/
Text
UJI967
МАТЕМАТИКА
в школе
МАТЕМАТИКА—
держание
Великий Октябрь — светоч коммунизма . 4
Этапы большого пути 7
Учителям математики ..............................................9
И. К. Андронов — Полвека развития системы подготовки математиков-
педагогов в СССР.................... . . ..11
В. В. Сагателян, М. В. Бадалян—Математическое образование в Арме-
нии за годы Советской власти.....................................14
Р. А. Хабиб — От феодальной отсталости — к расцвету народного об-
разования ... ... ........................19
Б. П. Бычков, В П. Бычков — Математическое образование в Мол-
давской ССР .................................................... 23
МАСТЕРА ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ТРУДА
И. Я. Пугач — Сергей Афанасьевич Новоенков.......................28
М. М. Войнилович— Галина Николаевна Минаева . 29
Л. М. Никольский — Лариса Адамовна Шумилова 31
В. В. Герасимова — Рафаил Порфирьевич Пичужкин .... 32
В. В. Миллер — Зоя Дмитриевна Вечернина . ....................32
Т. В. Пенягина — Прасковья Егоровна Черняева.................... 34
Б. С. Малинкин— Николай Павлович Кучкин . .....................34
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
С. В. Смирнов — Новая программа по математике и педагогический
институт . . ... . . . 36
В. Г. Болтянский — Что такое программированное обучение? 39
В. Л. Минковский — Упражнения на отрицание в преподавании
математики ... .................................-57
Л. 3. Карелин — Задачи к некоторым темам геометрии VII—VIII классов 60
В. А. Зотов — Применение разверток при решении задач на построение 62
В. И. Шевченко — О нестандартных приемах решения уравнений . . 65
ЭКСПЕРИМЕНТ
М. Б. Гельфанр, Е. С. Дубинчук, Т. Я. Нестеренко, И. Ф. Тесленко —
Безмашинное программированное обучение .... 68
Т. Г. Гегелия, Л. Г. Магнарадзе, Ш. С. Пхакадзе—О вступительных
экзаменах по математике с помощью машин..........................70
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
Н. Я- Виленкин — Комбинаторные задачи по геометрии .... 73
А. И. Островский — О равносоставленных прямоугольниках и тре-
угольниках ............................................... • 75
М. У. Искаков — Формула Герона в пространстве....................78
И. С. Петраков — Всесоюзная математическая олимпиада 1967 г. 79
М. И. Башмаков, Н. Б. Васильев, Ю. И. Ионин — Решения задач
Всесоюзной математической олимпиады 1967 г.......................81
ЗАДАЧИ
3. А. Скопец — Развивать творческую деятельность учащихся ... 84
Задачи для учащихся..............................................85
Задачи . . 85
Решения задач, помещенных в № 1 журнала за 1967 г. 86
Сводка решений задач по № 1 за 1967 г. 91
Математический календарь на 1967/68 учебный год................. 92
А. И. Бородин — Ж. Д’Аламбер.....................................94
ХРОНИКА
А. Я. Маргулис—В секции средней школы Московского математиче-
ского общества (год девятнадцатый)...............................95
Л. А. Сидорова — О выпуске книг издательством «Просвещение» . . 96
Методический
журнал
Министерства
просвещения
РСФСР
1967
50
ВЕЛИКИЙ ОКТЯБРЬ-
СВЕТОЧ КОММУНИЗМА
Пятьдесят лет назад залп легендарного
крейсера «Аврора» возвестил миру о начале
новой эры в истории человечества. Великая
Октябрьская социалистическая революция,
совершенная Российским пролетариатом под
руководством Ленинской партии коммуни-
стов, ознаменовала собой начало новой эпохи
всемирной истории, содержание которой по
определению В. И. Ленина составляет «унич-
тожение капитализма и его следов, введение
основ коммунистического порядка».
Всемирно-историческое значение Великого
Октября, его влияние на развитие всего чело-
веческого общества глубоко раскрыто в поста-
новлении ЦК КПСС от 4 января 1967 г., а
также в Тезисах ЦК КПСС к 50-летию Вели-
кой Октябрьской социалистической револю-
ции. Советское учительство восприняло эти
документы как непосредственную программу
своей деятельности по воспитанию молодого
поколения, по разъяснению нашей молодежи
всего величия идей социалистической рево-
люции.
Великий Октябрь внес коренные изменения
в исторические судьбы народов нашей плане-
ты. Он не только указал трудящимся массам
путь к свободе, равенству и социальному
прогрессу, но сделал целый переворот в ми-
ровоззрении людей. Идеи научного коммуниз-
ма стали более близки и понятны трудовому
люду. Марксизм-ленинизм, став идеологией
сотен миллионов людей земли, превратился в
могучую материальную силу революционного
обновления мира.
Всего полвека прошло с тех пор, как Вели-
кая Октябрьская социалистическая револю-
ция положила начало воплощению идей на-
учного коммунизма в жизнь, но как за этот
исторически короткий срок неузнаваемо из-
менился политический и социальный облик
земли! Уже треть человечества навеки связа-
ла свою судьбу с идеями Великого Октября.
Вслед за трудящимися России скинули с себя
ярмо капиталистического рабства и встали на
путь социалистического развития народы ря-
да стран Европы, Азии и Америки. Социализм
вышел за рамки одной страны и превратился
в мировую систему.
Окончательная победа социализма в СССР,
образование мировой социалистической сис-
темы изменили соотношение сил на мировой
арене в пользу социализма. Начался всемир-
но-исторический процесс наступления на им-
периализм по всему фронту.
Наши современники стали свидетелями
того, как под ударами антиимпериалистиче-
ских и национально-освободительных рево-
люций, начало которым положил Великий
Октябрь, распадается позорная система коло-
ниализма.
Великая Октябрьская социалистическая ре-
волюция открыла новый этап развития рабоче-
го и коммунистического движения. Она прак-
тически доказала, что рабочий класс является
единственным до конца революционным клас-
сом, способным объединить широкие массы
трудящихся на борьбу против капитала, за
создание нового общественного строя. Она
обогатила рабочий класс опытом революцион-
ного использования марксистско-ленинской
стратегии и тактики в борьбе с империализ-
мом. Рабочий класс мира в лице Советского
государства и стран социализма находит все-
мерную поддержку в битвах с империализмом
за свое освобождение. История подтвердила
предвидение Великого Ленина о том, что
«пример Советской республики будет стоять
прочно, как факел международного социализ-
ма и как пример перед всеми трудящимися
массами...» (В. И. Ленин, Поли. собр. соч.,
т. 35, стр. 290).
На опыте Октябрьской революции рабочий
класс, трудящиеся массы мира убедились в
том, что успех их борьбы может быть достиг-
нут только в том случае, если их борьбой ру-
ководит партия коммунистов. За полувеко-
вую историю Октябрьской революции коли-
чество коммунистов в мире увеличилось в
125 раз. Коммунистические партии сейчас
практически созданы во всех странах мира,
где есть рабочий класс, и объединяют в своих
рядах около 50 млн. человек. Коммунизм стал
знаменем нашего века, а коммунистические
партии — подлинными вождями трудящихся
масс в борьбе за мир, демократию и социаль-
ный прогресс.
4
Великая Октябрьская социалистическая ре-
волюция произвела крутой поворот в жизни
народов нашей Родины, вывела народы Рос-
сии на социалистический путь развития, сде-
лала их хозяевами всех богатств страны. За
пятьдесят лет Советской власти наша Родина
из технически отсталой, аграрной страны с
безграмотным, политически бесправным
крестьянским населением превратилась в ве-
ликую, могучую многонациональную социа-
листическую державу мира, в страну самого
передового общественного строя, развитого
индустриального промышленного производст-
ва, высокомеханизированного коллективного
сельского хозяйства, в страну самой передо-
вой науки, культуры и техники.
По сравнению с 1913 в 1966 г. продукция
советской промышленности увеличилась в
66 раз. Сейчас наша страна по уровню про-
мышленного производства вышла на 2-е место
в мире.
Колоссальные изменения произошли в куль-
турной жизни народа. Сбылись пророческие
слова основоположников марксизма о том,
что «Революция необходима не только пото-
му, что никаким иным способом невозможно
свергнуть господствующий класс, но потому,
что свергающий класс только в революции
может избавиться от всей старой мерзости и
стать способным создать новое общество»
(К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. III,
стр. 71).
Одной из таких «старых мерзостей» эксп-
луататорского строя были темнота и безгра-
мотность народных масс России. До револю-
ции грамотных людей в стране было всего
24%. Большинство из них владели лишь эле-
ментарными навыками письма, чтения и сче-
та, а многие, из так называемых грамотных,
умели только читать, да и то по складам.
Царское правительство на цели народного
образования выделяло сущие гроши. Особен-
но страдали от неграмотности народы нацио-
нальных окраин России. Более 40 народно-
стей не имели своей письменности. В народе
говорилось, «что грамотные в Средней Азии
так же редки, как плодовые деревья в солон-
чаковой пустыне». До революции грамотных
среди таджикского населения было всего
0,5%, киргизского — 0,6%, туркменского —
0,7%. Для ликвидации неграмотности населе-
ния Средней Азйи, по подсчетам буржуазных
исследователей, потребовалось бы около
4 тыс. лет.
Революция положила конец привилегиям
имущих классов в области образования, сде-
лала его достоянием всего народа. Сейчас в
нашей стране почти каждый второй рабочий
имеет среднее или незаконченное среднее
образование. В народном хозяйстве занято
почти 13 млн. человек с высшим и средним
специальным образованием, или в 65 раз боль-
ше, чем их было занято в хозяйстве дорево-
люционной России. В СССР трудится более
700 тыс. научных сотрудников, что составляет
четвертую часть всех научных работников
мира.
За годы Советской власти в нашей стране
впервые в истории человечества была создана
подлинно народная единая трудовая политех-
ническая школа, служащая интересам народ-
ных масс в их борьбе за становление и раз-
витие нового общественного строя и охваты-
вающая своим влиянием все подрастающее
поколение. В настоящее время в общеобразо-
вательных школах страны обучается свыше
48 млн. детей. Все народы Советского Союза
имеют школу на родном языке. Великим за-
воеванием нашего общества является повсе-
местное осуществление всеобщего обязатель-
ного восьмилетнего обучения детей.
В славный юбилей Великого Октября со-
ветский народ с гордостью осмысливает ито-
ги своего созидательного труда за полувеко-
вую историю социалистического государства
и намечает новые грандиозные планы по
строительству коммунистического общества.
Со всем нашим народом большими трудо-
выми успехами встречает пятидесятилетний
юбилей Великого Октября и советское учи-
тельство.
XXIII съезд КПСС поставил большие и слож-
ные задачи перед работниками народного об-
разования, предопределил новый этап в раз-
витии советской школы в соответствии с со-
временными требованиями развития советско-
го общества и задачами строительства ком-
мунизма в нашей стране.
В ноябре 1966 г. ЦК КПСС и Совет Мини-
стров СССР приняли постановление «О мерах
дальнейшего улучшения работы средней об-
щеобразовательной школы», в котором в со-
ответствии с решениями XXIII съезда Комму-
нистической партии Советского Союза в
области образования и коммунистического
воспитания молодежи были развиты и конкре-
тизированы задачи советской школы на со-
временном этапе.
Перед советской школой поставлена зада-
ча большой политической и государственной
важности — постепенный переход к введению
в стране всеобщего среднего образования,
осуществление которого должно завершиться
к 1970 г. Решение этой задачи потребует со-
средоточения усилий партийных, советских,
общественных организаций, органов народно-
5
го образования, всех работников советской
школы. Следует сказать, что воспитание и
обучение подрастающего поколения в нашей
стране поистине становится делом всей на-
шей партии, всего советского народа.
Постоянная забота о советской школе стала
непреложным принципом в жизни нашего
общества. Ежегодно в стране строятся школь-
ные помещения на 1,5 — 2 млн. ученических
мест. Широко ведется школьное строитель-
ство за счет средств колхозов. Только за
последние 7 лет построено школьных зданий
на 11,6 млн. мест, что составляет треть всех
школьных помещений страны.
Всенародная забота об улучшении мате-
риально-технической базы общеобразователь-
ных школ позволила создать необходимые
предпосылки для осуществления среднего об-
разования в стране Уже в юбилейном
1966/67 учебном году 75% выпускников вось-
мых классов обучались в средних общеобра-
зовательных школах и в средних специальных
учебных заведениях. Эти успехи особенно
показательны, если учесть, что до революции
в старших классах обучалось всего 700 тыс.
учащихся, в основном дети привилегирован-
ных слоев населения. Ныне же в V —X клас-
сах обучается 22,7 млн. человек. В Казахста-
не число учащихся старших классов возросло
в 308 раз, в Узбекистане — в 349 раз, в Кирги-
зии — в 300 раз.
Переход к всеобщему среднему образова-
нию — это сложный процесс, требующий ре-
шения многих педагогических проблем, как
ликвидация массового второгодничества, пол-
ное осуществление восьмилетнего всеобуча,
повышения интереса всех учащихся к зна-
ниям. Решение этих проблем может быть осу-
ществлено только путем усовершенствования
содержания образования и воспитания в шко-
ле и приведения его в соответствие с требо-
ваниями задач коммунистического строитель-
ства, путем улучшения методики обучения,
изыскания наиболее эффективных методов и
приемов в педагогической работе.
Министерством просвещения СССР и Ака-
демией педагогических наук СССР разрабо-
таны проекты новых учебных планов и прог-
рамм, введение в жизнь которых, в основном,
предполагается завершить в 1970/71 учебном
году.
В связи с этим перед всеми учителями об-
щеобразовательных школ, в том числе перед
преподавателями математики, в текущем и
последующем учебном году стоит задача глу-
боко изучить проекты новых учебных планов
и программ, теоретически и практически под-
готовить себя для работы по этим програм-
мам, ознакомиться с экспериментальной ра-
ботой, проводимой Академией педагогических
наук СССР, выработать наиболее эффектив-
ные методы преподавания.
Для углубления знаний по физико-матема-
тическим, естественным и гуманитарным нау-
кам, а также для развития разносторонних
интересов и способностей учащихся в учеб-
ных планах с текущего учебного года в VII—
X классах вводятся факультативные занятия
по выбору учащихся. Перед педагогическими
коллективами в целом и учителями математи-
ки в частности стоит задача хорошо подго-
товиться к организации таких занятий. Для
этого необходимо с учетом школьных усло-
вий и интересов учащихся выбрать для каж-
дой параллели классов темы занятий, разра-
ботать программы, обеспечить занятия необ-
ходимым учебным оборудованием.
Новым учебным планом предполагается пе-
реход к трехлетнему начальному обучению и
началу преподавания систематических курсов
по математике и русскому языку с IV класса.
Это, естественно, вызовет изменение в поряд-
ке преподавания курсов математики. Учите-
лям математики необходимо хорошо изучить
проекты программ по арифметике начальных
и четвертых классов, чтобы со знанием дела
учесть эти изменения в своей работе, устано-
вить научную преемственность в преподава-
нии, принять меры, обеспечивающие в период
перехода на новые программы повышение ка-
чества знаний по математике.
Юбилейный год для работников школы дол-
жен стать началом подготовки к работе по
новым учебным программам, началом усовер-
шенствования всего содержания коммунисти-
ческого воспитания учащихся. В основу всей
учебной и воспитательной работы каждого
учителя, педагогического коллектива, партий-
ной организации должны быть положены
Тезисы ЦК КПСС к 50-летию Великой Ок-
тябрьской социалистической революции, со-
держащие в себе глубокий марксистско-ленин-
ский анализ всемирно-исторического значе-
ния Великой Октябрьской социалистической
революции в истории нашей страны и в рево-
люционном преобразовании человеческого
общества. Великие исторические победы со-
ветского народа, достигнутые под знаменем
Октября за 50 героических лет, должны быть
доведены до глубокого понимания каждым
школьником. Он должен ярко представлять,
как «Революционное дело, начатое Вели-
кой Октябрьской социалистической револю-
цией, ширится, крепнет и побеждает», что
коммунизм — завтрашний день всего чело-
вечества.
6
50
ЭТАПЫ БОЛЬШОГО ПУТИ
В юбилейные дни Великого Октября совет-
ские учителя с гордостью и сознанием выпол-
ненного долга вспоминают славный путь,
пройденный нашей школой за пятьдесят лет
Советской власти. Картины героической борь-
бы за становление новой школы, ее побед и
постоянного внимания Коммунистической пар-
тии и Советского правительства к развитию
математического образования были ярко по-
казаны на страницах печати в знаменатель-
ные даты десятилетий Великого Октября.
Ниже приводятся выдержки из статей,
опубликованных в печати в юбилейные дни
1927, 1937, 1947 и 1957 гг. и в канун пятиде-
сятилетия Октября.
1927
«Коренная перемена всего содержания шко-
лы, которая произошла в результате проле-
тарской революции, далеко еще не во всех
частях выявлена в облике трудовой советской
школы. Мы все еще находимся «на путях» к
новой школе. В нашей школе уже заложены
основные устои другой ее конструкции, здание
же, однако, на этих устоях лишь строится —
оно еще в лесах.
Наиболее ярко эта перемена отражается на
содержании образовательной работы».
«Узкообразовательная задача математики,
понимая под этим выражением то, что мате-
матика дает какое-то большое развитие мыш-
ления, не есть единственная и, пожалуй, даже
не основная в нашей школе. Мы не отрицаем
того, что надо в ребятах развивать математи-
ческое мышление, однако не как нечто созер-
цательное, а как нечто действенное».
(«Физика, химия, математика и их место и
задачи в школе эпохи революционного строи-
тельства». Сборник «Физика, химия, матема-
тика, техника в трудовой школе». Сборник
первый. М., 1927, стр. 5, 13.) _ г
1937
«Сейчас, в XX годовщину Великого Октяб-
ря, мы смело можем сказать: да, наш учи-
тель— это подлинно советский учитель, вме-
сте со всеми трудящимися строящий социа-
лизм!
Как изменился облик учителя! Исчез тот
старый учитель, которого в деревне давила
власть урядника, попа, волостного старшины,
писаря, земского начальника и пр. и пр.; над
которым в городе висело «недремлющее око»
инспектора, директора, попечителя учебного
округа. Исчез и учитель — чиновник, форма-
лист, засушивающий преподаваемую им дис-
циплину, ненавидящий своих учеников и нена-
видимый ими, находящийся в состоянии не-
прерывной войны с учащимися. Наш учитель
не похож на них. Наш учитель — это новый,
советский учитель».
«Наш учитель — не «человек в футляре»,
для которого и наука и методы ее преподава-
ния приняли определенные, раз навсегда
установленные, застывшие формы. Он знает,
что наука непрерывно движется вперед, знает,
что методы преподавания еще далеко не со-
вершенны. И он борется за повышение своей
политической и научной квалификации, борет-
ся за повышение своего педагогического ма-
стерства. Он — слушатель вечерних и заочных
курсов, педтехникумов и педвузов. Он с ра-
достью едет на курсы, на конференции, чтобы
повысить свои знания, получить ответы на
возникшие в связи с его педагогической или
общественной деятельностью вопросы. Он хва-
тается за каждую вышедшую книгу по его
специальности, за каждый номер журнала».
«Изменилась школа, изменился учитель, из-
менился, конечно, и ученик. Советский уче-
ник— это не старый ученик, смотрящий на
учение как на тяжелый крест; видящий в уче-
нии лишь печальную необходимость, поэтому
7
равнодушный к школе и к учителю в лучшем
случае, видящий в среднем и высшем обра-
зовании лишь средство к достижению боль-
ших или меньших личных благ.
Наш ученик смотрит на школу, на образо-
вание как на необходимую ступень для того,
чтобы быть участником социалистического
строительства, быть достойным и активным
гражданином Советской республики».
(«Школа, учитель и ученик в Советской
стране», «Математика в школе», 1937, № 6,
стр. 18—19.)
1947
«Математическое образование стало достоя-
нием миллионов детей и юношей всех нацио-
нальностей, населяющих нашу великую
страну.
Последние годы характеризуются особым
вниманием правительства Советской страны к
улучшению качества преподавания в школе.
На Всероссийских совещаниях по народному
образованию в 1944, 1945, 1946 гг. в центре
внимания стоял вопрос о качестве знаний уча-
щихся. Основным недостатком в подготовке
учащихся, по заключению совещаний, являет-
ся все еще имеющий место формализм в зна-
ниях учащихся».
«Преодоление этого недостатка в кратчай-
шие сроки является основной задачей нашей
школы.
Наряду с этой задачей во весь рост встает
вопрос о перестройке работы школы в связи
с тем, что с 1945/46 учебного года в нашей
школе снижается возраст учащихся на один
год».
«Наконец, само развитие математической
науки, задачи высшего образования, необхо-
димость широкого распространения математи-
ческих знаний в широчайших массах населе-
ния ставят вопрос о пересмотре содержания
школьной математики.
Если, несмотря на колоссальные затрудне-
ния, которые стояли перед страной после Ве-
ликой Октябрьской социалистической револю-
ции, удалось десятки миллионов детей приоб-
щить к основам математической культуры,
если дальнейший рост этих мероприятий не
ослабел даже в тягчайшие годы Великой Оте-
чественной войны, то теперь, после величай-
шей победы над фашизмом, в годы пятилегок
по восстановлению и развитию народного хо-
зяйства, имеются все возможности для того,
чтобы не только продолжать дальнейшее про-
движение математических знаний в широчай-
шие массы трудящихся нашей страны, но и
направить работу вглубь, дабы содержание
школьного математического образования воз-
8
можно больше и быстрее приблизить к зада-
чам социалистического строительства нашей
страны и развития самой математической
науки».
(«Преподавание математики в Советской
школе 1917—1947 гг.», «Математика в школе»,
1947, № 5, стр. 22.)
1957
«В итоге развития культуры и образования
в СССР мы имеем следующие достижения.
I. В созданной особой системе образования
поставлена высокая задача — доводить всех
учащихся до окончания полной десятилетней
школы и добиваться минимального возможно-
го появления второгодников; но так как сте-
пень усвоения математики у учащихся раз-
лична, в особенности различна скорость фор-
мирования абстрактных математических по-
нятий, то поставленная задача требует от учи-
теля математики хорошей математической
культуры, глубокого владения методикой пре-
подавания математики, в частности подлинно-
го мастерства ведения урока».
«II. Коллектив передовых преподавателей
сумел пробудить у значительного числа уча-
щихся интерес и больше того—энтузиазм к
овладению содержанием и методом матема-
тики...»
«III. В наших условиях вырос и с каждым
годом получает большое пополнение коллек-
тив научных работников, развивающих срав-
нительно новую педагогическую науку — ме-
тодику математики».
(«Итоги сорокалетнего развития математи-
ческого образования в СССР», «Математика
в школе», 1957, № 5, стр. 6.)
1967
«Школа сыграла выдающуюся роль в той
огромной по глубине и размаху культурной
революции, которая совершена в нашей стра-
не под руководством Коммунистической пар-
тии. Впервые в истории человечества создана
подлинно демократическая система просвеще-
ния, обеспечивающая гражданам нашей стра-
ны фактическую возможность получить сред-
нее и высшее образование...»
«Центральный Комитет КПСС и Совет Ми-
нистров СССР в ноябре 1966 г. приняли по-
становление «О мерах дальнейшего улучше-
ния работы средней общеобразовательной
школы».
В постановлении подчеркивается, что совет-
ская школа и впредь должна развиваться как
общеобразовательная, трудовая, политехниче-
ская. Ее главные задачи — давать учащимся
прочные знания основ наук, формировать у
них высокую коммунистическую сознатель-
ность, готовить к жизни, к сознательному вы-
бору профессии».
«В целях дальнейшего совершенствования
среднего образования, создания необходимой
стабильности в работе школы, последователь-
ного осуществления принципов политехниче-
ского обучения и трудового воспитания ЦК
КПСС и Правительство СССР обязали Ми-
нистерство просвещения СССР и министер-
ства просвещения союзных республик ввести
в школу научно обоснованные учебные планы
и программы При этом необходимо привести
содержание образования в соответствие с со-
временными достижениями и требованиями
науки, техники и культуры; обеспечить преем-
ственность в изучении основ наук, более ра-
циональное распределение учебных материа-
лов по годам обучения; установить начало си-
стематического преподавания основ наук с
IV года обучения; преодолеть имеющуюся пе-
регрузку учащихся учебными занятиями».
«Учитывая положительный опыт, накоплен-
ный школами, постановление предусматривает
некоторое число средних школ и классов с
углубленным теоретическим и практическим
изучением в IX—X классах математики и вы-
числительной техники...»
(«Совершенствовать работу школы», «Мате-
матика в школе», 1967, № 1, стр. 2.)
«Существенно новым для нашей школы яв-
ляется введение с целью углубления знаний
по естественным (в том числе физико-мате-
матическим) и гуманитарным наукам, а так-
же развития разносторонние интересов и спо-
собностей учащихся в школах начиная с VII
класса факультативных занятий по выбору
учащихся».
(«Факультативные занятия по математике»,
«Математика в школе», 1967, № 2, стр. 2.)
50
лет I
В знаменательные дни наступающего пятидесятилетия Великого
Октября редакция журнала обратилась с просьбой к ученым-матема-
тикам, известным учителям и деятелям народного образования выска-
зать свои пожелания учителям математики.
Публикуем первые из полученных ответов.
Иногда приходится слышать отголоски старого спора: что должно
стоять на первом месте в сознании учителя? Любовь к детям или лю-
бовь к своему предмету? Конечно, подобные споры насквозь схоластич-
ны. Настоящий учитель — это тот, кто, любя детей, приобщает их к лю-
бимой науке!
Чем дальше развивается, растет и широко ветвится древняя и муд-
рая математическая наука, тем яснее видны ее поразительная цельность
и внутреннее единство. Давно осознана нецелесообразность и даже
вредность попыток отгородить от бурного развития жизни небольшой
ее участочек под именем элементарной математики, на котором можно
было бы в покое и тишине растить и холить такие нежные и прихотли-
вые растения, как построения с помощью циркуля и линейки, геомет-
рию треугольника и тетраэдра, тождественные преобразования радика-
лов, приведение к виду, удобному для логарифмирования, показатель-
ные, логарифмические и тригонометрические уравнения и многое дру-
гое, что дорого изощренным составителям конкурсных задач для экза-
менов по математике в высшие учебные заведения. Ну, а спрос, как
известно, рождает предложение.
Мое самое задушевное пожелание — предоставить это немногим
истинным любителям — в качестве излюбленного увлечения это заня-
тие вполне безгрешно — и выпустить наконец ребят на сияющие про-
сторы огромного математического сада. От этого выиграют и школь-
ники, и мы с вами, дорогие коллеги. Но для этого, конечно, нужно
самим приобщиться к богатствам математической науки. Ведь многие
из нас с тех пор, как оставили студенческую скамью, не отрывались
от ухода за грядками «элементарной математики».
Вице-президент АПН СССР А. И. Маркушевич
9
Дорогие коллеги! В знаменательные дни 50-летия Великой Октябрь
ской социалистической революции обращаюсь к вам с приветствием.
Полвека назад, 2(15) ноября 1917 г., Советом Народных Комиссаров
была принята «Декларация прав народов России», в которой провоз-
глашались равенство и суверенность всех народов России. Начиналось
грандиозное строительство новой жизни.
В первые годы Советской власти организаторам народного образо-
вания в нашей республике пришлось думать не только о том, как учить
детей, но, в первую очередь, о том, как учить учителей.
Я пишу эти строки с особым волнением. Ведь для меня торжествен-
ная юбилейная дата совпала с другой: ровно 50 лет назад на девят-
надцатый день революции в памятные дни 1917 г. я оказался одним из
основателей первой советской школы в Узбекистане.
Трудными были эти первые годы. Свирепствовал голод, вся Ферга-
на, где находилась наша школа, была окружена басмаческими бандами.
Подстрекаемые реакционным духовенством, они сжигали школы, учи-
няли зверства над первыми советскими учителями. Днем мы учили де-
тей, а по ночам приходилось с оружием в руках охранять от басмачей
школу. Но не это было самым трудным: мешало отсутствие серьезной
подготовки — за моими плечами было всего 4 класса русско-туземной
школы плюс то, что я получил путем самообразования.
С тех пор прошло немало лет. Многие из моих питомцев стали док-
торами наук, академиками, государственными и партийными деятелями.
Вспоминая с чувством глубокого удовлетворения свой давний опыт,
я от души желаю всем учителям математики добиваться в школе со-
здания атмосферы увлеченности, страстной любви к науке, которая
служит залогом успехов на пути достижения ее сияющих вершин.
Примите от меня сердечное напутствие: «Хормангиз! Не уставайте!»
Эти слова у нас в Узбекистане означают пожелание неиссякаемой энер-
гии и трудолюбия!
Герой Социалистического Труда,
лауреат Государственной премии академик АН Уз ССР
Т. Н. Кары-Ниязов
Годы великих преобразований, годы великих свершений и героиче-
ской борьбы, годы стремительного роста нашей Советской Родины, на-
шего советского народа, нашей советской культуры — вот что такое
50 лет!
Для нас, учителей математики,— это годы упорного труда, годы
исканий наилучших путей воспитания, обучения детей, подростков, де-
вушек и юношей. Каждый из нас имеет право сказать, что вот этот Ге-
рой Советского Союза, Герой Социалистического Труда, этот ученый —
математик, физик, химик, биолог,— этот общественный деятель, ударник
коммунистического труда, эти славные патриоты-труженики города и
деревни — это и мои ученики.
В этом наша радость, наше счастье, лучшая для нас награда.
Но такое наше положение накладывает на всех нас и. большую обя-
занность. В самом деле, разве кому-нибудь из нас, учителей математики,
не известно, что мы вступили в эпоху, когда нет такой науки, нет такой
деятельности, человека, куда бы не проникла математика.
И мы должны дать всей молодежи, подготовку, отвечающую требо-
ваниям времени. Поэтому и нам самим надо непрерывно обновлять свои
знания, приобщаться к тем основам современной математики, которые
неизбежно войдут и уже входят в нашу школу.
Будем же смело искать пути, для движения вперед, к новым дости-
жениям в математическом образовании и коммунистическом воспитании
молодого поколения!
Заслуженный учитель школы РСФСР
К. П. Сикорской
50
И. К. АНДРОНОВ (Москва)
ПОЛВЕКА РАЗВИТИЯ СИСТЕМЫ ПОДГОТОВКИ
МАТЕМАТИКОВ-ПЕДАГОГОВ В СССР
Старая Россия в качестве наследия остави-
ла в стране много различных видов сословных
школ, причем средние школы были доступны
лишь детям из привилегированных слоев об-
щества.
По уровню грамотности Россия занимала
одно из последних мест в Европе.
В дореволюционное время учителя началь-
ной школы получали специальное педагогиче-
ское образование в учительской семинарии и
в восьмых классах отдельных женских гим-
назий.
Учителя высшего начального училища
(близкого к нашим V—VII классам) получа-
ли специальное педагогическое образование в
учительском институте.
По установившейся традиции учителя сред-
ней школы получали высшее научное образо-
вание в университетах, не имея при этом спе-
циальной педагогической подготовки. Такое
образование получали выпускники Петербург-
ского, Московского, Казанского, Харьковско-
го, Вильнюсского, Киевского, Новороссийско-
го, Дерптского университетов, избравши^
профессию учителя математики.
Вековой исторический опыт Запада и Рос-
сии показал, что университетская подготовка
преподавателя математики необходима, но не-
достаточна. Лишь немногие молодые учителя,
окончившие физико-математические факуль-
теты, попадавшие в такие гимназии, где были
влюбленные в свое дело опытные учителя,
овладевали мастерством преподавания и ста-
новились творчески работающими педагога-
ми. В кругах научной общественности шла
борьба вокруг решения вопроса о том, нужно
ли давать учителям средних школ только на-
учное образование или давать им также и
специальное педагогическое образование. Пе-
редовые научные работники отстаивали не-
обходимость специального педагогического
образования учителей средней школы. Но в
дореволюционных условиях возникшая проб-
лема не нашла полного решения. С 19С9 г. в
России были созданы при учебных округах
одногодичные педагогические курсы, а в Мос-
кве, кроме того, в 1911 г. педагогический ин-
ститут имени П. Г. Шелапутина. В эти
учебные заведения могли поступать выпуск-
ники университетов, в частности физико-ма-
тематических факультетов, желающие стать
учителями средней школы.
К концу XIX в. стала подвергаться критике
сложившаяся система специально научной
подготовки преподавателя гимназии. Наибо-
лее объективная критика была дана извест-
ным немецким ученым-геометром профессо-
ром Геттингенского университета Феликсом
Клейном (1849—1925). Ф. Клейн назвал
создавшуюся традицию в подготовке учителей
математики системой двух забвений: первое
забвение, когда абитуриент, поступая в уни-
верситет, забывая все основное, что изучал в
предмете и методе «элементарной математи-
ки», приступал к изучению нового предмета и
метода «высшей математики». Второе забве-
ние, когда окончивший университет приходил
в гимназию преподавать математику, забывая
предмет и метод «высшей математики», начи-
нал вспоминать то, что порядочно забыл из
«элементарной математики».
Сразу же после Великого Октября в Совет-
ской России была проведена грандиозная по
своим масштабам и содержанию работа по
созданию новой школы и новой системы под-
готовки учителей математики.
Декретом Совета Народных Комиссаров в
1918 г. все школы преобразовались в единую
систему трудовых бесплатных школ для всех
детей. Не все преподаватели привилегирован-
ных школ приветствовали начинания нового
Народного комиссариата по просвещению.
Было ясно, что надо создавать новую интел-
лигенцию, выходящую из трудового народа,
в частности и новых учителей школ.
В первые годы Советской власти создаются:
1) девять педфаков, организованных при
существовавших университетах: Владивосто-
ке, Воронеже, Иркутске, Москве, Нижнем-
Новгороде, Перми, Саратове, Смоленске, Ро-
стове-на-Дону;
2) девять самостоятельных педагогических
институтов: Владикавказе, Вятке, Казани,
Краснодаре, Москве, Петрограде, Твери, Сим-
ферополе п Ярославле.
11
Кроме того, в Москве был реорганизован
педагогический институт имени П. Г. Шела-
путина, сперва преобразован в Академию со-
циалистического воспитания, а позднее — в
Академию коммунистического воспитания с
присвоением имени Н. К. Крупской.
Бурный рост школ потребовал большого
количества новых учителей, в связи с чем на-
чинается быстрый рост числа педагогических
институтов. Уже в 1936 г. в СССР было 99 ин-
ститутов, в которых готовились 74 тыс. новых
учителей.
Дальнейший стремительный рост сети школ
в СССР потребовал увеличенной подготовки
числа учителей: были созданы временные
двухгодичные учительские институты, ускорен-
но готовящие учителей для семилетней школы.
Ныне в СССР имеется более 250 педагогиче-
ских институтов с 300 тыс. студентов. Кроме
того, подготовка преподавателей математики
ведется в университетах.
Непрерывно развивалась и система научно-
педагогической подготовки будущих учителей
математики. В настоящее время на матема-
тических факультетах эта подготовка склады-
вается из следующих основных частей:
1. Общее философское образование, постро-
енное на научных основах марксистско-ленин-
ской теории.
2. Общее высшее математическое образова-
ние, подводящее к основным идеям, методам
и содержанию классической и современной
математики как науки.
В учебные планы входят следующие циклы
математических дисциплин:
1) Математический анализ. Теория функций
действительного переменного и теория функ-
ций комплексного переменного.
2) Высшая алгебра. Основания арифме-
тики.
3) Теория вероятностей.
4) Математическая логика. Теория алгорит-
мов.
5) Аналитическая геометрия, проективная
геометрия, основания геометрии, дифференци-
альная геометрия.
6) Вычислительная математика. Програм-
мирование.
7) Теория чисел.
8) История математики.
Эти обязательные предметы учебного пла-
на дополняются специальными курсами и спе-
циальными семинарами по выбору студентов
на III, IV и V курсах.
3. Общее высшее естественнонаучное образо-
вание, знакомящее студентов с основными
идеями и методами физики, механики, астро-
номии, с приложениями математических мето-
дов к теоретическому естествознанию (физи-
ка, теоретическая механика, уравнения мате-
матической физики, астрономия).
4. Общее высшее педагогическое и психоло-
гическое образование, дающее учителю мате-
матики целостный взгляд на жизнь школы и
учащегося в школе и дома, раскрывающее
общие педагогические и психологические за-
кономерности (курсы педагогики, психологии,
истории педагогики с соответствующими спец-
курсами и спецсеминарами).
5. Специальное учительское математическое
образование, связанное с теоретическим обос-
нованием школьного курса математики и при-
обретением навыков решения математических
задач повышенной трудности.
Подготовка в этом направлении обеспечи-
вается курсом элементарной математики.
В этот предмет входят дисциплины:
а) Современная теоретическая арифметика
с развитием понятия числа — натурального,
целого, рационального, действительного и
комплексного.
б) Теория и практика устных, письменных,
инструментальных, графических и номографи-
ческих вычислений с теорией ответственных
вычислений с точностью, определяемой исход-
ными данными.
в) Теория геометрических построений с по-
стулатами построений и оценкой мощности
теоретических инструментов.
г) Теория групп геометрических преобразо-
ваний с их инвариантами.
д) Теория и практика решения алгебраиче-
ских и элементарных трансцендентных урав-
нений и неравенств и их систем.
е) Круговые и гиперболические функции
действительного и комплексного аргумента.
6. Специальное методическое образование,
раскрывающее вопросы о содержании, систе-
ме, целях, методах, средствах и организации
преподавания математики (лекционный курс
и практические занятия по методике матема-
тики, спецкурсы и спецсеминары по методи-
ке), курсовые и дипломные работы по этому
предмету.
7. Специальное профессиональное воспита-
ние передового учителя математики в процес-
се проведения уроков и внеклассных мероприя-
тий в школе в период педагогической прак-
тики в школе на двух последних курсах
(общей продолжительностью от 16 до 20 не-
дель).
Важной задачей, решение которой находит-
ся в течение ряда последних лет, является
установление необходимой взаимосвязи и
должной меры в соотношении между этими
12
основными элементами образования учителя
математики.
Разработанная в настоящее время новая
программа школьного курса математики соз-
дает необходимую основу для преодоления
традиционно сложившегося разрыва между
содержанием математического образования в
пузе и содержанием школьного курса матема-
тики.
В ряде педагогических институтов развер-
нулась экспериментальная работа по индиви-
дуальным учебным планам и программам, что
позволит найти проверенные практикой отве-
ты на поставленные жизнью вопросы, связан-
ные с дальнейшей модернизацией высшего и
среднего образования. Возвращаясь к прош-
лому, следует отметить, что уже в первые го-
ды развития советской школы были преодо-
лены возникшие в дореволюционное время по-
пытки строить преподавание математики тем
же путем, которым шла при своем развитии
сама наука.
Эту односторонность генетического метода
п введения историзма в преподавание своевре-
менно поправили классики диалектического
материализма
В советской школе в основу системы пре-
подавания ставится психологизированная ло-
гическая система, а исторический прием вно-
сится как добавочное в процессе поднятия ин-
тереса, активности и сознательности учащихся.
Учителю необходимо знание истории, чтобы
знать в совершенстве свой предмет и умело
внедрять исторический элемент в психологи-
зированную логическую систему преподавания
математики в школе, с тем, чтобы оживлять
занятия, вызывать повышенный интерес и
творческую активность учащихся.
Только в советское время благодаря посто-
янному вниманию партии и правительства
были созданы самые благоприятные условия
для развития педагогической науки, и в част-
ности педагогики математики—предмета,
воспитывающего педагогическое мышление
учителя, создающего производительный труд
учителя и учащихся.
Уже с первых дней октября 1917 г. вместе с
созданием первых педагогических институтов
учреждаются кафедры педагогики и в немно-
гих педагогических институтах — кафедры ме-
тодики математики (Петрограде—зав. каф.
И. Н. Кавун; Москве — А. М. Воронец; Кие-
ве— К. Ф. Лебединцев; Калинине — И. К- Ан-
дронов). Позднее многие заведующие кафед-
рами педагогики и методик получают «долж-
ности доцента» и в исключительных случаях
«должности профессора», с 1925 г. возникают
и звания доцента и профессора.
С 1934 г вводятся степени кандидата наук
и доктора наук.
В 1943 г. создается штаб научно-педагогиче-
ской мысли—Академия педагогических наук,
открытие которой приветствовала вся совет-
ская общественность.
Создаются высшие ученые степени по педа-
гогическим наукам, избираются члены-корре-
спонденты и действительные члены АПН.
Об интенсивности научно-исследователь-
ской работы по педагогическим наукам гово-
рят следующие данные.
Всего по педагогическим наукам защищено
6 тыс. кандидатских диссертаций. Из них:
I) по общей педагогике и истории педаго-
гики и психологии — 4,5 тыс.;
2) по методикам — русского языка и лите-
ратуры, математики, физики, химии, биоло-
гии, географии, черчения и рисования —
1,5 тыс.
Из них по методике математики более 400
диссертаций.
Кандидатские диссертации по методике ма-
тематики распределяются по следующим те-
мам: 1) общая методика преподавания—
42; 2) методика арифметики—47; 3) методи-
ка алгебры—120; 4) методика геометрии —
121; 5) методика тригонометрии — 25; 6) ме-
тодика «высшей» математики — 49.
Интенсивность научных исследований в об-
ласти методики математики с каждым годом
возрастает. До Великой Отечественной войны
было защищено только 13 кандидатских дис-
сертаций по методике математики. В 1967 г.
таких диссертаций защищено 30.
Из двухсот докторов по педагогическим на-
укам имеем:
1. По педагогике и истории педагогики и
психологии около 150.
2. По методикам всех основ науки около 50.
Из них по методике математики — четыре.
Докторские диссертации защитили: И. В. Ар-
нольд по теоретической арифметике, В. И. Ко-
стин по основаниям геометрии, Б. В. Болгар-
ский о казанской школе математического об-
разования и В. М. Брадис по вычислитель-
ной работе в курсе математики средней
школы.
По психологии математического обучения
защищены докторские диссертации: «Обоб-
щенные ассоциации (опыт психологического
анализа алгебраических ошибок)» Шеваре-
вым П. А., «Психология обучения арифмети-
ке» Менчинской Н. А., «Подготовка детей к
усвоению арифметического материала в шко-
ле» Леушиной А. М и «Математические и ки-
бернетические методы в педагогике» Итель-
соном П. Б.
13
В настоящее время решением ВАК расши-
рено число педагогических институтов, кото-
рым дано право принимать к защите диссер-
тации по методике математики, в особенности
в союзных республиках.
В последние годы наблюдается все возра-
стающий интерес крупнейших советских уче-
ных-математиков к проблемам развития
школьного математического образования. Их
вклад в педагогику математики и исследова-
ния пришедшего в педагогическую науку но-
вого пополнения уже дают свои благотворные
результаты.
Вооруженная передовой теорией наша выс-
шая педагогическая школа успешно решает
поставленные перед ней задачи по подготовке
высоко квалифицированных учителей матема-
тики, воспитателей будущих строителей ком-
мунистического общества.
50
В. В. САГАТЕЛЯН, М. В. БАДАЛЯН (г. Ереаан)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В АРМЕНИИ
ЗА ГОДЫ СОВЕТСКОЙ ВЛАСТИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В ПРОШЛОМ
Армянский народ, один из древнейших на-
родов нашей страны, прошел большой и слож-
ный исторический путь. Были периоды, когда
он имел свое независимое государство с высо-
коразвитой экономикой и культурой. Но, на-
ходясь на перекрестке торговых и стратеги-
ческих магистралей между Востоком и Запа-
дом, между могущественными, постоянно
враждующими друг с другом державами, Ар-
мения часто являлась ареной опустошитель-
ных военных действий, в результате которых
страна на долгие периоды теряла независи-
мость и народ подвергался безжалостному
гонению и истреблению. В таких случаях
часть армян покидала родную землю и нахо-
дила убежище в чужих странах.
Для лучшего понимания того, что было сде-
лано в советский период в области математи-
ческого образования, необходимо кратко оз-
накомиться с историей развития математики
и математического образования в Армении.
В конце IV — начале V в. Армения была
разделена между Византией и Персией. Ар-
мянский народ вел длительную и тяжелую
борьбу за свою независимость. В этот период
большую роль в сохранении национальной
самобытности сыграло создание армянской
письменности Месропом Маштоцом. Пись-
менность явилась мощным орудием для на-
ционального самосохранения, против политики
ассимиляции со стороны завоевателей. Всюду
открывались школы. Армянские ученые, по-
лучившие ранее образование в Александрии,
Афинах, Эдессе и других городах, начали
переводить на армянский язык наряду со
священными писаниями лучшие творения
древних философов, грамматиков и мате-
матиков.
Таким образом, армянская школа имеет ми-
нимум 16-вековую историю, не считая до-
маштоцского периода.
С V в. наступает расцвет культуры армян-
ского народа. В этот период быстро разви-
ваются и математические науки. Они достиг-
ли высокого уровня в работах крупнейшего
математика, астронома и философа VII в.
Анании Ширакаци, давшего научное обо-
снование затмений Солнца и Луны, отстаивав-
шего шарообразность Земли. Ценным насле-
дием А. Ширакаци является и его учебник по
арифметике, самый древний среди дошедших
до нас рукописных армянских учебников по
математике. В 1918 г. была переведна акаде-
миком И. А. Орбели на русский язык часть
этого учебника «Вопросы и решения». В 1939 г.
была найдена и другая его часть «Таблицы
сложения, вычитания, умножения и деления».
Аналогичные таблицы были составлены толь-
ко спустя семь столетий (XIV в.) в Византии
армянским же математиком Николаем Арта-
ваздом.
В период господства завоевателей ( VII—
IX) армянская школа, как и вся духов-
ная жизнь народа, подвергается ограничениям
и гонениям. Новый расцвет культуры начи-
нается в IX в. после завоевания независимо-
14
сти страны. В начальных школах преподается
искусство исчисления и арифметика (послед-
няя— как теория о четырех арифметических
действиях), астрономия и др., а в школах
высшего типа — также геометрия и логика.
В этот период особенно плодотворной была
деятельность некоторых армянских школ выс-
шего типа, которые справедливо назывались
амалсаранами (университетами).
В период IX—XV вв. в Восточной Армении
существовали такие университеты в Шатахе,
Татеве, Гладзоре, Санаине, Ахпате. Хотя они
были открыты при монастырях, по там наря-
ду с филологическими и историко-философ-
скими науками изучали также математику,
астрономию, географию, живопись, музыку.
В Санаписком университете работал Григор
Магистрос. Он был многосторонне разви-
тым ученым, занимался математикой, медици-
ной, философией, перевел на армянский язык
классические труды греческих ученых, в том
числе и «Начала» Евклида (вероятно, в
1051 г.) Это — исторически важный факт,
если иметь в виду, что знаменитый труд
Евклида в Европе впервые был переведен на
латынь в 1120 г. с арабского варианта, а с гре-
ческого оригинала — лишь в XVI в., т. е. спу-
стя 450 лет после армянского перевода. Из со-
хранившихся отрывков работы Г. Магистроса
видно, что это не простой перевод, а свобод-
ное переложение, приспособленное для
школьного преподавания. Между тем в Евро-
пе первое школьное издание «Начал» было
осуществлено голландским математиком
А. Таке в 1654 г., притом «не на родном язы-
ке читателя, а на вульгарной латыни того вре-
мени» (В. Ф. Каган).
Другой крупный армянский математик и фи-
лософ Ованнес Имастасер (Саркаваг) ра-
ботал в Ахпатском университете. Из его мно-
гих работ для истории математики большое
значение имеет работа «Многоугольные чис-
ла». Эта работа говорит о том, что в армян-
ских школах высшего типа в XI—XII вв. пре-
подавалась и теория чисел.
Армянские университеты фактически стали
центрами раннего возрождения, где переоце-
нивалось и развивалось математическое насле-
дие древнего мира. Этим наши университеты
существенно отличались от университетов
Западной Европы, где ознакомление с важ-
нейшими результатами древних математиков
происходило гораздо позже, через арабов.
В XIV в. Армения снова потеряла свою не-
зависимость, на этот раз на долгое время,
вплоть до Октябрьской революции.
В 1828 г. Восточная Армения была присое-
динена к России. Это способствовало на-
циональному возрождению и развитию армян-
ской культуры. В Восточной Армении откры-
вается ряд приходских и епархиальных школ.
В 1874 г. на базе Эчмиадзинской духовной
школы открывается духовная академия (Ге-
воркян Чемаран), которая функционировала
до 1918 г. Особое место в развитии армянской
культуры и науки в Восточной Армении при-
надлежит Тифлисской Нерсисянской школе,
Московскому Лазаревскому институту и Эч-
миадзинской духовной академии.
Позже в некоторых городах и крупных сель-
ских местностях открываются русские госу-
дарственные школы, мужские и женские гим-
назии и прогимназии, реальные и коммерче-
ские училища. Во всех этих школах действо-
вали учебные планы и программы соответст-
вующих школ России.
Эчмиадзинская духовная академия и Тиф-
лисская Нерсисянская школа фактически ста-
новятся основными центрами как для подго-
товки учителей армянских школ, так и по об-
щему методическому руководству. Постепенно
улучшается и усиливается преподавание ма-
тематических дисциплин. Если вначале в сред-
них школах преподавались только арифметика
и некоторые элементы алгебры и геометрии,
то в дальнейшем после арифметики начали
преподавать полные курсы алгебры, геомет-
рии, тригонометрии на уровне русских и евро-
пейских школ. Создаются и соответствующие
учебники и задачники, как оригинальные, так
и переводные (русских и европейских ав-
торов) .
Первая мировая война, пожалуй, ни для
одного народа не принесла столько бедствий,
сколько для армянского. Армянский народ
был на грани полного уничтожения. В этот
критический момент трудящиеся Армении под
руководством Коммунистической партии вос-
стали против своих угнетателей и захватчиков.
По поручению В. И. Ленина на помощь вос-
ставшим пришла 11-я Красная Армия. В но-
ябре 1920 г. Армения была провозглашена
Советской Социалистической Республикой.
Поэтому армянский народ считает Великую
Октябрьскую социалистическую революцию,
установление Советской власти в Армении
началом новой эры в своей многовековой исто-
рии, вехой своего возрождения.
НОВАЯ ЭРА В ИСТОРИИ АРМЯНСКОЙ ШКОЛЫ
После установления Советской власти
Коммунистическая партия и правительство
Советской Армении с помощью братских на-
15
родов Советского Союза приступили к ликви-
дации ужасных последствий войны — нищеты,
голода и эпйдемий, к восстановлению разру-
шенной экономики. Одновременно была раз-
вернута большая работа по восстановлению
школ, по реорганизации и реформе народного
образования, а также организации высшего
образования для подготовки высококвалифи-
цированных специалистов.
Первым шагом в этом направлении было
открытие массовых школ во всех населенных
пунктах, чтобы охватить учебой всех детей
школьного возраста. Это была нелегкая зада-
ча, ибо до революции 80% детей школьного
возраста не имели возможности учиться.
Несмотря на то что в годы войны большин-
ство школ ‘ было разрушено и распущено,
в первый же учебный год удалось принять
в школы значительно больше детей, чем в до-
военное время (в 1914/15 уч. г.—34 738,
в 1920/21 уч. г.—37 300).
В деле организации народного образования
Наркомпрос Армении воспользовался трехлет-
ним опытом Советской России. Были органи-
зованы школы I и II ступени. В смысле учеб-
ных планов и программ, общих методических
установок армянские школы мало отличались
от российских.
В 1931—1932 гг. в республике принимается
ряд мер для улучшения школьного образова-
ния, усовершенствования методики препода-
вания математики, повышения квалификации
учителей. Учителя проходят кратковременные
курсы переподготовки, организуются город-
ские и республиканские методкабинеты, от-
крываются показательные школы.
Для проведения систематической работы по
повышению квалификации учителей в 1939 г.
организуется Институт усовершенствования
учителей. Для руководства и научной органи-
зации учебно методических и воспитательных
мероприятий в 1942 г. организуется Научно-
исследовательский институт школ, который
в 1962 г. реорганизуется в Научно-исследова-
тельский институт педагогических наук.
В 1965 г. был организован Ереванский город-
ской институт усовершенствования учителей.
В этих институтах, а также на кафедрах ме-
тодики математики Ереванского, Ленинакан-
ского и Заочного педагогических институтов
за истекшие годы проделана большая работа
по повышению квалификации учителей и усо-
вершенствованию методики преподавания ма-
тематики, по научному исследованию актуаль-
ных вопросов педагогики и школьного образо-
вания. За последние 25 лет издано около
20 работ, посвященных различным вопросам
методики преподавания математики,
В настоящее время работников просвеще-
ния Армении, как и всего Союза, волнуют во-
просы, связанные с реформой содержания
школьного образования. Проект новой прог-
раммы математики коренным образом отли-
чается от существовавших до сих пор. Очень
важным и сложным вопросом является созда-
ние новых учебников и переподготовка учите-
лей. Как переподготовить учителей, чтобы они
действительно могли преподавать по новой
программе? — это центральный вопрос, кото-
рым заняты в настоящее время математики
и органы просвещения республики.
УЧЕБНИКИ И ВОПРОСЫ ТЕРМИНОЛОГИИ
В конце XIX — начале XX в. учителя ар-
мянских школ Закавказья составили и пере-
вели новые учебники и задачники и одновре-
менно широко использовали русские учебники
без перевода.
Начиная с 1920 г. составление и издание
учебников для всех армянских школ Совет-
ского Союза поручается Наркомпросу Арме-
нии. С этого времени начинается планомерное
издание учебников массовым тиражом. А. То-
нян переводит «Прямолинейную тригономет-
рию и элементы теории гониометрических
функций» В. Мрочека (1922) и «Элементар-
ную геометрию» А. П. Киселева («Планимет-
рию»— 1923, «Стереометрию»— 1925).
В эти годы в армянских школах без перево-
да были использованы известные задачники
по алгебре Н. А. Шапошникова и Н. К. Валь-
цова, по геометрии и тригонометрии —
Н. А. Рыбкина. Позже были переведены
«Сборник алгебраических задач» Д. А. Б е м а,
А. А. Волкова, Р. Э. Струве (1926—1928)
и задачник по арифметике А В Данкова
(1927). В 1928 г. был напечатан сборник
арифметических задач, составленный извест-
ным армянским педагогом А Шаварш я-
н о м.
После 1932 г. были переведены все стабиль-
ные учебники и задачники, утвержденные для
всего Союза.
Большую помощь школе оказывают наши
ученые, обогатив библиотеку учителей и
школьников ценными пособиями. Среди них
лучшими являются «Введение в высшую ма-
тематику» академика А. Л. Шагиняна (1963),
«Элементы комбинаторики и теории вероятно-
стей» доцента Г. А. Амбарцумян (1933) и
«Теория геометрических построений с прило-
жениями» доцента Т. А. Хачатряна (1959),
предназначенные для школ с математическим
уклоном и математических кружков.
За годы Советской власти ученые Армении
проделали большую работу по созданию
16
учебников на родном языке также и для выс-
шей школы. Таких учебников до революции
не было. Эта работа была начата после от-
крытия Ереванского университета. Еще
в 1923 г. проф. А. Тонян перевел первую часть
«Курса дифференциального и интегрального
исчисления» К. А. Поссе, а в 1932 г.— первую
часть учебника того же названия В. Грэнвиля
и Н. Н. Лузина. В дальнейшем были переве-
дены и другие учебники для высшей школы.
Учебная литература высшей школы попол-
нилась также сочинениями армянских ученых.
В 1922—1923 гг. проф. О. А. Навакатикян
написал «Курс аналитической геометрии»
в двух частях и «Элементы высшей алгебры».
В последние годы изданы «Краткий курс тео-
рии вероятностей» доц. Г. А. Амбарцумян
(1963), «Векторная алгебра» доц. В. X. Т о р-
гомяна (1963), «Курс высшей математики»
доц. В. В. Сагателяна (1 ч.—1954, 1959,
1962, 1967; II ч.—1961) и другие. Кроме того,
нашими учеными написаны ценные моногра-
фии— «Теория приближений в комплексной
области» академика А. Л. Шагиняна
(1960), «Интегральные преобразования и
представления функций в комплексной обла-
сти» академика М. М. Д ж р б а ш я н а, кото-
рыми пользуются студенты старших курсов
математических факультетов.
Вопросы методических исканий армянских
математиков заслуживают серьезного внима-
ния и могут служить предметом исследований
наших методистов. Здесь мы отметим их ра-
боту по созданию армянской математической
терминологии.
Как уже отмечалось, наши предки жили
и работали в совершенно особых историко-по-
литических условиях. Отсутствие армянской
государственности, разбросанность армянских
школ в разных странах, получение учителями
высшего образования в различных странах со-
здали условия, при которых зачастую каждый
учитель в своей школе сам составлял прог-
рамму, вырабатывал методику преподавания,
создавал собственную терминологию. Поэто-
му ясно, почему в одних учебниках преобла-
дают греческие или латинские термины, в дру-
гих— арабские, в третьих — слова различных
армянских диалектов, а иногда даже — совер-
шенно неудачные тюркские. Но в течение ве-
ков наши учителя постепенно вырабатывали
собственную терминологию на базе греко-ла-
тинских терминов, используя богатый словар-
ный фонд как древнеармянского (грабар), так
и двух ветвей (восточной и западной) совре-
менного литературного армянского языка
и внутренние законы словообразования ар-
мянского языка. Так было создано много
армянских математических терминов, часть
из которых употребляется и ныне. В этом
деле особенно большие заслуги имеют С. Про-
нин, Г. Тертерянц, лучшие переводчики учеб-
ников В. Асан-Джалалян, Р. Мурадян, Г. Тер-
Гукасян и другие. Однако отсутствие государ-
ственного языка препятствовало созданию
единой научной терминологии. Это стало воз-
можным после образования Армянской Со-
ветской Республики, для которой армянский
язык с первых же дней стал государственным
языком. Создание единой системы образова-
ния с едиными программами и учебниками
потребовало выработки научно обоснованной
единой терминологии В этой области особен-
но много сделал проф. Ереванского универси-
тета А. Тонян. В совершенстве владея многи-
ми языками, он начиная с 1920 г. система-
тически вырабатывал и совершенствовал
армянскую математическую терминологию.
За 1921—1935 гг. им переведены более десяти
школьных и университетских учебников.
Им вместе с другими специалистами состав-
лен русско-армянский словарь технических
терминов (1928), где довольно много и мате-
матических терминов. Кроме того, он долгие
годы работал над составлением пятиязычного
словаря математических терминов, который,
однако, не успел закончить. Завершил эту ра-
боту и подготовил ее к печати его сын —
В. Тонян. «Словарь математических терминов
на английском, русском, армянском, немецком,
французском языках», изданный АН Армении
в 1965 г., является ценным вкладом в развитие
советской терминологии.
Традиции А. Тоняна в области развития
математической терминологии ныне продол-
жают его ученики.
ВЫСШЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ И
ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ-МАТЕМАТИКОВ
Народ, имевший свои университеты в сред-
ние века, впоследствии долгое время был ли-
шен возможности иметь высшую школу.
Исключениями являлись Духовная академия
в Эчмиадзиие (Геворкян Чемаран) и Лаза-
ревский институт в Москве (Лазарян Чема-
ран), где готовили специалистов исключитель-
но по историко-филологическим наукам. Поэ-
тому наиболее одаренные сыны армянского
народа вынуждены были математическое об-
разование получать в России, Германии,
Швейцарии, во Франции и других странах.
С первых же дней установления народной
власти правительство Советской Армении
предпринимает ряд мероприятий для подго-
товки специалистов высшей квалификации.
17
Важнейшим среди них является основание
университета вначале в составе двух факуль-
тетов, а с октября 1921 г.— пяти факультетов,
в их числе педагогический факультет. Нако-
нец сбылись вековые мечты лучших сыно-
вей армянского парода — иметь свой нацио-
нальный университет, где на родном языке
могут учиться сыновья и дочери трудящихся.
По приглашению правительства республики
представители армянской интеллигенции, по-
лучившие высшее образование в российских
и европейских университетах и вынужденные
работать вне Армении, приезжают в Ереван
и с большим воодушевлением закладывают
начало высшего образования на своей родине.
Среди первых преподавателей — основопо-
ложников университета — были математики
и физики А. А. Акопян, А. О. Тонян, О. А. На-
вакатикян, А. Г. Анжур и другие. Они проде-
лали большую работу по организации учеб-
ного процесса, впервые начали читать лекции
по физико-математическим наукам на род-
ном языке.
Физико-математический факультет Ереван-
ского университета (под различными назва-
ниями) в 1921—1933 гг. был педагогическим
факультетом и готовил исключительно учите-
лей для средней школы. С 1933 г. он становит-
ся действительно университетским факульте-
том, параллельно готовящим научных работ-
ников и преподавателей для высших и сред-
них учебных заведений.
Для подготовки педагогических кадров
в 1934 г. был открыт Педагогический институт
(ныне имени X. Абовяна), в дальнейшем —
Заочный и Ленннаканский институты. Подго-
товка учителей математики и физики в основ-
ном возложена на физико-математические фа-
культеты этих институтов. За годы своего
существования эти факультеты подготовили
сотни учителей математики и физики.
Физико-математический факультет Ереван-
ского университета по своему профилю и
структуре, по уровню преподавания матема-
тических дисциплин развивался очень быстро.
К концу 30-х годов преподавательский состав
пополнился новыми молодыми специалистами,
в основном из выпускников этого же факуль-
тета, которые свое математическое образова-
ние продолжили в аспирантуре Московского
и Ленинградского университетов, приобрели
там навыки научно-исследовательской рабо-
ты. Студенты получали современное матема-
тическое образование и постепенно привлека-
лись к научно-исследовательской работе.
В 1959 г. физико-математический факультет
разделился на два самостоятельных факуль-
тета: механико-математический и физический.
В настоящее время в Ереванском универси-
тете имеется восемь математических кафедр,
более 60 математиков, половина из них — с
ученой степенью доктора или кандидата.
Прошло 38 лет после первого выпуска фа-
культета и всего три десятилетия после появ-
ления первых научных трудов его питомцев,
и в настоящее время Ереван стал признанным
математическим центром.
Советскую и мировую математическую нау-
ку своими фундаментальными исследованиями
обогатили питомцы Ереванского университета:
А. Л. Шагинян, М. М. Джрбашян, С. Н. Мер-
гелян, А. А. Талалян, Р. А. Александрин,
Г. В. Бадалян, Г. Б. Петросян и многие дру-
гие.
Свидетельством признания мировой наукой
больших заслуг армянских математиков яв-
ляются частые созывы в Ереване Всесоюзных
научных конференций и совещаний по различ-
ным проблемам современной математики, в
частности Международной конференции по
теории аналитических функций в 1965 г„ в ра-
боте которой участвовали крупнейшие мате-
матики всех стран мира.
Все это благоприятно отражается на мате-
матическом образовании школьников Арме-
нии. Наши ученые-математики тесно связаны
со школой. При университете имеется школа-
интернат с математическим уклоном, где чи-
тают лекции преподаватели университета.
Армянская школа, имеющая многовековую
историю, менее чем за полвека Советской
власти прошла большой плодотворный путь
и пришла к невиданному расцвету.
За годы Советской власти количество школ
увеличилось примерно в 3 раза, число уча-
щихся— в 15 раз, число учителей — в 25 раз.
Из 28 тыс. учителей более 3,5 тыс.— препода-
ватели математики и физики. Ныне население
Армении составляет 2200 тыс. человек, 523 тыс.
из них учатся в общеобразовательных шко-
лах, т. е. каждый четвертый житель Армении
является школьником. Если к этому еще при-
бавить, что в 45 школах системы профессио-
нально-технического обучения учатся 15 тыс.
учеников, в 55 техникумах и других специаль-
ных средних школах —37 тыс., а в 12 высших
учебных заведениях — 44 тыс. студентов, то по-
лучается, что из 2200 тыс. жителей учатся
620 тыс., т. е из 7 человек 2 учатся.
Все эти успехи стали возможны только пос-
ле Великой Октябрьской социалистической ре-
волюции, которая вскрыла духовные силы на-
рода и создала благоприятные условия для
развития народного образования.
18
50
Р. А. ХАБИБ (г. Ташкент)
ОТ ФЕОДАЛЬНОЙ ОТСТАЛОСТИ —
К РАСЦВЕТУ НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Поэт и математик, астроном и философ, по-
кровитель наук и искусств. По словам совре-
менников, он «достиг высокой степени учено-
сти и проник в суть [вещей]. Уровень ученых
в его время находился на большой высоте,
и достойные занимали при нем важное поло-
жение. В геометрии он был подобен Евклиду,
а в астрономии — Птолемею» ’. Эта по-восточ-
ному пышная характеристика дана внуку
Тамерлана — Улугбеку. Впоследствии Лаплас
напишет о «величайшем наблюдателе», что
«он составил сам в Самарканде, столице
своих владений, новый каталог звезд и астро-
номические таблицы, лучшие из тех, которые
существовали до Тихо Браге»1 2, т. е. до изобре-
тения телескопа.
Имеет ли отношение затронутый мной воп-
рос к теме настоящей статьи? Безусловно.
Только в советское время было выяснено, ка-
ких удивительных высот достигла наука в
Средней Азии в эпоху Возрождения. Между
тем о том, что среднеазиатские математики
внесли весомый вклад в развитие науки, сви-
детельствует в ряде случаев... даже наш язык.
Широко употребляется ныне не только мате-
матиками, но и представителями других наук,
в том числе и педагогических, слово «алго-
ритм», представляющее латинизированную
фамилию великого хорезмийца Мухаммеда
ибн Мусы Хорезми, жившего в IX в. Его
«Арифметика в индийской нумерации» дошла
до нас только в латинском переводе ХП в.,
начинавшемся словами: «Dixit Algorithm!»
(«Алгоритми сказал...»). Хорезми был первым
ученым, рассматривавшим алгебру как само-
стоятельную ветвь математики. Название его
книги «Хисаб ал-джабр ва-л-мукабала» и да-
ло началу слову «алгебра».
Математик и астроном из Самарканда
Гиясэддин Джемшид ибн Мас’уд ал-Каши
в книге «Ключ арифметики» (1427) с исчер-
1 О. Д. Ч е х о в и ч, сб. «Из источников эпохи Улуг-
бека», Ташкент, 1965, стр 302.
2 Р. S. Laplace, Precis de 1’Histoire de i’astronomie,
Paris, 1865. (Цитируется по статье T. H. Кар bi-
ll и язо в a «Улугбек и Савай Джай Сингх», сб. «Фи-
зико-математические науки в странах Востока», вып. I
(IV), изд. «Наука», М., 1966, стр. 251 )
пывающей полнотой изложил теорию десятич-
ных дробей. К сожалению, этот труд остался
неизвестным Европе. В этой же рукописи рас-
сматривается формула бинома Ньютона для
любого натурального показателя степени и об-
щий прием извлечения корней (с любым на-
туральным показателем) из чисел.
Интерес математиков и методистов Узбеки-
стана к историко-математическим исследова-
ниям вполне оправдан. Ведь многие страницы
истории науки в Средней Азии еще не
прочтены.
Нет сомнения, что изучение математическо-
го наследства ученых Востока обогатит и ме-
тодику обучения математике. Прокладывая
новые пути в развитии .числовой алгебры
и ее приложений, конструктивной геометрии
и теории приближенных вычислений, пло-
ской и сферической тригонометрии, матема-
тики средневекового Востока одновременно
искали наилучшие пути для изложения нако-
пленной научной информации и преодоления
«трудностей» при ее усвоении.
В последние годы группа учителей и мето-
дистов во главе с проф. Ю. К. Узаковым
изучает вопросы связи обучения математике
в школах Уз. ССР с историей развития мате-
матики вообще и с историей развития мате-
матики в Средней Азии в частности. Интерес
учителей к этим проблемам огромен.
Примечателен, например, фундаментальный
звездный каталог, составленный школой Улуг-
бека, точность которого — результат не только
высокой культуры астрономических наблюде-
ний, но и изощренного применения математи-
ческого аппарата. В этой связи интересен во-
прос о таблицах тригонометрических функций,
которые вошли второй главой в астрономиче-
ские таблицы Улугбека. При составлении таб-
лиц тригонометрических функций за основу
было взято значение sin 1°. Табличные значе-
ния указывались Улугбеком с точностью до 6—
7 шестидесятиричных знаков, что соответ-
ствует точности до 10—12 десятичных знаков.
Если учесть, что тогда были неизвестны спо-
собы вычисления значений тригонометриче-
ских функций, которые дает высшая матема-
тика, станет понятно, что составление подоб-
19
ных таблиц представляло колоссальный труд3.
— Одна только проверка точности значении
синусов из таблиц Улугбека заняла у меня
больше года напряженных вычислений,—
рассказывал самаркандский математик
Р. И. Ибадов.— А ведь я считал па электри-
ческих вычислительных автоматах! Такой
объем вычислений делает вполне правдопо-
добной гипотезу о том, что у Улугбека суще-
ствовал своего рода «вычислительный центр».
Мы знаем, что Улугбек основал школы-акаде-
мии в Самарканде, Бухаре и Гиждуваие и,
следовательно, у него был большой выбор
способных молодых люден, которым он мог
поручить проведение различных вычислитель-
ных работ.
27 октября 1449 г.— поистине черный день
в истории узбекской культуры В этот день ре-
лигиозные фанатики, подстрекаемые духовен-
ством, предательски умертвили Улугбека
и разрушили его обсерваторию. Примечатель-
но, что местонахождение этой обсерватории
было установлено только в начале XX века.
Остатки гигантского угломерного инструмента
обсерватории, при помощи которого Улугбек
и его прославленные соратники Каши, Руми
и Кушчи в ясные южные ночи изучали все-
ленную, сейчас восхищают туристов со всех
концов мира. Все-таки сбылись гордые слова
Улугбека, которые школьники читают те-
перь в учебниках истории Уз. ССР: «Рели-
гии рассеиваются как туман. Царства разру-
шаются, но труды ученых остаются на вечные
времена».
Но этот туман не рассеялся в течение жиз-
ни многих поколений. Состояние народного
образования в Средней Азии в начале XX в.
выглядело удручающим. Дети Туркестана,
одной из самых отсталых колониальных окра-
ин Российской империи, были отданы на
попечение местного духовенства, которое сво-
дило просвещение к бессмысленной зубрежке
корана и других «святых» книг. Политика
царского правительства по отношению к на-
родному образованию Туркестана формулиро-
валась предельно ясно: «Старая магометан-
ская школа должна быть предоставлена самой
себе» 4.
В подготовительных школах (мактабах),
где ученики проводили 5—6 лет, математика
не изучалась. «Методика» обучения была
весьма простой: ученики самого различного
3 Издательством АН Уз. ССР вскоре выпускается в
свет книга Р. И. Ибадова «Тригонометрические та-
блицы Улугбека».
4 Т. Н. Кары-Ниязов, Очерки истории культуры
советского Узбекистана, Изд. АН СССР М., 1955,
стр. 55.
возраста и знаний, глядя в книгу, написанную
на незнакомом им языке (арабском или пер-
сидском), «хором» вслед за учителем «чита-
ли» ее текст. Немудрено, что после прохожде-
ния такого курса ученики почти ничего не
могли написать самостоятельно.
После окончания мактаба незначительная
часть учеников могла продолжать образова-
ние в медресе, где изучение математики сво-
дилось к четырем арифметическим действиям
с целыми и дробными числами, приложению
арифметики к операциям купли и продажи,
а также к изучению треугольника, четырех-
угольника и измерению площадей. Срок обу-
чения в медресе был также неопределенным:
10—15, а то и 20 лет.
Великая Октябрьская социалистическая ре-
волюция произвела революцию и в области
народного просвещения. Сейчас в Узбекиста-
не учителей в 7 раз больше, чем полвека на-
зад было. . учеников. Если в дореволюцион-
ном Узбекистане среди жителей коренной на-
циональности грамотных было всего 1,5% (в
основном, муллы и чиновники), а имеющих
высшее образование — единицы, то теперь
только учителей в республике 130 тысяч, из
них почти половина с высшим образованием.
Разумеется, такой скачок не мог быть со-
вершен без большого напряжения сил. В пер-
вые годы Советской власти, когда учителям
приходилось не только учить, но и упорно
учиться самим, организаторам народного об-
разования в республике пришлось преодо-
леть немалые трудности. Основная труд-
ность— нехватка квалифицированных кадров,
особенно учителей математики.
Да, годы были трудные. И все же молодая
Советская власть не оставляла без внимания
школы. С 1918 г. издается республиканский
журнал «Совет мактаби» («Советская шко-
ла»), И если в начальный период своего
существования журнал помещал всего лишь
1—2 статьи по математике за 2—3 года
(из-за отсутствия авторов), то в дальнейшем
число статей, посвященных методике препо
давания математики, неуклонно увеличива-
лось и сейчас печатается 12—14 статей в год.
В 1919 г. типографией революционного ко-
митета г. Скобелева (теперь Ферганы) из-
дается книга по естествознанию «Кусочек
природы». Это первая книга Т. Н.’Кары-
Ниязова. Затем он издает еще несколько
книг, в которых остро нуждались узбекские
педагоги: «Практические работы под откры-
тым небом» (Самарканд, 1927); «Система-
тический курс тригонометрии (с упражне-
ниями)» (Ташкент, 1929); «Систематический
курс арифметики» (Ташкент, 1931); «Триго-
20
нометрия и ее приложения к космографии»
(Ташкент, 1931).
И в последующие годы академик Т. Н. Ка-
ры-Ниязов, первый президент Академии наук
Узбекской ССР, находит время, чтобы поде-
литься с учителями своими наблюдениями и
размышлениями. В республиканской «Учи-
тельской газете» и журнале «Совет мактаби»
немало его статей по самым злободневным
вопросам методики обучения математике
в школе.
Важнейшими принципами построения
учебников Т. Н. Кары-Ниязов считает на-
учность изложения, постепенное нарастание
трудностей, органическую связь теоретиче-
ского материала с упражнениями и практи-
ческими заданиями. Материал должен быть
занимательным для учащихся. Заниматель-
ность он понимает не как развлекательность,
а как создание особой атмосферы увлечен-
ности математикой, удивления перед ее без-
граничными возможностями, влюбленности
в умственный труд.
Резкое увеличение числа учащихся наряду
с острой нехваткой квалифицированных педа-
гогических кадров выдвигает на первый план
ряд организационных и методических проб-
лем, связанных с подготовкой учителей.
В 1918 г. в Туркестанской АССР было орга-
низовано 400 учебно-воспитательных учреж-
дений (школы, детские и дошкольные и
школьные интернаты, детсады), а в
1921/22 учебном году их уже 2403. И это не-
смотря на то, что контрреволюционные эле-
менты развернули ожесточенную борьбу
против всего нового, что принесла Советская
власть. Банды басмачей сжигали советские
школы, зверски убивали учителей, преследо-
вали учеников и их родителей. Педагоги пер-
вых узбекских школ вспоминают, что в эти
годы рядом с учительским столом всегда
стояла винтовка: право обучать детей по-но-
вому надо было защищать.
Для подготовки национальных педагоги-
ческих кадров были открыты различные
краткосрочные курсы, национальные инсти-
туты просвещения и другие учебные заведе-
ния. Например, до сентября 1920 г. прошли
подготовку на краткосрочных курсах
1140 учителей, курсы переподготовки кончили
1522 человека, а в институтах просвещения
к этому времени обучались 1145 слуша-
телей 5.
Некоторые школы превращаются в образ-
цово-показательные — они становятся мето-
6 ЦГАОР Уз. ССР, ф. 34, on. 1, 91 209 л. 98 и
9520 л. 18.
дическими центрами по оказанию помощи
учителям близлежащих школ. Академик
Т. Н. Кары-Ниязов вспоминает, что в школе,
которой он руководил в те годы, не только
читались лекции для учителей Ферганы, но
и выпускалась еженедельная стенная газета
по математике и методике ее преподавания.
Большую роль в организации учебно-вос-
питательной работы сыграли созданные после
революции школы в с. Луначарском имени
К. Либкнехта, которой руководил В. Ф. Лу-
бенцов, и в г. Ташкенте имени Н. Г. Черны-
шевского, которой руководили Н. В. Дегтя-
рева и Н. П. Архангельский.
В 1927 г. при школе имени К. Либкнехта
создается педагогическая лаборатория (за-
ведующая В. А. Чиннова, ныне профессор).
Лаборатория и ее актив — учителя школы —
систематически проводили семинары для учи-
телей, на которых рассматривались вопросы
обучения по вводившимся тогда новым про-
граммам. При помощи имевшихся шапиро-
графа и множителя лаборатория составляла
«методические листовки»—краткие методи-
ческие указания по всем предметам, и в том
числе по математике. Например, за
1927/28 учебный год было распространено
33 000 таких листовок.
Учителя школы имени К- Либкнехта доби-
лись значительных успехов в постановке
учебно-воспитательной работы, в частности
в деле сочетания обучения с производитель-
ным трудом школьников. Например, на сель-
скохозяйственной выставке, организованной
в с. Луначарском в 1928 г., ученики школы,
кроме образцов, описания своих опытов и
т. д., демонстрировали диаграммы учета ра-
бот на тыквенных культурах, на баклажанах,
на капусте, на помидорах (огородный кру-
жок), таблицы длины и качества волокна
хлопка (кружок полеводства) и т. п.
В 1930 г. открывается Республиканский
институт повышения квалификации учителей
начальных школ, функционирующий сейчас
под названием Центральный институт усо-
вершенствования и переподготовки учителей.
В настоящее время Центральный институт
и под его руководством областные институты
усовершенствования учителей подготавли-
вают программы переподготовки учителей
всех предметов с учетом предстоящих изме-
нений в содержании школьного образования,
особенно значительных в отношении матема-
тической подготовки школьников.
Вопросами повышения квалификации учи-
телей «без отрыва от производства» зани-
мается Республиканский учебно-методиче-
ский кабинет Министерства просвещения
21
Уз. ССР. Он обобщает передовой опыт учи-
телей республики, рассылает по школам ин-
структивно-методические письма. Большое
внимание уделяет кабинет постановке вне-
классной работы по математике, системати-
чески снабжая школы наборами тренировоч-
ных задач и указаниями по проведению
школьных математических олимпиад.
Методическую помощь учителям оказывает
также Учебно-методический совет (УМС),
являющийся научно-консультативным орга-
ном Министерства просвещения Уз. ССР.
УМС, в состав которого входят не только
учителя, но и ученые, рассматривает про-
граммы, учебники, учебные и наглядные по-
собия, изучает и рекомендует к распростра-
нению материалы передового педагогиче-
ского опыта.
В 1930 г. на базе Узбекского комплексного
государственного научно-исследовательского
института был организован Узбекский науч-
но-исследовательский институт культурного
строительства, из которого в 1934 г. выде-
лился Узбекский научно-исследовательский
институт педагогических наук. Сектор мате-
матики проводит ряд интересных научных
исследований: изучение устойчивых логиче-
ских ошибок учащихся, возникающих при
изучении геометрии, и анализ причин их воз-
никновения; формирование устойчивого инте-
реса школьников к изучению математики;
значение дидактических материалов с печат-
ной основой для активизации процесса изу-
чения математики и др.
В поисках более совершенных форм и ме-
тодов обучения, которые позволят резко по-
высить эффективность учебного процесса,
сектором избраны следующие направления
исследования:
1) совершенствование содержания школь-
ного курса математики;
2) использование педагого-психологиче-
ских закономерностей усвоения и запомина-
ния для построения дидактики математики;
3) стремление к научной организации обу-
чения математике — нахождение таких прие-
мов преподавания, которые позволяют в ус-
ловиях классно-урочной системы индивидуа-
лизировать и дифференцировать обучение,
оказывать каждому ученику своевременную
помощь и т. п., т. е. позволяют управлять
ходом учебного процесса.
Много ценных методических идей выска-
зывается на республиканских «Педагогиче-
ских чтениях»: На «Педагогических чтениях»
республики 1958 г. докладов по методике
преподавания математики было лишь 5. На
юбилейных же «Педагогических чтениях»
1967 г. на секции математики (две подсек-
ции) было заслушано уже 44 доклада. Много
докладов было посвящено вопросам активи-
зации процесса обучения математике.
В последние годы более активно проводят
научно-педагогические исследования препо-
даватели высших учебных заведений Узбе-
кистана. Так, например, изучается проблема
изменения структуры школьного курса мате-
матики за счет параллельного изучения тесно
связанных друг с другом разделов. Интенсив-
ные методические поиски ведутся в респуб-
лике и в области частных методик. Препода-
вателями Ташкентского пединститута ведется
работа по обновлению содержания школь-
ного курса математики. В нескольких школах
Ташкента проводится эксперимент, позволяю-
щий выяснить возможность изучения со
старшеклассниками элементов теории вероят-
ностей.
Экспериментальные материалы вызывают
тем больший интерес учителей республики,
что они могут уже в ближайшие годы ис-
пользовать их в школьной практике в связи
с введением факультативных занятий по ма-
тематике.
Почти при каждом педагогическом вузе
функционируют так называемые университе-
ты научных знаний для учителей. Ведется
внеклассная работа со школьниками (мате-
матические кружки, ЮМШ, математические
олимпиады — городские, областные, респуб-
ликанские). Первая математическая олим-
пиада в Ташкенте была проведена еще
в 1933 г. В послевоенные годы стали прово-
диться математические олимпиады при Са-
маркандском университете и при других пе-
дагогических вузах республики.
В последнее десятилетие в дни весенних ка-
никул ежегодно проводятся республиканские
математические олимпиады.
Пятидесятилетие Великого Октября учи-
теля математики нашей республики отмечают
повышением своей творческой активности,
успешной борьбой за высокие результаты
в учебно-воспитательной работе.
Б. П. БЫЧКОВ [г. Кишинев), В*. П. БЫЧКОВ (г. Тирасполь]
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
В МОЛДАВСКОЙ ССР
1. ВВЕДЕНИЕ
До Великой Октябрьской социалистиче-
ской революции на территории Молдавии не
было ни одной школы, в которой преподава-
ние велось бы на молдавском языке; 80%' де-
тей молдаван школьного возраста оставались
вне школы. По переписи 1897 г. видно, что
81,8% мужчин и 96% женщин были негра-
мотными.
В 1914 г. на территории нынешней Молда-
вии была 41 средняя школа (гимназии и
реальные училища), из них в Бессарабии —
35, а в левобережных районах — 6.
В 1918 г., пользуясь тяжелым положением
молодой Советской республики, войска ко-
ролевской Румынии отторгли Бессарабию, и
Молдавия оказалась разделенной на две ча-
сти: восточную от Днестра — левобережную
и западную — правобережную (Бессарабию).
До 1940 г. левобережная часть развива-
лась по социалистическому пути, правобе-
режная — по капиталистическому. Левобе-
режная Молдавия была окончательно осво-
бождена от деникинцев в 1920 г., а в 1924 г.
была образована Молдавская Автономная
Советская Социалистическая Республика
(МАССР) в составе Украинской ССР.
2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ МАССР
11924—1940)
Несмотря на гражданскую войну и труд-
ности восстановительного периода, к 1924 г.
42% детей школьного возраста уже были
охвачены обучением. Образование МАССР
явилось стимулом развития молдавской шко-
лы. Если до 1924 г. не было ни одной мол-
давской школы, то в 1924/25 учебном году
их было 11, а в 1925/26 учебном году — 95,
охватывавших 78% молдавских детей школь-
ного возраста. Сеть школ быстро развива-
лась. В 1924 г. было 294 школы, в которых
обучалось 34 117 учащихся. Через 10 лет,
в 1934 г., число школ возросло до 525, а чис-
ло учащихся — до 98 942. Так, к десятилетию
МАССР в 1934 г. из 525 школ молдавских
было 159.
Структура школы в МАССР была та же,
что и в Украинской ССР, т. е. существовала
семилетняя трудовая школа с двумя кон-
центрами (I—IV и V—VII годы обучения),
а дальнейшее образование продолжалось
в профессиональной школе.
Учитывая развитие национальных школ,
основной задачей в этот период стало изда-
ние учебников по математике на молдавском
языке, а в связи с этим создание молдавской
математической терминологии. Первым учеб-
ником на молдавском языке была «Книга по
арифметике» для первого года обучения, раз-
работанная под контролем Методической ко-
миссии Наркомпроса и изданная в г. Балте
в 1925 г. В 1926 г. были переведены учебники
по арифметике для начальной школы
А. В. Лан ко в а. В этот же период перево-
дились на молдавский язык и учебники кол-
лективов авторов, издаваемые на Украине
под редакцией А. М. Астряба и акад.
М. Ф. Кравчука.
Первая попытка создания терминологиче-
ского молдавского математического словаря
была предпринята в связи с изданием
в 1929 г. на молдавском языке учебника
К. Ф. Лебединцева «Руководство алгеб-
ры». В учебнике напечатано приложение
«Алгебраические термины и труднопереводи-
мые слова, которые встречаются в алгебре»,
утвержденное лингвистической секцией Мол-
давского научного комитета. Это приложе-
ние представляет собой молдавско-русский
терминологический словарь, содержащий
примерно 520 математических терминов. От-
метим, что терминология, представленная
в этом словаре, довольно далека от совре-
менной. В словаре математической термино-
логии, составленном в лингвистической сек-
ции Молдавского научного комитета и опуб-
ликованном в 1932 г., появляется термино-
логия, близкая современной. Словарь был до-
пущен методическим сектором Наркомпроса
МАССР для использования в школах. Со-
стоял он из двух частей: молдавско-русской
и русско-молдавской, каждая из частей со-
держала около 2500 терминов. Словарь был
составлен с целью рационализации молдав-
ской математической терминологии. В пре-
дисловии указаны требования, которым
должна была удовлетворять терминология.
23
С 1931 -1932 гг. в республике происходит
коренная перестройка школы. Вводятся еди-
ные для Советского Союза программы по
математике и стабильные учебники. Про-
граммы 1933—1934 гг. сохранились в основ-
ном до 1954/55 учебного года с некоторыми
изменениями, внесенными в 1948 г. В 1933 г.
издаются на молдавском языке учебники для
начальной и средней школ. Среднее матема-
тическое образование в МАССР входит
в единую систему математического образо-
вания СССР.
3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В БЕССАРАБИИ
(1918—1940)
В то время как в МАССР к математиче-
ской культуре приобщаются все более широ-
кие круги молодежи, совсем иная картина
наблюдается в Бессарабии. Здесь доступ
в средние учебные заведения в силу их мало-
численности и высокой платы за обучение
фактически закрыт для детей трудящихся,
лишь отдельным из них ценою неимоверных
усилий удается перешагнуть этот барьер.
Так, в 1939/40 учебном году в Бессарабии
с населением большим, чем в МАССР, было
всего 25 средних школ, в то время как
в МАССР их было 65. К моменту оккупации
Бессарабии в 1918 г. в ней насчитывалось
54 средних школ, из них 33 госудаственные
и 21—частная, а к 1939 г. осталось всего
25 школ, из которых 21 государственная и
4 частные. Сопоставление этих цифр ясно
указывает, в каком направлении «развива-
лось» среднее образование в Бессарабии за
период оккупации. Несмотря на большой
процент русских, украинцев и других нацио-
нальностей, населяющих Бессарабию, все
школы были румынизированы и с 1922 г.
преподавание на русском языке было запре-
щено. Среднее образование продолжалось
12 лет и состояло из четырехлетней началь-
ной школы и восьмилетней гимназии. Гимна-
зия делилась на две ступени: I—IV классы и
V—VIII классы. После IV и после VIII клас-
са сдавались выпускные экзамены.
В I—IV классах мужских гимназий про-
грамма была единая. В этих классах прохо-
дился упрощенный курс математики. Так,
например, несмотря на то что арифметика
изучалась три года (I—III классы), учащие-
ся не получали твердых навыков в решении
задач, так как этому вопросу уделялось мало
внимания в школе; мало внимания уделялось
также обоснованию правил арифметических
действий. Изучение алгебры начиналось лишь
с IV класса, т. е. на восьмом году обучения,
й заканчивалось уравнениями первой степе-
ни. С V класса существовали различные
программы по математике для реального и
классического отделений. В реальном отде-
лении математика изучалась по 6 часов
в неделю в V—VI классах и по 4 часа в не-
делю в VII—VIII классах.
В классическом отделении математика
изучалась по 2 часа в неделю в V—VII клас-
сах и по 1 часу в неделю в VIII.
В женских гимназиях не существовало
реального отделения В I—IV классах про-
грамма была та же, что и в мужских гим-
назиях, а в V— VIII классах математика изу-
чалась в основном по программе классиче-
ского отделения мужских гимназий.
В 1925 г. были упразднены все выпускные
экзамены как в начальной школе, так и в
гимназиях и взамен их были введены вступи-
тельные экзамены: поступавшие в I класс
гимназии сдавали экзамен по арифметике,
поступавшие в V класс реальных отделе-
ний — письменный и устный экзамен по ма-
тематике по программе первых четырех клас-
сов гимназии. Окончившие реальные отделе-
ния подвергались письменным и устным ис-
пытаниям по математике на экзамене на
звание бакалавра, дающем право на поступ-
ление в высшее учебное заведение.
В 1928 г. была проведена школьная рефор-
ма, утвердившая однотипную семиклассную
гимназию. Эта реформа привела к резкому
снижению математической подготовки в гим-
назиях. По новому закону было сокращено
количество недельных .часов на преподава-
ние математики, которую стали изучать по
программе, близкой к программе бывшего
классического отделения, был упразднен
вступительный экзамен по арифметике
в I класс гимназии. Такое положение вызва-
ло протест математической общественности,
выступавшей с предложениями о пересмотре
программы. Эги предложения были частично
учтены при проведении новой школьной ре-
формы в 1934 г., которая восстанавливала
восьмилетнюю гимназию с бифуркацией
в последних двух классах (научное и литера-
турное отделения).
В 1939 г. средняя школа была вновь реор-
ганизована. Гимназия стала семиклассной
с программой преподавания математики,
приближенной к программе 1928 г. После
VII класса выдавалось свидетельство об
окончании гимназии, а для желающих про-
должать образование был введен VIII класс
(с двумя отделениями), называемый подгото-
вительным классом к экзамену на звание ба-
калавра.
24
Частые реформы средней школы, опреде-
ляемые в основном приходом к власти гой
или иной буржуазной партии, вызывали рез-
кие изменения содержания математического
образования, что, безусловно, отрицательно
сказывалось на математической подготовке
учащихся. При этом следует учесть, что учи-
теля" математики при сравнительно неплохой
математической подготовке, получаемой в
университетах, приходили в школу с весьма
слабой методической подготовкой. Решению
примеров и задач в школах, за исключением
реальных отделений, уделялось мало внима-
ния, задачников по программе средней шко-
лы не существовало; задачи и примеры со-
держались в учебниках, но их было мало.
Лучшие учителя бессарабских школ пользо-
вались даже во время оккупации сохранив-
шимися еще кое-где дореволюционными из-
даниями русских задачников.
Математическая общественность Бессара-
бии в первые годы после оккупации предпри-
нимала попытки улучшить состояние матема-
тического образования. Так, например,
с 1924 г. на протяжении трех лет в Кишиневе
ежемесячно выходил журнал для учащихся
и любителей математики «Математический
листок» («Foaia matematica»), издаваемый
группой инженеров. Журнал издавался на
личные средства энтузиастов и, не получая
никакой материальной поддержки от органов
народного образования, вынужден был пре-
кратить свое существование.
4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В
МОЛДАВСКОЙ СОВЕТСКОЙ СОЦИАЛИСТИЧЕСКОЙ
РЕСПУБЛИКЕ (1940—1967)
28 июня 1940 г. Бессарабия была возвра-
щена СССР, а в августе того же года была
создана Молдавская ССР. В школах были
введены советские программы преподавания
всех предметов, в том числе и математики.
Учитывая, что объем знаний по точным нау-
кам (математика, физика, химия) в румын-
ской школе был меньше, чем в советской,
учащиеся при переводе из гимназий в совет-
скую школу принимались на класс ниже.
К началу 1940/41 учебного года в Молдавии
было 1839 школ с количеством учащихся
436770 человек. По сравнению с предыду-
щим 1939/40 учебным годом количество школ
увеличилось на 1335, а учащихся — на
331619 человек. Такой бурный рост школ по-
требовал значительного числа учителей, ко-
торыми молодая республика не располагала.
Многие учителя бывших румынских школ
летом 1940 г. прошли курсы переподготовки,
на которых они изучали советские учебники
математики, знакомились с принципами со-
ветской педагогики и методики. К началу
учебного года школы были укомплектованы
учителями, .из которых только 7,5%' имели
законченное высшее образование. Условия
периода перестройки школы, а также несоот-
ветствие уровня математической подготовки
в бывших гимназиях требованиям советских
программ создали большие трудности для
учителей математики. К началу учебного
года почти не было программ, не хватало
учебников, в особенности в молдавских шко-
лах, а такие средние школы в 1939/40 учеб-
ном году составляли ]/з из общего числа
средних школ.
Но все эти трудности и недостатки были
преодолены благодаря энтузиазму, с кото-
рым работали учителя и учащиеся в этот
первый год советской школы в освобож-
денной Бессарабии. Экзамены в конце
1940/41 учебного года показали, что во всех
классах программы были выполнены, и уча-
щиеся усвоили пройденный материал.
Успешно начатое строительство советской
школы в молодой республике было прервано
новой оккупацией в 1941 г. Эта оккупация
уничтожила сеть советских школ. Из 25 гим-
назий, которые были в Бессарабии в
1939/40 учебном году, в 1941—1944 гг. оста-
лось только 10. Более 70 тыс. детей в Молда-
вии оказались вне школы.
После освобождения Молдавии в 1944 г.
в течение нескольких месяцев удалось подго-
товить и начать занятия в 1799 школах.
В 1944/45 учебном году работали 241 семи-
летняя и 42 средние школы, все дети школь-
ного возраста были охвачены начальным
обучением. Если учитывать знания, получен-
ные во время оккупации, то ученики должны
были быть переведены в советские школы
минимум на один класс ниже, но органы на-
родного образования Молдавской ССР, чтобы
не ущемлять интересы учащихся, приняли
решение о переводе их в соответствующие
классы без потерн учебного года. Это соз-
дало большие трудности, связанные с ликви-
дацией пробелов в знаниях, в особенности по
арифметике. Положение усугублялось еще
недостатком учителей математики. Во время
войны кадры учителей Молдавии понесли
большой урон. Если
до войны в респуб-
лике работало 9787
учителей, то после
войны их осталось
всего 1195. Летом
1944 г. Наркомпрос
Молдавской ССР
50
лет
25
организовал 2—3-месячные курсы подготовки
и усовершенствования учителей математики,
но и это мероприятие не дало возможности
обеспечить школы учителями. Поэтому во
многих сельских школах математику препо-
давали лица, не имеющие специальной мате-
матической подготовки, а подчас и сами едва
окончившие среднюю школу. Даже в 1945/46
учебном году из 334 учителей математики, ра-
ботавших в неполных средних и средних шко-
лах Молдавии, только 72 (21,6%) имели за-
конченное высшее образование, 113 (33,9%)
окончили учительские институты или прирав-
ненные к ним учебные заведения, а 149
(44,7%) имели только среднее образование
или обучались заочно на I—II курсах вузов.
Естественно, что в таких условиях уровень
преподавания математики был низок, а зна-
ния учащихся слабые.
В нормализации положения с преподава-
нием математики помощь Молдавия полу-
чила со стороны русского народа.
Большую работу по повышению квалифи-
кации учителей математики и пропаганде пе-
редового опыта начинает с 1944 г. Республи-
канский институт усовершенствования учи-
телей. В 1946 г. с целью улучшения качества
обучения и воспитания, обобщения опыта
школ, научной разработки методических
проблем создается в Молдавии Научно-ис-
следовательский институт школ и начинается
периодическая публикация сборника методи-
ческих материалов «В помощь учителю», ко-
торый с 1950 г. реорганизуется в ежемесяч-
ный методический журнал «Советский учи-
тель» («Ынвэцэторул Советик»), издаваемый
до настоящего времени; с 1951 г. в журнале
помещено около 160 статей о преподавании
математики.
II съезд КП (б) Молдавии, проходивший
в феврале 1949 г., принял решение о введе-
нии всеобщего семилетнего обучения. В связи
с этим в 1950 г. было открыто 182 новые се-
милетки, а число учащихся V-—VII классов
увеличилось в 1951 г. в два раза; количество
учителей математики с 1948/49 по
1950/51 учебный год возросло с 782 до 1342.
Одним из основных вопросов стало повыше-
ние уровня преподавания математики в се-
милетней школе.
Анализ письменных контрольных работ,
проведенных Министерством просвещения
Молдавской ССР в 1949/50 учебном году, по-
казал, что наряду с достигнутыми успехами в
преподавании математики имелись еще серь-
езные недостатки, особенно в V—VII классах.
Поэтому большинство методических материа-
лов, изданных в 1950—1952 гг., касалось во-
просов преподавания математики в V—
VII классах.
С 1952 г. в Молдавии начинают проводить-
ся «Педагогические чтения», явившиеся под-
линной трибуной пропаганды передового
опыта учителей. С 1954/55 учебного года
в республике начался переход на новые про-
граммы преподавания математики, а с
1956/57 учебного года стали вводиться в шко-
ле новые учебники (Н. Н. Никитина,
И. Н. Шевченко, А. Н. Барсукова,
С. И. Новоселова).
В 1956 г. проходил первый съезд учителей
Молдавии, на котором работала секция ма-
тематики. Было высказано мнение, что в це-
лях осуществления политехнического обуче-
ния и повышения уровня преподавания мате-
матики в школе необходимо ввести понятие
производной.
С 1957 г. в Молдавии начали проводиться
Республиканские математические олимпиады
для учащихся VIII—X классов. До этого на
протяжении семи лет (1949—1956) про-
водились олимпиады среди учащихся стар-
ших классов кишиневских школ. Олимпиады
стимулировали математическую активность
учащихся и стали охватывать все более ши-
рокие круги участников. В 1961 г. был издан
сборник олимпиадных задач, предлагавшихся
в Молдавии с 1949 по 1959 г.; с 1964/65 учеб-
ного года началось проведение заочных мате-
матических олимпиад через газету «Моло-
дежь Молдавии», а с 1965/66 учебного года
стали проводиться телевизионные олимпиады
по математике.
В феврале 1958 г. в г. Тирасполе прохо-
дила первая научно-методическая конферен-
ция педагогических институтов и научных
учреждений МП Молдавской ССР, посвящен-
ная вопросам политехнического обучения.
Конференция проходила при широком уча-
стии учителей. В докладах и прениях отмеча-
лось, что при осуществлении политехниче-
ского обучения в преподавании математики
необходимо в первую очередь усилить функ-
циональные начала в школьном курсе мате-
матики, уделить больше внимания привитию
прочных вычислительных навыков, прибли-
зить тематику задач к жизненным вопросам,
усилить связь теории и практики при изуче-
нии геометрии.
В сентябре 1958 г. в г. Кишиневе было соз-
дано математическое общество Молдавской
ССР, которое среди прочих поставило перед
собой и такие задачи, как активно участво-
вать в развитии методики преподавания мате-
матики в школе, содействовать улучшению по-
становки математического образования в сред-
26
них учебных заведениях, способствовать про-
ведению различных мероприятий, имеющих
целью повышение интереса к математическим
наукам со стороны учащихся. В 1959 г. прав-
лением общества была организована в г, Ки-
шиневе юношеская математическая школа,
позже такие же школы были организованы в
Тирасполе и Бельцах. С 1963 г. общество име-
ет две секции; средней и высшей школы.
В 1960/61 учебном году в Молдавии были
введены новые программы в V—VI классах,
в 1961/62-—в седьмых классах, а с 1962/63
учебного года началось их последовательное
введение в VIII—XI классах. В связи с введе-
нием новых программ в курсе арифметики пя-
тых классов в Молдавии стали изучаться де-
сятичные дроби до обыкновенных, а в 1962 г.
был издан соответствующий учебник.
Необходимость разработки методических
вопросов, направленных на перестройку пре-
подавания математики в средних школах
Молдавии, привела к оживлению методиче-
ской работы в республике. В 1959 г. при ка-
федре математики Кишиневского педагогиче-
ского института был организован первый на-
учно-методический семинар по методике пре-
подавания математики. В 1961 г. впервые
была проведена научно-методическая конфе-
ренция преподавателей математики средних
школ, педагогических училищ и высших учеб-
ных заведений, на которой обсуждались во-
просы о состоянии преподавания математики
и мерах его улучшения, о юношеской матема-
тической школе, об издании математической
литературы в Молдавии, о математических
олимпиадах, а также заслушано 12 сообщений
по различным частным вопросам преподава-
ния математики в школе. В помощь учителю
были изданы пособия: об изучении производ-
ной, о преподавании дробей, об изучении гео-
метрии в VII и VIII классах, о решении задач
по геометрии с применением тригонометрии,
о понятии действительного числа и измерении
отрезков, об абсолютной величине числа,
о внеклассной работе, об историзме в препо-
давании математики и др. Институтом усовер-
шенствования учителей был издан сборник
«Некоторые вопросы преподавания математи-
ки в школе».
С 1962/63 учебного года при участии Инсти-
тута математики АН Молдавской ССР в ряде
школ г. Кишинева были открыты математиче-
ские классы, и в настоящее время ставится
вопрос об организации таких классов в сель-
ских школах. В 1964 г. в республике создана
школьная Академия наук «Будущее» («Виито-
рул») с отделением математики.
Уровень преподавания математики в рес-
публике растет с каждым годом, растут кад-
ры квалифицированных учителей математики.
Если в 1945/46 учебном году 21,6% учителей
математики имели законченное высшее обра-
зование, то в 1965/66 учебном году их стало
57,4%. Кадры учителей пополняются ежегод-
но молодыми выпускниками Кишиневского
университета, Тираспольского и Бельцкого
пединститутов.
§ 5. ВЫСШЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
В МОЛДАВСКОЙ ССР
Высшее математическое образование в Мол-
давии осуществляется на физико-математиче-
ских факультетах уйиверситета и пединститу-
тов.
Первый педагогический институт в Молда-
вии был открыт в 1930 г. в г. Тирасполе. В на-
стоящее время в Молдавии имеются Кишинев-
ский государственный университет, Кишинев-
ский, Тираспольский и Бельцкий государст-
венные педагогические институты.
В 1961 г. была организована Академия
наук Молдавской ССР, при которой был
создан Институт математики с вычислитель-
ным центром, который готовит кадры мате-
матиков через аспирантуру.
В послевоенный период успешно шла под-
готовка математиков через аспирантуру дру-
гих вузов страны, и в первую очередь через
аспирантуру МГУ. За последние 20 лет про-
изошел значительный качественный рост педа-
гогического и научно-исследовательского со-
става математиков Молдавской республики.
Так, например, если в 1947 г. в вузах Молда-
вии работали 4 математика кандидата наук,
то в 1966/67 учебном году в научно-исследо-
вательских институтах и вузах Молдавии ра-
ботают 3 доктора наук и свыше 50 кандидатов
наук.
В канун 50-летия Советской власти наша
школа переходит к новому этапу совершенст-
вования образования и коммунистического
воспитания молодежи, определяемому поста-
новлением ЦК КПСС и Совета Министров
СССР «О мерах дальнейшего улучшения ра-
боты средней общеобразовательной школы».
Математическая общественность Молдавии
приложит все усилия к успешному осуществ-
лению новых задач, стоящих перед советской
школой.
МАСТЕРА
ПЕДАГОГИЧЕСКОГО
ТРУДА
СЕРГЕЙ АФАНАСЬЕВИЧ
НОВОЕНКОВ
И сейчас еще Больше-Черниговский район
считается «глубинкой». Молодые учителя-го-
рожане не всегда охотно берут туда назначе-
ние, хотя и стала Большая Черниговка рай-
онным центром, отстроилась, озеленилась,
связалась асфальтированными дорогами и те-
перь от нее до областного центра — Куйбыше-
ва — всего три часа автобусного пути. А в ту
пору, когда Сергей Афанасьевич Новоенков —
двенадцатплетний пастушонок—пришел в
первый класс, было село глухим «медвежьим
углом», откуда люди добирались до города чуть
ли не трое суток на верблюдах по степным
дорогам.
...Каждое утро по широкой улице села не
спеша проходит пожилой степенный человек,
и, встречаясь с ним, все от мала до велика
почтительно кланяются ему. Нет в большом
селе семьи, где бы ни вспоминали добром это-
го человека. Здесь он родился, здесь учился
грамоте, сюда вернулся учителем. И вот уже
34 года учит математике сельских ребят.
Здесь все его, родное. И новое здание школы,
выросшее на месте старой деревенской шко-
лы, в которой он провел большую часть
своей жизни — сначала учеником, а потом
учителем. И эти широкие улицы, по-
явившиеся на месте беспорядочно разбросан-
ных избенок. И в счастливой жизни людей, по-
строивших это новое село, немалая доля его
труда, его по-отечески теплой заботы.
Вот почему весть о том, что учитель мате-
матики Сергей Афанасьевич Новоенков на-
гражден за свой почетный труд высшей на-
градой — орденом Ленина, стала большой все-
общей радостью. Высокой наградой гордятся
и нынешние его ученики и их родители.
В эти счастливые дни Сергей Афанасьевич
часто обращается в мыслях к прошлому. Вот
и теперь, когда мы после уроков неторопливо
беседуем с ним в опустевшей учительской, он
говорит задумчиво, словно продолжая раз-
мышлять:
— Работаю как должно, как все. Просто
время у нас такое — ничто доброе не проходит
незамеченным. Высоко ценят советские люди
труд. А труд учителя у всех на виду.
За плечами учителя нелегкий путь. Он пом-
нит, как его отец, единственный кормилец
восьми детей, от зари до зари гнул 'спину над
тощей делянкой и не мог досыта накормить
ребят. И сам он еще ребенком узнал, что та-
кое труд ради куска хлеба До двенадцати
лет пас чужой скот, и только когда отец од-
ним из первых в селе вступил в колхоз, осу-
ществилась заветная мечта учиться. Школь-
ные годы — самое светлое воспоминание в его
жизни. Уже тогда, сидя за партой, Сергей
мечтал быть учителем и стал им. Учил малы-
28
шей в начальной школе. Работая, закончил
институт и стал преподавать математику.
В 1942 г. курсант Ульяновского училища
связи Сергей Новоенков, не закончив учебы,
ушел на фронт, защищать Сталинград. Про-
шел дорогами войны от Сталинграда до Бер-
лина.
Орден Ленина не единственная награда
у Сергея Афанасьевича. Два ордена «Крас-
ная звезда», медали «За отвагу», «За осво-
бождение Варшавы», «За взятие Берлина»,
«За победу в Великой Отечественной войне
1941—1945 гг.» украсили грудь воина. А по-
том снова родное село, родная школа, и здесь,
как на фронте, он в первом эшелоне, отлич-
ник народного просвещения.
Его уроки не поражают разнообразием при-
емов и внешним эффектом. Секрет его успе-
ха в другом — терпеливо, уверенно объясняет
он основы математики своим питомцам, при-
учает работать систематически и упорно, ра-
ботает не с безликим классом, а с каждым
сидящим перед ним учеником.
Чтобы лучше учить ребят своему любимому
предмету, Сергей Афанасьевич все свободное
время отдает совершенствованию своего мас-
терства и оснащению кабинета. Кабинет ма-
тематики Больше-Черниговской средней шко-
лы ни в чем не уступает кабинету любой го-
родской школы. Сюда приходят учиться не
только нынешние ученики Сергея Афанасьеви-
ча, по и учителя математики окрестных сел.
Для них он — руководитель районного мето-
дического объединения — тоже любимый учи-
тель.
Для одних его уроки стали опорой при вы-
боре профессии, для других на всю жизнь
примером служит трудолюбие учителя, его
увлеченность любимым делом. Не удивитель-
но, что к своему учителю нередко приходят
за советом его бывшие питомцы.
Многих учеников Сергея Афанасьевича
можно встретить в куйбышевских вузах, мно-
гие вернулись в свой район учителями физи-
"ки и математики.
С каждым годом все больше становится
семья у сельского учителя — все, кого он учил
и учит, навсегда становятся его друзьями.
И. Я. Пугач
ГАЛИНА НИКОЛАЕВНА
МИНАЕВА
В Южно-Сахалинске удивительно много ря-
бины. Летом этого как-то не замечаешь, но
осенью (здесь золотая, почти ялтинская
осень) гроздьями рябины пламенеют улицы,
скверы. После сильного ветра асфальт быва-
ет усыпан ягодой, и тогда отчетливо слышен
горький рябиновый запах.
Вместе с теплыми солнечными лучами в
окно IX класса засмотрелась рябина. Что-то
праздничное, немного тревожное в первых
днях новой школьной осени, в первой встрече
с новым педагогом. Может быть, никогда
сердца учеников не бывают так открыты для
признания учителя, для любви к нему, как в
этот первый день.
Тридцать пар ожидающих глаз. Тридцать
характеров и сердец. И один человек сегод-
ня самый главный — учитель...
— Здравствуйте. Садитесь. Мы с вами бу-
дем изучать, помимо обычной школьной про-
граммы, элементы математического анализа
и вопросы теории программирования и вычис-
лительной математики. Предупреждаю: рабо-
тать придется много. Очень много. Поэтому
не будем терять времени. Итак, тема сегод-
няшнего урока...
Галина Николаевна Минаева пишет на дос-
ке исходные данные для доказательства тео-
ремы. Начинает излагать материал. И сразу
вопрос: один, другой...
И вот уже весь класс медленно, трудно идет
по тернистому пути доказательства теоремы.
Галина Николаевна требует точных формули-
ровок, ясной логики. Под ее пристальным
взглядом начинают обнажаться пробелы в
29
знаниях того или другого ученика. Это похо-
же на хирургическую операцию- так отточе-
ны, предельно необходимы каждое слово и
жест, так сосредоточена и непреклонна воля
педагога.
Класс работает с полной отдачей сил. Забы-
то все — и золотая осень, и рябина в солнеч-
ном окне. Только работа. И пожалуй, впервые
в жизни школьники начинают серьезно сожа-
леть о том, что плохо учили математику в VII
и VIII классах, что пропускали уроки, что по-
рой легко, слишком легко доставались «пя-
терки».
Класс оказался слабым. Вероятно, следова-
ло бы скомплектовать для обучения по специ-
альной программе группы наиболее подготов-
ленных и способных учеников Но класс ос-
тался, осталась в нем и Г. Н. Минаева, одер-
жав впоследствии несомненную победу.
Ребята теперь умеют работать. Л главное —
любят работать. Они открыли для себя чудес-
ную страну — математику. Им нельзя теперь
без математики и без Галины Николаевны
Минаевой.
Рассказывать о педагогическом мастерстве
Галины Николаевны — большая и специаль-
ная задача. Отметим только некоторые слага-
емые ее работы. Прежде всего — это умение
пробудить у подростков живую жажду зна-
ний, интерес к предмету. Галина Николаевна
любит вспоминать слова Анатоля Франса:
«Чтобы переварить знания, надо поглощать их
с аппетитом». Поэтому она не упускает слу-
чая рассказать ученикам о том, почему они
изучают ту или иную тему, рассказывает
о практическом значении вопроса, о пути, по
которому шли ученые, о трудностях, которые
они преодолевали. Иногда в урок вводится
элемент игры или проводятся любопытные
аналогии.
Индивидуальную работу с учащимися
Г. Н. Минаева начинает с того, что выявляет
вопросы, которых они не знают, классифици-
рует ошибки, допущенные в контрольных ра-
ботах, а затем упорно, методически приводит
знания ученика в стройную систему. Это са-
мое действенное, испытанное средство в арсе-
нале педагога.
Из многих городов страны почта приносит
Галине Николаевне письма. В них слова бла-
годарности, просьба подать совет «в минуту
жизни трудную». Но встречаются и листки
почтовой бумаги, сплошь испещренные форму-
лами, чертежами геометрических фигур В них
бывшие ученики рассказывают о новом, что
они успели узнать, просят обратить внимание
на ту или иную тему из школьной программы,
если, по их мнению, это поможет лучше под-
готовить к институту новое поколение выпуск-
ников. Готовясь к очередному уроку, Галина
Николаевна снова и снова будет перечитывать
эти письма. Долгие часы она проводит за спе-
циальной литературой — ей тоже надо учить-
ся, особенно по вопросам теории программи-
рования и вычислительной математики.
После занятий в классе — кружок или ро-
дительское собрание. Галина Николаевна ру-
ководит методической секцией математики в
школе — на все это тоже требуется время В те-
чение нескольких лет она была депутатом го-
родского Совета, а недавно избрана в обла-
стной Совет...
За окном — неспешная сахалинская весна.
Набухают почки рябины. Звенит капель Вот
и конец учебного года И снова осень...
Пятнадцать лет работает Галина Николаев-
на, выпускница одной из сахалинских школ,
в школах острова. Пятнадцать лет отдает она
все силы, без остатка, трудному делу учителя.
Почему не иссякают эти силы?
Есть у Галины Николаевны Минаевой не-
исчерпаемый резерв душевного тепла, любви
и мужества. Это огромный интерес к своей ра-
боте, счастье от сознания, что делаешь боль-
шое, нужное дело, за которое долго еще будут
благодарны сотни людей.
Страна высоко оценила труд Галины Ни-
колаевны Минаевой, наградив ее в 1966 г.
орденом Ленина.
Л. Л. Войнилович
50
лет
ЛАРИСА АДАМОВНА
ШУМИЛОВА
.. .На выпускном вечере в школе-восьми-
летке девочка, которая к своим способностям
добавила еще и трудолюбие, выступая, сказа-
ла так:
— Мне иногда приходит в голову глупая
мысль. Как хорошо было бы остаться в нашей
школе па второй год. Для чего? Для того, что-
бы продолжать учиться у Ларисы Адамовны.
У нее трудно, она никогда не оставляет в по-
кое. Но зато чувствуешь, что каждый день ста-
новишься хоть чуточку умнее. Она все время
учит думать.
Искреннее, непосредственное признание это
было тем более ценным, что строгость и требо-
вательность преподавателя математики Лари-
сы Адамовны Шумиловой вошли в поговорку.
Но, оказывается, ученики сумели разглядеть
за строгостью сердечность. Уважение к ней
зиждется и на непоколебимой справедливости
к ученику.
Желание девочки, выступавшей на выпуск-
ном вечере, осуществилось. Нет, она не оста-
лась на второй год. Но, попав из школы-вось-
милетки в IX класс гатчинской десятилетки
№ 4, она вновь встретилась со своей учитель-
ницей. Ларисе Адамовне предложили перейти
сюда заведовать учебной частью.
Когда голова начинает седеть, а труд в
своей школе доставляет удовлетворение, не-
легко покидать коллектив, своих учеников.
После длительных размышлений Л. А. Шуми-
лова решила согласиться работать завучем.
Она считала, что орден Ленина, которым ее
наградило правительство в юбилейном пяти-
десятом году Советской власти,— награда,
обязывающая работать с еще большим напря-
жением, отдавать свои знания, организатор-
ские способности не только ученикам, но и
учителям.
В новый коллектив она вошла с желанием и
учить, и учиться. Ее трудолюбие, безотказность
в работе, требовательность к себе служат при-
мером. Она ведет математику уже в IX классе,
классе, считающемся трудным, «сборным»,
куда перешли ученики из разных школ города.
Именно ее прежние ученики задают тон на
уроках математики.
Уходя из школы-восьмилетки, Лариса Ада-
мовна оставила своим преемникам великолеп-
ный набор наглядных пособий, сделанных уче-
никами под ее руководством в содружестве с
учителями труда. Пособий часто остроумных,
занимательных и всегда полезных. Но и в но-
вой школе в IX классе наглядность занимает
большое место в арсенале методических прие-
мов учительницы, не имеющей среди своих гат-
чинских учеников уже много лет второгодни-
ков.
Как же достигается такой результат? В тру-
де учителя мастера много слагаемых. Но, ве-
роятно, самое главное — это талант трудолю-
бия. умноженный на высокую математическую
и педагогическую культуру. Лариса Адамовна
дает знания всему классу и каждому ученику
в отдельности. Все сорок пять минут урока —
это работа всех и каждого.
Пятые и шестые классы доставляют обычно
много хлопот. Дисциплина! У Л. А. Шумиловой
весь урок заполнен до предела. Ученикам
просто некогда отвлекаться.
Бывают ли двойки у ее учеников3 Да, в го-
ду бывают. Однако с учениками, получившими
двойки, ведется повседневная кропотливая
индивидуальная работа.
Л. А. Шумилова щедро делится опытом ра-
боты. Ее выступления с докладами на педаго-
гических советах, лекции для родителей не
оставляют равнодушными, всегда дают пищу
уму. К ней можно прийти на любой урок. Это
знают все учителя, даже приезжающие из дру-
гих школ области. Они на этих уроках, сидя
рядом с учениками, черпают для себя новое,
полезное, одухотворяющее.
Вся жизнь Ларисы Адамовны Шумиловой
безраздельно отдана школе, детям, будущему
народа. В этом она, учитель математики, видит
смысл своей жизни.
J7. М. Никольский
31
РАФАИЛ ПОРФИРЬЕВИЧ
ПИЧУЖКИН
28 лет работает в школе Рафаил Порфирь-
евич Пичужкин, из них 17 — в средней Масля-
нинской Новосибирской области. За это время
он обучил сотни ребят, дав им глубокие и
прочные знания по своему предмету. Его вы-
пускники успешно сдают вступительные экза-
мены в самые различные вузы. Многие сами
стали учителями математики, и все они с глу-
бокой благодарностью вспоминают своего учи-
теля, сумевшего привить им интерес к мате-
матике.
Рафаил Порфирьевич никогда не удовлет-
ворен достигнутым, он в постоянном творче-
ском поиске новых, наиболее эффективных
методических приемов обучения и воспитания.
Будить мысль ученика, развивать у него ло-
гическое мышление, навыки самостоятельной
работы, прививать интерес к предмету, жела-
ние хорошо учиться — таковы задачи, которые
ставит и успешно решает учитель уже ряд лет.
Достичь этого, конечно, не легко. Р. П. Пи-
чужкин умело учитывает индивидуальные осо-
бенности каждого своего воспитанника, диф-
ференцированно ставит перед ними посильные
проблемы, воспитывает навыки самостоятель-
ного исследования и самоконтроля. Вся рабо-
та ведется на высоком уровне трудности по
выполнимости даваемых учителем заданий.
При затруднениях учитель помогает, но тре-
бует мобилизации сил и самим учеником.
В 1961 г. в школе для старшеклассников ор-
ганизована юношеская математическая школа
с двухлетней программой, для пяти- и шести-
классников — кружок по истории математики,
регулярно проводятся математические сорев-
нования, внутришкольные олимпиады, выпус-
каются предметные газеты и бюллетени. Все
это способствует совершенствованию матема-
тических знаний школьников. И не случайно
вот уже несколько лет ученики Маслянинской
средней школы выходят победителями район-
ных и областных олимпиад, а в 1965 г. ученица
X класса Галя Филимонова была участницей
IV тура Всероссийской олимпиады.
Весь свой богатый опыт передовой учитель
стремится передать коллегам. Большую рабо-
ту Рафаил Порфирьевич ведет с учителями
математики школ района, являясь 15 лет бес-
сменным руководителем районного методиче-
ского объединения математиков. Неоднократ-
но читал доклады по теоретическим и мето-
дическим вопросам, проводил семинары-прак-
тикумы, открытые уроки, занятия кружков.
Много раз выступал он и на курсах повыше-
ния квалификации при Областном институте
усовершенствования учителей, на областных
«Педагогических чтениях».
За свою плодотворную работу Рафаил Пор-
фирьевич Пичужкин неоднократно награждал-
ся почетными'грамотами Новосибирского обл-
исполкома, Новосибирского университета, за-
несен в Книгу почета Маслянинского района,
избран депутатом районного Совета, награж-
ден значком «Отличник народного просвеще-
ния», а в 1966 г. удостоен ордена Ленина.
За участие в Великой Отечественной войне
имеет орден Отечественной войны II степени
и несколько медалей.
С начала 1966/67 учебного года Рафаил
Порфирьевич — директор школы, в которой он
так долго и плодотворно работал рядовым
учителем.
В. В. Герасимова
ЗОЯ ДМИТРИЕВНА ВЕЧЕРНИКА
Зоя Дмитриевна Вечерника в 1949 г. окон-
чила учительский институт и стала учителем
математики в Пова]Лвской школе. И вот уже
семнадцать лет бессменно работает она в
этой школе.
Директор школы Нестор Иванович Таран
рассказывает о 3. Д. Вечерниной.
— Да, на наших глазах, можно сказать,
росла Зоя Дмитриевна. Помню, пришла она
32
к нам худенькая, с гладко зачесанными воло-
зми От старшеклассницы и отличить ее
трудно было, А побывал у нее на одном, дру-
юм, десятом уроке — вижу, учитель она при-
рожденный, знания у нее отличные, классом
владеет прекрасно. Без преувеличения можно
сказать — педагогический талант у нее.
Но Зоя Дмитриевна остро чувствовала, что
знаний, полученных в Загорском учительском
институте, ей мало.
— Надо учиться. Без учебы нельзя двигать-
ся вперед. Учить ребят можно лишь тогда,
когда сама впитываешь в себя ежедневно,
ежечасно все новые и новые знания.
И она училась. Окончила Московский обла-
стной педагогический институт. Интересова-
лась работой передовых учителей математики
страны, много и упорно изучала их методы пре-
подавания. И в конце концов Зоя Дмитриевна
пришла к выводу, что универсальных приемов
обучения математике нет, да и быть не мо-
жет. В одном классе хорош один метод, а в
другом он не годится. Учитель не может оста-
новиться, он все время обязан искать.
Учителя можно сравнить с артистом, кото-
рый как бы ни знал хорошо свою роль, каж-
дый раз играет ее, сообразуясь с той публи-
кой, которая сидит в зале. Только полный кон-
такт артиста со зрителем приносит ему успех.
Учителю еще труднее. Он должен не только
воздействовать на чувства своих слушателей,
но и заставить их мыслить, запоминать.
Зоя Дмитриевна на протяжении всей своей
педагогической деятельности никогда не замы-
калась в узкие рамки учителя-предметника
старших классов. Ее непреложный закон — ве-
сти учеников с пятого класса до десятого. Мо-
жет быть, в этом один из секретов того, что
все ее ученики в старших классах имеют по
математике положительные оценки.
В 1966/67 учебном году 3. Д. Вечернина —
завуч школы и одновременно работает в
V классе. Вряд ли бывают труднее классы,
чем пятые. Совсем недавно пришли эти маль-
чишки и девчонки в среднюю школу. Все для
них здесь необычно: предметная система, но-
вые товарищи, новые требования.
Вот здесь-то и требуется усилие всех педа-
гогов, чтобы направить пятиклассников в
строгое русло педагогического процесса. И без
преувеличения мож-
но сказать — льви-
ная доля трудности
ложится на плечи
учителя математики.
Перед учителем
сорок голов: темных,
светлых, стриженых,
50
лет
2 Математики в школе N 5
с косичками. Сорок пар глаз: внимательных,
настороженных, рассеянных и даже равнодуш-
ных. Надо сделать так, чтобы в этих глазах
загорелся огонек жажды познания. И тот пе-
дагог уходит удовлетворенным с урока, кото-
рый зажег этот огонек в глазах своих учени-
ков.
Уроки 3. Д. Вечерниной проходят интерес-
но. Она умеет так организовать учащихся на
уроке, что каждый из них все сорок пять ми-
нут работает напряженно и творчески. Заста-
вить думать, научить думать — вот в чем
главное призвание педагога.
Зоя Дмитриевна хорошо владеет методикой
преподавания предмета и охотно делится
своими знаниями с молодыми учителями. Дол-
гое время она была руководителем кустового
методического объединения.
Большое внимание уделяет Зоя Дмитриев-
на и внеклассной работе. Все математические
олимпиады в школе готовятся и проходят под
ее руководством.
Жители поселка Поварово второй раз из-
брали Зою Дмитриевну своим депутатом в
Солнечногорский городской Совет.
За самоотверженный педагогический труд
Зоя Дмитриевна Вечернина награждена знач-
ком «Отличник народного просвещения», а
недавно она удостоена высшей правитель-
ственной награды — ордена Ленина.
В. В. Миллер
33
ПРАСКОВЬЯ ЕГОРОВНА
ЧЕРНЯЕВА
Семнадцатилетняя девочка со станции Шил-
ка никогда не мечтала стать учительницей. Но
когда в годы Отечественной войны в г. Сре-
тенске открылось педучилище, то Прасковья
Егоровна стала его студенткой. А через год
она сдала вступительные экзамены в Читин-
ский пединститут и поступила на работу в чет-
вертую школу. С утра — лекции и семинары
в институте. После обеда — уроки в школе.
День расколот на две равные половины. В од-
ной из них она сама в роли ученицы, в дру-
гой — учительницы.
Сильных людей трудности закаляют. Чем
больше дел отягощает их, тем крепче, собран-
нее они становятся. Такой оказалась и Пра-
сковья Егоровна. Она вела начальные классы.
Кто из педагогов не знает, как трудоемка ра-;
бота с малышами! Один учитель тут высту-
пает во множестве лиц. А кипы тетрадей по
разным предметам! На проверку их молодая
учительница урывала время у сна. И хотя гра-
ницы занятости наших учителей бесконечны,
Прасковья Егоровна несла двойную нагрузку,
успевала она многое.
Прасковье Егоровне повезло. В школе № 4
г. Читы ее окружили опытные преподаватели.
Молодую учительницу учили строгому науч-
ному мышлению. Вооружили умением прони-
кать в психологию ребенка, расположить его
к себе, активизировать его силы, волю, вни-
мание.
Кто сейчас работает рядом с Прасковьей
Егоровной, этой умелой учительницей, знает,
как она пестует своих питомцев, как вдумчиво
учит их последовательному мышлению.
За семнадцать лет работы учительница
Черняева убедилась, что индивидуальный под-
ход к ученику, кружковая работа — два са-
мых важных подспорья к урокам. Сначала
увлечь, потом научить мыслить — вот пробле-
ма, которую она решает постоянно.
Пять лет Прасковья Егоровна ведет школу
передового опыта для молодых коллег города.
Руководит в своей школе методическим объ-
единением преподавателей математики. Ак-
тивно выступает на городских и областных
«Педагогических чтениях». Делилась своим
опытом в Хабаровске, Иркутске, Белгороде.
Успешно разрабатывает вопрос об активиза-
ции мыслительной деятельности учащихся на
уроке.
Письма, встречи с бывшими учениками, их
уважение и признание — все это есть, пожа-
луй, у каждого учителя. Немалый след остав-
ляет работа Прасковьи Егоровны не только в
жизни учеников, но и всех тех, кто встречает-
ся с ней. Так в конце педагогической практи-
ки, которая проводилась в школе, студенты
делились своими впечатлениями о школе, о ме-
тодах преподавания. Одна из них сказала:
— Наверное, это очень трудно, но я бы хо-
тела походить на Прасковью Егоровну, так
много знать, так хорошо понимать детей, так
умело учить их, так многое делать для них.
Родина высоко оценила труд Прасковьи
Егоровны Черняевой, наградив ее орденом
Ленина.
Т. В. Пенягина
НИКОЛАЙ ПАВЛОВИЧ КУЧКИН
Мне очень понравилось его выражение:
«Ученики должны меньше заучивать, больше
осмысливать». Сказано просто . и очень пра-
вильно. Только как этого добиться?.
Урок математики в VII классе. Объясняется
материал «Поверхность куба». На доске — чер-
тежи, иллюстрирующие рассказ. Казалось, все
идет как надо. Но почему у многих учащихся
огонек в глазах потух? Значит, не дошел ма-
териал. Это подтвердила и проверка в конце
урока: большинство учеников весьма смутно
34
представляли себе, как вычислить поверхность
куба, что такое грани, ребра, развертка.
«Почему так произошло? — мучительно раз-
думывал учитель.— Непонятно объяснял?
Трудный раздел? Нет, тут что-то другое. Ви-
димо, материал не воспринимается потому, что
не подкрепляется чем-то наглядным. Вот если
бы эти грани и ребра в руки ребятам дать.
Дать в руки... А что, если...»
С тех пор редкий урок математики обходит-
ся без наглядных пособий. В школе накопи-
лось много моделей: кубы, пирамиды, призмы
и т. д. Стало правилом: для первого знакомст-
ва с фигурой, линией давать ученикам задачи,
связанные с их практическим измерением.
Урок в VI классе. Когда он начался, все
сразу же были захвачены его четким, быстрым
ритмом. Ни минуты «холостой». Вопросы учи-
теля следовали один за другим, в работу
включались все новые и новые ученики. Они
проводили устные вычисления, решали задачи
и незаметно были подведены к очередной те-
ме— понятию о рациональных числах. Нельзя
было не обратить внимания и на то, что уче-
ники давали четко сформулированные ответы.
Значит, учитель наряду с развитием матема-
тического мышления не забывает и о развитии
математической речи. Он постоянно внушает
детям мысль: математика — наука точная и
требует точности выражений.
На уроке Николай Павлович использует
цифры и факты, взятые из сообщений Цент-
рального статистического управления, из ма-
териалов областной и районной газет, из жиз-
ни села.
Такие задачи, говорит Н. П. Кучкин, воспи-
тывают у учащихся гордость за нашу Родину;
в них отражается развитие народного хозяй-
ства страны, героический труд людей, рост их
благосостояния.
Так на практике осуществляется связь обу-
чения и воспитания.
Не секрет, что не все ученики одинаково со-
образительны, не все одинаково быстро улав-
ливают материал. Николай Павлович хорошо
знает способности каждого и старается учиты-
вать их.
Самостоятельная работа. Ученики получают
карточки с заданиями. Для тех, кто посильнее,
одни карточки, остальным другие. Николай
Павлович имеет специальную тетрадь, в кото-
рую записывает результаты таких работ (у ко-
го что плохо усвоено), и, исходя из этого,
строит дальнейшую индивидуальную работу.
На каждом уроке большое внимание уде-
ляется устному счету. Подобрана система уп-
ражнений и примеров. В определенной систе-
ме ведется повторение материла. Оно строго
целенаправленное: подготовка к изучению но-
вой темы, закрепление ранее изученного. Для
закрепления, для тренировки применяется ком-
ментированное решение примеров и задач.
Николаю Павловичу присуще постоянное
стремление к знаниям, к совершенствованию
своего педагогического мастерства. Он заочно
окончил учительский институт, внимательно
следит за педагогической'литературой и перио-
дическими изданиями, творчески заимствует
опыт лучших учителей, сам щедро делится на-
копленными знаниями. Многие учителя мате-
матики района побывали у него на уроках.
Вот уже тридцать лет работает Н. П. Куч-
кин учителем Решемской средней школы.
Имеет ряд наград и поощрений. Среди них —
медали «За трудовое отличие», «За трудовую
доблесть», «За доблестный труд в Великой
Отечественной войне 1941—1945 гг.», значок
«Отличник народного просвещения». И самая
высокая, самая дорогая награда — орден Ле-
нина. Тридцать лет напряженного творческого
труда — это настоящий педагогический подвиг.
Педагог, страстно влюбленный в свое дело,
активный общественник, умный, серьезный,
скромный человек — таков Николай Павлович
Кучкин, учитель из Решмы.
Б. С. Малинкин
МЕТОДИЧЕСКИЙ
ОТДЕЛ
С. В. СМИРНОВ (г. Иваново]
НОВАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ
И ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
При чтении проекта программы, опублико-
ванного в первом номере журнала «Математи-
ка в школе» за 1967 г., среди множества проб-
лем, над которыми приходится думать, очень
важной представляется проблема подготовки
учителя.
Несущественно, превратится ли проект в
действующую программу, не претерпев каких-
либо изменений, или в материале и его компо-
зиции произойдут более или менее значитель-
ные изменения. Очевидно, что должно сохра-
ниться главное — ббщая направленность
проекта. Если этого не произойдет, то введение
новой программы потеряет смысл.
Основное в проекте программы заключается
в том, что в курс нашей школы впервые систе-
матически вводятся понятия и методы совре-
менной математики. Этот процесс обновления
школьного преподавания математики идет во
всем мире, отражая те действительно великие
сдвиги, которые произошли за последние де-
сятилетия не только в самой математике, но и
во всей науке в целом. В частности, процесс
обновления школьных программ отражает зна-
чительно возросшую роль математики в самых
различных областях культуры.
Известно, что обновление содержания и ме-
тодов преподавания математики в зарубежной
школе не обходится без существённых откло-
нений в сторону теоретической перегрузки или,
наоборот, чрезмерно облегченного и эмпири-
ческого введения ряда понятий современной
математики. Можно наблюдать и пренебреже-
ние формирующей мировоззрение функцией,
которая должна быть присуща школьному
преподаванию математики: рассмотрением ее
связей с естествознанием, техникой и многими
другими областями культуры и науки.
Проект программы удачно решает проблему
перестройки математического образования в
советской школе. И необходимость, и трудно-
сти этого преобразования отчетливо представ-
ляют себе авторы проекта. В объяснительной
записке с полной ясностью формулируется
основная идея, заложенная в проекте.
«При самом бережном отношении к нако-
пившемуся ценному опыту работы школы не-
обходимо искать пути существенного усовер-
шенствования школьного математического об-
разования в направлении сближения школьно-
го преподавания со строением математической
науки и потребностями смежных наук и техни-
ки. Необходимо соединить повышение логиче-
ского уровня преподавания с его возможно
большей наглядностью и ориентацией на орга-
ническую связь с содержательной естественно-
научной интерпретацией математических фак-
тов».
Отсюда вытекает необходимость изменения
методики преподавания математики в средней
школе, причем бережное отношение к накоп-
ленным достижениям нашей методики должно
сопровождаться в то же время самым реши-
тельным и смелым поиском нового.
Студенты педагогических институтов (уча-
щиеся в настоящее время) либо должны будут
встретиться с новой программой ino математи-
ке в первые же годы своей работы в школе,
либо сразу начинать работать по этой прог-
рамме. Поэтому прямая обязанность педву-
зов— учесть проект новой программы уже сей-
час в своей практике подготовки новых учи-
36
телей математики. Вряд ли следует ждать,
когда проект новой программы будет утверж-
ден в качестве обязательной действующей
программы: дело здесь не в деталях, а в об-
щем направлении, которое и должно опреде-
лять ближайшую методическую деятельность
коллектива математиков, занятых преподава-
нием в педвузах.
Естественно, нельзя предположить, что сра-
зу и в окончательной форме будет решен це-
лый ряд очень сложных проблем. Однако среди
них существуют такие, за которые можно
браться уже сейчас, не дожидаясь, например,
появления учебников для средней школы или
методических руководств для учителей.
Начнем с самого простого.
Существующие учебные планы и программы
математических факультетов педагогических
институтов дают возможность, в случае надле-
жащей интерпретации этих программ и при
хорошей постановке процесса преподавания,
обеспечить серьезную математическую подго-
товку, вполне достаточную для образованного
учителя средней школы.
Однако до самого последнего времени ощу-
щался некоторый разрыв между учебным про-
цессом на математическом факультете педин-
ститута и практикой работы преподавателя ма-
тематики средней школы: считалось (более
или менее явно), что пединститут стремится
давать избыточные теоретические знания.
Можно было довольно часто слышать выска-
зывания в пользу сокращения собственно ма-
тематической подготовки в педвузах и увели-
чения методического цикла. В какой-то мере
основания для такого рода суждений имелись:
традиционная школьная программа далека от
современной математики, которая хотя и час-
тично, но представлена в институтских курсах.
До сих пор некоторая часть преподавателей
математических факультетов, многие студен-
ты педвузов и учителя средней школы склон-
ны смотреть на иные специальные математи-
ческие дисциплины в педвузе только как на
развивающие студента, повышающие его об-
щетеоретический уровень, но, в общем, не
слишком полезные для непосредственной ра-
боты в школе.
Проект новой программы совершенно меняет
дело: в школу входит современная математи-
ка, и не остается пи одного специального пред-
мета из учебного плана математического фа-
культета педвуза, который существенно не пе-
ресекался бы со школьной программой. Конеч-
но, далеко не все, чему учат на математиче-
ском факультете, входит в школьную програм-
му. Но так и должно быть: сообщая основы
знаний, учитель обязан видеть более глубокие
связи тех понятий, которые он передает своим
ученикам. •
Таким образом, специальные математиче-
ские курсы перестают быть только развиваю-
щими, оказываясь в большой степени необ-
ходимыми для практической работы в школе.
Это обстоятельство должно повлечь изменение
отношения всей массы студентов к объему их
специализации как математиков.
Совершенно очевидно, что где-то в самом
начале обучения, в первых семестрах, еще до
чтения курса методики, следует детально по-
знакомить студентов с проектом новой прог-
раммы. Обычно в сознании студента, готовя-
щегося стать преподавателем математики,
имеется некоторый стереотип, основанный на
его ученическом опыте и подкрепленный про-
хождением педпрактики. Вот этот стереотип
и должен быть пересмотрен, и выработано соз-
нание, что вместо него должно сложиться
нечто новое. А это новое может сложиться
только в результате серьезных занятий именно
самой математикой.
Небольшой опыт, проведенный в Иванов-
ском педагогическом институте, в котором ра-
ботает автор этой статьи, показал, насколько
важна выработка такого сознания. Для неко-
торой части студентов педагогическая практи-
ка была заменена систематической работой на
положении учителя в течение всего учебного
года (от 2 до 4 часов в неделю) по ведению
факультативных занятий по математике. Де-
тальное знакомство с программой факульта-
тивных занятий, с проектом новой школьной
программы по математике, статьями, коммен-
тирующими эти программы, просто широкое
знакомство с математической литературой, на-
конец, постоянный интерес к занятиям, общий
с учащимися,— вся эта работа в 1ечение двух
лет настолько изменила самих студентов, что
они к четвертому курсу значительно выделя-
лись из общей студенческой массы. Конечно,
для этой работы были взяты хорошо успеваю-
щие студенты, но вряд ли они смогли бы про-
двинуться столь сильно, оставаясь в рамках
обычной системы обучения.
Конечно, следует добавить, что студенты не
были предоставлены полностью самим себе.
Хотя самостоятельность всячески поощрялась,
однако было что-то вроде не очень регулярно-
го семинара, на ко-
тором разбирались
методические проб-
лемы, возникавшие
по ходу дела, а так-
же дополнительные
главы математиче-
ских дисциплин.
50
37
Нам приходилось также, читая в минувшем
учебном году математический анализ на пер-
вом курсе, комментировать проект новой
школьной программы, объясняя, как могут
быть реализованы в школе некоторые ее раз-
делы. Опыт показывает, что при умении быть
кратким это не требует значительного допол-
нительного времени, тем более что можно от-
сылать к имеющимся литературным источни-
кам. Кроме того, студенты осознают цель изу-
чения данного предмета. Помимо математи-
ческой, академической заинтересованности
(которая может сама по себе быть очень силь-
ной и являться двигателем, побуждающим к
занятиям), возникает заинтересованность
практическая: как изложить тот или иной воп-
рос в школе. Любопытно, что когда на этом
потоке первого курса было объявлено о нали-
чии мест на будущий учебный год для ведения
факультативных занятий по математике в
школах города, то, несмотря на трудность этой
работы, желающих оказалось в три раза
больше, чем требовалось.
Новая программа при ее умелом использо-
вании в педвузах способна в сильной степени
повлиять на повышение качества математиче-
ского образования выпускников математиче-
ских факультетов педвузов.
Хотелось бы отметить и другую сторону
этой проблемы, чисто методическую.
Всем, кому приходилось близко соприка-
саться с преподаванием в математических шко-
лах, физико-математических интернатах, ве-
черних школах типа ЮМШ, хорошо известно,
что верхняя граница по отношению к материа-
лу, который изучается в них, может лежать
где-то очень высоко: при талантливом препо-
давании можно говорить об очень тонких по-
нятиях современной математики и быть уве-
ренным в том, что они будут верно схвачены
учащимися. При этом почти всегда время
бывает жестко ограничено, а математические
навыки учащихся еще очень'примитивны, по-
этому о взаимодействии различных понятий,
об известной отточенности, умении решать за-
дачи, требующие известных технических
средств, в этой заметке мы говорить не будем:
это целая цепочка проблем для особого об-
суждения.
В той связи, в которой мы упомянули мате-
матические школы (конечно, успешно рабо-
тающие), важны только два момента; обычно
преподавание в них определяют люди исклю-
чительно высокой квалификации, зачастую
крупные ученые, и талантливость преподава-
ния— почти необходимый признак таких школ
Опыт работы физико-математических школ
говорит и о том, что обычное представление о
возрастной границе доступности оказывается
сильно преувеличенным.
При хорошо продуманной системе располо-
жения материала, при интересной и правиль-
ной его подаче эта возрастная граница даже
в среднем лежит значительно ниже, чем при-
нято думать. Это замечание может быть отне-
сено и к рядовой средней школе.
В разделах проекта новой программы нет,
как кажется, ничего такого, что по существу
дела было бы непосильно для соответствую-
щих возрастов. Однако совершенно ясно, что
потребуется очень много усилий и таланта
для того, чтобы соответствующие разделы ма-
тематики изложить для школы. В этом, конеч-
но, состоит задача авторских коллективов
учебников. Но только их усилиями, как бы ни
были хорошо написаны учебники, проблема в
целом не будет решена. Она решится только
тогда, когда создастся живая традиция препо-
давания, столь же устойчивая, как существую-
щая ныне и соответствующая издавна сложив-
шейся в нашей школе системе обучения мате-
матике.
Это как раз далеко не просто, и в этом су-
щественную роль должны играть педвузы.
Давно пора, чтобы на базе новых начинаний
в школе стала образовываться новая система
преподавания методики математики в педаго-
гических институтах, учитывающая изменение
содержания школьного преподавания и фикси-
рующая те методические открытия, которые
были совершены за последнее время.
При чтении специальных математических
дисциплин (имеются в виду как лекции, так
и практические занятия) естественно считать,
что лектор или преподаватель, ведущий прак-
тические занятия, особенно если он творчески
связан со средней школой, может дать студен-
там очень многое и в области методики. В осо-
бенности это важно на первых порах. Но в то
же время думается, что излишняя «педагоги-
зация» математических курсов вряд ли будет
очень полезна. Все же специальные математи-
ческие дисциплины несут свою специфическую
нагрузку в учебном плане и по-своему влияют
на становление будущего учителя, который в
какой-то степени должен быть также и мате-
матиком.
Итак, на очереди серьезная перестройка
преподавания методики математики, такая,
чтобы можно было в рядовых условиях полу-
чить хороший современный курс по этому
предмету.
Наконец, о факультативных занятих по ма-
тематике в средней школе. Именно здесь к
учителю предъявляются особенно высокие тре-
бования. По-видимому, средний выпускник
38
математического факультета педвуза в настоя-
щее время совершенно не приспособлен к то-
му, чтобы вести такие занятия: требуется бо-
лее высокая математическая культура. Таким
образом, возникает проблема повышения ма-
тематической подготовки оканчивающих пед-
институты по математической специальности.
Выше уже говорилось об опыте частичного ре-
шения этой проблемы, но этот опыт ограничи-
вается наиболее сильной частью студентов,
способных самостоятельно или при небольшой
помощи осваивать те или другие разделы ма-
тематики и уже обладающих некоторой мето-
дической подготовкой.
Весной 1967 г. проблема факультативных
занятий в школах была темой специального
обсуждения на Ученом совете математическо-
го факультета Ивановского пединститута.
Было принято решение максимально расши-
рить сеть спецсеминаров и спецкурсов, прибли-
зив некоторые из них к тематике факульта-
тивных занятий в школе и рекомендовав
студентам интенсивно в них участвовать. Было
также решено расширить работу действовав-
шего в 1966/67 учебном году семинара по ме-
тодике проведения факультативных занятий.
Перечисленные в этой статье проблемы ос-
таются в той или другой степени в силе и по
отношению к повышению квалификации учи-
телей.
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ [Москвв]
ЧТО ТАКОЕ ПРОГРАММИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ?
1. ПОСТАНОВКА ВОПРОСА О ПРОГРАММИРОВАННОМ
ОБУЧЕНИИ
Программированное обучение пользуется
сейчас большой популярностью. Уже сам тер-
мин «программированное обучение» является
чрезвычайно модным. Однако далеко не всег-
да авторы статей, брошюр, книг правильно по-
нимают даже самый вопрос о том, что такое
программированное обучение. Ниже мы будем
подробно говорить об одном чрезвычайно рас-
пространенном заблуждении, укоренившемся
в нашей учительской среде (см. п. 10). Нс
сначала изложим основные определения и
факты.
Процесс программированного обучения за-
ключается в чередовании однотипных шагов,
каждый из которых, как правило, состоит из
следующих четырех частей:
1) . «преподаватель» изучает ответ, данный
учащимся на предыдущий вопрос или задачу
(т. е. правильность ответа, его полноту, харак-
тер изложения и т. п.), составляет мнение об
этом ответе и принимает решение о том, как
дальше вести процесс преподавания;
2) учащийся знакомится с мнением о его
ответе (это мнение может быть подтвержде-
нием правильности ответа или указанием, что
ответ ошибочен и учащийся должен подумать
еще, или ознакомлением учащегося с правиль-
ным ответом и т. п.);
3) учащийся знакомится с некоторым коли-
чеством информации, представляющей собой
небольшой кусочек нового материала по изу-
чаемому предмету;
4) учащийся получает контрольный вопрос
или задачу к изученному им теоретическому
материалу; этот вопрос он решает и резуль-
тат сообщает «преподавателю».
Когда шаг закончен, наступает следующий
шаг, затем следующий и так до конца заня-
тия.
Слово «преподаватель» мы выделяем в ка-
вычках, поскольку функции преподавателя в
процессе программированного обучения может
выполнять некоторое приспособление («обу-
чающая машина»).
Разумеется, процесс обучения ведется по
некоторому плану, по некоторой программе.
Эта программа может, например, заключать-
ся в том, что «преподаватель» заранее жестко
наметил, какой материал он даст учащемуся
в случае правильного ответа на вопрос, какой
материал в случае такой-то типичной ошибки
и т. п.
Именно наличие определенной програм-
м ы действий «преподавателя» привело к воз-
никновению термина программированное обу-
чение. Вряд ли этот термин можно признать
удачным и определяющим существо дела. Ведь
и при традиционном процессе обучения пре-
подаватель ведет занятие по определенному
плану, по заранее намеченной программе. Де-
ло заключается не в существовании програм-
мы, а в чередовании шагов описанного выше
типа. К тому же термин «программирование»
используется во многих различных смыслах:
в математике известно программирование для
электронных вычислительных машин, динами-
ческое программирование, линейное програм-
39
мирование, выпуклое программирование и т.п.
Кстати, термин «линейное программирование»
особенно опасен, поскольку он, с одной сто-
роны, применяется как название одного из
направлений в современной математике, а
с другой — нередко используется в програм-
мированном обучении, когда говорят о про-
цессе составления линейных программ
(см. ниже).
Несмотря на все сказанное, мы будем ниже
употреблять термин программированное обу-
чение, так как он уже прочно укоренился. Мы
будем также применять традиционный термин
программа, когда будет идти речь о совокуп-
ности шагов, используемых при программиро-
ванном обучении. В частности, ниже мы будем
подробно говорить о линейных и разветвлен-
ных программах. Но мы никогда не будем
применять термин «программирование» (в ча-
стности, «линейное программирование», «раз-
ветвленное программирование»), когда будет
идти речь о составлении программ.
Заметим, что, получив на n-м шаге ответ
учащегося, «преподаватель» составляет сразу
три текста: мнение об этом ответе, следую-
щую часть теоретического материала и следу-
ющий вопрос (см. пункты 2, 3, 4 на стр. 39).
Естественно предположить, что «преподава-
тель» сразу сообщит учащемуся все три тек-
ста, объединив их вместе. В теории програм-
мированного обучения принято такой объеди-
ненный текст называть порцией или дозой
учебного материала.
На практике нередко используются порции
учебного материала, в которых отсутствует та
или иная из указанных выше трех составных
частей. Так, на последнем шаге, завершаю-
щем изучение какой-либо темы, порция учеб-
ного материала не содержит вопроса. Иногда
вопрос отсутствует и в промежуточных шагах
(например, если «преподаватель» решил раз-
бить очередной теоретический текст на две
порции — ввиду большого объема этого тек-
ста или по иной причине).
Мнение об ответе, естественно, будет отсут-
ствовать в очередном шаге, если предыдущая
порция учебного материала не содержала во-
проса. В частности, самая первая порция,
очевидно, не содержит мнения, поскольку пре-
дыдущего шага и предыдущего вопроса вооб-1
ще не было.
В некоторых шагах может отсутствовать
теоретический материал. Иногда, например,
мнение о сделанной на предыдущем шаге
ошибке фактически содержит теоретический
материал, нужный для следующего вопроса.
Иногда же «преподаватель» решает, что но-
вого теоретического материала сообщать уча-
щемуся не следует, а нужно дать еще одно
задание на ранее сообщенный материал.
Наконец, могут встретиться шаги, в которых
имеется только мнение об ответе, а теоретиче-
ский материал и вопрос отсутствуют. Такие
порции используются для того, чтобы вновь
отослать учащегося к одной из ранее встретив-
шихся порций.
I
2. ПРИМЕР ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ШАГОВ
Приведем пример реализации процесса про-
граммированного обучения. Материал состав-
лен по мотивам первых шагов, описанных в
книге [6]. В каждой порции вопрос выделен
курсивом.
1-я порция. Математический язык отли-
чается от обычного языка тем, что в него
включаются некоторые специальные символы
и слова. Например, высказывание: два плюс
один равно трем — можно записать специаль-
ными символами: 2+1=3.
Как по-твоему, высказывание 2+1=3 яв-
ляется истинным или ложным?
(Учащийся дал ответ: это высказывание
истинно.)
2-я порция. Правильно, равенство 2+1=3
представляет собой верное, истинное высказы-
вание.
Конечно, нетрудно написать и «неверное»
равенство. Мы будем в таком случае говорить,
что оно представляет собой ложное высказы-
вание, например, равенство 2+3 = 6. Для того
чтобы это отметить, применяется специальный
знак =# (читается: не равно). Так, мы пишем
2+3=#6, т. е. два плюс три не равно шести.
Как по-твоему, высказывание 4+3=#9 яв-
ляется истинным или ложным?
(Учащийся дал ответ: это высказывание
ложно.)
3-я порция. Ты ошибаешься! Я ведь не
спросил, равны или не равны числа 4+3 и 9,
а спросил, верно или неверно высказывание
4+3=#9. Верными, истинными могут быть не
только положительные высказывания, но и от-
рицательные (содержащие частицу «не»). Вы-
сказывание 4+3=#9 (т. е., иначе говоря, семь
не равно девяти), конечно, является правиль-
ным, истинным.
4-я порция. В алгебре имеются специ-
альные знаки не только для выражения поня-
тий «равно» и «не равно». Имеются специаль-
ные знаки для выражения слов «больше» и
«меньше». Символ > заменяет слова «больше
чем». Например, запись 6>4 читается так:
шесть больше, чем четыре. Символ < означает
«меньше чем». Например, 7<9 означает;
семь меньше, чем девять.
40
Какое из следующих высказываний истинно:
13>9 + 5; 16#=4+12, 9<7+4.
(Учащийся дал ответ; истинным является
высказывание 16#=4+12. «Преподаватель» ре-
шил разъяснить ошибку, а затем снова повто-
рить 4-ю порцию.)
5-я порция. Неверно! В соотношении
16#=4 + 12 слева стоит число 16, а справа
4+12, т. е. тоже 16. Значит, истинно выска-
зывание 16=4+12, а потому высказывание
16=7^=4+12 ложно. Вернемся еще раз к тому
же тексту.
6-я порция дословно повторяет 4-ю пор-
цию.
(Учащийся дал ответ: истинным является
высказывание 9<7+4.)
7-я порция. Верно! Ведь 7+4 равно 11,
так что выбранное тобой высказывание 9<7 +
+ 4 означает: девять меньше одиннадцати, что,
конечно, истинно...
Подчеркнем, что в приведенном фрагменте
6-я порция дословно повторяет 4-ю порцию.
Если, например, порции заранее отпечатаны
на специальных карточках, то на 6-м шаге
«преподаватель» просто еще раз передает уча-
щемуся ту же карточку, которая была исполь-
зована на 4-м шаге. Такая возможность пов-
торного использования порций учебного мате-
риала является существенной чертой програм-
мированного обучения.
3. ПРОГРАММА И РЕАЛИЗАЦИЯ
Заметим теперь, что «преподаватель» обыч-
но не знает заранее той последовательно-
сти шагов, которая фактически будет иметь
место при проведении процесса программиро-
ванного обучения. В самом деле, на вопрос, со-
держащийся в очередном шаге, учащийся мо-
жет дать разные ответы (правильный ответ;
правильный, но неполный ответ; ошибка; дру-
гая ошибка и т. п.). Ясно, что, вообще говоря,
на правильный и неправильный ответ «пре-
подаватель» будет реагировать по-разному,
т. е. при правильном ответе учащемуся будет
предложена в качестве следующего шага одна
порция учебного материала, а при той или
иной ошибке — другая, третья и т. п. Иными
словами, «преподаватель» имеет в запасе (пос-
ле очередного шага) несколько возможных
следующих доз, которые он может предоста-
вить учащемуся в зависимости от полученно-
го ответа и выбранной «преподавателем» ме-
тодики Но при фактическом проведении про-
цесса программированного обучения учащийся
выбирает вполне определенный ответ, а «пре-
подаватель» выбирает вполне определенный
следующий шаг. Иначе говоря, фактически
реализуется некоторая последовательность
шагов, а те возможные шаги, которые имеют-
ся в запасе у «преподавателя», остаются для
учащегося неузнанными.
Таким образом, запас порций, имеющийся
у «преподавателя», следует отличать от фак-
тически реализующейся последовательности
шагов. Поэтому мы будем говорить о програм-
ме, если речь будет идти о запасе порций, име-
ющихся у «преподавателя», и о реализации
(процесса программированного обучения), ес-
ли речь будет идти о фактически осуществляю-
щейся (или возможной) последовательности
шагов. Более точно, под программой мы будем
понимать полный запас порций, имеющийся у
«преподавателя» вместе с совокупностью пра-
вил, позволяющих на каждом шаге однозначно
определить (зная поведение учащегося), какой
должна быть следующая порция. Программу
следует отличать от фактически осуществляю-
щейся (или возможной) последователь-
ности порций, которую мы в дальнейшем
будем называть реализацией.
Отличие программы от реализации можно
проиллюстрировать на следующем примере.
Рассматривая реализацию, описанную в п. 2,
мы не можем точно восстановить всю програм-
му, которой руководствовался «преподава-
тель». Одно из возможных объяснений заклю-
чается в том, что «преподаватель» действовал
по следующей программе. Он имеет в запасе
порции А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, 3, .... причем вы-
бор следующей порции осуществляется в со-
ответствии со стрелками, показанными на чер-
теже 1. Так, после порции Б следующей бу-
Черт. 1
дет порция В в случае правильного ответа и
порция Г в случае неправильного. После пор-
ции Д следующей будет порция Е в случае
правильного ответа, порция Ж после одной
возможной ошибки и порция 3 после другой
ошибки.
Такова программа, которой руководствуется
«преподаватель». На чертеже 2 схематически
показана реализация, описанная в п. 2 (т. е.
реализация А—♦Б—» Г —• Д —* Ж — Д —- Е...).
Это — только одна из возможных реализаций,
которые могут иметь место в с ютветствии с
41
программой, указанной на чертеже 1. Если бы
на 2-м шаге учащийся дал верный ответ, мы
имели бы другую реализацию А—* Б—>В—»...,
а если бы первые четыре шага были теми же,
но на четвертом шаге учащийся сделал не эту,
а другую ошибку (см. вопрос 4-й порции на
стр. 41), то мы получили бы третью возмож-
ную реализацию А —♦ Б —♦ Г—> Д —♦3 —♦... и т. д.
Таким образом, разные учащиеся (даже при
одном и том же «преподавателе», при одной
и той же программе) будут, вообще говоря,
осуществлять разные реализации процесса
программированного обучения, т. е. время ог
времени будут ошибаться каждый по-своему,
благодаря чему очередной шаг у разных уча-
щихся может оказаться неодинаковым.
4. ВИДЫ ПРОГРАММ
Вспомним определение программы, данное
в предыдущем пункте. Из него следует, что,
зная поведение учащегося (т. е. ответы, кото-
рые он давал на поставленные вопросы), «пре-
подаватель» на каждом шаге однозначно ре-
шает с помощью программы, какую следую-
щую порцию предложить учащемуся. Благо-
даря этому последовательно осуществляется
некоторая реализация процесса программиро-
ванного обучения. Мы видим, что, поскольку
программа уже составлена, учащийся сам вы-
ступает как кузнец своей судьбы: только от
его ответов зависит, по какой из возможных
реализаций он будет идти.
Обратим теперь внимание на то, что в тот
момент, когда «преподаватель» с помощью
программы определяет, какова будет (п+1)-я
порция учебного материала, он уже знает по-
ведение учащегося на первых п шагах, т. е.
знает, каковы п первых шагов осуществляю-
щейся реализации и какие ответы дал учащий-
ся на вопросы в этих п шагах.
Естественно, что «преподаватель» может по-
разному использовать знание последователь-
ности п первых шагов (и ответов учащегося
на этих шагах). В фрагменте программы, схе-
матически изображенном на чертеже 1, каж-
дый раз при выборе очередной порции «препо-
даватель» должен учитывать только две ве-
42
щи: какова была предыдущая порция и какой
ответ дал учащийся на вопрос, содержащийся
в этой порции. Разумеется, «преподавателю»
известны и ответы на все ранее идущие во-
просы, но программа составлена так, что фак-
тически используется только последний ответ.
При других способах составления программы
«преподаватель» при выборе очередной пор-
ции должен учитывать несколько предыдущих
ответов (или даже все предыдущие ответы).
Целесообразность учета не только ответа на
последний вопрос, но и предыдущих ответов
достаточно ясна. Предположим, например, что
программой запланировано решение сорока
примеров, к каждому из которых имеются под-
сказки, разъяснения, разбор ошибок, подроб-
ные решения, так что программа содержит не
сорок порций, а значительно больше. Предпо-
ложим, далее, что при решении пятнадцатого
примера учащийся сделал ошибку. Тогда, во-
обще говоря, «преподаватель» будет по-разно-
му реагировать на эту ошибку в зависимости
от предыдущих ответов учащегося. Если почти
все предыдущие примеры были решены верно,
т. е. перед нами хороший ученик, то ему доста-
точн • указать на эту ошибку, и он сам разбе-
рется и исправит ее. Если же и в предыдущих
примерах было много ошибок, т. е. перед на-
ми слабый ученик, то одного указания ошибки
недостаточно, а нужен подробный разбор
ошибки и, может быть, дополнительная серия
порций для выработки и закрепления правиль-
ных навыков. Таким образом, при одном и
том же ошибочном ответе на очередной во-
прос два учащихся могут получить разные сле-
дующие порции — в зависимости от их отве-
тов на несколько ранее идущих вопросов.
В соответствии со сказанным, программы
делятся на два больших класса. Программы,
в которых очередная порция учебного мате-
риала Пп+1 полностью определяется, если из-
вестна лишь предыдущая порция Пп и ответ
учащегося на вопрос этой предыдущей порции,
мы будем называть неадаптивными програм-
мами. Программы, в которых очередная пор-
ция Пп+1 не определяется однозначно преды-
дущей порцией Пп и соответствующим отве-
том, а для однозначного определения порции
Пп+1 требуется также знание ранее реализо-
ванных порций Пп-ь Пп_2, ... и соответствую-
щих ответов, называются адаптивными.
«Преподаватель», работающий по адаптив-
ной программе, обычно представляет собой
весьма сложное устройство, включающее уни-
версальную или специализированную элек-
тронную вычислительную машину. Такие
устройства впервые разработали в США
Г. Паск, Дж. С е н д е р с и др. Ввиду боль-
гной сложности и высокой стоимости адаптив-
ные обучающие машины вряд ли смогут найти
применение в школе (во всяком случае, в обо-
зримые сроки). Кроме того, можно строго ма-
тематически доказать (здесь, в краткой статье,
мы этого доказательства не приводим), что
для любой адаптивной программы можно со-
ставить эквивалентную ей неадаптивную про-
грамму. Такое сведение адаптивной програм-
мы к неадаптивной осуществляется при помо-
щи многократного повторения одних и тех же
порций. Благодаря этому эквивалейтная не-
адаптивная программа оказывается содержа-
щей существенно больше порций, чем первона-
чальная адаптивная. Таким образом, чисто ко-
личественным видоизменением можно добить-
ся качественного упрощения программы (из
адаптивной она становится неадаптивной).
Ввиду сказанного мы в дальнейшем будем го-
ворить только о неадаптивных программах.
Неадаптивная программа может быть на-
глядно изображена в виде графа, т. е. систе-
мы точек и соединяющих их линий, причем
«точками» (или «вершинами») графа являют-
ся всевозможные порции, имеющиеся в запа-
се у «преподавателя», а линиями (или «реб-
рами») графа являются стрелки, указывающие
возможные переходы от каждой порции к сле-
дующей (ср. черт. 1). Разумеется, должно
быть четко оговорено, какая стрелка (т. е. ка-
кой переход от порции к порции) соответст-
вует тому или иному ответу учащегося. За-
метим, что некоторые ребра снабжаются дву-
сторонними стрелками, т. е. допускают
движение и в том, и в другом направлении
(ср. черт. 1).
Среди неадаптивных программ особенной
простотой отличаются линейные программы,
т. е. такие программы, в которых для каждой
порции (кроме одной, последней) заранее од-
нозначно определена следующая порция —
независимо от ответа учащегося. Считая на-
чальную порцию первой, следующую за ней —
второй, и т. д., мы расположим все порции
линейной программы в одну последователь-
ность. Таким образом, граф линейной програм-
мы имеет вид, показанный на чертеже 3. Если
неадаптивная программа не является линей-
ной, то непременно в ней найдутся порции, от
которых отходят в изображающем графе не
менее двух стрелок. Иными словами, имеются
порции, после которых «преподаватель» имеет
возможность дать разные порции (в зависи-
мости от ответа учащегося). В этом случае
говорят, что на указанных порциях происхо-
дит ветвление, а программу, в которой име-
ются ветвления (хотя бы одно!) называют
разветвленной программой.
Черт. 3
Среди разветвленных программ можно вы-
делить подкласс программ, подобных тем,ко-
торые изображены на чертежах 4, 5. Харак-
терной чертой этих программ является то, что
они содержат «основную линию», т. е. реали-
зацию, осуществляющуюся при правильных
ответах учащегося, причем любая другая реа-
лизация непременно содержит все порции «ос-
новной линии». Такие разветвленные програм-
мы мы условимся называть квазилинейными.
Квазилинейные программы того типа, кото-
рый изображен на чертеже 4, являются весь-
ма распространенными. Смысл их заключает-
ся в том, что в случае той или иной ошибки
учащемуся предоставляется полное или ча-
стичное разъяснение ошибки, после чего он
должен вернуться к той же порции на основ-
ной линии и попытаться вновь ответить на тот
же вопрос. Эти программы, например, часто
используются в так называемых книгах с пе-
репутанными страницами, о которых речь бу-
дет ниже.
Квазилинейная программа, изображенная
на чертеже 5, может быть интерпретирована
следующим образом. Если учащийся дает не-
верный ответ на вопрос (в порции, лежащей
на «основной линии»), то ему предоставляется
порция, дающая небольшую подсказку. Если
и после этого учащийся не находит верного
ответа, ему предоставляется порция, содев-
жатая более существенную подсказку. В слу-
чае, если и это не помогает, учащемуся предо-
ставляется порция, содержащая подробное
решение требуемого вопроса.
&
5. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНЫХ ПРОГРАММ
Линейные программы, теория которых раз-
вита американским ученым Скиннером,
представляют собой наиболее простой и попу-
лярный метод программированного обучения.
По мнению Скиннера, при работе по линей-
ной программе учащийся должен делать как
можно меньше ошибок. Для этого следует в
каждой порции сообщать учащемуся неболь-
шое количество новой информации, сопровож-
даемое простым вопросом. Поэтому при со-
ставлении линейной программы учебный ма-
териал разбивается на последовательность
маленьких порций. Впрочем, это лишь индиви-
дуальное мнение автора метода.
К сказанному выше о величине порции
(или, как говорят еще, об «информационной
емкости кадра») нужно добавить следующее
важное соображение о структуре каждой пор-
ции линейной программы. Как мы знаем, в
линейной программе следующая порция всег-
да будет одной и той же, независимо от того,
верный или неверный ответ дал учащийся на
вопрос предыдущей порции. Как же в таком
случае учащийся может узнать, верно или не-
верно он ответил на предыдущий вопрос? Оче-
видно, для этого имеется только одна возмож-
ность: дать в следующей порции полный и
правильный ответ на предыдущий вопрос и
предложить учащемуся самому сравнить этот
ответ с тем, который он дал. Иными сло-
вами, в линейной программе порция состоит
из следующих составных частей (некоторые
из них могут в отдельных порциях отсут-
ствовать) : а) полное решение вопроса преды-
дущей задачи, б) новый теоретический мате-
риал, в) вопрос к этому материалу.
Скиннер не только указал метод програм-
мированного обучения, основанный на исполь-
зовании линейных программ. Он также скон-
струировал несложное механическое приспо-
собление, являющееся простейшим обучаю-
щим устройством и помогающее вести про-
цесс обучения по линейной программе. Это
| приспособление, называемое машиной Скин-
нера, представляет собой ящик, в котором пе-
ремещается, наматываясь на валик, длинная
бумажная лента. В ящике имеется прямо-
угольное окно, через которое учащемуся виден
небольшой участок ленты («кадр»). При этом
окно разделено на четыре части (черт. 6), из
которых правая веохняя часть закрыта твер-
Черт 6
дым прозрачным материалом. Учащийся мо-
жет вращением головки перемещать ленту
снизу вверх; обратное движение ленты невоз-
можно.
Машина используется следующим образом.
Первоначально на ленте видна через окно сле-
дующая информация: в левом верхнем углу —
теоретический материал 1-й порции, а в левом
нижнем — вопрос 1-й порции Учащийся впи-
сывает в правом нижнем углу ответ на этот
вопрос и перемещает ленту на полкадра вверх.
Теперь ответ, вписанный учащимся, оказы-
вается в верхнем правом углу (под прозрач-
ной пленкой), так что учащийся больше не
имеет к нему доступа и не может исправить
свой ответ. В нижнем правом углу появился
полный правильный ответ, так что учащийся
имеет возможность сравнить свой ответ с
правильным ответом. При этом вопрос, ответ
на который обсуждается, все еще виден уча-
щемуся — он теперь находится в левом верх-
нем углу. В левом же нижнем углу появляет-
ся теоретический материал 2-й порции.
Сравнив свой ответ с правильным, учащий-
ся перемещает ленту еще на полкадра вверх.
Теперь перед ним 2-я порция: в правом верх-
нем углу — ответ на вопрос предыдущей пор-
ции, в левом верхнем углу — теоретический ма-
териал, а слева внизу — новый вопрос. Правый
нижний угол не заполнен, и учащийся вписы-
вает на это место свой ответ к вопросу 2-й
порции.
Далее все повторяется таким же образом.
Итак, машина Скиннера является механиче-
ским «преподавателем», осуществляющим обу-
чение по линейной программе. У каждого уча-
щегося имеется индивидуальная машина Скин-
нера. После урока преподаватель (на этот
раз — без кавычек) может вынуть ленту из
44
машины Скиннера и, просмотрев ее, выставить
учащемуся оценку за его работу.
Мы видим, что при работе по линейной про-
грамме учащийся дает конструированный от-
вет, т. е. ответ, который он сам составляет в
любой угодной ему форме. По мнению Скин-
нера, это и является той основой, с помощью
которой достигается желаемая цель обучения.
Как мы увидим ниже, при работе по разветв-
ленным программам форма ответа будет иная.
Отметим в заключение, что Глейзером,
Эвансом и Хомом была предложена в
1960 г. интересная система рекомендаций по
составлению линейных программ. Она извест-
на под названием «система Ruleg» (сокраще-
ние английского словосочетания rule+example,
т. е. правило + пример). Об этой системе мож-
но прочитать, например, в книге [2], стр. 69—
73.
В настоящее время имеется некоторое коли-
чество опубликованных учебных материалов
(в частности, по математике), составленных по
линейной программе. К сожалению, чаще все-
го эти материалы написаны на весьма низком
уровне — как математическом, так и методи-
ческом. Из сравнительно удачных можно на-
звать книгу [1].
6. ВОПРОСЫ С МНОЖЕСТВЕННЫМ ВЫБОРОМ
Теперь мы вплотную подошли к вопросу о
том, каким образом «преподаватель» распоз-
нает различные ответы учащегося и, в соответ-
ствии с этим, определяет следующую порцию
учебного материала. Для линейных программ
никакой проблемы не возникает: за каждой
порцией следует заранее известная следующая
порция (вне зависимости от ответа учащего-
ся). И, как мы видели в предыдущем пункте,
роль «преподавателя» при работе по линей-
ной программе может выполнять несложное
устройство. Однако, если мы хотим создать
устройство, играющее роль «преподавателя»
при работе по разветвленной программе, то
сразу же перед нами возникает вопрос о спо-
собе распознавания «преподавателем» ответа,
полученного от учащегося. Ведь при наличии
ветвления выбор следующей дозы зависит от
ответа, данного учащимся Между тем если
учащийся может свободно конструировать от-
вет (т. е. выражать ответ в любых угодных
ему терминах и форме), то задача распозна-
вания ответа становится чрезвычайно слож-
ной. При словесной формулировке ответа
сложность заключается в возможном измене-
нии порядка слов, замене тех или иных слов
синонимами и т. п., что может сделать количе-
ство вариантов ответа необозримым. Но даже
при отсутствии словесных ответов, скажем при
решении примеров в алгебре, речь идет о рас-
познавании ответа среди многих тысяч воз-
можных комбинаций (числовые и буквенные
ответы, включающие скобки и знаки дейст-
вий).
Сказанное делает понятным, что сейчас
нет никаких надежд на создание простых
устройств, обеспечивающих распознавание от-
ветов, свободно конструируемых учащимися.
В связи с этим при работе по разветвлен-
ным программам обычно используют так на-
зываемые вопросы с множественным выбором.
Речь идет о вопросах, каждый из которых
снабжен некоторым количеством заранее со-
ставленных ответов. Получив вопрос с множе-
ственным выбором (т. е. вопрос и несколько
заранее составленных ответов к нему), уча-
щийся должен выбрать из этих ответов тот,
который, по его мнению, является правильным
(или наиболее правильным). Разумеется, на-
бор возможных ответов к вопросу составляет-
ся не произвольно, а с учетом характерных
ошибок, допускаемых учащимися при ответе
на этот вопрос.
Метод множественного выбора был пред-
ложен американцем Пресси, который еще в
1920 г. сконструировал контролирующее уст-
ройство, основанное на применении этого ме-
тода.
При обучении по разветвленной программе
вопросы с множественным выбором использу-
ются следующим образом. Очередная порция
программы заканчивается вопросом с не-
сколькими заранее составленными ответами
(которые указываются в этой же порции).
Каждому из этих ответов заранее сопоставле-
на порция учебного материала, которая предо-
ставляется учащемуся в качестве «следую-
щей», если он выбрал этот ответ. Таким обра-
зом, при использовании вопросов с множест-
венным выбором «преподаватель» играет
лишь роль связующего звена, передающего
учащемуся ту порцию, которая соответствует
выбранному учащимся ответу.
Многие педагоги весьма критически отно-
сятся к методу множественного выбора, и при-
том по разным причинам. Например, Скин-
нер считает, что по самому существу процесса
обучения учащийся должен самостоятельно
конструировать ответ, а не узнавать его из се-
рии предложенных. Существует довольно рас-
пространенное мнение, будто «узнать» пра-
вильный ответ среди нескольких предложен-
ных гораздо легче, чем самостоятельно полу-
чить правильный ответ. Поэтому имеется опа-
сение, что «ловкие», но недобросовестные уча-
щиеся смогут довольно легко «обманывать»
43
«преподавателя», незаслуженно получая хоро-
шие оценки.
Однако другие исследователи не считают,
что это опасение отражает объективные недо-
статки метода множественного выбора. Скорее
это относится к неумелому и непродуманному
составлению списка ответов. К числу несом-
ненных преимуществ метода множественного
выбора относится возможность создания срав-
нительно простых устройств, позволяющих ав-
томатически осуществлять процесс обучения
по разветвленной программе.
Приведем некоторые примеры вопросов с
множественным выбором (они взяты из книги
[4], стр. 239—243, и книги [5], стр. 63).
Черт. 7
Вопрос 1. На чертеже 7 изображены три
квадрата, площади которых соответственно
равны 100, 16 и 81 квадратным единицам. На
сколько нужно уменьшить площадь среднего
квадрата, чтобы общая длина PQ сторон всех
трех квадратов равнялась 21 единице?
Ответы:
А) на /2.
Б) на 2.
В) на 4.
Г) на 8.
Д) на 12.
Вопрос 2. Найти корни квадратного урав-
нения
х2 — (« + 4")Л:+ 1 =°-
Ответы:
А) а, -1-.
Б) 2а, —.
' ’ а
а *
о 1.4-
д> 4-
В о п р.с с 3. Имеются три высказывания от-
носительно натурального числа х:
(1) х — двузначное число;
(2) х2 — трехзначное число;
(3) 10 х — трехзначное число.
Какое из указываемых ниже взаимоотноше-
ний между этими высказываниями является
правильным:
А) из (2) следует (1), но из (3) не обяза-
тельно следует (1);
Б) из (3) следует (1), но из (2) не обяза-
тельно следует (1);
В) из (2) и (3), вместе взятых, следует (1);
Г) из любого высказывания (2), (3), взято-
го отдельно, следует (1);
Д) даже из обоих высказываний (2), (3),
взятых вместе, (1) не следует.
Вопрос 4. Ниже приведены 4 серии при-
меров на действия со степенями. Один из этих
примеров содержит ошибку. В какой серии он
находится?
А) 52-54 = 56; 82=64; 1М’ = 1®=1;
32.32 = 81.
Б) 103 = 1000; 42-41 = 64; ркр* = pft+4;
84-86 = 810.
В) 23-22 = 32; 122=12-12; 9П-9* = 9Л+*;
84-86 = 88.
Г) р3.р4 = р7; 102-102 = 10 000; 52-5» = 1*25;
122-12 = 123.
Эти примеры ясно показывают, что просто
«угадать» верный ответ по каким-то внешним
признакам, без решения соответствующего во-
проса, не представляется никакой возможно-
сти. Так, в примере 3 предложенные ответы
просто охватывают все логически мыслимые
возможности, и потому указание этого набора
ответов по существу ничем не отличается от
возможности свободного конструирования от-
вета. В вопросе 2 правильный ответ можно вы-
брать лишь при знании формул Виета (или
формулы корней квадратного уравнения), а
неправильные ответы характеризуют типичные
ошибки.
Наконец, пример 4 интересен тем, что здесь
для получения правильного ответа нужно, по
сути дела, внимательно выполнить своеобраз-
ную контрольную работу. Линейные програм-
мы (не пользующиеся методом множественно-
го выбора) такой возможности не дают.
7. СТРУКТУРА РАЗВЕТВЛЕННЫХ ПРОГРАММ
При рассмотрении линейных программ мы
отмечали, что порции в них являются малень-
кими, вопросы — простыми, и, следовательно,
материал развертывается с малой скоростью.
Создатель теории разветвленных программ,
Краудер, считает, что все это является ос-
корбительным для более способных и разви-
тых учащихся. По его мнению, порции раз-
ветвленной программы должны быть достаточ-
но емкими (30—70 слов, а нередко и больше)
46
и должны заканчиваться вопросом с множест-
венным выбором. Объективного мнения поэто-
му вопросу, подкрепленного достаточно убеди-
тельными экспериментами, пока еше нет.
Рассмотрим еще вопрос об упорядочении
порций разветвленной программы. В разветв-
ленной программе (ср. черт. 1, 4, 5) не суще-
ствует естественного способа занумеровать всю
совокупность порций программы в одну после-
довательность: 1-я порция, 2-я, 3-я и т. д. На-
пример, в программе, схематически изобра-
женной на чертеже 1, естественно считать пер-
выми двумя порциями А и Б. Однако третьей
можно с одинаковым успехом считать порцию
В или Г. Точно так же, если порции А, Б, В,
Г, Д занумерованы цифрами 1, 2, 3, 4, 5, то
6-й порцией можно с одинаковым успехом
считать порцию Е, Ж или 3.
Между тем, по условиям технического осу-
ществления, порции программы всегда бывает
нужно как-то занумеровать. Например, про-
грамма может быть напечатана в книге, и
тогда ее порции последовательно располага-
ются друг за другом в каком-то порядке, т. е.
по существу нумеруются. То же бывает, если
порции программы расположены в виде кад-
ров на кинопленке или напечатаны на карточ-
ках и сложены в стопку, и т. д. В таком слу-
чае каждому ответу (указанному в порции —
в соответствии с методом множественного вы-
бора) заранее поставлено в соответствие неко-
торое число — номер той порции, которая бу-
дет предоставлена учащемуся, если он выбе-
рет этот ответ. Таким образом, содержание
порции разветвленной программы будет иметь
примерно следующий характерный вид (см.
[5], стр. 14).
14-я порция. (Сначала сообщается мнение
об ответе, данном на вопрос предыдущей пор-
ции.)
Давайте рассмотрим несколько понятий,
встречающихся в арифметике, и, в частности,
умножение. В результате умножения нату-
ральных чисел получаются натуральные чис-
ла. Число 6, например,— произведение, полу-
чившееся от перемножения 2 и 3. Иначе гово-
ря, 2x3 = 6. В этом умножении 6 — произведе-
ние, а числа 2 и 3 называются множителями.
Аналогично, 5X7 = 35; здесь 35 есть произ-
ведение, а 5 и 7 — множители.
Определите, какие из нижеследующих пар
чисел являются множителями числа 15.
Ответы:
А) 3 и 4 (переход к порции 19);
Б) 3 и 5 (переход к порции 25);
В) 2 и 13 (переход к порции 31).
Теперь становится ясным, что если «препо-
даватель» представляет собой некоторое ав-
томатическое устройство, в котором совокуп-
ность порций хранится на носителе (кинолен-
те, стопке карточек и т. п.), то это устройство
должно иметь возможность «перескакивать»
через несколько кадров вперед или назад (в
зависимости от ответа учащегося). Такие обу-
чающие машины созданы и продолжают со-
здаваться как в нашей стране, так и за рубежом
(см. [2], [3]). Пока еще они дороги, громозд-
ки и обладают рядом неудобств в обращении.
Однако можно не сомневаться, что в недале-
ком будущем будут созданы портативные и
удобные обучающие машины, работающие по
разветвленным программам, и эти машины
займут определенное место в школьном пре-
подавании.
Пример разветвленной программы мы при-
ведем ниже.
8. ПРИНЦИП МАКСИМАЛЬНОГО ВЕТВЛЕНИЯ
В применении к математике линейные про-
граммы имеют ряд существенных недостатков.
Мы отметим здесь следующие два их недо-
статка.
1) Все учащиеся (сильные, средние, сла-
бые) проходят одну и ту же последователь-
ность порций, одну и ту же реализацию. Сте-
пень подробности объяснений, подбор приме-
ров и разбор возможных ошибок одинаковы
для всех учащихся. Между тем различие меж-
ду сильными, слабыми и средними учащимися
особенно сильно сказывается именно в мате-
матике. Единственное, что будет отличать уча-
щихся при работе по линейной программе,—
это скорость прохождения материала.
2) При решении каждого примера или за-
дачи в линейной программе (в силу самой
ее структуры) дается один способ реше-
ния, тот, который кажется составителю про-
граммы наиболее важным и правильным. Это
воспитывает у учащихся шаблонное мышле-
ние, сковывает и не развивает их творческую
инициативу. Между тем в математике особен-
но важно развивать творческую инициативу,
предусматривать различные возможные пути
решения задач, в том числе и нестандартные.
Разумеется, этого можно избежать, два-три
раза решая каждую задачу (различными ме-
тодами), но и в этом случае учащийся не бу-
дет работать творчески, не будет выбирать
путь решения самостоятельно.
Указанные два недостатка предопределяют
ограниченную возможность применения ли-
нейных программ при обучении математике.
Квазилинейным программам первый недо-
статок уже несвойствен. Действительно,
сильный ученик не будет ошибаться и полу-
47
чать ненужные ему подробности объяснений,
разбор не сделанных им ошибок и дополни-
тельные упражнения, средний будет изредка
получать такие дополнительные разъяснения,
слабый будет получать их часто. Таким обра-
зом, при работе по квазилинейной программе
сильных, слабых и средних учащихся разли-
чает не только скорость прохождения матери-
ала, но и степень подробности разъяснений, а
также индивидуальный разбор ошибок.
Однако второй недостаток — шаблонное из-
ложение материала — остается в полной мере
свойственным квазилинейным программам.
В самом деле, в такой программе имеется «ос-
новная линия», изучение которой всеми уча-
щимися и является сущностью квазилинейной
программы. Те приемы, которые изложены в
этих основных порциях, и предназначены для
изучения всеми учащимися (с разбором оши-
бок и дополнительными разъяснениями, имею-
щимися в неосновных порциях, для более сла-
бых учащихся). Например, любые два силь-
ных учащихся, независимо от их склонностей,
будут при работе по квазилинейной програм-
ме двигаться по одной и той же «основной ли-
нии», т. е. по существу будут работать по оди-
наковой линейной программе, по одинако-
вой реализации. Поэтому и квазилинейные
программы пригодны, в основном, при выра-
ботке стандартных навыков, не требующих
творческого владения материалом.
Из сказанного ясно, что для творческого
овладения методами математики наиболее
приемлемы программы, обладающие суще-
ственным ветвлением. Автору этих строк ка-
жется уместным (особенно при программиро-
ванном обучении математике) выдвинуть
принцип максимального ветвления, сущность
которого заключается в следующем. Каждая
математическая задача на каждом этапе сво-
его решения допускает, вообще говоря, не-
сколько различных путей (некоторые из кото-
рых могут дать различные, но правильные
варианты решения, в то время как другие пу-
ти являются ложными). Иными словами, за-
даче присуща своя собственная разветвлен-
ная схема возможных элементарных шагов
(ведущих к решению или ошибочных), хотя,
впрочем, разбиение на такие шаги в значи-
тельной степени субъективно и зависит от пе-
дагогического такта и опыта преподавателя.
Выбор определенной реализации в этой схе-
ме, т. е. выбор определенной последовательно-
сти шагов, логически следующих друг за дру-
гом, и есть решение задачи (правильное или
ошибочное). Принцип максимального ветвле-
ния требует, чтобы порции программы, пред-
назначенной для решения рассматриваемой
задачи, соответствовали этой разветвленной
схеме различных возможных логических ша-
гов при решении задачи, т. е. чтобы этих пор-
ций было примерно столько же, сколько и эле-
ментарных логических шагов, и связи между
порциями были примерно такими же, каковы
связи между этими логическими шагами.
Иными словами, изображающие графы для
программы и для разветвленной схемы воз-
можных логических шагов при решении зада-
чи должны быть в основных чертах одинако-
выми. При этом в каждой порции либо под-
тверждается правильность шага, выбранного
учащимся, либо разъясняется, в чем ошибоч-
ность сделанного шага. При таком способе
программирования учащийся приучается соз-
нательно выбирать каждый шаг решения, т. е.
он вынужден логически осмысливать весь ход
решения задачи. Разумеется, то же примени-
мо к доказательству теорем.
Сделаем два замечания по поводу примене-
ния принципа максимального ветвления.
Прежде всего надо сказать, что по мере при-
обретения учащимся навыков в решении одно-
типных задач степень разветвленности про-
граммы должна постепенно уменьшаться.
Например, грубую поверхностную ошибку не-
обходимо предусмотреть (в виде специальной
порции программы) при решении первой, вто-
рой задачи разбираемого типа. Можно ее
предусмотреть при решении, скажем, третьей,
четвертой, пятой типичной задачи. Но на 20-й
'задаче вряд ли целесообразно предусматри-
вать порцию, посвященную разъяснению та-
кой ошибки; учащиеся просто не будут делать
таких ошибок. Например, порции 2-я и 3-я в
примере программы, приведенной в следую-
щем пункте, быстро станут ненужными. Ины-
ми словами, максимальность ветвления сле-
дует понимать не в смысле учета всех «вооб-
ще» возможных логических шагов, а в смыс-
ле учета логических шагов, которые может
сделать учащийся на данной стадии его раз-
вития. Выбор всех возможных ошибок и воз-
можных вариантов решения должен произво-
диться с учетом опыта преподавания. Граф
возможных логических шагов при решении
первой задачи будет значительно более раз-
ветвленным, чем аналогичные графы, состав-
ленные для заключительных задач той же
серии.
Другое замечание касается вопроса о том,
как применять принцип максимального вет-
вления, как использовать его при составлении
программы. Видимо, лучше всего представ-
лять себе, что перед нами находится очень
слабый ученик и мы хотим, делая, если нуж-
но, по возможности минимальные подсказки,
48
заставить его самого, «обжигаясь» на ошиб-
ках, отыскать тот или иной правильный путь
решения. При этом не мешает предусмотреть
и возможность «перескакивания» через не-
сколько слишком простых логических шагов
(для сильных учащихся).
Работа по программе, составленной по
принципу максимального ветвления, способ-
ствует развитию у учащихся активности, соз-
нательного подхода к работе, выработке твор-
ческих навыков.
9. ПРИМЕР ПРОГРАММЫ, СОСТАВЛЕННОЙ ПО
ПРИНЦИПУ МАКСИМАЛЬНОГО ВЕТВЛЕНИЯ
1-я порция. Задача В одном баке было
вдвое больше бензина, чем во втором. Когда
из первого перелили во второй 25 л бензина,
в обоих баках стало бензина поровну. Сколько
бензина было в каждом баке первоначально?
Перепишем условие и перейдем к следую-
щей порции (->5).
2-я порция. Разве в алгебре решают зада-
чи «с вопросами»? Нет, конечно! Это было в
арифметике.
Вернемся к предыдущей порции. Постарай-
ся выбрать правильный ответ ( — 9).
3-я порция. Поспешишь, людей насме-
шишь! Ведь в уравнение должно входить не-
известное. Как же можно составлять уравне-
ние, не выбрав неизвестное?
Вернемся к предыдущей порции (-*9).
4-я порция. Подробно запиши свое реше-
ние: составление уравнения, решение уравне-
ния, ответ задачи. Затем переходи к следую-
щей порции (-*11).
5-я порция. Подумай и попробуй решить
задачу самостоятельно. Если решить само-
стоятельно не сможешь, обратись к помощи,
но за подсказку оценка будет снижена’
Ответы: Решу самостоятельно ( — 11).
Помощь (—9).
6-я порция. Надо быть внимательнее.
Ведь из первого бака вылили 25 л, после чего
осталось х л. Значит, до переливания в пер-
вом баке было не х л, а на 25 л больше.
Вернемся к предыдущей порции (-*10).
7-я порция. Верно! Теперь подумай, что
ты примешь за неизвестное х?
Ответы: хл— количество бензина в каж-
дом баке после перелива-
ния (—10).
хл — количество бензина в пер-
вом баке до переливания
( — 12).
х л — количество бензина во вто-
ром баке до переливания
(- 14).
Кажется, мне понятно. Дальше
решу самостоятельно ( — 11).
8-я порция. Правильно! Итак, в первом
баке после переливания стало х л, а до пере-
ливания в нем было (х + 25) л. Сколько же
бензина было во втором баке до перелива-
ния? Теперь тебе, конечно, ясно, что до пере-
ливания во втором баке было не х л, а на
25 л меньше, т. е. было (х — 25) л (-»-15).
9-я порция. Прежде всего подумай, с че-
го следует начать решение этой задачи.
Ответы: Надо подумать, во сколько во-
просов решается эта задача и какой первый
вопрос (—2).
Надо составить уравнение (—3).
Надо выбрать неизвестное (—7).
10-я порция. Ну что же, ты решил при-
нять за х л количество бензина, которое полу-
чилось после переливания в первом баке (по
условию, столько же стало после переливания
и во втором баке). Что же было до перелива-
ния?
Ответы: В первом баке было (х — 25) л
(-6).
В первом баке было (х + 25) л
(-8).
Дальше все понятно, решу са-
мостоятельно (—4).
11-я порция. Проверь свое решение: по-
думай, все ли правильно. Затем переходи к
следующей порции и выбери тот ответ, кото-
рый считаешь правильным (— 18).
12-я порция. Итак, мы приняли за х л ко-
личество бензина в первом баке до перелива-
ния. Посмотри теперь, что сказано в условии
задачи о втором баке.
Ответы: Дальше все ясно, решу само-
стоятельно (— 18).
Дайте дальнейшую подсказку (— 16).
13-я порция. Давай вместе разберем ре-
шение. Мы дадим тебе подсказку (— 9).
14-я порция. Итак, мы приняли за х л
количество бензина во втором баке до пере-
ливания. Посмотри теперь, что сказано в усло-
вии задачи о первом баке.
Ответы: Дальше все ясно, решу само-
стоятельно (— 18).
Дайте дальнейшую подсказку (—21).
15-я порция. Мы уже знаем, что до пе-
реливания в первом баке было (х + 25) л бен-
зина, а во втором было (х — 25) л. Прочти
условие: там сказано, что до переливания
в первом баке было вдвое больше бензина,
чем во втором. Получаем соотношение:
х + 25 = 2 (х — 25).
Это и есть уравнение для решения задачи
(-22).
49
16-я порция. В первом баке было до пе-
реливания х л. В задаче же сказано, что
в первом баке было вдвое больше бензина,
чем во втором. Сколько же было бензина во
втором баке (до переливания)?
От веты: у л (— 23).
2х л (— 19).
17-я порция. Теперь еще раз прочти усло-
вие задачи. Там сказано, что после перели-
вания в обоих баках стало бензина одинаково.
Получается соотношение х — 25 = -х 4- 25.
Это и есть уравнение для решения задачи
(-24).
18-я порция. Проверим составление урав-
нения.
За х л принимаем количество бензина,
получившееся в первом (или во втором) баке
после переливания. Уравнение: x-j-25 =
= 2(х —25) (—22).
За х л принимаем количество бензина в
первом баке до переливания. Уравнение:
х-25 =-^-4-25 (—24).
За х л принимаем количество бензина во
втором баке до переливания. Уравнение:
2х — 25 = х 4- 25 (— 25).
У меня получилось совсем другое (—20).
19-я порция. Ты плохо подумал! Ведь
если в первом баке х л, а во втором 2х л,
то получается, что во втором баке вдвое
больше бензина, а должно быть больше в пер-
вом баке.
Вернемся к предыдущей порции (— 16).
20-я порция. Твои действия не привели
к успеху. Однако отчаиваться не следует
(-13).
21-я порция. Во втором баке было до
переливания х л. В условии же сказано, что
в первом баке было вдвое больше бензина,
чем во втором. Сколько же было бензина
в первом баке (до переливания)?
Ответы:
2
2х л (— 27).
(х + 2) л (— 26).
22-я порция. Теперь, когда уравнение
составлено, проверим запись:
х л — количество бензина в первом
баке после переливания.
х л — количество бензина во втором
баке после переливания.
(х + 25) л — количество бензина в первом
баке до переливания.
л (— 28).
(х — 25) л — количество бензина во втором
баке до переливания.
Уравнение: х 4~ 25 == 2(х — 25).
Реши это уравнение и переходи к следую-
щей порции (—29).
23-я порция. Правильно! Итак, в первом
баке было до переливания х л, а во втором
было -у- л. В условии сказано, что из перво-
го перелили во второй 25 л. Значит, в первом
баке после переливания стало (х — 25) л,
а во втором, куда эти 25 л перелили, стало
+ 25^ л. Переходи к следующей порции
(-17).
24-я порция. Теперь, когда уравнение
составлено, проверим запись:
х л — колич. бензина в первом баке
до переливания.
-А л —колич. бензина во втором баке
до переливания.
(х — 25) л — колич. бензина в первом баке
после переливания.
^-^-4-25^ л — колич. бензина во втором баке
после переливания.
У равнение: х — 25 = 4~ 25.
Реши это уравнение и переходи к следую-
щей порции (— 29).
25-я порция. Теперь, когда уравнение со-
ставлено, проверим запись:
х л —колич. бензина во втором баке
до переливания.
2х л — колич. бензина в первом баке
до переливания.
(2х — 25) л — колич. бензина в первом баке
после переливания.
(х 25) л — колич. бензина во втором баке
после переливания.
У равнение: 2х — 25 = х -|- 25.
Реши это уравнение и переходи к следую-
щей порции (— 29).
26-я порция. Как стыдно! Ведь в условии
сказано, что в первом баке было не на два
литра больше, а в два раза больше. А когда
говорится, что одно число в несколько
раз больше, чем другое, то мы применяем
умножение (или деление).
Вернись к предыдущей порции и выбери
другой ответ (—21).
27-я порция. Верно! Теперь мы знаем,
что в первом баке было 2х л, а во втором бы-
ло х л (до переливания). По условию ска-
зано, что из первого перелили во второй 25 л.
Что же получилось после переливания?
50
Ответы; В первом (2х— 25) л, во втором
х л (-*31).
В первом (2х — 25) л, во втором
(х + 25) л (-* 30).
28-я порция. Ты плохо подумал. Если бы
в первом баке было — л, а во втором было
х л, то получилось бы, что в первом вдвое
меньше (а не больше), чем во втором. Вер-
нись к предыдущей порции и выбери другой
ответ (—>21).
29-я порция. Выбери ответ, который счи-
таешь правильным;
1) х = 100.
2) х = 50.
3) х = 75.
4) В первом баке было 100 л, а во втором
50 л.
5) В первом баке было 100 л.
6) Во втором баке было 50 л.
7) После переливания в обоих баках стало
по 75 л.
Теперь переходи к следующей порции и
проверь, правильный ли ответ ты выбрал
1-32).
30-я порция. Правильно! Теперь еще раз
прочти условие задачи. Там сказано, что по-
сле переливания в обоих баках стало бензина
одинаково. Получается соотношение
2х — 25 = х + 25.
Это и есть уравнение для решения задачи
(-25).
31-я порция. Неверно! Ведь из первого
бака бензин вылили не на землю, а во второй
бак. Поэтому во втором баке, где раньше бы-
ло х л, стало теперь (х 4- 25) л.
Вернись к предыдущей порции (—*27).
32-я порция. В задаче не спрашивается,
чему равен х; ведь х — это лишь вспомога-
тельное обозначение, введенное для решения
задачи. А в задаче спрашивается, сколько бы-
ло первоначально в каждом баке. Правиль-
ный ответ: в первом баке было 100 л, а во вто-
ром 50 л. Переходи к следующей порции
(-34).
33-я порция. Нет, это неверно! Ведь урав-
нение— это лишь вспомогательное соотноше-
ние, составленное для решения задачи, и про-
верка правильности решения уравнения ни-
чего еще не дает. Надо проверить получен-
ный ответ по условию задачи (—* 35).
34-я порция. Итак, решение найдено:
в первом баке было первоначально 100 л, а во
втором было 50 л. Закончено ли этим реше-
ние задачи?
Да (—37).
Нет (—36).
35-я порция. Проверку производим по
условию задачи:
В первом баке было 100 л, во втором —
50 л. Сказано, что в первом было в два раза
больше: 100:50 = 2 (верно). Затем из пер-
вого перелили во второй бак 25 л. В первом
стало 100 — 25=75 (л), во втором стало
50 + 25 = 75 (л). Сказано, что стало одина-
ково: 75 = 75 (верно). Теперь ясно, что зада-
ча решена правильно ( — 38).
36-я порция. Надо еще сделать проверку.
Что для этого нужно?
Ответы:
Подставить найденное значение х в состав-
ленное уравнение (—33).
Произвести проверку по условию задачи
(-35).
37-я порция. Неверно! Обязательно надо
еще сделать проверку найденного решения.
Без этого решение задачи нельзя считать за-
конченным (—36).
38-я порция. Следующая задача...
Из рассмотрения программы видно, что
сильный ученик будет осуществлять одну из
реализаций:
1—5—11—18—25—29—32—35—38—39—...
. 1 —5— 11—18—22—29—32—35—38—39—...
1—5—11 — 18—24—29—32—35—38—39—...
Иными словами, в программе предусмотре-
ны различные пути решения задачи, что спо-
собствует развитию инициативы и самостоя-
тельного творчества учащихся. Менее успе-
вающие ученики будут получать дополнитель-
ные подсказки и разъяснения.
10. ПРОГРАММИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ И
КОНТРОЛИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
В предыдущих пунктах были обсуждены ос-
новные общие теоретические положения, свя-
занные с программированным обучением.
Подведем некоторые итоги.
А. При программированном обучении весь
материал разбит на небольшие порции.
Б. Программированное обучение предусма-
тривает частый контроль знаний: как прави-
ло, каждая порция учебного материала закан-
чивается контрольным вопросом или зада-
нием.
В. Сразу же после ответа на вопрос уча-
щийся получает подтверждение правильности
ответа или разъяснение ошибки; переход к
следующей порции происходит лишь после
ознакомления учащегося с правильным отве-
том или характером сделанной ошибки.
Г. Программированное обучение обязатель-
но носит индивидуальный характер. При ра-
51
боте по линейной программе это сказывается
в разной скорости подачи материала — одни
учащиеся быстрее прорабатывают порции и
переходят к следующему материалу, другие
работают медленнее. При разветвленной (или
адаптивной) программе индивидуальность об-
учения сказывается не только в разной ско-
рости подачи материала, но и в возможности
осуществления разных реализаций, разных
последовательностей порций — в зависимости
от действия учащегося.
Указанные положения А, Б, В, Г являются
основными характерными чертами процесса
программированного обучения. Каждое из
этих положений непременно осуществляется
при программированном обучении. Иными
словами, выполнение каждого из этих поло-
жений является необходимым условием для
того, чтобы мы могли говорить о программи-
рованном обучении. Если не выполнено х о-
тя бы одно из этих положений, то даже
при выполнении остальных положений мы не
имеем программированного обучения. Таким
образом, достаточным условием для того, что-
бы мы могли говорить о программированном
обучении, является лишь одновременное вы-
полнение всех четырех положений А, Б, В, Г.
Существует еще одно положение, также
играющее важную роль при программирован-
ном обучении, но уже не являющееся обяза-
тельным, не представляющее собой необходи-
мого условия программированного обучения.
Речь идет о следующем положении:
Д. При предоставлении последующих пор-
ций «преподаватель» учитывает ответы уча-
щегося* на предыдущие вопросы. Иными сло-
вами, «преподаватель» анализирует получен-
ные ответы учащегося и в соответствии с этим
предоставляет ту или иную последующую
порцию.
Это положение в полной мере действует при
работе по разветвленной или адаптивной про-
грамме, но оно не выполняется при работе по
линейной программе. Вот почему мы не счи-
таем выполнение этого положения необходи-
мым условием программированного обучения.
При традиционном проведении процесса об-
учения в классе могут при определенных
условиях реализовываться те или иные из
указанных .положений. Иногда в подобных
случаях говорят, иТб на таких уроках мы
имеем дел» 'с «элементами» программирован-
ного обучения. Иногда положениям А, Б, В,
Г, Д дают специальные названия (например,
положение Б именуется «принципом частого
контроля», положение В — «принципом поло-
жительного подкрепления», а положение Д —
«принципом обратной связи»). Дело не в сло-
вах. Существо же дела заключается в том,
что при частичном выполнении положений
А, Б, В, Г у нас нет процесса программиро-
ванного обучения.
Представим себе мысленно следующий экс-
перимент. Преподаватель составил линейную
программу по изучаемой теме и пришел с нею
в класс. Он ведет преподавание точно по этой
программе: излагает кусочек теоретического
материала, затем задает вопрос и предлагает
продумать (или даже записать в тетрадях)
правильный ответ на него, затем сообщает
учащимся для проверки правильный ответ
и переходит к следующему кусочку теорети-
ческого материала и т. д. Будет ли в этом
случае осуществлен процесс программирован-
ного обучения? На этот вопрос мы должны
с полной определенностью дать отрицатель-
ный ответ: это не есть программированное
обучение. Нарушен принцип индивидуально-
сти обучения (положение Г). При таком ве-
дении урока имеет место характерная для
традиционного процесса обучения нивели-
ровка: учитель оставляет для ответа на во-
прос время, потребное среднему или даже
слабому ученику, в то время как более силь-
ные ученики вынуждены ждать получения
правильного ответа для проверки до тех пор,
пока не справятся с заданием их более сла-
бые товарищи. Иными словами, здесь нет ин-
дивидуальной скорости подачи материала.
Нарушается принцип индивидуальной скоро-
сти подачи материала и при изложении учи-
телем кусочка теоретического материала: учи-
тель приспосабливает темп речи опять-таки к
уровню знаний более слабых учащихся, воз-
можно, дважды, трижды повторяя соответ-
ствующее правило. При работе, например, с
машиной Скиннера (стр. 44) учащийся сам
может перечитать теоретический текст или во-
прос столько раз, сколько ему нужно, чтобы
разобраться.
Итак, без индивидуальной подачи материа-
ла (индивидуальной хотя бы в отношении
темпа подачи) нет программированного обу-
чения.
Еще большую (и, к сожалению, чрезвычай-
но распространенную среди наших учителей)
ошибку совершают тогда, когда возводят в
ранг основной, характерной черты програм-
мированного обучения положение Д — прин-
цип обратной связи. Здесь делается двой-
ная ошибка. Во-первых, принцип обратной
связи не является необходимым условием про-
граммированного обучения (как мы видели,
при работе по линейным программам этот
принцип не осуществляется), во-вторых —иэто
самое главное, — принцип обратной связи не
52
является достаточным условием программи-
рованного обучения, т. е. выполнение этого
принципа не означает еще, что мы имеем де-
ло с программированным обучением. Иными
словами, принцип обратной связи ни в какой
мере не подменяет положений А, Б, В, Г, ука-
занных выше.
Недопонимание указанного обстоятельства
приводит к тому, что «программированным
обучением» называют всякий процесс обуче-
ния, в котором так или иначе осуществляется
обратная связь, т. е. в котором от учащихся
к преподавателю поступают некоторые сигна-
лы (например, ответы на вопросы в закоди-
рованном виде). Известны многие случаи, ког-
да высказывались мнения о программирован-
ном обучении (как положительные, так и от-
рицательные), проводились даже конферен-
ции по программированному обучению, хотя
на деле подвергалось обсуждению нечто, не
имеющее никакого отношения к программи-
рованному обучению.
Наиболее распространенными типами
устройств, осуществляющих обратную связь
в процессе обучения, являются различные
контролирующие устройства: перфокарты,
перфопланшеты и аналогичные им приспособ-
ления. Например, каждому учащемуся вы-
дается перфорированный шаблон, скажем с
50 отверстиями, расположенными в виде пря-
моугольника 5 X 10. На таблице (или через
диапроектор) классу сообщается 10 вопросов
с пятью возможными ответами на каждый из
них (ответы указываются тут же в таблице).
Учащийся накладывает шаблон на лист бу-
маги. Затем он выбирает правильный, по его
мнению, ответ на первый вопрос и каранда-
шом отмечает точку на бумаге, используя то
отверстие в шаблоне, которое соответствует
номеру выбранного ответа (черт. 8). Затем
отмечается ответ на второй вопрос и т. д.
Иногда вместо точки учащийся делает с по-
1-й ответ-
2-й ответ
*
5-й ответ-
1-й вопрос о
| 2-й вопрос •"
ооооооооор
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
Черт. 8
мощью шаблона дырку в соответствующем
месте бумажного листа. Собрав затем листки
ответов, учитель может сразу, наложив зара-
нее заготовленный шаблон правильных отве-
тов, увидеть сделанные тем или иным уча-
щимся ошибки. Устройств подобного рода
всевозможных перфокарточек, викториночек,
шаблончиков и других «опросничков» суще-
ствует сейчас великое множество. Они рас-
пространяются как поветрие, растут как грибы
после дождя и, как правило, быстро сходят со
сцены. В лучшем случае после недолгого пе-
риода увлечения учитель оставляет эти
устройства «на вооружении», но использует
их для опроса в очень умеренных дозах.
Наконец, существуют весьма совершенные
коммуникационные системы, использующие
электрические провода, контактные устрой-
ства, лампы, реле и т. п. В таком случае
учащийся вводит свой ответ, нажимая одну
из кнопок, а на пульте учителя зажигаются
зеленые и красные лампочки, по которым
видно, кто из учащихся дал верный ответ,
а кто неверный. Иногда вместо лампочек (или
кроме лампочек) пульт учителя снабжается
устройством, осуществляющим сбор информа-
ции, поступившей от учащихся. Иногда на
рабочем месте учащегося также имеются лам-
почки, дающие возможность учащемуся само-
му судить о правильности своего ответа (зе-
леная лампочка — правильный ответ, крас-
ная— неправильный). Иногда подобные
устройства (называемые в советской педаго-
гической литературе «автоматизированными
классами») предусматривают возможность
ввода учащимися цифровых ответов и т. д.
В любом случае коммуникационные систе-
мы описанного вида имеют своим основным
назначением контроль знаний, опрос учащих-
ся. Отнесение этих устройств к «техническим
средствам программированного обучения»
есть просто результат недоразумения. Осно-
вано же это недоразумение вот на чем. Выше
мы говорили, что ввиду трудности распозна-
вания ответа учащегося в обучающих
устройствах, работающих по разветвленным и
адаптивным программам, обычно применяют-
ся вопросы с множественным выбором. В ком-
муникационных системах описанного вида
также используются при опросе учащихся во-
просы с множественным выбором (ср., напри-
мер, сказанное выше об использовании пер-
форированных шаблонов). Итак, и в програм-
мированном обучении, и при опросе с по-
мощью коммуникационных систем использу-
ются вопросы с множественным выбором.
«Следовательно», использование коммуника-
ционных систем относится к программирован-
ному обучению. Аргументация эта ровно на-
столько же убедительна, как и, скажем,
утверждение, что, поскольку и в издательском
53
деле и при обучении школьников использует-
ся бумага, «значит», обучение школьников от-
носится к издательскому делу.
В действительности не метод множествен-
ного выбора является основой программиро-
ванного обучения, а указанные выше положе-
ния А, Б, В, Г. Уже положение А говорит о
порциях учебного материала, сообщаемых
учащимся. Говорится о поступлении учебного
материала учащимся и в положении Г. Иными
словами, без подачи информации, без сообще-
ния учебного материала нет программирован-
ного обучения (да и вообще нет никакого
«обучения»). Между тем коммуникационные
системы описанного вида совершенно не пре-
дусматривают никакой подачи учебного ма-
териала. Они ни в какой мерс не относятся к
техническим средствам программированного
обучения.
11. БЕЗМАШИННОЕ ПРОГРАММИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ
В этом заключительном пункте мы опишем
простейшие устройства, которые позволяют
учащемуся самостоятельно изучать материал
по линейной или разветвленной программе, а
именно книги со специальным расположением
порций учебного материала. Такие книги яв-
ляются простейшими «преподавателями», поз-
воляющими осуществить процесс программи-
рованного обучения. Мы будем называть эти
книги программированными учебниками.
Программированные учебники, предназна-
ченные для работы по линейной системе, су-
щественно отличаются от программированных
учебников, построенных по разветвленной
программе. Опишем сначала первые из них.
Каждая страница учебника, построенного
по линейной программе, разделена вертикаль-
ной чертой на две части. Меньшая (скажем,
правая) предназначена для записи правильно-
го ответа на вопрос предыдущей порции, а
большая часть (левая) предназначена для за-
писи теоретического материала и вопроса.
Кроме того, страница разделена на несколько
частей горизонтальными линиями, отделяю-
щими порции друг от друга (ведь линейная
программа содержит небольшие порции, и
потому на одной странице умещается не-
сколько порций). Что же касается порядка
расположения порций в таком учебнике, то
обычно применяют либо вертикальное, либо
горизонтальное расположение порций. При
вертикальном расположении порции следуют
одна под другой в их естественном порядке.
Схема расположения материала на странице
такого учебника показана на чертеже 9.
Материал и Вопрос П й порции Ответ к (n-JJ -й порции
Материал и вопрос (п+1)-й порции Ответ к П-й порции
Материал и вопрос (п+2) и порции Ответ к(п+1)-й порции
Материал и вопрос (П‘3) и порции Ответ к(п+2)-й порции
Черт. 9
При работе с таким учебником учащийся
закрывает листком бумаги все дальнейшие
порции (идущие после той, над которой он
сейчас работает). Прочитав теоретический
материал и вопрос n-й порции, учащийся
вписывает здесь же (на специально оставлен-
ном месте) свой ответ. Затем сдвигает листок
и открывает (п+1)-ю порцию. Справа он чи-
тает правильный ответ на вопрос n-й порции.
Сравнив этот ответ со своим, учащийся пе-
реходит к тексту и вопросу (п + 1)-й порции
(слева) и т. д. Для примера приведем часть
текста такого учебника (см. стр. 55; текст
взят из книги [4], стр. 161—162).
При горизонтальном расположе! .;и порций
каждая страница разделена, скажем, на пять
горизонтальных полос (порций) и в верхних
полосах на 1, 2, ..., /г-й страницах учебника
помещены 1, 2, ..., k-я порции программы.
Далее во вторых сверху полосах 1, 2, ..., k-л
страницы расположена (&+1), (k+2), ..., 2 k-я
порции, затем (в третьих сверху полосах) идут
(2&+1)-я, (2k+2)-я, ... порции и т. д. Таким
образом, на 1-й странице расположены Г' чции
с номерами 1, &+1, 2k+1, 3&+1, 4fe+l, на
2-й странице — порции с номерами 2, k+2,
2k + 2, 3k+2, 4fe-T2 и т. д. Преимуществом та-
кого расположения материала является то,
что здесь не надо прикрывать листком после-
дующие порции — просто учащийся листает
подряд страницу за страницей, идя сначала
по верхним полосам, затем (снова с 1-й стра-
ницы) идя по вторым полосам и т. д.
Перейдем теперь к программированным
учебникам, предназначенным для работы по
разветвленным программам. Такие учебники
называются книгами с перепутанными страни-
цами. В этом учебнике каждая страница со-
держит только одну порцию (даже, если эта
порция состоит всего из 4—5 строк текста).
51
А 1. Посмотрите на этот чертеж. Фигура АВС / представляет собой / | В D С Черт, а
2. В этом треугольнике ^.В острый (г. е. меньше прямого угла)-, — 1. треугольник К
3. А— , что обозначено на чертеже а дужкой. 2. острый
4. Из точки А чертежа а опустите перпендикуляр на сторону ВС. Отметьте буквой D точку, в которой этот перпендикуляр встречается со стороной ВС. 3. прямой
5. В результате такого построения треугольник АВС оказался разбитым на треугольника. 4. А С Черт, б
6. Слева получился треугольник 5. два
7. Сторона AD строилась таким образом, чтобы она являлась к стороне ВС 6. ABD
8. Следовательно, в треугольнике ABD угол D — 7. перпендикуляром
9. В результате такого разбиения треугольника АВС наряду с треугольником ABD появился треугольник 8. прямой
10. Сторона AD стороне ВС (по построению). 9. ADC
11. Следовательно, в треугольнике ADC угол D — 10. перпендикулярна
Номер страницы является одновременно и но-
мером порции.
Например, 6-я и 7-я страницы книги, содер-
жащей программу, которая изложена в п. 9,
будут иметь следующий вид;
Стр. 6:
Надо быть внимательнее. Ведь из первого
бака вылили 25 л, после чего осталось х л.
Значит, до переливания в первом баке было
не х л, а на 25 л больше.
Вернемся к стр. 10.
Стр. 7: Верно! Теперь подумай, что ты при-
мешь за неизвестное Л"?
Ответы: х л — количество бензина в каж-
дом баке после перелива-
ния (см. стр. 10).
х л — количество бензина в пер-
вом баке до переливания
(см. стр. 12).
х л — количество бензина во вто-
ром баке до переливания
(см. стр. 14).
Мне понятно. Дальше решу са-
мостоятельно (см. стр. 11).
Есть еще одно «неписанное» правило, кото-
рого обычно придерживаются составители
книг с перепутанными страницами. На пер-
55
вой странице книги помещается начальная
порция, дальнейшие порции нумеруются чис-
лами 3, 4, 5, ... (число 2 пропущено), так что
порции программы заполнят все страницы
книги, кроме второй; наконец, на второй стра-
нице помещается текст примерно следующего
содержания: Вы не выполняете наших ука-
заний. Эту книгу нельзя читать подряд, как
обычную книгу. Вернитесь на стр. 1 и перехо-
дите к другим страницам в соответствии с те-
ми указаниями, которые там сделаны.
Такова структура программированных
учебников. К числу их несомненных досто-
инств относится то, Что очень простыми сред-
ствами, без всяких дополнительных устройств,
они позволяют проводить программированное
обучение по линейной или сколь угодно слож-
ной разветвленной программе. К числу не-
сомненных недостатков программированных-
учебников следует отнести то, что они при-
водят к хорошим результатам только при на-
личии полной добросовестности учащихся.
В самом деле, в случае программированно-
го учебника, предназначенного для работы по
линейной программе, имеется следующая
опасность. Учащийся будет быстро, поверх-
ностно просматривать вопрос очередной пор-
ции, прикинет, может быть, не очень вдумы-
ваясь, ответ на этот вопрос и сразу же «под-
глядит» правильный ответ, указанный в сле-
дующей порции. Только после этого он впишет
правильный ответ в оставленное место очеред-
ной порции. Такое поверхностное скольжение
по материалу порций приведет к тому, что
учащийся будет очень быстро продвигаться
по программе и... не приобретет почти ника-
ких знаний. Весь процесс обучения пройдет
впустую. Вот, например, какое указание чи-
таем мы на стр. 117 книги [4]:
Существенно, чтобы учащийся записывал
каждый свой ответ, а не просто читал про-
грамму как книгу.
Но как добиться, чтобы это указание выпол-
нялось? Что может гарантировать правиль-
ную работу учащегося? Только его добросо-
вестность. И не простая, а очень высокая до-
бросовестность. Ведь очень заманчиво, если
учащийся встречается с трудностями в оче-
редном вопросе, сразу же подглядеть ответ,
который вот тут, рядом!
Примерно такое же положение вещей имеет
место и в случае книг с перепутанными стра-
ницами. Пусть, скажем, на стр. 8 учащийся
прочитал вопрос, к которому дано два отве-
та: первый ответ, после которого сказано «см.
стр. 12», и второй ответ, после которого сказа-
но «см. стр. 14». Учащийся подумал и выбрал
первый ответ. Перейдя на стр. 12, он с огорче-
нием прочитал: «Неверно!» — и далее увидел
не очень уж короткий текст с разъяснением
ошибки. Однако недобросовестный (или даже
не очень добросовестный) учащийся не бу-
дет читать этого разъяснения. Для него сра-
зу станет «ясно», в чем его ошибка: он вы-
брал первый ответ, а надо было взять второй!
Тогда он, недолго думая, переходит на
стр. 14 — он как бы выбрал правильный ответ.
Ясно, что никакой (или почти никакой) поль-
зы от такого «обучения» не будет: все доба-
вочные разъяснения, предусмотренные соста-
вителями программы, пропадают даром.
Итак, основной недостаток безмашинного
программированного обучения, т. е. обучения
с использованием программированных учеб-
ников, состоит в том, что, имея возможность
свободно листать книгу, свободно переходить
от порции к порции, не очень добросовестный
учащийся будет «подглядывать» ответ, сколь-
зя по поверхности материала и не очень вду-
мываясь. Иными словами, такое обучение
предназначено лишь для вполне добросовест-
ных учащихся, т. е. для учащихся, которые,
как правило, при любом методе обучения по-
казывают приемлемые результаты.
Некоторые исследователи считают, что ин-
терес к новой форме обучения повышает ак-
тивность и добросовестность учащихся, при-
чем в подтверждение этой мысли приводят
данные экспериментов. Как правило, эти экс-
перименты поверхностны и не являются четко
поставленными. Интерес учащихся объясняет-
ся, может быть, вовсе не внутренними до-
стоинствами метода безмашинного програм-
мирования, а новизной метода. Как только
новизна утратится, результаты могут оказать-
ся худшими, чем при традиционном процессе
обучения. Только результат многолетнего при-
менения безмашинного программированного
обучения, и притом одновременно по несколь-
ким предметам, может дать сколько-нибудь
объективные данные. Но такого эксперимента
мы до сих пор не имеем — просто ввиду недо-
статочного количества программированных
материалов.
Программированное обучение, несомненно,
является новым прогрессивным и интересным
методом в педагогике. Однако внедрению его
в практику массовой школы должна предше-
ствовать большая исследовательская работа,
а также работа по конструированию машин
и составлению программированных материа-
лов. Совершенно недостаточно изучены вопро-
сы о сочетании программированного обучения
с традиционными методами преподавания, о
возможности применения учебно-наглядных
пособий при программированном обучении, о
56
синхронизации работы сильных, средних и
слабых учащихся и даже об объективной эф-
фективности программированного обучения.
Лишь всестороннее исследование этих и ряда
других вопросов может сделать программиро-
ванное обучение полезным и применимым для
массовой школы.
ЛИТЕРАТУРА
1. М. Б. Гельфанд, Степень с целым показателем.
Степенная функция с целым показателем, изд. «Радян-
ська школа», Киев, 1964.
2. И. И. Гребень, А. М. Довгяло, Автоматизи-
рованные устройства для обучения. Изд. Киевского
университета 1965.
3. Л. М. С т о л а р о в. Обучение с помощью машин,
изд. «Мир», М , 1965.
4. К. Томас, Дж. Девис, Д. О п е н ш о у, Дж.
Берд, Перспективы программированного обучения,
изд. «Мир», М., 1967.
5. N. Crowder, The Arithmetic of computers. The
English Umv. Press, London.
6. N. Crowder and G. Martin, Adventures in Al-
gebra Doubleday and co., Inc., Garden City, N. Y.
В. Л. МИНКОВСКИЙ (г. Орел)
УПРАЖНЕНИЯ НА ОТРИЦАНИЕ
В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ
Обучение математике, ориентирующееся на
сознательное усвоение предмета и развитие
математического мышления учащихся, осу-
ществляется не только в направлении под-
тверждения тех или иных положений, но и
в направлении отрицания некоторых из них.
А это говорит о методической целесообраз-
ности использования определенной системы
упражнений на отрицание. Под упражнениями
на отрицание будем подразумевать вопросы,
на которые предполагается получение аргу-
ментированных отрицательных ответов, дока-
зательство отрицательных суждений, опро-
вержение ложных доказательств.
Введение в школьный курс математики си-
стемы упражнений на отрицание не только
глубоко оправдано положениями современ-
ной психологии восприятия, но и требования-
ми усиления внимания к изучению математи-
ческой теории в частности и в особенности
в школьном курсе алгебры. В самом деле,
многие вопросы, связанные с элементами ис-
следования, наиболее естественно предлагать
в форме упражнений на отрицание.
Вопросы на отрицание всегда создают
проблемную ситуацию, ставя ученика в по-
ложение исследователя, который на пути
к отысканию истины довольствуется сперва
догадкой, предположением, а затем доказы-
вает его истинность.
Упражнения на отрицание являются хоро-
шей пропедевтикой к решению задач на до-
казательство. Опровержение неверных ут-
верждений, как правило, легче дается уче-
никам, чем утверждение истинности верных.
Это и естественно, так как для опроверже-
ния общих высказываний достаточно приве-
сти только один противоречащий пример.
Проиллюстрируем сказанное на простом
примере.
Теорема. Если а-|-£> = 0, то |а| = |#|.
Дано: a -ф b ~ 0. Требуется доказать:
Доказательство: Из соотношения
а~1~Ь~0 следует, что а —— Ь, а поэтому
|а| = |-д| = |*|-
Предложение обратное. Если |а| = |й|, то
а + b = 0. Иначе: верно ли утверждение:
если |a| = |£>|, то а-|-6 = 0?
Ученик даст правильный ответ, если приве-
дет хотя бы такой пример: пусть а=1 и й = 7,
тогда a = fe, но а + b = 14=#0, значит, сформу-
лированное обратное предложение неверное.
Вопросы на отрицание по одному и тому
же материалу можно значительно варьиро-
вать в отношении степении их трудности.
Часто упрощение вопроса достигается огра-
ничением степени его общности, расчлене-
нием его на несколько частных вопросов, ко-
торые в своей совокупности исчерпывают со-
держание общего утверждения.
Конкретизируем сказанное на примере, ко-
торый полезно рассмотреть при изучении ра-
циональных чисел.
Общая постановка вопроса: можно ли ут-
верждать, что а + Ь больше о? Какие случаи
здесь надо различать?
Расчлененная постановка того же самого
вопроса: можно ли утверждать, что
а+Ь>а, а) если 6^0; б) если 6<0?
Во многих случаях при выполнении упраж-
нений на отрицание полезно использование
57
таблиц, заранее заготовленных или состав-
ленных самими учениками по ходу работы.
Пример. Всегда ли а2 больше, чем а?
Составим таблицу
На основе анализа данных этой таблицы,
пользуясь неполной индукцией, подводим
учащихся к выводам: 1) а2 больше а, если
а<0 (т. е. если а — любое отрицательное
число) и если а>1; 2) а2 равно а, если а=0
или а=1; 3) а2 меньше а, если 0<а<1.
-Однако надо признать более целесообраз-
ным предварительно поставить вопрос в сле-
дующей форме: всегда ли а2>а, если а#=0
и
Здесь самой формулировкой вопроса мы
не только сужаем степень его общности, но
и фиксируем внимание учащихся на том, что
не всегда а2 больше, чем а. Это осуществ-
ляется указанием тех значений а, при кото-
рых а2 оказывается равным а. А на долю
ученика остается найти хотя бы одно такое
значение а, при котором а2<_а, и затем попы-
таться подняться до обобщения своего ут-
верждения.
В целях создания условий для наилучшего
усвоения смысла некоторых операций (дей-
ствий) порой полезно сочетать в одном зада-
нии два вопроса, ответ на один из которых
положительный, а на другой — отрица-
тельный.
Вопрос. Равны ли между собой выраже-
ния: 1) —а3 и (—а)3; 2) —а2 и (—а)2? Рас-
смотрите другие примеры, подобные предло-
женным. Сделайте обобщение высказанных
утверждений.
Было бы методической ошибкой вопросы
на отрицание ставить концентрированно, вы-
деляя их в особо отрабатываемый раздел
упражнений. Эти вопросы целесообразно ста-
вить систематически, в должном сочетании
с другими, но преимущественно в процессе
изучения такого материала, в котором особо
большую роль играют условия применимости
тех или иных правил. К числу таких вопро-
сов, например, в курсе алгебры VI класса
относятся: обозначение чисел буквами, пере-
ход от множества неотрицательных рацио-
нальных чисел к множеству рациональных
чисел, формулы сокращенного умножения и
их использование.
Упражнения на отрицание способствуют
преодолению формального подхода к изуче-
нию математики, сознательному усвоению
предмета и формированию навыков абст-
рактного мышления. Включение их в общий
комплекс упражнений создает благоприятные
возможности для обеспечения должного со-
отношения между упражнениями, углубляю-
щими знание теории и развивающими мате-
матическое мышление, и упражнениями чи-
сто тренировочного характера.
Для выяснения степени эффективности си-
стематического использования упражнений
на отрицание в школьном курсе алгебры мы
на протяжении последних двух лет осуществ-
ляли экспериментальную проверку опреде-
ленной системы таких упражнений при изу-
чении алгебраического материала в шестых
классах (восьмилетняя школа № 21 г. Орла,
учителя А. Т. Тихонова и Л. Г. Мелешко).
Выбор для эксперимента VI класса обус-
ловлен следующими соображениями. Во-пер-
вых, в этом классе начинается изучение но-
вого предмета — алгебры, возводится тот
фундамент, который должен надежно под-
держивать дальнейшее развертывание дис-
циплины, закладываются основы определен-
ного стиля алгебраического мышления. Во-
вторых, при решении этих задач в практике
работы школ допускается много типичных
недостатков: неполное осознание основных
алгебраических понятий и правил, увлечение
работой по правилам и схемам при выполне-
нии неправомерно суженного круга упраж-
нений, наличие все еще неизжитого отрыва
буквы от числа. В-третьих, формальное изу-
чение первых тем алгебры весьма затрудняет
содержательное овладение предметом в по-
следующих классах.
Результаты эксперимента позволяют ут-
верждать, что роль упражнений на отрица-
ние значительна.
Предложенные нами алгебраические уп-
ражнения на отрицание оказались практиче-
ски пригодными и достаточно эффективными.
В интересах краткости изложения эти упраж-
нения приводятся здесь обособленно, без
воспроизведения всего комплекса упражне-
ний курса алгебры VI класса. Если в форму-
лировках упражнений не указывается, о ка-
ком множестве чисел идет речь, то подразу-
мевается то множество, которым владеют
ученики на данном этапе обучения.
Свои ответы учащиеся сопровождали по
предложению учителя числовыми примерами,
подтверждающими правильность ответа, а
также противоречащими высказанному суж-
дению.
58
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
1. Дано натуральное число а. Как написать
число, в 5 раз большее его? Можно ли ут-
верждать, что число 5а в 5 раз больше лю-
бого целого числа а? •
2. Можно ли сказать, что число р+7>7,
каким бы ни было число р?
Примечание. Учеников следует подве-
сти к такому ответу: «р+7 не всегда больше
7. При р=0 р + 7 = 1. Можно только сказать,
что при р>0 р+7>7».
3. При всяком ли а число 8а целое?
4. Справедливо ли утверждение: «Если 7а
есть целое число, то и а — целое число»?
Примечание. Часто на этот вопрос от-
вечают утвердительно, рассматривая в каче-
стве значений 7а только числа, кратные 7.
Следует довести до сознания учеников, что
7а может быть любым целым числом и что
целесообразно рассматривать его числовые
значения в порядке их возрастания: 0, 1, 2,
3 и т. д.
5. Дано число , где р — целое, q — на-
туральное. Всегда ли существует число, об-
ратное -^-? Если нет, то при каком условии
оно не существует?
Примечание. После устного ответа уче-
никам предлагается его письменное оформле-
ние.
Для данного числа , где р и q — целые
числа, q =^= 0, не всегда существует обратное
число. Оно не существует, если р = 0, так как
тогда ~ = 0, а для нуля нет обратного числа.
6. Записано частное от деления числа а на
разность чисел бис. Могут ли числа Ь и с
быть равными? Если нет, то почему?
7. Верно ли, что ab равно а только при
6=1?
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1. Можно ли утверждать, что —а обозна-
чает отрицательное число?
2. Всегда ли а больше —а?
Ответ: а) если а>0, то —а<0, а потому
а> — а; б) если а<0, то —а>0, а потому
а<—а.
3. Могут ли два взаимно обратных числа
быть противоположными по знаку?
4. Если a) lpl = q, верно ли: p = qt
б) верно ли: p~>q? в) \p\<q, вер-
но ли: p<Zq7 Во всех случаях 9^0.
Дать развернутые ответы.
5. Если а) |р| = |^|, верно ли: p = q?
б) |/>|>|d. верно ли pZ>q7
6. Если p<Zq, верно ли: |p|<J<7|?
7. Можно ли из условий: и у =£0 —
сделать заключение, что х + у =f= О?
8. Если a =f= 0, то при каких значениях
а и б а) аб > а? б) аб < а?
9. а) Можно ли утверждать, что сумма чи-
сел а и Ь всегда больше а? Какие случаи
здесь надо различать?
б) Те же вопросы относительно разности
чисел а и б.
10. Справедливо ли утверждение: «Если
а6>0, то а>0, 6>0»?
11. Можно ли утверждать, что для любых
чисел m<2m? tn^>2tn?
12. Во всех ли случаях произведение
а-(—а) является отрицательным числом?
13. Может ли произведение (частное) двух
взаимно обратных чисел быть отрицательным
числом?
14. Может ли абсолютная величина произ-
ведения быть неравной произведению абсо-
лютных величин сомножителей? Если нет, то
почему?
15. Один из двух сомножителей увеличили
на две единицы. Можно ли утверждать, что
произведение увеличилось?
16. Может ли а) сумма двух отрицатель-
ных чисел быть больше их частного (произ-
ведения); б) разность двух отрицательных
чисел быть больше их частного (произве-
дения)?
17. Можно ли утверждать, что если рацио-
нальное число а=/=0 и а<1, то -^->1?
18. Изменится ли при изменении знака а
на противоположный значение выражения
а) 1 + а2, б) 1 + а3?
19. Можно ли утверждать, что |а2| = а2;
| а? | = а3; | а |2 = а2?
20. Доказать или опровергнуть следующие
утверждения: 1) если а=0, то а3=а2; 2) если
а2=а3, то а=0?
ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ
ВЫРАЖЕНИЯМИ
1. Может ли сумма трех последовательных
натуральных чисел быть простым числом?
2. -Может ли сумма двух последовательных
четных чисел делиться на 4?
3. Может ли сумма двух последовательных
нечетных чисел не делиться на 4?
4. .Может ли сумма пяти последовательных
натуральных чисел не делиться на 5?
5. -Существуют ли такие целые значения х,
яри которых а) многочлен 2х2+4х+5 ока-
69
жется четным числом, б) многочлен 7х3 +
+ 6х2 + 5х+2 окажется нечетным числом?
6. Установить, справедливы ли равенства:
а) (а— b)2=(b — а)2; б) (а+Ь)2= (—а — Ь)2;
в) (a+fe)2=(a — Ь)2 при любых значениях
а и Ь?
7. Имеет ли место равенство р2—14р +
+49= (р + 7)2 при всех значениях р? Какими
двумя способами можно изменить правую
часть равенства, чтобы оно имело место при
всех значениях р?
8. Справедливо ли равенство х2+4х— 4 =
= (х— 2)2 при всех значениях х? Как изме-
нить левую часть равенства, чтобы оно было
справедливо при всех значениях х?
9. При каких значениях а и b {а+Ь)2 боль-
ше, чем а2+62? равно а2+Ь2? меньше, чем
а2+&2?
10. Может ли сумма квадратов двух не-
четных чисел делиться на 4?
Мы глубоко убеждены в том, что сущест-
вует реальная потребность в разработке при-
мерной системы упражнений на отрицание
по математике и для учащихся последующих
классов. Богатые, возможности для конструи-
рования таких упражнений дают все основ-
ные линии развития школьного курса алгеб-
ры VII—X классов: тождественные преобра-
зования, уравнения, функции, развитие поня-
тия числа.
Рекомендуемое проектом новой программы
введение терминов и обозначений из области
математической логики открывает особо ши-
рокие перспективы для внедрения в школь-
ные курсы алгебры и геометрии упражнений
на отрицание, так как применение современ-
ного логико-математического языка значи-
тельно облегчает и конструирование точных
отрицаний и опровержение ложных предло-
жений.
Л. 3. КАРЕЛИН (г. Киев)
ЗАДАЧИ К НЕКОТОРЫМ ТЕМАМ
ГЕОМЕТРИИ VII- VIII КЛАССОВ
В настоящей работе предлагаются задачи
на исследование по некоторым темам плани-
метрии. Решение учащимися этих задач, по
нашему мнению, в значительной степени будет
способствовать развитию их творческой актив-
ности, воспитанию логического мышления
(проведение аналогий, составление и решение
обратных задач и т. п.).
Хотя многие задачи сформулированы не как
задачи на доказательство, однако от учащих-
ся во всех случаях требуется обоснованный
ответ со ссылкой на известные им теоретиче-
ские положения.
VII класс
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
1. К двум сторонам треугольника проведе-
ны перпендикуляры. Найти зависимости меж-
ду углами треугольника и углом между этими
перпендикулярами.
2. В треугольнике АВС угол В равен 42°,
а угол С=80°. Через вершину С вне треуголь-
ника под углом в 58° к стороне АС проведена
прямая и на ней отложен отрезок CD = АВ.
Равны ли отрезки AD и ВС?
СО
3. Равны ли два параллелограмма, если
у них равны: 1) сторона и две диагонали,
2) две диагонали и угол между ними, 3) две
неравные стороны и внешний угол?
4. При каком условии точка пересечения
биссектрис двух углов параллелограмма, при-
лежащих к одной стороне, лежит на противо-
положной стороне?
5. Две стороны четырехугольника парал-
лельны и одинаково удалены от точки пересе-
чения его диагоналей. Какой вид четырех-
угольника?
6. Будет ли четырехугольник параллело-
граммом (ромбом, квадратом), если выполне-
но одно из следующих условий: 1) противо-
положные его углы равны; 2) биссектрисы
двух противополбжных его углов перпендику-
лярны биссектрисе третьего угла; 3) каждая
диагональ' делит его периметр пополам;
4) две противоположные его стороны парал-
лельны, а одна диагональ делит другую по-
полам; 5) вершины его противоположных уг-
лов равноудалены от соответствующих диаго-
налей; 6) биссектрисы трех его углов являют-
ся диагоналями; 7) диагональ делит два его
угла пополам и сама делится пополам другой
диагональю; 8) три его стороны равны, а диа-
гонали перпендикулярны; 9) две противопо-
ложные его стороны параллельны, а одна из
диагоналей делит его периметр пополам;
10) две противоположные стороны его равны,
а также равны диагонали?
7. Дан четырехугольник ABCD. Точка М —
середина АВ, N — середина ВС, Р — середина
CD, Q — середина DA-, Л, — середина BD,
— середина АС. Равны ли треугольники
MNBi и PQAi?
8. При каком условии высота равнобедрен-
ной трапеции равна полусумме ее оснований?
9. Середина одного основания трапеции
равноудалена от концов другого основания.
Равны ли боковые стороны этой трапеции?
ОКРУЖНОСТЬ
10. Из середины дуги сектора проведены
прямые, параллельные радиусам. Могут ли
радиусы этими прямыми делиться пополам?
И. Из одной точки к окружности проведены
две касательные. Середина отрезка одной ка-
сательной соединена прямой с центром окруж-
ности. Может ли эта прямая быть параллель-
ной другой касательной?
12. Через один конец хорды проведен диа-
метр, а через другой — касательная к окруж-
ности, которая пересекает продолжение диа-
метра. При каком условии угол между диа-
метром и хордой равен углу между касатель-
ной и диаметром?
13. Через точку пересечения двух равных
окружностей проведена их общая секущая.
Две другие точки пересечения ее с окружно-
стями соединены отрезками с другой точкой
пересечения окружностей. Какой треугольник
образовался при этом?
14. Через один конец хорды и середину
меньшей дуги, стягиваемой ею, проведена се-
кущая, а через другой конец — касательная,
которая пересекает секущую. Делит ли попо-
лам дуга окружности отрезок секущей от кон-
ца хорды до пересечения с касательной?
15. В окружности проведены две перпенди-
кулярные хорды АВ и CD. AM — диаметр.
Какая из дуг больше: ВС или MD? BD
или МС?
16. На стороне треугольника, как на диа-
метре, построена окружность. Как зависит по-
ложение вершины противоположного угла
относительно окружности от величины этого
угла? (Угол брать острый, прямой, тупой.)
17. Из одной точки к окружности проведены
две касательные, а из точек касания проведе-
ны прямые, параллельные касательным. В ка-
ком случае точка пересечения проведенных
прямых лежит а) на окружности; б) внутри
окружности; в) вне окружности?
18. К двум касающимся окружностям про-
ведена общая внешняя касательная. В одной
окружности через точку касания касательной
проведен диаметр, а в другой — секущая,
проходящая через точку касания окружностей.
Лежит ли точка пересечения диаметра и секу-
щей на окружности?
19. Две окружности О и О, пересекаются
в точках А и В. Прямая АО пересекает ок-
ружность 01 в точке С, а прямая ДО! пересе-
кает окружность О в точке D. Является ли АВ
биссектрисой угла DBC?
20. Дан треугольник АВС и окружность,
касающаяся его сторон в вершинах А и С.
Может ли эта окружность делить пополам вы-
соту треугольника, проведенную из вершины В?
VIII класс
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ. ПОДОБИЕ ФИГУР
21. В равнобедренном треугольнике парал-
лельно боковой стороне проведена прямая.
При каком условии отрезок ее, заключенный
внутри треугольника, делится высотой, прове-
денной из вершины треугольника, пополам?
22. В треугольнике АВС основания двух
высот AAi и ВВ\ соединены отрезком прямой.
Подобен ли треугольник А\ВХС данному тре-
угольнику?
23. Каждая сторона треугольника разделена
на три равные части, и точки деления после-
довательно через две соединены отрезками.
Пересекутся ли эти отрезки в одной точке?
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
И КРУГЕ
24. Высота треугольника оказалась средним
пропорциональным между проекциями боко-
вых сторон на основание. Можно ли утвер-
ждать, что данный треугольник прямоуголь-
ный?
25. Известно, что в прямоугольном треуголь-
нике квадрат высоты, опущенной из вершины
прямого угла, равен произведению проекций
катетов на гипотенузу. Провести аналогичное
сравнение квадрата высоты с произведением
проекций боковых сторон на основание в ост-
роугольном и тупо-
угольном треуголь-
никах.
26. В тупоуголь-
ном треугольнике
квадрат высоты, опу-
щенной из вершины
острого угла, равен
50
лет
61
произведению проекции двух сторон на третью,
которая лежит против этого острого угла. Ка-
кова зависимость между острыми углами тре-
угольника?
27. Из точки, взятой вне окружности, про-
ведены к ней две секущие, и точки пересече-
ния их с окружностью соединены отрезками.
Образуют ли секущие вместе с этими отрез'-
ками Подобные треугольники?
ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
28. При каком условии точка пересечения
перпендикуляров, восставленных к двум сто-
ронам треугольника в их серединах, лежит на
его третьей стороне?
29. Существует ли треугольник, высота ко-
торого равна радиусу описанной около него
окружности?
30. Существует ли непрямоугольный тре-
угольник, одна из медиан которого равна
радиусу описанной около него окружности?
31. Через вершину прямого угла треуголь-
ника проведена окружность, центр которой
совпадает с центром вписанной окружности.
Найти зависимость между отрезками, на кото-
рые делится гипотенуза проведенной окруж-
ностью.
32. Стороны треугольника относятся, как
5:4:3. Найти зависимость между отрезками
сторон, на которые они делятся точкой каса-
ния вписанной окружности.
33. Между двумя сторонами треугольника
вмещен отрезок, равный третьей стороне.
Можно ли описать окружность около получен-
ного четырехугольника?
34. Отрезок, не параллельный стороне тре-
угольника, отсекает от него треугольник, по-
добный данному. Можно ли описать окруж-
ность около образованного при этом четырех-
угольника?
35. К двум касающимся извне окружностям
проведены две общие касательные. Точки их
касания в каждой окружности соединены от
резками. Можно ли описать окружность около
образованного четырехугольника?
36. В четырехугольнике проведены биссек-
трисы внутренних углов. Можно ли описать
окружность около четырехугольника, верши-
нами которого являются точки пересечения
биссектрис углов, прилежащих к одной
стороне?
37. Окружность касается боковых сторон
равнобедренного треугольника в вершинах его
основания. Можно ли описать окружность
около пятиугольника, вершинами которого
являются середины боковых сторон треуголь-
ника, вершины его основания и центр данной
окружности?
38. Как нужно разместить два равных раз-
носторонних треугольника, чтобы в образован-
ный ими четырехугольник можно было бы
вписать окружность?
39. Прямая, параллельная боковой стороне
равнобедренного треугольника, отсекает на
основании и на боковой стороне отрезки, при-
чем на основании — отрезок, вдвое больший,
чем на боковой стороне (считая от вершины
основания треугольника). Можно ли вписать
окружность в образовавшийся при этом четы-
рехугольник?
40. К двум касающимся окружностям про-
ведены две общие внешние касательные, точ-
ки касания которых в каждой окружности
соединены отрезками. Можно ли вписать ок-
ружность в полученный четырехугольник?
В. А. ЗОТОВ (г. Курск)
ПРИМЕНЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПРИ РЕШЕНИИ
ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ
В некоторых средних школах уделяется
недостаточное внимание ознакомлению уча-
щихся с различными способами решения за-
дач на построение пространственных фигур.
Мало обучают решать такие задачи эффек-
тивным (а не воображаемым) методом.
В лучшем случае он используется в начале
курса при построении сечений многогранни-
ков на проекционном чертеже (см.:
Н. ф. Четверухин, Чертежи пространст-
венных фигур в курсе геометрии, Учпедгиз,
М., 1946). Однако этот метод заслуживает бо-
лее широкого применения в школе.
Применение эффективного метода решения
задач на построение возможно с использо-
ванием развертки геометрического тела. При
этом необходимо рассмотреть взаимное рас-
положение частей фигуры и обнаружить соот-
62
ношения между ними, нужные для построения
развертки. Все это вызывает активность мыш-
ления и содействует более глубокому проник-
новению сознания учащихся в геометрические
свойства пространственных фигур.
Условимся считать задачу на построение
геометрического тела -эффективно решенной,
если выполнена развертка этого тела.
Опыт использования на уроках в старших
классах этого вида работ убеждает в том, что
у учащихся возникает тем больший интерес,
чем большую роль играют при выполнении
работ элементы творчества, искания, догадки.
Поэтому задания не должны быть слишком
простыми и «прозрачными», а должны содер-
жать в себе некоторый «орешек», который не
всегда удается раскусить с первого раза. Так,
например, учащихся нередко приводит в за-
мешательство предложение сделать развертку
четырехугольной пирамиды, у которой две
противоположные боковые грани перпендику-
лярны к плоскости основания.
Решение интересных задач с помощью изго-
товления разверток по заданным условиям
является одним из видов самостоятельных ра-
бот по геометрии, которые могут быть домаш-
ними заданиями, лабораторной работой на
уроке или одной из возможных форм конт-
рольной работы. При этом можно рекомендо-
вать учащимся выполнять работу в следую-
щем порядке:
1) после знакомства с условиями, которым
должна удовлетворять развертка, нужно
создать в воображении образ соответствую-
щей пространственной фигуры (тела);
2) сделать чертеж-набросок, изображающий
эту фигуру, и записать заданные условия;
3) рассмотреть соотношения между элемен-
тами фигуры, которые будут играть сущест-
венную роль при построении развертки;
4) используя найденные соотношения, вы-
чертить развертку на чертежной бумаге;
5) полученную развертку вырезать, согнуть
по линиям перегиба и, сложив, убедиться, что
развертка образует пространственную фигуру,
удовлетворяющую условию задачи.
Приведем решение нескольких задач.
Задача 1. Построить треугольную пирами-
ду, у которой основанием служит прямоуголь-
ный треугольник с углом в 30°, вершина пира-
миды проектируется в вершину прямого угла
в основании пирамиды, одна из боковых гра-
ней пирамиды образует с плоскостью основа-
ния yzofl в 45°.
Решение. Пусть SABC искомая пирамида
(черт. 1а).
Для получения развертки построим прямо-
угольный треугольник АВС, в котором
^С АВ — 30°. Из вершины С на гипотенузу
проведем перпендикуляр CD (черт. 16).
Так как вершина пирамиды 5 проектирует-
ся в точку С, то SCj_AC и SCj_CB. По-
строим SiCj_BC и S2C_1_AC так, чтобы 5^ =
— S2C = CD (следует из условия). Соединив
точки Sj и 52 соответственно с точками В
и А, получим на развертке боковые грани
AS2C и BStC, перпендикулярные к плоскости
основания.
Продолжим CD за точку D, найдем точку
S3 такую, чтобы BS3 = BSX (или AS3 = AS2),
и соединим ее с А и В.
Фигура AS2CSXBSZ — развертка искомой пи-
рамиды.
Задача 2. Дан прямоугольный парал-
лелепипед АВСОАХВ£Д>1 с измерениями
АВ —a, BC = b, АА,= с (черт. 2а). Постро-
ишь на его поверхности кратчайшую
линию, соединяющую вершины В и D^
Определить ее длину и отношение от-
резков, на которые она делит ребро
па раллелепипеда.
Решение. Рассмотрим случай, когда а.
Начертим развертку параллелепипеда. Тогда
решение задачи сводится к нахождению крат-
63
чайшего расстояния между точками В и Dx
на плоскости.
Искомый отрезок может пересечь или реб-
ро AD, или CD. В каком же случае он бу-
дет наименьшим?
Для выяснения этого вопроса можно огра-
ничиться лишь соответствующей частью раз-
вертки параллелепипеда (черт. 26 и 2в). Пусть
на чертеже 26 BDt = х, а на чертеже 2в
BDX = у. Выразим х и у через измерения
параллеле п ипеда.
л2 = {а + с)2 + Ь2 = а2 + с2 + Ъ2 4- 2ас,
у2 = (Ь 4- с)2 4- а2 = 4- <?2 4- а2 4- 2Ьс.
Так как в данном случае Ь">а, то у> х.
Следовательно, искомая линия будет пересе-
кать ребро AD. Тогда х = Уга2+Ь~+с2А-2ас
и из подобия треугольников АВЕ и DEDV
АЕ а
ED ~ с ’
Аналогично можно рассмотреть случаи а^>Ь
и а = Ь.
Задача 3. Построить треугольную
призму, у которой двугранные углы при
боковых гранях соответственно равны
30°, 60° и 90°.
Решение. Пусть MNP — перпендикуляр-
ное сечение призмы АВСАХВХСХ (черт. За).
Тогда ^.NMP, X. MNP, ^MPN — линей-
ные углы двугранных углов между боковыми
гранями призмы.
Построим произвольный прямоугольный тре-
угольник, содержащий угол в 30° (черт. 36).
Пусть его стороны т, п и р.
Затем возьмем произвольный луч и на нем
отложим NlP = n, PN = т и NM' = p. Че-
рез точки М, Р, N, М' проведем перпенди-
куляры к ММ' и построим отрезки АА, =
= СС] = B’B'i = A’A'i, пересекающие ММ'
(черт. Зв). При этом необходимо, чтобы MAt =
= M’A'i. После построения треугольников
АВС и АХВ£Х (по трем сторонам) развертка
готова.
Приведем условия еще нескольких задач,
которые можно решить рассматриваемым спо-
собом.
Черт. Зв
64
1. Построить пирамиду, основанием
которой служит равнобедренный тре-
угольник, а боковые ребра наклонены
к плоскости основания под углом 45°.
2. Построить пирамиду, в основании
которой лежит равнобедренный тре-
угольник, а все боковые грани наклонены
к плоскости основания под углом 60°.
3. Построить пирамиду, основанием
которой является прямоугольник, две
боковые грани перпендикулярны к осно-
ванию, а две другие об разуют с пло-
скостью основания углы в 30° и 45°.
4. Начертить развертку наклонной
треугольной призмы. Построить линей-
ные углы двугранных углов между боко-
выми гранями призмы, пользуясь только
линейкой и циркулем.
5. На основаниях треугольной приз-
мы указаны две точки А и В, по одной
на каждом основании. Начертить на
поверхности призмы кратчайшую лома-
ную, соединяющую точки А и В.
6. Изготовить комплект разверток
всех многогранных углов, гранями ко-
торых служат равные между собой пра-
вильные многоугольники. Из скольких
разверток должен состоять этот ком-
плект? Почему?
Примечание. Выполнение данной
работы должно предшествовать изуче-
нию правильных многогранников.
7. Три точки на сторонах квадрата
соединены отрезками прямых, по кото-
рым квадрат согнут так, что образо-
валась пирамида. Все боковые грани
этой пирамиды — прямоугольные тре-
угольники. Вычислить двугранные углы
при основании пирамиды.
Ответ:
9
а. — arc cos -к- = 48°11
О
р = arc cos -i- = 70°32'.
В. И. ШЕВЧЕНКО (г. Донецк)
О НЕСТАНДАРТНЫХ ПРИЕМАХ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Цель этой заметки — на конкретных при-
мерах ознакомить учащихся с некоторыми
«нестандартными» способами решения уравне-
ний. Заметим, что в этой заметке мы огра-
ничиваемся лишь действительными значениями
параметров и неизвестных.
Среди замен переменных чаще других при-
меняется так называемая замена средним ариф-
метическим. Она позволяет, как правило,
исключить нечетные степени неизвестного.
Приведем два примера:
1) +l)(x-f-2)(x + 3) = 24.
Введем новое переменное у такое, чтобы
х + (х+ 1) + (х + 2) + (х + 3) । , с
У =----------------------------Л -f- 1,0-
Тогда
л(л+1)(л + 2)(х + 3) =
= (у2 — 0,25) (у2 — 2,25)
и данное уравнение примет вид
у4 — 2,5у2 + 0,5625 = 24.
Обозначая у2 через z, получим квадратное
уравнение
z2 —2,5z-23,4375 = 0,
корни которого равны 6,25 и —3,75.
Поскольку мы ограничиваемся действитель-
ными решениями, то у2 = 6,25. Отсюда у =
= + ’2,5. Но х = у —1,5, и, следЪвательно,
корни данного уравнения хх = — 4, л2=1.
2) (л + а)4 + (л + ^)4 = с4.
Пусть
{х 4- а = и 4- v,
x+b^u-v. (1)
На первый взгляд кажется, что вместо
одного неизвестного (х) мы ввели два новых
(« и ©)- вычитая из первого равенства
второе, получим
так что неизвестным оказывается только и.
Из (1) имеем
3 Математика в школе Н 5
65
и = (х-}- а) — ч) = х-\-— =
_ (ж + <4 + (х + 6)
~~2 ’
т. е. и является средним арифметическим чи-
сел (х 4- а) и (х 4- Ь). Подставляя выражения
для (л4-й) и (л 4-й) из (1) в данное урав-
нение, получаем
(« 4- v)4 +(и — •у)4 = с4.
Используя формулу бинома Ньютона, запи-
шем:
(и 4- ^)4 = и4 4- 4м3г> 4- 6м2у2 4- 4иу3 4- г’4,
(и — у)4 = «4 — 4м\> 4- 6м2г>2 — 4иу3 4- и4.
После почленного сложения последних ра-
венств нечетные степени и, пропадают, и мы
имеем относительно и биквадратное уравнение
и4 4- 6«2у2 4- v4 —у = 0.
Решая его как квадратное относительно м2,
найдем
и2 = — Зу2 4-1/ 8г>4 4* -у-
(поскольку и — действительное число, перед
корнем выбран знак 4~)-
Возвращаясь к переменной х, получаем ре-
шение данного уравнения
Здесь v дается формулой (2). Так как под-
коренное выражение должно быть неотрица-
тельным, то -g---y4^>0, откуда следует, что
данное уравнение имеет действительные ре-
шения лишь в том случае, когда параметры
а, Ь, с удовлетворяют условию (а — b)2 С
<2/2с2.
Очень часто в уравнении, содержащем не-
сколько букв, бывает трудно найти непо-
средственно значение неизвестного. В этом
случае удобнее решить уравнение относитель-
но одного из параметров, временно считая
его неизвестным, а остальные величины, вхо-
дящие в уравнение, известными. Этот же
прием может быть использован и для реше-
ния систем, зависящих от нескольких пара-
метров.
Рассмотрим уравнение
х4 — 2а х2 4- х 4- а2 — а = 0.
Это уравнение четвертой степени относитель-
но х, но второй степени относительно а.
Перепишем его в виде
а2 — а (2л2 4- 1) (л4 4- х) = 0
и решим относительно а. Тогда
п _ (2ха + 1) + (2х—1)
2
или
аг = х2 4- х,
а2 = х2 — х 4-1-
Но квадратный относительно а трехчлен, кор-
ни которого ах и а2 и коэффициент при не-
известном в квадрате 1, может быть пред-
ставлен в виде (а — а^(а — а2), т. е.
х4 — 2ах2 4- х+ а2 — а =
~(а — х2 — х)(а — х2 4- х — 1).
Но это равенство справедливо при любых а
и х. Тем самым мы разложили левую часть
данного уравнения на множители, и решение
его свелось к решению двух квадратных
(относительно х) уравнений л24~л — а=0
и л2 — х1 — а = 0.
Следовательно, корни данного уравнения равны
— 1 + /1 +4а „ 1 + / 4а —3
•*"1,2 ~' 2 ’ ^"3,4 2
3
и являются действительными при а .
При решении уравнений или систем уравне-
ний могут быть использованы простейшие
неравенства: среднее арифметическое двух
положительных чисел не меньше среднего
геометрического, синус и косинус аргумента
по обсолютной величине не превосходят еди-
ницы и т. д.
Пусть требуется найти действительные ре-
шения уравнения
х2 — 2л sin (ху) 4-1=0.
Очевидно, х =А 0. Рассмотрим случай, когда
л>0. Тогда, поскольку синус аргумента не
превосходит единицы, получаем неравенство
0 = х2 — 2л sin (лу) 4-1>-
>л2-2л4- 1 = (л — 1)2>0.
Поэтому .знак неравенства не может иметь
места (иначе было бы 0^>0) и должен быть
заменен знаком равенства. Следовательно,
(л—1)2 = 0, откуда л = 1. Подставляя это
значение х в данное уравнение, найдем
sin у = 1 и у — ~y 4- 2Air(£ = 0, +1, + 2,...).
Мы рассмотрели случай положительного х.
Но левая часть данного уравнения является
четной относительно х. Поэтому вместе с х =1
ему удовлетворяет и х = — 1.
Итак, решения таковы:
л ~F~ 1, У = ~4~ —h 2Аи (k = 0, 4~ I, + 2,...).
Покажем применение неравенств при реше-
нии иррациональных уравнений. Рассмотрим
систему уравнений
66
У х2 + 5х + 2у — 3 + Vx2 + x + y + 2 =
= Ух2 + 4jc + Зу - 2 + У л2 4-2у 4- 3,
хх~у = 2у — 1.
Легко заметить, что выполняются следую-
щие тождества
х2 + 5х + 2у — 3 =
= (х2 + 4х + Зу - 2) + (х - у - 1),
л2 + л + у + 2 =
^(х2 + 2у + 3) + (л-у-1).
Для сокращения записи обозначим А = х24~
4-4х4-Зу —2, В — х2 + 2у + 3. Тогда пер-
вое уравнение системы запишется в виде
уД + (л-у-1) + У/? + (л-у-1) =
= У а + У В. (3)
Подкоренные выражения должны быть, ко-
нечно, неотрицательными.
Пусть х — у — 1 > 0, тогда
/Д + (л-у-1)>-уД;
/5 + (х-у-1)>-УД
и, следовательно, равенство (3) не имеет
места. Аналогично, если х — у — 1 0, то
равенство (3) не выполняется. Следовательно,
если уравнение (3) имеет решения, то х — у —
— 1=0, т. е. х~ у = 1. Второе уравнение
системы дает х = 2у— 1. Итак, если данная
система имеет решение, то оно совпадает
с решением системы
{х — у = 1,
х — 2у=- 1.
Решая эту систему, получаем
Г х = 3,
I У =2,
что подтверждается подстановкой в исход-
ную систему.
Ниже предлагается несколько задач для
самостоятельного решения.
Решить уравнения:
1. (л+ 1)(л+2)(л + 3)(х + 4) =
= (л + I)2 + (л + 2)2 -f- (X + З)2 + (л+4)2
2 — -I- * -I- 1 4- *----= 0
х ' х + а ' х + 6 ‘ х + а + b
3. (х 4" Ъ - с) (х 4“ С 4* а) (х 4” CL -р Ь) X
X (« 4~ b 4- с) — abcx = 0.
4 __!____।___1 ... -1_1----1____1— л_
' х + а ~ х+2а ~х + 3а'х +4а ‘
+ х + 5а + х + 6д ~ °’
5. у3 + 2ру2 + (р2 + 2) у + 2р = 0.
„ (а — х)* + (х — 6)4 а* + Ь*
(а — х)г + (х — ЬУ а2 + Ь2
7. х3 — (4а2 4- 3) х2 + 4а2(а2 4- 2) х —
— 4(а4 — 1) = 0.
8. (х 4- «)5 — (х 4- Ь)5 — с5.
9. У2х2- 1 4-Ух2-Зх-2 =
= У 2л2 4- 2х 4- 3 4- У х2 - х 4- 2.
4 _____ 4 ________ 4 _____________
10. У а — х 4~ У b — х — У а 4- b — 2х.
5 ________ Б___________ 5 _
11. ]/^ а + У х + ]/~ а ~У х = У 2а.
12. х1 4- а7 4~ Ь1 == (х 4- а 4- Ь)1.
Решить системы уравнений;
х3 = ах 4- by,
у3 = Ьх + ау.
2.
3.
4 4
У1 4-5х 4- Уб-у = 3,
5х — у= 18.
_ 2у?
х‘-у. + г« •
__ 2xz
У X* + Z* ’
2xv
Z~ х1 +'у» ’
ах — су 4- bz = х2 4- z1,
— Ьх 4- ау 4- cz = у2 4- г2,
сх 4- by — az == х2 4- у2.
Эксперимент
М. Б. ГЕЛЬФАНД, Е. С. ДУБИНЧУК,
Т. Я. НЕСТЕРЕНКО, И. Ф. ТЕСЛЕНКО (г. Киев)
БЕЗМАШИННОЕ ПРОГРАММИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ
В конце 1964 и начале 1965 г. отделом методики ма-
тематики НИИП УССР изданы следующие программи-
рованные пособия по математике для средней школы:
1) И. Ф. Тесленко, Методика составления и экспе-
риментальной проверки программированных пособий;
2) М. Б. Гельфанд, Степень Степенная функция с
целым показателем; 3) Е. С. Д у б и н ч у к, Решение
треугольников (по разветвленной системе); 4) Т. Я.
Нестеренко, Решение треугольников (по линейной
системе).
Кроме того, разработана дополнительная документа-
ция для учителя: инструкции (по каждому пособию от-
дельно), тексты контрольных работ (обычных и с вы-
бором правильного ответа), сводка ответов к заданиям
для осуществления автоматизированного контроля,
формы учета педагогических наблюдений и отчетности.
КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ПРОГРАММИРОВАННЫХ ПОСОБИИ
В руководстве (1) раскрываются принципы составле-
ния и задачи исследования эффективности программи-
рованных пособий.
Программированное пособие (2) предназначено для
самостоятельного изучения учениками IX класса сред-
ней школы темы «Степень. Степенная функция с про-
извольным целым показателем».
Пособие состоит из четырех глав.
В начале пособия повторяются известные учащимся
свойства степеней с натуральными показателями.
Центральное место в первых двух главах занимают
вопросы, связанные с расширением понятия степени.
В третьей и четвертой главах запрограммированы
для самостоятельной работы темы: «Степенная функ-
ция с натуральным показателем», «Степенная функция
с целым отрицательным показателем».
Перед определением понятия степенной функции с
натуральным показателем повторяется общее опреде-
ление функции и рассматриваются вопросы, связанные
с этим понятием: область определения, способы зада-
ния функции, понятия интервала, сегмента.
В пособии применяется алгоритмический подход к
формированию у учащихся необходимых умений и на-
выков. Каждое действие регулируется конечным числом
правил.
Главы пособия разделены иа параграфы, а каждый
параграф — на «шаги». Всего 222. Из них 189 обяза-
тельны для изучения, а 33 содержат дополнительный
материал для более сильных учащихся. Каждый шаг
содержит минимальную информацию, после изучения
которой предлагается вопрос или самостоятельное вы-
полнение определенного задания: решить пример или
задачу, доказать утверждение, начертить график
н т. д.
Каждая глава заканчивается краткими выводами и
вопросами для проверки усвоения.
Для поддержания внимания учащихся в тексте иног-
да пропущены отдельные слова или формулы. Вместо
них поставлены точки. При чтении материала учащий-
ся должен заполнить указанные пропуски и проверить,
правильно ли он понял данный текст (ответы даны на
полях этого или следующего шага).
Внутренняя обратная связь устанавливается при по-
мощи системы ответов, размещенных на полях пособия.
Для обеспечения внешней обратной связи, кроме си-
стемы контрольных работ, в пособии местами в отдель-
ных шагах поставлен знак □, который означает, что
па этот вопрос в пособии нет ответа. Ответ на этот во-
прос учащийся должен дать самостоятельно (его всег-
да может проверить учитель).
Прн составлении пособия (3) мы придерживались
мнения, что применение разветвленной системы в «чи-
стом виде» не обеспечивает необходимой для восприя-
тия логических рассуждений целостности в изложении
материала. Это имеет существенное значение при со-
ставлении программированных пособий для старших
классов, где усиливается логическая сторона курса и
возрастает роль теории.
Вот почему разветвленная система программирования
применена в пособии только к части материала для по-
вторения и к тренировочным упражнениям (преимуще-
ственно устного характера) на закрепление важнейших
теоретических сведений. Это, по нашему мнению, долж-
но обеспечить возможность использования пособия для
классных занятий в условиях вполне самостоятельной
работы учащихся.
Изложение основных теоретических сведений в по-
собии (3) проводится обычным способом: даются неко-
торые начальные сведения (вводная «беседа»), ставится
определенная проблема, формулируется и доказывается
теорема. Этот материал предназначается в осиовиом для
изложения учителем; он дан логически завершенными
частями, размер которых определяется содержанием
учебной информации.
Наиболее важные выводы (по отдельным вопросам)
взяты в рамки (всего в тексте 76 рамок). Они зануме-
рованы, что значительно облегчает ссылки на преды-
дущий материал.
Учащийся может и самостоятетьно проработать тео-
ретический материал, без объяснения учителя. С этой
целью в текст введены «подсказки» по образцу линей-
ной системы программирования. Однако задания тако-
го характера занимают незначительное место.
В отдельных случаях после формулировки вопроса
в тексте сразу же дается ответ в форме подтверждения
ожидаемого ответа ученика. Таким способом излагает-
ся, например, схема решения треугольника в каждом из
четырех основных случаев Пользуясь данными в тек-
сте указаниями, ученик сам «создает» соответствующий
алгоритм и записывает его в тетрадь.
Для каждого случая решения треугольников сначала
дается образец (модель) решения задачи со всеми вы-
кладками и контролем вычислений. Затем учащимся
предлагается решить аналогичную задачу полусамостоя-
тельно, т. е. по некоторым промежуточным результатам
и окончательному ответу. Наконец, дается еще одна за-
дача такого же содержания для самостоятельного ре-
шения.
Задания для самостоятельного решения имеют отдель-
ную нумерацию, и в конце пособия к ним приведены
ответы. Всего в книге 72 таких задания. Без ответов
оставлены только 4 итоговые контрольные работы.
Если ученик работает с пособием самостоятельно, то
в зависимости от своей подготовки он может или ре-
68
шать все задачи подряд, или, пользуясь приведенным
образцом, ограничиться выполнением одного из после-
дующих заданий.
По разветвленной системе в пособии запрограммиро-
вано 60 различных по характеру заданий. Среди них —
вопросы, при помощи которых выясняется степень по-
нимания учащимися нового материала; вопросы и уп-
ражнения, которые заставляют учащегося припомнить
определенную зависимость, формулу и т. п.; устные и
письменные упражнения вычислительного характера на
применение изученных правил и формул; тренировоч-
ные упражнения на тот материал, в использовании ко-
торого учащиеся часто допускают ошибки.
Использование в пособии разветвленной системы про-
граммирования преследовало цель — максимально по-
мочь в овладении материалом учащимся, имеющим про-
белы в знаниях, работающим в медленном темпе, допу-
скающим ошибки в рассуждениях, преобразованиях, вы-
числениях *.
В пособие введен некоторый дополнительный мате-
риал, рассчитанный иа более сильных учащихся, кото-
рые при быстром темпе самостоятельной работы овла-
дели основным материалом.
Наибольшую трудность при составлении пособия (3)
вызвало расположение правильных ответов. Мы считали
целесообразным располагать их в порядке изложения
материала, но, в связи с тем что по разветвленной си-
стеме запрограммирован не весь материал, оказалось
трудным удаление правильного ответа от вопроса. В ре-
зультате этого недостатка пособия учащиеся могли вы-
бирать правильный отвег, ориентируясь на номер стра-
ницы.
В пособии (4) материал излагается последовательно.
Сначала дается небольшими порциями теоретический
материал, затем упражнения, раскрывающие смысл тео-
рии.
К большинству упражнений даны решения (указаны
страницы, где ученик может получить эти решения).
Пособие состоит из введения и трех разделов: реше-
ние треугЛ1ьников в общем виде; решение треугольни-
ков с применением таблиц; решение практических задач.
К теоретическому материалу подобраны упражнения по
такому принципу: решение первой задачи дается пол-
ностью, ко второй (аналогичной) даются лишь некото-
рые указания, а к последующим указан только ответ.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА
ПРОГРАММИРОВАННЫХ ПОСОБИЙ
Эксперимент проводился в 50 школах республики в
два этапа: первый этап (предварительный) — в 1964/65,
второй — в 1965/66 учебном году. В шести школах про-
верка пособий проводилась при иепосредствеииом уча-
стии их авторов. В проведении эксперимента приняли
участие математические кафедры ряда педагогических
институтов (Дрогобычского, Черкасского, Запорожского,
Луганского).
Результаты эксперимента обобщены по 57 классам.
Обработка экспериментальных данных по проверке
пособия (2) показывает, что в среднем для данного со-
держания при данном способе дозирования материала
целесообразно планировать на урок по 10—16 шагов.
Почти во всех экспериментальных классах учащиеся
работали с пособием и дома
Домашнее задание учителем давалось в конце урока
и затем на следующем уроке проверялось.
В среднем количество изученных шагов в классе и
дома одинаковое, ио некоторые учащиеся, работая иад
1 В частности, имелись в виду учащиеся вечерних и
заочных школ.
пособием (2) дома, изучали больше материала, чем бы-
ло задано, так как им было интересно работать (по их
отзывам).
Анализ данных продвижения учащихся, работавших
с пособием (2), показывает, что в течение первых четы-
рех уроков скорость продвижения возрастает, в течение
пятого и шестого — падает, затем снова возрастает.
Скорость продвижения зависела не только от приобре-
тения навыков, но и от содержания материала.
Уравнивание темпа работы класса проводилось путем
выполнения учащимися домашних заданий и дополни-
тельных индивидуальных заданий в классе.
Большой разнобой в продвижении мы наблюдали у
учащихся при работе с пособиями (3) и (4). Здесь вы-
делились группы учащихся, которые работали в опреде-
ленном темпе.
Количество этих групп и их численность в разных
школах и классах различны и зависят не только от
психологических особенностей школьников, но и от их
математической подготовки. Например, средняя ско-
рость проработки материала одной такой группы (из
25 учащихся) колеблется между 0,05 до 0,45 страницы
в минуту.
В среднем иа изучение темы по пособиям (2) и (3)
израсходовано по 13,7 часа, что превышает предусмот-
ренное программой число часов в IX классе иа 4 часа,
или на 40%, и в X классе на 5,6 часа, или иа 70%.
Анализ контрольных работ показывает, что учащиеся
экспериментальных классов усваивают материал луч-
ше, чем учащиеся классов, где преподавание проводи-
лось обычным путем.
Результаты контрольных работ учащихся семи школ,
работавших по пособию (2), следующие: хороших и от-
личных оценок — 52%, удовлетворительных — 42,2%, не-
удовлетворительных — 5,8%.
В контрольных работах учащихся, работавших с по-
собием (3), отличных и хороших оценок 57%, удовлет-
ворительных — 37%, неудовлетворительных — 6%.
Встречающиеся ошибки в работах учащихся в основ-
ном совпадают с ошибками учащихся контрольных
классов. Это типичные ошибки в тождественных преоб-
разованиях и вычислениях, которые ие раз отмечались
в методической и психологической литературе.
Представляет интерес вопрос о сочетании традици-
онных методов с программированным обучением.
Опыт 1964/65 учебного года показал, что учащиеся
IX класса не могут продолжительное время работать
самостоятельно с программированным пособием. Поэто-
му в 1965/66 учебном году мы решили сочетать инди-
видуальную работу с коллективной. Разные учителя это
делали по-разному. При работе с программированным
пособием (2) учитель В. И. Лукавецкий (кроле-
вецкая школа № 5 Сумской обл.) на первом уроке объ-
яснил принципы расширения понятия степени, затем
учащиеся работали самостоятельно с программирован-
ным пособием, на втором и третьем уроках выясняли
неясные вопросы и продолжали работать самостоя-
тельно, иа четвертом уроке учитель показал учащимся
целесообразность выполнения действий непосредственно
над степенями с отрицательными показателями (а не
путем перехода к степеням с положительными показа-
телями), на пятом уроке была проведена контрольная
работа с выбором ответа, после этого учащиеся рабо-
тали самостоятельно. На следующих уроках учитель
останавливался на общих свойствах степенной функции
и т. Д. Такие же активные формы применялись в 78-й
школе г. Киева, где эксперимент проводился при непо-
средственном участии автора пособия.
Мы убедились, что формы и система работы учителя
J при программированном обучении могут быть разнооб-
I разными. Они зависят от специфики класса, содержания
| материала, системы работы учителя. Но во всех стуча-
I ях при программированном обучении роль и ответствен-
но
ность учителя повышается, а не уменьшается, как неко-
торые себе представляют.
Учащиеся проявляют большой интерес к работе с
программированным пособием. Это является важным
положительным фактором в усвоении учебного мате-
риала.
Учителя-экспериментаторы также дают положитель-
ную оценку программированным пособиям. Наряду с
положительными сторонами они отмечают ряд недо-
статков в пособиях, предлагают улучшить изложения
отдельных тем.
Так, в пособии (2) учителя предлагают увеличить ко-
личество задач, для которых в пособии нет решений,
включить больше задач повышенной трудности, выде-
лить (петитом) не обязательный для проработки мате-
риал, дать указания, какие вопросы следует прорабаты-
вать на коллективных занятиях.
В пособии (3) — дать более рациональные способы
доказательства теоремы синусов и формулы Герона, дать
несколько вариантов изложения для различных уровней
знаний, включить больше пропусков слов и формул, вы-
делить необязательный для проработки материал, вклю-
чить больше задач прикладного характера, разграни-
чить упражнения для классных и домашних занятий,
контрольные работы дать в 10—15 вариантах; усовер-
шенствовать систему расположения ответов.
Пособие (4) считают целесообразным разгрузить, вы-
делить необязательный для проработки материал, бо-
лее четко дозировать материал, -выводы выделять кур-
сивом, дать подготовительный материал для облегчения
доказательства формулы Герона, задачи повышенной
трудности поместить в конце пособия, улучшить каче-
ство издания пособия.
ВЫВОДЫ
1. Анализ полученных экспериментальных материалов
свидетельствует о том, что безмашинное программиро-
ванное обучение математике оправдывает себя и должно
занять надлежащее место в системе методов, применяе-
мых в школе.
2. Программированные пособия по отдельным разде-
лам могут применяться в школе параллельно со ста-
бильным учебником и использоваться ие только в клас-
се, но и дома.
3. Дозирование материала в программированном по-
собии само по себе не обеспечивает индивидуализацию
обучения. Возникает необходимость программировать
содержание для различных уровней знаний.
4. Обучение с помощью программированных пособий
требует пересмотра системы работы учителя. Наряду с
самостоятельной индивидуальной работой необходимо
проводить и коллективные занятия, где учитель выяс-
няет трудные вопросы, дает указания, обращает внима-
ние на типичные ошибки учащихся. Усвоение и закреп-
ление материала в основном осуществляется во время
самостоятельной работы с программированным посо-
бием.
5. Самостоятельная работа учащихся по программиро-
ванному пособию должна ими контролироваться, жела-
тельно с помощью технических средств.
6. При программированном обучении целесообразно
практиковать систему заданий с выбором ответа. Экс-
перимент показал, что если при составлении заданий
с выбором ответа обеспечить требования относительно
количества упражнений, их системы и вариативности
ответов, то угадывание учащимися правильных ответов
практически исключается. Сами учащиеся не считают
задание с выбором ответа более легким по сравнению
с обычным. Этот способ проверки знаний достаточно
авторитетен в глазах учащихся.
7. Механизированный контроль знаний ие должен вы-
теснять из педагогической практики традиционных форм
проверки и учета знаний учащихся, ио как вспомога-
тельное средство он очень полезен, особенно при повто-
рении материала.
Т. Г. ГЕГЕЛИЯ, Л. Г. МАГНАРАДЗЕ,
Ш. С. ПХАКАДЗЕ [г. Тбилиси)
О ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ ПО МАТЕМАТИКЕ
С ПОМОЩЬЮ МАШИН
От редакпии.
Существующая система вступительных экзаменов в
вузы не может считаться совершенной. Многие педаго-
ги как средней школы, так и вузов справедливо отме-
чают, что экзаменационные задачи все в большей сте-
пени начинают напоминать собрания головоломок. Мо-
лодому человеку предлагают в ограниченный срок ре-
шить задачи, каждая из которых требует не знаний, а
виртуозной выдумки; не навыков, которые дает школа,
а специальной изощренности, которую можно получить
только в весьма специфических условиях.
К тому же все увеличивающаяся тяга молодежи в ву-
зы превращает вступительные экзамены в одну из тя-
желейших нагрузок, которые ложатся на плечи препо-
давателей математики. Если учесть, что экзамены про-
водятся в очень сжатые сроки, то обычная форма их
проведения требует от экзаменаторов очень большого
напряжения. Естественно, что при этом неизбежны и
ошибки, и субъективные суждения, и недостаточно обос-
нованные оценки. Грузинские математики рекомендуют
разгрузить период экзаменов от сложной работы по
проверке, перенеся ее на период подготовки. Несомнен-
но интересен и опыт большого числа вопросов, каждый
из которых прост. Это прекрасно проверяет знания и
одновременно позволяет получить представление о зна-
ниях поступающего по всему школьному курсу.
Редакция надеется, что читатели журнала, познако-
мившись с опытом грузинских товарищей, не оставят
эту статью без откликов.
Число участников на конкурсных экзаменах для по-
ступления в высшие учебные заведения Грузинской
ССР за последние годы значительно возросло. Нередки
случаи, когда на одно место приходится 15 или даже
25 абитуриентов. Большую часть всех вступительных
экзаменов составляют экзамены по математике, первые
экзамены, как правило, проводятся по математике.
При весьма большом количестве абитуриентов экза-
менаторам приходится работать в весьма напряженной
обстановке, что отрицательно влияет па экзаменацион-
ный процесс и значительно осложняет задачу отбора
70
наиболее достойных кандидатов; ведь при весьма пере-
груженном рабочем дне невозможно проведение экза-
менов на достаточно высоком уровне.
Это обстоятельство породило мысль проведения экза-
менов с помощью машин. В прошлом году машины бы-
ли использованы на вступительных экзаменах в Тби-
лисском государственном университете, Грузинском по-
литехническом, Грузинском сельскохозяйственном и дру-
гих институтах. Мы не считаем, что эта форма экзаме-
нов дает полное решение задачи отбора Но она может
оказаться наиболее подходящей формой экзаменов и
для других учебных заведений Советского Союза.
Вступительные экзамены с помощью машин можно
организовать так, чтобы субъективные факторы не вли-
яли на оценку знаний абитуриента.
Применять машинную форму приемных экзаменов в
высших учебных заведениях с небольшим конкурсом,
конечно, нет никакой необходимости.
Как известно, вместе с четкостью логических форму-
лировок и умением выводить формулы от абитуриента
требуется также и демонстрация навыков в ведении
арифметических и алгебраических выкладок, умение ис-
пользовать теоретические знания при решении задач.
Мы считаем, что с помощью машин довольно точно
производится оценка навыков абитуриента решать зада-
чи и производить выкладки. Что касается проверки тео-
ретических знаний абитуриента, то оиа должна быть
произведена традиционным путем.
Желательный эффект получается именно при сочета-
нии машинного испытания с традиционным
Ниже мы расскажем, как проводились экзамены с
помощью машин в 1966 г. в Тбилисском государствен-
ном университете.
Экзаменационный билет. На экзаменах с помощью
машин абитуриенту дается индивидуальный билет, пред-
ставляющий из себя девятистраничный блокнот малого
формата, на обложке которого поставлен номер билета,
а на каждой странице дается по одному вопросу.
Абитуриенту предлагается 9 вопросов, ответы на ко-
торые выражаются целыми числами от 0 до 99, о чем
сообщается абитуриенту.
Для каждого факультета были составлены билеты
соответствующей трудности. Для химического факульте-
та были составлены билеты средней трудности. Приве-
дем один такой билет.
Билет № 310
1 25- 5 6
1. Найти среднее арифметическо“ чисел: ——----+—.
о 1 • -8
3 ’ 33
«25 А.
II. Найти 5 (Xj 4- xs), если %, и хг - корни уравне-
ния 5*’-4л+2 —log322 - 0.
III. Вычислить
4
з _ 4 _ 4 _ 12 _
(2 /12+ /4—6/32) • /2 — 4]/ -у-/32 +17.
IV. Сумма членов геометрической прогрессии равна
20 1
20 gy > число членов равно 4, а знаменатель равен — -g.
Найти первый член прогрессии.
V. Найти ab, если а и b — наибольшее и наимень-
1 _
шее целые решения неравенства —-------< — 2.
5х —14
VI. В круге проведена хорда, стягивающая дугу в
120°. Расстояние от центра до хорды равно 14,5 м.
Скольким метрам равен радиус круга?
VII. Сумма двух разных сторон основания прямо-
угольного параллелепипеда равна 7 м, а диагонали
боковых граней равны соответственно!- 41 и + 34 м.
Скольким- м3 равен объем?
VIII. Вычислить 3tg*a + 5tga+gt
tg3 о — tg а
2
если sin а =—
У 5
tg а > 0.
IX. Шар пересечен плоскостью. Радиус шара, прове-
денный через точку окружности сечеиия, образует
с плоскостью сечения угол а. Найти объем шара, если
площадь сечения (в квадратных сантиметрах)
з
S = 2 /18тс cos2 а.
Ответы на вопросы I—IX соответственно таковы:
12, 20, 5, 28, 39, 29, 60, 5, 16. *
О количестве Вопросов в билете. Соображения теоре-
тико-вероятностного характера и эксперименты показы-
вают, что при данном способе испытания наиболее це-
лесообразным числом вопросов в каждом билете явля-
ются 7 и 9. Мы 'опускаем здесь обсуждение этого вопро-
са Во время экзаменов 1966 г. было решено отдать
предпочтение числу 9.
Как были составлены билеты. За три месяца до на-
чала экзаменов была выделена комиссия для составле-
ния билетов. Комиссия состояла из 10 квалифицирован-
ных математиков (2 профессора и 8 кандидатов наук).
Курс элементарной математики, р объеме действую-
щей программы для вступительных экзаменов, был раз-
делен на 9 частей: 1) действительные числа, комплексные
числа; 2) уравнения; 3) преобразования алгебраических
выражений; 4) прогрессии и логарифмы; 5) функции и
их графики, неравенства, исследование уравнений;
6) планиметрия; 7) стереометрия; 8) тригонометрия;
9) приложения тригонометрии.
Каждый билет содержал по одному вопросу из каж-
дой части. Комиссия составила по 350 вопросов из
каждой части. Они были отпечатаны на ротапринте на
русском и грузинском языках в количестве 20 экземп-
ляров каждый вопрос и снабжены порядковыми номе-
рами, согласованными с таблицей ответов. Экзамена-
ционный билет, как уже было сказано выше, содержал
по 9 таких вопросов. С помощью таблицы ответов для
каждого билета была составлена последовательность от-
ветов — «код» билета. Таким образом было составлено
7000 билетов.
Абитуриенты распределялись в потоки. В каждом по-
токе было объединено 500 абитуриентов. Эти 500 чело-
век сдавали экзамены одновременно. Для потока подго-
товлялись экзаменационный пакет, содержащий билеты,
пронумерованные от 1 до 500, и таблица с кодами. Та-
ких пакетов было подготовлено 14. Подготовкой паке-
тов заканчивалась предъэкзаменационная работа комис-
сии. Отметим также, что никакие два билета не были
идентичны. »
Для каждой из названных 9 частей элементарной ма-
тематики были составлены задачи трех степеней по
трудности. Вопоос о степени трудности решала комис-
сия. Все бялеты одного потока содержали одинаковое
количество задач данной степени трудности.
В приведенном выше образце билета вопросы I, IV,
VI и VIII считались вопросами первой, вопросы II, VII
и IX — второй, а вопросы III и V —третьей степени
трудности. Таким образом для химического факультета
все билеты содержали 4 вопроса первой, 3 вопроса вто-
рой и 2 вопроса третьей степени трудности.
Билеты, предназначенные для поступающих на мате-
матический факультет, содержали более трудные во-
просы.
71
О критерии оценок. Для химического факультета каж-
дый вопрос третьей степени трудности оценивался дву-
мя баллами, каждый из остальных вопросов оценивал-
ся одним баллом. Таким образом, максимальное коли-
чество баллов, которое мог набрать абитуриент, равня-
лось 11. Абитуриент получал оценку 3, если он наби-
рал 5—7 баллов, оценку 4, если он набирал 8—9 бал-
лов, и оценку 5, если он набирал 10—11 баллов. Во всех
остальных случаях абитуриент получал оценку 2
Об организации экзаменов с помощью машин. Экза-
мены происходили в двух аудиториях. Одна из них пред-
ставляла рабочую аудиторию, в которой размешены
пронумерованные столы. Во второй аудитории были
установлены машины
Перед входом в рабочую аудиторию абитуриент брал
иомер (лотерейным способом), который определял его
билег и место в аудитории. Если, например, абитуриент
взял № 310, он в рабочей аудитории занимает стол
№ 310, после чего ему подают бумагу для работы и
билет № 310. Абитуриент должен решить вопросы би-
лета и ответами заполнить припечатанную к рабочему
листу таблицу.
На решение всех вопросов билета абитуриенту дается
3 астрономических часа.
Если абитуриент не решил какой-нибудь вопрос, тог-
да он в соответствующей графе должен поставить сим-
вол z. Исправления в таблице не разрешались.
Допустим, что абитуриент, которому достался билет
№ 310, после выполнения работы заполнил таблицу так:
Таблица 1
Вопрос I II III IV V VI VII VIII IX
Ответ 12 20 83 28 Z 29 60 59 16
Как видим, здесь даны неправильные ответы иа во-
просы III и VIII и без ответа оставлен вопрос V. Но
решением шести задач абитуриент набрал 6 баллов и
заслужил оценку «3».
Во второй аудитории установлены экзаменующие ма-
шины. Абитуриент подходит к машине с заполненной
таблицей. Преподаватель настраивает машину в соот-
ветствии с номером билета абитуриента, и абитуриент
вводит в машину последовательно все числа, которыми
заполнена таблица (машина имеет клавиш и для вво-
да символа z). После ввода всех ответов абитуриент
нажимает на кнопку «оценка» и в специальной форточ-
ке показывается заслуженная абитуриентом оценка, ко-
торая одновременно автоматически печатается на экза-
менационном листе.
Этим заканчивается испытание с помощью машин и
через несколько дней абитуриент, получивший оценку
«3», «4» или «5», сдает обычный устный экзамен.
Об экзаменующей машине. Машина, которая работает
по указанному правилу, изготовлена по заказу Тбилис-
ского государственного университета Тбилисским науч-
но-исследовательским институтом средств автоматиза-
ции.
О кодовом испытании. Рассмотренной формой испы-
тания абитуриент фактически сам оценивает свои зна-
ния в рабочей же аудитории, когда производит запись
полученных ответов в таблицу. Машина только читает
эту запись. «Код» билета есть последовательность из
9 чисел, Л-тый член которой является ответом fe-того
вопроса билета (А=1, .., 9) Для рассмотренного выше
билета № 310 кодом является последовательность (>).
Сравнением кода с представленной абитуриентом запол-
ненной им же таблицей очень просто и быстро можно
определить ту оценку, которую заслужил абитуриент.
С этой целью удобнее назвать кодом последовательность
ответов, в которой подчеркнуты (каким-нибудь обра-
зом) ответы двухбалловых вопросов. Например, для
билета № 310 код можно представить следующей таб-
лицей:
Т а бл и ц а 2
Ответ по коду 12 20 5 28 39 29 60 5 16
Баллы 1 1 2 1 2 1 1 1 I
Допустим, на билет № 310 абитуриент представил от-
вет таблицей 1. Теперь мы можем таблицу 2 (код
билета № 310) приложить к таблице 1 и подсчитать
набранное абитуриентом количество очков. Картина
представится таблицей 3:
Набранное количество баллов — 6, оценка — «3».
Наверное, у читателя появился естественный вопрос
если так просто возможна замена экзаменов с помощью
машин кодовым испытанием, почему проводится машин-
ное, а не кодовое испытание? Здесь необходимо отме-
тить, что экзамен с помощью машин производит на
абитуриента сильное психологическое воздействие. Воз-
можно, хорошо организованное кодовое испытание ока-
жет почти такое же воздействие, как и машинное.
В этом направлении у нас не проводились экспери-
менты.
Ниже мы будем говорить только о машинном испы-
тании, но все сказанное о нем в той же мере касается
и кодового испытания.
Одно из различий машинного испытания от обычного
заключается в том, что при машинном испытании основ-
ная работа выполняется до начала экзаменов. В самом
же процессе испытания экзаменатор выполняет роль
простого регистратора, которую может выполнить и
неспециалист.
Машинное испытание характеризуется большой про-
пускной способностью. (За день фактически можно про-
экзаменовать столько абитуриентов, сколько возможно
обеспечить рабочими местами.
Машинное испытание можно провести малочисленной
группой педагогов.
При машинном испытании абитуриенты поставлены
в совершенно одинаковые условия (в смысле бесприст-
растности, объективности, отведенного для выполнения
работы времени и трудности билета).
При машинном испытании абитуриент сразу получает
оценку и освобождается от нервного состояния ожида-
ния, которым характеризуется обычный письменный эк-
замен.
Вышеописанный способ распределения абитуриентов
в рабочей аудитории лотерейным путем исключает у
заинтересованных абитуриентов оказаться в соседстве
друг с другом, что и создает спокойную атмосферу в
рабочей аудитории, так необходимую во время экза-
менов.
72
Форма машинного испытания, описанная нами, фак-
тически основана на принятии ввода в машину резуль-
тативных ответов. Этот принцип обладает тем недостат-
ком, что экзаменующийся может пострадать за незна-
чительную (механическую) ошибку, которую обычно
экзаменаторы прощают. При описанном способе этот
недостаток сказывается не в полной мере. Абитуриенту
известно, что ответ — целое число от 0 до 99. Если он
допустил ошибку, то ответ лишь в редких случаях будет
таким числом. Это послужит сигналом для пересмотра
работы.
Мы отказались от применения машин, построенных
по принципу выбора ответов. Этот принцип требует
предварительной приписки большого количества невер-
ных ответов. Простой расчет показывает, что в приме-
ненных нами машинах вероятность получения завышен-
ной оценки при наугад подобранных ответах столь ма-
ла, что лишь 0,1% абитуриентов может получить неза-
служенно высокую оценку.
Сделаем несколько замечаний по характеру вопросов,
предлагавшихся при машинном испытании в 1966 г Мы
не считали целесообразным предлагать на экзаменах
вопросы повышенной трудности, требующие для реше-
ния долгого размышления и изобретательности. Мы не
можем превращать приемные испытания в состязания
талантов.
Вероятно, среди абитуриентов, получающих неудов-
летворительные оценки за невыполнение особо трудных
заданий, оказываются и такие, которые успешно могли
бы учиться в высшей школе. Наши экзаменационные
билеты не содержали вопросов, требующих для реше-
ния чего-либо, кроме хорошего знания материала про-
граммы. Можно сказать, что такой принцип составления
вопросов полностью себя оправдал; последующие
устные экзамены давали возможность отобрать из
оставшихся более достойных.
Облегчает ли машинное испытание труд экзамена-
тора? Если иметь в виду тот способ машинного экзаме-
на, который мы применяли, то на этот вопрос следует
ответить отрицательно. Труд не облегчается, ио ои в
значительной степени выполняется до начала экзамена-
ционного процесса.
В будущем, если такой способ найдет распростране-
ние хотя бы в масштабах одной республики, материал
может быть подготовлен в централизованном порядке,
и он может быть сохранен на следующие годы. Таким
путем, может быть, будет облегчен труд экзаменаторов.
В заключение приводим статистические данные о ре-
зультатах вступительных экзаменов.
Во время машинного испытания из общего числа аби-
туриентов оценку «2» получили 58,5%, оценку «3» —
23,2%, оценку «4»—11,6%, оценку «5» — 6,7%; притом
из поступивших на механико-математический факультет
оценку «2» получили 28,9%, оценку «3» -27,6%, оцен-
ку «4»—18,4%, оценку «5» —25,1%. Из поступавших
на экономический факультет получили оценку «2» —•
68,1%, оценку «3» —22,1%, оценку «4» —6,8%, оцен-
ку «5» — 3%.
Внеклассная работа
Н. Я. ВИЛЕНКИН (Москва)
КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ
Среди комбинаторных задач большой интерес пред-
ставляют задачи с геометрическим содержанием. Иног-
да такие задачи удается решить применением обычных
формул для размещений, перестановок и сочетаний.
1. На плоскости задано п точек, из которых р лежат
на одной прямой, а кроме иих, никакие три точки не
лежат на одной прямой Сколько существует треуголь-
ников, вершинами которых являются эти точки?
Если бы не было условия, что р точек лежат на од-
ной прямой, то мы имели бы С® треугольников (каж-
дый треугольник определяется выбором трех вершин
из п, причем порядок выбора ие играет роли). Но сре-
ди иих есть Ср «треугольников», вершины которых
лежат на одной прямой. Исключая их, получаем, что
число треугольников, удовлетворяющих условию зада-
СЗ >-^3
л —
2. Пусть выпуклый л-угольник таков, что никакие
три его диагонали не пересекаются в одной внутренней
точке этого п-угольника ’. Найти число точек пересече-
ния диагоналей
Каждая внутренняя точка пересечения диагоналей оп-
ределяется заданием четырех вершин многоугольника
Поэтому число таких точек равно С„.
Но в других задачах требуются более сложные рас-
суждения, ие сводящиеся к прямому применению го-
товых формул
1 Таким свойством, например, обладает пятиугольник
и не обладает правильный шестиугольник.
3. Каждая сторона квадрата разбита на п частей.
Сколько можно построить треугольников, вершинами
которых являются точки деления?
Такие треугольники могут быть двух видов: а) все
три вершины лежат иа разных сторонах квадрата,
б) две вершины лежат иа одной стороне квадрата,
а третья — на другой стороне. В первом случае сна-
чала надо выбрать три стороны квадрата, на которых
лежат вершины треугольника. Это можно сделать
4 способами (отбрасывается одна сторона). После этого
на каждой стороне выбираем по одной точке из (п—1)
точек деления. Так как эти выборы делаются незави-
симо друг от друга, то имеем (п—I)3 способов выбо-
ра. Всего треугольников первого вида получаем
4(и—1)’. Во втором случае надо выбрать сторону,
на которой лежат две вершины треугольника (4 спо
соба выбора) и на ией две точки из п — 1 (С1 2пспо-
собов выбора). После этого надо выбрать одну из ос-
тавшихся трех сторон (три способа выбора) и точку
иа этой стороне («—1 способов выбора). Так как
и здесь все выборы не зависят друг от друга, то мы
получаем 12 (л—1) треугольников второго вида.
А общее число треугольников равно
4(п— I)3 + 12(п—1)С^ = 2 (л — 1)г(5л — 8).
4. Доказать, что число треугольников с целочислен-
ными сторонами, длина сторон которых не больше,
чем 2л, равно "g-(n + 1)(4л + 5).
73
Обозначим стороны треугольника через х, у, г.
Пусть х < у •< г. Из условии задачи видно, что х, у,
z — натуральные числа, такие, что х + у > z и г^2п.
Найдем сначала число таких треугольников при задан-
ном х<п. Ясно, что у принимает значения от х до
2п, х<у<С2п. Когда у пробегает значения от х до
2п — х + 1, каждому значению у соответствует х зна-
чений г, удовлетворяющих неравенствам х у г,
х + у > z. Если же у принимает значения от 2и—.*4-2
до 2п, то число соответствующих значений z равно
2п — у + 1. Всего при заданном х, получаем
2п
S4nx—3х*4-3х
(2п—у+1)=-------
у=2л—jr+2
пар (у, z), таких, что х, у, г удовлетворяют постав-
ленным условиям. Отсюда вытекает, что общее число
треугольников, для которых х -^п и * < у< 2п,
равно
п
S4nx— Зхг + Зх п(п + 1)’
2------------2 •
Х=1
Теперь найдем число треугольников, для которых
х > п. Любые три целых числа х, у, г, такие, что
х > п и ху z2п явлиются сторонами треуголь-
ника. Поэтому число треугольников, для которых х>п,
равно числу сочетаний с повторениями 1 из п элемен-
п (п + 1) (п 4- 2)
тов по 3, то есть -----------g-----—. Всего имеем
п(л4-1)! п(п + 1)(л + 2) п (п 4-1)(4п 4-5)
2 + 6 “ 6
треугольников.
Предоставляем читателю решить следующие задачи:
1. Сколько существует различных прямоугольных па-
раллелепипедов, длина каждого ребра которых выра-
жается натуральным числом, не превосходящим 10?
2. На одной примой даны п точек, а на параллельной
ей прямой — т точек. Сколько существует треугольни-
ков, вершинами которых являются эти точки?
3. Сколько треугольников добавится к треугольникам
в предыдущей задаче, если добавить еще р вершин,
лежащих на третьей примой, параллельной данным, и
расположенных так. что никакие три точки не лежат на
одной трансверсали?
4. На плоскости проведено п прямых линий, из кото-
рых т проходят через точку А, а р— через точку В;
никакие три прямые не проходят через одну точку,
отличную от А и В, и никакие две не параллельны.
Сколько точек пересечения имеют эти прямые?
5. На сколько частей делят плоскость п прямых ли-
ний, из которых никакие две ие параллельны и никакие
три не проходят через одну и ту же точку?
6. На сколько частей делят пространство п плоско-
стей, из которых никакие 4 не проходят через одну
и ту же точку, никакие 3 не проходят через одну и ту
же прямую и никакие две не параллельны?
7. Найти число разносторонних треугольников, длины
сторон которых выражаютси натуральными числами,
не превосходящими 2п.
8. Найти число треугольников, длины сторон кото-
рых — натуральные числа, не превосходящие 2п 4- 1
Сколько среди этих треугольников разносторонних?
2 Вывод этих формул читатель может найти в
«Специальном курсе элементарной алгебры» С. И. Н о-
воселова, изд «Просвещение», 1964 и в «Элемен-
тарной алгебре» С. Г. Завале, изд. «Просвещение»,
1964.
9. На плоскости проведены п прямых линий, никакие
три из которые не проходят через одну точку и ника-
кие две не параллельны. Найти число п-угольников,
вершинами которых являются точки пересечения этих
прямых, причем никакие три вершины не принадлежат
одной прямой.
10. На одной прямой даны п точек, а на другой т
точек, отличных от точки пересечения этих прямых.
Эти точки попарно соединены прямыми. Найти число
точек пересечения этих прямых.
11. На плоскости даны п точек, таких, что никакие
три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре
не лежат на одной окружности. Через каждые две точ-
ки проводится прямая, а через каждые три — окруж-
ность, причем каждая прямаи пересекает каждую
окружность в двух точках. Сколько точек пересечения
прямых с окружностями? окружностей с окружно-
стями’
12. Из п отрезков длины 1, 2.. п выбирают 4 отрез-
ка так, чтобы они были сторонами описанного четы-
рехугольника. Доказать, что это можно сделать
2п (п — 2) (2п — 5) — 3 4- 3 (—1)«
48
способами.
13. В пространстве даны п точек, из которых т ле-
жат в одной плоскости, а остальные точки расположе-
ны так, что никакие четыре из них ие лежат в одной
плоскости. Сколько можно провести плоскостей, содер-
жащих по три точки из заданных?
14. На плоскости даны не лежащие на одной пря-
мой три точки. Через одну из них проведены п прямых,
через другую т прямых и через третью р прямых. Ни-
какие три из проведенных прямых не пересекаются
в одной точке (отличной от заданных), никакие две не
параллельны между собой. Найти число треугольников,
стороны которых лежат на этих прямых.
15 На каждой из п прямых дано по т точек так,
что никакие три из них не лежат на одной прямой,
отличной от данных, и никакая точка не является точ-
кой пересечения данных прямых. Сколько можно полу-
чить треугольников, вершинами которых служат дан-
ные точки?
16. Найти число всех выпуклых ш-утольников, вер-
шинами которых служат т вершин данного выпуклого
n-угольника, причем любые две соседние вершины
m-угольника должны быть разделены по меньшей мере
р вершинами «-угольника
17. На сколько частей разбивается выпуклый «-уголь-
ник своими диагоналями, если никакие три из них не
пересекаются в одной внутренней точке этого п-уголь-
74
ника? Пример: 6-угольник ABCDEF разбивается диаго-
налями на 25 частей (см. черт.).
18. Доказать, что число треугольников с целочислен-
ными сторонами и периметром 4п + 3 на п + 1 больше,
чем число таких же треугольников с периметром 4п.
19. На плоскости проведены п параллельных друг
другу прямых. Кроме того, на той же плоскости про-
ведены т прямых, не параллельных ни между собой,
ни проведенным ранее прямым. Ни одна из прямых не
проходит через точку пересечения двух других прямых.
На сколько частей делят эти прямые плоскость?
20. Параллелограмм пересекается двумя рядами пря-
мых, параллельных его сторонам; каждый ряд состоит
из п прямых. Сколько параллелограммов содержит по-
лучившаяся фигура?
21. Сколькими способами можно соединить попарно
вершины правильного 2п-угольника п отрезками так,
чтобы никакие два отрезка не имели общих точек?
А. И. ОСТРОВСКИЙ (Москва)
О РАВНОСОСТАВЛЕННЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКАХ И ТРЕУГОЛЬНИКАХ
«Если два многоугольника имеют одинаковую пло-
щадь, то один из них можно разбить на такие части, из
которых возможно составить второй, многоугольник»,
или, короче: «Если два многоугольника равновелики, то
они равносоставлены» (теорема Бойяи — Гервина).
Хадвигер и Глюр показали, что «в этой теореме мож-
но еще дополнительно потребовать, чтобы части, на
которые разрезан один из двух равновеликих много-
угольников, и равные им части второго многоугольника
имели соответственно параллельные стороны».
Теория данного вопроса изложена в брошюре
В Г. Болтянского «Равновеликие и равносоставленные
фигуры», откуда взяты приведенные выше формулиров-
ки, и более полно в статье того же автора «Равносостав-
ленность многоугольников и многогранников» в V то-
ме Энциклопедии элементарной математики — «Геомет-
рии».
В настоящей статье рассмотрено несколько практи-
ческих примеров построения равносоставленных прямо-
угольников и треугольников.
I. ПРЯМОУГОЛЬНИКИ
Дан прямоугольник ABCD (AB = at). Требуется раз-
бить его на несколько частей и составить из них дру-
гой прямоугольник, одна сторона которого дана (а2).
I. Отложим от вершин А и С по сторонам прямо-
угольника ABCD данный отрезок, а именно:- АЕ= и
CF = а^ (черт. 1,с). Соединим точки В и F прямоли-
нейным отрезком и проведем через точку Е прямую, па-
раллельную AD, — до пересечения этой прямой с BF в
точке И. Прямоугольник ABCD разбит на три части:
1 — пятиугольник HEADF с тремя прямыми углами и
одной из сторон, равной а2; II — прямоугольный тре-
угольник BCF, один из катетов которого равен в2, и
III — прямоугольный треугольник ВЕИ.
Переместим треугольник II параллельно самому себе
вдоль своей гипотенузы BF — до совпадения его вер-
шины В с точкой И (черт. 1,6); тогда вершина F тре-
угольника окажется в точке О на продолжении отрез-
ка AD (ибо по построению АЕ = CF).
Переместим треугольник III параллельно самому се-
бе вдоль гипотенузы ВН — до совпадения его верши-
ны В с точкой F; тогда его вершина Е совпадет с
точкой D, а вершина И — с точкой G (BE = —а2 и
FD=ai—02, следовательно, BE—FD).
Полученный прямоугольник AECG — искомый: он
равносоставлен с прямоугольником ABCD и одна его
сторона (АЕ) имеет заданную длину.
2. Отложим данный отрезок а2 от той же верши-
ны А, но теперь по стороне AD\ получим точку G
(черт 1, в); соединим прямолинейным отрезком точки
В и G; отложим АЕ — CF; проведем EH\\AD.
Заданный прямоугольник ABCD разбит на три части,
из которых можно составить искомый прямоугольник
(черт. 1, а).
Если либо заданный, либо искомый прямоугольник—
квадрат, то оба варианта совпадают.
3. В рассмотренном случае величина заданного от-
резка (а2) удовлетворяет следующему условию: a2<at
и O2<2bi, где at и t>i—длины сторон заданного пря-
моугольника.
На чертеже 2 рассмотрен более общий случай, когда
ид, < а2 < (н + 1) alf где п равно соответственно
2 и 3.
В этом случае наименьшее число частей, на которые
необходимо разбить заданный прямоугольник, превы-
шает 3, а именно, оно равно (соответственно) 4 и 5.
Итак, любой заданный прямоугольник можно разбить
прямыми линиями на т частей так, что из них можно
75
путем параллельного переноса составить любой прямо-
угольник, равновеликий данному. Число частей
т — п + 2, где целое число п определяется соотноше-
нием: — 1 < п < Если п — аг:а„ то т — п.
ai
II. ТРЕУГОЛЬНИКИ
Дан треугольник АВС (черт. 3); требуется преобра-
зовать его в равновеликий ему треугольник KLM, две
стороны которого — KL и LM — заданы.
Обозначим длины половин сторон треугольников
соответственно через a, b, с, k, I и т. Из точки Е,
середины стороны АВ, радиусом, равным k, засекаем
на стороне АС точку G. Соединим примолинейным от-
резком точки Е и G. Из точки D, середины стороны
ВС, радиусом, равным т, засекаем на ЕС точку F.
Отложим GH -би соединим прямолинейным отрезком
точки F и D, а также F и Н. Докажем, что HF — I.
Соединим точку D прямолинейными отрезками с точ-
ками Е, G и Н. ED — —1— АС (так как точки Е и
2
D—середины сторон АВ и ВС по построению);
GH = Ь\ следовательно, GFi^iED; EDHG— паралле-
лограмм; площадь его равна половине площади тре-
угольника АВС. Поэтому Sdfh “ $DGH “ —
SabC-
Итак, площадь треугольника DFH равна —1— пло-
4
щади треугольника АВС, т. е. равна —площади рав-
4
иовеликого ему треугольника KLM', но по построению
DF — т и DH — k, т. е. две стороны треугольника
DFH соответственно равны половинам сторон тре-
угольника KLM, следовательно, и третья сторона (FH)
равна половине стороны треугольника KLM, т. е.
FH -I.
Вообразим, что в точках D, G и Н— шарниры.
Оставим одну из четырех частей, на которые мы
разрезали треугольник АВС, например четырехуголь-
ник DKHC. н; месте и станем вращать вокруг точки
D часть DFEB, а вокруг точки Н — часть HMG
вместе с частью AEG, причем последнюю будем вра-
щать вокруг точки G. Вращения будем производить
так. чтобы ни один кусок не «налезал» на другой.
На чертеже 3, б показано одно из промежуточных
положений (части DFEB и HMG повернулись вокруг
соответствующих шарниров на 60°, а часть AEG — на
1 20°).
На чертеже 3, в показано другое промежуточное по-
ложение (части DFEB и N MG повернулись вокруг
соответствующих точек на 120°, а часть AEG — на
240°).
Наконец, на чертеже 3, г показано конечное положе-
ние, а именно: части DFEB и HMG повернулись на
180°, часть AEG — на 360°.
Так как по построению DC — DB и BE — ЕА, то
вершины А, В н С совпадут в одной точке.
Так как ^А + ^В + ^С — 180°, то точки Н, С, В,
А и G — лежат на одной прямой. По построению
GH —--^-АС, поэтому HCBAG — HG. Следовательно,
фигура KLM — треугольник. Наконец, KL — KD 4-
+ DL = 2m, LM - LE + EG + GM - 2£G - 2fe.
Итак, KLM — искомый треугольник.
г
Черт. 3
Общий вывод. Заданный треугольник АВС раз-
бит тремя прямолинейными отрезками на четыре части;
из этих четырех частей составлен равновеликий ему
треугольник KLM, две стороны которого были заданы;
при этом 1) из четырех частей две переместились по-
ступательно, а две повернулись на 180е, 2) суммарная
длина всех линий разрезов на первом треугольнике
равна полупериметру второго треугольника, и наоборот.
(Нетрудно изготовить модель, скажем, из фанеры,
сделав вместо шарниров проволочные или просто нитя-
ные петли для наглядного показа процесса преобразо-
вания равносоставленных многоугольников.)
76
Является ли дчнно решение единственным’ Нет. за-
дача имеет несколько решений; подсчитаем возможное
количество вариантов;
1) построение можно начинать не только с точки Е,
но и с других двух средних точек заданного треуголь-
ника АВС;
2) первая засечка может быть сделана одним из
трех радиусов (k, I или т);
3) первую засечку (определяющую точку G) можно
сделать на одной из двух сторон треугольника;______
4) первая засечка может дать на каждой стороне по
две точки;
5) вторая засечка может быть сделана одним из
двух радиусов;
6) вторая засечка может дать на первом отрезке две
точки.
Таким образом, вообще говоря, возможны 3-3'2'2-
2-2=144 комбинации (в том числе и симметричные
относительно какой-либо оси треугольники). Однако
практически часть этих комбинаций оказывается несу-
ществующей.
Заметим, что искомый треугольник KLM, заданный
площадью и двумя сторонами, может быть не только
остроугольным (черт. 3), но и тупоугольным (черт. 4).
Если треугольники резко отличаются по форме — чис-
ло частей не четыре, а больше.
Аналогично решается задача и в том случае, когда
искомый треугольник KLM задан (кроме, конечно, пло-
щади) не двумя сторонами, а какими-либо Другими
двумя параметрами (например, стороной и углом).
III. ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ
Коль скоро любой треугольник может быть преобра-
зован в любой другой (разумеется, равновеликий ему)
треугольник, то и любой многоугольник может быть пре-
образован в любой другой (равновеликий ему) много-
угольник. В общем случае приходится разбивать мно-
гоугольники на большое число частей. Но в отдельных
случаях задача упрощается. Так, на чертеже 5 показа-
но преобразование параллелограммов в одном весьма
частном случае.
Черт. 5
77
М. У. ИСКАКОВ (г. Алма-Ата)
ФОРМУЛА ГЕРОНА В ПРОСТРАНСТВЕ
Известно, что объем V тетраэдра ABCD с ребра-
ми ВС -а, АС- Ь, АВ = с, AD — at, BD = b„ CD-
с, определяется по формуле
144V1 - a2 aj (b2 c1 — a2) ф b*tf (a2 + c2 — b2) +
+ c’c2 (a* + b2 — c2) — a2 (a, — b1) (a? — c2) —
-b2tf-c*)tf-a*)-c2tf-a*)x
X (cj — ft2) — a2b2c2, (1)
впервые установленной немецким ученым И. Юн г ну-
сом (1587—1657), которая может быть записана в виде
144V* — a'cj (b2 A- bf + с2 4- с2 — а2 — а2) +
+ b2 b\ (а2 + а2 + с2 + cj — Ь2 — 62) +
+ с2 с1 (а* -f- a2 + b2 -J- J2 — с2 — с2) —
— (a2b2c2 + a2b1l с2 + ajb’cf + a? b? с1)-,
или при помощи определителя:
0 1111
1 0 aj b* с?
288V1 - 1 "i 0 с2 А'
1 62 с* О а2
1 Cj b2 а2 О
(2)
(3)
плохо запоминаются.
Эти три формулы громоздкие и
Так, вторая из них содержит 23 члена, для получения
окончательного ответа ПР ней нужно произвести более
40 арифметических действий. Существующие доказа-
тельства • теоремы об объеме тетраэдра также не от-
личаются простотой. Например, Ж. А д а м а р при вы-
воде формулы (1) исходит из свойств центра пропор-
циональных расстояний («Элементарная геометрия»,
ч. II, изд. «Просвещение», М., 1938), которые ни в сред-
ней школе, ии в педагогическом институте не изуча-
ются. Между тем вопрос об объеме тетраэдра по
своему характеру относится к области школьной гео-
метрии.
Формула объема тетраэдра представляет как теоре-
тический, так и практический интерес. Обычно объем
тетраэдра вычисляют по площади основания и высоте.
Но высота не может быть измерена непосредственно,
если она находится внутри тетраэдра, измерение же
ребер тетраэдра возможно всегда. Эти обстоятельства
требуют упрощения приведенных выше формул.
Попытаемся вывести более удобную, нежели преды-
дущие, и легко запоминающуюся формулу для объема
тетраэдра по данным его ребрам.
Пусть DQ — высота тетраэдра, опущенная из вер ♦
шины D на основание АВС (см. черт.). Проводим пря-
мые QF и СЕ перпендикулярно стороне АВ и пря-
мую СМ параллельно АВ в плоскости треугольни-
ка АВС. Затем соединим прямыми вершину D с точ-
ками F и М. Из треугольников ЛВС и ABD находим;.
b2+c2 а2 а\ + с2-Ь\
АЕ = 2с ' AF “ 2с
Имеем: СМ -= EF — AF — АЕ, следовательно,
а2 -|- с, — Ь2 — bj
СМ =
2с
В прямоугольном треугольнике CMD катет MD =
-= Cj—СМ1. Поэтому
A4D = -^-V<4c,cJ —(a2 + a2 —6* —Ь2)2. (4)
Для удобства, вводим обозначения: S&BCD — Su
«д acd ” $«> ABD — S„ 5Д Авс — S4 (индекс со-
ответствует противолежащей вершине тетраэдра в по-
рядке А, В, С, D). Из треугольников ABD и АВС
находим:
DF-Л5-2, MF-СЕ -2-^. (5)
Можно доказать, что учетверенная площадь четырех-
угольника со сторонами k, I, т, п, диагоналями р и q
равна
ул4/?292 — {k2 + т2— I2 — п2)2.
Поэтому значение корня в равенстве (4) можно при-
нять за учетверенную площадь четырехугольника,
в котором ребра тетраэдра а, Ь, а,, Ь, являются сто-
ронами, а с н с,—диагоналями. Если площадь та-
кого вспомогательного четырехугольника обозначим
через Slt, т. е.
= V^c’c2 —(a* + a? —62—6?)2, (6)
то равенство (4) примет вид:
2SIS
MD-------(7)
Зная стороны DF, MF и MD, можно найти пло-
щадь треугольника MDF:
s& MDF “
= -4- z{MD + MF + DF) {—MD + MF+ DF) X~*
X {MD — MF + DF){MD + MF—DF).
Подставляя сюда значения MD, MF и DF из равенств
15) и (7), получаем:
5д MDF “
= У (Si2 + S3 + S4) (—SIt + S, + S4) X
X (S12 — s3 + S,) (S12 + S3 —S4).
(8)
78
Высота тетраэдра DQ является также высотой тре-
угольника MDF. Поэтому
MDF "
или, согласно (5):
е
с
Произведение S4 DQ равно утроенному объему тет-
раэдра, т. е. ЗУ. Тогда:
ЗУ
SAAf№“ С •
Сравнивая равенства (8) и (9), получаем:
/($., + sa + s4) (—s12 + s, + s4) x
X (S„ - S, + S4) (S„+5, — S4) . (10)
Формула (10) является пространственным аналогом
формулы Герона. В ней объем тетраэдра выражается
через площади двух его граней и площадь четырех-
угольника, построенного на соответствующих ребрах
тетраэдра. Значения S3 и S4 можно найти по общеиз-
вестной формуле Герона, a Sia— по формуле (6).
В таком виде формула объема тетраэдра удобна для
вычисления. Вспомогательный четырехугольник запо-
минается легко: если заднее ребро тетраэдра провести
сплошной линией вместо обычной штриховой, то тет-
раэдр выглидит как этот четырехугольник. Форму-
ла (10) может быть записана в шести вариантах. Под
корнем в доугих случаях следует брать площади S,,
Sa, S34; Si. Saa, S4 и т. д., где S,4, SI3 — площади со-
ответствующих вспомогательных четырехугольников.
Нетрудно доказать, что формула (10) справедлива
дли любого тетраэдра, независимо от того, находится ли
его высота внутри или вне тетраэдра или лежит на
одной из его граней.
Из выведенной формулы можно вывести ряд след-
ствий. Например, для правильного тетраэдра с ребром,
равным а, получается
1 —
V = -J2- а3 У 2 •
ВСЕСОЮЗНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 1967 г.
Заключительный тур Всесоюзной математической
олимпиады проходил с 15 по 21 апреля в г. Тбилиси.
Впервые олимпиада официально названа Всесоюзной.
До этого (с 1960 г.) она именовалась Всероссийской,
с участием команд союзных республик. На заключи-
тельный тур теперь приглашаются команды от всех
областей, краев и АССР каждой союзной республики
нашей страны, а также команды отдельных союзных
республик, не имеющих областного деления.
Члены оргкомитета по проведению заключительного
тура олимпиады приложили много сил и энергии, чтобы
олимпиада прошла четко и организованно. Участники
олимпиады прослушали интересную лекцию об основ-
ных направлениях в развитии современной математи-
ки, прочитанную профессором Тбилисского университе-
та Е. С. II и т л а н а д з е, совершили увлекательные
экскурсии по Тбилиси, в древнюю столицу Грузии —
Мцхету, в Сагурами, Горийский район. Очень четко
были организованы встреча и отправка учащихся, их
питание и др. Все восхищались грузинским гостеприим-
ством.
Членами жюри и Центральным оргкомитетом отмеча-
лась работа В. Г. Челидзе — председателя жюри,
профессора Тбилисского университета, Д. А. Джава-
х и я — начальника Управления школ, возглавившего
комиссию по культурно-массовым мероприятиям, В. И.
Чинчаладзе — начальника Управления школ-ин-
тернатов и детских домов, возглавившего комиссию по
обеспечению питанием и размещению всех участников,
С. Н. Арвеладзе — начальника Управления снабже-
ния и подсобных хозяйств, возглавившего комиссию по
обеспечению железнодорожным транспортом, В. И. К е-
ш е л а в а — начальника административно-хозяйствен-
ного отдела, возглавившего комиссию по обеспечению
воздушным транспортом, Т. А. Николай ш вили —
заместителя начальника Управления школ, возглавив-
шего комиссию по оформлению документов и перепис-
ке, М. Н. Бебуришвили — руководителя инспекту-
ры, Ф. И. Харшиладзе — профессора Тбилисского
университета, Д. 3 Авазашвили — профессора
политехнического института, Д. В. Муджири — ди-
ректора научно-методического кабинета, В. Н М е л а д-
з е директора физико-математической школы-интерна-
та, И. И. Хетерели—директора спец, школы-интер-
ната. И особенно много сделала для успешного проведе-
ния олимпиады председатель оргкомитета министр про-
свещения Грузинской ССР Т. В. Л а ш к а р а ш в и л и.
Ход олимпиады освещался печатью, телевидением и
радио Тбилиси. Большое внимание ей уделили руково-
дители партии и правительства Грузинской ССР.
Закрытие олимпиады проходило в зале заседаний
Верховного Совета Грузинской ССР. Призы и грамоты
победителям вручал председатель Президиума Верхов-
ного Совета Грузинской ССР академик Г. С. Дзо-
ц е н и д з е. Участников приветствовал президент АН
Грузинской ССР действительный член АН СССР Н И.
Мусхелишвили. Участники олимпиады, получив-
шие первые, вторые и третьи премии, были награжде-
ны грамотами ЦК ЛКСМ Грузии.
Приводим список победителей олимпиады.
I премией награждены: Берзиньш Айвар —
VIII класс школы-интерната № 45 Ленинграда; Лив-
шиц Александр — X класс школы № 239 Ленинграда.
II премией награждены: Френкель Игорь —
VIII класс школы № 1 Ленинграда, Ляпунов Михаил—
IX класс школы № 69 г. Перми; Соболев Сергей —
IX класс школъмгнтерната № 165 г. Новосибирск^.
III премией награждены: Дринфельд Вла-
димир — VIII класс школы № 27 г. Харькова; Соло-
вьев Валерий — VIII класс школы № 121 г. Казани;
Немытое Александр — IX класс школы-интерната № 18
Москвы; Черкасский Борис — IX класс школы № 2
Москвы; Гинис Борис — X класс школы № 134 г. Ба-
ку; Жаринов Юрий — X класс школы-интерната № 165
г. Новосибирска; Маркин Владимир — X класс школы
№ 7 г. Перми; Медников Леонид — X класс школы-
интерната № 18 Москвы; Тепер Игорь — X класс фи-
зико-математической школы-интерната г. Киева; Тур-
чанинов Виктор — X класс школы-интерната № 45 Ле-
нинграда; Цирельсон Борис — X класс школы № 239
Ленинграда.
Похвальным отзывом I степени награжде-
ны:
По восьмым классам: Арделян Владимир — школа
№ 15 г. Хмельницка, Бабур Вадим - школа № 12
Геок-Тепинского района Туркменской ССР, Гальперин
Григорий — Б. Шира-кскся средняя школа Цительцка-
ройского района Груз. ССР, Казаков Александр —
79
школа № 1 г. Верхней Салды Свердловской области,
Каменский Александр — школа № 12 Москвы, Кац
Борис — школа № 131 г. Казани, Корепанова Ольга —
школа № 40 г. Ижевска, Куприянов Александр — Жу-
ковская средняя школа Брянской области, Кривошеев
Вячеслав—школа № 55, г. Омска, Левендорский Сер-
гей — школа № 47 г. Ростова-на-Дону, Львов Анато-
лий — школа Ns 25 г. Рязани, Рытое Александр —
школа с. Каменска Ржаксинского района Тамбовской
области, Сасонкин Александр — школа Ns 62 г. Мин-
ска, Свербаль Павел — школа Ns 74 г. Одессы, Сверб-
шев Александр — школа Ns 74 г. Одессы.
По девятым классам: Азаров Валерий — школа Ns 19
г. Кременчуга Полтавской области, Айрапетян Рубен—
физико-математическая школа г. Еревана, Блюдзе Ми-
хаил — школа-интернат Ns 45 Ленинграда, Бородин
Олег — школа № 42 г. Новосибирска, Ваксман Лео-
нид — школа Ns 70 г. Харькова, Гаврилов Владимир—
школа № 36 г. Свердловска, Головинский Илья —
школа № 38 г. Ульяновска, Гришкан Виктор — школа
№ 134 г. Баку, Кановей Владимир — школа Ns II
г. Шостка, Киселев Вячеслав — школа Ns 1 г. Уржу-
ма, Левина Светлана — школа Ns 10 г. Витебска,
Мальцев Василий — школа № 6 г. Курска, Маргиев
Алексей — школа-интернат № 2 г. Тбилиси, Митягин
Юрий — школа Ns 23 г. Коммунарска Луганской об-
ласти, Письменный Виктор — Краснодарский край,
Попов Владимир — школа № 2 г. Белая Калита Ро-
стовской области, Солнцев Сергей — школа Ns 50
г. Минска, Чеботарев Николай—школа Ns 9 г. Калуги.
По десятым классам: Багриновский Григорий —
школа № 1 г. Лисичанска Луганской области, Буянов
Виктор — школа № 1 г. Нелидово Калининской обла-
сти, Ермаков Виктор — школа № 33 г. Львова, Зайков
Геннадий — школа г. Заводска Пермской области,
Кикош Виктор — школа Ns 27, г. Перми, Кокарев Вик-
тор — школа № 42 г. Барнаула, Кольцов Алексей —
школа Ns 104 г. Уфы, Красько Сергей — школа № 27
г. Гомеля, Кру минь Сергей — школа Ns 1 г. Риги,
Оганесян Григорий — школа Ns 55 г. Еревана, Собо-
лев Александр — школа N» 58 г. Воронежа, Тяхту Тоо-
мас — г. Таллин, Шахатуни Александр — физико-ма-
тематическая школа г. Еревана, Эльстинг Григорий —
школа № 131 г. Казани.
Похвальным отзывом II степени награж-
дены
По восьмым классам: Алибеков Абдусалам — Куб-
чинская школа Дакадаевского района Дагестанской
АССР, Зазовский Игорь — школа № 9 Белгорода,
Идиятова Люция — школа № 7 г. Наманган Уз. ССР,
Каменцев Александр — школа № 2 г. Черновцы, Ко-
пейкин Олег — школа Ns 1 пос. Омсуганска Магадан-
ской области, Копиенко Александр — школа № 7
г. Рязани, Лебедев Вячеслав — школа Ns 40 г. Симфе-
рополя, Овсиенко Сергей — школа № 2 с. Красная-2
Обуховского района Киевской области, Полтавец
Олег — школа № 50 г. Запорожья, Ройтман Юрий —
школа № 65 г. Донецка, Середа Алексей — школа
с. Кишенцы Маньковского района Черкасской области,
Справцев Ефран — школа № 15 г. Подольска Москов-
ской области, Солодов Виктор — школа Ns 1 г. Галич
Костромской области, Хинач Владимир — школа Ns 40
г. Симферополя, Фесенко Виталий — школа-интернат
Ns 1 г. Курска, Упалышков Сергей — школа № 13
г. Южно-Сахалинска, Яшин Геннадий — школа Ns 1
г. Мирный Архангельской области.
По девятым классам: Алсыбаев Камиль — школа
Ns 1 с. Мраково Башкирской АССР, Аракчеев Сергей—
школа № 5 г. Луганска, Ахлынин Валерий — школа
Ns 8 Новгорода, Большаков Леонид — школа Ns 10
г. Ангарска, Гаврилов Василий — школа Ns 3 г. Опоч-
ка, Гильман Евгений — школа Ns 42 г. Саратова,
Губарени Надежда — школа № 2 г. Ипрень Киевской
области, Дурмашкина Ева — школа Ns 9 г. Львова,
Жижин Александр — школа-интернат Ns 165 г. Ново-
сибирска, Иодынис Олег — школа № 13 г. Выборга,
Канделаки Тамаз — физико-математическая школа
г. Тбилиси, Кигель Владимир — школа № 3 г. Винни-
цы, Кобяков Сергей—школа Ns 1 Красногорского рай-
она Марийской АССР, Коршия Тенгиз — физико-мате-
матическая школа г. Тбилиси, Кузьминых Александр—
школа Ns 27 г. Новосибирска, Мелешко Вячеслав —
школа Ns 80 г. Днепропетровска, Муканов Александр—
школа с. Каргополья Курганской области, Петрович
Александр — школа Ns 3 г. Одессы, Приступим
Игорь — школа Ns 1 г. Гродно, Рабкин Петр — школа
Ns 2 г. Гомеля, Роганов Юрий — физико-математиче-
ская школа г. Киева, Романико Дмитрий—школа Ns I
г. Темир-Тау Казахской ССР, Романов Владимир —
школа № 24 Кировограда, Серпиков Геннадий — шко-
ла Ns 2 г. Дятьково Брянской области, Сонкин Марк—
школа Ns 5 г. Калуги, Устюжин Сергей — школа Ns 1
г. Магадана, Фабрикант Анатолий — школа Ns 1 г. Мо-
гилева, Фрибель Владимир — школа Ns 9 г. Владиво-
стока, Хачатуров Георгий — школа Ns 13 г. Сумгаита,
Христодули Александр — школа Ns 2 г. Нальчика, Ша-
нин Тимур — школа № 15 г. Петропавловска-Камчатско-
го, Шкильняк Степан — школа Ns 1 г. Тернополя, Яно-
вер Владимир — школа Ns 1 г. Жданова.
По десятым классам: Абрамов Виктор — школа № 58
г. Воронежа, Белюстин Николай — школа Ns 40 г. Горь-
кого, Волков Александр — школа Ns 24 г. Челябинска,
Воронов Сергей — Сумская средняя школа Сумской
области, Гутман Семен — школа № 20 г. Киева, Дем-
ченко Сергей — школа № 5 г. Белая Церковь Киев-
ской области, Ежов Владимир — школа Ns 11 г. Ир-
кутска, Жукова Нина — школа Ns 36 г. Горького,
Земляков Александр — школа-интернат № 18 Москвы,
Зильберварг Владимир — школа Ns 50 г. Минска, Ино-
земцев Владимир — школа № 114 г. Горького, Кара-
баш Михаил — школа № 2 г. Жданова Донецкой об-
ласти, Козяков Виктор — школа Ns 58 г. Воронежа,
Кугушев Евгений — школа № 1 г. Жуковского Мос-
ковской области, Локшин Игорь — школа Ns 40 г. Бар-
наула, Маргулис Лев — школа № 4 г. Черновцы, Мац-
киявичюс Вигирдас — школа Ns 1 г. Вильнюса, Миха-
левич Вадим — физико-математическаи школа-интер-
нат г. Киева, Мухин Александр — Б. Ижорийская
средняя школа Ломоносовского района Ленинградской
области, Николаенко Николай — школа Ns 5 г. Ро-
стова-на-Дону, Правдин Сергей — школа Ns 1 г. Кар-
сакова Сахалинской области, Пяткин Александр —
школа с. Александровка Оренбургской области, Савин
Владимир — школа № 13 г. Махачкалы, Саниахметов
Батогр — школа Ns 15 г. Измаила Одесской области,
Сомов Николай — школа Ns 105 г. Уфы, Чихачев Сер-
гей — школа № 10 г. Ангарска Иркутской области,
Шварцман Георгий — школа № 3 г. Черкасы.
Специальными грамотами награждены Берзиньш Ай-
вар — VIII класс школы-интерната N> 45 Ленингра-
да — за обнаружение неточности в формулировке за-
дачи, данной жюри, и Соболев Сергей — IX класс
школы-интерната № 165 г. Новосибирска — за ориги-
нальное решение геометрической задачи.
И. С. Петраков
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВСЕСОЮЗНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ 1967 г.
1. (VIII)1 В некотором натуральном числе про-
извольно переставили цифры. Доказать, что сум-
ма полученного и исходного чисел не равна 999...9.
1967 цифр
Решение. Очевидно, что исходное число нме т
1967 цифр. Пусть at, аг...д1997 — цифры исходного
числа, й,, аг..а19„— цифры измененного числа. Пред-
положим, что
С1967 + ^1967 “ 9,,.,, д2 + а, = 9.
Но сумма цифр исходного и измененного чисел одна
и та же, поэтому
2(0, + ... +а1967) = 9-1967,
чего не может быть, так как в правой и левой частях
равенства стоят числа разной четности.
2. (IX) Цифры некоторого числа переставили
и сложили полученное число с исходным. Дока-
зать, что если сумма равна 10'°, то исходное чис-
ло делилось на 10.
Решение аналогично решению предыдущей задачи.
3. (VIII—IX) Прожектор освещает угол 90°. До-
казать, что расположенные в четырех произволь-
ных точках плоскости прожектора можно напра-
вить так, чтобы они осветили всю плоскость.
Решение. Проведем прямую I так, чтобы две из
данных точек Л, и Аг лежали в одной из получив-
шихся полуплоскостей, а остальные две — в другой по-
луплоскости. Теперь прожектор, расположенный в точ-
ке Л„ направим так, чтобы один его «луч» шел парал-
лельно прямой I по направлению к Л2, а другой —
перпендикулярно Z в ту полуплоскость, где находятся
Л, и Л4 (черт. 1). Точно так же прожектор в Аг на-
правим так, чтобы один из лучей шел параллельно
прямой I по направлению к а другой — перпенди-
кулярно к Z в полуплоскость, в которой расположе-
ны Л, и Л4. Таким образом, прожектооами в точках Л,
и Л2 осветим полуплоскость, в которой находятся
прожектора Л9 и Л4. Аналогично прожекторами, рас-
положенными в Л2 и А,, осветим другую полупло-
скость.
4. (X) В каждой из восьми точек пространства
стоит прожектор, который освещает октант
(трехгранный, угол со взаимно-перпендикулярными
реб рами) с вершиной в этой точке. Доказать,
что можно направить прожектора так. чтобы
они осветили все пространство.
У казан и е. Пространственная задача решается
аналогично плоской (см. задачу 3). Сначала нужно про-
вести плоскость так, чтобы четыре данные точки ле-
жали по одну ее сторону, четыре — по другую, а за-
тем, используя результат задачи 3, доказать, что про-
жектора, расположенные в первых четырех точках,
могут осветить полупространство, в котором располо-
жены четыре остальных.
(VIII) Можно ли на окружности расположить
числа 0, 1, 2..9 так. чтобы любые два соседних
числа отличались на 3, 4 или 5.
Решение. Нет. Рассмотрим числа 0, 1, 2, 8, 9. Ни-
какие два из них не могут стоять рядом. Их пять,
следовательно, остальные пять стоят по одному между
ними. В то же время число 7 может иметь из ука-
занных чисел соседом лишь число 2.
6. (IX) Можно ли на окружности расположить
числа 1,2, 3, ..., 13 так, чтобы любые два соседних
числа отличались на 3, 4 или 5.
1 В скобках после номера задачи указан класс, для
которого предлагалась эта задача.
Черт. 1 Черт. 2
Решение. Нет. Рассмотрим шесть чисел: 1, 2, 3,
13, 12, 11. Никакие два из них не могут стоять рядом.
Следовательно, в шесть промежутков между ними
надо поставить остальные семь чисел. В одном из
этих промежутков будет два числа из оставшихся,
а остальных — по одному.
Рассмотрим теперь числа 4 и 10. Каждое из них мо-
жет иметь лишь по одному соседу из чисел, выбран-
ных первоначально, следовательно, оии оба попадают
в тот же промежуток, где стоят два числа, т. е. будут
стоять рядом. Но это противоречит условию.
7. (VIII) Доказать, что существует число, деля-
щееся на 51000 « не содержащее в своей записи ни
одного нуля.
Решение. Число 5”'"’ оканчивается не нулем
(цифрой 5). Если где-то (скажем, на /г-м месте с конца)
в его записи встречается нуль, то к этому числу можно
прибавить 5"”° - 10ft—’, которое, не изменив последние
(k — 1) цифр, даст на й-м месте не нуль. Так можно
исправить последние 1000 цифр и получить число, де-
лящееся на 5”1”, последние 1000 цифр которого не
нули. Отбросим теперь все цифры, кроме 1000 по-
следних. Мы отняли от исходного числа число, окан-
чивающееся 1000 нулями, т. е. делящееся на 5””. По-
лучившееся число тоже делится на б*000, и в его за-
писи уже нет нулей.
8. (VIII) В остроугольном треугольнике АВС вы-
сота АН. наибольшая из высот, равна медиане ВМ.
Доказать, что угол АВС меньше 60°.
Решение. Опустим из точки М (середины сто-
роны АС) перпендикуляры на стороны ВС и АВ
(черт. 2). МК -= ~g~ АН, следовательно, угол МВД
равен 30°. Точно так же ML еслъ половина высоты,
проведенной из вершины С. Так как но условию вы-
сота АН наибольшая, то ML <С “j" АН “ ВМ. От-
сюда следует, что угол АВМ меньше 30°.
9. (IX) В остроугольном треугольнике АВС вы-
сота СК равна медиане ВМ и равна биссектри-
се AD. Доказать, что треугольник АВС пра-
вильный.
Решение. Докажем предварительно, что если АР
и BQ — медианы треугольника АВС, АР < BQ, то
ВС > АС. Это утверждение следует из формулы, вы-
ражающей длину медианы через длины сторон тре-
81
угольника, но мы приведем его геометрическое дока-
зательство. Перенесем треугольник АВС паралель-
но АВ так, чтобы точка Q заняла положение Р. Пусть
при этом А переходит в А', В в В', С в С'. Тогда
В'Р — BQ, откуда АР < В' Р. Следовательно, AL <
< B'L, где L— проекция точки Р на АВ. Но АА' =—
— ВВ', следовательно, A'L < BL, откуда Л'Р < BP.
Но тогда А'С' < ВС, т. е. АС < ВС.
Кроме того, используем известное утверждение
о том, что биссектриса треугольника лежит между ме-
дианой и высотой, проведенными из той же вершины.
Отсюда следует, что медиана треугольника не меньше
биссектрисы, проведенной из той же вершины.
Пусть теперь треугольник АВС удовлетворяет усло-
вию задачи. Из предыдущей задачи следует, что
угол АВС не больше 60°. С другой стороны, ВМ —
наименьшая из медиан треугольника АВС, так как
медиана j4S > AD — ВМ, а медиана СТ СК — ВМ.
Следовательно, АС — наибольшая из сторон треуголь-
ника АВС, а тогда угол АВС не меньше 60°. Следо-
вательно, угол АВС равен 60°, а так как это наиболь-
ший угол треугольника АВС, то и каждый из двух
других углов равен 60°, что и требовалось доказать.
10. (IX) Найти все пары целых чисел х и у,
удовлетворяющих уравнению:
X* + X - у4 + у’ + у2 + у.
Решение. Умножим обе части уравнения на 4
и прибавим к обеим частям 1:
(2х + I)2 - 4у4 + 4ys + 4у2 + 4у + 1.
Правую часть уравнения запишем так:
1) 4у4 + 4у’ + 4у2 + 4у + 1 —
“ (2у2 + у)2 + Зу2 + 4у +1.
Заметим, что корни трехчлена Зу2 + 4у + 1 равны —1
и —-g-. Значит, при всех целых у, кроме —1, этот
трехчлен положителен. Следовательно, при всех це-
лых у, нё равных —1,
(2х + I)2 > (2у2 + у)2.
2) 4у4 + 4у’ + 4у2 + 4у + 1
— (2у* + у + I)2 — (у2 — 2у).
При всех целых у, кроме у — 0, 1, 2, у2 — 2у>0,
так что при целых у, не равных 0, 1, 2,
(2х + I)2 < (2у2 + у +1)'.
Итак, мы видим, что, за исключением четырех целых
значений у,
(2у2 + у)2 < (2х + I)2 < (2у2 + у + I)2.
Значит, целочисленные решения уравнения мы можем
получить только при значениях у, равных —1, 0, 1, 2.
Осталось испытать эти числа.
у---1 =+> 2х + 1 = + Г,
у - 0 =4> 2х + 1 — + 1;
у - 1 =Ф (2х + I)2 - 17;
у - 2 =5> 2х+1- + 11
О твет:
х, — 0, I х, = —1. ( х, = 0,
у, 1. ( у, 1. 1 — °
Х4 «= 1, ( х4 — 5, ( Хе
У“0- 1 №-2. 1 У, = 2.
11. (X) В последовательности целых положи-
тельных чисел каждый член начиная с третьего
равен модулю разности двух предыдущих.
Какое наибольшее число членов может иметь
такая последовательность, если каждый ее член
не превосходит 1967?
Решение. Ясно, что в такой последовательности
наибольшим будет один из первых двух членов.
Нетрудно сообразить, что в последовательности
максимальной длины наибольший член должен быть
вторым. Действительно, если последовательность на-
чинается с чисел а, Ь, ..., где а > Ь, то к ней можно
присоединить в качестве первого члена еще число
а — Ь. Многие участники олимпиады дали правильный
ответ: самая длинная последовательность, удовлетво-
ряющая условию: 1966, 1967, 1, 1966, 1965, 1.......
В ней 2952 члена.
Однако доказать, что более длинных последователь-
ностей не существует, довольно трудно, и совсем ко-
ротких путей решения здесь, по-видимому, нет.
Мы поступим так: докажем по индукции, что после-
довательность, в которой максимальный член стоит
на первом месте и равен п, содержит не более
Г3п+ 14
I —g— I членов.
Проверка этого утверждения для п — 1,2 не состав-
ляет труда. Пусть п 2 и последовательность начи-
нается так: п, k, п — k, ... .
Рассмотрим два случая:
п
1) ~2~ k <п, тогда в последовательности k, п — k,
... наибольший член k. По предположению индукции,
ГЗй + 1 I
в ней не больше —— I членов. Отсюда следует,
что в первоначальной последовательности не больше
Г Зп "1 ГЗл + 14
членов.
2) k < ~2~. Тогда наша последовательность продол-
жается так: п, k, п — k, п — Ik, k, . Рассмотрим
«хвост» нашей последовательности, начинающийся с
наибольшего из подчеркнутых чисел (обозначим его
через т, т. е. т = л — 1k, или т — k). Этот «хвост»
Г Злг + 11
содержит не больше ------g---1 членов; поскольку
т < л — 2 и по крайней мере три члена нашей после-
довательности мы отбросили, число членов первона-
чальной последовательности не превосходит
[M + 1] + 3_p+J],
п
Случаи k = л и k — -g- тривиальны. При этом число
Г Зл + 1 ~|
членов последовательности не больше 3 < —— -
Доказательство по индукции закончено. Из доказан-
ного утверждения очевидно следует, что последова-
тельность, начинающаяся членами а, b, ... , где а <
< Ь 1967, содержит не более
1 +
= 2952 члена.
12. (X) «Король-самоубийца». На шахматной доске
размером 1000 У 1000 стоит черный король и 499
белых ладей. Доказать, что при. произвольном
начальном расположении (Ьигур король может
стать под удар белой ладьи, как бы ни играли
белые. (Ходы делаются так же, как и в обычных шах-
матах.)
«2
a
Черт. 3
Решение. Пошлем короля сначала в левый ниж-
ний угол доски и затем по диагонали вправо-вверх.
Можно считать, что после первого хода короля по
диагонали и ответа белых три нижние горизонтали
и три левые вертикали свободны от ладей, иначе сле-
дующим ходом король сможет стать под удар ладьи
(см. черт. 3,а). Таким образом, все ладьи находятся
выше и правее короля. Рассмотрим момент, когда
король сделал еще 997 ходов по диагонали (см. черт.
3,6) и белые ответили на его последний ход. В этот
момент все ладьи должны быть левее и ниже короля.
При этом каждая ладья должна была сделать два
хода: поменять вертикаль и горизонталь до того, как
на них появится король. Но ладей 499, и они за 997
ходов не успеют передвинуться.
13. (X) Три последовательные вершины ромба ле-
жат соответственно на сторонах АВ, ВС. CD
данного квадрата со стороной 1. Найти площадь
фигуры, которую заполняют четвертые вершины
таких ромбов.
Решение. Пусть L, К, Н— три последователь-
ные вершины ромба KLMN, о котором идет речь
в условии. Заметим, что если зафиксировать вершину
К, лежащую на стороне ВС, то вершина М будет
расположена на отрезке М,Мг, параллельном АВ
и отстоящем от этой прямой на расстоянии х •=- КС
(черт. 4,я). Найдем положение концов Л4, и Мг этого
отрезка.
Будем считать, что ^точки М, соответст-
1
вующие х^>~2~, получим из соображений симмет-
рии^. Очевидно, что нижнее положение точки М со-
ответствует случаю, когда вершина L ромба совпадает
с вершиной В квадрата (черт. 4,<7). Тогда
КС = х NK - В К --1 — х =Ф NC =
= 1^(1 — х)’ — х* — 7^1 — 2х.
Таким образом, точка Mt лежит на параболе, уравне-
ние которой в системе координат, показанной на чер-
теже 4,6,
у -= V1—2х (о < х < -у-).
Верхнее положение точки Мг соответствует случаю,
когда вершина N ромба совпадает с вершиной D кват-
рата (черт. 4,в). Опустим перпендикуляр МгР на AD.
Тогда
КС = х =} LK = КН " Z1 + х2
=Ф MP = LB - /1 + хг — (1 — х)г -= /2х.
Таким образом, Л4г лежит на параболе, уравнение ко-
торой в системе координат, показанной на черте-
же 4,в,
у — /2х, (o<x<-r>-Y
Итак, все множество точек М ограничено четырьмя
одинаковыми дугами парабол (черт. 4,г). Если разре-
зать его по отрезку AD и по оси симметрии EF, то
из полученных четырех частей можно сложить целый
квадрат, равный ABCD. Поэюму искомая площадь
равна 1.
14. (X) Натуральное число К обладает таким
свойством: если М делится на К, то и число, за-
писываемое теми же цифрами, что и М, но в об-
ратном порядке, делится на К. Доказать, что
К — делитель числа 99.
Решение. Эту задачу решил только один участ-
ник олимпиады (лауреат первой премии). Многие
доказали обратное утверждение, а именно, что все
делители числа 99 обладают требуемым свойством.
Оно почти автоматически следует из признаков дели-
мости на 9 и на 11.
Все известные нам решения задачи выглядят до-
вольно неожиданно и искусственно. Вот одно из них.
Заметим, прежде всего, что число К взаимно про-
сто с 10. Действительно, существует число, начинаю-
щееся с цифры 1 и делящееся на К. Обращенное
число, т. е. число, записанное теми же цифрами, но
в обратном порядке, по условию делится на К и окан-
чивается на 1.
Возьмем, далее, произвольное число, начинающееся
с цифр 500 и делящееся на К. Пусть это будет число
Черт 4
53
500abc.. .z (5, 0, 0, a, b, c, .... z—цифры, этого чис-
ла). Тогда мы можем утверждать, что на К делятся
следующие числа:
1) z.. .сбаООб;
2) сумма г...6а00500 ...0
бООдб.-.г
г...&а01 ОООпб.. .г\
3) обращенное последнее число
z. ..baOC OlOafc.. .z;
4) разность
z.. .ЬаСЛ ОООдб.. .г
г.. . йдОООЮаЛ.. .z
99 000 ...0.
Отсюда следует, что и 99 делится на К.
М. И. Башмаков, И. Б. Васильев, Ю. И. Ионик
Задачи
РАЗВИВАТЬ ТВОРЧЕСКУЮ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧАЩИХСЯ
3. А. СКОПЕЦ (г- Ярославль)
Преодоление формализма в преподавании матема-
тики в средней школе остается важнейшей педагогиче-
ской проблемой, стоящей перед методической наукой.
Конечно, методы работы, позволяющие освободить
преподавание математики от схематичности и стандар-
та, разнообразны. Пересмотр содержания математиче-
ского образования, введение факультативных занятий,
создание более современных и в методическом отно-
шении более совершенных учебников и учебно-мето-
дических пособий для учителей и учащихся, более тес-
ные контакты между средней и высшей школой, повы-
шение научной и методической квалификации учителей
и ряд других форм работы, связанных с изучением и
распространением передового опыта преподавания, —
вот главные пути, ведущие к подъему преподавания
математики в школе.
Одним из важнейших средств в борьбе с формализ-
мом в знаниях учащихся является также хорошо орга-
низованная система решения задач: содержательных
в теоретическом отношении, целесообразно подобран-
ных методически, оригинальных и воспитывающих в
психолого-педагогическом плане. Можно с уверенно-
стью сказать, что в том классе, где со стороны учителя
любовно ведется систематическая, в деталях продуман-
ная, работа по решению разнообразных задач и проб-
лем (хотя бы и миниатюрных), знания учащихся глубо-
кие, интерес к предмету высокий.
Решение задач — это не только и не столько трени-
ровка учащихся в применении формул и теорем с
целью их закрепления в памяти. Основная роль школь-
ной задачи — развитие у учащихся инициативы, вкуса
к исследованию, умения применять теорию к решению
практических и математических проблем.
Отдел задач журнала имеет своим главным назна-
чением публикацию оригинальных задач, стимулирую-
щих развитие творческой и мыслительной деятельности
учителя и учащихся (школьников и студентов). Читате-
ли журнала имеют возможность публиковать составлен-
ные ими задачи, решать задачи, предложенные други-
ми, изучать различные методы решения задач, опубли-
кованных ранее.
С 1934 г. по настоящее время на страницах журнала
опубликовано около 2800 задач: более 700 задач чи-
сто алгебраического содержания (уравнения, тожде-
ства, неравенства, комплексные числа, прогрессии и
т. п.); примерно столько же задач арифметических
с элементами теории чисел (делимость, системы счисле-
ния, комбинаторика, суммирование и др.); около 200 за-
дач посвящены исследованию элементарных функций и
построению их графиков; почти 1200 задач по геомет-
рии. Многие задачи по своему содержанию являются
смешанными и могут быть отнесены и к геометрии и
к алгебре, или же к алгебре и арифметике. В указан-
ное число включены задачи, предлагавшиеся на раз-
личных олимпиадах и конкурсных экзаменах.
К сожалению, в кратком обзоре нет возможности
дать характеристику всем опубликованным задачам,
методам их решения. Заметим, однако, что усилия ре-
дакции журнала в последние годы были направлены
на то, чтобы содержание публикуемых задач и методы
их решения привести в соответствие с современными
требованиями к постановке среднего математического
образования.
В нашем обзоре не представляется возможным на-
звать фамилии всех авторов, принимавших активное
участие в составлении новых задач для журнала, мно-
гих сотен читателей, присылавших и присылающих свои
решения и предложения по публикуемым задачам. На-
зовем лишь имена наиболее активных из них: Ахвер-
дов Г. Б., Бевз Г. П., Берколвйко С. Т., Боков Е. А.,
Бончковский Р. Н., Ветров К.' В., Владимиров А. С., Ге-
расимов Ю. И., Головачев Е. А., Гордон В. О., Гот-
лер М. Ш., Гетман Э. Г., Губа С. Г., Давыдов У. С., Дем-
чинский В. И., Зубилин Н. И., Кашин Б., Лоловок Л. М-,
Молибога И. Н., Мышакова Т. Г., Смышляев В. К., Тас-
муратов С. С., Титов, Утемов В. А., Хамзин X. X., Челка-
сов Г. С., Шебаршин М. Н-, Шнипор Б. Н., Ясино-
еый Э. А.
Этот перечень, конечно, далеко не полный. Требует-
ся, по-видимому, подготовка специального сборника
задач, составленного по материалам, опубликованным
в журнале за все годы его существования В нем най-
дет отражение эволюция взглядов на содержание и
методы решения задач.
Редакция благодарит всех читателей журнала, кото-
рые на протяжении многих лет сотрудничали и про-
должают сотрудничать^ отделе задач, помогая накап-
ливать ценнейший научно-методический материал. Этот
материал используется учителями в их внеклассной ра-
боте в школе, методистами, авторами сборников задач
в их работе, направленной на совершенствование ма-
тематического образования в стране. К этому отделу
журнала и впредь будет приковано внимание учащихся,
студентов, учителей и других любителей оригинальных
математических задач.
Приглашаем читателей журнала настойчиво и целе-
устремленно изучать материалы, помещаемые в отде-
ле задач, присылать свои решения, новые задачи и
предложения по улучшению и совершенствованию от-
дела задач.
Интерес учителя к содержательной, красивой задаче
является одним из наиболее убедительных критериев
его интереса к предмету, стремления совершенство-
вать свое педагогическое мастерство.
В настоящем номере журнала публикуются звдвчи,
присланные для юбилейного номера математическими
кафедрами педагогических институтов, институтами усо-
вершенствования учителей и отдельными читвтелями
В дальнейших номерах журнала продолжим печатание
этих задач.
84
ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ
401. Доказать, что если а* — нечетные числа,
не делящиеся на 3 и составляющие арифметиче-
скую прогрессию, то число
9 9 2 9 2 2
Й1 — а2 аг — а4 + • • + а31 — fl32
кратно 384.
Ю. И. Герасимов (г. Новосибирск)
402. В треугольник АВС вписана полуокружность
так. что ее диаметр принадлежит стороне ВС,
а дуга касается сторон АВ и АС соответственно
в точках С, и В,. Доказать, что прямые ВВ,
и СС, пересекаются на высоте АН треугольника.
Г. П. Бевз (г. Киев)
403. Дана пос ледовательность натуральных чи-
сел, не делящихся ни на 2, ни на 3:
5, 7, 11, 13, 17, ...
Найти общий член этой последовательности.
Д. С. Таводяи (г. Баку)
404. Через прямую, соединяющую середины М и
N двух противоположных ребер правильного тет-
раэдра с ребром а, проведена плоскость, которая
вращается около прямой MN. Выразить площадь
сечения тетраэдра этой плоскостью как функцию
угла поворота <f, отсчитываемого от некоторого
начального положения.
В. Л. Рабинович (г. Петропавловск Казахской ССР)
405. Решить систему у равнений
х = у’ —Зу,
у — Зх — х*.
М. Ш. Готлер (г. Вильнюс)
406. Доказать, что число 7x4-3 не является
квадратом целого числа ни при каком целом зна-
чении х.
X. И. Шуфрииа (г. Махачкала)
407. Доказать, что для всякого выпуклого
n-угольника AjAj.. .Ап-,Ап справедливо неравен-
ство:
п
Ssin А/ п
~пп------------------J •
/=1 У sin Ah — sin At
л= 1
M. М. Турцтинов (г. Элиста)
408. Построить прямую, которая преобразуется
в себя после ее отражения последовательно от
трех прямых а, Ь, с, образующих прямоугольный
треугольник (а ± с).
У. М. Асекритов (г. Якутск)
409. Через точку, лежащую внутри тетраэдра,
параллельно его граням проведены четыре пло-
скости. на которых тетраэдр высекает треуголь-
ники с площадями щ, а2, а3, и которые высекают
на гранях тетраэдра треугольники с площадями
В,, В2, 63> В,. Доказать справедливость следующих
соотношений:
где в,, s2, ss, s4 — площади граней тетраэдра.
Ф. Д. Безносиков (г. Сыктывкар)
410. Дан отрезок АВ и полупрямая I с началом
в точке В. По полупрямой I перемещается точка
С. Через точки А, В и С проведена окружность.
Вычислить
где S — площадь треугольника, R—радиус описан-
ной около треугольника окружности, ^(ВА, I) —
— ? =й= 0.
Е. Л. Тефова (г. Нальчик)
ЗАДАЧИ
411. Дана функция Fn(x) двух переменных х и п.
Первая переменная принимает любые действи-
тельные значения, вторая — только натуральные.
Найти эту функцию.' если
Fn+Ax) + Г„(х + 1) - Fn(x), F^x) = cos х.
Э- А. Яснновый (г. Куйбышев)
л
412 Доказать, что при 0 < х < ~тр~ справедливо
не равенство
sin х 3------
——— > у cos х .
X. X. Хамзин (г. Стерлитамак Башкирской АССР)
413. Дана возрастающая последовательность
чисел, не делящихся ни на одно из чисел 2, 3, 5, 7.
Каким по счету в этом ряду будет число 3377,
если первый член ряда равен 11?
Д. С. Таводян (г. Баку)
414. Ученик решает задачу на построение: «По-
строить треугольник по стороне а, медианам
mt, и тс, проведенным к двум другим сторонам».
выбирая при этом данные в условии задачи от-
резки произвольным образом. Какова еероятность
того, что задача будет иметь решение?
В. Л. Рабинович (г. Петропавловск Казахской ССР)
415. Из точки М, лежащей на окружности
с центром О, вписанной в правильный п-угопьник
А,Аг...Ап с нечетным числом сторон, опущены
перпендикуляры MBt (I — 1, .... п) на его сторо-
ны. Докйзать, что центроид многоугольника
ByBt.. ,Вп делит отрезок ОМ пополам.
Э. А. Лаудыня (г. Даугавпилс Латвийской ССР)
416. На комплексной плоскости дан четырех-
угольник ABCD, вершинам которого соответст-
вуют комплексные числа а. b, с, d. 1) Выяснить,
при каких условиях существует такая точка М,
что основания перпендикуляров, опущенных из
точки М на стороны четырехугольника, принад-
лежат одной прямой. 2) Найти комплексное чис-
ло т, соответствующее точке М.
Э. А. Лаудыня (г. Даугавпилс), И. М. Скопец (г. Рига)
417. В окружности проведены диаметр АВ и пер-
пендикулярная к нему хорда CD. Через середину
85
Е радиуса ОС проведена хорда AF. Доказать,
что хорда DF делит хорду ВС пополам.
Н. И. Семенец (г. Махачкала)
418. Дан острый угол и две точки внутри него.
Построить равнобедренный треугольник, две вер-
шины которого лежали бына одной стороне угла,
а третья — на другой его стороне, и чтобы каж-
дая из равных сторон проходила через одну из
заданных точек.
А. В. Михалевский (г. Киев)
419. Внутри куба с ребром 1 фиксированы 1967
точек. Можно ли найти сферу радиуса 0,15, внут-
ри которой находятся десять точек из числа
заданных?
И. Д. Черепинский, О. Д. Черепииский
(г. Черкассы, УССР)
420. Через точку Р, лежащую в плоскости рав-
ностороннего треугольника АВС, проведены пря-
мые gt, g2, gs, соответственно па рал цельные сто-
ронам ВС, С А и АВ. Эти прямые пересекают
другие стороны треугольника соответственно в
трех парах точек А, и Ая, В, и Bs, С, и С2.
1) Доказать, что полученные шесть точек при-
надлежат одной кривой второго порядка с2. 2)
Найти множество точек Р, для которых кривая
сг распадается на пару прямых. 3) Охарактери-
зовать области, которым принадлежат точки Р,
при условии, что сс есть эллипс, парабола и ги-
пербола,
Я. П. Понарин (г. Сыктывкар)
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 1 ЖУРНАЛА ЗА 1967 г.
321. Даны две параллельные прямые и точка М,
одинаково удаленная от них. Стороны прямого
у гла с вершиной в точке М пересекают данные
параллельные прямые в точках А и В. Доказать,
что расстояние точки М до прямой АВ не зави-
сит от положения сторон прямого угла М.
Решение. Продолжим ВМ до пересечения с пря-
мой а в точке Aj (черт. 1). Замечая, что ВМ — MAt
Черт. 1
и AAf — перпендикуляр к А,В, приходим к выводу,
что ^.AtAM = ^МАВ. Следовательно, расстояние
от точки М до прямой АВ равно расстоянию от М
до прямой а, откуда и вытекает утверждение задачи.
322. Из всех натуральных чисел от 1 до 999 999
выделены те, у которых сумма цифр, стоящих на
четных местах, равна сумме цифр, стоящих на
нечетных местах. Доказать, что сумма всех
таких чисел делится на 37.
Решение. Пусть А^ — число, у которого сумма
цифр, стоящих на четных местах, равна сумме цифр,
стоящих на нечетных местах. Очевидно, что Pt =
— 999 999 — обладает этим же свойством.
Если о есть сумма всех то а = 999 999 т (т —
натуральное), так как для каждого Аг; имеется соот-
ветствующее Pi, причем Pi + = 999 999. Теперь
легко показать, что с кратно 37, заметив, что 999 999
кратио 37.
323. Доказать, что сумма 11.. .1 100.. .05-f-1
'-------------------------------V--' '--,---'
ТП 7714-1
есть квадрат натурального числа.
Решение. Очевидно, 11.. .1 • 100.. .05 + 1 —
т 7714-1
= -J- (10m — 1) (10т + 5) + 1 = ~ (10т + 2)!, откуда
следует утверждение задачи, так как число IO"1 + 2
кратно трем.
Примечание. Второй миожитель 100.. .05 состоит
из т + 1 цифры, что в первоначальном условии задачи
не показано отчетливо.
324. Решить уравнение
п_______ п________ П
а + х _ т' а + х / х
х + а b ’
Решение. Очевидно,
разуем данное уравнение
х 0, a 0, Ь О.
к виду
Преоб-
Примечанне. В первоначальном условии в запи-
си уравнения была допущена ошибка.
325. Доказать, что
cos 86°15'=2 — J/2 +’Иг + Z 3 .
Решение. Так как 2 cos’ 15° — 1 + cos 30°, то
cos 15° - -у- Иг 4- /Т.
86
Но тогда
cos 86O15Z
cos 15
326. Вещественные числа bt, blt ...,bn удовлетво-
n
ряют условию 2 bi — n. Найти максимум суммы
1=1
л
I, Л=1
Решение. Очевидно,
2 2 Му»(2 ^)2-2*'~
i,J=A <=1 /=1
л л
- «*—2 <«*—4(2*4 -пг—п,
i= 1 i=i
так как
п
Итак, 2 2 bibj^n(n—1) и, следовательно,
1.У=1
{2 Му} -С«
I. Jmax
4,У=1
327. На одной из дуг АВ окружности даны про-
извольная точка N и середина М этой дуги. До-
казать, что AN-NB — AM*— MN*.
Решение. Имеем AN — 2У? sin NBA, NB —
— 2R sin NAB (черт. 2). Следовательно, AN-NB —
— 4/?s sin NBA -sin NAB.
Кроме того,
AM* — MN* = 4R* (sin2 ABM — sin2 NAM) -
= 4Д2 sin (ABM 4- AT AW), sin (ABM — NAM) -
- 4 A’2 sin (MAB 4- AMAf)-sin (ABM — NBM) -
•= 4/?2 sin AMB-sin ABN.
Таким образом,
AN-NB - AM* —MN*.
328. Около окружности описан четырехугольник.
Доказать, что \ас — bd | — dtdt | cos а |, где а, Ь, с,
d — стороны четырехугольника, dit dt — его’ диа-
гонали, а — угол между диагоналями.
Решение 1. Пусть г/ — радиус-вектор вершины
четырехугольника ABCD (Л — ги В — г^, с — г^,
O-G).
Тогда
dtdt | cos а | — | (г, — rt)-(rt — г,)| •=
» I ri ri- + г» rt ri'rt — r»'rt I »
- 4"1 — — Pi —'»)* — (^~M‘l=
---i-|d24-62 — a* — c»| -
» "4 1 + d)*— 2bd + 2flc ~ (a + c)sl-
Ho b 4- d — a -}- с. Следовательно, | ac — bd\ —
•= dtdt | cosa|.
Решение 2. Для описанного четырехугольника
(черт. 3) имеем а 4- с — b 4- d.
Следовательно,
я2 4- с* + 2ас — b* + d* + 2bd
или
ас — bd — (b* + d* — а* — с*).
Пусть МА — х, МВ — у, МС — г, MD — и.
Тогда
Ь* — у* 4- г* 4- 2уг cos a, d* — и* 4- х* 4- 2их cos а,
а* — х* 4- у2— 2ху cos а, с* — г* 4- и* — 2z и cos а.
Поэтому
~(b*A-d*—a* — c*)~.
•= (yz 4- ху 4- их 4- zu) cos а •= dtds cos а.
Таким образом получаем, что | ас—bd | — dtdt | cos а |.
329. Доказать, что для любого треугольника
справедливо соотношение yr a sin Д 4- b sin В 4-
87
4- j rc sin C — у^Чр (sin A 4- sin В 4- sin С) где a.b.c —
стороны треугольника. А, В, С — его углы, 2р—
периметр.
Р е ш*с н и е.
Sa sin А 4- b sin В + уА с sin С —
1 1Л2р2 1 Г а 4- b 4- с
-~^(а + ь-+с} ? к-У2р~яГ~ -
— уА 2р (sin А 4- sin В 4- sin С).
330. Дана прямая МН и отрезок АВ, не лежа-
щий в одной плоскости с прямой. На прямой МН
найти точку С такую, чтобы периметр треуголь-
ника АВС был наименьшим.
Решение. Проведем через прямую МН и точку А
плоскость а. Далее будем вращать точку В вокруг
прямой МН так, чтобы образ В' точки В оказался
в плоскости а, причем по разные стороны с точкой А
от прямой ММ. Прямая АВ' пересечет МН в точке С,
которая и будет искомой.
На самом деле, для любой точки D прямой МН
имеем DB — DB', поэтому для всякой точки D пря-
мой МН имеет место равенство AD-\ DB= ADA- DB',
и сумма AD 4- DB' имеет наименьшее значение, когда
точка D прямой МН лежит на прямой АВ', т. е. когда
точка D совпадет с точкой С. Следовательно, пери-
метр треугольника АВС — наименьший из всех воз-
можных периметров треугольников ABD, где D — точ-
ка прямой МН.
331. Из чисел натурального ряда от 1 до п со-
ставлены всевозможные парные произведения. Оп-
ределить, сколько среди этих произведений имеется
таких, которые делятся на р (р л).
Решение. Всевозможные парные произведения,
составленные из чисел от 1 до п, расположим следую-
щим образом:
2
3 6
4 8 12
п рп Зл ... (и—1)л.
Рассмотрим (Z— 1)-ую строку:
i 21 3i . . . —
Пусть (р, Z) — dt, тогда эта строка содержит
rz —11 f(Z —1)</Л
—-— — L------------J чисел, кратных р.
. ’rfT
Таким образом, всех парных произведений, крат-
ных р, будет
1=2
332. У равнение х* — 6х5 4- 15х* 4- ах* 4- Ъх* 4- ех 4-
4- d = 0 имеет только вещественные корни. Найти
а, Ь, с, d.
Решение. Пусть Ху (i — 1,2, ... , 6) — корни рас-
сматриваемого уравнения. Очевидно,
6 6
2х|-6и 2 xtXj^\5 — Cl, l=£j.
z=i l,)=\
Принимая во внимание результат задачи 326, прихо-
дим к выводу, что Xi = xj — 1 (Z, у — 1,2.6).
Но тогда
а----------------Cg------20, i-C^ = 15,
с---------------6, d - 1-
333. Вычислить пределы
1) lim nslnnent;
П-+-ОО
2) lim п sin ~еn.
fi-k-CQ
Решение. 1) Так как г — 4- уу 4- yy 4--P
+ Ъг) + (Нй)| + (НГ2)!+"’ 1 T° enl-m + r'‘-
где
m — 1 4- n 4- (л — 1) n 4- • • • 4- nl 4- л! — 2k 4- (n 4-1),
1 1
r"~ n 4-1 + (n 4-1) (л 4-2) 4
I / _ I 1 X
“л 4-1 V+« + 2 + (n 4- 2) (л 4- 3) +'"/
t. e.
1 1___ л 4- 2 1
Гп > n 4- 1 ’ Гл<л4-Гл + 1<л'
Итак,
1 1
n 4-1 < Гп < n ‘
Поэтому
sin nenl — (—1)"+’ sin r„n
н
sln n’TT
xn — n sin ъеп\ —Д—l)n+’ --—----, «те
n
Так как
sin — sin
lim —-— — lim ----------------------“ 1,
n—>-oo . Л—»-oo __
n n
то и
sin
lim-----—
n
Поэтому при и четном lim хп — — я, при п нечетном
Итхл — я. Так что данная последовательность не имеет
предела (ее подпоследовательности имеют разные пре-
делы — я и it). Можно лишь говорить о пределе по-
следовательности { | хп | }.
lim | п sin гял! | — я.
п~>ОО
2) При л->оо sin яги стремится к 0 лишь для п — ml.
Если же, например, л«=?л114-1, то | sin r.en | стре-
я уАч
мится к sin яг — sin я-0,718.. sin -у — -у-.
Поэтому данная последовательность (даже по абсо-
лютной величине) не имеет предела.
334. На общем перпендикуляре АВ двух парал-
лельных прямых а и b (Аса, Bab) даны две точ.
ки М и Н, такие, что AM = НВ. Если на прямой а
взята точка Р, а на прямой b — точка Q, такие,
что отрезок PQ виден из точки М под прямым
88
углом, то этот же отрезок виден из точки N
также под прямым углом.
Решение 1. Произведение отражений от прямой а
и точки М представляет собой скользящее отраже-
ние на вектор 2АМ и с осью отражения АВ (черт. 4).
Черт 4
Аналогично, про «ведение отражшш от точки N
и прямой b ecib скользящее отражение на век тор 2Мб
и с осью АВ. По, согласно условию задачи, AM = NB.
Следова гельно,
М-а - Nb.
Но всякое отражение от точки можно представить
в виде произведения двух осевых отражений от пер-
пендикулярных прямых, проходящих через эту точку.
Поэтому
М = uv,
где и = PM, v = MQ. Обозначим прямую PN буквой х,
а прямую, ей перпендикулярную и проходящую через
точку N, буквой у. Тогда
N — ху.
Таким образом,
auv — jcyb.
Умножив это равенство почленно справа на х, а слева
на V, получим
хаи — ybv.
Но прямые х, а, и проходят через одну точку. Сле-
довательно, произведение хаи представляет собой от-
ражение от прямой, проходящей через точку Р. Но
тогда и произведение ybv есть отражение от прямой,
а это значит, что прямые у, b, v пересекаются в одной
точке (или параллельны). Но прямые v и b пересе-
каются в точке Q, значит, и прямая у проходит через
точку Q и отрезок PQ виден из точки М под пря-
мым углом.
Заметим, что
хаи — ybv = t, где t = PQ.
Можно показать, что юказанная теорема справед-
лива в геометрии Лобачевского и в сферической геомет-
рии, если учесть, что использованные выше свойства
отражений остаются справедливыми в указанных двух
геометриях.
Решение 2. Пусть О — середина PQ (черт. 5).
Если р — прямая, параллельная а и проходящая через
точку О, то, очевидно, отрезки ОМ и CW симмет-
ричны относительно р.
Таким образом, ON = ОМ PQ и, следователь-
но, ^.PNQ— прямой.
335. Доказать, что
1 1 1 2
ha + hb hc ' R ’
где ha, hi,, hc—высоты треугольника, R— радиус
описанной, окружности.
Решение 1.
1 1 1 _1_ 2
ha + hb + hc г R '
ибо диаметр 2г вписанной окружности не превосходит
радиуса R описанной.
Решение 2.
1 I _1 1 1
ha +’ hb + hc та + ть + тс
9 9 2
та + ть + тс 9 R
2 К
(см.: «Математика в школе», 1966, № 5, стр. 76).
336. Доказать, что
___ Г— ,— 3 г—
М ha 4- /hb + hc 2 ’ 6/?.
Решение 1.
V ha + /hb + / hc < /та 4- Vmb 4- Vтс <
< v 3 (та 4- ть 4- тс) < J/^3- R — / 6/?.
Решение 2.
/ ha 4- -/hb 4- /hc < /3(ha 4- hb 4- hc) <
,_______________ i/ 9 3 ,—
< у 3(ma 4- mb 4- mc) < у 3’-2- = ~2~ *
337. В п-мерном пространстве из точки выхо-
дят п 4- 1 лучей, образующих попарно угол у. Вы-
числить этот угол.
Решение 1. Пусть ei — единичный вектор^ отве
чающий лучу ei (/ — 1, 2...л 4" 1): положим еп+1 =
п
— и = const — с (I =Д J).
I
Тогда, очевидно,
с — а, 4- (“« + “а 4- • • - 4- ал) с,
с — as 4- (<Ч 4- °» 4- - - • 4- а„) с.
С — Я„ 4- (а, 4- а, 4- . . 4- “л-i) С,
1 с (а) 4- “s 4- • • 4- ап)>
откуда следует, что
1 ( 1 А
ссг <р — с = — и <р — arccos 1— ).
Решение 2. Пусть по-прежнему ei-ej — c.
89
л+l л+1
et- 2 ej “ пс + 1 и е*- 2 eJ = пс +1;
1 1
тогда
л+1
Gl—s = 0 <z k)>
1
л+1
т. е. (при ei — efc^=O) ^ej = 0.
1
п
Таким образом, e„+t = — 2е< и en+i “1=п +
1
4-2Сд-с = п + п (л — 1) с, откуда.
1
С — COS Ф — — .
* п
338. Доказать справедливость неравенства
/Я| + ml + > 2s,
где s — площадь четырехугольника, mlt тг, т3—от-
резки, соединяющие середины его противоположных
сторон и середины диагоналей.
Решение 1. Пусть О — точка пересечения сред-
них линий MtM, и MtMt данного четырехугольника
(черт. 6). Если Д и L — середины диагоналей АС и BD,
Черт. 6
то, как известно, точки О, К и L коллинеарны (тео-
рема Эйлера; О — центроид четырехугольника). Поло-
жим О А -= Л ОВ^= В, ОС - С и OD — D; легко за-
метить, что Д+B+C+D— О-И.-Следовательно^ Д’+
+ В! +С* + 7?_----2A-B — 2A-C — 2A-D—2B-C —
-2B-D — 2C-D.
Далее,
ml + ml + [(Д + В)’ + (В + С)’+(В+О)’ +
+ (Д + СУ + (С + Dy + (Д + В)2] =
- -|-[3(Д’ + В* + С’ + D!) + 2(А-В + В-С +
+ CD + D-A + А-С + В-D)] -ДМ В! + С‘+ Ь1.
Но из тождественного неравенства
(x-y)s + (y-^)’ + (z-OM-(^-x)*>0
следует
х* + у* + Z* + ts > ху + yz + zt +- tx.
Поэтому в нашем случае
ДМ В* + С’ + О’ > | А Н В | + | В |-| С | + | С| | О|+
+ |О|-|Д |>|Д=В| + | В°с 1 + 1^001 + |О=Д| -2s,
где косое произведение А°В векторов А и В обозна-
чает удвоенную площадь ориентированного треуголь-
ника ОАВ.
Итак,
лг, + т| + /п| 2s.
Очевидно, знак равенства имеет место только для
квадрата, когда т, — 0, mt — ma — а, где а — сторона
квадрата
Черт. 7
Решение 2. Четырехугольник KLMN есть парал-
лелограмм (черт. 7); кроме того, SAECd = ISkimn (на
доказательствах этих положений не останавливаемся).
Имеем:
2s - 4SKLMN - 2KM-LK<2KM-LN; 2s<2m,m,;
но
2mtmt < ml + m^,
следовательно,
2s < ml + znj mi + m2 + m3-
339. Доказать, что
V~ +
<5 V Z •
+ 4(4—4) +4(4—4)'
где s{ — площади граней тетраэдра, lt — расстоя-
ния от вершин тетраэдра до центров описанных
окружностей около соответствующих противо-
положных граней, rt — радиусы этих окружно-
стей, V — объем тетраэдра.
Решение 1. Примем вершину Д4 тетраэдра
Д1ДаД,Д4 за начало векторов и положим Д4Д/ —
= at(,l — 1, 2, 3). Обозначим центры описанных около
граней окружностей через Ор
Легко показать, что
Д40, — _ 2 (^2 * ^2*т>) + ^2(^3 а^а^} Сд].
,9 о
Вычислим I,—г,-:
ll — 4 - (ДА - а,У - Afii “ 4 — 2а,ДА.
Следовательно,
4sl (4 — rl) - 4slai — 8sla,A4O, - [^«3 — (fla«s)2J aj—
—^3 (4 — ^a^-a) (^i^a) (^3 аЛа^у a4as =
= alalal + лаа3 [al (а,а,) + «3 (a,<2a) — c? (flafis)]—
--C2a3(flla« + ala»)'
90
Аналогичным образом вычислим и остальные cnaiae-
мые рассматриваемой суммы. После преобразований
н упрощений получим
4
4 2 si (Zz— ri) = + 4(а,аг) (а2а3) (a3at) —
i=i
—2 [а, (а2а3)а 4- а^а,)1 + 4 («1«г)а1 -
А
а2а3 = 2(а1а,а3)*=2(6У)*=72У*.
Итак,
«з
Решение 2. Очевидно,
/2-г2= ll-rf+d*.
где dt — расстояние от центра О сферы, описанной око-
ло тетраэдра, до грани А,А2А, (черт. 8). Из треуголь-
ника OOtAt находим
R* — + /4 — 2d4Z4 cos xOOtAv
где R— радиус сферы, 04— центр окружности, описан-
ной около треугольника Л,Л,Л,. Но соб^:ОО4Л4=Л4:/4
(Л4 — высота тетраэдра, опущенная на грань Л1Л,Л3).
340. Через точку, лежащую в плоскости тре-
угольника АВС, проведены прямые и, v, w, парал-
лельные его сторонам ВС, С А, АВ и пересекающие
остальные две стороны или их продолжения соот-
ветственно в точках В, и С2, Л, и С„ В3 и А,
(точки А, и Аг принадлежат стороне ВС и т. д.).
Доказать, что
Л,Л, , B,BS С,С2
ВС СА АВ
Решение. 1) Пусть С А — а; АВ=Ь; ВС=с, СВ3—
\а‘, СВ2 -= У.га (черт. 9). Тогда
А,А„ — — (А2М -|- МЛ,)=» — (Х,а 4- \Ь) —
——X, (а 4- ~Ь) — Х,с;
Черт. 9
Аг
Черт. 8
Таким образом,
Z2_r^2d4/4.^ = 2dAi
ч
откуда следует
4 4 4
2 s, (li - г?) - 2 2 (Sidi) (Sihi) - &V 2 Sidi - 18V1
Z=I Z=1 i=l
и, окончательно,
1 Г~*--------------
''-TTjV
Z=1
C,C,-----(C2M 4- Л4С,)---[(1 — X.) c 4- (1 — M a] -
____ ____ -(1-X,)fc;_
B3B — —B2Bt — —(Xj — X,) a — (X, — X,) a.
2) Имеем
4.4-- X, 4-(X, - X.)-}-1-Xs - 1.
ВС CA AB ' 7 s
Следовательно,
AtA3 B,B3 C3C2 ___________________
ВС + CA + AB
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ
ПО № 1 ЗА 1967 г.
Ахвердов Г. Б. (Ленинград) — 321—330, 332—336,
337. Б; лицкий В. С. (г. Алейск Алтайского края) —
331, 332, 334—336, 338. Будагов М. Б. (Армянская
ССР) — 324, 325, 329, 335, 336. Букобаев Н. (Восточно-
Казахстанская обл.) — 321, 325, 327—329, 335, 336.
Ветров К. В. (г. Братск) — 321—330, 335, 336. Влади-
миров А. С. (г. Асбест) — 321—336, 338, 340. Волков
А. Л. (Костромская обл.) — 321—330, 332, 335, 336
338. Герасимов Ю. И. (г. Новосибирск) — 321, 323—
329, 332, 334—338, 340. Головачев Е. А. (Белгородская
обл.) — 321, 324—340. Гордон В. О. (г. Петровск-За-
байкальский) — 321—323, 325—329, 331, 332, 334—338
Готлер М. III. (г. Вильнюс) — 331—338, 340. Давыдов
У. С. (г. Гомель) — 321—330, 332—336, 338, 340. Дем-
чинский В. И. (г. Ровно) — 331—336, 338, 340. Зуби-
лин Н. И. (ст. Нарышкино Орловской обл.) — 321- 330,
332, 335, 336. Казанцев Н. А. (г. Тюмень)—331—336.
Кружок учеников спец, класса на математическом фа-
культете высшего механического учебного заведения в
91
Карл-Маркс-Штадте — 321—323, 325—330. Кружок Том-
ского пединститута — 321—340. Попов А. Н. (г. Уфа) —
321,325—331, 334—338. Райхштейн Б. 3. (г. Ярославль) —
321-—340. Сысуев Г. Я- (Хабаровский край)—324—329,
332, 335, 336. Тасмуратов С. С. (Астраханская обл.) —
321—338, 340. Токаев Кыдыр (Джежи-Огузский район
Киргизской ССР) — 321—323, 325—330. Утемов В. А.
(г. Красноуфимск Свердловской обл.)—321--340.
Хребет Н. Ф. (г. Днепропетровск) —321, 323, 325—329,
332, 333, 335, 336, 338. Цхай Т Т. (г. Андижан Узбек-
ской ССР)—321- 330, 332 340. Черепинскнй О. Д.
(г. Черкассы) —321—329, 331. 332, 335, 336. Чн ин В. П.
(г. Ярославль) — 322—324, 326, 328, 331, 335. Шни-
пор Б. Н. (г. Литии Винницкой обл.) — 321—323, 325—
329. Юдаков В. А. (Томская обл.)—321—323, 325—330,
332, 33 336, 338, 340.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ НА 1967/68 УЧЕБНЫЙ ГОД
НОЯБРЬ
15 ноября — 70 лет со дня
рождения советского математика
академика АН УССР Иосифа За-
харовича Ш т о к а л о. Он родил-
ся в селе Скоморохи Львовской
области. В 1915—1932 гг. препо-
давал математику в средней шко-
ле и техникумах. В 1931 г. окон-
чил Днепропетровский универси-
тет и с этого времени начинает
преподавание в высших учебных
заведениях г. Харькова. С 1941 г.
работает в Институте математики
АН УССР и с 1944 г.— в Киев-
ском университете. В 1949—
1956 гг. был председателем Пре-
зидиума Львовского филиала
АН УССР. Научные исследования
И. 3. Штокало в основном посвя-
щены теории обыкновенных Диф-
ференциальных уравнений и исто-
рии математики. В настоящее вре-
мя является ответственным ре-
дактором большого четырехтом-
ного труда «История отечествен-
ной математики»; первый том
«Истории» уже вышел из печати
(Киев, 1966) (см.: «Математика в
СССР за 40 лет», тт. 1—2,
1959).
22 ноября — 25 лет со дня
смерти польского математика
доктора математических наук
Станислава Зарем бы (1863—
1942). Заремба учился в Одессе,
Петербурге и Париже. Заремба
дал обобщение понятия предела
(1909), он рассматривал вопрос о '
максимуме тройного интеграла.
Известен также как автор книг
по теоретической арифметике
(1912), введению в анализ (1915,
191В), математической логике,
теоретической механике и др.
(см.: «Реферативный журнал ма-
тематики», 1960, № 1; 1962, №11).
23 ноября —125 лет со дня
рождения русского механика и
физика члена-корреспондента Пе-
тербургской АН Дмитрия Кон-
стантиновича Бобы лева (1842—
1917). Д. К. Бобылев родился в
селе Печенеги Херсонской гу-
бернии, окончил Михайловскую
артиллерийскую академию (1862).
Прослужив два года в гвардей-
ской конно-артиллерийской брига-
де, он в 1865 г. поступил воль-
нослушателем на физико-матема-
тический факультет Петербург-
ского университета, по окончании
которого был оставлен при уни-
верситете для подготовки к про-
фессорскому званию. В 1В73 г.
Бобылев защитил магистерскую,
а в 1877 г.— докторскую диссер-
тации. Работы Бобылева по гид-
родинамике, электричеству и маг-
нетизму имели большое значение
для развития русской физической
школы. Математические работы
Бобылева посвящены дифферен-
циальным уравнениям. Он автор
капитального труда «Курс анали-
тической механики» (тт. 1, 2,
1880—1884). Бобылев вел боль-
шую педагогическую работу.
К числу его учеников принадле-
жит А. М. Ляпунов (см. Биогра-
фический словарь деятелей есте-
ствознания и техники, т. 1, М.,
1958; А. М. Л я п у н о в, Д. К. Бо-
былев, П., 1917; «Историко-мате-
матические исследования», вып. 13,
М., 1960).
30 ноября — 80 лет со дня
рождения советского математика-
педагога Якова Семеновича Дуб-
нова (см.: «Математика в шко-
ле», 1962, № 6).
ДЕКАБРЬ
3 д е к.а б р я — 320 лет со дня
смерти итальянского математи-
ка Бонавентуры Кавальери
(1598—1647). Кавальери родился
в Милане. Еще юношей вступил
в монашеский орден иероними-
тов. По рекомендации Галилея
Кавальери в 1629 г. занял кафед-
ру математики в Болонье, где
проработал до самой смерти.
В своем основном труде «Гео-
метрия» (1635) Кавальери развил
метод определения площадей и
объемов, так называемый «метод
неделимых». Здесь он доказыва-
ет положение, известное под на-
званием «принципа Кавальери»,
который и до сих пор часто ис-
пользуется в школе при изуче-
нии темы «Объемы». Труды Ка-
вальери сыграли определенную
роль в формировании исчисления
бесконечно малых.
Кавальери принадлежит также
ряд других работ, в частности:
«Сто различных задач для демон-
страции полезности и легкости
применения логарифмов в триго-
нометрии, астрономии, географии
и т. д.» (1639); «Тригонометрия
плоская и сферическая, линейная
и логарифмическая» (1643),
«Шесть геометрических опытов»
(1647) (см.: Биографический сло-
варь деятелей естествознания и
техники, т. 1, М., 1958; Г. В и л е й т-
н е р, История математики от Де-
карта до середины XIX столетия,
Физматгиз, М., 1966).
6 декабря — 75 лет со дня
рождения советского историка
математики Эрнста Кольмана.
Он родился в Праге, окончил
Чешский Карлов. университет
(1913), доктор философских наук
(1934), профессор (1939). В 1929—
1935 гг. работал в Коммунисти-
ческой академии, в 193В—1945 —
в Московском энергетическом
институте, в 1945—1952 — в Праж-
ском университете, с 1953 г. ра-
ботает в Институте истории есте-
ствознания и техники АН СССР.
Основные работы Кольмана от-
носятся к истории математики.
Пользуются известностью его
книги «Предмет и метод совре-
менной математики» (М., 1936),
«История математики в древно-
сти» (М., 1961) и др. (см.: «Мате,-
матика в СССР за 40 лет», тт. 1 —
2, М., 1959).
92
13 декабря — 410 лет со дня
смерти итальянского математика
Николо Фонтана Тартальи
(ок. 1500—1557). Тарталья родил-
ся в г. Брешии. Он самостоятель-
но изучил не только латинский и
греческий языки, но и математи-
ку и уже в 23 года выступал с
лекциями по математике и меха-
нике в различных городах Италии.
Известен тем, что, по существу,
получил формулу для решения
приведенного кубического урав-
нения, несправедливо называе-
мую формулой Кардано. Некото-
рые труды посвящены вопросам
механики, баллистики, геодезии
и др. (см. Биографический сло-
варь деятелей естествознания и
техники, т. 2, М., 1959; В. П. LU е-
реметевский, Очерки по
истории математики, М., 1940).
17 декабря — 125 лет со дня
рождения знаменитого норвеж-
ского математика Мариуса-Софу-
са Л и (см.: «Математика в шко-
ле», 1962, № 6).
22 декабря — 80 лет со дня
рождения индийского математика
Сринивазы Раманужана (см.:
«Математика в школе», 1962,
№ 5).
22 декабря — 100 лет со дня
смерти французского математика
члена-корреспондента Петербург-
ской АН Жана Виктора Понсе-
л е (см.: «Математика в школе»,
1962, № 6).
26 декабря —145 лет со
дня рождения известного фран-
цузского математика члена Па-
рижской АН Шарля Эрмита
(1822—1901). Эрмит получил обра-
зование в Политехнической шко-
ле, где впоследствии работал ре-
петитором и экзаменатором.
С 1869 г. был профессором Па-
рижского университета. Эрмиту
принадлежат многочисленные ис-
следования по различным вопро-
сам классического анализа, ал-
гебры и теории чисел. Число его
сочинений и мемуаров по этим
вопросам превышает 190. Но ос-
новные его работы связаны с тео-
рией эллиптических функций и ее
приложениями, он построил ре-
шение уравнения 5-й степени с
помощью эллиптических функций.
Эрмит изучил один класс орто-
гональных многочленов ( т. н.
многочлены Эрмита или много-
члены Чебышева) и рассмотрел
аналогичный класс многочленов
от многих переменных. Впервые
доказал трансцендентность числа е
и др. (см.: Биографический сло-
варь деятелей естествознания и
техники, т. 2, М., 1959; Ф. Клейн,
Лекции о развитии математики в
XIX столетии, ч. 1, М.— Л., 1937).
26 декабря —175 лет со дня
рождения английского математи-
ка Чарльза Бэббеджа (см :
«Математика в школе», 1962,
№ 6).
А. И. Бородин
27 сентября исполнилось
75 лет со дня оождения выдаю-
щегося советского математика,
члена АН УССР Михаила Филип-
повича Кравчука (1892—1942) .
Кравчук родился в с. Човницы на
Волыни. Окончив в 1910 г. гимна-
зию с золотой медалью, Кравчук
поступил на физико-математиче-
ский факультет Киевского универ-
ситета, по окончании которого он
был оставлен для подготовки к
научно-педагогической деятельно-
сти. В 1917 г. он получает звание
приват-доцента, а в 1924 г. за-
щищает докторскую диссерта-
цию «О квадратичных формах
и линейных преобразованиях».
1929 г. М. Ф. Кравчук избран
действительным членом АН УССР.
Этот замечательный ученый
внес большой вклад в самые раз-
нообразные отрасли математики,
а в некоторых из них получил
фундаментальные результаты. Он
известен и как крупный педагог,
отдавший многие годы жизни
преподавательской деятельности,
подготовке молодых научных кад-
ров — ив вузах г. Киева, и в си-
стеме АН УССР.
Первые печатные работы Крав-
чука были опубликованы еще тог-
да, когда он был студентом. Его
' В сборнике «Математика в
СССР за 40 лет» (М., 1959) не-
правильно указана дата рожде-
ния — 21 ноября. Дата 27 сентяб-
ря проверена по документам
Киевского городского архива.
научное наследство насчитывает
более 170 работ, в их числе двух-
томная монография «Применение
способа моментов к решению ли-
нейных дифференциальных и ин-
тегральных уравнений» (1932—
1936 гг.).
На VII Международном матема-
тическом конгрессе в Торонто
(1924) был прочитан доклад о ре-
зультатах исследования М. Ф.
Кравчука по вопросам обобщен-
ной интерполяции.
На VIII Международном мате-
матическом конгрессе в Болонье
(1928) Кравчук выступил с докла-
дом на тему «О приближенной
интеграции линейных дифферен-
циальных уравнений».
Активное участие принимал
Кравчук и в работе II Всесоюзно-
го съезда математиков в Ленин-
граде (1934).
Большой вклад внес он в раз-
витие украинской математической
терминологии. Язык его трудов
служит образцом украинского
научно-математического стиля.
Много времени уделял М. Ф.
Кравчук и вопросам образования
в нашей стране. Он составлял
ряд учебников, пособий, про-
грамм для средних школ и вузов,
писал интересные статьи о мето-
дике преподавания математики
и Др.
В научно-методическом отно-
шении очень актуальна и сегодня
статья Кравчука о новом, более
рациональном методе преподава-
ния логарифмов в средней шко-
ле, где решается вопрос, как по-
дать ученикам «логарифмы без
теории пределов, без системати-
ческой теории иррационального
числа, но так, чтобы обеспечить
понимание и органическое усвое-
ние самой идеи логарифмов...,
понимание исторического пути
развития логарифмов». Под ру-
ководством М. Ф. Кравчука была
организована и проведена в
г. Киеве первая математическая
олимпиада (1935).
Будучи разносторонне образо-
ванным, М. Ф. Кравчук не огра-
ничивался математическими ис-
следованиями. Известны его ра-
боты из области физики, химии
и др.
Н. А. Ъирченко
93
Ж. Д’АЛАМБЕР
(к 250-летию со дня рождения)
16 ноября 1967 г. исполняется 250 лет со дня рож-
дения знаменитого французского математика и филосо-
фа просветителя Жана Лерона Д’Аламбера (1717—
1783). Д’Аламбер родился в Париже. Подкинутый ма-
терью на ступени церкви Saint Jean Lerond, он был до
того слаб здоровьем, что поднявший его полицейский
чиновник не решился отдать его в воспитательный дом,
а передал на попечение одной бедной женщины. Поли-
цейский комиссар велел назвать найденыша Жаном
Лероном в память церкви, где он был найден. Так под
этим именем ребенок рос, пока сам не прибавил к нему
фамилию Д’Аламбер
Д’Аламбер уже в раннем детстве показал боль-
шие дарования и приводил в изумление своей спо-
собностью к математике. Изучив юриспруденцию и сде-
лавшись адвокатом, он занимался медициной и естест-
венными науками. В 1739 и 1740 гг. Д’Аламбер пред-
ставил в Парижскую академию наук два трактата о
движении твердых тел в жидкостях и об интегральном
исчислении, за что был избран в число ее членов.
В 1743 г. Д’Аламбер в «Трактате о динамике» впервые
сформулировал свой знаменитый принцип (принцип
Д’Аламбера). За свои «Рассуждения об общей причи-
не ветров» (1744 и 1747) Д’Аламбер получил премию
Берлинской академии и был избран ее членом.
К концу жизни Д’Аламбер был членом почти всех
академий и ученых обществ Европы, в том числе и Пе-
тербургской АН.
Астрономия обязана Д’Аламберу обоснованием тео-
рии возмущения движения планет. Ему принадлежат
также работы по вопросам музыкальной теории и му-
зыкальной эстетики. Основные математические иссле-
дования Д'Аламбера относятся к теории дифферен-
циальных уравнений. Он нашел решение дифферен-
циального уравнения в частных производных 2-го по-
рядка, выражающего поперечные колебания струны
(волнового уравнения) в виде суммы двух произволь-
ных функций, и по т н граничным условиям сумел вы-
разить одну из них через другую. Эти работы Д’Алам-
бера, а также последующие работы Л. Эйлера и
Д. Бернулли, заложили основу математической фи-
зики. При решении одного встретившегося в гидроди-
намике дифференциального уравнения в частных произ-
водных эллиптического типа Д’Аламбер впервые приме-
нил функции комплексного переменного. Д’Аламбер и
Эйлер первыми нашли те основные уравнения, связы-
вающие действительную и мнимую части аналитической
функции, которые впоследствии обычно называли урав-
нениями Коши-Римана. Исчисление бесконечно малых
Д’Аламбер стремился обосновать с помощью теории
пределов. В теории рядов его имя носит широко ис-
пользуемый достаточный признак сходимости. В алгеб-
ре Д’Аламбер дал первое, правда, не вполне строгое,
доказательство основной теоремы алгебры, которая на-
зывается сейчас леммой Д’Аламбера.
Д’Аламбер работал вместе с Дидро над созданием
«Энциклопедии наук, искусств и ремесел». В ней он
поместил статьи: «Дифференциалы», «Уравнения», «Ди-
намика», «Геометрия» и др. В статье «Размерность»
Д’Аламбер впервые высказал идею о времени как о
четвертом измерении. Д’Аламбер иаписал вступитель-
ную статью к «Энциклопедии» — «Очерк происхожде-
ния и развития науки» (1750), в которой, следуя в
основном Ф. Бэкону, дал классификацию наук.
Среди блестящей группы французских просветителей-
материалистов Д'Аламбер был несомненно менее ради-
кален. Ограниченность его мировоззрения наиболее рез-
ко выражена в его теоретико-познавательных взглядах.
Однако сотрудничество Д’Аламбера в «Энциклопедии»
вызвало недовольство правящих кругов Не выдержав
преследований реакции, Д’Аламбер в 1757 г. отошел
от издания «Энциклопедии» и с годами стал все более
и более осторожным.
Литература: Биографический словарь деятелей естест-
вознания и техники, т I, М., 1958, Историко-математи-
ческие исследования, вып. 6—9, 1953—1956.
А. И. Бородин
ОТ РЕДАКЦИИ
В заметке В А. Голубева, опубликованной в № 3
за 1967 г. (стр 78), доказана теорема о том, что для
каждого натурального у можно найти такое натураль-
ное а.^у у, что многочлен х2~1~а2 будет принимать
не меиее, чем простых значений при соответ-
ствующих значениях х (натуральных). Однако из этого
правильного утверждения автор делает необоснованное
заключение, что существуют натуральные значения а.
для которых x2-j-a2 принимает бесконечное множество
простых значений при соответствующих натуральных
значениях х Ошибочность его рассуждения коренится
в подмене понятия «конечный» понятием «ограничен-
ный». Поэтому проблема существования многочлена
вида x2-}-as, принимающего бесконечное множество про-
стых значений при натуральных значениях х, остается
по-прежнему нерешенной. Редакция приносит свои из-
винения читателям за то, что она своевременно не об-
ратила внимания иа допущенную в заметке ошибку.
94
А. Я. МАРГУЛИС (Москве)
В СЕКЦИИ СРЕДНЕЙ школы
МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ОБЩЕСТВА (ГОД ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ)
С 16 по 26 августа 1966 г. в Москве проходил Меж-
дународный конгресс математиков. Во время работы
конгресса секция средней школы Московского матема-
тического общества провела свое внеочередное засе-
дание. Выступили: А. Н. Колмогоров «О содержа-
нии курса математики средней школы»; Е. Б. Д ы н к и н
«Опыт работы специализированной математической
школы»; С. В. Смирнов «Из опыта работы Иванов-
ской юношеской математической школы». Заседание
привлекло внимание участников конгресса из всех стран
мира (см.: «Математика в школе», 1966, № 6, стр. 14—
15).
Заседание 15 сентября 1966 г. было посвящено об-
суждению доклада Э. Л. Блоха «Математические во-
просы теории кодирования».
20 октября 1966 г. Е. А. Морозова и И. С. Пет-
раков сообщили об итогах VIII Международной ма-
тематической олимпиады (Болгария, 1966 г.). С решени-
ем задач выступили лауреаты олимпиады — советские
школьники Богданский Ю., Г у с е й н -з а д е С.,
Заимских А., Л и б е р С. (см.: «Математика в шко-
ле», 1966, № 6, стр. 62—66).
1 ноября 1966 г. состоялось торжественное заседа-
ние, посвященное 60-летию со дня рождения и 40-летию
научной, педагогической и общественной деятельности
Героя Социалистического Труда, академика Андрея Ни-
колаевича Тихонова. Заседание проводили Отделе-
ние математики АН СССР, МГУ, Институт прикладной
математики АН СССР и Московское математическое
общество. Были заслушаны доклады: П. С. Алек-
сандров «Работы А. Н. Тихонова по топологии и
функциональному анализу», А. А. Самарский,
В. А. Ильин, А. Г. Свешников «Работы А. Н. Ти-
хонова по математической физике», А. И. Зборов-
ский «Геофизические исследования А. Н. Тихонова»
(см.: «Математика школе», 1966, № 4, стр. 9—11).
11 ноября 1966 г. Московское математическое об-
щество совместно с МГУ, Математическим институтом
АН СССР имени В. А. Стеклова отметили 60-летие со
дня рождения и 40-летие научной и педагогической
деятельности члена-корреспондента АН СССР Алек-
сандра Осиповича Гельфонда. После вступительно-
го слова П. С. Александрова с докладами высту-
пили: А. Б. Шидловский «О работах А. О. Гельфон-
да по теории чисел», М. А. Е в г р а ф о в, И. И. П я т е ц-
кий-Шапиро «О работах А. О. Гельфонда по тео-
рии функций комплексного переменного» (см.: «Успехи
математических наук», ыл. 3 (135), т. XXII, 1967,
стр. 247—256).
17 ноября 1966 г. Б. В. Гнеденко, В. Г. Карма-
нов, В. Н. Тростников рассказали об итогах Меж-
дународного математического конгресса 1966 г. (см.:
В. Н. Тростников, Всемирный конгресс математи-
ков в Москве, изд. «Знание», 1967),
13 декабря 1966 г. состоялось распорядительное за-
седание Московского математического общества, на
котором по рекомендации президента общества
А. Н. Колмогорова избран новым президентом
И. М. Г е л ь ф а н д.
15 декабря 1966 г. Б. В. Гнеденко рассказал о
«Математических методах в педагогике» и как предсе-
датель бюро секции доложил о деятельности секции
за два года. Собрание секции избрало новое бюро, в
состав которого вошли Бескин Н. М., Болтянский В Г.,
Волов Л. М., Гнеденко Б. В. (председатель), Гуль С. М.,
Маргулис А. Я. (зам. председателя), Маркушевич А. И.,
Маслова Г. Г., Покровская М. Н., Смирнова Т. Г., Соко-
лова А. В., Фетисов А. И. (зам. председателя), Фивей-
ская Е. Н., Черкасов Р, С., Яглом И. М.
19 января 1967 г. В. Г. Болтянский рассказал об
«Оптимальном и динамическом программировании».
14 февраля 1967 г. на совместном заседании Москов-
ского математического общества и секции средней шко-
лы А. Н. Колмогоров доложил о факультативных
занятиях математикой в средней школе в 1967/6В учеб-
ном году (см.: «Математика в школе», 1967, № 1,
стр. 4—23; 1967, № 2, стр. 33—ЗВ, № 3, стр. 39—73).
16 февраля 1967 г. И. М. Яглом доложил «О препо-
давании геометрии средних школах США» (см.: «Ма-
тематика в школе», 1967, № 2, стр. 93—96).
16 марта 1967 г. Г. Г. Маслова сообщила о «Мид-
лендской программе по математике» (Англия).
30 апреля 1967 г. Н. X. Розов рассказал о содер-
жании программы по математике французской сред-
ней школы и дал краткий обзор принятых настоя-
щее время во Франции учебников по математике. Соб-
рание секции обратилось к издательству «Просвеще-
ние» с пожеланием издания перевода лучших из рас-
смотренных учебнико .
16 мая А. И. Фетисов сделал доклад «Элементы
теории действительного числа в связи с проблемой изу-
чения геометрических величин».
Собрание приветствовало А. М. Лопшицав связи
с его семидесятилетием.
15 июня 1967 г Б. В. Гнеденко рассказал о своей
поездке в Англию,
В БЛИЖАЙШИЕ МЕСЯЦЫ 1967 г. В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
ВЫХОДЯТ:
Андронов И. К., Полвека развития школьного ма-
тематического образования в СССР и деятельность со-
ветских педагогов-математиков. Книга для учителей.
Бакушинский А. Б., Власов В. К., Элементы
высшей математики и численных методов. Учебное по-
собие для учащихся IX—X классов школ программи-
стов.
Барыбин К. С., Геометрия. Учебное пособие для
IX—XI классов вечерних (сменных) школ.
В пособии теоретический материал объединен с прак-
тическим Программный материал разбивается на гла-
вы и параграфы, в них дается теория и образцы реше-
ния задач. В конце параграфов даются контрольные во-
просы и задачи «с пропусками», которые должны за-
полнить сами учащиеся (задачи с наводящими вопро-
сами, предназначенными для тех, кто пропускает заня-
тия) и набор упражнений на тему параграфа.
Б о р о д у л я И. Т., Показательные и логарифмиче-
ские уравнения и неравенства. Пособие для учителей.
Б р а д и с В. М., Минковский В. Л., Харчева
А. К., Ошибки в математических рассуждениях. Посо-
бие для учителей.
Виленкин Н. Я. и др.. Алгебра. Пособие для уча-
щихся математических школ.
Глейзер Г. Д., Геометрия. Учебное пособие для
вечерних (сменных) школ с ускоренным прохождением
курса восьмилетней школы.
Гуль С. М. и др., Алгебра и элементарные функ-
ции. (Дидактическим материал для IX кл.) Пособие для
учителей.
Д ы ш и н с к и й Е. А., Игротека математического
кружка. Пособие для учителей.
Котов Я. А., Вечера занимательной арифметики.
Пособие для учащихся.
Методика преподавания геометрии в старших клас-
сах средней школы. Под ред. А. И. Фетисова. По-
собие для учителей.
М у р а в и н К. С., Крейдлин Е. Г., Сборник задач
по алгебре для восьмилетней школы. Пособие для учи-
телей.
Орехов В. А., Графические лабораторные работы
по геометрии в VIII классе. Пособие для учителей.
Парно И. К., Производная и ее применение к ис-
следованию функции. Пособие для учителей.
Петер Р. Игра с бесконечностью (перевод с венг.).
Пособие для учителей.
Пономарев С. А., Арифметика. Учебное пособие
для учащихся V—VI классов заочных и вечерних (смен-
ных) школ.
Пособие представляет собой соединение учебника,
сборника задач и заданий для учащихся. Структура по-
собия приспособлена для самостоятельно изучающих
курс арифметики и для учащихся заочных средних и
вечерних школ.
Репьев В. В., Методика преподавания алгебры в
восьмилетней школе. Пособие для учителей.
Хренов Л. С., Четырехзначные математические таб-
лицы. Пособие для учителей.
Л. А. Сидорова
Редакционная коллегия:
Главный редактор Р. С. Черкасов Зам. главного редактора С. А. Пономарев
Члены редакционной коллегии: И. К. Андронов, В. Г. Болтян кий, И. Ф. Бласик,
И. С. Глаголев, Б. В. Гнеденко, А. С. Ильин, О. П Орешина, И. С. Петраков, А. Д. Семушин,
3. А. Скопец, А. В. Соколова, П. В. Стратилатов, И. Ф. Четверухин
Зав редакцией 3. В. Шепелева Корректор Р. П. Семченкова
Технический редактор А. А. Шлихт Художественный редактор Б. Ф. Рябое
Адрес редакции: Москва, Г-117, Погодинская ул., д. 8. Телефон редакции: Г 5-04-53.
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Министров РСФСР
А-04889 Сдано в прои водство 22/VIII — 1867 г. Объем 6 (10,08) п. л. Учетно-изд. л. 11,19
Цена 45 коп. Заказ 398 Тираж 280 720 экз. Бумага 84 X lOS’/ie Подп. к печ. 2/Х — 1967 г
Мое зская типография № 13 Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Москва, ул. Баумана, Денисовский пер., д. 30.
Цена 45 коп.
<0
СМ
Ю
с
Принимается подписка на 1968 год на журналы Министе
ства просвещения РСФСР и Академии педагогическ!
наук СССР
<
0Q
О
О
1
•
ш
X
ш
UI
СО
О
о
а
С
Наименование журналов
«Народное образование» . . .
«Советская педагогика» . . .
«Семья и школа»............
«Начальная школа»..........
«Биология в школе» ........
«Вечерняя средняя школа»
«Вопросы психологии» . .
«География в школе.» . . .
«Дошкольное воспитание» . .
«Иностранные языки в шко-
ле» .......................
«Литература в школе» . . .
«Математика в школе» . . .
«Преподавание истории в
школе»..............".
«Русский язык в националь-
ной школе».................
«Русский язык в школе» . .
«Физика в школе»...........
«Физическая культура в шко-
ле» .......................
«Химия в школе» ...........
«Школа и произволе।во» . .
«Советский школьник» (для
слепых детей, печатается
точечным шрифтом)
«Воспитание школьников». .
Периодич- ность в год Подписная плата на
6 месяцев | 12 месяцег
12 3 р 60 к. 7 р. 20 к.
12 3 р. 60 к. 7 р. 20 к.
12 1 р. 50 к 3 р. 00 к
12 90 к. 1 р. 80 к
6 1 р. 55 к 2 р. 70 к.
6 1 р. 35 к. 2 р. 70 к
6 3 р. 00 к. 6 р. ()<> к.
6 1 р. 35 к. 2 р. 70 к
12 1 р. 50 к. 3 р 00 к.
6 1 р. ГО к. 3 р. 60 к
6 1 р. 35 к 2 р 70 к
б 1 р. 35 к. 2 р 70 к
6 I р. 50 к 3 р. 00 к
6 I р 05 к 2 р 10 к
6 1 р. 35 к. 2 р 70 к
6 1 р. 35 к 2 р. 70 к.
12 1 Р 80 к. 3 р 60 к
6 1 р. 35 к. 2 р. 70 к.
12 1 р. 80 к. 3 р. 60 к
12 60 к 1 р. 20 к
6 1 р 35 к. 2 р. 70 к
Подписка принимается т- пунктах подписки «Союзпечати», отт
леннях связи, городских и районных узлах связи, почтами
а также общественными распространителями печати на преднрн
тиях, в школах, учреждениях и организация'.
Издательство «Просвещенит
К сведению читателей сообщаем, что журнал «Математика в шк
ле» в розничную продажу не поступает. Тираж каждого номера сое
ветствует числу подписчиков.
Если вы хотите систематически читать наш журнал, то не забывав
заблаговременно возобновить подписку на него.
Подписка производится в отделениях связи (почты) и отделения
«Союзпечати» без ограничения, с любого очередного номера.
Редакция журнала и издательство «Просвещение» подписку не при
нимают и журналы не рассылают