлекаются
полем на соответствующие электроды. В точке 2 ток начинает
возрастать, так как вторичные электроны, получившиеся в ре-
зультате ионизации атомов, разгоняются в электрическом поле
настолько сильно, что сами вызывают ионизацию. На участке
О—1—2—3 ток мал, газ не светится, поэтому разряд назы-
вается темновым. Этот вид разряда применяется для газового
усиления внешним фотоэффектом токов фотоэлементов.
В точке 3 при напряжении зажигания иг происходит лави-
нообразное нарастание тока, т. е. зажигание газового разряда.
После момента зажигания ток стремится беспредельно увеличи-
ваться без увеличения напряжения. Но в результате падения
напряжения на последовательном сопротивлении г ток скачком
переходит из точки 3 в точку 4.
На участке 3—4—5—6 величина тока достигает порядка
десятков миллиампер, и пространство между электродами на-
чинает светиться. Поэтому разряд называется тлеющим. Часть
поверхности электродов, соответствующая участку 4—5, светится.
В этом случае плотность тока и напряжение между электродами
U„ постоянны. Этот участок используется в газовых стабилиза-
торах напряжения.
На участке 5—6 вся поверхность электродов также светится,
однако плотность тока и анодное напряжение не постоянны.
Этот режим применяется в источниках света тлеющего раз-
ряда.
В точке 6 катод под влиянием ионной бомбардировки нагре-
вается, при этом резко увеличивается число электронов вслед-
ствие термоэлектронной и автоэлектронной эмиссии катода. Ток
скачком переходит в точку 7 и увеличивается до десятков ампер
и выше. Анодное напряжение б/дуг мало (15—17 в). На участке
7—8 существует дуговой разряд, отличающийся малым падением
напряжения и большой плотностью тока. Дуговой разряд при-
меняется в газотронах (газовых диодах), тиратронах (газовых
триодах) и ртутных выпрямителях. На рис. 3.5 кривые 0—1—
—2—3, 3—4 и 7—8 имеют масштабы, отличающиеся приблизи-
тельно в 1000 раз.
Как правило, ионные приборы работают с большими к.п.д.
и большими токами. У них напряжение между электродами
мало, а внутреннее сопротивление значительно меньше, чем у
электронной лампы. Это происходит потому, что в ионном при-
боре имеются носители зарядов обоих знаков.
После зажигания ионный прибор можно погасить, только
отключив источник анодного питания. С помощью управляющей
сетки можно управлять лишь моментом зажигания тиратрона и
нельзя плавно изменять анодный ток. Последнее свойство яв-
ляется существенным недостатком ионных приборов.
88
§ 3.4. Фотоэлементы с внешним фотоэффектом
Внешним фотоэффектом называется явление, связанное с вы-
рыванием электронов с поверхности металла при падении света
на эту поверхность. Это явление используется в фотоэлементе,
представляющем собой откачанную стеклянную колбу, содержа-
щую два электрода: анод и катод. Фотокатод имеет малую работу
выхода.
Фотоэлектронная эмиссия подчиняется некоторым основным
законам.
Закон Столетова утверждает, что число электронов, выры-
ваемых светом в единицу времени из поверхности катода, прямо
пропорционально интенсивности лучистой энергии (при постоян-
ном спектральном составе). Другими словами, приращение фото-
тока пропорционально световому потоку:
/фэ = ДГ, (3.6)
где /фЭ—фототок, мксг,
А—-интегральная чувствительность, постоянная для данного
фотоэлемента;
F— световой поток, лм.
Согласно закону Эйнштейна, энергия кванта света затрачи-
вается на вырывание электрона с поверхности катода, т. е. на
преодоление работы выхода; остаток энергии кванта проявляется
в виде кинетической энергии эмиттированного электрона. Этот
закон выражается следующим уравнением:
/rv = u>0 + y/?w2, (3.7)
где h—постоянная Планка;
v—частота света;
wa— работа выхода электрона с поверхности фотокатода;
т—масса электрона;
v — скорость эмиттированного электрона.
Частота света связана со скоростью света и длиной волны
соотношением:
v = <3-8)
Уравнение (3.7) указывает, что существует максимальная
длина волны света Ао («красная граница»), на которой проис-
ходит фотоэффект: свет с длиной волны, большей Ао, имеет
энергию кванта, которая меньше работы выхода, и поэтому такой
свет не вызывает фотоэффекта.
Основной параметр фотоэлемента — его интегральная чувстви-
тельность, равная, согласно (3.6),
А = мка1лм. (3.9)
89
Световой поток, падающий на колбу фотоэлемента,
F = (3.10)
где S — площадь диафрагмы, установленной перед фотоэлемен-
том, смг\
/св—сила света источника, се;
I—расстояние от центра нити источника света до диафрагмы
фотоэлемента, м.
Интегральная чувствительность вакуумного серебряно-кисло-
родно-цезиевого фотоэлемента равна 5—25 мка[лм\ вакуумного
сурьмяно-цезиевого фотоэлемента — 80—120 мка[лм.
§ 3.5. Полупроводниковые приборы
Отличительными особенностями полупроводниковых прибо-
ров являются малые габариты (10“5—10“3 сл?) и вес (1,5-10“*—
— 3,5 г), а также малое потребление мощности (10“’—10“2 вт).
Они выдерживают ускорения до 20 000 g, не имеют накала и
сразу начинают работать после включения напряжения питания.
Как известно, атом состоит из ядра, имеющего положитель-
ный заряд, и вращающихся вокруг него отрицательно заряжен-
ных электронов. Часть этих электронов, называемых валент-
ными, слабо связана с ядром и относительно легко покидает
атом при воздействии на атом сильных полей или при столкно-
вении атома с элементарными частицами, электронами, фотонами
и др. Валентные электроны, покинувшие атомы, перемещаются
в промежутках между атомами твердого тела под влиянием
электрического поля.
Количество свободных носителей зарядов в единице объема
твердого тела определяет величину его электропроводности.
Электропроводность полупроводников объясняется с помощью
зонной теории.
В квантовой механике доказывается, что каждый электрон
в твердом теле имеет свой уровень потенциальной энергии. Ко-
личество уровней потенциальной энергии электронов в твердом
теле равно количеству находящихся в нем электронов. Суще-
ствуют «запрещенные» уровни потенциальной энергии, на кото-
рых электроны никогда не могут находиться.
Уровни потенциальной энергии валентных электронов, не
покинувших атомов, находятся в «валентной зоне» (рис. 3.6).
Валентные электроны, покинувшие атомы, имеют более высокие
уровни потенциальной энергии и находятся в зоне проводимо-
сти. Между этими двумя зонами находится запрещенная зона,
ширина ДЁ которой измеряется в электроно-вольтах (эв).
90
В металле (рис. 3.6, а) ширина зоны ДЕ практически равна
нулю; число свободных носителей велико (порядка 1022 в 1 сл’),
а удельное сопротивление мало.
В полупроводниках (рис. 3.6, б) ширина запрещенной зоны
ДЕ составляет примерно 0,01—2 эв. Удельное сопротивление
можно изменять в очень широком диапазоне посредством добав-
ления очень небольшого количества примесей.
В изоляторах (рис. 3.6, б) ширина зоны ДЕ равна 2—10 эв.
Широкая запрещенная зона мешает переходу валентных элект-
ронов в зону проводимости. Число свободных носителей очень
мало, и удельное сопротивление достаточно велико (порядка
10'5 ом-ом).
А) Уровни потении-
/ , альной энергии
/ доноров
Изолятор
Зона
проводи-
мости
валентная
зона '
Металл
(проводник )

Уровни потенци-
альной энергии
акцепторов
(полупроводник1
Рис. 3.6
В полупроводниковой технике наибольшее применение нашел’
германий, атом которого содержит четыре валентных электрона.
В кристалле германия атомы прочно удерживаются на своих
местах ковалентными связями (парными электронными связями),
состоящими в том, что валентные электроны, принадлежащие
соседним атомам, движутся строго согласованно. Четыре валент-
ных электрона атома германия образуют четыре ковалентные
связи с четырьмя валентными электронами четырех соседних
атомов германия. В чистом кристалле германия все валентные
электроны заняты ковалентными связями; свободных носителей
нет, и материал представляет собой хороший изолятор. Струк-
тура кристалла германия показана на рис. 3.7, а.
При наличии в кристалле германия примеси пятивалентного
элемента, например сурьмы, четыре валентных электрона атома
сурьмы вступают в парные электронные связи с четырьмя ва-
лентными электронами четырех соседних атомов германия. Пя-
тый валентный электрон атома сурьмы не может вступить
в ковалентную связь, поскольку все валентные электроны со-
седних атомов германия уже вступили в ковалентные связи.
Поэтому пятый валентный электрон атома сурьмы становится
избыточным, слабо связанным с атомом. Примесь, дающая из-
быточные электроны, называется донором, а полупроводник
91
с такой примесью—материалом типа п. Структура кристалла
германия с донорной примесью показана на рис. 3.7, б.
При введении в кристалл германия небольшой примеси трех-
валентного элемента, например, индия, атом индия образует
четыре ковалентные связи с четырьмя валентными электронами
четырех соседних атомов германия; при этом недостающий чет-
вертый электрон, необходимый для создания четвертой кова-
лентной связи, атомом индия отбирается от одного из соседних
атомов германия. В том месте атома германия, где отобран
валентный электрон, образуется положительный заряд, назы-
ваемый дыркой. Дырки, как п электроны, перемещаются в элект-
рическом поле (но в противоположных направлениях). Примесь,
вызывающая дырочную проводимость, называется акцептором,
а полупроводник с такой примесью—материалом типа р. Струк-
тура кристалла германия с акцепторной примесью изображена
на рис. 3.7, в.
Уровни потенциальных энергий доноров и акцепторов нахо-
дятся внутри запрещенной зоны. При введении примеси ширина
«эффективной» запрещенной зоны уменьшается, а электропро-
водность сильно увеличивается, так как валентные электроны
могут перейти (например, под действием теплового движения)
из валентной зоны на уровни примеси и оттуда — в зону про-
водимости.
Если ввести акцепторную примесь с одной стороны кристалла
типа и, то получается структура кристалла, показанная на
рис. 3.8, а, основная особенность которой состоит в том, что
материалы типов р и п непосредственно соприкасаются и обра-
зуют одно твердое тело. В материале типа р велика концентра-
ция дырок, в материале типа п — концентрация электронов.
Различие концентраций вызывает диффузию дырок из материала
типа р в материал типа п и диффузию электронов в обратном
направлении. По обеим сторонам поверхности раздела материа-
лов типа р и п получается тонкий слой (называемый переходом
р — п) с очень сильно изменяющейся концентрацией дырок и
«2
электронов. Дырки, перешедшие из материала типа р в мате-
риал типа п, находящиеся в указанном слое, препятствуют
дальнейшей диффузии дырок в материал типа п. Аналогично
ведут себя и электроны. В результате достигается устойчивое
равновесие. При обратном смещении отрицательный полюс
источника внешнего напряжения присоединяется к материалу
типа р, а положительный полюс — к материалу типа п (рис. 3.8).
При этом дырки стремятся к отрицательному зажиму, а элект-
роны— к положительному зажиму источника напряжения. Но-
сители зарядов разных знаков стремятся отойти от перехода.
® ©; ® ©[ ;© © [© е
Рис. 3.8
Количество носителей в переходе очень мало, а электрическое
сопротивление перехода получается большим, в результате чего
ток имеет небольшое значение даже при очень большом на-
пряжении.
Переход р—п представляет собой электрический вентиль,
хорошо пропускающий ток в прямом направлении и плохо —
в обратном.
Коэффициенты выпрямления германиевых и кремниевых дио-
дов велики — (3—1000) 10’. При очень больших обратных напря-
жениях наступает пробой перехода р—п вследствие лавинооб-
разного увеличения тока, вызванного ударной ионизацией.
Рабочая температура у германиевых диодов колеблется в пре-
делах от —60 до 4-70° С, а у кремниевых от —60 до
+ (125—250)° С. Более совершенные германиевые и кремниевые
выпрямители в недалеком будущем вытеснят купроксные и се-
леновые.
Плоскостной полупроводниковый усилительный прибор, на-
зываемый транзистором, имеет структуру типа р—п—р или
п — р—п, т. е. содержит два перехода типа р—п (рис. 3.9).
К входному переходу, т. е. к переходу «эмиттер —база» под-
водится прямое смещение еэ (0,1 -s-0,2 в), к выходному переходу
«база—коллектор»—напряжение обратного смещения ек(10-н20 в).
Входной электрод называется эмиттером и служит источ-
ником дырок. База является управляющим электродом. Ее роль
93
аналогична роли сетки в электронной лампе. Коллектор служит
для сбора дырок, выходящих из эмиттера.
При положительном приращении напряжения на эмиттере
увеличивается дырочный ток через входной переход «эмиттер —
база». Дырки, попадающие в базу, движутся в ней за счет
диффузии, так как электрическое поле в базе практически
отсутствует. Для уменьшения длительности диффузии дырок
в базе следует взять очень малую ширину базы—порядка
5н-20 мк.
Дырки, достигшие перехода «база—коллектор» под дейст-
вием сильного поля в этом переходе, попадают на коллектор.
Ток коллектора несколько меньше тока эмиттера, поскольку
часть дырок в базе заполняется электронами (рекомбинируется).
вмшптео база коллектор
Рис. 3.9
Основным параметром транзистора является коэффициент
усиления тока
а="«.|
|t/K=const
(3.11)
У плоскостных транзисторов а =^0,9—0,99. Таким образом,
в схеме типа «общая база» (рис. 3.9) транзистор не усиливает
ток, но очень усиливает напряжение и мощность, так как в цепи
коллектора включено значительное сопротивление нагрузки гк,
на котором получается напряжение t/BUx = rK/K, в сотни раз
превышающее напряжение входного сигнала Д/7Э. Входное со-
противление схемы «общая база» (рис. 3.9) мало, поскольку
входным электродом служит эмиттер, т. е. анод диода, состоя-
щего из перехода «эмиттер — база», на который подано прямое
смещение.
В других схемах включения транзистор значительно усили-
вает ток, и его входное сопротивление можно сделать большим.
В отличие от электронной лампы, которая управляется на-
пряжением на сетке, транзистор управляется током входного
электрода. Несмотря на это, можно получить пренебрежимо
малое потребление мощности на входе транзисторного усилителя.
94
§ 3.6. Термосопротивления
Термосопротивления (термисторы) представляют собой полу-
проводники, электрическое сопротивление которых очень сильно
уменьшается при увеличении температуры.
В транзисторах ток коллектора зависит от температуры. Для
стабилизации режима, т. е. для обеспечения постоянства тока
и напряжения коллектора при изменениях температуры, при-
ходится включать специальные схемы температурной компен-
сации.
Зависимость электрического сопротивления термистора от
температуры является его основным преимуществом и опреде-
ляет рабочую характеристику. Термосопротивления обычно из-
готовляют из окислов металлов в виде полупроводников, элект-
рическое сопротивление которых уменьшается от 2,4 до 6%
при увеличении температуры на 1°С.
Термосопротивления применяются в качестве чувствительных
датчиков температуры. Высокая температурная чувствитель-
ность термосопротивлений значительно упрощает измерение,
контроль и регулирование температуры, дает возможность осу-
ществить простую термокомпенсацию электронных или полу-
проводниковых схем, позволяет строить схемы автоматического
пуска электродвигателей, схемы реле времени, стабилизаторов
напряжения, анемометров для изменения скоростей потоков
газов или жидкостей и т. п.
Основными преимуществами термосопротивления являются:
малый габарит, малые постоянные времени, дешевизна, крайняя
простота схем применения, стабильность характеристик во вре-
мени, высокая надежность и отсутствие ухода.
Высокая чувствительность электрического сопротивления
полупроводников к изменениям температуры объясняется тем,
что при увеличении температуры количеств электронов, способ-
ных преодолеть ширину запрещенной зоны, резко возрастает.
В этом случае значительно увеличивается количество электро-
нов в зоне проводимости и, следовательно, электрическое соп-
ротивление резко уменьшается. Электрическое сопротивление
термистора с достаточной точностью определяется по формуле
в
Rtc = Аег ,
где А и В — постоянные, зависящие от физических свойств ма-
териала;
Т—абсолютная температура.
При использовании термосопротивления в качестве датчика
температуры необходимо повысить чувствительность к измене-
ниям температуры. В этом случае мощность, выделяемая элект-
рическим током, должна быть достаточно малой, чтобы можно
95
было пренебречь увеличением температуры термосопротивления,
вызванным этим подогревом. В данном режиме установившаяся
температура термосопротивления почти равна окружающей тем-
пературе.
Термосопротивления применяются также в релейном режиме.
Если при постоянной окружающей температуре увеличивать ток
через термосопротивление, то сначала напряжение на нем
быстро возрастет, достигнет максимального значения и при до-
статочно больших токах будет плавно уменьшаться. Это про-
исходит в результате того, что мощность, выделяемая в термо-
сопротивлении при большом электрическом токе, вызывает
сильный нагрев, поэтому именно выделяемая мощность, а не
внешняя среда, определяют температуру тер.мосопротивления.
В этом режиме падающий участок характеристики термосопро-
тивления соответствует отрицательному сопротивлению пере-
менному току и может быть использован для получения скачко-
образного изменения тока, т. е. для «релейного» срабатывания,
которое достигается в схеме, состоящей из последовательного
соединения термосопротивления и небольшого активного сопро-
тивления.
Отрицательное дифференциальное сопротивление термистора
и релейный режим можно получить только при выделении до-
статочно большой мощности в термосопротивлении. В этом ре-
жиме самонагрев током имеет основное значение, а температура
окружающей среды — второстепенное. Релейный режим приме-
няется в реле времени, в пусковых схемах и т. п. Существенное
значение имеет отвод тепла от термистора.
Для измерения скоростей жидкостей или газов устанавли-
вается такой режим работы термосопротивления, который пред-
ставляет собой нечто среднее между режимом малых токов
измерительных схем и релейным режимом, получаемым при
больших токах. В указанном промежуточном режиме на вели-
чину сопротивления термистора заметно влияет температура
окружающей среды.
Тепловые постоянные времени термосопротивлений разных
типов имеют величины от десятых долей секунды до десятков
секунд.
Срок службы термосопротивлений изменяется в пределах
от 3000 до 5000 час.
§ 3.7. Полупроводниковые болометры
Для измерения мощности лучистой энергии применяются
полупроводниковые болометры, представляющие собой термо-
сопротивления особой конструкции в виде тонких пленок, по-
верхность которых имеет прямоугольную форму. Полупровод-
никовые болометры более чем на один порядок чувствительнее
96
металлических. Болометр обычно состоит из двух пленок, одна из
которых работаете качестве приемника энергии излучения, а дру-
гая— компенсирует изменения температуры окружающей среды.
Болометр включается в мостовую схему. Из-за высокой чувст-
вительности, близкой к уровню флюктуационных помех, схема
болометрического моста имеет заметное непостоянство нуля
(дрейф) при питании моста постоянным током. Для исключения
дрейфа механически модулируют измеряемое излучение и при-
меняют электронный усилитель, настроенный на частоту моду-
ляции. Чувствительность полупроводникового болометра близка
к уровню тепловых флюктуаций. Порог чувствительности со-
ставляет величину порядка ЗЮ'1’ вт\ минимальная мощность,
регистрируемая полупроводниковым болометром, равна примерно
10~9 вт, что соответствует изменению температуры на величину
меньше 10-' градуса, при этом выходной сигнал болометриче-
ского моста меньше 1 мкв.
Полупроводниковые болометры применяются для регистрации
распределения энергии в инфракрасных спектрах, что широко
используется для контроля продукции многих современных
химических заводов.
§ 3.8. Фотосопротивления
Любое энергетическое воздействие на атомы полупроводника,
которое переводит электроны из примесных уровней или из
валентной зоны в зону проводимости, увеличивает электропро-
водность полупроводника. Когда такое воздействие обусловли-
вается падением света на полупроводник, то рассматриваемое
физическое явление называется внутренним фотоэффектом,
а получающаяся при этом дополнительная электропроводность —
фотопроводимостью. Полупроводниковые приборы, в которых
происходят эти процессы, называются фотосопротивлениями.
Основной принцип действия фотосопротивления состоит
в уменьшении его электрического сопротивления при падении
света на поверхность. Поскольку в фотосопротивлении нет пере-
хода, то оно одинаково проводит ток в обоих направлениях.
При отсутствии света через фотосопротивление проходит
темновой ток. При падении света на поверхности фотосопротив-
ления появляется дополнительная составляющая тока—световой
ток, или фототок.
Для фотосопротивлений применяются полупроводники с малой
шириной запрещенной зоны или с небольшой разностью энерге-
тического уровня примеси и уровня запрещенной зоны или зоны
проводимости. Другими словами, применяются полупроводники
с малой «эффективной» шириной запрещенной зоны, измеряемой
долями электроно-вольта. Фотосопротивление из материала
с такими свойствами чувствительно к инфракрасному свету. Если
7 Теоретические основы электротехники, ч. X 97
уменьшать длину волны света относительно длины волны крас-
ного порога, то сначала фототок возрастает, а затем падает.
Это объясняется увеличением поглощения света в тонком по-
верхностном слое полупроводника. Таким образом, внутренний
фотоэффект вызывает сравнительно узкая область спектра свето-
вых волн.
При изготовлении фотосопротивлений стремятся их сделать
такими, чтобы можно было получить темновой ток значительно
меньше светового. В этом случае внутренний фотоэффект пред-
ставляет собой основной источник носителей: при этом световой
ток непропорционален освещенности и выражается зависимостью
/св = О, VE (лк),
где Е—освещенность окна фотосопротивления. Нелинейная за-
висимость фототока от освещенности (рис. 3.10) является су-
щественным недостатком фотосопро-
тивлений.
При очень малых световых по-
токах, световой ток составляет толь-
ко малую долю от темнового тока:
в этом случае световой ток пропор-
ционален освещенности.
Фотосопротивления обладают
большой инерционностью. При уве-
личении частоты модуляции света, па-
дающего на фотосопротивление, ам-
плитуда переменного светового тока
быстро уменьшается. Это объясняется
тем, что световой ток состоит из двух
слагаемых. Первое слагаемое представляет собой ток первичных
фотоэлектронов, переводимых фотонами в зону проводимости.
Этот процесс безынерционен. Первичные фотоэлектроны двига-
ются в электрическом поле внутри полупроводника, к которому
подведено внешнее напряжение питания, и в процессе движения
в результате ударной ионизации образуют вторичные электроны.
Второе слагаемое—ток вторичных электронов. Этот ток инер-
ционен, поскольку каждому .первичному электрону требуется
некоторое время, чтобы, разогнавшись в электрическом поле,
приобрести достаточную кинетическую энергию для ударной
ионизации. Большая инерционность фотосопротивлений препят-
ствует во многих случаях их практическому применению.
Частотная характеристика сернисто-свинцового фотосопротив-
ления показана на рис. 3.11.
Несмотря на указанные недостатки и большую температур-
ную зависимость темнового и светового фототоков, фотосопро-
тивления применяют в релейных схемах автоматики, где не
£8
требуется большое постоянство характеристик. Фотореле реаги-
рует только на наличие или отсутствие света, а высокая чувст-
вительность фотосопротивления даст возможность резко упростить
схему, уменьшить ее габариты и увеличить надежность работы.
§ 3.9. Вентильные фотоэлементы
При освещении перехода в материале типа р — п увеличи-
вается количество электронов, переходящих в зону проводимости.
Материал типа п обедняется электронами и приобретает избы-
точный положительный заряд, а материал типа р — наоборот.
Переход р—п становится источником возникновения электро-
движущей силы. Если присоединить переход р — п к внешнему
сопротивлению нагрузки, то в ней появится ток (при наличии
света), причем, как легко показать, направление этого тока
будет обратным направлению тока в том же сопротивлении на-
грузки при работе схемы в качестве выпрямителя.
Процесс образования э.д.с. постоянного тока в освещенном
переходе называется вентильным фотоэффектом, а приборы,
участвующие в этом процессе,— вентильными фотоэлементами.
Для светотехнических измерений и для фотографических
экспонометров выпускаются селеновые вентильные фотоэлементы,
интегральная чувствительность которых составляет величину
порядка 300 мка/лм. Спектральная характеристика вентильных
фотоэлементов близка к спектральной характеристике человече-
ского глаза. Благодаря большой емкости перехода вентильные
фотоэлементы весьма инерционны. Линейная зависимость между
током и освещенностью получается только в режиме короткого
замыкания (рис. 3.12).
Кремниевые солнечные батареи представляют собой вентиль-
ные фотоэлементы, специально сконструированные для преобра-
зования солнечной энергии в электрическую для энергетических
целей. К- п. д. современных солнечных батарей достигает вели-
чины порядка 10%, т. е. близок к теоретическому. Летом в пол-
день солнечная батарея отдает в нагрузку 100 вт с 1 поверх-
ности батареи, если поверхность перпендикулярна лучам сол-
нечного света.
В автоматике широко применяются фотодиоды, представляю-
щие собой обычные полупроводниковые диоды, работающие
в режиме обратного смещения. В металлических, непрозрачных
для света корпусах таких диодов делаются отверстия для про-
пускания света на переход р—п. Отверстия герметически за-
крываются стеклянными бусинками для защиты перехода от
воздействия атмосферного воздуха.
Фотодиоды обладают высокой чувствительностью
(20—30 ма/лм), компактны и очень просты. Кремниевые фото-
диоды представляют-большой интерес благодаря незначительной
величине обратного темнового тока. Вследствие малого размера
фотодиода, его инерционность невелика, что допускает возмож-
ность применения в электронных импульсных вычислительных
машинах.
Как правило, фотодиод применяется в режиме фотосопротив-
ления; в этом случае схема состоит из фотодиода и сопротив-
ления нагрузки, питаемых от внешнего источника напряжения
с такой полярностью, при которой на фотодиод подается обрат-
ное смещение. Фотодиод можно применять и в режиме вентиль-
ного фотоэлемента, без внешнего источника напряжения. При
этом полезные сигналы уменьшаются, а инерционность возра-
стает.
Аналогично работают фототранзисторы, отличающиеся от
обычных транзисторов тем, что управление током коллектора
осуществляется путем освещения эмиттерного перехода. Фото-
транзистор имеет дополнительные преимущества в виде усиления
сигнала и возможности одновременного управления с помощью
света и электрических сигналов, подводимых к базе.
§ 3.10. Термогенераторы
При нагреве спая двух металлов образуется небольшаяэ. д. с.,
которую из-за ее незначительной величины нельзя использовать
для энергетических целей.
Полупроводниковые термогенераторы, выполненные в виде
спая двух полупроводников различных типов, имеют высокий
к. п. д.— порядка 7—8% и поэтому пригодны для применения
в качестве мощных источников энергии постоянного тока. Основ-
ное преимущество термогенератора—большая простота, непо-
средственное преобразование тепловой энергии в электрическую
без вращающихся элементов, трансформаторов и других
устройств. Термогенераторы имеют ограниченный срок службы,
100
который определяется взаимной диффузией материала полупро-
водников обоих типов. Эта диффузия идет довольно быстро
вследствие высокой температуры спая, необходимой для увели-
чения к. п. д.
Промышленность изготовляет термогенераторы, подогревае-
мые теплом газов, отходящих через стекло осветительной керо-
синовой лампы; полученная таким образом электрическая энергия
используется для питания радиоприемников.
Вопросы для самопроверки
3.1. Какие основные параметры имеют триоды и пентоды?
Ответ. Основные параметры триода и пентода имеют следующие зна-
чения:
Лампы П а ра мет ры ~~~—___ Триоды Пентоды
И 20—100 1000 — 700
S, ма!в 1-6 2—11
Rj, ком 7 — 50 700— 1000
Gael* пФ 2 — 3 0,05
3.2. Что служит источниками основных носителей зарядов в трех видах
газового разряда?
Ответ. Источниками основных носителей электрического заряда при
газовом разряде является:
а) в темновом разряде—ионизация газа космическими лучами и при-
сутствие следов радиоактивных веществ;
б) в тлеющем разряде — выбивание электронов из катода под действием
бомбардировки его положительными ионами;
в) в дуговом разряде—термоэлектронная и автоэлектронная эмиссия
катода.
3.3. Как работает фотоэлемент с внутренним фотоэффектом?
Ответ. Кванты света, падающие на поверхность фотокатода, вырывают
из него электроны, которые движутся в вакууме к положительно заряжен-
ному аноду. Полученный таким образом фототок образует на внешнем
нагрузочном сопротивлении фотоэлемента падение напряжения, которое
и представляет собой выходной сигнал фотоэлемента.
3.4. Как влияет примесь доноров на ширину запрещенной зоны в по-
лупроводнике?
Ответ. Уровни потенциальной энергии электронов атомов донорной
примеси находятся внутри запрещенной зоны полупроводника. Поэтому
введение такой примеси сужает „действующую” ширину запрещенной зоны.
3.5. Что такое ковалентные связи?
Ответ. Ковалентные связи образуются между соседними атомами вслед-
ствие согласованного движения валентных электронов этих атомов.
101
3.6. Объяснить процесс, связанный с электрическим током через переход
типа р-п при прямом и обратном включениях источника напряжения.
Ответ. При прямом смещении (напряжении) на переходе типа р-п
дырки и электроны движутся через переход навстречу друг другу; в пе-
реходе типа р-п велико число носителей; поэтому электрическое сопротив-
ление перехода сравнительно мало, а ток велик даже при небольшом прямом
напряжении. При обратном смещении (напряжении) на переходе типа р-п
дырки и электроны смещаются в разные стороны от перехода, который
обедняется носителями. В результате этого электрическое сопротивление
перехода велико, и ток, протекающий через переход, мал даже при боль-
шом обратном смещении.
3.7. Для чего служат в транзисторе эмиттер, база и коллектор?
Ответ. Эмиттер служит для введения дырок в базу, база предназна-
чена для управления потоком дырок, направленным из эмиттера в коллек-
тор; роль коллектора состоит в собирании дырок, поступающих из базы.
3.8. Чем отличаются линейный и релейный рабочие режимы термосо-
противления?
Ответ. В линейном режиме работы термосопротивления, мощность, вы-
деляемая при прохождении электрического тока, мала и практически не
увеличивает температуру термосопротивления. При этом достигается макси-
мальная чувствительность термосопротивления к изменениям окружающей
температуры,
В релейном режиме мощность, выделяемая при прохождении электри-
ческого тока в термосопротивлении, велика, вследствие чего его температура
определяется током, а не температурой внешней среды. Поэтому при уве-
личении тока уменьшается напряжение на термосопротивлении. Такой уча-
сток характеристики с отрицательным сопротивлением дает возможность
получить скачки тока и напряжения при правильном выборе сопротивле-
ния нагрузки.
3.9. Чем отличаются свойства и характеристики фотосопротивлений и
фотоэлементов с внешним фотоэффектом?
Ответ. Фотоэлемент с внешним фотоэффектом безынерционен, имеет
линейную световую характеристику в рабочей области; величина фототока
не зависит от величины напряжения и температуры при ее изменении
в рабочем диапазоне. Фотосопротивления инерционны, имеют нелинейную
световую характеристику; фототок нелинейно зависит от напряжения и
сильно зависит от температуры.
3.10. Как устроена солнечная батарея?
Ответ. Солнечная батарея представляет собой кремниевый фотоэлемент
с вентильным фотоэффектом; при освещении перехода типа р-п на зажимах
фотоэлемента создается электродвижущая сила.
3.11. Каковы преимущества и недостатки полупроводникового термоге-
нератора?
Ответ. Полупроводниковый термогенератор представляет собой термо-
пару из различных полупроводниковых материалов. Нагрев термопары вы-
зывает разность потенциалов на ее зажимах. Такой термогенератор отли-
чается простотой конструкции. Одйако срок его службы ограничен, а к.п.д.
очень небольшой.
Раздел второй
СВОЙСТВА ЦЕПЕЙ ПРИ ПОСТОЯННЫХ ТОКАХ
И НАПРЯЖЕНИЯХ И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА
Глава IV
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ- ОБЩИЕ СВОЙСТВА
И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 4.1. Схемы соединений и схемы замещения электрических
цепей
В предыдущем разделе было показано, что электрические
цепи состоят из отдельных элементов. Если рассматриваемая
цепь создана в промышленных целях, например, для произ-
водства и распределения электрической энергии, то ее элемен-
тами являются специальные устройства: генераторы, двигатели,
электрические лампы, делители напряжения, реостаты, измери-
тельные приборы, выключатели, соединительные провода и т. п.
Однако в ряде случаев в состав электрической цепи входят
также окружающие тела и предметы; тогда выделение соответ-
ствующих частей цепи в виде ее элементов производится глав-
ным образом для упрощения представлений и расчетов.
Основными элементами электрической цепи являются источ-
ники и приемники электрической энергии и соединяющие их
провода.
Электрические цепи, в которых получение электрической
энергии и ее преобразование происходит при неизменных во
времени токах и напряжениях, называют цепями постоянного
тока. При указанных условиях протекающие процессы в элек-
трических цепях и методы их исследования значительно упро-
щаются.
Совокупность значений токов и напряжений, полученных
путем измерений или расчетов, определяет электрическое со-
стояние или рабочий режим всей цепи и ее отдельных элемен-
тов.
У становившимся состоянием или установившимся режимом
электрической цепи при постоянных токах и постоянных на-
пряжениях называется такое состояние, при котором ток на
103
любом участке и потенциал в любой точке остаются неизменными
в течение сколь угодно длительного промежутка времени.
После какого-либо изменения установившегося состояния новый
установившийся режим часто практически наступает достаточно
быстро—в течение долей секунды. Иногда процесс перехода от
одного установившегося состояния к другому продолжается
сравнительно долго —в течение десятков секунд и более, что,
например, имеет место в цепях, содержащих относительно боль-
шой запас энергии в магнитных полях.
Таким образом, при установившемся режиме для любой
электрической цепи постоянного тока
de n dcp „ di n dr n
Д7=°- = 77 = 0 И 57 = 0.
al ’ dt dt dt
При выполнении этих равенств все магнитные и электрические
поля при постоянных токах и напряжениях также не изменя-
ются во времени. В силу этого в таких цепях не возникают
э. д. с. самоиндукции и взаимной индукции и отсутствуют токи
смещения в диэлектриках, окружающих проводники.
В первом разделе было показано, что каждый элемент схемы
оказывает влияние на протекание процессов в электрической
цепи. Это влияние определяется свойствами данного элемента
по сравнению со свойствами других элементов, а также схемой
взаимных соединений отдельных элементов, т. е. свойствами
цепи в целом. Во многих случаях влияние некоторых элементов
настолько мало, что им можно пренебречь. Однако это не всегда
заранее известно и очень часто требует проявления известной
осторожности.
Схемы взаимных соединений элементов электрической цепи
изображаются на чертежах с помощью условных обозначений.
Схема, составленная при помощи условных обозначений,
является неполной, так как, хотя она и соответствует действи-
тельной схеме соединений электрической цепи, но в общем
случае может не отражать наличия всех элементов (например,
соединительных проводов, зажимов, приборов и аппаратов, вы-
ключателей и т. п.).
Пример 4.1. Требуется изобразить принципиальную схему соединения
приборов для измерения входного сопротивления лампового реостата
между двумя его зажимами, если измерение осуществляется с помощью
вольтметра и амперметра.
Решение, Если заранее известно, что измеряемое сопротивление
достаточно мало и соизмеримо с сопротивлением амперметра, то схема
составляется так, чтобы вольтметр был присоединен параллельно данному
устройству и измерял напряжение только на нем (рис. 4.1). Если же из-
меряемое сопротивление относительно велико и сравнимо с сопротивлением
вольтметра, то схема составляется так, чтобы амперметр измерял только
ток в ламповом реостате (рис. 4.2). Измерения по этим схемам при ука-
занных условиях приводят к меньшим ошибкам в определении сопротивле-
ний соответствующих устройств по показаниям вольтметра и амперметра.
104
Такие принципиальные схемы дают возможность выполнить соединения
элементов цепи, но не содержат необходимых данных для выполнения
расчетов. Так, например, для учета ошибки, допускаемой при определении
сопротивления путем деления показаний вольтметра на показания ампер-
метра, в схеме, изображенной иа рис. 4.1, должно быть известно сопро-
тивление вольтметра, а в схеме, показанной на рис. 4.2,—сопротивление
амперметра.
Рис. 4.1
Рис. 4.2
Расчеты, связанные с определением электрического состояния
цепи, обычно выполняются с помощью схем замещения. Схемы
замещения составляются из однотипных идеализированных эле-
ментов, отражающих наиболее характерные свойства элементов
цепи независимо от их действительного назначения. Количест-
венная характеристика таких свойств дается численными зна-
чениями параметров.
В схеме замещения какой-либо электрической цепи отража-
ются все участки и характерные точки этой цепи, но по внеш-
нему виду схема замещения может заметно отличаться от схемы
соединений, поскольку в каждом из элементов рассматриваемой
цепи могут протекать различные явления, требующие соответ-
ствующего отражения в схеме замещения.
Схема замещения может отображать явления в соответствую-
щих элементах реальной цепи лишь приближенно, с той или иной
степенью точности. При решении практических задач приходится
выбирать наиболее простую, но приемлемую схему замещения.
Составление такой схемы является наиболее ответственной опе-
рацией при выполнении расчета и требует определенного навыка.
Схема замещения дает возможность определить параметры ре-
жима для какого-либо элемента цепи путем измерений, а также
производить моделирование элементов электрических цепей и
цепей в целом с помощью специальных расчетных устройств.
§ 4.2. Параметры схем замещения
Основными элементами электрических схем замещения (или
просто схем) являются: источники э. д. с.—напряжения или э. д. с.,
источники тока или задающие токи, сопротивления или проводи-
мости. Источники э. д. с. или источники тока в общем случае
вызывают напряжения и токи в схемах, и поэтому называются
105
активными элементами схем замещения. Сопротивления и про-
водимости* создают пути для электрических токов и называются
пассивными элементами схем замещения.
Для активных элементов схем замещения наиболее характер-
ным является то, что они определяют напряжения или токи
в точках присоединения этих элементов к соответствующей цепи
независимо от ее остальных параметров. Электродвижущая сила
источника напряжения и ток источника тока характеризуются
величиной и направлением, указываемым на схеме стрелкой.
Направления токов и напряжений в пассивных элементах
(в сопротивлениях и проводимостях) также указываются на
схемах стрелками. Параметры цепи характеризуют ее энерге-
тическое состояние.
Если направление э.д.с. в источнике напряжения совпадает
с направлением в нем тока (рис. 1.14 для э.д.с. е,) или направ-
ление тока в источнике тока совпадает с направлением напря-
жения на его зажимах, то в таких источниках происходит генера-
ция электрической энергии. Потребление электрической энергии
(преобразование в какой-либо другой вид энергии) имеет место
в том случае, когда направление э.д.с. в источнике напряжения
не совпадаете направлением в нем тока (рис. 1.14 для э.д.с. е2)
или когда направление тока в источнике тока не совпадает
с направлением напряжения на его зажимах. Обычно направление
преобразования энергии устанавливается по знаку мощности.
На участке схемы с сопротивлением г или с проводимостью
g мощность г/2 или gU2 положительна; это означает потребле-
ние электрической энергии. В случае наличия в схеме источ-
ника э.д.с или источника тока положительный знак мощности
е/>0 и JUz>® (при совпадении соответствующих величин по
направлению) соответствует генерации электрической энергии,
а отрицательный знак е/<0 и JU<zO (при противоположных
направлениях соответствующих величин) — потреблению элек-
трической энергии.
Рассматривая вопрос о мощности, следует отметить устано-
вившееся в электротехнике неточное применение этого термина.
Так, например, говорят о генерируемой, отдаваемой, потребляе-
мой, передаваемой, теряемой и т. д. мощностях. В действитель-
ности генерируется, отдается, потребляется, передается не
мощность, а энергия. Мощность характеризует интенсивность
соответствующего энергетического процесса и измеряется коли-
чеством энергии (генерируемой, отдаваемой, потребляемой ит.д.),
отнесенным к единице времени. Поэтому правильно было бы
говорить о мощности генерирования энергии, о мощности пе-
редачи энергии, о мощности потребления энергии и т. д. По
* В данном случае сопротивления и проводимости рассматриваются
как элементы электрических схем.
106
этим установившимся традициям в дальнейшем сравнительно
часто применяются приведенные выше неточные, но краткие
выражения.
В общем случае сопротивление приемника г (/) зависит от
тока в этом приемнике. Выше было отмечено, что на практике
часто бывает задана не зависимость г(/), а зависимость напря-
жения на сопротивлении от тока U (/) или зависимость тока
от напряжения на сопротивлении /((7).
Такие характеристики (хотя и неточно) называются вольтам-
перными* На каком-то участке эти характеристики могут по-
лучиться практически прямолинейными.
Электрические цепи, содержащие элементы с нелинейными
характеристиками, называются нелинейными, а электрические
цепи, содержащие только элементы с линейными характеристи-
ками (на соответствующих участках), называются линейными.
Строго говоря, следовало бы все реальные цепи считать нели-
нейными, поскольку их параметры в какой-то мере всегда зависят
от электрического состояния. Так, например, в связи с нагрева-
нием проводников при наличии в них электрического тока их
сопротивление изменяется в зависимости от режима. Однако
в большинстве практических случаев линеаризация цепи (т. е. пред-
положение о том, что она линейна) оказывается вполне возмож-
ной. При этом следует иметь в виду, что линейные схемы за-
мещения цепей, как правило, справедливы только в определенном
диапазоне возможных режимов работы электрической цепи.
Легко показать, что источник электрической энергии с из-
вестной э.д.с. е и внутренним сопротивлением гв может быть
представлен схемой замещения с источником э.д.с. (напряжения)
или с источником тока.
Напряжение на зажимах источника энергии меньше э.д.с. е
на величину падения напряжения внутри источника:
(7 = е —гв/.
Напряжение на сопротивлении г приемника, присоединенного
на зажимы источника, U = rl. Из этих уравнений легко полу-
чить:
Из этого выражения видно, что внутреннее сопротивление гв
источника энергии, так же как и сопротивление приемника,
ограничивает величину тока. На схеме замещения, изображен-
ной на рис. 4.3, можно представить внутреннее сопротивление
гв соединенным последовательно с сопротивлением приемника г.
* Поскольку с помощью характеристик I (U) и U (/) устанавливается
связь между током и напряжением, то более правильно называть такие
характеристики «ток—напряжение» или «напряжение—ток».
107
В зависимости от соотношения между напряжениями на этих
сопротивлениях получаются две разновидности эквивалент-
ной схемы для источника энергии (рис. 4.3 и 4.4). На этих
схемах источники напряжения отмечены пунктирными прямо-
угольниками. Если ru<$r, т. е. источник электрической энергии
Рис. 4.4
находится в режиме, близком к холостому ходу, то можно прак-
тически пренебречь внутренним падением напряжения, принять
— и получить схему замещения, изображенную на
рис. 4.4. Источник энергии можно представить двумя другими
разновидностями схемы замещения с источником тока (рис.4.5).
Рис. 4.5
Из уравнения E — r3l-{-U получается:
ГВ ^в
или J-1+ц,
р
где -----ток при коротком замыкании источника энергии;
г в
/в=-—некоторый ток, равный отношению напряжения на
зажимах источника энергии к его внутреннему со-
противлению;
[ = ^ = Ug—ток приемника.
108
Полученному уравнению удовлетворяет схема замещения
(рис. 4.5,а) для источника энергии в виде источника тока, от-
меченного пунктирным прямоугольником, при этом элемент цепи,
учитывающий внутреннее сопротивление, включен параллельно
сопротивлению нагрузки г.
Если гв|>г или gB<^g, т. е. источник находится в режиме,
близком к короткому замыканию, то можно принять IB — Ug.jsM
и в результате получить схему замещения, показанную на
рис. 4.5, б.
Таким образом, в зависимости от соотношения между внут-
ренним сопротивлением источника энергии гв и сопротивлением
приемника г источники электрической энергии могут быть во
многих случаях отнесены либо к источникам э.д.с. (напряжения)
либо к источникам тока.
Источник энергии можно заменить источником э.д.с. (на-
пряжения) или источником тока и в том случае, когда внутрен-
нее сопротивление гв соизмеримо с сопротивлением г приемника.
Для этого необходимо сопротивление г„ (рис. 4.3) или прово-
димость gB (рис. 4.5, а) как бы вынести из источника энергии
и объединить соответственно с сопротивлением г или с прово-
димостью g=— .
Пример 4.2. Составить схему замещения гальванического элемента и
определить ее параметры.
Решение. Поскольку гальванический элемент является источником
электрической энергии, использующим действие контактной э д с. е, то
можно принять, что его схема замещения содержит , ,
источник э.д с. 1____Г""®
Так как при наличии тока гальванический эле- 's
мент нагревается, то в схеме замещения элемента /* 'Х
должно быть сопротивление гв. При отсутствии внеш-
ней цепи (гальванический элемент не замкнут) дей- ''
ствие гальванического элемента никак не проявляется.
Поэтому сопротивление гв и источник э.д с. е можно ®
принять включенными последовательно (рис. 4.6). Если Рис.4.6
считать э.д с. и сопротивление гв постоянными, то для
определения параметров достаточно произвести измерения тока в элементе
и напряжения на его зажимах для двух значений сопротивления нагрузки:
б,, /, и U2,12. Тогда из условия баланса напряжений для двух рассмотрен-
ных режимов
Ui = e—rBfi и U2 = e—гв12.
Искомые параметры определяются путем решения этих уравнений:
е
U,I,—UtIt U,—U.
—— ---— и г — —~------1
I _/ 11 ' в I __/
12 1 1 *2*1
При графическом изображении внешней характеристики U (/),
например гальванического элемента (рис. 4.7), э. д. с. схемы
замещения определяется ординатой у наклонной прямой. Внут-
реннее сопротивление гв гальванического элемента равно в не-
котором масштабе тангенсу угла а наклона прямой к оси
109
абсцисс, взятому с обратным знаком. Линейность внешней харак-
теристики U (/) соответствует линейным свойствам цепи.
В действительности линейность внешней характеристики
соблюдается при изменении тока лишь в некоторых пределах.
Так, при относительно большом значении тока в цепи режим
работы гальванического элемента нарушается в связи с явлением
поляризации. При длительной работе отрицательный электрод
элемента разрушается. Это приводит к увеличению внутреннего
сопротивления, в результате чего возрас-
тает падение напряжения внутри элемен-
та и тем самым нарушается линейность
внешней характеристики.
Во многих случаях параметры схем
замещения можно найти расчетным путем.
В частности, это относится к определе-
нию сопротивлений и проводимостей. Мож-
но рассчитать сопротивление проводника,
если известно удельное сопротивление
г материала, из которого изготовлен провод-
I пик, его длина и поперечное сечение.
Иногда длину проводника определяют
приближенно, например, по внешним
Рис. 4,7
размерам катушки, учитывая толщину
изоляции. При определении сопротивления проводника очень
часто учитывают влияние температуры при нагреве проводника.
Если г0—сопротивление проводника при нормальной температуре
7 = 20°С, а А/— превышение температуры проводника сверх нор-
мальной, то сопротивление нагретого проводника
r«r0 (1 4-а.А/),
где а — постоянная величина.
Этой формулой можно пользоваться только в тех случаях,
когда температура проводника одинакова по всей его длине и
не превышает 100°С. В общем случае подсчет сопротивления
проводника возможен только при известной картине поля плот-
ности тока в нем и известном распределении температуры.
Пример 4.3. Определить сопротивление медной проволоки, намотанной
в виде круглой катушки с внутренним диаметром d = l см, и наружным
D = 2cm; длина катушки / = 1,5см. Провод—круглый с диаметром попе-
речного сечения do = 0,l мм Число витков катушки w = 10000.
Решение. Средняя длина каждого витка
, d + D _
= я — = 4,71 см.
Суммарная длина проволоки
lt — lw =4,71-10000 = 47100 см = 471 м.
ПО
Поперечное сечение проволоки
Сопротивление проволоки в холодном состоянии (при температуре
t = 20° С)
_ 471
Г°~ sy 0,0788-57 65 0М'
Сопротивление проволоки в нагретом до 70° С состоянии
rt = r0 (1 + a St) = rt = r„ [ 1 + 0,004 (70—20) ] = 65 • 1,2 = 78 ом.
Следует отметить, что нагрев проволоки на 50° С приводит к увеличе-
нию ее сопротивления на 20%.
§ 4.3. Различные виды соединений элементов
электрических схем
Соединение элементов электрической схемы замещения или
электрической цепи называется последовательным, если в них
может быть только общий
ток /(рис. 4.8). Напряжения
Ui на последовательно сое-
диненных пассивных элемен-
тах при одном и том же токе
/ пропорциональны их соп-
ротивлениям г,-:
Ц = г,/.

Мощности потребления °«с. 4.8
Pj на участках последова-
тельной пассивной цепи так же пропорциональны сопротивле-
ниям:
Pi = riP.
Соединение элементов называется параллельным, если они
могут находиться под одним и тем же напряжением U (рис. 4.9).
Токи в параллельно соединенных пассивных элементах распре-
деляются пропорционально их проводимостям gt:
h = gV-
Мощности потребления Р;- отдельных ветвей такой цепи
также пропорциональны проводимостям gt:
Pi = giU2-
Последовательные и параллельные соединения применяются
и для активных элементов электрических схем.
Любое другое соединение элементов дает разветвленную
(сложную) схему или цепь. Примером разветвленной схемы или
111
цепи является мостовая схема (рис. 4.10). Если в схеме при-
менены последоватетьное и параллельное соединения, то такая
схема называется последователь-
но-параллельной, или смешанной
(рис. 4.11).
Встречаются схемы, состав-
ленные из некоторого количества
Рис. 4.9
однообразно включенных одинаковых элементов. Такие схемы
называются цепочечными (рис. 4.12). Число элементов в этих
схемах может быть произвольным и даже бесконечно большим.
Если каждый элемент цепочки может быть отнесен только
Рис 4.11
Рис. 4.12
к элементарной длине (например, к дифференциалу длины
линии), то пользуются понятием о цепи с равномерно распреде-
ленными параметрами, рассматриваемой в дифференциальной
форме. Электрические цепи, не требующие такого рассмотрения,
называются цепями с сосредоточенными параметрами.
112
В разветвленной цепи с сосредоточенными параметрами каж-
дый неразветвленный участок, соединяющий две узловые точки,
называется ветвью. Точка (место) соединения нескольких (больше
двух) ветвей называется узлом, а совокупность элементов схемы,
встречающихся по пути непрерывного обхода по ветвям, назы-
вается контуром. Если обход произведен так, что его конец
совпадает с началом, то контур является замкнутым. В даль-
нейшем для упрощения будем считать, что каждая ветвь может
содержать только одно сопротивление (или проводимость) и
только одну э.д.с.
Математические условия, которым удовлетворяет электриче-
ское состояние любой электрической цепи или схемы замещения,
называются уравнениями состояния. Уравнения состояния можно
записать в разных формах в зависимости от выбора переменных.
§ 4.4. Уравнения Кирхгофа
Непрерывность электрического тока и невозможность по-
стоянного накопления зарядов в проводящей цепи приводят
к условию баланса токов, согласно которому алгебраическая
сумма токов, протекающих сквозь любую замкнутую поверх-
ность, выделенную в проводящей
схемы замещения (рис. 4.13),
равна нулю. При этом положи-
тельные знаки обычно припи-
сываются токам, выходящим из
поверхности S, а отрицатель-
ные— токам, входящим внутрь
поверхности *. В таком случае
указанное условие имеет следу-
ющий вид:
£/ = 0, (4.1)
где I—ток ветви, рассекаемой
замкнутой поверхностью.
Уравнение (4.1) можно при-
менить к любому узлу схемы
(рис. 4.13, точки / и 2). При
узла схемы, должны быть вз5
среде электрической цепи или
этом все токи, направленные от
ты с одним знаком, например,
С положительным, а противоположно направленные — с обратным
* Такие знаки согласуются с аналитическим определением тока через
вектор плотности тока 6 сквозь замкнутую поверхность S по формуле
(j)6dS = O. Так как направление положительной нормали к каждому эле-
менту замкнутой поверхности dS выбирается наружу, то токи, направлен-
ные внутрь поверхности, получаются с отрицательными знаками, а токи,
направленные от поверхности,— с положительными.
8
Теоретические основы электротехники, ч. I
113
(отрицательным). Если к данному узлу присоединен источник
тока, то ток, вырабатываемый этим источником, также должен
быть учтен при суммировании.
Уравнение (4.1) применяется к любому узлу схемы. Оно изве-
стно под названием первого закона Кирхгофа: алгебраи-
ческая сумма токов в узле равняется нулю.
В некоторых случаях рекомендуется это уравнение записы-
вать в виде равенства суммы токов одного направления сумме
токов другого направления.
Из дальнейшего будет видно, что в ряде случаев целесооб-
разно писать в одной части равенства (4.1) алгебраическую
сумму токов в ветвях, а в другой части — алгебраическую сумму
токов, обусловленных источниками тока:
где I—ток в одной из ветвей, присоединенной к рассматри-
ваемому узлу, a J—ток одного из источников тока, присоеди-
ненного к тому же самому узлу.
Таким образом, первый закон Кирхгофа дает уравнения
состояния, называемые узловыми.
Однозначность электрического потенциала приводит к условию
(неоднократно применявшемся ранее) баланса напряжений по
любому замкнутому контуру схемы замещения электрической
цепи. Уравнение баланса напряжений записывается в виде
2 е = 2^ (4.2)
и формулируется следующим образом: в любом (замкнутом)
контуре алгебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме
напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур.
При этом положительные знаки принимаются для токов и
э.д.с., заданные или произвольно выбранные направления
которых совпадают с произвольно выбранным направлением
обхода рассматриваемого контура, и наоборот.
Уравнение (4.2) известно под названием второго закона
Кирхгофа, а уравнения состояния для электрической цепи,
написанные на основании этого закона, называются контурными
уравнениями.
Совокупность уравнений (4.1) и (4.2) дают возможность по-
лучить необходимые и достаточные уравнения для любой элект-
рической цепи, определяющие ее электрическое состояние.
Чтобы составить уравнения состояния, необходимо выбрать
положительные направления токов (если они неизвестны) во всех
ветвях схемы. Действительные направления токов могут не
совпадать с выбранными; тогда в результате решения их числен-
ные значения получаются с отрицательными знаками. Кроме
того, нужно выбрать независимые контуры и направления их
обхода.
114
Следует иметь в виду, что не все узловые и контурные
уравнения являются взаимно независимыми. Если схема имеет у
узлов, то взаимно независимыми являются только у—1 узловых
уравнений, так как всегда уравнение для последнего узла можно
получить из предыдущих, поскольку каждая связанная с ним
ветвь имеет второй конец и ток в ней может быть выражен
через токи других ветвей. Из условия однозначности режима
следует, что суммарное число уравнений должно быть равно
числу ветвей схемы, так как только в этом случае при задан-
ных параметрах схемы может быть определено ее электрическое
состояние. Следовательно, число взаимно независимых контур-
ных уравнений определяется следующим условием:
К = e—(i/—1),
где в—число ветвей,
При составлении уравнений на основании второго закона
Кирхгофа следует обращать особое внимание на то, чтобы по-
лучаемые уравнения были взаимно независимы и связаны между
собой. Необходимо выбирать контуры так, чтобы в них входили
все ветви схемы, а в каждый из контуров—возможно мепыпее
число ветвей. Не рекомендуется выбирать контур, который
включает только ветви, уже вошедшие в другие контуры, так
как такой контур, как правило, получается зависимым от дру-
гих. Действительно, определив из других уравнений напряже-
ния на составляющих его ветвях, можно получить уравнение
для соответствующего контура. Для обеспечения взаимной
связи между уравнениями рекомендуется, чтобы при выборе
каждого нового контура, начиная со второго, в него входило
не меньше одной старой и одной новой ветви. При этом следует
производить проверку соответствия числа составленных уравне-
ний приведенному выше условию.
Отмеченные положения дают возможность сформулировать
следующее правило: если каждый новый контур, для которого
составляется уравнение, выбирать так, чтобы он имел не меньше
одной старой и одной новой ветви и его нельзя получить из кон-
туров, для которых уже написаны уравнения, путем мысленного
удаления из этих контуров общих ветвей, то такие контуры
будут всегда независимыми. Например, контур 1—2—3—4—1
(рис. 4.10) можно получить из контуров 1—2—4—1 и 2—3—4—2
путем удаления ветви с сопротивлением rs, являющейся общей
для указанных контуров. Поэтому уравнение для контура
1—2—3—4—1 получается суммированием или вычитанием урав-
нений для контуров 1—2—4—1 и 2—3—4—2.
Пример 4.4. Составить уравнения электрического состояния для мосто-
вой схемы, изображенной на рис. 4.10.
Решение. Число ветвей схемы в = 6, а число узлов р-4, из которых
только у—1=3 являются взаимно независимыми. Поэтому число незави-
симых контуров схемы К--в—р-{-1=6—44-1 = 3. Прежде чем составить
8*
115
уравнения, необходимо указать на схеме положительные направления (про-
извольно) токов во всех ветвях (рис 4.10). За взаимно независимые узлы
можно принять любые три узла, например 1, 2 и 3. Для этих узлов спра-
ведливы следующие уравнения:
для узла 1 li-Ylj, —1 = 0',
для узла 2 — Ii = 0',
для узла 3 1 —13 —14 — 0.
В качестве независимых можно выбрать контуры 1—2—4—1, 2—3—4—2 и
/—4—3—1.
Если направление обхода для каждого контура выбрано, например,
по часовой стрелке, то контурные уравнения имеют следующий вид:
для контура 1—2—4—1
0= Г113 + —
для контура 2—3—4—2
0 = r,l,—r4I4—rsIs;
для контура 1—4—3—1
е = r2/g -j- Г4/4 г/.
Нетрудно видеть, что полученные уравнения остаются справедливыми и
при выборе других положительных направлений токов относительно любых
узлов схемы и других направлений обхода любых контуров, так как это
одновременно приводит к изменению знаков у всех слагаемых в обеих
частях соответствующих уравнений.
Пример 4.5. Составить уравнения электрического состояния для схемы,
изображенной на рис 4.14 Эта схема содержит источник тока (задающий
Рис. 4.14
применить формулировку первого
ток) J. Число ветвей в = 4; число узлов
у — 3, из которых два — взаимно неза-
висимые. Число взаимно независимых
контуров К = 2. На рис. 4.14 обозначе-
ны токи во всех ветвях и показаны
их положительные направления.
Решение. Уравнения для узлов
1 и 2 имеют следующий вид:
/1 + /2—/4 —0.
Токи ветвей, направленные от узлов,
записываются с положительным зна-
ком, а к узлам —с отрицательным.
Если для узлов с задающими токами
закона Кирхгофа в виде ^1 = ^4, то в
уравнениях, вытекающих из этого закона, токи источников тока, направ-
ленные к узлу, записываются с положительными знаками, а от узла —
С отрицательными. Например, для узла 1 уравнение имеет вид:

При направлении обхода контура 1—2—1 по часовой стрелке, а контура
1—2—3—1—против часовой стрелки, на основании второго закона Кирх-
гофа получаются уравнения:
«1 = ''1Л + г4/4;
е., = г2/2 + r s^s + rJt-
Легко заметить, что во всех случаях узловые и контурные
уравнения имеют одинаковую структуру, что дает возможность
116
представить их в более общем виде системой уравнений в ка-
нонической форме. В общем случае сложной схемы уравнения
электрического состояния (4.1) и (4.2) представляют собой си-
стему, состоящую из в алгебраических уравнений следующего
вида:
Я11Л • • +а!в/в = At
Й2 1Л + fl22^2 + • • • +fl2B /в = Л2
^bi^i “Ь &вг^2 ^вв^в ^в
Эти уравнения не являются однотипными.
В узловых уравнениях коэффициенты имеют нулевую
размерность и могут принимать только значения ± 1 или О
(если соответствующая ветвь не присоединена к данному узлу).
Величины A—j^J имеют размерность тока и равны пулю, если
I
в данном узле / нет задающих токов.
В контурных уравнениях коэффициенты atJ имеют размер-
ность сопротивления, а величины А; = ^е—размерность потен-
t
циала и равны нулю, если в контуре нет э.д.с. Если /-я
ветвь входит в i-й контур обхода, для которого составляется
уравнение, то должно быть (i К):
а если не входит, то
а,.у = 0.
Если в каждой ветви схемы имеется не больше одной э. д. с.
и число э. д. с. не превышает числа взаимно независимых кон-
туров, то можно так выбрать независимые контуры, чтобы каж-
дый свободный член Л,- содержал только по одной э.д.с.
Уравнения (4.3) можно записать в более общей форме, если восполь-
зоваться матрицами (см. приложение 1):
а! = А,
где а—квадратная матрица коэффициентов,
^11 ^12 • • ^1В
^21 й22 • • • ^2В
^В1 ^В2 • • * ^ВВ
— Il aiJ ll, >
I — матрица-столбец токов ветвей
(при i = 1,
в)
11?
я А — матрица-столбец активных параметров
А =
А,
А2
(при i=l.......в).
в
Так, для схемы, изображенной на рис. 4.14, уравнения, полученные
в примере 4.5, можно записать в матричной форме, если принять*;
—10—1 1
11 0—1
г, 0 0 г4
о Гг rt rt
—J
i 0
и А= е,
§ 4.5. Уравнения контурных токов
В качестве независимых переменных можно выбрать токи,
условно замыкающиеся по сопротивлениям независимых конту-
ров. Удобство такого выбора независимых переменных заклю-
чается в том, что если схема не содержит источников тока, то
узловые уравнения при этом всегда удовлетворяются, а число
неизвестных токов уменьшается на число независимых узловых
уравнений, т. е. на у—1.
В схеме с источниками тока требуется заранее распределить
задающие токи по ветвям схемы. Для этого достаточно принять
ток каждого из источников тока как бы замыкающимся по ветвям
любого незамкнутого контура, дополняющего ветвь с источни-
ком тока до замкнутого контура. Напряжения, обусловленные
током такого источника на каждом из сопротивлений контура,
учитываются при записи правой части уравнений (4.2). Однако
эти напряжения можно также учесть с обратным знаком в левой
части тех же уравнений в виде э.д.с. Возможность такого
решения следует из однозначной зависимости тока каждой ветви
схемы от значений контурных токов и из равенства числа кон-
турных токов числу независимых уравнений.
Пример 4.6. Пользуясь законами Кирхгофа, составить уравнения кон-
турных токов для схемы, показанной на рис. 4.15.
Решение. Количество ветвей в заданной схеме в = 6, а число узлов
</ = 4. Следовательно, число независимых контуров К = в—
* Здесь такая запись дана только в порядке иллюстрации. Справедли-
вость приведенной записи можно проверить путем непосредственного умно-
жения матриц и сравнения полученных таким образом уравнений с соот-
ветствующими уравнениями, приведенными в примере 4.5.
.118
На основании второго закона Кирхгофа для контуров 1—4—1, 1—2—
3—4—1 и 3—2—3 легко получить следующие уравнения:
е,=гЛ + г5/,;
В 2 ^4 = ^2^2 “F 7"в^в “Ь 4^4
е3 = ^/3+^/8.
Если в этих уравнениях заменить Is = Il—/2, а /в=/2 + /г и учесть, что ток
то после группировки слагаемых контурные уравнения приобретают-
вид:
е1 — (Г1 + Гз) 11 ГЪ^2’
«2—«4= (r2 + r,+ r4+rs) /2—г,Л +г,/,;
e» = {ra + rt) lt + rtIt.
Эти уравнения содержат только контурные токи /2 и /2, замыкаю-
щиеся по ветвям соответствующих контуров (рис. 4.15). Из полученных.
уравнений непосредственно следует, что первый закон Кирхгофа всегда-
удовлетворяется, так как каждый контурный ток в одной из ветвей кон-
тура направлен к узлу, а в другой — от того же узла.
Пример 4.7. Пользуясь законами Кирхгофа, составить уравнения кон-
турных токов для схемы, изображенной на рис. 4.14.
Решение. На основании второго закона Кирхгофа нетрудно для.
заданной схемы получить уравнения:
ei=G/i+rA;
е2 = + r2^2-
Если в этих уравнениях заменить токи /4 и 1а по формулам /4=/1+/2 и
/s = /2-f-J и обозначить raJ через е., то контурные уравнения приобретают
следующий вид:
в1 = (п + г4) /1 4-r4Za;
«2— es = (г2 + г» + г4) 12 +
Этим уравнениям удовлетворяет эквивалентная схема, представленная
на рис. 4.16, где источник тока заменен источником э.д.с. еа. Если в ос-
новных уравнениях сохранить токи /, и /2 как контурные, а токи Z4 и /2
исключить из уравнений с помощью формул /4 = /t4-/s—J и Z2 = /a—J,
то после группировки слагаемых получаются следующие контурные урав-
нения:
Bi+e4=(''i + ''4) li + rtIa,
B2 + e2 + e4=r4^ + (r2+ ,4 + Г2) /»•
11»
Полученным уравнениям удовлетворяет эквивалентная схема, показан-
ная на рис. 4.17. В этом случае ток источника тока как бы замыкается
по ветвям с сопротивлениями г4 и г2 и заменен двумя источниками э. д. с.
e4 = r4.f и e’=r2J.
Рис. 4.16
Во многих случаях можно выбрать независимые контуры
и направления обхода так, чтобы напряжения от токов собст-
венных контуров получались с положительными знаками, а от
токов других контуров—с отрицательными знаками.
Поскольку в общем случае ток каждой ветви схемы можно
выразить через сумму контурных и задающих токов, т. е.
Ii — ^I + > то контурные уравнения принимают следующий
I Z
вид:
ПЛ 4-пЛI
Г 14* Г 22^ 2'1 •••*!* = I
+ -\-rkkIk = eck J
Число таких уравнений всегда равно числу К взаимно неза-
висимых контуров схемы. Уравнения (4.4) получаются, в отли-
чие от уравнений (4.3), однотипными. В этих уравнениях коэф-
фициенты г,у являются пассивными параметрами схемы и имеют
размерность сопротивления: г,у = 2г (3Десь суммирование рас-
I
пространяется на часть контура, по которой замыкается ток /.).
В этих же уравнениях" величины eci являются активными пара-
метрами схемы и имеют размерность напряжения (потенциала):
= + (4.5)
(здесь суммирование распространяется на все э. д. с. i-ro кон-
тура и на ту часть того же i-ro контура, по ветвям которой
замыкаются токи J. Из (4.5) видно, что действие задающих
токов аналогично действию э. д. с.
Диагональные коэффициенты системы контурных уравнений
(с двумя одинаковыми индексами) определяются путем сумми-
120
рования сопротивлений всех ветвей, образующих контуры
r(i =^r, и называются собственными сопротивлениями контуров.
I
Если контуры i и / имеют общую ветвь, по которой замы-
каются токи и Ij, то в уравнении для i-ro контура коэффи-
циент г,-- определяет падение напряжения от тока I контура /,
а в уравнении для /-го контура коэффициент rj; определяет
падение напряжения от тока /, контура i.
Сопротивления вида г{}-^=г^ (с двумя различными индексами)
называются общими сопротивлениями контуров i и /.
Если контуры i и / не имеют общих ветвей, то, вследствие
равенства г(у=Гд = 0 соответствующие слагаемые в контурных
уравнениях также равны нулю.
При произвольно выбранных положительных направлениях
контурных токов, после замены источников тока источниками
э. д. с., должны быть взяты в каждом уравнении (4.4) положи-
тельные знаки для токов и э. д. с., положительные направления
которых совпадают с произвольно выбранным направлением
обхода соответствующего контура.
Здесь следует особо подчеркнуть, что равенства общих сопротивлений
вида гjгji в уравнениях (4.4) справедливы в тех случаях, когда при
составлении этих уравнений независимые контуры совпадают с контурами,
по которым замыкаются соответствующие контурные токи. Например,
в уравнениях, составленных для схемы, изображенной на рис. 4.15, общие
сопротивления для трех контуров с токами /2 н Z, равньг
Г\2 — ^*21— Gj —Г82—
Если для той же схемы (рис. 4.15) выбрать один контур из сопротив-
лений г, и г5, а два других контура — из сопротивлений гп г2 л6, г4 и
ri> r2> rs> г4> то легко получить систему уравнений:
('i + 'JA — z'5^2=^;
Г Л + С г + + ri) !г—= et + е2—
Г1Л +(г2 + г4) Z2—riIt=el-[-ei—е3 — et.
Из этих уравнений непосредственно следует, что rj2 = rs, rJi = ri, =
rs2 = r2 + r4> что подтверждает отмеченные выше положения.
Уравнения (4.4) можно записать с помощью матриц в следующем виде:
гк1к = е,
где гк—квадратная матрица контурных сопротивлений
''11''.2- • -fyk
^21^22' • ^2к
=1и-Х
rkirk2 • • rkk
IK—матрица — столбец контурных токов
Z,
/2
= 11 ЛИ
(прн < = 1.. ./г);
121
е—матрица-столбец контурных э. д. с.
е =
«1
ek
= //М1
(при i = 1.. .k).
Такая форма уравнений дает возможность сократить запись и сделать
ее более наглядной.
Например, для схемы, изображенной на рис. 4.15, легко получить:
§ 4.6. Уравнения узловых потенциалов
Если в качестве независимых переменных принять потен-
циалы узлов, то необходимость в составлении контурных урав-
нений отпадает вследствие однозначной зависимости разностей
потенциалов от токов ветвей и равенства числа узловых урав-
ний числу напряжений между зажимами ветвей. При этом
потенциал одного из узлов может быть произвольно задан
и в частности принят равным нулю, а число независимых узло-
вых уравнений всегда должно быть на единицу меньше числа
узлов и равно у—1.
Если схема содержит источники тока, то так же, как и при
составлении контурных уравнений, можно заменить источники
тока источниками э. д. с., исключив тем самым из схемы ветви
с задающими токами.
Пример 4.8. Пользуясь первым законом Кирхгофа и законом Ома для
участка цепи с сопротивлением и э. д. с., составить уравнения узловых
потенциалов для схемы, изображенной на рис. 4.14, если кроме парамет-
ров, показанных на этой схеме, в ветви с сопротивлением г4 имеется
э. д. с. е4. направленная от первого ко второму узлу.
Решение. Так как заданная схема содержит три узла (считая узел
с источником тока), то число независимых уравнений узловых потенциалов
равно у—1=2.
Пусть потенциал одного узла, например третьего, равен нулю, а потен-
циалы двух других узлов равны q>, и ф2. Тогда токи во всех ветвях задан-
ной схемы определяются через потенциалы узлов и параметры ветвей по
формулам (см. пример 4.2):
Л = (ф2—<Pi + ei)gi; /2=(ф2 + е2)£2:
Л = — Ф1£>; Ц =(Ф1 —ф2 + е4)Я4-
С помощью первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 можно записать:
74 + </——Z, = 0 и Zi + Za—Z4 = 0,
422
Если в этих уравнениях заменить токи через потенциалы и параметры
ветвей, то после группировки слагаемых получаются уравнения с узло-
выми потенциалами <pt и <р2:
Я11Ф1 812ф2 = е1Я1 etgt Ji
— Я21Ф1 + Я22Ф2 = «4^4—«igl—«2^2,
где собственные проводимости узлов gti = gt +ga + gi и gall=gi+gt + g»
равны сумме проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к уз-
лам 1 и 2, а общая проводимость между узлами gi2 = g2i —gi + g4 равна
сумме проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2.
Правая часть первого уравнения представляет собой алгебраическую
сумму произведений э. д. с. на соответствующие проводимости тех ветвей,
которые присоединены к рассматриваемому узлу, и тока источника тока,
подключенного к тому же узлу. Аналогичный смысл имеет правая часть
второго уравнения.
Произведение вида eg берется с положительным знаком в том случае,
когда э. д. с. направлена к рассматриваемому узлу, и с отрицательным,—
когда э. д. с. направлена от узла. Такое же правило применяется и для
определения знаков задающих токов (источников тока). Следует особо
подчеркнуть, что структура узловых уравнений для любой схемы не зави-
сит от выбранных положительных направлений токов в ветвях.
Если в схеме, изображенной на рис. 4.14, источник тока заменен
источником э. д. с. ea = raJ, то в эквивалентной схеме (рис. 4.16) остается
лишь два узла 1 и 2, а число независимых узловых уравнений становится
равным у—1 = 1. В эквивалентной схеме, показанной на рис. 4.16 (при
наличии э. д. с. е4 в ветви с сопротивлением г4) токи ветвей при ф2 = (Х
определяются по формулам:
/! = («,— (pjg/, Z2= (ев—es —<pi) g2S; Z*= (е4 4-<р,) £f4-
После замены токов в уравнении I, — Ц — 12 = 0 их выражениями полу
чается узловое уравнение с одним потенциалом
Ф1 (gl + St + gss) = Mi + ezg!> — M4— e,gs„
где 1
g2S==7 , _ > et — raJ-
r2T'i
Пример 4.9. Составить уравнения узловых потенциалов для схемы,,
изображенной на рис. 4 18.
Решение. Положив потенциал одного из узлов, например второго,,
равным нулю, легко получить (независимо от выбранных положительных'
123-
направлений для токов) узловые уравнения с потенциалами cpt и ф8 в еле*
дующем виде:
(Я, + g, + g<) <Р1—ДдФз = e,gi;
*~Я4ф1 + (?з + 84) фз —
Если из этих уравнений исключить потенциал <ps, то получится уравнение
с одним потенциалом <р,, т. е.
(gl + ёг + Я24) Ф1 = в1Я1 + «2^24 + «2^34.
где
1 ' г
S24 — — ,, е2 —r2J.
' 2~Г '4
Это уравнение непосредственно получается также из схемы, представ-
ленной на рис. 4.19, в которой источник тока заменен источником э. д. с.
e2 = r2J, а потенциал второго узла принят равным нулю.
Аналогичным путем можно получить узловые уравнения для схем более
общего вида.
На рис. 4.20 изображена одна ветвь схемы, присоединенная
между узлами i и j и содержащая, кроме э. д. с. е(у и сопро-
тивления г;у, алгебраическую сумму задающих токов (источни-
ков тока), замыкающихся через эту ветвь. Для такой ветви,
очевидно, справедливо следующее равенство:
Ф/^Ф.+^-^/.у-г^/,
124
откуда
7 V = (eij + Ф> — Фу) gif~ 2 J > И -6)
где
Полученная формула представляет собой аналитическое вы-
ражение закона Ома в наиболее общей форме для участка цепи
с э. д. с. и задающими токами, замыкающимися через рассмат-
риваемую ветвь.
Если схема имеет в своем составе у узлов (не считая узлов,
получающихся только от присоединения к схеме источников
тока), то, ' положив потенциал, например, у-го узла равным
нулю, для остальных у—1 узлов легко получить с помощью
первого закона Кирхгофа (4.1) и закона Ома (4.6) (у—1) урав-
нений следующего вида:
£пФ1 — §12ф2— • • — gl (у-1)фу-1=<1
§2 1Ф 1 + йагФа • • • gi (у- 1) Фу- 1 сг
^>(у-1_>1Ф1 ё\у-2)гФг •••-Ь&у-1)(у-1)Фу-1 (у-1)
Полученные уравнения являются однотипными. Все коэффи-
циенты gtj = gji, как было показано, имеют размерность прово-
димости, являются пассивными параметрами схемы и называются
общими проводимостями узлов; величины Jci имеют размерность
тока и являются активными параметрами той же схемы.
Если данный узел г, для которого составляется уравнение,
имеет общие ветви с узлами /, то собственная узловая прово-
димость = азадающие токи Jc! = /, 4-/> гДе СУММИ-
i ‘l
рование распространяется на все ветви, присоединенные к узлу i.
При этом, как уже было отмечено, задающие токи и произ-
ведения вида e^gij, направленные к t-му узлу, записываются
в уравнениях (4.7) с положительными знаками, а направленные
от Его узла, — с отрицательными. Общая проводимость g^
(с двумя различными индексами) равна сумме проводимостей
ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы i и /.
Если данный узел I, для которого составляется уравнение, не
имеет непосредственной связи с узлом /, то gl7 = g-y. = 0. Таким
образом, коэффициенты g;j записываются симметрично относи-
тельно главной диагонали, по которой располагаются коэффи-
циенты g(i.
Если последнее уравнение в системе (4.7) составить для заземленного
«/то узла [вместо (у—1)-го], то, аналогично контурным уравнениям, равен-
ство коэффициентов gij=gji в системе уравнений (4.7) нарушается. В этом
легко убедиться путем непосредственной проверки соответствующих узловых
Уравнений для любой узловой схемы с числом узлов у > 2.
125
В уравнении для i-ro узла системы (4.7) проводимость gi} опре-
деляет составляющую тока, обусловленную потенциалом узла /,
а в уравнении для узла j проводимость gjt— составляющую
тока, обусловленную потенциалом узла i. Если в данном <-м
узле, для которого составляется уравнение, нет задающего тока,
а также э. д. с. в ветвях, непосредственно соединенных с этим
узлом, то Jc,= 0.
Преимущества и недостатки каждой из форм записи уравне-
ний электрического состояния цепи будут рассмотрены в даль-
нейшем при расчете цепей.
Здесь лишь следует отметить, что уравнения Кирхгофа со-
держат все параметры схемы в их исходном виде; уравнения
контурных токов и узловых потенциалов частично содержат
обобщенные параметры. Однако уравнения контурных токов
и узловых потенциалов составляются в меньшем количестве,
являются однотипными и при соответствующей записи содержат
симметрично расположенные коэффициенты.
При помощи матриц уравнения (4.7) записываются, аналогично уравне-
ниям Кирхгофа и контурных токов, в следующем виде:
gy<P = J.
где gy—квадратная матрица узловых проводимостей
Яи £12- • • gl (у - 1)
gy — &21 §22’ • • &2(у-1) = Н мг1
И(у_1) 2- • g<y-i)(y-i)
<р — матрица-столбец потенциалов узлов
(при i=l...y— 1)
и J—матрица-столбец задающих токов в узлах
(при 1 = \...у — 1).
§ 4.7. Изменение масштабов и применение относительных
единиц
Уравнения состояния электрических цепей остаются в силе при записи
их в любой форме, если входящие в них величины е, I и г заменить соот-
ветственно н§ величины е', Г и г', если е'=/пее, Г —mg и г' = тгг при
условии, что масштабные коэффициенты те, т^ и тг связаны между собой
соотношением
щ£ = /пг/п,. (4.8)
126
Это позволяет при расчетах электрических цепей или их моделировании
произвольно выбирать любые два из указанных выше масштабных коэффи-
циентов, тогда третий определяется из условия (4.8).
Пример 4.10. Рассчитать режим электрической установки с помощью
электрической модели, источник питания которой имеет э.д.с., равную 4 в,
а токн в ветвях должны быть равны =5=1 а.
Решение. Пусть известно, что в исследуемой установке напряжения
имеют значения порядка 3000 в, а токи на отдельных участках дости-
гают 1000 ». Поэтому для выполнения расчета приходится принимать сле-
дующие масштабные коэффициенты
те=т/= 1000.
Следовательно, все напряжения и токи в модели получаются в 1000 раз
меньше, чем в исследуемой установке. При этом из (4.8)
т. е. все сопротивления в модели не изменяются в масштабе.
Специальные расчеты часто выполняются в относительных единицах.
При этом выбираются некоторые исходные величины токов, напряжений
и сопротивлений, которые называются базисными, и все одноименные вели-
чины выражают в долях от этих базисных. Получаемые таким путем величины
оказываются как бы безразмерными. Можно, например, так подобрать
базисные величины, чтобы Получались более удачные для выполнения рас-
четов численные значения.
Пример 4.11. Выполнить в относительных единицах расчет режима
электрической цепи с напряжением порядка 200 в и токами в несколько
десятков ампер. За единицу напряжения принять U$ = — =100 в, а за
единицу тока — /g = — =10 а.
tn j
Решение. Единица сопротивления
'6 =
1б
1 т1
— =—= 10 ом.
тг те
Численные значения напряжений, токов и сопротивлений, выраженных
в относительных единицах, будут более близкими к единице, что облегчает
выполнение вычислений. Так, если (7 = 200 в, / =50 а и г = 4ол«, то в отно-
сительных единицах эти величины
и -200 , _50 г ^±_04
и*~юо ’ *_ю ’ r*-i0-u>4-
Величины, выраженные в относительных единицах, получаются путем деле-
ния размерных величин на базисные:
,, U , I г
и * = гг'> 1» = Т и г * = 7" •
1>б z6 г6
Наоборот, величины, выраженные в размерных единицах, получаются из
относительных путем умножения на соответствующие базисные значения
U = u*u6'- Г = 1»^6 и г = г»г6-
Величины, выраженные в относительных единицах (или долевых), при умно-
жении на 100 получаются записанными в процентах:
(7% = (7t.100; /% = /*-100; r% = r..l00.
Применение относительных единиц может давать и некоторые другие
преимущества. Так, например, многие величины, выраженные в относи-
тельных единицах (илн в процентах), остаются неизменными для устройств
127
с разными номинальными напряжениями, равными значениям номинальных
мощностей и т. д , если за базисные условия приняты номинальные дан-
ные для этих устройств. Иногда величины, выраженные в относительных
единицах, получаются более показательными. Так, например, потери мощ-
ности в электроснабжающей установке, выраженные в процентах от мощ-
ности на входе, более показательны, чем выраженные в размерных еди-
ницах. Однако при расчете в относительных единицах требуется некоторая
осторожность.
§ 4.8. Задачи расчета электрических цепей
Поскольку электрическая цепь составляется из отдельных
элементов, а ее электрическое состояние определяется всеми
параметрами, то для получения желаемого режима необходимо
иметь определенное соответствие между параметрами отдельных
элементов. В большинстве практических случаев в связи с этим
приходится производить аналитические или графические расчеты,
проводить экспериментальные исследования на лабораторных
установках или при помощи моделей. В последних случаях
также требуется выполнение некоторых ориентировочных расче-
тов для наиболее характерных или предельных режимов.
Расчет электрической цепи, как правило, выполняется с целью
определения параметров рабочего режима — значений токов
и напряжений или потенциалов — или с целью определения не-
обходимых параметров отдельных элементов цепи для получения
заданного рабочего режима. Однако бывают и более сложные
случаи, когда при некоторых заданных параметрах цепи и не-
которых желаемых параметрах для различных участков цепи
необходимо определить остальные величины, чтобы одновременно
проверить допустимость требуемого режима и выяснить условия
его осуществления.
Если известны (из специальных расчетов или измерений)
параметры отдельных элементов схемы замещения цепи —сопро-
тивления, э. д. с. и задающие токи, а требуется определить
токи в ветвях и напряжения или потенциалы в некоторых или
во всех точках цепи, то задача сводится к определению рабо-
чего режима, т. е. к анализу схемы замещения.
Пример 4.12. Проверить возможность присоединения к зажимам источ-
ника питания с э. д. с. е=100в н внутренним сопротирлением гв = 6 ом
некоторого устройства, обладающего сопротивлением г = 10 ом, если источ-
ник питания допускает ток не более 8 а, а напряжение на зажимах при-
соединяемого устройства не должно быть меньше 70 в.
Решение. Ток в цепи
, е ЮО
/ = —;— = g , 6,25 а,
гв + г 6+10
напряжение на зажимах
U — rI = e—raI= 10-6,25= 100—6-6,25 = 62,5 в.
128
Из полученных результатов видно, что ток в цепи является допустимым
для источника питания, а напряжение на зажимах присоединяемого устрой-
ства очень мало.
Если известен желаемый режим, т. е. токи в ветвях и напря-
жения на отдельных участках цепи (или потенциалы), и тре-
буется определить параметры некоторых ветвей цепи, при кото-
рых можно получить этот рабочий режим, то задача прибли-
жается к синтезу цепи, т. е. к определению параметров цепи,
обеспечивающих заданные свойства.
Общие задачи синтеза цепей весьма сложны и в данном
курсе почти не рассматриваются. Практически довольно часто
приходится решать только простейшие задачи.
Пример 4.13. Определить пределы изменения сопротивления реостата
который следует включить в цепь батареи аккумуляторов, состоящей из
п = 12 банок, если эта цепь создается в целях зарядки аккумуляторов,
причем зарядка производится от источника питания с э.д.с. е = 36 в и вну-
тренним сопротивлением гв = 4 ом.
Решение. Известно, что э.д.с. аккумуляторов в начале зарядки
составляет е, = 1,4 в на каждую банку, а в конце — 2,4 в, при этом зарядный
ток должен быть равен / = 1,5 а.
Из условия баланса напряжений в цепи (второго закона Кирхгофа)
e^e^ + I (гп + г)
определяется сопротивление реостата в начале зарядки е^е.п 36—1,4*12 л оо г =—г2 гв= =-= 4 = 8,8 ом, 1 1,0
а в конце , 36-2,4-12 , nQ г = г3? 4 = 0,8 ом. 1 >0
Перед выполнением любого расчета целесообразно оценить
точность определения численных значений искомых величин.
Это необходимо для выбора метода расчета и расчетных средств,
так как требуемая точность результатов в какой-то мере влияет
на точность выполнения отдельных вычислительных операций.
Для ориентировочного расчета часто бывает достаточно опреде-
лить искомые значения с точностью до одной-двух значащих
цифр. В то же время в ряде случаев требуется определение
численных значений величин с тремя-четырьмя значащими
цифрами.
§ 4.9. Алгебраические методы решения
уравнений состояния
Уравнения состояния электрической цепи (схемы замещения)
дают возможность определить любые входящие в них величины,
если число неизвестных равно числу взаимно независимых
уравнений, а прочие величины являются известными.
9 Теоретические основы электротехники, ч 1 129
Обычно наиболее просто решение выполняется в случаях
линейных схем, но только тогда, когда уравнения получаются
линейными. При этом можно воспользоваться любым известным
способом решения системы линейных алгебраических уравнений.
Следует отметить, что при определении параметров схемы заме-
щения, даже в случае ее линейного характера, система уравне-
ний может оказаться нелинейной, если искомые величины входят
в виде произведения.
Одним из простейших способов решения уравнений состояния
при любой форме их записи является уже неоднократно при-
менявшийся прием, основанный на вычислении определителей.
Он удобен тем, что дает возможность сразу произвести запись
решения. Его недостаток — громоздкость вычислений в случае
большого числа совместно решаемых уравнений (высокого поряд-
ка определителей).
В последнее время разработаны новые методы расчета цепей,
основанные на применении графов и топологических понятий.
Эти методы во многих случаях значительно облегчают анализ
цепей. Поскольку такие вопросы не входят в программу курса
ТОЭ, то в данном пособии они не рассматриваются.
Более простым и привычным можно считать способ исклю-
чения неизвестных с постепенным уменьшением числа уравнений
в системе. На каком-то этапе такого расчета может быть при-
менен и способ определителей.
Общим существенным недостатком способа непосредствен-
ного решения систем из большого числа линейных алгебраиче-
ских уравнений является значительное количество последо-
вательно выполняемых арифметических операций, приводящих
в процессе вычислений к прогрессивному накоплению ошибки.
Для получения приемлемой точности результатов расчета необ-
ходимая точность выполнения промежуточных действий резко
возрастает с увеличением числа совместно решаемых уравнений.
При этом уже нельзя рекомендовать применение обычной
двадцатипятисантиметровой логарифмической линейки, а следует
пользоваться более сложными вычислительными машинами,
позволяющими в процессе промежуточных вычислений получать
величины с большим числом значащих цифр.
Несколько большие возможности дают приближенные способы
решения уравнений — Гаусса, Ньютона и т. д.
Наиболее целесообразным является способ последовательных
приближений (итераций), который применим и к расчету схем
с нелинейными элементами. Особенно перспективен этот способ
в связи с широким применением математических машин дискрет-
ного счета.
Повысить эффективность приближенных способов расчета во
всех случаях можно путем рационального выбора порядка рас-
чета, т. е. выбора метода расчета.
130
§ 4.Ю. Применение уравнений Кирхгофа
Если составить уравнения Кирхгофа по правилам, указанным
в § 4.4, то путем их совместного решения можно определить,
например, токи во всех ветвях схемы замещения. Определив
токи в ветвях схемы, можно определить и разности потенциалов
между любыми точка-
ми цепи. Если, кроме
того, известен потен-
циал исходной точки
схемы, то можно опре-
делить и потенциалы
любых других ее точек.
Преимущество этого
метода заключается в
том, что уравнения при-
меняются здесь в их
основном, исходном ви-
де и при этом опреде-
ляются сразу действи-
тельные токи во всех
ветвях и напряжения на
их зажимах.
Недостатком этого
метода является боль-
шое количество совме-
стно решаемых уравне-
ний и, соответственно,
повышенные требова-
ния к точности выпол-
нения промежуточных
вычислений.
Пример 4.14. Опреде-
лить токи в электрической
схеме, показанной на рис. 4.21, а, где известными являются сопротивления
токи. Схема предполагается линейной.
схема содержит один независимый узел и два
узла 1
ветвей, э. д с. и задающие
Решение. Заданная
независимых контура. Для
\ + —
Уравнение для контура с э д. с. е, и сопротивлениями г, и г, при
обходе его в направлении, совпадающем с направлением движения часовой
стрелки:
—'Vi + 'Vs=ei-
Уравнение для контура с э.д.с. е, и е2 и сопротивлениями гх и (г2-[-г4)
при обходе его в направлении, противоположном направлению движения
часовой стрелки
Г1/1 + ('s + г4) /2 = е2—е,.
9*
131
Выражения для токов можно
методом определителей:
записать сразу, если воспользоваться
, 1 J' п1 1 _Л| 0 г, I
1-£> (r L) q DI(G + g)o|
_1l| -1 ч . (G-G)|~l 1 I
D |(g + G) О И D | 0 г,|
1 —64
= — р-[—Ag(g + G)~G (G+G) + (ег—G) G1 =^-^2 = 2а;
1 Jl 1
—t\ ei rs
г, (e2—e.) 0
A I —G rt I G_l 1 II
D I Tj 0 p D | fjOI
I 1 1 I 1 r, , , ч , —32 .
—G —G = -p [Agg—GG + (G~G)G —(G~G)g1=7Z32=1®-
'“T
1 —1 A
G (G + G) (G~G)
AI-g 0 I
D I G (g + g)I
e, I 1 — 1 I i 1 — 11
D Ig (G+G)l + (<!a e,)|-G 0|-
1 __96
= д’ [—Vi (G + G)—G (G + G) ~GG — (G—G) Gl = 3732 = 3a;

где
D =
1 —1 1
— G 0 rs
G (G + G) 0
1
— 2
2
— 1
0
4
1
4
0
= —32.
В случае нелинейной схемы решение существенно усложняется и тре-
бует, например, наличия аналитической зависимости параметров цепи
от параметров режима.
При записи уравнений Кирхгофа с помощью матриц решение можно
получить непосредственно:
f=a-A,
т. е. сводится к определению элементов обратной матрицы.
§ 4.11. Метод узловых потенциалов
Если составить уравнения узловых потенциалов по правилам,
приведенным в § 4.6, то путем совместного решения уравнений
можно определить разности потенциалов между независимыми
узлами схемы и исходным узлом. Потенциал последнего может
быть известен или выбран в соответствии с постановкой задачи.
Тогда можно определить и потенциалы всех других узлов схемы.
Преимуществом данного метода расчета является несколько
меньшее число совместно решаемых уравнений, а главное—срав-
нительная простота решения методом последовательных прибли-
жений (итераций) в тех случаях, когда схема имеет некоторые
нелинейные элементы, особенно э. д. с. или задающие токи.
132
Определив потенциалы узлов, можно определить и токи
в ветвях, соединяющих эти узлы. Поскольку токи в ветвях
схемы определяются разностью потенциалов между узлами, то
значения потенциалов необходимо определять с достаточной
точностью, так как они могут быть почти одинаковыми. В про-
тивном случае величины токов отдельных ветвей могут иметь
большую ошибку, что является существенным недостатком дан-
ного метода расчета.
Пример 4.15. Определить токи в схеме замещения, изображенной на
рис. 4.21, при условии, что потенциал узла 2 равен нулю, а задающий
ток в узле 1 связан с его потенциалом зависимостью:
./,ср, = 48 вт.
Решение. Единственное в данном случае уравнение имеет вид:
( 1 . 1 , 1 \ ( 8 ,16\ 48
~2+ Т + 7 "г+ту-ф,’
т. е. является полным квадратным.
В данном случае решение можно получить сразу. Однако, в общем
случае, при нескольких квадратных уравнениях (или уравнениях какой-
либо другой степени, но нелинейных) решение заметно усложняется, и его
выполняют методом итераций.
Уравнение, записанное в упрощенном виде, получит вид
Ф1 = ^ + 8-
В целях сокращения расчета целесообразно заметить, что потенциал
узла 1 должен быть меньше э. д. с. е2 и больше э. д. с. et. Поэтому решение
можно начать с фх= 10 в.
Тогда первое приближение дает
q>I= 4,8 + 8 =12,8 в.
После второго приближения потенциал
<₽"=ГГя+8 = 3-75 + 8=11'75 «>
1 Z ,О
а после третьего ф'11 = 12,08 в. Наконец, четвертое приближение
<pjv^= 12 в = <р1( т. е. дальнейшее уточнение не имеет смысла.
Нетрудно видеть, что если даже в нулевом приближении предположить
первое слагаемое равным нулю, то добавляется не более двух этапов при-
ближения.
Токн в ветвях определяются по формулам:
11 = (е1— <Р1) gt = (8—12)0,5=—2а (направлен от узла 1)
Л = (е2_Ф1) g2 = (16—12) 0,25= la; /s = <p1gs = 12-0,25 = 3a.
При записи уравнений узловых потенциалов с помощью матриц реше-
ние имеет нид <p=g~’J и приводит к определению обратной матрицы
узловых проводимостей.
§ 4.12. Метод контурных токов
Если составить контурные уравнения по правилам, указан-
ным в § 4.5, то путем их совместного решения можно определить
контурные токи, а следовательно, и полные (действительные)
133
токи в ветвях схемы, и разности потенциалов, и потенциалы
всех точек схемы, если потенциал одной из точек известен.
Преимуществом данного метода расчета является меньшее
число уравнений, решаемых совместно, по сравнению с методом
уравнений Кирхгофа и даже с методом узловых потенциалов,
если число взаимно независимых контуров для данной схемы
меньше числа независимых узлов. Поскольку во многих случаях
независимые контуры и пути прохождения задающих токов
можно выбрать так, чтобы искомые контурные токи получались
сравнительно малыми по их абсолютным значениям, то при
расчетах этим методом требуется меньшая точность выполнения
вычислительных операций.
Метод контурных токов применять для расчета нелинейных
схем нецелесообразно, так как параметры элементов таких схем
могут зависеть только от параметров режима, а не от слагаемых
(от контурных токов). Однако этот метод может быть применен
и в случае расчета схем с некоторыми нелинейными элементами,
если так выбрать независимые контуры, чтобы действительные токи
в нелинейных элементах были равны соответствующим контур-
ным токам.
Пример 4.16. Определить токи в электрической схеме, приведенной на
рис. 4.22, а, если известны сопротивления ветвей, э.д.с. и задающие токи.
Решение. Пусть задающий ток замыкается через сопротивление
г2 и >‘i (рис. 4.22,6). Выберем независимые контуры и положительные
направления контурных токов /, и /2 (указаны ниже). Тогда уравнение
для контура, содержащего э. д. с. et и сопротивления ru rt и г. (при его
обходе по движению часовой стрелки),
/, (2 + 5 + 3)+ 5/2 = 40 —5-3,
а для контура, содержащего э. д. с. ег и сопротивления r2, г4 и rs (при
его обходе в противоположном направлении),
5/1 + /2(1 + 5 + 4)=15 + 5.4.
В упрощенном виде эти уравнения принимают следующий вид:
юл+б/^гб,
5/, + Ю/2 = 35.
Совместное решение полученных уравнений можно выполнить, напри-
мер, путем исключения неизвестных. Для этого первое уравнение умно-
жается на —2 и почленно складывается со вторым, в результате чего
получается:
—15/! = — 15, откуда 1г = \а.
Затем нз второго уравнения определяется
Данный метод расчета является весьма эффективным в тех случаях,
когда требуется найти состояние схемы при измененных параметрах или
необходимо определить какие-либо параметры при измеиеином состоянии
и имеется решение для предыдущих условий.
Пример 4.17. Определить сопротивление г2, при котором ток в ветви
с э. д. с. е, той же схемы (рис. 4.22, а) уменьшится до /я=2«.
134
6)
Рис. 4.22
135
Решение, Предположим, что при том же (что в предыдущем при-
мере) пути прохождения задающих токов контурный ток /2 известен, а кон-
турный ток /, определяется. Тогда для тех же (что в предыдущем примере)
независимых контуров получаются следующие уравнения:
10/t + 2r2 = 25,
5/, + 2 (г2 + 5 + 4) = 35.
Умножив второе уравнение на —2 и сложив почленно с первым, легко
получить:
2г2-4(г2 + 9)=-45,
откуда
Пример 4.18. На рис. 4.23, а изображена электрическая схема с шестью
неизвестными токами. Сопротивления ветвей r1 = r2 = rs = 2 ом; r4=rs=>
= г, = 6 ом. Э. д. с. источников ег = 6в и е2=12в. Ток источника тока
J = 9a. Пользуясь методом коитурных токов и методом узловых потенциалов,
найти токи во всех ветвях.
Решение. После замены источника тока источником э. д. с. (рис. 4.23, б)
иа основании метода контурных токов можно записать следующую систему
уравнений:
(ri + гв"Ь +) Л + + r<Ji = ei—ег<
r J rs^~ г2^ г — r5^4 = es е2>
Гв/1—rs/s + (r4+re + rs)/4 = O
или
10/j + 2/s + 6/4= — 6,
2/,+ Ю/з—6/4 = 6,
6/,—6/2+18/4 = 0.
В результате совместного решения этих уравнений /,= —1,5а, /,= 1,5а
и /4=1а. Токи в ветвях заданной схемы/, = /, +/4=—0,5а, /s=/s—/4=0,5а,
/2=—(^ + /^ = 0; ток в сопротивлении г2 равен разности J—lt = 7,5a.
Полученные отрицательные значения токов Ц и f, означают, что действи-
тельные направления этих токов противоположны принятым на рис. 4.23, а
положительным направлениям.
136
Для определения токов в ветвях методом узловых потенциалов целесо-
образно воспользоваться схемой, изображенной на рис. 4.23,6. Приняв
потенциал одного из узлов, например <р2, равным нулю, легко написать
следующую систему уравнений соответственно для узлов 1, 3 и 4:
Ф1 (Я1 + gz + g>) — Ф sg»—Ч>4§2 = — «igi—e2g2—e3g3;
ф^»+Фа (gs"i'g4 + gs)— <Ptgs = esgt’
— ф ig2 — фsg3 + Фа (g2 + gs + ge) = Ma
ИЛИ
Зф, —ф, —ф4= —36; — Зф, —q>s+ 5ср4 = 36;
— Зфг + 5ф4 —ф4=54.
В результате совместного решения этих уравнений, получаются искомые
потенциалы:
ср, =—9в; ф4 = 6в и ф4=3в.
Токи в ветвях заданной схемы определяются по формулам:
Л = (ф2 — Ф1—₽1)й = (0 + 9—6)-^- = 1,5а;
/2 = (ф. —ф4 + е2)£2 = (—9 —3+ 12) у = 0;
(/—/,) = (ф,—фО g3 = (6 + 9) у = 7,5а;
/а=(ф»—ф2)^4=(6—0)^-=1а;
/3 = (ф3—ф4)§5 = (6—3) -|-=0,5а;
(в — (Фа Фа) ge — (3 0) -g- = 0,5а.
При записи уравнений контурных тонов в матричной форме решение
получается в следующем виде: 1к = г~1ек, Следовательно, для получения
решения необходимо определить обратную матрицу контурных сопротив-
лений г"1.
§ 4.13. Баланс мощностей
Условие энергетического баланса для любой электрической
цепи постоянного тока выражается в виде равенства нулю суммы
мощностей по всем элементам:
^=2 р,.=о,
1=1
где п—суммарное число элементов схемы.
Это означает, что суммарная мощность, развиваемая источ-
никами электрической энергии, всегда равна суммарной мощно-
сти, которая потребляется в цепи. Первая обычно называется
генерируемой мощностью, а вторая—потребляемой.
Уравнение баланса мощностей можно записать в иной
форме, т. е.
в в у
2 = 2 е;/;— 2
i = l 1 = 1 /=1
137
При этом в левой части данного равенства и в первом сла-
гаемом правой части суммирование производится по ветвям, а во
втором слагаемом правой части — по узлам.
Свойство баланса мощностей, являясь следствием закона
сохранения энергии, отражается в уравнениях состояния элек-
трических цепей и относится к общим свойствам электрических
цепей.
Доказательство баланса мощностей можно выполнить в общем
виде для произвольной цепи. Токи в ветвях всегда можно
выразить через контурные и задающие токи, замыкающиеся по
соответствующим ветвям,
Л = 2'к-
I
В результате суммарная мощность для всей цепи, содержащей
п элементов
П п
^=2/W=2 (Ч2Д<).
Перегруппировав члены, можно получить:
k k
рс=2 рк2ц>2^.
k=t \ k ) k=\
Таким образом, величину Pz можно получить путем сумми-
рования величин Рк, определяемых каждым из контурных токов
при распределении потенциалов, вызванных действительными
токами ветвей.
Поскольку вдоль каждого замкнутого контура ^]Ц = 0, как
это следует из условия однозначности потенциала, то должно
k
быть Рк = 0, а следовательно, и Рс = 2^3к==0- Значения гене-
рируемых и потребляемых мощностей в цепи можно также
определить по отдельным составляющим с помощью контурных
токов.
Пример 4.19. На рис. 4.22, а показана схема замещения цепи постоян-
ного тока, на которой указаны все параметры и приведены значения токов
в ветвях. Непосредственной проверкой убедиться, что указанные значения
токов соответствуют уравнениям электрического состояния (уравнениям
Кирхгофа).
Решение. Для узлов 1, 2, 3 получается: —1—3 + 4 = 0; 1—6 + 5 = 0;
6—4 — 2 = 0, а для контуров 2—1—3—2 и 4—1—3—4 соответственно,
40 = 2-1 + 5-4 + 3-6 и 15= 1-3 + 5-4—4-2.
Проверка баланса мощностей дает:
2-12 + 1-З2 + 3-62 + 4.22 + 5-42 = 40-1 + 15-3—<р25 +<р45.
Поскольку <р2 = ср4—4-2—3-6 = <р4—26 то, после подстановки <ра—q>4
в уравнение баланса мощностей получается 215 вт = 215 вт.
Токи ветвей, изображенных на рис. 4.22, а, можно представить в виде
системы трех контурных токов (рис. 4.22, в), а не двух, как это показано
на рис. 4.22,6. Действительно, токи в ветвях 1—3, 2—3 и 3—4
/s = /t + /s= 1 4-3 = 4а; /, = /,4-7 = 1 4-5=6а; /4 = /—/2=5—3 = 2а.
Наряду с этим полностью удовлетворяются условия баланса мощности:
для контура 2—1—3—2
e1li = r1l1Il-\-rsl,l1 + r3IiI1 или 40-1 = 2-1 4-20-1 4-18-1 =40 в/п;
для контура 4—1—3—4
е212 = г2121г-[-г3131г—rjtl2 или 15-3 = 3-34-20-3—8-3 = 45 вт;
/(<р2—<р4) = г4/4/ 4- гг1#1 или 5-26 = 8-54-18-5= 130 вт.
Таким образом, получается условие баланса мощностей для схемы в целом.
§ 4.14. Принцип наложения
Если в любой системе линейных уравнений состояния элек-
трической цепи, например, в полной системе уравнений Кирхгофа,
предположить все коэффициенты (пассивные параметры схемы)
заданными (равными постоянным значениям), то токи в ветвях
(4-9)
где D — определитель системы, составленный из коэффициен-
тов а/у-:
a„fl12-
а2А2-
О =
D(—определитель, отличающийся от предыдущего тем, что в нем
столбец с коэффициентами аа (i = l...e) заменен столбцом,
составленным из свободных членов At:
D,=
аи- At.. .а1В
aZi. . . А2.. .а2В
^bi • • AR. . . авв
Каждый определитель D( можно разложить на слагаемые по
величинам свободных членов:
А£и,
1 = 1
(4-10)
где Da—алгебраическое дополнение определителя D или Dt,
т. е. определитель на единицу меньшего порядка, по-
лучаемый путем исключения столбца I и строки i и
взятый со знаком (— 1)'+1.
139
Из (4.9) и (4.10) следует, что
в 6 6
h = i S АР« = E Aihu = (4.1D
»=1 i = i i=l
где
Iz;—часть тока в ветви I, удовлетворяющая исходным урав-
нениям при условии Ду = О, когда j^=i (т. е. все свободные
члены в уравнениях Кирхгофа, кроме Ah равны нулю). Отсюда
следует, что реальный рабочий режим можно считать условно
разделенным на частные режимы, в каждом из которых имеется
только один активный элемент схемы или в виде суммы э.д.с.
одного контура, или в виде суммы задающих токов одного узла.
В этом случае в пределах каждого частного режима, в свою
очередь, соблюдаются те же исходные уравнения состояния при
тех же коэффициентах a,j.
Так как каждый свободный член в уравнениях Кирхгофа
представляет собой или алгебраическую сумму э.д.с. в ветвях
замкнутых кснтуров (Л( = 2е), или сумму токов источников
I 4
тока 2^?’ т0 после замены свободных членов в уравнении
/
(4.11) их выражениями через э.д.с. ветвей и токи источников
тока, а также после группировки слагаемых выражение для
тока 11 получится в виде
в у-1
2^jcij< (4-12)
« = • 7=1
где Ga—коэффициент, имеющий размерность проводимости; он
определяет часть тока It, связанную уравнениями со-
стояния (при общих коэффициентах aiy) с э.д.с. каждой
ветви е(,
с1}—коэффициент распределения задающего тока; имеет
нулевую размерность и определяет часть тока 11, свя-
занную уравнениями состояния (при общих коэффи-
циентах а;у) с задающим током J j.
Пример 4.20. На рис. 4.21 изображена электрическая схема с извест-
ными параметрами. Выражения для токов в ветвях заданной схемы найдены
в примере 4.14. Показать справедливость принципа наложения.
Решение. После группировки слагаемых, полученных в примере
4.14, эти выражения приобретают следующий вид:
, . G + '-s + '-i . г» , rs(r2 + r4) .
'1-е1 D e2D D ’
140
где
D — — (G + rs) (ra + r«) rtrt-
Если В этих уравнениях учесть отрицательный знак у определителя и
и обозначить положительные коэффициенты соответственно такими же бук-
вами как в уравнении (4.12), то м ,
“/ ri=20M i ry-IOM
Д — +е2612 + ДСц>
Д = е1^21 “F ^2^22 ДС21>
/s = eiG3i -t-e2GJ2 +Ас,],
где
г _ + +
(rt + r,) (г2 + г4) Г,г, ’
г = ______________fs___________
12 (П + rs)(r2 + r4) + г/, ’
r2(r2 + r4)
C11 (ri + GXfa + rJ + rjrj
и т. д.
Можно представить, что с э.д.с. е, урав-
нениями состояния связана система токов,
показанная на рис. 4.24 я, а с э.д.с е2—
система токов, показанная на рис, 4.24,6 и
с задающим током J1—система токов, пока-
занная на рис. 4.24, в. Иначе говоря, дейст-
вительный ток в каждой ветви (рис. 4.21) по-
лучается путем алгебраического суммирова-
ния всех слагающих тока в этой ветви
гуЗон
(рис. 4.24, а, б, в): g) r^Zon г2=1ом
/1 = — 2 + 2 + 2 = 2«; /2 = 3— 1 — 1 = 1а;
/,= 1 + 1 + 1 — Зя.
Принцип належения применим не толь-
ко к токам, но и к разностям потенциалов,
так как их величины определяются значения-
ми э.д.с. и токов ветвей:
u.j=ф,—<₽/=2rI—2е-
Ч Ч г '--------
где суммирование производится по любому ^ис- 4-24
незамкнутому пути между точками i и j.
Пользуясь уравнениями узловых потенциалов, можно определить сна-
чала потенциалы всех узловых точек схемы, а затем—напряжения на за-
жимах ветвей по формуле:
в у—1
—2 е‘ь1‘+2
! = 1 / = 1
(4.13)
где Ьц—коэффициент распределения напряжения; он имеет нулевую раз-
мерность и определяет часть напряжения Ut, связанную уравне-
ниями узловых потенциалов (при общих коэффициентах g,y) с
э.д.с. е;;
Rtj—коэффициент; ои имеет размерность сопротивления и определяет
у часть напряжения Ut, связанную уравнениями узловых потенциалов (при
тех же общих коэффициентах g(y) с задающим током /у.
141
Пример 4.21. На рис. 4.18 изображена электрическая схема с источни-
ками э.д.с. elt ez и источником тока J. Пользуясь уравнениями узловых
потенциалов, показать справедливость принципа наложения.
Решение. Уравнения узловых потенциалов для узлов 1 и 3 этой
схемы при <р2 = 0, как было показано выше, имеют соответственно следую-
щий вид:
Ф1 (£1 + + gj — 4>sg4 = eigi;
— Ф1?4 + фз (g2 + g4) = + J
или
Ф1Яи—Фз§4=е1Я1;
— Ф1£* + ф.2».=ег£г + -Г-
В результате совместного решения этих уравнений
ф1 = ----j. е2 —--------j--;
SllSsa §4 gllgsS g4 gllgsS gt
(D —е g,gi I е -I- J gtl
Фз— ei Q I e2 2 I J 2‘
SuSss £4 SixSn ShSss Si
Так как cp2 — 0, то напряжение на зажимах ветви с сопротивлением rt
п _ m m —го _ р Si (Я4 + Я2) , SzSi ,j St
и з — Ф1 — Фг — Ф: — ei----г "Г е2 ; ~г J г •
S11S33 Si SiiSu Si SuSs& Si
Напряжение на сопротивлении г4
—ф1 = —е1—— + е2 ga + J gl gi .
gngss—g! gug»—g‘ giigis — g*
Аналогичным путем можно найти напряжения на зажимах сопротивле-
ний остальных ветвей.
Полученные выражения наглядно иллюстрируют применение принципа
наложения для определения потенциалов узлов и напряжений на зажимах
ветвей, а также дают возможность определить коэффициенты bei и /?гу в
уравнениях вида (4.13).
Принцип наложения можно распространить и на систему уравнений
контурных токов, которые также можно представить в виде составляющих,
связанных с наличием каждого из активных элементов схемы:
в У-1
3 — 1 1 = 1
где Glt — коэффициент, имеющий размерность проводимости и определяющий
часть контурного тока 1К[, связанную уравнениями контурных то-
ков (при общих коэффициентах г(-у) с э.д.с. каждой ветви е;,
с’ц—коэффициент, имеющий нулевую размерность и определяющий
часть коитурного тока 1М, связанную уравнениями контурных
токов (при тех же общих коэффициентах г(у) с задающим током Jj.
Во всех случаях число составляющих токов или напряжений равно
числу активных элементов схемы.
Пример 4.22. Показать применение принципа наложения для определе-
ния контурных токов с помощью схемы, изображенной на рис. 4.18,
Решение. Если в этой схеме принять токи /, и /2 равными контур-
ным токам, то в остальных ветвях токи определяются по формулам:
/»— ^+Л+^1> Л=Л+^-
142
Пользуясь методом контурных токов, можно записать следующие урав-
нения:
J
^3^1 “F ^*22^2 “ ^2~“ J (^з4“^4)’
где гп — Л 4~^; г22~г24" гз 4“г4-
В результате совместного решения этих уравнений, после группировки
слагаемых:
I Г22 г Г9Г.
/1 = ej-—------et-----2-----J-----М----- ;
гпггг — rs3 r^r^—rf гпг^—гг3
, Гц „ fs r г^ + г^+г,)
*2—с2 9 •’—Ci — ------J . — - .
ГИГ22 Г1 ГПГ12 rs Г11Г22 rs
Полученные выражения дают возможность определить составляющие
каждого контурного тока, обусловленные соответствующими э.д.с. е„ ег и
током J источника тока.
§ 4.15. Свойство взаимности
Указанная ранее симметрия в расположении коэффициентов
gtJ и г(у соответственно в уравнениях узловых потенциалов и
контурных токов, т. е. равенства gij — gji и г^ = г^, отражают
весьма важное свойство электрических цепей—свойство взаим-
ности.
Из уравнений узловых потенциалов можно определить слагающую по-
тенциала срга, связанную с задающим током Jt по формуле:
m ___ / G ml
Vml~J 1~q - -
где G—определитель всей системы из коэффициентов g;j [здесь i= 1 ... (у—1);
/=1 ... (у—1), а потенциал у-ro узла принят равным нулю];
Gm[—алгебраическое дополнение для элемента gm[ этого определителя.
Таким же путем можно определить и слагающую потенциала <рт, свя-
занную с задающим током Jm:
т ___ 1 Glm
Vim — J т q
Поскольку определитель G является симметричным, то его строки можно
заменить столбцами, а столбцы — строками (с теми же номерами); результат
от этого не изменится. Поэтому Gml=Gtm.
Следовательно, если принять, что то должно получиться:
Фтг = Ф<т-
Иначе говоря существует следующее равенство:
Vml _ J ___G ml_Glm Vim
Jt ml G G lm Jm ’
Каждый из коэффициентов r'ml является общим сопротивлением для узлов
Q
т и I. Если т = 1, то гц=~^—суммарное сопротивление для узла I илн
входное сопротивление схемы мейсду данным узлом и узлом, потенциал
которого принят равным нулю.
143.
Из уравнений контурных токов можно определить слагающую контур-
ного тока /кт, связанную с э.д.с. et,
I
'кт "I р '
где 7?—определитель всей системы из коэффициентов г(у при i = l ... k;
/=1... fe;
R^i — алгебраическое дополнение для элемента гт1 этого определителя.
Таким же образом можно определить составляющую контурного тока,
связанную с э.д.с. ет\
t
— ст r ‘
В связи с симметричностью системы коэффициентов г,/ относительно главной
диагонали получается Rmr=Rim- Поэтому, если э.д.с. et = em, то равны и
соответствующие составляющие контурных токов: 1К1=1кт. Иначе говоря,
справедливо следующее равенство:
__Rml _ . ' _^к1__Rim __а'
et R ет R ёт1'
которое по существу и является математическим выражением свойства
взаимности.
Можно всегда так выбрать независимые контурные схемы, чтобы в ветви
т проходил только контурный ток 1кт, а в ветви I—только контурный
ток /кг. Поэтому полученное равенство справедливо и для токов ветвей.
Каждый из коэффициентов является взаимной проводимостью между
нетвями с индексами т и I. Если т — 1, то = является входной про-
водимостью ветви I.
Из изложенного следует, что взаимная проводимость между двумя лю-
быми ветвями определяется отношением тока в одной ветви к э.д.с. в другой
при равных нулю э.д.с. в остальных ветвях.
Входная проводимость любой ветви определя-
ется отношением тока к э.д.с. в одной и той
же ветви при равных нулю э.д.с. во всех дру-
гих ветвях.
Между входными и взаимными проводи-
мостями ветвей существует простая зависи-
мость: входная проводимость некоторой ветви
равняется сумме всех взаимных проводимостей
между данной ветвью и каждой из остальных
ветвей, присоединенных к одному из двух
узлов, к которым в свою очередь присоедине-
на эта ветвь. Например, входная проводимость
первой ветви (рис. 4.25) равняется сумме
проводимостей g12 и gla или gls, g14 и gIS, т. е.
= +4fu + ^lS-
Эти соотношения непосредственно следуют
из первого закона Кирхгофа и свойства взаимности и могут быть приме-
нены для расчета электрических цепей. В частности, для определения токов
/2 и /2 (рис. 4.25) достаточно знать взаимные проводимости g12, g2S и gai,
т. е.
'1 = МЯ12 + &1)— егЯп:
/2 = е2 (^12"b^2s) е1Т?12>
/2 = eifir21 + e2gs2-
Знаки у составляющих каждого из токов учитываются по принципу
наложения.
144
В более общем виде свойство взаимности выражается в том, что
матрицы сопротивлений и проводимостей для соответствующей схемы
получаются симметричными. При этом следует иметь в виду, что матрица
сопротивлений получается несимметричной, если контуры обхода принять
несовпадающими с путями, по которым замыкаются контурные токи. Мат-
рица проводимостей получается также несимметричной и в том случае,
если за независимые переменные принять не потенциалы узлов, а некоторые
их линейные комбинации, например, напряжения на зажимах ветвей.
Пример 4.23. Проверить свойство взаимности для схемы, показанной
на рис. 4.24.
Решение. Проверку для ветвей с э.д с. е, и е2 можно произвести,
пользуясь данными, приведенными на рис. 4.24, а и б. Взаимная проводи-
мость между ветвями с э.д.с. е, и сопротивлением (г2 ф- г4) по схеме, изо-
браженной на рис. 4.24, а,
g,2 = ^ = _8 '
Взаимная проводимость между ветвями с э.д.с. ег и сопротивлением rt по
схеме, приведенной иа рис 4.24, б,
- -Ь.— 2 -_1
-16- 8 •
Взаимная проводимость между двумя ветвями оказывается независимой от
очередности расположения индексов.
Входные проводимости
Яп = Я12 + Яи = “8 +"8’ = 0"25!
, 1 , 1 _ 3
£и-£г1 + £м = 8 +i6— 16 •
§ 4.16. Условия эквивалентности, и подобие
электрических цепей
Состояние любой части электрической схемы замещения, а следова-
тельно, и электрической цепи, не изменится, если другую ее часть заменить
так, чтобы токи и потенциалы на границах остались без изменений. Так,
например, состояние электрической цепи при заданном рабочем режиме не
изменится, если устранить связь через какую-либо ветвь, заменив ее
в точках разделения задающими токами, равными по величине и направ-
лению току этой ветви до разделения. В соответствии с этим можно отде-
лить любую часть схемы, заменив ее действие задающими токами на гра-
ницах так, чтобы эти задающие токи были равны по величине и направлению
соответствующим токам в разделяемых ветвях исходной полной схемы.
Если при этом какая-либо часть схемы теряет фиксированный потенциал,
то его необходимо выбрать в какой-нибудь другой точке.
Пример 4.24. Часть схемы, изображенной на рис. 4.22, а, содержащую
ветви 1—4 и 3—4, заменить задающими токами (рис. 4.26).
Решение. Электрическое состояние остальных элементов схемы не
изменится, если /2 = 3« и ft=2a (рис. 4.26). Часть схемы замещения мо-
жет быть заменена другой так, что токи и потенциалы на границах оста-
нутся без изменения. Такая замена иазывается эквивалентной, а взаимно
заменяемые части схемы—взаимно эквивалентными.
Необходимо отметить, что при установившемся режиме обычно возможна
даже замена активной части схемы пассивной и наоборот. Например, в
схеме, изображенной на рис. 4.21, а ветвь с э.д.с. е2 и сопротивлением
Ua + ^i) имеет напряжение на зажимах (при заданном направлении тока)
(У12=16—44= 12 в. Ее можно заменить ветвью с одним отрицательным
4»
^0 Теоретические основы электротехники, ч. 1 145
сопротивлением r = — 12 ом (рис. 4.21, б), что эквивалентно источнику с
э.д.с. е=12 в, совпадающей по направлению с током/2. Режим в оставшейся
части схемы при этом не изменится.
Условия эквивалентности могут быть расширены за счет дополнитель-
ного требования неизменности суммарных величин генерируемой и потреб-
ляемой мощностей. Тогда активная часть
схемы может быть эквивалентна только
активной, а пассивная — только пассивной.
Наибольший практический интерес
представляют собой эквивалентные замены
частей схем, которые справедливы или для
нескольких возможных рабочих режимов,
или для одного неизвестного режима. Да-
лее будут подробно рассмотрены правила
и формулы преобразования для таких эк-
вивалентных схем
Электрические цепи, имеющие одина-
ковые схемы соединений, состояние кото-
рых определяется токами и напряжения-
ми, находящимися в одинаковых соотно-
шениях, подобны. Естественно, что подоб-
ными являются и схемы замещения таких
цепей. Соотношения одинаковых величин
из разных схем определяются масштабными
коэффициентами.
При установившемся состоянии электрических цепей критериями по-
добия служат:
е ., . J .,
— = idem* и —=idem.
г е
Это означает, что соотношения между любыми э.д.с. и сопротивлениями
(в первом выражении) или между задающими токами и э.д.с. схемы (во
втором выражении) должны быть одинаковыми. Таким образом, электриче-
ские цепи и их схемы замещения, в которых параметры и величины, харак-
теризующие рабочий режим (токи и напряжения), отличаются масштабными
коэффициентами, подобны. Масштабные коэффициенты называются коэффи-
циентами подобия.
Следует отметить, что электрические цепи, рассмотренные в примере
4.10, являются подобными.
§ 4.17. Основные особенности электрических цепей
Электрическое состояние цепи не зависит от графического изображения
(топологически равноценного представления) ее схемы замещения. Обычно
схема замещения составляется исходя из принципа наибольшей наглядности
и простоты расчета и анализа. То же относится к выбору масштабных
коэффициентов для составления схемы замещения или осуществления ее
на модели, а также к методам расчета электрической цепи и, в частности,
к выбору уравнений электрического состояния.
Для заданной схемы число взаимно независимых узлов и контуров,
а также число соответствующих уравнений не зависит от их выбора при
составлении уравнений данного типа. Уравнения, составленные при разных
выбранных независимых контурах, при разных положительных направлениях
токов в ветвях, при разных направлениях обхода контуров и т. д., явля-
ются линейно зависимыми, т. е. одни уравнения могут быть получены из
других путем линейных преобразований. Поскольку любой узел схемы
может считаться независимым от совокупности остальных, то возможно у
* Обозначение idem означает подобие в модели и оригинале.
146
вариантов выбора взаимно независимых узлов и систем соответствующих
узловых уравнений.
Менее определенным является возможное число замкнутых (зависимых
и независимых) контуров электрической схемы, так как оно всегда в той
или иной мере связано с заданной конфигурацией схемы.
Из первого уравнения Кирхгофа следует, что если из любой точки,
выбранной внутри некоторой области, ограниченной каким-либо замкнутым
контуром схемы, провести ли-
нию, пересекающую ветви схе-
мы, до ее внешней области, то
при данном установившемся
состоянии алгебраическая сум-
ма токов в пересекаемых вет-
вях не зависит от пути пере-
сечения (рис. 4.27). Например,
если из некоторой точки О
области, ограниченной конту-
ром 1—2—3—1 схемы, пред-
ставленной на рис. 4.27, про-
вести линию, пересекающую
только одну ветвь 1—2 (рис.
4.27), то ток (положительное
направление которого принято
по часовой стрелке) получает-
ся равным одному амперу (рис.
4.27). Если из той же точки
О провести линию, пересека-
ющую ветви 1—3 и 1—4 (рис. 4.27), то суммарный ток будет равен 4—3=1«.
Если провести линию, пересекающую ветвь 2—3 и ветвь с задающим током,
то суммарный ток получается равным той же величине, т. е. 6—5=1«.
Отмеченное положение легко пояснить с помощью контурных токов
(рис. 4.27). Только контурные токи, охватывающие данную область (из ко-
торой проводится линия пересечения ветвей), пересекаются с соответствую-
щей линией по одному разу; контурные токи, ие охватывающие рассматри-
ваемой области, или не пересекаются с ней, или пересекаются по два раза
в разных направлениях, т. е. при алгебраическом суммировании уничто-
жаются.
Из второго закона Кирхгофа следует, что разность потенциалов (на-
пряжение) между двумя любыми точками схемы получается одинаковой
независимо от пути обхода по ветвям схемы. Из уравнений узловых потен-
циалов вытекает, что величины токов в ветвях схемы не зависят от потен-
циала той точки, в которой он принят равным некоторой величине, так как
его изменение приводит к одинаковому изменению потенциалов всех точек
схемы при неизменной разности потенциалов между любыми двумя точками.
Распределение потенциалов по ветвям схемы вдоль любого контура можно
представить в виде графика. Для этого по оси абсцисс откладываются со-
противления соответствующих ветвей рассматриваемого контура, а по оси
ординат—значения потенциалов узлов схемы. Затем полученные точки соеди-
няются прямыми линиями. При изменении потенциала исходной точки вся
потенциальная диаграмма смещается вдоль оси ординат.
Пример 4.25. Построить потенциальную диаграмму для контура 2—5—
—1—6—4—з—2 схемы, изображенной на рис. 4.22, я.
Решение. На рис. 4.28 показана потенциальная диаграмма, полу-
ченная по данным примера 4.16 при условии, что ф2 = 0. Следует напомнить
(Рис. 1.14), что тангенсы углов наклона прямых с осью абсцисс пропорци-
ональны токам на соответствующих участках контура.
Все пассивные параметры схемы замещения, входящие в уравнения
состояния разных видов, являются взаимно линейно зависимыми для любого
10* 147
рабочего режима. Это значит, что пассивные параметры, входящие в урав-
нения одного вида, можно получить из параметров, входящих в уравнения
другого вида.*
Все активные параметры схемы замещения, входящие в уравнения со-
стояния разных видов, являются взаимно линейно зависимыми для каждого
рабочего режима. Это означает, что активные параметры, входящие в уравнения
одного вида, можно получить из параметров, входящих в уравнения другого
типа. При этом должны учитываться значения пассивных параметров схемы.
Различные системы уравнений состояния электрической цепи являются
взаимно заменяемыми. Одну систему можно получить из другой путем ли-
нейных преобразований.
Рекомендуется обратить внимание на тот факт, что при решении урав-
нений любого вида приходится пользоваться определителем из коэффициен-
тов, являющихся пассивными параметрами схемы замещения.
В общем случае изменение хотя бы одного параметра схемы замещения
(сопротивления, э.д.с., задающего тока) приводит к изменению состояния
всей схемы.
Если параметры цепи (е, J, г) не зависят от ее состояния, то каждый
из активных элементов цепи можно рассматривать действующим независимо
от других. Принцип наложения переходит при этом в принцип независи-
мости действия.
Токи ветвей (рис. 4.24), связанные с действием каждого активного эле-
мента схемы, в случае линейной цепи остаются справедливыми независимо
от наличия и величии других активных элементов. При этом параметры
схемы остаются неизменными для отдельных слагающих режима.
Действие всех активных элементов получается как сумма результатов
действия каждого из них в отдельности. Это дает возможность упростить
расчеты и исследования режимов работы линейных электрических цепей.
Для каждой линейной схемы с одним активным элементом все токи
И разности потенциалов пропорциональны величинам активного параметра.
Это равносильно применению масштабных коэффициентов
* Следует иметь в виду, что решение получается не всегда однозначным.
148
при условии
mr = 1.
Например, если в схеме, изображенной на рис. 4.24, а, э.д.с. увеличить
вдвое, т. е. до 16 в, то все токи в ветвях и напряжения на их зажимах
увеличатся в два раза. Если токи, полученные в отдельных ветвях, сло-
жить с токами, показанными на рис. 4.24, бив, то найденные значения
в случае линейной цепи будут справедливы для схемы, в которой э.д.с. е,
вместо 8 в имеет значение 16 в при прежних значениях других активных
параметров. Отмеченное положение дополнительно расширяет возможности
расчета и анализа рабочих режимов линейных электрических цепей.
Иногда при расчете линейных электрических цепей приходится приме-
нять связь между коэффициентами распределения токов или напряжений
и сопротивлениями ветвей. Чтобы найти эту связь, уравнение (4.12) необхо-
димо умножить на сопротивление rt н приравнять правую часть этого ра-
венства правой части уравнения (4.13); откуда легко получить: Gz,-= — и.
ri
Г1Г=!ftj' .
Аналогичным путем можно найти:
0,7=^ и гл=г,с}1.
Следовательно, для линейных схем справедливы следующие соотноше-
ния между коэффициентами распределения токов и напряжений:
6(/ Ь/i
. Cjfj=Clfl и 77= 7; •
Пример 4.26. Определить коэффициенты распределения токов для схемы,
показанной на рис. 4.21.
Решение. На рис. 4.24, в показаны токи, связанные уравнениями
состояния с задающим током Jt = 4a. Полученное выше решение можно
использовать для определения коэффициентов распределения токов. Для
ветви с сопротивлением г,:
для ветви с сопротивлением (г2 + г4)
г=т=«®
С11~
для ветви с сопротивлением
csi- — 4 -0,25.
Коэффициенты распределения токов должны удовлетворять узловым
уравнениям, а коэффициенты распределения напряжений—контурным урав-
нениям.
Для линейных схем эти коэффициенты постоянны и определяются их
пассивными параметрами.
Пример 4.27. Определить коэффициенты распределения напряжений для
схемы замещения, изображенной на рис. 4.24, а.
Решение. Напряжение на сопротивлении г,:
G1 = 2-2 = 4e;
соответствующий коэффициент распределения
14»
Коэффициент распределения для ветви с сопротивлением г3:
, ______1'4__„ г
6S1_ —- —_°,5.
Коэффициент распределения для сопротивления г2
= = 0,125,
для сопротивления г4
=£=-^-0.375,
Если линейная цепь с неизменными сопротивлениями содержит только
э.д.с. и сопротивления, но не содержит задающих токов, то при одно-
временном и одинаковом изменении всех э.д.с. (увеличении или уменьше-
нии) в п раз во столько же раз и в том же направлении изменяются все
токи в ветвях цепи и разности потенциалов (напряжения) между любыми
ее точками. При этом мощность, генерируемая каждым источником пита-
ния (э.д.с.) и потребляемая в каждом сопротивлении цепи, изменяется
в п раз.
Если при отсутствии задающих токов в цепи все ее сопротивления (не
зависящие от рабочего режима) изменить одновременно в одинаковое число
раз (увеличить или уменьшить), то во столько же раз, но в противополож-
ном направлении изменятся все токи в ветвях цепи. Распределение напря-
жений при этом останется неизменным. Поэтому мощность, генерируемая
каждым источником питания и потребляемая каждым сопротивлением, изме-
нится в том же направлении, что и токи, и во столько же раз.
Если в линейной цепи все э.д.с. и задающие токи изменить одновре-
менно в одном направлении (увеличить или уменьшить) в п раз, то при
неизменных сопротивлениях токи во всех ветвях цепи изменятся в том
же направлении и во столько же раз. В том же направлении и во столько
же раз изменяются и все напряжения. Поэтому мощность, генерируемая
каждым источником питания и потребляемая каждым сопротивлением, изме-
нится в том же направлении, но уже в п2 раз.
Все указанные положения следуют непосредственно из правила измене-
ния масштабов.
Поскольку может быть составлено необходимое и достаточное число
линейных алгебраических уравнений для определения состояния цепи, то
можно утверждать, что состояние (рабочий режим) является однозначным,
определяемым данными параметрами схемы замещения. Однако из приведен-
ных выше уравнений следует, что это справедливо только в тех случаях,
когда определитель из коэффициентов (пассивных параметров) а,-у, gjj или гц
отличен от нуля.
Данные условия существуют одновременно и всегда справедливы, если
схема замещения не содержит отрицательных сопротивлений.
Если же определитель системы уравнений из коэффициентов ац, g,y
или г,у получается равным нулю, то состояние цепи оказывается практически
неопределенным, так как бесконечно больших токов быть не может из-за
отсутствия источников энергии бесконечно большой мощности.
Как уже указывалось, нелинейными называются такие элементы, пара-
метры которых (е, J или г) зависят от их рабочего режима. Например,
e--f(l), где /—ток в ветви с э.д.с. е; или J =f (<р), где ф—потенциал
в точке схемы, к которой приложен задающий ток J, или же r = —
=fz(U), где I—ток в ветви с сопротивлением г, a U — напряжение на его
зажимах. Такие функции могут быть заданы как аналитически, так и гра-
фически.
150
Таким образом, для нелинейной схемы замещения, наряду с приведен-
ными выше уравнениями состояния, появляются зависимости параметров
схемы от ее состояния (рабочего режима). Поэтому система определяющих
уравнений в целом перестает быть линейной. В результате этого для цепи
в целом теряются свойства: независимости действия активных элементов,
пропорциональности их действия и однозначности состояния цепи. В общем
случае получаемая система уравнений может иметь несколько решений;
соответственно этому может быть несколько различных состояний схемы
замещения и цепи. В какой-то мере это относится и к схемам, содержащим
наряду с линейными элементами и некоторое количество нелинейных.
Как уже указывалось ранее, зависимость электрических параметров
элементов от каких-либо других физических факторов (температуры окру-
жающей среды, давления, освещенности и т. д.) не означает нх нелиней-
ности. Эти параметры, хотя и являются переменными, но не находятся в
зависимости от рабочего режима цепи. Для каждого значения этих пара-
метров цепь имеет определенное состояние.
Во многих практических случаях схема замещения может быть состав-'
лена так, что большее или меньшее количество элементов будет характери-
зоваться неизменными параметрами, т. е. составлять линейную часть. Сле-
дует стремиться к составлению схемы с наименьшим количеством нелинейных
элементов.
Целесообразно по возможности заменять нелинейные характеристики
линейными—линеаризировать. Этим успешно можно пользоваться в тех
случаях, когда нелинейные характеристики на значительном участке в зоне-
предполагаемого рабочего режима близки к линейным. В некоторых слу-
чаях возможна кусочно-линейная аппроксимация нелинейностей.
Линейная аппроксимация, а следовательно, и соответствующая линей-
ная схема замещения справедливы, если рабочий режим этого элемента не
выйдет за пределы, в которых действительная характеристика близка
к линеаризованной. Данное положение устанавливается непосредственной
проверкой.
Если схема замещения содержит одновременно и линейные и нелиней-
ные элементы, то только ее часть, состоящая из линейных элементов, обла-
дает свойствами линейной; схема же в целом обладает свойствами нелиней-
ной. Однако свойства линейной части могут быть использованы при расче-
тах и анализе рабочих режимов всей цепи.
Вопросы для самопроверки
4.1. Дать определение цепи постоянного тока.
4.2. В чем состоит принципиальное различие между схемами соедине-
ний и схемами замещения?
4.3. Можно ли для одной цепи составить несколько различных схем
замещения, которые практически были бы одинаково правильными?
4.4. Какие физические явления отражают в схеме замещения сопротив-
ления (проводимости), э.д.с. и задающие токи?
4.5. Указать характерные случаи применения в схемах замещения эле-
ментов э.д.с. и задающих токов.
4.6. Указать характерные свойства схем замещения при последователь-
ном и параллельном соединении отдельных их элементов.
4.7. Какой физический смысл имеют правила баланса токов в каждом
узле и баланса напряжений в любом замкнутом контуре?
4.8. Как проще всего определить число взаимно независимых контуров
в заданной сложной схеме замещения?
4.9. В чем заключается различие уравнений состояния, полученных
в виде полных уравнений Кирхгофа, уравнений контурных токов и уравне-
ний узловых потенциалов?
151
4.10. Какими преимуществами обладают уравнения состояния, получен-
ные в форме полных уравнений Кирхгофа, уравнений контурных токов и
уравнений узловых потенциалов?
4.11. В чем заключается смысл и преимущество применения системы
относительных единиц?
4.12. На чем отражается выбор базисных величин при пользовании
системой относительных единиц’
4.13. Дать определение линейной схемы замещения
4.14. В чем заключается трудность определения рабочего режима путем
решения уравнений состояния обычными алгебраическими методами’
4.15. От чего зависит точность получения результатов расчета рабочего
режима с помощью алгебраических методов решения уравнений состояния?
4.16. Одинаковой ли получается точность результатов расчета при
пользовании методом контурных токов и методом узловых потенциалов, если
в обоих случаях расчет выполняется с помощью обычной логарифмической
линейки.
4.17. Какой смысл имеет правило баланса мощности для любой цепи?
4.18. Дать формулировку принципа наложения.
4.19. Дать формулировку свойства взаимности
4.20. К какому свойству уравнений контурных токов и уравнений узло-
вых потенциалов приводит свойство взаимности схем?
4.21. Можно ли определить коэффициенты, входящие в уравнения кон-
турных токов и в уравнения узловых потенциалов, если известны только
сопротивления всех ветвей схемы замещения Почему на значения этих
коэффициентов не оказывают влияния активные параметры схемы замещения?
4.22. Какие схемы называются эквивалентными и какие — подобными?
Почему условие эквивалентности не всегда является однозначным?
4.23. В чем заключаются особенности линейных цепей.
Глава V
УПРОЩЕННЫЕ СПОСОБЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 5.1. Симметричные схемы
Практически в ряде случаев электрические цепи и их схемы замещения
обладают симметрией. При этом следует иметь в виду наличие симметрии
не только по внешнему виду схемы (ее конфигурации), но и по значениям
ее параметров. Такие условия симметрии приводят, как правило, к суще-
ственному упрощению решения задачи, что наглядно иллюстрируется рас-
смотренными ниже примерами
Пример 5.1. Определить рабочий режим линейной схемы, изображен-
ной на рис. 5 1, а.
Решение. Следует обратить внимание на то, что схема симметрична
относительно штрих-пунктириой линии, проходящей через ветви с сопро-
тивлениями г2 и г4 (рис. 5 I, а).
Для выполнения решения методом контурных токо ; необходимо в общем
случае составить четыре уравнения (рис. 5 1, а)
Г (г + ri + га) + ^2ri + 0 + = е1>
/iri + ^(/T + r4 + rs) + ^sr4 + 0==e2,
0 + /гГ4 + (Г1 + Г4 + rs) + ^4Л1 = е2>
ЛГ2 + 0+ + ^4 (Г + Г1 + Г2) = et
152
Нетрудно заметить, что в данном случае коэффициенты получаются рас-
положенными симметрично относительно обеих диагоналей определителя.
Это означает, в частности, что, если к первому уравнению почленно при-
бавить четвертое, а к четвертому — первое, ко второму прибавить третье,
а к третьему — второе и записать их слагаемые на тех местах, на которых.
Рис. 5.1
помещены соответствующие слагаемые в основных уравнениях, то коэффи-
циенты, расположенные в первом и четвертом столбцах, а также во втором
и третьем столбцах определителя получаются одинаковыми:
Л (Л + О + 2г2) /2г, + l,rt -f- It (г -J- rt + 2r2) = 2elt
liri + 1г (ri + гг + 2rs) + /s (г, r2 -|- 2r 4) -f- ltrt == 2e2,
Ari + Л (ri + rs + tl + 1г (ri + rs + 2r4) -J- /4Г] = 2e2,
Л (ri + r + 2r2) +//> + /,г, + /4 (r + r, + 2r2) = 2q
Отсюда следует, что должно
1\ 1^ ‘li и Iz^lz^lz*
тогда решение можно упростить путем приведения подобных членов:
Л (r + ri + 2г2) + !ггг ~ е,;
Ip 1 + 1г (ri + гг + 2Г«) = ег-
153.
В связи с полным совпадением первого и четвертого уравнений, а также
второго и третьего уменьшается в два раза число совместно решаемых урав-
нений.
Полученным уравнениям соответствует схема, показанная на рис. 5.1,6.
Таким образом, исходную схему, показанную на рис 5.1, а, можно раз-
делить по линии симметрии, найти решение для одной из частей и распро-
странить его на другую часть.
Если, кроме того, известно, что
fl = rs = r> r2 = r4 = r2 и е1 = е2^=е,
то появляется вторая линия симметрии, проходящая через ветви с сопро-
тивлениями Гр и, следовательно, возможно дальнейшее разделение схемы
с соответствующим упрощением решения (рис. 5.1, в). В этом случае сум-
мированием предыдущих уравнений получается выражение
Л (г + 2Г1 + 2га) + /2 (2Г] + 2г2 + г) = 2е,
т. е. при
/, = /2 = /
остается одна переменная
! (г + 2гх + 2гг) = е,
которая определяется по формуле
г +2rj +2г2
Если линия симметрии пересекает какую-либо ветвь схемы, то ток этой
ветви равен нулю. Например, в схеме, изображенной на рис. 5.2, а, ток
На рис. 5.2, б показана соответствующая расчетная схема, полученная
на основе применения условия симметрии для схемы, приведенной fla
рис. 5.2, а.
Свойством симметрии обладает и схема, показанная на рис. 5.3, а. Рабо-
чий режим этой схемы получается путем аналогичного разделения ее по
линии симметрии (рис. 5.3, 6).
Схема, изображенная на рис. 5.4, является антисимметричной. Для
нее линия симметрии является нейтралью (равного потенциала).
Если схема с п независимыми контурами симметрична, то каждому й-му
контуру можно найти симметричный (п — £)-й контур. При этом в контур-
ных уравнениях коэффициенты располагаются в определителе симметрично
154
u п /л ~f“ 1 \
относительно обеих диагоналей. При п нечетном один I——I контур не
должен иметь симметричного, но он сам имеет симметрию и поэтому не на-
р\шает указанного условия.
Таким образом, в случае симметричной схемы наряду с условием
появляется дополнительное условие
Г(П-1) (и-/) r(n- _/)(п —/)
Поэтому, если почленно к каждому fe-му уравнению прибавить (п—k)-t>
уравнение, то полученная система уравнений будет иметь коэффициенты
расположенные симметрично также и отно- ’
сительио среднего столбца (если п — нечет-
ное) или средней вертикальной линии,
проведенной между столбцами (если п—
четное):
Тогда взаимная замена столбцов i и
(п—I) в определителе из коэффициентов
не должна приводить к изменению резуль-
тата, т. е. значения контурных токов для
Л-го контура и (п—А)-го должны быть оди-
наковыми:
lk— ln-k>
контуре симметрии дол-
жен отсутствовать, т. е. ~^ = 0.
а ток в
Рис. 5.4
Следовательно, для решения задачи схему можно разделить по линии
симметрии и определять рабочий режим только для одной из полученных
схем, распространяя его и иа симметричную. При этом необходимо соблю-
дать правила разделения симметричных схем на части. Если линия симмет-
рии проходит по каким-либо ветвям, то эти ветви должны сохраняться
в каждой из симметричных схем, однако сопротивления в них удваиваются,
э.д.с. остаются неизменными, а задающие токи делятся пополам. Если же
линия симметрии разделяет симметричные контуры, то все точки, находя-
щиеся на этой линии, должны иметь равные потенциалы и могут быть не-
посредственно соединены. Такая линия иногда называется нейтралью схемы.
155
Характерным примером использования условия симметрии (точнее анти-
симметрии) является расчет рабочего режима двухпроводной электрической
сети постоянного тока Как правило, оба провода имеют одинаковый мате-
риал, поперечное сечение и длину на каждом из участков, а следовательно,
обладают одинаковыми сопротивлениями Все приемники электрической
энергии включаются между этими проводами (рис 5 5, а) В данном случае
Рис 5.6
линия симметрии разделяет пополам все поперечно включенные ветви При
этом в каждой из симметричных схем напряжение на поперечной ветви
получается равным половине от реального (рис 5 5, б) Чтобы получить
реальные значения напряжений, необходимо все сопротивления увеличить
в два раза (рис 5 6, а) В любом из указанных случаев решение значи-
тельно упрощается. Дополнительное упрощение получается, если вместо
156
поперечных проводимостей (сопротивлений) в схему включаются источники
тока (рис 5 6, б) Такая схема линии передачи с соответствующими нагруз-
ками в виде задающих токов очень часто применяется при расчетах
§ 5.2. Применение пропорциональных соотношений
для расчета цепей
Расчет цепей с одним источником э д.с. или с одним источ-
ником тока можно произвести простым способом, основанном на
пропорциональности между током любой ветви и напряжением
на зажимах всей цепи или током источника тока. Этот способ
является наиболее эффективным в том случае, если определяется
режим работы схемы со смешанным (последовательно-параллель-
ным) соединением элементов.
Пример 5.2. Определить токи в ветвях и напряжения на их зажимах
в схеме, показанной на рис 5 7
Решение Для определения рабочего режима заданной схемы одним
из основных методов расчета (законами Кирхгофа, методом контурных то-
ков) необходимо составить н совместно решить ие менее трех уравнений.
Поскольку схема содержит только одну эдс , то для расчета используется
пропорциональность между током любой ветви и э д с в цепи
Пусть ток /' = l't= la, тогда напряжение на параллельно соединенных
ветвях
^', = < (П + гг)= 1(5+1)-бе
Ток в сопротивлении га
U, 6 ,
/ =-i=S — =1«,
’ Г» 6
а в сопротивлении г4
/4 = /1 + /а=1+1=2а
Напряжение на зажимах ветви с сопротивлением г,
(/; = (/; + гХ = 6 + 2.2=10 в.
Далее, аналогично,
_'»=2 а.
5 rs 5
/e = Z4 + /5 = 2 + 2 = 4a,
e' = U' + r,/' = 10 + 3-4 = 22 в.
157
Поскольку е=110 в, то все токи и напряжения, найденные ранее, необхо-
е НО .
димо увеличить в — = —= 5раз.
Таким образом,
/1 = />=6а; /4=/8 = Ю а> /в = 20 а,
1/, = 30 в, 1/5 = 50 в.
Пример 5.3. Определить рабочий режим для линейной схемы с источ-
ником тока / = 12 а, изображенной на рис. 5 8.
Решение. Пусть ток /7 = /2 = 1 а; тогда из схемы, показанной на
рис. 5.8, получается:
^, = (^ + ^/, = 6-1=6 в; /,=-2 = ^ = 2а;
г8 о
/i = /i + />= 1 + 2 = 3 а\ (У^ = (У; + гХ = 6 + 2.3=12 в.
Затем следует задаться током /3 = /в=1«. Токи и напряжения на остальных
участках заданной цепи получаются аналогично предыдущему, т. е.
t/; = (r, + r.)/;=2.1=2 в;
, и' 2 ,
/7=Т;=-2=1 /8 = /7 + /5 = 1 + 1=--2 «; .
б/12 = б/7 + г,/,--2+3*2 = 8 в.
Реальное напряжение Ul2 неизвестно, ио оио должно быть одинаковым при
расчете обеих частей схемы. Поэтому, например, в правой части схемы все
U '^ 12 , _ т е
токи и напряжения следует увеличить в —^=—=1,5 раза. Тогда /,=1,5,
8
/8=1,5-2 = 3 а. Следовательно, суммарный ток для всей схемы
Г = /'+/" = 3 + 3 = 6 а.
J 12
Поскольку действительный ток в jT=g- = 2 раза больше полученного при
расчете, то токи и напряжения в каждой ветви необходимо увеличить в два
раза:
/, = 2 а; /8 = 4 а; /4 = 6 а; /s = /, = 3 а\
12 = 3 а; /8 = 6 a; Ua= 12 в; (712 = 24 в и 17, = 6 в.
При решении той же задачи с помощью одного из известных методов
расчета потребуется составление и совместное решение не менее трех урав-
нений с тремя неизвестными.
158
§ 5.3. Применение принципа наложения
Для облегчения технического выполнения расчетов и повы-
шения их наглядности иногда целесообразно рассмотреть частные
режимы, вызванные каждым из активных элементов цепи в от-
дельности, а затем путем наложения определить действительный
рабочий режим. Это дает наибольший эффект для схем с после-
довательно-параллельным соединением элементов, когда можно
одновременно воспользоваться правилом пропорциональных пере-
счетов.
Пример 5.4. Определить рабочий режим для линейной схемы, показанной
на рис. 5.9
г^1ом г3=2оп гг-2он
е?126
Рис. 5.9

Решение. Применение любого из основных методов для расчета
режима в заданной схеме приводит к необходимости составления и совмест-
ного решения не менее трех линейных уравнений. Применение принципа
наложения дает возможность рассмотреть три отдельные схемы, в каждой
из которых оставляется по одному активному элементу (рис. 5.10). Опреде-
ление токов в ветвях и напряжений на их зажимах для первых двух схем
производится так же, как и в примере 5.2. Результаты расчетов показаны
иа рис. 5.10, а и б.
Здесь полезно отметить, что равенство э. д. с. е2 и г, при одинаковых
токах /j и /' иллюстрирует принципы взаимности.
Для получения правильных значений токов и напряжений необходимо
учесть следующие коэффициенты:
е 12
для схемы, изображенной на рис. 5.10, a -4 = jj-^ = 1,29,
С 16
для схемы, изображенной на рис. 5.10, б —у=х-^=1,72
ег 9’3
(значения е1 и е2 взяты из рис. 5.9).
Расчет схемы, представленной на рис. 5.10, в, ведется в следующей
последовательности: задаются током /}v = l а (на схеме не показан); тогда
159
/’v = -^- = 0,2 а и /’v=l,2 (на схеме эти токи также не показаны). Анало-
гично, если задаться током 1г = 1 а, то /5 = 0,5 а и =1,5 а (эти токи
показаны в правой части схемы). Если принять ток в неразветвленной части
схемы (без учета тока /’ ')
равным току, полученному в
правой части схемы (без учета
тока /в ), то все токи и нап-
ряжения в левой части схемы
необходимо увеличить в
1 5
5-+ = 1,25 раза. Тогда /"' =
1,2 1
= 1-1,25= 1,25» и /'" =
= 0,2-1,25 = 0,25» (эти токи
показаны в' левой части схемы).
Напряжение на зажимах соп-
ротивления гв, к концам ко-
торого присоединен источник
тока,
U't ' = rJi" + ' + г,/''' =
= 5-0,25 4-2-1,5 + 4-0,5 = 6,25e.
Ток в сопротивлении re
U’” 6,25
/в = — =-=- = 6,25».
1
Ток источника тока
J' = * l3 +lt + Z2 —
= 6,25 + 0,5 + 1=7,75 а.
Сравнение J' с заданной ве-
личиной тока источника при-
водит к необходимости введения коэффициента пересчета, равного
J' 7,75 °’387‘
На рис. 5.9 показаны результаты расчета, выполненного совместно путем
пропорциональных пересчетов и наложения. Например, для ветви с сопро-
тивлением г,
/, = 2.8-1,29— 1 • 1,72— 1,25-0,387 = 1,41 а.
При расчете цепей с помощью принципа наложения следует
иметь в виду, что в отдельных схемах исключаемые э. д. с. должны
заменяться непосредственными соединениями соответствующих
зажимов, поскольку внутренние сопротивления источников или
предполагаются очень малыми, или объединяются с соответст-
вующими сопротивлениями ветвей. При этом исключаемые задаю-
щие токи ничем не заменяются, так как внутренние сопротивле-
ния соответствующих ветвей источников тока бесконечно велики.
160
Пример 5.5. Определить рабочий режим в мостовой схеме, изображенной
на рис. 5.11, а. Решение выполнить путем применения пропорциональных
соотношений и принципа наложения.
Решение. Принцип наложения используется для упрощения схемы
в процессе решения, а метод пропорциональных пересчетов дает возможность
устранить необходимость совместного решения системы уравнений.
Схема замещения упрощается путем включения в диагональные ветви
э.д.с., при которых получается желаемый режим в некоторых ветвях, и,
в частности, отсутствует ток в одной из диагональных ветвей, что дает
возможность в данном режиме считать ее отсутствующей. Значение этих э.д.с.
определяется в каждом конкретном режиме, а их действие—путем пропор-
циональных пересчетов. Наложение частных режимов дает возможность
определить искомый режим всей схемы замещения.
Пусть в шестую ветвь включена такая э. д. с., при которой ток ра-
вен нулю, а в пятую ветвь — э. д. с., при которой ток в первой и во вто-
рой ветвях равен 1 а (рис. 5.11, б). Тогда токи в третьей и четвертой ветвях:
1_(1 +^1 — 0 43 Q| а ток в пятой ветви: 1+0,43= 1,43 а.
3 + 4
Э.д.с. в пятой ветви: 1 (1 + 2)+1,43-5= 10,15 в, а э.д.с. в шестой
ветви: 0,43-3—1-1 = 0,29 в.
Аналогичным путем можно определить э. д. с. в пятой и шестой ветвях,
при которых ток в пятой ветви отсутствует, а в первой и третьей ветвях
равен 1 а (рис. 5.11, в).
Если теперь все токи и напряжения в первом режиме (рис. 5.11, б)
0 33
умножить на коэффициент 0,0325 и сложить с соответственными вели-
чинами во втором режиме, то получится третий режим (рис. 5.11, г), в ко-
тором э. д. с. останется только в шестой ветви. Таким образом, полученный
режим (рис. 5.11, г) определяет действие э. д. с., включенной в шестую
ветвь схемы. Поскольку заданная схема линейная, то все токи пропорцио-
нальны величине этой э. д. с.
Пользуясь этим решением, можно определить действие задающего тока,
включенного к узлам а и о. Для этого достаточно предположить, что ток
в шестой ветви отсутствует, а в третьей и четвертой ток равен 1 а
(рис. 5.11, д). Тогда ток в пятой ветви ——= 1,4 а, ток в первой ветви
1 + 1,4 = 2,4 а и ток во второй ветви
1,4-5 + 2,4-1
2 “
4,7 а.
При этом задаю-
щий ток 2,4 + 4,7 = 7,1 а, а э. д. с. шестой ветви: 1-3 + 2,4-1 = 5,4 в. Дейст-
вие такой же э. д. с., но противоположно направленной, определяется с
помощью рис. 5.11, г. Если полученный таким путем режим наложить на
предыдущий, то будем иметь режим, показанный на рис. 5.11, е.
Таким же путем можно определить и режимы, которые получаются
в результате действия задающих токов в узлах б и в (с обратными токами
в узле о). Эти режимы и методика их получения показаны на рис. 5.11, ж и з.
Рабочий режим для исходной схемы (рис. 5.11, а) теперь легко полу-
чить, умножив токи в ветвях схемы, показанные на рис. 5.11, е, на коэффи-
циент j = 1,43, токи в ветвях схемы, изображенной на рис. 5.11, ж, — на
' 15
коэффициент 2“оз = ^’^’ токи в ветвях схемы, представленной на рис. 5,11, з,—
20
на коэффициент у-===5,65, и сложив результаты
и, ОО
Полученный таким путем режим показан на рис. 5.11, и.
Таким образом, оказывается возможным определить рабочий режим
в схеме, содержащей три независимых узла и три независимых контура,
11 Теоретические основы электротехники ч. 1
161
в)
t+0,26‘f,26a
------------[
Рис. 5.11a~-e
/3
—CZ]—
rs 1-0,36‘0,62a
—1^-0,02:1,Зва
3)
Е=2-4-0,43=0,28 б
И)
гг
О
10 а
20 а
Ij-2,0-1,43+1,02-7.4 +
*0,57-5,35=7,9 а
Is=-0,64-1,43-0.03-7,.
0,69-5.65*2Яа
If4,46-1,43+0,90-7.4 +
+ 1,26-5,65=20,8а
L=1,26-1,43+0fi4-7,4+ ls=-O.62-1,43-0O1-24+
+1,67-5,65‘14,5а *1.19-5,65‘2,8а
fs
В
Is = 1,38-1,43+0,6-7A+0,02-5,65‘9,9a
15 а
Рис. 5.11 ж—и
ие решая системы уравнений, хотя схема не является последовательно-
параллельной.
Проверка по законам Кирхгофа показывает достаточно хорошую точность
выполненного расчета.
§ 5.4. Общие замечания о преобразовании схем
Расчет И- исследование сложных электрических цепей во мно-
гих случаях можно значительно облегчить и сделать более на-
глядным путем преобразования электрических схем одного вида
в схемы другого вида. Целесообразное преобразование электри-
ческой схемы приводит к уменьшению числа ее ветвей или узлов,
а следовательно, и числа уравнений, определяющих ее электри-
ческое состояние. Иначе говоря, многие алгебраические операции
по линейным преобразованиям систем уравнений электрического
состояния, записанных в любом виде, могут быть связаны
с заменой некоторой части заданной схемы другой, ей эквива-
лентной, при наличии которой электрическое состояние остальной
части схемы не изменяется.
Возможность такой замены уже была неоднократно показана
ранее. Так, например, ряд последовательно соединенных сопро-
тивлений получается эквивалентным (с точки зрения электриче-
ского состояния остальной части схемы) одному сопротивлению,
по величине равному их сумме. Действие нескольких последо-
вательно включенных источников э. д. с. получалось таким же,
как действие одного источника с э. д. с. суммарной величины.
Аналогичные замены возможны и в случае параллельного соеди-
нения ветвей. Для иллюстрации этого положения ниже опреде-
лены э. д. с. и внутреннее сопротивление эквивалентного источ-
ника э. д. с., которым можно заменить п параллельно включенных
источников э. д. с. с известными э. д. с. и сопротивлениями ветвей.
Допустим, что из электрической схемы произвольного вида
выделена ее часть, состоящая из п параллельно соединенных
ветвей, а остальная часть схемы не рассматривается и условно
изображена на рис. 5.12, а прямоугольником. Для заданной
схемы
=e)g'1—e2g2+.. -4-еЛ£Л+... +e„g„—^(g1+g'2+- • • +£*+•.•+£„)•
Для замены п параллельных ветвей (рис. 5.12, а) одной экви-
валентной (рис. 5.12, б) необходимо, чтобы ток / и напряжения U
в эквивалентной схеме были таким же, как в заданной. В схеме,
изображенной на рис. 5 12, б,
[ = (e—U)g.
Так как условия эквивалентности должны быть выполнены при
любых токе I и напряжении U, то после приравнивания правых
164
частей этих выражений и разбивки этого уравнения на два
получается:
U (gi + g2 + • • •'+£*+ ••+§«) = ^.
е& ~e2gt + • • • + . + e„gn = eg,
откуда
n
g—gt+gz + • • • + %ь + • • +gn= 2 g*.
h=\
n
2 ehSh
c etgi —Ma + • + ehgh + engn =h=i
gi+8i+ +g/t+ +gn A
Л gh
h = i
При вычислении эквивалентной э. д. с. с положительным зна-
ком берутся те э. д. с. еА, которые направлены к тому же узлу (2),
что и эквивалентная э. д. с. е, и с отрицательным знаком—э. д. с.,
направленные к другому узлу (1). Если какая-либо ветвь с не-
которой проводимостью не содержит э. д. с., то в числителе
формулы для эквивалентной э. д. с. отсутствует соответствующее
слагаемое, а в знаменатель проводимость этой ветви входит.
Преобразованием схем можно рассчитать электрическую
цепь, не записывая сразу всей системы уравнений состояния,
а выполняя операции по частям. Это особенно целесообразно
в тех случаях, когда требуется определить токи и напряжения
не во всех ветвях заданной цепи. Порядок расчета следующий.
Путем ряда преобразований исследуемая схема постепенно упро-
щается, т. е. по частям заменяется более простыми схемами
и в конце концов приводится, например, к схеме в виде одного
контура. Режим работы одного контура находится непосредст-
венно. Затем, путем обратных преобразований, определяется
электрическое состояние последовательно каждой из предыдущих,
более сложных схем и, наконец, если это требуется,—исходной
схемы. Этот метод во многих практических случаях оказывается
менее громоздким, так как для каждого этапа расчета требуется
сосредоточить внимание только на небольшом участке цепи;
кроме того, этот метод связан с непрерывной иллюстрацией
165
производимых алгебраических операций с помощью упрощенных
эквивалентных схем.
Однако изложенные выше способы преобразования для реше-
ния общей задачи недостаточны.
§ 5.5. Преобразование схем с уменьшением числа узлов
Если решать систему узловых уравнений для сложной схемы
с числом узлов больше двух путем исключения неизвестных,
то на каждом этапе решения новая система уравнений с мень-
шим числом неизвестных будет соответствовать новой эквива-
лентной схеме с меньшим числом узлов.
Для иллюстрации этого положения целесообразно рассмотреть,
например, преобразование мостовой
схемы, изображенной на рис. 5.13, пу-
тем исключения одного узла.
Рис. 5 14
Узловые уравнения для заданной схемы имеют следую-
щий вид:
Ф> (g. +g2 +gs)—Ф^. — <P,g2—= 0;
— <P,g, 4- Ф2 (g, + g, + g) — <P,g—Ф4Й, = eg;
~ <Pig2 — <P2g + Ф, (g2 + g4 + g) ~ T4g4 = — eg;
—Ф ,g»—<P2gs — Tsg4 + ф4 (g, + g4 + g,) = 0.
Исключение первого узла из схемы соответствует исключению
потенциала из системы узловых уравнений. Для этого первое
уравнение следует умножить поочередно на коэффициенты
h —_____gl...• h —_____Si___ h —_____Si___
' 2 gi + 82+ft’ 5 gi + g2 + 8s’
а затем почленно сложить co вторым, третьим и четвертым
уравнениями. В результате получается следующая система
уравненйй:
Ф2 (g, + g, + g—g А) ~Ф, (g + gA)—Ф4 (g> + gsAi) = eg’
—Ф2 (g+gA) + Ф, (g2 + g4 H-g—gA)“ Ф. (g. + gA) = —
—ф2 (g, + gA)—Ф, (g4+g^s)—ф4 (g,+g4+g5—g A) = °-
166
Важно отметить, что коэффициенты полученных уравнений рас-
полагаются симметрично относительно главной диагонали. Это
означает, что можно составить эквивалентную схему, соответст-
вующую данной системе уравнений. Поскольку каждый коэффи-
циент gjj при i j определяет проводимость связи между
узлами i и /, то нетрудно установить, что параллельно сущест-
вующим ветвям между оставшимися узлами появляются новые
ветви (рис. 5J4) с проводимостями:
ГТ = glgt . 0. _ gigs И ff = —_____________
®2S gi + g2+gs’®24 gi+g2+gs ®4S g> -Pg2 + gs ’
Этому соответствуют и коэффициенты диагональных элементов:
ст — а ---—----=----gig?----г---gigs---_ „ 1 g .
® 1 gi + g2 -h gs gl+gt + gs gl+gi+gs ^2’ ^24
a — ff ---—____= --gjgs---1----gagi-- —_ cr -Г-Ц •
Й2 S2gi + ga+gs gi+g!+gsgi + g2+gs ' ®2S
0. _0. gfi____ __gsg 1 1 ___gsg2____= 0. I 0
gS S’gl + g2+gS gl+g2 + gsgl + g2 + gS 524-ГЙ4,-
После выполнения данного преобразования схема оказывается
более простой.
Существенно заметить, что при почленном умножении урав-
нения для узла / на коэффициент получается
Ф,^ + Ф2 (g2> + £21~gi>—Ф»£22—Ф4^4 = °-
откуда
(ф — ф2) gl = (ф, — ф2) g2, + (ф4 —Ф2) g24.
т. е. ток в ветви /•—2 трехлучевой звезды равен сумме токов
в ветвях с эквивалентными проводимостями g2S и g2l. Поэтому
обратное преобразование, т. е. определение токов в предыду-
щей, не преобразованной схеме производится без сложных
дополнительных вычислений. Такое положение справедливо
и для других уравнений.
Пример 5.6, На рис. 5.15 изображена электрическая схема с девятью
ветвями. Путем устранения узлов 4 и 0 требуется получить эквивалентную
схему в виде последовательно-параллельного соединения активных и пассив-
ных элементов.
Решение. Пользуясь формулами, полученными при преобразовании
схемы, изображенной на рис. 5.13, легко определить сопротивления эквива-
лентного треугольника (рис. 5.16), который может заменить сопротивления,
соединенные в звезду,
1 1 1
Г44- „ 1 fSe • Г24- „
S4S gSS S64
Формулы преобразования сопротивления rv г2 и г» соединенных в звезду
с э. д. с. е,, ег и е, в эквивалентный треугольник, получаются в результате
преобразования уравнений электрического состояния. В даНЛ>м случае
Л=(Фо—q>i + ei)gi; ^2=(Фо— <Ps + e2)g2; Л = (ф0—<ps + e2)gs.
167
а уравнение Кирхгофа для узла О
которое после замены в нем токов приобретает вид
Фо (£1 4- £2 4- £3) — (Ф1—61) g, — (ф2—е2) £г—(Фа — ез) gs = О,
откуда
Если из выражений для токов
нить <р0 по полученной формуле)
Л = (<Рг —
/2 = (фз фа 4" 622) ga (фг Ф14" ^12) £12»
I» = (фс — Фз 4- «2.) g,i — (Фа — Фг 4- 62S) £22.
/.
, то после некоторых преобразований
Ф> 4-в1г) £12— (Ф1—Фз 4- ®si) £3J;
/2 и /2 исключить потенциал <р0 (заме-
где
а = £‘ga • а = £г£» . „ _ £з£1 .
й1г £14-£г4-£г’S2S g, 4-£2 4- £з ’ fis* £i4-£24-£s ’
^12 ~ ^23==^2~“^3^ ^31 ~ ^1*
Этим уравнениям удовлетворяет эквивалентная схема, изображенная
на рис. 5.17, где /21 = (<р2— ф14-б12)£12,
^22= (фз Фз4- 622) £гз’> (Ф1---Фз4“6з1) £211
1 1 1
fio ~ ~~ 31 ~~~
§12 §23 §31
По уравнениям узловых потенциалов, записанным в канонической
форме, можно непосредственно составить эквивалентную схему. Для этого
достаточно узлы i и / с искомыми потенциалами ср,- и ср, соединить ветвью
11 ,
с сопротивлением г(-,=— = — (при этом /=1... у—1); в узлах поместить
SiJ Sfi
168
задающие токи fi — J; и I/= Jj, и, кроме того, каждый из узлов соединить
ветвью, имеющей сопротивление г(-у =----—, с узлом у, потенциал
Яо-2 Sij
, = 1
любой величине, например, нулю).
которого известен (принят равным
Если в системе узловых уравне-
ний исключить неизвестное в виде по-
тенциала <рг узла 1, то эквивалент-
ная схема должна соответственно из-
мениться за счет устранения узла /.
Вместе с узлом 1 должны быть
устранены и все ветви, соединяющие
этот узел с другими узлами схемы и
представляющие собой в общем случае
конфигурацию в виде (у— 1) луче-
вой звезды. Поскольку при этом из-
меняются все коэффициенты остав-
шейся части уравнений, причем у всех
коэффициентов появляются дополни-
тельные слагаемые, то, очевидно, что
указанная конфигурация в виде мно-
голучевой звезды заменяется кон-
фигурацией в виде полного (у—1)-
угольника (с диагоналями). Прово-
димость каждой стороны эквивалент-
ного многоугольника с диагоналями
Рис. 5.17
определяется по формуле
г f giigij glig/i
-----------------------L
gll gn
Кроме того, в оставшихся узлах добавляются задающие токи, характеризуе-
мые величинами свободных членов узловых уравнений:
1 £н
Полученное выражение означает, что задающий ток в исключаемом узле /
заменяется токами в остающихся узлах /.
Поскольку в пределах каждого уравнения сумма коэффициентов остается
равной нулю, то коэффициенты диагональных элементов (по главной диаго-
нали) должны соответствовать полученным значениям элементов ветвей.
Таким образом, получено правило замены n-лучевой звездьГс задающим
током в общей узловой точке полным n-угольником (с диагоналями) с задаю-
щими токами в вершинах. Сопротивление каждой стороны полного п-уголь-
иика равно величине обратной проводимости gif -
r’lf=ruri^Y-<
k=l ,к
а задающий ток в каждой из вершин п-угольиика
1
/у—Ji п
k=i ™
т. е.
(5.1)
(5.2)
Если в заменяемой n-лучевой звезде ветви содержат э. д. с. е1(- (пример 5.6),
то в эквивалентном полном n-угольнике можно либо оставить в его сторо-
нах э. д. с., равные e,.y=etI-—ety, либо заменить их задающими токами.
169
Пример 5.7. Показать, что если задающий ток имеется в точке 1 ветви
2—3 (рис. 5.18, а), то его можно заменить двумя токами J2 и Ja в точ-
ках 2 н 3 (рис. 5.18, б), определяемыми по формулам:
J — I Ги „ Т _ / г12
•'г — *'1 , и .
'12Т '1S '12 Т '13
режим в остальной части схемы, присоединенной к точкам 2, 3
При этом [ " .... " *
и 0, останется без изменения.
Решение. Справедливость этих соотношений следует из уравнений
узловых потенциалов для то-
чек 2, 3 и 1 (рис.5.18, а), имею-
щих вид:
Ф1£|2 Ф1&12 = ^2>
Фз£>з Ф^м = Л:
— Ф2£12 + Ф1 (glz + gl.) —фзЯ13 =
= —J,.
Если из последнего уравне-
ния выразить потенциал <р, н
подставить его в первые два
уравнения, то после неболь-
ших преобразований получа-
ются уравнения:
, к 1
(фз—Ф»);-,- =
'12 “Г '13
r„ + G,
Этим уравнениям
удовлетво-
ряет схема без узловой точки
1 с токами J2 и J2 в точках 2 и 3 (рис. 5.18, б). Совершенно ясно, что выражения
для токов У2 и J, легко получить непосредственно из формулы (5.2).
Многократным применением указанного правила можно получить фор-
я)
мулы для замены задающих токов, имеющихся в различных точках ветви
а—Ь (рис. 5.19, я), двумя токами Ja н Jb на ее концах (рис. 5.19,6):
п п
“а — J i ГЫ и ^Ь~ га'г
ГаЬ7£ ГаЬ 7Z
170
Таким образом можно получить схему, содержащую задающие токи
з других узлах.
В случае сопротивлений, соединенных по схеме трехлучевой
пассивной звезды (рис. 5.20, а), формулы для определения
сопротивлений при преобразовании в эквивалентный треуголь-
ник (рис. 5.20, б) имеют следующий вид:
, , г, г, , , г, г,
И
, Гя г,
rsi = rs + ri+ 7“-
'2
Если rx — r2 = r, = r, то r12 = г23 = г31 = Зг. Следует отметить, что
положительные направления для токов и напряжений на рис. 5.20
будут использованы в дальнейшем при преобразовании сопро-
тивлений, соединенных по схеме треугольника, в схему звезды.
§ 5.6. Преобразование схем
с уменьшением числа контуров
Если каждой схеме замещения всегда соответствует некото-
рая система уравнений определенной формы записи, то любую
систему уравнений нельзя представить соответствующей ей схе-
мой замещения при обычном изображении ее элементов, так как
в соответствии с предыдущим система уравнений для любой
схемы замещения электрической цепи должна удовлетворять
определенным условиям. В частности, по уравнениям контур-
ных токов, записанным в канонической форме, нельзя в общем
случае непосредственно составить схему замещения с электри-
ческими соединениями ветвей, поскольку не всякая система
контурных уравнений даже с симметрично расположенными
коэффициентами (относительно главной диагонали) соответствует
схеме замещения, составленной из известных элементов. Однако
171
это затруднение в известной мере устраняется, если ввести до-
полнительное условное обозначение. Можно, например, каждый
из контуров изображать отдельно, приняв его сопротивление
r( = ri7, а э.д.с. еС1—в[. Если эти контуры изобразить на рисунке,
то необходимо только дополнительно показать между ними об-
щие сопротивления г^=г^ (рис. 5.21), аналогично тому, как
изображается взаимная индуктивность между обмотками.
Пример 5.8. Преобразовать схему, приведенную на рис. 5.22, путем
устранения контура с током
Решение. Контурные уравнения для данной схемы имеют следую-
щий вид:
(ri + г, + г8 + г9) /1—г,/2—г8/8—''8^4=0;
—r7/14-(r2 + rs + r7)/2—rs/2-^-0=e2;
— ral i—rsI2 + (rs + rs + re + r8) /s—rjn = 0;
— rJi + 0—t6/s + (r4 + re + r9) 11 = —et.
Соответствующая схема замещения условно показана на рис. 5.23.
Для устранения из схемы первого контура необходимо умножить пер-
вое уравнение поочередно на коэффициенты
172
и сложить почленно соответственно со вторым, третьим и четвертым урав-
нениями:
(г2 + rs + г,—h7r,) /2 — (г, + r8ft,) /,—г9Л,/4=е2;
— ('t + r7ha) 1г + (r8 + r, + rt + r,—rah3) /,—(rt + reh,)/4 = 0;
—гД/2—(r6 + r8ft9) ^ + (r4 + r,-|-r, —r,h,)/4= —e4-
Эти уравнения имеют симметрично расположенные коэффициенты относи-
тельно главной диагонали. Общие сопротивления оставшихся контуров
возрастают на величины:
Собственные сопротивления второго, третьего и четвертого контуров,
наоборот, уменьшаются соответственно на величины: й,г7, й8г8 и Л9гэ.
Здесь схема замещения получается упрощенной (рис. 5.24). Однако
в данном случае (при трех контурах) можно составить электрическую
эквивалентную схему обычного вида, в которой каждая пара контуров
имеет общее сопротивление, а собственные сопротивления контуров отли-
чаются от сопротивлений r22, r8S и г44 соответственно на величины г', /'
и г9; последние в преобразованной схеме, изображенной на рис. 5.25, оп-
ределяются по формулам:
' _ _ га + г9 + _
, 7 7 ri + rs -h r2 -h i\ ’
г, + '-» + '1 . ' г7 + г, + г,
* ,f7 + re + rs + ri ’ 9 ’ г7 + га + га + ri ’
*173
Для определения контурного тока при обратном преобразовании
следует воспользоваться формулой
I — Г^г ~Н + Г9/4
1 G + ^ + rs + r,'
Таким образом, по уравнениям контурных токов не всегда можно
составить обычного вида схему замещения, так как при числе контуров
больше трех такая схема не имеет об-
щих сопротивлений для любой пары
контуров. Поэтому в общем случае пре-
образование ведется с помощью схем ус-
ловного вида с отдельными контура-
ми, связанными общими сопротивле-
ниями.
Исключение неизвестного контур-
ного тока, например, тока первого
контура, соответствует устранению это-
го контура со всеми его связями. Это
должно сопровождаться изменением соб-
ственных сопротивлений каждого из ос-
тающихся в схеме контуров I, имеющих
связь с первым контуром, на величи-
ну г, =— — r'i , а также изменением его э.д.с. на величину — —Е1^~
ги ги
и общих сопротивлений для остающихся связанных контуров на ве-
личину г'.-=г‘1 Г~ . При обратном преобразовании ток в исключаемом кон-
1 гп
туре определяется непосредст-
венно из исключенного урав-
нения.
В частном случае, когда
схема состоит из двух конту-
ров с одним источником и
двумя параллельными ветвями
(рис. 5.26, а), исключение кон-
тура с током /2 приводит код-
ному контуру С ТОКОМ /2(рИС.
5.26, б), что равносильно заме-
не двух параллельных ветвей
одной эквивалентной ветвью с
Рис. 5.26
сопротивлением г12 = —1—=- .
Г1 Т Г2
Если схема состоит из трех контуров с тремя сопротивле-
ниями r12, и г21, соединенными в треугольник, и с тремя
контурными токами /2 и /0 (рис. 5.20, б), то исключение
из системы контурных уравнений тока /0 приводит к соедине-
нию сопротивлений г,, гг и г, в виде эквивалентной звезды
(рис. 5.20, а). Действительно, для схемы, изображенной
на рис. 5.20,6, можно написать следующие уравнения:
Г31Л“ГзЛ = ^13- Г12^2 —Г12^0 = ^2Р
(Г12 + Г 23 + Г» 1) Ц — Г1г^— Г13^1 = 0-
Определив ток /0 из последнего уравнения и подставив его
выражение в два первые, после небольших преобразований
174
получаем следующие равенства:
—— (/ _ у \ _|-------->_____I = П
'Ъ + '-гз + 'V 1 2'^'-12+'-2s + rS1 1
---г-^-— (1 —7)J г-1гГ 28 7 = и
ria+ ^s + ^si 2 1 ria +r2s +rsi 2 21
Этим уравнениям полностью удовлетворяет схема без контур-
ного тока /„ с сопротивлениями
f — ^81 • f — Гг> Г'2 • f — Т31 г28
1 т12 + г,3 + rsi ’ 2 — r12-hr.s + r3I ’ 8 r12 + r2S + r31’
соединенными звездой (рис. 5.20, а).
Таким образом, данное преобразование является обратным
по отношению к замене звезды треугольником, что нетрудно
установить и в более общем случае.
Поскольку преобразования схем путем уменьшения числа
контуров, равно как и преобразования схем путем уменьшения
числа узлов, соответствуют обычному порядку решения систем
линейных уравнений, то каждый из описанных методов расчета
является достаточным для определения-рабочего режима любой
схемы замещения.
Уместно заметить, что выбор наиболее рационального метода
расчета практически достигается только на основе опыта. Во мно-
гих случаях выбор наиболее целесообразного метода расчета
может способствовать значительному сокращению времени,
затрачиваемому на его выполнение.
§ 5.7. Дуальность электрических цепей
Если сравнить порядок решения системы уравнений узловых потен-
циалов для любой плоской схемы* с порядком решения системы уравне-
ний контурных токов, то обнаружится много общего. В частности, это
видно при сравнении операций по преобразованию схем замещения путем
уменьшения числа узлов и контуров. Все математические выражения
получаются сходными по форме записи; при этом проводимостям, применяе-
мым в формулах узловых напряжений, соответствуют сопротивления
в уравнениях контурных токов.
Это сходство можно представить в более общем виде и использовать,
например, для замены схем замещения, что может оказаться целесообраз-
ным при решении некоторых задач, связанных с расчетом режимов слож-
ных электрических цепей. В частности, возможности такой замены могут
быть применены при расчете схем замещения, в которых имеются (получен-
ные, например, в процессе преобразований с уменьшением числа контуров)
взаимные связи между контурами, электрически не имеющими общих
сопротивлений, т. е. не связанными непосредственно.
Пусть разветвленная электрическая схема произвольной конфигурации
имеет в своем составе (у—1) независимых узлов и k независимых контуров
* Так называется схема, которую можно изобразить на плоскости
только с иепересекающимися элементами, соединяющими узлы.
175
и пусть положительные направления контурных токов выбраны так, что’
падения напряжений в общих ветвях входят в контурные уравнения с от-
рицательными знаками *. Если при этих условиях сравнить уравнения
контурных токов для любого i-ro контура заданной сложной схемы
k k k
I =1 / =1 j =1
k
(где 2 rij—собственное сопротнвлениеч-го контура) с уравнениями узло-
/=1
вых потенциалов для любого /-го узла схемы
и и и
Ф/ 2<₽/Я// = А+
I -1 / = i i = i
i^i
и
(где 2^,-y—сумма приводимостей всех ветвей, присоединенных к /-ому
/
узлу), то легко установить полное сходство в их записи, при этом можно
принять (у—1) = +
Таким образом, например, если имеется некоторая электрическая схема,
для которой составлены контурные уравнения, то имеется и другая электри-
ческая схема, узловые уравнения которой идентичны контурным уравне-
ниям первой схемы. Контурные токи для первой схемы идентичны потен-
циалам соответствующих узлов второй схемы; сопротивления, общие для
смежных контуров первой схемы, идентичны проводимостям ветвей, включен-
ных между соответствующими узлами второй; суммарные (несбалансирован-
ные) э.д.с. в контурах первой схемы идентичны задающим токам в соответ-
ствующих узлах второй; токи в ветвях с сопротивлениями частей контуров,
обусловленные задающими токами первой схемы, идентичны э.д.с. в соответ-
ствующих ветвях второй схемы. Иначе говоря, справедливы следующие
соответствия:
Л-*-*<₽/; Ji,** eif.
Поскольку, как это следует из предыдущего, возможности составления
узловой схемы (по узловым уравнениям) являются несколько большими,
чем контурной (по контурным уравнениям), то для упрощения решения
можно воспользоваться указанной заменой н произвести расчет для узловой
схемы, а затем полученное решение представить через параметры режима
(токи, напряжения) контурной схемы.
Пример 5.9. Составить схему, дуальную по отношению к схеме, показан-
ной на рис. 4.22, а.
Решение. Контурные уравнения для этой с^емы при выбранных
положительных направлениях токов /, и /2 (рис. 4.22, б) имеют следую-
щий вид:
/1(2 + 5 + 3) + /25 = 25;
/,5 + (1+5 + 4)/2 = 35.
Соответствующие узловые уравнения получаются в виде:
<₽i (2 + 5 + 3)-<р2 (-5) = 25;
—(—5) <р, + <р2 (1 + 5 + 4) = 35
* При наличии в общих ветвях контурных токов одинаковых направ
лений соответствующие составляющие напряжений должны войти в контур
пые уравнения с одинаковыми знаками.
176
Так как заданная схема содержит два независимых контура, то число
независимых узлов будет равно так же двум. Потенциал третьего узла <ps
(рис. 5.27, б) можно принять равным нулю.
' Из уравнений узловых потенциалов следует, что между первым и вто-
рым узлом должна быть включена отрицательная проводимость g12=—5 сим
или сопротивление г]2 =—g- ом. Проводимость ветви, включенной между
первым и третьим узлами, очевидно, равна разности gIS = gn—£12="
__ 10_(_5)=15 сим, что дает сопротивление г13 = -г=ол<. Наконец, проводи-
1 о
мость ветви, включенной между вторым
= (10) — (— 5) =15 сим, а сопротивление
и третьим узлами, g2a = g22—£12 —
этой ветви равно r£a = jg ол«.
Рис. 5.27
Из правой части первых контурных и узловых уравнений следует, что
контурной э.д.с. в, = 25 в соответствует узловой ток в 25 а, направленный
к узлу 1.
Аналогичный смысл имеет правая часть вторых уравнений, что показано
на дуальной схеме (рис. 5.27, а). Если задающий ток в первом узле
(рис. 5.27, а) заменить э.д.с., равной 25-= = -|-в и направленной к этому
10 <5
узлу (рис.
5.27,6), а задающий ток во втором узле заменить э.д.с., равной
и направленной ко второму узлу, то получается неразветвлен-
2___
15“ 3
__7/ _|_5/
ная схема (рис. 5.27,6) с током / = —-------= Ю а. Зная этот ток,
/15 /5 /15
легко определить потенциалы ср! и ср2 по формулам:
15 17
^=“I015 + T = I e; <P2=l°i5*3- = 3 *•
Следовательно, переходя обратно к исходной схеме, можно найти кон-
турные токи: 11—\а и 12 — За.
Если в заданной схеме (рис. 4.22, а) изменить положительное направ-
ление тока /2, то контурные уравнения для этой схемы:
10/,—5/а = 25,
—5/1+10/2=—35.
Соответствующие уравнения узловых потенциалов записываются в следую-
щем виде:
10 ср j — 5ф2 = 25;
— 5q>, + 10ф2= —35.
12 Теоретические основы электротехники ч. I
177
Аналогично предыдущему можно показать, что этим уравнениям соответ-
ствует дуальная схема, изображенная на рис. 5.28, а, с положительным»
проводимостями и сопротивлениями. После замены задающих токов в схеме,
(рис. 5.28, а) соответствующими э.д с., получается иеразветвленная схема
(рис. 5.28,6) с током / = 20« и с потенциалами <р,==1в и <р2 =—Зе, что при
переходе к заданной схеме дает ток /,= 1а, а ток /2=—За. Отрицательный,
знак у тока 1г означает, что действительное направление этого тока про-
тивоположно принятому за положительное, т. е. совпадает с направлением,
показанным на рис. 4.22, а.
Следует отметить, что при известном навыке дуальную схему можно-
составить графическим способом непосредственно по заданной схеме без
записи соответствующих уравнений. Для иллюстрации этого способа целе-
сообразно построить дуальную схему, например, для рис, 4.22, б. Для этого
внутри каждого независимого контура намечается узловая точка дуальной
схемы. Поскольку в заданной схеме (рис. 4 22,6) два независимых контура,
то фиксируются два узла 1 и 2 (рис. 5.28, в). Третий зависимый узел
намечается во внешней (по отношению к схеме) области. Затем проводятся
между узловыми точками (1, 2 и 3) пунктирные линии, каждая из которых
пересекает один элемент заданной схемы. Например, па рис. 5.28, в в ветви
с э.д.с. ег и rtJ имеется, кроме двух э.д.с., два последовательно включен-
ных сопротивления г2 и г4. Поэтому проводятся четыре пунктирные линии.
Пользуясь указанными в начале этого параграфа соответствиями (стр. 176),
заменяются пунктирные линии элементами дуальной схемы (рис. 5.28, г).
Для определения направлений токов и э.д.с. источников дуальной схемы
можно воспользоваться контурными и узловыми уравнениями. Иначе го-
воря, если при обходе соответствующего контура заданной схемы (рис. 5.28, в),
например по часовой стрелке, э.д.с. входит в контурное уравнение с по-
ложительным знаком, то ток источника тока в соответствии с узловым
уравнением в дуальной схеме (рис. 5.28, г) будет направлен к узловой
точке, и наоборот.
Следует подчеркнуть, что если применить этот способ преобразования
к полученной дуальной схеме (рис. 5.28, г), то получится исходная схема
(рис. 5.28, в). Это позволяет проверить правильность составления дуальной
схемы, изображенной иа рис. 5.28, г.
Пример 5.10. Преобразовать схему замещения, представленную
иа рис. 5.29, так, чтобы можно было для расчета рабочего режима восполь-
зоваться моделью постоянного тока (см. гл. 8). Заданная схема не может
быть воспроизведена на модели постоянного тока, так как содержит сопро-
тивление связи контуров 1 и 3 (получившееся после преобразования цепи
с большим числом контуров), являющееся условным для цепи постоянного
тока.
Решение. Задаемся распределеиием задающих токов в схеме (рис.
5.29). Контурные уравнения для заданной схемы имеют следующий вид:
/j (1 + 15 + 0+1) — /2-15—/,-0,5—/4-1 = 10 + 0+1-15 + 0 + 2-1;
—/115 + /2(15 + 2 + 20 + 3)—/2-20-/4-3 = 0—1-15—1-2 + 0—4-3;
— Л-0,5 —/2-20 + /2 (0 + 20 + 3 + 2) —/4-2= -20 + 0 + 0 + 0—4-2;
— Л-1 — /2-3—/,-2 + /4(1 + 3 + 2 + 5)= 15—2-1 + 4-3+ 4-2 + 0.
Эти равенства заменяются следующими узловыми уравнениями:
<р,(1 + 15 + 0 + 1)—<р2-15—<ps-0,5—<р4-1 = 10 + 0+ 1-15 + 0 + 2-1;
—ф2-15 + <р2 (15 + 2 + 20 + 3) — <р3-20—<р4-3 = 0—1-15—1-2 + 0—4-3;
—<р,-0,5—<р2-20 + ф2 (0+20 + 3 + 2)—<р4-2=— 20 + 0 + 0 + 0— 4-2;
— Фг1— q>»-3—<р3-2 + <р4 (1 + 3 + 2 + 5) = 15 — 2-1 + 4-3+ 4-2 + 0.
178

Рис. 5.28
12*
179
Рис. 5.29
Число узлов дуальной
узловой схемы, очевидно,
равно пяти, из которых по-
тенциал одного узла, напри-
мер, пятого, можно принять
равным нулю ф5 = 0 (рис.
5.30, а).
Для определения пара-
метров узловой схемы, свя-
занной с первым узлом
(рис. 5.30, а), необходимо
рассмотреть первое узло-
вое уравнение. Из этого
уравнения следует, что про-
водимости ветвей, включен-
ных между первым и вто-
рым узлом, между первым
и третьим, а также между
первым и четвертым равны:
g12=15 сим, £18 = 0,5 сим
и 1 сим-
На рис. 5.30, а показа-
ны сопротивления соответ-
ствующих ветвей, равные
обратным величинам ука-
занных проводимостей.
Проводимость ветви,
включенной между первым
и пятым узлами, очевидно,
может быть получена путем
вычитания суммы проводи-
мостей всех ветвей, вклю-
ченных между первым и ос-
тальными узлами, за исклю-
чением пятого, из полной
проводимостей ветвей, при-
соединенных к первому уз-
лу. Иначе говоря:£15 = £и —
— (£12+ £1з + £и) =17 —
— 16,5 — 0,5 сим, что дает
сопротивление данной ветви
равным 2 ом.
Из рассмотрения пра-
вой части первого уравне-
ния следует, что контурной
э.д.с., равной 10 в (рис.
5.29), соответствует в дуаль-
ной схеме (рис. 5.30, а) уз-
ловой ток в 10 а, направлен-
ный к первому узлу, так
как входит в правую часть
указанного уравнения с
положительным знаком. Из
того же уравнения вытекает,
что задающим токам первого
контура, равным 1 и 2а, со-
ответствуют в узловой схеме
э.д.с. в 1 и 2 в, находящиеся
180
в ветвях с сопротивлениями, равными и 1 ом (включенными между пер-
вым и вторым, а также между первым и четвертым узлами) и направлен-
ные к первому узлу.
Аналогичным способом определяются параметры дуальной схемы
(рис. 5.30, а), связанные с остальными узлами. Полученная схема может
быть составлена на модели постоянного тока.
Если нежелательно иметь в дуальной схеме столь большое число э.д.с.,
то их можно заменить соответствующими задающими токами:
Ji = 10 + 0 + 154-0 + 2 = 27 о;
/2 = 0—2— 15—0—4-3 = — 29 а\
J, = — 20 + 0 + 0 + 0 — 4-2= —28 а;
/4= 15 —2 + 4-3+ 4-2 + 0 = 33а;
/s = —5—0 + 2—0—0 = —За,
где нулями отмечены отсутствующие э.д с. в схеме (рис. 5.30, а). При
этом нули показаны лишь для общности записи.
На рис. 5.30, б изображена схема с задающими токами ... Js
В целях дальнейшего упрощения расчета рабочего режима исходной
схемы, работу на модели можно ограничить только измерением входных
сопротивлений между каждой парой узлов второй схемы, а потенциалы
узлов этой схемы, идентичные контурным токам для первой схемы, опре-
делить сравнительно простым расчетом. При этом отпадает надобность
в воспроизведении на модели задающих токов, а для измерения входных
сопротивлений достаточно иметь только один источник питания.
§ 5.8. Некоторые замечания об эквивалентных схемах
Поскольку выше была показана возможность замены некоторых частей
схем одного вида соответствующими ей частями схем другого вида, то
необходимо выяснить, являются ли такие замены всегда достаточно пол-
ными или эквивалентными.
Следует отметить, что в зависимости от исходных условий, критерии
эквивалентности могут быть различными. С точки зрения сохранения
режима работы остальной части схемы критерием эквивалентности можно
считать выполнение требований на границах, заключающихся в соответст-
вии заданным значениям потенциалов тех же значений токов, которые
получаются в исходной схеме. Этому условию удовлетворяют все способы
замены, вытекающие из приведенных выше правил преобразования схем.
Однако условия эквивалентности могут быть расширены. Например,
может возникнуть необходимость в неизменности значений суммарной
мощности, потребляемой в пассивных элементах эквивалентной схемы.
В случае замены любой пассивной части схемы пассивными параметрами
эти требования всегда выполняются, так как вытекают из предыдущих
условий. Но замена активной части схемы активными элементами не всегда
удовлетворяет равенству мощностей заданной и эквивалентной схем.
Пример 5.11. Проверить равенство значений мощности, потребляемой
сопротивлениями г12 и г12, до и после замены задающего тока J, двумя
задающими токами /2 и Js, расположенными на границах данной ветви
(Рис. 5.18).
Решение. Токи в сопротивлениях г12 и г„ исходной схемы:
J —Ф» +J/» t _ —фа + ф8+ Л'12
2 г12 + /'18 ’ ’ ''г + 'Ts
Искомая суммарная мощность
(ф2~"+)г Ч
“ Гц + Гц
181
о - . фл " “
В сопротивлении эквивалентной схемы ток 1 = ‘, а искомая
Г12 + Г1>
г,, (ф2— Фа)2
мощность Р — - ' ' , т. е. мощность не равна предыдущему значению.
Г12 т ris
В несколько ином виде аналогичное требование можно наложить на
совпадение значений суммарной мощности, генерируемой (или потребляе-
мой) источниками э.д.с. или источниками тока. Например, преобразование
части схемы в виде треугольника, каждая ветвь которого содержит э.д.с.,
в часть схемы в виде трехлучевой звезды, каждая ветвь которой содержит
э.д.с., получается однозначным только при наложении условия неизмен-
ности суммарной мощности, генерируемой э.д.с. Действительно, все э.д.с.
в ветвях звезды могут быть одновременно изменены на одинаковую вели-
чину. При этом условия на границах не изменятся.
§ 5.9. Применение метода последовательных приближений
(метода итераций)
В случаях сложных схем, особенно содержащих нелинейные элементы,
несмотря на возможные упрощения, обычный порядок аналитического
расчета рабочего режима остается настолько громоздким, что оказывается
практически неприемлемым.
Задача существенно облегчается при применении приближенных прие-
мов, дающих возможность сократить записи и количество вычислений.
Наряду с экономией времени значительно снижаются требования, предъяв-
ляемые к точности выполнения промежуточных вычислений, и получаются
результаты расчета с нужной (обычно невысокой) степенью точности.
К таким приближенным приемам относится способ расчета, основанный
на использовании предположительного решения с последующим уточнением
(метод решения „подбором"). Уточнение решения целесообразно выполнить
методом последовательных приближений. Такой метод расчета особенно
эффективен, когда известно приближенное решение. В других случаях
успех расчета зависит от имеющегося опыта.
Если приближенное решение известно (или принято по тем или иным
•соображениям), то его необходимо только уточнить (исправить), т. е. для
линейных схем определить ие полные величины токов и напряжений,
а только разности между правильными значениями и приближенными. Эти
разности, как правило, имеют меньшие значения, а поэтому их определе-
ние можно выполнять с меньшей точностью.
Существенно отметить, что для приемов приближенного расчета,
в связи со многими допущениями, обычно требуется значительно меньшее
количество последовательно выполняемых арифметических операций,
а поэтому не .нужна столь высокая точность записи численных значений
величин при промежуточных операциях.
Приближенный расчет можно выполнить различными приемами. Воз-
можен, например, следующий путь расчета. На схеме замещения наносятся
приближенные значения токов ветвей. Затем проверяется их правильность
путем обхода независимых контуров (токи в ветвях должны удовлетворять
первому уравнению Кирхгофа), т. е. определяются э.д.с. небаланса по
этим контурам:
i i
Если определить режим, вызванный действием в контурах, найденных
э.д.с., ио противоположно направленных, то наложение этого режима на
исходный и дает правильное решение.
182
Поскольку собственные сопротивления контуров обычно значительно
больше общих сопротивлений, связывающих контуры, то можно предполо-
жить, что контурные токи, исправляющие решение, определяются только
сопротивлениями самих контуров (которые предполагаются при этом
независимыми). После этого можно уточнить небаланс, вторично исправить
контурные токи и т. д. до получения нужной точности, которая зависит
от э.д.с. небаланса. При прочих равных условиях такое решение полу-
чается тем быстрее, чем меньше общие сопротивления контуров по сравне-
нию с их собственными сопротивлениями.
Пример 5,12. Определить рабочий режим в электрической схеме, пока-
занной на рис. 5.9.
Решение. Предположим, что в соединительной ветви с сопротивле-
нием г3 будет [сравнительно небольшой ток, т. е. Ias=0. Тогда контуры
с э.д.с. оказываются независимыми, и токи в них определяются непосред-
ственно.
12
/, = ^=2.
/, = ^ = 2,67 а.
Соответствующий предварительный режим показан иа рис. 5.31. Обход
по указанным контурам приводит к следующим значениям э.д.с. небаланса:
ес1 = 2-6—12 = 0; ес2 = 3-1— 2-5+2,67-4 = 3,67; ^, = 2,67-6 — 16 = 0.
Далее определяются контурные токи небаланса при первом прибли-
жении
/J=0; />=^ = -0,3; /1, = 0
и новые э.д.с. небаланса
ej =04-0,3-5= 1,5;
е‘ = 3,67 —0,3-12 = 0,07;
^ = 04-0,3-4=1,2.
Контурные токи небаланса при втором приближении
?'= 1^4-0 = -0,25;
1 о
/” = -‘Ь2? = -0,3 = -0,31;
2 12
/‘* = 0—^ = -0,2,
• 6
183.
а э.д.с. небаланса после второго приближения:
=0 — 0,25-64-0,31-5 = 0,05;
еП =3,67—0,31 • 12 4-0,25-5 Ч-0.2-4 =2,05;
=0-0,2-64-0,31-4 = 0,04.
Контурные токи небаланса при третьем приближении;
/41=—2^5-0,25 = —0,26;
1 ь
/'п= —^25-0,31= —0,48;
г 12
_ 2 = — 0,21,
8 6
дающие значения э.д.с. небаланса:
ejn =0 - 0,26-64-0,48-5 = 0,84;
е’11 = 3,67 —0,48-124-0,26-5 4-0,21-4 = 0,31;
ejn =0— 0,21-64-0,48-4 = 0,66,
^что, в свою очередь, даст токи:
/Jv = — 0,4; /‘v=—0,51;/*v = —0.31.
Затем после пятого и шестого приближений получаются следующие вполне
приемлемые результаты:
еУ = 0,15, /У = —0,43,
£>У = 0,86, /У = —0,58,
<?У = 0,16, /У = —0,34,
еУ1 =0,32, /У1 = — 0,5,
«У1 =0,22, /У1 = — 0,6,
еУ’ = 0,28, /У1 = — 0,4.
Несмотря на то, что в данном случае общие сопротивления контуров
составляют значительные доли от их собственных сопротивлений, решение
получено сравнительно просто.
Для выполнения такого решения достаточно применение обычной
двадцатипятисантиметровой логарифмической линейки, даже в случае рас-
чета схемы с многими контурами Следует, однако, отметить, что с увеличе-
нием общих сопротивлений контуров сходимость итерационного процесса
ухудшается.
В более общем виде этот метод расчета можно изложить с примене-
нием записи в матричной форме. Прежде всего принимается произвольное
распределение задающих токов J по ветвям схемы. При этом условие ба-
ланса напряжений по контурам может не соблюдаться Поэтому допол-
нительно следует предположить существование некоторых контурных токов
/к, значения которых определяются из уравнений состояния:
rJ4-rKlK = e,
184
где r—прямоугольная матрица сопротивлений ветвей;
гк—квадратная матрица сопротивлений контуров (собственных и общих).
Матрицы токов и э.д.с. записываются в виде столбцов. Отсюда сле-
дует, что
•к = Гк 1 (е—rj).
Однако такое решение оказывается достаточно простым только
в несложных схемах, имеющих небольшое число независимых контуров,
определяющих порядок матрицы гк. Получение обратной матрицы высокого
порядка связано со значительными техническими трудностями; тогда целе-
сообразно пользоваться упрощенным методом решения.
Во многих случаях можно предположить, что диагональные элементы
матрицы гк значительно больше других элементов, т. е. собственные сопро-
тивления контуров значительно больше общих сопротивлений между кон-
турами. Поэтому в первом приближении можно пренебречь влиянием этих
сопротивлений и считать, что матрица гк—диагональная:
г~к= II Gy II?
где Н, = 0 при i j.
Тогда обратная матрица получается иепосредственио;
«к= Гк 1 = И II".
где
Sit =— • a gi/=0 прн i^j.
ги
Следовательно, приближенно
•к = бк(е-г|)-
При этом баланс напряжений по контурам может не соблюдаться. В этом
случае необходимо определить добавочные контурные токи I*1, которые
приводят к уравнениям состояния
l"=gK(e —rJ—гк1Й),
и для уточнения решения сложить их с предыдущими:
Г I1 Ч-111
Повторно найденные контурные токи приводят к меньшему небалансу по
контурам.
Затем следует продолжить последовательное приближение, повторно
определить уточняющие контурные токи и прибавить их значения к ранее
найденным. Такое уточнение можно продолжать до получения решения
с требуемой степенью точности.
Второе приближение находится по формуле:
rJ-rKfK).
Нетрудно видеть, что каждое последующее уточнение можно вводить
только в связи с предыдущим, так как остальные слагаемые остаются без
изменений. Такой метод решения называется итерационным.
Третье приближенное значение определяется по формуле:
l«V=gK[e-rJ -rK(I! +II1 + I111)]
и т. д
Практически проще использовать следующий порядок расчета: после
определения первого небаланса по контурам
ей=е—rJ
185
определяется первая поправка

-Затем уточняется небаланс по
контурам
en = e‘-r I1
ск ск ‘«‘к
и находится вторая поправка
ill _ « «П
*к бкек
и т. д.
После п-го уточнения находятся искомые контурные токи с требуемой
степенью точности:

причем токи и э.д.с. небаланса е[п* должны находиться в пределах
допустимой ошибки.
Пример. 5.13. На рис. 5.32 приведена схема, содержащая четыре неза-
висимых контура Определить
Зои
If-OM
1ом
Зом
2ом
5 ом
Рис. 5.32
Матрица э.д.с.
Исходные значения
рабочий режим при заданных парамет-
рах, используя итерационный метод рас-
чета.
Решен
противлений
и е. Матрица контурных со-
(собственных и общих):

5
— 1
О
— 1
— 1
7
— 2
О
о
—2
8
— 2
— 1
О
— 2
6
Приближенная матрица сопротивлений
К
Приближенная
0,2
О
О
О
бк=гк
ек = ек=
5
О
— 10
О
контурных токов
«к = gKeI =
1
О
— 1,25
О
Получаемый небаланс по контурам
е11 - е1 — г l‘ =
“ек ‘к*к
О
— 1.5
О
— 1,5
5
О
О
О
О
7
О
О
О
О
8
О
О
О
О
6
матрица проводимостей
О
0,143
О
О
О
О
0,125
О
О
О
О
0,167
Первая поправка
к контурным токам
|”= й ен =
‘к Ккск
О
—0,214
О
— 0,25
Соответствующий небаланс
eni = eii_r fi
ек СК 'к1 к
— 0,464
О
— 0,928
О
Вторая поправка к контурным токам

= й еш =
— Ккск
—0,093
О
—0,116
О
Небаланс по контурам после внесения второй поправки определяется
по формуле:
eIV = eIn— г 1Ш =
ск —ск ‘к1 к
Третья поправка к контурным токам
Jv=g«eLV =
о
— 0,325
О
— 0,325
О
—0,046
О
—0,034
Соответствующий небаланс по контурам после третьей поправки
ev=eiv—г IIV
ек с к
—0,190
О
—0,200
О
Четвертая поправка к контурным токам
'к =^к< =
—0,020
О
—0,025
О
Можно принять, что последующие поправки не дадут существенного
изменения режима; поэтому дальнейшее уточнение расчета не производится.
Суммарное значение контурных токов
I 11 , ill । IШ । IV । V__
1к=>к + ,к + ‘к +’к +!к “
0,89
—0,26
-1,39
—0,30
Проверка
по контурам
приводит к следующим значениям небаланса напряжении
ек=^— гк1к =
0,01
0,07
0,00
0,09
187
Таким образом, полученное решение можно считать достаточно пра-
вильным. Расчет получился сравнительно простым. Это объясняется тем,
что общие сопротивления контуров имеют сравнительно небольшие зна-
чения.
§ 5.10. Применение принципа дуальности схем
Как было показано в § 5.7, свойство дуальности схем можно исполь-
зовать для упрощения расчета рабочего режима сложных схем, если
учесть, что система узловых уравнений обладает некоторыми преимущест-
вами при составлении схем замещения Однако свойство дуальности можно
использовать и значительно более широко. Так, например, можно не выво-
дить формулы для получения правил преобразования схем с уменьшением
числа контуров (§ 5.6), так как эти формулы легко получаются из формул,
выведенных в § 5.5 для получения правил преобразования схем с умень-
шением числа узлов Для этого в ранее выведенных формулах достаточно
произвести замену сопротивлений на проводимости, а задающих токов—на
э.д.с (нетрудно убедиться в правильности этого утверждения путем
непосредственного сравнения соответствующих формул).
Пользуясь свойством дуальности, можно расширить также возможно-
сти исследования свойств электрических цепей, получения новых методов
расчета рабочих режимов и т. д. Действительно, если после замены вели-
чин по известным правилам соответствия для дуальной схемы получить
какое-либо решение, отличное от существующих, то его можно применить
и в любом другом случае.
В качестве конкретного примера рассмотрим приведенный метод
расчета.
Прежде всего следует задаться напряжениями на ветвях схемы* U
и определить обусловленные ими токи в ветвях путем умножения на
соответственные проводимости (gU). Поскольку при этом баланс токов
в узлах может не соблюдаться, то полученный небаланс токов нужно
устранить путем соответственного изменения потенциалов узлов <ру:
gU +gyq>y= J,
где g — прямоугольная матрица проводимостей ветвей;
gy—квадратная матрица узловых проводимостей, которые являются
собственными и общими для узлов схемы.
Матрицы напряжений и потенциалов так же, как матрицы задающих
токов в узлах, получаются в виде столбцов.
Отсюда следует, что дополнительные потенциалы можно получить из
выражения
q>y=g7‘(J—gU)
Однако такое решение требует определения обратной матрицы проводимо-
стей g~’, что технически затруднительно (при достаточно большом числе
узлов в схеме).
Поскольку собственные проводимости (диагональные элементы матрицы g)
обычно значительно больше общих (прочих элементов той же матрицы), то
последними можно пренебречь, приравняв их нулю. Тогда матрицы
gy=l|g;/ll? и gy-1 =|| г,/Ilf
получаются диагональными (при i Ф, проводимости g(-/=0), при этом
1
rii = —•
so
* Можно задаться потенциалами узлов и найти напряжения на ветвях.
Тогда непосредственно обеспечивается баланс напряжений.
188
Следовательно, приближенно
<₽У= гу (J—gU).
В этом случае баланс токов по узлам не соблюдается. Чтобы уточнить
решение, необходимо ввести поправку
фу = Гу (J - gU - буфу)
и сложить ее с предыдущей
фу = фу + фу'.
При этом решение получается более точным, а небаланс — меньшим.
Можно продолжить последовательное приближение и определять даль-
нейшие поправки до получения решения с требуемой степенью точности.
Так, вторая поправка
Фу" = ?У [J -*и -бу (фу + Фу1)]
Каждое последующее уточнение можно вводить только в связи с пре-
дыдущим, поэтому данный метод расчета нужно отнести к итерационным.
Чем больше собственные узловые проводимости и меньше общие проводи-
мости между узлами, тем быстрее сходится итерационный процесс
Третье приближение
ФуУ =гу [J-gu—еу(фу+<р11+«р111)]
и т. д.
Практически можно использовать следующий порядок расчета.
После определения первого небаланса по узлам
J^=J-gu
определяется первая поправка
Фу=Гу4
Затем уточняется небаланс по узлам
ill._______________________________! - —I
Jy — J у буфу
и определяется вторая поправка
Фу = ~гУ»у‘
И Т. Д.
После n-го уточнения находятся искомые дополнительные потенциалы
, узлов:
п
фу= 2 ф’т).
m=i
, Решение получается с требуемой степенью точности, если поправки <р(/л)
и значения небаланса токов в узлах оказываются в допустимых пре-
делах.
Пример 5.14. Выполнить расчет рабочего режима для схемы, приведен-
ной на рис. 5.33, при помощи итерационного метода.
Решение. В данном случае целесообразно э.д.с. заменить задаю-
щими токами (рис. 5.33, а).
Потенциал внутреннего узла принимается равным нулю. Тогда матрица
проводимостей
+ 1,583 —0,25
— 0,25 1
0 —0,25
— 0,333 0
0 —0,333
—0,25 0
1,083 —0,333
—0,333 1,667
189
Приближенная
матрица проводимостей
g =
1,583 О
О
О
о
1
О
О
О
о
1,083
О
0
о
о
1,667
Приближенная
а)
матрица сопротивлений
мостей)
(обратная
матрица
проводи-
t,67a
Зом
5 ом
>0М
I ом
г = g
0,632
0
0
0
0
1
О
О
О
О
0,923
О
О
О
О
0,6
Матрица исходных задающих то-
ков
Зом
2 ом
О ом
J =
1,667
2,5
2,5
1,667
Исходная матрица потенциалов
<р1 = rJ =
в)
1,054
2,500
— 2,307
— 1,000
0,89 а
,,с №
1,15а
Первая проверка небаланса за-
дающих токов в узлах
J* = J—вуф* =
0,290
—0,313
0,290
— 0,417
1,19 а
0,30а
1,13 а
1,39а
Первая поправка к значениям
потенциалов узлов
Рис. 5.33
<рп — г J1 =
0,183
— 0,313
0,268
— 0,250
Вторая
проверка
небаланса задающих токов в узлах
J
-gy<Pn =
— 0,161
0,113
— 0,162
0,150
Вторая
поправка
к значениям потенциалов узлов
Фш = FJ1' =
—0,102
0,113
—0,150
0,090
Третья
проверка
небаланса задающих токов в узлах
J‘"=J“-gyv
0,059
— 0,063
0,059
— 0,084
90
Третья поправка к потенциалам узлов
<pIV = Fjnl =
0,037
-0,063
0,054
— 0,050
Четвертая проверка небаланса задающих токов в узлах
IV _ |III „ ,.IV_
J = J —gy<₽ =
—0,032
0,022
— 0,035
0,030
Четвертая поправка к потенциалам узлов
<₽;=r'JIV =
— 0,020
0,022
—0,032
0,018
Найденная матрица потенциалов узлов
ф = ф‘ + ф" + <₽”’ + <pIV + q>v =
Проверка
1,15
2,26
— 2,17
— 1,19
Jj,— J 8уфу —
0,015
—0,015
0,019
— 0,040
показывает, что расчет выполнен достаточно правильно.
Решение практически совпадает с ранее найденным (рис. 5.33, б).
Вопросы для самопроверки
5.1. Какие схемы называются симметричными и как можно упростить
их расчет?
5.2. В каких случаях можно пользоваться правилом пропорциональных
пересчетов?
5.3. Как изменятся токи в ветвях заданной схемы замещения, если
значения параметров всех активных элементов в схеме увеличить в де-
сять раз?
5.4. Изменятся ли напряжения на ветвях заданной схемы, если при
неизменных параметрах активных элементов сопротивления всех ее ветвей
увеличить в пять раз?
5.5. Почему расчет будет неверным, если при применении системы
относительных единиц масштабный коэффициент для э.д.с. принять рав-
ным 10, для токов — 5, а для сопротивлений — 3?
5.6. Почему применение принципа наложения дает возможность значи-
тельно упростить расчеты, если рассматривается ряд режимов, которые
получаются при разных значениях активных параметров схемы, но при
неизменных параметрах пассивных ее элементов?
5.7. Какой смысл имеют преобразования схем и какие преимущества
они могут обеспечить?
5.8. Откуда следует, что расчет рабочего режима можно произвести,
пользуясь только преобразбванйями с уменьшением числа узлов или пре-
образованиями с уменьшением числа контуров?
5.9. Почему но узловым уравнениям (уравнениям узловых потенциалов)
всегда можно составить схему замещения, пользуясь только обычными
191
элементами, а по контурным уравнениям (уравнениям контурных токов)
не всегда это возможно?
5.10. В чем заключается различие между упрощенными и приближен-
ными методами расчета?
5.11. Можно ли с помощью приближенного метода расчета получить
такую же точность результатов, что и с помощью точного метода?
Глава VI
МНОГОПОЛЮСНИКИ И ЦЕПОЧЕЧНЫЕ СХЕМЫ
§6.1. Определения и
графические изображения
Во многих случаях задача расчета рабочего режима в элект-
рической цепи ограничивается определением токов и напряжений
(потенциалов) только в отдельных ее участках или нахождением
уравнений связи между этими величинами. При этом режим
остальной части цепи может оставаться неизвестным, хотя все ее
параметры учитываются при решении задачи. Тогда рассматри-
ваемая схема может определяться обобщенными параметрами,
необходимыми для установления связи между токами и потен-
циалами на зажимах соответствующей части цепи, т. е. только
в тех местах, где они являются заданными
L ? или искомыми.
-----J Часть цепи, характеризуемая обобщен-
ными параметрами, достаточными для сос-
Рис. 6.1 тавления уравнений связи между токами
Рис. 6.2
Рис. 6.3
и потенциалами на ее зажимах, называется многополюсником.
Реальная схема соединений элементов части цепи, составляющей
многополюсник, может быть неизвестна. Число полюсов много-
полюсника равно числу граничных зажимов данной части схемы.
Многополюсники условно изображаются в виде прямоуголь-
ников с соответствующим числом зажимов. Так, на рис. 6.1 по-
казан двухполюсник. В частности, таким способом, как известно,
изображается пассивная часть любой ветви схемы замещения.
На рис. 6.2 изображен трехполюсник, а на рис. 6.3 — четырех-
полюсник.
192
Практически наиболее часто приходится пользоваться двух-
полюсниками, трехполюсниками и четырехполюсниками, которые
можно включать в более сложные схемы. Многополюсники целе-
сообразно применять в тех случаях, когда реальная схема вза-
имных соединений элементов цепи достаточно сложна или когда
требуется обобщенное ее представление.
§ 6.2. Уравнения состояния многополюсников
Если число полюсов многополюсника равно числу узлов за-
данной схемы замещения, то уравнения его состояния можно
получить, например, в виде узловых уравнений для заданной
схемы. Тогда упрощается толь-
ко графическое изображение
схемы замещения.
Обычно число полюсов мно-
гополюсника меньше числа уз-
лов заданной схемы замещения.
При этом уравнения состояния
многополюсника можно полу-
чить путем исключения потен-
циалов узлов, не являющихся
полюсами многополюсника. Это
может иметь смысл в тех слу-
чаях, когда требуется выпол-
нять какие-либо последующие
операции, связанные с расчетом
электрических схем. Отмечен-
ные положения иллюстриру-
ются примерами.
Пусть требуется составить уравнения состояния для схемы,
изображенной на рис. 6.4, рассматривая ее как двухполюсник
с полюсами в точках 2 и 4. Эта схема отличается от обычной
мостовой схемы тем, что имеет задающие токи в узлах 2 и 4.
Прежде всего составляются узловые уравнения для трех
(из четырех) узлов схемы по правилам, изложенным в 4.6:
Для узла 1
& 4 g)—<P2g\ — 4>sg— <P4gt = eg;
Для узла 2
—«Pigi + Ф2 (g, + g, + gs)— <Psgs — <P4gs =
и для узла 3
—<P.g—<P2gs + Ф, (g 4- gs 4- g4)—<P4g4 = — eg.
Если в этих уравнениях заменить потенциалы <р,, <р2 и <ра
через напряжения {/t4, Uit и Uti соответственно по формулам:
ч\=*А44-<р4, ф2=^24 + ф4, ф. = £А4 4-ф4,
Теоретические основы электротехники, ч. I
193
то после преобразований получаются следующие уравнения:
^14^11 — U2tgt — Uttg = eg-, — Uaig2 + U2lg22 — U2iga = J;
— u^g— + U>3gst = — eg,
где
£n=s\+g2+g;
g^g + gi+gi-
считать заданным, то в
ис' более общем виде уравне-
ние двухполюсника можно записать так:
ф» = ^^24 4 е?44-<Р4-
При условии ф4 = 0 выражение
^24=Ф2 = ^24 + ^4 (6-1)
получается непосредственно из решения исходных узловых урав-
нений, без предварительного их преобразования.
В качестве второго примера полезно рассмотреть схему, изобра-
женную на рис. 6.5, а, для которой необходимо составить урав-
нения трехполюсника.
В рассматриваемом случае уравнения трехполюсника полу-
чаются в виде узловых уравнений, поскольку число независимых
узлов совпадает с числом полюсов:
для узла 1
Ф. (g, 4 £»)—ф2£, — ф>§> = Ц,
для узла ?
— Ф,£> 4- Фг (g, + gj—Ф,£2 = Ц-
194
Если в этих уравнениях потенциалы ср, и <р, выразить через
напряжения Ut и U2 по формулам
Ф1 = ^1» + ф,= *А4’Ф»
и
Фг = <Л»+ф» = <Л + Фз-
то после преобразований, уравнения трехполюсника, записанные
в форме g, имеют вид:
^1^1 — ^! = Л
—k'i£, + ^2g22 = /2
и
(6.2)
где
£l>=£l+gS И g^gl+gf
Из этих уравнений легко получить выражения для опреде-
ления напряжений Ul и U2 через токи /, и /2 в следующем
виде: и I +Г 1 Г (6-2>а) 2 ' 212 1 Г 1 222 2 /
где f = ^22 . 11 г г Si . г gn Г 12 '21 „ Л „2 ’ '22 „ 9 * £11£22 £11£22 £1
Уравнения (6.2, а) в отличие от (6.2) называются уравне-
ниями трехполюсника, записанными в форме г.
Наконец, из тех же уравнений (6.2) легко установить связь
между напряжением Ut и током с одной стороны, и напря-
жением U2 и током /2— с другой:
и
где
а.. = а = —;
11
U. — a.J =aU, — Ы. |
1 114 144 4 £1
1 ,=а.,и, — a,J2 = cU, — di. J
1 4 14 44 4 4 4 ‘
, 1 £11^22 ё-1
(6.2, б)
a =d = ~
22 И1
Здесь коэффициенты а и d являются безразмерными, коэффи-
циент Ь имеет размерность сопротивления, а коэффициент с —
размерность проводимости.
Если между зажимами 1 и 3 схемы, показанной на рис. 6.5, а,
присоединить источник напряжения, а к зажимам 2 и 3 той же
схемы—сопротивление нагрузки (рис. 6.5, б), то связь между
напряжениями Ult U2 и токами /2 будет, очевидно, опреде-
ляться по-прежнему уравнениями (6.2), (6.2, а) и (6.2, б).
При этом в схеме, изображенной на рис. 6.5, б, третий полюс
получается как бы растянутым на два полюса 1' и 2', а схема
в целом имеет уже две пары полюсов. В связи с этим схемы
подобного вида в электротехнической литературе рассматри-
ваются в качестве четырехполюсников, хотя по принятой
U*
195
терминологии четырехполюсник в общем случае представляет
собой многополюсник с четырьмя полюсами, токи в котором
могут быть произвольными и связанными между собой лишь
равенством 2 Л = 0- В дальнейшем, чтобы не отходить
k = 1
от принятой в литературе терминологии, схемы указанного вида
будут называться также четырехполюсниками, за исключением
случаев особо оговоренных.
Если в схеме, изображенной на рис. 6.5, а, изменить направ-
ление тока /2> как показано на рис. 6.5, б пунктирной стрелкой,
то в уравнениях (6.2), (6.2, а) и (6.2, б) каждое слагаемое, со-
держащее ток 12, войдет с противоположным знаком.
Действительно, при противоположном направлении тока /2,
уравнения (6.2) запишутся в виде:
= Л;
откуда
U^aU. + bl^
I1 = cU2-\-dIi
(6.2, в)
где коэффициенты а, Ь, с и d имеют такие же значения, как и
в уравнениях (6.2, б).
Форма записи уравнений (6.2, б) и (6.2, в), в отличие от
(6.2) и (6.2, а), называется формой а.
Для активной схемы, изображенной на рис. 6.6, рассматри-
ваемой в качестве третьего примера, также можно составить
уравнения четырехполюсника. В данном случае токи в ветвях
схемы определяются задающими токами в точках, являющихся
ее полюсами. Поэтому уравнения четырехполюсника (трехполюс-
ника) можно записать в виде:
Фо = Ф1 —Г1Л~е1 = Фа + ГгЦ — et = Фа — еа!
В V В * XI В • Z 1 Л Л X 13 v v 9 9
-Л + Л-Л = о.
Произведя в первых двух равенствах следующую замену
переменных
Ф1 —Фа=^1а=£Л И ф2 — ф, = ^2}= иг
(рис. 6.6) и исключив из них с помощью третьего равенства tok/s,
после простых преобразований легко получить уравнения актив-
ного четырехполюсника (трехполюсника):
U1 — aU2 -|” blt + с
lt = cUt + dIt + f
(6.3)
196
a=l+^-; b = rt4-r2-\-~ , с = ^;
d=l + r^; е=(е1—e2) + (es—е2)^- и f = ~ (es— е2).
'3 ' 3 '»
Рис. 6.6
При этом положительные направления токов и напряжений
часто принимаются такими, как указаны на рис. 6.7. Поскольку
положительное направление тока /2 противоположно ранее при-
нятому (рис. 6.5, а), то знак каждого слагаемого, содержащего
—'—>
/О———— а, с>
/
и, ч2
Рис. 6.7
ток /2, получается, как и следовало ожидать, обратным по срав-
нению с ранее полученным в уравнениях (6.2), (6.2, а) и (6.2, б).
Следует иметь в виду, что в случае применения в уравнениях
четырехполюсника пассивных параметров а и d, а также актив-
ных параметров е и f, предполагаются фиксированными «вход»
и «выход» четырехполюсника. Действительно, из (6.3) следует,
что
Ut = dUt — bl' + tbf—de)
Iг = cUt 4-a/i + (ее—af),
т- e. при замене входа выходом и наоборот пассивные пара-
метры а и d меняются местами, а активные параметры е и f
приобретают новые значения. Изменение знаков у слагаемых
197
связано с изменением положительных направлений у токов 1, и
/2 относительно зажимов четырехполюсника.
Если в частном случае справедливо равенство a — d, то та-
кой четырехполюсник называется симметричным. Его пассивные
параметры остаются неизменными при перемене местами входных
и выходных зажимов.
С помощью уравнений узловых потенциалов можно получить уравнения
для n-полюсника в обобщенной форме.
Пусть схема, содержащая у узлов, рассматривается как п-полюсник
при п < у, потенциал n-го полюса принят равным <р0; тогда величина по-
тенциала для любого i-ro из (п.— 1) полюсов получается из решения системы
уравнений узловых потенциалов для исходной электрической схемы в сле-
дующем виде:
D:
Ф< = р +Фо-
где D — определитель системы уравнений, составленный из коэффициентов g^,
D/—определитель той же системы, но при замене коэффициентов i-ro
столбца соответствующими
величинами Jci,
Если определитель D,
разложить по элементам Jci
столбца i, то
DiJ
<₽'~ Z Уп'-д^ + Фо.
1=1
Ч \ где D;j—алгебраическое до-
\ / полнение, полученное из оп-
\ / ределителя D путем ис-
ключения столбца i и стро-
ки / и взятое со знаком, оп-
> ределяемым коэффициентом
(—1)‘+-/|
J ci—суммарный задаю-
щий ток, обусловленный
как виутреиними (включая
внешними источниками токов, присоеди-
ненными к узлу I.
Если в задающем токе каждого полюса n-полюсника выделить состав-
ляющую тока Z; той ветви, с помощью которой рассматриваемый полюс
многополюсника может быть присоединен к другой схеме, т. е. заменить
задающий ток суммой Ji + Ц (рис. 6.8), то система обобщенных уравне-
ний п-полюсиика приобретает следующий вид:
<Pi = RiJi + ^i2Z2+ ..•+ Е] + ф0 1
Фг = #21Л + Я22Л+ • • +Е2 + Фо I (6,4)
ф,1_1 = Я(п_1)171 + Я(„_2)2/2+ •• • Ч-Еп-а + Фо J
где пассивные обобщенные параметры Rtj= 7 , — имеют размерность со-
1 — 1
противления, а активные обобщенные параметры
<
Рпс. 6.8
и
вида е,-;£,/), так
размерность напряжения,
198
Число этих уравнений на единицу меньше числа полюсов многополюс-
ника. Для линейных схем параметры R/j-п постоянны, а для нелиней-
ных— являются функциями параметров режима у границ многополюсника.
Поскольку коэффициенты §,/ располагаются симметрично относительно
главной диагонали, то
0,7=0/,,
а следовательно, и
т е. коэффициенты располагаются симметрично относительно главной
диагонали.
Как уже указывалось, параметры многополюсника (пассивные и
активные Е,-) характеризуют данную часть схемы в обобщенном виде и дают
возможность определить состояние ее только в граничных пунктах, т. е.
у полюсов.
В примененной выше записи обобщенных уравнений (6.4) потенциалы
полюсов многополюсника выражены через значения токов на его границах.
При этом, поскольку пассивные параметры (коэффициенты /?,/) имеют раз-
мерность сопротивления, а активные — потенциала, то считают, что уравне-
ния многополюсника записаны в форме R *.
Задающие токи у полюсов многополюсника можно выразить через раз-
ности потенциалов:
/1 = бцф! + G12<P2+ • +^1’>
г = 621Ф1 + бггФг + • • • + Е2;
^и-1 — б(П_1)1Ф1 + б(п_г)2ф2+ ... +F„_i,
где пассивные параметры (коэффициенты G,/) имеют размерность проводи-
мости, а активные (величины Е()— размерность тока. В этом случае считают,
что уравнения многополюсника записываются в форме G. При обеих формах
записи суммарное число уравнений остается неизменным и равным (п—1),
т. е. на единицу меньше числа полюсов.
Нетрудно заметить, что здесь, так же, как и в узловых уравнениях,
справедливо следующее условие:
п
£g,7=o.
/=1
так как одновременное изменение потенциалов всех полюсов цепи на какую-
либо одинаковую величину ф не отражается на величинах токов в ветвях,
т. е.
п
ф2 g<7=0'
/=>
Аналогично предыдущему и здесь можно доказать, что для схем, обла-
дающих свойством взаимности,
Gij=Gji,
т- е. коэффициенты G,-/ также располагаются симметрично относительно
главной диагонали (это же можно утверждать и на основе свойства дуаль-
ности схем).
Можно выразить токи и потенциалы (разности потенциалов) у одних
полюсов (не обязательно одинаковых) через токи и потенциалы у других,
гогда коэффициенты уравнений (пассивные параметры) будут иметь разные
* Здесь и в дальнейшем, при рассмотрении более общих соотношений
Для многополюсников, формы записи их уравнений отмечаются заглавными
буквами {R, Q и А).
199
размерности, что относится и к активным параметрам многополюсника (сво-
бодным членам уравнений).
Если число полюсов п—нечетное, то можно один из них выбрать в ка-
честве основного, а остальные, например, разделить пополам и определить
токи и разности потенциалов у одной половины полюсов через токи и раз-
ности потенциалов у другой.
В приведенных выше примерах такая форма записи применена для трех-
полюсников. В случае
(п—1\
[ —— \ могут быть
п — 1). При этом считают, что уравнения многополюсника записаны в форме А.
При записи уравнений многополюсника в форме А (или фор-
ме а) свойство взаимности выражается в более сложном виде.
Действительно, например, из (6.2) условие
/2 /<Л = о
n-полюсника токи и напряжения у полюсов 1...
выражены через токи и напряжения у полюсов
Суммарное число уравнений по-прежнему равно
приводит к следующему важному соотношению пассивных па-
раметров четырехполюсников (трехполюсников):
ad—bc==\.
Непосредственной проверкой можно убедиться в справедли-
вости этого соотношения на частных примерах, рассмотренных
выше.
§ 6.3. Уравнения многополюсника в матричной форме
Уравнения многополюсника, записанные с применением матриц в форме
R, имеют следующий вид:
ф = R J + Е + <р0, (а>
где <р — матрица-столбец потенциалов полюсов многополюсника;
R— квадратная симметричная матрица эквивалентных сопротивлений
многополюсника;
J—матрица-столбец токов на границах многополюсника, которые можно
рассматривать в качестве задающих токов;
Е — матрица-столбец эквивалентных э.д.с. многополюсника;
<р0—матрица-столбец, определяющая начало отсчета потенциалов
Фо — Фо
Уравнения многополюсника, записанные с применением матриц в фор-
ме G, имеют вид:
J = G<₽ + F, (б)
где G—квадратная симметричная матрица эквивалентных проводимостей
многополюсника;
F— матрица-столбец эквивалентных задающих токов. Из (а) получается:
J = R —’(ф — Е), (в)
200
так как
Я-’Фо=О-
Сравнивая (б) с (в), нетрудно получить соотношение между параметрами
многополюсника:
G = R 1 или R = G 1
F=GE или RF = E.
Уравнения многополюсника в форме А с помощью матриц можно запи-
сать в виде:
где <pi и ф2—матрицы-столбцы потенциалов соответственно у входных и
выходных зажимов многополюсника, причем число входных
зажимов равно числу выходных, т. е. суммарное число полю-
сов многополюсника—нечетное;
Jj и J2—то же, но для задающих токов;
Н—матрица-столбец активных параметров многополюсника:
А—квадратная матрица эквивалентных пассивных параметров многопо-
люсника:
A-IU:±lk
здесь матрицы Au, AJ2, А21 и А22—квадратные. В развернутом виде
Ф1 = А11ф2 +A12J2 + E
— А21<р2 + A22J22 4- F.
Ту же систему уравнений можно получить, иапример, из (6):
. ,.=-о-.овФ.+о-.,.-о.--Р.
J, = (G12 GnG21 G22)(₽2+G11G21 J2-f-(Ft G11-Gj1*F,).
Следовательно,
Ац = G21 G22i A12 = + G21 ,
A2i= G12 GuG21*G22; A22= -I-GjjGjj1;
E = -G-*F2; F = Fi-GuG2-1’F2.
При этом
A j2(A21 = 1,
где индексом t отмечены транспонированные матрицы.
Нетрудно видеть, что могут быть составлены уравнения многополюсника
и в других формах записи. Например,
Ф1 = в <₽2 + ги
J2 J, F,
201
где индексами 1 и 2 отмечены любые части полюсов многополюсника при
(единственном) условии равенства суммы числа полюсов этих частей (1 и 2)
суммарному числу полюсов многополюсника.
§ 6.4. Схемы замещения многополюсников
и21
12 Чг
Рис. 6.9
Поскольку уравнения многополюсника, записанные в форме g,
могут быть рассмотрены как узловые уравнения, то по коэффи-
циентам этих уравнений можно составить схему замещения с со-
средоточенными параметрами, об-
ладающую необходимыми свой-
ствами.
У равнение двухполюсника (6.1)
^21 = Ф2 ——г1г/1г + е12
непосредственно приводит к схеме
замещения, показанной на рис. 6.9.
Уравнения четырехполюсника (6.3), записанные в форме g,
Uigu—+ Л =
при условии
ф» = О
приводят к схеме замещения, показанной на рис. 6.10.
Если уравнения четырех-
полюсника даны в форме а
U3=^aU2 + bI2 + e,
I^cU2 + dI2 + f,
то путем простых линейных
преобразований легко полу-
чить (с учетом изменения
знака у /2):
1 d— 1
£12 fr » Sil £12 b >
_a— 1
£12 £21 b ’
Рис. 6.10
I __f de . е
Jc — I b’ —
Возможны и другие схемы замещения (рис. 6.11). В частности,
активные элементы схем, приведенных на рис. 6.10 и 6.11,
можно поменять местами.
Нетрудно видеть, что любой п-полюсник таким путем можно предста-
вить схемой замещения в виде полного н-угольника (с диагоналями). Так,
в частиости, четырехполюсник в более общем случае, по уравнениям
I^i8n ^2812 Usgu-pJi=
--U 1^21 4" 2822 U sg 22 4" ^2 ~ ^2>
--U1821-^2^22 4" ^sgss4" = /3
202
может быть представлен схемой замещения в виде полного четырехуголь-
ника (с диагоналями), показанного на рис. 6.12, где напряжения Ult Ut
и (Js отсчитываются относительно четвертого полюса, потенциал которого
принят равным нулю.
Рис. 6.12
Действительно, после замены в уравнениях для токов входных прово-
димостей g„, g22 и 8ss взаимными проводимостями по формулам
811 = 812 + gis + gll' g22 = g21 + g2S+g24 И gss==gsi+gs2 + gs4
и после группировки слагаемых легко получить;
(Ui — Пг) gi2~Н (^i — ^>) gu + ^igu+ Л = Л’>
(^2— U 1) 821 + (^2—Us) 8гзА~UJг — I
(U)—иг) gSI + (t/s иг) ga2 + ^sgs4 + A /».
Для четвертого узла, очевидно, справедливо уравнение
U 18и U 2g42 U :gt j -J- J1 = /4-
Эта система уравнений полностью соответствует эквивалеитиой схеме, изо-
браженной на рис. 6.12.
Таким образом, в тех случаях, когда уравнения многополюсника запи-
саны в форме G, их можно рассматривать в виде узловых уравнений неко-
торой эквивалентной схемы, сос-
тавляемой по коэффициентам этих
уравнений. Аналогично, уравне-
ния многополюсника, записанные
в форме R, можно рассматривать
в виде контурных уравнений для
эквивалентной схемы, составляе-
мой по коэффициентам соответст-
вующих уравнений.
Некоторые особенности возни-
кают при записи уравнений в фор-
ме А. При этом параметры режи-
ма многополюсника можно рас-
сматривать при разделении зажи-
мов многополюсника на входные
и выходные. Токи у каждой пары
входных и выходных зажимов пред-
полагаются одинаковыми и проти-
воположными по направлению.
Обычно больший интерес представляют разности потенциалов (напря-
жения) между каждой парой входных и выходных зажимов многополюс-
ника, а не сами потенциалы.
Пусть число пар входных зажимов многополюсника р равно числу пар
выходных. Тогда можно принять, что суммарное число полюсов много-
203
полюсника равно 2 X 2р = 4р. Однако в тех случаях, когда можно устранить
условия, исключающие возможность объединения зажимов (например,
если несущественными являются абсолютные значения потенциалов отдель-
ных полюсов и достаточно обеспечить правильное значение напряжений
у входных и выходных зажимов), число полюсов многополюсника можно-
сократить до 2р-(-1.
Любой многополюсник, обладающий свойством взаимности, может быть
представлен эквивалентной схемой и в том случае, если его уравнения за-
писаны в форме А. Для этого их предварительно необходимо перевести
в форму G или R. Например, если уравнения, записанные в форме А
U । = aU 2 -j- 6Z2,
Ii = cU g + dl2,
преобразовать в форму О
^22^2»
ТО
_ d _ be—ad
811~~b’ 8l‘~ b~ :
_ 1 _ a
8л^~~Ь'
Отсюда следует, что
be—ad 1
Я12- j—- —y-gn-
В частности, из приведенных уравнений для четырехполюсника получается
известное соотношение:
a-d—b-c — 1.
Это дает возможность заменять четырехполюсник эквивалентной схемой
в виде треугольника (рис. 6.10).
Аналогично можно получить правило замены четырехполюсника экви-
валентной схемой в виде звезды (рис 6.11).
§ 6.5. Активный двухполюсник
Поскольку уравнение активного двухполюсника содержит
только два параметра цепи — э.д.с. и сопротивление (проводи-
мость), то в случае линейной цепи для определения этих пара-
метров достаточно рассмотреть любые два режима. Так, если
/12 = 0 (внешнее соединение полюсов двухполюсника отсутствует,
такой режим называется режимом холостого хода двухполюсника),
то из уравнения двухполюсника следует, что напряжение холо-
стого хода
Ux = е12,
т. е. напряжение между его зажимами (полюсами) равно э. д. с.
Если же
^2 = 0,
т. е. полюса двухполюсника соединены непосредственно проводи
ником без сопротивления (такой режим называется режимом-
204
короткого замыкания двухполюсника'), то из того же уравнения
двухполюсника следует, что ток короткого замыкания
I _ и*
к ~ г1г~ ге ’
откуда
Г --Г --- U *
'12 — 'В 1 ’
1 к
Входное (эквивалентное) сопротивление двухполюсника опре-
деляется путем деления напряжения холостого хода t/x на ток
/ при коротком замыкании.
Если полюса двухполюсника соединены ветвью с э.д.с. е
и сопротивлением г (рис. 6.13), то ток в этой ветви
/ _ ех~е
гв + г ’
ИЛИ
/ = ^=-е. (6.5)
-Л + г
1 к
Величины 67х и гв являются параметрами эквивалентного двух-
полюсника*. Формула (6.5) представляет собой аналитическое
выражение теоремы об активном двухполюснике.
В тех случаях, когда, например, требуется определить ток
только в какой-либо одной ветви сложной линейной электриче-
ской схемы, этим правилом можно воспользоваться, рассматри-
вая всю остальную часть схемы в виде активного двухполюсника.
Такой спбсоб расчета, основанный на применении теоремы об
активном двухполюснике, может оказаться весьма эффективным,
* Излагаемый здесь способ расчета в литературе часто называется ме-
тодом эквивалентного генератора, что не совсем точно, так как при (Ух < е
Двухполюсник будет потреблять мощность от источника напряжения
с э- Д. с. е.
205
так как при разрыве ветви и ее закорачивании схема может
существенно упроститься.
Пример 6.1. Определить ток в ветви с сопротивлением rt в схеме, при-
веденной на рис 6.14,а.
а) S) б)
Рис. 6 14
Решение. Вся схема, за исключением ветви с сопротивлением rs, рас-
сматривается как активный двухполюсник. При размыкании ветви с сопро-
тивлением г2 ^ис. 6.14,6) ток в цепи определяется непосредственно по
формуле
_ е, —е2
х G + O ’
а напряжение
—е, г,/х — е.
х-
Uх между точками разрыва находится из уравнения
е,—е2 г _g/2 + e2rlr_e
О+О * rt + r2
При коротком замыкании сопротивления rs (рис. 6.14,в)
сумме токов в ветвях источников питания
/ __т । / __gi । е2__gx
*8к —' 1к 1 1 2К — _ I — •
Т1 '2 ЛВ
Следовательно, входное сопротивление двухполюсника
г У*-. Г'Г”
“ '
ток /ак равен
Ток в ветви с сопротивлением г2 в исходной схеме (рис. 6,14, а) полу-
чается с помощью формулы (6.5):
/ = _£х_ = + e2fi
’ gB + gs Vs+r> (G+ni) '
Таким образом, в данном случае для решения задачи не потребовалось
составления и совместного решения уравнений состояния для заданной схемы.
Пример 6.2. Пользуясь теоремой об активном двухполюснике, определить
в мостовой схеме, изображенной на рнс. 6.15, а, ток / в ветви с сопротив-
лением r==5ojH. Источник э.д.с. е— 10в, источник тока J = 10«, сопротив-
ления остальных ветвей г,=г4 = 4ол! и г2 = г2 = 6 ом.
Решение. Для определения тока по формуле (6.5) (по теореме об ак-
тивном двухполюснике) предварительно необходимо найти напряжение Ux
при разомкнутой ветви с сопротивлением г (рис. 6 15, б). Так как r,4-rs =
= r2 + r4, то ток /1Х равен току /2Х или /1Х = /2Х = у У = 5«.
206
Из уравнения
<1Лх + ух—гг!^=е
легко определить напряжение
U*=е + гг1^~ гх1п = 10 + 30—20=20в.
Для определения входного сопротивления гв двухполюсника, необходимо
считать J — 0 (ветвь с источником тока должна быть разомкнута) и е=0
В результате этого величина входного сопротивления может быть выражена
непосредственно через сопротивления двухполюсника (рис. 6.15, в), т. е.
Ui + G) ('i + 'J _ i°-10
В гх ~Ь г2 + гг ~h ri 20
= 5 ом
Таким образом, искомый ток
/=_£^= 2а.
гв + г 5 + 5
Следует отметить, что при определении (7Х уже учтена э.д.с. е в ветви
с искомым током. Если токи ветвей схемы, изображенной на рис. 6.15, в,
наложить на токи соответствующих ветвей схемы, представленной на рис.
6.15,6, то получаются токи ветвей заданной схемы. Другими словами, токи
в остальных ветвях заданной схемы определяются по формулам:
Л = Лх + Лк=5+1 =6а; = — ^ак = 5— 1 =4а,
Л = Л>х—Лк = 5— 1=4«; /4 = Лх + Лк-=5+ 1=6«.
Правильность определения токов легко проверить, например при помощи
законов Кирхгофа
§ 6.6. Схемы, состоящие из многополюсников
Сложная схема может рассматриваться как соединение более
простых схем или подсхем (блоков), каждая из которых харак-
теризуется величинами потенциалов (напряжений) и задающих
токЬв на границах, а также соотношениями между этими
величинами, т. е. рассматриваться в качестве многополюсника.
Если положительные направления для задающих токов выб-
раны так, как показано на рис. 6.16, то исходными условиями,
207
необходимыми для совместного рассмотрения взаимно соединен-
ных многополюсников I и II на их границах, являются
<P//=<Pw = <Pf и 1(1 = — 1ц,. (6.6)
Достаточно иметь параметры каждой из подсхем, представ-
ленных в виде многополюсников, чтобы для данной схемы вза-
имных соединений подсхем
можно было составить обоб-
щенные уравнения и путем
их совместного решения оп-
ределить искомый рабочий
режим для всей схемы. В не-
которых случаях решение
можно упростить, если вос-
пользоваться данными из
таблиц, заранее составлен-
ных для простейших типовых

А А
I ••••••• и

Рис. 6.16
подсхем.
Пример 6.3. Определить рабочий режим мостовой схемы, рассматривая
ее как соединение двух трехполюсников (рис. 6.17).
Решение. В этом случае можно воспользоваться уравнениями, полу-
ченными для треугольника (рис. 6.5) и трехлучевой звезды (рис. 6.6).
Если потенциал узла 3 принять равным нулю, то применительно к дан-
ной схеме (рис. 6.17) для первого и второго узлов треугольника из сопротив-
лений rs, г4 н г$ •
Tife + ft) —ф2^ = —Л.
-Ф1£*+<₽!(£.+£*) = Л
а для активной звезды, присоединенной к узлам 1, 2, и 3 треугольника,
Ф1 rJi = (P:~f~r^ е~ “ ri U Л)'
208
Применяя условия (6.6), т. е. исключая из этих уравнений токи /, и /,
получаем
[1 +G (g4+gs) + = Ф2 (Hgi—
е + <Р1 (rgt~r2g5) = q>2 [ 1 + г (gj + g4) + r2g„],
откуда непосредственно находится:
_____________________________е (r^gj—r^g,)______________________.
Ф1 [l+n(g4 + g5) + r2gs] U+'tes + gJ + rsgsl—(Sgt—r.gs)(t\gt—Ггё>) '
= ______________________e [1 + (g4 + g5) + r2gs]________________
Фг Il+ri(g4 + gs) + r2gs] [l+r(g2 + g4) + r2g,]— (rgt— r2gs)
По найденным значениям потенциалов легко определяются токи во всех
ветвях мостовой схемы:
/s=<p2gs; Л=—<Pigs; /4=(<р2—<Pi)g4;
Л = Л+^=ф^4—<₽1 (g4+gs);
/=/.+ /4=T2(g2+g4)-Tig4;
! г~ I» = T2g2 +Tigs-
Таким образом, решение данной задачи получено без составления пол-
ной системы уравнений для мостовой схемы в целом.
Изложенным способом могут решаться и более сложные задачи. Наиболь*
шее упрощение получается в случае решения задач с числовыми значениями
параметров.
Схемы, составленные из многополюсников, также можно рас-
сматривать как многополюсники. При этом, в частности, получаются
некоторые правила эквивалентной замены многополюсников в от-
дельных типовых случаях их соединений. В большей мере эти
правила применяются в цепях с четырехполюсниками.
На рис. 6.18, а показано параллельное соединение пассивных
четырехполюсников, которое можно рассматривать в виде одного
эквивалентного четырехполюсника (рис. 6.18,6). Для определе-
ния параметров эквивалентного четырехполюсника целесообразно
в данном случае воспользоваться записью уравнений в форме g,
так как потенциалы полюсов четырехполюсников являются
общими.
14 Теоретические основы электротехники, ч. 1
209
Для первого четырехполюсника (пассивного):
/j=g^i+g^2,
/г =-£1гф1 +^2аф2;
для второго четырехполюсника:
Л=g^,+g^,;
для эквивалентного четырехполюсника:
Л^иФ.+^ф^
I г й\аФ1 ~Ь йГааФа’
где
= ^2 = Л+Л-
Отсюда непосредственно получается:
g'll — £11 +£11! £12 =£12 +£12’, £22==£22+£22"
Такое решение можно получить в более общем виде, пользуясь матрицами:
для первого многополюсника
G'<₽ = r,
для второго многополюсника
G"<₽ = I",
для эквивалентного многополюсника (с тем же числом полюсов)
G<₽ = f = I' + l",
откуда непосредственно получается
G = G' + G".
Это правило можно распространить и иа любое число п параллельно
включенных многополюсников;
G3 = £ G,,
i=i
При этом матрица проводимостей для эквивалентного многополюсника
получается путем суммирования матриц проводимостей для всех парал-
лельно соединенных многополюсников.
На рис. 6.19, а показано каскадное соединение пассивных
четырехполюсников, при котором выход первого четырехполюс-
ника совпадает с входом второго. Для определения параметров
эквивалентного четырехполюсника (рис. 6.19, б) здесь целесооб-
разно воспользоваться уравнениями в форме а.
Для первого четырехполюсника:
ф’ = а' ф' 4-я'
Т} и Т 2 ‘ 12 2»
11 = Д21Ф2 ”1“ ^22 ^2»
210
для второго четырехполюсника:
И НИ, Ч tM
(P1=au<P2 + ai2/2>
tf rr п !f н
11 — я21(р2 a221 s',
для эквивалентного четырехполюсника:
<Р1 = ац<Рг+«1г4.
Л =а21Ф2 + а22Л-
Рис. 6.19
При ЭТОМ
ч>1 =Фр Л = Л; ф2 = Фр
^2 —Л; фг — ф1> It —If
Отсюда следует, что
= а'М а12 = <1<2 + <2<2-
= П2142ц ~|~ O22n2li ^22 ==^21^12 П22й122.
Более просто такое решение можно получить при помощи матричной
формы записи:
для первого многополюсника
F>A'F/,
для второго многополюсника
Л» Л»
F^A'F/,
для эквивалеитного многополюсника
f,-af2.
где
Fj^F'; F2 = f:; F>f;.
Отсюда непосредственно получается
АЭ = А'А".
Это правило может быть распространено на любое число п каскадио
включенных многополюсников:
Ае-ЦА,.
Z=1
14* 2Ц
При этом матрица параметров эквивалентного многополюсника получается
в виде произведения матриц каскадно включенных многополюсников.
Соединение четырехполюсников, показанное на рис. 6.20, а, называется
последовательным. Для получения правила эквивалентной замены последо-
вательно соединенных четырехполюсников одним эквивалентным (рис. 6.20, 6}
целесообразно воспользоваться записью в форме R.
Аналогично предыдущему получается
эквивалентного четырехполюсника
матрица сопротивлений для
R3=R' + R",
т. е. в виде суммы матриц сопротивлений для последовательно соединенных
четырехполюсников.
§ 6.7. Экстремальные режимы
Большое практическое значение имеет задача определения
условий, при которых в какой-либо части электрической цепи
получается наибольшая или наименьшая мощность. Для этот»
----------- можно интересующую часть схемы рассматри-
-----------1 I_1 вать как многополюсник, выразить функцию
Ч I мощности для такой части цепи и обычными
ФА математическими приемами определить условия
е г2 се экстремума.
Пример 6.4. Определить условия, при которых мощ-
ность, потребляемая в сопротивлении гг (рис. 6.21),
-------------- будет наибольшей, если э. д. с. е и сопротивление г,
Р с в 21 являются заданными величинами.
Решение. В данном случае схема разделяет-
ся на два двухполюсника. Мощность, потребляемая
в сопротивлении г2,
£2
Р2=(г1 + г£)2Г2 = ^Г2)-
dP dzP
Условие максимума этой мощности ——-=0 при -----2 > 0 приводит к сле-
dr2
дующему выводу:
О = г2 и Р, = Р2.
Отсюда следует, в частности, что наибольшая мощность от каждого-
источника питания с заданной э. д. с. может быть получена только при
212
сравнительно невысоком коэффициенте полезного действия:
fl =
Р
Ру + Р2
Рг
2Р,
0,5.
Допустим, что необходимо определить в более общем случае условие
экстремума функции суммарной мощности, потребляемой одновременно
в нескольких элементах цепи. Тогда цепь разделяется на два многополюс-
ника, в первый из которых включаются все элементы с исследуемым
суммарным значением мощности, а в другой — все остальные; для решения
задачи достаточно найти условия экстремума мощности на границах
(рис. 6.16). .
Если один из полюсов n-полюсника (например, полюс п) принять за.
основной, то искомая суммарная мощность
р= 2Р*>
k = l
где
Pk = Uk’k при k=l ... (п— 1).
Здесь принято, что Uk = ^k—<рп; положительным является направление-
тока от одного фиксированного (произвольно выбранного) многополюсника
к другому (например, от многополюс-
ника / к многополюснику If).
Поскольку, согласно (6.4),
П-1
Uk = Ek~ 2
1 = 1
то
П —1
Pk = lkEk~h 2 R‘kli-
i=l
Условие экстремума функции Р,
как функции многих переменных,
др
-ч-г-= 0 после некоторых преобразова-
д'к
иий приводит к следующему уравнению
П — 1
= (6-7
i = i к
Рис. 6.22
д2Р
По знаку второй производной — 2-
можно судить о том, определяет
ли полученное выражение условия максимума или минимума.
Пример 6.5. Определить, при каком соотношении между э. д. с. е, н е2
источников питания суммарная мощность, потребляемая в их внутренних
сопротивлениях г, и г2, будет наименьшей (рис. 6.22).
Решение. Исследуемую часть цепи, содержащую сопротивления г,
и г2, можно представить в виде пассивного трехполюсника (на рис. 6.22
отделен пунктирной линией). За исходную (балансирующую) точку прини-
мается точка 3. Тогда
Et=Et = 0
и
Согласно условию задачи,
Л4=г„ Т?5 = г2.
(i4*72 = /;
213.
тогда из (6.7)
Г1Ц — Г2^<
или
£1 __Ц__ §1
^2 ri Si
Кроме того, в данном случае
Г1Л ~ ^2^2*
поэтому должно е1 = ег.
Отсюда, в частности, следует, что наименьшая величина потери мощ-
ности в параллельно включенных источниках питания получается при рав-
ных э.д.с., т. е. в таком режиме, когда токи в ветвях источников питания
распределяются обратно пропорционально их внутренним сопротивлениям.
§ 6.8. Цепочечные схемы
Цепочечные схемы относятся к частным видам симметричных
схем, исследование которых можно выполнить упрощенными
приемами. Ниже приведены конкретные примеры применения
упрощенных приемов для расчета таких схем.
На рис. 6.23, а показана односторонняя бесконечная одно-
родная пассивная цепочка. Цепочка предполагается состоящей
Рис. С.23
из одинаковых звеньев, каждое из которых является несиммет-
ричным и содержит одну ветвь с сопротивлением R (поперечную)
и одну ветвь с сопротивлением г (продольную). Несмотря на то,
что рассматриваемая цепь содержит бесконечно большое число
ветвей, узлов и контуров, ее рабочий режим можно определить
сравнительно просто, поскольку все звенья цепи одинаковы.
Если такую цепочку рассматривать как двухполюсник, то
входное сопротивление гс не должно измениться при добавлении
к ее началу еще одного звена (рис. 6.23, б). Поэтому входное
сопротивление цепочки с добавленным звеном
R ('• + ',с)
с R + r + rc ’
откуда
'с = -4+ (б-8)
Пример 6.6. Определить входное сопротивление односторонней бесконеч-
ной цепочки (рис. 6.23, а), если г—1 ом, R = 10 ом.
214
Решение. По формуле (6.8)
гс = —у+ |/ ^- + 10 = 2,68 ом.
Если R г, то входное сопротивление цепочки
rc VTTr.
Пользуясь схемой, изображенной на рис. 6.23, б, можно по-
лучить закон распределения напряжения вдоль цепочки. Отно-
шение напряжения на каждом последующем звене к напряжению
на предыдущем равно
и остается постоянным, причем
a<Z 1
Если напряжение на входных зажимах цепочки равно (7,,
то напряжение на n-м поперечном звене
Un — U^an~l. (6.9)
Ток в любой поперечной ветви цепочки (в сопротивлении R)
а в любой продольной ветви цепочки (в сопротивлении г)
4, „+1 = а’1 (а~1 -1) = ап.
Таким образом, величины U„, 1п и и+1 изменяются вдоль
цепочки пропорционально.
Пример 6.7. Определить напряжение на шестом поперечном звене
той же цепочки, если напряжение у входа £/,== 100 в.
Решение. По формуле (6.9)
"•-Чт+Ы'-0’15*-
В данном случае напряжение убывает достаточно быстро, стремясь
к нулю.
Двухстороннюю бесконечную цепочку (рис. 6.24, а) с началом
отсчета в точке 1 можно рассматривать как соединение двух
односторонних бесконечных цепочек (рис. 6.24, б). При этом
в точках соединения появляется одна дополнительная ветвь
с сопротивлением R. Поэтому для определения входного сопро-
тивления /?с двухсторонней бесконечной цепочки, можно вос-
пользоваться эквивалентной схемой, изображенной на рис. 6.24, в.
На этой схеме искомое сопротивление Rz включено параллельно
215
дополнительному сопротивлению 7?. Так как входное сопротив-
ление двухсторонней бесконечной цепочки с учетом дополни-
тельного сопротивления R должно равняться половине входного
сопротивления гс односторонней цепочки (как при параллельном
соединении двух одинаковых сопротивлений), то, очевидно,
справедливо равенство
/?С + Я 2 '
•откуда
Закон распределения напряжений и токов по обе стороны от
входа цепочки остается прежним.
На рис. 6.25, а изображена конечная пассивная однородная
цепочка. Такую цепочку можно рассматривать как трехполюсник,
параметры которого определяются упрощенным способом. Рабо-
чий режим конечной однородной цепочки получается в виде
наложения режимов двух односторонних бесконечных однород-
ных цепочек (рис. 6.25, б и в).
Если конечная пассивная цепочка содержит т звеньев, то
напряжения на зажимах, соответствующих началу и концу це-
почки, определяются по формулам:
U^U^U'r + U^ U" = U2 = Um + U\,
где индексы в виде штриха и двух штрихов относятся к разным
односторонним бесконечным цепочкам. Соответственно токи на
границах конечной цепочки можно найти с помощью уравнений:
— 11 — А — I т, m + i, I1 I о 1т, т + 1'
Если, кроме того, воспользоваться зависимостями, получен-
ными для односторонних бесконечных цепочек;
216

1 7 7*
4 = -l;
rz rc
, u\ „ u]
Im, in + i — "7 Im, m+i — ~ a >
г,, ' c
Puc. 6.25
TO
U^U\ + U\am-'-, и^и^-' + ир,
Отсюда получаются уравнения четырехполюсника в форме g:
11 = SllU 1 812^2’ £>21^1 ~Ь £>22^2’
где
~ _ l-|-a2ra~' (1 — а) ат 1
81 1 = ^22 = Г(. [ J _а 2(Z»-1)J ' 812 821 Г(_ [J__а2(Л1-1)] •
Диалогично получаются уравнения четырехполюсника в форме а
Ul = a'Ut — Ь'Ц\ Ц — с'иг—<1'Ц.
Если принять g = —In я, то
, ,, 2 У« , / 1\ ,, 2гс
° =d =-f+7Cl4'n~27g;
, 2а ,
<r = —------г sh та.
Приближенно, при /п^>1 и R^>r получается:
а' = d' = ch mg\ b' = rc sh mg-, cl = — sh mg.
217
Как и следовало ожидать, данный четырехполюсник оказы-
вается симметричным.
На рис. 6 26, а показана односторонняя бесконечная однородная актив-
ная цепочка. Допустим, что источники э. д. с. включены только в продольные
ветви этой цепочки. Вся цепочка может рассматриваться как активный
двухполюсник. Аналогично предыдущему, сравнивая схемы, изображенные
на рис. 6.27,а и б, нетрудно получить по теореме об активном двухполюснике
е =
gp + g п
R+r + Г'
R
г + гс
откуда
e = g0
ге =
2
е е + е0
гс г + гс ’
И

Следует иметь в виду, что потенциалы узлов цепочки не изменятся,
если все э.д с. еа заменить парами задающих токов: При этом
во всех промежуточных узлах цепочки задающие токи, как противоположно
направленные, можно опустить.
Все последующие выражения для напряжена и токов вдоль цепочки
получаются из схемы, изображенной на рис. 6,27, б (с дополнительным
218
активным звеном, присоединенным в начале (п+ 1)-го элемента бесконечной
цепочки):
^n + l+g = rz
^>> + ео + е г +гс
t\
I __ „П I е0 ___ I I
‘n,n+l--- ~a + ------~a +‘'0
rc r rz
(6.10)
Пропорциональность между величинами Un, In и /„ и+1 в данном случав
отсутствует. ’
Пример 6.8. Сравнить распределение тока вдоль цепочки при е„ > 0<
е„=Оиео<О.
Решение. Применение формулы *
(6.10) дает возможность получить зиа- Г
чения тока для всех трех значений к
э. д. с. (рис. 6.28). В последнем случае wK
при еа < 0 ток может изменить
знак на обратный при некотором п. \\\.
Если конечную активную однород- \ е ^0
иую цепочку (рис. 6.29, а) представить \ —° —
в виде активного четырехполюсника, то \
его параметры можно определить изве- ''Ке
стным способом. _____________
Рабочий режим конечной линейной о
активной цепочки рассматривается как
результат наложения режимов двух од-
посторонних бесконечных цепочек (рис.
6.29, а, б, в).
Для получения окончательных фор- ?ис- 6.28
мул достаточно воспользоваться преж-
ними исходными условиями и зависимостями для односторонних бесконеч-
ных цепочек, которые имеют следующий вид:
, U't+e r_U'i+e
rc : » rc ;
и" —
m i ’
, U'.
1' m4.,=—am+ — = —aM + 4;
tn, ttl + 1 r 1 r r * 0»
' c ' 1 c
219
Отсюда получаются уравнения активного четырехполюсника в форме g.
11 = gllUI gl2^2 4" О» ^2 “ %>21U I 4” ^22^2
или в форме а:
U1 = a'Ui—b'Ii —b'J^ Ц^с’1)г —d'Ц + (\ — d') Jа
Здесь параметры gn = g22 и gi2 = g2i> а также a' —d', b' т? получают-
ся такими же, как и для пассивной однородной цепочки
Рис. 6.29
Такие же упрощенные рассуждения можно применить и к цепочке,
состоящей из каскадно-соединенных четырехполюсников В частности, для
конечной цепочки, состоящей из п симметричных пассивных четырехполюс-
ников с параметрами a'—d', b' и с' получаются следующие уравнения:
U г <= (72ch ng — Z2rcsh ng;
Z, = — sh ng — 11 ch ng,
rc
где«=-1пУ+^77:
В том случае, если цепочка является неоднородной, ее замена одним
эквивалентным четырехполюсником может быть произведена путем рас-
смотрения каскадного соединения соответствующего числа четырехполюс-
ников.
220
§ 6.9. Цепи с равномерно распределенными параметрами
Цепи с равномерно распределенными параметрами характе-
ризуются сопротивлением г0 (продольным) и проводимостью ga
(поперечной) на единицу длины (г V
Пассивную цепь бесконечной протяженности с равномерно
распределенными параметрами можно рассматривать как одно-
стороннюю бесконечную однородную цепочку с очень малыми
звеньями (рис. 6.30). Рабочий режим в этой цепи можно опреде-
Рис. 6 30
лять тем же приемом, который был использован для исследо-
вания цепочки с конечными параметрами ветвей (рис. 6.23).
Входное сопротивление бесконечной линии, дополненной
в начале линии бесконечно малым звеном (если ее рассматри-
вать как пассивный двухполюсник, рис. 6.30, а и б),
г.+г.л+Jj.;
или
гс = у4- .
с " So
Пусть напряжение на входе звена равно U (рис. 6.30, б),
тогда напряжение на выходе
^+^=—•
/c+rodx
Если пренебречь бесконечно малыми второго порядка, то
~~ = r/-dx = Vr^odx = adx,
* w 'G
221
или
U = Af>-'x.
Поскольку при х = 0 напряжение U = Ut, то A = U1. Сле-
довательно, напряжение в любой точке линии на расстоянии х
от ее начала,
U = Ute~°x. (6.11)
Ток у входа цепи .
'с
Ток в любом месте линии на расстоянии х от ее начала
/ = ^- = ^е-^ = /1е-1\ (6.12)
ГС Гс
Пользуясь выражениями для напряжения (6.11) и тока (6.12)
бесконечной линии, легко получить формулы для расчета режима
в цепи с равномерно распределенными параметрами конечной
длины. Такую цепь (рис. 6.30, в) длиной I можно представить
в виде пассивного четырехполюсника, напряжения и токи кото-
рого в рассматриваемом случае (линейная цепь) можно опреде-
лить (так же, как и в случае конечной цепочки) путем наложения:
л=/;-/? у
(72 = t/,+^z; /2 = /0-Л /
где
, , , , U.
— L’t = Uit~’a\ =
rc
„ ' u'i ,
/»= —; /z = —e~’z; h = -^e"’z
Из уравнений (6.13) легко получить:
U — [J 1 ___/7 е >
U I 1 e-2*Z Ь 2 | e-2«Z ♦
и. = — и\ —-----; + и, —!—-
]1—e-2sZ 1—e~2,z
Если подставить значения напряжений Ui и Ui в выражения
для токов (6.13), то после преобразований получаются следую-
щие уравнения четырехполюсника:
/, = U. — cth al — (Д —-гЦ 1
’• , , , ! (6.14)
'. = -c/.Ksra + (7-^cth“')
Параметры четырехполюсника, удовлетворяющего этим уравне-
ниям при их записи в форме g, получаются равными:
g.i =g22 =7 cthaZ’>
г с
222
Si2 S21 sh a/‘
Другую структуру имеют уравнения четырехполюсника при
их записи в форме а:
U\ = U2 ch al — rcI2 sh al
IX = U2 — — 12 ch al (• (6Л5)
Следовательно, коэффициенты четырехполюсника:
a = d = ch al;
b — rPshaZ; c= — sha/.
c '•c
Если в схеме, изображенной на рис. 6.30, в, изменить направ-
ление тока /2 (показан пунктиром), то соответствующие состав-
ляющие в уравнениях (6.15) будут иметь положительные знаки:
Ux -- U2 chal^-rj2 sha/
Г Г и / , 1 , 1- (6-16)
I = 1, chai 4—sha/ ( '
1 2 'Г f
Пользуясь этими формулами и зная параметры линии, можно
определить напряжение /7, и ток в начале линии по задан-
ному току 12 и напряжению U2 на ее конце. Из уравнений
(6.14) можно также выразить напряжение U2 и ток 12 через
напряжение Ux и ток /, в виде:
U2 — Uxchal-—rc/jSha/ 'i
, U , I I, / } • (6-17)
/ = — sha/,— Z.chaZ ( v '
2 1 )
Эти уравнения дают возможность непосредственно определить
U2 и 12, если известны напряжение Z7, и ток /, в начале линии.
Из сравнения (6.15) и (6.17) следует, что поскольку линия
конечной длины представляет собой симметричный четырехпо-
люсник, то одна- система уравнений получается из другой путем
взаимной замены в этих уравнениях входных и выходных
индексов у токов и напряжений.
Для определения напряжения U и тока I в любой точке
линии конечной длины можно воспользоваться дифференциаль-
ными уравнениями длинной линии. Изменения тока di и напря-
жения dU на элементе длины линии dx (рис. 6.30, в), очевидно,
будут равны:
U — (U + dU) = — dU = r0 dx I,
I — (I +dl) = — di =gadxU,
или
dU г dl r.
~~dx~ (6.18)
223
Эти дифференциальные уравнения дают возможность по задан-
ным граничным условиям найти напряжение и ток как функции
координаты х. Если уравнения (6.18) продифференцировать, то
после элементарных преобразований, они приобретают вид:
<PU_ oil- ~ = I
dx2 dx2^
Одинаковая структура этих уравнений показывает, что измене-
ния напряжения и тока вдоль линии происходят по одному
и тому же закону. Действительно, если решением первого из
уравнений (6.19) является сумма двух экспоненциальных функ-
ций
(6.19)
67 = Л 1е~“Л +Л2е~!<х, (6.20)
то решением второго является разность тех же функций, умно-
женная на некоторую постоянную величину:
/ = -^Т = -<(Л1е-а"-Л^) = 1(Л1е-“Л-ЛЛ (6.21)
где а = —так же, как и во всех предыдущих уравнениях,
коэффициент затухания,
гс= —характеристическое сопротивление;
А1 и А2 — постоянные интегрирования дифференциальных
уравнений, определяемые из граничных условий.
Пусть напряжение и ток /1 в начале линии заданы.
После подстановки С/,, Ц и х = 0 в (6.20) и (6.21) получаются
следующие уравнения:
л, + л, = £/,-,
Л, —Л2=тс/1.
Совместное решение этих уравнений дает:
Л.Ц^.М) и Аг = ±(У-г^. f
Если подставить постоянные интегрирования Л, и Л2 в (6.20)
и (6.21) и сгруппировать члены при (7, и то получаются
уравнения, определяющие напряжение и ток в любой точке
линии:
U = Ut ch ах — r^shax
, . . (7, . (6.22)
1 = 1, ch ах-Lshax {
1 ''с )
Из уравнений (6.20) и (6.21) видно, что напряжение и ток
в любой точке линии определяются алгебраическими суммами
ординат двух экспоненциальных кривых. Ординаты кривой
снижаются в направлении увеличения координаты х, т. е. от
источника к потребителю, ординаты кривой е“* снижаются в
224
направлении уменьшения координаты к, т. е. от потребителя
к источнику. Из тех же уравнений непосредственно следует,
что отношение соответствующих составляющих напряжения к
току в любой точке линии равняется характеристическому
сопротивлению гс.
Здесь необходимо особо отметить, что при х — 1 уравнения
(6.22) дают возможность, так же как уравнения (6.17), опре-
делить напряжение U2 и ток /2 в конце линии по заданному
напряжению и заданному току It в начале линии. Однако
в этом случае ток 12 получается, как и следовало ожидать,
с обратным знаком по сравнению с током, найденным по фор-
муле (6.17).
Поскольку любая цепь с равномерно распределенными пара-
метрами может быть представлена в виде четырехполюсника,
то для исследования процессов в такой цепи можно восполь-
зоваться Т- и П-образными схемами замещения длинной линии
(рис. 6.31, а и б).
В заключение следует рассмотреть расчет распределения напряжения
и тока в бесконечной и конечной однородной активной цепи с равномерно
распределенными параметрами.
На рис. 6.32, я показана односторонняя бесконечная однородная актив-
ная цепь с равномерно распределенными параметрами. Пусть эта цепь
имеет равномерно распределенную продольно включенную э. д. с. е0 на
единицу длины. Вся цепь может рассматриваться как активный двухпо-
люсник (рис. 6.32,в). Так же, как и для активной бесконечной цепочки
(рис. 6.27), с помощью рис. 6.33, можно найти значение эквивалентной
э. Д. с.
Эквивалентное (входное) сопротивление rz цепи при этом получается таким
же, как для пассивной цепи с распределенными параметрами.
Так же, как и для бесконечной активной цепочки (рнс. 6,26, б), можно
определить значение эквивалентного задающего тока
J —е» _ е
г ~~ г '
'о г а
Теоретические основы электротехники, ч. 1 225
Если входные зажимы рассматриваемой активной цепи соединить не-
посредственно (закоротить), то с помощью рис. 6.33 ток у входных зажи-
g
мов J1K =— — Jf При этом режиме на любом расстоянии х от входа
'с
цепи ток получается таким же-. Iк= 11К— J0, а напряжение на поперечном
Рис. 6.32
элементе: (7K=t/1K»=0 Поэтому включение у входных зажимов цепи ис-
точника э. д. с. с напряжением Ul приводит к такому же распределению
напряжения вдоль линии, какое получается в пассивной цепи с распреде-
ленными параметрами:
U = Ule~,tx. (а)
Одиако ток на расстоянии х от входа этой цепи будет несколько
иным:
е"“* + /0.
(б)
с
Если изменить направление
э. д. с. е, то на расстоянии
от входа цепи ток It = 0. Это озна-
чает, что последующую часть цепи,
расположенную за указанной точ-
кой, можно отделить без изменения
рабочего режима в предшествующей
части. Иначе говоря, последующая
часть цепи является как бы автоном-
ной. В частности, при U1^= — е у
входа цепочки / = 0, а распределе-
ние напряжения вдоль цепочки соответствует случаю разомкнутого входа.
Если предположить, что в произвольном месте бесконечной однород-
ной активной цепи с равномерно распределенными параметрами заданы
параметры режима —Ток и напряжение, то иа расстоянии х по направлению
тока Ja параметры режима определяются по формулам (а) и (б), а на
расстоянии х в противоположном направлении от тока—по формулам,
226
которые получаются из (а) и (б) путем изменения знака у величины х на
обратный:
(У = Д1е’х; Z = — е7* + Jo = —е“х +/,
rc rc
где
/ = А =
'с
В случае конечной активной линейной цепи решение выполняется
аналогично конечной активной цепочке, но здесь:
и, = и\ + и[ + и" е-ах;
(Л=£/';+(/;=у1+^е”х;
- „ и', и.
Z2 = Z1-Z’ = —е-’х-7.
* Л г г
'Z г с
Совместное решение этих уравнений дает в форме g
Л = £11^1 Я12^г + J‘>
"И Ь22^2 J >
а в форме а
Ui = a'U г — Ь' Ц — b' J\
I1 = c'U2-d’Ii + (l-d')J.
Рис. 6.34
Все пассивные параметры (gn — g22 и gti^>ga, а также a’ = d', b' н с')
получаются такими же, как н в случае пассивной цепи [см. (6.14) и (6.15)].
На рис. 6.34 показана схема замещения активного четырехполюсника,
составленная из схемы замещения пассивного четырехполюсника с добав-
лением задающих токов, соответст-
вующих активным параметрам. За-
дающие токи могут быть заменены
э. д. с., одиако эта замена не явля-
ется однозначной.
Аналогичным путем можно по-
лучить параметры и рабочие ре-
жимы в более общей цепи с равно
мерно распределенными параметра-
ми, содержащей, например, кроме
э- Д. с., равно.мерно распределенные по длине источники тока и т. д.
Вопросы дЛя самопроверки
6.1. Для чего применяются схемы в виде многополюсника?
и 6^.2. Как отражаются свойства взаимности на параметрах многополюс-
. 6.3. В каких случаях применяются различные формы записи уравне-
кий многополюсника?
15* 227

6.4. Как получить схему замещения многополюсника по уравнениям,
записанным в форме G? Почему такую схему замещения всегда можно
составить из обычных элементов?
6.5. Указать основные свойства линейного активного двухполюсника.
Какие необходимо проделать опыты, чтобы определить его параметры?
6.6. В каких случаях и для каких целей можно разделить сложную
схему на многополюсники?
6.7. Какие режимы называются экстремальными и какой они представ-
ляют практический интерес?
6.8. Какие схемы называются цепочечными и почему возможно их
упрощенное рассмотрение?
6.9. Чем отличаются цепи с равномерно распределенными параметрами
от цепочечных схем?
6.10. Почему можно считать, что ток и напряжение у бесконечно уда-
ленного конца цепочечной схемы или схемы с равномерно распределенными
параметрами равны нулю? Является ли это же условие справедливым для
активной цепи?
6.11. Как определить ток и напряжение на расстоянии I от передаю-
щего или приемного конца цепи с равномерно распределенными парамет-
рами, если известны ток и напряжение у этого конца?
6.12. Как изменяется мощность вдоль пассивной цепи с равномерно
распределенными параметрами? Какие принципиальные изменения вносит
наличие активных элементов?
Глава VII
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
§ 7.1. Характерные нелинейности и графическое
представление характеристик
Как уже неоднократно указывалось, в принципе все электри-
ческие и магнитные цепи являются нелинейными; линейными
они могут считаться в ограниченных пределах изменения значе-
ний токов и напряжений. Например, при больших значениях
токов происходит чрезмерный нагрев материала проводников,
сопровождающийся резкими изменениями сопротивлений и по-
следующим изменением его физического состояния (например,
расплавлением металлов). При больших значениях напряжений
происходит нарушение свойств диэлектриков. Однако во многих
случаях приходится считаться с нелинейностью свойств отдель-
ных элементов электрических цепей при их нормальной работе
со сравнительно небольшими значениями токов и напряжений.
В данной главе рассматриваются только установившиеся режимы
работы цепей.
Следует различать несколько наиболее характерных случаев
нелинейности. Так, вольтамперная характеристика нелинейного
элемента может быть непрерывной и прерывистой, монотонной
228
и немонотонной, однозначной и неоднозначной, симметричной и
несимметричной.
К типичным примерам нелинейности с монотонной непре-
рывной вольтамперной характеристикой относятся цепи, содер-
жащие элементы с нагреваемыми до сравнительно высокой тем-
пературы металлическими нитями и проволоками (электрические
лампы накаливания, нагревательные приборы и т. д.), и электро-
вакуумные приборы, работающие на принципе газового разряда
или термоэлектронной эмиссии (рис. 7.1, рис. 7.2).
Прерывистой (практически со скачком) характеристикой
обладают цепи с выпрямителями и полупроводниковыми прибо-
рами (рис. 7.3).
Неоднозначность вольтамперной характеристики вызывается,
например наличием в электрической цепи элемента, связанного
с магнитной цепью. ,
Нелинейность может быть обусловлена не только пассивными
элементами цепи, в которых происходит только преобразование
электрической энергии в какую-либо другую форму, но и
229
активными элементами, в которых возможно обратное преобра-
зование энергии — из какой-либо другой формы в электрическую.
На рис. 7.4 показаны характеристики различных генераторов
постоянного тока.
Графическая зависимость напряжения на выходных зажимах
источника питания от тока нагрузки (рис. 7.5), называемая
внешней характеристикой, позволяет исключить составление
схемы замещения для этого источника, если можно выполнить
расчет в графической форме. При этом предполагается, что
положительное значение тока при положительном напряженйи
на зажимах соответствует генерированию электрической энергии,
а отрицательное—потреблению
Если внешняя характеристика источника электрической
энергии линейна (рис. 7.6) и определяется уравнением
U = еа~ гв1,
то ее начальная ордината (77)/=0 = е0 соответствует активному
параметру эквивалентного двухполюсника, т. е. э.д.с., a tga
в некотором масштабе определяет внутреннее сопротивление,
т. е. пассивный параметр эквивалентного активного двухполюс-
ника (рис. 7.7):
ra = mr tga.
Точка пересечения характеристики с осью абсцисс опреде-
ляет ток короткого замыкания
/к = (/)у=о=Г-
1 в
Графическое изображение внешней характеристики обычно
применяется для определения свойств нелинейных источников
питания.
Наличие графической зависимости напряжения на входных
зажимах какого-либо двухполюсника от тока (рис. 7.8); т. е.
наличие вольтамперной характеристики, освобождает от необхо-
димости составления схемы замещения для этого двухполюсника,
230
особенно, если он нелинейный, а расчет можно выполнить гра-
фическим путем. Предполагается при этом, что положительное
значение тока при положительном напряжении соответствует
потреблению электрической энергии этим двухполюсником, а
отри ца тельное—генери рованию.
Если вольтамперная характеристика линейна (рис. 7.9) и
определяется уравнением U — е0 + ^вЛ то ее начальная ордината
соответствует противоэлектро-
движущей силе цепи, представ-
ленной активным двухполюс-
ником,
£4 = (£/),=„ = е0,
a tg а в некотором масштабе
определяет входное сопротивле-
ние или пассивный параметр
эквивалентного двухполюсни-
ка: rB = mrXga, (рис. 7.10). Если
линейная вольтамперная харак-
теристика проходит через нача-
ло координат, то е0 = 0, и соответ-
ствующую цепь можно рассматривать только как пассивную.
Если в схеме двухполюсника изменить направление тока, то
внешнюю характеристику U1 (/) можно представить в виде Ut (/)
(рис. 7.11) и наоборот.
§ 7.2. Графический способ расчета неразветвленных цепей
с линейными и нелинейными элементами
На рис. 7.12 показано последовательное соединение двух
нелинейных элементов rt (/,) и гг (/,), вольтамперные характе-
ристики I1 = f1 (Ux) и /4 = ^ (Ut) которых показаны на рис. 7.13, а.
Пусть напряжение на зажимах цепи равно U и требуется опре-
делить ток / и напряжения и Ut на нелинейных элементах.
231
С этой целью строится вспомогательная вольтамперная харак
теристика для всей цепи, представляющая собой зависимость
тока I от общего напряжения. Поскольку ток в неразветвлен-
ной цепи имеет одно и то же значение /, = /2 = I, то для
построения характеристики l = необходимо просум-
мировать напряжения Ut и U2 для одних и тех же значений
тока / (рис. 7.13, а). Если после этого отложить на оси абсцисс
отрезок оа, равный в масштабе ти напряжению U, и из точки
а провести прямую ab, парал-
лельную оси ординат, до пере-
сечения с кривой / — f +
то получается отрезок ab, рав-
ный в масштабе т7 току I. За-
тем из точки b проводится
прямая Ьс, параллельная оси
абсцисс. В результате полу-
чаются отрезки cd и cf, соот-
ветственно равные и 1/2 в
масштабе ти.
Аналогичным способом рас-
считывают цепь, состоящую из
большего числа последовательно соединенных нелинейных эле-
ментов. Графические построения для расчета последовательной
цепи (рис. 7.12) можно произвести другим способом. Пусть
заданная схема представлена (рис. 7.12) в виде последователь-
ного соединения нелинейного активного двухполюсника с источ-
ником э.д.с. e = U и нелинейным сопротивлением г, (/,) и
нелинейного пассивного двухполюсника г2 (/2). Так как напря-
жение U\ на зажимах нелинейного элемента гг (/2) определяется
с одной стороны вольтамперной характеристикой этого элемента
I2 = ft(Ut), а с другой,— разностью между э. д. с. e = U и напря-
жением на зажимах нелинейного элемента г, (/J, то точка Ь
пересечения характеристик /* = (С/а)и Л=А(^—^i) (Рис- 7.13, б)
232
соответствует равенствам U1 = U—f7, и /1 = /2 = /, определяю-
щим рабочий режим в рассматриваемой цепи.
Допустим, что требуется определить ток и напряжения на
участках цепи, изображенной на рис. 7.14, если внешняя харак-
теристика источника электрической энергии задана в виде
графика = а вольтамперная характеристика приемника
является прямой С/2 = f2 (Z), проходящей через начало коорди-
нат (рис. 7.15). Точка а пересечения характеристик = и
U =f2(I), очевидно, соответствует Ul — U2 = U и — — 1
(р2ис. 7.15) и определяет искомые величины.
Рис. 7.14
Если в неразветвленной цепи имеется несколько источников
и приемников электрической энергии, то предварительно сле-
дует определить внешнюю характеристику для всех источников
питания путем суммирования напряжений на зажимах источ-
ников при одинаковых токах и вольтамперную характеристику
для всех приемников электрической энергии, а затем восполь-
зоваться приведенным выше решением.
Здесь следует отметить, что если напряжение на зажимах
источника (рис. 7.12) является функцией тока / и определяется
внешней характеристикой U = f (/) [на рис. 7.13, а, кривая
I то и в этом случае тбчка b пересечения характеристик
/ = /(£/) и I=f(Ut + Ut) дает возможность найти рабочий режим
(рис. 7.13, а).
§ 7.3. Графический способ расчета цепей с параллельным
соединением линейных и нелинейных элементов
Поскольку параллельное соединение ветвей характеризуется
равенством напряжений на их зажимах, то при графическом
решении результирующая характеристика получается путем
суммирования значений токов, соответствующих одинаковым
напряжениям. Для иллюстрации указанного способа следует
233
найти распределение токов между двумя параллельно включен-
ными источниками питания (рис. 7.16, а), внешние характерис-
тики которых приведены на рис. 7.16, б.
Прежде всего необходимо просуммировать токи /, и /2
с помощью заданных внешних характеристик (рис. 7.16,6). Для
определения токов /, и /2 в ветвях источников питания по
известному току I во внешней цепи необходимо провести линию,
параллельную оси абсцисс, от точки характеристики U --
— КЦ + Ц), соответствующей заданному значению тока /. Точки
пересечения этой прямой с исходными характеристиками источ-
ников питания определяют значения токов в каждом из них.
a; s)
Как видно, токи в ветвях источников питания существенно
зависят от-вида характеристик и только при одинаковых харак-
теристиках они имеют одинаковые значения. При резко различ-
ных характеристиках токи в ветвях источников питания могут
иметь разные направления. Это может быть полностью исклю-
чено только при одинаковых значениях напряжений холостого
хода, т. е. когда внешние характеристики начинаются в одной
и той же точке на оси ординат.
На рис. 7.17 изображены параллельно соединенные нелиней-
ные элементы г, (/,) и г2 (/2), вольтамперные характеристики
которых /! = Л(^1) и Л =/2(^2) показаны на рис. 7.18.
Если задано напряжение на зажимах цепи равным U, то
по вольтамперным характеристикам = и I2 = f2(JJ2)
легко найти токи и /2, а на основании уравнения Il-\-I2 = I—
ток в'неразветвленной части цепи. Если задан ток /, то для
определения напряжения U и токов /, и 1г (рис. 7.17) необхо-
димо построить вспомогательную характеристику / = /, -|-
+ Л = /12 (^)- Так как при параллельном соединении Ut = U2 = U,
то, в соответствии с уравнением необходимо произ-
вести суммирование ординат кривых = и /2 = /2(^2)
234
для одних и тех же значений напряжения Ux~Ut. Отложив
на оси ординат отрезок ос, равный в масштабе току /, и
проведя из точки с прямую, параллельную оси абсцисс, до пере-
сечения с кривой / = /1 + /2 = f12(i7), легко определить напря-
жение U = —. Прямая Ьа, проведенная параллельно оси орди-
нат до пересечения с вольтамперными характеристиками нели-
нейных элементов, дает
возможность непосредст-
венно определить токи
и /2 (рис. 7.18).
Если внешняя характеристика источника электрической
энергии (рис. 7.17) определяется кривой I = f (U), изображенной
на рис. 7.18, то та же точка b пересечения характеристик
1 = /j +12 = fls (U) и I — f (U) (рис. 7.18) определяет рабочий
режим в этом случае.
Если параллельно включены несколько источников питания
и несколько приемников электрической энергии, то целесооб-
разно в начале произвести суммирование характеристик отдельно
для всех источников питания и для всех приемников электри-
ческой энергии, а затем определить режим, рассматривая цепь
в виде последовательно соединенных эквивалентного источника
питания и эквивалентного приемника электрической энергии.
§ 7.4. Графический способ расчета цепей
с последовательно-параллельным соединением
нелинейных и линейных элементов
Применяя те же принципы расчета, можно определить рабо-
чий режим для любой цепи с последовательно-параллельным
соединением элементов.
На рис. 7.19 изображена схема последовательно-параллель-
ного соединения нелинейных и линейного элементов. Пусть
задано напряжение U, вольтамперные характеристики нелиней-
235
ных элементов и сопротивление г3 линейного элемента; требуется
найти токи во всех ветвях и напряжения на элементах. В этом
случае суммирование токов и напряжений, отложенных по осям
координат, производится поочередно в зависимости от харак-
тера соединения соответствующих элементов.
По заданному сопротивлению г, строится (рис. 7.20) вольт-
амперная характеристика в виде прямой, проходящей через
начало координат.
Путем суммирования ординат кривой /2 = /2(Т/2) и прямой
7S = /S(77S) Для одних и тех же значений напряжения U2 — Ut = U2i
строится вольтамперная
характеристика параллель-
ного соединения /, = /2 +
+Л = Л,(^28)- Затем, при
суммировании абсцисс кривых Ц — и /1 = /2 + /s = f2S(772S)
для одних и тех же значений тока /, получается вольтамперная
характеристика всей цепи
Откладывается в некотором масштабе на оси абсцисс напря-
жение U в виде отрезка оа и проводится прямая, параллель-
ная оси ординат, до пересечения с кривой В резуль-
тате этого получается отрезок ab, определяющий в масштабе
тг ток Затем из точки Ь проводится прямая, параллельная
оси абсцисс, до пересечения с кривыми = и /2 + /s==
= /2г(7722) и опускается из точки d перпендикуляр на ось абс-
цисс. В соответствии с уравнениями U = U3 + Ut3 и I,= 12 + /s,
очевидно, что отрезки db и cb определяют в масштабе ти соот-
ветственно напряжение 77, на первом элементе и напряжение
U2i на разветвлении, а отрезки ge и gf в масштабе т; дают
токи /2 и /2.
Графические построения для расчета рассматриваемой цепи
можно произвести так же, как и при расчете неразветвленной
236
схемы (рис. 7.15) другим способом. Для этого следует предста-
вить схему, изображенную на рис. 7.19, в виде последователь-
ного соединения нелинейного активного двухполюсника с источ-
ником э.д.с. е=(7 и нелинейным сопротивлением г, (/,) и
нелинейного пассивного двухполюсника, эквивалентного двум
параллельным ветвям с элементами г2 (/2) и rt (рис. 7.21).
Точка d. (рис. 7.20) пересечения кривых — и
/2 + Л = /г> (t/2s) определяет рабочий режим в этой схеме
§ 7.5. Графический способ расчета разветвленных
электрических цепей с нелинейными элементами
Те"же приемы можно применить и для расчета более слож-
ных цепей, особенно если эти цепи легко приводятся к последо-
вательно-параллельным.
На рис. 7.22 показана разветвленная схема с тремя извест-
ными э.д. с. е2 и е, и тремя нелинейными элементами, кото-
рые для упрощения принимаются симметричными и одинаковыми
(с одинаковыми вольтамперны-
ми характеристиками). Тре-
буется определить токи /2
и
При выбранных положительных направлениях ‘токов, на
основании второго закона Кирхгофа, можно записать следующие
Уравнения:
^2i = et —77, = е2—(72 = —
где Ut и — напряжения на соответствующих нелинейных
элементах. С помощью заданной вольтамперной характеристики
на рис. 7.23 построены кривые:
Л = Л(^,) = А (е-иху,
'^fAU^tA-^ и,).
Для определения токов в ветвях можно построить вспомога-
тельную характеристику (/, + /2) ==/12 ((/„) (рис. 7.23) путем
237
суммирования токов /, и /2 для одних и тех же значений нап-
ряжения (721. Так как токи в ветвях должны удовлетворять
второму и первому законам Кирхгофа (/, + /2== 7S), то ордината
точки а пересечения кривых I,=f,(U2l) и (/, + /2) = fI2 (U2l)
определяет в некотором масштабе ток а абсцисса той же
точки а в масштабе дает напряжение U2l. Затем из точки а
проводится прямая, параллельная оси ординат до пересечения
с кривыми — и /2 = /2((721). В результате получаются
отрезки cb и cd, определяющие токи и 1г. Необходимо отме-
тить, что выбранное положительное направление тока 12 не сов-
падает с действительным направлением этого тока (точка d лежит
ниже оси абсцисс).'
Другим приемом решения этой же задачи является постро-
ение характеристики (/, +12 — = f (f721) вместо кривой (/, + /2)=
= Ла(^21) (на Рис- 7.23 пунктирная кривая). Согласно первому
закону Кирхгофа, сумма токов -f-— /, = 0; поэтому решением
задачи является точка с пересечения кривой (/t-j-/2 — Zs) = /(£721)
с осью абсцисс.
Изложенный способ расчета можно распространить на более
сложные цепи, состоящие из любого числа активных и пассив-
ных нелинейных элементов с последовательно-параллельным
соединением. В таких цепях следует заменить параллельно
соединенные ветви эквивалентными двухполюсниками, а затем
преобразовать схему к простому последовательному соединению
двухполюсников. Например, для расчета схемы, изображенной
на рис. 7.24, можно первую и вторую ветви, а также третью
238
и четвертую заменить эквивалентными нелинейными двухполюс-
никами, в результате чего получить неразветвленную цепь,
состоящую из трех активных двухполюсников (рис. 7.25).
В виде примера на рис. 7.26, а и б показаны вольтамперные
характеристики (/, + /2) = f12 ([/„) и (/, — /*) = /,< (t/„) для экви-
валентных нелинейных активных двухполюсников +1г) и
Рис. 7.24
— /4) с э.д.с. е12 и eS4 равными в некотором масштабе
соответствующим отрезкам на оси абсцисс при токе /-]-/.=
= /,-/4 = 0.
Расчет неразветвленной схемы (рис. 7.25) не представляет
затруднений. Для определения токов в остальных вет-
вях следует применить законы
Кирхгофа к заданной, исходной
схеме.
Расчет довольно сложных
разветвленных цепей с нелиней-
ными элементами можно свести
к графическому расчету схем
с последовательно-параллель-
ным соединением активных и
пассивных нелинейных элемен-
тов путем «перемещения» э. д. с.
источника в другие ветви с со-
противлениями.
На рис. 7.27 показана мо-
стовая схема с нелинейными
Рис. 7.25
элементами во всех пяти ветвях. Если в каждую ветвь, присоеди-
ненную, например, к узлу 3 (или к узлу /), включить источ-
ник напряжения, с э. д. с. равной е и направленной от узла
(на рис. 7.27 эти э. д. с. показаны пунктиром), то разность
потенциалов между точками 1 и 3 окажется равной нулю и эти
239
точки можно будет соединить проводником. Токи во всех ветвях
остаются без изменения, так как сумма э. д. с. в любом из
контуров не изменяется. В резуль-
тате такого преобразования полу-
чается схема с последовательно-
параллельным соединением элементов
(рис. 7.28). Расчет такой схемы
можно производить уже известным
способом.
240
§ 7.6. Графоаналитические способы расчета цепей
с линейными и нелинейными элементами
Если вольтамперная характеристика для нелинейного элемента
задана или приближенно математически выражена в виде ана-
литической зависимости U = f (/) или в виде другой функции,
например r = r = f(U) и т. п., то рабочий режим цепи
с помощью схемы замещения можно определить при помощи
уравнений состояния, записанных в любой форме.
Непосредственное решениес помощью нелинейных вольтампер-
ных характеристик получается, как показано выше, и при гра-
фических методах расчета. Обычно расчет нелинейных цепей
значительно упрощается в цепях с небольшим числом сущест-
венно нелинейных элементов.
Пример 7.1. Пусть механическая мощность, развиваемая электродвига-
телем постоянного тока и обусловленная характеристикой приводимого им
во вращение механизма, почти неизменна при сравнительно небольших
изменениях величины напряжения па зажимах электродвигателя. Как при
указанных условиях изменится на-
пряжение на зажимах электродви-
гателя при снижении напряжения
у источника питания на 5°/0, если
известно, что до этого напряжение
на зажимах электродвигателя было
нормальным, а в соединительных
проводах потеря активной мощности
составляет 10°/о и что такая же
потеря мощности имеется в обмотке
самого электродвигателя. Рис. 7.29
Решение. Для решения зада-
чи целесообразно составить схему за-
мещения цепи (рис. 7 29), в которой Ui — el — напряжение на зажимах источ-
ника питания, г1—сопротивление подводящих проводов, гг—сопротивление
обмотки электродвигателя, е2—противоэлектродвижущая сила в электро-
двигателе, определяющая развиваемую механическую мощность, I—ток
в цепи.
По заданному условию
г, = г2=г и Ie2 = P = const = UI—I2r,
причем = В предшествующем рабочем режиме (до снижения напря-
жения)
е,/ = е2/ + 2r I2 ==1,2P = UI + г Г2.
р р
Из полученных выражений следует, что г = 0,1и (7 = —
р
Кроме того, et = U -j- rl = 1,2-у, откуда
р
1=\,2~ .
Следовательно, в рассматриваемом режиме ток в цепи
, 1.2Р
=п-йЕ-=^ 1,05/,
0,95е,

16 Теоретические основы электротехники ч. I
241
т. е. увеличивается приблизительно на 5°'о. Это означает, что напряжение
иа зажимах электродвигателя
t/' = 0,95e1-l,05/r = (0,95-l,2—1,05-0,1) ^- = 1,045 ^-=0,951/,
т. е. снижается примерно на 5°/0.
Подобный метод расчета применим для схем замещения любой слож-
ности. Одиако практически решение возможно выполнить только для
Сравнительно несложной схемы.
В тех случаях, когда рабочий режим цепи приблизительно
известен (рис. 7.30), вольтамперную характеристику
нелинейного элемента (рис. 7.31, а) можно приближенно
линейной, получаемой с помощью
касательной к нелинейной характе-
ристике
режима
каждого
заменить
в точке
(рис.
а предполагаемого
Начальная
7.30).
1
о-
r(l)
га
~и
о-
П)
и
Рис. 7.31
и
2
о
1
г

2
4^
ордината этой касательной в некотором масштабе опре-
деляет э.д.с. линейной схемы замещения (рис. 7.31, б), а
отношение приращения напряжения к приращению тока или
в пределе производная от напряжения по току в масштабе
тг = дает дифференциальное (динамическое) сопротивление г.л.
Величина этого сопротивления пропорциональна тангенсу угла а
между касательной к всльтамперной характеристике в точке а
и осью токов (рис. 7.30), т. е.
dU
'« = -й = тг^а-
При расчете нелинейных электрических цепей иногда поль-
зуются статическим сопротивлением, определяемым отношением
напряжения к току; в том же масштабе тг это сопротивление
пропорционально tg 0 (рис. 7.30).
Необходимо более подробно рассмотреть соотношения между
параметрами схемы замещения (рис. 7.31, бив) для нелинейных
элементов с различными вольтамперными характеристиками. Из
242
рис. 7.30 следует, что на нелинейном элементе г (Г) (рис. 7.31, а)
при рабочем режиме в точке а (рис. 7.30) напряжение U = ел
Если положительные направления для напряжения и тока
совпадают (рис. 7.31, а), то э.д.с. еа должна быть направлена
против тока /( рис. 7.31, б), так как только при этом условии потен-
циал точки 1 выше потенциала точки 2 на величину (7 = е0 + г^ /.
Путем деления этого выражения на гд, легко получить соотно-
U е
шение — = -р-~г 7, которому соответствует эквивалентная схема
с источником4 тока (рис. 7.31, б). Полезно подчеркнуть, что вели-
чина тока Jo равна в масштабе отрезку od (рис. 7.30), отсе-
каемому на оси токов продолжением касательной af, что легко
Если нелинейный элемент на рис. 7.31, а имеет другую вольт-
амперную характеристику, показанную на рис. 7.32, то при тех
же положительных направлениях для тока / и напряжения U
(рис. 7.31, а), на эквивалентных схемах (рис. 7.31, б и в) изме-
нятся направления э.д.с. е0 и тока J0, что легко обосновать
с помощью построений иа рис. 7.32.
В том случае, когда на некотором участке вольтамперной
характеристики (для пассивного элемента) напряжение убывает
при увеличении тока или на участке внешней характеристики
(для активного элемента) напряжение повышается с увеличением
тока, то дифференциальное сопротивление линейной схемы заме-
щения получается отрицательным (рис. 7.33). Это означает, что
в схеме замещения отрицательное сопротивление эквивалентно
генератору электрической энергии. В случае пассивного нели-
нейного элемента энергия, потребляемая элементом схемы (в виде
э.д.с.), частично возвращается через отрицательное сопротивление
в цепь. В результате этого от внешнего источника потребляется
16* 243
энергия, определяемая мощностью UI. Такое перераспределение
энергии обусловлено различием свойств элементов схемы в виде
э.д.с. и сопротивления, которые должны отображать свойства
нелинейного элемента на данном участке вольтамперной харак-
теристики.
После выполнения линеаризации схема получается линейной.
К ней применимы все изложенные выше правила упрощения
расчетов.
Если при линеаризации вольтамперной характеристики иско-
мый рабочий режим был выбран приближенно, то после выпол-
нения расчета необходимо проверить правильность решения и
убедиться, что рабочий режим каждого нелинейного элемента
соответствует тому участку вольтамперной характеристики, кото-
рый с достаточной точностью может быть заменен принятой каса-
тельной (спрямленной характеристикой). Если проверка .показы-
вает, что возможность такой замены сомнительна, т. е. действи-
тельный рабочий режим достаточно далек от принятого, то сле-
дует повторить расчет при другом спрямлении характеристики
с помощью касательной, проведенной в другой рабочей точке,
более соответствующей найденному режиму. После повторного
расчета требуется и повторная проверка. В случае достаточна
сложных схем решение может получиться весьма громоздким
и не всегда сходящимся (с постепенно уменьшающейся погреш-
ностью).
Если рабочий режим нелинейных элементов задается из ка-
ких-либо условий, то нелинейность схемы устраняется автома-
тически, а расчет остальной, линейной части схемы выполняется
по заданным условиям.
В большинстве случаев задача расчета рабочего режима цепи с
нелинейными элементами заметно упрощается, если линейную часть
схемы предварительно заменить эквивалентной, содержащей на-
именьшее возможное число элементов. Так, если в сложной схеме
имеется лишь один нелинейный элемент (ветвь), то всю осталь-
ную— линейную—часть схемы можно рассматривать как актив-
ный двухполюсник и заменить одной э.д.с. и одним сопротивле-
нием. Тогда рабочий режим в упрощенной схеме легко опреде-
лится, например, графическим путем.
Если в сложной схеме имеются только два нелинейных эле-
мента (ветви), то в общем случае остальную—линейную—часть
схемы замещения можно рассматривать в виде активного четырех-
полюсника, который заменяется, например, схемой замещения
в виде трехлучевой звезды. Последующее решение также можно
выполнить графическим путем.
Пример 7.2. Два пассивных нелинейных элемента с заданными вольт-
амперными характеристиками включены в сложную активную линейную
схему. Определить рабочий режим схемы.
244
Решение. Допустим, что первый нелинейный элемент (ветвь) включен
между узлами 1 и 0 схемы, а второй — между узлами 2 и 3 той же схемы.
Будем считать, что линейная часть схемы представляет собой четырех*
полюсник (рис. 7.34). Уравнения состояния этого четырехполюсника, запи-
санные в форме R, имеют следующий вид:
U1 = Uia = <pi — <р0 = ги11 + ri2I2 + г12/2 +
^20 = фа Фо = “Ь ^22^2 “F ^23^3 "Ь ^2’
^30 = Фз— Фо =- '31 G + 2 + Е2.
Поскольку в данном случае /2 =— /2, a U.ia—Uia~U2 равно напряжению'
на втором нелинейном элемен-
те (ветви), то из предыдущих
уравнений
Ut = ruli + (r12—fjs) /2 + £i
и
U(r2i—rsi) Л + (Л22 + гзз) 4—
— 2r2SZ2 + (Е2 —£j),
так как
ггз ~ г32-
Полученные выражения
являются уравнениями актив-
ного четырехполюсника, с по-
Рис. 7.34
мощью которых определяются
сопротивления трехлучевой звезды и э.д с. (рис. 7.35) в качестве парамет-
ров' схемы замещения четырехполюсника, где е1 — Е1 и е2 = Е2—Et.
Рабочий режим в схеме, показанной на рис. 7.35, находится графиче-
ским путем.
По найденным значениям Ut, /,, U2 и /2 определяется рабочий режим1
в исходной схеме.
Решение возможно и в случаях более сложных схем, однако оно может
оказаться очень трудоемким.
Иногда целесообразно разделить схему замещения на линейную и не-
линейную части (рис. 7.36), связанные между собой в п точках. Такое раз-
деление схем^ особенно целесообразно в том случае, когда нелинейная часть
схемы представлена в виде многолучевой звезды с общей точкой.
Если задаться напряжениями между точками 1 ...п и точкой О, то
с помощью заданных (аналитически или графически) вольтамперных характе-
ристик нелинейных элементов можно определить токи /р /2 ... /п, которые
являются задающими для линейной части схемы (это один из типичных
случаев появления задающих токов как элементов схемы замещения линей-
ной цепи). По этим значениям токов и потенциала одной из точек 1 ... п,
с помощью любого метода расчета линейных схем замещения (включая и
245»»
уравнения многополюсников) можно определить потенциалы остальных
точек 1 ... п, т, е. напряжения на нелинейных элементах. После этого про-
изводится первое приближение и последующие—до получения приемлемой
точности расчета.
В тех случаях, когда
I Фа — ф/1 < I Ф< I
И
|ф|—ф/1 < I ф/1.
где i и / — текущие номера точек соединения линейной и нелинейной частей
схемы, итерационный процесс получается сходящимся
При условии, что
1ф<— Ф/К1Ф/1 и I Ф/~Ф/[^1ф/|.
сходимость получается достаточно быстрой.
Пример 7.3. Линейная часть схемы определяется следующими уравне-
ниями четырехполюсника в относительных единицах:
<₽, = <₽,+ 0,10/2+ 0,03/, 1
Ф, = <р, + 0,05 /2 + 0,07 /, / ’
Нелинейная часть схемы состоит из трех элементов с заданными вольт-
ампериыми характеристиками в относительных единицах (при тех же базис-
ных условиях) в виде .уравнений:
1 1 1
Ф1=г; Ф.^-s-; ф»=-тг- (б)
1 г s
Определить рабочий режим схемы, если известно, что <р, = 1.
Решение. В нулевом приближении можно предположить, что
Фа = Фз= 1 •
В этом случае из (б) получается
/, = /,= /»=!.
При этом потенциалы определяются из (а) в первом приближении:
ф2= 14-0,1 +0,03= 1,13,
(ps= 1+0,05 + 0,07= 1,12
Тогда из (б) в первом приближении
/, = 1, 7,= r-J =0,957, /,=-=L= = 0,94.
j/1,13 K1J2
246
Затем из (а) во втором приближении
а из (б)
<р2 = 1 + 0,10 0,957 + 0,03 • 0,94 = 1,124,
<р» = 1 +0,05-0,957 + 0,07-0,94 = 1,114
/1= 1, /2 = 0,954, /2 = 0,942.
Дальнейшее уточнение можно ие производить, так как полученный
результат является приемлемым для практических целей.
Отметим особенности, связанные с моделированием нелинейных схем.
В случае нелинейных цепей к приведенным выше условиям подобия
линейных электрических цепей, следует добавить подобие нелинейных внеш-
них и вольтамперных характеристик. Если
для цепи-оригинала какой-то элемент
имеет характеристику
U4U),
то соответствующий элемент цепи-модели
должен иметь характеристику
(mJ).
Тогда в выбранных масштабах рабочий
режим цепи-модели должен быть подобен
рабочему режиму цепи-оригинала.
Следует иметь в виду, что при моде-
лировании, так же как и при расчетах
аналитическими и графическими методами,
нет необходимости в соблюдении подобия
характеристик на всем известном диапазоне
возможных значений параметров режима.
Достаточно иметь подобие иа той части
характеристики, которая соответствует исследуемому режиму. Поэтому при
моделировании можно использовать неполное подобие (только на определен-
ном участке характеристик)^ последующей проверкой соответствия приня-
тых характеристик действительным в зонах рассматриваемых режимов.
В некоторых случаях приходится пользоваться аппроксимированной
характеристикой, полученной путем замены действительной характеристики
участками прямых (кусочно-лииейная аппроксимация). В виде примера на
рис. 7.37 показана такая аппроксимация.
§ 7.7. Расчет разветвленных нелинейных цепей
итерационным методом;
понятие о нелинейных многополюсниках
Для расчета цепей с нелинейными элементами часто применяется приб-
лиженный способ решения нелинейных алгебраических уравнений, называе-
мый методом итерации. Для выяснения сущности этого метода следует
прежде всего рассмотреть произвольную схему с одним нелинейным элемен-
том, изображенную на рис. 7.38, а, на которой источник с э.д.с. е и сопро-
тивлением гв заменяет линейную часть цепи произвольной конфигурации.
Прежде всего необходимо иайти условия, при которых сходится итерацион-
ный процесс для двух различных значений сопротивления гв и для двух
нелинейных элементов с разными вольтампериыми характеристиками.
Пусть э.д.с. е и сопротивление гв имеют такие значения, при которых
внешняя характеристика эквивалентного источника изображается прямой tg,
а вольтамперная характеристика нелинейного элемента имеет вид кривой 1
247
(рис. 7.38, б). Рабочий режим в цепи при указанных условиях определяется
точкой а. Для того чтобы найти методом итерации напряжение и ток в цепи,
задаются напряжением U, например, равным е, и по кривой 1 находят ток I
(рис. 7.38, б). Затем, по уравнению
U=e-r„I=F(U), (7.1)
определяют уточненное значение напряжения, что соответствует иа рис. 7.38, б
переходу из точки р в точку д. После этого по вольтамперной характери-
стике находят новое значение
тока (точка s), а затем по урав-
нению (7.1) определяют уточнен-
ное значение напряжения U и
т. д. Из рис. 7.38,6 непосред-
ственно следует, что итерацион-
ный процесс в этом случае схо-
дится .
Можно показать (в курсе ма-
тематики это положение доказы-
вается), что условие сходимости
требует, чтобы в окрестности
искомого корня (точка а) абсолют-
ное значение производной | F' (U)
было меньше единицы и, следо-
вательно, чем меньше значение
| F' (U) |, тем быстрее сходится
процесс. После дифференцировав
ния (7.1)
dF (U) _ di _ rB
dU ~ fBdU~ гя
И
I—7-1 <1- (7.2)
T ак как дифференциальное сопро-
тивление гд определяется в неко-
тором масштабе величиной tga,
а сопротивление гв в том же
масштабе—величиной tg 0 (рис.
7.38, б), то в окрестности точки-
а условие (7.2) выполняется.
Другая схема вычислений определяется уравнением
е—Ц
'в
= Г(/).
(7.3)
/ =
В этом случае задаются током / и по кривой 1 находят значение напряже-
ния U, а по формуле (7.3)—уточненное значение тока. Затем с помощью
вольтамперной характеристики 1 находится новое значение напряжения
и т. д.
Если применить эту схему вычисления для определения тока и напря-
жения, соответствующих режиму в точке а, то можно показать, что итера-
ционный процесс расходится.
Однако легко убедиться, что с помощью второй схемы вычислений можно
найти методом итерации ток и напряжение, соответствующие режиму
в точке b (рис. 7.38, б) при сопротивлении гв значительно большем, чем при
режиме в точке а. В этом случае условие сходимости запишется следующим
образом:
idf(/)| i d /e-oxi । at; (7«
| di r|d/ I ГВ Я1 d/ I '
248
Если в схеме, изображенной на рис. 7.38, а заменить нелинейный элемент
другим, с вольтамперной характеристикой 2 (рис. 7.38, б), то нетрудно за-
метить, что схема вычисления и условия сходимости итерационного процесса
для точек с и d остаются соответственно такими же как и для точек а и Ь.
При этом сходимость итерационного процесса, например в точке d, прохо-
дит медленнее, чем в точке Ь, так как отношение — — в этой точке лишь
I I
немного меньше единицы.
Чтобы сделать некоторые обобщения, необходимо рассмотреть еще две
схемы вычислений, непосредственно вытекающие из уравнения, аналогич-
ного закону Ома, т. е.
О
/ = 7^7(7) = f(/)’ <7'5>
где г (I) — статическое сопротивление нелинейного элемента. Для примене-
ния этой формулы целесообразно предварительно построить характеристику
r(Z) — УАВ-. Последовательность расчета в этом случае непосредственно-
следует из уравнения (7.5). При указанной схеме вычислений условия сходи-
мости находятся путем дифференцирования обеих частей уравнения (7.5), т. е.
drO)
|df(OI df
I d/ | [rB + r(/)]2
(7.6)
Чтобы получить удобное выражение для оценки условий сходимости, сле-
дует установить связь между статическим г(/) и дифференциальным гя (/)>
сопротивлениями нелинейного элемента в виде соотношения
откуда
dr (1)_гл —
dl /
Если полученное выражение подставить в уравнение (7.6) и учесть
при этом (7.5), то
|'д (/)-'(/) I
I Гв+г(П П
(7.8>
Из рис. 7.39 непосредственно следует, что для вольтамперных характеристик
с положительным сопротивлением гд (/) и с уменьшающимся статическим
сопротивлением г (/) (кривая (Л) дифференциальное сопротивление меньше-
статического, а абсолютное значение разности | гд (I)—г (/) | всегда меньше-
г(1). Поэтому условие сходимости (7.8) выполняется при любом значении
сопротивления тв. Аналогичным путем можно показать, что для вольтампер-
ных характеристик с возрастающим статическим сопротивлением г (U) (кри-
вая U2 (/2)) расчетное уравнение должно быть составлено относительно напря-
жения на нелинейном элементе, т. е.
(/(/) =
er (U)
гв + г (И)
(7.9)
При этом условие сходимости получается аналогично (7.6) и записывается
в виде;
Гв |/д(Ц)
rB + r(U)
< 1,
(7-Ю>
24»
Для вольтамперных характеристик с положительным сопротивлением
гд (U) и возрастающим сопротивлением г (U) статическое сопротивление
меньше дифференциального, отношение ' всегда меньше единицы
(рис. 7.39). Поэтому условие сходимости выполняется так же, как и (7.8),
при любом сопротивлении гв. Быстрота сходимости итерационного процесса
зависит от вида вольтамперных характеристик, выбора начальных прибли-
жений и величины сопротивления гв. Однако основным фактором, опреде-
ляющим решение нелинейных уравнений методом итерации, является способ
составления расчетных уравнений
Рис. 7.40
Поскольку в указанных схемах вычисления (7.5) и (7.9) итерационный
процесс.сходится при любом значении сопротивления гв, то это дает воз-
можность применить данный способ для расчета сложной разветвленной
цепи с любым числом нелинейных элементов.
На рис. 7.40, а показан одни нелинейный элемент г2(Г), присоединен-
ный к зажимам разветвленной активной нелинейной цепи (условно обозна-
ченной прямоугольником с буквами АН), с э.д.с., не зависящими от токов.
Такую активную нелинейную цепь можно представить в виде активного
250
двухполюсника с эквивалентной э. д. с. е и нелинейным элементом (/)
(рис. 7 40, б). В результате получается иеразветвленная схема с двумя не-
линейными элементами.
Для иллюстрации изложенной методики расчета целесообразно рас-
смотреть численный пример. На рис. 7.41 изображены вольтамперные ха-
рактеристики нелинейных элементов, показанных на схеме рис. 7.40, б.
Пусть э.д.с. е=10в; требуется определить ток / и напряжения на участ-
ках итерационным способом, применяя расчетные уравнения (7.5) и (7.9).
Пользуясь (7.5), можно написать для схемы (рис. 7.40, б) следующее выра-
жение:
/ _ е _ 10
где s—порядковый иомер приближения.
Расчет по этой формуле с помощью вольтамперных характеристик
(рис. 7.41) приведен в табл. 7.1.
Таблица 7.1
9 h, а U28» в (из харак- теристики) , -и» ом в (из харак- теристики) /в , ОМ /93 + Г И» ОМ h + i. а
0 0,400 5,30 13,25 0,80 2,00 15,25 0,655
1 0,655 6,55 10,00 1,35 2,06 12,06 0,827
2 0,827 7,25 9,00 1,95 2,36 11,36 0,880
3 0,880 7,40 8,41 2,15 2,44 10,85 0,920
4 0,920 7,50 8,15 2,30 2,50 10,65 0,940
5 0,940 7,55 8,04 2,40 2,56 10,60 0,940
251
Из данных этой таблицы видно, что итерационный процесс довольно
быстро заканчивается, несмотря на ухудшение условий сходимости из-за
влияния нелинейного сопротивления ris. При этом получаются значения
тока и напряжений на участках, практически совпадающие с величинами,
найденными графическим способом на рис. 7.41.
Одновременно с этим можно показать, что при расчете напряжения Ut
по формуле
U ______ erss (О г)________ 1 ®r2s (^2)
2 W+,) “rls (UJ + r2S (U2) - rls ((A) + r2S(U2)
получается расходящийся процесс, что видно из табл. 7.2.
Таблица 7.2
S U 2S> 6 Is. а (из характе- ристики) Г1‘~П7’ ОМ Uiit в (из характе- ристики) О II ч= Из + riS, ом У2 (» + !)• ®
0 6,00 0,52 11,5 1,05 2,00 13,50 8,55
1 8,55 1,50 5,7 7,00 4,66 10,36 5,50
2 5,50 0,43 12,8 0,80 2,00 14,80 8,65 1
3 8,65 1,60 5,4 12,00 7,50 12,10 4,18
4 4,18 0,26 16,1 0,40 2,00 18,10 8,90 1
Однако, если применить расчетное уравнение (7.9) для определения напря-
жения U1 на нелинейном элементе с возрастающим сопротивлением г1(и1)
(рис. 7.40,6), то итерационный процесс сходится. Действительно, расчетное
уравнение в этом случае
eriS(Ui) 10^u(^i)
*W+,) + +
Пользуясь этим уравнением и вольтамперными характеристиками
и (рис. 7.39), легко составить табл. 7.3.
Таблица 7.3
S <71$, в Zs. а (из характе- ристики) 7 S ОМ в (из характе- ристики) ОМ г13 + газ» ОМ 1
0 7,00 1,50 4,67 8,50 5,67 10,34 4,50
1 4,50 1,30 3,46 8,25 6,35 9,81 3,53
2 3,53 1,19 2,96 8,10 6,80 9,76 3,04
3 3,04 1,09 2,79 7,90 7,25 9,92 2,69
4 2,69 1,00 2,69 7,70 7,70 10,39 2,59
5 2,52 0,99 2,61 7,65 7,73 10,34 2,52
6 2,52 0,98 2,57 7,6q 7,77 10,34 2,49
Из данных этой таблицы видно, что итерационный процесс практически
заканчивается после шестого приближения.
252
Пример 7.4. На рис. 7.42 изображена мостовая схема с двумя нелиней-
ными элементами г, и г2 (12). Вольтамперные характеристики для этих
нелинейных элементов приведены на рис. 7.43. Определить итерационным
методом токи в ветвях с нелиней-
ными элементами и напряжения на
их зажимах.
Решение. Пользуясь методом
контурных токов, можно записать
для этой схемы (рис. 7.42) следую-
щие уравнения:
rs) Л + 'Va—(rs + rs) Л= —Uv
(Г4+ fs) 12-(Г*+ Гs) ^S = ^2>
-(rs + rs)A--(Г4+Г»)Л +
+ (rs + ri + rs + r) Ц =
где Z1( Is и I,— контурные токи.
Если выразить контурный ток
I, из третьего уравнения и подста-
вить его значение в первое и второе,
то после небольших преобразований:
(>'> + >'») г г5г—r3rt __ __£s+2j_________________,
rs + r3-\- r5 r 1 + Л4“Г rs r 2 Ts4-r4+rs4-A
rsr r2ri J i (г4 + ^з) (r» + r) I _ ra+ rs________
rt+rt + r^+r r3 + rt+rs + r 2 fs + '-i + 's+'
Подставив в эти уравнения числовые значения сопротивлений и э.д.с.
можно получить:
| Л—Jz2=i6-(yj(
71+|z2 = 8-t72I
253
откуда
А = 7,2 —0,47/, —0,1(/2,
Л = 4,8—0,Ш,— 0,4Уг.
Так как статическое сопротивление г, (/,) первого нелинейного элемента
убывает с увеличением тока, а статическое сопротивление г2(1/2) второго
нелинейного элемента возрастает при увеличении тока, то для обеспечения
сходимости итерационного процесса необходимо получить расчетные уравне-
ния для тока 7, и напряжения U2.
Из уравнений, определяющих токи I, и 72, легко получить:
г___________________________7,2 + 2,4r„ (U2)___________
*“+1) i+o,4[r1J(/1)+r„({72)]+o,i5rlf(71)r2,(f/l)’
и 4,8T2J({72)+l,2ru(/1)rw(g2)
2(‘+*> 1 + 0,4 [ru (7,) + г2,(1/2)] + 0,15г,, (/,) Гы ({/,)
С помощью этих уравнений составлена расчетная табл. 7.4.
Таблица 7.4
S ht, а U ft, в (из характе- ристики) ОМ и», « Z21, а (из характе- ристики) г -Ч» ОМ (s+iy а ^2 tS + l)’ в
0 1,20 9,7 8,07 8,00 1,86 4,30 1,57 5,57
1 1,57 10,6 6,75 5,57 1,58 3,52 1,81 5,23
2 1,81 11,0 6,07 5,23 1,52 3,44 1,94 5,25
3 1,94 11,3 5,83 5,25 1,53 3,43 2,01 5,25
4 2,01 11,4 5,67 5,25 1,53 3,43 2,04 5,25
Из данных этой таблицы видно, что итерационный процесс практически
заканчивается после четвертого приближения.
Любую цепь с нелинейными элементами можно рассматривать присое-
диненной к зажимам источника питания в двух произвольно выбранных
точках. В этом случае зависимость тока в источнике питания от напряже-
ния иа его зажимах определяется уравнением двухполюсника (который
может быть как пассивным, так и активным), т. е его вольтамперной ха-
рактеристикой:
U = rl—e=f (7),
где г = и е = )2(7) определяют лишь разные формы преобразования
энергии.
Пример 7.5. Определить параметры цепи (рис. 7.44, а), рассматривая ее
относительно зажимов а — Ь в качестве активного нелинейного двухполюс-
ника (рис. 7.44, б).
254
Решение. Допустим, что r1 = rt=2oM, г2 = г2(/2) = (5 + 0,5/2) ojh
и /о=1Оа. Тогда параметры активного двухполюсника:
г = ^ + ^ + ^(7) = 2 + 2 +5 +0,5 (/—10) = 4+ 0,5/;
е(/) = г2/0= 10-5 + 0,5 (/ — 10) 10 = 5/.
На
график
рис. 7.45 показаны графики этих параметров. В ряде случаев
U (/) = г/—е = —/ + 0,5/2
можно рассматривать как вольтамперную характеристику активного двух-
полюсника в целом, без разделения ее на характеристики отдельных эле-
ментов (если не рассматри-
вается характер энергетиче-
ских процессов в цепи).
Уравнения активного че-
тырехполюсника при наличии
нелинейных элементов остают-
ся прежними:
I/, = гпЛ + г12<г + е1 — fi (Л- Л)
и
Д2 = r2j/j + Г22^2 + ^2 fa(^2t /1) •
Однако пассивные и актив-
ные параметры такого четы-
рехполюсника являются функ-
циями задающих токов.
Таким образом, нелиней-
ный четырехполюсник опреде-
ляется семейством вольтампер-
иых характеристик.
Пример 7.6. Определить
параметры активного четырех-
полюсника, показанного на рис. 7.46, если г, = 1ол, гг = 2ом, г, = 5 + 0,5/„
1а— 10 а.
Решение. Для схемы, изображенной на рис. 7.46, можно записать:
Ux = г, (I. + /2— /„) + г,/, = [5 + 0,5 (/, + /2- 10)] (/, + /2- 10) + /, =
= [ 1 +0,5 (/1 + /2)] /, + 0,5 (/, + /2) /2—5 (/, + /2)
^2 — Г» (Л + Л-^о)+Г272 =
= [5 + 0,5 (/,+ /2-10)1 (Л + 1г~
- 10)+ 2/2 = 0,5 (/, + /,) /,+
+[2 + 0,5 (/, + /2)]/2-5(/, + /2).
Из этих уравнений следует, что
Гц = 1 + 0,5 (/, + /2),
ri2 — ги — 0,5 (Л + Л),
г22 = 2 + 0.5 (/, + /2),
e, = e2=—5(/, + /2).
Однако параметры того же
четырехполюсника можно предь
ставить без их разделения:
I/, = 0,5 (/, +/2)2—4/,—5/2 и
<72=0,5 (/, + /2)2-3/2-5/,.
255
Аналогично предыдущему, многополюсники с нелинейными элементами
можно характеризовать теми же параметрами, что и линейные. При записи
уравнений нелинейных многополюсников в форме 7? параметры являются
функциями всех задающих токов (токов на границах—у полюсов). В ряде
случаев возможно определение напряжений у границ с помощью обобщен-
ных функций в виде вольтамперных характеристик, без разделения пара-
метров.
§ 7.8. Некоторые особенности решения нелинейных задач
В отличие от линейных цепей, нелинейные цепи в ряде случаев не
имеют однозначного состояния при заданных условиях, достаточных для
решения линейной задачи. Наиболее наглядно неоднозначность решения
в случае нелинейных задач обнаруживается при графическом методе рас-
чета. Так, например, в случае элек-
трической цепи, связанной с магнит-
ной цепью, возможно несколько ус-
тановившихся состояний дая^е при
источнике питания, обладающем
линейными свойствами.
Г,
Рис. 7.48
Рис. 7.47
Неоднозначные решения возможны и в случае однозначной вольтампер-
ной характеристики нелинейного элемента, иапример при наличии в цепи
электрической дуги (см. рис. 7.49, кривая Н2 = Л(^))-
Теоретически возможно и неопределенное решение. В схеме, содержа-
щей отрицательное сопротивление гд2 (рис. 7.47), возможны случаи, когда
решение получить нельзя. При условии, что ^ = «2 и ri = —гд2, Уравнения
состояния удовлетворяются при любых значениях тока в цепи. В таком
случае внешняя характеристика совпадает с вольтамперной характеристи-
кой приемника электрической энергии н любую точку этих характеристик
можно рассматривать как точку их пересечения Практически это не пред-
ставляет существенного интереса, так как параметры нелинейного элемента
не остаются постоянными, а при других параметрах решение имеет место.
Возможен случай, когда не получается пересечения внешней характе-
ристики источника питания с вольтамперной характеристикой приемника
электрической энергии (рис. 7.48). Практически это означает, что рабочий
режим установится не при тех физических состояниях нелинейных элемен-
тов, которые были предусмотрены в случае построения вольтамперных ха-
рактеристик, а каких-то других. Обычно эти состояния получаются за
пределами рассматриваемой области возможных режимов или при других
условиях преобразования энергии.
256
Теоретически решение, полученное в любой форме для нелинейной цепи,
не всегда осуществимо, т. е. ие всегда соответствует физически возможному
состоянию. Некоторые решения оказываются неустойчивыми. На рис. 7.49, а
показана неразветвленная схема, а иа рис. 7.49, б — вольтамперные харак-
теристики для ее линейного и нелинейного (/2 = /2(/) элементов,
а также внешняя характеристика источника электрической энергии с по-
стоянным напряжением U.
Суммарная вольтамперная характеристика U=f(I) для пассивных
элементов имеет (/-образный характер. Поэтому для некоторых значений
приложенного напряже-
ния U получаются два
решения (рис. 7.49, б),
соответствующие точкам
а и Ь. Однако по мере
снижения величины на-
пряжения U эти реше-
ния сближаются, и в
точке с получается одно
значение, при котором
справедливы следующие
соотношения:
dU ' di
— =0 ИЛИ 577 со.
di du
В этой точке работа це-
пи оказывается неустой-
чивой, так как неболь-
шое отклонение режима
может привести к тому,
что даже при восстанов-
лении прежних парамет-
ров путем устранения
возмущения, вызвавшего
отклонение, исходный
режим не восстанавли-
вается, и устойчивость
режима нарушается.
В рассматриваемом случае ветвь ас суммарной характеристики является
неустойчивой, а ветвь Ьс—устойчивой. Это означает, что если даже каким-
либо искусственным способом создать режим, соответствующий точке а, то
ои при малейшем отклонении сразу переходит или в точку Ь или стремится
к режиму, когда ток в цепи равен нулю. Действительно, если ток (соот-
ветствующий режиму в точке а) возрастет вследствие тех или иных причин
на Д/ (рис. 7.49, б), то напряжение источника окажется больше необходи-
мого напряжения на элементах цепи на Д(/,, в результате чего ток в цепи
возрастет до величины /2, так как только при этом напряжение источника
равно суммарному напряжению иа элементах цепи. При уменьшении тока
Л на Д/ напряжение источника становится меньше напряжения на элемен-
тах цепи; поэтому происходит дальнейшее уменьшение тока. Таким образом,
даже при незначительном увеличении или уменьшении тока, что всегда
возможно в реальных условиях, в точке а возникает неустойчивый режим.
Совершенно иные соотношения имеют место в точке Ь (рис. 7. 49, б).
Если ток /2 уменьшится на Д/, то, вследствие превышения напряжения
источника над напряжением на элементах цепи на величину Д(/2, величина
тока снова возрастет до прежнего значения /2. При увеличении /2 на AZ
напряжение источника становится меньше суммарного напряжения на
17 Теоретические основы электротехники, ч. 1
257
элементах цепи на &U’2, в результате чего ток в цепи уменьшится до прежнего
значения 12. Следовательно, в точке b режим будет устойчивым. Здесь не-
обходимо особо подчеркнуть, что при линеаризации вольтамперной характе-
ристики, приведенной на рис. 7.49, б, дифференциальное сопротивление
d(7-
Г,1г=~ЛГ полУчается отрицательным, что является наиболее характерным
признаком для всех нелинейных элементов с падающей характеристикой.
Поэтому в точке с (/-образной кривой (рис. 7.49, б) суммарное сопротивле-
ние г_2 + г.=0 или гп2 =—Гц что в частности следует из выражения
d,U д
-0. При изменении тока в пределах неустойчивой части (/-образной
кривой от /, до /0 (ветвь а—с) суммарное сопротивление + т. е.
имеет отрицательное значение; при изменении тока в той же цепи в преде-
лах от /„ до /2 (ветвь с—Ь) это сопротив-
ление ''д2 + г1>0, т. е. имеет положи-
тельное значение. Таким образом, неу-
стойчивый режим наблюдается в том
случае, когда суммарное сопротивление
неразветвленной цепи имеет отрицательный
знак:
-Hi до-
полученные соотношения можно рас-
пространить и на более сложную схему,
если применить теорему об активном
двухполюснике к линеаризованной цепн.
С этой целью следует заменить путем
линеаризации вольтамперные характери-
стики всех нелинейных элементов развет-
вленной схемы эквивалентными э. д. с. и
дифференциальными сопротивлениями (рис.
7.31); кроме того, для проверки устойчи-
вости необходимо выделить из заданной
схемы один элемент, например, i-ю ветвь с сопротивлением г(-. При этом
сопротивление /-й ветви может быть как линейным, так и дифференциаль-
ным, полученным с помощью линеаризации.
Если соответствующим преобразованием заменить всю схему по отноше-
нию к зажимам 1-й ветви активным двухполюсником с э.д.с. ex = Ux и
дифференциальным входным сопротивлением гд-в (рис. 7.50), до на основа-
нии теоремы об активном двухполюснике можно записать быражение для
определения тока в виде:
ех
'д.в + 'У
Если в схеме, изображенной на рис. 7.50, э. д. с. ех равна постоянной
величине, отличной от нуля, а направление тока совпадает с заданным
направлением напряжения (Ух = ех, то при гд. в=—ri ток Ц стремится
к бесконечности, что соответствует одной из точек неустойчивого режима.
В этом случае, так же, как и в предыдущем, устойчивый режим характе-
ризуется неравенством гд,п + г,->0; при этом условии имеется полное соот-
ветствие между правой и’ левой частями равенства:
ех = (^д.в 4- П)*
Условием неустойчивости режима является z;l. в + '7<0> при котором
уравнение ех = /(- (гд> в + г,-) нарушается, так как в случае неизменной поло-
жительной левой части этого равенства его правая часть приобретает отри-
цательное значение, что противоречит условию создания тока /;.
258
§ 7.9. Уравнения состояния для магнитных цепей
и аналогия с электрическими цепями
В современных электрических машинах, трансформаторах,
электромагнитных аппаратах, механизмах и приборах для уве-
личения магнитного потока в определенной части пространсгва
используется ферромагнитный материал Совокупность таких
устройств, содержащих ферромагнитные тела, предназначен-
ные для создания с
помощью намагничи-
вающей (магнитодви-
жущей) силы магнит-
ного потока в опре-
деленной части про-
странства, называют
магнитной цепью.
Как известно,
магнитное поле ха-
рактеризуется векто-
ром магнитной ин-
дукции В, связанным
с векторами намаг-
ниченности J и на-
пряженности магнит-
ного поля Н для одно-
родной среды следую-
щими соотношения-
ми:
Абсолютная маг-
нитная проницае-
мость вещества ц.а =
в
=р.цо = - зависит от
строения и магнитного состояния вещества и в общем слу-
чае—от напряженности магнитного поля. Эта зависимость для
ферромагнитных материалов не имеет точного аналитического
выражения и поэтому ее изображают для каждого ферромагнит-
ного материала в виде кривой намагничивания, определяемой
опытным путем. На рис. 7.51 показаны основные кривые намаг-
ничивания некоторых марок электротехнических сталей: /-Э11,
2-Э31, 3-Э42, 4-Э45.
Если ток в обмотке кольцевого сердечника, изготовленного
из ферромагнитного материала, плавно изменять в пределах от
/макс до — 7мавс и от —/мавс до /макс, ТО зависимость индукции
17*
259
or напряженности магнитного поля получается в виде петли,
называемой петлей гистерезиса. Такая петля в первом цикле
намагничивания и размагничивания будет незамкнутой. При
повторных изменениях тока в тех же самых пределах получается
ряд петель, которые в начале отличаются друг от друга. После
ряда циклов получается устойчивая петля (рис. 7.52). Каждый
из отрезков, отсекаемых петлей
на оси ординат, определяет
остаточную индукцию (Во и
— Во), а каждый отрезок,
отсекаемый той же петлей на
оси абсцисс, — задерживаю-
щую (коэрцитивную) силу
Н3, —Н3. Часть петли, ле-
жащая во втором квадранте,
ограниченная изменением
индукции от Ч-Во и Н = 0
до В = 0 и Н - — Н3,
называется кривой размагни-
чивания. ЭТОЙ КрИВОЙ ПОЛЬ4
зуются при расчете постоян-
ных магнитов. Основные
кривые намагничивания пред-
ставляют собой геометриче-
ские места вершин замкну-
тых гистерезисных петель
при различных максималь-
ных значениях тока /маКс-
При расчете цепей с по-
стоянными магнитами поль-
зуются частными гистерези-
сными циклами, одна из вершин которых лежит на кривой
размагничивания. Обычно петли этих циклов очень узкие и в
расчетах могут быть заменены прямыми линиями, проходящи-
ми через вершины частных гистерезисных циклов.
Как уже указывалось ранее, уравнения состояния магнитной
цепи получаются аналогичными уравнениям состояния электри-
ческой цепи, если принять следующие соответствия:
e<r+F, /<->Ф,
Здесь F—намагничивающая или магнитодвижущая сила, равная
полному току (сумме намагничивающих токов);
Ф — магнитный поток, определяемый в случае равномер-
ного поля по формуле:
Ф = ВЗ;
RM—магнитное сопротивление.
260
Для однородных участков магнитной цепи с равномерным
магнитным полем магнитное сопротивление
р _ *
м №«S ’
где I—длина участка,
S — поперечное сечение участка.
В более общем случае
р___С dl
м J ’
О
При этом рро = Л(0 и S = /(/).
Узловое уравнение вида2Ф = 0> выражающее первый закон
Кирхгофа для магнитных цепей, отражает непрерывность маг-
нитного потока и формулируется следующим образом: алгебраи-
ческая сумма магнитных потоков в узле магнитной цепи рав-
няется нулю.
Контурное уравнение вида
выражает второй закон Кирхгофа для магнитной цепи: алгебраи-
ческая сумма намагничивающих (магнитодвижущих) сил в кон-
туре магнитной цепи равна алгебраической сумме магнитных
напряжений в том же контуре.
Для расчета магнитную цепь можно заменить или моделировать
эквивалентной электрической схемой. Если электрическая цепь мо-
жет быть составлена из специально подобранных проводников,
причем окружающая среда (воздух) не является (в нормальных
условиях) проводником, то магнитная цепь, хотя и составляется из
отдельных участков, в большей или меньшей мере включает и
окружающую среду, где магнитное поле (поле рассеяния) обра-
зуется независимо от его надобности. Можно только уменьшить
его относительное значение, выполняя магнитную цепь из мате-
риала с более высокой магнитной проницаемостью и не допуская
в ней заметных зазоров. Тогда в воздухе создаются параллель-
ные пути прохождения магнитного потока со значптгльно боль-
шими магнитными сопротивлениями.
Магнитная цепь обладает одним важным свойством—возмож-
ностью создания распределенной намагничивающей силы с за-
данным законом распределения. Если достигнуть условия, при
котором вдоль магнитной цепи
dF = ®dRK,
то в параллельных путях окружающего цепь пространства может
не возникнуть магнитное поле. Например, кольцевой сердечник,
выполненный из однородного материала с равномерно распре-
деленной обмоткой (рис. 1.10), не имеет заметного внешнего
261
магнитного поля. Поэтому магнитный поток, замыкающийся по
сердечнику внутри витков обмотки
ф=Ч^>
ццо-S
где величина должна соответствовать значению
о_Ф
В~ S ’
В этом случае должно быть
так как при невыполнении этого неравенства магнитная индук-
ция и абсолютная магнитная проницаемость будут изменяться
по сечению кольцевого сердечника.
Обычно условие dF = &dRM не выполняется. Поэтому даже
при неизменном поперечном сечении магнитной цепи магнитный
поток в ней не остается неизменным по длине, а следовательно,
1
и формула RM
оказывается неприменимой. Такую магнит-
ную цепь можно рассматривать в виде цепи с распределенными
параметрами (закон этого распределения, как правило, заранее
неизвестен).
В реальных условиях участие окружающей среды существенно
усложняет картину магнитного поля даже в случаях сравни-
тельно простых форм магнитных цепей, сближая задачу расчета
цепи с задачей расчета поля, и вынуждает в большинстве слу-
чаев идти на те или иные упрощения решения.
Поскольку наиболее простыми и дешевыми материалами для
магнитных цепей с относительно большой магнитной прони-
цаемостью являются электротехнические стали, обладающие
нелинейными характеристиками, то и магнитная цепь в целом, как
правило, получается нелинейной.
Во многих случаях магнитные цепи имеют воздушные (или
другие немагнитные) зазоры. В связи с резким различием в зна-
чениях |ia = |4i0 для воздуха и электротехнической стали, даже
при значительно большей длине ферромагнитного участка по
сравнению с длиной воздушного зазора, большая часть намаг-
ничивающей силы обычно связана с наличием воздушных зазо-
ров. Поэтому ошибки, которые вносятся неточностью учета
влияния полей рассеяния, получаются небольшими.
Искусственные магнитные цепи имеют сравнительно неболь-
шие размеры и составляют мало разветвленные магнитные цепи./
Магнитные участки цепей отличаются разнообразием пара-
метров и характеристик, обусловленным различием в химическом
составе материала, технологией его производства, условиями
термической и механической обработки и т. д.
262
§ 7.10. Графические методы расчета неразветвленных
и разветвленных магнитных цепей
Вследствие нелинейной связи между индукцией и напряжен-
ностью магнитного поля, расчеты цепей из ферромагнитных
материалов обычно ведут графоаналитическими (графическими)
методами, аналогично методам расчета нелинейных электрических
цепей соответствующей конфигурации.
При расчете обычно считают неизвестными геометрические
размеры всех участков магнитной цепи, материалы, из которых
они изготовлены, основные кривые намагничивания и числа
витков катушек.
В магнитных цепях, составленных из магнитно-мягких мате-
риалов, не содержащих постоянных магнитов, гистерезисом можно
пренебречь и считать зависимость индукции от напряженности
магнитного поля однозначной и определяемой кривой намагни-
чивания. При этом магнитная цепь делится на участки с посто-
янными поперечными сечениями $(, S, и т. д и приблизительно
равномерными магнитными полями с постоянной магнитной про-
ницаемостью как по длине участка (из одного материала), так
и по поперечному сечению. Далее следует наметить приближенно
среднюю линию магнитной индукции и определить длину каж-
дого участка 12 и т. д. При малых размерах поперечных
сечений сердечников по сравнению с их длиной небольшие не-
точности в определении средних длин не вносят в расчет суще-
ственных погрешностей.
Если затем для каждого из участков магнитной цепи по-
строить кривые Ф = ВЗ — то с такими магнитными харак-
теристиками можно оперировать как с вольтамперными для
участков электрической цепи, так как ВЗ = Ф и Н1 — ФЯЫ.
При расчете неразветвленных магнитных цепей приходится
встречаться с двумя видами задач. В одних задачах возникает
необходимость определять намагничивающий ток по заданному
магнитному потоку, а в других — поток по заданному току или
заданной намагничивающей силе.
В первом случае по заданному магнитному потоку опреде-
ляется магнитная индукция в отдельных участках неразветвлен-
ной магнитной цепи: 5; = ^-, В. = ? и т. д. Затем по известным
значениям магнитных индукций и основным кривым намагничи-
вания для соответствующих материалов находятся напряжен-
ности магнитного поля.
Если одним из участков магнитной цепи является воздушный
зазор и при расчете магнитная индукция задается в гауссах, то
напряженность магнитного поля в зазоре
Нв ( —) = « °-8Sb (гс).
в \см j 4л-10 9 ’ в' '
263
намагничивающая сила
F — lw — HJ, + Н21г -Н ... = 2/7/.
Для определения магнитного потока по заданной намагничи-
вающей силе нельзя воспользоваться «прямым» решением, так
как между потоком и намагничивающим током существует не-
линейная связь. Поэтому решать такую задачу можно прибли-
женным методом. Для этого сначала следует задаться предпола-
гаемым значением магнитного потока, например, Ф', а затем,
так же, как и в предыдущей задаче, найти F' = (ХН1). Если
полученное значение F' совпадает с заданной намагничивающей
силой, то задача решена. Однако такого совпадения после первой
попытки обычно не получается. Поэтому следует задаться дру-
гими значениями магнитного потока Ф", Ф"’ и т. д., определить
соответствующие значения F", F'" и т. д. и построить вспомо-
гательную характеристику (пример 7.8) Ф = /(2///). Затем по
известной намагничивающей силе с помощью указанной харак-
теристики можно сразу определить искомый поток Ф.
Необходимо особо отметить, что на практике не имеет смысла
строить полностью всю кривую Ф — начиная с нулевого
значения потока. Для получения первой точки этой кривой
следует приравнять заданную намагничивающую силу F = Iw
участке с наибольшим магнитным
магнитному напряжению на
сопротивлением, к каковым
чаще всего относятся воздушные
промежутки. Так как другие уча-
стки этой же неразветвленной
магнитной цепи так же, как и
участок с максимальным магнит-
ным сопротивлением, ограничи-
вают магнитный поток, то все
последующие значения, которые
необходимо иметь для построения
кривой Ф = / (£///), должны быть
взяты меньше значения началь-
ного потока.
Пример 7.7. В воздушном зазоре
электромагнита (рис. 7.53) с сердеч-
г, ником, изготовленным из стали марки
"ис- Э-11, требуется создать магнитную
индукцию В=0,8 /пл==8000 гс. Опре-
делить намагничивающую силу, необходимую для получения магнитного
потока с заданной индукцией, если /с = 100 см, 1Е=1 мм; сечение сер-
дечника 5=16 см2 одинаково по всей длине электромагнита.
Решение. На основании закона полного тока намагничивающая силгг
F = //с/с + НВ1В.
Из кривой для стали марки Э11 при В =-0,8 тл — 8 кес, Нс—1,56 afcM.
Напряженность поля в воздушном зазоре
UB = 0,8 8000 = 6400 а'см.
264
Следовательно, намагничивающая сила
F = 1,56-100 + 6400-01 ^:800 а.
Пример 7.8. В условиях предыдущего примера намагничивающая сила
/?=1000а. Считая заданг:ыми геометрические размеры сердечника и кривую
намагничивания, найти магнитный поток, создаваемый в электромагните.
Решение. Для определения магнитного потока необходимо предва-
рительно построить магнитную характеристику в виде кривой ® = f (S/7/).
Первую точку этой кривой проще всего иайти из условия, при котором
магнитное сопротивление стали сердечника равно нулю, т. е.
F = wl = //B/B = 0,8SBZB,
откуда
„ F 1000 1000 ,, г
Вв = 0^ = Д8+Л = бд8 = 12500 гС= 1125 вб Ж 1125 тЛ’
что соответствует магнитному потоку Ф = 200000 мкс = 0,002 вб. По кривой
намагничивания для индукции Вв= 1,25 вб1мг= 1,25 тл находится напря-
женность магнитного поля в сердечнике Нс = 5а]см. Следовательно, намаг-
ничивающая сила F = 100-5+ 1000= 1500 а, что значительно превышает
заданную намагничивающую силу. Поэтому для построения искомой харак-
теристики следует задаваться меньшими значениями потока и индукции,
а по кривой намагничивания находить напряженность магнитного поля,
а затем-—намагничивающую силу. Все расчеты сведены в табл. 7.5.
Таблица 7.5
ф, сб в, тл "с. а', см Нв а см ^В ^в, а + +нп/в=ад, а
0,00200 1,25 5,0 10000 500 1000 1500
0,00176 1,10 3,0 8800 300 880 1180
0,00160 1,00 2,1 8000 210 800 1010
0,00144 0,90 1,85 7200 185 720 905
0,00128 0,80 1,56 6400 156 640 796
По данным этой таблицы
На основании закона полного
на оси абсцисс намагни-
чивающую силу F= 1000«,
из точки b провести пря-
мую, параллельную оси
ординат, до пересечения с
кривой Орди-
ната точки а определяет
поток Ф= 1,57-10-3
ю
При расчете развет-
вленных магнитных це-
пей с несколькими узла-
ми и несколькими вет-
на рис. 7.54 построена кривая —
тока F — wl = 'LHl. Поэтому надо отложить
200 400 600 800 1000 £00 1400 Xhl,a
вями прежде всего
Рис. 7.54
265
необходимо указать направления и величины намагничивающих
сил или задаться их положительными направлениями, если они
определяются. Затем необходимо задаться положительными на-
правлениями потоков и уже после этого переходить к состав-
лению уравнений состояния магнитной цепи.
После получения магнитных характеристик Ф = /(2/Л) для
каждой ветви, состоящей в общем случае из любого числа по-
следовательно соединенных участков с одним и тем же потоком,
можно произвести графический расчет разветвленной цепи соот-
ветствующим способом, оперируя указанными характеристиками
так же, как и при расчете- электрических цепей с нелинейными
элементами. *
Пример 7.9. Разветвленная магнитная система (рис. 7.55), выполненная
из стали марки Э11, имеет две катушки с токами /, = 100 и /2=14«.
Первая катушка состоит из 100 витков, а вторая — из 125. Направления
токов указаны на рис. 7.55 стрелками. Длины средних магнитных линий
отдельных участков /,= Z2 = 46 см; /3 = 24,8сж, /3в = 0,2 см; поперечные се-
чения сердечников S1 = S2 = 30 см2; Ss = SB = 36 см2. Найти распределение
потоков в сердечниках. Потоками рассеяния пренебречь.
Решение. На основании законов Кирхгофа
♦
Ф3=Ф2 + Ф2;
llwl=^H alt + H,l, -j- HiBlav=H Ji + t/SM;
+ #sb^sb = ffsh + ^SM>
где
Цзм = Hsh 4" ^SbGb
магнитное напряжение на третьем участке. Для расчета магнитной цепи
графическим способом необходимо построить вспомогательные характери-
стики: Ф1 = А(/1Ш1 —ДЛ); Ф2 = /2 —^г) и Ф3 = /,(П2М). С этой целью
составляется табл. 7.6.
266 . *
Таблица 7.6
е^8 ф =— , пгл Н^н2, а'см H,Z,= =Н2^2’ IiWi-Hih, а l2w2-H2l2, а ф В3=— , тл ^ЗВ — =<МВ3, а!см н,. а 1см НЗВ^ЗВ, а Н3/3, а 2aW). а
150 0,5 0,95 43,7 956,3 1706,3 0,417 3340 0,80 668 19,8 687,8
210 0,7 1,30 59,8 940,2 1680,2 . 0,584 4670 1,05 934 26,1 960,1
240 0,8 1,55 71,2 928,8 1678,0 0,666 5330 1,22 1066 30,3 1096,3
300 1,0 2,1 96,6 903,4 1653,4 0,834 6670 1,62 1334 40,2 1374,2
360 1,2 4,0 184,0 816,0 1566,0 1,000 8000 2,10 1600 52,1 1652,1
390 1,3 5,8 265,0 735,0 1485,0 1,080 8650 2,30 1730 57,1 1787,1
450 1,5 15,0 675,0 325,0 1075,0 1,250 10000 5,00 2000 124,0 2124,0
510 1,7 63,0 2900,0 — 1900,0 —1150,0 1,415 11320 10,00 2264 248,0 2512,0
По данным табл. 7.6. на рис. 7.56 построены кривые:
Ф1 = А(/1^1—//Л), ф2=Л(/л—я2/2), ф»=Л(^зм).
где ~ I lWl — = ! 2^2 ^2^2 = Н ЗВ^ЗВ 4“ ^8^8*
Так как значения потоков должны удовлетворять первому закону
Кирхгофа 0,4-02 = 0,, то строится еще одна вспомогательная кривая
®i+®2 = fi2 (^sm)'пУтем суммирования ординат магнитных характеристик
ф1=А(^»м) и ®2 = A(^sm) Для одних и тех же значений (7SM. Ордината
точки пересечения кривой (Ф, 4-Ф2) = f12 ((7SM) с кривой O, = fs((7SM)
Ф.К
650-Ю1
'Ф,М
Рис. 7.56
соответствует потоку Os, так как для этой точки справедливы все уравне-
ния, определяющие магнитные состояния данной цепи, т. е.
Л®!---H\ll — ^SbAb 4"
Ф1 + Ф2==Ф3'
Для определения потоков Ф2 и Ф2 необходимо провести через точку а
прямую, параллельную оси ординат, до пересечения с кривыми Ф1 = /2((71м)
и Ф2 = А(^ам)- При этом получаются отрезки bd и Ьс, определяющие в
соответствующем масштабе потоки Ф) и Ф2. Следует отметить, что.выбран-
ное положительное направление потока Ф) ие совпадает с действительным
направлением, так как его значение получилось отрицательным.
§ 7.11. Расчет магнитной цепи кольцевого постоянного
магнита с воздушным зазором
На рис. 7.57 показан стальной сердечник в виде кольца с
воздушным зазором. Размеры* сердечника и кривая размагничи-
вания B = f(H) для материала заданы. Определить магнитный
268
поток в воздушном зазоре, если сердечник предварительно на-
магничен до насыщения.
Из закона полного тока следует, что после намагничивания
кольцевого сердечника без воздушного зазора, магнитная индук-
ция в нем равняется остаточной индукции Ва, а напряженность
магнитного поля равна нулю. На петле гистерезиса это состояние
соответствует верхней точке кривой размагничивания (рис. 7.52).
При наличии воздушного зазо-
ра напряженность поля не равна
нулю, что легко показать с
помощью закона полного тока.
Интеграл от вектора Н по зам-
кнутой средней линии кольце-
вого сердечника iHdl = 0, так
как намагничивающий ток от-
сутствует. Пусть напряженность
поля в стальном сердечнике
одинакова во всех точках сред-
ней линии /с (рис. 7.57). На-
пряженность поля в воздушном
зазоре /7В = — . Если выбрать
Ио
направление обхода контура
интегрирования совпадающим с направлением линии вектора
магнитной индукции, то на основании закона полного тока
§Hdl=HJc + HBla = 0.
I
При незначительной длине воздушного зазора можно его сечение
SB принять равным сечению сердечника и считать индукцию во
всех точках одинаковой: Вс —х-=-я- = Вв. Из закона полного тока
непосредственно следует, что
5< Jk
Во *с Во

где NB=l-r-— размагничивающий коэффициент.
Отрицательное значение напряженности магнитного поля
внутри сердечника означает, что при наличии зазора магнитная
индукция снижается по сравнению с В0 = а07; это следует из
выражения В = p0J 4-р0//с. Так как отрицательному значению
соответствуют положительные значения индукции Вс = Вв, то
кйгнитное состояние сердечника определяется одной из точек
кривой размагничивания (второй квадрант гистерезисной петли).
Для определения магнитного потока на рис. 7.58 построена
зависимость ФС = ВС5,. от магнитного напряжения £7М L-= (7М ав =
— Яс/с> взятого в направлении вектора Нй между точками а и b
269
концов сердечника (рис. 7.57). Эта зависимость получается из
кривой размагничивания путем умножения ее ординат нй Sc и
абсцисс — на /с (рис. 7.58). В тех же осях построена зависимость
магнитного потока в воздухе Фв от магнитного напряжения,
взятого в направлении Нв между теми же точками а и Ь. Это
напряжение
^м.В-^М.ав = ^.ВФ8 = ^А = ^^^ФВ^.
откуда
(Т) — ^М.Б _. ^М.И
^В -О — 1
АМ. В 'В
- Ро^с
Из полученного выражения следует, что магнитный поток Фв
в зависимости от магнитного напряжения 7/ изменяется по
закону прямой линии (рис. 7.58).
Так как магнитный поток в
сердечнике можно принять рав-
ным магнитному потоку в возду-
хе Фс = Фв и магнитное напряже-
ние С/м, с = 7/м. в, то при наличии
воздушного зазора магнитный
поток в сердечнике опреде-
лится ординатой точки т1 пере-
сечения кривой Фо = /:((/и с) и
прямой Фв = = ((/м в), а
^М.В
магнитное напряжение t/M.c =
= t/M.B определится в некото-
ром масштабе отрезком от
(рис. 7.58).
Представляет интерес рас-
смотреть изменения потока Фв
при изменении величины воз-
душного зазора. Пусть воздуш-
ный зазор/в уменьшен до величины /в путем вдвигания стального
диска (рис. 7.59) плош.адью5ссочень высокой магнитной проницае-
мостью. Магнитным сопротивлением диска можно пренебречь.
Вследствие уменьшения длины воздушного зазора его магнитное
сопротивление уменьшится до величины RM.B = —к- • Зависимость
магнитного потока в воздушном зазоре от напряжения в пред-
ставится прямой Фв = = f2 (UM. в) с большим углом наклона
к оси абсцисс, чем прямая ФВ = Л(^М.В) (Рис- 7.58). Одновре-
менно с этим поток Фс в стальном сердечнике при изменении
270
магнитного напряжения UK-t. будет расти не по кривой размаг-
ничивания, а по кривой т1атг частного цикла. После замены
кривой тхат2 (приближенно) прямой линией, получается зави-
симость Фс (t/M 0) в виде прямой mYm2, точка пересечения кото-
рой с прямой Фв = [2 (/7м. в) дает искомое значе-
ние потока Фв в воздушном зазоре. \ \
Если сердечник был предварительно намаг- I I
ничен при вставленном стальном диске, то маг- | | |
нитный поток был бы больше и определялся | Ь--—-~У—I
ординатой точки mt. it ig
Затем, при удалении диска из воздушного Т~]го%та|—/
зазора сердечник будет размагничиваться, и по- I I *
ток уменьшится до величины, определяемой орди- /
натой точки При повторном введении сталь-
ного диска в зазор магнитный поток возрастет Рис. 7.59
только до величины, определяемой ординатой
точки т2. Из приведенного графического построения (рис. 7.58)
видно, что увеличение длины магнита и применение материала
с большой задерживающей силой Н3 приводит к относитель-
ному росту абсцисс кривой — Кроме того, увеличение
сечения Sc и применение материала с большой остаточной индук-
цией Ва при той же задерживающей силе приводят к увели-
чению ординат кривой Фс = /(/7м).
§ 7.12. Некоторые замечания о расчете электрических
и магнитных цепей с учетом их взаимного влияния
Если в электрическую цепь постоянного тока включены обмотки электро-
магнитов, то при установившемся режиме явления, происходящие в магнит-
ной цепи, ие влияют на явления в электрической цепи. Поэтому расчет
электрической и магнитной цепей в этих случаях можно выполнять раз-
дельно. Условием связи между этими расчетами служит закон полного
тока, выражающий равенство намагничивающей силы соответствующему
полному току: ___
F= § Н dl— Iw.
I
В зависимости от постановки задачи, решение ее можно начинать или
с расчета магнитной цепи (если, например, следует обеспечить определенное
значение магнитной индукции в заданном месте электромагнитного меха-
низма), или с расчета электрической цепи (если, например, магнитное поле
является сопутствующим, нежелательным явлением, но важным с точки
зрения его проявления). Решение таких задач можно выполнять изложен-
ными выше методами.
Более сложные задачи возникают при наличии взаимного влияния
электрической и магнитной цепей. Так, например, часто встречаются случаи,
когда в связи с изменениями состояния электрической цепи изменяется и
состояние магнитной цепи, воздействующее в свою очередь на состояние
электрической цепи. Это имеет место, в частности, при регулировании тока
возбуждения электрической машины (генератора или двигателя). При этом
необходимо различать следующие принципиально разные условия. Механи-
ческое состояние электрической машины (например, скорость вращения)
27)
может либо не зависеть ни от магнитного, ни от электрического состояния,
либо наоборот, зависеть и от того, и от другого.
В первом случае условия состояния электрической и магнитной цепей
связаны непосредственно. При этом исходными являются следующие урав-
нения:
для любого f-го узла электрической цепи
2/=Л;
I
для любого &-го контура электрической цепи
для любого i-го узла магнитной цепи
^Ф = 0;
для любого й-го контура магнитной цепи
Уравнениями связи между электрической и магнитной цепями являются:
/?о = /ощ() и е0 = К1Ф0, (а)
причем
Ф» = Л ('о).
где индекс о указывает на то, что соответствующие величины относятся
к обмотке электрической машины.
Во втором случае решение получается более сложным, так как к .урав-
нениям связи добавляются условия механического состояния, которые
зависят от взаимодействия тока с магнитным полем. В частности, для
электрической машины скорость вращения якоря является функцией напря-
жения, тока и потока, т. е.
«о = Л(^о)=А(/о, Фо). (б)
при этом усложняется и условие (а):
В уравнение механического состояния (б) должна войти величина меха-
нической силы взаимодействия тока с магнитным полем:
F=Ct/0®0
Для сложных цепей с большим количеством электрических машин
совместное решение полученной системы уравнений представляет собой
известные технические трудности, возрастающие в связи с нелинейностью
магнитной цепи, а иногда и механических характеристик привода.
Решение задач существенно упрощается при линеаризации. Если, напри-
мер, принять, что для некоторой электрической машины (генератора)
магнитная индукция линейно зависит от тока
В = В0-К/,
то определяемая ею э. д. с.
е = СФ = СВ5 = е0—гв/,
где rB=CKS — некоторое эквивалентное сопротивление в электрической
цепи машины.
Следовательно, такая машина на схеме замещения электрической цепи
может быть представлена обычными двумя параметрами двухполюсника,
т. е. постоянной э. д. с. е0 и постоянным сопротивлением гв.
272
В ряде случаев нелинейность магнитной цепи не оказывает существен-
ного влияния на методику расчета.
Пример 7.10. Определить зависимость э. д. с. генератора с самовозбу-
ждением в том случае, когда ток в обмотке электромагнитов пропорционален
этой э. д. с. (электрическая цепь линейна).
Решение. По условию ток, создающий магнитное поле,
/ = —,
Г
а э, д. с. е0 машины определяется создаваемым этим током магнитным по-
током Ф:
е0 = КФ.
Если известна зависимость (нелинейная)
Ф = Н/).
то определяется и зависимость э. д. с. от тока
е0 = М(/).
Если эту зазисимость изобразить графически и на том же графике
построить прямую
eo = rl,
то величину э. д. с. можно получить в виде ординаты точки пересечения
графиков (рис. 7.60).
Из решения следует, что э. д. с генератора данного типа определяется
сопротивлением цепи электромагнитов и скоростью вращения.
В общем случае задача сводится к решению системы нелинейных урав-
нений. При этом необходимо производить проверку устойчивости состояния
рассматриваемой объедииеиной цепи.
В заключение следует рассмотреть ✓
пример на совместный расчет электри- /
ческого, магнитного и механического /
состояний. цф /
По-прежнему наиболее просто ре- . /
шается линеаризованная задача. Пусть \< /
в однородном магнитном поле может / /
равномерно (с постоянной скоростью у) / /'Г1
и прямолинейно перемещаться провод- / . /
ник с током /. Если / /
v=aF, / /
где F—сила взаимодействия тока с маг- / /
нитным полем: I/
F = 11 В, _ Г________________________
то скорость перемещения
v = allB Рис- 7.60
(пропорциональна току F).
Если же магнитная индукция В=В„-\-С1 линейно зависит от тока,
определяемого наведенной э. д. с.,
7 = -,
г
где
е = Blv = lv (Ва4-Cl) =еа + IvCf = е9 + аС1ЧВа + аСЧ2]2,
г—сопротивление контура с током I, то задача становится нелинейной
г1=ей + аС121В^ + аСЧЧ2.
•18 Теоретические основы электротехники, ч. 1 273
В общем случае такие задачи получаются весьма сложными, требу-
ющими решения системы нелинейных уравнений и исследования условий
устойчивости. Необходимость решения таких задач непрерывно повышается
в связи с развитием систем автоматического регулирования.
Вопросы для самопроверки
7.1. Почему цепь, содержащую выпрямитель, следует считать нели-
нейной?
7.2. Что называется вольтамперной характеристикой?
7.3. Почему цепь, содержащую элементы с прямолинейными вольтампер-
ными характеристиками, можно представить линейной схемой?
7.4. В чем заключается сложность расчета рабочих режимов для нели-
нейных схем?
7.5. На чем основаны графические методы расчета нелинейных цепей
с последовательно-параллельным соединением элементов?
7.6. В чем заключается сложность расчета нелинейной цепи с исполь-
зованием аналитических выражений для вольтамперных характеристик ее
элементов?
7.,7 . В чем заключаются недостатки расчета нелинейных цепей способом
линеаризации?
7.8. При каких условиях приближенный расчет режима для нелинейной
схемы имеет достаточно быструю сходимость?
7.9. Что понимается под устойчивостью и неустойчивостью рабочего
режима нелинейной цепи?
7.10. Почему рабочий режим для линейной схемы всегда является
устойчивым?
7.11. Как определяется дифференциальное сопротивление нелинейного
элемента?
7.12. В чем состоит отличие расчета рабочего режима магнитной цепи
от расчета электрической цепи?
7.13. В каких случаях требуется совместный расчет рабочего режима
для электрической и магнитной цепей?
7.14. Можно ли совместный расчет электрической и магнитной цепей
свести к расчету некоторой эквивалентной электрической цепи?
Глава VIII. ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ
И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
§ 8.1. Некоторые замечания о механизации расчетов
электрических цепей
По мере усложнения электрических цепей аналитические и графические
методы расчетов становятся чрезмерно громоздкими, требующими большой
затраты времени, напряженного труда и исключительного внимания. Наряду
с этим повышаются и требования к степени точности выполнения расчетов.
В целях ускорения расчетов на практике широко применяются различные
модели и вычислительные машины.
Модели могут быть физическими и математическими. Физической назы-
вается такая модель, с помощью которой в некотором масштабе воспроиз-
водятся такие же явления и процессы, что и в оригинале. Во многих
274
случаях возникают трудности в выполнении физических моделей других
размеров и мощностей, которые соответствовали бы требованиям подобия.
Кроме того, физические модели обычно получаются сравнительно дорогими.
Математическими называются такие модели, явления и процессы в ко-
торых, имея иную физическую сущность, подчиняются тем же математическим
закономерностям, что и в оригинале. Так, тепловые процессы могут быть
заменены электрическими, электрические — гидравлическими и т. д.
Если рассматриваемая электрическая цепь постоянного тока представ-
лена в виде схемы замещения, то можно сказать, что имеется система
алгебраических уравнений, описывающая протекающие в этой цепи процессы.
Та же система уравнений может описывать процессы, протекающие в специ-
ально составленной электрической схеме, моделирующей исходную цепь.
Поэтому решение данной системы уравнений можно получить путем
непосредственных измерений токов и напряжений в указанной схеме.
На практике часто применяются универсальные статические модели
(расчетные столы), содержащие магазины сопротивлений с декадными пере-
ключателями, источники питания, коммутационные устройства, дающие
возможность осуществлять различные схемы соединений и измерительные
приборы. На таких моделях можно получить схемы замещения в некотором
масштабе и производить нужные измерения.
С помощью модели можно исследовать и нелинейные схемы замещения,
если имеются элементы, вольтамперные характеристики которых подобны
заданным для элементов исходной схемы.
Практически некоторые трудности появляются в тех случаях, когда
возникает необходимость в применении достаточно большого количества
источников питания с различными значениями э. д. с. и, в особенности
токов источников тока. Поэтому в случае линейной цепи часто моделируют
только пассивную часть схемы, измеряют обобщенные параметры (коэффи-
циенты распределения или другие коэффициенты уравнений), а затем
вычисляют искомые значения при помощи правила пропорциональных
пересчетов и принципа наложения. В случае цепей с нелинейными элемен-
тами указанная операция производится для линейной части схемы, а затем,
в целях упрощения решения, ее рассчитывают методом итераций.
Для расчета используются вычислительные машины, выполняющие как
различные отдельные арифметические операции, так и целую программу
в соответствии с разработанной методикой решения задачи и отвечающим
ей алгоритмом. Это позволяет существенно повысить точность выполнения
расчета, обеспечивая нужное число значащих цифр в промежуточных вычи-
слениях, а также получить значительно большее быстродействие, т. е.
сократить время, необходимое для выполнения расчета сложной схемы
заме щення.
В большинстве случаев очень важно выбрать наиболее рациональный
путь решения задачи, т. е. составить наиболее целесообразный алгоритм
решения, так как число промежуточных вычислений определяет объем
работы и время решения, а число используемых при решении дополнитель-
ных величин — необходимость их фиксации, что при применении автомати-
ческих машин определяет их размеры. Обычно метод итераций дает возмож-
ность резко сократить требования, предъявляемые к размерам машин, и
ускорить решения задач. Однако для этого требуется еще составить такой
алгоритм решения, при котором сходимость итерационного процесса полу-
чается наиболее быстрой.
§ 8.2. Метод непосредственных измерений
Критериями подобия для линейных цепей постоянного тока является
правильное соотношение в масштабных коэффициентах.
Если на модели составить схему, состоящую из сопротивлений гмод,
э. д с. еМОд и задающих токов 7МОД, так, чтобы она соответствовала схеме
18* 275
замещения рассматриваемой цепи, причем
ГМОд= mrropi
^МОД = ^Ц^ОР’
Атол ~ т1^ор’
где гор> еор и ^ор—соответственно сопротивление, э. д. с. и задающий ток
электрической исходной схемы (оригинала)
ти — mimr<
то непосредственными измерениями можно найти токи Умод во всех ветвях
исходной схемы и напряжения (Умод между любыми точками этой схемы,
пропорциональные действительным значениям.
Действительные значения токов и напряжений:
Обычно магазины сопротивлений моделей содержат три декады. Поэтому
значения основных сопротивлений ветвей можно получить (при соответ-
ствующем подборе масштабных коэффициентов) с точностью до трех знача-
щих цифр. Однако при этом значения отдельных сопротивлений могут
быть получены и с меньшей точностью—до двух и даже с одной значащей
цифрой.
Как правило, с точностью до двух значащих цифр могут быть получены
и величины э. д. с. В большинстве практических случаев это не отражается
на точности результатов расчета, так как искомые величины с большей
точностью не требуются, а такого накопления ошибок, которое имеет месте
при аналитических расчетах, здесь не получается. В некоторых случаях
может потребоваться уточнение результатов расчета в связи с неточ-
ностью измерений.
По результатам измерений, в частности, ’могут не получаться равным:
нулю суммы токов ветвей, сходящихся в узлах.
Все поправки подобного характера производятся на основе имеющегося
опыта. В случае необходимости должно быть произведено уточнение, которо<
можно получить, например, методом последовательных приближений, изло
женным ранее.
§ 8.3. Определение коэффициентов уравнений
состояния с помощью модели
Если схема линейна, то для упрощения модели можно воспользоваться
одним источником питания. В этом случае при расчетах цепей применяется
правило пропорциональных пересчетов и принцип наложения.
Для определения тока в любой i-й ветви исходной схемы с помощью
модели достаточно определить соответствующие входную gu и взаимные
gij проводимости ветвей, а также коэффициенты распределения для зада-
ющих токов источников тока (если таковые имеются в схеме).
Для определения напряжения между зажимами любой t-й ветви, а также
для нахождения напряжения между зажимами любого t-го и нулевого узлов
схемы необходимо найти коэффициенты распределения напряжения btJ,
входные узловые сопротивления Ra и общие узловые сопротивления R:j
Все измерения производятся на схеме, составленной из одних пассивных
влементов.
Чтобы найти входную gu и взаимные g/y проводимости (/=!, ... , в;
I I) ветвей, нужно источник питания включить в /-ю ветвь схемы (в рас-
сечку) и измерить напряжение U[ = ei на его зажимах и токи lj во всех
276
ветвях схемы, включая ветвь с источником питания (рис. 8.1.). Тогда
Л '/
и g//=^,
причем эти величины получаются в масштабе проводимостей ветвей состав-
ленной схемы:
£мод 1
т~=-------- -
е Sop
Если найденные величины нужны для определения токов от нескольких
э. д. с,, то необходимо учесть направления токов в каждой ветви с помощью
принципа наложения. Чтобы определить коэффициенты распределения с(у
задающих токов в каждом i-м пункте схемы (прн наличии задающие
токов обратного направления относительно схемы в нулевой точке баланса
токов), источник питания следует присоединить между точками i и О (рис. 8.2)
схемы и измерить ток J; в ветви источника питания и токи /у во всех
ветвях схемы. Тогда коэффициенты распределения
ъ
Ji'
И в этом случае для определения действительных токов в ветвях от несколь-
ких задающих токов надо воспользоваться принципом наложения.
Для определения коэффициентов bij распределения напряжений необхо-
димо источник питания включить в i-ю ветвь схемы (в рассечку) и измерить
напряжение Ui = e[ на его зажимах и напряжение Uj между зажимами /-й
ветви схемы (рис. 8.3). При этом коэффициенты распределения
h --J
Коэффициенты Cij и b;}- получаются правильными независимо от принятых
масштабных коэффициентов при составлении схемы иа модели, так как они'
не имеют размерности.
Чтобы определить входные узловые сопротивления /?(7 и общие узловые
сопротивления Кц, нужно источник питания включить между t-й и нулевой
точками схемы и измерить напряжение U[ на его зажимах, т. е. между
f-й и нулевой точками, а также измерить напряжения между каждой из
точек j и 0 схемы и ток /(- ветви с источником питания (рис. 8.4). Тогда
искомые сопротивления:
и= U t
Rii = jy и '
При этом сопротивления и /^-полу-
чаются в масштабе составленной схемы.
§ 8.4. Моделирование схем с заданными обобщенными
параметрами
Нетрудно видеть, что матрица эквивалентных сопротивлений (входных
и общих узловых) является обратной по отношению к матрице коэффициен-
тов узловых уравнений. Действительно, в матричной форме узловые урав-
нения имеют внд
gyU=J,
где для узла баланса задающих токов принято
<Ро = 0,
тогда
ф1- = с,/ = ф< —Фо-
Матрица эквивалентных сопротивлений схемы входит в следующее урав-
нение:
U = RJ.
Следовательно,
R=gy-1
Здесь диагональными элементами являются входные сопротивления схемы
между узлом баланса задающих токов и любым другим узлом, а остальными
элементами — общие узловые сопротивления для любых двух узлов по
отношению к узлу баланса.
Если заданы входные сопротивления схемы, то их следует расположить
по главной диагонали матрицы, а прочие значения (симметрично располо-
женные) могут быть выбраны произвольно (в частности, даже равными
нулю). Обратная матрица дает коэффициенты узловых уравнений, по которым
можно составить соответствующую схему. Для того чтобы не получались
отрицательные сопротивления, которые затрудняют моделирование, диаго-
нальные элементы должны быть больше сумм прочих элементов, расположен-
ных в соответствующих строках матрицы. Такое решение получается
278
неоднозначным и приводит к схеме, содержащей «4-1 узлов, где п — число-
заданных входных сопротивлений.
Число узлов схемы может быть сокращено до у, при этом
(недостающими входными узловыми сопротивлениями следует задаваться).
В левой части этого неравенства указано суммарное число входных узловых
сопротивлений схемы, содержащей у узлов. Из общего числа п заданных
входных узловых сопротивлений выбираются у—1 значений, нумеруются
индексами i (1=1 ... у—1) и располагаются по главной диагонали мат-
рицы R. Остальные входные сопротивления нумеруются двойными индексами
ij (1=1 ... у—1; j=l ... у—1; j / i) и по ним определяются соответ-
ствующие общие узловые сопротивления (см. пример 8.2):
RiJ — ~2 + —^(/)-
Полученные значения располагаются в соответствующих местах матрицы R
(в соответствии с их индексами, т. е. симметрично). Обратная матрица дает
коэффициенты узловых уравнений
gy=R-1-
§ 8.5. Применение коэффициентов распределения
задающих токов для расчета цепей
При включении источника питания в рассечку каждой ветви могут воз-
никнуть затруднения, так как требуется некоторое усложнение конструкции
модели. Иногда при этом возникают затруднения при измерении напряжений,
которые в общем случае изменяются в достаточно широких пределах. Для
этого требуется присоединить прибор или измерительную схему параллельно
некоторой части цепи, что обычно приводит к погрешностям. Поэтому
практически наиболее приемлемым является измерение коэффициентов рас-
пределения задающих токов (рис. 8.2). Эти коэффициенты можно использо-
вать при аналитическом определении других коэффициентов уравнений для
линейных схем или их частей.
Поскольку для каждого узла схемы -можно определить в коэффициен-
тов распределения су, то суммарное число таких коэффициентов равно
произведению числа ветвей в на число независимых узлов (у—1).
Пусть напряжение иа зажимах источника, присоединенного между i-м
и нулевым узлами, равно U[, а ток в нем равен Если при этом ток
в j-й ветви схемы равен /у, то отношение равно входному узловому
сопротивлению схемы Кц со стороны i-ro и нулевого узлов, а отношение
/j/Uj = gji определяет взаимную проводимость между ветвью источника и
/-й ветвью схемы. Если схема линейная, то = где gjj определяет
ток /,- в закороченной (при отсутствии источника э.д.с.) ветви источника,
вызванный источником с э.д.с. ej—Uj, включенным в j-ю ветвь схемы
(рис. 8.5, «). Можно так подобрать значение Су, чтобы ток в ветви источ-
ника получился равным прежнему значению возникающему в этой ветви
опд действием напряжения U;. Тогда из предыдущего легко получить
f с 11
е.
Таким образом, напряжение U; на зажимах
Диненного к i'-му узлу схемы,
ток что и источник с э.д.с.
источника э.д.с., присое-
вызывает в ветви с источником такой же
... .. _______ _ ву, включенный в j-ю ветвь той же схемы.
При этом каждая из указанных э.д.с. действует при отсутствии другой
э.д.с. Иначе говоря, напряжение С/(- равно эквивалентной э.д.с. схемы,
содержащей э.д.с. ву в j-й ветви (рис. 8.5, б). В результате такую схему
можно рассматривать как двухполюсник с закороченными зажимами в точ-
ках I и о (рис. 8.6). При этом входное сопротивление пассивного двух-
полюсника rBi = Uil 1[, а ток /(- равен
действительному току в этой ветви.
Если в общем случае источники
с э.д.с. ej включены во все в ветвей
схемы (отдельные э.д.с., конечно,
могут быть равны нулю), то напря-
жение на зажимах эквивалентного
источника э.д.с.
в
= cjiei-
j-l
В том случае, когда в заданной схе-
ме нет источников э.д.с., а токи в
ветвях вызываются источниками с
задающими токами, под э.д.с. соот-
ветствующего направления можно
понимать падения напряжений от
указанных токов на сопротивлениях
ветвей (рис. 8.7):
ej=Jjrj.
Тогда напряжения на зажимах экви-
валентного источника э.д.с.
в
^• = 2 c.nJjri-
i-x
Следовательно, источник с задающим током в узле I (и с обратным
током в нулевой точке — баланса токов), вызывая ток Ij~cjij 1 в любой /-й
ветви, приводит к появлению
.в каждом i-м у зле напряжения
в
иi = Jt 2 cjiricn-
/=1
Это дает возможность опреде-
лить общее узловое сопротив-
ление для любых двух узлов
Л и I схемы:
в
= <8J)
1 /-1
В частном случае, при i = l,
Рис. 8 1
получается входное узловое со-
противление эквивалентного двухполюсника с зажимами в/-м и нулевом узлах
в
i=i
или же с зажимами в l-м и нулевом узлах
Я«=2
/=‘
280
Зная коэффициенты распределения Су, задающих токов, можно для
любой схемы определить все входные и общие узловые сопротивления при
известных сопротивлениях всех ветвей.
Для определения входных g^ и взаимных g;j проводимостей ветвей
схемы необходимо определить ток /у в /-й ветви вызванной э.д.с. е}-, дейст-
вующей в /-й ветви схемы.
Пусть требуется определить взаимную проводимость между ветвями
j и i схемы, причем ветвь I соединяет узлы k н I. При действии только
одной э.д.с. еу напряжения в k-м и l-м узлах определяются:
и k = cjkej и Ui=Cjfi}.
Тогда ток в i-й ветви:
~ И ?
(8.2)
Следовательно, взаимная проводимость
/, Cjk — Cji
г,- '
Если i-я ветвь присоединена к узлам k и I н В этой ветви имеется э.д.с..
еу, то входная проводимость
_£/_ ej—tPk—Ui) _ 1 —(СуА—суг)
еугу “ ту
Таким образом, зная коэффициенты распределения cyft н сопротивления
rj всех ветвей схемы, можно определить входные и взаимные проводимости.
Из (8.2) можно найти коэффициенты распределения для напряжений.
Действительно, поскольку Ukl = Uk—— с^), то
где k и I — узлы, к которым присоединена i-я ветвь схемы. В том случае,,
когда к узлам k и I присоединена j-я ветвь, то коэффициент распределения
с двумя одинаковыми индексами
ЬУУ=1-(СУЛ—сл)-
Таким образом, зная коэффициенты распределения для задающих токов
всех узлов и сопротивления всех ветвей схемы, можно определить пара-
метры схемы, рассматриваемой в виде многополюсника с любым числом
полюсов.
Пример 8.1. Определить рабочий режим схемы, изображенной на
рис. 5.И,а, при помощи коэффициентов распределения задающих токов.
Решение. Расчет такой цепи можно выполнить различными мето-
дами. В данном случае коэффициенты распределения применяются только
для иллюстрации На практике метод расчета при помощи таких коэффи-
циентов оправдывается только в случаях весьма сложных схем соединения.
Коэффициенты распределения целесообразно определять с помощью стати-
ческой модели.
Решение этой задачи, выполненное в примере 5.6 методом пропорцио-
нальных пересчетов и принципом наложения, можно использовать здесь,
для определения коэффициентов распределения. Так, с помощью схемы,
показанной на рис. 5.11, е, непосредственно определяются все коэффи-
циенты распределения для задающего тока в узле а (с обратным
281
направлением к узлу о). Например, cla = ^-j=0,282, с2а=у-р = 0,630
€’а==7Т=0,087 и т' А-
Аналогичным путем определяются коэффициенты распределения для
задающих токов в узлах б и в с помощью схем, показанных соответственно
на рис. 5.11, ж и э.
Полученные значения коэффициентов распределения задающих токов
записаны в табл. 8.1.
Таблица 8.1
Узлы Ветви [ 2 3 4 5 6
а 0,282 0,630 0,087 0,178 0,195 0,090
б 0,503 0,487 0,202 0,217 0,296 0,148
в 0,160 0,355 0,335 0,470 0,203 0,194
Пользуясь коэффициентами распределения, можно определить рабочий
режим при любых значениях задающих токов и, в частности, при значе-
ниях, заданных на рис. 5.11, я. Например, ток в первой ветви:
/1== — 0,282-10 4-0,503-154-0,16-20 = 7,93 а. Целесообразность такого метода
расчета повышается в случаях нелинейных зависимостей между задающими
токами и потенциалами узлов. Тогда
рабочий режим определяется методом
итераций.
При определении коэффициентов
распределения с помощью статической
модели их значения находятся путем
непосредственных измерений. На рис.8.8
показана схема для измерения
коэффициентов распределения задаю-
щего тока Jа в узлах а и о.
§ 8.6. Применение входных
узловых сопротивлений для
расчета цепей
Некоторые преимущества при рас-
чете может дать измерение входных
узловых сопротивлений между узлами
i и j схемы (рис, 8.9) и применение
их при расчетах' рабочего режима.
Для таких измерений модель может иметь только один источник питания;
при этом не требуется одновременное измерение токов в отдельных ветвях
схемы.
Если для схемы с у узлами известны
сопротивлений 7?(у, то, зная, кроме того,
найти любые другие обобщенные параметры
— у (у—1) входных узловых
сопротивления ветвей, можно
схемы, а при известных зна-
282
чениях э.д.с. в ветвях и задающих токах источников - чалах легКсь
найти рабочий режим. Ка В 7
Пример 8.2. Определить потенциалы узлов линейной схемы с извест-
ными значениями задающих токов в трех узлах, если потенциал нулевого
узла равен нулю, а входные сопротивления между каждой парой узлов
известны (рис. 8.4).
Рис. 8.9
Рис. 8.1G
Решение. Если известны входные сопротивления = Roj—Rjj
и r'u между узлами о, i и j, то можно определить сопротивления трехлу-
чевой эквивалентной звезды, рассматривая схему (рис. 8.4) в виде трехпо-
люсника с полюсами, совпадающими с узлами о, I и / (рис. 8 10). При
этом справедливы равенства:
ra + ri = Rob
ro + r J=Rop
ri + rj=Ry-
Из этих уравнений легко по-
лучить:
Го —ту (Rol + Roj— Ry)>
~2 (^oi + Ry— Roj)>
(^о/ + Ry—Roii’
Потенциал <р у узла / равен сумме
потенциалов/создаваемых задающими токами и Jj (рис. 8.11):
Ф/=(А + ^/) го + ^/( —Л’го + ^/(ло + л/) —^/^в/+Аго —
= •/jRiy-pJi (Roi + Roj— Ry)-
Аналогичным путем определяется потенциал z-ro узла, т. е.
= + (R«i + Ry — Roj)-
Пример 8.3. Определить рабочий режим в схеме, показанной
иа рис. 5.11, а.
283
Решение. Ранее указывалось, что такую задачу можно решить раз-
личными методами. В примере 8.1 решение выполнено с помощью коэффи-
циентов распределения. Ту же задачу можно решить путем применения
входных узловых сопротивлений, которые целесообразно определять для
сложных схем с помощью статической модели.
В данном примере проще всего определить входные сопротивления
с помощью ранее выполненных расчетов. Так, на основании схемы, пока-
занной на рис. 5.11, е, входное сопротивление между узлами «ио;
D 4,46-2 , „„
^ао =—у-j—= '-255 ОМ.
Из режима схемы, изображенной на рис. 5.11, ж, входное сопротивление
между узлами био:
D 0-6’5 1 ИВ
/?бо=2-оу=1.48 ом-
Аналогично находится входное сопротивление между узлами в и о
(рис. 5.11, э):
Reo = L^ZJ=lt880 ом.
0,00
Из схемы, показанной
тивление между узлами а
на рис. 5 11, г можно определить входное
и в. Действительно, сопротивление всей
сопро-
схемы
по отношению к зажимам источника э.д.с.,
включенного в ветвь с сопротивлением гв,
очевидно, равно —^ = 8,4 сш. Если из
1 ,о/
этого сопротивления вычесть сопротивле-
ние ^6 = 6 ом, то получится сопротивле-
ние остальной части схемы, которое можно
считать соединенным параллельно с сопро-
тивлением гв. В результате этого входное
узловое сопротивление между узлами а
и в:
^aB=-’f-6)8= 1,713 ОМ
о, Ч
Входные сопротивления можно определить
и непосредственно через заданные сопро-
тивления схемы, Так, если исключить
первую ветвь из схемы (рис. 8.8), то она
получает вид, показанный на рис. 8.12. Применяя формулы преобразова-
ния треугольника сопротивления в звезду, можно упростить схему
<рис. 8.13):
2.6 4-6 2-4
^а~2-|-4 + 6~ ’ 0М’ Rb=°4T:=2 ом и 7?о = ТТ = 0’67 ом-
После такого преобразования (рис.
равно
(0,67 + 5) (2 + 3)
0,67 + 5 + 2 + 3
+ 1 = 3,66 ом.
8.13) эквивалентное сопротивление
Входное сопротивление заданной схемы между узлами а и б:
„ 3,66-1
/?аб~3,66 + 1’-0’785 0М'
284
Аналогичным путем определяется входное сопротивление схемы между
'злами б и в С этой целью треугольник сопротивлений г2, и г следует
реобразовать в эквивалентную звезду сопротивлений. В результате сопрот-
ивление всей схемы относительно зажимов бив без учета параллельно при*
2(5 + 0,67) , „ „
оединенного сопротивления rs, получится равным --z-—+~+ + 2 = 3,48 ом.
2 + 5 + 0,67
Входное сопротивление схемы между узлами бив определяется по
формуле параллельного соединения, т. е.
D 3,48-3 , All
у?б»=з74Гйз=1’611 м-
Входные узловые сопротивления заданной схемы можно представить в виде
табл. 8.2.
Таблица 8.2
Узлы Узлы О (1 б к
0 1,255 1,478 1,883
а 1,255 — 0,785 1,713
б 1,478 0,785 —. 1,611
в 1,883 1,713 1,611 —
Пользуясь полученными значениями входных узловых сопротивлений
и заданными величинами токов источников тока, легко определить потен-
циалы узлов:
<ра = 10-1,255+ 1/2-15 (1,255+ 1,478—0,785) + 1/2-20Х
Х(1,255+1,883-1,713) = -41,46 в;
фб= 15-1,478+ 1/2-10(1,255+ 1,478—0,785)+ 1/2-20Х
х (1,478+1,883—1,611)=—49,33 в.
След’овательио, ток в первой ветви
/j = (49,33 — 41,46) 1 = 7,87 а.
§ 8.7. Определение параметров многополюсников
Методика измерения параметров многополюсников с помощью модели
зависит от формы записи уравнений состояния.
Чтобы определить коэффициенты уравнений состояния многополюсни-
ков, записанных в форме G, необходимо собрать на модели пассивную
/часть схемы. При этом источник питания следует включить между одним
285
из полюсов i и всеми остальными полюсами многополюсника, соединенными
в один общий узел (независимо от действительного числа узлов в схеме)
и измерить токи у всех граничных точек j получившейся схемы (у полю-
сов многополюсника), а также напряжение U; на зажимах источника пита-
ния (рис. 8.14, а). Тогда искомые параметры
Рис. 8.14
где Ii—ток в источнике питания,
Uj—напряжение на его зажимах.
В свою очередь, проводимость
Gij= с jfia,
где Су,- — часть общего тока /,-, ответвляющаяся в /-й полюс многополюс
ника (рис. 8.14, а).
Для определения активных параметров многополюсника необходимо соста-
вить с помощью модели схему с активными элементами, объединить все
зажимы (полюсы) в один общий узел
и (не присоединяя внешнего источ-
ника питания) измерить токи /у у
каждого из полюсов j (рис. 8.14, о);
при этом задающий ток каждого
полюса многополюсника /у= 1 у.
Для определения коэффициентов
уравнений многополюсника, запи-
санных в форме R, необходимо со-
ставить с помощью модели пассив-
ную часть схемы, включить источник
питания между одним из полюсов I
и нулевым узлом баланса токов и
измерить напряжения Ду между
каждым из полюсов j многополюсника и узлом о (рис. 8.15). Тогда иско-
мые сопротивления многополюсника
Rn=UiHi,
где Д; и Ду—напряжения на зажимах, соответственно источника питания
и /-го полюса многополюсника;
//—ток в источнике питания.
286
Для определения активных параметров многополюсника-нужно собрать
с активными параметрами и, ие
измерить напряжения на зажи-
на модели полную схему многополюсника
присоединяя внешнего источника питания,
мах всех полюсов многополюсни-
ка относительно общего полюса.
Тогда измеренные величины на-
пряжений дадут значения ак-
тивных параметров многополюс-
ника.
Коэффициенты уравнений
многополюсника, записанных в
форме А, можно определить пу-
тем линейных преобразований,
пользуясь результатами указан-
ных выше измерений.
Наиболее просто определить
с помощью измерений коэффи-
циенты уравнений, записанных в
форме А, для трехполюсника. В
этом случае достаточно, собрав
пассивную часть схемы, измерить
ток /] и напряжение t/t у источ-
ника питания на входных зажи-
мах трехполюсника в двух про-
стейших режимах: при размыкании
(холостой ход) (рис. 8.16, а) и
при коротком замыкании на вы-
ходных зажимах (рис. 8.16, б).
При этом в первом опыте допол-
нительно измеряется напряже-
ние иг на выходных зажимах,
а во втором — ток /2.
Таким образом, из первого
опыта легко определить:
(71х Лх
а~и2 ’ и2 ’
где U2—напряжение на выход-
ных зажимах при их размыкаг
нии, а нз второго
; 6=^
*2 '2
где /2—ток в ветви, закорачи-
вающей выходные зажимы.
Для определения активных
параметров трехполюсника необ-
ходимо при отсутствии внешнего
источника питания измерить на-
пряжения на его входных и вы-
ходных зажимах при одновремен-
ном их размыкании (рис. 8.17, а), и
токи в ветвях, закорачивающих
одновременно входные и выходные
В результате, в первом опыте
е = Ulx a U ix.
зажимы трехполюсника (рис. 8.17,6).
287
ео втором случае
f— Ik 2k‘
Те же режимы можно использовать для определения параметров трехпо-
люсника аналитическим путем.
§ 8.8. Возможности применения вычислительных машин
Применение обычной двадцатипятисантиметровой логарифмической
линейки в большинстве случаев ограничивает сложность рассматриваемых
схем при определении рабочего режима в связи с малым числом значащих
цифр, получаемых в процессе промежуточных расчетов. При этом ориенти-
ровочно можно считать, что достаточно правильно могут быть решены
совместно не более чем четыре—пять уравнений. В значительной мере это
зависит и от величины определителя, составленного из коэффициентов
уравнений состояния.
Для решения большого числа уравнений требуется применение вычи-
слительных машин, обеспечивающих получение большего числа значащих
цифр. Такими машинами являются арифмометры с ручным и электрическим
приводами. Последние могут быть полуавтоматическими или даже автома-
тическими, выполняющими полностью любую арифметическую операцию по
специальной команде. Разного типа механические машины могут обеспе-
чить получение результатов с числом значащих цифр от семи до двенад-
цати. Это обычно дает возможность решать системы уравнений, состоящие
из восьми—десяти совместно решаемых уравнений.
Для решения более сложных задач целесообразно применение элект-
ронных вычислительных машин типа математических машин дискретного
действия. Эти машины выполняют решение по специально составленной
программе автоматически до получения ответа с заданной точностью. При
этом практически наиболее целесообразным методом решения является
решение методом итераций, так как это требует наименьшего объема
„памяти11 машины и наименьшего числа приближений, если достаточно пра-
вильно выбран порядок расчета н соответственно составлен алгоритм
решения.
В частности, для расчета рабочего режима достаточно сложных схем,
содержащих десятки узлов и контуров, можно рекомендовать использова-
ние алгоритмов, приведенных в конце гл. 5.
Для менее сложных схем замещения целесообразно пользоваться прие-
мами, приводящими к определению обратной матрицы из коэффициентов
узловых уравнений, которая является матрицей эквивалентных сопротив-
лений схемы замещения
R=g/,
или к определению обратной матрицы из коэффициентов контурных урав-
нений, которая является матрицей собственных и взаимных проводимостей
схемы замещения
G=rK*-
Операция по определению обратной матрицы в указанных случаях при-
водит к преобразованию обобщенных параметров схемы замещения.
Вопросы для самопроверки
8.1. Почему может повыситься точность результатов расчета в случае
применения моделей?
8.2. Что называют физическим и математическим подобием? Какие
модели называются физическими и математическими?
8.3. Указать преимущества и недостатки физического и математического
моделирования.
288 *
8.4. Как на модели измерить следующие величины: коэффициенты рас-
пределения, входные и взаимные проводимости, входные и общие сопротив-
ления?
8.5. Какие расчеты можно выполнить, зная коэффициенты распределе-
ния схемы? Какие величины нужно знать дополнительно для более полной
характеристики схемы замещения той же цепи?
8.6. Почему коэффициенты распределения ие зависят от выбранного
масштаба величин?
8.7. Чему равно суммарное число коэффициентов распределения для
некоторой заданной схемы замещения?
8.8. Чему равно суммарное число входных сопротивлений для данной
схемы замещения? То же, но общих сопротивлений.
8.9. Какие величины более полно характеризуют электрические схемы —
коэффициенты распределения или входные сопротивления?
8.10. Какие пассивные параметры многополюсника проще всего полу-
чить путем измерений на модели?
8.11. Как определить активные параметры многополюсника путем изме-
рений на модели?
8.12. Почему в случаях применения моделей и вычислительных машин
целесообразно пользоваться другой методикой расчета схем замещения,
чем при аналитическом решении задач?
^9 Теоретические освовы электротехники ч, I
Раздел третий
СВОЙСТВА И МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ
ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ
Глава IX
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ,
применяемые при изучении цепей
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
§ 9.1. Аналитическое определение и графическое изображение
синусоидально (гармонически) изменяющихся величин
Решение задач, связанных с производством электрической
энергии, ее передачей на далекие расстояния и распределением
между мелкими потребителями, привело к широкому примене-
нию переменного тока не только в различных отраслях промыш-
ленности, но и в быту.
После изобретения трансформатора (1876 г.) П. Н. Яблоч-
ковым была сравнительно просто решена задача получения
различных напряжений как для передачи электрической энер-
гии на большие расстояния (при высоком напряжении), так и
для ее распределения между потребителями (при сравнительно
низком напряжении). В 1889 г. М. О. Доливо-Добровольский
изобрел трехфазный асинхронный электродвигатель переменного
тока, который стал широко применяться в промышленности.
Благодаря работам М. О. Доливо-Добровольского переменный
ток получил преимущественное распространение.
Переменными токами и переменными напряжениями называют
токи и напряжения, изменяющиеся по величине и по направле-
нию через равные промежутки времени. В данном разделе будут
рассмотрены такие цепи, в которых при установившемся состоя;
нии токи и напряжения изменяются по синусоидальному закону
(гармонически). Следует отметить, что понятие установившегося
электрического состояния цепи является в данном случае услов-
ным, так как в действительности происходит непрерывный про-
цесс изменения во времшти потенциалов, напряжений, токов
и г. д. Однако такие изменения происходят периодически, т. е.
290
повторяются через определенные промежутки времени. Поэтому,
как это было уже отмечено в § 2.6, для некоторой периодиче-
ской функции f(t) справедливо равенство:
где t — текущее значение времени;
Т—продолжительность периода, или период изменения функ-
ции /(/); измеряется в единицах времени (сек).
В течение каждой секунды происходит повторение изменения
функции f раз, т. е.
/ т
Величина f называется циклической частотой изменения напря-
жения, тока и т. п., или частотой, которая, как было указано
в § 2.6; измеряется в герцах.
Рис. 9.1
В Европе в качестве стандартной принята частота / = 50ау,
что соответствует продолжительности периода
Т — ^ = 0,02 сек.
Во второй главе был описан принцип получения синусои-
дальной э.д.с. с помощью одного витка при вращении его в од-
нородном магнитном поле с постоянной скоростью. Современные
генераторы, применяемые в технике, существенно отличаются от
такого элементарного устройства. На рис. 9.1 схематически
изображен генератор, который состоит из статора (неподвижная
19* 291
часть) и ротора (подвижная часть). На роторе обычно распола-
гаются электромагниты с полюсными наконечниками, выполнен-
ными из электротехнической стали. Обмотка электромагнитов
соединена с кольцами, к которым с помощью щеток подводится
напряжение от источника постоянной э.д.с. В пазах статора на-
ходятся проводники обмотки электромагнита. Магнитную цепь
статора выполняют также из электротехнической стали. Провод-
ники обмотки статора соединены между собой последовательно
(с передней и задней части статора эти соединения показаны на
рис. 9.1 соответственно сплошными и пунктирными линиями).
При вращении ротора в каждом проводе статора индукти-
руется э.д.с.
e = Blv,
где В—индукция магнитного поля, 'движущегося относительно
неподвижного провода;
I — активная длина провода, в котором индуктируется э.д.с.;
у—скорость перемещения магнитного поля относительно
провода.
Поскольку lav постоянны, то закон изменения э.д.с. е за-
висит от индукции В. Для получения синусоидальной э.д.с.
полюсным наконечникам необходимо придать такую форму, при
которой распределение магнитной индукции по окружности ста-
тора было бы близко к синусоидальному. С этой целью воздуш-
ный зазор между статором и полюсными наконечниками делается
переменным, увеличивающимся в направлении от середины по-
люсных наконечников к их краям.
За один оборот ротора происходит р полных циклов изме-
нения э.д.с., где р—число пар полюсов. Если число оборотов
в минуту равно п, то частота индуктированной э.д.с. f = Для
получения частоты, равной 50 гц, генераторы с одной парой по-
люсов должны иметь 3000 об1мин, а с двумя парами —1500 об{мин.
При таких больших скоростях вращения роторы выполняют без
выступающих полюсов. Для получения напряжений частот от
800 до 10000 гц, применяемых в электротермических установках,
пользуются машинными генераторами специальных конструкций
или ламповыми генераторами. Переменные напряжения более
высоких частот, применяемые в радиотехнике, получают, как
правило, от ламповых и полупроводниковых генераторов.
Каждый параметр режима электрической цепи изменяется по
синусоидальному закону:
ДО = Л» sin (<*>£ 4-а),
где ДО—мгновенное значение функции (потенциала, напряже-
ния, тока);
Ат—амплитуда функции (амплитудное значение);
292
a—начальный фазный угол (зависит от выбора момента
начала отсчета времени);
со — угловая частота.
Аргумент синусоидальной функции может выражаться или
в градусах, или в радианах (относительных единицах угла).
Связь между численными значениями углов определяется извест-
ным соотношением:
о 360
а =ЙГа₽аД>
где а0 — численное значение угла, выраженное в градусах;
«рад—численное значение угла, выраженное в радианах.
Относительными единицами чаще пользуются при общих ана-
литических соотношениях, а градусами — при расчетах в числах.
Поскольку синусоидальная функция имеет период изменения
(в относительных единицах), равный 2л,
Г / 2л \ “1
со 1 4-а ,
то длительность периода изменения этой функции однозначно
связана с угловой частотой
2л
со
Из выражений для частоты и периода получается
со = 2nf.
Угловая частота при этом измеряется в радианах в секунду.
Если частота f—5Qetj, то угловая частота
со — 2л • 50 = 314 padjcen.
Таким образом, для определения любой синусоидально из-
меняющейся функции нужно иметь три величины, определяемые
вещественными числами: амплитуду, частоту, или период изме-
нения, и начальный фазный угол.
Периодический характер (периодичность) всех параметров
режима цепи переменного тока при известном законе их изме-
нения позволяет определить любую функцию по ее амплитуде Ат
и начальному фазному углу а, которые остаются неизменными
в течение всего рассматриваемого режима работы цепи.
Амплитудное значение функции характеризует лишь ее мгно-
венное максимальное значение, а поэтому не всегда является
достаточно показательной величиной. Практически чаще приме-
няют значения, отражающие эффективность действия периоди-
чески изменяющейся величины, например, в процессе нагревания
провода. Такие величины называются действующими или эффек-
тивными. Чтобы определить действующее значение переменного
тока, необходимо сравнить результат его действия с результа-
том действия постоянного тока (не зависящего от времени).
293
Действующее значение синусоидального переменного тока
i = 7m sin
численно равно величине такого постоянного тока, при котором
за промежуток времени, содержащий целое число периодов Т
( Т\
(или даже полупериодов изменения переменного тока, вы-
деляется в сопротивлении такое же количество тепла, какое
выделяется при данном синусоидальном токе:
т
ГгТ — г^ izdt,
О
откуда
I = f- pm sin2 (®/ + ф() dt = .
Такое же соотношение получается и для действующих значений
других величин.
Так, если рассматривается функция напряжения
u=(7msin +
то его действующее значение
Если известно действующее значение какой-либо величины,
частота ее изменения и начальная фаза, то мгновенное значение
этой величины можно написать, например, для напряжения
и тока, в виде:
и = ]/r2 U sin ((at -J- ф„);
1 = I sin ((at Н-ф,),
где — начальная фаза напряжения;
%—начальная фаза тока.
Если, например, в сети переменного тока (с частотой
/ = 50гч), действующее значение напряжения U =120 в, то -вы-
ражение для мгновенного значения напряжения с начальным
значением фазного угла фа = 45° запишется в виде:
и = /2120 sin (314*+ = 170 sin (з14t + .
Любую синусоидально изменяющуюся во времени функцию
можно непосредственно изобразить в прямоугольной системе
294

295
координат в виде графика. На рис. 9.2, а приведен график
функции
/(/) = Лт sin(®f + а).
В соответствии с изложенными выше соображениями, прак-
тически достаточно ограничить изображение графика функции
одним периодом ее изменения (так, как при установившемся
режиме этот график в дальнейшем повторяется).
По оси абсцисс можно откладывать или время (рис. 9.2, а),
или углы (рис. 9.2,6), которые выражаются • либо в радианах,
либо в градусах. Такое графическое изображение обычно при-
меняют в тех случаях, когда рассматривается протекание про-
цесса в течение одного периода и при этом сопоставляется из-
менение нескольких функций одновременно.
На рис. 9.2, в изображены графики синусоидальных функ-
ций напряжения U = Um sin (со/ + фя) и тока i = Im sin (a>t ф- ф,)
с различными начальными фазами фя и ф(-. Начальные фазные
углы удобно отсчитывать от момента начала синусоид (напри-
мер, от нулевого значения синусоиды при переходе ее от отри-
цательных к положительным значениям) до начала отсчета вре-
мени, обычно совпадающего с началом координат. Если начало
синусоиды сдвинуто влево, то начальная фаза считается поло-
жительной (на рис. 9.2,в, <ря>0), а если вправо, то—отрица-
тельной (на рис. 9.2, в, ф,<;0). Если две функции с одинаковой
частотой не одновременно достигают нулевых или максималь-
ных значений, то говорят, что они сдвинуты по фазе относи-
тельно друг друга. На рис. 9.2, в сдвиг фаз между током и
напряжением равен -у, при этом-' ток i отстает по фазе от
напряжения и на этот угол или напряжение и опережает по
фазе ток i.
Пример 9.7. Проследить за изменением функции мгновенного значения
мощности, характеризующей интенсивность выделения тепла при перемен-
ном токе i = 7m sin = 2 sin а в цепи с сопротивлением г = 30ож.
Решение. Функция мгновенного значения мощности
р = ri2 = rl2m sin® at = г у 1гт (1 — cos 2ш/) =60(1 — cos 2cof).
Полученную функцию можно представить синусоидой двойной частоты
^с начальным углом сдвига ф/) = — yj , смещённой относительно оси абс-
цисс на постоянную величину, равную ее амплитуде (рис. 9.3). Необходимо
отметить, что если среднее значение тока за период равно нулю, т. е.
т
1ср=^г J sie<о< = 0,
О
296
то среднее значение мощности в данном случае
т
„ 1 С ,, 1 — cos2со£ ,, ,«
Р = f J г---------j----dt “ 2 m r = rI = 60 em-
О
(на графике показано пунктирной линией в виде оси симметрии синусоиды).
Графики изменения мгновенных значений функций можно
получить экспериментальным путем, например, с помощью осцил-
лографов.
Для определения установившихся режимов чаще применяют
другую форму графического представления токов и напряжений —
в виде векторов. Такая форма наряду с упрощением построений
позволяет одновременно изображать большое количество величин,
производить некоторые вычисления, а следовательно, и выпол-
нять решения отдельных задач. В основе такого представления
лежит изображение комплексного числа радиусом-вектором в по-
лярной системе координат, обозначаемым большой буквой с точ-
кой наверху. На рис. 9.4 изображен вектор напряжения
(7= (7е'К
От положительной оси начала отсчета, под углом ф„, пост-
роен радиус-вектор в некотором масштабе та, соответствующий
величине напряжения U.
Если одновременно изобразить несколько радиусов-векторов,
то получается векторная диаграмма. На-одной векторной диа-
грамме можно изображать величины, изменяющиеся с одной
общей частотой.
297
В той же системе координат можно представить единичный
радиус-вектор, вращающийся с определенной угловой скоро-
стью и:
п = е.№.
Длина перпендикуляра, опущенного из его конца на началь-
ную ось, определяет соответствующую ординату синусоиды.
Если этот вращающийся радиус-вектор поместить в прямо-
угольной системе координат на комплексной плоскости, то те же
ординаты синусоиды получаются в виде компонент по оси мни-
мых величий (рис. 9.5)
п ~ cos at 4- j sin at.
В тех же прямоугольных осях координат на комплексной
плоскости можно представить и вращающийся радиус-вектор,
который изображает произведение
nU — U е! №+.
Его компонента по оси мнимых величин определяет ординаты
функции мгновенных значений напряжения, если масштаб на-
пряжений при измерении уменьшить в ]/2раз или отложить на
диаграмме амплитудное значение Uт —
Un — U [cos (at + ф„) + j sin (at + фи)],
(рис. 9.6).
Это положение можно использовать и при аналитическом вы-
ражении синусоидальных величин:
и ==/2 Im (Un). (9.1)*
* Обозначением 1m выделяется одна мнимая часть (Imaginary) комплекс-
ного числа без сомножителя /.
298
где умножение на J/2 означает переход к комплексной ампли-
туде напряжения.
Если на комплексной плоскости представлены несколько вра-
щающихся радиусов-векторов, соответствующих нескольким
синусоидальным параметрам режима, то получается вращающаяся
векторная диаграмма. Практически целесообразнее предположить
вращающейся в обратную сторону систему координат (рис. 9.7)
или линию времени, совпадающую с осью мнимых величин.
Тогда векторная диаграмма оказывается неподвижной.
Переход от полярной системы координат к прямоугольной на
комплексной плоскости соответствует переходу от показательной
формы записи комплексных чисел к алгебраической:
U U cos фи jU sin = U' + jU",
где
U = V\Ury + (Uy-, T|>o = arctg^.
Приведенные соотношения позволяют производить (в случае
необходимости) преобразование комплексных чисел из одной
формы записи в другую, что соответствует переходу от одной
системы координат к другой.
Вращение осей координат можно не принимать во внимание.
При аналитическом представлении параметров режима соответ-
ственно можно опустить множитель п. Это допустимо, если все
параметры режима имеют одну общую частоту.
Пример 9.2. Изобразить на комплексной плоскости в виде вектора дей-
ствующего значения тока синусоидальную функцию тока:
299
Решение. Вектор располагается в четвертой четверти под углом
фг- =— 30° к оси вещественных величин и имеет длину в выбранном масштабе,
соответствующую действующему значению
/ = -^=19,8».
Пример 9.3. Написать аналитическое выражение закона изменения функ-
ции напряжения, изображенного на комплексной плоскости вектором дейст-
вующего значения, расположенным под углом в 45° к оси вещественных
величин н имеющим длину в выбранном масштабе ПО в. Частота (измене-
ния напряжения во времени) f = 400 гц. ,
Решение. Искомый закон изменения
и= ПО sin ( 2л-400= 156 sin [ 2512/ + •?') .
\ 4 ) \ 4 J
Пример 9.4. Написать в комплексной форме величину тока, указанную
в первом примере.
Решение. В показательной форме
_. л
/ = 19,8е
в алгебраической форме
/ = (17,1 —/9,9) а.
При выполнении операций с мгновенными значениями сину-
соидальных функций можно пользоваться комплексной формой
записи, не применяя выражения и = ]/2 Im (Uri).
Известно, что
Лт = /21т(Л,л),
где Ат—сопряженное комплексное число по отношению к комп-
лексной амплитуде Ат.
Следовательно,
1т(Ли) = ^ (Ли—Ли).
Поэтому, например, для мгновенного значения напряжения
и = 1 (Umn—ит п) = (Un-Un) = (Un—U п).
На комплексной плоскости это получается при суммировании
двух векторов, вращающихся в противоположные стороны с уг-
ловой скоростью и. Вектор, вращающийся в положительном на-
правлении, имеет начальное значение
и1т = У2и^и~^ ,
вектор, вращающийся в противоположном направлении,
и,т = У2ие'^и+^\
300
Результирующий вектор определяет на оси вещественных
величин соответствующие ординаты синусоидальной функции.
Если не вводить множитель j в знаменатель, то на оси мни-
мых величин будут получаться те же ординаты.
Здесь следует отметить, что изображение синусоидальных
функций (тока, напряжения, магнитного потока и т. п.) в виде
векторов в осях комплексной плоскости не имеет такого же
смысла, какой имеет изображение физических векторов в про-
странстве, к которым относятся, например, векторы напряжен-
ности электрического поля, индукции магнитного поля, электри-
ческого смещения и т. п.
Метод расчета цепей при синусоидальных токах и синусои-
дальных напряжениях, основанный на применении комплексных
чисел для изображения синусоидальных величин в осях комп-
лексной плоскости, обычно называется методом комплексных
амплитуд (комплексным или символическим методом).
§ 9.2. Некоторые понятия о схемах замещения
Определение параметров схем замещения цепей переменного
тока является задачей более сложной, чем цепей постоянного
тока, поскольку во многих случаях здесь приходится делать
различные допущения о взаимном влиянии отдельных ветвей,
не имеющих непосредственной электрической связи. Кроме того,
в целях упрощения схем замещения приходится достаточно тща-
тельно учитывать влияние частоты (изменения токов и напряже-
ний) на характер протекающих явлений. Как правило, с измене-
нием частоты изменяются и схемы замещения одних и тех же
элементов цепи. Это связано прежде всего с усилением влияния
индуктивности, взаимной индуктивности и емкости при увеличе-
нии частоты, а также с протяженностью цепей и, следовательно,
с распределенным характером всех параметров.
Поскольку при низких (промышленных) частотах зарядные
токи оказываются сравнимыми с рабочими только в специальных
устройствах в виде конденсаторов или при дальних электропе-
редачах, то с распределенным характером параметров, а иногда
и с наличием сосредоточенной емкости, иногда можно не счи-
таться. Однако при звуковых и особенно при радиочастотах по-
ложение резко изменяется. При радиочастотах возникают явле-
ния, которые в случае низких частот вообще не наблюдаются
(излучение).
Установившиеся режимы часто рассматриваются условно, так
как состояние цепи в действительности непрерывно изменяется.
Однако скорость этих изменений сравнительно невелика, поэтому
в отдельные интервалы времени можно считать режим практи-
чески установившимся (квазиустановившимся).
301
Рис 9 8
ного поля и
Прежде всего целесообразно выяснить наличие в цепи актив-
ных и нелинейных параметров; в последнем случае необходимо
особо выделить нелинейные элементы цепи, так как по возмож-
ности следует стремиться к линеаризации схем замещения,
отражающих активные элементы цепи (э.д.с. или задающие
токи). В связи с имеющимися возможностями эквивалентной
замены всегда целесообразно выяснять дополнительные сообра-
жения об условиях расчета (в частности, об имеющихся сред-
ствах расчета) и необходимости отражения физических пред-
ставлений. Обычно изображение источников электрической
энергии с помощью э.д. с. в большей мере соот-
ветствует физике происходящих в цепях явлений.
Каждый из пассивных элементов отражает
определенное явление, поэтому включается в
схему замещения только при наличии соответ-
ствующего явления в цепи: активное сопротив-
ление отражает безвозвратное преобразование
электрической энергии в какую-либо другую
форму; индуктивность — наличие магнитного поля;
взаимная индуктивность — взаимную связь ветвей
с помощью магнитного поля; емкость—связь
различных частей цепи с помощью электриче-
ского поля. Трансформация не является парамет-
ром, отражающим какое-либо новое явление, она
лишь в другой форме характеризует индуктив-
ную связь нескольких ветвей с помощью магнит-
в некоторых случаях дает дополнительные пре-
имущества, связанные в частности с упрощением представлений
о соотношениях величин в индуктивно связанных ветвях.
Внешний вид схемы замещения и взаимная связь отдельных
элементов для одной и той же цепи могут быть различными.
Однако конструктивное выполнение и взаимное размещение
элементов цепи обычно позволяет составить такую схему заме-
щения, которая более правильно отражает протекание изучаемых
явлений. Так, в частности, можно достаточно точно установить,
с какими токами связано магнитное поле или с какими напря-
жениями связано электрическое поле и т. д. В процессе расчета
схема замещения может быть преобразована в соответствии
с условиями выполнения решения. Следует иметь в виду, что
во многих случаях применение схем замещения дает возмож-
ность определить параметры цепи экспериментальным путем.
Изменение схемы замещения цепи в зависимости от частоты
можно проследить на цилиндрической катушке (рис. 9.8). При
низкой частоте данный элемент цепи можно представить одним
активным сопротивлением (рис. 9 9, а), отражающим преобразо-
вание электрической энергии в тепловую в связи с нагреванием
провода. Это в особенности справедливо в том случае, когда
302
провод имеет сравнительно малое поперечное сечение и выпол-
нен из металла с относительно большим удельным сопротивле-
нием. При повышенной частоте иногда следует учитывать
влияние э.д.с. самоиндукции; поскольку магнитное поле связано
со всем током ветви, то целесообразно схему замещения соста-
вить в виде последовательного соединения активного сопротив-
ления г и индуктивности L (рис. 9.9,6). При радиочастотах и
малых токах в цепи данную ветвь приходится рассматривать
как часть цепи с распределенными параметрами в виде актив-
ного сопротивления, индуктивности и емкости, что приводит
к изменению значения тока вдоль каждого витка катушки
Рио. 9 9
(рис. 9.9, в). Если при низких частотах можно не учитывать
находящиеся вблизи какие-либо элементы других цепей, то при
радиочастотах это может оказать существенное влияние; может
возникнуть необходимость в учете влияния излучения энергии
в окружающую среду.
Составленная для рассматриваемой цепи схема замещения
дает возможность написать уравнения состояния, справедливые
для любого момента времени. Параметры режима (напряжения,
токи, мощности), характеризующие состояние цепи в любой мо-
мент времени, называются мгновенными. Для мгновенных зна-
чений токов справедливо условие непрерывности тока.
В соответствии с этим для любого узла схемы замещения и
для любого момента времени первый закон Кирхгофа формули-
руется следующим образом: алгебраическая сумма мгновенных
значений токов в узле равна нулю.
Для мгновенных значений напряжений справедливо условие
однозначности потенциалов, которое приводит к следующей фор-
мулировке второго закона Кирхгофа: в любом (замкнутом) кон-
туре схемы замещения алгебраическая сумма мгновенных значе-
ний э. д. с. равна алгебраической сумме мгновенных значений
напряжений на всех элементах того же контура.
В отличие от схем замещения цепей постоянного тока, схемы
замещения цепей переменного тока содержат ветви с током.
303
замыкающимся через емкости (здесь током ветви является гок
смещения в диэлектрике) и э.д.с., вызванные не только дейст-
вием собственно источников электрической энергии, но и дейст-
вием, возникающим от самоиндукции и взаимной индукции
(или трансформации). Следует отметить, что в реальных усло-
виях соответствующие пассивные элементы цепей переменного
тока иногда рассматриваются и в качестве источников питания.
Расчеты установившихся режимов в сравнительно сложных
схемах замещения цепей синусоидального переменного тока
с использованием мгновенных значений токов и напряжений
практически не производятся. В дальнейшем изложены методы
расчета цепей, в которых установившиеся режимы определяются
величинами, выраженными комплексными числами, соответ-
ствующими синусоидально изменяющимся функциям.
§ 9.3. Простейшие элементы цепей переменного тока
В цепи переменного тока встречаются активные и пассивные
элементы — параметры. Первые вызывают появление токов и
напряжений в цепи, а вторые влияют на их значения и рас-
пределение по ветвям цепи. Все токи и напряжения в цепи при
установившемся режиме могут изменяться по синусоидальному

Рис. 9.10
закону только в том случае, если все активные элементы цепи
имеют синусоидально изменяющиеся во времени параметры
(э.д.с. и задающие токи), причем частота изменения всех этих
параметров должна быть одинаковой.
Источники э.д.с. (напряжения) и задающие токи изобра-
жаются на схемах замещения так же,’как и в цепях постоян-
ного тока (рис. 9.10). Отличие в данном случае получается
в том, что соответствующие величины могут быть выражены или
синусоидальными (косинусоидальными) функциями времени, или
комплексными числами с указанием частоты. В дальнейшем
будет показано, что для выполнения расчетов рабочих режимов
цепей переменного тока можно составлять схемы замещения
с параметрами, выраженными комплексными числами.
Пассивные элементы —параметры схем замещения могут
отражать различные процессы. Их разнообразие в цепи пере-
менного тока несколько больше, чем в цепи постоянного тока.
304
Активное сопротивление. Процесс безвозвратного преобра-
зования электрической энергии в какую-либо ДР51 Нформу
энергии (тепловую, механическую и т. д.) отражается активным
сопротивлением г. Такой элемент в наибольшей мере сходен
с понятием сопротивления в цепи постоянного тока. Однако
в данном случае, как отмечалось ранее, приходится предпо-
лагать, что этот элемент не связан с возникновением в соответ-
ствующей цепи, например, магнитного
поля, так как не отражает факта на-
копления энергии при усилении поля
и возвращении энергии при ослаблении
его. Следует иметь в виду, что и по
величине активное сопротивление при
переменном токе не соответствует со-
противлению той же цепи при постоян-
ном токе. Во многих практически
встречающихся случаях это расхожде-
ние получается сравнительно малым
и даже ничтожным; однако в других —
может оказаться весьма большим.
Такое расхождение в основном касается
массивных проводников с большим
поперечным сечением и обусловлено прежде всего неравномер
ным распределением переменного тока по его сечению.
Если в активном сопротивлении ток
i = /msin ф-ф,-),
то напряжение (падение потенциала) на нем
u = ri — rlmsm (ю<4-фJ — Uт sin (о^ 4-ф;),
где
Um = rlm-
Если действующее значение тока выразить комплексным
числом
/ =е'Чх,
V 2
то напряжение
IJ = ri = г е'Х
2 К 2
На рис. 9.11 оба вектора показаны в общих осях координат
на комплексной плоскости и образуют векторную диаграмму.
В данном случае ток и напряжение совпадают по фазе.
20 Теоретические основы электротехники, ч. I
305
Для рассматриваемого элемента мгновенное значение мощ-
ности
p-ui==r? = rI*m 1-0082(^ + 4,,.).
т. е. всегда положительно (рис. 9.12).
Потребление электрической энергии определяется выражением
‘ /2 ‘
wr = ^prdt = r-^ [1 —cos2(<o/ + 'ip,)]d/ =
О о
=/’/2 [z+isin2^—isin
и представляется монотонной функцией.
На рис. 9.12 показано изменение функций мощности (мгно-
венной) и энергии для случая, когда ф,= 0.
Функция мощности является пульсирующей, изменяющейся
периодически с двойной частотой. В соответствии с этим, энер-
гия потребляется неравномерно.
Среднее значение мощности
Т/2
Р=-М prdt = rr^\t h^sinip,—sin (2®/4-ф,-) т= (// = /•/**
J L J •
306
определяет потребление энергии только за целое число полу-
периодов или периодов
W^PK~ ,
где К—целое число.
На схемах замещения цепей переменного тока активное
сопротивление изображается так же, как на схемах цепей по-
стоянного тока (рис. 9.13).
Индуктивность. Изменение тока в индуктивности по сину-
соидальному закону i =/га sin (со/4-ф,) вызывает изменение по-
токосцепления Т, совпадающего по фазе с током, т. е.
Т = Li = sin (tot + ф;),
где xYm—ImL, или в комплексной форме ЧГ,Л = Л/Я>.
L eL
Рис. 9 13
Рис. 9.14
В связи с изменением потокосцепления во времени, в цепи
индуктируется э.д.с. самоиндукции eL, противодействующая по
закону Ленца изменению тока i. Если положительные направ-
ления для i и cl принять одинаковыми (рис. 9.14), то знаки
di
eL и М всегда противоположны, т. е.
eL == — d-¥-.= — L J = —<oTmcos ((о^ф,) =
= — sin ( ®Н-+-у) =“£/»»sin ( •
Э. д. с. самоиндукции в комплексной форме
£Lm= + wYme '* = — jtoLIт = — jxL Iт.
Э. д. с. самоиндукции eL отстает по фазе от тока i на четверть
периода или на угол . Следовательно, вектор действующего
значения э. д. с. самоиндукции Ёд — также отстает от век-
20*
307
уравновешивающее э.д.с. самоиндукции, равно э.д.с. ед, а по
Знаку ей противоположно:
'«l = — eL = L^ = aLIms\n(<at + ^-} = ULm sin(®/ + 4^ ,
где ULm = ELm = aLlm.
Для действующих значений напряжения и тока справедливо
соотношение
или в комплексной форме:
[ — = У-Ь-
jL jxL
Величина = имеет размерность сопротивления и назы-
вается индуктивным сопротивлением. Индуктивное сопротивле-
ние прямо пропорционально ча-
стоте источника э. д.с.
Таким образом, наведенная
э.д.с. отстает по фазе от тока и
потокосцепления на 1/4 периода,
а напряжение на индуктивном
сопротивлении
U = ju>L /
опережает по фазе ток на 1/4 пе-
риода и имеет начальную фазу:
I I I
Ф« = Ф< + ~2 •
На рис. 9.15 показана век-
торная диаграмма, на которой
построены векторы тока, потоко-
сцепления, наведенной э.д.с. и
напряжения на индуктивном сопротивлении.
Интенсивность накопления энергии в магнитном поле опре-
деляется величиной мгновенного значения мощности: при усло-
вии (принятом в целях упрощения графического построения,
рис. 9.16) ф, = 0 получается:
р = и Л = 4- Uт sin 2(oi = (oL/2 sin 2at.
•Lt Li v Tn ТП
Среднее значение мощности равно нулю.
Энергия магнитного поля
t
[ — cos2(oi) = 5^(1 — cos2®0=^-(I—cos2®0
tCO XvJ X
308
имеет пульсирующий характер и через каждые полпериода-
основной частоты снижается до нуля. Это значит, что за целое
число полупериодов вся энергия, полученная магнитным полем
из цепи, равна нулю. Иначе говоря, в течение каждого полу-
периода накопленная энергия полностью возвращается из маг-
нитного поля в цепь (рис. 9.16).
Данный элемент является, конечно, идеализированным, так
как обычно схема замещения реальной катушки, наряду с ин-
дуктивностью, обязательно содержит активное сопротивление.
Произведение действующих значений тока и напряжения
имеет размерность мощности
UJ=QL-
В связи с другими физическими процессами, имеющими
место в данной цепи, по сравнению с процессами, протекаю-
щими в цепи с активным сопротивлением, эта
мощность называется реактивной и измеряется
в вольтамперах реактивных (вар).
Емкость. Заряды qa и qB на электродах
конденсатора с идеальным диэлектриком (рис.
9.17) равны и противоположны по знаку, т. е.
?& = — qB, при этом <7а = С(фа—<рв) = Сиав. Для
выбранного положительного направления напряжения иав = ис
заряд q& имеет такое же направление. Ток i в ветви с емкостью
равен производной от заряда по времени и при указанном
положительном направлении знак гока совпадает со знаком
НИ4-'
Рис. 9.17
309
производной, так как приросту заряда qA соответствует поло-
жительное значение тока. Следовательно, между током i и на-
пряжением ис на конденсаторе существует связь:
dq. dq п dur 1 Р . <,
t — ~ТТ — УТ — ~jT i ИЛИ Ur = VT \ idt.
dt dt dt L C J
Если напряжение на емкости изменяется синусоидально
wc= ^cmsin (со/+ф„),
то соответствующие заряды также изменяются синусоидально
q = Сис = UCmC sin (он1 ф ),
что сопровождается изменением зарядного тока (того же поло-
жительного направления, что и напряжение):
J'=^ = “C/7Cmcos (юг' + фД = ^sin ( «+4) •
ut- A,Q Y X j
В комплексной форме амплитуда тока
i*c ’
Для действующих значений
тока и напряжения можно на-
писать соотношение:
На рис. 9.18 показана соот-
ветствующая векторная диаг-
рамма. Ток в емкости опере-
жает по фазе напряжение на
1/4 периода.
Интенсивность накопления
энергии в электрическом поле
Рис. 9.18 определяется функцией мгно-
венной мощности. При фц= О
(принято для упрощения графических построений на рис. 9.19)
рс = uci = UCI sin 2<оЛ
В этом случае так же, как и в цепи с индуктивностью,
мощность изображается синусоидой двойной частоты. Ее сред-
нее значение равно нулю (рис. 9.19). Изменение знака мощно-»
сти означает изменение направления движения энергии.
310
Запас энергии в электрическом поле конденсатора
t
wc = j pcd/ = ^^(l —cos 2(0/)
О
^•(1 — cos 2(0/)=
U*
= С -у (1 — cos 2(о/)
изменяется периодически, принимая нулевое значение через
каждые полпериода. Это означает, что в течение каждой поло-
вины периода происходит полный цикл накопления энергии
(в связи с созданием поля в конденсаторе) и ее возвращения
в цепь (в связи с его ослаблением). За целое число полуперио-
дов суммарная энергия, накопленная в электрическом поле
емкости, равна нулю.
Произведение тока на напряжение так же, как и в случае
индуктивности, определяет реактивную мощность:
/7C/=QC
(более подробно о значении этой величины будет сказано далее).
Таким образом, при соетавлении электрических схем заме-
щения могут быть применены в качестве активных элементов
источники э. д. с. и источники токов, а в качестве пассивных
элементов — активные сопротивления, индуктивности и емкости.
Напряжения и токи в цепи могут изменяться синусоидально
при синусоидальном изменении параметров активных элементов
(с одной частотой) только в том случае, когда параметры пас-
сивных элементов схемы замещения остаются неизменными
311
в течение каждого периода изменения параметров режима.
Поэтому в дальнейшем предполагается, что рассматриваемые
цепи могут обладать только инерционной нелинейностью, при
которой зависимость параметров элементов цепи от режима
работы может проявляться только за время, длительность ко-
торого значительно более одного периода. Цепи с безынерцион-
ной нелинейностью рассматриваются далее.
Пример 9.5. В элементе с активным сопротивлением г = 10ол ток
2 = 100 а. Определить интенсивность преобразования электрической энергии
в тепловую.
Решение. Средняя мощность
р = г/2=10-1002=100 000 вот = 100 квт.
Пример 9.6. Определить реактивное сопротивление, возникающее
в элементе с индуктивностью £ = 0,1 гп при частотах f, = 50гц и (2=10кгц.
Решение. В первом случае
х£ = 2л-50-0,1 =31,4 ом,
а во втором
х£ = 2л- 102-0,1 = 6,28- 10* = 6280 ом.
Пример 9.7. Определить токи в емкости С = 10 000 пф при частотах
f, = 50 гц и f2 = l Мгц, вызванные напряжением Uc~ 100 в.
Решение. В первом случае
100-2Л-50-10“’= 3,14-Ю'1 я;
во втором
/2 = 100.2л- 10е. 15’ = 6,28 а.
Рис. 9.20
то мгновенная мощность
§ 9.4. Энергетические процессы в цепи
переменного тока
В общем случае в любом месте цепи ток и напряжение мо-
гут быть сдвинуты по фазе на любую часть периода или на
любой угол. Если на некотором
участке цепи напряжение (рис. 9.20)
u = t/wsin (®/+фв) = — п),
а ток
т/’о’ • < * *
i = Im sin {(At +Ф,) =~2j~ {! п— Г п),
p~ui—[cos (фи—ф()—cos (2<ot + ф„ 4- ф,)].
На рис. 9.21 показан график мощности р для случая, когда
Ф = Ф«—Ф,-<у и Ф„ = 0,
312
а на рис. 9.22 для случая, когда
Ф = '1’в —и фа = 0.
Как видно, мгновенная мощность р может принимать в лю-
бом случае как положительные, так и отрицательные значения
при ф;. Это означает, что в различные промежутки вре-
мени энергия передается из первой части цепи (/) во вторую
(//) и наоборот. Первое соотношение получается при совпадении.
Рис. 9.21
знаков тока и напряжения, а второе—при противоположных
знаках. Длительность этих промежутков времени различна
в зависимости от абсолютного значения угла сдвига фаз между
токами и напряжением
|<р|<-2- или |<р|.
В зависимости от величины угла гр изменяется и знак сред-
ней мощности
р =
Т У pdt
= —-- cos (фа — ф() — UI COS ф,
которая называется также активной мощностью. Активная мощ-
ность равна нулю только при
। п
ф=±-2-
313
Величина энергии, передаваемой из первой части цепи во
вторую,
t
w = ^pdt = [cos (pt 4- sin (фв + ф,)—
—2~ sin(2©/4-^a4-4).)] ,
является пульсирующей. Однако за целое число полупериодов
Л она определяется через активную мощность по формуле:
Во многих случаях изменение мгновенной мощности в тече-
ние периода не представляет особого интереса. Поэтому для
определения величины энергии можно принимать величину
средней или активной мощности.
Однако одна и та же активная мощность может быть полу-
цена при различных значениях тока и одном и том же напря-
жении или при разных значениях напряжения, но при одном
и том же токе—в зависимости от значения сдвига фаз между
током и напряжением.
Для получения более полной, не усредненной, характеристики
энергетических процессов в цепи следует исходить из функции
мгновенной мощности.
314
При заданной угловой частоте и функция мгновенной мощ-
ности определяется тремя вещественными числами — 3, <р и фр:
p(t) = S [cos q>—cos (2<о/ -L- фр)),
где S = UI—амплитуда пульсации мощности;
ф =Фв+Ф<—фазный угол периодической слагающей мгновен-
р ной мощности.
Мгновенную мощность также можно выразить через комплекс-
ные значения напряжения и тока *
p = Re (S—Nn1),
r№N=Ui—комплекс пульсирующей мощности;
S— UI — комплекс полной мощности**.
При заданной величине основной частоты мгновенная мощ-
ность определяется комплексными числами S и N при наличии
между ними следующей связи:
|3| = |ЛГ| = Ш.
Во многих случаях начальный фазный угол периоди-
ческой слагающей мгновенной мощности можно принять рав-
ным (р. Тогда характер явления достаточно полно характеризуется
комплексом полной мощности
S = P-b/Q,
где Q — реактивная мощность.
Реактивная мощность возникает при <р=#=0 и <р#=л, т. е.
когда в цепи имеются процессы периодического накопления
и последующего возвращения энергии. В частности, энергия
может накопляться в результате возникновения магнитных и
электрических полей.
Реактивная мощность может иметь как положительный, так
и отрицательный знак при положительном знаке активной мощ-
ности. Это зависит от знака угла <р: при <р>0 (фя>ф; — ток
отстает по фазе от напряжения) реактивная мощность положитель-
на, а при <р<0 (фц<:ф,-—ток опережает по фазе напряжение) —
отрицательна.
Таким образом, в случае индуктивности реактивная мощность
положительна, а в случае емкости—отрицательна.
Комплексные значения полной и пульсирующей мощностей
можно изображать на комплексной плоскости в виде векторов.
Однако не следует изображать их вместе с векторами токов и
* Обозначением Re выделяется одна вещественная часть (Real) комп-
лексного числа.
* * Можно принять S — U1, при этом изменится знак у мнимой со-
ставляющей.
f
315
напряжений, поскольку частота изменения периодической сла-
гающей мгновенной мощности вдвое больше частоты изменения
токов и напряжений.
Пример 9.8. Определить амплитуду пульсации мощности при U— 220 в,
1 = 100 а, <р = 45°.
Решение. Активная мощность
i/"2
P = U I cos ф = 220-10 • —£—= 15,6 кет;
амплитуда пульсаций мощности
S = N = 220-100 = 22 кет;
наибольшее значение мгновенной мощности
ртах= 15,6 + 22 = 37,6 кет,
а наименьшее значение
pmin= 15,6—22 =— 6,4 кет.
Пример 9.9. Определить реактивную и полную мощности для предыду-
щего примера.
Решение. Реактивная мощность
тЛо
<2 = 17/ sin <р = 220-100 ^—= 15,6 квар.
Комплекс полной мощности
S = Р +jQ = (15,6 + ) 15,6),
где Р— 15,6 кет, a Q= 15,6 квар.
§ 9.5. Взаимная индуктивность
Если в одном из индуктивных элементов цепи (рис. 9.23)
изменяется ток ц, а создаваемый им магнитный поток сцеплен
не только со своим, но и с другим индуктивным элементом,
ZZ1, щ
Рис. 9.23
то в первом элементе индукти-
руется э.д.с. самоиндукции e1L=
. di,
= —Ll , а во втором элементе
наводится э.д.с. взаимной индук-
ции егя = —М12 ^7 В свою оче-
редь, изменение тока i2 вызывает
э.д.с. самоиндукции во втором
г di 2
элементе e2i =—и э.д.с.
взаимной индукции в первом элементе
е1Л = ~ (на рис.
9.23 ток i2 и э.д.с. е1М показаны пунктирными стрелками); при
этом можно показать, что М]г = /И21 = М. Если пренебречь
активными сопротивлениями индуктивных элементов, то напря-
жения Uj и ut на их зажимах, уравновешивающие соответствую-
316
щие электродвижущие силы самоиндукции и взаимной индукции,
можно записать в виде:
U=L$+Md±.
При синусоидальных токах it = 7tfflsin(co/ и i2 = /2тз1п(и/4-ф2)
составляющие напряжений ut и u2, уравновешивающие соответ-
ствующие э.д.с. взаимной индукции, определяются следующими
уравнениями:
uiM = — e1J( = М = со М1гп cos (at +ф2) =
= <oAfZ2W2sin ( ®/ + ф2 +
игм = - егм = М d± = <0 MIim cos (at + ф,) =
= fflAf/13(sin ( и/4-^ + ^у
Из полученных выражений следует, что э.д.с. взаимной индук-
ции е1М и егм отстают по фазе от соответствующих токов t\ и i2
на угол а составляющие напряжений и1Л4 =— е1М и и2М =
= — е2М, уравновешивающие э.д.с. взаимной индукции, опере-
жают по фазе соответствующие токи на тот же угол. Поэтому
комплексные действующие значения напряжений, уравновешиваю-
щих соответствующие э.д.с. взаимной индукции,
^1Л< = /(0М И =
В этих выражениях величина йМ имеет размерность сопро-
тивления и называется сопротивлением взаимной индукции.
Комплексные действующие значения суммарных напряжений
на зажимах элементов определяются следующими уравнениями:
Ul = jaLjt 4-/(оЛ4/2;
C72 = /®L2/2+/®M/1.
На рис. 9.24, а и б построены векторные диаграммы для
соответствующих индуктивно связанных элементов, наглядно
иллюстрирующиеь взаимное положение векторов токов и напря-
жений на отдельных элементах. Таким образом, при перемен-
ном токе в каждом элементе цепи, индуктивно связанном с
другим элементом, возникают э.д.с. самоиндукции и э.д.с. вза-
имной индукции. Взаимное влияние этих э.д.с., индуктируемых
в одном и том же элементе, зависит от взаимного направления
магнитных потоков, создаваемых токами соответствующих элемен-
тов.
На рис. 9.25, а показаны две катушки с одинаковой намоткой
витков. Пользуясь правилом буравчика, легко убедиться, что
в этом случае потоки самоиндукции и взаимной индукции
317
Рис. 9.24
318
совпадают по направлению. Поэтому в каждой катушке (рис. 9.23
и 9.25) э.д.с. самоиндукции и взаимной индукции складываются.
На рис. 9.25, а и б отмечены одинаковыми индексами (точками
и одинаковыми буквами) одноименные, или, как говорят, од-
нополярные, зажимы обмоток, характеризующиеся тем, что при
одинаковых направлениях токов
i и ^относительноодноименных
зажимов (от концов, отмеченных
точками, к другим концам или
Рис. 9.25
просто—от начал к концам),
магнитные потоки самоиндук-
ции и взаимной индукции скла-
дываются в каждой катушке.
Здесь необходимо особо оста-
новиться на некоторых вопро-
сах, связанных с определением
полярности зажимов обмоток.
Пусть положительные направ-
ления для э.д.с. взаимной ин-
дукции eiM во второй катушке
и тока i, в первой катушке
выбраны относительно однои-
менных зажимов одинаковыми,
концам рассматриваемых обмоток
т.
е., например, от начал к
(рис. 9.25, а). Если, при
этих условиях ^->0, то по закону Ленца е2Л1< 0 (э.д.с. взаим-
ной индукции имеет такое направление, при котором вызываемый
ею ток во второй катушке создает магнитный поток, противо-
действующий потоку взаимной
индукции). Иначе говоря, э.д.с.
взаимной индукции егм имеет
L направление от одного зажима
второй катушки к зажиму,
V J отмеченному точкой, потенциал
>т<- которого оказывается выше по-
J тенциала другого зажима той
же обмотки.
Явление повышения потен-
циала на одноименном зажиме
Рис. 9 26 одной обмотки при наличии
тока, возрастающего во времени
и направленного к соответствующему зажиму другой обмотки, при-
меняется для экспериментального определения полярности зажи-
мов индуктивно связанных катушек. С этой целью одна из катушек
включается в цепь источника постоянного напряжения, а к дру-
гой катушке присоединяется вольтметр или гальванометр посто-
янного тока (рис. 9.26). Если в момент включения рубильника
319
в цепи источника напряжения (^>0j стрелка измеритель-
ного прибора постоянного тока, включенного на зажимы второй
обмотки, отклонится в положительную сторону, то концы кату-
шек, присоединенных к положительному полюсу источника
электрической энергии и к положительному зажиму прибора,
являются одноименными.
На рис. 9.27, а и б показано последовательное, согласное
соединение двух обмоток, расположенных на одном и том же
Рис. 9.27
сердечнике (не ферромагнитном). Токи в обмотках равны по ве-
личине и имеют одинаковые направления относительно одноимен-
ных зажимов; в результате этого магнитные потоки самоиндук-
ции и взаимной индукции, сцепленные'с каждой катушкой, а так
же э.д.с. самоиндукции и взаимной индукции, индуктируемые
в катушках, складываются. Поэтому суммарное напряжение на
зажимах обеих обмоток
u^^ + u^r^ + L^+M^ + r^ + L^+M^^
= (r1+r2)i + (AI + T2 + 2M)g,
где u^r^ + L^+M^ и u^rzit + Lt^ + M
— напряжения соответственно на первой и второй обмотках;
320
М —напряжение, уравновешивающее э.д.с. взаимной индук-
ции, индуктируемую в первой обмотке потоком второй;
М — напряжение, уравновешивающее э.д.с. взаимной индук-
ции, индуктируемую во второй обмотке потоком первой.
При встречном соединении, когда токи i, и i2 в обмотках
направлены от разноименных зажимов (рис. 9.27, в), а потоки само-
индукции и взаимной индукции, сцепленные с каждой обмоткой,
вычитаются, напряжения на катушках:
Так как i, = it = i, то суммарное напряжение для встречного со-
единения
u = u1 + u2 = (r1+r2),i + (Z.1+T2 —2Л4)^ .
Из выражений, определяющих напряжение и при различных
соединениях обмоток, следует, что при их согласном соединении
эквивалентная суммарная индуктивность цепи увеличивается и
равна = + L2+ 2М, а при встречном соединении—умень-
шается и равна Лв = Ь14-Л2 — 2М.
Для более наглядного представления процессов, протекающих
в цепях с взаимной индукцией, необходимо установить связь
между индуктивностями обмоток Ьг, взаимной индуктив-
ностью М и индуктивностями рассеяния LiS и L1S.
На рис. 9.28 схематично изображена картина поля двух
катушек с токами г\ и <2. Пусть ток z2 = 0, тогда поток Фп,
21 Теоретические основы электротехники ч, 1 321
сцепленный с витками да, первой катушки,
фп = ф15+ф21>
где Ф15—поток рассеяния, сцепленный только с витками первой
катушки;
Ф21 — поток взаимной индукции, создаваемый током и сце-
пленный с витками w2.
Если считать каждый поток сцепленным со всеми витками
соответствующей обмотки, то индуктивность Л, первой катушки
и взаимная индуктивность между обмотками определяются сле-
дующими соотношениями:
= и М = Л121 = ^.
1 «! 21 Ч
Аналогичным путем можно получить выражения, опреде-
ляющие поток Ф22, создаваемый током i2 при 1\ = 0, индуктивность
Л2 и взаимную индуктивность М = М,г в виде:
ф2г=фгх+ф12. = и М = М12 = -^2.
*2 2
Индуктивности рассеяния обмоток
Для установления связи между индуктивностями рассеяния
LlS, L2S, индуктивностями обмоток L,, L2 и взаимной индуктив-
ностью М следует написать выражения для LiS и L2S через отно-
шения потоков к соответствующим токам:
J ^1®!$ (®П ®21) _ ^1®!! Wl . Ш2®21 —I, W' A'l'
lS ~ i, — 4 ii w2' 1 ЫУ s ’
J W2®iS И12(Ф22— ®12)_tt’2®22 “>2 _tv2 M
i2 Wl- i2 Wim-
Из этих уравнений легко получить:
и L=Ls4-—2M.
Если значения и L2 подставить в выражение коэффициента
Связи
М М =
м
M2 + ^lS^ts + M
322
то из полученного соотношения следует, что при LlS=#0 и L2S=#0
коэффициент связи всегда меньше единицы, т. е. Х<1.
При токах i, и i2, не равных нулю (рис. 9.28), суммарные
потоки, сцепленные с витками первой и второй обмоток, опре-
деляются с помощью выражений:
Ф, =Фи +Ф12 = Ф15 + Ф21+ Ф12 = Ф15+ФС;
Ф2 = Ф22 + Ф21 = ф25 + Ф12 + Ф21 = ф25 + Фс,
где Фо = Ф12 + Ф21 — суммарный магнитный поток, сцепленный
со всеми витками первой и второй обмоток.
В цепях переменного тока взаимная индуктивность М обычно
входит в качестве элемента цепи (рис. 9.29) совместно с индуктив-
ностями обмоток и их активными сопротивлениями. Для схемы,
показанной на рис. 9.29 (с учетом полярности обмоток и поло-
жительных направлений токов и (
напряжений),
и = г i 4-L 4-
или при синусоидальных напряже- Ц
ниях и токах в комплексной форме:
U^Z^+jaMI,;
U2=jaM/\ + Z2/s,
где Z1 = r1 + j(oL1 и Zs = rs + j(oL2— о-1 п I........0
комплексы полных сопротив- рис. у.29
‘ лений первого и второго эле-
ментов (без учета взаимной индуктивности); jaM— комп-
лекс сопротивления взаимной индукции.
С помощью полученных уравнений для напряжений U1 и
02 можно выразить комплексы действующих значений токов
?! и /2, построить векторную диаграмму и установить связь
между активными и реактивными мощностями в рассматриваемой
индуктивно связанной цепи.
Пример 9.10. Определить взаимную индуктивность между двумя
ветвями, выполненными в виде катушек, если в случае их последовательного
включения при/ = 50гц суммарное индуктивное сопротивление х1В = 10ом,
а при пересоединении концов одной из катушек на обратное x2c = 22,5om.
Решение. В первом случае (встречное соединение, рис. 9.27, в)
х1в = <о (£, + L2—2Л4) = 10 ом,
во втором (согласное соединение, рис. 9.27, б)
х2с = <о (L, + L2 + 2Л4) = 22,5 ом,
поэтому
М = Xie = g.^5—10 = гн
4<в 4-314
21*
323
§ 9.6. Трансформация
В некоторых случаях явления в двух индуктивно связанных элементах
более наглядно можно представить путем разделения общего магнитного
потока, создаваемого токами обеих катушек, на три части: потокосцеп-
ление Yjs только с первой катушкой, потокосцепление 'F2$ только со
второй катушкой и общий поток, сцепленный одновременно с обеими
катушками. При этом с помощью общего потока (суммарного) Фс потоко-
сцепление для первой катушки
а для второй —
ZM ~
Соотношение между потокосцеплениями н Ф2М определяется карти-
ной магнитного поля и геометрическими размерами индуктивно связан-
ных элементов (катушек), т. е. является параметром цепи:
Комплексы действующих значений напряжений, уравновешивающих
э д.с., индуктированные впервой и во второй катушках общим магнитным
потоком, можно выразить через соответствующие потокосцепления в виде:

В эти выражения входят комплексы амплитудных значений потоко-
сцеплении и ~V2M. Следовательно, отношение составляющих напряжений
UiM и U2M, уравновешивающих э.д.с., индуктируемые в соответствующих
обмотках общим потоком, равно той же величине К, т. е.
и™
Комплекс пульсирующей мощности, определяющей изменение энергии,
находящейся в общем магнитном поле, равен сумме соответствующих
значений комплексов пульсирующих мощностей для обеих катушек:
N = NN2М,
где
fi2М — 1г! Y2,«-
Здесь следует особо подчеркнуть, что общий поток создается одновременно
токами /, и /2 обоих индуктивно связанных элементов.
Из предыдущего следует, что комплекс пульсирующей мощности можно
записать в виде равенств:
N=цй1М + 1гйгм = (Л + =(/.Л+1г)йгм=ileu\M=ilcuiM.
Так как поток Фри создается током /1с и находится с ним в фазе, то из
выражения
Kc^im — Лс/
324
непосредственно следует, что между током
ч
сдвиг фаз, равный -% , причем ток /1с
/1С и напряжением U1М имеется
отстает по фазе от напряжения
О1М иа указанный угол. Это означает, что отношение напряжения U1M
к току можно принять равным некоторому комплексу индуктивного
сопротивления = . Аналогично можно показать, что ток /2С от-
Лс
л
стает по фазе от напряжения U2M на тот же угол , а отношение на-
пряжения йгм к току /2С можно приравнять комплексу индуктивного со-
противления jxSM=^~ .
Лс
Из выражения для пульсирующей мощности

легко получить соотношение
/у2 ди
ui м • I -— j = г.н I -— j
\ /1с / \ /2С
или /
й2 й2
U 1 М _ и2М
1Х1М ]хгм
й2
откуда — = ^-^ = К2.
Х2М IJ2
2М игм
Полученные выражения для комплекса пульсирующей мощности и для опре-
деления реактивных сопротивлений х1М и хгл1 отражают действие только
Рис. 9.30
взаимной индуктивности между катушками. Этим соотношениям соответ-
ствуют схемы замещения, показанные на рис. 9.30, а и б, в которые в
качестве составного элемента схемы входит трансформация К (иногда назы-
ваемая идеальным трансформатором).
Если эти схемы замещения дополнить соответствующими сопротивлениями
самих катушек (собственными), то легко получить полные схемы замещения
Для заданной цепи (с двумя индуктивно связанными элементами), показан-
ные на рис. 9.31,
325
Для схемы, изображенной на рис. 9.31, а, справедливы уравнения:
*А = riA + / <>>А$А + А+^ J = А (211 + /х1л) + /2 ;
^А = raA + i®LtSi г~Ь^гм = ^ аАд + U гм>
где i<dLiS=^'s. и i<&LiS =f-^tS.
А А
— индуктивные сопротивления первой и второй катушек, обуслов-
ленные соответствующими потоками рассеяния; Z, i — и
Z2i = fa + /®As—собственные полные сопротивления первой и второй кату-
шек заданной схемы
Если полученное уравнение для напряжения Ux сравнить с выраже-
нием, определяющим то же напряжение в схеме, показанной на рис. 9 29,
то легко получить следующие соотношения между параметрами, входящими
в эти уравнения:
Хл== К2 И Zi = Zi£ + Aij<-
Аналогично можно показать, что схеме замещения (рис. 9.31, б) соот-
ветствуют уравнения:
1/2= (А^ + А) !хгм + raA + — (Ад+ /хал) h + 1хгм^\>
^А=riA+j® As А + ^Ал = АдА+^Але
326
Путем сравнения выражения для 02 с выражением, определяющим это на-
пряжение в схеме, изображенной на рис. 9.29, получается
хм “ ^хзм и ^2 = 4" /хгм
Таким образом, заданная схема (рис. 9.29) и любая из схем замещения,
изображенных на рис. 9.31, может взаимно заменяться во всех случаях
расчета цепей с взаимной индукцией.
Схемы замещения, показанные на рис. 9.31, представляют собой задан-
ную часть цепи более подробно, чем основная исходная схема. Индуктив-
ное сопротивление (*,.$ или xzS) отражает явление самоиндукции, вызван-
ное в соответствующей ветви потоком рассеяния.
Ветви с реактивными сопротивлениями х1Л1 и хгм отражают явление,
связанное с созданием общего магнитного поля; токи в этих ветвях назы-
ваются токами намагничивания. Трансформация с параметром К отражает
передачу энергии из одной ветви в другую с помощью взаимной индукции.
Непосредственно из схем, приведенных на рис. 9.31, видно, что при
трансформации сохраняются неизменными комплексы полной S12 и пуль-
сирующей Ni2 мощностей.
Целесообразность применения той или иной схемы замещения для
ветвей с индуктивной связью определяется условиями расчета. Обычно
при отсутствии в магнитной цепи стального сердечника применяется основ-
ная схема, изображенная на рис. 9.29 (как более простая), а при наличии
стального сердечника—схемы, приведенные на рис. 9.3k Это обусловлено
главным образом тем, что в трансформаторах со стальными сердечниками
ветвь намагничивания во многих случаях может быть исключена из рас-
смотрения, как мало влияющая на результаты расчета, а трансформация
входит в качестве параметра, равного отношению чисел витков обмоток.
Пример 9.11. Отразить в схеме замещения следующий факт: вследствие
магнитной связи ток Ц в первой ветви схемы в К раз меньше тока /п во
второй ветви при совпадении с ним по фазе, а э. д. с. Ё[, наводимая
в первой ветви той же схемы, в К раз больше э. д. с. Ед, наводимой во
второй ветви при совпадении с ней по фазе.
Решение. Данный факт просто отражается на схеме замещения
с помощью элемента трансформации с параметром
k=-4l=-Ql.
£ц Л
Пример 9.12. Отразить в схеме замещения следующий факт: вследствие
специальных условий (такие случаи в дальнейшем будут встречаться) ток
/{ в первой ветви схемы должен отставать по фазе от тока /и во второй
2
ветви на угол -х-л при совпадении с ним по величине, а э. д. с. Е{, наво-
и
димая в первой ветви той же схемы,- должна опережать э. д. с. Ёц, наво-
димую во второй ветви, на угол-у л при совпадении с ней по величине,
и
Решение. Данный факт просто отражается в схеме замещения с по-
мощью элемента трансформации с комплексным параметром
х=А=А=Л»
«и Л
К схемам цепей переменного тока относятся все правила, указанные
Для схем постоянного тока. Особенностью цепей переменного тока является
осуществимость связи с помощью взаимной индуктивности илн трансфор-
327
мации, т. е. без непосредственного электрического соединения. Поэтому
в данном случае принципиально возможно составление эквивалентной
схемы по коэффициентам контурных уравнений.
Вопросы для самопроверки
9.1. Дать определение цепи синусоидального переменного тока.
9.2. Какими величинами обычно определяется синусоидально изменяю-
щаяся функция?
9.3. Что понимается под действующим значением синусоидально изме-
няющейся величины?
9.4. В чем заключается преимущество представления синусоидально
изменяющейся функции комплексным числом? Какие при этом вводятся
условности?
9.5. Почему важно наряду с законом изменения тока и напряжения
иметь их положительные направления на схеме?
9.6. В чем состоит принципиальное отличие изменения функции мгно-
венной мощности от функции мгновенных тока и напряжения?
9.7. Какие явления, происходящие в цепи переменного тока, отража-
ются в схемах замещения активным сопротивлением, индуктивностью и
емкостью?
9.8. Что показывают значения мгновенной, активной, реактивной и
пульсирующей мощностей? В каких случаях достаточно пользоваться вели-
чинами активной и реактивной мощностей?
9.9. Какие величины достаточно знать, чтобы определить суммарную
величину мгновенной мощности для двух произвольных элементов схемы
замещения?
9.10. О чем свидетельствует отрицательное значение мгновенной мощ-
ности?
9.11. Что отражают на схеме замещения элементы взаимной индуктив-
ности и трансформации? В чем заключается их различие? В чем заклю-
чается их общность?
9.12. Почему важно отмечать на схемах замещения одноименные концы
ветвей с взаимной индукцией?
Глава X
ОСНОВЫ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ
ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ
§ 10.1. Катушка с постоянной индуктивностью
и постоянным активным сопротивлением в цепи
синусоидального тока
В цепи, состоящей из реальной катушки, одновременно про-
исходят безвозвратное преобразование электрической энергии
в какую-либо другую форму и периодическое накопление энер-
гии в магнитном поле (при его усилении) с последующим воз-
вращением этой энергии в цепь (при ослаблении магнитного
поля). Поэтому схема замещения такой катушки должна содер-
328
жать активное сопротивление г и индуктивность L. При этом
целесообразно считать эти элементы соединенными последова-
тельно, так как оба указанных процесса обусловлены одним и
тем же током цепи (рис. 10.1). На основании второго закона
Кирхгофа для схемы, изображен-
ной на рис. 10.1, мгновенное ~еь г
значение напряжения
u = ri—е, — п-\-Ь^ • I г ------------₽•
L dt Ь t
При синусоидальном измене- ♦
нии тока i — Im sin и/ напряже- е
ние на зажимах схемы Рис- 10.1
и = rlm sin at + aLIm COS at.
Эти два синусоидальных колебания с амплитудами г!т и (аЫт,
сдвинутых на четверть периода, можно сложить и получить
одно синусоидальное колебание с амплитудой
Um = У(г!тУ + ^ЫтУ = !т У~г‘ + ^У
и с начальной фазой, определяемой из выражения
, <oLIm mL
tg) = Um sin (at + <p),
где
Um^lmVr2 + (aL)2^Imz.
Величина z = ]/r2 + (®£)2 имеет размерность сопротивления
и называется полным сопротивлением цепи переменного тока,
содержащей активное сопротивление г и индуктивное сопротив-
ление xL = aL. На рис. 10.2 построены графики синусоидальных
функций тока в цепи и напряжений на участках. На активном
сопротивлении напряжение ur = ri совпадает по фазе с током i,
а на индуктивности напряжение иЛ опережает ток i на угол,
равный ~ .
График суммарного напряжения u = ur-\-uL получен путем ал-
гебраического суммирования ординат напряжений иг и uL для
одних и тех же значений времени t. Начальная фаза напряже-
ния равна <р, причем ток i отстает по фазе от суммарного
напряжения на угол <p = arctg^ или напряжение и опережает
ток на тот же угол <р. Аналогичные соотношения между током
329
и напряжениями на участках гепи можно получить из уравне-
ния Кирхгофа, записанного в комплексной форме:
*4 = rim + = (г + jaL) im = Z 'lm,
откуда
/ = m = m
m r + jaL Z ’
или для действующих значений
(У й U
r + js>L~ r + jxL~ Z ’
где Z = r-)-jxL = ]/r2 4-(хл)2е/ф — комплексное полное сопротивле-
ние цепи.
Полученное уравнение выражает закон Ома для простейшей
цепи переменного тока, состоящей из индуктивности L и соп-
ротивления г.
В соответствии с полученным выражением, устанавливающим
связь между комплексами действующих значений тока I и напря-
жения 0, очень часто на схемах замещения показывают ком-
плексные значения сопротивлений и положительные направления
для комплексных значений токов и напряжений (рис. 10.3). На
рис. 10.4 построена векторная диаграмма в виде комплексов
тока / и напряжений Uг и UL на отдельных участках и сум-
марного напряжения U. Из этой диаграммы видно взаимное
положение всех векторов.
На рис. 10.5 построен прямоугольный треугольник сопротив-
лений Z = r+jx£. Этот треугольник можно также получить из
330
векторной диаграммы напряжений путем деления всех сторон
треугольника напряжений на один и тот же ток I.
В зависимости от соотношения между активным и индуктив-
ным сопротивлениями цепи изменяется и угол сдвига фаз <р
Комплексное выражение полной мощности для такой цепи
S = P + /Q = C/7 = Se^,
где Р — ri1 = UI cos <р—активная мощность;
Q = x£/2 — UI sin ф — реактивная мощность.
S = ]/ P2 + Q2=t// = z/2;
Ф = arg S = arc tg -2- = arc tg .
Полную мощность можно представить вектором на комплекс-
ной плоскости (рис. 10.6).
Легко показать, что треугольники сопротивлений, напряже-
ний и мощностей получаются подобными (рис. 10.4, 10.5 и 10.6).
Изображать на одной диаграмме
(в одних и тех же осях координат) комп-
лексы сопротивлений, напряжений и
мощностей не рекомендуется, посколь-
ку они имеют различный физический
смысл.
Пример
цепи г =10
Определить
между током и напряжением при //=104 в,
если fj = 50 гц и f2=l кгц.
Решение. В первом случае
10.1. Активное сопротивление
ом, индуктивность /.= 10 мгн.
ток в цепи и угол сдвига фаз
Zt= 10 + /2Я-50-10~2= 10 + /3,14 = (10,45-е/17-‘°) ом; при ф„ = 0
/-r==Se-/I7's-=(10e’/I7't’Ja-
331
Во втором случае
Z2= 10 + 2Л- 10е-10-* = (10 + /62,8) = (64,4e/i0’) ом
и при тех же условиях
Пример 10.2. Рассмотреть энергетический процесс в цепи катушки
с активным сопротивлением г= 10 ом и индуктивностью £ = 0,032 гн при
/ = 50 гц.
Решение. Если чр4- = О, то напряжение на катушке
и = Um sin («/ + <р) = Um sin -f-i,
Мгновенная мощность в цепи
P = Pr + PL = PaJr Рр,
где
рг = = г/2 (1 — cos 2oZ) = Р (1 — cos 2<oZ)
обусловлена активным сопротивлением катушки (Р = г/2), а
PL = рр = Q sin 2«Z
обусловлена индуктивностью, при этом
С = <2д--=хл/2.
На рис. 10.7 построены график мгновенной мощности для отдельных
элементов схемы замещения и для цепи в целом. В те интервалы времеии,
Рис. 10.7
когда мощность pt положительна, происходит одиовремеииое преобразова-
ние энергии в какую-либо другую форму (в активном сопротивлении) и
накопление ее в магнитном поле. В те отрезки времени, когда мощность
PL отрицательна, энергия из магнитного поля возвращается обратно в цепь.
При этом, если Рр < ра, то эта энергия вместе с получаемой от источника
питания преобразуется в активном сопротивлении, а если рр > ра, то час-
тично возвращается источнику питания. Об этом свидетельствуют отрица-
тельные площадки, заштрихованные иа рис. 10.7.
332
§ 10.2. Параллельное соединение индуктивности
и активного сопротивления
При синусоидальном напряжении на зажимах параллельных
ветвей (рис. 10.8) ток в активном сопротивлении ir совпадает
по фазе с напряжением, а ток в индуктивности iL отстает по
фазе от напряжения на угол ~ . Мгновенные значения токов
в ветвях связаны между собой первым законом Кирхгофа,:
Комплексные амплитудные
значения токов в отдельных ветвях
/„=5=-^.
где —активная проводимость вет-
ви с сопротивлением г
, 1
= — индуктивная про-
водимость ветви с индуктивностью L.
Комлексное амплитудное значение тока в неразветвленной
части цепи
4=irm+hm = &-/Л)=Um /g2+bl е =
= t7mz/e-^=t/my,
где У = уе~№к = (g—jbL)— комплексная проводимость двух
параллельных ветвей;
, <p£ = arctg^; y = -/g2 + bl.
Комплексные действующие токи:
jr = Ug, IL = ~ UjbL и I = UY.
На рис. 10.9 построена векторная диаграмма токов. Из
этой диаграммы видно, что ток 1Г совпадает по фазе с напря-
жением U-, ток IL—отстает по фазе от того же напряжения
U на угол , а ток 1 отстает по фазе от напряжения U на
угол <р.
На рис. 10.10 построен прямоугольный треугольник прово-
димостей по составляющим g и bL. Этот треугольник можно
получить аналогично треугольнику сопротивлений, путем деле-
ния треугольника токов (рис. 10.9.) на одно и то же напряже-
333
ние U (рис. 10.10). Так как токи /г и IL устанавливаются в
каждой ветви независимо друг от друга, то энергетические
соотношения в рассматриваемых ветвях будут такими же, как
и в соответствующих отдельных элементах.
Пример 10.3. Для схемы, показанной на рис. 10.8, написать уравне-
ние, определяющее мгновенное значение тока i, если напряжение
и = 120 sin ^314/ 10 oju и L = 0,0318 гн.
Решение Индуктивное сопротивление
Х1==-<лЬ = 314-0,0318 = 10 ом.
Комплексная амплитуда тока в неразветвленной части цепи
л
(4 + ]3l) = 120 (0,1-/0,1) =
.л л л
= 120/Т-0,1 /Те7 2е 7*=24е 4«.
Мгновенное значение тока
. л
г = 1т^24е 4 e'sil4 =24 sin f 314/
§ 10.3. Неразветвленная цепь с емкостью
и активным сопротивлением
При наличии в неразветвленной цепи емкости С и сопро-
тивления г (рис. 10.11) одновременно происходит безвозвратное
потребление электрической энергии в сопротивлении г и перио-
дическое накопление энергии в электрическом поле при его
увеличении с последующим возвращением этой энергии в цепь
при уменьшении электрического поля. На основании второго
закона Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 10.11, а,
можно написать:
и = ri ис = ri + С idt.
334
При синусоидальном изменении тока t = 7msin(o/ на зажи-
мах схемы напряжение
u = rlm sin + sin —£) =
= rlm sin at —^Im cos at.
Эти два гармонических колебания
сдвинутых по фазе на у,
можно сложить и получить одно
колебание с амплитудой
с амплитудами rlm и
и начальной фазой, определяемой
из выражения
гДе Хс = ^С-
Таким образом, мгновенное значение .напряжения
« = +Gtc) sin ((о7 + <р)= t/msin(coi + (p),
где
г + —^mZ-
Величина z— + имеет размерность сопротивле-
ния и называется полным сопротивлением цепи переменного
тока, содержащей активное сопротивление г и емкостное сопро-
тивление На рис. 10.12 построены графики тока i и
напряжений на всех участках цепи. Напряжение на сопротив-
лении г совпадает по фазе с током I, а напряжение ис на
емкости С отстает по фазе от тока на угол . Суммарное на-
пряжение, приложенное к зажимам всей цепи, отстает по фазе
от тока i на угол <р или, как говорят, ток i опережает напря-
жение на тот же угол <р. Угол сдвига фаз между током t
и напряжением и имеет отрицательный знак.
335
Указанные соотношения между током и напряжением можно
получить для схемы, изображенной на рис. 10.11, б, из уравне-
ния Кирхгофа, записанного в комплексной форме:
откуда
или для действующих значений
, U й
где ______
Z= г—j ~^Q~r—ixc = '\^ г‘ + хс е~/ф—комплекс полного ’сопро-
тивления цепи, содержащей активное сопротивление г и
емкость С.
На рис. 10.11, б показана схема цепи (рис. 10.11, а) с ком-
плексными значениями всех величин, а на рис. 10.13 построена
векторная диаграмма, из которой ясно видно взаимное поло-
жение векторов напряжений t/r, t/c, U и вектора тока I для
этой цепи. На рис. 10.14 построен прямоугольный треугольник
сопротивлений, который можно получить так же, как и тре-
угольник сопротивлений для цепи с индуктивностью, простым
делением сторон треугольника напряжений на ток I. В зави-
симости от соотношения между параметрами рассматриваемой
336
цепи изменяется и угол сдвига фаз между током и напряже-
нием ОТ(р = 0дОф = -у.
Комплексное выражение полной мощности для рассматри-
ваемой цепи
S=P—jQ = l)/ = Se~'\
где р = гГ = UI costp — активная мощность;
Q = хсГ — UI sin <р— реактивная мощность.
При этом полная мощность
S = ]/P2 + Q2 = UI = гГ,
а
Ф = argS = arc tg —= arc tg .
Так же, как и в цепи с индуктивностью, комплекс полной
мощности можно представить вектором
скости (рис. 10.15). Следует отметить,
что треугольники напряжений, сопро-
тивлений и мощностей получаются
подобными (рис. 10.13, 10.14, 10.15);
однако изображать их в одних и тех
же осях координат не рекомендуется.
на комплексной пло-
Рис. 10.15
полного
сопротивления

Пример 10.4. Активное сопротивление
Цепи /*=100 ом, а емкость С = 31,8 мкф.
Определить ток в цепи и угол сдвига фаз "
между током и напряжением при напряжении
{/=120 в и частотах Л = 50 гц и f2 = 400 гц.
Решение. При частоте /,=50 гц комплекс
Z,= 100-j 314Ж8 = (100-/100) = 100 е'/4‘°
Если начальный фазный угол напряжения фи = 0, то
U 120 . ,
22 т
1 еоретические основы электротехники ч, 1
ом.
комплекс • тога
337
При частоте )2 = 400 гц комплексное значение сопротивления
22 = 100-/ 314-8-31 8 = (100-/'12,5) = Ю1е-'7°08' ом.
комплексное значение тока в цепи
Т _ I2? g/7°0S' _
2~ ЮГ “
1,19е/7°08'«
Пример 10.5. Рассмотреть энергетические соотношения в цепи с емко-
стью С = 31,8 мкф и активным сопротивлением г~ 100 ом при заданной не-
изменной частоте f — 50 гц и нулевой начальной фазе (ф;- = 0).
Решение. Если ток i = Im sin at, то напряжение и = Um sin
Мгновенная мощность в цепи
Р = Рг+Рс = РЛ + Рр,
где
Рг = Рл~г^ (1—cos 2at) = P (1— cos 2со£)
обусловлена активным сопротивлением цепи (Р = г!г), а рс = р„ = —Q sin 2«>£—
емкостью, при этом Q = Qc = xcI2.
На рис. 10.16 построены графики мгновенных мощностей как для от-
дельных элементов, так и для всей цепи. Когда мощность рс положительна,
происходит одновременное преобразование энергии в активном сопротивле-
нии и накопление (зарядка конденсатора) энергии в электрическом поле
конденсатора. В те отрезки времени, когда мощность рс отрицательна, энер-
гия из электрического поля возвращается обратно в цепь. Если, при этом,
рр<Рд, то энергия электрического поля конденсатора вместе с энергией,
получаемой от источника питания, преобразуется в активном сопротивлении.
При Рр > ра эта энергия частично возвращается источнику питания,
о чем свидетельствует наличие отрицательных заштрихованных площадок
(рис. 10.16).
338
§ 10.4. Конденсатор с реальным диэлектриком
в цепи переменного тока
В конденсаторе с диэлектриком, наряду с периодическим
усилением и ослаблением электрического поля при синусоидаль-
ном напряжении, происходит и безвозвратное преобразование
электрической энергии в тепловую (результатом чего является
нагревание диэлектрика). Поэтому в
схеме замещения конденсатора должны
быть емкость и активное сопротивле-
ние. Однако эти элементы целесообраз-
но соединить параллельно, так как оба
процесса определяются общим напря-
жением (рис. 10.17).
Суммарный ток в такой цепи
• ... u . du . л du
l = lr + lC = + C ,
Рис. 10.17
или при синусоидальном напряжении
комплексное действующее значение тока
i=ir + ic=и g + й^с=и (g+/®С) = Uy,
где Y = g-'г]<>>С — gjbc—комплексная полная проводимость.
Эта проводимость определяется комплексным числом и может
быть показана на комплексной плоскости (рис. 10.18) Y ~уе1ч> и
ф = arctg у .
Активная и емкостная проводимости выражаются через пол-
ную проводимость по формулам:
g = ycos<p и bc — y sin <р.
Ток в ветви с активной проводимостью (с сопротивлением г)
22*
339
совпадает по фазе с напряжением, а ток в ветви с емкостью
ic=Uibc
опережает напряжение по фазе на л/2.
На рис. 10.19 построена векторная диаграмма токов. Из этой
диаграммы следует, что
I r= Ug= Uy cos ф = I cos ф,
Ic = Ubc = Uy sin ф = I sin ф.
В зависимости от соотношения между активной и емкостной
проводимостями цепи изменяется и угол сдвига между суммар-
ным током и напряжением в следующих пределах:
л . «ГС /
0<ф^т.
Пример 10.6. Известно, что при напряжении U = 100 в и частоте / = 50 гц
в конденсаторе ток 7=1 ма и опережает напряжение по фазе на 85°. Со-
ставить схему замещения конденсатора.
Решение. Полная проводимость цепи
У = 1 е>’5° = е'“° = IO"5 е,'‘" сим.
Емкость
„ у sin 85° 10-s.0,996 „ 1с „ ,с ,
c=4sr=W4TM=3>16’10 •*=3’16^-
Активная проводимость
g = у cos 85° = 10"5-0,087 = 8,7-10"’ сим.
Полученные данные дают возможность определить рабочий режим кон-
денсатора и при других условиях. Следует, однако, иметь в виду, что не
все параметры элементов цепи с изменением условий остаются неизменными.
В частности, в данном случае активная проводимость цепи может зависеть,
например, от частоты.
Зависимость параметров от частоты является особенностью цепей пере-
менного тока.
§ 10.5. Неразветвленная цепь с активным сопротивлением,
индуктивностью и емкостью
Для схемы с последовательным соединением активного со-
противления г, индуктивности L и емкости С (рис. 10.20) па
основании второго закона Кирхгофа
и = ur + uL + ис = ri -|- L + -i- J idt.
При синусоидальном токе напряжения на всех участках цепи
изменяются также по синусоидальному закону. Поэтому в ком-
плексной форме (рис. 10.20) напряжение
У. = г/.+>£/.+^.
340
Из этого уравнения непосредственно получается связь между
комплексными амплитудами тока и напряжения и комплексом,
полного сопротивления
i ______т______ ________ит_______ _ У_т
r + j((0L-И V^+(xL-xc)^j'f Z
Если левую и правую части этого выражения разделить на
]/2, то легко получить уравнение, устанавливающее связь между
комплексными действующими
значениями тока и напряжения
и выражающее закон Ома в
комплексной форме:
— Z ~ r + /(xL— хс)~ r + jx>
Рис. 10.20
где x = xL—хс—реактивное со-
противление цепи.
Комплексное полное сопро-
тивление Z можно представить
в алгебраической, показательной и тригонометрической формег
Z = r+j (хь—хс) — Угг + (xL—хсУ е/!р = ze/T — z cos <р 4- jz sin <p,
где
wL—
<p = arc tg —= arc tg XL , Xc;
2 = ]/r4-(^—^c)2-
Если комплексное действующее напряжение U = a.
комплексное действующее значение тока / = /е^, то
Z = Z =
I I
откуда разность начальных фазных углов напряжения и тока,
равняется аргументу комплексного полного сопротивления Z, т. е.
Ч’в—Ф, = ф-
На рис. 10.21 построена полная векторная диаграмма для
случая <р> 0, когда в цепи превалирует индуктивное сопротив-
ление (oL > ~ и ток I отстает по фазе относительно напряже-
ния на угол ср. На этой диаграмме вектор Ur = rl представляет
собой напряжение на активном сопротивлении г, совпадающее
по фазе с током; вектор UL = jaLI определяет напряжение на
индуктивности, опережающее по фазе ток / на угол вектор
341
Uc~ — — напряжение на емкости, которое отстает по фазе
от тока I на угол Если UC = UL, то ток / совпадает по фа-
зе с напряжением U, а сдвиг фаз между этими векторами равен
Рис. 10.21
нулю, ь этом случае ток в цепи
ограничивается только актив-
ным сопротивлением г, в ре-
зультате чего напряжения на
«емкости и индуктивности при r<ZxL и r<Zxc могут значительно
превышать напряжение на зажимах всей цепи. Такой режим
.цепи называется резонансом напряжений. При UC>UL в рас-
-J
Рио. 10.23
сматриваемой схеме превалирует ем-
костное сопротивление и ток 7 опере-
жает по фазе напряжение U. Поль-
зуясь выражением для комплексного
полного сопрогивления, легко по-
строить треугольник сопротивлений
(рис. 10.22).
Если правую и левую части урав-
нения U = г! 4- jxLl — jxcI умножить
на сопряженный комплекс /, то
получится выражение, определяющее
комплексное значение полной мощ-
ности
s^rl' + jxj'—}хсГ = Р +
+ /(Ql-Qc)-
На основании этого уравнения на
рис. 10.23 построен треугольник мощностей. Из треугольника
сопротивлений (рис. 10.22) и треугольника мощностей (рис. 10.23)
342
получаются следующие соотношения:
<р = arc tg Х£уХс = arc tg ;
г = /г2 + (хЛ-хс)2 и S = /P2 + (Qi-Qc)2.
иа зажимах катушки
Пример 10.7. Цепь состоит из последовательно соединенных катушки и
конденсатора. Активное сопротивление катушки г = 20 ом, а индуктивность
£ = 0,2 гн. Емкость конденсатора С = 40 мкф. Поскольку активная мощность
в диэлектрике конденсатора сравнительно мала, то при расчете ею можно
пренебречь. Определить ток в цепи, вызванный
напряжением U = 220 в при частоте f = 50 гц.
Решение. Индуктивное сопротивление
катушки
Х£ = ы£ = 314-0,2 = 62,8 ом.
Емкостное сопротивление конденсатора
1 10" 70 «
Хс=^с=зга=79’6ол1-
Реактивное сопротивление цепи
х = Х£—Хс = 62,8—79,6 = — 16,8 ом.
Комплексное полное сопротивление цепи
Z=r + /х=20—/16,8 = 26,2е-740о.и(рис. 10.24).
Комплексное действующее значение тока в
цепи при фи = 0
U 220 . „
7= 2 — 26,2 е = 8,8е а~
Комплексное действующее напряжение
(y1 = zj=(20 + j'62,8) 8,8e'4“° = 580e'112°2<)'b,
где
Z1 = 2О-Н62,8 = 66е',2°20' ом.
Комплексное действующее напряжение иа зажимах конденсатора
йс = — jxci=— /79,6-8,8е'4“° = 700е~^“° в.
Соответствующая векторная диаграмма напряжений показана на рис.
10.25.
Как видно из расчета, в цепи переменного тс :<а напряжения на отдель-
ных участках могут быть больше напряжения источника питания.
Активная мощность в катушке
р = г/2 = 8,82-20= 1552 вт.
Реактивная мощность в катушке
Q£ = X/72 = 8,82-62,8 = 4,89 квар
Реактивная мощность в конденсаторе
Qc = xcZ2 = 79,6-8,82 = 6,2 квар.
343-
Реактивная мощность, потребляемая всей цепью
Q = Qi — Qc=4,89—6,20 = — 1,31 квар.
Комплексная полная мощность всей цепи
S = Р + / Q = 1552—j 1310 = 2030е " /10° ва
На рис. 10.26 показана векторная диаграмма мощностей для всей цепи.
Сравнивая треугольники сопротивлений, напряжений и мощностей, легко
видеть, что они геометрически подобны.
§ 10.6. Резонанс напряжений
Рассмотрим особый случай режима неразветвленной цепи,
когда ее индуктивное сопротивление равно емкостному
. 1
х, = (OL = хг = —~ ,
L с соС ’
а реактивное сопротивление всей цепи
x = xL—хс = 0.
В этом случае вся цепь как бы обладает только одним ак-
тивным сопротивлением, и ток в ней совпадает по фазе с на-
пряжением на зажимах источника питания. Реактивная мощ-
ность в этом случае в цепи равна нулю.
Такое состояние неразветвленной цепи, как указано выше,
называется резонансом напряжений. В этом случае вся энергия
электрического поля периодически переходит в энергию магнит-
ного поля и наоборот.
344
Энергия, получаемая от источника питания, идет тольк»
на покрытие расхода энергии в активном сопротивлении. Реак-
тивные сопротивления цепи не оказывают влияния на условия
прохождения тока
• г ’
так как в любой момент времени
Явление резонанса напряжений представляет практический
интерес, так как на отдельных участках цепи может происхо-
дить значительное повышение напряжения:
и. = иг^ = и )/1 +(у)2-
В цепях «сильного тока» это может привести к нарушению
нормальной работы изоляции и к ее повреждениям, а в цепях
«слабого тока» (и, в частности, в радиотехнике) оно широко
применяется для усиления колебаний.
Условие возникновения резонанса
&L — ~
соС
можно использовать для определения угловой резонансной ча-
стоты колебаний неразветвленной цепи, т. е.
Из этого выражения видно, что изменяя индуктивность или
емкость цепи, можно изменить резонансную частоту, а следо-
вательно, получить условие резонанса (если это требуется) или
устранить его (если оно нежелательно). Индуктивное и емкост-
ное сопротивления при резонансе равны между собой и опре-
деляются из выражения _
“»Z'==:w^= С =е'
Величина Q не зависит от частоты и называется характе-
ристическим сопротивлением контура. Отношение напряжения
на индуктивности или емкости к напряжению, приложенному
к зажимам цепи, при резонансе называется добротностью кон-
тура:
Ul_ Uc_ Ql_ е__ q/2
4 — U ~ и г!~ г ri2:
Для выяснения энергетических соотношений при резонансе по-
лезно найти выражение для суммы энергий электрического и
345-
магнитного полей щ = щэ4-щм. Допустим, что при резонансе
ток в цепи i = Im sin at, а напряжение на емкости
“с = ист sin (art—y) =— Ucm cos at.
Тогда энергия электрического и магнитного полей
Си2 Li2 CUj.m LI2
®==И'9-т-“,м = -25 + -2' = ~2~ cos2 со,/ 4- -у sin2 aj.
Так как при резонансе
^Ст = ^т^ — ^т ~q >
ТО
си1т_ьгт
2 ~ 2 ’
ZJ2 CU2rm
w = wa 4- w„ = — = —g- = const,
т. е. сумма энергий электрического и магнитного полей не за-
висит от времени. Иначе говоря, уменьшение напряжения на
конденсаторе и, следовательно,
уменьшение энергии электри-
ческого поля связано с увели-
чением тока в цепи, что в свою
очередь сопровождается увели-
чением энергии магнитного
поля и, наоборот, уменьшение
энергии магнитного поля сопро-
вождается увеличением энергии
электрического поля.
На рис. 10.27 изображены
графики, показывающие зави-
симости сопротивлений xL = aL,
хс=а x~xl—хс от часто-
ты. Эти зависимости называют-
ся частотными характеристи-
ками цепи.
На рис 10.28 показаны гра-
фики зависимости действую-
щих значений тока и напряжений на участках от частоты;
такие кривые называются резонансными характеристиками.
Из сопоставления кривых, изображенных на рис. 10.27 и
10.28, следует, что при изменении частоты от и = 0 до со = ио
ток I опережает по фазе напряжение, а при изменении частоты
от (о = <ов до (о = оо ток I отстает по фазе от напряжения, при-
346
ложенного к зажимам цепи. При <о = и0 ток / совпадает по фазе
с напряжением U (рис. 10.29). Из резонансных характеристик
(рис. 10.28) непосредственно следует, что максимальные значе-
ния напряжений UL и Uc получаются при разных частотах, не
совпадающих с частотой и0. Для определения частот ®л и ®с,
при которых соответствующие напряжения имеют максимальные
значения (рис. 10.28), можно воспользоваться формулами
Из этих выражений следует, что при г =/= 0 ®£>й)0, <oc<;(oo.
Кроме того, чем больше Q (меньше г), тем острее резонансные
кривые и тем меньше отличаются <о£ и <ос от ®0. Иначе говоря,
чем меньше активное сопротивление цепи, тем резче проявляется
состояние резонанса напряжений, тем сильнее возрастает ток
в цепи при приближении к резонансной частоте.
' 347
Пример 10.8. В неразветвленной цепи, изображенной на рис. 10 20,
г— 10 ом, С — 50 мкф, угловая частота источника напряжения со = 314 рад)сек,
напряжение U — 50 в. Определить индуктивное сопротивление х^, при кото-
ром напряжение l/д имеет максимальное значение.
Решение. Ток в цепи и напряжение на емкости
1 = ; UC=U г-~-....
]/72 + (хЛ-хс)2 с У> + (Х£-хС)г
Эти величины имеют максимальные значения при =
Z=iL = ^ = 5a; Uc = xc/ = 5-63,7 = 318 в.
Для определения индуктивного сопротивления Хд, при котором напря-
жение Ul имеет максимальное значение, можно воспользоваться уравне-
dUL а
нием 3—^=0, откуда легко получить
“Хд
г2 100
х/тах - хд + —=63,7 + =65,27 ом.
Х£ оо, /
При этом величина напряжения
max
ULmax = -7=^™== = 50'65:2Z=. = 323 a.
/r2 + (xrmax-xc)2 1^100+1,572
§ 10.7. Последовательное соединение n
пассивных элементов
Пусть неразветвленная цепь содержит п элементов, каждый
из которых может состоять из активного сопротивления, ин-
дуктивности и емкости. Тогда уравнение баланса напряжений
п . п . п . п
0 = .2 Ui = JS rj + S iXI-i! “2 iXCit = (r + jx) I = Z7,
где Z = 2 —комплексное полное сопротивление всей
цепи;
— активное сопротивление всей цепи;
п
2 ха—реактивное сопротивление всей цепи.
Х = 1
Из полученных выражений следует, что в неразветвленной
цепи переменного тока складываются отдельно активные и реак-
тивные сопротивления, причем индуктивные сопротивления вхо-
дят с положительным знаком, а емкостные — с отрицательным.
Суммирование можно производить и в комплексной форме:
Z = 2 О',+ /*,•)•
4 = 1
348
Соответственно происходит суммирование напряжений;
активных
£4 = 2 = S hl,
i=i i=i
реактивных
Ц>=2 ^p(=S iXi
i=i 1=1
и полных
(7=2 ^=2 zj.
i = i t=i
Существенно, что напряжения на индуктивностях и емкостях
имеют сдвиг по фазе на 1/2 периода, т. е. имеют противопо-
ложные знаки, или, как говорят, находятся в противофазе.
Аналогичное правила распространяется и на мощности; про-
исходит суммирование мощностей
активных
п п п
UJ = 2 г
i—i 1=1 t=i
реактивных
п п п
и полных
п п п
s=2s;= 2^/=2z,/2.
i=i i=i t=i
Реактивная мощность, обусловленная индуктивностью, полу-
чается положительной, а реактивная мощность, обусловленная
емкостью,—отрицательной. Это означает, что емкость можно
рассматривать как генератор реактивной мощности. В то время,
когда магнитное поле, связанное с индуктивностью, усиливается,
а энергия в нем запасается, электрическое поле, связанное
с емкостью, в то же время ослабляется, а энергия в нем
уменьшается. С помощью электрической цепи происходит пре-
образование энергии электрического поля в энергию магнитного
поля и наоборот.
Пример 10.9. На рис. 10.30 изображена неразветвленная схема с током
I =5а. Углы сдвига фаз между вектором тока I и напряжениями Ut, U2
и U3 (рис. 10.30) на участках определяются из выражений: cos q>! = 0,707,
cos<p2 = 0,8 и cosq>a = 0,6. В соответствующих сопротивлениях схемы актив-
ные мощности Р, = 250 e/п; Р2 = 200 вт и Ра = 300 вт. Определить напря-
жения на всех участках цепи и построить векторную диаграмму.
Решение. Из равенств
Pt = O72, Рг=ггР и Р, = г3Р
349
можно определить активные сопротивления соответствующих участков
•л
РА
1г
250
25
= 10
ojh;
Pz _ 200
~ 25
= 8 ом
Р>
Z2
300
25
= 12 ом.
Рис. 10.30
и
реактивные сопротивления: х^г^Ю ом\ х2 = 6 ом и х2=16 ом. Знаки
реактивных сопротивлений показаны на схеме. Если вектор тока I при-
нять совпадающим с осью вещественных величин, то на всех участках
комплексные значения напряжений:
Ut = (г, + /х,) I = (10 + j 10) 5 = (50 + /50) в;
= (г2— /х2) 1 = (8-/6) 5 = (40—/30) в;
l), = (г, + jxs) I = (12 + j 16) 5 = (60 + ji 80) в.
350
На зажимах всей цепи напряжение
=<7S 4- <7a-h t7s = (170-1-/80) = 180 е-733045' .
С помощью комплексных значений напряжений на рис. 10.31 построена
векторная диаграмма.
§ 10.8. Параллельное соединение активного сопротивления,
индуктивности и емкости
Для определения токов в ветвях электрической цепи, состоя-
щей из параллельно соединенных элементов г, L и С (рис. 10.32),
можно воспользоваться законом Ома и первым законом Кирх-
гофа в комплексной форме. Токи в вет-
вях
t = U1 == 0 g;
г г
^- = Ojbc = U^C;
!ЛС
1
где g = -—активная проводимость;
Ьс = (лС—емкостная проводимость;
— индуктивная проводимость.
На основании первого закона Кирхгофа в неразветвленной
части цепи ток
I = Ir + 1С IL = и [g-j (bL-bc)] = UY,
где Y — комплексная полная проводимость рассматриваемой
электрической цепи. Эту проводи-
J мость можно представить в пока-
зательной и в тригонометрической
формах:
Y = уе~йр = у cos ср—jy sin <р,
где
<р -- arc tg -Т-—;
У = Уё2 + Фс—Ьс)г.
Рис. ю.зз На рис. 10.33 построена век-
торная диаграмма токов, при
этом для упрощения начальная фаза вектора напряжения при-
нята равной нулю. Если при построении векторной диаграммы
Для последовательной цепи (рис. 10.31) в качестве основного
вектора принят ток / (одинаковый во всех элементах), то при
351
построении векторной диаграммы для параллельной цепи общим
вектором для всех ветвей является напряжение 0. Следует от-
метить, что при 7l = 1С суммарный ток равен току ir в актив-
ном сопротивлении и совпадает по фазе с напряжением U.
Пример 10.10. В схеме, изображенной на рис 10 32, ток Z=Z=10a.
Сопротивления ветвей г— 10 он; xi==xc = 5 ом. Определить напряжение (7
и токи во всех ветвях.
Решение. Поскольку сопротивления ветвей с реактивными сопро-
тивлениями одинаковы, то токи в этих ветвях равны между собой по
абсолютной величине и сдвинуты по фазе на 180°, в результате чего
j£ + jc=O. Поэтому суммарный ток равен току в ветви с сопротивлением г.
Следовательно, на зажимах параллельных ветвей напряжение О = rl=z
= rlr = 10-10= 100 в. Токи в двух других ветвях
jL = U .—= -/100-1- = — /20а;
1*1 5
ic = U -Д— = /1004 = /20а.
—]*с 5
§ 10.9. Резонанс токов
Если в одной из двух параллельных ветвей (рис. 10.34) име-
ется катушка с активным сопротивлением г
L, а в другой — включены активное
сатор с емкостью С, то вектор
суммарного тока / может совпа-
дать по фазе с вектором напря-
жения U (рис. 10.35). Такой
2 и индуктивностью
сопротивление г, и конден-
Рис. 10 34
режим называется резонансом токов. Для определения соотноше-
ний между параметрами цепи, при которых ток I совпадает по
фазе с напряжением U, необходимо приравнять нулю суммарную
352
rl—IX1
1
реактивную проводимость цепи. Комплексные действующие зна-
чения токов в отдельных ветвях по закону Ома:
/_ = U—-U- = 0 г-4^, = jb\
* '•i—/*i r2 + x2 VS1 '
i = ij —!— == i) r*—ix.? =0(a — jb k
* u rt + jX1 rl + xf 7 J
По первому закону Кирхгофа суммарный ток
/: = = U [gt +g2 — j (&2 — &t)] = 1а 4- 7P.
Из этого выражения следует, что при Ьг— bl—Q ток
j = U (gl + g2) совпадает по фазе с напряжением.
Если в равенстве bt — bl заменить реактивные проводимости
через параметры цепи, то путем простых преобразований получим:
L __ С .
г2 + (<о1)2 1 + г2 (<оС)2 ’
Т ‘
— — fz
С. 2
1
(О — —
V LC
X. 2
------rz
С '
Таким образом, для получения резонанса токов необходимо
одновременно выполнить следующие неравенства: -^<г2,
или ^->г2. Если эти условия не выполняются,
то получаются мнимые значения угловой частоты, т. е. не су-
ществует таких частот, при которых возможен резонанс токов.
При равенстве активных сопротивлений вегвей й:
угловая частота
напряжений в
и при резонансе
т. е. со = .
° V LC
угловая частота
получается такой же, как
последовательном контуре,
Наконец, при rt = r2 = ]/"резонансная
“о имеет любое значение. Иначе говоря, в такой цепи резо-
нанс токов наблюдается при любой частоте источника напряже-
ния. В этом случае эквивалентное сопротивление всей парал-
лельной схемы
z = Z’Z> = |r+l’“° _^~ + г>(»-С-д
Z,+Z‘ 2'+‘(в1-5г) 2г+'
и не зависит от частоты источника.
23 т
, теоретические основы влектротехники ч. I
353
• (J
Следовательно, вектор тока / = — в неразветвленной части
цепи так же, как и сопротивление Z = г, не зависит от частоты.
В идеальном контуре, когда гг = г2 = 0, ток в неразветвлен-
ной части цепи равен нулю, энергия не поступает в цепь, и
происходит обмен энергией между электрическим и магнитным
полями контура. Интерес-
но отметить, что при ре-
зонансе токов, когда ток
Рис. 10.36
суммарная реактивна
У
I совпадает по фазе с на-
пряжением U, энергия не
возвращается из цепи к
источнику и мгновенная
мощность в любой момент
времени не имеет отрица-
тельного значения.
Ранее было отмечено,
что при отсутствии актив-
ных сопротивлений ток в
неразветвленной части це-
пи равен нулю, что соот-
ветствует бесконечному со-
противлению цепи или
нулевой реактивной про-
водимости.
На рис. 10.36 пост-
роены частотные характе-
ристики для цепи с двумя
параллельными ветвями
без потерь. При повы-
шении угловой частоты от
я проводимость о — Ь2—0,=
со = 0 до (о =
= —а С является индуктивной ^ток отстает по фазе от напря-
жения на угол \н изменяется в пределах от + оо до 0. В точке,
„' 1
соответствующей резонансу токов, при <о = <оо = суммарный
ток / = 0, а токи в ветвях равны между собой /1 = f7cooC =
= —= /2 = U и сдвинуты по фазе на угол, рав-
ный л. При дальнейшем повышении частоты от co = wo до ш=оо
входная проводимость имеет емкостный характер ^ток опере-
жает напряжение на угол и изменяется в пределах от 0
до —оо. Токи в ветвях равны напряжению, умноженному на
354
соответствующие проводимости. В частности, в неразветвленной
части цепи 1—Ulb). Иначе говоря, действующее значение сум-
марного тока пропорционально абсолютному значению суммар-
ной проводимости |&|.
Пример 10.11. На рис. 10.37 изображена электрическая схема, в кото-
рой гх = 6 ом, гг = 4 ом, х2 = 4 ом. На зажимах всей цепи (7=120 в Опре-
делить сопротивление конденсатора ха, при котором ток Ц будет совпадать
по фазе с напряжением Для найденного значения сопротивления ха и при
заданных остальных параметрах, опре-
делить токи Ц, /2 и I, и построить о.
векторную диаграмму.
Решение, Чтобы ток совпадал у
по фазе с напряжением, необходимо
выполнить условие, при котором реак-
тивное эквивалентное сопротивление
всей схемы должно равняться нулю:
Z -(гг + /’хг)(~/ха) _ Г‘Х* |
2’ г2 + /(х2— Ха) (х2 —xs)2 '
-Y2'Y3 Х3Х2 Х>Г2 °"
г2 + (х2-ха)2 ’ Рис. 10 37
Если мнимую часть этого сопротивления приравнять нулю, то
х.х‘—х,х2.—х.г* — 0,
откуда
, Г2 4 I 16 о
хг — хг + ~ = 44- —= 8 ом.
Необходимо отметить, что при указанном условии сопротивление г,
не влияет на сдвиг фаз между вектором тока Ц и вектором напряже-
ния U. По закону Ома
120 Я R7
6 + 8“8,57 а‘
= 8,58.8 = 68,5 в.
I___________°—.—
^ + (х2-ха)2
Напряжение на зажимах параллельно соединенных ветвей
г2х2
U = Z, -----!_*
Z0 X « . .
Гоки в ветвях параллельного соединения:
У 0аа _ 68,5 _68,5(4—/4) ,
2 ~ 7+7^ “ 4+74----------32---= (8’57-18157) а'
/» = -^-=-^Ц-=18,57«.
~1хг 7
23*
355
На рис. 10.38 построена векторная диаграмма, из которой следует, что
ток Д совпадает по фазе с напряжениями и U, а сопротивление rt Не
влияет в данном случае на сдвиг фаз между векторами 1Х и и.
§ 10.10. Параллельное соединение п
пассивных элементов
Каждый пассивный элемент параллельной цепи (рис. 10.39)
может в общем случае состоять из последовательно соединен-
ных активного сопротивления, индуктивности и емкости. Для
такой цепи
l\ = UYt,
-'Jn = UYn,
где Yx,Yt, .... Yn—ком-
плексные значения пол-
ных проводимостей соот-
ветствующих ветвей.
На основании первого
закона Кирхгофа в нераз-
ветвленной части цепи
/ = /, + /2 +...+/„ = U(YX + У2 + ... + У„) = UY.
Здесь y = Kt4-K24- ... -\-Yn = g—jb—комплекс эквивалентной
полной проводимости цепи;
п
g = y^gi—активная проводимость;
b = '^lb(—реактивная проводимость.
IXJ
356
Из этих выражений следует, что в параллельной цепи пере-
менного тока складываются отдельно активные и реактивные
проводимости ветвей.
Здесь следует отметить, что если активные проводимости
ветвей (без взаимной индуктивности) всегда входят с положи-
тельными знаками, то реактивные проводимости ветвей с индук-
тивностями имеют положительный знак, а с емкостями—отри-
цательный. При &>0 аргумент комплекса полной проводимости
имеет отрицательный знак; это непосредственно следует из
выражения
Y = g—jb — ,
где <р = arc tg j .
Активная и реактивная проводимости каждой ветви зависят
одновременно от активного и реактивного сопротивлений:
Г , X
^~~гг + х2 4 °~г3+х2‘
Аналогичные выражения получаются для активных и реактив-
ных сопротивлений через проводимости ветвей
g Ь
г = гт~д и х — ~ а ~й •
g2+b g* + b*
По правилу сложения проводимостей происходит суммиро-
вание активных и реактивных составляющих токов ветвей:
При этом
i = L+h-
Токи в активных проводимостях совпадают по фазе с напря-
жением, в индуктивных—отстают по фазе от напряжения на
угол а в емкостных—опережают напряжение на
Правило сложения распространяется также на активные и
реактивные мощности:
п. п п
п п п
<2=2,^=^ =2 u*bi-
При этом комплекс мощности
SS7
Реактивная мощность, обусловленная индуктивностью, полу-
чается положительной, а реактивная мощность, обусловленная
емкостью,— отрицательной. Так же, как и в случае последо-
вательного соединения, емкость можно рассматривать как гене-
ратор реактивной мощности. В то время, когда магнитное поле,
связанное с индуктивной проводимостью, увеличивается, и
энергия в нем накапливается, электрическое поле, обусловлен-
ное емкостной проводимостью, ослабляется, а энергия в нем
уменьшается. При помощи электрической цепи происходит пре-
образование энергии электрического поля в энергию магнитного
поля и обратно.
Следует подчеркнуть, что правило определения полной
мощности в комплексной форме
S=P + jQ
соответствует в обоих случаях (как последовательного, так и
параллельного соединений) ее определению по формуле
5 = Ш (а не S'= (//).
Существенно, что в цепи переменного тока токи в отдель-
ных ветвях могут оказаться значительно больше токов до раз-
ветвлений.
Прим?р tO. 12. Определить проводимости катушки с параметрами r= 1 ом
и х — х^ — Ь ом (при заданной частоте)
Решение Активная проводимость
g——r—— = —’ =0.0385 сим,
s r‘ + xl l-f-52
реактивная проводимость
Полная проводимость
Y~g—jb — (0,0385 — /0,192) сим
может быть определена непосредственно:
у — — =—!— .
z 1+/5
Пример 10.13. Участок цепи состоит из двух ветвей, в одной из кото-
рых включена катушка с активным сопротивлением г=10 ом и индуктив-
ностью (, = 0,2 гн, а в другой — конденсатор с емкостью С = 40 мкф. Опре-
делить ток в цепи, вызванный напряжением (7 = 110 в при частоте f = 50at(
и мощность, потребляемую цепью.
Решение. Активная проводимость катушки
0,0025 сим'
258
а реактивная проводимость
69 8
6=Тбг+б27г“0’0156 сим'
Реактивная эквивалентная проводимость разветвления (всей цепи)
b = bL—bc = O,0156— 0,0126 = 0,003 сим.
Комплексная проводимость цепи
У=g— jb = 0,0025-/0,003 = О.ООЗЭе-'500,
Ток в цепи при начальной фазе напряжения ф„ = 0
I = UY = 110-0,0039е-^"° = 0143е--,'ос’.
Ток в катушке
/, = А= "° е->’=1,73е-/80° а;
Zi 1 иЗ, и
ток в конденсаторе
/г = (7/&с= 110-/0,0126 = /1,39«.
Активная мощность, потребляемая катушкой (и цепью в целом),
P = U2g=1102-0,0025 = 30,2 вт,
а реактивная мощность
Ql = U‘bL = 1102-0,0156 = 189 вар.
Реактивная мощность ветви с конденсатором
Qc^U2bc= 110г-0,0126= 152 вар
Комплекс полной мощности, потребляемой цепью,
5 = 30,2+ /(189— 152) = 30,2 + /37.
§ 10.11. Сопоставление энергетических процессов
в эквивалентных схемах
Как следует из предыдущего, например, катушку можно
представить не только схемой замещения в виде последовательно
соединенных активного сопротивления и индуктивности (рис.
10.1), но и эквивалентной ей схемой в виде параллельно соеди-
ненных активного сопротивления и индуктивности (рис. 10.8).
Эти схемы замещения эквивалентны при условии, что
,, -ь 1 1
Y = g-.}b = -=—- *
Г / Л
Действительно, при этом условии заданное напряжение U
вызывает в цепи одинаковый ток
Z
359
Одинаковой при этом получается и полная мощность цепи:
. * * Г ;2
S = и I = U2Y =
z
В первом случае напряжение раскладывается на активную
и реактивную составляющие; во втором случае ток состоит из
Рис 10.40
активной и реактивной состав-
ляющих (рис. 10.40). В соот-
ветствии с этим несколько
изменяются представления о
протекании энергетических про-
цессов в цели. Это можно обна-
ружить только путем сопостав-
ления функций мгновенной мощ-
ности.
Поскольку энергетические
процессы, протекающие в пер-
вой схеме, были рассмотрены
ранее, то достаточно здесь рас-
смотреть только процессы, протекающие во второй схеме.
Если ток цепи (как и прежде)
i = Im sin cat,
то напряжение на катушке
u = zlm sin (cat + <p),
где
Ф = arc tg у .
Поэтому мгновенная мощность в ветви с активной проводи-
мостью
Ра = ««а = Р 11 — C0S 2 (®Z + <P)L
где
Р = U‘g= г!2,
а мгновенная мощность в ветви с реактивной проводимостью
рр = uip = Q sin 2 (cat ф),
где
Q = U*b = Гх.
Из сопоставления полученных результатов видно, что в те-
чение каждого периода энергетический процесс в рассматрива-
емых эквивалентных схемах протекает различно. Так, например,
в те моменты времени (рис. 10.7), в которые либо отсутствует
360
магнитное поле в катушке (ток i = 0), либо имеет наибольшую
величину (ток г = 1т), значения ра и р9 совершенно не совпа-
дают с соответствующими значениями мощностей, найденными
с помощью схемы замещения с параллельно включенными вет-
вями (рис. 10.41). Это нетрудно показать при помощи выраже-
ния пульсирующей мощности
N = U1,
где
/=6/(^-/&) = Л+7р;
0 = 1 (г + ]Х)=--ий + йр.
Если напряжение раскладывается на составляющие, то
N = (Цл + йр) I = г/2 + ixP = P + iQ = S.
Если же ток раскладывается на составляющие, то
N = U(Ia + /р) = U2g—jU2b — P—jQ = S =
Из сравнения двух выражений, полученных для пульсирую-
щей мощности, следует, что закон изменения составляющих
этой мощности получается различным в зависимости от способа
ее определения.
Отсюда следует, что, во-первых, полная мощность не всегда
дает возможность судить об эквивалентности схем замещения,
а во-вторых, что в тех случаях, когда важно правильное пред-
ставление о протекании энергетических процессов в течение
каждого отдельного периода, следует выбирать наиболее пра-
вильные схемы замещения.
361
§ 10.12. Уравнения состояния
Рабочий режим цепи переменного тока можно определить
с помощью комплексных значений напряжений и токов. По-
скольку напряжение между любыми двумя точками цепи а и Ь
получается как разность потенциалов, которые также изменяются
синусоидально, то в комплексной форме
Uab = 4a— Фь.
где сра и <рь — комплексные значения потенциалов точек а и Ь.
Рабочий режим цепи переменного тока отражается на схеме
замещения, при составлении которой можно применять все эле-
менты, которые были рассмотрены ранее. При этом параметры
многих элементов выражаются комплексными числами. Все ак-
тивные параметры (задающие токи и э. д. с.) предполагаются
изменяющимися синусоидально с общей частотой, а все пассивные
параметры (параметры пассивных элементов) принимаются неиз-
менными в течение времени, соизмеримого с длительностью
периода основной частоты. В этих условиях множитель и, как
правило, опускается и вводится только в случае необходимости
перехода к мгновенным значениям величин.
На основании принципа непрерывности тока, для любого узла
схемы замещения цепи переменного тока можно написать первый
закон Кирхгофа в комплексной форме:
S/ = 0.
На основании принципа однозначности потенциала каждой
точки, для любого- контура схемы замещения справедлив второй
закон Кирхгофа
= S (Z/).
Приведенные уравнения дают математическую связь между
комплексными параметрами активных элементов схемы (Ё, J),
комплексными параметрами режима (U, /) и параметрами пас-
сивных элементов схемы (Z и Y). При этом, в соответствии с пра-
вилами представления синусоидально изменяющихся функций
комплексными числами, комплексный параметр определяется его
действующим значением или модулем и начальным фазным углом.
Закон изменения каждой синусоидально меняющейся функции
во времени можно определить только при известном значении
частоты.
Совокупность всех значений напряжений и токов дает воз-
можность определить значения полной и пульсирующей мощно-
стей, т. е. при известном значении частоты получить полное
представление о происходящих энергетических процессах.
Если рассматриваемая схема содержит в качестве ее элемен-
тов взаимные индуктивности, то на основании второго закона
?62
Кирхгофа при составлении контурных уравнений необходимо
учитывать влияние индуктивно связанных ветвей с помощью
слагаемых, состоящих из произведений токов этих ветвей на со-
противления взаимной индуктивности между соответствующими
ветвями.
В схемах электрических цепей постоянного тока элементы,
аналогичные взаимной индуктивности цепей переменного тска,
появляются при их преобразовании путем уменьшения числа
контуров. В цепях переменного тока они приобретают опреде-
ленный смысл, так как связаны с протеканием соответствующих
процессов.
Более существенное изменение в схемы вносит трансформация, при
наличии которой возникают дополнительные условия. Эти условия записы-
ваются в виде
w____ Л
A to — ". —~ ,
£2 Ut I,
где /, и /2—токи в ветвях схемы, в которые включены соответственно
первичная и вторичная цепи трансформации;
L/,= —Е\ и 1/2 = —Ё2—напряжения соответственно у первичной и вторич-
ной сторон трансформации и э. д. с.
Наличие трансформаций в схеме несколько изменяет представление
о взаимно независимых контурах, так как указанные уравнения непосред-
ственно связывают токи разных контуров.
Уравнение состояния для схемы замещения цепи переменного
тока без взаимной индукции можно представить в виде уравне-
ний узловых потенциалов для i-ro узла:
где ф;—комплексное действующее значение потенциала t-ro узла;
Фу—комплексное действующее значение потенциала /-го узла;
У и—комплексная полная проводимость всех ветвей, присое-
диненных к t-му узлу;
Уij—комплексная полная проводимость одной из ветвей,
включенных между узлами i и /;
Ejj—комплексное действующее значение э. д. с., включенной
в одну из ветвей между узлами i и /;
^• — комплексное действующее значение суммарного задаю-
щего тока в t-м узле.
Поскольку при наличии в электрической цепи взаимной ин-
дуктивности возникают зависимости между э. д. с. ветвей и со-
ответствующими токами, которые непосредственно не входят
в узловые уравнения, то для схем, содержащих взаимные индук-
тивности, уравнения узловых потенциалов в общем случае при-
менять нельзя.
363
При наличии в схеме замещения трансформации эти уравнения такал
применять не рекомендуется, так как появляются дополнительные условия
непосредственно связывающие токи ветвей.
Уравнения состояния для i-ro контура можно записать такж<
в форме уравнений контурных токов
где I/ — комплексное действующее значение тока в i-м контуре;
1 j—комплексное действующее значение тока в /-м контуре;
Zu—комплексное собственное полное сопротивлениеi-ro кон-
тура;
Ztj—комплексное полное сопротивление ветви, являющейся
общей для контуров i и j;
Ei—комплексное действующее значение суммарной э. д. с
i-ro контура;
J—комплексное действующее значение задающего тока
в ветви, входящей в 1-й контур.
При наличии в схеме замещения взаимных индуктивностей
данная система уравнений должна включать связывающие
э. д. с. в ветвях с токами взаимно связанных ветвей.
При наличии в схеме замещения трансформации дополнительно должны
быть применены уравнения, связывающие токи и э. д с. соответствующих
ветвей, в которые включены ветви трансформации.
В последнем случае данная система уравнений не рекомендуется
для определения рабочего режима, так как в указанные дополнительные
условия входят действительные токи ветвей, которые определяются в виде
сумм контурных токов.
§ 10.13. Свойства цепей переменного тока
Цепи переменного тока обладают в основном теми же свойст-
вами, что и цепи постоянного тока. Для них также справедливы
принцип наложения, свойство взаимности и баланс мощностей.
Однако математическое выражение каждого из этих условий не-
сколько усложняется. Так, принцип наложения здесь формули-
руется следующим образом: если параметры режима выразить
в комплексной форме, то значения токов и напряжений можно
представить в виде слагаемых, каждое из которых может быть
отнесено к действию какого-либо одного активного элемента за-
данной схемы э. д. с. или задающего тока. Это свойство обуслов-
лено линейным характером уравнений состояния.
Свойство взаимности выражается в симметричности располо-
жения комплексных коэффициентов уравнений узловых потенциа-
лов и контурных токов относительно главной диагонали. В ком-
плексной форме свойство взаимности формулируется следующим
364
образом: отношение слагающей тока в любой i-й ветви схемы,
к э. д. с., действующей в некоторой другой j-й ветви той же
схемы, равно отношению слагающей тока в j-й ветви к э. д. с.,
действующей в i-й ветви. Иначе говоря, комплексы полных
взаимных проводимостей между i-й и /-й ветвями заданной схемы
должны быть одинаковы:
^7=^-
Слагающая потенциала любого i-ro узла схемы, вызванная
действием задающего тока в некотором другом /-м узле и отне-
сенная к единице последнего, равна слагающей потенциала /-го
узла, вызванной действием задающего тока в i-м узле и отнесен-
ной к единице последнего. Другими словами, комплексные зна-
чения общих и взаимных сопротивлений для узлов i и / схемы
замещения одинаковы
Свойство взаимности остается справедливым и при наличии
в схеме взаимных индуктивностей и трансформаций (последнее
справедливо только применительно к рассматриваемым однофаз-
ным цепям).
Более существенным получается различие в формулировке
условия баланса мощностей, которое может быть дано как в ком-
плексной форме, так и для мгновенных значений мощности, при-
чем в комплексной форме возможны два различных условия,
которые являются взаимно дополняющими. Действительно, при
обходе контура с любым из контурных токов, совокупность
которых определяет токи всех ветвей схемы, справедливы следую-
щие два условия:
2^ = 0 и 2// = о,
К к
. *
где U и U—соответственно комплексное и сопряженное комп-
лексное значения напряжения на ветвях данного контура к.
Очевидно, справедливы также соотношения
42^ = 0 и /к2& = 0
к к
и, наконец, для всей схемы
где i—текущий номер ветвив
Таким образом, для цепи в целом равны нулю одновременно
сумма комплексов полных мощностей и сумма комплексов пуль-
сирующих мощностей.
365
Из выражения для мгновенной мощности следует, что при
этом равной нулю должна получаться и сумма мгновенных мощ-
ностей всех ветвей схемы. Последнее условие показывает, чго
в электрической цепи переменного тока так же, как и в цепи
постоянного тока, не может происходить (при установившемся
режиме) постепенного накапливания электрической энергии: вся
электрическая энергия, генерируемая ее источниками в одних
местах цепи, за тот же сколь угодно малый промежуток времени
потребляется в других местах (где может временно накапливаться,
но в другой форме, например, в виде энергии электрического
или магнитного поля и в дальнейшем снова возвращаться в энер-
гию электрического тока). Это свойство иногда называют свой-
ством непрерывности энергетических процессов в электрических
цепях.
Из последнего соотношения следует, что одновременно
УР,. = 0 и Ъ,. = 0,
1 = 1
т. е. свойство баланса распространяется как на активную, так
и на реактивную мощности. При этом емкость можно всегда
рассматривать в качестве генератора реактивной мощности, а ин-
дуктивность—ее приемником (потребителем). Это положение
справедливо независимо от положения элементов в схеме и углов
сдвига фаз токов и напряжений, характеризующих состояние
этих элементов в схеме относительно (соответственно) токов и
напряжений в других местах схемы. Функции мгновенных зна-
чений мощности для тех же элементов могут быть сдвинуты по
фазе на разные углы; однако общее условие обмена энергией
в цепи в целом должно соблюдаться. Это условие является свой-
ством электрических цепей и выполняется как при аналитическом
расчете, так и в реальных электрических цепях с физически
протекающими электрическими процессами.
§ 10.14.- Векторные топографические диаграммы
Для каждой точки цепи потенциал можно изобразить векто-
ром на комплексной плоскости. Тогда напряжение между любыми
двумя точками цепи определяется разностью двух таких векто-
ров. Для определения этой разности достаточно провести прямую
линию между концами соответствующих векторов и стрелку по-
лученного вектора направить к концу «уменьшаемого» вектора.
Можно показать при этом и э. д. с. цепи.
Каждой точке схемы соответствует определенная точка век-
торной диаграммы. Поэтому такая векторная диаграмма назы-
вается топографической,
366
На рис. 10.42 показана неразветвленная схема с одним и
тем же током I во всех ее элементах. Для построения вектор-
ной топографической диаграммы следует принять потенциал
одной из точек, например точки h, равным нулю (<рл = 0). Тогда,
обходя контур против тока, легко определить потенциалы осталь-
ных точек рассматриваемой схемы. Потенциал точки g, очевидно,
выше потенциала точки h на величину напряжения rj или
= Фа +'V Так как <рй = 0, то потенциал точки g равен = rj
и изображен на рис. 10.43 вектором rj, конец которого обозна-
чен буквой g. Потенциал <ру точки f выше потенциала <pg точки g
на величину напряжения на емкостном сопротивлении хс и равен
Рис. 10 42
<р/ = Фй.-|-(— !xj) = rj + (— Конец вектора (— jxcI), обо-
значенный буквой f, определяет потенциал данной точки, кото-
рый равен сумме напряжений на активном сопротивлении гг и
емкостном сопротивлении хс (рис. 10.43). Аналогичным способом
определяется потенциал точки d, т. е. ф^ = фу + т2/. В соответ-
ствии с этим равенством из точки f проводится вектор rj парал-
лельно току 1, и конец этого вектора обозначается буквой d.
Потенциалы остальных точек схемы находятся по формулам:
Фь = Фй + М/ и Фв = Ф&+'’/
Соответствующие векторы показаны на рис. 10.43, причем потен-
циал последней точки а, очевидно, равен напряжению Uah на за-
жимах цепи, т. е. Uah = qa—фА = фа- В свою очередь, э. д. с.
= (РИС. 10.43).
Здесь необходимо отметить, что векторы напряжений на топо-
графической диаграмме имеют направления, противоположные
положительным направлениям напряжений относительно соответ-
ствующих точек на схеме. Например, напряжение Ubf= Фь — Ф/,
направленное (рис. 10.43) от точки b к точке f (по току /),
на топографической диаграмме (рис. 10.43) имеет противополож-
ное направление, что соответствует обычному правилу вычитания
367
U , I
векторов (разность векторов всегда направлена в сторону умень-
шаемого вектора). Отмеченное положение следует иметь в виду
при построении диаграмм
ni
h
а
Рис. 10.43
При построении топографических диаграмм для разветвлен-
ных цепей можно на той же векторной диаграмме показать век-
торы токов в ветвях и задающих токов. Векторы токов необхо-
димо ориентировать относительно векторов напряжений или
потенциалов узлов. Применение
первого закона Кирхгофа для
каждого узла дает возможность
расположить соответствующие
векторы токов с учетом их
положительных направлений в
виде замкнутого многоуголь-
ника.
Для схемы замещения можно
построить также диаграмму
комплексов полных мощностей.
Однако такая диаграмма так
же, как и векторная диаграмма
токов для сложной цепи, мало
наглядна, хотя и может быть представлена в виде замкнутого
многоугольника в связи с наличием свойства баланса полной
мощности для всей цепи.
Диаграммы сопротивлений и проводимостей для сложных
цепей мало показательны и могут быть применены только для
цепочечных схем, имеющих
последовательное и парал-
лельное соединение элемен-
тов.
Построение векторных то-
пографических диаграмм в
некоторых случаях упрощает
расчеты, так как графические
построения обычно проще
математических операций с
комплексными числами, если
эти действия связаны с пере-
водом из одной формы записи
(например, алгебраической)
комплексных чисел в дру-
гую (показательную).
Преимуществом векторных диаграмм является их большая
наглядность и простота, дающая возможность проверять правиль-
ность результатов расчета Их существенный недостаток—сравни-
тельно малая точность (если это важно для данного ра-
счета),
Пример 10.14. На рис. 10 44 изображена разветвленная электрическая
схема с током /(«1а Определить токи в ветвях и напряжения на участ-
ках цепи и построить топографическую векторную диаграмму.
Решение. Если вектор тока ls направить по оси вещественных ве-
личин /, = /s=l а, а потенциал точки f принять равным нулю, то потенциал
точки d легко определить по формуле Фд=Ф/+ 1 /,= 1 в. Ток /4=—=—/0,5а,
а ток /’,= 14 +1 j-(l—/0,5) а. Для определения тока /2 необходимо пред-
варительно найти разность потенциалов Ubg=<pb—<рг.
Потенциал
Фь = Фа + (- /0.5) /, = 1—/0,5 (1 -/0,5) = (0,75-/0,5) е,
а потенциал
<рг==фу—(—/0,5) /,= /0,5 (1— /0,5) = (0,25 + /0,5) в.
Следовательно,
Ubg = (0,75—/0,5) — (0,25 + /0,5) = (0,5-/);
/, = ^ьг0,5 = (0,5—/) 0,5 = (0,25—/0,5) а.
Тогда
/, = /2+ /,=0,25—/0,5 + 1—/0,5 = (1,25—/1) а.
Потенциалы
фо = Фь + /1 = (0,75 - /0,5) + /(1,25 -/) = ( 1,75 + /0,75) в;
фА=Фг— 1/, = 0,25+ /0,5—1,25+/=(- 1 + /1,5) в.
Напряжение на зажимах всей цепи
^вй=Фа-фЛ= 1,75 + /0,75+ 1— /1,5 = (2,75—/0,75) в.
На рис. 10.45 построена векторная топографическая диаграмма для раз-
ветвленной цепи. По этой диаграмме легко определить напряжения между
Теоретические основы электротехники ч. 1 86S)
любыми точками заданной электрической цепи. В частности, на этом чер-
теже показано напряжение Ubgt совпадающее по фазе с током /2, и напря-
жение fg — — /0,5/'s, отстающее по фазе от тока /2 на угол .
Вопросы для самопроверки
10.1. Почему для элемента электрической цепи в виде катушки схема
замещения, в которой активное и реактивное сопротивления включены па-
раллельно, является в какой-то мере более условной, чем схема, в которой
активное и реактивное сопротивления, имеющие другие величины, включены
последовательно? Почему для конденсатора положение получается противо-
положным?
10.2. Как определить параметры схемы замещения катушки, если в не-
котором рабочем режиме цепи известны подведенное к катушке напряжение,
ток в ней и теряемая в ней активная мощность? Цепь предполагается ли-
нейной, а частота заданной.
10.3. Как определить параметры схемы замещения конденсатора, если
в некотором режиме работы электрической цепи известны подведенное
к конденсатору напряжение, ток в нем и сдвиг фаз между током и напря-
жением? Цепь предполагается линейной, а частота заданной.
10.4. Как изменится электрическое состояние катушки, если при неиз-
менном значении напряжения, подведенного к ней, будет изменяться частота
напряжения (при синусоидальной форме)? Цепь предполагается линейной.
Можно ли катушку, рассчитанную на работу в цепи переменного тока,
включить в цепь постоянного тока при том же значении подведенного к ней
напряжения?
10.5. Чем объяснить, что в цепи переменного тока сумма действующих
значений напряжения на участках цепи, включенных последовательно,
может быть больше суммарного напряжения на зажимах всей цепи, содер-
жащей эти участки? Чем объяснить то же соотношение для суммы дейст-
вующих значений токов в параллельно включенных ветвях по сравнению
с суммарным током в неразветвленной части цепи?
10.6. Чем различаются энергетические процессы в последовательно вклю-
ченных элементах цепи с численно одинаковыми активными и реактивными
сопротивлениями, если в одном из них реактивное сопротивление имеет
индуктивный характер, а в другом—емкостный?
10.7. Каковы углы сдвига фаз между иапряжеииями иа последовательно
включенных элементах цепи в виде активного сопротивления, индуктивности
и емкости и чем они обусловлены? То же, но для токов, в ветвях с парал-
лельно включенными активным сопротивлением, индуктивностью и емко-
стью.
10.8. С каким энергетическим процессом связано повышение напряже-
ния (по сравнению с суммарным) на индуктивности и емкости в условиях
резонанса напряжений? С каким энергетическим процессом связано увели-
чение токов в параллельно включенных ветвях с индуктивностью и емко-
стью (по сравнению с суммарным) при условии резонанса токов?
10.9. Какие свойства электрической цепи отображаются на схеме заме-
щения с помощью элемента взаимной индуктивности’ Какие свойства цепи
отображаются с помощью элемента трансформации?
10.10. Почему аналитическое выражение для любой электрической вели-
чины имеет смысл только тогда, когда указано положительное направление
ее на схеме (илн подразумевается по смыслу)?
10.11. В каких случаях следует пользоваться мгновенными значениями
токов и напряжений, их действующими и комплексными значениями?
В каких случаях следует пользоваться мгновенными значениями мощности,
зиаченнями полной и пульсирующей мощностей?
10,12. Какой вид имеет топографическая диаграмма для однородной
цепи, в которой действует только одна э. д. с.?
870
Глава XI
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 11.1. Основные аналитические методы расчета
С помощью уравнения состояния определяется рабочий режим
в любой заданной схеме замещения.
В соответствии с видом уравнений, используемых при рас-
чете цепей переменного тока, можно так же, как и при расчете
цепей постоянного тока, указать на возможность применения
уравнений Кирхгофа, а так же уравнений контурных токов и
узловых потенциалов. Порядок составления этих уравнений и
методика их совместного решения принципиально остаются преж-
ними, изложенными ранее применительно к расчету цепей посто-
янного тока. Различие состоит главным образом в том, что
вычисления в общем случае приходится выполнять в комплекс-
ных числах.
В матричной форме уравнения Кирхгофа принимают следующий вид:
а!» А,
где
’=|ЫГ' i = ||/,||; A = ||Ai-|| (/ = 1...в).
Аналогично записываются контурные уравнения
Zk i« = Ёк,
где
ZK=p,7||*; U =||z. ; ЁК=ЦЁ;|| (i=l ...fe),
и узловые уравнения
YA = jr
где
YHIMr1; МЫ1; Ъ=ИМ
причем
(7;= ф; — ф0,
где ф0—потенциал узла, который принят за основной.
В такой записи особенно наглядно проявляется принцип дуальности
схем и отчетливо обнаруживается соответствие величин.
Комплексные числа дают возможность применять те же уравнения,
которые были получены для цепей постоянного тока.
Решение задачи упрощается только в тех случаях, когда
схема замещения оказывается однородной, т. е. одновременно
Для всех ветвей схемы
Фу ~ const,
и фазовые углы одноименных активных элементов схемы (э. д. с.
И токов) одинаковы: для всех э. д. с. схемы
ф#У = const = фи,
24*
871
а для всех задающих токов
i|>l7 = const = = ф.
Тогда уравнение баланса напряжений для каждого контур,
схемы
6 ф /в 6 \
JS IjZj=(j Ej+Jjzi)е/ (*“-ф)
и, следовательно, аргумент Ар, распространяется на все тою
ветвей
arg Ij = const = Ap; = Ари—ф.
При этом расчет можно выполнить с помощью схемы, спра
ведливой для цепей постоянного тока, т. е. с сопротивлениям!
ветвей

Все токи и напряжения, определяющие рабочий режим та
кой схемы (цепи постоянного тока) соответствуют модулям па
раметров режима рассма
триваемой цепи перемен
ного тока. При этом i
пределах каждой ветв,
условия на ее отдельны
участках могут быть ины
ми, соответствующими ус
ловиям, характерным дл1
неразветвленной цепи пс
ременного тока.
Пример 11.1. На рис. 11
изображена электрическая схе
ма, сопротивления которой
заданы на чертеже Пользуясь
методом контурных токов,
определить токи во всех вет-
вях и напряжения на участ-
ках, если Е, = 120е^”’и Ё2= 220е/ао°. Построить векторную диаграмму для
этой схемы.
Решение. С помощью метода контурных токов для заданной схемы
(Z,+Zt) 71 + 2,/'2 = Ё1 и Ztl\ + (Zs-f-Zs) Z2 = Ё2,
где
A + = 3 + ) (8 - 4)+12 + /(32-16) = (15 + /20) ом,
Zs= 124*/’(32— 16) = (12 + /16) ом;
Z24-Zs = 6 + /(16—8)+ 12 + /(32—16) = (18 + /24) ом.
Таким образом, контурные уравнения записываются в виде:
(15 +/20) /, + (12+ /16) /2== 120е/ао°;
(12 + /16) Л+ (18+ /24) /жх=220е/вв'
372
или
25e^s’’1°/'1 + 20e^s’-’°/2= 120е^2’°;
2Oe/ts-10 /t + 30e/ss-*’ /2 = 220e'M’,
откуда
I 120e/’°’20e/SS1
220e'so’30e'ts’
z --------------------
4=
______________________ (120-30—20'220) ==_2
| 25 20 I / (ss,i»+s»,i°) (25-30—400)
120 30 I e
25 e'ss'10 120 e'20'
30 e/52'I°220e/,°'
25 20 e
20 30
______________(25-220 -20-120) ,M>1.
/(n,i’+n.i°) — (25-30—400) e ~ 0,0
Tok ia равен сумме токов Z, и Z2:
I, =4 + Z2=(—2.28 + 8,86) “•* = 6,58 е~/ 22<
На рис. 11.2 построена полная векторная диаграмма токов и напря*
жений. Из втой диаграммы следует, что напряжения на зажимах ветвей
схемы сдвинуты на одинаковые углы относительно токов соответствующих
ветвей.
Пример 11.2. К узловым точкам а и b схемы (рис. 11.1) присоединен
Источник тока J=10e-^22-* (рис. 11 3). Пользуясь методом узловых потен-
циалов, определить токи во всех ветвях и построить векторную топогра-
фическую диаграмму,
373
Решение. С помощью формулы, вытекающей из узловых уравнений
для определения напряжения Uab, легко получить выражение в виде:
Ё.Л+ £2У2+ J
Uab-------------------=
Л + У2 + У2
120-1 е/=о° е-/5».1° + 220 e/s°°le-'"’’ + 10 е' 2’д°
=------!--------- ---------^—12-------------------= 160 е'50°.
( 1 + — +— ] e~/5S,1°
< 5 т 10^20/
Из этого выражения следует, что при одинаковых фазных углах заданных
э.д.с. и при фазном угле источника тока ф; = фц—Ф напряжение Uab
совпадает по фазе с э.д.с. Et и Е2. Токи в ветвях схемы (рис. 11.3):
/, = (Ё,—-1)аЬ) У, = (120—160)-1 е_/22,1° = —8e_/2S,1°;
О
/2 = (Ё2 —(7аЬ) У2= (220—160) 1 e_/2S,’° = 6e~/2s,I°;
It = Uab У2=1601е-''2’-’° = 8е-'22<
Отсюда видно, что токи It, J и Z, совпадают по фазе, т. е. имеют одинако-
вые фазные углы, а ток Ц сдвинут по фазе относительно остальных токов
на 180°. Если изменить положительное направление тока то фазный
угол у этого вектора будет равен фазным углам токов в остальных вет-
вях. На рис. 11.4 построена полная векторная топографическая диаграмма.
Пользуясь диаграммой, легко определить напряжения между любыми точ-
ками заданной схемы, при этом потенциал точки b принят равным нулю
и совмещен с началом координат.
Пример 11.3. На рис. 11.5 изображена электрическая схема с взаим-
ной индуктивностью М12 между двумя катушками, обладающими индук-
тивностями L, и L2. Однополярные зажимы катушек отмечены точками.
Реактивные и активное сопротивления схемы x1~o>Ll = 20 ом; =
374
= 10 ом-, х., = юЛ11.= 10 ом; х3 = -4г=20 ом; га= 10 ом. Комплексное соп-
12 12 аС,
ротивление нагрузки Z4=(10+j 10) ом, напряжение U = 200 в. Определить
токи во всех ветвях н построить векторную топографическую диаграмму,
приняв потенциал точки а равным
Решение. На основании
законов Кирхгофа:
(7 = JXj/j / Х12/ 2“Ь ^8^8»
^8^8 = + ^4’
Л = Л + А-
Если при помощи последнего
уравнения исключить из первого
ток /2, а из второго—ток Z1( то
U — j (х,—*i±) Zi+(2a + /х12) Z,;
(^8 “Ь Ml 2) = / (Х2“~Х12)/2 ^4*
Этим уравнениям удовлетворяет
эквивалентная схема без индук-
нулю.
тивной связи, показанная на рис. 11.6, где токи в ветвях имеют действи-
тельные значения, а сопротивления Z, = /(xl—х)2) и Z2=/(x2—xt2)
(см. § 11.3),

Одновременно с этим следует особо отметить, что потенциал точки d'
(рис. 11.6) на эквивалентной схеме без индуктивной связи не равен потен'
циалу точки d в заданной схеме, что непосредственно следует, например,
из сравнения напряжений:
(7db— jx&lz d’b — i (%2 + 2) ^2‘
При помощи эквивалентной схемы (рис. 11.6) легко определить ток
I, по формуле:
‘ i IГ - Г U [Z< + Z —*12)1 [Г8 + /(^2 — ^)1 ’
711 ^^24+/(х2-х12) + г8 + /(х1а-х8)
Так как х2 = х12, то
Рис. И 6
i=_______________и
i (*1-*!2) + j4
^4 4" ^3 + / (Л12 +)
ИЛИ
_ 200
1 “ i,о , (10+/10) (10-/10)-
1 20
200 200(10-/ 10)
~10 + /10'~ 200 ~
= (10 — /10)«.
Токи I, и 12 определяются
по формулам:
7,Z4 + rs+‘(x12-xs)-(1° /10)Ю + /10+10-/10-10а:
Л=Л z +7+Лх 2a-)=(10-z 1о> -° 20 10а-
Ai + 's~r/(Xi2—xsj zu
Для построения векторной топографической диаграммы достаточно
определить потенциалы соответствующих точек на заданной схеме:
Фб = Фв+ад=0+(10 + /10)(-/10) = (100-/100);
Ф</ = Фь+/V2—/W1 =Фй + /Ю(—/ 10)—/10(10—/10) -ФЬ—/100;
Ф/= (₽d + i xji—lxnh=id + / 20 (10—/10) — j 10 (—j 10) = q>d +100 + / 200.
Наконец, потенциал точки g
ig — ia + (—7Va) = 0-/20-10 = — j 200 e,
тогда
Ф</ = Фг + га^= — / 200+ 10-10= (100—/200)e.
На рис. 11.7 построена векторная топографическая диаграмма, при
помощи которой легко определить напряжения между любыми точками
заданной схемы,
37§
§ 11.2. Особенности рабочих режимов и упрощенные методы
расчета цепей переменного тока
В цепях переменного тока, не содержащих емкостей и транс*
формаций, соотношения между действующими значениями нап-
ряжений на отдельных ветвях и действующими в цепи э.д.с.,
между действующими значениями токов в ветвях с э.д.с. и в
ветвях без э.д.с. или между токами в ветвях схемы и зада-
ющими токами могут получиться не такими, как в аналогичных
по внешнему виду и параметрам цепях постоянного тока (если
для схемы цепи переменного тока в качестве сравниваемых
параметров принимать модули комплексных значений). В цепи
переменного тока эти соотношения изменяются из-за фазных
углов сдвига токов и напряжений.
Наиболее существенными эти различия получаются в цепи с
емкостями и с трансформациями. Влияние емкостей на явления
в цепи переменного тока с индуктивностями можно сравнить с
влиянием отрицательных сопротивлений в цепи постоянного
тока. Однако в отличие от этого в цепи переменного тока влия-
ние индуктивностей и емкостей может привести к резонансу.
377
При расчете цепей переменного тока применимы упро-
щенные методы, которые были изложены ранее для расчета
цепей постоянного тока.
Несовпадение параметров режима по фазе характеризуется следующим
соотношением для модулей комплексных чисел:
21 I<12ль
Условие резонанса напряжений или токов можно представить в виде:
где D—определитель из коэффициентов системы контурных или узловых
уравнений;
D;j—определитель на единицу меньшего порядка, полученный из опре-
делителя D путем вычеркивания i-й строки и /-го столбца.
Это означает, что в эквивалентном контуре, к которому может быть
приведена схема, реактивное сопротивление равно нулю, и ток совпадает по
фазе с напряжением. При наличии задающих токов то же самое относится к
входному сопротивлению между любыми двумя узлами схемы замещения.
Поскольку, в связи со свойством взаимности, всегда то каждое
из указанных условий одновременно относится к двум контурам или двум
парам узлов. Это связано с тем, что активный элемент можно включить в
любую другую часть схемы замещения.
Так, принцип наложения целесообразно применять в тех случаях, когда
схема замещения является однородной (по ее пассивным параметрам), но
содержит несколько активных элементов, параметры которых имеют разные
аргументы (начальные фазы). Тогда можно составить схему замещения
такую же, как и для цепи постоянного тока, т. е. для каждой i-й ветви,
в соответствии с э.д.с.
определить входную и взаимные проводимости
и
а для каждого задающего тока
иайти коэффициенты распределения
а затем определить токи во всех ветвях исходной схемы:
После этого можно определить все напряжения в исходной схеме.
Возможен и такой порядок расчета: сначала находят слагающие потен-
циала каждого узла схемы и потенциалы всех узлов исходной схемы, а
378
затем—токи всех ее ветвей. Однако при таком порядке расчета требуется
большая точность вычислений, связанная с необходимостью выполнения
операций вычитания значений потенциалов.
Поскольку схемы замещения предполагаются линейными, то
можно воспользоваться правилом пропорциональных пересчетов
(особенно целесообразным в случаях цепочечных схем). Для
такого способа расчета однородных схем весьма эффективным
может оказаться применение модели постоянного тока. Если
же схема неоднородна, то для тех же целей приходится при-
менять модель переменного тока.
Как следует из предыдущего, в любом случае для цепи
переменного тока можно составить схему замещения, в которой
в качестве пассивных элементов используются только полные
сопротивления. Поэтому все преобразования, вытекающие из
решения систем контурных или узловых уравнений, т. е. вы-
ражающиеся в уменьшении числа узлов или контуров, так же,
как и в случае цепей постоянного тока, достаточны для преоб-
разования любой схемы замещения. Разница заключается только
в том, что при расчете цепей переменного тока приходится вы-
полнять математические операции с комплексными числами.
Следует иметь в виду, что условием эквивалентности в дан-
ном случае является неизменность полной и пульсирующей
мощностей в преобразуемой части схемы. Если схема содержит
активные элементы, то при этом генерируемая и потребляемая
мощности в общем случае изменяются.
Необходимо отметить, что при расчете цепей переменного
тока, одновременно содержащих индуктивности и емкости, должна
быть обеспечена большая точность расчета, особенно в условиях,
близких к резонансу. Это вызвано тем, что в процессе вычис-
лений могут встречаться также разности в качестве делителей,
недостаточная точность вычислений которых может привести к
значительным ошибкам.
Поскольку возможны случаи, когда схема замещения содержит взаим-
ные индуктивности и трансформации (это упрощает общий вид схемы заме-
щения), то соответственно увеличивается и количество операций по преоб-
разованию схем.
Пример 11.4. Заменить две
11.8) одной эквивалентной (рис.
трансформации (рис.
каскадно включенные
11.9).
379
Решение. По условию, для второй трансформации
й~йгКгн1
а для первой
и ?,= - .
____ Поэтому
К1К* и ?1 = КХ ’
ц Г Л ) й2 или
й^й^к и л=Ь-,
где
Рио. 11.9 К^КХК2.
В более общем случае, при и каскадно включенных трансформациях,
аналогично получается
К= П Ki *.
1=1
Если через трансформацию связаны части цепи, включенные (каскадно)
одна за другой по пути передачи электрической энергии, то можно расчет
выполнять по схеме, в которой все величины приведены к одной ступени
Если коэффициент трансформации (рис. 11.10)
if ____________________________1 г
то, разделив значения всех токов в ветвях вторичной цепи на К12 и умно-
жив значения всех напряжений на К12, можно заменить связь через
трансформацию непосредственной электрической связью. Однако при этом
все сопротивления вторичной цепи должны быть увеличены в раз, так
как для любого элемента а получается:
к,А=A
А12
* Буква П обозначает произведение последующих величин в указанных
пределах изменения индекса.
380
Такое изменение пассивных параметров вторичной цепи называется
приведением ее к первичной цепи. После расчета электрически связанной
цепи можно определить действительные параметры режима в приведенной
части цепи путем обратного пересчета, т. е. путем умножения всех токов
на К12 и деления всех напряжений на K1S.
При расчете цепей переменного тока можно широко применять дуаль-
ные схемы, так как в цепях переменного тока значительно чаще встре-
чается связь между ветвями электрически разобщенных контуров. Если в
схемах замещения цепей постоянного тока аналогичные связи возникают
только в процессе преобразований с уменьшением числа контуров, то в
цепях переменного тока такие связи существуют вследствие влияния вза-
имной иидуктивности. Не только аналитические методы расчета таких це-
пей, но и моделирование их связано с известными трудностями. Примене-
ние дуальных схем позволяет устранить взаимную индуктивность из
схемы замещения, подлежащей расчету, и тем упростить решение задачи.
Общие принципы составления дуальных схем остаются прежними.
Различие заключается только в том, что параметры схем замещения в слу-
чае цепей переменного тока могут выражаться комплексными числами.
В некоторых случаях вместо применения дуальной схемы следует
устранить взаимную индуктивность путем простых преобразований.
Пример 11.5. Схему замещения (рис. 11.11, а), имеющую две ветви с
взаимной индуктивностью М, упростить для расчета.
Решение. Несмотря на то, что в действительности э.д.с. взаимной
индукции наводятся как бы в «удаленных» участках цепи, для расчета
можно представить, что э.д.с. имеются в участках, непосредственно свя-
занных электрически (рис. 11.11, б). Это допустимо, так как взаимная ин-
дуктивность влияет только на распределение потенциалов в пределах одной
ветви; при этом токи в ветвях схемы замещения и распределение напряже-
ний в остальной части цепи остаются неизменными. В этом случае можно
применить правило замены взаимной индуктивности двух ветвей Т-образной
схемой с общим сопротивлением (пример 11.3) (рис. 11.11,в). Эта схема дает
возможность определить токи в ветвях и распределение потенциалов сна-
чала в преобразованной, а затем в непреобразованной (рис. 11.11, а) части
схемы (рис. 11.11,6) по известным токам преобразованной схемы. Измене-
ние распределения потенциалов получается путем простого перемещения
э.д.с. взаимной индукции вдоль ветвн или обратного перехода от схемы,
изображенной на рис. 11.11 в, к схеме, показанной на рис. 11.11,6, а за-
тем к исходной схеме (рис. 11.11, а).
Следует иметь в виду, что разность сопротивлений Zt—Zm может выра-
жаться комплексным числом с отрицательной мнимой частью, что при
определенной частоте равносильно включению емкости.
В тех случаях, когда ветви, связанные взаимной индуктивностью, не
имеют непосредственной электрической связи, целесообразно применять
дуальные схемы.
Так как каждому контуру исходной схемы соответствует узел в дуаль-
ной схеме, то составление дуальной схемы следует начинать с фиксации
узлов, число которых должно быть на единицу больше числа независимых
контуров в исходной схеме. Каждому сопротивлению исходной схемы соот-
ветствует равновеликая проводимость в дуальной схеме. Если сопротивле-
ние составляет часть ветви, не являющейся общей с каким-либо другим
контуром, то соответствующая ветвь в дуальной схеме должна располагаться
Между узлом, изображающим данный контур, и нулевым узлом (исходным,
базовым, узлом баланса). Если же это сопротивление является частью
ветви, общей для контуров i и j, то соответствующая ветвь должна рас-
полагаться между узлами i и j. Каждая э.д.с., действующая в какой-либо
ветви исходной схемы, заменяется парой задающих токов. Если э.д.с.
включена в ветвь, не являющуюся общей для нескольких контуров, то
381
определенная пара задающих токов размещается в узле, соответствующем
данному контуру, н в нулевом узле, причем задающий ток в этом узле
иметь направление от схемы в тр.м случае, когда э.д.с. имеет на-
правление, ’овпадающее с направлением обхода контура в исходной
схеме. Если же э.д.с. включена в ветвь, являющуюся общей для несколь-
ких контуров, то определяемые пары задающих токов должны быть включены
во все узлы, соответствующие этим контурам, и в пулевой узел. Задающие
токи должны быть численно равны э.д.с. При этом в нулевом узле зада-
ющие токи могут компенсироваться взаимно (если число связанных конту-
ров четное и направления обхода их попарно противоположны для данной
ветви). Чтобы на дуальной схеме отразить задающие токи исходной схемы,
необходимо выбрать точку баланса задающих токов и в ней поместить эти
токи, равные по величине и противоположные по направлению относительно
схемы для всех задающих токов. Если какая-либо из полученных пар за-
дающих токов оказывается расположенной по концам сопротивления,
представляющего собой часть ветви или ветвь в целом, не связанную с
другими контурами, то равновеликая э.д.с. в дуальной схеме включается
в соответствующую ветвь. Эту э.д.с. необходимо направить к нулевому
узлу, если ток в сопротивлении исходной схемы, обусловленный данной
парой задающих токов, имеет направление, совпадающее с направлением
обхода контура. При этом напряжению в исходной схеме соответствует ток
в ветви дуальной схемы, а току в какой-либо ветви исходной схемы со-
ответствует напряжение между узлами дуальной схемы. Если задающие
токи располагаются по концам сопротивления, общего для нескольких
контуров, то соответствующая э.д.с. включается во все ветви, отражающие
это сопротивление в дуальной схеме. Если пара токов расположена так,
что узлы оказываются соединенными через несколько различных ветвей, то
в промежуточных узлах надо поместить взаимно балансирующиеся пары
382
токов и учесть при составлении дуальной схемы каждую из пар задающих
токов, расположенных по концам промежуточных ветвей (их частей или
отдельных сопротивлений).
Дуальную схему в соответствии с приведенными правилами можно по-
лучить без составления систем уравнений и каких-либо дополнительных
расчетов. При этом все параметры дуальной схемы получаются равновели-
кими параметрам исходной схемы.
К дуальной схеме применимы все методы расчета цепей, изложенные
ранее.
Пример 11.6. Составить схему замещения, дуальную по отношению к
заданной схеме, приведенной на рис. 11.12, а.
Решение. В исходной схеме имеется всего лишь одна пара задающих
токов, разделенных сопротивлениям Zs и Z4. В промежуточной точке а
нужно поместить пару взаимно балансирующихся задающих токов. Кроме
Того, нужно выбрать независимые контуры и направления их обхода
(рис. 11.12, б).
Поскольку исходная схема содержит два взаимно независимых контура,
то в дуальной схеме нужно иметь три узла. Непосредственно по исходной
схеме с заданными параметрами, без каких-либо расчетов, составляется
Дуальная схема, показанная на рис. 11.12, в. В данном случае последняя
составлена так, что иа ней изображены все параметры исходной схемы.
Приведенные положения об упрощении расчетов симметричных схем
Постоянного тока справедливы и применительно к цепям переменного тока.
Однако, поскольку в данном случае все параметры могут выражаться
Комплексными числами, то условия симметрии могут использоваться не-
сколько иначе,
383
Если линейная схема, условно показанная на рис. 11.13. а, имеет две
симметричные части, пассивные параметры которых одинаковы, а актив-
ные—выражаются взаимно сопряженными числами, то расчет схемы в де-
лом можно упростить. В этом случае рабочий режим можно получить
путем наложения режима, обусловленного вещественными компонентами
активных элементов (рис. 11.13, б) и режима, вызванного мнимыми компо-
нентами активных элементов (рис. 11.13, в), в предположении, что
Ё = E'+jE"
и
j=r-/r.
Тогда в первом случае схема может считаться симметричной, а во
втором — несимметричной. При этом расчет каждого из режимов может су-
щественно упроститься. Реальный режим получается путем простого нало-
жения. Очевидно, что параметры режима в соответственных элементах сим-
метричных частей схемы не получаются взаимно сопряженными.
Рис. U.13
Если все активные и пассивные параметры схемы заменить их сопря'
женными величинами, то (по правилам алгебраических действий с комплек-
сными числами) в результате будут получены величины, определяемые со-
пряженными комплексными числами. Поэтому схема, показанная на
рис. 11.13, г, не является симметричной. Упростить расчет такой схемы
можно в том случае, если одну из частей, например, левую (рис. 11.13, г),
заменить эквивалентным многополюсником, число полюсов которого опреде-
ляется числом связей между рассматриваемыми частями цепи, и рассчитать
384
рабочий режим получившейся схемы (правой части исходной схемы с до-
бавлением эквивалентного многополюсника от левой). Все параметры режима
в левой части исходной схемы получаются как сопряженные по отношению
к соответственным параметрам правой. Параметры режима на линии услов-
ной симметрии должны определяться вещественными числами.
Схема, показанная иа рис. 11.13, д, не является симметричной. Упро-
стить ее расчет можно только в некоторых случаях, например, при связи
в двух точках, когда любая из частей может быть представлена в виде
эквивалентного двухполюсника.
§ 11.3. Эквивалентные схемы и энергетические соотношения
для цепей с взаимной индуктивностью
Выше было показано (пример 11.3), что замена электрической
схемы с взаимной индуктивностью эквивалентной схемой без вза-
имной индуктивности дает возможность значительно упростить
расчет. Поэтому следует рассмотреть более общий случай замены
цепей с взаимными индуктивностями соответствующими эквива-
лентными схемами без магнитной связи. На рис. 11.14, а изо-
бражены три катушки, соединенные звездой. К свободным концам
катушек приложены напряжения Uab, Ubc и Uca. Однополярные
зажимы катушек отмечены точками. Напряжения на зажимах
ветвей
Uao= (П + Mi) Л + /«М272
йъо = (б2 + Мг) Л + ЛМЛ
йСо=(г, н- 7<оЬ,) 7а ч- /сом,,/, + /йМа2/2.
Входные напряжения на свободных зажимах катушек нахо-
дятся с помощью второго закона Кирхгофа:
^аб=^ао—^ь0=(П+М1—/®Л121)/1 —(г2+/и>Л2—/<оЛ112)72 +-
+ 7м (Л412 — Л12а) 7а;
25 Теоретические основы электротехники, ч. А
385
Obc = ^bo — Uco = (Г2 + /оД 2 — /ИМ„) /2 — (G + J®Ls — jaM2S) 7s _|_
+ /®(M21—Л4,,) l\;
Uca = Uc0 — Ua0 = (rt + /®LS— /(oMls) 7, — (/•, + /©L,—/®Mn) 1\ _|_
+ j® (MS2 — MI2) 72.
При помощи выражения 7, -|-/s4-7, = 0 легко исключить из
первого уравнения ток /„ из второго—ток 7,, а из третьего—
ток 72; тогда после группировки слагаемых
uab = zj-zj2, ubc = z2i2—ztit-, u^zj-zj,,
где
Zi = г, + /X = rt + /(о (А, — M2l — , + M2S);
Z2 = G + /X = ^ + /® (X— Mi2 — M21 + Mn);
ZS = G + /X = G + /® (7-, —MIS —M2S + M12).
Этим уравнениям удовлетворяет эквивалентная схема без
взаимных индуктивностей, приведенная на рис. 11.14,6. Из
сравнения заданной и эквивалентной схем (рис. 11.14, а и 6)
следует, что, несмотря на равенство токов в соответствующих
ветвях этих схем и равенство входных напряжений на соответ-
ствующих зажимах, напряжения на отдельных ветвях эквива-
лентной схемы (рис. 11.14, 6) не равны соответствующим напря-
жениям на зажимах ветвей заданной схемы (рис. 11.14, а), т. е.
иЬо^й bOi и UC0=Z=Uc0i. Однако это не мешает поль-
зоваться эквивалентными схемами для расчета электрических
цепей с взаимными индуктивностями, так как после определения
реальных токов в ветвях эквивалентной схемы можно легко
определить действительные напряжения на зажимах ветвей за-
данной цепи.
Если в заданной схеме (рис. 11.14, а) взаимные индуктив-
ности Л425 = Л481 = 0 (рис. 11.15, а), то в эквивалентной схеме
(рис. 11.14, 6) эквивалентные реактивные сопротивления (рис.
11.15, 6) получаются равными:
Xi = (o(7-i —М21); х2 = (о(Л2 —Л421);
xs = (o(Z.s + M21).
Аналогичным способом можно получить эквивалентную схему
без взаимных индуктивностей для электрической схемы, соеди-
ненной треугольником с взаимными индуктивностями между всеми
тремя ветвями (рис. 11.16, о). Для такой схемы (рис. 11.16, а)
справедливы следующие контурные уравнения:
йаь = z j i + ixiJt +
UЬс = Z2^2 + lXzJS + iXlJP
U ca ~ s 4“ /-''31A “Ь 1хгг^2‘
386
Пользуясь равенствами 1а—1х— Is’> — Л и 4 = 4— 4>
можно исключить из первого уравнения токи /2 и /„ из вто-
рого—токи /, и /j и из третьего—токи 1Х и /2. Тогда после
группировки слагаемых:
+1 (*.г + 4 + Iх jb~ jXja\
йЬс~ lZ2 +i (*2i+*Л 4+Л..4—i*Jb’
йса = iz3+i (*„+4+ixtlia—ixttic.
Полученным уравнениям удовлетворяет эквивалентная схема без
взаимных индуктивностей, показанная на рис. 11.16,6. Здесь
напряжения на зажимах всех трех ветвей (рис. 11.16, б) в общем
случае не равны соответствующим напряжениям на зажимах
ветвей заданной схемы (рис. 11.16, a) (Ua’b’^Uab', Ub'<.^Ubc и
т. Д.)> несмотря на то, что токи во всех ветвях эквивалентной
as* 387
схемы равны токам в соответствующих ветвях заданной
цепи.
Следует особо подчеркнуть, что применение эквивалентных
схем во многих случаях значительно облегчает расчет цепей с
взаимной индуктивностью, в частности, путем использования
формул преобразования трехлучевой звезды (рис. 11.14, б) в эк-
вивалентный треугольник и треугольника (рис. 11.16,6)—в экви-
валентную звезду. Применение эквивалентных схем для модели-
рования цепей с взаимной индуктивностью, во многих случаях
возможно лишь при использовании отрицательных реактивных
сопротивлений, что при заданной частоте равносильно включению
в соответствующие ветви емкостей. Например, в схеме, изобра-
женной на рис. 11.16, б, наличие отрицательных сопротивлений —
—ixn> —ix2i и —ix»2 эквивалентно включению в эти ветви
емкостей, численные значения которых при заданной частоте
можно найти из выражений: -^- = <оЛ1 .; — и =
(OGji
= (оМ,2.
Пример 11.7. На рис. 11.17, а изображена трехконтурная цепь с взаим-
ными индуктивностями Л412, Л423 и Л4., между соответствующими катушками
Рис. 11.17
с сопротивлениями 2t> Z2 и Zs. Определить параметры Zls, Z2S и ZM эквива-
лентной схемы (рис. 11.17,6), состоящей из двух контуров с токами /г, 12
и напряжениями (),, t/2, равными соответствующим токам и напряжениям
реальной схемы.
Решение. Для этой схемы
Ul = Z, /, + /соЛ112/2 + /<oM12/s;
- б 2 = )о)Л421/ j -|- Z2/2 /соМ 22/2,
О = )<оМ21/1 -f- /й)М22/2 + Zj/S.
Из последнего уравнения ток
= — /<оМ2,/1 — jaM22/2
Z,
see
Если выражение для тока I, подставить в первые уравнения, то после
группировки слагаемых
— (А + Z18) /1 + ZI2/2;
—t/2=z21/1 + (z2+z2a) /2,
где Z,
Z
7 —7 _;тМ , (соМ28)2
^*12— “21—/Ш<И21“Г у > ^23— т-------
^3
Из полученных уравнений следует, что в эквивалентной схеме (рис.
11.17, б) взаимное сопротивление 1М между первым и вторым контурами
есть комплекс, определяемый по формуле:
„ „ . ,, со2Л181Л1,8 а>2Л48,Л1,8 , /
= Z12 = /гоМ 12 Н----У = г,---------+ ( I<оМ12—хг
rS 2, \
м2М81М28\
Чтобы выяснить энергетические соотношения в цепях с вза-
имной индуктивностью, следует составить уравнение баланса ак-
тивных мощностей для двухконтурной цепи с взаимной индук-
тивностью (рис. 11.18). Пусть известны комплексные значения
э. д. с. и Ег генераторов одинаковой частоты и параметры
трансформатора без стального сердечника. Тогда, на основании
второго закона Кирхгофа
Ё, = (г, + /©£,) Д + /иЛ1/2 = /,/, + /(оЛ1/2;
£2 = 12 +iaMl'l = Z2!z + jaMil,
откуда
71 —= ZjZ2 + (w.M)2 ~ ’
i____E2Z1 ___j
2 Z,Z2 + (wM)2 2 ’
где и /2 — модули комплексных значений токов;
а, и а2 — их аргументы.
После умножения левой и правой частей каждого из урав-
нений на соответствующие сопряженные комплексные значения
389
токов Ц и I, и выделения действительных частей получается:
Re (Ё,/,) = Re [(ZJ, + /<оЛ4/а) 7J;
Re (£Л) = Re [(Z2/2+7® Л!/,) 41-
Левые части этих уравнений определяют активные мощности
генераторов:
Re (Ё,/,) = Р, = ElIl cos (pt,
Re (£/2) = R2 = £2/2 COS(P2-
Слагаемые в правых частях после преобразований имеют
следующий вид:
rtI‘ + Re = sin (a2-a,);
r/2 + Re lj® W2e' ta'"aa,l = sin (a2-at).
Таким образом, уравнения баланса активных мощностей можно
переписать в следующем виде:
?, = £,/, cos<p, = г + sin (at—а2) = г,/^ + Р12;
Pt = Ег1 cos <р2 = г2/2—(оМЦЦ sin (а —а2) — гг11—Р1г,
где Р12 = иЛ1/172 sin (а, — а2);
Р = соЛТ/2/1 sin (а —а ) = — Р
z 1 £ 1 \ А к ' кА
Из этих уравнений непосредственно следует, что при ()•<(«,—
— а2)<180° часть активной мощности первого генератора расхо-
дуется на покрытие потерь в сопротивлении первого контура, а
другая часть Р12 = ыМЦЦ sin (at—a2) определяет активную мощ-
Рис. 11.19
го генератора больше г272
ность, передаваемую из первого
контура во второй путем взаим-
ной индукции. Одновременно с этим
часть активной мощности второ-
го генератора также расходуется
на покрытие потерь во втором кон-
туре, а другая, недостающая часть
Р21 = Р12, принимается от первого
генератора и расходуется на покры-
тие потерь во втором контуре. Если
разность углов (а, — а2) удовлетво-
ряет неравенству 180°<(а2—а2)<
<360°, то активная мощность второ-
и часть этой мощности передается в
первый контур на покрытие потерь в сопротивлении г,.
Пример 11.8. На рис. 11.19 показаны две индуктивно связанные парал-
лельные ветви, причем в одну из них включен конденсатор С, сопротивле-
ние которого ^ = (oLI=10 ом. Во второй ветви г2 = 8 ом, wL2 = 8 ом.
Сопротивление шМ=8 ом, напряжение сети U = 120 в. Определить токи в
890
ветвях и построить полную векторную диаграмму; составить уравнение
баланса активных мощностей для этой цепи и определить передаваемую из
одной ветви в другую активную мощность, обусловленную наличием взаим-
ной индуктивности в цепи
Решение Комплексные действующие значения токов в ветвях:
• _ й _ 120 (8 +/8-/8) =
1 Z,Z2+(coM)2 (j 10 —j 10) (8 +/8) + 64
. _ U(Zx—ja>M) _ 120 (/10 —j 10 —/8) = _
2 Z,Z2+(wM)2 (j 10 —/10) (8 +/8)+ 64 '
На рис. 11.20 показана векторная диаграмма токов и напряжений.
Активная мощность, потребляемая обеими ветвями
P = Re(7/ = Re [ 120 (15 + /15)] = 1800 вт,
где /’—сопряженное комплексное значение суммарного тока.
Активные мощности, потребляемые каждой ветвью нз сети
Pj = Re ((//,)= 120-15= 1800 вт\
P2 = Re (l/72) = Re (120-/15) = 0.
Таким образом, активная мощность потребляется нз сети только первой
ветвью; наряду с этим, тепловые потери имеются лишь во второй ветвн,
так как только в ней включено активное сопротивление г2=8 ом. Следова-
тельно, в данном случае активная мощность, потребляемая первой ветвью
из сети, целиком передается во вторую ветвь, т. е.
Р12 = (и.М/|/2 sin (<Xj—а2) = 8-15-15 sin (0 + 90°) = 1800 вт.
Если предположить, что задающие токи в схеме отсутствуют, то в общем
виде с помощью матриц можно записать контурные уравнения для схемы,
каждая пара ветвей которой связана взаимной индуктивностью
Пользуясь принципом дуальности, можно составить схему, не содержа-
щую элементов взаимной индуктивности. Уравнение состояния для этой
схемы по аналогии с предыдущим
YyU„= jy.
391
По данному уравнению, рассматривая его как систему узловых урав-
нений, можно составить дуальную схему, не содержащую элементов взаим-
ной индуктивности. Поэтому решение задачи по определению рабочего ре-
жима упрощается.
§ 11.4. Четырехполюсники (трехполюсники)
в цепи переменного тока
Уравнения многополюсников, включенных в цепи переменного
тока, отличаются от уравнений, рассмотренных для цепей посто-
янного тока тем, что входящие в них параметры многополюсника
и параметры режима в общем случае выражаются комплексными
числами. При этом параметры многополюсников зависят от частоты.
Основные уравнения для пассивных многополюсников можно
записать в одной из следующих трех форм: Y, Z и А.
В частности для четырехполюсника (трехполюсника),
ния, записанные в форме А, имеют следующий вид:
I,=CUtA-Di2,
уравне-
(И-1)
причем
ДО —ВС=1.
Для симметричного четырехполюсника Д = О и Д2— ВС = 1.
Связь между коэффициентами и входными сопротивлениями
холостого хода и короткого замыкания:
7 __, p/<Pix_• 7 —у p/TiK_______
z<lx г1хе £, , Z.1K р
7 е^2х_Л. / _7 ЩФгк—А
— *^2ХС “ £ ’ ^2К ~ -2КС ---- Д
(Н-2)
(П-3)
откуда
Z1X Ак
7 = ~7 ’
2Х ^2К
Z'v ; B = XZ2K;
(П-4)
Z2X Z2K
С=~ ; D-=CZ,
^1Х
Соотношения между коэффициентами четырехполюсника и
параметрами Т-образной схемы замещения (рис. 11.21) следующие:
(Н.6)
(Н.5)
Z2T = ^; Ут =С.
Д = 1Н-УтА,т; В = Z1TZ2t + Z^ZjtKt
С = УТ; D 1 + УтИ2Т
Для симметричной схемы
ZT . У? Zt
Zit=Z2t=-2~ и A -- 1 -----—•
(П-7)
392
То же для П-образной схемы (рис. 11.22):
Рис. 11.21 Рис. 11.22
Для симметричной схемы
Г1П = У2п = ^, (11.10)
Пример 11.9. На рис. 11.23, а изображена двухконтурная схем-a с вза-
имной индуктивностью М12 = М (воздушный трансформатор с сердечником
из неферромагнитного материала). Пользуясь уравнениями Кирхгофа, опре-
делить параметры эквивалентной схемы воздушного трансформатора, пока-
занной на рис. 11.23,6. Определить токи /, и /2 и вносимое сопротивление
ZBHC = гв„с + /хвис, если U1 = 20 в; со = 2,5 -10е рад/сек; £1 = £2 = 300 лскгн; Сг=
= С2=500 пф\ г, = 8 ом; г,= 10 ом и коэффициент связи К=10%.
393
В условиях рассматриваемого примера определить коэффициенты четы-
рехполюсника Д, В, С и D, если ZH/0 и й2^0.
Решение. На основании второго закона Кирхгофа (рис. 11.23, а)
—Ui = jaMl1+ZzIi,
где Z1 = r1 + /x1=r1 + /
1
<аС
Z2=r2 + jx2 = r2 + j ^соД2—-1-^
(72—zH/2—(гнд- jxn) i 2.
Если в уравнении для первого контура прибавить и вычесть /ыЛ4/,, а в
уравнении для второго контура прибавить и вычесть /соЛ4/2> т0 после груп-
пировки слагаемых
^1 = (21 + 1«Л1) + /2) (—
— U2^=(Z2-'rjwM) 12+(1\—12) ]<лМ.
Этим уравнениям удовлетворяет эквивалентная электрическая схема
(без взаимной индукции), показанная на рис. 11.23, б. Если в этой схеме
изменить положительное направление тока /2 на противоположное", то со-
противление /<оЛ4, обусловленное взаимной индуктивностью, войдет во все
элементы эквивалентной схемы (рис. 11.23,6) с противоположным знаком.
В результате совместного решения основных уравнений, после преоб-
разований
___________________________и 1________________________
' , (<оМ)2(г2 + гн) , . Г (<оМ)2(х2 + Хн) 1
1 + ('"2 + '"н)2+(^+^н)’ Ч‘ ('г + 'н)2+(*s+*h)2J
Из этого выражения следует, что со стороны входных первичных зажи-
мов воздушного трансформатора заданную схему можно рассматривать в
виде двухполюсника с активным нД-Гвис и реактивным Xj + x^c сопротив-
лениями, где
(аМ)2(г2 + гн) ( соМ)2 (х2 + хн)
ВНС ('•2 + G|)2 + (^ + JCh)2 ВКС (Г2 + ГН)2 + (^2-7-Хн)2
— активное и реактивное сопротивления, вносимые вторым контуром в пер-
вый. Иначе говоря, влияние второго контура иа первый сказывается в уве-
личении активного сопротивления первого контура иа величину, равную
гвис, что непосредственно связано с потреблением активной мощности первым
контуром из сети и передачей ее во второй контур. Кроме того, влияние
второго контура на первый сказывается в уменьшении реактивного сопро-
тивления (при х2 + хн>0) первого контура на величину вносимого сопротив-
ления хвнс, что характеризует размагничивающее действие второй обмотки
на ток в первой. В результате этого ток первой обмотки должен увеличиться
по сравнению с током в той же обмотке 'при разомкнутых вторичных зажи-
мах (/2=0). После подстановки числовых значений параметров в выражение
для тока и в основное уравнение получается: /t = (0,140—/0,274) а; Z2=
= (0,122—/0,436)а. При этом гвнс = 21,6 ом и хвнс= —108,2 ом.
На рис. 11.24 построена полная векторная диаграмма токов и напряже-
ний. Эта диаграмма служит наглядной иллюстрацией основных уравнений
394
(для первого и второго контуров) Кирхгофа, показывающих связь между
токами н падениями напряжений в замкнутых контурах.
Для определения искомых
дует выразить из основных
уравнений через напряжение
U2 и ток /2:
• 1 7
т =____ [1 ____2__ т . '
1 2 /шЛГ2’
. 7
(Л= —+
1 уаМ 2
, /. .. ZiZ2\ т
+ I /2.
V /®(И)
Если сравнить эти выра-
жения с соответствующими
слагаемыми в уравнениях че-
тырехполюсника (Н.1), тс
искомые коэффициенты:
л Z, „ „ Z,Z2
А = ——В — 'юМ — ;
/а>Л1 ' !<йМ
С— ~ • р— ^2
/соМ ’ jM
Проверка показывает, что
AD — BC=1.
Пример 11.10. Определить
коэффициенты четырехполюс-
ника, изображенного на рис.
11.25.
Решение. Целесообраз-
но предварительно освободить-
ся от индуктивной связи и
преобразовать схему к виду,
Согласно формулам (11.7):
коэффициентов напряжение U, и ток /, сле-
показанному на рис. 11.26.
Л = 1 + /41 В = (4+/3) ом;
О
С=}-^-сим; D=0,5.
Тот же результат получится, если воспользоваться формулами (11.5), вы-
числив
ZJX=(8—/6) ом; Z2X-=—j3 ом; Z2K = (2,88—/0,84) ом
{ 4 \ 1
Проверка дает: AD—ВС={ I + /-5-) 0,5—(4-J-/3) / «•=!
у о / о
Пример 11.11. Определить коэффициенты четырехполюсника по следую-
щим показаниям вольтметра, амперметра и ваттметра, полученным из опыта
холостого хода и короткого замыкания:
(7tx=100e, (7^ = 70,7 6, U24 = 56,6 в; /JX=20«,
/,4= 10 а, /24 = 8 а; Р,х=2000 ет, Р,к = 500 ет при
Ф14 > 0 и, P2ft = 320 em при ф24 < 0.
395
Решение. Модули и аргументы входных сопротивлений холостого
хода и короткого замыкания определяются из выражений:
V Р
= = 5 о.и; cos ф1Л = = 1; q>lx = 0; Zlx = 5 о.и;
•1Х U IX *1Х
z1K = -^JJ-i = 7,07 ом; cos <р1к = 7,—*?-=0,707; <pIK = 45°; 2^ = 5-]^2е^4Ь° ом;
Лк *ЛкЛк
IJ Р
г2а = -~ = 7,07 ом; cosq>2K=7. 2* =0,707; ф2к =—45°;
Лк 2К Лк
Z2K = 5/le-/4S° ом.
dc-lOOM
П-вом ’ <»Ьг~13ом
70-0—1
*' L V'wffюом
J ail.3=i4 '0M
Z„-8om Z2T~j3oM
70—CZJ——rr>r>—0Z
1'a-
'£с=Юом
О
— 02
T~-j60M
az'
Рис. 11.25
Puc. 11.26
По формуле (11.4)
22х=£^гк=5е-/«»0 = —/5 ом.
41K
Рис. 11.27
Тогда по формулам (11.5):
4=/1; В = (5 + /5) ом; С — /'0,2сим; 0 = 1.
Пример 11.12. Пользуясь уравнениями (11.1), определить коэффициенты
Эквивалентного четырехполюсника, полученного при последовательном
(рнс. 11.27), параллельном (рис. 11.28)
и каскадном (рис. 11.29) соединениях
двух четырехполюсников с коэффици-
ентами Л,, В,, С,, D, и A2, B2,
C2, D2.
Решение. При последовательном
соединении двух четырехполюсников
(рис. 11.27), образующих общий четы-
рехполюсник (показан пунктиром) с
искомыми коэффициентами А, В, Си
D, следует применить уравнения фор-
мы Z, позволяющие складывать напря-
жения при одинаковых токах.
Пользуясь уравнениями (11.1), вы-
разим напряжения на входах^
__________L/. г г" — Ла г L i
1 с г 1 a’ г ‘
Uj с2 v*2
л fjr I (j"—(Ai I Ал i (A I LA j —A. / L /
£y,_l?1 + Ui_kc1 + c2 J71 {ct +с2)‘‘~ c 11 c‘
Тогда
396
откуда
А=Ад.А. A_J_, J_
С С, С2 ’ С С, С2 ’
или
. Л _ ^1^2 4~ ^2^1
^~Ci+c2’ С,+С2 •
Для выходных напряжений:
О' _7 • U" —— 7 7
о» 2 — ii С;2’ 17 2 — С2 11 С >г'
Суммарное напряжение
fl it’ > i'i" / 1 । 1 \ j ( Pi , Р2 \ 1 • Р j
2-и2+и2-у С7+с;)г' +с?) 2~~с
Здесь С принимает прежнее значение, а
Г)__^1^2+ D2Ci
Ci + C2
Наконец,
В случае параллельного соединения четырехполюсников (рис. 11.28)
складываются токи на входах или выходах прн одинаковых напряжениях,
поэтому для расчета удобны уравнения формы У:
откуда
о _ Д]^2 . л__^1^2 + ^261.
D~Bi+B2’ Л Bi+B2 ’
_ _PiB24-P2Bi. АР — 1
6,4-52 ’ С В
Задача определения коэффициентов эквивалентного четырехполюсника
при каскадном соединении (рис. 11.29) легко решается с помощью основных
397
уравнений (11.1), если учесть, что напряжение U' и ток Г между четырех-
полюсниками являются выходными для первого и входными для второго:
t/1= AjU'+B'r-, +©1Л
()' = ЛД + В/2; /' = С2(/2 + О2/2.
После подстановки значений U' и /' из последних уравнений в первые
= ^2 + /2 = Л1/2 + В/2;
Л=(СА+иг+(С,В2+О,О2) /2=сйг+DIt.
Из этих выражений определяются искомые коэффициенты.
К схемам соединений многополюсников в цепях переменного
тока применимы те же правила, что и для цепей постоянного
тока. При этом следует считать, что в общем случае все пара-
метры схем и параметры режимов выражаются комплексными
числами.
Это же относится к цепочечным схемам и к цепям с распре-
деленными параметрами. Некоторые особенности могут возни-
кать- в связи с наличием элементов взаимной индуктивности и
появлением резонансных явлений.
§ 11.5. Приближенные методы расчета
Цепи переменного тока можно рассчитывать приближенными методами,
основанными, например, на применении метода итераций. Порядок расчета
в основном такой же, как и для цепей постоянного тока. Однако здесь схо-
димость итерационного процесса может оказаться более медленной, так как
общие сопротивления контуров могут быть по модулю ближе к их собствен-
ным сопротивлениям. При наличии в схеме замещения емкостей и индук-
тивностей общие сопротивления контуров по модулю могут получаться даже
больше сопротивлений самих контуров, поэтому тот же порядок итерацион-
ного процесса может приводить не к уточнению результата (не к сходимо-
сти), а к увеличению ошибки (к расхождению результатов). В таких слу-
чаях надо применять другую методику расчета, например, вытекающую из
приближенного решения системы узловых уравнений.
Если схема замещения характеризуется сравнительно небольшим разли-
чием в значениях фазных углов сопротивлений отдельных ветвей
<₽ = arctg у-=5= const или tg <р = у const
и сравнительно небольшим различием в аргументах активных элементов фа
(для э.д.с.) и ф;- (для задающих токов), то такую цепь предварительно можно
рассматривать как однородную и выполнить приближенный расчет (хотя бы
и с большими ошибками), используя значения модулей всех величин. Затем
методом итераций уточнить решение. В целом это может значительно облег-
чить расчет.
При расчете однородных схем (или почти однородных) оперируют как
с модулями величин, так и с отдельными их составляющими. При этом
можно воспользоваться моделью постоянного тока, где индуктивные сопро-
тивления заменяются омическими, а составляющие синусоидально изменяю-
щихся токов и напряжений — постоянными токами и напряжениями.
398
Пример 11.13. Рассмотреть методику расчета однородной цепи перемен-
ного тока с помощью схемы замещения, пригодной для применения модели
постоянного тока.
Решение. Если аргументы у величин А, отражающих действие актив-
ных элементов, ие одинаковы, а пассивные параметры приблизительно одно-
родны, то возможно разделение уравнений по компонентам с соответствую-
щим «расщеплением» схемы замещения.
При условии, что
j = r-il" и Л=Л'+/Л“
контурные уравнения принимают следующий вид:
2(/'г+/"х)-/2(/"г-/'х)=2(Л'+/лг
X .
Если —=const, то
г
откуда при Л'^>Л"
7 + 7
х + г
Это дает возможность вместо одной схемы замещения с комплексными
параметрами применить две схемы, каждая из которых содержит только
параметры, выражающиеся вещественными числами. Тогда, во-первых, упро-
щается техническое выполнение аналитического расчета, так как выполнение
арифметических действий над вещественными числами значительно проще,
чем над комплексными, а во-вторых, появляется возможность применения
модели постоянного тока.
Из полученных уравнений следует, что компоненты (токов) /' опреде-
ляются с помощью схемы, составленной из реактивных сопротивлений х и
содержащей параметры S' активных элементов, а компоненты /" находятся
с помощью схемы, составленной из активных сопротивлений г и содержащей
параметры S" активных элементов.
Для уточнения решения требуется ввести поправку на основе примене-
ния метода итераций.
Из уравнений
2/7+2/"х=2л'
и
399
при 4' получается:
т. е. эквивалентные схемы составляются по аналогичным правилам.
На рис. 11.30 приведена схема замещения, которая может считаться
X
почти однородной, поскольку для отдельных ее ветвей отношение ~~а на‘
пределах: от 3/2 = 1,5 до 2/1 = 2. Сравнительно
ходится в сравнительно узких
небольшое расхождение по
фазе имеется и у э.д.с., кото-
рые ориентированы иа комп-
лексной плоскости так, что
Е" < Е' (для одной из э.д.с.
принято Е” = 0).
Так как приведенная схе-
ма является сравнительно про-
стой, то выполнение расчета в
комплексной форме для такой
схемы не вызывает каких-либо
затруднений. Этот случай
здесь приведен в качестве ил-
люстрации методики расчета и
сравнения. По мере усложнения схемы различие в трудностях выполнения
расчетов резко возрастает и упрощенный расчет получает существенные
преимущества.
Режим для приведенной схемы замещения проще всего рассчитать по
формуле определения напряжения на зажимах параллельного соединения п
ветвей:
и — 1—----.
п
2^
1 = 1
В данном случае
у> = Г=тТ79 = (°’2-70'4) сим>
Уа=^=ГПз=(0,|54“,0'231)
1 я
^ = 7ГЗ+Г5 = (°’088^0’147)
Следовательно,
10 (0,2 —/0,4)+ (15 + /5) (0,154—/0,231)
“ (0,2—/0,4) + (0,154-/0,231) + (0,088—/0,147)
сим.
сим.
400
Поэтому токи в ветвях схемы:
+ = (£,— U) Г, = (—'0,55—/0,51)а,
1^{Ёг-й)Уг = (1,63-/0,74) а,
/s = l/ys = (l,08—j 1,25) а.
Полученные значения токов ветвей приведены на рис. 11.31.
Для приближенного расчета составляются две схемы. В первую схему,
с помощью которой определяются вещественные составляющие токов,
включаются реактивные сопро-
тивления и э.д.с.
а+а
В данном
2 + 3 + 5
1+2 + 3
случае
= 1,67;
Рис. 11.31
=0,6.
Поэтому =]-^i-g = 4,41 в и ё'г = 15 + 52’’67=10,29 g.
На рис. 11.32, а показана полученная схема замещения. Эта схема может
быть составлена и рассчитана с помощью модели постоянного тока.
Рис. 11.32
j__ £
а ~ 10
Для сравнения результатов ниже приведен расчет с помощью той же
схемы, выполненный аналитическим путем по аналогичной методике.
Эквивалентная э.д.с.
4,41 10,29
—i—П~=5’45 в-
т + 'з
Теоретические основы электротехники, ч. I 401
а токи в ветвях:
I

I’,
4,41-5,45 лсо
= —---j;—— — — 0,52 а,
= №-М5=1,61 а,
= ^-5= 1,09а.
о
Полученные значения токов ветвей показаны на рис. 11.32, а.
Во вторую схему, с помощью которой определяются мнимые составляю-
щие токов, включаются активные сопротивления и э.д.с.
а —
а
В данном случае
<=<=4,41в, g; = —5,29 в.
На рис. 11.32, б показана полученная схема. Эта схема также может
быть составлена и рассчитана с помощью модели постоянного тока.
При аналитическом расчете эквивалентная э.д.с.
. а. 1 , 5-29
4,41 Т+-2“
g=----1 — = 3,85 а,
а токи ветвей:
,» 4,41 — 3,85 Лес
/, ’—=0,56 а,
z=5,29~3,8- = 0,72o,
2
« 3,85 1 по
I, = -у-=1,28а.
Совмещение результатов приведено иа рис. 11.32, а. Оно может вполне
сравниваться с решением, полученным в комплексной форме.
Сравнение результатов, полученных приближенным способом и при
решении в комплексной форме, показывает, что приближенный расчет в
основном дает правильный
ответ. Наибольшая ошиб-
ка получилась 4 в токе
первой ветви, который
имеет наименьший модуль,
при этом значение его мни-
мой составляющей преуве-
личено почти на 10%.
Для сравнения та же
задача решается в другом
варианте, когда э.д.с. ори-
ентированы так, что
Рис. 11.33
Е' < Е".
Для большей простоты, предыдущие значения э.д.с. умножены на 1-
При этом рабочий режим получается из предыдущего решения в комплекс-
ной форме путем умножения всех токов на тот же множитель j (рис. 11.33).
402
Если в этих условиях расчет произвести по тем же формулам, то полу-
чится ответ, приводящий к значительно большим ошибкам (рис. 11.34, а и б),
чем в предыдущем случае.
Тот же ответ, что и в предыдущем случае получается, если воспользо-
ваться другими формулами, которые можно вывести из предыдущих путем
замены Г на Г' и /" — на /', а также Е' на —Е" и Е” — на Е';
— Е' + Е‘
а
1"х =
Если э.д.с. так сдвинуты взаимно по фазе, что при любой их ориента-
ции на комплексной плоскости не выполняются условия Е' < Е" или
Е' > Е", то для пользования этим методом расчета следует применить прин-
цип наложения, так как схема получается недостаточно однородной.
Рассмотрим приближенный расчет рабочего режима цепей с относи-
тельно малыми активными или реактивными сопротивлениями.
Во многих практически важных и часто встречающихся случаях элек-
трические схемы хотя получаются и неоднородными, но содержат значи-
тельно большие по величине реактивные сопротивления, чем активные!
х^> г.
При этом в контурных уравнениях, записанных в развернутом виде,
2и ^Гх-^Г'г^Е"
получается
Если
то уравнения, в правую часть которых входят составляющие Е', получаются
в виде
S/’xssSe'
и дают возможность непосредственно определить составляющие токов Г.
Поскольку схема замещения при этом может получиться однородной (если
все реактивные сопротивления ветвей имеют одинаковый знак: х > О или
х < 0), то расчет такой цепи можно выполнить с помощью статической
модели постоянного тока.
26*
403
При этом результаты расчета получаются более точными, если выбрать
значения аргумента Е так, чтобы
Е' > Е".
Далее, из уравнений, в правую часть которых входят составляющие Е",
определяются составляющие токов Г:
При тех же условиях данный расчет также можно выполнить с помощью
статической модели постоянного тока.
Полное решение получается путем наложения результатов расчетов
с учетом соответствующего множителя.
В случае необходимости можно внести последующие уточнения в состав-
ляющие /" и /' по уравнениям:
+5/"г = £".
Аналогичное решение возможно и в случае обратного соотношения пара-
метров, т. е. г^> х, когда получается У Гх У Гг. Следовательно, по
уравнениям У /'г^=У Е' могут быть найдены составляющие /', а затем,
по уравнениям
У Гг = ^Гх—У Е" =8”,— составляющие I".
Оба решения, как правило, можно выполнить с помощью статической
модели постоянного тока.
Расчет можно уточнить, если воспользоваться уравнениями:
2/'r=2!E'-2;/"x = ^';
2/"г=2/'х-2е"=г.
Допустимые соотношения
мой точностью результатов.
параметров цепи определяются требуе-
Ориентировочно можно считать, что ак-
тивные и реактивные сопротивления должны
различаться не менее чем в пять раз.
На рис. 11.35 показана схема замеще-
ния некоторой цепи. Схема имеет вид
моста и содержит элементы взаимной
индуктивности. Расчет рабочего режима
такой схемы можно выполнить различны-
ми методами. В частности, возможно со-
ставление систем из трех контурных
уравнений и их аналитическое реше-
ние. Если для решения желательно
воспользоваться статической моделью,
то целесообразно применить дуальную
схему.
Исходная схема содержит три незави-
симых контура. Поэтому дуальная схема
должна содержать четыре узла (рис.
11.36, а).
По правилам соответствия величин легко получить следующие числен-
ные равенства:
^12= ^21 ~ А + Zu т Z2S;
^2s = ^s2 = Z4 Z2S; yla = /aI = Za—Z14;
404
Fi — Zt Z2S; Y2— Z2 Z14;
Kj = Z + Zu + Z2S
j = E.
Приведенные численные равенства показывают, что индуктивным сопро-
тивлениям исходной схемы в дуальной схеме соответствуют емкостные про-
водимости и наоборот.
Дуальная схема имеет приблизительно такую же сложность, как исход-
ная (например, такое же число независимых контуров), но ие содержит
элементов взаимной индуктивности. Поэтому для расчета соответствующего
рабочего режима можно применить статическую модель обычного типа.
Пусть в частном случае заданы следующие параметры цепи:
Zt = (l 4-/10) ом; Z2=(l+/5) ом; Z, = (2 4-/10) ож;
Z4 = (2 4- /5) ом; Z, = (1 4- /20) o.w; Z = (3 4- j 10) ом;
ZI4=/2om; Z2S = /3 ом; Е = 100в.
Аргумент вектора Е целесообразно принять равным нулю, так как при
этом условии можно получить большую точность при расчете приближен-
ным методом.
В данном случае в дуальной схеме b^>g. Поэтому составляющие на-
пряжения U" можно приближенно определить из схемы, содержащей только
реактивные проводимости Ъ;
„ *
Составляющие I для исходной схемы определяются с помощью дуаль-
ной схемы, показанной на рис. 11.36, б, где j"=100 а.
Расчет полученной схемы можно выполнить иа модели постоянного
тока или аналитически, например, с помощью преобразований. Из расчета
получаются: (7t = 2,53 в; l/2 = 2,43e; £/s = 5,0e.
Следовательно, в исходной схеме /’ = 2,53 а, /2 = 2,43«, /" = 5,0a.
На рис. 11.37 показано распределение составляющих /" токов в ветвях
Исходной схемы. Из уравнений вида 2/'x = ZE" 4-S/"r следует, что со-
ставляющие токов /' определяются с помощью схемы, содержащей те же
пассивные параметры, но другие активные. Поэтому по схеме, состоящей
405
из активных сопротивлений (рис. 11.38) с токами Г, легко определить
задающие токи для дуальной схемы (рис. 11.39) по формулам:
•/'=2,53-1+0,1.1-2,47-2 = —2,31;
/' = 2,43-1—2,57-2—0,1-1=—2,84;
/'=5,0-3 +2,47-2 + 2,57-2 = 25,1.
Рис. 11.37
Пользуясь уравнениями узловых потенциалов для дуальной схемы с реактив-
ными проводимостями (рис. 11.36), легко получить:
<р' = 0,325; <р' = 0,251 и <р' = 1,135.
Следовательно, в исходной схеме:
/'=0,325, /'2 = 0,251, /' = 1,135.
На рис. 11.40 показано распределение токов, записанных в комплекс-
ной форме, для исходной схемы. Полученные значения токов являются
приближенными, поэтому может потребоваться уточнение их величин.
Для получения представления о правильности полученного решения
достаточно проверить соответствие баланса напряжений по всем независи-
мым контурам исходной схемы. Но можно поступить и иначе. Например,
определить значения 1
по всем контурам, которые должны показать, какая поправка требуется в
уравнениях
2/"х = 2Е' —г/
для уточнения решения. В данном случае получается:
Т1’= 1,14.3 + 0,81-2 + 0,89-2 = 6,82,
Т]'=0,33-1+0,08-1—0,81-2 = — 1,21,
<4 = 0,25-1— 0,89-2— 0,08-1=— 1,61.
406
Это показывает, что значения составляющих токов получены с ошибкой
в несколько процентов (меньше 7%). Если такая ошибка является недопу-
стимой, то следует внести уточиеиие. Уточнение решения для составляю-
щих Г получается из уравнений (а), а уточнение решения для составля-
ющих /' — из уравнений
2 /'х=2Гг-2Е"=Т1".
Уточнение решения производится по тем же дуальным схемам с изме-
ненными активными параметрами при неизменных пассивных.
Поскольку в подобных случаях рабочий режим определяется с помощью
неизменной схемы соединений с неизменными пассивными параметрами, то
целесообразным является применение коэффициентов распределения. При
этом даже аналитический расчет получается весьма простым.
§ 11.6. Замечания о применении моделей
и вычислительных машин
Для расчета рабочих режимов цепей переменного тока использовать
модели и вычислительные машины еще более целесообразно, чем для рас-
чета цепей постоянного тока, так как громоздкость аналитических расчетов
здесь получается значительно большей. В связи с достаточно большой
сложностью и высокой стоимостью моделей переменного тока возникает
вопрос о возможности более широкого применения моделей постоянного
тока и упрощения моделей переменного тока. И то, и другое, хотя и в не-
одинаковой степени, связано с применением приближенных методов расчета.
Следует иметь в виду, что модели предназначаются для расчета линейных
схем замещения.
Модель постоянного тока можно использовать при расчетах однородных
схем замещения. При этом существенное значение имеют приближенные
методы расчета неоднородных схем с возможностью последующего уточне-
ния на основе метода итераций. Применение модели постоянного тока часто
ограничивается в связи с наличием отрицательных сопротивлений в схемах
замещения. Здесь уместно отметить, что упрощения методов расчета полу-
чаются несколько различными в зависимости от того, выполняется ли
407
расчет аналитически или с помощью модели и вычислительной машины. В
соответствии с этим иногда различными получаются и наиболее целесообраз-
ные методы расчета. Так, например, если измерение входного сопротивления
или коэффициентов распределения на модели представляет собой сравни-
тельно простую операцию, то при аналитическом расчете определение
коэффициентов распределения связано с громоздкими вычислениями и не
всегда целесообразно. Наоборот, если задающий ток схемы замещения при
аналитическом расчете является сравнительно простым элементом линейной
схемы, то при моделировании такой ток вводится, как правило, путем под-
бора (так как затруднительно создать источник неизменного по величине
тока), что связано с большой затратой времени и известными затруднениями.
Схему замещения возможно упростить, например, за счет использования
дуальных схем. Это дает возможность исключить необходимость применения
взаимной индуктивности в качестве самостоятельного элемента, что неод-
нократно отмечалось ранее.
Упростить методику расчета можно, например, за счет использования
коэффициентов распределения или входных сопротивлений для линейной
части схемы замещения. Это позволит уменьшить число источников пита-
ния в модели, не иметь в модели нелинейных элементов, применять в боль-
шом числе случаев модель постоянного тока и т. д. Последующий расчет
на вычислительных машинах или даже аналитически может выполняться
путем применения принципа наложения и уточнений с помощью метода
итераций. При этом существенно упрощается расчет нелинейных схем заме-
щения. Наиболее целесообразный порядок расчета зависит от вида схемы.
Порядок измерений и применения коэффициентов распределения или вход-
ных сопротивлений, а также применение метода итераций в основном
остается таким же, как и в случае расчета цепей постоянного тока, но не-
сколько усложняется в связи с необходимостью выполнения операций с
комплексными числами.
В случае применения вычислительных машин по-прежнему важным
остается задача выбора такой методики расчета, при которой получается
более быстрая сходимость результатов. Следует напомнить, что в случаях
расчета цепей переменного тока с одновременным наличием индуктивностей
и емкостей сходимость обычно получается худшей, чем при расчете цепей
постоянного тока с сопротивлениями одного знака.
В принципе здесь возможно применение тех же упрощенных методов
расчета, которые были изложены в разделе постоянного тока (§5.9). Однако
при этом следует иметь в виду возможность некоторого упрощения решения
в случае однородных схем. Например, если принять некоторое среднее
значение аргумента фср; то действительное значение аргумента сопротивления
для любой А-й ветви получается:
аг8 ~ Ф* = Фс₽ + Фй-
Схему можно считать достаточно однородной, если
л л
—-g <ФЛ< 8 •
Для однородной схемы матрица напряжений узлов относительно неко-
торого исходного (узла g баланса задающих токов)
U' = Y"’j, (а)
где
Yo = Goe-^P;
поэтому
Y.-‘ = G.-‘e*ep.
408
Эквивалентные сопротивления, входящие в матрицу
Go"* = Ro-
можно определить на основе измерений всех входных сопротивлений схемы
замещения, набранной из ветвей с сопротивлениями
rK=Re (ZKe-'”cP)
на статической модели постоянного тока. Диагональные элементы матрицы
Ro получаются путем измерений величин
а прочие элементы — путем простых вычислений:
^Ч ~ "2 (+ RgJ R ifi
(это соответствует замене эквивалентной схемой в виде трехлучевой звезды,
для которой Rgi= Rg + Rt, Rg/~Rg + R;, R,j=Ri + R/).
Окончательно можно пользоваться следующей формулой:
которая получается из (а) путем умножения J на е/<:РсР.
Полученное таким путем решение нетрудно уточнить, если учесть вли- •
яние сопротивлений
хк=1т(2ке“лрер).
Для этого достаточно, например, определить падения напряжения на со-
противлениях xk и представить их как э.д.с. с обратным знаком:
ЕИ=-liji^j=—r--
Действие каждой из этих э.д.с. можно заменить действием соответствую-
щей пары задающих токов:
., . , IX; /
J^-J^Y^Uj-ujY^
Таким образом, поправка сводится к добавлению задающего тока в каждом
узле схемы
!7=i 17=1
где

1у же операцию можно записать и с помощью матриц
—j" = Y'il' -Y'R0J',
409
где
Y'=n у; н?.
После этого получается
U;=-RO(1+Y'RO)J'
Это уточнение производится в порядке итерационного процесса, который
сходится тем быстрее, чем однороднее схема.
Тот же метод расчета можно применять и при использовании только
одной цифровой вычислительной машины Его преимущество в данном слу-
чае заключается в том, что вдвое сокращается порядок матрицы, для ко-
торой требуется определить обратную (так как при том же числе узлов
схемы замещения исходные параметры ветвей определяются вещественными
числами Rij).
Изложенный метод расчета можно использовать и для определения
матрицы эквивалентных сопротивлений схемы замещения.
Однако лучшую сходимость итерационного процесса дает нижеследую-
щий метод расчета.
Если вместо обратной матрицы
z9=y-‘
известна приближенная матрица
то можно предположить, что обратная матрица отличается от приближенной
на некоторую поправочную матрицу Z'
Z3=R0 + Z'.
Это значит, что должно быть (по определению)
Y(RO + Z') = 1,
откуда может быть найдена поправочная матрица
Z' = Y-’(1-YRO).
Следовательно, ее можно определить приближенно
Z'^RO(1-YRO).
Тогда более точно может быть определена и приближенная матрица
Z'=RO+Ro(l-YRO)=--2RO-ROYRO.
Полученную формулу следует использовать и для дальнейшего итера-
ционного уточнения
z>2z;-z;yz;
и т. д.
Пользуясь соответствием величин для дуальных схем, можно изложен-
ный порядок расчета применить к случаю, когда заданными являются э.д.с.
в ветвях схемы, а эквивалентными параметрами схемы — входные и взаим-
ные проводимости ветвей. При этом для определения обобщенных параметров
схемы можно использовать статическую модель постоянного тока. Пользуясь
методом итераций, можно весь расчет выполнять с помощью одной цифро-
вой вычислительной машины
Непосредственное применение методов, изложенных в разделе постоян-
ною тока, исключает необходимость определения обратной матрицы
При более сложных схемах замещения целесообразно пользоваться
методами итераций. В этом случае контурные токи в первом приближении
•k = Yk (EK-ZKiK) = YKEK;
410
во втором приближении
•k = Yk (Ek-zX) = YkE"
и т д.
Изменения потенциалов узлов в первом приближении
Фу = Zy (iy \уфу) = ZJTiy;
во втором приближении
Ф у= ¥уф у)
и т д.
Следует иметь в виду, что те же методы расчета путем итераций можно
использовать и для определения эквивалентных параметров схем (R и О)
без непосредственного выполнения операции по определению обратной ма-
трицы
§ 11.7. Линейные и круговые диаграммы
Во многих практических задачах требуется исследовать за-
висимость режима цепи от различных переменных параметров.
В таких случаях следует построить геометрические места кон-
цов векторов, изображающих различные величины на комплекс-
ной плоскости. Такие диаграммы могут иметь очень сложную
форму. Здесь на примерах будут рассмотрены лишь про-
стейшие геометрические места, имеющие форму прямых линий
или окружностей. Это сравнительно
просто выполняется с помощью формул,
записанных для соответствующих вели-
чин в комплексной форме. Геометриче-
ское место концов переменного ком-
плекса обычно получается в виде годо-
графа.
А. Построить годограф комплексного
сопротивления цепи, состоящей из двух
последовательно соединенных элемен
тов, один из которых обладает посто-
янным сопротивлением Zi = rl-\-jxi =
~-Vrr21 + а другой — комплекс-
ным сопротивлением с переменным мо-
дулем kZ2, но с постоянным аргументом <р2, т. е. kZ2 = kz^e1^.
Аргумент tp2 комплексного сопротивления kZ2 определяет угол,
под которым этот комплекс направлен к оси вещественных
величин (рис. 11.41). Поскольку модуль комплекса сопротивле-
ния kZ2 является переменным, то его конец должен лежать на
прямой, проведенной под углом <р2 к вещественной оси.
Годограф комплексного сопротивления всей цепи
Z = Z, + fez2e^
можно получить, если через конец комплекса Z, провести пря-
мую под углом <ра к оси ординат и на ней от конца сопротив-
411
ления Z, отложить (в выбранном масштабе) значения модуля
переменного сопротивления. В данном случае годограф ком-
плексного сопротивления получается в виде прямой линии
(рис. 11.41).
Б. Определить годограф вектора напряжения, получаемого
в результате суммирования э.д.с. двух источников питания при
условии, что э.д.с. одного из них остается неизменной по ве-
личине и фазе, а э.д.с. другого, изменяясь по фазе, остается
неизменной по величине.
Комплексное значение суммарной э.д.с.
Ё = Ё, + Е2 е'**.
В данном случае переменным является аргумент ф2. Поэтому
годограф вектора суммарной э.д.с. Ё имеет форму окружности
с центром в точке, совпадающей с концом вектора Et и с радиу-
сом Е2 (рис. 11.42).
В. Напряжение U на
рис. 11.43, рассмотренной ранее
зажимах цепи, изображенной на
имеет постоянное значение. Дока-
зать, ЧТО при ф^ф2 (ф2— УГОЛ
сдвига фаз между током / и
напряжением (72), конец век-
тора тока t будет описывать
Рис. 11.42
окружность при изменении числового коэффициента k от нуля
до бесконечности.
На основании закона Ома
________и________ U
ri + )xi + ^ (га + №) г1е/'р'+&z2e/'1’2
Если разделить числитель и знаменатель на Z1 — zlelr(i,
1+ k -2 ’
г.
412
В этом выражении комплексное значение тока /к = — q-Iv,
zi
остается неизменным. Если коэффициент обозначить через п,
то
7 =---или /к = /4-п7е^,
где ф=ф2—Фр а коэффициент п изменяется от нуля до беско-
нечности. Пользуясь этим уравнением, легко показать, что годо-
графом вектора тока I является окружность.
Рис. 11.44
Пусть известны комплексные значения тока Г и 7" для двух
различных сопротивлений приемника, т. е. для двух значений перемен-
ного коэффициента: п' и п". Эти токи удовлетворяют уравнениям:
7К - Г + п7'е'>, 7К = /" -j- п'ТеМ.
На рис. 11.44 построены векторы этих токов для угла ф<0
или ф2<ф,. Вектор п'Ге.№ на данной диаграмме получен из Г
путем умножения его на п' и поворота на угол ф = ф2—Ф, по
движению часовой стрелки: вектор п'ГъЯ получен из /" умно-
жением этого вектора на п" и поворотом на тот же самый
угол ф. Сумма соответствующих векторов равна одному и тому
же вектору /к. Так как углы 08'8к' и 08"8к равны я—ф и опи-
раются на один и тот же отрезок OSK, то, очевидно, этот отре-
зок служит хордой окружности с дугой 08'8"8к, которую опи-
сывает конец вектора тока (точка 8) при изменении п от нуля
до бесконечности. Для п = 0 ток / = /к, и точка 8 совпадает с
точкой 8К, для п = оо ток 7 = 0, и точка 8 совпадает с нача-
лом координат.
Окружность тока можно построить следующим способом.
Вектор напряжения U откладывается по оси вещественных
413
величин (рис. 11.45). Вектор тока — отстает по фазе
от напряжения U на угол <рк = <pt, и на диаграмме строится в
масштабе т7 в виде отрезка OSK = — . Затем следует продол-
______________ ___ mi
жить отрезок 0SK (пунктир SKN) и под углом ф = <р2—<р, к лучу
ON провести прямую SKM, являющуюся касательной в точке SK
к искомой окружности. Если из середины хорды 0SK восстано-
вить перпендикуляр и провести его до пересечения с перпенди-
куляром, опущенным из точки SK к прямой SKM (рис. 11.45), то
точка С пересечения этих перпендикуляров определит центр
окружности. По точкам О и SK, лежащим на окружности, и ее
центру С легко построить годограф вектора тока I. Следует на-
помнить, что диаграмма, изображенная на рис. 11.36, построена для
угла <р2 <<Pj. Если ф2>ф1, то угол ф = <р2—<р2 необходимо от-
кладывать от прямой SKN против вращения часовой стрелки,
при этом рабочая дуга окружности будет лежать по правую
сторону от вектора /к, если смотреть на его конец из точки О.
Г. В предыдущем примере доказать, что отрезки SKSz,, SSZi
и SSp2 (рис. 11.45) пропорциональны соответственно напряжению
U2, сопротивлению kz2 и активной мощности Р2.
Напряжение U2 (рис. 11.43) определяется по формуле:
[7 _z 1=и___z —____—Z (й $
* и U /^Zl + kZ2 Z. + ^zJ’
Так как ^ = 7К, a ^kZ^^ т0 = О-
414
Векторы тока 7К и I изображены на рис. 11.45 отрезками 0SK
и OS, а их разность (OSK—OS) = SSK. Если масштаб для тока
равен т; (а1см), то напряжение U2 на зажимах приемника
U2 = mi Zx (OSK—OS) = т{ Z,S\.
Модуль вектора напряжения
z1|SSK| = /«c/a|SSK|>
где т.и2 — т1г1—масштаб напряжения U2 в в'см, | SSK |—длина
отрезка в см.
Для определения из круговой диаграммы сопротивления на-
грузки kz2 проводят прямую SkQ под углом—3p = <Pi—Фа (про-
тив вращения часовой стрелки или в сторону ее вращения,
в зависимости от знака угла —ф) к прямой SKN и продолжают
отрезок OS до пересечения с прямой S..Q в точке SZ1. Отрезок
SKSZ1 в масштабе т21 определяет сопротивление kz2 для тока 7.
Для доказательства указанного положения можно восполь-
зоваться выражением
I OS I
, иг
= 7
' 2
Из подобия треугольников 0SKS2j и OSSK
I I I SA I
I os I |osK|
Следовательно, Лг2 = ^Ц^^-1 = тг1|5к522|, где
/1 0SK l
mZ2—мае-
штаб сопротивления kz2.
— m'u'1 — m> Z1_______£i_
|6s;| - m, lasLI ~|os;r
Для определения из круговой диаграммы активной мощности
Р2 нагрузки проводят из точки S прямую, параллельную ли-
нии SKQ, до пересечения с хордой 0SK. Отрезок |SS 2| пропор-
ционален мощности Р2. Известно, что мощность
к Рг = U2I cos <р2 = тиг | SSK | | OS | cos <р2.
I Из подобия треугольников OSSK и OS₽aS следует, что
' issj.ioshissjWkI;
юэтому
Р2 = /ии/и/cos<р. 10S„ 1-1 SS,, I.
2 Ui I Т 2 1 К I I ।
>
415
Так как
тп—т.г. n|OS„| = —,
/1 I к I z>m j >
то
т^т, cos <р210SK | = cos <р2 = tn,U cos <р2.
Таким образом,
Рг = m,U cos ф21 SS^ | = тр21 SSpt1,
где тр2 — nijU cos <р2—масштаб мощности Рг.
Следует отметить, что аналогичным способом строится кру-
говая диаграмма для активного двухполюсника с переменным
сопротивлением kZ2 при посто-
янном угле сдвига фаз между
напряжением 02 и током 1 и
при постоянном напряжении йх.
Д. Пользуясь линейным со-
kZ2 отношением вида I — А-\-В12,
показать, что в разветвленной
линейной цепи геометрическим
местом концов вектора тока
является окружность, если со-
противление kZ2 непрерывно
изменяется or нуля (короткое
замыкание) до бесконечности
(размыкание) при постоянном сдвиге фаз <р2 и постоянных осталь-
ных активных и пассивных параметрах цепи (рис. 11.46).
При /2 = 0 (размыкание ветви с сопротивлением kZ2 ток
следовательно, А = 11Х. При kZt = O (короткое замыка-
ние) ток /2 = /2К, а /1 = Лк = Лх + В/2К, откуда В = -,к^1^ .
* 2К
Таким образом, ток в первой ветви
1=1 4- I
1 1 1 XX “ J- 1 2*
' 2К
Па основании теоремы об активном двухполюснике в этом выра-
жении можно заменить ток /2 по следующей формуле:
/ = ^2х
2 Z2k + 4Z2’
где U2X—напряжение на зажимах второй вегви при ее размы-
кании;
Z2K— входное сопротивление всей пассивной цепи, исключая
сопротивление kZ2, рассматриваемой относигельно за-
жимов, к которым присоединена вторая ветвь.
416
Поскольку /2* = -7^, то выражение для тока в первой ветви
^2К
можно представить в виде:
/ _ j |7 = / ।. Лк_Л» _ ] ц_ _£1к__
1 ‘lx^\Z2k + kZj^ 1 + ^ 1Х^1 + *£?е/ф’
Zzk 2ак
где 1|) = ф2— <р2К.
В этом уравнении второе слагаемое не отличается от выраже-
ния для тока 1 в п. В § 11.7 и может быть представлено кру-
говой диаграммой с хордой 1 lk — 11Х.
Пример 11.14. Пользуясь уравнением, полученным в ранее приведенном
примере Д для тока Iv построить круговую диаграмму, определяющую гео-
метрическое место концов вектора тока /, в схеме четырехполюсника
(рис. 11.47)
Решение. Для построения круговой диаграммы необходимо найтн
токи /’,к, 11х и угол <р2к.
При разомкнутых выходных зажимах четырехполюсника-
, и. 100 .. , ...
11Х=-----— =5—Гг. = (8 4- /6) а.
г1—/х1 8-/6 ' 1 ‘ '
При AZ2 = 0
7 _ 100 /а
Лк о । .с (8 /6) 77.
(*2 — Х3)
Для определения <р2К необходимо найти входное сопротивление четырех-
полюсника со стороны выходных зажимов при закороченных входных по
формуле
Z2K = Мг + Г'(~77-- = (2,83-У0,84) ом.
Г1 Iх»
Аргумент этого комплекса <р2к= — 16,25°.
На рис. 11.48 построены векторы тока 11х и /1к. Концы этих векторов
должны лежать на окружности тока Для определения центра этой
27 Теоретические основы электротехники, ч. 1 417
окружности проводится под углом <р2К—ф2 = 61,25° к хорде О,Л (к продол-
жению хорды О,К) линия KN' переменного сопротивления kZ2 и из точки
О, восстанавливается перпендикуляр О-J) к прямой KN", являющейся про-
должением линии переменного сопротивления. Точка С пересечения прямой
OjD и перпендикуляра, восстановленного к середине хорды является
центром искомой окружности тока Рабочая дуга ОгМК окружности
тока /j лежит по правую сторону от хорды если смотреть из точки О,
на конец вектора /1К— /1Х.
Пример 11.15. Для несимметричного четырехполюсника, изображенного
иа рис. 11.49, построить круговую диаграмму тока Доказать, что мас-
штабы для величин 02, /2, Р2 и kz2 определяются в общем случае через
масштаб тока mIl следующими выражениями:
mU2 = bmll', ml2 = am[l’,
п 62
mP2 = m/UiC0ST2; т2а = щЛ^-,
где а и b—модули коэффициентов Л и В четырехполюсника. Пользуясь
круговой диаграммой, найти числовые значения масштабов для указанных
входных зажимах четырехполюсника:
величин, а также определить
напряжение U2< ток мощ-
ность Р2 и сопротивление kz2,
при котором ток /, совпадает
по фазе с напряжением 01.
Решение. Для построе-
ния круговой диаграммы не-
обходимо найти токи Iix и /1К:
1 '* = 10 (—/ 10)= (2° +120) а
10—/ 10
И
/1К = 10 (/ 10) = (20-)’20) а-
10 + J 10
На рис. 11.50 построены
эти векторы в масштабе
тГ1= 10 а/см. Для определения
центра окружности тока, /,
необходимо найти угол <р2К,
являющийся аргументом вход-
ного сопротивления Z21t со стороны выходных зажимов при закороченных
/ 10(—/20)_
2К /(10—20)
/20,
при этом <р2К = 90°. Следовательно ф2к—<р2 = 45°. Затем, аналогично при-
меру 11.14, определяется центр С окружности, который в данном случае
совпадает с началом координат. Так как угол ф2к—ф2 > 0, то рабочая дуга
OiMK окружности тока Ц находится по левую сторону от хорды OtK.
Для определения масштабов тц2 и т1г можно воспользоваться уравне-
ниями четырехполюсника
(jx = au2+b12 и ц=си2+О12,
418
откуда
(/2=в^^-л) и 1г = А(1-й^.
Так как
^>5= Лк и Ut^ = Ilx,
<Л=я(Лк-Л) и /а=д(/;—/1Ж).
Из этих выражений н круговой диаграммы непосредственно следует, что
йг = В (ОК — ОМ) тц = Вт1г МК
и
Л = А (ОМ—00^ mh = AmIt МО..
Модули этих векторов, очевидно, равны:
U2 = bmh | МК \=mUt \ МК |
и
12=ат.ц | 0Мх |=mZ1| М0х |,
где масштаб напряжения тц2 = Ьт1г, а масштаб тока т12 = ат12.
Для определения масштаба активной мощности Р2 можно воспользо-
ваться уравнением:
Р2= 02/2cos q>2= bmh | МК | атц | M0t | cos tp2 = m‘ ab cos <p21 MK | -| M021.
Из подобия треугольников OtMK и OXGM (рис. 11,50) легко получить:
| ~МК |-| МО, | = | MG |.| KOt | ,
в результате чего
P2 = /ny a6cos tp21 MG |-| KOt |.
Из уравнения
/ f -О D О C n AD — BC U. _ —=
Лк- Лх- Ui в -ui А - ui jg— — Ag—mi,K0i
27*
419
следует, что отрезок | КО, | = У1 . Если подставить значение I КО, I в вы-
Qutn ] 1 '
ражение мощности Рг, то
Р2 = тЛС\ cos <р21 MG 1=^/1 ~MG
где m/>1 = mllU1 cos <р2.
Для определения масштаба сопротивления йг2 можно воспользоваться
выражением:
kz =U, _bmh\MK\ __ Ь | МК |
2 /2 am/jMOjI а | МО, |
Из подобия треугольников О,МК и OjKN следует, что
|МО,| |КО,| о,
в результате чего
, Ь bami, I КА' I Ь2 , 7777 , . 7777.
^г = —— (j-----\KN\^mz,.\KN\<
b2 <
гцет^ — у-тц.
Для определения числовых значений масштабов искомых величин необ-
ходимо найти коэффициенты четырехполюсника: <4=0,5 и B = j 10 ом. Мо-
дули этих коэффициентов « = 0,5 н Ь= 10 ом. Масштаб для напряжения Ut
равен /пи2 = ш/,6=10 afcM-lO ом=100 в/см, а масштаб для тока /2 равен
m/2 = m/,a=10 а/слг-0,5 = 5 а[см. Масштаб для мощности Рг приемника
V2
mp2 = mlU1cos<f - 10 а/см -200 в-—^—= 1000 у 2 вт]см.
Наконец, масштаб для сопротивления нагрузки:
Ьг . 100 ом2 - ,
77*= Ю а/СЛ!-=--— = оом см.
гз "U, 1 200 в 1
420
Из круговой диаграммы:
Пг=ту, | МК | = 100 в/сл1-2,2с.и = 220 а;
/2=т/21 МО, |=5а/сл-2,2 см — 11 а-,
Ps = mpJ MG 1= 1000 V"2 вт/см-1,2 = 1690 вот,
fez2 = /n2a | KN | = 5 о.и/сл-4 см = 20 ом.
Пример 11.16. Построить круговую диаграмму тока /t для схемы, пока*
занной на рис. 11.51. а. Пользуясь круговой диаграммой, определить зна-
/2, иг, Pt и Р2 для сопротивления нагрузки гг, равного
60 ом.
чения величин: /,,
10, 20, 30, 40, 50 и
Решение. Для построения круговой диаграммы необходимо найти
токи /ц и /1к: 100
/w-2rz72o-/10 “•
Лк=о.
421
На рис. 11.51, б построен вектор тока /1х в масштабе т/, = 2 а/см. Век-
тор тока /1К совпадает с началом координат (точка 0). Для удобства по-
строения вектор напряжения (7, перенесен параллельно самому себе в конец
вектора / 1х. Чтобы определить центр окружности, необходимо найти угол <₽•>*,
являющийся аргументом сопротивления
_/20(—J40)
^2К- - ; ОЛ -J
— / 20
откуда ф2к = 90°. Следовательно, ф2к—ф2 = 90°. Центр окружности в данном
случае совпадает с серединой вектора /1х. Чтобы определить масштабы
искомых величин, необходимо предварительно найти коэффициенты А н В
четырехполюсника:
- А =
^ = 0,5 и В = ^-=]20ом.
U, h
Следовательно, искомые масштабы:
тц=тц-а= 1 а/см-, mU2 = m]x-b = 40 в/см-, mPl = ml,Ul = 200 вт[см-,
800
mP2=mI,Ul cos q>2 = 200 amIсм и mZ2=m{l ^-=-^=8 ом[см.
Из круговой диаграммы, изображенной на рис. 11.50, б, легко получить
следующие данные:
г2, ом 10 20 30 40 50 60
I,, а 2,40 4,50 6,00 7,10 7,80 8,40
/2, а 4,85 4,50 4,00 3,52 3,15 2,78
Plt ет 236 405 480 500 482 465
Рг, вт 236 405 480 500 482 465
U2, в 48 90 120 142 156 168
Из этих данных видно, что мощности Р, и Р2 равны, так как активных
потерь в четырехполюснике нет.
Вопросы для самопроверки
11.1. Какие дополнительные усложнения возникают при применении
основных методов расчета рабочих режимов сложных схем замещения в слу-
чае цепей переменного тока (по сравнению со случаем цепей постоянного
тока)?
11.2. Можно ли рассчитать рабочий режим цепи, применяя один из
основных методов, но не пользуясь комплексными числами.
11.3. С какими недостатками при расчетах цепей связано наличие со-
противлений разных знаков в цепях переменного тока?
11.4. В чем заключается причина сложности выполнения расчетов рабо-
чих режимов для схем, содержащих элементы взаимной индуктивности?
422
11.5. Какие преимущества при техническом выполнении расчетов могут
быть получены в случае применения принципа дуальности схем?
11.6. Какие преимущества имеют итерационные методы расчета рабочих
режимов в случае сложных схем?
11.7. В каких случаях расчета рабочих режимов цепей переменного
тока итерационными методами сходимость итерационного процесса получается
худшей, чем для цепей постоянного тока при той же сложности схемы?
11.8. Какие имеются возможности упрощения расчета рабочих режимов
в случае схем со сравнительно небольшой неоднородностью?
11.9. Что называется обобщенными параметрами схем замещения?
11.10. Чем определяется число полюсов многополюсника, которым за-
меняется заданная сложная схема замещения?
11.11. Как получить схему замещения многополюсника, если заданы
его параметры уравнений в форме Y, Z или Д?
11.12. В каких случаях целесообразно применять матрицы — при выпол-
нении математических преобразований или при техническом выполнении
какого-либо расчета рабочего режима?
11.13. Какие приемы можно использовать при преобразовании схем
замещения, составленных из многополюсников? Как выполнить расчет рабо-
чего режима схемы, если многополюсники входят в нее при более сложных
соединениях?
11.14. Что называется круговой диаграммой? Какие она дает возможно-
сти? Как ее построить? В каких случаях диаграмма получается круговой?
11.15. Почему графические методы расчета находят сравнительно малое
применение и чаще используются только в целях иллюстрации?
Глава XII
МНОГОФАЗНЫЕ ЦЕПИ
§ 12.1. Основные определения
Для передачи электрической энергии от источника к прием-
нику требуются два провода—«прямой» и «обратный». На рис. 12.1
показана простая одно-
фазная' цепь, содержащая
источник питания, соеди-
нительные провода и при-
емник электрической энер-
гии. В действительности
источник питания и прием-
ники электрической энер-
гии могут быть значигель-
Рис. 12.1
но удалены относительно
друг друга, поэтому соединительные провода получаются большой
протяженности и очень часто имеют сложную схему соединений,
образуя электрическую сеть.
Если соединить несколько одинаковых однофазных цепей,
в каждой из которых ток изменяется с одной общей частотой,
423
нусоидальные э.д.с. одной и той
но сдвинут по фазе относительно токов в других цепях, то можно
получить такое условие, когда токи в обратных проводах в сумме
равны нулю. Тогда, объединив все обратные провода, их можно
удалить и тем повысить экономичность системы электроснабже-
ния. Это дало основание для развития многофазных систем.
Совокупность электрических цепей, в которых действуют си-
же частоты, сдвинутые отно-
сительно друг друга по фазе
и создаваемые общим источ-
ником электрической энер-
гии, называется многофазной
системой. Каждая из одно-
фазных цепей,- входящая в
состав многофазной системы,
называется фазой многофаз-
ной системы. Совокупность
синусоидальных э. д. с. одной
частоты, взаимно сдвинутых
по фазе и действующих в
многофазной системе, назы-
вается многофазной системой э.д.с., а совокупность синусои-
дальных токов в этих цепях— многофазной системой токов.
Элементарный многофазный генератор устроен аналогично
однофазному генератору с несколькими обмотками или витками,
сдвинутыми в пространстве относительно друг
а;
друга, на некото-
рые углы. При вращении такой системы, состоящей из т обмо-
ток, с постоянной угловой скоростью со в однородном магнитном
поле в каждой из ее обмоток индуктируется синусоидальная
э.д.с., сдвинутая по фазе относительно э.д.с. в других обмот-
ках
сов
рис.
424
на соответствующие углы, определяемые числом пар полю-
и пространственными углами между осями обмоток. Fla
12.2 изображена схема устройщва элементарного трехфаз-
ного генератора. На рис. 12.3, а приведены кривые э.д.с.,
индуктируемых в обмотках этого генератора, взаимно сдвинутых
в пространстве на одинаковые углы, равные 120°, а на рис. 12.3, б
показана векторная диаграмма э.д.с. трехфазной системы.
Суммарный ток во всех обратных проводах, объединенных
в один провод многофазной системы, может получиться равным
нулю только тогда, когда соответствующие векторы на комплекс-
ной плоскости образуют замкнутый многоугольник. Если число
объединенных фаз равно т, причем все токи равны по величине
и в каждой последующей фазе ток сдвинут по отношению к току
в предыдущей на одинаковый угол, то указанный многоуголь-
ник получается правильным. При этом сдвиг по фазе между
2л
токами предыдущей и последующей фаз равен — , а соответ-
ствующая часть периода составляет .
Наименьшее число объединенных фаз, приводящее к качест-
венно новой многофазной системе, равно трем (рис. 12.4). Такая
система называется трехфазной (рис. 12.5). Возможность
425
устранения одновременно всех трех обратных проводов при объе-
динении фаз системы приводит к значительным технико-экономи-
ческим преимуществам трехфазной системы перед однофазной.
Трехфазная система обладает и рядом других преимуществ,
которые будут охарактеризованы ниже. В связи с этими пре-
имуществами, трехфазные системы в настоящее время являются
основными при передаче и распределении электрической энергии.
При прежних условиях токи отдельных фаз трехфазной
системы должны на векторной диаграмме образовывать правиль-
ный треугольник (рис. 12.6). Чтобы при одинаковых сопротив-
лениях отдельных фаз токи были по величине одинаковыми,
большим числом фаз.
а по фазе сдвинутыми в последователь-
, 2
но расположенных фазах на угол у л,
необходимо, чтобы э. д. с. были оди-
наковыми по величине, а по фазе
2 г-
сдвинуты на тот же угол у л. Если
при симметричной системе э. д. с.
сопротивления фаз разные, то сис-
тема токов получается несиммет-
ричной.
По тому же принципу можно со-
ставить и многофазную систему с
Однако при этом системы получаются
более сложными с точки зрения их технического выполнения и
находят ограниченное применение. Целесообразность увеличения
числа фаз обнаруживается обычно в случаях преобразования
переменного тока в постоянный с помощью выпрямителей.
Встречаются системы с количеством фаз, равным 6, 12, 24,
48 и т. д.
Многофазная система электродвижущих сил, в которой все
отдельные э.д.с. одинаковы по амплитуде и каждая последую-
щая отстает по фазе от предыдущей на угол, равный —,
называется симметричной системой э.д.с. Симметричной может
быть и отдельно рассматриваемая система токов, определяемая
аналогично указанной симметричной системе э.д.с.
Для симметричной системы э. д. с. и симметричной системы
токов справедливы следующие равенства:
т т
2 ё,=о и 2 Л=о.
<=i i=i
Обычно при графическом изображении многофазной цепи
отдельные фазы источников и приемников показывают прибли-
зительно под теми же углами на плоскости, которые характерны
для параметров режима (э. д. с., токов и напряжений).
426
В действующих установках имеются и несимметричные мно-
гофазные системы. Примером такой несимметричной многофазной
системы является двухфазная система, показанная на рис. 12.7.
В этой системе э. д. с. в фазах (рис. 12.8), а при одинаковых
сопротивлениях фаз — и токи, и напряжения сдвинуты взаимно
на 1/4 периода или на угол, равный ~ :
E0 = /Eb; ia = jib-
Рис. 12.7
Рис. 12.8
В отдельных случаях могут быть и несимметричные много-
фазные системы, для которых так же, как и для симметричных
систем, сумма фазных э. д. с. и фазных токов равна нулю
(рис. 12.9).
Многофазная система э. д. с. и токов, при которой суммар-
ная мгновенная мощность в цепи постоянна (сумма
мощностей отдельных фаз) называется уравновешен-
ной многофазной системой. Симметричные системы
являются уравновешенными.
Связанная система, показанная на рис. 12.5,
называется соединенной в звезду, или звездой. Для
соединения в звезду характерно наличие общей
точки О, которая называется нулевой или нейтраль-
ной. Нулевые точки источника питания и потреби-
теля электрической энергии могут быть соеди-
нены проводом (назначение его будет видно из
дальнейшего). Такой провод называется нулевым
или нейтральным. Ток в этом проводе обычно
значительно меньше, чем токи в фазных проводах.
Таким образом, т—фазная система может быть как
мгновенных
Еа>

Рис.
12.9
/и-проводнои
(без нулевого провода), так и (m-ф 1)-проводн9й (при наличии
нулевого провода).
Напряжение между любой из фаз многофазной системы
и нейтралью источника питания или нейтралью нагрузки назы-
вается фазным, а напряжение между фазами в любом месте
цепи—междуфазным или линейным. Соотношение между ампли-
тудными или действующими значениями этих напряжений зави-
сит от числа фаз и вида многофазной системы. Для симметричной
427
многофазной цепи характерным является равенство комплекс-
ных сопротивлений всех фаз системы.
Для многофазных систем возможно также соединение много-
угольником. На рис. 12.10 показана связанная трехфазная цепь,
соединенная треугольником (или в треугольник). Такая трех-
фазная цепь может быть только трехпроводной (или в общем
случае т — проводной).
Не обязательно источник питания и приемник электрической
энергии должны иметь одинаковую схему соединений. Цепь
может работать и при разных схемах их соединений. Так, на-
пример, на рис. 12.11 показана трехфазная цепь, в которой
источник питания соединен звездой, а приемник электрической
энергии—треугольником. Другой приемник электрической энер-
гии (на чертеже не показан) может быть соединен звездой,
поэтому может сущещвовать нулевой провод.
428
Обычно понятие о фазном и междуфазном напряжениях
остается даже в тех случаях, когда в действительности приме-
нены схемы соединения многоугольником.
Поскольку симметричная многофазная цепь обычно состав-
ляется из одинаковых элементов во всех фазах, то схематически
ее можно изображать однолинейной.
Совокупность величин, характеризующих электрическое со-
стояние многофазной цепи (э. д. с., токи, напряжения), выра-
жается многофазными системами этих величин. На однолинейной
схеме симметричной многофазной системы обычно показывают
только величины для одной фазы.
§ 12.2. Мощность в многофазных цепях
Полная и пульсирующая мощности многофазной системы
определяются суммированием их значений по отдельным фазам:
a = i
т
йт= ZX,
а=1
где а—порядковый номер фазы.
Поскольку для каждой фазы полная мощность
причем в симметричной системе
. 2Л , 2П
U^—U^e. ’а,п и /в = /,е 'а,п,
то для этой системы
Sa= = const, (a=l...m),
т. e. полная мощность для всех фаз одинакова.
Для всей симметричной многофазной системы
т. е. суммарная мощность увеличивается пропорционально числу
фаз.
Пульсирующая мощность в симметричной многофазной системе
. 2Л 271 . 2Л
429
Отсюда следует, что для симметричной многофазной системы
напряжений и токов
т
2Х=о.
a=i
Поскольку пульсирующая мощность равна нулю, то это озна-
чает, что мгновенная мощность для любой части симметричной
многофазной цепи (если рассматривать все т фаз вместе) является
величиной постоянной, равной суммарной активной мощности:
т
a=i
Объясняется это тем, что в любой момент времени энергия,
запасенная в электрических или магнитных полях каждой части
симметричной многофазной цепи, остается постоянной.
Постоянство значения мгновенной мощности для симметрич-
ной многофазной цепи является ее важным свойством. В част-
ности, это приводит к постоянству (при установившихся режи-
мах работы) мгновенной мощности и вращающего момента
у электрических двигателей, выполненных многофазными, и по-
стоянству электромагнитного момента у генераторов, а следова-
тельно, и к постоянству момента сопротивления у их первичных
двигателей, что весьма существенно с точки зрения постоянства
скорости вращения электрических машин и их приводов. Для
устранения пульсирующего характера изменения мгновенной
мощности и момента вращения электрических машин в одно-
фазных электрических цепях приходится принимать специальные
меры для повышения маховых масс вращающихся частей этих
машин.
В несимметричных многофазных цепях, равно как и при
несимметричных режимах работы симметричных многофазных
цепей, пульсирующая мощность не равна нулю; при этом сохра-
няется пульсация мгновенной мощности с двойной частотой.
Поскольку
pm = Re(Sra-M?),
то амплитуда этих пульсаций определяется величиной модуля
суммарной пульсирующей мощности для всех фаз:
т
а = 1
Для многофазной цепи так же, как и для однофазной, спра-
ведливы условия баланса полной мощности
S s,=0
1-1
430
и пульсирующей мощности
2 ^=о,
i = 1
где i — порядковый номер ветви цепи.
§ 12.3. Симметричная трехфазная система
В симметричной трехфазной системе э. д. с. в фазах а, b
и с связаны между собой следующими соотношениями:
Еа = Ее^а; Ёь = Е&№ь и ЁС = Е&'*’°,
где
2л 2
Ч’а —Фь = Фь —== Фе —Ч’а = — =-3 Л
или
фа — Фе = Фе — Фь = Фь — Фа = $ = Т Л’
Первая система называется системой прямой последователь-
ности чередования фаз или просто системой прямой последова-
тельности, а вторая—обратной последовательности чередования
фаз или просто системой обратной последовательности.
В целях упрощения записи вводится оператор поворота
который при умножении на какое-либо комплексное число при-
водит к изменению аргумента последнего на у л. С помощью
этого оператора очень просто записывается система прямой по-
следовательности э. д. с.
Еа = аЁь; Ёь = аЁс и Ёс = аЁа,
или
£а = аЁь = «%.
а также система обратной последовательности э. д. с.
Ёа = а2Ёь = аЁс.
Оператор а обладает следующими основными свойствами:
1-(-а4-а2 = 0; а—a2 — jy"3;
а2=а; I—а = а2/]/3;
а’ = 1; а2— 1=а/]?3.
431
Нетрудно видеть, что достаточно взаимно изменить индексы
любых двух фаз, чтобы получить систему величин противопо-
ложной последовательности.
Обычно симметричная трехфазная система рассматривается
в качестве системы прямой последовательности.
Достаточно найти значение какой-либо величины одной из фаз (обычно
за исходную принимают фазу а), чтобы можно было определить значения
той же величины и для всех других фаз, если известно, что рабочий режим
цепи является симметричным. Так, например, если э. д. с. фазы а
равна Е, то вся симметричная система э. д. с. Е определяется путем умно-
жения значения Ё на матрицу S соответствующих коэффициентов, харак-
теризующих данную систему величин:
E = £S.
Для системы прямой последовательности э. д. с. (или какой-либо дру-
гой величины) матрица коэффициентов
S, = || 1«га ||.
а для системы обратной последовательности —
S2=|l la а2 II-
Такие матрицы коэффициентов дают возможность изображать трехфаз-
ную цепь однофазной схемой замещения (составленной для одной фазы
цепи). Умножением коэффициентов на эти матрицы можно получить пара-
метры режима для трехфазной цепи-оригинала.
Если
динения
симметричные фазные напряжения (рис. 12.12) для сое-
звездой (рис. 12.5) при симметричной нагрузке записы-
ваются в виде
UA = aUB = a‘Uc,
то междуфазные напряжения, на
основании второго закона Кирхгофа,
равны разности фазных напряже-
ний:
UAB^UA~UB^-aiVWA-,
иВс=йв-ис=-}УзиА,
UcA = Uc-UA = -a*jV3UA.
Отсюда следует, во-первых, что
междуфазные напряжения при сое-
динении звездой по модулю больше
фазных в УЗ раз и, во-вторых, что они также составляют
симметричную трехфазную систему (рис. 12.12);
Уав— вс — а Uса-
Если токи в фазах приемника электрической энергии, соеди-
ненных треугольником, обозначить и направить так, как это
432
показано на рис. 12.11, то при одинаковых сопротивлениях фаз
симметричная система междуфазных напряжений вызывает сим-
метричную систему токов в фазах (рис. 12.13):
Ль = albc = a2lea.
Линейные токи в подводящих проводах определяются по
первому закону Кирхгофа:
4 = iab -ica = (\-a)iab = a’i ysiab,
IЬ = ibe 1ab = (У 0 Iab ~ ai' I ab‘,
ic=ica—ibc = (a—a2)iab=j Уз1аЬ.
Следовательно, они также образуют
симметричную трехфазную систему
1а— а1ь — аг1с. Эти токи по величине
в]/3 раз больше токов в фазах.
Важно отметить, что суммарная
комплексная полная мощность для
всех трех фаз приемника электрической энергии, соединенных
треугольником,
S— + U bJbc + U c<J са = ?>йа1 а =
= ЗС//ф(соэ(р4- / sin <р) = 3U у = У 3 Uleft,
где t/ф—модуль фазного напряжения;
U—модуль междуфазного или линейного напряжения;
/ф—модуль тока в фазе приемника;
I — модуль линейного тока;
<р — угол сдвига между током в фазе приемника и фазным
напряжением.
Полученные результаты показывают, что для характеристики
рабочего режима симметричной трехфазной цепи достаточно
иметь только три величины, определяемые вещественными чис-
лами: фазное напряжение U^, ток в фазе линии Л, и сдвиг фаз
между фазным током и фазным напряжением. Если принять
произвольно ф„а = 0, то фазные напряжения симметричной системы
t/a=t/4; йь~и^1г, йс=и^а\ при этом токи в фазах ta = Ie~ft',
1ь = аг1а‘, ic = aia, а междуфазные или линейные напряжения
йаЬ = -а,УЗи^ иЪс^-1Узи^ йса = -а21УЗ.
Комплексные полные мощности фаз
Sa = Sb = Sc=Uyeft,
28 Теоретические основы электротехники ч. 1
433
Комплексная мощность трех фаз:
S = 3^/e'° = /3t//e<
где U = У~3 —модуль линейного напряжения.
Комплексная пульсирующая мощность фаз:
Na = Nb = aNa и Nc = a2Na.
Если известно, что в действительности источник питания или
приемник электрической энергии соединен треугольником, то
ток в каждой его фазе в ф^З раз меньше линейного тока.
§ 12.4. Трансформация в трехфазных системах
Трансформаторы в трехфазных цепях могут иметь не только одинако-
вые, по и разные схемы соединений магнитносвязаниых обмоток. Если
трансформатор имеет обмотки с одинаковыми схемами соединения («звезда —
звезда» или «треугольник—треугольник»), то при трансформации величины
токов и напряжений каждой из фаз изменяются так же, как и в однофаз-
ных цепях, только по величине. Поэтому трансформация в таких случаях
определяется одним вещественным числом (коэффициентом трансформации).
Если же трансформатор имеет обмотки с разными схемами соединения
(«звезда—треугольник» или «треугольник — звезда»), то при трансформации
напряжения и токи изменяются по величине и фазе Для определения
такого изменения требуется два вещественных числа или одно комплексное.
Пусть первичная обмотка трансформатора соединена звездой, а вторич-
ная—треугольником (рис. 12 14). Отношение чисел витков, расположенных
на отдельных стержнях,
Тогда
В = 1аЬ и
434
и, следовательно,
I а — Iса ab — ^ф ? 1$*
lt}=Iab~~hc~kb
I с = ^bc % ca ~ ^ф U C A)-
Если система токов в первичной обмотке трансформатора симметрична
/л = ^в = ^с>
то система линейных токов, отходящих от вторичной обмотки трансформа-
тора, определяется как
fa = aib = a2Ic = — ja Узк^л
и остается симметричной, но имеет другие начальные фазные углы. Поскольку
л
— ja=e ’ ,
то токи в соответствующих линейных проводах, отходящих от вторичной
обмотки, опережают токи в одноименных линейных проводах, присоединен-
ных к первичной обмотке трансформатора, на угол Л-, т. е. на 1/12 пе-
риода. Кроме того, токн получаются меньшими по величине (по модулю)
в Уз Аф раз.
Можно считать, что трансформация в данном случае определяется па-
раметром
К = —«/ У3к$,
который выражается комплексным числом и может считаться условно
коэффициентом трансформации
Поскольку при трансформации (в отдельных фазах трансформатора)
значения полной мощности не изменяются, то, применяя правило опреде-
ления полной мощности для всей трехфазной системы напряжений и токов,
можно получить и правило трансформации, пригодное при любой схеме со-
единений трансформатора. Из уравнения
иА1А^иага
следует, что
иа iA
Это означает, что при трансформации сдвиг напряжений по фазе равен
сдвигу фаз между токами:
/а = /лКе-'-;
и
£/a = t/4-^e-'S
где
| = argK.
Следует иметь в виду, что при этом значения пульсирующей мощности
по фазам изменяются:
л
2а*
435
Энергетические процессы в отдельных фазах цепи протекают во вре-
мени после трансформации несколько иначе, чем до трансформации (по
пути передачи электрической энергии), если аргумент коэффициента транс-
формации отличается от нуля, т. е. схемы соединения первичной и вто-
ричной обмоток трехфазного трансформатора различны.
Полученные соотношения можно применить и при трансформации
систем напряжений и токов в случае передачи электрической энергии
в противоположном направлении, когда встречается трансформатор с об-
мотками, соединенными по схеме «треугольник-звезда». При этом токи
н напряжения сдвигаются по фазе на ту же 1/12 часть периода или на
л
угол — , но в сторону отставания:
К' = Д- = —е-Л.
К К
Соотношение между абсолютными значениями (модулями) напряжений
и токов со стороны входных и выходных зажимов трансформатора зависит
от отношения чисел витков. Поэтому величина К может Сыть больше
и меньше единицы.
2
Следует отметить, что изменение фазы напряжений и токов на — л илн
и
4
иа -у л можно получить простой круговой заменой индексов фаз (а, b и с).
§ 12.5. Вращающееся магнитное поле
Сравнительно простая возможность создания вращающегося
магнитного поля является весьма важным свойством многофаз-
ных систем.
На рис. 12.15, а показана катушка (условно в виде одного
витка), в которой имеется синусоидальный ток (рис. 12.15,6).
В центре катушки и на ее оси магнитный поток перпендику-
лярен плоскости катушки и совпадает с ее осью.
Из предыдущего следует, что переменный пульсирующий
магнитный поток, создаваемый переменным током, можно рас-
сматривать как результат совместного действия двух магнит-
436
ных потоков, вращающихся в противоположных направлениях
с одинаковой угловой скоростью (рис. 12.15)
Ф ----- Фга cos и/ = (п 4- п).
Магнитное поле, вращающееся со скоростью и, можно полу-
чить, если с помощью другого переменного магнитного поля,
создаваемого током второй катушки и сдвинутого относительно
магнитного поля первой катушки во времени и в пространстве,
компенсировать поле обратного вращения, обусловленное пере-
менным магнитным полем первой катушки. При этом резуль-
тирующее магнитное поле, вращающееся в прямом направле-
нии, будет в общем случае другим по величине.
Пусть переменный магнитный поток, создаваемый током
второй катушки, определяется уравнением
ф2 = ф2т cos ) = 4 (Ф2> + Ф2Ип).
При этом вторая катушка сдвинута в пространстве относи-
тельно первой на угол у (рис. 12.16). Из условия взаимной
компенсации обратно вращающихся магнитных потоков
4(ф1т + ф2иеЛ)п = 0
получается
ф1т + ф2те/М) = о,
откуда
ф1И = ф2Я! и у—= л
или
= у—л.
Следовательно, сдвиг во времени непосредственно определяется
сдвигом в пространстве*.
* Следует иметь в виду, что вращающееся магнитное поле получается,
когда у и ift не равны 0 или л.
437
Пример 12.1, Определить сдвиг во времени, который должны иметь
токи, создающие переменные магнитные потоки, одинаковые по амплитуде,
сдвинутые в пространстве на 90°, чтобы в результате получилось вращаю-
щееся магнитное поле (рнс. 12 17).
Решение. Непосредственно из предыдущего (§ 12.5) получается
создающий переменное магнитное поле во второй катушке, должен
от тока, создающего переменное магнитное поле в первой катушке,
на 1(4 периода Это можно
получить в двухфазной не-
симметричной системе (рис.
12.17).
Аналогичное решение
может быть и для любой
другой многофазной систе-
мы магнитных потоков.
т. е. ток,
отставать
На рис. 12.18 по-
казаны схематические
картины результирую-
щего магнитного поля,
создаваемого токами
симметричной трехфаз-
ной системы в трех ка-
тушках, сдвинутых в
пространстве на 120°. Схематическая картина магнитного поля
для первого момента времени показана на рис. 12.18, а,
когда ta = 0, ib<0 и /с>0 (рис. 12.19).
Если положительное значение тока ic у начала обмотки с отмече-
но условно крестиком, то отрицательное значение тока ib у начала
обмотки b отмечено точкой. Для момента t2 — ~ Т токи ia и ic имеют
положительные значения, что у начал соответствующих обмоток
отмечено крестиками, а ток ib имеет по-прежнему отрицательное
значение, что отмечено на рис. 12.18,6 точкой у начала об-
мотки Ь. Сравнение схематических картин магнитного поля,
приведенных для различных моментов времени (рис. 12.18, а—г),
наглядно показывает вращение магнитного поля. При этом за
один полный период изменения токов (рис. 12.19) магнитное
поле совершает один полный оборот. Направление вращения
магнитного поля зависит от последовательности фаз токов в
обмотках. Для изменения направления вращения магнитного
поля достаточно поменять местами токи в двух любых обмот-
ках, сохранив ток в третьей обмотке неизменным.
Пример 12.2. Определить условие создания вращающегося магнитного
поля в трехфазной симметричной системе
Решение. Если
Фа=аФь=а2Ф(.,
438
то условие компенсации поля обратного вращения запишется в виде
4 (Фате/Уа + Фь^'п + Фсие^) £ =о
ИЛИ
4 Фоте^а (1 +ae^w-Vo^ 4-а2е^'(Vc~Va)^ * — (),
Таким образом, переменные магнитные потоки должны быть располо-
„ 2
Кены в пространстве под углами -х- л так, чтобы их положительные на-
О
правления встречались с положительным направлением вращающегося маг-
439
«итного поля в той последовательности, которая соответствует очередности
чередования фаз вызывающих их токов (рис. 12 19).
Если каждый из этих переменных магнитных потоков имеет амплиту-
ду Фда, то вращающееся магнитное поле
Ф 1
Ф = -у (1+Л + аа2)=| Фт.
В выражении, определяющем поток Ф, первые множители (соответствеинс
а2 и а) отражают сдвиг переменных магнитных потоков во времени, а вто-
рые (соответственно а и а2)—сдвиг в пространстве.
Важно еще раз отметить, что изменение очередности следо-
вания фаз токов, которое можно получить простым переключе
нием любых двух фаз цепи, например b и с, приводит 1
изменению направления вращения магнитного поля на противо
положное. Это свойство используется, в частности, при измененит
направления вращения трехфазных электрических двигателей
§ 12.6. Взаимная индуктивность и емкость
в многопроводных системах многофазных цепей
Многофазные цепи непосредственно связаны с многопровод-
ными системами. Часто провода разных фаз на значительном
расстоянии располагаются параллельно друг другу.
Наличие взаимных индуктивностей и емкостей между прово-
дами фаз существенно усложняет расчет рабочих режимов много-
фазных цепей. Поскольку взаимная индуктивность между каждой
парой проводов зависит от их взаимного расположения в про-
странстве, то часто возникают условия, при которых наведенные
440
э. д. с. взаимной индукции в отдельных фазах не составляют
симметричной системы даже в том случае, если система токов
в этих проводах симметрична, что приводит к нарушению сим-
метричности режима.
Аналогично возникают условия, при которых токи, обуслов-
ленные емкостями в многопроводной системе, не составляют
симметричной системы даже в том случае, когда система вызы-
вающих их напряжений симметрична. Это также нарушает сим-
метричность режима.
Таким образом, если в трехфазной цепи система э. д. с.
симметрична и сопротивления всех фаз потребителей электри-
ческой энергии одинаковы, то рабочий режим цепи может ока-
заться несимметричным потому, что неодинаковыми оказываются
взаимные индуктивности между фазами электрической сети и
неодинаковыми получаются емкостные проводимости между
теми же фазами. Для устранения этого положения приходится
иногда принимать специальные меры по усреднению параметров
фаз линий большой протяженности.
Если многопроводная многофазная система выполнена так,
что все взаимные индуктивности между фазами одинаковы (или
практически одинаковы), то действие взаимных индуктивностей
можно рассматривать как действие индуктивностей фаз. Это
возможно только в тех случаях, когда известно соотношение
между токами различных фаз (например, известно, что система
токов симметрична, хотя величины токов и остаются неизвест-
ными).
Пример 12.3. Рассмотреть трехфазную трехпроводную систему, обла-
дающую взаимной индуктивностью между фазами, при симметричной системе
токов в фазах:
1а^а^Ь & с-
Решение. Комплексные сопротивления фаз (собственные) и сопро-
тивления взаимной индукции между каждой парой фаз считаются соответ-
ственно одинаковыми.
Za = Zb=--Zc = r + \х
и
xab = хЬс ~ хса “ хм.
Напряжения на зажимах фаз, уравновешивающие э. Д. с самоиндукции
и взаимной индукции (между фазами):
Uа~= jxlа + ib+jxMrc,
U b = jxj а + jxl ь + JXMI с,
0с--=1хм1а + 1хм1ь + !х'1с »
В соответствии с заданными условиями получается:
Ua= Li (х+агхм+ахм)= laj (х—хм),
йь= 1ьЦахм+х + а2хм)= Ibi(x — xM),
Uc= icj (а2хм+ахм + х)= icj (х — хм)
441
Таким образом, можно считать, что каждая фаза данного элемента
трехфазной цепи обладает индуктивным сопротивлением
х' = х —хм.
Эквивалентная индуктивность, соответствующая этому сопротивлению,
определяется по формуле
и называется рабочей индуктивностью.
Пример 12.4. Рассмотреть трехфазную трехпроводную систему, обла-
дающую собственной и взаимной емкостью при симметричной системе на-
пряжений
Решение. Емкостные токи
I а — Ual^aa “Ь “Ь Uci^ac’
1ь — йа]Ььа~\~ ^с!^Ьс>
t е = Uai^ea “Ь ^bjbcb “Ь & С]ЬСС.
При условии, что
baa = bbb = ЬСС = Ь,
bab ~ bfra = Ь^с = bcb b?a bac ~ bct
йа = айь-агйс,
получается:
ia = Uai(b-bJ,
ib--=ubj(b-bc),
ic=ucj(b-bc).
Следовательно, в расчете можно использовать следующую величину
емкостной проводимости:
Ь' = Ь—Ьс.
Эквивалентная емкость, соответствующая этой емкостной проводимости,
определяется по формуле
. Ь'
с ——
ш
и называется рабочей емкостью.
§ 12.7. Методы расчета симметричных многофазных цепей
В симметричной многофазной цепи соответствующие пара-
метры режима для разных фаз отличаются только начальными
фазами. При этом такое отличие для всех величин одной фазы
по отношению к соответственным величинам другой—одинаково.
Поэтому, зная параметры режима для какой-либо одной фазы,
можно определить рабочий режим всей симметричной много-
фазной цепи. Следовательно, расчет рабочего режима достаточно
выполнить по схеме замещения, составленной для одной фазы.
Это существенно упрощает решение задачи в целом. Решение
выполняется в основном методами, изложенными выше для одно-
фазных цепей переменного тока.
442
При составлении схем замещения и выполнении расчета
необходимо иметь в виду наличие некоторых особенностей.
Как следует из предыдущего, симметричной называется
такая многофазная цепь, каждая из действующих систем э.д.с.
и задающих токов в которой является симметричной, имеющей
одинаковую последовательность, и каждый элемент которой
имеет одинаковые соответственные пассивные параметры для
всех фаз *.
Пример 12.5. Элемент трехфазной цепи соединен звездой (рис. 12 20, а).
В каждой фазе этого элемента включены э. д. с. и комплексное полное
сопротивление. Заданные э. д. с.
Ёа = «Ёь = а2Ё<.
образуют систему прямой последовательности. Определить параметры экви-
валентного элемента, соединенного треугольником (рис 12 20, б).
Решение. Полное эквивалентное сопротивление получается по пра-
вилам. преобразования пассивной звезды в треугольник (прн отсутствии
э. д. с'.):
Zab = Za + Zb + -a^ ,
ZLc = Zb + Zc + ^ ,
Z Z„
Zfa = Zc 4- Za -y-5 .
Если Za = Zb = 2e = Z, to Zab = Zbc = Zca = 3Z.
Эквивалентные э. д. с. должны составлять систему прямой последова-
тельности
ЁаЬ = аЁЬс = аг Е,а,
* В некоторых случаях условия симметрии достшаютсч с помощью
специальных схем.
443
причем
ЁаЬ= Ёа—Ёь, ЁЬс — Ёь—Ёс и Ёса = Ёс—Ёа,
тогда
• я
ЁаЬ~ Ёае •.
Схемы замещения для одной фазы симметричной многофаз-
ной цепи отличаются тем, что имеют общую нейтраль. В боль-
шинстве случаев это существенно упрощает техническое выпол-
нение расчета. Кроме того, как уже было указано выше, в таких
схемах реже встречаются взаимные индуктивности, так как они
чаще всего заменяются рабочими индуктивностями.
Некоторым усложнением схем является возможность появления комп-
лексных коэффициентов трансформации.
Следует иметь в виду, что во многих случаях можно не считаться с
аргументом коэффициента трансформации, принимая его равным нулю.
Это возможно в тех случаях, когда две части цепи связаны только через
трансформаторы, имеющие одинаковую схему соединений обмоток; тогда
трансформации, связывающие соответствующие части схемы замещения,
имеют одинаковые аргументы. Получаемый при этом сдвиг по фазе отно-
сится ко всем величинам (параметрам режима) и может быть учтен в случае
надобности дополнительно; в процессе расчета он не является существенным.
При расчете можно считать, что все трансформаторы имеют одинаковые
схемы соединений отдельных обмоток. В этом случае возможно привести
параметры одной части цепи к условиям другой, как это было указано
для однофазных цепей переменного тока.
В случае симметричной трехфазной цепи полная мощность для всех
трех фаз
S =-- УЗ U la = U2Y = 37aZ,
где U =УзОл, а пульсирующая мощность в фазе
где
Взаимная индуктивность может в такой схеме появиться только в том
случае, если она одинакова для всех одноименных фаз двух трехфазных
ветвей, связанных общим магнитным полем. Такая связь с комплексным
параметром может возникнуть также при преобразовании схемы с умень-
шенным числом контуров.
Схему замещения обычно составляют по однолинейной схеме соединений
многофазной цепи. Каждый элемент цепи имеет рекомендуемую схему
замещения, приемлемую для рассматриваемых условий.
Пример 12.6. Найти токи и напряжения схемы, изображенной на
рис. 12 21, и построить векторную диаграмму, если г= 15 ом, х=5 ом, гл =
— 1 ом и линейное напряжение на входе схемы U = 120 в.
Решение. Заменим треугольник сопротивлений эквивалентной звездой
’ г 15 _
г' = ^=-^ = 5 ом.
О о
444
Нейтральная точка эквивалентной звезды и точка (рис. 12 21) имеют
един и тот же потенциал; поэтому две звезды можно заменить одной экви-
валентной, каждая фаза которой состоит из двух параллельных ветвей.
Комплексные сопротивления этих ветвей Z1=j5 ом и Z' = 5 ом, а эквива-
лентной звезды всей нагрузки
7 7’ /5. 5
z^z^z' = i+r^2’5+i2’5}0M-
Полученную схему можно упростить путем замены тремя сопротивлениями,
соединенными звездой. Комплексное фазное сопротивление эквивалентной
звезды
гф = гл + 7э= 1+2,5 + )2,5==(3,5 + ;2,5) = 4.3е'35’5° ом.
Линейные токи схемы
/-Д==/-Д = 7С= —=12° = 16,15 а.
/з .4 3
Фазные напряжения на эквивалентной звезде
иа = иь = и-с = гъ1= 16,15 V2,52 + 2,52= 16,15-3,33 = 57 в.
Токи в фазах заданной звезды
Z0 = /ft = /c=^=ll,4 а.
Линейные напряжения звезды равны фазным напряжениям треугольника:
Uab = иЬс = иса= /3 - 57 = 98,6 в.
Наконец, фазные и линейные токи треугольника:
, Т , 98,6 С CQ
I ab Ъс са‘ 6,58 Л,
l'a = l'b = l'c^ Уз -6,58=11,4 а.
На рис. 12 22 построена полная векторная диаграмма токов и напря-
жений для всех трех фаз. Эта диаграмма наглядно иллюстрирует законы
Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 12.21,
445
§ 12.8.
Примеры расчета несимметричных многофазных цепей *
Задача расчета рабочего режима многофазной цепи сущест-
венно усложняется, если хотя бы в одном ее месте нарушено
условие симметрии: система э. д. с. или задающих токов несим-
метрична или системы пассивных параметров для разных фаз
различны. Это может привести к нарушению симметрии всех
параметров режима во всей многофазной цепи. Тогда вся много-
фазная цепь должна рассматриваться вместе, как частный
случай однофазной цепи, при этом схема замещения должна
составляться для всех фаз.
Пример 12.7. В трехфазную цепь, состоящую из источника питания,
соединенного звездой, и четырехпроводной линии с сопротивлением каждого
провода, равным Z, включен приемник электрической энергии, фазы кото-
рого имеют сопротивления Za, Zft и Zc. Определить рабочий режим цепи,
схема замещения
Решение,
которыми:
которой показана на рис. iz.zj.
Данная схема содержит два узла, напряжение между
Ya + Yb + Yc + YN
1 .. 1
1
где
¥AZ=z+za’ YB=z+zb’ Yc=z + zc и Yn=zz^'
* Более подробно методы расчета несимметричных режимов многофаз-
ных цепей изложены в следующей главе.
446
Здесь потенциалы нейтралей источника питания и приемника электри-
ческой энергии получаются различными. Если потенциал нейтрали источ-
ника питания принять равным нулю, то потенциал нейтрали приемника
получается равным 0^. Тогда токи в фазах:
Ia = (Ea-Un)Ya, 1b = (Eb-Un}Yb,
1с = (Ёс—
а ток в нейтральном проводе /дг=[7дгУдг.
Для большей наглядности целесообразно рабочий режим цепи иллит
стрировать векторной топографической диаграммой (рис. 12.24), где вею
торы ЁА, Ев я Ес соответствуют д
симметричной системе э. д. с. источ-
ника питания, векторы U ао^ = Е А—
— йх, йво, = Ёв—йу и йсо,=
=Ес—иЬ' — напряжениям между
точками А, В и С и нейтралью при-
емника электрической энергии (в
предположении, что падения потен-
циала в фазах самого источника
питания сравнительно малы или вхо-
дят в сопротивления фаз). Вектор
UN определяет напряжение между
нейтралями приемника и источника
питания. Векторы йАв = ЁА —Ёв,
fjBc—EB—Ec я йСА = Ёс—ЁА со-
ответствуют линейным напряжениям
между фазами источника при незна-
Рис. 12.24
чительном падении напряжений в обмотках генератора.
Поскольку токи фаз уже известны, можно определить напряжения на
фазах приемника и линейные напряжения между его фазами:
Ua~ ZaIA, Ub = ZblB, Uc = Zcic\
йаъ = йа иь, иЬс—йь—йс, йса~йс—йа.
447
Такой порядок расчета можно использовать в случае одно-
го источника и нескольких приемников электрической энергии.
При этом приходится пользоваться правилами преобразования
схемы. Если нулевой провод отсутствует, а сопротивления фаз
между отдельными приемниками значительны, то сопротивления
приемников, включенные треугольником, нужно заменять экви-
валентными сопротивлениями, включенными звездой (рис. 12.25).
При замене нескольких приемников одним эквивалентным со-
противления, соединенные звездой, следует заменять сопротив-
лениями, соединенными треугольником. При наличии нулевого
провода такое решение применяется только в тех случаях,
когда можно пренебречь сопротивлениями участков нулевого
провода между отдельными приемниками и когда нет прием-
ников, соединенных треугольником.
Следует иметь в виду, что точка Ог на топографической
диаграмме, соответствующая потенциалу нулевой точки экви-
валентного приемника электрической энергии, может оказаться
и за пределами треугольника, образованного векторами линей-
ных напряжений (рис. 12.26, в). Следует отметить, что нейтраль-
ный провод, как правило, приводит к уменьшению напряжения
смещения нейтрали (JN, поскольку сопротивление каждой фазы
приемника обычно значительно превышает сопротивление ней-
трального провода. Такое заключение непосредственно следует
из аналитического выражения, определяющего напряжение UN
(пример 12.7).
Пример 12.8. Определить геометрическое место точек нейтрали прием-
ника для схемы, показанной на рис. 12.26, а, если в фазах b и с включены
одинаковые ветви с проводимостями YB = YC=Y — уе"1® при &>0, а в фазу
а—ветвь с переменной проводимостью Тд=уде—/<₽Л (нейтральный провод
отсутствует, Удг=О).
Решение. Потенциал нейтрали приемника
eaya + (eb+ec)y
Un==-----FI+2P------
448

Рис. 12.26
2Э Теоретические основы влектротехники ч. 1
449
Если система э. д. с. источника симметрична, т. е.
Ёл=а£я = а’Ес,
то
On = Ea^^ = Ea(\-A),
где
Л А
д_ 2 _ 2 .
1J.2A 14.L? . Ае/ (<₽4-Ч>)
‘ 2Г ~ Y 2
Из полученного выражения следует, что конец вектора А прн фл ?£ ф
описывает окружность с диаметром, равным 3'2, и может изменяться по
величине от 0 до 3,2 (при Ул = 0).
На рис. 12.26,6 показано изменение вектора 1—А, £ па рис. 12.26, в
вектор Av совмещен с потенциальной векторной диаграммой (при Ел=а1).
Если учесть, что угол ф—фд может изменяться в пределах —л<ф—
— Фл<я> то годограф вектора следует продолжить до окружности
(рис. 12.26, в).
Существенно, что при равенстве полных сопротивлений фаз Ь и с
напряжения на этих фазах получаются различными по абсолютной вели-
чине. Этим можно воспользоваться для определения очередности следова-
ния фаз. Так, в схеме, показанной на рис. 12.27, лампа, включенная в фазу
с отстающим по фазе напряжением, должна гореть ярче, чем лампа, вклю-
ченная в фазу с опережающим
напряжением по фазе. Такая схе-
ма применяется обычно как ин-
дикатор очередности следования
фаз в трехфазной системе.
Рис 12.28
Пример 12.9. Потребитель электрической энергии включен между фазами
Ь и с трехфазной цепи. Кроме этого, к цепи присоединены две батареи
конденсаторов—между фазами & и с и между фазами а и с (рис. 12.28).
Потребитель обладает проводимостью Y — g—jb; емкости конденсаторов выб-
2
раны такими, что емкостные проводимости bca = и>Сса = g и = coCj,e ==
g »
= 64--Л=. Убедиться в том, что система токов в трехфазной цепи в этом
уз
случае будет симметричной.
Решение. Действительно, ток фазы а
fa^-Ucajbca = -a^Uug,
450
ток фазы &
Ib^Ubc(Y + ibbc)^-a2UaS
и ток фазы с
Ic = иса I ibca - (У + /Ььс)] = - Wag,
т. е. составляют симметричную систему;
что справедливо при любом значении Y.
Полная мощность для всех трех фаз:
S = UbcIbc^-UcaIca = Р +/ (Q — Qbc— Qca),
где S — P-\-jQ—комплекс полной мощности нагрузки; Qbc и Qca—емко-
стные реактивные мощности конденсаторов.
При решении предполагается, что активные мощности конденсаторами
ие потребляются, что, хотя и не соответствует действительности, но прин-
ципиально не устраняет возможности подобного решения.
Некоторое объяснение тому, что с помощью элементов другого харак-
тера удается получить симметричную систему токов, когда сопротивления
ветвей, включенных между разными фазами, оказываются различными как
по величине, так и фазному углу, можно получить из выражения для пуль-
сирующей мощности
jv=ubcibc+ucaica=u*bcjbbc + u2bcY + и* a jbca=0.
Оказывается, что с помощью емкостей удается осуществить перераспре-
деление энергии в течение каждого полупериода основной частоты. Конден-
саторы, запасая энергию в одни интервалы времени, являются дополни-
тельными источниками энергии в другие интервалы времеин, в результате
чеТо имитируется симметричная нагрузка (или, как иногда ее называют,
нагрузка равномерная по фазам).
Пример 12.10. На рис. 12 29, а показана схема соединения трехфазнон
цепи. Несимметричным является трехфазный элемент сети, соединяющей
два симметричных трехфазных источника э д.с. с двумя добавочными э.д.с.
£g = «10e и Ё'ь = j У~3~10в. Схема соединения содержит также элементы
взаимной индуктивности. Пользуясь принципом дуальности, определить
токи во всех ветвях.
Решение. Расчет рабочего режима для такой схемы нетрудно выпол-
нить непосредственно, поскольку она содержит только два взаимно незави-
симых контура. Поэтому применение дуальной схемы в данном случае сле-
дует рассматривать как иллюстрацию к рекомендуемому для других случаев
методу расчета. Этот метод целесообразно применять для расчета более
сложных схем.
На рис. 12.29, б показана соответствующая дуальная схема. Проводи-
мости этой схемы определены изложенным выше способом с помощью урав-
нений контурных токов:
(5+ /5) Д—(3 + ;2) Д = Еа;
-(3 + /2)Д + (4 + /3)72 = £;.
Из этих уравнений непосредственно следует, что
Г„=3+/2; Л = 5 + /5-Г12 = 2 + /3;
y2 = 4 + /3-K12=l+j.
Задающие токи в узлах схемы:
Д = а. 10=-5-L/8,67; Д=/ /з.10 = / 17,3.
29
45J
На рис. 12.29, в изображена дуальная схема, которой можно восполь-
зоваться для выполнения аналитического расчета. На этой схеме сопротив-
ления соответствующих ветвей:
7 - 1 7 - 1 7 - 1
— у^< —у" И Z12~~ у* •
Если в схеме, изображенной на рис. 12.29, в, заменить источники тока
источниками э.д.с., то ток в ней
_ АЛ—/2Z2 (—5+ / 8,67) (0,154—/0,231)—/ 17,3(0,5—/0,5)
'*2 Zj + Zj + Zjj-' 0,885-/0,885 “
= -0,7—/7,7.
Тогда токн710и /20 легко определить с помощью первого закона Кирхгофа:
А0 = А—А2 = — 5 + /8,67 + 0,7 Ь/7,7 = — 4,3+ / 16,4;
А„ = А + А2 = / 17,3 — 0,7—/ 7,7 = — 0,7 + / 9,6
Рис. 12.29
Напряжения СД и 02 определяются из схемы, приведенной на рис. 12.29, в,
по формулам:
= ЛАо = (0,154—/ 0,231) (-4,3+j 16,4) = (3,13 + / 3,50);
(А= Z2j20= (0,5-/ 0,5) (—0,7 + / 9,6) = (4,45 + / 5,15).
Следовательно, в ветвях заданной схемы контурные токи:
А= (3,13 + / 3,50) а, Д = (4,45 + / 5,15) а.
452
Наконец, в ветвях трехфазной цепи токи:
1а = Ц = (3,13 + / 3,50) а,
7ь = — 72= (-4,45-/5,15) а,
4 = -Тв-4 = (1,35+/ 1,70)«.
Чтобы проверить правильность решения следует определить падения
напряжения в фазах:
Д(У0 = zaia + iaMabib + i<oMacic =
= (2 + /3) (3,13 + /3,5) + /1 (1,35 + / 1,7) + /0,5(-4,45-/5,15) =
= (—3,36 + / 15,45)6;
Д(УЬ = Zbib + 1<£>МаЬГа + /<оЛ4 Ьс 1С =
= (1 + /2) (-4,45-/ 5,15)+/0,5 (3,13 + / 3,50) + / 1,5 (1,35 + / 1,70) =
= (1,64 — / 10,5)6;
= zc ic+i®Mca ia + №>мЬс ib =
= (3 + /4) (1,35 + / 1,70) + /1 (3,13 + / 3,50) + / 1,5 (-4,45—/ 5,15) =
= ( 1,64+ /6,79) 6.
Полученные значения полностью удовлетворяют второму закону Кирхгофа
для контуров заданной схемы (рис. 12 29, а).
Основное достоинство метода расчета с помощью дуальных схем состоит
в том, что исключаются элементы взаимной индуктивности и можно исполь-
зовать для расчета статическою модель переменного, а иногда и постоян-
ного тока. В случаях расчета рабочих режимов более сложных схем такие
приемы оказываются вполне оправданными Выбор наиболее целесообраз-
ного способа расчета приводит к экономии времени
Пример 12.11. В фазу а трехфазной системы включено переменное
активное сопротивление г, в фазу 6—неизменная индуктивность, а в фазу
с—постоянная емкость (рис. 12.30, а). Определить геометрическое место кон-
цов вектора напряжения UN смещения нейтрали указанной несимметричной
нагрузки относительно центра тяжести треугольника линейных напряжений,
если линейные напряжения на зажимах заданной звезды одинаковы,
а сопротивления нагрузки в фазах бис равны по абсолютной величине:
Xi—X.
Решение. Пусть фазные напряжения, определяющие центр тяжести
треугольника линейных напряжений, равны: UA = aUв = аЧ)C = Uд, при
этом вектор Uа совпадает с осью вещественных величин. Тогда напряжения
смещения нейтрали

иАУа + ЦвУь + исУс
Уа + Уь + Ус
Поскольку Уь+Уд~ 0,
нне Up/, преобразуется
а Уа — ga—gt то формула, определяющая напряже-
к виду:
#№^(1-/3
где 6—проводимость фазы 6 или с по абсолютной величине. Пользуясь
полученной формулой, легко определить фазные напряжения на нагрузке
при различных значениях проводимости g. Если проводимость g—oa (фаза
а закорочена), то точка N совпадает с точкой а (рис. 12.30, б), в резуль-
тате чего напряжения на двух других фазах равны линейным Ток 1Ь в
фазе 6 отстает от вектора напряжения на п/2, а ток 1С—опережает вектор
453
напряжения Uc на тот же угол л/2 (рис. 12.30, б). Ток 1а в закороченной
фазе определяется с помощью первого закона Кирхгофа: 1а = — 1ь—1с. На

рис 12,30, б построена векторная диаграмма токов, из которой видно, что
при g=oo токи 1а, 1Ь и 1С одинаковы и образуют систему векторов обрат-
ной последовательности. Если в фазе а проводимость g= УЗЬ, то иапря-
454
Жение 1/Л’ = 0, и точка W совпадает с центром тяжести треугольника линей-
ных напряжений, а фазные напряжения Ua, Ub и йс на нагрузке образуют
симметричную трехфазную систему (рис. 12.30, б). Однако векторы токов
1а, 1Ь и 1С образуют несимметричную трехфазную систему обратной после-
довательности. При размыкании фазы а проводимость g = 0, напряжение
Uу стремится к бесконечно большому значению, что соответствует резо-
нансу напряжений в фазах b и с (они оказываются соединенными последо-
вательно) при отсутствии активного сопротивления. На рис. 12.30, б также
построена векторная диаграмма токов и напряжений для случая, когда
проводимость g = —^b. При этом напряжения на фазах Ь и с равны друг
другу по абсолютной величине, противоположны по фазе и каждое из них
равно половине линейного напряжения. Напряжение Ua на фазе а по-преж-
• 3
немх совпадает с осью вещественных величин, при этом Ua — —UA.
Таким образом, геометрическим местом концов вектора напряжения
смещения нейтрали Uy служит прямая, совпадающая с осью вещественных
величин.
Интересно отметить, что ток 1а при изменении проводимости g в пре-
делах от 0 до оо (за исключением g = 0) не изменяется по величине и по
фазе и равен
ia = (I/А-йу)g(и А-i)A+йА Уз А)g=ил Узь
§ 12.9. Измерение мощности в трехфазных цепях
Комплексная полная мощность четырехпроводной несиммет-
ричной трехфазной цепи (рис. 12.31) определяется по формуле:
S=(7ff/e + (?bZb+ UcIc~P-\-jQ
где
P=UaIa cos<pa +
+ ЦЛсоз (fb+UcIc COS<pc.
Очевидно, что для измере-
ния трех слагаемых актив-
ной мощности несиммет-
ричной трехфазной цепи
требуется три ваттметра,
включенных по схеме,
приведенной на рис. 12.31.
Каждый ваттметр, в этой
схеме измеряет активную
мощность одной фазы.
В случае симметричной
трехфазной цепи достаточ-
но измерить одним ватт-
метром мощность одной
Рис. 12.31
455
фазы. Суммарная мощность равняется утроенной величине мощ-
ности одной фазы.
Комплексная полная мощность несимметричной, трехпровод
ной цепи (рис. 12.32) определяется по приведенной выше фор-
муле, однако в этом случае сумма линейных токов /а + 7ь + /(, = 0;
в результате этого
S=uja+иь (- 7в - Д) + йс Ic = (Ua- йь) [а+
+ (Ue-Ub)K=Uja-]-Ujc,
тогда
Р = VaJa C«S (02ia) +UcbIc COS (UJcY
Таким образом, для измерения активной мощности несиммет-
ричной трехфазной трехпроводной цепи достаточно включить
два ваттметра по схеме, показанной на рис. 12.32.
На рис. 12.33 изображена схема включения ваттметра с искус-
ственной нейтральной точкой, позволяющая измерить активную
мощность одной фазы симметричной трехфазной трехпроводной
цепи. Следует подчеркнуть, что искусственная нейтральная точка
создается из трех одинаковых активных сопротивлений. При
этом гд является добавочным сопротивлением, которое вместе
с сопротивлением цепи напряжения ваттметра rs должно рав-
няться сопротивлению каждой из двух других фаз, т. е.
гд + гв = г. Суммарная активная мощность в этом случае равна
утроенному значению мощности, показываемой одним ваттметром.
На рис. 12.34, а показана схема включения ваттметра для
измерения реактивной мощности симметричной трехфазной цепи.
Из приведенной схемы и из векторной диаграммы, изображенной
на рис. 12.34, б, следует, что ваттметр измеряет мощность
cos (с£Л) = cos (90°—<р) = иа1л sin ф,
456
что при умножении на ]/3 дает реактивную мощность симмет-
ричной трехфазной цепи.
Пример 12.12. Найти аналитическое выражение и построить графики
зависимости показаний ваттметров, включенных по схеме, представленной
на рис. 12 32, при изменении фазного угла симметричной трехфазной цепи,
соединенной звездой.
457
Решение. Из векторной диаграммы, построенной на рис 12.35, а,
для симметричной нагрузки следует, что
Pab" Uab Ia COS *atJа) “ COS фдЬ ~ ^л^л C°S (ф-д- 30°)»
pcb = Ucb h c°s (0cbic) = U Ji cos фсЬ = U J3 cos (ф—30°).
Сумма показаний двух ваттметров
Рдь + ^сЬ — UJ.i 2-cos 30° cos ф= /3 U Ji cos ф.
Из этих выражений получается, что показания ваттметров должны
быть одинаковыми только при ф = 0. При ф = 60° РаЬ = 0; при ф = — 60°
Рсь = 0; при ф > 60° РаЬ < 0, а при ф < 60° РсЬ < 0. Наконец, при ф = ± 90°
(реактивная нагрузка) РаЬ = — РсЬ, а их сумма равна нулю На рис. 12.35, б
построены графики РаЬ, РсЬ и Р — Раь + РсЬ ПРИ изменении угла ф в пре-
делах от 0 до ± 90°.
Вопросы для самопроверки
12.1. Каковы основные преимущества многофазных электрических цепей
перед однофазными? Почему наибольшее практическое распространение
в электроэнергетике получили трехфазные электрические цепи?
12.2. Какая многофазная система э.д.с., напряжений или токов назы-
вается симметричной?
12.3. Каким путем получается симметричная система э д.с. в промыш-
ленных трехфазных электрических цепях?
12.4. При каких условиях симметричная система э.д.с. вызывает сим-
метричную систему токов в многофазной цепи?
12.5. Изобразить основные схемы соединений источников тока и прием-
ников электрической энергии, включаемых в электрические цепи трехфаз-
ного тока. Каковы их характерные особенности? Какова роль нулевого
провода?
12.6. Почему расчет рабочего режима симметричной трехфазной цепи
можно выполнить по схеме замещения, составленной только на одну фазу?
Как определить параметры режима для других фаз? Как определить меж-
дуфазные напряжения и токи в фазах трехфазного элемента цепи, соединен-
ного треугольником?
12.7. Как изменится рабочий режим симметричной трехфазной цепи,
если изменить схему соединений приемника электрической энергии со звезды
на треугольник? Цепь предполагается линейной. Влиянием соединительных
проводов можно пренебречь.
12.8. Как определяется мощность в симметричной трехфазной цепи?
Чему равна мгновенная мощность для всех трех фаз? Чему равна пульси-
рующая мощность в этом случае?
12.9. Как может быть включен однофазный приемник электрической
энергии в трехфазную цепь? При каких условиях включения однофазных
приемников электрической энергии в трехфазную цепь режим ее работы
остается симметричным?
12.10. Какие способы расчета рабочего режима возможны в случае
несимметричной трехфазиой цепи? Указать целесообразные случаи нх при-
менения.
12.11. Как определить мощность в трехфазной цепи при несимметрич-
ном рабочем режиме? Является ли трехфазная цепь в этом случае уравно-
вешен ной?
12.12. В каких случаях для измерения активной или реактивной мощ-
ности в несимметричной трехфазной цепи достаточно применение двух ватт-
метров?
12.13. Как определить рабочий режим трехфазной цепи с несколькими
приемниками электрической энергии, если последние имеют разные схемы
соединений?
458
Глава XIII
НЕСИММЕТРИЧНЫЕ РЕЖИМЫ
И МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ
§ 13.1. Основные понятия о симметричных составляющих
трехфазных величин
Для расчета несимметричных режимов линейных многофаз-
ных цепей часто применяется метод симметричных составляю-
щих, основанный на принципе наложения. Этот метод позволяет
упростить расчет несимметричного режима линейной трехфазной
цепи в тех случаях, когда причины нарушения симметрии (обрыв
фазы, короткое замыкание и т. п.) сосредоточены в одном или
двух местах системы; при этом все остальные ветви трехфазной
цепи имеют одинаковые параметры всех фаз. Тогда вместо одной
несимметричной трехфазной системы можно рассматривать три
симметричные системы, схемы замещения для которых состав-
ляются на одну фазу и соединяются между собой в соответствии
с условиями, возникающими в местах нарушения симметрии.
Любую несимметричную m-фазную систему некоторых вели-
чин А можно рассматривать как сумму т различных симмет-
ричных m-фазных систем, различающихся значениями аргумента
argA*=fc^- = 6ft (6 = 0, ..., т— 1).
Если для каждой k-ii симметричной системы величину Ам
для фазы А принять за исходную, то для любой другой фазы
.• Jak —
Таким образом, все системы получаются симметричными, за
исключением системы нулевой последовательности (когда k = 0),
у которой величины Ао оказываются одинаковыми для всех фаз
= АоД = const и в сумме равными
2 АО1 = тАоД,
a = i
т. е. представляющими неуравновешенную систему. Поэтому
система нулевой последовательности является симметричной
только по формальным признакам. Тогда для каждой фазы несим-
метричной системы
ГП-1 ГМ-1
4= 24,=
fe = o Л=о
459
Данная система линейных алгебраических уравнений дает
возможность определить все значения ДАЛ, т. е. разложить несим-
метричную систему на т симметричных систем. Возможность
такого решения очевидна: число уравнений равно числу неиз-
вестных (т).
Если система исходных комплексных величин образует на
замкнутый многоугольник, то система
комплексной плоскости
нулевой последовательности долж-
на отсутствовать, т. е. число
симметричных составляющих си-
стем уменьшается на единицу и
становится равным т—1.
Для иллюстрации отмеченных
положений полезно разложить за-
данную несимметричную систему,
СОСТОЯЩУЮ ИЗ ТОКОВ 1Л, Iв И I&
на симметричные составляющие.
Заданная система является
трехфазной, поэтому должно быть
три составляющих симметричных
систем — прямой, обратной и нуле-
вой последовательностей; первая
обозначается индексом 1, вторая —
индексом 2 и третья — индек-
сом 0.
Исходные уравнения имеют
следующий вид:
IА 1А ~Ь IгА Н- IоА
{в = Лв + Лв + {оВ р
Л? Лс Лс Ь/оС
(а)
Для системы прямой последо-
вательности (рис. 13.1, а)
е 2л
=
Для системы обратной последовательности (рис. 13,1, б)
с 4л
S*=T
и
4л=«*Лв=а4с- (в)
Для системы нулевой последовательности (рис. 13,1, в)
6о = 0
460
и
Лл= Лв= Лс= Аг (г)
Ранее указывалось, что система токов нулевой последова-
тельности является симметричной только условно, так как она
является неуравновешенной:
Лл + ^ов + Лс = 3 /0.
Из уравнений (а) — (г) получается три линейных алгебраиче-
ских уравнения с тремя неизвестными: /1Л, 1гА и /оЛ = /о:
IA 11А I гА ~Ь Л,
ie = a4lA ±aIsA -J- /0,
ic = atlA + аа/2д + Л-
Совместное решение этой системы уравнений приводит к сле-
дующему правилу разложения величин трехфазной системы на
симметричные составляющие:
Ца — у U а + а1 в + a*icY
Ца — ~о 0л + fl2^B + at с),
Ц — у (Л + В + Ас) •
Если исходная система векторов образует замкнутый тре-
угольник, то
Л + Ад + Ас = О,
т. е. система нулевой последовательности отсутствует:
/о = 0.
Поскольку в четырехпроводной трехфазной цепи ток в нуле-
вом проводе равен сумме токов в проводах фаз на том же
участке цепи (иногда этот ток идет в земле)
In~ Iа т I в + I с
(если отсутствуют другие электрические связи между соответст-
вующими частями цепи), то
/jv=3Z0,
т. е. в нулевом проводе идет утроенный ток нулевой последо-
вательности.
Разложение на симметричные составляющие возможно для
всех величин, входящих в многофазную систему: токов, э. д. с.,
напряжений, сопротивлений, проводимостей, мощностей и т. д.
461
При записи значений симметричных составляющих величин
индекс а обычно опускается. Только при определении соответ-
ствующих значений величин одновременно для всех фаз или
разных фаз появляется необходимость в записи индексов, ука-
зывающих фазы.
Разложение несимметричной системы на симметричные состав-
ляющие дает возможность определить рабочий режим цепи по
частям—в виде суммы симметричных режимов. Наиболее просто
это выполняется в том случае, если несимметричными являются
параметры активных элементов схемы замещения, а параметры
пассивных элементов одинаковы для всех трех фаз.
Пример 13.1. Э. д с. в фазе а симметричной трехфазной линейной
цепи увеличена иа 10% без изменения начального фазного угла. Определить
вызванное этим изменением
искажение режима работы
цепи. Исходный режим из-
вестен.
Решение. Действие
добавочной э. д. с. ЁА
(рис. 13 2) можно рассмат-
ривать как частный случай
несимметричной системы
э. д. с.:
А£д = 0;
Д£с = 0.
По правилам разложе-
ния на симметричные со-
ставляющие можно определить э. Д. с. прямой, обратной и нулевой
последовательности для фазы а;
£1 = £2=£о = -1 Ё'д.
В данном случае эти составляющие одинаковы. Они дают возможность
определить составляющие по всем фазам:
^1А~ аЁ,в ~ а*Ё1С — у Ёд,
ЁгА = а1ЁгВ —аЁгс — -^- Ёд ;
£оЛ = Ёав= ЁоС = у£ Ёд.
Это значит, что вместо одной э. д. с. в фазе а появляются девять э. д. с.
во всех трех фазах (рис. 13.3, а). Одиако это кажущееся усложнение, так
как получается возможность рассматривать цепь для каждой из трех по-
следовательностей на одну фазу. Вместо всей трехфазной цепи можно
рассмотреть три схемы замещения для каждой последовательности в отдель-
ности (рис. 13,3).
В схеме прямой последовательности должны быть две э. д. с. — исходная
Ёд и добавочная э. д. с. £1Л=£1 прямой последовательности (рис. 13.3,6).
462
Однако решение можно выполнить раздельно, поскольку исходный режим
известен. Изменение режима определяется только з. д. с. ЕА.
В схеме обратной последовательности должна быть только одна доба-
вочная э. д. с. обратной последовательности Ёг (рис. 13,3, в). В исходном
режиме э. д. с. обратной последовательности не было.
В схеме нулевой последовательности также должна быть только одна
добавочная э. д. с. нулевой последовательности Ёо (рис. 13,3, г), так как
в заданной схеме э. д. с. нулевой последовательности отсутствует.
Токи в схеме каждой последовательности определяются независимо
И равны:
1’^
' Z ’ г Z
i'=—*•»—
° Z + 3ZN
Следовательно, добавочные токи в фазах цепи:
г . А . ____Vo 1Ез z+22'v •
А~ 3 \ Z *' Z 'Z + 3ZN) ’ AZ(Z-\-3Z^'
г' ( & L J________I _______О 1 р ____.
в~ 3 V Z + Z +Z + 3ZN)~ ’ aZ(Z+3Zn)'
г .. / а , а2 1 \ . . n .р ZN
з \z + z +г±зг^)~ u,i4z(Z+3zN)'
463
Несмотря на то, что добавочные токи в фазах b и с получились одина-
ковыми, в действительности полные токи в этих фазах будут различными,
так как токи исходного режима в них имеют разную начальную фазу:
1л = а!в=аЧс.
Поскольку в начальном режиме
то при несимметричном режиме действительные токн:
Рис. 13.4
= (1+0,1
\ Z-j-dZ^/
(«—0,1 2+3Zv) '
На рис. 13.4 изображены векторные диаг-
раммы добавочных токов прямой (а), обрат-
ной (б) и нулевой (в) последовательностей, а
на рис. 13.5 показано суммирование слагаю-
щих токов фаз для получения действительных
~^g** ^во igo
токов фаз. Для большей наглядности векторы добавочных токов построены
в увеличенном масштабе.
Следует отметить, что при усложнении схемы замещения преимущества
метода симметричных составляющих проявляются более заметно. Наиболее
ощутимыми они оказываются при наличии взаимной индуктивности между
фазами цепи,
464
§ 13.2. Параметры схем замещения разных
последовательностей для трехфазных цепей
Только в тех случаях, когда соответственные параметры всех
фаз пассивных элементов цепи одинаковы, можно составить, как
уже было отмечено выше, взаимно независимые схемы замещения
разных последовательностей. В этих случаях применение метода
симметричных составляющих оказывается наиболее целесообраз-
ным. При этом заданные несимметричные системы э. д. с. и за-
дающих токов непосредственно раскладываются на симметричные
составляющие прямой, обратной и нулевой последовательностей,
каждая из которых включается в состав схемы замещения соот-
ветствующей последовательности. Рабочий режим схемы замеще-
ния каждой последовательное™ можно рассчитать независимо
от других, но при этом результаты расчетов должны быть
наложены один на другой для получения действительного рабо-
чего режима цепи. Схему замещения каждой последовательности
можно рассчитать любым методом с применением известных
упрощений и приближений, но при наложении результатов
необходимо соблюдать правила выполнения операций с комплекс-
ными числами.
Следует иметь в виду, что параметры элементов схем заме-
щения разных последовательностей для одних и тех же элементов
цепи могут быть различными. Это зависит от свойств отдельных
элементов и их конструктивного выполнения.
Необходимо различать: статические элементы (без враща-
ющихся частей), не обладающие взаимной индуктивностью между
фазами; статические элементы, обладающие взаимной индуктив-
ностью между отдельными фазами, и вращающиеся электрические
машины.
Для статических элементов электрических цепей, при отсут-
ствии взаимной индуктивности между отдельными фазами, одина-
ковые для всех трех фаз полные сопротивления применимы для
схем замещения прямой, обратной и нулевой последовательностей.
Для статических элементов с одинаковыми полными сопро-
тивлениями фаз и с одинаковыми взаимными индуктивностями
между каждой парой фаз или с одинаковыми проводимостями
между ними получаются одинаковыми только параметры для
схем замещения прямой и обратной последовательностей:
Ц = Л/ (*—= Л/Х
и
где*
Xj = Л'2 = X Xjtf,
* Эти выражения получены в конце настоящей главы.
30 Теоретические основы электротехники ч. { 466
и аналогично:
и
Л=<Ш-*С)=Ц/Л.
где *
Ь' = Ь* = Ь — ЬС.
При этом в расчетах используются величины рабочих индук-
тивностей и емкостей фаз. Для схемы замещения нулевой после-
довательности действие взаимной индуктивности приводит к тому,
что эквивалентные реактивные сопротивления фаз значительно
возрастают:
Цл ~ ^чВ — U<sC = Ц = Л/ (Х + %Хм) = Л/Ло>
где
х0 = хф 2хм = х, + 3хм.
Это объясняется тем, что э. д. с. взаимной индукции в каждой
из фаз совпадают по фазе с э. д. с. самоиндукции, поскольку
совпадают по фазе токи нулевой последовательности во всех
фазах. Аналогичное соотношение получается для емкостных
проводимостей, так как система токов нулевой последователь-
ности, обусловленных действием системы напряжений этой же
последовательности, определяется выражением:
Лл = Лв = = Ц = UJ (b + 2bc) = Ujb,,
где
b0 = b + 26с = + ЗЬС.
Таким образом, рабочие индуктивности и емкости статических
элементов электрических цепей для схем прямой и обратной
последовательностей отличаются от тех же величин для схемы
нулевой последовательности. Это вытекает из условий замены
взаимных параметров (междуфазных) собственными парамет-
рами фаз.
В цепях с вращающимися электрическими машинами пара-
метры для всех схем замещения разных последовательностей
различны. Это обусловлено различными физическими процессами,
протекающими во вращающихся электрических машинах при
системах напряжений и токов разных последовательностей
(в связи с особенностями их конструктивного выполнения и на-
личием собственного вращающегося магнитного поля). Система
напряжений и токов прямой последовательности связана с созда-
нием дополнительного магнитного поля, вращающегося в ту же
сторону, что и собственное магнитное поле машины (обычно
связанное с обмоткой на вращающейся части машины). Система
обратной последовательности напряжений и токов связана с по-
явлением магнитного поля, вращающегося в обратном направ-
* Эти выражения получены в конце настоящей главы.
466
лении. Система же напряжений и токов нулевой последователь-
ности связана с появлением пульсирующего магнитного поля
и с другим его распределением в магнитной системе машины.
Более подробно эти вопросы рассматриваются в курсе электри-
ческих машин.
Особо следует остановиться на составлении схемы замещения
нулевой последовательности, так как системы напряжений и то-
ков этой последовательности являются неуравновешенными.
Поскольку грехфазные электрические цепи выполняются для
систем напряжений и токов прямой последовательности, то
возможность появления систем нулевой последовательности
в некоторых случаях исключается. В ряде случаев, наоборот,
при выполнении трехфазно'й электрической цепи приходится
учитывать возможность появления систем напряжений и токов
нулевой последовательности и предусматривать некоторые меры,
позволяющие расширять или ограничивать область их распро-
странения (по мере надобности).
Токи нулевой последовательности могут быть только в тех
ветвях цепи, которые выполнены четырехпроводными (имеют
нулевой провод) или входят в замкнутые контуры (составленные
из трехфазных элементов с непосредственными электрическими
соединениями). Если в какой-либо ветви система векторов токов
может образовывать только замкнутый многоугольник, то такая
ветвь в схеме замещения нулевой последовательности должна
иметь проводимость, равную нулю (отсутствовать). Это приводит
к тому, что схема нулевой последовательности может заметно
отличаться по общему виду от схем прямой и обратной после-
довательностей.
Существенной особенностью схемы нулевой последовательности является
необходимость иметь утроенные сопротивления нулевых проводов и элемен-
тов, включенных в нейтрали трехфазной цепи. Эти сопротивления должны
включаться в те ветви схемы замещения нулевой последовательности, в ко-
торых должен быть соответствующий ток нулевой последовательности.
Особенности составления схем пулевой последовательности обнаружи-
ваются и при наличии в трехфазной цепи трансформаторов, поскольку
имеется непосредственная связь с магнитной системой определенной кон-
струкции и условиями возникновения магнитных потоков отдельных фаз,
а также в связи с наличием различных схем соединений обмоток.
Токи нулевой последовательности в ветвях, связанных через трансфор-
маторы, могут быть только в тех случаях, когда обмотки с обеих сторон
соединены по схеме звезда с четырехпроводным выполнением соединений
с другими элементами цепи. При этом ток нулевой последовательности при
трансформации не изменяет своей начальной фазы:
Если одна из обмоток трансформатора имеет трехпроводное соединение
с другими элементами цепи, то в соответствующей ветви не может быть
тока нулевой последовательности.
Если с одной из сторон обмотка трансформатора соединена по схеме
треугольника, то в четырехпроводной ветви с другой стороны ток нулевой
последовательности вызывает появление тока в самом треугольнике, цнрку-
30*
467
ляция которого соответствует условиям трансформации, так как токи всех
фаз равны по величине и совпадают по фазе. При этом система э. д. с.
в фазах равна системе падений напряжений в них, поэтому в системе
междуфазных напряжений составляющей нулевой последовательности не
может быть.
Если обе обмотки трансформатора (двухобмоточного) соединены по схеме
треугольника, то токов нулевой последовательности в соответствующих
ветвях цепи не будет (могут быть токи нулевой последовательности только
в самих обмотках, если в магнитопроводе имеется система магнитных пото-
ков нулевой последовательности).
§ 13.3. Выражение мощности при несимметричных режимах
через симметричные составляющие
Комплексная полная мощность для многофазной цепи при
несимметричном режиме
т т *
a=i а=1
Если напряжения и токи разложить на симметричные со-
ставляющие:
иг-1
k = 0
m-i
4=2
7г = о
то мощность
"1-1 * т-1
$т ~ 2 mUk.\lkA~ 2
где полная мощность для симметричной k-й системы (соот-
ветствующей последовательности)
Skm = ркт +iQkm = mUkIk№ = mUklk (cos <рй + j sin <pft),
или
1=1 1=1
Таким образом, -активные и реактивные мощности для систем
всех последовательностей складываются:
т—1
рт= 2
k =0
т—1
Qm = 2 Qft-
fe=o
Система напряжений одной последовательности (k) с систе-
мой токов другой последовательности (q) не создает мощности
468
поскольку
т-1
2 е/“ (А-^) = О,
k; <7=0
так как графически может быть представлена замкнутым
т-угольником.
В частности, для трехфазной несимметричной цепи комплекс-
ная полная мощность
S, = 3(UJl + uJ2 + uJa),
где Ц, йг и Uo—комплексные значения напряжений соответ-
ственно прямой, обратной и нулевой после-
довательностей;
* * *
/1( /2 и /0— сопряженные комплексные значения токов
соответственно прямой, обратной и нулевой
последовательностей.
Однако величина полной мощности при несимметричном
режиме не характеризует энергетические процессы, протекаю-
щие в многофазной цепи. Суммарная активная мощность опре-
деляет только среднее значение мощности за полпериода основной
частоты, а следовательно, и значение энергии за целое число
полупериодов. Суммарная реактивная мощность не является
величиной показательной.
В частности, при одном и том же значении реактивной
мощности для систем прямой, обратной и нулевой последова-
тельности в трехфазной цепи процессы протекают различно
как по отдельным фазам, так и для всей трехфазной цепи.
Поэтому суммарной величиной реактивной мощности не реко-
мендуется пользоваться.
Энергетическую характеристику состояния многофазной цепи
в несимметричном режиме можно получить с помощью величины
комплекса пульсирующей мощности:
т т т m-i т~ i
a=i а=1 a=i k; q=o л; <у=о
k + q=?o',in k + q—o\m
В частности, для несимметричной трехфазной цепи
^ = 3(Ц/2 + ц/1 + (7л)-
Таким образом, в несимметричном режиме обнаруживается
пульсация мгновенной мощности с удвоенной частотой для
любой части многофазной цепи. Амплитуда этих пульсаций
‘ определяется модулем пульсирующей мощности. Так, например,
469
многофазная электрическая машина, работающая в несимме-
тричном режиме, должна испытывать толчки электромагнитной
мощности (толчки в ней происходят так же, как и в цепи
однофазного тока, но с другой амплитудой), зависящей от сте-
пени несимметрии, которая для трехфазной цепи иногда опре-
деляется коэффициентом несимметрии напряжений и токов
и коэффициентом неуравновешенности напряжений и токов
рц=Л и 0, = -^ ,
u ut и
когда
|^| = /S(aa + ai+PB.pf)l-
Пример 13.2. Двигатель включен в электрическую трехфазную сеть
с междуфазным напряжением 220 в. Система напряжений несимметричная
и имеет составляющую обратной последовательности 1/2 = 0,11/1 = 22 в.
Система токов в цепи получается несимметричной: ток прямой последова-
тельности /,= 10а; Ф1 = -^-л; ток обратной последовательности /2 = 5а;
<р2 = уЛ. Известно, что в фазе а напряжения прямой и обратной последо-
вательностей совпадают по фазе, т. е. arg,Ul = argU г. Определить пульсации
мгновенной мощности, отражающиеся на режиме работы вращающейся
части двигателя и приводимого во вращение механизма.
Решение. Средняя мощность
Р= Уз (UJi cos q>j + У2/2 cos ф2) = У3 ^220-10 ^— + 22'5 = 2,8 кет.
Пульсирующая мощность
Л'= y3(U2il+uj2).
Если принять, что
arg 6^ = arg £72 = 0,
то
2У=/зД22-10е 1 1 +220.5е ' 3 /=(1,12-/1,94) кет,
или по модулю
N = 2,2 кет.
Таким образом, наибольшее значение мгновенной мощности
Рмакс = 2,8 +2,2 = 5,0 кет,
наименьшее —
Л.ин = 2,8—2,2 = 0,6 кет.
Реактивная мощность, найденная по правилам суммирования,
Q = Уз (UJi sin <р, + Utl2 sin <р2) = 2,85 квар,
в данном случае не характеризует протекание энергетического процесс^.
В частности, такая же реактивная мощность была бы в симметричном
470
режиме при /,= 10,2а и <р, — В действительности энергетический про-
цесс в сравниваемых случаях протекает различно: во втором случае никаких
пульсаций мгновенной мощности нет, токи в фазах иные, графики мгновен-
ной мощности по отдельным фазам другие и т. д.
§ 13.4. Методы расчета несимметричных режимов
при заданных граничных условиях
В многофазных электрических цепях могут возникать такие
условия работы, при которых в случае симметрии параметров
активных элементов и одинаковых соответственных параметрах
фаз всех пассивных элементов все же возникает несимметричный
режим. Это может иметь место, например, при разрывах цепи
в отдельных фазах, при ненормальных соединениях между
фазами (в частности, при коротких замыканиях), в процессе
каких-либо переключений и т. д.
Расчет режимов работы цепи в таких случаях требует исполь-
зования заданных граничных условий. В некоторых случаях
эти граничные условия приводят к таким простым соотношениям
между симметричными составляющими токов и напряжений, что
для выполнения расчета можно соединить схемы разных после-
довательностей в комплексную схему заме-
щения. При наличии параметров, входящих
в схемы замещения различных последо-
вательностей, такие граничные условия
позволяют определить напряжения и токи
всех последовательностей, а значит, и
полные величины напряжений и токов в
различных фазах элементов цепи.
Пример 13.3. Составить комплексную схему для
случая разрыва трехфазной цепи в одной фазе.
Решение. Пусть разрыв произошел в фазе а.
Если соответствующее место цепи выделить (рис.
13.6), то для расчета можно использовать сле-
дующие условия, которые являются граничными: ток в фазе а отсутствует,
т. е. 1а = 0, и напряжения между сечениями М п N цепи в фазах b и с
равны нулю = иcalv — O, так как эти фазы остаются непосредственно
электрически соединенными. Эти условия приводят к следующим соотноше-
ниям между симметричными составляющими токов
Л 12 + = 0
и между симметричными составляющими напряжений
a2(J t -|-а(72-г(7о = О,
aUi-\-a2Uг-\- йо — О.
Отсюда получается следующее равенство:
Ui = = Ua = у UanN.
471
Полученные формулы дают возможность получить комплексную схему,
которая в данном случае составляется из схем прямой, обратной и нулевой
последовательностей путем их параллельного соединения (рис. 13.7).
Если схемы обратной и нулевой последовательностей представить в виде
эквивалентных полных сопротивлений, соответственно равных Z2<? и ZOc,
то та же комплексная схема замеще-
ния будет иметь вид, представленный
на рис. 13.8, В этой схеме непосред-
ственно определяются только напряже-
ния и токи прямой последовательности
в любой части цепи, а также напря-
жения и токи обратной и нулевой последовательностей лишь для ветви
с разорванной фазой. Если требуется определить напряжения и токи и
в других частях цепи, то это можно выполнить путем определения напря-
Если все величины разложить
уравнения принимают следующий
жен ни н токов обратной и нулевой
последовательностей с помощью схемы,
показанной на рис. 13.7. Наложение
режимов всех трех последовательно-
стей дает искомый несимметричный
режим.
Пример 13.4. Составить комплекс-
ную схему для случая неправильного
соединения двух фаз, когда при вос-
становлении соединения в одной нз
ветвей цепи ошибочно фазу b в сече-
нии М соединили с фазой с в сечении N
(рис. 13.9), и наоборот.
Решение. Исходные условия на
участке М N цепи выражаются равенством
токов фаз b и с, т. е. 1Ь — /с< и равенством
напряжений у соединенных фаз по обе
стороны места соединения: —
U<M = UbN-
на симметричные составляющие, то те же
вид:
аг/, а!г + /0 = all + «г/2 + Л.
а2С/1Л1 + — айиУ + агй^ + ЙоЛ,,
472
откуда
= /2 и Ui — йг.
Следовательно, комплексная схема замещения составляется из схем
только прямой и обратной последовательностей путем последовательного
соединения и дополнительного объединения нейтрален этих схем (рис. 13 10).
Применение метода симметричных соста-
вляющих требует известного навыка и умения
"пользоваться методом наложения. Так, в
частности, в процессе решения примера 13.3
получаются токи прямой, обратной и нулевой
последовательностей для разорванной фазы,
где отсутствует только полный (суммарный)
ток. В другом примере определяются на-
пряжения прямой и обратной последователь-
ностей в точках непосредственного электри-
ческого соединения (в фазе а), где только
суммарное напряжение равно нулю и т. д.
Следует отметить, что, несмотря на боль-
шую условность применения разложения на
симметричные составляющие, этот метод
имеет большое практическое значение. Так,
например на его основе построено много
различных измерительных устройств, позво-
ляющих производить анализ условий работы электрических цепей и даже
вести автоматическое управление и регулирование для обеспечения тре-
буемых режимов.
§ 13.5. Методы расчета режимов несимметричных
многофазных цепей
Если линейная многофазная цепь содержит элементы с разными пас-
сивными параметрами фаз, то применение метода симметричных составляю-
щих позволяет упростить расчет рабочего режима только в тех случаях,
когда этих элементов сравнительно мало.
Рис. 13.11
Рис. 13.12
Пример 13.6. Один элемент линейной трехфазной цепи в одной из фаз
имеет сопротивление Z', отличающееся от сопротивлений Z" в двух других
фазах (рис. 13.11). Определить рабочий режим цепи.
Решение. Для учета несимметрии можно считать, что в фазе я вклю-
чено сопротивление, равное разности сопротивлений Z' и Z"
Z=Z'—Z".
Следовательно, система сопротивлений получается (рнс. 13.12) равной:
ZO = Z; Zb = Zc = 0
473
Эту систему по общим правилам можно разложить на симметричные
составляющие:
Z — Z — z — —
Z.1 — .
При таком разложении предполагается, что в данной ветви включены
три системы сопротивлений — прямой, обратной и нулевой последователь-
ностей (рис. 13.13), при этом
= Zib + Z2b + Zb0 = О,
Ze = ZJC Н- Zic -J- Zc0 = 0.
Отсюда видно, что в симметричной многофазной цепи обычно система
пассивных параметров фаз является, системой нулевой последовательности.
Рис. 13.13
Легко показать, что исходные уравнения для симметричных состав-
ляющих падений напряжений в несимметричной системе сопротивлений
принимают следующий вид:
a(71=z0/1-p zj.± ч
А(72 = Z^j 4* Zo/2-}-Z2/o . . (a)
\U^zj^r zj^zj, )
Действительно, если искомая несимметричная система величин полу-
чается путем умножения несимметричной системы одних величин на соот-
ветственные величины другой несимметричной системы, то такую систему
можно определить с помощью разложения систем сомножителей на симмет-
ричные составляющие. Так, например, систему падений напряжений в фазах
с разными токами и сопротивлениями можно получить умножением симмет-
ричных составляющих токов на симметричные составляющие сопротивлений.
Пусть токи /а, 1Ь и 1С в фазах составляют несимметричную систему и
после разложения на симметричные составляющие дают токи прямой
(/,), обратной (/2) и нулевой (/0) последовательностей. Аналогично, пусть
несимметричная система сопротивлений Za, Zb и Zc в фазах после разложе-
ния определяется тремя системами симметричных составляющих: прямой
(ZJ, обратной (Z2) и нулевой (Zo) последовательностей. При этом важно
отметить, что сопротивления фаз не зависят от системы токов в них (что
может иметь место при отсутствии взаимной индуктивности между фазами)
Систему падений напряжений в фазах, определяемую уравнениями
Д(7 а = zaiа = (Zj -}- Z2 + Z„) (/j + /' 2 -{- /#) j
A()f, = Zf,/t) = (a2ZI + aZ2 + Z0)(fl=71-i-a/2+/0) I, (6)
Al^Z^^ + ^ + Z.) (a/j-j-a2/2-|-/0) J
474
можно представить в виде симметричных составляющих:
SU, = 4- (Ьйа 4- a\Ub + а*\ис) = zj, + Z2/2 + АЛ
<J
AC72 = 1 (Ьйа + a*&Ub + a\Uc) =Z1l1 + Z„ii + zj0
Д17о=у (Дйв + Ыь + = 4Л + z,/2+zja
(в)
Остальные слагаемые при суммировании обращаются в нули.
Отсюда видно, что каждая симметричная составляющая системы токов
создает три симметричные составляющие падений напряжений, так как
проходит по трем симметричным составляющим сопротивлений. При этом
для определения симметричных составляющих падений напряжений можно
воспользоваться следующим правилом индексов: сумма индексов у систем
сомножителей дает индекс у составляющих системы произведения (при этом
индексы 3 и 0 следует считать равноценными).
Например, если из системы токов прямой последовательности
Л — Ла “ ^Ль =
и системы сопротивлений обратной последовательности
Z2 == Z2a = n2Z2^, ~ aZzc
образовать произведения
la ~ щ lc>
то получается система падений напряжений нулевой последовательности
И Т. д.
В рассматриваемом примере система ура- ill I
внения (а) упрощается:
. 7
= Л1/2 = Д(У0 = (/, -Ь /2 + /0) 4-.
О
Отсюда следует, что расчет можно выпол-
нить по сравнительно простой комплексной
схеме, изображенной на рис. 13.14.
В частном случае, если
то получается схема, совпадающая с ком-
плексной схемой, составленной ранее для
случая разрыва в одной нз фаз (рис. 13.7).
Порядок выполнения расчета по этой схеме
можно сохранить прежним.
Иногда получение произведений несим-
метричных систем значительно усложняется.
Так, например, может оказаться, что даже в
линейной цепи значения одних величии (сопро-
тивлений) зависят от значений других (то-
ков). Именно такое положение получается в том случае, когда отдельные
фазы цепи связаны элементами взаимной индуктивности. Тогда для каждой
системы токов получается своя система сопротивлений, которая может
быть разложена на симметричные составляющие. Для токов /, прямой по-
следовательности получаются сопротивления Zal, Zbl и Zcl; для токов /2
обратной последовательности —сопротивления Ze2, Zbl и Zc2; для токов /0
нулевой последовательности — сопротивления Zaa, Zba 'и Ze0 (здесь второй
475
индекс определяет последовательность токов, для которой справедливы
указанные сопротивления фаз). После разложения на симметричные со-
ставляющие получаются разные значения симметричных составляющих сопро-
тивлений: для токов /j — сопротивления Zn, Z21 и Zol; для токов /2—сопро-
тивления ZI2, Z22 и Zo2 и для токов /0—сопротивления ZI0, Z20 и Zoo. При этом
выражения, аналогичные (б), не могут быть написаны, а выражения вида (в)
принимают более общий вид:
At/^Zji + Z^+V,;
ЛЙ2 = Zj j + Z22/2 + Z20/0;
A(7O = Z21/1+ Z12I2+ Zja.
Второй индекс у сопротивлений показывает, для какой системы токов спра-
ведливы соответствующие симметричные составляющие сопротивлений.
Из полученных уравнений видно, что связь между схемами разных
последовательностей при составлении комплексной схемы замещения соот-
ветствующей цепи можно показать только с помощью взаимных сопротив-
лений (в общем случае —с комплексными параметрами). Суммарное число
сопротивлений для данного элемента цепи доходит до девяти, причем шесть
из них имеют характер взаимных индуктивностей, и все они выражаются
комплексными числами.
Число параметров (сопротивлений) при решении той же задачи без при-
менения метода симметричных составляющих получается несколько мень-
шим— равным шести, причем только три из них имеют характер взаимных
индуктивностей. Вопрос о применении того или иного метода расчета при
этом следует решать в каждом отдельном случае особо, в зависимости
от частных свойств рассматриваемой цели и, в частности, от ее сложности
(числа элементов и схемы взаимных соединений).
Во многих случаях применение дуальных схем, позволяющих исключить
из схемы замещения взаимные индуктивности, дает несколько большие
преимущества для расчета трехфазной цепи непосредственно по полной
схеме замещения, чем с использованием разложения величин на симметрич-
ные составляющие.
Если для каждой симметричной системы токов сопротивления фаз оди-
наковы (при наличии магнитной симметрии), то
ZIt = Z21 = Z12= Z22= ZI0= Z20 = 0,
обозначения можно упростить:
7 — 7 7 — 7 7 — 7
z.ol— Z.J, z-02—z,2, Z,00—z-0.
При ЭТОМ
Д1/, = ZJ,; Л()2 = Z2/2; ЛЙ0 = 20/0.
Условно сопротивление Z, называют сопротивлением прямой последова-
тельности, сопротивление Z2—сопротивлением обратной последовательности
и сопротивление Zo—сопротивлением нулевой последовательности данного
элемента цепи.
В общем случае, когда в сложной многофазной электрической цепи
многие ветви обладают разными параметрами фаз, уравнения состояния
можно составить примерно в том же виде, как и для однофазной цепи,
если использовать запись величин (параметров цепи и параметров рабочего
режима) в виде матриц. Дальнейшее усложнение цепи усложняет приме-
няемый математический аппарат. Если для перехода от цепи постоянного
тока к цепи однофазного переменного тока потребовалось применение
комплексных чисел (вместо вещественных), то для перехода от однофазной
цепи к многофазной требуется применение матриц из комплексных чисел.
475
Уравнения Кирхгофа, записываемые одновременно для всех фаз с по-
мощью матриц соответствующих величин, приобретают следующий вид:
в цепи каждое из
контурных уравнений
При отсутствии задающих токов
принимает следующий вид:
Каждое из узловых
уравнений
где для каждого узла в
У аа
У Ьа
Уса
записывается аналогично:
случае трехфазной цепи
УаЪ У ас
Уьъ У ьс
Усь Усе
йа
иь
й„
4=
4=
J„=
4
4
4
По-прежнему запись последних уравнений соответствует принципу дуаль-
ности. Имеется возможность записать и всю систему уравнений в целом.
Для этого приходится использовать матрицы, состоящие из блоков. Так,
система уравнений Кирхгофа принимает следующий вид:
а/ = А,
где
система контурных уравнений
7 j — Р
^к1 К — LK’
а система узловых уравнений
477
Такая форма записи уравнений состояния дает возможность в какой-то
мере распространить изложенные выше методы расчета рабочего режима для
случаев сложных цепей и на условия многофазных несимметричных цепей.
Однако практическое решение конкретных задач получается при этом весьма
громоздким и трудоемким. Такое решение оказывается возможным при при-
менении электронных цифровых вычислительных машин. Иногда применение
принципа дуальности дает возможность воспользоваться также и статиче-
скими моделями. Приведенные выше сведения могут быть использованы
и в этих более сложных случаях.
§ 13.6. Преобразование трехфазной системы координат
Рабочий режим несимметричной трехфазной цепи можно рассчитать
либо путем выражения всех параметров режима через полные значения
соответствующих величин для трех фаз, либо путем разложения на симмет-
ричные составляющие. Соответственно этому можно считать, что расчет
выполняется или в координатах а—Ь—с, или в координатах 1—2—0,
Параметры режима при этом связаны следующими соотношениями;
j=Sis и U=SUp (а)
где I и U —матрицы токов и напряжений в координатах а—b—с (полных
фазных величин);
и U,—матрицы токов и напряжений в координатах 1—2—0 (симмет-
ричных составляющих);
S — матрица коэффициентов перевода параметров режима из системы
координат 1—2—0 в систему координат а—b—с:
S =
1 а2 а
1 а а2
1 1 1
i,=s-*i и
где
' Для обратного преобразования следует применять обратную матрицу
коэффициентов:
u5=s-4j,
1 1 1
а а2 1 .
a2 a i
Изменение системы координат приводит к необходимости изменения и
параметров цепи. Если, например, известны сопротивления Z какого-либо
элемента цепи для полных токов фаз, то падения напряжения на этих со-
противлениях в системе координат а—b—с
U = ZL (б)
Для цепи, обладающей взаимными индуктивностями между фазами,
матрица сопротивлений не имеет элементов, равных нулю:
Z =
Из (а) и (б) следует, что
или
где
^аа "^аЪ ^ас
^Ьа ^ЬЬ %Ьс
^са Zcb ^сс
su4= zsi,,
u,= zX
Z^S-’ZS.
при Zzy= Z/£.
478
Эта формула дает возможность определить сопротивления того
мента для токов, выраженных в системе 1—2—0.
Если произвести все операции по умножению матриц, то
Zj—
Zjo 222 ZM
7 7 7
^ао ^оа •
12 7
“12 **21 ^*00
где
Ао— ^20 ="з' (Zaa + Zbb + Zcc— %ab — Zac— Zbc)‘ •
2оо = -у [2аа+ Zbb + Zcc + 2 (Zab + Zac + Zbc)];
^n = '2' [2аа + а22ы, + а2се + 2 (flZab 4-«2Zae 4- Zbc)];
^22= у + + a2Zrc + 2 (alZab-j- aZac + Zbc)J;
^01= Z21 = — [Zaa-{-azZbb-]-aZcc—(flZab -f-a2Zac-\- Zbc)];
202= 2I2 =-y [Zaa4-tzZ£,b + a2Zce—(azZab + aZac + Zbe)].
Если сопротивления фаз одинаковы, т. е.
Zaa~ Zbb ~ Zee ~ Z,
Zab ~Zac — Zbc — ZAl,
то матрица Ts получается диагональной:
Zlo = Z20 = z ZAI,
Zm — Z + 2Z^[,
Zu = Z22 — Zei = Z21 = 202= Z12 = 0.
Если же хотя бы одна из фаз оказывается в иных условиях, т.
Zbb — Zcc — Za + Z' — Z 4- Z',
Zab — Zac = Zbc + ZA1 = Zu 4- ZM,
TO
z10-z20=z-zm + 1(z'-zJ;
2Оо = 2 + 2гм4-у(2'4-2<);
Zu = Z22 = 3 (Z + 2ZM);
Z<>\ — Z21= Zo2 = ZI2 = g-Z 4_'g' Zu,
Возможно и обратное преобразование:
Z = S Zs s-’.
Аналогичным путем можно получить подобные формулы и для
разоваиия матрицы проводимостей:
Yf=S-1 YS
ИЛ it
V^S Y5S-1.
Последние формулы можно получить из предыдущих, применяя прин-
цип дуальности схем
Коэффициенты S и S-’ можно рассматривать как параметры элементов
трансформации в трехфазных схемах замещения. Это дает возможность
в случае необходимости при характеристике рабочего режима трехфазной
цепи в разных ее частях пользоваться той или иной системой координат
(а—b — с и 1 — 2—0) и в местах перехода от одной системы к другой вклю-
чать указанные элементы трансформации.
Этот прием целесообразно применять при расчете трехфазиых цепей,
например в таких случаях, когда одна часть рассматриваемой цепи имеет
элементы с равными одноименными параметрами фаз, а другая — с различ-
ными, и, следовательно, для одной части целесообразно применение системы
координат 1 — 2—0, а для другой—системы координат а— b — с. При со-
ставлении уравнений состояния для такой трехфазной схемы замещения
необходимо учитывать наличие соответствующих параметров элементов
трансформации.
Вопросы для самопроверки
13.1. По какому условию можно определить возможность разложения
т—фазной несимметричной системы величин на симметричные составляю-
щие систем в количестве (т—1)?
13.2. Чем отличается система обратной последовательности величин
в трехфазной цепи от системы прямой последовательности? Каковы особен-
ности системы нулевой последовательности величин?
13.3. В каких случаях сопротивления участка трехфазной цепи для
токов прямой и обратной последовательностей одинаковый в каких различны
и почему?
13.4. В каких случаях сопротивления участка трехфазной цепи для
токов прямой, обратной и нулевой последовательностей одинаковы и в ка-
ких различны и почему?
13.5. В каких случаях токи нулевой последовательности должны быть
равны нулю и когда они могут иметь место даже при отсутствии
четвертого провода?
13.6. В каких случаях целесообразно и в каких — нецелесообразно
применять метод симметричных составляющих?
13.7. Какие усложнения в расчет рабочего режима трехфазной цепи
вносит нелинейность ее элементов?
13.8. Какая схема называется комплексной и в каких случаях ее
можно составить?
13.9. Как определить токи и напряжения в фазах, если известны все
симметричные составляющие соответствующих систем?
13.10. Как выражается суммарная мощность для трех фаз через сим-
метричные составляющие токов и напряжений? Как выражается пульси-
рующая мощность?
13.11. Как записываются уравнения состояния для сложной несиммет-
ричной трехфазной цепи с применением матриц? В чем преимущество при-
менения матриц в таких случаях?
13.12. Как записываются уравнения многофазного многополюсника с при-
менением матриц?
13.13. В чем заключается трудность расчета рабочего режима для
сложной несимметричной трехфазной цепи, если к ней применить приемы,
известные из раздела однофазных цепей?
13.14. Какие преимущества могут быть получены при применении
принципа дуальности в случае расчета рабочего режима сложной трехфаз-
нон несимметричной цепи?
480
Глава XIV
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ; ЦЕПИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
§ 14.1. Характеристическое сопротивление и коэффициент
передачи симметричного четырехполюсника
Цепочечная схема, состоящая из одинаковых симметричных
четырехполюсников, имеет большое практическое применение.
Для ее расчета и исследования целесообразно ввести с помощью
коэффициентов четырехполюсника другие характеристики, не-
посредственно и более наглядно отражающие его значение
в передаче энергии от источника к приемнику.
Характеристическим, или повторным, называется такое со-
противление Zc, которое, будучи присоединено к выходным за-
жимам симметричного четырехполюсника, обусловливает входное
сопротивление, также равное Zc.
Нетрудно установить связь между характеристическим со-
противлением и коэффициентами симметричного четырехполюс-
ника. Учитывая, что
Z =^1 = ^.
с ii Ц'
можно уравнения четырехполюсника переписать следующим
образом:
* = А(724-В/2 = t/2 Гл==/ (AZCВ) 1
/1 = C(/24-A/2 = /2(CZc + A) V
откуда
или
£7 ] у Alc В
T,c = CZe + A
(14.2)
В том случае, когда сопротивление нагрузки равно харак-
теристическому (такая нагрузка называется согласованной с че-
тырехполюсником), особенно просто получаются соотношения
между входными и выходными напряжениями и токами. Дейст-
вительно, из (14.1) и (14.2) следует, что
^ = 41 = Д + КВС,
иг /2
31 Теоретические основы электротехники ч. 1
481
т. е. отношение напряжений или токов равно (в общем случае)
комплексному числу, модуль которого показывает, во сколько
раз уменьшились выходные величины по сравнению с входными,
а аргумент—насколько они сдвинулись по фазе. Такое комп-
лексное число целесообразно представить в следующем виде;
Л+/ВС = еае'ь = еа+'ь = е2, (14.3)
где g = a-\-jb = In (Л + ВС) — коэффициент передачи, а его со-
ставляющие а и Ь — соответственно коэффициент затухания (из-
меряется в неперах) и коэффициент фазы (измеряется в радианах).
Таким образом, при согласованной нагрузке:
= /1 = /2е^.
Если же нагрузка произвольная, то для расчета исходные
уравнения симметричного четырехполюсника остаются в прежнем
виде:
U=AU2 + Bit,
Ц = Сй2 + АГг.
Здесь коэффициенты должны быть выражены через новые ха-
рактеристики Zc и g. Из (14.3) и соотношения Л2 — ВС=1 =
= (Д-)- У ВС)'(А — У ВС) следует, что
А — /ВС =-----^= = е-2,
А + У ВС
откуда в сумме с выражением (14.3) получается:
eS-f-e_g ,
А = —------= ch£>
Наконец, с помощью (14.2) можно найти:
B = Zcshg, C = s-^. (14.5)
Если подставить найденные выражения в уравнения четырех-
полюсника (14.1), то
(У, = (72 ch g + Zc/2 sh g ]
i ri , } . (14.6)
LC J
Характеристическое сопротивление и коэффициент передачи
могут быть вычислены непосредственно по комплексам Zx и ZK,
482
найденным из опытов холостого хода и короткого замыкания.
Из уравнений (14.6) при /2 = 0
й 7
у _ М1Х _ .
/ thg *
при = 0
zK = ^=zcth^,
/1К
откуда
Ze = /ZA; thg=/|s.
(14.7)
Пример 14.1. Вычислить характеристическое сопротивление и коэффи-
циент передачи симметричного четырехполюсника, у которого 4 = 0,5,
C = j 0,02 сим.
Решение. Третий коэффициент
да__I
В = iL__l=j 37,5 ом.
С
Характеристическое сопротивление определяется по формуле (14.2):
Zc = ^- = 43,25 ом.
Коэффициент передачи
л
g = a + j& = ln(4 + /ВС) = In (0,5+/0,865) = In 1 е' ‘ = i ~.
О
Следовательно,
« = 0; 6 = -^- рад.
О
Пример 14.2. Определить Zc и g, если Zx = 747 e~I17°il'oM; ZK =
= 516 ея°35' ом
Решение. Согласно формулам (147)
^=0,84 е-
X
ом;
gg J
eg +e-g e2g+ 1
откуда
2g = 1+thg = 1 +0,84 e'14"08'
6 ~ 1 —thg i_o,84 e'14°08' ’
1 1 + 0,84 e/,4’“8
S-2,n ,-o.M °'92+,3A
Таким образом,
« = 0,92 неп; 6=3,6 рад.
31
483
§ 14.2. Симметричная однородная цепочечная схема
Симметричная однородная цепочечная схема, изображенная
на рис. 14.1, состоит из соединенных в каскад одинаковых сим-
метричных четырехполюсников — называемых звеньями схемы.
Всю схему можно рассматривать как один симметричный четы-
рехполюсник, поэтому целесообразно определить его характери-
стическое сопротивление и коэффициент передачи по известным
Zc и g отдельного звена.
Пусть выходные зажимы последнего звена замкнуты на
сопротивление, равное Zc; таким же по величине будет и входное
сопротивление этого звена, являющегося, таким образом, согла-
сованной нагрузкой для предпоследнего звена. Очевидно, что
любое звено, вплоть до первого, оказывается нагруженным
сопротивлением, равным Zc. Следовательно, характеристические
сопротивления цепной схемы и отдельного звена одинаковы
и равны Zc.
В рассматриваемых условиях, когда схема нагружена сопро-
тивлением, равным Zc, влияние каждого звена сказывается
в том, что напряжение или ток на входе больше напряжения
или тока на выходе этого звена в ег раз. При п звеньях в схе-
ме напряжение на входе первого звена будет, очевидно, больше
напряжения на выходе последнего звена в (ег)" =е'1г раз:
u, = un+ie*-, (14.8)
Таким образом, коэффициент передачи всей цепочечной схемы
равен ng = naA-jnb, и, следовательно, чем больше звеньев
в схеме, тем больше коэффициент затухания и коэффициент
фазы всей схемы.
При несогласованной нагрузке связь между напряжениями
и токами на входе и выходе всей схемы (всего эквивалентного
четырехполюсника) будет, в соответствии с формулами (14.6),
выражаться следующими уравнениями:
i/I = ^n+ich«g + zJ»+ish «g;
Л = 4+1сЬ ng+Un+ls-^. (14.9)
484
Напряжение и ток на входе (&4-1)-го (от начала цепочки)
звена определяется из формул:
Uk+1 = 11ch (« — k) g+zJn +1 sh (n—k) g;
tk+1 = /n+1 ch (n-k)g+ Un+i .
§ 14.3. Электрические фильтры
Общие соотношения. Примером цепочечной схемы, включае-
мой между питающим устройством и приемником, служит
электрический фильтр, назначением которого является пропу-
стить к приемнику токи только определенной группы (или опре-
деленных групп) частот. Фильтр обычно состоит из нескольких
одинаковых симметричных четырехполюсников, соединенных
в каскад. В дальнейшем предполагается, что каждый четырех-
полюсник состоит из идеальных реактивных элементов, а сопро-
тивление присоединенного к фильтру приемника равно характе-
ристическому. В этих условиях, как известно из предыдущего,
комплексы напряжения и тока у приемника (на выходе фильтра)
становятся в ens — enae>nb раз, а их модули в е"° раз меньше,
чем у питающего устройства (на входе фильтра), где п — число
звеньев фильтра. Коэффициент затухания а для четырехполюс-
ника, состоящего из чисто реактивных сопротивлений, зависит
от частоты, так как он может быть выражен через коэффициент
А четырехполюсника, в свою очередь, зависящий от парамет-
ров схемы. Это видно из формулы (14.4)
А = ch g = ch (а + jb), (14.10)
а также из формул для Т-образной схемы
Л = 1+—2-^ (14.11)
и для П-образной схемы
Л= 1 н (14.12)
Если окажется, что для некоторого диапазона частот коэф-
фициент затухания равен нулю, то напряжение и ток прием-
ника станут равными по величине напряжению и току источ-
ника питания (только фазовый угол изменится на величину nb
радиан). Этим диапазоном частот определяется область про-
пускания, или зона прозрачности фильтра. Остальным частотам,
для которых а=#0, соответствует зона затухания.
Из формул (14.11) и (14.12) следует, что А не может при-
нимать мнимых значений (так как Y и Z мнимые числа),
485
поэтому уравнение (14.10)
А = ch (a+jb) = ch a cos b Ь j sh a sin b
распадается на два:
sh a sin b =0;
ch a cos b — A = 1 + .
(14.13)
(14.14)
Эти уравнения показывают, что при изменении частот, вхо-
дящих в состав Y и Z, могут быть два случая.
Первый случай. Пусть sha = 0 и, следовательно, а = 0,
что соответствует зоне прозрачности. При этом cha=l и
(14.15)
cos b — А = 1 4- .
Полученное уравнение показывает, что знаки мнимых вели-
чин Y и Z должны быть одинаковыми: если одна из них имеет
индуктивный характер, то другая величина
стной. Диапазон частот, удовлетворяющих
определяется неравенством
- 1 < 1+^ 1
должна быть емко-
этому уравнению,
так ЧТО' частоты, являющиеся граничными для зоны прозрач-
ности, могут быть найдены из равенств
— YZ = 0; — YZ = 4. (14.16)
Полезно заметить, что первое равенство дает частоту, при
которой исчезают продольные сопротивления и поперечные
проводимости четырехполюсника — приемник оказывается как бы
непосредственно присоединенным к источнику; второе равенство
приводит к частотам, при которых каждая половина четырех-
полюсника, составленная из половины продольного сопротивле-
ния и половины поперечной проводимости, находятся в режиме
резонанса напряжений
^4-А_ = о
2 ' У/2 ’
откуда
YZ 4-4 = 0.
Характеристическое сопротивление также зависит от часто-
ты, так как и оно, согласно формуле (14.2), связано с коэффи-
циентами четырехполюсника. Формулу (14.2) целесообразно
переписать по разному для Т- и П-образных схем:

486
или, выражая сопротивления Zct и четырехполюсника через
их коэффициенты, а также, учитывая (14.11) и (14.12):
4т-/^= j/'f/i+т; (14Л7>
Г т
г^ = У^Т~УгУ'+Т' (14.18)
Из последних формул видно, что в зоне прозрачности, для
которой, согласно (14.16),
0< — ZY <4,
характеристическое сопротивление является чисто активным,
причем с изменением частоты оно меняется в пределах от нуля
до д/у для Т-образной схемы и от д/~у до бесконечности
для П-образной схемы. Практически это означает, что фильтр
не может быть одинаково прозрачным для всех частот зоны
пропускания, так как сопротивление приемника остается не-
изменным.
Рассмотрим простейшие фильтры типа К, у которых отно-
шение продольного сопротивления к поперечной проводимости
не зависит от частоты. В этом случае, в выражениях (14.17)
и (14.18) от частоты зависит только произведение ZY. Экстре-
мальное значение произведения и, следовательно, экстремальное
значение Zc определяется из условия
У (ZY) YZ’ + ZY' = 0.
duх ' 1
Но так как у нс зависит от частоты, то
d / z_\
du Y /
YZ' — ZY'
jZ2
откуда YZ' = ZY', и упомянутое условие принимает вид 2YZ'—
— 2ZY' = 0 или Z = Y = 0. При этом экстремальное значение
Zc (максимальное для Т-образной и минимальное для П-образ-
ной схем) оказывается одинаковым для обеих схем и равным
V У —Q-
Сопротивление приемника выбирают равным этой величине,
так как вблизи своего экстремального значения Zc меняется
медленно с изменением частоты.
В зоне прозрачности с изменением частоты меняется и коэф-
фициент фазы. Он может быть найден по уравнению (14.15).
487
Знак его легко определяется с помощью соотношений (14.5),
из которых следует
sh g — sh (а 4- jb) =- CZc = ,
а при b = 0
или
j sin b = CZc ^YtZct,
h B Zn
Таким образом, знак коэффициента фазы равен знаку про-
дольного сопротивления (или поперечной проводимости).
Второй случай. Пусть теперь в уравнении (14.13)
sin 6 = 0. Так как cha^l, то следует принять cos 6=—1,
а уравнение (14.14) записать в виде:
ch а = —А = — (1 .
(14.19)
В этом случае коэффициент затухания уже не равен нулю,
что соответствует зоне затухания. Ее границы определяются
из неравенства
откуда — YZ — 4; —YZ = оо. Последнее означает разрыв продоль-
ных сопротивлений и короткое замыкание поперечных проводи-
мостей.
Так как в этом случае А2— l = ch2a—1^0, то, согласно
формулам (14.17) и (14.18), характеристическое сопротивление
в зоне затухания становится чисто мнимым и имеет разные
знаки для П- и для Т-образных схем.
Знак реактивного характеристического сопротивления мржно
определить следующим образом. Чем больше затухание, тем
меньше напряжение и ток приемника. Напряжение и ток на
входе мало изменяются, если отключить приемник в Т-образной
схеме (тогда /2 = 0) или замкнуть его накоротко в П-образной
схеме (тогда t/2 = 0). Получающееся при этом входное сопротив-
ление имеет такой же характер, как и Zc (для данной частоты).
Этому толкованию не противоречат и формулы (14.17) и (14.18),
если пренебречь единицей по сравнению с Л2 = с112а:
А 1 -j- Y-pZ'r Zy 1
т = у^ = —y2-L=-f+^ = 2вхт;
I »р I т " • т
. Zn 2П 1 7
сП~.А ~ ЕЛГЧ. J_ вхП’
1 + 24Zn
488
Величина коэффициента затухания для разных частот опреде-
ляется из уравнения (14.19).
Примерами применения изложенной теории являются схемы
простейших фильтров.
Фильтр нижних частот. Схемы фильтра (Т и П) показаны
на рис. 14.2, а. Продольное сопротивление Z = jaL', поперечная
проводимость Y = j<oC. Граничные частоты для
ности определяются из (14.16)
— VZ = (o2LC=^,
откуда
п 2
(о=0; и = = (о„.
1 ’2 1/ г п 0
зоны прозрач-
Фильтр пропускает нижние частоты от нуля до и0.
На рис. 14.2, б изображены зоны прозрачности (а = 0) и за-
тухания (<Г=^0) для фильтра нижних частот.
Наглядное представление о работе фильтра в зоне прозрач-
ности или затухания дают векторные диаграммы.
Пример 14.3. Построить полную векторную диаграмму для двух режи-
мов Т-образного фильтра нижних частот (рис. 14.2, а), нагруженного
489
сопротивлением г2, равным характеристическому,-если А = 0,02 гн, С = 8 мк.ф.
(У2=13 в, частота в режиме прозрачности a>, = ^, а в режиме затухания
<о2 = 2<о0 при прежнем значении г2
Решение. Резонансная угловая частота
2 2
<о„ = , — - = 5000 рад!сек.
LC /0,02-8-10-’
Следовательно,
tOj = 2500 рад:сек, со2=1О4 рад/сек
Входные сопротивления холостою хода и короткого замыкания:
Т+^с=~'26 г.>-'25+'^Ё^
Сопротивление нагрузки
r2 = Zc= У Z,xZlk = 25 УЗ ом-.
= /75 ом.
ток
Л=^=-Л==о,за.
'г 25 Уз
Из схемы фильтра
Uc=U2+j<^±- Z2= (13 +/ 7,5) в;
4 = -^=13+'7’5 = (-0,15 + /0,26)а;
с —]хс —у 50
/, = 4 + 4 = 0,3—0,15 + 1 0,26 -0,15+ /0,26 = 0,3 е ’ а;
г —
{/, = {7С+/а>,-^- /,= 13 + /7,5 + /25 (0,15 +/ 0,26) = 6,5 +/ 11,25= 13 е1 • в.
По этим результатам построена векторная диаграмма иа рис. 14 2, в.
Аналогичные вычисления для частоты <о2=104 рад/сек дают:
Uc = U2+j&2-^ 4 = 13 + ; 100-0,3 = (13 + /30)в;
/с==1Щ? = (_2>4 + /1’04)а;
/, = 4 + 4=0,3—2,4 + ; 1,04=—2,1 + / 1,04 =5= 2,34 е< 15’°40'а;
6/i = L/c + /<+-|- Л=13 + /ЗО-У21О-1О4 -=-91-/180^=201,6е-^116°50'в.
По этим результатам построена векторная диаграмма на рис. 14.2, г.
Фильтр верхних частот. Для фильтра верхних частот (рис.
14.3, а)
Z = — • У = —•
/<оС ’ /мА ’
— YZ — —-— = / 0
1 <s>2LC 1 4 •
490
Зона прозрачности лежит в границах
1
<о, ==—т—= <i)„ и со =оо.
’ 2 V LC 0 2
На рис. 14.3, б показаны зоны прозрачности и
фильтра верхних частот.
Полосный фильтр. Схе-
мы полосного фильтра по-
казаны на рис. 14.4.
Чтобы при одной и той
же частоте исчезли продоль-
ные сопротивления и попе-
речные проводимости, необ-
ходимо иметь условие, при
котором LiCi — L2C2, в этом
случае часто!а
1 1
со. = --= .... .
0 V L£2 V L2c2
При этих условиях
Z = jaL1 + =
= 7^(1-«’2LA) =
/wCj ( ио/ '
затухания для
Y = /®С. + Jr- = Д- (1 - co2L С.)
' 2 1 /<0Ь2 /wZ.2v 2 2/
Уравнение, определяющее границы зоны прозрачйЬсти:
О
4‘
Одним из решений этого
частота <оо. Остается решить
уравнения является найденная уже
уравнение
\2
1-—Л = 4®2Л2С1(
СО2
а>2±2охо- У L2C1 — ®о = 0.
или
491
Если опустить отрицательные значения частоты, то
+ l —/г);
= (/^ + 1 4'^)’
Рис. 14.4
где . _
Фильтр пропускает полосу частот от до ю2. Частота <оо ока-
зывается промежуточной, так как <о1ю2 = <Оо.
Заграждающий фильтр. Чтобы в схемах этого фильтра (рис.
14.5) при частоте ю0 оказались разрыв в продольных сопро-
тивлениях и короткое замыкание на поперечных проводимостях
(т. е. идеальное затухание), необходимо выполнить условие:
LiCj —Л2С2 и ®о
1 1
/цс;' /га '
В этом случае
Z--------J____
Л 1
/coCj 4~ -—
/соД,
/wZ-i
1-—
1
' 2 /мС2
Y
1-—
492
Границы зоны прозрачности находятся из уравнений:
_Zy =0
— VZ = —”8-£,C/ =4.
Первое уравнение дает два значения
(о,=О; (о4=оо;
второе—
W2 = W0 (/^2+ 1— k)
(°3 = “о (V^2 + 1 Ф&),
где ____ _________
L _ (t)O V''^1^2 _ 1 "| /
R — 4 - 4 V Z,2 ’
Фильтр пропускает частоты от нуля до ю2 и от <os до бес-
конечности. Зона затухания (заграждения) расположена между
<о2 и иа, где находится и частота <оо:
со2 = (02(03.
§ 14.4. Цепи с распределенными параметрами
Все формулы, полученные в гл. 6 для цепей постоянного
тока, остаются справедливыми и для аналогичных схем заме-
щения при синусоидальных токах и напряжениях, если соот-
ветствующие величины выразить комплексными числами.
Следует отметить, что сходство в формулах для расчета
схем с распределенными параметрами в некоторых случаях
можно рассматривать как математическую аналогию. В цепях
малой пространственной протяженности наличие сдвига фаз
между токами и напряжениями в разных точках цепи обуслов-
лено действием э. д. с. самоиндукции и емкостных токов, имею-
щих сдвиг по фазе относительно соответствующих токов и на-
пряжений. В цепях большой пространственной протяженности
сдвиг токов и напряжений по фазе, а также их изменение во
времени и вдоль цепи (линии) можно рассматривать в виде
волнового электромагнитного процесса в пространстве, окружа-
ющем цепь (линию).
Пусть известны параметры однородной линии, отнесенные к
единице ее длины (рис. 2.23): г0 — сопротивление прямого и
обратного проводов; La—индуктивность петли, образуемой
прямым и обратным проводами; — проводимость утечкй между
493
Проводами и Са—емкость между проводами. При этом сопро-
тивление ra dx и индуктивность La dx можно считать включен-
ными в один провод (рис. 14.6, а), а расстояние х отсчитывать
от начала линии до ее элемента dx. Если обозначить мгновен-
ные значения напряжения и тока в начале рассматриваемого
Рис 14 6
элемента линии dx через и и i, а в начале следующего — через
и ^дх^х и 1 ~^дхХ и вы^Рать положительные направления тока
и напряжения так, как показано на рис. 14.6, а, то, на осно-
вании законов Кирхгофа, для элемента линии длиной dx можно
написать следующие уравнения:
и—+ dxA — r.dxi-^ L dx^;
(i dx\ + f « + 5- dx\ gdx-yCdx r^dx) —1 = 0.
\ dx / \ dx 7 60 0 oi \ dx j
494
Отсюда, пренебрегая величинами второго порядка малости,
легко получить:
ди т di
~дх~ Г о1 + L<>di
di . ди
— и+С° dt ,
(14.20)
При синусоидальном напряжении источника питания линии
с постоянными параметрами (не зависящими от тока и напря-
жения) ток и напряжение в любой точке линии при устано-
вившемся режиме будут также синусоидальными. Поэтому
уравнения (14.20) можно переписать в комплексной форме:
-£ = (g.+ /»c.)(/ .
(14.20, а)
После дифференцирования этих уравнений и замены и их
выражениями, согласно (14.20, а), получаются следующие ра-
венства:
-^=(ro-+Mo)fe« \-iaCju-,
= (So (G +/ю10) 7. ,
(14.20, б)
Из этих уравнений так же, как и из уравнений (14.22), непосред-
ственно следует, что изменения комплексов напряжения и тока
вдоль линии одинаковы. Поэтому достаточно прежде всего найти
закон изменения одной из этих величин, например, напряжения
U, после чего легко найти закон изменения тока 7 с помощью
первого из уравнения (14.20, а).
Если комплексы напряжения (7, и тока 7, (в начале линии)
заданы, то при начале отсчета координаты х в начале линии
(рис. 14.6, а) комплексные значения напряжения U и тока 7 в
любой точке линии при установившемся режиме определяются
по следующим формулам:
U — U^hyx—Z^/jShyx 1
i U. . , ; . У- (14.21)
/ = — -J- sh ух ch ух
/с )
В этих выражениях, являющихся решением дифференциаль-
ных уравнений (14.20, б),
• 7 — л/~~\/~го+ _ 1 го+ C,ft — 2 „,0
с~ У Уо~ У g0 + !®c0 у ^ + (WC)2
495
имеет размерность сопротивления и называется характеристи-
ческим, или волновым сопротивлением линии-, в свою очередь,
Zo= r0H-j<oLo представляет собой комплекс продольного сопро-
тивления на единицу длины линии, Y0~ga + jCa—комплекс
поперечной проводимости на единицу длины линии, а угол Ф:
А___1 Я ГС tn м
й 2 arCtg +
Величина у = V ZXo = /(г0 + /юЛД(^0 + /аС()) называется
коэффициентом распространения, который определяется комп-
лексным числом:
у = <х + /р,
где а — коэффициент или постоянная затухания;
р — коэффициент или постоянная сдвига фаз.
Пользуясь уравнениями длинной линии в гиперболических
функциях, можно определить напряжение и ток в любой точке
линии. Если в уравнениях для напряжения U и тока / заме-
нить ch ух и sh ух их выражениями через показательные функции,
то после преобразований, легко получить:
{7 = l(t/i4-Zc/1) е~УхА-± (U.—Zj,) е^-= Л^-^4-Д2е^;
где
А, = j (U' + 4Л); А2 = 1 (6\ - zc/;).
Напряжение и ток в любой точке линии изменяются по си-
нусоидальному закону. Поэтому после замены комплексов
Л, и А2, имеющих размерность напряжения, их выражениями
в показательной форме Л^Л^^ и Л2 = Л2е/*2, можно получить
мгновенные значения напряжения и тока в следующем виде:
и^1т[]/2А, е-ах е/ (<of+iih-₽x) 1/2 А еахеi —
=J^2X1e-a*sin (<о/-Ьф1—px)4-]/2X2ea*sin (и/-]-ф24-₽х)
i — Im Г g-a.ve/(aZ+i]>,-i»-Px)_
L zc
__У 2 д e.ax е/(а<+'1>1-Ф+Э*) —
zc
— A, e-axsin (at 4-фх — §—0A-)
—^-A2 ea*sin (at + —O'-f-Px)
>, (14,22)
496

где умножение на ]/ 2 произведено для перехода от действую-
щих значений напрйжения U1 и тока I, к их амплитудным
значениям.
Первые слагаемые в правой части полученных выражений
можно рассматривать в виде бегущих волн напряжения и тока,
движущихся в направлении возрастания координаты х и зату-
хающих в направлении движения (рис. 14.6, б).
Действительно, с одной стороны в любой точке х = х, первое
слагаемое представляет собой периодическую функцию времени.
С другой стороны, в любой момент времени t = tx первое слага-
емое изменяется вдоль линии по закону затухающей синусоиды,
при этом быстрота снижения амплитуд определяется коэффици-
ентом затухания а. Чтобы определить фазовую скорость бегу-
щей волны напряжения, необходимо считать фазу колебания
напряжения равной постоянной величине, т. е.
ч
<о!— рх 4-ф, = const;
продифференцировав, получим:
^(<о/-₽х + ф1) = 0 и о = = у •
Аналогично можно показать, что фазовая скорость бегущей
водны тока равна той же скорости и. Вторые слагаемые в вы-
ражениях для мгновенных значений тока и напряжения дают
отрицательную фазовую скорость, чго означает движение волн
в сторону уменьшения координаты х. Таким образом, указан-
ные слагаемые можно рассматривать в виде волн, движущихся
в противоположных направлениях. Волны, распространяющиеся
вдоль линии в направлении увеличения координаты х от источ-
ника электрической энергии к приемнику, обычно называют
прямыми или падающими, а волны, распространяющиеся в об-
ратном направлении,—обратными или отраженными.
Второй характерной величиной бегущей волны является ее
длина А, определяемая расстоянием между ближайшими двумя
точками (рис. 14.6, б), взятыми в направлении распространения
волнь! с фазами колебания, отличающимися на 2л. Следова-
тельно, длина волны может быть найдена из равенства
tot— р (х-|-Х) 4- фх — tot — рх + ф, + 2л,
* 2л to , X т г
где л = -р-, а скорость о = -р- = -^ = л/’ = у. Иначе говоря, за
один период волна пробегает расстояние, равное длине волны.
Если заданы комплексы напряжения U2 и тока /2, то урав-
нения длинной линии в гиперболических функциях, позволяю-
щие определить комплексы напряжения и тока в любой точке
32 Теоретические основы электротехники I 497
линии, имеют следующий вид:
U = иг ch ух + Zc/2 sh ух 1
/ = /2 ch ух 4- sh ух [
I
(14.23)
где координата х отсчитывается не от начала линии, а от ее
конца. При длине линии, равной I, напряжение и ток /2 в
начале линии определяются по формулам:
= йг ch yl 4- Zt./2 sh yl
= /2 ch yl + sh yl
(14.24)
С помощью этих формул можно определить комплексные значе-
ния тока /, и напряжения в начале линии, если известны
комплексы L/2, /2 и параметры линии.
Для определения рабочего режима линии передачи электри-
ческой энергии можно воспользоваться принципом наложения.
Пусть ток /2 = 0, а напряжение в конце линии установлено
равным (72; тогда напряжение и ток в начале линии
^=t/2chy/ = 4^(e^ + e-^)
/lx = gshY/ = ±^(e^-e-n
(14.25)
При коротком замыкании в конце линии, когда (72 = 0,
а ток равен /2, напряжение и ток в начале линии:
= Zc/2 sh YZ = 4 Zc/a (е*-е^)
/1K = /2chy/ = l/2 (е^е'1')
(14.25, а)
Следовательно,
(7, = (71Х4-^; Л = ЛЖ + Л«
Таким образом, наложение режимов холостого хода и корот-
кого замыкания дают возможность определить рабочий режим
линии передачи электрической энергии. Для большей нагляд-
ности целесообразно построить векторные диаграммы токов и
напряжений при холостом ходе, коротком замыкании и нагру-
зочном режиме.
498
(14.26)
Пусть напряжение U 2 совпадает с осью вещественных вели-
чин (рис. 14.7). Тогда напряжение UiX и ток / 1Х можно предста-
вить в виде:
t/IX = |(72e’'^ + |(72e-“ze-^
llx = (у е’^) 1 в-'*
На рис. 14.7, а построена векторная диаграмма для режима
холостого хода. Из этой диаграммы видно, что напряжение
£7,х равно сумме составляющих -^б'2е’ге/?/ и ~ й2 е~*1
а ток 11Х равен разности тех же составляющих, разделенной
на комплексное волновое сопротивление Ze = zce-/U. Аналогичным
Рис. 14.7
I)
способом определяется напряжение Ulk и ток t1K при режиме
короткого замыкания (рис. 14.7, б). При этом комплекс юка 12
отстает по фазе от напряжения U2 на угол <р2. На рис. 14.8
показаны векторы напряжения и тока полученные путем
геометрического суммирования соответствующих векторов при
холостом ходе и коротком замыкании.
Пользуясь уравнениями длинной линии в гиперболических
функциях, можно представить напряжение и ток в любой точке
линии в виде суммы соответствующих составляющих:
й=йх+йк-, i = ix+iK,
Где t)x = |^(eT*+e-^);
[/K = ize/2(e^-e-^);
Is = у (е,А- е-^); Л = j /, (е^ + е~^).
32*
499
При сопротивлении нагрузки Z2, равном волновому сопротив-
лению Zc, напряжение и ток в любой точке линии, получаются
равными
U = U2&X п -/2 е7х = ^Йе7* = ^е7*,
откуда Uj I = Ze, т. е. Uj/ = Uji2 = UJl\ = Zc. Если принять
комплекс напряжения U2 — U2, то мгновенные значения напря-
жения и тока в любой точке линии
u = Y2U2 еах sin (®/ 4- 0х);
г = ]/2 (72 — еа* s in (<о/ 4- p.v—•&).
zc
Таким образом, при Z2 = ZC в линии имеются только прямые
волны, движущиеся от источника энергии к приемнику. Инте-
ресно отметить, что в этом случае режим работы источника
электрической энергии не изменится, если в любом сечении ли-
нии включить вместо удаленной части линии сопротивление,
равное волновому. Такую нагрузку линии называют согласован-
ной, или нагрузкой без отражения. Все изложенное здесь о со-
гласованной линии применимо и к бесконечной линии, поскольку
в ней не могут возникнуть отраженные волны.
Полезно установить соотношение между активной мощностью
P1 = L/1/1cos'0 в начале линии и активной мощностью Р2 =
= t/2/2cos'ft в конце линии. Так как Ui = U2elle.i'^ и /, =
= то Р, — U.I, cos ft — UJ. cos§ = P. e2“z. Следова-
тельно, к.п.д. линии
Р q — 2 (tl
Полученные соотношения дают возможность определить единицу
500
измерения затухания мощности линии из выражения
Единицей затухания служит непер (неп). Затухание равно
р
1 неп, если al = 1 или —е.2.
*2
Таким образом, при затухании в линии, равном 1 неп, ак-
тивная мощность в начале линии больше активной мощности
в конце в е2 = 7,39 раза.
Другой единицей затухания al служит децибел (до). Можно
показать, что 1 дб = О,115 неп.
Очень важной характеристикой линии является ее входное
сопротивление, равное отношению напряжения t/1 к току в
начале линии. На основании уравнения длинной линии в гипер-
болических функциях легко получить
7 _ _ 02 ch yZ + Ze/2 sh yZ _7 Z2 + ZcthyZ /1497'1
в / ~ и2 , ,, / U , - с Z2thyZ + Zc •
'i ~ sh у/ + 1г sh у/ с
При режиме холостого хода линии (/2 = 0, Z2 = oo) входное со-
противление
7 бlx б2 ch yZ
Лх ~U2IZcshyl~
7
= Zccthy/=^. (14.28)
При коротком замыкании ((72 = О, Z2 = 0)
ZaK = ^=Zcli&hyl = ZAhyl. (14.29)
/2chyZ
Таким образом, зная параметры линии и сопротивление Z2,
определяют входное сопротивление линии при любой нагрузке.
Пользуясь выражениями для ZB.X и ZBK, находят волновое со-
противление Zc, а также th у/ и коэффициент распространения у.
Для определения Zt, следует умножить друг па друга левые
и правые части выражений ZB.X и ZBK*
Zb XZB к = zc th у/ = Zc,
откуда
ZC = ]/ZB.XZB.K. (14.30)
Аналогично можно получить формулу для определения thy/:
thy/=l/|k«. (14.31)
501
Полученные выражения совпадают по внешнему виду с фор-
мулами (14.7), что и следовало ожидать, так как цепь с равно-
мерно распределенными параметрами всегда можно заменить
эквивалентной Т- или П-образной схемой с сосредоточенными
параметрами.
Пример 14.4. В конце кабельной линии включено сопротивление Z2 = ZC.
Напряжение U2 = 3 кв, длина линии 1 = 70,8 км. Параметры линии: г„ =
= 1 ом’км\ «Со—4-Ю-4 сим/км-, g„ = 0 и La = 0. Определить напряжение
U1 и ток /\ в начале линии.
Решение. Волновое сопротивление
г'= /к= / НПО---50'
Ток /2 в конце линии
j _^_3000p/4s”
*~ZC ~ 50
= 60
Коэффициент распространения
у = а + /р = fz^= V1 -4. 10“4-/' =
= 2-10~2е'4‘° = (]/2 + / V2) 10-21/клг.
Так как сопротивление приемника равно волновому сопротивлению, то
комплексы напряжения и тока /, равны:
U1 = U2eV' = 3erri0"2”0-8e^2~1<,~2-’0-8 = 3ee7=8,16e/"-sO кв;
7. = 72ее'= 2,72.60^ (45°+5’-8°>= 163е^02’8°«.
Пример 14.5. Для определения параметров телефонной линии длиной
/ = 200 км измерены при угловой частоте со = 5000 1/сек сопротивления при
холостом ходе линии Zx-=747e-/ 2’°41' Ом и коротком замыкании ZK =
= 516e/0°^^, ом. По формулам (14.30) и (14.31) найдены Zc = 621e_Jи
у = (0,0046 + /0,018) = 0,0186е'’5°4°'. Определить r0, g0, Со и La.
Решение. Для определения г0 и Lo необходимо перемножить
У= /(r0 + /wL0) (g0 + /coC0) на Zc= л/~:.
т. е.
yZc = г0 + /<л>/.0 = (5,4-(-/10,21) ом/км,
где г0 = 5,4 ом/км, = 0,002 гн/км
DUUU
Аналогичным путем определяются g0 и Со:
у- = Яо + /соС0 = (4,1.10_, + /3-10~5) 1/оМ‘Км,
где
go = 4,l-10~’ cum/km', С„ = 0,006-10~8 ф/км.
502
§ 14.5. Линия без потерь; стоячие волны
В линиях передачи электрической энергии, применяемых,
например, в радиотехнике, при высокой частоте можно с большой
точностью пренебречь сопротивлением г0 и утечкой g0 по срав-
нению соответственно с величинами wL0 и <оСо. Поэтому во мно-
гих случаях такие линии можно рассматривать как линии
без потерь энергии, что, конечно, является идеализацией ре-
альной линии.
Для линии без потерь коэффициент распространения
у = а + /р = / (r0 + /coL 0) (g0 + /(оСо) =
= /(о/ЛоСо, т. е. а = 0; р = <о/Д>С0.
Волновое сопротивление такой линии
-1 / д_+МЬ
’ go + /wCo
При этом Ф=0, фазовая скорость и =
^ = 27₽-
1
кцс;
, и длина волны
Из этих соотношений следует, что в линии без потерь коэф-
фициент затухания равен нулю, а волновое сопротивление
и фазовая скорость не зависят от частоты. В этом случае урав-
нения длинной линии в гиперболических функциях (14.23) пре-
образуются к уравнениям в тригонометрических функциях:
U = l)2 ch (/Рх) + zj2 sh (/рх) = cos рх + jzci2 sin Рх
7 = /2 ch (/Рх) + у- sh (/рх) = 72 cos рх ф / ^- sin (Рх)
. (14.32)
Если принять U2 = U2, /2 = /2 е--'’1’’, то из этих уравнений
легко получить выражения, определяющие мгновенные значения
напряжения и тока:
и = U2m tospx sin u>t + zcI2m sin Px sin —ф2) ,
i = y~ sin px sin + Ли cos Px sin (®^— ф2). (14.33)
На рис. 14.9 изображены кривые распределения мгновенных
значений напряжения и тока вдоль линии для двух моментов
времени на участке линии длиной 3/4А. при ф2>0. Из уравне-
ний и этих кривых видно, что распределение напряжения и тока
вдоль линии в каждый момент времени является синусоидаль-
ным. При этом ясно, что изменения напряжения и тока в за-
висимости от времени в какой-либо точке линии также будут
синусоидальными,
503
Если в
нагрузки
потерь
конце линии включено комплексное сопротивление
Z2 = r2 + /x2, то входное сопротивление линии без
у _Ut U 2 cos (JZ + jZcI2 sin 0/ Z2+;Zctg0Z
"~TT~ ,u. . o, T ~z4z2tgf» + zc’
j ^-sinpz + J2cos0Z
не имеет мнимой составляющей и по своему
где Zc = z,
характеру аналогично активному сопротивлению. Иначе говоря,
отношение напряжения к току для прямойили обратной волн равны
постоянной величине, не
зависящей от частоты.
Представляет интерес по-
лучить другое выражение
для фазовой скорости че-
рез параметры, харак-
теризующие среду. Это
легко сделать, например,
для двухпроводной воз-
душной линии, емкость и
индуктивность которой,от-
несенные к единице длины
линии, определяются по
известным формулам (при-
меры 1.1 и 1.5)
После
каждого
1П
и Ьа = ^\п~-(гн[км),
где d—расстояние между
осями проводов;
₽0—радиус
провода.
подстановки L, и Со в формулу для v легко
1 1
V = ~г-= • “7= •
У еощ> У ец
Известно, что скорость света в пустоте г = --J - .
V Иов»
тельно, v — —1=.
V 8JX
Для воздушных линий в = 1, у = 1 и фазовая скорость равна
скорости света. Для кабельных линий б обычно больше еди-
ницы, поэтому V<ZC.
получить
Следова -
504
При частоте [ = 50гц для воздушной линии, когда фазовая
скорость близка к скорости света, длина волны л = vT — 6000 км.
Если в конце линии без потерь не потребляется активная
мощность (холостой ход, короткое замыкание, чисто реактив-
ная нагрузка), то в такой линии возникают стоячие волны.
Такие волны получаются в результате наложения прямой
и обратной волн с одинаковыми амплитудами.
При холостом ходе (/2 = 0, Z2 = oo) линии без потерь напря-
жение и ток в любой точке линии определяются с помощью
уравнений в тригонометрических функциях:
U — U2 cos (Зх; / = / у- sin fix.
Если принять U, — U,, то мгновенные значения напряжения
и тока:
и = U2m cos ₽х sin со/;
i = У-™- sin fix cos at.
Каждое из этих уравнений представляет собой произведение
двух функций, причем аргумент одной из них зависит только
от времени, а другой —
только от координаты.
Иначе говоря, в любой
фиксированной точке
линии напряжение и
ток изменяются по си-
нусоидальным законам
со сдвигом по фазе на
четверть периода. Одно-
временно с этим распре-
деление напряжения и
тока вдоль линии для
любого момента време-
ни является также си-
нусоидальным. В ре-
зультате, на конце ли-
нии (х=0) и в точках, находящихся от конца на расстоянии х~
= k-^ (k — целое число), всегда имеются максимальные значения
напряжения, называемые пучностями, и нулевые значения тока,
называемые узлами. В тех точках, которые отстоят от конца линии
на расстояния х = (2Х - 1) у, имеются узлы напряжения (нули)
и пучности тока (максимумы), при этом узлы и пучности тока
и напряжения не перемещаются по линии. На рис. 14.10 изо-
бражены графики распределения напряжения и тока вдоль
505
линии для различных моментов времени. При изменении коорди-
X А, 3 г
наты х в пределах 0ОС-, — х е.' Л и т. д. ток опережает
напряжение на 90° и отстает на тот же угол при изменении х
Л Z 3
в пределах , уХ^х^Х и т. д. Входное сопротив-
ление разомкнутой линии без потерь
х = — jzc ctg рх = — jzc ctg у х
А
является чисто реактивным,
и длины линии. На рис.
знак которого зависит от частоты
14.11 построен график изменения
Рис 14 1!
входного сопротивления
ZBX- Из этого графика
видно, что при изменении
л А А
X ОТ О ДО у И ОТ у до
з ,
у Л и т. д. линия представ-
ляет собой емкостное со-
противление, а при изме-
А
нении х в пределах оту
А 3
до-g и от у X до X и т.д. —
индуктивное сопротивле-
ние. В тех точках линии,
в которых имеются узлы
тока и пучности напряже-
ния, линия может быть
представлена резонансным
контуром с параллельным
соединением емкости и
индуктивности, а в тех
точках, в которых имеют-
ся узлы напряжения и пучности тока, ту же линию можно пред-
ставить резонансным контуром с последовательным соединением
емкости и индуктивности (рис. 14.11).
При коротком замыкании линии (/7 = 0, И2 = 0)из уравнений
в тригонометрических функциях (14.32) получается:
U — jzcI2 sin рх; /==/,, cos Рх.
В этом случае уравнения для мгновенных величин
« = zcl2т sin рх cos at,
i = I2m cos Px sin at
определяют собой также стоячие волны В конце линии и в точ-
ках, отстоящих от ее конца на расстояниях х = к-^, имеются
506
узлы напряжения и пучности тока, а в точках, которые нахо-
дятся от конца линии на расстояниях х = (2£-)-1)у имеются
пучности напряжения и узлы тока (рис. 14.12).
Входное сопротивление линии без потерь, короткозамкнутой
на конце
/ 2 jt \
2в к =jzc tg px = /zc tg г X ) .
Это сопротивление так же,
ным и в зависимости от
длины линии х и частоты
со получается или индук-
тивным, или емкостным.
На рис. 14.13 показан
график входного сопротив-
ления вдоль короткозамк-
нутой линии, из которого
следует, что при изменении
х в пределах 0 е.' х^ ,
X- 3
у ' х А ит.д. линия
представляет собой индук-
тивное сопротивление, при
этом ток отстает по фазе
от напряжения на четверть
периода. При изменении х
А А
в пределах - х ,
з
-j А ' х с; А и т. д ли-
ния оказывает емкостное
как и ZB.x, является чисто реактив-
Рис 14.13
507
сопротивление, и ток опережает по фазе напряжение в соответ-
ствующей точке линии на четверть периода. Интересно отме-
тить, что в тех случаях, когда для согласования линии с
нагрузкой (чтобы не было отраженных волн) необходимо вклю-
чить реактивное сопротивление, то таким сопротивлением может
служить разомкнутая или закороченная линия, длиной меньше
X у-.
— . При этом длину линии х, соответствующую заданному со-
противлению, можно определить из уравнений: для разомкнутой
линии хс = -^£=г(. ctg 0х; для короткозамкнутой линии xt = coL =
= Zc tg Рх.
При чисто реактивной нагрузке Z2 = ±/x2 в линии также
возникают стоячие волны, что непосредственно вытекает из усло-
вий эквивалентности между заданным реактивным сопротивле-
нием, включенным в конце линии, и отрезком линии при соот-
ветствующем режиме (холостом ходе или коротком замыкании).
Пример 14.6. В конце линии без потерь включено активное сопротив-
ление г2. Показать, что в этом случае имеются бегущие и стоячие волны.
Решение. Если в уравнениях длинной линии в тригонометрической
форме заменить It=Ut/rt, то после преобразований легко получить:
U = U2 Г—e^?x-f-fl — McosPxl ;
Lr2 \ Г2/ J
1 = ^г |^еУ?х+ ih— 7) sinpx] •
'2 1_Г2 \ '2/ J
Мгновенные значения напряжения и тока при Uг = и2 определяются по
формулам:
и = игт — sin (<oi ф- рх) ф- U2m ( 1 — — ) cos Рх sin oil;
sin («/4-рх) + f 1—— sin pxcoso/.
Л2 Г2 гс \ riJ
В этих уравнениях первые слагаемые определяют бегущие волны напряже-
ния и тока, а вторые — стоячие волны. В случае гс = г2, т. е. при согласо-
ванной нагрузке в линии отсутствуют стоячие волны. Если г2=оо (ра-
z
зомкнутая линия) и — = 0 или г2 = 0 (короткозамкнутая линия) и — = оо,
г 2
то в линии будут только стоячие волны.
Вопросы для самопроверки
14.1 . Что называется характеристическим сопротивлением симметрич-
ного четырехполюсника?
14.2 . Как определяется передаточное число четырехполюсника?
14.3 . Как определяется согласованная нагрузка четырехполюсника?
14.4 . Начертить схемы фильтров: низкой частоты, высокой частоты,
полосного и заграждающего.
14.5 . Как определяются коэффициент распространения и волновое со-
противление через параметры линии?
508
14.6 . Выразить фазовую скорость бегущей и отраженной волн через па-
раметры линии. Зависит ли эта скорость от активного сопротивления линии?
14.7 . Чему равна фазовая скорость для воздушной линии без потерь?
14.8 . В каких единицах измеряется затухание’
14.9 . Как определить коэффициент распространения и волновое сопро-
тивление опытным путем?
14.10 . В каких случаях образуются стоячие волны?
14.11 . Какое сопротивление надо включить в конце линии, чтобы не
было отраженных волн?
Глава XV
ЦЕПИ С НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ ТОКАМИ
И НАПРЯЖЕНИЯМИ
§ 15.1. Гармонический анализ
и разложение функций
Всякая периодическая функция, удовлетворяющая условиям
Дирихле (имеющая на конечном интервале конечное число раз-
рывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов)
может быть представлена в виде бесконечного тригонометриче-
ского (гармонического) ряда:
f (0 = Л + 2 Akm sin -I- фД
k = 1
где Ло.— постоянная составляющая;
k — номер (порядок) гармоники;
Акт — амплитуда /г-й гармоники,
ф4—начальная фаза k-ii гармоники.
Таким образом, несинусоидальная периодическая функция
представляет собой сумму синусоид кратных частот:
1 fk = kfr,
где fi — jv — основная частота.
Каждая из гармоник может иметь свою начальную фазу
и амплитуду. Иначе, тот же ряд можно представить в виде си-
нусоид и косинусоид, каждая из которых имеет нулевую на-
чальную фазу:
f (0 = Ло + 2 A'km sin (kat) -I- У Akm cos (fco>0,
509
где
(A'km)! (A’’km)2 = A2km H^- = tg^,
Akm
при Akm^O угол находится в пределах а при
Akm^0 — в пределах л sg фА «2 2л
или
Akm = Akm cos ф* и A’km - Akm sin
В соответствии с примененной ранее формой записи синусои-
дально изменяющихся величин с помощью комплексных чисел
можно представить:
(со ос \
4 = 1 4 = 1 '
где Аь = е^4 и Ak= ^41?= е-7*4
« k у2 ь у2
— комплексные значения синусоидально изменяющихся функ-
ций (гармоник);
nk = ^ = nk и nft = e-yto, = ^
— единичные вращающиеся векторы.
Тот же ряд может быть представлен иначе:
/ю-лл^ i лЛ.
] У Z й = —оо
k^O
Здесь
A-k = —Ak и n.k = nk.
Возможна и следующая запись:
со
f (о=+ Кг Im ^2 Aknk.
k=i
В виде гармонических рядов можно представить функции
любых периодически изменяющихся величин, к числу которых
относятся: токи, напряжения, э. д. с., магнитные потоки, мгно-
венные мощности и т. д.
Нетрудно видеть, что постоянная слагающая является средним
значением функции за период основной частоты
т
±<jf(t)dt = A0,
510
так как среднее значение за период вращающегося вектора
Т kzn
~ У Aknk Aknkd (kat) =
О о
&2Л
= ^У Aknkd(ka>t) = 0
О
^полученный интеграл графически может быть представлен замк-
Ak \
нутым контуром в виде окружности радиуса
Комплексное значение любой гармонической составляющей
можно определить по формуле
О
если f (/) выражено в комплексной форме.
Поскольку
• *
то только при условии, что q = k, получается nknk= 1 и, еле-
*
цовательно, только одно слагаемое после умножения на nk и
в результате интегрирования не обращается в нуль:
т
Aknknkdt = Ak.
О
Таким способом может быть выполнена операция разложения
заданной функции f (/) в гармонический ряд.
Ту же операцию можно выполнить и в тригонометрической
форме:
Т 2kn
Akm = f(t) cos (kat) dt = -±- C f (/) cos (k(nt) d (kat);
1 J «Л J
о 0
7 2/гл
. A'km-= Jr О (0 sin (ktitt) dt = C f(t) sin (kart) d (ktot).
1 J ЙП
о 0
Известен ряд приближенных методов разложения функций
в гармонический ряд. Практически в большинстве случаев
удается ограничить разложение в ряд несколькими гармониками,
сумма которых достаточно хорошо отображает заданную функ-
цию. Для иллюстрации этого положения целесообразно рас-
смотреть цепь, обладающую постоянным активным сопротив-
лением и содержащую синусоидально изменяющуюся э.д.с. с
идеальным выпрямителем, пропускающим ток только в одном
511
направлении. В заданных условиях можно считать, что ток
I (/) изображается одной полуволной синусоиды (рис. 15.1, а)
Рис. 15 1
с амплитудой Iт:
Т
Im sin со/ при 0 t ==g ,
i = т
О при -s- С t ес Т,
ч *
или
[ («1—«Л ПРИ 0 < t < V .
i—\ т
I 0 при у -S I 7\
512
Тогда
7 С („ n* )d (Ю/) = £«
° j4n J v 1 i' ' ’ л
0
И
л
(n, — nJnkd(<At).
0
В результате получается следующий ряд:
f_A । U;™/ 9/m7cos2«>/ со$4«/ \
1-ТГ + т51П<й/~2‘Д_ЬЗ~ + ^5- i-’-
На рис. 15.1,6 показаны постоянная составляющая, первая,
вторая и четвертая гармоники, а также суммарная кривая
i — /0 + ij + i2 +14, которая уже достаточно хорошо совпадает
с заданной функцией.
При разложении периодических функций на гармоники сле-
дует иметь в виду условия симметрии. Если функция нечетная,
т. е. имеет симметрию относительно начала координат
(рис. 15.2, a): f(t) = — f(—t), то гармонический ряд должен
состоять из одних синусоид с нулевыми начальными фазами:
Ф* = 0.
Если функция четная, т. е. имеет симметрию относительно
оси ординат (рис. 15.2,6), что выражается аналитическим соот-
ношением — —/), то гармонический ряд должен состоять
. л
из одних косинусоид:
Если функция симметрична относительно оси абсцисс
(рис. 15.2, в), т. е. /(/) —— то гармонический ряд дол-
жен состоять из одних гармоник нечетного порядка: k = 2s + 1,
где s—целое число.
Если функция одновременно симметрична как относительно
оси ординат, так и относительно оси абсцисс, то гармонический
ряд должен состоять только из одних синусоид нечетного
порядка.
Следует иметь в виду, что не всегда можно предугадать
заранее, какими свойствами должна обладать рассматриваемая
функция, если она, конечно, не задана,
с
Пример 15.1. Напряжение на сетке лампы ис =—4 + 4 cos в. Характе-
ристика лампы изображена на рис 15 3 С помощью формул трех ординат
определить значение постоянной составляющей и амплитуд первой и второй
гармоник анодного тока ia
33 Теоретические основы электротехииив, ч. 1
513.
Рис. 15.2
Решение. Формулы трех ординат записывают в виде:
j __________________________^макс'Ь^мин 1*0 ,
4 -t-J.
г (макс (мин .
01 ~ 2
j ___*макс + *мив _
“ 4 2 •
Эти формулы дают возможность найти приближенные значения постоянной
составляющей /Оо и амплитуд IOl и 1аг первых двух гармоник. Для этого
514
необходимо определить максимальное значение »макс, минимальное значение
‘мин и значение тока покоя i (при нулевом значении переменной составляю-
щей напряжения ис). С этой целью необходимо построить в нижней части
характеристики ia~f(uc) график изменения напряжения на сетке uc = f ((),
располагая ось времени вертикально против деления (—4 в), соответствую-
щего значению постоянной состав-
ляющей напряжения ис.
Непосредственно из графиков,
изображенных на рис. 15.3, следует:
‘макс = 22 МП, /0 = 5 ЛШ, ‘мин=1
Подстановка этих значений в фор-
мулы трех ординат дает:
/ао=??±2+|=373=8,25ла;
99__1
/ai = ^^2-L=10,5 ма-,
1а2 = = 5,75-2,5 = 3,25 ма.
§ 15.2. Применение разложения
на гармоники для расчета
несинусоидальных режимов
в линейных цепях
Разложение периодических
функций на гармоники дает
возможность рассматривать
действительный несинусоидаль-
ный установившийся режим в
линейных или линеаризован-
ных цепях как совокупность
взаимно налагающихся сину-
соидальных режимов кратных
частот. Так, например, если периодическая функция в виде
э.д.с. несинусоидальна, то можно считать, что одновременно
действует целый ряд синусоидальных э.д.с. кратных частот:
СР
е (/)=£„ +^. Eknk)-
Для каждой э.д.с. должна быть известна частота (или номер
гармоники) и комплексное значение э.д.с. Ек. Если цепь линейна,
то действие каждой из э.д.с. можно рассматривать независимо.
При этом для каждой частоты (гармоники э.д.с.) цепь должна
быть представлена схемой замещения с соответствующими пара-
метрами, если они зависят от частоты.
зз* 615
В числе активных параметров' схем замещения могут быть
и задающие токи, разложение которых на гармоники произво-
дится так же, как и э.д.с.
Схемы замещения, составленные для каждой из кратных
частот, получаются при этом взаимно независимыми. В каждой
из них токи и напряжения могут иметь только ту же частоту,
которую имеют все активные параметры — задающие токи и э.д.с.
Токи и напряжения, найденные с помощью таких схем, опре-
деляют частичный рабочий режим цепи. Действительные токи и
напряжения для какого-либо участка цепи могут быть опреде-
лены путем суммирования всех гармоник.
Для каждого частичного синусоидального режима справед-
ливы те же законы электрического состояния цепей:
для узлов
и для контуров
^к^'к
Поэтому для расчета цепей применимы, в частности, такие
методы, как метод контурных токов, метод узловых потенциалов,
уравнения многополюсников и т. д.
Таким образом, расчет несинусоидальных режимов для ли-
нейной цепи сводится к расчету ряда синусоидальных режимов
кратных частот и суммированию гармоник.
§ 15.3. Особенности несинусоидальных режимов
Сопротивления отдельных ветвей любой цепи различны для
разных частот. Прежде всего это относится к реактивным сопро-
тивлениям (проводимостям). Так, индуктивное сопротивление
ветви, обладающей постоянной индуктивностью L,
xkL = ktiiL,
а емкостная проводимость ветви, обладающей постоянной ем-
костью С,
bkC = kaC.
Поэтому функции тока и напряжения для одной и той же
ветви могут существенно различаться. Так, например, для ветви,
обладающей значительным реактивным сопротивлением индук-
тивности при основной частоте (по сравнению с активным сопро-
тивлением), каждая высшая гармоника напряжения имеет
относительную величину значительно больше, чем у тока. На-
оборот, для ветви, обладающей большой емкостной проводи-
мостью (по сравнению с активной проводимостью — при основной
частоте), каждая высшая гармоника тока'имеет относительную
величину значительно больше, чем у напряжения.
516
Пример 15.2. Напряжение, приложенное к катушке индуктивности-
несинусоидально. Гармонический анализ приводит к следующим результа-
там' основная частота—100%, третья гармоника—5%, пятая — 3%, седь-
мая—2%, девятая—1,5% и одиннадцатая—1%. Последующие гармоники
имеют меньшие значения и поэтому не принимаются во внимание. Опреде-
лить гармонический состав функции тока, приняв, что активное сопротив-
ление достаточно мало (приблизительно равно нулю).
Решение. Если величину тока основной частоты принять за 100%,
то третья гармоника тока равна—5:3= 1,67%, пятая—3:5 = 0,6%, седьмая —
2:7 = 0,29%, девятая —1,5:9 = 0,16% и одиннадцатая—1:11=0,09%.
Таким образом, функция тока оказывается достаточно близкой к синусо-
иде, так как практически заметной является только одна третья гармоника,
составляющая менее 2% от основной.
Пример 15.3. Определить ток в ветви конденсатора при той же
функции приложенного к нему напряжения (пример 15.2). Принять, что
активная проводимость конденсатора очень мала (близка к нулю).
Решение. Если величину тока основной частоты принять за 100%,
то третья гармоника тока равна 5-3=15%, пятая — 3-5=15%, седьмая —
2-7=14%, девятая—1,5-9=14,5% и одиннадцатая—1-11 = 11%.
Таким образом, функция тока содержит значительно большие гармони-
ческие составляющие, чем функция напряжения, существенно отличаясь
от синусоиды. Не исключена возможность, что для более правильной оценки
этой функции нельзя ограничиваться принятым ранее решением, так как
снижение величины гармоники с повышением ее порядка оказывается сравни-
тельно небольшим.
Следует иметь в виду, что активное сопротивление ветви так же изме-
няется при изменении частоты. Однако эта зависимость определяется более
сложными физическими явлениями и поэтому излагается в теории электро-
магнитного поля при рассмотрении поверхностного эффекта.
В пределах каждого частичного режима (гармоники) могут возникать
резонансные явления: резонанс напряжений в неразветвленной цепи, когда
и резонанс токов при параллельном соединении емкости и индуктивности,
тогда
(>kl. = bkC-
В таких условиях функция напряжения (в случае резонанса напряже-
ний) или тока (в случае резонанса токов) может получиться значительно
отличающейся от синусоиды даже при почти синусоидальных изменениях
возмущающих сил. Прн этом особо выделяется слагающая той гармоники,
частота которой равна (или достаточно близка) частоте собственных колеба-
ний соответствующего эквивалентного контура. Иногда при резонансе воз-
можно возникновение нежелательных явлений в виде перенапряжений, но
в других случаях резонансные явления с успехом можно использовать на
практике. Так, например, настраивая контур радиоприемника на определен-
ную частоту, можно выделить желаемые колебания при наличии многих
других в воздействующей возмущающей силе.
Пример 15.4. В неразветвленной цепи, состоящей из активного сопро-
тивления г = 5 ом, индуктивности £=1 мгн и емкости С=1 мкф, действует
иесинусоидальная э.д.с.
е = 100 sin со/ +10 (sin Зш/ + sin 5со£ + sin 7 at)
при основной частоте fi=1000 e4. Определить ток в цепи.
Решение. Для первой гармоники
%iL 6,3 ом-, п„е s,— 159,3 ом.
517
Поэтому слагающая тока основной частоты практически определяется
емкостным сопротивлением:
= *°° = 0,70 а или i = 0,7sin +
1ЭУ, и —О, и \ 2 /
Ток третьей гармоники при xS£=18,8ojm и х,с = 53,1 ом так же в большей
мере определяется емкостным сопротивлением:
Рис. 15.4
Ток пятой гармоники при х,д = 31,5 ом и xsp=31,9 ом почти полностью
определяется активным сопротивлением, так как
х,д—х,с = 31,9—31,5 = 0,4 <^г,
т. е.
/2z=™ 2,0«
о
или
i5=2 sin 5<о/.
Ток седьмой гармоники при х,д = 44,1 ом и х,с = 22,6ом определяется,
главным образом, индуктивностью
44,1—22,6“ 0,45 Л
/,=0,45 sin
[7(и/ г)]’
или
518
Таким образом, с точностью до седьмой гармоники
< = t—-2-
B данном случае, в результате резонанса напряжений, на частоте пятой
составляющей ток этой гармоники оказывается значительно больше, чем на
любой другой частоте (рис 15.4).
Чем меньше активное сопротивление, тем резче выявляется резонансный
эффект.
§ 15.4, Действующие значения несинусоидальных
токов и напряжений; коэффициенты»
характеризующие форму кривой
Действующие значения тока и напряжения определяются так
же, как и при синусоидальном токе и синусоидальном напряже-
нии, с помощью формул:
/т Гт
±§i2(t)dt и (/ = ]/ yju2(0d/.
о о
Если представить синусоидальную периодическую функцию
гармоническим рядом, то

Так как интегралы вида
т т
Uknij-kn-k) dt Ukn/Jknk) dt-fk,
0 . 0
а все остальные равны нулю (каждый из них может быть графи-
чески представлен замкнутой окружностью), то ток
/=1/ S/ft
' k=0
и, следовательно, напряжение U = 1/
г fe = o
Таким образом, квадрат действующего значения тока и на-
пряжения равен сумме квадратов действующих значений всех
гармоник.
В случаях нечетных функций постоянная составляющая от-
сутствует, и поэтому
I — It + /в. г>
519
где /в г = Д учитывает действие всех высших гармоник.
Пример 15.5. Функция тока задана уравнением
i = 100 sin (w/) + 20 sin (Зой) + 10 sin — 5 sin (7w/) 4-3 sin ^9
Определить действующее значение тока.
Решение. Действующее значение высших гармоник
4.г= ]/Г^-(202+ 102 + 52 + 32)= /267^ 16 а.
Действующее значение тока
/= у 100г + 267=-72,5а
Отсюда видно, в частности, что даже сравнительно большое содержание
высших гармоник в кривой тока (или напряжения) может вызвать сравни-
тельно небольшое увеличение его действующего значения.
Иногда для характеристики формы кривых симметричных
относительно оси абсцисс пользуются следующими величинами:
коэффициентом формы кривой, коэффициентом амплитуды и коэф-
фициентом искажения. Коэффициентом формы кривой называется
отношение действующего значения функции к ее среднему (по
абсолютной величине) значению за половину периода:
1,11.
k — -
Аср-
Для синусоидальной функции =
Коэффициентом амплитуды называется отношение максималь-
ного значения функции к ее действующему значению:
» а макс
k^—
Для синусоидальной функции = =
Коэффициент искажения кривой определяется как отношение
действующего значения основной гармоники к действующему
значению функции:
Для синусоиды k„ — 1.
Следует отметить, что увеличение амплитуд высших гармоник
в периодических кривых приводит к большему отличию коэф:
фициентов /гф, fea и /ги от их значений для синусоидальной
функции.
520
§ 15.5. Мощность при несинусоидальных токах и напряжениях
Мгновенная мощность при несинусоидальных токах и напря-
жениях выражается несколько более сложной функцией:

В более подробной записи функцию мгновенной мощности можно
представить в виде следующего ряда:
Р = (jknk IkF-k^
-4-2
А k, q— 1 \ / \ /
Поскольку при k=q получается nknq= па = \,
составляющая мгновенной мощности
то постоянная
1 J2. / • * * • \ jo
p = t70/0+T^ {UkIk+UkIk^ =U0I0+ адсоз<рА.
Она является средним значением мощности за период основной
частоты и называется активной мощностью.
Пульсирующая мощность каждой &-й гармоники при Ua=0
и Л=о
у 2 UqIq_k.
q=l
Поэтому формулу мгновенной мощности' можно записать в сле-
дующем виде:
СО
р=р-|12 (#Л+АЛ)-
k=i
В пределах каждой гармоники наряду с понятием активной
мощности Pk = UkIk cos <pft можно применять понятия полной
»
мощности, определяемой по формуле Sk — UkIk, и реактивной
мощности Qk = UkIk sin <рй.
Однако суммирование значений полной или реактивной мощ-
ности для разных гармоник не имеет физического смысла, так
521
как различные гармоники не являются взаимно заменяемыми
(с точки зрения процессов, протекающих в течение каждого
периода основной частоты).
Для характеристики энергетических процессов, протекающих
в цепи при несинусоидальных режимах, можно. производить
суммирование функций мгновенной мощности:
Ро =
Для замкнутой цепи /?с = 0 так же, как и в цепи синусои-
дального тока. В связи с этим может быть произведено сумми-
рование величин пульсирующей мощности для разных эле-
ментов цепи, но в пределах каждого частичного режима (для
каждой частоты в отдельности): ।
Для замкнутой цепи Nkc = 0 так же, как и' в цепи сину-
соидального тока.
Суммирование значений активной мощности можно произво-
дить только для характеристики явлений, происходящих в тече-
ние целого числа периодов основной частоты. Это суммирование
можно производить как в пределах каждого частичного режима
для одной частоты
так и для разных частичных режимов
Для замкнутой цепи при несинусоидальном режиме
РАс=0 и Рс = 0.
Суммирование значений реактивной мощности имеет смысл
только в пределах каждого частичного режима (при определен-
ной частоте):
• <2*с = £<?*•
Для всей замкнутой цепи QAc = 0 так же, как и в цепи
синусоидального тока.
Чтобы получить функцию мгновенной мощности для любого
числа элементов цепи и для любого числа частичных режимов
(нескольких различных частот), необходимо иметь значение Pk
активной мощности и значение Nk пульсирующей мощности.
Как уже указывалось ранее, значения реактивной мощности
не являются показательными даже в случае определения эцерг
гетического состояния любых двух элементов схемы, имеющих
непоследовательное и непараллельное соединение, в пределах
какого-либо одного частичного синусоидального режима.
622
§ 15.6. Влияние индуктивности и емкости
на форму кривых тока и напряжения
Зависимость реактивных (индуктивных и емкостных) сопро-
тивлений от частоты используется для изменения формы кривой
тока и напряжения в тех случаях, когда это требуется по
условиям работы электрических цепей.
В ряде весьма важных случаев требуется выделять действие
э.д.с. какой-либо одной частоты или, наоборот, устранять дей-
ствие э. д. с. или задающего тока некоторой определенной часто-
ты. При этом довольно эффективно могут быть использованы
условия частичного резонанса токов или напряжений. Отмечен-
ные положения целесообразно пояснить г——,
на конкретных примерах. I.—I J I
Допустим, что в цепи действуют у-L- S
две э.д.с. с частотами, отличающи- Т J
мися в 1000 раз, но с одинаковыми Д, Д.
амплитудами. Необходимо создать та- II
кие условия, при которых в одной из г U Ц
ветвей ток должен быть пропорциона- __________ [_________I
лен напряжению с меньшей частотой,
а в другой ветви—с большей. Для Рис- 1
решения такого вопроса достаточно
иметь в одной ветви индуктивность L, а в другой — емкость
С. Поскольку реактивное сопротивление, обусловленное ин-
дуктивностью, пропорционально частоте, то при большей частоте
оно будет в 1000 раз больше, чем при меньшей, а для емкости
наоборот. Поэтому приближенно (пренебрегая активными соп-
ротивлениями) можно считать^ что в ветви с индуктивностью
действие э. д. с. с большей частотой будет практически отсутст-
вовать, а в ветви с емкостью не будет ощущаться действие
э. д. с. с меньшей частотой (рис. 15.5).
Также допустим, что в цепи действует несинусоидальная
э.д.с., содержащая весь спектр гармоник. В одной из ветвей
требуется создать условия, при которых ток в этой ветви был
бы практически пропорционален э.д.с. некоторой определенной
частоты (oft, а в другой-ветви, наоборот, необходимо исключить
возможность появления токов данной частоты. С этой целью
надо в первую ветвь включить последовательно катушку с ин-
дуктивностью L и конденсатор с емкостью С, причем выбрать
их так, чтобы индуктивность была достаточно велика, а емкость
мала ^сравниваются сопротивления ka>L и но собствен-
ная частота колебаний должна равняться заданной частоте, т. е.
2л VLC '
523
При этих условиях реактивные сопротивления взаимно компен-
сируются при частоте a>k = k<o, а при других частотах одно из
сопротивлений настолько велико, что ток соответствующей
частоты практически будет отсутствовать.
Во второй ветви можно параллельно включить катушку с
индуктивностью L и конденсатор с емкостью С. Величина ем-
кости и индуктивности должна быть выбрана так, чтобы при за-
данной частоте <оА в этих ветвях был резонанс токов. В этом
случае при частоте (оА = &и эквивалентное сопротивление ветви
весьма велико и в результате ток в ветви при указанной частоте
будет отсутствовать.
§ 15.7. Несинусоидальные режимы в симметричных
многофазных цепях I
В данном случае рассматриваются такие симметричные мно-
гофазные цепи, в которых условия возникновения и существо-
вания высших гармоник одинаковы для всех фаз. Такие условия
получаются, например, при включении одинаковых нелинейных
элементов в каждую из фаз симметричной многофазной цепи
(между каждой фазой и нейтралью) или в трехфазных генерато-
рах с симметричной магнитной системой, а также при симмет-
ричном расположении обмоток и одинаковом числе витков. Тогда
все фазы цепи оказываются в одинаковых условиях, и кривые
изменения во времени токов и напряжений фаз будут так же
одинаковыми по величине, но сдвинутыми по фазе на — часть
периода основной частоты, если s—любое целое число, а т —
число фаз. На частоте k-к гармоники этот сдвиг по фазе увели-
чивается в k раз.
Для трехфазной цепи (при Ло=0) это условие принимает
следующий вид: для фазы а
со
fa (0 — ' т/о’ Aknk’
> ’ Z А = -а>
для фазы b
со
1 Г k— — ОС
для фазы с
со
I V k~ — 00
где а = е-/!/зл—оператор поворота вектора на комплексной пло-
скости или оператор изменения аргумента комплексного числа.
Поскольку a,s— 1, то при & = 3$ соответствующие гармоники во
524
всех фазах совпадают не только по величине, но и по фазе,
т. е. в любой момент времени имеют одинаковые мгновенные
значения. Следовательно, эти величины составляют систему
нулевой последовательности.
Аналогично, при условии, что k =• 3s-J-1, получается система
величин прямой последовательности, а при fe = 3s + 2—система
величин обратной последовательности.
Таким образом, в симметричной трехфазной системе вторая
гармоника величин составляет систему обратной последователь-
ности, третья — нулевой, четвертая — прямой, пятая — обратной,
шестая—нулевой, седьмая — прямой и т. д. Следовательно, рас-
пределение этих гармоник в многофазной цепи происходит в соот-
ветствии с указанными выше положениями для составляющих
разных последовательностей. Во многих практически важных
случаях в напряжениях генераторов и трансформаторов отсутст-
вуют не только постоянные составляющие, но и все четные гар-
моники. Поэтому в дальнейшем рассматриваются только нечет-
ные составляющие.
Если обмотки трехфазного генератора соединены звездой, то
при несинусоидальном фазном напряжении линейные напряже-
ния, равные разностям соответствующих фазных напряжений,
не содержат гармоник, кратных трем, так как они образуют
нулевую последовательность и при вычитании их разность равна
нулю. Поскольку в линейных напряжениях отсутствуют гармо-
ники, кратные трем, то в этом случае отношение линейного
напряжения к фазному меньше }Лз. Действительно, если фаз-
ное напряжение (7Ф = + + •••, то линейное напря-
жение ил = УЗ ]/ СМ-4-{/£ + (/*..., откуда U„ /С/ф <рЗ.
При симметричной нагрузке, соединенной звездой, фазные
токи основной составляющей и всзх высших гармоник, за исклю-
чением гармоник, кратных трем, образуют системы прямой и об-
ратной последовательностей, и их сумма равна нулю. Гармоники,
порядка кратного трем, образуют систему нулевой последова-
тельности и при наличии нейтрального провода создают в нем
ток, равный утроенной сумме токов высших составляющих нуле-
вой последовательности (рис. 15.6)
/Л=31/ .
При отсутствии нейтрального провода токи нулевой последо-
вательности в каждой из фаз равны нулю. Поэтому между
нейтралями генератора и симметричной нагрузки возникает нап-
ряжение

525
где U„ U, и т. д.— третья, девятая и т. д. гармоники фазного
напряжения генератора.
При соединении фаз трехфазного генератора треугольником
сумма э. д. с. основной и других составляющих, не кратных
трем, всегда равна нулю. Так как гармоники э. д. с. генератора,
Рис. 15.6
кратные трем, равны друг другу и совпадают по фазе, то их сумма
равна утроенной величине высших гармоник порядка, кратного
трем. Для измерения этих гармоник можно разомкнуть обмотки
генератора и между двумя концами включить вольтметр
(рис. 15.7), который и покажет искомую э.д.с.
и = ЗУЕ1 + Е1 + Е^....
Рели обмотки генератора соединить в треугольник (рис. 15.8),
то э. д. с. нулевой последовательности вызывают внутренний ток
в обмотках генератора. Этот ток будет в треугольнике и при
отсутствии нагрузки, т. е. при разомкнутой внешней цепи. При
этом напряжения на зажимах треугольника не будут иметь
составляющих нулевой последовательности, так как э.д.с. нуле-
вой последовательности, вызывающие ток в треугольнике, будут
526
равны падениям напряжений на внутренних сопротивлениях фаз
генератора. Фазное напряжение равно в данном случае линейному
=ид=уи*+щ+и*+..:.
Если к зажимам генератора, соединенного треугольником,
подключить нагрузку, то, вследствие отсутствия в напряжениях
гармоник нулевой последовательности, токи во внешней цепи не
будут иметь гармоник, кратных трем. Поэтому фазный ток гене-
ратора при симметричной нагрузке /ф — ]/ +..., а ли-
нейный ток /я = УзУ/‘ + /|-|-4-.... Таким образом, отноше-
ние линейного тока треугольника к его фазному току меньше
УЗ, т. е. 1Д1^<У~3.
Следует иметь в виду, что в несимметричной трехфазной си-
стеме токи и напряжения фаз каждой из гармоник могут быть
несимметричными. При этом разложение системы токов и напря-
жений каждой гармоники на симметричные составляющие в об-
щем случае приводит к появлению всех трех последовательностей.
Вопросы для самопроверки
15.1. Какие существуют формы записи для гармонических рядов?
15.2. Как определить составляющие ряда Фурье, если известно аналити-
ческое выражение периодической несинусоидальной функции?
15.3. Как произвести расчет линейной электрической цепи при несинусои-
дальном напряжении, приложенном к ее зажимам?
15.4. Объяснить влияние емкости и индуктивности на форму кривых тока
и напряжения.
15.5. В каких схемах и при каких условиях возможно возникновение явле-
ний резонанса напряжений и резонанса токов на высших гармониках?
.15.6. Написать формулы для определения действующих значений токов и
напряжений при несинусоидальных формах кривых. Зависит ли дей-
ствующее значение тока или напряжения от начальных фаз гармоник,
входящих в состав соответствующих величии? I
15.7. Написать формулу для определения активной мощности при несину-
соидальном токе и напряжении.
15.8. Чем отличаются составляющие нулевой последовательности, встре-
чающиеся в цепях с весинусоидальными токами, от составляющих
нулевой последовательности, возникающих в трехфазных цепях при
несимметричных режимах?
15.9. В каком соотношении находятся между собой линейные и фазные
напряжения на зажимах симметричной нагрузки, соединенной звез-
дой, если фазные э д.с. генератора содержат составляющие, кратные
трем, и его обмотки соединены также звездой?
Раздел четвертый
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА
Глава XVI
КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
§ 16.1. Общие вопросы и законы коммутации
Теория цепей, изложенная в предыдущих разделах, не мо-
жет дать полного представления о процессах, происходящих
в этих цепях, так как при ее помощи изучаются явления уста-
новившегося, или принужденного режима, т. е. такого режима,
при котором токи и напряжения или постоянны во - времени
(цепи постоянного тока), или меняются с течением времени
периодически по определенному закону (цепи синусоидального и
несинусоидального тока). Даже в тех случаях, когда в цепи
происходят какие-нибудь коммутации (включаются или выклю-
чаются отдельные участки, изменяются параметры цепи, как это
имеет место, например, при изучении теории круговых диаграмм,
и т. п.), исследование проводится так, как если бы новый режим
устанавливался мгновенно. Однако такой мгновенный, скачкооб-
разный переход от одного установившегося режима к другому
в общем случае невозможен, так как энергия, сосредоточенная
в момент коммутации в магнитных полях катушек или электри-
ческих полях конденсаторов, не может мгновенно принять зна-
чения, соответствующие новому установившемуся режиму; эта
энергия может меняться только непрерывно, а не скачкообразно,
несмотря на то, чго сама коммутация, как обычно предполагают,
совершается мгновенно. Действительно, если допустить, что на
участке с сосредоточенной (конечной) индуктивностью L энергия’
у Li2 изменится скачком, то это означает, что ток i (и магнит-
528
ный поток) изменится на конечную величину за бесконечно ма-
лый промежуток времени; при этом должна возникнуть беско-
нечно большая э. д. с. самоиндукции ——L-?-, что физи-
UL Ш
чески невозможно. По аналогичным соображениям не может
скачкообразно измениться и энергия электрического поля
на участке с сосредоточенной (конечной) емкостью С,
так как это должно вызвать скачок напряжения ис (и заряда
q = Cur) и появление бесконечно большого тока —
‘ \ at at j
Таким образом, для цепей, содержащих сосредоточенные ин-
дуктивности или емкости, можно сформулировать следующий
закон коммутации, имеющий важное значение для расчета:
в момент коммутации токи в индуктивностях и
напряжения на емкостях сохраняют те значения,
какие они имеют непосредственно до коммутации.
Остальные токи и напряжения могут измениться скачком,
так как это не вызывает бесконечно большой мощности.
В момент коммутации, являющийся начальным моментом
нового режима, принято считать / = 0; значения всех величин
в этот момент называют начальными. Предшествующий момент,
являющийся конечным моментом докоммутационного режима,
обычно обозначают через ( = 0_. Таким образом, закон коммута-
ции можно записать следующим образом: \
1) ^(0 ) = it(0_); 2) uc(0) = uc(0_).
Эти начальные значения будем называть исходными, так JaK
только с их помощью можно найти начальные значения осталь-
ных величин.
Несоответствие между начальными значениями токов в ин-
дуктивностях и напряжений на емкостях и их установившимися
значениями, с одной стороны, и требование их непрерывного
изменения при переходе к новому принужденному режиму —
с другой, обусловливают возникновение в цепи переходных про-
цессов, в течение которых токи и напряжения могут резко от-
личаться от их значений при установившемся режиме.
В реальных установках переходные процессы протекают
очень быстро (их длительность измеряется долями секунды);
тем не менее совершенно необходимо научиться их рассчитывать
и исследовать, так как в одних случаях они могут быть причи-
ной аварий и других нарушений нормальной работы установки,
в других же, наоборот, они используются в качестве рабочего
режима цепи.
34 Теоретические основы электротехники, ч. 1 529
§ 16.2. Классический метод расчета
переходных процессов
Независимо от характера ожидаемого принужденного режима,
в течение переходного процесса токи и напряжения являются
неизвестными функциями времени, подлежащими определению,
и следовательно, для их нахождения необходимо обращаться
к уравнениям, составленным по законам Кирхгофа для мгновен-
ных значений:
^i = °; ^^ri+ L^ + ^idt^=^e. (16.1)
Число уравнений равно числу токов. Если исключить из
этих уравнений все токи, кроме одного (в этом, как будет по-
казано, нет необходимости), то для последнего получится обык-
новенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффици-
ентами и (в общем случае) со свободным членом, зависящим от
внешних э. д. с. Общее решение такого уравнения состоит из
суммы частного решения неоднородного и общего решения одно-
родного уравнения. Частное решение описывает режим, который
называют принужденным; решение однородного уравнения опи-
сывает процесс, который протекает при отсутствии внешних
э.д.с., поэтому его называют свободным. Величины, характери-
зующие принужденный и свободный режимы—токи, напряжения,
заряды—также называют соответственно принужденными и сво-
бодными.
Таким образом, например для тока fe-й ветви, решение запи-
сывается так:
l\np +г\св- (16.2)
§ 16.3. Определение принужденных составляющих
в цепях с постоянными или синусоидальными э. д. с.
Теория цепей, изложенная в предыдущих главах, потому и была
неполной, что она пользовалась только частными решениями урав-
нений (16.1), благодаря чему сами уравнения имели другуюформу,
пригодную только для расчета принужденного режима постоян-
ного или синусоидального тока. Например, когда в цепи дейст-
вуют постоянные э.д.с. е~Е, то токи ожидаемого принужден-
ного режима предполагаются также постоянными inp — Л так
. т di
как при этом напряжение на индуктивности L-^ равно нулю,
напряжение на емкости uc — ^-^idt постоянно и ток, проте-
кающий через емкость, i = равен нулю, то уравнения при-
530
нимают вид законов Кирхгофа для постоянных токов:
£/ = 0; £г/ = £Е.
Если э. д. с. оказываются синусоидальными функциями вре-
мени
е = Ет sin (at 4- фе) == 2е'иг],
то и токи принужденного режима получаются в виде
/ 1пр = К2/ sin (at + ф() = Im [/|^2е/шЧ, (16.3)
что приводит к понятию комплексного сопротивления ветви
Z (ja) = г 4- jaL
и к законам Кирхгофа в комплексной форме:
£7 = 0; ^IZ(ja)=^.
Таким образом, для нахождения принужденных составляющих
следует цепь, полученную после коммутации, рассчитать
с помощью любого метода как цепь установившегося постоянного
или, соответственно, синусоидального или периодического неси-
нусоидального тока [если отдельные гармоники вычисляются
в комплексной форме, то надо перейти к мгновенным значениям,
как это сделано в (16.3)[.
ПриМер 16.1. Вычислить принужденные токи и напряжение на конден-
саторе в цепи, изображенной на рис. 16.1, после включения рубильника
для двух случаев: 1) и(/) = (/ = 1000 в, 2) и (t) = 2000 sin (314 14-90°) в.
Решение. Первый случай
4пр ~ Чпр “ у“=== Юо, Чпр = 9; = 1000 в,
34* ' 531
Второй случай Sj •
2вх = /-И£+^=^=7 100 J ^80+ /60= 100e/ss°s<1’ ом,
i = lX^
Чпр — 1111
100 —/200
_____Pi®t
7 e
^BX
e/“«l = 1785 sin (<nt + 26°35') e;
r — lxc J
e,e>t = 17,85 sin (co/ + 26°35') a;
= 20 sin (а/ + 53°10') a\
uCnp I
2Пр—
;»np=Im [~^ce‘ai
sin (co/ + 116°35') a.
§ 16.4. Определение свободных составляющих
Свободные составляющие должны быть найдены из однород-
ных дифференциальных уравнений
IX = 0; ^(гг-свфЛ^ + 1у/св^) = 0,
выражающих законы Кирхгофа для свободных токов. Их решение
находят, как известно, в виде показательной (экспоненциальной)
функции времени
позволяющей алгебраизировать дифференциальные уравнения.
Действительно, учитывая, что
^=рЛе'' = р/„ и р..Л = ^ = ^.
можно уравнения по второму закону Кирхгофа привести к виду
У. (гг’св + pLica + fy = ^\ r + pL + -^ \в о,
означающему, что алгебраическая сумма свободных напряжений
в любом замкнутом контуре равна нулю. Значения показателя
р в выражении iCB, удовлетворяющие этому требованию, опреде-
ляются как корни характеристического уравнения, а значения
постоянных А— из начальных условий.
§ 16.5. Составление характеристического уравнения
Свободное напряжение на ветви, содержащей г, L и С
[цсв = (г + рА + ^)/св] , равно свободному току tCB, умножен-
ному на оператор сопротивления
Z(p) = r + pL + ^-,
532
отличающийся от комплексного сопротивления этой же ветви.
г^) = г+^ь+-±5
тем, что /<о заменено через р. Очевидно, что и входные сопро-
тивления ZBX (/со) и ZBX (р) могут быть получены одно из дру-
гого с помощью такой же замены. Но произведение тока какой-
нибудь /г-й ветви на соответствующее входное сопротивление
равно внешней э. д. с., включенной в эту ветвь. Для свободного
процесса внешние электродвижущие силы равны нулю, поэтому
ik ^Zk вх (р) = 0 или ZfcBX(p) = 0. Это и есть искомое характе-
ристическое уравнение для тока k-it ветви.
Несмотря на то, что входные сопротивления различны для
разных ветвей данной цепи, характеристическое уравнение
получается обычно одним и тем же,
если нет короткозамкнутых ветвей;
объясняется это тем, что входные соп-
ротивления разветвленных цепей пред-
ставляют собой дроби, различающиеся
только знаменателями, числители же
у них одинаковы: каждый числитель
равен определителю системы (алгеб-
раизированных уравнений, что пока- Рис. 16.2
зано в методе контурных токов): по-
этому равенство нулю любого входного сопротивления экви-
валентно равенству нулю определителя системы.
Иногда проще исходить из представления о внешнем источ-
нике тока; тогда характеристическое уравнение принимает вид
Увх(р) = 0, где Увх(р)— входная проводимость относительно
любой пары узлов.
Пример 16.2. Составить характеристическое уравнение и вычислить его
корни для цепи, данной'в примере 16.1.
Решение. Оператор входного сопротивления можно найти из схемы,
приведенной иа рис. 16.2. Например, для первой ветви
1
7 (М п1л.ТрС _ P2rLC-\-pL-\-г
21BX(p) = pL+—-р--------------------.
r + pC
Для второй ветви
Z (p) = r + Zi.P£l== P‘rLC + PL + r
£1В*(Р> r-t- p^LC + l
’’’ PC
Для третьей ветви
7 / м _ 1 . PLr — p*rLC + pL + r
SBxW~pC + r-j-pL~ pC(r + pL) ‘
533
Таким образом, равенство нулю любого ZBX (р) приводит к характерис-
тическому уравнению
p2rLC + pL + г = 0.
Тот же результат можно получить, если приравнять нулю определи-
тель системы
pL г —г
или входную проводимость относительно узлов
вх (Р) = + ~+ рС = 0.
Получается характеристическое уравнение второй степени. Его решение
дает два корня: ' Л
Pi = (—314 -j- /314) 1/сек; р2 = (—314 — /314) 1/сек.
Этим двум корням соответствуют два частных решения для каждой
составляющей. Таким образом, общее решение принимает вид:
Ч = G пр Ч св = Ч пр4"
Ч = Чпр+ЧсВ ЧпрЧ-^!^1 “Т^2^2 ’
Ч ~ пр 4" Ч св — Ч пр “Ь Cje^i^ -|- С2еЧ^;
ис — ис пр + ис св = ис пр + •D1e/’i/ + П2е^*
(если р1==р2 = р, то решение имеет вид: i = (Пр +
Для полного решения задачи осталось определить постоянные.
’ Следует заметить, что часто бывает проще найти постоянные только
для одной из искомых величин, а остальные величины выразить через нее
с помощью законов Кирхгофа. Так, например, для схемы, изображенной
«du с . wr
на рис. 16.1, целесообразно определить ис; тогда it = C , 1г = ~^ >
ч ~ Ч+Ч-
§ 16.6. Начальные условия; определение начальных
значений токов и их производных
Если характеристическое уравнение имеет n-ю степень, то
общее решение для каждого тока (или напряжения) содержит
п постоянных (по числу корней). Постоянные определяются из
начальных условий, согласно которым найденное решение для
искомой величины и п—1 производная от этого решения .при
/ = 0 должны быть приравнены начальным значениям этой же
величины и ее п—1 производной, вычисленным в соответствии
с законом коммутации и выраженным через исходные началь-
ные значения гЛ(0) и ис(0).
Нетрудно убедиться в том, что, подставив значения iL(0) и
ис (0) в уравнения, составленные по законам Кирхгофа, можно
определить начальные значения остальных токов и первых про-
изводных от iL: число неизвестных и теперь равно числу всех
534
токов ^сколько известных iL(0), столько же неизвестных
и’ слеД°вательн0> равно числу уравнений. Если же
продифференцировать все уравнения один' раз и подставить
в них только что найденные значения (, то окажется
\ at Jt=o
возможным вычислить начальные значения первых производных
остальных токов и вторых производных от iL и т. д.
Пример 16.3. Вычислить начальные значения напряжения на конденса-
торе, всех токов и их первых производных для цепи, данной в примере
16.1, для двух случаев:
1) и (0= 1000 в; 2) и (0 = 2000 sin (3141+ 90°).
Решение. Первый случай. Из режима до коммутации следует:
iL (0_) = 1, (0_)=у-=^= 10а; ис (0'_) = 0
(конденсатор не был
закону коммутации,
предварительно заряжен). Таким образом, согласно
г£ (0) = Ч (0) = 10а; ис (0) = 0.
Подстановка этих значений в уравнения Кирхгофа
ч— ч
ri2—uc — 0
(16.4)
дает
откуда
так как
10 — Ц(0) + ц(0);
+ 100i2 (0) = 1000;
100t2 (0)=0,
Ч(0) = 0; is(0)=10«; =1000e;
\ 7t= о
. п (duc\ [ du г \ 10 ,
(,(О)=с(1“ЗГЛ=о> то Ы\=Г~с в[сек-
Если продифференцировать уравнения (16.4):
dii_di2di
dt~dt+dt
r r dii du (0
L-dP + rdt=~lT
di2 duc
dt dt
(16.5)
535
м подставить в них найденные начальные значения, то
откуда
(diA _ 1 —1292_____L- (г _—12
\dt Л=о юс; \dt )t=0~~ L 10С’ \ di2/f_0— С”'
Второй случай. До коммутации ток катушки i, меняется по закону
ит^ сы
Im , . ,
Lr + ]toL
= 10 У 2 sin (tot + 45°) а.
а напряжение иа конденсаторе равняется нулю. Таким образом, в момент
коммутации (t — 0)
lZ (0) = «1 (0) = 10 У 2 sin 45° = 10а; ис (0) = 0.
После подстановки этих значений в уравнения (16.4) получается:
10 = t2 (0) + «, (0);
(dL \
+100(2(0) = 2000 sin 90° = 2000;
dt Jt=a
100<-2 (0) = 0,
откуда
:2 (0) = 0; г,(0) = 10а; (l = 2000в; (=12 веек.
\ dt jt=a \ at jt=a с
Эти начальные значения следует подставить в уравнения (]6.5):
Пример 16.4. Найти закон изменения во времени всех .токов и напря-
жения на конденсаторе после включения рубильника в схеме, изображен-
ной на рис. Г6.1, в двух случаях: 1) и (t) = 1000 в, 2) и (0 = 2000 sin (tot 4-90°).
Решение. В обоих Случаях целесообразно начать с определения ис-
Первый случай. Общее решение имеет вид (см. предыдущие примеры):
иС — иС пр + ис св — Ю00 + + Dzep‘t.
Так как постоянных—две, то следует найти выражение для первой произ-
водной:
*£ = Р1О^ + Р2й^.
at «
Р- С.
536
При t = 0
’itpl-p?)
, UC (0) = 0 = lOOO-J-D, +D2;
(dur \ 10 _
\dT )t=~-c~PlDl + P2Di’
откуда
1000p2 + Tr
D. =---------- = — 500 — /500 = — 500 V2 e'4S°;
Pl—/>2
— ЮООр,—
D2=-----p —p L = — 500 + J500 = — 500 V2 e"'*‘°
и, окончательно,
uc= 1000— 500 ^2 e~”4,[e' (s,4<+45°> _j_ e-/+<»”)] =
= 1000—1000 V~2 e~”4Zcos (314/4-45°).
Теперь можно найти токи:
’ is = C ^=10e-”4< cos 314/*,
/2=Ие= 10—10 /2Г”41cos (314/4-45°);
i1 = /24-ts= 10—10 VTe-3,4/cos4314/4-45°)4-10e-sl4f cos314/.
Последние два слагаемых могут быть преобразованы в одночлен-
Так как
A cos (со/ 4-а) + В cos (со/ 4- р) = S cos (со/ 4- о),
где
ЗеЛ=4е'“4-Ве'1’,
то
— 10 /Ге'45°4-10 = — 10— j 104- Ю= 10е_'9°°
И
1^ 10+ 10е"814/ cos (314Z — 90е) = 10+ 10е"814* sin 314t
Каждый из токов можно найти и непосредственно. Так, например, для
it общее решение имеет вид
*1 — G пр + О св = Ю 4- A-fiPd -f-A^ePJ.
Далее производная
^ = Р1Л1еА‘4-р2Д2еЛ*.
При / — 0
откуда
i](0)= 10== 104- At 4- Д2;
‘Л ЮОО л , л
Yj — PMi + Pz7!.
. . 1000 5
л, = — Л2=т-;--------г=--- ,
Up'—pJ I
рУ314/__ р —/814/
/4= 104-5е~’14* ----у-------=104- 10e"sl4'sin(314/).
537
Второй случай. Общее решение имеет вид
“е = иСпр + “С св = 1785 sin (314/ + 26°35') 4-+ D2eA*.
Первая производная
-4 = 560 49СГcos (31« + 26°35') + + р2Р2еЛ*.
Начальные условия:
а с (0) = 0 = 1785 sin 26°35' + D, + D2;
\ ) =-уг = 560 490 cos 26°35' + piD1 + p2D2,
\ at /t=0
откуда
£>! = —445е~'26°; D2 = - 445е'2в’.
Таким образом,
ис= 1785 sin (314/+ 26°35')-445е-’14* [е ' (»«/-»•’> +
+ е~/ (»-*'-2в°) = 1785 sin (314^ + 26°35')—&90e~su* sin (314/ + 64’).
Ток is = C = 15,95-10-’• 1785-314 cos (314/+26°35')—15,95- 10~в-890е~’,4<Х
X [314 sin (314/ + 64°) — 314 cos (314/ + 64°)] = 8,92 sin (314/ + 116’35') +
+ 6,3е~’14‘ sin (314/ + 19°).
Jok /2 = ^= 17,85 sin (314/ + 26°35')—8,9e-’14f sin (314/ +64°).
Наконец, ток
4 = Ч + (’> = 20 s»n (314/+ 53’10')+6,3e-sl4t sin (314/ —71’35').
§ 16.7. Последовательность расчета переходных процессов
Изложенное в предыдущем параграфе дает возможность на-
метить следующий порядок расчета переходных процессов клас-
сическим методом:
а) рассчитывается принужденный режим после коммутации;
б) составляется характеристическое уравнение 2Авх(р)==0
для схемы, полученной после коммутации, и определяются его
корни;
в) рассчитывается режим до коммутации и определяются
значения /д(0) и ис(0). Если этих величин недостаточно для
определения постоянных интегрирования, то составляются урав-
нения для схемы, получившейся после коммутации с помощью
законов Кирхгофа для мгновенных значений, вносятся в них
значения /д(0) и ис(0) и определяются начальные значения
остальных искомых величин (пример 16.3);
г) искомая величина записывается как сумма принужденной
и свободной составляющих. Если последняя состоит из п сла-
гаемых (по числу корней) с п постоянными, то следует выписать
все производные по времени до п—1 порядка включительно;
д) полученные п уравнений переписывают вторично, полагая
в правых частях f = 0 и заменяя левые части их начальными
значениями. Из этих уравнений определяются п постоянных.
§ 16.8. Свободный процесс в цепи с индуктивностью
Рис 16 3
Рис 16 4
Пусть цепь, изображенная на рис. 16.3, присоединенная
к активному двухполюснику, внезапно замыкается накоротко.
В образовавшемся та-
ким образом контуре
(рис. 16.4) ток пре-
кращается не сразу.
В этом случае э. д. с.
самоиндукции стремит-
ся поддержать ток за
счет энергии, запасен-
ной в магнитном поле.
По мере того как энер-
гия магнитного поля
переходит в тепло, ток в цепи постепенно уменьшается. Каков
же будет закон изменения этого тока? Так как внешние источ-
ники энергии в контуре отсутствуют, то процесс в контуре
будет свободным и принужденная составляющая тока гпР = 0.
Характеристическое уравнение
2ВХ (р) = г + рА = 0
содержит один корень
г
р=~т-
Так как цепь включает в себя индуктивность, то, согласно
закону коммутации, ток в момент коммутации сохраняет вели-
чину и направление, какие он имел непосредственно до этого
момента. Пусть это исходное начальное значение равняется
7 • т. е.
*нач»
i(0) = i1(0) = /Ha,.
Тогда общее решение записывается в виде:
1’ = и + «св = °+Ле L
Постоянная А определяется из начальных условий: при/ = О
i (0) = /нач = А.
Таким образом,
* = t'cB =-^наче L • (16.8)
Свободный ток убывает по экспоненциальному (показатель-
ному) закону (рис. 16.5). Переходный процесс в контуре закон-
539
чится, когда iCB станет равным нулю; для этого требуется время
t = <x>, как это следует из уравнения (16.8). За указанное время
в сопротивлении г превращается в тепло энергия
СО 00
Г С r LT*
w= J
/=о о
время
Время
т. е. вся энергия магнитного поля.
Несмотря на то, что теоретически переходный процесс про-
должается бесконечно долго, практически он затухает по про-
шествии секунд или долей секунды, т. е. свободный ток за это
становится по своей малости недоступным для измерения.
tN, по истечении которого icB становится в N раз меньше
/нач, может быть найдено из
уравнения (16.8):
; —Лич— г р L*N_____ Л<ач
‘св jy ‘начс г ’
е
где
N = <S *N,
In ЛГ,
т. е. искомый промежуток
времени тем больше, чем
больше L и меньше г. Это и
следовало ожидать, так как
при указанных условиях и
заданном /Нач будет больше запас энергии магнитного поля
у Ы2иач и меньше мгновенная мощность «сВг, за счет которой
затухает процесс.
Величина —, характеризующая затухание свободного про-
цесса в контуре, называется постоянной времени контура и
обозначается буквой т = -у- . Постоянная времени измеряется
в секундах:
IL 1 гн ом • сек
— = — =---------— сек.
г J ом ом
По истечении времени t = т сек с начального момента свобод-
ный ток уменьшится до значения = 0,368/нач. По
прошествии времени t = 2т сек свободный ток уменьшится до
е-2 = 0,3682 = 0,135 от своего начального значения; при / = 3т—
до 0,368s = 0,05 и т. д. За каждый новый промежуток времени,
равный т, ток уменьшается в е = 2,718 раз.
540
Значение постоянной времени т можно определить графически
по кривой изменения iCB во времени. Величина т в масштабе
времени равна подкасательной в любой точке кривой (рис. 16.5).
Подкасательной называется проекция на ось абсцисс отрезка
касательной, заключенного между точкой касания и осью абсцисс.
Действительно, из прямоугольного треугольника (рис. 16.5)
с катетами iCB и т следует, что
т ' *св — —Lss—
tga — diCB'
dt
Но по второму закону кирхгофа
ri™ + L dT = Q’
откуда
4F = T=t- (16.9)
<*»св r
dt
Этой формулой можно воспользоваться для вычерчивания
кривой: от начала координат откладывают по оси ординат /нач,
а по оси t—несколько отрезков, равных т. В концах этих от-
резков изображают ординаты, каждая из которых в 2,7 раза
меньше предыдущей. Концы ординат и будут лежать на искомой
кривой.
Из (16.9) следует, что э.д.с. самоиндукции меняется по закону
__r^ — ri — I re~~r *
dt ’ ^св 1 иач’ с
§ 16.9. Включение индуктивной цепи
на постоянное напряжение
Пусть требуется найти закон нарастания тока в цепи, изоб-
раженной на рис. 16.6, включаемой на постоянное напряжение.
При этом принужденный ток, очевидно, будет равен установив-
шемуся постоянному току
, и
1ПР — — г >
а свободный ток
--L t
1св = Ле L =Ле х
(характеристическое уравнение такое же, как и в предыдущем
случае). Тогда искомый ток
и
< — 1вр + 1св — 7 +’Ле t.
541
Постоянная А определяется из начальных условий. При t~Qt
i(0)==if(0_) = 0 или 0 = -^- + Л,
Л с/
=-----—.
Таким образом,
(16.10)
(J U
На рис. 16.7 показаны tnp = —, iCB = — — е t и i = inp4-iCB.
Из графика видно, что ток в цепи постепенно нарастает от нуля,
асимптотически прибли-
жаясь к своему конечному
и
значению — , причем ток
нарастает тем быстрее, чем
меньше постоянная вре-
Рис. 16.6
мени. При / = 3т ток
значения.
Из уравнения цепи
достигает 95°/о своего установившегося
U = ri + LS
следует, что при t = 0 э.д.с. самоиндукции
..«-и
т. е. она равна и противоположна напряжению сети. С течением
времени эта э.д.с. убывает по закону
— L^ = ri-U = ~
542
§ 16.10. Включение индуктивной цепи
на синусоидальное напряжение
Пусть цепь, изображенная на рис. 16.6, включается на си-
нусоидальное напряжение
и = Uт sin (ы/Ц-ф),
где ф—начальный фазный угол, определяющий начальное зна-
чение напряжения и (0) = Um sin ф.
Принужденный ток—ток установившегося синусоидального
режима
1’пр = /и sin (wi + ф—ф),
где
т /г2+<02£2 2 ’
а
Свободный ток
1СВ — Ае L — Ле t.
Таким образом, действительный ток
» = й + 1’св = Л» sin (и/4-ф—<р) + Ле т.
\ После подстановки в это уравнение начальных условий t = 0,
ii(0) = 0, получается:
0 = /m sin (ф —<р) + Л,
(Откуда
Л = —/га sin (ф—ф).
Таким образом,
i =/да sin (<о/Ч-фср) — /т sin (ф— <р)е т.
На рис. 16.8 показаны кривые изменения inp и iCB. У них
(одинаковые по величине и разные по знаку начальные ординаты,
так как должно быть выполнено начальное условие /(0) = 0.
Сложением ординат этих кривых получена кривая i. Если в на-
чальный момент inP проходит через нуль (ф = <р), то свободный
•ток не возникает, и в цепи сразу, без переходного процесса, уста-
навливается вынужденный режим. Действительно, переходный
процесс возникает потому, что в момент включения нет тех то-
ков в индуктивностях и напряжений на конденсаторах, которые
.должны были быть, если бы режим сразу установился. Но в це-
543
пях переменного тока бывают моменты, когда и при установив-
шемся режиме названные токи и напряжения равны нулю. Если
включение производится в одно из таких мгновений, то пропа-
дает несоответствие между начальными и установившимися усло-
виями, и синусоидальный режим сразу устанавливается.
Из кривых, изображенных на рис. 16.8, следует, что, начи-
ная с определенного момента (когда inP проходит через нуль),
ординаты icB в течение полупериода
арифметически складываются с ор-
динатами i„p, и некоторые мгновен-
ные значения тока i становятся
больше амплитудного значения 1 т
принужденного тока. Эти толчки
тока могут при неблагоприятных
условиях достигнуть значения почти
равного 21 т. На рис. 16.9 показаны
кривые inp, iCB и i для цепи с боль-
шой постоянной времени (свобод-
ный ток медленно затухает); вклю-
чение цепи произведено приблизи-
в момент прохождения tnp через значение —,1 т при
/ Л \
те ль но
§ 16.11. Свободный процесс в контуре, содержащем
емкость и сопротивление
Пусть (рис. 16.10) рубильник в момент / = 0 переводится из
положения 1 в положение 2, что дает возможность замкнуть на-
коротко контур. В этом контуре предварительно заряженный
конденсатор будет разряжаться до тех пор, пока вся энергия
544
электрического поля не превратится в тепло в сопротивлении г.
Каков же будет закон изменения напряжения ис на конденсато-
ре и тока I?
Принужденные составляющие равны нулю. Из характеристи-
ческого уравнения
получается один корень
Р = ~7С’
которым и определяется решение:
ис = Ае. гС .
При / = 0 ис (0) = Uw ~ А.
Таким образом,
_2_/ _Л
иС=^наче ГС =^наче~Г.
где г-—гС—постоянная времени контура.
duc
Ток можно найти либо по формуле i — — либо из
Обе величины убывают по экспоненциальному закону (рис.
16.11), причем начальное значение тока i(0) = —может быть
очень большим при малом г.
* Знак минус взят потому, чго на схеме ток считается положительным,
когда конденсатор разряжается и напряжение на нем уменьшается.
35 Теоретические основы электротехники, ч. I 545
За все время разряда конденсатора в тепло превращается'
00
f си2
энергия W — j ri2 dt = —, т. е. вся энергия электрического
/ = 0
поля конденсатора.
§ 16.12. Включение цепи, содержащей емкость
и сопротивление, на постоянное напряжение
Принужденная составляющая (7Спр для цепи, изображенной
на рис. 16.12,
UCn₽ =
Свободная составляющая иСсв = AeFt — Ае гС.
Таким образом,
ис — U 4- Ае гС;
при t = Q
uc(0) = 0 = UА,
откуда
А = — U.
Тогда
uc = U — ие~^*. (16.12)
Ток можно найти по формуле i = + , или из уравнения
U = ri + uc,
откуда
Рис. 16.12
. U — и с U ~~7с
i =------- = —е гС.
Соответствующие кривые показаны на
рис. 16.13. Начальное значение зарядного
тока i (0) = ~ может быть очень большим
при малой величине г. Это значение тока
таково, как будто конденсатор в первое
мгновение накоротко замкнут.
Если цепь включается сразу на полное напряжение U, то
в тепло переходит энергия
СО 00 f
С -2J. (* ( и --тАг,, сиг
\ ri dt — \г \ —е rC\dt = — ,
t=o о
Б46
равная энергии, запасаемой в электрическом поле конденсатора
Тепловые потери могут быть уменьшены, если, например, напря
жение увеличивать ступенями,
величиной-^- .При каждойтакой
зарядке ординаты кривой тока
будут в п раз меньше, чем на
рис. 16.13, и на все п зарядок
затратится тепловая энергия
т. е. в п раз меньше предыду-
щего (конечно, окончательный
запас энергии конденсатора от
этого не зависит).
Рис. 16 13
§ 16.13. Включение цепи, содержащей емкость
и сопротивление, на синусоидальное напряжение
Пусть включаемое напряжение
и (t) = Um sin (и/ -j- ф).
Принужденный ток
1пр ~ Iт sin (°^ + Ф +ф),
где
Ф = arc tg у .
Принужденное напряжение на конденсаторе
“enp = -^с Sin ( + Ф —т) = ~ U Cm COS И + Ф + ф)-
Так как
_2_
== >
то
“c==uc.np + wc.cB = — cos(м/4 ф + ф) + Ле гС.
Постоянная А определяется из начальных условий. При/ = 0
«с (0) = 0 = — UCm cos (ф +-<р) = А,
откуда
A = UCm cos (Ф + ф).
35*
647
Следовательно,
_________________________________________________t_
uc = —(7Cmcos(<o/4-ii9 + <p)4- Um cos (ф + <p) e rC.
Кривые uCnp, uCcB и uc показаны на рис. 16.14. Они построены
аналогично кривым, изображенным на рис. 16.8. Если включе-
ние производится в момент прохождения ис пр через нуль
|cos (ф + <р) = 0], то в цепи сразу, без переходного процесса уста-
навливается принужденный режим.
Закон изменения тока можно найти по формуле i = С или
из уравнения цепи ,
ir + uc=Um sin (и/ + Ф).
Из этого же уравнения определяется и начальное значение
тока
t-(0)==£^,
которое зависит от начальной фазы напряжения и имеет наи-
большее значение при ф = , т. е. когда напряжение сети про-
ходит через максимум. В этом случае
>' (О)..., = > I. = .
у '’+Ш
И здесь явление происходит так, как будто бы в первое мгно-
вение конденсатор был накоротко замкнут.
Такие начальные толчки тока могут быть весьма значитель-
ными и вызвать при этом нежелательные динамические усилия
в установке.
548
§ 16.14. Разряд конденсатора на индуктивность
и сопротивление
Если конденсатор, предварительно заряженный’До напряжения
U, замкнуть в момент i = 0 на катушку (рис. 16.15), то в кон-
туре, содержащем сопротивление, индуктивность и ёмкость, воз-
никнет свободный процесс. __
Пусть требуется найти закон изменения ,-----------1
ис и i. ' I
Характеристическое уравнение . П
г+Р£ + ?с-<!;1С+„сС+‘ = 0' Д| 4V
у/,
или г
р*+тр+тс=0’ (16.13)
имеет два корня ruc-
_____г_. лг гг___i_. _____г___t/ZTZZl
Pl ‘ZL'-VTi? LC’ P* 2L V 4L‘ LC’
которые могут быть действительными разными, действительными
равными и комплексными сопряженными. Эти три случая и под-
лежат рассмотрению.
Начальные значения искомых функций и их производных
можно найти из закона коммутации и уравнения для контура:
. , т di
• —ис*
При t — О
uc{0)-U-, =
Апериодический разряд конденсатора. Пусть оба корня дейст-
вительны и различны. Для этого необходимо, чтобы
1
4L2> LC ’
или
В этом случае решение, например, для ис запишется в виде:
ис = Аер>* + Вер*‘.
Далее
+ ргВе₽<
at r 1 а
549
Согласно начальным условиям, при t = Q
uc(0) = U = A+B-,
• Ш..=о = М+М.
откуда
А —__ • /j .
Р1—Рг ’ Р1— Рг ’
Тогда напряжение
Рг&1* 4-р.е^),
Р1 Г2
а ток
i =__с — = C-Up^ (рр^ — ер^)
° Л р,-р2 е >’
(16.14)
или, учитывая, что произведение корней квадратного уравнения
(16.13) равно свободному члену, т. е. р1р2 = т^> можно урав-
нению для тока придать следующий вид:
Так как р2~> р2, то последнее выражение показывает, что
ток в любой момент положителен, т. е. конденсатор непрерывно
разряжается в одном направлении (см. принятые положительные
направления). Такой разряд конденсатора называют апериоди-
ческим.
При / = 0 и / = оо ток равен нулю; следовательно, он дол-
жен проходить через максимум в некоторый момент tm, опре-
деляемый из выражения
Рис. 16.16 На рис. 16. 16 показаны кри-
вые i и ис. Форму кривой ис
можно найти аналитически следующим образом: так как ток
j = — С~ все время положителен, то производная отрица-
650
тельна, т. е. напряжение конденсатора, сохраняя положитель-
ный знак, монотонно убывает, стремясь к нулю. При / = 0
uc—U, но производная ^ = 0 (так как ток равен нулю), т. е.
касательная к кривой ис перпендикулярна оси ординат. До
момента t — tm выпуклость кривой направлена вверх; при t = tm
кривая ис имеет точку перегиба, ибо в этой точке
<«_ rd2uc_n
dt~ G dt2
Предельный случай апериодического разряда. Если
t2 1 о i/’i'
4L2 — LC ИЛИ Г ~ 2 V С '
то корни характеристического уравнения
Pi= Р*~ 2L~
и решение следует записать в виде
ис = Ae~bt + Bie~bt = (А + Bt) e~bt.
Тогда ток
i = -Cd-^ = C(bA — B + bBt)e-bt.
Постоянные определяются из начальных условий:
ис(0) = (/ = Л; i(0) = 0 = C(M—В),
откуда
B = bA = bU.
Поэтому
uc = U(l + bt)e~bt и i = CUb2te~bt.
Из полученных выражений следует, что ток, не меняя знака,
, 1 2L
достигает в момент tm =-£*= — своего максимального значения
2 U
1макс — ~ f —0,7оО г .
Кривые I и ис аналогичны кривым, изображенным на
рис. 16. 16.
Таким образом, и при г = 2 разряд конденсатора имеет
апериодический характер. Однако при дальнейшем уменьшении г
по сравнению с 2 ~ , разряд из апериодического переходит
651
в колебательный, и, следовательно, случай г = 2 у явля-?
ется предельным случаем апериодического разряда.
Колебательный разряд конденсатора. При условии, что
г' _ 1 г, . ГL
4L'<LC ИЛИ r<2V -С'
корни характеристического уравнения получаются комплексными:
Р*= 2L~^~ 4L?~LC^~ 2L ТС~ 4L* = Ь ’
Рг~ 2L V ТГ‘ LC 2L 1 V LC 4L2 ° ’
где
b==fb’ <1616>
Этим значениям корней соответствует решение
ис = Ae~bt sin (со 7 -j- а)
и, следовательно,
i = — = CAe~bt [6 sin (со74-а) — со' cos (со7 + а)].
Постоянные Лиа определяются из начальных условий.
При / = 0
U = A sin а; 0 = 6 sin а — со'cos а,
откуда
tga = y, sina = y== = co' VLC [см. (16.16)]
и
a = arct§T' (I6-17>
Таким образом,
Ue~bt , \
„"JiC (16.18)
i — - sin <o7
Из полученных уравнений следует, что разряд конденсатора
носит колебательный характер. Угловая частота колебаний
равна
“ - V LC Ш ’
552
период колебаний
j,, 2 л _____2л______1
~йг~ __________’
V LC 4L2
Амплитуда колебаний постепенно затухает, так как множи-
тель е~ь* = е 2L* с течением времени уменьшается и стремится
к нулю. В связи с этим период Т" и частоту f называют соот-
ветственно периодом и частотой собственных затухающих ко-
лебаний.
Быстроту затухания колебаний в контуре характеризуют
числом, показывающим, во сколько раз уменьшается амплитуда
по прошествии одного периода, т. е. рассматривают отношение
двух соседних амплитуд одного знака:
Это отношение называют декрементом затухания колебаний.
Часто применяют логарифмический декремент затухания,
равный
6 = 1пА = 6Г = 2^Г.
На рис. 16.17 изображены кривые ис и t. Экстремальные
значения ис бывают в моменты, когда i = C^ = 0. Экстремаль-
ные значения i определяются из уравнения
Ш =°>
553
которое приводит к соотношению tg = у = tga, или
, ___a + Ал
~ а' ’
Для построения кривых ис и i рекомендуется начертить
отдельно экспоненты ± Ае'~ы (множители при синусах). Экспо-
ненты являются огибающими для искомых кривых, так как
последние касаются этих огибающих в точках, где синус
равен ± 1.
Вопросы для самопроверки
16.1. Сформулировать закон коммутации. Дать его обоснование.
16.2. Сформулировать законы Кирхгофа для мгновенных значений.
16.3. Что такое принужденный и свободный режимы?
16.4. Что такое постоянная времени контура?
16.5. Ветвь, содержащая сопротивление и емкость, включается на постоян-
ное напряжение и через т секунд замыкается накоротко. Нарисовать
графики изменения напряжения на конденсаторе и тока (до и после
короткого замыкания).
16.6. Две параллельные ветви включаются на постоянное напряжение.
Одна ветвь содержит сопротивление и индуктивность, другая — сопро-
тивление и емкость. Каким условиям должны удовлетворять пара-
метры ветвей, чтобы общий ток мгновенно установился. Сопоставить
результат с условиями «безразличного» резонанса.
16.7. При каком соотношении между сопротивлением, индуктивностью и
емкостью контура в нем возникает апериодический и колебательный
разряды конденсатора?
16.8, Каков характер свободного процесса, если корни характеристического
уравнения действительные числа? Могут ли они быть положительными?
Глава XVII
операторный метод расчета переходных
ПРОЦЕССОВ; ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЦЕПЕЙ
§ 17.1. Краткие математические сведения
Оригиналом называется любая функция f(t) действительного
аргумента t, удовлетворяющая условиям Дирихле, равная нулю
при /<0и ограниченная в своем росте требованием
(M>0; s„>0).
Изображением этой функции (по Лапласу) называется функ-
ция F (р) комплексного переменного р — s + ja, определяемая
соотношением
00
f (17.1)
554
Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F (р)
символически записывается в виде:
= или F(p) =/(/).
Из свойств определенного интеграла (17.1) следует, что,
если оригинал умножается на некоторую постоянную Л, то и
изображение умножается на эту же постоянную
4f(O = 4F(p); (17.2)
очевидно также, что
2лл=2лл(Р). (17.3)
Если оригиналу f(t) соответствует изображение F (р)
то производной f (t) соответствует изображение
je-^^^ = pF(p)-f(O), (17.4)
О
или
^/(0 = pF(p)-/(0), (17.5)
где f(0) = f(O«=o—начальное значение оригинала. Интегралу
с F (р)
\ f (0 dt соответствует, изображение '7у—
О
(17.6)
• о
Изображение показательной функции (экспоненты)
• Г7-7)
изображение постоянной величины (равной нулю при /<0)
Лфу' (17’8)
Наконец, если изображение F(р) представляет собой рацио-
нальную дробь, равную отношению двух многочленов от р
то соответствующий оригинал находят при помощи теоремы
разложения
п
= (17.10)
555
где pk-—некратный корень знаменателя, определяемый из урав-
нения Д/(р) = О;
п —число этих корней, равное степени многочлена N (р)*
(эта степень всегда выше степени многочлена М (р).
Действительно, из (17.4) следует, что
о
при р—>-оо изображение F (р) = стремится к нулю.
§ 17.2. Законы Кирхгофа в операторной форме
Расчет переходных процессов классическим методом сводится
к непосредственному интегрированию дифференциальных урав-
нений, составленных на основании законов Кирхгофа для мгно-
венных значений:
Я = 0; 2
t
ri + L^ + ~^ idt + ис (0)
О
= 2>. (17.11)
Эти законы значительно упрощаются, если их подвергнуть
преобразованию Лапласа (17.1). Действительно, для отдельных
слагаемых (17.11) операционные соответствия на основании (17.2),
(17.5), (17.6) и (17.8) принимают следующий вид:
i(0 = /(p); ri = r/(p); л|==Лр/(р)-Щ0);
«с(0)ф^; е = £(р);
тогда уравнения (17.11) можно записать в виде:
2/(р) = 0; 2 [г/(р) + £р/(р)-Ь-(0) + ^ + ^] =2£(Р).
Если в последнем уравнении взять за скобку / (р) и пере-
нести в другую часть равенства слагаемые, содержащие началь-
ные значения токов в катушках и напряжений на конденсато-
рах, то получится
2/(р)(г + р£+^)=2 [^(р)д-Иь(О)-^] .
Если
F(p} =
М (р)
(р — a) N (р) ’
то теорема разложения принимает
вид
= М (а)е^ , Л М (pk) е
N (а) 1 2Li(pA-a)A (pk)
k — 1
и называется формулой включения.
556
Правая часть этого равенства представляет собой алгебраи-
ческую сумму изображений э.д.с. как внешних, так и внутрен-
них, обусловленных начальными запасами энергии магнитных
и электрических полей цепи, причем направление э.д.с.
Лй.(0) совпадает с направлением ir(0), а полярность источ-
ника р совпадает с полярностью ис(0).
Левая часть равенства выражает алгебраическую сумму про-
изведений изображений токов на операторы Z (р) = г + pL + ~ ,
рс
характеризующие сопротивления (теперь уже пассивных) участ-
ков цепи.
Таким образом, законы Кирхгофа в операторной форме
27(р) = 0; (р) (Р) = ^(Р)вНуг+в„еш
аналогичны законам Кирхгофа для постоянных токов, что дает
возможность находить неизвестные I (р) любым расчетным ме-
тодом, известным из теории цепей постоянного тока. Это изоб-
ражение, как правило, представляет собой рациональную дробь
типа (17.9)
А’(р) ’
и соответствующий ему оригинал определится по формуле (17.10)
= (17.12)
Пример 17.1. Пользуясь операторным методом, определить ток г,
в условиях примера 16 4 (рис. 16.1).
Решение Первый случай, и (t) = U = 1000 в
При этом условии
U (Р) = у='“1 0.(0) = 10я, ис(0) = 0.
557
Операторная схема имеет вид, показанный на рис. 17.1. Источники оказа-
лись в первой ветви включенными последовательно. Поэтому
. ~р +Z'ii(0) Юр2 + 314.ЗОр +3142-20 М(р}
'(Р) 2. ~ p(p2 + 2-314p+2-3142) ~N(p) '
pL+^j-
r+^c
Таким образом,
М (р) = Юр2 + 30-314р + 20-314*;
IV (р) = р (р2 + 2-314р + 2-314*).
Кории многочлена N (р) получаются нз уравнения /V(p)=0, откуда
Pi = 0; р2=(—314 + /314) 1/сек; р, = (— 314—/314) 1/селс.
Далее
N' (р) = р2 + 314-2р 4-2-314* -j-2p2 4-2-314р;
М (р,) = 20 - 3142; М (р2) = V2-10 3142 eh“°; М (ps) = /2-10 3142 е~
N' (р1) = 2-3142; N' (р2) = 2 /Т-314* е"^”’; N' (р,) = 2 /Т-3142 е/|35°.
Подстановка этих величин в формулу (17.12) приводит к искомому
решению:
/, = ер^= 10 4-5 е~8,4< [е'(814<-”>о>
й=1
_^e-/<si4/-»o°)] = (ю 4- Ю e~sl4f sin 314/) а.
Второй случай: и (t) = 2000 sin (314/ 4*90°) = 2000 cos a>t *.
Для определения iL (0) и ис (0) необходимо рассчитать режим до ком-
мутации. Так как
(со/) = Itn
// „/ (<1)/ + 90“)
v Л1 с_____________
г 4- jaL
= 10 /Tsln (01/4-45°),
TO
/Л(0)=10«
и, по-прежнему, «с(0) = 0.
Изображение напряжения U (р) можно найти, учитывая, что
Uт sin (со/ 4- 90°) = Um cos со/ = Re [Uт е/ш/] ф
Ф Re
ит
p — ia
VUm (p + /oi)-|
L p2+<o2 J
Таким образом,
l/(p) =
UmP
p24-<o2
"
* Рекомендуется вводить в расчет синусоиду а = Ат sin (со/4-«) в виде J
a — Re [Ат е’!так как в противном случае могут выпасть из
решения слагаемые, обусловленные начальными значениями (0) и ис (0).
558
и, согласно схеме, изображенной на рис. 17.1,
Г p4^ + LiL(0} [(Уи(р) + ^/.(0)(Р2 + а2)](ргС+1) М(р)
1(Р> 1 (p24-w2) (p2rLC + pL + r) N(p)'
r+^c
Корни знаменателя очевидно равны:
/>! = — ]ы = — /314 1[сек-, р2 = 4-/314 1/сек,
р8 = (—314 4-/314) 1/сек; р4 = (—314—/314) 1/сек.
Производная знаменателя
N' (Р) = 2р (p2rLC 4- pL 4- г) 4- (2prLC 4- L) (р2 4- со2).
Подстановка корней в М (р) и N' (р) дает:
М (P1) = -jo>Um(l-iarC) = - lOOOw (14-/2);
N' (Pi) — — /2<о (— co2 rLC — j(:>L^rr) = — /2co (—50—/100 4- 100) —
= — lOOw (24-/);
M (рг)=— ЮООю (1 —/2); M (ps) = — 314-500(1 4-/);
•W'(P2) = - 100® (2—/); 2V'(P.) = 314-100(24-/)!
M (p4) = —314-500(1—/); N' (p4) = 314-100 (2-j).
Искомый TOK
il (/) = У M (Pfe) ePfe< = [20sin (314/4-53° 10') 4-
4-2 K10e-’>4,sin(314/ — 71°30')]«. 2
§ 17.3. Приведение цепи к нулевым начальным условиям
Чем больше в цепи ненулевых начальных условий, т. е чем
больше токов I, (0) и напряжений ис(0), не равных нулю, тем
больше дополнительных источников приходится учитывать в опе-
раторной схеме и тем более громоздкими становятся изображе-
ния искомых величин. Расчет и изображения будут проще, если
производимую коммутацию заменить эквивалентным включением
в одних случаях источника напряжения, в других — источника
тока в цепь при нулевых начальных условиях (начальных усло-
виях покоя).
Включение ветви. Пусть напряжение на зажимах рубильника
(которым включается ветвь) равно ихол (/) = их (/). Схема рас-
чета, удовлетворяющая теореме об активном двухполюснике
(в применении к задаче из примера 16.4), приведена на рис. 17.2.
Включение рубильника в схеме, показанной на рис. 17.2, а,
аналогично выключению рубильника в схеме, изображенной на
рис. 17.2, б; расчет этой схемы, на основании принципа нало-
жения, сводится к расчету двух схем: схемы, в которой имеет
559
место докоммутационный режим (рис. 17.2, в), и схемы с единст-
венным источником напряжения, включаемым в пассивную цепь
(рис. 17.2, г). Схему, изображенную на рис. 17.2, г, целесооб-
разно рассчитать операторным методом. Действительные токи
будут равны: Л; = ii — i'i, i, = iL
Рис. 17. 2
Отключение ветви. Пусть ток ветви до ее отключения рав-
нялся to(O- После отключения (если это не противоречит закону
коммутации) этот ток станет равным нулю, что эквивалентно
включению в рассматриваемую ветвь (пассивной схемы) источ-
Рис. 17.3
ника со встречным током i0 (/). Схема расчета приведена на
рис. 17.3.
Изменение параметров ветви. Пусть в ветвь (рис. 17.4, а)
вводится дополнительный параметр (положительный или отри-
цательный), напряжение на котором, обусловленное прежним
током i (/), равняется пк (t).
Схема, изображенная на рис. 17.4. б, эквивалентна схеме,
представленной на рис. 17.4, а. В схеме, показанной на
560
рис. 17.4, в, оставлен источник напряжения, компенсирующий
ug(i), поэтому в ней существует докоммутационный режим. На
этот режим налагается режим схемы, изображенной на
Рис. 17.4
рис. 17.4, г, который целесообразно рассчитывать операторным
методом. В этом случае
^g(P) = / (Р) (''e + PLs + ^) •
§ 17.4. Формула (интеграл) Дюамеля
Формула Дюамеля дает возможность найти переходный ток
(или напряжение) любого участка линейной цепи при включении
ее под действие произвольного напряжения, если известен закон
изменения этого тока (или напряжения) при включении в цепь
постоянного напряжения. Из предыдущего известно, что в пос-
леднем случае ток (или напряжение на участке) равен произве-
дению постоянного напряжения U на некоторую функцию вре-
мени. Эту функцию называют переходной проводимостью g(t)
или переходной функцией a(t) (если она безразмерна):
= uc(t) = Ua(t).
Так, например, переходная проводимость для тока в кон-
туре (г, L)
36 Теоретические основы электротехники ч. I
561
переходная функция для напряжения ис в контуре (г, С)
а (/) = =1 — е гС.
В общем случае переходная проводимость (функция), согласно
теореме разложения,
п п
fc=l R k=l
Пусть требуется определить ток i(t) при условии, что задано
напряжение и (t) (рис. 17.5) и известна соответствующая пере-
ходная проводимость. Для этого сначала плавную кривую сле-
дует заменить ломаной линией POQ1P1Q2P2QS... Если напряже-
ние изменяется по такой ломаной линии, то это значит, что
в момент времени t = 0 в цепь включается постоянное напря-
жение U (0); через промежуток времени Дт как бы включается
добавочное постоянное напряжение Д^; через следующий про-
межуток времени Дт на цепь воздействует опять добавочное
постоянное напряжение Д2(7 и т. д.
Так как здесь рассматриваются линейные цепи, к которым
применим принцип наложения, то ток в какой-либо момент вре-
мени t можно определить, сложив для этого же момента токи,
обусловленные отдельными напряжениями. Следует только
учесть, что каждое напряжение начинает действовать в разное
время и, следовательно, к моменту t переходная проводимость
g(t) будет иметь различные значения для того или иного зна-
чения включаемого напряжения.
562
Постоянное напряжение U (0) действует весь промежуток
времени от нуля до t и к моменту t создает ток, равный
L' (O)g(Z). Постоянное напряжение Атн, появляющееся в момент т,
действует в течение времени t—т; при этом переходная прово-
димость в момент t равна g(t—т), а добавочный ток
Ах i= ATug (t—т).
Ток, создаваемый суммарным напряжением к моменту вре-
мени t,
j
или, учитывая, что (рис. 17.5) AT« = ATtga,
i (t) = U (0) g (0 + У tgag(i —т) Ат.
т “т
Если теперь интервалы времени Ат уменьшать до нуля
и заменить ступенчатую линию кривой и (/), т. е. Ат заменить
найт, tga—на = и' (т), сумму—интегралом, то
Н=т)
t
I = U(0)g (0 -4- J и' (т) g (t—т) dr. (17.13)
Полученная формула называется интегралом Дюамеля.
Пример 17.2. Найти ток в цепи состоящей из последовательно соеди-
ненных г и L; цепь включается иа напряжение, возрастающее по линей-
ному закону u(t) — Uot.
Решение. Переходная проводимость
Далее
и (0) = 0; и' (t)~Ua = u' (т); g(<—т)=-;—7-е L Т>,
Таким образом, ток в момент времени t
/(0 = 0+( Ua(l.—1е~ L * е+ L X}dr^t-
и \ Г Г J г
о
_Еде-Т'СеТ^=(4Л_^ + Ае‘Ъ.
г J г \ f г )
36»
563
§ 17.5. Включение прямоугольного импульса
В момент f = 0 (рис. 17.6) включается постоянное напряже-
ние в цепь с известной переходной проводимостью. В момент
/ = напряжение становится равным нулю, что эквивалентно
включению отрицательного напряжения, равного (—U). Ток для
моментов t > будет выражаться формулой
§ 17.6. Определение принужденного периодического
несинусоидального тока в замкнутой форме
(без разложения в ряд Фурье)
Если включаемое напряжение является периодической несинусоидаль-
ной функцией времени, то с помощью формулы Дюамеля можно рассчитать
ток (принужденную составляющую), не прибегая к разложению в ряд
Фурье. Это может оказаться полезным в тех случаях, когда ряды Фурье
медленно сходятся или когда требуется определить точную форму кривой
искомой величины.
Пусть, например, цепь, состоящая из последовательно соединенных
Г и L подключается к напряжению, периодически меняющемуся в виде
прямоугольных импульсов (рис. 17.7). Переходная проводимость
g (О =- — ~ е~а> где = X •
Каждый период состоит из двух интервалов: первый длительностью tit
в течение которого импульс напряжения действует; второй, длительностью
Т—ty, в течение которого импульс отсутствует. Для n-го периода первый
интервал определяется значениями t — (n—1) Г + х, где второй —
значениями < = (п—1)Т + х, где
Ток в течение первого интервала n-го периода может быть записан сле-
дующим образом:
<(0i=^ (7—7е'Й)-1/ +f7
— и у e-8l*-r-,1)| 4-1/ A —J-e-s«-2r)j _
____L е-3 (i-sr-ip I + J_____!_ е~5 г-1,)I -1-
[г г _| ’ [г г J
564
+ и Г-1 — ±е-« «-(«-и Г>1 = п — e-s41 + e8r + e28r+ 4.
I r r J r r
+ e<"-')SrJ £. + £. е~г*еЧ [1 + e8 г + е2?-т 4. ..,-+ &п-»ът
----------e w —-------- e 4 e'S ;-.
r r e«r—1 r---------------------------------е’Г—1
(17.14)
е5г— 1
После подстановки t = (n—l)T + x (0<x<Z,) в (17.14) и последующем
увеличении п до бесконечности появляется возможность выделить принуж-
денную составляющую тока, т. е. составляющую, не зависящую от поряд-
кового номера периода Т
U и ё'Т—е^ ?
‘(*)i = 7-Г~^г—! ” е~ (°<*<М- (1715)
Ток i (х)ц на протяжении второго интервала n-го периода получится,
если учесть дополнительный к (17.14) ток от выключенного n-го импульса,
равный
__(j Г-1__L е-5 T~tt) |
I r r J'
В результате получится
i Wli=—
U _аеп8Г—1
г е е5г_ 1
ев,Г—1
е''Т_ 1

После подстановки t — (n—^T-f-x и последующем
чении п до бесконечности получится окончательно
увели-
((%)„ =
Ц е*Г(е^1)г_гх
г е5г_ 1
(17.16)
(ii<x<T).
На стыке обоих интервалов х=(, должны получиться одинаковые зна-
чения токов (так как при наличии индуктивности ток не может измениться
скачком):
U е°г
i (Ml = ‘ (Мп = , tT - (1 - е-
г(е'Г_ 1)
Одинаковыми должны получиться токи н на границах периода
U eai —1
( (°)! =' (Ли = — - •
' е '— 1
„ , „ . . и
Наконец, при t1 = T импульсы пропадают и г1 = »п = -—.
Если прямоугольные импульсы напряжения (рис. 17.7) заменены пря-
моугольной волной напряжения, изображенной на рис. 17.8, то решение
может быть получено, если иа токи [см. формулы (17.15) и (17.16)], обуслов-
ленные системой положительных импульсов, наложить токи от такой же
системы отрицательных импульсов, соответствующим образом сдвинутых
во времени. Для этой цели необходимо заменить в формулах (17.15) и (17.16)
Т
Zj через — и из выражения (17.15) вычесть выражение 17.16, в котором
Т
вместо х следует писать x-f--^- (этим самым отрицательный ток второго
565-
интервала сдвинется влево на полпериода). В результате получается
U
U
г
2е 2 -ъх( т . л. . г А
6Т е 2 ’ 6 L ) ‘
е2 +1
Это и есть ток, соответствующий положительной полуволне напряже-
ния. Такой же ток, только обратного знака, соответствует отрицательной
полуволне напряжения.
Полученные результаты можно использовать и для цепи (г, С), если
учесть, что переходная функция a(t) для напряжения ие, равная
ц(П = 1-е-2' (* = тУ,
формально отличается от
g(t) = -—=
6' 'г г \ L )
1 я
отсутствием множителя — и другим значением о.
Так, например, в случае напряжения в виде прямоугольных импульсов
(рис. 17.7):
е’Г—e5'i > f 1 \
Цс(х)1=У_У1* е-« ;
е°г _ 1 \ го /
е’г—1
Так как ток t = C^f- и С6= —, то
dt г
U е5Г—e8fi я
<W: = -----гтЛ-е-5* (0<х<Л); (17.17)
г е°~—1
П _11 >
V—Тг ~е (17.18)
г е°т — j
666
В случае напряжения в виде прямоугольной волны (рис. 17.8):
6Г
uc(x) = U — U—--e~6jr
еТ+1
бт
П 9р 2 . / т \
е~+1
Как уже упоминалось, переходная проводимость (или функция) произ-
вольной цепи состоит из слагаемых типа
I M(Pk) ePkt =
U N' (Рк)
Ак^,
аналогичных переходной проводимости для тока в цепи (г, С):
г(О = уе"а.
Заменив в формулах (17.17)—(17.19) — через Aj и (—б) через рк, можно
получить решение для соответствующего слагаемого и, следовательно, для
искомой величины.
Пусть, например, к напряжению в виде прямоугольной волны (рис. 17.8),
присоединен колебательный контур ^при г < 2 ток которого тре-
буется определить. Переходная проводимость контура
g(/)= ’ е-М51пМ7=-4ге(-й + ^'’'
’ <o'L j2a L j2co L
Пользуясь формулой (17.19), можно записать выражение для иско-
мого тока:
(Ь-/й>') — (6 + /й>')-7-
U 2е____________2 c(-b+is>')x U 2е_______________ (-b-jta’)x
,(X)-j2<o'L (6_/#>эГ j'2co'L
е 2 +1 е 2 +1
Г (Ь+М')^- 1
Умножив числитель и знаменатель первой дроби на |_е + 1J
Г (6-/0)') — 1
а второй — на [е 2 4-1J, получается следующий результат:
2t/e-6x
4х) ~ / ЬТ , '
й7.(еьг+1+2еТсо8^
ьт
еьГ sin <о'х-(-е 2 sin со'
или
2(Уе_1>* ( Т
i (х) =-----------------------^тугг A sin (со 'х + а) I 0 < х < у
co'Z. Ceb7'4-1 -t-2e~ J
667
ЬТ —
4e^* = e 4-е 2 е 2 .
Нетрудно убедиться в том, что
г т\ 2Ue 2 sin ТГ
<(0) = 'д"гу= 7 ~ьт 't х~
ы'Т ( 1 + еЬг + 2е 2 cos J
Практический интерес представляет пилообразное напряжение (рис. 17.9),
уравнение которого для одного периода и (t)=-=-1. Пусть переходная про-
01 Т 2Т ЗТ 4Т
Рис. 17. 9
водимость g (t)=~ e~St = . Так как и'(т) = -у-, ’Го для моментов
времени t = nT + x (Q<x<T) получится следующее выражение тока:
т гт
i (0 = j j-у e-3'e?TdT — -^-е~3,е3’’ + f у-у е~3'е3т dx—
° ° r
— -£-е“8/е25г+.,.— У_е-Г*еп*т+ J Д e"Sfe8xd% =
nT
nT+x .
nf~t P , lip-®1
= J e*dr----?-_[e8r+e«r+...+e«’rj =
0
6’e-3f > U .. е(" + ’>8Г—e5r
~ m 1 1 r e e^_!
Подстановка t = nT + x и n—> oo приводят к окончательному результату.
U / 1 \ / 1 \
Цх)=—(^г----------—(0<х<Г; б = ~ ) .
' г \оТ i_e-sr J \ гС)
В случае переходной проводимости Я(0=у---Le~5f = отл
чающейся от прежней знаком минус перед переменной частью и дополни-
тельной постоянной (активной) проводимостью —, выражение для тока,
568
очевидно, будет иметь следующий вид:
, х Ux и
1^7т~Т
§ 17.7. Элементарный прямоугольный импульс;
включение произвольного напряжёния
. Если прямоугольный импульс длительностью включается ие в самой
начале периода, а в промежуточный момент т (рис. 17.10), то ток на пер-
вом интервале [для g(/) = /le_0<], согласно (17.17) и (17.18):
е°Г—еЧ
i(x)j = LU -z^—p-e (т<х<т + /1)
а на втором
i (х)„ = - и А е- <ег е-5 (т + tx х < Т + т).
е т— 1
Далее целесообразно оба интервала вписать в промежуток от нуля до Т,
поэтому ток иа части второго интервала, расположенной от Т до Т’ + т»
можно (без ущерба для его значений) записать в виде:
р’-Г (J't._П
i UA —_L'e-Mx-x+T) (о<х<,х),
что равносильно предыдущему выражению, в котором х меняется в преде-
лах от Т до Т’ + т.
Пусть теперь длительность импульса стремится к нулю так же, как
и dx. Так как
е?‘1 = Ц-б<1 + -^ + ...
и
lim (e8*i — 1) = б dx,
h'+dX
то в пределе получается следующее распределение токов:
для момента х=-х (на «протяжении» импульса)
(ST__р° «.
= Те“-^} = UA (х=т) (а).
для моментов, предшествующих импульсу,
Se_?x -
i (х) = — UA -z----е''-1 dx (0 < х < т); (б)
ег — 1
К.
569
для последующих моментов
g5re-8x
»(х) =—UA8 —т------е'"’dr (т<х<Т). (в)
ег — 1
Полученное распределение токов от элементарного импульса является
основой для расчета принужденного режима цепи, находящейся под дейст-
вием периодического напряжения произвольной формы кривой. Такое на-
пряжение может рассматриваться как совокупность элементарных импуль-
сов и (т), следующих непрерывно один за другим на протяжении периода.
Ток в момент т = х будет складываться из:
тока от импульса, существующего в этот же момент, определяемого по
формуле (а)
ia(x) = UA,
токов определяемых с помощью формулы (в) и обусловленных предшествую-
щими импульсами (для которых момент г = х является последующим)
X
еОТе-ох р
(в (х) = — ^б~еаг_1 ~ « (т) е
, о
и токов от импульсов [формула (б)], для которых рассматриваемый момент
является предшествующим,
т
16 (х) = - А и (т) е5' dr.
Таким образом,
., . .,, . . Дбе-5лг
i (х) = AU (х)-----:-----
х т
е'>г С и (т) е5г dr -[- f и (т) е6т dr
(17.20)
(полученную формулу нетрудно применить и в том случае, если напряже-
ние задано в виде осциллограммы). Формула (17.20) выведена в предполо-
жении, что на всем протяжении периода напряжение задано в виде одной
функции и (т) при 0<т<7\ Если период состоит из двух интервалов,
на каждом из которых напряжение задано по разному, например в виде
Uj (т) при 0 <т=с и и2(т) при Zi<t<7', то ток на соответствующих
интервалах выражается следующим образом:
i(x)I=4u1 (х)
4Se"’* Г зт Г , ч ,
----;--- ег I и. (т) е,т</т4-
е^-1 J
L- 0
Т
4-^ U; (т) е’т dr -J- J иг (т) е5т dr
X ti
i (х)п = Ли2(х)
A8e~ix
e5r— 1
(17.21)

570
Пусть на зажимах цепи г, С действует синусоидальное напряжение,
изображенное на рис. 17.11,
и (т) = Um sin сот — Im [1/(Яе-/шт] (0<т < Т).
В этом случае
1
гС ’
6 =
Тогда согласно, формуле (17.20),

(U е-7"*
i (x) = Im 1 m
r r (e5r— l)(6 + /co) [
_е(°+Л>) x
е5г (е0+/“») X_ц [ е0+М Т______
UmJwx UmteJu>x
г(б + /СО)
Здесь учтено, что е-/">г = e-^2" — 1.
Рис. 17.12

Пусть теперь синусоидальные импульсы непрерывны (рис. 17.12). В этом
случае
[. °* "I
Ume‘ J >
значения А и б—прежние.
Тогда
Наконец, пусть синусоидальные импульсы прерывистые (рис. 17.13).
571
Уравнение напряжения на первом интервале
Г • Я
u(T)i = (7,„sin-2- т=1ш J (0<т<^).
На втором интервале
и(т)ц = 0
Рис. 17.13
Согласно формулам (17.21)
i (х)ц = 1m
ti (х) j = Im
ит^х
г(е3г—1)
+ Im
1~>
ит* *'
'-ф
Um6^re-^ б J
г(е*г-Цб + /^
-U^^e^+lje-^
г(1—е~5Г) /б2 + ^-^
Разумеется, при tt = T получается предыдущий случай.
(О < х <
§ 17.8. О применении интеграла Фурье
Интеграл, или преобразование Фурье, является частным слу-
чаем преобразования Лапласа и получается из последнего путем
замены комплексной величины р мнимой /и (что несколько огра-
ничивает возможность его применения). Поэтому, если речь идет
(«,<*< Г).
572
только о точном расчете переходного процесса, то нет нужды
обращаться к интегралу Фурье. Однако этот интеграл представ-
ляет собой одновременно и предельный случай ряда Фурье, при
пользовании которым наиболее наглядно выступает зависимость
от частоты напряжения (или тока), приложенного к цепи с из-
вестной частотной характеристикой, что весьма важно для мно-
гих задач радиотехники, теории автоматического регулирования
и т. д. Вот почему переходные процессы целесообразно рассчи-
тывать с помощью интеграла Фурье в тех случаях, когда одно-
временно решаются такие задачи, как выбор полосы пропускания,
коррекция формы сигнала, исследование вопросов устойчивости,
качества регулирования и т. п.
Переход от ряда к интегралу Фурье можно показать следую-
щим образом. Пусть импульс напряжения (или тока) /(^вклю-
чается в цепь в момент t = Q и выключается в момент £ =
Как же будет изменяться ток какой-нибудь ветви в интервале
О ' t оо?
Задачу можно решить приближенно с помощью ряда Фурье,
если предположить, что заданный импульс является одним из
многочисленных точно таких же импульсов, повторяющихся
с некоторым периодом Т. В этом случае разложение в ряд
Фурье (§ 15.1) дает:
А(0= Е eW
П = — X
f (0 е-'пш' dt
_1^
т
где выражение в квадратных скобках представляет собой комп-
лексную амплитуду n-й гармоники приложенного напряжения
т
2
_z_
2
Найденная периодическая функция Д (t) является приближен-
ной, так как она совпадает с исходной непериодической функ-
цией f(t) только на протяжении того единственного периода,
который включает в себя интервал Полное совпаде-
ние, очевидно, получится, если Т —При этом станет
573
бесконечно малой dco; па> обратится в текущую круговую ча-
стоту и, а сумма — в интеграл. Вместо ряда Фурье получится
интеграл Фурье в комплексной форме
де Г" во
/(0= J е'шЧ g- j .
— СО L — 00
Если в состав функции /, (0 (в случае ряда Фурье) входят
гармоники с частотами, кратными основной частоте (и, 2<о, ... п<о),
а промежуточные частоты отсутствуют, то теперь (в случае ин-
теграла Фурье), поскольку основная частота стала бесконечно
малой, в состав /(0 входят все частоты, поэтому спектр частот
стал сплошным.
Выражение в квадратных скобках и здесь означает комплекс-
ную амплитуду (бесконечно малую) соответствующей гармоники,
а входящий в состав этого выражения интеграл характеризует
плотность амплитуд гармоник сплошного спектра и называется
спектральной функцией, спектральной характеристикой, или
спектральной плотностью и часто обозначается как
CD
F (/со) = f (t)e~JU>t dt.
— со
Полученная формула называется прямым преобразованием
Фурье. Оно применимо только к функциям, удовлетворяющим
условию абсолютной интегрируемости, г. е. для которых интеграл
со
1/(01 dt конечен. Если учесть, что /(0 = 0 при t <0 и что,
следовательно, нижний предел интеграла можно заменить нулем,
то нетрудно установить сходство этого интеграла с прямым пре-
образованием Лапласа
00
F (р) = J / (0 е-'Р1 dt.
О
Однако последнее преобразование применимо к более широкому
классу функций, так как условие абсолютной интегрируемости
CD
здесь выражается в том, что интеграл J |/ (0|e_,rt dt конечен, где
О
$ > 0.
Переходный процесс рассчитывают с помощью интеграла Фурье
в такой последовательности. Определяют спектральную плотность
включаемого напряжения
со
U (/ю) = и (0 e~Jmt dt,
О
574
умножают ее на соответствующую комплексную проводимость
У (/<о) (входную или взаимную) и получают спектральную плот-
ность тока
/ (/и) = U (ja1) Y (ja).
Затем, применив обратное преобразование Фурье, можно найти
искомый ток
00
Kj^^da.
— 00
1Можно также пользоваться готовыми таблицами функций и
их изображений, заменяя в них р через /и.
В качестве примеров на рис. 17.14 изображены графики не.
которых импульсов и их спектральных функций:
экспоненциальный импульс (рис. 17.14, а)
f (t) —Ее~^, = —
у а24-ог
прямоугольный импульс длительностью Т (рис. 17.14, б)
f(t) = E, F(a) = —sm-y-;
колоколообразный импульс (рис. 17.14, в)
/(0 = £е"<х/; F(co) = /^ETe’<t Л
575
§ 17.9. Элементы синтеза электрических цепей
При проектировании различных устройств автоматики, телемеханики,
каналов проводной н радиосвязи, корректирующих звеньев и других электро-
магнитных элементов и узлов очень часто появляется необходимость вы-
бирать схемы и параметры электрических цепей, удовлетворяющих опреде-
ленным требованиям. В связи с этим возникают задачи синтеза электрических
цепей. При синтезе цепи обычно ставится цель разработать такую электри-
ческую схему, процессы в которой протекали бы по заданному закону.
С этой целью схема и параметры цепи должны отвечать определенным усло-
виям, обычно задаваемым в виде частотной характеристики. Последнее
объясняется тем, что установившийся режим и переходной процесс во вся-
кой лииейиой электрической цепи
зависят от частотных свойств эле-
ментов этой цепи.
К синтезу цепей относятся
также задачи определения не-
обходимого числа элементов п нх
параметров, когда' известны ка-
чественные свойства и состав
элементов.
Разработка схемы пассивной
цепи по заданной частотной
функции называется реализацией
функции.
Решение задач синтеза обычно
сложней решения задач анализа,
цепи на внешнее воздействие (нап-
Рис. 17.15
хотя бы потому, что реакция линейной
ример, на приложенное напряжение) — однозначна, а при синтезе цепи одна и
та же задача может иметь несколько решений (или совсем не иметь решения).
Частотную функцию называют реализуемой, или осуществимой, если со-
ответствующая ей электрическая цепь может быть составлена из элементов
в виде активных сопротивлений, индуктивностей и емкостей (возможно и
трансформаторов). Если имеется несколько решений одной и той же задачи,
то предпочтительны схемы с наименьшим количеством элементов, имеющих
практически приемлемые параметры. Простейшими и наиболее удобными
параметрами служат сопротивления и емкости. Индуктивность не является
желательным элементом цепи, так как при высоких частотах междувитковая
емкость катушки может вносить большие искажения, а при работе системы
на низких частотах индуктивность обычно имеет большой вес и большие
размеры.
Далее на конкретных примерах рассматриваются некоторые передаточ-
ные функции, входные сопротивления и проводимости и излагаются наиболее
простейшие способы их реализации.
Передаточная функция четырехполюсника, изображенного на рис. 17.15,
имеет следующий вид:
Цг(Р)__. рс г.______L_
*Л(р) грс + 1’
+ рс
В случае синусоидального напряжения Ul любой частоты со передаточная
функция получается путем замены в (17.22) оператора р на /со.
Если в схеме, показанной иа (рис. 17.15), активное сопротивление г
подобрать равным 1 ом, а емкость С=1 ф, то передаточная функция при-
веденной цепи
I
Ui(P) Р +1 ’
(17.22)
576
Для схемы, изображенной на рис. 17.16, передаточная функция
рС
или
(р) _ г Ср
Ui(p) 1 + гСр'
откуда при г~1 ом и С=1 ф,
^г(Р) _ Р
Uх (р) 1 + р ' (17.23)
Передаточная функция для схемы, показанной на рис. 17.17, имеет вид:
1Л(р) pL
Ui (Р) r + pL ’
Если принять г=1 ом и L=l гн, то передаточная функция для схемы
изображенной на рис. 17.17, будет совпадать с передаточной функцией (17 231
для схемы, представленной на рис. 17.16. ' '
В задачах синтеза частотные характеристики сопротивлений, проводи-
мостей или передаточных функций могут быть заданы графически или
аналитически. Характеристика, заданная графически, может и не быть
рациональной функцией, т. е. отношением двух полиномов. В таком случае
ее аппроксимируют рациональной функцией, что, по существу, составляет
первый, чисто математический этап в задаче синтеза.
Второй этап состоит в реализации рациональных функций, чему
в основном и посвящено содержание этого параграфа.
Пример 17.3. Для полосного фильтра (рис. 17.18) написать выражение
полной проводимости Y (р).
Решение. Входная проводимость схемы равна сумме проводимостей
параллельных ветвей glt L, и Ct и проводимости всей остальной части
схемы, расположенной на рис. 17.18 справа от точек а — а, т. е. обратной
величине полному сопротивлению части схемы, расположенной справа от
указанных точек:
Z(p)=^+i+pC*+i-
37 Теоретические основы электротехники, ч. 1 577
В свою очередь сопротивление Zaa равно сумме сопротивлений г2 + рД2-|--^-
рь2
и величине, обратной сумме проводимостей части схемы, расположенной
на рис. 17.18 справа от точек б—б
^аа
-r2 + pL2 + ^r +
1
^+^+рС’
Подставив Zaa в выражение Y (р), получим:
Y
(P)=£i+^ + pCi +
г2 + рД2 + ^г +
1
Яг+^ + рС’
Это выражение можно представить в виде отношения двух полиномов от р.
При разложении заданной дробно-рациональной функции Z (р) в непре-
рывную дробь числитель ее делят на знаменатель до тех пор, пока полу-
ченное в остатке выражение не представит сопротивления или проводимости
некоторого известного двухполюсника в виде конечного звена цепочечной
схемы.
Непрерывные дроби и соответствующие им цепочечные схемы различны
в зависимости от того, как расположены полиномы в числителе и знаме-
нателе дробно-рациональной функции: по восходящим или нисходящим
степеням. Кроме того, вместо функции Z (р) можно разложить в виде
непрерывной дроби обратную функцию Y (р) = ут_т, числитель н знаменатель
Z (Р)
которой также могут располагаться по восходящим или нисходящим сте-
пеням р. Соответственно этому можно получить дополнительные разновид-
ности цепочечных схем.
Пример 17.4. Функцию F (р) = И ~Р ,9~
непрерывной дроби, приняв для простоты множитель
Решение. Выполнить разложение можно двумя
деление со слагаемого высшей степени р или, наоборот,— с низшей степени р.
представить в виде
Н равным единице,
способами, начиная
578
1
Р , 5/2р
6 ' 6р2 + 9
= р +
=р+ р 1 ।
6 т 12р__9
5 + 5
2Р
Действительно, при Я=1:
F (п> - Р4+ 1°Р2 + 9 = п ,6Р2+9 _ п ,
р’ + 4р Р^р3 + 4р Р^
6р2 + 9
1_____
P-+_L ~
6 ' 6р2-(-9
•°р+b+L-~
6 r 12р 1
5 +5р
2-9
~,,+Л+ 1 '
6 J2P j J_
5 '1'5р
18
(17.24)
С другой стороны, начиная деление со слагаемого низшей степени р, получим
9+ 10р2+ р4 _ 9 4 р2 + р* _
4р + р2 — 4р + 4р + р3 ~
=2_+______!__=JL+________!______=
4р 4р + р» 4р 16 15р3/31
31 . , 4 31р +31р2 , ,
fP’+P4 ~f-+P
= 9 1 9_________1_________9
4р ' 16 1 4р 16 1 — 4р
31р+ 31р2 31р + 961 р4
~+р _ w+w
15ра 31
31
1
_______!______
31р 961 1
60р + 15р2
31/р4
9 1
v+ 16—- I-------• <17-25)
3ip _____!_
60р 4 15
31 р
Уравнение (17.24) определяет входное полное сопротивление и прово-
димость схем, показанных на рис. 17.19, а уравнение (17.25) дает величину
входной проводимости и полного сопротивления схем, изображенных на
рис 17.20, а и б. На этих схемах индуктивности выражены в генри, а
емкости — в фарадах.
Если постоянная Н не равна единице, то каждый член числителя F (р)
должен быть умножен на эту постоянную, прежде чем будет выполнено
разложение.
579
37
Таким образом, разложение функций в виде непрерывных дробей дает
при реализации функцию входного полного сопротивления и входной про-
водимости, т. е. две различные схемы, и, кроме того, для каждой из них
получается дуальная схема.
Описанный метод разложения в виде непрерывной дроби был разрабо-
тан Кауэром. Полученные по результатам такого разложения схемы на-
зываются цепями Кауэра.
17.19
Существует несколько различных приемов для построения схемы, имею-
щей физически реализуемый входной иммитанс. Иммитансом называют
обобщенную величину, представляющую или полное сопротивление или
полную проводимость.
Рассмотрим реализацию входных иммитансов цепей, содержащих все
три элемента.
Рис. 17.20
о—
4
L,C,M
По теореме Дарлингтона, входной иммитанс любой физической схемы
с двусторонней проводимостью может быть всегда реализован в виде вход-
ного иммитанса четырехполюсника, содержащего только L, С и М (не
имеющего потерь энергии), с од-
ним сопротивлением нагрузки
(с помощью схемы, приведенной
на рис. 17.21). Общая схема Дар-
лингтона представляет собой мно-
гозвенную цепь, содержащую че-
тыре различных типа секций, для
двух из которых требуется нали-
чие взаимной индуктивности.
Ограничимся теми схемами, кото-
рые содержат лишь L и С.
Большинство цепей Дарлинг-
тона имеет форму, изображенную
на рис. 17.22, где каждое звено (элемент) представляет собой ветвь с индук-
тивностью L и емкостью С. Первое н последнее звенья (или последние
элементы) могут быть исключены, так что входное и (или) выходное звенья
о
Рис. 17.21
580
включаются параллельно, а не последовательно. Хотя каждое звено может
представлять собой весьма сложную схему, состоящую из L и С, некоторые
практически наиболее важные схемы содержат отдельные звенья, имеющие
одну из форм, показанных на рис. 17.23.
Наиболее важные схемы похожи на схему, приведенную на рис. 17.24;
их относят к той категории цепей, у которых каждое параллельное и по-
зледовательное звено содержит только или одну индуктивность L, или одну
емкость С. В качестве примера, иллюстрирующего способ получения таких
схем, рассмотрим уравнение, определяющее входную проводимость:
V/..Л Р8 + Рг + 2р + 1
₽ р2 + р + 1
Разложим это выражение в виде непрерывной дроби, начиная с высшей
степени р. Разложение нельзя начинать с низшей степе-ни р потому, что
тогда сопротивление должно быть
включено в начале, а не в конце
схемы; в результате получим
V(P) = P +-----Ц
Р + ~
Это уравнение имеет определенный
смысл и соответствует схеме, изоб-
раженной на рис. 17.25.
Простое разложение в виде неп- рис. 17.23
рерывной дроби не всегда возможно, * ч
особенно когда комбинации L и С имеются в смежных параллельных и по-
следовательных плечах. Иногда приходится сделать несколько попыток,
прежде чем станет ясным, нужно ли начинать деление остатка с высшей
Рис. 17.24
или низшей степени р. Важно, что разложение должно иметь физический
смысл. Если такое разложение не может быть выполнено с учетом условий
на зажимах или если заданы отрицательные члены, то этот простой метод
нельзя использовать.
581
Приведенное ниже уравнение характеризует многозвенную цепь, опре-
деление параметров которой выполнено методом проб:
2(Р) =
2р» + Зр2 + 2р + 1
2р2 + 2р+1
1
2р2 + 2р + 1
Р2 + р + 1
~Р + 1+2р + 2р2 Р+ 1
1 + р + р2 p!±£±J
р2 + р
1 , 1
= р - | --j--— р + —---—j =
1 +1 + р+р2
р+р2
Из этого выражения видно, что полное сопротивление, определяемое
втим уравнением, реализуется с помощью схемы, изображенной на рис. 17.26.
Можно проверить правильность разложения в виде непрерывной дроби,
рассмотрев остаток после каждого деления. Если для получения физической
Рис. 17 27
Рис. 17.26
многозвенной схемы процесс деления выполняется, то каждый остаток дол-
жен представлять собой реализуемый входной иммитанс, поэтому он должен
быть положительным и вещественным.
К наиболее важному классу цепей, полное сопротивление которых
всегда можно выразить простым разложением в виде непрерывных дробен,
относится многозвенная схема с последовательными индуктивностями L и
параллельными емкостями С.
Вопросы для самопроверки
17.1. Получить изображения следующих функций:
f(!) = e~“*—е-^; sin (со! + а) и cosco!.
17.2. Написать аналитическое выражение второго закона Кирхгофа
в операторной форме для контура, содержащего ветви с емкостью и индук-
тивностью с начальными напряжениями и токами в ветвях.
682
17.3. Как определить комплексное входное сопротивление Z (/со) некото-
рой цепи по известному операторному сопротивлению Z (р) и наоборот?
17.4. Объяснить методику расчета переходных процессов в цепи путем
приведения ее к нулевым начальным условиям.
17.5. Как применить формулу (интеграл) Дюамеля для непосредственного
определения напряжения на емкости или на индуктивности, если неразвет-
вленная цепь, состоящая из сопротивления г, емкости Си индуктивности L,
включается на постоянное напряжение?
17.6. Написать выражение для переходной проводимости трансформатора
без стального сердечника с короткозамкнутой вторичной обмоткой, если
активные сопротивления и индуктивности первичной и вторичной обмоток
соответственно равны rit Lt и r2, L2, а взаимная индуктивность между
обмотками равна М.
17.7. Зависит ли переходная проводимость любой линейной цепи от
частоты источника напряжения, действующего на ее зажимах?
17.8. Объяснить методику расчета принужденного тока в цепи, содер-
жащей г и L при периодическом несинусоидальном напряжении с помощью
переходной проводимости (не применяя разложения в ряд Фурье).
17.9. Пользуясь интегралом Фурье, найти спектральные функции для
экспоненциального и прямоугольного импульсов.
17.10. Чем отличаются задачи синтеза электрических цепей от задач
анализа?
17.11. Как определить структуру схемы по заданной передаточной
функции?
Глава XVIII
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
§ 18.1. Общий характер переходных процессов в цепях
с распределенными параметрами
В цепях с распределенными параметрами, в частности, в вы-
соковольтных сетях и линиях связи, переходные процессы воз-
никают при изменении режима цепи (включении и отключении
отдельных ветвей), а также в результате грозовых явлений.
Появляющиеся при этом перенапряжения или большие токи
нередко приводят к повреждению изоляции или других частей
экектротехнических установок, если они неверно спроектированы.
В ряде случаев переходные процессы в линиях связи определяют
качество их работы, искажения, затухание и т. д.
В отличие от переходных процессов в цепях с сосредоточен-
ными параметрами, изменение токов и напряжений в цепях
с распределенными параметрами происходит неодновременно
во всех частях установки. Изменение тока и напряжения, на-
чавшееся в каком-либо месте, распространяется на остальные
элементы цепи с конечной скоростью. Вдоль воздушных линий
эти изменения распространяются приблизительно со скоростью
583
света c = 3-10s км/сек, а в кабелях —со скоростью примерно
в два раза меньшей. Скорость распространения изменений тока
и напряжений или, как говорят, «волн» тока и напряжения, на
много порядков больше скорости перемещения электрических
зарядов (электронов) в проводах линий или кабелей. Она прак-
тически совпадает со скоростью распространения электромаг-
нитных волн в среде, окружающей проводники. В линиях такой
средой является воздух; в кабелях — изоляция между жилой и
оболочкой.
Движение «волн» тока и напряжения связано с передачей
вдоль линии электромагнитной энергии, которая сосредоточена
в поле, окружающем проводники. Распространение волн тока
и напряжения определяется взаимодействием связанных с ними
электрических и магнитных полей.
Здесь основное внимание уделено методам расчета напряже-
ний и токов в различных частях цепи с распределенными пара-
метрами при переходных процессах. При этом рассмотрение
ограничено анализом переходных процессов в симметричных
двухпроводных линиях без потерь. Для этого простейшего слу-
чая изменения тока и напряжения на элементе длины линии dx
связаны с его параметрами уравнениями (14.20) при го = 0 и
£о = О, откуда получается
ди__ , di
дх 0 dt
И
di __________________________ р ди
~dx~~-C’>~di '
Если взять частную производную по х от левой и правой частей
предпоследнего уравнения, переменить порядок дифференцирова-
ния в правой части и учесть последнее уравнение, то
д2и _ 1 д2и
дх2 и2 dt2 ’
Аналогично можно получить уравнение для тока
d2i _ 1 d2i
дх2 v2 dt2
Эти дифференциальные уравнения называются волновыми
уравнениями.
Общее решение дифференциальных уравнений для однородной
линии без потерь имеет следующий вид:
u — Fl £. + Tl) + Ft(/4-f + т2), (18.1)
i= — Fl[t — — + — + тЛ (18.2)
гс 1 v 1 ’ / zc \ v J
584
где zc= j/^—волновое, или характеристическое, сопротивле-
ние линии;
т, и т2—постоянные величины, зависяшие от выбора
системы отсчета времени и расстояний. Например, т^О, когда
отсчет расстояний х производится от начала линии, а отсчет
времени t—с момента включения рубильника в начале линии;
т2 = 0, когда начало отсчета х находится в конце линии, a t
отсчитывается с момента появления напряжения в конце линии.
В правильности уравнений (18.1) и (18.2) можно убедиться,
если их подставить в исходные дифференциальные уравнения
(при этом они превращаются в тождества).
Уравнения (18.1) и (18.2) дают закон изменения напряжения
и тока вдоль линии в самом общем случае. Они показывают,
что напряжение и ток в каждой точке линии зависят одновре-
менно от времени и координаты точки. Такого рода закон из-
менения тока и напряжения означает, что их распределение и
распространение вдоль линии носит волновой характер.
Вид функций Fl и Ft определяется граничными условиями
(в начале и конце линии). Прежде чем познакомиться с этим
вопросом, следует рассмотреть более подробно смысл функций
Fг и F2, учитывая, что каждая из них является частным реше-
нием дифференциальных уравнений однородной линии.
Для упрощения анализа функции Fx можно положить, что
F2 = 0, координата х отсчитывается от начала линии, время t —
с момента приложения напряжения к началу линии. Тогда
т1 = 0, и функция Fl описывает распределение напряжения вдоль
линии для любого момента времени:
« = у)- (18-3>
На рис. 18.1 в качестве примера изображена кривая рас-
пределения напряжения, определяемая функцией Flt для неко-
торого момента времени ta. На этой кривой отмечена точка,
находящаяся на расстоянии х0 от начала линии, с напряжением
585
un = F1^ta—yj. Необходимо выяснить, в какой точке линии
напряжение будет равно и0 в другой произвольный момент вре-
мени Для этой точки, очевидно, справедливо равенство
0 V V ’
ИЛИ
х = х0 + и(^ —Q.
Из этого выражения следует, что ордината иа первоначаль-
ной кривой за время \t = t — t , двигаясь равномерно со ско-
ростью v, переместилась вдоль 'линии на расстояние Ах = х—•
— х0 = иД/. Подобное рассуждение справедливо для любой орди-
наты первоначальной кривой напряжения. Поэтому можно счи-
тать, что за любой интервал времени А/ вся кривая напряжения
оказывается сдвинутой без искажения и затухания на расстояние
Ах=иА/ вдоль линии.
Иначе говоря, напряжение распространяется вдоль линии без
потерь в виде волны, которая движется без деформации со ско-
ростью v = г - :. Эта волна, определяемая функцией F 1( назы-
вается падающей волной.
Сделанные выше выводы относятся к идеализированной линии
без потерь. Поэтому они дают практически правильную картину
для коротких хорошо изолированных линий, если активным
сопротивлением проводов можно пренебречь. В действительности
же в линиях имеются потери энергии и в проводах, и в изоля-
ции, что приводит к усложнению явлений. В линиях с поте-
рями волна напряжения по мере движения вдоль линии будет
затухать, т. е. постепенно уменьшаться по амплитуде, а так-
же деформироваться (менять свою форму). Это сильно за-
трудняет передачу сигналов по линиям значительной протяжен-
ности. Однако, чтобы познакомиться с основными особенностями
переходных процессов в цепях с распределенными постоянными,
дальнейшее рассмотрение будет ограничено линией без потерь.
Аргументы функций F2 и F1 отличаются только знаками перед
членами, в которые входит скорость. Это означает, что F2 опре-
деляет волну напряжения, бегущую от конца линии к ее началу,
поскольку для нее направление вектора скорости противоположно
направлению вектора скорости падающей волны. Волна напря-
жения, определяемая функцией F2, называется отраженной волной.
В общем случае напряжение на линии складывается, согласно
(18.1), из напряжения падающей волны
^ = F\t-^ + x^ (18.4)
586
и напряжения отраженной волны
“отр = ^2(^+7 + т2) . (18.5)
Уравнение (18.2) для тока также имеет две составляющие.
Первая составляющая определяет ток падающей волны
i =_L F (t~- + т^ , (18.6)
а вторая — ток отраженной волны
Падающие и отраженные волны возникают не сразу во всех
точках линии. После присоединения к источнику энергии сна-
чала появляется только падающая волна. В момент включения
линии (^ = 0) она начинает свое движение от места присоедине-
ния источника энергии (х = 0) по направлению к концу линии.
Если до включения линии напряжение на ней отсутствовало,
то оно будет равно нулю (м = 0) в том участке линии, до кото-
рого падающая волна еще не дошла. В точках линии, до которых
падающая волна уже дошла, напряжение равно напряжению
падающей волны.
В точках, до которых еще не дошла отраженная волна, на-
пряжение по-прежнему равно напряжению падающей волны.
И только в самом общем случае, в тех точках линии, где
имеются и падающая, и отраженная волны, напряжение и ток
получаются в результате наложения падающих и отраженных
волн:
U = Ипад Н-«отр> (18.8)
^'пад 1'отр’ (18.9)
Уравнение (18.8) непосредственно следует из уравнений
(18.1), (18.4) и (18.5), а уравнение (18.9) — из уравнений (18.2),
(18.6) и (18.7).
Если падающие и отраженные волны напряжения определены,
то найти волны тока не представляет труда, так как волны
напряжения и тока связаны между собой соотношением, анало-
гичным закону Ома:
“над “огр ,.Q .
]—= (18.10)
•пад 1отр
С помощью уравнения (18.10) можно доказать, что энергия
магнитного поля волны равняется энергии ее электрического
поля. Например, энергия магнитного поля падающей волны,
отнесенная к единице длины линии, равна энергии ее электри-
587
ческого поля:
Аналогично можно доказать, что для отраженной волны
w „ = W
w и. отр w э. отр*
§ 18.2. Расчет напряжения падающей волны
Пусть известно напряжение, приложенное к началу незаря-
женной линии
(18-11)
Тогда уравнение падающей волны можно найти из рассмотре-
ния явлений в начале процесса, когда отраженная волна еще
не появилась (uorp = 0). Напряжение в линии в этом случае
• (18-12)
Для начала линии, где х = 0, напряжение равно напряжению
источника энергии:
u(0,/) = F1(/) = u1(0- (18.13)
Из сравнения (18.13) и (18.12) видно, что уравнение падаю-
щей волны в начале линии совпадает с уравнением напряжения
источника энергии, а в остальных точках отличается от него
только аргументом —— вместо . Следовательно, для полу-
чения уравнения напряжения падающей волны необходимо
в уравнении напряжения в начале линии заменить t на t—^-:
«пад = и1(/-^). (18.14)
Уравнение (18.14) дает возможность рассчитать напряжение
падающей волны в любой момент времени /^0 в точках линии,
для которых x^vt по известному уравнению напряжения в на-
чале линии. Пользуясь формулой (18.10), легко найти уравнение
тока падающей волны.
Пример 18.1. По воздушной линии длиной 1= 120 км распространяется
волна с напряжением в начале линии «! = (/<> (1—e~af), причем 1/0= 1000 кв
и а = 5000 сек~‘. Построить график распределения напряжения падающей
волны вдоль линии спустя 0,6 мсек после начала распространения волны.
Решение. Исходя из заданного напряжения в начале линии и общего
правила (18.14)
«пад=«| ('-7) = ^
588
Для воздушной линии скорость ВОЛНЫ V = 3-105 км/сек, и по условиям
задачи t = 0,6- 10~s сек. Таким образом, распределение напряжения вдоль
линии определяется по формуле:
[— s -1 о3 ( о, g io ~3-—_ 'j 1
1—е Ч ’"’/J кв.
Для построения кривой необходимо произвести расчет напряжения для
нескольких точек и представить его в виде табл. 18.1.
Таблица 18.1.
Расчетные точки КМ X V ’ мсек “(-V) “пад- “
1 0 0,0 3,0 950
2 30 0,1 2,5 918
3 60 0,2 2,0 865
4 90 0,3 1,5 777
5 120 0,4 1,0 632
6 150 0,5 0,5 394
7 180 0,6 0,0 0
По данным, приведенным в табл. 18.1, на рис. 18.2 построен график
распределения напряжения падающей волны вдоль линии.
Полезно сравнить полученный график распределения напряжения вдодь
линии в зависимости от координаты х (рис. 18.2) с графиком изменения
напряжения в начале линии в зависимости от времени t (рис. 18.3). Не-
трудно видеть, что кривые напряжения на обоих графиках имеют одинако-
вую форму. Это будет особенно ясно, если предположить, что линия имеет
большую длину, и продолжить график распределения напряжения до точки
xa=vt, до которой могла бы распространиться волна к рассматриваемому
времени (/ = 0,6 мсек). Такое продолжение графика показано на рис. 18.2
пунктиром.
Можно показать, что отмеченная аналогия графиков напряжения
°лад(*) и Uj(Z) имеет место не только в условиях предыдущего примера,
589
но носит более общий характер. Для этого удобно перейти к несколько
иной координатной системе отсчета расстояний, которая неподвижна отно-
сительно бегущей волны. Начало отсчета N (рис. 18.4) в этой системе
совмещено с началом или фронтом бегущей волны. Оно находится на рас-
стоянии xa—vt от начала линии, равномерно перемещаясь вдоль линии со
скоростью V. За положительное направление отсчета расстояний | прини-
мается направление от фронта бегущей волны (от точки N) вдоль линии
в сторону ее начала. На рис. 18.4 показано
в качестве примера распределение напряже-
ния некоторой падающей волны одновременно
в двух системах координат: во-первых, в
обычной неподвижной системе отсчета рас-
стояний х с началом 0 в начале линии и,
во-вторых, в рассмотренной выше скользящей
системе отсчета расстояний | с началом в
точке Л' на фронте бегущей волны. Рассмат-
ривая положение произвольной точки А
(рис. 18.4), находящейся на расстоянии х от
начала линии и на расстоянии | от фронта
волны, нетрудно убедиться, что координаты
точек в неподвижной и скользящей системах
координат связаны соотношением:
х = х0 — l = vt~ |.
(18.15)
Уравнение падающей волны в скользящей системе координат получается
из уравнения (18.14) в неподвижной системе координат путем подстановки
в него (18.15):
“пад=и1^ ~v'}==U'1 0 гГ'2’^ = М1 (v”)’ (18.16)
Сравнение напряжения в начале линии и, (() с полученным напряже-
нием падающей волны в скользящей системе координат ипад = п1^-|-^
показывает, что кривые, выражающие эти функции, должны иметь всегда
одинаковую форму.
При надлежащем выборе масштабов для аргументов кривая распреде-
ления напряжения вдоль линии (в зависимости от координаты |) должна
полностью совпадать с кривой зависимости напряжения в начале линии от
времени t. Для этого достаточно выбрать масштаб расстояний так, чтобы
' (18.17)
590
где mt—масштаб времени. Например, если масштаб времени mt— 1 мксек'см,
то масштаб расстояний следует взять равным m. = vmt = 300 м/см
(u = 3-10s км/сек). Тогда с помощью одной кривой (рис, с18.5) можно пред-
ставить две разные функции: ut(t) и ипад(|). Вдоль оси абсцисс должны
быть нанесены две шкалы: времени (?) и расстояний (|). Если условие (18.17)
выполнено, каждой масштабной от-
метке времени будет соответствовать
масштабная отметка того расстояния,
которое волна пробегает за соответ-
ствующее время Например, на рис.
18.5 масштабной отметке на оси вре-
мени 1 мксек соответствует масштаб-
ная отметка 300 м на оси расстоя-
ний
Рассмотренные свойства падаю-
щей волны дают возможность упрос-
тить построение распределения нап-
ряжения падающей волны ипад (х) в
какой-то определенный момент вре-
мени t, если напряжение в начале
линии задано графиком (t). Пост-
роение в этом случае производится в следующем порядке: под графиком
и, (t) наносится шкала расстояний £,= vt и строится координатная система
в неподвижной системе отсчета расстояний, начало которой (0) соответст-
вует началу линии (рис. 18.6). При этом масштаб вдоль обеих коорди-
натных осей должен быть взят таким же, как н на исходном графике
для Uj и 5 (рис. 18.5). Затем на координатной оси х (рис. 18.6) нано-
сится начало (точка N) скользящей оси на расстоянии x0=vt, где
t—рассматриваемый момент времени. От точки Л' влево строится ось £ с та-
ким же масштабом, как и на оси х. В полученную координатную систему
механически (без пересчетов) переносится кривая и, (?), которая дает
искомую кривую Мпад (х).
Единственное различие кривых (?) и «пад (х) при таком построении
будет связано с тем, что кривая кпад(х) получается поворотом кривой (?)
вокруг вертикальной оси, проходящей через фронт волны в точке N.
Если линия присоединяется, например, к источнику постоян-
ного напряжения U, то напряжение в начале линии до момента
включения (/ <0) равно нулю, а после включения (/ ЭэО) равно U
591
(рис. 18.7). Поэтому распространяющаяся по линии волна будет
иметь форму импульса бесконечной длины с прямоугольным
фронтом (рис. 18.8)
§ 18.3. Ток и напряжение в конце линии
Расчетные уравнения для напряжения и тока в конце линии
могут быть получены из уравнений, справедливых для любой
точки линии:

. ^отр
*«ГР =
тогда
. . . ^пад ^отр
1 — гпад 1отр = >
Zcl = Ипдд ^0Тр,
Ч ~ ^пад + Worp-
Почленное сложение последних двух уравнений дает:
2ипЛД = и +гсг
В дальнейшем токи и напряжения в конце линии будут от-
мечаться индексом «2», а в начале — индексом «1» (рис. 18.9).
В частности, если последнее уравнение, справедливое для любой
точки линии, должно быть использовано для конца линии, то
его можно переписать с учетом принятых обозначений следую-
щим образом:
2и211дд = zcz2и2, (18.18)
592
где и2пад—напряжение падающей волны в конце линии;
/2 — ток в конце линии;
и2—напряжение в конце линии.
Уравнение (18.18) недостаточно для определения тока и на-
пряжения, поскольку в него входят две неизвестные величины
(иг и t2). Дополнительное условие, связывающее неизвестные,
зависит от нагрузки. Например, для активной нагрузки
«, = п2. (18.19)
где г—сопротивление нагрузки.
Рис 18.9
Расчетные уравнения для этого случая вытекают из
и (18.19):
. 2и2пад
'2==^ГР ’
2г
= zc+ г и2"аД-
Уравнение (18.21)
иногда записывают в виде
(18.18)
(18.20)
(18.21)
U2 ',И2пад>
где п—коэффициент преломления:
Рис. 18.10
Если к концу линии присое-
динена индуктивность и емкость,
то расчет удобней вести исходя из
схемы замещения (рис. 18.10), со-
ответствующей уравнению (18.18).
При использовании этой схемы
следует помнить, что токи и напряжения в ней появляются
не сразу после включения рубильника в начале линии (/ = 0),
а только после распространения падающей волны по всей линии.
Поэтому при расчете схемы замещения удобнее начинать отсчет
времени с момента =т) пРих°Да падающей волны к концу
линии. Время, отсчитываемое от этого момента, в дальнейшем
38 Теоретические основы электротехники, ч. 1
593
будет обозначаться через ,
6 = / — —.
V
Согласно (18.14), напряжение падающей волны в конце линии
(х = /):
«2пад=«1(<-4)=ил0)- <18-23>
Таким образом, схема замещения
чета напряжений и токов в конце
длинной линии для рас-
линии имеет вид, изо-
браженный на рис. 18.11.
Следовательно, для со-
ставления схемы замеще-
ния необходимо:
а) последовательно с
нагрузкой, включенной в
конце линии, соединить
активное (сосредоточенное)
сопротивление, равное ха-
рактеристическому сопро-
тивлению линии;
б) подключить генера-
тор с напряжением, рав-
ным двойному напряже-
рубильника К2 в момент при-
нию в начале линии, при помощи [
хода падающей волны к концу линии, когда 0 = 0.
Схема, показанная на рис. 18.11, позволяет расчет переход-
ных процессов в цепи с распределенными
к расчету переходных про-
цессов в цепи с сосредото-
ченными параметрами. Схема
дает значения напряжения
и тока в конце линии только
до момента прихода к концу
линии новых падающих волн,
связанных, например, с пов-
торными отражениями от на-
чала линии.
параметрами свести
Пример 18.2. Определить ток
и напряжение в конце линии
длиной I с характеристическим сопротивлением г^. В конце линии при-
соединена индуктивность L. Напряжение в начале линии
И1 = Сое-’<
Решение. Составляется схема замещения (рис. 18.12) и рассчиты-
вается, так же, как и цепь с сосредоточенными параметрами. Для этой
схемы операторное сопротивление
2(р) = ?с + рС
Z (— а) = гс—aL
594
и производная
Z' (р) = £.
Корень уравнения Z(p) = 0 равен р1 = — Z-~ .
Согласно формуле включения (стр. 556) для экспоненциального напря-
жения
'г Z(—a)~r(pl+a)Z'(pi) zc — aL'
zc ,
2U„e~~ 1
или
• 2{7o
‘2 zc — aL
Как видно из рис. 18.12 напряжение в конце линии
и2 = 2иг —гс(2 = 2(70е ^ — 2^0^^^
= 2Ц> ( -aL -----’
\aL— zc aL —zc
или
§ 18.4. Расчет напряжения отраженной волны
Напряжение отраженной волны в конце линии (х = /) в общем
виде, согласно (18.5),
«аогР = Л^ + 4 + т2). (18.24)
Это напряжение может быть определено из схемы замещения,
согласно уравнению (18.8):
^2огр ~ ^гпад’
Напряжение в конце линии начинает изменяться только после
прихода падающей волны. Поэтому уравнения для и2 и и2паД
обычно получаются из предыдущего расчета в виде функции от
переменной
е = <-7-' + |-7- (18.25)
38*
595
’то
Из уравнений (18.24) и (18.25) следует, что если положить
тг = --.
2 v
(18.26)
«2ОГР=^(0)‘ (18.27)
Напряжение отраженной волны в произвольной точке линии,
в соответствии с уравнением (18.5),
uorp ‘2(^'1" v T2 j »
21
где, согласно (18.26), т2 = ——.
Сравнение уравнений (18.5) и (18.27) дает возможность сде-
лать следующий вывод. Если известно уравнение напряжения
отраженной волны в конце линии в виде функции
“2Огр = “2отр(0)> (18-28)
то для получения напряжения отраженной волны «огр в любой
точке, находящейся на расстоянии х от начала линии, необхо-
димо заменить в полученном уравнении переменную 0 = t—~
х *21
переменной 14--------, т. е.
г ' V V
(18.29)
Пример 18.3. Определить напряжение отраженной волны в условиях
примера 18.2
Решение. Выше было получено
Поэтому
u2=z2LU -ra~- e~a0-
0 \aL — zc
^гпад “ ^oe
----------- 9
е L
a£— zc
-«0
,, । &.L -4- zc 2z^ r f> I ....
“готр^^г и2пад~^о\ д£ ZL 6 ZL e J ~ ^готр
Следовательно,
иотр— U2OTp
2Z
V
_ at + zc ~a
0 LaL—zc
-.-гс- е
at — гс
Уравнение (18.29) дает аналитическое выражение для распре-
деления напряжения отраженной волны вдоль линии. Оно позво-
ляет найти расчетным путем напряжения и ток отраженной волны
в любой момент времени ^>4") й в ЛК)б°й точке линии (21—
— vt <.х Необходимо напомнить, что в уравнении (18.29)
596
расстояние х отсчитывается от начала линии (исходной точки
движения падающей волны), а время t—от момента начала дви-
жения падающей волны.
Иногда при расчетах и построениях графиков отраженных
волн расстояния (у) отсчитывают от конца первой линии в сто-
рону ее начала, а время (0)—от момента начала движения отра-
женной волны. Уравнение отраженной волны в новой системе
координат может быть получено из уравнения (18.29) после
подстановки в него
х = 1—у (18.30)
и
0 —.
V
В результате этого уравнение отраженной волны
«огр = «гогр(0—?)• (18.31)
Сравнение выражений (18.31) и (18.28) показывает, что в но-
вой системе координат переход от напряжения отраженной волны
в конце линии к напряжению отраженной волны в любой точке
осуществляется заменой аргумента 0 на 0—т. е. аналогично
переходу от напряжения падающей волны в начале линии к на-
пряжению падающей волны в любой точке. В случае падающей
волны перех’од связан с заменой аргумента t на t—в соот-
ветствии с уравнением (18.14).
Таким образом, если при расчете волны всегда отсчитывать
время i с момента начала движения рассматриваемой волны от
какой-нибудь точки, а расстояния х откладывать по направлению
движения волны от той точки, откуда волна начинает движение,
то можно сформулировать очень простое общее правило: если
в начальной точке движения (х = 0) волна меняется во времени
по закону F(t), то в другой точке, находящейся от исходной на
расстоянии х, волна будет меняться по закону F — у), где
v — скорость движения волны в линии и x<Zvt.
Основные достоинства правила: простота и универсальность,
т. е. одинаковая применимость как для падающих, так и отра-
женных волн, а также для каждой из волн, возникающих при
последовательном соединении нескольких линий (о чем далее
подробнее будет сказано). Однако при пользовании правилом
для каждой волны приходится выбирать свою систему отсчета
расстояний и времени.
В § 18.2, отмечалось, что кривая распределения напряжения
и тока падающей волны вдоль линии, в зависимости от расстоя-
ния х, имеет гу же форму, что и кривая напряжения и тока
597
этой волны, в зависимости от времени (, в начале линии.
Это было показано исходя из уравнений (18.11) и (18.14).
Для отраженных волн структура уравнений (18.28) и (18.31)
оказывается аналогичной уравнениям (18.11) и (18.14). Поэтому
отмеченное выше свойство падающих волн должно быть справед-
ливым и для отраженных волн, т. е. кривые изменения напря-
жения и тока отраженной волны в зависимости от расстояния
должны совпадать по форме с кривыми зависимостей этих вели-
чин от времени в конце линии. Для отраженной волны построение
Рис. 18.13
графика распределения напряжения (или тока) вдоль линии,
т. е. в зависимости от координаты, может быть произведено по
известной кривой изменения напряжения (или тока) в зависи-
мости от времени (0) в таком же порядке, как это было сделано
для падающей волны.
Кривую напряжения отраженной волны иг0Тр (0) можно полу-
чить также графическим путем, исходя из уравнения (18.1):
И2отр — U2naa“^2 (8) (8)’ (18.32)
Пример 18.4. Построить распределение напояжения и тока отраженной
волны в условиях примера 18.2 для момента, когда отраженная волна
пройдет 2;3 линии; при этом /70= 1000 кв, а = 3000 1/сек, £ = 0,01 гн.,
гс = 400 ом, / = 180 км.
Решение. В примере 18 3 было найдено уравнение напряжения отра-
женной волны, которое дает аналитическое решение поставленной задачи
598
рассматриваемый момент времени
уравнением (18.32). За-
0 проводится парал-
расстояний £, масштабные
которой увязываются с
отметками 0 таким обра-
мсек на оси времени со-
отрезок 300 км (путь,
волиой вдоль воздушной
5 I
при условии если в полученном уравнении положить <== —— (такое время
необходимо, чтобы падающая волна прошла всю линию, а отраженная —
две трети).
В качестве примера поставленная задача решается графически. При этом
принимается, что известны только зависимости от времени напряжения щ
в начале линии и и2 в конце линии
в виде графиков. Обе кривые пост-
роены на рис. 18.13 в функции времени
0. Разность ординат этих кривых дает
ординаты кривой напряжения отражен-
ной волны в конце линии и2отр (0) в
соответствии с ;
тем под осью
лельно ей ось
отметки на
масштабными
зом, чтобы 1
ответствовал
проходимый
линии за время в 1 мсек). При таком
выборе масштабов кривая и20тр (0) одно-
временно будет являться кривой uorp(£)
в скользящей системе координат, начало
которой совпадает с фронтом волны. Для
построения искомой кривой распреде-
ления напряжения полученную кривую
иотр(£) следует перенести «иа линию»
(рис. 18.14), совмещая начало коорди-
нат М с фронтом волны, находящимся
2Z
на расстоянии j/o=t>0= -_- = 120 км от конца линии,
и
В случае активной нагрузки (г) в конце линии при нахож-
дении отраженной волны удобно пользоваться
отражения:
в
коэффициентом
fjl = ^2ОГР __. *20 ГР
^2пад *2пад
Из уравнений (18.8) и (18.21) следует, что
_ _r—zc
u2OTp~ u2 и2пад — Zq-^-Г И2пад и2пад —
Из уравнений (18.9) и (18.20) можно убедиться,
: — ; ; ^ц2пад 2гС ______
‘готр-(гпад Ч— 'гпад Zc_^.r~ ‘глад f‘гпад — f 'глад-
иапаД’
ЧТО
Таким образом, в этом случае коэффициент отражения
г—гг
т = ——-.
(18 33)
Ранее отмечалось, что график напряжения падающей волны
в конце линии, построенный в зависимости от времени t, совпа-
дает с графиком напряжения в начале линии, если по оси
599
абсцисс отложить функцию времени 9: «2Пад = и1(9). Поэтому
напряжение (ток) отраженной волны в конце линии в зависи-
мости от времени (9)
^аогр ~ ^^2пад = ти1 (9)
может быть получено пропорциональным уменьшением напряже-
ния (тока) в начале линии в соответствии с величиной коэффи-
циента отражения.
При коротком замыкании на конце линии (г = 0) коэффициент
отражения [см. (18.33)] т — —1, т. е. отраженная вотна в конце
линии равна по величине падающей волне и противоположна
ей по знаку. При холостом ходе (г = оо) /п= 1, т. е. отраженная
волна в конце линии равна и по величине, и по знаку падаю-
щей волне. При согласованной нагрузке (r — zc) отраженные
волны отсутствуют (т = 0).
Таким образом, переходные процессы в линии связаны с рас-
пространением падающих и отраженных волн. Форма падающей
волны напряжения при включении линии определяется напря-
жением источника энергии в начале линии. Форма отраженной
волны напряжения определяется законом изменения напряжения
отраженной волны во времени в конце линии. Это напряжение
может быть найдено путем расчета схемы замещения длинной
линии. Ток и напряжение падающей (отраженной) волны свя-
заны выражением, аналогичным закону Ома, причем в качестве
сопротивления должно быть взято характеристическое сопротив-
ление линии zc. Результирующие напряжения и токи в каждой
точке линии подсчитываются сложением напряжений и вычита-
нием токов падающей и отраженной волн.
Пример 18.5. По воздушной линии с волновым сопротивлением гс —
= 400 ом и длиной /=180 км распространяется волна с напряжением вна-
чале линии и}~-и причем (7о=1ООО кв, а = 3000 1/cjm. В конце линии
присоединена индуктивность L = 0,01 гн. Построить кривые распределения
тока и напряжения вдоль линии спустя ta— 10“• сек после начала ее расп-
ространения.
Решение. График изменения напряжения ut в начале линии в за-
висимости от времени t приведен на рнс. 18.13. Этот график при выбран-
ных па рисунке масштабах совпадает с кривой изменения напряжения
падающей волны
—a
«падкое
в зависимости от расстояния в скользящей системе координат g. График
распределения напряжения падающей волны ипдд(х) вдоль линии построен
на рис. 18.15 переносом «на линию» кривой ипад(§), изображенной на
рис. 18.13. Начало подвижной системы координат £ выбрано на расстоянии
х0=Щ0 = 3.105' 10-’ = 300 км от начала линии. Участок кривой, расположен-
ный вне линии, вычерчен пунктиром. График напряжения отраженной
волны на рис. 18.15 перенесен из предыдущего примера.
Кривая распределения результирующего напряжения на протяжении
первых 60 км будет совпадать с кривой напряжения падающей волны
600
(и = ипад), так как до этой части линии отраженная волна еще не дошла.
На остальной части линии результирующее напряжение получается алгеб-
раическим сложением напряжений падающей и отраженной волн:
u ~ ипад + иогр’
Поскольку токи падающей и отраженной волн пропорциональны соот-
ветственно напряжениям падающей и отраженной волн, то кривые для волн
токов будут подобны кривым волн напряжения; они отличаются только
масштабом (рис. 18.16). На первой трети линии результирующий ток
‘ = 'пад, на остальной части линии i = (пад—«'отр.
§ 18.5. Переход волн с одной линии на другую
Очень часто воздушная линия переходит в кабельную, и
наоборот. Такой переход делают, например, при пересечении
линий связи с высоковольтными или железнодорожными линиями
или на подходах воздушных линий генераторного напряжения
к электрическим станциям (иногда это делается для ограничения
перенапряжений). В этих и подобных случаях две линии с раз-
ными волновыми сопротивлениями оказываются включенными
последовательно. Волна, движущаяся по одной из линий и по-
падая на другую, изменяет свою амплитуду («преломляется» и
частично «отражается» от места соединения линий).
На рис. 18.17 конец линии с волновым сопротивлением zct
соединен со второй линией с волновым сопротивлением zc2, а на-
чало присоединяется к источнику напряжения
меняющегося во времени по произвольному закону. Все величины,
кроме волнового сопротивления и длины, относящиеся к первой
линии, будут обозначаться с одним штрихом, а ко второй —
с двумя штрихами.
601
После замыкания рубильника, включенного в начале первой
линии, по ней начнет распространяться волна
«пад = г(г~). (18.34)
Напряжение и2 в конце первой линии после того, как до него
дойдет падающая волна, можно найти из уравнения (18.18):
2н2пад "Н ^2*
(18.35)
Рис. 18.17
Напряжение и ток в конце первой линии должны совпадать
с напряжением и током в начале второй линии (и2 = и/, —
До появления волн, отраженных от конца второй линии, на-
пряжение и[ и ток в ее начале будет определяться только
напряжением и током падающей волны, они связаны равенствами
«1 = гс21'1 = zc2i2 = U2-
С учетом этого из (18.35) следует, что
2//2пад ~ ^C2Z2,
или, с учетом (18.23) и (18.35)
f 2и^ад = 2/ (9') .
2 ZC1 + гСг гС, + гСг *
Здесь 0'= t'———время, отсчитываемое от момента прихода
падающей волны в точку соединения линий (Zt—длина, a v' —
скорость распространения волн первой линии).
Напряжение в конце первой линии
гСх + ZC2
Уравнения (18.36) и (18.37) показывают, что напряжение и ток
в точке соединения двух линий могут быть подсчитаны с помо-
щью схемы замещения (рис. 18.18). Этот случай аналогичен
случаю, когда в конце первой линии имеется сосредоточенная
нагрузка с сопротивлением г2 (рис. 18.11). В данном случае роль
602
(18.36)
(18.37)
сопротивления нагрузки играет волновое сопротивление второй
линии гсг. В остальном схемы, изображенные на рис. 18.11 и
18.18, тождественны. Поэтому для точки соединения двух линий
коэффициент преломления получается, если положить в уравне-
нии (18.22) r = Zca:
2Zf2
п =—~~ ,
2С, + 2Са
а коэффициент отражения находится непосредственно из уравне-
ния (18.33):
_ 2Сг — 2С1
2Ca + 2Ci "
Следует обратить внимание на то, что в эквивалентную схему
(рис. 18.18) для точки соединения двух линий не входит сопро-
тивление нагрузки второй линии и для этой узловой точки не
имеет значения замкнут или разомк-
нут конец второй линии. Это полу-
чается потому, что эквивалентная
схема и уравнения (18.36) и (18.37)
справедливы до прихода волн, отра-
женных от конца второй линии, а
отношение напряжения к току па-
дающей волны во второй линии рав-
но ее волновому сопротивлению.
Рис. 18.18
Напряжение в начале второй линии совпадает, как уже отме-
чалось, с напряжением в конце первой линии и одновременно
равно напряжению падающей волны в начале второй линии.
Поэтому
^бпад— — nf (0 ).
(18.38)
т
Вид уравнения напряжения падающей волны в любой точке
второй линии зависит от системы отсчета времени и расстояний.
Проще всего расстояние (х") отсчитывать от начала второй линии,
а время (Г = 0')—от момента появления напряжения в начале
второй линии. Тогда можно воспользоваться полученным ранее
правилом, согласно которому уравнение напряжения падающей
волны в любой точке второй линии с учетом (18.38) должно
иметь вид:
«"пад = п/(Г-^). (18.39)
Сравнение уравнений (18.34) и (18.39) показывает, что волна,
распространяющаяся по второй линии, имеет ту же форму, что
и создающая ее падающая волна первой линии (закон изменения
их во времени и по длине линии определяется одной и той же
функцией f). Преломление волн в рассмотренном случае происхо-
дит без искажения их формы. Преломленная волна имеет только
603
другую амплитуду в соответствии с величиной коэффициента
преломления п. Если zc2>zc,, то п>1, и преломленная волна
напряжения больше падающей.
Отраженная волна, распространяющаяся по первой линии
(от точки перехода во вторую линию) на ее конце имеет величину
Наотр — ЩНгпад — Л1/ (0 ),
(18.40)
а в других точках, согласно (18.31),—
u0Tp = mf р-) . (18.41)
Сравнение уравнений (18.34) и (18.41) показывает, что отра-
женная волна имеет ту же форму, что и падающая. Они отли-
чаются только величиной амплитуды в соответствии с коэффи-
циентом отражения. Если zct>zc2, то отраженная волна напря-
жения имеет знак, противоположный падающей; если zcl<Zzc^
то падающая и отраженная волны имеют одинаковые знаки.
Пример 18.6. К началу воздушной линии с волновым сопротивлением
гС1 = 450 ojh и длиной Ц = 120 км присоединен источник напряжения «,=
= С/0(1—е~at), причем Ua= 100 кв, а = 5000 1/сек, а к концу линии—кабель
с волновым сопротивлением zC2 = 50 ом и длиной 30 км. Конец кабеля ра-
зомкнут. Построить график распределения напряжения и тока вдоль линии
спустя т = 0,7 мсек после включения источника напряжения.
Решение. Напряжение падающей волны на различных расстояниях
(х') от начала первой линии
“паД=^о [1-е = 100 [1-е-О’0167*210-*')] кв,
так как для воздушной линии t/=3-103 км/сек, а по условию Н=т=0,7-10”’сек.
Числовые расчеты сведены в табл. 18.2.
Таблица 18.2
х', км “('-Я «лад- “ _ %ад ‘пад~ zCi а
0 3,5 0,030 97,0 216
30 3,0 0,050 95,0 211
60 2,5 0,082 91,8 204
90 2,0 0,135 86,5 192
120 1,5 0,223 77,7 172
Коэффициент преломления в точке соединения кабельной и воздушной
линий
2гСг 2-50
zCt + zCa 450 ф-50 ’ ’
«1
604
а коэффициент отражения

zC2 — zC1 _ 50 — 450
гса + гС1 50 + 450
Напряжение отраженной волны первой линии
uOTp=miU0 [1 — е"“ (’—^)] =-80 [1 -е~ °-0167 (9° -И] к&_
Здесь отсчет времени ведется с момента прихода падающей волны к точке
соединения линии и кабеля, поэтому
0'=т—— = 0,3 мсек,
и
а расстояние у' откладывается от конца воздушной линии в сторону начала.
Результаты расчета сведены в табл. 18.3
Таблица 18 3
км «(<•+) “отр- кв ' Цотр готр гС1 ’ °
0 1,5 0,223 —62,2 —138
30 1,0 0,368 —50,3 — 112
60 0,5 0,606 —31,5 — 70
90 0,0 1,000 0 0
Напряжение падающей волны во второй линии
«пад = «^о [1-е 0”")] = 20 [1 -е~°’0333 <4 5—г")]
так как для кабеля v" = 1,5- 10s км/сек, t" — x — -^- = 0,3 мсек, причем рас-
стояние в километрах отсчитывается от начала кабеля.
Числовые расчеты сведены в табл. 18 4
Таблица 18.4
X", км -(•+) .-“('-Я "пад- кв rf » ипад 7пад= zCi ’ а
0 1,5 0,223 15,5 310
15 1,0 0,368 12,6 252
30 0,5 0,606 7,9 158
Коэффициент отражения от конца кабеля
щ2 =
г~гс2.
гА-гСг
1,
так как конец кабеля разомкнут и г=о».
605
Напряжение отраженной волны в кабеле
4р = тгп.1/ [1_е"а (?'-£)] = 20 [1 —е-0,0333 (|5~^]кв,
поскольку время отсчитывается от момента прихода падающей волны к концу
кабеля (0" —0'—^- = 0,3—0,2 — 0,1 , а расстояния ун—от конца ка-
у V J
беля.
В конце кабеля при у"— Q
и"тр = 20 (1 -е~°’5) = 20 (1 —0,606) = 7,9 кв,
В середине кабеля при р"=15 км иОТр = 0 и /отр = 0.
Распределение напряжения падающих и отраженных волн, а также
результирующего напряжения изображено на рис. 18.19, а график распре-
деления тока —на рис, 18.20.
606
§ 18.6. Переход волн с одной линии на другие
через сосредоточенный четырехполюсник
В том месте, где соединяются линии, нередко включаются
элементы с сосредоточенными постоянными в виде индуктивно-
стей, емкостей и активных сопротивлений. Их назначение может
быть самым различным: ограничение перенапряжений, токов
короткого замыкания или уменьшение искажений; увеличение
пропускной способности линий (дальних энергопередач) и др.
Учесть такие индуктивности, емкости и сопротивления при расчете
переходных процессов в цепях с распределенными постоянными
помогает общий случай, когда в точках соединения двух линий
с волновыми сопротивлениями гС1 и гС2 включен четырехполюс-
ник Ч с сосредоточенными параметрами (рис. 18.21).
Напряжение и ток на входе четырехполюсника связаны с на-
пряжением падающей волны уравнением
2Напад %Ci
а на выходе четырехполюсника до появления волн, отраженных
607
от конца второй линии,— с волновым сопротивлением второй
линии формулой
u"=i"zC2. (18.42)
Уравнения (18.35) и (18.42) дают возможность составить про-
стую расчетную схему (рис. 18.22) для определения токов и
напряжений в месте соединения первой и второй линий. Расчет-
ная схема получается с помощью подключения ко входу четырех-
полюсника источника с удвоенным напряжением 2и, в начале
первой линии через активнре сопротивление zc , а к выходу—
активного сопротивления гГ2.
Рис. 18.22
Следует помнить, что в расчетной схеме время 0' отсчиты-
вается с момента прихода падающей волны к четырехполюснику.
В расчетную схему для узловой точки не входит сопротивление (z2)
нагрузки второй линии, так как расчетная схема пригодна только
до момента появления у четырехполюсника отраженных волн от
конца второй линии.
Если к выходным зажимам четырехполюсника присоединено
несколько различных линий, то в расчетной схеме каждая из
них заменяется своим волновым сопротивлением, подключенным
к выходу четырехполюсника параллельно волновым сопротивле-
ниям остальных линий.
Расчетная, или эквивалентная, схема для узловой точки дает
возможность свести расчет цепи (рис. 18.21) с распределенными
параметрами к расчету цепи (рис. 18.22) с сосредоточенными
постоянными. Для определения четырех неизвестных токов и
напряжений расчетной схемы (рис. 18.22) к уравнениям (18.35)
и (18.42) следует добавить в общем случае еще два уравнения
четырехполюсника
u'2 — Aui-\-Bip, t2 = Cuj4-Dii .
В большинстве практических расчетов вместо четырехполюсника
изображается конкретная схема; поэтому эквивалентная схема
(рис. 18.22) рассчитывается как единое целое без выделения
ветвей, относящихся к четырехполюснику, Ниже приводятся
примеры решения подобных задач.
608
Пример 18.7. В месте перехода первой воздушной линии длиной /, — 120 км
и характеристическим сопротивлением 2с, = 500 ом. на вторую линию /230 км
и zC2 = 400 ом включен реактор с индуктивностью 1 = 0,135 гн. В линии
имеется сопротивление г = 600 ом (рис. 18.23). В конце второй линии имеется
емкость шин С = 0,125 мкф приемной подстанции. К началу первой линии
присоединяется источник постоянного напряжения (/=100 кв. Написать
уравнения, определяющие распределение напряжения вдоль линий в момент,
когда волна, отраженная от конца второй линии, дойдет до ее начала.
Решение. Напряжение и ток падающих волн в первой линии по-
стоянны:
ипад=100 кв’
'пад —
цпад_Ю0 000 _
2С1 ~ 500 ~
Через время (1 = ^т- = ^^5 = 0,4.10 • сек падающие волны достигнут
конца первой линии.
Для определения напряжений и токов в конце первой линии необхо-
димо составить расчетную схему вида, показанного на рис. 18.22. В усло-
виях задачи схема показа-
на на рис. 18.24. Входное
операторное сопротивление
этой схемы:
2 (р) — гС1 +
2(0) = +л + ^ =
, 600-400
= 50 + 400 + 600 = 740 °М-
r (zCa + pT)
Г + ZC2 + Р^
С
Рис. 18.24
Корень характеристического уравнения г(р) = 0:
„ _ _ rzCt + rzC2 + zClzC1 _ 600 500 + 600• 400 + 400 500 _
Р1~ (r + zcJL (600 + 500) 0,135 ' ’
+ -
= _(5м + 4м + ^)(, + ™)__2»„
По формуле включения (стр. 556) для источника постоянного напряже-
ния при а = О
1 =7® +S7TpJ е* - (27° -8!-5‘-"'О “•
39 Теоретические основы электротехники, ч. 1
609
Напряжение в конце первой линии находится из эквивалентной схемы
(рис. 18.24):
и'=2(7 —zCvl' = 200 — 500(0,27 — 0,Оввбе-5000’')-^(64,8 + 44,Зе-5000'1') кв.
Ток в сопротивлении г равен:
1Г =-^ = (108 + 73,6e"s,"">5') а.
Ток в начале второй линии
= —ir=270—SS.Se-5000'’' —108—73,6e_s“““'i' = 162 (1 —e_S0’0’') а.
Напряжение в начале второй линии
u“ = zc/” = 64,8 (1— e-S00»9')
Следовательно, напряжение падающей волны во второй линии
“пад = 64-8 [1—е"‘°0“(9 “)] кв,
если отсчитывать расстояния х" от начала второй линии в сторону ее конца,
а время 0'—от момента начала движений этой падающей волны или, что
Рис. 18.25
считать операторным методом
ния 2и" = 129,6(1 — e-so»°6") кв
тоже самое, от момента прихода к реак-
тору падающей волны первой линии.
о . 1г 30
За время (2 = -^=^-^s = 0,1Х
X 10“* сек падающая волна пройдет всю
вторую линию и достигнет емкости С.
Для определения напряжения на емко-
сти составляется расчетная схема (рис.
18.25), в которой время отсчитывается
с момента прихода падающей волны к
концу второй линии. Схему можно рас-
при условии, что изображение иапряже-
равно:
2(у;(Р)=^^.
1 р(р—Pi)
Изображение напряжения иа емкости
1
и (р) = 2U" (р) рС =_______!29-6Р1Р*
! р(р-р))(р_р2)>
Zc’ 1
где
р2 =~= “ 400-0,125. Ю-’Г “20 °°° 1 !сеК‘
Оригинал изображения U"2(p) находится из таблицы:
«“ = -129,6 Г1 + —£2-ер‘’''---^1—е₽’5<1 =
* L Pi — Рг Pi~Pi J
__ioq к Г г__ 20 000 — sooo3"____ 5000 -гооо<Д*~1
“ ’ [+—5000 + 20 000 — 5000+20000 J~
= (129,6 + 43,2е-2’»”’“— 172,8е“‘,’,",П кв.
610
Напряжение отраженной волны в конце второй линии:
“готр = “s— “гпад = 129-6 + 43,2е ’20 °°о5"— 172,8е ~soooi" - 64,8 + 64,8е ~50М'’" =
= (64,8+ 43,2e~2“00°f'”—108e_too“'") кв.
Напряжение отраженной волны в любой точке линии, отстоящей на
расстоянии у" от конца второй линии:
<тр= [б4,8 + 43,2е-20 00‘) )- 108е’5000 (’"“Я] кв.
Для рассматриваемого (по условию задачи) момента, когда отраженная
волна пройдет всю вторую линию длиной /2, в полученную выше формулу
следует подставить вместо 6" время движения этой отраженной волны
Распределение напряжения во второй линии
и ипал“Ьиотр’
/ х" \
причем в уравнение ипад ( 0'—1 следует подставить время движения падаю-
щей волны 0' = t2 + tt = 0,2 мсек.
Распределение напряжения на протяжении первых 60 км первой линии
определяется напряжением падающей волны
так как с момента своего возникновения отраженная волна успеет пройти
(за время 0' = Z2 + is) только 60 км.
Распределение напряжения во второй половине первой линии опреде-
ляется как и всегда, когда ипад = const уравнением напряжения в конце
первой линии
Г -5000 (Ч’ — —
и'= [64,8 + 44,Зе \ v ) J кв,
если расстояния у' отсчитывать от конца линии вдоль направления движе-
ния отраженной волны, а время 0'—с момента начала движения этой волны.
Пример 18.8. Прямоугольная волна с амплитудой U = 100 кв переходит
с воздушной линии с характеристическим сопротивлением zC1 = 400 ом через
сопротивление R на две кабельные линии с характеристическими сопротив-
лениями zc2 = 2Ci — 50 ом (рис. 18.26). Определить сопротивление R, при
котором в воздушной линии будут отсутствовать отраженные волны, а также
амплитуду падающих волн в кабелях при наличии и отсутствии сопротив-
ления R,
39*
611
Решение. Как видно из расчетной схемы (рис. 18.27), эквивалентное
сопротивление в конце первой линии
r=R+ 4 с
гС2 + 2С, '
Отражение в воздушной линии будет отсутствовать, если r=Z£v, так как
в этом случае коэффициент отражения
г—zc,
т — —------=0.
r + zc1
Поэтому искомое значение сопротивления
гг г Г 50-50
Я = гС1 —. 2 , 3 = 400-------— = 375 ом.
2с3+2с3 50 + 50
Напряжение падающих волн в кабелях до прихода волн, отраженных
от их концов, будет определяться напряжением в узловой точке 6.
Рис 18.27
Из расчетной схемы (рис. 18.27)
2с3 гс,
2с “И
U п а д — 2 U -- -—---
+,+^?+
zc2 + 2С.
94
= 200400+У75 + 25 - 6,25
При отсутствии сопротивления т. е. при 7? = 0,
94
“пад = 200400 + 25= И’8 Кв
§ 18.7. Волны в линиях при включении новых ветвей
Волны возникают не только в том случае, когда к линии
подключается источник энергии. Они возникают также при
включении или отключении отдельных ветвей, расположенных
в различных точках электрической цепи, например, в конце или
середине линии. Примером может служить цепь, изображенная
на рис. 18.28, в которой линия с волновым сопротивлением гс
длиной I с током /„ = находится под напряжением U и
к ее концу присоединяется рубильникомай конденсатор емкостью С.
612
Подобные задачи, связанные с включением новой ветви, ре-
шаются с помощью метода наложения. При этом токи и напря-
жения в линии и ветвях, соединенных с ней, находятся путем
наложения токов и напряжений, имеющихся до включения, на
соответствующие токи и напряжения, возникающие в цепи после
включения источника с напряжением, равным напряжению на
разомкнутом рубильнике.
Рис. 18 28
Например, для цепи, изображенной на рис. 18.28, при не-
замкнутом рубильнике
Чо = гго = = ^н'’ 1Со = ®’> U2o = r + R U'
а вторые составляющие напряжений и токов в соответствующих
ветвях находятся из расчета цепи, представленной на рис. 18.29.
Обоснование изложенного метода расчета аналогично доказа-
тельству теоремы об активном двухполюснике.
При определении вторых составляющих токов и напряжений
используют расчетную эквивалентную схему, в которой к сосре-
доточенным параметрам вблизи рубильника присоединяется
вместо линии активное сопротивление гс, так как при включе-
нии линии к источнику энергии до появления отраженных волн
напряжение и ток в начале линии связаны известными соотно-
шениями
u ипад
-г- =---= Zr.
* (пад
613
/ 2/ \
Это выражение (для ) не зависит от режима на дру-
гом конце линии. Поэтому нагрузка на этом конце линии не
входит в расчетную схему. Например, эквивалентная схема для
токов и напряжений в конце линии (рис. 18.29) имеет вид, изо-
браженный на рис. 18.30.
С помощью напряжения на
расчета эквивалентной схемы,
сопротивлении гс,
а
найденного из
также тока в нем определяют
напряжение и ток падающих
волн, распространяющихся
от того конца линии, кото-
рый соединен либо непосред-
ственно, либо через ветви с
сосредоточенными парамет-
рами с включающим рубиль-
ником. Сложив алгебраиче-
ски напряжение и токи этих
имевшимися до коммутации,
Uab
Рис. 18.30
волн с напряжениями и токами,
можно получить распределение токов и напряжений вдоль линии.
Пример 18.9. Линия без потерь с волновым сопротивлением zc=500 ом,
длиной / = 400 м питает нагрузку г = 300 ом от генератора с источником
напряжения £ = 2000 в, включенного последовательно с сопротивлением
Р = 100 ом (рис. 18.28). Определить распределение тока и напряжения
вдоль линии спустя 1 мксек после включения емкости С = 2,667 нф парал-
лельно нагрузке.
Решение. До коммутации токи
. _. . _ £ _ 2000
(20 Чо ‘го г + £ 100 + 300 °0’ 'Co-U’
а напряжения на линии
“10= “20= 7^ Е = 300+100 2000 = 1500 в.
Дополнительные токи и напряжения, появляющиеся после коммутации,
определяются из схем, изображенных иа рис. 18.29 и 18.30 при усло-
вии, что
“м> = 7Д-р £= 15°0 в.
г + К
Входное операторное сопротивление
Ток
2с(р)-^ +
rzc. _
г + ^с
г /п\____r ! (п\ = (р) ^ab (Р)
*й\Р) *С\Р) г । _ 7 / п\ *
r + zc r-±lcZc{p) 2(р)
где
Z(p}=zc(P)^£=zc+r-±^.
614
Корень уравнения Z(p)=0:
f “F tr 300 500 _ e
P1'~~ ~rzcC — ~ 300-500-2,667-10-’ = — 2' ° ^СвК'
P1Z’ (pt) = — p1 zc; Z (0) = 00 •
rp'C
Ток после присоединения конденсатора определяется по формуле вклю-
чения
^ab I ^ab Ppt ab -pt Ъ>-г.иЧй
‘S-Z(O)+p-^je ~ Vе -Зе а‘
Добавочное напряжение в конце линии
и2 = — zci'2 = — 1500е~2'”5га
взято с отрицательным знаком, в соответствии с положительными направ-
лениями токов и напряжений, изображенных на рис. 18.30.
Появление дополнительного напряжения и2 в конце линии обусловли-
вает распространение вдоль линии волны напряжения
— 2-10’ (т-—)
«пад = - 1500е
и тока
- -2-.оЦт-^)
пад— 2с —
где по условию задачи т=10_,сек, v = 3-10*'’ см [сек., а расстояния «от-
считываются от конца линии.
Все расчеты сведены в табл. 18.5.
Таблица 18.5
X, м X Т-*— . мксек V , в пад ’ Хпад’ “
0 1,00 0,135 —203 —0,406
75 0,75 0,223 —334 —0,668
150 0,50 0,363 —544 -1,09
225 0,25 0,606 —908 —1,82
300 0,00 1,000 — 1500 -3,00
Распределение токов и напряжений, приведенное на рис. 18.31, полу-
чено суммированием:
и = и^ 4- ипад,
‘ = »’о-'пад-
Пример 18.10, Линия без потерь с волновым сопротивлением ?с=500 ом,
Длиной 1 = 400 м питает нагрузку с активным сопротивлением г = 300 ом от
615
генератора с источником э. д. с. £ = 2000 в и внутренним сопротивлением
£=100ол«. Найти распределение тока и напряжения вдоль линии спустя
1 мсек после включения реактора £ = 125 мкгн к середине линии (рис. 18.32).
Решение. Ток и напряжение линии до коммутации найдены в при-
мере 18.9: i0 = 5 а\ ио=15ОО«.
Дополнительные токи и напряжения в середине линии находятся из
эквивалентной схемы, изображенной на рис. 18.33, где, как и раньше,
Uаь — 1500 в. Операторное сопротив-
ление
Z(p) = P^ + y
Zc Корень уравнения Z(p) = 0:
zc _ 500
Pl’“~ 2L 2-0,125- 10-s~
= —2'106 1/сек,
p,Z' (р,) = —т^£ = — ^ = —230 ом.
По формуле включения (стр. 556) при а = 0 ток в индуктивности

.- _ _^ab , УаЬ, еЛ< = 6 (1—е~2’’»’')«,
^_z(0)+p,z'(p.)
так как

616
Дополнительные токи в середине линии
= 3 (е“21»« - 1) а
взяты в индуктивности с противоположными по отношению к току /£ зна-
ками в соответствии с принятыми на рис. 18,32 и 18.33 направлениями
токов.
Токи в середине линии определяют падающие волны тока
и напряжения
Г -210° (г-—) 1
“пад = гсгпад=1500 |_е v — 1J в,
движущиеся от середины линии к ее началу и концу. Здесь х отсчиты-
вается от середины линии вправо для правой половины линии и влево —
для левой половины линии. Эти волны, дойдя до начала и конца линии,
отражаются. Коэффициенты отражения
R--гг__ 100 — 500 _ 2
"h“ R +zc~ 100 + 500“ 3 ’
г —zr_ 300 — 500 1
m2“ г+ zc“ 300 + 500 “ 4 ’
Токи волн, отраженных от начала линии,
Г _г10.(г_А)-|
Чотр — ^1^пад — j 1 е J Л,
а от конца линии
Г -2-10® (г-—) 1
Чотр = ^2(пад“0»75 |_1 е J а.
Здесь
Г=т-^=1-10-в— -^5 = 0,33-10-’сек;
2u 3-108
I
У = ~^—х отсчитывается от начала линии для первой волны и от конца
линии — для второй. Соответствующие напряжения отраженных волн
Г _2.10ф_±)1
Uiotp = zc4otp= 1°00 Ь—е V J в-
Г _2.I0.(r_JL)l
^20 Гр ~ Zc+orp L I е J *
Дополнительные напряжения и токи, возникающие в линии после
включения индуктивности, получаются соответственно для левой и правой
половин линии обычным суммированием падающих и отраженных волн
И —Ипад + Иотр,
1 *пад +тр-
Результаты расчета сведены в табл. 18.6 и 18.7.
617
Расчетная таблица для падающих волн
Таблица 18.6
лс, м 2.1О»(Т_Л) -2-1O0 (т~ —) е ' v ' гпад, а "над. е
0 2,0 0,135 —2,60 —1300
75 1,5 0,223 —2,33 — 1167
150 1,0 0,363 —1,91 — 955
Таблица 18.7
Расчетная таблица для отраженных волн
у, м 2-Ю» (т-Л) -2-10» (г- —) е ' v / Хотр» в “ютр’ « *2ОТр’ ° “дотр’ в
25 0,5 0,606 0,789 394 0,296 148
100 0,0 1,00 0 0 0 0
На рис. 18.34 и 18.35 построены кривые распределения напряжения
и тока вдоль линии путем алгебраического суммирования напряжений
618
и токов первоначального и дополнительного режимов:
и = иа + и',
« = '<> + «'•
§ 18.8 Волны в линиях при отключении ветвей
Переходные процессы, возникающие в линии при отключе-
нии ветвей, рассчитываются наложением на токи и напряжения
до коммутации тех дополнительных токов, которые возникают
в результате коммутации. В отличие от предыдущего случая,
дополнительные токи подсчитываются как результат включения
вместо отключаемой ветви источника тока с током, равным по
величине и противоположным по направлению тому току, кото-
рый протекал в ветви
до отключения. Важно
подчеркнуть, что этот
прием можно исполь-
зовать только в тех
случаях, когда отклю-
чение не сопровождает-
ся разрывом ветви с
током в индуктивности.
Пример 18.11. Две по-
следовательно соединен-
ные линии с волновыми
сопротивлениями г^ — 300 ом и zc, =500 ож присоединены к источнику по-
стоянного напряжения [7 = 1600 в. Конец второй линии разомкнут
(рис. 18.36). В месте соединения линий сопротивление г==400 ом отклю-
чается. Найти распределение тока и напряжения для момента, когда воз-
никающие волны дойдут до середины обеих
линий (одинаковой длины).
Решение. До коммутации первая и
вторая линии находились под одинаковым
напряжением
к10 = и20 = 17 = 1600 в.
Ток в первой линии и в сопротивлении г
. _. _ (7 _1600
Рис. 18.37 Чо-‘о- г — 400 -4а-
Во второй линии ток отсутствовал
г2о==О.
Для определения дополнительных токов и напряжений, возникающих
после коммутации, необходимо включить к месту соединений линий источ-
ник тока
I' =Ja = 4a.
Токи в линиях в месте соединения находим из эквивалентной схемы
(рис. 18.37): эдо
'» = zCt + гс/“= 300 + 500 4 = 2,5
—- J q Zj = 1,5 zz.
619
Таким образом, после отключения сопротивления г от разомкнутого
рубильника по первой линии начнет распространяться волна тока /,=2,5о,
а по второй линии — 12 — 1,5 а; соответствующие волны напряжений будут
иметь одинаковые амплитуды:
Uj = =300'2,5 = 750 в,
«’ = ZC.i'=500-1,5 = 750 в. '
В тех точках линий, до которых
напряжение
и = и„ + и' = 1600 + 750 = 2350 в,
а токи
= »’=4—2,5 = 1,5 а,
^20 ^2 ~~ 1
Кривые распределения токов н
напряжений вдоль линий приведены
на рис. 18.38.
Пример 18.12. Линия длиной
/ = 400 м с волновым сопротивле-
нием zc = 400 ом, нагружена на кон-
це реактором с индуктивностью
Ь = 10мгн (рис.'18.39). Начало линии
отключается от источника напряже-
ния U =5000 в с внутренним сопро-
тивлением г = 100 ом. Построить
кривые распределения напряжения
дошли вызванные коммутацией волны,
для момента времени / = 1 мксек.
прошедшего после отключения.
Решение. В установившемся
реакторе отсутствовало (потерями
режиме до коммутации напряжение иа
в обмотке пренебрегаем). Поэтому до
U
Рис. 18.39
коммутации напряжение
на линии и' =0, а ток
U
5000
100
= 50 а.
Дополнительные напряжения в начале линии определяем из эквива-
лентной схемы с источником тока J = i„=50 а (рис. 18.40). Из схемы видно,
620
что напряжение в начале линии
u'=zcj'= —400-50 = —20 000 в.
Так как источник тока должен быть включен навстречу току в линии
до отключения, то волна тока, начавшая свое движение после отключения,
будет иметь отрицательный
знак. За время t она прой-
дет путь x-vt = 3- 10s- 10"’ —
= 300 м. Распределение тока
и напряжения показано иа
рис. 18.41.
Рис. 18.40 Рис. 18.41
Вопросы для самопроверки
18.1. Какой смысл имеют частные решения волновых уравнений для
линий?
18.2. В каком случае происходит искажение формы волны при движе-
нии вдоль однородной линии?
18.3. Какая существует связь между током н напряжением, а также
между энергиями электрического и магнитного полей для любой волны
(падающей или отраженной) в линии?
18.4, Написать уравнение падающей волны тока, если известно урав-
нение напряжения в начале линии.
18.5. Сформулировать правило составления схемы замещения для рас-
чета напряжений и токов в конце линии.
18.6. При каких соотношениях между волновым сопротивлением и ак-
тивным сопротивлением на конце линии отраженные волны будут отрица-
тельными или положительными и когда они будут отсутствовать?
18.7. При какой нагрузке в конце линии форма отраженной волны
будет одинакова или неодинакова с формой падающей волны?
18.8. Написать уравнение отраженной волны тока, если известно на-
пряжение в начале линии и = Uое~’*, а в конце линии включено активное
сопротивление, равное половине волнового сопротивления линии.
18.9. Доказать, что при включении линии на постоянное напряжение
форма кривых тока и напряжения на конце линии (в зависимости от вре-
мени) всегда совпадает с формой кривой тока и напряжения в зависимости
от расстояния, измеряемого от фронта отраженной волны (в сторону конца
линии).
621
18.10. За какие промежутки времени энергия потребляется линией,
разомкнутой на конце, и за какие промежутки времени она отдается обратно
источнику напряжения?
18.11. Зависит ли предельное значение тока в короткозамкнутой линии
от величины емкости и индуктивности линии, если в начале линии присое-
динен источник с постоянным напряжением?
18.12. Объяснить, за счет чего энергия электрического поля единицы
длины разомкнутой линии после появления отраженных волн становится
в четыре раза больше линейной плотности энергии электрического поля
ЭДад
—-— падающей волны.
18.13. При каком условии напряжение преломленной волны (во вто-
рой линии) больше напряжения падающей волны (в первой линии)?
18.14. Изменяется ли форма фронта волны после перехода с воздушной
линии на кабельную (без потерь)?
18.15. Что изменится в эквивалентной схеме для расчета токов и на-
пряжений в конце линии после присоединения к концу линии двух других
таких же линий?
18.16. Что и как надо включить в точках соединения двух линий,
чтобы после прохождения узловой точки крутизна фронта волны умень-
шилась?
18.17. Каков порядок расчета токов и напряжений при присоединении
к линии новой ветви? В чем отличие используемой при этом расчетной
схемы от эквивалентной, применяемой для подсчета токов и напряжений
в узловых точках при включении линии?
18.18. Какой порядок расчета токов и напряжений в линии после от-
ключения от нее какой-либо ветви? Необходимо иллюстрировать ответ
примером.
Раздел пятый
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И МЕТОДЫ РАСЧЕТА
НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКАХ
И НАПРЯЖЕНИЯХ
Г лава XIX
УСТАНОВИВШИЕСЯ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ
С НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ И МЕТОДЫ ИХ
РАСЧЕТА
§ 19.1. Нелинейные элементы и виды нелинейности
В отличие от цепей постоянного тока цепи переменного тока
имеют нелинейность двух типов: инерционную и практически
безынерционную. Указанное различие обусловлено тем, что по
существу, установившийся рабочий режим цепи переменного тока
является квазиустановившимся, и все параметры при этом режиме
изменяются в пределах каждого периода основной частоты.
Инерционная нелинейность означает зависимость того или
иного параметра схемы от действующего значения параметра
режима (тока, напряжения). Такими зависимостями, например,
могут быть:
Ё = Ё(/), J = J(t/); r = r(7); L = L(/);
S = g(U)-, y = y(U\, g = g(P).
Безынерционная нелинейность характеризует зависимость того
или иного параметра схемы от мгновенного значения соответст-
вующего параметра режима. Такими зависимостями могут быть
e = e(t); i = r = r(i); Z. = T(i); g = g(u) и т. д.
Инерционная нелинейность замечается только при переходе от
одного установившегося рабочего режима цепи к другому; в пре-
делах любого периода основной частоты данный элемент можно
считать линейным. Поэтому синусоидально изменяющееся прило-
женное напряжение вызывает в таких случаях и синусоидаль-
ное изменение тока, а синусоидально изменяющийся ток —
623
синусоидальное изменение напряжения. Безынерционная нелиней-
ность приводит к иному положению: синусоидально изменяющееся
приложенное напряжение вызывает несинусоидальный ток, а
синусоидальный ток — несинусоидальное напряжение.
Пример 19.1. Вольтамперная характеристика элемента цепи состоит из
двух прямолинейных участков (рис. 19.1, а). Построить кривую изменения
тока в этом элементе за время одного периода основной частоты, если
приложенное напряжение изменяется синусоидально.
Решение. Находя на характеристике и (() для каждого мгновенного
значения напряжения и (t) соответствующую величину тока i легко полу-
чить кривую изменения тока I (/) путем непосредственного графического
построения (рис. 19.1,6). Кривая i (t) несинусоидальна и состоит из двух
полуволн синусоид разных амплитуд. Аналогичная кривая тока получается
в цепях с выпрямителями. Очевидно, что такую цепь нельзя рассматривать
как обычную цепь синусоидального переменного тока.
Достаточно сложной получается кривая тока в случае нели-
нейной индуктивности. Для подтверждения этого можно рас-
смотреть цепь переменного тока с включенной в нее катушкой
со стальным сердечником. Приложенное к катушке напряжение
изменяется синусоидально. При рассмотрении такого случая
624
влиянием активного сопротивления обмотки катушки можно
пренебречь, так как оно сравнительно мало. Будем считать, что
зависимость потокосцепления от мгновенного значения тока
в катушке в виде гистерезисной петли известна (рис. 19.2).
Поскольку при одинаковых положительных направлениях
э. д. с. и потокосцепления э. д. с. самоиндукции
d'lf
е = — йг ,
at
то (при принятых допущениях) напряжение, приложенное к ка-
тушке,
В случае синусоидального напряжения закон изменения по-
токосцепления
4f = JucZ/ =——cos со/+ Л.
Если принять Л = 0 (в предположении отсутствия постоянного
намагничивания), то
Ч1, = — Тд, cosco t.
40 Теоретические основы электротехники, ч. I
625
Кривые напряжения и потокосцепления показаны на том же
рис. 19.2. Дальнейшее построение возможно только в том слу-
чае, когда пределы изменения потокосцепления у синусоидальной
кривой и у гистерезисной петли совпадают и построены в одина-
ковом масштабе. Тогда непосредственным графическим построе-
нием получается кривая изменения тока в цепи катушки
(рис. 19.2). Для большей наглядности построения кривой тока
соответствующие точки на трех кривых [Чг (/), T (i) и t(Z)| отме-
чены одинаковыми цифрами, а последовательность построения —
пунктирными прямыми со стрелками.
Полученная кривая тем больше отличается от синусоиды,
чем выше амплитуда напряжения, т. е. чем больше достигается
насыщение стали в момент максимального значения тока.
Синусоидальное изменение напряжения получается в том
случае, если, например, параллельно с данной катушкой вклю-
чить большое число других линейных элементов с активными
и индуктивными сопротивлениями такого же порядка. При этом
несинусоидально изменяющийся ток данной катушки целесооб-
разно заменить синусоидально изменяющимся током для того,
чтобы можно было производить операции суммирования с дру-
гими токами. Чем больше суммарный ток других ветвей, тем
меньшее влияние оказывает несинусоидальность тока данной
катушки, которая в основном остается заметной только для дан-
ной ветви.
Комплексное значение такого эквивалентного синусоидально изменяю-
щегося тока, приблизительно отражающего влияние данной ветви (см.
стр. 511),
Т
о
где /а—активная составляющая тока;
/р—реактивная составляющая тока.
Мгновенное значение этого тока;
i — Um (g sin <nt—6 cos (o/)>
/a ,
W £ = 77; 6 = 0г-
Если пренебречь активным сопротивлением обмотки и потоком рассея-
ния катушки, то Чг,л =—3 , а параметры g и b определяют соответственно
мощность потерь в стали катушки (вследствие гистерезиса и вихревых
токов) и намагничивающую составляющую тока /р. Тогда
цг 1 _______
i = (g sin — b cos cot) = — (b’T +g]/ _у2),
откуда получается выражение
i2=2 — +(g2 + b2) --^-^ = 0,
СО <0 со2 m
626
представляющее собой уравнение эллипса (рис. 19.3, а) в осях Т и I.
Таким образом, если представить катушку со стальным сердечником в каче-
стве элемента цепи с инерционной нелинейностью, то это равносильно
замене действительной гистерезисной кривой (с учетом вихревых токов)
некоторым эквивалентным эллипсом. Более точное исследование процессов
в катушке со стальным сердечником, рассматриваемой в виде элемента
с безынерционной нелинейностью, возможно только при учете несинусо-
идального рабочего режима в цепи с катушкой, о чем более подробно
будет сказано ниже.
Если приближенно представить катушку ,со стальным сердечником
в виде элемента с инерционной нелинейностью без учета безвозвратного
превращения электрической энергии в тепловую в связи с нагреванием
стали при ее перемагничивании, то эллипс заменяется прямой (в которую
он вырождается), совпадающей с большой осью (рис. 19.3, а). Действи-
тельно, если принять проводимость g—О, что равносильно отсутствию
активной составляющей тока в катушке (/а = 0), то уравнение, связывающее
потокосцепление V с током i, имеет следующий вид:
ft—— 4'7 = 0, или t=—У.
Если та же катушка со стальным сердечником включена
в цепь, в которой ток изменяется синусоидально, то напряже-
ние на этой катушке (в установившемся рабочем режиме цепи)
будет изменяться по несинусоидальному закону.
Для построения кривой изменения напряжения можно вос-
пользоваться той же петлей гистерезиса, которую целесообразно
построить в осях ! потокосцепления Ч1, и тока i (рис. 19.4).
Построение следует выполнять в обратном порядке. Непосред-
ственно из построения получается кривая зависимости потоко-
сцепления Y от времени t. Кривую изменения во времени
напряжения можно получить, если произвести дифференцирование
40*
627
кривой потокосцепления
Очевидно, что кривая изменения напряжения должна отли-
чаться от синусоиды.
Синусоидальный ток в цепи получается, например, в том
случае, если последовательно с данной катушкой включить
достаточное количество линейных элементов приблизительно
с такими же по характеру и по величине параметрами. При этом
несинусоидальный характер изменения напряжения на данной
катушке окажет сравнительно малое влияние на рабочий режим
всей цепи и будет в основном иметь место только непосредст-
венно на данной катушке. Тогда для рассмотрения цепи в це-
лом несинусоидальную кривую напряжения можно заменить
синусоидальной.
Напряжение в комплексной форме
т
о
628
где йл — активная составляющая напряжения,
Uр — реактивная составляющая напряжения.
Если ток i = /msinw/, то мгновенное значение напряжения на важимах
катушки (в приближенном представлении)
u = I т (г sin со/ 4-х cos со/),
U3 Up
где г = -у и х = у .
Если, так же, как и в предыдущем случае, пренебречь активным сопро-
тивлением обмотки катушки и ее потоком рассеяния, то параметры г и х
дают возможность определить соответственно потерн в стали катушкн и
э. д. с., индуктируемую в обмотке. Из уравнения для мгновенного значе-
ния напряжения легко получить выражение
и2— 2rui 4- (х2 4- гг) i*—хЧ2т—0,
представляющее собой уравнение эллипса в осях и и I. Однако это урав-
нение не имеет непосредственной связи с гистерезисной петлей, так как
мгновенное напряжение и не пропорционально ’И и выражается через
(TV
потокосцепление Ч2 с помощью уравнения и=у . Если пренебречь поте-
рями в стали сердечника катушки, т. е. положить г = 0, то уравнение
эллипса вырождается в уравнение окружности (рис. 19.3, б).
Изложенное представление о катушке со стальным сердеч-
ником дает возможность рассматривать ее как элемент с инер-
ционной нелинейностью, определяемой вольтамперной характе-
ристикой индуктивности. Такая характеристика имеет вид кри-
вой, подобной кривой первоначального намагничивания, но
должна быть получена указанным выше путем для ряда значе-
ний напряжений или токов, изменяющихся синусоидально.
Аналогичным путем может быть получена и вольтамперная
характеристика для эквивалентного активного сопротивления
катушки. Такие характеристики дают возможность рассматри-
вать цепь, содержащую катушку в качестве элемента с инер-
ционной нелинейностью, а также позволяют оперировать сразу
с действующими значениями параметров режима.
§ 19.2. Вольтамперные характеристики
В цепи переменного тока, в отличие от цепи постоянного
тока, вольтамперная характеристика дает зависимость между
действующими значениями тока и напряжения, достаточную для
выполнения расчета только в том случае, когда она относится
к цепи в целом, например, к неразветвленной цепи. Каждый
элемент сложной разветвленной цепи характеризуется такой
вольтамперной характеристикой достаточно полно только в тех
случаях, когда цепь однородна. Во всех прочих случаях вольт-
амперная характеристика должна определяться отдельно или для
активной и реактивной слагающих тока при синусоидальном
629
напряжении, или для активной и реактивной составляющих
напряжения при синусоидальном токе. Это равносильно раз-
дельному представлению характеристики для активного и реак-
тивного сопротивлений или активной и реактивной проводи-
мостей от соответствующих параметров режима.
На рис. 19.5. показаны частичные вольтамперные характе-
ристики катушки с сердечником, а также графическое определение
активного и реактивного сопротивлений для некоторого значения
тока
иа
rt = -^=mrtgaa-,
x^ — ^m^-tga,^
На рис. 19.6 представлены частичные вольтамперные харак-
теристики нелинейного конденсатора, а также показано опреде-
ление активной и реактивной проводимостей для некоторого
значения напряжения (7,:
g^-^^rngtga^,
/р
bl-=-^ = mbtga1>.
По указанным ранее соображениям, в первом случае вольт-
амперные характеристики даны в виде функции тока катушки,
а во втором — в виде функции напряжения, приложенного к кон-
денсатору.
Следует отметить, что, имея вольтамперные характеристики
в одном изображении, можно получить их и в другом изобра-
жении. Так, если заданы характеристики для активной и реак-
630
тивнои составляющей напряжения, то характеристики для
активной и реактивной составляющих тока можно получить
простым графическим построением (и наоборот). Такое построе-
ние показано на рис. 19.7. По заданным частичным характе-
ристикам строится вольтамперная
U (/) (определение модуля ка-
кой-либо величины также мо-
жет быть выполнено графиче-
ским путем, поскольку модуль
Определяется гипотенузой пря-
моугольного треугольника, ка-
теты которого соответствуют
активной и реактивной состав-
ляющим той же величины). За-
тем для любой точки А этой
характеристики проводятся ли-
нии АБ и АВ, параллельные
осям координат. Соответствен-
ные точки частичных характе-
ристик должны находиться на '
прямых, параллельных линии
БВ. Если такое построение
провести для ряда точек А, то
характеристика для модулей
Рис. 19.7
требуемые характеристики можно получить в любом нужном
диапазоне изменения параметров режима.
Возможно представление вольтамперной характеристики одной
кривой в виде годографа (рис. 19.8). Такая вольтамперная
Рис. 19.8
характеристика дает зависимость вектора напряжения U от-
тока / при arg/ = O, или вектора тока / от напряжения U при
arg (7 = 0. На самой характеристике указываются значения
631
аргумента. По такому годографу можно получить комплексное
значение сопротивления или проводимости:
Z = yeytp,
V р-Л.
Г и е ,
при этом напряжение U определяется по масштабу на осях
координат, а ток / — по шкале на годографе (рис. 19.8, а) или
наоборот (рис. 19.8, б).
Если известен характер преобразования энергии, который
важен при решении задачи, то из вольтамперной характерис-
тики возможно выделить э. д. с. или задающий ток. Это можно
выполнять только на частичных вольтамперных характеристиках
(по отдельным составляющим).
Вольтамперная характеристика считается линейной, если
каждая ее составляющая (частичная характеристика) тока или
напряжения представляется прямой линией, не обязательно
проходящей через начало координат (рис. 19.9). Если началь-
ные ординаты полученных прямых представить в виде постоян-
ных э. д. с., имеющих соответствующие аргументы (углы сдвига
по фазе относительно напряжения или тока), то прямые, опре-
деляющие зависимость остальной части каждой из составляющих
тока или напряжения, определяют постоянные сопротивления
или проводимости. То же можно сделать и с начальными абс-
циссами, заменив их соответствующими задающими токами.
Первое целесообразно для составляющих напряжений, а вто-
рое—для составляющих тока.
В некоторых случаях вольтамперная характеристика задается
и является справедливой только в определенных границах изме-
632
нения параметра режима (рис. 19.10). Это означает, что при
других значениях параметра режима соответствующий элемент
цепи работать не может или его характеристика неизвестна.
Поэтому полученные из расчета параметры режима, выходящие
за пределы этих границ, показывают или на невозможность
работы цепи в рассматриваемых условиях, или на неправиль-
ность решения и необходимость его повторения при других
условиях.
Практически вольтамперные характеристики могут выражаться
аналитически и графически.
§ 19.3. Некоторые замечания о методах расчета
нелинейных цепей
Сложность непосредственного аналитического или графиче-
ского расчета нелинейных схем приводит к мысли о целесооб-
разности более широкого применения различных приближенных
методов расчета. Во-первых, это дает возможность снизить трудо-
емкость расчетов, а во-вторых, позволяет на основе предвари-
тельных данных о результатах расчета, в случае надобности,
вносить изменения в процессе расчета и устранять необходи-
мость в полном его повторении при других исходных данных.
В связи с большей громоздкостью расчетов цепей переменного
тока по сравнению с расчетами цепей постояннсйю тока, целе-
сообразность применения приближенных методов расчета значи-
тельно повышается.
Методы расчета схем, описанные в разделе цепей постоянного
тока, в принципе пригодны и для расчета цепей переменного
тока, но усложняются в связи с необходимостью операций
с комплексными числами, а также в связи с зависимостью пара-
метров схемы от значений модулей параметров режима. Здесь
еще большее значение получают методы,’ основанные на приме-
нении моделей и счетных машин.
Линеаризация схем. Линеаризация или кусочно-линейная
аппроксимация, как правило, должна производиться для вещест-
венной и мнимой частей каждого параметра схемы в отдель-
ности. Так, линеаризация должна выполняться отдельно для
характеристик активной и реактивной составляющих напряже-
ний или токов. После этого по известным принципам может
быть составлена линейная схема замещения и выполнен расчет
ее рабочего состояния. В этом случае обязательно должно быть
проверено соответствие найденных параметров режима условиям
линеаризации. Если найденные параметры режима не соответ-
ствуют принятым линейным характеристикам, то должны быть
взяты новые линейные характеристики, заменяющие заданные
нелинейные для соответствующих элементов цепи, и вновь рас-
считан рабочий режим с повторной проверкой результатов.
633
Пример 19.2. Катушка со стальным сердечником включена последова-
тельно с реостатом. Вольтамперная характеристика 'катушки показана на
рис. 19.11. Сопротивление реостата постоянно и равно г. Определить ток
в цепи, если э.д.с. источника питания равна Е.
Решение. Предполагается, что катушка должна работать в режиме
не очень большого насыщения. С безвозвратным расходом энергии в
Рис. 19.11
катушке можно не считаться.
Часть вольтамперной характеристики,
расположенную «за коленом», можно прибли-
женно заменить прямой (рис. 19.11). Ее на-
чальная ордината равна UТогда
E = ri + jUL + jfxL,
где
X£ = mx tga.
Следовательно,
E* = r4* + (UL + xLI)\
или
(г2 + х2) I* + 2IUlxl + U‘L- Е2 = О,
откуда
- ULxL + /(ULxLy - (г2 + х2) (UI - Е2)
1 =-------'-------.------------
Второе решение, .которое получается при отрицательном знаке перед
радикалом, не имеет в данном случае существенного смысла.
Полученное решение справедливо, если найденное значение тока 1^Ц.
В противном случае решение следует повторить, приняв другое спрямление
вольтамперной характеристики.
Аналитическое решение. Вольтамперная характеристика каж-
дого нелинейного элемента схемы может быть задана аналити-
ческой зависимостью соответствующего параметра от параметра
режима. Если вольтамперная характеристика задана графически,
то можно подобрать аналитическую зависимость, достаточно
хорошо отражающую эту характеристику. В таких случаях рас-
чет можно выполнять аналитически, так как имеется возможность
составить уравнения состояния, которые будут получаться нели-
нейными. Однако практическое выполнение решения в большин-
стве случаев будет затруднительным.
В настоящее время для решения нелинейных систем уравнений
используются вычислительные устройства и, в частности, элект-
ронные цифровые машины. Поэтому указанным методом расчета
можно пользоваться на практике.
Пример 19.3. Нелинейный элемент цепи характеризуется неизменной
(в заданных пределах изменения параметра режима, а данном случае—на-
пряжения) активной мощностью и постоянной реактивной проводимостью.
Этот элемент соединен последовательно с заданным полным сопротивлением
линейного элемента. Э.д.с., действующая в цепи, известна. Определить
ток в цепи.
634
Решение. Схема замещения цепи показана на рис. 19.12.
Исходные уравнения имеют следующий вид:
Ё = I (г + /х) + U.
Здесь принято, что arg Д = arg [7 = 0, причем ци = Р.
Тогда
Ё = ^ —(г + /х) + 17
или
U2E2 = (U2 ~\-Р/Ч- U2bLx)2 + (Рх—U2bLr)2,
откуда можно определить напряжение U, а затем—ток I.
Поскольку в данном случае получается по меньшей мере два решения,,
то необходимо дополнительно выяснить, ка-
кое из этих решений является приемлемым.
Приближенные решения. При рас-
чете цепей переменного тока так же, как
и при расчете цепей постоянного тока,
возможно решение методами последо-
вательных приближений или итераций.
Наиболее целесообразно применять по-
следний метод в тех схемах, в которых
нелинейные элементы соединены с общим
узлом, обладающим нулевым потенциа-
ле. 19.12
лом; при этом напряжения на нелинейных элементах по модулю'
будут значительно больше напряжений в других элементах
цепи. Поэтому при каждом последующем приближении, когда
производится уточнение тока в каждом нелинейном элементе,
изменение тока получается сравнительно небольшим, .а следова-
тельно, сходимость итерационного процесса получается достаточно
быстрой. Каждый из этих токов в расчете используется как
задающий ток.
Пример 19.4. Определить рабочий режим в схеме, приведенной на
рис. 19.13, а, в которой Р2 и Ра—нелинейные элементы, характеризующиеся
неизменными значениями потребляемых активных мощностей.
Решение. Схему целесообразно рассматривать в упрощенном виде
(рис. 19,13,6), которая получается из первой путем преобразования тре-
угольника в эквивалентную звезду, т. е. заменой сопротивлений Z12, Z12
и Z2S сопротивлениями Z10, ZM и Zso, а также путем замены проводимостей —
jb2 и—/62 и нелинейных элементов задающими токами J2 и Ja. Эти токи
зависят от напряжений 0 2 и Us, соответственно во втором и третьем узлах
(относительно точки п с нулевым потенциалом).
Можно рекомендовать следующий порядок решения задачи. Прежде
всего надо задаться значениями й2 и йг и определить задающие токи:
иг
635
и
jt^-u3jbs
и,
(эти данные относятся к нулевому приближению). Затем определяются
......." ~ ” третьем узлах по формулам,
получающимся на основа-
нии принципа наложения
для линейной части схемы
замещения:
^2 = Е j2 (ZI0 Z20)—JSZ1O
и
Us— Ё ^2^12 А(^1о + Z30).
Таким образом полу-
чаются данные первого при-
ближения. Уточнение (по-
лучение данных последую-
щих приближений) произ-
водится до тех пор (по тем
же формулам), пока ошибка
не достигнет приемлемых
пределов.
В тех случаях, когда
схема замещения получает-
ся более сложной, для
определения напряжений
целесообразно пользоваться
коэффициентами распреде-
ления или входными со-
противлениями для линей-
ной части схемы. При опре-
делении величин, которые
являются исходными для
указанного расчета методом
итераций, целесообразно
использовать статические
модели переменного или
даже постоянного тока,
так как аналитический расчет оказывается весьма громоздким.
Поскольку на каждом этапе приближения схема замещения рассматри-
вается как линейная, то для расчета соответствующего рабочего режима
можно применять такие же методы расчета, как и в линейных цепях.
При этом могут быть использованы все приемы приближенного составления
схем замещения с учетом, в частности, преимуществ расчета однородных
схем.
Пример 19.5. Для определения последовательности фаз трехфазной
системы применяется схема, показанная на рис. 19.14, а (аналогична схеме,
изображенной на рис. 12.26, а), которая состоит из двух нелинейных эле-
ментов в виде одинаковых электрических ламп и одной катушки с постоян-
ной индуктивностью. Вольтамперная характеристика обеих электрических
ламп одинакова и приведена на рис. 19.14, б. Реактивное сопротивление
катушки ыА = 333 ом. Активным сопротивлением катушки можно пренебречь.
Пользуясь методом итерации определить фазные напряжения звезды, если
линейные напряжения симметричны и равны Uab^Ubc = Uca^=Ux=120e.
636
Решение. Поскольку каждая электрическая лампа представляет
собой нелинейный элемент с возрастающим активным сопротивлением (при
увеличении тока), то расчетные уравнения должны быть составлены для
Фазные напряжения звезды определяются по формулам:
U bcSc (5) 4" Uba { i
Уь (5+1) —
— j ^i+Sb(s)+§c(sy
uca^ ' ^+ucbgb^
— / +gbU) + Sc(rt
637
Таблица 19.1
£ £($)> в h (5)> а (из ха- ракте- ристики) Sb (5) ” = ? bis) &b(s) сим Uc(s>* в а (из ха- ракте- рис- тики) ^cis) U b(s + V}i в в Ф& <s+1) Uc(s + lP в Uc(S + l)> в фсМ+П
Uc(S) CUM
0 60 0,180 0,0030 60,0 0,180 0,0030 18,4-/20,8 27,7 —48’20' —101,6—/20,8 103,7 — 168’30'
1 27,7 0,115 0,0040 103,7 0,245 0,00240 6,43-/25,5 26,3 —76’0' -91,4-/25,5 98,7 — 164’20'
2 26,3 0,113 0,0043 98,7 0,240 0,00240 7,10-/24,1 24,8 —73°40' —112,5—j 23,7 112,8 — 168'10'
3 24,8 0,109 0,0044 112,9 0,255 0,00226 5,02-/24,7 25,2 —78’30' —115-/24,7 117,6 — 167’45'
4 25,2 0,112 0,0044 117,6 0,262 0,00223 4,54-/24,9 25,3 —79° 10' -95,3—/7 95,55 — 175’51'
Если принять линейное напряжение
Ubc — Ubc= 120 в, Ucb~—120 в, йса = -(Ы + j 104)8,
^*а = (6° —/ Ю4) в
и учесть, что — j = —/ 0,003 сим, то после подстановки этих значений
в формулы напряжений, получаются следующие расчетные уравнения:
. 120gcM-j 0,003 (60—7 104) .
b(i+l’~ _j Q.003 + gb^+gcU) ’
-/ 0,003 (- 60-j 104)-120 gbM
С“ + П~ -/0,003+ gbU)+gc(J)
Пользуясь этими уравнениями и вольтамперными характеристиками
(рис. 19.14,6), можно составить расчетную таблицу (см. табл. 19.1). По-
скольку напряжение Ub практически остается постоянным, то можно за-
кончить итерационный процесс, а напряжения на двух других фазах легко
определить по следующим формулам:
Ua = Uab + Ub = — 60 + j 104 + 4,54—/ 24,9 = 97 е'125’.
Uc= Ub—йЬс = 4,54—/ 24,9 —120 = 118 е
По полученным данным на рис. 19,14, в построена векторная диаграмма
токов и напряжений.
Графические методы. Графические методы расчета рабочих
режимов нелинейных цепей применяются главным образом для
сравнительно простых схем, имеющих только последовательное
и параллельное соединения элементов. За исходные могут быть
приняты, например, следую-
щие положения. При после-
довательном соединении не-
линейных элементов, когда
ток в них один и тот же, для
получения результирующих
частичных вольтамперных
характеристик достаточно
произвести суммирование со-
Рис. 19.15
ответствующих ординат ак-
тивной и реактивной составляющих напряжений для отдель-
ных элементов или их активных и реактивных сопротивлений.
При параллельном соединении нелинейных элементов, когда
одинаковыми являются напряжения на их зажимах, для полу-
чения результирующих частичных вольтамперных характе-
ристик достаточно произвести суммирование абсцисс активных
и реактивных составляющих токов для отдельных элементов или
их активных и реактивных проводимостей.
Для иллюстрации отмеченных положений можно рассмотреть
цепь, показанную на рис. 19.15. Пусть требуется определить
токи и напряжения в цепи. Вольтамперные характеристики каж-
дого из элементов заданы.
639
В данном случае целесообразно прежде всего определить
результирующие частичные вольтамперные характеристики раз-
ветвления. Лля этого надо суммировать активные и реактивные
составляющие токов ветвей. Далее, полученную вольтамперную
характеристику (в модулях) следует разложить на частичные
характеристики активной и реактивной составляющих напряже-
ний. После чего можно построить результирующие характери-
стики с помощью активной и реактивной составляющих напря-
жений для всей цепи, а затем определить ток в неразветвленной
части схемы, а так же активные и реактивные составляющие
напряжений на ее отдельных участках. Используя те же графики,
но в обратном порядке, можно определить токи в ветвях развет-
вления, а также активные и реактивные их составляющие.
Для графоаналитического решения задачи можно использовать
и вольтамперные характеристики, представленные в виде годо-
графов. Исходными здесь могут быть следующие положения.
Для получения результирующего годографа вольтамперной харак-
теристики в случае последовательного соединения нелинейных
элементов следует произвести поочередное суммирование векторов
напряжений для одинаковых значений токов, а в случае парал-
лельного соединения — поочередное суммирование векторов токов
для одинаковых значений напряжений.
§ 19.4.’Некоторые замечания об устойчивости
рабочего режима в нелинейных цепях
Устойчивость рабочего режима нелинейной цепи переменного тока можно
объяснить на простейшем примере аналогично тому, как это было сделано
для нелинейной цепи постоянного тока.
Пусть цепь содержит э.д.с. и нелинейный элемент, вольтамперная
характеристика которого (в модулях) известна (рис. 19.16). Э.д.с. цепи
можно изменять, при этом ее
значение не зависит от тока це-
пи, т. е. она является линейным
элементом цепи. Представляет
интерес рассмотреть возможные
режимы работы цепи при разных
значениях э д.с.
Вольтамперная характери-
стика данного нелинейного эле-
мента имеет три характерных
участка—оа, ab и Ьс. Незави-
симо от угла сдрига фаз между
э д.с. и током, участки вольт-
амперной характеристики оа и
b с (точка с предполагается уда-
ленной) характеризуют устойчи-
вую работу цепи, а участок ab—неустойчивую.
По-прежнему (§ 7.8) неустойчивая работа цепи определяется следующим
условием:
dE
di
-0.
640
Нарушение устойчивости работы цепи происходит в точках вольтамперной
характеристики, касательная в которых параллельна оси токов:
Е = const.
Если цепь состоит из последовательно соединенных линейного и нели-
нейного элементов, то э.д.с. цепи
£ = Z(r + /x) + t/a (Z) + /(Zp(Z),
если
arg I = 0.
Эту зависимость можно представить в виде:
Ea = (Zr + Ua)2 + (Zx + Up)2.
Следовательно,
dE
E-^j = (Ir + Ua} (г + га) + (Гх + и9)(х + хл),
dU3 dU„
где и xn~~di —дифференциальные сопротивления нелинейного
элемента.
Поскольку
и
Jx + l/„ , х + хн
---р—S = sin <р = —!—= ,
Е z
где <р—угол сдвига фаз между током / и э.д.с. Е, то условие устойчиво-
сти рабочего режима цепи получается следующим:
(г + гд) (г + ги) + (х + хд) (х + хя) > Q
z
Если z — величина конечная по модулю, то это приводит к следующему
условию:
(г + гд) (г + гн) + (•* + хд) (х + *н) > 0.
Таким образом, для цепи переменного тока условие устойчивости рабо-
чего режима оказывается несколько более сложным, чем для цепи постоян-
ного тока. Для выполнения соответствующей проверки даже в случае
неразветвленной цепи необходимо иметь одновременно значения активного
г„ и реактивного хн сопротивлений каждого нелинейного элемента для рас-
сматриваемого рабочего режима, а также значения нх дифференциальных
активного гд и реактивного хд сопротивлений для того же рабочего режима.
§ 19.5. Резонансные явления в нелинейных цепях
В нелинейных цепях резонансные явления протекают несколько
иначе, поскольку параметры таких цепей зависят от режима.
Изменение режима в таких случаях может приводить к нарушению
условий резонанса и наоборот. Кроме того, в нелинейных цепях
возможны неустойчивые состояния и скачкообразные изменения
условий. Эти скачкообразные изменения обычно сопровождаются
изменением фазы тока относительно напряжения.
41 Теоретические основы электротехники, ч. 1 641
В большинстве случаев нелинейность цепи переменного тока
и резонансные явления обусловлены наличием в цепи катушки
со стальным сердечником; поэтому соответствующие явления
называются феррорезонансными. К резонансным обычно отно-
сятся не только явления, приводящие к полной взаимной ком-
пенсации реактивных напряжений или токов, но и явления
частичной компенсации, приводящие к повышению напряжений
и токов на отдельных участках цепи с резким различием их
по фазе (почти на полпериода).
Наиболее простыми и характерными являются случаи после-
довательного и параллельного соединения нелинейной индук-
тивности и линейной емкости. В первом случае возникает явле-
ние феррорезонанса напряжений, а во втором — феррорезонанса
токов
Точный анализ феррорезонансных явлений с учетом несинусои-
дальности кривых представляет значительные трудности. Поэтому
в дальнейшем при анализе процессов применяется упрощение,
при котором напряжения и токи заменяются эквивалентными
синусоидами. В этом случае в первом приближении предпола-
гается, что катушка со стальным сердечником не имеет потерь,
и угол сдвига между эквивалентными синусоидами тока и на-
пряжения катушки равен ~ .
Феррорезонанс напряжений. Если катушка со стальным
сердечником соединена последовательно с конденсатором
(рис. 19.17, а), то суммарное реактивное сопротивление цепи
получается зависящим от тока:
x = xt—xc = /(/).
На рис. 19.17, б показаны вольтамперные характеристики для
катушки и конденсатора в отдельности (емкость предполагается
линейной). Они построены в разных квадрантах, поскольку
соответствующие напряжения противоположны по фазе. Кроме
того, на этом же рисунке построена векторная диаграмма для
некоторого значения тока I и суммарная вольтамперная харак-
теристика цепи в виде разности напряжений на индуктивности
UL и емкости Uc‘.
Up = UL-Uc = F(I).
На рис. 19.17, в показаны вольтамперная характеристика для
реактивного ((7р) и активного (77а) сопротивлений цепи. Здесь
следует особо отметить, что область характеристики вблизи
точки /0 (рис. 19.17,6) представляет собой лишь теоретический
интерес. В реальных условиях кривая U — f (!) имеет несколько
иной характер (рис. 19.17. в) вследствие потерь в стали и со-
противлении катушки, а также из-за искажения формы кривой
тока и напряжений на участках.
642
Суммарное напряжение на зажимах цепи
(/ = / ul+u*p,
где Ua — активная составляющая напряжения, обусловленная
потерями в цепи.
Если цепь питается от источника напряжения, то при его
непрерывном изменении ток может меняться скачкообразно.
При повышении напряжения от нуля до его значения в точке а
ток отстает по фазе от напряжения, так как реактивная состав-
ляющая напряжения на катушке больше напряжения на емкости
(рис. 19.17, в). В точке а происходит скачок, при котором ток
возрастает до величины, соответствующей на графике тому же
значению напряжения, но уже в точке Ь. При этом ток опере-
жает напряжение по фазе (напряжение на емкости больше реак-
тивной составляющей напряжения на индуктивности). В даль-
нейшем при увеличении напряжения происходит непрерывное
увеличение тока. Если затем уменьшить напряжение до вели-
чины Ud, то в этой точке снова получится скачок тока, соот-
ветствующий переходу из точки d в точку е (режим слабого
тока).
Из приведенного анализа следует, что в некотором интервале
изменения напряжения суммарное реактивное сопротивление, а
при малом активном сопротивлении и полное (модуль) сопро-
тивление цепи имеет отрицательную производную. Это означает,
что отрицательным является дифференциальное реактивное со-
противление цепи
41*
643
при котором возможно ее неустойчивое состояние. Полная
вольтамперная характеристика цепи показывает, на каком ее
участке режим работы может быть неустойчивым. К такой
характеристике применимы те же положения, которые были
рассмотрены для нелинейной цепи.
В данном случае в точке d на участке db характеристики,
соответствующей режиму, который может быть получен только
в результате снижения напряжения (от величины, превышающей
напряжение Ud), может быть достигнуто состояние резонанса
напряжений, когда
х = 0
и
UL = UC = U^ = U^ .
L L г г
Однако этот режим является неустойчивым. Получить ха-
рактеристику U — f (/) при всех значениях тока можно лишь
при питании рассматриваемой цепи от источника задающего
тока (не от источника напряжения). С этой целью, например,
в цепь источника напряжения, намного превышающего напря-
жения на отдельных участках, включается регулируемое сопро-
тивление достаточно большой величины, с помощью которого
можно задавать любое значение тока в цепи. Тогда при непре-
рывном изменении тока можно снять всю характеристику U (/).
Феррорезонанс токов. Аналогичное явление наблюдается в
цепи при параллельном соединении катушки со стальным сер-
дечником и линейного конденсатора (рис. 19.18, а). В этом
случае суммарная реактивная проводимость получается завися-
щей от напряжения:
b = bL-bc = f(U).
В некоторой степени зависит от напряжения и активная про-
водимость цепи:
На рис. 19.18,6 показаны вольтамперные характеристики
для индуктивной и емкостной проводимостей ветвей. Эти харак-
теристики построены в разных квадрантах, поскольку соответ-
ствующие токи противоположны по фазе. На этом рисунке по-
строены так же векторные диаграммы токов для некоторых
значений напряжения U.
Суммарный реактивный ток в неразветвленной части цепи
Из графика /р (67) видно (рис. 19.18,6), что при некотором зна-
чении напряжения U ток в индуктивности IL компенсируется
емкостным током /с, что соответствует резонансу токов. Кривая
lv(U) представляет собой теоретический интерес. В практиче-
644
ских условиях из-за несинусоидальности кривой тока в индук-
тивности, а также вследствие наличия потерь в стали к в
обмотке катушки характеристика суммарного тока 1 от напря-
жения U имеет вид кривой, показанной на рис. 19.18, в; при
этом суммарный ток можно определить приближенно по формуле
/=/
где /а—-активная составляющая тока в цепи.
Если питать схему не от источника напряжения, а от источ-
ника с задающим током, то в рассматриваемой схеме, аналогично
Рис. 19.18
предыдущему случаю, наблюдаются скачки напряжения. При
изменении тока от нуля до его значения в точке а напряжение
меняется плавно по участку оа кривой U = / (/) (рис. 19.18, в}.
Дальнейший рост тока приводит к резкому увеличению напря-
жения от значения в точке а до значения в точке Ь. При этом
меняется не только величина напряжения, но и изменяется знак
угла сдвига фаз между напряжением U и током 7. Если в точке а
суммарный ток I опережает по фазе напряжение 0 (так как
7с> /L), то в точке b ток I отстает по фазе от напряжения U
(так как 1С < 7Д), что непосредственно следует из векторных
диаграмм, построенных на рис. 19.18,6. При увеличении тока 7
по участку Ьс характеристики (рис. 19.18, в) напряжение U
непрерывно растет (без скачков). При снижении тока до вели-
чины ld происходит скачок напряжения в сторону его умень-
шения до значения, соответствующего точке е, при этом изме-
няется не только величина напряжения, но и знак угла сдвига
между током 7 и напряжением U.
В заключение следует отметить, что явления, аналогичные
феррорезонансным, можно наблюдать в цепях с линейной ин-
дуктивностью и нелинейной емкостью.
645
§ 19.6. Векторная диаграмма и эквивалентная схема
катушки со стальным сердечником
Изложенный выше метод нахождения намагничивающего тока
по заданной петле гистерезиса с последующим гармоническим
анализом полученной кривой мало удобен на практике. Чаще
пользуются более простым методом, основанным на применении
эквивалентных синусоид и дающим достаточно точные резуль-
таты при небольших магнитных насыщениях сердечника катушки
и низкой частоте. Согласно этому методу, при расчете учиты-
вают явления гистерезиса и вихревых токов, но отвлекаются
Рис. 19.19
от несинусоидальной формы кривых: действующие значения
несинусоидального тока и напряжения и обусловленную ими
мощность рассматривают так, как если бы ток и напряжение
были чисто синусоидальными*.
Переход к эквивалентным синусоидам тока, напряжения,
магнитного потока и т. д. дает возможность все соотношения
записывать в комплексной форме и пользоваться векторными
диаграммами.
Итак, пусть требуется найти ток катушки, изображенной на
рис. 19.19, а, напряжение на ее зажимах и потребляемую ею
мощность, если магнитный поток в стальном сердечнике Ф =
— Фт sin ю/, или Фт = Ф,„.
Искомое напряжение должно иметь в каждое мгновение три
составляющих:
и = + и., + иф.
* Такое допущение означает, что петля гистерезиса заменена эквива-
лентным эллипсом (19.1), уравнениями которого в параметрической форме
являются выражения для В и Н или ¥ и t; последние также.меняются по
закону синуса, но ие совпадают по фазе: их нулевые или амплитудные
значения наступают в разное время; роль параметра играет ш/.
646
Первая составляющая, равная ur = ri, преодолевает актив-
ное сопротивление обмотки. Вторая—уравновешивает э. д. с.,
наводимую магнитным потоком рассеяния
(1Фе
us = -es = w-^.
Так как поток рассеяния, в основном замыкающийся помимо
сердечника, пропорционален току wfi>s = Lj, где Ls—индуктив-
ность рассеяния, то us — Ls^, или Us = jLsi. Наконец, третья
составляющая напряжения уравновешивает э.д.с., наводимую
потоком в стали:
аФ
иф = — еФ = w ,
или
иФ = =/ ^2 = j fwd»m = j 4,44/и>Фи.
у 2 У 2 1 у 2 т • ’ ' т
Таким образом, комплекс искомого напряжения
О = г / -j- 4- Оф.
Активная мощность, потребляемая катушкой,
Р = Ре(Ш ) = r/2 + Re(LW) =/3и + Рст
распадается на потери в меди Рм = г1г и потери в стали
P„ = Re(i/®7),
обусловленные, как уже упоминалось, явлениями гистерезиса
и вихревых токов. Последнее выражение показывает, что век-
тор 1 отстает от вектора 0ф на некоторый угол 0<9О°, опре-
деляемый из равенства
Рст = С/ф! cos 9 = 1}ф1 а,
а вектор магнитного потока Фя отстает от вектора / на угол
6 = 90°—0, называемый углом потерь (рис. 19.19,6). На вектор-
ной диаграмме показаны дополнительно векторы Ф,„ и Ё =
= — Оф = — / 4,44/даФда.
Чем больше потери в стали, тем больше активная состав-
ляющая тока /а = / cos 0 = I sin д, совпадающая по фазе с на-
пряжением 17®.
Реактивной сосгавляющей тока /р= I sin 0 определяется ре-
активная мощность QCT = t/©/sin0 = (/®/p, которую называют
намагничивающей мощностью.
647
В справочниках приводятся в виде
значения этих мощностей, отнесенных к
графиков или таблиц
единице веса G,
I . ^СТ. Z) Qcr
О G ’ G
для определенной частоты в зависимости от значения магнитной
индукции Вт для различных сортов стали. Зная Ро и Qo, не-
трудно определить составляющие тока
J Qcr QQo „ I РСТ GPо
~иф и '*~иф ~иф ’
а затем и весь ток
/=Л + /7р=/е/\
Потери в стали можно так же определить по формуле
PCT = (aJBnm+a,fiBtn)G,
где п=1,6 для 1000 гс<Вт< 10000 гс и п = 2 для 10 000 гс<Вт<
< 16 000 гс, а <тг и ав—табличные коэффициенты, характеризующие свой-
ства стали. Реактивная (намагничивающая) составляющая тока в этом
случае определяется из расчета магнитной цепи по заданному Фт и основ-
ной кривой намагничивания, аналогично расчету магнитной цепи постоян-
ного тока.
Нетрудно убедиться в том, что векторной диаграмме, изобра-
женной на рис. 19.19,6, соответствует эквивалентная схема,
показанная на рис. 19.19, в, в которой уже нет стального cep-
д. /а Л-г
дечника, а его функции выполняют активная § = —52 и ре-
иф бф
1„ Сет
активная (индуктивная) 6 = —==—^- проводимости, обеспечи-
Уф
вающие одинаковые активную и реактивные мощности, что и
в стальном сердечнике. Активная проводимость зависит незна-
чительно от изменения Вт, так как потери в стали, пропор-
циональные (приблизительно) Вт, тем самым пропорциональны
(7ф; реактивная же проводимость с ростом Вт резко увеличи-
вается, так как при этом еще быстрее увеличивается напря-
женность магнитного поля Н т, а с ней и намагничивающая
составляющая тока 1р.
Полученная схема называется схемой замещения катушки со
стальным сердечником. Параметры схемы могут быть найдены
опытным путем по показаниям амперметра, вольтметра и ватт-
метра, если дополнительно намотать на сердечник обмотку с
известным числом витков; число витков основной обмотки пред-
полагается известным.
648
§ 19.7. Векторная диаграмма и эквивалентная схема
трансформатора со стальным сердечником
Если снабдить сердечник катушки, рассмотренной в преды-
дущем параграфе, еще одной обмоткой, то получится простей-
ший трансформатор, изображенный на рис. 19.20, а. Магнитный
поток Фт = Фш в стальном сердечнике теперь будет наводить
Рис. 19.20
э. д. с. одинаковой частоты в обеих обмотках. В первичной
обмотке, присоединенной к источнику энергии с напряжением Ult
э. д. с.
Ё, = — j 4,440)^^,
а во вторичной обмотке, к которой присоединяется приемник
энергии, э. д. с.
Ё2= — /4,44да2/Фда,
где и да2 — числа витков обмоток.
Отсюда получается соотношение
Ei _rWi
^2
характеризующее основное свойство трансформатора преобразо-
вывать напряжение.
При разомкнутой вторичной обмотке, трансформатор ничем
не отличается от катушки со стальным сердечником, векторная
диаграмма которой, таким образом, является векторной диа-
граммой трансформатора при холостом ходе (к ней следует
только добавить вектор Ё2).
Пусть вторичная обмотка замкнута на нагрузочное сопро-
тивление Zu. Возникший ток /2 обусловит падение напряжения
649
на нагрузке (С/2 = /2ZK) и активном сопротивлении обмотки
(г2/2), а также напряжение (/<oL2i/2), уравновешивающее э. д, с.,
наводимую вторичным потоком рассеяния. Сумма этих напря-
жений и должна равняться э. д. с. Ё2, наводимой потоком в
сердечнике:
^2 ~ 2 4* “Ь U2.
Полученным значением Е2 определяются поток
ф =------_____= <—
т —j 4,44fw2 1 4,44[шг
И э. д. с.
1 ЫУ2 2
Первичный ток У, можно найти из следующих соображений:
для создания потока Фт требуется определенная намагни-
чивающая сила. При нагрузке последняя равна /2ау2.
Если такой же поток Фт возбудить при холостом ходе транс-
форматора (когда трансформатор превращается в катушку со
стальным сердечником), то соответствующий ток /0=/а + //р
в первичной обмотке можно вычислить так же, как и в преды-
дущем параграфе. После этого можно определить намагничи-
вающую силу /одаг Следовательно, Ilwl + I2w2 — iawz, откуда
Ток /0 называют током холостого хода, ток /2—приведенным
вторичным током.
Определив нетрудно составить баланс напряжений для
первичной обмотки:
Ёi = г+ jabjj 4- йф,
где
(7Ф = -Ё1.
Векторная диаграмма трансформатора (рис. 19.20, б) постро-
ена в полном соответствии полученным уравнениям и в той же
последовательности. Нагрузочное сопротивление ZH — ra-{-jxa
предполагается индуктивным.
Схему замещения трансформатора можно получить, если
преобразовать последнее уравнение:
' /t ' I z<~r ‘г I
V йф /
650
Из предыдущего параграфа следует, что
Кроме того,
Il — 2 t^i _ 2 “ч
йФ~ -е1 ~ _ё2
Ш2
Но р = r2 + j&L2S + Za представляет собой полное сопротивление
'2
вторичной цепи. Таким образом,
=_________1_______ 1
йф (r2+/«U+zH)(^y г2+/®^з+^’
где гг, jciiLzs и Z„ — приведенные вторичные сопротивления.
Окончательно имеем:
Т = П + + -j— = G + juLls +----—-----5--i----.
Л /» + /2 g-/&+—- , .
(J ri+№L2s + ZH
u Ф
Полученному выражению соответствует эквивалентная схема,
изображенная на рис. 19.20, в. Если отключить сопротивление Z„ ,
то получится Т-образная схема замещения трансформатора.
Полезно заметить, что для многих типов трансформаторов экви-
валентная схема получается симметричной, т. е.
что упрощает определение ее параметров опытным путем.
В заключение следует объяснить «механизм» работы транс-
форматора, заставляющий изменяться амплитуду первичного
тока, если изменяется амплитуда вторичного тока (тока на-
грузки).
Пусть вторичный ток увеличился. Следовательно, увеличилось
и размагничивающее действие этого тока, в результате чего
поток в стали Фда должен уменьшиться (если допустить, что
при увеличении вторичного тока увеличивается поток, то полу-
чится абсурдное следствие: Ег увеличится, от этого ток /2 станет
еще больше, поток еще больше возрастет и т. д. до бесконеч-
ности). Вместе с потоком уменьшится э. д. с. Elt противодей-
ствующая току /г Это вызовет увеличение первичного тока.
Практически изменения потока в стали в пределах от холо-
стого хода до номинальной нагрузки малы. Поэтому этими
изменениями при расчете пренебрегают, и считают, что поток
сохраняет то значение, какое он имел при холостом ходе.
651
Однако при перегрузках поток резко уменьшается и при корот-
ком замыкании падает почти до нуля: он как бы «вытесняется»
из сердечника, и остаются при этом только потоки рассеяния.
§ 19.8. Утроители частоты
Если к зажимам цепи с нелинейным элементом подключить синусои-
дальное напряжение, то на ее отдельных участках возникают несинусои-
дальные напряжения. При симметрии характеристик нелинейных элементов.
Рис. 19.21
обычно наиболее резко выделяется третья гармоника напряжения. Это
явление и положено в основу устройства различных типов утроителей
частоты.
Утроителем частоты называется устройство, в котором частота напря-
жения на выходе в три раза больше частоты напряжения на входе. В схеме
простейшего утроителя частоты, генератор синусоидального напряжения
присоединен к зажимам двух последовательно и согласно включенных пер-
вичных обмоток трансформаторов (рис. 19.21, а). В сердечнике первого
трансформатора сделан воздушный зазор, что обусловливает практически
прямолинейную характеристику Ф1 (Z) (рис. 19.21, б). Характеристика Ф2 (г)
имеет обычный вид, причем магнитный гистерезис не учитывается. Вторич-
652
ные обмотки этих трансформаторов также соединены последовательно, но
навстречу друг другу.
Пусть напряжение, приложенное к входным зажимам, изменяется по
вакону
Рис. 19.22
и — Uт cos mt.
Пренебрегая активными сопротивлениями обмоток и магнитными пото-
ками рассеяния, можно записать:
d®, , d®2
u = Wi-i+w^.
После интегрирования этого выражения, можно получить:
sin w/ = tOj®] + согФ2
Для простоты дальнейших выкладок и рассуждений следует принять
равными числа витков трех обмоток:
wt = иа2= =
Тогда, для суммы мгновенных значений магнитных потоков легко получить!
Ф, г Ф. = —‘ sin <о/,
1 2 они
т. е. эта сумма изменяется во времени, по синусоидальному закону, причем
амплитуда колебания, равная —показана на рис. 19.21,6 слева от осей
координат Ф—I. Здесь также показано суммирование ординат кривых Ф, (г)
и Ф2(г) и получена кривая (®! + ®2) = f (i). По этой кривой и синусоиде
(Ф1 + Ф2) = /( со/) можно построить
третью кривую: t = f(co/).
Магнитная система первого
трансформатора (имеющего воз-
душный зазор) иенасыщеиа, и
магнитный поток Ф, (со/) совпа-
дает по фазе с током i {(nt), имея
такую же форму кривой. Кри-
вая магнитного потока Ф2 (со/)
получается путем вычитания орди-
нат кривой Ф] (со/) из ординат
кривой (Ф,+ Ф2) (®0-
Искажение кривых этих маг-
нитных потоков обусловлено дей-
ствием, главным образом, третьей
гармоники магнитного потока.
В кривой Ф, (со/) третья гармоника начинается с отрицательной полу-
волны, а в кривой Ф2 (со/)— с положительной, что можно показать путем
разложения этих кривых.
При изменении магнитных потоков основной частоты и частоты третьей
гармоники, во вторичных обмотках обоих трансформаторов индуктируются
соответствующие э. д. с. тех же частот. Можно так подобрать число вит-
ков w4, что э. д. с. основной частоты будут одинаковыми по амплитуде и,
вследствие встречного включения вторичных обмоток полностью компенси-
руются. При этом между выходными зажимами утроителя будет суммарная
э. д. с. утроенной частоты: 3f.
Другой тип утроителя частоты представляет собой три одинаковых
однофазных трансформатора с ферромагнитными сердечниками, первичные
обмотки которых соединены звездой, а вторичные — в незамкнутый («откры-
тый») треугольник (рис. 19-22),
653
Пусть к первичным обмоткам приложена симметричная трехфазная си-
стема напряжений. Допустим для простоты, что контур вторичных обмоток
разомкнут. В первичной цепи отсутствует нейтральный провод, и в кривой
первичных токов ие могут присутствовать гармоники с частотами, кратными
трем, так как в любом замкнутом контуре напряжения этих частот взаимно
компенсируются.
Пренебрегая гармониками порядков выше третьего, форму кривой
первичных токов можно считать синусоидальной. При синусоидальных токах
в намагничивающих обмотках магнитные потоки в ферромагнитных сердеч-
никах имеют несинусоидальную форму, причем основное искажение вно-
сится третьей гармоникой магнитного потока. Во вторичном контуре долж-
ны индуктироваться несинусоидальные
э. д. с., причем сумма э. д. с. основной
частоты, представляющих симметрич-
ную трехфазную систему, очевидно
равна нулю, а сумма э. д. с. третьих
гармоник дает утроенное значение, так
как они представляют собой систему
нулевой последовательности. Таким
образом, частота напряжения между за-
жимами вторичной пепи будет в три
раза больше частоты напряжений,
приложенных к первичным обмоткам.
При нагрузке утроителя существен-
ных изменений в описанный процесс не
вносится.
Утроение частоты можно получить, не прибегая к трансформированию
напряжений. Пусть к четырехпроводной трехфазиой цепи присоединены три
одинаковые катушки, соединенные звездой, при условии, что сердечники
их насыщены (рис. 19.23). Так как нейтрального привода в схеме этих
катушек нет, то токи в них практически синусоидальны, ибо отсутствуют
гармоники тока, кратные трем. При этом в кривой магнитного потока
каждой катушки и в кривой напряжения содержатся третьи гармоники.
Для напряжений третьей гармоники смещение нейтрали UnN (3) не равно
нулю, а амплитуда этого напряжения тем больше, чем больше магнитное
насыщение стали сердечников катушек. Такой же эффект получается в слу-
чае включения по той же схеме нелинейных емкостей.
Мостовая схема с двумя одинаковыми линейными конденсаторами,
включенными в двух несмежных плечах, и двумя одинаковыми нелиней-
ными конденсаторами, включенными в двух других плечах, является также
примером утроителя частоты (рис. 19.24, а)
Известно, что характеристикой линейных конденсаторов является пря-
мая линия (<?л = Сил). Пусть характеристика двух других нелинейных кон-
денсаторов qu (uH) нелинейная (рис. 19 24,6). При соответствующем подборе
емкости С и характеристик ?н (ин) действие синусоидального напряжения
U] = sin вызовет напряжение и2тройной частоты. Действительно, для
мгновенных значений напряжений (рис. 19.24, а) можно записать: и1~ ик-[-их',
и2= ин—ил-
Для получения кривой u2 (1) необходимо построить две вспомогатель-
ные характеристики ин + ия — ul (q) и ин—ил = и2(<7). Так как при разомк-
нутых выходных зажимах 2—2' (рис. 19 24, а) заряды иа электродах
оказываются равными по абсолютной величине, то с помощью полученных
уравнений легко построить искомые характеристики путем суммирования
и вычитания соответствующих значений напряжений прн одинаковых заря-
дах на электродах конденсаторов (рис. 19.24, б). На рис. 19 24, в построена
также кривая и2 (t), причем масштабная шкала вдоль оси ординат для этой
кривой выбрана такой же, как ина рис. 19.24, б для кривых ии (</), ил(<?),
и, (<?) и u2(q). Пользуясь этими кривыми, легко построить кривую u2(t).
654
С этой целью следует задаться для любого момента времени напряжением
затем по кривой (ин + “л)(?) определить напряжение u2(q) и уже
найденное напряжение отложить на графике и2(0 для соответствующего
момента времени. Таким способом получается кривая u2(t) (рис. 19.24, в).
а) 5) в)
§ 19.9. Нелинейная индуктивная катушка в цепи переменного
тока при подмагничивании сердечника постоянным током
Пусть одна нз обмоток катушки с кольцевым сердечником присоединена
к источнику переменного тока а вторая — к источнику постоянного
тока /0. Для простоты рассуждений допустим, что числа витков этих
обмоток равиы: ыу0 = иу1 = ыу. Если t\=0, то зависимость магнитного потока
в сердечнике от тока /0 представится кривой, изображенной на рис. 19.25.
В каждой точке этой характеристики можно вычислить как статическую
индуктивность
1 о
так и дифференциальную
, dd>
L^wdTa-
Кроме того, статическая магнитная проницаемость
В_
РоРс ц •
а дифференциальная
1
НоР-л - dH
655
Так как В=~ и Н =~ ,
о I
где I—длина средней магнитной линии в сердечнике, a S—его поперечное
сечение, то
Ф1 I
t
Рис. 19.25
Следовательно, существует пропорциональность как между статическими,
так и между дифференциальными индуктивностями и магнитными прони-
цаемостями. При этом рс и L..
пропорциональны tga,, а ил и L.,—
— tga2(pnc. 19.25).
Пусть при постоянном токе
обмотка ьу2 присоединена к источ-
нику переменного тока с очень ма-
лой амплитудой: Перво-
начально, в процессе увеличения i,
от 0 до Z]m, магнитный поток будет
изменяться по кривой Ot—а харак-
теристики Ф (/0) (рис. 19.25). Если
ток/, уменьшается от + Zlm до—Цт
(от точки а до точки Ь по сину-
соиде), то магнитный поток изме-
няется по кривой ab верхней ветви
частного гистерезисного цикла,
имеющего в точке а наибольшее
значение потока Ф. Угол наклона
в этой части характеристики меньше
углаа2. Дальнейшее изменение тока
i, от точки b до точки с синусоиды
вызовет некоторое увеличение маг-
нитного потока по кривой Ьс и т. д.
После нескольких циклов пере-
менного тока (на рис. 19.25 для
простоты показано магнитное состоя-
ние после двух с половиной цик-
лов) в сердечнике устанавливается
некоторый переменный ток, при
котором постоянная составляющая
больше Фо при меньшем наклоне ха-
рактеристики (угол а8). Ток », вызывает как бы «встряску» магнитных
диполей, благодаря чему большее их количество ориентируется в направ-
лении постоянного магнитного потока (точка О, переходит в точку Ot) .
Тангенс угла наклона а, характеристики при таком установившемся
значении тока t, определяет так называемую «обратимую» магнитную про-
ницаемость:
АВ
НоРобр дуу
магнитного потока будет несколько
Величина p.ogp обычно применяется при расчете магнитных цепей с ма-
лыми значениями переменных составляющих магнитного потока (в телефо-
нах, звуковых репродукторах и т. д.)
656
Ток ц будет практически синусоидальным при синусоидальном напря-
жении и,, если изменение этого тока незначительно изменяет магнитный
поток. В этом случае
1 г1 + /и^-обр ’
где
*-обр [
Изменяя величину постоянного тока /0, можно изменять не только р-обр»
но и индуктивность £обр, а, следовательно, и амплитуду переменного
тока 11т. При больших амплитудах тока ц, несмотря на искажение формы
кривой этого тока и кривой магнитного потока, можно, изменяя величину
постоянного тока /0, изменять амплитуду переменного тока.
Таким образом, подмагничивание сердечника постоянным током дает
возможность управлять переменным током.
§ 19.10. Удвоитель частоты
Принцип работы ферромагнитного удвоителя частоты основан на явлении
возникновения в кривой магнитного потока гармоник четного порядка при
подмагничивании сердечника постоянным током. Такой удвоитель частоты
состоит из двух одинаковых стальных сердечников с тремя попарно одина-
ковыми обмотками иа каждом сердечнике (рис. 19.26). Соответствующие
Рис. 19.26
обмотки сердечников попарно соединены (последовательно), образуя три
электрические цепи. На схеме показаны положительные направления токов
н намагничивающих сил. Если в цепи нет постоянного тока, то, при любом
значении переменного напряжения ии э. д. с. взаимной индукции, индукти-
рованные во вторичных обмотках, равны, и, в силу встречного соединения
этих обмоток, взаимно компенсируются так, что иг=0. Постоянный ток /0
нарушает такую симметрию, создавая дополнительные намагничивающие
силы.
Рассматривая положительные направления токов и /0 на схеме, изо-
браженной на рис. 19.26, можно убедиться, что в сердечнике а суммарная
намагничивающая сила F3 +/оиао, а в сердечнике б F^ = i2w2—lawa.
Для выяснения процессов, протекающих в рассматриваемой цепи,
необходимо проследить по кривой намагничивания за тем, какие изменения
12 Теоретические основы электротехники, ч. I
657
при постоянных намагничивающих силах Foa = woIo и Fo6 = — w0Ia вызывают
изменения намагничивающих сил fla = F^ — w^t в границах от 0 до +Ft.
В обоих случаях точки 1 и 2 (рис. 19.27, а) на характеристике будут пере-
мещаться вправо, в сторону положительных значений намагничивающей
силы F. Несмотря на одинаковое смещение соответствующих точек вправо
вдоль оси F, в сердечниках а и б появляются разные изменения магнитных
потоков Фа и Ф§:
| ДФа | < | ДФ6|.
Такое соотношение получается вследствие нелинейности магнитной харак-
теристики, используемой на различных ее участках.
Пусть числа витков первичных и вторичных обмоток равны'
ш,==ш2 = ш.
Изменение потокосцепления первич-
ной цепи ДТ, = ш (ДФа + ДФ6), а
вторичной цепи ДЧ,2 = ш (ДФа—ДФб).
Если к первичной цепи приложено
синусоидальное напряжение
u1 = Ujm cos Mt,
то изменение во времени потокосцепления первичной цепи
дщ _ sin at,
1 <о
причем ток it в этой цепи несинусоидален.
По графику, изображенному на рис. 19.27, а можно выяснить зависи-
мость приращений ДФа и ДФб от тока ц. С этой целью достаточно при
определении ДФа рассматривать начало координат на магнитной характе-
ристике в точке 1, а при определении ДФб—в точке 2. Если эти зависимости
Дфа = ^1(/1) и ДФб = М»1) построить в общей системе осей координат, то
точки 1 и 2 должны совпадать с началом координат (рис. 19.27, б).
На основании вышеприведенных уравнений по графику рис. 19.27,6
определяют суммы и разности приращений магнитных потоков ДФа и ДФб
и строят кривые ДТ, («,) и ДЧ^ (i,) (рис. 19.27, в).
Так как зависимость ДЧГ1 от времени t известна (рис. 19.27, в), то, поль-
зуясь этой кривой и кривыми ДЧ,1 (ij), ДЧГ2(<1), можно построить кривую
658
AY2(O. Напряжение u2 (t) получается путем дифференцирования кривой
d'V
A'F2(Z), так как оно определяется по формуле: и2=~.
На рис. 19.27, в показаны кривые изменения во времени приращения
Потокосцепления A'Tj и напряжения и2 с двойной частотой. Кривая А'Г2 (t)
симметрична относительно оси ординат, а кривая и2 (!)—относительно начала
координат.
§ 19.11. Ферромагнитный усилитель мощности
Управление электромагнитными процессами в электрических
цепях очень часто осуществляется с помощью специальных ста-
тических устройств. Поскольку управляемая мощность в рабочей
цепи обычно значительно превышает мощность в цепи управле»
ния, то такие устройства называются усилителями мощности.
Примером нелинейного усилителя может служить ферромаг-
нитный усилитель мощности, в рабочей цепи которого проходит
переменный ток, а управление осуществляется при помощи
постоянного тока. Схема простейшего ферромагнитного усили-
теля мощности приведена на рис. 19.28.
Рабочая цепь такого усилителя питается от источника сину-
соидального напряжения и состоит из двух последовательно
соединенных обмоток. Число витков каждой обмотки равно ю,;
витки расположены на разных сердечниках — а и б (рис. 19.28).
Цепь управления питается от источника постоянного напря-
жения и состоит из двух последовательно соединенных обмоток.
Число витков каждой обмотки равно w0\ эти витки расположены
так же, как и витки обмотки рабочей цепи — на разных сердеч-
никах усилителя. По заданным направлениям токов il и 1у
(с учетом намотки витков), протекающих в соответствующих
обмотках, на рис. 19.28 показаны направления намагничивающих
сил Ft = wtl\ и Fa = waIy. 4
При отсутствии постоянного тока в цепи управления (/у = 0)
зависимость приращений потокосцепления ДЧ^, ДЧ1^ и их суммы
42*
659
AY, = AYa4- AY6 от тока it определяются магнитной характе-
ристикой AY, (i,) при 1у = 0 (рис. 19.29, а). Если проходит по-
стоянный ток 1у, то намагничивающая сила Еоа = waIy склады-
вается с намагничивающей силой F,a = ®1i1. В результате при
изменении t\ точка перемещается по характеристике вправо,
находясь при (, — 0 в точке 1 с абсциссой wjy.
Намагничивающая сила F;!f,= wJy вычитается из намагни-
чивающей силы Е1б = а,11,, и точка при изменении (, перемещается
по характеристике вправо, причем начало координат находится
в точке 2 с абсциссой (—wol ).
Кривая изменения приращения потокосцепления рабочей цепи
AY, (t,) равна сумме приращений AYa(i,) и AY6(i,), построенных
в общей системе осей координат (с точками 1 и 2 в начале
координат). Таким путем построено семейство кривых
(рис. 19.29, а), причем с увеличением тока /0 кривые смещаются
вправо относительно вертикальной оси и становятся более
пологими.
Пусть к зажимам рабочей цепи приложено синусоидальное
напряжение и,. Если пренебречь магнитным потоком рассеяния,
потерями энергии в стали и сопротивлениями обмоток wt, то
можно считать, что потокосцепление Д(/) при этом изменяется
по закону синуса (рис. 19.29, а):
Пользуясь кривыми AY, ((,) и AY, (I), можно построить кри-
вую i, (/), т. е. кривую изменения тока во времени. Одной и той
же кривой AY, (/) и различным кривым AY, ((,), в зависимости
от значения тока / будут соответствовать различные кривые
токов Г, (/). Максимум тока i, (/) будет тем больше, чем больше
причем кривые тока i,(() имеют несинусоидальную форму.
Так как в рабочую цепь включено последовательно сопротив-
ление г, то в действительности не только ток i,, но и напряже-
ние и,, приложенное к зажимам катушек, имеет несинусоидаль-
ную форму. Поэтому точный расчет такой цепи представляет
значительные трудности.
Вполне достаточно для практики рассматривать рабочую
цепь обмоток усилителя в виде условно нелинейной индуктив-
ности Ьэ, численные значения которой зависят от значений пе-
ременного I, и постоянного I токов. В этом случае с кривыми
AY, ((,) будут совпадать по форме кривые /,<оЛэ(г/,), где г —по-
стоянное сопротивление в рабочей цепи. Эги кривые иг(гЦ)
показаны на рис. 19.29, б.
Считая, что напряжение (У, опережает ток /, на 1/4 Т по
фазе, легко получить из прямоугольного треугольника (рис.
19.29, б) следующее выражение:
Зная г, U и 1у, по рис. 19.29, б можно определить значение
тока Для этого из точки 0, как из центра, проводится дуга
660
Рис. 19.2S

в четверть окружности радиусом U, пересекающая кривые
(г/,) при различных токах 1у. Из точки пересечения этой
дуги с соответствующей характеристикой U} (ri,) опускают пер-
пендикуляр на горизонтальную ось и находят значение г/1?
откуда, зная г, легко определить
В рабочей цепи мощность Р — г1\ тем больше, чем больше I
При этом в цепи управления мощность 2r значительно (в сотни
раз) меньше мощности Р.
Ферромагнитные усилители мощности применяют для плавного
автоматического управления электродвигателями, плавного регу-
лирования электрического освещения и в измерительных транс-
форматорах постоянного тока.
Пример 19.6. На рис. 19.29, в приведены характеристики одновремен-
ного намагничивания реактивной катушки, показывающие зависимость пе-
ременного напряжения на зажимах катушки от тока /н при неизменном
токе 1у в управляющей обмотке. Пренебрегая активным сопротивлением
обмотки цепи переменного тока и считая напряжение на зажимах катушки
чисто реактивным, определить сопротивление нагрузки гмакс, при котором
мощность приемника максимальна, при этом входное напряжение (7 = 20 в,
а ток в обмотке управления 1у = \ а-
Решение. На рис. 19.29, в построена четверть окружности радиусом,
равным напряжению U =20 в, в масштабе напряжения, отложенного по оси
ординат. Проекция напряжения U на ось ординат дает напряжение на за-
жимах катушки, а проекция того же напряжения на ось абсцисс опреде-
ляет напряжение на нагрузке.
Пусть ток нагрузки /и = 4 а отложен на оси абсцисс (отрезок ОА). Если
из точки А восставить перпендикуляр к этой оси до пересечения в точке В
с характеристикой одновременного намагничивания при 1у = 1а и провести
из этой точки горизонтальную прямую ВС до пересечения с окружностью,
а затем из точки С опустить перпендикуляр CD на горизонтальную ось,
то напряжение па нагрузке (7Н = гн/н = 18,8 в (отрезок OD), а напряжение
на катушке (7К = 6,7 в (отрезок CD). Задаваясь различными токами (от 2 до
5,5 а), аналогичным способом с помощью характеристики одновременного
намагничивания катушки при /^, = 1 а, легко определить величины напря-
жения (7н = гн/и и мощности Рн = гн/^. На основании построений, приведен-
ных на рис. 19.29, в легко составить табл. 19.2.
Таблица 19.2
'» а и. в I». а [/к, в и, в Ри=Гн/„. «"г
1 20 2,00 2,2 19,8 39,6
1 20 3,00 3.8 19,6 58,8
1 20 4,00 6,7 18,8 75,2
1 20 4,50 9,4 17,6 79,2
1 20 5,00 13,2 15,0 75,0
1 20 5,25 15,3 12,8 67,2
1 20 5,50 17,5 9,6 52,8
662
По данным этой таблицы на рис. 19.29, г построена характеристика
7>и=Н7н)> из которой видно, что максимальная мощность Рмакс = 79,2 в/п;
следовательно, сопротивление нагрузки
г _Рмакс_79>2_о
'макс ' 2 —4 52 —“>“* ом-
' н ’
§ 19.12. Параметры и эквивалентные схемы
лампового триода
В § 3.2 было показано, что анодный ia и сеточный (с токи являются
нелинейными функциями потенциала анода <ра и потенциала сетки <рс, рав-
ными по отношению к потенциалу катода соответственно напряжениям:
фа —Ua И Фс==И0.
Анодное напряжение иа содержит постоянную составляющую U ,а и до-
статочно малую переменную составляющую Диа:
“а = ^а+Л“а-
Аналогично, сеточное напряжение
uc = U z Дпс.
Хотя обычная характеристика триода похожа на кривую, описываемую
уравнением i=At/3/3, для практических расчетов целесообразно представить
эту характеристику в виде степенного ряда. Сеточный ic и анодный ia токи
являются функциями соответственно сеточного «с и анодного иа напряже-
ний, т. е. /а(нс, иа) и I,. (ис, ua). Если при разложении в ряд Тейлора огра-
ничиться только двумя первыми членами ряда, то получается линейная
апроксимация (приближение первого порядка):
‘а==/а + Э^Л“а + Л^ л“с’
'с “ 7с “И Д— Дца“Нд— Дпс.
с дил а dUf. с
Током ic, в виду его малости, часто пренебрегают (особенно при отрица-
тельных значениях напряжения ис).
Переменная составляющая тока ia
Частные производные в этом выражении имеют размерность проводимостей,
и, как уже было отмечено в § 3.2, имеют существенное значение для рас-
четов цепей с электронными лампами. Если электронную лампу рассматри-
вать в виде линейного четырехполюсника, то ее нелинейные характеристики
необходимо заменить соответствующими прямыми линиями. При этом
является собственной дифференциальной проводимостью цепи анода, или,
внутренней проводимостью электронной лампы,
внутреннего сопротивления. Величина gAZ—-^-
равной обратной величине
= 5 является взаимной диф-
ференциальной проводимостью цепей анода и сетки и называется крутизной
663
характеристики. При этом следует иметь в виду, что, несмотря на линеари-
зацию характеристик триода, принцип взаимности для электронной лампы
. д1л dic
не выполняется, т. е. gac^gca, где gac=^-, gca=g^-
Если (а = /2 = const, то по аналогии с линейным четырехполюсником
можно определить коэффициент А в виде отношения
А — ^£1 — = d»cdia = gi = gf
du2 диа di3 диа gac S
Это отношение называется проницаемостью лампы и обозначается буквой D.
Величина проницаемости лампы очень часто оказывается меньше единицы
н этим отличается от коэффициента А линейного четырехполюсника, кото-
рый для активных сопротивлений всегда больше единицы.
Величина, обратная D, называется коэффициентом усиления лампы
и может быть много больше единицы:
И D дис
Таким образом, три параметра триода связаны между собой следующим
•соотношением:
с
— = DSr. = l.
№
Пользуясь введенными параметрами триода, можно записать выражения
.для переменной составляющей анодного тока в следующем виде:
Л»а=2, Aua + S Дис.
Если в этом выражении заменить S через yg;, то
Aia=gi(A«a + ВАис)-
Из этого выражения следует, что источником изменения анодного тока Дга
может быть переменное напряжение Дис на сетке электронной лампы
(рис. 19.30, а). Если до получения приращения напряжения Дис на сетке лампы
для анодной цепи справедливо уравнение
E = Ua + UH,
то после получения приращения Дис, уравнение для той же цепи имеет
следующий вид:
t/11+AuH + (7a-|-Aua = £.
Из сравнения этих двух уравнений следует, что
Диа + Ди|( =0,
или
Лиа = ’ гиЛ/а.
Таким образом можно получить формулу для определения приращения
тока Д(а через приращение напряжения на сетке Дис и параметры лампы:
дг-а=-4^-.
Аналогичным путем легко получить выражение для
щення напряжения Диа через приращение напряжения
. —SAuc
Диа =---:--- •
g|+gn
Этим уравнением удовлетворяют эквивалентные схемы,
определения прира-
Дис, т. е.
в которых электрон-
664
иая лампа по отношению к нагрузке заменяется или источником э. д. с.
еэ = рДис (рис. 19.30, б), или источником тока Л, = — SAuc (рис. 19.30, в).
Следовательно, приближенный расчет для малых переменных составля-
ющих в цепях с электронными лампами по существу сводится к расчету
линейных схем замещения. Однако при больших величинах переменных
составляющих токов и напряжений такая линеаризация недопустима, так
как параметры триода становятся нелинейными. В таких случаях можно.
воспользоваться при расчетах приведенными эквивалентными схемами, если
учитывать, что характеристики еэ (ис), (ис) и gt (ua) являются нелинейными.
Пример lff.7. Между сеткой и катодом триода 6С2С действует напряже-
ние Uc+ = Ус + Уст sin =—1 + 0,1 sin mt (рис. 19.30, а). Зависимость
анодного тока (а от анодного напряжения Ua при постоянном напряжении ис
изображена в виде семейства характеристик на рис. 19.30, г. Электродви-
жущая сила в анодной цепи Еа = 180 в, сопротивление нагрузки гн = 15кол«.
Определить параметры эквивалентной схемы триода и с помощью этой схемы
найти амплитуду синусоидальной составляющей тока Д(а в анодной цепи.
Решение. Прежде всего необходимо определить положение рабочей
точки на характеристиках лампы при постоянном токе (при отсутствии Дис).
С этой целью строится «нагрузочная прямая», характеризующая нагрузочное
сопротивление цепи. Эта прямая проходит через точки (а=0 при иа — 180в
Р
и »а = ——12 ма при (7а=0. В рассматриваемом режиме рабочая точка
получается путем пересечения нагрузочной прямой с той кривой семейства,
для которой напряжение t/c ——1 в. Из построений на рис. 19.30, г полу-
чается, что рабочая точка определяется координатами: (7а=88ви Iа=6,2 ма.
665
Для определения проводимости g; необходимо дать приращение анодному
напряжению на величину Диа при постоянном Uc ——1 в, принимая найден-
ную рабочую точку за исходную. Затем определяется соответствующее при-
ращение анодного тока Д<а и делится на Диа:
= = 1,24.IO’4 сил,
61 диа киа 50
Г[ = 8,05' 10s ом.
Иначе говоря, проводимость gj пропорциональна тангенсу угла наклона
касательной в рабочей точке к кривой ia=f(ua) ПРИ =—1 e=const.
Чтобы определить крутизну характеристики S при Ua =88 в =const,
необходимо задаться приращением сеточного напряжения Дис = 0—(—1) = 1 в,
после чего с помощью характеристик (рис. 19.30, г) легко найти соответст-
вующее приращение тока Дга=8,6— 6,2 = 2,4 ма. Следовательно, крутизна
характеристики
_ dia Д(а 2,4-10“’ „ . ,
S —-----=2,4-10 ’а/в = 2,4 ма е.
duz \uz 1 1 '
Коэффициент усиления
S 2,4-10-’ ...
“1,24.10-*" 9’5’
Амплитуда гармонической составляющей тока в анодной цепи
Анодный ток
Д»а = /
V-Ucm
т Ги + Г1
19,5-0,1
23,05-10*
= 8,4-10-’
а.
/а + Д(а = (6,2 Ч;0,084 sin Mt) ма.
Пример 19.8. Рабочая точка динамической характеристики лампы 6Ж7
= 30 ком) соответствует напряжению смещения
(7С =—2,9 в и анодному току 4,3 ма. Кру-
тизна характеристики в рабочей точке т1~
= 1,35 ма'в, а в точке т2=0при напряжении
£7С = 1,35 в(рис. 19.31). Требуется аппрокси-
мировать характеристику укороченным по-
линомом третьей степени »a=a0-[-ai (uc—(7С)
+ а3 (ис—Uz)s с началом координат в рабо-
чей точке.
Решение. Так как по условию задачи
1/с=—2,9 в, то анодный ток
ia =а0 + а, («с + 2,9) + а, (ис + 2,9)’.
В этом полиноме при Uc — —2,9 в, ток
ia =аа. Следовательно, ордината рабочей точки
характеристики равна коэффициенту аппроксимации а0, т. е. а0=4,3 ма.
Коэффициент а, равен крутизне характеристики в рабочей точке:
a, =S„= 1,35 ма[в.
Если продифференцировать выражение полинома ia по переменному ис,
то легко получить
^-=й1 + 3и, (ис + 2,9)’.
В левую часть этого выражения входит крутизна Se=l,35 ма[в при
Uc=—2,9 в.
666
Для определения коэффициента as можно воспользоваться условием»
при котором в точке 1/с —1,35 в крутизна S=^-=0. Следовательно,
0= 1,354-3а, (1,35 + 2,9)2,
откуда
1,35 1,35 ,2
а>~ 3(1,35 + 2.9)2- 54 Ма'в '
После подстановки в выражение полинома всех коэффициентов получается
0 = 4,3+1,35 [(ис + 2,9)~^(ис + 2,9)’
Пример 19.9. Характеристика лампы аппроксимируется выражением
ia =32 + 4 uc + -g- u? , где ia входит в миллиамперах, /с—в вольтах. Опреде-
О v
лить значение постоянной составляющей /Л0, а также амплитуды основной
гармоники 1ат1 и второй гармоники 1аяп, если иа сетке напряжение
ис = (— 8 + 8 cos <о0 в.
Решение. Если в формулу характеристики лампы подставить выра-
жение для напряжения сетки ис, то
Iа = 32 + 4 (— 8 + 8 cos <oi) + -^- (—8 + 8 cos <о/)2.
После преобразований и некоторого упрощения этого выражения
ia == 8 + 16 cos <о< + 8 cos2 <о/.
Если учесть, что
cos2 <oi =у +-^ cos 2<oi,
то
0=12 + 16 cos <ol+ 4 cos 2 <00
667
откуда непосредственно следует: \
/й0 = 12 М.СГ, Iarnl = 16 **й> ^ami =
По полученным значениям построен график, изображенный на рис. 19.32,
из которого видно, что анодный ток ia имеет иесинусоидальную форму.
§ 19.13. Параметры и эквивалентные схемы
полупроводникового триода
Полупроводниковыйтриод является в общем случае нелинейной системой.
Если амплитуда приложенного переменного напряжения мала (как это
имеет место, например, при работе триода в предварительных каскадах
усиления низкой частоты или в усилителях высокой и промежуточной ча-
стоты приемника), то, аналогично ламповому триоду, с достаточной точ-
Рис. 19.33
ностью можно рассматривать триод как линейный активный четырехполюсник,
уравнения которого записываются в виде одной из трех часто применяемых
форм:
Форма Z—параметров, или параметров холостого хода
— ^11 Л + ZI2/2 1
. ? > VА1 *
П — 7 I -4- 7 / I
и2— Z'21/1 < Z'22/2 J
форма Y—параметров, или параметров короткого замыкания
;1_г,д+г,д 1 . (ВЯ
форма h — параметров, или гибридных параметров
= й11/14-й121/2 1 (19 3)
^2= ^21 Л+^22^2 /
Как видно из уравнений, параметры с индексами И (Zn, Fu, йп) представ-
ляют собой либо входные сопротивления, либо проводимости при режимах
холостого хода (/2 = 0) или короткого замыкания (1/2 = 0); параметры с ин-
дексами 22(Z22, У22, ft22)—выходные сопротивления или проводимости при
режимах /, = 0 или 67,-0. Параметры с индексами 12 характеризуют глу-
бину внутренней обратной связи (влияние выхода на вход) и, наконец, па-
раметры с индексами 21 отражают усилительные свойства триода (влияние
входа на выход).
Разумеется, опыты холостого хода и короткого замыкания, из которых
определяются параметры, проводятся на переменном токе таким образом,
€68
чтобы не нарушалась работа цепи постоянного тока, подающей требуемые
напряжения на электроды триода. Это создает известные трудности при
экспериментировании. Наиболее удобной для определения параметров
триода оказывается система /г-параметров. Преимущественно их приводят
в паспортах полупроводниковых триодов, выпускаемых отечественной про-
мышленностью. Зная одни параметры, нетрудно определить другие путем
преобразования соответствующих уравнений.
Электрическую цепь, в состав которой входят полупроводниковые триоды
(с заданными параметрами), можно рассчитать, если триоды заменить экви-
валентными схемами в виде линейных активных четырехполюсников.
На рис. 19.33 приведены три схемы замещения, составленные непосредст-
венно из параметров триода в соответствии с уравнениями (19.1) — (19.3).
Рис. 19.34
Усилительные свойства и обратные связи представлены в виде источников
напряжения и тока. Широко применяются на практике и другие схемы
замещения, более наглядно отражающие физические параметры триода
и являющиеся своеобразными его моделями. Например, на рис. 19.34 по-
казаны Т-образные схемы замещения триода, включенного по схемам
с общей базой (рис. 19.34, а), общим эмиттером (рис. 19.34, б) и с общим
коллектором (рис. 19.34, в) и работающего в области низких частот, когда
вместо комплексных значений Z, Y и h параметров можно с достаточной
точностью ограничиться их активными составляющими, легко определяемыми
из статических характеристик триода. Действительно, если для схемы
с общей базой имеются семейство выходных характеристик
<к~А(ик) ПРИ i3 = const,
а также семейство входных характеристик
i9 = f2(u3) при (к = const,
то Z— параметры (вернее активные сопротивления, т. е. г — параметры)
определяются из следующих соотношений:
669
В этих схемах активные сопротивления гэ, г$ и гк обозначают соответст-
венно сопротивления эмиттера, базы и коллектора для переменного тока;
Ес и гс—э.д.с. и внутреннее сопротивление источников сигнала, а гн —
сопротивление нагрузки. Усилительные свойства триода отражены источ-
ником напряжения, э. д. с. которого пропорциональна току эмиттера:
E = rJ3.
Однако эту э. д. с. целесообразно выразить как функцию входного тока.
Для схем, изображенных на рис. 19.34, бив, где /э не является входным
током, это можно сделать, если учесть, что
^э— ^б+
и, следовательно,
г т^э = г б + r nJ к’
Последнее слагаемое можно истолковать как напряжение на отрицательном
сопротивлении (—гт), включенном последовательно с гк (рис. 19.34, г и д).
Связь между г—параметрами и параметрами схем замещения, в соот-
ветствии с уравнениями
^1 = Г11 Л + f12^2>
^2 = 1 “Ь Ог^2»
приведена в табл. 19.3.
Таблица 19.3
г —пара- х. метры Схема х. Гц Г12 Г21 Г 22 г6 гэ гк г тп
Общая база гэ + гб гб Г К '12 01 —Ог Г22 Г21 Г lit
Общий эмиттер Гб + О гз гэ гт Гз+гк—Гт Gi —Ог Г12 Г22 Г21 ^12 ^2t
Общий коллектор гб + гк г к Г э4"ГК гш 01 — 01 Г22 ^12 Oi—О’
Пример 19.9. В схеме полупроводникового триода с общим эмиттером
использован триод типа П-14 (рис. 19.35). Выходные и входные характери-
стики этого триода представлены соответственно на рис. 19.36 и 19.37.
Схема предназначена для усиления слабых синусоидальных колебаний.
Э.д.с. смещения в выходном контуре Еок=10 в, а в контуре управления
ЕОу = 0,24в. Сопротивление приемника ги = 500 ом. Определить коэффици-
енты усиления тока, напряжения и мощности.
Решение. В тех же осях координат, где приведены выходные харак-
теристики триода, строят нагрузочную характеристику iK = f (иэк).
Согласно второму закону Кирхгофа, для выходного контура
^ОК “ W9K “Ь ОО»
670
откуда при иэк = 0 ток (к= -25===г = 0,02а = 20 ма, а при (к = 0 напря-
Г л oUU
жение аэк = £ок= Ю в.
По полученным значениям (иак=0, /к = 20 ма, иэк— 10 в, (к = 0) строится
нагрузочная характеристика в виде прямой линии.
При отсутствии синусои-
дального сигнала во входном
контуре действует только по-
стоянная э.д.с. ЕОу = 0,24 в;
тогда, согласно второму закону
Кирхгофа,
^оэб = ^оу = 0,24 в.
Входные характеристики
позволяют определить ток
ig = /06 в этом режиме.
Так как при «эк = 0,2-? 10 в
зависимость 1^=? (иэб)остается
одной и той же (т. е. практи-
чески не зависит от величины
“эк)> то следует воспользо-
ваться кривой соответствую-
щей этому интервалу иэк
(рис. 19.37). Из указанной кри-
вой следует, что i’e=/og =
200 мка (точка О)*. С помощью
Рис. 19.36
Рис. 19.35
параметра = 200 мка определяется точка о на рис. 19.36 путем пересечения
характеристики iR = f(u3K) с нагрузочной характеристикой. Координаты
точки О: 1к = 10к—^ ма и иэк = (70эк = 4,5 в.
Точка о находится на криволинейной части входной характеристики.
С целью линеаризации через эту точку можно провести касательную к кри-
вой и учесть небольшой отрезок этой касательной выше и ниже точки о,
считая крайними точками отрезка точки а и Ь. Координаты точки a:u3g =
=0,216 в, »‘б = 150л1ка; точки 6 —u3j$ =0,246 в, ig=250.MKa (рис. 19.37).
При помощи параметра i6 легко найти одноименные точки А и В на
выходных характеристиках. Координаты точки А иэк = 5,55в, iK = 8,9 ма;
точки В — иак = 3,45 в, (к=13,1 ма.
Следовательно, если на вход рассматриваемой схемы приложить сину-
соидальное напряжение с амплитудой
.. 0,246—0,216
U т эб 2
= 0,015 в,
* На рис. 19.37 ток 1б в микроамперах.
671
ТО в цепи управления образуется синусоидальный ток
, 250—150
/ ту =---g----= 50 мка.
В выходном контуре, кроме постоянного тока /ок = 11,0 ма, появится
также синусоидальный ток, амплитуда которого
Между выходными зажимами триода амплитуда синусоидальной состав-
ляющей напряжения
_ 5,55-3,45 . п.
т эк 2 —1,05 в.
Коэффициент усиления тока
V Аt вых__ Iтк 2,10-10 8
‘ Л*вх /,лу 50.10-* - z-
Коэффициент усиления напряжения
К ___Л^вых__Гц1 тк__500-2,10-10 8
- ди₽х~^эб~ 0,015
Коэффициент усиления мощности
к _ ЛРвых_ _ 500 (2,10-КГ8)* _
р"ЛРвх У,яэб^у ~0W--50.10-»-Z9W-
Применительно к синусоидальной составляющей входное сопротивление
Триода (между зажимами эмиттера н базы)
U тэб__ 0,015 __ng,,
'вх-об - 7^- - 50. ю-•- 300 ом-
672
Выходное сопротивление (между зажимами эмиттера и коллектора)
______________________р>эк__ 1,05 _
гвых.эк- /тк -2ДбГПг1'~600
В режиме, соответствующем точке о, в триоде развивается тепловая
мощность
^ок^ок=4,5* 11,0 — 49,5 мет,
которая в три раза меньше допустимого значения для данного типа полу-
проводникового триода (150 мет).
Вопросы для самопроверки
19.1. В чем состоит отличие инерционной нелинейности от безынер-
ционной?
19.2. Какие составляющие имеет кривая тока в катушке со стальным
сердечником при синусоидальном напряжении на зажимах, если пренебречь
активным сопротивлением обмотки?
19.3. Каким способом построить кривую изменения напряжения на за-
жимах катушки в зависимости от времени, если ток в ней синусоидальный
(сопротивлением обмотки можно пренебречь).
19.4. В чем состоит итерационный метод расчета цепей с нелинейными
элементами? Пояснить на примере катушки со стальным сердечником и
с активным сопротивлением.
19.5. В каких точках вольтамперных характеристик происходит неустой-
чивая работа цепи? Может ли возникнуть неустойчивый режим в линейной
цепи с пассивными параметрами?
19.6. Описать резонансные явления в нелинейных цепях при последо-
вательном и параллельном соединении катушки со стальным сердечником
и конденсатором.
19.7. Как изменится векторная диаграмма трансформатора, если на-
грузка будет чисто емкостной?
19.8. Как изменится векторная диаграмма нагруженного трансформато-
ра, если ее построить для схемы замещения?
19.9. Исходя из уравнений трансформатора для первичной н вторичной
цепей и для намагничивающих сил, составить баланс мощностей нагружен-
ного трансформатора.
19.10. Увеличиваются или уменьшаются потери в стали и меди тран-
сформатора при увеличении нагрузки?
19.11. Почему уменьшается первичный ток трансформатора, если от-
ключить нагрузочное сопротивление (активное)?
19.12. При каких режимах имеют наибольшее значение магнитный по-
ток в стали и потоки рассеяния?
19.13. Объяснить принцип работы утроителя частоты, представляющего
собой три одинаковых однофазных трансформатора с ферромагнитными сер-
дечниками, первичные обмотки которых соединены звездой, а вторичные —
в незамкнутый треугольник.
19.14. Объяснить влияние постоянного подмагничивающего тока, про-
текающего по обмотке катушки со стальным сердечником, на величину
переменного тока в другой обмотке той же катушки.
19.15. Объяснить принцип работы удвоителя частоты.
19.16. Как связаны между собой проницаемость, внутреннее сопротив-
ление и крутизна характеристики лампового триода?
19.17. Как связаны параметры полупроводникового триода, входящие
в его основные уравнения, с параметрами эквивалентных схем?
19.18. Почему в полупроводниковом триоде взаимное сопротивление г12
не равно взаимному сопротивлению г21?
43 Теоретические основы электротехники, ч. 1
673
Глава XX
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
§ 20.1. Общие замечания о переходных процессах
в нелинейных цепях
Переходные процессы в цепях с нелинейными элементами
очень часто сопровождаются явлениями, не встречающимися в ли-
нейных цепях. Известно, что на характер переходного процесса
оказывают влияние параметры цепи и схема соединения. В ли-
нейных цепях влияние параметров и схем их соединения сказы-
вается на значениях корней характеристических уравнений, ко-
торые, как известно, не зависят от времени и остаются посто-
янными в течение всего переходного процесса. В цепях
с нелинейными элементами их параметры зависят от напряжений
и токов и, следовательно, изменяются с течением времени, что
очень часто сопровождается качественно новыми явлениями. На-
пример, если в линейных цепях включение источника с сину-
соидальным напряжением или источника с синусоидальным за-
дающим током сопровождается затуханием свободного процесса,
и переходный режим переходит в принужденный с частотой,
равной частоте источника, то в нелинейных цепях переходный
процесс может перейти в установившийся с частотой автоколе-
баний (см. § 20.10), отличающейся от частоты источника питания.
Неприменимость принципа наложения к исследованию нелинейных
цепей не дает возможности разложить действительные токи и
напряжения на свободные и принужденные составляющие.
Для исследования переходных процессов в нелинейных цепях
нельзя дать общего аналитического метода, позволяющего рас-
считать переходный процесс в цепи произвольной конфигурации.
В зависимости от вида схемы и действующих в ней внешних
э.д.с. или токов для исследования переходных процессов при-
меняются разные, но чаще всего приближенные методы. Очевидно,
что для цепей с постоянными э.д.с. или с постоянными задаю-
щими токами расчет переходных процессов значительно проще,
чем для цепей с переменными э.д.с.
Переходные процессы в нелинейных цепях описываются с по-
мощью нелинейных дифференциальных уравнений. В связи со
значительными математическими трудностями, возникающими
при решении таких уравнений, очень часто для этих целей при-
ходится пользоваться приближенными аналитическими или гра-
фическими методами. В частности, если невозможно дать простое,
приближенное -аналитическое выражение характеристики нели-
нейного элемента, можно эту характеристику, заданную в виде
кривой, заменить ломаной линией в виде отрезков прямых. При
этом уравнение, связывающее напряжение и ток в пределах
674
прямолинейного участка характеристики, будет линейным. При
переходе от одного прямолинейного участка к другому—смеж-
ному, необходимо учитывать, что численные значения токов
в индуктивностях, а также напряжений на емкостях в начале
последующего участка должны быть взяты равными численным
значениям соответствующих величин в конце предыдущего пря-
молинейного участка характеристики. Эти соображения, вытека-
ющие из законов коммутации, кладутся в основу определения
постоянных интегрирования.
Широкое применение при расчете переходных процессов в не-
линейных цепях нашли методы последовательных интервалов и
графического интегрирования. Метод последовательных интерва-
лов заключается в замене интегрально-дифференциальных урав-
нений алгебраическими, в которых исследуемые величины входят
в качестве приращений за соответствующие интервалы времени.
Этот метод, хотя и связан с большими вычислительными опера-
циями, является одним из наиболее универсальных. Метод гра-
фического интегрирования заключается в таком преобразовании
заданного дифференциального уравнения, при котором можно
найти время, соответствующее определенному значению искомой
величины, в виде площади, ограниченной построенной кривой и
осями координат. Так как при графическом интегрировании ис-
пользуется действительная характеристика нелинейного элемента,
то этот метод является одним из достаточно точных.
§ 20.2. Метод графического интегрирования
Пусть задана некоторая функция f(x), равная производной
т. е. ^ = /(х). Требуется построить для этой функции инте-
гральную кривую. В соответствии с геометрическим смыслом
производной, угловой коэффициент касательной в каждой точке
интегральной кривой должен быть равен в некотором масштабе
ординате соответствующей точки заданной производной функ-
ции. Очень наглядно и просто установить указанную связь
в том случае, когда заданная производная функция ^== f (х)
имеет график в виде ступенчатой ломаной прямой с положитель-
ными и отрицательными значениями (рис. 20.1, а) на соответст-
вующих участках. В пределах каждого участка производная
постоянна = const, и, следовательно, в этом интервале изме-
нения х (например, от а до в) величина у изменяется равномерно
по закону прямой линии. На тех участках, где производная
du
положительна, ордината у увеличивается, а на тех участках,
dy
где имеет отрицательное значение, ордината у уменьшается.
43*
675
Таким образом, при заданной ступенчатой прямой для про-
изводной функции интегральная кривая // = ф(х) имеет вид ло-
маной линии (рис. 20.1, б).
Пусть заданная функция изображается на графике плавной
кривой (рис. 20.2, а). Однако любую плавную кривую можно
заменить ступенчатой кривой (рис. 20.2, б) и свести этот случай
к рассмотренному выше. При такой замене необходимо выпол-
нить условие, при котором площадь каждого прямоугольника
Рис. 20.1
должна приближенно равняться
площади, ограниченной теми же
ординатами, проведенными из
начала и конца ступени, и от-
резком кривой, заключенным
между этими ординатами. При
замене данной кривой ступен-
чатой высоты прямоугольников
следует взять равными ордина-
там, находящимся посередине
соответствующих полосок, на
которые разбивается площадь,
расположенная между интегри-
руемой кривой и осью абсцисс.
В рассматриваемом способе
любую последующую ординату у
можно выразить через началь-
ную ординату у0. Например, ор-
динату уг можно выразить через
уа из следующего соотношения
(рис. 20.2, б): = tga,, откуда z/! = z/0 + (Xj — x0) tgKj. Так
как угловой коэффициент tga, равен в некотором масштабе ор-
динате f(x0 5), взятой в середине рассматриваемого интервала
(х,—х0), то’у, = (/„-[-(х, —х0)/(х0>5). Из аналогичных соотношений
^£j' = tga2, откуда у2 = у, + (хг —xj tga2. TaKKaKtga2 = f (x1>s),
то, учитывая выражение для у,, легко получить:
Уа — Уо + f (Xo,s) (Л'1 хо) Н- f (-*T,s) (Х2 Х1)*
Обобщая, можно записать:
П— 1
Уп^Уа + S f (X; + o,s) '(ХГ + 1 Х|)>
1 = 9
Где п—число вертикальных полосок, на которые разбита вся
площадь;
Ха — заданные начальные координаты интегральной кривой;
х. = х‘+\|~ xi—абсцисса середины интервала. Пользуясь
1+ 0у5 2
676
определением интеграла, можно записать точное выражение:
Уп = Уа + ^ f(x)dx.
Из сравнения приближенной и точной формул получается:
Хп П-1
\f(x)dx^^f (X,-+0(5) (х1 +, -х,.).
Хо i =0
Если рассматривать равные интервалы изменения перемен-
ной х, то приращение этой величины Дх = х(.+1—х,. постоянно.
Следовательно, при Дх = const приращение функции у, стоящее
под знаком суммы, про-
порционально ординате
производной кривой в
середине интервала
by = f (x.+o.s) Дх. Та-
кая пропорциональ-
ность существует ме-
жду основанием рав-
нобедренного треуголь-
ника и его высотой.
Полученное соотноше-
ние дает возможность
для графического ин-
тегрирования приме-
нить лекало, имеющее
форму равнобедренного
треугольника.
01
о
shy
о
Пример 20.1. Неразветвленная цепь (рис. 20.3), состоящая из двух-
электродной лампы, индуктивности 7.= 100гн и активного сопротивления
= 1000 ом, включается под постоянное напряжение источника U =«100 в.
Определить ток при переходном процессе, если вольтамперная характе-
ристика задана в виде кривой
Рис. 20.3
ua — f(i), изображенной на рис. 20.4.
Решение. Уравнение элек-
трического состояния цепи (рис. 20.3)
имеет следующий вид:
L — + rt + иа (i) = U.
Это уравнение того же типа, что и
dy ., ,
уравнение (х), где переменная х
аналогична переменной /, функция f (х) аналогична функции
f _Ю/
«а (О
юо •
В данном случае можно непосредственно применить графическое интегри-
рование. При ( = 0 ток равен нулю, ввиду наличия в цепи индуктивности.
677
1
f(l)
В той же системе координат, в которой построена характеристика лампы
“a = f(i)> построена прямая линия по уравнению u = U— г»= 100—1000 i
(рис. 20.4). Эта прямая пересекается с осями координат в следующих
точках: при i = 0; и =100 в и при и = 0 i = 0,1 а. Отрезки между кривой
иа (() и прямой U — ri, измеренные в горизонтальном направлении при
соответствующих значениях тока, дают
напряжение на индуктивности
Lf (t) = U — ri—ua (t) = 100 f (t)
Непосредственно из графика (рис. 20.4)
найдены значения Lf (Г), соответствующие
различным значениям тока, и вычислены
значения f (г) и обратной ей величины
гттг Расчеты сведены в табл. 20.1
I (О
7
1*0,07а
6
5-
2-
f(i)
0,02 0,00 0,06 ~*
Рис. 20.4

3
1
О
Рис. 20.5
Таблица 20.1
1, а 0 0,02 0,04 0,05 0,06 | 0,07
Lf(i) 100 65 40 25 13 0
т 1 0,65 0,4 0,25 0,13 0
1 1,54 2,5 4,0 7,7 00

Зависимость величин f (i) и 1/f (г) от тока показана на рис. 20.5. При-
нимая приращения тока Д/ = 0,01 а, можно вертикальными линиями разбить
678
Таблица 20.2
площадь под кривой l/f(t) (рис. 20.5) на
узкие области. Площадь каждой такой
области определяется по приближенной
формуле:
= + 4 [nir + nb] (‘В-,а)-
Площадь, ограниченная кривой Iff (i) и
осью абсцисс, взятая в пределах от (=0
до некоторого выбранного значения i,
1,01,
представляет собой время, в течение кото-
рого происходит возрастание тока ». Все
расчеты сведены в табл. 20.2.
Результирующие приращения времени
/в использованы для построения кривой
i = (рис. 20.6), показывающей измене-
ние тока i в зависимости от времени.
Поскольку из кривой lff(i) получается
значение времени, равное бесконечности
при токе 1 = 0,07 а, то последнее является
предельным током установившегося режи-
ма, получающимся в цепи через беско-
нечно большое время.
§ 20.3. Метод кусочно-линейной
аппроксимации нелинейной
характеристики
Сущность этого метода заклю-
чается в замене заданной нелинейной
характеристики отрезками ломаной
линии. Для сравнения преимуществ
и недостатков того или иного метода
следует рассмотреть пример на
расчет переходного процесса в цепи,
изображенной на рис. 20.3.
679
Пусть вольтамперная характеристика диода заменена с по-
мощью двух прямых линий, уравнения которых по участкам
имеют следующий вид: для первого участка i = 0,0015 иа; для
второго участка 4 =— 0,034-0,004ил, где i — ток в амперах,
а ил—напряжение на зажимах диода в вольтах. Граница об-
ластей определяется в точке пересечения прямых при г = 0,018а
и ил = 12 в.
На основании второго закона Кирхгофа для схемы (рис.20.3)
справедливо уравнение:
После подстановки числовых значений это уравнение приобре-
тает следующий вид:
loo-ioog+iooo.+jjAy/,
или
^4-16,674 = 1.
at
Данное уравнение имеет решение:
1 = 0,06 4-Ле-16’67
где постоянная интегрирования определяется из начальных
условий, а именно, при t — 0 ток 4 = 0; следовательно
4 = 0,06(1 — е-16'67 ') fl-
Это решение справедливо для первой области, пока ток i не
достигнет границы, заданной током 4 = 0,018 а. Чтобы уменьшить
резкость перехода во вторую область целесообразно взять ток
» = 0,017 а при t = 0,02 сек.
Для второй области уравнение электрического состояния:
100 = 100 g 4-1000 i + (i 4-0,03)
или
^ + 12,5 i = 0,925.
• at
Решением этого уравнения является функция:
4 = 0,0744-Be"12-5'.
Постоянная интегрирования В должна быть выбрана так, чтобы
при t = 0,02 сек, ток 4 = 0,017 а. Следовательно, окончательно
выражение для тока второй области запишется:
4 = 0,074 —0,073е~|2,5(.
680
Если по полученным уравнениям построить кривую измене-
ния тока в зависимости от времени, то она достаточно близко
совпадает с графиком, полученным методом графического инте-
грирования.
§ 20.4. Метод последовательных интервалов
Этот метод относится к наиболее общим методам, но для его
применения требуется большая затрата труда. Рассматриваемый
интервал времени разбивается на достаточно малые промежутки
времени Az1 и, в соответствии с этим, дифференциалы величин,
входящих в уравнения, заменяются их конечными приращениями
в течение этого промежутка времени. Например, для случая
включения катушки со стальным сердечником известное урав-
нение ^- + п = и заменяется алгебраическим уравнением
где
Чгг...— значение потокосцепления в конце &-го промежутка
времени;
k—порядковый номер интервала времени.
Приращение потокосцепления A4fft+I = Ч7^,— Ч\ определяется
из уравнения АЧ^= (uft —rik) St.
Для иллюстрации этого метода целесообразно рассмотреть
более подробно указанный пример. Если сердечник катушки
не имел остаточного намагничивания, то в начале первого ин-
тервала, согласно закону коммутации, при t — О ЧгА = Чго = 0 и
= i0 — 0.
Следовательно, для первого интервала
дч^ч;—ч^ч^^дг,
где иа—начальное значение напряжения источника.
С помощью характеристики катушки 4f(t) по известному
потокосцеплению Ч\ определяется ток it. Приращение потоко-
сцепления во втором интервале
SV^^-'Y^u-rijSt.
Далее определяется значение потокосцепления в начале вто-
рого интервала у^^ + Д^
и по характеристике Чг (/) находится ток i2. Затем опять опре-
деляется приращение потокосцепления
A7Fa = ^3-Y2 = (n2-n2) St.
Следовательно, получив в конце какого-либо интервала вре-
мени одну из величин, связанную с другой нелинейной зависи-
мостью, можно определить вторую величину с помощью заданной
нелинейной характеристики. Полученные величины принимаются
681
равными их начальным значениям для последующих интервалов.
При решении задачи рекомендуется пользоваться приведенной
ниже последовательностью:
k rik u-k — rik Yft+1=^ + ATft+1 lk
0 0 0 Uq
1 ы rh U1 — rl\ (Uj —r(\) Д/ Ч^ + ЛЧЛ «2
Результат решения получается тем точнее, чем меньше ин-
тервал времени АЛ Однако, вследствие роста суммарного коли-
чества интервалов, увели-
чивается общая погреш-
ность расчета, так как все
последующие вычисления
зависят от погрешностей,
вносимых при расчетах
предшествующих интерва-
лов. В этом состоит основ-
ной недостаток указанного
метода.
Пример 20.9. Пользуясь
методом последовательных ин-
Рис. 20.7
тервалов, построить график
зависимости тока i от времени. Ток возникает в катушке со стальным сер-
дечником при включении иа постоянное напряжение U — 9в, если г— 10ом,
а характеристика Т (Z) задана на рис. 20.7. Длительность интервала при-
нята равной Д/ = 0,005 сек.
Решение. Все расчеты записаны в табл. 20.3
"* Таблица 20.3
k th . сек Пл> « U - rik, в ДТ/, + 1» в сек Wft + 1=T/f + A^ft+1, в сек <Л+1, а
0 0 0 9 0,0450 0,045 0,01
1 0,005 0,1 8,9 0,0445 0,0895 0,02
2 0,010 0,2 8,8 0,0440 0,1335 0,03
3 0,015 0,3 ’8,7 0,0435 0,177 0,04
4 0,020 0,4 8,6 0,0430 0,22 0,05
29 0,145 6,0 3,0 0,0150 1,0745 0,65
30 0,150 6,5 2,5 0,0125 1,0870 0,70
31 0,155 7,0 2,0 0,010 1,097 0,77
32 0,160 7,7 1,3 0,0065 1,1035 0,90
33 0,165 9,0 0 0 1,1035 0,90
На рис. 20.8 построена кривая изменения тока i в зависимости от
времени t.
682
§ 20.5. Итерационный метод
Пусть неразветвленная цепь, состоящая из катушки со стальным сер-
дечником с известной характеристикой V (г) (рис. 20.9) и сопротивлением
г=10ол«, включается на синусоидальное напряжение u = U msinwf =
= V2-120 sirt of и пусть в момент включения сердечник катушки не имеет
остаточного магнитного потока. Для такой цепи справедливо уравнение
d'F
+ ri = l/msin (Of.
Если до включения катушки в ее сердечнике не было остаточного потоко-
сцепления, то после включения потокосцепление будет возрастать, начиная
с нулевого значения по кривой
намагничивания, показанной
на рис. 20.9. Значение потоко-
сцепления 4е в какой-либо мо-
мент времени f представится
интегралом
Ф.ВЧёК
Y = pY = (Um sin (Of—ri) dt=
U г
= — (1—cos cof) — г \ idt.
(0 J
Если падение напряжения
в сопротивлении г значительно
меньше напряжения на индук-
тивности, то в полученном вы-
ражении для потокосцепле-
op
l,a
‘W
7 02 ^ OS ' Q8
-............., /
'0,8 -Ofi -0,0 -ф
-1,2
Puc. 20.9
ния "'F интеграл rj idt можно
о
Поэтому в первом приближении
рассматривать в виде поправочного члена.
= (1—cos(of) = 0,54 (1— cos wf) в-сек.
683
После подстановки в это выражение значений времени t в пределах от
f = 0 до t = T, получается ряд значений для потокосцепления (без учета
слагаемого г \ idt), сведенных в табл. 20.4.
о
В этой таблице значения потокосцепления Ч,1 получены аналитическим
путем, а значения тока I определены с помощью кривой1? (I), показанной
на рис. 20.9. Из таблицы и из графика (рис. 20.10) видно, что потокосцеп-
ление растет в течение первой половины периода от нуля до
2 —= 1,08в-сек, а затем снижается до нуля к концу периода Т. Каждому
<о
значению потокосцепления Ч\ соответствует определенное значение тока г;
промежуточные значения этих величин по отношению к имеющимся в таб-
лице могут быть найдены из характеристики, приведенной на рис. 20.9.
684
Таким образом можно вычислить выражение 4r2 = rJ idt, уточняющее пер-
о
вое приближение 'Г, для потокосцепления в течение первого периода.
С этой целью период Т разбивается на сравнительно малые промежутки Д<
и определяются площадки прямоугольников с основанием Л/ и высотой,
равной значению тока icp в середине соответствующего промежутка вре-
мени. Приращение потокосцепления Л'Р2 — ricp \t. В результате суммирования
приращений ДТ., легко получить величину потокосцепления Т2 для любого
момента времени t. Таким путем составлена табл. 20.5. при изменении t
от нуля до 2Т.
Таблица 20.5
t сек i, а At сек г, ом пм, в-сек T3 = 2rZAt в‘сек
0,0005 0,0075 0,001 • 10 0,000075 0,000075
0,0015 4 0,025 0,001 10 0,00025 0,000325
0,0025 0,050 0,001 J0 0,00050 0,000825
0,0035 0,075 0,001 10 0,00075 0,001575
0,0035 0,075 0,001 10 0,00075 0,001575
0,0355 0,110 0,001 W 0,00110 0,110763
0,0365 0,075 0,001 10 0,00075 0,1116'23
0,0375 0,050 0,001 10 0,00050 0,112123
0,0385 0,025 0,001 10 0,00025 0,112373
0,0395 0,0075 0,001 10 0,000075 1 0,112448
Второе приближение для потокосцепления определяется по формуле
т2.
По полученной характеристике Т' (0 и кривой Т (») на рис. 20.10 по.
t
строена кривая тока i1 (t) с учетом поправки T2=r idt.
о
§ 20.6. Графический метод конечных операторов
(метод Прейсмана)
Этот метод применим к уравнениям типа
a^ + &x + f(x) = C,
где коэффициенты а, Ь и правая часть уравнения С являются
постоянными величинами; /(х) — некоторая, в общем случае,
нелинейная функция от х. Этот тип уравнений очень часто
встречается при исследовании переходных процессов в электри-
ческих цепях.
685
Решение уравнения получается в осях у и х, где у есть
величина, имеющая ту же физическую размерность, что и f(x).
На рис. 20.11 кривая /(х) изображает некоторую нелиней-
ную функцию. Через точку у = С на оси ординат проведена (пунк-
тиром) линия, параллельная оси абсцисс. Кроме того, из точки С
проведена наклонная прямая к отрицательной полуоси, назы-
ваемая линией Ь. Наклон этой линии определяется постоянным
коэффициентом Ь при функции х в уравнении
^=-&.
Ах*
В прямоугольном треугольнике АВС (рис. 20.11) это отноше-
ние равно в некотором масштабе котангенсу угла 0. Изменяю-
щаяся во времени часть определяется постепенно (шаг за шагом).
Пусть в некоторой точке переменная х имеет значение х*1’ и
пусть приращение координаты х равно Лх(1) и соответствует
приращению времени ДЛ Уравнение, связанное с этой величи-
ной, получается из заданного уравнения путем замены произ-
водной отношением конечных приращений . Кроме того,
второй (Ьх) и третий [/(х)] члены уравнения вычислены для
середины приращения х, т. е. для £х(1) -HyAx^’j . В резуль-
тате получается следующее уравнение:
а^+ь [*<1)+4д*,,)] +/ р” Алг<1>] =с-
Путем простых преобразований можно получить:
+ | Дх<'>=С-/ [х<‘> Ах(,)] - &х<’'.
686
Члены правой части этого уравнения могут быть определены
наклонной прямой b с помощью кривой f(x). Для определения
членов левой части данного уравнения, т. е. + b'j
требуется построить новую линию (линию а). Эта линия прово-
дится из соответствующей точки линии Ь, имеющей абсциссу х(1)
(начало интервала), наклонно к отрицательной полуоси у. На-
клон линии а определяется из соотношения
^a = _f_L + l b\
Дха \Д( 2 J •
Из прямоугольного треугольника DEA следует, что это от-
ношение соответствует котангенсу угла а. Если для At принята
постоянная величина, то- все линии а, называемые иногда ли-
ниями конечного оператора, имеют один и тот же наклон. На
каждой ступени построения величина времени t известна.
Поэтому из кривой x = f(f) можно определить соответствующее
значение х. Точка пересечения линии b с кривой f (х) опреде-
ляет предельные значения х и у, которые наступают по прошествии
бесконечно большого промежутка времени переходного процесса
(например, если х есть ток i, а у — напряжение U, то эта точка
определяет значение установившегося тока).
Пример 20.3. В цепи, изображенной на рис. 20.3, определить ток I
как функцию времени, пользуясь методом конечных операторов.
Решение. Для этой цепи справедливо уравнение
L — + n + ua(i) = £,
которое совпадает с уравнением типа
dx
aft+bx + f(x) = C.
Если заменить производную отношением конечных приращений, а второе
и третье слагаемые выразить через соответствующие величины для середины
приращения Д/, то
4;+'('+44,)+,0+з-4,)'£’
откуда после простых преобразований
(тт + V M = E — г' + у Дг'}~ri-
\ LAt X / У «w J
В данном случае линия Ь определяется уравнением U = E — ri=100—1000/.
Эта прямая линия имеет при » = 0 ординату (7=100 в и при (7 = 0 абсциссу
i = 0, la (рис. 20.12). Угол наклона линии b зависит от отношения
= — г — — 1000 ojh.
д‘*
687
Наклон прямой а или линии конечного оператора зависит от выбора .\t,
которое входит в выражение ctg а. Пусть Л/= 0,02 сек, тогда угол наклона
определяется из выражения:
Линия а параллельна прямой, соединяющей деление 100 в масштабной
шкалы на оси ординат и деление 0,018 а масштабной шкалы на оси абсцисс
(тока (), т. е.
0,018-IO-»-5’5'10 °м-
Первая прямая а проводится из
Точка пересечения этой прямой с
точки линии Ь, в которой ток 1 = 0.
характеристикой f определяет ток
( = 0,0165 а в момент времени
1 = А/= 0,02 сек. Следующая
прямая а проводится из точки
на характеристике b с абсцис-
сой (=0,0165 а и т. д.
Рис. 20.13
Точка пересечения линии b с кривой f (х) имеет координаты: I = 0,07 а
и U = 30 в. Полученные значения определяют соответственно ток в цепи и
напряжение на зажимах диода при установившемся режиме, при этом
напряжение на индуктивности равно нулю. На основании графических
построений, показанных на рис. 20. 12, ниже приведены значения тока i
для различных моментов времени:
t, сек 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 00
1, а 0,0165 0,0295 0,0395 0,0475 0,053 .0,058 0,062 0,065 0,°7
Пример 20.4. Неразветвленная цепь (рис. 20.13), состоящая из индук-
тивности Т=20 мгн и нелинейного сопротивления г (() с вольтамперной
характеристикой и (i) (рис. 20.14), включается под переменное напряжение
и(<). Найти закон изменения тока в зависимости от времени.
Решение. Уравнение баланса напряжений для цепи имеет вид:
u(/) = ^+u(()-
688
Это уравнение можно представить в форме конечных приращений
u(0 + Au(0=i + u (t-J-At),
откуда легко получить
[и (<) + Au (<)] — u (t + At) _ L
At А/
Отношение — определяет прямую конечного оператора. В прямо-
угольной системе координат построена характеристика и (t). Для удобства
построения в той же 'Системе координат строится кривая напряжения и (t).
Рис. 20.14
причем в качестве оси времени выбрана ось ординат. Положительная полу-
волна располагается в четвертой четверти, а отрицательная — в третьей
(рис. 20.14). Период Т разбивается на малые промежутки. Например, при
/=*25 гц, Т=0,04 век период разбивается на 20 частей. Тогда
Т 0 04
Д< = 2—0 = i6-=°’°02 С№'
а
, А L 20-10~3 1А , .
ct*0=5rW = I° (М-
44 Теоретические основы электротехники, ч. I
689
Первое приращение напряжения Ди,, соответствующее времени Д/,,
проектируется в виде отрезка ОС на ось напряжения. Из полученной
точки С проводится под углом 0 прямая линия. Точка пересечения этой
прямой с кривой и (г) удовлетворяет уравнению в конечных приращениях.
Действительно, первое приращение тока Дг, определяется отрезком АВ,
напряжение на нелинейном
элементе изображается отрез-
ком ОВ, а напряжение на ин-
дуктивности в том же масшта-
бе равно отрезку ВС. Если из
точки А провести горизонталь-
ную прямую до пересечения с
продолжением проектирующей
Ди, линии, пересекающей ось
абсцисс в точке С, то полу-
чается первая точка D кривой
результирующей нагрузки с
координатами (Д/,, Ди,). Сле-
дующему приращению времени
Д/2 соответствует приращение
напряжения Ди2. Проекция
этого напряжения на прямую
AD дает отрезок DE. Из точ-
ки Е под тем же углом 0 к
оси напряжения проводится
прямая EG конечного опера-
тора. Перпендикуляр GH, опу-
щенный на горизонтальную
линию, определяет второе при-
ращение тока Д/2 в интервале
Рис. 20.16
Рис. 20.15
времени Д/2. Горизонтальный отрезок АН изображает напряжение на
нелинейном элементе, вызванное вторым приращением тока Дг2; горизон-
тальный отрезок НЕ — напряжение на индуктивности при изменении тока
иа Д(2. Точка пересечения горизонтальной прямой, проходящей через
точку G, с прямой, являющейся продолжением отрезка QE, дает вторую
точку L характеристики нагрузки с координатами Дг, + Д(2,; Ди,+ Ди2.
Аналогичным путем определяются значения тока для последующих момен-
тов времени. При этом с течением времени линия нагрузки спиралеобразно
закручивается против часовой стрелки и после нескольких оборотов замы-
кается, что соответствует установившемуся режиму. Окончание переход-
ного процесса зависит от начальных условий и затухания в цепи.
Пример 20.5. Неразветвленная цепь (рис. 20.15), состоящая из линейной
емкости С = 2 мкф и нелинейного сопротивления г (i) с заданной вольт-
амперной характеристикой (рис. 20.16), включается под переменное на-
пряжение u(i). Найти закон изменения тока в зависимости от времени t.
690
Решение. Для простоты решения этой задачи можно принять, что
напряжение на емкости в начальный момент и начальное значение тока в
цепи равны нулю.
Для заданной цепи на основании второго закона Кирхгофа легко по-
лучить следующее уравнение:
t
= idt + u(i).
о
Это уравнение можно записать в форме конечных приращений
u (1) + Ди (0 = иС + "7Г • + и (О-
и
Для первого приращения времени Д/, прн заряде на конденсаторе
q (О) = 0, и (0) = 0 и i (0) = 0 предыдущее уравнение имеет более простой вид:
Ди, = ^!Д|1+и (Дч).
откуда
Ди,—и (Д(\) __ Д1,
Дг, "(Г ’
Так как интервалы времени Л/, на которые разбивается время Т, по-
_ Д^ Z-.
стоянны и емкость С также постоянна, то и отношение постоянно. Сле-
довательно, этому отношению на графике соответствует прямая линия. Если
принять Д/ = 0,001 сек, то -?г = =500 ом. Прямая, про-
• 1 ^\J С/ £ 9 LxJ
веденная из точки С оси напряжения под углом 0, пересекает характери-
стику и (/) в точке А. Прямую АС можно так же, как и в предыдущих
примерах, назвать прямой конечного оператора. Первое приращение тока
Д;, определяется ординатой АВ. Абсцисса точки А дает отрезок ОВ, рав-
ный в некотором масштабе напряжению на нелинейном элементе, а осталь-
ная часть этого отрезка ВС=ОС—ОВ определяет напряжение на конденсаторе.
Первая точка характеристики полной нагрузки, отмеченная цифрой [
(рис. 20.16), определяется координатами Д/, и Ди,. Второму интервалу
времени Д/2 соответствует приращение напряжения Ди2. Характерной осо-
бенностью расчета данной цепи является ориентация не на ток, а на напря-
жение на конденсаторе. К концу первого интервала напряжение на зажимах
конденсатора измерялось на рис. 20.16 отрезком ВС. Так как это напряже-
ние осталось от предыдущего интервала и входит в уравнение баланса
напряжений, то его надо вычесть из напряжения и2 = Ди, + Ди2 н получить
точку F левее точки Е. Из точки F проводится прямая конечного операто-
ра до пересечения с характеристикой u (i) в точке Q. Отрезок GH опреде-
ляет новое значение тока г2. Отрезок ОН обозначает напряжение иа нели-
нейном элементе при токе (2, а отрезок HF дает новое приращение напряжения
на емкости *2- Как уже отмечалось, отрезок FE означает напряжение
на емкости, имевшееся к началу второго интервала времени. В общем слу-
чае можно записать uc=^^r^2t. Вторая точка кривой полной нагрузки
отмечена на рис. 20.16 цифрой 2. После третьего интервала времени Д/,
получается новое приращение напряжения Ди8, что дает на оси напряже-
ний точку Q. Так как к концу второго интервала времени напряже-
ние на конденсаторе оказывается равным в некотором масштабе отрезку
НЕ, то это напряжение следует вычесть из напряжения и, и из точки К
44*
691
провести прямую конечного оператора до пересечения с характеристикой
нелинейного элемента. Необходимо отметить, что в этом интервале точка
К случайно совпадает с точкой F и прямая конечного оператора совмеща-
ется с прямой FG. В результате ток /а получается равным току i2. Третья
точка характеристики нагрузки отмечена цифрой 3. Как видно из дальней-
ших построений, величина напряжения на емкости довольно быстро изме-
няется После вычитания напряжения ис из новых значений напряжения
источника получаются точки на оси U
левее прежних точек. При этом пря-
мая конечного оператора смещается
влево. Характеристика полной нагрузки
начинает загибаться сверху вниз и по-
ворачиваться по движению стрелки ча-
сов, что является характерным для
цепи с емкостью.
Пример 20.6. Неразветвлеиная цепь
(рнс. 20.17), состоящая из емкости
С = 2 мкф, индуктивности L=l гн,
активного сопротивления г = 500 ом и
нелинейного элемента г (Г) с вольтам-
задаиной на рис. 20.18, включается под
перной характеристикой и (i),
переменное напряжение и (Z). Найти закон изменения тока в зависимости
от времени.
Решение. На основании второго закона Кирхгофа можно написать
уравнение
“ (0 —+ J idt-f-ri-f-u (г),
которое в форме конечных приращений имеет следующий вид:
и(0 + Ди(0 = Д-^+ «c + -g-У^ + Д») M + r(i + M) + u (i + M),
где ис = -^2г. После некоторой группировки слагаемых получается равен-
ство
и (t) + Ди (0—и (i + Дг)—ис = 1
с + ы + г)
Для простоты можно принять следующие начальные условия:
u(0) = 0; i (0)*=0; gc(0) = 0 и uc(0) = 0,
т. е. в начальный момент времени напряжение источника, ток в цепи,
заряд конденсатора и напряжение на емкости равны нулю.
Таким образом, для первого интервала времени уравнение электриче-
ского состояния цепи запишется в виде:
Ди, —и (Д«\) ( М. L \
-----Д7Г~ =1-С'+дГ1 + л>^С‘8е-
Правая часть этого равенства представляет собой конечный оператор,
который при графическом построении изображается прямой, наклоненной
к оси напряжений под определенным и постоянным (Д/ = const) углом.
Пусть продолжительность периода Т = 0,02 сек, число интервалов гг = Ю,
тогда Д/ =0,002 сек.
Для построения прямой конечного оператора следует воспользоваться
выражением:
/ \i \ /2'10~s 1 А
ctg0 = mr I +д- + г ) = ( 2- 16-« + 2Й0~~8 + 5°° ' /иг="гг2000 ол1>
692
где тпг масштаб сопротивления. Другими словами, прямая конечного one-
ратора должна пройти через точки, которые параллельны прямой, соеди-
няющей, например, точку иа оси напряжений, обозначенную 40 в, и точку
на оси токов, обозначенную 0,02 а, т. е. отношение напряжения к току
Рис. 20.18
должно равняться 2000 ом (рис. 20.18). Точка А пересечения прямой ко-
нечного оператора с характеристикой и (i) дает решение уравнения в ко-
нечных приращениях для первого интервала времени. Очевидно, отрезок
АВ представляет собой ток Л(\, отрезок ОВ определяет напряжение на
нелинейном элементе, а отрезок ВС изображает напряжение AijX
693.
X + Первая точка кривой полной нагрузки (на рис. 20.18
отмечена цифрой 1) имеет координаты: и u2 = Ди,. В конце второго
интервала времени Д/2 напряжение равно иг и проектируется иа ось на-
пряжений в виде отрезка ОЕ. Уравнение в конечных приращениях для
этого интервала имеет вид:
, . / л/, . L 1- 2 , \
«2 «(»«)-»! ^ С + + Л«2^ С + Д/2+Г)
Из этого уравнения непосредственно следует, что для расчета необходимо
ввести второй конечный оператор г = mr ctg а, представляющий собой
часть первого и образующий больший угол с осью напряжений, т. е.
^4-г= 1000 + 500= 1500 ом. В соответствии с уравнением в конечных при-
ращениях для второго интервала времени из точки Е строится прямая под
углом а до пересечения с горизонтальной прямой, определяемой уравнени-
ем г/ = Ч (рис. 20.18). В результате получается точка F. Горизонтальный
отрезок fE = Ff ctga = muil r ) • Далее из точки F под углом 0 к оси
U проводится отрезок FG до пересечения с характеристикой нелиней-
ного элемента и (!) в точке G. Перпендикуляр Gg, опущенный из точки
G на горизонтальную прямую y = ii, дает приращение тока Дг2. Из прямо-
угольного треугольника GgF горизонтальный отрезок gF=Gg ctg0 =
. . / Д£ L \ „ .
--т.цМ, I ’ Г0Ри30нтальныи отрезок Ag, непосредственно при-
мыкающий к характеристике и (Z), дает вместе с отрезком ОВ напряжение
и (i2), т. е. (OB A-Agj — myU (t2). Перпендикуляр GH, опущенный на ось
напряжений, определяет ток г2 = (1 + Дг2. Этот ток является ординатой
второй точки полной нагрузки (отмеченной цифрой 2), абсциссой которой
является напряжение и2. Для третьего интервала времени уравнение в
конечных приращениях имеет вид:
U,(«,) = «2^-g5+ Д«, ^"СГ+ ДГ2+ / ’
Конечные операторы остались прежними. После построения точки 3, соот-
ветствующей Us = omax, характеристика полной нагрузки начинает пово-
рачиваться против часовой стрелки, так как вследствие уменьшения
напряжения источника ток в цепи также уменьшается. Аналогичным
способом на рис. 20.18 построены еще две точки характеристики полной
нагрузки, отмеченные цифрами 4 и 5.
20.7. Изображение переходных процессов
на фазовой плоскости
Обычно при исследовании переходных процессов в электриче-
ских цепях выясняются зависимости различных электромагнит-
ных величин от времени и, в соответствии с этим, при построении
графиков по оси абсцисс откладывают время t, а по оси ординат —
исследуемые величины: ток i напряжение и, потокосцепление
заряд q и т. п. Однако те же явления можно рассматривать
в иной системе координат, если откладывать по оси абсцисс
694
исследуемую величину (i, и, Y, q), а по оси ординат—скорость
изменения этой величины во времени ~~ . Напри-
мер, при исследовании переходного процесса в некоторой сис-
теме регулирования можно принять отклонение регулируемой
величины за координату х, а скорость изменения этого откло-
dx ,7
нения У—fa — за координату у. Координатная плоскость, в ко-
торой по одной оси (обычно по оси абсцисс) откладывается
исследуемая величина х, а по другой (обычно оси ординат) —
„ dx
скорость изменения этой величины во времени -^ = У< называет-
ся фазовой плоскостью. Переходный процесс на фазовой плоскости
изображается некоторой плоской кривой, если он описывается
дифференциальным уравнением первого или второго порядков
при этом представление о характере процесса получается без
решения дифференциального уравнения в конечном виде. Изме-
нение состояний системы можно изображать движением некоторой
точки на фазовой плоскости. Эту точку называют изображающей,
или представляющей точкой. Кривая, которую вычерчивает на
фазовой плоскости движущаяся изображающая точка, в связи
с протеканием переходного процесса во времени, называется
фазовой траекторией. Координаты изображающей точки х и
y — ~^i определяют ее положение на фазовой плоскости и харак-
теризуют состояние процесса в рассматриваемый момент времени.
Здесь необходимо выяснить направление движения изображающей
точки. Если принять приращение dt положительным, то знак
скорости у = зависит только от знака dx. Например, в верх-
at dx
ней полуплоскости (рис. 20.19, а), где У — fa имеет только по-
ложительный знак, dx положительно, т. е. х увеличивается, и
изображающая точка движется вправо. В нижней полуплоскости,
dx ,
где У —только отрицательно, приращение dx также отрица-
тельно, т. е. х убывает, и изображающая точка движется влево.
695
Начало фазовой траектории зависит от начальных условий.
Для выяснения некоторых, наиболее существенных положений,
связанных с движением изображающей точки, необходимо рас-
смотреть ряд примеров.
Пусть катушка с параметрами г и L, в которой проходит ток
г, замыкается накоротко. Возникающий при этом переходный
процесс можно описать дифференциальным уравнением
г di . • л
LTt+ri==0-
Если ток i обозначить через х, а скорость изменения тока
al г
во времени^- принять равным у, то эта координата у=—^-х.
Следовательно, фазовая траектория переходного процесса имеет
в данном случае форму прямой, проходящей через начало коор-
динат, с угловым коэффициентом, равным—-£ (рис. 20.19, б).
Ток в закороченной катушке уменьшается в зависимости от
времени по закону экспо-
ненциальной функции i=
t
= /ое L (рис. 20.20).
Рис. 20.21
Фазовая плоскость с построенными фазовыми траекториями
.дает возможность охватить всю совокупность движений в рас-
сматриваемой системе, которые могут возникнуть при различных
начальных условиях. Заключения о характере этих движений
выводятся без предварительного отыскания аналитических вы-
ражений интегралов исходных уравнений и даже тогда (что о.чень
важно), когда эти выражения не могут быть получены.
В качестве второго примера целесообразно рассмотреть пе-
реходный процесс в неразветвленной цепи, состоящей из емкости
С и индуктивности L, при включении ее на постоянное напря-
жение U (рис. 20.21). Поскольку активное сопротивление в цепи
принято равным нулю, то в ней должны возникнуть незатухаю-
щие колебания. Для схемы, изображенной на рис. 20.21, на
основании второго закона Кирхгофа можно написать уравнение
которое после дифференцирования приобретает вид:
Td2i , 1 . „
^Л2 + С 1 ~0’
Если в этом уравнении обозначить ток i через х, ~— через
<Оо, — через у и разделить обе части данного уравнения на
У. то
dt/__ 2 х
dx у
и
ydy = — <ii2axdx.
£
К2
К
После интегрирования этого уравнения и небольших преобразо-
ваний получается уравнение эллипса в канонической форме:
. — I
к у ’
где К — постоянная интегрирования, зависящая от начальных
условий.
На фазовой плоскости это уравнение изобразится в виде
семейства эллипсов, оси которых совпадают с осями х и у, при
этом вертикальные оси равны
2Л\ а горизонтальные—2~
(рис. 20.22).
Полученные эллипсы ото-
бражают незатухающие сину-
соидальные колебания при
различных начальных усло-
виях. Амплитуда колебания
тока 1т равна полуоси эллип-
са — , направленной по оси х:
«о г
Л= —. Частота колеба-
т ®о
ний равна отношению
тикальной полуоси К
Если в начальный
электрического заряда,
ется с нулевого значения i (0) = 0, то начальная скорость воз-
/di \ и ,пч U
растания тока -п- ==~г или У(у) = -г.
\Clt / Q L, Li
D К
Величина — из уравнения эллипса выразится в виде
®о ____
вер-
К
к горизонтальной —, т. е.
момент времени конденсатор не имеет
а ток в цепи с индуктивностью начина-
х2
По отношению к начальному моменту времени (моменту включе-
ния)
откуда амплитуда колебаний тока (полуось эллипса, совпадаю-
щая с осью х)
[ = —
т «О '
Все эллипсы охватывают начало координат и являются за- -
минутыми кривыми, расположенными одна в другой. В данном
случае начало координат представляет собой «центр», и неза-
тухающие колебания имеют устойчивый характер. Если актив-
ным сопротивлением г нельзя пренебречь и его значение нахо-
дится в пределах г ]/Л/С,то колебательный процесс становится
Рис. 20.23 Рис. 20 /4
затухающим, а фазовые траектории имеют вид спиралей с
устойчивым «фокусом» в начале координат (рис. 20.23). При этом
шаг спирали растет по мере увеличения г. При г^2]/Л(С се-
мейство спиралей вырождается в семейство парабол, проходящих
через начало координат, представляющее собой устойчивый «узел»
(рис. 20.24). Центр, устойчивый фокус и устойчивый узел пред-
ставляют собой точки равновесия изображающей точки на фазо-
вой плоскости.
§ 20.8. Метод изоклин
При решении нелинейных дифференциальных уравнений от-
dx ,
носительно х и с целью построения фазовых траектории часто
встречаются большие трудности. Поэтому интегрирование диф-
ференциального уравнения заменяют алгебраическим преобразо-
698
ванием и геометрическим построением при помощи метода изоклин.
Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых
касательные ко всем интегральным кривым имеют одинаковый
наклон. Если имеется семейство изоклин, то построение интег-
ральных кривых выполняют геометрическим путем, не прибегая
к дополнительному анализу. С этой целью сначала следует
рассмотреть применение метода изоклин к дифференциальному
dx
уравнению первого порядка t)- При этом предполага-
ется, что функция f (х, t) является непрерывной и однозначной,
с возможным исключением для некоторых отдельных точек. Для
таких точек функция f (х, t) получается неопределенной вида
—. Решение по методу изоклин применимо ко всем значениям
хи/, кроме значений, соответствующих особым точкам. Метод
изоклин предполагает графическое построение, выполненное в
осях х и t, и дает решение в виде кривой, называемой интег-
ральной. Перед построением все параметры, встречающиеся в
выражении функции /(х, /), должны быть численно заданы. Тогда
можно вычислить значение f(x, t) и, следовательно, для
некоторой заданной точки с координатами (х, /) на плоскости.
Значение производной можно истолковать как наклон в дан-
ной точке, который должна иметь кривая, если она представляет
собой решение рассматриваемого дифференциального уравнения.
Таким образом, через данную точку фазовой плоскости можно
провести с вычисленным наклоном короткий отрезок прямой в
виде черточки, представляющей собой отрезок кривой частного
решения дифференциального уравнения. Можно выполнить серию
вычислений для многих точек плоскости и через каждую из них
провести под соответствующим наклоном отрезки прямых. По-
скольку в особых точках наклон неопределенный, то через эти
точки не могут быть проведены указанные отрезки прямых. Урав-
нение f (х, t) = т определяет геометрическое место точек на
плоскости х, /, в которых интегральные кривые дифференциаль-
ного уравнения имеют выбранный наклон т. Такая кривая
представляет собой изоклину. Если изоклина вычерчена на пло-
скости х, t, то отрезки прямых с выбранным наклоном можно на-
нести по всей длине изоклины. Изменив численное значение т,
можно провести вторую изоклину. Таким способом всю плоскость xt
можно заполнить изоклинами, причем каждая изоклина будет
определять направление с помощью отрезков прямых соответ-
ствующего наклона.
На рис. 20.25 показаны только четыре изоклины, что конечно
недостаточно для точного решения. Начиная из точки с коор-
динатами х0, /0 и всюду следуя наклону отрезков прямых, можно
699
вычертить интегральную кривую приближенным способом. Для
построения кривой, проходящей через точку а с начальными
значениями ха и t0, следует из точки а первой изоклины провести
два луча до пересечения со второй изоклиной. Первый луч стро-
ится так, что он образует с осью абсцисс угол, тангенс которого
равен mt. Этот луч пересекает вторую изоклину в точке bt.
Второй луч проводится под углом, тангенс которого равен т22.
Этот луч пересекает вторую изоклину в точке Ь2, Отрезок bt b2
делится пополам и тем самым определяется точка Ь. Точки а и
Рис. 20.25
Ь соединяют прямой, представляющей собой отрезок интеграль-
ной кривой. Затем проводятся два луча из точки b до пересе-
чения с третьей изоклиной, и находится точка с. Чем ближе
расположены изоклины, тем точнее строится интегральная кривая.
При достаточном количестве изоклин интегральную кривую можно
провести с приемлемой степенью точности. Различные начальные
условия приводят к различным интегральным кривым, при этом
они соответствуют различному значению постоянной интегриро-
вания. Поскольку требуется, чтобы наклон, заданный с помощью
функции f(x, t), был однозначным во всех точках, кроме особых,
то две интегральные кривые не могут пересекаться. Достаточно
иметь единственное начальное условие, чтобы установить един-
ственную интегральную кривую.
dx
Пример 20.7. Найти решение уравнения —х-М при помощи метода
изоклин. При этом необходимо рассмотреть следующие начальные условия:
а) при <о=О хо=О (интегральная кривая проходит через начало координат);
б) при to = O хо = О,2.
Решение. В данном случае изоклины представляют собой прямые
линии (рис, 20.26.), заданные в виде уравнения
= —
700
Можно ограничить изменение t и х значениями, соответственно равными
0,6 и 0,5.
Ниже приведены необходимые данные для построения трех изоклин:
т 0 0,1 —0,1
t 0; 0,1; 0,2; 0,5 0,1; 0,2; 0,6 0; 0,1; 0,4
X 0; 0,1; 0,2; 0,5 0; 0,1; 0,5 0,1; 0,2; 0,5
При построении изоклин существенное значение имеет выбор масштабных
шкал вдоль осей координат. Для того чтобы т можно было интерпретиро-
вать как наклон в точке интегральной кривой в геометрическом смысле,
шкалы вдоль обеих осей t н х должны быть одинаковыми. Из уравнения
изоклины следует, что при х = 0 значение m = t. Следовательно, изоклины
Рис. 20.26
определяются значениями t в точках пересечения ими оси абсцисс. Если деле-
ния, например, по оси ординат сделать больше, то частное значение т =
= [(х, £)=1 не будет соответствовать углу наклона в 45° по отношению к
горизонтальной оси. Целесообразно истолковать т в виде отношения т —
\х
— где Лх и — приращения, измеренные вдоль осей координат. В точ-
dx
ке 0 = 0 имеется экстремум функции. В рассматриваемом уравне-
нии получается 0 = —х-j-t, откуда x — t, т. е. в точках биссектрисы коор-
динатного угла интегральные кривые имеют минимум (рис. 20.26).
701
§ 20.9. Применение метода изоклин
к уравнениям второго порядка
Отдельные Дифференциальные уравнения второго порядка можно решить
при помощи построения изоклин. Для этого их следует привести к уравне-
нию первого порядка.
Целесообразно рассмотреть, например, уравнение простого гармониче-
ского движения
(fix 2 л
d? + “oX = 0’
где со® — положительное вещественное постоянное число.
Решение для этого линейного уравнения хорошо известно:
х=А cos (<o0i -f-9),
где А и 0 — постоянные величины, определяемые из начальных условий.
В рассматриваемом уравнении полезно заменить время t на новую
безразмерную величину t=w0Z, причем [ы0] измеряется сек-1, [f] — сек.
т . dx „ , dx 1 dx
1огда dx=<ii,.at, откуда dt = —. Если обозначить -г- =----------гг = о, то
w0 dx w0 dt
dx d2x d [ dx \ d , , dv
dt2 ~ dt \dt ‘
Так как
dv __dv dx _ dv
dt dx' dt ~V(>'adx'
TO
2 dv a n
После деления на co® и v получается
^ + - = 0,
dx v
dv x
или т —-------
dx v
Это уравнение представляет собой уравнение фазовой траектории, причем
dv
— означает тангенс угла наклона касательной к фазовой траектории в рас-
сматриваемой точке.
Можно предположить, что скорость изменения величины v при измене-
dt' . ~ х
нии х постоянна, т. е. — =/n = const. 1огда получается уравнение т—— — ,
определяющее собой кривую, пересекающую фазовые траектории в опреде-
ленных точках. Именно в этих точках касательные к фазовым траекториям
имеют одинаковые углы наклона
dv
dx
= т.
Ранее было сказано, что кривую, определяемую таким уравнением, на-
зывают изоклиной.
_ , dv
Если выбрать прямоугольные координаты х и v так, чтобы — являлось
наклоном кривой, описывающей соотношение между х и v, то, придавая т
различные значения, легко получить семейство изоклин.
На каждой изоклине можно в различных ее точках нанести достаточное
количество отрезков прямых, тангенс угла наклона которых к оси абсцисс
равен числу т, характерному для данной изоклины.
702
При достаточном количестве изоклин и черточек, нанесенных на них,
легко провести на фазовой плоскости из заданной начальной точки (х0, v0)
фазовуй траекторию. При этом стремятся к тому, чтобы фазовая траектория
пересекала каждую изоклину под характерным для нее углом, указываемым
черточками, нанесенными на изоклину.
Изоклину, соответствующую m=Q, пересекают все интегральные кри-
вые, направленные параллельно оси абсцисс. Если /п=1, то касательные
к интегральным кривым, когда они пересекают эту изоклину, должны иметь
тангенс угла наклона к положительному направлению оси абсцисс равным
единице, а угол наклона—45°.
При вычерчивании изоклин на клетчатой бумаге нанесение на них
черточек при наклонах т = 1, т = —1, т = 2 и т. д. не представляет труд-
ности. Если ориентироваться на выражение наклона не в градусной мере,
а в виде тангенса, то желательно придавать т значения именно в виде
положительных и, соответственно, отрицательных чисел.
Легко показать, что в рассматриваемом случае фазовые траектории
имеют форму окружностей. Действительно, так как
odo-|-xdx=0,
то после интегрирования
х2 + ^о = с2.
Это—уравнение окружности с центром в начале координат, причем радиус
окружности R определен из заданных начальных условий. Центр окруж-
ности является особой точкой, где наклон фазовой траектории неопределенен.
Мгновенные значения х и v определяют местонахождение изображающей
точки на интегральной кривой. В данном примере, траектория—замкнутая
кривая, что означает непрерывное возвращение изображающей точки по
одному и тому же пути в начальную точку, т. е. решение соответствует
периодическим колебаниям.
Движение точки вдоль фазовой траектории происходит в обычных слу-
чаях в направлении движения часовой стрелки. Нулевое значение скорости
соответствует максимуму или минимуму (экстремуму) перемещения. Все
фазовые траектории пересекают ось х под прямым углом, так как при х=0
величина не изменяется. По фазовому портрету можно также определить
полную энергию, накопленную в системе. Если фазовый портрет изображает
линейное дифференциальное уравнение второго порядка, то полная энергия,
запасенная в системе, пропорциональна квадрату радиального расстояния
от начала координат до точки фазовой траектории, построенной в нормиро-
ванной фазовой плоскости (по оси ординат откладывается о = — •.
к «О dt /
В качестве примера можно рассмотреть дифференциальное уравнение
для цепи, состоящей из конденсатора и катушки с сопротивлением:
di . г . 1
dT+T l + LCq = 0-
1 1 о2
Полная энергия в контуре равна у Liz ~ . Электрический за-
ряд q соответствует координате х, ток i— — соответствует у 1 следо-
1 1 х2
вательно, энергия системы равна у L(/2. Если
катушка идеальная
(г=0), то угловая частота имеет наибольшее значение со„=——— , и энер-
LC
1 / (1! \
гия системы равна ( х2Ц--2— ) . В скобки этого выражения входит
хь \ со2 /
703
величина квадрата радиального расстояния от начала координат до рассмат-
риваемой точки.
Энергия системы, соответствующая какой-либо точке на фазовой пло-
скости, равна доле от этого квадрата расстояния.
dv
Пусть, например, /п= —=—1. Тогда о=—х. Это уравнение представ-
ляет собой прямую линию (рис. 20.27), проходящую через начало координат
и образующую угол, равный — л = 135°, с осью v. На этой прямой нанесен
равным единице, т. е. образующих
угол в 45° с осью V. Затем выб-
dv 3
рано значение т =—— — —— , что
dx 2
3
дает v = — х. Это уравнение
представляет собой прямую ли-
нию, проходящую через начало
координат при наклоне (—3/2).
Далее проводится ряд черто-
чек с наклоном, равным +3/2,
пересекающих эту прямую. Оче-
видно, что в данном случае чер-
точки перпендикулярны по отно-
шению к своим прямым—изокли-
нам. Для различных значений т
изоклины образуют пучок пря-
мых, проходящих через начало
координат. Если при Z=0 х0 = 5
и ио = 0, то отправной точкой бу-
дет точка Р на оси х. Начиная от
точки Р проводится кривая, ко-
ряд черточек, с угловым коэффициентом
Рис. 20.27
торая пересекает каждую радиальную линию под тем же углом, как и
нанесенные на изоклину черточки. Если чертеж достаточно точен, то изобра-
жающая точка, описав окружность, вернется в точку Р.
Следующей ступенью в решении, является отыскание времени t. Время
в качестве параметра на фазовой картине проявляется не явно. Однако по
соответствующей фазовой траектории можно построить график зависимости
х от времени t. Дополнительно к обычному способу (который заключается
в решении дифференциального уравнения) изменение времени вдоль траек-
тории можно определить другими путями. Наиболее широко распространен
метод определения времени по обратным кривым. Ои основан на соотноше-
нии между временем t и кривой зависимости обратной величины от х.
п dx । ,
По определению У — откуда приращение времени dt — —dx.
“Г у
Интегрирование дает
Xj + 1
А/ = J у dx.
г- ‘ ( 1 \
Следовательно, если построить кривую зависимости I — I от х, то пло-
щадь под кривой (между кривой и осью абсцисс), рассмотренная между
любыми двумя точками оси абсцисс, представляет собой время, необходимое
для перехода системы из одного состояния в другое, соответственно этим
704
точкам. Такой способ определения времени равноценен графическому реше-
нию дифференциального уравнения.
Если обозначить — через f(x), то по теореме Лагранжа о среднем ко-
У
нечное приращение времени
х,1,
так как отношение разности значений Af = [£г+1—функции соответственно
в конце и начале рассматриваемого промежутка к разности значений аргу-
dt^
мента [%;•+!—xj в этих же точках равно значению производной f (£) =
в некоторой точке £ внутри этого промежутка [(г ф-1), г]. Равенство
——-----~=~j— означает одинаковый наклон хорды, соединяющей точки
х -j- j Xj ах
(х,-, ti) н (х(+1, <;+1), и касательной к отрезку кривой в некоторой точке
(xf, (рис. 20.28).
Имеется геометрический метод определения времени, в котором фазовая
траектория аппроксимируется при помощи нескольких дуг окружностей
с центром на оси х. Пусть отрезок АВ фазовой траектории является дугой
окружности с центром х0 на оси х (рис. 20.29). Тогда время перемещения
изображающей точки из А в В будет
<дв=^1>
где 0—длина дуги АВ, измеренная в радианах, или центральный угол,
стягивающий эту дугу;
Z,—отношение масштабных коэффициентов вдоль осей у и х;
t значение х, соответствующее одному делению
1 значение у, соответствующее одному делению"
Этот метод определения времени рекомендуется для участков фазбвой
траектории, пересекающей ось х. Так как фазовая плоскость представляет
dx
собой плоскость с кривыми зависимости У ~х= от х> т0 эти кривые —
фазовые траектории—пересекают ось х под прямым углом. Следовательно,
около оси х фазовые траектории всегда можно аппроксимировать при помощи
окружности большого радиуса с центром на этой оси,
705
45 Теоретические основы электротехники ч. 1
Если точка С (рпс. 20.29) находится в пределах окружности, то время,
необходимое для перехода изображающей точки из С в D на оси х (рис. 20.29),
пропорционально углу е, образуемому хордой CD и вертикальной линией:
ZCD = 2e/u где —отношение масштабных коэффициентов.
В этом геометрическом методе определения времени не встречается
трудностей, которые связаны с интегрированием кривых, стремящихся
к бесконечности.
§ 20.10. Ламповый генератор
Электрическая схема, содержащая трехэлектродную лампу, колебатель-
ный контур и источник постоянного напряжения, дает возможность полу-
чить устойчивые колебания. Автоколебаниями называются периодические
колебания, возникающие в схе-
мах при воздействии на них
вынужденных сил, не изме-
няющихся во времени.
В схеме, показанной на
рис. 20.30, источник постоян-
ного напряжения Еа являет-
ся постоянной вынуждающей
силой. Колебательный контур
включен в цепь сетки, при
этом между катушкой колеба-
тельного контура и катушкой
ветви источника имеется инду-
ктивная связь. Если принять
г di„
напряжение La ~ очень ма-
лым по сравнению с э. д. с.
£а, то, на основании второго закона Кирхгофа, для внешнего контура
схемы (рис. 20.30) можно написать Ua = Ea = const. При этих условиях
анодный ток ia зависит только от напряжения на сетке и определяется
сеточной характеристикой ia (нс) при Ua =const.
Пусть сеточная характеристика выражается приближенно полиномом
третьей степени:
«0 = U + ««c—
(20.1)
Поскольку лампа работает при относительно малых напряжениях на сетке ис,
то током в цепи сетки ic можно пренебречь и принять
Для колебательного контура, присоединенного к сетке, на основании
второго закона Кирхгофа можно написать следующее уравнение:
, d I л л dt л । 'I
L ~dt~M -dT + rl + ^ = Q-
В этом уравнении второе слагаемое представляет собой напряжение, урав-
новешивающее э. д. с. взаимной индукции, индуктируемую в катушке коле-
бательного контура. Ток I, равный току можно выразить через напря-
жение на конденсаторе:
at
di _ r d2uc
dt dt2 '
После замены в уравнении (20.1) тока i и его производной через на-
пряжение нс, получается:
„ d~ue р du,. ___.. dia
LCli^+rC7t+Ua~M^T'
(20.2)
706
Опыт показывает, что напряжение на сетке ис лампы при определенных
соотношениях между параметрами схемы изменяется по синусоидальному
закону. Поэтому в качестве решения дифференциального уравнения можно
принять выражение
“с = sin “</>
в котором необходимо определить амплитуду UZm и угловую частоту <в0.
С этой целью в уравнении (20.2) необходимо прежде всего заменить напря-
жение и его производные
d«c ti < d2u. 2,,
-^=Ы0УСЯ!СО8Ы0<> = — ы0(Усл> sin
В результате полученное уравнение приобретает вид:
—1Са>2оиет sin cooZ + гСч>аист cos + Ucm sin ant — М , (20.3)
Кроме того, пользуясь формулой
3 1
sin’ ы0< =-j- sin ы0/—— sin Зш0/,
можно уравнение сеточной характеристики
‘а =‘ао +«^сл> sin — bU3m sin’ <aoi
преобразовать к виду
ia = iao + aUcn sin 4 bU^sin^t +-1 6(/’msin 3w0*.
После дифференцирования этого выражения производная от тока' ia
bU’m) cos Ьиает cos Зи0/.
Если пренебречь высшими гармониками и в уравнении (20.3) заменить
производную , то после группировки слагаемых получится:
(1—£Сы’) sin со0< + (jC — аМ и0(7ст cosoV =0. (20.4)
Из уравнения (20.4) следует, что в любой момент времени сумма
синусоидальной и косинусоидальной функций одинаковых частот равна
нулю. Это справедливо только в том случае, когда обе амплитуды получен-
ных функций одновременно равны нулю, т. е.
1-ш^С=0
и
rC-aM + ^bMUl^O,
откуда 1
(о0 = г=
V LC
и =2 1/аЛЛ~-С.
у ЗЬМ •
Из последнего выражения непосредственно следует, что для возникно-
вения колебаний должно быть выполнено неравенство аМ > гС, так как
только при этом условии напряжение Uiin не будет мнимым числом.
45*
707
Коэффициенты а и Ь, характеризующие нелинейность сеточной харак-
теристики, а также параметры цепи М, г и С влияют на величину uzm.
В частности, при Ь—>-0 напряжение Uст—»-оо.
В заключение необходимо подчеркнуть, что энергия, поступающая от
источника напряжения в колебательный контур с помощью взаимной
индукции, необратимо переходит в тепло в сопротивлении г.
§ 20.11. О моделировании переходных процессов
в электрических цепях
Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях связан,
как известно, с решением обыкновенных дифференциальных уравнений,
порядок которых возрастает с увеличением числа индуктивностей и емкостей.
Поэтому даже для сравнительно простых схем такой расчет вызывает
большие технические трудности. Наиболее просто задачи' решаются в чис-
ленном виде, с использованием
приближенных методов реше-
ния (численного интегрирова-
ния дифференциальных урав-
нений)
Рис. 20.31
^4?
Рис. 20.32
В последнее время для исследования переходных процессов в электри-
ческих цепях широко применяются электронные модели-аналоги, позволяю-
щие производить численное решение систем как однородных, так и неодно-
родных дифференциальных уравнений с постоянными и даже с переменными
коэффициентами. В случае постоянных коэффициентов модели называются
линейными, а в случае переменных—нелинейными. В качестве таких моде-
лей-аналогов обычно используются электронные машины непрерывного
действия. Универсальные счетно-аналитические машины непрерывного
действия в настоящее время выпускаются заводами.
Электронные машины непрерывного действия состоят из блоков, которые
соединяются в схемы в зависимости от структуры решаемых уравнений
(или систем уравнений). Такие модели называются поэтому структурными.
Основными блоками структурных моделей являются оперативные уси-
лители постоянного тока (или точнее — постоянного напряжения). Обычно
схемы собираются из усилителей, сопротивлений и емкостей. Кроме того,
в машинах имеются блоки нелинейностей, дающие возможность воспроизво-
дить нелинейные вольтамперные характеристики путем кусочно-линейной
аппроксимации (§20.3), т. е. замены нелинейной функции функцией, состоя-
щей из отрезков прямых.
Простейшим усилителем постоянного напряжения является треХэлект-
родная лампа (рис. 20.31), анодные характеристики которой показаны на
рис. 20.32. Если в тех же осях координат построить нагрузочную характе-
708
ристику лампы, то по точкам пересечения этой нагрузочной характеристики
с анодными характеристиками лампы легко построить зависимость анодного
напряжения от напряжения на сетке лампы (рис. 20.33). На некотором
участке эта зависимость получается линейной:
U = — Ки,
где К — коэффициент усиления.
В современных вычислительных машинах применяются многокаскадные
усилители, имеющие коэффициенты усиления порядка 100000. В дальнейшем
Рис. 20.34
Рис. 20.35
оперативные усилители упрощенно изображаются в виде прямоугольников
(рис. 20.34).
Для питания схемы применяется специальный блок (блок питания),
представляющий собой вентильный выпрямитель, собранный на электронных
лампах и обеспечивающий стабилизированное постоянное напряжение на
выходе.
Схема, составленная из усилителя, емкости и сопротивления (рис. 20.35),
дает возможность производить интегрирование величины напряжения и по
времени. Действительно, поскольку ток цепи сетки лампы весьма мал и нм
можно с достаточной степенью точности пренебречь, то для схемы, изобра-
женной на рис. 20.35,
,_и—и' d (и' — U)
1 ~ г ~~ dt
Из предыдущих уравнений
, U
и+К
или, при большом значении К с достаточной точностью.
dU и
dt ~Сг’
откуда после интегрирования
U-~Cr
Таким образом, составленная схема является интегрирующим звеном,
которое может быть применено для решения конкретных задач.
709
Если в схеме, приведенной на рис. 20.35, емкость заменить сопротив-
лением (рис. 20.36), то ток
и—и' и' — U
1 =----==-------
или, при тех же условиях и допущениях, напряжение
и =
Г2
— и
Таким образом, данная схема дает возможность производить умножение
любой функции и на постоянный множитель — — .
При условии, что г2=т\, получается только изменение знака функции:
U = —и.
Суммирование функций и производится путем непосредственного сое-
динения соответствующих ветвей так, как показано на рис. 20.37, где
Рис. 20.37
и, следовательно,
“1+т-“2
Г2
Если г, = г2 = г, то каждый коэффициент получается равным единице и
напряжение
17 = —(«1 + и2).
Поскольку деление на постоянный коэффициент можно заменить умно-
жением на обратную величину, а вычитание—сложением с соответству-
ющей величиной, взятой с обратным знаком, то приведенных операций
достаточно для выполнения решений линейных задач.
Нелинейная функция, как уже указывалось, воспроизводится по
участкам путем замены ее на этих участках линейными функциями. Для
этого составляется схема с вентилями, в качестве которых применяются
710
для получений блоков
электронные двухэлектродные ламп!>1 (в настоящее время ламповые вентили
заменяются полупроводниковыми) или диоды.
Так как вентиль приводит к излому линейной характеристики (рис.
20.38), то соединением нескольких ветвей с вентилями (рис. 20.39, а)
можно получить характеристику с несколькими изломами и заменить за-
данную нелинейную функцию (рис. 20.39, б). Такими функциональными
преобразователями обычно пользуются в машинах
умножения функций, их квад-
ратов и т. д. В частности,
для умножения функций при-
меняется формула
(иг + и2)2—(«! — и2)2 =4и,иг,
которая приводит произведение к разности квадратов. На рис. 20.40 изо-
бражена схема, составленная из отдельных блоков; назначение каждого
блока отмечено на схеме с помощью соответствующих индексов в каждом
передаваемые величины. Подбором участков функций (параболы, синусо-
иды и т. д.) можно снизить вызываемую ошибку (в связи с аппроксима-
цией) до приемлемого значения.
Обратные функции, требующиеся для выполнения деления, также по-
лучаются с помощью функциональных преобразователей.
Количество различных блоков в существующих машинах исчисляется
десятками и даже сотнями. Современные машины позволяют решать диф-
ференциальные уравнения очень высоких порядков (10; 20 и более высо-
кого). Следует отметить, что увеличение числа блоков в машине приводит
к затруднениям, связанным с устойчивостью работы соответствующих схем.
711
При правильном выборе масштабов рассматриваемый переходной про-
цесс может наблюдаться в машине в течение 1004-200 сек. Интересующие
величины могут измеряться приборами, наблюдаться с помощью примене-
ния шлейфового осциллографа. Исследуемый переходный процесс легко
повторяется любое число раз.
Пример 20.89, Исследовать переходной процесс, возникающий при вклю-
чении схемы, обладающей индуктивностью (рис. 20.41).
Решение. Уравнение процесса имеет вид:
с , , di
E = ri+Ldf
После некоторых преобразований это уравнение можно записать иначе.
Так, после деления на L
Е г . _di
L~T‘~dt’
а после замены переменной i на и по формуле
di
U~dt
получается
£
L
На рис. 20.42 в упрощенном виде показана схема блоков машины
(здесь треугольниками обозначены блоки, с помощью которых производятся
действия, указанные внутри------
u.
треугольников; сами треугольники показывают
Рис. 20.41
блоков; стрелками показаны вход и выход
1 производится интегрирование функции и, в
анправление действия этих
схемы). С помощью блока
результате чего получается функция —г; путем применения блока 2 функ-
. , г .
ция — i умножается на коэффициент —, после чего получается функция,
пропорциональная I, которая подается на вход блока 4. С помощью блока
3 заданная э д.с. Е умножается на постоянный коэффициент а с по-
, .. Е г .
мощью блока 4 функции —— и -j-i складываются с обратными знаками.
Так как при этом получается функция и, то производится соединение вы-
хода блока 4 с входом блока 1.
При решении сложных задач получаются более сложные схемы соеди-
нений.
Недостатком машин непрерывного действия является сравнительно не-
высокая точность расчетов. Поэтому для получения более точных расче-
712
тов приходится прибегать к применению цифровых вычислительных машин
(т. е. машин дискретного действия), значительно более слржных и дорогих,
требующих специального программирования задачи на основе алго-
ритма ее решения. При этом используются известные принципы чис-
ленного интегрирования дифференциальных уравнений; вычислительные
операции выполняются с очень большой скоростью. Точность такого реше-
ния может быть значительно большей, но имеет предел, обусловленный не
только возможностями машины (и, в частности, числом значащих цифр),
но и возможностями применяемого метода расчета.
Обычно машины непрерывного действия позволяют с достаточной пол-
нотой исследовать качественную сторону интересующего процесса.
Вопросы для самопроверки
20.1. В каких цепях могут возникнуть автоколебания?
20.2. Можно ли разложить действительный ток в цепи с нелинейным
элементом на свободную и принужденную составляющие?
20.3. В чем заключается сущность метода графического интегрирования?
Чем определяется точность этого метода?
20.4. В чем заключается сущность метода кусочно-линейной аппрокси-
мации? Какими законами пользуются при определении постоянных интег-
рирования, если этим методом исследуется переходный процесс в цепи,
состоящей из нелинейной индуктивности, линейной емкости и постоянного
сопротивления? Кривая намагничивания заменена двумя отрезками пря-
мых линий.
20.5. Переходный процесс в некоторой цепи исследуется методом по-
следовательных интервалов; влияет ли погрешность, допущенная на пред-
шествующих интервалах, на значения искомой величины во всех последу-
ющих интервалах?
20.6. Чем определяется число приближений при расчете переходного
процесса итерационным методом в цепи с катушкой и активным сопротив-
лением?
20.7. Обосновать метод конечных операторов.
20.8. Что называется фазовой плоскостью и изображающей точкой?
20.9. Что называется изоклиной? Каким способом можно построить
(приближенно) изоклину?
20.10. В чем заключается сущность метода, с помощью которого опре-
деляется время переходного процесса по обратным кривым?
20.11. Объяснить процесс возникновения автоколебаний в схеме с
электронной лампой.
20.12. В чем заключается сущность моделирования переходных процес-
сов в линейных и нелинейных цепях?
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ МАТРИЦ
Матрицей называется таблица величин, записанных в определенной
последовательности; каждая из величин, входящих в матрицу, называется
элементом матрицы.
Матрица отмечается двойными вертикальными черточками, располо-
женными с обеих сторон таблицы. Элементы матрицы могут быть записаны
в виде одного столбца
«1
<4,
Такая матрица называется столбцевой (матрицей-столбцом); каждый из
элементов отличается номером строки, в которой он находится.
Матрица, имеющая несколько столбцов и строк,
«и «и ••• «1т
«21 «22 • • • «2 т
«П1 «П2 • • • «пт
называется прямоугольной; ее элементы различаются номерами строк и
столбцов, на пересечении которых они находятся и, следовательно, отмеча-
ются двойными индексами. Если число строк матрицы равно числу ее стол-
бцов, то матрица называется квадратной
«11 «12 «1П
«21 «22 «2П
«П1 «П2 «ЧП
Элементы ап, а22, ... , апп (на пересечении строк и столбцов одина-
ковых номеров) считаются расположенными на главной диаюнали матрицы.
Число строк и столбцов квадратной матрицы обычно называют ее поряд-
ком. Написанная выше таблица является матрицей n-го порядка.
Матрица называется симметричной, если одинаковы ее элементы, рас-
положенные симметрично относительно главной диагонали, т. е. элементы,
номер строки одного из которых равен номеру столбца другого, и наоборот
«<7 = «/i-
714
Если все элементы матрг то матрица называется диаго гонали такой матрицы равен щы, кроме диагои аа 0 ... 0 0 «22 ... 0 альных, равны нулю * аждый элемент главной диа- ица называется единичной
00 апп налъной, а если к единице, то матр
1 о ... о
О I ... о
6’6”.'.’.‘i
Квадратная матрица называется неособенной, если определитель, сос-
тавленный из ее элементов, не равен нулю
Оц я12
^22
О
ап1 апг • • • апп
и особенной, если указанный определитель равен нулю
Й11 в12
а21 а22
ат апг • • • апп
При обозначении матрицы одной буквой ее обычно печатают другим
шрифтом (например, полужирным).
Пример П1.1, Столбцевая матрица токов обозначается
квадратная матрица сопротивлений
записывается в виде:
гч • • гт
fsi ... rin
гт гпг • • гпп
Такие обозначения дают возможность упростить запись при определе-
нии различных алгебраических операций. Следует иметь в виду, что при
записи элементов в виде матрицы никаких операций с ее элементами внутри
матрицы не предусматривается.
Матрицу можно записать с помощью обозначения ее общего элемента.
Так, прямоугольная матрица, содержащая п строк и т столбцов, записы-
вается в виде:
a=ll«Z/ll- (< = 1 ... п; 7=1 ... т).
Квадратная матрица записывается несколько проще:
а = 11 azy|)",
где /г—порядок матрицы.
715
Столбцевая матрица—еще проще
a = [|az||. (( = 1 ... п).
Матрицы считаются одинаковыми,
имеются одинаковые элементы. Между
знак равенства. Если каждый элемент
знак равенства. Если каждый
является нулевой.
Если все строки матрицы
если на соответственных местах
такими матрицами можно ставить
матрицы равен нулю, то матрица
а =
а11 flj2 • • • а1т
ат апг • • • апт
записываются в той же последовательности в виде столбцов, то получается
транспонированная матрица:
ап •• • ат
а^= •••
aim • • • апт I
' Сложением двух матриц называется операция, при которой складываются
их элементы, расположенные на одинаковых местах:
а + Ь =
ап в12 ••• aim
ат ат • • • апт
^11 4" ^11 ^12 4" ^12
аИ14*^И1 ап2 b &Н2
|ЬП &J2 . • bim
Ьщ ЬП2 Ьпт
• • • ап т 4" т
При сложении матриц справедливы переместительное и сочетательное
свойства:
а±Ь = Ь±а
и
а±Ь±с = а± (Ъ±с) =(а±Ь)±с.
Если
а + Ь =с,
то
at + bf = C(.
Примером суммироваиия матриц служит определение токов /, в ветвях
линейной схемы от действия каждой из п э.д.с. При этом суммарные токи
получаются путем сложения:
п
• = S
i=i
Матрицы-слагаемые должны иметь одинаковое количество соответственно
строк и столбцов.
Умножением двух матриц называется такое действие, при котором в
качестве элементов, расположенных на пересечении t-й строки и /-го столб-
ца матрицы-произведения, принимаются суммы попарных произведений
элементов, расположенных на одинаковых местах, указанных строк мат-
рицы-множимого и столбцов матрицы-множителя:
^11 ^12
Цвц ^12 ®12 II * ^21 ^22 =|| ЙЦ^11 4" ^12^21 4" ^12^3! ^11^12 4" ^12^22 4" 2^22 II
(1^21 ^22 ^22 II Ь32 Ц 4“ ^22^21 4~ ^22^21 ^21^12 4" ^22^22 4“ 0^8^22 || •
716
Отсюда видно, что число строк матрицы-множителя должно быть равно
числу столбцов матрицы-множимого.
Число строк матрицы-произведения равно числу строк матрицы-множи-
мого; число столбцов матрицы-произведения равно числу столбцов мат-
рицы-множителя.
В общем случае операция умножения матриц не обладает перемести-
тельным свойством, т. е.
ab^ba.
Поэтому следует различать умножение матрицы а иа матрицу b слева
Ьа
и справа
ab.
Одиако для диагональных матриц переместительное свойство справед-
ливо.
Сочетательное и распределительное свойства справедливы во всех слу-
чаях умножения матриц:
abc = a(bc) = (ab)c
и
а(Ь 1с) -- ab+ac.
Постоянный множитель для всех элементов матрицы можно вынести за
знак матрицы:
па = ||п«;у||.
Нетрудно получить:
(ab)t=b(az.
Пример П1. 2. Матрица напряжений получается путем умножения
матрицы сопротивлений на матрицу токов
U=rl.
Если определяется матрица напряжений на зажимах ветвей схемы по
матрице токов в этих ветвях, то при отсутствии дополнительных связей
между ветвями (помимо связей, обусловленных схемой соединений ветвей)
матрица сопротивлений является диагональной:
и.
и»
гп0 ...О
О г22 ... О
О 0 г„п
>г
Л
При наличии дополнительных связей матрица сопротивлений содержит
и другие элементы и может быть квадратной:
иг
Г11 ^12 ... ^1н
Г21 Г22 rin
ГП1 Гп2 • • • Гпп
1г
Свойство взаимности приводит к симметричности матрицы сопротивлений:
Ч7='> •
Умножение любой матрицы слева или справа на единицу не дает
какого-либо ее изменения.
717
Обратной называется такая квадратная матрица, умножение на которую
слева или справа основной (заданной) матрицы приводит к единичной.
Матрица, обратная по отношению к исходной а, обозначается в виде а-1.
По определению
а~’а = аа~’ = 1.
Применение обратной матрицы в какой-то мере заменяет операцию
деления. Операция деления матриц отсутствует.
Операция умножения на обратную матрицу может быть использована
для решения систем линейных алгебраических уравнений.
Пример П1. 3. Если матрицу контурных токов обозначить через |к и
матрицу собственных и общих сопротивлений контуров — через гк, то их
произведение дает матрицу контурных э. д. с.
гк1к = ек’ (а)
Это матричное уравнение соответствует системе линейных алгебраи-
ческих уравнений следующего вида:
Г11^1 + Г12^2 + • + Г1п1п ~е1 'j
01^1 “F 02^2 “F • • • 4“ ^2 I (Q
ГП1^ + rn2fz + ГПП^П
Если в обеих частях равенства (а) произвести умножение слева на
обратную матрицу гк, т. е. на г”1, то
гк 1гк1к = г“1ек
ИЛИ
1К — гк еК'
Полученное выражение дает возможность определить токи контуров по
заданным значениям э. д. с. контуров ек, т. е. по существу является реше-
нием системы уравнений (б). Однако практически для этого необходимо
определить обратную матрицу.
Правило определения обратной матрицы сводится к следующему:
если
Ь ==а-’,
то каждый элемент матрицы b равен отношению алгебраического допол-
нения для элемента а,у матрицы а к определителю, составленному из эле-
ментов исходной матрицы.
Пример П1. 4. Пусть
а _ II «п«12 II
II «21«22 II
тогда
где
Пример П1. 5. Пусть
D=lan «12 I
I «21 «22 I
а =
«11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
718
тогда
«22 «28 ахг «и «12 «18
«82 «88 «32 «33 «22 «28
Ь = 75 «21 «28 а11 «is «И «13
D «81 «83 «я «» «21 «28
«21 «22 «11 «12 «11 «12
а3\ «22 «21 «22
где
«и «12 «13
«21 «22 «23
*• «81 «32 «33
Матрица, обратная по отношению к симметричной, также является сим-
метричной.
Особенная матрица обратной матрицы не имеет.
Если основная матрица является диагональной —
<zu 0 ... О
О «22 ... О
0 0 ••• апп
то обратная ей матрица
b = а-1
также является диагональной —
причем
Матрицы могут составляться из блоков, т. е. элементами матрицы мо-
гут быть также матрицы. Соответственно, матрица может разделяться
на блоки, каждый нз которых является матрицей. С отдельными матрицами-
блоками, входящими в состав матрицы, можно оперировать как с ее
элементами.
Деление матрицы на блоки можно использовать, например, для упро-
щения вычисления обратной матрицы более высокого порядка.
Пример П1. 6. Определить матрицу
Ь = а~’,
если матрица а—симметричная.
Поскольку, по определению,
ab = l,
то после разделения каждой матрицы на блоки, можно получить
а, а'
*'t
Ьх
ь;
Ь'
ь2
1
о
о
1
719
Следовательно
a1b, + a'b/ = l, (в)
а,Ь'-f-a'b2=O, (г)
aJb,-|-a.,b'=O, (д)
a'b' + a2b2 = l. (е)
Из выражения (г)
Ь' = —a, a'b2.
Тогда из (е)
b2=(a2—ata~'a')~',
после чего можно определить Ь', Ь^ и
bi = а1-1 (1 —a'bj),
а следовательно, и всю матрицу Ь.
Таким образом, приходится находить только обратные матрицы вдвое
меньшего порядка, но при этом необходимо выполнить несколько операций
умножения матриц.
Разделение матрицы иа блоки можно использовать и для решения не-
которых задач.
Пример П1.7. Пусть схема замещения содержит п независимых узлов.
Для т из них (т < п) известны напряжения относительного базисного узла
задающих токов (для упрощения записи индекс „у" опущен):
1^ = 11^11 (»=« ••• т).
Остальные напряжения
U, = 11^/11 (J=m+l-..n)
— неизвестны. Наоборот, для узлов с номерами от т+1 до п заданы зна-
чения задающих токов:
Ja=l|/yll (J = m + l...n).
Значения остальных задающих токов
— неизвестны. Определить рабочий режим.
Уравнения узловых потенциалов можно составить в следующем виде
gU=J,
где
Определить матрицы U2 и Jj можно, если разделить матрицу g на блоки:
II 611 612 I
6= „ „ ’
II 621 622 I
где gn и g22—квадратные матрицы.
Тогда
I gn 612 II II и2 II |1 I
I 621 622 II II U2 II II ^2 I
720
откуда
и
giiU i + SiaU з — J
g2lU, “Г g22^ 2 3 g.
Если обе части последнего матричного уравнения умножить на g22’, то
можно определить:
U8==g22J2 g22g21^1-
После подстановки U2 в предыдущее равенство:
3j == (Sii gi2g28 g2i) +gi8g22 J2. (ж)
Полученный результат можно записать в матричной форме:
и2
Л
ggg gai
gu giaggg Й21
g22
gl2 g22
U,
J2
Это выражение можно рассматривать как матричное уравнение много-
полюсника с числом полюсов, равным n-f-1-
При несколько другой постановке тот же матричный вывод можно
использовать для решения другой задачи.
Пусть заданная схема замещения рассматривается как многополюсник
с числом полюсов, равным Тогда напряжение U2 необходимо исклю-
чить, а задающие токи J2 представить как активные параметры многопо-
люсника Jo. Решение этой задачи можно получить непосредственно из ра-
венства (ж). Уравнение многополюсника:
J=GU+J„,
где матрицы пассивных параметров многополюсника
6 — gll giaggg gsi'
а матрица активных параметров
Jo==giaga2 За-
полученные формулы можно рассматривать как обобщение преобразо-
вания схем с уменьшением числа узлов.
То же решение, конечно, можно выполнить и без применения матриц.
Однако в таком случае решение получилось бы более громоздким.
Операции с матрицами требуют некоторого навыка и некоторой осторож-
ности. Однако применение матриц при необходимости выполнения линейных
преобразований приводит к заметным преимуществам и поэтому явно
целесообразно.
46 Теоретические основы электротехники ч. 1
721
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ЕДИНИЦЫ ИНТЕРНАЦИОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ „СИ"
(ГОСТ 9867 — 61) ВМЕСТЕ С ПЕРЕВОДНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
(на которые следует умножать соответствующую величину в другой системе единиц,
чтобы получить ее в единицах СИ)
Величина Буквенное обозначение Единица СИ Сокращенные обозначения Переводные коэффициенты для следующих систем единиц
русскими буквами латинскими и греческими буквами сгсэ *, сгс £„ СГС • сгсм •, СГС Цо
1 2 3 4 5 6 7 8
Электрический ток 1 ампер а А 10 с-1** 10 с-1 ** 10
Электрический заряд Q кулон к С 10 с"1 10 с"’ 10
Плотность электрического тока 6, J ампер на квад- ратный метр а'мг Alm1 10s с~‘ 10s с-1 10s
Объемная плотность элект- рического заряда о кулон на ку- бический метр К)Мг Cirrr 107 С-* 10’ с*1 10’
Поверхностная плотность электрического заряда <7 кулон на квад- ратный метр к/м1 С/т* 105 с-1 105 с"1 10s
Электрическое смещение D кулон на квад- ратный метр к'м1 С{тг 10s (4яс)~’ 10’ (4лс)-1 10s(4л)~'
£ Поток электрического сме- * щен ия кулон
Разность электрических по- тенциалов, электрическое напряжение, электродви- жущая сила вольт
Напряженность электриче- ского поля Е вольт на метр
Электрическая емкость С фарада
Абсолютная диэлектриче- ская проницаемость ва фарада на метр
Диэлектрическая проницае- мость (относительная) 8 отвлеченная единица
Электрическая постоянная (диэлектрическая прони- цаемость свободного про- странства) 8» фарада на метр
Диэлектрическая восприим- чивость «э фарада на метр
Момент электрического ди- поля Рэ кулон-метр
Электрическое сопротивле- ние г, R, х, X, z, Z ом
Удельное электрическое со- противление Q ом-метр
Электрическая проводи- мость g, G, b, В, у, Y сименс
к с 10(4лс)-1 10 (4nc)-1 10 (4л)"1
в V IO"’c 10-’c ю-«
в]м V/m 10-‘c 10-’c 10-«
ф F 10»c~l 10’с"2 10’
ф!м Fjm 10" (4nc!)-] 10I,(4nc2)-1 10” (4n)->
— — 1 1 1
ф/м Fjm Юп(4лс2)~' I0n(4«c2)-' 10" (4л)"'
ф/м Flm 10n c~2 10" c”2 10”
к-м C[m (10c)"‘ (10 c)“* 10-«
ом Й 10-8 c2 10-8 C2 10-’
ом-м Q-m 10-” c2 10-" c2 10-“
сим S 10» c-2 10» c“2 10’
Величина Буквенное обозначение Единица СИ
1 2 3
Удельная электрическая Y, О симменс
проводимость на метр
Напряженность магнитного поля н ампер на метр
Магнитодвижущая сила F, е ампер
Магнитная индукция в тесла
Магнитный поток ф вебер
Векторный потенциал А вебер на метр
Индуктивность, взаимная L геири
индуктивность М
Абсолютная магнитная про- ницаемость На генри на метр
Магнитная постоянная (маг- нитная проницаемость свободного пространства) Во генрн на метр
П родолжение
Сокращенные обозначения Переводные коэффициенты для следующих систем единиц;
русскими буквами латинскими и греческими буквами сгсэ *, СГС сгс • сгсм *. сгс ц0
4 5 6 7 8
сим.[м S/m 10" с-2 10» с"‘ 10"
а]м А/т 108 (4nc)"' 10® (4л)~1 1О’(4л)"1***
а А 10 (4лс)"’ 10 (4л)"1 10(4л)"’***
тл Т 10“* с |Q —4 *** |Q —4
вб Wb 10~® с |Q —8 *** IQ—8
вб1м Wb/m 10-'с 10"» 10"»
гн Н Ю-’с2 10"» 10"’
гн{м Him 4л 10"’ с! 4 л 10"’ 4л 10"’
гн1м Him 4л 10"’ с! 4л 10"’ 4л 10"’
Магнитная проницаемость И отвлеченная 1 1 1
(относительная) Магнитная восприимчи- единица отвлеченная 4л 4л 4л
вость Магнитный момент диполя, Рм единица ампер-квад- а-мг А-тг lO-’c-1 10-’ 10“’
электрического тока Намагниченность, интен- J, м ратный метр ампер а/м А -т 10s с"1 10s 10’
сивность намагничивания Магнитное сопротивление на метр ампер на вебер а]вб AjWb 109 (4nc2)-’ 10s (4 л)-1 109(4n)-'
Магнитная проводимость 2 4е5 вебер на ампер вб/а WblA 4л-Ю-’с2 4л IO-9 4л IO-9
Электрическая энергия, ра- джоуль дж J IO"7 io-’ IO"’
бота Объемная плотность элект- — джоуль на ку- дж/м3 J/m3 10-’ 10"1 10-1
ромагнитной энергии Мощность электрической цепи: активная, реактивная, р Q. Рч бическнй метр ватт вар вт вар W ] var > 10-’ 10-’ 10-’
полная Вектор Пойнтинга S^Ps П> 5 вол ьт-ампер ватт в>а вт!мг VA ) W/m2 10-’ 10-’ 10-’
Угловая частота <0, на квадратный метр радиан рад-сен radjs 1 1 1
Частота электрического тока A v в секунду герц гц Hz 1 1 1
Примечания:
* Принятые в таблице обозначения систем единиц, основанных на сантиметре, грамме и секунде:
СГСЭ —электростатическая система, в которой диэлектрическая проницаемость свободного пространства не имеет размерности и при-
нята равной единице;
СГСМ—электромагнитная система, в которой магнитная проницаемость свободного пространства не имеет размерности и принята
равной единице;
СГС —симметричная система, в которой как магнитная, так и диэлектрическая проницаемости свободного пространства безразмерны
и приняты равными единице;
СГСц.о и СГСе0—электромагнитная и электростатическая системы, в одной из которых магнитная, а в другой диэлектрическая прони-
цаемость свободного пространства численно приняты равными единице. В отличие от систем СГСМ и СГСЭ системы СГСц0 и
СГСе0 имеют другие размерности соответствующих величин, однако переводные коэффициенты (для численных значений) у
них совпадают.
* * Скорость распространения электромагнитных волн в свободном пространстве с=2,997925-1010 см[сек.
* ** в системах СГСМ и СГС установлены собственные наименования для единиц: напряженности магнитного поля (эрстед), магнитодвн-
жущей силы (гильберт), магнитной индукций (гаусс) и магнитного потока (максвелл).
ЛИТЕРАТУРА
Круг К. А. Основы электротехники, ч. 1 и 2. Госэнергоиздат, 1946.
Нейман Л. Р., Калантаров П. Л. Теоретические основы элек-
тротехники, ч. 1, 2 н 3. Госэнергоиздат, 1959.
Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нету ши л А. В., Страхов С. В.
Основы теории цепей. Госэнергоиздат, 1963.
Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники, ч. 1. Гос-
энергоиздат, 1962.
Атабеков Г. И., Тимофеев А. Б., Хухриков С. С. Теорети-
ческие основы электротехники, ч. 2. Госэнергоиздат, 1962.
К у и а л я и С. Д. Теоретические основы электротехники, ч. 3. Гос-
энергоиздат, 1963.
Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Высшая
школа, 1961.
Каннингхэм В. Введение в теорию нелинейных систем, пер.
с англ. Госэнергоиздат, 1962.
Поливанов К. М. Феромагнетики. Госэнергоиздат, 1956.
Богуславский М. Г. и др. Таблицы перевода единиц измерения.
Стандартгиз, 1963.
ОГЛАВ ЛЕН И Е
Стр.
Предисловие ................................................. 3
Введение.................................................... 5-
Раздел первый
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТ-
НЫХ ПОЛЕЙ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Рлава 1. Электрические и магнитные поля и цепи при постоянных то-
ках и напряжениях................................................11
§ 1.1 Основные величины и соотношения, характеризующие элект-
рическое поле............................................... II
§ 1.2 Энергия электрического поля и емкость системы двух про-
водников ................................................... 15
§ 1.3. Схематическое изображение электрической цепи с конден-
сатором .....................................................18
§ 1.4. Основные величины и соотношения, характеризующие маг-
нитное поле..................................................21
§ 1.5. Энергия магнитного поля и индуктивность цепи .... 25
§ 1.6. Схематическое изображение электрической цепи .........28
§ 1.7. Энергетические соотношения в электрической цепи .... 34
Рлава II. Электрические и магнитные поля и цепи при изменяющихся
токах и напряжениях .............................................43
§ 2.1. Явления электромагнитной индукции, самоиндукции и вза-
имной индукции ..............................................43
§ 2.2. Переходные процессы в цепи с конденсатором; соотношения
между векторами Ё, D и Р ....................................48
§ 2.3. Интегральное представление переходного процесса в цепи с
конденсатором .............................................. 52
§ 2.4. Переходные процессы в цепи с катушкой; соотношения
между векторами В, J нН ......... ....................57
727
§ 2.5. Интегральное представление переходного процесса в цепи
с катушкой...................................................60
§ 2.6. Цепь переменного тока малой протяженности................65
§ 2.7. Цепь переменного тока большой протяженности..............70
§ 2.8. Излучение энергии................;.......................77
Г лава III. Основные понятия об электронных и полупроводниковых
приборах ........................................................81
§ 3.1. Свойства электронных приборов и их работа в схемах . . 81
§ 3.2. Электронные лампы........................................82
§ 3.3. Ионные приборы...........................................87
§ 3.4. Фотоэлементы с внешним фотоэффектом......................89
§ 3.5. Полупроводниковые приборы................................90
§ 3.6. Термосопротивления ......................................95
§ 3.7. Полупроводниковые болометры..............................96
§ 3.8. Фотосопротивлеиия........................................97
§ 3.9. Вентильные фотоэлементы............................. . 99
§ 3.10. Термогенераторы........................................100
Раздел второй
СВОЙСТВА ЦЕПЕЙ ПРИ ПОСТОЯННЫХ ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ
х И МЕТОДЫ ИК РАСЧЕТА
Глава IV. Уравнения состояния, общие свойства и основные методы
расчета электрических цепей ................................... 103
§ 4.1. Схемы соединений и схемы замещения электрических цепей 103
§ 4.2. Параметры схем замещения..........................105
§ 4.3. Различные виды соединений элементов электрических схем 111
§ 4.4. Уравнения Кирхгофа................................113
§4.5. Уравнения контурных токов.........................118
§ 4.6. Уравнения узловых потенциалов .........................122
§ 4.7. Изменение масштабов и применение относительных единиц 126
§ 4.8. Задачи расчета электрических цепей......................128
§ 4.9. Алгебраические методы решения уравнений состояния . . . 129
§ 4.10. Применение уравнений Кирхгофа..........................131
§ 4.11. Метод узловых потенциалов..............................132
§ 4.12. Метод контурных токов..................................133
§ 4.13. Баланс мощностей.......................................137
§ 4.14. Принцип наложения......................................139
§ 4.15. Свойство взаимности ...................................143
§ 4.16. Условия эквивалентности и подобие электрических цепей . 145
§ 4.17. Основные особенности электрических цепей...............146
Глава V. Упрощенные способы расчета линейных электрических цепей 152
§ 5.1. Симметричные схемы......................................152
§ 5.2. Применение пропорциональных соотношений для расчета
цепей.......................................................157
728
Применение принципа наложения.........................159
Общие замечания о преобразовании схем.................164
Преобразование схем с уменьшением числа узлов.........166
Преобразование схем с уменьшением числа контуров ... 171
Дуальность электрических цепей........................175
Некоторые замечания об эквивалентных схемах ......... 181
Применение метода последовательных приближений (метода
итераций).............................................182
Применение принципа дуальности схем...................188
Многополюсники н цепочечные схемы.....................192
Определения и графические изображения.................192
Уравнения состояния многополюсников...................193
Уравнения многополюсника в матричной форме............200
Схемы замещения многополюсников.......................202
Активный двухполюсник ................................204
Схемы, состоящие из многополюсников...................207
Экстремальные режимы..................................212
Цепочечные схемы .....................................214
Цепи с равномерно распределенными параметрами.........221
Нелинейные цепи.......................................228
Характерные нелинейности и графическое представление ха-
рактеристик ..........................................228
Графический способ расчета иеразветвленных цепей с ли-
нейными и нелинейными элементами......................231
Графический способ расчета цепей с параллельным соедине-
нием линейных и нелинейных элементов..................233
Графический способ расчета цепей с последовательно-па-
раллельным соединением нелинейных и линейных элементов 235
Графический способ расчета разветвленных электрических
цепей с нелинейными элементами.........................237
Графоаналитические способы расчета цепей с линейными и
нелинейными элементами.................................241
Расчет разветвленных нелинейных цепей итерационным ме-
тодом; понятие о нелинейных многополюсниках............247
Некоторые особенности решения нелинейных задач .... 256
Уравнения состояния для магнитных цепей и аналогия с
электрическими цепями .................................259
Графические методы расчета иеразветвленных и разветвлен-
ных магнитных цепей....................................263
Расчет магнитной цепи кольцевого постоянного магнита с воз-
душным зазором.........................................268
Некоторые замечания о расчете электрических и магнитных
цепей с учетом их взаимного влияния....................271
729
J"лава УШ. Применение моделей и вычислительных машин.............274
§ 8.1. Некоторые замечания о механизации расчетов электричес-
ких цепей.....................................................274
§ 8.2. Метод непосредственных измерений.......................................275
§ 8.3. Определение коэффициентов уравнений состояния с помощью
модели .......................................................276
§ 8.4. Моделирование схем с заданными обобщенными параметрами 278
§ 8.5. Применение коэффициентов распределения задающих токов
для расчета цепей.............................................279
§ 8.6. Применение входных узловых сопротивлений для расчета
цепей ........................................................282
§ 8.7. Определение параметров многополюсников.................................285
§ 8.8. Возможности применения вычислительных машин............................288
Раздел третий
СВОЙСТВА И МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ ЦЕПЕЙ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ
.Глава IX. Основные определения и понятия, применяемые при изуче-
нии цепей переменного тока........................................290
§ 9.1. Аналитическое определение и графическое изображение сину-
соидально (гармонически) изменяющихся величин.................290
§ 9.2. Некоторые понятия о схемах замещения...................................301
§ 9.3. Простейшие элементы цепей переменного тока.............................304
§ 9.4. Энергетические процессы в цепи переменного тока.......312
§ 9.5. Взаимная индуктивность.................................................316
§ 9.6. Трансформация..........................................................324
Глава X. Основы расчета цепей при синусоидальных токах и напря-
жениях ...........................................................328
§ 10.1. Катушка с постоянной индуктивностью и постоянным ак-
тивным сопротивлением в цепи синусоидального тока . . . 328
§ 10.2. Параллельное соединение индуктивности и активного сопро-
тивления ....................................................333
§ 10.3. Неразветвленная цепь с емкостью и активным сопротивлением 334
§ 10.4. Конденсатор с реальным диэлектриком в цепи переменного
тока......................................................339
§ 10.5. Неразветвленная цепь с активным сопротивлением, индук-
тивностью и емкостью......................................340
§ 10.6. Резонанс напряжений.............................................344
§ 10.7. Последовательное соединение п пассивных элементов .... 348
§ 10.8. Параллельное соединение активного сопротивления, индук-
тивности и емкости 351
§ 10.9. Резонанс токов........................................................352
§ 10.10. Параллельное соединение п пассивных элементов.......356
730
§10.11. Сопоставление энергетических процессов в эквивалентных
схемах......................................................359
§ 10.12. Уравнения состояния....................................362
§ 10.13. Свойства цепей переменного тока........................364
§ 10.14. Векторные топографические диаграммы.....................366
Глава XI. Методы расчета линейных электрических цепей...............371
§ 11.1. Основные аналитические методы расчета....................371
§ 11.2. Особенности рабочих режимов и упрощенные методы расче-
та цепей переменного тока ..................................377
§ 11.3. Эквивалентные схемы и энергетические соотношения для це-
пей с взаимной индуктивностью...............................385
§ 11.4. Четырехполюсники (трехполюсники) в цепи переменного тока 392
§ 11.5. Приближенные методы расчета..........................398
§ 11.6. Замечания о применении моделей и вычислительных машин 407
§ 11.7. Линейные и круговые диаграммы........................411
Глава XI1. Многофазные цепи....................................423
§ 12.1. Основные определения................................423
§ 12.2. Мощность в многофазных цепях........................429
§ 12.3. Симметричная трехфазная система.....................431
§ 12.4. Трансформация в трехфазиых системах ....................434
§ 12.5. Вращающееся магнитное поле..........................436
§ 12.6. Взаимная индуктивность и емкость в многопроводных систе-
мах многофазных цепей .......................................440
§ 12.7. Методы расчета симметричных многофазных цепей.......442
§ 12.8. Примеры расчета несимметричных многофазных цепей . . . 446
§ 12.9. Измерение мощности в трехфазных цепях................455
Глава XIII. Несимметричные режимы и метод симметричных сос-
тавляющих .......................................................459
§ 13.1. Основные понятия о симметричных составляющих трехфазных
величин......................................................459
§ 13.2. Параметры для схем замещения разных последовательно-
стей трехфазных цепей.....................................465
§ 13.3. Выражение мощности при несимметричных режимах через
симметричные составляющие..........................468
§ 13.4. Методы расчета несимметричных режимов при заданных гра-
ничных условиях .............................................471
§ 13.5. Методы расчетов режимов несимметричных многофазных це-
пей 473
§ 13.6. Преобразование трехфазиой системы координат ............478
Глава XIV. Электрические фильтры; цепи с распределенными пара-
метрами .........................................................481
§ 14.1. Характеристическое сопротивление и коэффициент передачи
симметричного четырехполюсника ..............................481
731
§ 14.2. Симметричная однородная цепочечная схема.............484
§ 14 3. Электрические фильтры .............................485
§ 14.4. Цепи с распределенными параметрами...................493
§ 14.5. Линия без потерь; стоячие волны.................... 503
Глава XV. Цепи с несииусондальиыми токами и напряжениями .... 509
*
§ 15.1. Гармонический анализ и разложение функций............509
§ 15.2. Применение разложения на гармоники для расчета несину-
соидальных режимов в линейных цепях.........................515
§ 15.3. Особенности несинусоидальных режимов.................516
§ 15.4. Действующие значения несинусоидальных токов и напря-
жений; коэффициенты, характеризующие форму кривой . . 519
S 15.5. Мощность при несинусоидальных токах и напряжениях . . 521
§ 15.6. Влияние индуктивности и емкости на форму кривых тока
и напряжения ...............................................523
§ 15.7. Несииусоидальные режимы в симметричных многофазных
цепях.......................................................524
Раздел четвертый
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ И МЕТОДЫ ИХ
РАСЧЕТА
Глава XVI. Классический метод расчета переходных процессов с сосре-
доточенными параметрами .....................................528
§ 16.1. Общие вопросы и закон коммутации.....................528
§ 16.2. Классический метод расчета переходных процессов .... 530
§ 16.3. Определение принужденных составляющих в цепях с посто-
янными или синусоидальными э.д.с..............................—
§ 16.4. Определение свободных составляющих...................532
§ 16.5. Составление характеристического уравнения..............—
§ 16.6. Начальные условия; определение начальных значений токов
и их производных ...........................................534
§ 16.7. Последовательность расчета переходных процессов .... 538
§ 16.8. Свободный процесс в цепи с индуктивностью............539
§ 16.9. Включение индуктивной цепи на постоянное напряжение 541
§ 16.10. Включение индуктивной цепи на синусоидальное напря-
жение ......................................................543
§ 16.11. Свободный процесс в контуре, содержащем емкость и сопро-
тивление ..................................................544
§ 16.12. Включение цепи, содержащей емкость и сопротивление, на
постоянное напряжение.......................................546
§ 16.13. Включение цепи, содержащей емкость и сопротивление, на
синусоидальное напряжение...................................547
§ 16.14. Разряд конденсатора на индуктивность и сопротивление . . 549
732
Глава XV!I. Операторный метод расчета переходных процессов; элементы
синтеза цепей ................................................. 554
§ 17.1. Краткие математические сведения......................554
§ 17.2. Законы Кирхгофа в операторной форме..................556
§ 17.3. Приведение цепи к нулевым начальным условиям.........559
§ 17.4. Формула (интеграл) Дюамеля...........................561
§ 17.5. Включение прямоугольного импульса....................564
§ 17.6. Определение принужденного периодического несинусоидаль-
ного тока в замкнутой форме (без разложения в ряд Фурье) —
§ 17.7. Элементарный прямоугольный импульс; включение произ-
вольного напряжения.........................................569
§ 17.8. О применении интеграла Фурье........................572
§ 17.9. Элементы синтеза электрических цепей.................576
Глава XVIII. Переходные процессы в цепях с распределенными пара-
метрами ...............................Г........................583
§ 18.1. Общий характер переходных процессов в цепях с распреде-
ленными параметрами.........................................583
§ 18.2. Расчет напряжения падающей волны.....................588
§ 18.3. Ток и напряжение в конце линии . . *.................592
§ 18.4. Расчет напряжения отраженной волны...........' . . . . 595
§ 18.5. Переход волн с одной линии на другую................601
§ 18.6. Переход волн с одной линии на другие через сосредоточен-
ный четырехполюсник.........................................607
§ 18.7. Волны в линиях при включении новых ветвей...........612
§ 18.8. Волны в линиях при отключении ветвей................619
Раздел пятый
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ
Глава XIX. Установившиеся процессы в цепях с нелинейными элементами
и методы их расчета ...........................................623
§ 19.1. Нелинейные элементы и виды нелинейности.............623
§ 19.2. Вольтамперные характеристики........................629
§ 19.3. Некоторые замечания о методах расчета нелинейных цепей 633
§ 19.4. Некоторые замечания об устойчивости рабочего режима в
нелинейных цепях............................................640
§ 19.5. Резонансные явления в нелинейных цепях ..............641
§ 19.6. Векторная диаграмма и эквивалентная схема катушки со
стальным сердечником .......................................646
§ 19.7. Векторная диаграмма и эквивалентная схема трансформа-
тора со стальным сердечником................................649
§ 19.8. Утроители частоты................................ . . . 652
§ 19.9. Нелинейная индуктивная катушка в цепи переменного
тока при подмагничивания сердечника постоянным током 655
733
§ 19.10. Удвоитель частоты...................................657
§ 19.11. Ферромагнитный усилитель мощности ..................659
§ 19.12. Параметры и эквивалентные схемы лампового триода . . 663
§ 19.13. Параметры и эквивалентные схемы полупроводникового
триода......................................................668
Глава XX. Переходные процессы в нелинейных цепях . . %..........674
§ 20.1. Общие замечания о переходных процессах в нелинейных
цепях ......................................................674
§ 20.2. Метод графического интегрирования....................675
§ 20 3. Метод кусочно-лииейиой аппроксимации нелинейной харак-
теристики ..................................................679
§ 20.4. Метод последовательных интервалов....................681
§ 20 5. Итерационный метод...............................683
§ 20.6. Графический метод конечных операторов (метод Прейсмана) 685
§ 20.7. Изображение переходных процессов иа фазовой плоскости 694
§ 20.8. Метод изоклин........................................698
§ 20.9. Применение метода изоклин к уравнениям второго порядка 702
§ 20.10. Ламповый генератор..................................706
§20.11 О моделировании переходных процессов в электрических
цепях ......................................................708
Петр Афанасьевич Нонкин»
Николай Александрович Мельников,
Александр Иосифович Даревский»
Евгений Степанович Кухаркин
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Под общей редакцией
проф. /7. А. Нонкина
Редактор Я. И, Хрусталева
Технический редактор Л. А. Гарнухина
Корректор С. Н. Юровеи,
Т-01444. Сдано в набор 10/IX 1964 г. Подп. к печати
3/VI 1965 г. Формат 60x90l/ie- Объем 46 печ. л.
Уч.-изд. л. 44,83. Изд. № ОТ-402. Тираж 60 000 экз.
Цеиа I р. 44 к.
Москва, И-51, Неглииная ул., д. 29/14.
Издательство «Высшая школа»
Сводный тематический план 1965 г. учебников для вузов
и техникумов. Позиция № 436
Главполиграфпром Государственного комитета Совета
Министров СССР по печати Отпечатано в Ленинградской
типографии № 2 имени Евгении Соколовой, Измайлов-
ский проспект 29, с матриц Первой Образцовой типо-
графии имени А. А Жданова, Москва, Ж-54, Валовая. 28.
Заказ № 1723