СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ГАЗОДИНАМИКЕ
Б. Г. ЛОБОЙКО

Российский Федеральный Ядерный Центр —
Всероссийский Научно-исследовательский институт
технической физики
Б.Г. ЛОБОЙКО
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ГАЗОДИНАМИКЕ
Снежинск 1997

Настоящий сборник содержит 45 задан по газодинамике с решениями. В задачах
рассматриваются изэтропическое течение сжимаемой среды, ударные и
детонационные волны.
Некоторые из представленных задач включались в теоретический курс "Механика
сплошных сред", читавшийся в Московском инженерно-физическом инстшуте в 50-х
годах, другие предлагались аспирантам Всероссийского научно-исследовательского
института технической физики, часть из них составлена автором. Большинство задач базируется
на теоретическом материале книги ЕЙ Забабахина "Некоторые вопросы газодинамики
взрыва".
Сборник может рассматриваться как дополнительный материал для
соответствующего теоретического курса, а также как руководство при решении простых
практических задач. Он может быть полезен студентам, аспирантам и научным
работникам, специализирующимся в области газодинамики и физики взрыва.
Рекомендуется последовательная проработка предлагаемого материала, поскольку
при решении некоторых задач используются результаты, полученные в предыдущих.
Лобойко Борис Григорьевич — доктор технических наук, начальник отдела Российского
Федерального Ядерного Центра — Всероссийского НИИ технической физики, лауреат
Государственной премии. Специальность: физика взрыва, газодинамика, взрывчатые
материалы.
ISBN 5-85-165-326-4
© РФЯЦ—ВНИИТФ

ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Одномерное изэнтропическое течение сжимаемой среды 4
2. Плоские ударные волны 24
3. Детонационные волны 60
4. Условные обозначения и сокращения 81
5. Литература 82

1. ОДНОМЕРНОЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ
СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
Краткие сведения из теории
В задачах данного раздела рассматривается одномерное изэнтропичес-
кое течение идеализированной (невязкой, нетеплопроводной) среды. Такое
течение описывается уравнением сохранения массы
5р 3U Т7др Л
dt дх дх
уравнением сохранения количества движения
dU TTdU 1 дР .
+ U + = 0 (Ь)
dt дх р дх
и уравнением изэнтропы, которое для принятой здесь среды берется в виде
Р = Арп. (с)
В данных уравнениях U — скорость, Р — давление, р — плотность, х и t —
пространственная и временная координаты, А и п — коэффициенты,
зависящие от свойств среды. Эти уравнения путем несложных преобразований
приводятся к так называемому характеристическому виду:
dt\ n-l) у 'дхК n-lJ
дА п-\) У } дх\ п-\)
где С — местная скорость звука в среде.
Из уравнений (d) и (е) следует, что вдоль семейства кривых,
описываемых уравнением — = U + C и называемых С+- характеристиками,
выполняются соотношения:
1С
J =t/ + -^- = const,, (f)

а вдоль кривых — = £/ - С (С_ -характеристик) —
dt
1С
J_=U = const (g)
n-1 J
Причем, для каждой /-й С+ -характеристики имеется своя константа const;,
а дляу-й С _-характеристики — const,. Соотношения (f) и (g) обычно
называют инвариантами Римана. Характеристики являются траекториями (в
плоскости (х, t)) возмущений, распространяющихся со скоростью звука, являющейся
алгебраической суммой местной скорости звука С и скорости среды U.
Возмущения задаются соотношениями Римана
Таким образом, решение исходных уравнений может быть представлено
в виде двух взаимодействующих волн (С+ и У+ описывают волну,
распространяющуюся в положительном направлении оси х, С_ и J_ — в отрицательном).
В каждую точку (х, f) -диаграммы течения приходит одна С+ -и одна
С_ - характеристики. Совместное решение инвариантов, соответствующих
этим характеристикам, позволяет для этой точки (аналогично и для любой
другой) определить U и С (Р и р). При этом необходимо знание начальных
(граничных) условий — значений соответствующих констант
инвариантов Римана.
Возвращаясь к С+ - и С_ -характеристикам, отметим, что в
рассматриваемых ниже задачах они изображаются сплошными и пунктирными
линиями соответственно.
№1
Из цилиндра бесконечной длины, заполненного газом, в момент
времени /= О начинает выдвигаться поршень по закону
at2
Определить возникшее при этом течение газа.
Решение.
Возникшее течение граничит с областью покоя и потому является
простой волной разрежения [1,2].
5

Сборник задач по газодинамике
Рассмотрим это течение с применением (х, f) - диаграммы (см. рис. 1).
t
Рис. 1
Возникшее течение (обл. II) со стороны меньших значений / ограничено
первой из С+ - характеристик — С\: х = CQt. Это следует из того, что
скорость распространения возмущения в неподвижном и невозмущенном газе
равна скорости звука в этом газе С0 .
В область течения из области покоя (I) по С_ -характеристикам
приходит информация:
п- 1 п-\
Следовательно, на каждой / й С+-характеристике области II одновременно
выполняются два соотношения: (1) и
1С
U-
п-\
- const.
(2)
Совместное решение уравнений (1) и (2) показывает, что на /-й (и на любой
другой) С+- характеристике сохраняются постоянными U и С. (На разных
6

Одномерное изэнтропическое течение сжимаемой среды
С+ -характеристиках U и С различны). Это дает возможность
проинтегрировать уравнение С+-характеристик:
Получаем:
x = (U + Cy + f(U), (3)
где f(U) — произвольная функция, отличающая одну характеристику от другой.
Из (1) и (3) получаем:
х = (с0+^иУ + /(и). (4)
Вид f(U) находим из граничного условия: скорость газа U на поршне равна
скорости поршня Un , траектория движения газа на поршне совпадает с
траекторией поршня.
Из исходного вида закона движения поршня получаем:
'■—f- x-—£- (5)
Подставляя выражения (5) в уравнение (4), получаем:
/ft/ ) = _2_JL + 2-. (6)
J l "' a la '
Такой же вид произвольная функция имеет во всей области II:
Итак, возникшее течение (простая волна) описывается выражениями:
С = С0+^и, (1а)
(п л + 1 ,Л, C0U nU2
Действительно, для любой пары х и t из (1а) и (4а) определяются UuC.
7

Сборник задач по газодинамике
Из (1а) следует, что верхним пределом (по модулю) скорости течения
1С
газа является величина
\и
о
n-Y
т. е. при сколь угодно большой скорости поршня газ будет иметь конечную скорость.
Если, начиная с некоторого t = tK , скорость поршня
то поршень отрывается от фронта истечения газа — имеет место явление
кавитации (обл. III). Это происходит в момент
1С
t =- °
« а(п-1)
Траектория фронта свободного истечения газа совпадает с последней
С + -характеристикой (С").
№2
В вакууме находится длинный цилиндр с газом. Определить течение,
возникшее при мгновенном снятии одного (левого) дна, пренебрегая боковым
расширением газа.
Решение.
Решение этой задачи (как и некоторых последующих) во многом
аналогично решению задачи № 1 и поэтому дается без подробностей. Возникшее
течение, являющееся простой волной разрежения, описывается уравнениями:
x = (t/ +С)/+/(£/), (1)
C = C0+^U. (2)
Из начальных условий (/ = 0, х = 0) получаем /(£/) = 0. Уравнение (1) с
помощью (2) преобразуем к виду
* = (ca+^u)t. (la)
S

Одномерное изэнтропическое течение сжимаемой среды
Из (1а) следует, что все С+- характеристики исходят из начала координат
(х, {) -диаграммы. Такая простая волна называется центрированной.
Из (1а) и (2) получаем в явном виде зависимости U и С от х и t:
С
/7-1 х 2СП
л + 1 /
2 х
Л + 1
2СЛ
/7 + 1 t П + 1
Видно, что течение автомодельно: U и С зависят от
течения приведена на рис. 2.
(3)
(4)
(дг, /) - диаграмма
Простая волна (обл II) ограничена С+-и С"-характеристиками. С +
-характеристика, принадлежащая к области покоя I, описывается уравнением
х = CQt Уравнение для С" получаем из следующих рассуждений. В момент
снятия дна в начале координат скорость звука изменяется от С0 до нуля.
Последней С+- характеристике 1С") соответствует С=0. В этом
случае из (2) получаем
2СП
л-1

Сборник задач по газодинамике
Следовательно, С" описывается уравнением:
2С0
х = -t.
п-\
Последнее совпадает с уравнением движения границы газа при разлете его
в вакуум (на границе газа с вакуумом С = 0).
Уравнение С_ -характеристик имеет вид
— = и - С = —- - - ^~
dt n + \ t л + 1
(5)
Видно, что в общем случае С_- характеристики криволинейны, а при л = 3
— прямолинейны.
Из уравнений (3) и (4) следует, что в месте размещения дна (х = 0)
устанавливается критический режим: скорость газа равна скорости звука
Из этого следует, что наклон всех С_-характеристик при пересечении оси
4CV
ординат равен -
л + 1
№3
Из цилиндра бесконечной длины, заполненного газом, выдвигается
поршень со скоростью Un (хп = -Unt). Определить возникшее течение
Решение.
(х, 0 -диаграмма течения приведена на рис. 3.
t
Рис. 3.
10

Одномерное изэнтропическое течение сжимаемой среды
Область II, граничащая с областью покоя I, является простой волной
разрежения и описывается уравнениями:
x = (U + C)t+f(U) (1)
C = C0+^U. (2)
Используя начальные условия (t = 0, х = 0), получаем f(U) = 0.
Следовательно, это центрированная волна. С + -характеристики этой волны
описываются уравнением:
* = (со+^/)г. (3)
Их наклон изменяется от С0 до С0 U п .
Между крайней слева С+- характеристикой центрированной волны
разрежения и траекторией поршня лежит область III стационарного течения,
которая характеризуется параметрами: U = -Un; С = С0 U .
С+ -характеристики этой области описываются уравнением
а С_-характеристики
dx r
dt °
2 "
2 "
(4)
(5)
С увеличением (по модулю) скорости поршня область стационарного
1С
течения уменьшается. При | Un \> —— область стационарного течения
1С
вырождается, и все течение превращается в простую волну. При Un \>——
поршень отрывается от газа, течение совпадает с описанным в предыдущей
задаче
11

Сборник задач по газодинамике
№4
Получить выражения зависимостей давления и плотности от скорости
газа в простой волне.
Решение.
Для определенности рассмотрим волну, распространяющуюся вправо.
Параметры газа, охваченного такой волной, связаны с начальными
параметрами соотношением Римана для С_ -характеристики:
«..£..„_*;
л-1 ° я-1
Используя изэнтропичность процесса
2л
^С0^
из (1) получаем искомые выражения:
( - Л
С
п-\
_р_
Ро
гсл
vC0y
2
и-1
1 +
и-1 tZ-C/p
2 ' Сп
2и
и-1
(1)
(2)
_Р_
Ро
1 +
и-1 f/-t/n
с
л-1
Если
U-Uo
(3)
Со
в ряд по степеням
«1, правые части уравнений (2) и (3) могут быть разложены
U-Uo
Со
— =1 + п
U-U п(п + 1)
■ = 1 +
с
U-Un 3-й
I/-J/,
\
+... ,
V <-0 J
2
Ро
с„
• + -
'с/-с/п^
о
с,
+...
v *-о J
12

Одномерное изэнтропическое течение сжимаемой среды
№5
В вакууме находится бесконечно длинный цилиндр с газом под
давлением Р0. С левой стороны в цилиндр вставлен поршень, масса которого на
единицу площади равна М. Определить закон движения поршня хп (t) после
снятия ограничителя, первоначально удерживавшего поршень.
Решение.
Под действием газа поршень движется влево. В газ (вправо)
распространяется простая волна разрежения. В предыдущей задаче получено
выражение Р - f(U) для газа, охваченного такой волной
2л
1 +
л-1 U-Un
СЛ
и-1
В нашем случае \UQ = 0) уравнение (1) упрощается
1 +
U
2п
л-1
Уравнение движения поршня имеет вид
Р = -М-
dU
■ п
d/
где Un — скорость поршня,
Р — давление газа на поршень.
Уравнение (2) с использованием (1а) при U = U преобразуется в
i+^itf
2С
2л
й^1
_
-м
Ejl
dt
dx_
(1)
(la)
(2)
(2a)
Интегрируя (2а) дважды (используя Un = ——), получаем искомый
dt
закон движения поршня
п и-1
мсп
-t +
мсп
Р0(п + 1) '
1 + -21 it
2МСП
л+1
(3)
13

Сборник задач по газодинамике
Из (3) следует, что траектория движения очень легкого поршня (М -> 0)
совпадает с траекторией движения фронта разлета газа в вакуум:
lim х =
2СЛ
/.
М->0 " /7—1
Очень тяжелый поршень (А/ -> оо), наоборот, не сдвинется с места:
lim хп = 0.
№6
Из длинного цилиндра с газом в начальный момент (t - 0) выдвигается
поршень со скоростью - UQ. В момент t\ его скорость скачком изменилась до
значения - UY, где \UX \> \U0 . Качественно (на (х, i) - диаграмме) описать
возникшее течение при условии, что t/Q и \UA меньше, чем
Решение.
(х, t) -диаграмма возникшего течения приведена на рис. 4.
t
1С
А7-1
Рис.4
14

Одномерное изэнтропическое течение сжимаемой среды
Показанные на рис. 4 области представляют собой:
I и III — простые волны; II и IV — стационарные течения
Поскольку эти виды течения рассмотрены в задаче № 3, здесь для
каждой области дадим только уравнения для С+-характеристик (в
дифференциальном виде) и для связи скорости звука со скоростью газа.
Область I
dx
= U+C
dr
у -и0<и<о.
Область II
, где С\уо j — скорость звука, соответствующая U = -UQ
Область III
At
у -и]<и<-и0
Область IV
, где С[ух J — скорость звука, соответствующая U = U{
№7
В вакууме находится цилиндр длиной L с газом, показатель политропы
которого п-Ъ . Мгновенно убирается левое дно цилиндра. Найти зависимость
давления на правое дно от времени и определить суммарный импульс,
сообщенный ему газом за время истечения.
Решение.
При снятии левого дна в газ распространяется простая центрированная
волна разрежения (см. задачу № 2).
15

Сборник задач по газодинамике
Ее С+ -характеристики описываются уравнением:
(1)
Ввиду л = 3, С+- характеристики (как и С_) прямолинейны во всем
течении (в том числе и в зоне волны разрежения, образующейся при
отражении исходной волны от дна) [1,2].
(х, i) -диаграмма возникшего течения приведена на рис. 5.
Рис. 5
Правое дно считаем абсолютно жестким: U - О, скорость газа вблизи
дна U - О . С учетом этого из (1) следует, что вблизи дна
с=£
(2)
аналогично в невозмущенном газе
с =А
0 /
'о
( ^\
Из (2), (2а) и уравнения политропы газа Р = Р0
С0]
(2а)
следует, что
давление вблизи дна при t > t0 изменяется со временем по закону:
Р = Р„
4°
(3)
16

Одномерное изэнтропическое течение сжимаемой среды
За время течения (от f = О до t = co) газ сообщает дну импульс:
^4+A = J^o^+J^o(7j d'=fpo>o
№8
В длинный цилиндр с газом вдвигается поршень по закону х =
at"
Описать возникшее течение; определить место и время образования разрыва.
Решение.
Возникшее течение (до образования разрыва) является простой волной
сжатия
х = (*/ + С)/+/(1/). (I)
с = с0 +~и
(2)
С использованием граничных условий (на поршне скорость газа равна
скорости поршня) из уравнений (1) и (2) получаем:
I_-,Cl+£±U-i* + 'X'" Vя
ва
\п
,'/2
(3)
Условия образования разрыва в течении — условия образования
вертикального профиля зависимости U[x) и его перегиба — следующие:
= оо и
дх),
Уди),
дх2
или
(4)
dU2)t
Решение системы уравнений (4) и (3): трех уравнений с тремя
неизвестными х, /, U — позволяет определить место 1х I и время I/ J образования
разрыва, а также скорость ША в месте образования разрыва:
17

Сборник задач по газодинамике
хр=-
2С3
' (Зи + 1)а
2(2п +1)
» + 1
(я + l) a
^ -•
Р 3/7 4-1
Анализ полученных результатов показывает, что разрыв образуется
внутри простой волны сжатия: CQt > х — за время t головная часть волны
сжатия пройдет путь больший, чем расстояние от начального положения
поршня до места образования разрыва.
№9
Из длинного цилиндра с газом выдвигается поршень по закону
где а и т — положительные константы.
Описать возникшее течение.
Решение.
Уравнение движения поршня преобразуем к виду:
dt " X
(1)
Из (1) видно, что уже в начальный момент (t - 0) поршень приобретает
скорость
т
Вследствие движения поршня от газа, в газе первоначально возникает
волна разрежения, С+ -характеристики которой описываются выражением
18

Одномерное изэнтропическое течение сжимаемой среды
х = [с0+Ц^иУ+/(и).
(2)
Из начальных условий (t = О, х = 0) следует, что f(U} = О — волна
является центрированной.
Уравнения первой и последней С+-характеристик имеют вид
соответственно:
х = С0/, (3)
x=icn-£±!.fLu.
(4)
Поскольку7 после получения в начальный момент скорости, равной
поршень сразу же начинает двигаться замедленно, ir газе вслед за волной
разрежения возникает простая волна сжатия, С+-характеристики которой
описываются тем же выражением, что и в первой волне — выражением (2).
С учетом граничных условий на поршне
/ =-т1п -—*Ц,
V о J
хп=-а|1 +
это выражение преобразуем к виду
С+- характеристики в волне сжатия имеют тенденцию к сходимости:
образуется разрыв.
дх
Из условий образования разрыва | I = 0 и
' д х *
/7 + 1 CQT л + 1
1 -т + —— + tin
2 р U 2
( Ux\
р
а
KdU'J
и + 1
=0 получаем:
х = 0.
(6)
2СП
и„=—~
р л + 1
(7)
19

Сборник задач по газодинамике
Результат (7) противоречит реальности: во всем течении U < О.
Следовательно, разрыв образуется на первой С+ -характеристике волны
тт а
сжатия — последней характеристике волны разрежения, где и = —.
т
С учетом этого из (6) получаем момент образования разрыва
F п+1V а 2 )
Из (5) и (8) следует, что разрыв образуется в
*р=Ко
^±1л](
В заключение приведем (х, t) -диаграмму течения (рис. 6), где I — область
покоя, II — волна разрежения, III — волна сжатия.
t
at'
Рис.6
№10
В длинный цилиндр с газом вдвигается поршень по закону хп
Описать возникшее течение, определить место и время образования разрыва.
Решение.
Возникшее течение является простой волной сжатия
х = \ СЛ + и\ t —
'0
а
2а
(1)
20

Одномерное изэнтропическое течение сжимаемой среды
Место и время образования разрыва ищем, решая систему уравнений:
а а
dUJt
= 0
и + 1
""Г 'р
■^- —?- = 0,
(1а)
(2)
' ОХ '
аг/а
= о
(3)
Уравнение (3) не имеет физического смысла. Следовательно, разрыв
образуется на первой С+ -характеристике. На ней U = U =0. С учетом этого
из (1а) и (2) получаем:
2С02
1С
t о
№11
В цилиндр с газом вдвигается поршень с постоянной скоростью U .
Определить возникшее течение, а также место и время образования разрыва.
Решение.
Поскольку возникшее течение граничит с областью покоя, естественно
было бы считать его простой волной:
c0+^±lu\t + /(u),
с = с0 +—и.
Из начальных условий (t = 0, х = 0) получаем f{U) = 0. Значит,
х = | С+—(/!/.
(1)
(2)
(1а)
21

Сборник задач по газодинамике
Условия образования разрыва (№ 8) дают:
2 ''-0-
' ох |
6U1
= 0 -> 0 = 0.
(3)
(4)
Из (3) следует, что разрыв образуется в момент начала движения
поршня it =0) — прямо на поршне 1х = 0|.
Следовательно, возникшее течение не является простой волной (область
существования простой волны стягивается в нуль): при мгновенном сдвиге
поршня (с любой отличной от нуля скоростью) в газе сразу же образуется
ударная волна.
№12
Определить закон движения поршня х(^), при котором в газе возникает
простая центрированная волна сжатия (т. е. все характеристики пересекаются
в некоторой точке х{, tx).
Решение.
Условие задачи иллюстрируем на (х, /) -диаграмме, приведенной ниже.
t
Рис. 7
22

Одномерное изэнтропическое течение сжимаемой среды
С+ - характеристики центрированной волны сжатия могут быть
описаны уравнением
х, -х *> + 1
(1)
X, - X и + 1
t{-t ° 2
С учетом граничных условий на поршне (х- хп, U = и\ из (1)
получаем уравнение движения поршня в дифференциальной форме:
1 dx
хл — х п + ,
— ^0
tx-t
2 dr
Решая уравнение (1а) при заданных начальных условиях (t - О, х = 0),
получаем искомый закон движения поршня:
2х t -t n + \
х_ - х1 + х,
п * п-\ tx ln~\
tx -Мл+1
(2)
Из (2) следует, что поршень приходит в точку (хр t^ одновременно
с С+- характеристиками. Из (2) следует также, что lim
(л2 \
t-*U
df
= оо, т. е.
поршень движется с возрастающим ускорением, которое при t = t\ становится
бесконечным. При этом слой газа, охваченный волной, сжимаясь
изэтропически, будет иметь бесконечно большую плотность и бесконечно малую
толщину — поршень догоняет головную часть волны сжатия.
В заключение приведем (х, г)-диаграмму рассматриваемого процесса (рис.8).
Рис. 8
23

2. ПЛОСКИЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
Краткие сведения из теории
Параметры ударной волны связаны между собой законами сохранения
массы, импульса и энергии:
Ро
D-UA = 9
D -U
(а)
Р~ро=Рс
U -Un
D -Un
(Ь)
Е-Еп
Р + Р
ЧУо-П
(с)
где р0
V =±
0 ^ J
Р U Е
соответственно плотность, давление, массовая
скорость и внутренняя энергия единицы массы среды перед фронтом ударной
/
волны, а р
р>
аналогичные величины за фронтом волны,
D — скорость волны.
Если известно уравнение состояния среды и связь внутренней энергии
с параметрами, определяющими состояние вещества, то (с) можно
преобразовать в уравнение, дающее связь давления с плотностью (или давления с
температурой, плотности с температурой) за фронтом ударной волны — в
уравнение Гюгонио (адиабату Гюгонио). Наиболее часто это уравнение
используется в виде
р = Лр)-
(d)
Решая совместно уравнения (а), (Ь) и (d), можно выразить зависимость
любых трех параметров из четырех (Р,р, £/,/)) от четвертого — для полной
определенности течения необходимо задание одного параметра. Но такой путь
24

определения параметров среды за фронтом ударной волны возможен только
в том случае, если известна адиабата ударного сжатия — адиабата Гюгонио.
Адиабата Гюгонио идеального газа описывается уравнением
Р _ he - 1
Р ~А-а'
где а = р / р0 — величина сжатия;
. л +1
п величина предельного сжатия
при > оо, а -> И
п — показатель политропы.
Значение п и И для различных газов даны в следующей таблице:
Атомность газа
одноатомный
двухатомный
многоатомный
п
5/3
7/5
4/3
h
4
6
7 :
Е.И. Забабахин [3], следуя подходу Грюнайзена и принимая степенную
зависимость упругой составляющей давления от плотности
'У„р.=4"-ро)'
показал, что для конденсированных веществ адиабата Гюгонио в диапазоне
давлений от 10 ГПа до 1000 ГПа может быть представлена в виде:
РоС:
2 а"|Л_^]]+ст^__(Л+1)
a
n-V n-l
, (е)
n h-Ko
где а и h являются теми же величинами, что и в рассмотренном выше случае
идеального газа;
о
^ гсплош. , , ^
К = — коэффициент пористости вещества; Са — подгоночный
Ро
коэффициент, получаемый при аппроксимации экспериментальных данных
по ударной сжимаемости (в частности, для железа Са = 4,65 • 103 м/с).
25

Сборник задач по газодинамике
Для случая п- (так называемый случаи согласованных п и И)
h-\
уравнение (е) имеет более простой вид
К° а h-Ko V '
Е.И. Забабахин [3] получил также уравнение состояния конденсированных
веществ, описывающее как ударное сжатие, так и изэнтропическое сжатие
и расширение
/> = ^[54,-l], (f)
* Р
где о = — — относительная плотность, получаемая в результате изэнтро-
ро
пического сжатия или расширения,
Фт =
<(*-<>*) o^h-a^) °"2(h-°2) o4(h-K0l)
m — кратность ударного сжатия,
а, =—; а . = т~} , а =— относительные плотности (сжатия),
РО Рт-2 Р«-1
достигаемые при первом, (/т? - 1) и т ударном воздействии.
Описанное уравнение состояния используется в значительной части
задач данного раздела.
Поскольку ряд задач этого раздела решается в так называемом
акустическом приближении, дадим некоторые пояснения по этому поводу. Это
приближение используется при рассмотрении слабых ударных волн, т. е. волн, на
фронте которых имеет место изменение массовой скорости, значительно
меньшее скорости звука в рассматриваемой среде.
В этом случае (Р, U) -диаграммы строятся из прямолинейных отрезков,
имеющих наклон, равный произведению плотности на скорость звука.
Волна разрежения, "генерируемая" слабой ударной волной (например,
при выходе последней на свободную поверхность среды распространения),
имеет узкий "веер" характеристик, который на (х, /) -диаграмме можно
условно свести в одну линию — траекторию движения волны на этой диаграмме.
26

Плоские ударные волны
№13
В воздухе при р0 = 1,29 кг1м, Р0 = 105 Па иГ0= 273°К
распространяется ударная волна, образованная движущимся поршнем. Определить
скорость волны и параметры за ее фронтом для случая скорости поршня
U = 2 • 103 м/с без учета диссоциации воздуха.
Решение.
Искомые величины находим, решая совместно уравнения сохранения
массы и импульса, адиабаты Гюгонио и состояния идеального газа:
p0D = p(D-U),
р
р
Г
-Ро-
Ро
h-
Р _
--P0UD,
-1
1 Р
Ро
А.
РТ PJo
Вычисления, проведенные в предположении, что воздух является
двухатомным идеальным газом (Л = б), дали следующие результаты:
D = 2,44 • Юз м/с. р = 7Д кг1мъ- Р = 6,4 МПа, Т = 3170°К.
№14
Определить параметры ударной волны, образующейся при отражении
от абсолютно жесткой стенки ударной волны, описанной в предыдущей
задаче (р0 = 7,1 кг!м\ Р0 = 6,4 МПа и Т0 = 3170°К, UQ = 2 • 103 jii/c), без учета
диссоциации воздуха.
Уравнения сохранения массы и импульса для волны, вещество перед
фронтом которой движется со скоростью U0, приведены на стр. 24.
27

Сборник задач по газодинамике
В нашем случае, ввиду жесткости стенки, U = 0 . Учитывая это, а также
-> -»
противоположность направлений D и U0 , получаем (с переходом от
векторов к скалярам):
pQ(D + U0) = pD, (1)
P-Po=PouoiD + Uo)- (2)
Добавляя к (1) и (2) уравнение адиабаты Гюгонио и уравнение состояния
идеального газа, получаем систему, решение которой дает искомые величины:
D = 850 м/с; р = 24,2 кг/м3; Р = 47 МПа; Г = 6850°К.
№15
Определить величину сжатия (cti) сплошного железа ударной волной,
за фронтом которой давление Рх = 40 ГПа, и его конечную относительную
плотность \Ь\ при последующем изэнтропическом расширении до Рк - 0.
Для железа использовать уравнение состояния, составленное Е.И. Забабахи-
ным (см. стр. 25 и 26), при р0 = 7850 кг/м3; Са = 4,65 • 103 м/с; n = 3;h = 2.
Решение.
Подставив в уравнение (е') на стр.26 заданные в условии параметры,
получаем уравнение адиабаты ударного сжатия в упрощенном виде
/> = 170j-^, (1)
2 -а
где Р выражается в ГПа.
Из уравнения (1) при Р = 40 777а получаем искомое значение Cj = 1,19.
Уравнение изэнтропического расширения после сжатия до о = а{
получаем из уравнения (f) на стр. 26 подстановкой выше заданных
параметров, а также от =от_{ =...а2 =1
Р = 57
2а j -1
^(2-*i)_1
(2)
где Р выражается в ГПа.
28

Плоские ударные волны
Решая уравнение (2) относительно 8 при Р = 0 и cij = 1,19, получаем
§ = 5к =0,996.
Видно, что данное ударно-волновое нагружение и последующее изэн-
тропическое расширение приводит материал к плотности на 0,4% меньшей,
чем начальная.
№16
Определить величину конечного сжатия сплошного железа при
Р = 1000 777л путем:
а) однократного ударного нагружения (а );
б) изэнтропического нагружения (5);
в) ударного нагружения до 500 777а и последующего изэнтропического
нагружения (52);
г) двойного ударного нагружения через промежуточное значение
Р = 500 ГПа — (ак).
Использовать параметры уравнения состояния, данные в задаче № 15.
Решение.
а) Решение этого пункта аналогично первой части задачи № 15:
1000 =170-^—^- -> ст - 1,85;
2-а
б) Уравнение однократного изэнтропического сжатия получаем из
уравнения (f) на стр. 26 при ат =^т_] =...= aj =1
P = 5ll&3 -\\ГПа .
Далее: 1000 = 57^53 - l) -> 5 = 2,65,
в) Решение этого пункта аналогично решению задачи № 15:
500 = 170-^ -> а, =1,75,
2-°i
1000 = 57
д 2а, -1
6, =2,15;
г) Сжатие на первой волне определено в п. в): а, = 1,75 .
29

Сборник задач по газодинамике
Из уравнения (f) на стр. 26 получаем уравнение адиабаты ударного
сжатия железа из начального состояния, характеризующегося р, = р0стр до
P2=PlCT2
Р = 57
2а -1 2ст,-1
— т^ г-1
2-а2 а?
(2-,)
ГЯа
Решая это уравнение при Р = 1000 /77а и Gj = 1,75 , получаем а2 = 1,75
Конечное сжатие
а =
Ро Ро Pi
а, а2 =3,06.
№17
Найти связь между D и U для фронта ударной волны в сплошном
веществе, уравнение состояния которого имеет согласованные п и h (см стр.26).
Вещество перед фронтом волны считать неподвижным.
Решение.
Искомое соотношение найдем, решая совместно уравнения сохранения
массы и импульса, а также уравнение адиабаты ударного сжатия (уравнение
(е') на стр. 26):
p0Z) = p(D-t/),
P = p0UD,
2(Л-1Хо-1)
Г = РоС>
h-o
В итоге получаем
D_
U_
С.
где
Ь =
(и)
26
А-1
+ 4Ь2
30

Плоские ударные волны
№18
В сплошном железном образце распространяется ударная волна, за
фронтом которой давление Рх = 40 /77а.
Определить, с какой точностью выполняется закон удвоения массовой
скорости при выходе ударной волны на поверхность, параллельную фронту.
Для железа принять уравнение состояния с согласованными п и А.
Решение,
Из уравнений сохранения массы и импульса на фронте ударной волны
и уравнения адиабаты ударного сжатия получаем величину массовой скорости
за фронтом ударной волны
"i=-.
4(2-°,)
(1)
В (1) знак перед корнем соответствует направлению движения ударной
волны (см. рис. 9)
D
Рис. 9
При выходе ударной волны на поверхность образца вправо, внутрь
нагруженной среды, распространяется простая волна разрежения, которая
переводит вещество из состояния с параметрами Р = Pv р = pj = а1р0, U = UX
в состояние с Р = Рк = 0, р = рк = р05к, U = UK Как упоминалось в разделе 1,
на С_ - характеристиках такой волны выполняется соответствующий
инвариант Римана, который здесь запишем в более общем, чем в разделе 1, виде
»-£*-»>-[£ *\-
(2)
31

Сборник задач по газодинамике
Из уравнения (2) получаем выражение для скорости свободной
поверхности
U*=Ui- f— dp. (3)
J P
Pi
Это выражение с использованием уравнения состояния железа (более
конкретно — уравнения изэнтропического расширения из состояния с
параметрами Рх, pj) преобразуехм к виду
h \ (3а)
С использованием уравнений (1) и (За) получаем точность выполнения
закона удвоения массовой скорости:
U .-U, о, -5
к 1М _ "I "к
U} '0,(0,-1)
po.-l (4)
Из задачи № 15 известно: для рассматриваемой ударной волны
cjj = 1,19, а при последующей разгрузке относительная плотность 5к = 0,996
С учетом этих данных по (4) получаем г) = 1.008 . Следовательно, закон
удвоения выполняется с точностью, лучшей одного процента
Отметим, что в пористом железе (как и в любом другом пористом
материале) закон удвоения выполняется с худшей точностью
Читатель имеет возможность сам убедиться в этом, проведя вычисления,
аналогичные изложенным выше, при К > 1.
№19
В неподвижной среде с известной акустической жесткостью (р0С0) при
начальном давлении Р0 навстречу друг другу распространяются слабые ударные волны:
а) одинаковой амплитуды уР} - Р0 = Рт - PQJ\
б) амплитуды которых отличаются вдвое Рх - PQ = 2уРт - Р0).
Рассмотреть взаимодействие волн на (х, /) - и (/\ 60 - диаграммах.
Определить давление и скорость в среде после взаимодействия.
32

Плоские ударные волны
Решение.
а) Из симметрии взаимодействия волн следует, что скорость среды после
взаимодействия (за фронтами расходящихся волн) U2 = О. Решая совместно
уравнения отрезков 0 ч- Г, Гч-2 и 1 -г 2 (Р, U) -диаграммы, наклоны которых
равны р0С0, (с учетом U2 = 0) получаем:
р -2Р -Р
В конденсированной среде уР0 = Oj взаимодействие таких волн
приводит к удвоению давления Р2 -2РХ.
При построении (х, f) -диаграммы учитываем, что исходные волны
движутся по неподвижной среде, а волны после взаимодействия — по подвижной.
Поэтому скорость волн 0-г 1 и 0-г Г равна С0, а скорость волн U2 и Г-т-2
меньше скорости С0 на величину U{ yUv J, что отражено в наклонах
соответствующих отрезков (jc, t) -диаграммы.
U..
б) Как и в случае а), считаем скорости исходных волн равными
скоростям звука. Считаем также, что различие в их амплитудах обусловлено
соответствующим различием массовых скоростей за их фронтами: Ul = 2| t/J .
Решая совместно уравнение отрезков 1-^2, Гч-2 и 0 -г- Г, получаем.
u2 = uv
ЗР - Р
33

Сборник задач по газодинамике
В конденсированной среде уР0 = 0): Р2 = — Рг — давление после
взаимодействия равно сумме давлений за фронтами исходных волн.
Как и в случае а), при построении (х, t) - диаграммы учитываем
движение среды перед фронтами. Скорости волн U2 и Г-г2 меньше скорости
звука С0 на Ux =2|{УГ| и \Uy\ соответственно.
№20
Молот, имеющий скорость U0 = 10 м/с, ударяет по неподвижной
наковальне. Определить давление Р и сжатие а на фронте ударной волны,
распространяющейся в наковальне. Молот и наковальня — железные (р0 = 7850 кг/мъ,
С0 =5000 м/с).
Рис. 12
Решение.
Рассмотрим процесс удара молота по наковальне на (Р, U) - и (х, /) -
диаграммах; с учетом малости скорости молота воспользуемся акустическим
приближением.
34

Плоские ударные волны
Р f
8=/V
Ро'=Р?--Р2'
и2 =иг
В процессе удара молота по наковальне, в первом распространяется
ударная волна О-И, во второй — ударная волна О'-И1, скорости которых
ввиду их слабости принимаем равными С0. Сжатое вещество за фронтами
этих волн имеет скорость Ux - Uy - — .
Следовательно, давление на фронте ударной волны в наковальне
Л-=РоС,
ип
о^о
а сжатие
С
°г =
о
0 2
Вычисление дает Ру =0,2 /77я, аг = 1,001.
Естественно, такими же параметрами характеризуется ударная волна,
распространяющаяся в молоте.
№21
В железном образце распространяется
ударная волна с давлением на фронте Р{ = 5 ГПа.
Найти скорость тонкой алюминиевой
пластинки, приложенной к поверхности образца,
параллельной фронту ударной волны.
F9
А1
Рис. 14
Ь'
35

Сборник задач по газодинамике
Решение.
Рассмотрим происходящие в системе процессы на (Р, U) - и (х, t) -
диаграммах. Реализующиеся в системе ударные волны являются слабыми (это
легко показать соответствующими вычислениями с применением
приведенного в начале раздела уравнения состояния). Поэтому решение проведем в
акустическом приближении.
В результате выхода исходной волны 0 -5-1, на поверхность аа' раздела
железск-алюминий в этих материалах распространяются соответственно волна
разрежения U2 и ударная волна 0'-j-2' . За фронтами этих волн Р = Р2 = Рт
и U = U2 - Uт После выхода ударной волны О'н-2' на поверхность ЬЬ' в
систему распространяется волна разрежения (2'ч-3' — в алюминий, а затем 2^-3
— в железо).
OtO' U, U2 U3 U3> U
Рис. 15
В результате алюминий приобретает скорость
Uy=2U2,
а железо — U3= 2Ul
Таким образом, искомую скорость алюминиевой пластинки U у
получаем через U2, которая определяется совместным решением уравнений отрезков
l-s-2 и С-2-2' (/\ U) -диаграммы.
В итоге имеем :
иу =
4Р,
PAlCAI+PFeCFe
36

Плоские ударные волны
Вычисления (при рл/=2700 кг/м3, С^=5100 м/с, pFg=7850 кг/м3,
CFe = 5000м/с) дают Uy = 377 м/с).
Дополнительно отметим следующее. Из (Р, U) - диаграммы видно, что
Uу > U3 (это можно показать, проведя вычисления £/3, аналогичные
проделанным для Uу). Поэтому происходит отрыв (откол) алюминиевой пластинки
от железного образца, что и показано на (х, t) - диаграмме.
№22
Ударная волна с амплитудой Рх распространяется по воздуху и
отражается от:
а) земли,
б) земли, покрытой снегом.
Определить, в каком случае в момент отражения волны от поверхности
земли развивается большее давление, считая, что фронт волны параллелен
поверхности земли.
Решение.
Для получения ответа на поставленный вопрос достаточно рассмотреть
процесс отражения на (Р, U) - диаграмме в акустическом приближении. При
этом воспользуемся очевидным соотношением:
(рС) земли > (рС) снега >(рС) воздуха
Р I
U
Рис. 16
37

Сборник задач по газодинамике
При отражении волны от чистой земли реализуется давление Ра (при
получении этого значения считаем, что ударная адиабата вторичного
нагружения воздуха (l^-я) симметрична адиабате первичного нагружения
относительно вертикали, проходящей через точку 1).
При отражении волны от системы снег-кземля в слое снега
распространяется ударная волна с давлением Р2 . При определении давления отражения
этой волны от земли Рь считаем, что ударная адиабата вторичного
нагружения снега (2 -г Ь) симметрична адиабате первичного нагружения
относительно вертикали, проходящей через точку 2.
Исходя из соотношения акустической жесткости снега и воздуха,
получаем Рь> Ра — наличие снега приводит к увеличению давления отражения
воздушной ударной волны от земли.
Отметим, что этот вывод усиливается следующим обстоятельством. При
первичном нагружении снега слабой волной происходит "выбирание"
(схлопывание) пор, что приводит к более крутому наклону адиабаты (2-^6),
чем упомянутый выше. Поэтому реальное давление отражения волны от
системы снег-ьземля будет больше полученного выше Ръ .
№23
В системе / слоев, акустическая жесткость которых изменяется по закону
м> _.
где А, и Х-1номера слоев (X = 2, 3... /), распространяется слабая ударная
волна. Найти отношение давления на фронте волны в /-ом слое к давлению
в 1-м слое. Взаимодействием вторичных волн с фронтом основной волны
пренебречь.
Решение.
Рассмотрим на (Р, U) - диаграмме распады разрывов в местах контакта
слоев в момент прихода туда фронта основной волны Ограничимся случаем
z > 1 (нарастание акустической жесткости слоев в направлении движения
волны).
38

Плоские ударные волны
Рис. 17
Рассмотрение треугольника 012 дает соотношение
2г
Р,=Р,
а треугольника 023
Из (1) и (2) получаем
Р = Р
Р, = Р,
z+\'
lz_
2+1'
lz_
z + l
(1)
(2)
Рассматривая последующие треугольники, получаем рекуррентную
формулу
Я.-1
и, в частности, для /-го слоя
Л =Д
/>. = Я
2z
z+l
2z
z+l
/-I
Предоставим читателю самому убедиться в том, что такое же
соотношение получается и для случая z < 1 — случая уменьшения акустической
жесткости слоев в направлении движения волны.
Констатируем, что в первом случае давление на фронте волны по мере
ее распространения возрастает, а во втором — уменьшается.
39

Сборник задач по газодинамике
№24
В акустическом приближении рассмотреть движение ударной волны по
слойке, состоящей из алюминиевых и железных пластин.
Считая, что в первом (алюминиевом) слое давление на фронте ударной
волны Рх, определить давление в остальных слоях в момент прохождения по
ним ударной волны.
Взаимодействием вторичных волн с фронтом основной ударной волны
пренебречь.
R Ь~
Al
Fe
Al
Fe
Al
Fe
Al
Рис. 18
Решение.
С учетом того, что (рС) >(рС) рассмотрим процесс
распространения ударной волны при помощи (Р, U) - диаграммы
Рис. 19
Видно, что при прохождении ударной волны в каждом последующем
алюминиевом слое реализуется меньшее давление, чем в предыдущем: Р{ > Р3 > Р5...
Аналогично в железных слоях: Р2> Р4> Р6..
40

Плоские ударные волны
Рассматривая последовательно треугольники 012, 023, 034, 045, 056
и т. д., получаем ряд частных соотношений:
Гг =
2R
1 +
(PC)
Рз =
2Л
2Л
А1
&*)*,
1 +
(рс)
Fe
(рс)
/4/
1 +
(рс)
л/
(рс).
Fe
^5 =
2 Л
1 +
М
^6 =
2 Л
Fe
(рО
А1
И Т.Д.
Подставляя каждое предыдущее выражение в последующее, можем
получить зависимости, хотя и более громоздкие, но зато связывающие давление
в каждом слое с давлением в первом слое. Опуская эти преобразования,
приведем обобщающую зависимость
Рх =
2 х- in
1 +
м
А1
frO»
1 +
(PC)
Fe
М
/4/ J
где X — номер слоя,
v и 5 — некоторые переменные коэффициенты, значения которых
приведены в таблице
X
V
S
2
1
0
3
1
1
4
2
1
5
2
2
6
3
2
7
3
3
8
4
3
Из таблицы видна закономерность изменения v и s с изменением X, однако
выразить ее аналитически затруднительно.
41

Сборник задач по газодинамике
№25
В акустическом приближении рассмотреть на (Р, U) - и (х, /)
-диаграммах удар слоеной системы Al + Fe об абсолютно жесткую стенку. Считать,
что толщина железного слоя значительно больше толщины алюминиевого
слоя.
Решение.
Рис. 20
Рис. 21
В результате удара системы о стенку:
— в алюминиевом слое циркулируют ударные волны 0-й, 1-^2, 2^3, Зч-4 и т. д.
(последовательно реализуются состояния 1, 2, 3, 4 и т. д. до К)\
— в железе распространяется система догоняющих друг друга волн 0-^2, 2-^4,
4^-6 и т. д. (последовательно реализуются состояния 2, 4, 6 и т. д.).
По прошествии достаточно большого времени в обоих слоях
развивается давление Рк, равное давлению торможения одного железного слоя
о жесткую стенку.
42

Плоские ударные волны
№26
Известно, что при ударе по образцу из взрывчатого вещества (ВВ)
толстой железной пластиной со скоростью UQ в ВВ распространяется ударная
волна с давлением на фронте, равным критическому — Р . Под критическим
понимается максимальное из давлений, при которых детонация в ВВ не
возбуждается.
Каким образом, не изменяя UQ, можно превзойти Р и за счет этого
вызвать детонацию ВВ ?
Решение.
Рассмотрение в акустическом приближении на (Р, U) -диаграмме процесса
удара железной пластиной по ВВ через прокладки различной акустической
жесткости приводит к выводу, что одним из способов получения в ВВ давления
Рх > Р^ является размещение на его поверхности прокладки из материала "Л™,
акустическая жесткость которого удовлетворяет следующему условию:
(pcL>(pc)*>(pcL
Удар пластиной по ВВ через такую прокладку рассмотрен на рис. 22.
Uo U
Рис. 22
Видно, что наличие прокладки приводит к повышению давления в ВВ
43

Сборник задач по газодинамике
№27
Пластина П1 диаметром d{ = 40мм, летящая со скоростью
UQ = 8000 л*/с, ударяет по мишени П2 диаметром с12=50мм. Пластина
и мишень железные и бесконечно толстые.
На каком расстоянии / от плоскости соударения весь фронт ударной
волны в мишени будет подвержен разгрузке?
С
Для железа принять уравнение состояния с И
4650 м/с (стр. 25 и стр. 26).
2, а? = 3, р = 7850 кг/м3,
Рис. 23
Из бесконечной толщины пластины следует, что фронт ударной волны
в мишени подвержен воздействию только волны разрежения (разгрузке),
распространяющейся из окружности диаметром d = АВ - аЬ .
Получим зависимость угла разгрузки а от величины сжатия на фронте
ударной волны. Воспользуемся рис. 24
t A
D*t
t+&t
Рис. 24
44

Плоские ударные волны
Пусть в момент t фронт ударной волны, занимающий положение 1, будет
возмущен в точке А. Возмущение из точки А, движущейся со скоростью U,
распространяется во все стороны со скоростью звука за фронтом ударной волны Сх.
В момент / + At фронт ударной волны, движущейся со скоростью Д займет
положение 2, а возмущенная зона будет иметь размер MN.
Тогда
м>|Д,)г>-^н: ку luv
AN DAt \{d) \ D)
Далее с использованием принятого уравнения состояния выражаем С,
и D через а
2 2 2а -1
1 аа(2-а)' {)
D2=Cl^-. (3)
2-а
Подставив Сх и D из выражений (2) и (3), а также
D) а2
в (1), получаем
tga = ^-I L, (4)
a
Из исходного рисунка 23 ясно, что
d, ad.
/ = — - , 1 -• (5)
2 tg a 2>/2(a - l)
Для вычисления a воспользуемся результатом задачи № 17 по
установлению связи D с массовой скоростью за фронтом ударной волны и
коэффициентом Са уравнения состояния В нашем случае
D = U + ^U2 +Са2 . (6)
Отсюда
Я f/ + Jf/2+C2
a-—— = / (7)
45

Сборник задач по газодинамике
Из (5) и (7) получаем:
{u + Ju2+cl)dx
ifiuji
(5а)
2J2UJU2+Cl
В нашем случае U = 4000 м/с, с учетом этого из (5а) получаем / = 29 мм.
Отметим, что приведенный вывод зависимости угла разгрузки от величины
сжатия был выполнен Е.И. Забабахиным [3].
№28
Бесконечная по площади пластина толщиной А = 1 мм, движущаяся со
скоростью Ux = 8000л*/с, ударяет по толстой мишени бесконечной площади.
Определить, какой путь / пройдет ударная волна в мишени без затухания.
Пластина и мишень железные; для железа принять уравнение состояния
с h = 2, п = 3, р0 = 7850 кг/м\ С. = 4650 м/с (стр. 25 и стр. 26) .
Рис. 25
Решение.
Рассмотрим процесс удара пластины по мишени на (х, /) - диаграмме
(см. рис.26).
t
1
1 \sV^^^ о
ъ/
^4 —*уГ
. / _
X
Рис. 26
46

Плоские ударные волны
В результате удара в системе распространяются ударные волны (О -г 2)
и (1 -г 2'], за фронтами которых скорость вещества U2 = UT =—L . Скорости
этих волн относительно среды распространения равны D.
После выхода ударной волны (1 -ь 2') на поверхность аЪ внутрь сжатого
вещества распространяется волна разрежения. Фронт этой волны имеет
скорость U2+C2, где С2 — скорость звука в неподвижном сжатом ударными
волнами железе. С момента, когда эта волна догонит фронт волны (0 ч- 2),
начинается затухание последней.
Величину / найдем из соотношения, следующего из предыдущего
рассмотрения волн, распространяющихся в системе:
Легко показать, что
Из (1) и (2) имеем
/
D
b
/-
д
= — +
D
D
= А —
Ь + 1
и2+с2
D
С, +D-U,
А 2 2
с2-
■D + U2
(1)
(2)
(3)
С использованием результатов задачи № 17 при U = U2 =4-IQ3м/с
получаем Z) = 10,13 • 103л//с. Для вычисления С2 сначала (аналогично задаче
№ 15) получим уравнение изэнтропы, проходящей через точку,
соответствующую состоянию на фронте ударной волны (в нашем случае <зх = 1,65):
P-5,7 1010(l,46-53-l) Па (4)
Дифференцируя (4) по 5 и подставляя 5=Oj=l,65, имеем
С2 =9,3-103л|/с.
В итоге из (3) получаем / = 4,9 мм.
47

Сборник задач по газодинамике
№29
В железном образце распространяется ударная волна с давлением на
фронте Рх = ПО ГПа.
Определить повышение температуры на фронте этой волны. Сведения
об уравнении состояния взять из задачи № 27, теплоемкость железа с считать
не зависящей от температуры и принять с - 450 Дж1кг °К.
Решение.
Повышение температуры на фронте ударной волны AT вычисляем по
формуле:
где АЕТ — повышение тепловой энергии при ударно-волновом сжатии.
АЕТ — равно разности между приращением внутренней энергии на
фронте АЕ и ее упругой составляющей:
АЕт=АЕ-АЕу,
^ = ИКо-^|).
(2)
(3)
-J'
AEy=-\PydV
(4)
где Р — упругая составляющая давления (уравнение изэнтропического сжатия)
С использованием ударной адиабаты и Рх получаем сжатие на фронте
волны <т, = 1,38, а затем
К, = 9,2 -10"5 м3/кг (V0 = 12.7 • 10"5 мъ1кг)
Отсюда в соответствии с (3) АЕ = 1925 кДж1кг. Подставляя в (4) Р в виде
Ру =5,7-10
ю
(у\
V
-1
Ч v J
Па
и производя интегрирование, получаем АЕ = 1282 кДж/кг.
В итоге Д£т = 643 кДж/кг и AT = 1430°К.
48

Плоские ударные волны
№30
В акустическом приближении рассмотреть соударение двух
разнородных пластин А и В. Пластина А не обладает прочностью, а В — обладает;
№)b>№a>La>lb-
А
La
Ua
Рис. 27
Вычислить скорость пластины В для момента, когда она X раз
нагрузилась и А, раз разгрузилась.
Решение.
Сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда LA » LB. Ниже
на рис. 28 приведены (Р, U) - и (х, 0 - диаграммы процесса.
В результате удара в системе распространяются ударные волны (0 -г 1)
и (О'-гГ). После выхода волны (0 -г 1) на свободную поверхность пластины В,
внутрь системы распространяется волна разрежения (1 -г 2), распадающаяся
на поверхности контакта пластин на ударную волну (2 -г- 3) и волну
разрежения (Гч-3'), распространяющиеся соответственно в пластинах В и А. В
дальнейшем эти процессы повторяются.
Рассматривая (Р, U) - диаграмму, можно получить значение скорости
пластины В на каждом скачке.
Так, из треугольника 010' получаем значение массовой скорости за
фронтом волны ( 0 ч-1):
U,=-^L (1)
z + 1
где г-
оо
(рс)
—. Отсюда скорость пластины В на первом скачке
2U.
Ut=- А
z+l
(2)
49

Сборник задач по газодинамике
tk
и, u2=uz и, / us и6=иш иА и
/s2V
Ns' Uy'l/i ~- ^J-^bi /
.•* V
/ Ui^¥
"-• ■ S^x"/
*^J' u,>su, ^-^jsnii/
^"*<^ *^ 2/
-' ^s**s^ / "< J^
0 u* ^^^^Д^о
* Л в
X
Рис. 28
Далее (из треугольника 230*) получаем значение массовой скорости за
фронтом волны (2 -г 3)
"э=^
3z + l
(z+l)2
(3)
Используя очевидное равенство
Uu=2U3-Ult
определяем скорость пластины В на втором скачке
4z
(z + 1)
О)
50

Плоские ударные волны
Аналогичным образом получаются и скорости пластины В на
последующих скачках. Обобщение этих выражений дает скорость пластины В на
j-м (/ = I, II, III. .X) скачке
Ui^A
1
Z+1
(5)
В случае, когда LA соизмерима с LB (LA > LB ), необходимо учесть
отражение волны разрежения (О'-ьГ) от левой поверхности пластины А, а также
последующие взаимодействия реализующихся в системе волн.
(х, 0 - и (Р, U) - диаграммы для этого случая приведены на рис. 29.
После выхода ударной волны (О'-гГ) на левую поверхность пластины А,
в систему распространяется волна разрежения (Г-н?); часть пластины А,
пройденная этой волной, приобретает скорость U (скорость за фронтом
волны (Y+a)). При встрече волны (Y+a) с волной (Гч-3') в плоскости V
происходит разрыв материала: скорости материала за фронтами этих волн разные
(f/a и Uу соответственно), а прочность отсутствует.
Uc
к
\ Ua
а
Ua
-Htf
^
о7*^
U6
Ь^
^ ^
и,
и**
'«Ш
Us ,ил,
*Ufll.
;Ui
IJo
U„ ° U, Uc U, U, Ц, Щ
Рис. 29
UA U
51

Сборник задач по газодинамике
После разрыва (откола) в оставшуюся часть пластины А
распространяется волна разрежения (У+b ), за фронтом которой материал движется со
скоростью Ub . При встрече этой волны с волной разрежения (ЗЧ51) в
плоскости "у" опять происходит разрыв. Данная отколовшаяся часть пластины А
движется со скоростью Ub . И так продолжается до тех пор, пока волна
разрежения, движущаяся слева в пластине А, не достигнет плоскости контакта
пластин. Пластина А дробится; из (Р, U) - диаграммы качественно видно, что
скорость каждой последующей отколовшейся части алгебраически больше,
чем предыдущей
un <uh<ur...
а о с
Более детальный анализ (Р, U) - диаграммы позволяет определить
направление движения каждой части пластины А.
Так из треугольника а ГО' получаем
из треугольника WO1:
Ua=-UA+2UY=-UA+2Ul9 (6)
иь=-иА+гиу=-ил+гиъ. (7)
Расшифровка уравнений (6) и (7) при рассмотрении треугольников 010'.
230' и т. д. приводит к следующим выражениям:
Ub=-VAZ2~4Z~2l «т.д.. (7а)
(z+1)2
Из (6а) следует, что Uа < 0 всегда (при любых z > 1) — первая отколовшаяся
часть пластины А движется в направлении, противоположном направлению
начального движения пластины А.
Направление движения последующих частей пластины А зависит от
величины z. Так, из (7а) следует, что при z > 4,2 Ub < 0, а при z < 4,2 Ub > 0 .
В отношении пластины В констатируем очевидное. Если за время, пока
волна разрежения из пластины А не достигнет плоскости контакта пластин,
пластина В успеет X раз нагрузиться и X раз разгрузиться, то она, как и в
рассмотренном в начале задачи случае LA » ЬВУ приобретает скорость
52

Плоские ударные волны
их=ил
Z+1
При этом, ввиду наличия прочности, пластина В движется как
единое целое.
№31
В акустическом приближении определить скорость, которую
приобретает несжимаемая пластина массой М2 под действием сжимаемой пластины
массой Мл, движущейся со скоростью U]. Считать, что обе пластины
обладают прочностью на разрыв и имеют толщины Lx и L2 соответственно.
Решение.
В предыдущей задаче рассмотрено взаимодействие двух сжимаемых
пластин (удар менее жесткой по более жесткой). Получено выражение
скорости второй пластины U2 через скорость первой Ux, справедливое до момента
выхода волны разрежения, распространяющейся со свободной поверхности
первой пластины, на поверхность контакта пластин:
и2=и,
1-
z-l
~7+~\
(О
где / - количество нагружении и разгрузок второй пластины при
взаимодействии пластин,
Р2
С
Pici
Воспользуемся этим выражением для решения данной задачи, поскольку и здесь
рассматривается удар менее жесткой пластины по более жесткой (несжимаемой).
Из условия несжимаемости второй пластины (С2 —> оо) следует, что за
время распространения волны разрежения от свободной поверхности первой
пластины до поверхности контакта пластин, пластина 2 успеет нагрузиться
и разгрузиться бесконечное число раз (/—>оо). Величина z тоже стремится
к бесконечности. Для получения искомого выражения необходимо найти
предел правой части выражения (1) при / -> оо и z -> оо .
53

Сборник задач по газодинамике
Используя преобразование:
1 -
Ci _?гС2 PiZi
^2_ Pi^ p2L2
-z-
■ гц,
(2)
С
получаем
£/„
(/,(> --*).
(1а)
В известной мере правильность решения можно проконтролировать,
рассмотрев предельные случаи: М} »М' (ц = оо) и М] « М' (ц - 0)
Получаем соответственно U2 = U{ и U2 - О, что вполне логично.
№32
В акустическом приближении рассмотреть удар пластины А толщиной
LA по пластине В толщиной LB; считать, что LA> LB . Пластины
изготовлены из одного и того же материала, обладающего прочностью на разрыв.
Найти отношение энергии возникающего колебательного движения
ударяющей пластины к энергии, полученной ждущей пластиной
Е
А
! La
Ua
Рис. 30
Решение,
На рис.31 приведены (х, г) - и (Р, U) - диаграммы взаимодействия
пластин.
54

Плоские ударные волны
В системе сначала распространяются ударные волны (0-М) и (О'ч-Г)
После выхода волны (0 -г 1) на свободную поверхность пластины В, в систему
справа распространяется волна разрежения [в пластине В — (1 -г 2), в
пластине А — (Гч-2')]. Пластина В приобретает скорость U2 =UA так же, как и
участки пластины А за фронтом волны (Г-г-2')
В результате выхода ударной волны (О'-гГ) на левую поверхность
пластины А в систему распространяется волна разрежения Г-т-31,
"останавливающая" пройденные ею участки пластины А.
При встрече волн (Y+T) и (Г-гЗ*) (точка а) в отсутствие прочности
произошел бы откол. Однако при наличии прочности (считаем, что последняя
достаточно велика) отколоться может только пластина В, которая приобрела
скорость UА .
Пластина А сохраняется как единое целое, но будет совершать
колебательное движение. Вернее, колебаться будут поверхностные слои этой
пластины. Действительно, после встречи волн (Y+?) и (Г-ьЗ1) в точке а пластина А
55

Сборник задач по газодинамике
будет растягиваться. После выхода волн напряжения (3'^4') и (2'-ь4') на
поверхности пластины А, внутрь ее пойдут волны сжатия, ускоряющие левую
поверхность и замедляющие правую и т. д.
В целом пластина А будет двигаться вправо с некоторой скоростью U ,
определяемой из условия сохранения импульса:
(LAUA=LBUA+LAUx)
их=иА
(1)
Энергия колебательного движения пластины А равна исходной
кинетической энергии пластины А за вычетом конечных значений кинетической
энергии пластин АиВ
Е =■
ьли\
LBUA
LAUl
(2)
В итоге получаем
(3)
При LA = LB, r\ = 0 . В этом случае волны разрежения (Г-т-2') и (Гч-З')
встречаются на границе пластин. Пластина А останавливается, поверхности ее
не колеблются, происходит "обмен" не только скоростями, но и кинетическими
энергиями пластин.
№33
В материале, предельное сжатие которого на фронте ударной волны
h = 2, одна сильная ударная волна догоняет другую.
?г*Р2'и1
РгЛ^1
РоЛ=°^о=°
X
56
Рис. 32

Плоские ударные волны
Дать мгновенное распределение плотности и давления в материале до
и после взаимодействия волн.
Решение,
Для получения ответа на поставленный вопрос воспользуемся (Р, U) - и
(х, t) - диаграммами. Построение этих диаграмм предварим следующим
рассмотрением.
P + U соотношение для однократного сжатия следует из законов
сохранения массы и импульса:
Р = Ро
о-1
-W
(1)
С учетом того, что волна сильная (а = h = 2), (1) преобразуется к виду:
P = 2p0U:
(1а)
Вторая волна распространяется по материалу, сжатому первой волной
и имеющему pj = 2р0, С/р Рх. Для этой волны соотношение между Р и U
имеет вид:
P2-Px=*9q(U-Ux)2 (2)
Из рассмотрения (1а) и (2) ясно, что при U » Ux (сильная волна)
кривая P(U) для вторичного сжатия пересечет кривую для однократного сжатия.
С учетом сказанного выше строим (Р, U) - и (х, t) - диаграммы
рассматриваемого явления: рисунки 33 и 34 соответственно. На рис. 34
покажем искомое распределение давления и плотности.
2\
Рис. 33

Сборник задач по газодинамике
Контактный раэрыб
р.р
при
t=L
О
— В-
р.Р\
при
р,
р,
Л
Рз
Рис. 34
Распределение Р и р до взаимодействия волн (при t = tl):
область А — материал сжат сильной ударной волной (0 + 1) до давления Рх
и имеет плотность рх = 2р0;
область В — материал сжат последовательно двумя сильными волнами (0 -г 1)
и (1 -г 2) до давления Р2 и имеет плотность р2 = 4р0.
58

Плоские ударные волны
Распределение давления и плотности после взаимодействия волн
('= гг) более сложно.
Взаимодействие волн (0-г1)и(1-г2) приводит к распространению вправо
ударной волны (0 -г 3) с давлением на фронте Р3(Р} <Р2 < ^)> а налево —
волны разрежения (2 4- 3).
За фронтом волны (0 ч- 3) имеются области: а, 6, с и d.
а — материал сжат ударной волной (0 -г 3); Ра = Р3,ра = рх = 2р0.
& — материал сжат последовательно ударными волнами (0ч-1) и (1 -г 2)
до Р = Р2, а затем переведен волной разрежения (2 -s- 3) до Ръ-Ръ
и рь =р3, которая больше, чем pj =2р0(2р0 <р3 <4р0), — поэтому
эта область отделена от области "а" контактным разрывом;
с — материал сжат последовательно ударными волнами (0-ь 1)
и (1 -г 2) и охвачен волной разрежения, которая снижает давление от
Р2 до Р3 (слева направо); при этом плотность изменяется от р2 до р3
(легко показать, что для политропического материала с п = 3 это
изменение будет линейным, при п < 3 — параболическим с выпуклостью вниз);
d — материал сжат последовательно ударными волнами (0 -г 1)
и(1-2-2)Д0 ^=^2'Prf=P2=4Po
59

3. ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
Краткие сведения из теории
Детонационная волна во взрывчатом веществе (ВВ) представляет
собой ударную волну, на фронте которой происходит химическая реакция,
сопровождающаяся выделением тепла.
Выражения законов сохранения массы и импульса на фронте
детонационной волны совпадают с таковыми для фронта ударной волны. А в
выражении закона сохранения энергии учитывается выделение энергии q за счет
химической реакции:
E-E0=^-(v0-V) + q. (a)
Если известны уравнения состояния ВВ и продуктов взрыва (ПВ),
уравнение (а) преобразуется в уравнение возможных состояний на фронте
детонационной волны — НD .
На фронте нормальной детонационной волны (волны, самопроизвольно
распространяющейся с постоянной скоростью) выполняется соотношение Жуге:
U + C = D. (b)
Уравнение (b) можно интерпретировать таким образом: фронт
детонации движется со скоростью звука С относительно ПВ, движущихся со
скоростью U.
Условие (Ь) позволяет на кривой НD найти точку, соответствующую
нормальной детонационной волне Этой точкой является место касания так
называемого детонационного луча
\Р-Рп
D = V0 О- (с)
и кривой НD В этой точке, называемой точкой Жуге, имеет место также
касание адиабаты ударного сжатия ПВ и адиабаты Пуассона. Последнее
обстоятельство в определенной мере обосновывает аппроксимацию уравнения
состояния ПВ политропическим выражением типа:
Р = Ар". (d)
60

После окончания химической реакции на фронте детонационной волны
энтропия ПВ за фронтом не изменяется (при отсутствии сильных ударных
волн в ПВ). Поэтому для описания движения ПВ за фронтом детонационной
волны используются приемы, рассмотренные в разделе 1
Заметим также, что в задачах данного раздела боковым разлетом ПВ
пренебрегаем, поэтому течение ПВ за фронтом детонационной волны считаем
одномерным.
№34
Детонирует смесь идеальных газов с показателем политропы п0.
Определить соотношение давления и плотности в химическом пике к
соответствующим параметрам в точке Жуге
хп *хп
Решение.
Принимая ПВ за идеальный газ с показателем политропы я, имеем
общеизвестные выражения [2]:
Pj=2(n-l)p0q, (1)
D2=2{n2-l)q, (2)
А7 + 1
9 j = Ро (3)
Считая, что на ударном фронте детонационной волны (в химическом
пике) достигается предельное сжатие
Рхп _ "О + !
л0-1
определяем Р
^n=Po^ = Po(l-^]^=Po[l-^]2(«2-l)? = 4p0^-l^
^ PxJ V «o+V V 7 "o+1
(4)
(5)
Из (1) и (5) получаем
Рш_2П+1
Pj «0+l
61

Сборник задач по газодинамике
Принимая п * nQ, имеем
Р
-М.»2
PJ
Соответственно из (3) и (4) получаем
Ру п -1
Таким образом, величина —^- зависит от атомности газа: равна 3,5 для
двухатомного газа и 4 для многоатомного.
№35
Детонирует конденсированное ВВ с начальной плотностью
р0 = 1000 кг/м3. Уравнение состояния ПВ имеет вид:
Р = Арп=4р3 Па.
Определить параметры ПВ в точке Жуге (Р' р U ,С.), а также
скорость детонации D
Решение.
При решении данной задачи используются широко известные
соотношения, поэтому пояснения здесь не приводятся.
П + 1 _„„ , з
р - р0 = 1333 кг/м
J п
pj = 4р3=9,47 ГПа
Р - р р»р0 I р
D = Vn 1 - кп —i—=6155л|/с
Vo~v Vo-v
U = -^- = 1539 м/с
J я + 1
С. =D-U = 4616 м/с .
62

Детонационные волны
№36
Найти мгновенное распределение массовой скорости U и скорости звука
С за фронтом плоской детонационной волны, инициированной:
а) у свободного конца заряда,
б) у абсолютно жесткой стенки.
Уравнение состояния ПВ имеет вид:
Р = Арп.
Заряд находится в вакууме.
Решение.
С учетом замечания, сделанного в конце введения настоящего раздела,
эту задачу решаем методами, рассмотренными в разделе 1. Для облегчения
решения ряда последующих задач решение настоящей задачи приведем с
подробностями. Для определенности считаем, что детонация распространяется
слева направо.
а) В ПВ вдоль С_ - характеристик приходит информация с фронта
детонации (из точки Жуге):
U-^- = Uj J-. (1)
п-1 п-\
Поскольку
(1) преобразуем к виду
На С + -характеристиках
выполняется соотношение
л D r nD
U = , а С =
3 п+\ J п+\
п-1 п-\
dt
(2)
1С
U + = const. (3)
п- 1
Из (1) и (3) следует, что вдоль каждой С+ -характеристики постоянны
U w С (разные на разных С+). С учетом этого из (2) получаем:
x = (U + C)t+f(U). (2a)
63

Сборник задач по газодинамике
Из начальных условий (t = О, х = О — место инициирования) следует,
что f(U) = О.
Итак; рассматриваемое здесь течение ПВ является простой волной и
описывается уравнениями (1а) и
x = (U + C)t. (2b)
Из уравнений (1а) и (2Ь) получаем искомые распределения:
2 (х Рл
n + \\t 2,
U = -
(4)
c = !Lz±(l + .D
n + l\t п-\
(5)
Для момента времени t, когда волна прошла путь L = Dt, (4) и (5) при
нимают вид:
2D ( х Г
U = -
n + lU 2J'
(4а)
C = 4zlD\L + .
п+1 VI п-\
По уравнениям (4а) и (5а) на рис. 35 строим графики распределений
(5а)
L
п-1
п-1
си
О
2
С^^
и^^"
L
nD
n+1
D
n+1
X
Рис 35
64

Детонационные волны
Как видно, U и С изменяются с расстоянием линейно:
U от на фронте детонации до на фронте разлета ПВ (влево);
/7 + 1
С соответственно от
и-1
и + 1
доО.
б) Рассматриваемое течение состоит из двух областей. Для области,
примыкающей к фронту детонации (обл. I), справедливо решение, полученное
в а) — это область нестационарного течения:
£/ = •
2D (х 1
n+l\L 2
(1)
и + 1 \L и-1
(2)
Для области, граничащей с абсолютно жесткой стенкой (обл. II), это
решение не может быть справедливым, т. к. в этой области ПВ покоятся:
U = 0 Обл I непрерывно переходит в обл. II. Положив в (1) U = 0, находим
координату плоскости перехода областей:
х =
При х = — в соответствии (2) С = —
2 2
2D
Значит:
при х > — (обл I)
U =
с =
и + 1
и-1
Dl^+-L
и +1 W, и-1
(1)
(2)
при х < — (обл. II)
(3)
(4)
На рис. 36 приведены графики полученных распределений.
65

Сборник задач по газодинамике
си
nD
\
\
\
\
D \
~7 \
\
\
стенка ^
■%
\
\
\
0
С^г
\\
I
и>г
п+1
D
п+1
L L X
2
Рис. 36
Распределения по (1)...(4) позволяют построить (х, t) -диаграмму
течения (рис. 37).
Рис.37
В области I:
характеристики описываются уравнением:
d/
D
<U+C<D,
а С_ - характеристики — уравнением:
dx 3-й х 2D
dt n + \ t n + \
66

Детонационные волны
В области II:
С+ - и С_ -характеристики описываются соответственно уравнениями
dr ~ 2 ' At ~ 2
№37
Найти мгновенное распределение U и С за фронтом плоской
детонационной волны, когда вызвавший в заряде детонацию поршень движется вслед
за фронтом детонации со скоростью:
ч D a D
а) Т7 :т; б)
2(л +1)' я + Г
Уравнение состояния ПВ имеет вид:
Р = Ар".
Решение.
Решение проводится аналогично решению задачи № 36. Поэтому здесь
даны только его результаты.
а) Как и в случае задачи № 36, течение состоит из двух областей:
стационарного (граничащего с поршнем) и нестационарного (граничащего
с фронтом детонации) течений.
В области нестационарного течения:
tz-^-fi-Д О)
n + \\L 2J
C = 1=±dU + -±.\ (2)
и + 1 \L n-\)
В области стационарного течения:
2(и + 1)
C-T\D (4)
4(и +1)
з
Решения (1), (2) и (3), (4) сочленяются при х = — L
4
67

Сборник задач по газодинамике
Графики полученных распределений при t - — приведены на рис. 38.
си
(Зп+ 1JD
А(п+1) \|
D У
2(п+1) N
2 (п+1)
3L
А
Рис. 38
пР
п+1
р
п+1
б) Действуя по схеме решения задачи № 36 и считая, что течение
состоит из областей стационарного и нестационарного течения, получаем, что
плоскость сочленения этих течений лежит в х = L . Это значит, что область
нестационарного течения вырождается. Все течение стационарно:
U
D
п + 1
С =
п + 1
D.
Это и следовало ожидать: поршень, движущийся со скоростью, равной
скорости ПВ в точке Жуге, устраняет разгрузку ПВ сзади На рис 39 даны
графики полученных распределении при t - —
с.и\
\
\
\
£ N
3 >"
а >
о \
с: \
\
\
\
\
\
с
nD
п+1
р
п+1
п+1
Рис. 39
68

Детонационные волны
№38
Найти закон изменения давления на абсолютно жесткую стенку,
приставленную к торцу детонирующего заряда длиной Z,, инициированного
v свободного конца.
Рис. 40
Вычислить суммарный импульс, полученный стенкой Система
находится в вакууме Уравнение состояния ПВ имеет вид:
Р = Ар3=аС\
Решение.
На приведенном ниже рис 41 дана (х, /) -диаграмма рассматриваемого
явления
Рис 41
Ввиду того, что /7 = 3, все С+ - и С
го течения ПВ прямолинейны.
характеристики рассматриваемо-
69

Сборник задач по газодинамике
Как и в случае задачи № 36, С+- характеристики описываются
уравнением:
- = С/ + С. (1)
На абсолютно жесткой стенке (х = L) скорость ПВ равна нулю U = О
Значит, здесь
сЛ
t
(2)
Из (2) и уравнения состояния ПВ следует зависимость давления ПВ на
стенку от времени:
з
Р = Р;
гс"
^CJJ
J
4L
3D/
(3),
где Р и С. — давление и скорость звука в точке Жугс.
По формуле
= \р«
L/D
с использованием (3) получаем следующий результат: суммарный импульс.
приобретенный стенкой от момента отражения волны | / = — до окончания
истечения ПВ (/ = <х>)
27D J
Выражение (4) может быть преобразовано к виду:
27 °
(4)
(4а)
где р0 — плотность В В
70

Детонационные волны
№39
Найти закон изменения давления на абсолютно жесткую стенку, от
которой по заряду длиной L распространяется плоская детонационная волна.
Рис. 42
Вычислить суммарный импульс, сообщенный стенке в процессе
детонации и истечения ПВ.
Система находится в вакууме Уравнение состояния ПВ имеет вид:
Р = Ар3 =аС3
Решение.
Решение этой задачи во многом аналогично решению предыдущей На
приведенном ниже рис. 43 дана (х, /) - диаграмма течения ПВ
Рис. 43
Здесь достаточно рассмотреть С - характеристики, т. к именно они
приходят'' на стенку.
71

Сборник задач по газодинамике
В областях I и II (рис. 43) они описываются уравнением:
dt 2
(1)
а в области III (волне разрежения, возникающей при выходе детонационной
волны на свободную поверхность заряда) — уравнением:
где
dt t'
х' = х - L,
.■-,-L
D
С использованием (3) и (4) уравнение (2) преобразуем к виду:
х- L
U-C=-
L
l
D
(2)
(3)
(4)
(2а)
Исходя из того, что
р = р
с
cj)
а также того, что на стенке (х = 0) U = 0, получим, используя (1) и (2а). давление
на стенке в любой момент. Так, в области II (имеющей временную протяженность
1 = ■
31
D
время распространения детонационной волны — плюс время прихода
" Г 2LS Г D
последней С_ -характеристики на стенку —) на стенке С = —, а
Р= Р.
3L
В области III / > — | на стенке
D.
С = -
_L_
D
72
27
P-Pj
4L
з|, -LD
(5)
(6)

Детонационные волны
Далее находим импульс, сообщенный стенке, интегрируя P\t) по областям II и III
3L
ОО Q ОО
О О 3L
D
Из результатов решения этой и предыдущей задач следует, что детонирующий
заряд сообщает жесткой стенке один и тот же импульс в случае, когда стенка
приставлена к:
- плоскости инициирования:
- плоскости, противоположной плоскости инициирования.
№40
За фронтом детонационной волны движется поршень, имеющий
скорость, равную половине скорости нормальной детонации
Определить параметры на фронте этой волны, а также скорость ее
фронта Считать, что плотность ВВ р0 - 1000 /сг/л/3, а уравнение состояния
ПВ имеет вид
Р = Ар" =4р3 Па
Решение.
В задаче № 35 определена скорость нормальной детонации
рассматриваемого здесь ВВ Dh = 6155 м/с Однако в нашем случае, поскольку скорость
поршня больше скорости ПВ в точке Жуге, следует ожидать скорость волны
D> Dh — реализацию пересжатой детонации
Скорость ПВ за фронтом детонации будет равна скорости поршня (№37)
U =- 3078 м/с .
Для определения давления, плотности и скорости детонации
необходимо совместно решить следующую систему уравнений:
\PoD = p(D-U).
\P = P0UD.
[р = 4р3
41
3 1
D
D
d/= —7> .= — PqLD. (7)
27D J 27 °
73

Сборник задач по газодинамике
Скорость звука в ПВ определяется из выражения
Вычисления дают следующие результаты: р = 1760 кг/м, Р = 21,9 ГПа,
D = 7130 м/с, С = 6110 м/с.
Действительно, детонационная волна является пересжатой
D>DH
№41
Найти соотношение между давлением на фронте нормальной
детонационной волны Ри и давлением мгновенной детонации Р для одного и того же ВВ
Решение.
Для определения давления на фронте нормальной детонационной волны
воспользуемся известным выражением:
PH=2?Qq{n-\). (1)
где q — химическая энергия ВВ.
п — показатель политропы, аппроксимирующей уравнение состояния ПВ
При мгновенной детонации химическая энергия q переходит во
внутреннюю Е Отсюда, используя известное соотношение
Е = JPV_ = _J>
~ А7-1 ~р(А7- 1)
и полагая, что при мгновенной детонации ПВ первоначально занимают объем
заряда (р = р0J. имеем
^м=Ро9("-0 (2)
Из (1) и (2) следует:
Рн=2Ры.
74

Детонационные волны
№42
В акустическом приближении определить
связь давления со скоростью ПВ при отражении
детонационной волны от преграды. Уравнение
состояния ПВ имеет вид Р = Ар" .
Рис. 44
Решение.
При решении воспользуемся (х, t) - диаграммой (см. рис. 45).
отраженная Ьопна
Рис 45
В результате отражения детонационной волны 0 ч- 1 в ПВ
распространяется волна 1^2 Если акустическая жесткость преграды меньше, чем p0-D, то
волна 1 -г 2 является волной разрежения, а если больше, то волна 1 -г 2
является ударной волной Можно утверждать, что ударная волна является слабой,
т. к даже при отражении детонации от абсолютно жесткой преграды
изменение массовой скорости на фронте заметно меньше скорости звука
AU
Uj
С С
п
С учетом выше сказанного правомерно считать, что из области
исходных ПВ (обл. 1. рис. 45) в область, охваченную отраженной волной (обл 2),
по С+- характеристикам приходит информация в соответствии с
соотношением Римана:
£А +-
■ = *л+-
2^
О)
75

Сборник задач по газодинамике
Исходя из принятого уравнения состояния, запишем уравнение связи
давлений в областях 1 и 2
2л
Г г> \
С
с
л-1
(2)
Из уравнений (1) и (2) получаем
(
Р = Р
1 +
/1-1 ^"f/2
V
Л
С
1п_
п-\
1 /
За начальное состояние ПВ принимаем состояние Жуге
^2
p*=pj =
/7 + 1
СХ=С =^°-
1 ; й + 1
D
U]=Uj
/7 + 1
(3)
(4)
(5)
(6)
Подставляя (4), (5) и (6) в уравнение (3), получаем искомое уравнение
Л =
Р0Д2
п + 1
2п
Уп2-\
DJ
2п
ли
(За)
Это уравнение часто называют уравнением кривой торможения
Особенно просто оно выглядит для случая и = 3
Р0Я
1 -
^1
(ЗЬ)
В заключение отметим, что решение этой задачи было выполнено
Е.И Забабахиным |3| в конце сороковых годов.
№43
В образце ВВ сталкиваются плоские детонационные волны, фронты
которых параллельны Определить давление Рт и плотность рт в месте
столкновения волн, приняв для данного ВВ уравнение состояния ПВ в виде
Р = Ар3, а также р0 = 1650 кг/м3 и D = 7700 м/с.
76

Детонационные волны
Решение.
Столкновение двух детонационных волн эквивалентно отражению
одной волны от жесткой стенки.
В предыдущей задаче было получено выражение для определения
давления при отражении детонационной волны от произвольной преграды
Р =
РоЯ2
1 -
^2.
D
(1)
где U2 — скорость ПВ после отражения.
При отражении от жесткой стенки U2 - О С учетом этого из уравнения
(1) имеем для нашего случая
Т 27г-0
(2)
В соответствии с (2) получаем Рт = 58 ГПа
С учетом того, что давление на фронте нормальной детонационной волны
Р -ро°2
J 4 '
уравнение (2) можно представить в виде
/>г=2,37/>.
Из (2а) и уравнения состояния получаем
рт = 1,333ру
Вычисления по (3) с учетом
(2а)
(3)
дают рт =2930 кг1м1.
Pj=^Po
№44
Определить начальное давление на фронте ударной волны в воздухе,
вызванной выходом плоской детонационной волны на поверхность заряда ВВ,
параллельную фронту волны.
77

Сборник задач по газодинамике
Воздух считать идеальным двухатомным газом с плотностью
ров = 1,29 кг/м . Для ВВ принять р0 = 1650 кг/м , D - 7700 м/с, уравнение
состояния ПВ в виде Р - Ар3 .
Решение.
Рассмотрим описанное явление на (х, t) -и (Р, U) -диаграммах (рис. 46
и рис. 47 соответственно).
\
\
1 J>
^s^ О'
контактный
/* разрыЬ
1
п
Рис. 46
В результате выхода детонационной волны О'н-1 на поверхность
заряда в воздухе распространяется ударная волна 0-ьЗ.ав ПВ — волна
разрежения 1 -г 2 . За этими волнами ПВ и воздух имеют равные давления и скорости
уР2 - Р3. U2 - t/3), но разные плотности, поэтому они разделены контактным
разрывом
Искомое давление Р
Р2 - Р3 находим, решая совместно уравнения
отрезков 1 т 2 и 0 т 3 (Я, (/) -диаграммы относительно Р. Уравнение кривой
1 -f- 2 (кривой торможения ПВ) в акустическом приближении было получено
в задаче № 42
Р =
РоЯ2
D
пз
(1)
В плане конструирования уравнения кривой 0-^-3 ((Р, U) - соотношение
для ударных волн в воздухе) сначала из законов сохранения массы и
импульса на фронте ударной волны получаем зависимость:
Р = ?0
CF-1
и1
(2)
78

Детонационные волны
1 (точка Жуг9)
\
'^2.3
Рис 47
Образующаяся в воздухе ударная волна является сильной, на ее фронте
осуществляется предельное сжатие: а = h В двухатомном газе h = 6 (см.
таблицу на стр. 25). С учетом сказанного уравнение (2) преобразуется к виду:
г2
P = №MU'
(2а)
Из уравнений (1) и (2а) получаем Р = 73 Л/Яа
Скорость ударной волны в воздухе Z) = 8245 м/с. что больше скорости
возбудившей ее детонационной волны
№45
Детонационная волна, распространяющаяся по длинному заряду ВВ.
отражается от железного образца Определить повышение температуры на
фронте ударной волны, распространяющейся в железе
Для ВВ принять ровв = 1650 Асг/л/3, D = 7700 м/с. уравнение состояния
в виде
Р = Ар\
а для железа уравнение состояния с Л = 2, w = 3. р0= 7850 кг/м . Са = 4650 м/с
(см. стр 26)
Решение.
Повышение температуры на фронте ударной волны AT определяем по
формуле
79

Сборник задач по газодинамике
АТ = —г-, (1)
С
где АЕТ — повышение тепловой энергии на фронте ударной волны,
с — теплоемкость железа.
АЕт равно разности между приращением внутренней энергии на фронте
волны АЕ и ее упругой составляющей АЕ
АЕт=АЕ-АЕу, (2)
MT=\P(V0-V), (3)
У
--J'
AEy=-\PydV, (4)
где Р — упругая составляющая давления в железе
Из сказанного выше следует, что для вычисления AT необходимо
предварительно определить давление и удельный объем на фронте ударной волны
Для определения давления на фронте ударной волны необходимо решить
совместно уравнения кривой торможения ПВ и (Р, U) - соотношения ударного
нагружения железа Уравнение кривой торможения берем из задачи № 42
.3
(5)
р D2r
р — г°в»
1 1-^
3 ^ D
Уравнение (/\ U) -соотношения ударного нагружения железа получаем
из уравнений сохранения массы и импульса, а также уравнения ударной
адиабаты железа:
Р2
и2=—{ Гг (6)
РоР + РоЯ
Из уравнений (5) и (6) получаем Р = 40 ГПа
Этому значению соответствует V - 10,7 • 10~5л* 1кг, (VQ - 12J • 10~5а/ /кг).
С использованием значений V и VQ по уравнениям (3). (4) и (2)
получаем: АЕ = 400 кДж/кг, АЕ = 342 кЦж!кг, АЕТ =58 кДж/кг.
Принимая для железа с = 450 Дж/кг °К, по (1) получаем AT = 129 °К.
80

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
t — временная координата;
х — пространственная координата;
L, I — длина, расстояние;
М — масса;
р — плотность;
V — объем единицы массы;
Р — давление;
U — скорость вещества;
С — скорость звука;
D — скорость ударной (детонационной) волны;
Е — внутренняя энергия единицы массы;
q — химическая энергия ВВ;
п — показатель политропы;
р ., U , С Р. — параметры в точке Жуге детонационной волны;
/>хп,рхп — давление и плотность в химическом пике детонационной волны
соответственно;
/ — импульс;
а — сжатие на фронте ударной волны;
h — предельное сжатие на фронте ударной волны;
К — коэффициент пористости;
5 — относительная плотность, получаемая при изэнтропическом сжатии
или расширения;
т — кратность ударного сжатия;
а — угол;
Т — температура;
с — теплоемкость единицы массы;
J+,J_ — инварианты Римана;
С +, С _ — характеристики;
ВВ — взрывчатое вещество,
ПВ — продукты взрыва.
81

ЛИТЕРАТУРА
1. Р. Курант и К. Фридрихе. Сверхзвуковое течение и ударные волны,
Москва, издательство иностранной литературы, 1950.
2. ФА. Баум, К.П. Станюкович, Б.И. Шехтер. Физика взрыва, Москва,
Государственное издательство физико-математической литературы,
1959.
3. Е.И. Забабахин. Некоторые вопросы газодинамики взрыва,
Снежинск, 1997.
82

©РФЗЩ — ВНИИТФ
Б.Г. Лобойко
Сборник задач по газодинамике
Ответственный за выпуск
Технический редактор
Корректор
Компьютерный набор
Компьютерная верстка
Компьютерная графика
Обложка
Ответственный за тираж
Ответственный за переплетные работы
В.Н. Ананийчук
Т.Н. Горбатова
НИ Потеряхина
Н.Н Репьева
О.В Завьялова
Н.Н Репьева
Н.Н Крестьянинова
ЕВ Козловская
В Н Ильченко
Г.В. Кириллова
Лицензия ЛР№ 021043
Оригинал-макет подготовлен редакционно-издательской грушюй ОНТИ.
Подписано в печать 05.05.97. Формат 70х 100/16.
Гарнитура Тайме. Печать офсетная.
Усл. п. л. 6,6. Тираж 1000 экз. Заказ № 178.
Отпечатано в ОНТИ РФЯЦ — ВНИИТФ на цифровом дупликаторе
"REX-ROTARY СР-1280" при поддержке НПО ь Индукция", г. Пермь
Адрес издающей организации:
456770, г. Снежинск Челябинской области, а/я 245, РФЯЦ — ВНИИТФ.