АВ/ВС = АС/АВ
СТАТЕЙ
ФОРМУЛА
КУЛЬТУРЫ
Джуди Розато
Карлос Гинзбург
Сюзан Конде
Шарль Васало
Кен Келлер
Керри Митчелл
Жанет Парк
Скотт Дрейвз

Сборник статей
Ш&:
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«страта»
Санкт-Петербург
2017

ББК 71.0
УДК 76.01 + 501
М234
М234 Манифест фракталистов. Сборник статей/ Пер.
с англ., фр. Е. В. Николаевой, 2-е изд. — СПб.: «Страта»,
2017.- 166 с.
ISBN 978-5-906150-58-5
Б сборник вошли статьи зарубежных математиков и художников-
фракталистов, многие из которых хорошо известны в научных и художе¬
ственных кругах. Проблематика книги связана с философскими и эсте¬
тическими смыслами фрактального искусства, представляющего собой
особый художественный феномен конца XX — начала XXI вв. Подборка
статьей представляет собой попытку посмотреть на цифровое фракталь¬
ное искусство с нескольких ракурсов: математического, технологического,
эстетического и философского. Большинство текстов не носит специально¬
математического характера и относится, скорее, к сфере digital humanities
(цифровых гуманитарных наук).
Многие статьи сборника впервые публикуются на русском языке.
Книга представляет интерес для специалистов в области эстетики,
философии искусства, культурологии и искусствоведения, преподавателей
и студентов художественных специальностей, широкого круга читателей.
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена
или передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то
электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носи¬
тель, а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельцев.
All rights reserved No parts of this publication can be reproduced, sold or transmitted
by any means without permission of the publisher.
ISBN 978-5-906150-58-5
© Николаева E. В., перевод, 2016
© ООО «Страта», 2017

ф ормула
культуры

Сборник статей
ГХІ
Манифест
фракталистов

Группа «Искусство и Сложность»
ОйОашгас^хэеп- фоэакзиатгашѳо®
Джуди Розато
га@сз№эзопз®	„ г „
Карлос Гинзбург
юзан Конде
Шарль васало
ф[р©і]2ШЖ][ьі]з®іго ю(5в^<зетв<§п
Кен Келлер
Т^ааягащгаэшш®® га
Керри Митчелл
фуоэпзиашгаш®® гаак^рзпшэ
Элис Келли
©рѳогоашьо озакі гаѳз^ззпш®
Дэмиен Джоунс
@ с^раозшшаш га гаая^ѳшз®
Жанет Парк
<%рэк?оашгаш®@ гаеоз^з® Иэн		т
Герд Бинниг
П(Хіі©іШ EbD C3
Рон Эглэш

Елена Николаева
ВВЕДЕНИЕ
Николаева Елена Валентиновна — кандидат культурологии, доцент, Московский
государственный университет дизайна и технологии.
6

Ѳвоим возникновением в 1980-х годах цифровое
фрактальное искусство обязано нескольким социо¬
культурным факторам
• медийному повороту в культуре и становле¬
нию цивилизации, ориентированной на образ,
как назвал ее Умберто Эко;
• эволюции алгоритмического программиро¬
вания из технического средства графических
построений в самостоятельный эстетический
феномен вследствие совершенствования ком¬
пьютерных технологий;
• появлению нового раздела математики —
фрактальной геометрии, разработанной Бенуа
Мандельбротом
Из концепции Мандельброта следовало, что с по¬
мощью фрактала можно
«описать форму облака так же четко
и просто, как архитектор описы-вает
здание с помощью чертежей, в кото¬
рых применяется язык традиционной
геометрии»1.
Благодаря завораживающей глубине рекурсии
образы, в буквальном смысле развертывающиеся
из фрактальных формул, обладают необыкновенной
зрелищностью, открывая взору бездну бесконечности
и постнеклассическую гармонию хаоса.
1	Jurgens Н., Peitgen Н.-О., Saupe D.The Language of Fractals. Scientific
American. 1990. V. 263. № 2. P. 61.
7
Введение

Елена Николаева
Важным публичным событием, благодаря которому фракталь¬
ное искусство вышло на уровень эстетической арт-практики, ста¬
ла выставка «Frontiers of Chaos» («Границы хаоса») в 1984 году
в институте Гёте. На ней были представлены фрактальные изо¬
бражения, выполненные группой математиков и физиков уни¬
верситета Бремена во главе с Питером Рихтером и Хайнцем-Отто
Пайтгеном. Художественная образность большинства картин ос¬
новывалась на поли-хромных визуализациях фрагментов множе¬
ства Мандельброта.
К середине 1990-х годов фрактал-арт выработал собственный
художественный язык и особую цифровую эстетику.
Одним из первых объединений художников-фракталистов была
интернациональная группа «Art and Complexity Group» («Фрак-
талисты — Искусство и Сложность»), в которую входили амери¬
канские и французские художники Эдвард Берко (Fdward Berko),
Джим Лонг 0іт Long), Карлос Гинзбург (Carlos Ginzburg), Ми¬
гель Шевалье (Miguel Chevalier), Жан-Клод Мейнар Qean Claude
Meynard), художественный критик Анри-Франсуа Дебайе (Непгі-
Framois Dehailleux), философ Кристин Буси-Глюксманн (Christine
Buci-Glucksmann), писатель Сюзан Конде (Susan Conde) и другие.
Многие участники группы не только творили, экспериментировали
и исследовали эстетические возможности новой художественной
практики, но и пытались осмыслить сущность фрактал-арта с по¬
зиций философии искусства.
Идеи фрактального искусства были сформулированы Карлосом
Гинзбургом в Манифесте «Le Manifeste du Fractaliste», который был
подписан совместно всеми членами фракталистской группы того
периода и опубликован в ежемесячном художественном журнале
«Art Press» в ноябре 1997 года
Задача объединения виделась в «радикальном обновлении мо¬
дели творчества» и утверждении «парадигмы хаотически-фрак-
тальной сложности». В качестве главного постулата фрактального
искусства выдвигался «отказ от евклидовой рациональности в поль¬
зу непрограммируемых и непредвиденных процессов», а фракталь¬
ная эстетика основывалась на визуальном «потенциале безгранич¬
ного построения в бесконечном процессе»2.
Сюзан Конде, посвятившая размышлениям о фрактальном ис¬
кусстве ряд публикаций, констатировала:
2	Ginzburg С. Le Manifeste du Fractaliste. Art Press. 1997. № 229. P. 28—30.
8

«Фрактальный художник видит утопизм евклидо-
вых форм как пережиток картезианских- философий,
сформулированных- вокруг понятий измеримости
и предсказуемости».
Она подчеркивала очевидную связь мироощущения художни-
ков-фракталистов с «физическим и психологическим ландшафтом»
цифровой эпохи:
«Современные фрактальные художники стремят¬
ся отобразить состояние пространства своего вре¬
мени так, как они его воспринимают, с его фракталь¬
ными размерностями и свойствами» 3.
В 1996 году известные художники-фракталисты (Дэми¬
ен Джонс (Damien М. Jones) из Великобритании, Сильви Гал¬
ле (Sylvie Gallet) из Франции, Линда Эллисон (Linda Allison)
из Флориды (США), Кэрри Митчелл (Kerry Mitchell) из Аризоны
(США), Элис Келли (Alice Kelley) из Вашингтона (США), Пол
Дисел (Paul Decelle) из Мичигана (США), Марк Таунсенд (Mark
Townsend) из Австралии и др.) создали художественно-комму¬
никативную площадку на сайте Fractalus.com, разместив там
свои виртуальные галереи и разделы о программных ресурсах,
конкурсах цифрового фрактального искусства, коллективных
арт-проектах (Fractal Loop и пр.).
Фрактальные картины, созданные этими художниками, облада¬
ют разной стилистикой, разными хроматическими и текстурными
особенностями, разной степенью фигуративности/абстрактности,
но все они виртуозно и удивительно зрелищно воплощают не толь¬
ко гармонию хаоса, но и недоступную другим видам изобразитель¬
ных искусств репрезентацию бесконечности в конечном и уникаль¬
ности в многократно повторяемом.
3	Cond6 S.The Fractal Artist. Leonardo. 2001.Vol. 34. №. 1. P. 3.
9
Введение

МАНИФЕСТ ГРУППЫ
«ИСНУССТВО И сложность»
[MANIFESTE DU FHACTAIISTE)
Группа фракталистов «Les Fractalistes —ArtetComplexite» опубликовала свой манифест
на сайте NART (http://www.nart.com) в октябре 1997 г. и в ежемесячном художественном
журнале: Art Press, № 229, November 1997, рр. 28—30. Манифест был подписан
совместно членами группы художников-фракталистов того периода и сопровождался
текстом Анри-Франсуа Дебейе, художественного критика в газете Liberation и куратора
выставок фрактального искусства. Оригинал «Manifeste du Fractaliste» см.: http//
conseildesarts.org/documents/Manisfeste/manifeste_fractaliste.html.
В состав группы входили: Edward Berko, Miguel Chevalier, Pascal Dombis, Carlos Ginzburg,
Cesar Henao, Jim Long, Steven Marc, Jean Claude Meynard, Joseph Nechvatal, Yvan Rebyj,
Pierre Zarcate, Christine Buci-Glucksmann, Susan Cond^ Henri-Fran^ois Debailleux и др.
10

чо
00
ON
1
a
a
«
3
&
к
r-
Манифест группы «Искусство и сложность» (Manifeste du Fractaliste)

Джуди С. Розато
ФРАКТАЛЬНОЕ ИСКУССТВО
Джуди С. Розато (Giudi Scotto Rosato) — итальянская исследовательница, специалист
по современному искусству и мультимедийному менеджменту.
12

1.	Введение во фрактальное искусство
Ѳ ноября 1997 годапарижская онлайн-галерея «Нарт»,
в которой выставлялись произведения в технике
фрактальной сложности, опубликовала «Манифест
фракталистов», написанный группой «Фракталисты —
Искусство и Сложность». Манифест должен был напол¬
нить особым смыслом первый аукцион фрактальных
работ, проведенный совместно с галереей Mabel Semmler
(Paris, Espace Furstenberg), которая с начала 1990-х годов
предоставляет большую часть своего выставочного про¬
странства фрактальному искусству. Текст также был опу¬
бликован в парижском журнале «Art Press»1.
Группа «Фракталисты — Искусство и Сложность»
была основана в 1994 году, в нее входил ряд самых
выдающихся американских и французских худож¬
ников десятилетия — от Карлоса Гинзбурга (Carlos
Ginzburg) до Эдварда Берко (Edward Berko).
Это была неоднородная группа, вдохновленная
общим желанием метафоризировать и репрезенти¬
ровать новую модель понимания морфологической
сложности мира фрактальную геометрию, формали¬
зованную в математических терминах Бенуа Мандель¬
бротом в 1970-х годах1 2.
1	Groupe Les Fractalistes— Art et Complexite, Manifeste fractaliste, "Art
Press", n. 229, November 1997, pp. 28—30.
2	Фрактал — от латинского слова «fractus», которое обозначает разло¬
манный камень неправильной формы,— представляет собой слож¬
ную геометрическую фигуру, которая, в отличие от евклидовой мо¬
дели, является фрагментированной и имеет разрывы. Эту сложную
геометрическую форму можно визуализировать с помощью алгорит¬
мического процесса, выполненного на компьютере: очень простые
13
Фрактальное искусство

Джуди С. Розато
После публикации научного текста «Les objets fractals: forme,
hasard et dimensions»3 креативное и когнитивное значение фракталь¬
ных форм превратилось в эпистемологическую метафору: художники
с различным мироощущением и образованием выбрали хаотически-
фрактальную парадигму в качестве модели для своего творчества
И в Европе, и на американских континентах есть уже немало ху¬
дожников и не-художников, которые посвятили себя фрактальному
искусству. Под «не-художниками» мы имеем в виду ученых, которые,
восхитившись необычной эстетической красотой фракталов, занялись
творческими изысканиями. Стоит упомянуть бразильскую группу
«Asterisco Ponto Asterisco (*.*)», в состав которой входят архитектор,
два физика, музыкант, два инженера и математик, и немецкую груп¬
пу Хайнца-Отто Пайттена (Heinz-Otto Peitgen) и Питера X. Рихтера
(Peter Н. Richter), авторов знаменитой книги «Красота фракталов»4.
В Америке художественные опыты фракталистов представлены
широким спектром — от духовных и глубоко личных аспектов фрак¬
тальной метафоры Эдварда Берко (Edward Berko) до «упорядочен¬
ного» фрактального ветвления Джима Лонга (Jim Long). Во Франции
главные теоретики фрактального искусства — Карлос Гинзбург (Carlos
Ginzburg), >Кан-Поль Агости (Jean-Paul Agosti), Жан Летурнер (Jean
Letoumeur), Мигель Шевалье (Miguel Chevalier), Жан-Клод Мейнар
Qean-Claude Meynard), стремящиеся перестроить воображение зри¬
теля в соответствии с парадигмой хаотически-фрактальной сложности.
В Италии фрактальное искусство, похоже, распространяется медлен¬
нее. Его главные приверженцы — Haebel5 и Руджеро Маджи (Ruggero
уравнения, обсчитываемые с помощью компьютера в итерационной процедуре, по¬
рождают необычные формы высокой сложности. На основании алгоритмов и введен¬
ной информации компьютер графически изображает возможные ретроактивные тра¬
ектории хаотических систем: исходный повторяющийся «паттерн», в котором дробные
структуры нижних уровней выявляют момент, когда исчезает предсказуемость.
3	В. Mandelbrot (1975). Les objets fractals: forme, hasard et dimensions. Paris, Rammarion.
4	H.-O. Peitgen, P.H. Richter (1987). La bellezza dei frattali [1986], Torino, Bollati Boringhieri.
[Оригинал: Peitgen H.-O., & Richter P. H.The Beauty of Fractals: Images of Complex Dynami¬
cal Systems. Berlin, 1986. (прим, переводчика)].
5	Haebel — псевдоним Антонио Д'Анна (Antonio D'Anna) — начал свои фрактальные изы¬
скания в начале девяностых: Geometrie frattali (Studio А. E. А. — Corigliano Calabro, 1990);
Geometrie frattali e documentazione artisti ffattalisti internazionali (Associazione culturale
POIEIN — Napoli, 1993); Chaosmosi (Centro Luigi Di Sarro — Roma, 1998); Geometrie frattali
(Centro d'Arte II Brandale— Savona, 1998); Geometrie frattali e documentazione artisti
frattalisti internazionali (Liceo Scientifico E. Majorana— Roma, 1998); Geometrie frattali
(Banca dei Salento— Ostia Lido, 1999); Chaosmosi (Universita degli Studi di Roma —
Torvergata, 1999); Geometrie frattali (CIAC M21 — Caserta, 1999); Isole (Spoleto-Art£, 2003).
14

Maggi)6. В коллективных выставках, которые включали рисунки, живо¬
пись, скульптуры, видео, инсталляции и фотографии, наряду с Haebel
и Руджеро Маджи принимали участие такие художники, как Bruno
Munari, Gianni, Marussi, Gianni D’Anna, Paolo Barlusconi, Kappa, Franca
Lanna, Renata Petti, Femardo Garbellotto, Alba Savoi, Lucio Saffaro, Carlo
Cirillo, Francesco Cosentino, Marcello Diotallevi, Guido Pini, Mauro Man-
fredi, Angelo Caruso, Femardo Ancblcetti, Giorgio Nelva, Cosimo Cimino.
Другие художники создавали непосредственно компьютерные изобра¬
жения и выставляли свои работы в сети: Elio Pastore, Franco Pugliese,
Federico Miorello.
Фрактальное искусство отражает новую парадигматиче¬
скую ориентацию культуры в континууме, в котором наш взгляд
на мир приобретает форму: оно представляет собой подтвержде¬
ние, на творческом уровне, категорий детерминированного хаоса
и статистического распределения, которые регламентируют интер¬
претацию природных случайностей. При этом фрактальная геоме¬
трия становится смелым междисциплинарным проектом, который
идеей бесконечно большого и бесконечно малого привлек ученых,
философов7 и художников.
6	Руджеро Маджи (Ruggero Maggi) обращается в своих художественных опытах к без¬
граничному потенциалу теории хаоса, начиная со второй половины девяностых годов,
организуя персональные выставки и многочисленные экспозиции фрактального искус¬
ства: Ruggero Maggi — Arte Caotica (Art Now — Capua, 1996); Caos Italiano (коллективная
выставка Milan Art Center — Scoglio di Quarto — Spazio Quintocortile Arte — Palazzo Nied-
du del Rio di Locri, 1998); Estrada Dos Chaos (коллективная выставка Milan Art Center, MIART,
1998); Caos Italiano: De Rerum Natura (коллективная выставка Milan Art Center, Museo civico
di Portogruaro, 1999); Caos Italiano: Nuove Visioni (коллективная выставка Milan Art Center,
Antico Ospedale dei Battuti — Torre Scaramuccia, 1999); Caos Italiano: Risonanze Dinamiche
(коллективная выставка Milan Art Center, Auditorium di S. Vito al Tagliamento, 1999); Caos:
Villaggio Globale (коллективная выставка Milan Art Center, ATTIVARIA — officina culturale,
Latisana, 1999); Caos— Caotica Arte Ordinata Scienza (коллективная выставка Milan Art
Center, Society Umanitaria — Milano, 2000); Isole frattali (Fondazione D'Ars, Antico Palazzo
della Pretura— CastellArquato, 2003); CAoTICA (коллективная выставка Milan Art Center,
Spazio Culturale Santa Chiara di Vercelli, 2004); Ruggero Maggi — Confine Mobile (Archivio
Storico del Comune di Lodi, 2004); Attrazione frattale (Premio Oscar Signorini — Fondazione
d'Ars, 2006); Ruggero Maggi — Underwood (Civica Galleria d'Arte Moderna di Gallarate, 2006).
7	С начала 1960-х гг. историки и философы — от Джеральда Холтона (Gerard Flolton) до То¬
маса Куна (Thomas Kuhn), от Пола Фейерабенда (Paul Feyerabend) до Мишеля Серра
(Michel Serres) — посредством анализа так называемой «парадигмы» научных револю¬
ций разрушили надежность и неоспоримость, которые долгое время приписывались
апологетическому взгляду на науку. В этой атмосфере одним из первых, кто занялся
фрактальной геометрией и ее эпистемологическими и когнитивными смыслами, был
Мишель Серр: «Пойдем, пусть Бенуа Мандельброт ведет нас. Мир, состоящий из земли
и воды, вспоминается нам, благодаря ему, в виде неизмеримых отрезков, ветра, океана,
побережья. Скоро наступит праздник мира или возвращение забытого» (Michel Serres,
Herm6sV—Le passage du Nord-Ouest, Paris, 6d.de Minuit, 1980, pp. 101,103).
Ѳ
15
рактальное искусство

Джуди С. Розато
2.	Евклид versus Маіъ-Природа
В кубизме идея объективной достоверности реальности усили¬
вает отношения между объектом и теми, кто его видит. Глубокая
связь с реальностью не исчезает, однако само понятие реальности
изменяется. Наложение и совмещение разных точек зрения создает
абсолютное единство пространства-времени: четвертое измерение.
Объект появляется в разных точках пространства, следующих
друг за другом во времени; пространство развивается не только во¬
круг, но и внутри объекта, и сквозь него, становясь, таким образом,
ориентиром и горизонтом для чувственной формы выражения.
Пространство больше не является общим фактором, бесконечно
гармонизирующим все элементы картины, оно, скорее, элемент
картины, как и все другие,— присутствующий и определенный:
речь идет не об изменении реальности, а, скорее, о трансформиро¬
вании ее структуры.
В 1913 году Гийом Аполлинер писал в статье под названием «Les
peintres cubistes»8:
«Сегодня ученые больше не подчиняются трехмерной геоме¬
трии. Художники пришли естественно и — главное — интуитивно
к работе с новыми возможными измерениями пространства, кото¬
рые на фигуративном языке модерна все для краткости называются
четвертым измерением»9.
В математике, как и в кубической живописи, объективность
освобождена от абстрактных элементов. Исследуются новые вы¬
мышленные вселенные, топологические характеристики которых
не совпадают с параметрами общепринятого евклидова простран¬
ства Объемная форма разбивается на геометрические плоскости,
образующие фасеточные грани. Образ, представленный в каж¬
дом неотъемлемом элементе его реальности и схваченный в тот
момент, когда он разворачивается в визуально воспринимаемую
форму, отнюдь не является фантазией.
Эстетические результаты фрактальности сильно отличаются
от кубизма Кубисты, к тому же, ищут четвертое измерение. Мате¬
матические горизонты различны, но при этом одинаково необычны
по сравнению с условиями относительной достоверности научного
знания.
8	Художники-кубисты (фр.) (прим, переводчика).
9	G. Apollinaire (2000). Les peintres cubists. In: M. De Micheli, Le avanguardie artistiche del
Novecento, Milano, Feltrinelli, p. 364.
16

Отнюдь не лишено оснований предположение об общей по¬
требности в свободной реконструкции образа объекта — освобож¬
денного от жесткого трехмерного порядка — для того, чтобы уси¬
лить связь с реальностью: «порядок и беспорядок», «нестабильность
и детерминированный хаос» входят в определение фрактала как
природного объекта.
Таким образом, фракталы представляют собой способ проник¬
нуть внутрь формы для того, чтобы выявить поддающиеся определе¬
нию, предсказуемые траектории, не ограничиваясь многовариант¬
ным представлением случайных проявлений. Фрактальная работа
полностью погружена в водоворот познания этих сложных систем,
не растворяясь при этом в игровых техниках абстракционизма или
интимизма10 11.
Жиль Делёз и Феликс Гваттари писали: «абстрактное не являет¬
ся прямой противоположностью фигуративного»11. Фигуративный
характер произведения искусства не является результатом точного
воспроизведения оптической информации, но последовательное
«извлечение определенных свойств линии, когда она принимает ту
или иную форму»12.
В конце концов, каждый художник — выражая себя посред¬
ством форм, в которых объект репрезентации может быть узнан
более или менее точно, — не может снять вопрос визуального вос¬
приятия с точки зрения наблюдателя: «Художник — также первый
наблюдатель самого себя, и все, к чему он может стремиться, — это
гармония восприятия, а не отображение»13.
Строгая и классическая структура композиции в живопи¬
си XV века включает в себя субъективный визуальный опыт. Однако
«цель каждой разработанной теории репрезентации состоит в том,
10	Интимизм— особая стилистическая тенденция в живописи и графике французских
постимпрессионистов. Художники-«интимисты» изображали в основном интерьерные
композиции, используя необычные ракурсы, подчеркивающие двухмерность про¬
странства, и сложную палитру цветовых оттенков. К «интимистам» относят М. Дени,
Э.-Р. Менара, П. Пюви де Шаванна, а также членов группы «Наби» (Пьера Боннара, Эду¬
арда Вюйара и др.). См. подробнее: Интимизм // Власов В. Г. Новый энциклопедический
словарь изобразительного искусства: В 10 т. СПб.: Азбука-классика, 2004—2009. Т. 4;
Интимизм//Изобразительное искусство. Стили и направления/Электронная энцикло¬
педия. URL: http://www.izostili.ru/index.php? section_ID=24. (прим, переводчика).
11	G. Deleuzeand F. Guattari (1987). Mille piani:capitalismoe schizofrenia, Roma, Istituto della
Enciclopedia Italiana, p. 726.
12	Там же.
13	Ernst H.Gombrich (1985). L'immagine e I'occhio: Altri studi sulla psicologia della
rappresentazione pittorica, Torino, Einaudi, p. 212.
17
Фрактальное искусство

Джуди С. Розато
чтобы привнести субъективизм, который она заслуживает, не впа¬
дая в релятивизм»14.
Форма восприятия фрактального типа не очерчивает контуры,
не создает конфигурации прямолинейных систем, не расставляет
точки в определенном порядке. Художник освобождается от обще¬
принятых отношений между собой и зрительным образом, кото¬
рые основаны на перспективе и привычных понятиях евклидовой
модели: он выстраивает иррегулярное пространство, каждый эле¬
мент которого способствует тому, чтобы определить его как «фрак-
тус», т. е. прерывающееся и асимметричное.
Такое распределение пространства напоминает область аб¬
страктной, «мутирующей линии без внешнего и внутреннего, без
формы и основания, без начала и без конца»15. Объект, имею¬
щий в качестве основания реальность в самом себе, разрушается,
внешний мир — противопоставленный субъекту, который дума¬
ет и познает, — больше не передается посредством объективного
содержания, результатом которого является пространство, вос¬
принимаемое и представляемое с помощью прочно установив¬
шихся форм.
«Индивидуальное» есть невыраженный остаток визуального
опыта, неясный фон, сопротивляющийся смыслу, данному непо¬
средственно в опыте, переведенный в модель с помощью энцикло¬
педической записи. Однако фрактальное искусство не может быть
сведено к трансцендентальному субъективизму, изолированной
и обособленной сущности, замкнутой в своей особости. С другой
стороны, даже живописная «Импровизация» Василия Кандин¬
ского выглядела бы непонятными и бессмысленными каракулями,
если бы анализировалась как модель сама по себе, совершенная
и образцовая. Картина — это не передача форм, но передача сил,
действующих как стимул для зрителя.
Абстракционизм, высвободившись из традиционных систем ре¬
презентации, не становится невыразительным. Блуждающие, фраг¬
ментированные, несвязные образы задуманы не для того, чтобы
объекты были узнаны, не говоря уже о том, чтобы репрезентиро¬
вать их. Наоборот, их цель перенести феномен в сознание, в перво¬
начальное и важнейшее условие его существования, и заставить его
«случиться» в рамках сознания.
14	Там же.
15	G. Deleuze, F. Guattari. Op. cit., p. 727.
18

В своей книге «О духовном в искусстве» (1910) Кандинский
объясняет, что каждая форма значима, так как она имеет и при¬
нимает значение. Следовательно, каждая форма представляет свое
собственное, присущее ей содержание: не объективное содержа¬
ние, но содержание-силу, которая переходит от человека к человеку
без посредничества объектов общего опыта
В этом же ракурсе Делёз и Гваттари, опираясь на рассуждения
Вильгельма Уорингера (Wilhelm Worringer) о готической линии,
писали: «номадическая линия, которая проистекает из абстракции,
представляет силу выражения, а не форму, повторение как силу,
а не симметрию как форму»16.
Стабильность и структура линейных систем наподобие шах¬
матной доски ограничивают повторение с помощью симметрии,
останавливая ее вырождение в нерегулярные траектории. В нели¬
нейных системах (таких, как фрактальная геометрическая фигура),
наоборот, импульс повторения умножает эффект формы, с откло¬
нениями и децентрализацией.
Схематизм не является характерной чертой живого: «Все есть
живое не потому, что все органическое и организованное, но, на¬
оборот, потому, что организм есть отклонение в сторону жиз¬
ни»17. Из этого следует, что евклидова геометрия не описывает
живое, но работает на ментальном уровне, который постулирует
реальности, выходящие за границы чисто феноменологической
плоскости.
В противоположность эмпирическому осознанию иррегулярно¬
го характера природы, фигуративная модель евклидова простран¬
ства произрастает из искусственной и априорной абстракции,
которая относится к точному, полностью определенному образу.
С философской точки зрения этот подход подвергался критике
со стороны скептицизма Дэвида Юма, но при этом он нашел широ¬
кую поддержку в философии Канта, согласно которой пространство
есть необходимое априорное представление.
Чистые принципы интеллекта совпадают, согласно Иммануи¬
лу Канту, с общими законами природы. Таким образом, единство,
которое обнаруживается в природном мире, не является вну¬
тренне присущим вещам per se18, но является проекцией трансцен-
16	G. Deleuze, F. Guattari. Op. cit., p. 727.
17	G. Deleuze, F. Guattari. Op. cit., p. 728.
18	Само по себе (лат.) (прим, переводчика).
19
Фрактальное искусство

Джуди С. Розато
дентного единства (возникающего из «я думаю») в феноменологи¬
ческом мире.
Эта философская модель усиливает основания евклидовых
принципов, делая необходимым и обоснованным сдвиг от объек¬
тивных структур бытия к субъективным (хотя и необходимым) за¬
конам мысли.
Что такое прямые линии, к которым применяются аксиомы
евклидовой геометрии? Что такое прямая линия, параллельная
данной? Классическая геометрическая интерпретация решает эти
вопросы с помощью концептуализации пространства: она под¬
тверждает постулаты, оставляя в стороне эмпирические параметры
природных объектов.
Когда соответствие с феноменологической реальностью пред¬
устанавливается до любого чувственного восприятия, тогда при¬
ходится объяснять, как можно быть априорно уверенным в ис¬
тинности аксиом. Те самые наблюдения, которые подтвердили бы
евклидов характер реальности, являются приблизительными, так
как они исключают разнообразие и асимметрию природных форм
«Рассмотрим три точки на поверхности Земли, например, вер¬
шины трех гор, поместим телескоп на каждой из них и измерим
в градусах угол, образованный ориентациями телескопа, относи¬
тельно которых вершины двух других гор оказываются соответ¬
ственно в центре призмы. Таким образом, получается три числа»19.
Сумма углов евклидова треугольника равна 180°. Сумма трех чисел
должна, следовательно, быть равна 180°. Но можете ли вы действи¬
тельно быть уверены в этом? И, самое главное, является ли посту¬
лат достоверным за пределами любой экспериментальной вери¬
фикации?
Фактически присутствие отклонения в траектории тела не мо¬
жет быть априорно исключено: реальный треугольник не обяза¬
тельно совпадает с евклидовым В этой связи вспоминаются слова,
сказанные Альбертом Эйнштейном на конференции «Геометрия
и Опыт» в 1921 году:
«В той мере, в которой законы математики относятся к реаль¬
ности, они не являются неоспоримыми, и в той мере, в которой
они неоспоримы, они не относятся к реальности20».
19	М. Mamone Саргіа (1999). La crisi delle concezioni ordinarie di spazio e tempo: La teoria del¬
la relativita, in La costruzione dell'immagine scientifica dei mondo, ed.M. Mamone Capria,
Napoli, La citta del sole, pp. 382—383.
20	A. Einstein (1958). Idee e Opinioni [1954], Milano, Schwarz, p.254.
20

Эйнштейн развеял миф об абсолютной ценности, традицион¬
но приписываемой геометрическим и математическим аксиомам,
поддержав волну дебатов, инициированную Анри Пуанкаре. В кни¬
ге «La Science et 1’Hypothese»21 тот решительно заявил, что и тезис
Канта о евклидовом пространстве как о единственно возможной
априорной форме чувственного восприятия, и презумпция реше¬
ния геометрических задач установленным способом на эмпириче¬
ской основе оказались бесполезными, если их целью было утвердить
абсолютную истину.
Опыт и причина не навязывают какой-то определенный гео¬
метрический выбор, но они, не вынуждая нас, подводят к выбору;
они не показывают нам, какая геометрия более истинна, но только,
какая более удобна в плане мышления и действия. Следовательно,
это вопрос конвенции.
Всегда возможно много различных концептуальных устано¬
вок по одним и тем же результатам наблюдений. Ни одна теория
не важна сама по себе для получения эмпирических выводов: от¬
дельно взятый опыт противопоставлен не отдельно взятой теории,
но одной из теорий, которые привлекаются для интерпретации
собственно результатов опыта
Фрактальная геометрия, освободившаяся от трансценден¬
тальной модели репрезентации природы, становится «методом
описания, вычисления и отражения форм, которые являются ир¬
регулярными и фрагментированными, дробными и ломанными —
от кристаллической структуры снежинок до рассеянной галактиче¬
ской пыли»22.
Фрактальная кривая представляет собой математическую сущ¬
ность, которая имеет невырожденное и очень точное (целое или
дробное) численное значение: фрактальный объект, следовательно,
предполагает организованную структуру, спрятанную под неверо¬
ятной сложностью некоторых природных форм.
Аксиомы оставляют место фрактальной абстракции, которая —
на основе исследований Ричарда Тэйлора (Richard Taylor) — мог¬
ла бы быть определена как «поллокианская»23: правила старой идеи
21	«Наука и гипотеза» (фр.) (прим, переводчика).
22	J. Gleick. Caos, Milano, Biblioteca Universale Rizzoli, 2002, p. 117.
23	Имеется в виду стиль американского художника Джексона Поллока (Jackson Pollock),
создававшего свои картины, разбрызгивая краски по холсту (прим, переводчика). См.:
R. Р. Taylor, А. Р. Micolich, D. Jonas. Fractal analysis of Pollock's drip paintings,"Nature", CCCX-
CIX, 3 June 1999, p. 422; R. P.Taylor, A. P. Micolich, D. Jonas. Fractal Expressionism, "Physics
21
Фрактальное искусство

Джуди С. Розато
гармонии открывают путь динамическим системам, которым од¬
новременно присущи порядок и беспорядок, нестабильность и де¬
терминированный хаос, самоорганизация и случайность.
3. Был ли Поллок фракталистом?
В 1999 году Ричард Тэйлор (Richard Taylor), Адам Миколич
(Adam Micolich) и Дэвид Джоунс (David Jonas) доказали, что
в процессе «дриппинга»24, осуществлявшемся Джексоном Пол¬
локом, производятся стохастические фракталы, похожие на те,
которые можно найти в природе: «Мы приводим анализ работ
Поллока, который показывает, во-первых, что они фрактальны
и воспроизводят „отпечатки пальцев” природы, и, во-вторых, что
фрактальная размерность возрастала на протяжении карьеры
Поллока как художника»25.
Это не научный метод, но сознательный выбор — отказаться
от традиционных евклидовых форм: если «художник обращается
с миром только тем способом, которым он придает форму свое¬
му искусству»26, то Поллок стремится изобразить возможную ре¬
альность, используя метод экспрессии, который имеет другой тип
и другие коды по сравнению с общепринятыми.
Поллок начинает с капель краски, которую он разбрызгивает
по холсту: нет субъекта и объекта, нет времени, которое можно про¬
вести, нет пространства, сквозь которое можно пройти. Техника
разбрызгивания позволяет ему реконструировать условия для воз¬
можной экспрессии за пределами любой другой предустановлен¬
ной логики. Чтобы изображение стало природной случайностью,
не существует правил ни как начальных предпосылок, ни как ко¬
нечных результатов.
Визуальный результат этого творческого/когнитивного иссле¬
дования удивителен. Сравнение локализованного центра траекто¬
World", XII, п. 10,1999, р. 25; R. Р. Taylor, А. Р. Micolich, D. Jonas. The construction of Pollock s
fractal drip paintings, "Leonardo", XXXV, n. 2,2002, pp. 203—207; R. P.Taylor. Ordine nel caos
di Pollock, "Le scienze” n. 403, gennaio 2003, pp. 88—93.
24	Техника, заключающаяся в разбрызгивании краски сверху, в духе ритуапьной живопи¬
си, которую делая на песке народ навахо.
25	R. R Taylor, А. Р. Micolich and D. Jonas. Fractal analysis of Pollock's drip paintings..., p.422.
26	U. Eco (1983). La definizione dell'arte [1968], Milano, Garzanti, p. 246; Cm.: P. Jachia (2008).
Umberto Eco. Arte semiotica letteratura, Lecce, Manni.
22

рий на картине Поллока («One: Number 31») и маленьких участков
природных форм (снега и леса)27 теряет смысл в визуальной гомо¬
генности: для идентификации изображения как произведения ис¬
кусства требуется подпись под картиной.
Автолтатизм и спонтанность рисования — понимаемые как пря¬
мая транспозиция на холсте витального напряжения художника —
намечают вертикальную траекторию движения, кажущуюся хаотич¬
ной. Однако абстрактная линия Поллока не превращается в дорогу,
уводящую от реальности. Это— линия без спиритуалистического
или метафизического алиби, погружающаяся в нетронутый, биоло¬
гический мир, разительно контрастирующая с точными прямыми
линиями из трансцендентальной абстракции евклидовой геометрии.
Другими словами, произведения Поллока не отменяют форму
как основное условие коммуникации, однако они создают динами¬
ческую сложность, где жест (акт рисования) не остается за предела¬
ми картины. В процессе разбрызгивания краски воспроизводится
природный беспорядок: леса, колебания света, ветви деревьев, горы,
морские волны. Но тогда что же это за живопись?
«Живопись со свободой природы»28, как писал у. Эко29 в ше¬
стидесятых годах; живопись со свободой фрактальных форм, как
мы бы сказали сегодня.
Ричард Тэйлор, Адам Миколич и Дэвид Джоунс проанализиро¬
вали картины Поллока с помощью компьютера, отсканировав их
в виде сетки, состоящей из равных квадратных ячеек: капли, упавшие
на холст, проявили некоторый паттерн распределения для областей,
заполненных краской, и белых (пустых) участков, и этот паттерн от¬
носится к итерационному типу. Статистические характеристики
этого паттерна, даже когда масштаб рассмотрения уменьшается, по¬
вторяются в соответствии с неким специфическим параметром, ко¬
торый называется фрактальной размерностью D (рис. I)30.
Размерность D — количественный показатель визуальной
сложности фрактальной модели: ее величина в работах Поллока за¬
ключается пределах от 1 до 2. Чем более сгущается визуальная за¬
путанность, тем ближе значение D приближается к 231.
27	R. Р. Taylor, А. Р. Micolich and D. Jonas. Fractal Expressionism, cit., p. 25.
28	U. Eco (1989). Opera aperta [1962], Milano, Bompiani, p. 181.
29	Умберто Эко (p. 1932) — известный итальянский философ, историк, семиолог и писатель.
30	R. P. Taylor. Ordine nel caos di Pollock, cit., p. 91.
31	Вот несколько примеров сравнения фрактальной размерности D некоторых работ
Поллока и некоторых природных ландшафтов: «Картина Поллока. Без названия (1945)
23
Фрактальное искусство

Джуди С. Розато
Рис. 1. Компьютерное скан-изображение картины Поллока «Autumn Rhythm»
(1950) (R. Р. Taylor)
Интерес представляют не количественные данные сами по себе,
но глубокая связь между значением D фрактальной пигментной
сетки и ее визуальный аспект: формальная связь, но в то же время
жестуальная, творческая. Связь, противоречащая общему мнению
о том, что абстракционизм Поллока является исключительно ре¬
зультатом момента вдохновения и страсти.
Тэйлор даже продемонстрировал, что величина фрактальной
размерности D возросла за те десять лет, когда художник рисовал
в технике разбрызгивания, с D =1,1 в 1944 до D = 1,7 в 1952 и до
D =1,9 в уничтоженных работах. Данные приведены на графике за¬
висимости «сложность/год» (рис. 2)32.
Констатирование фрактальной природы так называемых «ка¬
пельных» работ Поллока могло бы остаться бесплодным занятием,
если бы все сводилось к одним лишь научным данным. Искусство
не признается таковым до тех пор, пока оно соответствует экспери¬
ментально подтвержденным знаниям Вместо этого анализ должен
перейти на уровень воображения.
Хотя уровень референции не относится к нарративному типу,
объект, репрезентированный на картине и посредством картины,
(D=1.10) —облака (D=1.3); Картина Поллока. Без названия (1950) (D=1.89) —nec(D=1.89)»
(R. Р. Taylor. Alla ricerca dell'arte frattale che riduce lo stress: da Jackson Pollock a Frank Gehry,
In: Matematica e Cultura 2005, edited by M. Emmer, Milano, Springer, 2005, p. 250).
32	Там же.
24

Рис. 2. График зависимости	1,9
«сложность (complexity)/2od (year)»
(R. Taylor)
- 1?
Q
ZJ>
% 1.5
Q_
§
S 1.3
1.1
1944 '46	48	'50	'52	'54
Year
строится на основе ментального эксперимента безотносительно
какой-либо экспериментальной верификации, так как «он не пред¬
назначен для того, чтобы представить результаты, которые потом
должны будут столкнуться с реальным миром, но, скорее, предста¬
вить теоретические результаты, чтобы посмотреть, как далеко мож¬
но продвинуться»33.
Поллок не ставил целью фрактальную репрезентацию реаль¬
ности. За его творческим процессом не стоит никакой план: за¬
путанные сплетения пятен произрастают из осознания ухода
с предупорядоченной орбиты реальности и необходимости рекон¬
струирования первозданной диалектики природы, без предвари¬
тельной гарантии устоявшихся форм. Мы прикрепляем к картинам
Поллока — основанным на теории Мандельброта — специальную
идентифицирующую ссылку: во-первых, было иконографическое
подтверждение, относящееся к системе «верований», действующей
как фильтр; во-вторых, была попытка эмпирически, с помощью
колшьютерного анализа, подтвердить образ возможной репрезен¬
тации мира.
Каждое поле знания, выражающее фрагмент нашего опыта по¬
средством его структур, «не выражает нечто невыразимое, а что-то,
что может быть выражено и ждет выражения». «Выразимое выра¬
жает себя в конкретном поле», однако не сводится к нему, так как
оно относит «свое полное выражение к переводимое™ в другие поля,
33	G. Вопіоіо (2005). Esperimenti mentali nella scienza e nella letteratura: una medesima
struttura?, In: La scienza e Ia parola, a cura di G. Lanzavecchia e M. Negrotti, Milano, Libri
Scheiwiller, p. 183.
25
Фрактальное искусство

Джуди С. Розато
что является фундаментальной составляющей его собственной сущ¬
ности»34.
Найденные признаки фрактальности в творчестве Полло¬
ка аналогичны тому, что У. Эко называет «первичным икониз-
мом», а Чарльз Сандерс Пирс называет «основанием»... «при¬
знак, качество, которое (не важно по какой причине) обособлено
и выверено в самом себе. Кем оно обособлено? Потенциально
обособляемое, оно обособляется, когда субъект обособляет его,
в определенном отношении, и тогда оно становится terminus
а quo35 логического процесса, как если бы это было движение
вверх без движения вниз — т. е. к серии отношений, которые
связывают ту машину со мной и моими перцептивными инте¬
ресами, а не к серии возможных бесконечных поломок самой
машины»36.
Фрактал становится terminus a quo логического процесса, ко¬
торый с перцептивной (парадигматической) точки зрения относит
живопись Поллока в технике разбрызгивания к природным фрак¬
тальным формам, а не к большому хаотическому распаду, концу
как; самоцели.
В любом случае, процесс фрактализации, хотя и имеет в своей
основе бесконечно большое и бесконечно малое, поддается количе¬
ственному определению через фрактальную размерность D. Пусть
заданы две точки — даже очень близкие друг к другу — на морском
побережье, расстояние между ними всегда бесконечно. Однако
«это не означает, что Ахиллес не может на практике преодолеть
это пространство одним единственным шагом. Ахиллес преодолеет
этот отрезок за данный промежуток времени»37.
Бесконечно большое и бесконечно малое не исчезают при фраг¬
ментации изображения, так как в конечной области они являются
той информацией, которая может создать конфигурацию объекта
на основе эмпирической интуиции, у. Эко при этом цитирует Па¬
уло Зеллини (Paolo Zellini) и напоминает, что «существование по¬
рога наблюдаемости» составляет «как постулат физики, так и пси¬
хологии восприятия»38.
34	C.Paolucci (2007). Da che cosa di riconosce la semiotica interpretativa?, In: Studi di
semiotica interpretativa, a cura di C. Paolucci, Bompiani, Milano, p. 133.
35	Исходный пункт (лат.) (прим, переводчика).
36	U. Есо. La soglia е I'infinito, In: Studi di semiotica interpretativa, cit., p. 170.
37	U. Eco. Op. cit., p. 167.
38	Ibid., p. 169.
26

Уровень вымысла, на котором законы воображения имеют без¬
раздельную власть, создается, начиная с некоторого неделимого
минимума, который невозможно далее разделить на части: «Вы
можете говорить о тысячной или десятитысячной доле песчинки,
но (и стоит добавить: вы не можете ее увидеть — что важно, когда
это относится к восприятию) вы не можете вообразить её, кроме
как в размерах самой песчинки»39.
Эрнст X. Гомбрих, обсуждая импрессионистскую точку зрения,
подчеркивает центральную роль наблюдателя в технике импрес¬
сионизма: художник может оставить незавершенными некоторые
точки визуального поля только потому, что он уверен, что наблю¬
датели способны завершить картину сами40. В то же время ученый
пытается сделать теорию максимально проработанной, обращаясь
к первичному иконизму, от которого начинаются все последую¬
щие умозаключения.
И все же в этой перспективе фрактальное искусство — как
и в случае с фрактальной геометрической линией — не выражает
формальных начальных условий, на основе которых создается упо¬
рядоченная система Вместо этого оно соотносится со сложностью
природы: оно реализует абстракцию поллокианского типа В нем то,
что вы видите, не является априорно заданной формой, которая за¬
тем многократно повторяется в своих деталях, но формой самого
детерминированного хаоса один-единственный фрагмент не пред¬
ставляет собой механические элементы целого, но живые организ¬
мы — и, следовательно, динамичные и неопределенные структуры
хаоса, который при этом является детерминированным
С учетом так называемых фракталов Поллока и, в целом, раз¬
ных работ, которые предвосхитили математическую формали¬
зацию Мандельброта и для которых характерны «симметрии
элементов», «рекуррентные структуры» и «игра масштаба»41,
39	Ibid.
40	Гомбрих писал: «импрессионистская техника, пытающаяся схватить мимолетный образ
мгновенья, должна опираться сугубо на то, что я определил в своей книге как „роль
наблюдателя". Художник может позволить незавершенность только там, где он уверен,
что наблюдатели способны завершить картину сами. <...> Вы можете оставить без вни¬
мания руку или глаз, но вы не можете попросить наблюдателя определить украшения
на платье, которые он никогда не видел раньше» (Ernst H.Gombrich. Op. cit., p. 313).
41	Эти художественные приемы — в работах Пауля Клее (Paul Klee), Марселя Дюшана
(Marcel Duchamp), Морица Эшера (Maurits Cornells Escher), Джексона Поллока (Jackson
Pollock), Катцусики Хокусая (Katsushika Hokusai) — направлены на возвращение к тра¬
екториям, посредством которых восприятие чувственной информации получает зри¬
тельный образ и тем самым познаваемость; они выражаются в чрезвычайной точности
27
Фрактальное искусство

Джуди С. Розато
правомерно спросить: «Действительно ли необходимо обращать¬
ся к физико-математической науке динамических систем, чтобы
создать художественные произведения, которые интуитивно ото¬
бражают совокупность методов и концепций фрактальной мате¬
матики?»42
4. Может ли научная теория выступать как критерий
ценности произведения искусства?
Искусство влияет на изменение восприятия мира в данной
культуре. Оно может быть инструментом эпистемологического на¬
блюдения, способным построить непротиворечивую и соответству¬
ющую времени когнитивную парадигму реальности.
С таким теоретическим и аналитическим пониманием следует
обратить внимание на то, что так называемые художники-фрак-
талисты, которые осваивают свой творческий путь, основанный
на сознательной и хорошо продуманной поддержке хаотически-
фрактальной парадигмы, представляют когнитивный подход и ви¬
зуальное восприятие, на которые сильное воздействие оказывает
компьютерная графика
Если исследования Мандельброта рассматривать как водораз¬
дел между работами, связанными с рекуррентными процессами
и детерминированным хаосом, то главным фактором диффе¬
ренциации является компьютерная визуализация фрактального
объекта.
Однако возможность на практике увидеть фрактальный объ¬
ект и опознать в нем природные формы не знаменует собой рож¬
дение новой эстетической теории (не говоря уже о научной тео¬
рии), но это выливается во множественные трансформации кодов.
Эти трансформации происходят на основе принятых в культуре
кодификаций: «Будет звучать неправдоподобно, если сказать, что
нарисованная картина — это набор знаков, узнаваемых, как сти¬
хотворение. Но столь же неправдоподобно говорить, что нари-
эпистомологического исследования и чрезвычайно тонкой способности к визуализа¬
ции и передаче смыслов фигуративными средствами. Поскольку они содействовали
переопределению кодов и их потенциальных возможностей, эти художники переопре¬
делили организацию существующего содержания, обращая наше внимание на то, что
кодирование мира, к которому мы привыкли, не является окончательным.
42	Ernst Н. Gombrich. Op. cit., р. 160.
28

сованная картина — это не семиотический феномен: она скорее
представляет момент, в который рождается семиотический фено¬
мен, момент, в который предлагается некоторый код, основанный
на остатках предыдущих кодов»43.
Художественное познание фрактальных форм — с научной тео-
ретизацией или без нее — состоит, таким образом, в эксперименти¬
ровании с новой фигуративной семантикой, посредством которой
художники освобождаются от всеохватывающей и монотонной
картины мира, бросая вызов ее притязанию на утверждение себя
в качестве горизонта абсолютного смысла
В этом бесконечном процессе стабилизации и реорганизации
кодов «пост-мандельбротово фрактальное искусство» фокусирует¬
ся на предсуществующем описании мира (евклидова геометрия)
и ускоряет, некоторым образом, коллективное осознание этих изме¬
нений. Аналогично, фрактальная геометрия была бы немыслима без
теоретического вклада разработанной в XIX веке дифференциальной
геометрии и последующих исследований Феликса Хаусдорфа, Абра¬
ма Безиковича, Гастона Жюлиа В научной деятельности открытие
начинается с осознания аномалии — т.е. осознания того, что ожида¬
ния, вызванные текущей парадигмой, являются неверными,— и про¬
должается исследованием аномалии вплоть до ее полного освоения44.
Возможные изменения смысла в науке и в искусстве не происхо¬
дят автономно. Они возникают из более сложной метафорической
переориентации категорий мысли и видения и из совпадающих
по времени нововведений или изменений в идеологической, эсте¬
тической и перцептивной сферах: эти сдвиги захватывают общество
и в целом культуру и, следовательно, искусство и науку как их про¬
дукты и, одновременно, как активные субъекты парадигматических
изменений. Человек — будь то ученый или художник — ставит под
сомнение сами механизмы, предназначенные воспринимать и по¬
знавать мир, и, таким образом, конструктивно открывает различ¬
ные контексты смысла
По этим причинам сведение сущности фрактального искусства
к алгоритму, генерирующему компьютерное изображение, будет, воз¬
можно, слишком большим упрощением Компьютер работает как
своего рода микроскоп, обеспечивая художнику оригинальную точку
зрения для информационного наполнения его выразительных форм
43	Ernst Н. Gombrich. Op. cit., р. 320.
44	См.:Т. S.Kuhn (1969). La struttura delle rivoluzioni scientifiche,Torino, Einaudi.
29
рактшіьное искусство

Джуди С. Розато
Более того, как было показано выше, не все художники, которые назы¬
вают себя фракталистами, используют информационные технологии.
Фрактальное искусство не обязательно— компьютерное ис¬
кусство. Чрезвычайная ограниченность соотношений уменьша¬
ет их неповторимость, которую, с другой стороны, следует искать
в вихревых потоках познаваемого и иррегулярных структурах гар¬
монии: «Искусство стремится визуализировать фрактальное поле
зрения. Оно стремится побудить зрителя увидеть и почувствовать
фрактальность, которая находится вокруг него и которая отражает¬
ся в формах жизни»45.
Фрактальное искусство способно привести два традиционно
обособленных поля46 к когнитивным и творческим отношениям —
используя фигуративную форму художественного выражения (в ко¬
дах фрактальной геометрической модели) как оптический фильтр
для хаотически-сложной реальности.
Оставив в стороне излишний энтузиазм, отношения «искус¬
ство — наука» следует, возможно, понимать в смысле динамиче¬
ской сложности: строго определенной, но все же непредсказуемой.
Это попытка вырваться из трансцендентальных и единых моделей,
при том, что фрактальное искусство является не только инструмен¬
том, но и результатом этой попытки.
Оригинальный образ мира не просто соответствует новой на¬
учной теории, но он относится к набору вариантов и инструментов
эпистемологического, художественного, лингвистического типа, ко¬
торые формируют иной способ воспринимать, изображать и пони¬
мать опыт, хранящийся в культуре и сознании.
Таким образом, форма представляет собой стратегию, направ¬
ленную на придание нового значения и новой перспективы реаль¬
ности, которая и без того кажется многообразной. Эго тот уровень,
где встречаются два аспекта, которые были разделены в философии
Канта: «Общая теория априорных условий познания и теория суж¬
дения (с ее загадочными неконцептуальными отношениями между
красотой и истиной), которая является моделью для понимания
произведения искусства»47.
Суть в том, что каждое знание имеет когнитивную функцию
и эмоционально-творческий характер: объективность науки явля-
45	S. Conde. La Fractal^ dans I'art contemporain, p. 170.
46	Имеются в виду наука и искусство (прим, переводчика).
47	S. Conde. Op. cit, p. 170.
30

ется только иллюзией, точно так же, как произведение искусства
предлагает оригинальные точки зрения, чтобы построить нашу кар¬
тину мира
В этой перспективе изображения фрактального искусства
не требуют применения мистической размерности, но дают при¬
мер возможности структурировать реальность новыми способами,
которые могут выявить не учитывавшиеся ранее аспекты или по-
другому преобразовать те же самые коды. С одной стороны, такое
лабиринтоподобное изображение становится запутанным; с другой
стороны, это эффективный трамплин для более широкого и разно¬
образного исследования знания и его бесконечного характера.
31
Фрактальное искусство

Карлос Гинзбург
ФРАКТАЛЬНОЕ ИСКУССТВО
Карлос Гинзбург (Carlos Ginzburg) — французский художник-концептуалист, работает в об¬
ласти цифрового и фрактального искусства. Член группы художников-фракталистов
«Art and Complexity» и автор ее манифеста. Автор ряда статей по философии искусства.
Наиболее известная из его картин — «Homo Fractalus».
32

Ѳрактал в искусстве — это способ (стиль) обработки
изображений и форм. «Фрактализация» как метод
включает в себя семь параметров, которые в целях
анализа рассматриваются по отдельности, но которые,
на самом деле, тесно взаимосвязаны:
1.	Гибридизация
2.	Виртуализация
3.	Инфинитизация
4.	Комплексификация
5.	Гетероген изация
6.	Агрегация
7.	Автономизация
1 — Гибридизация. «Между двумя»: произведе¬
ние существует в промежуточном измерении, в обла¬
сти неопределенности, в переходах запутанных петель.
Произведение между абстракцией и фигуративностью,
между локальным и глобальным, между означающим
и означаемым, между микро и макро, между субъектом
и объектом, между частицей и волной, между поряд¬
ком и беспорядком, между вирусным и генетическим,
между бытием и небытием Гибриды соединяются
как нейронные сети или кровеносные сосуды. Это хи¬
меры, которые больше, чем точка, и меньше, чем линия;
больше, чем линия, и меньше, чем плоскость; больше,
чем плоскость, и меньше, чем объем
2 — Виртуализация. «Тривиум знаков»: молекуляр¬
ное соединение как целое «грамматически» разложимо
на атомарное детерриториализованное множество. Это
33
Фрактальное искусство

Карлос Гинзбург
Рис. 7. Карлос Гинзбург. Фрактальная мощь. Серия «Социокультурная
нейронная сеть», 7997. Коллаж, акриловая живопись; центральное изобра¬
жение — цифровое (вставка на небольшой фанерной панели): намеренно
сильно пикселизированное (прерывистое); 0,92 м х 0,65 м.
См. также цветную вкладку
вселенная умножающихся деталей, которые выходят за пределы лю¬
бого целостного восприятия. Затем диалектика и риторика набирают
силу в творческом становлении абсолютно новых, невиданных форм
По-видимому, процесс не может быть сведен только к компьютеру,
который не всегда виртуализован, потому что запрограммирован. Если
искусство — это «виртуализация виртуализации», то фрактальное ис¬
кусство — это инфинитизация этого удвоения.
3 — Инфинитизация. «Бесконечно малое, большое и слож¬
ное»: восхождение от конечной жизни к жизни бесконечной
с помощью системы нерегулярного самоподобия, т.е. повторение
одного и того же в разных масштабах, в складках, закручиваниях
и разрывах. Каждая часть содержит в себе код всей конструкции
в целом. Сверху не существует завершенного целого, особого ме¬
та-языка, на основе которого можно судить о языках-объектах.
Снизу не существует фрагмента, потому что он не фрактален: фраг¬
мент— небольшой, устойчивый, изолированный, заключенный
в пределах своих границ, замкнутый, фиксированный и несамовос-
производящийся. Увеличение, рассеивание или аккумуляция ни¬
34

Рис. 2. Карлос Гинзбург: Фрактальный хаос. 1986. Ассамбляж: коллаж из ку¬
сков бумаги и акриловой живописи; 1 х 1,60 м. «Рассматриваемое с близкого
расстояния, произведение дает микроскопический и фигуративный образ
каждой части фрактала. Издали оно дает образ макроскопический и аб¬
страктный, который охватывает всю поверхность» (Карлос Гинзбург)
сколько не меняет его природы. Таким образом, есть только одна
стратиграфия репликаций и метаморфоз — в рекурсивном беско¬
нечном вкладывании одного в другое.
4 — Комплексификация. «Организующая случайность»:
хаотическое множество элементов во взаимодействии, которые
производят порядок и самоорганизацию, чтобы снова распасться
в энтропии (цикл обратной связи: это не один и тот же пороч¬
ный круг, а совсем иная «добродетельная спираль»1; мы никогда
не возвращаемся к исходной точке, обнаруживая все новые и но¬
вые самоорганизующиеся траектории). Произведение является
не одномерным, но многомерным (компрессия множества язы¬
ков), и каждый отдельный объект связан с другим: посредством
рекурсии (часть присутствует в Целом и Целое в части; причина
производит следствие, а следствие производит причину) и посред¬
ством гипертекстуальной связи. 11 Добродетельная спираль— «циклическая» последовательность положительных со¬
бытий, в которой причина и следствие взаимно усиливают друг друга и развиваются
во все возрастающем масштабе (прим, переводчика).
35
Фрактальное искусство

Карлос Гинзбург
5	— Гетерогенизация. «Радикальная инаковость»: суще¬
ствуют фракталы линейные (метастаза) и фракталы нелиней¬
ные (метаморфоза); первые не относятся к делу, потому что
они ограничиваются игрой с одним и тем же. Вторые, наоборот,
как игра повторения и различия, представляют собой принцип
творчества. Это означает, что произведение изменяется в зави¬
симости от масштаба его восприятия. Чем больше увеличение
изображения (зум, изменение угла и т.д.), тем больше деталей
появляется, и при любом отклонении изменяется характер про¬
изведения, преобразующегося в другую динамическую конфи¬
гурацию, которая исчезает в свой черед. Это «чувствительная
зависимость от начальных условий», где малейшее случайное
изменение вначале обусловливает непредсказуемые результаты
впоследствии. Абсолютно новые образы всплывают из энтропий¬
ной случайности — подобно тому, как Афродита, согласно грече¬
ской мифологии, родилась из пены морской благодаря клинаме-
ну (clinamen)2 (Лукреций).
6	— Агрегация. «Диссонансная гармония»: линейная и детер¬
минированная серийность множеств, расположенных в системе
декартовых координат, распадается на части в нелинейных турбу¬
лентностях автопоэзиса: фракталы, ломаные спиралоиды, ветвле¬
ния, сетевые структуры, скопления галактик, беспорядочные кри¬
сталлы, гангренозные «фрактальные сыры», адские мостовые и т. д.
Каждая работа состоит из стратиграфической системы деталей,
которые никогда не остаются в бесформенном виде, но и не заклю¬
чаются в упорядоченную структуру: больше, чем отходы, и меньше,
чем золото. Примесь к оригиналу.
7	— Автономизация. В той мере, в которой мы работаем с са¬
морефлексивными, самореферентными, самопорождающимися
и самоорганизующимися объектами, фракталы, создавая искусство,
являются особым инструментом для исследования и изучения ис¬
кусства Кроме того, будучи неопределенными и колеблющими¬
ся между материей и смыслом, они отображают в произведении
сущность эстетического опыта и герменевтического круга Нако-
2 Clinamen — пат. «небольшое отклонение», термин Лукреция, которым он обозначил
непредсказуемое отклонение атомов, развивая атомистическую доктрину Эпикура
в своем философско-поэтическом трактате «О природе вещей» (I век до н. э.) (прим,
переводчика).
36

нец, учитывая, что фрактальность искусства является лишь малым
выражением фрактальности мира, мы можем рассматривать при¬
сутствие «внешнего» как всего целого «внутри» произведения: эко¬
логические катастрофы, гражданская война, техно-финансовая гло¬
бализация и т. д.
Заключение. Фрактализация не выражает целостность про¬
изведения искусства в информационную эпоху. Несвязная целост¬
ность, «барокко» двадцать первого века, если угодно. Но нельзя
свести эту идею к игре формального языка, к усилению автономии
эстетического, к чисто символической красоте. В частности, для
начала мы формулируем фрактальную размерность искусства так
больше, чем автономия, и меньше, чем гетерономия. Таким обра¬
зом, со стороны гетерономных смыслов произведения, мы отмеча¬
ем «трайбализацию мира» (Мишель Маффесоли) и «антропологию
киберпространства» (Пьер Леви): Этно и Кибер. Архаичная локали¬
зация и прогрессирующая виртуализация. Перефразируя этот тезис
на языке Бруно Латура («Мы никогда не были современными»),—
это сеть несовременных гибридов, состоящих из языка, природы,
общества и бытия, которые должны актуализироваться в каждом
фрактальном произведении.
Ѳ
37
рактальное искусство

Сюзан Конде
ФРАКТАЛЬНЫЙ художник
Сюзан Конде (Susan Conde) — американская писательница и художественный критик,
участница группы «Art and Complexity».
38

Ш § Я вадцать первый век, возможно, будет известен как
Век Сложности. Это эпоха, которая пытается спра¬
виться с иррегулярностью, метаморфическими
формами и изменяющимися представлениями о по¬
рядке и неупорядоченности. Люди, независимо, ученые
ли, социологи или художники, обращают внимание
на существование иррегулярного, неустойчивого, ир¬
рационального и «промежуточного»— идей, которые
рассматриваются в качестве строительных блоков но¬
вой парадигмы творчества в искусстве.
Художники, представленные в этой статье, входят
в международную группу, работающую с фракталь¬
ным искусством. Фрактальное искусство представ¬
ляет собой художественную практику, основанную
на концептах фрактальной геометрии, теории хаоса
и теории сложности. Каждый художник, чьи работы
описаны здесь, развивает свой индивидуальный стиль
и художественную выразительность, но остается при
этом связан с другими членами группы общим инте¬
ресом к исследованию сложных форм, к темам само¬
подобия, скейлинга, порядка и хаоса, соотношения
микрокосмоса и макрокосмоса.
Посредством своих работ фрактальные художни¬
ки передают фрактальное представление о мире. Это
мир, в котором пространство стало фрактальным —
то есть сжатым внутрь себя, гиперактивным, взаи¬
мосвязанным. Фрактальный художник заявляет, что
пространство больше нельзя рассматривать как мини¬
малистское, экспрессионистское или концептуальное.
Вместо этого современные фрактальные художники
стремятся отобразить состояние пространства своего
I
В
39
рактальныи художник

Сюзан Конде
времени так, как они его воспринимают, с его фрактальными раз¬
мерностями и свойствами. Для фрактального художника физиче¬
ский и психологический ландшафт сегодняшнего дня не имеет ни¬
чего общего с понятием пространства Декарта-Корбюзье, которое
господствовало в современной архитектуре. Фрактальный худож¬
ник видит утопизм евклидовых форм как пережиток картезиан¬
ских философий, сформулированных вокруг понятий измеримости
и предсказуемости. Фрактальный художник полагает, что картези¬
анская модель исключает иррегулярность и динамику реальности,
которая наблюдается как в физическом космосе, так и в человече¬
ской природе.
Фрактальный художник передает художественное видение
сложной современной городской архитектуры из перекрывающих¬
ся акведуков и лабиринтных сетей, из природных форм, отражен¬
ных в разрастающемся городском ландшафте, который угрожает
уничтожить природное пространство. Парадоксальным образом,
фрактальные пространства природы замещаются фрактальными
пространствами наших закрытых, динамичных обществ.
Нью-йоркский художник Эдвард Берко (Edward Berko) один
из первых начал работать с фрактальной живописью. Работы Берко
выставлялись в Европе и в Соединенных Штатах как на персональ¬
ных, так и на коллективных выставках. Рисуя маслом по дереву, Бер¬
ко документирует и затем преобразовывает фрактальность форм,
которую он наблюдает в мире вокруг себя. Объясняя свою работу,
он пишет: «Природа создает фракталы во всех ее процессах: фор¬
мирование лесного массива; краска, которая осыпается со стены;
трещины на дороге; облака на небе; стареющая древесина И в че¬
ловеке тоже. Вот почему я создаю в искусстве формы, образованные
фракталами». В 1994 году он опубликовал книгу своих размышле¬
ний об искусстве и фрактальности1.
Картины Жан-Поля Агости Qean-Paul Agosti) — это метафоры
визуального представления сада как выражения противоборству¬
ющих сил порядка и неупорядоченности. Агости, завязавший дру¬
жеские отношения с математиком Бенуа Мандельбротом в начале
1980-х годов, возможно, является первым французским художни¬
ком, который исследовал фрактальные формы. Его картины пред¬
ставляют собой серию воображаемых садов, названных именами
богов из греческой мифологии (см. цветную вкладку). Лиричные и,
1	Berko Edward. Sur la Mur (On the Wall) (Paris: Les Editions de La Difference, 1994).
40

Рис. 1. Cobalt Yellow. Edward Berko	Puc. 2. Jardin du Creuset. Jean-Paul Agosti
между тем, формальные, картины Агости передают почти музыкаль¬
ную визуальность как свидетельство художественных перспектив
фрактальности2. Он выставлялся по всей Европе, включая большую
персональную выставку в музее Санса (Musee de Sens) в 1996 году
и более позднюю в музее Musee de I’Hospice Saint Rocb.
Художник Карлос Гинзбург (Carlos Ginzburg) был первым фрак¬
тальным художником, которого я встретила в Европе, когда пере¬
ехала в Париж в конце 1980-х годов. Гинзбург, Эдвард Берко и я на¬
чали регулярно встречаться, чтобы обсуждать интересовавшие нас
идеи новой геометрии. Наша первая группа, которую мы назвали
«1е noyau»3, сыграла определенную роль в возникновении интереса
к фрактальному искусству в современной художественной среде4.
Карлос Г инзбург начал работать с идеей фракталов в 1970-х го¬
дах. В 1980-х он начал говорить о фракталах с художниками и фи¬
лософами, с которыми он был знаком: кубинским писателем Севе-
ро Сардуем (Severo Sarduy), художественным критиком Пьером
Рестани (Pierre Restany) и специалистом по эстетике Жан-Клодом
2	См. сайт художника: URL: http://www.jeanpaul-agosti.fr/en/.
3	Зернышко, семечко (фр.). В переносном значении— сплоченная группа людей. При¬
мечательно, что во фрактальной геометрии англоязычный аналог «seed» используется
для обозначения фрактального генератора (повторяющегося при каждой итерации
паттерна) (прим, переводчика).
4	Conde Susan. Fractalis: La complixite fractale dans I'art (Paris: Les Edition de la difference,
1993); Condd Susan. L'art fractal: L'emergence de la complexite dans Part (Paris: Les Editions
de La Difference, 2000).
41
Фрактальный художник

Сюзан Конде
Рис. 3.
Homo Fractalus (Fractalmcm), 1999,
Carlos Ginzburg.
Смешанная техника
Широлле 0ean-Claude ChiroIIet). Гинзбург полагает, что его этю¬
ды выступают в качестве «фрактальных гибридов», соединяющих
его восприятие нашей культуры с тетралогией сложности соци¬
олога Эдгара Морена (Edgar Могіп): порядок — беспорядок —
взаимодействия— (фрактальные) самоорганизации. Гинзбург —
автор образа «Fractalman»5, фигуры из множеств Мандельброта,
повторяющихся до бесконечности. Образ, созданный Гинзбур¬
гом, — это метафора замкнутой, динамичной фрактальности чело¬
веческой идентичности. С помощью Фракталочеловека мы можем
передать идею о том, что человеческое существо является высшим
фрактальным объектом, которому предназначено существовать
в состоянии колебания и противостояния свободной воли и си¬
стемных ограничений.
5	Фрактало-чеяовек (англ.) (прим, переводчика).
42

Рис. 4. Из серии River Taw. Susan Derges
Рис. 5. Pompeii, 7997, Nabil Nahas.
Акрил, пемза на холсте.
См. цветную вкладку
Сьюзан Дерджес (Susan Derges) — британский фотограф, рабо¬
тающая в окрестностях Деюна Она получает свои образы, прояв¬
ляя такие природные явления, как текущий ручей, непосредственно
на фотобумагу с помощью лунного света. Таким способом она фик¬
сирует образы фрактального мира ручей, ветви, которые свисают
над водой, тени деревьев ит.д. Дерджес пытается поймать миры в их
транзитивности, в которой используется язык фрактальных форм Ее
образы представляют собой проекции турбулентности, хаоса и по¬
рядка, нестабильности и бифуркационных структур; одним словом,
ее работы образуются из вокабулярия хаоса и сложности.
Ливийский художник Набил Нахас (Nabil Nahas), в насто¬
ящее время работающий в Нью-Йорке, сознательно решил
43
Фрактальный художник

Сюзан Конде
Рис. 6. Phong's Boat, 1994, Jim Long. Акрил на холсте
внести фрактальную перспективу в свои работы, когда, гуляя
по пляжу после шторма, он увидел на песке беспорядочный по¬
рядок расположенных случайным образом морских звезд. Он
ощутил эту природную соотнесенность с идеей фракталов, и его
произведение связано с идеей порядка, возникающего из неупо¬
рядоченности. Насыщенные и яркие работы Нахаса — это гре¬
зы и созерцания приобретшего форму бесформенного, которые
предстают перед нами для осмысления. Его картины — это ме¬
ста, где микрокосмос и макрокосмос существуют в лабиринте
самодостаточности.
Американский художник Джим Лонг (Jim Long) заинтере¬
совался фрактальностью форм, когда он исследовал новый тип
сложной математической сетки для своей работы. Он изучал
возможность создания предельно тонкого слоя краски на холсте.
Однажды ночью он оставил раствор высыхать в банке. Утром он
обнаружил непостижимые формы, динамичные и призрачные,
которые сформировались самопроизвольно. Студенты, посе¬
тившие его студию, заметили: «О, Вы выращиваете фракталы!»
44

В работе Лонга фрактальный предмет соединяется с гиперре¬
альными пигментами, Лонг играет с напряжением между гра¬
фическими элементами и живописностью, придавая чисто аме¬
риканскую небрежность своей работе.
45
Фрактальный художник

Шарль васало
ФРАКТАЛЬНОЕ ИСКУССТВО?
Шарль Васало (Charles Vassallo) — французский физик, фотохудожник, цифровой худож¬
ник. С 1990-х годов работает в технике цифрового фрактального искусства.
46

Движение фракталистов
Ѳто одновременно и движение современных ху¬
дожников, и сетевое событие. Художники объеди¬
нились в группу «Искусство и Сложность» («Les
Fractalistes — Art et Complexite») и представились
публике как «художники-фракталисты» в виртуаль¬
ной галерее «Кart», разместившей выставку работ
одиннадцати из них. Кульминационным моментом
был Интернет-аукцион по продаже выставленных
работ в начале 1998 года, хотя сама выставка осталась
на своем месте на веб-сайте. Возможно, галерея «N art»
вдохновилась большим успехом в медиа-среде пре¬
дыдущего виртуального аукциона, организованного
в конце 1998 года Фредом Форестом. Но в том аукци¬
оне все было виртуальным (включая проданные про¬
изведения искусства), а картины фракталистов были
по-настоящему реальными.
На сайте «Nart»1 было представлено около трид¬
цати работ, которые сопровождались различными
текстами, самопрезентациями художников, общими
комментариями, написанными журналистом (Henri
Fran£ois Debailleux), философом (Christine Buci
Glucksmann) и писателем (Susan Conde), а также ма¬
нифестом движения («Manifeste du Fractaliste»).
1	Сайт и виртуальная галерея в настоящее время не существуют (прим,
переводчика).
47
рактальное искусство г

Шарль Васало
Рис. 7. Слева: Cathedral (фрагмент), Джексон Поллок, 7 947;
справа: Shadow Spirits of the Forest (фрагмент), Mark Tobey, 7 96 7
Два предшественника
По крайней мере, двух известных художников, Джексона Пол¬
лока (Jackson Pollock) и Марка Тоби (Mark Tobey), можно рассма¬
тривать как предшественников этого движения, во всяком случае —
в некоторых их произведениях, как показано выше (рис. 1). Трудно
сказать больше, не видя реальные картины. Эти два фрагмента в ре¬
альности имеют размеры примерно 40 х 55 см и 23 х 32 см, тог¬
да как работы фракталистов, о которых шла речь выше, порядка
1 м х 2 м И все эти репродукции слишком маленькие.
Эти две работы были созданы задолго до открытий Мандель¬
брота. Конечно, как говорит Майкл Барнсли, «фракталы повсюду»2,
и всегда возможно создать фракталы, не зная этого.
2	Имеется в виду известная книга М. Барнсли: Barnsley М. Fractals Everywhere. San Diego,
CA: Academic Press, 1988 (прим, переводчика).
48

Рис. 2. Картина 7987 года с первой версией MandelTour на компьютере
Amiga (704 х 440 х 14 цветов)
Защиіить себя самим
В какой степени фрактальные картины составляют Искусство?
Существует ли вообще Фрактальное Искусство?
Сначала может возникнуть сомнение в том, что эти вопро¬
сы действительно важны. У этих картин, несомненно, существует
своя публика, для которой эти картины прекрасны, и переживае¬
мая такими зрителями эмоция, безусловно, является эстетической
(рис. 2). Некоторые знатоки, однако, отворачиваются от этих кар¬
тин, и им легко ввести в заблуждение простого любителя. Другие
люди отвечают, что некоторые художники, задающие модную тен¬
денцию, могут еще больше обмануть неспециалиста Тем не менее,
вопрос является важным для авторов, поскольку быть признанным
в качестве художника означает особый социальный статус.
Вот забавный эпизод из моей жизни. Однажды у меня была
возможность показать свои картины на основе фракталов Марку¬
са-Ляпунова одному человеку, очень авторитетному в цифровых
искусствах. Я получил один-единственный комментарий: «Да.,
мило...» Однако другие люди, не столь известные, но в самом деле
сведущие в современном искусстве, спрашивали мои картины и ре¬
комендовали их своим друзьям Итак, это искусство или нет?
О"
О
а
Н
U
U
и
s
ш
о
X
J3
о
н
*
о
о.
ѳ
49

Можно ответить шуткой. Современное Искусство проявило
себя в столь многих отклоняющихся от стандарта направлениях,
что теперь кто угодно может объявить себя художником, и затем,
что бы он ни делал, будет автоматически маркировано как «искус¬
ство». Но все же можно остаться серьезным и постараться посмо¬
треть на разные стороны этого вопроса.
Если бы достаточно культурные люди пришли к согласию
по этой проблеме — это могло бы закрыть вопрос, но на это, ве¬
роятно, уйдет много времени, если только не сделать эти картины
известными. Мы еще далеки от этого: например, в обзоре специаль¬
ного выпуска Creation Numerique (январь 1999), посвященном циф¬
ровому искусству за последние 25 лет, нет ни единого слова ни о ка¬
ком виде алгоритмических картин, как фрактальных, так и других.
Или этот вид картин просто не известен, или он не воспринимается
как достойный интереса, или его оставили любителям — что озна¬
чает то же самое.
Мы можем сравнить это с тем, что случилось с фотографией, ко¬
торой пришлось ждать доброе столетие, пока ее полностью не при¬
знали настоящей художественной практикой. Сейчас все может
происходить быстрее, но фотография заполнила нашу жизнь до та¬
кой степени, которой фракталы, безусловно, никогда не достигнут.
Между прочим, так случилось, что я как-то заявил, что фрактальные
картины можно рассматривать как специальный вид фотографии,
но это не дает мне права предполагать, что фракталы могут быть ис¬
кусством, лишь потому, что фотография теперь является искусством
В результате боюсь, что создателям фрактальных картин при¬
дется говорить самим
Что может бытъ фрактальным искусством?
О
е;
о
и
О
ей
л
е;
О.
о
3
Не останавливаясь на разъяснении понятия «искусства», мы
можем попытаться определить предметную область, посмотреть
на то, что могло бы принадлежать к такого рода фрактальному ис¬
кусству. Как мы увидим, эта область может быть в некоторой смыс¬
ле другой по сравнению с тем, что мы ожидаем
Первая моя идея состояла в том, чтобы включить в нее любой
вид искусства, основанный на фрактальных объектах и подчерки¬
вающий их фрактальную природу. Целью этой осторожной фор¬
мулировки было исключить результаты генераторов ландшафтов,
50

где фрактальные инструменты используются, чтобы создавать
горы, облака и деревья. Аналогичным образом, существуют гене¬
раторы текстуры, которые разработаны для того, чтобы наносить
на различные поверхности красивые фактурные покрытия, не ак¬
центируя фрактальные свойства текстуры. Насколько мне извест¬
но, большинство пользователей популярного генератора ландшаф¬
тов Bryce3 ничего не знают о тех алгоритмах, которые работают
в программе, и они не ставят метку «фрактальное искусство»
на свои изображения.
Объект определяется как фрактальный, когда одни и те же пат¬
терны появляются в нем в разных масштабах. Однако эти паттерны
не обязательно должны быть видны на всех участках объекта Мно¬
жество Мандельброта содержит пустые области, которые остаются
пустыми при каком угодно увеличении. В моей работе с фрактала¬
ми Маркуса-Ляпунова4 самоподобие не всегда очевидно, но не оста¬
ется никаких сомнений при взгляде на картину в целом. Таким же
образом, самоподобие не всегда очевидно в коллекции моих лучших
фрактальных картин, доступных в сети5.
Кроме того, есть еще особый случай Кентона Масгрейва (Ken¬
ton Musgrave)6. Он, главным образом, создает ландшафты, но с осо¬
бой концепцией, выработанной им по поводу генерации ландшаф¬
тов вместе с самим Мандельбротом, который считает его «первым
настоящим художником-фракталистом». Конечно, Мандельброт
сведущ в искусстве не столь хорошо, как в науке, но его слова опре¬
деленно дают пищу для размышлений.
Наконец, необходимо принимать во внимание появление ху-
дожников-фракталистов7. Они создают совершенно разные карти¬
ны, но они категорически настаивают на использовании фракталов
в том, что они делают, а они уже имеют статус художников в офи¬
циальных кругах современного искусства Совершенно ясно, что
их работы стоят скорее в одном ряду с картинами Джексона Пол-
3	Bryce— название каньона, геометрия которого была смоделирована програм¬
мой в 1994 году. В настоящее время программа используется для реалистичного
30-моделирования гор и береговых линий на основе фрактальных алгоритмов (прим,
переводчика).
4	См.: http://charles.vassallo.pagesperso-orange.fr/en/lyap_art/images1 .html.
5	См.: http://charles.vassallo.pagesperso-orange.fr/en/art/art_2 a.html.
6	См.: http://www.kenmusgrave.com.
7	Ш. Васало имеет в виду группу «фракталисты — Искусство и Сложность» (см. начало
статьи) (прим, переводчика).
51
Фрактальное искусство?

Рис. 3. Еще одна картина 1987 года
лока и имеют мало общего с картинами, вроде тех, что создаются
в Fractint, или моими картинами (рис. 3). Чтобы избежать путани¬
цы, в последнем случае мы могли бы говорить об алгоритмических
фрактальных картинах.
Действительно ли алгоритмическое фрактальное
искусство является искусством?
О
е;
о
и
О
ей
л
е;
О.
о
з
После этого короткого обзора мы должны обратиться к перво¬
начальному вопросу: являются ли наши фрактальные картины на¬
стоящим Искусством? Возможно, трудно дать какой-либо хорошо
обоснованный ответ, пока нет ясного представления о природе Ис¬
кусства, а это действительно сложная проблема8.
К 1986 году, в конце книги «Красота фракталов», Герберт
В. Франке (Herbert W. Franke) решил-таки, что это было настоя-
8	Этому вопросу были посвящены лекции на сайте художественного центра Paul Getty
Art Center, а также книги на французском языке:
Luc Ferry. Le sens du Beau, Editions Cercle d'Art, 1998 . Yves Michaud. La crise de I'Art
contemporain. Presses Universitaires de France, Paris 1997. Jean-Marie Schaeffer. L'art de
I'Sge moderne, Gallimard, Paris 1992. Rainer Rochlitz. L'Art au banc d'essai, Gallimard, Paris
1992;
и на английском: Norbert Lynton.The story of Modern Art, Phaidon, Oxford 1980.
52

щее Искусство, потому что 1) это было красиво, и 2) это было ново.
С этими двумя пунктами можно поспорить!
Каждый согласится, что красота — вещь субъективная, но фак¬
том является то, что от наших фрактальных картин спонтанно
получают удовольствие многие люди, которые находят их «краси¬
выми», возможно, благодаря их сложности и элегантности линий,
а также благодаря удачному выбору цветов. В наши дни, по утверж¬
дению философов, эстетика и художественные свойства произве¬
дения — это отдельные вещи. Например, картины фракталистов9,
являющиеся настоящим искусством для профессионалов в области
искусства, интересны, но не слишком привлекательны. Тем не ме¬
нее, то, что произведение должно вызывать подлинно эстетическую
эмоцию, долгое время рассматривалось в качестве художественного
критерия.
Однако можно испытать сильные эстетические эмоции
от природных явлений или природных объектов, таких, как ланд¬
шафты, бабочки, цветы, кристаллы... но, однако, они не являются
искусством. Закат солнца, ярко расцвеченный, насколько это толь¬
ко возможно, превращается в произведение искусства лишь по¬
сле интерпретации талантливым художником или фотографом.
Эта интерпретация должна быть в достаточной степени сильной.
В чем может состоять интерпретация пользователя в случае кар¬
тины с множеством Мандельброта? Все, что ему надо сделать, —
это выбрать границы обрезки и цвета. И этого достаточно? Про¬
стого ответа здесь нет.
У меня есть некоторый опыт дизайнерских работ с программами,
исследующими множество Мандельброта. Я утверждаю, что хоро¬
шая программа может легко осуществить раскрашивание картины
и даже предложить весьма приличный автоматический подбор цве¬
тов. Но за все это программу не стоит считать художником! С другой
стороны, получение изящных результатов из программы, сложной
в использовании, не должно рассматриваться как некоторый бонус
в художественной оценке картины. Наконец, я довольно скептиче¬
ски настроен по поводу художественной ценности картин на основе
множества Мандельброта, потому что, я думаю, вы охотитесь за об¬
разами больше, чем создаете их, то есть вы в гораздо большей сте¬
пени обнаруживаете их, чем делаете. Это исследование тогда выгля¬
дит подобно деятельности коллекционера, точно так же некоторые
9	Имеется в виду группа «Фрактаяисты — Искусство и Сложность».
53
рактальное искусство г

Рис. 4. Pierre Kucoyanis and Univers Mac #73
о
г
о
и
О
CD
.0
О.
О
3
люди коллекционируют минералы или кристаллы, то есть объекты,
которые прекрасны сами по себе, но не являются художественными
(можно пойти дальше в сравнении, проведя параллель между рас¬
крашиванием изображения и очисткой и осветлением минерала).
Однако невозможно провести это сравнение слишком далеко.
Даже если раскрашивание можно сделать легче технически, невоз¬
можно получить красивый результат без малейшего таланта к вос¬
приятию и работе с цветом. Этот талант не универсален, но он
достаточно распространен, и его можно развить. Если сделать это
меркой для художника, это означало бы, что даже если не каждый
человек — художник, то вокруг есть множество художников, и тог¬
да неизбежно стали бы искать различия между «великими» худож¬
никами и «менее великими». Я был бы удивлен, если эти различия
можно было бы понять на основании одной картины с изображе¬
нием множества Мандельброта
Эти сомнения по поводу художественной ценности картин
с изображением множества Мандельброта нельзя распростра¬
нять на все другие фрактальные картины. Множество Мандель¬
брота — этот своего рода парк развлечений — виртуальный,
конечно, — более чем хорошо известно. Некоторые другие фрак¬
тальные рецепты широко распространились и открыли для ис¬
следования еще многие другие парки, менее известные, но при
54

этом легко доступные, и у меня мог возникнуть соблазн смешать
в одну кучу все картины, выходящие из них. Противоположная
ситуация — когда кто-то оказывается способен создать свою соб¬
ственную формулу. Чтобы получить новые формы, он открывает
новые виртуальные вселенные, и весь процесс тогда приобретает
совершенно другую глубину.
Что касается картин с изображением множества Мандельбро¬
та, даже если они имеют спорный художественный статус, они мо¬
гут использоваться в качестве заготовок для создания более слож¬
ных произведений. Например, можно добиться художественного
смысла посредством простой подборки этих картин при условии,
что наблюдатель чувствует, что она выходит за рамки случайно¬
го набора приятных глазу фрагментов, что выбор объектов изо¬
бражения, их форм и цветов хорошо продуман. Несколько лет
назад я сделал «диапораму» из таких картин (то есть шоу-показ
с использованием магнитной ленты с записью и двух проекторов
с наплывающими планами), которая была достаточна успешной.
Такое шоу— больше, чем способ оформления подборки, просто
потому, что написание правил для него требует скрупулёзного от¬
бора картин, что приводит к приданию коллекции стиля, инди¬
видуальности. Таким образом, возвращается понятие интерпре¬
тации, которое является важной составляющей художественной
ценности произведения искусства
В пространстве одной-единственной картины техники колла¬
жа часто используются как способ увеличить число образов на од¬
ной основе. Я обнаружил несколько более или менее убедительных
примеров, основанных на довольно простых изображениях мно¬
жества Мандельброта (рис. 4), но ни одного действительно слож¬
ного. У фотографов есть старая шутка вы всегда можете получить
искусство, разместив симпатичную девушку на фоне чего-либо...
Что ж, я попытался сделать это (рис. 5)... и, возможно, это работа¬
ет! Безусловно, это уже больше не абстрактное искусство, но поче¬
му это должно быть недостатком? Творческие поиски Шэрон Уэб
(Sharon Webb)10 11 в ее фрактальных пейзажах (fractalscapes) идут
именно в этом направлении. Те, кто предпочитает оставаться с аб¬
страктным искусством и работать со сложными образами, обра¬
щаются к программе Ultra Fractalп, которая позволяет опреде-
10	См:Webb Sh. Fractalscapes. URL: https://www.fractalus.com/sharon/fctscape.htm.
11	Ultra Fractal. URL: http://www.ultrafractal.com/.
55
Фрактальное искусство?

Рис. 5. Marylin
ленного рода смешение нескольких фракталов на одной и той же
картине и с помощью которой начали появляться интересные ра¬
боты 12.
В качестве заключения:
фрактальное или алгоритмическое искусство?
о
г
о
и
О
ей
.0
о.
о
3
Очевидно, у меня недостаточно знаний, чтобы иметь право
делать однозначный научный вывод об отношении между фрак¬
тальными картинами и Искусством. Мне не хватает информации
философского плана по поводу статуса современного Искусства,
и у меня недостаточно данных и личного опыта, связанного с рабо¬
той новейших фрактальных программ. Поэтому я только предло¬
жу несколько интуитивных идей в качестве заключения. Возможно,
они будут со временем опровергнуты. Посмотрим...
Традиционная миссия художника — несмотря на то, что она по¬
терпела крах в сумбуре современного искусства, кое-что, должно быть,
все^гаки осталось — это миссия пророка Художник: видит дальше, чем
другие люди, и он показывает то, что он видит. Я полагаю, что создатель
фрактальных картин играет эту роль, даже если его сообщение — чи¬
сто эстетическое, без чего-то социально-революционного.
12	См.: Linda Allison. URL: http://www.allisonart.com/Gal6.html.
56

Я думаю, что институциональное появление художников-фрак-
талистов, «приемных детей» Джексона Поллока (Jackson Pollock)
и Марка Тоби (Mark Tobey), размывает понятие Фрактального Ис¬
кусства Это можно воспринять как его обогащение, но я был бы
удивлен, если большинство создателей фрактальных изображений
согласились бы с этим. Тогда я бы предложил, чтобы они признали
свое творчество как часть алгоритмического искусства. В этом на¬
правлении уже существуют другие произведения, но и фракталы
должны быть определены как важная его часть.
57
Фрактальное искусство?

кен келлер
СОВРЕМЕННАЯ эволюция
ФРАКТАЛЬНОГО ИСКУССТВА:
традиционное и репрезентативное
фрактальное искусство
Кен Келлер (Ken Keller) — американский художник-фракталист (Chico, CA, USA).
58

Ѳтносительно новый художественный жанр фрак¬
тального искусства можно разделить на две кате¬
гории: традиционные фрактальные изображения
и репрезентативные фрактальные изображения. Фрак¬
тальное искусство нецифровой природы здесь обсуж¬
даться не будет.
Я рассматриваю определение фрактального ис¬
кусства, имея в виду образы, которые с самого нача¬
ла создаются с помощью компьютерной программы,
предназначенной для генерирования фрактальных
изображений. Предполагается также, что изображе¬
ние, представленное в своем окончательном виде, под¬
верглось минимальной дополнительной обработке.
Изображения из нескольких фрактальных слоев клас¬
сифицируются как фрактальное искусство, но к нему
не относятся изображения, которые представляют
собой коллажи с использованием элементов, не явля¬
ющихся фрактальными изображениями (таких, как
«симпатичная девушка на фоне фрактала»). Много¬
слойные фракталы создаются многими программами
генерации фракталов, и каждый слой обязательно яв¬
ляется настоящим фракталом.
1Традиционные фрактальные изображения —
это изображения, которые основаны на «magnifica¬
tion I»1 или других типичных фрактальных формах,
которые можно обнаружить в большинстве фрак¬
тальных картин (Magnification 1 Mandelbrots и Julias1 2
1	Опция: увеличение = 1 (т.е. выбирается фрагмент без изменения мас¬
штаба).
2	Множества Мандельброта и Жюлиа (прим, переводчика).
59
Современная эволюция фрактального искусства: Традиционное и репрезентативное фрактальное искусство

Кен Келлер
и др., MiniBrot3, слоны, морские коньки, спирали и т.д.). В целом,
традиционные фрактальные изображения состоят из специфиче¬
ских фрактальных форм. Степень фрактальности этих изображе¬
ний высокая.
Репрезентативные фрактальные изображения получают¬
ся, если главная творческая работа происходит над композицией
элементов изображения в целом. Фрактальная природа репрезен¬
тативного фрактального изображения может не быть сразу замет¬
на Композиционные решения в этих фрактальных изображениях
имеют первостепенное значение. Репрезентативные фрактальные
изображения часто создаются под влиянием других художествен¬
ных направлений. Фрактальные элементы могут присутствовать,
а могут и не присутствовать в законченном произведении. Степень
фрактальности этих изображений может быть очень небольшой
или неочевидной.
Цифровое искусство в данной статье определяется как худо¬
жественные изображения, созданные с помощью компьютерных
графических редакторов. Поскольку это определение не является
исчерпывающим, оно ограничивается определением компьютер¬
ного графического редактора Компьютерный графический редак¬
тор — это колшьютерная программа, которая получает внешнюю
информацию в виде изображений (или использует формы, хра¬
нящиеся в ее внутренней памяти: линии, фигуры, эффекты и т.д.)
и производит манипуляции с этими изображениями.
Настоящий программный генератор фракталов не совсем под¬
ходит под определение компьютерного графического редактора
Тут нет «внешней» визуальной информации, которая вводится
в исходное изображение. В действительности, фрактальные изо¬
бражения начинаются с исходной математической формулы, чисто
математической сущности. В этом заключается связь фрактального
искусства с тем, что теперь называется алгоритмическим искус¬
ством.
Фрактальное искусство может рассматриваться как отдельный
жанр цифрового искусства и включаться в категорию алгоритмиче¬
ского искусства. Тот факт, что программный генератор фракталов
является источником изображения, отличает фрактальное искус¬
ство от других основных видов цифрового искусства. Фрактальное
изображение может быть создано только из особой математи-
3	Фрактальная копия множества Мандельброта внутри множества Мандельброта (прим,
переводчика).
60

ческой формулы и может быть воспроизведено как изображение
только с помощью программы, предназначенной для работы с этим
специфическим типом математики. На практике фракталы не мо¬
гут создаваться и исследоваться без помощи высокоскоростных
компьютеров.
Настоящий программный генератор фракталов не является
компьютерным графическим редактором, если исходить из стро¬
гого определения компьютерного графического редактора По¬
скольку основные графические формы, хранящиеся в графических
редакторах, являются математическими, именно поэтому они за¬
висят от компьютеров, выполняющих необходимые функции. Ли¬
ния — всего лишь линия, а квадрат — всего лишь квадрат. А вот что
не может быть воспроизведено в действиях человека, так это беско¬
нечные итерации. Это придает фрактальному изображению его от¬
личительную особенность и его бесконечную глубину фокусировки.
Традиционное фрактальное изображение — это самостоятельный
артефакт, который невозможно запросто воспроизвести с помо¬
щью стандартной графической программы и, тем более, вручную.
Фрактальное искусство можно отнести к общей категории
цифрового искусства и более конкретно — к категории алгорит¬
мического искусства. Традиционное фрактальное искусство и ре¬
презентативное фрактальное искусство могут рассматриваться как
подвиды фрактального искусства. Фрактальное искусство не обяза¬
тельно должно создаваться компьютером: взять, например, Поллока
и современных художников-фракталистов, поэтому, по-видимому,
будет необходимо дальнейшее подразделение фрактального ис¬
кусства на подвиды. Важно, чтобы эти отдельные виды цифрово-
го/фраістального искусства имели четкие определения, которые
помогут оценить относительные достоинства любого произведения
фрактального искусства
61
Современная эволюция фрактального искусства: Традиционное и репрезентативное фрактальное искусство

Керри Митчелл
МАНИФЕСТ ФРАКТАЛЬНОГО ИСКУССТКА
Керри Митчелл (Kerry Mitchell) — американский художник-фракталист (Phoenix, AZ, USA),
авиационный инженер NASA. Автор манифеста фрактального искусства «The Fractal Art
Manifesto». Персональный сайт художника: http://kerrymitchellart.com/.
62

Ѳрактальное искусство (ФИ) как жанр существу¬
ет примерно 15—20 лет. Его первым наиболее
значимым публичным показом можно считать
статью о множестве Мандельброта, опубликованную
в «Scientific American» в 1985 г. С тех пор был достиг¬
нут большой прогресс и в возможностях фрактального
отображения, и в понимании фрактальной геометрии.
И сейчас, наверное, подходящее время, чтобы сформу¬
лировать определение, чем является (и чем не является)
фрактальное искусство.
Фрактальное искусство — это жанр, связанный
с фракталами — формами или множествами, которые
характеризуются самоаффинностью (маленькие фраг¬
менты изображения напоминают форму в целом)
и бесконечным количеством деталей, во всех масшта¬
бах. Фракталы обычно создаются на цифровом ком¬
пьютере, с использованием итерационного числового
процесса С недавних пор в мир ФИ включают и те
образы, которые технически не являются фракталами,
но которым присуща та же среда и основная техника
генерации.
Фрактальное искусство — это подкласс двухмер¬
ного визуального искусства, и во многих отношениях
оно схоже с фотографией — другой формой искусства,
которую восприняли скептически, когда она только
появилась. Фрактальные образы обычно материализу¬
ются в виде принтов, тем самым фрактальные худож¬
ники попадают в компанию живописцев, фотографов
и гравюрщиков. Фракталы в своем исходном формате
существуют как электронные образы. Эго тот формат,
который быстро воспринимают авторы традицион-
63
Манифест фрактального искусства

Керри Митчелл
ных визуальных произведений, что приводит их в цифровое царство
фрактального искусства.
Генерирование фракталов может быть художественным проек¬
том, математическим увлечением или просто расслабляющим вре¬
мяпровождением. Однако ФИ явным образом отличается от дру¬
гих цифровых видов деятельности благодаря тому, чем оно является
и чем не является.
Фрактальное искусство не является:
•	Компьютер (изирован)ным искусством, в том смысле, что
всю работу делает компьютер. Работа выполняется на ком¬
пьютере, но только под руководством художника. Включите
компьютер и оставьте его одного на час. Когда вы вернетесь,
никакого искусства не будет создано.
•	Случайным, в смысле стохастическим или не имеющим
никаких правил. Основанный на математических принци¬
пах, фрактальный рендеринг представляет собой самую суть
детерминизма. Выполните те же самые шаги по генерации
образа, и будет получен тот же результат. Незначительные
изменения в процессе обычно приводят к незначительным
изменениям в конечном продукте, превращая фракталь¬
ное искусство в деятельность, которой можно научиться,
а не в беспорядочный процесс нажатия кнопок.
•	Случайным, в смысле непредсказуемым. Фрактальное ис¬
кусство, как любое другое новое занятие, имеет некоторые
аспекты, незнакомые новичку, но известные мастеру. Тех¬
ники фрактального искусства можно освоить посредством
опыта и обучения. Как и в рисовании или в шахматах, осно¬
вы схватываются быстро, но может уйти вся жизнь, чтобы
полностью понять и управлять процессом. Со временем ра¬
дость от непреднамеренных открытий сменяется радостью
сознательного творчества
•	Чем-то, что может сделать любой человек, у кого
есть компьютер. Каждый может взять фотоаппарат
и сделать снимок. Однако отнюдь не каждый может быть
Энселом Адамсом1 или Энни Либовитц1 2. Каждый может
1	Энсел Адамс (Ansel Adams) — американский фотограф (1902—1984), известный свои¬
ми черно-белыми фотографиями природных памятников Сьерры-Невады и др. (прим,
переводчика).
2	Энни Либовитц (Annie Liebovitz) — известный американский фотограф (р. 1949), специ¬
ализирующаяся на портретах знаменитостей (прим, переводчика).
64

взять в руку кисть и нарисовать что-то. Однако отнюдь
не каждый может быть Джорджией О’Кифф3 или Пабло
Пикассо. Действительно, каждый, у кого есть компью¬
тер, может создать фрактальное изображение, но отнюдь
не каждый добьется выдающихся результатов в создании
Фрактального Искусства.
Фрактальное искусство является:
•	Экспрессивным. Посредством цветовой гаммы живопис¬
ца, света и тени, используемых фотографом, или движений
танцора художники учатся выражать и вызывать всевоз¬
можные идеи и эмоции. Художники-фракталисты не менее
способны использовать свои средства как столь же вырази¬
тельный язык, поскольку они оснащены всеми существен¬
ными инструментами традиционных визуальных искусств.
•	Творческим. Должен быть создан законченный фракталь¬
ный образ, как и фотография или картина. Он может быть
создан как репрезентативная работа, как абстракция базо¬
вой фрактальной формы или как нерепрезентативное изо¬
бражение. Художник-фракталист начинает с чистого «хол¬
ста» и создает образ, соединяя воедино основные элементы
цвета, композиции, сочетания и т.д., используемые традици¬
онным художником.
•	Требующим отдачи, усилий и интеллекта. Художник-
фракталист должен управлять совокупностью вычислитель¬
ных формул, отображений, цветовых схем, палитр и их тре¬
буемыми параметрами. Все без исключения элементы могут
и будут настраиваться, регулироваться, корректироваться
и перенастраиваться в попытках найти правильное сочета¬
ние. Свобода управлять всеми этими гранями фрактального
образа несет с собой необходимость понимать их использо¬
вание и их эффекты. Это понимание требует от Художника
интеллекта и вдумчивости.
Но прежде всего, фрактальное искусство — это просто то, что
создается художником-фракталистом ИСКУССТВО.
3	Джорджия О'Киф (Georgia O'Keeffe)— известная американская художница (1887—
1986), прославившаяся картинами с увеличенными изображениями цветов и расти¬
тельных форм (прим, переводчика).
65
Манифест фрактального искусства

Элис Келли
ФРАКТАЛЫ КАК ИСКУССТВО
Элис Келли (Alice Kelley) — американская художница, работающая в технике цифрового
фрактального искусства с 1996 г. Персональный сайт: http://alicekelley.com//.
66

Ѳрактальная образность, генерированная компьюте¬
ром, раньше не выходила за пределы колшьютеров
и книг для математиков и физиков, однако новые,
дружественные пользователю программы генерации
фракталов перевели фракталы в область искусства Про¬
даются фрактальные календари и постеры, а передовые
галереи начинают выставлять фрактальные изображе¬
ния в рамах как картины. Слово «фрактал», от латинско¬
го «fractus», означающего «изломанный», было введено
Бенуа Мандельбротом в 1975 году, чтобы описать, ис¬
пользуя фрактальные уравнения, природные феноме¬
ны неправильной формы, такие, как береговые линии,
ветвящиеся растения и горы. Фрактальные формы, по¬
добные береговым линиям, демонстрируют при возрас¬
тающем увеличении одновременно самоподобие и уве¬
личение количества деталей. Специальные программы
преобразуют в образы фрактальные уравнения, в кото¬
рых используется процесс, называемый итерацией. Ите¬
рация означает, что результат уравнения в одной точке
используется для вычислений этого же уравнения в сле¬
дующей точке и так далее.
Компьютеры с их способностью быстро выполнять
тысячи итераций, необходимых для перевода фрактала
в форму графического изображения, сделали возмож¬
ным создание и исследование получаемых абстрактных
геометрических конфигураций. По мере того как; пользо¬
ватели, которые считают себя художниками, осваивают
фрактальные программы, получающиеся произведения
становятся все менее похожими на математические
иллюстрации и все более выразительными и красивы¬
ми. Некоторые скептики в художественном сообще-
Ѳ
67
ракталы как искусство

Элис Келли
Рис. 1. Golden Pheasant (1999).
Alice Kelley.
См. цветную вкладку
стве настаивают, что, поскольку компьютер выполняет все необходи¬
мые расчеты, участие художника оказывается минимальным, заявляя
тем самым, что такие изображения не могут называться настоящим
искусством Хотя элемент непредсказуемости присутствует и в моих
собственных работах (результат различных комбинаций переменных
может меня удивить), окончательный образ не может состояться без
значительного вклада пользователя программы. Моя цель — описать
процесс создания изображения, который называется «Golden Pheas-
ant»1 (рис. 1), и пусть читатель потом сам решит, является ли это новой
формой искусства, которое использует новое поколение инструментов,
или просто случайный набор байтов, созданный компьютером
Существует несколько программ, доступных в Интернете, кото¬
рые были написаны, чтобы генерировать фракталы. Все они имеют
разные возможности и предоставляют пользователю различную сте¬
пень участия. Поскольку Ultra Fractal — это инструмент, который
я в настоящее время предпочитаю, и это программа, которая созда¬
ла изображения, использованные в данной статье, правила, которые
я привожу, будут относиться только к ней. Программа Ultra Fractal,
написанная Фредериком Слийкерманом (Frederik Slijkerman) и вы¬
пущенная в 1999 году (http://www.ultrafractal.com, Win 95/98/NT),
предлагает такие средства, как наложение слоев, обычно ограничен¬
ные инструментами редактирования, которые используют цифровые
художники, например, Adobe Photoshop. Вообще, слои позволяют
1	Золотой фазан (англ.) (прим, переводчика).
68

разным изображениям наслаиваться, или сливаться, с большим разно¬
образием вариантов. Ultra Fractal позволяет осуществлять рендеринг2
дополнительных фракталов в пределах тех же самых границ, что и пер¬
вый фрактал, каждый — в новом слое, со своим собственным набором
свойств, и с режимом объединения, который определяет, как добавля¬
емый фрактальный слой визуально взаимодействует с предыдущими
фрактальными слоями. Художники могут создавать несколько различ¬
ных фракталов из одного исходного изображения, состоящего из одно¬
го слоя, путем комбинирования различных слоев и изменяя режимы
их объединения, что делает возможной более художественную интер¬
претацию даже традиционных фрактальных форм
«Золотой фазан» получается из формулы, называемой Julia (fn| |fh),
которая читается следующим образом:
«z = pixel, loop: IF |z| < the shift value, then z = fn1 (z) + c, ELSE z=fn2 (z) + o>.
В этом уравнении задействованы две функции и один параметр.
Что касается параметра, пользователю дается возможность ввести
числовое значение, которое должно быть использовано в расчете урав¬
нения. Относительно функций программа предлагает открывающий¬
ся список для каждой доступной функции, и пользователь выбирает
из 29 различных функций, таких, как cos (косинус), sin (синус), tan
(тангенс), sqr (квадрат), и то, что выбрано, автоматически вставляет¬
ся в уравнение. Формулы обычно имеют до четырех настраиваемых
функций. Значения по умолчанию для Julia (fn| |fh) — это параметр 0,0
и «sqr» для обеих функций. Причина того, что значение параметра со¬
стоит из двух чисел, в том, что фракталы рисуются в виде графа в осях X
и Y. Конечное значение параметра имеет координаты X и Y, которые
определяет пользователь. Таким образом, когда из сотен доступных
фрактальных формул выбирается Julia (fn| |fn), на экране появляется
рис 2 в качестве изображения по умолчанию. Первый шаг в создании
изображения «с чистого листа» всегда включает в себя исследование
таких фракталов, выглядящих вначале незамысловато.
Пользователи часто начинают с экспериментов с различными
значениями параметра Практически не существует верхнего или
нижнего предела по числовым значениям для экспериментирования;
можно попробовать ноль, один миллион, минус один миллион и все,
что между ними. Проблема в том, что некоторые значения, возможно,
большинство, дадут пустой экран. Каждая формула имеет специфи-
2	Рендеринг — термин из компьютерной графики (от. англ, rendering — визуализация),
означает процесс получения изображения по модели с помощью компьютерной про¬
граммы (прим, переводчика).
69
Фракталы как искусство

Элис Келли
Рис. 2. Формула по умолчанию
ческие параметры, которые порождают интересную картину слож¬
ных узоров, и пользователю приходится находить их или путем проб
и ошибок или узнавать из книг или от других пользователей, какой
диапазон параметров пригоден для данной формулы. Для варианта
формул Julia, подобных этой, обычно будут эффективны значения
между нулем и единицей. Часто художники находят лучшие значения
параметра Julia, начав с соответствующего множества Мандельброта,
который фактически является каталогом всех возможных множеств
Жюлиа из этой формулы, и используя программный сервис «опера¬
тор выбора» в программе Ultra Fractal. Пока фрактал базовой фор¬
мулы Mandelbrot (fn| |fh) отображается на экране, я нажимаю курсо¬
ром на кнопку «оператор выбора». Открывается новое меню рядом
с первым, где по мере того, как курсор движется по разным точкам
фрактального множества Мандельброта, отображается каждое соот¬
ветствующее множество Жюлиа Пиксельные значения положения
курсора на изображении множества Мандельброта становятся новы¬
ми параметрами для соответствующего изображения Жюлиа Я ис¬
пользовала этот метод и обнаружила, что значения 0,44 и 0,23 дают
многообещающую деталь, как свидетельствует рис 3.
Второй возможный шаг может заключаться в экспериментирова¬
нии со значениями двух функций. Различные значения функций часто
оказывают решающее влияние на то, как; изображается фрактал. По¬
скольку, как уже упоминалось, для каждой функции имеется 29 различ¬
ных опций, может уйти немало времени, чтобы обнаружить перспек¬
тивную комбинацию.
Иногда быстро становится очевидным, какие значения для первой
функции дадут интересные результаты, что до некоторой степени упро¬
щает поиск. Часто многие из значений дают экран, полный хаотических
точек, или пустой экран, или простые неинтересные формы. Для этого
70

Рис. 5. Функция 2	Рис. 6. Зуминг
уравнения с указанными выше параметрами изменение первой функ¬
ции на «ехр» дало в результате рис 4.
Обратите внимание, что появились две угловатые спиральные фор¬
мы. Спирали входят в число самых распространенных фрактальных
форм, и их часто ищут, потому что они дают такие привлекательные об¬
разы. Как только появились эти спирали, я стала пробегать список зна¬
чений для функции 2. Когда я выбрала значение «log», получился рис 5.
Присутствуют те же спирали, но начинает появляться больше деталей.
Я решила увеличить (zoom in) участок верхней спирали. Зуминг
предполагает использование мыши, чтобы очертить нужную область
фрактала Когда нажимается «enter», очерченная область заполняет
экран. Мышь можно также использовать для того, чтобы делать неболь¬
шую корректировку в центрировании изображения в пределах его
окна Результат изображен на рис 6
После того, как интересная фрактальная форма локализована,
следующим шагом может быть экспериментирование с алгоритма-
Рис. 3. Параметры
Рис. 4. Функция 1
71
Фракталы как искусство

Элис Келли
Рис. 7. Метод раскрашивания	Рис. 8. Градиент (см. цветную вкладку)
ми раскраски. Алгоритм раскраски — это функция, которая транс¬
формирует значение индекса цвета каждой точки, это значит, что
применяются функции, изменяющие изображение фрактала на ви¬
зуально более сложное. Существуют кольцевые алгоритмы, которые
дают фрактал, составленный из колец, а также алгоритмы, дающие
кружки и точки, и алгоритмы с названиями наподобие «Binary
Decomposition I»3. На момент написания этой статьи для выбора
имелось, по крайней мере, 150 различных алгоритмов раскраски.
Пользователи Ultra Fractal продолжают создавать новые алгоритмы,
и делятся ими посредством почтовой рассылки Ultra Fractal (доступ¬
на на главной странице Ultra Fractal, указанной выше). Со временем
и с опытом пользователь приобретает знания о том, какой эффект
дает каждый алгоритм. Все алгоритмы сами по себе имеют много
переменных, которыми можно управлять для получения разных ре¬
зультатов, и имеют свои собственные окна на экране Ultra Fractal
с выпадающими меню и таблицами параметров. После многочислен¬
ных экспериментов я выбрала метод раскрашивания, называющий¬
ся «Shapes 2 — variable»4, созданный Люком Плантом (Luke Plant).
Из восьми форм, которые предоставляет этот алгоритм, я выбрала
«hyperbola». Двенадцать опций, которыми можно управлять, чтобы
изменить форму гиперболы, были оставлены в их исходных настрой¬
ках. Результат показан на рис. 7
После этого художник обычно работает с цветовой палитрой
изображения, рис. 7 имеет форму, которая выглядит законченной,
но цвета являются частью «градиента» по умолчанию, который
3	Бинарная декомпозиция 1 (англ.) (прим, переводчика).
4	Формы 2 — переменные (англ.) (прим, переводчика).
72

не усиливает этот конкретный образ. Каждый фрактал (технически
каждый слой каждого фрактала) имеет свой собственный градиент,
который представлен в окне, заполненном цветовыми спектрами.
Ultra Fractal — это программа с естественной цветопередачей, по¬
этому в ней доступно свыше 16 миллионов цветов. Пользователь
вставляет управляющие точки, которые используются для создания
и корректировки цветового спектра и которые обеспечивают пол¬
ный контроль над цветом, яркостью, размещением и сопряжением
каждого из выбранных цветов. Один фрактал может выглядеть луч¬
ше с градиентом, который имеет два пастельных цветовых спектра,
а другой — с десятью различными спектрами ярких, броских цветов.
Изменив эти спектры на спектры черного цвета, можно создать под¬
светку и затемнение внутри фрактального изображения. Для этого
фрактала я создала черное окно градиента с четырьмя цветовыми
спектрами (розовым, желтым, золотым и оранжево-розовым), сгруп¬
пированными в середине изображения. Рис 8 показывает глубину
и светотень, которые получились в результате.
Хотя фрактал на рис 8 теперь выглядит красиво, я решила поменять
общую форму изображения с прямоугольной на квадратную, фрактал,
заполнивший квадратную форму кажется более визуально привлека¬
тельным Затем в окне «свойства слоя» я выбрала опцию «добавить но¬
вый слой», который добавляет фрактальный слой, идентичный перво¬
му. Я изменила этот новый слой, используя другой алгоритм раскраски
(«Twin traps» Дэмиена Джонса (Damien Jones)) и светло-желтую цве¬
товую палитру. Этот менее детализированный фрактальный слой, кото¬
рый мягко подчеркивает исходный фрактал — совсем чуть-чуть, подоб¬
но тому, как; художник мог бы где-то добавить дополнительный мазок
для придания особого эффекта Окончательный вариант моей работы
размещен в начале статьи.
Последний шаг — это дать фракталу имя. Я решила назвать это изо¬
бражение «Золотой фазан» («Golden Pheasant»).
Для контраста, чтобы было можно оценить, насколько сложен
процесс, в котором играет роль так; много факторов выбора, я визу¬
ализировала несколько изображений, которые представляют собой
тот же самый фрактал, что на рис. 8 (который был окончательным,
перед тем как его преобразовали в квадрат); каждый из них содер¬
жит единственное изменение всего одной переменной. На рис. 9
я изменила первый параметр с 0,44 на 1,44. Результат выглядит инте¬
ресно и достоин дальнейшего исследования, но он очень отличается
от «Золотого фазана». На рис. 10 единственное изменение, которое
Ѳ
73
ракталы как искусство

Элис Келли
Рис. 7 7. Shapes 2 = asteroid Рис. 12. Алгоритм раскрашивания «curvature»
См. цветную вкладку
было мною сделано по отношению к рис. 8, состоит в замене первой
функции на «sqr».
Рис 11 — это рис 8 с тем же самым алгоритмом раскраски,
но в качестве формы была выбрана астроида («astroid») вместо гипер¬
болы («hyperbola»). Рис 12— это вариант рис 8 с совершенно дру¬
гим алгоритмом раскрашивания, который называется «curvature»5.
На рис 13 изображен результат использования случайного градиента
для раскрашивания фрактала
«Золотой фазан» — относительно простой фрактал. Были случаи,
когда я создавала изображения, содержащие до 15 слоев, все взаи¬
модействующие различным образом, с разными формулами в каж¬
дом слое. То, что я описала здесь,— это технические детали входных
5	Изгиб (англ.) (прим, переводчика).
74

Рис. 13. Случайные цвета.
См. цветную вкладку
4
данных, которые требуются от любого пользователя программы. Это
аналогично объяснению свойств масляных красок, как они наносят¬
ся на холст, способов использования кистей разной формы и общих
техник абстрактного искусства новому ученику. Такое техниче¬
ское знание не гарантирует успеха Как и в других видах искусства,
во фрактальном искусстве есть ограниченное число художников, по¬
лучивших признание за прекрасные картины, которые никто другой
не может воспроизвести. Каждый из этих художников имеет соб¬
ственный узнаваемый стиль. Чтобы создать визуально привлекатель¬
ные изображения, я часто полагаюсь на интуицию вместе со случай¬
ным экспериментированием, что относится к немалому количеству
параметров, слоев и цветов (а также предполагает использование
знаний, которые я приобрела из наблюдения и обучения у художни¬
ков, имеющих большее мастерство в обращении с этой программой
и с математикой, чем я).
Компьютеры и фрактальная геометрия представляют собой
сложные инструменты для создания нового вида искусства, искусства,
которое часто отражает органические фрактальные формы реально¬
го мира Моя позиция как художника такова «Поскольку фракталы
фактически являются компьютерными версиями природных фрак¬
тальных феноменов, подобных береговым линиям, формам растений
и метеорологическим моделям, они вызывают у меня определенное
стремление сделать так, чтобы они не казались искусственными...
Каждый фрактал начинается как хаос, а я нахожу в нем паттерны,
и это доставляет мне удовольствие. Возможно, это метафора Столь
многое в жизни и вселенной хаотично, а я могу взять крохотную ча¬
стичку этого хаоса и создать прекрасное».
75
Фракталы как искусство

Дэмиен М. Джоунс
О ФРАКТАЛАХ И ИСКУССТВЕ
Дэмиен Джоунс (Damien М. Jones) — известный британский художник-фракталист и эксперт
по фрактальному искусству. Его работы на сайте: https://www.fractalus.com/gallery/.
76

Ѳозможно, на протяжении всего времени, как суще¬
ствует искусство, были люди, спрашивавшие, мо¬
жет ли то или иное произведение быть признано
искусством Художники-фракталисты часто подвергают¬
ся острой критике по поводу их искусства Иногда мы
испытываем трудности с участием в художественных
выставках или с продажей наших работ; нас не всегда
принимают, так сказать, всерьез. К нам относятся скорее
как к дилетантам, претендующим на статус художника,
чем как; к художникам, выражающим себя с помощью
нового (несколько неожиданного) средства Поскольку
я считаю себя художником-фракталистом, я не явлюсь
беспристрастной стороной, но у меня всё же есть причи¬
ны, по которым я рассматриваю фрактальное искусство
как форму настоящего искусства
Наше искусство лучше всего принимают те, кто ни¬
чего не знает о нем Они просто смотрят на то, что мы
создаем, и их реакция— это удивление, благоговение,
восхищение.. — целый спектр положительных эмоций.
Они не спрашивают, искусство это или нет; мы представ¬
ляем это как искусство, и они приниліают его в качестве
такового. Наоборот, наши проблемы часто возникают из-
за тех, кто немного знает, как алы делаем то, что мы делаем
Фрактальное искусство как подвид
цифрового искусства
Цифровое искусство — это просто искусство,
созданное с помощью колшьютера Точно так же,
как существует ліного традиционных средств и жан-
77
О фракталах и искусстве

Дэмиен М. Джоунс
ров, которые может выбирать художник (картины маслом, углем,
пастелью, акварелью...; скульптуры из камня, глины, металла..),
в цифровом искусстве есть выбор из многих возможных вариан¬
тов. Компьютеры используются для того, чтобы применять эффек¬
ты к фотографиям, полученным традиционной техникой проявки;
компьютеры могут имитировать краски, карандаши, бумагу. Это
само по себе не требует компьютера, но задействует способности
компьютера «отменить сделанное»: ошибочный мазок может быть
удален, при этом художник свободен экспериментировать с обра¬
зом, не боясь, что не сможет вернуться к исходному варианту, если
идея окажется непригодной.
Кроме того, есть формы искусства, которые не могли бы су¬
ществовать без компьютера. Художники используют компьюте¬
ры, чтобы создать виртуальные модели, которые они помеща¬
ют в виртуальную обстановку и фотографируют виртуальными
камерами. Все эти виртуальные действия — на компьютере —
создают вещи, невозможные в реальном мире, вещи, которые
не подчиняются законам физики, но находятся в царстве вооб¬
ражаемого. Такие вещи иногда можно получить в других медиа,
но способности компьютера делают их доступными для больше¬
го числа художников.
Фрактальное искусство имеет совершенно другую суть. Создава¬
емые сегодня виды фрактальных произведений были бы невозмож¬
ны без помощи колшьютера1; одно-единственное изображение
должно включать триллионы утомительных, повторяющихся ма¬
тематических вычислений. Компьютеры превосходно справляют¬
ся с монотонностью; они хорошо следуют простым инструкциям
и никогда не устают, делая одно и то же снова и снова Таким об¬
разом, фрактальный художник дает компьютеру указание выпол¬
нять монотонные вычисления, в то время как он сам фокусируется
на важных художественных деталях формы, цвета, оттенков.
Во всем этом колшьютер играет роль инструмента Он кисть,
проявочная комната, линзы фотокамеры, калькулятор. Он управ¬
ляет работой виртуального средства, выбранного художником,—
сложными вычислениями того, как голубая акварель взаимодей-
1	Некоторые машины могут быть настроены так, чтобы создавать фракталы с исполь¬
зованием обратной связи, например, многие интересные узоры могут быть созданы
с помощью системы видео-обратной связи. Но сложно свести этот процесс к чему-то
одному. Компьютер как настоящее вычислительное устройство общего назначения
предоставляет алгоритмы гораздо большей сложности.
78

ствует с фактурой только что намоченной бумаги или как свет
отражается от покрытого рябью виртуального пруда
Компьютер как творец
Пойти дальше значит пригласить компьютер самому участво¬
вать в творческом процессе. Это гораздо труднее, чем звучит. В од¬
ном полноэкранном изображении (800 х 600) 480 тысяч отдель¬
ных пикселей; для большинства компьютерных мониторов это дает
103467865 возможных изображений (то есть 10 с более чем тремя
миллионами нулей). Написать компьютерную программу для вы¬
бора изображений из такой обширной коллекции просто, но бес¬
смысленно: подавляющее большинство этих комбинаций — просто
случайный шум, в котором нельзя увидеть ничего интересного.
Вместо этого написаны компьютерные программы, чтобы вы¬
бирать образы из гораздо меньшего количества Мы устанавлива¬
ем параметры компьютерного генератора изображений, чтобы он
мог вырабатывать набор интересных изображений более систе¬
матически. Например, фрактальный генератор Спротта2 следует
различным наборам команд и затем применяет простые правила,
чтобы отбросить 99% результатов как неинтересные. Но при том,
что легко запустить эту программу и просматривать бесконечные
серии изображений, она может создать лишь менее 1050 изобра¬
жений — бесконечно малую часть крохотной доли из общего числа
возможных.
Человеческий мозг очень хорошо распознает паттерны; нам бы¬
стро становится скучно. Компьютерные программы, которые про¬
изводят бесконечные последовательности изображений безучастия
человека, не слишком подходящи, потому что часто можно быстро
определить программные ограничения, то есть границы, установ¬
ленные создателем программы.
Еще более важно, что изображения, созданные этими програм¬
мами, в действительности ничего не могут сказать нам Компьютер
ничего не осознает, он не пытается передать что-то людям путем
самовыражения... Он просто следует инструкциям и делает изобра¬
жения «вслепую». Он не знает, какое изображение хорошее, а ка¬
кое — нет. Он не способен испытывать скуку от того, что он делает,
2	См. подробнее на сайте: http://sprott.physics.wisc.edu/fractals.htrn.
79
О фракталах и искусстве

Дэмиен М. Джоунс
и пытаться делать что-то еще, что-то новое; это то самое, что делает
его надежным и полезным инструментом, избавляющим от утоми¬
тельного однообразия, и плохим инструментом для имитирования
творчества. Компьютер не может сделать ничего, пока ему не велят
сделать это. Даже у программ, которые допускают рандомизиро¬
ванное, «непредсказуемое» поведение, оно непредсказуемо только
в рамках, установленных программными средствами. Мы не оши¬
бемся в своих предсказаниях, что компьютер не будет действовать
за пределами этих рамок.
Это не означает, что компьютер не может помочь в творче¬
стве. Другие программы, такие, как; Apophysis3, генерируют серию
изображений случайным образом, чтобы человек мог просеять их
и найти образы, которые вызывают какие-то мысли или воспоми¬
нания; сотни образов могут пройти мимо — все одинаково хоро¬
шие для неоценивающего глаза компьютера — пока человек, смо¬
трящий на изображение, не увидит в нем что-то значимое для себя.
На этом этапе человек берет изображение и обычно работает с ним
дальше, обрабатывая его, — в некотором роде подобно тому, как
скульптор может посмотреть на кусок древесины и увидеть форму,
скрывающуюся внутри и ждущую своего проявления. До тех пор,
пока художник не начал работать с ней, это просто кусок древе¬
сины... или одно из сотни случайных фрактальных изображений.
Именно участие человека делает образ достойным созерцания, де¬
лает его искусством.
Узыматемаіики
Что отличает фрактальное искусство от других форм цифрово¬
го искусства, это то, что математика играет гораздо большую роль
в создании фрактальных образов. Другие виды цифрового искусства
не свободны от математики, далеко не свободны: в большинстве ве¬
щей, связанных с компьютером, используется математика на том
или ином уровне, но математика занимает особое место в созда¬
нии фракталов, потому что формы, которые столь распространены
во фрактальном искусстве, определяются именно математикой.
И все же математика во фрактальном искусстве создает искус¬
ство не больше, чем компьютер. Тысячи фрактальных формул до¬
3	См.: http://www.apophysis.org.
80

ступны художнику-фракталисту, каждая с десятками или сотнями
возможных параметров, и каждый параметр имеет бесконечное
число возможных значений. Количество комбинаций, доступных
художнику-фракталисту, неисчислимо. Участие человека является
критически важным: только человек может решить, какие комби¬
нации значимы и передают что-то содержательное.
Математика, используемая во фрактальном искусстве, полез¬
на не только для фрактального искусства Фракталы используются
для моделирования динамики жидкостей и цен на биржевом рын¬
ке. Фрактальная математика также перекочевала в другие формы
цифрового искусства, где на ее основе имитируется рост растений,
образование гор и реалистических текстур. Затем эти достижения
вернулись обратно во фрактальное искусство.
Математика — это просто еще один инструмент, инструмент,
приоритетный для художника-фракталиста, но никоим образом
не единственный, имеющийся у него в распоряжении. Многие
художники-фракталисты, включая Терри Райта (Terry Wright)4,
с удовольствием берут исходный фрактальный материал и работа¬
ют с ним, используя инструменты, более привычные в других видах
цифрового искусства, иногда до такой степени, что их работа уже
не содержит узнаваемых фрактальных форм. А иногда художники-
фракталисты используют фотографию или другие исходные мате¬
риалы и пропускают его через фрактальную математику (как, на¬
пример, в картине «Toccata and Fugue» Жанет Парк Qanet Parlce)5).
Таким образом, границы между фрактальным искусством и други¬
ми формами цифрового искусства размываются. Фрактальное ис¬
кусство описывается математикой, но не порабощается ею.
Доступно всем
Цифровое искусство удивительно доступно. Компьютеры до¬
ступны повсеместно, а программное обеспечение для создания циф¬
рового искусства можно получить бесплатно или по номинальной
стоимости. Единожды приобретенное, оно может использоваться
снова и снова для создания любого количества новых изображений.
4	Картины Терри Райта на персональном сайте художника: http://wrightart.net. (прим,
переводчика).
5	«Toccata and Fugue». Janet Parke. См.: http://www.infinite-art.com/gallery/people/
image/7/.
81
О фракталах и искусстве

Дэмиен М. Джоунс
Интернет предоставляет бесчисленное количество инструкций
и руководств, помогающих новым художникам научиться исполь¬
зовать свои инструменты. В сравнении с прошлыми временами,
когда для создания произведения искусства потреблялись расход¬
ные материалы, а знание техники работы приобреталось в личном
обучении у мастера, сегодняшнее цифровое искусство фантастиче¬
ски доступно, открыто практически любому человеку.
Но равенство возможностей не означает щъенст&а. результа¬
тов. Карандаши и бумага есть повсюду, но у кого-то есть талант
в рисовании этюдов, а у кого-то нет. Подобным же образом, те твор¬
ческие способности, которые наиболее ценны при создании циф¬
рового (и фрактального) искусства, не присутствуют повсеместно,
в отличие от его инструментов.
Точно так же, как широкая доступность инструментов и серви¬
сов для веб-публикаций снизила ограничения в создании веб-сайтов
до того уровня, когда каждый может разместить сайт в сети6, свобод¬
ная доступность фрактальных инструментов сделала производство
фрактальных изображений настолько легким, что человек может
штамповать сотни фрактальных изображений в день. Действитель¬
но, несколько человек говорили мне, что они не будут покупать мое
фрактальное искусство, потому что они могут приобрести програм¬
мное обеспечение и произвести собственные изображения. Иногда
по прошествии времени они приходили снова, когда обнаружива¬
ли, что програллмное обеспечение не создает высокого искусства без
приложения в равной степени высокого мастерства
То, что инструменты цифрового искусства, отражают уровень
мастерства художника, это совсем не плохо. Мой отец рисовал мас¬
ляными красками, когда я был юным, потому что он мог достать
материалы и потому что он любил это. У него получалось не очень
хорошо, но это для него не имело большого значения; он получал
удовольствие, делая это. Он выражал себя с помощью рисования.
И я полагаю, это помогало ему высоко ценить картины, сделанные
теми, у кого было больше умения, чем у него. Точно так же у меня
есть и гитара, и электронная клавиатура, и ни на одной из них
я не могу играть лучше самого базового уровня, но я продолжаю это
делать, потому что это весело и это помогает мне больше наслаж-
6	Доступность веб-публикаций для любого пользователя, сделала возможным персо¬
нальный веб-сайт, универсально-доступный сайт, в действительности неинтересный
никому. Я кратко затронул тему бессмысленности таких вещей на... своем персональ¬
ном веб-сайте.
82

даться другой музыкой. Многие энтузиасты играют с инструмента¬
ми цифрового (и фрактального) искусства, потому что они получа¬
ют от этого удовольствие, даже если им все равно, хорошее ли это
искусство или нет.
Хотя можно легко найти большое количество дилетантских ра¬
бот низкого качества, каждое средство художественного выражения
имеет и тех, чьи работы выделяются на фоне остальных. Оно может
быть необыкновенно успешным в коммерческом плане (сколько
художников завидуют коммерческому успеху Томаса Кинкэйда
(Thomas Kinkade7)) или может получить высокое признание у кол-
лег-художников. Немногие работы художников будут помниться
даже во время их жизни, не говоря уже по прошествии столетий.
Цифровое и фрактальное искусство такое новое, и никто не мо¬
жет сказать точно, что останется незабываемым, — но если ничего
не будет создано, тогда, конечно, и нечего будет помнить.
Искусственная редкость
Цифровое искусство имеет одно интересное главное отличие
от традиционных средств: оно может быть абсолютно точно ско¬
пировано. Существует только одна Мона Лиза, один потолок Сик¬
стинской Капеллы. Это настоящая, физическая редкость. Если Мону
Лизу убрать из Лувра, тогда ее не будет в Лувре. Но цифровое изо¬
бражение можно воспроизводить в совершенстве и бесконечно.
Искусство уже столкнулось с этим раньше, в гораздо более мяг¬
кой форме. Когда появилась возможность печатать множество эк¬
земпляров какой-либо работы, оригинальные пластины гравюры,
созданные художником, истирались. Способом обеспечить качество
стало ограничение числа оттисков. Некоторые художники, чтобы
гарантировать, что была отпечатана последняя копия их работы, на¬
меренно наносили царапины на печатную форму. Таким образом,
они создавали дефицит, когда мог быть избыток, но это служило га¬
рантией того, что ценность их работы останется высокой.
С цифровым искусством все обстоит сложнее. Цифровое ис¬
кусство создается на компьютере; компьютеры работают, копи¬
руя информацию и обрабатывая ее. Акт просмотра изображения
включает создание копии — компьютер должен скопировать
7	Официальный сайт Томаса Кинкэйда: http://www.thomaskinkade.corn.
83
О фракталах и искусстве

Дэмиен М. Джоунс
данные с жесткого диска в свою память, обработать эту инфор¬
мацию, чтобы извлечь изображение и затем сделать еще одну
копию в системе своего дисплея так, чтобы вы могли видеть ее.
Создание цифрового принта означает физическую распечатку
копии изображения. Многие цифровые художники (включая
меня) подписывают и нумеруют свои принты, но гарантировать,
что никогда больше не будет сделано никаких копий, очень труд¬
но, потому что копии должны быть сделаны как раз для того, что¬
бы изготовить принт. Можно также взять существующий принт,
отсканировав, снова передать его в компьютер и изготовить еще
один принт. С живописью это было бы очевидно — картина
имеет текстуру, которая отсутствует в печатной копии. Но ког¬
да даже «оригинал» — это печатная копия, отличить подделку
от настоящей работы гораздо труднее.
Эти трудности мешают некоторым людям принимать всерьез
любое цифровое искусство. Цифровое искусство, по-видимому,
не годится в качестве раритета, который стоит коллекциони¬
ровать просто из-за его денежной ценности. Но как печатный
станок изменил мир, сделав книги доступными по цене и сделав
возможной всеобщую грамотность, так и доступность цифровой
репродукции сделает информацию легко доступной для милли¬
онов людей. Искусство не избежит изменений. Коллекционеры
будут все так же коллекционировать раритеты, но и все другие
будут покупать искусство, которое им нравится. Раритет станет
старомодной причудой8.
Тенденции будущего
Я часто спрашиваю себя, как будет выглядеть фрактальное
искусство через какие-то двадцать лет. За последнее десятиле¬
тие уже заметны невероятные изменения: наши инструменты
стали гораздо более сложными, настолько, что те вещи, о кото¬
рых мы думали, но не могли сделать еще два года назад, теперь
с легкостью осуществимы. Я иногда смотрю на картины, которые
8	Музыкальная индустрия в настоящее время пытается обратиться к этой же теме, так
как люди обнаружили, что они могут делать цифровые копии произведений искусства
(музыки), которые им нравится слушать. Попытки индустрии снова создать ограничен¬
ность экземпляров постоянно проваливаются перед лицом цифровой доступности,
в результате чего возникло в значительной степени пренебрежительное отношение
к музыкальной индустрии со стороны публики.
84

я создал много лет назад, и испытываю досаду по отношению
к очевидным «модным» направлениям, в которых я тогда рабо¬
тал. Но я вижу и такие образы, которые даже сейчас кажутся
достойными.
Фрактальное искусство изменяется столь же быстро, как
и сами компьютеры. Уже видны отдельные стили: хотя некото¬
рые художники, похоже, перескакивают от одного стиля к дру¬
гому, другие решительно придерживаются некоторого особого
стиля. Я с нетерпением жду будущего, потому что этот формат —
математика и искусство, соединившиеся в одно, — только начи¬
нает свою историю.
85
О фракталах и искусстве

жанет Парк
ФРАКТАЛЬНОЕ ИСКУССТВО:
СРАВНЕНИЕ СТИЛЕЙ
Жанет Парк (Janet Parke) — известная американская художница, работающая в технике
цифрового фрактального искусства с 1999 года. Участница многих выставок и конкурсов
фрактал-арта. Персональный сайт: http://www.infinite-art.com/.
86

Введение
О рамках относительного нового цифрового искус¬
ства-— искусства, создаваемого с использованием
компьютера,— существует несколько различных
техник и жанров, в том числе фрактальное искусство.
Фракталы — это геометрические репрезентации спе¬
циальных математических формул. Формы фракталов,
их цвета и текстуры управляются этими формулами,
которые, в свою очередь, управляются художником по¬
средством изменения их параметров. Фракталы имеют
свойство бесконечно повторяющегося самоподобия,
которое можно видеть в природе: в папоротниках, де¬
ревьях, горах и линиях морских побережий.
Фракталы изучаются последние сто лет, но именно
статья в журнале «Scientific American» 1985 года об от¬
крытии Мандельброта1 представила широкой публи¬
ке фрактальную геометрию. Первые исследователи
фракталов, использовавшие написанные ими самими
программы или популярное бесплатное программное
обеспечение Fractlnt1 2, были очарованы самоподобием
и удивительной сложностью множеств Мандельброта
и Жюлиа Они обнаруживали формы, которые време¬
нами казались знакомыми, но при этом почти транс¬
цендентными, и создавали тысячи визуально привле¬
кательных образов. По мере того, как было написано
больше разнообразных вычислительных формул и ал-
1	Dewdney А. К. Computer Recreations. Scientific American, August 1985,
p.16—24.
2	Stone Soup Group. Fractlnt. URL: http://fractint.org/.
87
Фрактальное искусство: сравнение стилей

Жанет Парк
горитмов раскрашивания3, передавших больший контроль в руки
исследователей фракталов, некоторые энтузиасты начали рассма¬
тривать и классифицировать эти фрактальные образы как искус¬
ство. Недавно разработанные компьютерные программы, такие,
как Ultra Fractal4 и XenoDream5 предлагают пользователям много
действенных и разнообразных средств — например, возможность
накладывать слои и комбинировать фрактальные элементы друг
с другом, что позволило опытным художникам добиваться потряса¬
ющих художественных эффектов6.
Фракталы, как и фотографии, изображают объективные реаль¬
ности, которые уже существуют. Компьютер требуется для того,
чтобы выполнять, под управлением художника, необходимые
вычисления, которые трансформируют фрактал из его первона¬
чальной формы — математической формулы — в формы, которые
можно видеть; но это имеет мало общего с эстетикой. В своем
«Манифесте фрактального искусства»7 Керри Митчелл выдвигает
идею, что фрактальное искусство — это не что-то, что может быть
сделано компьютером самим по себе, и не что-то, что может быть
сделано хорошо любым человеком, у кого есть компьютер. На¬
против, художественная ценность фрактального искусства нераз¬
дельно связана с творческим процессом художника — вдумчивым
выбором и управлением алгоритмами раскрашивания и гради¬
ентами, которые придают фрактальной структуре форму, цвет,
яркость и текстуру, композиционным зумом и обрезкой, соеди¬
нением нескольких фрактальных слоев. Именно этот процесс
трансформирует необычную, но безжизненную фрактальную
форму в законченное произведение, в котором проявляется твор¬
ческий характер художника
Слово «уникальный» слишком избито, и каждый художник
хочет думать, что то, что он делает, уникально. Но в мире циф¬
рового искусства фракталы действительно не похожи больше
ни на что. Некоторые цифровые работы — это просто рисунки
и живопись с помощью новых инструментов. В других техниках
3	Barrallo Javier and Sanchez Santiago. Fractals and Multi-Layer Coloring Algorithms. Bridges
Conference Proceedings, 2001:89—94.
4	Slijkerman Frederik. Ultra Fractal. URL: http://www.ultrafractal.com/.
5	Thornton Garth and Sterling Virginia. XenoDream.URL: http://www.xenodream.com/.
6	Parke Janet. Layering Fractal Elements to Create Works of Art. Bridges Conference
Proceedings 2002:99—108.
7	Mitchell Kerry. Fractal Art Manifesto. 1999.
88

программное обеспечение используется, чтобы получить эффект
фотопроявки или каких-либо других манипуляций с фотография¬
ми. Художники, работающие в жанре 3 D-моделирования, исполь¬
зуют очень сложные программы, чтобы воспроизвести ландшафты
и пейзажи — как реальные, так и фантастические, — при этом ко¬
нечный результат очень похож на то, что на протяжении долгого
времени создавали художники и фотографы. Фрактальное искус¬
ство очень разное. Оно может выглядеть похожим на живопись или
фотографию, но ни одно другое средство не может воспроизвести
бесконечные детали фрактальных структур. Фрактальное искусство
обладает исключительной способностью соединять классическую
эстетику с новейшими технологиями, чтобы создавать произведе¬
ния, которые действительно уникальны.
Мой собственный опыт, связанный с фракталами, начал¬
ся в 1997 году. Сначала я создавала работы исключительно для
собственного удовольствия. Когда меня пригласили выставлять
и продавать мои работы в местных галереях (Мемфис, Теннесси)
и на арт-фестивалях, мое отношение к фрактальному искусству
с позиции любителя-энтузиаста изменилось на подход серьезно¬
го художника. В стремлении улучшить свои работы я постаралась
узнать как можно о фракталах и об искусстве в целом. Несмотря
на массу информации, доступной по каждому из этих вопросов,
я не нашла единого мнения о том, что именно делает фрактал
произведением искусства Поскольку это была неизученная тер¬
ритория в мире визуального искусства, не существовало никаких
формальных стандартов, посредством которых можно было бы
измерить художественные достоинства фрактала Теперь, когда
на этом поле появляются настоящие художники, я решила, что
будет полезно установить качественные критерии, чтобы судить
о фрактальном искусстве и оценивать его.
Первый из этих критериев — набор концептов и принци¬
пов дизайна, которые управляют другими формами визуального
искусства. Используя знания или интуицию, художники-фрак-
талисты должны демонстрировать свое понимание и внимание
к использованию цвета, формы, линии, объема, пространства, тек¬
стуры, яркости, баланса, контраста, резкости, пропорции, паттер¬
на, ритма, единства и разнообразия. Эти элементы представляют
собой визуальную грамматику, с которой имеют дело художни¬
ки, и они формируют то, как мы смотрим на искусство и говорим
о нем. Даже художники этого нового жанра должны основатель-
89
Фрактальное искусство: сравнение стилей

Жанет Парк
но овладеть этими понятиями, прежде чем пытаться изменить их
или отказаться от них.
Во-вторых, художник-фракталист должен демонстрировать
знание и способность управлять таким исключительным свойством
фракталов, как бесконечная структура, которую часто сложно об¬
резать и разместить эффективным образом; использовать большое
число итераций, чтобы замкнуть центр спирали, или малое число
итераций, чтобы достичь неожиданного эффекта; и решить пробле¬
му цвета, когда, что характерно для всех фракталов, соответствую¬
щие области повторяющейся фрактальной структуры раскрашива¬
ются одинаково.
Третье, и самое важное, зритель должен видеть руку, глаза
и сердце художника-фракталиста в его произведении. Подобно
тому, как ноты в звукоряде или набор движений танцора, фракталы
сами по себе не представляют и не значат ничего, до тех пор, пока
художник не вдохнет в них жизнь, придавая им смысл и цель. Важ¬
но, чтобы мы видели, что душа художника привнесла в работу. Что
делает работу исключительной? Что она говорит нам о художнике?
Как эта работа влияет на наше восприятие мира вокруг нас?
Чтобы продемонстрировать эти критерии, я хочу обсудить ра¬
боты четырех художников-фракталистов, чье искусство представ¬
ляет красоту фрактальной структуры в разной художественной
стилистике. Хотя есть много художников-фракталистов, работами
которых я восхищаюсь, я выбрала работы этих трех художников,
вместе со своими собственными, из-за высоких стандартов качества
и новизны, которые они установили, и потому, что каждый из нас
развил четкое и уникальное чувство стиля. Из этих четырех произ¬
ведения Керри Митчелла (Kerry Mitchell) являются самыми класси¬
ческими по структуре и способу репрезентации. Стиль поздних ра¬
бот Роберта Уильямса (Robert Williams) — мягкий и утонченный,
с четкими линиями и элегантными формами. Мои работы обра¬
щаются к чувствам зрителя через использование богатой текстуры
и оттенков, а Марк Таунсенд (Mark Townsend) отходит от тради¬
ционной фрактальной структуры, двигаясь в направлении более
чувственного стиля. Все работы, которые обсуждаются в настоящей
статье, были созданы с помощью программы Ultra Fractal, а Мит¬
челл и Таунсенд используют самостоятельно написанные формулы
и алгоритмы.
90

1. Керри Митчелл—риторика классицизма
Керри Митчелл — единственный из этих четырех художников,
который имеет разностороннюю математическую подготовку,
и его глубокое понимание фрактальной геометрии, очевидно, при¬
дает особое качество его искусству. Нет никаких сомнений, что его
вдохновение происходит из фрактальной формы как таковой — она
душа и сердце любой из его работ. В то врелгя как те, чей интерес
к фракталам преимущественно математический, часто создают ра¬
боты, которые оказываются сухими и неэмоциональными, художе¬
ственное чутье Митчелла улавливает присущее фрактальной струк¬
туре изящество и доводит его до неземных высот. В его обработке
и раскрашивании фрактальные формы обретают почти сакраль¬
ный оттенок. В его работах царит красота линии и формы, не иска¬
женная и не замутненная излишней текстурой. «Эта работа стоит
на своих собственных основаниях — я не могу улучшить фракталь¬
ную структуру, заложенную в формуле; поэтому мой выбор — пред¬
ставить ее, во всём ее великолепии, без ненужных украшений»8.
Некоторая ирония заключается в том, что Митчелл использует
хаос фрактальной геометрии не для того, чтобы изобразить без¬
умный темп и беспорядочную природу нашего XXI века, но чтобы
предложить идею жизни, какой она могла быть, — конечно, слож¬
ной, но с порядком, образцом и красотой. Его работы — это кар¬
тины для созерцания: самоподобная структура, которая бесконеч¬
но повторяется в них, подобна мантре, внушающей спокойствие
и благоговение.
Работа «The In Crowd»9 (рис. 1)— пример способности Мит¬
челла подчеркнуть совершенную красоту фрактальной структуры.
Словно чистые ясные звуки флейты или грациозные движения ба¬
лерины, это классическое множество Жюлиа представлено строгой
элегантностью черных линий, которые разворачиваются на белом
фоне. Видимая простота этой работы обманчива, поскольку лишь
благодаря мастерской манипуляции с параметрами кривых, обра¬
зующих розетки, Митчелл добивается, чтобы тонкие линии превра¬
тились в каллиграфические дуги.
Когда Митчелл использует текстуру в своей работе, это происхо¬
дит скорее для цветового выделения структуры, чем для эффектности.
8	Mitchell Kerry. Из личной беседы. 2001.
9	В толпе (англ.) (прим, переводчика).
91
Фрактальное искусство: сравнение стилей

Рис. I. «In the Crowd» (2001).	Puc. 2. «Fossils 2» (2000).
Kerry Mitchell (см. цветную вкладку)	Kerry Mitchel (см.цветную вкладку)
x
a.
a
c
H
Ф
T
О
*
В картине «Fossils 2»10 11 (рис. 2) он использует технику, в которой значе¬
ния параметров и градиенты в каждом из множественных слоев мето¬
дично и точно варьируются. Примененная к ньютоновской структуре,
эта техника производит не только эффект трехмерности, рельефности,
но добавляет очень тонкую текстурность в фоновых областях. Богато
раскрашенные градиенты, используемые Митчеллом, придают фрак¬
талу такой вид, как будто он отлит или отчеканен из золота
В работе «А View of Норе»11 (рис. 3) структура и потрясающее
использование цвета вместе создают захватывающий образ. Тща¬
тельно разработанная Митчеллом цветовая палитра смещается
от ослепительно белого через холодный голубой к глубокому чер¬
ному. Каждая белая область в этом фрактале имеет четкий черный
контур, что одновременно выделяет спиральную структуру и при¬
дает иллюзию глубины. Оттенки голубого плавно переходят и в бе¬
лое, и в черное. Структурно лучи расходятся из центра спирали,
как улицы и шоссе, которые соединяют горожан с теми, кто жи¬
вет на окраинах и в пригородах. Созданная как отклик на трагедию
11 сентября 2001 года, эта работа является ярким напоминанием
о том, что мы все соединены друг с другом географией и нашими
общими надеждами на мирное будущее.
10	Окаменелости (англ.) (прим, переводчика).
11	Образ надежды (англ.) (прим, переводчика).
92

Рис. 3. «А View of Норе» (2001).	Рис. 4. «Luminosity II» (1999).
Kerry Mitchell (см. цветную вкладку)	Robert Williams (см. цветную
вкладку)
2. Роберт Уильямс—утонченная элегантность
Отличительным стилем Роберта Уильямса было использова¬
ние точности и простоты для создания атмосферы необыкновен¬
ной утонченности. В своей любви к чистой фрактальной струк¬
туре он схож с Митчеллом, но их подход к цвету и изображению
был несколько различным. В творчестве Уильямса формы глад¬
кие и обтекаемые с четко обозначенными границами. Он эко¬
номно использовал цвет внутри четко выраженных границ своих
форм. Как и Митчелл, Уильямс никогда не использовал текстуру
избыточно.
Хотя Уильямс, несомненно, был художником, он обладал чет¬
ким пониманием метода. «Я считаю себя больше ремесленником,
чем художником. В действительности, фрактальное искусство дает
возможность в определенной степени обойти мои недостатки, по¬
тому что я могу работать с объектами, “данными самой природой”,
изменяя их форму и цвет и свободно обращаясь с ними, чтобы до¬
стичь гармоничных сочетаний. Это все, разумеется, требует хоро¬
шего чувства цвета, баланса, композиции и т. д., но у меня всегда есть
отправная точка»12.
12	Williams Robert. Из личной беседы. 2001.
93
рактальное искусство: сравнение стилен

Жанет Парк
Рис. 5. «Ship of Dreams» (1999).	Рис. 6. «La Femme» (2000).
Robert Williams (см. цветную вкладку)	Robert Williams (см. цветную
вкладку)
«Luminosity II»13 (рис. 4) представляет собой хороший пример
того, как Уильямс применял плоское раскрашивание с четкими
контурами — в сравнении со свето-рельефным раскрашивани¬
ем, которое часто использует Митчелл. Внутри этих очерченных
форм цвет едва ощутимо переходит от оттенка к оттенку, и хотя
формы пересекаются и цвета взаимодействуют, цветовая пали¬
тра остается простой и регулируемой. В кажущейся загружен¬
ности образа нет ничего чужеродного и вычурного. Безупречная
красота гладкого раскрашивания и обтекаемых линий создает
определенную дистанцию по отношению к картине — пригла¬
шая зрителя смотреть, но не прикасаться. Утонченность контра¬
пунктных форм в его творчестве представлена столь же отчетли¬
во, как в фуге Баха.
Именно правильное место неподвижного локуса в движении,
безмолвия в музыке и пустого пространства в визуальном искус¬
стве часто «делает» произведение, и Уильямс так хорошо проде-
13 Яркость света (англ.) (прим, переводчика).
94

монстрировал это в своей работе «Ship of Dreams»14 (рис. 5). Эта
картина потрясающая благодаря тому, чего там нет. Фрактальное
самоподобие отлично видно в желтых, фиолетовых и бронзовых
фигурах, но только две самые большие изогнутые формы, которые
уходят вверх, необходимы, чтобы предположить в этой фантазии
корабль. Судно плывет по океану, которого мы не можем видеть;
матовые паруса устремляются к небесам, приближаясь, но никог¬
да не касаясь неба, которое мы можем представить только в своем
воображении.
«La Femme»15 (рис. 6) — традиционный мандельбротовский
образ с совершенно нетрадиционными цветовыми эффектами. За¬
ключенная в корсет форма, утонченно женственная и соблазнитель¬
ная. Использование Уильямсом муароподобной текстуры и корич¬
нево-золотых оттенков придает платью вид старинной, выцветшей
тафты. Асимметричный спиральный силуэт, напоминающий вечер¬
нее платье эпохи 1940-х годов, очаровательно подчеркивает одну
грудь. Композиция изображения интригующа также потому, что
так много оставлено нашему воображению. Мы не знаем, как вы¬
глядит женщина в целом, видя только чувственные линии ее туло¬
вища, каждому из нас предлагается создать ее лицо, цвет ее волос, ее
возраст и рост в соответствии с нашими предпочтениями.
3.	Жанет Парк—создание атмосферы
с помощью текстуры
Отличительная особенность моего стиля превращения фрак¬
тальных элементов в произведения искусства — моя любовь к тек¬
стуре и едва заметным вариациям в цвете. Сначала я добавляла тек-
стуру в свои работы, чтобы замаскировать стандартную блестящую
гладкость первых алгоритмов раскрашивания, которые, казалось,
придавали всем изображениям одинаковый вид. Теперь я исполь¬
зую текстуру, чтобы добавить образу глубины и привлекательности
и чтобы создать чувственную атмосферу в каждой работе. Фрак¬
тальная структура еще остается видимой в большинстве моих ра¬
бот, но нередко она частично завуалирована текстурой или искаже¬
на по сравнению со своей первоначальной формой.
14	Корабль грёз (англ.) (прим, переводчика).
15	Женщина (фр.) (прим, переводчика).
95
Фрактальное искусство: сравнение стилей

Жанет Парк
Рис. 8. «Іѵдеппу» (2001). Janet Parke
В дополнении к эффектам, которые касаются всей работы
целиком, я применяю неровную и неоднородную окраску, тек¬
стуру и светотень, чтобы придать своим работам вид почти что
масляной живописи. Области похожего цвета или текстуры ча¬
сто испещряются пятнами темных оттенков или рассеянного
света, чтобы заставить каждую проявиться отчетливо. Мои ра¬
боты всецело апеллируют к ощущениям путем создания выра¬
зительных текстур и атмосферы иного мира, в который зритель
захотел бы перенестись и исследовать. Вместо того, чтобы заклю¬
чать свои предметы в границы образа, я часто позволяю формам
расширяться и вытекать за «полотно», вдохновляя зрителя пред¬
ставить невидимое.
В то время как текстура в работах Митчелла почти всегда яв¬
ляется результатом небольших вариаций в значении параметров
от слоя к слою, я часто использую текстуры, которые имеют совер¬
шенно другое происхождение: различные формулы вычислений или
алгоритмы раскраски, или значительные изменения в расположе¬
нии фрактальной структуры. В работе «Endicott» (рис. 7) классиче¬
ские спирали Мандельброта разграничены бронзовыми, похожими
на лезвие фигурами, которые изгибаются дугой вокруг оси каждой
спирали. Кажется, что передний план парит над серо-зеленым фо¬
ном с совершенно другой структурой, созданной несколькими слоя-
96

Рис. 9. «Libellen» (2000). Janet Parke
(см. цветную вкладку)
ми неоднородной формы, цвета и тексту¬
ры. Легкие вариации в светотени по всему
изображению приводят к тому, что соот¬
ветствующие элементы каждой спирали
кажутся слегка отличающимися, а яркие
мини-множества Мандельброта, разбро¬
санные по всей картине, обеспечивают
контраст.
В других работах я добиваюсь того,
чтобы фракталы казались более хаотич¬
ными благодаря применению текстуры.
В работе «Ivgenny» (рис 8) нет разделе¬
ния между формой переднего плана и фо¬
новой текстурой, как в «Endicott». Основ¬
ная структура спирали — сжатая форма
галстука-бабочки, которая благодаря гра¬
диенту кажется рельефной и трехмер¬
ной. Несколько текстур наложены друг
на друга неоднородными лоскутами: одна
текстура добавляет кружевное пересечение линий рядом с центром
каждой спирали, а другая рассыпает по всей картине темные ворси¬
стые формы различных размеров и ориентации. Благодаря такому
использованию текстуры и легкому затемнению мы видим, что со¬
ответствующие области белого, коричневого и серого цвета не все
имеют одну и ту же яркость.
В «Libellen»16 (рис. 9) фрактальная структура менее замет¬
на, чем в других работах. Фигура стрекозы повторяет свою форму
и паттерн в разных размерах в верхней половине картины, как
и клочковатые фигуры в нижней половине, но эти два набора форм
не совпадают. Несколько расплывчатых фигур парят на заднем пла¬
не, создавая скорее атмосферу, чем текстуру, и вся картина испещ¬
рена неясными красновато-оранжевыми бликами и сине-зелено-
серыми тенями, которые вызывают ощущение жаркой атмосферы
сумерек. Когда фрактальные элементы используются для изобра¬
жения реальных объектов, конечный результат часто выглядит как
16 Стрекозы (фр.) (прим, переводчика).
97
Фрактальное искусство: сравнение стилей

Жанет Парк
тщательно скомпонованная сцена В «Libellen», однако, во всей кар¬
тине присутствует чувство движения, в котором запечатлен усколь¬
зающий момент времени.
4.	Марк Таунсенд—расширение границ
Стиль Марка Таунсенда находится на противоположном конце
спектра фрактального искусства по отношению к Керри Митчеллу. Он
активно работал с классическими фрактальными структурами и алго¬
ритмами раскрашивания, и вскоре интерес к написанию формул и ху¬
дожественный вкус привели его к исследованию менее жестких и фор¬
мальных структур. Некоторые из его ранних работ содержат спирали,
но они почти всегда представлены нетрадиционным образом
В искусстве Таунсенда есть что-то совсем необработанное
и неупорядоченное. Хотя он, безусловно, имеет большие знания
о своих инструментах и навык их использования, он постоянно
расширяет их возможности, чтобы уйти в своем искусстве от тра¬
диционной фрактальной структуры. Цветовая гамма, в которой он
работает, землистая и растертая. Его формы скорее тяжеловесные,
чем воздушные, а его текстуры часто похожи на песчаные. Благо¬
даря тому, что необычный стиль Таунсенда вызывает такое вос¬
хищение, его технике часто подражают другие художники, хотя
редко кто может сравниться с ним.
Одна из работ, в которой воплощены его ранние поиски ухо¬
да от традиционной фрактальной структуры и раскраски,— это
«Calvary»17 (рис. 10). Раскрашенная в серо-коричневые, ненасы¬
щенные цвета, эта работа передает атмосферу истории. И хотя не
предполагается, что она служит иллюстрацией распятия Христа, эта
картина мастерски изображает второе значение заголовка из сло¬
варя «The American Heritage Dictionary»— «тяжелое испытание».
Здесь еще видны спирали, реликты классического множества Жю-
лиа, но они закручены в узловатые складки, которые плавно смеши¬
ваются с подобным же сучковатым узором заднего плана Картина
одновременно тревожащая, как кровавый разгром на поле битвы,
и захватывающая в ощущении тайны.
Вскоре после создания «Calvary» стиль Таунсенда сместил¬
ся в сторону фантазийных мотивов. С помощью написанных им
17 Голгофа (англ.) (прим, переводчика).
98

Рис. 10. «Calvary» (1999).
Mark Townsend
(см. цветную вкладку)
самим формул, которые маскируют некоторые области фракта¬
ла, он стал первооткрывателем стиля, который характеризуется
вырезанными формами, помещенными на задний план — как
двухмерные декорации в фильме. Используя эту маскирующую
технику, он добавлял особую текстуру и цвет в определенные
участки, и сучковатые формы, с которыми он начал работать, ка¬
залось, начинали жить собственной жизнью — сверхъестествен¬
ные формы на фоне яркоокрашенных небес. «The Song ofTime»18
(рис. 11) — моя любимая картина того периода Ее холодная па¬
литра с золотыми и рыжими акцентами превосходно оттеняется
насыщенным бирюзовым небом; а знакомые сучковатые формы
вытягиваются в фантастические существа, похожие на Горгону,
со свирепо сверкающими глазами, расширенными ноздрями
и растрепанными волосами.
В январе 2001 года Таунсенд бросил мир фигуративных форм
и начал исследовать новые пути. «Я полагаю, я повидал столько
18 Песня времени (англ.) (прим, переводчика).
О
ей
н
и
и
и
S
а>
о
X
л
§
Ё
о
о.
Ѳ
99
>: сравнение стилей

Жанет Парк
Рис. 11. «The Song
of Time» (1999).
Mark Townsend
(см. цветную вкладку)
спиралей, что их хватит на всю жизнь», — заявил он, и, действи¬
тельно, с тех пор в его фракталах почти не найти спиралей. Таун¬
сенд начал создавать абстрактные работы без какой-либо единой
центральной темы, его картины предполагали простое восприятие
наподобие минималистической музыки, которая создает атмосфе¬
ру звука или свободного стиха, в котором отсутствует рифма и пред¬
сказуемый ритм. «Carnal Knowledge»19 (рис. 12), с ее проходящими
по всей текстуре мягкими, сладострастными изгибами и чувствен¬
ными тенями кремово-телесных оттенков,— потрясающая работа
этого периода.
Рассматривание картины Таунсенда весьма похоже на путеше¬
ствие. Куда он двинется дальше? Даже он сам не знает наверняка
«Я знаю, не каждому понравится все, что я делаю...
и я готов поспорить, что некоторые люди хотели бы,
чтобы я вернулся к „сучковатым” ландшафтам или
образам в технике „дозатор для попкорна”. В некото¬
ром смысле я рассматриваю все, что я сделал до сих
пор, как “штудии” для того, что должно появиться
6 будущем»20.
19	Познание плоти (англ.) (прим, переводчика).
20	Townsend Mark. Из личной беседы. 2001.
100

Рис. 12. «Carnal
Knowledge» (2001).
Mark Townsend
(см. цветную вкладку)
Заключение
Фрактальное искусство эволюционировало в таких направле¬
ниях и до такой степени, которые было невозможно представить
еще несколько лет назад. От классического подхода Керри Митчел¬
ла до широких границ Таунсенда Мы, четыре художника, создаем
работы, которые пробуждают чувства и эмоции, говорят о чело¬
веческих состояниях и выражают индивидуальные точки зрения
на красоту и жизнь. Я полагаю, что фрактальное искусство, без
всяких сомнений, заслуживает признания и уважения и что твор¬
ческий потенциал этого захватывающего нового жанра будет дви¬
жущей силой визуального искусства в XXI столетии.
о
ей
I-
и
и
и
S
Ф
0
1
Л
г
о
н
*
О
о.
Ѳ
101
>: сравнение стилей

Иэн Стюарт
ПРИРОДА ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Иэн Стюарт — почетный профессор математики в Уорикском университете. В 1995 году
ему была присуждена премия Майкла Фарадея за популяризацию науки. В 2001 году
он был назначен членом Лондонского Королевского Общества, а в 2002 получил на¬
грады от Американской ассоциации содействия развитию науки за популяризацию на¬
уки и развитие технологий. Он является автором более 60 книг, включая Играет ли бог
в кости? Математика хаоса; Плоды реальности; Магический лабиринт; Еще один секрет
жизни; Какой формы снежинка?; Развитие неизвестного; бестселлеры Наука Плоского
Мира I и II (в соавторстве с Терри Пратчеттом и Джеком Коэном) и американский бест¬
селлер Флаттерландия. Он также написал научно-фантастическую книгу Колесники
в соавторстве с Джеком Коэном.
102

Ѳракталы — это больше, чем просто завораживаю¬
щие визуальные эффекты. По словам математика
Иэна Стюарта, они открывают нам новые пути
моделирования природы и позволяют точнее опреде¬
лить значение таких терминов как «беспорядочный»,
«примерный» и «запутанный». Эта глава поможет не¬
искушенному читателю глубже понять геометрию
фракталов в контексте математических традиций
и коммерческого применения. Стюарт рассматривает
и богатую предысторию фракталов, и то, как Мандель¬
брот систематизировал предмет, объединив теорию
и практическое применение. Стюарт предположил,
что самым большим вкладом Мандельброта во фрак¬
тальную геометрию стало простое осознание того,
что такой предмет действительно существует.
ВСЕЛЕННАЯ НАПОЛНЕНА ФРАКТАЛАМИ.
ВОЗМОЖНО, ОНА САМА И ЕСТЬ ФРАКТАЛ
Еще тридцать лет назад никто и не слышал
о фракталах. Сам концепт существовал, но назва¬
ния у него не было вплоть до 1975 года Сегодня же
вряд ли можно найти человека, ничего о фракталах
не слышащего, а у многих наверняка имеется круж¬
ка, футболка или плакат с изображением одного
из самых удивительных и сложных компьютерных
изображений, которых только можно представить.
Но важность фракталов лежит далеко за пределами
их визуальной привлекательности. По-настоящему
полезными для сегодняшней науки их делает то,
103
Природа фрактальной геометрии

О.
О
2
и
X
m
что они открыли абсолютно новые пути в моделировании при¬
роды. Они дали ученым мощнейший инструмент для понимания
процессов и структур, до недавнего времени характеризующихся
просто как беспорядочные, прерывистые, примерные и сложные.
Что такое фрактал? Для начала дадим приблизительное определе¬
ние: это геометрическая форма, сохраняющая детальность структу¬
ры в любом масштабе. Подумайте о скалистых склонах, раскидистой
древесной кроне, пушистой линии облаков. Но это физические объ¬
екты, а «фрактал» — это математический концепт, к реальному миру
относящийся в той же степени как «шар» относится к форме Земли,
а «спираль» к раковине улитки. Математический фрактал идеализи¬
рует сложность камней и облаков: его структура остается детализи¬
рованной в любом масштабе. Сколько бы мы его ни увеличивали, он
не упрощается в простую форму, как линия или плоскость.
Математические объекты — это идеализированные модели опре¬
деленных свойств реального мира; они не являются реальными объ¬
ектами, они не полностью соответствуют реальным объектам Зем¬
ля — это не идеальный шар, и даже, если учитывать чуть выпуклый
экватор, не идеальный эллипс, хотя многие учебники по астрономии
и естествознанию описывают ее именно так. У Земли есть горные
массивы, придающие ее поверхности неровность, невозможную
в бесконечной гладкости математического идеала Однако такая
точность не мешает ученым описывать Землю как шар. На самом
деле именно в том, что сфера не отображает всю сложность плане¬
ты, и состоит ее преимущество как модели. Отображай такая модель
все существующие неровности, пользы от нее бы было не больше,
чем от полномасштабной карты Нью-Йорка с каждым светофором,
дверным порогом и кошкой, отображенными в малейших деталях.
Карта должна быть проще самой территории.
Модели созданы для использования в конкретных целях. Если
цель состоит в понимании горообразования, то в таком случае пред¬
ставлять Землю как шар — бесполезно. Но если ставить целью анализ
поведения Солнечной системы, то модель шара прекрасно для этого
подходит. «Точечная масса» — понятие еще более далекое от физиче¬
ской реальности, предполагающее, что диаметр Земли равен нулю —
подходит еще больше. В некотором смысле математический фрактал
сохраняет детальную структуру в масштабе настолько маленьком,
что он способен разбить атомы — на самом деле в масштабе мень¬
ше даже планковской длины, где вселенная теряет свою гладкость,
а «расстояние» перестает иметь значение. Такое несоответствие ре¬
104

альному миру вовсе не делает фракталы бесполезными. Для модели
важно не то, насколько точно она копирует реальность, а то, насколь¬
ко она помогает реальность понять, как делают это карта и модель
Земли в форме шара
Фракталы помогают дать точное определение для таких тер¬
минов, как «беспорядочный», «прерывистый», «приблизительный»
и «сложный». Приблизительно сколько? Примерно 1,59 или 2,71?
Фрактальная геометрия дает определение таким значениям, дает
возможность протестировать их в экспериментах. Математика при¬
сваивает число, называемое фрактальной размерностью, каждому
фракталу. Размерность, помимо прочего, отражает свойства масшта¬
бирования фрактала — насколько его структура меняется при увели¬
чении. В отличие от традиционных гладких изгибов и поверхностей
в математической физике и прикладной математике, размерность
фракталов выражается не только целыми числами. Она может быть,
например, 1,59 или 2,71.
На самом деле разница между фрактальной размерностью
геометрической формы и ее размеров в обыкновенном, «тополо¬
гическом» и математическом смысле показывает, насколько при¬
мерен фрактал на самом деле.
Научную известность фрактал приобрел в 1975 году, благодаря
Бенуа Мандельброту и его книге «Фракталы: Форма, Случайность
и Размерность», выпущенной в 1977 году. Переиздание появилось
1982-м под заголовком «Фрактальная геометрия природы». Сам тер¬
мин «фрактал» был придуман Мандельбротом, но концепции это¬
го понятия — и особенно фрактальная размерность — имеют дол¬
гую предысторию. Конечно, Мандельброт многое привнес в науку
о фракталах, но наиважнейшим его вкладом стало признание того,
что фракталы, как предмет изучения, существуют. Математики из¬
учали нецелые измерения задолго до Мандельброта, ученые наблю¬
дали за законами масштабирования и самоподобия в природных
феноменах, но системы, объединяющей теорию и ее практическое
применение, не хватало.
Теперь, тридцать лет спустя, теория, возникшая благодаря про¬
ницательности Мандельброта, процветает. Одного только взгляда
на такие ведущие научные журналы, как «Природа и наука» хва¬
тит, чтобы понять: фракталы стали стандартной техникой научного
моделирования в самых разных областях. Простое существование
фрактальной структуры немедленно провоцирует целый ряд физиче¬
ских и математических вопросов, отводя наше внимание от обычных
105
Природа фрактальной геометрии

Иэн Стюарт
навязчивых идей о гладких поверхностях и изгибах. Что случится
с волнами света, проходящими через проводник, чей коэффициент
преломления распределен фрактально? Отразятся ли они во фрак¬
тальном зеркале? Какой звук будет у барабана в форме фрактала?
Традиционным методам сложно ответить на такие вопросы.
ВАЖНОСТЬ ФРАКТАЛОВ
Важны ли фракталы? Несомненно. Атмосферная турбулентность
мешает телескопам делать точные снимки звезд с поверхности земли;
турбулентность с легкостью моделируется фрактальным распределе¬
нием коэффициента преломления. Свет, отраженный от поверхно¬
сти океана с бессчетным множеством волн напоминает о «вибриру¬
ющем типе» фрактала, том самом, от которого зависит звук барабана
Мир природы является неиссякаемым источником важных вопро¬
сов к фрактальной физике. Некоторые технические и коммерческие
достижения логически вытекают из этих вопросов — например,
компактная телефонная антенна, новые способы анализа фондоюго
рынка и эффективные методы сжатия информации о компьютер¬
ных изображениях, позволяющие уместить больше файлов на CD.
Как только мы понимаем, что фракталы обладают особым харак¬
тером и структурой, а не просто случайны беспорядочны, становится
понятно, что вселенная полна фракталов. На самом деле, вероятно
и сама она является фракталом Фракталы учат нас никогда не путать
сложность с беспорядочностью и открывают нам глаза на новые воз¬
можности. Фракталы представляют абсолютно новый принцип мате¬
матического моделирования, который наука только начала познавать.
ГАЛЕРЕЯ МОНСТРОВ
Предыстория фракталов
Предыстория фракталов уходит корнями в далекое прошлое,
когда математики начали задумываться о новых видах кривых и по¬
верхностей, кардинально отличающихся от форм, изучаемых клас¬
сической геометрией. Классические формы — это линии и плоско¬
сти, конусы и сферы, кривые и поверхности — и, за исключением
какого-нибудь случайного края или угла, эти кривые и поверхности
106

являются гладкими. Гладкость подразумевает отсутствие интерес¬
ной маломасштабной структуры: стоит только значительно их уве¬
личить, как они становятся плоскими и невыразительными. Такое
отсутствие структуры в маленьком масштабе необходимо для клас¬
сического анализа — проверенного временем способа исчисления,
берущего свое начало от Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница
Методология этого анализа, уже более двух веков являющаяся ос¬
новным методом в физике, — это оценка кривой по ее касательной
линии и поверхности по ее касательной плоскости. Такой подход
просто не будет работать с неровной кривой или поверхностью.
Тем не менее, мы вполне можем представить неровную кри¬
вую. Изначально их видели в качестве «патологических» объектов,
годных только на то, чтобы показывать ограниченные возможности
анализа Они были контрпримерами, призванными напоминать
нам, что способности математики к созданию неприятностей —
безграничны. Простой математический принцип, закон Мерфи:
«Если есть вероятность того, что что-то пойдет не так, то оно обяза¬
тельно пойдет». А мудрые математики и ученые всегда хотят знать,
что может пойти не так. Очень часто это является отправной точ¬
кой для поиска путей туда, где все пойдет правильно.
Например, в восемнадцатом и девятнадцатом веках бытовало
мнение, что любая сплошная кривая должна иметь легко опреде¬
ляемую касательную прямую (то есть, любое постоянно изменяе¬
мое количество должно иметь мгновенную скорость изменения)
в «почти» любой точке. Единственным исключением были углы,
где кривая резко меняет направление. Однако в своей лекции
в Берлинской академии 1872 года Карл Вейерштрасс опроверг эту
идею и доказал, что она более чем ошибочна. Он описал подвид
кривых, сплошных, но не имеющих точек, где касательная легко
определяется. Основная идея заключалась в том, чтобы создать
бесконечное множество уменьшающихся неровностей. Получив¬
шаяся кривая непрерывна — не имеет пробелов — но извивается
так резко и быстро, что разумного способа построить касательную
где бы то ни было просто не существует.
В 1890 году Джузеппе Пеано создал кривую, проходящую че¬
рез каждую точку поверхности единичного квадрата Такая кривая
демонстрировала полную несостоятельность идеи «размерности»
как постоянно варьирующегося числа параметров, необходимых
для определения точки. Кривая Пеано занимает двухмерный ква¬
драт, стандартно определяющийся двумя координатами (север — юг
107
Природа фрактальной геометрии

Рис. 1. Простой обозреватель
увидит здесь просто
снежинку, но с точки зрения
математики это типичная
форма фрактала, построенная
из равностороннего треугольника.
Каждая сторона треугольника
делится на три равные части,
срединные отрезки удаляется
и на их место подставляют
меньшие треугольники, и весь
процесс повторяется заново,
до бесконечности.
о.
о
Я
и
X
m
и запад — восток), и меняет его параметры на одну единственную
переменную: как далеко нужно пройти по кривой Пеано, чтобы до¬
стичь нужной точки.
В 1906 году Хельге фон Кох описал пример бесконечной кри¬
вой в замкнутом пространстве: снежинки (рис. 1). (вставить от¬
сканированный рисунок или найти в сети)
Строится она из равностороннего треугольника, на каждой
стороне которого возводится меньший треугольник размером
в одну третью изначального. Процесс повторяется до бесконечно¬
сти. Подобно кривой Вейерштрасса, снежинка является сплошной,
но не имеет касательной линии. Подобный же повторяющийся
процесс возникает в одном из самых простых и при этом основопо¬
лагающих патологических примеров: Канторовом множестве, на¬
званном в честь Георга Кантора, использовавшего его в 1883 (хотя
еще в 1875 году оно было известно Генри Смиту). Создается оно пу¬
тем повторяющихся удалений среднего интервала отрезка (рис. 2).
Даже лучшим из лучших математического сообщества оказалось
трудно принять такие тревожные открытия. Анри Пуанкаре оха¬
рактеризовал их как «галерею монстров», а Шарль Эрмит отвергал,
как «достойное сожаления болото непрерывных функций без про¬
изводных». Относительно недавно Жан Дьёдонне писал: «Некото¬
рые математические объекты — такие, например, как кривая Пеа¬
но — совершенно противоречат здравому смыслу и просто нелепы».
Однако, Дьёдонне не отрицал определенный интерес подобных
функций, утверждал только, что они крайне сложны для понимания.
108

Рис. 2. Канторово множество, появившееся в 1883 году. Представляет со¬
бой повторяющееся единичные отрезки, из которых удаляется средняя
треть интервала.
Справедливо будет добавить, что бездумное и бесцельное
увеличение подобных конструкций может быстро превратить¬
ся в абсолютно бесполезный процесс. Пуанкаре и Эрмит отча¬
сти были правы в своих опасениях. Но по прошествии времени
большинство математиков признало их играющими полноправ¬
ную и важную роль в математической науке — благодаря им
мы узнали, что применение классического анализа ограничено.
К тому же это открытие повлекло за собой развитие неклассиче¬
ского анализа, что оказалось важным само по себе. На самом деле
к 1900 году великий немецкий математик Давид Гильберт мог бы
всю площадь фигуры охарактеризовать как «рай», и это не при¬
вело бы к беспорядкам. Более того, большинство математиков
были абсолютно готовы к работе вне рамок классического анали¬
за. «Патологии» они воспринимали как «искусственные» объекты,
бесполезные для изучения природы. У природы, однако, есть свое
мнение на этот счет.
КАКОВА ДЛННА БЕРЕГОВОЙ ЛНННН БРНТАНННР
Фрактальная геометрия береговых линий
Одним из примеров, формирующих представление о фракта¬
лах, могут служить береговые линии. В частности, какова их дли¬
на? Береговые линии обычно крайне неравномерны, поэтому
109
Природа фрактальной геометрии

Иэн Стюарт
ответ на этот вопрос зависит от способа измерения. Самый про¬
стой способ — это взять фиксированную длину X и двигаться вдоль
берега шагами шириною X. Сумма таких шагов в результате даст
общую длину L (х).
Если береговая линия гладкая, в точном математическом смыс¬
ле, то при достаточно маленькой х она приближается к прямой.
Для прямой линии значение L (х) приближается к определенному
лимиту L по мере того, как х стремится к нулю. Этот лимит — дли¬
на прямой линии в обычном ее понимании. Следовательно, если бе¬
реговая линия — это плавная кривая, то L (х) также приближается
к определенному лимиту L по мере того, как; х стремится к нулю,
и лимитом является длина кривой в обычном понимании. Другими
словами, если х достаточно маленькое, то L (х) приближено к общей
длине береговой линии достаточно близкой к тсштабу выбранной
модели.
Настоящие береговые линии, однако, ведут себя совсем
по-другому. Процедура измерения шагами приводит к тому, что оста¬
ются пропущенными бухты диаметром меньше х. Конечно, путем
уменьшения размера х можно добиться большей точности и «заме¬
тить» большее количество бухт и заливов, но некоторые неровности
все же останутся. По крайней, мере пока мы не приблизимся к про¬
порциям молекул, но на этой стадии весь процесс окажется бессмыс¬
ленным Береговые линии — это фракталы, а значит значение L (х)
может возрастать до бесконечности.
В отсутствии определенного конечного значения будет полезно
изучить, как количество может стремиться к бесконечности. Про¬
исходит ли это быстро и резко или медленно и постепенно? Дру¬
гими словами, как выглядит такое «асимптотическое» поведение,
когда кривая стремится стать прямой, но не достигает этого состо¬
яния. Льюис Фрай Ричардсон однажды провел эмпирическое иссле¬
дование асимптотической проблемы для реально существующих
береговых линий, и открыл эмпирический закон: L (х) - kxl — D
для определенных постоянных к и D. Значение D одинаково прак¬
тически для всех береговых линий на планете Земля, предположи¬
тельно, по геологическим причинам В частности, для береговой ли¬
нии Британии D - 1,25.
Чтобы интуитивно представить себе, что означает подобный
результат, сравните Британию с кривой-снежинкой. Конечно,
конструкция снежинки слишком однообразна, чтобы сравни¬
вать ее с реальной береговой линией, но ее основная функция —
ПО

структура в разных масштабах — вполне подходит для сравне¬
ния.
Для простоты измерим длину используя значения:
х — 1,1/3,1/9,1/27 и так далее.
Затем L (1) = 1, L (1/3) = 4/3, L (1/9) = (4/3) 2, L (1/27) =
(4/3) 3 и так далее.
В общем L ( (1/3) п) = (4/3) п. Предположим, х = (1/3) п,
и заметим,
что 4/3 = (1 /3) 1 — D где D = log4 / log3.
Затем L (х) = х 1—DhD = 1,2618.
Это очень близко к эмпирическому значению
D = 1,25 для береговой линии Британии.
Я вовсе не утверждаю, что это делает Британию снежинкой.
Геометрия такой кривой слишком правильна. Тем не менее мы
можем интерпретировать эти подсчеты. Предположим, что стати¬
стическое распределение заливов и мысов береговой линии схо¬
же с кривой-снежинкой. Значит, значение L (х) должно следовать
тому же асимптотическому закону, как и снежинка, а значит при¬
водить к такому же D. Если статистическое распределение похоже
на такое же распределение в снежинке, но немного отличается,
то и постоянная D изменится лишь немного. Мы можем сделать
вывод, что береговая линия Британии имеет почти такую же ше¬
роховатость, как снежника — разве что немного ровнее.
Комбинаторная однообразность снежинки по сути является
законом масштабирования. Если маленький участок кривой уве¬
личить, по виду он не будет отличаться от участка изначального
размера Постоянная D в количественной манере описывает необ¬
ходимый масштаб. Если взять четыре копии участка кривой и пра¬
вильно их расположить, то у нас получится абсолютно такой же
участок, но увеличенный в три раза Значение D = log4 / log3 по¬
строено исходя из двух этих значений. Это свойство называется
самоподобием. Схожим принципом наделены и береговые линии,
но в этом случае он затрагивает статистику, а не саму кривую.
То есть мы не ожидаем, что увеличенная версия участка береговой
линии будет совпадать с оригинальным размером Но она должна
совпадать с правдоподобной картиной береговой линии в изна¬
чальном масштабе. Другими словами, если у вас есть карта бере¬
говой линии без каких-либо отметок и обозначений масштаба, вы
не сможете определить масштаб изображения, просто взглянув
на карту.
111
Природа фрактальной геометрии

Иэн Стюарт
Бесчисленное множество природных явлений обладают струк¬
турой в различных масштабах. Например, кора дерева, рябь
на воде, воронки в бурлящей воде, пейзажи, внутренняя сторона
легкого, отверстия в губке, поверхность мыльной пены. Таким об¬
разом, существуют математические модели, в которых «патологи¬
ческие» кривые и поверхности, столь презираемые классическими
математиками, находят свое применение в реальном мире. По¬
скольку законы масштабирования являются фундаментальными
для всего предприятия, основной акцент нужно поставить на том,
что они должны нам рассказать. И то, что они нам рассказывают,
в первую очередь переворачивает все наше представление о раз¬
мерности.
ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Как оказалось, значение D, представленное выше, может вы¬
ражать размерность. Это может показаться странным, учитывая,
что обычное значение размерности всегда представляется целым
числом, однако таких примеров в математике множество. Кон¬
цепт числа, например, появился благодаря счету — одна овца, две
овцы, три овцы. В таком контексте половина овцы не имеет ни¬
какого смысла Но в мясном магазине, или, возьмем что-то менее
мрачное, в кабинете ростовщика, когда два человека совместно
владеют овцой и каждому принадлежит одна доля имущества —
дробные значения чисел становятся естественными. Но мы при¬
выкли, что для возведения числа в степень п мы должны перемно¬
жить п копий этого числа, таким образом, 3 в пятой степени будет
35 = 3x3x3x3x3 = 243. Но что в таком случае Уг степень? Что мы
получим, перемножая половину копии числа? Кажется, что это
не имеет смысла, но на деле Уг степень имеет огромное значение:
это квадратный корень. Умножьте такую степень на саму себя, и вы
получите первую степень — изначальное число. Две половины рав¬
няются целому — это просто.
На самом деле, обобщение размерности во фрактальной гео¬
метрии вполне объяснимо с нескольких точек зрения. Рассмо¬
трим концепт размерности, чтобы понять почему так происходит
(рис. 3).
(а)	У отрезка линии размерность равна 1, это означает, что лю¬
бая точка отрезка может быть выражена с помощью одной коор¬
112

Рис. 3. Понятие размерности в геометрии: (а) линия одномерна, то есть
имеет размерность один и выражается через одну координату; (6) ква¬
драт двумерен, имеет размерность равную двум и выражается через две
координаты; (в) куб трехмерен, имеет размерность равную трем и выра¬
жается в трех координатах.
динаты, одного числа. Точка х лежит на расстоянии х точек от ле¬
вого края сегмента.
(б)	Квадрат имеет размерность 2, то есть любая точка квадрата
может быть выражена через две координаты (х, у). Здесь х — это рас¬
стояние от левого края квадрата, а у от нижнего края.
(в)	Размерность куба равна трем, то есть любая его точка мо¬
жет быть определена с помощью трех координат (х, у, z). Здесь х —
расстояние от передней грани куба, у — от нижней, z — от задней
грани.
Исходя из данных примеров, размерность объекта — это коли¬
чество независимых направлений в пространстве, которые объект
может занять. Точка не имеет направлений в пространстве, поэто¬
му ее размерность равна 0. Линия лежит в одном направлении про¬
странства, квадрат занимает два, а для куба требуется три. Похожий
принцип применим для кривых и поверхностей. Кривая одномерна,
поверхность гладкого объекта, такого как сфера или тор, двумерна,
то есть имеет размерность 2. Устойчивый объект, такой как сфера
или тор, трехмерен. Размерность всегда выражается целым числом.
Размерность точки — 0, размерность кривой — 1, размерность поверх¬
ности — 2, а объекта — 3. Немного воображения, и мы вполне смо¬
жем представить размерности 4, 5, 6 и так далее. Об этом вы можете
113
Природа фрактальной геометрии

Иэн Стюарт
прочитать в работе Эбботта (1884) и ее более современном продол¬
жении Стюарта (2001). Инженеры описывают концепт размерности
как количество «степеней свободы» системы — число координат не¬
обходимых для определения положения в пространстве — поэтому
пространственно — временная шкала с тремя координатами в про¬
странстве и одной координатой времени является четырехмерным
Размерность даже самой простой системы может оказать¬
ся на удивление большой. Например, чтобы описать положение
и скорость Луны в пространстве, требуется шесть значений: три
координаты положения в пространстве и три компонента скоро¬
сти соответствующих этим координатам. То есть система трех тел,
являющаяся основой астрономии и состоящая из Земли, Луны
и Солнца, представляется собой 18-мерную систему. Для каждого
тела необходимы три координаты положения в пространстве и три
значения скорости.
Еще более сложный случай — то, что мы постоянно носим с со¬
бой: человеческое тело с бесчисленным множеством гибких соеди¬
нений. Посмотрите на свою руку. Каждый палец может быть со¬
гнут под определенным углом, и эти углы достаточно независимы
друг от друга. То есть только для того, чтобы описать положение
вашей руки, потребуется 5-мерное пространство всех возможных
сочетаний. А если учитывать, что пальцы могут немного сдвигаться
и в стороны, то скорее 10-мерное. Две ваших руки и две ноги тре¬
буют по крайней мере 40-мерного пространства, чтобы запечатлеть
все комбинации позиций, а ведь есть еще и запястья, локти, плечи,
лодыжки, колени, бедра., и также ваша голова, ресницы и талия.
По самым скромным подсчетам пространство конфигураций для
человеческого тела — все возможные положения, которое оно только
может принять — как минимум 101-мерно. Да, мы живем в трех¬
мерном мире, а, если учитывать время, то в четырехмерном, но все
возможные положения тела требуют 101-мерного пространства
Следующее определение называется топологической размерно¬
стью, так как формы, которые могут переходить друг в друга имеют
одинаковую размерность. Таким образом, волнистая кривая имеет
такую же размерность 1, как и прямая линия, а неровная поверх¬
ность обладает такой же размерностью 2, как и гладкая. И если
форма увеличивается в масштабе, скажем, в три раза, то размер¬
ность остается неизменной.
Законы масштабирования более чувствительны: они включают
в себя не только форму, но и размер. Расстояния и масштаб крайне
114

важны, и они являются не топологическими свойствами, а метри¬
ческими. Этот дополнительный ингредиент открывает нам новые
возможности для более расширенного определения размерности,
которое:
(а)	соответствует обычному определению для плавных кривых
и гладких поверхностей;
(б)	применимо для более общих пространств, таких как снеж¬
ника или канторово множество;
(в)	отображает метрические, а не топологические свойства, осо¬
бенно при масштабировании.
Однако цена, которую мы платим за подобное расширение
понятия, заключается в том, что размерность принимает не цело¬
численные значения. Но, как и все идеи, заставляющие нас выйти
из зоны комфорта, эта цена полностью окупается.
Самое простое обобщение из множества других — это раз¬
мерность подобия. Это понятие основывается на свойствах мас¬
штабирования; оно слишком узкое для того, чтобы применяться
в каждом случае, но когда оно работает, его довольно легко по¬
нять.
Представьте себе единичный квадрат. Если его стороны раз¬
делить на п равных частей, то он может быть разрезан на N = п2
подквадрата, каждый из которых похож на оригинал. С таким же
рассечением куба, мы получим N = п3; из 4 — мерного гиперкуба
N = п4. А и из простого отрезка N = пі (рис. 4).
Закономерность очевидна если размерность равна d, то N = nd.
С помощью логарифмов получаем d = log N /log п. Все это абсолютно
объяснимо и соответствует стандартным геометрическим свой¬
ствам этих простых форм.
Давайте опробуем это на более сложной форме, на первичном
«патологическом множестве», канторовом множестве. Напомню,
что для формирования канторова множества мы берем единич¬
ный отрезок, удаляем среднюю треть, чтобы получить два отрезка,
каждый размером с одну треть и повторяем эту процедуру бес¬
конечно. Получившееся и является канторовым множеством. По¬
нятно, что после первого шага мы формируем уже два канторова
множества, каждое размером с одну треть от целого; само канто¬
рово множество получается из объединения этих двух. Другими
словами, канторово множество может быть разделено на две части
(N = 2) каждое размером с треть (п = 3). Согласно аналогии раз¬
мерность канторова множества должна быть log 2/log 3 = 0,6309,
115
Природа фрактальной геометрии

Рис. 4. Численное расширение
понятия размерности
с помощью квадратов и кубов
о.
о
9
н
U
X
m
S
что является не целочисленным значением. Возможно, это кажется
странным, но имеет важное значение, потому что:
(а)	оно точно отображает свойства масштабирования для канто-
рова множества: две копии составляют множество, точно такой же
формы, только больше размером;
(б)	размерность — это промежуточное звено между 0 — раз¬
мерностью конечного множества точек, и 1 — размерностью кри¬
вой. Это соответствует изначальной идее, что канторово множество
это меньше, чем кривая, так как в нем есть пробелы, но расположе¬
но оно теснее, чем конечное множество точек.
Подобные рассуждения дают нам применить размерность
и к снежинке. Если мы работаем (для удобства) только с одним
из ее сегментов, мы увидим, что потребуется 4 копии, чтобы соз¬
дать снежинку в три раза больше (рис. 5). Таким образом N = 4,
п — 3, а d ~ log 4/log 3 = 1,2618. Узнаете это число? Это постоянная
D, которая используется в подсчете длины периметра снежинки.
То есть D мы интерпретировали как размерность масштабирова¬
ния. Тоже самое можно провести для всех законов масштабирова¬
ния. (Кстати, именно поэтому мы использовали в формуле 1 — D,
а не просто D).
Для снежинки d находится между 1 и 2, и это опять соответ¬
ствует визуальному образу. Снежинка это явно «больше чем» плав¬
ная кривая, но все — таки не соответствует поверхности.
116

Рис. 5. Масштабирование
канторова множества: Если
мы располагаем размерности
в виде снежинки,
то для увеличения ее в три
раза потребуется 4 копии.
Основное ограничение понятия размерности масштаба это
то, что оно требует наличия множества, обладающего свойством
самоподобия. При должном увеличении оно должно полностью
соответствовать своим же более маленьким участкам. Более об¬
щие понятия размерности тоже существуют. Для теоретической
работы наилучшим является размерность Хаусдорфа — Безико-
вича, представленная в 1919 году и принятая в 1929. Похожие,
но отличные от этого концепты размерности часто используются
в экспериментальной работе, так как их легче измерить, смотри
работу Фалконера (1990).
БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Движение частиц
Одно потенциальное применение теории о «патологических
кривых» было известно с 1828 года Оно доказывает, что в физике
могут использоваться не только сплошные кривые.
В 1828 году Роберт Броун обратил внимание на любопытное
явление, наблюдаемое им через микроскоп. Если очень малень¬
кие частицы помещены в жидкость при видимой неподвижности,
то при более близком рассмотрении окажется, что они постоянно
117
Природа фрактальной геометрии

о.
о
2
и
X
m
и неравномерно двигаются. Броун предположил, что это происхо¬
дит благодаря движению молекул жидкости, побуждаемых теплом
В 1926 году Жан Перрен написал: направление прямой линии, со¬
единяющей две близко расположенные временные точки, неравно¬
мерно варьируется по мере того как промежуток времени между
точками уменьшается. Таким образом, непредвзятый обозреватель
делает вывод, что он имеет дело с функцией без производной вме¬
сто кривой, к которой может быть проведена касательная... В не¬
которой степени и для некоторых методов исследования многие
явления могут быть представлены в виде обычных непрерывных
функций. Но если пойти дальше и применить к материи бесконеч¬
но зернистую структуру, в соответствии с атомной теорией, то при¬
менять к реальности точные математические концепты непрерыв¬
ности станет сложнее.
Перрен открыл, что «патологические» кривые, те, что так интриго¬
вали и отталкивали ллатематиков, на самом деле абсолютно естествен¬
ны, так как находят свое отображение в природе; они проявляются
даже в настолько фундаментальных областях, как молекулярное дви¬
жение. Перрен продолжил экспериментальные исследования и был
удостоен Нобелевской премии в 1926 году.
В 1930 — х Норберт Винер сформулировал математическую
модель броуновского движения, показав, что оно на самом деле ха¬
рактеризуется движением частиц по неопределенной траектории.
Работа Винера происходила, грубо говоря, в контексте произволь¬
ной функции времени, когда вероятность передвижения на любое
данное расстояние за любой отрезок времени определяется клас¬
сической колоколообразной кривой или распределением Гаусса,
а направление абсолютно случайно. В таких условиях траектории
движения частиц отследить невозможно.
За последние несколько лет методы фрактальной геометрии
привели к более глубокому пониманию математики броуновского
движения. В своей книге 1982 года Мандельброт сделал предполо¬
жение о фрактальной размерности типичного движения частиц
В то время его доказательства основывались в основном на компью¬
терных симуляциях. Представьте себе частицу, подчиненную броу¬
новскому движению на плоскости. Проследите за ее траекторией
за определенный период времени, получив крайне волнистую кри¬
вую. Мандельброт предположил, что фрактальная размерность этой
кривой или, если быть точнее, тех частей кривой, что расположены
за границами сформированной ею фигуры, равна 4/3.
118

В 2000 году Грегори Аоулер, Одед Шрамм и Венделин Вернер
анонсировали бесспорное доказательство этого предположения со¬
вместно с другими фрактальными свойствами броуновского движе¬
ния. Их доказательство включает в себя математические аналогии
и другие фрактальные процессы. Прочие физики выводили другие
доказательства, основанные на теории квантовой левитации, кото¬
рую до этого не связывали с броуновским движением. (Отношение
тут скорее математическое, физические интерпретации этих двух
областей крайне разнятся). Лоулер и его коллеги также доказали,
что фрактальная размерность множества «точек разреза» кривой
это 3/4, а множество «направляющих точек» это 7/4. Точки раз¬
реза — это те точки, удаление которых повлечет за собой распад
кривой на отдельные части. Направляющие точки — это те, что ока¬
зываются у внешней границы в тот момент, когда кривая дости¬
гает данной точки. Эти выводы прекрасно иллюстрируют высокий
уровень математической детализации в нашем новом понимании
броуновского движения, полученном из фрактальной геометрии.
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Одно из самых важных и сложных явлений в движениях жид¬
кости — это турбулентность: неравномерное, закрученное направ¬
ление потока так отличное от спокойного «струйного течения»
любимого всеми традиционными аналитиками. До недавнего вре¬
мени турбулентность изучали с помощью множества специаль¬
но созданных аналитических приемов и вероятностных методов,
но геометрической природе турбулентности внимания уделялось
мало. В то время как геометрия содержит в себе множество наме¬
ков на более глубокую структуру этого свойства, которые матема¬
тический анализ упускает. Турбулентность включает в себя множе¬
ство больших и маленьких движений. Как в 1922 году сказал Льюис
Фрай Ричардсон:
В поток бурлящий бросив взгляд,
Вихрей увидишь там каскад:
Меньшой энергию у большего берет,
Пока мельчайших вязкость не сотрет.1
1 Перевод В.Н. Штерна (прим, переводчика)
119
Природа фрактальной геометрии

Иэн Стюарт
Могут фракталы быть вовлечены в геометрию турбулентности?
Мандельброт сделал подобное предположение еще в 1960 году.
Но возродилось оно только в середине 1970-х, возникнув из тополо¬
гической динамики под совсем другой личиной. Сейчас оно уже об¬
условлено целой серией экспериментов, проведенных с помощью
маломасштабных лабораторных систем Конечно, теория встречала
сопротивление на пути развития, как случается со всем новым в на¬
уке, особенно когда его привносят незваные гости из другой области.
Честно сказать, эти эксперименты подтвердили наличие фрактальной
геометрии только в случае слабой турбулентности; полностью сформи¬
ровавшаяся турбулентность весьма отличается, но в некотором роде
выглядит еще более фрактальной.
Турбулентность может ограничиваться только отдельными участ¬
ками плавного потока, а может возникнуть внезапно где угодно. Она
может появляться и исчезать мгновенно. В эксперименте Тейлора с во¬
ронкой, где поток жидкости расположен между двух концентрических
вращающихся цилиндров, спиральная турбулентность обнаруживает¬
ся на участках винтового потока Границы участков турбулентности
обычно имеют сложную локальную структуру волны над волнами, за¬
витки над завитками. Большое красное пятно на Юпитере обладает
именно такой структурой.
Топологический подход к турбулентности был инициирован
в 1971 Рюэлем и Такенсом, которые предложили способ перехода
к турбулентности с помощью создания «фрактального аттрактора».
Гарри Суинни, Джерри Голлуб и другие продолжили эксперимен¬
ты, используя лазеры для измерения скорости жидкости и подтвер¬
дили эту теорию, пусть и через отличный от изначального способ.
В больших системах переход к турбулентности — это намного
более сложный процесс. Поэтому нам еще многое предстоит узнать
о турбулентности. Фрактальная геометрия может в этом помочь,
но она не сможет ответить на все вопросы. А что же сможет?
ФРАКТАЛЬНЫЕ БАРАБАНЫ
Фракталы как модели кибрации
В 1996 году Майкл Лапидус с коллегами изучали режимы ви¬
брации барабана в форме кривой-снежинки. Побочным резуль¬
татом подобного исследования стало улучшенное понимание
120

того, почему каменистая береговая линия лучше разбивает вол¬
ны, чем гладкая — знание, необходимое для постройки берего¬
вых укреплений и одна из причин, по которым старые ровные
прогулочные набережные сейчас заменяют на остроконечные
бетонные нагромождения. Это также помогает объяснить, поче¬
му листва деревьев создает такую преграду для ветра, и как наша
система эластичных вен, артерий и капилляров поглощает стук
сердца, почти не получая повреждений. Этот принцип по-новому
объясняет, как радиоволны распространяются в горных местно¬
стях и как лазерный луч может отражаться от кратерных полей
на поверхности Луны.
Чтобы понять, что такое режим вибрации, представьте себе
гитару. Дернете за одну струну: она произведет одну основную
ноту. Теперь положите свой палец на середину струны, дерни¬
те снова и быстро отпустите палец. Вы услышите высокий звук,
выше на одну октаву, чем основная нота. Если вы поместите палец
на одну третью часть струны, то получите еще более высокую ноту,
и так далее. Ваш палец выбирает различные режимы вибрации
на струне. Когда звучит основная нота, она формирует одиночную
звуковую волну. Струна зафиксирована с концов, но оставшаяся ее
часть двигается вверх и вниз в постоянной, повторяющейся мане¬
ре. Для октавы две подобных волны помещаются в длину струны
и в то время, как одна поднимается вверх, другая идет вниз. Между
ними находится фиксированный узел — участок, который вы за¬
жимаете пальцем. В теории гитарная струна может вибрировать
с любым целым количеством волн. То есть помимо основной ча¬
стоты, у струны есть частота вибраций, которая может быть в два
раза больше основной, в три, в четыре и так далее. Этот спектр,
список возможных частот, состоит из целых чисел, кратных основ¬
ному.
У каждой формы есть свой акустический спектр. На практике
вы можете изучить весь спектр, создав форму из металла и ударяя
по ней — или, создав нечто подобное любым другим способом, на¬
пример, выдуть форму из мыльной пленки и наблюдать за ее ви¬
брацией, или вырезать форму в бруске металла и наполнить его
микроволнами. Математически наиболее значимый аспект вибра¬
ций — это порядок частот естественных режимов вибрации, назы¬
ваемых спектром колебаний формы.
В 1910 году физик Хендрик Лоренц проводил лекцию о спектре
электромагнитного излучения в закрытой полости, который явля-
121
Природа фрактальной геометрии

о.
о
2
н
U
X
m
S
ется такой же математической проблемой с физическим решени¬
ем, и сделал смелое предположение. Предположим, что вы выбрали
форму и расположили все частоты из ее спектра в возрастающем по¬
рядке. Теперь спросите, как быстро эти номера возрастают по мере
вашего продвижения по списку частот. Для простоты представьте
двумерную полость — некую область на плоскости. Получается,
что независимо от формы полости, частоты всегда примерно равны
2то/А, 4га/А, бта/А, 8тп/А, ІОтз/А и так далее, где А — это площадь
полости и то — это обыкновенное число «пи», которое мы все знаем
и любим. Более того, приблизительные значения становятся все луч¬
ше и лучше по мере увеличения частот.
Лидер в математических науках того времени Давид Гильбрет
посетил лекцию Лоренца, был крайне впечатлен его предполо¬
жением, но, как утверждают, объявил, что вряд ли ему придется
на своем веку увидеть доказательство. Если так, то он был чрезмер¬
но пессимистичен: менее чем два года спустя его бывший студент
Герман Вейль доказал более общее понятие, используя технику
интегральных уравнений, которую узнал от своего учителя Гиль¬
берта. Аргументы Вейля, будучи довольно изобретательными, пока¬
зали, что предположение Лоренца верно не только для плоскости,
но и для любого п в п — мерном пространстве. Но теперь, вместо
площади на плоскости вы должны использовать мультимерный
эквивалент объема; постоянная тп должна быть заменена на более
сложное выражение, отражающее единицу в гиперсфере; а часто¬
та должна быть заменена на степень п/2п. Тем не менее, основной
смысл сохраняется: частоты в спектре соответствуют объему объ¬
екта, в частности, при уменьшении объекта частота увеличивается.
Тут на сцену и выходят фрактальные барабаны. Изначаль¬
но Вейль доказал результат для объектов с гладкими границами,
но за годы формула была расширена и стало возможном ее ис¬
пользование для объектов с фрактальными границами — такими,
как фрактальная снежинка В1979 году физик Майкл Берри, анали¬
зируя отражение света от неровных поверхностей, смог улучшить
формулу Вейля. В качестве улучшения выступил дополнительный
элемент формулы, пропорциональный фрактальному измерению
границы объекта Согласно Берри, дополнительный элемент в фор¬
муле Вейля должен быть пропорционален частоте возведенной
в степень половины фрактальной размерности границы.
Если так, то существует любопытное следствие: вы можете «ус¬
лышать» фрактальную размерность формы барабана — то есть, воз¬
122

Рис. 6.
Два 2-мерных
барабана
разной формы,
но с одинаковым
резонансным
спектром.
можно определить ее через спектр колебаний барабана Подобные
идеи берут свое начало в известной статье Марка Каца «Можно ли
услышать форму барабана?», написанной в 1966 году. Кац указал
на то, что формула Вейля доказывает возможность услышать пло¬
щадь барабана независимо от его формы и спросил: что же еще в та¬
ком случае возможно услышать? Он начал с доказательства того,
что частота вибрирования определяет также и периметр барабана,
и его пористость — много ли в нем отверстий. Оказывается, суще¬
ствуют свойства, которые можно услышать всегда. Множество ма¬
тематиков находили примеры, в которых две разные многомерные
формы имели одинаковый спектр колебаний, то есть их «форму»
невозможно было услышать в деталях Первым пример был
для 16-мерной формы. К 1982 году размерность понизилась до 4,
а в 1992 Каролин Гордон, Дэвид Уэбб и Скотт Уолперт устранили
проблему, создав две 2 — мерные формы с одинаковым резонанс¬
ным спектром, но разными формами (рис 6).
Даже если услышать все, что нам захочется невозможно, во¬
прос, «что мы можем услышать благодаря спектру колебаний?»,
остается не менее актуальным Существует множество примеров,
когда осмотреть сам объект невозможно, однако проанализиро¬
вать его вибрации не составляет труда Хорошим примером явля¬
ется сейсмология, изучающая внутреннее строение Земли через
вибрации во время землетрясений. Гелиосейсмология делает тоже
самое, но для солнца. Нефтяные компании используют звуковые
волны, создаваемые взрывами на поверхности для поиска глубо¬
ких залежей нефти. Дети трясут коробку с завернутым подарком,
пытаясь понять, что лежит внутри. Предположение Берри, будь
123
Природа фрактальной геометрии

Иэн Стюарт
оно правильным, добавило бы фрактальную размерность — шеро¬
ховатость — в список вещей, которые мы можем услышать. Одна¬
ко оно оказалось неверным: в 1986 году Ж. Брассар и Р. Гармона
обнаружили форму, для которой дополнительный элемент в фор¬
муле Берри не соотносился с фрактальной размерностью ожидае¬
мым образом.
Однако не все было потеряно: они предположили, что другое
измерение шероховатости, менее известная размерность Минков¬
ского, сработает. Такая версия была доказана в 1988 году Майклом
Лапидусом и Жаклин Флекингер — Пелле. Недавняя работа, свя¬
занная со спектром фракталов, заглянула далеко за пределы при¬
вычного распределения частот, чтобы более детально разглядеть
характер вибраций. Начиная с 1989 года исследователи Г. Шаповал,
Гоброн и А. Марголина изучали механические вибрации фракталь¬
ных объектов — таких как металлическая тарелка с лазерной гра¬
вировкой — выемкой в форме «квадратной снежинки» — вариант
снежинки-кривой, составленной из квадратов, а не треугольников.
Команда Шаповала открыла новые эффекты в вибрации фракталов,
эффекты, которые никогда не проявляются для обычных форм. На¬
пример, волновые колебания во фрактальных областях могут быть
локализованы — небольшие участки объекта заметно вибрируют,
в то врелля как оставшиеся практически неподвижны.
В 1995 году Лапидус и М. Панг тщательно проанализировали
основной, самый низкочастотный режим вибрации кривой в фор¬
ме снежинки. Они обнаружили, что для этого режима вибрация
барабанной мембраны может стать бесконечно высокой в районе
определенных точек границы — в основном тех, что имеют тупой
(больше прямого) угол. Проводя более физическую аналогию, ви¬
брирующий фрактальный барабан в этих точках испытывает боль¬
шее напряжение. Точная математика только подтверждает эффект,
наблюдаемый в предыдущих экспериментах. Как выглядит вибри¬
рующий фрактал? Используя компьютер Оникс, произведенный
компанией SGI, и хитрые вычислительные методы команда Лапи¬
дуса начертили первые пятьдесят гармоний-снежинок — режимов
вибрации барабанной мембраны с границами в форме фракталь¬
ной снежинки. Их открытие не только подтвердило прежнее за¬
ключение, но и добавило новых загадок.
В основном режиме, как и было предсказано теорией, мем¬
брана двигается вверх или вниз одновременно — не существует
узловых кривых, в которых мембрана была бы неподвижна, кроме
124

как на границе. Крайне резкий наклон около тупоугольных границ
ясно виден. И напротив, оказывается, что наклон у острых углов ра¬
вен нулю — мембрана плоская, напряжение равно нулю.
Спектры фракталов охватывают целую новую область науки,
обещая разгадать множество загадок, включая вопросы, поднятые
ранее. Подумайте, например, о волнах, омывающих каменистый
берег. Береговая линия намного лучше описывается фракталом,
чем гладкой кривой, а значит, удары волн о каменистый берег лучше
описываются моделью снежинки, чем классическим анализом волн,
ударяющихся о гладкую поверхность. Гладкая поверхность отража¬
ет большую часть энергии волны назад в море, тогда как фракталь¬
ная береговая граница способна абсорбировать энергию или изо¬
лировать ее на отдельные маленькие участки.
Листья и ветви деревьев — это фракталы и, возможно, именно
поэтому они являются лучшей защитой от ветра, чем простое ров¬
ное ограждение — факт, который современное сельское хозяйство
открыло заново после десятилетий вырубки деревьев для вскапыва¬
ния обширных, но продуваемых всеми ветрами полей.
Похожим образом работает и сердечно-сосудистая система
человека. Повторяющаяся и разветвляющаяся система вен и арте¬
рий — это фрактал. Помимо помощи в эффективной доставке кро¬
ви ко всем частям нашего тела, эта фрактальная структура помогает
кровяным тельцам поглотить и рассеять напряжение, вызванное
тяжелыми ударами сердца.
ФРАКТАЛЫ В ТЕХНОЛОГИЯХ
Пракіическое применение
Несмотря на всю важность фрактальной геометрии в качестве
математического орудия, любая наука рано или поздно приобре¬
тает некую практическую значимость, и фрактальная геометрия
не является исключением. В последние десятилетия произошел на¬
стоящий бум в технологиях, основанных на фракталах. Примене¬
ние их крайне разнообразно. Вот только некоторые из примеров.
Почти все механизмы имеют внутри пружины. Видеокаме¬
ра, например, включает в себя несколько сотен. Пружины произ¬
водят из витой проволоки с помощью специальных механизмов.
До недавнего времени было проблемно высчитать, получится ли
125
Природа фрактальной геометрии

о.
о
2
и
X
m
из проволоки качественная пружина или нет. Единственным ме¬
тодом было опробовать ее и увидеть, но это могло занять день,
а то и больше. Сейчас же тест, основанный на фрактальной гео¬
метрии, занимает всего две минуты. Он включает в себя механизм
ФРАКМАТ (от «фрактальные материалы»), изобретенный в Ин¬
ституте Технологии Пружин в Шеффилде совместно с командой
из университета Барвика. Идея заключается в том, чтобы создать
длинный тестовый виток на металлическом стержне, а затем про¬
анализировать фрактальный узор. Тип получившейся фрактальной
структуры будет отражать желаемое качество способности к «зави¬
ванию».
Шахты — крайне опасное место для пребывания. Землетрясе¬
ния и другие воздействия на стены шахты могут привести к разру¬
шительным обвалам, часто влекущим человеческие жертвы среди
работников. В 2000 году инженеры Юго — Восточного Исследова¬
тельского Института (SWRI) в Сан-Антонио обнаружили, что обва¬
лы горной породы могут быть обнаружены в самом начале их обра¬
зования благодаря звуку, издаваемого камнями. Малейшая трещина
в горной породе издает особенный хлопающий звук, а звук тысячи
подобных трещин может предсказать поведение камня. Саймон
Хсунг (Simon Hsiung) с коллегами в SWRI поняли, что узор трещин
на камне — это фрактал, а значит, и сопутствующий им звук являет¬
ся фракталом Фрактальная размерность трещин (и звуков) сначала
постепенно возрастает, а затем внезапно падает. Вскоре после того,
как фрактал достигает этой точки, камни обрушиваются. В мало¬
масштабных экспериментах это дело нескольких минут, однако
в масштабе реальной шахты до катастрофы может быть еще не¬
сколько дней. В таком случае шахтеры могут эвакуироваться с опас¬
ной территории или предотвратить обрушение, облегчив давление
на горную породу.
Одним из ограничений эффективности мобильных телефонов
является антенна, принимающая и отправляющая сигналы. Пер¬
вые радиоприемники использовали едва ли не самую обычную
проволоку в качестве антенны, и до недавнего времени мобильные
телефоны были устроены ненамного сложнее. Затем появились
колшозиционные антенны, составленные из тысячи более малень¬
ких, расположенных обычно или в форме прямоугольной решетки
или случайным образом В 1999 году Дуайт Джаггард и Дуглас Вер¬
нер открыли, что если расположить эти микро-антенны в форме
фрактала, то это объединит надежность случайного расположения
126

Рис. 7. Треугольник берлин¬
ского: решетка из треу¬
гольников обладает двумя
характерными свойства¬
ми фракталов — симме¬
трия и самоподобие.
и эффективность решетки. Существует и теоретическое объяснение
такой высокой производительности форм в виде фрактала Натан
Коэн и Роберт Хохфельд доказали, что для того, чтобы антенна хоро¬
шо работала на любых частотах, она должна обладать симметрией
и самоподобием. Множество фракталов, как например треугольник
Серпинского (рис. 19), обладают и тем и другим
Электротехника, в частности телевизоры и компьютеры, передают
визуальные изображения с помощью двоичной последовательности
нулей и единиц. Самый простой способ перевести изображение в та¬
кую последовательность, это перевести каждый черный и белый пик¬
сель — мельчайшие элементы рисунка — в нули и единицы, где 0 изо¬
бражает белый, 1 — черный. Более сложный код может представлять
оттенки серого или других цветов. Получившийся список цифр будет
огромным, как знает каждый, кто использовал сканер. Инженеры все
время ищут способ кодирования, который сможет представить то же
изображение, но меньшим количеством знаков. Например, на фото¬
графиях довольно часто большую часть занимает голубое небо, поэтому
использовать отдельный код для «голубого» более разумно, чем целую
последовательность цифр. В видео наиболее важны те пиксели, кото¬
рые меняются из кадра в кадр, остальная часть изображения может
остаться неизменной. И так далее.
В 1996 году Итерированные Системы Атланты, компания,
основанная Майклом Барнсли (смотрите главу из этой книги, на¬
писанную Майклом и его женой Луизой), разработала систему
сжатия информации для видеоизображений основанную на фрак¬
тальном самоподобии. Грубо говоря, компьютер сравнивает отдель¬
ные небольшие участки изображения с большими, и перечисляет
127
Природа фрактальной геометрии

Иэн Стюарт
те, что имеют одинаковую форму. Из этого списка, который обычно
намного короче обычного двоичного кода, можно с точностью вос¬
создать исходное изображение.
ВЗГЛЯД ЧЕРЕЗ ФРАКТАЛ
Путькоікрыіиям
Чему же фракталы научили нас? До недавнего времени спра¬
ведливо бы было сказать то, что я высказал в своей книге «Отсюда
до бесконечности» 1996 года: «Фракталы привнесли в наше пони¬
мание мира природы не столько новые технологии, сколько того,
что до недавнего времени называлось натурфилософией». Фракталы
обеспечивают нас унифицированной точкой зрения на нерегуляр¬
ность и сложность окружающего мира, открывают путь для мате¬
матических измышлений.
Однако на сегодняшний день мы должны добавить, что вычис¬
лительные и технологические аспекты стремительно развиваются,
по мере того, как все больше и больше ученых открывают новые
методы, перестают их отрицать и начинают использовать. Призна¬
ние фракталов как геометрических форм, поддающихся анализу,
но имеющих характеристики крайне отличные от привычных нам
гладких цилиндров и сфер, не только открыло нам глаза на абсолют¬
но новые явления, но и позволило увидеть их с другой точки зрения.
Вместо того, чтобы нарекать их «ошибочными» или «неинтересны¬
ми», и, следовательно, избегать, подобные явления стали находить
намеренно, и, как следствие, лучше их понимать.
Зрелость математической теории определяется по тому, из¬
учает ли она теории, отвергнутые предыдущими поколениями,
как «особенные», «патологические», «нестандартные», «случайные»,
«неестественные»... В нашем языке множество слов, обозначающих
простое «нам это непонятно», и наука использует их все. Новые те¬
ории появляются тогда, когда кто-то берет укоренившиеся правила
и устои и исследует их в отдельности, без предрассудков.
Тому есть множество примеров. Когда Эдвард Аоренц (1963)
впервые открыл нестандартный подход к модели погоды, он остался
незамеченным, в то время как сейчас редкая наука не контактирует
в той или иной степени с теорией хаоса, выросшей из этого откры¬
тия (и нескольких других). А, например, изучение колебательных
128

химических реакции, сейчас весьма популярных, в течение многих
лет воспринималось сродни изучению вечного двигателя. Список
можно продолжать бесконечно: единственное, что оправдывает
подобное человеческую глупость, узость ума и предрассудки — это
такой же длинный список сравнительно необычных идей, оказав¬
шихся абсолютно бесполезными. Не все новое является ценным
и энтузиазм не всегда означает правоту.
Фрактальная геометрия теперь по праву считается опознаваемой
областью математики, с характерной точкой зрения и набором тех¬
ник. Ее точка зрения узнаваема и признаваема Но, несмотря на всю
красоту общей картины и широту взгляда на окружающий мир, по¬
требуется все еще много трудов для того, чтобы развить эту теорию
до конца. Множество ее моделей пока что скорее описательные,
чем объясняющие. Фрактальные «искусственные» горы выглядят
как настоящие, но мы плохо понимаем, как процесс эрозии создает
фрактальную структуру. Мы зачастую не может высчитать фракталь¬
ную размерность простых физических свойств, не говоря уж о более
сложных явлениях.
Как я и говорил, все это претерпевает изменения по мере того,
как теория входит в следующую фазу. Но даже простая описатель¬
ная теория имеет научную ценность. Если клеточная ткань лучше
всего моделируется фракталом, то изображать ее в качестве пря¬
моугольной пластины не имеет смысла Сегодня роль фрактальной
геометрии заключается не только в том, чтобы добавить новый ин¬
струмент в вооружение математической науки (хотя иногда она
делает и это) или помочь нам производить мобильные телефоны
(хотя иногда она помогает) и даже не в том, чтобы подарить нам
новый взгляд на структуру вселенной (хотя иногда она дарит). Ее
роль заключается в том, что открыть нам абсолютно новую область
математики. В 1996 году я выразил это так:«[Фракталы] важны, по¬
тому что они показывают, что среди джунглей неизведанного лежит
целая новая область математики, напрямую связанная с изучением
природы». На данный момент мы исследовали эти джунгли доста¬
точно, чтобы понять, что оставшееся неизведанным намного боль¬
ше и интереснее, чем мы можем себе представить.
129
Природа фрактальной геометрии

Беседа с Гердом Биннигом
ТВОРЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
Герд Бинниг — физик-экспериментатор и лауреат Нобелевской премии 1986 года — понима
ет эволюцию как творческий процесс. Уже много лет изобретатель растрового микроско
па, родившийся во Франкфурте-на-Майне, пытается понять механизм творчества
130

©
овые идеи рождаются тогда, когда человек получает
достаточно раздражений, — полагает нобелевский
лауреат в области физики Герд Бинниг. Он объ¬
ясняет возникновение нового на основе своей теории
«фрактального дарвинизма».
—	Господин Бинниг, почему вы, физик, заин¬
тересовались механизмом творческого процесса?
—	Интерес возник случайно в ходе интервью. Мы
дискутировали о том, является ли изобретение растро¬
вого туннельного микроскопа творческим процессом.
Позже я выяснил, что разработка микроскопа не впи¬
сывалась в расхожие представления о творчестве. Так
у меня появился совершенно иной взгляд на вещи.
С тех пор я начал заниматься этим интенсивно.
—	Что вы понимаете под творчеством?
—	Свою концепцию я назвал фрактальным дар¬
винизмом. Дарвиновская теория эволюции описы¬
вает важнейшие элементы творчества, но как раз
не все. Лишь фрактальный аспект позволяет увидеть
синергию, то есть сотрудничество живых существ
или их идей. Скомбинировав обе теории, мы можем
понимать и поддерживать творческие процессы. Я по¬
пробую пояснить, что имеется в виду. Еще 20 лет назад
ученые разлагали сложные проблемы на отдельные
элементарные детали, упрощая их и анализируя. Я на¬
зываю это одномерным мышлением. Иными словами,
физик оставался на уровне атомов, биолог — на уровне
клеток, и так далее. Когда я заговорил о многомерно¬
сти, люди стали смотреть на меня большими глазами.
Было очень, очень мало ученых, кто мыслил бы так же,
как и я. Бенуа Мандельброт и Кеннет Уилсон были пи¬
онерами в этой области.
131
Творческий процесс

Беседа с Гердом Биннигом
—	Что вы понимаете под многомерностью?
—	Мандельброт, например, связал природные формы с матема¬
тикой. Он утверждал, что вся природа пронизана геометрией. Он об¬
наружил и описал жесткие математические структуры, где каждая
часть геометрически воспроизводит целое. Это все равно что очер¬
тание береговой линии: неважно, наблюдаем ли мы ее со спутника,
с корабля или в перспективе микроба — структура всегда остается
одной и той же. Такие структуры описываются в геометрии Ман¬
дельброта совсем простыми формулами. На возникающих таким
образом фрактальных картинках вы можете сколько угодно увели¬
чивать детали и тем не менее находить одни и те же структуры. Моя
модель креативности — еще один шаг вперед в этом направлении:
открытие Мандельброта я решил применить не только к жест¬
ким структурам, но и к процессам. Ведь они тоже «себе подобны».
— Как же это связано с творчеством?
—	Творчество — это процесс, постоянно воспроизводящий са¬
мое себя. Изменения в малом масштабе накапливаются и изменя¬
ют структуры на более высоком уровне, которые опять-таки воздей¬
ствуют на небольшие структуры. В то же время творчество — это
процесс, функционирующий подобно эволюции. Здесь работают
механизмы репродукции, мутации, отбора, изоляции и сотрудниче¬
ства. Последний аспект вытекает из многоуровневой перспективы.
Например, вы играете в футбольной команде. Размышляя о страте¬
гии выживания, вы, скорее всего, поймете, что для вашего личного
выживания необходимо выживание группы. То есть если вы хотите
иметь шанс стать хорошим футболистом, вам необходимо сотруд¬
ничать с командой и вносить свой вклад в победу.
—	А как фрактальный дарвинизм работает на практике?
—	Это хорошо видно на примере разработки растрового ми¬
кроскопа. Тогда я работал в лаборатории IBM в Рюшликоне. Мы со¬
бирались исследовать часть одной большой проблемы. Тогда, в кон¬
це 70-х годов, физики еще не могли наблюдать отдельные атомы,
скажем, на поверхности металла. Мы же хотели узнать, как изме¬
няются его свойства, когда атомы располагаются не в жесткой кри¬
сталлической решетке, а как бы «выходят в танце» за ее пределы. Ре¬
зультатом этой работы и стало появление растрового микроскопа,
возможность создания которого мы раньше вовсе не предполагали.
—	Стало быть, Нобелевской премией вы обязаны случаю?
—	В известном смысле да Кто хочет быть креативным, не дол¬
жен ставить перед собой конкретную цель, как, скажем, изобрете¬
132

ние растрового микроскопа Ведь и в этом случае он остается твор¬
ческим человеком, творческим на каком-то высшем уровне, когда
он хочет решить проблему. Тогда он начинает поступать иначе. Он
ищет и компоненты, нужные ему для решения проблемы.
—	И такой метод действительно инновативен? Ведь так
люди работают веками...
—	Подлинно творческое решение настолько сложно, что его не¬
возможно помы слить логическим путчем Было бы необходимо про¬
ворачивать в голове тысячи возможностей, чтобы подходить ко все¬
му логически. Никакой жизни на это не хватит. А я предлагаю иной
путь. У меня есть наметки и идеи, а главная роль отводится случаю.
Например, кто-то высказывает мысль. Я ее подхватываю и встраи¬
ваю в свой мыслительный процесс Для меня это мутация, приходя¬
щая в мой мозг извне и проходящая строгий отбор, как в эволюции.
Одни вещи проходят, другие отмирают. Так и мысли: одни рожда¬
ются, живут и исчезают. Другие же постоянно пребывают с тобой,
потому что выдерживают анализ.
—	Как вашу концепцию может использовать, например,
менеджмент, чтобы быть креативным?
—	Я думаю — и это прозвучит провокационно — что им нужно
меньше знать и медленнее думать. Когда я расправляюсь с одной
темой за другой, то креативность теряется. Это происходит даже
тогда, когда моя работа высокоинтеллектуальна Чтобы осознать но¬
вые идеи или связи между разными областями знания, необходимы
минуты покоя. Человек должен начать мечтать. Кто хочет работать
креативно, должен уметь отрываться от работы.
—	Насколько реально, что слишком сильно занятые де¬
лами ученые или менеджеры найдут это время для досуга?
—	Конечно, находить досуг предельно сложно. Но в моем слу¬
чае все обстоит иначе. У меня есть сильная реакция самозащиты
от слишком сильных перегрузок. Подсознание тоже нужно задей¬
ствовать. Если давать ему все новые впечатления, оно будет занято.
Как правило, оно обрабатывает информацию во сне и встраивает ее
в новый контекст. Поэтому мы видим сны. Мы должны постоянно
проигрывать в голове, смотреть, сохраняет ли свою силу старое зна¬
ние, когда появляется новое. Это видно и на примере симуляции
креативности на компьютере. Если просто прибавлять новое зна¬
ние к старому, то оно его разрушает.
—	То есть нам нечему учиться?
—	Во всяком случае, какое-то время.
133
Творческий процесс

Рассказ Рона Эглэша
АФРИКА УДИВЛЯЕТ ФРАКТАЛАМИ
Рон Эглзш (1958) — американский кибернетик, профессор, широко известный благодаря
ииследованиям в области этноматематики, изучающей взаимосвязи математики и куль¬
туры. Его работы включают в себя использование фрактальных принципов в африкан¬
ской архитектуре, искусстве и религии, и взаимосвязь между культурой коренных жи¬
телей и современными технологиями, как, например, между культурой и духовными
практиками американских индейцев и кибернетикой. Рассматривая фрактальную модель
как основу архитектуры, искусства и дизайна во многих частях Африки и изучив много¬
численные фотографии, автор обнаружил, что многие африканские деревни построены
в форме идеального фрактала, форму которого повторяют комнаты домов, и сами дома,
и кластеры домов в деревне, образуя математически предсказуемые конструкции. Как он
выразился: «Когда европейцы впервые приехали в Африку, они сочли местную архитек¬
туру хаотической и, следовательно, примитивной. Им даже в голову не пришло, что афри¬
канцы, возможно, использовали законы математики, которых они еще даже не открыли»
134

Ѳднажды Георг Кантор решил начертить линию,
а затем стереть среднюю треть этой линии, а по¬
лученные в результате этого две линии подвер¬
гнуть такому же рекурсивному процессу. Он начал
делать это с одной линией, затем с двумя, с четырьмя,
шестнадцатью и так далее. И если бы он проделал это
бесконечное число раз, что возможно в математике,
у него бы получилось бесконечное число линий, каж¬
дая из которых содержала бы в себе бесконечное чис¬
ло точек. Тогда он понял, что получил множество с чис¬
лом элементов, большим бесконечности. И это просто
взорвало его разум. Буквально. Он даже отправился
в санаторий. И из санатория он вернулся убежден¬
ным, что был послан на Землю для открытия теории
трансфинитных множеств, потому что величайшим
множеством бесконечности был бы тогда сам Бог. Он
был очень религиозным человеком. Он был математи¬
ком, выполнявшим миссию.
Подобное проделывали и другие математики.
Шведский математик фон Кох решил, что вместо вы¬
читания линий он будет добавлять их. И так он полу¬
чил эту красивую кривую.
И нет никакой особой причины, почему мы должны
начинать только с этой начальной формы; мы можем ис¬
пользовать любую начальную форму на свой вкус Я пе¬
рестраиваю это вот так закреплю это где-нибудь — на¬
пример, вот здесь... И теперь, после повторения, тот вид
начальной формы разворачивается в совсем по-другому
выглядящую структуру. То есть здесь мы видим свойство
самоподобия: это когда часть выглядит как все целое.
Это тот же шаблон во множестве разных масштабов.
135

Рис. 1. Снежинки Коха
л = 1
о
3
m
Е
m
о
X
о
о.
м
О
*
о
о.
Тогда математикам это показалось очень странным, ведь
с уменьшением линейки вы измеряете все большую и большую
длину. И если бы они делали такие повторения бесконечное чис¬
ло раз, так бы и линейка уменьшалась до бесконечности, а дли¬
на возрастала до бесконечности. В этом не было видно никакого
смысла, поэтому они забросили эти кривые подальше — в конец
книг по математике. Они сказали, что эти кривые патологические,
и мы не собираемся их обсуждать. И так продолжалось еще сотню
лет, Пока в 1977 году Бенуа Мандельброт не догадался, что если
при работе с компьютерной графикой использовать формы, на¬
званные им фракталами, можно получить формы из природы. Так
можно получить человеческие легкие, акации, папоротники, все
эти красивые природные формы. Если вы возьмете свой большой
и указательный пальцы и посмотрите в месте их сопряжения, вы
увидите изгиб, а затем складку внутри изгиба, потом изгиб внутри
складки. Так ведь? Ваше тело покрыто фракталами. И об этом ма¬
тематики говорили как о патологически бесполезных формах? —
да они выдыхали эти слова через фрактальные легкие! В этом
большая ирония. Сейчас я покажу вам небольшую естественную
рекурсию. Снова, мы только возьмем эти линии и рекурсивно за¬
меним их целой формой. Так получим второе повторение, третье,
четвертое и так далее.
В природе мы видим ту же самоподобную структуру. Природа
использует самоорганизующиеся системы. В 80-х годах прошлого
136

века я впервые заметил, что если взглянуть на фотографию с воздуха
на африканскую деревню, то можно увидеть фракталы. И конечно,
мне пришлось отправиться в Африку, чтобы расспросить местный
народ об этом. Так я получил стипендию Фулбрайта просто чтобы
путешествовать весь год по Африке, спрашивая людей, зачем они
строят фракталы, и это крутая работа, если конечно вы сможете ее
получить!
В конце концов я добрался до того города и сделал маленькую
фрактальную модель для него, чтобы увидеть, как он будет распо¬
лагаться и разворачиваться — но когда я добрался туда, то попал
во дворец вождя, а мой французский не был очень хорош; я ска¬
зал что-то вроде: я математик, и мне бы хотелось встать на вашу
крышу. Но он оказался классным парнем и отвел меня туда
И когда мы говорили о фракталах, он сказал: «О да, да! Мы зна¬
ли о треугольнике внутри треугольника, мы знаем все об этом».
Оказалось, что королевская эмблема содержит треугольник вну¬
три треугольника внутри треугольника, и что проход через дворец
на самом деле спиральный. И пока ты идешь по проходу, стано¬
вишься все более вежливым и сговорчивым. Так они отображают
социальное деление в геометрическом соотношении; это созна¬
тельный узор. Это не бессознательный, как фрактально строятся
термитники.
Это деревня в южной Замбии. Деревня Балла имеет 400 метров
в диаметре. Это такое большое кольцо. Кольцо, представляющее
границы семьи, становится шире и шире, когда вы идете по на¬
правлению к краю, и там вы находите кольцо вождя, которое тоже
направлено к краю, а там — семья вождя в этом кольце. Вот не¬
большая фрактальная модель этого. Вот дом со священным алта¬
рем, а здесь дом домов, семейная граница с людьми, находящимися
там, где должен быть священный алтарь, и вот уже вся деревня как
целое — кольцо кольца колец с расширенным семейством вождя
здесь, с близким семейством вождя здесь, и здесь есть маленькая
деревня, только как эта большая. Теперь вы можете удивиться, как
люди могут уместиться в маленькой деревне, подобной большой?
Это потому что они люди-духи. Это предки. И конечно же люди-ду¬
хи имеют маленькую миниатюрную деревню внутри своей дерев¬
ни, правильно? Так, как и сказал Георг Кантор: рекурсия продолжа¬
ется вечно.
Это горы Мандара рядом с нигерийской границей Камеру¬
на, Мокулек. Я видел диаграмму, нарисованную французским
137
Африка удивляет фракталами

Рассказ Рона Эглэша
архитектором, и я подумал: «Ого! Какой прекрасный фрактал!»
И я попытался исходя из начальной формы, через повторение
развернуть ее вот в такое. И в конце получил такую структуру.
Посмотрим, вот первое повторение, второе, третье, четвертое.
Теперь, после того как я сделал симуляцию, я понял, что вся дерев¬
ня состоит из спиралей, вот как здесь, и здесь эта повторяющая¬
ся линия — самоповторяющаяся линия, которая развертывается
во фрактал. И я заметил, что линия идет вокруг единственного
квадратного здания в деревне. Так что, когда я пришел в дерев¬
ню, я спросил: «Вы можете привести меня к квадратному зданию?
Я думаю, там что-то происходит». И они ответили: «Ну, мы можем
привести тебя туда, но ты не сможешь войти внутрь, потому что
там священный алтарь, где мы ежедневно совершаем жертвопри¬
ношения для поддержания ежегодных циклов плодородия полей».
И я начал понимать, что эти циклы плодородия были такими же,
как рекурсивные циклы в геометрическом алгоритме, их выстра¬
ивающем И рекурсия в некоторых таких деревнях продолжается
так до очень маленьких размеров.
Вот деревня Нанкани в Мали. И вы видите, входя в семейные
границы — вы заходите внутрь, и здесь тоже горшки в очаге рас¬
ставлены рекурсивно. Эти калебасы расставлены рекурсивно. Здесь
самый маленький калебас хранит душу женщины. И когда она уми¬
рает, у них есть церемония, когда они разбивают эту стопку под на¬
званием заланга, и тогда ее душа отправляется в вечность. Еще раз:
бесконечность — это важно.
Теперь вы можете задать себе три вопроса. Являются ли такие
масштабные шаблоны просто универсальными для всей туземной
архитектуры? И вот в чем состоит моя оригинальная гипотеза Ког¬
да я впервые увидел эти африканские фракталы, то подумал: «Ух
ты, таким образом каждый коренной народ, не имеющий государ¬
ственного общества, такого рода иерархии, должен иметь восходя¬
щего типа архитектуру». Но выяснилось, что это не так.
Я начал собирать аэрофотографии архитектуры коренной
Америки и Южнотихоокеанского региона, но только в Африке
были фракталы. И если вы задумаетесь над этим, все эти различ¬
ные общества использовали различный геометрический дизайн.
Так, коренные американцы использовали комбинацию круговой
симметрии и четырехкратной симметрии. Это можно видеть
на горшках и корзинах. Это аэрофотография одних из руин Ана-
сази; они круговые при самом большом масштабе, но прямоуголь¬
138

ные при малом масштабе? Это не один и тот же узор в двух разных
масштабах.
Во-вторых, вы можете спросить, «Хорошо, доктор Эглэш, а вы
не игнорируете многообразия африканских культур?» И трижды
скажу, мой ответ — нет. Для начала я согласен с чудесной книгой
Мудимбе «Изобретение Африки», о том, что Африка — это ис¬
кусственное изобретение раннего колониализма, а затем и оппо¬
зиционных движений. Нет, потому что совместно используемая
методика дизайна не обязательно говорит о единстве культуры —
и это определенно не заключено в ДНК. И наконец, фракталы са¬
моподобны — так что они подобны себе самим, но не обязательно
подобны друг другу — вы можете увидеть совершенно различные
виды фракталов. Это общая технология в Африке.
Ну и наконец, не является ли это просто интуицией? Это не со¬
всем математическое знание. Африканцы же не могли на самом
деле использовать знания фрактальной геометрии, ведь так? Она
не была открыта до 70-х годов XX века Да, действительно я при¬
шел к тому, что некоторые африканские фракталы основаны на чи¬
стой интуиции. Точно так же, прохаживаясь по улицам Дакара,
я бы спрашивал людей: «В чем алгоритм? По каким правилам это
делалось?» — и они бы сказали: «Ну, мы просто сделали так, пото¬
му что это смотрелось мило». Но иногда это не так. В некоторых
случаях и могут быть алгоритмы, и очень сложные алгоритмы. Так
в скульптуре Мангету вы можете видеть рекурсивную геометрию.
В эфиопских крестах вы можете видеть эту чудесную разворачива¬
ющуюся форму.
В Анголе народ Чокве рисует линии на песке, и это то, что не¬
мецкий математик Эйлер назвал «граф»; сейчас это называет¬
ся Эйлеров путь, когда при начертании вам нельзя отрывать свое
перо от поверхности и вы никогда не можете провести по одной
и той же линии дважды. Но они это делали рекурсивно, и они это
делали по системе возрастной градации, так что сначала малень¬
кие дети изучали это, потом старшие дети, и затем при следующей
возрастной инициации вы изучали это. И с каждым повторением
данного алгоритма вы изучали повторение мифа Вы изучали новый
уровень знания.
И наконец, по всей Африке вы найдете такую настольную
игру. В Гане она называлась Овари, когда я ей учился; она назы¬
валась Манкала здесь, на восточном побережье, Бао — в Кении
и Сого где-то еще. Итак, вы видите самоорганизующиеся шаблоны,
139
Африка удивляет фракталами

Рассказ Рона Эглэша
которые самопроизвольно возникают в этой игре. И народ в Гане
знал об этих самоорганизующихся шаблонах и мог использовать
их стратегически. Это осознанное знание.
Куда бы вы ни пошли в Сахеле, вы увидите заграждение от ветра
Такие заграждения по всему миру картезианские, строго линей¬
ные. Но здесь в Африке мы видим нелинейные масштабирующиеся
ограды. Я отыскал одного из ребят, кто сооружал такое, этот парень
из Мали недалеко от Бамако, и я спросил его: «Как ты делаешь такие
фрактальные изгороди? Никто больше так не делает». И его ответ
был очень интересным. Он сказал: «Ну, если бы я жил в джунглях,
я бы использовал только длинные ряды соломы, потому что это
очень быстро и очень дешево. Это не требует много времени и мно¬
го соломы». Он сказал: «Но ветер и пыль свободно пройдет через
него. А вот такое заграждение стягивает ряды доверху, так что это
реально сдерживает ветер и пыль. Но конечно это заниллает мно¬
го времени, много соломы, чтобы сделать на самом деле плотную
ограду». «Теперь, — говорит он, мы знаем из опыта, что чем дальше
от земли ты поднимаешься, тем сильнее дует ветер». Правильно?
Это прямо как анализ стоимости и эффективности. И я замерил
длину соломы, построил логарифмический график в двойном мас¬
штабе, получил масштабную экспоненту, и она почти полностью со¬
впадала с масштабной экспонентой для соотношения между скоро¬
стью ветра и высотой в учебнике для ветряных инженеров. Так что
эти ребята правы в своем практическом использовании технологии
масштабирования.
Самый комплексный пример алгоритмического подхода
к фракталам из тех, что я нашел, был на самом деле не в геоме¬
трии, а в символическом коде, и это было гадание на песке в Бама-
не. И такая система гадания обнаруживается по всей Африке. Вы
можете встретить ее и на Восточном берегу, и на Западном, и часто
символы очень хорошо сохранены, так что каждый из этих симво¬
лов имеет четыре бита — это четырехбитное бинарное слово —
вы рисуете эти линии на песке наугад, а затем считаете их, и если
это нечетное число, вы записываете один штрих, а если четное, за¬
писываете два штриха Они делали это очень быстро, и я не мог
понять, откуда же они все получали — ведь они рисовали наугад
только четыре раза — я не мог понять, откуда они берут другие
12 символов. А они не говорили мне как. Они говорили: «Нет, нет,
я не могу тебе говорить об этом». И я сказал: «Ну хорошо, я запла¬
чу тебе, ты мог бы быть моим учителем, и я бы приходя каждый
140

день платил тебе». Но они отвечали: «Это не имеет денежной цен¬
ности. Это религиозная ценность».
И наконец, в отчаянии, я сказал: «Хорошо, дайте мне объяс¬
нить идеи Георга Кантора в 1877 году». И я начал объяснять, за¬
чем я был там в Африке, и они очень взволновались, когда увидели
множество Кантора. И один из них сказал: «Подойди. Я думаю, что
могу помочь тебе». И так он провел меня через ритуал инициации
жреца Баманы. Ну конечно, меня интересовала только математи¬
ка, так что он все время продолжал трясти головой: «Ты знаешь,
я учился этому иначе». Но мне пришлось спать, зарывая орех колы
рядом с моей кроватью в песок и дать семь монет семи прокажен¬
ным, и так далее. И наконец, он открыл правду значения. Оказыва¬
ется, это псевдослучайный числовой генератор с использованием
детерминированного хаоса. Когда у вас есть четырехбитный сим¬
вол, вы составляете его с другим по сторонам. Так четное плюс не¬
четное дает нечетное. Нечетное плюс четное дает нечетное. Четное
плюс четное дает четное. Нечетное плюс нечетное дает четное. Это
сложение по модулю 2 — прямо как проверка четности бита в ва¬
шем компьютере. Затем вы берете этот символ и вводите его сно¬
ва, так что получается самосоздающееся разнообразие символов.
Они на самом деле используют некий детерминированный хаос
для этого. Теперь, так как это двоичный код, мы действительно мо¬
жете применить это в технике — какой же фантастический ин¬
струмент для обучения должен быть в африканских технических
школах!
И самое интересное, что я нашел — это часть истории. В12 веке
Уго Санталия привез нечто от исламских мистиков в Испанию.
И там оно вошло в алхимическое сообщество как геомантия: гада¬
ние по земле. Эта карта геомантии нарисована для короля Ричарда
Второго в 1390 году. Немецкий математик Лейбниц говорил о гео¬
мантии в своей диссертации под названием «Де Комбинаторна».
Там сказано примерно так: «Вместо использования одного и двух
штрихов давайте использовать единицу и ноль, и мы сможем счи¬
тать лишь этими двумя». Ведь так? Единицы и нули, двоичный код.
Джордж Буль взял двоичный код Лейбница и создал Булеву алгебру,
а Джон фон Нейман взял Булеву алгебру и создал цифровой ком¬
пьютер. Так что все эти КПК и ноутбуки — да каждая цифровая
микросхема в мире — родом из Африки. Знаю, Брайан Ино гово¬
рит, что в Африке нет компьютеров; но я не думаю, что Брайан Ино
силен в африканской истории.
141
Африка удивляет фракталами

Рассказ Рона Эглэша
В заключение я скажу несколько слов о применении всего это¬
го. Национальный Научный Фонд по Компьютерным програм¬
мам недавно наградил нас грантом для создания программиру¬
емой версии таких инструментов дизайна, так что надеемся, что
через три года каждый сможет зайти в интернет и сотворить свои
собственные симуляции со своими собственными фракталами.
В США мы сфокусировались на афро-американских студентах,
как и на коренных индейцах и латиноамериканцах. Мы открыли
статистически значимые улучшения у детей при использовании
этой программы в математических классах по сравнению с кон¬
трольной группой, такую программу не имевшей. Так что это дей¬
ствительно очень успешное обучение детей, у них есть будущее
в математике, а не только в пении и танцах. Мы начали пробную
программу в Гане, получив небольшой начальный грант, просто
посмотреть, как народ будет проявлять желание работать с нами
над этим; и мы были очень взволнованы будущими возможностя¬
ми для этого.
Мы также работали в дизайне. Я еще не упомянул ее имя, моя
коллега Керри в Кении высказала одну чудесную идею использова¬
ния фрактальной структуры для почтовых адресов в деревнях, по¬
строенных по фрактальной структуре, потому что, если вы попро¬
буете применить решетчатую почтовую систему на фрактальной
деревне, то она не подойдет. Бернард Тщуми из Колумбийского
Университета применял такой дизайн для музея африканского
искусства. Дэвид Хьюз из Государственного Университета Огайо
написал учебник по архитектуре центральной Африки, где задей¬
ствовал некоторые из тех фрактальных строений.
И наконец, я просто хотел бы отметить саму идею самоорга¬
низации, как мы слышали ранее, это есть в самом мозгу. Это есть
и в поисковом движке Гугл. На самом деле, причина, по которой Гугл
имеет такой успех, заключается в том, что они были первыми, кто
использовал преимущества свойств самоорганизации в интернете.
Это применимо и в экологической устойчивости. Это применимо
ко власти, связанной с развитием предпринимательства, этической
власти демократии. Но это обнаруживается и в чем-то плохом. Са¬
моорганизация — причина столько скорого распространения ВИЧ.
И если вы думаете, что капитализм, который является самооргани¬
зующимся, не несет разрушительные последствия, то вы еще недо¬
статочно открыли свои глаза Так что стоит подумать, как было ра¬
нее сказано, о традиционных африканских методах использования
142

самоорганизации. Это здравые алгоритмы. Это способы создания
самоорганизации — создания предпринимательства — которые
благородны и основаны на равноправии. Так что, если мы хотим
найти лучший способ делать подобную работу, нам не нужно ис¬
кать дальше Африки, чтобы найти эти здравые алгоритмы само¬
организации.
143
Африка удивляет фракталами

m
WON И ІЧІІѴШіІФ
еаэеионин енаігз

Концепция фрактальности
§
ода в силу присущем ем установки на новизну
очень чувствительна ко всем процессам, которые
происходят не только в социальной жизни обще¬
ства, но и в художественной, и даже в научной сферах
культуры. В эпоху медиа модный тренд может быть
«запущен» фотографией знаменитости в журнале, ка¬
драми из фильма, технологическим изобретением или
сообщением о новой научной концепции. При этом
основанием для объяснения сложной динамики изме¬
нений моды, ее стилей и фасонов становятся самые раз¬
ные научные парадигмы (от волн А. Кребера до циклов
солнечной активности А. Чижевского).
Одна из концепций постнеклассической науки,
которая, на наш взгляд, может сыграть важную роль
в объяснении функционирования моды как совокуп¬
ности художественных образов и как социокультур¬
ного феномена — это фрактальная геометрия. По¬
ложения фрактальной геометрии были разработаны
Бенуа Мандельбротом в 1970—1980-х годах и пред¬
ставлены в его многочисленных статьях и книгах,
среди которых — знаменитый труд «Фрактальная
геометрия природы» (1982). В рамках фрактальной
геометрии Мандельброт рассматривал особые ма¬
тематические и природные структуры, обладающие
удивительным свойством самоподобия на всех своих
уровнях, которые он назвал «фракталами». Собствен¬
но, фрактал — это «структура, состоящая из частей,
которые в некотором смысле подобны целому» [1].
Более строгое математическое определение фрактала
Ѳ
145
ракталы и мода

Елена Николаева
(сам термин означает «дробный», «фрагментарный», «неправиль¬
ный по форме» [2]) основывается на так называемой фрактальной
размерности, т. е. степени «изломанности» объекта. Природные
фракталы — галактики, горы, дельты рек, деревья, кровеносная
и нервная система человека и пр.
Самоподобие фрактальной системы проявляется в том, что
при любом масштабе рассмотрения в ней обнаруживаются все
те же или очень похожие паттерны, повторяющие некоторым об¬
разом конфигурацию системы в целом. Такое свойство фракталов
называется масштабной инвариантностью, или скейлингом При
этом в одних фракталах самоподобие непрерывно (как у облаков),
а в других — дискретно (как в китайских коробочках и русских ма¬
трешках). Степень самоподобия фрактальных систем также может
быть разной: от абсолютной идентичности повторяющихся разно¬
масштабных паттернов (детерминированные фракталы) до весьма
приблизительного сходства (стохастические фракталы). Абсолют¬
ное самоподобие присуще только идеальным системам, его демон¬
стрируют, например, математические функции Вейерштрасса или
музыкальный темперированный строй (каноны «Музыкального
приношения» И. С. Баха [3]). При наличии во фрактальном алго¬
ритме периодических вариаций имеет место не точное, а прибли¬
зительное, статистическое подобие, и такой фрактал называется
стохастическим
Один из самых известных примеров стохастической фракталь-
ности — броуновское движение, которое относится не только
к физическим явлениям, но и к другим (в том числе социальным)
процессам, описываемым теорией вероятности. Иногда выделяют
еще один тип недетерминированных фракталов — алеаторные [4],
которые получаются, если на каждом шаге алгоритма построения
фрактала присутствуют некоторые случайные флуктуации, внеш¬
ние «возмущения». В результате фрактальные узоры алеаторных
фракталов искажаются в той или иной степени вплоть до крити¬
ческого «рассеивания». Многие социокультурные явления, напри¬
мер, культурная трансмиссия (воспроизводство социокультурного
опыта из поколения в поколение) [5] или распространение моды
(подражание) в обществе, по-видимому, имеют стохастически или
алеаторно фрактальный характер.
Важными свойствами фрактальной системы являются ее ите-
рационность (многократное повторение одного алгоритма) и ре-
курсивность (конечные результаты каждого цикла используются
146

Рис. 1. Алеаторный фрактал
(Платок Hermes)
в качестве начальных данных для следующего). Один из наиболее
наглядных рекурсивных рядов возникает в результате многократ¬
ного отражения в системе зеркал, например, модницы в примероч¬
ной кабинке.
Фрактальная геометрия представляет собой математическое
и концептуальное описание нелинейных динамических систем, ко¬
торыми являются большинство физических и социальных систем
Оказалось, что с помощью относительно несложных математиче¬
ских формул «можно описать форму облака так же четко и просто,
как; архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых
применяется язык традиционной геометрии» [6]. Более того, неко¬
торые философы и социологи успешно интерпретируют в терминах
фрактальной концепции традиционные и современные социокуль¬
турные и художественные практики (например, [7, 8]). При этом,
как; отмечает российский философ В. Тарасенко, возникает особый
«фрактальный нарратив» как способ создания повествований, кон¬
цептов, познавательных культурных практик [9].
Таким образом, выйдя за рамки математической теории,
концепт фрактальности инициировал «переключение гешталь¬
та на сборку нового понятия, на распознавание и интерпретацию
фрактальных структур в конкретных познавательных контек¬
стах» [10]. По существу, «открытие» фрактальных систем поло¬
жило начало не только парадигматическому сдвигу в точных на¬
уках, но и переходу от механистической модели мира Декарта
и Ньютона к нелинейной холистической картине мира, в которой
147
Фракталы и мода

Елена Николаева
Рис 2. Ггометрические фракталы
(Guo Pei 2012)
за «хаотической» абстрактностью стоят тонкие структуры, упоря¬
доченные на более высоком уровне сложности.
В любом случае фрактальный анализ служит полезным методо¬
логическим инструментом в экономике фондовых рынков, социо¬
логии, урбанистике, в математической истории, теории коммуни¬
кации, искусствознании.
Типы фракталов
Помимо степени подобия основой классификации фракта¬
лов может служить способ их построения, который определяет
тип подобия. Существует два класса математических фракталов.
Во-первых, линейные фракталы (их еще называют геометри¬
ческими или конструктивными), в которых самоподобие ре¬
ализуется в виде «вложенных» геометрических конструкций.
Алгоритм построения линейных фракталов основан на много¬
кратном (в пределе — бесконечном) повторении трансформа¬
ции начального геометрического объекта (линии, треугольника,
квадрата, пирамиды и проч.) и получающихся на каждом шаге
148

Рис. 3. Алгебраические фракталы
(GabiwArt)
фигур: например, замены отрезка ломаной линией или изъятия
части фигуры. Самоподобие линейных фракталов наиболее оче¬
видно в буквальном смысле слова (снежинка Коха, треугольник
Серпинского, губка Менгера и др.).
Фракталы второго типа— нелинейные или алгебраические —
представляют собой визуализацию поведения какой-либо комплекс¬
ной функции F (z, с) для разных начальных z0 или переменных с
Конечный результат каждой итерации (шага) является начальным
значением для расчета последующего. В зависимости от скорости
«убегания» zn в бесконечность соответствующей точке на комплекс¬
ной плоскости приписывается определенное хроматическое значе¬
ние. Одно из самых известных фрактальных «семейств» — множе¬
ства Жюлиа — получается из рекурсивного алгоритма: z > z2 + с, где
z и с — комплексные числа. Знаменитое множество Мандельброта
представляет собой своего рода «каталог» всех возможных множеств
Жюлиа и содержит целую «вселенную» удивительных фрактальных
образований, напоминающих то лозы винограда, то морских конь¬
ков, то спиральные галактики, то диковинные цветы.
Действительно, важное качество фракталов — это удивительная
красочность и потрясающая зрелищность их визуализаций, демон¬
стрирующих то барочную складчатость, то сложную геометрию
хай-тека [11]. Многочисленные творческие опыты художников-про-
граммистов с фрактальными алгоритмами привели к возникнове¬
нию в конце XX в. целого художественного направления, называе¬
мого фрактальной живописью, или фрактальным искусством
149
Фракталы и мода

Елена Николаева
Подчеркнем, что понятие фрактальности необязательно связа¬
но с математическим алгоритмом В поле культуры фракталы мо¬
гут называться «непространственными» [12], «семантическими»
и «нарративными» [13] и т.п. Наиболее общий термин — «культур¬
ный фрактал», относящийся к фрактальности культуры и цивили¬
зации, использует австралийский специалист по эко-архитектуре
П. Даунтон (Paul Downton): «культурный фрактал содержит кон¬
фигурации всех существенных характеристик его культуры» (пере¬
вод Е.Н.) [14]. Именно такого рода фрактальность исследует аме¬
риканский специалист по этноматематике Р. Иглэш (Ron Eglash),
доказывая, что геометрические фракталы древних африканских
городов связаны отношениями подобия с самыми разными арте¬
фактами и практиками традиционной культуры Африки: прически,
гадания, техники счета и прочее [15].
Иными словами, в культурном фрактале фрактальность мо¬
жет быть реализована и как геометрическая, и как алгебраическая,
но пространственные фрактальные паттерны при этом должны
иметь специфический культурный смысл. Более того, паттерны
культурного фрактала вообще могут не обладать конструктивной
или нелинейной фрактальностью, а проявлять самоподобие только
на уровне культурных смыслов и кодов, социокультурных концеп¬
тов и идей. Культурные фракталы, на наш взгляд, более уместно на¬
зывать концептуальными. Это позволит различать пространствен¬
ную фрактальность культурных объектов (например, замка Castel
del Monte (1250 г.) на юге Италии), не имеющую социокультурной
семантики, от собственно «культурной» фрактальности («кубы»
Мавзолея, отсылающие к идее вечности).
Особую категорию фрактальных образований составляют муль¬
тифракталы. Мультифрактал — это сложная фрактальная структура,
которая получается с помощью нескольких последовательно сменя¬
ющих друг друга алгоритмов. В результате «внутри» мультифрактала
образуется несколько разных паттернов с разными фрактальными
размерностями. Мультифрактальный характер может иметь любая
система, независимо от алгоритма ее порождения и самовоспроиз¬
водства на разных уровнях. Мода как социокультурный феномен,
по всей вероятности, может рассматриваться как мультифрактал,
в котором на каждом уровне «тиражирования» модных образцов
(фрактальных паттернов) одновременно действуют несколько алго¬
ритмов, задаваемых социальной стратификацией, субкультурными
установками, личными поведенческими моделями и т. д.
150

Фрактальные паттерны в дизайне одежды
Хотя концепция Б. Мандельброта первоначально относилась
к описанию природных процессов, сам ученый указывал на фрак¬
тальный характер некоторых произведений классических визу¬
альных жанров (живопись и архитектура), таких, например, как
фронтиспис «Бог-геометр» французского «Библейского нравоуче¬
ния в картинках» XIII в., рисунок Леонардо да Винчи «Всемирный
потоп», гравюры японского художника конца XVIII — начала XIX в.
Кацусики Хокусая «Сто видов горы Фудзияма» и работы М. Эшера
(XX в.). Б. Мандельброт полагал, что «многие из фракталов можно
рассматривать как новую форму минималистского геометрическо¬
го искусства» [16]. Исследования последних лет выявили фракталь¬
ные паттерны во многих произведениях классической и современ¬
ной живописи [17].
Как отмечалось выше, визуализации фрактальных алгоритмов
бывают необычайно красивы и обладают очевидной эстетической
ценностью. Визуальная привлекательность фрактальных паттернов
породила не только так называемое (цифровое) фрактальное искус¬
ство, но и открыла им дорогу в сферу дизайна и моды — практи¬
ческого воплощения и теоретической рефлексии. Отдельную тему
составляют технические аспекты использования фрактального ме¬
тода в текстильном производстве [18—20].
Первым дизайнером, начавшим работать с фрактальными пат¬
тернами в дизайне одежды, была, по-видимому, американка Джейн
Барнс (Jhane Barnes) [21], которая с конца 1980-х годов периодиче¬
ски создает коллекции мужских рубашек с фрактальными узорами,
полученными с помощью специальных колшьютерных программ
Уже не кажется случайным, что в «восточной» коллекции Dior
2007 г. было представлено пальто, расписанное на тему той самой фрак¬
тальной «Большой волны» Хокусая. Фрактальные паттерны можно уви¬
деть на итальянской одежде из коллекций Pucci (см. цветную вкладку)
и компании Motivi, на французских платках Hermes, на сари индийского
дизайнера Satya Paul, на британских сапогах Keddo... Австралийско-бри¬
танский дизайнер Марк Ньютон (Marc Newson) создает фрактальные
украшения из драгоценных камней, французская компания Miette —
фрактальную бижутерию. Мартин Гарденер (Martin Gardener) разрабо¬
тал специальную технику фрактальной вышивки.
Художники-фракталисты начинают создавать фрактальные ри¬
сунки специально как принты для одежды (дизайнер М Доброжевич
151
Фракталы и мода

Елена Николаева
Рис. 4. Dior2007
Рис. 5. Satya Paul (из коллекции сари)
(Milan Dobrojevic), дизайнер Дафна (Dafha)). Нэнси Маргрид (Nancy
Margried) из Индонезии и ее коллеги разработали специальное про¬
граммное обеспечение для автоматического перевода рисунка для ба¬
тика в фрактальную математическую формулу («Batik Fractal», 2010).
В последние годы с фрактальными паттернами в текстиль¬
ном дизайне работают также российские дизайнеры Лена Ка¬
рин (коллекция «Фрактальный маятник», 2009) и Лиза Шахно
(коллекция «The Iteration», 2012). Лена Карин создает свои мо¬
дели в технике вложенных «фототектур» (термин Е. Карин): ав¬
торские фототектуры переносятся на крой, затем сшитая вещь
тоже становится фототектурой, в результате в последних эле¬
ментах многослойной коллекции обнаруживаются фракталь¬
ные «фототектурные» образы — знакомые персонажи, одетые
в одежду из этой самой коллекции. Коллекция Лизы Шахно
«The Iteration» («Итерация») представляет собой творческое
осмысление теории фрактальной космологии и бесконечной
вложенности материи: дизайн ее моделей, основанный на повто¬
ряющемся базовом элементе — квадрате, разделенном диагона-
152

Рис 6.
Пространственный
и концептуальный
фрактал
(Венецианский
карнавал)
лями, репрезентирует, как объясняет автор коллекции, разные
уровни материи (каждая модель имеет свой масштаб и число
«элементарных частиц» материи) [22].
Фрактальные алгоритмы в социокультурных практиках моды.
На показе мод «Asian Couture 2012» в Сингапуре фрактальные узо¬
ры располагались уже не только на платьях из коллекции китайского
модельера Гуо Пэйя (Guo Pei) (см. цветную вкладку), но сама зер¬
кальная поверхность подиума и декорации зала создавали допол¬
нительные фрактальные рекурсии. Стоит заметить, что с позиций
фрактального подхода дефиле мод также является фрактальным ре¬
курсивным процессом предметы коллекции, варьирующиеся внутри
одной темы, девушки-модели сменяющие друг друга в стохастически
фрактальных одеяниях (коллекция как фрактал), и собственно кол¬
лекции — концептуальные фракталы сезона и «духа времени».
Фрактальные образы все чаще появляются в семиосфере моды,
связывая современные тренды с историческими перформансами,
как это происходит, например, на ежегодном карнавале в Вене¬
ции. Так, одной из самых ярких фрактальных фигур, замеченных
на карнавале 2013 г., была дама, гулявшая по набережной кана¬
ла в шляпе, на которой разместились уменьшенные копии собо¬
ра и колокольни Сан-Марко. Фрактальные итерации возникают
на карнавале и как отражение в зеркальцах, которые нередко яв-
153
Фракталы и мода

Елена Николаева
Рис 7. Фрактальная
динамика моды
(Показ коллекции Dior,
2012, Москва)
ляются особым дополнением к костюмам таинственных красавиц,
и с помощью масок, когда персонаж в маске держит в руке еще
одну такую же маску, или в парных масках «супругов». В последние
годы все чаще встречается «фрактальные итерации» масок в груп¬
пах из трех-четырех человек. Собственно венецианская маска сама
по себе — фрактальный (пространственный и концептуальный)
паттерн карнавала и итальянской истории.
Более того, собственно процесс распространения моды, очевид¬
но, задается фрактальным алгоритмом. Вне зависимости от моти¬
вов подражания моде и реальных траекторий ее распространения
(«просачивания вниз», «по горизонтали» или «вверх») можно выде¬
лить несколько существенных моментов, которые свидетельствуют
о фрактальном характере этого процесса
1.	наличие воспроизводства, копирования образцов на раз¬
ных уровнях социокультурного пространства (итерации),
так что каждая отдельно взятая модель отсылает к общему
тренду; фрактальные отношения связывают также бренд
и все отдельные экземпляры этой марки: фирменный лейбл
на каждой подкладке пиджака, на каждом кармане джин¬
сов, на каждой пряжке сумки — это фрактальный паттерн,
содержащий все имиджевые характеристики своего бренда
(концептуального фрактала);
154

2.	процесс воспроизводства паттернов является дискретным
(по внутренним уровням и внешним локусам), при этом
на каждом уровне и в каждом локусе модный тренд высту¬
пает в качестве «фрактальной формулы», а образец предыду¬
щего уровня — в качестве начального значения для создания
модели соответствующего уровня (рекурсии);
3.	из-за изменений, которые вносятся во «фрактальную фор¬
мулу» на каждом уровне и в каждом локусе, мода представ¬
ляет собой стохастический (алеаторный) фрактал Измене¬
ния фрактальных образцов на разных уровнях социальной
лестницы и на разных территориях мировой моды происхо¬
дит из-за требований большей функциональности, по эко¬
номическим причинам, в связи с национально-культурной
спецификой или в результате символического (в том числе
статусного) переозначивания, т. е. мода демонстрирует але¬
аторное поведение.
Если детализировать визуализацию продвижения новомодных
образцов от лидеров мнений к рядовым потребителям моды вну¬
три субкультурных и территориальных образований, то получится
схематическая фигура, весьма напоминающая фрактальный треу¬
гольник Серпинского.
Возможно, сложные, варьирующиеся циклы моды также яв¬
ляются отражением фрактальных закономерностей (например,
странных аттракторов), характерных для функционирования моды
как социокультурного феномена. Однако эта проблема требует от¬
дельного рассмотрения.
В последние годы фрактальный метод находит применение
не только в математических исследованиях, но во многих обла¬
стях культуры и прикладного искусства. Фрактальные паттерны
в дизайне модной одежды все чаще используются как элементы
художественного образа. Фрактальность в дизайнерских моделях
представлена не только на текстильных принтах с узорами нели¬
нейных фракталов, созданных с помощью специальных компью¬
терных программ, но и в форме геометрических «вложенных»
конструкций. Фрактальные паттерны присутствуют в самых раз¬
ных социокультурных практиках, связанных с модой,— от тка¬
чества до изготовления батика, от футболок и спортивной обуви
до татуировок и сари, от показов коллекций от кутюр до театра-
155
Фракталы и мода

Елена Николаева
лизованных карнавалов. Распространение модных образцов также
происходит по фрактальному алгоритму. При этом все модные об¬
разцы, независимо от идеи коллекции и стиля кутюрье, являются
художественными репрезентантами и концептуальными фракта¬
лами эпохи и социума.
Литераіура
1.	Федер Е. Фракталы. — М.: Мир, 1991. — С. 19.
2.	Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.— М.;
Ижевск, 2010.— С. 18.
3.	Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры
из бесконечного рая.— Ижевск НИЦ «Регулярная и хаоти¬
ческая динамика», 2005.— С. 142—149.
4.	Деменок С. А. Просто фрактал. — СПб.: ООО «Страта»,
2012,— С. 155—158.
5.	Николаева Е. В. Фрактальные размерности человека в куль¬
туре/ /Многомерность и целостность человека в философии,
науке и религии.— Казань: Казанский ун-т, 2012. — С. 289—
294.
6.	Юргенс X., Пайтген Х.-0., Заупе Д. Язык фракталов в мире
науки//Scientific American. N° 10, Октябрь, 1990.— С. 37.
7.	Фракталы и флуктуации в культуре/Под ред. И. А. Ильяе-
вой. — Белгород: БГТУ им. В. Г. Шухова, 2003.
8.	Taylor R. Chaos, Fractals, Nature. A New Look at Jackson
Pollock [Text].— Fractal Research, Eugene, USA, 2006.
9.	Тарасенко В. В. Человек кликающий: фрактальные метамор-
фозы//Информационное общество— 1999.— Вып. 1.—
С. 43—46.
10.	Введение в экранную культуру: новые аудиовизуальные
технологии/Отв. ред. К. Э. Разлогов.— М.: Эдиториал УРСС,
2005,—С. 82.
11.	Пайтген Х.-0., Рихтер П. X. Красота фракталов. Образцы
комплексных динамических систем.— М.: Мир, 1993.
156

12.	Хайтун С. Д. От эргодической гипотезы к фрактальной кар¬
тине мира— М.: Комкнига, 2007.
13.	Бонч-Осмоловская Т. В. Фракталы в литературе: в поис¬
ках утраченного оригинала URL: http://www.metodolog.
г u/01202/01202.html/.
14.	Downton P. F. Ecopolis — Architecture and Cities for a Chang¬
ing Climate. — Springer Press, 2008. — P. 28.
15.	Eglash R. African Fractals: modern computing and indigenous
design.— Rutgers University Press, 1999.
16.	Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.;
Ижевск, 2010.— С. 43.
17.	KocicL. М. Art Elements in Fractal Constructions//VIS-
MATH. — 2002. — Vol.4.— № 1.
18.	Neves J., Neves M., Janssens K. Fractal Geometry— A New
Tool for Textile Design Development Applications in Print¬
ing/ /International Journal of Clothing Science and Technol¬
ogy.— 1994.— Vol. 6.— Iss. 1.— P. 28—36.
19.	Chrpova E. Application of fractal analysis in textile production
processes [Electronic resource]//ll th Conference on Fracture
Proceedings.— Turin.— 20—25 March.— 2005. URL: http://
www.icfl l.com / proceeding/extended/5261.pd£
20.	Monro P. Fractals for Fashion — Textile weaving design.URL:
http://seelb.org/fractals-for-fashion-textile-weaving-de-
signs/.
21.	Fractals Inspire Jhane’s Designs . URL: http://www.jhane-
barnes.com / digital.
22.	Liza Shakhno. The Iteration. URL: http://lisashahno.com/
the-iteration-2012/.
157
Фракталы и мода

Елена Николаева
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
158

Ѳдин из главных вопросов, который поднимают
художники-фракталисты, связан с определени¬
ем самоценности и эстетического смысла ново¬
го жанра цифрового искусства: публичные презен¬
тации визуализированных фрактальных алгоритмов
положили начало спорам о художественном статусе
цифрового фрактального искусства После того как
появились профессиональные программы-фрактало¬
генераторы (Ultra Fractal, Fractal Explorer, Apophysis,
Mandelbulb 3D и др.), фрактальное искусство пере¬
стало быть алгоритмическим в строгом смысле слова,
поскольку художниіс-фракталист уже сам не разраба¬
тывает собственный алгоритм, а может использовать
готовые программные инструменты точно так же, как
живописец прошлых веков использовал кисти и кра¬
ски. Правда, компьютерные технологии не только из¬
менили «вещественность» изобразительных средств,
но и добавили к традиционному набору цифровую
кинестетику — опосредованную жестуальность ху¬
дожника, виртуализировав его тактильные контакты
с «полотном». Именно этот момент выдвигается в ка¬
честве критического аргумента против признания ху¬
дожественного статуса компьютерного, в том числе
фрактального, искусства. Компьютерный «интеллект»
будто бы замещает личностное начало, заменяя твор¬
ческий процесс последовательностью программных
команд и нажатием кнопок.
Однако техническая опосредованность создания
образа (например, фото- или киносъемка) не отме¬
няет понятие искусства и художественного характе¬
ра такого способа концептуализации действительно-
159
Заключение

Елена Николаева
сти. Несмотря на «программный» характер фрактального образа,
эстетическая опенка изображения, полученного в результате инди¬
видуального выбора целого ряда программных опций и числовых
коэффициентов, остается полностью прерогативой автора И точно
так же, как; традиционный художник комкает листы с неудачными
эскизами, цифровой художник отправляет в виртуальную корзину
файлы с невыразительными фрактальными сюжетами.
Художник-фракталист «просеивает» сотни случайных компози¬
ций, произведенных компьютером, пока какая-то из них не вызо¬
вет эмоциональный резонанс, не покажется отражением некото¬
рой личностной идеи или значимым эстетическим высказыванием.
«Каждый фрактал начинается как хаос, — отме¬
чала А. Келли, — а я нахожу 6 нем паттерны, и это
доставляет мне удовольствие. <...> Столъ многое
в жизни и вселенной хаотично, а я могу взять крохот¬
ную частичку этого хаоса и создать прекрасное»1.
В любом случае, сейчас, когда многие художники с разным миро¬
ощущением и творческим стилем выбрали «хаотически-фракталь-
ную парадигму в качестве модели своего творчества»1 2, уже невоз¬
можно не признать, что фрактальное искусство стало ключом
к пониманию и моделированию динамического хаоса, в том числе
и в виде художественного отображения реальности нового типа —
реальности постиндустриальной цифровой культуры.
И во многом благодаря новому искусству фракталы не только
начинают радикальное «переформатирование» семиосферы куль¬
туры, но и все отчетливее приобретают онтологическое социокуль¬
турное содержание.
1	Kelly А. Fractals as art. YLEM Newsletter. 2000. Vol. 20. № 4. P. 8.
2	Rosato G. S. Fractal Art. Journal of Science Communication. 2010,9 (4).
160

Шитература
1.	Манифест группы «Фракталисты — Искусство и сложность».
Groupe Les Fractalistes — Art et Complexite, Manifeste fractaliste, “Art Press”,
n. 229, November 1997, pp. 28—30.
Взято c: http://pagesperso-orange.fr/charles.vassallo/en/art/fractalist.html
2.	Розато Г. фрактальное искусство.
Rosato G. C. Fractal Art. Journal of Science Communication, 9 (4), 2010. A01.
Взято c: http://jcom.sissa.it/achive/09/04/Jcom0904%282010%29 A01 /
Jcom0904%282010%29 A01.pdf
3.	Гинзбург К. Фрактальное искусство.
Ginzburg С. L’art fractal. In: Jean-Claude Chirollet. La question du detail et 1’art
fractal (a batons rompus avec Carlos Ginzburg). Paris, Editions L’Harmattan, coll.
Histoires etidees des Arts, 2011, pp. 255—257.
Взято c: http://www.jean-claude-chirollet.fr/carlos-ginzburg-3-l-art-fractal
4.	Конде С. Фрактальный художник.
Susan Conde The Fractal Artist. Leonardo, Vol. 34, No. 1 (2001), pp. 3—10.
Взято c: http://www.jstor.org/discover/10.2307/1576971? uid=3738936&uid=2
&uid=4&sid=21104111711927
5.	Васало Ш. Фрактальное искусство?
Vassallo Ch. Fractal Art?
Взято с его сайта:
URL: http://charles.vassallo.pagesperso-orange.fr/en/art/fractalisthtml;
http://charles.vassallo.pagesperso-orange.fr/en/art/intro3.html
6.	Келлер К. Современная эволюция фрактального искусства. Традиционное и ре¬
презентативное фрактальное искусство.
Keller К, Recent Evolution in Fractal Art. Traditional and Representative Fractal Art.
URL: http://fractalartgallery.com/fractal_art_essay_01.htm
7.	Митчелл К. Манифест фрактального искусства.
Kerry Mitchell. The Fractal Art Manifesto.
URL: https://www.fr actalus.com/kerry/articles/manifesto/fa-manifesto.html,
8.	Келли Э. Фракталы как искусство.
Kelley, Alice. Fractals as Art. YLEM, 2000, Vol. 20, № 4. Pp, 6—8,
Взято с ее сайта: http://www.alicekelley.com/ylem.html
9 Джоунс Д О фракталах и искусстве.
Jones D. М. Of Fractals and Art.
URL: https://www.fractalus.com/info/fractalarthtm
10.	Парк Ж. Фрактальное искусство: сравнение стилей.
Janet Parke. Fractal Art: A Comparison of Styles.
URL: http://www.infinite-art.com/index.about.comparison.php
11.	Бинниг Г. Творческий процесс,
Gerd К. Binnig, The Creative Process.
Deutschland magazine, 05/2006/
161

I
Манифест фракталистов
Вверху: A Quiet Spot 2010, группа Fraxial M
Внизу: Gnarly Spirals, 2012, группа Fraxial M

к статье «Фрактальный художник»
Pompeii, 1997, Nabil Nahas. № 3. С. 43
Справа: Jardin de la metamorphose, 1994, Jean-Paul Agosti. С. 41

III
к статье «Фрактальный художник»

к статье «Фрактальное искусство»
IV
A utre: Le Reseau neuronal de la socio-culture, 1997, Carlos Ginzburg. С. 34

V
к статье «Фракталы как искусство»
Рис. 0. Golden Pheasant (1999). Alice Kelley.
Стр. 68
Рис. 8-11. Стр. 74
Рис. 10. Shapes 2 = asteroid
Рис. 7. Градиент. Стр. 72
Рис. 12. Случайные цвета. Стр. 75
Рис. 11. Алгоритм раскрашивания «curvature»

к статье «Фрактальное искусство: сравнение стилей»
VI
«In the Crowd» (2001).
Kerry Mitchell
Стр. 92
«Fossils 2» (2000).
Kerry Mitchell
«A View of Hope» (2001).
Kerry Mitchell
Стр. 93
«Luminosity II» (1999).
Robert Williams

VII
к статье «Фрактальное искусство: сравнение стилей»
Robert Williams «Ship of Dreams» (1999)
Robert Williams «La Femme» (2000)
Janet Parke «Endicott» (2000)
Стр. 94-97
Janet Parke «Libellen» (2000)

к статье «Фрактальное искусство: сравнение стилей»
VIII
Mark Townsend
«Calvary»(1999)
Стр. 99
Mark Townsend
«The Song of Time» (1999)
Стр. 100
Mark Townsend
«Carnal Knowledge» (2001)
Стр. 101

IX
к статье «Фракталы и мода»
Дизайн тканей Emilio Pucci. Текстиль (стр.107)
Asian Couture 2012. Guo Pei. (стр. 111)

к статье «Фракталы и мода»
X

XI
к статье «Фракталы и мода»
Восточная коллекция. Dior 2007. (стр. 109)
Слева: Guo Pei. 2012. (стр. 111)

к статье «Фракталы и мода»
XII
Emilio Pucci. 1970-е гг. (стр.109)

XIII
к статье «Границы хаоса»

к статье «Границы хаоса»
XIV

XV
к статье «Границы хаоса»

к статье «Границы хаоса»
XVI

XVII
к статье к статье «Границы хаоса»

ШАХ
«D30DX nilllHDdj» дЧиШІЮИ

XIX
к статье к статье «Границы хаоса»

к статье «Границы хаоса»
XX

О главление
Елена Николаева
Введение	6
Манифест группы
«Искусство и сложность»
(Manifeste du Fractaliste)	10
Джуди С. Розато
Фрактальное искусство	12
1.	Введение во фрактальное искусство	13
2.	Евклид versus Мать-Природа	16
3.	Был ли Поллок фракталистом?	22
4.	Может ли научная теория выступать как критерий ценности
произведения искусства?	28
Карлос Гинзбург
Фрактальное искусство	32
Сюзан Конде
Фрактальный художник	38
Шарль Васало
Фрактальное искусство?	46
Движение фракталистов	47
Два предшественника	48
Защитить себя самим	49
Что может быть фрактальным искусством?	50
Действительно ли алгоритмическое фрактальное искусство
является искусством?	52
В качестве заключения:
фрактальное или алгоритмическое искусство?	56
Кен Келлер
Современная эволюция фрактального искусства:
Традиционное и репрезентативное фрактальное искусство . 58
Керри Митчелл
Манифест фрактального искусства	62
Элис Келли
Фракталы как искусство	66
Дэмиен М. Джоунс
О фракталах и искусстве	76
Фрактальное искусство как подвид цифрового искусства	77
Компьютер как творец	79
Узы математики	80
162

Доступно всем	81
Искусственная редкость	83
Тенденции будущего	84
Жанет Парк
Фрактальное искусство:
сравнение стилей	86
Введение	87
1.	Керри Митчелл — риторика классицизма	91
2.	Роберт Уильямс — утонченная элегантность	93
3.	Жанет Парк — создание атмосферы
с помощью текстуры	95
4.	Марк Таунсенд — расширение границ	98
Заключение	101
Иэн Стюарт
Природа фрактальной геометрии	102
Вселенная наполнена фракталами.
Возможно, она сама и есть фрактал	103
Важность фракталов	106
Галерея монстров	106
Предыстория фракталов	106
Какова длина береговой линии Британии?	109
Фрактальная геометрия береговых линий	109
Фрактальная размерность	112
Броуновское движение	117
Движение частиц	117
Турбулентность	119
Фрактальные барабаны	120
Фракталы как модели вибрации	120
Фракталы в технологиях	125
Практическое применение	125
Взгляд через фрактал	128
Путь к открытиям	128
Беседа с Гердом Биннигом
Творческий процесс	130
Рассказ Рона Эглэша
Африка удивляет фракталами	134
Елена Николаева
Фракталы и мода	144
Концепция фрактальности	145
Типы фракталов	148
Фрактальные паттерны в дизайне одежды 	151
Литература	156
Елена Николаева
Заключение	158
163
Оглавление

Серия книг «ФОРМУЛА КУЛЬТУРЫ» {ФК}
Елена Николаева
ФРАКТАЛЫ
ГОРОДСКОЙ КУЛЬТУРЫ
В книге предложено осмысление ла-
биринтов городской культуры с пози¬
ций фрактальности. Улицы и кварталы,
здания, памятники, транспорт и улич¬
ное искусство, реклама и музейные
артефакты, библиотеки и магазины,
как и город в целом, — если присмо¬
треться, они создают бесконечные
фрактальные узоры. Город полон
фракталов, и чтобы их увидеть, нужно
погрузиться в бесконечно «вложен¬
ные» пространства окружающей сре¬
ды. Новая модель для описания мега¬
полисов привлечет всех, кого интере¬
сует городская культура и необычные
ракурсы ее исследования.
Сборник статей
ФРАКТАЛЫ
КАК ИСКУССТВО
Подборка материалов сборника пред¬
ставляет собой попытку посмотреть
на фрактальное искусство с несколь¬
ких ракурсов: математического, техно¬
логического, эстетического и философ¬
ского. Книга будет интересна специа¬
листам в области эстетики, философии
искусства, культурологии и искусство¬
ведения, преподавателям и студентам
художественных специальностей, ши¬
рокому кругу читателей.

Серия книг «ФОРМУЛА КУЛЬТУРЫ» {ФК}
Николай Серов
СИМВОЛИКА ЦВЕТА
Если бы цвет был только объективной
стороной восприятия, все люди одина¬
ково предпочитали бы определенные
цвета независимо от возраста, пола, на¬
строения. Цветобладает биологически¬
ми и информационными свойствами
энергии — не только физического поля,
но и психологического, иначе невоз¬
можно объяснить, почему нам в разные
периоды нравятся разные цвета. Книга
представляет значение цвета с позиций
архетипической модели интеллекта;
символику цвета в различных областях
религии, искусства и науки; содержит
конкретные рекомендации по исполь¬
зованию цвета в интерьере и одежде,
в воспитании детей и в семейной гар¬
монии, во взаимоотношениях с собой
и обществом.
Олеся Строева
ИСКУССТВО
И ФИЛОСОФИЯ
Увлекательное исследование на стыке
культурологии, истории философии
и искусствоведения. Античная скульп¬
тура и сэлфи, живопись Ренессанса
и компьютерная реальность, основы
классической эстетики и парадоксы
постмодернизма в равной степени
становятся предметом авторской
интерпретации. Книга может быть
интересна широкому кругу читате¬
лей — как думающим людям, испыты¬
вающим потребность в размышлении
о краеугольных вопросах культурной
истории, так и специалистам в области
современной культуры, а также сту¬
дентам гуманитарных вузов.

формула
культуры
МАНИФЕСТ
ФРАКТАЛИСТОВ
Сборник статей
2-е издание
Составление, перевод:
НИКОЛАЕВА
Елена Валентиновна
Автор идеи:
Деменок
Сергей леонидович
Обложка:
Леонова Елена
Оформление и дизайн:
Мороз Сергей
Подписано в печать 8 сентября 2017 г.
Тираж 500 экз.
страта
195112, Санкт-Петербург, Заневский пр., 65, корпус 5
Тел.: +7 [8121 320-56-50, 320-69-60
www.strata.spb.ru, E-mail: info@strata.spb.ru

ISBN 978-5-906150-58-5
Из манифеста группы художников-фракталистов «Искусство и Сложность»
Своими работами мы утверждаем парадигму хаотически-фрактальной сложности.
Наша фракталистская деятельность проявляется через мир, где изобилуют случайные и быстро
размножающиеся формы.
Мы отказываемся от евклидовой рациональности в пользу непрограммируемых и непредвиденных
Лабиринтный образ и его случайная траектория предлагают реконструировать воображаемое и
открыть новую перспективу.
в спирали «порядок-беспорядок» произведение есть внезапное проявление гибридности и перехода.
Фракталист ская деятельность по созданию картин в новых технологиях кристаллизирует поле
материализации сетей, игр масштаба, размножения делением, самоподобия, гибридизации,
рекурсивности, диссипативных структур, вэффекта бабочки», странных аттракторов,
бесконечности.
процессов.
1пп™пт,няягЭвеЙеНиЯ максималистские; именно информационным избытком достигается
рантик и знания.
'ьное обновление модели творчества.