Author: Е.Вигнер
Tags: физика монография квантовая механика теория групп специальная физика
Year: 1961
Text
Е.Вигнер
ТЕОРИЯ ГРУПП
И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
АТОМНЫХ СПЕКТРОВ
Настоящая книга представляет собой одну из наиболее известных
монографий, посвященных приложению теории групп к квантовой механике.
Собственно теория групп изложена с учетом использования ее в физических
приложениях, причем наибольшее внимание уделено симметрической группе,
группе вращений и важнейшему для приложений разделу — теории
представлений.
Перед тем как перейти к приложениям, автор кратко излагает основные
положения и аппарат квантовой механики и теорию атомных спектров.
Развитая в книге общая теория применяется к атомным спектрам в форме,
позволяющей использовать ее для более широкого круга проблем—ядерных
спектров, теории поля и элементарных частиц и т. п. В связи с этим изложены
такие вопросы, как свойства коэффициентов векторной связи и коэффициентов
Рака, а также обращение времени.
Книга рассчитана на научных работников и аспирантов физиков, особенно
физиков-теоретиков, работающих в области атомной и ядерной спектроскопии,
изучения структуры молекул, физики твердого тела, а также математиков,
интересующихся физическими приложениями теории групп.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие автора 7
Глава 1. Векторы и матрицы 9
Линейные преобразования 9
Линейная независимость векторов 19
Глава 2. Обобщения 22
Глава 3. Преобразование к главным осям 30
Специальные матрицы 33
Унитарные матрицы и скалярное произведение 35
Преобразование к главным осям для унитарных и эрмитовых матриц 37
Вещественные ортогональные и симметричные матрицы 41
Глава 4. Элементы квантовой механики 43
Глава 5. Теория возмущений 53
Глава 6. Теория преобразований и основания статистической интерпретации 61
квантовой механики
Глава 7. Абстрактная теория групп 73
Теоремы для конечных групп 75
Примеры групп 77
Сопряженные элементы и классы 81
Глава 8. Инвариантные подгруппы 83
Фактор-группа 84
Изоморфизм и гомоморфизм 86
Глава 9. Общая теория представлений 89
Глава 10. Непрерывные группы 108
Глава 11. Представления и собственные функции 124
Глава 12. Алгебра теории представлений 136
Глава 13. Симметрическая группа 150
Приложение. Лемма о симметрической группе 169
Глава 14. Группы вращений 172
Глава 15. Трехмерная группа чистых вращений 185
Сферические гармоники 185
Гомоморфизм двумерной унитарной группы на группу вращений 189
Представления унитарной группы 195
Представления трехмерной группы чистых вращений 201
Глава 16. Представления прямого произведения 206
Глава 17. Характеристики атомных спектров 212
Собственные значения и квантовые числа 212
Модель векторного сложения 221
Приложение. Соотношение между биномиальными коэффициентами 231
Глава 18. Правила отбора и расщепление спектральных линий 233
Глава 19. Частичное определение собственных функций из их 250
трансформационных свойств
Глава 20. Спин электрона 261
Физические основы теории Паули 261
Инвариантность описания относительно пространственных вращений 265
Связь с теорией представлений 269
Приложение. Линейность и унитарность операторов вращения 276
Глава 21. Квантовое число полного момента количества движения 281
Глава 22. Тонкая структура спектральных линий 298
Глава 23. Правила отбора и правила интенсивностей при учете спина 316
Формулы Хёнля — Кронига для интенсивностей 326
Формула Ланде 330
Правило интервалов 332
Глава 24. Коэффициенты Рака 337
Комплексно-сопряженные представления 339
Симметричная форма коэффициентов векторного сложения 343
Ковариантные и контравариантные коэффициенты векторного сложения 347
Коэффициенты Рака 352
Матричные элементы бесспиновых тензорных операторов 360
Общие двусторонние тензорные операторы 363
Глава 25. Принцип построения 367
Глава 26. Обращение времени 386
Обращение времени и антиунитарные операторы 386
Преобразование собственных функций антиунитарными операторами 395
Приведение непредставлений 398
Нахождение неприводимых непредставлений 403
Следствия инвариантности относительно обращения времени 409
Глава 27. Физическая интерпретация и классические пределы 415
коэффициентов представлений 3j- и 6]-символов
Коэффициенты представлений 416
Коэффициенты векторного сложения 417
Коэффициенты Рака 422
Приложение А. Обозначения и определения 424
1. Координаты 424
2. Вращения 425
3. Представления группы вращений и сферические гармоники 426
4. Коэффициенты векторного сложения 427
5. Коэффициенты Рака и 6j-символы 427
Приложение Б. Сводка формул 428
Теория возмущений 428
Теория групп 428
Представления и собственные функции 429
Неприводимые представления трехмерной группы вращений 429
Теория спина Паули 430
Неприводимые тензоры 430
Бесконечно малые вращения 431
3j-символы 431
6j-символы 431
Антиунитарные операторы 432
Предметный указатель 433
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелевы группы, см. Группы абелевы — условие частот 70
Аксиальный вектор 237 Вейля метод получения
Алгебра представлений 136 представлений группы вращений
Антилинейные операторы 36, 389 189
Антисимметричная матрица 34 Вектора компоненты 9
представления 154 Векторного сложения коэффициенты
собственные значения и 226
собственные функции 125 классические пределы 417
Антиунитарные операторы 389 ковариантные и
в нормальном виде 390 контравариантные 347
Ассоциативность 13, 73 симметричная форма 343
Атомные спектры 212 таблицы 231
Бесконечные группы 108 модель 221, 312, 3 67
Бора орбиты 214
Векторные операторы 274, 288 322
326, 330
матричные элементы 291
Векторов линейная независимость 19
— ортогональность 35
— полная система 20
— сложение 9
Векторы аксиальные 237
— в пространстве группы 100
Векторы полярные 244, 316, 322
— физические 203
Величина физическая 62
Вероятность в квантовой механике
62
— различных направлений спина, их
взаимозависимость 272
Вещественная ортогональная
матрица 35, 41, 172.
Взаимодействие атома с магнитным
полем 241, 330
— спин-орбитальное 313, 330
— спин-спиновое 332, 335
— электронов 367
Водорода атом 213
волновые функции 214, 253
спектр 213
Возбуждение падающим излучением
67
Возмущений теория в случае
вырождения 57
правильные линейные
комбинации 60, 145, 210, 226,
242,306,312,376
Рэлея — Шредингера 53
Волновая функция 46
и физическое состояние 63
Волновое уравнение Шредингера 45
Волчок квантовомеханический 255
Вращательные состояния 265
Вращение 109, 127, 172, 265
— декартовых координат 265, 269,
298
— спиновых координат 269, 298, 309,
374
Вращений группа 109, 172, 180
двумерная 173, 241
и унимодулярная группа 192
— группы интеграл Гурвица 176
классы 174, 175, 181
Вращений группы матрицы 173 181,
193, 205
представления 175
характеры 202
— и отражений группа 172, 174, 211,
244
Вращения и отражения 172, 319
перестановка 310, 376
— операторы без спина 127, 265
для спинов только 268, 299
их линейность и унитарность
276
со спином 265, 268, 276, 283
— ось 180
— собственные и несобственные 172
— угол 180
Времени обращение 386
оператор 390
следствия из инвариантности
относительно него 409, 412
Вырождение собственных значений
51
нормальное 145
случайное 145
Гамильтонов оператор 46, 61
в магнитном поле 242,330
Гармонический осциллятор 43
Гармонические полиномы 177, 185
Гейзенберга матрицы 43
Гелия атом 258, 335
— ион 215
Гипергеометрическая функция и
матрицы представлений 257
Главное квантовое число 216
Главные оси, преобразование к ним
37,41
Гомоморфизм 86
— унитарной группы на группу
вращений 189
Грама—Шмидта ортогонализация
140
Группа вращений 109, 172, 180
— диэдрическая 80
— знакопеременная 153
— определение 74
— отражений 77, 174, 211, 249
— перестановок 81, 132, 150
— покрывающая 295
— примеры 73, 77
— простая 84
— симметрическая 81, 132, 150
— унитарная унимодулярная 192, 287
Группа уравнения Шредингера 128
Группы абелевы 74, 176
— аксиомы 74
— бесконечные 108
— гомоморфизм 86
— изоморфизм 79, 86
— инфинитезимальные 111
— конечные 75
— Ли 111
— непрерывные 108
— параметры 109
— порядок 75
— представления, см. Представления
группы
— просто непрерывные и смешанно
непрерывные 109, 111, 121
— пространство 76, 108, 173
— прямое произведение 206,209
— симметрии 79
— циклические 78
Групповые элементы (элементы
группы) 74
соседние 108
Групповых элементов классы 81
период 75
порядок 75
сопряжение 81
Гурвица интеграл 119
для двумерной группы
вращений 176
смешанно непрерывных
групп 121
трехмерной группы
вращений 183
Движение центра масс 212, 252
Двузначные представления, см.
Представления многозначные
Двумерная унитарная матрица 191
Диагонализация матриц 32, 39
Диагональная матрица 17
— сумма, см. След
Диагональный вид матриц 32
Дипольное излучение 235
Дирака релятивистский электрон 282
Диэдрическая группа 80
Единичная матрица 14, 25
Жесткий ротатор 253
Запрета принцип, см. Паули принцип
Зеемана эффект 237, 317
аномальный 332
нормальный 244
Знакопеременная группа 153
Зоммерфельда постоянная тонкой
структуры 313, 368
Идемпотентные операторы 144
Излучение дипольное 235
— квадрупольное 234
— падающее на атом 67
— поляризованное 239
Измерение физической величины 62,
64
Изоморфизм 79, 86
Инвариантная плотность в
пространстве параметров 116
Инвариантность относительно
вращений, следствия 274, 285
Инвариантные операторы, см.
Симметричные операторы
Инвариантный интеграл, см. Гурвица
интеграл
Инверсия времени, см. Времени
обращение
— пространства 211, 238, 283
Инволюторные физические
операторы 391
Индекс подгруппы 77
Интегралы по непрерывным группам,
см.
Гурвица интеграл
Интенсивности формулы, см. Хён-ля
— Кронига формулы для
интенсивностей
Интервалов правило (Ланде) 332,
360, 366
Интеркомбинационный запрет 235,
377
Инфинитезимальные группы 111
Каноническое преобразование 66,
266, 280
Квадратичная интегрируемость 45,
50
Квадрупольное излучение 234
Квантовая теория 43
Квантовое число азимутальное
(орбитальное) 217
главное 216
магнитное 217
мультиплетное 217
электрическое 246, 322
Квантовое число орбитального
момента количества движения
(орбитальное) 217
— — полного момента количества
движения 220, 281, 316
Квантовомехапическое твердое тело
253,255
Кейли — Клейна параметры 192
Классические пределы
коэффициентов представлений
415
3j-символов 418
6j-символов 421
Классы группы 81
перестановок 152
и характер 103, 201
— двумерной группы вращений 174,
175,381
— трехмерной группы вращений 181
Клебша—Жордана коэффициенты,
см. Коэффициенты векторного
сложения
Ковариантные и контравариантные
коэффициенты представлений
351
3j-символы 350
Коммутативность и инвариантность
141
Комплекс элементов 85
Комплексно ортогональная матрица
35,37
Комплексное сопряжение и
антиунитарные операторы 390
Компоненты вектора 9
— момента количества движения по
оси 217
— представлений неприводимые 106
Конфигурации 373, 374
— разрешенные для электронов 373,
378
Конфигурационное пространство 44,
128
Копредставление 398
— неприводимые 403, 408
— приведение 398
Кососимметричная матрица 34
Кристалл 247
Ланде g-формула 330, 363
— правило интервалов 332, 360, 366
Лапласа уравнение 177,185
Лапорта правило 236, 246, 316, 322
Линейная независимость 19, 47
Линейные комбинации "правильные"
60, 145
Линейные преобразования координат
11
произведение 12
тензоров 218
Линии ширина 71, 314
п-лучевик 251
Магнитное квантовое число 217, 261,
288
Магнитный момент 261
Матриц диагонализация 32, 39
— прямое произведение 27
— размерность 11
— свойства при преобразованиях
подобия 18, 30
— сложение 16, 24
— собственные значения и
собственные векторы 31
— специальные виды 33
— теоремы 13, 25, 190
— умножение 12, 25
— функции 19, 33
Матрица антисимметричная 34
— вещественная ортогональная 35,
41, 172
— взаимная 15, 25
— двумерная унитарная 191
— диагональная 17
— единичная 14, 25
— квадратная 22, 23
— комплексно ортогональная 35, 37
— кососимметричная 34
— мнимая 34
— нулевая 16, 24
— обратная 15, 25
— прямоугольная 23
— симметричная 34, 41, 124
— эрмитово-сопряженная 34, 36
Матрицы Паули 191
— след 18
— элементы 10, 11
Матричные элементы 11, 66, 233
— — бесспиновых тензорных
операторов 323, 360
векторного оператора 291
Метрический тензор для 3j-символов
348, 349
Мнимая матрица 34
Момент количества движения,
квантовое число полного
момента 220, 281,316
компонента по оси 217
орбитальный 217, 219
правила отбора 219, 220
Момент количества движения,
собственные функции 186, 254
Мультиплетное расщепление 313
и перестановки электронов 310
и число антисимметричных
собственных функций 375
правило отбора 234
— число 217
Мультиплетность 218
Непрерывность группы 108, 113,294
Непрерывные группы 108
Непрерывный спектр 49, 213
Неприводимость представлений 90
группы вращений 176, 179, 188
унитарной группы 200
Неприводимые компоненты
представления 106
типы и число 189, 223
— представления 90
— секулярное уравнение 148
— тензоры 288, 323, 337, 363
Нечетная перестановка 152
Нечетное число электронов 295
Нечетные представления 195
— уровни 318, 382
Нормировка 35, 47
Нормальная связь 314, 323
— форма антиунитарных операторов
390
Нулевая матрица 16, 24
Обратная матрица 15, 25
Обратное произведения элементов
группы 74
Операторы антилинейные 389
— антиунитарные 389
— бесконечно вырожденные 144
— идемпотентные 144
— инвариантные, см. Симметричные
операторы
— линейные 11, 47, 266, 278
— проекционные 144
— симметрические, см.
Симметричные операторы
— унитарные 35, 65, 266, 278
— эрмитовы 48, 62
Определитель и обратная матрица 15
Оптические изомеры 259
Орбитальный момент количества
движения, квантовое число 217
Орбитный момент количества
движения, правила отбора 219
Орбиты 369, 374
— Бора 214
Ортогонализация методом
Грама — Шмидта 39
Ортогональная матрица, см. Матрица
вещественная ортогональная,
Матрица комплексно
ортогональная
Ортогональности соотношения в
непрерывных группах 123
для неприводимых
представлений 102
собственных функций 51,
140, 144
спиновых функций 302
характеров 102, 123, 144
Ортогональность векторов 35
— и унитарность представлений 135
— собственных функций 51, 144
— функций 47, 140
Основная область 250
— структура 301
Ось вращения 180
Отбора правила 219, 233, 250, 258,
314,315
в магнитном поле 238, 317
электрическом поле 245, 322
со спином 316
Отражений группа 77, 174, 211, 244
Параметры вращений 173, 182, 183
— группы 108
— Кейли — Клейна 192
Параметров пространства одно- и
многосвязное 109, 295
путь в нем 109, 113,294
Партнеры-функции 136
Паули матрицы 191, 276
— принцип (запрета) 154, 218, 300,
372,373
и заполнение электронных
орбит 373
— теория спина 262, 264
Перестановки 150
— и принцип
Паули 299
— четные и нечетные 152
Перестановок группа, см. также
Симметрическая группа
электронов 130, 216, 298, 310
370, 376
— классы 151
— циклы 150
Перестановочные соотношения 44
Перестановочный закон 74, см. также
Коммутативность
и матричное умножение 13
Перехода вероятность 43
под действием падающего
излучения 66, 233
правило сумм 319
при измерении 64, 265
Период элемента группы 75, 111
Плотность инвариантная 116
Повторная связь моментов
количества движения 353
Подгруппа 75
— инвариантная 83
— смежные с ней классы 76
Подгруппы индекс 77
— порядок 77
Подобия преобразование,
инвариантность относительно
него 30
матриц 18, 26, 30, 134
Покрывающая группа 295
Полнота систем векторов 21
— собственных функций 51, 144
Полуцелые представления 196
Полярные векторы 244, 316, 322
Поперечный эффект 239
Порядок группы 75
— элемента группы 75
Построения принцип 220, 367
Правильные линейные комбинации
210,226,242,306,312,376
Представление группы 89, 124, 132
и собственные функции 124
размерность его 90
унитарность его 91, 123, 135
характер его 102, 106, 142
— принадлежащее собственному
значению 145, 209
— прямого произведения 207, 209,
223
— симметрической группы 156, 306
— с точностью до множителя 293
— тождественное 153, 189
— функции, принадлежащие ему 142
Представлений алгебра 136
— ортогональность 98, 123
— эквивалентность 90, 106
и характеры 106
Представления антисимметричные
154
— двумерной группы вращений 177
и отражений 177
— для электронных собственных
функций 156
— комплексно сопряженные 339
Представления комплексные 340
— коэффициенты, их классические
пределы 415
— многозначные 189, 196
— непрерывных групп 114, 123
— потенциально-вещественные 340
— приведение 104
— приводимые и неприводимые 90
— присоединенные 154
— псевдовещественные 340
— точные и неточные 89
— трехмерной группы вращений 185,
189,201,203
для четного или
нечетного числа электронов 285
и отражений 211, 218
целые и полуцелые 196
— унитарной группы 197
четные и нечетные 196
— целые и полуцелые 196
— четные и нечетные 195
Преобразование антилинейное 36
— антиунитарное 276
— каноническое 66, 266
— к новой системе координат 65
— линейное 11,12, 203
— подобия 18, 30, 134
— собственное 10
— унитарное 65
Преобразований теория 61, 65
Приведение копредставлепий 398,
403
— представления 104
группы вращений 223
симметрической группы 158
Приводимые представления 90
Присоединенные представления 154,
218,307
Продольный эффект 240
Проекционные операторы 144
Произведение комплексов 87
— матриц 12
— перестановок 80, 150
— прямое групп 206
матриц 27
— скалярное векторов 35
функций 47, 155, 263, 283
— числа и вектора 9
матрицы 16
Простая группа 84
Просто непрерывная группа, см.
Группы непрерывные
Протона спин 282
Прямое произведение групп 206, 209,
219,319,374
Прямое произведение групп,
неприводимые компоненты его
224
матриц 26, 207, 209
представлений 207, 209
Разделения теории Эпштейна —
Шварцшильда 43
Размерность матрицы 11
— представления 90
Рака коэффициенты 337, 352
классический предел 422
Расщепление собственных значений
58, 146
в магнитном поле 241, 317,
332
электрическом поле 243,
319
— спектральных линий 243, 318,332
Релятивистская теория электрона 282
Рессела — Саундерса связь 323, 361
Ридберга постоянная 213
Ромбическая симметрия 247
Ротатор 253
Релея — Шредингера теория
возмущений 53
Секулярное уравнение 30, 60, 146
Символы 3j- 344
классический предел 417
ковариантные и
контравариантные 347
симметрии 345
сокращенное обозначение 356
— 6j 354
вычисление 359
и группа 360
классический предел 422
симметрии 357
— 9J363
Симметрии группа
конфигурационного
пространства 128
— группы 79
— свойства уравнений 217,237,246,
247, 373
Симметрическая группа 81, 132, 150
характеры представлений 167
Симметричная матрица 31, 41, 124
— — собственные значения и
собственные функции 125
Симметричные операторы 131, 140,
288, 334
и коммутативность 141
Скалярное произведение векторов 35
Скалярное произведение функций 47,
155, 263, 283
Скалярные операторы 288, 323
След 17
Слетера определитель 372
Сложение векторов и матриц 9, 16,
24
Смежный класс 76
по инвариантной подгруппе 85
Смешанно непрерывные группы 109,
111,121
Собственные векторы 31
— — вещественной ортогональной
матрицы 41, 172
— значения вырожденные 51, 145
и результаты измерений 62
— — классификация по
представлениям групп 145, 209
матрицы 31
оператора 49
— — расщепление во
внутрикристаллических полях
247
в магнитном поле 242, 317
электрическом поле
246, 322
при возмущении 146
уравнения Шредингера 49, 382
четные и нечетные 218, 382
— функции 46, 50, 63
— — и классификация по
представлениям 126, 143, 209
из трансформационных свойств
250, 276
момента количества движения
186,254
ортогональность 50, 144
полнота 144
— — правильные линейные
комбинации 210, 226, 242, 306
— — простейших систем, см.
Водорода атом. Гелия ион
Собственный дифференциал 50
Сокращенное обозначение 3j-
символов 356
Сопряженные элементы группы 74
Состояние квантовомеханическое 61
Сочетание преобразований 12
— симметрии 206
систем 221
Спектр дискретный и непрерывный
49,213
— оператора 49
Спин 219, 261
— вероятность направления 273
Спин и полный момент количества
движения 281
представления группы
вращений 269
симметрической группы
156, 168
четность 313
Спина теория Паули 261
Спиновые матрицы (Паули), 276
— операторы 274
— переменные 155, 262, 302, 308
— силы 301, 313, 332, 366
Спин-орбитальное взаимодействие
313,330
— спиновое взаимодействие 332, 335
Спин ядра 282
Статистическая интерпретация
квантовой механики 61
Субматрицы 29
Сумм правило для вероятностей
переходов 319
Суперматрицы 28
Сферическая симметрия s-состояния
Сферические гармоники 186, 253
Тензорные операторы 289
двусторонние 363
матричные элементы 324
неприводимые 323, 337
Тензоры и вращения 203
— неприводимые 288, 32'3, 337, 363
Тождественное представление 153,
189
Тождество группы 74
Тонкая структура 219, 298, 308
волновые функции 312
компоненты 312
Тонкой структуры постоянная
(Зоммерфельда) 313, 368
Транспозиция 152
Транспонированная матрица 33
Угол вращения 180
Унитарная матрица 35
— унимодулярная группа 192, 287
гомоморфизм с группой
вращений 192
представления 195
Унитарное представление 91
Уровни энергии 43
Уширение уровней и линий 314
Фактор-группа 84, 87
Ферма теорема и теоремы о группах
78
Физические величины 62
Физическое истолкование
коэффициентов представлений
415,416
3j-символов 417
6j-символов 422
Функции ортогональные 46
— принадлежащие представлению
142
строке представления 136
Функциональный вектор 46
Характер представления 102, 142
группы вращений 188, 202
симметрической группы 167
унитарной группы 201
Характеры и эквивалентность
представлений 106
— нормированные 103
— ортогональные 102, 123, 188
— элементов одного класса 103
Хартри теория экранирования 369
Хёнля — Кронига формулы для
интенсивностей 318, 326, 362
Циклические группы 78
Циклы перестановок 150
Четность 217, 313, 382
— и орбитальный момент количества
движения 258
правила отбора 219, 236
представления группы
отражений 218
Четные уровни 218, 382
Четыре-группа 79
Число подразделений 152, 168
q-числа 43
Шварца неравенства 56
Шмидта (Грама—) метод
ортогонализации 39
Шпур, см. След Шредингера
волновое уравнение 45
Штарка эффект 237, 244, 319
Шура лемма 93, 94
Эйлеровы углы 110
Эйнштейна вероятности перехода 66
Эквивалентность представлений 90,
106
Экранирование кулоновского поля
369
Электрическое квантовое число 246,
322
Электронный спин 261
Электрон-электронное
взаимодействие 367
Элементы группы 74
Энергии уровни 43 (см. также
Собственные значения
уравнения Шредингера)
приближенные 382
— — простейших систем, см.
Водорода атом, Гелия ион
физические и химические
свойства атомов 367
Эпштейна — Шварцшильда теория
разделения 43
Эрмитов оператор 48
Эрмитова матрица 34, 37
Эрмитово-сопряженная матрица 34,
36
Ядерный спин 282
Якоби полиномы, см.
Гипергеометрическая функция
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Среди множества книг по физике лишь редкие сохраняют свою
ценность в течение десятилетий. К таким замечательным книгам
следует отнести книги, написанные в начале 30-х годов физиками,
создававшими новое для того времени здание квантовой механики:
Дираком, Гейзенбергом, Зоммерфельдом, Фоком, Паули и др. К их
числу принадлежит также и известный курс теории групп Вигнера,
русский перевод которого становится теперь доступным советскому
читателю.
Хотя с тех пор, как в 1931 г. вышло первое (немецкое) изда-
издание этой книги, появилось много книг, посвященных приложе-
приложениям теории групп в квантовой механике, книга Вигнера не только
не утратила своей ценности, но и до настоящего времени остается,
по-видимому, лучшей монографией по этому вопросу. Поэтому
в ее новом (американском) издании 1959 г., с которого и сделан
настоящий перевод, автор мог ограничиться лишь небольшими до-
добавлениями, касающимися, в частности, таких новых вопросов, как
обращение времени и коэффициенты Рак4 (гл. 25—27). Перевод
книги был сверен с немецким изданием, что помогло исправить
ряд неточностей.
Написанная крупным теоретиком в его молодые годы, она
может быть рекомендована всем, кто изучает эту область физики.
Кроме того, она позволяет познакомиться с тем кругом идей,
в котором создавалась квантовая механика, и демонстрирует стро-
строгий логический путь ее развития.
Следует иметь в виду, что в книге не рассматриваются проб-
проблемы, связанные с представлениями' группы Лоренца и с теорией
поля (например, СРГ-теорема). Поэтому имеет смысл обратить внима-
внимание читателя на некоторые книги на русском языке по указанным
вопросам. К ним относятся следующие книги: Г. Я. Любарский,
6 От редактора перевода
Теория групп и ее применение в физике, М., 1957; И. М. Гель-
фан д, Р. А. Мин л ос, 3. Я. Шапиро, Представление
группы вращений и группы Лоренца, М., 1958; А. П. Юцис,
И. В. Левине он, В. В. Ване л ас, Математический аппарат
теории момента количества движения, Вильнюс, 1960.
Я. Смородинский.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Целью настоящей книги является применение теории групп
к задачам квантовой механики, в особенности к теории атомных
спектров. Точное решение квантовомеханических уравнений в об-
общем случае настолько трудно, что с помощью прямых вычисле-
вычислений можно получить лишь грубые приближения к точным реше-
решениям. Поэтому оказывается весьма полезным вывести значительную
часть квантовомеханических результатов из рассмотрения основ-
основных свойств симметрии.
Когда в 1931 г. вышло первое немецкое издание данной, книги,
в среде физиков существовало нежелание принимать аргументы
теории групп и теоретико-групповую точку зрения. Автору при-
приятно отметить, что с тех пор это нежелание фактически исчезло
и что более молодое поколение не понимает причин и оснований
такого нежелания. Из старшего поколения Макс Лауэ, по-види-
по-видимому, первым осознал значение теории групп как естественного
орудия для получения первой ориентации в квантовой механике.
Поддержка со сторсны Лауэ как автора, так и издателя сыграла
существенную роль в появлении в свет этой книги. Хотелось бы
упомянуть его вопрос о том, какой из результатов, полученных
в настоящей книге, я считаю наиболее важным. Мой ответ заклю-
заключался в том, что наиболее важным мне представляется объясне-
объяснение правила Лапорта (понятие четности) и квантовомеханическая
модель векторного сложения. За прошедшие годы я пришел к вы-
выводу, что должен согласиться с его замечанием, в котором наибо-
наиболее замечательным результатом признавалось то, что почти все
правила спектроскопии следуют из свойств симметрии задачи.
При переводе были добавлены три новые главы. Во второй
половине гл. 24 излагаются 'работы Рака и его продолжателей.
Гл. 24 немецкого издания теперь выступает как гл. 25; гл. 26
посвящена обращению времени — операции симметрии, которая
еще не рассматривалась в то время, когда готовилось немецкое
издание. Содержание последней части этой главы, так же как и
гл. 27, ранее еще не было опубликовано. Гл. 27 помещена в конце
книги из редакционных соображений; однако следует посовето-
посоветовать читателю обращаться к ней при изучении соответствующих
8 Предисловие автора
понятий в гл. 17 и 24. Остальные главы представляют собой
перевод с немецкого издания, выполненный Дж. Дж. Гриффином,
которому автор весьма обязан за его любезную готовность при-
принять ряд предложений и постоянное сотрудничество. Он заменил
также левую систему координат, принятую в немецком издании
книги, на правую и добавил Приложение, в котором приведены
использованные в книге обозначения.
Общий характер книги — подробность изложения и ограниче-
ограничение лишь одним предметом, а именно, квантовомеханической тео-
теорией атомных спектров — остался без изменений. Основные резуль-
результаты этой теории содержались в статьях, опубликованных впервые
в «Zeitschrift fur Physik» в 1926 г. и в начале 1927 г. Первоначально
появление этих статей было стимулировано исследованиями Гей-
зенберга и Дирака по квантовой теории систем тождественных
частиц. Вейль читал лекции в Цюрихе по близким вопросам
в 1927/1928 учебном году. Они были в дальнейшем расширены и
изложены в его известной книге.
Когда стало известно, что немецкое издание переводится на
английский язык, было предложено много добавлений. К сожале-
сожалению, большинство из них невозможно было принять без сущест-
существенного изменения общего характера книги, а также ее объема.
Тем не менее автор и переводчик благодарны за эти предложе-
предложения, которые оказали им большую помощь в работе. Автор хотел
бы также поблагодарить своих коллег за многочисленные полез-
полезные дискуссии о роли теории групп в квантовой механике, а также
ряда более частных вопросов. Он хотел бы выразить свою глубо-
глубокую благодарность д-ру Баргману, а также проф. И. фон Ней-
Нейману, последнюю по счету, но не по важности.
Е. Вигнер.
Принстон, Нью-Джерси
Февраль 1959 г.
Глава 1
ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ
Линейные преобразования
Совокупность га чисел (vv v2, vz vH) называется га-мер-
га-мерным вектором, или вектором га-мерного пространства; сами эти
числа являются компонентами этого вектора. Координаты точки
в га-мерном пространстве могут быть истолкованы как вектор,
соединяющий начало координат с рассматриваемой точкой. Векторы
будут обозначаться жирными курсивными латинскими буквами; их
компоненты будут иметь латинский индекс, указывающий на соот-
соответствующую координатную ось. Таким образом, vk есть компо-
компонента вектора (число), а V — вектор, т. е. совокупность га чисел.
' Два вектора называются равными, если их соответствующие
компоненты равны. Таким образом, равенство
v = w A.1)
эквивалентно га соотношениям
Вектор называется нулевым, если все его компоненты обра-
обращаются в нуль. Произведение со числа с на вектор v является
вектором, компоненты которого в с раз больше компонент ч>,
или (cv)tt = cvtt. Сложение векторов определяется правилом, со-
согласно которому компоненты суммы векторов равны суммам соот-
соответствующих компонент, т. е. формулой
(О+ »)* = «*+w*. A.2)
В математических задачах часто бывает целесообразно ввести
новые переменные вместо первоначальных. В простейшем случае
новые переменные х[, х'2 х'п являются линейными функциями
старых переменных хх, х2 х„. Иначе говоря,
10
Глава I
или
A.3а)
Такой способ введения новых переменных называется линейным
преобразованием. Преобразование полностью определяется коэф-
коэффициентами ап,
алп, и совокупность этих nL чисел, располо-
расположенных в форме квадратной таблицы, называется матрицей линей-
линейного преобразования A.3):
а22
"•1/1
гп\
A.4)
Мы будем записывать такую матрицу более кратко в виде (atk)
или просто «.
Чтобы равенства A.3) действительно представляли введение
новых переменных, необходимо не только переменные х' выра-
выразить через х, но и выразить эти последние через х'. Иначе го-
говоря, если мы рассматриваем хг как неизвестные в уравнениях A.3),
должно существовать единственное решение этих уравнений, вы-
выражающее переменные х через х'. Необходимым и достаточным
условием этого является неравенство нулю определителя, соста-
составленного из коэффициентов аш:
A.4а)
Преобразования, матрицы которых имеют отличные от нуля опре-
определители, называются собственными преобразованиями, однако
таблица коэффициентов вида A.4) всегда называется матрицей,
не1ависимо от того, отвечает ли она собственному преобразованию
или нет. Матрицы будем обозначать буквами, напечатанными жир-
жирным шрифтом, а элементы матриц — светлыми буквами с индек-
индексами, указывающими на соответствующие оси. Таким образом,
а есть матрица, таблица га2 чисел; a]k есть элемент матрицы (число).
Две матрицы равны, если все их соответствующие коэффи-
коэффициенты равны. Следовательно, равенство
а = р A.5)
эквивалентно п? равенствам
«/А = Ру* С/, А=1, 2 я).
Векторы и матрицы- 11
Уравнениям
я
можно придать другое толкование, если рассматривать x'j не как
компоненты исходного вектора в новой системе координат, а как
компоненты нового вектора в исходной системе координат.
Тогда мы говорим, что матрица « преобразует вектор х в век-
вектор X', или что а, примененная к вектору X, дает вектор X':
х'^ах. A.36)
Это уравнение полностью эквивалентно A.3а).
Любая «-мерная матрица является линейным оператором по
отношению к «-мерным векторам. Она представляет собой опера-
оператор, потому что она преобразует один вектор в другой; этот
оператор является линейным, поскольку для произвольных чисел а
и b и произвольных векторов г и v справедливо соотношение
A.6)
Для доказательства A.6) достаточно выписать в явном виде пра-
правую и левую части равенства; k-я компонента вектора ar -\- bv
равна ark-\-bvk, так что 1-я компонента вектора в левой части
равна
я
*1
*=1
Но она совпадает с /-й компонентой вектора в правой части A.6)
я п
а 2 *«/¦* + * S *»«»•
Тем самым линейность матричных операторов установлена.
Отметим, что л-мериая матрица является наиболее общим линейным
оператором в n-мерном векторном пространстве. Это значит, что всякий
линейный оператор в этом пространстве эквивалентен матрице. Чтобы
доказать это, рассмотрим произвольный линейный оператор О, преобра-
преобразующий вектор е, = A,0, 0, .... 0) в вектор гЛ, вектор е2 = @, 1, 0, .. .,0)
в вектор г.2 и, наконец, вектор еп~{0, 0, 0 1) в вектор г.„, где
компоненты вектора r.ft равны r]ft, r2k rnk. Тогда матрица (rik)
преобразует каждый из векторов еь е2, ..., еп в те же векторы г.ь
г-2> ¦-•• г-п' чт0 и оператор О. Кроме того, любой л-мерный вектор а
является линейной комбинацией векторов еь е2, ..., еп. Таким образом,
как О, так и (r;ft) (поскольку они линейны) преобразуют любой произ-
произвольный вектор а в один и тот же вектор д,г j-{- ... -f-V.,,- Следо-
Следовательно, матрица (rft) эквивалентна оператору О.
12 Глава 1
Наиболее важным свойством линейных преобразований является
то, что два линейных преобразования, примененные последова-
последовательно, могут быть скомбинированы в одно линейное преобразо-
преобразование. Предположим, например, что мы вводим новые перемен-
переменные х' вместо первоначальных х посредством линейного преобра-
преобразования A.3) и затем вводим переменные х" путем второго
линейного преобразования
A.7)
Обе операции могут быть скомбинированы в одну, так что пере-
переменные х" вводятся непосредственно вместо х с помощью одного
линейного преобразования. Подставляя A.3) в A.7), находим
аП*1 +¦ • • • + а1Л) -Ь • • • + hn ЫХ1 + • • • + "„„*„)•
Х"п
A.8)
Таким образом, переменные х" являются линейными функциями
переменных х. Мы можем записать A.8) в более компактной форме,
используя сокращенную запись равенств A.3) и A.7):
Тогда A.8) принимает вид
*j = 5 а;Л (/= 1. 2 «). A.3в)
(/=1, 2 я). (l.7a)
A.8а)
Кроме тегр, вводя матрицу у и определяя ее элементы с помощью
соотношений
y=1 A.9)
получаем просто
л
" A.86)
Векторы и матрицы 13
Это показывает, что комбинация двух линейных преобразова-
преобразований A.7) и A.3) с матрицами ($ш) и (alk) представляет собой ли-
линейное преобразование, имеющее матрицу (~[lk).
Матрица (?«), определенная через матрицы (alk) и ($lk) со-
согласно равенству A.9), называется произведением матриц (ф1к)
и (<xik). Так как (a/ft) преобразует вектор г в вектор г' = яг,
а (Р/А) преобразует вектор г' в вектор г" = фг', то матрица (f^).
представляющая по определению произведение матриц (а1к) и (?lift),
преобразует вектор г непосредственно в вектор г" = ^г. Этот
метод сочетания преобразований называется „матричным умно-
умножением" и имеет ряд простых свойств, которые мы перечислим
ниже в виде теорем. ч
Прежде всего мы замечаем, что формальное правило умноже-
умножения матриц совпадает с правилом умножения определителей.
1. Определитель произведения двух матриц равен произве-
произведению определителей каждого из двух сомножителей.
При перемножении матриц соотношение
«Р = Р« A.Е.1)
не является обязательно справедливым. Например, рассмотрим две
матрицы
. 1/ Vi 1.
Тогда
'1 1\/1 0\ /2 Г
ч0 1Д1 ij^Vl
но
'1 0\ /1 1\ /1
Этим устанавливается второе свойство матричного умножения.
2. Произведение двух матриц зависит, вообще говоря, от
порядка сомножителей.
В том весьма частном случае, когда равенство A.Е.1) спра-
справедливо, матрицы « и р называются коммутирующими.
3. В противоположность перестановочному закону при пере-
перемножении матриц имеет место сочетательный (ассоциативный)
закон умножения.
Иначе говоря,
Таким образом, несущественно, умножается ли матрица у на про-
произведение матриц р и « или произведение матриц f и р — на ма-
матрицу «. Чтобы доказать это, обозначим элемент с индексами I
14
Глава 1
и k матрицы в левой части A.10) через elk. Тогда
п ил
„ _ У v (а„\ — У У v ft r,
j = l J=U=l
Элемент с индексами i и k в правой части A.10) равен
л п п
Ш = 2 (ТР)« аг* = 2 .
Мы видим, что eift = Sifc и, следовательно, A.10) доказано. По-
Поэтому в обеих частях A.10) можно просто писать fP*-
Справедливость сочетательного закона становится немедленно
очевидной, если рассматривать матрицы как линейные операторы.
Пусть л преобразует вектор г в вектор г' = at, $ — вектор г'
в r" = $t' и f — вектор t" в г'" = уг". Тогда объединение двух
матриц в одну путем матричного умножения означает просто ком-
комбинацию двух операций. Произведение [За преобразует г непо-
непосредственно в г", а уР преобразует г' прямо в t'". Таким обра-
образом, как (fP)*. так и Т(Р*) преобразуют г в г'", и обе эти
операции эквивалентны.
4. Единичная матрица
A 0 0 ... 0
0 10 ... 0
0 0 1 ... 0
A.11)
0 0 0 ... 1
играет особую роль в матричном умножении, такую же как число 1
в обычном умножении. Д^я любой матрицы л
« • 1 = 1 • «.
Тем самым 1 коммутирует со всеми матрицами, и ее произведение
на любую матрицу равно этой матрице. Элементы единичной ма-
матрицы обозначаются символом bik, так что
8 =0 AФ к).
A.12)
Величина 8,й, определенная таким образом, называется дельта-
символом Кронекера. Матрица ф1к) — 1 производит тождествен-
тождественное преобразование, оставляющее переменные без изменения.
Если для заданной матрицы а существует такая матрица C, при
гооой
которой
Р«=1.
A.13)
Векторы и матрицы 15
то р называется матрицей, обратной матрице «. Соотношение A.13)
означает, что существует преобразование с матрицей р, которое
в сочетании с матрицей л дает тождественное преобразование.
Если определитель матрицы л не равен нулю (\аиг\ф0), то
обратное преобразование всегда существует (как уже упоминалось
на стр. 10). Чтобы доказать это, выпишем я2 уравнений A.13)
в явном виде:
&« (/. ft=l. 2, .... я). A.14)
Рассмотрим теперь п уравнений, в которых / имеет одно значение,
например /. Эти уравнения составляют п линейных уравнений с п.
неизвестными рп, §п $1п. Следовательно, они имеют един-
единственное решение, если только определитель |<х^| не обращается
в нуль. То же самое справедливо для остальных п — 1 систем
уравнений. Тем самым устанавливается пятое свойство.
5. Если определитель \a.jk\ отличен от нуля, то сущест-
существует одна и только одна такая матрица р, что р« = 1.
Больше того, определитель |[Jyft| является обратным определи-
определителю | at/ft |. поскольку, согласно теореме 1,
1Р/*|-Ы = |8/*1 = 1- 0-15)
Отсюда следует, что матрица я не имеет обратной, если
| aik | = 0, и что матрица р, обратная матрице «, также должна
иметь обратную.
Теперь мы покажем, что если имеет место соотношение A.13),
то соотношение
«Р = 1 A.16)
также справедливо. Это значит, что если {J является матрицей,
обратной «, то одновременно а есть матрица, обратная р. Это
проще всего показать путем умножения равенства A.13) справа
на матрицу ?:
ЫР= Р. A.17)
и. умножения полученного равенства слева на матрицу, обратную р.
которую мы обозначим через у. Тогда
и поскольку, согласно предположению, уР = 1, последнее равенство
совпадает с A.16). Обратно, нетрудно показать, что A.13) сле-
следует из A.16). Таким образом, доказана теорема 6 (матрица,
обратная «, обозначается через а):
6. Если а" есть матрица, обратная матрице а, то ма-
матрица а также является обратной в. Очевидно, что матрицы,
Обратные друг другу, коммутируют.
16
Глава I
Правило. Матрица, обратная произведению афуЗ, получается
путем перемножения матриц, обратных отдельным сомножителям,
в обратном порядке, т. е.
Другой важной матрицей является нулевая матрица.
7. Нулевой матрицей называется матрица, каждый эле-
элемент которой равен нулю:
0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0
0= • • • • . A.18)
0 0 0 ... 0
Очевидно, что для любой матрицы & имеет место равенство
«о==о« = о.
Нулевая матрица играет важную роль в другой операции с ма-
матрицами, а именно в сложении. Сумма f двух матриц а и р есть
матрица с элементами
у,*, = alk -t-B;»,. i\ iq\
I IK IK I I IK 111 1 ij J
При этом я2 уравнений A.19) эквивалентны уравнению
Y = * -К Р или Y — * — Р — 0.
Сложение матриц, очевидно, перестановочно:
«-(-Р = Р-(-«. A.20)
Кроме того, умножение на сумму подчиняется распределительному
закону:
Далее, произведение матрицы « на число а определяется как ма-
матрица y> каждый элемент которой равен произведению а на со-
соответствующий элемент «:
bk = a°-ik- A-21)
Очевидным следствием являются формулы
(ab) * = а (*«), «ар = авф, а (« + E) = а* -\- ag.
Так как целые степени матрицы « могут быть легко опреде-
определены посредством последовательного умножения
«2 = « г Л, «3 = «•«•«
*-» = «-» • в, «-3 = «-J • «Г1 • Я
Векторы и матрицы
17
то можно также определить многочлены с положительными и от-
отрицательными целыми степенями
A.23)
Коэффициенты а в приведенном выражении являются числами,
а не матрицами. Функция от я типа A.23) коммутирует со
всякой другой функцией от л (и, в частности, с самой матри-
матрицей «).
Еще одним часто встречающимся типом матрицы является диа-
диагональная матрица.
8. Диагональная матрица —это матрица, все элементы
которой, кроме тех, что лежат на главной диагонали, равны
нулю:
D =
?>, О
О Do
О О
о
о
А,
A.24)
Общий элемент этой диагональной матрицы может быть записан
в виде
Dik = D{blk. A.25)
Все диагональные матрицы коммутируют, и произведение
двух диагональных матриц есть снова диагональная матрица.
Это можно видеть непосредственно из определения произведения:
Ul]U]k — 2л Ufil]UP]k — и1иР,
] J
lk.
1.26)
Обратно, если какая-либо матрица а коммутирует с диагональной
матрицей D, все диагональные элементы которой различны, сама я
должна быть диагональной матрицей. Выписывая произведение
A.27)
находим
(Dt — Dk) atk == 0; A.27а)
для недиагонального элемента (/ Ф k) из Dt Ф Dk следует, что aik
равен нулю. Таким образом, а диагональна.
Сумма диагональных элементов матрицы называется ее следом:
.„,. A.28)
18 Г лава 1
След произведения матриц аC равен
Тг ар = 2 («Р)« = 2 «y*PW = Тг Ра. A.29)
i jk
Это равенство устанавливает еще одно свойство матриц.
9. След произведения двух матриц не зависит от порядка
перемножения матриц.
Это правило находит наиболее важное приложение в связи
с преобразованием подобия матриц. Преобразование подобия —
это такое преобразование, при котором преобразуемая матрица а
умножается на преобразующую матрицу р справа и на матрицу,
обратную р, слева. Матрица ее при этом преобразуется в Р*^.
Преобразование подобия оставляет след матрицы без изме-
изменения, так как установленное выше правило показывает, что Р-1аР
имеет тот же след, что и «рр~1 = а.
Важность преобразований подобия вытекает из следующего
факта.
10. Матричное уравнение остается в силе, если каждую
матрицу, входящую в него, подвергнуть одному и тому же
преобразованию подобия.
Например, преобразование произведения матриц зф = f Дает
и если
«Р=1.
то
Нетрудно видеть, что соотношения между суммами матриц и про-
произведениями матриц и чисел тоже .сохраняются при преобразова-
преобразовании подобия. Так, из равенства
следует, что
a-iY = а-1 (а + Р) = а-!« 4-э~ф
и
Аналогично, из равенства
Р = а«
следует
а-фи =^аа~1Л7.
Поэтому теорема 10 применима к любому матричному уравнению,
в которое входят произведения матриц на числа или другие ма-
матрицы, целые (положительные или отрицательные) степени матриц
И суммы матриц.
Векторы и матрицы 19
Эти десять теорем для операций с матрицами содержались уже
в первых статьях по квантовой механике Борна и Йорданаа) и,
несомненно, уже известны многим читателям. Они приведены
здесь еще раз потому, что уверенное владение этими основными
правилами совершенно необходимо для понимания дальнейшего
изложения и, в сущности, для всякого квантовомеханического
расчета. Кроме того, ими очень часто пользуются в неявном виде,
так как иначе даже простейшие доказательства становятся излишне
громоздкими2).
Линейная независимость векторов
Векторы V1,v2, ..., vk называются линейно независимыми,
если не существует соотношений вида
a1vl-Ji-a2v2-\- ... -\-akvk = 0, A.30)
кроме случая, когда все av а2, .... ak равны нулю. Таким обра-
образом, ни один из векторов линейно независимой системы не может
быть выражен в виде линейной комбинации других векторов си-
системы. В том случае, когда один из векторов, например vb яв-
является нулевым вектором, система не является более линейно
независимой, поскольку соотношение
1 ¦ v1 -f 0 • v2 + ... +(bz'ft = 0
наверняка удовлетворяется вопреки условию линейной независи-
независимости.
В качестве примера линейной зависимости рассмотрим четырехмер-
четырехмерные векторы г», =A, 2,-1, 3), г»2 = @, —2, 1, —1) и v3 = B, 2, —1, 5).
О.ни линейно зависимы, так как
2г», + v2 — v3 = 0.
С другой стороны, г>! и v2 линейно независимы.
Если k векторов vx, v2, ..., vk линейно зависимы, то среди
них могут быть k' векторов (k' < k), которые линейно незави-
независимы. Более того, все k векторов могут быть выражены в виде
линейных комбинаций этих k' векторов.
Отыскивая k' линейно независимых векторов, мы исключаем
все нулевые векторы, поскольку, как мы уже видели, нулевой
') М. Born, P. Jordan, Zs. f. Phys., 34, 858 A925).
2) Например, ассоциативный закон умножения (теорема 3) исполь-
используется неявно три раза при выводе коммутативности обратных матриц
(теорема 6). Читателю предлагается повторить этот вывод с выписыва-
выписыванием всех скобок.
20 Глава 7
вектор никогда не может входить в систему линейно независи-
независимых векторов. Затем мы перебираем поочередно остальные век-
векторы, отбрасывая все те, которые могут быть выражены в виде
линейных комбинаций уже отобранных векторов. Следовательно,
выбранные таким путем к' векторов будут линейно незави-
независимыми, так как если ни один из них не может быть представлен
в виде линейной комбинации остальных, между ними не может
существовать соотношение типа A.30). Кроме того, каждый из от-
отброшенных векторов (и таким образом все k первоначальных век-
векторов) может быть выражен через них, поскольку это и было
условием отбрасывания.
Линейная зависимость или независимость к векторов vlt v2,
..., vk является также свойством векторов av1 *vk, обра-
образуемых из них путем собственного преобразования а. Это зна-
значит, что из
a1vl-\-a2v2 + ... -\-akvk = 0 A.31)
счедует, что
v2-\- ... -\-ak»vk = Q. A.31a)
Равенство A.31а) получается применением преобразования &
к обеим частям A.31) и использованием его линейности. Наоборот,
из A.31а) следует A.31). Очевидно также, что всякое линейное
соотношение между vt имеет место и для xvt, и наоборот.
Никакие более чем п /г-мерных векторов не могут быть ли-
линейно независимыми. Чтобы показать это, заметим, что соотно-
соотношение
alVl-\- ... -\-aa+1va+l = 0, A.32)
из которого следует линейная зависимость, эквивалентно п ли-
линейным однородным уравнениям для компонент этих векторов:
0.
A.32а)
= 0.
Если коэффициенты ulta2, .... ап, ап+1 в этих уравнениях рас-
рассматриваются как неизвестные, то из того обстоятельства, что п
линейных однородных уравнений с и -J-1 неизвестными всегда
имеют нетривиальное решение, сразу следует, что соотноше-
соотношение A.32) всегда выполняется. Таким образом, п-\-\ «-мерных
векторов всегда линейно зависимы.
Непосредственным следствием вышеприведенной теоремы яв-
является утверждение, что любые п линейно независимых п-мер-
Векторы и матрицы 21
них векторов образуют полную систему векторов; иначе го-
говоря, произвольный я-мерный вектор w может быть выражен
в виде их линейной комбинации. В самом деле, теорема утвер-
утверждает, что между я векторами и произвольным вектором имеет
место некоторое соотношение
Кроме того, если vx,v^, .... vn линейно независимы, коэффи-
коэффициент Ь не может быть равен нулю. Таким образом, всякий век-
вектор w может быть записан в виде линейной комбинации векто-
векторов, и, следовательно, последние образуют полную систему век-
векторов.
Строка или столбец и-мерной матрицы могут рассматриваться
как вектор. Например, компонентами вектора а.й, образующего
/г-й столбец, являются alk, oc2ft, ..., ank, а компонентами вектора,
образующего i-ю строку, будут ап,аа, .... а1п. Нетривиальное
линейное соотношение между векторами л.х а.л, образую-
образующими столбцы,
«i«i+ ••• +«„«•„ = °
дается просто ненулевым решением системы линейных однород-
однородных уравнений для аи а2, .... ап:
Обращение в нуль определителя |a/ft| является необходимым и до-
достаточным условием существования такого решения. Поэтому, если
этот определитель не обращается в нуль (\аш\Ф0), векторы
а., «.„ линейно независимы и образуют полную систему
векторов. Наоборот, если векторы vx vn линейно независимы,
матрица, образуемая при использовании их в качестве столбцов,
имеет отличный от нуля определитель. Разумеется, это рассужде-
рассуждение применимо в равной степени к векторам, образующим строки
матрицы.
Глава 2
ОБОБЩЕНИЯ
1. Обобщим теперь результаты предыдущей главы. Первое
обобщение совершенно формально; второе же имеет более суще-
существенную природу. Для обозначения компонент векторов и эле-
элементов матриц мы ставили индексы соответствующих координатных
осей. До сих пор координатные оси обозначались номерам» 1, 2,
3 я. В дальнейшем мы будем обозначать координатные оси
по элементам произвольного множества. Если О есть некоторое
множество объектов g, h, i то вектор v в пространстве
этого множества О является набором чисел vg, vh, vt Разу-
Разумеется, можно приравнивать (складывать и т. д.) только векторы,
определенные в одном и том же пространстве, так как только
в этом случае компоненты соответствуют элементам одного и того же
множества.
Аналогичная система обозначений будет использована для матриц.
Чтобы матрица а могла быть примененной к вектору v с компо-
компонентами vg, vh, vt столбцы матрицы я должны быть разме-
размечены (пронумерованы) элементами того же множества О, с помощью
которого размечены компоненты вектора v. В простейшем случае
строки также именуются элементами g, к, I,.. . этого множества, и «
преобразует вектор v в пространстве Q в вектор xv в том же
пространстве. Таким образом,
^ = 2«уЛ. B.1)
где у — некоторый элемент множества G, и I пробегает все эле-
элементы этого множества.
Например, координатные оси могут быть обозначены тремя буквами
х, у, г. Тогда величина v с компонентами vx== I, vy = 0, vz = —2 является
вектором и
х у z
Г 1 2 3 х
«=! О 5 —1 у
1_4 —2 4 г
Обобщения 23
есть матрица. (Справа и сверху указаны символы строк и столбцов.)
В этом примере ахх — 1, ажу = 2, axz = 3. Соотношение B.1) означает,
что дг-компонента вектора v' = av равна
Вышеприведенное простое обобщение является чисто формаль-
формальным; оно вводит лишь другую систему обозначения координатных
осей и компонент векторов и матриц. Две матрицы, действующие
на векторы того же пространства, могут быть перемножены, как
и матрицы в предыдущей главе. Выражение
Т = Р« B.2)
эквивалентно выражению
X/ft — 2j $jiaik>
где j и k являются двумя элементами множества G, а I пробегает
все элементы этого множества.
2. Дальнейшее обобщение заключается в том, что строки и
столбцы помечаются элементами различных множеств F и О.
Тогда из B.1) находим
Wj — j&ZjiVt, B.1а)
где j — элемент множества F, а I пробегает все элементы мно-
множества G. Такая матрица, элементы которой помечены элементами
различных множеств, называется прямоугольной матрицей, в отли-
отличие от квадратных матриц предыдущей главы; она преобразует
вектор v в пространстве G в вектор w в пространстве F. В общем
случае множество F не обязательно содержит то же число эле-
элементов, что и множество G. Если они содержат одно и то же
число элементов, матрица имеет равное число строк и столбцов
и называется „квадратной в более широком смысле слова".
Пусть множество G содержит символы *, Д, D, а множество F —
числа 1 и 2. Тогда
* Д D
5
7 3\ 1
—\ —2) 2
есть прямоугольная матрица. (Здесь снова сверху и справа указаны
обозначения столбцов и строк.) Она преобразует вектор с компонен-
компонентами », => 1, vд = 0, Vq = — 2 в вектор
w = xv.
Компонентами wx и w2 вектора w тогда будут
ю1 = а1Л + в1Д1'д + а1а«'а = 5-1 + 7.0 + 3(—2) = —1,
«^ = «г А + °2 д^д + аг а^а = о • 1 + (—1) @) + (—2) (—2) = 4
24 Г лава 2
Две прямоугольные матрицы р и а могут быть перемножены
только в том случае, если столбцы первого сомножителя и строки
второго размечены элементами одного и того же множества F,
т. е. только в том случае, если строки второго сомножителя
„подходят" к столбцам первого. С другой стороны, строки первого
сомножителя и столбцы второго могут соответствовать совершенно
различным множествам Е и О. Тогда
Y = P« B.2а)
эквивалентно соотношению
IS.P
где j — элемент множества Е, k — элемент множества G, а I про-
пробегает все элементы множества F. Прямоугольная матрица я
преобразует вектор в пространстве G в вектор в пространстве F;
матрица р тогда преобразует этот вектор в вектор пространства Е.
Поэтому матрица f преобразует вектор пространства О в вектор
пространства Е.
Пусть опять множество О есть совокупность символов *, Д, D, мно-
множество F содержит буквы х и у, а множество Е — числа 1 и 2. Тогда, если
х у * Д D
У
мы имеем, например,
Ti. = Р1Л, + Р1Л* = 7 ¦ 2 + 8 • 5 = 54,
Д ?
54 69 84\ 1
/7 8\ 1 /2 3 4\ х
Н9 ЗЬ И — (в 6 7) у
/04 ОУ Й4\
V33 45 57/
2'
3. Исследуем теперь вопрос о"том, как десять теорем матрич-
матричного исчисления, выведенные в гл. 1, должны быть видоизменены
для прямоугольных матриц. Сразу видно, что они остаются спра-
справедливыми для обобщенной квадратной матрицы, обсуждавшейся
в начале настоящей главы, поскольку специфическая числовая
природа индексов не была нигде использована в гл. 1.
Сложение двух прямоугольных матриц, так же как и двух
векторов, предполагает, что они определены в одной и той же
координатной системе, т. е. разметка строк обеих матриц и
разметка столбцов обеих матриц также совпадают. В соот-
соотношении
Обобщения 25
разметка строк трех матриц «, р, f должна быть одинаковой, как
и разметка их столбцов. С другой стороны, для умножения матриц
разметка столбцов первого сомножителя должна совпадать с раз-
разметкой строк второго; тогда (и только тогда) может быть соста-
составлено произведение матриц. Получающееся при этом произведение
имеет разметку строк первого сомножителя и разметку столбцов
второго.
Теорема 1. Мы можем говорить об определителе прямоуголь-
прямоугольной матрицы, если она имеет одинаковое число строк и столбцов,
хотя они могут быть пронумерованы различным образом. Для
матриц, „квадратных в более широком смысле", правило, по
которому определитель произведения равен произведению опреде-
определителей, по-прежнему справедливо.
Теоремы 2 и 3. Ассоциативный закон также имеет место
для умножения прямоугольных матриц:
(«p)Y = «(PY)- B-3)
Ясно, что все умножения в правой части этого равенства могут
действительно быть выполнены, если только это может быть
сделано в левой части, и наоборот.
Теоремы 4, 5 и 6. Под матрицей 1 всегда будем понимать
квадратную матрицу со строками и столбцами, размеченными
с помощью элементов одного и того же множества. Умножение
на нее всегда может быть опущено.
Матрицы, являющиеся квадратными в более широком смысле
имеют обратные только в том случае, если их определитель
не обращается в нуль. Для прямоугольных матриц с различным
числом строк и столбцов обратная матрица не определена вовсе.
Если а есть матрица, являющаяся квадратной лишь в широком
смысле, то из равенства
следует, что разметка столбцов р совпадает с разметкой строк
матрицы «. Кроме того, разметка строк матрицы 1 должна совпа-
совпадать с разметкой строк р, а ее столбцов — с разметкой столбцов «.
Поскольку 1 является квадратной в собственном смысле слова,
разметка столбцов « должна совпадать также с разметкой строк р.
Строки матрицы р, обратной матрице «, размечаются
элементами того же множества, что и столбцы а; ее
столбцы — теми же элементами, что и строки «. Для всякой
матрицы л, являющейся квадратной в широком смысле и имеющей
отличный от нуля определитель, существует такая обратная мат-
матрица р, что
Р« = 1. B.4)
26 Глава 2
Кроме того,
«Р=1. B.4а)
Следует, однако, заметить, что строки и столбцы матрицы 1 в B.4)
размечены иначе, чем матрицы 1 в B.4а).
Теорема 7. Что касается сложения и нулевой матрицы, для
прямоугольных и квадратных матриц справедливы одни и те же
п|а^ила. Однако степени прямоугольных матриц не могут быть
построены, так как умножение я на я предполагает, что разметка
столбцов а совпадает с разметкой строк а, т. е. что матрица ее
является квадратной матрицей в узком смысле.
Теоремы 8, 9 и 10. Для прямоугольных матриц понятия
диагональной матрицы и следа не имеют смысла; преобразование
подобия также не определено. Рассмотрим соотношение
Из него следует, что матрицы C и <з имеют одну и ту же раз-
разметку строк, которая совпадает с разметкой столбцов матрицы и
и поэтому также и столбцов матрицы [3. Следовательно, матрица C
является квадратной в узком смысле; аналогично, матрица а,
разметка строк которой должна соответствовать разметке столбцов
матрицы и и разметка столбцов — разметке строк <з~1, должна
быть квадратной в узком смысле.
С другой стороны, сама матрица s может быть квадрат-
квадратной в широком смысле: разметка строк и столбцов матрицы а
отлична тогда от разметки строк и столбцов матрицы р.
Преобразования подобия, которые меняют нумерацию строк и
столбцов, особенно важны. Теория преобразований в квантовой
механике является примером таких преобразований.
Введение прямоугольных матриц весьма выгодно, несмотря
на кажущиеся усложнения, к которым оно приводит, поскольку
с их помощью можно достигнуть существенных упрощений, Выше-
Вышеизложенное не следует рассматривать как жесткую схему; скорее
оно приведено для того, чтобы приучить читателя мыслить в тер-
терминах этих величин. Использование подобных- более сложных
матриц будет всегда поясняться специально, за исключением слу-
случаев, когда разметка строк и столбцов очевидна из формы и
определения элементов матриц, так что дальнейшие пояснения
становятся излишними.
4. Довольно часто оказывается, что строки обозначаются не
одним числом, а двумя или более числами, например:
/axbxcxdx axbxcxd2 axbxc2dx axbxc2d2\
axb2cxd2 axb2c2dx
a2bxcxd2 a2bxc2dx
a2b2cxd2 a2b2c2dx
Y = l .' " ." ".""/ "."'."I. v2.E.\
Обобщения 27
Первый столбец называется „столбец 1,1", второй— „столбец 1, 2",
третий — „столбец 2, 1", четвертый — „столбец 2, 2"; строки обо-
обозначаются аналогичным образом. Элементами матрицы B.ЕЛ)
являются
Ту; ы = aibickdv
Для ясности записи точка с запятой отделяет индексы строк
от индексов столбцов.
Среди таких матриц особенно важное значение имеет прямое
произведение у двух матриц (a/ft) и ф^):
Y = «XP. B.5)
Равенство B.5) равносильно равенству1)
Если а имеет пх строк и п% столбцов, а матрица р— соответ-
соответственно «j строк и п'2 столбцов, то матрица у имеет точно nji\
строк и п2п'2 столбцов. В частности, если а и р обе являются
квадратными матрицами, то прямое произведение a X Р есть квад-
квадратная матрица.
Теорема 1. Если aa = a и РР=]? и если «ХР = Т
и aXP —Y> T0 YY = aXP или
(«ХР)(вХР) = ««ХРр. B-7)
Иначе говоря, матричное произведение двух прямых произве-
произведений есть прямое произведение этих двух матричных про-
произведений. Чтобы показать это, рассмотрим
(* XР) (« XР)^ гг = 2 «„.Р«,*/',-?*.**• B-8)
Но
i' n.
И
Поэтому, из B.8) и B.9) следует теорема 1, а именно ра-
равенство B.7).
') Множители а и а обычного произведения матриц пишутся рядом: aa.
Матрица же B.Е.1) есть прямое произведение двух матриц:
а'с2)ХК' bd) = r-
28 Г лава 2
Теорема 2. Прямое произведение двух диагональных ма-
матриц есть снова диагональная матрица; прямое произведение
двух единичных матриц есть единичная матрица. Это легко
видеть непосредственно из определения прямых произведений.
В формальных расчетах с матрицами необходимо проверять,
действительно ли возможно обозначенное умножение. В гл. 1, где
мы всюду имеем дело с квадратными матрицами с п строками
и п столбцами, это, разумеется, всегда имело место. Однако
в общем случае следует проверить, что разметка строк первого
сомножителя в матричном произведении совпадает с разметкой
столбцов второго, т. е. что они имеют одинаковые наименования
индексов. Прямое произведение двух матриц всегда может быть
построено с помощью B.6).
Матрицы обобщенного типа с несколькими индексами М. Борн
и Йордан назвали „суперматрицей". Они рассматривают матрицу
(aij;ki) как матрицу (Alfc), элементы которой Аш сами являются
матрицами. При этом Alk есть та матрица, в которой число сщ^ы
встречается в у-й строке и 1-м столбце:
где {Aik)]l = al).tkl. B.10)
Теорема 3. Если « — (Air) up = (Brr), то «р = у = ((?«•).
где
Cir^JjAii-Bfi.. B.11)
Правая часть B.11) состоит из суммы произведений матричных
умножений. Мы имеем
("P)<*s rk" ^ г2, a/ft; I'k'h'b'; i'k"
С другой стороны,
Поэтому
и теорема 3 доказана. Конечно, в правой части B.11) следует
соблюдать аккуратность в смысле порядка сомножителей, тогда
как в соответствующем соотношении для умножения простых
матриц в этом не было необходимости. С этим единственным
ограничением суперматрицы можно умножать по правилам умно-
умножения простых матриц.
Обобщения
29
В простейшем случае рассмотрим две квадратные матрицы:
аи
а21 а22 j а23 а24 а25
а31 а32 j аЗЗ а34 а35
а41 а42 j а43 а4
_а51 а52 | а53 а54 аБ5_
?П 012
hi 022
?31 032
341 042
hi 052
013
023
033
043
053
014
024
034
044
054
0,5
025
035
045
055
B.12)
Их можно разбить на субматрицы, как показано пунктирными
линиями, позаботясь о том, чтобы числа столбцов в субматрицах
при разбиении первой матрицы (на 2 и 3) совпадали с числами
строк в субматрицах при разбиении второй. Тогда обе ма-
матрицы B.12) сокращенно можно записать в виде
(Ап
\Aix
Aj
\В21
-2
В,
22,
Произведение двух матриц B.12) можно записать как
С другой стороны, выражение
2
/ВпАи
' \В21Аи
.ВпАп + В12А2Л
J
не имеет смысла, поскольку число столбцов матрицы Вп, напри-
например, отлично от числа строк Аи.
Глава 3
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ
В гл. 1 мы установили одно очень важное свойство преобра-
преобразований подобия. Эти преобразования не меняют след матрицы'):
матрица л имеет тот же след, что и а~1ха. Но является ли след
матрицы единственным инвариантом преобразования подобия? Оче-
Очевидно, нет, так как, например, определитель j ст~1ао11 также равен
определителю |«|. Для получения других инвариантов рассмотрим
уравнение я-го порядка относительно X, записанное в виде опре-
определителя
п Л 0С-1О ... ОС,,,
а21
«22
а2я
аяя — X
или, короче,
ХЦ=О.
C.1)
C.2)
Мы назовем это уравнение секулярным уравнением матрицы а.
Секулярное уравнение матрицы [3 = с~1аа имеет вид
— XII =0.
C.3)
Очевидно, что определитель |а 1(л — XI) о1 j также равен нулю;
это можно записать следующим образом:
—Х1| • |в|=0.
C.4)
Уравнение C.4) показывает, что я корней секулярного уравнения
|Р — XI |=0 совпадают2) с я корнями секулярного уравнения
!) Матрица, над которой производится преобразование подобия,
должна быть всегда квадратной. По этой причине мы снова нумеруем
строки и столбцы числами 1, 2 п.
2) Величины |e~'j и |з| являются числами!
Преобразование к главным осям 31
|об — XI | == 0. Корни секулярного уравнения, так называемые
собственные значения матрицы, являются инвариантами пре-
образований подобия. Позже мы увидим, что в общем случае
матрица не имеет других инвариантов. К тому же след является
суммой, а определитель — произведением этих собственных значе-
значений, так что их инвариантность включается в сформулированную
выше теорему.
Рассмотрим теперь одно собственное значение \. Определитель
матрицы (а — Х:1) равен нулю, так что линейные однородные
уравнения
ai/i + «м^ + • • • + ai,/« = Vl
а21Г1 + a22r2 + • • • + а2пГп = \Г2' /3 5л
имеют решение. Линейная однородная система уравнений вида C.5)
может быть написана для каждого из п собственных значений \k.
Мы обозначим решения этой системы, определенные с точностью
до общего постоянного множителя, через rlft, r2ft> .... rnk; тогда
получим
2 *///* = Xkrtk- C-5а)
Эта совокупность п чисел rlk, r2k rnk называется собственным
вектором г.? матрицы ее; собственный вектор г * принадлежит
собственному значению Xft. Уравнение C.5а) может быть записано
в виде
<xr.k = lkr.k. C.56)
Матрица преобразует собственный вектор в вектор, отличающийся
от этого собственного вектора постоянным множителем; этот мно-
множитель и есть собственное значение.
Собственные векторы г.\, г.2 г.п можно объединить в ма-
матрицу р таким образом, что r.k будет являться k-ы. столбцом этой
матрицы:
Р« = С-*), = /¦«•
Следовательно, левая часть C.5а) состоит из элементов с ин-
индексами {Ik) матрицы ар. Правая часть может быть также истол-
истолкована как элемент с индексами (ik) некоторой матрицы, а именно
матрицы рА, где А — диагональная матрица с диагональными эле-
элементами Xj, Xj X :
JK
Тогда C.5а) запишется в виде
32 Г лава 3
Далее, п2 уравнений C.5а) можно кратко записать в форме
ар = рА, C.6)
или
p-!ap = A, C.6a)
если матрица р имеет обратную матрицу.
Преобразование подобия с помощью некоторой матрицы,
столбцы которой являются п собственными векторами, при-
приводит исходную матрицу к диагональному виду; диагональные
элементы являются собственными значениями этой матрицы.
Две матрицы, имеющие одни и те же собственные значения, всегда
могут быть преобразованы друг в друга, поскольку каждая из них
может быть преобразована в одну и ту же матрицу. Собственные
значения являются единственными инвариантами преобразования
подобия.
Это, разумеется, верно лишь в том случае, если р имеет об-
обратную, т. е. если п векторов г.\, г.2 г.„ линейно незави-
независимы. Это, вообще говоря, имеет место, и всегда справедливо,
если все собственные значения различны. Тем не менее имеются
исключения, как видно, например, при рассмотрении матриц
1 Г
о г или
С -.')¦
Эти матрицы нельзя привести к диагональному виду каким-либо
преобразованием типа преобразования подобия. С такими матри-
матрицами имеют дело в теории элементарных делителей; однако нет
необходимости их рассматривать, поскольку мы всегда будем
иметь дело с матрицами, которые могут быть приведены к диаго-
диагональному виду C.6а), например с унитарными и (или) эрмитовыми
матрицами.
Условия коммутативности двух матриц весьма удобно рас-
рассмотреть снова с точки зрения изложенной здесь теории. Если
две матрицы могут быть приведены к диагональному виду с по-
помощью одного и того же преобразования, т. е. если они имеют
одинаковые собственные векторы, они коммутируют1). Поскольку
рассматриваемые матрицы являются диагональными, они, несо-
несомненно, коммутируют после того, как они подвергнуты преобра-
преобразованию подобия; поэтому они должны коммутировать также
и в своей первоначальной форме.
') Заметим, что собственные значения могут отличаться произвола
ным образом.
Преобразование к главным осям 33
В гл. 1 мы определили .рациональную функцию матрицы
Чтобы привести /(а) к диагональному виду, достаточно преобра-
преобразовать я к диагональному виду А = <з~1яа. Тогда, согласно тео-
теореме 10 (гл. 1),
причем последняя матрица диагональна. Если Xft— k-fi диагональ-
диагональный элемент матрицы А = (A,ft) = (8/ftXft), то (Xft)p есть k-ft диаго-
диагональный элемент матрицы (А/ и
есть &-й диагональный элзмент /(А).
Рациональную функцию /(«) матрицы я можно привести
к диагональному виду с помощью того же преобразования, которое
приводит а к диагональному виду. Диагональными элементами
[собственными значениями матрицы /(«)] являются соответствую-
соответствующие функции / (Xj), / (Xj), ..., / (Хя) диагональных элементов
Х2, Xj, .... Хл матрицы «. Мы примем, что это правило имеет
место не только для рациональных функций, но и для произволь-
произвольных функций F («) от матрицы я, и будем рассматривать его
в качестве определения общей функции матриц.
Специальные матрицы
Из квадратной матрицы а можно получить новую матрицу хт,
в которой строки и столбцы меняются ролями. Матрица хГ, обра-
образованная таким образом, называется транспонированной по отно-
отношению к а, и транспозиция обозначается значком „Г". Тогда
7*
aift = a«. C.7)
Правило. Матрица, транспонированная по отношению к про»
изведению матриц афуЬ ... е, равна произведению транспониро-
транспонированных матриц в обратном порядке:
(«рг...е)г = ег...гУаг. C.7а)
34 Глава 3
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим отдельно левую часть по-
последнего равенства:
(«Рт--¦ «Я, = («РГ ••••),* = ^ «/АхТх, • • • hn-
хХр. ...С
С другой стороны, правая часть равна
(Вг ... 7rprei)w = 2 ?..
что и доказывает C.7а).
Матрица, образованная путем замены каждого из и2 элементов
его комплексно-сопряженным, обозначается через а* и называется
комплексно-сопряженной по отношению к а. Если а = а*, то все
элементы матрицы вещественны.
Путем одновременной перестановки строк и столбцов и ком-
комплексного сопряжения получаем из матрицы а матрицу х^—х7*.
Эта матрица называется эрмитово-сопряженной по отношению к х
и обозначается через а+:
«•*¦ = «+ = «**. C.8)
Матрица, комплексно-сопряженная по отношению к произве-
произведению матриц, является, очевидно, произведением комплексно-
сопряженных:
При эрмитовом сопряжении произведения матриц порядок сомно-
сомножителей должен быть обратным:
(«Py • • • s)f = Иг • • ¦ «)*г=(«*Р v • • • 8*)г=
= (г*г ... т*гр*г«'г) = е+ . .. rfР+«+. C.8а)
Предполагая, что между матрицей а и эрмитово-сопряженной,
транспонированной и обратной ей матрицей имеют место различ-
различные соотношения, получаем специальные виды матриц. Поскольку
их названия часто встречаются в литературе, мы упоминаем их
все; в дальнейшем мы будем использовать лишь унитарные, эрми-
эрмитовы и вещественные ортогональные матрицы.
Если а — х* (т. е. <х/й = <*?*). то матрицу называют веществен-
вещественной, и все га2 элементов aik вещественны. Если а——а*
(alk = — afk), матрица является чисто мнимой.
Если S —Sr(Sik = Slli), то матрица симметрична; если
S = —ST(Slk~ — Ski), то она кососиммьтрична, или антисиМ'
метрична.
Преобразование к главным осям 35
Если Н = Н+ (Hlk = Hkl), то матрица называется эрмитовой,
если же А — — А , то она будет косоэрмитовой, или антиэрми-
антиэрмитовой.
Если л вещественна и симметрична одновременно, то «
также эрмитова и так далее.
Если О = О" , матрица О является комплексно ортогональ-
ортогональной. Матрица U, для которой U^^U, называют унитарной
матрицей. Если R+ —R и R —R* (вещественна), то Rr = R*r =
:= RT = R~ и R = R ; тогда матрицу R называют вещественной
ортогональной, или просто ортогональной.
Унитарные матрицы и скалярное произведение
Прежде чем переходить к обсуждению унитарных матриц, нам
следует ввести еще одно новое понятие. Уже в гл. 1 была опре-
определена сумма двух векторов и произведение вектора на число.
Другим важным элементарным понятием является скалярное про-
произведение двух векторов. Скалярное произведение вектора а на
вектор Ь есть число. Мы будем различать эрмитово-скалярное
произведение
d[b\d$/? +...+в'Л = («, Ь) C.9)
и простое скалярное произведение
аА + аф2 + • ¦ • + «А = ((«¦ 6) )• C-9а)
Всюду, где противное не оговорено особо, будем подразумевать эрми-
эрмитово-скалярное произведение, а не простое скалярное произведение.
Если компоненты вектора аг, а2 ап вещественны, то оба
скалярных произведения совпадают.
Если (а, 6) = 0 = F, а), то векторы а и Ь называются ортого-
ортогональными друг другу. Если {а, а)—1, то а называют единичным
вектором, или говорят, что он нормирован. Произведение (аа)
всегда вещественно и положительно, и обращается в нуль только
тогда, когда все компоненты вектора а обращаются в нуль. Это
верно только для эрмитово-скалярного произведения в противо-
противоположность простому скалярному произведению. Пусть, например, а
есть двумерный вектор A, /). Тогда ((а, а)) = 0, но (а, а) — 2.
Действительно, из (а, а) = 0 следует, что а = 0, однако это не
следует из ((а, а)) = 0.
Свойства скалярного произведения:
1. При перестановке векторов в эрмитово-скалярном произведении
(a,b) = {b,a)\ C.10)
тогда как
((а, Ь)) = ((*. а)). C.10а)
36 Г лава 3
2. Если с есть число, то
(,а,сЬ) = с(а.Ь) и ((a, eft)) = с ((a, ft)). C.11)
С другой стороны,
(са, Ь) = с* (а, 6), тогда как ((са, Ь)) = с ((а, Ь)).
3. Скалярное произведение линейно по второму сомножи-
сомножителю, так как
(а, 66 -fee) = b (a, b) + с (а, с). C.12)
Однако оно „антилинейно" по первому сомножителю:
(аа + ЬЬ, с)=^а*(а, с) + Ь*ф, с). C.12а)
4. Далее, для произвольных векторов а и & и любой матрицы а
имеет место важное правило, что
(a,<xb) = (xfa,b) или фа, b) = (a, $+b). C.13)
Чтобы показать это, запишем
(«, «ft)=2 «*(«*)*= S о; 2 а*А
И
(«ta, ft) = 2 («fa)x ftx = 2 2 («W h = 2 2 ai»e*A-
Вместо применения матрицы а к одному сомножителю ска-
скалярного произведения, ее эрмитово-сопряженную af можно
применять к другому сомножителю.
Для простого скалярного произведения то же правило справед-
справедливо для транспонированных матриц, т. е.
((a, «ft)) = ((«»a. ft)).
5. Выпишем теперь условие U =U~ унитарности матрицы
в несколько более явном виде: из U+U = 1 следует, что
2 (U+)y V,k - 2 U)tUjk = bik; (fj.t, U.k) = bik. C.14)
рассматривать п столбцов унитарной матрицы как век-
торы, они составляют п ортогональных единичных векторов.
Аналогичным образом, из 1Ш+ = 1 следует, что
%UuUlj = bih, (Uk., Ui.) = bik. C.14а)
п строк унитарной матрицы также образуют п единичных
векторов, которые взаимно ортогональны.
Преобразование к главным осям 37
6. Унитарное преобразование оставляет эрмитово-скалярное
произведение неизменным; иными словами, для произвольных век-
векторов а и b
(Ua, Mb) = (a, U+U6) = (a, b). C.15)
Наоборот, если соотношение C.15) справедливо для некоторой
матрицы U и для каждой пары произвольных векторов а и Ь,
то U унитарна, поскольку тогда соотношение C.15) справедливо
также для а — е1 и b = ek, где (ek)i=^bjtt. В этом специальном
случае C.15) принимает вид
»« = (fit. ek) = (Ue,, Mek) = 2
2 B ед,)' • 2 и^ы - 2
что совпадает с равенством C.14). Таким образом, C.15) есть
необходимое и достаточное условие унитарности U.
То же правило применимо к комплексно ортогональным матри-
матрицам относительно простого скалярного произведения.
7. Произведение UV двух унитарных матриц U и V унитарно:
++ 111 C.16)
C-17)
Матрица U , обратная унитарной, также унитарна:
Преобразование к главным осям для унитарных
и эрмитовых матриц
Всякая унитарная матрица ¦ V и всякая эрмитова ма-
матрица Н могут быть приведены к диагональному виду с помощью
унитарной матрицы U. Для таких матриц не может встретиться
исключительный случай, упомянутый на стр. 32, Прежде всего
отметим, что унитарная (или эрмитова) матрица остается унитар-
унитарной (или эрмитовой) после унитарного преобразования. Будучи
произведением трех унитарных матриц, и~Чш само унитарно. Ма-
Матрица U^HU также эрмитова, если только И эрмитова, поскольку,
согласно C.17),
(IT1™)" = UfHirlf = U+HU == irW C.18)
Чтобы привести V или Н к диагональному виду, определим
некоторое собственное значение V или Н. Пусть оно равно Хх;
38
Глава 3
соответствующий собственный вектор U.\=(Un Uni) опреде-
определяется только с точностью до постоянного множителя. Выберем
этот постоянный множитель так, чтобы
(U.u tf.i)=l.
Это всегда возможно, так как (U.u U.{) никогда не может обра-
обратиться в нуль. Построим теперь унитарную матрицу U, первым
столбцом которой будет U.i1). С помощью этой унитарной матрицы
мы преобразуем соответственно Vh H в IP'VU и IP'HU. Например,
U~ VU имеет первый столбец
хЛ = (ip'vu),, =
= 2
Носкольку U.\ уже является собственным вектором матрицы V.
Мы видим, что Xj появляется в первой строке первого столбца,
и что все остальные элементы первого столбца равны нулю.
Это верно, очевидно, не только для IP VU, но и для U~ HU.
Так как матрица U-1HU эрмитова, первая строка также состоит
из нулей, за исключением первого элемента; таким образом, матрица
U~JHU имеет вид
О
(З.Е.1)
Но U !VU должно иметь точно такой же вид! Поскольку
X—унитарная матрица, ее первый столбец Х.г является единичным
вектором, откуда следует, что
2+ ... +|^л1|2=|Х1|2=1. (З.Е.2)
То же рассуждение применимо к первой строке Х\. матрицы X.
Сумма квадратов дается выражением
из которого следует, что все Ха, Хп, .... Х1п обращаются в нуль.
Следовательно, всякую унитарную или эрмитову матрицу можно
привести к виду (З.Е.1) с помощью унитарной матрицы. Ма-
Матрица (З.Е.1) не является еще диагональной и не может быть ею,
так как мы использовали существование только одного собственного
См. лемму на стр. 39,
Преобразование к главным осям 39
значения. Она, однако, больше похожа на диагональную матрицу,
чем первоначальная матрица V или Н. Естественно записать (З.Е.1)
в виде суперматрицы
\ 0\ А, 0\
о vj или (о hJ- <3'е-3)
где матрицы V1 или Hj имеют только п — 1 строк и столбцов.
Мы можем преобразовать затем (З.Е.З) с помощью другой унитар-
унитарной матрицы
'1 О
о и,
где Uj имеет только п— 1 строк и столбцов.
При этом матрица (З.Е. 1) принимает вид
\ ° \ /Xi °
+ или + . (З.Е.4)
Вышеуказанную процедуру можно применить снова, и М1 можно
выбрать так, чтобы UtViUi или utHiUi имели вид
\ 0\ Д, О
j
О VJ или \0 Н2У'
где V2 или Н2 имеет размерность только п — 2. Тогда U"iU+VUUi
имеет вид
'А, 0\ k (\
о vj1 где
Ясно, что повторение этой процедуры позволит привести ма-
матрицу V или Н к полностью диагональному виду, и таким образом
теорема доказана.
Эта теорема не имеет места для симметричных или комплексно
ортогональных матриц, как показывает пример на стр. 32 (вторая
матрица симметрична и комплексно ортогональна). Однако она
справедлива для вещественных симметричных или вещественных
ортогональных' матриц, которые являются специальными случаями
эрмитовых или унитарных матриц.
Лемма. Если (и.ь и.{)= 1, то может быть построена (многими
различными способами) унитарная матрица, первым столбцом кото-
которой является и.1 = (ип, и21, .... ил1).
Сначала строим вообще некоторую матрицу с первым столб-
столбцом и.\, имеющую отличный от нуля определитель. Пусть второй
40
Глава 3
столбец этой матрицы равен *>.2
и т. д.:
(г>12, г»22. •••• ^Я2)> третий —г>.з
н,
V
12
2
J\n
и2п
«33
и
л1
V
яЗ
Тогда векторы и:\, V.ч, г».з. • • ¦ будут линейно независимы, так
как определитель не обращается в нуль. Поскольку мы хотим,
чтобы они были ортогональными, используем метод Шмидта для их
ортогонализации. Сначала подставим tt.2=-(h.\U.\-\-4>.2 вместо v.2',
это не изменит определителя. Затем положим
(и.ь и.2) = 0 =
.1. v.2)
и определим отсюда а21. Далее, напишем и.3 вместо г».з с и.3 =
= й31«-1 + ^32».2+^-3 и определим аЪ\ и «32 так, чтобы
Следуя этим путем, мы, наконец, напишем и.п вместо v.n, причем
«•л = «/!1«.1 + «я2И.2+ ••• +«n,/j-ia./i-i + «.n. и определим л„1.
с„2, ап3, .... ая> я_! так, чтобы
0 = (и.ь и.я) = аЯ1(и.1, и
Таким способом с помощью -к-га (га—1) чисел а мы последова-
последовательно подставляем векторы и вместо векторов v. Векторы и орто-
ортогональны и не являются нулевыми в силу линейной независимости
векторов v. Допустим, например, что и.я = 0. Отсюда следует, что
и так как векторы и.\, и.2 ип являются линейными комбина-
комбинациями векторов и.ь v.2 *>-я-ь можно выразить v.n через п— 1
этих векторов, в противоречии с их линейной независимостью.
Наконец, нормируем векторы и.2, и.з и.л. строя тем самым
унитарную матрицу, первым столбцом которой является и.ь
Преобразование к главным осям 41
Этот метод ортогонализации Шмидта показывает, как по-
построить, исходя из любой совокупности линейно независимых век-
векторов, ортогональную нормированную систему, в которой &-й еди-
единичный вектор является линейной комбинацией точно k исходных
векторов. Если исходить из п и-мерных векторов, образующих пол-
полную систему векторов, получается полная ортогональная система.
Если унитарная матрица V или эрмитова матрица Н приведены
таким способом к диагональному виду, получающиеся при этом
матрицы Ао или Ай также унитарны или эрмитовы. Следовательно,
АД'„=1 или Лл = Л?. C.19)
Абсолютная величина каждого собственного значения унитар-
унитарной матрицы1) равна 1; собственные значения эрмитовой
матрицы вещественны. Это следует непосредственно из C.19),
устанавливающего, что для собственных значений \v унитарной
матрицы Xj,X?=l; а для эрмитовой матрицы Х>, —X*. Собственные
векторы матриц V и Н, являющиеся столбцами унитарной матрицы U,
могут рассматриваться как ортогональные.
Вещественные ортогональные и симметричные матрицы
Наконец, рассмотрим следствия требований, чтобы V или Н
были комплексно ортогональными (или симметричными) и одно-
одновременно унитарными (или эрмитовыми) матрицами. В этом случае
как V, так и Н вещественны.
Из U VU = A.v мы получаем комплексно-сопряженное выраже-
выражение U*fV*U* = (U*)+ VU* = А*. Так как собственные значения как
корни секулярного уравнения не зависят от способа, с помощью
которого матрица приведена к диагональному виду (т. е. посред-
посредством U или U*), диагональная форма Ao может всегда быть запи-
записана как A*v. Таким образом, числа Xj, l^, ..., Хл совпадают
с числами Xf, Xj X*. Отсюда следует, что комплексные соб-
собственные значения вещественной ортогональной* матрицы V встре-
встречаются комплексно-сопряженными парами. Кроме того, так
как VV =1, они все по абсолютной величине равны 1; веществен-
вещественные собственные значения поэтому равны ±1. В матрицах нечетной
размерности по крайней мере одно собственное значение должно
быть вещественным.
Если v есть собственный вектор, принадлежащий собственному
значению X, то V* есть собственный вектор, принадлежащий ком-
комплексно-сопряженному собственному значению X*. Чтобы показать
*) Как уже показывает соотношение (З.Е.2).
42 Г лава 3
это, запишем \v = lv; тогда VV = XV = W. Кроме того, если X*
отлично от X, то (г»*, г») = 0 = ((<о, v)); простое скалярное произ-
произведение собственного вектора на самого себя обращается в нуль,
если соответствующее собственное значение не является веществен-
вещественным (не ±1). Наоборот, вещественные собственные векторы (для
которых простое скалярное произведение не обращается в нуль)
соответствуют собственным значениям +1. Кроме того, пусть v
есть собственный вектор для Хх, v* — для Xj и г — для \. Тогда,
если Xj Ф Xj, получаем
Простое скалярное произведение двух собственных векторов
вещественной ортогональной матрицы всегда равно нулю, кроме
случая, когда соответствующие собственные значения являются
комплексно-сопряженными; когда собственные значения ком-
плексно-сопряженны, соответствующие собственные векторы
сами являются, комплексно-сопряженными.
Определитель ортогональной матрицы равен ±1. Чтобы
показать это, рассмотрим VVr= 1; отсюда следует, что определи-
определитель матрицы V, умноженный на определитель V , должен дать 1.
Однако определитель матрицы V равен определителю Vrs так что
каждый из них должен быть равен -f-1 или —1.
Если матрица Н вещественна, система C.5) вещественна, так
как все Xft вещественны. Собственные векторы вещественной
эрмитовой матрицы можно считать вещественными. (По-
(Поскольку они определяются только с точностью до постоянного
множителя, они могут быть также умножены на комплексный мно-
множитель.) Таким образом, унитарная матрица U в произведении
и~'Ни = А^ может считаться вещественной.
Глава 4
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
1. До 1925 г. развитие квантовой механики было направлено
главным образом на определение энергий стационарных состояний,
т. е. на вычисление энергетических уровней. Более старая „теория
разделения" Эпштейна — Шварцшильда давала рецепты для опре-
определения уровней энергии, или термов, лишь для систем, движение
которых с точки зрения классической механики имело очень частные
свойства, а именно было периодическим или по крайней мере
почти периодическим.
Гейзенберг, пытавшийся дать точную формулировку принципа
соответствия Бора, высказал соображения относительно устранения
этого недостатка. Решение было предложено независимо Борном
и Йорданом, с одной стороны, и Дираком — с другой. Его сущность
заключается в требовании, чтобы в вычислениях появлялись лишь те
движения, которые позднее стали рассматриваться как разрешенные
с квантовомеханической точки зрения. Проведение этой идеи при-
привело авторов к введению матриц с бесконечным числом строк и
столбцов для формального представления координат и импульсов
и к формальным вычислениям с „<7-числами", удовлетворяющими
сочетательному, но не перестановочному законам.
Так, например, выражение для энергии Н линейного осциллятора
(где т — масса осциллирующей частицы, К — постоянный коэффи-
коэффициент, характеризующий силу, a q и р — координата и импульс
частицы) получается формальной подстановкой матриц р и q вместо
импульса р и координаты q в гамильтоновой формулировке
классического выражения для энергии. Выдвигается требование,
чтобы Н была диагональной матрицей. Диагональные элементы Ндд
дают тогда возможные значения энергии, стационарные уровни
системы. С другой стороны, квадраты абсолютных значений эле-
элементов qnk матрицы q пропорциональны вероятности спонтанного
перехода из состояния с энергией \-\пп в состояние с энергией Нд,^.
44 Г лава 4
Они дают, тем самым, интенсивность линии с частотой
(о=:(Няя — Нйй)/Й. Все это следует из тех же рассуждений, с по-
помощью которых вводятся матрицы р и q.
Чтобы полностью уточнить задачу, следовало ввести „переста-
„перестановочное соотношение" между р и q. Предполагалось, что оно
имеет вид
pq-qp = |l, D.2)
где h — постоянная Планка, деленная на 2тг.
Вычисления с этими величинами (зачастую весьма утомительные)
быстро привели к прекрасным и важным результатам, имеющим
глубокий смысл. Таким путем стало возможным вычислить в согла-
согласии с опытом „правила отбора" для момента количества движения
и ряд „правил сумм", определяющих относительные интенсивности
зеемановских компонент линии. Для получения этих результатов
„теории разделения" было совершенно недостаточно.
Шредингер пришел к результатам, математически эквивалент-
эквивалентным упомянутым выше, на пути, не зависимом от точки зрения
Гейзенберга. Его метод имеет глубокое сходство с идеями де-Бройля.
Все дальнейшее рассмотрение будет основано именно на шредин-
геровском подходе.
Рассмотрим многомерное пространство с числом измерений,
равным числу координат, необходимых для описания положения
системы. Всякое расположение частиц системы соответствует точке
в этом многомерном „конфигурационном пространстве". Эта точка
будет двигаться с течением времени по кривой, которая может
полностью описывать классически движение системы. Между клас-
классическим движением этой точки — изображающей точки в конфи-
конфигурационном пространстве — и движением волнового пакета, также
рассматриваемого в конфигурационном пространстве, имеется фун-
фундаментальное соответствие1), если только принять показатель пре-
преломления этих волн равным \1т (Е— V)]*l2/E. Здесь Е— полная
энергия системы, а V — потенциальная энергия как функция про-
пространственных координат (конфигурации).
Соответствие заключается в том обстоятельстве, что чем меньше
отношение длины волны этого волнового пакета к радиусу кри-
кривизны траектории в конфигурационном пространстве, тем точнее
волновой пакет будет следовать этой траектории. С другой сто-
стороны,, если волновой пакет содержит длины волн порядка класси-
классического радиуса кривизны траектории в конфигурационном про-
пространстве, между двумя движениями возникают важные различия
как следствие интерференции волн.
') Данное изложение ближе следует идеям Шредингера, чем это
принято в настоящее время. — Прим. перев. издания 1959 г.
Элементы квантовой механики 45
Шредингер принимает, что движение изображающей точки
в конфигурационного пространстве соответствует движению волн,
а не классически вычисленному движению.
Если обозначить скалярную амплитуду волн через <j>, волновое
уравнение записывается в виде
Е — V d2ty 1 д2<\> | 1 <Э2ф i 1 д2<\> ,• о\
Е2 dfi 2ml дх\ 2т2 дх\ 2тf dxj'
где xv x2, ..., xf — координаты частиц рассматриваемой системы,
тх, т2, ..., т, — соответствующие массы и V(хх, х2 xf) —
потенциальная энергия как функция координат отдельных частиц
I' 2* *•*» j*
Полная энергия системы в явном виде входит в D.3). С другой
стороны, частота или период волн пока еще не определены. Шре-
Шредингер принимает, что частота волны, связанной с движением
системы, имеющей полную энергию Е, дается выражением Йи> = Е.
Поэтому он подставляет в D.3)
где ф? не зависит от t. Таким образом он получает уравнение
для определения собственных значений
^ + ^+ ... +2ф D-5)
где фя—функция пространственных координат хх, х2 xf.
Необходимо потребовать, чтобы фя была квадратично интегрируе-
интегрируемой, т. е. чтобы интеграл
Ы*1> Х2 x/\2dx1dx2 ...dxf
по всему конфигурационному пространству был конечным. В част-
частности, ф должна обращаться в нуль на бесконечности. Значения Е,
для которых возможно определение такой функции ф?, называются
собственными значениями уравнения D.5); они дают возможные
значения энергии системы. Соответствующее квадратично интег-
интегрируемое решение уравнения D.5) называется собственной функ-
функцией, принадлежащей собственному значению Е.
Уравнение D.5) также записывается в виде
Щ =?ф D.5а)
46 Г лав а 4
где Н есть линейный оператор Гамильтониан, или оператор
энергии)
у 2тх дх\ 2т2 дх2 2т^ dxi J
-\-V {xx, х2, ..., Xf). D.56)
Последний член означает умножение на V (xv x2 х^).
Этот оператор преобразует одну функцию координат хх,
х2 xf в другую. Функция ф в D.4) удовлетворяет соотношению
.. д'Ь , ,, , л г\
ih-~ = H^- D.6)
Полная энергия системы не входит в явном виде в уравнение D.6),
так что это уравнение применимо в общем случае к любому дви-
движению, независимо от энергии системы; оно называется зависящим
от времени уравнением Шредингера.
Уравнения D.5) [или D.5а), D.56)] и D.6) являются основными
уравнениями квантовой механики. Последнее из них определяет
изменение волновой функции в конфигурационном пространстве
со временем. Этому процессу, как мы увидим ниже, приписывается
глубокий физический смысл; уравнение D.5) [или D.5а), D.56)]
представляет собой уравнение для определения частоты ш = E/h,
энергии Е и периодической зависимости волновой функции ф
от времени. В самом деле, D.5а) следует из D.6) и предположе-
предположения, что
2. Кратко изложим теперь наиболее важные свойства собствен-
собственных значений и собственных функций оператора D.56). Для этой
цели мы прежде всего определим скалярное произведение двух
функций tp и g равенством
со
(?. ?) = / • • • Jfixi xf)*g(xl xf)dx1 ... dxf= Jfg.
— CO
D.7)
Все простые правила вычислений, изложенные в гл. 3, применимы
к этому скалярному произведению. Так, если дх и а2 являются
числовыми константами, •
(Т.
(9. S) = (ё. ?)*•
Элементы квантовой механики 47
Скалярное произведение (ср, ср) вещественно и положительно; оно
обращается в нуль только при ср = О. Если (ср, ср) = 1, то ср назы-
называется нормированной. Если интеграл
(ср, <p) =
конечен, то ср всегда может быть нормирована путем умножения
на некоторую постоянную [1/с в вышеуказанном случае, так как
(tp/c, ср/с)=1]. Две функции ортогональны, если их скалярное
произведение равно нулю.
Скалярное произведение, определяемое формулой D.7), составлено
исходя из соображений, что функции <р (ж,, ..., Xf), g{xx, ..., Xj) от коор-
координат Ху, хг, ..., Xf рассматриваются как векторы, компоненты которых
пронумерованы (размечены) непрерывными индексами. Функциональный
вектор <р (-*i>..., Xf) определен в /-кратно бесконечномерном простран-
пространстве. Каждый набор значений переменных хи,.., лу, т. е. каждая кон-
конфигурация соответствует одному измерению. Тогда скалярное произведе-
произведение <р и g на векторном языке равно
' что заменяется интегралом D.7).
Определение линейной зависимости или независимости функций также
соответствует понятиям, выведенным из обсуждения векторов. Линейное
соотношение
между функциями у , tp2, ..., <рА имеет место, если это уравнение спра-
справедливо для всех компонент векторов, т. е. для всех наборов значений
хи ..., хр при заданных постоянных аь а2 а^. Далее, оператор Н
называется линейным, если соотношение
H{a<f + bg) = aH<( + bHg D.8)
справедливо для всех функций ср и g. Вообще мы будем иметь дело лишь
с линейными операторами. Линейные операторы для функций-векторов
соответствуют матрицам для обычных векторов. И те и другие преобра-
преобразуют векторы, к которым они применяются, в другие векторы. Условие
линейности D.8) справедливо для всех матриц. Мы видели, что всякий
оператор, который можно применить к конечномерному вектору, экви-
эквивалентен матрице '). Бесконечномерные операторы также имеют матрич-
матричную форму, но она часто сильно сингулярна.
Например, элементы матрицы q,, соответствующей оператору „умно-
„умножения на хг", равны
Ы , , , = *,« Л , ... Ь ,. D.Е.1)
х^ ху х^ X Х\Х хх xx
') См. ГЛ. 1, стр. Ц,
48 Глава 4
Она преобразует вектор ф в вектор ц4ф с компонентами
х' х' Х1 ¦¦• хр х\ ••¦ xf
Этим вектором является как раз функция д^ф, в которую ф превращается
операцией „умножения на хх".
Матрица, соответствующая оператору „дифференцирования по хх',
обозначается через (i/h) рх, поскольку (л//) (д/дхх) соответствует рх:
(i-)
D.Н.2)
Она преобразует вектор ф в
Ига 1Л ! ,-8 , Л 8 ,...8 A(x'vx2 x'f)
*!¦••*/
а это и есть производная ф по л:,.
Говорят, что оператор Н эрмитов, если Н = Н+, т. е. если
(v, На») = (Hfv, w) = (Hz>, w)
для произвольных векторов v к w. Другими словами, оператор Н эрми-
эрмитов, если он может быть перенесен с одного сомножителя скалярного
произведения на другой. Эрмитова природа операторов определяется
этим требованием.
Оператор Н эрмитов, если для всех функций ср, g, удовле-
удовлетворяющих определенным условиям (например, квадратичной инте-
интегрируемости, из которой следует, что функция обращается в нуль
на бесконечности), имеет место равенство
(Т. Н#) = (Нср, g). D.9)
Суммы эрмитовых операторов и произведения последних на веще-
вещественные величины снова линейны и эрмитовы. То же справедливо
для их степеней, обратных операторов и т. д.
Оператор Гамильтона D.56) эрмитов. Чтобы показать это,
заметим прежде всего, что умножение на вещественную функцию
Элементы квантовой механики 49
V (хх, х2, .... х}) приводит к эрмитовому выражению
оо
Xg(*i */)<**, ... dxf=f ... f(V(Xl Xf)X
—оо
X <p (*! xf))*g (x, xf)dxx ... dxf = (y<p, g). D.9a)
Оператор (h/i)(djdxk) также эрмитов. Путем интегрирования по
частям получаем
оо
¦ 7 аГ»*) = /-"/*<* Vj^^i xf)dXl...dxf =
—оо
оо
= J ••• / — i(S;f(x^ */))*g(*i x/)dxi ¦¦¦dxf =
поскольку ф обращается в нуль при д:А = ± оо и Г = — /. Поэтому
его квадрат —fi2d2ldx'2k тоже эрмитов, что может быть показано
двукратным интегрированием по частям. Тогда все слагаемые опе-
оператора Н эрмитовы, так что сам Н эрмитов.
Известно, что уравнение для ф
имеет неисчезаюшие квадратично интегрируемые решения только
при определенных значениях Е. Значения, для которых такие
решения существуют, называются собственными значениями; сово-
совокупность всех этих собственных значений называется спектром
оператора Н.
Все собственные значения эрмитова оператора вещественны.
Если Нф? = ¦&!>?, то скалярное произведение с фя равно
= Е (ф?, ф?). D.11)
Но в D.11) (ф?, ЩЕ)^{ЩЕ, ф?) = (фя, Нфя)*. Тогда, поскольку
(ф?, фя) вещественно, ? также должно быть вещественным.
Эрмитов оператор может иметь как дискретный, так и не-
непрерывный спектры. Собственные значения дискретного спектра
являются дискретными числами (число их может быть конечным
или бесконечным счетным); соответствующие собственные функции
могут быть нормированы [в нашем случае это означает, что инте-
интеграл от квадрата фв, т. е. (ф?, ф?), конечен], и в дальнейшем
50 Глава 4
будем предполагать, что они уже нормированы. Собственные функ-
функции различаются друг от друга индексами: tyE, ^.....Обычно
дискретные собственные значения охватывают наиболее интересную
часть спектра. Там, где мы до сих пор говорили просто о „соб-
„собственных значениях", мы имели в виду дискретные собственные
значения.
Решение уравнения для собственных значений, принадлежащее
непрерывному спектру ty(xx, х2, ¦¦-, Xf, E), не обладает конеч-
конечным интегралом от квадрата ф. Поэтому можно думать, что оно
вовсе не принадлежит спектру. Однако, если мы составим так
называемый „собственный дифференциал"
J <li(*lf х2, .... */, E)dE = ^{xv х2 xf, E, ? + Д), D.Е.З)
Е
это решение становится квадратично интегрируемым, так что может
быть нормировано. Это не имело бы места, если Е в действитель-
действительности не принадлежало бы к спектру. Собственный дифферен-
дифференциал D.Е.З) принадлежит интервалу между Е и f-f-Д. Это
показывает, что непрерывный спектр состоит не из точек, а из не-
непрерывных областей. Решения ^{xv х2, ,--, Хр Е) уравнения для
собственных значений называются собственными функциями непре-
непрерывного спектра, хотя они и не могут быть нормированы. Они
зависят от собственного значения Е непрерывным образом; мы обычно
вводим Е как переменную, а не как индекс для различения разных
собственных функций непрерывного спектра. Если непрерывный
спектр разделить на определенные малые области длины Д, то для
каждой из них можно определить собственный дифференциал,
который (после нормировки) предполагает свойства, все более и
более сходные со свойствами собственных функций дискретного
спектра, коль скоро Д становится все меньше и меньше.
Собственные функции, принадлежащие различным собственным
значениям дискретного спектра, ортогональны друг другу. Для
доказательства заметим, что из HtyE = EtyE следует, что
Аналогично, из Y\^p — E^F с учетом вещественности собственных
значений имеем
Вычитая, мы видим, что (Ф^ ф^) должно равняться нулю при E=?F.
Дискретные собственные функции ортогональны также всем соб-
собственным дифференциалам, и собственные дифференциалы орто-
Элементы квантовой механика 51
тональны друг другу, если только области, которым они принад-
принадлежат, не перекрываются.
Одному и тому же собственному значению, например, дискретного
спектра может принадлежать более чем одна линейно независимая
собственная функция. Если это имеет место, собственное значение
называется „вырожденным". Любая возможная линейная комбинация
собственных функций в случае вырождения также является соб-
собственной функцией, принадлежащей тому же самому собственному
значению. Из линейного набора собственных функций можно
выбрать линейно независимый набор; тогда все собственные функ-
функции рассматриваемого собственного значения можно выразить
в виде линейных комбинаций собственных функций этого линейно
независимого набора. Этот набор можно ортогонализовать, например,
с помощью метода Шмидта. Разумеется, процесс выбора остается
произвольным; ясно, что метод Шмидта может дать много различ-
различных ортогональных систем в зависимости от порядка, в котором
берутся собственные функции. Однако в настоящий момент это
для нас не существенно.
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что из вырожден-
вырожденных собственных функций каким-либо образом выбран некоторый
ортогональный набор. Тогда все собственные функции и собствен-
собственные дифференциалы образуют ортогональную систему. Если ф
и <!/ являются двумя различными произвольными функциями этой
системы, то
(ф, <|/) = 0 D.12)
и
0!>. ф)=1. D.12а)
Эта ортогональная система является также полной, если только
непрерывный спектр разделен на достаточно тонкие участки
(т. е. Д достаточно мало). Другими словами, каждую функцию
<f(x1 Ху), для которой сходится интеграл (ср, ср), можно раз-
разложить в ряд
> = 2#Л+2#(?. А)№ ?+А). D.13)
где индекс х пробегает все дискретные собственные значения,
и Е пробегает значение от нижней границы по всем собственным
дифференциалам. Это разложение в ряд справедливо, в действи-
действительности, только для бесконечно малых Д; поэтому вторая сумма
должна быть заменена интегралом
D.13а)
52 Глава 4
где интегрирование производится по всей области непрерывного
спектра. Если собственному значению непрерывного спектра при-
принадлежат несколько линейно независимых собственных функций,
то в D.13а) будет несколько интегралов или даже — если число
этих собственных функций бесконечно — один или более двойных
или многократных интегралов. С другой стороны, если в рассматри-
рассматриваемой задаче нет непрерывного спектра, второй член в D.13)
и интеграл в D.13а) опускаются. Составляя скалярное произведе-
произведение функции фх с D.13), находим, что коэффициент gx дается
выражением
(Ф.. <Р) = *х- DЛ4)
Аналогичным образом,
ОКЕ, ? + Д), ?) = *(?, А). D.14а)
В формальных расчетах непрерывный спектр часто опускается,
и вычисления производятся так, как если бы существовал только
дискретный спектр. Ясно, к какому изменению приводит существо-
существование непрерывного спектра: к суммам добавляются члены с инте-
интегралами.
Изложение в этой главе — особенно для случая непрерывного
спзктра — не является строгим. Строгая теория собственных зна-
значений для произвольных эрмитовых операторов была создана1)
незадо.1 го до написания первого (немецкого) издания настоящей
книги. Мы резюмировали здесь лишь некоторую часть ее резуль-
результатов. Строгая теория весьма сложна. Однако она может быть
использована почти без изменений в изложенной здесь форме2).
')J. V.Neumann, Math. Ann., 102, 49 A924).
2) Теория спектрального разложения эрмитовых (точнее, „самосопря-
„самосопряженных") операторов дана в книге: М. Н. Stone, Linear Transformations
in Hilbert Space, New York, 1932. Несколько более краткое изложение
содержится в книге: F. Riesz, В. Sz-Nagy, Functional Analysis, New
York, 1955.
Глава б
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
1. Часто случается, что собственные значения и собственные
функции определенной задачи известны, и нужно найти собствен-
собственные значения и функции для близкой задачи, оператор энергии
которой относительно мало, „возмущением", отличается от опе-
оператора энергии решенной задачи. Теория возмущений имеет дело
с методами решения задач такого рода. Один вариант теории воз-
возмущений был развит в матричной теории Борном, Гейзенбергом
и Йорданом; в дальнейшем изложении мы, однако, будем следовать
методу Релея—Шредингера.
Будем вести вычисления, как если бы система не имела непре-
непрерывного спектра, и примем, что возмущенная система также имеет
лишь чисто точечный спектр. Некоторые усложнения, вызываемые
наличием непрерывного спектра, будут обсуждаться в конце главы;
сначала же теория излагается в простейшей форме.
Рассмотрим эрмитов оператор Н с собственными значениями
?\, ?2, ... и собственными функциями i^, ф2, ...:
Щк = Е^к. E.1)
Требуется определить собственные значения F и собственные функ-
функции <р оператора H+XV, где V также эрмитов и X— малое число:
(H+XV)?ft = /VPft. E.2)
Прежде всего разложим F и ср в степенной ряд по X, ограничиваясь
лишь членами не выше второй степени по X:
л+ .... E.3а)
E.36)
В E.3а) и E.36) предполагается, что Fk и yk переходят в Ek
и $к при Х = 0; аналогично, ty' и <]/? разлагаются в ряд по функ-
функциям ф (как это обсуждалось в предыдущей главе) с коэффи-
коэффициентами аы и ЬЬ1.
54 Г лав а 5
Подставим E.3а) и E.36) в E.2) и получим
Н [фЛ + X 2 cibfa + X2 S ад,] + XV
Коэффициенты при одинаковых степенях X в обеих частях E.4)
должны быть равны. Члены, не содержащие \, сокращаются
в силу E.1). Равенство коэффициентов при X и X2 дает
2 4iEi^i + V<|>i — ?*<!>* + Eh 2 akl^, E.5a)
2
2^^ + 2«^^ft + S«^+ft2 ft*,*,. E.56)
Соотношение E.5а) позволяет найти Ek и аы при / Ф к. Составляя
скалярное произведение с фА или фг и используя соотношение
ортогональности, получаем
***?*+(Ф*. V«J»*) = ?»+«**?*. E.6)
«ftА + (Фг. V№ = Sft«« (/ ?= А). E.7)
Если здесь ввести сокращенное обозначение
Va? = (ф.. Vfy) = (V*.. фр) = (фр. V^J* = ^a E.8)
(Vap называется матричным элементом оператора V), решения
принимают вид
?? = <Ф*. УфЛ) = У»„ E.6а)
Аналогично, умножая на ifk и интегрируя по всему конфигу-
конфигурационному пространству, из E.56) получаем
bkkEk + ^iaki^k> Vb) = E"k + E'k(ikk+Ekbkk- E.9)
Разобьем сумму по / в левой части равенства E.9) на две части,
выписывая член с l = k отдельно. Тогда можно подставить значе-
значение для Eh из E.6а) и значение для аы из E.7а); в результате
получим
р" _ V (Ф|> v^*> <Ф*' V<W> — V I ^а I2
С*— Zl Eh-Et —^ Ek-El •
1фк ' 1фк
Это дает новое собственное значение Fk с учетом членов порядка X2:
Теория возмущений 55
Новая собственная функция срй дается выражением
ср. = ¦<> 1 i » Ylh-
учитывающим члены порядка X. Заметим, что aftft всегда выпадало
из предыдущих уравнений. Это соответствует тому обстоятельству,
что нормировочная константа функции cpft не определена. Если по-
положить (tpft, <pft)=l, то найдем, что aftft = 0, и собственная функ-
функция
нормирована в пренебрежении членами порядка X2.
Следует заметить, что при совпадении собственных значений Ek
и Ег двух собственных функций фг и фА исходной задачи в суммах
E.10) и E.11) могут появляться бесконечно большие члены. Вскоре
мы увидим, что такие члены могут быть исключены, так что их
появление не представляет серьезной трудности. После того как
это сделано, появляющиеся в формулах суммирования могут быть
выполнены в большинстве встречающихся на практике случаев.
Однако еще ничего не было сказано о сходимости всего метода
в целом, т. е. рядов E.3а) и E.36). Они вполне могут расходиться;
во многих примерах уже один только третий член оказывается
бесконечно большим! Кроме того, известно, что дискретное соб-
собственное значение, особенно, если оно перекрывается непрерывным
спектром в исходной задаче, может „размыться" под действием
возмущения, т. е. полностью перейти в непрерывный спектр.
Тем не менее, функция E.11) сохраняет вполне определенное
значение: она описывает состояние, которое при малых X, если и
не абсолютно стационарно, то почти обладает этим свойством,
распадаясь лишь после очень большого промежутка времени. Соб-
Собственное значение Fk в E.10) дает приближенную энергию, а после
деления на Ь — приближенную частоту для этого состояния. Если
величина
образована с помощью E.10) и E.11), она оказывается величиной
второго порядка по X. Таким образом, если принимается, что вол-
волновая функция ср (t) системы совпадает с cpft при t = 0 [<? @) = cpft],
то можно написать
E.12)
56 Г лава 5
Подставляя эту функцию в зависящее от времени уравнение Шре-
дингера
получаем
^ (§^ E-13)
откуда можно вычислить (d/dt)(%, у):
Используя неравенство Шварца |(х, а)|2<1(х. X) • (а> а)> можно
найти верхнюю границу этой производной по времени:
" Ос. xX-g-Vb x)(e. «)•
или, поскольку а не зависит от времени,
;1 t * E.14)
V(X.70< jV(P,a)+ с.
Мы предположили, что х = 0 при t = 0; поэтому постоянная с
также равна нулю. Тогда
(X. Х)<(« )
Это значит, что разница между ср(?) и <pftexpf—1~?ч всегда
мала для t, малых по сравнению с bfY(a, а). Поскольку (а, а)
пропорционально X4, функция cpft ведет себя как истинная собствен-
собственная функция в течение сравнительно большого промежутка времени,
если только X мало.
2. Как мы уже упоминали, данное здесь изложение необходимо
видоизменить, когда в исходной задаче имеет место вырождение,
т. е. когда несколько линейно независимых собственных функций
принадлежат одному и тому же собственному значению. Суммиро-
Суммирование в E.10) и E.11) производится по всем собственным функ-
функциям, включая каждую собственную функцию, собственное значе-
значение которой Et равно Ek. Поэтому эта сумма может быть составлена
только в том случае, если (tyt, Vtyk) обращается в нуль для всех
Собственных функций fy с собственным значением ?{= Ец.
Теория возмущений 57
Пусть все собственные функции <j>M, <]>ft2, ..., ^ks имеют одно
и то же собственное значение Ek. Мы уже предположили, что эти
функции взаимно ортогональны. Но существует определенный про-
произвол в выборе начальных собственных функций нашего прибли-
приближения, так как вместо <]>ftl, фА2, ..., tyks можно выбрать другие
наборы, например
м = «21**1+a22(l'*2+ •••
Следовательно, больше нет оснований считать, что первым при-
приближением для срй являются просто <]>ft. ?сли (a|i|i.') — унитарная
матрица, то функции <]>^ также взаимно ортогональны (и,
конечно, ортогональны другим собственным функциям с собствен-
собственными значениями, отличными от ?ft):
= 2a*-a -Ok -. <k -) = 2 a*<a ,8,, =8 E.16)
Таким образом, функции if' образуют столь же приемлемый
базис для приближенного метода, как и исходные функции фь.
В связи с этим возникает вопрос о том, нельзя ли все матрич-
матричные элементы (<]>?v, V^ ) (с v Ф jx) сделать равными нулю с по-
помощью подходящего выбора матрицы а. Действительно, это может
быть достигнуто. Рассмотрим
(f*. v«g=v, |и1<,.v (**.•• v^,0- <5-17>
Если мы обозначим эрмитову матрицу, образованную из величин
(фь1. V^ft|i') = Vft,';*|i' = ^v'|).', через v, матрица а должна быть
определена так, чтобы a*va была диагональной матрицей. Если а
выбрана таким образом, то (^v, V1^ ) в E.17) обращается в нуль,
кроме случая v = jx: использование набора ф^, во всех отноше-
отношениях эквивалентного набору $&' в качестве исходной системы
для вычислений по теории возмущений гарантирует от появле-
появления в E.10) и E.1 Г) каких-либо членов с нулевым знамена-
знаменателем.
Вся задача тогда заключается в таком выборе матрицы а, чтобы
она преобразовывала матрицу v к диагональному виду. Поскольку a
унитарна, то тем же свойством обладает и а*, а поэтому а* = а .
58 Г лав а 5
Тогда уравнение, определяющее а№-, имеет вид
Sv ,а , =а v', E.18)
где числа v' являются собственными значениями матрицы v.
Мы снова будем вычислять собственные значения с учетом
членов ~ X2, а собственные функции — с учетом членов — X. На
основании предшествующего абзаца предположим, что собственные
функции <|»ftl, фА2 t|)ftJ, принадлежащие собственному значению Е,
сдвиг которого мы хотим вычислить, таковы, что
(tftv. VV^V^^V^bV^V ¦ E-19)
Иными словами, с самого начала будем пользоваться функциями ф'.
Остальные собственнные функции не нуждаются в двойных индексах:
фг принадлежит значению Е{, но не все Et обязательно различны.
Обозначим собственное значение оператора H+W, которому при-
принадлежит собственная функция cpftv, через /7ftv; это обозначение
будет указывать на то обстоятельство, что s-кратно вырожденное
собственное значение1) Ek расщепляется в общем случае на s новых
собственных значений.
Пусть
Ffts = Ek + XEl + №l + • • • E-20)
s
,-, ib E-20a)
Если выражения E.20) и E.20а) подставить в уравнение
и опять приравнять коэффициенты при одинаковых степенях X,
то члены нулевого порядка обратятся в нуль, а члены порядка X
и X2 дадут
= 2
') Это собственное значение называется так потому, что ему при-
принадлежат s линейно независимых собственных функций.
Теория возмущений 59
*, Ф* + jS//*ftvi Л + 2 h,; ft,
2 «,v; »V<|>, = 2 5*7*,; ft, ^ /
2>ь:г^ + ?;^. E.21а)
Из этих уравнений неизвестные E'k<t, E"k^, йь-/ и рь. й|л могут
быть определены точно так же, как и в случае отсутствия выро-
вырождения. Для энергии Fftv получаем
1^щ, E-22)
а соответствующая собственная функция равняется
E.23)
В этих выражениях использован тот факт, что функции фА1,
tft2> • • • • 1*ь Уже выбраны так, что Vki; ь^ — 0 при v =^fc jx.
Если все Уь;ь = ^ при v=l, 2, .... s различны, то соб-
собственное значение Ek расщепляется в первом приближении на s
новых собственных значений. Тогда все функции tpAv могут быть
построены сразу, поскольку в E.23) нет обращающихся в нуль
знаменателей.
Однако, если некоторые из собственных значений матрицы v,
например v'-i = Vk.l-i ftv, равны, возмущенные собственные значения
по-прежнему вырождены в первом порядке по X. Соответствующие
функции нулевого приближения ij;ftv должны быть подвергнуты
еще одному унитарному преобразованию. Чтобы получить срА(Л
с учетом членов первого порядка по X, эти функции следует вы-
выбрать так, чтобы эрмитова матрица
стала диагональной. Тогда члены с нулевыми знаменателями в E.23)
исчезают, и суммирование может быть выполнено. Все это проис-
происходит автоматически, если правильные собственные функции пер-
первого приближения E.15) известны из других соображений и
используются с самого начала.
60 Глава 5
С точностью до этого видоизменения метод теории возмуще-
возмущений, следовательно, по-прежнему применим, когда несколько соб-
собственных функций (хотя и не в бесконечном числе) соответствуют
одному и тому же дискретному собственному значению. Эта ситуа-
ситуация будет предметом нашего исследования в значительной части
дальнейшего изложения, и результаты, полученные в этой главе,
составляют основу большинства квантовомеханических расчетов.
Действительно, такие расчеты часто ограничены линейным членом
в E.22), т. е. членом, включающим Vftv; k^ = v[. Этот член можно
вычислять путем решения секулярного уравнения E.18) или, более
прямым путем, с помощью простой квадратуры, если только известна
„правильная линейная комбинация", для которой справедливы соот-
соотношения
Wvv, = 0 (v^v' и г/ = г/,).
Эту „правильную линейную комбинацию" можно часто определять
непосредственно из теоретикогрупповых соображений без решения
секулярного уравнения. Такие определения являются одним из
важных приложений теории групп к квантовомеханическим задачам.
Глава 6
ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ОСНОВАНИЯ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
1. На ранней стадии развития квантовой механики основное
внимание было уделено определению уровней энергии, вероятно-
вероятностей спонтанных переходов и т. д.; затем все большее внимание
стало уделяться принципиальным вопросам и отысканию физиче-
физического истолкования матриц, операторов и собственных функций.
Такое истолкование дается статистической интерпретацией
квантовой механики, в развитии которой существенную роль
сыграли Борн, Дирак, Гейзенберг, Йордан и Паули.
В то время как в классической механике для описания системы
с / степенями свободы необходимо 2/ чисел (/ пространственных
координат и / импульсных координат), квантовая механика опи-
описывает состояние такой системы нормированной волновой функ-
функцией ср(atj, ..., хЛ [(ср, ср)=1], аргументами которой являются
пространственные координаты. Точно так же, как классическая
теория определяет состояние 2/ произвольными числами, кван-
квантовая теория определяет состояние волновой функцией,
удовлетворяющей одному ограничению:
J
xf)\2dx1 ... dxf=\.
Это состояние может быть собственной функцией уравнения Шре-
дингера или линейной комбинацией таких собственных функций.
Таким образом, множество состояний гораздо обширнее в кванто-
квантовой механике, чем в классической теории.
Эволюция системы во времени определяется в классической
механике уравнениями движения Ньютона, а в квантовой меха-
механике — зависящим от времени уравнением Шредингера
й§-=Н<р. F.1)
где Н — гамильтониан. В простейшем случае Н имеет вид
62 Г лава 6
Разумеется, точное определение оператора Н является наиболее
важной задачей квантовой механики.
В классической механике 2/ чисел, служащих для описания
состояния, непосредственно дают координаты и скорости отдель-
отдельных частиц, посредством которых можно без труда вычислить
произвольные функции этих величин. В квантовой механике во-
вопрос о положении частицы в общем случае не имеет смысла. Можно
лишь говррить о вероятности, с которой частица может быть най-
найдена в определенном месте. То же самое относится к импульсу
и к функциям этих величин, как, например, энергии.
Всем величинам, имеющим физический смысл, соответствуют
квантовомеханические эрмитовы операторы. Так, например,
оператором, соответствующим координате xk, является „умножение
на xk", оператором импульса является —/й(д/дхА), оператором
энергии, согласно F.2), является Н и т. д. Последний оператор
играет особую роль, поскольку он входит в зависящее от времени
уравнение Шредингера.
В общем случае эти операторы получаются путем замены в клас-
классическом выражении физической величины, как функции координат и
импульсов, пространственных координат хь оператором „умножения
на x/g", а импульсных координат pt, оператором —ib(djdxk). Например,
энергия классического гармонического осциллятора равна
В квантовой механике она заменяется оператором
д2 , д2 . д2 \ . К .
Й2 /
2тп \
V (*' *' + *2 • х2 + х3 ¦ х3).
2
Этот оператор имеет как раз вид F.2).
Измерение некоторой величины (координаты, энергии) может в об-
общем случае дать только такое значение, которое является собственным
значением соответствующего оператора. Так, например, возможными
уровнями энергии являются собственные значения оператора Н.
Какова вероятность того, что величина, представляемая операто-
оператором G, имеет значение \к, если система находится в состоянии
(р (jcj, ..., Xj)? Эта вероятность равна нулю, если Xft не является
собственным значением оператора G; с другой стороны, если \к
есть собственное значение и если фА есть соответствующая норми-
нормированная собственная функция, то
К?. ^)\2=Ш. <рI2 (б.з)
дает искомую вероятность.
Согласно статистической интерпретации, могут быть вычислены
только вероятности возможных исходов измерений; результат изме-
Теория преобразований и интерпретация квантовой механики 63
рения или опыта в общем случае не может быть предсказан с до-
достоверностью.
Если ср разложена по полной ортогональной системе собствен-
собственных функций оператора G, т. е.
и если
G+* = Х4фй. F.4а)
то F.3) показывает, что вероятность того, что в результате изме-
измерения будет получено значение Xft, равна как раз квадрату абсо-
абсолютного значения \ак\2 величины
(Ф*. <р) = Ч- F-5)
Конечно, сумма вероятностей всех возможных значений \, \, ....
должна быть равна единице. Это значит, что
То, что это действительно имеет место, следует из нормировки
функции ср:
(Т. <p) = B«fttft. 2 й/1>Л = 2
\ ft i I k, i
2
ft, i
Волновая функция сер (с \с\ = 1) соответствует тому же состоя-
состоянию, что и волновая функция ср; поэтому волновая функция
определяется физическим состоянием только с точностью до
множителя с модулем единица. Все вероятности, вычисленные
с помощью волновой функции ср, совпадают с вероятностями, най-
найденными с помощью волновой функции сер, как это непосред-
непосредственно видно из соотношений
КФ*. «?I2=к(Ф*. ?)l2 = M2Ktft, ?I2=|0Ь. <рI2-
Поскольку эти вероятности являются единственными физически
реальными характеристиками состояния, то состояния, описывае-
описываемые этими двумя волновыми функциями, с физической точки зре-
зрения совпадают.
Если одному и тому же собственному значению Xft принадлежат
несколько линейно независимых собственных функций фй1, фА2,
фйз. • ¦ • (которые предполагаются взаимно ортогональными), то
вероятность для Xft равна сумме квадратов коэффициентов разло-
разложения:
64 Глава 6
Предшествующее обсуждение относится только к вероятностям
дискретных собственных значений. Вероятность вполне определен-
определенного собственного значения непрерывного спектра всегда равна
нулю, поскольку в непрерывном спектре только конечные области
могут иметь конечные вероятности. Если рассматриваемая область
достаточно мала, эта вероятность равна квадрату абсолютной вели-
величины коэффициента разложения нормированного собственного диф-
дифференциала, принадлежащего к этой области.
2. Только в одном случае выражение для вероятности, вычи-
вычисленное с помощью квантовой механики, вырождается во вполне
определенное утверждение; это тот случай, когда волновая функ-
функция состояния ср является собственной функцией оператора G,
соответствующего измеряемой физической величине, так что
Gf = ХАср. Тогда ср ортогональна всем собственным функциям опе-
оператора G. не принадлежащим Xft) и вероятность этих собственных
значений равна нулю. Поэтому вероятность для lk равна 1. В этом
случае измерение дает значение Xft с достоверностью.
Если в результате измерения некоторой величины мы нашли,
что она имеет определенное значение, мы должны получить то же
самое значение при достаточно быстром повторении измерения.
В противном случае утверждение, которое делается на основании
измерения, что рассматриваемая величина имеет то или иное зна-
значение, не имело бы смысла. Вероятность при повторном измере-
измерении, а также волновая функция, существующая только для вычи-
вычисления вероятностей, меняются в течение измерения1). В самом
деле, волновая функция после измерения, давшего собственное зна-
значение \k для G, должна быть собственной функцией оператора G,
принадлежащей к \k. Только в этом случае повторное измере-
измерение G даст наверняка снова значение Хй. При измерении величины,
изображаемой оператором G, волновая функция возмущается и
переходит в некоторую собственную функцию оператора G, в част-
частности в фА, если измерение имело результатом Xk.
В общем случае невозможно предсказать с достоверностью,
какой именно собственной функцией оператора G станет волновая
функция состояния системы; квантовая механика дает лишь вероят-
вероятность |(фА, ср)|2 для определенной собственной функции tyk и соб-
собственного значения Xft. Так как вероятность перехода волновой
функции ср в фА при измерении величины G может быть вычислена
с помощью двух волновых функций ср и фй выражением |(фА, ср)|'2.
') Таким образом, волновая функция меняется двояким, существенно
различным образом. Во-первых, она непрерывно меняется со временем,
согласно дифференциальному уравнению F.1), и, во-вторых, — скачком
во время измерений, производимых над системой в определенные моменты
времени, согласно заколам теории вероятностей (см. последующее обсу-
обсуждение).
Теория преобразований и интерпретация квантовой механики 65
эту величину называют вероятностью перехода из состояния <р
в состояние фй. Если известна вероятность перехода волновой
функции во всякую функцию, то тем самым задана вероятность
всех мыслимых опытов.
С точки зрения вышеизложенного особенно важно заметить,
что вероятность перехода имеет физический смысл и поэтому
должна иметь одно и то же значение при двух эквивалентных
описаниях одной и той же системы.
3. Переход к новой „системе координат". Пусть G, G',
G" • • • — операторы, соответствующие различным физическим ве-
величинам, как энергии, импульсу, координате и т. д., а срх,
ср21 • • • — волновые функции различных состояний. Тогда те же
самые результаты, которые получаются с помощью этой системы
операторов и волновых функций, можно получить с помощью
системы операторов
1. G'=\JGV~\ G" = UG"IT\ ...
и волновых функций
где U — произвольный унитарный1) оператор. Прежде всего, соб-
собственные значения, определяющие возможные результаты измерений
величин G и G = UGU~\ совпадают, так как собственные значе-
значения не меняются при преобразовании подобия. Если Xft есть не-
некоторое собственное значение оператора G, а фй — соответствующая
собственная функция, то Xft также является собственным значением
оператора G —UGU~ , а соответствующая собственная функция
равна ифй. Чтобы показать это, заметим, 4fо из G^ = ^Jfk сле-
следует, что
GU-b = UGir'l% = UG<{.ft = 1АА = \ЩЬ.
Кроме того, вероятности этого собственного значения Xft для
величины, соответствующей оператору G в первой „системе коор-
координат" и оператору G — во второй, равны для этих двух случаев.
В первом случае эта вероятность равна
КФ*. ?I2-
') Унитарность оператора U определяется аналогично определению
эрмитовости: требуется, чтобы для двух произвольных функций fag
Если / и g являются векторами, то U есть матрица, и определение
сводится к обычному (необходимому и достаточному) условию унитар-
66 Глава б
Во втором случае ср заменяется на U'f. а фА — на собственную
функцию оператора G, соответствующую Xft, т. е. функцию Utft-
Таким образом, для вероятности во второй „системе координат"
получаем
l(U<h,
что совпадает с выражением, полученным выше, в силу унитар-
унитарности оператора U- Аналогично, вероятности перехода между
парами соответствующих состояний срх, ср2 и U«Pi» U% также одина-
одинаковы в двух системах координат, так как из равенства
следует
Такой переход к другой системе координат путем преобразова-
преобразования подобия для операторов и одновременной замены волновой
функции ср на U<p называется каноническим преобразованием.
Два описания, получающиеся одно из другого каноническим
преобразованием, эквивалентны. Наоборот, в гл. 20 будет пока-
показано, что два квантовомеханических описания, которые эквива-
эквивалентны друг другу, могут быть преобразованы друг в дру1а
с помощью канонического преобразования (кроме, случая, когда
имеет место обращение времени, обсуждаемое в гл. 26).
4. Применение теории преобразований и статистической интер-
интерпретации мы проследим на одном примере. Возьмем для этой цели
доказательство Шредингером физического значения квадрата абсо-
абсолютной величины матричного элемента
F.6)
где N = //3 — число электронов, a xv х2 л;^— их л;-коорди-
наты. Согласно матричной теории, этот матричный элемент опре-
определяет вероятность перехода, вызванного излучением, поляризован-
поляризованным вдоль оси х, из стационарного состояния ф? в стационарное
состояние tyF. Индексы Е и F обозначают энергии этих двух
стационарных состояний:
Нф?-Яф?, H<|V = /=V F.7)
Понятие О переходах, вызванных излучением, не имеет ничего
общего с переходами, вызванными измерением и обсуждавшимися
выше. Последние возникают в силу логической структуры ста-
статистической интерпретации и приводят к несколько парадоксально
звучащей вероятности существования состояния ср', если состояние
системы есть ср. Она является безразмерной величиной. Излагаемые
Теория преобразований и интерпретация квантовой механики 67
здесь соображения дадут вероятность того, что в течение после-
последующей секунды атом претерпит переход из состояния ф? в состоя-
состояние ф^ путем поглощения светового кванта с энергией hw = F—E.
Эта вероятность имеет размерность, обратную времени, и имеет
смысл только для переходов между двумя стационарными состоя-
состояниями (собственными функциями гамильтониана Н), в то время
как первая была определена для произвольных состояний <р и <р'.
Поскольку вероятность индуцированного перехода относится к про-
процессу, развивающемуся во времени, она должна подчиняться зави-
зависящему от времени уравнению Шредингера.
В действительности, последнее утверждение не вполне спра-
справедливо, так как зависящее от времени уравнение Шредингера
не может объяснить спонтанного излучения. Согласно этому
уравнению, атомы стабильны в течение сколь угодно долгого
времени даже в возбужденных состояниях /таких, как фД потому
что ср = ф/гехр[—l(F/h)t] является решением уравнения F.1).
Тем не менее уравнение Шредингера охватывает процесс поглоще-
поглощения (так же как и индуцированное излучение), так что мы должны
получать правильные результаты, коль скоро спонтанное, излучение
не играет существенной роли, т. е. до тех пор, пока атом нахо-
находится почти полностью в основном состоянии ф?. Мы увидим
позднее, что то же предположение понадобится для завершения
вычислений; оно справедливо, если атом первоначально находился
в наинизшем состоянии фя, если рассмотрение ограничено сравни-
сравнительно короткими промежутками времени и если интенсивность
падающего света не является слишком большой (что трудно
осуществимо на практике).
Рассмотрим теперь процесс поглощения. Предположим, что
в момент t = О система находилась в состоянии ср @) = ф?; затем
состояние меняется согласно уравнению
Й-§- = Н<р = (Н0 + Н1)<р. F.8)
где член Но — гамильтониан в отсутствие падающего излуче-
излучения, a Hj — дополнительный оператор, включающий излучение.
Излучение является просто переменным электрическим полем
$x = PsIn< gy = 0, $г = 0. F.9)
Зависимостью напряженности поля от координат можно пренебречь
в силу того, что размеры атома малы. Таким образом, потенциаль-
потенциальная энергия в F.2) должна быть заменена на
(jc1 + *2 + ... -\-xN)Psin<ot. F.8a)
68 Г лав а 6
Зависимость волновой функции от времени, которая имела бы вид
F.10)
если бы Р было равно нулю, видоизменяется дополнительным
потенциалом, рассматриваемым как возмущение. Уравнение для ср
записывается в виде
¦ ih-?l = Hn<p-{-(eP<an(ot)(x, + xn-\- ... +*.Лф. Г6.1П
Чтобы решить это уравнение, разложим'ср по полной системе
собственных функций оператора Но:
^{^)=^dE(t)^E-\-ap(t)^P-\-(i-Q(t)^Q-\- •••. F.12)
где коэффициенты а^ ар, aQ, ... не зависят от координат хх,
хг xN, а функции ф^, §р, ф0, ... не зависят от времени.
Тогда состояние может быть охарактеризовано коэффициентами
разложения а^ ар, aQ, .... вместо волновой функции ср.
Квадраты модулей этих величин, |«J2, \aFf> \аа\2> ¦•¦ дают
вероятности различных возбужденных состояний атома. Если
атом не возбужден световой волной, эти вероятности не меняются
во времени, и, поскольку вначале только |а?.|2=1 было отлич-
отличным от нуля, то же самое остается справедливым и все время.
С другой стороны, если световая волна падает на атом, воз-
возбуждаются также более высокие состояния. Вычислим интенсив-
интенсивность такого возбуждения. Для этого предположим, что при ? = 0
аЕ@)=1. в,@) = 0, ао@) = 0. ...
и что частота света о приближенно дается частотой, соответствую-
соответствующей энергии перехода,
F — E=zhw. F.E.1)
Если выражение F.12) для ср подставить в F.11), получим
дифференциальное уравнение для временной зависимости коэффи-
коэффициентов ае ар, аа Так как мы интересуемся возбуждением
первого возбужденного состояния typ, составим скалярное произ-
произведение этого уравнения на ф^; тогда в левой части остается лишь
член с ар в силу ортогональности собственных функций опера-
оператора Но [см. D.12), D.12а)], и мы получим
ih —ф- = Fap+(Pesinmt)(XpEaE+XpPap+XpQaQ+ ...),
F.13)
где мы подставили F.6):
'л;
Теория преобразований и интерпретация квантовой механики 69
Два члена в правой части F.13) имеют совершенно различный
порядок величины. Энергия Е имеет порядок величины в несколько
электронвольт. С другой стороны, лишь в очень интенсивном луче
монохроматического света амплитуда электрического вектора Р
достигает величины 10~2 el см. Матричные элементы величины X
равны примерно 10~8 см, так что РеХяйК)0 в. Поэтому мы
можем написать
( §) «f^0. ao=*0....
во втором члене в правой части F.13). Поскольку этот член уже
мал, подставим в него приближенную волновую функцию F.10).
Она в свою очередь получается при полном пренебрежении
возмущением в правой части уравнения F.13). Это дает
daF(t) - / F \
^ = FaF(t) + A^sin at exp [—i-jtj. F.14)
Для интегрирования этого уравнения мы сделаем подстановку
lh
Тогда
, Е
откуда, умножая на exp(/-g-n и интегрируя, получаем
(
ibb {t) = -2- XFE{
1
F-E
|
Постоянная интегрирования определяется условием Ь @) = 0.
Тогда выражение для b(t) может быть разбито на две части:
70 Глава 6
Это выражение действительно обращается в нуль при t = О, как
и следовало ожидать; мы видим также, что b(t) является суммой
двух периодических функций.
Если интенсивность света Р2 будет оставаться постоянной,
а частота будет меняться, то первый член суммы F.15) становится
очень большим, когда энергия Ьш приближенно равна F — Е.
Заметное возбуждение происходит вообще только тогда, когда это
условие соблюдено. Это объясняет условие частот Бора: частота
света, осуществляющего заданный переход из состояния с энер-
энергией Е в состояние с энергией F, должна удовлетворять усло-
условию F.ЕЛ); а именно, h(ott(F— Е).
В силу этого условия в дальнейшем можно пренебречь вторым
членом выражения F.15) по сравнению с первым. Для вероятности
I aF(t)\2 — \b{t)\2 состояния F теперь получаем
—COSlco г \
5. До сих пор мы предполагали, что световая волна, падающая
на атом в момент t — О, имеет чисто синусоидальную форму.
В действительности свет состоит обычно из суперпозиции синусо-
синусоидальных волн с частотами, покрывающими интервал, примерно
симметричный вокруг u> = (F — E)/h и со случайно распределен-
распределенными фазами. Ввиду случайности фаз можно предположить, что
действие этих накладывающихся друг на друга волн складывается;
тогда полная вероятность того, что в момент времени t атом
окажется в состоянии F, равна
- =
(р ? \
СО ? )t
— i }
где о пробегает все частоты падающего света, аР„ — амплитуда
колебания с частотой ю.
Если частоты падающего излучения плотно группируются в ма-
малой области, симметричной относительно (F — Е)/Ь = ш и ограни-
ограниченной, например, частотой w2 сверху и шг снизу, то можно написать,
что Р1 = 4Jdu>, где J—интенсивность (плотность энергии) света
на единичный интервал частоты о)/2тг, a dw — бесконечно малый
интервал частоты ш. Тогда F.16) становится интегралом,
с
Iо \f) г - -ге-j | w J Vto-
Теория преобразований и интерпретация квантовой механики 71
который после введения новой переменной интегрирования
приводится к виду
| b (t) |2 = ~ eVt | XFE\2 j J, x dx. F.166)
Тогда новые пределы интегрирования будут равны
F.Е.2)
Однако, поскольку подынтегральное выражение в F.166) дает
наибольший вклад в узкой области около х = 0, интегрирование
может быть распространено на интервал от — со до -\- со. Ве-
Вероятность состояния с энергией F тогда приобретает вид
F.17)
Распространение области интегрирования на бесконечный интер-
интервал законно только в том случае, если х1 и х2 велики, откуда,
согласно F.Е.2), следует, что падающий свет должен покрывать
область частот с обеих сторон от w = (F — E)jh, большую по срав-
сравнению с \jt. С другой стороны, наш расчет может считаться
справедливым только для времен, малых по сравнению со временем
жизни х состояния F. Это значит, что ширина линии падающего
света должна быть, по предположению, велика по сравнению
с „естественной шириной" Ъ\ч.
Вероятность того, что атом окажется в состоянии с энергией F,
пропорциональна, согласно F.17), интенсивности падающего света,
квадрату матричного элемента |X/??|2— что подтверждает пред-
предсказание матричной механики — и длительности t световой волны,
как и следовало ожидать. Замечаем снова, что F.17) справедливо
лишь для времен, коротких по сравнению со временем жизни
возбужденного состояния и длинных по сравнению с величиной,
обратной ширине полосы частот падающего света.
Несмотря на это и на свою приближенность, соотношение F.17)
дает прекрасное подтверждение предположения, что \ар\2 является
интенсивностью возбуждения состояния с энергией F. Вместе
с понятием о волновых пакетах в конфигурационном пространстве,
это выражение образует исключительно сильную основу для ста-
статистической интерпретации квантовой механики. Кроме того, F.17)
72 Глава 6
также показывает, что величина
пропорциональна вероятности перехода, вызванного светом, поля-
поляризованным вдоль оси х, из стационарного состояния фя в ста-
стационарное состояние ф/г. Эти результаты, которые были также
получены при значительно более общих предположениях, чем
рассмотренных здесь, образуют основу для вычисления интенсив-
интенсивностей (или отношений интенсивностей) спектральных линий.
Глава 7
АБСТРАКТНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
Возьмем шесть матриц1)
1 О
О 1
G.Е.1)
и образуем таблицу умножения из 6 произведений, получающихся
путем умножения каждой матрицы из G.ЕЛ) на каждую матрицу
из G.ЕЛ.) согласно правилам матричного умножения. При этом
каждая из 36 получающихся матриц совпадает с одной из мат-
матриц G.ЕЛ). Такая совокупность матриц называется группой. Эти
свойства указанных матриц можно представить в виде таблицы,
групповой таблицы:
Е
А
В
С
D
F
Е
Е
А
В
С
D
Г
А
А
Е
F
D
С
В
В
В
D
Е
F
А
С
С
С
F
D
Е
В
А
D
D
В
С
А
F
Е
F
F
С
А
В
Е
D
') Мы пользуемся символом Е (единица) для представления единич-
единичного элемента группы.
74 Глава 7
Первый множитель берется в первом столбце, второй — в первой
строке, а произведение появляется на пересечении соответствую-
соответствующих столбца и строки в таблице. Эта таблица объединяет все пра-
правила умножения матриц G.ЕЛ).
Дадим строгое определение группы. Группа есть некоторая
совокупность объектов (элементов группы), в которой определен
один вид операции, называемый умножением. Это умножение
указывает для всяких двух элементов группы (множителей)
третий элемент группы, произведение'). Это групповое умно-
умножение, которое является свойством, присущим элементам группы,
должно также обладать следующими свойствами.
1. Должен иметь место сочетательный закон. Если AB = F
и BC — G, то FC = AG. Если элементы группы являются матри-
матрицами и если под групповым умножением мы понимаем матричное
умножение, то сочетательный закон всегда имеет место (согласно
теореме 3 гл. 1). Группы, в которых выполняется также пере-
перестановочный закон умножения, т. е. в которых АВ = В А, назы-
называются абелевыми группами.
2. Среди элементов есть один (и только один), который на-
называется тождественным или единичным элементом Е и кото-
который обладает тем свойством, что его произведение на любой
другой элемент дает именно тот другой элемент, т. е. ЕА = АЕ= А.
3. Каждый элемент имеет обратный. Это значит, что для
каждого элемента А существует такой элемент В, что В А = Е.
Тогда можно также показать (как в теореме 5 гл. 1), что АВ = Е.
Действительно, из В А = Е следует ВАВ = В; тогда, если С есть
элемент, обратный В, получаем, что СВАВ — СВ, т. е. АВ = Е.
Элемент, обратный А, обозначается через А.
Эти три свойства элементов группы и группового умножения
являются определением группы. При формулировке их в этом
(или каком-либо ином) виде о них говорят как о групповых
аксиомах или групповых постулатах.
Правило. Элемент, обратный произведению ABCD..., обра-
образуется путем перемножения обратных отдельным множителям в об-
обратном порядке (как это имеет место для матриц). Таким об-
образом,
(ABCD...)~l= ...D~lC~lB~lA~\
Это равенство может быть доказано сразу, так как
(.. .D'xC~lB~lA~l)(ABCD. ..) = ?.
Следует заметить, что из АХ=В и AY = B вытекает, что
Х= К, поскольку как X, так и Y, очевидно, равны А~1В. Так же
') В дальнейшем будем иметь в виду систему матриц с п строками.
Абстрактная теория групп 75
из ХА = В и YA = B следует X—Y = BA~l. Если группа содер-
содержит лишь конечное число h элементов, она называется конечной
группой, причем h называют порядком группы.
Теоремы для конечных групп1)
Рассмотрим некоторый элемент X. Тогда можно образовать
последовательность элементов
Е, X, X2, X3, Х\ X5,... G.Е.2)
и т. д. Так как все элементы G.Е.2) являются элементами группы
и полное число всех элементов конечно, то один из членов по-
последовательности должен появиться второй раз после определен-
определенного числа степеней. Пусть первый повторяющийся элемент есть
Хп = Xй (с k < п). Тогда мы должны иметь k = О и X" — Е;
в противном случае Хп~ =Х уже появилось бы ранее в по-
последовательности G.Е.2) и Л" не было бы первым повторяющимся
элементом. Если п есть наименьшее число, для которого Хп=Е,
то п называется порядком элемента X. Последовательность
Е, X, X2, X3 Хп~х G.Е.З)
называется периодом элемента X. Например, период элемента D
в группе G.Е.1) есть Е, D, D2 = F(D* = FD = E) и порядок D
таким образом есть 3. Период элемента F есть Е, F, F2 — D
(F3 = DF=E) и порядок F также равен 3. С другой стороны,
порядок элемента А есть 2, поскольку сразу А2 = Е.
Период элемента X образует группу сам по себе (причем абе-
леву группу). Некоторая совокупность элементов группы, сама по
себе составляющая группу, называется подгруппой. Например,
G.Е.З) является абелевой подгруппой.
Теорема 1. Если ?Ю есть группа порядка h с элемен-
элементами Е, Л2, Л3 Ah и если Ak — произвольный элемент
этой группы, то каждый элемент встречается один и только
один раз в последовательности EAk = Al!, A2Ak, A3Ak, ..., AhAk.
Пусть X—любой элемент и пусть ХА^г = Аг; тогда ArAk = X
и X встречается в последовательности. С другой стороны, X не
может встретиться дважды, потому что из ATAk = X и AsAk — X
следует Аг = As.
Разумеется, то же имеет место для последовательности AkE,
AkA2, AkA3 AkAfi- Теорема 1 выражает тот факт, что
') Все теоремы для конечных групп рекомендуется проверить на
группе G.Е.1). С этой целью следует воспользоваться групповой таб-
таблицей.
76 Глава 7
в каждом столбце групповой таблицы (так же как и в каждой строке)
каждый элемент встречается один и только один раз. Эта теорема
имеет следующее простейшее и наиболее важное приложение.
Если JE,JA, JA , ..., J&.—такие числа, что каждому элементу
группы X соответствует число J („J есть функция в пространстве
группы"), то
Л Л Л
2J* = 2 Ja->x=2 J*v G.1)
Каждая сумма, очевидно, содержит одни и те же числа, но в раз-
различном порядке.
Пусть SS есть подгруппа группы Ж, включающая элементы
Е, В2, Вг, ..., Bg. Совокупность g элементов EX, B2X, BSX,
..., BgX называется правым смежным классом 9$Х, если
только X не встречается в подгруппе') (поскольку, если бы X
принадлежало $?, элементы <$Х были бы элементами <$',
как показывает теорема 1). Смежный класс, конечно, не яв-
является группой, так как он не может содержать ни единич-
единичного (тождественного) элемента Е, ни какого-либо другого эле-
элемента подгруппы $. Предположим, например, что В1гХ=В[;
тогда X=^BkXBt, т. е. X содержалось бы в подгруппе <$,
и 3SX совпадало бы с <$. Аналогичным образом, элементы
ХЕ = X, ХВ2, ХВ3, .... XBg образуют левый смежный класс
по подгруппе 3S.
Теорема 2. Два правых смежных класса по подгруппе $?
либо содержат одни и те же элементы, либо не имеют об-
общих элементов вовсе. Пусть один смежный класс будет <$Х,
а другой — 98Y. Тогда из BkX=BtY следует YX~1 = Bf1Bk,
т. е. УХ~г содержится в ,<$. В таком случае по теореме 1, приме-
примененной к подгруппе 98, последовательность EYX~l, B2YX~l,
..., BgYX~l совпадает с Е, В2, Въ, .. ., Bg с точностью до по-
порядка. Таким образом, EYX~*X, B2YX~lX, BzYX~lX, .... B/X'lX
также совпало бы с ЕХ, В2Х,В3Х, ..., BgX с точностью до по-
порядка. Но первые элементы являются членами смежного класса
$}Y=EY, B2Y, B3Y BgY. Таким образом, элементы J1 К сов-
совпадают с элементами 3&Х, если только совпадает один элемент.
Критерием совпадения является то, чтобы YX~l содер-
содержался в 38.
Например, одной из подгрупп группы G.Е.1) является период эле-
элемента А, т. е. два элемента Е и А. Правый смежный класс по этой
группе получается при умножении каждого элемента на какой-либо дру-
другой элемент, например В, справа. Таким образом, мы получаем смежный
') Разумеется, X должно быть элементом группы
Абстрактная теория групп 77
класс ЕВ = В, АВ = D. Смежные классы также получаются умножением
элементов Е, А на каждый из остальных элементов С, D, F. Смежный
класс, получаемый при умножении Е, А
на В, есть В, D,
на С, есть С, F,
на D, есть D, В,
на F, есть F, С.
Так, в этом случае смежные классы, полученные путем умножения на В
и D (или С и F), совпадают. Заметим также, что BD~l = BF = А (или
CF~X = GD = Л) содержится в подгруппе ?, А.
Рассмотрим теперь все различные смежные классы по под-
подгруппе 38. Пусть ими будут 3&Х2, $ХЪ S8XV Каждый эле-
элемент группы ??6 встречается либо в 38, либо в одном из /—1
смежных классов. Так мы получаем все lg элементов. Поскольку
каждый элемент встречается по крайней мере один раз и ни один
из них не встречается дважды, lg должно равняться h. Это при-
приводит к теореме 3.
Теорема 3. Порядок g подгруппы является целочислен-
целочисленным делителем порядка h полной группы. Отношение h/g — l
называется индексом подгруппы 38 относительно группы S6.
Так как период каждого элемента есть подгруппа с числом
элементов, равным его порядку, то, следовательно, порядок ка-
каждого элемента есть делитель порядка группы.
Признак подгрупп. Если некоторая совокупность элементов
группы содержит все произведения АВ всех элементов А а В,
содержащихся в ней, то она образует группу, и, следовательно,
подгруппу исходной группы. Сочетательный закон умножения
имеет место для всех элементов группы, а тем самым и для рас-
рассматриваемой совокупности элементов. Вместе с каждым элемен-
элементом А совокупность содержит также все его степени, и, следо-
следовательно, в ней встречается и единичный элемент Е. Наконец,
если п есть порядок элемента А, то Л" = ? и Ап~1—А~х. Об-
Обратная величина каждого элемента также встречается в данной
совокупности. Таким образом, все три групповых постулата вы-
выполнены.
Примеры групп
1. Группа, содержащая лишь один элемент, состоит из одного
только элемента Е.
2. Группа порядка 2 имеет следующую групповую таблицу
умножения:
Е
А
Е
Е
А
А
А
Е
78 Глава 7
Эта группа является абелевой. Мы назовем ее группой отражения,
так как она составлена из тождественного преобразования и пре-
преобразования отражения х' = — х.
3. Группа порядка 3 может содержать наряду с единичным эле-
элементом только элемент порядка 3, так как ее порядок должен
быть целым делителем трех (отличным от 1). Она состоит из одного
периода. Ее элементами являются
Е, А,
Таким образом, эта группа абелева.
То же самое имеет место для всякой группы, порядок кото-
которой является простым числом р. Элементы таких групп имеют
вид
Е, А, А*, А3 А".
Группы такого вида называются также циклическими группами,
даже если р не является простым числом. Если со является л-м
простым корнем из единицы, (т. е. со" есть наинизшая степень со,
которая равна 1, как, например, для со = cos 2njn -\-1 sin 2тс/п), то
числа
1, со, со2 со" G.Е.4)
образуют циклическую группу порядка п, если под групповым
умножением понимать обычное числовое умножение. Все цикли-
циклические группы абелевы. „Та же" группа, что и G.Е.4), образуется
числами
О, 1, 2 я—1, G.Е.5)
если групповое умножение определено как сложение по модулю п
(если, например, п = 7, то 5-4 = 2, так как 5—(—4 = 9 = 7Ц— 2 ==
—/г-|-2). Элементы группы G.Е.5) можно сопоставить элемен-
элементам G.Е.4) взаимно однозначным образом путем установления
соответствия между k и со6. Это соответствие имеет то свойство,
что с его помощью „произведения преобразуются в произведе-
произведения", т. е. из &j • k2 = k3 следует со*' • co^ = toft». Такие две группы
называются изоморфными').
') Чтобы показать, что не все из доказанных выше теорем три-
тривиальны, упомянем их следствие для теории чисел. Если п-\-\ есть
простое число, то числа 1, 2, 3, ..., л образуют группу еще одним спо-
способом, если понимать под групповым умножением числовое умножение
по модулю п + 1. Если, скажем, и -f-1 = 7, то 3-5=1, так как 3• 5 =
= 15 = 2-7+1; при этом тождественным элементом будет 1. Тогда пе-
период каждого элемента является делителем п, порядка группы. Таким об-
образом, мы обязательно имеем Ап = 1, если А есть элемент этой группы.
Но это равносильно утверждению, что а" = 1 (mod n + 1), если а есть
одно из чисел 1,2,3, ..., п. Это частный случай теоремы Ферма, ко-
которая, как следует признать, нетривиальна.
Абстрактная теория групп 79
Две группы изоморфны, если элементам А одной из них
можно сопоставить элементы А другой, притом взаимно однозначно
и так, что из АВ = С следует, что АВ = С, т. е. что АВ = АВ.
Изоморфные группы в сущности совпадают; лишь индивидуальные
элементы пронумерованы по-разному.
4. Имеются две группы порядка 4, т. е. две группы, не изо-
изоморфные одна другой. Все остальные изоморфны одной из этих
двух. Первая группа — это циклическая группа, например 1, I,
—1, —I с групповым умножением, определенным как числовое
умножение. Вторая группа — это так называемая четыре-группа.
Ее групповая таблица такова:
I Е А В С
Е
А
В
С
Е
А
В
С
А
Е
С
В
В
с
Е
А
С
В
А
Е
Все элементы этой группы (кроме Е) порядка 2: она также абе-
лева.
5. Четыре-группа является первым примером весьма обширного мно-
множества групп, а именно симметрических групп. Рассмотрим правильный
я-угольник на плоскости XY. Пусть координаты п вершин равны хи =•
= г cos 2iik/n, уь == г sin 2я?/я (ft = 0, 1, 2, 3 п — 1), и рассмотрим
все линейные подстанойки
х' = ах + Ру, у' = т* + ЬУ.
которые преобразуют правильный я-угольник „в самого себя", т. е. для
которого новые координаты вершин х%, ух могут быть снова записаны
в виде
(х = 0, 1, 2, 3, ..., я — 1). Матрицы этих линейных подстановок образуют
группу, так как произведение любых двух подстановок, подстановка,
обратная любой из подстановок, а также единичный элемент Е — все
удовлетворяют условиям для элементов группы.
Подстановками, преобразующими я-угольник в самого себя, являются
следующие, а) Вращения плоскости на углы 2ъЩп (k = 0, 1, 2 я — 1);
соответствующие матрицы имеют вид
cos
о!'. ) = DA. G.E.6)
— sin , cos
80 Глава 7
Они образуют циклическую группу, б) Отражение плоскости в прямой и
последующее вращение на угол 2nk/n. Соответствующие матрицы равны
2nk . 2v.k
' — cos , sin
sin , cos —
Эти 2n матриц образуют группу порядка 2л, известную как группу
диэдра. Матрицы G.Е.6) образуют подгруппу этой группы, а матрицы
G.Е.7) — смежный класс по этой подгруппе. 4-группа с я = 2 является
простейшим примером группы диэдра; и-угольник вырождается в две
вершины, т. е. в отрезок прямой. В то время как 4-группа все еще
является абелевой, другие диэдрические группы уже не являются абе-
левыми. Группа G.Е.1) есть диэдрическая группа правильного треуголь-
треугольника и является первой неабелевой группой; элементы Е, F, D относятся
к подгруппе, а А, В, С — к смежному классу.
Подстановки, преобразующие правильные многогранники в самих
себя, являются важными и интересными группами, и известны как группы
симметрии. Они обычно определяются с помощью правильных много-
многогранников, которые они преобразуют в самих себя. Таким образом суще-
существует группа тетраэдра, группа октаэдра, группа икосаэдра и т. д. Они
играют важную роль в кристаллофизике.
6. Весьма важны также группы перестановок. Рассмотрим
числа от 1 до и: 1, 2, 3 п. Всякий порядок а1, а2 <хп
этих п чисел образует перестановку. Таким образом, всего суще-
существует п\ перестановок п предметов, обычно обозначаемых сим-
символом
'1. 2, 3 п
. <*2, а3 i
Объекты, которые должны быть переставлены, записываются в их
естественном порядке в верхней строчке, а во второй строчке —
в порядке, возникающем в результате рассматриваемой пере-
перестановки. Перемножение двух перестановок Рг и Р2 производится
таким образом, что те изменения, которые Р2 должна вызывать
в естественном порядке, происходят с предметами в порядке Pv
Так, если
2 3\ „/12
( 1 з) " РНз 1 2.
то
'1 2 3\/1 2 3\ /12 3
PlF>2 \2 1 ЗДЗ 1 2/ \1 3 2
Это значит, что, поскольку Р2 преобразует 1 в 3, 3 появляется
в РХР2 там, где 1 находится в Р,. Аналогичным образом, так как Р2
преобразует 2 в 1, 1 появляется в РгР2 там, где 2 находится
р Pj, и т. д,
Абстрактная теория групп 81
Если Рх переводит k в ak, Р2— аА в pft и Р3— Ра в Та- то
РХР2 переводит k в pft, a Ра^з— аА B Та- Таким образом, как
(Р^) • Р3, так и Pj • Ф2Р3) преобразуют ak в fft; следовательно,
перемножение перестановок ассоциативно.
Совокупность всех п! перестановок ге объектов образует
группу с тождественной перестановкой
'1, 2, 3
,1. 2, 3
в качестве единичного элемента. Эта группа называется симметри-
симметрической группой 1) степени п. Симметрическая группа третьей сте-
степени имеет порядок 6; она изоморфна группе G.ЕЛ) и, следова-
следовательно, группе диэдра с п = 3. Соответствие между ними следующее:
1 2 3\ /1 2 3\ /1 2 3
1 2 3/ \2 1 Ъ) \\ 3 2
Е А В
1 2 3\ /1 2 3\ /1 2 3
3 2 1/ \3 1 2/ \2" 3 1
С D F
Симметрические группы также играют существенную роль в кван-
квантовой механике.
Сопряженные элементы и классы
Элемент ХАХ~1 называется элементом, сопряженным с А.
Если два элемента А и В сопряжены с третьим элементом С, то
они также сопряжены друг с другом: из А = ХСХ~1 и B — YCY~X
следует, что Х~1АХ=С и В= YX~lAXY~l^{УХ'1)А(УХ~1)-1.
Те элементы группы, которые сопряжены друг с другом, образуют
класс. Класс определяется заданием одного из его элементов А;
весь класс может быть тогда получен путем построения последо-
последовательности
ЕАЕ-Х = А, А2АА21, ЛзЛЛз AhAAlx.
Все элементы этой последовательности сопряжены с Л и друг
с другом; кроме того, каждый элемент, сопряженный с Л (и, таким
образом, каждый, сопряженный с любым элементом этой последо-
последовательности) встречается (и притом более, чем один раз) в этой
') Ее часто также называют группой перестановок, но никогда н§
называют группой симметрии.
82 Глава 7
последовательности. Поэтому элементы группы могут быть разбиты
на классы; каждый элемент встречается в одном и только в одном
классе.
Тождественный элемент группы образует класс сам по себе,
так как он не сопряжен ни с каким другим элементом: ХЕХ~1 = Е
для всех X. За исключением этого класса, состоящего только из
одного элемента Е, никакой класс не является подгруппой, потому
что ни один из них не может содержать единицу Е. В абелевых
группах каждый класс состоит в точности из одного элемента,
поскольку ХАХ~1 — А для всех X.
Все элементы класса имеют один и тот же порядок. Если
Ап — Е, то (ХАХ~1)" также равно Е, как это видно непосред-
непосредственно:
{ХАХ-1)" = {ХАХ'1) ¦ (ХАХ-1) ... (ХАХ-1) =
= ХАпХ~х = ХЕХ'1 = Е.
В группе подстановок (группе матриц) все матрицы, принад-
принадлежащие одному и тому же классу, имеют одинаковый след.
Чтобы показать это, рассмотрим « и р, принадлежащие одному
классу. Тогда существует такой элемент группы, т. е. матрица у.
что
Следовательно, Tr(i =
Например, образуем класс С в группе G.Е.1). Он состоит из эле-
элементов
ЕСЕ~1=С, АСА~1 =
Класс С, таким образом, состоит из элементов А, В, С; он также
является классом А или В. Все три элемента А, В, С имеют порядок 2,
и след матричного представления G.Е.1) этой группы равен 0 для всех
трех элементов. Класс D содержит элементы
EDE~1 = D, ADA~l=F, BDB~l=F, CDC~l=F,
DDD~l = D, *
Таким образом, класс D (или F) состоит из двух элементов D, F.
Глава 8
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДГРУППЫ
Подгруппа, состоящая исключительно из целых классов перво-
первоначальной группы, называется инвариантной подгруппой. Пусть
St=^E, N2, . . •, Nn есть инвариантная подгруппа. Будучи группой,
она должна содержать наряду с Л^ и Nj также их произведе-
произведение NtNj. Кроме того, она содержит XNtX~ , где X является
любым элементом полной группы, поскольку инвариантная под-
подгруппа содержит все элементы XNtX~ некоторого класса, если
она содержит один элемент Nl этого класса. Обычная подгруппа
содержала бы XNtX~l только в том случае, если бы наряду с Ni
она содержала и X.
В обычной подгруппе, как во всякой группе, элементы
NjE = Nj, NjN2 NjNn (8.E.I)
совпадают с элементами подгруппы с точностью до порядка. То же
самое имеет место для последовательности
ENJ1 = NJ\ N2NJ1 NnNJx (8.E.2)
и последовательности
NjENJl = E, NjN2NJl NjNnNj\ (8.E.3)
образуемой из (8.Е.2) при подстановке последовательности (8.Е.1)
вместо первого множителя в каждом члене (это лишь меняет
порядок членов). Все Nt являются здесь элементами подгруппы.
С другой стороны, когда элементы Е, N2 Nп образуют
инвариантную подруппу, последовательность
XEX~l = E, XN2X~l XNnX~\ (8.E.4)
где X—некоторый произвольный элемент полной группы, с точ-
точностью до порядка совпадает с элементами инвариантной под-
подгруппы. Все элементы (8.Е.4) встречаются в инвариантной под-
подгруппе, так как они сопряжены с элементами подгруппы; как мы
84 Глава 8
сейчас покажем, все элементы инвариантной подгруппы встречаются
в (8.Е.4). Чтобы найти некоторый элемент Nk в (8.Е.4), нужно
лишь построить X~lNkX. Этот элемент должен быть среди эле-
элементов Е, N2 Nn. Пусть им будет N{. Тогда Nk=^XNlX~1
и Nk встречается в (8.Е.4) на 1-м месте.
Каждая подгруппа абелевой группы является инвариантной под-
подгруппой. Каждый элемент образует класс сам по себе; поэтому каждая
подгруппа должна состоять целиком из полных классов. Симметрические
группы имеют одну, и вообще только одну инвариантную подгруппу, со-
состоящую из всех четных перестановок. Четные перестановки образуют
подгруппу, так как произведение двух четных перестановок есть снова
четная перестановка. Кроме того, элемент, сопряженный с четной пере-
перестановкой, должен быть четной перестановкой и поэтому также встре-
встречается в подгруппе (см. также гл. 13).
В примере G.Е.1) элементы Е, D и F составляют инвариантную
подгруппу. Читателю предлагается проверить другие теоремы для спе-
специального случая этой группы.
Определение инвариантных подгрупп очень важно для изуче-
изучения строения группы. Группы, не имеющие инвариантных под-
подгрупп, называются простыми группами.
Фактор-группа
Рассмотрим теперь смежные классы по инвариантной под-
подгруппе St. Элементы EU=U, JV2?/, ...,NnU образуют правый
смежный класс по St. Они образуют также левый смежный класс,
так как U = UU~lEU, N2U = UU^N^U NnU = UU~lNnU
совпадают с элементами U=^UE, UN2 U^n c точностью
до порядка. Иначе говоря, комплекс StU совпадает с комплек-
комплексом LJSt. Поэтому можно говорить просто о смежных классах
по инвариантной подгруппе, не уточняя, являются ли эти смеж-
смежные классы правыми или левыми1).
Перемножим все элементы одного смежного класса StU со
всеми элементами другого смежного класса StV. Тогда NjUNy =
= N)UNlU~xUV = NkUV, так как и N} и UNtU'\ а поэтому
и их произведение Nk содержатся в St. Процесс перемножения
дает таким образом элементы единственного смежного класса StUV.
') В этом можно убедиться также другим способом. Чтобы U и V
были в одном и том же правом смежном классе (см. стр. 76), надо,
чтобы UV~l входило в Ш. Чтобы они были в одном и том же левом
смежном классе, надо чтобы V~lU входило в X. Но если & является
инвариантной подгруппой и содержит UV~l, то она должна также со-
содержать и V" • UV~l ¦ V= V~lU. Поэтому два элемента встречаются
в одном и том же левом смежном классе, если только они имеются
в одном и том же правом смежном классе, и наоборот.
Инвариантные подгруппы 85
Если рассматривать смежные классы по инвариантной под-
подгруппе как новые объекты и определить произведение двух смеж-
смежных классов как смежный класс с элементами, получаемыми
в результате перемножения элементов двух смежных классов, то
сами смежные классы образуют группу. Эта группа называется
фактор-группой инвариантной подгруппы. Единичным элементом
фактор-группы является сама инвариантная подгруппа. Каждый
элемент NjU смежного класса 31U дает опять элемент смежного
класса Slu при умножении (справа или слева) на элемент Nt
из Si. В явном виде это запишется так:
Nt ¦ NjU=NlNJ .{J = Nk- U и Nj- UNl = Nj- UNlU~1U=NkU.
Во-вторых, каждый смежный класс SIU имеет обратный смежный
класс 81U~X. Это значит, что
NjU ¦ NtU~l = Nj ¦ UNtU-1 = Nk,
что дает нам элемент самой инвариантной подгруппы. Произведе-
Произведение $U и SlU~l сводится, таким образом, к <$, единичному
элементу фактор-группы.
Порядок фактор-группы подгруппы Si равен числу смежных
классов по <%, т. е. ее индексу. Не следует смешивать фактор-
факторгруппу с подгруппой; элементы подгруппы являются элементами
группы, тогда как элементами фактор-группы являются смеж-
смежные классы.
Теоремы, доказанные выше, можно также получить еще проще
с помощью символического метода, в котором совокупность эле-
элементов, их комплекс, обозначается одной буквой, скажем, IS.
Произведение комплекса if на элемент А опять является комп-
комплексом Ч? А, элементы которого получаются при умножении всех
элементов комплекса ?" на А справа (или слева, чтобы по-
получить A'tS). Произведение двух комплексов ^? и Q} есть комп-
комплекс ^3>, элементы которого получаются, когда все элементы *?
умножаются справа на элементы 3>. Легко видеть, что ассоциа-
ассоциативный закон для такого вида умножения имеет место.
Если ^ и сц содержат по я и я' элементов соответственно,
то ^SQ} содержит самое большое пп' элементов. Однако обычно
оно содержит меньшее число различных элементов, так как не-
некоторые элементы могут встретиться более чем один раз среди яя'
произведений.
Условием того, чтобы Ч? было подгруппой, будет *?•*? =
= '?2 = '?. Эта подгруппа является инвариантной подгруппой,
если для каждого элемента U имеет место равенство U~X<?U = *?.
Правые смежные классы по if являются все различными комп-
комплексами 8"?/. Если ^ — инвариантная подгруппа, то U~}<6"U = &,
86 Глава 8
так что li?U—U'?\ правые смежные классы являются одновре-
одновременно и левыми. Элементами фактор -группы будут различные
комплексы ^U. Произведение двух комплексов 4SU и &V,
взятое в смысле перемножения в фактор-группе, совпадает с произ-
произведением, взятым в смысле умножения комплексов:
Изоморфизм и гомоморфизм
В предыдущей главе мы познакомились с понятием изомор-
изоморфизма двух групп. Две группы изоморфны, если между их эле-
элементами имеется взаимнооднозначное соответствие, притом такое,
что произведения соответствуют произведениям. Элементам А
или В одной группы соответствуют элементы А или В изоморф-
изоморфной группы, и произведению АВ соответствует произведение
А ¦ В — АВ. Ясно, что изоморфные группы должны быть одного
и того же порядка.
Менее точное соответствие между двумя группами будет при
простом гомоморфизме, который напоминает изоморфизм за тем
исключением, что от соответствия не требуется, чтобы оно было
взаимнооднозначным. Группа $ гомоморфна на другую группу §6,
если один и только один элемент группы S/в соответствует каждому
элементу группы $ и если по крайней мере один элемент группы <??
соответствует каждому элементу группы ?№, а также если соот-
соответствие таково, что произведение А и В из группы $ соответ-
соответствует произведению А • В — АВ соответствующих элементов А
и В группы 3&'). При гомоморфизме один элемент А группы Зв
может соответствовать нескольким различным элементам, скажем,
А а А' группы &. В соответствии с этим гомоморфизм не является
взаимным свойством. Если & гомоморфна е%?, то Зв не обяза-
обязательно гомоморфна на $. Число элементов группы <?? должно быть
равно или больше, чем число элементов группы &6\ если число
элементов равно, то гомоморфизм становится изоморфизмом, кото-
который уже является взаимным.
Тождественный элемент Е группы & соответствует тождест-
тождественному элементу Е группы S6t так как из Е--Е — Е следует
') Соответствие, которое называется здесь гомоморфизмом группы &
на группу &в, у большинства немецких авторов обозначается как гомомор-
гомоморфизм группы &е группе &. Заметим также, что выражения „голоморфизм"
и „изоморфизм" используются как синонимы в некоторых текстах. (В рус-
русской литературе говорят также о гомоморфном отображении группы &
на группу $?. Мы оставляем более краткую терминологию автора. — Прим.
ред.)
Инвариантные подгруппы 87
Е ¦ Е = Е, причем это имеет место только для тождественного
элемента группы. Аналогично, обратные элементы группы В соот-
соответствуют обратным элементам группы <Ш.
Рассмотрим все элементы Е, Е2 Еп группы ??, соответ-
соответствующие тождественному элементу Е группы Ш', и обозначим
этот комплекс через ^?. Так как Ek ¦ El соответствует произведе-
произведению Е ¦ Е = Е, комплекс ^ также содержит Ek ¦ Et, так что ^
является группой. Кроме того, всякий элемент U XEkU, сопряжен-
сопряженный с Ek> соответствует элементу Е, поскольку U~l • Е ¦ U =
= U~1EU = E; поэтому группа & является инвариантной под-
подгруппой группы &. Аналогичным образом, элементы комплекса JL,
которым соответствует один и тот же элемент А группы $&, об-
образуют смежный класс по подгруппе &. Пусть Aj и Д, — два
элемента комплекса Л; тогда Aj = Al = А. Всякому элементу AjAf1
соответствует элемент AjAf1 = A.A~1i=AA~l=E; иначе говоря,
AjAf содержится в if', что является условием того, что Aj и At
принадлежат одному и тому же смежному классу по подгруппе ^?.
Смежные классы по подгруппе i? находятся во взаимноодно-
взаимнооднозначном соответствии с элементами группы &6\ поэтому произве-
произведение двух смежных классов 4SU и &V соответствует прозведе-
нию UV=UV соответствующих двух элементов U и V. Так как
смежные классы являются элементами фактор-группы подгруппы if,
эта фактор-группа изоморфна группе S6.
Если <& гомоморфна на &6', то фактор-группа группы & изо-
изоморфна группе <Sf6. Порядок группы & является целым кратным
порядка группы <$Ю. Если гомоморфизм является в действитель-
действительности изоморфизмом, то рассматриваемая инвариантная подгруппа *?
вырождается "в единственный тождественный элемент Е.
С помощью надлежащей перенумерации элементов групп можно по-
построить следующее соответствие между элементами групп & и е%?#
оя+1. о
n+V Оп+2
Мы видим, что единственный элемент группы &в соответствует
каждому элементу группы ,??. Наоборот, определенные элементы
группы а? соответствуют каждому элементу группы &в\ это соот-
соответствие не является, однако, одно-однозначным, а л-однозначным,
так как каждый элемент S6 соответствует точно п элементам $.
Элементы Е, О2 Оп образуют инвариантную подгруппу %
(ранее они были обозначены через Е, Е2, Е3 Еп); каждый
из других комплексов, обозначенных скобкой, образует один Щ
88 Г лав а 8
смежных классов по этой подгруппе, соответствующей каждый
одному элементу группы <S?.
Умножение некоторого элемента группы а?, соответствующего Н{,
на элемент, соответствующий Hj, дает элемент, который соот-
соответствует Ht • Hj. Перемножение всех п элементов, соответствую-
соответствующих Ht, со всеми п элементами, соответствующими Hj, дает п
элементов, которые соответствуют Н1 • Hj, каждый п раз. Группа ?Ю
в сущности совпадает с фактор-группой инвариантной подгруппы
Е, G2 Оп. Она изоморфна этой фактор-группе.
Всякая группа, очевидно, изоморфна сама себе. Всякая группа
также гомоморфна на группу, состоящую из одного лишь то-
тождественного элемента Е. Элементу А соответствует тождественный
элемент Е, а элементу В— также тождественный элемент Е. Таким
образом, произведение АВ соответствует также произведению
ЕЕ = Е. В этом случае инвариантная подгруппа охватывает всю
группу.
Всякая группа подстановок гомоморфна некоторой абелевой
группе. Этот гомоморфизм может быть построен, если каждой
подстановке поставить в соответствие ее определитель. Что это
дает в случае группы G.ЕЛ) предыдущей главы?
На этом мы заканчиваем изложение абстрактной теории конечных
гругда; затем мы перейдем к теории представлений групп. Далее
мы обсудим непрерывные группы. Наше рассмотрение было огра-
ограничено началами абстрактной теории групп, которая необычайно
проста в своей аргументации. Подробное изложение можно найти
в „Теории конечных групп" Спайзера и в „Алгебре" Вебера. Здесь
мы рассмотрели только те вопросы, которые существенны для
дальнейшего изложения и для приобретения навыков при исполь-
использовании теории групп!), и не будем далее обсуждать эти вопросы.
') Из более поздних руководств по теории групп можно указать книгу:
Н. Zassenhaus, Theory ol Groups, New York, 1958.
Г л а в а 9
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Представление1) группы есть группа матриц2), которой гомо-
гомоморфна представляемая группа. Таким образом, оно состоит
в сопоставлении каждому элементу группы А такой матрицы
D(Л) или просто А, что
D (A) D (В) = D (АВ) (9.1)
имеет место для всех матриц D. Если все матрицы, сопоставлен-
сопоставленные различным элементам группы, различны, то группа матриц
изоморфна группе, которую она представляет, и представле-
представление называется точным. С другой стороны, если более чем
один элемент группы соответствует одной и той же матрице, то
те элементы, которые соответствуют той же матрице, что и то-
тождественный элемент, образуют инвариантную подгруппу (как было
отмечено в предыдущей главе). Тогда рассматриваемое предста-
представление является точным представлением фактор-группы этой инва-
инвариантной подгруппы, но неточным представлением всей группы
в целом.
Наоборот, неточное представление полной группы может быть
построено из любого представления фактор-группы. Элементами
фактор-группы являются смежные классы по инвариантной под-
подгруппе. Приписывая всем элементам определенного смежного класса
группы одну и ту же матрицу, представляющую этот смежный класс
как элемент фактор-группы, получаем неточное представление
полной группы.
Всякая группа матриц является, очевидно, своим собственным
точным представлением. Ясно также, что каждому элементу группы
') Точнее: «представление линейными преобразованиями".
2) Под „группой матриц" мы понимаем здесь группу квадратных
матриц, т. е. матриц; строки и столбцы которых пронумерованы одина-
одинаковым образом; эта нумерация должна также быть одинаковой для всех
матриц данного представления. Эти правила будут соблюдаться для всех
матриц представлений.
90 Глава 9
можно сопоставить матрицу A) и получить тривиальный гомомор-
гомоморфизм любой группы на группу, содержащую только тождествен-
тождественный элемент. В примере G.ЕЛ) мы имеем точное представление
симметрической группы трех объектов. Еще одно, но неточное,
представление той же самой группы получается при сопоставлении
каждому элементу группы — матрицы, записанной под ним:
Е А В С D F.
A) (-1) (-1) (-1) A) A) (9-ЕЛ>
Фактически — это точное представление фактор-группы инвариант-
инвариантной подгруппы Е, D, F. Эта фактор-группа состоит из двух
элементов: инвариантной подгруппы Е, D, F и ее смежного класса
А, В, С. Матрица A) сопоставляется первому элементу фактор-
факторгруппы, а матрица (—1) — второму.
Число строк и столбцов матрицы представления называется
размерностью представления. Исходя из заданного представления,
можно составить новые, применяя одно и то же преобразование
подобия ко всем матрицам группы. Поскольку преобразования по-
подобия не затрагивают свойств матриц относительно умножения,
природа представления в целом при этом не меняется. Два пред-
представления, которые получаются одно из другого этим способом
или, иначе говоря, которые могут быть преобразованы одно
в другое, называются эквивалентными. Эквивалентные представле-
представления рассматриваются по существу как одинаковые.
Из двух представлений можно составить одно новое, притом
различными способами. Наиболее простым является, по-видимому,
способ, при котором два представления просто сливаются в одно.
Из представления D(^j), Ь(А2) О(ЛЛ) и другого предста-
представления D' (Ах) D' (Л2), . . ., D' (Ah) получаем этим способом новое
представление, состоящее из суперматриц
Л>(Л,) 0 \ /D(A2) 0 \ Л>(ЛЛ) 0 \
\ О D'(**,)/ \ О °'(Л)/ \ 0 b'{Ah)j-
(9.Е.2)
Преобразование подобия этого нового представления может за-
замаскировать то обстоятельство, что оно было составлено перво-
первоначально из двух представлений. Представление, получающееся из
представления вида (9.Е.2) с помощью такого преобразования
подобия, называется приводимым. Ясно, что приводимые пред-
представления могут быть всегда приведены к виду (9.Е.2) с помощь»
некоторого преобразования подобия; иначе говоря, приводимые
представления эквивалентны представлениям вида (9.Е.2). Пред-
Представления, для которых это невозможно, называются неприводи-
неприводимыми.
Общая теория представлений 91
Представление, которое может быть приведено к виду (9.Е.2)
одновременным переобозначением строк и столбцов всех его матриц,
является, разумеется, приводимым. Действительно, такая перенуме-
перенумерация может быть выполнена с помощью преобразования подо-
подобия. Чтобы превратить у'-ые строку и столбец в у'-ые строку и стол-
столбец, выберем в качестве S матрицу Skl = bk-L; тогда (S)^ = &jm
а преобразование над 5 действительно достигает желаемого изме-
изменения нумерации:
А = S-'AS. Ап = | b-JmAmkbkT = Ап
Рассмотрим разделение строк и столбцов системы матриц на две
группы, скажем „помеченные" (чертой наверху) и „непомеченные".
Любая система матриц, для которой это разделение можно про-
произвести таким образом, чтобы на пересечениях „помеченных" строк
с „непомеченными" столбцами и „непомеченных" строк с „по-
„помеченными" столбцами были бы только нулевые элементы, является
либо приводимой, либо уже находится в приведенном виде. Чтобы
показать это, достаточно заметить, что „помеченные" строки и
столбцы можно перенести в верхнюю левую часть матриц, при-
приведя представление к виду (9.Е.2).
В дальнейшем мы будем иметь дело с матрицами представле-
представлений, имеющими отличные от нуля определители. Тогда каждая
матрица D (А) имеет обратную. Так как умножение любого эле-
элемента группы А на тождественный элемент группы Е дает А,
умножение всякой матрицы представления D (А) на матрицу D (С),
сопоставленную тождественному элементу, дает D(/l). Следова-
Следовательно,
D(i4)D(E) = D(i4). D(?) = (l). (9.2)
Единичная матрица сопоставляется тождественному элементу
группы. Произведение матриц Ъ(А) и Ufa'1), соответствующих
обратным элементам группы, равно D(?)=!. Поэтому
D(i4)D(^-1) = D(?)=l. Ъ(А-1) = [Ъ{А)]-\ (9.3)
откуда следует, что
D(A-1) = D(A)+ (9.3а)
для представления унитарными матрицами.
Теорема 1. Всякое представление матрицами с отлич-
отличными от нуля определителями может быть с помощью пре-
преобразования подобия преобразовано в представление унитар-
унитарными матрицами.
92 Глава 9
Пусть матрицами представления группы порядка h будут Alf
А2 АЛ. (Если представление не является точным, не все
элементы А1( А2, .... АЛ различны.) Образуем эрмитову матрицу Н
путем суммирования по всем элементам группы
Н = 2АхА?. (9.4)
X
Доказательство сводится к диагонализации матрицы Н и нахожде-
нахождению обратной величины корня квадратного из нее. Будет показано,
что последовательные преобразования подобия матриц Ах с помощью
матрицы U, диагонализующей Н, и с помощью d''1 (квадратного
корня_ из диагональной формы матрицы Н) приводят к представле-
представлению А», являющемуся унитарным. _
Эрмитова матрица Н может быть приведена к диагональному
виду d с помощью унитарной матрицы U:
d = U~!HU = 2u" 4XA JU = 2 U "' AXU (U " lAx\jf = 2 A,At
X X X
(9.5)
Все диагональные элементы матрицы d вещественны и положительны,
так как, например,
= 221 (AJy Р
dkk = 2 2 (AJW(AJ« = 22
может обратиться в нуль только в том случае, если для данного k
матричные элементы представления (АДу равны нулю для всех j
(и х). Однако в таком случае целая строка матрицы Ах состояла
бы из нулей. Следовательно, ее определитель, а тем самым и опре-
определитель матрицы Ах, обратился бы в нуль в противоречии
с исходным предположением. Поэтому d''s и d~''J могут быть одно-
однозначно построены из d путем взятия соответственно положитель-
положительных значений квадратных корней или степеней —1/2 от диаго-
диагональных элементов; d1/2 и d~'/s являются вещественными диагональ-
диагональными матрицами: d'/2f —dVa, d~l''f = й~'1г.
Покажем теперь, что представление
Ах = d-1/3Axd1/a = d-'/'U-^Ud'^
является унитарным. Из (9.5) получаем
Общая теория представлений 93
Используя это выражение для единичной матрицы, можно написать
аха? - d-'V • и~ъ 2 Kbit-'1') «№х«г'А =
'/'Е^Ш1'г. (9.6)
В силу групповых свойств матрицы Ах произведения АХАХ для
х=1, 2 А являются как раз матрицами А» в другом по-
порядке1), так что
и, следовательно,
AxAt = d-1/j2AxAtd-'/8=l. (9.7)
X
Этим доказывается, что представление Ах унитарно, и, следова-
следовательно, теорема 1 доказана.
Теорема 2. Матрица, коммутирующая со всеми матри-
матрицами неприводимого представления, является постоянной
матрицей (т. е. кратной единичной матрице).
Можно предположить, что представление имеет унитарную
форму, так как преобразование подобия не меняет, разумеется,
матриц, кратных единичной матрице. Пусть теперь матрица М
коммутирует со всеми А^ А2, .... АЛ. Иначе говоря,
АХМ = МАХ (х=1, 2 А). (9.8)
В таком случае достаточно рассмотреть только эрмитовы матрицы М,
как мы сейчас покажем. Беря эрмитово-сопряженное соотноше-
соотношение (9.8), получаем
м+а1=а?м+.
Умножая справа и слева на Ах и замечая, что A*Aj = А*Ах = 1,
находим
AxMf — MfAx A=1,2,'..,,*). . (9.9)
Тогда не только М, но и Mf коммутирует со всеми А. Поэтому
М -j- Mf — Hj и / (М — Mf) = Н2, будучи эрмитовыми, коммутируют
со всеми А. В силу этого достаточно показать, что всякая эрми~
гова матрица, коммутирующая со всеми А, является постоянной
матрицей, поскольку, если Hj и Н2 должны быть кратными еди-
единичной матрице, тем же свойством должна обладать и 2М =
S= Hj 0^2'
1) См. теорему 1, стр. 75.
94 Глава 9
Если матрица М в соотношении (9.8) эрмитова, она может
быть приведена к диагональному виду d с помощью матрицы V,
так что d^V^MV. Запишем Ах —V^AaV (матрицы Ах сохра-
сохраняют унитарность матриц Ах); тогда из (9.8) следует
Axd = dAx (х=1, 2 А). (9.10)
Если не все элементы диагональной матрицы d равны, то все Ах
должны иметь нули на пересечении строк и столбцов, диагональ-
диагональные элементы которых различны. Это значит, что из
следует, что матричные элементы представления (Ax)ft;- равны нулю
для djj ф dkk; тогда представление было бы приводимым, как это
следует из обсуждения на стр. 91. Так как это не имеет места,
то все dkk равны. Это значит, что d и, следовательно, VdV~1 = M
являются постоянными матрицами, коммутирующими со всякой
матрицей. Этим доказывается теорема 2, известная как лемма Шура.
Вывод теоремы 2 показывает не только то, что представление
должно быть приводимым, если непостоянная матрица коммутирует
со всеми матрицами представления, но также и то, как это пред-
представление может быть приведено или преобразовано к виду (9.Е.2).
Это достигается тем же самым преобразованием подобия, которое
приводит „коммутирующую матрицу" к диагональному виду.
Обратно, если представление приводимо, наверняка существуют
непостоянные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами этого
представления. В этом случае такое представление может быть
приведено к виду (9.Е.2) с помощью преобразования подобия
с соответствующим образом выбранной матрицей S. Но все
матрицы М вида
с произвольными а и а' коммутируют с матрицами вида (9.Е.2).
Если М преобразуется с помощью S" , она коммутирует с матри-
матрицами того представления, которое получено преобразованием пред-
представления вида (9.Е.2) с помощью матрицы S~ .
Если существует непостоянная матрица, коммутирующая
со всеми матрицами представления, то представление при-
приводимо; если таких матриц не существует, оно неприводимо.
Теорема 3. Рассмотрим два неприводимых представления
одной и той же группы, DA) (A{), DA) (A2) DA) (ЛЛ) и
Dt2) (Ax), DB) (A,) DB) (Лд) с размерностями 1г и /2. Если
Общая теория представлений 95
существует такая матрица М с 12 строками и /, столбцами, что
MD{1) (AJ = DB) (Ах) М (/=1,2 А), (9.11)
то при /j Ф12 матрица М является нулевой матрицей; при
1Х = 12 матрица М является либо нулевой матрицей, либо
матрицей с не обращающимся в нуль определителем. В послед-
последнем случае М имеет обратную, и два рассматриваемых неприводи-
неприводимых представления эквивалентны.
С самого начала можно предположить, что представления уже
приведены к унитарному виду. Если бы это было не так, можно
было бы сделать их унитарными путем преобразования их с по-
помощью матриц S и R. Тогда (9.11) примет вид
R^MS,
и R~ MS можно было бы просто заменить символом М.
Примем далее, что /j^/2- Если 1Х > 12, мы просто-транспони-
просто-транспонируем соотношение (9.11), после чего дальнейшие рассуждения
применимы без изменений. Замечая, что в силу унитарности матриц
ОA)(Л)+ = ОA)(ЛГ1=ОA)(Л-1)иВB)(Л)+ = ОB)(ДГ1). и беря
от (9.11) сопряженное, получаем
Поскольку соотношения (9.11) имеют место для всех элементов
группы и, в том числе, для А~1, умножение (9.13) слева на М дает
DB) (а:1) ММ+ - MM+DB) {А:1). (9.15)
Таким образом, эрмитова матрица MMf коммутирует со всеми
матрицами DB) (Аг), DB) (A2),..... DB) (ЛЛ) второго неприводимого
представления. Следовательно, согласно теореме 2, она является
кратной единичной матрице:
MMf = cl. (9.16)
Если размерности двух представлений DA) и DB) одинаковы,
то имеются две возможности. Либо с Ф 0 и тогда определитель
|cl| = c' не равен нулю, откуда следует, что определитель
матрицы М не равен нулю и что М имеет обратную; либо с = О
и тогда ММ+ = 0, так что М является нулевой матрицей. Чтобы
проверить это, выпишем
% 2 0 (9.17)
96
Глава 9
и положим i = j; тогда получим
(9.18)
откуда следует, что Mik = О, так как ни одна из величин | Mift |2
не может быть отрицательной, а соотношение (9.18) запрещает
какому-либо из них быть положительным. Тем самым доказывается
теорема в случае 1Х = 12.
С другой стороны, если размерности двух представлений раз-
различны, матрица М является не квадратной, а прямоугольной.
Однако ее можно сделать квадратной путем дополнения нулями:
Mi
М
Ха
М
Ьа
о
о
0
о
о
0
(9.19)
MM+ = NN+
сохраняется. Определитель
f
При этом соотношение
матрицы N, а также и матрицы NN+ = MMf, разумеется, равен
нулю. Тогда с в (9.16) обращается в нуль, так что (9.17) и (9.18)
снова остаются справедливыми. Этим теорема 3 полностью доказана.
Теорема 1А. Если два произвольных представления одной и той же
группы А[, А2, ...| Ад и i$i, В2, ..., Вд унитарны и эквивалентны, т. е.
существуют такие матрицы любого вида М, что
(*=1, 2,..., Л),
(9.20)
то эти два представления могут быть преобразованы одно в другое
с помощью унитарного преобразования. Иначе говоря, существует такая
унитарная матрица U, что
= Вх
(* = 1. 2 Л).
(9.21)
Чтобы доказать эту теорему, найдем та$сую матрицу К, коммутирующую
со всеми Вх, чтобы произведение U = КМ также было унитарной матри-
матрицей. Если такая матрица найдена, то, согласно (9.20),
^К = (КМ) Ах (КМ) = иАДГ1 (9.21а)
Ох = IVDXI\ =
и теорема будет доказана.
Согласно (9.20),
МАХ = ВХМ (*= 1, 2 А), (9.22)
откуда, как и ранее, следует, что ММ+ коммутирует со всеми матрицами
второго представления:
BxMMf = MMfBx (* = 1. 2 Л). (9.22а)
Следовательно, преобразование подобия с матрицей ММ+ не меняет
второго представления. Отсюда видно, что матрица ММ+ или некоторая
Общая теория представлений 97
родственная матрица могут удовлетворить требованиям, налагаемым на К-
Требование унитарности матрицы КМ имеет вид
M+KfKM=l, т.е. KfK = (М+Г' (МГ1 = (ЛШ+)~ \ (9.23)
Поэтому не сама матрица ММ+, а ее степень — '/г должна быть равна К.
При построении матрицы (ММ+) ' мы воспользуемся методом,
использованным при доказательстве теоремы 1. Прежде всего приве-
приведем ММ+ к диагональному виду с помощью унитарной матрицы V:
V-1MM+V = d, ЛШ+ = V dV. (9.24)
Это приведение всегда может быть выполнено, так как матрица ММ+
эрмитова; более того, все диагональные элементы матрицы d вещественны
и положительны '). Теперь можно построить матрицу d~''3, которая также
диагональна и имеет положительные вещественные элементы. Наконец,
выполнив преобразование с помощью V1, получим К:
K^Vd-'ty. (9-25)
Покажем теперь, что К коммутирует со всеми Вх и что КМ унитарно.
В силу (9.22а) и (9.24)
B^VdV'^VdV^B*, V^Vd = dV^V, (9.26)
т. е. диагональная матрица d коммутирует со всеми V-1BXV. Поэтому
во всех V-1BXV лишь нули могут появляться на пересечениях тех строк
и столбцов, для которых диагональные элементы в d различны. Тогда
эти матрицы также коммутируют с d~'\ так как в d~''a различим только
те диагональные члены, которые были различны в d. Поэтому
V-IBxVd-1/a = d-'/3V-1B)IV, ВХК = КВХ (9.27)
и К действительно коммутирует со всеми матрицами представления В,,
Вг В/,.
Рассмотрим далее
UU+ = КММ+К+ = Vd-1/'V~1MAltV"l+d-tA+V+. (9.23)
В силу (9.24) и так как V унитарно, d~'A эрмитово (вещественная диаго-
диагональная матрица), имеем
UUf = Vd-'/'dd-'/>V+ = VV+ = 1, (9.29)
так что U унитарна. Таким образом, теорема 1а доказана.
Значение этой теоремы заключается в том, что можно ограничиться
унитарными преобразованиями подобия, если представления унитарны.
Заметим, что если все представления в (9.20) унитарны и неприводимы,
М с необходимостью унитарна, если отвлечься от численного множителя.
Это следует из теоремы 2, если применить ее к (9.22а).
') См. доказательство теоремы 1, стр. 92.
98 Глава 9
Теорема 4. Четвертая, наиболее важная для практики теорема
касается соотношения ортогональности для коэффициентов не-
неприводимого представления. Если
и
DB)(?), DB)(A,) DBH4A)
— два неэквивалентные неприводимые унитарные представле-
представления одной и той же группы, то соотношение
2?>A)№?>B)(#)ар = 0 (9.30)
имеет место для всех элементов с индексами р и ар, где,
как это указано в формуле, суммирование распространяется на все
элементы группы Е, Ах, А2 Ah1)- Для элементов одного
унитарного неприводимого представления мы имеем
A)-(fl)*vDA>(R)^, = ±bw,bw, (9.31)
где h — порядок группы, а 1Х — размерность представления.
Теорема 4 справедлива потому, что групповые свойства пред-
представления позволяют легко построить много матриц М, удовле-
удовлетворяющих соотношениям (9.11) или (9.8). Тогда равенства (9.30)
и (9.31) показывают, что матрица, удовлетворяющая соотноше-
соотношению (9.11), должна быть нулевой матрицей, а матрица, удовле-
удовлетворяющая соотношению (9.8), — кратной единичной матрице.
В силу групповых свойств все матрицы вида
удовлетворяют соотношению (9.11) для произвольных матриц X
с /2 строками и 1Х столбцами. Из групповых свойств вытекает, что
2 DB) (SR) XDA) EДГ1 = 2 DB) (Я) XDA) (Я)'1 = М,
так как одни и те же матрицы появляются в левой и правой
частях, но в различном порядке. Следовательно,
DB) E) М = 2 DB) E) DB) (R) XDA) (Я) =
= 2 DB) (SR) XDA) (SR)'1 DA) E)
или, короче,
B) A)E). (9.11a)
') В дальнейшем R и S всегда будут обозначать элементы группы Е,
Ah-
Общая теория представлений 99
Тогда теорема 3 утверждает, что М должна быть нулевой
матрицей, т. е. для произвольных Х%х
ма,=2 S ДB) (Я)в **х?A) (яЛ, = о.
хХ /?
Полагая все матричные элементы Хх1, кроме Х^ч=\, равными
нулю, получаем'*обобщенную форму соотношения (9.30):
^D{2\R)a?Dm(R-% = 0. (9.30а)
где DB)(/?) и DA)(/?) должны быть неприводимыми, но не обяза-
обязательно унитарными. Если матрицы БB)(Я) и DA)(/?) унитарны,
и (9.30а) сводится к (9.30).
Чтобы доказать (9.31), воспользуемся выражением
где X — произвольная матрица. Матрица М коммутирует со всеми
DA)E):
DA) E) М = 2 D(I) E) D(I) (Я) XDA) (Я) =
/?
= 2 D0) EЯ) XDA) [EЯ)] DA) E) = MDA) E).
/?
Таким образом, теорема 3 требует, чтобы матрица М была крат-
кратной единичной матрице, т. е.
2 2 я^Д),АДA) (я" V=' V.
где с не зависит от [а и ц/, но может по-прежнему зависеть от ХхХ.
Если снова выбрать одно определенное Х^> = 1 и положить
остальные Л^х равными нулю, то получим
где с„- — постоянная для этой частной системы ХЛ.
Чтобы определить постоянную с,,-, положим (а = [х' и просум-
просуммируем по [х от 1 до /j. Тогда получаемое выражение становится
равным сумме произведений ОA)A)A) A) 8
2 2 D0)(R- %.^Dw (R)^ - 2 D{1) (?)v,v = А§„- =2 Cvv8№= cvv7,.
100 Глава 9
Таким образом, cvv- =^ 8VV- (Л/^i). Поэтому мы получаем несколько
обобщенную форму соотношения (9.31):
A)(Л),,DA)(Я'1),v = тГ^иЛ.'. 0.31а)
к
которая для унитарных представлений сводится к (9.31).
Числа
) =гЛ"\ D
[ л, ^ й
могут рассматриваться как компоненты /г-мерного вектора v^\
пронумерованные элементами группы. Тогда (9.31) означает, что
эрмитова длина этого вектора равна Vhllx и что каждая пара
этих ii векторов ортогональна. Кроме того, согласно (9.30), век-
векторы v ортогональны векторам w, получаемым аналогичным обра-
образом с помощью некоторого неэквивалентного неприводимого пред-
представления:
Представление симметрической группы трех объектов, которое уже
рассматривалось здесь несколько раз,
~7> 7Г'
_1 _1>Лз>
D(Q = | /_ 2t Ь D(D) = [ t - " ,|, G.E.1)
2 2 V
.2 KJ 2
неприводимо. Если бы оно было приводимым, все его матрицы могли бы
быть приведены к диагональному виду одним и тем же преобразованием
подобия, и поэтому все матрицы должны были бы коммутировать, так
как они коммутировали бы в диагональном виде. Это, однако, не имеет
места, как можно видеть, например, из соотношений
D (A) D (В) = D (D), D (В) D (Л) = D (F) ф D (D).
Согласно теореме 2, только матрица, кратная единичной, может комму-
коммутировать со всеми матрицами G.Е.1). Из этого простого примера сразу
видно, что только диагональная матрица может коммутировать с D (А),
в то время как диагональная матрица может коммутировать с D (В)
только в том случае, если два ее диагональных элемента равны. Таким
Общая теория представлений
образом, уже коммутативность с D (Л) и D (В) ограничивает нас матри
цами, кратными единичной. Согласно (9.31), четыре вектора v1-11^, z>'12'
фB1) и г>*22' с компонентами:
«<?'> = о, ^) = 1/з-,
g« i-Уз-, 421) = у/3;
должны быть взаимно ортогональны. Так, например,
К тому же длины этих векторов должны быть равны Y h ' -1^6/2 = 1^*3
так, например, для вектора t»<21):
l + t + ! + T-3-
В качестве примера соотношения (9.30) рассмотрим очевидно непри-
неприводимое представление (9.Е.1) той же группы, данное на стр. 90-
5(?) = A), 0(Л)=(-1), D(S) = (-1),
D (С) = (-1), D (D) = A), D (F) = A),
и тривиальное представление одной лишь единичной матрицей-
р (Л) = A), 5(В) = A),
р 5(В) = A), 9ЕЗ
0 (С) = A), D (D) = A), D (F) = A).
Все четыре вектора v должны быть ортогональны вектору wR = D (^)ц,
а также вектору zR=T)(R)n=l. Например,
», or) = 1.1 + (-1). (-1) + ^. (_1) + 1 ^
102 Глава 9
Рассмотрим теперь все неэквивалентные неприводимые пред-
представления некоторой группы. Матрица DA) (/?) имеет размер-
размерность 1Х, матрица DB) (R) — размерность /2 матрица
D(c) (R) — размерность 1С; все представления предполагаются уни-
унитарными. Тогда (9.30) и (9.31) могут быть записаны в виде одной
формулы:
(9.32)
(|i.v=l,2 I,; ц\ v'=1.2 /,,; j,j'=\,2 c).
Bee h-мерные векторы (их число равно l\-\-ll-\- ... +4) в про~
странстве элементов группы взаимно ортогональны:
Поскольку в пространстве Л измерений может существовать
самое большее h ортогональных векторов, то, следовательно,
сумма квадратов размерностей всех неэквивалентных неприводимых
ft л п
представлений н-\- h-\- ... + lc равна самое большее порядку
представляемой группы. Действительно, можно показать, что сумма
9 9 2
квадратов l\-\-h-\- ... -\-lc = h в точности равна порядку
этой группы. Однако мы опустим здесь доказательство этой тео-
теоремы (см. стр. 140).
Преобразуем теперь соотношение (9.32). Обозначим сумму
диагональных элементов, или след, матрицы D(i/)(/?) через ^ (R),
так что
Совокупность чисел, включающая h величин ^ х
.... XW)(At). называется характером представления Du\R). За-
Задание некоторого представления с помощью характера имеет то
преимущество, что он инвариантен относительно преобразований
подобия. Согласно (9.32),
R '
Суммируя по ц от 1 до Г] и по (а' от 1 до lj', получаем
V «=nVSl!=AS//'. (9.33)
Общая теория представлений 103
Характеры xt;)(#) неприводимых представлений образуют
ортогональную систему векторов в пространстве элементов
группы. Отсюда следует, что два неэквивалентных неприводимых
представления не могут обладать одним и тем же характером
и что неприводимые представления с равными характерами экви-
эквивалентны.
Соотношение (9.33) можно записать в несколько более развер-
развернутом виде, если сравнить характеры y}JHR) и х'^'О^). принадле-
принадлежащие двум элементам R и 5 одного и того же класса. Тогда
существует такой элемент группы Г, который преобразует R в S.
Но если T~lRT=S, то DU)(Т'1) DU)(R)D{/) (T) = Q(f> (S), так
что D(;F) (R) может быть преобразовано в D(/) E). Следовательно,
след х(Л(Я) матрицы D(/)(/?) равен следу х(Л(л>) матрицы D(y)E).
В заданном представлении элементы одного а того же класса
имеют равные характеры.
Таким образом, при задании совокупности характеров доста-
достаточно указать характер одного элемента из каждого класса группы.
Это число может рассматриваться как характер класса. Если вся
группа, представление которой рассматривается, состоит из k
классов, скажем Си С2 Ск и если эти классы имеют gx, g2,
.... gk элементов соответственно (g-[-{-g<i-\- ••• + ?* = *)• т0
характер представления полностью определяется k числами ^</>(Cj),
Х(Л(^2) X(y)(?fc)- Можно ввести эти числа в (9.33) вместо
XU) (R)- Когда это сделано, мы можем выполнить суммирование
по элементам группы, суммируя сначала по ?р элементам одного
и того же класса (соответствующие g? членов все равны), а за-
затем — по всем k классам:
или
S ]f&i }/\ = Ь)Г. (9.34)
Нормированные характеры хУ) (С?) VgPlh образуют ортого-
ортогональную систему векторов в k-мерном пространстве классов.
Соотношения (9.30), (9.31), (9.33) и (9.34) являются наиболее
важными равенствами теории представлений, и к ним мы будем
обращаться неоднократно
Характеры представлений G ЕЛ), (9.Е.1) и (9.Е.З) равны
Х(?) = 2, Х(Л) = 0, ¦/(*) = (), Х<с>-=0, х(а) = -1. Х(Л=-1
104
Глава 9
Так как D, t и А, В, С относятся к одинаковым классам, их характеры
совпадают. Поэтому характеры можно записать кратко следующим обра-
образом:
(Е) _, 2 х(л- В, С) = 0 y(D, F)
В, С) _
-"(?) _ l_
=(Я) — 1 =(Л В,С)_л
А. —^х» Л. — *>
Нормированные характеры У g jh ¦ х^ (С) взаимно ортогональны.
Например, для /. и /
"(О, F) =
~(D, F) _
Л- —'
Так как существует самое большее k ортогональных ft-мер-
ньх векторов, то число с неэквивалентных неприводимых пред-
представлений равно самое большее числу k классов представляемой
группы. Действительно, можно показать, что число неэквивалент-
неэквивалентных неприводимых представлений группы в точности равно числу
кляссов этой группы; иначе говоря, с = k.
Мы уже приводили пример этого в трех представлениях сим-
симметрической группы трех объектов, данных на стр. 100—101. Эта
группа состоит из трех классов Е; А, В, С и D, F и не может
Иметь иных неприводимых представлений, кроме упомянутых выше.
Размерности этих представлений равны 2, 1, 1; при этом 92 -f-l2-f-
—j— I2 = 6 действительно равно порядку группы.
Приведение представления. В предыдущем изложении мы
имели дело частично с приводимыми, частично —с неприводи-
неприводимыми представлениями. Теоремы 1 и 1а относятся к произвольным
представлениям; теоремы 2—4 [и соотношения (9.30), (9.31), (9.33)
и (9.34)] — к неприводимым представлениям.
Важность неприводимых представлений объясняется тем обстоя-
обстоятельством, что всякое представление может быть разложено на
неприводимые единственным образом. Это значит, что всякое при-
приводимое представление может быть приведено к виду
DA)(#) 0 ... О
О DB)(#) ... О
О
о
D(i) (Я) J
(9.Е.4)
путем преобразования подобия с соответствующим образом вы-
выбранной „приводящей" матрицей, где D(-"(/?) являются теперь не-
неприводимыми представлениями, неприводимыми компонентами ис-
исходного представления. Таким образом, если представление не
Общая теория представлений 105
является уже неприводимым, оно может быть преобразовано
к виду
(9.Е.2)
это значит, что все его матрицы могут быть преобразованы к этому
виду. Тогда либо обе части D' (Ах) и D" (Ах) неприводимы, либо,
скажем, D" приводимо. В последнем случае D (Ах) можно подвер-
подвергнуть дальнейшему преобразованию с помощью матрицы
0
Т
которое дает
0 T~'D (/
Если D" приводимо, то Т можно выбрать так, чтобы T-1d'
имело вид (9.Е.2). Тогда D(AJ приобретает вид
D' (А.) 0 0
О D'"(A<) 0
0 О D""(AJ,
Это выражение может быть подвергнуто дальнейшему приведению,
если хотя бы одно из трех представлений D', D'", Ъ"" по-преж-
по-прежнему приводимо.
Так как это представление имеет конечную размерность, должно
быть возможным привести в конце концов его этим способом к виду
(9.Е.4), в котором все представления DA), DB), .... Dw непри-
неприводимы. Поскольку несколько последовательных преобразований
подобия могут всегда быть заменены одним, рассматриваемое
представление можно привести непосредственно К' виду (9.Е.4)
с помощью одного-единственного преобразования подобия. Этот
процесс называется приведением, а (9.Е.4) называют приведенной
формой.
Можно предполагать, что по окончании процесса приведения
неприводимые части DA) (R), DB)(/?), ..., D(lS) (R) не определяются
однозначно (с точностью до преобразования подобия), а что D (R)
может быть приведено различными способами. Мы можем пока-
показать, что это не так. Точно так же, как целое число может быть
единственным способом разложено на произведение простых чисел,
неприводимые компоненты приводимого представления определяются
однозначно, разумеется, с точностью до порядка.
106 Глава 9
Если в результате приведения произвольное приводимое пред-
представление разлагается на ах неприводимых представлений DA) (Я)
[с характером хA)(Я)], #2 представлений DB) (R) [с характером
ХB)(Я)] и т. д., то ясно, что
X (Я) = 2 «Д(у) (Я) (Я = ?. А- Л> Л,) (9-35)
дает характер рассматриваемого приводимого представления. Но
к соотношений (9.35) полностью определяют числа av a2 ас.
Если вычислить скалярное произведение (9.35) на y?i"> (R)
(т. е. умножить его на yj-i"> (R)* и просуммировать по всем эле-
элементам группы), то, используя (9.33), получаем
2 X (Я) Xй "> (Я)* = 22 «Д(Л (Я) Х(>'> (ЯГ = hay. (9.36)
так что целое число а у дается однозначно выражением
(У')(Я)*. (9.37)
Согласно (9.37), характер представления определяет, сколько
раз неприводимое представление появляется в приведенной
форме представления. Так, в частности, неприводимые ком-
компоненты не зависят от способа, использованного при приве-
приведении.
Кроме того, мы видим, что два представления эквивалентны,
если они имеют один и тот же характер. Это значит, что они
оба будут иметь одну и ту же форму после приведения и, тем
самым, будут совпадать, с точностью до порядка, в котором
будут появляться матрицы D^\R). Следовательно, два предста-
представления с равньГми характерами могут быть преобразованы к экви-
эквивалентным приведенным формам, а поэтому они сами эквива-
эквивалентны. '
С другой стороны, равенство характеров необходимо для
эквивалентности двух представлений. Таким образом, оно является
необходимым и достаточным условием их эквивалентности
(т. е. они могут быть преобразованы одно в другое с помощью
преобразования подобия).
Две отдельно взятые матрицы могут быть преобразованы одна в дру-
другую только в том случае, если равны их собственные значения. Равенство
следов, т. е. равенство сумм их собственных значений недостаточно. Для
двух представлений, однако, из предшествующего рассмотрения следует,
что если сумма собственных значений одинакова для всех Л пар соот-
соответствующих матриц, соответствующие собственные значения будут также
попарно равны. Достаточно даже несколько меньшего. Так как харак-
характеры всех элементов группы одного и того же класса равны во всяком
Общая теория представлений 107
представлении, равенство k пар чисел х (Ci) = х' (^ч), ц (С2) = х' (С2), ...
..., X (Ск) = х' (Ck) достаточно для эквивалентности двух представлений
с характерами х и X'-
Выведем еще одну формулу, относящуюся к числам неприводимых
компонент, содержащихся в представлении. Если умножить (9.35) ска-
лярно само на себя, то получим
21 г (Л) i2 = 2 2 Vя <*> 2 агг(п (*>* =
R R J Г
= 22 hbjj.ajuj, = Л2 4 (^38)
Квадрат абсолютной величины характера представления равен порядку
группы Л, умноженному на сумму квадратов чисел uj, показывающих,
сколько раз отдельные неприводимые представления встречаются в "этом
представлении. Для некоторого неприводимого представления сумма
= Л (9.38а)
имеет наименьшее значение Л; наоборот, если соотношение (9.38а) спра-
справедливо, то представление со следами х (R) неприводимо, поскольку,
согласно (9.38), оно содержит после приведения лишь одну компоненту.
В некоторых случаях вышеприведенные общие теоремы достаточны
для нахождения неприводимых представлений. Особенно полезны для
этой цели теоремы, частично доказанные на стр. 102 и 103 и дающие число
неэквивалентных представлений (равное числу классов) и сумму квад-
квадратов их размерностей (равную порядку группы). Разумеется, в боль-
большинстве случаев необходимо еще и более подробное, специальное иссле-
исследование.
В качестве частного случая заметим, что каждый элемент абелевой
группы образует класс сам по себе, так что группа имеет столько клас-
классов, сколько в ней элементов. Так как сумма квадратов размерностей
всех представлений группы равна ее порядку, размерность каждого не-
неприводимого представления равна единице.
Кроме того, следует заметить, что каждое представление фактор-
факторгруппы также является представлением полной группы, как было под-
подчеркнуто в начале данной главы. Например, рассмотрим еще раз сим-
симметрическую группу трех объектов. Эта группа имеет одну инвариантную
подгруппу Е, D, F; ее фактор-группа имеет порядок 2. Поэтому фактор-
факторгруппа является абелевой и имеет два представления единичной размер-
размерности. Так как полная группа имеет только три класса, то она может
иметь лишь еще одно неприводимое представление, которое должно быть
двумерным, чтобы имело место равенство I2 -f-11 + 22 = 6 = к.
Различные неприводимые представления играют важную роль в кван-
квантовой механике, поскольку они служат для характеристики наборов со-
состояний, имеющих одни и те же правила отбора, поведение во внешних
полях и т. п. С точки зрения чистой математики изложенная выше
теория, основы которой были заложены в работах Фробениуса, Бернсайда
и Шура, является одним из наиболее изящных разделов алгебры. Харак-
Характеры представлений имеют также отношение к некоторым интересным
проблемам теории чисел, которые в настоящей монографии не обсу-
обсуждаются.
Глава 10
НЕПРЕРЫВНЫЕ ТРУППЫ
1. До сих пор мы имели дело только с конечными группами,
т. е. с группами с конечным числом элементов. Наши три груп-
групповых постулата (ассоциативность, существование тождественного
элемента и обратных элементов) можно также применить к беско-
бесконечным группам, т. е. к бесконечным множествам элементов. На-
Например, трехмерные вещественные ортогональные матрицы, пред-
представляющие вращения в пространстве, составляют систему объектов,
удовлетворяющих групповым постулатам, если только в качестве
группового умножения берется матричное умножение; в этой системе
объектов два последовательных вращения снова дают вращение,
произведение первых двух. Подобная группа состоит из всех трех-
трехмерных матриц с определителем 1 или с определителями +1 и
т. д. Все эти группы называются бесконечными группами, в противо-
противоположность конечным группам, рассмотренным ранее.
Если не требовать ничего больше, кроме свойств групп, обсу-
обсуждавшихся выше, то понятие бесконечной группы включает с точки
зрения наших целей слишком много. Например, все двумерные
матрицы с определителем 1, элементами которых являются рацио-
рациональные числа, образуют такую группу. Но такая система лишена
свойств непрерывности, которые мы хотим предположить. Поэтому
мы ограничим наше обсуждение бесконечных групп непрерывными
группами. Непрерывная группа есть система объектов, называемых
элементами группы, которые могут характеризоваться параметрами,
изменяющимися непрерывно в некоторой области. Всякий набор
значений этих параметров внутри этой области определяет элемент
группы; и, наоборот, каждому элементу группы соответствует набор
значений параметров внутри определенной области. Эти области
называются пространством группы; между элементами группы и
точками в пространстве группы имеется взаимнооднозначное
соответствие.
Элементы группы, параметры которых незначительно отли-
отличаются друг от друга, называются „соседними". Если параметр
меняется непрерывно, то мы говорим, что элемент группы меняется
Непрерывные группы 109
непрерывно. Три групповых постулата остаются справедливыми,
будучи дополненными требованием непрерывности, в силу кото-
которого постулируется, что произведения и обратные элементы сосед-
соседних элементов также должны быть соседними.
Примем, далее, что параметры px(RS), p2(RS) pn(RS)
произведения являются по крайней мере кусочно непрерывными и
дифференцируемыми функциями параметров рх (R), p2 (R),
..., pn(R) и px(S), p2(S) Рп($) ДВУХ сомножителей R
и 5. Это также требуется от зависимости параметров p1{R~l),
P2{R~1), ¦•-, Pn(R~ ) от параметров элементов R.
Группы, элементы которых могут быть заданы п параметрами,
называются «-параметрическими группами. Область изменения пара-
параметров может быть односвязной или многосвязной или может рас-
распадаться на несколько несвязанных областей. В последнем случае
мы говорим о смешанной непрерывной группе, в противополож-
противоположность просто непрерывной группе, для которой область измене-
изменения параметров связна.
Рассмотрим, например, группу вращений в трехмерном простран-
пространстве — трехмерную группу вращений. Элемент группы — вещественная
трехмерная ортогональная матрица — может быть характеризован, разу-
разумеется, заданием ее девяти элементов. Однако они не могут рассматри-
рассматриваться в качестве параметров, так как они не меняются независимо, но
связаны некоторыми соотношениями. С другой стороны, если вращения
характеризовать азимутальным углом Ф, полярным углом 8 оси вращения
и углом вращения <р, то каждой тройке значений этих чисел, лежащих
в определенных областях @<Ф<2я, 0<6^я, 0<;<р<л), соответ-
соответствует некоторое вращение. Обратно, каждому вращению соответствует
набор значений этих параметров ').
Единственным исключением является вращение с <р = 0, т. е. враще-
вращение, которое, собственно говоря, не является вовсе вращением, а пред-
представляет неизменное положение, или тождественный элемент группы. Оно
соответствует всякой тройке параметров Ф, 6, 0, так что соответствие
между этими параметрами и таким элементом группы не является одно-
однозначным. Для преодоления этой трудности можно было бы считать, что
область изменения других параметров, Фив, сжимается до нуля при
<р = 0. Аналогичным образом следует положить Ф = 0 при 6 = 0. Тогда
соответствие между вращениями и тройками параметров становится одно-
однозначным. Рассмотрим, однако, непрерывную последовательность вращений
на все меньшие и меньшие углы вокруг произвольной оси, т. е. враще-
вращения с параметрами Ф = Фо, 8 = 80, <р — Цо, где t изменяется непрерывно.
') Точка R пространства параметров соответствует не операции вра-
вращения, а ее результату. Поэтому вращеяие полностью определяется
начальным и конечным положениями на сфере. Если нужно описать эту
операцию, т. е. путь, по которому происходит вращение, следует указать
все промежуточные положения сферы. Таким образом, для описания вра-
вращения как операции, т. е. пути, по которому достигается конечное поло-
положение, нужна кривая в пространстве параметров, или непрерывная
последовательность R(t) „вращений", принимающая значение R@) = E
лри t = 0 и переходящая в R A) = R.
по
Глава 10
Если при t = О углы Ф и 6 должны обращаться в нуль, возникает разрыв.
Поэтому наивное требование;"чтобы Ф = 0 и 6 = 0 при <р = 0, неприемлемо,
и следует найти другое средство для преодоления этой трудности.
Фиг. 1. Соответствие между точками в пространстве пара-
параметров и вращениями.
На схеме слева конец стрелки соответствует вращению, которое преобра-
преобразует дугу, изображенную сплошной линией на схеме справа, в цугу, пока-
показанную штрихпунктнрной линией.
Наиболее удобными параметрами являются, по-видимому, декартовы
координаты ?, к), С точки с полярными координатами tp/rc, 6, Ф, причем
? = {fin) sin в cos Ф, Yj = (<р/гс) sin 6 sin Ф и С = (?/") cos в. Преобразование
покоя, тождественный элемент группы, которое раньше соответствовало
"параметрам Ф, 0, 0, соответствует теперь одной-единственной точке
? = тг) = С = 0 — началу системы координат. Соответствие между точками
Фиг. 2. Вращение на фиг. 1,
которое переводит дугу, изо-
изображенную сплошной линией,
Y в дугу, проведенную штрих-
пунктирной линией, - может
также описываться углами
Эйлера а, р и f
в пространстве параметров и вращениями показано на фиг. 1. Каждое
вращение соответствует одной точке внутри единичной сферы в про-
пространстве ?т)С.
В этой параметризации имеется также исключение, так что соответ-
соответствие элементов группы тройкам параметров не является взаимноодно-
взаимнооднозначным. Две противоположные точки сферической поверхности должны
отождествляться, и переход из какой-либо точки сферической поверхности
в пространстве ?т)С в противоположную ей точку не следует рассматри-
рассматривать как разрыв пути.
Непрерывные группы 111
Таким образом, пространство параметров стало многосвязным, а соот-
соответствие между элементами группы и точками в пространстве парамет-
параметров — взаимнооднозначным. Эти параметры особенно удобны поэтому
для рассмотрения принципиальных вопросов, относящихся к группе
вращения.
Само собой разумеется, что это ни в какой мере не препятствует
выбору других параметров для формальных расчетов (например, углов
Эйлера, фиг. 2), для которых соответствие не является взаимнооднознач-
взаимнооднозначным, но с помощью которых явные формулы могут быть записаны проще.
2. Часть группы, соседняя с тождественным элементом, известна
как инфинитезимальная группа. Фундаментальная работа С. Ли *)
относилась к инфинитезимальным группам групп преобразований.
Мы можем коснуться этих исследований лишь поверхностно и
ограничиться основными фактами, опуская все доказательства суще-
существования и сходимости. В случае интересующих нас групп доказа-
доказательства существования могут быть заменены явным указанием
„инфинитезимальных элементов".
В дальнейшем h будет означать бесконечно малое число. Пусть
параметры тождественного элемента группы будут кь те2, .... тея.
Тогда рассмотрим п элементов Fx, Е2, ..., Fn, причем параметры Fk
заданы в виде я2, тг2, ..., Tzk-\-h, ък+1, .... яя. Элементы Е, F\,
F\, F%< ¦ ¦ • все лежат в одной и той же окрестности, если h
достаточно мало, и, таким образом, образуют почти непрерывный
набор элементов группы. Чтобы отойти на какое-то расстояние
от единичного элемента группы, нужно переходить к очень высоким
степеням элемента Fk. Такое однопараметрическое семейство (комму-
(коммутирующих!) элементов группы соответствует периоду элементов
конечной группы.
Просто непрерывная однопараметрическая группа всегда
абелева, так как она состоит из одного-единственного периода.
В параметризации трехмерной группы вращений, показанной на
фиг. 1, параметрами тождественного элемента являются 5 = t\ = С = 0;
три бесконечно малых элемента {Л, 0, 0}, {0, Л, 0} и {0, 0, Л} являются
тремя бесконечно малыми углами вращений вокруг трех координатных
осей
Рассмотрим теперь л-параметрическое семейство F{', F%\
..., Fnn. Ограничимся при этом теми значениями h и рх, р2 рп,
для которых все элементы семейства лежат в окрестности тожде-
тождественного элемента; эти элементы охватывают тогда всю инфините-
зимальную группу, поскольку она является «-параметрической.
Удобно, по крайней мере, для инфинитезимальных групп, вводить
рх, р2 рп в качестве параметров. Все п параметров тожде-
') S. L i e, Vorlesungen iiber kontinulerliche Oruppen mit geometrischen
anderen Anwendungen, Leipzig, 1893,
112 Глава 10
ственного элемента равны нулю; параметры элементов инфините-
зимальной группы очень малы.
Элементы инфинитезимальной группы коммутируют. Если
параметры двух сомножителей R и S являются величинами порядка
малого числа е, то разность между параметрами элементов RS
и SR будет порядка в2. Рассмотрим элементы R(t) и 5 (f) с пара-
параметрами trv tr2, ..., trn и t'sl, t's2 t'sn, где t и t' — не-
непрерывные переменные. Иначе говоря, E = R @) —5@), и t и
?' —величины порядка е. Параметры элементов R(t)S(t') и
S(t')R(t) можно разложить в ряды Маклорена по t и f. Ряды
для п параметров элементов R(t)S(t') и S(t')R(t) будут иметь вид
a2-\-tv2-\-t'w2-\-
+ tlwn+ ¦¦¦
u2-\-tv2-\-t'w2+
Чтобы определить и и и, положим t = t' — O. Тогда оба произ-
произведения R@M@) и 5@)/?@) равны Е, и все и к и равны нулю:
в, = и2 = ... = ип = «; = и2 = ... = мя = 0.
Чтобы определить v н v, положим лишь V = 0; тогда /? (f) 5 @) =
=/? (t) E = /? @ и 5 @) Я_(9 = ER @ = /? @. Поэтому vl = vl = rv
V2 = V2= r% vn~vn~rn- Аналогичным образом, полагая
^ = 0, получаем wl = w1 = sl, w2 = w2 — s2, ..., wn = wn = sn.
Это показывает, что параметры рассматриваемых двух произве-
произведений одинаковы в пределах рассматриваемых членов. Раз-
Разница проявляется только в членах, пропорциональных Р, W
и V , а все эти члены являются величинами порядка е2.
Коммутативность бесконечно малых элементов с учетом членов пер-
первого порядка опирается на тот факт, что для произвольных R и S = Е,
а также для произвольных S и /?п? коммутативность имеет место
точно. Если R лишь слегка Отличается от Е, коммутативность
сохраняется приближенно; аналогично Приближенная коммутативность
будет иметь место при S~Е. Но если одновременно R~E и S~Е, то
коммутативность выполняется особенно хорошо.
Эта теорема принимает очень простой вид для матричных групп.
Элементы в окрестности тождественного элемента имеют вид 1 -(- еа.
Тогда
A + еа) A + eb) = 1 + е (а + b) + s^ab
и
A + ?b) A + еа) = 1 + е (Ь + а) + Е2Ьа,
9 эти выражения различаются лишь членами порядка «2.
Непрерывные группы 113
Вышеуказанный выбор параметров, при котором элементам
F^\ F^ FPnn соответствуют параметры ри р2, ..., рп, имеет то спе-
специальное свойство, что параметры произведения двух элементов инфините-
зимальной группы могут быть получены, если пренебречь членами выс-
высших порядков, путем простого сложений параметров отдельных множителей.
3. В смешанной непрерывной группе все те элементы, которые
могут быть получены непрерывным образом из тождественного эле-
элемента Е, образуют подгруппу, являющуюся просто непрерывной.
В утверждении, что некоторый элемент может быть получен не-
непрерывным образом из тождественного, подразумевается, что суще-
существует непрерывное множество элементов R (t), начинающееся
с /?@) = ? и кончающееся на R(l) — R при /=1. Если R и
5 — два элемента этого множества, и если R(t) и S(t) — два соот-
соответствующих пути, то и произведение R(l)S(l) = RS может быть
также получено из тождественного элемента непрерывным образом.
Соответствующий путь может быть R(t)S(t). To же самое имеет
место для элемента, обратного R, а соответствующий путь есть
/?(/)"'. Поэтому элементы, достижимые непрерывным образом из
тождественного элемента, образуют подгруппу, являющуюся про-
простой непрерывной, так как соответствующая область пространства
параметров односвязна.
Элементы, достижимые непрерывным образом из тождествен-
тождественного элемента, образуют даже инвариантную подгруппу смешан-
смешанной непрерывной группы. Действительно, если R может быть
достигнуто непрерывным образом из тождественного элемента, то
это будет справедливо также для X~lRX, скажем, по пути Х~ R (V) X.
Смежными классами этой инвариантной подгруппы являются другие
несвязные части пространства параметров. Таким образом, фактор-
факторгруппу можно считать конечной группой порядка, равного числу
несвязных частей пространства параметров.
Введем для дальнейшего обозначение {гх, г2 гп) для эле-
элемента группы с параметрами rlt r2, ..., гп. Тогда между обо-
обозначениями имеются тождественные соотношения
Ptttr» r2 '„}) = '* и {л (Я), л (Я) а,(Я)} = Я.
4. Представление непрерывной группы определяется точно
так же, как и для конечной группы. Между каждым элементом
группы и матрицей D(/?) существует соответствие, так что
D (R) D (S) = D (RS). Единственным дополнительным требованием
является непрерывность представления. Оно заключается в том,
чтобы для двух соседних элементов группы R к S все I2 элемен-
элементов матрицы D(/?),x отличались бесконечно мало от соответствую-
соответствующих элементов матрицы D(S).^. Здесь мы также ограничимся
представлениями с отличными от нуля определителями.
114 Глава 10
Распространим теоремы для представлений конечных групп на
представления непрерывных групп. При этом можно начать с того
обстоятельства, что в первых четырех теоремах и, в частности,
при доказательстве соотношений ортогональности (9.30) и (9.31),
мы пользовались лишь одним свойством группы, а именно тем, что
можно составить сумму ^Jr, Для которой
R
где суммирование распространяется на все элементы группы. Здесь
./# — совершенно произвольные числа (или матрицы), соответствую-
соответствующие каждому элементу группы R, причем соотношение A0.1)
справедливо для любого элемента S. В обеих суммах в A0.1)
содержатся одни и те же члены, но в различном порядке.
С помощью одной из таких сумм, а именноД] D (R) D (R)f, мы
^?
показали (гл. 9, теорема 1), что представление может быть сде-
сделано унитарным. Соотношение ортогональности (гл. 9, теорема 4)
также было доказано путем рассмотрения суммы
Теоремы 2 и 3 имели ббльшую связь с теорией матриц. Для их
распространения на представления непрерывных групп не требуется
привлечения новых групповых свойств.
Если бы можно было определить что-то аналогичное сумме
2 Jr Для непрерывных групп (естественно, это был бы интеграл,
R
взятый по всей области изменения параметров), то четыре теоремы
теории представлений конечных групп могли бы быть перенесены
на непрерывные группы.
5. В случае конечных групп соотношение A0.1) основано на
том факте, что последовательность SE, SA2, SA3, .... SAh для
произвольного 5 совпадет, с точностью до порядка, с последова-
последовательностью Е, А2, Л3 Ah. Мы приходим к следующему заклю-
заключению, тривиальному для случая конечных групп. Если группа
параметризована по аналогии со случаем непрерывных групп, то
эти две последовательности обладают тем свойством, что одно и
то же число элементов группы (один) соответствует каждому эле-
элементу объема в пространстве параметров (в этом случае „элементы
объема" являются просто точками, соответствующими дискретному
набору значений параметров). Поэтому возможность распространить
соотношение A0.1) на непрерывный случай зависит от того, смо-
сможем ли мы сохранить это свойство в нашем обобщении,
Непрерывные группы 115
На фиг. 3 приведена схема действия умножения на F слева
всех элементов группы перестановок трех объектов G.ЕЛ). Такое
умножение преобразует каждый элемент в элемент, указываемый
стрелкой, идущей от рассматриваемого элемента. Эта схема иллю-
иллюстрирует тот факт, что совокупность элементов FR совпадает
с совокупностью элементов R, если последняя образует группу.
Фиг. 3. Схематическое
представление умноже-
умножения каждого элемента
группы перестановок
трех объектов G.Е.1)
на элемент F слева.
В
То же самое имеет место не только для F, но и для всех эле-
элементов 5 группы. Соотношение A0.1) является прямым следствием
этого обстоятельства.
Такое же соотношение можно было бы сразу установить для
непрерывных групп, если бы в них можно было выбрать множе-
множества элементов со сходными свойствами и если последовательность
этих множеств могла бы быть выбрана так, чтобы плотность эле-
элементов группы в множествах увеличивалась всюду при переходе
от одного множества последовательности к другому. Иными сло-
словами, соотношение A0.1) могло бы быть легко установлено для
непрерывных групп, если бы можно было задать последователь-
последовательность конечных подгрупп, элементы которых образуют все более
и более плотное многообразие в пространстве группы. К сожале-
сожалению, это невозможно (за исключением абелевых групп); непре-
непрерывные группы не могут рассматриваться в общем случае как
предельный случай конечных групп. Так, например, наиболее
обширной конечной подгруппой трехмерной группы вращений,
элементы которой распределены по всему пространству группы,
является группа симметрии икосаэдра, имеющая лишь 60 эле-
элементов. (Трехмерная группа вращений имеет конечные подгруппы
порядка более 60. Они являются, однако, группами симметрии
плоских правильных многоугольников и вовсе не заполняют про-
пространство группы равномерно.)
Поскольку большинство непрерывных групп не может рассма-
рассматриваться как предельные случаи конечных групп, аналоги сумм,
входящих в A0.1), должны находиться другим способом. Плотно
заполним пространство группы точками. Если обозначить эти точки
через /?j, R2 то в общем случае невозможно добиться того,
чтобы множество точек SRV SR2, ... совпадало с множеством точек
Ш Глава 10
Rx, R2, . ¦. для всех S, которые сами расположены плотно в про-'
странстве группы. Однако точки Rlt R2, ... в пространстве группы
можно расположить таким образом, чтобы плотность точек
SRt, SR2, ¦ . ¦ была такой же во всех частях пространства группы,
как и плотность точек Rv R2, ... в тех же частях пространства
группы. Это позволит нам определить интеграл по группе, для
которого имеет место соотношение, являющееся аналогом A0.1).
Таким образом, схема на фиг. 3 заменяется другой схемой, в кото-
которой концы (острия) стрелок, изображающих точки SRV SR2
не совпадают с их началами, т. е. точками Rv R2, ... Однако
плотность концов стрелок будет всюду равна плотности точек
/?j, R2 из которых они исходят. При таком „инвариантном
распределении" для любой непрерывной функции в пространстве*
параметров J(R) равенство
2 ./(/?,)=2-J(s^) (ю.2)
(где R пробегает все пространство группы) имеет место для непре-
непрерывных функций в пространстве группы, так как число элементов
группы в правой части A0.2), соответствующее элементу объема
в пространстве параметров около SRj = Q[, совпадает с числом
элементов группы Rlt содержащихся в том же элементе объема.
Для удобства вычислений сумма в левой части A0.2) заменяется
интегралом
= fj(R)g(R)dPldp2 ... dpu, A0.2a)
где рх, р2, .... рп — параметры элемента R, а интегрирование
распространяется на все значения этих параметров, которые опре-
определяют элементы группы, т. е. на все пространство группы. Весовая
функция g{R) является просто плотностью точек Rt в сумме A0.2)
в окрестности элемента R. Левая часть A0.2а) представляет собой
сокращенное обозначение интеграла в правой части; он называется
интегралом Гурвица, или инвариантным интегралом по простран-
пространству группы. Из инвариантной природы плотности g(R) следует,
что равенство
fj(SR)dR = fj(R)dR A0.26)
справедливо для всякой непрерывной функции J в пространстве
группы (всякой непрерывной функции параметров группы) и для
каждого элемента группы 5.
Остается лишь показать, что в пространстве группы действи-
действительно можно построить инвариантную плотность, и определить
эту плотность. Мы пойдем обратным путем: сначала найдем плот-
но:ть из предположения об. ее инвариантност'и, а затем покажем
Непрерывные группы
117
]инвариантный характер полученного распределения. Прежде чем
находить инвариантное распределение, следует заметить, что оно
может быть определено только с точностью до постоянного мно-
множителя; ясно, что если плотность g(R) инвариантна, то всякая
плотность, кратная ей, будет также инвариантна. Плотность вблизи
одной из точек может быть выбрана произвольно; мы примем,
что плотность в окрестности единичного элемента g (?) равна gQ..
Рассмотрим теперь малый элемент объема U в окрестности
элемента группы Q (см. фиг. 4). Если величину этого элемента
Фиг. 4. Точки на схеме яв-
являются точками суммирова-
суммирования Ri в A0.2); положения,
в которые эти отдельные точки
переводятся при умножении
слева на Q~\ показаны свет-
светлыми кружками. В окрест-
окрестности тождественного элемента
плотности точек и кружков
равны.
объема обозначить через V, то в нем имеются g(Q)V точек сум-
суммирования. Применим теперь постулат инвариантности распреде-
распределения по отношению к умножению слева на Q~l. Тогда элемент
объема U преобразуется в элемент объема Uo (см. фиг. 4), содер-
содержащий все точки Q/?, причем R находится в U. Обозначим
величину элемента объема Uo через Vo; тогда число точек сум-
суммирования в Uo должно быть равно g0VQ, поскольку UQ находится
в окрестности единичного элемента. Число точек суммирова-
суммирования Q~lRt в том же самом объеме равно, однако, g(Q)V, так
что требование инвариантности дает g (Q) V = gQV0, или
Весовая функция g(Q) пропорциональна увеличению, которое
элемент объема 'вблизи Q испытывает при проектировании на
окрестность единичного элемента путем умножения слева на Q.
Чтобы вычислить VJV, допустим, что U состоит из элементов
группы, первый параметр которых лежит между дг и ql-\-^l,
второй — между q2 и #2 + ^2 га"й параметр лежит между
qn и <7„ + Д„, где qx, q2, ..., qn — параметры элемента Q. Тогда
объем U равен
118 Глава 10
Если предположить, что параметры элемента E=Q~l \qx, q2 qn)
равны нулю, то объем области Uo при пренебрежении членами
более высоких порядков относительно Д будет, равен
)... рЛсг1 te.-HV 92 я„})
)...pn(Q-l{qv q2
причем последнее выражение вычисляется при r1=p1(Q) = ql,
Г2 = Р<г(<3)—Ъ> •••• rn~Pn(Q) = qn- Напомним, что {qx qn) —
элемент группы с параметрами qx, .... qn и что pt(R) есть /-Й
параметр элемента группы R. При дифференцировании по qt эле-
элемент группы Q должен рассматриваться постоянным; переменными
являются только rt!).
Это равенство дает для g(Q) якобиан
g(Q) = g0 dlPi (Q{g" -'/^ •- РпУ{Яи -' qn})]. 00.3)
вычисляемый при ql = рл (Q) qn = pn(Q) и являющийся явной
формулой для плотности, которую следует принять в окрестности
элемента Q с тем, чтобы подстановка Q~1Rl вместо #f не меняла
числа элементов группы в окрестности тождественного элемента.
Наоборот, это выражение можно рассматривать как плотность
вблизи Q после подстановки QB вместо Е, если плотность вблизи
тождественного элемента была равна ^0 до подстановки.
Если плотность точек Rt дается выражением A0.3) в каждой
точке Q, то плотность точек Q~1Rl будет равна g в окрестности
единичного элемента для любого Q. Кроме того, плотность точек QRt
будет даваться выражением A0.3) в окрестности Q, если плот-
плотность точек Rt равна g0 в окрестности Е, так как преобразование
R[->QRi лишь возвращает точки туда, откуда они „пришли".
Это справедливо также для любого Q. Однако следует еще пока-
показать, что плотность точек SRt дается выражением A0.3) во всякой
точке T — SQ, если плотность точек r\ равна A0.3) во всякой
точке Q. Чтобы доказать это, разобьем преобразование 5 на два
множителя: S = (SQ)Q . Согласно первому замечанию, плотность
точек Q Rt в окрестности единичного элемента будет равна #0.
') Значения pk (Q) для rft вводятся после дифференцирования. Фор-
Формула A0.3) является выражением вида „{dldx)f{x, у) при х = у\ Если,
например, /(*, у) = хгу\ то df(x, y)/dx = 2у* при х = у.
Непрерывные группы
119
Следовательно, второе замечание можно применить к распреде-
распределению Q~^Rt. Это осуществляется заменой Q на 5Q==7" и пока-
показывает, что плотность точек (SQ)Q~1Ri дается выражением A0.3).
В силу ассоциативности группового умножения точки (SQ)Q 1Rl
являются точками SR{; таким образом, мы показали, что плотность
этих точек дается выражением A0.3) в произвольной точке Т,
если плотность точек Rt выражается тем же равенством. Фиг. 5
иллюстрирует это доказательство, основанное, как легко заметить,
на свойстве ассоциативности умножения.
Фиг. 5. Схема (в тех же обо-
обозначениях, что и на фиг. 4)
разделения подстановки SH
вместо R на два этапа: на
подстановку Q~*R вместо R
и подстановку SQQ~lR для
окончательной точки.
Следует заметить, что если J(R) нигде не отрицательно (т. е.
ни для одного R), то выражение A0.2а) может обращаться в нуль
только в том случае, если J(R) всюду равно нулю. Это обстоя-
обстоятельство существенно для нового вывода теоремы 1 предыдущей
главы.
Рассмотрим теперь явное выражение инвариантного интеграла
Гурвица и покажем еще раз путем прямого вычисления, что выбор
функции плотности, определенной выражением A0.3), действительно
сводит A0.26) к тождеству. Интеграл в правой части A0.26) равен
1 !¦„})*({/¦, rn))drx...drn, A0.4)
где интегрирование распространяется на всю область изменения
параметров. Покажем, что равенство
Jj(R)dRsaf ... fj({rv r2 ra})g({rv r2, ..., гя})Х
fj(S{rlt r2 гя})Х .
A0.5)
имеет место для всех элементов S, если только g(R) задается
выражением A0.3).
r2 rn))dri...drn
120 Глава 10
Сначала введем новые переменные в интеграле в правой части
A0.5), а именно, параметры xv х2, х3 хп произведения
X={xv х2 xn}=SR = S{rv г2 гп\.
Иначе говоря,
xk = Pk(S{rv r2 /¦„}). A0.6)
Область интегрирования не меняется, так как SR, так же как и R,
пробегает всю группу. Тогда получаем
}j(SR)dR = f ... fj(S{rlt r2 ra})g({rltr2 ля})Х
...fj({xlt x2 xn})X
V 9(R) д^Ги Гг' "•' r") dx dx
X gW d(xu x2 xn) ax\--- axn<
где R и параметры rt рассматриваются как функции параметров xt,
согласно A0.6а). Если теперь взять g{R) из A0.3), то можно
скомбинировать последние два множителя подынтегрального выра-
выражения, согласно теореме о якобианах неявных функций!):
а [¦•¦/>.(*->! гя})...] д(гх гп)
go d[...rk...] d(xlt ...,xn) —
-go д[...хк...\ •
при этом якобиан вычисляется при г: = р: (R), .... гп — рп (R),
где R : рассматривается постоянным при дифференцировании по xlt
так же как и в A0.3), а параметры rk считаются функ-
функциями A0.6а) от xt. Следовательно, если {г,, г2 гп) =
= S~1-{xv x2 х„} подставлено в равенство A0.7), то
(в силу /?~\s~1== X~x) получаем соотношение
которое вычислено2) при хх = рх (X) хп = рп (X). Таким
образом, правая часть равенства A0.5) действительно совпадает
с левой с точностью до обозначений переменных интегрирования.
') Если A0.7) имеет место для произвольных значений параметров г^,
то это равенство справедливо также для значения r^ = p (R), требуемого
для A0.3).
2) Значения р (X) переменных хк подставляются здесь после диф-
дифференцирования.
Непрерывные группы 121
Формулу A0.3) можно переписать с использованием равенства
Q • [qx, q2 <7„} = {ех, е2, . . ., еп) = Е, с помощью которого
вводятся новые переменные е вместо переменных q, рассматри-
рассматриваемых на какой-то момент как свободно меняющиеся (тогда как Q
является постоянным элементом группы). Теорема о якобианах
неявных функций дает
д[...**...]
где qk — функции от ек, т. е. qk = pk(Q{e1, е2, ..., еп}). Так как
рк({е1, е2 еп}) = ек, левая часть последнего равенства просто
равна 1 и, выражая qk через ек, мы получаем
д\
Значение выражения в левой части при qk — рк(О) равно зна-
значению выражения в правой части при ек = pk{E). Тогда для A0.3)
можно написать
— „ Г dlpi(Q{elt ...,
-1
причем el = pl(E) еп~рп{Е) (см. пример на стр. 182).
Фактический расчет функции плотности g(R) для интеграла
Гурвица часто весьма трудоемок, если непосредственно вычислять
величины в A0.3) или A0.9). Для многих целей (в частности, для
вывода соотношений ортогональности гл. 9 применительно к непре-
непрерывным группам) требуется лишь знать, что инвариантный инте-
интеграл существует.
6. Для смешанных непрерывных групп интеграл Гурвица может
быть выражен через интеграл Гурвица для той части группы,
которая связана с единичным элементом. Обозначим область, свя-
связанную с единичным элементом, через ®v а остальные связные
области — через ®2, ©3 ©р.
Элементы области ©, образуют подгруппу (фактически, инва-
инвариантную подгруппу), причем ©v являются смежными классами
по этой подгруппе, как мы уже видели на стр. 119. Если взять
по одному элементу, например Aw, из каждой области ©v, то путем
умножения на Д область ©! можно спроектировать на ®v. Так
122 Глава 10
как веса областей, которые могут быть спроектированы одна на
другую, равны, то интеграл
, A0.10)
взятый по ®!, инвариантен относительно умножения элементов
группы на произвольный элемент группы S. Таким образом, инте-
интеграл Гурвица для полной группы инвариантен, если Г ... dR
означает интеграл Гурвица для просто непрерывной подгруппы ®1#
Так как A^R пробегает все элементы смежного класса ®v,
когда R пробегает подгруппу ®lf то для каждого смежного класса
по ©j в левой части A0.10) появляется по одному члену. Но правая
часть A0.10) также включает по одному члену для каждого смеж-
смежного класса; смежный класс ®V = ^4V®! представлен членом,
в который входит SA^R, если ©^ = AV®1 является смежным
классом, содержащим S~lA^. Покажем, что
J J(A,R)dR = f J(SA^R)dR, A0.11)
откуда следует, что соответствующие члены в правой и левой
частях A0.10) равны.
Пусть 5 1А^ содержится в смежном классе А^у Пусть также
ЛA7'=5~1Д„ т. е. A^ = S~1A^T~1, где Т содержится в под-
подгруппе ©j. Тогда подстановка этого выражения в A0.11) дает
J J(A,R) dR = f J(S ¦ S~*AJ~lR)dR = f j(AJ~lR)dR.
Это соотношение, очевидно, справедливо, так как его правая часть
отличается от левой только тем, что вместо R стоит Т '/?,
а, согласно гипотезе, интеграл Гурвица по ®1 инвариантен отно-
относительно такой подстановки (Г является элементом ®J.
Это показывает эквивалентность выражения A0.10) интегралу
Гурвица для полной смешанной непрерывной группы и Одновре-
Одновременно сводит его к интегралу, взятому по той части группы,
которая просто связана с тождественным элементом. (Вся эта аргу-
аргументация справедлива, разумеется, не только для ®v но и для
любой подгруппы с конечным индексом.)
Непрерывные группы 123
7. Из соотношения A0.5) следует точно так же, как и для
конечных групп, что всякое представление можно преобразовать
в унитарное (гл. 9, теорема 1), если только сходится интеграл
Это всегда выполняется, если только объем группы j dR конечен,
как, например, в случае группы вращения. Соотношение ортого-
ортогональности для коэффициентов представлений (гл. 9, теорема 4)
принимает вид
J D(v) (R)*ADb'] (R),-y dR = '"''»'""' J dR. A0.12)
где /v — размерность представления D(v) (R). В соответствии с этим
соотношение ортогональности (9.33) для характеров принимает вид
R. A0.13)
Глава 11
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ
ФУНКЦИИ
1. Рассмотрим уравнение Шредингера НФ = ?'Ф для системы,
состоящей из двух тождественных частиц. Примем ради про-
простоты, что каждая частица имеет одну степень свободы; пусть их
координатами будут х и у. Тогда
У)=ЕИ*> у).
(ил)
где т — масса каждой из частиц. Так как частицы тождественны,
потенциальная энергия должна быть одинаковой как в случае,
когда первая частица находится в положении а, а вторая — в по-
положении Ь, так и в случае, когда первая находится в Ь, а вто-
вторая — в а. Иначе говоря, для всех значений а и Ь
Via, b) = V(p, a). A1.2)
Предположим, что A1.1) имеет дискретный спектр и что Фх(х, у)
принадлежит дискретному собственному значению Е%. Примем
также, что этому собственному значению не принадлежат другие
линейно независимые собственные функции; тогда наиболее общее
решение дифференциального уравнения для Фх:
обращающееся в нуль при стремлении х или у к -\-оо ичи —оо,
является произведением Фх на константу.
Рассмотрим функцию РФХ = ty%, определенную таким образом,
что
РФх(а, « = ф,(с, Ь) = ^ф. а) A1.4)
для всех значений а и Ь. Покажем, что Фх(а, Ь) также является
решением дифференциального уравнения (П.З). Временно обозна-
обозначим производную функции f(x, у) по первой переменной через
Представления и собственные функции 125
, у), а по второй переменной — через /B)(лг, у). Иначе
говоря
?^- = Я>(*. у). Щ^
и т. д. Аналогичным образом
Тогда дифференцирование функции A1.4) по а и Ъ дает
ij?o. &) = ^2)(?, а), ^««@, 6) = ^2)B)(б, а),
(а, ?) = ф№(&, а). 4fH2)(a, *) = ^WA)F, a).
Вычислим теперь
№A) (х у)+^B) (ху))+v {х<у) *«(х-у)-
Используя A1.6), A1.4), A1.2) и A1.3), получаем уравнение
= ЕА(У. х) = ?Л(лг, у). A1.8)
Таким образом, Рфх(х, у) = ^ч(х, у) также является решением
дифференциального уравнения A1.3), удовлетворяющим тем же
граничным условиям на ± оо. Оно должно быть, следовательно,
кратным функции tyx(x, у):
f,(*. У) = с)Ах. У). (П.9)
Чтобы определить постоянную с, заметим, что в силу A1.4),
для всех значений а и Ь. Если записать A1.10) сначала для пары
значений у, х, а затем для пары х, у
<%(У. *) = *,(*.-У). сф,(*. у) = ф,(у. х), A1.11)
то получим
c2tx(-^. У) = Фх С-». У):
так как фх(дг, у) не равна тождественно нулю, с2= 1 и с— + 1.
Таким образом, при всех х а у
Фх (л, У) = ф, (У. Jf) = ± 4>, (л, у). A1.12)
126 Глава 11
Собственная функция $%(х, у) в точке х, у имеют либо зна-
значение, равное значению в точке у, х, либо значение, противопо-
противоположное по знаку. Из общих соображений нельзя определить, имеет
ли место первый случай или второй; однако для всякой функции
ФхС*. У), удовлетворяющей упомянутым выше условиям (т. е. для
всякого определенного собственного значения), может осу-
осуществляться лишь одна из двух возможностей. Собственные значения
и собственные функциии, для которых в A1.12) следует брать
знак „ +", называются симметричными собственными зна-
значениями и собственными функциями; а те, для которых следует
брать знак „ — ", называются антисимметричными. Таким обра-
образом мы получаем качественную классификацию собственных зна-
значений и собственных функций уравнения Шредингера на классы
в зависимости от того, подчиняются ли они соотношению A1.12) со
знаком „ -f-", или „ — ".
Вполне аналогичные и даже несколько более простые аргу-
аргументы применимы к уравнению для собственных значений
где
V(x) = V( — х), (П-14)
если определить
Р<|>(*) = <|>( — х). A1.15)
Тогда вместо A1.12) получим
ф(*)=±ф(—*). A1.16)
Это является просто констатацией того хорошо известного факта,
что все собственные функции являются либо четными, либо нечет-
нечетными функциями от х.
Распространим эти соображения на более общий случай ди-
дискретного собственного значения с несколькими (но в конечном
числе) линейно независимыми собственными функциями*). При
этом вычисления мы будем заменять, где это возможно, качествен-
качественными рассуждениями; ясно, что конкретный вид оператора Гамиль-
Гамильтона A1.1) и A1.13) не является существенным и что в первом
случае играет роль тождественность двух частиц, а во втором —
') Здесь важен не столько дискретный характер собственных значе-
значений, сколько конечное число собственных функций, принадлежащих дан-
данному собственному значению. Вся теория может быть распространена
почти без всяких изменений на „дискретные комплексные собственные
значения", с которыми имеет дело гамовская теория а-распада ядер, хотя
они и не являются дискретными в указанном выше смысле, так как
интегралы от квадратов соответствующих собственных функций расхо-
расходятся.
Представления и собственные функции ¦ 127
лишь равноправность двух направлений -\-Х и —X. Мы получим
соотношения, аналогичные A1.12) и A1.16), которые аналогичным
образом выделяют разные типы собственных функций: собственные
функции, принадлежащие данному собственному значению, удовлет-
удовлетворяют одному из нескольких наборов соотношений, и, наоборот,
собственные значения, собственные функции' которых удовлетво-
удовлетворяют тому же набору соотношений, обладают сходными свойствами.
Собственные функции различных типов относятся к термам с раз-
разными свойствами; эти свойства образуют основу для классификации
уровней („зоологии уровней").
Соображения, которые привели к A1.12), опираются на то
обстоятельство, что A1.1) инвариантно относительно преобразо-
преобразования
х' — у, у' = х. A1.17)
Отсюда следует, что функция 1) P<j)x, определяемая соотношением
Рфх(с. *) = ф,(*. а),
которое тождественно выполняется для всех а и Ь, является ре-
решением уравнения Н<|> = ?<|», если только ф, является его решением.
Для обобщения этого результата положим, что R — веществен-
вещественное ортогональное преобразование
12*2+ ••
+^ЛГя> A1.18а)
и определим Р_/ как функцию, для которой соотношение
тождественно выполняется либо по переменным хг, х2, .... хп
[в этом случае x'v x'2 х'п следует рассматривать как пред-
представленные выражениями A1.18аI, либо по х[, х'2, .... х'^, в по-
последнем случае вместо xt подставляется
!„*' A1.186)
') РФ означает функцию так же, как обычные обозначения функций/
или g; Рф (х, у) является значением этой функции в точке х, у. Так,
например, A1.19) означает, что PR/ в точке х\, х'2 х'п имеет то же
значение, что и функция / в точке хи хг,.... х„.
128 Глава И
Таким образом, Pr есть оператор, заменяющий х'. на хг Однако,
так как в подобном словесном определении различие между опе-
операцией Pr и обратной к ней не вполне ясно, то по существу во
всех расчетах будут использоваться формальные определения,
выраженные соотношениями A1.19) и A1.18а) или A1.186).
Если теперь две точки ху х2, . .., хп и х'у х'2 х'п кон-
конфигурационного пространства, которые преобразуются друг
в друга с помощью заданного преобразования R, являются физи-
физически эквивалентными (т. е. они отличаются лишь перестановкой
положений двух тождественных частиц), то и две функции ф
и PR^ также эквивалентны (в PR<j» вторая частица просто играет
ту же роль, которую первая играла в <J>, и наоборот). Если
<|)— волновая функция стационарного состояния, то этим свойством
обладает и Рк*ф, и обе они относятся к одной и той же энергии.
Из уравнения Нф == ¦Е'ф следует, что HPRA» = ?'PR(]> и Н инва-
инвариантно относительно операции PR.
Преобразования R, которые преобразуют эквивалентные точки
друг в друга, образуют группу— „группу уравнения Шредингера",
так как произведения таких преобразований и их обратные также
преобразуют одни эквивалентные точки в другие (т. е. принадлежат
этой группе). Тождественным элементом группы является то-
тождественное преобразование, переводящее каждую точку в саму себя.
Сама эта группа называется группой симметрии конфигурацион-
конфигурационного пространства.
Аналогичные соображения применимы к оператору PR. Легко
видеть, что Ps • PR = PSR. Преобразование R переводит х в х',
так что PKf (x'l) = f(x\ a S переводит х' в х", так что
Ps?" (x"i) — S (x't)- и> следовательно, для g (x) — PR/ (x)
Но SR преобразует х непосредственно в х", так что
Рю/Ю = /(*!>
что дает соотношение, определяющее PSR/. Так как / является
произвольной функцией, то отсюда следуем что
Psr = Ps-Pr- С11-22)
Группа PR изоморфна группе R.
Определение A1.19) функции PR/ может быть также записано
в виде ¦ _ _
Pr/(*j. ¦¦¦•*„)=/(*! "*„)- <1
где
Представления и собственные функции _ 129
Следовательно, при вычислении PsPr/ имеется искушение действовать
следующим образом:
pspr/(^ *„)= PS/(Ji- • • •¦ J> W
где
и поэтому
xi = 2 (s"')« (R"% *1 = 2 (S»)»; ^ = S ((RS)"% *;• <**)
Тогда можно найти, что
Так как, в силу A1.19а), это равенство служит определением Prs/, можно
заключить, что PsPr/= Prs/
Тогда возникает вопрос о том, какое из этих двух вычислений пра-
правильно: то, которое приводит к A1.20), или последнее. Как читатель уже
подозревает, правильным является расчет, приводящий к A1.20). Ошибка
последнего вычисления содержится в соотношении (#). Представляется,
что это равенство следует из A1.19а) [или A1.19)], если применить
к обеим частям Ps. Однако операторы можно применять только к функ-
функциям, а две части равенства A1.19а) представляют значения функций
(числа) для определенных значений аргумента. Функцию PR/ можно
обозначить через /; тогда Ps(Pr/)= Ps/~ Получив это равенство, можно
подставить любые значения аргументов, и получающиеся при этом соот-
соотношения будут правильными. Такое рассуждение приведет к A1.20).
С другой стороны, нельзя применять Ps к числам.
Предположим, например, что равенство f(x) = g(x') выполняется для
всех значений х, если х' = х + I, и что Ps является операцией замены
переменной на ее обратную величину. Тогда можно заключить, что
или
при х' = х + 1. Ясно, что такое равенство неправильно.
Мысль о возможности перехода от (¦*) к (•#-#) не возникает, если помнить,
4to.PsPr/= Ps (PR/) является функцией. Если бы такая запись не была
слишком непривычной, целесообразнее было бы писать выражение
(PSPR/) (xv ..., л:я) для значения этой функции в точке ху ..., хп, по-
показывая, что P$Pr/ является символом функции, каким являются
часто F, g и т. д.
Следует заметить также, что определение, следующее из A1.19),
A1.18а), является естественным. Конфигурация с координатами х, в штри-
штрихованной системе и конфигурация с координатами xi в нештрихованной
системе физически тождественны. В этом заключается смысл A1.18а).
130 Глава II
Тогда смысл A1.19) состоит в том, что волновая функция PR/ штрихо-
штрихованной системы и волновая функция / в нештрихованной системе имеют
одни и те же значения для одной и той же конфигурации.
3. Операторы Р линейны. Подстановка х вместо х' в сумме
равносильна выполнению той же операции в каждом из отдельных
слагаемых; далее, умножение функции, в которой сделана такая
подстановка, на постоянный множитель дает тот же результат, что
и умножение и последующая подстановка. Иначе говоря,
Так как оператор Р представляет собой просто преобразование
к новой ортогональной системе координат в конфигурационном
пространстве, Р должен быть унитарным, т. е. для двух произволь-
произвольных функций / и g скалярное произведение не меняется:
(/. g) = (Pf. Pg)-
Резюмируя, можно сказать, что при сделанных нами весьма общих
предположениях Р является унитарным линейным оператором.
В рассматриваемом частном случае Р обладает также свойством
pfg = pf.pgi A1.22)
которое следует непосредственно из его определения. Это свойство
оператора Р не является таким общим, как его линейность и уни-
унитарность.
4. В большинстве случаев группа уравнения Шредингера может
быть определена из общих физических соображений.
Рассмотрим систему из п электронов, причем координаты й-го
электрона обозначим через xk, yk, zk '). Тогда уравнение Шре-
Шредингера инвариантно относительно двух типов преобразований.
Червое из них описывает перестановку электронов и имеет вид
xi — ха • У\ — Уа • zi — *« •
*Я=*«1. У*=Уа,' «2 = *V (I I.E.I)
п а * У и а„* Л о. *
п п п
где <Xj, а2, ..., ая — произвольная перестановка чисел 1, 2, 3 п.
Инвариантность относительно таких преобразований следует из физи-
физической эквивалентности всех электронов. Разумеется, то же самое
') Таким образом, мы имеем Зя переменных хи ylt zlt x* y2, zt,...
> ХФ Уп> гп вместо п переменных х\, х2, ..., хп.
Представления и собственные функции 131
относится к протонам, а-частицам и т. д. Второй тип преобразо-
преобразований описывает вращение системы координат и имеет вид
*'l =Рц*1
Х2 = Рц-«2 +РйУа +Pl3^2- -V2 =
К = Рц*„ + Р12УЯ + МЯ> У; = КХп + Рй У»
где (р/л) — вещественная ортогональная матрица; равенства A1.Е.2)
означают лишь переход к системе координат с иной ориентацией.
Физическая эквивалентность всех направлений в пространстве
(по крайней мере в отсутствие внешних полей) приводит тогда
к инвариантности относительно таких преобразований.
Ясно, что уравнение Шредингера инвариантно вакже относи-
относительно преобразований, объединяющих A1.ЕЛ) и A1.Е.2). Преобра-
Преобразования A1.ЕЛ) образуют группу, изоморфную группе перестано-
перестановок п объектов (симметрической группе); преобразования A1.Е.2) —
группу, изоморфную трехмерной группе вращений.
Обозначим элемены группы уравнения Шредингера через R,
S, ... Существуют операторы PR, Ps соответствующие этим
элементам группы. Аналитическое выражение PR дается равен-
равенством A1.19), в котором R является преобразованием, соответствую-
соответствующим элементу группы R. Однако в дальнейшем мы будем пользо-
пользоваться в качестве индекса оператора Р элементом группы, а не
соответствующей матрицей. Мы это делаем, во-первых, потому, что
при этом обозначения становятся менее громоздкими, а, во-вторых,
потому, что элемент симметрии имеет более фундаментальное зна-
значение, чем соответствующая ему матрица. Физический смысл опе-
оператора PR заключается в том, что он образует, исходя из волно-
волновой функции ср некоторого состояния, волновую функцию Рд<р со-
состояния, в котором частицы обменялись ролями или новые направ-
направления х', у'', г' играют роль старых направлений х, у, г.
Существуют физические величины (в данном случае энергия),
с точки зрения которых состояния ср и Р„ср эквивалентны. Это
означает, что измерение этих величин дает те же самые значения
с той же вероятностью как при ср, так и при PRf- Операторы,
соответствующие физическим величинам этого рода, называются
132 Глава 11
симметричными по отношению к преобразованиям Р^, а группа
называется группой симметрии физической величины. Группа
перестановок тождественных частиц и вращений системы коор-
координат является группой симметрии энергии.
5. В A1.12) или A1.16) мы установили тот факт, что функ-
функция Рф должна быть кратна ф, так как она принадлежит собствен-
собственному значению функции ф. В более общем случае, когда рассматри-
рассматривается собственное значение с / линейно независимыми собственными
функциями tj»!, ф2, ..., ijij, этого вывода уже сделать нельзя. Можно
только сказать, что все функции Pj^lt Р#ф2 P#<|»j могут
быть записаны в виде линейных комбинаций функций ф1( t|>2, ..., фг
(поскольку каждая собственная функция этого собственного значе-
значения обладает этим свойством). Обозначим соответствующие коэф-
коэффициенты через D (R\^, так что 1)
P*t(xv Ух- *!.'•••• хп> У»- *») =
i
= 20(Л)„<|>,(*1. У„ *, хп, уп, zn). A1.23)
Если S также принадлежит группе уравнения Шредингера,
имеем
Подвергая переменные в A1.23) преобразованию 5, т. е. применяя
оператор Ps к обеим частям, получаем (Р$ — линейный оператор
и D (/?)„ являются постоянными!)
х 1 х=1
Фх 2
Х=1
С другой стороны, Ps • Pj?«l»v = Ps^v, так что
Фх- О1-24)
Отсюда, приравнивая коэффициенты этого разложения соответ-
соответствующим коэффициентам в A1.24), находим
A1-25)
¦) Индексы xv написаны в таком порядке, чтобы, согласно A1.25),
сами матрицы D (/?), а не их транспонированные D (R)T, могли образовы-
образовывать представление.
Представления и собственные функции 133
Образованные из коэффициентов, входящих в A1.23), /-мерные
матрицы D (R) превращают собственные функции ф„, принадлежа-
принадлежащие некоторому собственному значению, в преобразованные соб-
собственные функции Р^фч. Поскольку они удовлетворяют соотноше-
соотношениям D (SR) = D (S) D (R), эти матрицы образуют представление
группы, относительно которой Нф = ?'ф инвариантно. Размерность
представления равна числу I линейно независимых собственных
функций (Jjj, ф2 фг, принадлежащих рассматриваемому соб-
собственному значению.
Общие соображения также мало говорят как о том, коэффи-
коэффициенты какого представления входят в (J1.23), так и о знаках
в соотношении A1.12); соотношение A1.23) допускает различные
возможности (фактически несколько), так же как и A1.12). Сле-
Следует снова предполагать, что для различных собственньТх значе-
значений могут иметь место различные представления.
Скомбинируем далее A1.23) с уравнением, определяющим Р •
~
1. Ур zx хп, уп, zn). A1.18b)
Если заменить R на R~ , роли штрихованных и нештрихованных
переменных поменяются. Поэтому мы получаем формулы преобра-
преобразования для функций ф,:
1 хп. уп. zn). A1.26)
t
t
Они связывают значения собственных функций в физически экви-
эквивалентных точках конфигурационного п-ространства.
Группа, относительно которей A1.1) инвариантно, состоит из то-
тождественного преобразования и преобразования R, соответствующего
взаимной замене х и у. Так как собственное значение было простым
(по предположению), мы должны получить одномерное представление
группы отражений. Поскольку Р? является тождественным операто-
оператором, то
Ряф = ф=,1.ф.
Иначе говоря, тождественный элемент группы соответствует матрице A).
Далее A1.12) утверждает, что
Р^ = ф= ±ф= ± ьф. A1.12а)
Некоторым собственным значениям соответствует верхний знак; для них
матрица A) соответствует элементу R, который переставляет две частицы.
Другим же собственным значениям отвечает нижний знак; для них эле-
элементу группы R соответствует матрица (—1). Таким образом мы полу-
получаем два одномерных представления симметрической группы из двух
элементов. Одно состоит из соответствия D (Е) = A), D (R) — A); дру-
другое - из D (?) = A), D (R) = (-1).
134 Глава 11
6. Если выбрать новые линейно независимые функции (ji'j, ..., ф|
вместо ф^ .... ф,, где
то получим в A1.23) другое представление группы операторов Р.
Тогда возникает вопрос о том, как связаны эти два предста-
представления.
Пусть
t=2ftX 01-28)
где р есть матрица, обратная а. Тогда, в силу линейности опера-
операторов Ря, имеем
<=2 %р*Ф, = 22 %
РхЖ=2 B рХхя (Л)„ %) «к. (и .29)
Матрица D(/?), которая преобразует ф' в Р#ф', получается из D (/?)
путем преобразования подобия с помощью матрицы «:
D(/?) = «~1D (/?)«. A1.30)
Иной выбор линейно независимых собственных функций для дан-
данного собственного значения вызывает лишь преобразование подо-
подобия соответствующего представления: представление группы урав-
уравнения Шредингера, принадлежащее определенному собствен-
собственному значению, определяется однозначно с точностью до
преобразования подобия.
Если мы хотим иметь собственные функции, преобразующиеся
не с помощью D(/?), а с помощью эквивалентного ему предста-
представления, то следует образовать новые линейные комбинации соб-
собственных функций, пользуясь матрицей «, преобразующей пред-
представление D(#) к желательному для нас виду D(/?).
Однозначно определенное (с точностью до преобразования
подобия) представление является качественной характеристикой,
с помощью которой могут отличаться различные типы собствен-
собственных значений. Представление, принадлежащее синглетному уровню S,
отличается от представления, принадлежащего, например, три-
пдетному уровню Р или синглетному уровню D, тогда как все
представления, принадлежащие триплетным уровням Р, эквива-
эквивалентны. Эти представления практически всегда будут неприводи-
неприводимыми, что и является одной из причин особой важности неприво»
димых представлений.
Представления и собственные функции 135
7. Если I собственных функций (jij, .., ф; взаимно орто-
ортогональны (мы всегда будем предполагать, что это так), то соот-
соответствующее представление унитарно. Из унитарности опера-
оператора Р# следует, что / функций Р„$Г ¦ ¦ •. Рпфг также ортогональны:
или, с использованием A1.23),
т. е.
Таким образэм, D(R) является унитарной матрицей1). Следова-
Следовательно, сразу можно заключить, что соотношения ортогональности
гл. 9 имеют место для D (/?), если только это представление
неприводимо.
Соотношению A1.26) можно также придать вид
и,(*1. л. «1 *». у». *»)=
ФХ(^. У! ^ *я. Уя. 2„). (Ц.26а)
Отсюда также видно, что мы будем иметь дело только с пред-
представлениями с отличными от нуля определителями
') Поскольку собственные функции всегда можно выбрать так, чтобы
они были ортогональными, это дает особенно простое доказательство
того, что представления вгегда могут быть сделаны унитарными.
Глава 12
АЛГЕБРА ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Изложим теперь некоторые алгебраические соображения, свя-
связанные с результатами предыдущих глав. Сначала выведем неко-
некоторые чисто математические теоремы.
1. Пусть D(;'(/?) —неприводимое унитарное представление раз-
размерности lj группы унитарных операторов Р^, и пусть /{¦",
/г . •••. /И представляют собой lj собственных функций, для
которых имеет место уравнение
Ч
Ptf/^-g^'Wx,/^ (Р=1. 2 lj) A2.1)
при всех Р„. Говорят, что функция /* принадлежит х-й строке
неприводимого представления b(i)(/?), если существуют такие
функции-„партнеры" f[J\ f?> f[J2u f% А", что все f[n
удовлетворяют A2.1). Это утверждение является вполне опреде-
определенным только в том случае, если представления Dw(/?) заданы
полностью, а не с точностью до преобразования подобия.
Умножая A2.1) на Dy'(/?)*,х, и суммируя (или интегрируя —
в случае непрерывной группы) по всей группе, на основе свой-
свойства ортогональности элементов представления находим, что
.¦K*-flJ) =¦}-*»'*«•№• A2-2)
Отсюда, в частности, имеем
V h %
= Та "Г°
Алгебра теории представлении 137
для каждой функции /1Л принадлежащей х-й строке неприводи-
неприводимого представления D (/?). Наоборот, для любой функции f[ ,
удовлетворяющей A2.3), может быть найден набор таких функций-
партнеров /Д f{2j) /{ЛЪ /JU ffy, что A2.1) имеет
место для всего набора. Соотношение A2.3) является необхо-
необходимым и достаточным условием того, что /1;) принадлежит
/-й строке неприводимого представления D (/?).
Из A2.2) следует, что если у /^ имеются функции-партнеры,
то они должны задаваться выражением
«(S)LPs/A A2.3а)
Мы рассматриваем это равенство в качестве определения f[ ,.... /i_i,
fx+u • • •• /И'- Кроме того, по предположению, A2.3а) справедливо
и для частного случая Х = х, так что оно применимо ко всем f{/K
Непосредственная подстановка правой части A2.3а) вместо /{/' и /1'
в A2.1) показывает, что A2.1) справедливо, если только
р« х 2 dU) Ч* р^}) - S dU) <*V т S dU) («
s x s
Но это равенство выполняется тождественно, как легко видеть,
применяя Рд-i к обеим его частям и подставляя D^\R)X =
) Поскольку Dy) образуют представление это
(/?"')* Поскольку Dy) образуют представление, это дает
и суммирование справа можно выполнять по R lS вместо сумми-
суммирования по S. Поэтому для всякой /S/', удовлетворяющей A2.3),
равенство A2.3а) определяет функции-партнеры, так что A2.1)
удовлетворяется для всего набора.
2. Линейная комбинация afx^-{-bg[^ функций /»•" и gxj\
каждая из которых принадлежит х-строке представления D ,
также принадлежит той же строке этого представления. Это сле-
следует непосредственно из линейности выражения A2.3) или из опре-
определения A2.1).
3. Если D{l)(R), DB>(/?) Dw(/?) —все неприводимые пред-
представления группы операторов Р^, то каждая функция F, к кото-
138 Глава 12
рой применяется оператор Р#, может быть записана в виде суммы
f = 2 2/i". A2.4)
7=1 *=i
где /S/' принадлежит х-й строке представления D (/?).
Чтобы показать это, рассмотрим й функций F — PEF, Pa,F,
PaJF РА F, получающихся в результате применения h опе-
операторов группы Р# к функции F. Если эти функции не являются
линейно независимыми, можно опустить столько из них, чтобы
остающиеся функции F, F2 Fh' были линейно независимыми.
Эти h' функций „натягивают" представление группы операто-
операторов Р#. Если применить один из операторов Р# к этим функ-
функциям, то получающаяся при этом функция может быть предста-~
влена в виде линейной комбинации функций F, F2 F/,'. Пусть,
например, Fk = PTF; тогда PRPTF = PrtF, и "либо это одна из
функций Ft, либо она может быть представлена в виде их линей-
линейной комбинации. Следовательно,
Р^* = 2Д(Л)«^. A2-5)
i=i
и матрицы А(/?) образуют представление группы операторов Р#.
Это соответствует свойству собственных функций порождать пред-
представление, которое обсуждалось в конце предыдущей главы. В явном
виде
= Ps 2
i n
и, так как функции Fп линейно независимы,
Такой метод порождения представления будет играть существенную
роль в дальнейшем в явном определении неприводимых представлений
симметрической группы. Путем специального выбора начальных функ-
функций F может быть получено много типов представлений, которые будут
полезны для нахождения неприводимых представлений.
Если представление в A2.5) не является неприводимым, оно
может быть приведено с помощью преобразования подобия,
а именно С помощью преобразования, которое приводит все
Алгебра теории представлений
139
матрицы А(/?) одновременно к виду
)A)(Я) О
О DB)(R)
= «-1 А (/?)«, A2.Е.1)
где все D являются унитарными неприводимыми представлениями.
Тогда, согласно п. 6 гл. 11, с помощью матрицы я можно по-
построить линейные комбинации функций Fk, которые преобразуются
операторами Р^ с матрицами A2.ЕЛ) и которые, следовательно,
принадлежат различным строкам неприводимых представлений
DA), D<2\ . .. Наоборот, поскольку матрица я имеет обратную,
функции Fk, а тем самым и F, могут быть выражены через эти
линейные комбинации. Это доказывает, что произвольная функ-
функция может быть представлена в виде суммы A2.4).
Чтобы вычислить функции /1 , входящие в A2.4) в явном
виде, применим PR к A2.4), умножим на D(-"(/?)*x и просумми-
просуммируем по всем R. Тогда получим
21 °U)w™?rf=212121 °U)<*)»pлГ)=тf[i)- A2-6)
R /' х' J? '
Последнее равенство в A2.6) следует из A2.3).
Равенство A2.6) показывает, что 2 D{i) {R)*n Pr • F принад-
R
лежит %-й строке представления Dy)(/?) для совершенно про-
произвольной функции F; это можно проверить, представляя это
выражение для /^ в соотношении A2.3), которое приобретает вид
if 21 °U) (•% Ps A С" № P/) = 21 DU) № PRF.
S \ R J R
Подставляя SR = T в левую часть и суммируя по Т вместо S,
мы видим, что левая часть совпадает с правой:
2 D'4StxPs
T,R
t PrF
T.RX
PTF
J
140 Глава 12
Здесь суммирование по R было проведено в (9.31а).
Тождество
р=2 2 2 т °и) (*>» "V A2-6а)
имеет место для совершенно произвольной функции F, т. е. при произ-
произвольных значениях h величин Р^. Это возможно только в том случае,
если
& 1о при R*E-
При R - Е, поскольку ?>у> (?)хх =1, это дает
с I.
^ jU h~ 4U h ~
Это значит, что сумма квадратов размерностей всех неприводимых пред-
представлений равна порядку представляемой группы. Эта теорема была
сформулирована, но не доказана на стр. 102.
4. Две функции fW и g[l'\ которые принадлежат различным
неприводимым представлениям или различным строкам одного и
того же представления, ортогональны. Для функций /М) и gV,">
существуют такие функции-партнеры /W, ДЛ, fU\ ... и gV'\
gl/'K g^'\ •••, что, по определению,
Так как Р^ — унитарный оператор
2 2 (); Dw'» (R\,x, (/(Л, ^У')). A2.7)
Суммируя в этом равенстве по всем операторам группы р„, по-
получаем
h(fU\ &')) = ±Ъ}}.ЪХХ. 2(/F». gP). A2.8)
Отсюда следует, во-первых, фундаментальная теорема, сформули-
сформулированная выше, о том, что (/У), gU,'A обращается в нуль при
j ФУ или х Ф %', и, во-вторых, что (fV\ g[^) одинаковы для
всех партнеров, т. е. не зависят от х.
5. В предыдущей главе мы говорили об операторах, которые
симметричны относительно Р#; например, oneptfrop Гамильтона'Н
( Алгебра теории представлений 141
был симметричен относительно операций A1.Е.1) и A1.Е.2). Это
значит, что Р„ вызывают только такие не сказывающиеся на Н
изменения функций, как перестановка тождественных частиц и т. д.
Теперь мы несколько уточним это понятие. Симметричные
операторы, которые мы рассматриваем, всегда эрмитовы и соот-
соответствуют физическим величинам, как, например, энергии. Опе-
Операторы P^, относительно которых некоторый оператор сммметричен,
являются унитарными операторами. Однако они не соответствуют
физическим величинам; вместо этого они преобразуют волновую
функцию заданного состояния в волновую функцию другого состоя-
состояния. Оператор S называется симметричным, если он действует
на все Р„ср так же, как и на ср. Мы сразу увидим, что это опре-
определение совпадает с определением предыдущей главы.
Утверждение о том, что S — некоторый оператор, симметрич-
симметричный относительно Р#, и что ф —одна из его собственных функ-
функций, т. е. 8ф = 5ф, означает, что в состоянии ф измерение величины,
которой соответствует S, с определенностью дает значение s.
Тогда это должно выполняться и для Р#ф, т. е. Р^ф также должна
быть собственной функцией оператора S, принадлежащей соб-
собственному значению s.
Применяя Р„ к обеим частям уравнени) 8ф = $ф, находим
PnSty = Рр^ф = sPflty- Отсюда с учетом уравнения 8Рпф = «Ряф
имеем SP/?4' = Р^Эф; это соотношение должно выполняться для
каждой собственной функции оператора S, так как собственное
значение не входит в последнее равенство. Это соотношение
линейно и поэтому применимо ко всякой линейной комбинации
собственных функций, а следовательно, ко всем функциям. Поэтому
отсюда следует операторное тождество SP# = P#S: оператор,
симметричный относительно Р#, коммутирует со всеми Р#.
Нет никакой разницы, в каком порядке S и Р^ применяются
к функции. Говорят, что S инвариантен относительно Р#.
Применяя оператор S к A2.1), мы видим, что если /1 при-
принадлежит х-й строке представления D , то той же строке при-
принадлежит и S/i/'. Тогда из A2.8) следует, что
обращается в нуль при j ф )' или ч Ф ч.'; при J = j', x = ¦*.' это
выражение не зависит от х.
Хотя эти теоремы имеют весьма общую природу, они широко
известны только для простейших групп операторов. Одна группа, для
которой эти теоремы привычны, состоит из тождественного оператора Ря
и оператора A1.15) гл. 11:
=/(-¦*>. Рд=Р?-
142 Глава 12
Группа РЕ, Рд является группой отражений. Она имеет два неприводи-!
мых представления, причем оба одномерны:
DA)(?) = (l), DA) (/?) = A) и DB)(?) = (l), DB)(#) = (— 1).
Для функций, принадлежащих первому представлению (оно имеет лишь
одну строку), A2.1) приобретает вид
Это четные функции х. Для функций, которые принадлежат второму
представлению, A2.1) запишется следующим образом:
Это нечетные функции. Уравнение A2.3) для /W {х) имеет вид
<J> A) (л:) + D<J) (Л) Рд/A) (*) =
а для /*2' (л:) — вид
Обратно, из этих уравнений следует, что z'1' (x) — четная функция,
а /^ (х) — нечетная. Конечно, известно, что всякая функция может быть
разложена на четную и нечетную части и что всякая четная функция
ортогональна всякой нечетной.
6. До сих пор мы должны были предполагать, что представления
определены некоторым произвольным образом. Тот же произвол
имеется в определении функций /j/': функция, принадлежащая
х-й строке неприводимого представления, не принадлежит в общем
случае *-й строке эквивалентного представления. Теоремы, кото-
которые мы приведем ниже, не зависят от частного вида представления.
Для всякой функции f\{\ которая принадлежит х-й строке не-
неприводимого представления Ъ^ (R), согласно A2.2), имеет место
DU) (Rtx РрЛП = j- Wi"- A2.2a)
R J
Суммируя по X от 1 до lj, находим
хи) (#)* Р*/1У) = 77 № ("Р" х =1 • 2 hi A2-9>
Поскольку в A2.9) ч уже несущественно, это равенство удовле-
удовлетворяется всеми функциями, принадлежащими произвольным строкам
представления D (/?), а также произвольными линейны ih ком-
1 Алгебра теории представлений 143
бинациями таких функций. О функции, удовлетворяющей A2.9)
говорят, что она принадлежит представлению D(;)(/?). Этот факт,
так же как и характер, не зависит от специального вида представле-
представления. Наоборот, всякая функция, удовлетворяющая A2.9), является
линейной комбинацией функций, каждая из которых принадлежит
одной из строк представления D (/?). Согласно A2.9),
я/Л. A2.10)
Но, в соответствии с A2.3), всякая функция вида
принадлежит Х-й строке представления DW)(#).
Из A2.10) также следует, что функции, принадлежащие экви-
эквивалентным неприводимым представлениям, ортогональны друг
другу. Кроме того, каждая функция F может быть представлена
в виде суммы
1tif. A2.10
где /^' принадлежит представлению D^(/?). Чтобы показать это,
достаточно лишь переписать A2.4) в виде
A2.4а)
Функции, принадлежащие заданному неприводимому предста-
представлению, имеют, таким образом, свойства, вполне аналогичные свой-
свойствам функций, принадлежащих строке неприводимого предста-
представления. Линейная комбинация функций определенного рода есть
снова функция того же рода; произвольная функция может быть
записана в виде суммы функций, по одной из каждого рода; две
функции различного рода всегда взаимно ортогональны; наконец,
оператор S, инвариантный относительно Р/?, преобразует функцию
некоторого данного рода в другую функцию того же рода.
Сформулированные здесь общие теоремы о функциях можно резю-
резюмировать, если сказать, что функции различного рода (принадлежащие
различным неприводимым представлениям или различным строкам одного
и того же неприводимого представления) принадлежат различным соб-
собственным значениям некоторого зрмитового оператора, который, так же
как все Р и функции от них, коммутирует со всеми инвариантными
операторами §,
144
Глава 12
Оператор Од, преобразующий F в
или, в случае, рассматриваемом в настоящем разделе, в
A2Л2а)
имеет два собственных значения: 0 и h/lj. Все функции, принадлежащие
х-й строке представления D'-^ (R) или просто представлению D^ (R),
соответствуют собственному значению h/lj. Функции, которые принад-
принадлежат другим строкам неприводимого представления Z)'" (R) (или дру-
другим представлениям), соответствуют собственному значению 0.
Указанные выше теоремы дают не что иное, как соотношения
ортогональности и полноты собственных функций операторов A2.12),
A2.12а). Разница между ними и обычными эрмитовыми операторами
возникает лишь в силу того обстоятельства, что A2.12), A2.12а) являются
операторами с бесконечной кратностью вырождения, так как каждому
собственному значению принадлежит бесконечное число линейно неза-
независимых собственных функций. В математической литературе опера-
операторы ljOj/h называются также идемпотентными или проекционными опе-
операторами, так как (ijOj/hJ = ijOj/h.
7. Возвратимся теперь к уравнению Шредингера Нф=?ф.
В предыдущей главе мы видели, что однозначно определенное
(с точностью до преобразования подобия) представление группы Р#
принадлежит каждому собственному значению оператора Н. С дру-
другой стороны, мы знаем также, что это преобразование подобия
находится в нашем полном распоряжении, поскольку оно состоит
просто в выборе определенной линейной комбинации собственных
функций.
Со многих точек зрения целесообразно предполагать, что пред-
представления отдельных собственных значений, поскольку они не
являются неприводимыми, находятся в приведенном виде,
0
0
A)
о
О
D{s)(R)
. A2.13)
Здесь DA) (/?) D<lS) (R) просто неприводимые представления
(не обязательно различные), являющиеся s неприводимыми ком-
компонентами представления \(R). Пусть их размерности будут
/х, /2 ls. Обозначим через
Алгебра теории представлений 145
те линейные комбинации собственных функций, которые соответ-
соответствуют этому виду представления для рассматриваемого собствен-
собственного значения. Запишем теперь соотношение A1.23) предыдущей
главы для этого собственного значения:
[Учитывая нули в A2.13), сразу можно выразить Рдф^' в виде
линейных комбинаций функций ^v с одним и тем же верхним
индексом.] Но из A2.14) следует, что фМ удовлетворяет A2.3).
Собственная функция фМ принадлежит х-й строке предста-
представления D^', а ее партнерами являются фМ, фB^, ..., ф^Л.
Вид формулы преобразования A2.14) показывает, что мы рас-
рассматриваем собственные значения матрицы A2.13) как s случайно
совпавших собственных значений. Собственные функции ф('),
ф^, •••. ф{1} принадлежат первому собственному значению; ф<2),
ф^2) ф<2)—второму; ...; и ф<Д ф^> фМ — последнему.
Каждому из этих собственных значений принадлежит одно непри-
неприводимое представление. Следовательно, если рассматривать таким
образом весь спектр собственных значений, можно утверждать,
что одно неприводимое представление соответствует каждому
собственному значению, и одна строка неприводимого пред-
представления соответствует каждой собственной функции; парт-
партнерами собственной функции являются другие собственные
функции, принадлежащие тому же самому собственному'
значению.
В общем случае всякому заданному представлению будет соот-
соответствовать очень много собственных значений. Поэтому можно
провести дальнейшую стандартизацию формул для представлений,
беря представления в одинаковом виде для всех уровней, которым
они принадлежат.
Когда несколько собственных функций, являющихся партнерами,
принадлежат одному собственному значению, мы говорим о „нор-
„нормальном вырождении". Если к тому же совпадают несколько соб-
собственных значений, как это было в случае собственного значения
в A2.13), мы относим это к случайному вырождению. Будем
считать, что такая ситуация является весьма необычной и что
в важном случае уравнения Шредингера она может встретиться
лишь в виде исключения.
8. Чтобы привыкнуть к введенным выше понятиям, применим
их теперь для рассмотрения теории возмущений Рэлея — Шредин-
Шредингера. Начнем с собственного значения Е „невозмущенной" задачи,
146 Глава 12
которое не имеет случайного вырождения. Соответствующее пред-
представление группы уравнения Шредингера является тогда непри-
неприводимым, и собственные функции i)»?1, ф^. •••, $ш принадлежат
различным строкам неприводимого представления. Добавим к перво-
первоначальному оператору Гамильтона Н „симметричное возмущение" XV,
обладающее тем свойством, что оно не нарушает симметрию
группы оператора Н, т. е. являющееся симметричным оператором
в смысле, введенном в этой главе. Чтобы сформулировать секу-
лярное уравнение для первого приближения к сдвигу энергии АЕ,
мы должны вычислить матричные элементы (&Ех, VtyE%,\ Согласно
A2.8а), они все равны нулю при % Ф %' и все равны между собой
при * = *'. Если обозначить их общее значение через vE, то
секулярное уравнение принимает вид
lvE~-AE О ... О
О \vE — AE... О
О 0
= 0
и имеет Z-кратный корень Хт>я. Таким образом, в первом прибли-
приближении собственные значения не расщепляются. Более того, они
не могут расщепиться в сколь угодно высоком приближении, так
как при расщеплении, скажем, на два собственных значения Ег
и Е2 с /j и /2 собственными функциями (/j-|-/2 = Z), lx собствен-
собственных функций уровня Е1 преобразуются одна в другую под дей-
действием Р, и им должно соответствовать представление размерно-
размерности 1Х. Это представление не может содержать первоначальное
неприводимое представление невозмущенного собственного значе-
значения, так как 1Х < /. Тогда эти 1Х собственных значений уровня Е1
были бы ортогональны всем I собственным функциям уровня Е
и не могли бы быть получены из них или из линейных комбина-
комбинаций каким-либо непрерывным образом. При ^симметричном воз-
возмущении" собственное значение с неприводимым представле-
представлением сохраняет это представление и не может расщепиться.
9. Рассмотрим теперь собственное значение, представление ко-
которого Л (/?) содержит D*1' (/?), D<2> (/?), ... соответственно ava2,...
раз. По поводу рассмотрения в п. 7 настоящей главы можно
также сказать, что аг собственных значений с представлением
DW (/?), а2 — с представлением D<2> (/?) и т. д. совпадают слу-
случайно. Если теперь вводится симметричное возмущение XV, то
наибольшим изменением, к которому оно может привести, является
расщепление случайно вырожденных собственных значений, Тогда.
Алгебра теории представлений 147
при наличии возмущения будет а, собственных значений с пред-
представлением D'4 (R), а2 собственных значений с представлением
DB) (R) и т. д. В общем случае эти ах ~\- а2 + ... собственных
значений будут различными. То, что после введения возмущения
должны появиться в точности а1 собственных значений с пред-
представлением D'1' (/?), следует из того факта, что число собственных
функций all1, принадлежащих представлению DA) (R), не может
измениться. Изменение этого числа означало бы, что изменилось
соответствие собственных функций неприводимым представлениям.
Выше мы видели, что это не может произойти непрерывным
образом.
В п. 8 настоящей главы мы рассмотрели собственное значение
с неприводимым представлением. Несмотря на то, что ему при-
принадлежит / собственных функций, оно не может быть расщеплено
симметричным возмущением. Это оправдывает название „естествен-
„естественное вырождение", которое описывает соответствие этих / линейно
независимых собственных функций одному собственному зна-
значению.
О собственном значении, которое, как и рассмотренное выше,
соответствует приводимому представлению, говорят, что оно со-
состоит из ах собственных значений представления DA' (/?), а2 соб-
собственных значений представления DB> (R) и т. д. Совпадение этих
а,, а2, ~.. собственных значений называется случайным вырожде-
вырождением, так как его появление в отсутствие возмущения связано со
специфической природой гамильтониана задачи. Оно не следует
из симметрии задачи, лежащей в его основе.
10. То обстоятельство, что собственные функции оператора
H-bW могут рассматриваться как'принадлежащие одной строке
одного неприводимого представления, справедливо не только для
точных собственных функций, но и для каждого из последова-
последовательных приближений теории возмущений. Прежде всего, ясно,
что оно справедливо для точных собственных функций, т. е. для
всего степенного ряда по А. Однако, если оно выполняется для
всякого ряда и при произвольных значениях А, оно должно быть
справедливо и для каждого члена в отдельности.
В частности, „правильные линейные комбинации" для первого
приближения к собственным функциям заданного собственного
значения Е могут быть выбраны таким образом, чтобы они были
комбинациями только собственных функций уровня Е, принадле-
принадлежащих одной и той же строке одного и того же неприводимого
представления. Если представление для Е содержит данное непри-
неприводимое представление D1'' ' (R) только один раз, то имеет лишь
одну собственную функцию' $'\ которая принадлежит, скажем,
х-й строке представления D{i) (R), и ^[J) является тогда уже
148 Глава 12
„правильной линейной комбинацией". Соответствующее собствен-
собственное значение равно
Если представление для Е содержит неприводимое представ-
представление D(;)(/?) несколько раз, скажем, а;- раз, то Е имеет а} соб-
собственных функций ф5ц, ф$, ф!;з, .... ф1;а., принадлежащих одной
и той же (х-й) строке представления D (/?). Правильные линей-
линейные комбинации являются тогда линейными комбинациями этих йу
собственных функций', их нельзя полностью определить без вы-
вычислений.
Тем не менее полезно использовать во всех случаях с самого
начала те линейные комбинации ф*р собственных функций уровня Е,
которые принадлежат одной строке некоторого неприводимого
представления. Тогда, в силу A2.8а), выражение
должно обращаться в нуль при j=f=j' или ч.фч!. Поэтому секу-
лярнсе уравнение для Е
iV/xpj/'.y— ЬЕ- 11 = 0
существенно упрощается. Оно распадается, как показывает бли-
ближайшее рассмотрение, на отдельные малые „неприводимые секу-
лярные уравнения", размерности которых a-j указывают, сколько
раз одно и то же неприводимое представление содержится в пред-
представлении для собственного значения Е.
Изменение собственных значений и собственных функций пред-
представления D (R) может быть вычислено даже в высших прибли-
приближениях с использованием собственных значений и собственных
функций только этого представления. Достаточно даже рассмат-
рассматривать только собственные функции, принадлежащие заданной
строке этого представления. Согласно E.22), например, второе
приближение равно
F — F
Если теперь ^l принадлежит -представлению, отличному от D(^ (/?),
или строке представления D , отличной от той, которой принад-
принадлежит фй„, член (фг, Уфь) обращается в нуль и может быть просто
исключен из рассмотрения.
11. Если возмущение XV оператора Н инвариантно не отно-
относительно полной группы оператора Р, а только относительно под-
Алгебра теории представлений 149
группы, то должны быть введены собственные функции, принад-
принадлежащие неприводимым представлениям этой подгруппы. Будем
предполагать, что собственные значения и собственные функции
оператора Н соответствуют неприводимым представлениям полной
группы Р. Матрицы, соответствующие элементам подгруппы,
могут тогда быть истолкованы как представление этой под-
подгруппы. Для всех Р и, в частности, для оператора Р# этой под-
подгруппы, мы имеем
Однако матрицы Dy)(#) для элементов R подгруппы не обяза-
обязательно должны быть неприводимыми; но чтобы получить функ-
функции, принадлежащие неприводимым представлениям подгруппы,
эти матрицы должны быть приведены. Числа и типы неприво-
неприводимых компонент представления DU)(/?) как представления
подгруппы дают нам числа и типы собственных значений, на
которые может расщепиться рассматриваемое собственное
значение.
Мы видим, что для характеристики собственных значений
уравнения Шредингера существенным является знание неприводи-
неприводимых представлений симметрической группы из п элементов и трех-
трехмерной группы вращений. Поэтому мы перейдем к определению
этих представлений.
12. Во всей этой главе относительно операторов Р^ достаточно было
предполагать, что они образуют группу и что они линейны и унитарны
[например, не было использовано соотношение A1.22)]. Кроме того, было
лишь предположено, что Р^ преобразуют собственные функции, принад-
принадлежащие некоторому собственному значению оператора Н, в собственные
функции, принадлежащие тому же собственному значению. Фактически
из этих предположений уже следуют уравнение преобразования A1.23)
(которое мы использовали в качестве отправной точки соответствую-
соответствующего изложения) и то обстоятельство, что входящие в него коэффи-
коэффициенты образуют представление группы операторов PR.
Заметим здесь, что для операторов, играющих роль Р^ для собствен-
собственных функций с учетом спина (они будут обозначаться через Од), соот-
соотношение A1.22) уже не имеет места. Более того, группа симметрии кон-
конфигурационного пространства не изоморфна группе этих операторов,
а лишь гомоморфна. Тогда коэффициенты соотношения A1.23) будут
образовывать представление группы операторов О#, а не группы сим-
симметрии конфигурационного пространства. Все остальные теоремы этой
главы, такие, как теорема об ортогональности собственных функций,
принадлежащих различным неприводимым представлениям, остаются без
изменений.
Глава 13
СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА
1. Элементами симметрической группы л-й степени являются
перестановки п объектов. Порядок этой группы равен п\ Пере-
Перестановка, заменяющая 1 на av 2 на а^, .... и, наконец, п на <хп,
/1 2 ... п \
обозначается через I ). Это та же перестановка, что
), так как обе преобразуют каждое k в <xk.
ав2 • • • «ftn/
Здесь ftj, A2 А„ является произвольным размещением чи-
чисел 1, 2, 3, .... га. Под произведением двух перестановок
1 2 ... я\ /1 2 ... я\
) и В = ( „ . „мы понимаем их после-
довательное применение. Перестановка А преобразует k в aft,
а В преобразует это число в JL, так что АВ преобразует k в $а .
Преобразования A1.Е.1) образуют группу, изоморфную симмет-
симметрической группе л-й степени; эти преобразования переводят точку
xv х2, ..., хп в точку ха , ха , • ¦ ¦, Jf« ; поэтому они соответ-
ствуют упомянутой выше перестановке А.
Существует другое обозначение перестановок. При этом пере-
перестановки „разделяются на циклы". Цикл (гхг2 ... гх) является
перестановкой, которая, заменяет элемент rk следующим за ним
элементом rk+v за исключением того, что последний элемент
цикла гх заменяется первым элементом гх. Цикл (гхг2 ... гх) то-
(г\ Г2 ¦ • ¦ гА
ждествен перестановке и ( I. Он также эквивалентен
циклу (r2rz ... гхг,) или (гъг^ ... гхл/2).
Циклы, не имеющие общих элементов, коммутируют. Напри-
Например,
3 5 2 4 6 7
A35) B467)^B467) (
Симметрическая группа 151
Разложение перестановки на циклы является его разложением
на произведение коммутирующих циклов; порядок отдельных цик-
циклов, а также начальный элемент каждого цикла, остаются пока
произвольными. Разложение на циклы может быть достигнуто,
если начать, скажем, с элемента 1 и поместить после него эле-
элемент, в который преобразуется 1, а затем—тот, в который пре-
преобразуется предыдущий, и т. д. Наконец, появляется элемент, пре-
преобразуемый в 1; это последний элемент первого цикла. После
этого выбирается произвольно иной элемент, еще не включенный
в первый цикл, и повторяется тот же процесс. Эта процедура
продолжается до тех пор, пока не будет исчерпана вся переста-
перестановка.
Например, перестановка
3 4 6 2 5 1
разделяется на циклы в виде A 3 6) B 4) E), и это равно C 6 1)
B 4) E), а также B 4) E) A 3 6), так как порядок циклов не
имеет никакого значения.
Две перестановки, имеющие одинаковые числа циклов и циклы
которых имеют равную длину, содержатся в одном и том же
классе. Две перестановки
.. /¦„,) ... (гцр_1+1 />р)
могут быть преобразованы одна в другую с помощью
т_1 1 2 • • • V, |», + 1 !M+2 ••• щ • • • цр_1 + 1
Г = I
••• V
Это значит, что 5= 77?Г х. Наоборот, длины циклов любой пере-
перестановки, получающейся из R путем преобразования с помощью Т,
снова равны plt р.2 — p,j, .... рр — ^р_!.
Поэтому, если мы хотим решить вопрос, входят ли две пере-
перестановки в один и тот же класс, можно поместить наиболее длин-
длинный цикл в каждой из них впереди, далее следующий по длине
и т. д., пока наиболее короткий цикл не окажется на последнем
месте. Если $ двух рассматриваемых перестановках длины всех
152
Глава 13
циклов X1 = (j,1, A2 = [),2 — (J.J Xp==jj,p —(i^j (при Х,>Х2> ...
. ..J>Xp и >-i + ^2+ ••• ~\~\ — РР —п) одинаковы, то эти пере-
перестановки принадлежат одному и тому же классу; в противном
случае это не так. Поэтому число классов равно числу различ-
различных возможных длин циклов, числу последовательностей чисел
\,\ V удовлетворяющих условиям \ ~^>\~^>> ... ^> X
и Xj-(-^2+'• • • +^Р = л. Это число, число возможных разбие-
разбиений числа п на целые положительные слагаемые независимо от
порядка1), называется „числом подразделений" числа п. Согласно
гл. 9, число различных неприводимых представлений равно числу
классов и, следовательно, числу подразделений числа п.
Например, симметрическая группа четвертой степени (порядка 24)
имеет пять различных классов. Каждый из следующих элементов пред-
представляет один класс: Е = A) B) C) D); A 2) C) D); A 2) C 4); A 2 3) D);
A2 3 4). Поэтому эта группа должна иметь пять неприводимых
представлений. Симметрическая группа третьей степени имеет три
класса: Е = A) B) C); A 2) C); A 2 3), соответствующих трем неприво-
неприводимым представлениям, уже обсуждавшимся в гл. 9.
Единичные циклы часто опускаются. Например, A 2)C)D)
записывается в виде A 2).
2. Простейшими перестановками, если не считать тождества,
являются те, которые просто меняют местами два элемента. Такая
перестановка называется транспозицией; с помощью циклов ее
можно записать в виде (kl). Каждую перестановку можно запи-
записать в виде произведения некоторого числа транспозиций. Напри-
Например, перестановку, состоящую только из одного цикла, можно
записать в виде
(al(x2 ... ax) = (a^) (a^) . . . (a^).
Ясно, что то же самое верно для произведения нескольких цик-
циклов и, следовательно, для всякой перестановки.
Понятие о четных и нечетных перестановках играет важ-
важную роль в теории определителей. Значение определителя
'12
a.-,
п1
п2
равно сумме п\ произведений:
') Ясно, что для числа систем чисел X безразлично, игнорируется лч
порядок или рассматривается только один порядок.
Симметрическая группа 153
где а;а2 . . . ал пробегают все п\ перестановок чисел 1,2, .... п
и е(сс,...а ) равно -\- 1 или —1 в зависимости от того, является
/12 ... п\
ли перестановка I четной или нечетной, т. е. в за-
\а, а2 ... ап/
висимости от того, может ли она быть записана в виде четного
или нечетного числа транспозиций. (Перестановку можно раз-
разложить на транспозиции различными способами, но разложение
определенной перестановки приводит либо всегда к четному числу,
либо всегда к нечетному числу транспозиций.)
Произведение двух четных перестановок есть снова четная
перестановка, так как ясно, что она может быть записана в виде
произведения такого числа транспозиций, какое содержат обе
перестановки вместе. Четные перестановки образуют подгруппу,
знакопеременную группу. Индекс знакопеременной группы ра-
равен 2, поскольку между четными или нечетными перестановками
можно установить взаимнооднозначное соответствие, например,
путем умножения на транспозицию A 2). Знакопеременная группа
является инвариантной подгруппой симметрической группы; эле-
элементы, сопряженные четным перестановкам Р, снова представляют
собой четные перестановки S^PS, так как они могут быть запи-
записаны как произведение удвоенного числа транспозиций, входящих
в 5, и числа транспозиций, равного их числу в Р.
Цикл (а^ ... <хх) = (а^) @40C) ... (a^x) может быть записан
как произведение X — 1 транспозиций. Поэтому перестановка
с длинами циклов
может быть записана в виде произведения Xj — 1 —)— Хд — 1 -|- ...
... -\-\—1 транспозиций. Для всех элементов знакопеременной
группы среди чисел X — 1 должно встречаться четное число не-
нечетных чисел, а, следовательно, среди чисел \,\, .... X должно
быть четное число четных чисел. Перестановки знакопеременной
группы содержат четное число циклов четной длины (циклов
с двумя, четырьмя и т. д. элементами).
Фактор-группа знакопеременной группы имеет порядок 2. Ис-
Исходя из ее двух неприводимых представлений, можно получить
два представления полной симметрической группы путем сопоста-
сопоставления матрицы A) как элементам знакопеременной группы, так
и элементам ее смежного класса (нечетным перестановкам) или
путем сопоставления матрицы A) элементам знакопеременной
группы и матрицы (—1) элементам ее смежного класса. Первое
соответствие дает тождественное представление D (/?) = A),
второе — представление D (?) = (!), D(S) = (—1), называемое
154 Глава 13
антисимметричным представлением D (R) = (ер). Как тож-
тождественное, так и антисимметричное представления одномерны.
3. Все остальные представления симметрической группы имеют
размерность больше единицы. В одномерном представлении
транспозиция A2) должна соответствовать либо матрице A),
либо (—1), так как квадрат этой матрицы должен быть единич-
единичной матрицей A). Однако в первом случае каждая транспозиция
в представлении соответствует A), а во втором — каждая соот-
соответствует (—1), так как все транспозиции находятся в одном
и том же классе и должны поэтому иметь один и тот же харак-
характер во всяком представлении. Но матрицы, соответствующие
транспозициям, определяют все представление, так как все эле-
элементы группы можно записать в виде произведения транспозиций.
Таким образом, в первом случае должно быть получено тождест-
тождественное представление, а во втором — антисимметричное.
Абелева фактор-группа знакопеременной группы позволяет
установить весьма важное соответствие между парами неприводи-
неприводимых представлений. Если мы рассмотрим неприводимое представ-
представление D^(R), то из него можно построить иное представление —
присоединенное представление Dlfc\R), если оставить все матрицы,
соответствующие знакопеременной группе, без изменения, а все
остальные умножить на —1. Полученные таким образом матрицы
образуют представление группы, так^как D (/?) есть прямое про-
произведение D (R) и антисимметричного представления D (R) (ко-
(которое является одномерным, так что его матрицы представляют
собой просто числа):
Dw (Я) = Dw (R) X D(o) (R) = e/?Dw (Л).
Присоединенные представления играют важную роль как
в квантовой механике, так и в теории неприводимых представле-
представлений, и мы воспользуемся ими для вывода интересующих нас пред-
представлений.
Число различных неприводимых представлений симметриче-
симметрической группы равно числу подразделений числа п. Таково также
число существенно различных собственных значений. Однако ока-
оказывается, что только собственные значения определенных пред-
представлений соответствуют реальным энергетическим уровням в атоме.
Собственные значения других представлений не соответствуют
существующим в действительности стационарным состояниям,
а запрещены принципом, не зависящим от уравнения для собствен-
собственных значений, принципом Паули. Хотя все неприводимые пред-
представления симметрической группы могут быть получены исполь-
Симметрическая группа 155
зованным здесь методом, проведем вычисления только для тех
представления, собственные значения которых не запрещены прин-
принципом Паули. Мы не будем давать здесь точной формулировки
этого принципа, но метод, с помощью которого будут опреде-
определены интересующие нас представления, включает точно те же
соображения, которые потребуются позднее для применения прин-
принципа Паули.
4. Если мы имеем систему переменных, которые могут при-
принимать лишь одно значение, скажем, 1, то область их изменения
содержит лишь одну точку, и каждая функция полностью опре-
определяется, когда ее значение в этой точке задано. В этом про-
пространстве никакие две функции не могут быть линейно независи-
независимыми; всякая функция постоянна во „всей области изменения" и,
следовательно, она кратна любой другой функции. Всякая функ-
функция в этом пространстве остается неизменной, если значения коор-
координат меняются местами, так как это означает просто замену 1
на 1. Все функции в этом пространстве принадлежат тождествен-
тождественному представлению.
Если мы рассмотрим п переменных sv s2, .... sn, каждая из
которых может принимать два значения, например + 1 и — 1,
то все пространство состоит из 2" точек, и мы можем иметь 2"
линейно независимых функций, т. е. таких, которые имеют зна-
значение 1 в одной из этих 2" точек и нулевое значение во всех
остальных точках. Скалярное произведение двух функций у и g
в этом пространстве равно
2 2 ••• 2 ?(*i sn)*g(sl sj = df,g).
1 1 1
В пространстве одного sk (оно состоит только из двух точек
s = +l и s = —1) две функции К г и §s., + i образуют „пол-
ную ортогональную систему'; 2 произведений этих функций
&*Л8*Л . • • \ап (с oj = + 1, о2 = + 1 о„ = + 1) образуют
полную ортогональную систему в «-мерном пространстве перемен-
переменных Sj, s2, ..., sn. Нижеследующие формулы можно записать
в более удобном виде, если использовать вместо функций bs 4x
и 5*ft,-i две функции 1 и sk, которые ортогональны:
(i.5ft)= 2 i-s*= i.-1 + i. 1 = 0.
^=±1
Тогда полная система функций в пространстве sr, s2, .... sn
состоит из 2" функций s^s^ ... s]" (причем -^ равны 0 или 1);
156 Г лава 13
они могут быть расположены следующим образом:
1,
Sj, S2, . . . , Sn,
S1S2' S1S3 SlSn> S2S3' S2si S2Sn Sn-lS/f
Sn-2Sn-lSn>
Имеется') 1 +^) + Q) + ^)+ . . . + (») = 2" функций.
Если оператор P#, соответствующий перестановке /?, применяется
к одной из этих функций, то он порождает новую функцию
от Sj, s2, ¦ ¦ ., sn, которая может быть выражена в виде линейной
комбинации этих 2" функций (как это может быть сделано для
любой функции этих переменных). Коэффициенты этого разложе-
разложения дадут 2"-мерное представление симметрической группы. Это
представление А(/?) не является неприводимым, но содержит не-
несколько неприводимых компонент. Поскольку рассматриваемые
функции определены в такой узко ограниченной области, можно
ожидать, что Д(/?) не включает все неприводимые представления
симметрической группы и что поэтому оно может быть приведено
более просто, чем совершенно произвольное представление. Тем
не менее только его неприводимые компоненты и их присо-
присоединенные представления являются представлениями, которые
нужны в физических задачах, связанных с электронами.
Если оператор Р# применяется к одной из функций A3.1),
например sasbsc, где R — произвольная перестановка, т. е. если
производится „перестановка переменных", то результат является
снова произведением трех s, скажем sa>Sb'SC', и, следовательно,
функцией, входящей в ту же (третьюJ) строку таблицы A3.1),
что и функция sasbsc. Если желательно выразить I , I функций,
получающихся при применении оператора Р# ко всем функциям
/г-й строки A3.1), то потребуются только функции &-й строки.
Поэтому эти функции образуют представление А ' (R) симметри-
симметрической группы с размерностью I , I. Так как каждая функция
') Символом 1,1 мы, как обычно, обозначаем биномиальный коэф-
коэффициент ( , ) = -J-T-. j-rr, который дает число сочетаний из п элемен-
тов по А.
2) Мы начинаем нумерацию строк A3.1) с нуля; последняя строка
является п-й. '
Симметрическая группа 157
k-Pi строки преобразуется при перестановке в одну из других
функций ft-й строки, А ' (R) имеет один элемент в каждой строке,
равный 1, и все остальные элементы, равные 0. Поэтому пред-
представление A (R) распадается на представления Д(о> (R), А ' (/?),.. .
. . ., А" (/?), матрицы которых имеют только что упомянутое
свойство. Используя это обстоятельство, мы вычислим теперь
след A{k)(R).
След матрицы Aw(/?) равен числу функций &-й строки A3.1),
которые остаются неизменными при применении Р#. В столбцах
матрицы Aw(/?), соответствующих этим функциям, единицы по-
появляются на главной диагонали; во всех остальных строках они
появляются в иных местах, так что на главной диагонали стоят
нули. Вычислим теперь это число.
Пусть R является перестановкой с длинами циклов Xj = рх,
Х2 = fj,2 — fj,j, ..., X. = ja—[j, j ((Ap = n), например перестановкой
A. 2 P,)(th + 1 t4>---(PP-i + l. IVi + 2 ?,)¦
Если она должна оставлять функции s*1 • s*' • • • *^л без изменения,
то показатели переменных slt s2 sN должны быть все равны,
так же как и показатели переменных s^+i, Sp.,+2 s^ и.т. д.,
и наконец показатели переменных s^ _ +ь s^ _ +г s^ —sn
должны быть все равны. Поэтому из всех возможных функций
при применении PR не будут меняться те, которые можно записать
в виде
(SlS2 . . . 5^)Tl (s^ + lSp.,+2 . . • S^)T* . . . (Svi + i . . . 5^)TP A3.2)
(все fft равны О или 1). Нас интересует число функций k-Ш строки
таблицы A3.1), имеющих вид A3.2). Так как эти функции нахо-
находятся к k-Vi строке, должно иметь место соотношение
Следовательно, имеется столько таких функций, сколько уравне-
уравнение A3.3) имеет решений, в которых неизвестные iv f2 То
принимают только значения 0 и 1. Это след R в Ak(R), а также
след всякой другой перестановки, имеющей длины циклов
Xj, Xj, .... Хр, поскольку они все входят в один класс и поэтому
имеют одинаковые следы. Полное число решений A3.3) при за-
заданном k равно коэффициенту при xk в полиноме
р = «), A3.4)
так как этот коэффициент есть как раз полное число способов,
которыми можно получить k, складывая показатели степени х
158 Глава 13
отдельных множителей (с коэффициентами 1 или 0). Следова-
Следовательно, коэффициент при k-й степени х в многочлене A3.4)
является следом матрицы А (/?).
След Д**1 (?) должен быть равен размерности ( п ) этого пред-
представления. Так как для Е все длины циклов равны 1, X, = Х2 = .. .
... = Хр = 1, то выражение A3.4) равно A -f x)n и тогда коэф; ициент при xk
действительно равен | j. След матрицы, соответствующей транспози-
транспозиции A 2) • C) ¦ D) ... (я) является коэффициентом при xk в выражении
k
Произведя вычисления, находим, что он равен
Ясно, что Aw(/?) не является неприводимым представлением,
так как линейные комбинации, преобразующиеся при применении
оператора Р# в соответствии с ^k~l)(R), могут быть образованы
из (" J функций А-й строки таблицы A3.1), что было бы невоз-
невозможно в неприводимом представлении.
Особенно простой пример линейной комбинации функций ft-й строки
можно иепользовать для доказательства приводимости матриц
Д**) (R). Утим примером является сумма всех функций ft-й строки. Ясно,
что эта сумма преобразуется сама в себя при всякой перестановке.
Поэтому линейная комбинация функций k-й строки, приводящая к (?)
новым функциям, из которых эта сумма является первой, вызовет такое
преобразование подобия матриц Д(*> (/?), что они все должны иметь вид
\0 А/
Но представление, которое можно привести к этому виду с помощью
преобразования подобия, по определению является приводимым.
Линейными комбинациями функций k-й строки A3.1), которые
преобразуются как функции sa,, sa,, .... sa (k — 1)-й строки,
будут
Puiui... eft_, ==sata1...ak_xSaiSai ••• saft_,> A3.5)
где saio,...aft_ означает сумму всех п — k-\-l переменных,
которые не встречаются среди sQi, sa^, .... sa . При примене-
применении Р# к функции sa она преобразуется в s&. Таким образом,
sa,, 5Яз sa преобразуется в sbi, «ь, sb . Величина sc
не являющаяся одной из переменных sai, sa,, .... sa , преобра-
Симметрическая группа 159
зуется в одну из переменных sd, отличную от всех sb, в которые
преобразуются sa. Поэтому сумма всех п — k-\-\ переменных s,
не встречающихся среди sOl, sa, sa , преобразуется в сумму
всех п — А —|— 1 переменных, которые не встречаются среди пере-
переменных sb. Это значит, что saA...a преобразуется BS6l6j...b
Поэтому и величины Faia4... ak_ действительно преобразуются
точно так- же, как произведение sa,, sul, .... sa (k—1)-й
строки.
В приложении к настоящей главе мы покажем, что при k <1 -к п
^_l) функций Fa,a,...all_l образуют линейно независимую си-
систему. Поэтому можно выбрать такие линейные комбинации этих
функций Fv F2, .. ¦, F. п \. которые ортогональны, а также
U-i/
линейно независимы. Чтобы завершить построение полной си-
системы f^j функци
можно образовать
стемы f^j функция, из (^Jфункций sai,sOl sak(когда k <-2-я
линейных комбинаций1) ^j, g2, .... gt которые вместе с функ-
функциями Fx образуют полную ортогональную систему. Тогда все
функции saisaisa3 . .. safc можно выразить через функции этой
системы и, наоборот. Поэтому представление A (R) будет рассма-
рассматриваться в виде А (/?), который оно принимает после введения
этой полной системы Fv F2 F, „ \, ^"j, g2 g{ вместо
U-i/
системы sai,Saa,sa<i, .... sa ' эта подстановка осуществляет лишь пре-
преобразование подобия матриц A^iR).
Поскольку каждая функция F% является линейной комбинацией
функций Fa,a,... aft_,. функции Р^Лс являются линейными комби-
комбинациями функций PRFaiat... ak_ и, следовательно, функций
Faia,...a^ , или функций Fx, т. е.
= 2 А^-'ЧЛХ,^. A3-7)
Мы обозначили здесь коэффициенты через д'*^/?), так как они
образуют представление, эквивалентное представлению A(*~1
') Одним из примеров такой функции является Ej — s2)(s3 — st).,
S S)
160 Глава 13
Функции gx в A3.7) все имеют нулевые коэффициенты; следова-
следовательно, A(ft)(/?) имеет вид
О D<k)(R)
Кроме того, полная система Fx, F2, . .., F, n ,, glt g2, ...,
V. к— I /
_
ортогональна; поэтому матрицы A (А?) унитарны:
)
Это значит, что
i\{k-l\R) А (Я) \l\{k-l)(R-1) \{R'1)
\ 0 D'*'(A?)/ ~\ 0 D^iR-1)
Таким образом, А(/?) = 0, и
A3.8)
Следовательно, при k^.-~n представление Aw(/?) распадается
на два представления, А(*-1'(У?) и DW(R), с размерностями f.^,
_^i)> причем первое из них эквивалентно пред-
представлению A^k~^(R). Далее, А(*-1)(/?) может быть разбито на два
представления, А(*~2)(/?) и D**^); затем А(*~2) может быть
снова разбито на два и т. д. В конечном счете Alfe) разлагается
на D@) + DA)+ ••• +DW. Функция А-й строки таблицы A3.1),
которая преобразуется с помощью D@> (т. е. инвариантна), явля-
являлась ранее суммой всех функций ?-й строки.
Это имеет место при k ^.-^ п. При & > -кП все(ь)==(„_ь)
функций, в которых п — k переменных встречаются в первой
степени, a k переменных — в нулевой, преобразуются точно так же,
как рассмотренные выше функции (в которых те же п — k пере-
переменных оказывались в нулевой степени и те же А переменных —
в первой). Конкретный выбор ортогональной системы функций s
не играет никакой роли. Вместо 1, s можно было бы использо-
использовать s, 1. Поэтому A(ft) эквивалентно представлению Д(л~ и
Симметрическая группа
161
может быть разложено на те же самые компоненты. Таким обра-
образом, разложение матриц Д(Л!) принимает при четных п следующий
вид (при я = 4):
B) = D@)
= D@).
B)
а при нечетных п (например, при п = 5)
w (/?) = D@) =
(D
B)
,дB)
= D№)
. () =D@).
Покажем, что полученные выше представления D , D
(Ln\ ( (Ln-L\\
Ту-2 ' \^или D^2 2'/ неприводимы и различны. Доказательство
будем проводить методом индукции. Предположим, что предста-
представления, полученные тем же путем для симметрической группы
(я—1)-й степени, 'Dm(R') 'dw(#') [*<j(n —1)] непри-
неприводимы и различны, и примем, что их размерности !) равны
ЧИ)
Главный момент доказательства состоит в том, что D( \ рас-
рассматриваемое только для тех R', которые не затрагивают sn,
является представлением симметрической группы (п—1)-й степени
и что его неприводимыми частями являются 'd'*' и 'D(ft). Отсюда
и следует неприводимость и различие представлений D(ft).
5. Функции gx gl будучи линейными относительно
переменных sn, могут быть представлены в виде сумм
') Штрихованные переменные всегда относятся к симметриче-
симметрической группе (п — 1)-й степени или к функциям п — 1 переменных
slt s2, ..., s«_[.
162 Глава 13
таким образом, что sn встречается в нулевой степени как в gx,
так и в h[\ тогда g'x и h'x могут рассматриваться как функции
только переменных sv s2, .... sn_1) g'x имеет {k—1)-ю степень,
a h'x— k-ю степень.
4 Может оказаться возможным образовать линейные комбинации
функций gt, не содержащих членов, пропорциональных sn. Если
имеются /" таких линейно независимых линейных комбинаций,
с ни могут быть ортогонализованы методом Шмидта; обозначим
их через g0%:
=1. 2 /")• A3.9а)
Все штрихованные функции не будут зависеть от sn. Естественно,
что /" могло бы оказаться нулем, но в дальнейшем выяснится,
что в общем случае это не так. Остальные gx могут быть затем
сделаны ортогональными gQv, и между собой, так что
?и = ^А + *ь (при *=1. 2 1к-1"). A3.96)
Полученные таким способом функции g'u линейно независимы.
В противном случае можно было бы получить иные функции g,
не содержащие sn. Представление симметрической группы, приме-
применимое к g, будет эквивалентным представлению D , так как все g
являются линейными комбинациями функций g. Оно будет унитар-
унитарным, так как g ортогональны. Исследуем поведение функций
go*1 ?u ПРИ перестановках Р#', оставляющих sn неизменной. Эти
перестановки образуют группу, изоморфную симметрической группе
степени п — 1. При этом оказывается, что gQ% принадлежат пред-
ставлению D этой группы, a gu—представлению D .
Заметим, что сумма размерностей этих двух представлений равна 1к\
k ) \k—\) ' \k — \) \k — 2
n\ f n
lk' A3Л0)
Как только это установлено, неприводимость Dw будет простым
следствием этого.
Рассмотрим сначала функции gu. Каждая gu ортогональна
всем функциям Fata,...ak_ . и в частности функции
Симметрическая группа 163
Так как h\x содержит sn в нулевой степени, эта функция ортого-
ортогональна также Faiai._.a „; следовательно, тем же свойством
обладает и g'usn. Поэтому g'u ортогональна всякой функции
Sa/aj • • • sa saiU2... ak_2n- Но эта ортогональность является опре-
определением 1'к_г функций Sj, s2 sn_j степени k—1, преобра-
преобразующихся при перестановке этих переменных в соответствии
с представлением D ~ , которое неприводимо по предположению.
Так как имеется только l'kl функций sx, s2 se_1 степе-
степени А— 1, обладающих этим свойством (или ортогональных sUIsfla • • •
¦>•" sak_2saia1... ak_2n), не может существовать более l'k_1 функ-
функций gu. Действительно, имеется в точности l'k_x таких функций,
и они преобразуются при тех перестановках R', которые оста-
оставляют sn неизменным, в соответствии с 'd^'. Чтобы убедиться
в этом, применим Р#< к A3.96) и, так как эта перестановка не
затрагивает sn, получим
Когда эти функции выражены в виде линейных комбинаций функ-
функций ?Ох и glx, сравнение коэффициентов при sn показывает,
что Pnigu являются линейными комбинациями самих g'u. Поскольку
функции g'u принадлежат неприводимому представлению D ~ ,
это возможно только в том случае, если имеется либо l'k_l ли-
линейно независимых функций g'u, либо ни одной. Последняя воз-
возможность может быть исключена, так как в этом случае все g,
а следовательно, и все g, не зависели бы от sn. Так как п не
играет какой-либо особой роли по сравнению с другими индексами
при выборе g, это невозможно. Поэтому мы имеем
P*.?ta - S 'O^iR'XX, (*= 1.2 С) A3.11а)
Л— 1
и lk — l"=xl'k_v Если 'А = ^,1. то не существует функций типа
A3.9а), т. е. в этом случае все g'% в A3.9) линейно независимы.
Однако, как это будет показано позднее, Jft = ^_i только
при k = -Kti.
Если lk > l'k, рассмотрим функции A3.9а). Любая переста-
перестановка /?' первых п—1 переменных в gfo — h'^ из A3.9а) снова
приводит к функции, не зависящей от sn. Следовательно, если
164 Г лава 13
функции Ppgfo выражены через g, коэффициент при glX должен
обращаться в нуль. Поскольку функции g'ix линейно незави-
независимы, линейная комбинация функций glX из A3.96) может быть
независимой-- от sn только в том случае, если коэффициенты каждой
из этих функций обращаются в нуль. Значит PR,gQx являются
линейными комбинациями одних только g"Ox; эти функции принад-
принадлежат представлению симметрической группы степени п — 1, со-
состоящей из операторов перестановок Р#-, оставляющих sn неиз-
неизменной. Чтобы найти это представление, заметим, что функции gx,
а следовательно, и gQx, ортогональны всем Faia,... ak_ • Рассмотрим
в этом случае те F, индексы которых не содержат п. Они могут
быть записаны в виде
В g0% функция sn входит в нулевой степени. Поэтому она орто-
ортогональна saisaa ... sa $п и должна быть также ортогональна
*a,Sa3 ¦ ¦ ¦ sa _ saia,...ak_ n- Она имеет степень k. Но это является
как раз определением функций от Sj, s2 sn-v принадлежа-
принадлежащих представлению D (это представление также неприводимо
по предположению). Поэтому функции gOli должны принадлежать
представлению группы операторов Р^,, и для х= 1, 2, .... I" = l'k
имеем
Соотношения A3.11а) и A3.116) позволяют найти матрицы
представления D^(R), по крайней мере, для тех R = R'> которые
оставляют sn неизменной. Искомые выражения упрощаются, если
нумерация строк и столбцов матриц D(fc) соответствует нумерации
функций g из A3.9а) и A3.96):
l'k _ Ь-i
= 20w(/?)ouox^+2DW(/?)u:0^ix. A3Л2а)
2(V; iJft+S
Тогда D(fc) является суперматрицей
Симметрическая группа 165
При тех R = R', которые оставляют sn неизменной, сравне-
сравнение A3.12а) с A3.116) в силу линейной независимости всех g
дает
D{4R'X,,o^'D^(R\, яГО(*\о.«-О- A3.13а)
Так как Р^- не затрагивает sn, то для сравнения A3.11а)
с A3.126) первое из этих выражений можно подставить в выраже-
выражение для P#,gu, получающееся из A3.96):
к как все
(R\% gixsn + PR,h'u.
Так как все glxsn линейно независимы и ортогональны всем gox,
и Ря'Ль (содержащим sn в нулевой степени), сравнение послед-
последнего соотношения с A3.126) дает
Поэтому для тех R', которые не затрагивают sn,
\ В (Я') 'D(*-
где В (/?') пока что неизвестно. Однако матрицы D(*^ унитарны,
поскольку g ортогональны, так что В(/?') должно обращаться
в нуль. Отсюда вытекает, что представление D^(R), рассматри-
рассматриваемое как представление симметрической группы (п—1)-й сте-
степени, распадается на две различные неприводимые компоненты
(кроме случая, когда lk = lk_1). Матрицы, соответствующие пере-
перестановкам R', оставляющим sn без изменения, имеют вид
un
Теперь мы можем рассмотреть и случай 1к — 1к-Х. Это может
иметь место только при k = у п. Это следует проще всего
из тождества A3.10), согласно которому
но это выражение может быть равно нулю только при k-\-(k—l) =
= п — 1. Исключительность этого случая можно было бы пред-
предвидеть, так как D№ определено только при k^-^in—1), а это
166 Глава 13
неравенство не выполняется при k = -g- п. Однако неприводимость
матриц D(A) в этом случае следует сразу; вместо A3.13) при этом
можно написать равенство D (/? )= D ~ (/? ). Таким образом,
D^2
(R) неприводимо в силу того обстоятельства, что матрицы,
соответствующие подгруппе, оставляющей sn неизменной, уже
являются неприводимыми.
В общем случае рассмотрим матрицу
м,
M'- A3.14)
коммутирующую со всеми D(fc)(/?). Пусть подразделение строк
и столбцов в A3.14) будет тем же, что и в A3.13). В частности,
A3.14) должна также коммутировать с D(*'(/?') из A3.13):
О \/MlM2\ /MlM2\/'D^(^) 0
\ О 'D(ft-1)(«')/VM3M4/ W3M4/\ О W*-1
Поэтому для всех матриц неприводимых представлений D ~ (/? )
или D^fc)(R) симметрической группы (п—1)-й степени, изоморф-
изоморфной перестановкам величин sx sn-i- должны выполняться
следующие соотношения:
Но отсюда, согласно теоремам 2 и 3 гл. 9, следует, что М2 и М3
должны быть нулевыми матрицами, а Щ и М4 — кратными еди-
единичной матрице. Тогда, в силу одной лишь коммутативности
с A3.13), A3.14) должна иметь вид
1 }. A3.14а)
Рассмотрим далее перестановку R, которая не оставляет вели-
величину sn неизменной, а преобразует ее в другую s(, встречающуюся
в первой степени в какой-либо функции /гОх. В линейном предста-
представлении функций Р^йОх должна быть использована по крайней мере
Симметрическая группа 167
одна из функций gu. Поэтому, если мы запишем Dik) (R) в виде
d)' A3Л4б)
где С наверняка не является нулевой матрицей. Тогда A3.14а)
может коммутировать с A3.146) только в том случае, если ml = m4«
так что A3.14а) является постоянной матрицей. Но это является
достаточным условием неприводимости D (R), которая тем самым
установлена. (±п)( (- п--)\
В том, что представления D@), DA) D^2 "'(илиО^2 " 2>)
все различны, можно убедиться с помощью A3.13); матрицы для пере-
перестановок R' величин Sj, s2, ¦ ¦ ¦•-sn_1 не эквивалентны во всех этих
представлениях. Поэтому и сами представления должны быть не-
неэквивалентными.
6. Нам еще остается вычислить характер у}к) (R) неприводимого
представления D^*' (R). Так как Д ' (R) может быть преобразовано
таким образом, что
\ 0 V(k)(R))'
то х(А) (Я) равно разности характеров матриц Д(*'(/?) и Д(*-1)(/?).
Согласно A3.4), характер матрицы Д(Л) (R) равен коэффициенту
при хк многочлена (k^-^n)
(l4-xx')(l-(-xXj) ... A+ххр), (Х!+Х2+...+Хр==га). A3.14)
Характер матрицы Д(*-1'(Л!) равен коэффициенту при хк~1 в этом
выражении или коэффициенту при хк в произведении A3.4) на х;
характер у}") (R) дается разностью этих двух коэффициентов,
т. е. коэффициентом при хк в выражении
где Xj, Х^ ..., Хр — длины циклов перестановки R.
Для присоединенных представлений D '(/?) применимо то же
самое выражение с тем же или с противоположным знаком в зави-
зависимости от того, является ли перестановка R четной или нечетной,
т. е. в зависимости от того, четно или нечетно число Х2 — 1 -)-
-f-X2—1 -}- ... -f-Xp— \=n — р. Характер х{к) (Я) равен коэф-
коэффициенту при хк в выражении
A3.15а)
168 Глава IS
Представление D(o)(/?) является тождественным, a D@)(/?) — анти-
антисимметричным.
Как уже упоминалось выше, предшествующее рассмотрение
дает не все неприводимые представления симметрической группы,
а лишь те, которые играют роль в атомной спектроскопии.
В математической теории неприводимых представлений (осново-
(основоположниками этой теории были А. Юнг и Г. Фробениус) отдельные
представления соответствуют не определенным индексам k, а раз-
различным разбиениям числа п на положительные целые слагаемые,
полное число которых равно числу всех неприводимых предста-
представлений. Представления DW(R) соответствуют разделению п на два
слагаемых (га— k)-\-k (в силу, ограничения п — k^-k имеем
~/п; представления D(*'(/?) соответствуют разбиению п
на суммы единиц и двоек, 2 —f— 2 —j— ... —(— 2 —|— 1 —[— 1 —J— 1 ^= лг,
где имеется га — 2k единиц и k двоек.
То обстоятельство, что собственные функции, осуществляющиеся
в природе, преобразуются, согласно этим представлениям, при перестанов-
перестановках координат электронов, связано с тем фактом, что спин электрона
во внешнем магнитном поле может иметь лишь две различные ориента-
ориентации. Если возможны три ориентации (как, например, в случае ядра азота,
спин которого равен единице), появляются также представления, соот-
соответствующие разбиению числа п на три слагаемых, а также их присое-
присоединенные представления, соответствующие разбиению я на суммы чисел 1,
2 и 3. Наоборот, если возможно только одно квантованное направление
(например, для ядра гелия, спин которого равен нулю), то в физических
задачах могут встречаться только симметричные представления, соответ-
соответствующие разбиению п на одно слагаемое я = я, а также антисимметричные
представления, соответствующие разбиению этого числа на одни единицы,
„=1 + 1+...+1.
Сравним результаты этой главы с неприводимыми представлениями
G.Е.1), (9.Е.1) и (9.Е.З) симметрической группы третьей степени, данными
на стр. 100 и 101. Представление одной лишь матрицей A) является тожде-
тождественным представлением D'0)(jR) (n = 3 + 0); его_ присоединенное пред-
представление есть антисимметричное представление D@) (R) (я= 1 + 1 + 1).
Третьим представлением является DA> (R) (я = 2+1); его присоединен-
присоединенное представление есть D^ (/?) (я = 2+1), причем последние два
представления эквивалентны.
Для симметрической группы четвертой степени имеем представления:
D<°>(/?) (я = 4) и б@>(#) (я =1+4 1+1), размерности
(/?) (я = 3+1) и DA) (/?) (я = 2 + 1 + 1), размерности (* ) — (* j = 3,
(R) (n = 2+2), эквивалентное DB) (R) (я = 2 + 2),
размерности „ — ( . ) = 2.
Симметрическая группа 169
Всего имеется пять неэквивалентных неприводимых представлений, соот-
соответствующих пяти классам группы. Очевидно, что сумма квадратов
их размерностей равна порядку группы: I2 +12 + 32 +32+22 =24 = 4! = А.
Для этой группы, как и для симметрической группы третьей степени,
рассматриваемые представления включают все неприводимые предста-
представления.
При п = 5 мы получим таким способом шесть неприводимых пред-
представлений [(D*2) (/?) не эквивалентно D'2) (/?))], но так как группа имеет
семь классов, то это не все неприводимые представления. При ббльших п
все меньшая часть полного числа всех неприводимых представлений
оказывается среди D(fc) (/?) и D(ft) (/?). Тем не менее в силу принципа
Паули мы придем к заключению, что остальные представления не играют
никакой роли в теории атомных спектров. Они могут быть получены
тем же способом, каким мы получили рассмотренные представления,
за тем исключением, что следует рассматривать функции п переменных,
могущие принимать более чем те два значения, которые мы приняли
в нашем рассмотрении.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Лемма о симметрической группе
Здесь будет показано, что при k <; у п все ( . _^, ) функций
' a^i... ak_i — SaiSai . . . SaJfe_15aiu2... ak_{ A3.5)
(где ах < a2 < ... < ak_l и satul... a является суммой всех тех
переменных s, индексы которых не встречаются среди чисел аи
а2 ak-i) линейно независимы. Только в том случае, если это
имеет место, можно заключить, что не более чем 1,1 — I .1
линейных комбинаций произведений saisOl... sa ортогональны всем
Fa1a1...ak_ ¦ ФуНКЦИИ Fa,a2...ak_ ЯВЛЯЮТСЯ ЛИНеЙНЫМИ КОМбина-
циями произведений sa,sa, ... sa :
fa1a1...ak_l = ^fna,...ak_l;b1...blSblSbJ ... S*ft, A3.16)
где можно принять Ь^ < Ь2 < ... <С Ьк и
II, если все av a2s .... пк_1 встречаются
среди bv b2 bk,
О, во всех остальных случаях.
A3.17)
В сумме в A3.16) числа bv b2 bk пробегают все (?) ком-
комбинаций чисел 1, 2, ..., п. Если между Fala1...ak_l имеется
170 Глава 13
линейное соотношение вида
S са, ... ак_Рп1 ... ак_1 =д2 ^а, ... ак_тп1 ... eft_,; ft,... ft/ft, • ¦ -Sftft = 0
A3.18)
суммирование опять проводится по всем I , 1 ) комбинациям
чисел а и по всем I , I комбинациям чисел b , то отсюда следует,
что для всех чисел хь,... ь., определенных для Ьх < Ь2<С • • ¦ <<Ьк,
11са1...ак_та,...ак_1;Ь,...ЬкХь1...ьк'=0. A3.19)
Это можно показать, умножая скалярное произведение A3.18)
и sdsdsd . .. sd на xd d и складывая получающиеся уравнения
К R
при всех возможных комбинациях чисел d^
Выберем теперь числа хь,ь2...ьк так, чтобы
^J/Ka, ... ak_]; Ьг ...Ъ^ь, ... Ьк —
ь
| 1 при «1=1. аг = 2 aft_1 = ft —1;
) г. A0.4V)
( U в остальных случаях.
Тогда соотношение A3.19) эквивалентно равенству
Ci2...*-i = 0. A3.21)
То же самое соотношение A3.21) должно выполняться также для
всех остальных cui...a , поскольку они все входят одинаковым
образом; иначе говоря, аналогичным образом можно так выбрать вели-
величины xbl...b., чтобы показать, что каждое с обращается в нуль
(следует заменить лишь в последней части нашего рассуждения
1, 2 k—1 на atj, a2, .... ак_1). Тем самым остается лишь
показать, что выбор, приводящий к A3.20), действительно может
быть сделан, после чего доказательство линейной независимости
функций Fusa*...ab будет завершено.
Величины xbl,..b находятся в нашем полном распоряжении.
Выберем равными друг другу все те xbl...b , среди индексов Ьг,
Ь2, ••.. Ък которых имеется в точности % чисел 1, 2, .... k—1
(где 0^т<^?—1). Обозначим эти xbl... ь через хх. Рассмотрим
теперь те из соотношений A3.20), в которых имеется о чисел 1,
2 ft—1 среди av а2, .... ak_v Поскольку majOl... ak_Y\ ь,ь1...ьк
отлично от нуля только в том случае, если все at встречаются
среди bt, только те члены будут давать вклад в сумму в A3.20),
в которых имеется о чисел 1, 2, ..., k — 1 и k — 1 — о чисел
к, к -j- 1, ..., п среди fy. Единственный индекс Ь, значение кото*
Симметрическая группа 171
рого остается еще неопределенным, может быть либо одним
из чисел 1, 2 k — 1, либо одним из чисел k, k -f- 1, ..., п.
В первом случае он может принимать k — 1 — о значений, в послед-
последнем— п — k-\-\—(k — 1—а) = п — 2А + 2 + О значений, по-
поскольку он не может быть равным одному из чисел аг, й2. • • • > ak-v
Тогда A3.20) принимает вид
{1 При о = k — 1
U при 0 = 0, 1, .... А—2.
A3.22)
Это дает
ft—l—o n . и о
при б = и, 1 к — 2.
Но эти уравнения могут быть удовлетворены при п — 2k -)- 2 > О
или k <; у « + 1; следовательно, тем более они будут удовлетво-
удовлетворяться при k <; -н-ft. Значит, величины х^... 6 могут быть выбраны
так, чтобы выполнялось соотношение A3.20). Следовательно, соот-
соотношение A3.21) выполняется. Аналогично должны обращаться
в нуль все остальные с в A3.18); таким образом, линейная не-
независимость функций F установлена.
Глава 14
ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
1. Непрерывная группа, образованная из совокупности всех
вещественных ортогональных га-мерных матриц, называется п-мер-
ной группой вращений. Группа чистых вращений включает
ортогональные матрицы только с определителем -|—1, тогда кач
группа вращений и отражений включает также матрицы с опре-
определителем — 1; таким образом, последняя содержит все веществен-
вещественные ортогональные матрицы. Групповое умножение является снова
матричным умножением, а тождественным элементом является еди-
единичная матрица.
В гл. 3 мы видели, что всякая вещественная ортогональная матрица
может быть приведена к диагональному виду с помощью унитарной
матрицы. Тогда абсолютные величины всех диагональных элемен-
элементов равны 1; некоторые диагональные элементы равны -}-1, другие
равны —1, а остальные состоят из сопряженных пар комплексных
чисел е"? и e~'f. Собственные векторы, соответствующие собствен-
собственным значениям -(-1 или —1, могут быть записаны в вещественном
виде, а пары собственных векторов, соответствующие двум ком-
комплексно сопряженным собственным значениям, — в виде комплексно
сопряженных векторов. Так как эти собственные векторы, как
и всякие собственные векторы, ортогональны в эрмитовом смысле,
они ортогональны сами себе в комплексном ортогональном смысле;
иначе говоря, сумма квадратов их компонент равна нулю.
Как известно, га-мерная ортогональная матрица представляет
преобразование от одной системы ортогональных осей к другой,
т. е. вращение осей координат. Из ортогональности этой матрицы
следует, что каждая пара осей новой системы координат орто-
ортогональна и что единица длины новых осей координат та же, что
и была для старых. Группа чистых вращений содержит только
преобразования от одной „правой" системы координат к другой
„правой" системе; группа вращений и отражений включает также
преобразования от правой системы координат к левой и, наоборот.
Последние преобразования часто называются несобственными вра-
вращениями.
Группы вращений 173
Чтобы применить наши общие результаты к непрерывным
группам, мы должны прежде всего ввести параметры. Это может
быть сделано только несимметричным образом, так как определен-
определенные направления в пространстве (оси координат) должны быть
выделены, и даже сами оси координат не могут рассматриваться
на равных основаниях. Прежде всего найдем число измерений
пространства искомых параметров. Рассмотрим я-мерную веще-
вещественную ортогональную матрицу. Так как первая строка является
я-мерным вектором единичной длины (ось х новой системы ко-
координат), она в силу условия а2п -*}- а2п -\- ... -|- а\п = 1 содержит
в точности я—1 параметр. Вторая строка должна быть ортого-
ортогональна первой; отсюда следует однородное линейное уравнение
Й11Й21~ЬЙ12Й22~Г" • • • Ч~й1вй2я —О ДЛЯ Й21' Й22 Й2я' а И3 еДИ-
ничной длины вытекает а^-)-й|2+ ... -\-а\п= 1. Таким образом,
во второй строке имеется я — 2 свободных параметров. Далее,
k-я строка должна быть ортогональна всем k — 1 предшествующим
строкам — отсюда следуют k — 1 однородных уравнений — и иметь
единичную длину. Следовательно, она содержит я — k свободных
параметров. Всего имеется
(п—\)-\-(п — 2)-\-(п — 3)-)- ... +[я—(я—1)]-|-0 = -2-я(я— 1)
свободных параметров.
2. В дальнейшем мы будем ограничиваться двумерной и трех-
трехмерными группами вращений.
Общий элемент двумерной группы чистых вращений получается
путем преобразования к новой системе координат на плоскостиг)
у'= — х sin tp -|- у cos cp,
где tp — угол вращения, принимающий значения от —и до —]— -те.
Общий элемент группы имеет, таким образом, вид
cos tp sin
— sin tp cos tp/
Второе преобразование — переход от х'у' к х", у" путем враще-
вращения системы координат на угол tp' — приводит к произведению
costp' slntp'X/ coscp sin cp \ / cos (tp -|- tp') sin(tp-|-tp')\
— sin<p' costp'/\—sin cp coscp/ ^—sin(tp + tp') cos (tp + tp')/'
(H.3)
') Вращение определяется как положительное, если ось х вращается
к оси у так, чтобы соответствовать определению трехмерных вращений.
В общем случае положительным вращением вокруг некоторой оси на-
называется вращение правого винта, продвигающегося в положительном
направлении этой оси.
174 , Глава 14
Соотношение A4.3) показывает, что произведение является просто
вращением на угол ср —|— ср'.
Двумерная группа чистых вращений является абелевой, так как
она имеет только один параметр. Если мы введем обозначение {ср}
гл. 10 для элемента группы с параметром ср, то соотношение A4.3)
может быть записано в виде
{?'}•{?} = {? + ?'} = {?}¦{?'}¦ 04.4)
Если ср —1— ср' не лежит между —тс и +те, должно быть добавлено
или вычтено целое число углов 2тс, чтобы угол ср —]— ср' попал
в область, в которой допускается изменение параметра.
Для матрицы A4.2) угол ср является комплексной фазой соб-
собственного значения ехр (± /ср). Столбцы единичной матрицы и,
которая диагонализует A4.2), определяется из соотношений
l«l.|2+l«2«|2==1. «la + «2a = 0, Uu=±iU2a
с точностью до множителя с абсолютной величиной 1 (который
может быть выбран произвольно). Эти условия дают аи = Ijy2,
и21 = — l/V%> и12= 1/1/2, и22 = 4-</1/'2, и мы имеем
е-'9 О
f ~ У?/ \- sin ? cos У\-у?
Таким образом, собственные векторы одни и те же для всех
матриц A4.2). Поскольку двумерная группа чистых вращений
является абелевой, каждый элемент образует класс сам по себе.
3. Из всякой двумерной матрицы с определителем —1 можно
получить матрицу с определителем -|-1 путем умножения второй
строки на —1. И, наоборот, общая ортогональная матрица с опре-
определителем — 1 получается путем изменения знаков во второй строке
A4.2):
/cos cp sin ср\
. • A4.2а)
\Sin ср —COScp/
Матрицы A4.2) и A4.2а), где —ir<cp<ir, образуют двумер-
двумерную группу вращений и отражений. Все матрицы A4.2а) имеют
собственные значения +1 и —1. Они имеют различные собствен-
собственные векторы «,i = [cos(cp/2), sin (ср/2)], й.2 = [—sin(cp/2), cos(cp/2)],
тогда как все матрицы A4.2) имеют все одинаковые собственные
векторы, но различные собственные значения. Мы можем непосред-
Группы вращений 175
ственно проверить, что матрица, образованная из этих двух век-
векторов, преобразует диагональную матрицу к виду A4.2а):
sin| cos\;
A4.5a)
Выражение для несобственного вращения A4.2а) в виде про-
произведения A4.5а) иллюстрирует то обстоятельство, что всякое не-
несобственное вращение A4.2а) может рассматриваться как чистое
отражение в прямой линии; соотношение A4.5а) означает, что
A4.2а) получается путем, во-первых, вращения на угол ср/2, за-
затем отражения относительно оси х, и наконец, вращения назад
на угол — ср/2. С другой стороны, то же отражение могло бы
быть произведено относительно линии, составляющей угол ср/2
с осью х.
Двумерная группа вращений и отражений является смешанной
непрерывной группой. Наиболее естественная параметризация этой
группы использует непрерывный параметр ср и дискретный пара-
параметр й. Последний представляет собой определитель, т. е. равен ± 1.
Тогда мы имеем
cos ф sin ср\
; Ч. (Н.6)
—dsincp d coscp/ v
{ср, d}-W, d'} = {rf'cp-i-cp', dd'}.
Эта группа не является более абелевой; матрицы A4.2а) не ком-
коммутируют, а также не имеют общих собственных векторов.
Разбиение группы на классы также меняется: A4.5а) показы-
показывает, что все элементы A4.2а) принадлежат одному классу,
так как они все могут быть преобразованы в {0, —1}. Однако
элементы A4.2) уже не образуют класса каждый в отдельности; на-
например,
A 0\/ coscp sin ср \ /1 0\ /coscp —sincpX
О —1.Д—sincp coscp До — 1/ \sincp cos?/' (И'7)
и, следовательно, {ср. 1} и {—ср, 1} принадлежат одному и тому
же классу. В этом классе не может быть других элементов, так
как все остальные имеют другие собственные значения и не могут
быть преобразованы в один из этих двух.
4. В соответствии с общим рассмотрением интеграла Гурвица
Э гл. 10 существует такой инвариантный интеграл по области
176 Глава 14
двумерной группы чистых вращений, что соотношение
(Н.8)
выполняется для всех элементов группы R при условии, что g(T)
определяется A0.9):
где р(Т) — параметр элемента Т.
В случае двумерной группы вращений непосредственная про-
проверка показывает, что одинаковым областям должны быть при-
приписаны одинаковые веса. Пусть / будет параметром элемента 7;
тогда, согласно A4.4), мы имеем параметр /?G1{а}) = ?-|-а- После
дифференцирования по а это дает 1, так что
g(T) = g(E). A4.10)
Таким образом, инвариантный интеграл равен
A4.11)
Все неприводимые представления двумерной группы чистых
вращений одномерны. Действительно, это справедливо для всех
абелевых групп; непрерывные абелевы группы являются лишь част-
частным случаем. Рассмотрим многомерное, скажем двумерное, пред-
представление. Мы можем привести некоторую матрицу этого пред-
представления к диагональному виду. Если два диагональных элемента
не были бы равными, матрица имела бы вид
а 0\
о ъ)' A4-ЕЛ)
так что все матрицы, коммутирующие с ней — и, следовательно,
все матрицы этого представления — имели бы только нули на
пересечениях строк и столбцов с различными диагональными эле-
элементами матрицы A4.ЕЛ); тогда представление было бы приво-
приводимым. Если бы это не имело места, то все собственные значения
матрицы A4.ЕЛ) были бы равными и матрица была бы постоян-
постоянной. Тогда она имела бы диагональный вид даже до преобразо-
преобразования. Но это верно для любой матрицы этого представления,
так что они все были бы кратными единичной матрице, и представле-
представление было бы, следовательно, приводимым.
Группы вращений 177
Из A4.4) следует, что если элемент {ср} соответствует матрице
(/(ср)) в некотором представлении, то
= (/ (90) • (/ Of)) =
и, таким образом,
Так как матрица для ср = — % должна совпадать с матрицей для
<p = -j-ic, мы должны иметь ехр(г'йтс) = ехр (—ikti); следовательно,
ехрB/&гс) = 1. Отсюда следует, что k является вещественным целым
числом. Двумерная группа чистых вращений имеет бесконечно много
неприводимых представлений, и все они одномерны. Матрица /га-го
представления, соответствующая элементу A4.2) с углом враще-
вращения ср, равна
(e!mf).
Для каждого положительного и отрицательного целого числа,
т— ... —4, —3, —2, —1. 0, +1. +2. +3 существует
одно определенное неприводимое представление двумерной группы
чистых вращений.
Соотношения ортогональности
Г d<? =
0 при tn Ф tn'
при т = т'
являются как раз соотношениями ортогональности рядов Фурье.
Полнота набора коэффициентов представления является также пол-
полнотой системы функций, по которой производятся разложения
Фурье.
5. Найдем теперь неприводимые представления двумерной группы
вращений и отражений, используя метод, который покажется весьма
сложным для этой цели. Однако тот же самый метод будет
в дальнейшем применен к трехмерной группе, так что полезно
рассмотреть его на простом примере; кроме того, мы имеем здесь
другой пример соотношений между представлением и соответствую-
соответствующими функциями.
Рассмотрим уравнение для гармонических полиномов от двух
переменных
^4-^Й = 0. A4.12)
Ясно, что оно инвариантно относительно всех преобразований A4.6).
Далее, решение уравнения A4.12), являющееся однородной функ-
функцией степени т относительно переменных хну, преобразуется
178 Глава 14
оператором Ря [где R — преобразование вида A4.6)] в полином
того же вида, так как преобразование Ря линейно относительно
переменных х и у:
Р{г dyf(xcos<?-\-y sin cp, —dx sin cp + dy cos cp) = / (x, y) A4.13)
или, поскольку {cp, d) равно {—dcp, d),
P{<?,dyf(x, y) = f(xcos(—dcp) -f- у sin (—dcp), —xdsin(—dcp) +
-\-ydcos(—dy)) = / (x cos cp — yrfsincp, x sin cp + yd cos cp). A4.14)
Таким образом, если f(x, у) является однородной функцией /и-й
степени, то тем же свойством обладает и Р#/.
Уравнение A4.12) совпадает с одномерным волновым уравнением
с мнимой скоростью /. Его общее решение имеет вид
/(*. y) = f_(x — iy)-\-f+(x-\-ty). A4.15)
Если / (х, у) — однородная функция степени т относительно х
и у, то /+ и /_ должны (с точностью до постоянного множителя)
определятся выражениями
/- (х — iy) = (x — lyf, f+ (x + iy) = (х + iyf. A4.16)
Представление 3 ({<p. d}), принадлежащее этим функциям, дву-
двумерно. Его первый столбец (—) определяется с помощью A1.23)
и A4.14);
Р{<е, <*}/_ (х, y) = /_(xcoscp — ydsincp, x sin cp -f- yd cos cp) =
= [(x cos cp — yd sin cp) — i(x sin cp -f- yd cos cp)]m —
= [x (cos cp — / sin cp) — iyd (cos cp — /sin cp)]m =
= (x — iyd)me-'"n'(.
Будучи записанным через коэффициенты представления, это дает
Следовательно, эти коэффициенты даются выражениями
(т) (т) ¦ A4.1/,)
Другой столбец (+) может быть определен тем же способом
через функции /+. Матрица 3(т)({?> 1}). соответствующая в этом
представлении чистому вращению на угол ср, оказывается равной
/ g — ims)
A4.18)
Группы вращений 179
где мы сначала записали строку (или столбец) (—), а затем строку
(или столбец) (-)-). Матрица, соответствующая элементу группы
A4.2а), равна
( 0 е'т'Л
_/га? 0 у A4.18а)
Функция /_ принадлежит строке (—) (или первой) матрицы 3 >
функция /+ — строке (-)-) (или второй).
Эти представления неприводимы и различны при т= 1, 2, 3
Только диагональная матрица коммутирует с A4.18), но никакая
диагональная матрица, кроме постоянной матрицы, не коммутирует
сA4.18а). Матрицы A4.6) являются, разумеется, также „пред-
„представлением" их собственной группы. Это представление эквива-
эквивалентно частному представлению я=1 в A4.18), A4.18а); матрица,
использованная в A4.5), преобразует A4.6) к виду A4.18), A4.18а).
Следует заметить, что A4.18) и A4.18а) также осуществляют
представление при /и —0. Однако оно не является неприводимым,
так как в этом случае всякая матрица коммутирует с A4.18);
следовательно, в этом специальном случае мы можем диагонали-
зовать A4.18а) и разделить это представление на две неприво-
неприводимые компоненты
3@F)({?. I}) = A). 3(П({?. -1}) = (-1). A4.20)
6. Мы нашли теперь все представления двумерной группы
вращений и отражений. Они задаются формулами A4.18) и A4.18а)
при т=\, 2, 3, ... и являются двумерными; при /и = 0 и т — 0'
они представлены выражениями A4.19) и A4.20) и являются
одномерными.
Коэффициенты представления 3(m4f?> d})±± образуют полную
систему функций в пространстве ср и d. Это значит, что всякую
функцию g(y, d) (ср изменяется от —те до -4- %, a d равно либо +1,
либо —1) можно записать в виде их линейной комбинации. Функ-
ции -i.C@) + 3@l)). 3(iL. 3(A. 3(iL. 3(|'+, ... задаются последо-
последовательностью 1, ехр(—Лр), exp(^cp), ехр(—2/ср), ехр B/ср), ...
при d = 1 и исчезают при d — — 1; с другой стороны, функции
¦^(З^-З'0''), 3?- 3(Д, 3<?-. 3(IV, ... равны нулю при d=\
и, следовательно, равны 1, ехр (—?cp), ехр (/ср), ехр(—2/ср),
ехр Bгср), .. . при d = —1. Функция g(cp, 1) может быть выражена
в виде линейной комбинации первого набора, a g(cp, —1) — второго.
Из того обстоятельства, что рассмотренные матричные элементы
образуют полную систему в пространстве параметров, следует, что,
180 Глава 14
кроме A4.18), A4.18а), A4.19) и A4.20), не существует других
неприводимых представлений двумерной группы вращений.
7. Обратимся теперь к исследованию трехмерной группы чис-
чистых вращений. Собственные значения матрицы а, вещественной
ортогональной трехмерной матрицы с определителем 1, должны
иметь вид 1, ехр (—/ср). ехр(-|-/<р)> так как все они имеют модуль 1,
а комплексные собственные значения появляются сопряженными
парами. Фаза tp комплексного собственного значения называется
углом вращения; собственный вектор1) v.\ с собственным значе-
значением 1 называется осью вращения. Его компоненты vu, v21, v3l
проще всего определить, если начать с &v.\=^lv.x и, умножив на
а~1 = аг, найти «>.i = a7i>.i. Это дает (а — a7")^.i = 0 или, если
записать более подробно,
(а12 — а21) v2l + (а13 — а31) v31 = 0,
(й2! — fl12) Vn +(й23 — «32)^31 = °. (Н.21)
(а31 — д13) vn + (а32 ~ «2з) vi\ = °>
откуда
vu : v2l : v31 = (a23 — aZ2): (а31 — а13) : (а12 — ап). A4.22)
Угол вращения ср проще всего определить, приравняв сумму соб-
собственных значений следу матрицы,
1-1_в-'т -\-elf= l+2costp = fln + fl22 + «зз. (Н.23)
где tp принимает значения между 0 и те.
Собственные векторы v.<i и я.3, которые соответствуют
ехр(—/tp) и exp(-j-/tp), комплексно сопряжены друг с другом,
v*2 = '0.3- С другой стороны, v.i должен быть взят вещественным:
(V.l, V.l) = ((«>.b ©.l))=l.
Матрица v, столбцами которой являются собственные векторы
v.\, v.2, V-з матрицы а, диагонализует эту последнюю. Поэтому
v+av является диагональной матрицей с собственными значениями 1,
ехр(—/tp), exp (-|-ftp) в качестве диагональных элементов. Запишем
теперь V = vv0, где 2)
1 0 0
0 _
У?
0 l
/2 V2
A4.24)
') Хотя v,l является, конечно, вектором, он будет также играть
в нашем обсуждении роль столбца элементов матрицы. Поэтому мы
обозначаем его в соответствии с нашими обозначениями элементов матриц.
2) Здесь v0 выбрано так, что а представляет вращения вокруг оси X
после преобразования с помощью v v0. Ясно, что возможен другой выбор v0,
который приводит а к виду, представляющему, например, вращение во-
вокруг оси У.
Группы вращений
181
Столбцами матрицы V являются векторы v.i, (s— i/V~2)(v-2 — "'2)
и (l/^2)(v.2-\-v*2), так что V вещественна. Кроме того, мат-
матрица V, будучи произведением унитарных матриц, v и v0, также
унитарна, так что она является вещественной ортогональной мат-
матрицей, и, следовательно, элементом группы вращения. Если мы
теперь преобразуем уравнение v+av = d с помощью v0, то получим
1 О О
V+aV = vj v+avvo = vjdvo =
0 coscp
О — sin 9
sincp
COStp
¦V A4.26)
Можно принять, что в этом уравнении V представляет чистое
вращение, так как мы могли бы умножить ее на —1, если бы ее
определитель равнялся —1, и A4.25) осталось бы без изменения.
Из A4.25) видно, что все вращения с одним и тем же углом
вращения tp принадлежат одному и тому же классу, поскольку
они все могут быть преобразованы в е?. С другой стороны, матрицы,
угол вращения которых отличен от tp, не могут принадлежать
одному и тому же классу, так как они имеют различные собствен-
собственные значения и поэтому не могут быть преобразованы в s .
Геометрическую интерпретацию этого изложения дает хорошо из-
известная теорема, согласно которой всякое ортогональное преобразование
в трехмерном пространстве может быть представлено как вращение
Ф и г. 6. Геометрическая интер-
Y претация соотношения A4.25).
вокруг соответствующим образом выбранной оси г»#1. (Так как av.x = v.lt
ось вращения не меняется при вращении.) Если преобразование перево-
переводит дугу XZ на фиг. 6 в дугу X'Z', то ось вращения должна лежать
на перпендикулярах, восстановленных в серединах дуг ZZ' и XX' и,
следовательно, в точке их пересечения С. Действительно, вращение
вокруг С преобразует Z в Z' и X в X': из равенства двух треуголь-
треугольников ZCX и Z'C'X' (три стороны их равны) следует, что углы ZCX
и Z'C'X' равны, а поэтому углы ZCZ' и ХСХ' также равны и равны
углу вращения <р- Вращение на угол <р может быть преобразовано в дру-
другое вращение с тем же углом вращения, если ось первого вращения при-
182 Глава 14
вести в совпадение с осью второго вращения путем вращения V, вы-
выполнить затем вращЛия на угол <р и, наконец, вернуть ось в ее перво-
первоначальное положение с помощью V.
Для однозначной характеристики вращений оси вращения
должно быть придано определенное направление, которое задает
также знак вектора v.\. Вращение будет происходить по часовой
стрелке, если смотреть вдоль положительного направления оси.
Параметризация (фиг. 1, стр. ПО) трехмерной группы чистых
вращений, которая обсуждалась в гл. 10, основана на этих ха-
характеристиках. Вращение на угол tp вокруг оси v.i соответствует
точке на расстоянии tp от начала в направлении v.\ x). Угол вра-
вращения всегда однозначно определяется вращением. Для вращения
с ф = 0 (которое фактически вовсе не является вращением) напра-
направление оси вращения не определено; тем не менее соответствующая
точка в пространстве параметров определяется однозначно: она
является центром сферы.
На поверхности сферы ср = тс в пространстве параметров на-
направление оси вращения не определяется однозначно; вращения
на угол те вокруг противоположно направленных осей совпадают.
Поэтому одно и то же вращение соответствует противоположным
точкам сферической поверхности. В остальных случаях соответствие
вращений точкам в пространстве параметров взаимно однозначно.
Элементы определенных классов лежат на концентрических сферах.
Для этой системы параметров можно также легко сформулировать
инвариантный интеграл Гурвица. Так как точки на сферической поверх-
поверхности радиуса tp соответствуют вращениям на один и тот же угол, но
вокруг осей, направленных по-разному, и так как все оси вращения
в пространстве эквивалентны, g({<fvu, <pu2i> №1}) может зависеть только
от угла вращения tp, но не от направления вектора v.v Таким образом,
достаточно определить g ({tp, 0, 0}). С этой целью [см. формулу A0.9)]
сначала вычислим параметры произведения {<р, 0, 0}-{еи е2, е3} для очень
малых ei, а затем устремим е; к нулю. Вращение {е,, е2, е3} задается
выражением
1 е3 — е3\
ь е2, е3} = | — е3 1 е,
е2 — е, 1
справедливым с точностью до первой степени величин ^ [см. соотноше-
соотношение A4. 22)]. Для {tp, 0, 0} {еи е2, е3] = е9 {еи е2, е3} получим
1 е3. —е2
— еъ cos 9 + ^2 sin tp cos <p — ex sin tp e{ cos tp + sin tp
e3 sin tp -f- e2 cos <p — sin tp — e^ cos tp — ex sin tp + cos tp/
') При обсуждении фиг. 1 в гл. 10 расстояние от начала было опре-
определено как <р/я, а не как tp. Левая часть фиг. 1 должна рассматриваться
в настоящем обсуждении увеличенной в отношении п: 1.
Группы вращений 183
Отсюда вычислим угол вращения <р' с помощью соотношения A4.23):
l+2cosy' = l + 2cosy — 2et sin у, <p' = <e + et. A4.23a)
Из A4.22) мы получим направление оси вращения:
= Bе{ cos 9 + 2 sin <j>): (е3 sin <р + е2 A -f- cos <р)): (е3 A + cos <р) — е2 sin <р).
A4.22а)
В сочетании с условием нормировки v'n -f-t^i + ^ 13 = 1 эт0 Дает (с уче-
учетом лишь членов первого порядка по е)
./ _ 1 -' _ е* A + cos у) *3 / _ е3 A + cos у) е2
vu-l, v2l- jihTi +T1 V3i- 2~ill 2~
Таким образом, параметрами {<р, 0, 0} > {еь ег, е3} являются
е2 A + cos у) ,егл [ ег A + cos у)
Hl + --J П Hl
При е\ = ?2 = еъ = 0 получаем в точности параметры вращения *?, т. е.
<р, 0, 0. При et = е2 = е^ = 0 интересующий нас якобиан равен
{?¦ 0. 0}{gi, ^2. g3» />з({у, 0, 0} {ei, g». gs»)
1 0
±±?212. _.?
2 2
2 sin у 2
<p 1 -f- CO
~2 * 2 sin i
+ cos УJ + sin2 у
0
4 sin2 <? 2A —cosy)"
0 i - J +cos У
Таким образом, для весовой функции g [формула A0.9)) получаем
g «Т. О, 0}) = g ({»„9, ю„?, vnv» = 2god-cosy) _
Вычисление инвариантного интеграла функции У(Л) = У(<р), имеющей
одно и то же значение для всех элементов класса (как, например, ха-
характер представления), также довольно просто. Интегрирование в про-
пространстве параметров может быть выполнено тогда сначала по сфери-
сферической поверхности (<р = const), т. е. по всем элементам одного класса,
что дает 4 яу2, а затем по <р> т. е. по всем различным классам. Таким
образом, для интеграла Гурвица получаем
те
go J J (?) 8я A — cos <p) d4. A4.27)
9
184 Глава 14
Для другой параметризации часто используют углы Эйлера,
как это показано на фиг. 2 (стр. 110). Вращение с углами Эйлера
а, р, х является произведением трех вращений: вокруг оси Z на
угол f, вокруг оси Y на угол C и снова вокруг оси Z на угол а.
В последующих главах {а, C, f} будет всегда обозначать враще-
вращение с углами Эйлера а, [3 и f. В этом представлении а и f в общем
случае изменяются от 0 до 2тс, а C — от 0 до тс. Однако если
р = 0, то а и f не определяются однозначно; все вращения {а, 0, т}
являются вращениями на угол a -J-f вокруг оси Z.
Глава 15
ТРЕХМЕРНАЯ ГРУППА ЧИСТЫХ ВРАЩЕНИЙ
Сферические гармоники
1. Неприводимые представления трехмерной группы вращений,
так же как и представления двумерной группы, можно получить
с помощью дифференциального уравнения Лапласа
»f(x, у, г) d*f(x, у, г)
дх2 "т" ду2 "т"
, у, г)
A5.1)
если рассматривать однородные полиномы /-й степени, удовлетво-
удовлетворяющие этому уравнению. Ортогональное преобразование R такого
полинома приводит к другому полиному 1-й степени, который также
Фиг. 7. Полярные коорди-
координаты г, 6 и <р.
является решением уравнения A5.1) и который поэтому может
быть выражен в виде линейной комбинации непреобразованных
полиномов. Коэффициенты образуют представление, обозначаемое
через !Е> (/?). Поскольку неприводимые представления трехмерной
группы вращений мы найдем иным способом, обсудим метод, свя-
связанный с уравнением Лапласа, лишь кратко.
Для решения уравнения A5.1) обычно вводят полярные коор-
координаты г, 6 и tp вместо х, у и z (см. фиг. 7); тогда полиномы 1-й
степени имеют вид rlYlm(f), tp). Если подставить это выражение
в уравнение A5.1) (записанное в полярных координатах), то г
186 Глава 15
выпадает и получается дифференциальное уравнение по перемен-
переменным 6 и <р (включающее Г). 21 -j- 1 линейно независимых решений
этого уравнения г)
Уи-10. ?). Уи-мФ. ?) Yt.t-iQ. <?).Yt,i0- ?) О5-2)
известны как сферические гармоники 2) /-й степени. Они имеют вид
YtoV. Т) = фт(?)вгт(9), A5.3)
где
A5.3а)
Функции Pt (cos б) являются полиномами Лежандра, определяемыми,
например, формулой Родрига
P. (COS6) = -J ^—т (cos2 6—1)'. A5.36)
1 1Ч\ d (cos 6)'
При 6 = 0 все Ytm обращаются в нуль, кроме Yl0. Это так и
должно быть, потому что азимут ср не определен при 9 = 0;
следовательно, в этой точке значение функции
не может зависеть от ср 3).
Весьма важна зависимость A5.3) от tp. Если применить опера-
оператор Р# к rlYlm(d, ср), где R означает вращение на угол а вокруг
оси Z, радиус и полярный угол 9 не меняется, а ср переходит
') См., например, D. Hilbert, R. С о и г а п t, Methoden der Mathe-
matischen Physik, Berlin, 1924, S. 420, 66, 265 (см. перевод: Д. Гиль-
Гильберт, Р. Курант, Методы математической физики, т. I, M. — Л., 1957).
2) Здесь и в дальнейшем фазы собственных функций выбраны так,
чтобы они соответствовали условиям, принятым в книге: Е. U. Condon,
О. Н. S h о г 11 е у, The Theory of Atomic Spectra, London — New York,
1953 (см. перевод с 1-го издания: Е. К о н д о н, Г. Ш о р т л и, Теория
атомных спектров, ИЛ, 1949).
3) Функции в;т(т>0) без квадратной скобки в A5.3а) являются
присоединенными полиномами Лежандра и часто обозначаются через
Я?1 (cos 6).
Трехмерная группа чистых вращений
187
в tp-f-a. Поэтому, если мы обозначим вращение с углами Эйлера
a, р, f через {а, р, f), то .
Лгп (<р+а)
eto(9) = ^Kte(9, 9). A5.4)
Строки и столбцы B/+1)-мерного представления, принадлежа-
принадлежащего сферическим гармоникам степени /, нумеруются вторыми
индексами соответствующих сферических гармоник от —/до Л
Тогда
РШг1?ш(Ъ- ?) = m2_z?>W({«. p. TJWKim-tf, <р). A5.6)
Приравнивая коэффициенты, как обычно, получаем
Таким образом, в представлении !Е> ' матрицы, соответствующие
вращениям вокруг оси Z, диагональны. Для вращения на угол а
мы имеем матрицу представления
г~ш О ... О О
О
О
О
0
О
О
A5.6)
.0 0 ... О е
Покажем теперь, что представления !Е> неприводимы, доказав,
что всякая матрица, коммутирующая с матрицами !Е>(г)({<х, р, ^})
при всех значениях a, p и f, с необходимостью является постоян-
постоянной матрицей. Прежде всего только диагональная матрица комму-
коммутирует со всеми матрицами A5.6). Поэтому матрица, коммутирую-
коммутирующая с !Е>()({а, р, -у}), непременно является диагональной матрицей.
Более того, ниже мы увидим, что в общем случае (т. е. за исклю-
исключением определенных дискретных значений р) в нулевой строке
матрицы ф()({0, р, 0}) нет нулей. Тогда только диагональная
матрица, у которой все диагональные элементы равны (т. е. по-
постоянная матрица), коммутирует с этими матрицами. Чтобы убе-
убедиться в этом, предположим, что диагональная матрица с элемен-
элементами dk коммутирует с ?>(г)({0, р, 0}); элементами нулевой строки
произведения являются
rf0S>(/)<{0. p, 0}Hft = ?>w({0, p, 0}Hkdk, A5.E.1)
откуда следует, что da = dk.
188 Гла&а 15
В том, что !Е>(г)({0, р, 0}) в общем случае не содержит нулей
в нулевой строке, можно убедиться следующим образом. Если R
есть вращение на угол [3 вокруг оси Y, то P/j переводит точку
(г, 9, 0) в точку (г, 9 + р, 0). Поэтому функции г1Уы{Ъ-\-§, 0)
являются линейными комбинациями функций rlYim< (9, 0), причем
коэффициентами будут 2)(г)({0, [3, 0})m,m. Если мы рассмотрим
точку 9 = 0, то в общем случае Kte([3, 0) не равно нулю, тогда
как Yim' @, 0) все равны нулю, кроме Kli0@, 0). Если бы теперь
обращался в нуль коэффициент этого члена 2)'г)({0, C, 0}Hт, все
члены в правой части равенства были бы равны нулю, тогда как
левая часть была бы отлична от нуля; поэтому SD^({0, p, 0}Hп|
не может обращаться в нуль.
2. Представления ?>@({<х, {3, f}) являются, таким образом,
неприводимыми при всех / = 0, 1, 2 Чтобы определить их
характеры, вспомним, что следы матриц, принадлежащих одному
классу, равны. Так как в этом случае класс характеризуется углом
вращения <р, характер у№ (tp) является функцией лишь угла вра-
вращения и может быть вычислен, если найти след любой матрицы,
соответствующей элементу с вращением на угол tp. Примером такой
матрицы служит матрица A5.6), если а = ср. Таким образом, мы
получаем
+/
Х(г)(<р)= S e'm* = l+2costp4-2cos2tp-i-...-i-2cos/<p. A5.7)
Соотношения ортогональности [если использовать весовую функ-
функцию, определенную выражением A4.27)] принимают вид
— cos 9) d? =
Это можно показать путем простого интегрирования. Легко видеть
также, что, кроме !Е>(г), не существует других неприводимых пред-
представлений. Действительно, характеры любого такого представления,
умноженные на A — cos 9), должны быть ортогональными всем /<г>
и, следовательно, ^(г+1> — x(Z)> т- е- функциям 1, 2costp, 2cos2cp,
2 cos 3tp, . . . в области от tp = 0 до ср = -к; поэтому, согласно тео-
теореме Фурье, они должны обращаться в нуль.
Из сказанного следует, что последовательность !Е>( , !Е> , !Е> , ...
включает все неэквивалентные неприводимые представления трех-
трехмерной группы чистых вращений. Их число бесконечно, как и
должно быть, поскольку группа вращений имеет бесконечное число
а с в
Трехмерная группа чистых вращений 189
Тождественным представлением является Ч?т . Трехмерные
ортогональные матрицы, как представление своей собственной
группы, эквивалентны представлению !Е> \ как это можно видеть
непосредственно либо из их размерности, либо из равенства
характеров.
Всякое представление трехмерной группы вращений является
комбинацией представлений !Е>@), ?>A), ?>B\ ... и. определяется
с точностью до преобразования подобия числом, сколько раз каж-
каждое отдельное !Е>@), !Е>A), ... встречается в нем. Но эти числа Ао,
Ах, Aj, ... можно определить непосредственно, исходя из матриц,
соответствующих подгруппе, являющейся двумерной группой враще-
вращений, т. е. вращений вокруг оси Z. Если представление ехр Aшф) дву-
двумерной группы вращений встречается ат раз, то (при
р
ат = Ат -J- Am+1 -f- ... и !?>(/) содержится во всем представлении
А[ = а1 — а1+х раз. Следует заметить, что к этому заключению
можно прийти только в том случае, если заранее известно, что мы
имеем дело с представлением; этот способ не может применяться
к произвольной системе матриц.
Соотношение A5.6) определяет матрицы !?>(г)({а, 0, 0})==
= Ф(г)({0. 0, т}); мы знали бы все матрицы ?>(г)({<х, [3, f}), если бы
знали также матрицы, соответствующие вращениям вокруг оси К.
Обозначим D(/)({0, р, 0})^ через d(l) (ф)%х. Вращение {а, р, ?}
является произведением трех вращений {а, 0, 0}, {0, C, 0} и
@, 0, f}- Поэтому соответствующая матрица имеет вид
?«({а, р, т}) = 2>Ю({а, 0. 0})?>(г)({0. р. 0}J>(г)({0, 0. Т}).
Следовательно, общая матрица вращения может быть записана
с помощью матрицы вращения вокруг оси К в следующем виде:
.'11- A6.8)
Гомоморфизм двумерной унитарной группы
на группу вращений
3. Выведем неприводимые представления трехмерной группы
чистых вращений иным методом, предложенным Г. Вейлем. Мы
переходим к этому методу несмотря на то, что наше обсуждение
метода, использующего уравнение Лапласа, было весьма кратким,
поскольку метод Вейля позволяет вывести так называемые „дву-
„двузначные представления" одновременно с собственными представле-
представлениями. В последующем изложении (связанном с теорией спина) эти
представления будут играть такую же важную роль, как и соб-
.твенные представления.
190 Глава 15
При исследовании симметрической группы можно ограничиться
определением размерностей и характеров отдельных представлений;
в противоположность этому, для изучения группы вращений пред-
представляют интерес не только характеры, но и элементы всех мат-
матриц представлений. Как мы увидим ниже, это происходит в силу
того, что в физические величины все тождественные частицы вхо-
входят одинаковым образом. Но различные направления в пространстве
физически эквивалентны только в том случае, если эквивалентны
все направления, притом не только для механической задачи, но и
для интересующей нас физической величины. Например, направле-
направление оказывается уже выделенным, если рассматривается определен-
определенная компонента дипольного момента.
Начнем с трех простых лемм, которые, собственно говоря,
относятся к элементарной теории матриц.
а) Матрица, преобразующая каждый вещественный вектор в веще-
вещественный же вектор, сама является вещественной, т. е. все ее
элементы вещественны. Если такая матрица применяется к А-му
единичному вектору (k-я компонента равна 1, а остальные равны 0),
то результирующий вектор образуется из &-й строки матрицы.
Следовательно, эта строка должна быть вещественной. Но это
рассуждение применимо ко всем k, так что все строки матрицы
должны быть вещественными.
б) В гл. 3 (стр. 37) мы видели, что матрица О является ком-
комплексно ортогональной, если она не меняет простого скалярного
произведения двух произвольных векторов, т. е. если ((а, 6)) =
»= ((Оа, Ой)). Эквивалентное условие может быть сформулировано
с помощью одного произвольного вектора. Матрица О является
комплексно ортогональной, если длина всякого отдельного произ-
произвольного вектора v остается неизменной при преобразовании
с помощью О.
Рассмотрим два произвольных вектора а и ft; пусть v = a-{-b.
Тогда наше новое условие комплексной ортогональности матрицы О
имеет вид
((». «0) = ((О». О*)).
Используя тот факт, что ((a, b)) = ((ft, а)), находим
((а + &, a + *)) = ((a, a)) + ((ft. ft)) + 2((a. b)) =
= ((Oa, Oa))-f-((Oft, Oft))) + 2((Oa, Ob)).
Однако по условию имеем также, что ((a, a)) = ((Oa, Oa)) и
((ft, ft)) = ((Oft, Oft)). Следовательно,
((a, ft)) = ((Oa. Oft)),
откуда мы заключаем, что матрица О комплексно ортогональна.
Аналогичным образом можно показать, что матрица U унитарна,
если для любого вектора выполняется соотношение (v, v) = (Vv, Vv).
Трехмерная группа чистых вращений 191
Матрица, оставляющая любой вещественный вектор веществен-
вещественным же и не меняющая длины этого вектора, соответствует вра-
вращению. Геометрической основой этой теоремы служит тот про-
простой факт, что в случае, если все длины равны в первоначальной
и преобразованной фигурах, углы должны быть также равны;
следовательно, преобразование является просто вращением.
в) Определим теперь общий вид двумерной унитарной матрицы
а Ь
с d
с определителем -(-1, рассматривая элементы произведения uu+= 1.
Из a*c-\-b*d = 0 следует, что с = — b*d/a*; подстановка этого
в ad—bc = \ дает (аа* -f- bb*) d/a* = 1. Далее, поскольку
аа*-\-bb*=\, находим, что d = a* и с = — Ь". Общая двумерная
унитарная матрица с определителем -f-1 имеет, таким образом, вид
где должно также иметь место равенство |й|2-|-|6|2=1.
4. Рассмотрим теперь так называемые „матрицы Паули"
О 1\ / О А /—10
10/' *у = \—1 о)' Sz^\ 0 1
Всякая двумерная матрица h с нулевым следом может рассматри-
рассматриваться как линейная комбинация этих матриц:
h = xsx -\- ySj, + zsz — (г, S),
или в явном виде
A5.10а)
Мы ввели обозначения 2x=hl2-\-h2v 2iy=hu—Л21 и z=—hn=-\-h22.
В частности, если х, у и z вещественны, то матрица h эрмитова.
Если мы преобразуем матрицу h с помощью произвольной уни-
унитарной матрицы и с определителем 1, то снова получим матрицу
h = uhu+ с нулевым следом; поэтому h также можно записать
в виде линейной комбинации матриц s^., sy, sz:
= u(r, S)u+ = x's;l. + /sy-bz/sz = (r', S), A5.11)
— z x-\-iy\/a* —b\ f —z' x'-\-iy'\
— V a*)\x — iy z )\b* a Jxx' — ty' z' )'
A5.11a)
192 Глава 15
Последнее соотношение определяет х', у', г' как линейные функ-
функции величин х, у, г. Преобразование Ru, переводящее г — (xyz)
в Rnr = г' = (x'y'z1), можно найти из A5.11а). Оно имеет вид
A5.12)
+ -i / (a2 — a*2 -+- b2 — b*2) у + (a*b* -+- a*) 2,
+ i- (a2 + а*2 + *2 + **2) у +1 {a*b* — ab)z,
z' = — (a*b-\-ab*)x-\-i(a*b—ab*)y-\-(aa* — bb*)z. I
Частный вид матрицы Ru в этом выражении не существен');
важно лишь то, что
х'2 -f- у'2 -\- г'2 = х2 -\- у2 -\- г2 A5.13)
в силу равенства определителей матриц h и h. Согласно лемме „б",
отсюда следует, что преобразование Ru должно быть комплексно
ортогональным. Это можно также видеть непосредственно из
соотношений A5.12).
Кроме того, матрица h эрмитова, если такова же матрица h.
Иными словами, вектор г' = {x'y'z') веществен, если веществен
вектор r = {xyz). Это означает, что, согласно лемме „а", Ru
является вещественным, как это непосредственно следует из E.12).
Следовательно, Ru представляет некоторое вращение; всякая дву-
двумерная матрица и с определителем 1 соответствует трехмерному
вращению Ru; это соответствие дается соотношениями A5.11)
и A5.12).
Определитель матрицы Ru равен +1, так как при непрерывном изме-
изменении и к единичной матрице матрица Ru переходит непрерывно в трех-
трехмерную единичную матрицу. Если бы ее определитель был равен —1
в начале такого перехода, он должен был бы скачком измениться на +1.
Так как это невозможно, то Ru есть чистое вращение для всех и.
Это соответствие таково, что произведение qu двух уни-
унитарных матриц q и и отвечает произведению Rqu = Rq • Ru
соответствующих вращений. Согласно соотношению A5.11),
в котором вместо и подставлено q, имеем
q (r, S) q+ = (Rqr, S); A5.12а)
') Комплексные числа а и Ь в A5.12), которые определяют вращение,
называются параметрами Кейли — Клейна; для них | а\2 + | Ь |2 = 1. Ради
краткости группу двумерных унитарных матриц с определителем 1 часто .
будем называть просто унитарной группой.
Трехмерная группа чистых вращений 193
после преобразования с и это дает
uq (г, S) q+u+ = и (Rqr, S) Ш" = (RuRqr, S) = (Ruqr, S),
если снова воспользоваться соотношением A5.11), заменяя в нем г
на Rqr, a u на uq. Таким образом, между группой двумерных
унитарных матриц с определителем -f-1 („унитарной группой") и
трехмерными вращениями существует гомоморфизм; это соответ-
соответствие задается соотношениями A5.11) или A5.12). Заметим, однако,
что до сих пор мы еще не показали, что гомоморфизм существует
между двумерной унитарной группой и полной группой вращений.
Это означало бы, что Ru включает все вращения, когда и покры-
покрывает всю унитарную группу. Это будет доказано несколько ниже.
Следует также заметить, что гомоморфизм не является изоморфизмом,
так как одному и тому же вращению соответствует более чем одна
унитарная матрица. Подробнее это мы также увидим ниже.
Прежде всего примем, что и есть диагональная матрица щ (a)
(т. е. мы полагаем Ъ = 0 и по причинам, которые будут ясны
позднее;
, a = e 2 J. Тогда |а|2=1 и а вещественно,
A5.14а)
Из A5.12) видно, что соответствующее вращение
(cos a sin а 0\
— sin а cos а О) A5.14а')
0 0 1/
является вращением на угол а вокруг оси Z. Предположим далее,
что и вещественна,
«2(Р)= j 1 • A5Л46)
Согласно A5.12), соответствующее вращение
/cos р 0 — sin p\
RUi= 0 1 0 ) A5.146')
Vsin р 0 cos р/
является вращением на угол р вокруг оси Y. Произведение трех
унитарных матриц пг (а) и2 ф) i^ (?) соответствует произведению
194 Глава 15
вращения на угол а вокруг оси Z, вращения на угол C вокруг
оси Y и вращения на угол -у вокруг оси Z, т. е. вращению с углами
Эйлера а, р, -у. Отсюда следует, что соответствие, определенное
соотношением A5.11), не только указывает трехмерное вращение
для каждой двумерной унитарной матрицы, но и по крайней мере
одну унитарную матрицу для каждого чистого вращения. В ча-
частности, матрица
A5.15)
соответствует вращению {а, р, ?}. Таким образом, гомоморфизм
является действительно гомоморфизмом унитарной группы на пол-
полную трехмерную группу вращений.
Остается еще открытым вопрос о кратности гомоморфизма, т. е.
о том, сколько унитарных матриц и соответствуют одному и тому же
вращению. Достаточно установить, сколько унитарных матриц и0
соответствуют тождественному элементу группы вращений, т. е.
преобразованию х' == х, у' = у, г' = г. Для всех и0 этого частного
вида тождество Uohuo = h должно выполняться для всех h; это
может быть только в том случае, если и0 является постоянной
матрицей (Ь = 0 и а=^а* вещественно) ио = (±1) (так как
|#|2+1#|2= 1). Таким образом, две унитарные матрицы (+1)
и (—1), и только они, соответствуют тождественному элементу
группы вращений. Эти два элемента образуют инвариантную под-
подгруппу унитарной группы, а те элементы (и только те), которые
входят в один и тот же смежный класс по инвариантной подгруппе,
т. е. и и —и, соответствуют тому же вращению. То, что и и —и
действительно соответствуют одному и тому же вращению, можно
непосредственно видеть из A5.11) или A5.12).
С другой стороны, легко видеть, что в тригонометрические
функции в A5.15) входят только половинные эйлеровы углы. Углы
Эйлера определяются вращением лишь с точностью до целого
числа 2п, а половинные углы Эйлера — с точностью до целого
числа тт. Тогда тригонометрические функции в A5.15) определяются
с точностью до знака.
Таким образом, мы получили важный результат: имеется дву-
двузначный гомоморфизм группы двумерных унитарных матриц с опре-
определителем 1 на трехмерную группы чистых вращений. Существует
Трехмерная группа чистых вращений 195
взаимнооднозначное соответствие между парами унитарных матриц и
и — и и вращениями Ru, притом так, что из uq = t следует также,
что RuRq = Rt; наоборот, из RuRq = Rt следует, что uq = ± t.
Если унитарная матрица и известна, то соответствующее враще-
вращение Ru получается проще всего с помощью A5.12); наоборот, уни-
унитарная матрица для вращения {a, [J, 7} находится наиболее прямым
путем из A6.15).
Представления унитарной группы
б. Полученный только что гомоморфизм устанавливает тесную
связь между представлениями рассматриваемых двух групп. Из
каждого представления D (R) меньшей группы, т. е. группы вра-
вращений в рассматриваемом случае, можно получить представле-
представление U(u) унитарной группы, как мы уже упоминали в другой связи
в гл. 9. При этом матрица U(u) = D(Ru) представляет все эле-
элементы (и и —и) второй группы, которые при гомоморфизме
соответствуют одному и тому же элементу Ru первой группы. Так,
в частности, матрица тождественного преобразования D(E) соот-
соответствует двум унитарным матрицам 1 и —1. Наоборот, если все
представления унитарной группы известны, то можно выбрать
такие, в которых одна и та же матрица представления U (u) = U (— и)
соответствует обеим матрицам и и — и. Каждое из этих пред-
представлений позволяет образовать представление группы вращений,
есл! матрицу D(Ru) = U(u) = U(—и) сопоставить вращению Ru.
Таким путем можно получить все представления группы вращений.
В частности, пусть представление U(u) унитарной группы
неприводимо. Элемент и = —1 коммутирует со всеми элементами
группы; следовательно, U(—1) должна коммутировать со всеми U (и).
Поэтому, в соответствии с общей теоремой о неприводимых пред-
представлениях, она является постоянной матрицей. Так как (—1J=1,
квадрат этого элемента группы должен быть представлен единичной
матрицей1) U(l). Тогда
Представления, в которых U(—1) == —j—11 A), называются четными
представлениями. В четных представлениях U(—u) = U(—1) •
• U(u) —U(l) • U(u) —U(u), т. е. одна и та же матрица всегда
соответствует двум элементам и и — и. Поэтому четные предста-
') Матрица U A), соответствующая тождественному элементу группы,
является единичной матрицей с размерностью представления. Мы поль-
пользуемся символом U A) вместо более простого символа 1, чтобы избежать
смешивания с тождественным элементом 1 унитарной группы, который
всегда является двумерным.
196 Глава 15
вления дают регулярные представления группы вращений, которые
все уже известны из п. 1 настоящей главы.
Представления, в которых U(—1) = — U(l), называются не-
нечетными представлениями. В нечетных представлениях U(—u) =
= U(—l)U(u) — — U(u); элементам, отличающимся знаком, соот-
соответствуют матрицы противоположного знака. Нечетные предста-
представления унитарной группы не дают регулярных представлений группы
вращений, но дают лишь „двузначные" или „полуцелые" пред-
представления, в которых не одна матрица, а две матрицы U(u) и
U(—u) = — U(u) соответствуют каждому вращению RU = R_U.
Эти две матрицы отличаются знаками их элементов.
Одно нечетное представление унитарной группы образуется
самой группой: U(u) = u.
В соответствующем „двузначном" представлении группы вра-
вращений ф('/а) вращение {a, (J, f} соответствует той матрице u = U(u),
которая соответствует R в гомоморфизме. Таким образом, со-
согласно A5.15),
_е
A5.16)
„Первые строку или столбец обычно называют —1/2-ми строкой
или столбцом; вторые \-112-мт строкой или столбцом. Выраже-
Выражение A5.16) дает нам первое двузначное представление группы
вращений.
Для двузначных представлений не всегда выполняется равенство
2)(/?)-2)(S) = 2>(#S); гарантируется лишь равенство ?>(/?)• 2) E) =
= ± ?>(^S), так как матрицы представления определяются лишь
с точностью до знака. Более того, невозможно определить знаки
всех матриц таким образом, чтобы был справедлив простой закон
перемножения однозначных представлений. Таким образом, двузнач-
двузначное представление не имеет строения вещественного (однозначного)
представления, в котором знаки просто оставлены неопределенными.
Это легко видеть, например, из A5.16): вращению на угол тс
вокруг оси Z соответствует матрица ± isz; квадрат этой матрицы,
—1 = — s2, соответствует вращению на угол 2it. Но такое
вращение вообще не является собственно вращением, так как все
остается без изменения; оно совпадает с тождественным элементом
группы. Поэтому единичная матрица также должна соответствовать
ему; сделать это представление однозначным путем выбора знаков
в A5.16) невозможно.
Трехмерная группа чистых вращений 197
6. Определим теперь неприводимые представления двумерной
унитарной группы.
Рассмотрим однородный полином п-Ш степени относительно
переменных е и С. Если мы произведем унитарное преобразование
переменных
в'= <№ + #:,
с=—ач+ct, A5Л7)
то снова получим однородный полином я-й степени. (Хотя это
справедливо для произвольных линейных преобразований, мы
ограничимся унитарными преобразованиями.) Поэтому п-\-\ поли-
полиномов s", &п~К. вп~К2 еС", С принадлежит (п-\- 1)-мерному
представлению унитарной группы. Чтобы сразу перейти к привыч-
привычным обозначениям для группы вращений, положим п = 2/; тогда
размерность представления будет равна 2у -\- 1, причем у может
быть либо целым, либо полуцелым'). Пусть полином имеет вид
где р. может принимать 2J-\- 1 значений —у, —у -\~ 1, —у -|-2
у — 2, у — 1, у; эти значения являются целыми для целых у
и полуцелыми — для полуцелых у. Постоянный множитель
[(y-)-[j,)!(y — (a)II'1 придан произведению е]+%*~*, поскольку,
как мы покажем, он делает представление 11(Л для 2у'-)-1 функ-
функций A5.18) унитарным.
Построим теперь2) произведение Pu/^Cs, С) в соответствии
с равенством A1.19):
р./д.. о-л^- Т^У
A5.19)
Чтобы выразить правую часть в виде линейной комбинации поли-
полиномов /ц, разложим ее по формуле бинома; она примет вид
j+v- J-v- ,
jU jU ^ L) y,U'!G + |x —%)!(; —(х —у.')! A
/+x'. A5.19a)
') Это значит, что ] отличается от целого числа на '/«•
2) Здесь и является унитарным преобразованием A5.17). В гл. 11
оператор PR был определен только для вещественных ортогональных R.
В данном случае, когда и унитарно, из A1.18а) вместо A1.186) следует
таким образом, Rjt выступает вместо
198 Глава 15
Здесь можно опустить пределы суммирования и суммировать по
всем целым числам, так как биномиальные коэффициенты равны
нулю, когда х, %' лежат вне области суммирования. Если положить
J-—%¦—x' = (i', то [i/ должно пробегать все целочисленные зна-
значения для целых j и все полуцелые значения для полуцелых j.
Выражая все функции от е и С в A5.19а) через /^ согласно A5.18),
получаем
Xey""'""eV+|l"''ft"**'+l''~7ll'(e. С). A5.20)
Коэффициент при /,,.- в правой части является элементом U (u)^^:
(Л/Ич .V/ ,у VU + pVU-rtnj + pVV^W v
(п^-Д(~1) X
Выражение при (i/ = у (для последних строк матриц представле-
представления) несколько проще, так как факториальный множитель исклю-
исключает все члены, кроме членов с х = 0:
)/,,4 _-,/ - 727I
Мы получили теперь коэффициенты для представлений U(^
при всех возможных значениях j = 0, 1/2, 1, %, • ..; остается
лишь показать, что представления A5.21) унитарны и неприводимы
и что двумерная унитарная группа не имеет других представлений,
кроме найденных здесь.
7. Докажем прежде всего унитарность представления A5.21).
Доказательство опирается на то обстоятельство, что полиномы /
в A5.18) выбраны так, чтобы
V
|C|
|Ч ~ B;)!
A5.22)
Аналогичным образом, в силу определения A5.19) функций Рц/^,
ъч +дС|2и~*] -
__ _
A5.22а)
Трехмерная группа чистых вращений 199
Последнее выражение получается либо прямым вычислением, либо
следует из свойства унитарности матриц и. Сравнение с A5.22)
показывает, что сумма 2 fv-fl- инвариантна относительно опера-
ций ри, так что
2|PU/J2=2l/J2- - A5-23)
v- и-
Это обеспечивает унитарность представления U(^. Действительно,
подстановка выражения для Рц/^ через /^ с помощью этого пред-
представления дает
2 2 dAh' 2 «$?/?• = 2 fvK- A5.23a)
v- v-' v-" v-
Если By-j-lJ функций f^ff.' рассматривать как линейно неза-
независимые, из соотношений A5.23) и A5.23а) непосредственно
следует
2 VLU) (uV, VLU) (u)* v = Ь^, A5.24)
v-
что является условием унитарности U .
Таким образом, унитарность U установлена, коль скоро
показано, что между f^f*^ не существует линейного соотношения,
т. е. что из равенства
= О A5.Е.2)
V-', V-"
с необходимостью следует с^^." = 0. Равенство A5.Е.2) должно
иметь место при всех значениях переменных е и С, так как соот-
соотношения A5.23) и A5.23а) выполняются при всех комплексных е
и С. Предположим, в частности, что е вещественно; тогда при
Х = 2/ + jj/ + (а" требование обращения в нуль коэффициента при ех
дает (после деления на г^*3^~х)
С*
Но это значит, что с^^-у-?.' =0. Линейная независимость произ-
произведений Д'/J» также следует отсюда, поскольку (С*/*) является
переменной, пробегающей свободно всю комплексную единичную
окружность. Она может быть записана в виде ехр/х, где т может
принимать все вещественные значения. Но, чтобы выполнялось
соотношение
200 Глава 15
при всех вещественных значениях х, все с должны обращаться
в нуль.
8. Неприводимость системы матриц U может быть установлена
точно таким же методом, каким была установлена неприводимость
представлений ф группы вращений в п. 1 настоящей главы.
А именно достаточно показать, что всякая матрица М, коммути-
коммутирующая с U (и) при всех и (т. е. при всех значениях а и Ь,
удовлетворяющих условию | а |2 + [6 |2= 1), должна быть с необ-
необходимостью постоянной матрицей. Рассмотрим прежде всего пре-
преобразования и, имеющие вид иДа) из A5.14а); иначе говоря,
положим Ъ — 0, а = ехр( — -^-ia). Тогда в сумме A5.21) остается
лишь член с «=0, причем он не равен нулю только при [a —jj/;
мы получаем
UU)(Ui(«)V^ = ^v«"". A5.25)
Те матрицы U(^, которые соответствуют унитарным преобразова-
преобразованиям вида Uj (а), имеют ту же форму, что и A5.6), с той лишь
разницей, что, в отличие от / в A5.6), j может принимать как
целые, так и полуцелые значения. Но с этими матрицами комму-
коммутирует только диагональная матрица, так что М должна быть
диагональной. Заметим далее, что, согласно A5.21а), ни один
элемент последней строки матрицы U(jf) не обращается в нуль тожде-
тождественно. Приравнивая затем элементы у'-й строки матриц U М
и ЛШ(;), как это делалось в соотношении A5.Е.1), мы заклю-
заключаем, что
и М является постоянной матрицей. Следовательно, представле-
представления U неприводимы.
9. Можно также показать, что не существует других предста-
представлений унитарной группы, кроме U , если использовать тот же
метод, которым мы воспользовались в п. 2 настоящей главы при-
применительно к представлениям группы вращений. Определим прежде
всего классы „унитарной группы". Так как всякая унитарная матрица
может быть диагонализована преобразованием с некоторой унитар-
унитарной матрицей, все наши матрицы после этого преобразования имеют
вид Uj (а), где а принимает значения от 0 до 2-к [Uj (—а) экви-
эквивалентна U] (о)]. Все и, которые могут быть преобразованы к одному
и тому же виду Uj (а), находятся в одном классе. (Предположение
о том, что следует рассматривать только элементы группы — только
унитарные матрицы с определителем 1, — не является ограниче-
ограничением, так как всякую унитарную матрицу можно записать в виде
Трехмерная группа чистых вращений 201
произведения унитарной матрицы с определителем 1 и постоянной
матрицы, а преобразование с помощью постоянной матрицы может
быть просто опущено.)
Чтобы найти характер U(^, достаточно вычислить след одного
из элементов каждого класса. Возьмем саму щ (а) в качестве
элемента класса, к которому принадлежит щ (а); соответствующая
матрица дается выражением A5.25). Ее след равен
j
$*(*)= 2 *lv". A5.26)
где суммирование проводится по всем целым значениям от нижнего
предела до верхнего.
Теперь очевидно, что унитарная группа не может иметь других
неприводимых представлений, кроме U^' при j — 0, !12, 1. %•
Дело в том, что характер такого представления после умножения на
весовую функцию должен быть ортогональным всем ?Да) и, следо-
следовательно, функциям ?0(а), ?|/,(а), ^(а) —Е0(а), &>/., (а) — ?i/s (а), ....
1 / 3 \
Но функция, ортогональная 1, 2cos-2-a, 2cosa, 2cos(-2-aj, ...
в области от 0 до 2п, обращается в нуль в соответствии с тео-
теоремой Фурье.
Представления трехмерной группы чистых вращений
10. Всякое представление U(-" унитарной группы является одно-
одновременно представлением — однозначным или двузначным — группы
вращений. Матрица U(;)(u) соответствует вращению {ар?}, если
и является унитарным преобразованием, соответствующим в гомо-
гомоморфизме вращению {«-Рт}. Коэффициенты а и b преобразования и
даются выражением A5.15) в виде
а=-е 2 cosyp-e2 , b = —е 2 sin у fi • е2 .A5.15а)
Чтобы получить элементы матрицы представления, соответствую-
соответствующие вращению {офт}, выражения A5.15а) следует подставить
в A5.21). Для сохранения преемственности обозначений, использо-
использованных в A5.16), преобразуем представление, получающееся после
этой подстановки, с помощью диагональной матрицы Mxx = 8xX(i)~2x;
иначе говоря, умножим [а'-ю строку на Г2^', а [а-й столбец —
на /2!\ так что коэффициент с индексами ш' умножается на
202 Глава 15
Обозначим представление, получающееся $фи этом из Ц ,
через ?)(;)( jap-j}); его коэффициентами являются
^ ^ A5.27)
Представление ?>(-" является By-f- 1)-мерным, где у может
быть либо целым, либо полуцелым. Строки и столбцы 2/'' прону-
пронумерованы целыми или полуцелыми числами —у, —у-f-l, ..., у— 1, у.
Суммирование по « в A5.27) может производиться по всем целым
числам, так как бесконечности факториалов в знаменателе огра-
ограничивают область промежутком между наибольшим из чисел 0
и (i — ji/ и наименьшим из чисел у — jj/ и y'-f-ji. Формулы для
(i/ = у и ji' = —у особенно просты; в первом случае остается
лишь член с х = 0, а во втором — только с х =
-»• Ip • em.
A5.27a)
A5.276)
Все коэффициенты представлений для вращений вокруг оси Z
также принимают особенно простой вид. Вращение на угол а вокруг
оси Z соответствует в гомоморфизме унитарному преобразова-
преобразованию щ (а); коэффициенты соответствующей матрицы представления
даются выражением A5.25). Матрица в Ч?> , соответствующая вра-
вращению {а, 0, 0}, является поэтому диагональной матрицей
с диагональными элементами ехр(—ija), ехр(—l(j — 1)<х), ....
ехр(-)-/(у — 1)а), ехр(/уа). Тот же самый результат получается
непосредственно из A5.27), если положить р = ^ = 0. Матрица
Ч?>^({а, 0, 0}) уже была явно представлена формулой A5.6),
которая применима теперь не только при целых /, но и при полу-
полуцелых у". Это также относится к A5.8).
Характер х^Чф) матрицы ф(;) является следом вращения на
угол <р:
2
I + 2 cos cp -f- ... + 2 cos yep (у целое),
(у пол
A5.28)
1 3
cos 2-tp4-2cos-2-tp+ ... -j-2cosy<f> (у полуцелое).
Трехмерная группа чистых вращений 203
Регулярные представления включают только те j, для которых
U(-"(—l) = U(i')(u1Bu)) есть положительная единичная матрица.
Из A5.25) видно, что это имеет место, когда (i целое, т. е. когда
j целое. Тогда ?>(^ совпадает с &l\ определенным в п. 1 настоя-
настоящей главы; это также проявляется в равенстве характеров.
При полуцелых j представление ф(;) двузначно; вращение {офт}
соответствует матрицам ±Ф(;)( {«Рт) )• Это tie означает, что знаки
элементов матриц ?> ' можно менять по отдельности; может изме-
изменяться лишь знак всей матрицы, или знаки всех элементов одновре-
одновременно. Вращение Ru соответствует двум унитарным матрицам и
и —и, причем каждой из них соответствует одна матрица U (и)
и и*^—и); при полуцелых j вторая из них равна —U(;)(u).
Только эти две матрицы, и никакие другие, соответствуют в Ф( '
вращению Ru. В действительности, двузначные представления
вообще не являются представлениями. Однако они понадобятся
для изложения теории спина Паули.
Теория представлений группы вращений была развита Шуром.
Двузначные представления впервые получил Г. Вейль.
11. Дадим теперь несколько первых представлений в явном
виде. ф@'(/?) = A), а Ъ^*\Я) дается выражением A5.16). Следую-
Следующее представление ?>A)(/?) имеет вид
.„l + cosB _, . sin 8 . 1 — cos Г
sin Be-'r cos 8 )=¦ sin
/2
i. 1 + cos p
fT
gi
У 2
A5.29)
В этом соотношении тригонометрические функции половинных
углов выражены через функции целых углов.
Представления групп вращения, по крайней мере однозначные, при-
привычны для физиков, так как они дают формулы преобразований для
векторов, тензоров и т. д. После преобразования к новой системе коор-
координат новые компоненты вектора или тензора являются линейными
комбинациями компонент в старой системе координат. Если обозначить
компоненты в старой системе через Т„ (а может означать совокупность
нескольких индексов), то компоненты Т'а в новой системе координат
равны
; 2Г„ A5.30)
где явно указана зависимость коэффициентов преобразования от ориен-
ориентации R новой системы координат относительно старой. Если мы еще
204 Глава 15
раз переходим к новой системе координат, например, с помощью вра-
вращения S, то
К = 2 D < Ve = 2 D (s)xP D <*)p. Г, A5.31)
Теперь Т" являются компонентами тензора в системе координат, полу-
полученной путем вращения SR, так что мы имеем
T"^^D(SR)TJa. A5.32)
Поскольку A5.31) и A5.32) выполняется для произвольных значений ком-
компонент тензора Та,
D(SR)T, = ^D(S),pD(R)9,, D (SR) = D (S) D (R). A5.33)
p
Таким образом, матрицы преобразования компонент векторов и тензоров
образуют представление группы вращений.
Так, в частности, матрицами преобразования векторов являются сами
матрицы R, образующие представление своей группы. Это представление
эквивалентно представлению ^К „Матрицей преобразования" для скаля-
скаляров является &°\
Однако представления, принадлежащие тензорам, которые встре-
встречаются наиболее часто, не являются неприводимыми, так как можно
образовать такие линейные комбинации этих тензорных компонент,
которые преобразуются лишь между собой. Эти приводимые представле-
представления преобразуются к приведенному виду с помощью матриц, образующих
эти линейные комбинации из первоначальных компонент.
Рассмотрим, например, тензор второго ранга с компонентами Тхх, Тху,
Txz> ТуХ, Туу, Tyz, Tzx, Tzy, Tzz. Этот тензор можно записать в виде
суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Шестью, компо-
компонентами первого являются Тхх, Туу, Tzz, Txy-\- Tyx, Tzx-\- Тхг, Tyz-\- Tzy;
тремя компонентами последнего будут Тху — Тух, Tyz — Тгу, Тгх — Тхг.
Представление для антисимметричного тензора эквивалентно представле-
представлению %р > и неприводимо, чего нельзя сказать о представлении для сим-
симметричного тензора. Существует одна линейная комбинация компонент
Т = Тхх -)- Туу -f- Tzz, которая остается инвариантной. Остающиеся пять
I 1
линейных комбинаций Тхх— -^ Т, Туу — -^Т, Тху-\-Тух, Tyz-\~Tzy,
Tzx-\- Txz являются взаимно независимыми компонентами симметричного
тензора с нулевым следом. Они принадлежат неприводимому представле-
представлению, эквивалентному %Р\
Последнее замечание показывает также, почему нецелесообразно
нумеровать строки и столбцы неприводимых представлений с помощью
обычных символов тензорных компонент, к которым они относятся. Этим
предоставляется слишком много свободы. Так, компонента Тхх —к- Т
симметричного тензора с нулевым следом, приведенного выше, может
быть опущена, а вместо нее может быть использована компонента
Т т
zz~~3
Трехмерная группа чистых вращений
205
Три строки в ф'1) не относятся к компонентам х, у и г вектора,
так как в том случае, если бы это было так, матрица ф'1' была бы
вещественной.
Представление Ж'1' определяет преобразование вектора Tit компонен-
компонентами которого являются
±
L
Z,
A5.34)
С помощью матрицы, входящей в A5.34), Ф^ можно преобразовать
в представление, применимое к компонентам х, у н г вектора, т. е.
в матрицу для самого вращения R. Это легко видеть, если взять
$>A) ({аОО}) и ?>A) (<0р0> ) из A5.29) и умножить их на преобразование
из A5.34) справа и на сопряженное ему — слева. В первом случае полу-
получается матрица A5.14а'), а во втором — A5.146').
Глава 16
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
1. Большинство физических задач обладают одновременно не
одним, а несколькими видами симметрии. Например, в случае
молекулы воды мы имеем дифференциальное уравнение
30
Здесь" Ж — масса каждого из водородных ядер; Хг Хе — их
декартовы координаты; т — масса электрона; хг, ..., хж — декар-
декартовы координаты электронов. В силу своей большой массы атом
кислорода может считаться покоящимся в центре масс; создаваемая
им потенциальная энергия включена в V. Задача, представленная
уравнением A6.Е.1), имеет несколько видов симметрии: во-первых,
можно переставить координаты ядер атомов водорода; во-вторых,
можно переставить координаты электронов; в-третьих, вся система
может быть повернута. Среди вращений следует рассматривать не
только группу чистых вращений, но и полную группу вращений
и отражений. При этом возникает вопрос о том, как лучше всего
рассматривать совместное влияние свойств симметрии.
2. Три упомянутых выше типа операций обладают тем свойством,
что операции одного типа коммутируют с операциями других.
Ясно, что нет никакой разницы, переставить ли сначала коорди-
координаты частиц, а затем совершить поворот, или наоборот. Поэтому
принимается, что элементы каждой группы операторов коммути-
коммутируют со всеми элементами других групп операторов, рассматри-
рассматриваемых совместно.
Рассмотрим прежде всего случай, когда уравнение A6.ЕЛ)
инвариантно относительно лишь двух групп. Пусть элементами
этих двух групп будут Е', А2, А3, .... Ап и Е", В2, Вг, . .., Вт.
Тогда уравнение A6.ЕЛ) инвариантно не только относительно
операторов РЕ' = 1, Рл2 Рля и Ря» = 1, Рвг, ¦¦¦, Рвт, но
также относительно всех пт произведений Рд_ • Р^ этих one-
Представления прямого произведения 207
рашоров (в силу упомянутой выше коммутативности: Рлх • Рвх =
— Рв • Рл )• Произведения Рл Рв образуют группу в соответствии
с законом операторного умножения, так как произведение двух
элементов группы снова является элементом группы:
РаРв,- Pa%.Pbv = PaPax,PbxPbx, = PaxaxIPbxbx,. A6.1)
Тождественным элементом группы является тождественный опера-
оператор Ре' ¦ Рег = 1 • Эта группа называется прямым произведением
группы РА и группы Рв; она является полной группой симметрии
уравнения A6.Е.1).
В общем случае прямое произведение двух групп Е', А2 Ап
и Е", В2, ..., Вт имеет в качестве элементов пары А%ВХ, соста-
составленные из двух „сомножителей", т. е. из двух групп, из которых
оно построено. Закон группового умножения имеет вид
АХВХ ¦ АХ-ВХ' = АХА%' ¦ ВХВХ. = АХ*ВХ% A6.1а)
где АХ° = А%АХ> и В\' — В\Вк. Пишут просто А% вместо Ах-Е"
и Вх вместо Е' • Вх. Соотношения A6.1) и A6.1а) показывают,
что группа произведений Ах ¦ Вх изоморфна группе произведений
Рл • Рвг мы пишем РлР.в1 = Рлв.. Можно также исследовать
представления группы А» ¦ Вх вместо представлений группы Рл Рв .
3. Чтобы найти представление прямого произведения двух групп,
рассмотрим прямое произведение матриц а (Лх) и b (Bx), которые
соответствуют в некоторых представлениях отдельных сомножи-
сомножителей элементам Ах и Вх соответственно, и сопоставим его элементу
АХВХ. Матрицы а (А%) X b (Вх) — d (AXBX) действительно образуют
представление прямого произведения, так как, согласно соотноше-
соотношению B.7),
X b (ВО ¦ а (Л,0 X b (В„)=а (Лх) • а (Л-) X b (Вх) ¦ Ь (Bv) =
= а(Л,Лх-)ХЬEх5х')- A6.2)
Иначе говоря, произведение матриц а (Ах) X b (ВО и а (Лх-) X
соответствующих элементам А%ВХ и Ах<Ву, является матрицей,
которая соответствует элементам АХВ\АХ'В\, = АгАх>В\В\>.
Элементами матрицы d (А%В0 = а (Лх) X b (BX) являются
= a
. A6.2а)
Если a (AJ и b (ВО неприводимы, то тем же свойством обла-
обладают и й{АхВх)- Если матрица (Mpv;pj) коммутирует со всеми
матрицами d(AxBx), то можно написать
\ р« « (At)(f"b (В0<,,« = 2 О. (Лх)р'р? (В0,',Мо,; о"," A6.3)
208 Глава 16
при всех % и X. В частности, если положить сначала А = Е',
а затем В = Е", то а (?') или b {E") является единичной матрицей,
и A6.3) принимает вид
2М , , „ Ъ (В-Л , = У^Ь (Вх) , М , , „ A6.3а)
и г г i г > г
ИЛИ
р ' рр р р р
Субматрицы, входящие в
Жр'1;р
A6.Е.2)
коммутируют со всеми b (Bx) при всех р' и р". Аналогичным
образом из A6.36) следует, что субматрицы в
A6.Е.З)
коммутируют со всеми а(Лх) при всех о' и о". Следовательно, суб-
субматрицы как в A6.Е.2), так и в A6.Е.З), являются постоянными
матрицами. Отсюда следуют соотношения
Mj.vjpv^WMp-i.p.i, A6.4а)
Mf::l9v — iffMu-,i,: A6.46)
из которых получаем, что
М9;-, pv = 8,',»Mp'i; p"i = 8а'с7"8р'р"ЖП; и. A6.4)
Таким образом, сама матрица М должна быть постоянной матри-
матрицей; поэтому d(AxBx) неприводимо.
4. У нас есть теперь метод, с помощью которого можно по-
получить неприводимые представления группы, являющейся прямым
произведением двух групп, предполагая, что неприводимые пред-
представления „сомножителей" известны. При этом остается еще от-
открытым вопрос о том, все ли неприводимые представления прямого
произведения могут быть получены таким способом.
Пусть размерности неприводимых представлений группы А
обозначены через glt g2, g5 а представлений группы В —
через hx, /z2, hz Если скомбинировать каждое представление
Представления прямого произведения 209
первой группы с каждым представлением второй, получим непри-
неприводимые представления прямого произведения с размерностями
glh1, gxh2 ёФ-ъ ёф-Ъ' •¦•• Если принять, что, в силу обсуж-
обсуждавшейся в гл. 9 (стр. 102) теоремы, сумма квадратов размерностей
всех неприводимых представлений группы равна ее порядку, то
*? + ^+.--=я и А2-ЬАЦ- ... =т.
где п и m — соответственно порядки групп А я В. Следовательно,
сумма квадратов размерностей представлений прямого произведения,
полученных выше, равна порядку п/п прямого произведения групп:
Отсюда следует, что этот метод действительно дает все непри-
неприводимые представлениях).
Эти соображения могут быть также представлены иным способом,
применимым и к непрерывным группам. Все g\ -f- g\ -f- g\ + ... коэффи-
коэффициентов первого представления, рассматриваемых как функции2) А,
образуют полную систему функций для функций от А. Аналогичным
образом, h\ + h\ -\- h\ + ... коэффициентов представлений, рассматри-
рассматриваемых как функции от В, образуют полную систему функций от В.
Поэтому все произведения этих двух систем функций образуют полную
систему функций двух переменных.
5. Собственные значения дифференциального уравнения A6.ЕЛ)
могут быть разделены на качественно различные классы; каждому
собственному значению принадлежит какое-либо представление
полной группы симметрии уравнения A6.ЕЛ) [группы операторов,
оставляющих A6.ЕЛ) инвариантным]. Лучше всего характеризовать
неприводимое представление этой группы (прямого произведения трех
упомянутых групп), пользуясь тремя символами, указывающими на
три неприводимых представления, из которых построено рассматри-
рассматриваемое представление. Так, можно сказать, что собственное значение
уравнения A6.ЕЛ) принадлежит 'симметричному представлению
перестановки ядер Н, антисимметричному представлению переста-
перестановки десяти электронов и семимерному представлению группы
вращений. Это утверждение подразумевает, что собственное значе-
значение принадлежит представлению прямого произведения этих трех
групп, получающемуся из указанных представлений „сомножителей".
') Два „прямых произведения", существенно различных по своей
природе, обсуждаются здесь одновременно: прямое произведение двух групп
и прямое произведение двух матриц. Элементами прямого произведения
групп являются А%Ву. Представление а(Лх)ХЬ(В0> являющееся прямым
произведением а (А*) и b (Вх), соответствует элементу А%ВХ.
2) Функция от А означает соответствие числа У(ЛЯ) каждому эле-
элементу группы Ах.
210 Глава 16
Собственные функции такого собственного значения, соответ-
соответствующие строкам прямого произведения трех представлений, имеют
три индекса, указывающих на то, каким строкам представлений
трех составляющих групп они принадлежат. Две собственные
функции, отличающиеся одним или более из этих трех индексов,
ортогональны друг другу; это остается справедливым, даже если
к ним применяется произвольный симметричный оператор. Орто-
Ортогональность функций можно вывести, во-первых, из того обстоя-
обстоятельства, что они принадлежат различным строкам представления
прямого произведения, и, во-вторых, —если различаются, скажем,
их вторые индексы — из того, что они принадлежат различным
строкам представления второй группы.
Если оператор Рл = РлРя« первой группы применяется к функ-
функции, принадлежащей ро-й строке представления а(Л)ХЬE) прямого
произведения двух групп, то получаемая при этом функция может
быть разложена по функциям, принадлежащим строкам 1о, 2о, За, ...
представления а (А) X b (Я). В самом деле, коэффициенты остаются
такими же, как если бы второй группы вообще не было:
РлР^иу- 2 « И),.р * (?")... v.' =
= 2 a (A)?lf 8в,Д,; = 2 a (A)f,f фр,„ A6.5)
Функция, принадлежащая к ро-й строке представления а (А) X b (В),
принадлежит тем самым р-й строке а (Л) и о-й строке Ъ(В); такая
функция обладает всеми свойствами этих двух классов функций.
6. При построении „правильных линейных комбинаций", исполь-
используемых в теории возмущений, линейные комбинации должны быть
образованы внутри каждого семейства функций, причем семейством
является набор функций, принадлежащих одной строке ор пред-
представления а (А) X b (В) прямого произведения рассматриваемых
групп симметрии. Для этого мы начинаем с составления линейных
комбинаций /х, /2, .... которые принадлежат р-й строке а (А);
тогда каждая функция фра, принадлежащая ро-й строке а (А) X b (В),
должна быть линейной комбинацией функций fv /2 Пред-
Предположим, что <|>p<J включает также функции f'v f2 не при-
принадлежащие представлению а (Л) или его р-й строке, так что
Тогда с необходимостью получаем c[f[ -\- c'2f2 -f- c'J'z -j- ... =0.
Действительно, если перенести Cj/j-f-c2/2-|- ... в A6.6) в левую
часть, то вся левая часть принадлежит р-й строке а (Л); тогда
левая часть ортогональна всем членам правой, так что обе части
должны быть равны нулю.
Представления прямого произведения 211
7. Воспользуемся теоремами относительно представлений пря-
прямого произведения для нахождения неприводимых представлений
трехмерной группы вращений и отражений. Группа вращений и отра-
отражений есть группа вещественных ортогональных трехмерных матриц
с определителями ± 1. Она является прямым произведением группы
чистых вращений и группы, изоморфной группе отражений, кото-
которая состоит из тождественного элемента Е и инверсии /:
1
0
0
0
1
0
0
0
—1
Легко видеть, что всякая вещественная ортогональная матрица
может быть получена из чистого вращения путем умножения на Е
или /; ее определитель либо уже равен -\-\, и в этом случае мы
уже имеем дело с чистым вращением, либо, если определитель
равен —1, она получается из чистого вращения путем умножения
на /. Ясно также, что Е и / коммутируют со всеми матрицами
группы чистых вращений (и вообще со всеми матрицами).
Группа отражений имеет два неприводимых представления:
тождественное представление (известное также как положительное)
и отрицательное представление, в котором матрица A) соответ-
соответствует тождественному элементу, а матрица (—L)—инверсии /.
Следовательно, два представления группы вращений и отражений
могут быть получены из каждого представления ?>(г) (R) группы
чистых вращений, комбинируя Ъ ' (R) с положительным и отри-
отрицательным представлениями группы отражений.
Трехмерная группа вращений и отражений имеет два (одно-
(однозначных) неприводимых представления каждой нечетной размерности
1, 3, 5, ... Они могут быть обозначены символами / = 0+, 0_,
1+, 1_, 2+, ... Как представление /+, так и представление /_
имеют размерность 21-\- 1; в каждом из них одни и те же матрицы
соответствуют чистым вращениям, так же как и в B1-\- 1)-мерных
представлениях группы чистых вращений. В представлении /+
та же самая матрица 4?){l)(R), которая соответствует R, отвечает
теперь вращению и отражению IR; с другой стороны, в пред-
представлении /_ матрица —Ф(г) (R) соответствует IR.
Глава 17
ХАРАКТЕРИСТИКИ АТОМНЫХ СПЕКТРОВ
Собственные значения и квантовые числа
1. Воспользуемся теперь результатами из теории групп для
объяснения наиболее важных характеристик атомных спектров *).
Настоящая глава служит лишь для ориентировки читателя и не
содержит ни подробностей, ни доказательств. Автор надеется,
что, опустив математические детали, можно дать обзор законо-
закономерностей спектров в том виде, как они вытекали непосредственно
из опытов.
Прежде чем переходить к решению уравнения Шредингера, обсудим
сначала отделение координат центра масс. В своем исходном виде D.5а)
уравнение Шредингера имеет только непрерывный спектр, соответствую-
соответствующий тому, что атом как целое может иметь, в дополнение к энергии
возбуждения, произвольную и меняющуюся непрерывно кинетическую
энергию. Если желательно — как это и бывает практически всегда —
рассматривать только энергию возбуждения, то можно принять, что атом
находится в покое. Так как массой электрона можно пренебречь по
сравнению с массами ядер, координаты ядра обычно отождествляются
с координатами центра масс, причем принимается, что волновые функ-
функции не зависят от координат ядра. Поэтому координаты ядра не входят
вообще в уравнение Шредингера; вместо этого ядро рассматривается
как фиксированный центр поля, в котором движутся электроны. Это воз-
возможно, разумеется, лишь в системах, где имеется только одно ядро.
Последующее общее рассмотрение, кроме рассмотрения вопроса о
расщеплении уровней во внешнем поле, не зависит от пренебрежения
„движением ядра". Чтобы избежать этого ограничения, волновую функ-
функцию следует считать зависящей от всех координат, но не зависящей от
координат центра масс. Таким образом, волновая функция предполагается
постоянной вдоль линий, соединяющих конфигурации частиц, отличаю-
отличающиеся лишь перемещением атома в пространстве как целого2). Это
') Прекрасное подробное изложение экспериментальных данных об
атомных спектрах можно найти в небольшой монографии Хунда (F. H u n d,
Line Spectra and Periodic System, Berlin, 1927), а также в монографии
Полинга и Гаудсмита (L. С. Pauling, S. О о u d s m i t, The Structure
of Line Spectra, New York, 1930).
2) В этом заключается причина того, что мы не рассматриваем группу
переносов в качестве группы симметрии задачи. Все волновые функции
будут инвариантными относительно переносов и принадлежат, таким
образом, тождественному представлению группы переносов.
Характеристики атомных спектров 213
ограничение рассматривается в качестве дополнительного условия. Требо-
Требование, чтобы скалярное произведение двух волновых функций оставалось
конечным, делает в принципе невозможным использование волновых
функций, которые остаются постоянными даже при бесконечных смеще-
смещениях конфигураций. Однако, поскольку их можно считать постоянными
при произвольно больших смещениях (в конечном конфигурационном
пространстве), это не ограничивает точности выводимых результатов.
Такая точка зрения, безусловно, более точна. Тем не менее обычно счи-
считается, что волновые функции не содержат координат ядра в качестве
переменных.
Атом водорода обладает наиболее простым спектром, так как
он имеет один электрон, который движется в постоянном потен-
потенциальном поле, если пренебречь движением ядра. Уравнение Шре-
дингера имеет вид
» ( д | д | д\ _е U,r v Z)-
2т { дх2 ^ ду2 ^ дг2 ) fx2 + y2+z2 J Т ( ' У> ' ~~
у.г) A7.1)
и может быть решено точно. При этом получается спектр воз-
возможных уровней энергии (значения „термов", как их называют
в спектроскопии) и собственные функции (т. е. стационарные со-
состояния) атома водорода. Спектр имеет дискретную часть с уров-
уровнями энергии E = — 2izRhc/\2, — 2и#йс/22, — 2ти#йс/32
где R — постоянная Ридберга,
Р _ те* _ 2%Rhc __ 2,18-10~п , 13,60 (
слг — 2h2N2 — Л^~ — Jf2 \эРг) — дгг~ У98)-
A7.2)
Эти энергии отрицательны, что соответствует тому факту, что
потенциальная энергия электрона вблизи ядра является большой
отрицательной величиной, так как следует затратить работу, чтобы
удалить его на бесконечность, где потенциал равен нулю. Рас-
Расстояние между отдельными уровнями постоянно уменьшается с уве-
увеличением главного квантового числа N; в конце концов энергии
при бесконечно больших квантовых числах обращаются в нуль.
Физически это соответствует последовательному удалению элек-
электрона из области влияния ядра; когда электрон становится пол-
полностью свободным, его энергия становится равной нулю.
Непрерывный спектр соединяется с дискретным спектром A7.2)
при нулевой энергии и покрывает всю область положительных
энергий. В состояниях непрерывного спектра атом водорода иони-
ионизован. Положительная энергия равна кинетической энергии элек-
электрона после удаления его на бесконечность. В непрерывном
спектре нет стационарных состояний в собственном смысле слова;
электрон удаляется от ядра на произвольное расстояние по
214 Глава 17
прошествии достаточного промежутка времени. К тому же ста-
стационарное состояние математически соответствует нормированной
волновой функции, а собственные функции непрерывного спектра
не могут быть нормированы.
Появление серии, описываемой общей формулой A7.2) и схо-
сходящейся к некоторому конечному пределу, где начинается непре-
непрерывный спектр ионизованных состояний, характерно для всех
атомных спектров.
Собственные значения A7.2) вырождены, т. е. каждому соб-
собственному значению принадлежит не одна, а несколько линейно
независимых собственных функций. Собственное значение с ин-
индексом N („главное квантовое число") является Л^-кратно выро-
вырожденным.
Для удобства читателей приведем нормированные собственные
функции. Их удобнее всего записывать в полярных координатах г, в, <р
(см. фиг. 7, стр. 185). Собственные функции равны')
2 \» (# —/ —1I у/
1Г О/ | 1
Д , <Р) — y^ е " [ 2^
Х(—-—1 (cos2 в— 1)г.
\ rf cos в /
Здесь к) = 2r/Nr0l где г0 = Ьг/те2 — „радиус первой боровской орбиты'.
Заметим, что
Мы ввели индексы I („орбитальное квантовое число") и jx („магнит-
(„магнитное квантовое число"), для того чтобы различить Л4 собственных функ-
функций, принадлежащих собственному значению EN. При фиксированном N
число / может принимать значения 0, 1, 2 N — 1, а (* пробегает от — /
до -f- / (независимо от значения N). Таким образом, полное число собствен-
ЛГ-1
ных функций, принадлежащих EN, равно 2 B' + 0 = ^2* Выражение
') Радиальная собственная функция Лдг/A)) нормирована так, что
Г \^Ni\2r2dr=l. Сферические гармоники Yt уже были приведены на
стр. 186. Заметим, что Кондон и Шортли (см. цитированную на стр. 186
книгу. — Ред.) через Rm обозначают радиальную функцию, умноженную
на -n 2
Характеристики атомных спектров 215
A5.3а) определяет Y{ , нормированную сферическую гармонику'). Произ-
Производная B/+1)-го порядка от (N-{-l)-ro полинома Лагерра LN+l, где
обозначена через /,^+j1 (•»]).
Выражение A7.3) для волновой функции и ее связь с Y{^ показы-
показывает, что орбитальное, или азимутальное, квантовое число / связано
с B/ -f- 1)-мерным представлением группы вращений.
Спектры однократно ионизованного гелия, двукратно ионизо-
ионизованного лития и всех других систем, состоящих только из одного
электрона и одного ядра, тесно связаны со спектром атома водо-
водорода. При этом необходимо лишь заменить потенциальную энер-
энергию в уравнении Шредингера на — Ze2jr (Z — заряд ядра),
термы — на
J_ п7 2
а т) в A7.3) —на
Волновая функция ф должна быть также умножена на Z3/» для
сохранения правильной нормировки.
2. Спектр атома с несколькими, например п, электронами
не может быть рассчитан точно. Это связано со сравнительно
сложным видом потенциальной энергии
Z? Vx^ + yj + 4 + i
- A7.4)
Если бы в A7.4) отсутствовал второй член, включающий взаим-
взаимное отталкивание электронов, электроны двигались бы только под
действием постоянного поля ядра, и уравнение Шредингера
(Hi-t-H2+ ... -г-Н„Ж*1. У1. «1. х2. у2, г2 хя. уя, zn) — Ety,
A7.6)
') Как уже было отмечено ранее, фазы сферических гармоник были
выбраны в соответствии с определением, данным в цитированной выше
книге Кондона и Шортли. Определения и обозначения, принятые в на-
настоящей книге, согласуются с определениями и обозначениями книги
М. Е. Rose, Multipole Fields, New York, 1955 (см. перевод: М. Роуз,
Поля мультиполей, ИЛ, 1957.—Ред.). Эти определения и обозначения
приведены в Приложении Д.
216 Глава 17
где
/17
4' (
могло бы быть решено точно. Собственные значения были бы
суммами, а собственные функции — произведениями соответственно
собственных значений и собственных функций оператора A7.5а)
и могли бы быть выражены через A7.2а), A7.3), A7.3а):
<K*i. Л. *i хп< Уп< *„) = Ф& (*i. Уи zi) ¦ ¦ ¦ Ф&, (-V Уп> zn)>
A7.6)
Е = ENl + EN, + ... + ?Wj|. A7.6а)
Чтобы показать это, подставим эти выражения в A7.5) и составим
Нйф(*! г„); это дает Е^(хг zn), так как
Н*ф?*А(**. У*. *к) = Ег*$?к(*» Ук> zk),
а другие сомножители функции ty(xx zn) ведут себя как
постоянные относительно Н^.
Естественно, что A7.5) представляет собой лишь очень плохое
приближение к действительному уравнению Шредингера. Несмотря
на это, мы привыкли, по крайней мере в качестве общей ориенти-
ориентировки, исходить из этого или аналогичного приближения и рас-
рассматривать взаимодействие электронов как „возмущение".
В общем случае большое число собственных функций принадле-
принадлежит каждому из собственных значений A7.6а), так как квантовые
числа lk, (xft в A7.6) могут принимать различные значения при
одном и том же значении энергии. Кроме того, при заданной
системе главных квантовых чисел Nk можно произвольным образом
переставить отдельные электроны, не меняя собственного значения
энергии. Однако если взаимодействие электронов вводится как
возмущение, вырождение частично снимается и уровни расще-
расщепляются. Относительно получающихся при этом уровней, боль-
большинство из которых по-прежнему вырождено, с чисто теоретической
точки зрения (если не считать грубой оценки их положения) ничего
не известно, кроме их свойств симметрии. Эти последние про-
проявляются в трансформационных свойствах соответствующих соб-
собственных функций относительно перестановки электронов, чистых
вращений и инверсий (отраженийI). Поэтому каждый уровень
соответствует трем представлениям: одному представлению сим-
симметрической группы, одному—группы чистых вращений и одному —
группы отражений. (Последние два обычно объединяются в пред-
') Инверсией называется изменение знаков всех координат jct,...,
Характеристики атомных спектров 217
ставление группы вращений и отражений.) Соответствующими
квантовыми числами (характеризующими представление) являются!):
Мультиплетное число S,
Квантовое число орбитального момента L,
Четность w.
3. Орбитальное квантовое число может принимать для различ-
различных уровней значения Z, = 0, 1, 2, 3 Соответствующие соб-
собственные значения принадлежат представлениям ?>@) (R), ?>A)(#), ...
группы вращений2). Они известны обычно как уровни 5, Р, D,
F, ... соответственно. Уровню 5 принадлежит только одна функ-
функция, Р-уровню — три, D-уровню— пять и т. д. Те 2Z, —(— 1 соб-
собственные функции, которые принадлежат терму с орбитальным
Фиг. 8. Если полный мо-
момент количества движения
равен 2, то -^-компонента
этого момента может при-
принимать значения 2, 1, О,
—1, —2 (в единицах Ь).
квантовым числом L, различаются магнитным квантовым числом т,
которое также принимает целые значения и пробегает от —L до L
(см. фиг. 8). Соответствующие собственные функции принадлежат
m-й строке неприводимого представления ?>A).
С физической точки зрения орбитальное квантовое число пред-
представляет полный момент количества движения3). Магнитное кванто-
квантовое число, со своей стороны, соответствует проекции момента
количества движения на ось Z. Задание числа т выделяет одно
определенное направление в пространстве; поэтому оно требует
задания представления полностью (а не только с точностью до
преобразования подобия), чтобы определить функции, принадле-
принадлежащие одной строке представления. Это можно осуществить,
предположив, что вращения вокруг оси Z соответствуют диагональ-
диагональным матрицам [см. A5.6)]. С другой стороны, утверждение, что
') Обычно большими латинскими буквами обозначаются квантовые
числа атома в целом, а малыми — квантовые числа отдельных электронов.
Квантовое число орбитального момента количества движения (или просто
„орбитальное" квантовое число) часто также называется азимутальным
квантовым числом.
2) Из выражения A9.96) на стр. 254 будет видно, что это также
справедливо и для <|^ при 1 = 0, 1, 2, ...
3) Мы отвлекаемся здесь от существования спина.
218 Глава 17
все собственные функции D-уровней принадлежат представле-
представлению ?>B)(/?), не требует, чтобы было выделено какое-либо
направление в пространстве.
Уровни, принадлежащие тождественному (положительному) пред-
представлению группы отражений, называются четными (или уровнями
с положительной четностью); остальные—нечетными (или уровнями
с отрицательной четностью). Понятие четности, очень важное для
анализа спектров, не имеет аналогии в классической теории, типа
аналогии между орбитальным квантовым числом и моментом коли-
количества движения. Поведение при отражении, или четность, уровня
указывается в виде индекса у символа уровня: 5+, 5_, P+, Я_
Соответствующие представления трехмерной группы вращений и
отражений обозначаются через 0+, 0_, 1+, 1_, ... . Наиболее часто
встречаются уровни S+, Я_, D+, F_, ... и т. д.
Понятие о мультиплетности также чуждо классической теории.
Каждому уровню системы из п электронов соответствует некоторое
представление симметрической группы л-й степени. Не все пред-
представления встречаются в природе; встречаются лишь представления,
связанные с представлениями, которые обозначены в гл. 13 че-
через D@), DA), .... D(''2 л) (для четного числа электронов) или D('/a <л~1)'
(для нечетного числа электронов). Причину этого трудно объяснить
до обсуждения спина электрона и принципа Паули. Для четного
числа электронов уровень с 5 = 0 принадлежит представле-
представлению D , уровень с 5= 1 —представлению \у^п~ , представле-
представлением, которому принадлежит S—^n, является D . Для того
чтобы иметь возможность определять значение 5 по обозначению
представления, а также для того, чтобы не смешивать с представ-
представлениями группы вращений, будем теперь писать
DW=AE), где S=jn — k. A7.7)
Величина 5 может принимать значения 0, 1, 2, ..., для атомов
с четным числом п электронов; при нечетном числе электронов
будем пока пользоваться выражением A7.7), причем возможными
значениями S тогда будут -~, -~, -~ , .... -к. В атоме водорода
возможно только одно значение, 5 = -я-, и симметрическая группа
первой степени действительно имеет только одно представление.
Значение 5 для уровня определяет его „мультиплетность" 2S-f-l.
Для четного числа электронов мы имеем синглетные, триплетные,
квинтетные и т. д. уровни, так как 25 -|- 1 может принимать зна-
значения 1, 3, 5, ...; при нечетном же числе электронов появляются
дублетные, квартетные, секстетные и т. д. уровни. Все уровни
Характеристики атомных спектров 219
одноэлектронной задачи дублетны. Степень мультиплетности, т. е.
значение 25-f-l, пишется слева вверху у символа уровня. Так,
!5+ означает четный синглетный 5-уровень; 2Р_ — нечетный дублет-
дублетный Р-уровень и т. д. Уровни, принадлежащие антисимметричному
представлению В(О) = А^'Л), имеют наивысшую кратность h-\-\,
тогда как для синглетного уровня 5 = 0 и представлением
является б('/2Л) = А@).
Энергетические уровни имеют три качественные характери-
характеристики 5, L и w, так как они принадлежат различным представле-
представлениям A(S) X ?>(I> W) прямого произведения симметрической группы
и группы вращений и отражений. Но так как в одном и том же
спектре одному представлению принадлежат несколько уровней,
то нужно ввести бегущий индекс N, чтобы различать между ними.
Тогда уровень E%Lw имеет четыре индекса, N, S, L и w. Этому
уровню принадлежат BZ.+ \)gs собственных функций, где ^—раз-
^—размерность представления A(S). Чтобы различить между ними, нужно
указать, какой строке х представления А они принадлежат и
какое значение m принимает магнитное квантовое число. Собствен-
Собственная функция <^Lw будет иметь всего шесть индексов, из которых
по крайней мере один может быть опущен (а именно х, который
не имеет физического смысла). Свойства уровней с различными 5,
L и w хорошо известны из опыта: наиболее важно то, что опти-
оптические переходы со сколько-нибудь значительной интенсивностью
происходят только между уровнями, орбитальные квантовые
числа которых либо равны, либо отличаются на 1. Кроме
того, уровни должны иметь различное поведение при отражениях
(различную четность) и одну и ту же мультиплетность. Эти
комбинационные правила должны следовать из квантовой механики;
их вывод на основе квантовой механики является предметом сле-
следующей главы.
4. Введение спина и магнитного момента электрона (см.
гл. 20) приведет к радикальному видоизменению уравнения Шре-
дингера.
Влияние спина наиболее ясно проявляется в тонкой структуре
спектральных линий. При энергии, для которой простая теория
Шредингера приводит к единственному уровню с орбитальным
квантовым числом L и мультиплетным числом 5, в действитель-
действительности наблюдается „мультиплет", т. е. несколько близко лежащих
уровней. В мультиплете имеются 2Z.-J-1 или 25+1 уровней,
в зависимости от того, какое из этих чисел меньше; 5-уровни
(Z. = 0) — всегда простые; Р-уровни (L=\) — простые только
в синглетной системе E = 0), но двойные в дублетной системе;
для триплетов и всех высших мультиплетов Р-уровни триплетны.
220 Глава 17
и т. д. При достаточно больших значениях орбитального кванто-
квантового числа, L*^-S, мультиплетность равна 25-f-l.
Чтобы различать между компонентами тонкой структуры мульти-
плета, им приписывают различные полные квантовые числа J, где
J=\L — S\. \L — S\ + l L+5—1. Z. + 5
имеется 2L -f-1 или 25 -f-1 значений J в зависимости от того,
какое из чисел Z, и 5 меньше. Полное квантовое число играет
роль полного момента количества движения, включая спин электрона.
Правила отбора для Z,, 5 и w будут справедливы для всех
2L-\-\ или 25 -j-1 уровней мультиплетах). Кроме того, имеется
правило отбора для J, совпадающее с правилом отбора для L;
в оптических переходах J меняется на ± 1 или 0; переходы между
двумя уровнями с 7=0 запрещены.
5. Вернемся теперь к изложению, прерванному в конце п. 2
(стр. 216) настоящей главы, где мы установили простое уравнение
Шредингера A7.5), решения которого A7.6), A7.6а) могли быть
сразу написаны. В общем случае эти собственные значения оказа-
оказались очень сильно вырожденными. Однако, как уже было указано,
при включении взаимного отталкивания электронов, учитываемого
полным потенциалом A7.4), и при использовании, например, метода
возмущений Релея — Шредингера собственные значения A7.6а)
расщепляются на ряд уровней, характеризуемых символами, о кото-
которых говорилось выше. Определение числа и рода уровней, возни-
возникающих из заданного уровня [см. A7.6а)], будем называть прин-
принципом построения2).
При выводе принципа построения не следует забывать, что
уравнение Шредингера дает также уровни, соответствующие со-
состояниям, исключаемым принципом Паули, и в действительности
не существующие. Однако мы будем определять лишь число тех
уровней, которые действительно существуют.
Эти уровни, если отвлечься от спина, являются уровнями,
соответствующими представлению D(ft) = AA/j "~й); при учете же
спина оказывается, что все действительно существующие собствен-
собственные значения имеют антисимметричные собственные функции
(см. гл. 22). Принцип построения будет выведен методом Слетера.
') В действительности правила для L и S справедливы только тогда,
когда спиновые взаимодействия малы.
2) Соответствующий английский термин building-up principle был
предложен Герцбергом (О. Herzberg, Atomic Spectra and Atomic
Structure, New York, 1937; см. перевод: Г. Герцберг, Атомные спектры
и строение атома, М., 1947) в качестве эквивалента немецкого Aufbauprin-
zip. (В настоящем издании мы будем пользоваться термином „принцип
построения". — Прим. ред.)
Характеристики атомных спектров 221
Модель векторного сложения
6. Рассмотрим здесь простой, сильно упрощенный случай прин-
принципа построения, в котором тождественность электронов не учи-
учитывается, а в качестве группы симметрии уравнения Шредингера
берется лишь группа вращений *).
Рассмотрим две системы, каждая из которых состоит в про-
простейшем случае из одного электрона; при этом оба электрона
движутся вокруг одного и того же ядра. Пусть энергия первой
системы равна Е, причем система находится в состоянии с орби-
орбитальным квантовым числом /. Пусть далее <J> <|» fy
являются 2Z-f-l собственными функциями этого собственного зна-
значения. Тогда
Р*Ф, = 2Я>@(Л)^Л'. A7-8)
где P/j — оператор вращения координат первой системы. Пусть
энергия второй системы равна Е, орбитальное квантовое число /
и собственные функции ty_j, ty_j-+l typ Тогда
Р*ф,=2г>(/)(Л),,,ф,,. A7.8а)
Два оператора Р# и Рд различны, так как Р# вращает коорди-
координаты, от которых зависят функции (Jy, a Рд вращает переменные,
от которых зависит функция <|>v, причем эти два набора перемен-
переменных различны. Следовательно, все Р# коммутируют со всеми P/j,
причем P^v = (|jv и PRty = <|> , так как Р„ не действует на пере-
переменные функций <])„ а Р#—на переменные функций ф^.
Если мы будем теперь рассматривать эти две системы как одну,
то, согласно A7.6) и A7.6а), собственные значения будут суммами,
а собственные функции — произведениями соответствующих вели-
величин для отдельных систем. Все B/+1)B/-(-1) собственных
функций
«L/F-T. М-Г+х Or-i- Ф-ib
A7.9)
М-г. lyLr+i Ш-v Ш
принадлежат собственному значению Е-\-Е. Теперь возникает
вопрос о том, какие операторы будет содержать группа составной
системы, если учесть взаимодействие между системами. Ясно, что
') См. Е. F ues, Zs. t Phys., 51, 817 A928).
222 Глава 17
это не все прямое произведение двух групп операторов PR и Р#,
элементы которого РДР# соответствовали бы одновременным,
но различным вращениям координатных систем переменных, от ко-
которых зависят функции фиф. Группа, которую мы должны рас-
рассматривать, это такая группа, в которой две системы осей пре-
претерпевают одно и то же вращение; эта группа не содержит всех
операторов Р^Р^. а лишь операторы РдРд. Группа операто-
операторов PrPr изоморфна простой группе вращений. Из RQ = Т
следует, что
PrPr ¦ PqPq — PrPq ¦ PrPq = РтРт-
Если применить операторы Р#Р/? к функциям A7.9), то полу-
получающиеся при этом функции могут быть записаны в виде линей-
линейных комбинаций исходных.
Согласно A7.8) и A7.8а),
Представление \(R), принадлежащее B/ —|— 1)B/ —|— 1) функциям
A7.9) составной системы, является прямим произведением 1)
двух представлений ?>(г) и ?)w отдельных систем:
Найдем теперь неприводимые компоненты представления
Наиболее просто это сделать, разлагая его характер по харак-
характерам неприводимых представлений. Характер представления А (Я),
где R соответствует вращению на угол ср, равен
2 а (*)рт; „=2 2>@ (*>№ 2 s)(%)vs=
i i
== Xw (Т) Xй («Р) = 2 ехр(^ср) 2 exp(/vcp). A7.12)
!) Мы имеем здесь дело с некоторым типом прямого произведения,
отличным от рассмотренных в предыдущей главе, где мы соединили две
операции симметрии (вращение R и отражение /), расширяя тем самым
группу. Здесь же мы комбинируем две системы, имеющие одинаковую
симметрию; тогда составная система имеет ту же самую симметрию.
Характеристики атомных спектров
223
Чтобы разложить это выражение на неприводимые характеры,
можно представить A7.12) символически в виде таблицы. Обра-
Образуем столбец для каждой экспоненциальной функции ехр A*у)
(где х = — I — I, .... —2, —1, 0, 1, 2, .... 1-\-1) и поставим
в этом столбце знак плюс каждый раз, когда ехр (/хер) встречается
в A7.12). Наименьшим значением х, которое нам встретится,
будет —/ — /, а наибольшим / —{— /; таким образом, всего в таб-
таблице будет 2/ —J— 2/ —{— 1 столбцов. Строки таблицы будем нумеро-
нумеровать значениями v в x = v-|-[a; таким образом, в строке v мы
будем ставить знаки плюс, возникающие от 2/ —|— 1 членов
exp[/(v — /)ср], exp[/(v — /-|-1)<р] ехр [/(v-f-O?!- Если при-
принять, что / > /, получим табл. 1.
ТАБЛИЦА 1
Наличие функции ехр Aщ) в характере
— 7
-1-1
-i+i
I-1
l+l
Перемещая знаки плюс внутри столбцов, сделаем теперь так,
чтобы каждая строка представляла неприводимый характер. [Это,
разумеется, не меняет числа появлений ехр(шр) в суммах.] Если,
например, часть таблицы, лежащую слева от пунктирной линии,
повернуть на 180° вокруг строки с v —0, отмеченной стрелкой (—>),
то в результате получим табл. 2.
Первый знак плюс в v-й строке принадлежит теперь столбцу
— v — /; экспонентами, соответствующими v-й строке табл. 2,
будут
ехр [-/
X«+*>(cp). A7.13)
Вместе они дают в точности характер неприводимого предста-
представления с L = l-\-4. Тогда вся таблица будет содержать неприводи-
неприводимые представления с
L = l—1, I — Г+1 /-f-7— I, t-j-T. A7.E.I)
224
Глава 17
ТАБЛИЦА 2
Неприводимые представления, входящие в матрицу Д (R)
>v X
— 7
0
-i-i
•
t i
-i+i
... i-i . . .1+1
+ +
i j + t +
Так, при 1^.1 уровень E-\-E расщепляется под влиянием взаимо-
взаимодействия на 11 Аг 1 уровней с орбитальными квантовыми числами
A7.ЕЛ). Неприводимыми компонентами произведения ?) (R) X
Х?>(/)(#) в этом случае будут ?)(Z) с L из A7.ЕЛ), причем ка-
каждое из этих значений L встречается один и только один раз.
Если 1^.1, роли I и I меняются местами; таким образом, в общем
случае L принимает значения
L=\l — T\, \l — Г| + 1 /т-г-Г— 1, / + ^ A7.14)
Эта „модель векторного сложения" (см. фиг. 9) имеет весьма
обширную применимость и большое значение для всей спектро-
спектроскопии. Две системы, связь между которыми устанавливается с по-
помощью этой модели, не обязательно должны состоять из отдельных
Фиг. 9. Сложение двух моментов
количества движения с / = 5 и
1—2 дает возможные значения
L = 3, 4, 5, 6 и 7.
электронов1), а могут сами быть сложными системами. Модель
векторного сложения, как мы увидим, применима также к соче-
сочетанию спинового квантового числа с орбитальным квантовым чис-
числом (получающееся при этом число L называется „полным кванто-
квантовым числом") или к сложению полного квантового числа с ядерным
спином и т. д.
') Разумеется, в том простом виде, в котором модель приведена
здесь, она не может описывать все детали в случае двух электронов,
поскольку она не учитывает тождественности частиц.
Характеристики атомных спектров
225
7. Мы знаем теперь, что представление 2) ' X 2> эквива-
эквивалентно представлению
U-П)
О
О
О
О
О
о
О
о
О
О
О
. A7.15)
которое мы кратко обозначим через М(#). Поэтому должна суще-
существовать матрица S, которая преобразует одно представление
в другое:
(!)(i) ' A7.16)
Так' как tA(R) и 2>(!) X 2>( ' унитарны, можно принять (тео-
(теорема 1а гл. 9, стр. 96), что S унитарна, т. е. S~1 = S+.
Матрица S является квадратной матрицей в широком смысле;
такие матрицы обсуждались в гл. 2. Строки и столбцы матриц
(jjC) ч^ <?)@ нумеруются двумя индексами jj, и v, и так же должны
быть пронумерованы столбцы матрицы S. Строки и столбцы
матриц М(/?) также имеют два индекса, но иного рода: первый
индекс L показывает, какое представление ?>(i) встречается в дан-
данной строке, а второй индекс т указывает, какая строка этого
представления рассматривается. Элементами матрицы М {R) являются
Поэтому строки матрицы S должны быть размечены индексами L, ш,
где L пробегает от \1 — /| до l-\-l, a m от —L до L. В подроб-
подробной записи A7.16) принимает вид
,,, = 2
A7.16а)
Значение матрицы S заключается в том, что она определяет
такие линейные комбинации произведений фцф,
& = 2
A7.18)
226 Глава 17
которые преобразуются по неприводимым представлениям при при-
применении операторов P/j P#, оставляющих систему (включая взаимо-
взаимодействие между моментами / и /) инвариантной. Функции Ч?т пре-
преобразуются следующим образом:
2
2 2
2
2 2
vv' i'm'
b
= S ^ W)i.mr. iffl^' = 2 ®(Ч №)и. Ji'- A7.19)
L'm' ' m'
Они являются поэтому собственными функциями первого прибли-
приближения („правильными линейными комбинациями" из гл. 5) возму-
возмущенной составной системы.
Чтобы определить коэффициенты S2m;iiv, применим прежде всего
оператор Р#Р# к функции A7.18), где R представляет собой вра-
вращение на угол а вокруг оси Z. Левая часть умножается при этом
на ехр(-)-та) и то же самое должно иметь место для правой
части:
У^У'ЧА. A7.20)
Поэтому, в силу линейной независимости произведений ф^,,
имеем
Sim;iJ.v = 0 при m^^ + v. A7.20а)
Тот же самый результат получается из A7.16а), если учесть явную
зависимость коэффициентов представления от а и ], согласно A5.8),
и приравнять члены, одинаково зависящие от а и |, Записывая ])
Si, ^-,^ = 8^, A7.206)
') Элементы матрицы S, а именно SL ^+v. ^v = s^, дающие те ли-
линейные комбинации произведений tyV)tyV\ которые преобразуются по
известны как коэффициенты векторного сложения. Кондон и Шортли
(см. цитированную выше книгу этих авторов) обозначают их через
i
Характеристики атомных спектров
227
приводим A7.16а) к виду
i+i
lг-/
Lv>. A7.166)
Равенство A7.16) не определяет матрицу S однозначно. Посколь-
Поскольку M(R) коммутирует с диагональной матрицей
¦ц_Г/1 ° ... О 0 \
О й>, , т, ,,1 ... О О
U =
О
о
о
о
0
0
правая часть A7.16) не меняется, если S заменить на uS. Чтобы
uS оставалась унитарной, и также должна быть унитарной; для этого
абсолютные значения всех а> должны быть равны 1. Элементы
матрицы uS, которая будет входить вместо S, равны
Соответствующим выбором матриц а> можно всегда сделать
так, чтобы элементы
стали вещественными и положительными. В дальнейшем предпо-
предполагается, что такой выбор уже сделан '). Умножим теперь A7.166)
на 35(Z \R%' + yi ,j.+v и проинтегрируем по всей группе. В силу
соотношений ортогональности, справедливых для коэффициентов
представлений, в правой части остается только один член; пола-
полагая L' = L (и записывая h= I dRj, получаем
1 —Л-
2L + 1
A7.22)
Чтобы определить sL^, нет необходимости вычислять интеграл
в A7.22) при всех возможных значениях L, [л', v', ц, и v; доста-
достаточно найти его для одной пары значений ;х', v' и при всех L,
') Этот выбор приводит к тем же самым коэффициентам векторного
сложения, которые даны в цитированных выше книгах Е. Кондона и
Г. Шортли, а также М. Роуза (см. обсуждение в Приложении А), и кото-
которые использовались Рака [О. R а с a h, Phys. Rev., 62, 438 A942); Phys.
Rev., 63, 367 A943)]. Ниже мы увидим, что все получающиеся при этом
коэффициенты вещественны, так что нет необходимости делать различие
между S и S*.
228 Глава 17
[i, v (и I, I). Чтобы по возможности упростить формулы, положим
()/ = / и v' = — /, тогда, согласно A5.27а) и A5.276), получим
4/ ^"TI*T '/'t1- Г У V** Г » '/' у** » 1 W ч/
(Л — /+7 — %)|(? + [х + ч — %)!%!(% +7— Г— [х — v)!
S* -S
/Of _i_O/ i O.i Оч* 1 07 О*< _i Оч 1 Til Г ¦ i ti
cos p -g-p-sin ^ -g- p <i/? == /г—9/ _j_, . A7.23)
Как и следовало ожидать, а и f выпали.
Теперь нам понадобятся интегралы вида
J cos2a -^ р sin2* i
Они получаются также из соотношений ортогональности коэффи-
коэффициентов представления; эти соотношения имеют вид
Тогда, если j-\-p—a, j — ix = ft,
Если подставить значение этого интеграла в A7.23), то найдем
! B7I (/,4^+) (Л[)!(/,+г7)i(z:г+Qi
Х
(i + Z+7+1)!/(/-(!)!(/+ AIG-^IA+^1
Г+ tt - хI (f - tt + х) I BЛ +1) _ s. _
s s
(л — v)! L'l> -l Lv-"'
A7.25)
Чтобы определить sL t _г, положим ;x = /, v = — l; тогда
2Z.+ 1
^ (Z — / +-Г— у.)!(Л + / —У— *)Ы
= Кь-гР = («1,/.-г)а. A7.25а)
где при получении последнего выражения было использовано соот-
соотношение A7.21). В приложении к настоящей главе будет пока-
показано, что
— 1) ) ,, , , - ..>, =B0'1 , . , -)• A7.26)
Характеристики атомных спектров 229
Пользуясь этой суммой в A7.25а), окончательно получаем
откуда, используя A7.25), находим
. О = /(^ +1-]У- (L-1 +7I (/ +7-
V (-l)*+7+v /2Т+Т (L + Г+ ^ _^)! (г р + х)|
^ (Z, — / + / — 4)!(^ + (a + v — x)!vi!(x, + ; — / — (х — v)! - ^ ' ->
^ — / — (х — v)!
Это соотношение показывает, чФо условие, принятое в A7.21),
действительно делает все sL v вещественными: s^ v = siav.
Суммирование по х в последнем выражении, так же как и
в A5.27), должно производиться по всем целым числам; беско-
бесконечные значения факториалов в знаменателе ограничивают х про-
промежутком между наибольшим из двух чисел 0 и-/ — / —J— ^л- —|— v и
наименьшим из чисел L + [j,+-v и L — /+/, как и в гл. 15.
Величины s по-прежнему зависят от двух чисел / и / наряду с их
индексами L, \x, v; l и / служат для обозначения того, какое
именно произведение 2)(г> X ®(/) может быть приведено с их
помощью. Кроме того, s существенно не меняются1), если одно-
одновременно переставить I и /, с одной стороны, и jj. и v, с другой.
Это не видно непосредственно из выражения A7.27), так как сум-
суммирование по х не может быть выполнено в общем случае
в замкнутом виде. В случае же \х + v = L из всей суммы не обра-
обращается в нуль лишь один член (x = L — /+¦/) и мы получаем
7-
1IA + ; — l)\(L — / + /)!(/ — (лI(/ — L + jx)
A7.276)
Представим теперь также в явном виде соотношения для s,
которые следуют из унитарности матрицы S [соотношение A7.27)
показывает, что S вещественна]:
№¦'
') Числа I и /не входят в A7.21) совершенно одинаковым образом;
следовательно, &Ш = (—l)l+J~L s№.
230 Глава 17
8. Теперь мы определили все коэффициенты, которые входят
в A7.166) и A7.18):
^ 1 «-AW A7.18а)
Следует заметить, что в A7.18а) мы имеем случай (разумеется,
один из наиболее важных), в котором „правильные линейные
комбинации" первого приближения теории возмущений могут быть
найдены лишь из общих соображений; соотношение A7.18а) спра-
справедливо в самом общем случае для всех возмущений, не выде-
выделяющих направления в пространстве. Это следует из того изве-
известного нам с самого начала факта, что все правильные линейные
комбинации „принадлежат одной строке некоторого неприводимого
представления" и что только одна линейная комбинация может
быть построена из функций A7.9), принадлежащих яг-й строке
представления ?>(i), если вообще она может быть построена
(т. е. если L лежит между \1—/| и l-j-l). С другой стороны,
если другие собственные функции, кроме A7.9), принадлежат
тому же собственному значению невозмущенной задачи, то воз-
возможно, что существует несколько линейных комбинаций с нужными
свойствами, а „правильная" из них может быть линейной комби-
комбинацией только этих функций.
Формула A7.166) имеет много приложений. Прежде всего, она
справедлива не только для вещественных представлений (для
целых /), но и для двузначных представлений гл. 15. Она вклю-
включает, в частности, формулы для интенсивности линий мультипле-
тов и зеемановских компонент (см. гл. 23).
Ясно, что 35(г)(/?) ^©^(Я)»', может быть выражено через
коэффициенты представлений, так как они образуют полную си-
систему функций. Очевидно также, что в формулу A7.166) могут
вводить только те коэффициенты, которые встречаются в некото-
некотором представлении в ([i'-j-v')-ft строке и в ([j,-J-v)-m столбце, так
как только они имеют правильную зависимость от а и f. Кроме
того, A7.166) показывает также, что L может изменяться между
|/—'[\ и 1-\-1. Если оба числа / и I — целые или полуцелые, то
все L в A7.166) — целые; если, с другой стороны, одно из них
целое, а другое — полуцелое, то все L — полуцелые. Суммирование
всегда вечдется целыми шагами от нижней границы до верхней.
При / = 0 формула A7.166) тривиальна; для / —7г и 1 коэф-
коэффициенты s?"T приведены в табл. 3 и 4').
') Коэффициенты s^-'Д легко запомнить, если иметь в виду, что они
обращаются в нуль при | jj. | > / или | [л -f- v | > L, т. е. во всех случаях,
когда один из коэффициентов представления в A7.22) теряет смысл.
Характеристики атомных спектров
231
ТАБЛИЦА 3
Коэффициенты векторного сложения s?
'-*
V ~ 2
V2/ + 1
Yi — v- +1
/2/ + 1
// ,
V2/ + 1
V/-f (а + 1
У2/ + 1
ТАБЛИЦА 4
Коэффициенты векторного сложения s^
1-Х
1
'+1
/ (/ -f- (jl)(/ + (A—1)
V 2/B/+1)
/ (/ — (л 4-1)(*+ n)
F 2/(/+l)
\ B/+ 1X2/4-2)
0
/ (/ —(J.
У 1B1
УЦ1 +
/ A-10 + Щ
У B/4-1)
(' + (*)
+ 1)
1)
' + М-+1)
+ 1
/ (/ — [X— 1)(/ — (А)
Г 2Z B/ + 1)
,/ (Z+^+iX/—(a)
г 2/ (/ 4-1)
/ (/ + (А+1)(/+[Х+2)
V B/4-1X2/4-2)
ПРИЛОЖЕНИЕ
Соотношение между биномиальными коэффициентами
Чтобы доказать соотношение A7.26), будем исходить из
тождества
~ A7.29)
Здесь в левую часть входит коэффициент при Xх в A
умноженный на коэффициент при хс~% в A+л:N и просуммиро-
просуммированный по всем х, т. е. коэффициент при хс в A -\-х)а{\ -\-х) =
— 0--\-х)а+ь; это и есть выражение в правой части A7.29).
232 Глава
Пусть а — целое положительное число; b может быть положи-
положительным или отрицательным. Заметим также, что при и < О
( ю\ ц(ц-1)...(Д-« + 2)(д-р+1) _
» I 1 О /_. 1 \
1-2... (у— 1)- v
— ( 1 чр (f — Ц — 1) (р — и — 2) ... A — ц) (— ц) _ , \<olv — и — 1
A7.30)
Отождествляя (Z- —j— / — / —х) в A7.26) с г» и используя A7.30).
получаем
-l } V ' \L + l-lj
что и доказывает равенство A7.26). При выводе первого из выра-
выражений последней строки было использовано тождество A7.29),
а при приведении к окончательному виду — равенство A7.30).
Глава J8
ПРАВИЛА ОТБОРА И РАСЩЕПЛЕНИЕ
СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
1. В гл. 6 мы вычислили, пользуясь зависящим от времени
уравнением Шредингера, возрастание вероятности возбуждения
I ap{t) 2 = | b (t) |2 стационарного состояния ф^, возникающего под
действием~падающего света, поляризованного по оси X и имею-
имеющего интенсивность / (плотность энергии на единичный интервал
круговой частоты du> = 2TCdv). Мы нашли, что, если атом находился
вначале полностью в стационарном состоянии ф?, эта вероятность
возбуждения [соотношения F.17) и F.6)] равна
ар @12 = BEFJt =^F\XpBfM, A8.1)
где
X = (*]> (х -\- х -\- ... -I— х ") ф ^ A8.2а)
представляет собой матричный элемент „^-компоненты дипольного
момента" для перехода E->F. Если свет поляризован в напра-
направлениях осей Y или Z, то вместо Хре в A8.1) появляются
если свет поляризован в направлении с направляющими косину-
косинусами a,lt otj, a3, то соответствующим выражением является
+azZpE. A8.2)
Согласно известному эйнштейновскому выводу]), с помощью
этих матричных элементов можно вычислить вероятность Apsdt
того, что атом, находящийся в возбужденном состоянии typ, перей-
перейдет в течение малого промежутка времени dt в состояние ф? путем
') A. Einstein, Verhandl. deut. physik. Oes., 318 A916); Phys. Zs.,
18, 121 A917).
234 Г лава 18
спонтанного испускания излучения. Эта величина называется „вероят-
„вероятностью перехода" и дается выражением
¦fe\2-\-\Yfe\2-\-\Zfe\2). A8.1а)
Если спектральная линия с частотой (F — E)jh не встречается
в спектре, несмотря на то, что существование атома в стацио-
стационарном состоянии typ доказывается наличием других линий, то
следует заключить, что выражения A8.2а), A8.26), A8.2в) обра-
обращаются в нуль. В подавляющем большинстве случаев эти „пра-
„правила отбора" следуют из трансформационных свойств соответ-
соответствующих собственных функций. Три вида правил отбора
соответствуют свойствам собственных функций относительно пре-
преобразований симметрической группы, трехмерной группы вращений
и группы отражений. •
Следует, однако, заметить, что из обращения в нуль выражения A8.2)
не обязательно следует полное отсутствие линии F -> Е. При выводе
формулы- A8.1) было сделано важное и не всегда полностью оправданное
предположение о том, что размеры атома пренебрежимо малы по срав-
сравнению с длиной волны света; таким образом, расчеты были проведены
так, как если бы возмущающий потенциал был постоянным в напра-
направлении светового луча, поскольку он меняется значительно только на
расстояниях порядка длины волны. Если учесть то, что в действитель-
действительности потенциал меняется синусоидально в направлении луча, то полу-
получается несколько иное выражение для вероятности перехода (и, следо-
следовательно, для времени жизни), причем к ВЕР в A8.1) добавляется допол-
дополнительный член В'.
Вероятность перехода, вычисляемая с помощью A8.1) или A8.1а),
связана с дипольным излучением; поправка же В' обусловлена квадру-
польным и более высокими моментами. Поэтому она примерно в 107
[т. е. ~ (размеры атома/длина волныJ] раз меньше, чем BEF, обязанная
дипольному излучению, и ею можно пренебречь по сравнению с BEFi
если только A8.2) не обращается в нуль. Тем не менее переходы, для
которых A8.2) равно нулю, не являются абсолютно запрещенными, а лишь
значительно слабее, чем дипольные переходы. Решающей величиной,
определяющей интенсивность квадрупольного излучения, является ква-
друпольный матричный элемент
О)
Для получения вероятности квадрупольного перехода') это выражение
должно быть подставлено вместо XFE в A8.1).
А. Между уровнями с различной мультиплетностью дипольные
переходы не происходят. Уровни различной мультиплетности 25 -f- 1
принадлежат различным представлениям симметрической группы.
') Квадрупольные переходы были впервые исчерпывающим образом
изучены в рамках квантовой механики А. Рубиновичем. См., например,
Zs. f. Fhys., 61, 338 A930); 65, 662 A930).
Правила отбора и расщепление спектральных линий > 235
Поскольку умножение на (xl-\-x2-\- ... -\- хп) является опера-
операцией, симметричной относительно перестановки электронов, ска-
скалярное произведение A8.2) в соответствии с выводами гл. 12
должно обращаться в нуль. Квадрупольное излучение и излучение
высших мультипольностей также отсутствуют по той же причине.
Из опыта известно, что так называемый интеркомбинационный
запрет выполняется хорошо только для элементов с небольшими
атомными номерами. В более тяжелых элементах встречаются
сравнительно интенсивные линии, отвечающие переходам между
уровнями с различной мультиплетностью. Эти переходы связаны
с дополнительными членами в уравнении Шредингера, обусловлен-
обусловленными магнитным моментом электрона, и быстро становятся более
вероятными с увеличением числа электронов.
Б. Умножение на (х1-\-х2-\- ... -\-хп) не является операцией,
симметричной относительно вращений, так что правила отбора для
азимутального квантового числа L будут отличны от правил
отбора для 5. Если орбитальное квантовое число состояния ф?
есть L, то второй множитель произведения (x1-\-x2-j- ... -\-xn)tyE
принадлежит представлению 2)(i); первый множитель является ком-
компонентой вектора и принадлежит 2)A).
Все BL-f-1)BZ, —f- 1) произведений каждой пары функций,
первая из которых /Ф принадлежит ч-й строке 2)(i), а вторая
<|>х принадлежит х-й строке 2г , преобразуются как 2) X Ф
(см. аналогичное изложение в гл. 17):
С помощью матрицы S, приводящей 2)(Л) X ®(i) > могут быть обра-
образованы линейные комбинации F^ произведений /; <]>х , принад-
принадлежащие неприводимым компонентам ф(*' произведения 2)(i) X ®(i)-
Наоборот, функции /1 фх могут быть выражены через F^ с по-
помощью обратной матрицы S. ~~ -
В нашем случае L = I и неприводимыми компонентами произ-
произведения фA) X 2)(i) при L Ф 0 будут
Поэтому произведение (xl-\-x2-\- ... -)-хп)<]>? можно запи-
записать в виде суммы трех функций, каждая из которых принадле-
принадлежит к одному из представлений A8.Е.1). Если азимутальное кван-
квантовое число U состояния <J)f не равно L—1, L или L-\-l, то
236 Глава 18
все три части скалярного произведения A8.2) обращаются в нуль.
При спонтанном дипольном переходе орбитальное квантовое
число L может меняться только на + 1 или 0.
Если L = 0, то (х1 -\- х2 -\- .. . + хп) й)Е принадлежит пред-
представлению ФA\ так как в этом случае 2)A) X 2>@) совпадает с 2)A).
Если L' Ф 1, то выражение A8.2) обращается в нуль; 5-уровни
комбинируются только с Р-уровнями (L'— I); переход S-+S
также запрещен.
Эти правила являются точными также, лишь для легких эле-
элементов. Их неприменимость к большему числу электронов тоже
связана с возмущениями, обусловленными магнитным моментом
электрона. Линии, появляющиеся в нарушение этих правил, не так
интенсивны, как линии, нарушающие интеркомбинационный запрет,
так как существуют другие правила отбора, которые выполняются
даже при наличии этих возмущений и которые сами по себе исклю-
исключают многие из переходов, запрещенных правилами отбора для L.
Квадрупольный и высшие моменты не должны обязательно обра-
обращаться в нуль при тех же условиях. Действительно, чтобы показать за-
прещенность дипольных переходов, мы явно воспользовались тем, что
(xi -f- jc2 -f- ... + -*л) принадлежит представлению %№. Соответствующее
выражение для квадрупольного излучения (хху\ -f- ... ~{-хпуп) принад-
принадлежит не 5D^\ а ф'2'; следовательно, при квадрупольных переходах ор-
орбитальное квантовое число может меняться на ±2, ±1 или 0. Кроме
того, квадрупольные переходы S -*¦ Р, а также S -> S запрещены.
В. При дипольном излучении симметрия относительно от-
отражений всегда меняется; четные уровни комбинируются только
с нечетными, а нечетные уровни — только с четными. Так, если ф?
остается неизменной при замене х, у, г на — х, — у, — z,
то (x1-\-x2-j- ... -\- хп) ф? меняет знак; наоборот, выражение
(Xj-j-x2-f- ... -\-хп)$е остается неизменным при инверсии, если
<)>? меняет знак; таким образом, это выражение имеет четность,
противоположную четности ф?. Чтобы скалярное произведение A8.2)
не обращалось в _ нуль, функция typ должна иметь четность, про-
противоположную четности ф?.
Правило, что при разрешенных переходах четность меняется,
было впервые найдено Лапортом и Ресселом на основании анализа
сложных спектров. По самому своему выводу оно относится только
к дипольному излучению !); с другой стороны, оно остается
справедливым и в том случае, когда учитывается магнитный
момент электрона, и применимо как к легким, так и к тяжелым
элементам. Оптических переходов, противоречащих ему, почти не
известно, несмотря на огромное количество данных. Наиболее изу-
') Для квадрупольных переходов справедливы противоположные пра-
правила: при этих переходах четность не меняется.
Правила отбора- и расщепление спектральных линий 237
ценный случай относится к спектру „небулия" '), где начальное
состояние метастабильно. Это объясняет исключительно большое
время жизни указанного состояния и, следовательно, малую ве-
вероятность перехода, особенно при условиях, существующих в раз-
разреженной атмосфере звезд.
Упомянутые три правила отбора действительно запрещают боль-
большинство переходов: мультиплетность не может измениться, L может
измениться только на ±1 или 0 (переходы 0->0 также запре-
запрещены), а четность (поведение при отражениях) должна меняться.
Так, например, уровень 3S+ может комбинироваться только с уров-
уровнем 2) 3Р_, уровень 4D_—только с уровнями 4Р+, 4D+ h/4F+ 3)
и т. д. /
Еще раз подчеркнем здесь, что до сих пор магнитный момент
электрона вообще не рассматривался и тонкая структура спек-
спектральных линий не учитывалась. Сформулированные выше правила
справедливы для всех компонент тонкой структуры линии. Первые
два правила справедливы только тогда, когда влияние магнитного
момента мало (для малых расщеплений в мультиплете, т. е. в лег-
легких элементах), тогда как последнее точно выполняется по при-
причинам, которые станут ясны позднее.
2. Следует рассмотреть еще влияние внешнего поля, которое
нарушает строгую вращательную симметрию пространства. Как
известно, внешние поля вызывают расщепление линий на несколько
компонент. Для магнитного поля это расщепление называется эф-
эффектом Зеемана и изучено экспериментально с высокой точностью;
аналогичное явление в электрическом поле, эффект Штарка, в боль-
большинстве случаев не так легко доступен наблюдению. В настоящем
предварительном обзоре мы не будем тщательно обсуждать эти
явления во всех подробностях; мы рассмотрим лишь упрощенную
теорию эффектов Зеемана и Штарка в случае, когда не учиты-
учитывается магнитный момент электрона.
Магнитное поле, направленное вдоль оси Z, уменьшает группу
симметрии конфигурационного пространства. Из всех возможных
вращений только вращения около оси Z остаются операциями
симметрии. Кроме того, два направления Z и — Z остаются по-
прежнему равноправными в силу аксиальной природы вектора маг-
магнитного поля, обеспечивающей то, что плоскость XY остается
плоскостью симметрии. Однако по той же причине плоскость YZ,
например, не является плоскостью симметрии, так как одно из
') Линии, которые вначале приписывали спектру неизвестного эле-
элемента „небулия", оказались принадлежащими спектру двукратно ионизо-
ионизованного кислорода. — Прим. перев.
2) Для квадрупольного излучения — только с уровнями 3?>j_.
3) Для квадрупольного излучения — только с уровнями "*5_, 4Р_,
*D_, *F_- *G_.
238
Глава 18
направлений вращения предпочтительно. В этом легче всего убе-
убедиться, если рассмотреть классическую траекторию электрона
в магнитном поле и в поле ядра. При отражении пути в плос-
плоскости, проходящей через ядро и перпендикулярной полю, полу-
получается возможный с классической точки зрения путь; с другой
стороны, отражение в плоскости YZ, параллельной направлению
поля, не дает возможного пути (см. фиг. 10, а).
\
Фиг. 10, а. Магнитное поле направлено
по оси Z. Отражение траектории частицы
в плоскости XV снова дает возможную
траекторию, что не имеет места при отра-
отражении в плоскости XX,
Фиг. 10, б. Электрическое поле напра-
направлено по оси Z. Отражение траектории
частицы в плоскости, проходящей через
ось Z, дает возможную траекторию, а отра-
отражение в плоскости XY не дает возможной
траектории (см. п. 4).
Из сказанного следует, что симметрия задачи относительно ин-
инверсии не нарушается магнитным полем: инверсия (x'k = — xk,
y'k =— yk, z'k — — 2Л является произведением вращения вокруг
оси Z на угол и:(л^ = —хк, y'k = — yk, z'k=-\-zA и отражения
в плоскости XY (x'k = -f- xk, y'k = -\- yk, z'k = — zA и поэтому
является элементом группы симметрии системы. Полная симметрия
является прямым произведением группы чистых вращений вокруг
оси Z, группы отражений (содержащей только инверсию и тож-
тождественное преобразование) и симметрической группы. Первые две
группы и, следовательно, их прямое произведение — абелевы.
Даже в том случае, если полная вращательная симметрия за-
задачи нарушена внешним полем, собственные значения и собствен-
собственные функции имеют по-прежнему почти те же значения и свой-
свойства, какие они имели в отсутствие магнитного поля, пока послед-
последнее малб (а экспериментально достижимые поля всегда малы в этом
смысле). В частности, орбитальное квантовое число L остается
Правила отбора и расщепление спектральных линий 239
вполне определенным, и для L остаются справедливыми обычные
правила отбора. Кроме того, каждый уровень естественно принад-
принадлежит какому-либо из неприводимых представлений трех групп
симметрии, даже если внешнее поле является сколь угодно силь-
сильным, так что каждый из них имеет мультиплетность S и точно
такое же поведение при отражениях, как и уровни систем*! врт-
сутствие поля. Поэтому правила отбора А и В, которые следуют
из связи собственных функций с представлениями симметрической
группы и группы отражений, остаются в силе. Появляется новое
квантовое число — магнитное квантовое число [а; оно определяет
представление (ехр (-{- tycp)) двумерной группы чистых вращений,
которому принадлежит уровень. Для числа р получается новое
правило отбора, принимающее различный вид для света, поляри-
поляризованного в различных направлениях, так что некоторые переходы
могут быть вызваны только светом, поляризованным в направле-
направлении поля (u-компоненты), а другие — только светом, поляризо-
поляризованным перпендикулярно направлению поля (а-компоненты). Это
не удивительно, так как различные направления в пространстве
уже не эквивалентны.
Для переходов со светом, поляризованным в направлении оси Z,
определяющим является выражение
Поскольку умножение на {zx -f- z2 -f- . . • ~\~zn) является операцией,
симметричной относительно вращений около оси Z, состояния t]^
и ф? должны принадлежать одному и тому же представлению
(ехр (-|- /(хер)) и иметь одинаковые квантовые числа, чтобы матрич-
матричный элемент A8.2в) не обращался в нуль. Если свет поляризо-
поляризован параллельно направлению поля, то магнитное квантовое
число не меняется.
Для переходов, при которых свет поляризован перпендику-
перпендикулярно направлению поля (а-компоненты), определяющими величи-
величинами являются ХрЕ и Yfe. Очевидно, что (х1-\-х2-\- ... -\-хп) —
— / C»! -J— у2 ~Ь" • • • + Уп) принадлежит представлению (ехр (— /ср) ),
так что [(Xi-r-x2-r- ... + хп) — J(i>i + У2 + ••• +Уп)]фг при-
принадлежит представлению (ехр [-\- i([x—1)<р]). Таким образом, если
не обращается в нуль, состояние §р также должно принадлежать
представлению (exp[ + ;(jx—1)<р]). Аналогичным образом, <tyF
должно принадлежать представлению (ехр [-f- i (\>- -\- 1) <р]), если
240 t лава 18
отлично от нуля. Отсюда следует, что ХрЕ и YрЕ могут быть ко-
конечными только в том случае, если магнитные квантовые числа
состояний tyF и ф? различаются на 1. Свет, поляризованный пер-
перпендикулярно направлению поля, вызывает переходы только
с Д(г= ± 1.
Заметим, в частности, что скаляр должен быть умножен на величину
комплексно сопряженную с +1-компонентой вектора [как это запи-
записано в A5.34)], чтобы превратить его в волновую функцию с ц = 1. Этот
вопрос будет более подробно рассмотрен в гл. 21.
Для процессов излучения из этих правил следует, что свет,
испускаемый в направлении, перпендикулярном направлению поля,
поляризован параллельно направлению поля в переходах с Дц = 0
и перпендикулярно полю — в переходах с Д(г= ± 1 (поперечный
эффект). Тем самым направление поляризации определяется одно-
однозначно, так как оно должно быть перпендикулярным направлению
излучения.
С другой стороны, свет, испущенный в направлении магнит-
магнитного поля (продольный эффект), должен быть поляризован перпен-
перпендикулярно направлению поля; таким образом, он может содержат!
только а-компоненты, но не тг-компоненты. Однако состояние по-
поляризации а-компонент не определяется указанием: „перпендику-
„перпендикулярно направлению поля". Из опыта известно, что свет состоит
частично из света с правой круговой поляризацией и частично —
с левой. Обратно, отсюда следует, что некоторые переходы не
могут быть возбуждены светом с левой круговой поляризацией,
а другие — светом с правой круговой поляризацией '). Вычисление,
вполне аналогичное вычислению, проведенному в гл. 6, показывает,
что матричные элементы (l/"^2) (XFE-\-iYFE) или {^jV^){^fe—
— IYfe) в зависимости от того, направлено ли вращение вектора
напряженности электрического поля от оси X к оси К или на-
наоборот, появляются в A8.1) вместо матричного элемента Xfe Для
•) Чтобы определить состояние поляризации излучения, испущенного
в некотором переходе, необходимо знать только те состояния, для кото-
которых свет не поглощается в обратном процессе. Например, переход, при
котором излучается свет, поляризованный параллельно оси Z, будет
возбуждаться (хотя и слабее) светом, поляризованным в направлении,
составляющем некоторый угол с осью Z. Важно, что такой переход не
может быть возбужден светом, поляризованным перпендикулярно Z.
Аналогичным образом переход, при котором излучается свет с правой
круговой поляризацией, не может возбуждаться светом с левой круговой
поляризацией, и наоборот.
Необходимость определения поляризации излучаемого света обход-
обходным путем, через обратный процесс поглощения связана с ьспользуемой
формой уравнения Шредингера, которая вовсе не описывает излучения.
Правила отбора и расщепление спектральных линий
241
переходов, возбуждаемых светом, поляризованным по кругу в пло-
плоскости XY. Таким образом, когда свет поляризован по кругу
вправо, если смотреть вдоль поля (т. е. снизу, если за положи-
положительное направление оси Z принято направление вверх), он вызы-
вызывает переход с увеличением jj, на 1; если он поляризован по кругу
влево, то вызовет переход с уменьшением \ь на 1. Наоборот,
если при спонтанном излучении \>. уменьшается на 1, то испущен-
испущенный свет (рассматриваемый в том же самом направлении) поляри-
поляризован по кругу вправо; если же (а увеличивается на единицу, то
свет поляризован по кругу влево.
3. Рассмотрим теперь некоторый уровень E$lw системы в от-
отсутствие внешнего поля и исследуем, как он будет вести себя при
наложении магнитного поля. Этот уровень расщепляется в магнит-
магнитном поле, и вместо первоначального уровня возникает несколько
новых уровней. Однако мультиплетное число S и характеристика
поведения при отражениях w не изменяются; уровни, возникающие
из одного и того же уровня, существующего в отсутствие поля,
сохраняют 5 и w исходного уровня. Это следует из того факта,
что каждая собственная функция меняется непрерывно при увели-
увеличении напряженности поля. Так как каждая собственная функция
на любой стадии принадлежит некоторому представлению симме-
симметрической группы и какому-либо представлению группы отраже-
отражений и так как эти представления, если они изменяются, могут
изменяться только прерывно, то они не могут измениться вовсе.
Остается еще вопрос о значениях магнитного квантового числа ja,
которые будут иметь уровни, возникающие из ESlw ¦ Пусть R —
вращение на угол <р вокруг оси Z. Тогда, согласно A5.6), матрица
представления 2)(i)(/?) имеет вид
~а* О ... О 0
О
О
О
О
О
0
0
О
eIL*
A8.Е.2)
и если фхц является собственной функцией уровня Eslw> принад-
принадлежащей х-й строке представления А(Л1 и [х-й строке представле-
представления
о, о}) <!.„„, =
A8.4)
т. е. <|>х принадлежит представлению (exp (-f ijj-cp)) группы вра-
вращений вокруг оси Z. Кроме того, этот результат остается в силе
242 Глава 18
при увеличении поля; а так как ц принимает значения от — L
до -\-L в представлении Ъ ', уровень с орбитальным квантовым
числом L расщепится на 2L -\-1 уровней ESLWi ^ с магнитными
квантовыми числами [а = — L, — i + 1, ¦.., L — 1, L. В первом
приближении собственными функциями, принадлежащими ESLWi ^
являются сами фХ(А, так как они должны принадлежать одной строке
представления А и представлению (ехр (-(-/(Аср)), и никакая дру-
другая линейная комбинация функций <J>X не обладает этим свойством.
Снова „правильные линейные комбинации" первого приближения
определяются из теоретико-групповых соображений.
Простота, с которой в этом случае были определены „правильные
линейные комбинации", является следствием того, что в D(i) матрицы,
соответствующие вращению вокруг оси Z, как представление группы
вращений вокруг Z, уже находятся в приведенном виде A8.Е.2). Если бы
мы наложили магнитное поле, скажем, в направлении оси Y, нам бы при-
пришлось приводить матрицы w ' (ср), соответствующие вращениям вокруг
оси Y, т. е. преобразовывать их к виду A8.Е.2). Тогда матрица (Ги, ),
осуществляющая это приведение, даст также правильные линейные ком-
комбинации для этого случая
•iv = 2 Tv.fv.K-
Первое приближение для собственных значений Eslw,^ можно
получить, исходя из собственных функций первого приближения,
если мы знаем изменение оператора Гамильтона нашей системы,
вызванное наложением магнитного поля &€г В классической тео-
теории при рассмотрении магнитного поля к функции Гамильтона
без поля добавляется член
(высшими степенями напряженности поля пренебрегается). Здесь
А — векторный потенциал, ротор которого дает напряженность
поля. В квантовой механике мы подставляем — ihdjdxi вместо рх,
получая таким образом в том же приближении дополнительное
взаимодействие, связанное с магнитным полем,
или сумму нескольких подобных членов для всех электронов ¦).
') В более точном приближении к A85) следует добавить дополни-
дополнительный член (а1+ Ау+А2^—г> этот член Ответствен, в частности,
за диамагнетизм.
Правила отбора и расщепление спектральных линий 243
Для постоянного магнитного поля с напряженностью &вг вдоль
оси Z
Первое приближение для добавочной магнитной энергии может
быть тогда вычислено по формуле E.22):
Iv U4v>- A8-6)
где
i =_ihlx JL_i_ _l.x Л Л _J
A8.6a)
Скалярное произведение в правой части A8.6) можно вычислить
точно. Покажем, что для любой функции /
A8.7)
причем это выражение равно разности между значениями / в „по-
„повернутом состоянии" и в первоначальном состоянии, деленной на
угол вращения. Поскольку
(coscp sin cp 0\
— sin cp coscp 0 ,
0 0 1/
мы имеем
= /(... , xk cos cp — yk sin f, xk sin cp -j- yk cos <p, zk, . . .);
дифференцирование этого выражения по ср дает при cp = 0
- A8-7а)
что эквивалентно соотношению A8.7). Используя A8.4), эту про-
производную можно выразить через jx:
ih (P1V) Й
В силу нормировки ($щ, ty^—l; поэтому A8.6) принимает вид
(P = -L, -L+\. .... L—l. L).
A8.8)
244 Глава 18
Согласно A8.8), уровень с орбитальным квантовым числом L
расщепляется в этом первом приближении (т. е. при ограничении
членами, пропорциональными первой степени напряженности <Шг
на 2L-\-\ равноотстоящих уровней. Конечно, средний из них
((а = 0) имеет ту же энергию, что и исходный уровень; расстоя-
расстояния между уровнями при заданной напряженности поля одинаковы
для всякого уровня, расщепленного таким путем, так как в A8.8)
входят только универсальные постоянные.
Если теперь рассмотрим зеемановские компоненты линии
F-+E, то, поскольку уровень F расщепляется точно таким же
образом, как и Е, легко заметить, что все линии с одинаковыми р.
совпадают. Но так как в оптических переходах р может меняться
только на +1 или 0, ожидается появление всего трех линий,
причем две смещенные компоненты находятся на одинаковом рас-
расстоянии от центральной для всех линий. Эта картина расщепления
называется обычно нормальным эффектом Зеемана.
Такая картина согласуется с опытом только в случае синглет-
ных уровней. В соответствующих состояниях магнитные моменты
(спины) электронов, которые обычно вызывают отклонение от
„нормального" расщепления, комбинируются таким образом, что
их влияние исчезает. Это является также причиной отсутствия
тонкой структуры у синглетных уровней. Для всех остальных
термов расщепление несколько больше или несколько меньше, чем
найденное выше, и меняется обычно от уровня к уровню. Поэтому
линии с одинаковым изменением (а не совпадают, и получается
значительно более сложная картина расщепления аномального
эффекта Зеемана. Вычисление относительных интенсивностей
отдельных зеемановских компонент будет проведено несколько
ниже ¦)•
Следует заметить, что магнитное поле вызывает расщепление
линий, максимально возможное для всякого внешнего поля. Остаю-
Остающееся вырождение связано целиком с симметрической группой,
а тождественность электронов не может быть нарушена каким-
либо внешним полем.
4. В постоянном электрическом поле, направленном вдоль оси Z,
симметрия иная, чем в случае магнитного поля, так как вектор
напряженности электрического поля имеет полярную природу.
В этом случае уже нет центра инверсии, но плоскости, прохо-
проходящие через ядро параллельно полю, являются плоскостями сим-
симметрии. Условия, таким образом, противоположны условиям в маг-
магнитном поле (см. фиг. 10, <У, стр. 238). Группа симметрии является
') Это будет сделано в гл. 23. Интенсивности трех рассматриваемых
линии совпадают с предсказаниями классической теории эффекта Зее-
Зеемана, которая правильно описывает нормальный эффект Зеемана.
Правила отбора и расщепление спектральных линий 245
двумерной группой вращений и отражений (а она не абелева!),
тогда как в магнитном поле она является прямым произведением
двумерной группы чистых вращений и трехмерной группы отра-
отражений. Наряду с мультиплетным числом 5 каждый уровень имеет
электрическое квантовое число m = 0, 0', 1, 2 указывающее,
к какому представлению 3(т) двумерной группы вращений и отра-
отражений принадлежит уровень.
Неприводимые представления двумерной группы вращений
и отражений были определены в гл. 14. В 3@), 3(° '. 3A\ 3B). • • •
матрицы
) (
о *)• ( о
соответствуют вращению на угол <р. тогда как матрицы
О 1\ /О V
<1>-<-1>-м оу vi о
соответствуют отражению в оси X.
Чтобы определить значения m для уровней, на которые рас-
расщепляется уровень с орбитальным квантовым числом L, следует
найти, какие из 3(т) входят в 2)(i)(/?), где R соответствует вра-
вращению и отражению относительно Z, и сколько раз они входят.
Из выражения A8.Е.2) для 2)(i)(/?) мы непосредственно видим,
что если R является чистым вращением около оси Z, то каждое
из представлений 3A). 3 3 содержится в 2)(i) по одному
разу; собственные функции, принадлежащие первой или второй
строке 3(т>. принадлежат —m-й или +/к-й строкам представле-
представления 2) . С другой стороны, собственные функции, принадлежа-
принадлежащие нулевой строке 2)(Z), могут принадлежать либо 3@). либо 3@ '•
Чтобы решить, какой именно случай имеет место в действитель-
действительности, следует также рассматривать, например, отражение у' = — у.
(Представления 3@) и 3<0 ' для чистых вращений совпадают.)
Чтобы определить след матрицы в ?)(L>, соответствующей этому
преобразованию, заметим, что оно является произведением инверсии
и вращения на угол it около оси К; поэтому его след
+ •-¦ +2 cos Liz) =
= w(l— 2 + 2— ... +2(— \)L) = w{— if, A8.9)
где w равно +1 для четных уровней и —1—для нечетных. Так
как компоненты 3A\ 3B). -••. 3<Z)не дают никакого вклада в следы
246 Глава 18
отражений, то остается лишь уровень 0, если w(—l)L = -\-l,
и уровень 0', если w(—1) = — 1.
Мы видим, что расщепление уровня в электрическом поле не
является таким полным, как в магнитном поле; из уровня с орби-
орбитальным квантовым числом L возникает лишь L-\-\ уровень.
Правила отбора, которые выполняются для сильных электри-
электрических полей, сходны с правилами, справедливыми для магнитного
поля. Электрическое квантовое число т не меняется при переходе
с участием излучения, поляризованного вдоль оси Z, так как
умножение на z1-\-Z2~{- ... -\-zu является операцией, симметрич-
симметричной относительно двумерной группы вращений около оси Z.
Поэтому все переходы между уровнем 0 и уровнем 0' запрещены.
С другой стороны, т меняется на ± 1 в переходах, в которых
испущенный свет поляризован перпендикулярно направлению поля.
Правила отбора для орбитального квантового числа нарушаются
в сильных электрических полях, поскольку полная симметрия от-
относительно вращений уже не имеет места, так что собственные
функции не принадлежат больше представлениям трехмерной группы
вращений. Правило Лапорта также теряет свою силу (в то время
как оно не нарушалось магнитным полем); остается лишь запрет
переходов с уровня 0 на уровень О'.
Возмущение собственных значений электрическим полем может
быть также рассчитано с помощью формального метода Релея —
Шредингера. Эти результаты имеют лишь ограниченную приме-
применимость, так как разложение должно расходиться вследствие вида
возмущения!)
V = «$,(*,+ *,, + ... + *„). A8.10)
Если изобразить графически потенциал как функцию расстоя-
расстояния от ядра, например, в атоме водорода, то видно, что в окрест-
окрестности ядра имеется глубокий минимум потенциала, но что электрон
всегда имеет достаточную энергию для того, чтобы уйти на бес-
бесконечность в направлении поля.
Это наводит на мысль, что в электрическом поле, строго го-
говоря, вовсе не существует дискретного спектра и что в этом
случае нет истинных стационарных состояний. Несмотря на это,
первое или второе приближения, вычисленные методом возмущений
Шредингера, не являются совершенно бессмысленными. Они дают
состояния, которые, если не являются действительно стационарными,
ведут себя подобно стационарным состояниям в течение очень дол-
долгого времени, так как электрон в поле ядра благодаря туннельному
эффекту покинет потенциальную яму и уйдет от ядра только
после того, как он сделает много оборотов вокруг него.
') См. J. R. Oppenheimer, Phys. Rev., 31, 66 A928).
Правила отбора и расщепление спектральных линий 247
В первом приближении энергия возмущения, обусловленная
электрическим полем, вовсе не расщепляет собственные значения.
Коэффициенты
+ ••• + */,)W = 0 08.11)
секулярного уравнения E.18) все равны нулю, так как <J> . ,
и (z1-\-z2-j- ... +2п)фх имеют различную четность. Если нет
случайного вырождения, то все собственные функции, принадле-
принадлежащие одному и тому же собственному значению Е, имеют оди-
одинаковую четность; поэтому tjvp.' и (z1-\-z2-\- ¦¦¦ -\-zn)tyxv. будут
иметь противоположную четность. Мы уже видели пример такого
поведения в связи с оператором перехода на стр. 236, при-
причем A8.11) совпадает с A8.2в) с точностью до постоянного мно-
множителя. Собственные значения матрицы (vX'V.';xv.) = 0 все равны 0.
В первом приближении все уровни совпадают с невозмущенным
уровнем; если разложить энергию возмущения по степеням напря-
напряженности поля, то коэффициент при первой степени будет равен
нулю; таким образом, при малых напряженностях поля расщепле-
расщепление уровней обращается в нуль как квадрат напряженности.
Только в случае атома водорода, где имеется случайное вырож-
вырождение уровней с различной четностью, расщепление уровней про-
происходит в первом порядке.
Усложнения, возникающие за счет магнитного момента, ока-
оказываются главным препятствием для экспериментальной проверки
законов, выведенных выше для эффекта Штарка, так же как
и в случае эффекта Зеемана. Единственным результатом, имеющим
общий характер, является отсутствие расщепления уровней, про-
пропорционального первой степени напряженности поля, так как оно
следует лишь из рассмотрения поведения при отражениях.
5. Для свободных атомов постоянное магнитное или электри-
электрическое поля являются, вероятно, наиболее важными видами внеш-
внешних возмущений. Для атомов в кристаллах более важными будут
другие виды возмущений. Для них симметрия „внешнего поля),
которое в этом случае создается окружающими атомами, опреде-
определяется симметрией кристалла и может вызывать интересные виды
расщеплений. Для большинства классов симметрии это было тща-
тщательно исследовано Бете. Из его примеров мы возьмем лишь
сравнительно простой случай ромбической (гемиэдрической) сим-
симметрии, симметрии ромбической пирамиды2).
') При этом подразумевается, что окружающие атомы исключены из
исследуемой системы, а „внешнее" поле воспроизводит их влияние на
атом. Подобное предположение, очевидно, не вполне справедливо, так что
основанное на нем рассмотрение не является полным. В частности, при
таком подходе исключаются „обменные силы".
2) Ромбическая пирамида — пирамида, имеющая в основании ромб,
248
Глава 18
Ромбическая пирамида имеет три элемента симметрии: вра-
вращение на угол -к вокруг оси Z и * отражения в плоскостях ZX
и ZY. Ее группа симметрии Vd состоит из тождественного эле-
элемента и этих трех элементов. Она изоморфна 4-группе (см. стр. 79),
так как все ее элементы имеют порядок 2. Будучи абелевой, она
имеет четыре одномерных неприводимых представления, матрицы
которых даны в табл. 5. Первым идет тождественное представле-
представление, второе и третье сходны между собой, различаясь лишь об-
обменом ролями осей X vl Y, тогда как четвертое играет особую
роль.
Если поместить атом в его положении в кристалле, то он на-
находится в поле сил, снимающих полную пространственную сим-
симметрию, так что остается только ромбическая гемиэдрическая
симметрия. Так как все неприводимые представления этой группы
ТАБЛИЦА 5
Представления группы ромбической пирамиды
I
II
III
IV
A)
О)
О)
A)
Вращение на
угол п вокруг
оси Z
A)
(-1)
(-1)
(О
Отражение
в плоскости
ZX
A)
(-1)
A)
(-1)
Отражение
в плоскости
ZY
A)
A)
(-1)
(-1)
одномерны, уровень с орбитальным квантовым числом L рас-
расщепляется на 2/, —j— 1 уровней.
Коснемся вопроса о числе уровней со свойствами представле-
представлений I, II, III и IV, возникающих в кристалле из одного уровня
с азимутальным квантовым числом L и четностью w. Ответ на этот
вопрос может быть дан в общей теории, т. е. путем определения,
сколько раз представления I, II, III и IV входят в представление
<?)(?. w~> группы вращений и отражений, если рассматривать его как
представление ее ромбически-гемиэдрической подгруппы. Эти
числа а(, ац, ащ и <Х]у проще всего находятся путем определения
характеров представления ф^'^для операций из Vd.. Для единич-
единичного элемента
A8.12а)
С другой стороны, -для вращения на угол тс вокруг оси Z и для
отражений в плоскостях ZX или ZY, согласно A8.9), имеем
(— 1/ = Н — <*ц — «ш + aiv.
A8.126)
Правила отбора и расщепление спектральных линий
249
w{—\f = а, — а„ +аш — а1У = а, + ац — аш — а1У. A8.12в)
Из A8.12в) следует, что ац = аш и w{—1)^ = <Х[—aIV; изA8.12а)
и A8.126) вытекает, что BL+1) + (—1/ = 2a,-)-2a,v. Таким
образом, мы получаем значения параметров а, которые приведены
в табл. 6.
таблица 6
Кратность представлений группы ромбической
пирамиды в различных представлениях группы
вращений
Уровни
s+
5_
' Р+
Р_
D+
и т. д.
«I
1
0
0
1
2
«1Ь "Ш
0
0
1
1
1
«IV
0
1
1
0
1
В упомянутой выше работе Бете определил расщепление почти
для всех из тридцати двух типов симметрии, встречающихся
в кристаллах, и получил отсюда ряд дальнейших следствий. Так,
правила отбора для уровней типов I, II, III и IV получаются
весьма просто, если заметить, например, что для излучения, поля-
поляризованного вдоль оси Z, умножение на (zx-\-z2-\- .. . -\-zn)
является операцией, симметричной относительно ромбической геми-
эдрической группы. Это означает, что разрешены переходы только
между уровнями одного и того же представления.
Глава 19
ЧАСТИЧНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ
ФУНКЦИЙ ИЗ ИХ ТРАНСФОРМАЦИОННЫХ
СВОЙСТВ
1. Трансформационные свойства собственных функций, которые
обсуждались в предыдущей главе, следуют из соотношений между
значениями собственных функций для аргументов, которые могут
быть преобразованы друг в друга преобразованиями группы. Если,
например, группа состоит из тождественного преобразования и пре-
преобразования х' = — х, то для функций, принадлежащих тожде-
тождественному представлению (четные функции)
g(-x) = g(x). A9.1)
тогда как для функций, которые принадлежат отрицательному
представлению (нечетные функции)
A9-1а)
В общем случае из соотношения
Р*Ф,(*1. *2 xn) = ^D(R\%^(xv x2 хп), A9.2)
в силу A1.26а) следует, что
U*l- *2 X'n)=%D(VlUXV X2 О- С19'3)
где х'х х'п получается из ху .... хп путем преобразования R.
Если вся область изменения аргументов волновой функции (т. е.
все конфигурационное пространство) подразделяется на части, каждая
из которых получается из одной части — основной области — не-
некоторым преобразованием группы, то функции фх могут быть рас-
рассчитаны всюду с помощью A9.3), коль скоро они известны в основ-
основной области. Соотношение A9.3) представляет приведение области
изменения аргументов хг хп, причем степень приводимости
зависит от обширности группы, по отношению к которой задача
на собственные значения инвариантна; она дает также трансфор-
трансформационные свойства функций фг в явном виде. Поэтому все резуль-
Частичное определение собственных функций 251
таты, которые следуют из свойств инвариантности функций <|>х,
могут быть выведены из A9.3).
Рассмотрим, например, скалярное произведение четной и нечет-
нечетной функций:
оо
fg(x)*f(x)dx. A9.4)
—со
Разбивая область интегрирования на две части, от — оо до 0 и
от 0 до -f- оо (эти области преобразуются одна в другую при
преобразовании х' = — х), получаем
оо 0 оо
/ g W f(x)dx= f g (*)• f(x)dx + fg (xf f (x) dx.
—оо — оо О
Если теперь ввести в первом интеграле переменную у вместо — х
и для g(—у) и /(—у) воспользоваться соотношениями A9.1)
и A9.1а), то интеграл A9.4) примет вид
f(x)dx=O A9.6)
и две его части взаимно уничтожатся.
Рассуждение о том, что fug принадлежат различным не-
неприводимым представлениям и что поэтому их скалярное произ-
произведение должно обращаться в нуль, проще, чем только что про-
проведенный расчет. С другой стороны, вывод, основанный на A9.3),
имеет то преимущество, что, наряду с большей наглядностью, он
приводит к частичному определению собственных функций, весьма
эффективному в случае тех простых задач, которые инвариантны
относительно группы вращений.
2. Соотношение A9.3) выражает волновую функцию <Jix для
всех положений, возникающих из положения P = (xlt ylt zv x2,
у2, г2 хп, Ур, zn) при преобразованиях группы, через значе-
значения функций-партнеров (|>х функции (|>ч в точке Р. Для группы
вращений такими положениями являются все точки конфигурацион-
конфигурационного пространства, для которых относительное расположение
частиц, т. е. геометрическая форма атома, одинаково. Точку
в конфигурационном пространстве можно заменить «-лучевой
звездой '), помещенной в центре трехмерного пространства. Конец
каждого луча в трехмерном пространстве показывает, где нахо-
находится соответствующий электрон в рассматриваемой конфигурации.
Задание волновой функции во всех точках конфигурационного про-
пространства равносильно заданию ее для всех мыслимых л-лучевиков.
') Или, кратко, я-лучевиком, — Прим перев
252 Глава 19
Как уже указывалось при обсуждении „отделения центра масс" на
стр. 212, волновая функция будет содержать в качестве переменных
также координаты ядра. Поэтому она будет определена не для тех поло-
положений, в которых п-лучевик помещен в центре трехмерного пространства;
напротив, центр п-лучевика указывает положение ядра и может находиться
в любой точке пространства. Однако, поскольку значения волновой функ-
функции будут одинаковыми для всех положений n-лучевика, получающихся
одно из другого путем параллельного переноса, достаточно указать его
для всех n-лучевиков, помещенных в центре. Волновая функция не изме-
изменится, если все координаты х (включая координаты ядра), или все коорди-
координаты у, или все координаты г увеличить или уменьшить на одну и ту же
величину.
Положения, получающиеся одно из другого путем вращения,
соответствуют одной и той же форме, но различным ориен-
тациям га-лучевика. В качестве основной области мы выберем те
положения, для которых первый луч (соответствующий первому
электрону) лежит на оси Z, а второй — в плоскости ZX. Эта
область соответствует таким точкам конфигурационного простран-
пространства, для которых x1 = yi=y2~Q. Пусть значения 1L-\-\ вол-
волновых функций <]*_?, t_L+1 tyL> принадлежащих представле-
представлению 2)(i)({aPlf})> в основной области равны G-L, O_i+1, .... GL-i,
GL [т. e. Gx = ^x@, 0, zv x2, 0, z2 xn, yn, zn), причем зна-
значения Gx зависят только от геометрической формы конфигурации
частиц]. Тогда значение волновой функции в каждом положении
х[, у[, z'v .... х'п, у'п, z'n, получающемся из 0, 0, zv х2, 0, z2, ...
.... х„, у„, zn путем вращения {и — а, р, —it — ¦\), согласно A9.3),
будет равно ')
%{х\> y'v z'i *«'K. <)=
J^ P. T)),a °x(S)- A9.6)
В этом выражении 2) a и р являются по определению соответственно
азимутальным и полярным углами первого электрона; f — угол
') Соотношение
?>«> ««-* + р, _«-,})^=i (-1Г"ЛФ« ({а, р,
следует непосредственно из A5.8),
и того, что dw (Р),!^ вещественно.
2) Вращение выбрано так, что в качестве а и р можно взять поляр-
полярный и азимутальный углы первого электрона, а не соответствующие
величины с обратным знаком. См. обсуждение в Приложении А (п. 2)
э конце книги.
Частичное определение собственных функций 253
между плоскостью, проходящей через ось Z и направление на
первый электрон, и плоскостью, проходящей через начало коор-
координат и первые два электрона. Значения Gx зависят только от
геометрической формы g я-лучевика.
При ? = 0 E-уровни) A9.6) принимает вид
Hx'v Уг «i К'У'п' <) = °0(8)- A9-7)
В этом случае волновая функция зависит только от формы
ге-лучевика и вовсе не зависит от его ориентации в пространстве;
5-состояния сферически симметричны '). Это вполне естественно,
так как 5-состоянию принадлежит только одна собственная функ-
функция и она не может выделить направления. Для более высоких
азимутальных квантовых чисел все направления равноправны по отно-
отношению к полной системе собственных функций, но нельзя выде-
выделить ни одной собственной функции, не выделяя тем самым
некоторого направления, так что отдельные собственные функции
уже не являются сферически симметричными.
Из A9.6) можно вывести правила отбора. Однако мы будем
интересоваться главным образом тем, в какой мере из этого соот-
соотношения можно определить собственные функции.
3. Для твердого тела геометрическая форма g фиксирована,
так что все ОА — просто постоянные. В этом случае собственные
функции зависят только от а, [3 и т и полностью определяются
соотношением A9.6). Простейшим твердым телом является тонкий
стержень, который может свободно вращаться вокруг своей сред-
средней точки (жесткий ротатор).
Уравнение Шредингера для жесткого ротатора имеет вид
A9.8)
где 3 — момент инерции, а 6 и <р — соответственно полярный и
азимутальный углы ротатора. Основной областью в этом случае
является единственная точка 6 = 0, „нормальное положение" рота-
ротатора. Обозначим значения собственных функций в этой точке
через G^1; тогда, согласно A5.8) и A9.6), будем иметь2)
A9.8а)
ет одно
и то же положение при всех значениях этой переменной. Таким
Но tyNL не должны зависеть от f, так как ротатор имеет одно
•) A. U n s 01 d, Ann. d. Phys., 82, 355 A927).
г) См. примечание на стр. 252 и Приложение А.
254 Глава 19
образом, Gx^ —0 при X Ф О, так что A9.8а) принимает вид1)
ФГF, cp)-(-l)^^(i)F),o^i = (-lI1S)(i>({T. 6. 0)}^0Gf.
A9.86)
Это равенство полностью выражает собственные функции через
коэффициенты представления. Соотношение A9.86) показывает
также, что собственные функции tyNL для одних и тех же L и р
и разных N различаются, самое большее, на постоянный множи-
множитель. Так как это невозможно для собственных функций различ-
различных собственных значений, каждому L принадлежит только одно
собственное значение. Поэтому в A9.8), A9.8а) и A9.86) индекс N
можно опустить.
Решения уравнения A9.8) известны как сферические гармоники
/,-й степени; A9.86) показывает, что функции S) ({ф, 6, т))то
совпадают со сферическими гармониками Y[m(d, ср), за исключением
нормировки и множителя (—\)т.
Не следует слишком удивляться тому, что уравнение A9.8)
можно полностью решить без вычислений. В самом деле, один из
способов определения представлений (гл. 15, п. 1) был основан
на решении уравнения Лапласа, которое эквивалентно уравнению
A9.8). Можно сказать, что теперь мы снова подставили это реше-
решение в A9.8).
Чтобы показать, что уравнение A9.8) относится ко всем сфе-
сферически симметричным задачам, упомянем случай атома водорода,
который описывается уравнением
Соотношение A9.6) показывает, что его решения имеют вид
-1/-XS)@({<*. P. T)V 0Г(г). A9.9а)
Здесь G\l — функции только г, так как . ге-лучевик вырождается
в однолучевик, геометрическая форма которого полностью опре-
определяется длиной г луча (расстояния электрона от ядра). В этом
случае j и р представляют собой азимут и полярный угол элек-
электрона, тогда как f не имеет какого-либо смысла; по этой при-
причине выражение A9.9а) не должно зависеть от -у. Отсюда следует,
что точно так же, как в случае соотношения A9.86), Ох должны
обращаться в нуль при X Ф 0:
A9.96)
') См. примечание 2 на стр. 252 и Приложение А.
Частичное определение собственных функций 255
Согласно формулам A7.3), собственные функции атома водорода
действительно имеют такой вид. Мы видим, что ||Л' действительно
принадлежит jx-й строке представления Ъ{1\ как это и должно быть
для собственной функции с магнитным квантовым числом |х и
орбитальным квантовым числом /.
Простейшей задачей, на которой можно показать все возмож-
возможности этого метода, является квантовомеханическое описание дви-
движения твердого тела (волчка). Рассмотрим сначала асимметричный
волчок. Положение волчка можно характеризовать тремя углами
Эйлера а, [3, f. указывающими вращение, переводящее волчок из
его нормального положения (в котором наибольший момент инер-
инерции совпадает с осью Z, следующий после него — с осью К,
а наименьший — с осью X) в рассматриваемое. Волновая функция
будет зависеть только от этих трех углов; действительно,
согласно A9.6), она имеет вид
Л Р. т) = 2(-1Гх?>(;)({а. р. т}),х°^ =
= 2 (—1)*~Xe'v*d{l)(P)^ еа^К A9.10)
Значения <3Г снова являются постоянными, так как геометри-
геометрическая форма твердого тела фиксирована. Так же как и собствен-
собственные значения E^i, они могут быть определены путем подстановки
выражения A9.10) для фм в уравнение Шредингера. При этом
получаем 21 -\- 1 линейных однородных уравнений для Oi\, .... О%[-
Требование, чтобы определитель этой системы уравнений обращался
в нуль, дает алгебраическое уравнение Bl-\-\)-Pi степени для
энергии Ет, так что 2/ —|— 1 собственных значений имеют орби-
орбитальное квантовое число I.
Рассмотрим теперь волчок, у которого равны два меньших
момента инерции. Тогда „нормальное положение" волчка опре-
определяется не однозначно, а с точностью до вращения вокруг оси Z.
Следствием этого является то, что собственная функция остается
собственной функцией, если ? заменить на -у —f— f0.
Более того, линейная комбинация
f
^, p, T}) A9.11)
256 Глава 19
таких функций также является собственной функцией. Но если G^1
не равны нулю, то A9.11) показывает, что с точностью до постоян-
постоянного множителя собственные функции могут быть записаны в виде')
(v = — I, — Z+1 /—1,0- A9.11а)
Позднее, когда мы будем рассматривать симметрию относительно
отражений, окажется, что пары собственных значений равны:
ЕН = Е_Ф так что все 1-\-\ различных собственных значений
имеют одно и то же орбитальное квантовое число.
Если все три момента инерции равны, то нормальное положение
совершенно не определено, и собственные функции A9.11а) остаются
собственными функциями при замене (а, р, -у} на {а, р, -у}/?, где
R — произвольное вращение. Таким образом,
(-1Г5?>">((а, р, -r)tfV = 2(-irV?>W({a. P. 7} V©^*),,
принадлежит тому же собственному значению, что и (—1/~'Х
ХЗ)('Ч {<*¦• P. TfDitv Этому же собственному значению принадлежит и
(-l)Il-x©(')({a> p, T}V. A9.12)
Следовательно, в этом случае все собственные значения E__ltl,
E-i+\,u •••> ^i,i совпадают и каждому орбитальному квантовому
числу принадлежит только одно собственное значение; это соб-
собственное значение имеет B/-(- 1J-кратное вырождение.
Таким образом, если по крайней мере два момента инерции
волчка равны между собой, собственные функции даются в явном
виде формулой A9.11а). Соответствующие собственные значения
можно найти, если подставить эти функции [т. е. 3)'4({a, p, f} Х.Л
для каждого собственного значения в уравнение Шредингера, взять
такие значения a, p и -у. ПРИ которых ф^(а,р,-у) не обращается
в нуль (например, а = р = 7 = 0), и разделить на ijy(a,p,f).
') Состояние определяется квантовыми числами I, [а и бегущим кван-
квантовым числом N, которое позволяет различать между различными состоя-
состояниями, имеющими одни и те же значения / и ц. В рассматриваемом случае
бегущее квантовое число N равно просто v.
Частичное определение собственных функций 257
Уравнение Шредингера для симметричного волчка2) может
быть решено непосредственно в гипергеометрических функциях2).
Соотношение между коэффициентами представления и гипергео-
гипергеометрической функцией (при ц^-v) имеет вид
+ )([) (ц )
— l, —v — /, {х — v-(-l, -tg2ip). A9.13)
4. Прежде чем переходить к обсуждению четности, выведем
еще одно соотношение:
В гл. 15 коэффициенты представления были полностью опреде-
определены; возьмем dW(P)^.v из A5.27):
; (/ —(л —x)!(/ + v —x)!ic!Et + n —v)!
iA9.15)
—v)!
Если в этом выражении вместо р подставить и — р, то синусы
в A9.15) переходят в косинусы, а косинусы — в синусы так как
cos(-S- — jc)= sin*]. Если одновременно вместо.индекса ч ввести
индекс ¦*! = I — [J. — *, по которому производится суммирование,
то A9.15) принимает вид
') Квантовомеханическая теория симметричного волчка рассматрива-
рассматривалась в следующих работах: Н. R a d е га а с h e r, F. R е 1 с h e, Zs. f.
Phys., 39, 444 A926); 41, 453 A927); R. de L. К ronlg, I. I. Rabi, Phys.
Rev., 29, 262 A927); С M a n e b а с k, Zs. f. Phys., 28, 76 A927); J. H. v a n
V1 e с k, Phys, Rev. 33, 476 A929). Теория асимметричного волчка рассма-
рассматривалась в работах: Е. Е. W i t m е г, Proc. Nat. Acad., 13, 60 A927).
S. С. W a n g, Phys. Rev., 34, 243 A929); H. A. Kramers, O. P. 111 m a n.
Zs. f. Phys., 53, 553 A929); 58, 217 A929); 60, 663 A930); O. Klein, Zs.
f. Phys., 58, 730 A929); H. С a s i m i r, Zs. f. Phys., 59, 623 A930).
2) См., например, P. M. Morse, H. F e s h b а с h, Methods of
Theoretical Physics, Pt. 1, New York, 1953, p. 388, 542 (см. перевод:
Ф. Морс и Г. Фешбах, Методы теоретической физики, ИЛ, 1958).
258
Глава 19
Так как %' — целое число, (—1)" =(—1) , так что правая
часть A9.16) равна (—\)l~v'й($)^,-ч и тем самым соотноше-
соотношение A9.14) установлено.
В одночастичной задаче поведение волновой функции при от-
отражениях определяется ее угловой зависимостью. Для однолуче-
вика инверсия Р/ состоит лишь в замене ср на ср + тг и 6 на и—6;
длина луча г остается без изменения. При этой подстановке A9.96)
преобразуется к виду
-l)W>V0G"V) = (-l)'-lv'(Г. 9. 9).
A9.17)
Уровни с четными I четны; уровни с нечетными I нечетны 1).
Для двух независимых частиц, как, например, в атоме гелия,
согласно A9.6), имеем
{«. Р. 7} V
2, г),
A9.18)
поскольку эта конфигурация определяется геометрией двухлуче-
вика, который можно характеризовать длинами гх, г2 двух лучей
Фиг. 11. Поведение двухлучевика
у при отражении.
и углом между ними е. При отражении меняется только положе-
положение двухлучевика, но не его геометрическая форма. Если произ-
произвести инверсию, то «, р и ] переходят в а + гс, те — р и те — f
(см. фиг. ИJ).
') Таким образом, оптический переход с Д/ = 0 для одноэлектронной
системы запрещен, поскольку при атом переходе изменяется четность.
2) На фиг. 11 ради простоты принято гх = г2 = 1. Точки ?, и Е2 яв-
являются положениями двух электронов до инверсии, а Е^ и ?2 — их поло-
положениями после инверсии.
Частичное определение собственных функций 259
Поэтому
K P. Т) W-OI+4. A9.18а)
так как, в силу A9.14),
= (-l)?+xS)(Z)({«. P. TJV-л. A9.14а)
Таким образом, для четных уровней из Р/<ь =ф следует
О-х(ги г2, е) = (— 1I+ХОх(г„ г2. е). A9.19)
тогда как для нечетных уровней1), для которых Р/ф = — ф,
G-x ('i. /. е) = — (— l)i+xOx(i-i. /"а. е). A9.19а)
Функция О0 отлична от нуля только при w = (—1)ЛE+, Р_, D+
и т. д.). Следовательно, атом Не не имеет уровня S_: волновые
функции 5-уровней имеют одинаковые значения при всех поло-
положениях двухлучевика, так что 5-уровни необходимым образом
имеют положительную четность.
Подставляя A9.6) в уравнение Шредингера и приравнивая
коэффициенты при одинаковых функциях от а, р и f, получаем
в общем случае 2L -\~ 1 уравнений для 2L -f-1 функций
0-1, O-i+i Ql-i,Ql от переменных, описывающих форму
и-лучевика. Пользуясь соотношениями A9.19) и A9.19а), для
атома Не можно значительно сократить число независимых функ-
функций, оставляя лишь одну неизвестную функцию для уровней S+
и Р+, две — для уровней Р_ и D_, три — для уровней D+
и F+ и т. д.2).
Для нескольких электронов невозможно заменить инверсию
и-лучевика чистым вращением. Инверсия преобразует ге-лучевик
в его „оптический изомер" (или зеркальное изображение). Он
имеет форму, отличную от формы исходного ге-лучевика только
') В случае асимметричного волчка по-прежнему справедливы ра-
равенства G-x = Ох для / -{- 1 собственных значений с орбитальным кван-
квантовым числом / и G_x = — Gx для остальных / собственных значений.
Таким образом, секулярное уравнение B1 -\- 1)-й степени разделяется на
два уравнения степеней A+1) и /. Поскольку, в силу A9.14а), волно-
волновые функции ^~v' и 4?г для симметричного волчка [выражение A9.11а)]
при инверсии преобразуются одна в другую, отсюда следует, что QW
принадлежат одному и тому же собственному значению.
2) См. О. В г е i t, Phys. Rev., 35, 369 A930),
260 Глава 19
при л^-3. При п = 2 это явление не имеет места; геометриче-
геометрическая форма двухлучевика всегда совпадает с формой его изомера
или зеркального изображения.
Если обозначить через g координаты, описывающие форму
и-лучевика, изомерного g, то, согласно A9.6), фиг. 11 и A9.14а),
имеем
=2(-irx?>(i)({«±*. *-р. *-•г}
2(
С другой стороны,
где для четных уровней «re» = —f- I, а для нечетных ¦© — —1.
Тогда _
(-l)L+*G,(g) = w0_x(g). A9.20)
Соотношение A9.20) не может быть использовано-для вычис-
вычисления собственных функций в явном виде; однако оно показы-
показывает, какую информацию о виде собственных функций, сверх
даваемой соотношением A9.6), можно получить из симметрии соб-
собственных функций относительно группы отражений. Однако рас-
рассмотрение этой группы позволяет надеяться получить не слишком
много дополнительной информации. Инверсии позволяют сравни-
сравнивать волновые функции только для двух точек конфигурационного
пространства, тогда как группа вращений дает возможность уста-
установить связь между значениями этой функции для непрерывного
трехпараметрического семейства точек. В соответствии с этим
с помощью группы вращений можно было бы исключить три
переменные, причем нужно допустить лишь увеличение числа не-
неизвестных функций (О_1, .... Ql)- Это число, равное 2Z, —|— 1,
по-видимому, может быть снова несколько уменьшено с помощью
группы отражений, но упрощение получается сравнительно несу-
несущественным.
Естественно попытаться воспользоваться симметрией относи-
относительно перестановок электронов для дальнейшего уменьшения
числа неизвестных функций. До некоторой степени это возможно.
Однако рассуждения в этом случае не так просты, как в пред-
предшествующем рассмотрении, в котором первый и второй элек-
электроны играют роль, отличную от остальных (аир являются соот-
соответственно азимутом и полярным углом первого электрона). Это
приводит к тому, что формулы, следующие из рассмотрения пере-
перестановок электронов, весьма сложны и не будут приведены здесь.
Глава 20
СПИН ЭЛЕКТРОНА
Физические основы теории Паули
1. В предыдущей главе обсуждались наиболее важные свойства
атомных спектров, которые могут рассматриваться без введения
спина электрона. Однако многие из менее очевидных характеристик,
среди которых наиболее важной, по-видимому, является тонкая
структура, не могли быть объяснены, так как они тесно связаны
с иным свойством электрона — его магнитным моментом.
Гипотеза о том, что электрон имеет магнитный момент и момент
количества движения („спин"), была выдвинута Гаудсмитом и Улен-
беком. Еще до создания квантовой механики они заметили, что
невозможно дать полное описание спектров, не приписывая элек-
электрону магнитный момент и механический момент: концепция
электрона как точечного заряда оказалась недостаточной. Как
известно, в классической электродинамике магнит эквивалентен
точечному заряду, вращающемуся вокруг оси магнитного момента.
Тогда вектор магнитного момента ц. связан с моментом количества
движения L соотношением
** B0ЕЛ>
где е — заряд вращающейся частицы и т. — ее масса. Однако, как
показали Гаудсмит и Уленбек, соотношение B0.ЕЛ) не применимо
к Магнитному моменту, обязанному спину, если взять обычные
заряд и массу электрона. Вместо этого следует предположить, что
момент количества движения равен
\S\ = ±h, B0.1)
тогда как магнитный момент равен целому магнетону Бора
Квантовая механика электрона со спином показывает, что эти
утверждения нельзя понимать буквально. Даже теория Паули
требует, что не может быть осуществлен эксперимент, позволяющий
262 Глава 20
определить направление (в частности, направляющие косинусы)
механического или магнитного моментов. Возможно лишь различить
между одним направлением и противоположным ему. Следовательно,
вопрос о вероятности различных пространственных направлений
спина не имеет смысла, т. е. не может быть решен с помощью
эксперимента; измерена может быть лишь проекция спина на какое-
либо одно направление. Такие измерения, примером которых служит
опыт Штерна — Герлаха, могут дать только два ответа: либо спин
ориентирован по рассматриваемому направлению, либо он имеет
противоположное направление. Возможными экспериментальными
результатами для проекции момента количества движения на рас-
рассматриваемое направление являются -\--к или —-=-. Если при
измерении проекции спина на ось Z получен первый результат,
то повторное измерение проекции спина на ось Z, выполненное
немедленно, с достоверностью даст направление -\-Z и не даст1—Z.
С другой стороны, измерение проекции на ось Y дает с равной
вероятностью два возможных результата: -\-Y и — К. Поэтому
важно приписать независимые вероятности всем направлениям спина;
даже в том случае, когда спин с достоверностью направлен по оси Z
/т. е. если проекция момента количества движения на ось Z с досто-
достоверностью равна -|~ у), вероятность направления -\- К равна -к-.
а для всех направлений, кроме —Z, вероятность отлична от нуля.
Спин приобретает еще более символический характер в реля-
релятивистской теории электрона Дирака, как это было подчеркнуто,
в частности, Н. Бором. Согласно этой теории (которую мы не будем
здесь обсуждать), существование магнитного момента является
целиком релятивистским эффектом, который выступает автомати-
автоматически, когда пространство и время рассматриваются как равно-
равноправные.
2. В теории Паули магнитный момент описывается дополнитель-
дополнительной координатой s в волновой функции, которая при этом при-
принимает вид Ф(д:, у, z, s). В то время как л:, у, z изменяются
от — оо до -\- оо, координата s может принимать только два
значения: —1 и -\-\. Поэтому волновая функция электрона состоит
в действительности из двух функций от х, у, г: Ф(х, у, г, —1)
и Ф(д:, у, г, 1). То обстоятельство, что переменная s (в противо-
противоположность координатам х, у, г) может принимать лишь два зна-
значения, отражает тот факт, что компонента спина, например в на-
направлении Z, может иметь лишь два значения \-\--n и —-^-1,
тогда как координаты, определяющие положение, могут принимать
все значения от —оо до -)-оо
Спин электрона 263
Скалярное произведение двух функций от х, у, z и s опреде-
определяется как непосредственное обобщение скалярного произведения,
которое мы видели выше. Скалярное произведение двух функ-
функций ср(х, у, z) и g(x, у, г) было определено как предел суммы
2 <Р(*. У. z)*g(x, у, г),
х, у, г
где суммирование должно распространяться на всю область от — оо
до -f-oo. Аналогичным образом, скалярное произведение Ф (х, у, z, s)
и О(х, у, z, s) равно
2 2 Ф(*. У, г, sfQ{x, у. z, s), B0.2)
s=±l х, у, г
где суммирование снова производится по всей области изменения
переменных. Переходя к пределу, получаем
(Ф, °)—^ J j j ф(х. У, z, s)*G(x, у, z, s)dxdydz =
:1 —оо
ОО
(*. у, z, —\УО(Х. у, z, -l)-f-
+ Ф(*. у, z, l)*G(x, у, z, \)\dxdydz. B0.3)
3. Величины, зависящие только от пространственных коорди-
координат, остаются важным специальным классом физических величин.
Эти величины — как координата X или скорость — имеют также
смысл в теории, вовсе не рассматривающей спина. Опыты, в кото-
которых измеряются эти величины, мы будем называть „бесспиновыми".
Сами эти величины соответствуют в теории Паули операторам,
действующим только на декартовы координаты х, у, г, так что
спиновая координата может рассматриваться как параметр.
Уточним понятие оператора, действующего только на некоторые
из координат. Всякий оператор X, который может быть применен
к функции /'(?) одной переменной % (как, например, дифферен-
дифференцирование по ?), может быть применен также к функции двух
переменных, так как любая функция Р(Ь, о) двух переменных
может рассматриваться как семейство функций лишь одной пере-
переменной %\ для каждого конкретного значения а функция F (?, а)
является функцией только ?*). Если оператор X применяется
ко всем этим функциям от ?, то для каждого значения а получается
другое семейство функций от ?. Это семейство образует тогда
') Под 5 мы подразумеваем здесь тройку координат х, у, г,
а под а — спиновую координату s.
264 Глава 20
функцию X^CS, о). Утверждение о том, что X действует только
на k, означает таким образом, что значение функции XF в точке ?, а
зависит только от значений функции F (?', о') при а' = а.
Пусть Ч?й (х, у, z, s) — собственная функция оператора Н,
действующего только на х, у и г. Если Xft является соответствую-
соответствующим собственным значением, то функция от х, у, z, s
И\(х, у, z, s) — \hWk(x, у, z, s) = 0 B0.4)
должна обращаться в нуль; иначе говоря, должны обращаться
в нуль обе функции этого семейства (s —-(-1 и $ = —1):
Wk(x, у, г, -1) — ХДй(лг, у, z, -1) = 0,
HWft(x, у, z, +1)-ХДй(х, у, z, +1) = 0.
Если при данном Xft уравнение
имеет только одно решение, то как ^(лг, у, z, -\-l), так и
Wk(x, у, z, —1) должны быть кратными ф^(х, у, гI):
Ук(х' У. z> —l) = u-ih(x- У. z)< wh(x> У. z> 1) = 1*1ЫХ- У. 2).
B0.5)
Wk(x, у, z, s) = ustyk(x, у, z).
Независимо от того, как выбраны и_1 и их, ustyk(x, у, z)
остается собственной функцией оператора Н, принадлежащей соб-
собственному значению Xft. Это показывает, что введение спиновой
координаты s превратило собственное значение Xft в двукратно
вырожденное собственное значение, которому принадлежат две
линейно независимые и взаимно ортогональные собственные функции
*»_ = 8Л _,<!»»(*. У. z), B0.5а)
т*+ = 8*. »**(*• У- •*)• B0-56)
Скалярное произведение Wk_ и Wk+ действительно обращается
в нуль, так как один из множителей в каждом члене подынтеграль-
подынтегральной функции B0.3) равен нулю.
Собственные функции
') Сначала могло бы показаться несколько странным, что s выступает
в качестве переменной в левой части этого равенства и в качестве
индекса — в правой; но это лишний раз подчеркивает то обстоятельство,
что всякая функция х, у, г и s может рассматриваться как соответствие
между функцией от х, у и г и каждым значением ?.
Спин электрона 265
соответствуют возможным результатам двух измерений, выполняемых
одновременно: а) измерения величины, отвечающей оператору Н
и б) измерения Z-компоненты спина. Для Wk_ значение первой
величины с достоверностью равно \k, а спин с достоверностью
имеет направление —Z, тогда как для \Pft+ первая величина
по-прежнему с достоверностью равна Xft, но спин имеет направле-
направление -\-Z, т. е. вероятность обнаружить его в направлении —Z
равна нулю. В общем случае, если волновая функция равна
Ф = в1ЧГ,_+22_ + 33_ + + W1+ + 22++33+
B0.6)
вероятность того, что Н имеет значение Xft и что спин одновре-
одновременно имеет направление — Z, равна | ak p, а вероятность значе-
значения Xft для Н и направления спина -f-Z равна \bk\2.
Инвариантность описания относительно пространственных
вращений
4. При описании электрона волновой функцией, зависящей от s,
оси Z отдается предпочтение перед всеми направлениями, даже
перед двумя другими осями координат. Поэтому совершенно не-
необходимо исследовать здесь вопрос о том, как изотропность про-
пространства сохраняется при этом описании, т. е. какую волновую
функцию О/?Ф припишет состоянию Ф второй наблюдатель, если
он описывает физическую систему и все величины точно таким же
образом, как и первый, за исключением того, что он пользуется
системой координат, повернутой относительно системы коорди-
координат первого наблюдателя. Пусть относительное расположение двух
систем координат таково, что координаты точки х, у, z во второй
системе равны
yzz = /,
(R является вещественной ортогональной трехмерной матрицей
с определителем 1.) Функция О#Ф может быть определена как
волновая функция, приписываемая состоянию Ф вторым наблюда-
наблюдателем, или как волновая функция первоначального состояния Ф,
повернутого с помощью преобразования R, и обнаруживаемая
первым наблюдателем.
Если бы волновая функция зависела только от пространствен-
пространственных координат частиц, оператор О/? был бы просто точечным
преобразованием Р^ (см. гл. 11):
, /, z') = <f(x, у, г\ B0.7)
266 Г лава 20
Равенство B0.7) утверждает просто, что волновая функция Р#ср
для второго наблюдателя в точке х', у', г' принимает то же самое
значение, что и волновая функция для первого наблюдателя
в точке х, у, z. Это должно быть верно, так как точку х, у, z
второй наблюдатель называет х', у', z'.
При включении спиновых координат, наряду с пространствен-
пространственными, преобразование О я не может оставаться просто точечным
преобразованием, так как s нельзя подвергнуть точечному пре-
преобразованию. По этой причине Or будет более общим оператором,
чем Р/?. Предположим, что существует система операторов Or
(каждому вращению R принадлежит некоторый оператор О;?),
и попытаемся найти его, исходя из основных предположений теории
Паули и требования равноправности наблюдателей, связанных
с различными системами координат. Мы найдем, что существует
только одна система операторов, удовлетворяющих этим
условиям. Ее определение позволит сделать важные заключения
о свойствах электрона со спином.
5. Описание второго наблюдателя, который приписывает состоя-
состоянию Ф волновую функцию О/?Ф, должно быть вполне эквивалент-
эквивалентным первоначальному описанию. В частности, оно должно давать
те же самые вероятности переходов между двумя произвольными
состояниями ? и Ф, какие даются первым:
B0.8)
Здесь важно заметить, что, хотя состояние Ф, которое пред-
представляется как состояние О«Ф для наблюдателя, связанного с по-
повернутой системой координат, задано полностью указанием его
волновой функции, волновая функция второго наблюдателя для
этого состояния не определена однозначно. Она может быть умно-
умножена на произвольную постоянную с, имеющую абсолютное зна-
значение 1, так как волновые функции О#Ф и сО#Ф описывают
одно и то же физическое состояние. Это означает, что оператор О;?
не является однозначным — для всякой функции Ф в О;? имеется
свободный множитель. Будет показано (см. приложение в конце
настоящей главы), что этим произволом в Or можно воспользо-
раться так, чтобы для всех 47 и Ф имели место соотношения
(W, Ф) = (О*ЧГ. О*Ф) \
и } B0.8а)
O4r + OTr) O? j
{а и Ъ—постоянные); иначе говоря, так, чтобы О/? стал линейным
оператором. Тогда два способа описания — один для наблюдателя
в первоначальной системе и другой для наблюдателя в повернутой
системе координат — отличаются только каноническим пре-
преобразованием, что обеспечивает их полною физическою эквива-
Спин электрона 267
лентность. Второй наблюдатель воспринимает состояние с волновой
функцией Ф как О#Ф; величине, которая соответствует опера-
оператору Н для первого наблюдателя, соответствует оператор ОяНО/?1
с точки зрения второго наблюдателя.
Наоборот, требование B0.8а), чтобы Or был линейным уни-
унитарным оператором, определяет постоянную сФ однозначно для
всех волновых функций, кроме одной. Если сО/?Ф подставить
вместо волновой функции О#Ф, то для сохранения в силе соот-
соотношений B0.8а) все волновые функции должны быть одновременно
умножены на с. Чтобы убедиться в этом, подставим сО/?Ф
вместо О/?Ф в B0.8а), оставив неизменной, скажем, O/jT; тогда,
если B0.8а) должно выполняться для этой новой системы, то
откуда вместе с B0.8а) следует, что с=1. В дальнейшем мы
всегда будем выбирать функцию О/?Ф так, чтобы B0.8а) выпол-
выполнялось; тогда для всех волновых функций О/?Ф (где R — заданное
вращение) остается свободной лишь одна константа. Эта кон-
константа может, однако, зависеть от R.
6. Рассмотрим теперь два состояния ?_ = ф(л;, у, z)bs, _x и
ЧГ+ = ф(;е, у, з)8л+1. Для „бесспиновых" опытов оба эти состоя-
состояния ведут себя так, как если бы их волновые функции были
равны ф(х, у, г). Поэтому пока рассматриваются „бесспиновые"
опыты, для наблюдателя в повернутой системе координат они
представляются как состояние с волновой функцией Рдф(х, у, г).
Поэтому, согласно B0.5), волновые функции О^_ и О?ЧГ+
должны иметь вид
О А, -1Ф (X, У, 2) = ПЛ _!Р/?ф (*• У- г),
Ф(*. У. 2) = nftlP*"Kx. У, z), ( • '
где \xSi _! и aSi j не зависят от х, у, г и на данном этапе могут
быть различными для разных ф. Однако, если ср является состоя-
состоянием, отличным от ф, для которого справедливо соотношение
, У, г),
то из линейности оператора О# следует, что
О Л. -1 (Т + Ф) = я*. -
В силу линейной независимости Р/?ср и РЛф отсюда следует, что
»,.-1=Й*-1 = <»„_,.
268 Глава 20 >
Аналогичным образом,
Таким образом, величины и^ одинаковы для всех волновых функ-
функций, а матрица и = и (R) может зависеть только от вращения R.
Если Ф(х, у, z, s) является произвольной волновой функцией
Ф(х, у, z, s) = bSt_vO(x. у, г, — 1) + 8л1Ф(*. у, г, 1), B0.10)
то из линейности оператора О/? и соотношений B0.9) снова сле-
следует, что
У, г. в) = ОА.-1ф(*. У- г. —0 + ОЛ.1ф(*. У- г> {) =
= и,,-1р/?ф(*. У- г. —1) + и„1РЛф(*. У. г. О.
B0.11)
О^Ф(х, у, г, s)= 2 и^Р/?ф(л, У, 2, О-
Таким образом, оператор О# может быть разбит на два мно-
множителя:
Оя-ОяР;?. B0.12)
Оператор Р# является обычным оператором преобразования, опре-
определенным равенством B0.7), и действует только на пространствен-
пространственные координаты волновой функции; оператор Q# определяется
равенством
ОДФ (х, у, г, s) = 2 и (R)st Ф (х, у, z, t) B0.12а)
и действует только на спиновую координату s. Поскольку область
изменения s состоит только из двух точек -\-\ и — 1, B0.12а)
показывает, что оператор Q# эквивалентен двухрядной матрице:
: ;) <2олз)
Операторы Р и Q коммутируют; поэтому для двух произвольных
вращений /} и 5 имеем
P5Q/? = QffP5 B0.Н)
и, в частности,
Возможность разбить оператор О# на два множителя Р/? и Q^
опирается главным образом на предположение о том, что суще-
существуют „бесспиновые" опыты, которые могут быть описаны волно-
ой функцией, зависящей только от л;, у и г. Это предположение
Спин электрона 269
отбрасывается в релятивистской теории Дирака, и в последней
теории О;? не может быть разбит на два множителя, удовлетво-
удовлетворяющих B0.14), если R представляет переход к движущейся
системе координат.
Связь с теорией представлений
7. Из унитарности операторов О# и Р# (и, следовательно,
также Р^1) следует, что оператор Q#= OpPj?1 должен быть
унитарным. Поэтому для любых функций Ф и!
(О?Ф, ОЬгТ) = (Ф. Щ- B0.15)
Отсюда следует, что матрица u(R) должна быть унитарной. Если
положить Ф = 8^ф и Ч7 = 8^ф, то, согласно B0.3) (если ф норми-
нормирована), (Ф, Ф") = 8„. Поэтому в соответствии с B0.15) и B0.12а)
имеем
S=±l — со S=±l
Но это равенство и является в точности условием унитарности
матрицы и.
Кроме того, поскольку О# определяется физическими требова-
требованиями и соотношениями B0.8а) лишь с точностью до постоянного
множителя с абсолютной величиной 1, зависящего от R, можно
заменить О/? на с#О/?, не меняя физического содержания теории
и не видоизменяя соотношений B0.8а) (где |с#|= 1). Множитель с#
может быть включен в оператор Q#, т. е. в u(R); тем самым
можно обеспечить, чтобы определитель матрицы u(R) был
равен -(-1.
Наконец, чтобы полностью определить матрицу u(R), учтем,
что О./?Ф есть волновая функция состояния Ф, повернутого на R,
а ОбО/?Ф — волновая функция этого состояния, повернутого
сначала на R, а затем на S, или в целом — на SR. Таким образом,
оператор OsOr физически полностью эквивалентен оператору Osr-
Так как он тоже удовлетворяет соотношениям B0.8а) — произве-
произведение двух линейных унитарных операторов снова линейно и
унитарно, — то он может отличаться от Os/? лишь постоянным
множителем:
B0.16)
270 Глава 20
Далее, в силу PSr = PsPr и соотношения B0.14), из B0.12)
следует, что
OlsrPsr = cs, rQsPsQrPr, Olsr — cs, rOlsOlr
или, с учетом B0.12а),
2 u (SR)st Ф (x, y, z, 0 = e5> Л 2 2 "(S)sMK)rt ф (*. У. *. 0.
/=±l r=±l /=±1
u E/?) == cStR 1 • u (S) a (R). B0.17)
Так как определители всех матриц и мы нормировали к 1,
из B0.17) следует также, что | с5># • 1 | = 1 и cs, r= ±1. Таким
образом, с точностью до знака, матрицы и(/?) образуют пред-
представление трехмерной группы вращений:
u (SR) = ± и E) и (Л). B0.17а)
Это наводит на мысль, что либо n(R) совпадает с матрицами,
которые обсуждались в гл. 15,
e-'h
!/aCOS-
'sin
1
2
¦P«
p^-Wr
,-Wt
„. . 1
—e-'i'ia sin y
e'l'lacos -к-$е
B0.
}
18)
либо по крайней мере получаются из них с помощью преобра-
преобразования подобия. Это действительно так, и в следующей главе
мы покажем, что всякая система двумерных матриц, удовлетво-
удовлетворяющих B0.17а), либо состоит из единичных матриц, либо может
быть получена из Ф^ с помощью преобразования подобия. Первая
из этих возможностей исключается, так как это означало бы,
например, что состояние, в котором спин с достоверностью был
направлен по оси Z, обладало бы этим свойством после произ-
произвольного вращения.
Матрица и может быть диагональной матрицей только для
вращений с р = 0 (которые оставляют неизменной ось Z); для
таких вращений она должна быть диагональной. Действительно,
если спин в первой системе координат имеет направление —Z,
так что Ф(х, у, г, 1) = 0, то это должно сохраниться и во вто-
второй системе координат. Но если это так, из B0.11) следует, что
ub_i = 0; аналогичным образом ц_Ь1 = 0; значит и({а00})
есть диагональная матрица. Поскольку и эквивалентна 2>'/г( {а00}),
она может быть равна либо
y либо ^ е^ыу B0.Е.2)
Спин электрона 271
Но из второго выражения следует, что в состоянии ф8Л _, момент
количества движения должен иметь направление -\-Z, а в состоя-
состоянии ф84>1— направление —Z. Мы исключаем этот выбор, так как
в этом случае волновая функция Ф(х, у, z, —s) была бы приписана
состоянию, которое мы описываем функцией Ф (х, у, z, s).
Таким образом, и( {аОО})— Ф('^( {аОО}) и унитарная матрица S,
преобразующая !?>A/2) в и, должна коммутировать с 2>A/г)( {аОО});
следовательно, она должна быть диагональной матрицей. Пусть ее
два диагональных элемента равны а а а' (|а| = |а'|= 1). Тогда
можно изменить обозначения и приписать волновую функцию
SO(x, у, z, s) состоянию, волновая функция которого ранее равня-
равнялась Ф(х, у, г, s), где
БФ{х, у, г, — 1) = аФ(х, у, г, —1).
БФ(х, у, z, \)~а'Ф(х, у, г, 1).
Это допустимо, так как до сих пор мы не придавали никакого зна-
значения комплексной фазе отношения Ф(х, у, z, —1)/Ф(х, у, г, 1).
В описании, возникающем таким путем из первоначального и
вполне эквивалентном ему, мы в каждом случае имеем
и ({а, {3, Т}) = 2>('«({а, р, Т}), B0.18а)
и мы находим, что всякое описание спина, основанное на поло-
положениях, обсуждавшихся в п. п. 1, 2 и 3, физически вполне
эквивалентно описанию, в котором волновая функция состоя-
состояния Ф, повернутого на R, равна1) О«Ф- Здесь O/?=P/?Q/?
является оператором, определенным соотношением
О/?Ф(*, у, z, s) = ^yh\R\hsXktP^{x, у, г, t) =
2A/) ,А,Ф (х", у", г!', 0. B0.19)
где х", у", г" получаются из х, у, z путем вращения R 1.
Матрицы 2D('W имеют индексы 1/2s, 1/2t, так как строки и столбцы ?)A/а)
обозначены индексами —'/г и —|—V2 вмест0 индексов —1 и -(-1
в случае матрицы и.
Пусть, например,
Ф (х, у, г, «)==(* + 1у) ехр (— г/2г0) при s = ± 1 B0.Е.З)
Функция (х -f- iy) ехр (— r/2r0) является, если отвлечься от нормировки,
собственной функцией атома водорода с N = 2, / = 1иц= + 1 [см. A7.3);
') Здесь R всегда является чистым вращением.
272 Глава 20
Рассмотрим состояние B0.Е.З) в системе координат, ось Y которой сов-
совпадает со старой осью Y, а ось Z является старой осью X. Тогда враще-
вращение R имеет вид {0, л/2, 0} и
х'=*— г, у' = у, г'—х,
а обратным преобразованием является
х"=г, у" = у, г" = —х.
Матрица $№) ({О, тс/2, 0}) равна
-1//2N
Волновая функция состояния B0.Е.З) в новой системе координат,
согласно B0.19), имеет вид
ф ^ при s = -
(х, y,z,s)=\
±( + )'/2r_LB + iy)e-rftro при s =
В новой системе координат спин с достоверностью направлен по оси + Z;
следовательно, в старой системе спин был с достоверностью направлен
по оси -\-Х.
8. Получим теперь определенные физические следствия из фор-
формул преобразования B0.19). С помощью B0.19) можно ответить
на следующий важный вопрос: каковы вероятности того, что изме-
измерение проекции спина на ось Z' приведет к результатам +Л/2
и —Л/2, если известно, что Z-компонента имеет значение -(-Л/2?
Иными словами, каково соотношение между вероятностями проек-
проекций спина на два направления Z' и Z, составляющие угол C?
Если спин ориентирован в направлении Z, то волновая функция
имеет вид Ф(лг, у, z, s) = hsly(x, у, z). Если рассматривать это
состояние с точки зрения системы координат, повернутой на {0, C, 0},
то в силу соотношения
У- z> 5) =
[так как Ф(х, у, z, —1) = 0]. используя <?)т({0, р, 0})si из A5.16),
имеем
0ф( z' — 0= со*фР(оро)ф(*' У- z> -1) —
у, z, 1) = — slnlpp^jcp^, у, г), B0.20)
г> 1) = 8»п-5-рР{оро}Ф(х. У, z, —1) +
cos 2-рр{о?о}Ф(х, у, z, 1) = со5-2-рр1о!Ю>ср(л, у, г).
Спин электрона 273
Теперь второй наблюдатель может вычислить вероятность дан-
данного значения проекции спина на ось Z', составляющей угол В
с первоначальным направлением оси Z, непосредственно пользуясь
волновой функцией О/080\Ф. Согласно B0.20), вероятность найти
спин в направлении -\-Z' дается выражением
COST
2
а вероят-
1
2
ность найти спин в направлении — Z' — выражением sin -~ В
Если вероятность определенного направления спина равна 1,
то для направления, составляющего с ним угол В, вероят-
1 2
ность равна
у р
1 2
cos-^ В . При 6 = 0 эта вероятность равна 1, как
это и должно быть при совпадении двух направлений; при В = тс/2,
когда направления взаимно перпендикулярны, она равна 1/2", при
В — тс, когда два направления противоположны, эта вероятность
равна 0.
Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких условиях сущест-
существует направление, в котором спин с достоверностью не лежит.
Пусть этим направлением будет, скажем, направление Z', так что
волновая функция О/ару}Ф в системе координат, в которой ось Z
совпадает с направлением Z', имеет вид
Сама волновая функция Ф (ради краткости будем писать
R = {а, В, т}) имеет вид
Ф(л;, у, z, s) = Од-ЮдФ = O#-i\,_,?(*. У. z) =
. У. г).
Следовательно, такое направление будет существовать только
в том случае, если Ф(х, у, г, —1) и Ф(л;, у, г, 1) различаются
лишь постоянным множителем, не зависящим от х, у, г:
(0 Е 41
Ф (х, у, г, —1) ф('Л) (#) \
Ctg
Ф (х, у, z, 1) ©0А) (/?I/i( _lh Ctg 2 Р-
Абсолютная величина и комплексная фаза этого множителя
остаются, как показывает B0.Е.4), совершенно произвольными.
То, что Ф(л;, у, z, —1) и Ф(х, у, г, 1) отличаются лишь множи-
множителем, показывает, что при одновременном измерении Z-компо-
ненты спина и произвольной, не зависящей от спина величины
вероятность для последней, в соответствии с п. 3, статистически
независима от направления спина. В этом случае всегда сущест-
существует направление — его азимут а и полярный угол В даются соот-
соотношением B0.А.4) — вдоль которого спин с достоверностью не
лежит; в противном случае такого направления не существует.
274 Глава 20
9. Следует еще обратить внимание на то обстоятельство, что
далеко идущие конкретные утверждения о поведении электрона
со спином могут быть получены на основе одних лишь требований
инвариантности и общих принципов квантовой механики, а также
некоторых весьма качественных постулатов. Только что полу-
полученные два результата, особенно результат, касающийся соотноше-
соотношений между вероятностями различных направлений спина, доступны
(по крайней мере в принципе) экспериментальной проверке.
Определение оператора Qr было дано в предположении, что
различные системы координат физически эквивалентны. Внешние
поля, нарушающие изотропность пространства, могут также при-
приводить к видоизменению операторов О/?- Разумеется, пока внешнее
поле слабо, операторы, осуществляющие переход к повернутым
осям, будут по-прежнему приближенно даваться выражением B0.19).
Однако в дальнейшем B0.19) будет считаться справедливым и при
сильных полях.
Наконец, обратим внимание на одно весьма существенное
обстоятельство в выводе B0.19), которое могло быть заслонено мате-
математическим формализмом. Это обстоятельство состоит в том, что
эквивалентность двух систем координат также влечет за собой
эквивалентность операторов QR, осуществляющих преобразование
к сходным образом повернутым системам координат.
Операторы О/? линейны и унитарны, но они не представляют
точечного преобразования, как Р#. По этой причине к ним не
применимо соотношение A1.22). Это значит, что
Кроме того, следует заметить, что вращение R соответствует не
одному, а двум операторам, О/? и — О/?, так как матрица
?)(''2)({<х, р, f}). входящая в B0.19), определяется вращением лишь
с точностью до знака. К тому же равенство Os# = OsOr не имеет
места; выполняется лишь соотношение
± B0.16а)
Нет никакой возможности произвольно опустить один из этих
операторов + О# или —О/? таким путем, чтобы B0.16а) остава-
оставалось справедливым для оставшихся операторов с одним лишь
верхним знаком.
10. Проекция спина на ось Z является такой же „физической величи-
величиной", как и пространственные координаты или момент количества движе-
движения. Тогда, согласно физической интерпретации квантовой механики, она
должна соответствовать линейному эрмитовому оператору; этот оператор
будем обозначать через Sz = (Й/2) sz. Собственными значениями опера-
оператора sz, соответствующими возможным значениям —Й/2 и + й/2 Z-kom-
поненты спина, являются —1 и +1. Собственными функциями, принад-
принадлежащими первому собственному значению, являются все функции
Спин электрона 275
W_ (х, у, z, s) = 8^, -i^ (х, у, г); они отличны от нуля только при s = —1.
Второму собственному значению принадлежат все функции 4?"+ (х, у, z, s) =
= bs,i?(x, у, г), отличные от нуля только при s = +l- Таким образом
sA, -А (•*. У, г) = — 8А _, ф (х, у, г),
sA, \Y С*. У, г) = + 8Л ,ф' (х, у, г);
для произвольных функций
Ф {х, у, z, s) = bSi _,Ф (х, у, z, -1) + 8Л ,Ф (х, у, z, 1)
мы имеем
8гФ(х, у, z, s) = sz<bs, _,Ф(х, у, г, —1) + 8Л ,Ф (х, у, г,\)) =
= - »,, _,Ф (jc, у, г, -1) + 8,, ,Ф (jc, у, z, 1),
вгФ (jt, у, г, s) = 2 tbst® (х, у, г, t) = вФ (х, у, z, s),
t=±\
в силу линейности операторов s,j.
Так как оператор sz действует только на спиновые координаты, то,
подобно Q^, его матричный вид будет
( J J). B0.21a)
Определим теперь оператор h, соответствующий Z'-компоненте спина
Для наблюдателя в системе координат, осью Z которой является Z', этот
оператор равен просто sz, поскольку для этого наблюдателя, по опреде-
определению, все операторы имеют тот же вид, что и для первого наблюдателя,
за исключением того, что они относятся к его собственной системе коор-
координат. С другой стороны, этот оператор должен получаться из h путем
преобразования с помощью оператора О^, так что
\ h = O^.s/)^
Тогда в силу B0.12) (а также в силу коммутативности Р^ с sz) следует,
что
h = V'V'8*p/?Q/?= V'8*Q*- B0-22)
Е ели для всех операторов, входящих в B0.22), воспользоваться матричной,
формой (они действуют только на s), получим
h = u (fl)f s2u (R).
Теперь из соотношения A5.11) следует, что наш оператор h совпадает
с матрицей, использованной в этом соотношении, если положить h = s2
(т. е. х' = у' — 0, г' = 1). Вектор Г = (х, у, г) в разенстве A5.11) пред-
представляет собой вектор, компоненты которого получаются из г' (с компо-
компонентами х' ~ у' = 0, z' = 1) путем преобразования R~l и, следовательно,
япляется единичным вектором в направлении Z'. Поэтому равенство
A5.10а), определяющее h, принимает вид
h = «1 $х + a2sy + a3sz, B0.22a)
276 Глава 20
где «,,«2, о3 — направляющие косинусы оси 2'. Из B0.22а) видно, что опе-
оператор Z'-компоненты спина построен из операторов компонент X, Y, Z,
определенных в A5.10),
/0 1\ /0 Л /—1 0\
8* = d о)' 8> = U о)' 8*=Ч о i)'
точно таким же способом, как и оператор ^'-компоненты координаты
(оператор умножения на ахх + а2у + a3z) образован из операторов коор-
координат XYZ. Операторы этого типа называются „векторными операторами".
Соотношение A5.11) показывает, что оператор (Иг, s) = (г', s) для
Rr-компоненты спина получается из оператора (г, s) для г-компоненты
спина путем преобразования с u(R)~l (т. е. с Q/j1).
В теории спина изложение чаще всего начинают прямо с B0.22а),
положив это равенство в основу всей теории.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Линейность и унитарность операторов вращения
Пусть Ф — волновая функция, приписанная вторым наблюда-
наблюдателем тому состоянию, которое первый наблюдатель описывает
волновой функцией Ф. Воспользуемся аналогичными обозначениями
для всех других состояний. Тогда, согласно B0.8), для всех
функций I и Ф имеем
|(ЧГ, Ф)| = |(Ф. Ф)|. B0.8')
В действительности B0.8') справедливо только в том случае,
если ЧГ и Ф соответствуют физическим состояниям и, следова-.
тельно, нормированы. В противном случае мы вообще не можем
рассматривать „второе описание" состояния Ф, так как только
нормированные Ф представляют состояния. Однако полезно опре-
определить функции Ф' и для ненормированных Ф'. А именно, поло-
положим Ф' = сф) если Ф' = аФ, причем Ф нормирована. Тогда B0.8')
справедливо для всех функций.
Кроме того, B0.8') не меняется, если умножить W и Ф на
постоянные с абсолютной величиной 1. Покажем, что эти постоян-
постоянные cv, с можно выбрать так, чтобы выполнялось не только
соотношение
|0»Г. Ф)|. B0.8)
но и соотношения
(О*ЯГ. О*Ф) = (ЧГ. Ф),
О*(лЧГ + М» = лО*ЧГ+Ю*Ф. { }
для всех с4.Ф=О^ и сфФ=О/?Ф, где а и b -*- произвольные
постоянные. Трудность в переходе от B0.8) к B0.8а) заключается
Спин электрона 277
в том, что для B0.8) требуется только равенство абсолютных
величин скалярных произведений (О/?1?, О/?Ф) и (W, Ф), тогда
как для B0.8а) нужно, чтобы фазы также были равны, причем
для всех функций одновременно.
Если функции 4Tj, ЧГ2, ... образуют полную ортогональную
систему, то тем же свойством обладают и Wv W2, .... Из соотно-
соотношения A";, Wk) = bik и B0.80 следует, что (Ш1г f k) — blk и, если
не существует функции, ортогональной всем ЧГг, то не может
существовать функции, ортогональной всем ЧГ/#
Рассмотрим теперь функции Fx, которые соответствуют функ-
функциям Fx = Wl-\-Wx при х=1, 2, 3, 4, .... Если Fx разложить
по полной ортогональной системе Wlt W2, ..., то все коэффи-
коэффициенты разложения (ЧГХ> Fx) будут равны нулю, кроме коэффи-
коэффициентов при Wj и ЧГХ, которые по абсолютной величине равны 1,
так как A\, Fx) не обращается в нуль только при X = 1 и X = х;
для этих же значений X скалярное произведение равно единице.
Таким образом, имеем
К = У,@1+ x,VJ, |у,| = |*,| = 1 (прих = 2, 3, ...). B0.23).
Выберем теперь значение одной из постоянных cw = 1 и запишем
счг=** и ср=11Ух- Тогда
_ ~ B0.24)
. Пусть теперь Ф является произвольной функцией, разложенной
по функциям ч7ч:
Ф = а^х + в,^ + в,ЧГ8 + • • • • B0.25)
Разложим Ф по полной ортогональной системе функций
Ф =
Таким образом,
I в, I = I (ОЛ, Ф) I = I (*,f,. Ф) I = 10^, Ф) I = I«»I B0-26),
и, в частности, [ всж | ===== | /хж j. Поэтому мы выберем сф = ajav так что
CV> = сфФ = ЪОгРг + «2О^2 + a'aOR4t3 + .... B0.27)
278 Глава 20
Следовательно, I ах -f- а% 2 = I а1 -\- а
а' |2
К тому же |а/| = |ах|. В действительности окажется, что а'х = а%.
Чтобы показать это, применим B0.8) к паре функций Z7* = Ч1*! + ^*
и Ф. Прежде всего мы находим
\(FX, Ф)] = |(*,+*,. ФI = |в1+в,|.
Аналогичным образом, поскольку F, и Ф отличаются от
О/?Ф только постоянным множителем с модулем 1,
. О*Ф)| =
или
Величины а'х можно исключить из этого соотношения, пользуясь
равенством а'%а[ — а%а*%, в результате чего для а'% получаем квад-
квадратное уравнение
а\а'* - (а*ах + а,<) < + а, | а% f = 0. B0.28)
Из B0.28) следует, что либо
а' = а, либо < = -^ф-. B0.29)
В первом случае для каждой функции Ф^^^^х и ^г==2*»^Гх
О*Ф = 2вхО*Фх. О/?«" = 2^ОЛ; B0.30)
а также
= 2 («в»
X
так что оператор О/? действительно является линейным. Далее
и, кроме того.
2
хХ
Оператор Or является также унитарным, тем самым соотноше-
соотношение B0.8а) доказано.
Спин электрона 279
Необходимо еще показать, что второе возможное значение а'
в B0.29) не может осуществляться. С этой целью подставим
о*2вхЧг,=2в:о*чг» B0-31)
вместо
т. е. умножим О^Ф на a*xja^ Это не может, разумеется, изменить
содержания описания.
Рассмотрим теперь две собственные функции оператора Гамиль-
Гамильтона, т. е. два стационарных состояния X —2МХ^"* и х'= 2 "х^»
X X
с различными энергиями Е и Е'. Тогда
' '' ('' ' B0.32)
будет решением зависящего от времени уравнения Шредингера.
При втором описании, в силу B0.31), функция
должна соответствовать состоянию %, а функция
= 2 «Гол
состоянию х'- В то же время энергии при втором описании по-
прежнему равны Е и Е'. Поэтому функция
B0.33)
также должна быть решением уравнения Шредингера, предста-
представляющим состояние, совпадающее с состоянием B0.32) при / = 0,
и, следовательно, представляющим то же самое состояние в течение
всех последующих моментов времени. Но это невозможно, так
как, согласно B0.31),
соответствует состоянию B0.32), которое совпадает с B0.33) при
t=hO, только в случае, если Е = Е'. Поэтому вторая возмож-
возможность в B0.29) приводит к противоречию, так что выбор вели-
величины с, использованный в B0.24) и B0.27), приводит к первой
280 Глава 20
возможности в B0.29). Отсюда следует линейность и унитар-
унитарность операторов О/?-
Таким путем мы приходим к важному результату, что два
физически эквивалентных описания — после соответствующего изме-
изменения свободных констант, волновых функций — могут быть
преобразованы одно в другое путем канонического преобразо-
преобразования. Следует, однако, заметить, что для исключения второй
возможности, соответствующей „антиунитарной" функции B0.31),
необходимо рассматривать также временною зависимость волновых
функций. Точнее, было постулировано, что если состояние Ф по
прошествии промежутка времени t превращается в состояние Ф',
то состояние Ф в течение того же промежутка времени превра-
превращается в состояние Ф'. Это предположение является оправданным
и действительно необходимым для настоящего обсуждения, но оно
окажется непригодным при рассмотрении операции „отражения
времени" в гл. 26.
Глава 21
КВАНТОВОЕ ЧИСЛО ПОЛНОГО МОМЕНТА
КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
1. В формуле преобразования предыдущей главы [см. B0.19)],
которая записывается в виде
О*Ф(*. У, z, s)= 2 SA24#)i i ,Р*Ф(*. У. г, 0 =
= 2 S)^(/?)i i Ф(^. у", г", о. Bi.i)
/=±1 js.jt
R означает чистое вращение. Если мы хотим записать волновую
функцию в системе координат, полученной из первоначальной путем
несобственного вращения, сначала можно произвести инверсию
х' = — х, У' = — у, г' = — z, B1.2)
а затем — вращение. Таким образом, остается лишь вопрос о том,
как волновая функция О/Ф состояния Ф представляется наблюда-
наблюдателю, связанному с системой координат, оси которой направлены
противоположно осям первоначальной системы.
Рассмотрим прежде всего состояние и$(х, у, z). В „бесспи-
„бесспиновых" опытах оно ведет себя для первого наблюдателя так, как
если бы его волновая функция была <|», и поэтому для наблюда-
наблюдателя в отраженной системе координат — так, как если бы его
волновая функция была Р/ф, где
Р/Ф(*.У. *) = <К—*. -У, -z). B1.2)
Следовательно, Ojtisty(x, у, z) = u's • P7<J» (x, у, z). Магнитный
момент в состоянии а$(х, у, z) имеет заданное направление. При
инверсии координат это направление переходит в противоположное,
так как магнитный момент является аксиальным вектором. Но про-
противоположное направление обозначено в новой системе координат
точно так же, как и первоначальное направление в старой системе.
Для второго наблюдателя направление спина такое же, как и для
первого, и множитель u's функции Р7ф в О,и${х, у, z) равен и$.
282 Глава 21
Мы знаем, что магнитный диполь может быть всегда заменен кру-
круговым током. Если этот круговой ток лежит, скажем, в плоскости XY~u
направлен от X к Y, то он также лежит в плоскости X'Y' и направлен
от X' к У.
Следовательно, для всех us и всех ф(л:, у, z) имеем
O/usty(x, у, z) = usP,^(x, у, z) = Piusty(x, у, z), B1.3)
с точностью постоянного множителя, который может еще зависеть
от и и ф. Но можно показать, точно так же, как это было сде-
сделано после соотношений B0.8а), что эта постоянная должна иметь
одну и ту же величину для всех и и всех ф, если мы требуем
линейности операторов О/- Поскольку О/ Уже содержит совер-
совершенно произвольный множитель, эта постоянная может быть пол-
полностью опущена. Далее, так как всякую функцию Ф (х, у, z, s)
можно записать в виде линейной комбинации функций вида
usty{x, у, z), то из B1.3) и свойства линейности операторов О/
и Р/ следует, что О/ = Pi-
О/Ф(х, у, z, 5) = Р/Ф(х, у, z, <?) = Ф(— х, —у, —z, s). B1.4)
Оператор О/, осуществляющий инверсию B1.2) системы коорди-
координат, вовсе не действует на спиновые координаты; он задается
соотношением B1.4). Мы имеем О/—1 или 0,0/Ф = Ф; таким
образом, тождественный оператор и оператор О/ образуют группу,
изоморфную группе отражений.
В соотношениях B1.1) и B1.4) мы имеем формулы преобра-
преобразования волновых функций при произвольном изменении осей.
Кроме того, эти соотношения справедливы не только для элек-
электронов, но и для протонов. Однако магнитный момент протона
гораздо меньше, чем магнитный момент электрона (масса протона
примерно в 1840 раз больше), и поэтому не так легко доступен
наблюдению, как магнитный момент, связанный со спином элек-
электрона. В дальнейшем изложении мы не будем учитывать спин ядра.
Соотношения B1.1) и B1.4) остаются также справедливыми
без существенных изменений в релятивистской теории электрона
Дирака1). Согласно последней, волновая функция состоит не из
двух функций координат Ф(х, у, z, —1) и Ф(л:, у, z, 1), а из
четырех. Наряду с s, можно ввести пятую координату s', кеторая
также может принимать два значения. Тогда для чистых вращений
соотношение B1.1) остается без изменений: s' вообще не уча-
участвует в этом преобразовании; с другой стороны, при инверсиях
два значения s' меняются местами.
2. Соотношения B1.1) и B1.4) относятся к системе, содер-
содержащей только один электрон. В случае нескольких электронов
') J. А. О a u n t, Proc. Roy. Soc, A124, 163 A929).
Квантовое число полного момента количества движения 283
волновая функция Ф(хх, ух, гъ sv .... хп, уп, гп, sn) содержит
спиновые координаты всех частиц, как и их декартовы коорди-
координаты. Скалярное произведение двух функций Ф и Q равно
=2 2 •••
i,= ±l Sa=±l S =±1 —00
X0(*i sn)dXl...dzn. B1.5)
В простой теории без спина оператор Р# действовал на все
тройки координат, притом на все одинаковым образом. Анало-
Аналогичным образом, оператор О/?, который в теории Паули осуще-
осуществляет преобразование к другой системе осей, действует теперь
на все координаты хк, yk, zk и sk точно так же, как он дей-
действует на х, у, z и s в B1.1) и B1.4). Таким образом, имеем
yjR^Kx\> У\> z\> s\ хп> Уп' zn> Sn>—
t,, .... '„ "*" ltl TS"' ~2*п
VP,,CBfi" \t 7 t Y V 7 t \ O\ fi\
Лг^* v-*i» i>i' *i» ll> • • •> ЛП' Уп' *ni ln> \л1-и>
И
0/Ф(^1. Ух, гх. sx дгя, yn, zn, sn) =
= Ф(—х1г —ух, —zv sx — хп, —уп, —zn,.sn). B1.7)
Оператор О/? является произведением операторов Р# и Q#, пер-
первый из которых действует только на декартовы координаты:
Р*ФD. У'х' ZV Sl Х'п> Уп- Z'n> Sn) =
Ф/V \t 7 с у \t У С Ч ^91 fia^
^— т»= \Л1| • 1* 1» 1* * * • » л' J^/I» Л" tl)* V •vd^
Здесь Xj, y^, 2j получаются из xft, yft, 2fe путем вращения R.
Второй оператор действует только на спиновые координаты:
V-*/c ^ Jt У\* 1* 1* • • •» л* -'Я1 Л* Л'
=.S.-...S ^j\r)± lt...^T\R)ls Lt x
У1. «i. ^i *„. У». *„. U- B1-66)
Поскольку система спиновых координат может принимать 2" раз-
различных наборов значений, оператор Q# эквивалентен 2"-мерной
матрице; ее строки и столбцы нумеруются п индексами, причем
2
284 Глава 21
каждый индекс может иметь значения +1, соответствующие двум
возможным значениям спиновых координат. Матричной формой Q/j
является
а*=©(*) (/?) х ъ^ (ю х • •. х s>(») (R). B j 6в)
Все операторы Р коммутируют с операторами Q#:
PsQ/? = Q/?Ps
и, в частности, B1.8)
PQ
Кроме того, оператор Oi=P/ коммутирует со всеми РЛ и, сле-
следовательно, в силу B1.8), со всеми O/?t где R— любое чистое
вращение.
Операторы Q# определяются вращением лишь с точностью
A)
до знака, так как ?^2'(/?) имеет свободный знак. Для четного
числа электронов эту неоднозначность можно устранить условием,
A)
чтобы все !С^2'(/?) в B1.6) и B1.6в) брались с одним и тем же
знаком. Для нечетного числа электронов оператор Q# невоз-
невозможно сделать однозначным.
3. Если мы переходим сначала к координатной системе, повер-
повернутой на R, а затем — к системе координат, повернутой относи-
относительно этой последней на S, то волновая функция Ф преобра-
преобразуется сначала в О#Ф> а затем — в ОзО/?Ф- Но переход к той же
самой системе координат осуществляется одним вращением SR.
В этом случае получается волновая функция Os# Ф» которая
может отличаться от ОзО/?Ф лишь постоянным множителем. Далее,
поскольку OsOr и Osr линейны и унитарны, этот множитель
одинаков для всех волновых функций и может зависеть только от
вращений S n R:
O5*=«5,*O5(V B1.9)
Поскольку преобразование к иной системе координат всегда
можно выполнить с помощью линейного унитарного оператора,
соотношение B1.9) не использует никаких специальных предполо-
предположений теории Паули и является необходимым следствием инвариант-
инвариантности системы уравнений относительно пространственных вра-
вращений. В конце этой главы мы проведем дальнейшее исследование
этого равенства и получим ряд следствий, которые должны выпол-
выполняться в любой квантовой теории.
Квантовое число полного момента количества движения 285
Соотношение B1.9) можно, разумеется, проверить вычислением.
Прежде всего в силу B1.8)
OsOn = PsQsP/?Q/? = PsPa-QsQ* = Ps/?QsCU?.
Для четного числа электронов матрицы B1.6в), представляю-
представляющие собой матричный вид операторов Q, образуют однозначное
представление группы вращений, так что QsQ/? = Qs# и мы
имеем
ОЮ ч = Ps/?QsQ/? = Ps/?Qs/? = O5/?. B1.1 Оа)
В этом случае в B1.9) cSR= 1 и операторы О/? образуют группу,
изоморфную группе чистых вращений. Следовательно, в этом слу-
случае можно определить функции, которые по отношению к опера-
операторам 0# принадлежат одной строке некоторого неприводимого
представления или просто некоторому неприводимому предста-
представлению группы вращений.
Для нечетного числа электронов матрицы B1.6в) образуют
двузначное представление группы чистых вращений; поскольку
QsQ*=±Gb*.
ОЮ* = Ps/?QsQ/? = ± Ps/?Qs* = ± Os/?- B1.1 Об)
Постоянная cs = + 1 в B1.9), и операторы О/? уже не изо-
изоморфны группе вращений. В силу двузначности операторов Q#
каждому вращению соответствуют два оператора -\- О/? и — О/?-
Так как в гомоморфизме унитарной группы 1) на группу вра-
вращений каждому вращению соответствуют две унитарные матрицы
и'= ф('/г) (R) и и = — Ф(''!)(/?), можно попытаться установить одно-
однозначное соответствие между О и и. Это можно осуществить,
если каждому и сопоставить Ou —Qu-P#u И принять, что
и X и X • • • X и является матричной формой оператора Qu в соот-
соответствии с B1.6в), тогда как Ru является вращением, соответ-
соответствующим и в гомоморфизме. Тогда каждый оператор Qu одно-
однозначно соответствует одной матрице и. Так как вращения /?„ также
однозначно соответствуют матрицам и, то тем же свойством обла-
обладают и операторы Р#. Кроме того, из соотношения
(иХ"Х ••• Xu)(vXvX ¦•• Xv) = uvXuvX ••• Xuv,
и из RuRv — Rav следует, что P/?UP/?V = P/?uv и поэтому
OuOv = Ouv
•) Точнее, группы двумерных унитарных матриц с определителем 1.
286 Глава 21
Таким образом, для нечетного числа электронов функции / ,,
f-j+i. •••. fj-v fj, для которых справедливо соотношение
)
B1.11)
принадлежат различным строкам представления U(') унитарной
группы. Следовательно, они удовлетворяют соотношениям, выве-
выведенным в гл. 12 для функций, принадлежащих неприводимым
представлениям любой группы.
В дальнейшем изложении вместо B1.11) всегда будем пользо-
пользоваться соотношением
Or//' = ± 2 ?>Ш (ДЬа flh B1-lla)
v-'=-j
может показаться, что B1.11) вытекает из B1.11а) лишь с точ-
точностью до знака:
Действительно, всегда выводится именно B1.11). Кроме того,
из B1.11а) следует B1.11), а не B1.116). Чтобы убедиться в том,
что нижний знак в B1.116) исключается, предположим, что он
верен. Тогда мы могли бы непрерывно преобразовать а в единич-
единичную матрицу. При этом обе части B1.116) изменяются непрерывно,
так что всюду нужно было бы сохранять нижний знак. Но для
н=1 соотношение B1.116) с нижним знаком имеет вид
что заведомо неверно, так как Oi — тождественный оператор,
который должен оставлять неизменной любую функцию. Поэтому
в B1.116) верным является лишь верхний знак. Следовательно,
B1.11а) действительно совпадает с B1.11); мы предпочитаем поль-
пользоваться формулой B1.11а), так как в ней подчеркивается значе-
значение операции О как пространственного вращения.
Пусть далее в соотношении B1.11) и — —1. Тогда О-i отли-
отличается знаком от тождественного оператора, так как Р = РЕ
является положительным, а —IX — IX ••• X — 1 в B1.6в) —
отрицательным тождественными операторами (мы имеем дело с не-
нечетным числом электронов). Тогда из B1.11) вытекает, что
UW)(—1) = —1, откуда, согласно гл. 15, следует, что /должно
быть полуцелым. Для нечетного числа электронов волновая
функция может принадлежать только нечетному представлению
унитарной группы или группы операторов Ои и, следовательно,
Квантовое число полного момента количества движения 287
двузначному представлению группы вращений. Естественно, что
для четного числа электронов появляются только регулярные пред-
представления группы вращений (или четные представления унитарной
группы).
Усложнение с двузначными представлениями возникают вследствие
того, что коэффициенты cfi в B1.9) могут быть равны как —1, так
и -f-1; операторы О, выражающие инвариантность описания
при пространственных вращениях, не образуют группы, изо-
изоморфной группе вращений, но образуют группу, изоморфную
унитарной группе.
4. В теории, учитывающей спин, оператор Гамильтона Н урав-
уравнения Шредингера НЧ?" = EW для энергии Е не является больше
просто оператором, действующим только на декартовы коорди-
координаты, как это имело место в предыдущих исследованиях. Силы,
возникающие вследствие наличия магнитного момента у электрона,
приводят к необходимости введения дополнительных членов, зна-
значение которых мы обсудим ниже. Хотя точный вид этих чле-
членов вызывает еще некоторые сомнения, ясно, что нельзя отдавать
предпочтения какому-либо направлению в пространстве, пока нет
внешнего магнитного или электрического поля; если ЧР"^ является
стационарным состоянием, то повернутое состояние Оя^р. или
Ои^ также стационарно, причем оба они имеют одинаковую энер-
энергию. Отсюда следует, что О/?^ и Ou4?V могут быть предста-
представлены в виде линейной комбинации других собственных функций
того же собственного значения:
= 2D(R) Wv или Ou4", = 2D(u)Vilfv. B1.12)
V V
Из OsOr=Osr или, для нечетного числа электронов, из
OsO/?— ± Osr (или OuOv = Ouv) можно заключить, как обычно,
что
D (S) D (/?) = D (SR), B1.13а)
или, для нечетного числа электронов,
D (S) D (Я) = ± D (SR) или D (u) D (v) = D (uv). B1.186)
Матрицы D (R) образуют однозначное представление группы вра-
вращений для четного числа электронов и двузначное представление
группы вращений (или однозначное представление унитарной
группы) для нечетного числа электронов.
Так же как и в гл. 12, можно заключить, что эти предста-
представления могут рассматриваться как неприводимые *). Для четного
') Рассматривая собственное значение как несколько случайно сов-
совпавших собственных значений.
288 Глава 21
числа электронов D (/?) могут иметь вид 2)@), 2)A), ?)B), ...; для
нечетного числа электронов они являются одним из представле-
ний 2>№). 2>(Ч ?(Ч ... (причем D(u) равны UD tt™. ttD...):
Л = 2 D(/)(/?)„,„ Ч#}. B1.12а)
2 ()„,„
I»,'
Верхний индекс этих представлений называется квантовым числом
полного момента количества движения и обозначается буквами j
или J; это число является целым для четного числа электронов
и полуцелым — для нечетного числа („чередование мультиплет-
ности"). Номер строки |л, которой принадлежат собственные
функции, и здесь также называется магнитным квантовым числом;
[). также является целым для четного числа электронов и полу-
полуцелым — для нечетного числа.
5. Пусть S — оператор, симметричный относительно О/?, т. е.
скаляр, на который не оказывает влияния изменение направле-
направления осей. Тогда мы знаем, что матричный элемент
,-Ar7 B1.14)
с двумя собственными функциями, принадлежащими различным
представлениям 2> и ф" или различным строкам одного и
того же представления, должен обращаться в нуль. С другой
стороны, если в B1.14) j = j' и jj. = jj/, to выражение B1.14)
имеет один и тот же вид при всех [д., т. е. не зависит от магнит-
магнитного квантового числа.
Теперь естественно найти аналогичные формулы для векторных
и тензорных операторов. Скалярный оператор был определен
требованием его независимости от выбора системы осей; примером
такой величины является энергия, тогда как Л'-компонента диполь-
ного момента не является такой величиной. Скалярная величина
соответствует одному и тому же оператору для всех наблюдате-
наблюдателей. С другой стороны, поскольку первый наблюдатель приписы-
приписывает оператор O/?'SO/? физической величине, которой второй
наблюдатель приписывает оператор S, должно иметь место соот-
соотношение
' B1.15)
Таким образом, симметричный оператор коммутирует со всеми
преобразованиями.
В противоположность этому, если V*. Vr Vz являются К'-,
У'-, Z'-компонентами векторного оператора, то Х-, К-, 2-ком-
Квантовое число полного момента количества движения 289
понентами этого оператора будут *)
О* V*O* = RxxVx + RxyVy + RxzVz.
O*VyO* = RyxV* + RyyVy + RyzVz. B1.16)
Or1MzOr = RzxV* + RzyMy + RzzVz-
Таким образом, V^, Vy, Уг не преобразуются по представле-
представлению 2> , как S; при преобразовании к новой системе координат
они не остаются неизменными, а преобразуются с помощью
матрицы вращения R. Далее, 2>A) как представление группы вра-
вращений эквивалентно представлению матрицами R; для дальнейших
вычислений вместо Х-, Y-, Z-компонент удобно пользоваться
компонентами:
V@)= V,, B1.17)
Для этих компонент в силу A5.34) вместо B1.16) имеем
= S &1)ЩУ°]- B1.16а)
г
В более общем случае можно рассмотреть неприводимый тен-
тензорный оператор ранга ш, определенный условием, что его 2ш -(-1
компонент Т(р) при вращении преобразуются следующим образом:
o-Rlt9)oR= 2 фи(/?)рлA). B1Л66)
(J=— Ц)
Если в B1.16) R заменить на /?"\ то в силу О/?==О^ и
3)<ш)(/?-\ = 2)(Ю)(/?); получим
Од^ 2 5D(e)(/?)l Tw. B1.16b)
') Несмотря на сходство систем A1.18а) и B1.16), они выражают
совершенно различные соотношения. Первая из них дает компоненты х'
вектора во второй системе координат, выраженные через компоненты х
в первой системе. Три соотношения B1.16) выражают векторы, напра-
направленные по осям X', У", Z', через векторы, имеющие направления Xt Y, Z.
Коэффициенты этих двух систем совпадают, так как они образуют веще-
вещественную ортогональную матрицу. В более общем случае одна из них
была бы транспонированной обратной к другой.
2СЮ Глава 21
Из этих равенств мы найдем соотношения, аналогичные B1.14),
для векторных и тензорных операт..>роз. Чтобы применить B1.16в),
подействуем унитарным оператором О/? на оба сомножителя ска-
скалярного произведения:
4;«w=W Т(р)<'7'); B1-18)
тогда получим
v a v
B1.18а)
Если аналогичную формулу для скалярных операторов про-
проинтегрировать по всем вращениям, то соотношения ортогональ-
ортогональности непосредственно привели бы к B1.14). Чтобы вычислить
интеграл от произведения трех коэффициентов вращения, который
нужен для B1.18а), запишем сначала произведение первых двух из
них с помощью A7.166):
^Подставляя это выражение в B1.18а) и используя при интегриро-
интегрировании по всем вращениям соотношения ортогональности A0.12),
получаем
)
lN)v--,N'Г*'— Zl %? Zj l™ 21'4-1 ' 'N)f,N')'->
? = l/-co| vav' J ""
Где обе части равенства разделены на Г dR. Это выражение обра-
обращается в нуль, если у' не лежит в пределах \j — ш| и j-\-w;
при \j — о) 1-СУ ^У'-Н-ш это выражение равно
7$,ц лг-/ V = «УЙ^+р. ^ 7л7; JV-y'. B1.19)
где Tnj;N'j' уже не зависит от (j., [i/ и р 5).
Эта формула является весьма общей2). Она позволяет получить
численное значение отношения Tjt}]\/.;N']'v.'ITN]y,N'j'y.' „матричных
элементов", т. е. скалярных произведений B1.18), у которых пер-
первые множители Ч7^; суть различные собственные функции одного
') Величины TNj.N,i, называются иногда приведенными матричными
елементами или „матричными элементами с двойной чертой" и записы-
записываются в виде (Nj\\T\\N'j').
г) В такой общей форме формулу впервые получил Эккарт
[С. Eckart, Rev. Mod. Phys., 2, 305 A930)].
Квантовое число полного момента количества движения 291
и того же собственного значения, операторы — различные ком-
компоненты одного и того же неприводимого тензора, а вторые мно-
множители ЧГ?/; —собственные функции также одного и того же
собственного значения (которое может отличаться от собственного
значения для функций Ч^р. ).
Вернемся к случаю векторных операторов, полагая в B1.19)
о)=1. Пользуясь таблицей коэффициентов векторного сложения
на стр. 231, мы получаем формулы, аналогичные B1.14), для
векторных операторов:
V<NJV-; N'j-1v.+1 — Vj — V- — iVj — 1* VNj; N'J-l-
j; M'J.
B1.196)
vi N4 n-i = K/ + + 1 VT=j V
B1.19b)
Все не перечисленные здесь матричные элементы векторных
операторов обращаются в нуль; элементы с j = j' = Q также
равны нулю. Разумеется, из общих соображений нельзя определить
y.Nj-,N')'- В то время как матричные элементы скалярного опера-
оператора равны нулю, если квантовые числа полного момента коли-
количества движения или магнитные квантовые числа различаются
U и у, и (или) ]а и |л'], эти квантовые числа могут отличаться
на 1 в случае векторных операторов.
При выводе формул B1.19) не делалось никаких предположений
о конкретном виде операторов О^; поэтому формулы B1.19) должны
оставаться справедливыми и в теории, не учитывающей спина, если заме-
заменить Од на Р^ и квантовое число полного момента количества движе-
движения j на орбитальное квантовое число I. Действительно, мы уже не раз
приходили к выводу об обращении в нуль матричных элементов вектор-
векторных операторов. Например, умножение на
представляет три компоненты векторного оператора, и мы нашли, что
вероятность радиационного перехода из состояния ф^ в состояние ф?,
которая определяется матричными элементами
и т. д.
292 Глава 21
обращается в нуль, если разность орбитальных квантовых чисел состоя-
состояний фр и ф? не равна 0 или ± 1. Далее мы видели, что магнитное кван-
квантовое число не меняется, если свет поляризован по оси Z(p = 0), и
меняется на ± 1, если свет поляризован в направлении оси X или оси У.
Дополнительный член в уравнении Шредингера, обязанный наличию
магнитного поля &6Z в направлении оси Z,
~V ~ 2тс L'tyi 2
является Z-компонентой векторного оператора. В этом случае мы уже
фактически вычислили матричные элементы VNl .mVu. Средняя из фор-
формул B1.196) показывает, что они должны быть пропорциональны маг-
магнитному квантовому числу ц. Мы нашли также, что множитель пропор-
пропорциональности не зависит or N и I и равен efi<$tfz/2mc.
Формула B1.19) является в определенном смысле аналогом
формулы A9.6), в которой в явном виде выражена зависимость
собственных функций от ориентации я-лучевика конфигурации.
Последние сочетают в одном равенстве, по крайней мере в случае
бесспиновой теории, всю информацию о волновой функции, кото-
которую дает вращательная симметрия системы. Как в элементарной
теории, так и в теории с учетом спина формула B1.19) включает
всю информацию о матричных элементах, которую можно
получить из вращательной симметрии, причем без использования
какого-либо приближения.
6. Интересно отметить *), что существование квантового числа
полного момента количества движения, а также равенства B1.19)
следуют уже из весьма общего соотношения B1.9), за исключением
того, что B1.9) не позволяет решить; является,ли число j целым
или полуцелым. Нельзя ожидать решения этого вопроса на основе
B1.9), так как число электронов не входит в это соотношение.
Если использовать соотношение B1.9) для выяснения поведения
B1.13) матриц D при умножении, то вместо B1.13) получается
только тот результат, что матрицы D(R), определенные в B1.12),
D (SR) = cSi jP E) D (/?)!, B1.20а)
образуют с точностью до множителя представление группы
вращений. Однако тождественный элемент по-прежнему представлен
единичной матрицей. Сейчас мы покажем, что, умножая каждую
матрицу D(/?), удовлетворяющую соотношению B1.20а), на соот-
соответствующим образом выбранное число cR, можно получить систему
') Оставшаяся часть настоящей главы не существенна для понимания
последующих глав.
Квантовое число полного момента количества движения 293
матриц D (R) = c^D (R), которые образуют представление унитар-
унитарной группы, т. е. для которых
D (S) D (R) = ± Б (SR). B1.20)
Поэтому, согласно гл. 15, эта система матриц с помощью
преобразования подобия может быть расщеплена на представления
55(О), 2>('w, 2>A). Это означает, что такой набор матриц, к кото-
которому сразу приводит соотношение B1.9), дает в сущности одно-
однозначные и двузначные представления, рассмотренные в гл. 15.
В частности, набор двумерных матриц, удовлетворяющих соотноше-
соотношению B0.17), содержит либо только постоянные матрицы (если он содер-
содержит ф'°) дважды), либо эквивалентен представлению ф'1'2', как мы заклю-
заключили в предыдущей главе.
Сначала образуем представление D (R) = cRD (R) из D(R) и
выберем с„ равными (— 1/Х)-й степени определителя матриц D(R).
Здесь X — размерность матриц D (R). Это приводит к тому, что
I|
= l. B1.21)
Значения постоянных с„ и элементы матриц D(R) не определены
еще однозначно, а лишь с точностью до Х-значного корня сте-
степени X из единицы, ш. Таким образом, каждому элементу группы R
соответствуют X матриц, а именно все матрицы, кратные D (R)
и имеющие определитель 1.
Если D (S) умножить на D (R), то получается D (SR). В силу
B1.20а), это произведение кратно любой матрице D (SR); его опреде-
определитель является произведением определителей матриц D (S) и
D (R), равным 1.
Из представления D (R), определенного с точностью до
множителя, мы получили многозначное, точнее, Х-значное
представление; произведение всякой матрицы D (S) на всякую D (R)
дает некоторую матрицу D(SR).
Можно попытаться уменьшить эту многозначность представле-
представления, выбирая и сохраняя одну из X матриц D(#) и опуская осталь-
остальные. Естественно, что это можно сделать не произвольным обра-
образом, а лишь таким путем, чтобы любая из оставленных матриц
D (S), будучи умноженной на любую другую из оставленных
матриц D (R), давала бы снова одну из оставленных матриц D (SR).
294 Глава 21
Следуя методу Вейля *), мы положим в основу этого отбора свой-
свойства непрерывности представлений.
Если S и S'—два соседних элемента группы (S—S'), то для
первоначальной формы D (R) мы должны бы иметь
D(S)~D(S') и |D(S)|~|D(S')|.
Из последнего соотношения следует, что X значений чисел с„
являются попарно соседними со значениями с$1. В то же время
X матриц D (S) являются попарно соседними с X матрицами D E'),
притом так, что какая-либо матрица D(S) является соседом одной
и только одной матрицы D (S'), тогда как остальные X — 1 матриц
существенно отличны, поскольку они получаются из первых путем
умножения на число, существенно отличающееся от единицы (ко-
(корень степени X из 1).
Если соединить тождественный элемент ? = 5@) с элементом
S —S(l) непрерывной линией S(t) в пространстве параметров,
то можно потребовать, чтобы матрицы D(S(t)) пробегали непре-
непрерывную последовательность. Тогда, отправляясь от DE@)) =
= б (?) = 1 и следуя вдоль заданного пути S (t), можно получить
только одну из X матриц DE). Мы обозначим ее через D(SM(/).
Если путь S(t) деформируется непрерывным образом, а конечные
точки его остаются фиксированными, то D (S)s . никак не меняется,
ибо эта матрица может измениться только непрерывно при непре-
непрерывной деформации пути, тогда как переход к другой матрице
D (S) обязательно повлек бы за собой скачок.
Произведение D(<SM(/. • D(/?)™> является одной из матриц
D (SR), которая также получается непрерывным образом из D (?)== 1.
Соответствующий путь проходит сначала от Е вдоль S(t) к S;
при этом D (Е) — 1 переходит непрерывно в D (S)s,.; затем путь
идет к SR по точкам S • R (t), причем D (S)s^ = D EMW • 1 пере-
переходит непрерывно в Q(S)s{f)b(R)RVy проходя через матрицы
,m • D (R)R m = D (SR)S (tl S.R m. B1.22)
Если все пути от Е к S могут быть деформированы непрерывным
образом один в другой, то пространство параметров односвязно
') Н. W е у!, Math. Zs., 23, 271; 24, 328, 377, 789 A925); V. S с h r e i e r,
Abhandi. Math. Seminar Hamburg, 4, 14 A926); 5, 233 A927).
Квантовое число полного момента количества движения 295
и существует одна-единственная матрица D (S) = D (S)S(ty кото-
которую можно получить непрерывным образом из D (Е) = 1 = D (Е).
Следовательно, матрицы D (S) образуют однозначное предста-
представление группы.
Если пространство параметров многосвязно, то существуют
два или более пути S1 (t), S2 (t) которые не могут быть
деформированы один в другой непрерывно; соответствующие ма-
матрицы D(S)S](((), .... D(S)S (t), ... могут отличаться друг от друга.
Представление может быть тогда столь же многозначно, сколько
имеется путей от Е к S, которые не могут быть деформированы
один в другой.
7. Соотношение B1,22) наводит на мысль, что вместо исход-
исходной группы следует рассматривать „покрывающую группу", кото-
которая имеет столько элементов <SO ,.., So ,Л, ... для каждого эле-
мента S первоначальной группы, сколько существует путей Sj (t),
S2(t), ... от ? к S, которые не могут быть деформированы один
в другой !). Правило умножения для этой покрывающей группы
имеет вид
Sstw RRk(t) = SRSl{t), ^м. B1.22а)
Согласно B1.22), матрицы Q(S)S ,t) образуют регулярное одно-
однозначное представление покрывающей группы. Отсюда следует, что
представление .непрерывной группы, определенное с точностью
до множителя, можно преобразовать в регулярное представле-
представление покрывающей группы путем умножения на соответствую-
соответствующим образом подобранные числа. Если известны все представления
покрывающей группы, то известны также и все представления
(с точностью до множителя) исходной группы.
Фиг. 12. Любой элемент группы вра-
вращений может быть достигнут от то-
тождественного элемента: либо (/) по
непрерывному пути без скачков, либо (//)
по непрерывному пути, включающему
скачок из некоторой точки в противо-
противоположную ей. Эти два типа путей не
могут быть деформированы один в дру-
другой.
Пространство параметров (см. фиг. 1 на стр. 110) трехмерной
группы чистых вращений двусвязно. Произвольной точки можно
достичь от Е либо непосредственно (/) (фиг. 12), либо путем
скачка к противолежащей точке (//), причем эти два пути нельзя
') Рассматриваемая здесь группа называется также группой Пуанкаре.
296
Глава 21
деформировать один в другой. (Скачок к противолежащей точке
не рассматривается в качестве разрыва линии пространства пара-
параметров, так как противоположные точки соответствуют одному
и тому же вращению.) С другой стороны, путь с двумя скачками
к противолежащим точкам уже можно преобразовать в путь без
скачков, если преобразование выбрать так, чтобы рассматриваемые
два скачка вместе компенсировали один другой (фиг. 13).
Фиг. 13. Путь, включающий два скачка в про-
противоположные точки, можно непрерывно дефор-
деформировать в путь, не имеющий таких скачков,
если совместить два скачка, как это показано
на схеме.
Таким образом, покрывающая группа имеет вдвое больше эле-
элементов, чем группа вращений; следовательно, она изоморфна
группе матриц %>'!*(R). Будучи двузначным представлением группы
вращений, это представление является регулярным для покрываю-
покрывающей группы, притом точным, так как каждому вращению сопо-
сопоставляются две матрицы ± ?>('w (R), отличные одна от другой и от
всех других 2>A/2)(S).
Матрицы &!'(R) образуют унитарную группу; она является,
следовательно, покрывающей группой трехмерной группы вращений.
Ее представления^ можно разбить на tt@), U('w, ..., и соответ-
соответственно матрицы D (R)=cJ) (R) можно разложить на ± ?>@), ± 2)('/г)>
± 2) , .... Если считать, что матрицы D (R) находятся в при-
приведенном виде (для этого нужно лишь преобразование к новой
Квантовое число полного момента количества движения 297
системе линейно независимых функций), то для этих функций
получаем
2 ®и) <Ч ^ B* •
причем У можно рассматривать как квантовое число полного момента
количества движения собственныхфункцийЧ!'(./},Ч!'1./}+1, ....W^ij. ЧЗ"'/'.
Хотя соотношение B1.126) не вполне эквивалентно равенству
B1.12а), оно позволяет.вывести большинство правил для полного
квантового числа J.
Глава 22
ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРАЛЬНЫХ
ЛИНИЙ
1. В гл. 18 мы вывели правила отбора для орбитального кван-
квантового числа, четности и мультиплетного числа в том виде, как
они возникают в теории, не учитывающей спин. Если учесть силы,
возникающие вследствие наличия спинового магнитного момента
электрона, то эти правила уже не будут точными, так как они
опираются на предположение о том, что P#W является собствен-
собственной функцией оператора энергии, принадлежащей тому же соб-
собственному значению, что и W. (Состояние P^W предполагалось
тождественным с точностью до вращения состоянию 43".)
Теперь мы знаем, что при учете спина не оператор Р%, а О/?
осуществляет вращение состояния; Р# поворачивает только про-
пространственные координаты системы. В соответствии с этим РдЧГ
была бы собственной функцией оператора Н только в том случае,
если бы оператор Н не зависел от спина. В действительности,
в Н появляются также члены, связанные со спином, так что функ-
функция Р^ЧЗ" не является собственной функцией оператора Н для соб-
собственного значения, отвечающего функции W, и поэтому не может
быть записана в виде линейной комбинации собственных функций,
принадлежащих этому собственному значению. Следовательно, при
учете спина собственные функции не принадлежат какому-либо
представлению группы вращений, связанному с операторами Рг,
и понятие орбитального квантового числа уже не имеет erporoi о
смысла. Только тогда, когда члены, связанные со спином, малы,
и можно получить в хорошем приближении решения действитель-
действительного уравнения Шредингера даже при пренебрежении ими, что
зачастую законно, понятие орбитального квантового числа (и муль-
мультиплетного числа) имеет смысл, и только тогда верны правила
отбора, выведенные в гл. 18. Ниже мы изложим все это точнее.
Вычисления, выполненные в гл. 18 с помощью операторов Р,
могут быть проведены также при использовании О вместо Р.
Поскольку инвариантность гамильтониана относительно операций
относится ко всем его членам, то голучаемые при этом результаты
будут точными. Операторы О/?, соответствующие вращениям,
Тонкая структура спектральных линий 299
коммутируют с оператором инверсии О/, и оба они коммутируют
с операторами Ор, переставляющими все четыре координаты двух
или более электронов:
OpW(^. ущ. za, sai \'У«п>\'\) =
= xS(x1, ylt zv sv хп, уп, гп. sn) B2.1)
Г здесь Р есть перестановка ( ' " ) • Полная группа сим-
симметрии является прямым произведением группы О%, описывающей
вращения, на группы отражений и перестановок. Представления
этого прямого произведения и, следовательно, собственные зна-
значения полного уравнения Шредингера, можно характеризовать
тремя квантовыми числами или тремя символам-и. Они указывают
представления трех групп, прямое произведение которых дает
то представление полной группы симметрии, которому принад-
принадлежат собственные функции рассматриваемого собственного значе-
значения. Представление 5)(У) группы операторов вращения обсуждалось
в предыдущей главе; оно дает квантовое число J полного момента
количества движения 1). Представление группы отражений Оя= 1.
О/ = Р/ Дает четность. Перейдем теперь к более подробному
изучению операторов перестановок Ор. Это изучение приводит
к принципу Паули и завершает обсуждение точных свойств сим-
симметрии. Оставшаяся часть главы будет посвящена связи этих
величин с приближенными понятиями гл. 18, в частности с орби-
орбитальным квантовым числом L и мультиплетным числом S.
Полезно разложить перестановки B2.1) всех четырех коорди-
координат на два множителя, соответствующие двум множителям Р# и Q
составляющим О/?- Поэтому мы напишем
B2.2)
где Qp действует только на спиновые координаты,
QpW(*lt у„ zv sa, хп, уп, zH. 5aJ =
*=^(*i. У» г» «1 х„, уп, zn, sn), B2.2а)
а Рр — только на декартовы координаты
Ррф(*„. V V °i \. У.п. \. в„)-
==*(*!. УХ. гх. о, х„. уп, гп, о„). B2.26)
') В оставшейся части книги мы будем пользоваться символом У для
обозначения этого квантового числа.
300 Глава 22
Поэтому, если в B2.26) заменить Ф на QpW, то получим
PPQPW(..., хч, у^, zXk, ак. ...) =
QW(., xk, yk, г„, ак, .
а последующая подстановка аь = s в этом соотношении приводит,
в силу B2.2а) и B2.1), непосредственно к соотношению B2.2).
2. Существенное упрощение дальнейшего изложения получается
вследствие того, что собственные функции всех физических со-
состояний принадлежат антисимметричному представлению по отно-
отношению к операторам Ор:
ОяФ = ерФ, (Ор — ер)Ф = 0, B2.3)
где гр равно либо ~f-l, либо —1 в зависимости от того,
является ли Р четной или нечетной перестановкой. Функции, удовле-
удовлетворяющие B2.3), называются антисимметричными функциями;
требование, чтобы все волновые функции были антисимметричными,
составляет содержание принципа Паули 1).
Принцип Паули не является следствием введенных ранее прин-
принципов квантовой механики; можно сказать, что в противополож-
противоположность зависящему от времени уравнению Шредингера, играющему
роль уравнения движения, этот принцип является начальным усло-
условием, выполненным для любой системы. Если уравнение B2.3)
удовлетворяется в некоторый момент времени, оно, как мы сейчас
покажем, удовлетворяется всегда. Из уравнения
поскольку Н является оператором, симметричным относительно
операторов Ор и, таким образом, коммутирующим с ними, сле-
следует, что
ih -|- (Ор - ер) Ф = (Ор - ер) ih ^- = Н (Ор - ер) Ф. B2.3а)
Но отсюда следует, что (ОР — ер)Ф всегда обращается в нуль,
если это выражение равнялось нулю в некоторый момент времени.
Из B2.3а) заключаем, что скалярное произведение
((Ор — ер)Ф. (Ор — ер)Ф) B2.Е.1)
постоянно во времени; поэтому оно остается всегда равным нулю,
если оно когда-либо было равно нулю. Однако из обращения
') W. H e i s e n b e r g, Zs. f. Phys., 38, 411 A926); P. A. M. D 1 г а с,
Proc. Roy. Soc, A112, 661 A926).
Тонкая структура спектральных линий 301
в нуль выражения B2.ЕЛ) следует равенство нулю выраже-
выражения (Ор — Ёр)Ф- Мы видим, что принцип Паули по крайней мере
совместим с квантовомеханическим уравнением движения.
Важный вывод из того, что все волновые функции принадлежат
антисимметричному представлению, относится к разделению системы на
несколько частей. Рассмотрим, например, систему из двух атомов гелия,
которые взаимодействовали в течение некоторого времени, а затем отде-
отделились один от другого. Неприводимое представление симметрической
группы четвертого порядка, которому принадлежала волновая функция
до разделения атомов, обозначим через D (Я). Тогда можно поставить
вопрос: каким представлениям симметрической группы второго порядка
могут принадлежать состояния атомов гелия после их разделения? Если
D (Р) является антисимметричным представлением, состояния каждого
из атомов гелия после их разделения наверняка также антисимметричны.
Тот факт, что одна из частей системы принадлежит определенному пред-
представлению, однозначно определяется тем, что полная система принад-
принадлежит антисимметричному представлению. То же самое имеет место и
в случае, если D (Р) является симметричным (тождественным) пред-
представлением, но этого уже нельзя сказать о каком-либо ином пред-
представлении.
Причина антисимметричного характера всех волновых функций
не может быть указана, исходя из общих соображений, а должна
рассматриваться как экспериментальный факт 1).
3. В дальнейшем мы будем считать, что оператор Гамильтона
разделен на две части:
H^Ho + Hi. B2.4)
Первая часть является обычным оператором Шредингера, содержа-
содержащим энергию взаимодействия- зарядов и кинетическую энергию:
M)+V(x '•'¦ B2'4а)
Этот оператор не содержит спина. Вторая часть гамильтониана Н]
включает магнитные моменты электронов; в нашем исследовании
мы будем считать ее малой по сравнению с Но и рассматривать
как „возмущение". Это возмущение и является причиной появле-
появления тонкой структуры. Она проявляется в расщеплении собствен-
собственных значений простого уравнения Шредингера с оператором B2.4а)
(т. е. „уровней основной структуры") на несколько компонент
тонкой структуры.
Первым шагом в применении теории возмущений (см. гл. 5)
будет определение „правильных линейных комбинаций". Это не-
необходимо, так как собственные значения невозмущенной задачи,
') В дальнейшем Паули показал, что релятивистские теории поля
могут быть легко сформулированы для частиц с полуцелым спином
только тогда, когда они подчиняются принципу Паули. — Прим., доба-
добавленное в издании 1959 г.
302 Глава 22
т. е. оператора Но, вырождены. Это будет главной задачей настоя-
настоящей главы. Можно принять, что правильные линейные комбинации
принадлежат некоторому неприводимому представлению симметри-
симметрической группы по отношению к операторам Ор; в силу принципа
Паули, мы используем только антисимметричные представления.
Если изотропия пространства не нарушается, можно далее пред-
предположить, что они принадлежат одной строке некоторого непри-
неприводимого представления 2)(У) группы вращений по отношению
к операторам О/?- В данном случае из собственных функций соб-
собственного значения оператора Но, принадлежащих определенной
строке представления 2)(/), можно образовать только одну анти-
антисимметричную линейную комбинацию, так что правильную линей-
линейную комбинацию для метода возмущений можно определить на
основе одного лишь этого требования.
Пусть Е— собственное значение невозмущенного оператора Но
и ty(xv yx, zx хп, уп, zn)— принадлежащая ему собственная
функция, функция только декартовых координат. Собственную
функцию оператора Но для собственного значения Е, зависящую от
всех координат л^, ylt zv sv .... хп, уп, zn, sn, мы получим,
умножая <]> на произвольную функцию /(s: sn) спиновых
координат. Поскольку Но является бесспиновым оператором (не
зависит от спина), / (sl sn) можно рассматривать как посто-.
янный множитель:
Hot/ = /Н0Ф = /Щ = Щ/. B2.5)
Всего существует 2" линейно независимых функций от slt s2 sn,
f =8 8 ...8 (о.= ± 1, o,= ± 1 о=±П,
B2.6)
в виде линейных комбинаций которых могут быть представлены
все функции от sv s2 sn, как мы уже видели в гл. 13, где
были определены неприводимые представления симметрической
группы. Следовательно, если
fv U •••¦ U B2-6а)
является полной ортогональной системой функций переменных s
[они могут быть функциями B2.6)], с помощью ф можно образо-
образовать следующие 2" собственных функций оператора Но-
?v Ф/2 ФЛ»- B2-7)
Если несколько функций от xlt ylt zx хп, уп, zn являются
собственными функциями оператора Но, принадлежащими соб-
собственному значению Е, то, согласно B2.7), с помощью каждой
из них можно образовать 2" линейно независимых собственных
Тонкая структура спектральных линий 303
функций, содержащих в качестве переменных спиновые коорди-
координаты. Введение спиновых координат увеличивает кратность соб-
собственных значений бесспиновых операторов в 2" раз. Это соот-
соответствует тому обстоятельству, что уравнение Ноф = Щ определяет
только зависимость ф от декартовых координат; для каждого из п
спинов может быть еще сделан выбор между двумя противополож-
противоположными направлениями.
4. Прежде всего рассмотрим систему, не имеющую иной сим-
симметрии, кроме эквивалентности электронов, т. е. такую, в которой
пространственная симметрия нарушена внешним полем. Можно
предположить, что функции <]>j, ф2, ... от хх, у}, zv . . ., хп, уп, zn
являются собственными функциями заданного собственного значе-
значения оператора Но, принадлежащими некоторому неприводимому
представлению симметрической группы я-й степени:
Ppt = 2D(/>)x,A" B2.8
Эти соотношения выполняются также при замене фх на фхД. по-
поскольку функция спиновых координат может рассматриваться i a :
постоянный множитель по отношению к операторам Pp.
Собственная функция фх/х оператора Но также должна при-
принадлежать представлению группы операторов Оя, так как при
учете спина электроны по-прежнему эквивалентны. Состояние
Орфх/Х1 в котором электроны просто поменялись местами по срав-
сравнению с фх/х, также должно быть собственной функцией Но
с тем же собственным значением, что и ф*/х> и поэтому может
быть выражено в виде линейной комбинации функций <]>Х,Д». Мы
можем подставить выражение B2.8) для Ррфх в
B2-9)
и выразить функции Qpfx через Д,, так как всякая функция
от s может быть выражена через Д,. Однако, чтобы получить
по возможности наиболее простую систему коэффициентов, следует
начать с ортогональной системы B2.6а), функции которой принад-
принадлежат неприводимым представлениям симметрической группы по
отношению к операторам Qp.
5. В гл. 13 мы определили такую ортогональную систему для s.
Там мы воспользовались ортогональной системой
= 0 или
а не
все
: B2.6). Мы расположили эти функции таким образом, что
; функции k-Vi строки были функциями &-й степени Gi +
7з-\- ... -\-flt = k); всего было (ПЛ таких функций. Далее,
304 Глава 22
было показано, что при k ^ л/2 можно образовать линейные ком-
комбинации функций k-Vi степени, каждая из которых принадлежит
одной строке одного из представлений
D(o), DA), DB) Dw. B2.E.2)
Поскольку размерность D(' равна
число этих функций действительно равно /0 —)— /х —f— /2 —f— ... -f-/A =
— {пА. При k^>n/2 вместо представлений B2.Е.2) появляются
представления
D(o). DA). DB) D("-*} B2.E.3)
(см. примеры в виде таблиц на стр. 161).
Если обозначить функции /г-й степени, принадлежащие Х-й строке
представления D , через gW, то
h
Qpgft = ДD(i) (Я)х,х g$k (/ = 0,1,2 k или п - k).
B2.11)
Мы использовали функции B2.66), а не функции B2.6)
потому, что для них множители s[t при 1 = 0 можно просто
опустить, а это упрощает формулы. Однако теперь снова вернемся
к функциям B2.6), заменяя s°= 1 на 8 . и sx = s на 8„ .,
р ^р- —• р р *р> L
т. е. заменяя всюду s] на 85 t 2t_i. Таким образом, функция
U^ («1. «2 *я) = S х С7,Т2 ." Т„Ч 2T,-l4- 2Т2 К- Ъп-1
Р ' B2.12а)
заменит всюду функцию
дТ1...т/*
7Р '
Это не изменяет трансформационных свойств, поскольку ясно, что
замена B2.12) на B2.12а) коммутирует с перестановкой перемен-
переменных. Поэтому, если мы запишем
Л, ft-ул К -тп+т
B2-13>
Тонкая структура спектральных линий 305
и1)
b(i){P)=-phn~l\pf, vh"~S\p) = k(S){P)\ B2.13a)
то, согласно B2.11), будем иметь
^^\l^m. B2.11а)
Для четных п как 5, так и т являются целыми; при нечетных
п — полуцелыми.
Функция g^2l ' имеет степень ¦~-п-\-т, т. е., если она запи-
записана в виде B2.12), в нее входят только члены, содержащие
-кП-\-т множителей sl (и -н-л — т множителей s°). Поэтому
в U^ j —Дш ВХ°ДЯТ только те члены, которые содержат
-сгпЛ-т множителей 8 . (и -г» — т множителей bs _i); функ-
ции /j?j могут быть отличными от нуля только для тех наборов
значений переменных sp, в которых точно -пП-\-т из s равны +1
(и -н-ге — т равны —1J, так что сумма всех sp равна
-н-и-f-m — (ту п —m) = 2m;
Дт^1' S2 ^я)^^ при 5l_(_52_^_ ... -\-8пФ2т. B2.14)
Если функции
где
п
№. B2.Е.4)
m = — S, —5+1 S—1, 5,
5 = -s- п, -н- п — 1, -п- й — 2, ..., тг или О,
') Фактически звездочки в B2.13а) не имеют какого-либо значения,
так как D^ (P) вещественны. Они введены только для упрощения по-
последующих вычислений, так как делают излишним использование
вещественности представлений ^
30fi Глава 22
взяты в качестве полной ортогональной системы функций от s,
то, используя B2.8) и B2.11а), для B2.9) получаем
Орф /<s> = 2 2 D(Я) , ^(S)(Я)* ф ,/<?> . B2.9а)
Таким образом, функции ф*/^ преобразуются между собой по
прямому произведению
D (Я) X АE) (Я)*.
6. Можно предположить, что собственные функции первого при-
приближения, т. е. правильные линейные комбинации
Х/и
в теории возмущений, вводящей спиновые силы, принадлежат
неприводимым представлениям группы операторов Оя- Так как
принцип Паули требует, чтобы использовались собственные функ-
функции, представления которых антисимметричны, достаточно опре-
определить антисимметричные линейные комбинации B2.15); первое
приближение для собственных функций, удовлетворяющих прин-
принципу Паули, должно представлять собой их линейную комбинацию.
Поэтому предположим, что линейные комбинации B2.15) анти-
антисимметричны. Тогда из B2.9а) и линейной независимости функ-
функций фх/|^ следует, что
2 «*s'xm D (Я)х- х A{S>) (Я)Г-Х = ePax-S'vm- B2.16)
хХ
Если представление, присоединенное представлению А^'\Р), обо-
обозначить через
АE')(Я) = еРАE')(Я) B2.17)
и умножить B2.16) на ер, то в силу того, что ер=1, получаем
2 \Л(У) (P)t'X = fl».S'X'm. B2.18)
хХ
Суммируя по всем перестановкам Я, из соотношений ортогональ-
ортогональности можно заключить, что левая часть обращается в нуль, если
D(P) и AiS'\P) не эквивалентны. Если D(P) не эквивалентно
какому-либо из представлений A(S ' (Я), то все a^s'i'm обращаются
в нуль, и из функций фц/^Р нельзя образовать никаких антисим-
антисимметричных линейных комбинаций. Антисимметричная собственная
функция мржет быть построена из функций от s и собственных
Тонкая структура спектральных линий 307
функций оператора Но, принадлежащих некоторому неприводи-
неприводимому представлению операторов Рр, только в том случае, если
это представление эквивалентно одному из представлений А^2 ''
д\ 2 / > д\. 2 ',.... Следовательно, собственные функции
и собственные значения оператора Но. принадлежащие другим
представлениям, исключаются принципом Паули.
Поэтому предположим, что D (Я) эквивалентно одному из пред-
представлений АE)(Я), скажем АE)(Я); фактически мы предполагаем,
что оно совпадает с ним, поскольку преобразование подобия пред-
представления D (Я) сводится к определенному выбору линейно неза-
независимых собственных функций фх. Назовем S мультиплетным чис-
числом собственных функций фх, принадлежащих представлению А .
Если в B2.18) подставить
Э(Я)=АE)(Я) B2.19)
и затем просуммировать по всем перестановкам, то получим [вре-
[временно обозначая размерность представления АE)(Я) через gs\
п\
22
K'V
*Х , B2.20)
хох/и Й й А
JO X Л ^н4 17 о t-)t-) X *» ffl*
X
где bm не зависит от S\ v! и V\ Таким образом, антисимметрич-
антисимметричные линейные комбинации B2.15) функций ф /!5' имеют вид
2 hs'KJJAV = 2 »m S t/S- B2.20a)
Имеется 2S-J-1 линейно независимых антисимметричных функций
E^==St^S. B2.206)
X
соответствующих 25 -f- 1 значениям индекса т.
Если мы хотим образовать антисимметричные функции из соб-
собственных функций (J>j, ф2, ф3. • • •. принадлежащих некоторому соб-
собственному значению оператора Но, мы должны умножить функ-
функции фх, принадлежащие х-й строке представления A(S), на функ-
функцию /Хда от s, принадлежащую х-й строке присоединенного пред-
представления A(S)*, и просуммировать эти произведения по всем х (для
всех партнеров). Другие gs • B" — 25—1) линейных комбинаций
функций (]) Д5)> которые ортогональны этим функциям, принадлежат
308 Глава 22
представлениям группы Ор, отличным от антисимметричного пред-
представления.
7. Если к Но добавляются спиновые члены Н! как возмущение,
то Н перестает быть бесспиновым оператором, и его собственное
значение Е расщепляется на нескольно собственных значений, ко-
которые в общем случае принадлежат неприводимым представлениям
группы операторов симметрии Ор- Поскольку волновые функции
всех физически реализуемых состояний антисимметричны, возмож-
возможными уровнями энергии являются лишь уровни, принадлежащие
антисимметричным представлениям. Если собственные функции опе-
оператора Но с собственным значением Е, являющиеся функциями
от хх, ух, 2] хп, уп, zn, принадлежат представлению A(S)(P),
то около значения энергии Е будут расположены 25 —f- 1 близких
уровней. В первом приближении каждому из этих уровней при-
принадлежит одна линейная комбинация функций Sm, задаваемых
соотношением B2.206). Настоящую правильную линейную комби-
комбинацию [т. е. значения коэффициентов Ьт в B2.20а)] нельзя опре-
определить без решения B5-)- 1)-мерного секулярного уравнения для
матрицы
(H1)m.I» = (Em-.H1E1B), B2.20b)
так как в рассматриваемом случае наличия внешних полей отсут-
отсутствует симметрия, которая могла бы дать дополнительную инфор-
информацию.
8. Рассмотрим теперь систему, в которой, помимо эквивалент-
эквивалентности электронов, имеется полная вращательная симметрия. Функции
от хх, ух, zx хп, уп, гп, являющиеся собственными функциями
оператора Но, кроме мультиплетного числа S, имеют определенное
значение орбитального квантового числа L и могут быть выбраны
так, чтобы они удовлетворяли соотношениям
РРФ =2ЛE)(Р) , Ф, , РоФ =2?>(i)(#) - Ф - B2.21)
х [J,
(здесь Р является перестановкой, а # —вращением). Из функ-
функций <j>x пространственных координат можно образовать функ-
функции фх /??) всех координат, которые также являются собственными
функциями оператора Но. Функции фх /Q, как и Ф , удовлетво-
удовлетворяют соотношениям B2.21); поскольку Р не действует на спиновые
координаты, спиновые функции /j>j) могут рассматриваться в B2.21)
как постоянные.
Функции фх /^> должны также принадлежать некоторому пред-
представлению группы вращений относительно операторов Оя, так
как одно лишь введение спиновых координат не нарушает равно-
Тонкая структура спектральных линий 309
правности пространственных направлений. Действительно [см ана-
аналогичное соотношение B2.9)],
ОЛЛ2=РЛ,-ОИ2. B2.22)
и в этом соотношении функции Р^ф можно выразить через фхА1
пользуясь соотношениями B2.21); в то же время CL/^ можно
выразить через /<S) — как и всякую функцию от s. Определим
теперь эти коэффициенты.
Если выразить Qp/j^ через f$2" т0 НУЖНО использовать
только те /j^,, которые также принадлежат Х-й строке представ-
представления А , так как Q# является оператором, симметричным отно-
относительно перестановки переменных s и (в противоположность QP)
не меняет трансформационных свойств функций Д^.- Поэтому
будем иметь
= 2 ©W<*W?. (» = -s. -5+1 s-i,s).
m — —S
B2.23)
Кроме того, поскольку Q#Q#- = ± Q##/, матрицы 2)(lS'(#) об-
образуют B5 —(— 1)-мерное (однозначное или двузначное) представ-
представление группы вращений. Как сейчас будет показано, это пред-
представление является неприводимым представлением 2> (R).
Пусть R — вращение на угол а вокруг оси Z. Тогда
'„)= 2, • • • ®m(R)ls ,,..
'p = ±l 2 p' 2 P
где мы полагаем m = ^E1+52+ • • • +5Я)> поскольку, со-
согласно B2.14), функция /[•*) наверняка обращается в нуль для дру-
других наборов значений s. Для R = {а, 0, 0} представление в B2.23) яв-
является диагональной матрицей с диагональными элементами
ехр{— i5a),exp{— i(S— l)a} exp {+/(S— l)a}, exp {+iSa},
что показывает его эквивалентность неприводимому представлению
Ф (/?). Кроме того, B2.24) показывает, что /im принадлежат да-й
310 Глава 22
строке представления U>(S)(#), так что ?>(S)(#) действительно
должно входить в B2.23). Функции переменных sv s2 sn,
которые принадлежат, представлению A(S)* = D^2 ' no от-
отношению к перестановке частиц, принадлежат представле-
представлению 2> * группы вращений по отношению к вращениям Q#.
Фактически они принадлежат представлению АE)* X 2>(S) прямого
произведения этих двух групп. Это можно показать, если подей-
подействовать оператором Qp на B2.23) и использовать B2.11а):
= 22 2>(S) Wm'mAlS) (Р&'Ж» B2.24а)
m' X'
т. е. /[J принадлежит (X, т)-й строке представления АE) (Я)* X
Описанные результаты можно хорошо проиллюстрировать с помощью
разложений представлений, приведенных на стр. 161. Можно считать, что
каждое D"' заменено на функции, принадлежащие этому D' '. Тогда /-й
столбец будет содержать те функции, которые принадлежат ^'
= А по отношению к перестановкам переменных, причем
k-n строки заменяются на g[$, gi,',* Если /^ 2 х' = Ug[lJ из B2.13)
Х,А--л
подставить теперь вместо g[$, то k = 1-^ п + т) -я строка будет со-
содержать функции, принадлежащие ехр (\-irn <р) по отношению к враще-
(- -
(-
ниям вокруг оси Z. Из того факта, что каждое из D^ = A
встречается не более чем один раз в каждой строке, видно, что сущест-
существует не более одной функции от s, которая принадлежит заданной
строке представления А и ехр (+г"/и<р) по отношению к враще-
ниям вокруг оси Z. Поскольку А встречается в строках
/, /+1 п — i—1, п — i, выражение m = k—=• п будет принимать
в 1-м столбце значения — -^n-\-i, —-^ n-\-i-\-\ -к-п — i — 1,
¦~-л — /. Функции,-появляющиеся в различных строках /-го столбца, при»
*(т"-0
надлежат различным строкам представления ЯL* 'по отношению
к трехмерным вращениям и являются партнерами.
Тонкая структура спектральных линий 311
Если бы мы использовали функции g из гл. 13 непосредственно вме-
вместо функций f=Ug, то следовало бы только заменить „вращения во-
вокруг оси Z" на „вращения вокруг оси X"; ничего больше не измени-
изменилось бы.
Антисимметричная функция хх,у\,гх, sx хп, уп, zn, sn, которая пре-
преобразуется согласно представлению А^ при перестановках Рр одних
только декартовых координат и имеет мультиплетное число S, должна
преобразовываться [см. B2.21) и B2.11а] согласно представлению A*s'*
при перестановках Qp спиновых координат [см. B2.24а)] и согласно
представлению ф'5' при вращениях спиновых координат. Поэтому
мультиплетное число не определяет только симметрию по отно-
отношению к перестановкам переменных (декартовых или спиновых коор-
координат). В силу специальной структуры функций от s, оно опреде-
определяет также и симметрию по отношению к вращениям спиновых
координат точно так же, как орбитальное квантовое число определяет
симметрию по отношению к вращениям декартовых координат. Одна су-
существенная разница между орбитальным квантовым числом и мультип-
летным числом возникает вследствие того, что наиболее важные вели-
величины типа Но являются не зависящими от спина величинами, инвариант-
инвариантными относительно всех Q, если даже изотропность пространства нару-
нарушена внешним полем.
Тот факт, что функции /^ которые принадлежат некоторому непри-
неприводимому представлению А' ' симметрической группы, принадлежат
также неприводимому представлению ф' ) группы вращений, и наоборот,
представляет собой свойство функций переменных, принимающих только
два значения. Если бы s могли принимать несколько значений, то функ-
функция, которая принадлежит определенному представлению симметриче-
симметрической группы, могла бы тем не менее принадлежать различным пред-
представлениям группы вращений; и наоборот, функция, принадлежащая
заданному представлению группы вращений, могла бы также принадле-
принадлежать различным представлениям симметрической группы. Трансформа-
Трансформационные свойства относительно вращений и перестановок связаны опи-
описанным выше образом только с переменными, принимающими два зна-
значения.
9. Если теперь образовать антисимметричные комбинации функ-
функций <|> /j^. согласно B2.206), то получим B5+ l)BZ.-f-1) таких
комбинаций, так как выражение B2.206) может быть построено
для любого [а:
В" = 2 ijv/S (!* = —/. L, m = —S S). B2.25)
Если подвергнуть вращению состояния
4v
= 2
[
TO они преобразуются по прямому произведению 25(i)
312 Глава 22
Поэтому квантовое число полного момента J получающихся
при этом антисимметричных собственных значений определяется
путем разложения произведения 2)(i) X 2>(S)- Это разложение уже
было выполнено в гл. 17. Неприводимые компоненты имеют верх-
верхние индексы
J=\L — S\, \L — S|+l L + S— 1, L + S, B2.26)
а соответствующие линейные комбинации функций Е^. имеют,
согласно A7.18а), вид
^ = 24^-^%,,,. B2.27)
Коэффициенты Sy^m-n были определены в гл. 17 формулами A7.27)
и A7.276).
При введении спина уровень с орбитальным квантовым числом L
и мультиплетным числом S расщепляется на 2Z.-J-1 или 25-f-l
(на меньшее из этих чисел) „компонент тонкой структуры" с кван-
квантовыми числами полного момента B2.26). Соответствующие соб-
собственные функции первого приближения даются равенством B2.27).
Хотя при наличии полной пространственной симметрии число
собственных функций, которые принадлежат одному собственному
значению, значительно больше, чем при отсутствии полной сим-
симметрии, правильные линейные комбинации для теории возмущений
могут быть гораздо проще определены при наличии полной сим-
симметрии, чем в отсутствие ее. При наличии полной пространствен-
пространственной симметрии коэффициентами правильных линейных комбинаций
являются просто коэффициенты модели векторного сложения, при-
приведенные в явном виде в гл. 17. Таким образом, полная простран-
пространственная симметрия более чем окупает те' усложнения, к которым
она приводит.
Значения B2.26) квантового числа J показывают, что для
уровней, возникающих при введении спина из уровня с орбитальным
квантовым числом L и мультиплетным числом S, квантовые числа J
полного момента даются моделью векторного сложения. Согласно
этой модели, для получения результирующего вектора J нужно
скомбинировать векторы L w S так, как показано на фиг. 91).
Вектор L истолковывается как орбитальный момент количества
движения, a S — как момент количества движения, связанный
со спином электрона; J является полным моментом количества дви-
движения.
') Для этой цели на фиг. 9 (стр. 224) следует заменить / на L, I на S
и L на У.
Тонкая структура спектральных линий 313
10. Определим, наконец, четность функций B2.27). Если
четность функции ф есть w (она одинакова для всех <]» ), то
P/1V —^^V
Это выполняется также для функций B2.27), поскольку эти функ-
функции, рассматриваемые как функции декартовых координат, являются
линейными комбинациями функций фХ[1 и О/=Р/. Таким образом,
при введении спиновых координат четность не меняется и совпа-
совпадает для всех компонент тонкой структуры уровня с четностью
соответствующего уровня основной структуры до введения спина.
И. Оценим „мультиплетное расщепление", т. е. разность
энергий между компонентами тонкой структуры. С классической
точки зрения расщепление связано с энергией взаимодействия спино-
спиновых магнитных моментов с током, возникающим вследствие круго-
кругового движения электронов вокруг ядра, а также друг с другом.
Напряженность поля, создаваемого круговым током, будет—evjr2c,
где е и v — соответственно заряд и скорость электрона, а г — его
расстояние от начала координат. В качестве г можно взять радиус
первой воровской орбиты h2/me2, который, согласно квантовой
механике, равен среднему удалению внутренних электронов от ядра,
a v можно оценить из соотношения mw-~.fi. Тогда для напряжен-
напряженности магнитного поля получим
пг2е7
а для энергии магнитного диполя eh/2mc в этом поле — значение
mes/2h4c2. (Точный расчет на основе релятивистской квантовой
теории Дирака приводит к значению оте8/32А4с2 для разности
энергий двух уровней с N = 2, 1=1, j = ll2 и У = 3/2 в атоме
водорода.) Таким образом, расщепление тонкой структуры будет
порядка
~("fic
от основной структуры или от расстояния между уровнями атома
водорода с различными главными квантовыми числами (—¦ mei/h2).
Постоянная а есть постоянная тонкой структуры Зоммер-
фельда.
Грубую оценку порядка величины различных физических эффек-
эффектов можно получить, разлагая энергию по степеням постоянной
тонкой структуры. Практически каждая степень связана с учетом
в вычислениях новых физических явлений. Нулевую степень со-
содержит лишь энергия покоя электрона тс2. Первая степень
имеет нулевой коэффициент. Вторая степень приводит к энергии,
даваемой обычной теорией Шредингера; она пропорциональна
314 Глава 1i
тс2а? = me4/А2 и представляет собой единственный член, в который
не входит скорость света. Коэффициент при третьей степени а
спять равен нулю. Мы только что видели, что члены четвертой
степени дают энергию магнитного момента электрона, обладающего
спином, в первом приближении теории возмущений. Пятая степень а
приводит к ширине линий, связанной с дипольным излучением!).
Член шестой степени дает второе приближение для спиновых
эффектов, а член седьмой степени — уширение линий, связанное
с квадрупольным излучением. Член восьмой степени дает третье при-
приближение для спинового взаимодействия, а член девятой степени —
уширение уровней за счет переходов, происходящих между уровнями
с разной мультиплетностью (интеркомбинационный запрет) и т. д.
Разумеется, член разложения, содержащий высшую степень
постоянной тонкой структуры, может быть больше, чем член
с меньшей степенью, если его коэффициент достаточно велик.
Однако, как правило, член с более высокой степенью а является
наименьшим. Тем не менее коэффициенты некоторых членов (на-
(например, в формуле для расщепления тонкой структуры) обычно
растут с увеличением порядкового номера атома, тогда как для
других членов (например, радиационная ширина уровня) это не имеет
места или не имеет места в общем случае. Так, второе приближе-
приближение для расщепления тонкой структуры, за исключением нескольких
первых элементов, существенно больше, чем радиационное ушире-
уширение. Линии, которые исключаются интеркомбинационными запре-
запретами, почти всегда сильнее, чем квадрупольные линии, так что
разложение по степеням а является иногда лишь способом группи-
группировки эффектов. Если член, раньше появляющийся в разложении
по степеням а, больше, чем член, появляющийся позднее, то гово-
говорят, что связь является нормальной.
12. Если бы ссбл-венные функции оператора Н давались точно
выражениями B2.27), они принадлежали бы неприводимым пред-
представлениям A(S)(P) и 2>(i'(/?) групп операторов РР и Р# соответ-
соответственно, и правила отбора для мультиплетного числа и орбиталь-
орбитального квантового числа выполнялись бы точно. В действительности
') Сумма ширин двух уровней дает естественную ширину линии,
возникающей при переходах между ними. Ширина линии равна произве-
произведению h на сумму вероятностей переходов для всех возможных пере-
переходов с данного уровня. Если в A8.1а) подставить тс2а2 ~ Ы вместо hoi,
а радиус первой воровской орбиты подставить вместо матричного
элемента от х, то вероятность перехода будет
4 е2т3с6а* Й4 1 4тпс3йаб тс*
а!
3 hc3h3 т2е4 h Зе2 h
Она пропорциональна пятой степени постоянной тонкой структуры.
Тонкая структура спектральных линий 315
B2.27) является лишь первым приближением для собственных
функций. Если второе приближение
по существу совпадает с первым, то можно предположить, что
первое приближение является почти точным решением'). В этом
случае переходы, исключаемые правилами отбора для S n L,
не могут происходить с заметной интенсивностью.
В выражении B2.28) достаточно просуммировать по N'; так как
оператор \ЛХ симметричен относительно О/?, №m'J', H^m) навер-
наверняка исчезает при У 4=J или т'фт. Кроме того, (x^m'J', НД^7)
оказывается того же порядка величины, что и произведение
(^mJ, НДтО- дающее первое приближение энергии возмущения,
связанной со спином (т. е. мультиплетное расщепление). С другой
стороны, EN — EN' является расстоянием от ближайшего уровня
основной структуры, соответствующего собственному значению
с квантовым числом J полного момента количества движения.
Если первая величина значительно меньше, чем вторая, то при-
приближение B2.27) является хорошим; в противном случае оно
недостаточно. Пригодность приближения, таким образом, суще-
существенно зависит от наличия случайной близости уровней с тем же
квантовым числом J, но с разными S н L. (Если S и L функции I'm'7
равны 5 и L функции ^^/, то соответствующий член в B2.28)
не меняет трансформационных свойств функций f^7 по отноше-
отношению к Р.)
') EN> пробегает все собственные значения обычного уравнения
Шредингера; индексы 5 и L (соответственно мультиплетное и орбиталь-
орбитальное квантовые числа) включены в N',
Глава 23
ПРАВИЛА ОТБОРА И ПРАВИЛА
ИНТЕНСИВНОСТЕЙ ПРИ УЧЕТЕ СПИНА
Правила отбора, правила интенсивностей и правила интервалов
в теории, включающей спин, можно разделить на два класса.
Правила первого класса (правила 1—4, см. ниже) следуют из соо-
соображений симметрии без каких бы то ни было предположений
относительно величины спиновых сил. Эти правила как по содер-
содержанию, так и по обоснованию весьма сходны с правилами простой
(бесспиновой) теории (см. гл. 18), которые связаны с инвариант-
инвариантностью оператора энергии относительно вращений и отражений.
Для вывода правил второго класса (правила 5—7, см. ниже) одной
лишь изотропности пространства недостаточно; чтобы вывести их,
следует также предположить, что спиновые силы малы по сравне-
сравнению с электростатическими силами простой теории, так что соб-
собственные функции и собственные значения простой теории суще-
существенно не меняются при введении спина в оператор Гамильтона.
1. Правило отбора для квантового числа полного момента
совпадает с правилом отбора для~ орбитального квантового числа
в простой теории. При переходе, связанном с дипольным излуче-
излучением, J меняется на ± 1 или 0 с дополнительным ограничением,
что переходы между уровнями с 7=0 запрещены. Для дипольного
излучения характерны матричные элементы векторных операторов
(умножение на хх + х2 + ... -f- хп и т. д.), а эти матричные
элементы исчезают, если вышеупомянутые условия не выполнены.
Далее, правило отбора для четности (правило Лапорта) остается
в силе, так как оператор О/ совпадает с оператором Р/ простой
теории Шредингера. Все матричные элементы
(Уг. VJVe), <Vf. УДе), (ЧГл VzWe) B3.1)
любого полярного векторного оператора обращаются в нуль, если
четности wp и we состояний Wp и WE одинаковы. При инверсии
осей полярный вектор сохраняет свое направление, так что его
компоненты меняют знак, т. е.
Правила отбора и правила интенсивностей при учете спина 317
Так как O№p=wfWp и О№е— We^e, из унитарности операто-
операторов О/ следует, что
Таким образом, матричные элементы B3.1) должны обращаться
в нуль, если ЧР и WE имеют одинаковую четность. (Аналогичным
образом можно показать, что матричный элемент аксиального
векторного оператора равен нулю, если Ч>> и хрЕ имеют различ-
различную четность.)
Поскольку четность уровня основной структуры сохраняется
во всех компонентах тонкой структуры, правило Лапорта приме-
применимо в равной степени ко всем компонентам уровня основной
структуры.
Если спектр состоит только из дублетных уровней с четностью
w = (—1)^. как, например, в спектре всякого водородоподобного атома,
из правил отбора для j и w следуют также правила отбора для L.
Согласно правилу Лапорта, L может меняться только на нечетное число;
разрешено изменение L на 1, но не на 3 и более, так как в этом случае
j (= L ± '/г) изменялось бы на 2 или более, что ведет к запрету.
Правило, что трансформационные свойства не меняются при
перестановке электронов, уже содержится в утверждении о том,
что волновые функции, которые все антисимметричны, остаются
антисимметричными при произвольном возмущении (не только
под влиянием излучения).
2. В магнитном поле, параллельном оси 2, уровни с квантовым
числом j расщепляются на 2у + 1 зеемановских компонент. „Пра-
„Правильными линейными комбинациями" для вычисления магнитной
энергии как возмущения являются сами функции ??, как и в про-
простой теории. Если оператор Од применяется к функциям ЧГ?,
причем R есть вращение на угол а вокруг оси Z, волновая
функция ч?? просто умножается на е'^а. Магнитное поле полностью
устраняет вырождение; в магнитном поле каждому собственному
значению принадлежит только одна собственная функция.
Пусть вспомогательный оператор Н2, в который входит магнит-
магнитное поле, разложен в ряд по степеням компонент напряженности
поля mx. S€y, <Шг:
H2 = (J^V, + ^yVy + J^VJ + (j^V*,+ ...)+.... B3.2)
Тогда коэффициенты V*. Vy, V'г при первой степени должны
образовывать аксиальный векторный оператор, так как само поле Ш
является аксиальным вектором, а оператор Н2 в целом должен
быть скаляром. Первое приближение для энергии возмущения,
обусловленной взаимодействием с магнитным полем, которое на-
направлено по оси Z,
318 Глава 23
согласно формуле для матричных элементов векторных операторов,
пропорционально ;а [см. среднюю формулу B1.196)]. Поэтому рас-
расщепление в магнитном поле пропорционально первой степени
напряженности поля при слабых полях, причем первоначальный
уровень расщепляется на 2/-(-1 равноотстоящих компонент. Однако,
в противоположность расщеплению в простой теории это расще-
расщепление не одинаково для всех уровней и не может быть вычислено
в общем виде. Оно может быть рассчитано численно только для
„нормальной связи", т. е. если выражение B2.27) является хоро-
хорошим приближением для собственных функций.
Иначе обстоит дело с соотношениями интенсивностей зее-
мановских компонент. Сила линии, соответствующей переходу
с [^-компоненты более высоко лежащего уровня на р/-компоненту
более низкого уровня, с точностью до универсального постоянного
множителя равна квадрату абсолютной величины одного из матрич-
матричных элементов
в зависимости от того, является ли свет поляризованным соответ-
соответственно по оси Z, по кругу вправо или влево относительно оси Z.
Эти три величины представляют собой матричные элементы трех
различных компонент @, —1, 4-1) векторного оператора. Их от-
отношения при различных ;а, |а' и поляризациях можно получить
непосредственно из выражений B1.19). Эти формулы показывают
также, что магнитное квантовое число \>. может изменяться только
на 0 (тс-компоненты) или +1 (о-компоненты). Относительные ин-
интенсивности в переходах, например с ]-*¦]—1, равны
—1).
. B3.3)
== U — р — 1) U — jO.
Сумма этих трех выражений, представляющая собой вероятность
перехода с более высокого уровня с магнитным квантовым числом р
на все зеемановские уровни более низкого уровня, одинакова для
всех зеемановских компонент верхнего уровня, т. е. не зависит
от ja. To же самое справедливо для суммы вероятностей переходов
для всех линий, имеющих общий нижний зеемановский уровень.
Это правило сумм для вероятностей переходов имеет про-
простое физическое обоснование. Сумма трех выражений в B3.3)
является полной вероятностью перехода из состояния ЧГ^ во все
Правила отбора и правила интенсивностеи при учете спина 319
состояния, энергии которых соответствуют нижнему уровню. Но
так как состояния ЦТ,,/ с различными jx преобразуются в линейные
комбинации тех же состояний при вращениях осей и поэтому от-
отличаются лишь вращением и так как полная вероятность перехода
не должна зависеть от вращений, она не может зависеть от |а.
Математически правило сумм можно вывести наиболее просто с по-
помощью соотношения B1.18а), если составить выражение
*>А, ®(Ш) (К ®И <*>тр X
7w Vi „7V т%. N,n,.
Если просуммировать это выражение по \х и р, то в силу унитарности
$>(/) и $}<ш) первые четыре множителя в правой части заменятся на
ВЛ ¦ 8=,т.
Тогда интегрирование по всем вращениям дает, если учесть соотно-
соотношения ортогональности,
21 т(р)
I ' nj
(р) |_.
njv.-.n'j'v.1 I — 2/ 4-1
Это непосредственно показывает, что сумма B3.Е.1) не зависит от (л'.
3. Электрическое поле, параллельное оси Z, расщепляет уро-
уровень с полным квантовым числом j на J -f- 1 компонент в случае
четного числа электронов, как и в простой теории, которая об-
обсуждалась в гл. 18. Они принадлежат представлениям
3(Л. З17 3B), 3A), 3@) '0'1
двумерной группы вращений и отражений. Последний уровень
принадлежит представлениям 3 или 3^° , если w{—1) равно соот-
соответственно -\-\ или —1. Правила отбора из гл. 18 можно также
вывести здесь тем же способом, за тем лишь исключением, что L
следует заменить на j.
Эффект Штарка в случае нечетного числа электронов будет
рассмотрен более подробно. Фактически сам результат можно по-
получить весьма просто. Однако здесь есть один принципиальный
вопрос, который следует обсудить.
Трудность возникает вследствие того, что каждому вращению R
соответствуют две матрицы ± ?(;)(/?). То же самое имеет место
для несобственных вращений:
Толг ко инверсии соответствует одна матрица -\- ш>1. Однако элек-
электрическое поле снимает симыгфию относител:.но инверсий, и, хотя
остаются многие несобственные вращения, соответствующие матрицы
320 Глава 23
остаются теми же в силу их двузначности, независимо от того,
w = -\-\ или w — —1. Это показывает, что некоторый существен-
существенный элемент оказался потерянным вследствие двузначности. Для
некоторых определенных свойств симметрии это действительно
так. В случае же группы симметрии в электрическом поле ниже-
нижеследующий более подробный анализ не приводит к каким-либо
новым результатам, кроме очевидных.
Чтобы получить однозначные представления, вспомним, что для
нечетного числа электронов вращательная симметрия выражается
с помощью операторов Ои. которые образуют группу, изоморф-
изоморфную двумерной унитарной группе. Чтобы выразить инвариантность
относительно несобственных вращений, воспользуемся операто-
операторами О/Ou- Набор операторов Ои=Юи. О/Ои представляет
собой прямое произведение группы отражений (О?=1> О/)
и группы операторов Ой- Если обозначить общий элемент группы
прямого произведения группы отражений и унитарной группы1)
через з> то полная симметрия относительно вращений и отраже-
отражений может быть выражена с помощью операторов О», которые
образуют группу, изоморфную группе 3- Элементы з и (X со-
соответствуют либо чистым вращениям, и в этом случае з имеет
вид Ей, либо несобственным вращениям, и в этом случае j имеет
вид /и. Однако каждому вращению, собственному или несобствен-
несобственному, соответствуют два з или О*.
Если накладывается внешнее поле, то операциями симметрии2)
остаются только те з> которые соответствуют вращениям, соб-
собственным или несобственным, принадлежащим группе симметрии
системы во внешнем поле. Соответствующие им матрицы D (з),
О^=2О(з),,^,„ B3.4)
образуют (однозначное) представление группы соответствующих з>
а различные уровни системы в поле принадлежат различным пред-
представлениям этой группы. Группа симметрии системы не изоморфна
этой группе, а (двукратно) гомоморфна, так как два з соответ-
соответствуют каждому из ее элементов.
В случае однородного электрического поля, параллельного оси Z,
к группе симметрии принадлежат вращения вокруг Z и отражения
') Таким образом, величины g являются элементами абстрактной
группы, но не матриц, а пар /и, где / есть либо Е, либо /, а и есть
элемент унитарной группы. Закон умножения (см. гл. 16) имеет вид
/и ¦ /1и1 = y^uiii.
2) Это значит, что только они по-прежнему преобразуют собственные
функции заданного собственного значения в собственные функции того же
собственного значения.
Правила отбора и правила интенсивностей при учете спина 321
в плоскостях, проходящих через Z. Вращениям вокруг оси Z
на угол а соответствуют матрицы
о
о
— е
О
О — е 2 '
(— n < a < ic) B3.5)
(см. A5.16)]. Отражение в плоскости ZX является произведением
инверсии и вращения вокруг оси К на угол тс. Поэтому соответ-
соответствующие з имеют вид
'О -1\ . ./ О 1\
B3.5а)
1 О
—1 О
Произведения B3.5) и B3.5а) соответствуют отражениям в дру-
других плоскостях. В представлении прямого произведения группы
отражений и унитарной группы, принадлежащем уровню с чет-
четностью w и полным квантовым числом j, матрицы, соответствую-
соответствующие элементам группы B3.5), имеют вид
О \ /«-"« ... О
0C.) =
. B3.6)
О
О
Аналогичным образом матрицы, соответствующие элементам группы
B3.5а), равны
О 0 ... О ~w)
О 0 ... ш О
0C,) =
¦ w
О
о
о
о
о
B3.6)
(при этом в A5.21а) следует подставить а = 0, Ь = — 1 для jy и
а = 0, Ь = -\-\ для з'1. Матрицы B3.6) и B3.6а) и их произве-
произведения образуют представление той подгруппы прямого произве-
произведения группы отражений и унитарной группы, элементы которой
соответствуют элементам симметрии системы, остающимся и при
наличии электрического поля. Это представление может быть при-
приведено путем перемены порядка строк и столбцов так, чтобы они
822 Глава 23
находились в порядке —j, j, —У+1, У—1 —1/2. 7г
вместо —У, —У-f-l, .... У — 1, У- Тогда оно распадается на
последовательность двухрядных неприводимых представлений
/e-im<t 0 \ (—е~1тл О
Z C«) = 1 о elm«J' Z (За) = I о _е[,
где /и принимает значения
__w 0
B3.7а)
«>=У. У — 1. У — 2 -|, |, B3.8)
так что уровень с квантовым числом полного момента J расщеп-
расщепляется на У + 7г штарковских компонент с электрическими кван-
квантовыми числами B3.8).
В этом случае оказывается, что представления Z для
w = -\~\ и w — —1 эквивалентны, так как они могут быть пре-
преобразованы одно в другое с помощью матрицы
-1 О
О 1
Таким образом, уровни с одинаковыми электрическими кванто-
квантовыми числами, возникающие из четных и нечетных уровней, имеют
одинаковые трансформационные свойства, и правила отбора будут
цля них одинаковыми. Этого следовало ожидать, так как правило
Лапорта неприменимо в электрическом поле также и к четному
числу электронов, а единственным различием между уровнями,
возникающими от четных или нечетных уровней, является поязле-
ние уровней 0 и 0' соответственно. Для нечетного числа электро-
электронов даже эта черта, связанная с четностью, исчезает, поскольку
уровни 0 и 0' не могут возникать.
4. Если оператор возмущения для электрического поля разло-
разложить в ряд типа B3.2), то из полярной природы вектора элек-
электрического поля следует, что коэффициенты V^> Vy> Уг должны
быть компонентами полярного вектора. Поэтому матричные эле-
элементы
которые могли бы описывать эффект, пропорциональный первой
степени напряженности поля, обращаются в нуль, так как
и Wp/ имеют одинаковую четность
Правила отбора и правила интенсивностей при учете спина 323
Расщепление, возникающее во втором приближении, про-
пропорционально И2; можно показать, что в этом приближении сме-
смещение и расщепление пропорциональны jx2.
5. Большинство из выведенных до сих пор правил в той мере,
в какой они относятся к изотропному случаю, являются частными
случаями соотношений B1.19):
Т$1; N'J V = S(/$ V + P, A; N'j: B3.9)
Последнее равенство позволяет определить отношение матричных
элементов
если соответствующие собственные функции ч7^ nW?J, а также $
и W!y принадлежат одним и тем же собственным значениям Ej
и Ej' (т. е. если они являются партнерами) и если операторы Т
и ТA7) являются компонентами одного и того же неприводимого
тензорного оператора
^(Р) 2 ?)(ш)(#)р, Tw. B3.96)
Скаляры, соответствующие представлению ?> \ и векторы, соот-
соотA)
ветствующие ?>A), и т. д. являются неприводимыми тензорами.
Величины 7лг/; n'j' в B3.9) являются числами, которые нельзя
определить общими методами, так как они зависят от набора опе-
операторов Т и от частного вида используемого гамильтониана.
До сих пор нам встретилась лишь одна формула, которую
нельзя было записать в виде B3.9). Это было соотношение A8.8)
для нормального эффекта Зеемана. При выводе его было учтено,
что рассматриваемый векторный оператор 1_г определяется соотно-
соотношением A7.8), т. е. имеет вид
^ B3-Ю)
при <р = 0. В других случаях вывод правил, выходящих за рамки
соотношения B3.9), возможен только с помощью дополнительных
предположений или приближений.
Наиболее важным предположением этого рода является допу-
допущение о „нормальной" связи между спиновым и орбитальным
моментами, или связи Рессела — Саундерса. Подобная связь пред-
предполагалась в предыдущей главе; она характеризуется расщеплением
тонкой структуры, которое мало по сравнению с расстояниями
между соседними уровнями основной структуры. В этом случае
может быть определено не только квантовое число полного момента.
324 Глава 23
но и сохранен смысл понятий мультиплетного числа и орбиталь-
орбитального квантового числа. Это полезно выразить в явном виде, заме-
заменив символ N на тройной символ NSL для уровней с одним и
тем же квантовым числом J, где 5 — мультиплетное число, L — орби-
орбитальное квантовое число, а N служит только для различения между
уровнями с одними и теми же S, L и J'). Изложение в оставшейся
части этой главы будет опираться на предположение о „нормаль-
„нормальной связи".
Согласно B2.27), собственные функции имеют вид
_у (is) ^nsl mm
V-
Функции E^5?, E^s+1;n &s,? являются функциями-парт-
функциями-партнерами относительно Q^ и принадлежат различным строкам пред-
представления 2)(S); то же самое имеет место для S^fi, S^f?+1 Е{^?
по отношению к операторам Р# и представлению ?)(i). Если B3.11)
справедливо, то отношение матричных элементов
{**т .Т Ут' )=\NSUm;N'S'L'J'm' B3.12)
с различными J, J', т, т!, о, р, но с одинаковыми NSL и N'S'L'
можно вычислить, если только Т являются компонентами тензора
ранга q по отношению к Од, ранга р по отношению к Рд, и
неприводимого по отношению к ним обоим:
Оя'Т^СЬ =2 2>(?)(ЯHЛ(°'Р). B3.13а)
р^Т^'Ря =2 &p\R\9.lW). B3.136)
?'
По отношению к действительным операторам симметрии Or тен-
тензор Т не является в общем случае неприводимым; он принадлежит
прямому произведению двух неприводимых представлений
fl)
=2
9'
Относительно операций Qff функции S^5i при v = — 5, .... 5
принадлежат 2)(S) и являются партнерами. Из B3.13а) следует, что
соотношение, аналогичное B3.9), имеет вид
^'5ч','. B3.14а)
') Как и всюду при нормальной связи, символом / мы снова обозна-
обозначаем квантовое число полного момента.
Правила отбора и правила интенсивностей при учете спина 325
Подобным образом, имеем
{2*9. , Т 1.>' ^ = 61>.+Р, v'sL'M tpfSLv, N'S'L't'. B0.146)
в силу B3.136) и поскольку S^5i при р = — L, .... L преобра-
преобразуются согласно представлению !?)(i) при операциях Рд.
Комбинируя B3.14а) и B3.146), имеем
(^ Л Лу j = Ov+g, v'O^ + p, ^.'Ss'iiSL'fftjisL; N'S'V B3.14)
или, с учетом B3.11),
Mi'
X 8m+I+p, „.^«.-^ Л^лги; Jv-ач.'. B3.15)
Эти формулы определяют отношения всех матричных элементов
B3.12) с одинаковыми NSL и iV'5'Z.'.
В выражении B3.15), как и в B3.9), все sffi, первый нижний
индекс которых больше, чем сумма двух верхних индексов, или
меньше, чем абсолютная величина их разности (J>L-\~S или
J < | L — 51), должны быть положены равными нулю. То же самое
будет при | р, | > L, при | v | > 5 или | |а -\- v | > J.
6. Может показаться, будто класс операторов, определенный
соотношениями B3.13а) и B3.136), является весьма искусственным.
Однако почти все важнейшие операторы являются компонентами
тензоров или суммами компонент тензоров этого рода. В частности,
все бесспиновые операторы симметричны (т. е. скаляры) по отно-
отношению к Q/?, так что B3.13а) справедливо для них при ^ = 0.
Поэтому под действием Рд они преобразуются точно так же, как
и под действием О^. и являются скалярами, векторами и т. д. по
отношению к последнему, если они являются ими в действительности.
Проверим соотношение B3.15) в нескольких простых случаях.
Для бесспиновых операторов и всех операторов с q — Q мы видим,
что скалярное произведение B3.15) обращается в нуль, если S' ф S.
Это соответствует выведенному ранее правилу, что матричные эле-
элементы между состояниями, принадлежащими различным мультиплет-
ностям, обращаются в нуль (правило А, стр. 234). Если к тому же
р = 0 (т. е. если этот оператор является скаляром по отношению
к Р#, а следовательно, и по отношению к О/?), то должно быть
U — L. Поскольку р = о = 0 (скаляр имеет только 0-компоненту),
326 Глава 23
сумма B3.15) может быть вычислена, если воспользоваться соот-
соотношениями ортогональности для коэффициентов векторного сло-
сложения [см. A7.28)]
и тем обстоятельством, что s^oj = s<g°'>m_ 0=1. Для оператора,
являющегося скаляром в обоих смыслах (р = 0, q = 0), получаем,
что матричные элементы
ACU. T<'*'L'J') = bsS'hl'hAmm'tNSL; N'S4- B3.17)
а) обращаются в нуль при f Ф J или от' ф от и не зависят от т
при J' — J и т' = т, что является правилом для операторов, сим-
симметричных относительно Or, и б) одинаковы для всех компонент
тонкой структуры некоторого уровня основной структуры неза-
независимо от J. Для этого недостаточно, чтобы оператор Т был
скаляром относительно O# = P/?Q/?; он должен быть скаляром
относительно Р# и Q# в отдельности, причем связь должна быть
„нормальной".
Одним из операторов, скалярным в обоих смыслах, является, напри-
например, гамильтониан Но простой теории Шредингера. В этом случае
(WNSU u mN'S'L'J'\ __ p
где ENSL является собственным значением простого уравнения Шредин-
Шредингера; Е одинаково для всех компонент тонкой структуры, так как эта
теория не дает никакого расщепления тонкой структуры.
Формулы Хёнля — Кронига для интенсивностей
Если Т"р = V(p) является скаляром относительно Qff и векто-
вектором относительно Р# [как, например, оператор умножения на
определяющий вероятности дипольных переходов], то р= 1, q = Q
и, согласно B3.15), мы можем написать
V%SLJm; N'S'L'J-m' = hs'^m+f, m' X
X 2 4 т-Л\31+9. m-/l-\, 9VNSl, N'SL" B3.15a)
Матричные элементы B3.15а) будут обращаться в нуль, кроме
случаев, когда S' —'S и L' — L или L' = L±.\ (и J' = J или
Правила отбора и правила интенсивном ей при учете спина 327
У'=7+ 1). Так как мы уже знаем отношение матричных элемен-
элементов при различных от, от' и р [соотношение B3.9)],
VNSUm; N'S'L'J'm' = S/'mp<Wp, m'VNSU;N'S'L'J', B3.18)
можно подставить их конкретные значения и вычислить для этих
значений их отношения для различных У и У. Формулы для s при-
примут наиболее простой вид, если подставить от — У, т' = У и
p = m' — m = J' — У. Тогда, например, выражение A7.276) и
табл. 4 на стр. 231 при L' = L—1 У' = У-)-1 приводят к сле-
следующему соотношению:
.(LS)
1 " " " °Л-1, [1, 1 '
X
. — (*) 1 <S — У -f- (*) ! Y2L BL
_у_1)!BУ + 3)!
А
у (?_[x_2)!(S-y + ,u)!
+Х- У — 1) (Z + 5 — ¦/) (J+S-L + l) U+S-~T+Y)_
BУ+2) B7 + 3J/. BZ. + 1) ~~
с(Л-1, s) v
/+i и+1 Jv Л
S-J-W + S-J) (J + S-L + 1) (J+ S-T+Y)
B/ +2) B7 + 3J/. Bi+l)
Пользуясь соотношением B3.16) и вышеприведенным равенством,
получаем
VNSLJJ N'SLl У+1 /+1= ^J */ yS?i lS/+i '
NSLJJ, N'SL-l У+1 /+1=
_, /~(
^-/-1) (Л + S-J) (J+S-L + 1) G + S-L + 2),.
B7 + 2) B7 + 3) 2/, B/. + 1) VNSL; N'SL-l
для суммы матричных элементов B3.15а). Поэтому подстановка
siu\,J, i = 1 в B3-18) лля Vnsu-.n's'L'J' дает
; N'SL-l
r
(I+Slj-1) (Z.+S-.QG+ S-Z. + 1)(J + S-L + 2)
B7 + 2) B7 + 3) 2/. BZ. + 1) vnsl-, n'sl-v
B3.19a)
328 Глава 23
Аналогичные формулы
; N'SL-V —
~L + \)(J-S+L)(J+L+S + \)
2/B/ + 2) (L) BL + 1) MSL; N'SL-V
B3.196)
; N'SL-l j-l==
V
2J B/ — 1) BL) BL + 1) "ЛЮ1; iV'Si -1
B3.19b)
могут быть выведены таким же путем. Эти равенства вместе
с B3.18) дают выражения для всех матричных элементов опера-
операторов дипольных переходов между волновыми функциями двух
мультиплетов через одну и ту же величину vNSL. N,SL_V Орбиталь-
Орбитальные квантовые числа этих двух ыультиплетов равны L и U — L—\.
Аналогичное вычисление при L' = L дает:
'; N'SLJ+l =
-L + mJ+L+S+T)
-1) VNSL;N'SL>
V
B3.19г)
VNSU; N'SU-\ =
-fl-
-S + L)(J+S-L)(J+L + S + \)
2/ B7—1) BZ.) (L -f 1)
B3.19д)
В этом случае s^V y,_y были частично скомбинированы с пер-
первым и частично со вторым множителем в B3.15а). Лишь вывод
соответствующей формулы для L' = L и J' = J требует специаль-
специального рассмотрения; коэффициенты sffl должны быть разбиты на
сумму двух слагаемых
V-
Суммирование в B3.15а) с первым членом может быть выполнено
непосредственно, если воспользоваться соотношениями ортогональ-
ортогональности B3.16); тогда сумма по р дает
V
NSL; N'SL YL (L + 1)
Правила отбора и правила интенсивностей при учете спина 329
Суммирование со вторым членом может быть выполнено, если
учесть, что
a) Ylп = S-J)\ B/ + ЦТ
2T+2
2 '
и соотношения ортогональности B3.16). При этом для B3.15а)
получаем
S(S(LS) \улп= L __(L
\J,v.,J-v.) Lv-o YL{L + \)
откуда окончательно имеем
1/ J(J+l) + L(L + l)-S(S+l) ,Q
VNSU; N'su - 2/7Т7ТГ)у.__Г) tF^ ^ M. B3.19e)
. Отношения матричных элементов для Ц = Z-+ 1 могли бы быть
получены прямыми вычислениями того же рода; с другой стороны,
заметим, что из эрмитовости оператора V@) следует, что
Vn'Sl-U'm'; NSLJm = УNSUm; N'SL-U'm'-
Следовательно, рассматриваемые отношения могут быть вычислены
с помощью формул B3.19а) — B3.19в).
Формулы B3.19а) — B3.19е) представляют собой формулы для
интенсивностей Хёнля — Кронига, дающие отношения интенсивно-
интенсивностей компонент тонкой структуры линии. Чтобы получить полную
интенсивность компоненты тонкой структуры NSLJ->N'S'L'J',
следует просуммировать интенсивности \vNSUm.N,s,L,rm,
ных зеемановских компонент по всем значениям от, от' и р:
. 2i VNSLJm: N'SL'J'm1 ~ A VNSLJ: N'SL'J'SJ'm
отдель-
отдель)
, m'-m\
12
\
т'т р
= \VNSLJ;N'SL-J'\2 2 l=Bf+l)\VKSUiIf.SL'r\9.
т'
Поэтому полная интенсивность линии J-+J' определяется прежде
всего матричным элементом
ЗЗЭ Глава 23
Формула Ланде
7. Второе приложение формулы B3.19е) связано с эффектом
Зеемана. Взаимодействие магнитного поля с атомом описывается
двумя дополнительными членами гамильтониана. Первым членом
является V = r{3@Lz, где 7i = e/2m0c и т0 — масса электрона. Этот
член описывает взаимодействие магнитного поля с токами, созда-
создаваемыми движением электронов; он имеет тот же самый вид, что
и в простой теории Шредингера [см. A8.6) и A8.7)]. Действие
оператора Lz заключается просто в умножении волновой функции
на Z-компоненту момента количества движения:
Поэтому, согласно B2.25),
так что в этом случае Vnsl-.n's'l1 принимает вид
(r;NSL |
VNSL; NSL
как следует из сравнения с B3.14). Согласно B3.19е), это дает
VNSLANsu-h 2YTJT+T) ' B3>2°a)
Тогда соотношение B3.18) показывает, что матричные элементы
оператора 1_г равны
(wnslj , wnsu\ _ ь ¦/(/+ 1) + L (L + 1) -S (S + 1)
Второй член V оператора магнитной энергии в гамильтониане
описывает взаимодействие магнитного поля со спиновым магнитным
моментом электрона; он равен скалярному произведению магнит-
магнитного момента на напряженность поля, т. е. (т) = ej2m0c)
2-nFxSV, + sy3Vy + sg30J, B3.22)
или в случае нескольких электронов — сумме членов вида B3.22).
Если магнитное поле направлено по оси Z, то V = 271е%?8г, где
Sz есть Z-компонента полного спина. Соответствующим операто-
оператором является умножение на
у*(*1 + *а+ ••• +O = S,. B3.22а)
Правила отбора и правила интенсивностей при учете спина ЗЗГ
так как sz представляет собой, согласно B0.21), умножение на s.
Будет показано, что
SzW = -ih^Q{aQ0}Wl_Q. B3.23а)
Это соотношение аналогично A8.7):
B3-23б)
Множитель г[2 появляется в B3.22а) вследствие того, что спин
представляет собой момент количества движения, равный Й/2. Так
как ©(Vs'(a, 0, 0) j j = bste2 , то соотношение, определяющее
[см. B1.66)], принимает вид
-> **• Ук- **. sk> •••)==
2 ...ФAА)({«.0,0}), , V(...xk,yk,zkJk,..
откуда непосредственно следует равенство B3.23а).
Поэтому имеем также
S,s?«)=vA. B3.226)
Теперь Sz является скаляром по отношению к Рч и век-
вектором по отношению к Q#, тогда как |_г является вектором
относительно Рд и скаляром относительно Q#. При вычислении
выражения (W%su, SZW%SU) с помощью величин B3.226) L я S
следует поэтому поменять местами, после чего вместо B3.21) по-
получим
^m • ^m ) —отл 27 (/+1) "*• У16-^)
Матричные элементы полного оператора взаимодействия с магнит-
магнитным полем V + N = T\Se\-z-\-iT\?f6§z можно вычислить, если
сложить B3.21) и удвоенную величину матричного элемента B3.24).
Смещение зеемановских компонент с магнитным квантовым числом т
оказывается равным
>
т
27G+1)
332 Глава 28
Это обычная формула Ланде. Она показывает, что вследствие ано-
аномального (вдвое большего, чем классическое значение) магнитного
момента, связанного со спином электрона, различные уровни в маг-
магнитном поле расщепляются по-разному. Действительное расщепле-
расщепление получается, если расщепление т\?№т нормального эффекта
Зеемана умножить на
Вывод формул B3.19) и аналогичных формул можно упростить,
если заметить, что вычисляемые отношения матричных элементов
не должны [согласно B3.15)] зависеть от конкретной механической
задачи и от частного вида оператора Т((и) и могут зависеть только
от их трансформационных свойств. Действительно, вычисляемые
отношения являются просто суммами произведений коэффициен-
коэффициентов slf-S). Однако все s являются просто числами, задаваемыми
выражением A7.27), так что эти отношения одинаковы для всех
операторов, с одинаковыми трансформационными свойствами. Та-
Таким образом, они могут быть вычислены для любого тензора с нуж-
нужными трансформационными свойствами B3.13а) и B3.136), причем
результаты распространяются на все тензоры с одинаковыми ряд.
Правило интервалов
8. В качестве примера выведем правило интервалов Ланде,
т. е. отношение сдвигов уровней
)
для различных компонент тонкой структуры одного и того же
уровня основной структуры. Оператор Н] представляет собой
добавку к простому оператору энергии Шредингера, описывающую
магнитные моменты электронов.
Оператор Hi состоит из двух частей. Первая часть дает взаимо-
взаимодействие магнитных моментов электронов с токами, вызванными
их движением; вторая же дает взаимодействие магнитных момен-
моментов между собой.
Первая (почти всегда большая) часть состоит из суммы п выра-
выражений В = В1 + В2+ •¦• +В„, где Bft описывает взаимодей-
взаимодействие магнитного момента й-го электрона с токами. Кроме декар-
декартовых координат, Bft действует на спиновые координаты только
Правила отбора и правила интенсивностей при учете спина 333
ft-ro электрона '), так что
В* = ekxVkx + skyVky + skzVkz, B3.26)
где \/kx, Vfty, Укг — бесспиновые операторы. Так как Bft должен
быть скаляром по отношению к О я и так как skx, sky, s^
являются компонентами векторного оператора, операторы \/kx,
Vfty, Vft2 также должны быть компонентами векторного оператора.
Вместо отношений всех матричных элементов оператора В
. (<su, bKsu):«su\ bKslj/),
которые мы хотим вычислить, можно просто вычислить это отно-
отношение для одного Bft — эти отношения одинаковы для всех k.
Кроме того, skx\fkx, sftyVfty, skzVkz являются хх-, уу- и zz-kom-
понентами тензора, который удовлетворяет соотношениям B3.13а)
и B3.136) и является вектором в обоих смыслах (p = q=l).
Поэтому отношение любых двух из выражений
(WNSU .. mNSU\ A6.2.1)
одинаково для всех аналогичных тензоров, причем это верно также
и для отношений этих выражений к аналогичным выражениям,
в которых У заменено на I.
То же самое справедливо для суммы трех приведенных выра-
выражений B3.27), так что достаточно вычислить отношения матричных
элементов
«SU, {txx) + Т(уу) + T(w)) KSLJ) B3.28)
при различных У, где Т — произвольный оператор, векторный
в обоих смыслах. Естественно, эти операторы будут выбраны так,
чтобы вычисление выражения B3.28) было наиболее простым.
Пусть
TM = LA, Tlxy) = LxS,, T{XZ) = LXSZ, ... B3.29)
Тогда прежде всего
Ж °{«оо} = Q{«oo} ЛГ Р{«оо} + р{аоо} ЛГ Q{°oo}- B3-3°)
') Всякий оператор, действующий только на k-ю спиновую коорди-
координату, можно записать в виде So + skxWkx -f 8kyWky + SftzVftz, где So, Wkx<
Vfty и Укг являются бесспиновыми операторами. В выражение для Вд
член So не входит. Однако, даже если бы он входил, он должен быть
скаляром по отношению как к Р^, так и к Q^. Он соответствовал бы
в B3.13а) и B3.136) случаю p = q = 0 и вызывал бы, согласно B3.17),
одинаковое смещение всех компонент тонкой структуры без изменения
расщепления.
334 Глава 23
При а = 0, согласно B3.23а) и B3.236), это дает
L* + S, й "и" 0<-оо> L-o- B3-30а)
Поскольку О/доо}^ = exp (ima) Ч, отсюда следует, что
B3.31)
B3.31a)
Таким образом, получаем
m=-J m=-J
B3.32)
В этом выражении z можно заменить на х или у, так как после
суммирования по т нельзя различить оси координат. Чтобы пока-
показать это, предположим, что О# представляет вращение, перево-
переводящее ось Z в ось X. Тогда B3.32) принимает вид
=2 2
2 s (nrlVSU ,. , c ,2mNSLS\
Qm'm" V*m' . (L^+ Ьх) ^т" )==
m'm"
Следовательно,
. B3.33)
Но, поскольку (^ + 8^J + (Ц + 8уJ + (Ц + 8гJ есть скаляр,
т. е. оператор, симметричный относительно О#. все 2J—|— 1 чле-
членов в левой части B3.33) одинаковы и равны
2 + (Ly + SyJ + (L, + S,J1 <SLJ) =
B3.33a)
Для орбитального момента количества движения из
аналогичным образом следует, что
1). B3.35)
Правила отбора и правила интенсивностей при учете Спина 335
Тогда из B3.11) и соотношений ортогональности A7.28) следует,
что
«SU. № + \?y + CLNmSLJ) = VL{L+\), B3.35a)
О О О
так как Lv + Ly + L* является скаляром в обоих смыслах. Ана-
Аналогично для спина из соотношений
г&% = — in -jfe Q{a0O-j.uV|J. =vfiiHp. (a*=0) B3.36)
следует," что
Wu. (Sl+Sl + Sl№su) = h'S(S-{-1). B3.36a)
Вычитая B3.35а) и B3.36а) из B3.33а), получаем
—5E+1)]. B3.37)
Согласно предыдущему, сдвиги компонент тонкой структуры
одного и того же уровня основной структуры пропорциональны
матричным элементам B3.37):
AEfSL=SNSL[J(J-\-l)-1A + 1) — 5E+1)]- B3.37а)
Поэтому разность между смещениями уровней двух последователь-
последовательных компонент тонкой структуры
Г^ 7SL ) B3.376)
пропорциональна большему из двух квантовых чисел полного мо-
момента. Это и есть правило интервалов Ланде.
Правило интервалов Ланде справедливо только в случае нор-
нормальной связи, т. е. в случае, когда расщепление тонкой струк-
структуры мало по сравнению с расстояниями между уровнями основ-
основной структуры. Кроме того, оно подразумевает предположение
о том, что взаимодействиями между спиновыми магнитными момен-
моментами можно пренебречь. Как показал Гейзенберг1), это предполо-
предположение не оправдывается для всех легких элементов, особенно
для Не. Поэтому правило интервалов лучше всего выполняется
для элементов со средними атомными номерами.
Взаимодействие спиновых магнитных моментов между собой
состоит из двух частей. Первая часть представляет собой скаляр
') См. W. Н е 1 s e n b e r g, Zs. f. Phys., 39, 499 A926).
336 Глава 23
в обоих смыслах и поэтому никак не влияет на тонкую струк-
структуру. Вторая часть принадлежит 3D*2' в обоих отношениях. В це-
целом получается смещение уровней1), пропорциональное [7G+1)—
— L(L+1)— 5E+I)]2, наряду с членом вида B3.37а) и чле-
членом, не зависящим от J. Отношение константы пропорциональ-
пропорциональности этого члена к sNSL не может быть определено из общих
соображений, так что если учтено спин-спиновое взаимодействие,
формула интервалов содержит две неопределенные постоянные.
') Доказательство предоставляется читателю. См. также О. А г a k i,
Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 3, 152 A948).
Глава 24
КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА
Выводы формул Хёнля — Кронига для интенсивностей и пра-
правила интервалов Ланде, изложенные в предыдущей главе, пред-
представляют частные случаи вычисления матричных элементов непри-
неприводимого тензорного оператора, с заданными трансформационными
свойствами не только относительно вращений всех координат, но
также относительно вращений спиновых и обычных координат
в отдельности. Операторы "Г""^ этого рода были определены!)
в соотношениях B3.13а) и B3.136). Операторы, неприводимые
относительно одновременных вращений как спинов, так и про-
пространственных координат, могут быть получены из них с помощью
линейных комбинаций:
тМ У С(<7Р) т(Р. t-p) C94 П
1ш —^j 4<Dpt—p I qp • k"gl/
P
Используя соотношения B3.13а), B3.136) и A7.166), а также
соотношения ортогональности A7.28) для s, легко показать, что
'^ = D(t0) (/?)„¦ t:'\ B4. la)
Фактически оператор этого рода уже рассматривался при выводе
правила интервалов Ланде. Оператор спин-орбитального взаимо-
взаимодействия есть скаляр (ш = 0), составленный из операторов, являю-
являющихся векторами как по отношению к вращению спинов (q=\),
так и по отношению к вращениям координат (р1)
)
Аналогично, волновые функции W%SU и Ч^'5 L J, которые
входят в матричный элемент, имеют определенные трансформа-
трансформационные свойства (определяемые квантовым числом J) по отноше-
отношению к вращениям всех координат. Эти волновые функции имеют
') Читатель помнит, что Т(ар) есть op-компонента тензора ранга q
по отношению к спиновым вращениям O.R и ранга р по отношению
к вращениям координат Р^ Оператор Т^ в B4.1) является компонен-
компонентой х тензора ранга » по отношению к совместным вращениям коорди-
координат и спинов Од = О.дР#.
338 Глава 24
также определенные трансформационные свойства по отношению
к вращениям спиновых и обычных координат в отдельности. Двумя
соответствующими квантовыми числами являются 5 и L. В резуль-
результате матричные элементы вида
№'iV'. T$<SU) B4.E.1)
для всех допустимых значений J, J\ ю, m, m', x могут быть вы-
выражены через одну постоянную. Этими допустимыми значениями
являются просто те значения, для которых существуют 47 и Тш.
Значения J ограничиваются вектор. ым сложением: \S — L\4^.J-С
'<5 + L; ограничением для т будет — J</?t<J и т. д. Труд-
Трудность, с которой мы встретились при вычислениях, заключалась
в том, что выражение, полученное при использовании характери-
характеристик волновых функций и операторов по отношению к вращениям
всех координат J, J', ш, не находится в естественной связи с вы-
выражением, получаемым при использовании трансформационных
свойств по отношению к вращениям спиновых и обычных коор-
координат в отдельности. Выражение B3.18) является выражением
первого рода, а выражение B3.15а) — выражением последнего рода.
В вычислении, следующем за B3.18), выражение B3.15а) преобра-
преобразуется к виду B3.18). Возможность такого преобразования пока-
показывает, что между коэффициентами векторного сложения s имеются
важные соотношения, которые до сих пор еще не рассматривались.
Дальнейшее изложение в этой главе будет посвящено более под-
подробному изучению свойств представлений ф(/) (в частности, усло-
условий их вещественности), симметрии коэффициентов векторного
сложения [уже упоминавшихся в связи с формулами A7.27)] и,
наконец, общей форме соотношений, которые позволили нам,
в частности, преобразовать выражение B3.15а) к виду B3.18).
Важность явных и общих формул для сравнения матричных
элементов вида B4.ЕЛ) с различными J, J', ш, т, т!', т была
ясно показана в книге Кондона и Шортли1). Явный вид общих
формул для такого сравнения впервые указал Рака2). За послед-
последнее время по этому вопросу был опубликован ряд монографий3),
которые рассматривают его значительно подробнее, чем это сде-
сделано в настоящей главе.
>) См. цитированную на стр. 186 книгу В. Кондона и Г. Шортли.
2) См. цитированные на стр. 227 работы Рака\ См. также U. F a n о,
О. R а с a h, Irreducible Tensorlal Sets, New York, 1959.
3) См. цитированную на стр. 216 монографию М. Роуза, а также
A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton
University Press, 1957. В последней монографии наши sffi обозначены
(Z.[xSm I i
Коэффициенты Раки 339
Комплексно-сопряженные представления
Условия вещественности неприводимых представлений играют
существенную роль в дальнейшем анализе. Эти результаты были
получены впервые двумя основателями теории представлений —
Фробениусом и Шуром1), и мы воспользуемся ими также в гл. 26.
В предыдущих главах были описаны различные способы полу-
получения новых представлений из заданного представления или из пары
представлений. К ним будет добавлен новый, хотя и вполне очевид-
очевидный путь: переход к комплексному сопряжению. Если D(R) образуют
представление группы, то и (D(#))* образует представление, т. е.
представление образуют матрицы, элементы которых являются ком-
комплексно-сопряженными элементам T>(R). Ясно, что из соотноше-
соотношения D(#)D(S) = D(#S) следует D(#)*D(S)* — D(RSf. Далее, если
представление D(/?) неприводимо, то это же относится и к ком-
комплексно-сопряженному представлению D (/?)*. Если преобразование
с матрицей S преобразует все D(R) к приведенному виду, показан-
показанному на стр. 105, то S* будет приводить D(R)* к аналогичному виду.
Комплексное сопряжение приводит к важному различию между
неприводимыми представлениями: представление D(R)* может быть
либо эквивалентным, либо неэквивалентным представлению D(R).
Так как характер представления D(R)* является комплексно-со-
комплексно-сопряженным характеру y.(R) представления D(R) и так как два
представления эквивалентны, если совпадают их характеры (см.
стр. 106), то представление D(R) будет эквивалентным ком-
комплексно-сопряженному представлению D (R)*, если его харак-
характер веществен, т. е. если все числа, %(/?) вещественны. В про-
противном случае D(R) и D(R)" будут неэквивалентными.
Формулы A5.26) и A5.28) показывают, что все неприводимые пред-
представления трехмерной группы вращений, а также двумерной унимоду-
лярной унитарной группы, имеют вещественные характеры. То же самое
относится ко всем группам, в которых каждый элемент находится
в том же классе, что и обратный ему. В этом легче всего убедиться,
если рассматривать представления в унитарном виде. Тогда из соот-
соотношения
D ОТ1) = D (Я)+ B4.2)
следует, что характеры матриц для R и R~l являются комплексно-сопря-
комплексно-сопряженными. Если R и /?~' принадлежат одному и тому же классу, харак-
характеры R и R~l также равны. Следовательно, они вещественны. Такое по-
положение имеет место в случае трехмерной группы вращений, двумерной
унимодулярной унитарной группы, а также в случае группы всех дву-
двумерных вещественных ортогональных матриц. Оно не относится к группе
двумерных чистых вращений, н эта последняя имеет представления как
с вещественными, так и с комплексными характерами (см. гл. 14).
') О. Frobenius, I. Schur, Berl. Ber., 1906, S. 186.
340 Глава 24
Если D(R) унитарно и имеет вещественный характер, то суще-
существует такая унитарная матрица С, которая преобразует D(/?)*
в D(#). Тогда
B4.3)
Если представление D(/?) неприводимо, то С в B4.3) определяется
однозначно, с точностью до постоянного множителя. Кроме того,
матрица С либо симметрична, либо антисимметрична. Чтобы
доказать эту теорему, возьмем соотношение, комплексно-сопря-
комплексно-сопряженное соотношению B4.3), и умножим его на С слева. Тогда
CC*D {Rf = CD (R) С* = D (Rf СС*. B4.3a)
Последнее выражение получается, если снова использовать B4.3).
Если представление D(Rf неприводимо, то матрица СС*, которая
коммутирует с ним, должна быть кратной единичной матрице:
СС* = с1. Кроме того, поскольку С унитарна, СГС*. = 1; отсюда
вытекает, что С = сС . Транспонирование этого соотношения дает
Сг = сС, так что С = с2С, с=±1. Это дает
С=±СГ. B4.36)
Далее, легко убедиться в том, что если С симметрична для пред-
представления D(R), то она будет симметрична и для эквивалентного
представления S~1D(/?)S. Аналогичное утверждение относится и
к тому случаю, когда С антисимметрична, так что возможность,
следующая из B4.36), дает классификацию неприводимых пред-
представлений с вещественными характерами на представления, для
7* Т .
которых С = С , и представления, для которых С = — С .
Резюмируем полученные выше результаты. Если D(R) есть
унитарное неприводимое представление, то таким же будет
представление D (Rf. Представления D (R) и D (Rf неэквива-
неэквивалентны, если х(^) комплексны для любых R. Неприводимое
представление этого рода будет называться комплексным. Если
X(R) вещественны, то D(R) и D(Rf эквивалентны. Унитар-
Унитарная матрица С, которая преобразует одно из них в другое,
либо симметрична, либо антисимметрична. В первом случае
представление будет называться потенциально-вещественным,
а во втором случае — псевдовещественным.
Основание для такой терминологии заключается в том, что
D (R) фактически можно придать вещественный вид, если мат-
матрица С в соотношении B4.3) симметрична. Это следует из сле-
следующей леммы1). Если матрица С одновременно симметрична
') Эта лемма играет важную роль в теории матрицы рассеяния.
Коэффициенты Рака 341
и унитарна, то можно считать ее собственные векторы ве-
вещественными. Из
Cv = u>v B4.4)
при умножении слева на С~1 = С+ = С следует, что v = u>C*v.
Поскольку модуль собственного значения унитарной матрицы ра-
равен 1, комплексное сопряжение последнего соотношения дает
О* = шгЛ B4.4а)
Если v и v* различны, то они могут быть заменены их вещественной и
мнимой частями. Если v и v* различаются лишь постоянным мно-
множителем, они могут быть заменены их вещественной или мнимой
частями. Отсюда вытекает, что симметричная унитарная матрица С
может быть записана в виде
C^r^wr, B4.46)
где г — вещественная ортогональная матрица, r'r=l, a w — диа-
диагональная матрица. Запишем w в виде квадрата другой диагональ-
диагональной матрицы и,; модуль диагональных элементов матрицы Wj
равен 1, причем 11)-' = о>]. Следовательно, B4.3) принимает вид
= D (/?)* r
или, если умножить это равенство на ia~lr = w*r слева и на
г~1о)-1 = г"»)* справа,
w^D (/?) г-1о)* = to*rD (#)* r^Wp B4.4в)
Левая и правая части последнего равенства являются комплексно-
сопряженными друг другу; следовательно, обе части равенства
вещественны. Отсюда следует, что D(R) становится вещественным,
если его подвергнуть преобразованию r~1ti)i = (w1r)~1. Обратно,
если D (R) может быть преобразовано к вещественному предста-
представлению, матрица С должна быть симметричной. Ясно, что С сим-
симметрична (а именно, является постоянной матрицей), если D(R)
уже вещественно. Поэтому она симметрична для всякой другой
формы этого представления. Далее, отсюда следует, что если С
в B4.3) антисимметрична, то T>(R) не может быть сделано веще-
вещественным с помощью преобразования подобия.
Определим, наконец, матрицу С^\ которая преобразует непри-
неприводимое представление ФУ) трехмерной группы вращений в ком-
комплексно-сопряженное представление Фи)*. Матрицы CW) играют
также важную роль в квантовой теории поля. Так как соотноше-
соотношение B4.3) должно выполняться для всякого вращения, применим
его прежде всего к вращению на угол а вокруг оси Z. В этом
342
Глава 24
случае ФУ) является диагональной матрицей и rem-элементы левой
и правой частей B4.3) равны
Так как это равенство должно выполняться для любого а, ма-
матричный элемент Ся„ обращается в нуль во всех случаях, кроме
случая п -f- т = О,
d& = cU\ _m. B4.5a)
Применим затем B4.3) к произвольному элементу группы, но вы-
выпишем только (—У, (А)-элемент B4.3). Соответствующие фи> осо-
особенно просты. Имеем
ср&чт^^&чт?-^?' B4.56)
или, в силу A5.27а) и A5.276),
с?
откуда
c^ = c(/)(—l/-^, B4.5b)
так как J — (t всегда является целым числом1). Поскольку С опре-
определяется из соотношения B4.3) только с точностью до множителя,
выберем су =1; тогда из B4.5а) получим
C{Jl=(-l)J-mbn, _m = (-l)>+"8n, _m. B4.6)
Все элементы матрицы С равны нулю, кроме тех, которые лежат
на косой диагонали. Эти элементы равны поочередно -\-\ и —1,
начиная с -f-1 в верхнем правом углу и кончая в нижнем левом
углу числом —|—1, если j — целое число, и—1, если j — полуцелое:
О ... О 0 1
0
1
10
0 0
B4.6а)
Поэтому С симметрична для целых j и антисимметрична для по-
полуцелых у"; первые из этих представлений потенциально-веще-
') В настоящей книге все показатели основания (—1) являются це-
целыми числами.
Коэффициенты Рака 343
ственны, а последние — псевдовещественны. Мы замечаем также,
что прямое произведение двух потенциально-вещественных пред-
представлений или двух псевдовещественных представлений содержит
только потенциально-вещественные неприводимые компоненты.
Неприводимые части прямого произведения потенциально-веще-
потенциально-вещественного представления и псевдовещественного представления все
псевдовещественныг). То обстоятельство, что представления ?>'¦"
с целыми j могут быть приведены к вещественному виду, можно
было бы усмотреть из того факта, что мы могли бы использо-
вать в A5.5) вещественные линейные комбинации Ylm-\-Yl-m
и i{Ylm—K'_m) сферических функций. Соответствующие Ъ1 имели
бы вещественный вид. Если в соотношение B4.3) подставить явное
Выражение матрицы С, оно принимает вид
>(Л(Я),га., _т; B4.7)
это может быть показано также непосредственно. Естественно, что
вид CU) зависит от того, в какой форме взяты ф'^, но симме-
симметричность или антисимметричность их не могут измениться.
Симметричная форма коэффициентов векторного сложения
Коэффициенты векторного сложения были первоначально опре-
определены в A7.16) как элементы матрицы S, которая преобразует
прямое произведение двух представлений к приведенному виду
A7.15). Они вошли в A7.18) — и это является их наиболее важ-
важной функцией в качестве коэффициентов, позволяющих образовать
функции, принадлежащие m-й строке неприводимого представле-
представления ?>(i) из произведений функций ф^ и ф„ принадлежащих соот-
соответственно ц-й строке ?> и v-й строке ф \ Они выполняют ту же
функцию в B2.27), где волновая функция с квантовыми числами J, m
была получена в виде
т. е. выражена через волновые функции S, которые преобразуются
операторами Q# и Р# по представлениям $>(S) и $>(i) и принад-
принадлежат {т — р.)-й и (а-й строкам этих представлений соответственно.
') См. дальнейшее обсуждение этих соотношений и других характе-
характеристик неприводимых представлений в работе: Е. P. W i g n е г, Am. Journ.
Math., 63, 57 A941); см. также S. W. M42key, Am. Journ. Math., 73,
676 A951). ' ' '
344 Глава 24
Ни в одном из этих случаев три представления &L\ 2D(/), ?>(г) или
W fs fL1 не входят симметрично. Формула A7.22)
- <24-8а>
ближе всего подходит к удовлетворению этого требования, и она
будет нашей отправной точкой; здесь h= I dR — объем группы.
Несколько более симметричной формой соотношения B4.8а)
является
¦"
B4.86)
где S — первоначальная матрица, которая преобразует $>' X
к приведенному виду. Согласно A7.20а) и A7.206),
B4.8b)
Интеграл B4.86) обращается в нуль во всех случаях, кроме случая
т' = |х' -j- v' и т = (л -j- v; при тех же условиях отличны от нуля и
коэффициенты S. Поскольку С+$>*С=СГ$>*С = %, левая часть B4.86)
будет симметричной по /, Г, L, если умножить ее на Cm'vCm\ и
просуммировать по т' и т. В правую часть можно подставить
значение С из B4.6):
/¦
~ 2Z.+ 1
Поэтому, если положить
dR =
~ * L- -}: i» . B4.8r)
to /, / н i будут входить симметрично. По причинам, которые
станут ясными в дальнейшем, положим
l ^ iyri<1)lff-^v B4.9)
При внесении этого выражения в B4.86) множитель (—1) ~
исчезает, так как он появляется в обоих матричных коэффициен-
коэффициентах 5 и так как /—1 — L обязательно является целым числом;
число L является целым или полуцелым в зависимости от того,
целым или полуцелым является число 1-\-1, т. е. 1-\-1 — 21 = 1—/.
Коэффициенты Раки 345
Выражение B4.9) называется 3/-символом; его выражение через s
в более симметричных обозначениях имеет вид
¦Л Л У8\_(-1)/.-л-". (;,Л)
Поскольку коэффициенты s определены только при том условии,
что ]х, j2 и У3 образуют векторный треугольник, т. е. если их
сумма является целым числом и если \]х— ЛI ^ Л ^ Л 4" Л (или.
что равносильно, если ни одно из j не больше, чем сумма двух
других), 3/-символы также определены лишь при этом условии.
Дальнейшие вычисления упрощаются, если положить, что Зу'-сим-
волы обращаются в нуль, если величины j не образуют векторного
треугольника. Аналогичным образом исключается необходимость
указывать пределы суммирования, если приписать значение нуль
тем Зу-символам, для которых абсолютное значение какого-либо m
больше соответствующего j. Поэтому в дальнейшем мы примем
эти условия.
3/-символ, определенный равенством B4.9а), не вполне симме-
симметричен. Полная симметрия не может быть достигнута, поскольку
в случае, когда, например, два из j равны, коэффициенты s не
являются симметричными функциями индексов строк т. Однако
3/-символы удовлетворяют следующим соотношениям-
\fflj 1П2 ttl^/
Jh Л AW Л А M
т. е. при перестановке двух у с одновременной перестановкой
соответствующих т („перестановка столбцов") значение символа
не меняется, если j\-\-j2-\-j3 четно; оно меняет знак, если
А~г"А~г~Л нечетно. Отсюда можно заключить, что значение сим-
символа не меняется, если у подвергаются вместе с соответствую-
соответствующими т циклической перестановке:
'А Л h\fh Л AW/. А Лу
Наконец, если у всех индексов строк изменить знак, получим
B4.106)
т\ —Щ — Щ/ \Щ т2
Таким образом, в общем случае (т. е. когда все три j различны
и, по крайней мере, одно из соответствующих им т не равно
346 Глава 24
нулю) из значения одного символа можно получить значения еще
одиннадцати. Если некоторые из ] равны между собой или если
все т равны нулю, значение символа должно обращаться в нуль
в силу указанных выше соотношений.
Равенства B4.10), B4.10а) и B4.106) можно доказать следующим
образом. Введение Зу-символов в B4.8г) дает
f ©(W<*)«« ®(h)(R)nm ®U'\R)nm dR = h(h h h){ h h M.
B4.11)
Левая часть последнего соотношения не меняется, если переставить лю-
любую пару индексов j с одновременной перестановкой соответствующих
индексов пит, сопутствующих им. Это должно быть верно также и для
правой части, притом для любых значений п. Если положить все п рав-
равными соответствующим т, правая часть становится квадратом Зу'-символа,
причем он не меняется при перестановке любых двух ], сопровождаемой
перестановкой соответствующих индексов нижних строк т. С точностью
до знака это выполняется и для самих Зу-символов. Чтобы найти соотно-
соотношение между знаками, можно положить п\=—]\, n2 = Ji—/3. я3=/3-
Это такой набор значений, для которого 3/-символ может быть определен
особенно просто, так как вся сумма A7.27) для соответствующего s со-
содержит лишь один член с х = 0, отличный от нуля. Фактически нам нужен
только знак символа
( jl h h\, B4.E.2)
а он содержит (—1)Л-^-/« из B4.9а) и (_1)Л(--Л-А из A7.27). Следова-
Следовательно, знак выражения B4.Е.2) определяется выражением (—1JЛ~2Л.
Аналогично знаки символов
/ Л hh\ I hh h \
Vi -h -h Ы Wi h h -hi
определяются выражениями (—\)i*~h-h и (—ц-Jt-Ji+J^ Следовательно,
перестановка первых двух столбцов символа B4.Е.2) приводит к умно-
умножению этого символа на (—l)-'1~-'1~-'s/(—1J-'1~2-/' = (—i^i+^+A. Поскольку
произведения двух символов в B4.11) должно оставаться без изменения
при такой перестановке, второй символ тоже должен меняться на тот же
множитель при перестановке первых двух столбцов. Подобным образом
перестановка последних двух столбцов дает множитель
так как (—IL-'1 = 1. Это показывает, что перестановка последних двух
столбцов меняет 3/-символ на множитель (—цЪ+J'+J». Это доказывает
равенство первого, второго и последнего из выражений B4.10). Отсюда
вытекают равенство третьего выражения B4.10) и равенства B4.10а).
Назначение множителя (—\)J'~^~m> заключается как раз в том, чтобы
обеспечить выполнение соотношений B4.10) и B4.10а).
Чтобы доказать B4.106), заметим, что правая часть B4.11) веще-
вещественна. Следовательно, правая часть может быть заменена комплексно-
сопряженным выражением, а Ф* можно снова выразить через Ф с по-
помощью B4.7). Это дает множитель (—l)n>+n>+n<>-m'-mi-m\ который может
Коэффициенты Раки • 347
быть, однако, опущен, так как обе части равенства не равны нулю только
при щ -\- п2 + пз = 0 и m, + т2 + »г3 = 0. Следовательно,
\— n, — n2—nj\~m1 — m2—m3) 1/2, n2 nj Vm, m2 mj'
Если снова положить я, =— /i, n2 = j\—Уз, ri3=j3, то знак первого
символа в правой части B4.12) становится равным (—lJ-'1-'». Символ
в левой части также приобретает вид B4.Е.2), если переставить первый
столбец с последним. Следовательно, его знак определяется выражением
(_1)Л+Л+Л(_1JЛ-2;, = (_1)-/.+Л-Л_ Поэтому отношение первых мно-
множителей имеет знак (—1 )•/¦+./»'"Л. эт0 доказывает изменение знака, ука-
указанное в B4.106); замена чисел п соответствующими т показывает, что
абсолютные значения обеих частей B4.106) также равны. Более абстракт-
абстрактный вывод этих соотношений дан в статье, указанной в примечании на
стр. 343.
Ковариантные и контравариантные коэффициенты
векторного сложения
Связь между орбитальным и спиновым моментами, приводящая
к полному моменту количества движения и данная в соотношении
B4.8), может быть выражена с помощью Зу-символов:
W^. B4.13)
и m г т]
Показатель степени первого множителя записан в таком виде
потому, что Z- —f- p. mm — ja — 5 являются целыми числами. Нет
необходимости указывать пределы суммирования по |х, если поль-
пользоваться условием, что все Зу-символы, у которых абсолютное
значение индекса строки превосходит соответствующий индекс
представления, равны нулю. Первый и последний столбцы Зу-сим-
вола можно переставить с помощью B4.10). Это не вызывает
никакого*изменения, если одновременно изменить знаки всех индек-
индексов строк. Кроме того, можно заменить т — ц на v и производить
суммирование также и по v. Зу-Символы будут обращаться в нуль
во всех случаях, кроме p.-f-v — т = 0. Таким путем B4.13)
можно привести к виду
^ , 3?. B4.13a)
Если, наконец, заменить Wi, на (—lJi4P"m, а показатели — их
величиной с обратным знаком (что допустимо, поскольку они целые),
то найдем
J S L\ ,,
Eva. B4.136)
348 Глава 24
Дальнейшее усовершенствование обозначений может быть до-
достигнуто введением понятий ковариантных и контравариантных
компонент волновой функции и 3/-символов *). Ковариантным
метрическим тензором, естественным образом приспособленным
для этой цели, является СЩ; он определен в B4.3) и имеет явный
вид B4.6). Такой тензор позволяет опускать индексы вектора,
выражая ковариантные компоненты /т вектора через его контра-
вариантные компоненты ff :
fJm = ^C%m'f7'. B4.14)
т'
Следует заметить, что тензор Стт<—(— l)J+mbm>i _OT симметричен
только при целых J, так что два индекса т, т' переставлять нельзя.
Переход от ковариантных компонент к контравариантным произ-
производится аналогичным образом:
?. B4.14а)
п'
где 2)
Сп/ = (-IO"" Ь„, _„' = (-1)/+п' 5„, _„-. B4.146)
Мы будем пользоваться только ковариантными компонентами волно-
волновых функций, но как ковариантными, так и контравариантными
компонентами ЗУ-символов. Например, компонента Зу-символа,
контравариантная по последнему индексу, есть
h h ? )=S cr (Ji h j,) = (-iy- (Jl h
Щ Щ J / t/ \m1 m2 m' J \ml m2 —т.;
B4.15)
Выражение B4.136) с помощью таких обозначений может быть,
очевидно, записано в виде
^ l [)^ B4.15а)
или, короче,
Wi = V2JTI (jmS*L») E^. B4.156)
В B4.15а) и B4.156) в отношении индексов строк (т. е.
индексов v, |х и т. д., указывающих строку представления) исполь-
использован принятый в общей теории относительности прием обозначе-
') Они первоначально были предложены К. Херрингом.
2) Можно предложить следующее мнемоническое правило для запо-
запоминания знака в B4.146): первый индекс (л) контравариантного (сол-
travariant) метрического тензора входит в показатель с отрицательным
(negative) знаком.
Коэффициенты Раки 349
ния суммирования: по повторяющимся индексам строк производится
суммирование. Один из индексов в каждой суммируемой паре
всегда ковариантный (нижний), а второй — контравариантный (верх-
(верхний). Свободные индексы строк, т. е. индексы строк, по которым
не производится суммирование, ковариантны в обеих частях этого
равенства или контравариантны в обеих частях. Поскольку кова-
риантные индексы поднимаются в обеих частях с помощью одного
и того же метрического тензора, свободные ковариантные индексы
можно заменить в обеих частях любого равенства на свободные
контравариантные индексы, и наоборот. В результате свободные
индексы можно фактически опустить в обеих частях. Соотношение
вида B4.15а) или B4.156), имеющее „релятивистски инвариант-
инвариантный вид", остается справедливым и в том случае, если предста-
представления не приведены к виду, указанному в гл. 15, а лишь эквива-
эквивалентны этим представлениям. Следует заметить, что величины s
в гл. 17 являются по существу смешанными Зу-символами
\ }). B4.16)
Несмотря на большое сходство принятых обозначений с обо-
обозначениями, используемыми в общей теории относительности, между
ними имеется существенная разница. Индексы векторов и тензоров
теории относительности пробегают всегда одни и те же значения
(О, 1, 2, 3); они относятся к осям в одном и том же простран-
пространстве. Индексы яг, и, (а и т. д. все связаны с некоторым представ-
представлением; они относятся к различным партнерам, принадлежащим
некоторому неприводимому представлению. Каждый индекс может
принимать столько значений, сколько строк и столбцов имеет
представление, с которым он связан. Суммирование („свертка")
всегда производится по индексам, относящимся к одному и тому
же представлению; свободные индексы в обеих частях соотно-
соотношения— как, например, m в B4.156) — относятся к одному и тому
же представлению (в данном случае к ф ). Естественным след-
следствием этого является то, что не существует единого метрического
тензора; каждое представление имеет свой метрический тензор.
Разница между индексами, связанными с различными предста-
представлениями, находит свое отражение также в симметричности или
антисимметричности тензоров; эти соотношения, записанные в B4.10)
и B4.10а), не зависят от вида представления только в том случае,
если переставляемые индексы относятся к одному и тому же пред-
представлению. Однако в этом же случае они действительно не зависят
350 Глава 24
от вида представления, и соотношение
справедливо независимо от того, в каком виде взято используемое
представление. Это обстоятельство и приводит к тому условию
относительно знаков Зу-символов, которое было принято.
Соотношение B4.17) имеет интересное прямое следствие: если
связываются две частицы, волновые функции которых являются
партнерами одного и того же представления („эквивалентные ор-
орбиты"), образуя состояние с полным моментом количества дви-
движения J,
WJm(l, 2) = (Jm, /, /"Hv A)^B) B4.17а)
(здесь цифрами 1 и 2 обозначены переменные двух рассматривае-
рассматриваемых частиц), то получающееся при этом состояние будет сим-
симметричным относительно перестановки двух частиц, если J-\-2j
четно, и антисимметричным, если J-\-2j нечетно. Так, два 2/?-элек-
трона дают симметричные 5- и D-состояния и антисимметричное
Р-состояние. Это соответствует случаю у (в данном случае назы-
называемого /) равного 1 и J (в данном случае называемого L) равного О
или 2 в симметричном случае и равного 1 в антисимметричном случае.
Аналогично в результате связи двух спинов электронов получаем
симметричное состояние 5=1 и антисимметричное состо-
состояние 5 = 0.
Запишем, наконец, полностью контравариантную форму Зу-сим-
вола:
— 1) (J-m, о_,, ^-iO- B4.18)
Множитель (—\ym~v-v- может быть опущен, так как Зу-символы
не обращаются в нуль только при m-\-v-\-\L — 0. Поэтому B4.106)
дает
(Л S\ l?) = {Jm, 5V, L^); B4.18a)
полностью ковариантные а полностью контраеариантные
Ъ]-символы равны. Эта теорема зависит от вида представлений,
принятого в гл. 15. Однако она позволяет нам записать B4.11)
в ковариантном виде. С этой целью прежде всего заметим, что
хотя индексы коэффициентов представления записаны как нижние
индексы, в действительности первый индекс является контрава-
риантным индексом. Это очевидно уже из основной формулы
К I" m, mm
Коэффициенты Раки
Суммирование по ш' показывает, что этот индекс следовало бы
писать как верхний. Поэтому представляется естественным вместо
B4.11) писать
/я, re, пг\ ( J, J2 Уз ,
= й( , . , • B4.186)
\Л Ji Js/\mi т2 Щ/
Вычислим ковариантно-контравариантные компоненты представ-
представления ©(^(#)nm:
CJ ,С?т'3)(-"(R) , ,=(С1)'лСг ) , B4.18в)
tin j ft til л
так как контравариантный метрический тензор является обратным
по отношению к ковариантному метрическому тензору. Так как
СТ — (—lJ-'С и так как С преобразует ф в ?>*, находим, что
ковариантно-контравариантная пт-компонента представления
ф^(/?) отличается множителем (— 1)^ от комплексно-сопряженной
контравариантно-ковариантной компоненты ?> (R) [т. е. обыч-
обычной 25(;) (R)nm\ ¦ Для первоначального вида интеграла от трех коэф-
фициентев представлений это дает
re, re9 J\/J, Jo m\
л л .)U щ /)• <24л8г)
Разумеется, B4.18г) могло бы быть получено и непосредственно.
Теорема о равенстве полностью ковариантных и полностью
контравариантных компонент 3/-символа позволяет записать соот-
соотношения ортогональности A7.28) в инвариантном виде:
Л Л У\/^ Щ т'\ >y;,»miB, ^
тх m2 m/\j1 j2 J'J 2/4-1
При т — т' это соотношение эквивалентно первому из соотно-
соотношений A7.28); при т ф т' каждый член суммы обращается в нуль,
так как от, -j- т2 не может быть равным как — т, так и — т'.
Другое соотношение ортогональности приобретает вид, не зави-
зависящий от вида представления:
j J\/m' т! т\ Ьтт'Ьт '
2 /N•'1 •»^2 •* / ¦/!
Здесь подразумевается суммирование по m в силу сокращенного
обозначения суммирования. Ковариантные обозначения используются
352 Глава 24
не только и, может быть, не столько потому, что они приводят
к соотношениям, которые не .меняются, когда представления под-
подвергаются преобразованиям подобия. Их главная задача состоит
в том, чтобы облегчить запоминание этих соотношений. Из них
следуют также весьма сжатые обозначения, которые будут введены
в следующем разделе.
Коэффициенты Раки
Предыдущие расчеты указывают более симметричный вид коэф-
коэффициентов векторного сложения, но не дают еще соотношений,
которые позволили бы без труда и с наименьшими вычислениями
получить формулы последней главы. Как уже упоминалось в пер-
первом разделе настоящей главы, между коэффициентами векторного
сложения должно существовать некоторое общее соотношение,
которое при полном его использовании может сделать совершенно
прозрачными выводы формул Хёнля — Кронига, правила интер-
интервалов Ланде и других аналогичных выражений. Имеется много
способов вывести искомые формулы; некоторые формулы уже
следуют из расчетов последней главы.
Рассмотрение трех частиц, движущихся в сферически симме-
симметричном поле, приводит к вышеупомянутым соотношениям наиболее
естественным путем1). Первая частица имеет значение энергии,
которому принадлежат волновые функции фх при * = — j\,
— y'j-r-1, ..., j\ — 1, j\; функции фх являются партнерами и
принадлежат представлению 2)^. Волновыми функциями, соответ-
соответствующими энергии второй частицы, являются <рх; эти функции
принадлежат представлению ?>(л\ Соответствующими величинами
для третьей частицы являются ^ и Ф(Л). Волновая функция всей
системы является линейной комбинацией функций
ФхA)?хB)%!1C), B4.Е.4)
где цифрами 1, 2, 3 обозначены координаты трех частиц. По-
Поскольку функции фхA) всегда будут зависеть от координат первой
частицы, в дальнейшем ее аргумент будет опускаться. Подобным
образом вместо tpxB) и X C) будем писать <рх и % . Рассматриваемая
ситуация является крайне схематичной и не описывает какой-либо
реальной физической системы. Однако связанные с ней сообра-
соображения полезны для получения искомых соотношений.
') См. цитированные выше работы Рака (стр. 227) и монографию
Эдмондса (стр. 338), гл. 6; см. также L. С. В i e d e n h a r n, J. М. В 1 a 11,
М. Е. Rose. Rev. Mod. Phys., 24, 249 A952).
Коэффициенты Раки 353
Образуем линейные комбинации волновых функций B4.Е.4),
которые преобразуются по неприводимому представлению У при
вращении координат всех трех частиц. Такие волновые функции
можно получить тремя различными путями. Во-первых, можно
связать моменты количества движения первых двух частиц в резуль-
результирующий момент j, согласно B4.15а),
])ы- B4-2°)
j2 /
и затем связать третью частицу с полученным моментом j, так
чтобы образовать полный момент количества движения У,
2. 3) = /2Т+ТЦ ^ ;)х;Д4A. 2) =
J
Jta, B4.21)
Индекс j указывает полный момент частиц 1 и 2, посредством
которых было получено состояние Х$. Волновая функция B4.21)
была бы естественным предметом рассмотрения, если бы взаимо-
взаимодействие между частицами 1 и 2 было сильнее, чем взаимодействие
каждой из этих частиц с частицей 3.
С другой стороны, состояния с моментом У могут быть полу-
получены, если связать сначала частицы 2 и 3, а результирующее
состояние — с частицей 1 или если связать частицы 1 и 3, а затем
получить окончательную волновую функцию, связывая полученное
таким образом состояние с частицей 2. Эти схемы соответствуют
более сильному взаимодействию между частицами 2, 3 и частицами 1, 3
соответственно, однако мы не будем рассматривать эту моти-
мотивировку более подробно. Полученные таким путем волновые функ-
функции имеют вид
г , У т. m
2, 3) = У/ [
ФИО. 2, 3) = /2У+1/2У+1(ж л . )[т у.
B4.21а)
т\ ( j \
B4.216)
Индекс j в B4.21а) означает совместный момент частиц 2 и 3.
Подобным образом j в B4.216) дает совместный момент частиц 1
и 3.
354 Г лава 24
Три состояния WJi, Ф'м и Х^ не совпадают, хотя полный
момент количества движения и его Z-компонента равны Jh и МЬ
для каждого из них. Однако поскольку каждое состояние B4.Е.4)
может быть выражено в виде линейной комбинации всех Ф'ж , то
р
это справедливо также и для Wjm или Xjif. Кроме того, если выра-
выразить, например,
Х& = 2 2 с (jJM; j'J'M') Ф&' B4.22)
у гм'
через функции Ф, то коэффициенты при Ф'м' с f Ф J или М' ф М
будут обращаться в нуль, так как эти функции Ф принадлежат
либо представлению, отличному от представления ф функ-
функций Х-м, либо иной строке этого представления. Следовательно,
суммирование по J', М' в B4.22) может быть опущено, а эти
индексы можно заменить на У и Ж. Далее, коэффициенты
с (jJM; j'JM) не зависят от М, так как и X^f и Ф'м являются
партнерами, принадлежащими одному и тому же представлению &J\
Скалярные произведения \Х.м, Флг ) не зависят от М. Поэтому
и коэффициенты с не зависят от М.
Следовательно, если всюду опустить множитель 1/2/+1,
B4.22) дает соотношение вида
J р т\/ J г
1/27+1Uл;X
J I
Mjtj,){m
V, , , / J I m\fj' x jx\
= 2 ЛГ, Л W +i{Mjtj,){m h h)ЫХ,, B4.22а)
В обеих частях последнего соотношения подразумевается сумми-
суммирование по т, х, X, \х. Однако, в силу линейной независимости
функций ф/рхХр.. коэффициенты при каждом произведении t|ypxX
в обеих частях равны
П [Л
B4'23)
Л Л J \ ~ Y2JTTVWTT• B4-23а)
где
, _ (-1)гУ(/;Л
Коэффициенты Рака 355
Эти величины называются бу'-символами, или коэффициентами Раки1)
или коэффициентами повторной связи (recoupling coefficients). По-
Последнее название указывает на связь с настоящим выводом, кото-
который заключается в переходе от волновой функции X к волновой
функции Ф. В первом случае сильно связаны частицы 1 и 2,
а во втором — частицы 1 и 3. Из вывода следует, что бу-символы
не зависят от х, К ;х [эти индексы вошли только при переходе
от B4.22а) к B4.23)], а также не зависят от М (как уже было
указано). Ниже мы покажем это еще раз. Следовательно, B4.23)
является тождеством по х, X, ц, и бу-символ является универсаль-
универсальной функцией шести у, входящих в него; он полностью (численно)
определяется этими шестью числами. Заметим, что в обеих частях
равенства B4.23) подразумевается суммирование по т. Фактически
же, поскольку в B4.23) последний Зу-символ не обращается
в нуль только при т = х + ^. для каждого у' лишь один член
отличен от нуля, и правая часть содержит по существу только
суммирование по у'. Кроме того, в силу наличия Зу'-символов
в правой части, даже член с /ra = x + lJ' исчезает, если не выпол-
выполнено равенство Ж —Х-|-/га = х + ^ + !х- Левая часть содержит
только один член — член с т — ъ-\-\ — и обращается в нуль,
кроме случая M = [i-|-/re = x-|->.-f-[A. Таким образом, B4.23)
является нетривиальным соотношением только при М = х -f- X -|- [*•
Это не удивительно, так как Xfo и Фм содержат только произ-
произведения фхФхХц с *-b^-|~ti =-M. так что сравнение коэффициен-
коэффициентов при остальных <JWxZa не может дать никакой дополнительной
информации.
Равенство B4.23) содержит искомое соотношение. Придадим
ему теперь различные формы, а также запишем его в более сим-
симметричном виде. С этой целью заменим сначала в обеих частях
контравариантные индексы х, X, р, ковариантными индексами
и произведем циклическую перестановку в обеих частях во втором
Зу-символе. Заменим также различные виды у другими символами
и получим
fh к ь\А к г
J
( Л B424)
') Фактически коэффициент W Рака не равен в точности 6_/-символу;
они связаны соотношением
Hi 'а 'з;
356 Глава 24
В это соотношение входят четыре Зу-символа и соответственно
имеются четыре тройки чисел у и /, которые должны образовы-
образовывать векторные треугольники. Три члена каждой тройки (напри-
(например, W) входят в различные столбцы 6у-символов и либо все
три находятся в верхней строке, либо два из них стоят в нижней
строке, а третий — в верхней. Наоборот, бу'-символы были опре-
определены только для тех случаев, когда эти четыре тройки (т. е.
JJiJ, J^4'hJ4' V2./) °бразУют векторные треугольники. Все осталь-
остальные бу'-символы мы положим теперь равными нулю. Было бы до-
довольно трудно запомнить положение каждого*/ и / в бу'-символе
в B4.24), но мы сразу же покажем, что все те б/'-символы, ко-
которые составлены из одних и тех же у и в которых одни и те же
тройки должны образовывать векторные треугольники, равны.
В результате (если отвлечься от знака) оказывается довольно легко
запомнить соотношение B4.24), которое ясно показывает переход
от связи у, с у2 (и /j с 12) к связи y"j с /2 и /j с у2. Все эти
числа могут быть целыми или полуцелыми.
Введем теперь сокращенное обозначение, упомянутое в конце
предыдущего раздела. Оно заключается, в сущности, в опускании
всех индексов строк. Свободные индексы строк одинаковы в обеих
частях и могут иметь любое значение, поэтому их можно не
выписывать. Далее, нет необходимости указывать, являются ли
они ковариантными или контравариантными, если только запом-
запомнить, что они имеют одну и ту же природу в обеих частях.
Индексы, по которым производится свертка, можно также не выпи-
выписывать, так как по ним в любом случае производится суммирование.
Однако в этом случае необходимо указать, какие индексы являются
ковариантными, а какие — контравариантными; это будет делаться
с помощью точки сверху или снизу. При перестановке двух
точек у двух у, по индексам которых произведено суммирова-
суммирование, возникает множитель (—lJ^, так как
Следовательно, соотношение B4.24) в сокращенных обозначениях
имеет вид
B4.24а)
Если изменить положение точек в левой части равенства, возникает
множитель (—1J/ = (—1J/<+2'''; при изменении их положения
в правой части возникает множитель (—1J; = (—ЛЛ
Коэффициенты Раки 357
Соотношения ортогональности B4.19) в сокращенных обозна-
обозначениях принимают вид
B4.25)
где символ 8(У., /•) равен нулю, если j ф f или если соответ-
соответствующие индексы не равны, и равен 1, если У —у' и соответст-
соответствующие индексы равны и стоят на, тех местах в левой части равен-
равенства, которые указаны точками в правой части. Следовательно,
8(Л, У-) = (-1J/'8(/. /)• B4.25а)
Разумеется, не всегда можно пользоваться сокращенными обозна-
обозначениями; в частности, ими нельзя пользоваться в случае, когда
одно и то же у входит дважды в одну и ту же часть соотноше-
соотношения, причем по индексу соответствующей проекции суммирование
не производится. В этом случае одно и то же у встречается
дважды и в другой части равенства, так что в вопросе о том, какой
из индексов должен быть отождествлен с j, возникает неодно-
неоднозначность. По этой причине сокращенными обозначениями нельзя
пользоваться в релятивистских расчетах (там все индексы отно-
относятся к одному и тому же пространству). В настоящем же случае
использование сокращенных обозначений делает многие вычисления
более прозрачными.
Ввиду наличия суммирования по у в правой части B4.24) оно
не дает явного выражения бу'-символа. Такое выражение может
быть получено, если умножить B4.24а) на (V2/3) и свернуть по
индексам моментов 1г и /2:
Ц1 ? \
Точки у /j в левой части можно поменять местами; при этом
исчезнет множитель (—IJ'1 в правой части. Последние два множи-
множителя справа сокращаются после суммирования с 2у* —(— 1 в силу
B4.25); у следует заменить на у3, а его индекс, где он свободен,
будет иметь то же самое положение, что и индекс момента у3.
Следовательно,
(МЛ) (V,WM) = {/' f 'i ) C/iVa). B4-246)
VI 2 3 '
Это, по-видимому, наиболее важное соотношение, содержащее коэф-
коэффициенты Рак&; мы воспользуемся им в следующем разделе при
вычислении матричных элементов неприводимых тензорных опера-
операторов. Оно показывает, что вследствие циклической симметрии
Зу'-символов столбцы 6/-символа можно подвергать циклической
перестановке. Аналогичным образом перестановка j\ с у2 и 1г с /2
358 Глава 24
в B4.24) приводит к появлению в левой части множителя
(_1/.+Л + |'+\ а в правой —множителя (_1)^-^+А+Л+Л+*.+У#
Отношения этих Зу-символов, входящих в обе части равенства,
изменяются так, что появляется множитель (—i)'»-2^2-^ который
равен 1, поскольку векторы lv l2, j должны образовывать век-
векторный треугольник. Сочетание этих двух результатов показывает,
что 6у'-символ остается неизменным, если его столбцы пере-
переставлены произвольным образом. Наконец, перестановка jx с /\ и
у2 с U приводит к появлению в левой части B4.24) множителя
(—IJ (вследствие перестановки ковариантного и контравариант-
ного X) и в правой части — множителя (—1J^~2/>+2^ Отношение
этих множителей также равно 1, поскольку обе пары j\j и 1Х1
образуют векторные треугольники с у2. Следовательно, бу-символ
не меняется, если переставить первые два столбца. Комбинация
этого результата с предыдущим показывает, что 6/-символ не
меняется при перестановке любых двух столбцов. Всего
имеется 24 перестановки у, не меняющих бу'-символ; это все те
перестановки, которые переставляют произвольным образом четыре
тройки векторных треугольниковJ). Между бу'-символами суще-
существуют другие соотношения. В частности, соотношения симметрии
могут быть записаны в более явном виде, если B4.246) умножить
на полностью контравариантный Зу'-символ от У^у'з и свернуть
по всем относящимся к ним индексам.
Наиболее простая общая формула для вычисления бу-символа
следует из B4.246). Чтобы получить ее, выберем некоторые спе-
специальные значения для \iv ц.2, ;х3; положим |^ =— у\, [JUg = у"г—у,
jx3 = у3, что обеспечивает наиболее простые выражения для Зу-
символов, которые только могут быть получены в общем случае.
На аналогичном выборе \х неявно основано вычисление бу-символов
при выводе формул Хёнля — Кронига. Несколько иное выражение
для Зу-символов было дано в работе Раки2). Тем не менее вычи-
вычисление остается весьма трудоемким. Однако имеются обширные
таблицы бу-символов или эквивалентных им величин. Таблица
Шарпа и др.3) является, пожалуй, наиболее приемлемой. Отметим
') Подробности см. в цитированной на стр. 338 монографии Эдмондса
и в цитированной на стр. 352 работе Биденхарна, Блатта и Роуза.
2) См. цитированную на стр. 227 работу Рака.
3) Sharp, Kennedy, Sears, Hoyle, Tables of Coefficients for
Angular Distribution Analysis, CRT-556, Atomic Energy of Canada, 1954.
См. также Simon, Van der Sluis, Biedenharn, Oak Ridge Na-
National Laboratory Report 1679, 1954; Obi, Ishidzu, Horie, Y ana-
go w a, Tanabe, Sato, Ann. Tokyo Astron. Obs., 1953—1955; R о t e n-
berg, Bivins, Metropolis, Woo ten, The 3-/ and 6-/ Symbols,
Cambridge (в печати); К. М How с И, Tables of 6-; Symbols, Univer-
University of Southampton.
Коэффициенты Раки
359
лишь три довольно тривиальных случая. Если у2 = 0, то векторы
h> Л- h будут составлять векторный треугольник только при
/3 = /,. Аналогично из треугольника у",, у2, у3 следует у,=у3.
Поэтому при у'2 = 0 все не обращающиеся в нуль бу'-символы бу-
будут иметь вид
Л о л
к У к
+ 1 V%h +
B4.26)
Симметрия бу-символов позволяет сместить 0 в любое положение
При у2 = 72 имеем два типа бу-символов:
1 I
2 2
h
(У+1МУ-2У)
• _I I •
7i 2 2 У1
I
Уг 2 •* -^2
B4.266)
где j = y1-T-._
Наконец, при у2 = 1 имеются четыре типа бу-символов
f У1 — ! 1 У\
I Уг У Уг
У(У+1)(У-2У-1)(У-2У)
/-1 Г (J -2Л) (/-2У, + 1) (/-2Л) (¦/-2Л + 1) I1*
' L J
~l ' L BУ,-1Jу,
Л Wl
У 2 — x J h
. уг 2(/+1)(У-2у)(У-2у,)(/-2у2+1) ]'/а
— ^ > 12y, By, + 1) BУ, + 2) B/2 - 1) 2;2 B/2 + 1) J '
!
У2 У У»
ЛМ-1)-Л(У, + 1)-Л(У. + 1) ,B4,26e)
U1 BУ, + 1) BУ, + 2) y, B/2 + 1) B/2 + 2)]V«
360 Глава 24
Последняя формула, если подставить jx = L, j2 = S, j = J, будет
эквивалентна правилу интервалов Ланде.
Поскольку 6/-символы не зависят от вида, в котором взяты неприво-
неприводимые представления, то, казалось бы, можно найти их, исходя из харак-
характеров представлений. Это не вполне верно, так как при определении этих
символов были наложены условия на знак. Однако имеются выражения
с бу-символами, которые не зависят от этих условий относительно знака,
как, например, квадрат 6/-символа. Действительно, квадрат 6/-символа
может быть выражен в виде тройного интеграла по группе
Ц h hi ~
/ / , (Л,) Ъ №) Хз (Л.) x'i (R2R^)l2 (*3#f') X
где it — характер представления ?>' ", а Хг —характер представления
?л ". Мы не будем приводить здесь подробного вывода этой формулы.
Кроме упомянутых выше, бу-символы удовлетворяют большому числу
других соотношений. В частности, можно показать, что матрица
ортогональна. Вследствие того, что столбцы 6/-символов могут быть пе-
переставлены, каждый такой символ является элементом трех вещественных
ортогональных матриц, если отвлечься от множителей, аналогичных
бу-символы могут быть определены для довольно большого класса
групп. В связи с этим возникает вопрос о том, определяют ли их зна-
значения группу. Этот вопрос до настоящего времени еще не решен.
Матричные элементы бесспиновых тензорных операторов
Формулу B1.19) для матричных элементов тензорного опера-
оператора можно было бы переписать с помощью Зу-символов; однако
проще вывести ее заново. Так как рассматриваемый оператор
является скаляром по отношению к вращениям спиновых коорди-
координат, его ранг из по отношению к вращениям всех координат равен
его рангу р по отношению к вращениям обычных координат. Мы
опустим все квантовые числа N, N' и т. д., которые не суще-
существенны в настоящий момент, и напишем
{К, ГЧ&) = (О*Ч&. ORrO'RORK). B4.27)
Обе части этого соотношения равны, так как оператор On
является унитарным. Поскольку Wm и Wjm принадлежат пред-
Коэффициенты Раки 361
ставлениям ф(У ) и ф(/), а Т" является тензорным оператором по-
порядка р [см. B1.166)],
В силу унитарности представления D(p)(/?)CJT = S(p) (/?)*„. Инте-
Интеграл по всей группе слева дает множитель Г dR = h. Справа по-
получаются дважды контравариантный и ковариантный, а также
контравариантный и дважды ковариантный Зу-символы. Поэтому
ГО = {Г, Р°, j'm)Tjj., B4.27а)
где
т>у. = 2 S(-D27+2p(^. л. ^')« г<0
t lip.'
не зависит от /га, /га' и о. Эта формула требует только, чтобы У и У
были хорошими квантовыми числами и чтобы Т был неприводи-
неприводимым тензорным оператором ранга из = р по отношению к враще-
вращениям всех координат. Величина Tjj> в B4.27а) представляет про-
произведение (—\)j-p~j YiJ'-\-1 на соответствующую величину
из B1.19); в остальном эти два соотношения полностью эквива-
эквивалентны. Заметим, что ковариантная компонента первого сомно-
сомножителя скалярного произведения играет роль контравариантной
компоненты. Причина этого заключается в том, что при вычисле-
вычислении скалярного произведения нужно взять величину, комплексно-
сопряженную первому множителю.
Предположим теперь, что имеет место связь Рессела — Саун-
дерса и что WJm и ч?т- могут быть выражены с помощью B4.156)
через функции Ef? и Sf^, имеющие соответствующие кванто-
квантовые числа для спина и орбитального момента. Так как Т" является
бесспиновым оператором или по крайней мере скаляром относи-
относительно вращений спиновых координат, матричный элемент B4.27)
не обращается в нуль только при S = S'. Поэтому положим
S — S' и, в силу B4.156), получим
№• "П^О =/2У+ТУ27+Тх
X(JM. S\ L»)(jm., 5V', ?V)(B«, ГЕ??). B4.28)
Скалярное произведение в правой части не зависит от У и У,
так что это выражение позволит нам сравнивать не только мат-
матричные элементы между состояниями с определенными У и У,
но также и матричные элементы между всеми состояниями двух
мультиплетов. Рассматриваемые состояния отличаются не только
магнитными квантовыми числами ш и /га', но также и значениями
362 Глава 24
полного момента количества движения; J может принимать все
значения от \S—L\ до S-\-L, a J' — все значения от \S — L'\
до S + U.
Первый Зу-символ в B4.28) происходит от первого множи-
множителя скалярного произведения. Чтобы придать этому соотношению
„релятивистски инвариантный вид", превратим ковариантные ин-
индексы в контравариантные, и наоборот. Вычисление, сходное
с вычислением, приводящим к B4.18а), показывает, что
(Jm, S\ L») = (-lf{jm, S,. g. B4.28a)
II 2 S-J-2 /
[Вместо (—1) можно было бы написать (—1) , причем в по-
показатель входят либо ковариантные, либо контравариантные век-
векторы.] Поскольку Т" также является неприводимым тензором
ранга р относительно вращений обычных координат, к нему при-
применимо и соотношение B4.27а). Запишем его в виде
C^, ГЕ^'О = bw (Z/, р\ 40 TSLi si- ¦ B4.29)
Tsl,sl' не только не зависит от [*, a, [*', как и раньше, но также
не зависит от v, поскольку Т° является скаляром по отношению
к спиновым переменным. Комбинируя B4.27а) и B4.29) с B4.28),
получаем
(Г, р". /«-) Tjr =
X(L\ p\ 40^1,51'. B4.29a)
Это равенство должно быть тождеством по т, т!', о. В самом
деле, ясно, что участвующим здесь тождеством является B4.246),
и после приведения знаков находим
B4.30)
Эта общая формула применима в случае связи Рессела — Саун-
дерса и дает отношения матричных элементов между всеми состоя-
состояниями двух мультиплетов для оператора, который является не-
неприводимым тензором ранга р относительно обычных координат,
но инвариантен при вращениях спинов. При /?=1 она содержит
формулы Хёнля — Кронига. Аналогичное соотношение с заменой
ролей L и S применимо к оператору, который инвариантен отно-
относительно вращений обычных координат, но преобразуется как
неприводимый тензор ранга q при вращениях спиновых координат.
Коэффициенты Раки 363
Взаимодействие между спином и внешним магнитным полем
является таким оператором (с q=\), а множитель в формуле
Ланде B3.24) является, в сущности, коэффициентом Раки, или
бу'-символом. Мы не будем дальше рассматривать этот вопрос,
так как наиболее важные результаты уже были получены в пре-
предыдущей главе путем прямых вычислений.
Общие двусторонние тензорные операторы
Свойства бу'-символов представляют значительный принципиаль-
принципиальный интерес. Практическая их польза зависит от числа конкрет-
конкретных задач, которые они упрощают, от значения этих задач и от
простоты пользования этими символами. Таблицы бу'-символов,
очевидно, более громоздки, чем большинство математических таб-
таблиц, поскольку они зависят от шести переменных. В этом отно-
отношении они более сложны, чем даже коэффициенты векторного
сложения, которые зависят по существу только от пяти перемен-
переменных. Задача настоящего раздела приводит к понятиям, которые
часто называют 9у-символами и которые зависят от девяти пере-
переменных, причем предшествующие замечания относятся к ним
в еще большей ст( пени1).
Рассмотрим теперь двусторонний тензорный оператор Т?р или,
вернее, как уже указано в B4.1), неприводимый тензор2)
Гш = (ю\ qt, ра)Г;р. B4.31)
который преобразуется согласно B4.1а) при одновременных вра-
вращениях спиновых и обычных координат. Предположив связь
Рессела — Саундерса, выразим WJm и WJm' через соответствующие S
с помощью B4.156) и, пользуясь сокращенными обозначениями,
получаем
\p){/m,S'-L'-)(Ss.L, Г„&„'1'). B4.32)
Поскольку мы не определили контравариантных компонент вол-
волновых функций, все их индексы являются нижними. Последний
матричный элемент может быть записан в виде
B?Д T?E?V ) = ($'. Ч?. ?-)(?\ р". ^Tsw. B4.32а)
') См. К. Smith, J. W. Stevenson, Argonne National Labora-
Laboratory Report 5776.
2) Заметим, что оператор B4.31) отличается от оператора B4.1) мно-
множителем (— Vf-Р-1» /2<о + 1, который входит в B4.16).
364 Глава 24
что аналогично B4.27а) или B4.29). Напишем также
«. ТК') = СЛ <»\ Jm')TJr. B4.326)
Это соотношение по-прежнему справедливо, так как оно опи-
опирается только на предположение, что J и У являются хорошими
квантовыми числами. Мы хотим снова выразить Tjj, через Tsl,s'l',
а также показать, что правые части B4.32) и B4.326) одинако-
одинаковым образом зависят от яг, т' их. Чтобы получить „релятивистски ин-
инвариантный" вид соотношения, отождествляющего B4.32) с B4.326),
следует изменить положение всех индексов первого Зу-символа
в B4.32). Это всегда следует делать по отношению к символам,
происходящим от первого множителя скалярного произведения;
в данном случае это вводит множитель (—IJ7. Мы получаем
(У, со, f) Tjr = (— 1J//27+Т V^TTl (JS.L.) (шд.р.) X
X(J'S-L'-)(S-qS:)(L-p-L:) TSLtS,L,. B4.33)
Отношение суммы произведений пяти Зу-символов в правой части
к Зу-символу в левой части есть в сущности 9у-символ:
B4.Е.5)
9у-символ не обращается в нуль только в том случае, когда век-
векторы каждой строки и каждого столбца образуют векторные тре-
треугольники. Мы не будем подробно обсуждать определение и свой-
свойства 9у-символов. Покажем лишь, как выражение в правой
части B4.33) может быть сведено с помощью бу-символов к од-
одному Зу-символу. Тот -же прием может применяться ко всем вы-
выражениям, которые могут приводить к инвариантным соотноше-
соотношениям с отдельными Зу'-символами.
Произведение первого и последнего Зу-символов в правой
части B4.33) имеет вид произведения, входящего в B4.24а), за
исключением циклической перестановки у, которая может быть
компенсирована с помощью B4.10а). Поэтому
J). B4.34)
Мы замечаем, что второй Зу-символ в правой части B4.33) содер-
содержит р, четвертый содержит 5 и оба они содержат д. Следова-
Коэффициенты Раки 365
тельно, р vi S могут быть переведены в один Зу-символ с
помощью коэффициента Рака:
SplJq}(SW)(pSl).
B4.34а)
Произведение двух последних соотношений, просуммированное
должным образом по индексам, соответствующим р и S, может
быть упрощено с помощью соотношений ортогональности B4.25):
>-L'L-)(JS-L)(S'S.q-)(p.mq.) =
B4.35)
Чтобы отождествить это выражение с правой частью B4.33), сле-
следует изменить положение индексов, соответствующих S. Это вво-
дит лишь множитель (—1) . После этого умножение на (J'S'L')=^
= (S'L'f) и соответствующая свертка по индексам величин S'
и U дает для произведения пяти Зу-символов в B4.33) выражение
2(+ ){] I [] {
Оно имеет теперь вид B4.246) и равно
Положение индексов величин j и S' следует сместить, а это вво-
вводит множитель (—1) . Однако показатель может быть упро-
упрощен с помощью различных условий для квантовых чисел, обра-
образующих векторные треугольники. Окончательно получаем
Tjr = (— 1 Jш /27+Т У27+Т X
S j) IS' (о j) IJ (о J'
u 1} {p s q\ \s, Vj
B4.36)
Следует заметить, что имеются три существенно различных спо-
способа группировки множителей в правой части B4.33) и соответ-
соответственно имеются три различных способа представить 9/-символ
366 Глава 24
в виде суммы произведений трех бу-символов. Данный способ
группировки был выбран здесь, чтобы упростить дальнейшие ра-
расчеты.
Интересный частный случай имеет место при из = 0, т. е. если
оператор Т является инвариантом относительно одновременного
вращения спиновых и обычных координат. Это имеет место,
в частности, для энергии взаимодействия спина с орбитальным
движением. Если ш = 0, то должно быть p — q и ./=./'. Кроме
того, поскольку второй бу'-символ не обращается в нуль только
в том случае, если S', w и у образуют векторный треугольник,
вклад в сумму дает только член с j — S'. Пользуясь выраже-
выражением B4.26) для второго и третьего бу-символов, после пре-
преобразования бу-символа получаем
Tjr={-~l) теттU pl>)Tsls'l'' B4-36a)
что в сущности снова представляет собой бу-символ. При р = 1
это дает правило интервалов Ланде, а случай р = 2 соответствует
спин-спиновому взаимодействию, бу-символы появляются также
в других разделах спектроскопии, таких, как определение вол-
волновых функций в сложных атомах. Они играют важную роль
также в теории структуры ядра, р-распада, угловой корреляции
между частицами или квантами, испущенными последовательно,
в теории ядерных реакций и, последнее по счету, но не по важ-
важности, в определении ядерных волновых функций. Более подроб-
подробные обзоры по данному вопросу упоминались ранее в настоящей
главе.
Глава 25
ПРИНЦИП ПОСТРОЕНИЯ
1. Принцип построения1) позволяет оценить положения энерге-
энергетических уровней атомов. Анализируя правила отбора, расщепле-
расщепление во внешних полях и т. д., можно в принципе определить
такие характеристики отдельных уровней, как орбитальное кван-
квантовое число. Однако полезно было бы также получить некоторые
сведения относительно области спектра, в которой следует искать
уровень заданного типа. Принцип построения и выполняет эту
задачу.
Однако основное значение принципа построения заключается
не в его приложениях к анализу сложных спектров, а в том, что
положения энергетических уровней определяют наиболее важные
физические и химические свойства атомов. Так, например, силь-
сильная электроположительность щелочных металлов является след-
следствием их способности освобождать электрон с поглощением
относительно малой энергии; иначе говоря, основное состояние
лежит не намного ниже основного состояния иона. Наоборот,
инертность благородных газов по отношению к химическим реак-
реакциям объясняется особенно большой разницей между возбужден-
возбужденными и ионизованными состояниями, с одной стороны, и основным
состоянием, с другой. Этот подход, играющий столь большую
роль в атомной физике, берет свое начало в объяснении Н. Бо-
Бором наиболее важных особенностей периодической системы эле-
элементов. Наиболее важными этапами в открытии принципа построе-
построения были, по-видимому, векторная модель Ланде — Зоммерфельда,
формулировка нормальной связи Ресселом и Саундерсом и прин-
принцип запрета одинаковых состояний Паули. Ясная формулировка
принципа построения была дана Ф. Хундом.
Чтобы получить оценку положения энергетических уровней,
т. е. собственных значений уравнения Шредингера
B5.1)
См. примечание 2 на стр. 220.
368 Глава 25
начнем с упрощенного уравнения
Л2 / д2 . д* . d2 \ Ze2
( ++ )
(Z — заряд ядра), в котором мы пренебрегаем1) энергией взаимо-
взаимодействия электронов:
Затем попытаемся учесть это взаимодействие с помощью теории
возмущений (см. гл. 17).
Метод теории возмущений пригоден только в том случае,
когда потенциальная энергия электронов в поле ядра велика по
сравнению с энергией взаимодействия W- Это условие выполнено
лучше всего тогда, когда заряд ядра Z велик, а число электро-
электронов мало, т. е. в случае сильно ионизованных атомов. Применяе-
Применяемый здесь метод возмущений существенно отличается от прибли-
приближенного метода, использованного в гл. 22 и 23: он никак не
связан с малостью постоянной тонкой структуры
he ~ 137,0 '
что было существенно для законности сделанных ранее приближе-
приближений. Фундаментальные константы е, Ъ и т входят в собственные
значения уравнения B5.1) и во все приближения к ним в комби-
комбинации
¦т?-. B5.ЕЛ)
что можно видеть сразу из соображений размерности: это един-
единственное выражение с размерностью энергии, которое можно со-
составить из /re, e и h (скорость света с не входит, в нереляти-
нерелятивистское уравнение Шредингера). Поэтому рассматриваемое здесь
приближение не является разложением энергии по степеням по-
постоянной тонкой структуры или какой-либо другой малой по-
постоянной подобного типа, за исключением, возможно, случая
сильно ионизованных атомов, когда оно может рассматриваться
как разложение по степеням 1/Z.
Задача, связанная с нерелятивистским уравнением Шредингера
B5.1), которую должна решить теория, рассматриваемая в дан-
') Как будет показано ниже, такое предположение является слишком
грубым.
Принцип построения ' 369
ной главе, является отправным пунктом для рассмотрений пред-
предшествующих глав; она заключается в нахождении „невозмущен-
„невозмущенной системы" или основной структуры. С этой точки зрения
условия, при которых можно ожидать, что B5.1 а) будет хорошим
приближением для уравнения B5.1), как раз противоположны
условиям, которые позволяют считать законным рассмотрение
модификаций уравнения B5.1), описанных в предыдущих главах.
Решения уравнения B5.1а) будут представлять хорошую основу
для нахождения решений уравнения B5.1), если возмущение W,
определяемое B5.16), мало. Если это верно, то собственные зна-
значения уравнения B5.1), на которые расщепляются собственные
значения уравнения B5.1), будут лежать близко друг к другу.
С другой стороны, расчет расщепления тонкой структуры стано-
становится более точным, если собственные значения уравнения B5.1)
лежат далеко одно от другого.
Эти утверждения о соотношении между приближениями послед-
последних глав и настоящей главы указывают лишь общую тенденцию,
и поэтому должно быть много случаев, когда непригодно ни
одно из них, и много случаев, в которых оба приближения при-
применимы и полезны.
При расчете уровней с помощью принципа построения весьма
полезно то, что большая часть энергии взаимодействия электро-
электронов может быть учтена путем видоизменения потенциала ядра.
Если, например, в атоме Li рассматриваются два так называемых
/С-электрона (N=1) и один более сильно возбужденный элек-
электрон, то последний почти всегда будет двигаться под действием
потенциала ядра е/r, так как действительный потенциал ядра Зе/г
будет „экранирован" двумя /С-электронами, которые почти навер-
наверняка находятся в окрестности ядра. Таким образом, использова-
использование в B5.1а) вместо кулоновского потенциала Ze^/r видоизменен-
видоизмененного .потенциала дает более точные результаты. Разумеется, если
такая подстановка делается в B5.1а), то выражение B5.16) также
должно быть соответственно видоизменено, чтобы оно вместе
с уравнением B5.1а) снова давало B5.1). Теория экранирования
в квантовой механике была впервые введена Хартри. Она дает
неожиданно хорошие результаты для уровней энергии и других
свойств атомов 1).
Вывод принципа построения, который мы теперь изложим,,
восходит к Слетеру2). Хотя ни невозмущенная задача решения
') D. R. Н а г t г е е, Proc. Carabr. Phil. Soc, 24, 89 A928). См. также
J. С. Slater, Phys. Rev., 35,210 A930); V. Fock, Zs. f. Phys., 61,
126 A930); D. R. Mar tree, The Calculation of Atomic Structures, New
York, 1957 (см. перевод: Д. Хартри, Расчеты атомных структур.
ИЛ, 1960). УУ УУ
2) J. С. Slater, Phys. Rev., 34, 1293 A929).
370 Глава 25
уравнения B5.1а), ни возмущение B5.16) не содержат каким-либо
образом спиновых координат, Слетер с самого начала вводит
спиновые переменные. Это кажущееся усложнение в действитель-
действительности значительно упрощает исследования, так как с самого на-
начала мы ограничиваемся антисимметричными волновыми функ-
функциями. Таким путем в качестве собственных функций получаются
не собственные функции <tyfL (которые принадлежат к определен-
определенной строке представления А'5' симметрической группы по отно-
отношению к перестановкам декартовых координат электронов),
а функции EvA, найденные в гл. 22, включающие также спиновые
координаты и антисимметричные относительно перестановок всех
координат электронов. Мультиплетное число для функций К^7-
проявляется во вращениях Q# спиновых координат: SV11 принад-
принадлежит v-й строке представления 2)(s) относительно д
2. Пусть собственные функции оператора Hft (см. 17, п. 2)
помечены одним индексом Ь:
Н*ф6(**. У„. zk) = Ebiib{xk, ук, zk). B5.2)
Тогда индекс „орбиты" д означает комбинацию главного кванто-
квантового числа N, квантового числа орбитального момента количе-
количества движения / и магнитного квантового числа |*. Предполагается,
что случайное вырождение (совпадение собственных значений
с одинаковыми N, но с разными /), которое имеет место в чисто
кулоновом центральном поле в атоме водорода, снимается экра-
экранированием. Тогда уровни с разными I будут расщеплены даже
при одинаковых TV; как детальная теория, так и эксперимент
показывают, что уровни с одним и тем же N лежат ниже для
меньших I, чем для больших I. Поскольку Hj, Н2, ..., Ня раз-
различаются лишь тем, что они действуют на переменные различных
электронов, собственные значения всех Hft численно совпадают;
их собственные функции также одинаковы, за исключением того,
что они зависят от разных переменных.
При введении спиновой координаты s из каждой собственной
функции tyb{xk, yk, zk) получаются две собственные функции
Ф*(**. Уь- Ч' Ч) = ЫЧ< Ук- гк)\а (о=± 1). B5.3)
Следовательно, собственные функции оператора Но, как функции
всех координат xv yv гх, sx хп> уп, zn, sn, являются про-
произведениями
ZV *lIV2(*2. Уя. 22< Ъ) ¦ ¦ • Ьп°п(Хп' Уп< Zn, Sn)
B5.4)
Принцип построения 371
собственных функций операторов Ик- Каждые две функции
ф и ф ' ' .' ' ортогональны, если они различны; если
YVl"'V« Wl ¦¦¦"п°п
bi Ф b't, то скалярное произведение обращается в нуль после инте-
интегрирования по Х[, yt, zh а если а. фч\, то оно равно нулю,
так как сумма по st обращается в нуль. Собственные функции
B5.4) для всех 2" систем значений чисел Oj, o2, о3 ол при-
принадлежат собственному значению
Е = Еьх + ЕЬа + ... + ЕЬп. B5.4а)
Кроме того, поскольку гамильтониан инвариантен относительно
перестановок Ор электронов, все собственные функции, которые
получаются из i b g путем применения операторов Оя,
\ \ "' п п
по-прежнему принадлежат собственному значению B5.4а):
... V(l'. 2' |»/) = Ф,ЛA) • • • \„(п), B5.5)
где Р — перестановка hzo'"""') и числ0 ^ означает четыре
переменные xk, yk, zk, sk. Перестановка множителей преобразует
правую часть B5.5) в (J>s ia i (Г) ... ф_ s /(j Д«')- Таким образом,
если подставить снова 1, 2, .... /г вместо 1', 2' «', то
получим
ад»,.,...»*/1'2 »>=W..WA-2 и)- B5-5а)
Ясно, что собственное значение оператора B5.5а),
совпадает с собственным значением B5.4а).
Мы можем представить все собственные функции собственного
значения B5.4а), получающиеся одна из другой при перестанов-
перестановках электронов, в виде последовательности
эту последовательность мы назовем конфигурацией. Таким обра-
образом, конфигурация характеризуется п символами (bk, oft):
(*!<>,)(fcfl,) ... (bn°n) = (M1l1wl)(N2l2w2)...(Nnln?nori) B5.E.2)
независимо от порядка. Ясно, что из любой собственной функ-
функции B5.5а), к которой уже была применена перестановка, с по-
помощью перестановок переменных получаются в точности те же са-
самые собственные функции, как и из ФЙ1 b a . Поэтому в сим-
символе B5.Е.2) для конфигурации может быть предписан любой
372
Глава 25
порядок величин b, например порядок, определяемый неравенствами
при Ni = Ni+v B5.7)
при Л/, = ЛЛ+1, /, = 1,+1
B5.7а)
Каждая собственная функция принадлежит одной и только одной
конфигурации, причем собственные функции различных конфигура-
конфигураций ортогональны, так как все различные функции вида B5.4)
ортогональны.
Если оператор Оя применить к функциям заданной конфи-
конфигурации, то получающиеся при этом функции можно выразить
в виде линейных комбинаций первоначальных функций конфигура-
конфигурации; действительно, они тоже являются функциями конфигурации.
Поэтому функциям B5.6) принадлежит некоторое представление
группы операторов Ор. симметрической группы и-й степени.
С помощью матрицы, приводящей это представление, можно обра-
образовать линейные комбинации функций B5.6), которые принадлежат
неприводимым представлениям группы Оя- Наоборот, функ-
функции B5.6) могут быть записаны в виде линейных комбинаций
этих „неприводимых" функций. В силу принципа Паули, из этих
неприводимых линейных комбинаций нам понадобятся только
антисимметричные комбинации, т. е. антисимметричные компо-
компоненты последовательности Ор $Ьа ь в ', соотношение A2.6) пока-
показывает, что эти комбинации даются в виде
| "яОрОя^ ... ЬЛ = 2 "яОря^ ... V/j. B5.8)
где ер равно -|-1 для четных перестановок и равно —1 для не-
нечетных; это и есть D(R)*x из A2.6) для антисимметричного пред-
представления. Антисимметричные компоненты B5.8) всех функций
одной и той же конфигурации с точностью до знака совпадают:
при Рх = ? функция B5.8) имеет как раз форму определителя1)
Уп\-
0)
B)
B5.8а)
') Множитель Yn\ введен с целью сохранить нормировку функции
Ч.Ьч ь а ¦ Выражения вида B5.8а) часто называются определителями
Слетера.
Принцип построения 373
Поскольку функция Ор"К ь „ отличается от функции
Фь<т ь (т только перестановкой переменных, соответствующая
антисимметричная комбинация отличается от B5.8а) только тем,
что функция переменных хк, ук> zk, sk входит не в А-й, а в дру-
другой столбец. Поэтому снова можно получить первоначальную
функцию с помощью перестановки столбцов, что вызывает, самое
большее, изменение знака.
Наоборот, отсюда следует, что антисимметричные линейные
комбинации B5.8а) являются единственными, которые можно
образовать из функций B5.6). Если F антисимметрична, то, при-
приравнивая антисимметричные компоненты в обеих частях равенства
находим, что F с точностью до постоянного множителя равно
У-ьч ь в • так как антисимметричная компонента каждого члена
1 ' п п
в правой части есть у. . .
Таким образом, из функций заданной конфигурации можно
образовать не больше одной антисимметричной линейной комбина-
комбинации, причем нельзя построить ни одной такой комбинации, если
в последовательности B5.Е.2) et — ek для каждой пары I, к, для
которой bt = bk (т. е. N[ = Nk, lt — lk, ja; = pk). В этом случае
две строки определителя B5.8а) были бы равны и он обра-
обращался бы в нуль.
Ишак, каждая конфигурация, для которой bt = bk uai = ak,
не имеет места одновременно для какой-либо пары I, k, дает
одно состояние, разрешенное принципом Паули; конфигурация,
для которой bl = bk, ,at = ak, для какой-либо пары i, k исклю-
исключается принципом Паули. Это и есть первоначальная форму-
формулировка принципа Паули, который до открытия квантовой меха-
механики мог быть сформулирован только для нашей „невозмущенной
задачи" B5.1а), т. е. для гамильтониана, в котором пренебрегается
взаимодействием электронов и каждому электрону приписывается
некоторая орбита. В квантовой механике принцип Паули в его
первоначальной форме является частным случаем требования анти-
антисимметричности волновых функций]), которое справедливо для
всех систем электронов.
Из первоначальной формы принципа Паули следует, в част-
частности, что те комбинации bx, b2, .... Ь„, для которых три орбиты
¦) Впервые это было замечено В. Гейзенбергом и П. Дираком; этот
вывод был отправной точкой теоретико-группового рассмотрения теории
спектров.
374 Глава 25
t j k совпадают, не могут описывать „разрешенные" кон-
конфигурации. Для разрешенной конфигурации мы должны были бы
иметь а{ф ак и Oj Ф ак, что невозможно, так как о может при-
принимать лишь два значения: —1 и -(-1. В каждом орбитальном
состоянии могут находиться, самое большее, два электрона.
3. Теперь мы можем определить число разрешенных состоя-
состояний, энергия которых была бы равна B5.4а), если бы взаимо-
взаимодействие между электронами отсутствовало. Если бы все соб-
собственные значения Ек оператора Нй (рассматриваемого только как
функция от хк, ук, zk) были простыми, то следовало бы только
сосчитать разрешенные конфигурации среди всех 2" конфигура-
конфигураций, даваемых различными наборами значений величин о. Если
несколько функций принадлежат одному собственному значению Ек,
то мы должны учесть каждую возможную комбинацию орбит b
с энергией Ebl + Еь, -+- Е„3 + ... + ЕЬп = Е i).
Нас интересует не только число состояний, на которые рас-
расщепляется состояние с энергией B5.4а) вследствие взаимодействия
между электронами, но также их характеристики, т. е. их муль-
типлетное число и орбитальное квантовое число. Последнее имеет
смысл, если система имеет вращательную симметрию, что выпол-
выполняется для атомов, с которыми мы главным образом имеем дело.
Дальнейшее рассмотрение учитывает только симметрию отно-
относительно вращений спиновых координат и декартовых координат
Q# и Р#; рассматривать симметрию относительно перестановок
электронов нет необходимости. Вращение декартовых координат
является операцией симметрии только в сферически симметричном
случае, тогда как вращение спиновых координат всегда является
операцией симметрии, поскольку ни исходная задача B5.1а),
ни возмущение B5.16) не содержат спиновых координат. Следо-
Следовательно, вся задача инвариантна относительно всех операторов,
действующих только на спиновые координаты. Мы можем огра-
ограничиться лишь вращениями Q/?, так как их уже достаточно для
определения мультиплетного числа отдельных возмущенных уров-
уровней. Полная симметрия, которую следует учитывать, является
прямым произведением Qp на Q/г, а в изотропном случае — также
и на PR.
4. Прежде всего рассмотрим анизотропный случай. Если при-
применить оператор Q^ к антисимметричной линейной комбина-
') Обычно предполагается, что только те комбинации орбит Ь дают
одну и ту же энергию
+ ... + ЕСп, B5.Е.З)
для которых отдельные энергии — в правой и левой частях B5.Е.З) —
попарно равны.
Принцип построения 375
ции х6а ь а невозмущенного уровня Е, мы снова получим
антисимметричные собственные функции с тем же самым собствен-
собственным значением; поэтому они могут быть выражены в виде линей-
линейных комбинаций первоначальных собственных функций. Коэффи-
Коэффициенты разложения образуют представление группы вращений.
Если неприводимое представление 2>(-У) группы Q^ содержится
в этом представлении As раз, то As является также числом анти-
антисимметричных уровней с мультиплетным числом 5, которые воз-
возникают благодаря возмущению из уровня с Е = Ebj -{-... -\-Еь .
Неприводимые компоненты представления группы вращений могут
быть найдены непосредственно из матриц, соответствующих вра-
вращениям вокруг оси Z. Если представление (exp(tecp)) двумерной
группы вращений встречается ат раз в этих матрицах, то непри-
неприводимое представление 2>(S) содержится в полном представлении
As = as — as+1 раз (см. гл. 15, п. 1).
Если R — вращение на угол ср вокруг Z, то оператор Q#
означает просто умножение функций конфигурации B5.6) на
ехрГуi(a1 -\- ... -г-ол)<р1. То же самое имеет место и для анти-
антисимметричной линейной комбинации у^Ьв ь а , так что эта по-
последняя принадлежит представлению группы вращений вокруг Z
с магнитным квантовым числом m = -^(al-\-a2-\- ... -\-оп). Если
собственное значение Е имеет всего ат разрешенных конфигура-
конфигураций с суммой а1 -f- о2 + ... -\-сп = 2т, то возмущение приводит
к as — as+1 уровням, принадлежащим 2><5) относительно враще-
вращений спиновых координат.
Поскольку предыдущие абзацы относятся к анизотропному случаю,
рассмотрим пример, в котором все собственные значения Ek опера-
оператора Hft простые. В случае четырех электронов, когда имеются два элек-
электрона на одной орбите и две орбиты с одним электром каждая,
Ь\ = Ь2 Ф Ь3 Ф b4, bt Ф Ь4,
комбинации величин а, представленные в табл. 7, дают каждая по одной
антисимметричной собственной функции.
Таким образом,
я„ = 2, а, = 1, а2 = а3 = ... = О,
и поэтому имеется а, = 1 уровень с представлением SD^1' и а0 — а1 = 1
уровень с представлением Я5(о\
Уровень, имеющий 2S -(-1 антисимметричных собственных
функций, принадлежащих 2)(S) относительно Q#, имеет мульти-
плетное число S. Действительно, если ввести взаимодействие спи-
спинов, он распадается, вообще говоря (в случае анизотропии!),
376
Глава 25
ТАБЛИЦА 7
Пример антисимметричных комбинаций четырех
электронов *
J
—1
—1
—1
+1
+1
+1
+1
«а
—1
—1
+ 1
+ 1
— 1
+ 1
— 1
+ 1
¦у (ti+»j+<M О
—1
0
0
+1
* Поскольку Ьх^Ь^, при подсчете числа конфигураций
можно принять, что а ,< и, [см. B5.7а)]. Но я, = зй запрещено
принципом Паули, так что может встретиться только », <а2.
на 25-)-1 компонент тонкой структуры. Легко проверить, что это
определение мультиплетного числа совпадает с использованным
ранее. Согласно гл. 22, каждая функция от s, которая при-
принадлежит 2>E) относительно Qp, принадлежит АE)* отно-
относительно Q#. Кроме того, для каждой антисимметричной функ-
функции F, которая принадлежит АE)* относительно Qp [cm. соотно-
соотношение A2.10I, функция
OPF = 4:F B5.9)
принадлежит АE) относительно Ря, а это и является определением
мультиплетного числа. Последнее утверждение следует из B5.9)
в силу антисимметричности F (т. е. Оя^ = epF)> тождества
Qp = Pp-iOp и равенства B2.17). Таким образом,
B5.9a)
поскольку sp = ep-i, и А унитарно.
Под действием возмущения W правильные линейные комбина-
комбинации функций x6(J ь в превращаются просто в функции Е^ гл. 22,
которые были образованы из готовых бесспиновых собственных
функций уравнения Шредингера B5.1).
Важной чертой метода Слетера является то, что он позволяет пол-
полностью избежать рассмотрения Симметрии уравнения Шредингера
Принцип построения 377
{25.1) по отношению к перестановкам одних только декартовых
координат, рассматривая вместо этого его инвариантность относительно
вращений О^ спиновых координат. Рассмотрим, например, правило от-
отбора для мультиплетного числа уровней в оптических переходах (интер-
(интеркомбинационный запрет). Это правило следует из того факта, что соб-
собственные функции с различными мультиплетными числами принадлежат
различным представлениям относительно О.^ и что умножение на.
(Xi + x2-f"x3-\- ... -\-хп) симметрично относительно Q^, так как эта
сумма вообще не действует на спиновые координаты. (Ранее мы вывели
интеркомбинационный запрет из того факта, что собственные функции
различных мультиплетных чисел принадлежат различным представле-
представлениям группы перестановок Рр декартовых координат.) Мы не-пользо-
не-пользовались методом Слетера в таком виде, поскольку нас интересуют все
свойства симметрии, и, когда возможно, мы используем их полностью.
Хотя должны существовать случаи, в которых можно получить больше
сведений о системе из рассмотрения перестановок Рр декартовых коорди-
координат, чем из учета одних только Q^f удивительно, насколько полные резуль-
результаты, вытекающие более прямо из инвариантности относительно группы PPt
дает группа оператора О.^.
Существенным условием применимости метода Слетера является то,
чтобы внутренние координаты рассматриваемых частиц могли прини-
принимать только два значения. Если бы имели дело с частицами, имеющими
три возможные ориентации (спиновый момент равен й, а не Л/2, как,
например, в случае ядра азота), то вместо Ж^1'2' в соотношении, опреде-
определяющем операторы О.^ [соотношение B1.66)], появилось бы Ж'!\ Это
оказало бы очень малое влияние на рассуждения в настоящей главе.
Однако заключения, которые можно было бы вывести в такой теории
из инвариантности относительно вращений (относительно О./?), были
более ограниченными, чем следствия инвариантности по отношению
к Pp. Действительно, в этом случае несколько уровней, определяемых
уравнением Шредингера, совпадают, и это совпадение не могло бы быть
объяснено из рассмотрения одних только О.^. Тогда необходимо было бы
либо ввести другие операторы, нарушая тем самым простоту теории, или
использовать симметрию относительно операторов Рр, как это было сде-
сделано в первом выводе принципа построения '). В этом заключается при-
причина того, что мы рассматривали в этой книге перестановки декартовых
координат частиц и представления симметрической группы, и того, почему
была явно показана эквивалентность О.^, с Рр для электронов.
5. Основное различие между сферически симметричным слу-
случаем и асимметричным заключается в том, что в сферически сим-
метричном случае собственные значения Ei * операторов Нд, рас-
рассматриваемых только как функции от xk, yk, гк, не являются
') См. Е. Wigner, Zs. f. Phys., 43, 624 A927), § 21—25; M. Del-
b г п с k, Zs. f. Phys., 51, 181 A928). Фактически уровни, возникающие из
некоторой конфигурации, быстрее могут быть определены с помощью
методов, изложенных в указанных статьях, чем методом, изложенным
в настоящей книге. Однако изложенный здесь метод (принадлежащий
Слетеру) является более наглядным и легче запоминается.
378 Глава 25
простыми, a Blk -f- 1)-кратно вырожденными1), и что мы должны
определить не только мультиплетное число, но также и квантовое
число орбитального момента количества движения уровней, отве-
отвечающих полному гамильтониану. Невозмущенные уровни опреде-
определяются указанием главного и орбитального квантовых чисел орби-
орбитальных состояний
WA. Лу2 Nnln. B5.E.4)
Чтобы получить все конфигурации невозмущенных уровней B5.Е.4),
мы должны для (а и о в символе конфигурации
(Лу^о,) (Лу2!х2а2) . . . (ЛуЛа„) = (Ь^) ф2а2) . . . 0яо„) B5.E.2)
взять все возможные значения (| ;xft | < lk, sk = ± 1). В B5.Е.2) мы
можем ограничить значения Nk, lk и \>.k условиями B5.7) и, по-
поскольку мы хотим работать только с разрешенными конфигура-
конфигурациями, B5.7а) можно заменить на
°,-<a«+i при Nt = Nl+1, li = li+l, |i./ = |Vn- B5.76)
Для каждой разрешенной конфигурации существует одна антисим-
антисимметричная собственная функция B5.8а).
Если применить операции Q^P^' к этим антисимметричным
линейным комбинациям собственных функций B5.Е.4) и выразить
получающиеся при этом функции через исходные функции,
?Пх...л;,,11-мЧ«,м;...^м )
р.1, а' ' 1 1 *« Л 4 1 ГП П 1 1^1 1 Я П П П
то матрицы A(R, R') будут образовывать представление прямого
произведения групп операторов Q# и Р/?-. Если неприводимое
представление T>(S)(R) X ^(R') содержится в A(R, R') ASL раз,
то число уровней с мультиплетным числом 5 и орбитальным
квантовым числом L, которые возникли из уровня B5.Е.4) благо-
благодаря возмущению W, будет равно Asl- Соответствующие линейные
комбинации функций / снова образуют первое приближение функ-
функций для вычисления величин, которые в гл. 22 были обозначены
через и".
Чтобы определить числа Asl, снова достаточно — как это будет
показано — найти матрицы \(R, R'), в которых R и R' являются
') Если бы Н^ действительно имели вид, указанный в B5.1), то все
собственные значения E(Nk, lk) {lk = 0, 1, 2, ..., Nk — 1) с одним и
тем же Nk совпадали. Однако мы предположили, что кулоновское поле
достаточно изменено экранированием, чтобы вырождение всех собствен-
собственных значений было снято, т. е. собственные значения были расщеплены.
Принцип построения 379
вращениями вокруг оси Z. Если R — вращение на угол а вокруг Z,
то мы имеем
При вычислении Р^}^ ^""п оператор Р^} может
быть применен к отдельным сомножителям; при этом все множи-
множители с магнитными квантовыми числами [хй остаются без изменения,
если не считать появления множителя exp (/[*йа'). Поэтому имеем
' ( . ...NnlM.B5.11а)
поскольку это выполняется для всех собственных функций конфи-
конфигурации
и, таким образом, для всех их линейных комбинаций. Соотноше-
Соотношение B5.11а) выражает то обстоятельство, что Z-компоненты момен-
моментов количества движения отдельных электронов просто аддитивны.
Из соотношений B5.11) и B5.11а) следует, что
1jlP.1.1 ...Nn i
Матрицы A(R, R'), соответствующие вращению спиновых
координат на угол а вокруг Z, a декартовых — на угол а',
являются диагональными матрицами; диагональным элементом,
соответствующим собственной функции у.,, ., , , является
ехр [1(уа.-\-\>.а'], где
v = -2(ai + °2+ ••• +ая) и 1Х =
Поэтому след этой матрицы получается путем сложения всех
ехр [/ (va -\- (j.a')] для всех разрешенных конфигураций. Характеры
представления A (R, Rf) (R и R' — вращения вокруг оси Z), полу-
получаемые таким путем, могут быть сведены в таблицу типа приве-
приведенной на стр. 223, если каждому v сопоставить строку и каждому
|х — столбец и поместить на их пересечении столько крестиков,
сколько имеется разрешенных конфигураций с
(°++ +a) и
В качестве примера рассмотрим два электрона, невозмущенные
энергии которых равны и соответствуют /^-состоянию (/== 1). Раз-
Разрешенные конфигурации представлены в табл. 8.
380
Глава 25
ТАБЛИЦА 8
Разрешенные конфигурации * двух электронов в вырожден-
вырожденных р-состояниях
Конфигурация
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Hi °i
(-1 -1)
(-1 -1)
(-1 -1)
(-1 -1)
(-1 -1)
(-1 1)
(-1 1)
(-1 1)
(-1 1)
@ -1)
@-1)
@-1)
@ 1)
@ 1)
A -1)
(-1
@
@
A
A
@
@
A
A
@
A
A
A
A
A
1)
-1)
1)
-1)
1)
-1)
1)
-1)
1)
1)
-1)
1)
-1)
1)
1)
V-
-2
—1
—1
0
0
—1
—1
0
0
0
1
1
1
1
2
0
—1
0
1
0
0
1
0
1
0
—1
0
0
1
0
* В обозначениях символов конфигураций опушены главные и орби-
орбитальные квантовые числа, так как они соответственно равны 2 и 1. Поэтому
вместо B 1 nft<7ft) стоит (v-k"k)-
В последних двух столбцах записаны соответственно [л = ^ -|- (а2
и v = -=- (oj -\- а2). В табл. 9 крестик поставлен в соответствую-
соответствующем месте пересечения для каждой строки табл. 8.
ТАБЛИЦА 9
Разрешенные Z-компоненты спинового и орби-
орбитального моментов для двух «квивалентных
/^-электронов
V
—1
0
1
*
—2
-1
0
+r
i
+}
2
Принцип построения 381
Эта таблица дает характеры элементов группы 0{аоо}Р{а'оо}
в представлении \(R, R'). С другой стороны, характер этого
элемента в неприводимом представлении 2>E) X ®(i) равен
l s
2[25(S)({«001)X^(i)(K00})L.v= 2 2 *«*+!»"). B5.13)
V|i Г' Г |J.= —? V=— S
Он был бы представлен в табл. 9 прямоугольником из отдельных
крестиков, простирающимся по v от —5 и до v = 5 и по jj. от —L
до [х —L. Если характер, представленный в табл. 9, рассматривать
как сумму неприводимых характеров, т. е. как сумму прямоуголь-
прямоугольных полей крестиков, то числа а^ крестиков на пересечении v-й
строки и [л-го столбца будут суммой чисел ASl представлений
E)(i) c S>|v| и /.>|Н, содержащихся в \(R, R'):
+2-\- ... B5.14)-
Здесь ASl является также числом уровней с мультиплетным числом 5
и орбитальным квантовым числом L, которые получаются из уровня
B5.Е.4) при введении возмущения. Согласно B5.14),
asl = usl — as+i, l — as, L+i + as+i. i+v B5.14a)
Это показывает, что неприводимые компоненты представления
\(R, R') действительно полностью определяются характерами тех
элементов, в которых R и R' являются вращениями вокруг оси Z,
так как эти характеры могут быть разложены на неприводимые
характеры B5.13) только одним способом1).
Для уровней в табл. 8 из равенства B5.14а) следует, что
Аи = 1, Аю = 1, Лоо = 1, а все остальные ASL равны нулю.
Поэтому два эквивалентных р-электрона 2) дают по одному уровню
гР, 1D и '5. В табл. 10 вместо крестика, представляющего уро-
уровень, характер представления которого включает exp [/(va-f-|ia')],
поставлен символ уровня.
') Это связано с тем, что каждый класс группы прямого произведе-
произведения Q^ и Рд, содержит элемент, в котором R и R' являются вращениями
вокруг оси Z. Поскольку в любом представлении все элементы одного и
того же класса имеют одинаковые характеры, характеры этих элементов
определяют все характеры полностью.
2) Состояния с орбитальными квантовыми числами / = 0, 1, 2, 3, ...
называются s, p, d, f, ...-орбитами. Две орбиты эквивалентны, если их
главные квантовые числа одинаковы. Следовательно, конфигурация, рас-
рассмотренная в табл. 9, является конфигурацией (Np, Np) или {NpJ- Уровни
системы в целом, соответствующие L — Q, 1, 2 обозначаются через
S, P, D, ..., причем мультиплетность BS+ 1) дается цифрой у символа
уровня слева сверху, а значение J — индексом справа внизу; например,
Ро, ?>, или 3Рг и т. д. См. также гл. 8.
382
Глава 25
ТАБЛИЦА 10
Разрешенные уровни для двух /^-электронов
—1
0
1
-2
—1
зр
1?) зр
зр
0
зр
'S'D3P
зр
1
зр
IQ Зр
зр
2
•D
6. Можно определить также четность полученных уровней. Для
собственных функций одноэлектронной задачи четность определяется
квантовым числом / орбитального момента количества движения
[равенство A9.17)]: w — (—1)'. Поэтому имеем (О/ = Р/ означает
инверсию)
B5.15)
независимо от pft и ак. Четность всех собственных функций соб-
собственного значения B5.Е.4) равна (—1)'1+'2+ ¦••+'п и такова же
четность всех возмущенных уровней. Таким образом, четность
уровней, возникающих из B5.Е.4), положительна, если сумма орби-
орбитальных квантовых чисел для отдельных орбит 1Х -\-12 -\- • ¦ • -\- 1п
является четной, и отрицательна, если эта сумма является нечет-
нечетной. Отсюда, помимо прочего, следует, что электрические диполь-
ные переходы между уровнями, возникающими из одного и того же
невозмущенного уровня B5.Е.4), запрещены правилом Лапорта.
7. В заключение изложим вычисление первого приближения для
сдвигов уровней энергии.
Обозначим функции
-(- (а2
-)- р„ = jj. и о1 -|- а2 -f- ... -f- °n — 2v, крестики для
б 9
j 1 2 f f n
которых стоят на vja-m месте в табл. 9, через x^v Xv^- Xv^ • • ¦
Правильные линейные комбинации /v v / 2 принадлежащие
vjx-й строке некоторого представления 2>(S) X ®( '. могут
записаны в виде линейных комбинаций одних лишь функций
быть
B5-16)
Принцип построения 383
Матрица преобразования унитарна, так как % и /„ являются
ортогональными наборами:
»j,Ju, = 2j « xmx'x- B5.17)
XX' X
Поправка первого приближения по энергии возмущения к собствен-
собственному значению, соответствующему функции /VI, есть (/VA, W/VA).
Сумма энергий возмущения для всех х, т. е. для всех уровней
с 5>-|v|, ?>-Ы, может быть вычислена до нахождения и:
= 2 8u- (V W V') = 2 (V Wg. B5.18)
Ал л
Отсюда сумма энергий возмущения для уровней с мультиплетным
числом 5 и орбитальным квантовым числом L, возникающих из
B5.Е.4), имеет вид по аналогии с B5.14а)
B5.18a)
Если уровень B5.E.4) невозмущенной задачи дает лишь один
уровень с мультиплетным числом 5 и орбитальным квантовым
числом L, то его энергия определяется непосредственно выра-
выражением B5.18а); в этом случае B5.18а) сводится к квадратурам.
При вычислении входящего в B5.18а) скалярного произведе-
произведения
pp
B5.19)
унитарный оператор еяОР можно перенести, поставив перед вто-
вторым множителем в виде spOp1; поскольку этот оператор комму-
коммутирует с W, он может быть скомбинирован с ер,Ор,. Теперь можно
~Х
произвести суммирование по Р~ХР' = Гвместо суммирования по Р',
384 Глава 25
что дает просто и!. Тогда правая часть B5.19) принимает вид
где оператор энергии возмущения W представлен в виде суммы
членов W(fc, соответствующих взаимодействию отдельных пар
электронов.
Рассмотрим один конкретный член \Л/г&. Подробно он может
быть записан в форме
2 2
Если здесь Т действует не только на i-й и /г-й электроны [т. е. Т
не является ни тождественным преобразованием, ни транспози-
транспозицией (ik)]', а преобразует, скажем, / в j', то B5.20) обращается
в н/ль при интегрировании по Xj, y^, Zj и суммировании по Sj
в силу ортогональности собственных функций <]> / J и ф ,'„ .¦/'.
поскольку в разрешенной конфигурации одновременное выполне-
выполнение равенств Nj = Nj', lj = lj', pj = py и о; = о^ невозможно.
Таким образом, при вычислении члена W^ достаточно считать Т
тождественным преобразованием и транспозицией {ik). В обоих
случаях интегрирование по декартовым координатам и суммиро-
суммирование по спиновым координатам всех электронов, отличных от I
и k, дает множитель 1, и B5.20) принимает вид
Х^ Г Г N I N I
/к I • i Ф ^ '@Ф ^
— Ф^й'а (Лф^'« (k)} dx, dy, dz, dxb dvb dzb. B5.20a)
Если сюда подставить Ф^'НО^Ф^'''^/H^ ff и т. д. (г1 означает
декартовы координаты xit yt, zi /-го электрона), то суммирование
по st, sk может быть выполнено; тогда получим
B5.21)
Принцип построения 385
Складывая интегралы B5.21) для всех (^) пар ik и всех разре-
разрешенных конфигураций (N-J.tfpd, (Лу2!Ага2) (Nnln^nan), для
которых fii-f-!^-}- ••• +^„ = 1* и aj + oj-f- ... +an = 2v, по-
получаем cyiMMbi B5.18) энергий возмущения для всех уровней,
возникающих из B5.Е.4), для которых 5>-|v| и L^\p\. Тогда
B5.18а) дает первое приближение изменения энергии, просумми-
просуммированного по всем уровням с заданными 5 и L.
За дальнейшими подробностями этого расчета, в частности
вычисления интегралов B5.21), которое в определенных случаях
может быть произведено без явных вычислений, отсылаем читателя
к оригинальной работе СлетераJ). Там же даны интересные чи-
численные примеры.
') См. примечание на стр. 379.
Глава 26
ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
Обращение времени и антиунитарные операторы
Группа симметрии изолированной системы содержит, помимо
вращений и отражений, рассмотренных в предыдущих главах,
смещения в пространстве и во времени, а также переходы к дви-
движущимся системам координат!). Число состояний такой системы
бесконечно велико, и оператор энергии имеет непрерывный спектр.
Это обстоятельство уже было разъяснено ранее в гл. 17. Из бес-
бесконечной совокупности всех состояний можно выбрать конечное
множество состояний: состояния с нулевым импульсом и опреде-
определенной энергией. Ограничение состояниями с нулевым импульсом
соответствует точке зрения спектроскопии, где рассматривается
только внутренняя энергия атомных или молекулярных систем,
а не их кинетическая энергия. Фактически точность спектроско-
спектроскопических измерений часто ограничена движением атомов или моле-
молекул; в таких случаях предпринимаются все меры для уменьшения
скорости движения, насколько это возможно.
Ограничение нулевым импульсом исключает переходы к дви-
движущимся системам координат. Оно фактически исключает также
и операторы смещения: волновая функция частицы с нулевым им-
импульсом инвариантна относительно пространственных смещений,
а смещение во времени на t приводит к умножению ее на до-
довольно тривиальный множитель ехр(—iEt/h), где Е является энер-
энергией этого состояния. С другой стороны, как уже упоминалось
раньше, постулат нулевого импульса может быть заменен предпо-
предположением о статическом внешнем поле, как, например, поле не-
неподвижного ядра. Это исключает также и трансляционную сим-
симметрию и переход к движущимся системам координат как эле-
элементы симметрии. На первый взгляд кажется, что наша задача не
имеет новых элементов симметрии, кроме уже рассмотренных. Это,
однако, не вполне верно: остается дополнительный элемент сим-
') Изложение в этом и следующем разделах настоящей главы сле-
следует в основной статье автора в GOtt. Nachr., Math.-Phys., 546 A932).
См. также О. L й d e r a, Zs. f. Phys., 133, 325 A952).
Обращение времени 387
метрии — преобразование t-> — t. Оно преобразует состояние ф
в состояние вер, в котором все скорости (включая „вращение"
электрона) имеют противоположные направления по отношению
к направлениям в состоянии ср. (Поэтому термин „обращение на-
направления движения" является, по-видимому, более точным, хотя
и более длинным, чем термин „обращение времени".) Весьма
важна связь между обращением времени и изменением, которое
система испытывает в течение определенного промежутка времени.
Зависимость от времени описывается уравнением Шредингера
Обозначим стационарные состояния и соответствующие значения
энергии через Wft и Ек. Тогда в течение промежутка времени t
состояние сро=2а^А претерпевает изменение:
k
<Ро = 2 «А->?, = 2 в*е"'?*"Ч- B6.1а)
k k
Преобразование, описываемое B6.1а), называется „смещением во
времени на t". Оно является унитарной операцией.
Следующие четыре операции, выполненные последовательно над
произвольным состоянием, приводят к тому, что система возвра-
возвращается в свое первоначальное состояние. Первая операция — обра-
обращение времени, вторая — смещение во времени на t, третья —
снова обращение времени, а четвертая — опять смещение во вре-
времени на t. Эти четыре операции, взятые вместе, возвращают си-
систему в ее исходное состояние, так как смещение во времени
после его обращения сдвигает систему по времени назад. Два
обращения времени, с другой стороны, компенсируются в смысле
направления скоростей. Поэтому можно сказать, что операции
(Смещение во времени на t) X (Обращение времени)- X (Смещение во
времени на f) X (Обращение времени)
эквивалентны единичному оператору. С другой стороны,
(Смещение во времени на t) X (Обращение времени) =
= (Обращение времени) X (Смещение во времени на —t), B6.16)
причем операторы, соответствующие двум частям равенства B6.16),
могут отличаться, самое большее, числовым множителем с -моду-
-модулем 1, который не имеет физического значения.
Поскольку 6 является оператором симметрии, он оставляет
вероятности перехода между двумя состояниями f и Ф без изме-
изменения:
\(W, Ф)|2=|(еФ, 6Ф)Р. B6.2)
388 Глава 26
Тогда из Приложения к гл. 20 (стр. 276) следует, что 6 может
быть нормирован таким образом, чтобы он удовлетворял одному
из двух уравнений B0.29). Обсуждение в Приложении к гл. 20
уже показывает, что он удовлетворяет второй возможности,
именно той, которая могла быть исключена для всех чисто про-
пространственных операций симметрии. Это можно также заключить
из B6.1а), но это видно более ясно, если проследить ход рас-
рассуждений в указанном Приложении. Доказательство становится
наиболее простым, если набор ортогональных функций Ч^, W2, ...
отождествить с собственными функциями гамильтониана; тогда 4?'^
являются стационарными состояниями. При этом 6Ч?"г будут тоже
стационарными состояниями, так что Wt и 6W; соответствуют
одним и тем же значениям энергии.
Если бы первая возможность из B0.29) была применима также
к оператору в, последний был бы линейным оператором. Это
приводит к противоречию, откуда следует, что для 6 реализуется
вторая возможность из B0.29). Чтобы прийти к этому противо-
противоречию, снова рассмотрим произвольное состояние Фо и разложим
его по стационарным состояниям:
Фо = 2«„*.- B6.3)
Предполагаемая линейность оператора в приводит к
вФ0 = 2в»в1Г,. B6.3а)
и, так как 6WX тоже является стационарным состоянием с энер-
энергией Е%, по истечении промежутка времени t оно перейдет в со-
состояние ехр (— iEJ/ti) ЪШХ. Следовательно, состояние 6ФО через
время t становится состоянием
2в,е"'?*'/*вЧГх. B6.36)
Это состояние должно совпадать с состоянием, получаемым при
применении оператора в к
Если оператор 6 является линейным, то это состояние имеет вид
6Ф_, = 2 aJE*tlh№%, B6.3b)
а эта функция, вообще говоря, не является кратной (с постоян-
постоянным множителем) функции B6.36), так как показатели имеют
другой знак. Следовательно, предположение о том, что 6 является
линейным оператором, приводит к противоречию, и 6 должен
удовлетворять второй возможности из B0.29); иначе говоря, функ-
Обращение времени 389
ция 6Ф0 с точностью до постоянного множителя должна быть
равна
Так как мы можем свободно выбрать постоянный множитель
в определении 6Ф0, выберем его равным а*/аг) так что
еФо = еB«,чгО = 2«;ечгх. B6.4)
Оператор, удовлетворяющий соотношению B6.4) для любого на-
набора величин аь а2, ... и заданной полной ортогональной си-
системы Wx, будем называть антилинейным. Тогда он будет удо-
удовлетворять аналогичному соотношению по отношению к любой
системе функций. В частности, если Ф1 = 2 #Л> мы имеем
аФ0 + ^! = « 2 «Д, + Р 2 &.ЧГ, = 2 («в
0
так что
6 (аФ0 + рФ,) = 6 B («а, + p6J Фх) = 2 («в,
= а* 2 atW% + Р* 2 *№х = а*6
Это последнее соотношение,
в(аФо + рФ1) = «*вФо+р*вФ„ B6.5)
которое справедливо для любых Фо, Фх и любых двух чисел a, J3,
является обычным определением антилинейного оператора. Оно
следует из того факта, что для оператора обращения времени
осуществляется вторая возможность B0.29), а также из норми-
нормировки B6.4), принятой для вBдх^г*)- Помимо того, что опера-
оператор в антилинеен, он удовлетворяет еще соотношению B6.2) для
любой пары функций. Оператор, удовлетворяющий B6.2) и B6.5),
будет называться антиунитарным, и будет выведена нормальная
форма антиунитарного оператора.
Простейшим антиунитарным оператором является переход
к комплексно-сопряженным величинам. Эту операцию мы обозна-
обозначим через К- Действие К заключается в замене выражения, к ко-
которому он применяется, на комплексно-сопряженное:
К<р = <р*- B6.6)
Ясно, что оператор К является антилинейным. Поскольку
(КЧГ. КФ) = (ЧГ', Ф') = 0Г, Ф)*, B6.6а)
К удовлетворяет также соотношению B6.2). Следовательно, он
является антиунитарным. Кроме того, он обладает важным свой-
свойством:
К2 = 1. B6.66)
390 Глава 26
В самом деле,
К2Ф = К (КФ) = КФ*
Рассмотрим произведение U — 6К антиунитарного оператора 6
и К- Оно линейно:
U («Фо + РФ,) = 6К («Фо + РФ^ = в («*Фо + Р*ф?) =
Кроме того, 6К оставляет абсолютную величину скалярного произ-
произведения инвариантной, так как оба его сомножителя обладают
этим свойством. Поэтому оно удовлетворяет предположениям,
изложенным в Приложении к гл. 20, с первой возможностью из
B0.29), и, следовательно, унитарно. Отсюда следует, что всякий
антиунитарный оператор, в частности 6, может быть записан
в виде произведения некоторого унитарного оператора и опе-
оператора комплексного сопряжения К
B6.7)
Это нормальный вид антиунитарных операторов. Из него следует,
что в удовлетворяет соотношениям B6.4) и B6.5), а также соот-
соотношению
. FФ, 6Ф) =
так что B6.6а) справедливо для любого антиунитарного оператора:
FФ, 61Г) = (Ф, Щ* = С?, Ф). B6.8)
Заметим далее, что произведение двух антиунитарных опера-
операторов унитарно:
идигКФ = идизФ*=Ui (и2ф*г - ида
или
U1KU2K = U1U2- B6.9)
Аналогичным образом произведение унитарного и антиунитарного
операторов антиунитарно.
Оператор обращения времени имеет еще одно важное свой-
свойство: хотя 6Ф, вообще говоря, не совпадает с состоянием Ф, со-
состояние 62Ф = 66Ф совпадает с состоянием Ф. Следовательно,
62Ф может отличаться от Ф только постоянным множителем. По-
Покажем, что этот множитель равен либо -(-1, либо —1. Если
записать 6 = UK, то
=с1. B6.10)
В силу унитарности U, имеем UU =1, так что B6.10) приводит
к U* = cU+ или U = c\JT- Переход к транспонированным опера-
Обращение времени 391
торам в этом равенстве дает \JT = c\J, так что \J — c[JT — c2\J¦
Это снова дает с = +1, так что U может быть либо симметрич-
симметричным, либо антисимметричным и
№=±\. B6.10а)
Читатель без труда узнает здесь те же рассуждения, которые при-
привели к B4.36). Позднее мы увидим, что верхний знак отвечает
простой теории Шредингера и теории, учитывающей спин, если
число электронов четно. Нижний знак относится к теории с уче-
учетом спина, когда число электронов или, в более общем случае,
число частиц с полуцелым спином нечетно.
Соотношение B6.10а) выполняется не только для самого обра-
обращения времени, но и для произведения обращения времени на
другую операцию симметрии. То, что последовательность двух
обращений времени восстанавливает первоначальное состояние,
является следствием инволюционного характераг) физического опе-
оператора обращения времени. Соотношение в2 = cl и выражает это'
свойство. Однако тот факт, что с может быть равным только
-\-1 или — 1, является математическим следствием антиунитар-
антиунитарности 6. Здесь положение совершенно иное, чем то, с которым
мы имели дело в случае вращений. Если R — вращение на те, то
как физическая операция она инволюционна. Тем не менее О#
может быть кратным единичной матрице с любым множителем
модуля 1. Поскольку О# содержат свободный множитель, этот
оператор можно нормировать так, чтобы О#=1- Фактически
нормировка, произведенная в гл. 20, дает О/? = 1. если число
электронов четно, и 0/? = —1, если оно нечетно. Это, однако,
является следствием нормировки, тогда как соотношение B6.10а)
выполняется автоматически. Действительно, замена 6 на шб
с |(й|=1 (что вполне допустимо) не меняет б2 вовсе: шбшб =
= шш*ее = е2.
Определение оператора обращения времени
С точки зрения обращения времени существуют два важных
класса физических величин. Координаты, полная энергия и кине-
кинетическая энергия принадлежат к первому классу. Вероятность
определенного значения X любой из этих величин одинакова для ср
и для бср, независимо от того, каково ср. Эти величины либо не
связаны со временем, либо содержат четную степень временнбй
переменной. В результате обращение направления движения не
оказывает никакого влияния на эти величины. Скорость, импульс,
') Инволюцией мы называем такую операцию, квадрат которой
является тождественной операцией.
392 Глава 26
момент количества движения, а также проекции спина на заданное
направление принадлежат ко второму классу операторов. Если
какая-либо из этих величин имеет значение X в состоянии <р, то
она имеет значение — \ в состоянии 6<р. Эти величины содержат
нечетную степень временнбй переменной. Разумеется, существуют
физические величины, как, например, координата плюс скорость,
которые не принадлежат ни к одному из этих классов. Нам, однако,
не придется иметь дело с величинами подобного рода.
Операторы, соответствующие величинам первого класса, ком-
коммутируют с 6. Действительно, если q является таким оператором,
а срх — состояние, в котором q имеет значение Хх, то q^x = Ххф%.
Так как q имеет значение Хх также и для Щ%, имеем также
q6<|»x = \ЩХ. Следовательно, еслиср—произвольная волновая функ-
.ция <р —2аЖ- то в силу линейности q имеем
6qcp = 6q 2 вхфг = 6 2 «АФ. = 2 аХЧ» B6.11 а)
поскольку величины Хх вещественны. С другой стороны,
= цЬ 2 а А = q 2 <?ЩХ = 2 <йцЩх = 2 в.\вфх. B6.11 б)
Отсюда следует, что если q — оператор первого класса, то
6q = qe. B6.11)
С другой стороны, если оператор р принадлежит ко второму
классу, те же аргументы приводят к тому, что
6р = — рб B6.12)
и 6 антикоммутирует с этими операторами. Предыдущее рассу-
рассуждение является строгим только в том случае, если q и р имеют
точечные спектры; однако можно показать, что соотношения
B6.11) и B6.12) справедливы для всех операторов соответственно
первого и второго классов.
Рассмотрим сначала простую теорию Шредингера, которая не
учитывает спина. Если мы напишем 6 = UK, то из Ьх = хЬ, где
х—любая из координат, получим
B6.13)
так что U коммутирует с операцией умножения на любую из
координат. Так как операторы импульса у-^- принадлежат ко
второму классу операторов, из B6.12) имеем
«!gu. B6ЛЗа,
Мнимая единица I в выражении для оператора импульса компен-
компенсирует знак минус в B6.12) и U коммутирует с операцией даф-
Обращение времена 393
ференцирования по любой из координат. Отсюда можно заклю-
заключить, что U должно быть просто умножением на постоянную
с модулем 1. Поскольку эта постоянная может быть выбрана
произвольно, положим ее равной 1; тогда для теории, не учиты-
учитывающей спина, получим
0 = К, 0ср = ср*. B6.14)
Это показывает, что волновые функции стационарных состояний
могут быть выбраны вещественными, что в данном случае совер-
совершенно очевидно, поскольку гамильтониан является веществен«ым.
Однако следует заметить, что соотношения B6.14) справедливы
только в том случае, если операторы координат и импульсов
берутся в виде х и — -з— (см. гл. 4). Если использовать „импульс-
„импульсные координаты" и подставить Hi-г— вместо обычных координат,
а умножение волновой функции на „импульсную" переменную р
для импульсных координат, то в становится равным UK, где U
не является единичным оператором, а производит подстановку -—р
вместо р:
— plt —р2 —Pf) = 9(Pi. P2> •••> />/)• B6.14а)
Рассмотрим теперь теорию, учитывающую спин. Оператор U
должен удовлетворять соотношениям B6.13) и B6.13а) также и
в этом случае, но этих условий недостаточно для полного опре-
определения U; они показывают лишь, что U не действует на декар-
декартовы координаты, но тем не менее может действовать на спиновые
координаты. В этом отношении он имеет свойства, противо-
противоположные свойствам бесспиновых операторов в гл. 20. Чтобы
полностью определить 6 = UK, необходимо рассмотреть поведе-
поведение спиновых переменных slx, Sly, Siz Snx, sny, Snz при
обращении времени. Спиновые переменные как моменты количества
движения принадлежат ко второму классу операторов, так что
они антикоммутируют с в. Поскольку все six вещественны, для
всех /=1, 2 п имеем
Это выражение должно быть равно — sixb =— s^AJK, так
что six антикоммутирует с U. То же самое имеет место для s^,
которые тоже все вещественны. С другой стороны, мнимый опе-
оператор siy коммутирует с U. Следовательно,
Us/jr = —sJjrU. Us/y = s,yU, Uste = —staU. B6.136)
Оператором, удовлетворяющим этим требованиям, является произ-
произведение всех мнимых спиновых операторов:
U = slys2y ... вяу. B6.15)
394 Глава 26
Действительно, с точностью до множителей, U—единственный
оператор, который удовлетворяет соотношениям B6.136). Пред-
Предположим, что существует второе решение UjU этих уравнений.
Тогда мы находим, что Ui должен коммутировать со всеми s^,
S;y, s!z и, следовательно, с
+ ... +ся8я, B6.Е.1)
при всех значениях с. Однако матрица, коммутирующая со всеми
этими матрицами, является диагональной матрицей, так как при
¦надлежащем выборе величин с никакие два диагональные элемента
матрицы B6.Е.1) не равны. С другой стороны, ни один матрич-
матричный элемент матрицы
(8i, + 8U) (S2y + SjJ . • . (8Я, + Snz) B6.E.2)
не обращается в нуль, так что только постоянная матрица ком-
коммутирует как с B6.ЕЛ), так и с B6.Е. 2). Поскольку постоян-
постоянная в 6 остается еще свободной, можно написать
6 = slys2y • • • 8Я,К B6.15a)
или
ЬФ(х1, yv г„ slt .... х„, у„,
B6.156)
Легко проверить, что 62=1, если п четно, и 62 = —1, если я
нечетно. Существует другая форма оператора в, которая полу-
получается, если заметить, что 2>('/!)({0, it, 0}) — isy. Так как Qr0 к Qy
заключается в применении 2)A/s)({0, it, 0}) к каждой спиновой
переменной, сравнение с B6 15а) показывает, что
e = (-0"Q{0iX>0}K. B6.15b)
Выведем, наконец, соотношения между оператором обраще-
обращения времени в и унитарными операторами Ор или Ou, которые
соответствуют вращениям систем координат. Поскольку вращения
и обращение времени коммутируют как физические операции,
ОцЬ и 60s могут отличаться только постоянным множителем с$,
который, однако, может зависеть от R. Следовательно,
ли в~10ив = си0и. B6.16)
Произведение двух таких соотношений, в силу OtfOs = Ors. дает
B6.16а)
Обращение времени 395
Поэтому числа cr образуют представление группы вращений (или
двумерной унимодулярной унитарной группы преобразований и).
Так как единственное одномерное представление группы чистых
вращений или унитарной группы есть тождественное представле-
представление с„= 1, то
или Ou0 = 0Ou B6.17)
для всех собственных вращений. Это соотношение может быть
проверено также прямым вычислением; оно эквивалентно соотно-
соотношению
?<'« (#) Sy = Sy?('M (R)* B6.17а)
Предыдущие рассуждения не исключают возможности того,
что обе части соотношения B6.17) равны по абсолютной вели-
величине, но имеют противоположные знаки, если R является несоб-
несобственным вращением. В соответствующем представлении (о?) пол-
полной группы вращений A) соответствует собственным вращениям,
а (—1)—вращениям с определителем —1. Однако легко прове-
проверить, что соотношение B6.17) справедливо и для оператора О/
пространственной инверсии. Поэтому оно справедливо для всех
рассмотренных ранее операций симметрии.
Естественно, что рассуждения этого раздела не доказывают, что
уравнения квантовой механики инвариантны относительно обра-
обращения времени. Они показывают, однако, что если эта инвари-
инвариантность действительно имеет место, то оператор обращения вре-
времени 6 = UK должен задаваться, с точностью до постоянного
множителя, выражениями B6.14) или B6.15а) соответственно для
простой теории или для теории, изложенной в гл. 20.
Преобразование собственных функций антиунитарными
операторами
Симметрия по отношению к отражению времени не имеет
далеко идущих следствий в теории атомных спектров. Она
является гораздо более мощным средством при исследовании си-
систем с более низкой симметрией, таких, например, как многоатом-
многоатомные молекулы или атомы в кристалле. Действительно, преобразо-
преобразование B6.15) было найдено впервые при исследовании вращения
плоскости поляризации!), явления, которое проявляется в системах,
не имеющих какой-либо плоскости симметрии. Однако важно
') Н. A. Kramers, Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap. Proc, 33, 959
A930). Все значение обращения времени в классической теории было
понято лишь недавно; см. Н. Z о с h е г, С. Т о г о k, Proc. Natl. Acad.
Sci. (USA), 39, 681 A953).
396 Глава 26
отметить, что теория представлений групп линейными преобразо-
преобразованиями не дает полной математической основы для рассмотрения
группы симметрии, содержащей антиунитарныё операторы, и нам
придется повторить некоторые из рассуждений гл. 11.
Как было указано ранее (наиболее явно при рассмотрении
эффекта Штарка в гл. 23), группой, которую следует рассматри-
рассматривать для получения следствий из симметрии некоторой задачи,
является не группа физических преобразований, а группа квантово-
механических операторов, соответствующих этим преобразованиям.
Если число электронов нечетно, квантовомеханические операторы,
которые соответствуют вращениям, изоморфны группе двумерных
унитарных унимодулярных преобразований и и лишь гомоморфны
группе вращений. Аналогичным образом, 02 соответствует в этом
случае не u=l, a и =—1. Полная группа состоит из преобра-
преобразований Ои и 0Ои, причем первые являются унитарными, а по-
последние— антиунитарными. Правила умножения имеют вид
OvOu Ovu, Ov Ou Ovu,
B6.18)
0v60u = 6Ovu, 6Ov6Ou = O±vu.
Последние два соотношения следуют из B6.17), причем в послед-
последнем соотношении верхний знак относится к четному, а нижний —
к нечетному числу электронов. Правила умножения B6.18) пока-
показывают, что унитарные операторы образуют подгруппу (факти-
(фактически нормальную подгруппу с индексом 2) и что антиунитар-
антиунитарные операторы образуют смежный класс этой подгруппы. То же
самое справедливо для всех групп, содержащих как унитарные,
так и антиунитарные операторы.
Пересмотрим теперь изложение гл. 11, начиная с п. 5. Соот-
Соотношение A1.23) будет справедливо также и для антиунитарных
операторов 6Ои. поскольку оно лишь выражает тот факт, что
ифх является собственной функцией, если таковой является ф*:
Mx. B6.19)
Далее, остается в силе утверждение, что DF0u) будут унитар-
унитарными, если ф* ортонормированы. Это является следствием того,
что, в силу B6.8), соотношение
F0и<К, вОифО = (Опфх. Опф«) = (фх. ф») = 8х« B6.20)
выполняется так же, как и для унитарных операторов. Унитар-
Унитарность матриц D [соотношение A1.32)] была прямым следствием
соответствующего соотношения для унитарных операторов.
Обращение времени 397
Произведение матриц D @Ov) и D(Ou) или DFOu) уже не
будет равно DFOvOu) = D FOuv) или D@Ov6Ou) = D(O±uv).
В частности, если применить 0Ov к B6.19), то благодаря уни-
унитарности этой матрицы имеем
6Ov6Ou<K = 2 6
так что
D FOv) D (вОи)* = D @Ov0Ou) = D (O±vu). B6.21a)
Аналогичным образом
D FOv) D (On)* = D F0v0u) = D (BO™). B6.216)
так что матрицы D (Ou). D @Ou) уже не образуют представления
группы соответствующих операторов. Правила умножения, кото-
которые справедливы для представлений,
D@v)D@u) = D@v0u) = D@vu). B6.21b)
), B6.
применимы только в том случае, если первый множитель соответ-
соответствует унитарному оператору. В противном случае появляется
матрица, комплексно-сопряженная со вторым D. Частным след-
следствием этого является то, что
D (FО»)) = (D (вОи)*) = D @Ои)г. B6-22)
В частности, матрица DFOu) симметрична, если вОи — антиуни-
тарная инволюция: @ОиJ=1- Это имеет место также и для
самого оператора обращения времени в, если число электронов
четно; это выполняется и для 0Ои при нечетном числе электро-
электронов, если и соответствует вращению на те, так что и2 = —1.
Если заменить ф новыми линейными комбинациями
Фи- — 2 "v|i.<l>v, Фх = 2 Рххфх
v X
с помощью преобразования « = р~1, то матрицы D(Ou). которые
соответствуют унитарному преобразованию Ou. заменяются, со-
согласно A1.30), на
*- B6.23а)
398 Глава 26
С другой стороны,
0Ou<)v = 6Ou 2 <VN = 2 «VeOu+v =
=2 2 <*v D (Юи)^х=222 o
V X V X X
так что D FOu) заменяется на
T>FOu) = «-1D(eOu)«*. B6.236)
Это можно было бы получить уже из B6.21а) или B6.216), по-
поскольку D удовлетворяет этим уравнениям лишь в том случае,
если в преобразовании матриц, соответствующих антиунитарным
преобразованиям, х заменить на «*.
Системы уравнений B6.21) и B6.23) показывают, что матрицы,
которые преобразуют собственные функции при операциях группы,
не образуют представления этой группы, если группа со-
содержит антиунитарные операторы. Решение уравнений B6.21)
не дается непосредственно теорией представлений, а должно
быть найдено путем специального вычисления. В частности, не-
невозможно исключить знак комплексного сопряжения в B6.21а)
и B6.216) путем переопределения матриц D@Ou). Разделяя ве-
вещественные и мнимые части — как в волновых функциях, так и
в преобразованиях — можно было бы придать этим уравнениям
более естественный вид. Однако с ними легче обращаться в том
виде, в котором они даны здесь.
Система матриц D, удовлетворяющих уравнениям B6.21), не
является представлением группы унитарных и антиунитарных опе-
операторов Ои и 6Ои в обычном смысле. Тем не менее таковы
уравнения, возникающие из соображений инвариантности по отно-
отношению к операциям, связанным с обращением времени. Они бу-
будут называться непредставлениями, чтобы напоминать о знаке
комплексного сопряжения в B6.21). Разумеется, понятие копред-
ставления применимо только к группе операторов, когда некото-
некоторые из них антиунитарны.
Приведение непредставлений
Настоящий раздел представляет собой первый шаг в опреде-
определении копредставлений, т. е. решений уравнений B6.21). Эта
задача будет рассматриваться в этом и в следующем разделах
как математическая задача. В частности, не будет предполагаться,
что унитарные операторы Ои соответствуют вращениям, а также,
что антиунитарные операторы содержат обращение времени.
Чтобы упростить обозначения, обозначим унитарные операторы Оц
Обращение времени 399
через Uj, u2, u3 Они образуют инвариантную подгруппу,
которая будет называться унитарной подгруппой. Неприводимые
представления этой подгруппы будут предполагаться известными;
типичное неприводимое представление, предполагаемое унитар-
унитарным, будет обозначено через Д (и). Антиунитарные операторы 0Оп
будут обозначены кратко через aj, а2, а3 Тогда четыре
уравнения B6.21) принимают вид
D(Ul)D(ua) = 0A1,1^). D(u)D(a) = D(ua),
D(a)D(u)* = D(au). D (Й1) D (a,)' = D (aia2). ( }
Два решения уравнений B6.21) будут называться эквивалентными,
если они могут быть преобразованы одно в другое с помощью
унитарной матрицы «, так что
D(u)=«-1D(u)«, Г2й2оч
( 3)
а решение уравнений B6.21) будет называться неприводимым, если
оно не может быть сведено к приведенному виду с помощью пре-
преобразования B6.23). Матрица D(u) не меняется, если « = <ol
кратна единичной матрице; однако D(a) умножается на <о~1<о* = <о*2.
Следовательно, два решения уравнений B6.21) наверняка эквива-
эквивалентны, если их D(u) совпадают, a D(a) отличаются общим чи-
численным множителем. Фиксируя общий фазовый множитель ма-
матриц D(a), мы фиксируем фазовый множитель волновых функций,
которые преобразуются с помощью D(a); общий фазовый множи-
множитель всех волновых функций, принадлежащих различным строкам
представления, остается свободным, пока рассматриваются унитар-
унитарные операции симметрии. Дальнейшие вычисления могут быть сде-
сделаны более прозрачными, если предположить, что существуют
волновые функции фг, ф2, ф3 kp которые преобразуются под
действием соответствующих операторов и и а согласно соотно-
соотношениям
J B6.19a)
J
2
В физической задаче наиболее интересны именно эти волновые
функции. Если интересоваться чисто математической задачей реше-
решения уравнений B6.21), то волновые функции фх можно заменить
векторами в „пространстве представления". Это пространство пред-
представления имеет / измерений, где / — число строк и столбцов
матриц D. Можно считать, что матрицы D действуют на векторы
400 Глава 26 j
в этом пространстве представления, причем D (и) и D (а) преобра-
преобразуют х-й единичный вектор в векторы с \ компонентами D (u)*x
и D(a)x\ соответственно. Таким образом, можно предположить, что
единичные векторы в пространстве представления играют роль
волновых функций t]>. Однако следует ожидать, что использование
понятия волновых функций сделает последующий анализ менее
абстрактным, чем анализ, использующий пространство предста-
представления.
Матрицы D (и), которые соответствуют унитарным преобразо-
преобразованиям, образуют представление унитарной подгруппы. Предпо-
Предположим, что D(u) как представление унитарной подгруппы пол-
полностью приведено и что размерность / его первой неприводимой
части Д(и) не превышает размерности любой другой неприводи-
неприводимой части представления D (и). Это может быть сделано путем
выбора соответствующих линейных комбинаций волновых функций
(использования надлежащей системы координат в пространстве
представления). Следовательно, мы имеем
i
иф„ = 2Л(и)хЛ при х</. B6.24)
1
Заметим, что Д определено только для унитарных операторов,
а А (а), например, не имеет смысла. Однако, поскольку а^г и а-1иа
входят в унитарную подгруппу, выражения вида Д (а^г) или
A(a~'ua) вполне определены.
Рассмотрим, далее, I волновых функций
2 B6.25)
Суммирование в правой части должно производиться по всем вол-
волновым функциям, поскольку мы не делали никаких предположе-
предположений относительно D(a). Оператор a.Q в B6.25) является произ-
произвольным фиксированным антиунитарным оператором. Покажем,
что i|/ принадлежат некоторому неприводимому представлению
унитарной подгруппы. Рассмотрим
uf; = u| Я(ао)хА = 2 2 D (aok D (и V % =
= 210A1H(80)],^. B6.26)
Однако, согласно B6.21),
D (и) D (а0) = D (иа0) = D (a0) D (ао-'иа0)*, B6.26а)
так что
UK - 2 D (a^D (ao-'uao)*^ = 2 D (а^иа^. B6.266)
Обращение времени 401
Заметим, что мы использовали только соотношения B6.21), но не
законы умножения операторов и и а.
Поскольку а^иЭд входит в унитарную подгруппу при х^/,
мы имеем
?»(ао-1иао)Хх=Д(ао-1иао)Хх при Х</
D(ao-1uaoXx = O при I > I.
Таким образом,
ut:-2A(ao-1ua0)*JI (*</), B6.27)
и функции (]/, являющиеся линейными комбинациями функций ф,
принадлежат /-мерному представлению
Д(и) = А(ао-1иао)*. B6.27а)
То, что эти матрицы образуют представления унитарной подгруппы,
следует из B6.27). Это также следует из того факта, что Д
является таким представлением и что a^uag унитарно. Кроме
того, представление А должно быть неприводимым, так как оно
содержится в D (и) и так как это последнее не содержит пред-
представлений более низкой размерности, чем I.
Ниже мы обсудим связь между представлениями Д и Д. Но
сначала покажем, что волновые функции
аф, = 2^(аI1,ф11. B6.28а)
а*)/ - 2 aD(ао)хЖ = 2 2 Д (a^D(a)^ B6.286)
при 'х<;/ могут быть выражены линейно через фх> i|/, где снова
х</. Поскольку D(a) = D(ao)D(a^1a)*, B6.28а) можно записать
просто в виде
at. = 2 D (а),х ^ = 2 2 D (а0), D(a->a); ^ =
i
= ^д(а0-1а);хф; («</)• B6.29a)
Последний шаг следует из того, что а^'а входит в унитарную
подгруппу и х</, так что D(ao~1a)v =A(a5"!a)v при v<Z,
а в противном случае обращается в нуль. Аналогичным образом
из D(a)D(а0)* = D(аа0) следует, что при х</ B6.286) прини-
принимает вид
2 D (аа^Д, - ^ А (аа„)^ V B6.296)
402 Глава 26
Теперь докажем следующую лемму: Функции ^'х = аофх (при
х*С1) либо могут быть выражены линейно через Ц>х, ф2> ..., t|>t,
либо все линейно независимы от них и друг от друга. В про-
процессе доказательства этой леммы мы часто будем иметь дело
с функциями фх и i|/ = ao<j>x при х<^/. Поэтому удобно условиться,
что в этом разделе х лежит между 1 и /. Заметим, прежде всего,
что функции фх ортогональны друг другу, так как они принадле-
принадлежат различным строкам неприводимого представления Д. Следо-
Следовательно, всякое линейное соотношение между i|/ и фх можно
привести к виду
2 <*: = ?!, <h=2vk. Bб.зо)
где <pi Ф 0. Тогда из B6.27) и свойства линейности и следует,
что все utpi также являются линейными комбинациями функций i|/,
причем это относится ко всем линейным комбинациям функций иср^
Представим все фх в виде линейных комбинаций функций utpj.
Тогда они будут также линейными комбинациями функций <|>х,
откуда вытекает, что все i|/ являются линейными комбинациями
функций фх, если между ними имеет место одно соотношение
вида B6.30).
Чтобы получить все i|/ как линейные комбинации функций ucpj,
преобразуем Д таким образом, чтобы функция <pj принадлежала
первой строке. Это может быть достигнуто унитарным преобразо-
преобразованием, первым столбцом которого является a'v а'2, .... а'г Поэтому
партне'ры функции <р, могут быть получены как линейные комби-
комбинации функций ucpi с помощью A2.3а). Отсюда функции <|/ могут
быть найдены путем преобразования, обратного упомянутому выше
унитарному преобразованию. Таким образом, лемма доказана.
Если i|/ являются линейными комбинациями функций фх, то из
проделанного выше вычисления, начиная с B6.24) и B6.29а), сле-
следует, что ифх и афх также являются линейными комбинациями
этих функций. В этом случае копредставление приводится к /-мер-
/-мерной и (/ — /)-мерной частям. Все D^ обращаются в нуль, если
V- ^ '. ^ 7> I, причем то же справедливо и для (а > /, X ^ I. Последнее
утверждение верно, так как все D (и) и D (а) унитарны. В резуль-
результате D(u)t = D(u) и, согласно B6.22), D(a)r = D(a~1)- По-
Поскольку Ь(и~1)ха и ^(а'^ха имеют лишь нули в прямоугольнике
Х>/, 1А</, матрицы D(u)xp и ?>(а)х,,. будут иметь только нули
при р. > /, X <^ I.
Если, с другой стороны, функции фх и (]/ линейно независимы,
то можно выбрать ортогональный набор, первыми / членами кото-
которого являются фх, дальнейшими / членами — линейные комбинации
Обращение времени 403
фх и i|/, а остальные — ортогональны как фх, так и фх. Это может
быть достигнуто применением метода Грама."—Шмидта к функциям
<J»j, ф2, ..._, ф,; <l»j, ф2 <l»j. ф/+1, фг+2 <Jy Функции фх и i|/
будут тогда линейными комбинациями первых 21 членов набора.
Если и или а применяется к одному из первых 21 членов набора,
то получающаяся при этом функция будет снова линейной комби-
комбинацией первых 21 членов. Это опять следует из вычисления, пред-
предшествующего данному обсуждению и приводящего к B6.24),
B6.27), B6.29а) и B6.296). Следовательно, если D взято в том
виде, какой был только что описан для ортогонального набора,
то все D (иХ„ и D (а)хц обращаются в нуль при X <; 21, [д. > 21.
Отсюда, как и раньше, вытекает, что D распадается на две части,
одна из которых 2/-мерна, а другая — (/ — 2/)-мерна. Первая
часть содержит только два неприводимых представления унитарной
подгруппы Д и Д.
Приведение D может быть продолжено далее, если к (/—I)-
мерной или (/ — 2?)-мерной второй части применить тот же метод,
какой применялся выше ко всему представлению D. В результате
этого разложения каждая приведенная часть копредставления будет
содержать либо одно неприводимое представление унитарной под-
подгруппы, либо два таких представления, Д(и) и Д (и) = Д (а.^1иг.Л*.
Нахождение неприводимых копредставлений
Неприводимые представления Д и Д унитарной подгруппы могут
быть либо неэквивалентными, либо эквивалентными. Первый из
этих двух возможных случаев проще; поэтому сначала мы рас-
рассмотрим этот случай.
1. Если Д(и) и Д^а^'иад)* неэквивалентны, волновые функ-
функции фх и фх = aofx ортогональны, так как они принадлежат раз-
различным представлениям унитарной подгруппы... Следовательно,
первыми 2/ членами ортогонального набора, определенного в пре-
предыдущем разделе, будут сами функции фх и i|/, а матрицы D(u)
и D(a) даются соотношениями B6.24), B6.27), B6.29а) и B6.296):
/А (и) 0 \
D(u)= I А, , ч. . B6.31)
V 0 Д(ао-1иао)/
Разумеется, эти матрицы могут быть подвергнуты преобразованию
подобия, В частности, если нужно заменить ар другим элементом
404 Глава 26
группы ai, следует преобразовать с D с помощью
1 О
Система матриц B6.31) и B6.31а) является, очевидно, неприво-
неприводимой, если Д(и) и Д(и) = Д(а^1иа0)* суть неэквивалентные не-
неприводимые представления. Читатель может легко убедиться в том,
что справедливость этого утверждения не зависит от выбора анти-
антиунитарного оператора а0- Заметим, что D(a) должно преобразо-
преобразовываться согласно B6.236).
2. В другом возможном случае представления Д(и) и
Д(и)-Д(ао-1иа0)*=Г1Д(и)Р - B6.32)
эквивалентны. При этом следует различать два случая: предста-
представление D может иметь столько же строк и столбцов, сколько и Д,
или оно может иметь вдвое больше строк и столбцов. В первом
случае матрицы D (и) уже определены как
D(u) = A(u). B6.32а)
В последнем случае можно принять, что D(u) имеет вид
/А(и) 0 \
D(u) = ( 0 A(J. B6.326)
Матрицы, соответствующие унитарным операторам, определяются
в обоих случаях. Чтобы определить D (а), мы должны более под-
подробно рассмотреть представление Д.
Применяя B6.32) к унитарному преобразованию а~'иа0, по-
получаем
Д (ao-2uag)' = Г'А К1 иа0) р. B6.33)
Комплексное сопряжение же этого равенства вместе с B6.32) дает
Д (а0-2) Д (и) Д (а2) = Д (а^иа2,) = Г'И А (и) рр*. B6.33а)
поскольку а^2 и а2, входят в унитарную подгруппу. Отсюда сле-
следует, что матрица рр*Д (а^2) коммутирует со всеми матрицами А (и)
неприводимого представления и является, следовательно, постоян-
постоянной матрицей ш1; таким образом,
де* = о>Д(а2). B6.34)
В силу унитарности всех матриц в B6.34), имеем | ш | = 1. Покажем,
далее, что и>«=± 1. С этой целью подставим u = ag в B6.33),
Обращение времени 405
что дает
A(ag)* = r1A(a§)P. B6.34а)
и выразим Лад с помощью B6.34):
и>Р*р = р-1 (ш-^р = «о-ур. B6.346)
Таким образом, ш2=1, ш=± 1. Поэтому либо
РР* = Л(а*). Р-Д(а20)рГ, B6.35а)
либо
рр* = -А(а§). р--Д(а20)рг. B6.356)
Предшествующее рассмотрение имеет большое сходство с рас-
рассмотрением во втором разделе гл. 24. Оно указывает на различие
между представлениями Д, эквивалентными производному пред-
представлению А из B6.27а), весьма похожее на различие между потен-
потенциально-вещественными и псевдовещественными представлениями
для тех представлений, которые эквивалентны комплексно-сопря-
комплексно-сопряженным к ним. Легко убедиться в том, что при заданном Д те же
самые возможности B6.35а) и B6.356) относятся независимо
к выбору антиунитарного преобразования а0.
Вернемся теперь к задаче определения неприводимых копред-
ставлений. Эту задачу можно упростить, если заметить, что вся-
всякое а может быть записано в виде произведения иа0 с фиксирован-
фиксированным а0. но с переменным и. Согласно второму уравнению B6.21),
D(uao) = D(u)D(ao). B6.36)
Подставляя иа0 вместо а в два другие уравнения B6.21) и заменяя
все а произведением унитарного оператора на q.q, приводим эти
¦уравнения к виду
D (uao)D Ы* = D (uaoui) = D (ua0u1a0-1a0).
D (и,а0) D (u2a0)* = D (u^u^o) = D (u^u^a2).
Если сюда подставить B6.36) и предположить, что D (и) образует
представление унитарной подгруппы, то эти* уравнения запишутся
в виде
D (u) D (а0) D (Ul)* = D (ua^-1) D (а0) - D (u) D (ao^1) D (a0),
B6.37)
D (Ul) D (a,,)D (u2)*D (a0)* = D (u.)D (aoU^)D (a20). B6.37a)
Первое из этих уравнений удовлетворяется, если соотношение
D(ui; = D(ao)-1D(aou1ao-1)D(ao)
406 Глава 26
имеет место для всякого tij. В этом выражении U] можно заменить
на a^'uag, после чего получим
D (a^uao)* = D (a,,) D (u) D (a0). B6.38)
Если это уравнение удовлетворяется для всех и и если D (а)
определено согласно B6.36), то третье уравнение B6.21) будет
удовлетворяться. Предполагая теперь, что B6.38) выполняется,
и вводя а^иао вместо и2 в B6.37а), это последнее уравнение
можно заменить следующим:
B6.38а)
Это уравнение представляет собой частный случай последнего
уравнения B6.21). Однако предыдущий анализ показывает, что
если D(a0) удовлетворяет уравнениям B6.38) и B6.38а) и если
другие D(a) определены согласно B6.36), они будут удовлетво-
удовлетворять всем уравнениям B6.21). Это позволяет значительно проще
определить матрицы D (а), которые вместе с D (и), указанными
в B6.32а) или B6.326), образуют решение системы B6.21). Задача
сводится к решению уравнений B6.38) или B6.38а), в которые
входит только D(a0).
Рассмотрим прежде всего случай B6.32а), в котором D содер-
содержит А лишь один раз. Сравнение B6.32) с B6.38) показывает,
что с точностью до несущественного множителя [см. замечание
после B6.23) на стр. 339]
D(ao) = p. B6.39а)
Следовательно, уравнение B6.38а) будет удовлетворяться в том.
и только том случае, если к А относится возможность B6.35а),
так что соотношение B6.32а) может быть справедливо только
в том случае, если для А имеют место соотношения B6.35а).
Наоборот, те А, к которым применимо B6.35а), могут быть
дополнены до копредставления полной группы с помощью B6.36):
D(a) = A(aao-1)p. B6.40а)
Если D содержит А дважды, D (и) дается выражением B6.326).
Оно может быть также записано как прямое произведение 1 X А (и),
т. е. как прямое произведение двумерной единичной матрицы
и А (и). В этом случае частным решением уравнения B6.38) будет
jixp B6-E>3)
Обращение времени 407
Тогда наиболее общим решением уравнения B6.38) будет решение
B6.Е.З), умноженное слева на матрицу
сп1 с121\
=сХ1> B6lE>4)
которая коммутирует со всеми D (и) вида B6.326). Это следует
из леммы Шура гл. 9, теорема 2. Матрица с в правой части
B6.Е.4) представляет собой произвольную матрицу с двумя стро-
строками и двумя столбцами, а B6.Е.4) — прямое произведение такой
матрицы на единичную матрицу той же размерности, что и А.
Поэтому общим решением уравнения B6.38) в этом случае будет
/спВ с,,р\
D(ao)= з з =сХР- B6.396)
\C2lP С22Р/
Поскольку D(a0) должно быть унитарным, матрица с также
должна быть унитарной. Второе условие B6.38а) для D (а0) дает
(с X Р) (С X П = ее* X РР* = D (а20) = 1 X Л (а20).
В этом равенстве 1 представляет собой двумерную единичную
матрицу. Из РР*= ± Д(а2) следует, что сс*= ± 1. Предположим,
что в этом случае применим нижний знак; ниже будет показано,
что представление становится приводимым, если взять верхний
знак [и, следовательно, B6.35а)]. Тогда из условия унитарности
сс+ = 1 следует, что с* = — cf = — с*г, т. е. что с антисимме-
антисимметрична. Поскольку общий множитель во всех D(a) остается произ-
произвольным, можно положить
/ 0 Г
С V—1 0
а это дает в случае, когда для представления Л осуществляется
возможность B6 356),
D(a)= л/„-п. „ Ь B6.406)
Остается еще рассмотреть лишь случай сс*=1. В этом слу-
случае с является симметричной унитарной матрицей. Согласно B4.46),
она может быть записана в виде l^'wr, где г — вещественная
ортогональная матрица, а п) — диагональная матрица. Поэтому,
408 Глава 26
если D преобразуется с помощью
« = г~1Х1- B4.41)
(г двумерна, а 1 Z-мерна), D(u)=lXA не меняется, a D(ao) =
= с X Р переходит в (г X 1) (г^юг X Р) (г X 1) = » X Р- Таким
образом, это представление распадается на два J-мерных пред-
представления типа B6.40а).
Резюмируя, мы можем сказать, что имеются три типа не-
неприводимых непредставлений, т. е. неприводимых решений
системы B6.21). Тип неприводимых копредставлений, который
рассматривался раньше других, но который мы будем называть
третьим типом, содержит два неэквивалентных неприводимых
представления унитарной подгруппы, А и
А(и)= А(аиа)*> B6.27а)
где а — антиунитарный оператор. Заметим, что А и А эквива-
эквивалентны; соотношение между представлениями А и А взаимно.
Копредставления первого типа содержат лишь одно неприво-
неприводимое представление А унитарной подгруппы. В этом слу-
случае — который является наиболее частым — А и А эквивалентны;
матрица р, преобразующая А в А, удовлетворяет соотноше-
соотношению РР* = Д(ао). Последний тип копредставлений, который будет
называться вторым типом, содержит одно и то же неприво-
неприводимое представление А унитарной подгруппы дважды. Это А
также эквивалентно А, но в этом случае для матрицы р,
которая преобразует А в А, выполняется соотношение РР* =
= — А(аоУ & третьем типе копредставлений А и А неэкви-
неэквивалентны. Эти три типа копредставлений даются парами соот-
соотношений B6.32а) и B6.40а), B6.326) и B6.406) и, наконец,
B6.31) и B6.31а). Из этого перечня следует, что каждое непри-
неприводимое представление унитарной подгруппы содержится лишь
в одном неприводимом копредставлений. Если А и А эквивалентны,
то А содержится в копредставлений лишь один раз, если оно
удовлетворяет B6.35а), и два раза, если для него выполняется
B6.356). Отсюда также следует, что неприводимые части копред-
копредставления полностью определяются неприводимыми частями матриц,
соответствующих унитарной подгруппе, и, следовательно, харак-
характером унитарной подгруппы. Копредставление, как и представление,
не может быть разбито на неприводимые части двумя существенно
различными способами. Отсюда, далее, следует, что антиунитарные
операторы никогда не приводят к дополнительной классификации
типов собственных значений, (не приводят к новым квантовым
числам) сверх той классификации, которая дается унитарной под-
Обращение времени 409
группой !). Они могут быть ответственны за совпадение собствен-
собственных значений. Так, если Аи А неэквивалентны, собственное зна-
значение с представлением Д всегда совпадает с собственным значением
с представлением Д. Антиунитарные операторы симметрии могут
быть также ответственны за обращение матричных элементов в нуль.
Читателю рекомендуется проверить, что независимо от того,
какой антиунитарный оператор играет роль а0 в предшествующем
вычислении, получается тот же самый тип расширения унитарного
представления на копредставление. Для этого нужно лишь пока-
показать, что если в B6.32) заменить а0 на другой антиунитарный
оператор иоао', соответствующее Д эквивалентно Д, если послед-
последнему эквивалентно Д, даваемое выражением B6.32). Оказывается,
что если ао заменить на иоао, то E из соотношения B6.32) заме-
заменяется на Y = A(U())P- Далее, в зависимости от того, какому из
соотношений B6.35а) или B6.356) удовлетворяет [3, у будет удо-
удовлетворять тому же самому соотношению с заменой а0 на поао.
Все это следует из вышеизложенной теории, так как тип копред-
копредставления, содержащего определенное Д, не может зависеть от
произвола в выборе оператора а0-
Следствия инвариантности относительно обращения времени
Рассмотрим сначала случай, когда имеется полная вращатель-
вращательная симметрия. Представляется естественным выбрать в каче-
качестве а0 сам оператор обращения времени в. Все результаты,
разумеется, не зависят от этого выбора. Из B6.17) и B6.32)
следует, что в этом случае Д = А* или, если воспользоваться
в этом случае стандартным обозначением для представлений,
?(У)=2)(У)\ B6.42)
Матрицей E, преобразующей © к этому виду, является матрица
С = Cf из B4.3). Следовательно, 00* = С-1С+* = (Г'С7", и так как
С = С при целых У, то ?ф*= 1. Как мы видели, в этом случае
62=1, что соответствует либо простой теории Шредингера, не
учитывающей спина, либо четному числу электронов. Поэтому
справедливо соотношение B6.35а), и все копредставления относятся
') Это не противоречит „типам" в теории элементарных частиц. Они
различаются группами операторов симметрии, выражающих одну и ту же
физическую симметрию. Так, для частиц типов 1 и 2 в2 = (—lJS, а для
частиц типов 3 и 4 в2 = — (—IJ*, где s — спин частицы. Группа опе-
операторов имеет различные законы умножения для различных типов;
каждый же набор законов умножения имеет лишь одно копредставление.
410 Глава 26
к первому типу. То же самое справедливо и для нечетного числа
электронов. В этом случае J нечетно и ЭД5* = С-1СГ = — СС+ = — 1,
так как при этом С = — Сг. Поскольку б2— —1, если число
электронов нечетно, то все копредставления снова принадлежат
к первому типу. В случае полной вращательной симметрии
обращение времени не приводит к какому-либо дополнитель-
дополнительному вырождению.
Однако соображения, связанные с обращением времени, при-
приводят к существенным результатам относительно вещественности
собственных функций. Так как в этом случае, согласно B6.39а)
или B6.40а), D(ao) = DF) —Р = С, в простой теории Шредин-
гера можно написать
Здесь матрица С была подставлена в форме B4.6). Следует учесть,
что из B6.43) вытекает определенный выбор фазового множителя;
такой выбор был сделан, когда мы в B6.39а) положили D(a)
равным р, а не шE1). В данном случае фг и фг_ являются ком-
комплексно-сопряженными друг другу, если / — р, четно; при нечет-
нечетном I — (а комплексно-сопряженными будут — <j>' и ф'_ . В част-
частности. i|)J вещественны при четных I и чисто мнимы при нечет-
нечетных /. Тот же результат может быть получен для 0? в волновых
функциях A9.18) атома гелия. Тогда из A9.19) и A9.19а) сле-
следует, что все Q вещественны для четных состояний и чисто мнимы
для нечетных. Разумеется, можно изменить все свойства вещест-
вещественности, умножив все волновые функции, принадлежащие различ-
различным строкам некоторого представления, на общий множитель.
В теории, учитывающей спин, соотношение B6.43) заменяется
следующим:
-, xk, yk, гк, sk> ...) =
= Г''-*—-'«Ч&(..., **. Ук, zk, -sk, ...)* =
= 2слглА'(--.. xk, ук, гк, sk, ...) =
М'
= (-1/-жф1ж(..., хк, yk, гк, sk, ...). B6.43а)
В этом случае WJM и ^J_M связаны с противоположными напра-
направлениями спина. Так, в частности, если М = 0, волновая функ-
') Этот выбор фазы отличается от выбора, сделанного в явном выра-
выражении волновых функций в гл. 15, множителем /'. Иногда сферические
гармоники удобно определять так, чтобы они включали этот множитель.
См., в частности, цитированную на стр. 352 работу Биденхарна, Блатта
и Роуза.
Обращение времени 411
ция вещественна, если полный момент J и Z-компонента спинового
момента оба четны или оба нечетны; волновая функция W^—чисто
мнима, если J четно, а Z-компонента спинового момента нечетна,
или наоборот.
Предшествующие рассуждения соответствуют рассуждениям
гл. 19 в той мере, в какой они дают информацию относительно
волновых функций. Отсюда можно сделать ряд заключений отно-
относительно величины матричных элементов. С другой стороны, ма-
матричные элементы могут рассматриваться непосредственно. Это
было сделано в гл. 21, где введено понятие о неприводимых
тензорных операторах. Рассуждения, сходные с изложением в гл. 21,
можно провести также с помощью антиунитарных операторов.
Рассмотрим, в частности, симметричный (т. е. скалярный) опера-
оператор р, содержащий нечетную степень времени, т. е. такой, для
которого справедливо B6.12). Таким оператором, например,
является скалярное произведение координатного вектора и спино-
спинового (или орбитального) момента количества движения
•^Sjir + ySy + ^S* или xLjc + yLy + zL;
для любой частицы, или скалярное произведение координаты и
скорости и т. д. Среднее значение такого оператора равно нулю
для любого стационарного состояния, кроме случая, когда отсут-
отсутствует случайное вырождение. Действительно, в матричном элементе
B6.Е.5)
смешанные члены с \х Ф v обращаются в нуль, так как 47^ и pW^
принадлежат различным строкам некоторого представления. Кроме
того, обращается в нуль и член с jx = v. В этом можно убедиться
из B6.8) и B6.43а) следующим образом:
рЧ^-,). B6.44)
Последнее равенство следует из того, что 2J—2jx всегда есть
четное число и что р как оператор физической величины
является эрмитовым. Согласно B6.44), D7^, pW ) имеют противо-
противоположные знаки для [аи —jj,. Поскольку W и ЧТ^ являются
партнерами, а р — симметричный оператор, эти два выражения
должны быть равны. Поэтому они обращаются в нуль, так же как
и выражение B6.Е.5). Имеется много подобных примеров, неко-
некоторые из которых приводят к определенным заключениям относи-
относительно вещественности или чистой мнимости матричных элементов.
Так, например, если р удовлетворяет перечисленным выше усло-
условиям, но две волновые функции в матричном элементе
B6.E.Q
412 Глава 26
не совпадают, то это скалярное произведение является чисто мни-
мнимым. При этом предполагается, что фазы функций Ч?^ и Ф^ опре-
определены так, что копредставление имеет одинаковый вид для обеих
из них и, в частности, что для обеих выполняется соотношение
B6.43а). Если р есть Z-компонента векторного оператора, имею-
имеющего подобные свойства относительно обращения времени, выра-
выражение B6.Е.6) вещественно. Эти результаты могут быть получены
на основе аргументов, вытекающих из B6.44), и могут быть обоб-
обобщены соответствующим образом на неприводимые тензорные опе-
операторы произвольного ранга.
Рассмотрим теперь противоположный случай полного отсут-
отсутствия пространственной симметрии. В этом случае унитарная
подгруппа сводится к единичному элементу и Д = A). Поэтому Д
и Д совпадают, а E есть произвольное число с модулем 1. Таким
образом, рр* = A). С другой стороны, 02 = 1, если число элек-
электронов четно, но 02 = — 1, если оно нечетно. В результате ко-
копредставление (имеется только одно) относится к первому типу
в первом случае, но ко второму типу, если число электронов
нечетно и учитывается спин. В этом последнем случае все соб-
собственные значения двукратно вырождены: если выбрать р = A),
то две волновые функции tyvifa преобразуются при обращении вре-
времени согласно B6.406),
»<1>1 = — Ь> efc = <!>!. B6.45)
Это — теорема Крамерса о вырождении в ее первоначальном виде.
Факт наличия вырождения следует уже из того, что если в есть
такой антиунитарный оператор, что 02 =— 1, то i|> и Щ
всегда ортогональны. Это следует из B6.8):
(ф, Ц) = (Щ, Ц) = (— (|), Ц). B6.45а)
В случае четного числа электронов или, с другой стороны, для
простой теории Шредингера вырождения нет, и соотношение
0ф = ф B6.46)
справедливо для любого стационарного состояния, если фазовый
множитель выбран надлежащим образом. Случай отсутствия про-
пространственной симметрии, но при наличии инвариантности относи-
относительно обращения времени, важен для атомов в асимметричном
электрическом поле, которое преобладает, в частности, в кристал-
кристаллах низкой симметрии.
В качестве последнего примера рассмотрим случай однородного
магнитного поля в направлении оси Z. Соответствующая унитарная
Обращение времени 413
подгруппа была определена в гл. 18; она состоит из всех враще-
вращений О/а 0-0\ вокруг оси Z и произведений этих вращений на
инверсию пространства О/. Интересным моментом является здесь
то, что обращение времени, как таковое, при этом не является
элементом симметрии; таким элементом является лишь произведе-
произведение обращения времени на операцию, которая обращает направле-
направление магнитного поля. Это достигается вращением вокруг любой
оси в плоскости XY на угол те, а также отражением в любой пло-
плоскости, проходящей через ось Z. Произведение 6O/0 „ 0\ обраще-
обращения времени и вращения на угол it вокруг Y может быть выбрано
в качестве а0- Поэтому, поскольку в и О« коммутируют,
Лй1°{а, 0, 0>а0 = °[о! п, 0}9~1О{а, О, 0}9О{0, *, о) =
= °{0, и, 0}О{с, 0, 0}О{0,х, 0} = 0{а, 0, о}'
Уравнение B6.32), определяющее {$, принимает вид
А({—а, 0, 0})* = РА{(*. 0. 0)}р. B6.47)
причем уравнение, в которое входит пространственная инверсия,
выполняется автоматически. Так как А ({а, 0, 0}) = (е'та), уравне-
уравнение B6.47) снова дает fl = (u>j, и все копредставления относятся
к первому типу. Как и следовало ожидать, все собственные зна-
значения являются простыми при наличии магнитного поля. Однако,
если взять в качестве |3 единичную матрицу, равенство B6.39а)
показывает, что
или, подставляя произведение (—0"Q{0 я о}^ из B6.15в) вместо в
и P{o,*,o}Q{0,u,o} вместо °{о,*,о}'
(- if Q{0, я> 0}КР{0, щ 0}Q{0> ж> 0}^ = %.
Так как Р и Qr0 v oy вещественны и так как квадрат последнего
оператора равен (—1)", получаем соотношение
или
t\{— *i. У1. — «1. «1 ~хп, Уп, —zn, sn)* =
= M*i. Л г1- 5i хп' Уп< zn> s«). B6.47в)
которое выполняется при наличии произвольно сильного однород-
однородного магнитного поля вдоль оси Z. Выбор фазового множителя,
414 Глава 26
который следует из C = A), совпадает с выбором, который опре-
определяется выбором фазового множителя для Wm при М = р. в B6.43а),
так что соотношения B6.47) выполняются для WJM также и без
изменения фазового множителя. Они могут быть получены из B6.43а)
путем применения к нему оператора О/0 л 0} и использования
трансформационных свойств функций 1"^, наряду с явным выра-
выражением для $[&,„}).
Глава 27
ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
И КЛАССИЧЕСКИЕ ПРЕДЕЛЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ, ЗУ- И 6У-СИМВОЛОВ
Коэффициенты представлений, ЗУ-символы и коэффициенты
Раки все являются типично квантовомеханическими величинами.
Как и все квантовомеханические величины, они могут быть истол-
истолкованы как амплитуды вероятности. Задачей настоящей главы и
является подробный разбор этого.
Значение момента количества движения1) jh и его проекции
на заданное направление р.Й для некоторого состояния могут быть
заданы одновременно. Волновые функции чТ^ представляют со-
состояния, в которых момент количества движения и его Z-компо-
нента определены именно таким образом. Однако невозможно ука-
указать определенные значения одновременно двух компонент мо,мента
количества движения. Волновая функция состояния, для которого
проекция момента количества движения в направлении Z' равна \xh,
есть О^^, где R — вращение, переводящее Z' в Z. Однако,
кроме случая У —О, Z-компонента момента не имеет определенного
значения в состоянии О^^; действительно, соотношение
о*чг? = 2»ш(луЛ <27Л)
показывает, что все возможные значения Z-компоненты момента
количества движения имеют, вообще говоря, конечные вероятности.
Вероятность значения у/Ь равна квадрату абсолютной величины коэф-
коэффициента при fjj/ в B7.1); иначе говоря, она равна | 25(;) (R)v-'v-2-
Это наиболее простое физическое истолкование коэффициентов пред-
представления. Ниже будет дана аналогичная интерпретация ЗУ- и
бу'-символов.
В области больших квантовых чисел все больший смысл при-
приобретают классические понятия. Следовательно, должно быть воз-
возможным определение состояний, в которых моменты количества
') Если придерживаться более точно общих принципов квантовой
механики, то следует говорить, что квадрат момента количества движе-
движения равен /(;'+ 1)Й2
416 Глава 27
движения ограничены во всех направлениях узкими областями.
Ниже мы покажем это. Аналогично, 2>j- и бу-символы в пределе
больших квантовых чисел должны иметь интерпретацию с помощью
обычных геометрических понятий. Такое истолкование должно сде-
сделать очевидным свойства симметрии этих символов. Это действи-
действительно будет так. Однако переход от квантовомеханических ве-
величин к их классическим аналогам ни в коей мере не является
простым: они приближаются к классическим пределам только при
усреднении их по некоторому разумному интервалу значений по
крайней мере одного из индексов. По отдельности они испытывают
колебания вокруг среднего; характер этих колебаний будет описан
несколько более подробно ниже.
Коэффициенты представлений
Интерпретация величин
\®U)(R)^\2 = [dU)$)^]2 B7.E.1)
с помощью наблюдаемых величин, которая может быть дана по
крайней мере в принципе, уже содержится в предыдущем разделе.
Выражение B7.ЕЛ) дает вероятность того, что Z-компонента мо-
момента количества движения равна рЛЙ, если Z'-компонента этой
величины равна pii, а полный момент количества движения1)
равен jh. Вращение R переводит направление Z' в направление Z.
Угол между Z и Z' равен {3, и, разумеется, B7.ЕЛ) зависит
только от р и не зависит от остальных эйлеровых углов враще-
вращения R. Аналогичная интерпретация матрицы преобразования спина
одного электрона была дана после соотношений B0.20); истолко-
истолкование коэффициентов представления, которое неявно содержится
в B7.ЕЛ), было подчеркнуто Гюттингером2).
Из указанной интерпретации коэффициентов представлений сле-
следует ряд соотношений. Наиболее очевидным из них является то,
что вероятность B6.ЕЛ) симметрична относительно р/ и jx. Легко
показать, что
dU) (PV> = (-1/-" dU) (PV. B7.2)
Другими соотношениями, для которых квадрат неявно содержится
в интерпретации величины B7.ЕЛ), являются B4.7) и A9.14).
Полагая [л- = у в B7.1), получаем состояние, в котором момент
количества движения параллелен оси Z'. Тогда вероятность того,
') См. примечание на стр. 415.
2) P. Q fl 11 i n g e r, Zs. f. Phys., 73, 169 A932).
Физическая интерпретация и классические пределы 417
что Z-компонента момента будет равна [аи, согласно B7.2) и A5.27а),
есть
. )cos'H4psin/H8. B7.3)
Если j велико, то следует ожидать, что это выражение будет иметь
максимум около p,0 = ycosp—того самого значения, которое jj.
принимает согласно классической теории. Вероятность Р(р.) может
быть вычислена в окрестности (i0 наиболее просто, если принять,
что р-0 = у cos p есть целое число. Поскольку j велико, это огра-
ограничение не является существенным. Тогда, если \х > (i0,
1
x2
g
или, так как
1 + cos p
Если p, — (i0 <<S^ У + [a0, это выражение весьма близко к
B7.4)
Та же самая формула относится к случаю \ъ < р.о. В квантовой
теории Р(р.) имеет гауссово распределение около значения ц.о,
которое имела бы величина р. в классической теории. Результат
не был бы таким простым, если бы мы рассматривали состояние
O^jl с р. Ф j, так как момент количества движения такого
состояния может иметь, даже в классической теории, любое на-
направление, составляющее угол % с осью Z', где cosO = jx/y. Лишь
в случае ;х = + j это направление единственно; тогда оно совпа-
совпадает соответственно с Z' и —Z'.
Коэффициенты векторного сложения
Наиболее прямое физическое истолкование ЗУ-символов, или
коэффициетов векторного сложения, следует из соотношения B4.20)
или многочисленных эквивалентных ему соотношений. Согласно
418
Глава 27
B4.20), выражение
BУ+1)
х X
Л Л
— т. /
B7.Е.2)
есть вероятность того, что Z-компоненты векторов jl и /2 равны
у. и X, если эти векторы складываются в j, причем направление j
таково, что его Z-компонента равна т. Связь между j, jx и j%
Фиг. 14. Геометрическая ин-
интерпретация Зу-символа.
Моменты количества движения у, и J3,
складываясь, дают полный момент
количества движения j с Z-компонен-
той т.. Вероятность того, что Z-ком-
Z-компоненты векторов ji и Уз равны соот-
соответственно х и Х = т — х, дается
при этих условиях выраже-
выражением B7.Е.2). Асимптотическое значе-
значение этой вероятности пропорционально
полной длине дуги окружности, лежа-
лежащей между плоскостями г=> и
S-X+1.
становится более симметричной, если j заменить на —j, так что
три вектора .Д, j2, j, складываясь, дают нуль. Сложение в клас-
классической теории показано на фиг. 14. Вектор jx может быть на-
направлен к любой точке окружности, а вектор j2 начинается из
этой точки. Ясно, что если длины jv J2, j векторов jlt j2, j и про-
проекции «Дня (где х—|—X -|- т = 0) этих векторов' на ось Z заданы,
то вся конфигурация векторов j\, j2, j определена с точностью
до поворотов всей фигуры вокруг оси Z. Числа jx, j2, j, x, X, т
могут поэтому быть характеризованы геометрическими свойствами
этой фигуры, инвариантными относительно вращений вокруг оси Z.
Дуги окружности как конечные точки вектора j\ (см. фиг. 14),
имеющие равную длину, равновероятны. Следовательно, если дви-
двигаться с постоянной скоростью по окружности, обходя ее всю за
единицу времени, то время, которое будет затрачено на прохо-
Физическая интерпретация и классические пределы 419
ждение между плоскостями z = % и z = *-f'. Даст вероятность
значения х для проекции у, на ось Z. В точке Р на плоскости z *= х
касательная к окружности направлена по \j\J2], а единичный
вектор в этом направлении равен [JiJ2]/\\JiJ2]\- Проекцией
этого вектора на направление оси Z будет [jj2] • ej | \j\j2] \,
где ez — единичный вектор в направлении оси Z. Следовательно,
если двигаться по окружности со скоростью v, то перемещение
в направлении оси Z происходит со скоростью
а время, которое конец вектора проводит между плоскостями z = х
и z = x-(-l, является обратным этой величине, точнее, пропор-
пропорциональным удвоенной обратной величине этого отношения, так как
интервал (ч, ч —j— I) no z проходится дважды при движении по
окружности. Поскольку длина окружности равна 2тс|[/11/2]|/у,
то и скорость v равна этой величине. Отсюда следует, что вероят-
вероятность того, что Z-компонента j\ лежит между х и х +1, равна
2|[АЦ1 _ 2][Д/2]| ] ^75)
Так как эта вероятность также дается выражением B7.Е.2), при-
причем — т заменено на т, классическим аналогом квадрата 3/-
символа является
J' Jl JA ~ 5m+* + >, 0 (97 fi4
\ I — п—| г • • 1 1 • ( ^/ .01
т х X / 2я | [/,у2] -ег\ ч
Коэффициент J/Bj-\-l) мы заменили на '/з- ^ак Уже упоминалось
выше, числа j, j\, j2, m, x, X определяют векторы jv j2, j
(где '71+Л+У:=0) с точностью до вращения всей фигуры,
образованной из этих векторов, вокруг оси Z. Однако правая часть
равенства B7.6), очевидно, инвариантна относительно такого вра-
вращения. Она равна обратной величине произведения 4тс на пло-
площадь проекции треугольника, образованного векторами jv j2, j,
на плоскость XY. Последний способ описания показывает также,
что соотношение B7.6) инвариантно относительно перестановки
векторов j\, j2, j. Поскольку J1-\-J2-\-j=0, это можно видеть
также из B7.6).
Явное выражение для классического предела Зу-символа через
входящие в него индексы имеет вид
Зх J<2 ) ~ 5m, fm2+m, 0 B76а)
420 Глава 27
где А2 — квадрат площади треугольника со сторонами j, j\, J2:
\+2j\Jl B7.66)
Как и ранее, можно указать классический аналог только квад-
квадрата квантовомеханической величины 3/-символа. Это естественно,
потому что 3/-символы являются амплитудами, которые, по-
подобно <|), не имеют непосредственного классического аналога. По
этой причине следует ожидать, что B7.6) справедливо только при
усреднении по одному из индексов по некоторой разумной области.
Можно, однако, воспользоваться классическими понятиями для
интерпретации как ф, так и коэффициентов векторного сложения;
получаемые при этом выражения *) воспроизводят также и знак
этих величин. Эти полуклассические выражения применимы только
при условии, что все квантовые числа велики, но они показывают,
что коэффициенты ф и Зу-символы имеют осциллирующий харак-
характер в той области, в которой наши формулы законны в среднем.
Из данной нами интерпретации Зу-символов можно было бы за-
заключить, что эти величины обращаются в нуль, если т1 принимает
значение, лежащее либо ниже наинизшей точки окружности на
фиг. 14, либо выше наивысшей точки этой окружности. Знамена-
Знаменатель выражения B7.6а) в этих случаях становится мнимым. Однако
полуклассические выражения показывают, что 3 ./-символы не обра-
обращаются в нуль при таких тх\ они лишь экспоненциально убывают
выше и ниже значений т1, соответствующих наинизшей и наи-
наивысшей точкам окружности на фиг. 14.
Если т = — у, вектор J на фиг. 14 становится антипарал-
антипараллельным оси Z, а х и X должны определяться при этом одно-
однозначно из классической теории. Обозначим их значения через х0
и \0. Тогда
*о-Ио = Л B7.7)
а квадрат высоты треугольника, перпендикулярной стороне j, равен
Эти два уравнения определяют х0 и Хо. В квантовой теории вероят-
вероятность того, что проекции векторов jx и /2 принимают значения
х и X, дается выражением B7.Е.2). Эта вероятность будет обо-
обозначена через Р(х, X). Входящий в B7.Е.2) Зу-символ при m = — j
:) См. A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics,
Princeton, 1957, Sect. 2.7, App. 2; P. В r u s s a r d, J. H. T о 1 h о е k,
Physica, 23, 955 A957).
Физическая интерпретация и классические пределы 421
определяется выражениями A7.276) и B4.9а):
J Л
¦ /«
; [СУ)! (У, +h-j)l (Л + х)! (Л + X)!]*
_ , _ _ _ B7-8)
Поэтому
К (У, —х)!(/2 —X)! ч >
где постоянная не зависит от х и X.
Дальнейшие вычисления упрощаются, если предположить, что
классические значения величин х и X, т. е. х0 и Хо, являются целыми
числами. Поскольку искомое выражение Р(х, X) будет интересовать
нас только при больших значениях j, а также х и X, это пред-
предположение не является существенным. Если х = хо-|-л, Х = Х0 — п
с положительным п, то мы имеем
— хо —
В силу B7.7а)
(Л + ио) (Л — хо) = (Л — Хо) (Л + >¦<))•
Если разделить числитель и знаменатель выражения B7.9а) на
л-ю степень последнего выражения и принять, что л мало по
сравнению с j\ + х и у2 i ^> т0 все множители в B7.9а) будут
лишь незначительно отличаться от 1. Поэтому B7.9а) может быть
преобразовано с помощью формулы
что дает, в силу B7.7) и B7.7а),
B7.96)
Та же формула применима и при отрицательных п.
Последнее выражение для вероятности отклонения х от его
классического значения х0 на величину п имеет большое сходство
с B7.4), т. е. с вероятностью отклонения р, от его классического
значения ц.о. Эта вероятность снова имеет наибольшее значение
при к —х0 и является при больших квантовых числах j, j\, J2,
к, X гауссовым распределением около Хр. Действительно, при
422 Глава 27
больших квантовых числах имеется большое сходство между
Зу-символами и коэффициентами представления1). Это очевидно
уже из фиг. 14, которая становится схемой, лежащей в основе
интерпретации коэффициентов представлений, если устранить из
нее вектор у2 и ту часть вектора J, которая лежит выше плоско-
плоскости окружности.
Коэффициенты Рака
Физическая интерпретация бу'-символа наиболее ясно следует
из разложения B4.22) волновой функции Хм, описывающей состоя-
состояние, в котором полный момент частиц 1 и 2 равен у", по волно-
волновым функциям Ф'л/, соответствующим состояниям, в которых
полный момент частиц 1 и 3 равен у':
. V.W. B7.10)
J\ /3 J )
Коэффициент c(jJM; j'J'M') = bjrbMM-cJ(j\ Л выражен в B7.10)
через бу-символ, согласно B4.23а). Отсюда следует, что выра-
выражение
BУ+Щ2/+1) 2 B7.Е.З)
l/i Уз J >
дает вероятность того, что сумма моментов количества движения
j\ и Уз имеет длину у', причем моменты у, и у2 связаны в вектор J,
имеющий длину у, а у3 связан с этим вектором, в результате
чего получается момент количества движения с абсолютной вели-
величиной J. Фиг. 15 показывает связь между этими шестью векторами;
они образуют тетраэдр (вообще говоря, неправильный).
Если длины векторов j\, j2, j, j3, J фиксированы, плоскость,
проходящая через векторы j\, j2, j, может еще быть повернута
вокруг j. Точка Р на фиг. 15 описывает тогда окружность с цент-
центром в некоторой точке на J. Равные дуги этой окружности имеют
равные вероятности. Вероятность заданного значения величины j'
может быть вычислена с помощью метода, использованного при
интерпретации Зу-символов. Единичным вектором, касательным
к окружности в точке Р, является [у^УгУКЛЛ! I • Вероятность
для единичного интервала j' обратно пропорциональна проекции
этого вектора на j'\ иначе говоря, она пропорциональна выраже-
выражению
UiM-flf '
') См. цитированную на стр. 338 монографию Эдмондса.
Физическая интерпретация и классические пределы
423
Коэффициент пропорциональности при этом есть обратная величина
половины длины окружности, т. е. величина, обратная к itl/l
Фиг. 15. Геометрическая интерпре-
интерпретация коэффициентов Рака.
Моменты количества движения j, и J,, скла-
складываясь, дают суммарный момент j. Этот
момент в свою очередь складывается с /3,
приводя к полному моменту количества дви-
движения J. Вероятность того, что моменты /3
и у, складываются в суммарный момент с аб-
абсолютной величиной j , дается через коэф-
коэффициенты Рака выражением B7.Е.З). Асимп-
Асимптотическое значение этой вероятности про-
пропорционально длине дуги окружности, точки
которой находятся на расстояниях от j' до
j' ¦+-1 от конца вектора J.
Поэтому в пределе больших квантовых чисел / выражение B7.Е.З)
принимает вид
Заменяя j/Bj-\-l) и j'/Bj'-\-l) на г/2, получаем
B7.12)
Квадрат bj-символа принимает асимптотическое значение,
равное обратной величине произведения 24тг на объем тетраэдра,
образованного векторами, входящими в Qj-символ. Приближе-
Приближение к асимптотическому значению имеет тот же характер, что и
в случае 3/-символов; можно ожидать, что только среднее от
левой части B7.12) по крайней мере по одному из j сходится
к правой части.
Приложение А1)
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В этом Приложении дается сводка обозначений и определений
координат, вращений и фаз, которые были приняты в американском
издании настоящей книги. Они совпадают с обозначениями, при-
принятыми Роузом2), и имеют то преимущество, что позволяют сохра-
сохранить обозначения волновых функций Кондона и Шортли3), коэф-
коэффициентов представлений Вигнера (принятых также в немецком
издании настоящей книги) (и наиболее широко используемые3)),
определения коэффициентов векторного сложения, причем про-
произведен переход от левой системы координат, первоначально
использованной автором, к более широко используемой правой
системе координат. Таким образом, сведена к минимуму возмож-
возможность возникновения недоразумений, происходящих вследствие
различия в обозначениях и определениях по сравнению с суще-
существующей литературой по физике, а также устранены недостатки
левой системы координат.
Более полная сводка соотношений между фазами и обозначе-
обозначениями, используемыми различными авторами, для коэффициентов
представлений, коэффициентов векторного сложения и бу'-симво-
лов дана Эдмондсом5).
1. Координаты
Прямоугольные координаты, используемые в настоящей книге,
таковы, что при (положительном) вращении положительного на-
направления оси х в направлении (положительной) оси у правый
винт двигался бы вдоль положительного направления оси z. Сфе-
') Это приложение было добавлено в издании 1959 г.
2) См. цитированную на стр. 215 монографию М. Роуза.
3) См. цитированную на стр. 186 монографию Е. Кондона и Г. Шортли.
*) См. цитированные на стр. 227 работы Рака.
6) См. цитированную на стр. 338 монографию Эдмондса.
Обозначения и определения 425
рические координаты (г, б, ср) определяются соотношениями (см.
фиг. 7 на стр. 185)
= arccos^, (A1)
= arcsin
2. Вращения
Вращение R определяется углами Эйлера {а, (Э, f}- Каждому
вращению сопоставляется оператор Р#, который а) вращает поле
вокруг оси Z на угол а, б) вращает поле вокруг оси Y на
угол р и в) вращает поле вокруг оси Z на угол if- Оси координат
остаются фиксированными при этих вращениях поля. С каждым
вращением связано также преобразование координат, представляемое
матрицей R#, которая а) осуществляет вращение координат вокруг
оси Z на угол f, б) вращение координат вокруг новой оси К на
угол р и в) вращение координат вокруг новой оси Z на угол а.
Таким образомJ),
(cos a sin а 0\ /cos C 0 —sin p\ / cosy sin у 0\
— sin а cos а 0 ( 0 1 0 — sin 7 cosy О J. (A.2)
О 0 1/ Vsinp 0 cosp A 0 0 1/
Вращение системы координат посредством R/«pT\ физически пол-
полностью эквивалентно обратному вращению поля посредством
Р{«РГ}-|==Р{-Т.А—-}
где запись (P^-i/) подчеркивает то обстоятельство, что опера-
оператор Р дает новую функцию координат г. Пусть
(A. 4)
') См. соотношения от A5.14а) до A5.15) в основном тексте книги.
426 Приложение А
Тогда f(r) = Pi?g(i"), и (А. 3) принимает вид соотношения A1.19),
которое было использовано для определения J) оператора Р#:
Заметим здесь для связи с дальнейшим, что, согласно (А. 2),
матрица R/а> р, у\ переводит точку @, 0, гг) с полярными коорди-
координатами (г = zv б = 0, ср = 0) в точку (х\ у', z') с полярными коор-
координатами (г'= zv 6' = C, ср' = тс — а).
3. Представления группы вращений и сферические гармоники
Соотношение A1.23) и A1.26) определяет матрицу представле-
представления посредством оператора Р#и функций-партнеров фх C-^i» У\<
*1 Хп> Уп' *пУ-
PKt(XV Уг Zl Хп' Уп' Zn) =
= 2?)(#)xvlk(*l. i>V *\ Xn> Уп' Zn) (A- 6)
X
или, что равносильно,
Ф (х v z х v z \ (А 7)
где
Для случая группы вращений функциями-партнерами являются
сферические гармоники YUm(b, ср), где—I ^.m^i-\-l, а матрица
представления есть 5)(г' (R)km. Тогда, согласно (А. 6),
,, т
2 ®A) (RTmk Yu k F, ср). (А. 8)
k
Это соотношение определяет сферические гармоники для всех б'
и ср' через их значения при 6 = 0, ср = О и через ©'Д:
У и т (9. Т) = 2 ^(° (Ю*тк Ylk F - 0, ср = 0). (А. 9)
k
Здесь /? должно быть вращением, матрица которого R# переводит
точку на оси Z на расстоянии г от начала в точку с полярными коор-
') При вычислении произведений вида P^P^/W следует рассматри-
рассматривать операторы в порядке слева направо, как указано в гл. 11. Только
этим путем можно обеспечить равенство Р^^^" ^*sr (CM- ГЛ- ^' СТР" ^^
Обозначения и определения 427
динатами г, 6, ср. Как мы заметили в предыдущем разделе настоя-
настоящего Приложения, этим вращением является R= [к — <р, -|~6, -\-^}.
В гл. 15 было показано, что только YlH не равно нулю в точке
6 = ср = 0. Поэтому равенство (А. 9) есть просто
Ylim(B. <p) = S>w<{*-T. + 6. +Т});Л(в = 0. ? = 0). (АЛО)
В соответствии с определением в книге Кондона и Шортли при-
примем, что Кго@, 0) вещественно и положительно; тогда
*W8. «P) = (const) ¦ (-1)тЛ№F)т0. (А. 11)
Это соотношение между сферическими гармониками и коэффи-
коэффициентами представлений было установлено в соотношении A9.86).
Данное здесь определение сферических гармоник совпадает с опре-
определением Кондона и Шортли.
4. Коэффициенты векторного сложения
Как упоминалось в гл. 17, матрица Sim?^ —«?,'(?, v&m>l).+, не
определяется полностью требованием, чтобы она приводила к тем
линейным комбинациям произведений ф[?Ф^, которые принадле-
принадлежат (р. -]- v)-tt строке представления фA). Равенство A7.21) указы-
указывает выбор, при котором коэффициенты векторного сложения
являются однозначными:
I, I, -'I
S .
L, I, -I
>0. (А. 12)
В этом выборе Кондон и Шортли, а также Рака, Роуз и Эдмондс
(см. цитированные выше работы и монографии этих авторов) сле-
следуют Вигнеру.
ЗУ-символы, использованные в гл. 24, выражаются через коэф-
коэффициенты векторного сложения следующим образом:
Л Л Л \ = (-у.-А-»». s(hh) ь
т1 т2 т3) УУ + 1 J"ni"h m1+m2+mt, 0" V
5. Коэффициенты Раки и бу'-символы
Коэффициенты повторной связи, или 6У-символы, используе-
используемые в тексте, связаны с коэффициентами W Рака следующим
образом:
wCVVA; Ш = (-i)/i+/a+'i+'M 7 / . . (А. и)
Приложение Б
СВОДКА ФОРМУЛ
Теория возмущений
E.8)
^-, E.10)
Теория групп
Символ 2 означает суммирование по всем элементам группы
для конечных групп; для непрерывных групп он означает инте-
интеграл Гурвица
2^ = 2^- G.1), A0.5)
Соотношения ортогональности для унитарных неприводимых
представлений группы порядка h имеют вид
2'Я(Л (#pv DU) (Я),, = -А. Ъп%..^, (9.32)
R
где L — размерность представления D . Для характеров у№) (R) =
-=2^Ш(Л)№ имеем
2xx %7- (9-33)
Для непрерывных групп ^=У,1 заменяется на ГdR [соотно-
R
шения A0.12), A0.13)].
Сёодка формул 429
Представления и собственные функции
Из
о1-19)
где х, и дГу связаны вещественным ортогональным преобразова-
преобразованием R
x'j = ^Rjlxl или ^ = 2#;.^, A1.18)
следует, что
Ps/? = PsP;?. A1-20)
Также из
*, ,Л (Ц-23)
X
и PsP^= Ps^ следует
A1.25)
Наконец, из
следует
S SP)- A2.8)
Неприводимые представления трехмерной группы вращений
(
-i'-ipe'VT, A5.27а)
= 2 е'м. A5.28)
/
430 Приложение Б
Представление Ф(Г) X Ф(/) содержит один и только один раз
каждое из представлений фA), где
^ A7.14)
¦г.. A7.276)
2 sal) о(й) — §
4 - - <17.28)
V $(М) я(") , = 8 ,.
*™ I, jj., /я—(j. I, |i ,/я—р. и-и-
Теория спина Паули
i х„, уя, 2„, «„) =
= 2 ... 2 ®A/j)(/?)i 1
)i i
«(^.y,. zv tt хя, у„, zn, tn) B1.66)
Or — PrCXr = Q^P^. B1.8)
Непри'водимые тензоры
= 2 ©(ffl)(/?)poTw. B1.166)
'), B1.18)
Здесь вУ,ш^ равны нулю, если
или
Сводка формул 431
Бесконечно малые вращения
Оператор бесконечно малых вращений декартовых координат
имеет вид
i.|_\p_ i—Pf \W • A8 7)
h z да i«oo> a=Q
для спиновых координат
а для всех координат одновременно
4(U + S2) = — i4-Osa00\ • B3.30а)
fl ОСС \CtUU jr.
Зу-символы
1. Соотношение между ЗУ-символами и коэффициентами век-
векторного сложения:
' Л Л Уз
т2 mj Yfj^i^m%mi+mi+m,,o. B4.9а)
2. Симметрия ЗУ-символов:
тг тъ т2
Уз к J\ \ ( к к к
m2 mx J \m2 m1 щ)
\ B4.10a)
ml m2 тъ J \ m2 щ mx j \ m3 mx m2 ]
h h h U(_l)''+'.+'.(y| h y»V B4.106)
6/-СИМВОЛЫ
1. Связь с Зу-символами:
(W)(Ш.) = (-О2'1 2 BУ + О{^ ^ {}(ЛУа/)(/ХУ.).
B4.24а)
B4.246)
432 Приложение Б
(относительно использованных здесь ковариантных обозначений
см. гл. 24).
2. Рассмотрим а-ю компоненту Т" неприводимого тензора ранга р
по отношению к декартовым координатам и ранга 0 (скаляр) по
отношению к спиновым координатам. Оператор Т" является тогда
неприводимым тензором ранга со = р по отношению к вращениям
всех координат. Для такого оператора другой возможной формой
Соотношения B1.19) является
«'. ГТЛ = (Л р\ Jl')TNAN.r. B4.27а)
Величина Tnj;N'J' b соотношении B4.27а) есть произведение
^\y-P-J'Y2J'-\-\ на TNJ-N,r из B1.19). Если для обоих со-
состояний W^J и Ч?$'г справедлива LS-связь, то
Тш-, N'r =
, i^J-L + S+J'+p) Р \ л/о г Л_ 1 l/o V I Y Г
= (—1) W/ ^ А У 2J-\-\ У 2./ + 1 lNSL;N'S'L'-
B4.30)
Антиунитарные операторы
Оператор в является антиунитарным, если для любых двух
состояний f и Ф
FФ, вФ) = (Ф, W)* = (W, Ф) B6.8)
и
11. B6.5)
Антиунитарный оператор обращения времени имеет вид
6 = slys2y ... snyK, B6.15a)
е = (-0пО{0)Л0}К, B6.15b)
где К — оператор, заменяющий некоторую величину ее комплексно-
сопряженной. (
Законы умножения матриц, соответствующих антиунитарным
операторам а и унитарным операторам и, записываются в виде
D(u,)D(u2)=D(u1u2).
D (a) D (uh) = D (аи),
D(u)D(a) =D(ua), B6-21)
D(a1)D(a2)* =
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелевы группы, см. Группы абе-
левы
Аксиальный вектор 237
Алгебра представлений 136
Антилинейные операторы 36, 389
Антисимметричная матрица 34
представления 154
— — собственные значения и соб-
собственные функции 125
Антиунитарные операторы 389
в нормальном виде 390
Ассоциативность 13, 73
Атомные спектры 212
Бесконечные группы 108
Бора орбиты 214
— условие частот 70
Вейля метод получения представ-
представлений группы вращений 189
Вектора компоненты 9
Векторного сложения коэффициен-
коэффициенты 226
• — классические пределы 417
ковариантные и контрава-
риантные 347
симметричная форма 343
таблицы 231
модель 221, 312, 367
Векторные операторы 274, 288 322
326, 330
— — матричные элементы 291
Векторов линейная независимость
19
— ортогональность 35
— полная система 20
— сложение 9
Векторы аксиальные 237
— в пространстве группы 100
Векторы полярные 244, 316, 322
— физические 203
Величина физическая 62
Вероятность в квантовой механике
62
— различных направлений спина, их
взаимозависимость 272
Вещественная ортогональная матри-
матрица 35, 41, 172-
Взаимодействие атома с магнит-
магнитным полем 241, 330
— спин-орбитальное 313, 330
— спин-спиновое 332, 335 '
— электронов 367
Водорода атом 213
волновые функции 214, 253
спектр 213
Возбуждение падающим излучени-
излучением 67
Возмущений теория в случае выро-
вырождения 57
правильные линейные комби-
комбинации 60, 145, 210, 226, 242, 306,
312, 376
Рэлея — Шредингера 53
Волновая функция 46
и физическое состояние 63
Волновое уравнение Шредингера
45
Волчок квантовомеханический 255
Вращательные состояния 265
Вращение 109, 127, 172, 265
— декартовых координат 265, 269,
298
— спиновых координат 269, 298,
309, 374
Вращений группа 109, 172, 180
двумерная 173, 241
и унимодулярная группа 192
— группы интеграл Гурвица 176
классы 174, 175, 181
434
Предметный указатель
Вращений группы матрицы 173 181,
193, 205
— — представления 175
характеры 202
— и отражений группа 172, 174,
211, 244
Вращения и отражения 172, 319
перестановка 310, 376
— операторы без спина 127, 265
— — для спинов только 268, 299
— — их линейность и унитарность
276
со спином 265, 268, 276, 283
— ось 180
— собственные и несобственные 172
— угол 180
Времени обращение 386
оператор 390
следствия из инвариантности
относительно него 409, 412
Вырождение собственных значений
51
нормальное 145
— — — случайное 145
Гамильтонов оператор 46, 61
— — в магнитном поле 242,
330
Гармонический осциллятор 43
Гармонические полиномы 177, 185
Гейзенберга матрицы 43
Гелия атом 258, 335
— ион 215
Гипергеометрическая функция и
матрицы представлений 257
Главное квантовое число 216
Главные оси, преобразование к ним
37, 41
Гомоморфизм 86
— унитарной группы на группу
вращений 189
Грама—Шмидта ортогонализация
140
Группа вращений 109, 172, 180
— диэдрическая 80
— знакопеременная 153
— определение 74
— отражений 77, 174, 211, 249
— перестановок 81, 132, 150
— покрывающая 295
— примеры 73, 77
— простая 84
— симметрическая 81, 132, 150
— унитарная унимодулярная 192,
287
Группа уравнения Шредингера
128
Группы абелевы 74, 176
— аксиомы 74
— бесконечные 108
— гомоморфизм 86
— изоморфизм 79, 86
— инфинитезимальные 111
— конечные 75
— Ли 111
— непрерывные 108
— параметры 109
— порядок 75
— представления, см. Представле-
Представления группы
— просто непрерывные и смешанно
непрерывные 109, 111, 121
— пространство 76, 108, 173
— прямое произведение 206,
209
— симметрии 79
— циклические 78
Групповые элементы (элементы
группы) 74
соседние 108
Групповых элементов классы 81
период 75
порядок 75
сопряжение 81
Гурвица интеграл 119
для двумерной группы вра-
вращений 176
смешанно непрерывных
групп 121
трехмерной группы вра-
вращений 183
Движение центра масс 212, 252
Двузначные представления, см.
Представления многозначные
Двумерная унитарная матрица 191
Диагонализация матриц 32, 39
Диагональная матрица 17
— сумма, см. След
Диагональный вид матриц 32
Дипольное излучение 235
Дирака релятивистский электрон
282
Диэдрическая группа 80
Единичная матрица 14, 25
Жесткий ротатор 253
Предметный указатель
435
Запрета принцип, см. Паули прин-
принцип
Зеемана эффект 237, 317
аномальный 332
нормальный 244
Знакопеременная группа 153
Зоммерфельда постоянная тонкой
структуры 313, 368
Идемпотентные операторы 144
Излучение дипольное 235
— квадрупольное 234
— падающее на атом 67
— поляризованное 239
Измерение физической величины
62, 64
Изоморфизм 79, 86
Инвариантная плотность в про-
пространстве параметров 116
Инвариантность относительно вра-
вращений, следствия 274, 285
Инвариантные операторы, см. Сим-
Симметричные операторы
Инвариантный интеграл, см. Гур-
вица интеграл
Инверсия времени, см. Времени об-
обращение
— пространства 211, 238, 283
Инволюторные физические опера-
операторы 391
Индекс подгруппы 77
Интегралы по непрерывным груп-
группам, см. Гурвица интеграл
Интенсивности формулы, см. Хён-
ля — Кронига формулы для ин-
тенсивностей
Интервалов правило (Ланде! 332.
360, 366
Интеркомбинационный запрет 235,
377
Инфинитезимальные группы 111
Каноническое преобразование 66,
266, 280
Квадратичная интегрируемость 45,
50
Квадрупольное излучение 234
Квантовая теория 43
Квантовое число азимутальное (ор-
(орбитальное) 217
главное 216
• магнитное 217
— — мультиплетное 217
<- электрическое 246, 322
Квантовое число орбитального мо-
момента количества движения (ор-
(орбитальное) 217
полного момента количества
движения 220, 281, 316
Квантовомеханическое твердое тело
253, 255
Кейли — Клейна параметры 192
Классические пределы коэффициен-
коэффициентов представлений 415
З/'-символов 418
6/-символов 421
Классы группы 81
перестановок 152
и характер 103, 201
— двумерной группы вращений
174, 175, 381
— трехмерной группы вращений
181
Клебша — Жордана коэффициенты,
см. Коэффициенты векторного
сложения
Ковариантные и контравариантные
коэффициенты представлений 351
3/-символы 350
Коммутативность и инвариантность
141
Комплекс элементов 85
Комплексно ортогональная матрица
35, 37
Комплексное сопряжение и анти-
антиунитарные операторы 390
Компоненты вектора 9
— момента количества движения
по оси 217
— представлений неприводимые 106
Конфигурации 373, 374
— разрешенные для электронов
373, 378
Конфигурационное пространство 44,
128
Копредставление 398
— неприводимые 403, 408
— приведение 398
Кососимметричная матрица 34
Кристалл 247
Ланде ^-формула 330, 363
— правило интервалов 332, 360,
366
Лапласа уравнение 177, 185
Лапорта правило 2*36, 246, 316, 322
Линейная независимость 19, 47
Линейные комбинации «правиль-
«правильные» 60, 145
436
Предметный указатель
Линейные преобразования коорди-
координат И
— — произведение 12
— — тензоров 218
Линии ширина 71, 314
/г-лучевик 251
Магнитное квантовое число 217,
261, 288
Магнитный момент 261
Матриц диагонализация 32, 39
— прямое произведение 27
— размерность 11
— свойства при преобразованиях
подобия 18, 30
— сложение 16, 24
— собственные значения и соб-
собственные векторы 31
— специальные виды 33
— теоремы 13, 25, 190
— умножение 12, 25
— функции 19, 33
Матрица антисимметричная 34
¦— вещественная ортогональная 35,
41, 172
— взаимная 15, 25
— двумерная унитарная 191
— диагональная 17
— единичная 14, 25
— квадратная 22, 23
— комплексно ортогональная 35,
37
— кососимметричная 34
— мнимая 34
— нулевая 16, 24
— обратная 15, 25
— прямоугольная 23
— симметричная 34, 41, 124
— эрмитово-сопряженная 34, 36
Матрицы Паули 191
— след 18
— элементы 10, 11
Матричные элементы II, 66, 233
—¦ — бесспиновых тензорных опе-
операторов 323, 360
векторного оператора 291
Метрический тензор для Зу'-симво-
лов 348, 349
Мнимая матрица 34
Момент количества движения, кван-
квантовое число полного момента 220,
281, 316
компонента по оси 217
¦ орбитальный 217, 219
— правила отбора 219, 220
Момент количества движения, соб-
собственные функции 186, 254
Мультиплетное расщепление 313
и перестановки электронов
310
и число антисимметричных
собственных функций 375
правило отбора 234
— число 217
Мультиплетность 218
Непрерывность группы 108, 113,294
Непрерывные группы 108
Непрерывный спектр 49, 213
Неприводимость представлений 90
— — группы вращений 176, 179,
188
унитарной группы 200
Неприводимые компоненты пред-
представления 106
типы и число 189, 223
— представления 90
— секулярное уравнение 148
— тензоры 288, 323, 337, 363
Нечетная перестановка 152
Нечетное число электронов 295
Нечетные представления 195
— уровни 318, 382
Нормировка 35, 47
Нормальная связь 314, 323
— форма антиунитарных операто-
операторов 390
Нулевая матрица 16, 24
Обратная матрица 15, 25
Обратное произведения элементов
группы 74
Операторы антилинейные 389
— антиунитарные 389
— бесконечно вырожденные 144
— идемпотентные 144
— инвариантные, см. Симметрич-
Симметричные операторы
— линейные 11, 47, 266, 278
— проекционные 144
— симметрические, см. Симметрич-
Симметричные операторы
— унитарные 35, 65, 266, 278
— эрмитовы 48, 62
Определитель и обратная матрица
15
Оптические изомеры 259
Орбитальный момент количества
движения, квантовое число 217
Предметный указатель
437
Орбитный момент количества дви-
движения, правила отбора 219
Орбиты 369, 374
— Бора 214
Ортогонализация методом Гра-
ма — Шмидта 39
Ортогональная матрица, см. Мат-
Матрица вещественная ортогональ-
ортогональная, Матрица комплексно ортого-
ортогональная
Ортогональности соотношения в не-
непрерывных группах 123
¦ для неприводимых представ-
представлений 102
собственных функций 51,
140, 144
— спиновых функций 302
характеров 102, 123, 144
Ортогональность векторов 35
— и унитарность представлений
135
— собственных функций 51, 144
— функций 47, 140
Основная область 250
— структура 301
Ось вращения 180
Отбора правила 219, 233, 250, 258,
314, 315
— — в магнитном поле 238, 317
электрическом поле 245, 322
со спином 316
Отражений группа 77, 174, 211, 244
Параметры вращений 173, 182, 183
— группы 108
— Кейли — Клейна 192
Параметров пространства одно- и
многосвязное 109, 295
путь в нем 109, 113, 294
Партнеры-функции 136
Паули матрицы 191, 276
— принцип (запрета) 154, 218, 300
372, 373
и заполнение электронных
орбит 373
— теория спина 262, 264
Перестановки 150
— и принцип Паули 299
— четные и нечетные 152
Перестановок группа, см. также
Симметрическая группа
электронов 130, 216, 298, 310
370, 376
— классы 151
— циклы 150
Перестановочные соотношения 44
Перестановочный закон 74, см. так-
также Коммутативность
¦ и матричное умножение 13
Перехода вероятность 43
— •— под действием падающего
излучения 66, 233
правило сумм 319
при измерении 64, 265
Период элемента группы 75, 111
Плотность инвариантная 116
Повторная связь моментов количе-
количества движения 353
Подгруппа 75
— инвариантная 83
— смежные с ней классы 76
Подгруппы индекс 77
— порядок 77
Подобия преобразование, инвари-
инвариантность относительно него 30
матриц 18, 26, 30, 134
Покрывающая группа 295
Полнота систем векторов 21
— собственных функций 51, 144
Полуцелые представления 196
Полярные векторы 244, 316, 322
Поперечный эффект 239
Порядок группы 75
— элемента группы 75
Построения принцип 220, 367
Правильные линейные комбинации
210, 226, 242, 306, 312, 376
Представление группы 89, 124, 132
— — и собственные функции 124
размерность eFo 90
унитарность его 91, 123, 135
характер его 102, 106, 142
— принадлежащее собственному
значению 145, 209
'—• прямого произведения 207, 209,
223
— симметрической группы 156, 306
— с точностью до множителя 293
— тождественное 153, 189
— функции, принадлежащие ему 142
Представлений алгебра 136
— ортогональность 98, 123
— эквивалентность 90, 106
и характеры 106
Представления антисимметричные
154
— двумерной группы вращений 177
и отражений 177
— для электронных собственных
функций 156
— комплексно сопряженные 339
438
Предметный указатель
Представления комплексные 340
— коэффициенты, их классические
пределы 415
— многозначные 189, 196
— непрерывных групп 114, 123
— потенциально-вещественные 340
— приведение 104
— приводимые и неприводимые
90
— присоединенные 154
— псевдовещественные 340
— точные и неточные 89
— трехмерной группы вращений
185, 189, 201, 203
дЛЯ четного или нечет-
нечетного числа электронов 285
и отражений 211, 218
—целые и полуцелые 196
— унитарной группы 197
— четные и нечетные 196
— целые и полуцелые 196
— четные и нечетные 195
Преобразование антилинейное 36
— антиунитарное 276
— каноническое 66, 266
— к новой системе координат 65
— линейное 11, 12, 203
— подобия 18, 30, 134
— собственное 10
— унитарное 65
Преобразований теория 61, 65
Приведение копредставлеиий 398,
403
¦— представления 104
— — группы вращений 223
симметрической группы 158
Приводимые представления 90
Присоединенные представления 154,
218, 307
Продольный эффект 240
Проекционные операторы 144
Произведение комплексов 87
— матриц 12
— перестановок 80, 150
— прямое групп 206
матриц 27
— скалярное векторов 35
функций 47, 155, 263, 283
— числа и вектора 9
— матрицы 16
Простая группа 84
Просто непрерывная группа, см.
Группы непрерывные
Протона спин 282
Прямое произведение групп 206
209, 219, 319, 374
Прямое произведение групп, непри-
неприводимые компоненты его 224
матриц 26, 207, 209
представлений 207, 209
Разделения теории Эпштейна —
Шварцшильда 43
Размерность матрицы 11
— представления 90
Рака коэффициенты 337, 352
— — классический предел 422
Расщепление собственных значений
58, 146
в магнитном поле 241, 317,
332
электрическом поле 243,
319
— спектральных линий 243, 318,332
Релятивистская теория электрона
282
Рессела — Саундерса связь 323, 361
Ридберга постоянная 213
Ромбическая симметрия 247
Ротатор 253
Релея — Шредингера теория воз-
возмущений 53
Секулярное уравнение 30, 60, 146
Символы 3/- 344
классический предел 417
— — ковариантные и контравари-
антные 347
симметрии 345
сокращенное обозначение 356
— 6/-354
вычисление 359
и группа 360
— — классический предел 422
симметрии 357
— 9/-363
Симметрии группа конфигурацион-
конфигурационного пространства 128
— группы 79
— свойства уравнений 217,237,246,
247, 373
Симметрическая группа 81, 132, 150
характеры представлений 167
Симметричная матрица 31, 41, 124
собственные значения и соб-
собственные функции 125
Симметричные операторы 131, 140,-
288, 334
— — и коммутативность 141
Скалярное произведение векторов
35
Предметный указатель
439
Скалярное произведение функций
47, 155, 263, 283
Скалярные операторы 288, 323
След 17
Слетера определитель 372
Сложение векторов и матриц 9, 16,
24
Смежный класс 76
по инвариантной подгруппе
85
Смешанно непрерывные группы 109,
111, 121
Собственные векторы 31
вещественной ортогональной
матрицы 41, 172
— значения вырожденные 51, 145
и результаты измерений 62
классификация по представ-
представлениям групп 145, 209
матрицы 31
оператора 49
расщепление во внутрикри-
сталлических полях 247
• в магнитном поле 242,
317
электрическом поле
246, 322
при возмущении 146
— — уравнения Шредингера 49, 382
четные и нечетные 218, 382
— функции 46, 50, 63
и классификация по пред-
представлениям 126, 143, 209
¦ из трансформационных
свойств 250, 276
момента количества движе-
движения 186, 254
ортогональность 50, 144
• полнота 144
— — правильные линейные комби-
комбинации 210, 226, 242, 306
простейших систем, см. Водо-
Водорода атом, Гелия ион
Собственный дифференциал 50
Сокращенное обозначение ЗУ-симво-
ЗУ-символов 356
Сопряженные элементы группы 74
Состояние квантовомеханическое 61
Сочетание преобразований 12
— симметрии 206
— — систем 221
Спектр дискретный и непрерывный
49, 213
— оператора 49
Спин 219, 261
— вероятность направления 273
Спин и полный момент количества
движения 281
представления группы вра-
вращений 269
симметрической группы
156, 168
четность 313
Спина теория Паули 261
Спиновые матрицы (Паули), 276
— операторы 274
— переменные 155, 262, 302, 308
— силы 301, 313, 332, 366
Спин-орбитальное взаимодействие
313, 330
— спиновое взаимодействие 332,
335
Спин ядра 282
Статистическая интерпретация кван-
квантовой механики 61
Субматрицы 29
Сумм правило для вероятностей
переходов 319
Суперматрицы 28
Сферическая симметрия s-состояния
253
Сферические гармоники 186, 253
Тензорные операторы 289
— — двусторонние 363
матричные элементы 324
— — неприводимые 323, 337
Тензоры и вращения 203
— неприводимые 288, 323, 337,
363
Тождественное представление 153,
189
Тождество группы 74
Тонкая структура 219, 298, 308
волновые функции 312
компоненты 312
Тонкой структуры постоянная
(Зоммерфельда) 313, 368
Транспозиция 152
Транспонированная матрица 33
Угол вращения 180
Унитарная матрица 35
— унимодулярная группа 192, 287
— гомоморфизм с группой
вращений 192
— представления 195
Унитарное представление 91
Уровни энергии 43
Уширение уровней и линий 314
440
Предметный указатель
Фактор-группа 84, 87
Ферма теорема и теоремы о груп-
группах 78
Физические величины 62
Физическое истолкование коэффи-
коэффициентов представлений 415, 416
— — 3/-символов 417
б/'-символов 422
Функции ортогональные 46
— принадлежащие представлению
142
строке представления 136
Функциональный вектор 46
Характер представления 102, 142
группы вращений 188, 202
симметрической группы 167
унитарной группы 201
Характеры и эквивалентность пред-
представлений 106
— нормированные 103
— ортогональные 102, 123, 188
— элементов одного класса 103
Хартри теория экранирования 369
Хёнля — Кронига формулы для ин-
тенсивностей 318, 326, 362
Циклические группы 78
Циклы перестановок 150
Четность 217, 313, 382
— и орбитальный момент количе-
количества движения 258
правила отбора 219, 236
представления группы отра-
отражений 218
Четные уровни 218, 382
Четыре-группа 79
Число подразделений 152, 168
fl-числа 43
Шварца неравенства 56
Шмидта (Грама—) метод ортогона-
лизации 39
Шпур, см. След
Шредингера волновое уравнение
45
Штарка эффект 237, 244, 319
Шура лемма 93, 94
Эйлеровы углы ПО
Эйнштейна вероятности перехода
66
Эквивалентность представлений 90,
106
Экранирование кулоновского поля
369
Электрическое квантовое число 246,
322
Электронный спин 261
Электрон-электронное взаимодей-
взаимодействие 367
Элементы группы 74
Энергии уровни 43 (см. также Соб-
Собственные значения уравнения
Шредингера
приближенные 382
простейших систем, см. Водо-
Водорода атом, Гелия ион
физические и химические
свойства атомов 367
Эпштейна — Шварцшильда теория
разделения 43
Эрмитов оператор 48
Эрмитова матрица 34, 37
Эрмитово-сопряженная матрица 34,
36
Ядерный спин 282
Якоби полиномы, см. Гипергеоме-
Гипергеометрическая функция
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие автора 7
Глава 1. Векторы и матрицы 9
Линейные преобразования 9
Линейная 'независимость векторов 19
Глава 2. Обобщения 22
Глава 3. Преобразование к главным осям 30
Специальные матрицы 33
Унитарные матрицы и скалярное произведение 35
Преобразование к главным осям для унитарных и эрмитовых
матриц 37
Вещественные ортогональные и симметричные матрицы .... 41
Глава 4. Элементы квантовой механики 43
Глава 5. Теория возмущений 53
Глава 6. Теория преобразований и основания статистической
интерпретации квантовой механики 61
Глава 7. Абстрактная теория групп 73
Теоремы для конечных групп 75
Примеры групп 77
Сопряженные элементы и классы 81
Глава 8. Инвариантные подгруппы 83
Фактор-группа 84
Изоморфизм и гомоморфизм 86
Глава 9. Общая теория представлений 89
Глава 10. Непрерывные группы 108
Глава 11. Представления и собственные функции 124
Глава 12. Алгебра теории представлений 136
Глава 13. Симметрическая группа 150
Приложение. Лемма о симметрической группе 169
Глава 14. Группы вращений 172
442 Оглавление
Глава 15. Трехмерная группа чистых вращений 185
Сферические гармоники 185
Гомоморфизм двумерной унитарной группы на группу враще-
вращений 189
Представления унитарной группы 195
Представления трехмерной группы чистых вращений 201
Глава 16. Представления прямого произведения 206
Глава 17. Характеристики атомных спектров 212
Собственные значения и квантовые числа 212
Модель векторного сложения 221
Приложение. Соотношение между биномиальными коэффициен-
коэффициентами 231
Глава 18. Правила отбора и расщепление спектральных линий 233
Глава 19. Частичное определение собственных функций из их
трансформационных свойств 250
Глава 20. Спин электрона 261
Физические основы теории Паули 261
Инвариантность описания относительно пространственных вра-
вращений 265
Связь с теорией представлений 269
Приложение. Линейность и унитарность операторов вращения 276
Глава 21. Квантовое число полного момента количества движе-
движения 281
Глава 22. Тонкая структура спектральных линий 298
Глава 23. Правила отбора и правила интенсивностей при учете
спина 316
Формулы Хёнля — Кронига для интенсивностей 326
Формула Ланде 330
Правило интервалов 332
Глава 24. Коэффициенты Рака 337
Комплексно-сопряженные представления 339
Симметричная форма коэффициентов векторного сложения . . . 343
Ковариантные и контравариантные коэффициенты векторного
сложения 347
Коэффициенты Рака 352
Матричные элементы бесспиновых тензорных операторов . . . 360
Общие двусторонние тензорные операторы 363
Глава 25. Принцип построения 367
Глава 26. Обращение времени 386
Обращение времени и антиунитарные операторы 386
Преобразование собственных функций антиунитарными операто-
операторами , 395
Оглавление 443
Приведение копредставлений 398
Нахождение неприводимых копредставлений 403
Следствия инвариантности относительно обращения времени . . 409
Глава 27. Физическая интерпретация и классические пределы
коэффициентов представлений 3/- и 6/-символов 415
Коэффициенты представлений 416
Коэффициенты векторного сложения 417
Коэффициенты Рака 422
Приложение А. Обозначения и определения 424
1. Координаты 424
2. Вращения 425
3. Представления группы вращений и сферические гармоники . . 426
4. Коэффициенты векторного сложения 427
5. Коэффициенты Рака и 6/-символы 427
Приложение Б. Сводка формул 428
- Теория возмущений 428
Теория групп 428
Представления и собственные функции 429
Неприводимые представления трехмерной группы вращений, . . 429
Теория спина Паули 430
Неприводимые тензоры 430
Бесконечно малые вращения 431
3/-символы 431
6/-СИМВОЛЫ 431
Антиунитарные операторы 432
Предметный указатель 433
Е. Вигнер
ТЕОРИЯ ГРУПП