ББК 22.37
К43
УДК 537.311(0.75)
Киреев П. С. _ __
К43 Введение в тёоршоТрупп~й ее применение в
физике твердого тела: Учеб. пособие для
студентов втузов.— М.: Высш. школа, 1979.—
207 с, ил.
40 к.
Пособие состоит из четырех глав. В первой главе
изложены основные понятия теории абстрактных групп; вторая глава
посвящена группам симметрии физических систем как
конкретной реализации абстрактных групп; третья — основам теории
представления; четвертая — применению теории групп. Пособие
снабжено задачами.
Пособие предназначено для студентов и аспирантов,
специализирующихся в области физики полупроводников, металлов
и диэлектриков.
v 30407—361
К 108—79 1704060000 ББК 22.37
001(01)—79 5з1в9
(g) Издательство «Высшая школа», 1979

ПРЕДИСЛОВИЕ
Основная цель данного пособия — изложить ряд вопросов,
изучаемых в учебных курсах, с общих позиций теории групп, чтобы
помочь студентам повысить их математическую подготовку и
подготовить их к чтению специальной литературы по теории групп и ее
применению в физике.
Знания основных понятий теории групп необходимы
студентам, специализирующимся в разных областях науки о твердом
теле. Они полезны при изучении кристаллографии, где
используются многие понятия теории абстрактных групп, рентгенографии,
физики полупроводников, физики металлов, квантовой механики.
В физике полупроводников изложение таких вопросов, как
колебание решетки, теоремы Блоха для собственных функций
электрона в поле с трансляционной симметрией и ряд других основано
на использовании методов теории групп.
Широкое использование теории групп в физике твердого тела
объясняется тем, что совокупность элементов симметрии
кристаллической решетки удовлетворяет всем аксиомам теории групп.
Другими словами, группа симметрии решетки является
конкретной реализацией абстрактной группы и к^ней применимы все
основные понятия теории абстрактных групп. 'Благодаря этому
многие результаты могут быть получены без -проведения вычислений,
только на основании симметрии решетки.
Необходимо знакомство с теорией, групп и специалистам в их
практической деятельности, например при чтении научных статей
периодической литературы.
Глава IV написана канд. физ.-мат. наук Е. В. Загорянской.
Приношу искреннюю благодарность рецензентам рукописи
проф. Ю. М. Поплавко и коллективу кафедры
«Полупроводниковые приборы» МИРЭА за ценные замечания, членам
Методического совета по полупроводниковой и изоляционной технике
МВиССО СССР (председатель Совета проф. В. В. Пасынков) за
поддержку позиции автора и позитивную критику.
Замечания и пожелания по книге просьба направлять по
адресу: Москва, К-51, Неглинная ул., 29/14, издательство «Высшая
школа».
Автор

Глава I
АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ
с,
§ 1. Аксиомы теории групп
Теория групп строится на основе четырех аксиом, служащих в
то же время определением группы.
Группой G является совокупность некоторых объектов,
называемых элементами группы, которая удовлетворяет следующим
условиям.
1. Для элементов совокупности установлен закон композиции,
согласно которому любой паре элементов Gt и Gk ставится в
соответствие некоторый элемент Gt той же совокупности. Закон
композиции называют также групповым умножением, а элемент G, — про-
изведением элементов Gt и Gk и обозначают в виде
Gfik^Gi.
2. В совокупности G существует один и только один элемент Е
такой, что
EGi = GiE = Gi
для любого элемента Gt. Элемент Е называют тождественным или
единичным.
3. В совокупности G для любого элемента Gt найдется такой
элемент G7l> что
GfiT^GT'G—E.
Элемент GT1 называют обратным элементу Gu a Gi = {G~x)"1 —
обратным элементу GT1.
4. Произведение элементов ассоциативно:
Gfifi^GfiuGb-GAGfifr
Проанализируем аксиомы теории групп. Первая аксиома говорит
о замкнутости совокупности G относительно выбранного правила
композиции. Группа G может содержать конечное число элементов g;
в этом случае число элементов g называют порядком группы. Если
элементы группы заданы в виде непрерывных функций от одного
(или нескольких) параметров ср: Gi = Gi (cp), то группу называют не-\
прерывной. |

Существование обратного элемента для любого элемента означает
отсутствие нулевого (или пустого) элемента. Из определения
обратного элемента следует, что
{GfiJ)-1 = GTlGTl; {АВ)~1 = В-1А-1\
(ABCD ...)_1= .-• D^C-^B-M-1,
т. е. обратный элемент для произведения равен произведению
обратных элементов в обратном порядке. Для доказательства запишем
соотношение
(АВ)(АВ)-1=АВ.В-1А-1 = А{ВВ-1)А-1 = АА-1=Е.
При этом учтено, что ВВ~1=Е и АА^^Е.
Ассоциативность произведения означает возможность
объединения любого числа сомножителей и замены их произведением или
возможность вместо любого элемента подставить в соотношение
другие элементы, произведением которых он является, т. е. если Gt =
= GkGb то справедливо равенство GdG^Gnfiifi^
Аксиомы теории групп не требуют коммутативности
произведения, поэтому в общем случае Gfih Ф GkGt. Если все элементы
группы попарно коммутируют: GiGk = GkGi, то группу называют абелевой.
Запишем элементы группы в определенном порядке: G1% G2, ..., Gg.
Возьмем произвольный элемент Gk группы и составим g
произведений: GkGlf GkG2, ..., GkGg. Если Gk = E, то получим все элементы
группы в том же порядке. Если Gk Ф Е, то получим опять все
элементы группы, но в другом порядке. Действительно, в
последовательности GkGlt GkG2l ..., GkGg находятся элементы группы G
согласно первой аксиоме. Чтобы доказать, что в нее входят все
элементы группы G, следует показать, что в ней нет одинаковых
элементов. Для доказательства предположим, что два некоторых
произведения совпадают, например, G^^GkGj. Умножим это равенство
па G~kX слева:
G~kX GkGt = Gt = GJl GkGj = Gj.
I Io группа состоит из различных элементов, т. е. Gt ф G;-,
следовательно, и GkGt =£ GkGj. Таким образом, в последовательности
(i,,Gv ..., GkGg содержатся все элементы группы G, но лишь в
другом порядке. Перемножение всех элементов группы G на
некоторый фиксированный элемент Gk называют сдвигом по группе и
обозначают GkG. Поскольку сдвиг по группе оставляет группу
неизменной, лишь меняя порядок расположения элементов, для
любого элемента Gk группы G можно записать
GkG = G.
§ 2. Подгруппа. Сопряженные совокупности
Если некоторая совокупность Я из ft(ft<g) элементов*" удовлет-
юриет всем аксиомам теории групп при том же законе композиции,
я

при котором элементы совокупности G образуют группу, то
совокупность Я называют подгруппой группы G. В одной и той же
группе G могут существовать несколько различных подгрупп.
Две подгруппы, образованные либо из элементов всей группы
(Я = G), либо из единичного элемента (Я = Е), называют
тривиальными. Их, как правило, не принимают во внимание.
Число элементов h подгруппы Я называют ее порядком. Сдвиг
по подгруппе (HkH=H) не меняет состава подгруппы, а лишь
переставляет местами элементы подгруппы.
Возьмем некоторый элемент Gt и умножим его на все элементы
подгруппы Я. Получим h элементов вида
GiH-.GiHb GtH29 ..., GtHk.
Если Gt^Hy то GtH = H. Пусть теперь Gt не входит в H:Gt^H.
Покажем, что и элементы GtH не входят в Я. Для доказательства
этого утверждения предположим противоположное, т. е. что GtH
содержит хотя бы один элемент подгруппы Я, например GiHh = Hl.
Умножим это равенство на Я^"1 справа:
GiHJfk =Gi = Hlffb =Hm.
Предположение о принадлежности некоторого элемента GtHk
подгруппе Я приводит к утверждению, что и Gt принадлежит к
подгруппе Я, а это противоречит исходному предположению.
Следовательно, совокупность GtH из h элементов отличается от подгруппы
ft, если Gt не входит в Я. Возьмем элемент GA, который не входит
ни в Я, ни в GtH. Образуем совокупность GkH из h элементов.
Как было доказано, элементы совокупности GkH не содержат
элементы подгруппы Я. Докажем теперь, что совокупность GkH не
содержит ни одного элемента из совокупности GtH. Для
доказательства предположим, что некоторый элемент GhHt совпадает с
элементом GtHm:
Gftfy = G^m.
Умножив это равенство на НГ1 справа, получим, что Gk входит
в совокупность GtH:
GkHlHTx = Gk = GiHmHTl =GtHp; Hp=HmHT .
Это противоречит исходному предположению о том, что Gk не
входит в GtH. Построим теперь множество из (g— h+l)h
элементов вида
Н:НЪ Я2, ..., ЯЛ;
GJi-.GJI^ GXH2, ..., GJi^
Gg-hH:Gg-hHl> Gg-hH2> •••» °*-/Д
л>
где элементы Gl9 G2, ..., Gg-h не входят в подгруппу Я. Число
элементов этого множества превосходит число элементов группы G,
так как (g — h+l)h>g при А> 1. Покажем далее, что две сово-

купности GmH и GnH либо не содержат ни одного общего элсмппл..
либо полностью совпадают. Пусть Gn не входит в GmH:Gnd (lmll,
т. е. для любого элемента Н/ подгруппы Н справедливо Gn / О',,,//,.
Умножив неравенство на все элементы подгруппы Н, получим!
ОпНфОтН.
Предположим, что совокупности GnH и GmH содержат хотя бы
один одинаковый элемент, например
GnHi = GmHj-
Отсюда следует, что Оп = СтН;НГ1-=GmHp и, следовательно,
GnH = GmHpH = GmH,
т. е. совокупности GnH и GmH полностью совпадают. Таким
образом, все элементы группы можно разложить по некоторым
совокупностям следующего вида:
Н:Н1У #2, ..., Hh\
G1H:G1H1, G^2, ..., GxHh\
Gz-i^:G/-i^i» G/-i#2, •••, Gi-iHh-
В этой таблице содержатся все g элементов группы и ни один
из них не повторяется. Отсюда находим g = hl, где / — число строк,
т. е. целое число. Приходим к выводу (теорема Лагранжа), что
порядок подгруппы h является делителем порядка g группы:
h=g/l.
Число / называется индексом подгруппы Н относительно
группы G. Отсюда вытекает следствие: если порядок группы — простое
число, то такая группа никаких подгрупп, кроме тривиальных, не
содержит.
Совокупность GtH называют левой сопряженной. Она не может
быть подгруппой, так как не содержит единичного элемента (Е 6 #!)•
Подгруппа Н позволяет разложить элементы группы на правые
сопряженные совокупности HGj. В общем случае правые HGj и
левые GtH сопряженные совокупности содержат разные элементы.
Другими словами, при выбранном элементе Gk имеем GkHФ HGk.
Однако может оказаться, что для некоторой подгруппы N
разложение элементов группы на правые и левые одинаково, т. е. для
любого элемента Gk имеем равенство GkN = NGk. Такая подгруппа
называется инвариантной подгруппой или нормальным делителем.
Возьмем некоторый элемент Gt группы G и образуем
бесконечный ряд вида
..., GT2, GT\ Gt, Giy Gt, Gt, ...
Все они являются элементами группы конечного порядка, что
возможно в том случае, когда ряд содержит повторяющиеся элементы.
Пусть, например, два ближайших члена ряда G*1 и G/2 совпадают
G^G'r.
7

Умножив это равенство на Gt l\ получим
Gli1Grll=E = Gli'-ll = Gl
Минимальное целое число л, при котором G?=E, называют
порядком элемента Gif а совокупность п элементов Giy G?, ..., G? =
= Е— циклом (или периодом) элемента Gt. Цикл является
подгруппой группы G. Согласно теореме Лагранжа, порядок элемента п
должен быть делителем порядка группы g/n=l. Таким образом,
чтобы найти возможные порядки подгрупп (или элементов), следует
разложить порядок группы g на множители.
Группу G, элементы которой являются различными степенями
некоторого одного элемента А:А, Л2, ..., Ап=Е называют
циклической. Циклические группы являются абелевыми группами
А1А!=А1+1 = А!А1.
Если порядок группы g—простое число, то такая группа
никаких подгрупп, кроме тривиальных, не содержит. Отсюда следует,
что эта группа может быть только циклической.
§ 3. Классы
Возьмем фиксированный элемент Т группы G и образуем с
произвольным элементом Gt произведение вида GtTGr\ получим
некоторый элемент V из группы G : V = GtTGJ~l. Элемент Т называют
сопряженным элементу V посредством элемента Gt. Но элемент
Т может быть выражен через элемент V посредством элемента Gf1
аналогичным образом:
Gr]GtTG^G—T = GrlVGt = GrlV'(GT1)"1,
иначе элементы Т и V взаимно сопряжены. Пусть элемент Gt
пробегает всю группу G, тогда получим g произведений GtTGT .
Легко видеть, что в этой совокупности не все элементы различны
Например, ЕТЕ-г=ЕТЕ = Т; ТТТ~1 = Т, т. е. два элемента
группы Е и Т дают сам элемент Т. Очевидно также, что любой элемент
Gky коммутирующий с Т, оставляет Т при операции сопряжения
неизменным:
GhTGkl=TGkGTl = T.
Совокупность элементов, сопряженных элементу Т, называется
классом элемента Т. Все элементы класса Т сопряжены друг
другу. Действительно, пусть элементы S и V сопряжены элементу
Т посредством элементов Gj и Gt: S = GjTGy1; V = GtTGTl. Записав
T = GJ-1V(G-1)-1, получим S = G}GrlV{GT1)-1{GT1) = GjG-1Vx
x(GjGrl)~\ т. е. элементы S и V, сопряженные элементу Т,
сопряжены и друг другу. Другими словами, класс состоит из взаимно

сопряженных элементов и выбор элемента для его обозначения
произволен.
Каждый элемент может войти только в один класс.
Действительно, пусть элемент А входит в два различных класса — в класс
элемента Г и в класс элемента S. В таком случае можно записать
T = GmAGn{ и S = GnAG^1. Выражая А через S: A = G^lSGni
получим T = GmG-xSGnG-l={GrnG-x)S{GmGnX)-\ т. е. элементы Т и S
входят в один класс, что противоречит исходному условию. Это
означает, что разделение элементов группы на классы производится
единственным образом. Нахождение числа г классов и их состава
является очень важным для теории представления групп, о чем будет
идти речь в гл. III.
Единичный элемент образует свой собственный класс, поскольку
он не может быть сопряжен никакому другому элементу группы,
так как для любого элемента Gt имеем
GfiGT^Gfi^E^EE^E.
Тем самым можно утверждать, что любой класс (кроме единичного)
не есть подгруппа, поскольку он не содержит единичного элемента.
Покажем, что элементы одного класса имеют одинаковый
порядок. Действительно, пусть элемент Т имеет порядок п:Тп=Е.
Рассмотрим сопряженный ему элемент V = GtTGTl. Возведем его в
степень п:
V^^G.TGT^iGJGT1) ••• {GtTGrl) =
= GtTETE ... EGT^GiTGT^E.
Если предположить, что Vn'=E, где п!' фпу то, пользуясь
взаимностью сопряжения, получим Тп'=Е, что противоречит исходному
предположению Тп=Е. Однако обратная теорема не верна, т. е.
элементы одного и того же порядка могут принадлежать к
различным классам, что будет показано в дальнейшем на примерах.
Для абелевой группы каждый элемент сопряжен только самому
Гебе, поэтому число классов г равно порядку группы gt а каждый
класс Gk состоит из одного элемента Gk: GtGkGTx =GhGtGTx = Gk,
так как GiGh = GkGi. Элементы группы, как уже отмечалось, могут
быть распределены единственным образом по г классам G: Съ
<:.., ..., с,.
Перемножим попарно элементы двух классов Ct и С/.
Полученную совокупность—произведение классов — обозначим CtCf. Для
л бол оных групп CiCj = CjCi в общем случае произведение классов,
-шиисит от порядка сомножителей. Произведение классов состоит из
(>у(>/ элементов, где pt и ру- — числа элементов в классах Ct и Сг
Рассмотрим произведение двух элементов G'.G'.=G'k, где G'k —
ш»мент класса Ck. Образуем из G'k класс Сь для этого найдем все-
(оиряженные ему элементы Ck = GG'kG~~1. Но G'k = G\G\y поэтому
9<

Ck = GGkG-1 = GG'.G'.G. Добавляя между G.' и G'. единичный элемент
в виде произведения взаимно обратных элементов GfiT1 и пробегая
по всей группе, получим, что класс Ск входит в произведение
классов. Если элемент Gk можно представить в виде произведения двух
других элементов G'k = G'{GJy то элементы класса Ch будут
встречаться дважды в произведении Cfij. Это означает, что произведение
классов распадается на целое число классов
г
Cfij = ^ hijhCk.
Число hiIk показывает, сколько раз класс Ck встречается в
произведении классов Cfij. Для нахождения числа htih необходимо
найти число способов образования произвольного элемента класса
Ch из элементов классов Ct и С/.
Вернемся к инвариантной подгруппе. Она обладает тем
свойством, что распределение элементов группы по правым и левым
сопряженным совокупностям одинаково G^^NGi. Умножим это
равенство на Gfl либо слева, либо справа, получим N=GTlNGv Это
означает, что инвариантная подгруппа состоит из целых классов,
поскольку для любого элемента Nj сопряженный элемент находится
в N. Равенство N=GtNGTl не следует понимать в том смысле, что
элементы подгруппы все сопряжены друг другу, т. е. относятся к
одному классу. Как уже отмечалось ранее, класс не образует
подгруппы.
§ 4. Изоморфизм и гомоморфизм групп
Используемые в физике группы состоят из элементов конкретной
природы. Их свойства, обусловленные конкретностью элементов,
различны. В то же время многие свойства групп (например, наличие
подгрупп, распределение элементов по сопряженным совокупностям
и классам и др.) от конкретной природы элементов не зависят.
Это-то и позволяет абстрагироваться от природы элементов групп и
вводить понятие абстрактных групп.
Рассмотрим две группы G*1) и G<2> одинакового порядка g1=g2-
Предположим, при анализе свойств двух этих конкретных групп мы
нашли, что элементы G\l) и G\2) и G\l) и G/2) ведут себя
аналогичным образом во всех операциях с элементами групп. В таком
случае говорят, что элементы G\X) и G\X) соответствуют элементам GJ2)
и G/2). Если при этом и произведения элементов Gtl)G}l) и G|2)GJ2)
соответствуют друг другу, то группы G*1) и G<2> называются
изоморфными. С точки зрения абстрактных групп изоморфные группы
тождественны, неразличимы, это по существу одна и та же группа.
Однако с точки зрения физики, они могут быть совершенно
различной природы. В этом случае, установив изоморфизм групп, зная
общие свойства одной группы, мы тем самым узнаем и свойства
другой группы, т. е. свойства всех изоморфных групп.
1Л

Итак, две группы изоморфны, если из взаимно однозначного со-
ответствия двух произвольных пар элементов
следует соответствие их произведений
G(DGU)^G(2)G(2).
Между группами различного порядка изоморфизм, естественно, не
возможен.
Однако и для групп различного порядка может существовать
одно многозначное соответствие, называемое гомоморфизмом групп.
Пусть даны две группы порядков gx и g"2, причем g± < g2. Если
каждому элементу группы б(2> можно поставить в соответствие один
и только один элемент группы G*1* так, что при
имеем Gi^G^ -> G[-2)Gy2), то группа G*1* гомоморфна группе G<2>.
Из определения гомоморфизма следует, что каждому элементу
группы большего пдрядка соответствует только один элемент
группы меньшего порядка, но каждому элементу группы меньшего
порядка соответствует один или несколько элементов группы большего
порядка. Другими словами, при гомоморфизме однозначное
соответствие только одностороннее.
Рассмотрим пример гомоморфизма. Возьмем группу G порядка
g с инвариантной подгруппой N порядка А. Образуем / — 1
сопряженную совокупность с подгруппой N: G^, G2N, ..., G^Af. Если
добавить к ней саму инвариантную подгруппу N, то получим
множество из / совокупностей: N; G±N; ...; б^^ЛЛ Покажем, что
множество удовлетворяет всем групповым аксиомам. Для этого введем
закон композиции элементов следующим образом: произведение двух
сопряженных совокупностей GtN и GjN есть совокупность
различных элементов, образуемых попарным перемножением элементов
сопряженных совокупностей. Общее число парных произведений
элементов двух сопряженных совокупностей равно ft2, но различных
среди них будет только А. Действительно, возьмем элемент GXN и
умножим на него все элементы сопряженной совокупности G2N:.
GJiGtNi = GiGjNNi=G&N.
При написании последних соотношений учли, что
N—инвариантная подгруппа (A^G1 = G1A^), a NN^N — сдвиг по подгруппе. Любой
другой элемент GxNt дает ту же сопряженную совокупность:
G2NGxNt = G2NG1Ni = G%G1NNi = G2GXN.
Таким образом, произведение двух сопряженных совокупностей
дает третью сопряженную совокупность, т. е. множество сопряжен-
U

ных совокупностей вместе с инвариантной подгруппой замкнуто.
При умножении сопряженных совокупностей на инвариантную
подгруппу сопряженная совокупность остается неизменной: из
очевидного равенства NN=N2=N следует WG£W=G£AW=G£W—
инвариантная подгруппа играет роль единичного элемента в этом множестве
сопряженных совокупностей, причем GrlNGtN= GrlGtN2=EN=N.
Ассоциативность произведения также выполняется. Следовательно,
множество N, G±N, ..., Gt-XN является группой порядка l = g/h.
Ее принято обозначать G/N и называть фактор-группой группы G.
Фактор-группа G/N гомоморфна группе G. При этом каждому
элементу G/N соответствует h элементов группы G, а каждому
элементу группы G соответствует только один элемент фактор-группы:
N-+Nl9 N2f ..., Nh;
GiN + GiNb GtN2, ..., GtNh.
§ 5. Прямое произведение групп
Пусть даны две группы G*1* и G(2) порядков gx и g2. Образуем
множество g=gLg2 пар G\l) G\2) = G{2) G\l) из элементов двух групп.
Мы говорим о паре элементов как об элементе нового множества,
причем порядок написания элементов разных групп произвольный.
Введем закон композиции для элементов нового множества на
основе законов композиции каждой группы, а именно, произведением
двух пар есть пара, элементами которой являются произведения
соответствующих элементов групп. Итак, пусть G\X]lGi1)' = G\X) и
G}2)GJi?) = Gj;2). Образуем пары G\X)G]2) и G{kX)G{2\ Произведением
пар является вновь пара
При таком законе композиции для элементов нового множества
единичный элемент есть пара единичных элементов £,(1)£(2) = £,(2)£(i) =
= Е, а обратный элемент есть пара обратных элементов:
Ассоциативность умножения для пар сводится к ассоциативности
умножения компонентов пар. Таким образом, множество g = gxg2 пар
удовлетворяет всем аксиомам теории групп. Эта группа G порядка
g = gtg2 называется прямым произведением групп G*1) и
&2\ обозначается в виде G=G<1>X G<2>=G(2>x G*1*.
Мы определили прямое произведение групп, рассматривая пары
элементов. Это определение справедливо для конкретных групп с
различной природой элементов. Однако группы G^> и G<2> могут
состоять из элементов одинаковой природы, так что законы
композиции в группах определены одинаковым образом. В этом случае в
группе G=G(l)xG(2) используется тот же закон композиции, пару
можно рассматривать как простое произведение элементов. Чтобы
19

образовать прямое произведение, следует считать, что элементы и \
групп G<J> и G<2) попарно коммутируют, хотя коммутация
элементов в каждой группе может и отсутствовать. Для пояснения
сплошного отметим, что в некоторых случаях группу можно расемптрп-
вать как прямое произведение двух ее подгрупп. Естественно, что и
этом случае пара есть обычное произведение двух элементов группы.
Из определения прямого произведения двух групп следует, что
можно образовать прямое произведение любого числа групп:
G=G<1>xG<2>x, ..., xG<">,
порядок группы g=g1g2f ..., gn.
Для прямого произведения общие свойства выражаются через
свойства сомножителей. Пусть Я*1* и Я<2>—некоторые подгруппы
групп G(1> и G<2). Образуем их прямое произведение #=#<1>х//(2),
оно является подгруппой порядка h=h1h2 группы G=G^l^xG^2K
Действительно,
н\1)н^н^н\2)=н\1)н^н^н\2)=н^н^\
где я*»-//! W; я<2)=я}2>я!2).
Таким образом, множество пар Ях-1)Я/2) порядка /г=Л1А2
оказывается замкнутым, т. е. является подгруппой группы G=G^l^xG^2K
Число подгрупп прямого произведения групп равно произведению
чисел подгрупп в сомножителях G^l) и G<2).
Элементы группы G=G^l)xG^2) можно разложить на
сопряженные совокупности с подгруппой H=H^xH^2h Число сопряженных
совокупностей (/—1), где Z = Z(1)/(2); Hl\ /(2) — индексы
соответствующих подгрупп. Действительно, в подгруппе Я имеется h=h1h2
элементов, в сопряженных совокупностях GtH содержится h=h1h2
элементов вида
о!-1)с|-2)М1)я(12); gW>//№2>
Согласно теореме Лагранжа, индекс / подгруппы Я: l = g/h,
следовательно, l = g1g2/h1h2 = l(l)H2\ т. е. индекс подгруппы прямого
произведения равен произведению индексов подгрупп
групп-сомножителей. Из выражения для сопряженной совокупности следует, что
се можно рассматривать как прямое произведение сопряженных
совокупностей
GiH=G]))HwxG^H(2\
Но число сопряженных совокупностей в исходных группах равно
/(1)—1 и /<2) — 1, поэтому число прямых произведений
сопряженных совокупностей равно
(/(!)_ 1)(/(2)_1)==/(1)/(2)_(/(1) + /(2)) + 1 =
= (/_1)_ [(/<!>_ 1) + (/<2>-1)].
13

Первый член в последнем выражении соответствует числу
сопряженных совокупностей, согласно теореме Лагранжа. Прямое же
произведение сопряженных совокупностей дает меньшее число
сопряженных совокупностей, чем следует из теоремы Лагранжа. Это
расхождение легко объяснить, если учесть, что дополнительные
сопряженные совокупности можно образовать прямым произведением вида
0(1)Я(.)хЯ(2) и 0(2)Я(2)Я(.). Число
дополнительных сопряженных
совокупностей равно (/0>— 1) и (№— 1), что и требует теорема
Лагранжа.
Инвариантная подгруппа прямого произведения групп есть
прямое произведение инвариантных подгрупп
Доказательство этого утверждения достаточно простое:
N=N(l)xNW = G(lWlWW-1xGW№VGW~1 =
= Gi"xGWNWxW2HGWxGW)-1 = GNG-1.
Классы прямого произведения образуются при прямом
произведении классов групп сомножителей, и число классов г в прямом
произведении равно произведению чисел классов г(1) и г(2)
групп-сомножителей:
r = r{l)r(2)t
Рассмотрим элемент Gtl)G]2). Образуем его класс:
GGl1)G)2)G-1=G(1)xG(2)Gr)GJ2)(G(1)xG(2))-1 =
= G(1)G!1>G(1)~1xG(2)G{-2)G(2)~1 = C|,)xCJ1>).
Фактор-группа прямого произведения есть прямое произведение
фактор-групп:
G ^ G(!)xG(2) _G0) G(2)
N "" JV(1)xGW) ~~Л!(1)ЛЛ;(2)"
§ 6. Таблицы умножения групп
При изучении свойств групп удобно пользоваться таблицей
умножения, в которой содержатся все элементы группы, их парные
произведения. Таблица умножения строится следующим образом.
Элементы группы записываются в виде горизонтальной (верхней) строки
и вертикального (левого) столбца, элементы обозначаются так:
G1 = E\ G2, ..., Gg> или Е, Д В, С, ... На пересечении вертикали
и горизонтали записывается произведение соответствующих
элементов, при этом правый множитель берется из верхней строки, а
левый множитель из левого столбца. Каждая строка представляет
собой произведение элемента Gf левого столбца на все элементы
группы, т. е. в каждой строке должны находиться все элементы
Н

группы, соответствующие сдвигу по группе GtG. В каждом столбце
под элементом G] верхней строки должны стоять элементы,
образуемые сдвигом по группе GGt. Для абелевых групп таблица
умножения симметрична относительно диагонали. Для произвольных групп
таблица умножения может быть произвольной «симметрии».
Поскольку строки и столбцы представляют сдвиги по группе с различными
элементами, то как в строке, так и в столбце ни один элемент не
может встречаться более одного раза. Это следует использовать для
нахождения произведений некоторых элементов. Обозначение групп
указывают в верхнем левом углу.
Рассмотрим примеры составления таблиц умножения. Группа
первого порядка может состоять только из единичного элемента Е,
при этом, как и во всех остальных случаях, Е2=Е = Е"г. Таблица
умножения имеет наиболее простой вид (табл. 1).
Таблица 1
Таблица умножения группы первого порядка
Е | Е
W£ I E
В ней в верхнем левом углу указано обозначение группы,
верхняя строка и левый столбец—элементы группы, а правый нижний
угол представляет собой произведение элементов группы.
Группа второго порядка может быть только циклической. Если
обозначить ее элементы как £, Д то должны получить А2=Е;
А = А~\ т. е. элемент, обратный элементу второго порядка,
совпадает с самим элементом. Группе второго порядка изоморфны
группы Р (2), Ct1 Cs? C2, о которых будет идти речь в дальнейшем.
Таблица умножения группы второго порядка (табл. 2) имеет следующий
вид:
Таблица 2
Таблица умножения группы второго порядка
Р (2); Ct\ Cs; C2
Е
А
Е А
Е А
А Е
Группа третьего порядка, состоящая из элементов Е, А, В,
может быть только циклической, поскольку 3 — простое число: А, Л2,
ЛЛ = Е или В, В2, В3=Е, откуда Л2=В£или В*=А, что, по сути,
одно и то же. Таблица умножения указана в табл. 3.
В ней содержатся и обратные элементы: А~1=В=А2\ В"г=А.
В левом верхнем углу указана группа С3, о которой будет идти
речь в следующей главе.
Группа четвертого порядка состоит из элементов Е, А, В, С.
11оскольку 4 = 4-1=2-2, группа четвертого порядка может быть
15

образована либо в виде цикла А, А2, А3, АА = Е, либй все элементы
могут быть второго порядка.
Рассмотрим таблицу умножения циклической группы (ей
изоморфна группа С4). Полагая А2=В, AS=C, A~1=A3 = C, найдем
таблицу умножения в виде табл. 4.
Таблица 3
Таблица умножения группы третьего порядка
С3 | Е А В
Е
А
В
Е А
А В
В Е
В
Е
А
Отметим, что элемент С также четвертого порядка, а элемент
В — второго: ВР=А*=Е. Группа имеет нетривиальную подгруппу
второго порядка Н=Е, В. С ее помощью образуется одна
сопряженная совокупность АН: А, С. Сопряженная совокупность СН: С,
Таблица 4
Таблица умножения циклической группы четвертого порядка
С4 | Е А В С
Е
А
В
С
Е
А
В
С
А
В
С
Е
В
С
Е
А
С
Е
А
В
А — совпадает с сопряженной совокупностью АН, а также с НА и
НС, т. е. левые и правые сопряженные совокупности совпадают,
поэтому подгруппа Е, В является инвариантной.
Фактор-группа состоит из элементов N и AN; G/N: N, AN.
Гомоморфизм групп
N-+E, В;
AN->Af С.
Поскольку группа С4 абелева, то в ней содержится четыре
класса: Е, А, В и С. Элементы А и С одинакового порядка, но
относятся к различным классам, что и подтверждает сказанное в § 3.
Рассмотрим теперь группу четвертого порядка с элементами
второго порядка: А2=Е, В2=Е, С2=Е. Это дает нам возможность
сразу же частично заполнить таблицу умножения, как это указано в
табл. 5.
Остаются произведения вида АВ, АС и ВС. Из второй строки
для АВ имеем либо В, либо С. Но из третьего столбца видно, что
В исключается, следовательно, остается единственная возможность
АВ = С. Взяв обратный элемент и учитывая, что для элементов вто-
16

рого порядка рбратный элемент совпадает с исходным, получим
С~1=С = В~1 А~Х = ВА = АВ. Подставив их в таблицу, получим
табл. 6. \
Т абл и ца 5
Заполнение таблицы умножения группы четвертого порядка
с элементами второго порядка
C2h
Е
А
В
С
Е
Е
А
В
С
А В
А В
Е
Е
С
С
Е
Из второй строки видно, что АС = В. Переходя к обратным
элементам, получим В = СА, тот же результат вытекает из вида
столбца А. Оставшиеся незаполненные места в таблице умножения дают
единственную возможность: АС=В = СА. Окончательно таблица
умножения имеет вид табл. 7 (одна из групп — С2Л).
Таблица 6
Продолжение заполнения таблицы умножения группы C2h
C2h
Е
А
В
С
Е
Е
А
В
С
А
А
Е
С
В
В
с
Е
С
С
Е
Группы четвертого порядка С4 и С2Л имеют различные таблицы
умножения, поэтому они не изоморфны. В группе С2/г три
подгруппы второго порядка Нг:Е, Л; Н2:Е, В; Н3:Е, С. Сопряженные со-
иокупности BH1 = H1B:Bt С; СН1=Н1С:С1 В справа и слева
совпадают для H1 = N1.
Таблица 7
Таблица умножения группы четвертого порядка
с элементами второго порядка
C2h
Е
А
В
С
Е
Е
А
В
С
А
А
Е
С
В
В
в
с
Е
А
С
С
В
А
Е
Легко видеть, что и для других подгрупп левые и правые
сопряженные совокупности совпадают, т. е. все три подгруппы
инвариантные, поэтому можно образовать три фактор-группы: GjNly G/N2
'•' К iipeeu П. С. 17

и G/N3 с элементами Nlf BNX; N2, AN2\ N3, AN3. Но фактор-группа
имеет второй порядок и все три фактор-группы тем самым должны
быть изоморфны друг другу и группе С2 или Cs. /В группе С2Л
имеется четыре класса. Каких-либо других групп четвертого порядка,
отличных от указанных двух, не может существовать.
Группу четвертого порядка можно, по-видимому, образовать из
групп второго порядка в виде их прямого произведения.
Рассмотрим, какой из групп четвертого порядка прямое произведение
должно быть изоморфным. Обозначим элементы групп G*1*: £(1), Л(1) и
G<2>:£<2>, Л<2>. Группа G=G^xG^) состоит из^етырех пар: £П)£(2)=
=£, ЛП)Л(2) = Д £(ПЛ(2) = 5 и &2W> = C. Образуем циклы с
элементами Д В и С: A2=(A(»AMy2=AW2AW=EWEW = E; B2=
= (£(1)Л(2))2 = £<1)2Л(2)2==£(1)£(2)==£'. С2=(Л(1)£(2))2=у4(1)2£(2)2 =
= £(1)£<2) = £.
Таким образом, группа G=G<1>xG(2) изоморфна группе С2/г, а
не С4.
§ 7. Примеры конкретных групп
В этом параграфе рассмотрим некоторые конкретные группы,
проведем их общий анализ на основе теории абстрактных групп.
Кольцо. Возьмем множество натуральных чисел в количестве g.
Определим закон композиции элементов множества как
арифметическую сумму. Чтобы множество было замкнутым, будем из суммы
вычитать величину, кратную g, т. е. считать тождественными 0 и
g:g=0.
Итак, Gt = i; G/=/, их произведение
GiGj=ij=(i+j)=(i+j-g).
Роль тождественного элемента играет g=0, т. е. за групповую
единицу принимается арифметический ноль или g: iE = (i+0) = i.
Обратный элемент i"1 определяется условием
a-i=£ = (0) = (/-0=(i+(g-0),
т. е. i-1=(— i) = (g—i).
Группа абелева. Ее можно рассматривать как циклическую
группу порядка g элемента 1:
l' = (l + l + ...+l) = i; H = £ = 0 = £. ;
Наиболее известными и широко используемыми являются группы
12-го и 24-го порядков, связанные с часовым циферблатом. Действие
тельно, в группе 12-го порядка 1 + 1 = 2, ..., 6+7=12+1 = 1 и т. д.|
Подгруппами служат циклы элементов 2, 3, 4, 6-го порядков, а
именно: 6, 12 = 0; 4, 8, 12 = 0; 3, 6, 9, 12=0; 2, 4, 6, 8, 10, 12 = 0J
Все эти подгруппы инвариантные. Нахождение основных характер
ристик этих групп не представляет особых трудностей.
Группа У 1 . Общий корень степени g из 1 находится в области
18

комплексных чи^ел. Для его нахождения учтем, что, согласно
формуле Эйлера, e'^=cos2rt+tsin2ji=l, поэтому
\ . 2Л
\ g g/ ' —
V V 1=V e/2jt = e ё.
. 2Л
i —
Образовав цикл Элемента е £, получим циклическую группу
порядка g:
.2Л . 2л _ . 2Л 0 . 2л , f. .2л
i — 1 — 2 i — 3 i — (g — 1) i — g
е2;е*;е*;...;е£ ; е * = е'2я=1.
. 2л .
i — я
Общий элемент Gk=e & , обратный ему элемент Gk =
= е *
Любая циклическая группа порядка g изоморфна группе
комплексного корня степени g из 1. Положим g=4. В этом случае
группа состоит из элементов i9 —1, —£, 1. Она является
циклической группой мнимой единицы.
Группа перестановок Р(я). В качестве третьего примера
конкретных групп рассмотрим группу перестановок. Возьмем п
некоторых объектов, пронумерованных числами 1, 2, ..., п. В качестве
п объектов можно взять сами числа — номера объектов. Возьмем я
позиций, пронумеруем их от 1 до п. Разместим п чисел по п
позициям, в таком случае позиции i займут числа 1Ь здесь i— номер
позиции, lt — число. Размещение чисел по позициям можно
изобразить таблицей
/I 2 ... i ... /г
P[l1k ... /, ... In
Она называется перестановкой. Если в таблице поменять
местами два столбца, то распределение чисел по позициям останется
неизменным, поэтому можно всегда считать, что порядок написания
позиций соответствует порядку возрастания целых чисел, и вместо
двухстрочной таблицы для обозначения перестановки можно
использовать таблицу однострочную
1 2 ... i ... п\
)=Р(1112 ... h ... /„).
Если в процессе каких-либо преобразований порядок написания
позиций нарушается, то «беспорядок» ликвидируется переписыванием
таблицы в порядке 1, 2, ..., п для позиций с сохранением вида
столбцов. Перестановка, в которой объекты i занимают позиции if
называется тождественной или единичной:
с
2 .. . i ... л>
= £(1 2 3 4 ... i ... п).
1 2 ... i ... пj
19

Выберем две позиции i и k. Сохраняя неизменными позиции,
поменяем элементы, находящиеся в этих позициях. Перестановка
двух элементов, находящихся в позициях i и /к, называется их
транспозицией и обозначается в виде (£, k). Действие транспозиции
на любую перестановку Р(1± /2 ... lt ... lh ../ ln можно
изобразить в виде /
П 2 ... i ... k ... n\ /1 2 ../ i ... k ... п
{i> k)P[i1i2...ii... ih... J=/>U'. 4'/... ik... /,
где /,' = /&; l'k = li- Если к новой перестановке применить еще раз
ту же транспозицию (i, k), то мы вернемся к исходной перестановке,
в которой элементы lt и lk находятся в позициях i и k.
Неизменность в расположении элементов lt и lk можно обозначить в виде
(/)(&), т. е. i-й элемент находится в i-n позиции, k-й элемент—в k-\\
позиции. Используя это обозначение, можем записать
(i, k)(i, *) = ('. kf={i){k\
при этом справедливо условие (£, k) = (k, i).
На одну и ту же перестановку можно подействовать двумя
транспозициями последовательно, например (/, m)(i, k). Если все
позиции разные, то результат не зависит от порядка написания
транспозиций
( /1 2 ... i ... / ... k .. . т . .. п \
(/, m)(i, k)P\ i i i i i i =
\1± l2 ... lt . . . Lj . . . Lk ... im . . . tnf
(\ 2 ... i
= P(l I I
\i1i2 • • • lk
j ... k ... m ... /г
ik ... lm .. . lt ... lj . .. ln
/12 ... t ... / ... Л ... m ... /г \
= (t, £)(/, ro)P(; , ', / / / / •
Рассмотрим теперь действие двух транспозиций, которые имеют
один общий элемент, например (t, /) и (/, k):
/1 2
(t,J)U.k)p(liL
1 2
2
1 2
i ... / ... k ... n
If ... lj ... /fc ... /„
1 2 ... i .^ . / .. . k ... n
i ... / ...£... ft
= P
1г l2 . . . lk ... /^ ... /j ... /,
В промежуточных перестановках мы сохранили обозначение
исходных элементов в новых позициях, чтобы подчеркнуть, что
транспозиция действует не на элементы, а на позиции, т. е. при
действии (t, /) на (/, k)P9 необходимо переставлять элементы,
находящиеся в позициях i> /, а не элементы lt и /;- исходной
перестановки. Сравнивая окончательную перестановку с исходной, видим,
20 ^

что ее можно получить циклической перестановкой трех элементом
I, /, k no часовой стрелке
i ►/
Можно рассмотреть последовательное действие любого числа
транспозиций на произвольную перестановку. Поскольку
транспозиции с различными элементами переставляются, перепишем их так,
чтобы рядом оказались транспозиции с попарно одинаковыми
элементами, из которых образуем циклы из трех, четырех и т. д.
элементов.
Любая перестановка может быть получена некоторым числом транс-
/12... i ... / ... п
позиций из тождественной, или единичной Е I - 9
у 1 z ... i ... j ... ть
Общее число перестановок из п элементов по п равно п\.
Покажем, что перестановки образуют группу. Определим
произведение двух перестановок в виде
/12 ... i ... j ... п\ / 1 2 ... i ... / ... п\
\1г12 ... /, ... lj ... IJ \m1 m2 ... mt ... ms ... mj
' 1 2 ... i ... / ... л\
<7i Яг ••• Qi ••• 4j -•- ЯпГ
11|)и этом элементы q находятся следующим образом: /г->тл; ищем
позицию пгп в левой перестановке, в ней находится элемент lm ,
который и принимается за qn:
n-+mn->lmn=qn.
Рассмотрим пример:
pf123%f1234U1234]
\3 2 4 II \2 1 4 3/ \2 3 1 4/#
При нахождении произведения учли, что 4-^3 в правом
сомножителе, а в левом 3->4, поэтому 4-»-3->-4, или 4->-4. Замкнутость
множества очевидна, поскольку в п\ перестановках содержатся все
возможные перестановки. Тождественная перестановка не меняет
вида любой перестановки, так как i-+l%-+lu или i-^i-^lt.
Найдем обратную перестановку
/1 2 ... i ... j ... п\-1 / 1 2 • •, i ... j ... п \
\1г 1% ... lt ... ls ... IJ ~~ \/П! m2 ... mi ... nij ... mn)
из условия, что их произведение есть тождественная перестановка,
т. е.
i-^m^i.
21
= Р

Из этого условия видно, что обратную перестановку можно^
получить из данной перестановкой строк с последующей
расстановкой столбцов в порядке возрастания номеров позиций:
1 2
1г 1%
Действительно,
\т1 т2 ...
11 2 ..
/
= Р
= Р
i .
щ .
■ и-
. i .
= Р
1 2 .
тг пг2 .
. / ..
• т) ■ ■
./,...
. / ...
1 2
1 2
1 2
/
/и,-
1 2
'l *2
1 2 ..
lt k ■ ■
. / ...
. i ,
п
. i
. I,
I,
I,
h
h
I
n
n
L
n
L
Группу перестановок называют также симметрической.
Рассмотрим подробнее группу перестановок Р (4). Ее порядок g=4! =
= 24. Проанализируем возможную структуру циклов.
Таблица 8-
I
(1) (2) (3) (4)
Рх (1 2 3 4)
Элементы группы Р (4)
и
(1) (2) (3 4) .
Р2(1 2 4 3)
Я.(1 4 3 2)
Р4 (1 3 2 4)
'Рб(4 2 3 1)
Ре (3 2 1 4)
Р7 (2 1 3 4)
ill
(1) (2 3 4)
Р8 (14 2 3)
Р9 (13 4 2)
Р1о (4 2 13)
Ри (3 2 4 1)
Р12 (4 13 2)
Р13 (2 4 3 1)
Р14 (3 12 4)
Р15 (2 3 14)
IV
(12 3 4)
Ри (4 12 3)
Р17 (3 4 12)
Р18 (2 3 4 1)
V
(1 2) (3 4)
Р19 (2 14 3)
Рао (4 3 2 1)
Р21 (3 14 2)
Р,о (4 3 12)
Р;; (3 4 2 1)
Р24 (2 4 13)
Единичная перестановка имеет структуру £ = (1) (2) (3) (4) = Р1.
Следующую структуру можно получить, вводя только одну
транспозицию (1) (2) (3 4). Число перестановок подобной структуры
равно шести. Добавляя вторую транспозицию без общего элемента,
получим три пёрестановТки структуры типа (1 2) (3 4). Добавление
второй транспозиции с общим элементом приводит к циклу третьего
порядка, т. е. к структуре вида (1) (2 3 4), таких перестановок
восемь. Наконец, цикл четвертого порядка (1 2 3 4) приводит к
трем перестановкам. Три перестановки добавим к структуре (1 2)
(3 4), если в ней переставлять пары элементов, типа (3 4) (1 2).
22

1 ■+
1 °^
qT
qT
о.
1 °
оГ
оГ
оГ
1 °**
оГ
1 "
1 ^
оГ
оГ
оГ
оГ
оГ
<с
оГ
оГ
оГ
оГ
оГ
cq
о.
f 119 О h А П С* 00 «О СО П« r-l iH d О
CHrHiHr-liHiH00WeiHt^e(I.H«C«O»ie»-l«#W 1-1 rH СЯ
0000,00.000,0000,000.00,00,1^00,0
«oi-im^i t-oo «o r-i«# ю ея ея о «^
WW^IrHiH00iHr4iO^iH»OI<Ne0rH(MiH(Mt-rH «HO
000,00,00.00,00.00,00.00.00,00.14400.
Cll^iOO N 41 ^tiH 00 CO iH CO 09 ft чф
c3iHiHi-ia»iHiH«ec>)e4coiH^*iciHrHt^coc<ie«iHfH r-i
ОО0,О0,О0,О0.О0.0.О0.О0,О0,О0,О0.СЦО
r-t e» «* es r- i-i to cieo oo со о «* о ю
NHHHHAHhHniMNeH(lH<1IHlOMN00H
OO0,O0,O0.O0.O0,O0,O0.O0.0.OQ.0.O0.cq
э n со «о <м *и со «* «в © сч a t- ч* ih
мпню«*няннноснаннвнин «я •> «я ег
ООО.оо.оо,оо,оо.оо,оо.оо,оо.[цоо.оо.
о ф н ^ oo n г» и 1в о ih о г» ео ея
HNHdNHNHHHHOOHAHnnV Н « N СО 1в
ООО.оо.оо.оо.оо.оа.о.оо.оо.сцо.оо.оо,
со ео © iH ю о» ео ч* <м »н «©г* ■*• о «л
riH(qHHHOiCNt«(|TfflN« ННПвСОННН
оо,оо,оо.оо.оо.оо.о.оо.сцооо.оо.оо.о
Г» «Я «* iH СО Ю О И И ^1 Я 00 «0 О © СО
-He»etNcieo©»i-ir-icbrHi-(iHi-iooiH in см »н »ч ея г» *i»
OOOO.ooo.oo.oo.oooo.ohjoo.oo.oo.0
ео «# © ея о о i-4 ео ■* ея г* со в n r-i
-HiHi-i»Haoe<iiH©ii>c<i^e«e»cMMSiHi-i в и н и в н
000.00.00.00.00.00.00.00,1000,00,00.
U) 4 Я 00 С > в П О ч* СЯ СО гН iH СО
HNNlBHh^HHHHftN НЯНМООНПЯвН
000.00.00,00.00,ООЧчО.О,0.00.00.00.0
■ивН СО « М OI>iHiO Tf< О СО N 00
000.0,00,00,00,00,00,ЕЦОО,0000,00,0
еооо ео *# oihusc» ея i> © i-t rjt со ея
i-tiHiecMt>c4eo©iiHiHiH нсон^ноанивни
O00,oo,oo,oo,oo,£jqoo,ooo,oo,oo,oo,o
N Н <D CM т* © Г- CO ООСОЛ iH 00 4*
1НеЯ«>гНСОСЧЮ1-1гНтНО>1-> <NiHClr-l<Mi400i-ICMTll«D
000,00,00,00,00,0^0,00.0,000,00,00,
iH со do i-i со о © «* r^ © ея ея ю со ^
1-|10СЯг-1е0еЯеЯтЧСЯ i-*r-liHi-(O>t»00CMlHlHiH^CMCO
OOQ.0,00,00,0^0,00,00,00,00,00,00,0
О гЛ вЯ CO Г- Ю i-l О» СЯ © iH CO njt OO CO
iH03CM«ciioiHi-(iHr-t ^оотчсяеягн^гнлг^гнеоея
OOQ.O,00,0000,tqOOO,000,000,00,00,
И H CO СЯ Г« О Ю iH © 4 <> П О CO CD
ft и ^ won н coiHiHtNi-irHiHiaiHcsiiHiHCMrHast^
O000,000,uq000,oo,000,oo,oo,o00,0
» CO ^ ©«#©©Г*СОСЯгЧ Ю вЯ H 00
000,00,00,0^0,00,00,00,00,00,00,00,
ft fl * П Й «O «H чУ CO CO N H CO Г*00
о гн гн ih ih i-i iH«eMi-(coie^t»Hooc<ii-|cNcvie»i-ie<ii-i
000,00,0^00,00,00,00,00,00,0,00,00,
© Г* Ю i-l ^t«eJ<C<! н СО © © CO CO СЧ CO
«OiHtHiHiH THOJMCMiONMt^-tiHCOMi-ip-liHCniHCO
000,00,1^000,00,000,00,00,00,00,00
iH CO О О СЯ СО СО «OCT**** i-H А Ю Г-
WiHr-ICM iH'HCVIi-'eeJt^COiHOJiHtNCROJ^^i-tOOr-l
oooo,tqooo,oooooo,ooooooo,oo,o
© *jt in «owe»» о <н m «y г* ея гч о
r* 00 © (Ni-ti-!CMC0r-IClCMiH«or-iHNiHC4iOiHT.iHiH
O00,cq00,0,000,00,00,00000,0000,0
з* is. со cmih oj •# © © со со рч о •* in
001^000,000,000,00,00,000,00,000
© -4 © ев 4" i-< 00 W CO US СМтУОГ-СО
0^00,00,000,00,00,00,000.00,00,00,
©iH*»eo4)tic«©foo© о' и м os ^i ■
cq oToTo ol оГоГо?оГоГоГоГоГоГоГоГоГоГоГоГоГо оГо
OHNntmefooa о н n со 4<
LqoO,00,00,00,00,00,00,0,00,00,00,00,
23

В табл. 8 приведены элементы группы Р (4), записанные по типу
структуры циклов.
Элементы I—IV столбцов имеют структуру в полном
соответствии с указанной. Порядок элементов, как это легко проверить,
для I—IV столбцов соответствует номеру столбца. Исключением
является элемент Р17, имеющий второй порядок, поскольку Р17 =
= РГ6, а PU-Рг.
Таблица умножения для группы Р (4) представлена в табл. 9.
Таблица умножения позволяет находить подгруппы группы Р (4).
Подгруппы, согласно теореме Лагранжа, могут быть 2, 3, 4, 6, 8,
12-го порядков, однако подгруппы 6-го и 8-го порядков не
реализуются. Подгруппы 2, 3 и 4-го порядков могут быть реализованы
в виде циклов элементов. Подгруппа 12-го порядка состоит из
элементов с четным числом транспозиций, элементы с нечетным
числом подгруппой не являются, поскольку произведение двух
элементов с нечетными числами дает элемент с четным числом
транспозиций. В подгруппу /г= 12 входят элементы H = N: Et P8, P9,
Ло> рп> ^12, Pi3, Л4, ^15, ^17, ^19, ^20- В сопряженную
совокупность NP2 = P2N входят элементы Р2, Р3, Р4, Р5, Р6, Р^ Р\%, Р\8>
Р*ъ ^22» ^2з> ^24- Подгруппа Л = 12 инвариантная, поэтому она
должна состоять из целых классов. Элементы Р17, Р19 и Р20
второго порядка, они сопряжены друг другу, что легко проверяется
по таблице умножения, например:
* 2*17* 2 = РгРцР* — Р20»
РъРцРъ = РъРцРъ = "19 •
Других сопряженных им элементов нет. Элементы Р8 — Р1Б
относятся к одному классу:
Р?РвРъ ~ Р 2.Р 8* 2 = *9
РьРвР71=Р5РйРь=Ри
P%P%P§ — Р%Р%Р% — Ргз
P7P8P7l=P,PsP7=P10
РщР8* Ю —PloP%PlQ~Plb
РцР%Р 1 1 = Р цР%Р 11= Р12
i13i8^ 13 = *°13 "в ^13 = "ll-
Таким образом, элементы III столбца табл. 8 относятся к одному
классу С(Р8), г3=8. Элементы второго столбца относятся к классу
С(*°2)» г2=6; например, найдем
Рз^РГ1^.
Найдем класс элемента Р16. Пользуясь табл. 9, узнаем, что
С(Р16) состоит из элементов Pi6, Р18, P21, P22, Р23, Р24- В табл. 10
указан состав классов группы Р (4).
24

Пользуясь таблицей умножения можно найти произведение
классов, что будет проделано в третьей главе.
Таблица 10
Классы группы Р (4)
1
Е
£ (1 2 3 4)
II
6Р,
Р2 (1 2 4 3)
Рз(1 4 3 2)
Р4 (1 3 2 4)
Р5(4 2 3 1)
Р6 (3 2 1 4)
Р.(3 1 3 4)
III
8Р.
Р8 (14 2 3)
Р, (13 4 2)
Рю (4 2 13)
Рц (3 2 4 1)
Ри (4 13 2)
Р13 (2 4 3 1)
Р14 (3 12 4)
Р15 (2 3 14)
IV
ЗРг,
Pit (3 4 12)
Рю (2 14 3)
Р2о (4 3 2 1)
V
6Р„
Рю (4 12 3)
Рю (2 3 4 1)
Р21 (3 14 2)
Р22 (4 3 12)
Р23 (3 4 2 1)
Р24 (2 4 13)
Рассмотрим теперь подгруппу N группы Р (4), найдем ее
классы. Она состоит из 4 классов, ее состав указан в табл. 11.
Таблица 11
Классы инвариантной подгруппы группы Р (4)
Е
£ (1 2 3 4)
4Р8
Р8 (14 2 3)
Рц (3 2 4 1)
Рх. (4 13 2)
Рю (2 3 14)
4Р,
Р9 (13 4 2)
Рю (4 2 13)
Р13 (2 4 3 1)
Р14 (3 12 4)
ЗР17
Pit (3 4 12)
Рю (2 14 3)
Р20 (4 3 2 1)
Обратим внимание, что элементы класса 8Р8 группы Р (4)
распадаются в подгруппе N на два класса (они состоят из
соответственно обратных элементов) 4Р8 и 4Р9.

Глава II
ГРУППЫ СИММЕТРИИ
Применение теории групп к физическим системам основано на
том случайном факте, что преобразования симметрии удовлетворяют
аксиомам теории групп. Под симметрией физической системы
понимают неизменность свойств при определенных ее
преобразованиях. Преобразования системы, в результате которых возникает
новая система, тождественная по своим свойствам исходной,
называются преобразованиями симметрии.
Совокупность преобразований симметрии удовлетворяет аксиомам
теории групп, поскольку можно определить понятие произведения
двух преобразований симметрии как некое реальное преобразование
симметрии системы. Тождественное преобразование оставляет
систему неизменной. У любого преобразования существует обратное
преобразование; при перемножении нескольких преобразований
можно заменять любые рядом стоящие множители их произведением,
что обеспечивает ассоциативность произведения. Прежде чем перейти
к конкретным группам симметрии, рассмотрим элементы симметрии,
или преобразование пространства.
§ 8 Преобразования пространства
Будем считать, что свойства физической системы однозначно
связаны с ее точками М, положение которых определяется,
например, их радиусами-векторами или декартовыми координатами:
г=(х, у, г)=тм=(хш ум, zj.
Пусть пространство подвергается некоторому преобразованию А,
вследствие чего координаты точек М меняются и становятся
равными г^ = (х'и, у'и, г'му Радиусы-векторы гиг' выражаются при этом
в одной и той же системе координат, определяемой базисными
векторами еъ е2 и е3, или, например, i, j, k.
Рассмотрим виды преобразований пространства.
1. Тождественное преобразование Е пространства обеспечивает
преобразование каждой точки М в саму себя, поэтому
Er=r' = r.
26

В матричной форме тождественное преобразование запишется в
ииде
Meg
т. е. матрица Е единичная:
'1 О ON
О 1 О
2. Инверсия i переводит каждую точку М в зеркально
симметричную относительно начала координат, поэтому
r' = ir =—г
или
В матричной форме инверсию можно записать в виде
'—1 0 0\
О -1 О =(_1)Е.
О 0 — 1/
Инверсия является элементом второго порядка:
r"=ir' =—r'=—ir=—(— r) = r = i2r,
г. е. i2=E.
3. Поворот вокруг оси, определяемой единичным вектором о>°,
можно выразить следующим образом. На рис. 1 указано положение
оси поворота «о0 и исходное и
конечное положения точки М.
Найдем связь между координатами
г' и г:
г' = Всоо(ф) Г.
Для нахождения матрицы
попорота пространства Вшо(ф)
построим вспомогательную систему
координат. Выберем ортонормиро-
ипнный базис еь e2, е3 так,
чтобы е3=«а>°, а ех и е2 расположим
и плоскости ah, перпендикулярной
оси поворота.
Разложим радиус-вектор г
точки М> по старому и новому бази-
с.чм:
—х
Рис. 1. Положение оси поворота со0 и
взаимное положение осей координат
(х, yt z) и (£, т), О
r=xi+yj+2k=Ee1+4e2+Ee8.
27

Возьмем краткую форму записи, положив i = ix, j = j2, k=i3, и,
используя аналогичные обозначения для других величин, запишем
з з
т=\ /= 1
Учитывая, что оба базиса ортонормированы
найдем связь между координатами xt и |£:
з
i?=(re?)= 2 хт(\тед)
/71=1
и аналогично
з
*„ = (rlii)=2 6Р(ер1л).
p=i
В оба последних выражения входят скалярные произведения
ортов старого и нового базисов:
(im^)=|iJ|eJcos(im, eJ = cos(iw, ej.
Поскольку косинус—функция четная, можем записать
cos(im, eg) = amq = cos[eQ\m) = aqm.
Из коэффициентов атд = адт построим матрицу А:
/ап а12 а13\
А = 1 й21 #22 ^23 I.
\#31 ^32 а33/
При построении матрицы А первый индекс отнесен к номеру
орта старого базиса, второй индекс—к номеру орта нового
базиса.
Другими словами, / — строка матрицы А ^представляет собой
разложение iz по новому базису:
U = (allt Я/2> Я/з)
А-
Из условия ортонормировки базиса следует
з
(•Ая)= 2 CLlqdmq=^lm
<7=1
28

(/юлбцы матрицы А представляют собой разложение ортов нового
г>а:шса по старому базису ер = (а1р, а2р, а3р), так что
А=(е1е2е3).
Из ортонормировки нового базиса следует, что
з
(epej= 2 cimpa =6
з
Имеем из I = 2 ЛЛ
^p^qJ ^J "mp"mq vpq*
m=i
я „TV m m*
m=\
Умножив последнее равенство на А"1, получим
з з
Но из хп= 2 ЪР(ер*п)= 2 апр1р можно записать
p=i
< рашгивая два последних выражения, получим
А_1 = А или А=А-1.
i
Матрица А, обратная к которой равна транспонированной, на-
ыиастся ортогональной матрицей. Ортогональность матрицы была
дик,-пана ранее, поскольку из ортогональности столбцов или строк
»7И\ДуСУГ
з з ^
Qpq = 2La ampamq = 2j apmamq>
m= 1 m== 1
in к уда A = A—1.
II гак, мы выразили связь координат радиуса-вектора в двух
пронормированных базисах. Перейдя к новому базису, совершим
попорот пространства на угол ф вокруг оси со0 = е3. Обозначим это
преобразование в виде
Г' = С(оо(ф)Г
и/т
29

Так как поворот совершается вокруг оси £, то £' = £, и нам
остается найти только связь между координатами векторов р и р',
лежащих в плоскости ah (рис. 1 и 2). Из рис. 2 имеем
g=pcosa; T] = psina;
£=р'соз(а+ф); Т1' = р'8т(а+ф)
откуда с учетом р = р'- получим
|' =^= р cos a cos ф — р sin a sin ф = g cos ф — tj sin ф
r\' = р sin a cos Ф+p cos a sin ф = g sin ф-f r\ cos ф
или
\i] J r Vsin Ф cos ф ; г fa VT/ \т| /
Рис. 2. Поворот
пространства на угол ф •
Рис. 3. Поворот базиса на
угол ф
Обратим внимание, что матрица Cg (ф) соответствует поворот]
пространства на угол ф. При повороте базиса на тот же угол ыщ
трица преобразования координат вектора р имеет вид (рис. 3)
С05ф 51Пф
— 5Шф С05ф
= С(Ф).
Этот результат очевиден, если учесть, что повороту базиса на
соответствует поворот пространства на угол (—ф), т. е. матриц]
преобразования соответствующих координат должны быть взаимн!
обратными, или взаимно транспонированными, для ортогональны|
матриц
Вернемся к преобразованию г' = С(оо(ф)г. С учетом £' = £ може!
записать
{% V /cos ф —sin ф 0 \ / £
Л' ) = ( 5Шф COS if 0 11 Т|
\l'J \ О О l/VS
ЯП
(*

Имея полученный ранее результат, запишем
т. е.
г' = Всоо (ф) г=АСсоо (ф) А-Хг.
Смысл этого выражения можно понять, рассматривая простейшие случаи,
например поворот вокруг оси, лежащей в плоскости х, z (рис. 4) с углом а между
осью со0 и осью z.
Матрица А имеет вид
/cos а 0 —sin а
A=(e!e2e3)= 0 1 О
\sina 0 cos a
В)
Рис. 4. Поворот пространства вокруг оси, лежащей в
плоскости х, z при произвольном значении угла а (а) и при
a=jt/2 (б)
В(0о(ф) = АС(о0(ф)А-1 =
cos ф sin ф О
-sin ф cos ф О
О 0 1
(cos a cos ф cos a sin ф —sin a >
—sin a cos ф О
sin a cos ф sin a sin ф cos a J
cos a 0 sin a\
0 10 =
-sin a 0 cos a/
r cos a 0 sina\
0 10 =
v—sin a 0 cos ay
cos2aa^+sin2a
—cos a sin ф
Vsin a cos a cos ф—sin a cos a sin a sin ф
Пусть а=я/2, тогда
/1 0
cos a sin ф cos a sin a cos ф — sin a cos a^
cos ф —sin a sin ф
sin2 a cos ф-f cos2 a )
0
В(йо(ф)= ° C0S(P — sin(P |»
\0 sin ф созф
г. г. матрица поворота вокруг оси a>°=—i на угол ф есть матрица поворота
вокруг оси х на угол (—ф).
31

Пусть две оси поворота со° и <о°, для которых заданы матрицы
поворота: В 0(<Pi) и В о (ф2).
1 2
Применим два поворотных преобразования г:
г^В^оЫг; г'^В^Ыг',
или
г" = Вш0 (Фх) Вю0 (Ф2) г= A2CaA7iA1C1A71r=BCBo (Фз) г. ]
ш2 2 3
Таким образом, произведением двух вращений есть вращение на
некоторый угол ф3 вокруг некоторой оси <о°: i
^;(0о (Фз)= А2С2А~ А^А" А2А^~ = А2С2А~ А^^А" А-^- A2.
Произведение вращений в общем случае некоммутативно.
4. Плоскость зеркального отражения а преобразует точки про-]
странства по законам построения мнимых изображений в плоском
зеркале в оптике. На рис. 5 приве]
дено построение вектора r' = jrf
Вектор г разложим на два, один ле!
жит в плоскости <з — р (|, другой ор]
тогонален ей р±, положение самой
^ плоскости определяется нормалью я
ней n=(a, p, y)- В таком случа^
г=Р„+Р±.
При зеркальном отражении век]
тор р остается без изменении
р'и =<jp|1=p|1, вектор р^ меняет зная
на противоположный р' =sp =—р.]
поэтому
Рис. 5. Зеркальное отражение в
плоскости а
r'=5r='(p|i+p±)=fii-p±-
где
p±=(rn)n=(ax+Py+Yz)n.
Обозначим плоскость, перпендикулярную оси xt, через at. Дл
отражения в координатных плоскостях можем записать преобраз<|
вание в матричной форме
/х'\ /—1 0 0\ /х
1 = 1 0 10
0 0 1
•■ =**г;
Аналогично для других осей
'1 0 ON
-1 0
0 1
32

Можно найти матрицу зеркального отражения при
произвольном положении плоскости 9. Введем новый базис ei, e2, «3, выбрав
с3=п, а ех и е2 произвольно ориентируем в плоскости а. Перейдем
к новому базису
В новом базисе
= А-'
(i)
Lr =| ч |=<тг =
Перейдем к старому базису
W \FJt
[ Найдем тройное произведение
Ла^ А-х= ( а21 а22 «гз
а12 а22 «82 I
«13 «23 «33/
= fl2lall+fl22a12"
2 2 2
а11+а12 —а13
«И «12 — «1з\ /«И «21 «81 Л
a2i а22 —а231 I а12 022 а321 =
«31 «32 —«83/ \«18 «28 «83/
«11«21+«12 «22 «13«23 «Il«3l+«i2«82 «18«83\
2 2 2 1
fl28«13 «21+«22"~а23 «31«21+«22«82 — «23«81 Iе
2 2 2/
\«31«11+«32«12 — «13«33 «31«21+«32«22 — «33«23 «31+а32 Д33 /
'1 —2а'
13
-2а18а23 —2а18а83
= — 2«1з«2з 1 —2а;
23
—2а18а33 —2а28а33
—2а28а38
1-2*33
В последнем равенстве учли ортогональность матрицы А. Рассмотрим пример.
11усть
п=е3=(а13, а23, а83)=(1, О, О),
и -лом случае
Пели n=(l/l/"3f l/yT, l/Уз), то
A<js A-1 =
J_
3
_2_
3
_2_
3
_2_
3
J_
3
_2_
3
_2_
3
_2^
3
J_
3
•' Киреев П. С.
33

Двукратное отражение в любой плоскости возвращает пространство
в исходное состояние, поэтому
а* = Е; a-i = *.
Рассмотрим действие двух плоскостей зеркального отражения
(рис. 6). Из рис. 6, а видно, что две плоскости пересекаются по линии,
проходящей через точку О. Из построения на рис. 6,6 видно, что
аП>г = г';
аг(2)г' = а(2)а(1)г = г,, = С(2ф)г,
Рис. 6. Отражение в двух плоскостях
причем поворот г производится от плоскости а<!> к плоскости <*<2)#
При перестановке сомножителей направление поворота пространства
меняется на противоположное:
С(2ф) = а(2^(1)=_(т(1)а(2) = С(—2ф).
Коммутация сомножителей допускается только для двух взаимно
ортогональных плоскостей: cp=jt/2, поскольку поворот на я в обе
стороны дает одно и то же преобразование пространства.
5. Из простых элементов могут быть построены более сложные
преобразования пространства. Произведение поворота С^о (ср) с
последующей инверсией называют инверсионным поворотом, при этом
1Сшо ((p) = C(oo((p)i. Поворот (^(ф) с последующим зеркальным
отражением в плоскости <т©о = ^Л, ортогональной оси поворота, называется
зеркальным поворотом S (у) = <7пС®о (ф). На рис. 7 приведены построения
инверсионных и зеркальных поворотов, из которых видна коммутация
элементов, т. е. ?ACmo(q>)=Cffio(<p)9£. Из коммутации поворотов и
отражений или инверсии следует, что четные степени несобственных
поворотов есть собственный поворот на удвоенный угол:
РС(ф)]* = 1С(ф)1С(ф) = 1Ч:(ф)С(ф)-С(2<р);
82=КС(ф)]2=с7йС(ф)5йС(ф)=сг2С(ф)С(ф) = С(2ф).
34

Инверсию можно получить при отражении в трех взаимно
перпендикулярных плоскостях, например, иЛиу»г=1.
В то же время
или »,=1С,(я); Сг(я) = 1<тг.
и'к
С1 рш
1 /| /\
| /1/ i
/ °
1А 1 /
^\ i I /
44l 1г/
pll Г
= cos2 Ф — (— sin2 ф) = 1.
а) д)
Рис. 7. Несобственные повороты: а — зеркальный
(r'=Cohr=ahCn r"=ohr\ r'"=Cr\ r'=Cr"=ohr"fy,
б — инверсионный (r'=i Cr=Cir)i
В заключение рассмотрим вопрос о численном значении
детерминанта матриц собственного и несобственного поворота. Очевидно,
что
|С05ф —5Н1ф О
det Сшо (ф) = sin ф cos ф О
| 0 0 1
С другой стороны, det A=det А~"1=1. Это легко понять из
следующих соображений: det А можно рассматривать как объем
параллелепипеда, построенного на векторах elf e2 и е3 или i, j и к. Но
поскольку мы рассматриваем ортогональные базисы, то параллелепипед
представляет собой единичный куб. Отсюда следует, что для любого
поворота
det Вш. (ф)=det A det Q (<p) det A"x= 1.
Для инверсионного или зеркального поворота объем единичного
куба остается, естественно, также единичным, но в матрице поворота
при этом переставляются две строки (или два столбца), вследствие
чего при несобственном повороте детерминант равен (— 1). Для
доказательства достаточно найти, например, det i =—1 или det <*z= — 1.
§ 9. Точечные группы симметрии
«
Преобразования пространства приводят к преобразованию физи
чсских систем. Если при преобразовании физической системы
преобразованная система имеет свойства, тождественные свойствам исходной,
»• 35

то такое преобразование называют преобразованием симметрии.
Точечными преобразованиями симметрии называют те, при которых
хотя бы одна точка ^преобразуется сама в себя. Она принимается
обычно за начало координат.
Существует 14 типов точечных групп
(при их описании используем
обозначения Шёнфлиса).
1. Группы Сл.
Группа Сп есть группа
поворотов на углы, кратные 2я/я, где
п — произвольное натуральное
число. Ось поворота называют осью
n-го порядка. Группа Сп —
циклическая, ее элементами являются:
Сл, Сп, ..., Сп=Е. Обратными
элементами служат повороты на один
и тот же угол, но в
противоположных направлениях: С~ р=Сп~~р-
Число классов равно порядку
элементов п в группе, т. е.
классы одномерны.
Если р является делителем я,
то можно записать Cpn=CnjPi т. е.
в этом случае ось Сп будет осью
более низкого порядка. Если п=2т —
четное число, то группа содержит
ОСЬ ВТОрОГО ПОрЯДКа: С^т = С2т[т =
= С2. Все сказанное ранее о
циклических абстрактных группах спра-
В кристаллографии оси Сп изображают
на концах которых указан л-угольник,
группу поворотов правильного
■
4T7I
W
Рис. 8. Оси С2, С3, С4, Св и
группы поворотных преобразований
симметрии многогранников
С
в виде отрезков прямых,
поскольку группа Сп реализует
n-угольника. На рис. 8 указаны группы С2, С3, С4 и Св. Матрица
преобразований пространства для группы Сп имеет вид
п \ п ) I sin cos —-
36

Другими словами, группе Ся изоморфна группа матриц. Найдем
се для простейших случаев. Группе СХ=Е соответствует единичная
матрица.
Группе С2 соответствует группа матриц
/— 1 0 0\ /10 0\
С2= 0 -1 0 и Cf=E= 0 1 О
\ 0 0 1/ \0 0 1,
Группе С3 изоморфна группа матриц
1 Vb
U\ / 2 2 U\
1 . i; ^з = ^з =i i/я 1 . i; C3 = E.
О Г
Группе С4 изоморфна группа матриц
^0 — 1 0\ /—1 0 0\ / 0 1 0\
О 0 ; СЩ 0 -1 0 =с2; С43= -1 0 0 Цсг1;
0 1/ \ 0 0 1/ \ 0 0 1/
С4 = Е#
Группе С6 изоморфна группа из шести матриц; для упрощения
члииси третий столбец и третья строка матриц опущены, поскольку
ио всех матрицах они одинаковы, как и во всех предыдущих случаях
ГА />6 — 2 г— 2
Группа Сп обеспечивает совпадение преобразованной системы с
мгходной при повороте на дискретные углы р—. Если система
п
пшмсщается сама с собой при повороте на любые углы, то она
ii.i нивается аксиально симметричной и обозначается Соо, поскольку
формально ее можно рассматривать как предел Сп при л-*оо. Группа
37

Coo есть группа симметрии любого тела вращения вокруг оси. Она
представляет собой пример непрерывной группы (двухмерная группа
вращения) изоморфной матрице
/coscp —sin ф^
С(ф) = Соо(ф)= .
\т/ VY/ \^1ПСр С03ф
2. Группы S2„.
Группа S2n — это группа зеркальных поворотов, при которых
совмещение системы достигается при повороте на угол 2л/2п=к/п
с последующим отражением в
плоскости аЛ, ортогональной
оси поворота, либо при
проведении указанных операций в
обратном порядке
%n = ^,2nSh = <3S'2n-
Существенно, что самих
элементов oh и С2л в группе нет.
Группу S2n можно представить
как группу симметрии двух
правильных n-угольников,
лежащих в двух различных
плоскостях (параллельных) и
повернутых при этом относительно
1 2я я
друг друга на угол = — .
2 п п
Группу S2n можно также
представить как группу симметрии
системы из двух сложенных
зубчатых колес с п зубьями
каждая, повернутых
относительно друг друга на угол я/п, так
что прорези одной шестерни
соответствует зуб другой. Ясно,
что ни отражение ahJ ни
поворот С2л не совмещают систему
Рис. 9. Оси зеркальных поворотов
шестого, восьмого и двадцатого порядков
саму с собой (рис. 9). Группа S2„ является циклической:
£>2п> £>2пу • • •> &2п, •••> &2п — -Ь>
ее порядок g=2n. Подгруппами служат циклы элементов S^.
Наивысший порядок у подгруппы* h=n соответствует четным степеням
^2я=(ог/гС2я)^= о11С\1п=С1Пу т. е. подгруппой группы S2„ является
подгруппа]"простых поворотов Cn=S\n. Если п = 2т9 то в группе1
S2(2m) СОДерЖИТСЯ C2 = S4m = a2™C4m = C4m/2m. ПрОСТеЙШеЙ ГруППОЙ?
S2/I является группа S2, состоящая из двух элементов: S2=C2aJ
Sl=olCl=E. *
38

Эту группу можно представить иначе:
где а*1* и а<2) — две вертикальные взаимно перпендикулярные
плоскости, линия пересечения которых и есть ось С2. Группу Sa
часто обозначают Ch состоящую из двух элементов i и i2=E, т. е.
S2=C£ — группа инверсии.
Из сказанного следует, что инверсия существует в группах
S2(2m+i). Действительно,
Q2m+1 a2m+\r(2m+\) __„Г—1
Ь2(2т+1)=^Л ^2 (2т+П = (7ЛС2=1-
Группу S(2m+1)2 МОЖНО
представить в виде
прямого произведения групп
С2т+1 и С^:
S2 (2т + 1) = Сгт+ 1 ХС^.
3. Группы Cnh.
Если к группе Сл
добавить плоскость
зеркального отражения сгл, то
получим группу Cnh. Она
содержит 2п элементов:
С/->2 f>Z
П-> ^Пу ^Пу • • •>
СП— 1 Г>П г\
П у ^П — -С»
a/fin> ®К^пу Gfpriy
{h£n , ahCn=(yhE=ah.
Рис. 10. Группы С3/г и С4/г
Группа СлЛ^абелева и имеет 2л одномерных классов. Простые
повороты образуют подгруппу порядка пу зеркальные повороты ahC^
подгруппы не образуют.
Группа второго порядка (л=1) состоит из элементов ah и Е, ее
обозначают С$. При четном п в группе содержится ось второго
порядка С2=С%Р и зеркальная ось второго порядка <тлС2=52, или
инверсия 1. При нечетном п инверсия в группе не содержится. На
рис. 10 приведены примеры групп Cnh при л=3 и п=4.
Группе Cnh можно найти изоморфную группу матриц. Поскольку
для подгруппы простых поворотов и отражения матрицы известны
4.1.
т-
'COS •
2я
Ср„= Sin-*L cosJUl
oj
т' . 2я
— sin
п
2я
COS
п
0
°Y i
•Н
1/
2я
/cos р
I п
sin/7-^L
\ о
. _ 2я
— sin р
п
~ 2я
cos р
я
0
0'
0
1
39

/1 0
«А- 0 1
\0 0
для зеркальных поворотов найдем
/cos р
/ п
**C5-<^-lsin,JjL
°\
° 1
-1/
2я
— sinp —
п
2я
COS /?
п
о
о
—1'
Определитель этой матрицы действительно равен (—1). Для
группы C3ft изоморфная группа матриц имеет вид:
С3=
сул =
С!=£;
матриц, изоморфной
Эти группы матриц ^отличаются
группе Св.
4. Группы Cnv.
Добавим к оси Сп так называемукмсвертикальную» плоскость avt
в которой располагается ось. Наличие оси Сп означает, что всего
таких плоскостей должно быть п. Группу, содержащую п поворотов
и п плоскостей, обозначают Cnv. \
Пронумеруем полуплоскости: 1, 2, ..., 2/г — всего полуплоскостей
должно быть 2/1. Полуплоскости р и р+п принадлежат одной и той
же плоскости. Угол между соседними полуплоскостями равен 2я/2л=
= п/п. Возьмем две полуплоскости р и qt угол [между ними
(q—p)—=/—, где / = <7 — р. Но, как было показано в § 8, произ-
40

ведение двух зеркальных отражений есть поворот на удвоенный
межплоскостной угол, т. е.
п п
II
п п
Таким образом, произведение двух плоскостей не приводит
к новым элементам симметрии. Умножим верхнее уравнение справа,
л нижнее— слева на о<р), получим
а(«> о{р) <jW =o{q) = Clno{p) = ОГро{р);
о{р)о{р)о{я) = о{я) = о{р)Сп1 = о{р)СЯГ*.
Из полученных равенств можно сделать следующие выводы. Во-
первых, произведения элементов вида С1по{р) дают плоскости
зеркального отражения. Следовательно, группа Cnv имеет порядок
К =2/г, она состоит из п поворотов и я плоскостей. Во-вторых,
элементы о{р) и Сл не коммутируют, поэтому группа Cnv не абелева
и число классов в ней меньше 2л. Найдем их. При этом учтем,
oiq) = Clno{p) = o<p)C7lt
откуда следует, что
~o<p)C7l<J(p)=CWp)o{p)=Cln,
т. с. элементы Сл и С^1 сопряжены и относятся к одному классу
(\\ группе Сп они относятся к разным классам). Запишем элементы
подгруппы поворотов, при этом следует различать четное и
нечетное число п.
Для нечетного /г, n = 2s+l, имеем]
|Ол, От ^п > ^п$ *-»я » • • . , Ьл . Оя , ия —/J.
Элементы Сп и С%\ С2п и C%s+l, . . ., Csn и С^1 являются взаимно
обратными, число пар равно s, следовательно, с учетом класса Е
имеем s+1 класс.
Для четного п, n=2s, имеем
С. ^»2# f>s—1 s>s rios+l v * /o2s—/ s>2s p
л> ^л» ^л > Ьл, LUn , • • ., L,n Ltn —П,.
Элементы Сп и C^5"1, .. ., С^Г1 и С^1 являются^взаимно
обратными, элементы Csn=C2 и £ образуют свои классы, всего классов
и -яой подгруппе (s—l)+2=s+l. Рассмотрим классы плоскостей.
Тлк как
б(т)б(р) = ст-р. а(т)=С%-Ра<Р)9
41

то преобразование сопряжения можно представить в виде
С1по{т)=С?= a(m+/)C7/ = (^a(m+/))-1 =
fam+2/\-l = (J(m+2/^
Таким образом, полагая /=1, найдем^Сла(т)С71=
a(m+2)—полуплоскость сг<т) сопряжена полуплоскости cr(m+2), т. е. все
полуплоскости сопряжены друг другу через 'одну, и при повороте на угол
—= *— сопряженные полуплоскости (а тем самым и плоскости)
Таблица 12
S
n = 2s+l
n=2s
0
2
clz/
—
Число классов
1
3
Сзг/
4
&2V
2
4
С5#
5
См
групп Cnv и
3
5
Civ
6
Cev
On
4
6
C>9V
7
csv
5
7
Ciu>
8
Cioz;
6
8
Cl3Z>
9
Ci2^
переходят друг в друга. Если п нечетное, то, поворачивая на углы,
кратные 2я//г, мы совместим все плоскости друг с другом, поэтому
Рис. 11. Преобразование плоскостей друг в друга при
нечетном и четном порядках осей в группах Cnv на примере я=3и
л=4
они взаимно сопряжены и относятся тем самым к одному классу!
Но если n=2s, то совмещение возможно только через одну пло|
скость, поэтому плоскости распадаются на два класса. Таким обра!
42

зом, число классов в группе Cnv равно s-f-2 при ti=2s+l и s+3
при n=2s. На рис. 11 наглядно показано совмещение всех
плоскостей при поворотах при п = 3 и существование двух классов
плоскостей при п=4. На рис. 12 показано, что о'С1п = о" при л=3.
В табл. 12 указано число классов Cnv для некоторых и.
Группа Clvt очевидно, совпадает с группой Cs.
Рис. 12. Влияние порядка сомножителей на
величину произведения элементов Сп и а в группе C3v
5. Группы Dn.
Группы D„ строятся из групп Сп добавлением оси второго
порядка, перпендикулярной оси Сп и обозначаемой U2. Наличие
поворотов Сп обеспечивает существование п осей U2. На рис. 13
локауты оси поворота групп D2, D3 и D4. Группа D2 состоит из эле-
мгнта E и трех взаимно ортогональных осей второго порядка, ее
«^означают D2=V. В группе D„ содержится п поворотов вокруг
urn Cn и п поворотов вокруг осей U2, кроме того, в ней имеются
произведения вида U'2U"2 и U2Cln. Найдем их смысл. Пронумеруем
43

полуоси номерами от 1 до 2/г, при этом полуоси t/(2m) и t/^m+n) обра-]
зуют одну ось и{2т) или f/(2m+n). Обратим внимание, что повороте
вокруг оси U2 меняет, например, направление поворота вокруг!
оси С„ или меняет подстановку номеров вершин правильного много-j
угольника по позициям на противоположную по ее циклам. Дру-
02
Щь-
ир
Oj
ир
щ-v
DJ
Рис. 13. Элементы симметрии групп] D2, D3, D4
гими словами, правая циклическая подстановка переходит в левую*
Отсюда следует, что произведение двух поворотов U2U2 не меняем
типа циклов, а осуществляет лишь новую перестановку, т. е. U^U^i
дает один из поворотов Сл. Но отсюда в свою очередь следует, что]
элемент вида и'2С1п совпадает с некоторым £/г, т. е. каких-либо новых!
элементов в группе Dn, кроме С1п и U2, не содержится. Порядок]
группы Dn равен 2п.
Покажем аналитически, что других элементов в группе Dn
действительно нет. Введем горизонтальную ah и вертикальные плоское
ста а[р\ которые проведем через оси [/(2Р). Выразим повороты черещ
отражения
Ся=а,
M<tf\ l=q-p
и запишем
т. е. два поворота'] вокруг осей С/2 дает поворот вокруг оси Сл
аналогично докажем и второе:
Заметим, однако.^что ан и ov как^реальных элементов симметри!
в системе" нет.
Найдем классы группы .ря. Из очевидных равенств^
М

найдем
т. е. элементы С1п и CZ1 принадлежат одному и тому же классу.
Всего таких классов s+1 как для четного п=25, так и для
нечетного n=2s+l. Оси U2 относятся к одному классу при нечетном п
и к двум разным классам при четном п. Действительно,
т. е. оси U2 являются сопряженными друг другу через одну, что
дает сопряжение всех осей при нечетном п и сопряжение в двух
классах при четном п. Таким образом, число классов равно s+2
при n=2s+l hs+3, при/г=2я, т. е.
так* же, как и в группе Cnv.
6. Группы Dnh.
Добавим к группе D„ плоскость
зеркального отражения аЛ, получим
группу Dnh. Найдем ее элементы.
Она содержит 2п элементов группы
(Л1). <Л2) иГ,
кроме того, имеем 2п произведений
°hCn>
ohCnt
(2)
. ., ohu{2n),
не содержавшихся в группе D„.
дим, что
Ви-
Рис. 14. Элементы симметрии
группы D3h
при этом произведения РлхЕ=Рл и Dnah дают п зеркальных осей
ohCln и п вертикальных плоскостей o{vp)=ahU{2P). Порядок группы Dnh
равен 4я. Число классов в два раза больше числа классов в
группе Оя. На рис. 14 приведены в качестве примера элементы
симметрии группы D3h.
Мы получили группу Dnh добавлением ah к группе D„. Можно
было бы добавить плоскость av к группе Dn и получить группу Dnv.
Но легко видеть, что группа Dnv не отличается от группы Dnh,
поскольку из наличия Сп следует существование п плоскостей ov,
а произведение ovU2=oh.
7. Группы Dnd.
Если вертикальную плоскость провести по биссектрисе угла
между осями £/(2т) и £/2Ш+1\ то получим группу Dnd, отличную от
предыдущих. Эти плоскости принято обозначать adt их имеется п
в группе Dnd из-за наличия Сп.
45

Таким образом, мы имеем п поворотов вокруг оси Ст п осей U2
и п плоскостей ad. Кроме того, имеем произведения типа odCln, adU2
и adOd. Найдем, какие из них дают новые
элементы симметрии помимо указанных. Легко
видеть, что произведения вида а</о£ дают
повороты СПу и можем записать
Отсюда можем получить
Произведения вида adCln и odo"d не дают
новых элементов. Чтобы найти смысл odU2)
представим U2 в виде ohG0:
<ydU2=--adava/r
Но adav дает поворот С%ю aonCl2n=S2n-
Таким образом, ojJ2=C%nah=S^n.
Если р — четное число, то зеркальный
поворот превращается в простой поворот,
который содержится среди исходных элементов.
Если р— нечетное число, то это новый
элемент, и поскольку он выражается через
произведение реальных элементов симметрии, то
зеркальный поворот реален.
Группа Dnd имеет порядок g"=4/z, ее
элементы состоят из S2n, Sln=Cm . . ., Sln=E в
количестве 2л, п плоскостей ad и п осей U2.
Можно показать, что все плоскости ad и все оси U2 сопряжены
друг другу (соответственно) при любом п, поэтому они образуют
два класса. Зеркальные (а тем самым и простые) прямые и
обратные повороты относятся к одному классу, тем самым элементы S2n
дают /i+l класс, а всего в группе содержится л+3 класса для
любого п как четного, так и нечетного. На рис. 15 даны элементы
группы D3d.
§ 10. Точечные группы симметрии (продолжение)
8. Группа Т.
Группа Т—это группа поворотных преобразований симметрии
тетраэдра, или группа осей тетраэдра. Тетраэдр имеет 4 грани,
4 вершины и 6 ребер, все грани одинаковы, каждая грань
представляет собой правильный треугольник (рис. 16). Ось, проходящая
через вершину и центр противолежащей грани, является осью
третьего порядка, всего имеется 4 оси С3. Ось, проходящая через
середины противолежащих ребер, является осью второго порядка,
Рис. 15. Элементы
симметрии D3d
46

всего имеется 3 оси С2. Других осей (собственных) симметрии в тет
раэдре не имеется. Следовательно, группа Т состоит из 12
элементов:
С3 -4
Ci-CT1 —4
С33=Е — 1
Со =02 3
элемента
элемента
элемент
элемента
4 и 3.
то
анализа этой
12 элементов
Цикл каждого элемента образует подгруппу, т. е. имеются
подгруппы 3-го и 2-го порядков, соответственно их имеется
Подгруппы шестого порядка в группе Т не имеется.
Если элементы одного порядка относятся к одному классу
в группе Т должно быть не менее 3 классов. ~~
группы удобно использовать
перестановку. На рис. 16 представлена
тождественная перестановка.
Преобразование С3 дает цикл из трех
элементов, элемент, соответствующий
номеру вершины, через который
проходит ось С3, образует цикл первого
порядка. Таким образом, элементу С3
соответствует цикл (i) (jkl), всего
таких циклов 8. Элементу С2
соответствует 3 цикла типа (ij) (kl).
Построив все перестановки,
соответствующие группе Т, увидим, что они
содержат четное число транспозиций.
Таким образом, группа Т изоморфна
подгруппе 12-го порядка группы
Р (4), т. е. подгруппе перестановок с
четным числом транспозиций (см. § 7).
Соответствие элементов указано в
табл. 13.
Найдем классы группы Т. Исходя из порядков элементов, можем
сказать, что в группе должно быть не менее трех классов,
состоящих из элементов первого, второго и третьего порядков. Однако
следует иметь в виду, что элементы одного и того же порядка могут
относиться к различным классам. Кроме того, обратим внимание,
что элементы, принадлежащие к одному и тому же классу в группе,
могут принадлежать к разным классам в подгруппах. Приведем
пример. В группе Dnh оси U2 принадлежат к одному классу, а в
группе Dn9 являющейся подгруппой группы Dnh, оси U2 относятся к двум
различным классам при /i=2s. Напомним, что элементы типа Р8
и Р9 относятся к одному классу в группе Р (4), в подгруппе с
четными транспозициями прямой и обратный элементы относятся к
разным классам. Преобразование сопряжения показывает, что в
группе Т имеется 4 класса: Е, 4С3, 4CJT1 и ЗС2.
Рис. 16. Группа Т поворотных осей
тетраэдра
47

В табл. 13 элементы группы Т как раз записаны по классам,
что соответствует табл. 11.
9. Группа Td.
Группа Td есть группа полной симметрии тетраэдра. Из рис. 17
видно, что помимо собственных осей есть зеркальные оси четвертого
Таблица 13
Соответствие элементов группы Т и подгруппы N группы Р (4)
^Р1(\ 2 3 4)
С3^
с3^
*Р8 (1423)
^ii(3 24 1)
^12(413 2)
*Р»(2 3 14)
-.1*
Г2*
-Р9 (13 4 2)
*Р10 (4 2 13)
^1з(2 4 3 1)
»Ри (3 12 4)
-Pit (3 4 12)
-Pi9(214 3)
*Р20(432 1)
порядка — это оси, проходящие через середины противолежащих
ребер, всего таких осей 3, они дают элементы 3S4, 3Sj=3C2
(имеющиеся в группе Т) и 3S5. К элементам симметрии относятся
плоскости ad, проходящие через ребро
и середину противолежащей грани,
таких плоскостей имеется 6. Таким
образом, в группе Td содержится 24
элемента — к 12 элементам группы
Т добавлены 12 новых элементов:
3S4, 3ST1 и 6ad, других элементов
симметрии не существует. Это
очевидно и из общих соображений: любые
преобразования симметрии тетраэдра
должны приводить к перестановке 4
его вершин по 4 позициям, но число
перестановок из 4 элементов равно
4!=24. Группа Td изоморфна
группе Р(4). При этом ad соответствуют
перестановкам типа (I) (/) (£/), где
(i) и (/) соответствуют тем вершинам,
которые лежат в плоскости ad— это
элементы Р2—Р7- Элементам S4 и
S71 соответствуют элементы Р1в, Р18,
* 21 > * 22» *23> -* 24'
Группа Td состоит из 5 классов:
Е, 8С3, 6ad; 6S4; 3C2,
что легко проверяется с использованием изоморфной ей группы Р(4).
10. Группа ТЛ.
Группа ТЛ образуется в виде прямого произведения групп Т
и С1:ТЛ=ТхС/. Она имеет 24 элемента, распределенных по 8 клас-
Рис. 17. Группа Td полной
симметрии тетраэдра
48

сам: 4 класса группы ГТ и 4 класса Ti# Запишем элементы
группы ТЛ по классам:
Е, 4С3, 4С32, ЗС2,
f, 4iC3f [iiCl 3/C2.
Вместо этих элементов можно было бы записать другие
элементы, например iC2=a9 где а —плоскость, перпендикулярная осиЧ?2,
как реальный элемент симметрии.
Инверсионно-поворотную ось iC3
можно считать
зеркально-поворотной осью б-го порядка.
Действительно, образуем цикл:
S6; S6=C3; Se = ohC6 = ahCz = i;
Se=Cz; Sq] E.
Mo
Sq Sq = Sq = C3i; Se Sq = Se = C3i =
Таким образом, в данном
случае можно положить Sa=iCl: Рис- 18* ГрУппа ° повсРотных осей
4,Г) e *' куба или октаэдра
.Sr, = iC8 и группу ТЛ можно
записать в виде:
Е, 4С3, 4Сз, ЗС2,
it 4S71, 4Se, За.
//. Группа О.
Группой О или группой октаэдра называют группу поворотных
осей куба или октаэдра. Элементы этой группы можно найти на
рис. 18.
Оси С4 проходят через центры противолежащих граней, всего
шких осей 3, следовательно, имеем элементы ЗС4, ЗС|, ЗС4, Е.
Оси С3 проходят по пространственной диагонали куба, всего таких
осей 4, они дают элементы 4С3, АС\. Оси С2 проходят через
середины противолежащих ребер куба, всего осей 6: 6С2. Других
собственных осей с имметрии у куба нет. Итак, имеем:
£, 3C4f ЗС|, ЗС4°, 4С3, 4Cl, 6С2 —
исего 24 элемента. Подгруппы находятся прежде всего как циклы
■•.цементов. Найдем классы группы О. Можно ожидать, что в
группе О не более семи классов и не менее четырех или даже пяти.
Для этого С4 и СТ1 и С3 и CJ1 должны быть сопряженными; если
4 Киреев П. С. 49

при этом и все оси второго порядка сопряжены, то^получим
^класса; если оси С\ не сопряжены осям С2, то получим 5 классов.
Анализ можно проводить либо графически, либо аналитически. В
последнем случае удобно воспользоваться перестановкой восьми
вершин куба по [восьми позициям, группа О в таком случае будет
изоморфной подгруппе 24-го порядка
группы Р(8), имеющей порядок 81 =
= 40 320. На рис. 19 указаны
единичные элементы групп О и Р(8).
Элементу С[1) можно поставить в соответствие
/12345678
перестановку Р
становку,
элементу
2 3 4 5 6
с^-1
4 12 3 8 5 6 7
пере-
/1 2 3 4 5 6 7 8\
•Р№ 3 4 16 7 8 5J=P*1
^23416
элементу С{21) — перестановку
/1 2 3 4 5 б 7 8\ х
^5 8 7 6 1 4 3 2)~^2 ~^2 •
Рассмотрим теперь дреобразование сопряжения С{21)С{4{)С{21) ,
соответствует преобразование
Рис. 19. Тождественная пе*
рестановка и единичный эле*
мент группы О
ему!
12 3 4 5 6 7 8
5 8 7 6 1432
Р?>р№1-
12 3 4 5 6 7 8
4 12 3 8 567
12 3 4 5 6 7 8
2 3 4 16 7 8 5
1 2
5 8
4 5 678
6 14 3 2
=Р\
(1)
,-i
^-i
*-i
т. е. имеем С{21)С41)С21) =С[1) ", или прямые и обратные повороть|
вокруг оси четвертого порядка принадлежат к одному классу. Ана<
логично можно доказать, что и С3, и CJ1 относятся к одному клас!
су, однако элементы С\ и С2 не сопряжены. Таким образом, эле|
менты группы О распределены по пяти классам:
Е, 6С4, ЗС4, 8С3> 6С2.
12. Группа 0/г.
Группа Oh—это группа полной симметрии Гкуба. Ее можн<
найти (рис. 20), учитывая плоскости зеркального отражения, npdj
ходящие через центр куба параллельно парам противоположны!
граней (три плоскости стА), через центр куба по диагоналям противоя
лежащих граней (шесть плоскостей od). Произведение первых тре^
взаимно ортогональных плоскостей дает инверсию. Рассмотрим тепер:
произведение инверсии на элементы групп О: Ю, получим 24 член!
вида i, 6£C4, 3*Cf, 8tC3, 6iC2. Оси С2 лежат в плоскостях od, not
50

яому [6iC2 = 6odt т.ге. эти. элементы мы уже нашли. Оси С? лежат
и двух плоскостях аЛ, поэтому iC\ = oh — третья ортогональная им
плоскость аЛ. Таким образом, десять дополнительных элементов
к группе О найдены. Наличие плоскостей а/г, ортогональных осям С^г
дает зеркальные повороты ЗаЛС4, 3ahC7\ произведения GhC24=ohC2 = i
нового элемента не дают. Но легко
нидеть, что элементы ЗсгЛС4 и За,,С7
содержатся в произведениях 6tC4. Дей-
i твительно, 1СА = ohahOhC^= сглС2С4 =
a'hCl и iCJ1 = o'hCb таким образом,
зеркально-поворотные оси S4 есть в то
же время (обратные)
инверсионно-поворотные оси: iC7l=St, iCt=STl, так что
оси S4 содержатся в произведениях i'C4.
()стается проанализировать элементы
HiC3.
Прежде всего найдем порядок
элемента iC3, образовав его цикл: iC3,
{iC,)2=i2Cl=Cl=Cs\ (iC3)3 = i3Cl = i,
ас,)4=14с$=ся, (ic,)5 = id (ic3f=
Е. Таким образом, iC3 является
элементом шестого порядка, при этом^'че-
ii.ipe элемента цикла найдены ранее. Рассмотрим цикл элемента
•VSe, Sl=o2hCl = C3, Sl=ohC2 = i, St = o4hCt = Cl Sl = {o5hCl) =
ahCi = ehC7l = Sf\ St=E. Сравнивая эти циклы, видим, что че-
ii.ipe элемента у них одинаковы: С3, i, C|, Е. Перемножая,
например, SlSl = Sl = C3i, мы видим, что S56 выражается через
реальные элементы симметрии, следовательно, и 56 — реальный элемент
симметрии. Аналогичный вывод справедлив и для элемента tC3 =
- iCJ1 =Se.
Таким образом, наличие инверсии превращает ось С3 в ось Se,
что дает 8 новых элементов 4Se и 4Se. Других новых элементов
симметрии в группе 0А нет.
Итак, группу Oh можно получить в виде прямого произведения
групп О и С.-;
О^ОхС,.
Она имеет 48 элементов, распределенных по 10 классам, 5 из»
них соответствуют группе О—ЕО и 5 — группе Ю:
Е9 6С4, ЗС4, 8С3, 6С2;
t9 6/С4, 3*С4, 8/С3, 6iC2,
или с учетом найденных произведений:
Рис. 20. Группа полной
симметрии куба
Е9 6С4, ЗС4, 8С3, 6С2;
i* 6S4, 3aA, 8Se, 6ad.
51

13. Группа Y.
Группа Y—группа простых поворотных^ осей икосаэдра. Ико«|
саэдр — правильный двадцатигранник, имеющий 30 ребер и 12 вер
шин, гранями икосаэдра являются правильные треугольники (рис. 21)j
Группа собственных осей икосаэдра со
держит 60 элементов.
14. Группа Yh.
Группа Yh—группа полной симН
метрии икосаэдра, ее можно предста
вить в виде прямого произведения групп
Y и С,:
tY„=YxC,.
15. Непрерывные группы
К точечным группам относятся
группы ПОВОРОТОВ Соо, СооЛ, Соои, Doo И DooA
Их можно рассматривать как преде^
соответствующих групп Сп
^Рис. 21. Икосаэдр
и Dnh при п -> оо. Ось
бесконечно
высокого порядка означает самосовме*
щение физической системы при повороте
вокруг осияна произвольный угол. Группа С», очевидно, описывае^
аксиально^симметричную систему.
Поворот на произвольный угол вокруг произвольной оси обра-
зует группу вращения К. Группа полной сферической симметрии К
определяется как прямое произведение групп К и С,-: КА = КхС/
Она помимо^произвольных вращений содержит инверсию.
§11. Группа трансляции
Кристалл можно моделировать либо кристаллической решеткой,
создаваемой системой узлов, либо совокупностью многогранников,
заполняющих пространство. Оба подхода отражают важнейшее свой-
ство кристалла — трансляционную симметрию. Это означает, чт<§
любая физическая величина а остается неизменной при перенос!
пространства кристалла на определенные расстояния вдоль каждого
направления.
Кристаллические решетки распределяются по семи системам, илЛ
сингониям, которые делятся на три категории: низшую, средний^
и высшую.
К низшей категории относят кристаллы, не имеющие осей сим!
метрии выше оси второго порядка.
К средней категории относят кристаллы, имеющие не болев
одной оси высшего порядка (Сп при п>2).
К высшей категории относят кристаллы, имеющие больше одноЦ
оси высшего порядка.
Низшая категория состоит из трех сингоний: триклинноЯ
моноклинной и ромбической. В триклинной сингоний нет ни ocei
52
1

(кроме Q), ни плоскостей симметрии. В моноклинной сингонии
могут быть ось или плоскость симметрии, но не более одной
соответственно, при этом одинаковых элементов быть не может.
В ромбической сингонии имеется несколько одинаковых элементов
симметрии (С2 или а).
Средняя категория состоит из трех сингонии: тригональной,
тетрагональной и гексагональной, названия категорий отражают
название оси высшего порядка соответственно С3, С4, С6.
4?!
В)
ММ
Ь)
Ж
^ш?^
х
А
JK)
И^Ю
/ Ч
Рис. 22. Типы ячеек Ъраве:
а — триклинная; б —моноклинные; в —ромбические; г — тетрагональ-
*rJ-it/ ные; д' — тригональная;? —гексагональная; ж — кубическиеВ
^Высшую категорию составляют кристаллы кубической сингонии,
имеющие несколько осей высшего порядка. Кристаллы семи
сингонии образуют 32 [вида симметрии и [230 пространственных! групп
Федорова.
Браве математически показал, что для кристаллов семи
сингонии может быть 14 типов решеток (решетки Браве). Элементарные
ячейки решеток j Ъраве выбирают из следующих соображений:
1**-.
1Г>
53

1) симметрия ячеек отражает симметрию кристаллической решетки;
2) число прямых углов в ячейке должно быть максимальным;
3) объем ячейки должен быть минимальным.
По расположению атомов (или групп атомов в общем случае)
элементарные ячейки разделяются на четыре вида:
1) примитивная Р — атомы расположены только в вершинах
ячейки;
2) базоцентрированная С—атомы расположены дополнительно
в двух гранях (базовых);
3) гранецентрированная F—атомы расположены дополнительно
в центре всех граней;
4) объемно-центрированная /—атомы расположены в вершинах
и центре элементарной ячейки.
На рис. 22 и в табл. 14 указаны параметры ячеек Браве.
В качестве базиса для описания кристалла можно взять три
произвольных вектора, длина которых равна расстоянию между
соседними узлами решетки в данном направлении. Обозначим
базисные векторы через аь а2, а3. Объем элементарной ячейки Var
построенной на базисных векторах, равен!Уа=(а1[а2а3]). Вектор
n=/21a1+n2a2+n3a3 называется вектором трансляции, если пъ п2г
п3—целые числа. Трансляционная симметрия кристалла означает,
что при смещении на вектор трансляции физическая величина а
принимает исходное значение. Другими словами, вектор
трансляции п определяет положение эквивалентных, физических
неразличимых точек кристалла г и г' = г-(-п. Введем оператор трансляции
Т(п) условием
r' = T(n)r=r+n.
Очевидно, что Т(п) образует группу, если ввести операцию
умножения трансляций условием
T2(n(2>)T1(nn))r=T2(n(2))(r+n(1))=r+n(1)+n(2>
или
T2(n(2))T1(n(1)) = T(n(1)+n(2)).
Единичным элементом служит трансляция на нулевой вектор:
Е=Т(0). Обратным элементом — трансляция на обратный вектор:
{T(n)}-i=T(-n).
Ассоциативность выполняется. Таким образом, трансляция
действительно образует группу. Легко видеть, что группа
трансляций— группа циклическая. Действительно,
Т (п)=Т (/Zia!+n2a2+л3а3)=Т (п^) х
xT(Az2a2)T(n3a3)={T(a1)}"1 {Т(а2)}^ {Т(а3)}"з.
Для неограниченного кристалла трансляцию можно совершать
на любой вектор, в том числе и на вектор п, для которого | п |->оо.
Реальные кристаллы ограничены, например имеют вид
параллелепипеда с длиной стороны Ll9 L2 и L3, причем I1=N1a1, L2=N2a2,
54

Параметры ячеек Браве
Таблица 14
Категория
Низшая
Средняя
Высшая
Сянгония
Триклинная
Моноклинная
Ромбическая
Тригональная
Тетрагональная
Гексагональная
Кубическая
Оси координат
Три действительных или возможных ребра кристалла
Ось у — С2\ оси х и 2 — два действительных или
возможных ребра, лежащих в плоскости симметрии
Три оси С2
Ось z — C3
Ось z — Ci
Ось z — C6
С2 или С4
Углы
аф$фуф90°
a=p=90W
1 a=p==Y=90°
a = p=:90o
Y=120°
a=p=Y=90°
a = p=90°
Y=120°
a=p=Y=90°
Периоды
афЬфс
афЬфс
афЬфс
а=Ьфс
а=Ьфс
а=Ьфс
а=Ь=с
Виды
решеток
Р
Р
С
Р
С
F
1 /
Р
Р
I
С
Р
F
I

L3=N3a3. Для ограниченного кристалла понятие трансляции лишено
какого бы то ни было смысла. Однако и в этом случае можно
говорить о трансляционной симметрии, если представить, что все
пространство заполнено параллелепипедами (ЩЦЬд]). Идея
трансляции наполняется первоначальным смыслом, и достигается тем
самым передача основного свойства кристалла, когда две точки,
разделенные вектором п при |n |<|Lx+La+LsU обладают
одинаковыми физическими свойствами. Кроме того, отпадает необходимость
вводить описание точек, лежащих на поверхности кристалла,
состояние которых отлично от состояний внутренних точек. Трансляция,
на векторы Lt совмещает две основные области, соответствующие
реальному кристаллу, поэтому можно считать, что трансляция
на векторы Lt оставляет пространство кристалла неизменным, т. е.
позволяет записать:
Е = Т(0)=Т(Ц)Т(Ь2)Т(Ь3).
Другими словами, группа трансляции превращается в группу
конечного порядка. Порядок группы gi=N1N2N3. Объем кристалла
V = (LX [L2L3]) = AWV3 (ax [а2а3]) = ^.
Трансляция вдоль любого направления образует подгруппу,
например Т^а^, порядка N±:
{T(ai)}"* = E.
Можно считать, что группа трансляции есть прямое
произведение трансляций вдоль базисных векторов:
Т (п)=Т (ла) X Т (п2а2) х Т (/г3а3)=
= ^(3^X^(3,)}^ х{Т(а3)}-,
откуда автоматически следует, что порядок группы Т(п) равен
произведению порядков групп сомножителей g=N1N2N3.
§ 12. Пространственные группы
Преобразования пространства, состоящие из поворотов и
трансляций, приводящие к «совмещению» свойств исходного и
преобразованного пространства, образуют пространственную группу.
Согласно Зейтцу и Вигнеру, пространственную группу обозначают
в виде {А|п}; первый (левый) элемент А означает поворот на
угол а вокруг некоторой оси, второй (правый) элемент—трансляцию
на вектор п. Обратим внимание на то, что вначале совершается
поворот А, затем трансляция п. Запишем преобразование
пространства:
r'={A|n}r=Ar+n.
Этим уравнением определено действие оператора {А|п} на
точки г пространства. Единичный элемент—это тождественное
преобразование пространства, оставляющее его неизменным, поэтому
можно записать: r' = Er=r, откуда единичный элемент имеет вид
{Е|0}, где Е]—единичная матрица.
56

Пусть задано два преобразования {А|п} и {А'|п'}. Найдем
их произведение:
r' = {A|n}r=Ar+n,
г'={А' | n'} г'-А'г'+n'- A' (Ar+n)+n' = A'Ar+A'n+n' = {A"1 п"} г,
откуда следует закон умножения
{А' | п'} {А | п}={А7 А | А'п+п'}.
Поскольку тождественный элемент найден независимо от закона
умножения, найдем обратный элемент на основе закона композиции.
Обозначим обратный оператор в виде {В |т} = {А|п}~1. По
определению: {AJn^fAlnHIElO} и {B|m}{A|n} = {BA|Bn+m}={E|0},
следовательно, ВА=Е, В = А-1, Bn+m=0 и т=—А-1 п=А-1Х
<п
—1
т. е.
{А | п}-1^ {А-11 А-^Н {А-11 — А^п}.
Можно проверить, что * обратный элемент определяется одно*
шачно, т. е. что
{B|m}{A|n}={A|n}{B|m}.
Из определения пространственной группы следует, что группа
грансляции есть подгруппа пространственной группы: Т(п)={Е|п}.
Пространственную группу можно задать и в координатной
форме. С этой целью вводят 4-столбец
х2
и 4-матрицу
Перемножая
4-столбец:
1 О О
их по правилу умножения матриц, получим
tti йц #12 Дхз
/Za #21 #22 ^23
<tl3 #31 fl32 ^33
1
I Пх+OuXi+OuXt+auX, \
x / \Пз+а31Х1+аз2х2+азгк3 J
и соответствии с векторноюператорной формой
r' = {A|n}r.
Используя сокращенные обозначения для матрицы, запишем
г') = (п аД г
57

Правило умножения для матриц, состоящих из матриц, — для
суперматриц, имеет вид
U'7 U' A'J U'/U' A 7 U А/ (г J = U,+A,n А'А/ [г)'
Обратная суперматрица определяется условием
/1 0\-_/ 1 О X
\n A/ VA^n-1 A-V*
Для трансляций суперматрица имеет вид
Т(п)=(; »)-{Е|п).
Если п=0, то супер матрица определяет только поворот: '
г' = {А|0}г. j
Трансляции, как уже отмечалось ранее, образуют подгруппу.!
Покажем, что она образует инвариантную подгруппу. Для этого!
найдем сопряженные ей элементы: j
{А | m} {Е | п} {А | m}-^ {AE | An+m} {А"11 A-1m-i} =
= {Е | AA-1m-i+An+m} = {E | An}# j
Таким образом, сопряженным элементом для трансляции являет-]
ся вновь трансляция, т. е. подгруппа трансляций состоит из целых
классов. Другими словами, подгруппа трансляций является инва-i
риантной подгруппой для пространственной группы.
Теперь вспомним, что вектор трансляции выражен через периоды
решетки а1э а2, а3 целыми числами nlt п2, п3. Аналогичным образом;
целыми числами должен выражаться и вектор An. Но это возможно
только лишь для некоторых поворотов. Найдем их. Для этого
введем ортогональный базис elf e2, е3, по которому разложим
базисные векторы решетки ^ = ^иыек и выразим вектор трансляции!
k \
п=2л|а,г=2л1м*А- !
/ ik ']
В ортогональном базисе матрицу поворота А можно записать
в виде
(cos а —sin а 0 \ /ап а12 а13
sin а cos а 0 1=1 а21 а22 а23
О 0 ±1/ \а31 а32 а33
где а—угол поворота вокруг оси, определяемой вектором е3.
Обозначим Ап=т=2я^а</, где т3 — целые числа, и выразим era
в ортогональном базисе. Переход к ортогональному базису позволит
простейшим образом найти связь между nij и пг. Для этого вырази^
Ae~2a/*e/> \
1 I
58 i

после чего можем записать
m=2/п^-а/=£/п,-2 «лА=An=А 2 «А =
II* •
i l i I q
Приравняем третий и последний члены в этой цепочке равенств
и умножим их на ег скалярно, получим
2 mj 2 иА Дг=2 я, 2 Щ% 2 aqlbrqy
\ к i I q
откуда
2 urJmi=2 arluunt = 2 (AU)rfn,.
В матричной форме это равенство имеет вид
/тЛ (пху
I) /п2=Аи(л2
\mj
или
где D=U-!AU.
Пусть п=(п1у 0, 0). Тогда m1=D11nlf откуда D11=m1/n1 — целое
число. Полагая далее п=(0, п2, 0) и п=(0, 0, /г3) и выражая
m2=D22n2 и т3=Ц,3я3, приходим к выводу, что D22 и D33 —целые
числа. Чтобы убедиться, что действительно DH — целое число,
достаточно положить, например, /гх=1 или соответственно /г2=1,
/i3=l и Ои = тг — целое число. Если DH — целые числа, то их
сумма— целое число, т. е. 5№и — целое число. Сумма диагональных
элементов матрицы называется ее следом или шпуром и
обозначается
SpD=TrD=2Af
л
Докажем, что след матрицы не изменяется при преобразовании
подобия. Действительно, пусть две матрицы В и С связаны
преобразованием подобия посредством матрицы V:
c=vbv-1.
Запишем
/ i i,j,k \k i
=2BA=2*„=SpB.
Поскольку [D=U-1AU, можем записать на основании
доказанного:
Sp D=Sp A = 2 au= ± 1+2 cos a.
59

Отсюда следует, что допустимые трансляции приводят к
допустимым углам поворота а таким, чтобы ±1+2 cos а было целым
числом. Это возможно при условии, что cosa=l; 1/2; 0; —1/2; —1
или а=0; 2я/6; 2л/4; 2я/3; 2я/2, т. е. в кристаллах возможны оси
поворота Съ С2, С3, С4 и Сб, других осей поворота в кристаллах
быть не может, они не совместимы с трансляциями. Отметим, что
след матрица А для собственных поворотов принимает значения
2; 1; 0; —1; для несобственных — значения 0; —1; —2; —3.
В пространственных группах существуют новые элементы
симметрии, которые отсутствуют в точечных группах. Среди них
отметим прежде всего винтовые оси и плоскости скольжения.
Винтовая ось—это операция поворота с одновременной
трансляцией вдоль оси поворота: плоскость скольжения — зеркальное
отражение в плоскости с последующей трансляцией вдоль плоскости
(оба указанных преобразования симметрии образованы из коммут
тирующих элементов; сами элементы могут при этом отсутствовать).
Рассмотрим точечные группы, которые могут быть реализованы
в пространственных группах. Для этого достаточно учесть
возможные оси поворотов
Ci С2 С3 С4 Св
S2 S4 Se j
См С2Л C3h C4A СвЛ
Civ C2w C3v C±v C9v '
Dx D2 D3 D4 De
Dlh D2h D3h D4AD6A I
Did D2<* D3<* »4d Ded
T Td Th 0 0Л <
— всего 38 кристаллических классов. Однако среди перечисленные
кристаллических классов возможны совпадающие прежде всего
для низких порядков осей симметрии. Действительно, совпадаю'п
С1Л и Clv; D± и С2; Dlh и C2v; Dld и С2Л. Опуская одинаковые
точечные группы и группы D4d и Ded, содержащие оси S8 и S12]
получим 32 точечные группы, называемые кристаллическими
классами, совместимые с подгруппой трансляции. Кристаллически^
классы указаны в табл. 15, в которой они распределены по синго«
ниям. В табл. 15 приведены кристаллические классы всех сем^|
сингоний.
Повороты образуют подгруппу пространственной группы. Этс]
видно из закона умножения поворотов—произведение двух враще^
ний {А 10} и {В |0} есть вращение
{А|С}{В|0}-{АВ|0}.
Проверим, является ли вращение инвариантной подгруппой про-]
странственной группы. Для этого рассмотрим преобразование
сопряжения элемента {А 10} с общим элементом {В|т}:
{В | т} {А 10} {В | т}-^ {В | т} {А 10} {В-11 В-Чп-1}^
= {В А | т} {В-1 IB-1 m-1} = {BAB"11 ВАВ^т^+т}.
60

Для того чтобы сопряженный [повороту элемент был поворотом,
необходимо, чтобы
BAB-1m-1+m=0,
или
BAB-1m=m,
Таблица IS
Кристаллические классы пространственных групп,
их обозначения и распределение по сингониям
Сингония
Гриклин-
ная

Моноклинная
)ртором-
'шческая
Триго-
иальная
Гстраго-
нлльная

Гексагональная
(убиче-
ская
Обозначения кристаллических классов
по Шёнфлису
С,; Q (S2)
С2\ Cs (Cih, Civ)',
C2h
C2v;D2(V)',D2h(Vh)
C3\ «Se (C3/); D3;
Czv\ ^3d
C4; S4; C\h\ D4;
C\v\ Did (Vd)\ Dm
Cev* Dzh\ Deh
T; Th\ Td 0; Oh
полные
i; T
2; m; 2/m
2mm; 222; 2/m 2/m
2/m
3; 2f; 32; 3m;
-2
3 -
m
- 4
4; 4; —; 422; 4mm;
m
4 2 2
42m;
mmm
6; 6"; 6/m; 622;
6mm; 6m2;
mmm
23; - 3"; 432; 432;
m
U2-
м т
международные
l; T
2; m; 2/m
2mm; 222; mmm
3; ~3; 32; 3m; 3m
4; 4; 4/m; 422;
4mm; 42m;
4/mmm
6; 6"; 6/m; 622;
6mm; 6m2;
6/mmm
23; m3; 432; 432;
m3 m
мгкуда следует ВАВ~1 = Е. Но единичный элемент сопряжен только
гдмому себе: В"~1ЕВ = Е, поэтому при А=£Е сопряженный вращению
алшент содержит трансляцию n=m — BAB—1m. Таким образом,
ючсчная группа симметрии G0 не является инвариантной подгруппой
61

пространственной группы G, в^то "время как трансляция Т являете^
подгруппой инвариантной. Фактор-группа G/T изоморфна точечной
группе G0.
Пространственную группу G можно разложить на сопряженные
совокупности по инвариантной подгруппе Т. Обозначим общий
элемент сопряженных совокупностей в виде Т: {А| Va} = {A| Vrt}Tl
Вектор Vfl принято называть вектором неэлементарных трансляций]
он определяется как вектор, имеющий минимальную длину из всех
возможных трансляций, и позволяет выразить произвольный эле]
мент пространственной группы. Действительно,
{A|n} = {E|m}{A|VJ = {A|Vfl+m}.
В последнем соотношении m не зависит от А, \а связан с A3
п — произвольная трансляция, допускаемая пространственной труп]
пой. Для некоторых пространственных групп, подходящим выбором
начала координат, можно обратить Va в нуль. В этом случа!
пространственную группу можно представить в виде сопряженныя
совокупностей Т{А|0}. Из общего числа пространственных групп
230 обращение Va в нуль возможно в 73. |

Глава III
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУПП
Представление групп (или представление групп линейными
операторами) имеет большое значение для практического применения
теории групп. Оно может быть введено по-разному.
§. 13. Представление как гомоморфизм групп
Пусть имеем две группы — абстрактную группу G порядка g
и группу квадратных матриц Г порядка gi<g. Если между ними
существует гомоморфизм, то группа матриц Г называется
представлением абстрактной группы G.
При гомоморфизме между элементами групп существует
одностороннее однозначное соответствие. Каждому элементу Gt группы G
соответствует один и только один элемент группы Г, его обозначают
V(Gt); но при этом один и тот же элемент группы Г может
соответствовать нескольким элементам группы G. Поскольку
гомоморфное соответствие требует сохранения соответствия при
перемножении элементов, можно считать основным свойство матриц
представления, определяемое соотношением
r(GiGft)=r(G,)r(Gft),
г. е. матрица представления произведения двух элементов Gfik
есть произведение матриц представления элементов Gt и Gft, при
'ном имеется в виду обычное правило умножения матриц («строка на
столбец»)
Г„ (Gfik) = {Г (G,) Г (Gft)}rs= 2 Trj (Gt) rj$«?»).
Пусть существует квадратная неособенная матрица А с числом
«■трок, равным числу строк матриц Г. Совершим преобразования
подобия над всеми элементами группы Г
AT{Gt)A-i-T'(Gt).
Покажем, что матрицы Г' (G,) удовлетворяют определению пред-
I-пиления группы
I" (G;Gft) = АГ (GtGk) A-i = АГ (Gf) Г (G„) A"*=АГ (<?,) А^АГ (Gk) А"*=
= r'(G,)r'(Gfe).
63

Выбор матрицы А ничем не ограничен, кроме требования, чтобь
ее определитель не был равен нулю, в противном случае он;
не^будет иметь обратной матрицы и преобразование подобия с ма
трицей А будет невозможным. Выбирая различные матрицы А
можем получить различные матрицы Г". Представления, получаемы*
преобразованием подобия, называются эквивалентными.
Найдем вид матрицы представления единичного элемента. Так ка!
для любого элемента Gt справедливы равенства j
EGi = GiE=Gi
T(EGi) = T{GiE) = T(E)T(Gi) = T(Gi)T(E)=r(Gi)f j
то отсюда следует, что^ единичный элемент представляется единич!
ной матрицей 1
lrs rs [О при r=ts. J
Но единичная матрица при преобразовании подобия остается
единичной, т. е. единичный [элемент представляется единичной м£
трицей во всех эквивалентных представлениях: 1
r;s (Я)={АГ (Е) А-Ч„= S АГ]Т^\Ё) AZ1=2 A,fiikAj? = 1
/ft /ft.., I
I
В 'свою очередь отсюда вытекает, 4toJ обратный элемент Gji
представляется обратной матрицей I
GfiT^GT'G^E^ I
1
r(GiGr1)=r(Gi)ri(Gr1) = r(£); j
и I
rL:(Gr1) = r-i (Gt) Г (£)=Г-1 (£).] 1
В общем случае нахождение обратной матрицы требует провет
ния длительных и громоздких вычислений. Однако существуют м|
трицы, для которых обратные матрицы находятся достаточм
просто — речь идет об унитарных матрицах. Напомним, что матриш
U называется унитарной, если обратная ей матрица U-1 совпадаем
с сопряженной и+:и_1=и+. Сопряоюенная матрица U+ строится
из исходной матрицы U посредством транспонирования и комплект
ного сопряжения всех ее элементов: U+ = U*. Таким образом, дш
унитарной матрицы U"~1 = U* = U+. Если унитарная матрица состой
из вещественных элементов, так что U* = U, то обратная матриш
совпадает с транспонированной: и-1=и. В этом случае унитарна
матрица называется ортогональной. щ
64 1

Покажем, что строки и столбцы унитарной матрицы можно
рассматривать как ортонормированные n-векторы. Действительно, из
условия
UU^-E-UU+^U+U
следует
где векторы Uk и U, определены как &-я и i-я строки матрицы U,
а скалярное умножение определено в смысле Эрмита. Аналогичным
образом можно показать, что столбцы образуют ортонормированные
лекторы Uj.
Поскольку никаких ограничений на выбор матриц представления
L(Gj) не накладывается, будем предполагать, что матрицы r(Gt)
унитарны, поэтому справедливы соотношения
r(G-1)=r-1(Gi)=r+(Gi)=r*(Gi).
Из сказанного о свойствах строк и столбцов унитарных матриц
следует, что строки и столбцы матриц представления можно
рассматривать как ортонормированные векторы в л-мерном
пространстве:
2 ГЛ(0<)ГЙ(0|)=2 r^(Gl)re(GJ) = (r.,(G,)r..KGJ)) = ert;
t t
ЖЛ0г)Г№7=Ж№^ (G.MIY т Гг. (G,))-0„.
Введем понятие характера элемента %(Gt) в данном
представлении. Характером элемента %(Gt) в данном представлении Г
называется ълед матрицы представления:
X(Gl)=Spr(Gl)= 21^/(0,).
Из определения следует, что характер элемента зависит от
выбора представления. Однако во всех эквивалентных представлениях
характер элемента одинаков, поскольку при преобразовании
подобия след матрицы сохраняется, что было доказано в § 12, т. е.
если r,(Gi)=Ar(Gi)A-1, то
X'(G<)=2 r.nG,)=21r/y(Gi~(Gi). ]
dL /
Элементы одного класса имеют одинаковые характеры. Это легко
доказывается на основании той же теоремы. Действительно, эле-
!> Киреев П. С. 65

менты Gt и Gk одного класса связаны Соотношением сопряжения
с помощью некоторого элемента, например Gm:
Из определения представления имеем
r(G,)==r(GmGlG-0 = r(Gjr(Gi)r(G^,) = r(Gm)r(Gi)r-4Gm),
следовательно,
X(G,)=X(G,)=X(Q),
где Ct — класс элемента Gim
§14. Приводимость представлений
В предыдущем параграфе было показано, что из одного
представления T(Gt) могут быть построены другие представления
преобразованием подобия с различными неособенными матрицами А.
Однако это не единственный способ построения других
представлений. Рассмотрим в качестве второго способа — способ
суперматриц.
Пусть два различных представления T^(Gt) и T^(Gt) имеют
размерность f± и f2. Образуем из них матрицу T(Gt) размерности
f±+f2 следующим образом:
Г (О,)-
[T1V
гй»
где
0
L о
Г.О)
1 12 •• .
X 22 • • •
гй • • •
0 ...
0 ...
г(1)
г(1)
1 flf»
0
0
0
0
0
Г(2)
1 11
Г(2)
0
0
0
Г(2)
i 12
Г<2>
... 0
... 0
... 0
• • • rtf!
• • • ГОД
Матрица T(Gt) имеет блочную структуру, ее [можно изобразить
в^виде суперматрицы из четырех элементов:
г^-ГС1)(0|) °
Ч&«)-^ о r(2)(Gf)
По диагонали стоят в качестве элементов матрицы T^{Gt) и
T(2)(G£), вне диагонали—нулевые матрицы. Поскольку элементами
матрицы являются матрицы, то T(Gt) называют суперматрицами.
Также ее называют блочной или квазидиагональной матрицей и
обозначают в виде r(G|)=[r<1)(Gl); T*(Gt)]. Рассмотрим произведение
двух суперматриц
r(Gf)r(Gi) = [ru>(Gf); Г(«(0|)][Г(П(0Л); Г^(Ск)}-
66

X
r(,V(Gi) riVtG,) ... Т\)\(Ог) О О ... О '
riVTG») Г&'М) ... ryj(G,) 0 0 ... О
T\lhGt) T'flHGi) ... ГШ<?|) О О ... О
О О ... О if^G,) ^(G,) ... r\f,(Gt)
О О ... О Г$(0,) Г$(0,) ... r}f/,(G,)J
riV (G^riV (G4) ... Г!}', (Gft) О О ... О
TiWGjrWiGb) ...r{2)l(Gk) О О ... О
О О ... о r},2l(G*) r$(GA) ... r{,2/,(Gft).
_ГГ<»(0|)Г<П^*)] о 1_ГГ<1)(0|0А) 0 ]
L О Г(2)|(04)Г(22(0,)] L О r<2)(GlGft)J'
Итак, записаны две суперматрицы в явном виде. Пользуясь
правилом умножения матриц, легко видеть, что произведение
суперматриц имеет блочную структуру, причем первый диагональный
блок есть произведение первых диагональных блоков, второй
диагональный блок — произведение вторых диагональных блоков;
недиагональные блоки остаются нулевыми. Другими словами, правило
умножения суперматриц, построенных из матриц представления,
имеет вид
Г(е|)Г(еЛ) = [Г(П(С1); Г<2>(0,)][ГП>(0,); Г<2>(0*)] =
= [ГП>(^)ГО>(0Л); Г(2)(0|)Г(2)(0,)] = [Г(П(е,0Л); T^iGfi,)].
Таким образом, мы не только нашли правило умножения
суперматриц, но и показали, что суперматрицы являются
представлением группы. Это означает, что можно построить из нескольких
представлений размерностей flf f2f ..., fr представление произволь-
г
пой размерности f = 2 aJa> где числа аа показывают, сколько раз
представление входит в суперматрицу:
'Чб|)ЧГ<!>(0,), ■-., Г(П(0,); ... Г(°>(ОД ,.., Г<«>(0,), .. .Г<»> (G,)].
ах аа
Ь* 67

Вместо супер матрицы можно записать символическую сумму
Г(0г) = 2а„Г(«)(0{).
а
Непосредственно из вида суперматрицы следует, что
%(Gt)=iaa%<*4Gu).
а=1
Если с помощью матриц А провести преобразования подобия
АГА""1=Г/(Ог), то блочная структура T(Gt) может исчезнуть и по
внешнему виду матрицы Г'(Gt) невозможно сказать, что она
получена из других представлений меньших размерностей. Для того
чтобы обнаружить это, необходимо подвергнуть матрицу V (Gt)
преобразованию подобия с матрицей А""1:
А-Ч" (G,) (А-Ч-*=А-*АГ (Gd А-*А=Г (G4),
т. е. нужно вернуться к исходному представлению,
сконструированному из других представлений в виде суперматрицы. I
Дадим определение: если некоторое представление преобразовав
нием подобия может быть приведено к квазидиагональному виду Л
то оно называется приводимым, а само представление в форме]
суперматрицы называется приведенным. Если же не существует)
матриц А, с помощью которых представление может быть приведено]
к квазидиагональному виду, то оно называется неприводимым. )
Приводимых представлений может быть много, поэтому значение!
представлений следует искать в неприводимых представлениях,'
число которых, по-видимому, ограничено. Разложение приводимого]
представления следует искать по неприводимым представлениям.
§]15.[]Представление^индуцируемое базисом
Пусть задано линейное пространство п измерений. Выберем-!
в нем ортонормированный базис в виде п функций {гМг)Ь &=
= 1, ..., п. Условие ортонормировки базисных 'функций запишем
в виде ]
(*k.ty) = j Ф2 (г) % (г) dx=bkj=(% %). |
Выбор базисных функций произволен. !
Рассматривая группу симметрии G, нужно помнить, что элемен-j
ты группы преобразуют пространство, поэтому их можно рассма-Я
тривать как операторы, действующие на точки М пространства]
Если в пространстве задана функция f (г) от точек М, то тем самым!
операторы^ Gt должны действовать и на функцию f(r). Как
определить действие оператора G^ на f (r)? j
Определим преобразованную функцию GJ (г) как ту же функцию)
от точек М, но в преобразованном пространстве, т. е., по опреден
лению, \
G,f(r)=f(Glr)=f(r').
68 '

Применим это определение к базисным функциям
Разложим функцию i|£(r) по исходному базису
^(г)=0Л(г)=2Г№(0,)^(г).
Коэффициенты разложения обозначены через Г/А(бг), они
показывают, какой оператор на какую функцию действует. Обратим
внимание, что индексы у коэффициента написаны в обращенном
порядке по сравнению с обычным принятым порядком их
написания. Эта «необычность» диктуется «обычностью» всех последующих
соотношений. Коэффициенты разложения находятся следующим
образом. Умножим последнее соотношение слева на 'ФД(г) и
проинтегрируем по области определения базисных функций:
№«• G,%)=J r„fi^kdx = J С 2 г** (G|) %dx=
= 2 Г,А(G,) I ГтЬс1х =2 rlk (G,) fimI=rwft (Gf).
Таким образом, коэффициенты разложения есть матричные
элементы операторов Gf, вычисленные с помощью базисных функций.
Образуем из элементов rmA5(Gf) квадратные матрицы T(Gt) в
количестве g. Покажем, что они образуют представление группы G.
Подействуем оператором*G7.Gf на базисную функцию i|)ft(r):
GA%(0 = GySr^(Gi)^(r) = 2rz,(G,)Srmi(GJ.)^(r) =
Z / т
-S fS Гш1 (G,) Tlk (Gt)\ ф„ (r)=2 {Г (G,) Г (0()}т^т (г).
m \ I J m
С другой стороны,
07^%(г)=2ГтП0;.0,)г|)т(г),
т
откуда следует
r(G,Gf)=r(G,)r(Gf),
т. е. матрицы Т(0^) обеспечивают представление группы G, оно
индуцируется базисом {^(г)} в n-мерном пространстве. Тем самым
показан способ построения представлений: выбирается базис {%},
вычисляются матричные элементы оператора G^, из них образуется
матрица, которая ставится в соответствие элементу G^I^G,.).
Единичный элемент оставляет функцию грЛ неизменной: Etyk=tyk.
Поэтому единичному элементу соответствует единичная матрица
гдаЛ (£)=№«• JJibMlw %)=sm*.
Г(Е) =
10 0 ...
0 10...
0 0 1 ...
0 0 0
0"
0
0
1
69

Характер единичного элемента равен размерности
представления или размерности линейного пространства: %(E) = 2dmm=/i.
т
Матрица представления обратного элемента G-,1 обратна
матрице представления прямого элемента:
Г(ОГ10,)=Г(ОГ1)Г(0,) = Г(Е),
или
Г(ОГ1)=Г-1(0|).
Напомним, что выбор базиса производился произвольным обра
зом. Перейдем к новому базису {^(г)}, и пусть переход от старого
базиса к'новому задается некоторой матрицей U:
Л/ W
или
К
Новый базис, так же как и старый, ортонормироваш
(^Л') = К(«-)^(г)^=б/пг.
Это возможно при определенном выборе матрицы U. Найдем
условие, которое необходимо наложить на матрицу U:
Ai-(+* W-J2 ^*22р«*А-2^у«в«-з
= 2U'mkUlk.
k
Видно, что матрица U — унитарная: при унитарном
преобразовании базиса ортонормировка базиса сохраняется. Покажем, что
унитарная матрица сохраняет неизменным эрмитово скалярное
произведение двух произвольных векторов линейного пространства.
Действительно, пусть заданы два вектора фх и г|э2: %=2a*fe ^2=
k
e2Mv Их эрмитово скалярное произведение
V k l } k, I к
Рассмотрим теперь эрмитово скалярное произведение векторов]
Ufc и Ui|v
0%,ич>2)= /и 2 в**ь и 2ь&)=2 а*&' JU*WA= ;
\ k I ) k.l j
-2e;42u*^2l/»v*- 2 WiW".»- 1
Л. / m p k»l,mt p J
70 i

= 2 Wini/im-S ,W«=2<#*=(*i, *J.
k, I, m kt I k
При написании этой цепи равенств было учтено, что матрица U
унитарная. Таким образом, унитарное преобразование оставляет
инвариантным эрмитово скалярное произведение.
При переходе к новому базису представление изменится.
Вычисляя матричные элементе оператора Gt в новом базисе,
получим
г;1, «у=I *;' ъ№=12 ^*;oi 2 <w* -
-2 w* f w^t=Z^;A№)^ft={u*r(G,)uu,
/. / /. /
или
F(Gi)=U*r(Gl)U.
Учитывая, что матрица U унитарная, можем переписать это
соотношение в виде
Г(Ог)=С*Г (G4) ff= СНГ (G,) О,
т. е. Г" (Gt) и T(Gt)—эквивалентные представления. Они возникают
при переходе от одного базиса к другому в одном и том же
линейном пространстве.
Для выяснения смысла унитарности представления рассмотрим
(0,Ф*. О,*,)- j 2 г£ (0|) *; Е Г„ (О,) ^т-2 Кн (Од Гу(О,) х
х fimJ=2К (0.) rm, (сг)=г г+, (о,) тт] (о,)=2 гй «у rmi (G f>=
m ■ m* " m
Таким образом, унитарность матриц представления означает
инвариантность эрмитова скалярного произведения в линейном
пространстве при преобразованиях симметрии трехмерного
пространства. Проанализируем различие между приводимыми и
неприводимыми представлениями с использованием понятий линейного
пространства. Выбрав несколько различных линейных пространств
размерностей fv f2, ..., fn образуем представление r<a>(Gf),
индуцированное базисами {-ф^)} в .каждом пространстве. Из них
образуем суперматрицу r(G^) = [r(1)(Gi); ...; r<2>(G,)], которая также
является представлением. Следовательно, ему соответствует линей-
ное пространство размерности /= 2 #а/а, образованное из
ИСХОДОВ
71

ных линейных пространств. Базис в этом расширенном пространстве
строится из базисов образующих его пространств
t|)(2>
к
L. 'r _1
Действуя на базис оператором Gi9 получим
гч>;(,г
+;.(1)
1ли.
= 0,
%1)
W
Л'.
= 1\(0<)
ф
_4r)J
Рассмотрим некоторую функцию г|)£а>, подействуем на нее
оператором Gj и разложим по полному базису {ify}, /=1, 2, »«., /:
M£)e2r»«<Gi>*i-
Теперь учтем, что r(Gf)— суперматрица, она имеет нулевые
матричные элементы всюду, кроме квазидиагональных блоков,
поэтому r/fta(G£) равны нулю всюду, кроме блока, к которому
принадлежит i|)<,a>. Это значит, что в образование функции G$w
входят только функции базиса {г|)<а>}:
G« =21^(0,)^= 2 Г'?>.(0,)*}?).
/=1 /'=1 a
Итак, если представление имеет приведенный вид, то
пространство / измерений разбивается на инвариантные подпространства,
размерности которых равны размерностям блоков суперматриц.
При действии операторов G^ базисные функции преобразуются друг
через друга только из каждого подпространства. Если теперь
совершить преобразование подобия с некоторой матрицей А
размерности /, т. е. перейти к эквивалентному представлению r/(G£) =
= АГ((3;)А~1, не имеющему квазидиагонального вида, то это
равносильно переходу к новому базису, в котором при действии
операторов Gt в образовании функции Ог% в общем случае принимают
участие все базисные функции. Отсюда следует, что нахождение
неприводимых представлений означает нахождение инвариантных
72

подпространств, позволяющих получить представление в
приведенном виде.
В заключение запишем преобразование базисных функций для
представления, имеющего приведенный вид, т. е. вид
квазидиагональной матрицы:
= Gt
•*2
1ъ._
=
rr(»(Gj); о : о :~|
6 :г(2)(Ьг): о ;
L о : о : r3(Gj) : J
pi
*i
Li
Оно наглядно поясняет все сказанное о разбиении базиса на
подпространства, инвариантные относительно преобразований
симметрии.
Таким образом, оба метода введения представлений позволяют
указать основные свойства матриц представлений, но с различных
точек зрения, благодаря чему углубляется смысл понятия
представления. Важнейшее значение играют неприводимые представления,
свойства которых отражены в четырех теоремах.
§ 16. Теоремы о свойствах
неприводимых представлений
Как видно из предыдущего параграфа, неприводимые
представления полностью определяют характер преобразований функций,
поэтому нахождение их — важнейшая задача теории представлений.
Для неприводимых представлений существует несколько теорем,
отражающих их свойства.
Теорема 1. Всякое представление неособенными матрицами с
помощью преобразования подобия может быть преобразовано в пред-
ставление унитарными матрицами. Доказательство теоремы опустим^
поскольку с самого начала ввели представление унитарными
матрицами, исходя из условия инвариантности ортонормированного
базиса.
Теорема 2 (лемма Шура). Матрица М, коммутирующая со всеми
матрицами неприводимого представления, является постоянной
диагональной матрицей или нулевой.
Доказательство. Пусть представление Г (G,) неприводимо и для него
существует матрица М, коммутирующая со всеми матрицами Wfy):
Mr(Gf)=r(Gf)M.
Предположим, что матрица М эрмитова: М+=М. Но эрмитову матрицу
преобразованием подобия с некоторой матрицей можно привести к диагональному
виду:
VMV-^d.
Подвергнем теперь преобразованию подобия с матрицей V исходное
равенство
УМГ (G,) V-^Vr (G,) MV-1.
Добавляя между МиГ (Gt) единичную матрицу VVel, запишем
VMV-Wr (G,) V-!=УГ (G/) V-^VMV-1
73

или
агчо/нг'да,)!!.!
где Г'(Gt-)—эквивалентное представление Г' (G,)=vr(G,) V*1. Запишем равен-
ство матричных элементов:
{*ГЧО/)}/А-{Г'№)<!},*
или
I m
Но для диагональной матрицы имеем dj^djfiji, поэтому
(rf//-rfAA)r;ft<G,)-o.i
Предположим, что все диагональные элементы матрицы d различны! djj^dkk
"при /Vfc. В таком случае ryft(G/)=0 при /У=£, т. е. матрица Г' (G,) имеет
диагональный вид и, следовательно, представление Г (G/) приводимо, что
противоречит исходному предположению. Предположим теперь, что различаются
некоторые диагональные элементы dj^d^k лишь при некоторых / и к. В таком случае
матрица Г' (G/) имеет квазидогональный вид и, следовательно, представление
Г (Gj) приводимо.
Таким образом, для неприводимого представления Г' (G/) матрица d имеет
одинаковые матричные элементы djk^djbjk, а матрица d пропорциональна
единичной матрице
d=dE#
Найдем теперь вид матрицы М:
M=V-1dV=dV-1EV=dE=d,
т. е. и матрица М пропорциональна единичной матрице. Итак, доказана теорема
в предположении, что матрица М — эрмитова. Теперь предположим, что М —
неэрмитова матрица. Образуем из М сопряженную матрицу М+, она также
коммутирует со всеми матрицами представления
[МГ (GdJ+^r4- (G/) М+=Г (GJT1) М+-[Г (G/) M]+-M+r^G/)-M+r (Of1),
поскольку элемент Gj~l пробегает всю группу, так же как и элемент G/.
Образуем из М и М+|две матрицы:
Н-М+М+
К-*(М —М+).
Обе матрицы Н и К являются эрмитовыми:
Н+=М+ +М-М+М+=Н,
К + i(M+— M)=i(M — M+) = K.
Поскольку Н и К —эрмитовы и коммутируют с r(G/)f они
пропорциональны единичной матрице К=£Е; Н=/гЕ. Но 2М=Н — *К=ЛЕ — /ffi-(A-ik) E,
т. е. и для произвольной матрицы М теорема доказана.
Из нее следует, что если некоторая матрица М, не
пропорциональная единичной, коммутирует с матрицами представления, то
представление r(Gj) приводимо.
Теорема 3. Пусть два представления Г(1>(б|) и r<2>(Gj) размер-
ности fx и f2 связаны соотношением
r<1>(G,)M=Mr<2>(Gl),
74

где М — прямоугольная матрица с числом строк ft и столбцов f2
Тогда: 1) для неприводимых представлений разной размерности М —
нулевая матрица; 2) для неэквивалентных представлений одинаковой
размерности М — нулевая матрица; 3) для эквивалентных
представлений М — неособенная матрица.
Доказательство. Дано:
r(1)(G;)M=Mr(2)(G;)
для всех элементов группы, поэтому можно записать
r(1)(G-I)M=Mr<2)(G-1).
Подвергнем это равенство операции сопряжения
[г<1)(оГ>)м]+=[мг<2)(ог1)]+
ИЛИ
М+Г-НП (G-^M+r*1' (0,)=:Г(2> (G,)M+.
Учтем, что Г(1) (Gt) = r^1)~"1 (Gt-) = r(1) (GT-1)— представление унитарное. Итак,
имеем
r(1)(G,)M=Mr(2)(Gt-),
M+r(1)(Gt)=r(2)(G/)M+.
Умножим первое равенство справа на М+, а второе слева на М, получим
Г( l) (Gt):MM+ =МГ<2) (G/) М+,
ММ+Г(1) (G/)=Mr<2) (G,) М+.
Из равенства правых частей имеем
Г(l) (G,)MM+ "Ш+Г(1) (G/).
Таким образом, матрица ММ+ коммутирует со всеми матрицами первого
представления r(1)(Gt). Аналогичным образом, умножая первое слева на М+,
второе справа на М, получим
М+МГ(2) (G/) =Г(2) {Gi) M+M,
т. е« М+М коммутирует со всеми матрицами второго представления. Согласно
лемме Шура, матрица MM+ = dE (аналогично M+M = d'E).
Предположим, что /i=/2» в этом случае матрица М — квадратная. Найдем ее
определитель:
detMM+ = detdE = d4
Если (1фОш то М имеет обратную матрицу и, следовательно, можно записать
r(1)(G/)-Mr(2)(Gl)M-S
т. е. представления r(1)(Gt) и r(2)(G,) эквивалентны.
Пусть теперь d=0. Тогда матрица d — нулевая и, следовательно, ММ+—
тоже нулевая матрица:
мм+=о.
Запишем это условие для элементов матрицы:)
{мм+}17==о==2м,7м+=2м,7м;=о.
Полагая /=/, получим
т. е. Мц=0 и, следовательно, матрица М — нулевая.
Таким образом, два утверждения доказаны. Пусть теперь fi=£f2. Построим
из матрицы М квадратную матрицу N добавлением нулей: N = (MO). Соотношения
75

для ЛШ+ остаются справедливыми и для NN+. Следовательно, матрица NN+
коммутирует со всеми матрицами представления r(2)(G;), поэтому она
диагональная с одинаковыми элементами по диагонали, т. е. она нулевая матрица; отсюда
«следует, что и М — нулевая матрица.
Два различных неприводимых представления, одинаковой или
•разной размерности, могут быть связаны только нулевыми
матрицами. Если исключить нулевые матрицы из рассмотрения, то можно
утверждать, что различные неприводимые представления не могут
быть связаны друг с другом.
Теорема 4. Матричные элементы неприводимых представлений
образуют в пространстве элементов группы систему
ортогональных векторов длиной Л/ —.
Доказательство. Образуем матрицу М следующим образом:
M=.Sr<a>(Gf1)Yr<M(G/)>
где Y — произвольная прямоугольная матрица с числом строк /р и столбцов /а.
Поскольку сумма берется по всем элементам группы, сдвиг по группе матрицы Л1
не изменит, поэтому можем записать
м=2 r<a> (Qjlorl) vr(p) (G*Gt).
°/
Умножим исходную матрицу слева на r*a'(G^ ):
Г«*> (G^1) M=2 Г<а) (GJ1) Г<а> (Of1) Yr<W(G/).
*
Добавим единичный множитель Г(Р) (G*) Г(Р) (G^1) в каждый член суммы!
Г<а> (G71)M=S ^(G^1) ^(G-^YrW (G,)r<» (G*) Г<Р>(о£) =
°i
=2 rWfG^Gf1) УГ<« (Oft)r<W (0^)=МГ«» (G^1).
°i
Итак, имеем
Г«а>(071)М-МГ^(0]Г1).
На основании предыдущей теоремы можем сказать, что М —нулевая матрица
для различных неприводимых представлений либо она пропорциональна единич-J
ной матрице для одинаковых представлений. Рассмотрим обе возможности: *
а) различные представления аф$. В этом случае М —нулевая матрица, и
можем записать для произвольного элемента \i, k |
лу=°- I
Для 'удобства дальнейшего изложения первый индекс обозначен греческой]
буквой, второй —латинскими. Подставляя выражение для М, запишем
^rJ})(Gr»)yyir«)№)-o. j
г-_,. _ ж вольная, поэтому выберем Y так, чтобы только один ее
элемент был равен 1, а остальные положим равными нулю. Пусть единичным
76 I

элемент имеет индексы vr: Yvr=l. В таком случае после суммирования по всем
элементам матрицы Y получим
ггдесогч^сед-о
или
2 4°)*(О4)Г<|)(О,)=0.
б) одинаковые представления а=р. Для них матрица М пропорциональна
единичной матрице: М=<Ж и МдЛ=с?6дй.
Выбирая матрицу Y в виде, аналогичном предыдущему, получим
Sr{s>(or1)rJjS>(Ql)-rfeja,
Чтобы найти d, положим \i—k, просуммируем по ц; левая часть дает
22 r$(or1) г(»>(ед=22 r<«)(Gt) г^(оГ')=2 г(;)(о£оГ')=^;
для правой части получим
м-
т. е.
^rv=dfa
или
'а
Подставляя найденное значение dt получим
2Г^)(0Г1)ГЙ)(0|)=^-б^,.
О* /a
Объединим оба условия и запишем
2 Гйа) (G,) ГД} (G,) = -f 6ap6vr6^.
Это условие показывает, что матричные элементы неприводимых
представлений, рассматриваемые в пространстве элементов группы,
образуют систему ортогональных векторов. Ортогональность
выполняется по строкам v, г, столбцам \i, k и представлениям а, р.
При а=Р, v=r и \i=k получим
2Г^-(0|)Г^(0,)=2|Г^(0,)
= £/fa,
т. е. длина вектора в пространстве элементов группы равна У glfa.
Если умножить матричные элементы на Уfa/g, то можно записать
условие их ортогональности в виде
2 Vfa/g rC£a)-(Gf) r<ftP) (Gf) Vffi/g=6a^vr6lik.
77

Просуммируем эти равенства пв индексам, т. е. найдем
2 2 2 2 2 2 SapSvrfin*=2 *<#' 2 вw 2 *W=
а р v г 11 Л ар у=\ д=1
= SMa/p =2/2-
ар а
Обозначим число неприводимых представлений группы г, тогда~<х
меняется от 1 до г. По своему смыслу 2 /а есть число матричных
a=l
элементов всех неприводимых представлений. Кроме того, матричные
элементы неприводимых представлений в пространстве элементов
группы образуют систему ортогональных векторов, размерность
этого пространства есть порядок группы g, поэтому можем записать
a=lj
Это очень важное соотношение позволяет находить размерности
неприводимых представлений при известном их числе г. Однако
следует заметить, что более обоснованным является соотношение
a=l
т. е. число векторов не превосходит размерности пространства«
К этому вопросу вернемся позже.
§ 17. Ортогональность характеров
неприводимых представлений*
Из ортогональности матричных элементов неприводимых
представлений вытекают соотношения ортогональности характеров
элементов групп. Для этого в основном соотношении
S Г$' (О,) Г8> (G,)=X 6оЭбгА*
i /a
положим v=|i, r = k и просуммируем по \х и k:
2 2 r{la^(G,)r^)(GI.)=2x(a)*(G,)x^(G,)=
Gt. Ц, к G.
= -f- 2 ЙарбдЛ6дЛ = — fiap 2 вulul = -f" S<*p/a = gfSap.
?/а **• k 'a V /а
Таким образом, характеры элементов удовлетворяют условию
ортогональности по различным неприводимым представлениям:
2х(а)*(0,)^РЧ0,)=^ар.
Длина вектора равна У g. При a=fJ
2lx(a)(Gf)l2=g.
78

Теперь вспомним, что характеры элементов одного класса
одинаковы. Пусть число классов в группе г, число элементов в классе Сг
равно plf в таком случае сумму по элементам группы можно свести
к сумме по классам:
2 х(а)' (с,)д(Р> (о,)=2 р,зс(а)' (с,) х<р> (Q-
Перепишем это^условие в другом виде:
V |/"в Х(«). (С|) Х(Р) (с,) j/" *-в«,
т. е. величины Ip*/g%(P)(Q) можно рассматривать как ортонорми-
рованные векторы в пространстве классов. Число классов в группе
г, следовательно, размерность пространства классов есть г. Но в
пространстве г измерений не может быть более г линейно
независимых, или ортогональных, векторов. А это означает, что число
неприводимых представлений группы равно числу классов группы. (Как и
в предыдущем случае, более точно следует утверждать, что число
неприводимых представлений группы не превосходит числа классов.)
Таким образом, число классов определяет число неприводимых
представлений, а вместе с тем и их размерность:
где г—число классов группы.
Для абелевой группы число классов равно порядку группы,
поэтому из условия
следует, что абелева группа имеет только одномерные
представления: fa=l при любом а.
Группа тетраэдра Т имеет 12 элементов и 4 класса,
следовательно, можем записать для нее 12=fl+fl+fl+fl- Единственно
возможным решением является /lS=fs.= fj = l и f*=3.
Таким же образом прямым подбором можно найти, что для групп
Td или О, имеющих 24 элемента и 5 классов, возможны два
одномерных, одно двумерное и два трехмерных представления:
24=12+12+22+32+32.
79

^Ортогональность характеров позволяет разложить приводимое
представление на неприводимые. Действительно, пусть некоторое
представление T(Gt) приводимо и его можно записать в виде
Г(0г) = 71ааГ<°)[(Сг).
а
Для характеров элементов имеем
X(Gt)-y.fleX(e)(G,).
Fa
Умножим это соотношение на %(р)*(£*)> просуммируем по
элементам группы и с учетом ортогональности характеров неприводимых
представлений получим
G. fa G. ' а
т. е.
aa=-L5!xCe)*(G|)a(Gf).
Таким образом, для нахождения состава приводимого
представления, т. е. чисел аа, необходимо знать характеры элементов во
всех неприводимых представлениях и характеры элементов в данном,
анализируемом, представлении. Характеры элементов неприводимых
представлений для большинства групп известны, они изображаются
в виде таблиц характеров, в которых указаны'классы группы,
неприводимые представления и сами характеры. Примеры таблиц
характеров будут приведены дальше.
В заключение рассмотрим так называемое регулярное
представление. Оно строится следующим образом. Предположим, что
существует некоторая функция г|)п, из которой можно получить g
ортогональных функций действием на нее операторов Gt из группы G,
т. е. функции
образуют базис представления размерности f=g:
^m(Gft)=f%#G^mdr, /,m = l, ..., ga
Рассмотрим матричные элементы единичного элемента Е группы G:)
Т1т (Е)= \ Ч>;ЕяМт=J Ф/Ч»**=81т= I (GA)* (ОЛ) dx=(г]>„ +J. I
Характер единичного элемента равен порядку группы, как и в]
любом другом представлении:
X(E) = S bn = g. |
1=1 j
Теперь найдем характер произвольного элемента"Gft. Для этого!
вычислим диагональные элементы его матрицы представления: |
Г/у (Gk)= J VlGtfidx=J *jQkGMh=$ ^V*=0, j
BO I

так как GfeG/=Gr^G/, если Gh Ф Е. Таким образом, диагональные
элементы матрицы представлений любого элемента, кроме
единичного, равны нулю или в регулярном представлении %(E)=g и 5c(Gft)=0
при Gfc=^E. Разложим регулярное представление на неприводимые:
Г(0Л)=ЯааГ<«>(0Л)
a
И
(О при Gh Ф £,
Найдем теперь числа аа:
aa= — Sx(a)*(G,)5C(G,) = -X(a)-(E)x(E) = -ffaff=fa=f:.
g Gi' g g
При нахождении чисел a было учтено, что в регулярном
представлении характер любого элемента, кроме единичного, равен нулю,
поэтому из всей суммы по элементам группы остается только
единичный элемент. Итак, в регулярном представлении каждое
неприводимое представление а встречается fa раз, т. е. одномерные
представления входят один раз, двумерные — дважды, трехмерные —
трижды и т. д.
Выразим теперь характер единичного элемента, учитывая, что
Х(Е)= S OaX(a)(E)= S Га!а=У- fl = g,
a= 1 a= 1 a= 1
т. е. знак < должен быть опущен. Аналогичным образом можно
доказать, что характеры неприводимых представлений в
пространстве классов образуют полную систему векторов, поэтому число
неприводимых представлений~в точности равно числу классов.
FS 18. Характеры неприводимых представлений циклических групп.
Точечные группы
г
Условие У. fa=g для абелевых, а тем самым и для циклических
групп означает, что все неприводимые представления одномерны, а
их число равно порядку группы, поскольку каждый элемент абеле-
ной группы образует свой собственный, одномерный, класс. Так
как матрицы неприводимых представлений одномерны, то характеры
элементов просто совпадают с самими представлениями. Найдем
характеры, а тем самым и представления циклической группы G
порядка #: А, А2, ..., Ае=Е. Каждый элемент At = Al образует класс
Ci9 состоящий только из элемента Аг.
Рассмотрим произведение двух классов Сг и Су: СгС]9 разложим
произведение двух классов по классам группы G:
CtCj^ T' hijhCh= 5 htjhCk.
(» Киреев П. С.
81

Для циклической группы числа ftf/ft находятся элементарно
и, следовательно, hijk=6k,i+h
Нахождение чисел \г{\к для произвольной группы проводится
анализом состава произведения классов С% и Су, т. е. попарных
произведений элементов из С% и Су Зная числа кцк, можно найти
уравнения, связывающие характеры элементов для некоторого
представления, например, неприводимого Г<а>. Действительно, если число
элементов в классах С% и Cj равно pt и р/, то для Cfij можно
записать р*5С(а) (Ct) рд(а) (Cj) и, следовательно, имеем равенство
рл(в) (Ci) рд(0) (С/)=2 л,,«рл(в> (Q /а.
/г
(Это соотношение может быть доказано строго.)
Числа hiJk, pit pj9 ph известны, неизвестными являются толью
характеры неприводимых представлений %{a)(Ch)9 их г, а число
уравнений может быть значительно больше, например г (г—1). Выбра)
из них г уравнений, можем найти г неизвестных характеров.
Применим эти общие соотношения к циклическим группам. Обо-Л
значим характер элемента Л через со: %(а)(Л)=а)а. Согласно полу-]
ченному выше соотношению запишем
х(а)(Л.)х(а)(Д.) = б,жХ(а)(Л)
ИЛИ
%w (Л) Х(а> (д/)=a*. i+a(a){Ak)-
Полагая, например, t=l, /=1, получим
%w (A) x<*> (i4)-{xCe> (Л)}2=Х(а) (А2),
откуда следует общее соотношение
х<в>И*)={х(в)(Л)}*-«Й,
в том числе и а£=%(А*) = %(Е)=1.
Следовательно,
0)а = ]/ 1.
Это уравнение имеет £ различных решений. Выразим единицу
виде е'2яа, где а — целое число. Получим
*2яа
соа=е g .
Очевидно, что мы имеем только g различных корней (оа:
12л i2it
<*i=eg у ®2=е g =cof, ..., (0^=1,
любые другие значения а дают один из указанных корней. Действ
вительно, взяв a=g+P, где Р<#, получим
i2na *2л , . a. /2яЭ
coa=e g =e g =e/2jte * = lcop .
82

Таким образом, для элемента А
i2na
найдены g различных
характеров: соа=е ё , а=1, 2, ..., g. Но поскольку характеры всех
элементов циклической группы можно выразить через характер
элемента Д тем самым характеры всех элементов во всех неприводимых
представлениях найдены:
X(a)(i4/)=x(a)(A0e{X(e>H)V=®i-=e g i Ja=1' 2» •••» #
Тем самым найдены в явном виде все g неприводимых представ-
лений циклической группы: 5
. 2jt .
r«*>(G/)=e g .
Таблицу характеров образуют величины ю£. Рассмотрим на^этом
примере теоремы ортогональности характеров и элементов матриц
представлений. Для характеров можем записать
g
Я
x(a)-(G.)x<P)(G/)=
а, /=1
<£»-«>/
1-е
2rt (P —a)
1-е
, 2я(р —a)
g
по*/ равна нулю, так как el2jt (P —«) = 1, но
ма
При Р Ф а сумма
, 2я(Р-а)
g ф\. При Р = а под знаком суммы стоят единицы, и сум-
равна g, т. е. теоремы ортогональности выполнены.
Таблица 16
Таблица характеров
неприводимых
представлений[группы С±
Составим таблицы характеров неприводимых представлений
циклических групп. Для представлений часто используют различные
обозначения, например для одномерных
представлений используют буквы А к В с
различными индексами, для двумерных —
()\квутгЕ, для трехмерных — F,
представления большей размерности практически не
истречаются. Таблица характеров содержит
обозначение группы в левом верхнем углу,
состав группы по классам — в верхней пра-
|н»й строке, обозначения . представлений —
it левом столбце; сами характеры находятся
ил пересечении строки — представления и
полбца — класса. Другими словами, строки
таблицы содержат характеры всех классов
п одном представлении, а столбцы — характеры одного и того же
класса во всех неприводимых представлениях.
г<!>=Л
1
I.'
83

Простейшей группой является группа Е или Cv Она состоит из
одного элемента Е, имеет одно неприводимое
представление—единичное (табл. 16).
Группа второго порядка может быть реализована как цикл
элемента А: А; А2=Е. Ей изоморфны группы Ct: iy i2=E; Cs: a, o2=E;\
C2: C2; C\=E, efJt= —1, ei2n=l и др. Элемент А имеет характеры
2я-0 2Я-2 . 2rt
е 2=е 2 =1 ие 2=е'я=—1. Элемент Е имеет характеры 12=1
и (—1)2= 1. Характеры группы второго порядка приведены в табл. 17J
Таблица 17 '
Таблица характеров неприводимых
представлении групп второго порядка
с,
г<2)=л
г<1>=в
с,
Аг
Аг
Ci
Ае
Аи
Е
Е
Е
1
1
С2
а
i
1
—1
Два неприводимых представления Г*2* и Г(1) группы второго по
рядка обозначены по-разному для разных групп. Группу третьей
порядка можно реализовать как группу поворотов на 120°, т. d
группу С3. Она имеет три одномерных представления, характер эле
мента С3 есть соа=е 3 во всех трех представлениях. Характера
группы третьего порядка приведены в табл. 18. |
Таблица 18
Таблица характеров неприводимых
представлений группы С3
Сг
Г<3>=Л1=Л
Г(,)=^ U
г<2>=л3 Г£
Е С3 С3
1 1 1
1 (0 Ю2
1 (О2 (D
Представления Г(1) и Г(2> являются комплексно-сопряженными
так как ©2=©8~"1=ог"1 = е 3 =е 3=со*. Поэтому представлена
Г(П и Г<2) объединяют условно в одно двумерное представление В
84

Группу четвертого порядка Л4=£ можно реализовать, например,
в виде циклов i, C4 или S4. Характер элемента А имеет вид
е 4 =ia в четырех неприводимых представлениях, а характер
элемента А/ соответственно равен iaj\ Таблицу характеров можно
записать в виде табл. 19.
Таблица 19
Таблица характеров неприводимых
представлений групп С4 и S4
с/
54
Г<4>=Л
Г<2> = В
Г(1)}-£
Г(3) ]-*
Е
Е
1
1
1
1
с4
54
1
—1
i
—i
с*
с*
1
1
—1
—1
с$
s?
1
—1
—i
i
В качестве последнего примера рассмотрим группу Св. Таблицу
. 2яа . яа
характеров можно построить из элемента соа=о)а=е 6=е 3
{табл. 20).
Таблица 20
Таблица характеров неприводимых представлений
группы Сб
св |
г<6>=л
Г<2)1-£
Г(4)|-£1
Г(1)}-£
г(5)|-^2
£
св
1
—1
©2
—©
©
—©2
С3
1
1
— ©
©2
©2
—©
с,
1
г2
1
1
©2
—©
—©
©2
с5
1
—1
—©
©2
—©2
©
При проверке теорем ортогональности необходимо иметь в виду,
2Л
6 =со5=—со2 и со2* = —со.
— / —
что ю* = е
§ 19. Прямое произведение представлений
При изучении абстрактных групп было введено понятие прямого
произведения групп. Представление группы есть группа матриц,
гомоморфная данной группе, поэтому можно применить понятие
85

прямого произведения групп к группе матриц, но для этого необ-j
ходимо ввести понятие прямого произведения матриц. Однако естестг!
веннее ввести понятие прямого произведения представлений, исполь-ч
зуя базис представления. J
Пусть будут два представления T(1)(Gf) и r(2)(Gj) группы G раз-1
мерности fx и /2, идуцируемые базисами {a|?ft} и {ф/}: I
"rm^G^J^G^d?
и
Образуем fj2 попарных произведений базисных функций]
•фА (г) Ф/(г7). Покажем, что с их помощью можно построить предн
ставление группы. Для этого подействуем оператором Gt на
^(?)Ф/(?): _ _ _ 1
G,*fc (F) Ф/ (r')=^ft (G,7) Ф/ (0{г') =
=2г^>(сг)^(Г)2г^(ог)Фт(г')=
=2г|А1)'(Сг)Г^(С1.)^(7)Фт(?).
lm a
Введем обозначение для произведения матричных элементов 1
TIP (Gf) Г# (G,)=ri^|} (Gf)=r/m, ki (G,).
Элементы r/m,fc/(G£) позволяют записать разложение 'произведений
преобразованных базисных функций по исходным произведениям ба-j
зисных функций J
Gt% (F) Ф/ (?) = У. Гш9 ki (Gf) ф, (F) Фт (?). j
Но это означает* что матрицы {Г/т,*/(С^)} образуют представлен
ние, идуцируемое базисом {%(г)ф/(?)1* Базисные функции %(г)1
и ф/ (г') при этом следует рассматривать как функции, заданные а
своих конфигурационных пространствах, что и отражено в обознан
чениях аргументов г и г'. Эти новые базисные функции ортогональна
ны, действительно, j
J ^ (F) Ф; (?) ^ (F) Фта (?) d%dx'=bMbim.
Матричный элемент вычисляется независимо по г и г':
Г/m. */(G;)= J I?/ (F) фт (?) G^fc (F) ф/ (?) dtdt' = j
- J *i (0 4>A (G,F) dx J Ф; (?1 Ф/ (G,?) dt' = j
=J *; (F) o^fc (F) dt J Ф; (?) о,фу (?) dxf = j
= r|i)(G,)rm/(Gi). j

Матрица с двумя парами индексов у элементов квадратная, с
числом строк (и столбцов) /=/if2» число ее элементов f*=f\f\.
Матрица, образованная из попарных произведений элементов двух
матриц, называется прямым произведением матриц. Для примера
рассмотрим прямое произведение двух двухрядных матриц
А=(°»Ч и В = (6"&1
W <W \621 &22/
Образуем их прямое произведение!
C=AxB=(ai1 Mx
\^а21 #22
'апЬп апЬ12 а12Ьг1 а12Ь12
^11^21 ^11^22 ^12^21 ^12^22
a21bn a21b12 a22b±1 a22b12
^#21У21 ^21У22 ^22^21 #22^22(
Последний член этой цепи равенств показывает, что прямое
произведение двух матриц можно представить в виде блоков, состоящих
из матричных элементов первого сомножителя и матрицы второго
сомножителя. Таким образом, матричные элементы Г/т, ^(G^)
образуют матрицу Г, являющуюся прямым произведением матриц
представления Г*1* и Г<2):
Г(0,) = Г<П(0,)хГ(->)(Ог).
Диагональные элементы прямого произведения имеют вид
l^,/m(G,) = r|/)(^)r2i(Gi). Найдем след матрицы Г = Г<'>ХГ<2>:
SpT = 2 Г/т,/т(0,)=2 Г|/)(0,)Г^(0,)=
/» т I, m
= 2 Г{/ > (Ог) 2 Т1Л (G,) = Sp Г< 1 > (G,) Sp Г**) (G,)
или
при
X(G,)=X(1)(G,)X(2)(G,) = (X(1)XX(2))(^)
r(G,) = rn>(G,)xr<2>(G,),
г. е. л/?а прямом произведении представлений характеры элементов
перемножаются. Однако еще следует показать, что прямое
произведение представлений есть представление и найти закон умножения
матриц — прямых произведений. Для этого рассмотрим действие двух
операторов GzGj на ijypy:
т, п тп* п
= 2 г»>*(о|)г<?)(о,)21 г$(с,)г<*ЧО/)1ург=
т. л р, g
87

-2(2 С «у гЦ» (сг) гй (<у r<f «у) *л-
-2 (2 С «у г^ (cf)) (2 г<? (со rtf» (о,Л v,-
=2 г$(ОДг<?>(ад)%Ф*=2 rw.w(OA)*pip,.
p. a p» а
Из этой длинной цепи преобразований видно, что прямое произ
ведение представлений есть представление группы, так как выполни
ется основное условие
Г (0,0,).= Г (G,) Г (G,).
При этом матрицы прямого произведения перемножаются по^за
кону
= {r(D(Gz)xr(2)(G/)}{r<1)(Gi)xr2(G,)}, J
т. е. матрицы элементов группы одного и того же представление
перемножаются по обычному правилу матричного умножения «стра
ка на столбец», а матрицы разных представлений — по правилу пр^
мого произведения матриц, а в соотношении
Г(С/С)=Г(С;)Г(Ог)
имеется в виду «обычное» матричное умножение «строка на столбец»]
Действительно,
Гя.*/(0/0|)-{Г(0/)Г(0|)}я. W- 2 Г№ят(0/)Гят.4/(0|) =
п, т
= 2 Г# (О,) Г$ (О,)ГЦ' (Gf) Г<?/ (G,)-
tit m
= (2 Г# (О,) Г< У (G,)) (2 Г&> (Ог) Г<?/ (G,)) = Г<1> (0,0,) Г<?> (0,0,).
Итак, мы нашли еще один способ конструирования представле]
ний группы—в виде прямого произведения двух представлений.
Рассмотрим приводимость прямого произведения представлений!
Предположим, что группа G имеет два различных неприводимы:
представления r<a>(Gf) и Г<Р>(ОД из которых образуем представл^
ние r(Gl.) = r((XMGi)xr^)(Gi) размерности f=fafp . Если, например!
/a = fЭ =^= 1 и представления Г*а> и Г(Р> являются представлениям!
наибольшей размерности, то представление Г(а)хГ(Р) имеет размер]
НОСТЬ fa > fа И ОНО ДОЛЖНО бЫТЬ ПРИВОДИМЫМ.
С другой стороны, если, например, Г(а) есть единичное представ!
ление, то прямое произведение неприводимых представлений естя
неприводимое представление. В общем случае вопрос о приводимости
решается на*'1'основе соотношений ортогональности характеров, |
88

именно, разложим прямое произведение неприводимых
представлений Г(а)(Ог)хГ(Р) (G^) по неприводимым представлениям r^)(Gf):
Г (G,) = ГЮ (G,) X Г(Р> (G,)=2aajWГ<*> (G,).
При этом
X (О,) = x(a) (G,) х»> (О,) = 2 аарб Х(6) (О,).
б
Для коэффициентов разложения аарб имеем
««ре = v 2 Х*(б) (О,) X(a) (G,) Х(Р) (О,).
Если аа$ь при фиксированных аир равны нулю для всех б Ф б'
и я<хрб' = 1, то прямое произведение неприводимых представлений
ость представление неприводимое; в противном случае оно
приводимо.
Было рассмотрено прямое произведение двух представлений
l1(I>(Gt.) и r(2)(Gf). Очевидно, можно рассмотреть прямое произведе-
пие^любого числа представлений
ir(G<) = rcn(G|)Xr<2)(G,)x ••• xr^CG,).
Полученное представление имеет размерность f=fj2 ••• /л» оно
обеспечивает преобразование произведения п базисных функций
W№ ..!#'.
Характер элемента для прямого произведения п представлений
равен произведению характеров
х(0,)=Пх(/)(0,)=(х^)хх(2)х •-. хх(л))(ог).
В качестве сомножителей можно взять одинаковые
представления, т. е., другими словами, можно взять прямое произведение
представления самого на себя r(Gj) = r('> (Gf)xT(/) (G^). Для него
базисом является произведение (попарное) базисных функций 1|эдр/,
причем фл=^, однако функции tyh и яру должны быть записаны для
независимых аргументов г и г'. Это представление имеет
размерность //. Оно может быть разложено на два представления
меньших размерностей, называемых симметричным и антисимметричным
произведением. Из / базисных функций можно образовать /2 парных
произведений, в свою очередь из пар ijyp;- можно образовать
симметричные]
Ф*Ф/+Ф/Ф*!
и антисимметричные
*аФ/— Ф/Фа
комбинации. Очевидно, что число симметричных комбинаций
больше числа антисимметричных комбинаций, поскольку в первом
случае возможны случаи & = /, во втором они исключаются.
89

Число^симметричных комбинаций равно '"+ ', антисимметрич!
ных ' '~ , общее число равно
Найдем матричные элементы операторов С/, используя симметричные и анти
симметричные комбинации базисных функций:
Г/т, kj №)=]* (ф/Фф«±*йф/) ^ (1>АФ;±1>/Фл) <*Т<*т' =
-Г,т, */±Г/т, /*±Гт/, kl+Tmit ik-=TlkTmf±TljTmk±TmkTiI-\-TmjTlk=
=2(Т1кТт1±ГиТтк)=2(Г1т, ki±?lm, jk)=2(Tim9kj±Tmi,kj).
По сравнению с прямым произведением, определяемым матричным элементоЛ
Г/m, л/^Г/^Гт^, в найденном матричном элементе каждый член встречается четы!
режды. Поэтому симметричное и антисимметричное прямое произведение* следуё^|
определить матричным элементом
ТШ, W-J-J (+/фА±+АфГ) Gi (+*Ф/±ФуФ]к) dzdT' = Y [Г/m, */±Гш/, */).
Характер симметричного прямого произведения принято обозначать в виде [X2] (G/)J
мы на идем его, положив в Г^р kj-\ /=A; m=/ и суммируя по / и т:
[X2] (G,) =2 Ttm. lm (G/)=V 2 (Г//Гтт+Гт/Г/т)—^- X (С,) X (G,) +
/, т z /, m ^
+-5-x(q?)—з-[*(ОД+х(Ч?)]-
Характер антисимметричного прямого произведения принято обозначать i
виде {X2} (Ф), его найдем, положив в r^t kj\ l=k, m=j и суммируя'^ по / и mi
{Х2}(С/)=Д" 2 (Г/т7/т№)-Гш^/т) = 4- 2 (Г//(С/)Гтт(С,)-
^5 /,т ^ /,т
- Гт/ (G/) Г/т (G,))=Y ** №/) "I" * (СЛ-
Заметим ,г что
[X2](G/)+{%2}(G/)=X2(G/).
Таким образом, прямое произведение представления самого на себя можн!
разложить на симметричное и антисимметричное прямые произведения. В своЛ
очередь*они могут быть приводимыми.
§ 20. Неприводимые представления прямого
произведения групп
Прямое произведение групп определено и рассмотрено в § Я
первой главы. Там показано, что порядок группы G=GMxGW=4
= G(2)xGn) равен g=£ig2> а число классов г=/у2, где гх и г2-4
числа классов в группах G^> и G<2>. Отсюда следует, что числ!
90 1

неприводимых представлений ^прямого произведения групп равно про
изведению чисел неприводимых представлений групп сомножителей.
Для размерностей fy неприводимых представлений группы G можно
записать
i ft2- £/■-*-**-( 2 /г) Г± /г)=
Y=l Y=l \а=1 / \р-1 /
Эти соотношения позволяют записать fy=faf&, т. е. размерности
неприводимых представлений группы G=G^l>xG^ равны
произведению размерностей групп G^> и G<2>. Пусть Г*1* и Г<2> есть
представления групп G*1) и G<2>. Образуем прямое произведение групп
матриц Г*1) и Г<2>: Г = Г(1>хГ(2) = П2>хГ<1>. Покажем, что Г
образует представление прямого произведения групп. Действительно,
пусть заданы r<1>(G/1)) и Г<2) (G}2)), удовлетворяющие условию
представления:
г(1)(о!1)оЦ1))=г(п(0/(1))г(п(о^1));
r(2)(GJ2)G|2)) = r(2)(Gj2))r(2)(G{2)).
Образуем прямое произведение
П«)(0}1)011))хГ(2)(012)0Р>)=Г(1)(0Р))Г(п(0]к,>)х
ХГ(») (G}2)) Г(« (СР>) = {Г<») (О)1*) хГ<»> (о}2))} х
х{г<»(о1,))хп2)(сГ))).
При написании этой цепи равенств воспользовались правилом
умножения матриц. Теперь учтем следующее. Прямое произведение групп
G = G(i)xG(2> означает замкнутое множество пар вида G\X)G)2) или
Произведение этих пар есть пара
Gi1)G)2)Gy)Gi2)=G|1)Gi,)GJ2)G}2)=G'l1)G<2),
где
G^-GiW; G<2) = GJ2>GJ2>.
Обозначив
r(G{,)G}S))-r(I)(Q}I))xr(2)(G}2))>
Г(0^1)012)) = Г(1)(0У>)хГ(2)(012>)
запишем
r(G},)GHr(OiI)G}2)) = {r(,)(Gi1»)xr(2)(G}I)))x
Х{Г(,>(0У))ХГ(2)(0{2))}=Г(,)(0|1>)Г(,)(0У))Х
91

xr(2)(G)2))r(2)(Gi2))=r(1)(G!,)G(ft1))xr(2)(G}2)G}2)) =
=Г(,) (G<*>) хГ(2) (С<»2)) = Г (Q}I)G}s,Gl,,Q}2>).
Таким образом, доказано, что прямое произведение представлен
ний двух групп есть представление прямого произведения этиЖ
групп, т. е. если G=GwxG{2\ то Г (от8)) = Г(1) (0|,))хГ(2)(С^)
При проведении доказательства не было ограничений на вид)
представления. Характеры элементов прямого произведения rpynrt
равны произведению характеров элементов групп сомножителей:
x(Gl1)Gi2»)=2r№P9(G|1)Gn =
р, q
= 2 г<}> (о!11) S г<2) (oi»>)- *(1) (сГО х(2) да.
р=1 <7=1
Образуем теперь прямое произведение неприводимых представле-ij
ний групп G(1) и G(2). Оно является представлением прямого
произведения групп. Проверим, является ли оно неприводимым
представлением. Для этого воспользуемся теоремой ортогональности
матричных элементов неприводимых представлений. Рассмотрим два]
элемента
гида») r»W)-rS£J (g^gP),
fra[(Gi1))r<f'2>*l(G/2') = r^?2)*(G!1>G^).
Перемножая их и суммируя по элементам G|1)GJ2) группь^
G=G{l)xG{2\ получим
2 rl4s^)^Gi1>G}2>)r^^UGi1)G^2>) =
= 2 г^1)Чо11))гГ2)Чо)2)№>(оГ>)гГ(о}2)) =
о{!>о7(2)
о}1}о}2)
/а /р /а /р
Таким образом, доказано, что неприводимые представления пря\
мого произведения групп есть прямое произведение неприводимым
представлений групп сомножителей. Таблицу характеров неприво!
димых представлений прямого произведения легко найти, зная таЫ
лицу характеров исходных групп и учитывая, что характеры эле«|
ментов перемножаются.
92

Рассмотрим некоторые примеры. Группу Cnh можно представить
в виде прямого произведения групп Сп и Cs: Cnh=CnxCSJ таблицы
характеров которых были найдены в предыдущем параграфе.
Группа Cs имеет два неприводимых представления с характерами
Cs
А'
А"
Е
1
1
(У
1
—1
Характеры неприводимых представлений группы Сп есть корни
2я
Перемножая характеры групп Cs и Сл, найдем
из единицы: е
таблицу характеров группы Cnh.
Простейший случай соответствует п=2.
состоит из четырех элементов Е, С2, oh, C2ah = i
^2h~ ^2XW
записать также в виде C2h=C2xCi. Учитывая, что
Группа о2Л-о2
Эту группу можно
с2
А
В
Е
1
1
с2
1
—1
Q
1 1
1 —1
найдем характеры неприводимых представлений группьГС2/1 (табл. 21).
Таблица 21
Таблица
С2ХС,у
АА'
АА"
ВА'
В А"
характеров неприводимых
C2xCt
AAR
AAl
BAU
BAg
группы C2h
E
E
1
1
1
1
c2
c2
1
1
— 1
— 1
представлений
a C2o
C2i i
1 1
-1 —1
1 —1
—1 1
Аналогичным образом могут быть построены таблицы характеров
других прямых произведений групп. Обратим внимание, что
таблицы характеров групп Сал и С4 неодинаковы. Это находится в соот-
тугствии с тем, что группы не изоморфны.
§ 21. Характеры неприводимых представлений
группы трансляций
Группу трансляций
введение трех групп,
Т(п) надо рассматривать как прямое про-
соответствующих трансляциям вдоль трех
ил правлении а2, а2 и а3:
Т (п)=Т (пхаг) X Т (Ai2a2) х Т (/г3а3),
93

поэтому неприводимые представления группы Т (п) записываем в виде]
прямого произведения неприводимых представлений групп T(nfy)\
Но группы Т(я/ау) — группы циклические:
Т(л/а/ЫТ.(а/)Г'
порядков Nji [T(&i)]NJ=E. ^Следовательно, неприводимые представ]
ления группы fcT(nyay) можно записать в виде
' — "Л
Г(а^ (Т(луау))=е "' , где а; = 1, 2, . . ., Nj9
всего получим Nj одномерных неприводимых представлений. Дл^
группы Т(п) записываем
Г (Т (n)) = e V N* N* *Nt ' =% (T (n)).
Введем более краткое обозначение для неприводимых представ!
лений группы трансляции. Для этого используем понятие обратной
решетки, определяемой базисом bl9 ba, b3, котррый строится н{
основе базиса а±, а2, а3 следующим образом:
Ь__ [a^asl . l _ [asai] . « _
i""/—г 77"' 2~~;—; 77» °з~~'
[aia2]
(ai [а2а8]) (а2 [а^]) (asla^])
В знаменателе стоит величина, равная объему элементарно]
ячейки, построенной на базисе ах, ag, a3:
Va=(*i [a2a3]) = (a2 [a3ai])=(a3 [a^]).
Базисы прямой и обратной решеток ортогональны. Действи!
тел ь но,
(а.Ьу) = ^[^1) = б//,
V " (ах [а2а3]) ф
поскольку при i=/ кФ1ф\ и (а/[а^]) = Ка, а при i Ф j либо k=tl
либо / = /, но в таком случае в смешанном произведении два вею
тора одинаковы, и смешанное произведение равно нулю, например]
(а/[ала/])^(ал[а/а/])=0.
Таким образом, базисы прямой и обратной решеток взаимна
ортогональны. Это справедливо для любых решеток. Объем ячейки|
построенной на базисе blf b2, b3, Vb:
n=(b![bab3])
можно выразить через объем ячейки прямой решетки Va:
n=(bi [b2b3]) = (bi [b2 [aia2]/Fa]) =
= 1IVa (Ъ1г ах (b2a2) - a2 (b2ai)) = 1 /Va (bA) = 1 /Va
или
VaV„=l.
Вектор b = /1b1+/2b2+/3b3, где ll9 /2, l3 — произвольные цель»
числа, определяет узлы обратной рещетки, его можно рассматриват|
94
*

как вектор трансляции в пространстве обратной решетки. Введем
теперь вектор* к в обратном пространстве:
к^г^^+^Ь.+^Ьз), a/-0f 1, Л., Nf.
Условия, накладываемые на а/, определяют точки некоторого
объема в обратном пространстве, лежащего между ближайшими
узлами обратной решетки. К определению формы этой области
обратного пространства вернемся позже. Рассмотрим теперь
скалярное произведение4'векторов кип:
\/=1 (=1 ) /=1
Это означает, что неприводимые [представления группы
трансляций можно записать в виде
f(;T(n)) = el1(kn).
Чиело неприводимых представлений равно порядку группы
трансляций ^JVxMjMj. Вектор к имеет размерность обратной длины,
поэтому его называют волновым, вектором. Базисные функции группы
трансляций преобразуются по представлению волнового вектора к:
Т (п) ^(г) = г|)(г+п)=е^(кп^(г).
Область обратного пространства или пространства обратной
решетки, содержащая все g—N^Nj неприводимых представлений
группы трансляции, называют зоной Бриллюэна. Выбор этой области
неоднозначен. Действительно, если к вектору к добавить
произвольный вектор 2яЬ, то к'=к+2яЬ определит столь же хорошо все
неприводимые представления
Г (Т (п)) = е'(кvn) = е'(к+2яЬ' п) = е'(кп),
тлк'как (Ьп)=/1гг1+/2^2+^з я
Зону Бриллюэна обычно выбирают в виде правильного много-
фанника в обратном пространстве или в пространстве волнового
игктора к и так, чтобы начало координат находилось в центре зоны.
Центр зоны Бриллюэна, т. е. точку к=(0, 0, 0), обозначают
греческой "буквой Г (гамма). Выбранная таким образом зона Бриллюэна
имзывается основной. Любая другая зона, также содержащая все
неприводимые представления группы трансляции, может быть
получена из основной добавлением к волновому вектору к
произвольного вектора 2яЬ.
95

§ 22. Характеры неприводимых представлений^
нециклических групп
Используем общий метод нахождения характеров неприводимых
представлений для нециклических групп. Применим его к
некоторым конкретным группам.
Группа Т. Группа тетраэдра Т имеет 12 элементов,
распределенных по четырем классам: £, ЗС2, 4С3, 4С2. Она имеет четыре
неприводимых представления Г(1), Г(2), Г(3) и Г(4), размерности
которых удовлетворяют условию 12-Н2+12+32=12. Тем самым найден
характер элемента Е, поскольку он равен размерности
представления Х(1) (£)=*Х(2) (£) = Х(3) (£)=1 и Х4(£) = 3. Для^дномерных
представлений любого элемента справедливы уравнения X (G') = [X(G/)]/,
поэтому для С2 имеем X (С2.J = X2 (С2) = X (£) = 1, т. е. X (С2) = ± 1.
Поскольку для любой группы, имеющей одномерные представления,
существует единичное представление, то для Г(3) имеем единичные
характеры всех классов. Тем самым таблицу можно частично
заполнить (табл. 22).
i
Таблица 22
Заполнение таблицы характеров
неприводимых представлений группы Т
Т I Е ЗС2 4С3 4С|
Г(3)
г<и
Г(2)
г<4>
1
1
1
3
Для С3 аналогично можно записать в одномерных
представлена !
ниях X (С|) = X3 (С3)= X (£) = 1, откуда следует, что Х(а) (С3) = е 3 =-j
. 2Я 1
I j
= а>а, где ш=е 3 . Случай а = 3 уже использовался для Г(3), дл:
Г(1) можно положить Х(1)(С3) = со; Х(1) (С2) = ю2, а для Г(2) соответ-
ственно X(2)(C3) = (oV Х(2)(Сз)=со4 = со (табл. 23).
Теперь учтем условие ортогональности характеров. Если брат||
в качестве одного из представлений единичное, то ортогональности
характеров означает, что сумма характеров в любом представле\
нии, кроме единичного, равна нулю
2x(1)*(Gl)^(G/)=2lX(a)(Gi) = 0.
\Gi
Для того чтобы это условие выполнить, необходимо для Х(Са]
во всех одномерных представлениях выбрать +1 (табл. 24).
96

Действительно, для Г(1)
2lX(1)(G/) = bH-3.1+4(o+4cu2=4(l+o)+co2) = 0.
В то же время
2U(1)(Gf)|2=l+3+4+4=12.
°t
Характеры элементов в представлении Г(4) обозначим в виде
Х(4)(С2)=а:, Х(4)(С3)=у, Х(4)(Сз) = г. Для их нахождения следует
Таблица 23
Заполнение таблицы характеров
неприводимых представлений группы Т
т
Г(3)
Г(1)
Г(2)
ГН)
в
1
1
1
3
зс2
1
4С3
1
СО
со2
4С*
1
со2
СО
составить три уравнения, в качестве которых используем условия
ортогональности характеров:
2*в,,(0|)Х(Ю №)=*<>.,
Gi
или, положив Р=4, найдем три уравнения соответственно для:
а = 3 1-3+3-Ьл:4-4-1-у+4-1-2=0;
а = 1 ЬЗ+3-1-л;+4«)*у+4<а2*2=0;
а=2 1 -3+3-1 •л:+4а>2*)'+4сй*2=0.
Таблица 24
Заполнение таблицы характеров
неприводимых представлений группы Т
т
Г(3)
Г(1)
Г(2)
Г(4)
в
1
1
1
3
зс2
1
1
1
X
4С3
1
CD
СО2
У
АС\
1
©2
со
Z
Учитывая, что со* = со2 и со2* = со, перепишем систему уравнений
в виде
3*+4y+4z=— 3;
3*+4co2y+4coz=— 3;
Зл:+4соу+4(о22 = —3.
7 Киреев П. G.
97

Систему из трех уравнений можно решать обычным способом.
Однако в данном случае легко упростить ее, для чего надо
сложить все три уравнения:
9х= — 9; х=— 1,
так как (o+(o2+l=a)+(D2-fo)s=0. Зная х, запишем после сокраще»
ния:
У+г=0;
юу+г=0;
откуда следует, что у=0 и 2=0. Теперь можно заполнить таблицу
характеров группы Т (табл. 25),
Таблица 25
Таблица характеров неприводимых
представлений группы Т
т
Т^=А
Г(3)| Е
r(4)=jp
Е
1
1
1
3
зс2
1
1
1
—1
ЗСз
1
со
(D2
0
ЪС\
1
со2
©
0
Зная таблицу характеров группы Т, можно считать известной
таблицу характеров группы Th=TxCt.
Рассмотрим изоморфные группы Td и О, имеющие 24 элемента,
распределенные по пяти классам; неприводимые представления имеют
размерности, удовлетворяющие уравнению
р+12+22+32+32=24.
Одно одномерное представление является единичным, таблицу
характеров можно частично заполнить (табл. 26).
Таблица 26
Заполнение таблицы характеров неприводимых
представлений групп Td и О
Та
О
Т^ = А,
Г<2>=Л2
Г<3> = £
Г<4>=^
T<5W2
Е
Е
1
1
2
3
. 3
8С3
8С3
1
*2
*3
Л'4
*5
зс2
зс2
1
У2
Уз
Уь
Уь
6(У<*
6С2
1
*2
Ч
ч
*5
6S4
6С4
1
U
U
U
U
Характеры второго одномерного представления можно найти
также из простых соображений. А именно, такие элементы, как С2,
ad имеют второй порядок, поэтому для них
X'2)(a,2) = X(2)(£) = X(2)(C^)=[X(2)K)]2=[X(2)(C2)]2=l
98

или 5С(2)(С2)=±Г; "X(2)(ad)= ±1. Чтобы получить сумму характеров
в представлении Г(2), равной нулю, необходимо положить Х(2)=1
для С3 и С2 и 5С(2) = —1, для ad и S4 (указаны классы группы Td).
Эти простые соображения, основанные на соотношении ортонорми-
ровки, дают решения, совпадающие с решениями, полученными
другими методами (табл. 27).
Таблица 27
Заполнение таблицы характеров неприводимых
представлений групп Td и О
Td
О
Т^ = А,
Г<2> = Л2
Г<3>=£
Г*4*^
r<5W2
Е
Е
1
1
2
3
3
8С3
8С3
1
1
*з
*4
*Б
зс2
зс2
1
1
Уз
У\
Уъ
6od
6Са
1
—1
*3
*4
2б
654
6С4
1
—1
h
и
и
Действительно, условие ортогональности Х(1) и Х(2) позволяет
записать
Ы+8.1^2+3.1.у2+6.1.г2+6.Ь/2=0,
Ы2+81 х2|2+31 у2|2+61 г2|2+6 U2 |2=24,
откуда следует *2=у2=1, ^2=f/2= — 1, что и указано в-табл. 26.
Для нёодномерных решений в общем случае нельзя пользоваться
порядком элемента и указать связь характера элемента с
характером единичного элемента, в то время как уравнения ортонорми-
ровки, записанные выше для хъ у2, z2 и /2, справедливы
по-прежнему с учетом характера единичного элемента. Запишем их; условие
ортогональности с Г(1) дает:
2+8х3+ЗУз+б2з+6/3 = 0;
3+8*4+3y4+6z4+6/4=0;
3+8*6+3y5+6z6+6/6=0.
Из условия нормировки следует:
4+8из12+3|у3|2+6|2:з|2+6|/з|2=24;
9+8U4|2+3|y4|2+6U4|2+6|/4|2=24;
9+8U6|2+3|y6|2+6|25|2+6U5|2 = 24.
Используя условие ортогональности с Г(2), получим
2+8лг3+Зу3 —6г3 —6/3=0;
3+8*4+Зу4 — 6г4 — 6/4=0;
3+8*5+Зуб —6г5 —6*5=0.
7* 99

Складывая и вычитая уравнения, отражающие ортогональность
характеров с использованием Г(1) и Г(2), получим:
4+16*3+6у3=0;
6+16*4+6у4=0;
6+16*5+6у5=0
и
12г3+Ш3=0;
12z4+12*4=0;
12г5+12/5=0.
Из последних уравнений следует:
z3= /3; z4=—r4; zb=—г5
и
8|*3|2+3|y3|2+12|z3|2=20;
8|*4|2+3|у4|2+12|г4|2=15;
8|x5|2+3|y5|2+12|z5|2=15.
Простым подбором можно показать, что рассматриваемая система
уравнений^удовлетворяется решениями:
*з=— 1, Уз=2, z3=0, *3=0,
*4=0, У4=— 1, z4=—1, /4=1,
*5=0> Уб= —1» г5=1> 'в=—1.
Если подставить эти значения в таблицу характеров, то легко
видеть, что условия ортогональности характеров во всех
представлениях выполняются. Например, для Г(3) и Г(5) имеем
2.3+8(— 1).0+3-2'(— 1)+6.0.1+6-0. (— 1) = 0.
Таким образом, таблицу характеров групп Тй и О можно
заполнить (табл. 28).
Таблица 28
Таблица характеров неприводимых представлений
групп Td и О
Г(П
Г<2)
Г<3)
гН)
р(5)
Td
О
Лг
А2
Е
i7!
F2
Е
Е
1
1
2
3
3
8С3
8С3
1
1
— 1
0
0
зс2
зс2
1
1
2
— 1
—1
боа
6С2
1
—1
0
—1
1
654
6С4
1
—1
0
1
—1
Хотя и построили таблицу, удовлетворяющую условию ортонор-
мировки, но в последний момент основывались скорее на
интуитивном представлении, чем на строгом решении уравнений. Строгое
решение оказалось невозможным в силу того, что число
записанных^ уравнений оказалось меньшим числа неизвестных уравнений.
100

Действительно, для 12 неизвестных составили только 9 уравнений.
Использование условия ортогональности характеров в
представлениях Г(3), Г(4) и Г(5) дает еще 3 уравнения. Если предположить,
что характеры вещественны, то дополнительные уравнения ,^
6+8*л+ЗузУ4+б282Г4+6*Л=0;
6+8x3x5+3y3y5+6z3z5+6/3*5=0;
!9+8*4*5+3y4y5+6z4z6+6/4/5=0
позволяют найти решение однозначно.
Если же характеры комплексные, то число переменных г число
уравнений удваивается, что усложняет выкладки, но обеспечивает
однозначность решения. Не будем реализовывать программу
строгого решения системы уравнений для построения таблицы
характеров групп Тй и О. Уравнения ортогональности характеров неудобны
тем, что они всегда связывают характеры всех классов, к тому же
в разных представлениях. Удобнее оказываются в ряде случаев
уравнения, основанные на произведениях классов
и
Pi Х(а> (Сд Р/ *(а) (С/) = fa 2 A,/»P**(e) (Ch),
к
в которых связаны характеры классов в одинаковых
представлениях. Применим их для нахождения характеров групп Td и О.
Однако удобнее воспользоваться группой Р(4), для которой имеем
таблицу умножения (см. табл. 9) и таблицу классов (см. табл. 10).
Используя обозначения классов группы Р(4) (согласно табл. 10),
и пользуясь таблицей умножения 9, можем найти следующее
разложение произведений классов:
С(2)С(2) = б£'+ЗС(3)+2С(4);
С(2)С(3) = 4C(2) + 4C(5)J
С(2)С(4) = С(2)+2С(5)$
С(2)С(5)=ЗС(3)+4С(4);
С(з)С(4) = ЗС(3);
С(4)С(4) = 3£,+2С(4>;
С(4)С(5) = 2С(2) + С(5).
Разложение произведений классов позволяет найти все числа hijh.
Например, для h22k имеем 6, 0, 3, 2, 0 при k=l, 2, 3, 4 и 5.
Число элементов р в классе С(/> равно рх= 1, р2=6, р3=8, р4=3,
р5 = 6.
Рассмотрим примеры использования разложения произведений
классов для нахождения их характеров. Простейшими уравнениями
являются те, которые содержат в hijk одинаковые индексы или
единицу. Имеем
С(4)С(4) = 3£'+2С(4),
101

откуда следует
[ЗХ(а) (C(J7)]2=3faX<a) (£)+T3/ax(a) (С(4)Т
Учитывая, что Х(а)(£) = /д и обозначая для краткости X(a)(C(t))=»
= XJa), запишем
9X(4C)1 — 6/aXia) — 3/2=0
или
3Xia)"-2/aXia)-/* = 0.
Решая уравнение, получим
С 6
Для характера класса С(4> группы Р(4) имеем (1, —1/3);
(2, — 2/3) и (3, — 1) соответственно в одномерном, двухмерном и
трехмерном представлениях. Наличие двух значений обусловлено
нелинейностью уравнения. Классу С(4> группы Р(4) соответствует
класс ЗС2 групп Td и О. Как видно из табл. 27, класс С<4> имеет
характеры 1, 1, 2, —1, —1, которые содержатся в найденных
решениях.
Зная Х4, найдем Х2 и Х5, исходя из уравнений
С 2)С(4) = С(^)+2С(5>;
С(4)С(5) = 2С(2) + С(5)
или
6X(2a)3Xia) = /a. 1.6.X(2a)+2/a-6X(5a);
3X^a). 6Z^a) = /a.2.6X(2a)+/a.6X^a).
Перепишем эту систем/ уравнений, сократив все члены на 6:
[fa~3XH Xf+2/aX^a) = 0;
Поскольку исходные уравнения дают систему однородных
уравнений, следует проанализировать определитель
(/а»-ЗХ1а))2=>4/2=Д.
При Д=0 система имеет нетривиальное решение, а именно,
3#»> х&а). Тривиальное решение существует при Д Ф 0, что
возможно только при /а=3 и Х23) = 3. Как видим, разложение
произведения классов С(2) и С(5) группы Р(4) или 6ad и 6S4 не
приводят к новым решениям, а условие X2a) = — %5а) было найдено ранее
в виде z+t=0. Ограничимся изложенным для Р(4).
Как видно из сказанного, нахождение характеров неприводимых
представлений связано с решением алгебраических уравнений. Оно
не представляет принципиальных трудностей. Решение
алгебраических уравнений степени выше первой может приводить к много-
102

значности характеров. Выбор однозначных решений, как правило
основывается на соотношениях ортонормировки характеров.
Рассмотрим примеры других групп, а именно, C3v и CBv.
Группа CSv имеет шесть элементов, распределенных по трем
классам £, 2С3 и 3ov. Она имеет три неприводимых представления:
12+12+22=6. Учитывая единичное представление и характер
единичного элемента, можем частично заполнить табл. 29.
Таблица 29
Заполнение таблицы характеров
неприводных представлений группы C3V
Г(1)
Г<2)
Г(3)
Cqv
Лг
л2
Е
Е
1
1
2
2С3
1
3ov
1
Из условия ортонормировки характеров вытекает для Г( и Г( .
]2+2(+1)2+з(-1)2=6; Ь1 + 1-2+3.1 (— 1)=0;
224-2(-1)2+3.02=6; 1-2+1 (- 1)2+1.0-3 = 0
и таблица характеров (табл. 29) может быть заполнена (см. табл. 30).
Таблица 30
Таблица характеров неприводимых
представлений группы Czv
Csv
Г<1>=Л1
г<2>=л2
Е 2С8 3av
1 1 1
1 1 —1
2—1 0
Группа Cev имеет 12 элементов и 6 классов, следовательно, она
имеет 4 одномерных и два двумерных представления: 12+12+12+
+ 12+22+22=12. В табл. 31 даны характеры неприводимых
представлений группы Свг.
Как уже отмечалось, неприводимые представления подгруппы
могут не совпадать с неприводимыми представлениями группы.
Поэтому таблица характеров неприводимых представлений подгруппы
в общем случае не является частью таблицы характеров исходной
группы.
Рассмотрим два примера. Возьмем элементы Е, 2С3 и Зо^
группы Свр. Они образуют подгруппу группы Св0, совпадающую с
группой С3р. Другими словами, группа C3v является подгруппой
группы C6v. Сравнивая табл. 30 и 31, видим, что характеры групп С3р
и Свг одинаковы.
ЮЗ

Группа тетраэдра Т является подгруппой группы Td. Но как
видно из табл. 25 и 28, характеры элементов соответствующих
классов не полностью совпадают.
Таблица 31
Таблица характеров неприводимых представлений
группы С6и
C6V I Е 2Св 2С3 С2 3ov 30,,-
Ai
А*
Вг
в2
Ег
Е2
1
1
1
1
2
2
—
—;
—'.
—
—
1 1
1 1
L —1
1 —1
1 —2
1 2
1
—1
—1
1
0
0
1
— 1
1
— 1
0
0
Мы остановились на аналитическом методе нахождения
характеров неприводимых представлений, при котором сами представления
остаются неизвестными (кроме одномерных). В некоторых случаях
удобно находить вначале матрицы неприводимых представлений, по
которым затем вычисляются характеры.
Для циклических групп это очевидно. Действительно, из
определения представлений следует
и
Г(Ж)=Г(£)=[Г(Л)К=1,
и
ш. 2я а
Г(а)(Л)=)Ла=е ё =Х(а)(Л).
Для нециклических групп и в общем случае для неабелевых
групп можно исходить из таблиц умножения и базисных функций.
Рассмотрим примеры. Для осей поворота Сп базисную функцию
удобно записать в виде функции азимутального угла ф: гр=е'ф.
Действие С1п на -ф(ф) имеет вид
откуда вытекает
Г{С1п) = е п -X(Ci).
104

Таким образом, построили одно представление элементов
группы С„. Из него можно получить п — 1 новых представлений
Г(а)(С^)=е " ,
т. е. все представления циклических групп.
На основе базисных функций вида е±/(Р могут быть построены
двумерные и трехмерные представления групп типа Cnv и др. Но
поскольку был указан достаточно подробно общий метод
нахождения характеров неприводимых представлений групп на основе
соотношений ортонормировки характеров, метод базисных функций
рассматривать подробно нет необходимости.

Главам
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
ЗОНЫ ЭНЕРГИИ
§ 23. Существенное вырождение
Кристалл представляет собой систему взаимодействующих
частиц— ядер и электронов. Для описания этой системы следует
составить гамильтониан, включающий кинетическую энергию всех
частиц, потенциальную энергию всех частиц во внешних полях
и энергию взаимодействия часгиц кристалла друг с другом.
Составление этого уравнения не представляет никаких трудностей, однако
точное его решение в настоящее время невозможно. Для
приближенного решения уравнения Шредингера для кристалла необходимо
его упрощение. Оно достигается прежде всего введением
адиабатического и одноэлектронного приближений. Сущность указанных
приближений рассматривается в пособиях по физике
полупроводников или физике твердого тела, поэтому не будем их излагать.
В результате адиабатического и одноэлектронного приближений
гамильтониан кристалла распадается на гамильтонианы
«невзаимодействующих» частиц.
Для некоторого электрона кристалла гамильтониан Н имеет вид
АЛЛ
H = T+U(r),
где
'2т1} 2т *дх* ду* дг*)
/«
— оператор кинетической энергии, U (г) — оператор потенциальной
энергии, h=/i/2jc, h—постоянная Планка, h — постоянная Дирака,
т масса свободного электрона. Оператор потенциальной энергии
Л
U (г) учитывает взаимодействие данного электрона со всеми
остальными электронами и ядрами кристалла, включая действие кулонов-
ского поля данного электрона на движение всех остальных частиц
системы. Приведенный гамильтониан описывает действие поля
решетки на некоторый «внесенный» в кристалл электрон, который
сам не оказывает влияния на состояние кристалла.
"-1 Потенциальное поле U(r) эбладает симметрией пространственной
группы данного кристалла. Другими словами, оно инвариантно,
относительно любого преобразования Gt симметрии данного кри-J
сталла: \
G/U(r)=U(G£r)=U(r). j
106 j

Щ На языке операторов этот же факт можно выразить
утверждением, что операторы С^ и U (г) коммутируют:
G,U(r)Wr) = G^(r)T|>(r)^^
или
А Л ЛЯ*^ Л
G,U(r)-U(r)G, = 0.
Покажем, что оператор кинетической энергий [Т коммутирует
с операторами G( пространственной группы. Действительно,
трансляцию пространства на вектор п можно представить в виде
преобразования осей координат, соответствующего переносу начала
координат на вектор — п. Но если
то
*1
dxi
= *i
_ д
дх[
д* _
— при
дхс
а2
2
д
,'i
dXi
з.._ з
А= '
k §i Ъ<Л'*
Это означает, что операторы трансляции Т(п) и кинетической
Л
энергии Т коммутируют.
В пространственную группу входят точечные преобразования,
которые не меняют расстояний между точками пространства. Такие
преобразования, как повороты, простые, зеркальные или
инверсионные, могут быть описаны ортогональными матрицами. В таком
случае можно записать
з
где матрицу А={аи} можно считать ортогональной, т. е. А"1=А.
Найдем оператор Лапласа в штрихованной системе координат,
для этого выразим связь между производными:
_д_
дХ;
■dxfh n dx]M dx-k h a»a" dx]dx-k
107

Суммируя по i, получим
1=1 1 Ь& * J,k j,k 1 " j=\ J
Л Л
и, следовательно, Т=Т/
или
Л Л Л Л
G^T=TG^
Учитывая, что операторы и кинетической, и потенциальной
энергий коммутируют с оператором преобразований G пространствен-
Л Л Л Л
ной группы G, можем утверждать, что операторы G^ и H=T+U
коммутируют:
л л л л
G^H = HG..
Запишем уравнение Шредингера для одного электрона в поле
решетки U(r):
Оно позволяет найти энергию электрона Е и волновую функцию
о|)(г) при известном поле U(r). Однако вид этого поля обычно
не известен, поэтому нахождение спектра энергии и волновой
функции возможно лишь приближенно.
Не решая уравнения, исходя из свойств симметрии поля
решетки U (г), можно тем не менее изучить основные свойства спектра
энергии и волновых функций.
Для этого подействуем на уравнение Шредингера оператором
Л
симметрии G^:
Л Л Л Л
Учитывая равенство GjH^HG^, перепишем предыдущее
равенство:
G,Hi|>(r) = HGz4(r)=H^^
Это означает, что если функция я|э(г) является собственной
Л Л / Л \
функцией оператора Н, то и функции Ог.г|)(г) = г|)^г) также явля-
л
ются собственными функциями оператора Н. Другими словами,
если известно одно решение яр (г) уравнения Шредингера, то из
него можно получить (g—1) других решений G^ (г)=г|) (с^г) =
= г))г(г'). При этом все они соответствуют-Цодному и тому же
значению энергии Е, т. е. состояние электрона с энергией Е является
вырожденным. Вырождение, обусловленное симметрией физической
системы, называют существенным или естественным. Вырождение
же энергетического состояния Е> обусловленное не симметрией,
а, например, величиной поля U (г), называют случайным. Это разли-
108

чие вызвано тем, что случайное вырождение зависит от величины
поля, поэтому, изменяя величину поля любым способом, можно
его снять. Существенное же вырождение варьированием величины
поля снято быть не может. Как будет показано позже,
естественное вырождение^ может быть снято изменением симметрии поля
решетки.
Итак, сделан ^вывод, что из одного решения я|з(г) уравнения
Шредингера можно получить (g—1) новых решений, однако у нас
нет уверенности, что все эти новые решения Gji|)(r) в
действительности различны и тем самым кратность вырождения энергетического
состояния есть g.
Предположим, что кратность вырождения состояния с энергией Е
равна /, т. е. существует / различных собственных функций 'ty(r),
удовлетворяющих уравнению
Н^(г)=£^(г).
Л
Действуя на эти уравнения операторами симметрии Gi9
получим из каждой функции ify(r)(g—1) функцию G£ify(r) и всего
будем иметь f-g функций. Но было предположено, что различными
являются только / функций, следовательно, gf— f=f(g— 1) функций
линейно зависимы и могут бытьj выражены через ^.(г). Другими
словами, можно записать:
Это значит, что собствен'ные функции ify(r) оператора Гамильтона
Н могут служить базисом представления T(Gt) группы симметрии.
Будем считать, что собственные функции г|^.(г) ортонормированы,
поскольку такое условие всегда может быть выполнено. Это
обеспечивает унитарность представления Г(О^). Пусть представление
r(Gj) — неприводимо. В таком случае оно индуцируется базисом
ИЗ /а ФУНКЦИЙ.
Но это означает, что кратность]* вырождения «уровня» энергии
Е равна размерности неприводимого представления /а.
Действительно, уровень энергии Е не может иметь меньшую,
чем /а кратность вырождения, поскольку из функции я|)у(г) следуют
все функции базиса неприводимого представления при действии
*. А Л
операторов Gt группы, т. е. в наборе из g функций Gji|^(r) с
неизбежностью встречаются все функции, преобразующиеся по одному
и тому же неприводимому представлению. Л
Предположение f>fa означает, что собственные функции Н
преобразуются более чем по одному неприводимому представлению,
и, следовательно, представление, индуцируемое ими, приводимо.
Если выбрать собственные функции так, чтобы представление
имело приведенную форму, то в этом случае G£i|)(r), /=1, 2, ...,
fa при Gj 6 G опять-таки преобразуются только друг через друга,
109

и, следовательно, кратность вырождения />/а может быть
обусловлена либо случайным вырождением, либо какой-либо специфической
особенностью потенциального поля.
В дальнейшем будем предполагать, что кратность существенного
вырождения совпадает с размерностью того неприводимого
представления, по которому преобразуются собственные функции оператора
Гамильтона.
§ 24. Симметрия энергии
в пространстве волнового вектора
Из коммутации операторов Gf и Н следует, что они имеют одни
Л
и те же собственные функции. При этом операторы Gt накладывают
менее жесткие требования на выбор базисных функций, чем
оператор Н.
Л Л
Рассмотрим операторы трансляции Т(п)иН. Из условия
T(n)\l)(r)=e^kn)^(r)
следует, что г|э(г) можноТвыбрать в виде
г|>(г) = е1'<кг>ф(г),
где ф(г+п)~ф(г)—произвольная функция, инвариантная
относительно трансляции. Поскольку при различных к ср(г) могут быть
разными, следует указывать значение к в виде индекса у ф (г) и t|) (г):
гМг) = елЦк')>к(г)2
Эти функции, введенные Блохом, имеют вид выражений для
плоской волны е' <кг), распространяющейся вдоль направления,
определенного вектором к, что и обусловливает его название —
волновой вектор, с модулированной в такт с решеткой «амплитудой»
Фи(г). По этой причине функции Блоха % (г) называют волнами
Блоха. При фк(г)->Л=сопз{ волны Блоха переходят в волны
де-Бройля.
Таким образом, решение уравнения Шредингера для
периодического поля решетки U (г) имеют вид волны Блоха:
НгМг) = Я%(г).
Вид функции Фк(г) находится именно при решении этого
уравнения.
Так как функции Блоха %(г) в общем случае различны при
различных к, то и собственные значения Е также могут зависеть
от к: Е=Е(к) и
НЫг) = £(к)гМг).
Данное соотношение показывает, что энергию следует считать
функцией точек пространства к, определяющего неприводимые
представления собственных функций оператора Гамильтона Н.
110

Веточках к и_Ак/ = к+2яЬ представления эквивалентны, поэтому
энергия должна иметь одинаковые значения в точках кик'.
Это означает, что энергия является периодической функцией
волнового вектора с периодом 2яЬ, где b—произвольный вектор
обратной решетки.
Симметрии прямой и обратной решеток тесно связаны друг
с другом, поэтому можно ожидать, что Е(к) имеет симметрию
обратной решетки, определяемую симметрией прямой решетки.
Совершив преобразование симметрии Gf, изменим и вектор
трансляции: G4n=n/, вследствие чего представление e'<kn) изменится
на e'(kn'>. Поскольку представление изменилось, можно ожидать,
что изменится и значение энергии £(к), но преобразование
симметрии оставляет потенциальное поле U(r) инвариантным, поэтому
следует ожидать, что значение энергии сохранится. Оба эти
предположения могут быть выполнены, если считать, что функция Е(к)
обладает той же симметрией, что и поле решетки (/(г), т. е.
G^(k)^£(Glk) = £(k),
Это_кможно доказать следующим образом. Представление е1<кп>
Л
переходит в е1'(кп') при преобразовании пространства Gtn=n'.
Если одновременно с этим провести преобразование пространства
Л
обратной решетки 0^к=к', то представление сохранится.
Действительно, операторы Gt унитарны, поскольку они оставляют эрмитово
скалярное произведение инвариантным, поэтому имеем следующее
равенство:
(G,k, 0,п) = (к, б;о,п) = (к, Gr1Gin) = (kn).
Л
Следовательно, одновременное преобразование Gt пространства
прямой и обратной решеток сохраняет представление неизменным:
Л
et(kn)==ef (k'n'^ поэтому сохраняется и энергия GiE(k)=E(W)=E(k).
К этому же выводу можно прийти, рассматривая действие операто-
Л
ра симметрии Gt на уравнение Шредингера, допуская его действие
в двух пространствах — г и к:
GiHMr)=G4£(k)iMr)
или
HiMO=E(k')lv(r').
Одновременно с этим имеем
Нг|)к(г) = £(к)г|)к(г).
Но функции i|v (г') и ipk (г) преобразуются по одному и тому же
представлению, поэтому энергия, соответствующая им, одинакова:
Е (k') = E(Gtk)=E (k)=GtE (k).
Ill

Таким образом, группа симметрии энергии Е(к) в зоне Бриллюэна
есть точечная группа поля решетки U (г) кристалла.
§ 25. Построение зон Бриллюэна
для некоторых решеток
Выбор базиса alf a2f a3 для прямой решетки произволен. Объем
базисной ячейки
Vfl=(a1[aaa8])
связан с объемом базисной ячейки обратной решетки
П = (Ьх[Ь2Ь3])
простым соотношением VaVb=l. Покажем справедливость этого
соотношения в общем случае, исходя из условия ортогональности
базисов: (агЬ7-) = б^. Подставляя вместо Ь3 его выражение, получим
v>-[b[blJ7r]y[b> ai(b2a2)~(aib2)a2)=T7=^-
Помимо базисных векторов введем ортогональную систему
координат, определяемую ортами i, j, k. Базисы прямой и обратной
решеток будем выражать в одной и той же «безразмерной» систе-
п h ме координат с ортами i, j,
к. Другими словами, орты i,
j, k используем как для
прямой, так и обратной решеток.
1. Простая кубическая
р ешетка.
Простую кубическую
решетку удобно описывать базисом
ai> а2> аз> направив базисные
векторы по ортам i, j, k, т. е.
положив (рис. 23)
Гг7\ гг-Л
Рис. 23. Базисные ячейки простой
кубической решетки:
а — прямой; б — обратной
аг=а(1, 0, 0) = ш;
а2 = а(0, 1, 0) = aj;
а3=а(0, 0, l) = ak.
ячейки Va = a3 (i [ jk]) = а3.
Построим базис
Объем базисной
обратной решетки:
b1 = a-3.a2[jk] = a-4 = 6i = 6(l, 0, 0);
b2 = a-3a2[ki] = a"1j = ftj = 6(0, 1, 0);
b3=a-3a2[ij]=a-1k=6k=&(0, 0, 1).
Объем базисной ячейки Vb=b3(i [jk]) = 63=a-3. Зона Бриллюэна
представляет собой куб со стороной 2я&=2я/а. Учитывая
вышеуказанное условие, что основная зона Бриллюэна выбирается
в виде многогранника, симметричного относительно точки Г, т. е.
112

точки k=(0, 0, 0), выберем ее в виде куба с центром [в точке
(О, 0, 0) и с вершинами в точках (рис. 24):
я/а-(1, 1, 1):
я/а-(-1, 1, 1)
я/а.(_1,-1, 1)
я/а.(1, -1, 1)
Объем зоны Бриллюэна равен 8я3а~3.
На рис. 24 указаны линии и точки
симметрии, среди которых следует отметить
линии Д, 2 и Л, соответствующие
направлениям типа [1 0 0], [1 1 0] и [1 1 1].
2. Гексагональная решетка.
На рис. 25 указана элементарная ячейка
гексагональной решетки. В качестве базисных
векторов можно выбрать векторы
SLx=aii
а2=—acos60°i+acos30°j = _-i+ ^-^-\\
я/а-(— 1, —1, —1);
я/а.(1, -1, -1);
я/а-(1, 1, -1);
я/а-(— 1, 1, .—1).
a«=ck.
Рис. 24. Зона Бриллюэна
и ее элементы симметрии
для простой кубической
решетки
Объем базисной ячейки V'
V-- U
а .
— — 1-
2
iV3
J, <*)j =
arc i
; J ./з
2
зКз
Объем элементарной ячейки ЗУа= ——а2£. Построим базис
обратной решетки:
b.-VT1 [a,a,]- Vj'f [-I +)/"з j, kj-
-vr'f(i+/3"<)4
аКз
— j;
—i
b2=V71[^1]=V7l[ck,ai)
Ьэ= V.-1 [aiaj = VT'fl» [i, - { +^y- j]
Уз
= j;
2 4 2 с
Найдем модуль Ьх и b2:
bJ^l/H-J-jy^o-fl+lU-*-; ftx—L_;
1 аЧ VI ) \ 3' *" al/7
b*=-=-;
2 3a»
62 = —— = Ьг.
аУз
Киреев П. С.
113

Найдем угол между базисными векторами:
cos
(«1. аг):
(aiaa)
ад/. i
■=- U —г
VT
л—-j.
I ax 11 a21 aa
Его определяют в соответствии с рис. 25, из которого видно, что
угол между а2 и а2 равен 120°. Базисная ячейка гексагональной
решетки представляет
собой прямую призму
высотой су основанием которой
является ромб со стороной
а и углом между
базисными векторами 120°. Обо-
значим b1=b2 = b = —,
aV~3\
и запишем I
к
\
hl
\i
уг
(
1——^—__^_^^^_—_
.
ж
и
\
У
4
Рис. 25. Базисные векторы прямой и
обратной гексагональной решетки и ее
элементарная ячейка
Н
Рис. 26. Зона Бриллюэна
гексагональной решетки и ее
элементы симметрии
Ъ-Ц-Ы+\\\
b2=6j.
Угол между ними равен 60°
/з ,
cos (bl,Ab2U ОнЦ Jj± У± i+L , , LlUcosW.
1 Ь 2) IbJ |b2| 6-6 V 2 ^2 JfJ/ 2
Таким образом, в соответствии с общим правилом векторы ag
и*Ь2, направленные по ортам i и j, ортогональны, векторы а2 и
также ортогональны, при этом угол между Ьх и Ь2 равен 60°, ка|
это видно из рис. 25, в то время как угол между ах и а2 paeeij
120°. Базисный параллелепипед—прямая четырехгранная призма
в основании которой лежит ромб, при этом большие диагонал^
ромба базисных ячеек прямой и обратной решеток повернут
114

на 90°. Элементарные ячейки обоих типов гексагональной решетки —
шестигранная прямая призма, причем отношение параметров для
прямой решетки у=—, а для обратной решетки \' = —■ = - =
а Ь1 с 2
1/""з" 1
= - , т. е. если, например, у>\, то y'<1> или в общем слу-
2 Y ___
чае yy' = 1/ 3 /2. Объемы элементарных ячеек прямой^Уд [и
[обратной VI ^гексагональных * решеток связаны соотношением УдУь=
= 3Va.3Vb=9VaVb = 9.
к ./
VJ/
\
/ai\^
1 \
А
h-m
а)
В)
Рис. 27. Элементарные ячейки и базисные векторы для!
а — ОЦК -решеток; б — ГЦК -решеток
На рис. 26 приведена зона Бриллюэна для гексагональной
решетки с указанием обозначений элементов симметрии.
3. Кубические объемно-центрированная и гране-
центрированная решетки.
На рис. 27 показаны элементарные ячейки кубической решетки
с дополнительным узлом в центре куба (ОЦК) и в центрах граней
(ГЦК) с периодом а и объемом а3. Орты I, j, k направим вдоль
ребер куба. Начало координат поместим в одну из вершин куба.
И качестве базисных векторов возьмем векторы, идущие из начала
координат в центры трех граней одной и той же элементарной
ичейки для ГЦК-решетки и в центры трех любых соседних
элементарных ячеек для ОЦК-ячеек. А именно, для ГЦК-решетокг
..-■Jfl+ft
a2=f(j+k);
a3=j'(k+i).
Легко видеть, что трансляция на целые числа базисных
векторов позволяет получать все узлы ГЦК-решетки. Аналогичным обра-
*♦
115

зом все узлы ^ОЦК-решетки можно получить на основе базиса,
например,
ai=f(i+j+k);
a2=|(-i+j+k);
a3=-|(-i-j+k).
Базисные векторы не ортогональны.
Найдем объем базисных ячеек. Для ГЦК-решетки вычисления
дают
Г.-f (I+J. U+k. k+i])=|(i+j, i_k+j) =|(l+l)=^.
Для ОЦК-решетки получим
Ve=|(i+j+k, [-i+j+k, _i_j+k]) =
=^(i+j+k, k+j+k+i-j+i)=^ (1+1+1-1 + 1 + 1)=?!.
о о 2
Обратим внимание, что объемы базисных ячеек ОЦК- и ГЦК-
решеток связаны с числом узлов в элементарной ячейке.
Действительно, в ГЦК-решетке содержатся 14 узлов, из них узлы в
вершинах принадлежат одновременно восьми ячейкам, а узлы, лежащие
в центрах граней,—двум ячейкам, следовательно, на одну ячейку
приходится
1/8-8+1/2.6=1+3 = 4
узла (атома) при Vrt=a3/4. В ОЦК-решетке имеется 9 узлов
в элементарной ячейке, причем каждой ячейке принадлежит 1/8
каждого из вершинных узлов, и один узел, лежащий в центре/
всего в элементарной ячейке находится
1/8-8+1 = 2
узла (или атома). Объем элементарной ячейки, приходящийся
на один узел, составляет в ГЦК-решетке а3/4, в ОЦК-решетке —
а3/2, т. е. он равен Va в обоих случаях.
Построим базис для обратных решеток. Для ГЦК-решетки|1
bi-VT^fO+k. k+i]=-i.f(i-k+j)=l(i+j-k);
4 Д3 4 CL -л
b2 = l^[k+i, i+J]=1(J-i+k)=^(-i+i+k);
а9 4 а й
Ь=4тР+1- i+4=1(k-i+i)=7(|-J+k)-
a3 4 а а

Объем базисной ячейки обратной решетки
^=(b1[b2b3])=^(i+j-k, [-i+j+k. i-j+k]) =
=i(i+j_k, k+j_k+i+j+i) = i(l + l+l + l)=4 = W'.
a3 a3 a8
Рассмотрим теперь куб со стороной b = 2/a, его объем 68 = 8/а3ч
в таком случае Vb = bs(2 и
bx=|(i+j-k);
b2={ (-i+j+k);
b3={(i-j+k).
Таким образом, для ГЦК-решетки обратной является ОЦК-ре-
шетка с периодом Ь = 2/а, объемы их элементарных ячеек связаны
соотношением Ь3а3 = 8 при Vb/Va = l.
Для ОЦК-решетки базис обратной решетки имеет вид:
Ь1=У-^[-i+j+k, _i_j+k]=|.^(k+j+k+i-j+i)=
= l(i+k)=|(i+k);
а 2
b2=i[_i-j+k, i+j+k] = l(-k+j+k_i+JHi)={(-i+i);
Ьз=^[Ж+к' -i+j+k]=^fl(k-j+k+i-j-i) = |(_i+k),
b = 2/a.
Таким образом, для £)ЦК-решетки обратной является ГЦК-ре-
шетка с периодом Ь = 2/ау объемом базисной ячейки Vb = V~l =
^2/a3=63/4 при b3az = 8.
По существу все неприводимые представления нами найдены,
они располагаются в объемах 8я3К^. Однако принято указывать
их в виде зон Бриллюэна, т. е. многогранников, симметричных
относительно точки Г. Используем для этой цели метод,
предложенный Бриллюэном и вытекающий из теории квазисвободного
>лектрона: строится обратная решетка, некоторый узел принимается
лл начало отсчета, из него проводятся отрезки в узлы обратной
решетки, через середины всех отрезков проводятся ортогональные
им плоскости, которые образуют систему разнообразных
многогранников. Минимальный по объему и симметричный относительно
начала отсчета многогранник определяет как раз объем VB и,
следовательно, при умножении всех линейных размеров на 2я — объем
:км-1Ы Бриллюэна.
117

Рассмотрим ГЦК-решетку, для которой обратной является
ОЦК-решетка. Каждый узел в ней окружен шестью ближайшими
соседями на расстояниях 6 вдоль ортов i, j и к. Проведя шесть
плоскостей через середины отрезков, получим куб со стороной
2-6/2 = 6 = 2/а и объемом б3, т. е. с объемом элементарной ячейки.
Он содержит двойной набор неприводимых представлений, поскольку
b3=2Vb для гранецентрированной прямой решетки. Проведем
отрезки в центры восьми элементарных ячеек, для которых выбранный
узел куба является общим. Расстояние до центральных узлов
от вершины равно
ly ь*+Ьг+Ь* =УАь. Восемь плоскостей, про-
ходящих через середины этих отрезков, находятся на расстоянии!
1 1/7 V7 1/7
— •- b= 6 = -—. Оси, идущие по пространственной диаго-j
нали куба б3, т. е. по направлениям типа [1 1 1], обозначаются*
через Л, а точка их выхода на границу зоны—через L. Координаты
2тс я '
точек L в зоне Бриллюэна равны —6(1, 1, 1) = — (1, 1, 1), что и<
4 а |
„ я 1/7 0 61/7 ]
дает расстояние до них от точки Г, равное — = 2я J
Восемь плоскостей, отсека'я восемь вершин куба, превращают era
в четырнадцатигранник. Если отсечь только одну вершину куба,
то образуется одна новая грань в виде треугольника. Если отсечь]
все [вершины плоскостями, пересекающими ребра куба б3 на рас-]
стояниях от вершины 6/2, то образуется восемь треугольных rpa-j
ней и шесть восьмиугольных. Однако указанная плоскость, ортои
тональная оси типа [1 1 1] и проходящая через ее середину, перед
секает ребра куба б8 на расстоянии 36/4 от соответствующей вершиньо
9
а отсекаемый ею объем составляет — &3« Для восьми вершин это)
ДабТ 128 ^3== 16 ^3# ОРтогональные оси Л плоскости частично Пересе J
каются, в результате чего треугольные грани превращаются в ше-1
стиугольные, а восьмиугольные — в четырехугольные, отсекаемый!
объем составляет — 63= — b3=Vb. Следовательно, оставшийся!
128 2
объем составляет — b3=Vb, зона Бриллюэна имеет вид четырнадца-
тигранника, восемь ее граней — шестиугольники, шесть — квадратыЗ
На рис. 28, а показано построение зоны Бриллюэна, на рис. 28, б-
ее вид и особые элементы ее симметрии—точки, линии и плоскоД
сти. Ряд расчетов, опущенных при анализе, может быть проделай!
на основе законов элементарной геометрии.
Для осей типа [1 1 1], [1 1 0] и [1 0 0] используются
обозначения Л, 2 и Д, а точки их выхода на границу зоны Бриллюэна'
обозначаются через L, К и X. Восемь точек L имеют координаты!
118

вида — (±1, ±1, ±1), двенадцать точек К имеют координаты вида
— (±3/2, ±3/2, 0), а точки X имеют координаты вида —(±1, 0, 0).
О- CL
Имеется ряд других точек, например 24 точки W с координатами
вида -(±1, 0, ±2).
й
Для объемно-центрированной решетки обратная решетка
является ГЦК-решеткой. Каждый узел вершины элементарной ячейки
имеет ближайшими три узла, лежащие в центрах трех граней,
пересекающихся в рассматриваемом узле. Поскольку всего элементарных
Рис. 28, Зона Бриллюэна и ее элементы симметрии:
а — ее построение; б—для ГЦК-решетки
ячеек, ^приходящихся на один вершинный узел, восемь и каждый
узел, % лежащий в центре грани, принадлежит двум элементарным
ячейкам, §у Йкаждого узла имеется 12 узлов на расстояниях
( — )+(—) =——Ь=-—. Построив 12 плоскостей, проходя-
п
щих на расстояниях
2 _а
1 (V 2
Ь , получим двенадцатигранник, сим-
2 \ 2
метричный относительно узла, принятого за начало отсчета.
Следующие шесть узлов находятся на расстояниях Ь вдоль ортов
i, j, k. Плоскости, проходящие через середины этих отрезков,
проходят на расстояниях &/2, т. е. через вершины рассмотренного
двенадцатигранника. Следовательно, зона Бриллюэна для прямой
ОЦК-решетки представляет собой двенадцатигранник, грани
которого ортогональны направлениям типа [110] и находятся от
1 V~2 V~2 я
точки Г на расстояниях 2я Ь=- . На рис. 29
приведена зона Бриллюэна для ОЦК-решетки и ее точки, линии и
плоскости симметрии.
119

4. В настоящее время в полупроводниковой электронике основе
ное значение в качестве исходных материалов имеют алмазоподоб|
ные полупроводниковые соединения или простые вещества. К ним
относятся: германий, кремний, алмаз. Они имеют решетку типт
алмаза, представленную на рис. 30. \
Решетку типа алмаза можно представить в виде двух гране-J
центрированных кубических решеток, смещенных вдоль пространств
венной диагонали на четверть ее длины. Элементарная ячейка
алмаза, изображенная на рис. 31, не имеет центра инверсий, по*
Рис. 29. Зона Бриллюэна и ее Рис. 30. Решетка типа алмаза \
элементы симметрии для j
ОЦК-решетки 1
этому симметрию ячейки можно описать группой О. Однако прост4
ранственная группа решетки алмаза помимо простых трансляции
на период решетки а содержит еще плоскость зеркального скольн
жения. Это преобразование можно представить следующим образом J
Поместим начало координат в одной из вершин элементарном
ячейки. Построим плоскость аХУ ортогональную оси х и проходящую
через точку с координатами а (1/8, 0, 0). Сместим пространстве!
на вектор (а2+а3)/4, затем отразим его в плоскости ох(а/8, 0, 0)1
Теперь найдем связь между координатами точек исходного и преоб!
разованного пространства. Точка М с координатами (х> у, z) преоб!
разуется сначала в точку с координатами (х, у+а/4, z+a/4) при
смещении пространства на вектор (а2+а3)/4. Отражение в плоскостм
ох, [проходящей через точку (л:0, 0, 0), преобразует координать!
следующим образом: 1
охМ(х, у, z) = M(—x+2x0f у, z). j
Это вытекает из условия зеркального отражения. Действитель^
но, из рис. 32 видно, что х0 — х' = х — х0, или х' = —х+2х0. УчитыЛ
вая этот результат, приходим к выводу, что М (х, у, z) после
смещения на (а2+а3)/ 4и отражения в плоскости ох(х0, 0, 0,) npeJ
образуется в точку М с координатами j—х+—, У+~, z+—J J
120 3

Но это же преобразование можно^ получить отражением в
координатной плоскости ох(0, 0, 0) и смещения на вектор (а1+а2+а3)/4=
= — (i+j+k), т. е. вдоль пространственной диагонали на четверть
ее длины. Но такое преобразование переводит одну гранецентри-
рованную подрешетку в другую. Используя отражение в плоскостях
°у г' Т' ч или az(0»0~)> преобразуем координаты точки М(х,
у, г) в координаты (*, — у+—, z\ или (х, у, — z+—Y Подействуем
на точку М (х, у, z) следующим образом:
°;(°.°.|) о'у (о, |,0) о'х (|, 0, о)л*(*. у, 2)-
a;
• Zn ®S
S)
Рис. 31. Элементарная ячейка:
a — алмаза; б — сфалерита
Это"| преобразование можно получить, действуя оператором
инверсии i ^ (0, 0, 0) и оператором смещения на d/4 вдоль
пространственной диагонали:
f (|)i(0, 0, 0)М(х, у, 2)-т(|)л*(_х, -у, -2) =
-мН+7» -У+Т- -г+т)'
Это ~ преобразование является преобразованием симметрии для
(мшетки алмаза. Преобразованиями симметрии являются и другие,
юдержащие инверсию. Например,
t(U'..*(!)tf({)'..*ter,.»-
-*(-*+*.-r+f —f).
121

Это же преобразование можно получить с помощью операторов
♦(!•<>•-!»
М(х')
Подводя итог, можем сказать, что инверсия с последующие
смещением пространства вдоль пространственной диагонали на
четверть ее длины—d/4—является преобразованием симметрии
для решетки алмаза, т. е. инверсия является элементом симметрии
решетки алмаза.
Если начало координат поместить не в вершине элементарной
ячейки, а в точке (а/8, а/8, а/8), то инверсия i становится «чистым*
, элементом симметрии решетки алма*
\6х(хо) за. Решетка алмаза имеет точечную
М(х) группу Oh. Характеры неприводимых
■ у представлений группы Oh даны в.
табл. 32. Она строится на основе,
таблиц группы О (см. табл. 28) щ
Рис. 32. Зеркальное отражение рт™ С* ^ ТабЛ' 17)> ТЗК ка^
в произвольно расположенной пло- (/д —C/-Cj.
скости В литературе используют раз*
личные обозначения для неприводм»1
мых представлений группы Oh. В табл. 32 приведены обозначения
некоторых авторов. Кроме того, в ней указаны базисные функцив
для всех неприводимых представлений. ■>
В той же табл. 32 указана и группа 7d, хотя решетка сфалсА
рита не имеет инверсии, поскольку две ГЦК-подрешетки сфалерит*
заполнены атомами различных типов, например А11 и BVI или А1*?
и Bv для соединений A"BVI или АШВУ. Соображения, которые
позволяют включить решетку с пространственной группой Т\ в одну
и ту же таблицу, что и Ol, будут указаны позже.
Зона Бриллюэна решетки алмаза и сфалерита та же, что и длц
ГЦК-решетки. '
Как видно из табл. 32, для неприводимых представлений ис*
пользуют самые разнообразные обозначения. Соображения, лежащиф
в основе использования тех или других обозначений, различны*
Например, широко используют обозначения буквами А и В с раз>
личными индексами для одномерных представлений, буквой £ —
двумерных, буквами Т шк F — трехмерных. Использование буквы Г
основано на общем обозначении, а также в связи с точкой Г зоны
Бриллюэна. Индексы внизу отражают различные особенности
представлений или базисных функций. Например, индексы «gi
и «и» связаны с четностью или нечетностью базисных функций
относительно инверсии (от немецких: gerade — четный и undgerade-*
нечетный). Индексы s, /?, d в обозначениях Ховарса и Джонс!
связаны с тем, что соответствующие базисные функции ведут себя
подобно* волновым функциям соответствующих уровней энергии
атома"^ водорода, например^; сферически симметричным волновым
122

Таблица 32
Таблица характеров неприводимых представлений и их обозначений группы Од (и Td)
О
(Td) E *54 6°d 3C2 8С3
Б1 ЛБ* ХД* ЛХ4 ЗУК6 БСВ« Од Е 6С4 6С2 ЗС4 8C3
Г, a Ts Г1 Alg T{ Tlg Tlg 1 1 111
Г2 р' Г* Г% A2g Г2 Г2^ Г2^ 1-1-1 1 1
Г3 Y Г; гГ2 Eg Г12 Г3^ Г3^ 2 0 0 2-1
Г4 6' Г, Г+5 Tlg г;5 Г., T6g 3 1-1-10
Г5 е Td Г25 T*g Г25 Г^ Г4* 3 — * 1 ~J °
Г; а' Г* Г7 Л1м Г; Т1а Т2а 1 1 111
Г2 Р Г; Г^ Л2„ Г; Т2и Т1и 1-1-1 1 1
Г3 Y' ГА Г" Еи Г', 2 Т8и Тзи 2 0 0 2-1
г; 6 г, г7б т1и г15 гб„ г4„ з 1-1-1 0
Г5 е' Tf Г25 ^ги Г2Б Г4Ц Тьи 3 —1 1 —1.0
0 1
i 6iS4 6iad ZiC2 8/C3 Базисные функции
i 6iC4 6iC2 Ж2А 8iC3
11111 1
1—1—1 1 1 А-4 СУ2 — 22)+^(z2— *2)+Z4(*2 — y2)
2 0 0 2—1 3*2 —r2; V$~{y2—z2)
3 1—1—1 0 yz (y2 — z2); zx (z2 — *2); xy (x2 — y2)
3—1 1—10 #z; za-; лт/
—1 _i _i —1 —1 xyz[x*(y2 — z2)+y*(z2—x2)+z*(x2 — y2)]
— 1 1 1—1—1 *#Z
—2 0 0—2 1 **/z (3 *2 — r2); l/з **/z (y2 — z2)
—3 —1110 X\ y; z
-3 1-1 10 x(y2-z2)\ y(z* — x2); z(x2-y2)
1 Б — Бете,
1 ЛБ — Лаге. Бете,
• ХД — Ховарс, Джонс,
* ЛХ — Лэкс, Хопфилд,
£3 • ЭУК —Эйринг, Уолтер, Кимбалл.
со • БСВ — Боукарт, Смолуховский, Вигнер.

функциям f(r) для s-состояний или волновым функциям вида
xf(r)> yfir)y zf(r) для /?-состояний.
Использование двойных индексов Боукартом, Смолуховским
и Вигнером для многомерных обозначений, например Г25 (читается
гамма-два — пять), связано с соотношениями совместности,
определяющими разложение Г25 на два неприводимых представления Д^
и Д5 вдоль оси А, о чем будет сказано в следующих4 параграфах.
Построение зон Бриллюэна для более сложных решеток
проводится аналогичным образом, однако ограничимся приведенными
примерами.
§ 26. Влияние возмущения
на существенное вырождение
Как было установлено в предыдущих параграфах, существенное
вырождение «уровня» энергии Е имеет кратность, не меньшую раз»
мерности неприводимых представлений, по которым преобразуются
собственные функции данного собственного значения Е
гамильтониана. Используя для обозначения «уровней» энергии соответствующие
обозначения неприводимых представлений, можем сказать, что,
например, уровни Г15, Г25 — трехкратно вырождены, Г12 — двукратно
вырожден.;
Поскольку существенное вырождение обусловлено только сим»
метрией потенциального поля, то для его снятия необходимо изме-
нить характер симметрии гамильтониана. Простейшим способом из»
менения группы симметрии является наложение возмущения W (т)\
Обозначим гамильтониан исходной — «невозмущенной» — системы
л л л л ?
через Н0, возмущенной—через H = H0+W. ■'
Собственные значения и собственные волновые функции обозна»
чим соответственно через Е0 и г|)0, Е и if:
НСЦ>0=Е0%;
Нг|)=£г|). I
Если W (r)=W (г) мало, то значения Е и г|) близки к Е0 и г|?£
однако следует рассмотреть характер вырождения уровней энерги|
Е0 и Е. ;
Обозначим группы симметрии U (г) и W (г) в виде Gu и Gut онИ
имеют порядки gu и gw.
Если группа симметрии возмущения W (г) совпадает с группе!
симметрии потенциального поля [/(г) или имеет более высокий по»
рядок, при этом Gu является подгруппой Gw, то группа симметрии
полного гамильтониана не меняется, поэтому и характер вырожде*
ния уровней энергии не меняется. Если группа симметрии возму»
щения W (г) имеет более низкий порядок, чем поле U (г), причем
Gw является подгруппой группы Gu, то происходит понижение по»
рядка группы симметрии суммарного поля U(r)+W (т) до симметрии
124

возмущения, поэтому характер вырождения уровней энергии Е будет
определяться размерностью неприводимых представлений
возмущения. Другими словами, необходимо разложить неприводимые
представления группы Gu по неприводимым представлениям ее
подгруппы Gw, т. е. будем иметь типичную задачу о редукции на
подгруппе. Однако возможен и третий случай: группы Gu и Gw имеют
различный или даже одинаковый порядок, но характер симметрии
полей U (у) и W (г) различен. В этом случае необходимо установить
группу симметрии Gu+W полного поля [/(г)+№ (г),? после чего сле-
Рис. 33. Связь элементов симметрии групп Trf, C2v и С,
дует" разложить неприводимые представления группы Gu по
неприводимым представлениям группы Gu+W, размерности которых
полиостью определят характер вырождения уровней энергии
возмущенной системы.
Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие сказанное.
1. Поместим кристалл в жидкость и подвергнем ее сжатию.
Объемное, или всестороннее, сжатие меняет поле решетки, оставляя
неизменной его симметрию. Следовательно, вырождение уровней
энергии полностью сохраняется.
2. Рассмотрим кубический кристалл с точечной группой Td.
Наложим на него возмущение, имеющее группу симметрии C3v, причем
гак, что оси С3 групп C3v и Td совпадают. В этом случае группа
С3и является подгруппой группы Td (рис. 33). Шесть элементов
группы C3v распределены по трем классам: Е, 2С3, 3ov, она имеет
три неприводимых представления, характеры которых возьмем из
табл. 30.
Сзи
Г<2> = Л2
Г(3)=£
Е 2С3 Sgv
1 1 1
1 1 —1
2—1 0
125

Выпишем характеры соответствующих элементов группы Td длад
двумерных и трехмерных представлений из табл. 31, они приведе-|
ны в табл. 32. При ее составлении было учтено, что элементы 6(ш
и 6С4 групп Td и О соответствуют друг другу. Разложим представле-|
ние Td по неприводимым представлениям группы CZv, пользуясь)
табл. 33.
Таблица 33 :
Сзи
Е
Tia
r;2
г;5
Г15
r'l5
г25
Е
1
1
2
2
2
3
3
3
3
2С3
1
1
—1
— 1
—1
0
0
0
0
Ъоу
1
—1
0
0
0
1
—1
—1
1
Запишем разложение в виде
з
Г(0,)=2 ааГ(«)(С,); GteC3v
а=1
Х(0,)=2ааХ(а)(^)-
а=1
Из ортогональности характеров найдем аа, пользуясь общим выра^
жением
aa=±k%w4Gi)%{Gi).
g t=i
Для представлений Г12 и Г12 имеем:
a1 = -i(bl.2+2.1(-l)+3.1.0)=0;
о
a2=i(l. 1-2+2.1.(_1)+3-(-1)-0) = 0;
О
а3= —(1-2-2+2-(— 1).(_1)+3-0-0)=1.
126

Получили Г12 = la2= E, т. е. двумерные представления группы Td
при наложении возмущения с симметрией C3v сохраняются.
Для представлений Г15 и Г is аналогично найдем:
а1=1[Ы.З+2.Ь0+З.Ь(—1)]=0;
6
a,= l[1.1.3+2.1.0+3.(-l).(-l)]=l;
и
Ч,= 1[1.2.3Н-2.(-1).0+3.0.(-1)]=1
и
ИЛИ
т. е. трехкратно вырожденные уровни Г1б и Г15 группы Td
распадаются на два уровня — однократно вырожденный А2 и двукратна
вырожденный уровень Е.
Проделав аналогичные преобразования для Г25 и Г25, найдем:
а±=1, а2=0, Яз=1> т- е-
Га§=Г2в==^1+£.
Таким образом, при наложении возмущения с группой
симметрии CQv трехкратно вырожденные уровни Г25 и Г1б* распадаются на
два уровня, один из них — двукратно вырожден—уровень Е>
другой— простой, при этом из Г2б выделяется уровень^ Л1,~[а^ из Г1б —
уровень А2.
3. Продолжим анализ роли возмущения, наложив возмущение с
группой симметрии более низкого порядка, например, C2vt имеющей
четыре элемента, распределенных по четырем классам. Другими
словами, группа C2v имеет четыре одномерных представления: 4=12+
+ 12+12+12. Таблица характеров неприводимых представлений
может быть легко составлена (табл. 34) либо на основе [соотношений
ортогональности характеров, либо учитывая изоморфизм групп C2v
и, например, C2h. %
Таблица 34
Таблица характеров неприводимых
представлений группы C2v
C2V \ Е С 2 Ov Gv
Ai
л2
Вг
в2
1
1
1
1
1
1
— 1
— 1
1
— 1
1
—1
1
—1
— 1
1
Если ось С2 группы C2v направить вдоль оси S4, то C2v является
подгруппой группы Tdi причем элементы С2 и S4, o'v, a„' и od
соответствуют друг другу. Рассмотрим характер расщепления уровней
127

Г12» ;Ги и Г25 группы при действии возмущения C2v, исходя из
табл. 35.
Таблица 35
Соответствие элементов групп Td и С2в
Г
At
А2
Bi
в2
Tl2
Г15
г25
Е
1
1
1
1
2
3
3
с2
1
1
—1
—1
2
—1
— 1
*о
1
—1
1
—1
0
— 1
1
v"v
1
— 1
—1
1
0
—1
1
Найдем расщепление, например, уровня Г25:
а1=-[Ы.3+Ь 1-(— 1)+Ы-1 + 1.Ы]=1;
с2=1[Ы.3+1-Ь(-1)+1-(-1)-1 + Ь(-1)-1]=0;
4
а3=1[Ы.З+Ь(-1).(-1)+Ы.1 + 1.(-1).1] = 1;
4
«4=7[ы-з+ь(-1)-(-1)+ь(-1)-1+ьы]=1
°3v
L2v
V
Е-
А7-
'25
'75
•в2
'В,
Л
•В2
'В;
Ь
-А2
ИЛИ
г25=Л+Я1+я2.
Проводя аналогичные
ния, найдем
г12=А+^2-
вычисле-
Рис.г 34. Схема расщепления
уровней энергии Г12, Г15 и Г2Б группы
Та при наложении возмущения
с группами C^v и C3V
Таким образом, возмущение с
'группой C2v снимает вырождение
уровней Td полностью. Само по себе
это положение можно было бы
высказать без проведения вычислений,
поскольку возмущение C2v имеет
только одномерные представления, поэтому возмущенная система
может иметь только^простые, невырожденные, уровни. Расчет же
позволяет находить, на уровни какой симметрии происходит рас*
щепление вырожденного состояния. На рис. 34 схематически пока*
зано полное снятие вырождения уровней Г25, Г15 и Г12 при наложе*
нии возмущения с группой C2v и частичное снятие вырождения при!
наложении возмущения с группой симметрии С3и. '
128 ,-i

Как видно из сказанного, для решения вопроса о типе
вырождения состояний возмущенной системы достаточно установить
группу симметрии вырожденной системы и произвести разложение
представлений невозмущенной системы по неприводимым представлениям
группы симметрии возмущенной системы. Наиболее просто это
проводится для случая, когда группа симметрии возмущения является
подгруппой группы U (г). В противном случае следует искать
группу симметрии полного поля U(r)+W(r)} она должна быть
подгруппой наибольшего порядка одновременно для групп Gu и Gw.
§ 27. Группа волнового вектора
Как уже было сказано, симметрия обратной решетки тесно
связана с симметрией решетки кристалла, их точечные группы или
фактор-группы по подгруппе трансляций одинаковы. Именно этим
обусловлена одинаковая симметрия поля U(r) и энергии Е (к).
Напомним, что точечная группа является подгруппой
пространственной группы, если пространственная группа содержит простые
трансляции, зеркальные отражения, вращения и инверсию. Если же
в пространственной группе содержатся винтовые оси или плоскости
зеркального скольжения, то точечная группа есть группа,
изоморфная фактор-группе пространственной решетки по подгруппе чистых
трансляций.
В решетке сфалерита подрешетки заняты различными атомами,
поэтому зеркальное скольжение не содержится в ее
пространственной группе, обозначаемой Т\ или F43m. Точечная группа зоны
Бриллюэна совпадает с точечной группой прямой решетки, т. е. с
группой полной симметрии тетраэдра Td.
Рассмотрим действие операторов G^ точечной группы G в
пространстве волнового вектора к. Если к есть радиус-вектор точки
к-пространства, то операторы Gt £ G определяют преобразование к в к':
Точка к называется точкой общего типа, если при действии всех
Gt на к образуется g точек k' = GjK. Построив все точки k^G^k,
получим группу векторов, называемых звездой вектора к. Для
точки общего типа число векторов звезды равно порядку группы.
Точка1 к называется точкой симметрии, если она лежит на
элементе симметрии. Очевидно, что действие такого элемента на вектор
его не изменяет, поэтому число векторов звезды может оказаться
меньше порядка группы.
В связи со сказанным вводится понятие группы волнового
вектора. Группой волнового вектора GK называется совокупность
элементов группы G, оставляющих вектор к неизменным:;
Gkk=k. 5
Учитывая периодичность свойств кристалла в пространстве
волнового вектора к, например Е (к+2яЬ)=£ (к), следует обобщить
понятие группы GK соотношением:
GK = к+2этЬ.
Киресв П. С.
129

Поскольку группа волнового вектора GK содержит элементы
точечной группы G, группа GK является подгруппой группы G. Таким
образом, нахождение групп GK связано с нахождением подгрупп
точечных групп G.
Две тривиальные подгруппы существуют в любой группе — это
подгруппы H = G и Н = Е. Найдем векторы к, которым
соответствуют эти подгруппы.
Для точек общего типа преобразование GKK = K+2nb в пределах
основной зоны Бриллюэна имеет одно единственное решение:
GK=E,
т. е. группа волнового вектора GK для точек общего типа есть
тождественное преобразование Е.
Для точки Г имеем
0,0 = 0,
т. е. для любого элемента G, точечной группы G точка Г
преобразуется сама в себя. Следовательно, группа GK волнового вектора
к=0 совпадает с группой G. Таким образом, две тривиальные
подгруппы H=G и Н = Е реализуют группу волнового вектора GK для
точки Г и точки общего типа.
Вспомним, что неприводимые представления подгрупп отличаются
от неприводимых представлений группы. В связи с редукцией на
подгруппе возможно понижение размерностей неприводимых
представлений и кратности вырождения состояний. Группа Е имеет одно
представление, следовательно, группа GK в общей точке имеет
простые уровни энергии. Другими словами, при переходе от точки
симметрии к общей точке должно происходить снятие возможного
вырождения.
Напротив, в точке Г, группа волнового вектора GK которой
совпадает с точечной группой G, неприводимые представления групп
GK и G совпадают, в связи с этим неприводимые представления
группы GK называют неприводимыми представлениями точки Г. Из
сказанного вытекает, что в центре зоны Бриллюэна кратность
вырождения состояний не может быть меньше, чем в какой-либо
другой точке.
Редукция на подгруппе позволяет найти связь между
представлениями в точке Г и точках симметрии. Соотношения между
неприводимыми представлениями в точке Г и точках симметрии обычно
называют соотношениями совместности. Поскольку для решеток
различного типа обозначения точек симметрии и сами соотношения
совместности различны, следует рассматривать их для конкретных
случаев.
§ 28. Простая кубическая решетка.
Малые представления
Зона Бриллюэна для простой кубической решетки представляет
собой куб со стороной 2я/а (см. рис. 24). В ней имеются три оси
130

четвертого порядка — оси А —, идущие в направлении типа [1 0 0],
четыре оси третьего порядка — оси Л —, идущие в направлениях
типа [1 1 1], и шесть осей второго порядка — оси 2 —> идущие в
направлениях типа [110]. Если построить звезду вектора к для
каждой оси, то получим соответственно шесть, восемь и двенадцать
элементов. К элементам симметрии относятся плоскости А 2, Л 2
и ЛА.
A=^v I a)
^
Iv^/T
^г
А = С
JV
В)
Рис. 35. Группы волнового вектора для простой кубической решетки:
а —А; б — Т; в — А; г—Л
Точки симметрии, лежащие внутри зоны Бриллюэна, называются
внутренними; точки симметрии, лежащие на поверхности зоны
Бриллюэна, называются внешними. На рис. 24 указаны внутренние и
внешние точки симметрии зоны Бриллюэна простой кубической
решетки. Внутренние точки на осях А, Л и 2 обозначаются теми же
буквами. Точки их выхода на поверхность зоны Бриллюэна
обозначаются другими буквами, а именно: X, R и М соответственно для
осей А, Л и 2- Ребра куба обозначаются через 7. Остальные точки
видны из рис. 24. Неприводимые представления группы волнового
вектора обозначаются теми же буквами, что и сами элементы
симметрии. Порядок h группы волнового вектора GK можно найти,
учитывая, что она является подгруппой точечной группы,
обеспечивающей преобразование вектора к в эквивалентные. Другими
словами, если звезда вектора к содержит / лучей, то hl=g.
А. Группа Д. Согласно последнему соотношению можно найти,
что группа GA, или А, имеет /i = 8, так как звезда А состоит из
шести лучей и hl=A8 = g группы 0/г
Из рис. 35 видно, что ось А есть ось четвертого порядка,
следовательно, она содержит С4, С|, С\, С\ = Е. Координатные пло-
131

скости ах и а2 входят в А. Но поскольку ау и az содержат ось А,*
а она является осью четвертого порядка, то, следовательно, ecnJ
еще две плоскости e'd и с^. Других элементов симметрии куба,
преобразующих точки оси А самих в себя, не существует. Таким обра*
зом, группа А изоморфна группе C4v. Она имеет 8 элементов, раст
пределенных по пяти классам. В табл. 36 указаны классы и
характеры ее неприводимых представлений: 8= Г2+12+12-}-12+22.
Неприводимые представления группы GK называют малыми
представлениями.
Таблица 36
Таблица характеров неприводимых представлений
группы А
Д I Е С\ 2С4 2iC2A 2iC2
Ах
А2
А3 = А2
а4=а;
А5
1
1
1
1
2
1
1
1
1
—2
1
—1
— 1
1
0
1
1
. —1
— 1
0
1
—1
1
—1
0
При обозначении классов использованы те же символы, что и
для Oh9 что удобнее при нахождении соотношений совместности.
Нэрне. 35 видно, что классы 2iC\ и 2iC2 обозначают классы
координатных 2ву и диагональных 2ed плоскостей, или Д2 и АЛ.
Б. Группа Т, группа точек Т ребер куба. На рис. 35, б
показана точка Г и ее «изображения» на ребрах куба, полученные
размножением точки Т с использованием элементов симметрии куба-
На каждом ребре может быть не более двух симметричных точек,
и, следовательно, всего симметричных точек должно быть 24: по две
точки на двенадцати ребрах. Точка Т преобразуется сама в себя,
только при тождественном преобразовании Е и отражении в
диагональной плоскости od, проходящей через ребро с точкой Т.
Следовательно, если бы точка Т была внутренней, то ее группа была бы'
изоморфна группе Cs, а ее звезда содержала бы 24 элемента.
Однако в определение группы волнового вектора внешних точек входи?
возможная трансляция на вектор 2nb=—(n1\+n2]+n.6k), обеспечи-
а
вающая преобразование «изображений» точек Т в саму точку 7\
Пусть координаты точки Т имеют вид —(1, 1, £), где 0<|£|< 1/
а
Л
Отражение в координатной плоскости ах даст точку охТ с коорди?,
132 ;;

натами —/—1, 1, £). Но если к точке схТ добавить вектор
a v
— (1, 0, 0), то получим
а
o/+-(i- о, 0)=^(- 1, 1, ю+—(1, о, он-5-0, 1, d=t, ,
а а а а
т. е.
охТ+2яЬг=Т.
Как видно из рис. 35, б, подгруппа Т содержит те же
элементы, что и группа Д, они изоморфны. Только 4 точки Т, отмеченные
большими точками, дают преобразование Т в Т.
В. Группа Л. Группа Л есть преобразование точек оси Л самих
в себя. Ось Л есть ось третьего порядка, поэтому в группу Л
входят С3, Сз и Cl = E. Звезда Л содержит восемь лучей, поэтому в
группу Л должно входить 6 элементов. Как видно из рис. 35, ву
три диагональные плоскости cd, содержащие прилегающие к оси Л
ребра, входят в группу Л. Следовательно, группа Л изоморфна
группе C3v. Характеры неприводимых представлений группы Л и ее
классы в обозначениях группы Oh даны в табл. 37 (6=12+12+22).
Таблица 37
Таблица характеров неприводимых
представлений группы Л
А
Ai
Л2
Л3
Е
1
1
2
2С3
1
1
—1
3iC2
1
— 1
0
Г. Группа 2- Ось 2 второго порядка, поэтому в группу 2 вхо"
дят С2 и С\. В нее входят и две плоскости—oz и od (рис. 35, г).
Поскольку звезда 2 содержит 12 элементов, группа имеет 4
элемента: Е, С2, о2 и od, т. е. она изоморфна группе C2v9 имеет
четыре класса. Обозначения ее классов и их характеры приведены в
табл. 38.
Таблица 38
Характеры неприводимых представлений
группы 2 (и S)
S \ E C2 iC\ iC2
2i
S2
2з
24
1
1
1
1
1
1
—1
—1
1
—1
—1
1
1
—1
1
—1
133

Аналогичным образом можно построить группы волнового
вектора для остальных элементов симметрии.
Неприводимые представления группы Г совпадают с
неприводимыми представлениями самой группы 0Л, поэтому в центре зоны
Бриллюэна простого кубического кристалла имеются состояния
простые и вырожденные с фактором вырождения, равным двум (Г12 и
Г1г) и трем (Г15, Г15, Г25, Ггб). Вдоль осей симметрии А, Л и 2
происходит снятие вырождения. При этом вдоль осей 2 происходит
полное снятие вырождения, поскольку группа 2 имеет только
одномерные представления. Полное же снятие вырождения происходит
и в точках общего типа, для которых группа волнового вектора
есть тождественное преобразование. Вдоль осей Д и Л возможно
двукратное вырождение. Решение вопроса о том, какие уровни
расщепляются, а какие остаются вырожденными, вновь сводится к
проблеме редукции на подгруппе, т. е. к разложению неприводимых
представлений группы по неприводимым представлениям
подгруппы— группы волнового вектора.
Рассмотрим этот вопрос для подгруппы А. Для этого выпишем
характеры соответствующих классов групп А и 0Л, пользуясь
табл. 32 и 36.
Обозначая коэффициенты разложения аа по группе Д с
соответствующими индексами, найдем их, пользуясь табл. 39 и условием
ортогональности характеров, т. е. выражением
aa(rp)=J2x(a)*(WP)(G*).
Проводя разложение, найдем:
МГа)=1
а2(Г2)=1
fli(r12)=l
а»(Ги)=1
%(Г15)=1
а5(Г15)=1
я2(г25)=1
МГ„)=1
fl'i(ri) = l
а2 (Г2) = 1
а2{т'12) = 1
a',(r;2)=i
а'.(г;2)=1
аб(г1б) = 1
а2(Г25)=1
ав(Г25) = 1
остальные коэффициенты равны нулю.
Проверим это, например, для Г25:
а1(Г25)={[Ы-3+Ы-(-1)+2-Ь(-1)+2-Ы+2.Ь(-1)] = 0;
о,(Г») = 1(Ы.З+Ы.(-1)+2.(-1).(-1)+
+2.Ы+2-(-1).(-1)] = 1;
134

в2(Г„) = |[1.1-3+1-1-(-1)+2.(-1).(-1)+
+2-(-1)-1+2.Ь(-1)]=0;
а1(Г„)=|[1.1.3.1.(-1)+2.1.(-1)+2.(_1).1+2.(-1).(-1)] = 0;
О
«5(Г25) = |[Ь2.3+1.(-2).(-1)+2.0.(-1)+2.0.(+1)+2.0.(-1)] =
= 1.
Таким образом,
г2Б=Д2+Дб,
т. е. уровень Г25 распадается на простой уровень Л2 и двукратно
вырожденный уровень Д5 вдоль осей А.
Таблица 39
К расчету соотношений совместности групп А и Г
А
Ai
А2
а;
а;
А5
Ti
г2
Гц
Tie
г;5
r'i
г;
г; 2
г«
Г25
Е
1
1
1
1
2
1
1
2
3
3
1
1
2
3
3
Г2
—2
—1
— 1
2
— 1
— 1
2С4
—1
—1
0
—1
— 1
—1
—1
ж\
—1
—1
0
2
—1
— 1
—1
—1
—2
2/С2
—1
—1
0
— 1
0
—1
—1
—1
В теории твердого тела редукцию на подгруппе обычно
называют соотношением совместности. Они определяют характер
изменения кратности вырождения в наиболее симметричной точке — точке
Г—при переходе к точкам с меньшей симметрией. Соотношения
совместности для Г, А, Л и 2 приведены в табл. 40, которая может
быть построена с помощью табл. 32, 36, 37 и 38. Из табл. 40 виден
смысл двузначных обозначений представлений в точке Г.
Из табл. 40 видно, например, что трехмерно вырожденное
состояние Г25 распадается на три простых уровня 2i> 2г и 2j4 вдоль
135

оси 2, простой уровень А2 или Л2 и двукратно вырожденный
уровень Д5 или Л3 соответственно для направлений Д и Л. На рис. 36
схематически показано расщепление уровней Г25 и Г12 вдоль осей
А, Л и 2- Расположение самих уровней условно.
Таблица 40
Соотношения совместности для групп Г, Л, Л и 2
г
14
г2
Гц
r'i6
Ги
г;
г;
г;2
г»
га5
д'
Ai
д2
Ai Д2
д; Дб
А2 А5
д;
д2
д; a j
Ai Д5
Д2 As
Л
At
Л2
л3
лг л3
Ai Л3
А»
At
Л3
Ai Л3
Л2 Л3
2
Si
22
2i 24
2j2 2з 2j4
2l 2j2 2з
a
2з
2г 2з
2i 2з 24
2i 2г 24
Рассмотрим ход уровней энергии вдоль осей вблизи границы
зоны Бриллюэна в точках X, R и М.
Группы точек Д, Л и 2 имеют порядки, равные 8, 6 и 4.
Группы X, R и М не могут иметь меньшие порядки, чем Д, Л и 2,
число лучей звезд для этих точек не больше, чем для внутренних
точек. Однако, поскольку точки X, R и М лежат на границе зоны,
т. е. являются внешними, число лучей может оказаться меньше, а
порядок этих групп тем самым выше, чем для внутренних точек.
Возьмем точки X. Запишем их координаты:
Х1 = ^(1, 0, 0); Х2 = 2-(-1, 0, 0);
а а
*з = -(0, 1, 0); Х4=-(0, -1, 0);
а а
Х,-^(0, 0, 1); X6=2i(0, 0, -1).
й а
Рассмотрим разность векторов Хх и Х2:
Х1-Х2 = 5-(1, 0, 0)-2L(-lf 0, 0)=?^.(1, 0, 0),
а а а
т. е. точки Хх и Х2 связаны друг с другом вектором обратной
решетки b^) = (&, 0, 0). Другими словами, в группу волнового
вектора X входит преобразование симметрии ох: аЛ.Х1+2яЬ<1>=Х1, в то
136

время как в группу А отражение ах не входит. Аналогично
доказывается, что в'Х входит инверсия i. Впрочем, наличие инверсии i
вытекает из наличия ау и oz и добавления ох к элементам группы А.
Нам остается проверить, входит ли в X ось С3. Для этого
рассмотрим разность Хг и Х4:
Х1-Х4=^(1, о, 0)-^(0, -1, 0) = =.(1, 1, 0)=М1=2Я(-|, |, О).
а а а \ 2 2 ]
Но вектор (—-, —, 0) не является вектором обратной решетки,
поэтому точки Хг и Х4 не могут быть преобразованы друг в друга
трансляцией, и тем самым точки Х2 и Х4 — эквивалентные, получа-
Ё
%|
ь
к
л,.
А,-
Г25
ГП
Рис. 36. Характер расщепления уровней энергии при переходе
от точки Г к точкам Л, Л и 2
емые поворотом вокруг оси С3. Таким образом, звезда X содержит
три луча, а группа X содержит 16 элементов, ее можно представить
в виде прямого произведения групп А и Cs: X=A-CS, содержащее.
V*
/r7
h
ly/
tf
\
и
A
/
i
z
>M2
г
•
i
л
4
/
м,
a)
5)
Рис. 37. Группа точек R (а) и М (б) в'простой
кубической решетке
десять классов. Неприводимые представления группы X можно
получить в виде прямого произведения неприводимых представлений
групп А и Cs. Она имеет восемь одномерных и два двумерных
представления, поэтому характер расщепления уровней энергии в
точках X такой же, как и в точках А.
Г37

Рассмотрим точки R (рис. 37, а) и их координаты:
^=-(1, 1, 1); R2=-(-l, 1, 1,);
R3 = -(-i, -l, l);
а
Re=-(1, l, -1);
а
R5=-(-l, -l, -l);
а
i*4=-О. -1. 1);
а
R, = -(-l, 1, -1);
а
R8=-(—1, 1, -О.
а
т. е. имеем восемь векторов R. Возьмем разность Rx и R2:
Ri-R2=-0, i, i)--(-i, i. D=-(2, o, o)=^(i, о, 0),
a a a a
т. е. точки Rx и R2 разделены вектором 2я(6, 0, 0). Следовательно
преобразование
&Л+2я(6, 0, 0)=К2+2л(Ь, 0, 0) = RX
оставляет точку /?х инвариантной.
Проводя аналогичные выкладки, легко убедиться, что группа R
изоморфна группе Г, поэтому характер расщепления уровней
энергии в вершинах зоны Бриллюэна такой, как и в центре (см. рис. 36, б).
Обратим внимание, что пересечение, например, ветвей Д2 и Д5 или
Л2 и Л3 внутри зоны исключено.
Рассмотрим теперь точку М. Координаты точек М имеют вид
типа (рис. 37, б):
Мх=—(1, 1, 0); М2 = 5-(1, 0, 1) и т. п.
а а
В отличие от группы ^ = C2v группа М имеет такие элементы, как
«отражения в координатных плоскостях ах, ауу вг, оставляющие
точки М инвариантными при трансляции на вектор 2я&. Благодаря
этому четыре точки М, лежащие в одной координатной плоскости,
превращаются в одну точку. Однако точки, лежащие в трех различных
координатных плоскостях, не могут быть переведены трансляцией
друг в друга. Поэтому звезда М содержит лишь три эквивалентных
луча, а не двенадцать, как звезда 2» и группа М имеет порядок
h=l6. Группу М можно найти непосредственно из рис. 37, б или
на основе группы Т. Для точек Т нет отражения в третьей
координатной плоскости, в то время как для группы М ах вместе с ау и
<т2 оставляет точки инвариантными. Умножив восемь элементов
группы Т, или Д, на аХУ получим восемь новых элементов, поэтому
группу М можно представить в виде прямого произведения групп
7(A) и Cs:
м=д.с5.
138

Группа М имеет восемь классов: шесть неприводимых представ^
лений одномерны и два двумерны, поэтому в точках М возможно
двукратное вырождение уровней, в то время как в точках 2
вырождение снимается.
§ 29. Малые представления.
Гранецентрированная кубическая решетка
и решетки вюрцита
Зона Бриллюэна гранецентрированной кубической решетки
изображена на рис. 28. Видно, что она обладает группой симметрии Он%
Центр зоны — точка Г — обладает полной группой неприводимых
представлений группы Oh так же, как и для простой кубической
решетки, поэтому характер вырождения уровней энергии в точке Г
кристалла с простой кубической решеткой сохраняется при
переходе к решетке с центрированными гранями.
Оси симметрии обозначаются так же, как и в случае простой
кубической решетки: А — ось четвертого порядка, Л—ось третьего
порядка, 2— ось второго порядка.
Непосредственно из рис. 24 и 28 видно, что группы волнового
вектора А, Л, 2 и X гранецентрированной кубической решетки
изоморфны соответствующим группам волнового вектора простой
кубической решетки.
Из точек симметрии рассмотрим граничные точки L, лежащие
на оси Л. Они имеют координаты:
* (1, 1, 1); 5-(_i, 1, 1); -(1,-1, 1); -(1, 1, -1);
а а а а
^(-1, -1, -1); ^(1, -1, -1); -(-1, 1, -1); — <—1, —1,1),
а а а а
т. е. те же координаты, что и точки R простой кубической
решетки. Однако группа симметрии L не изоморфна группе R.
Рассмотрим инверсию I, действующую на точку — (1, 1, 1), по-
а
лучим точку — (—1, —1, —1). Разность векторов
а
-(1, 1, 1) — — (—1, -1, -1)=-(2, 2, 2)=^(1, 1, 1)
а а а а
при делении на 2я дает базисный вектор —(1, 1, 1) для объемно-
а
центрированной обратной решетки, как это было показано в § 25.
Следовательно, две точки L, преобразующиеся при инверсии друг в
друга, совмещаются и при трансляции на базисный вектор.
Другими словами, преобразование iL+2nb/ = L оставляет точку L
инвариантной. Звезда вектора L тем самым имеет не 8, а только 4 луча.
139.

Проверим, являются ли эти лучи эквивалентными. Для этого найдем
разность, например,
5-(1, 1, 1)-^(-1, 1, 1) = -(2, 0, 0) = ^(1, 0, 0)
Но этот вектор не является базисным вектором для обратной
объемно-центрированной решетки (после деления на 2я), поскольку
период обратной решетки Ъ равен 2/а, и инвариантность решетки со-
2
храняется при трансляции на вектор —(1, 1, 1), т. е. в пространстве
4зх
инвариантность наблюдается при смещении на —(1, 0, 0), преобра-
а
•зующем, например, две точки X и —X друг в друга. Таким
образом, точка L имеет звезду из 4 эквивалентных лучей, и группа L
имеет порядок й=12.
Таблица 41
Характеры неприводимых представлений группы L
L
L1A1
L2 А[
L3 Л2
Ц А2
U л3
Le Л3
—
1
1
1
1
2
2
2С3
—1
—1
Зва
1
1
—1
—1
0
0
i
1
—1
1
— 1
2
—2
2*С3
—1
—1
—1
зс2
1
—1
—1
1
0
0
Ее элементы можно получить из группы Л, содержащей шесть
элементов: С3, С\, Cl=E и За^, добавив инверсию i. Произведение
io'd=C2f где С2 — оси второго порядка, проходящие через середины*
противолежащих ребер перпендикулярно плоскостям <х</.
Произведения iC3> iC\ и IE вместе с элементами С3, Сз и £ образуют цикл
S6: S6 = iC3, Si = Ci, Sl = i, St = C3t S56 = iC3, Sq=E. Три плоскости
<jd и три оси Со дают группу двенадцатого порядка. Произведения
вида С2, С3 содержатся в указанных элементах. Таким образом,
группу L можно представить в виде прямого произведения: L = A-Cit
Характеры неприводимых представлений группы L (табл. 41) могут
быть найдены на основе табл. 37 и 17. Обозначения классов
основаны на обозначениях классов групп Л и Сь.
В табл. 42 приведены соотношения совместности групп Г и L.
Сравнение табл. 42 и 40 показывает, что характер расщепления
уровней энергии в точках Ли! одинаков.
Рассмотрим решетку Вюрцита. '
л 40

Зона Бриллюэна гексагональной решетки и ее элементы
симметрии представлены на рис. 26.
Ось 6-го порядка обозначена через А, а точка ее пересечения с
границей — через А Имеется две точки А с координатами ±2ях
х(0, 0, —j^fOf 0, ±—). Вершины призмы обозначены буквами //,
их координаты имеют вид типа 2я (—, , —V всего имеется
\3а Уъа Ъ)
Таблица 42
г
L
Ti
Li
Г2
L,
г2
L3
г;
и
Гм
1ь
г»,
ii
г;5
Lx+L5
Ги
£2+1«
г;.
La+ L5
г25
i-4+Le
12 точек Н. Ось второго порядка обозначена 2> а точка ее выхода
на границу — в центр боковой грани — точка М, имеется 3 оси 2 и
6 точек М. Точка М имеет координаты типа 2я( О, ——, 0\. Коор-
V Уза )
динаты других точек симметрии имеют вид:
Г=(0, 0, 0); Ь=2л(0, -^, ±Л; К=2л(± -L-, О
\ /За 2е; ^3 |/за
Группа точки Г, т. е. группа симметрии зоны Бриллюэна,
содержит элементы: С6; С|; C<s; Се; Се; Сб=£. Наличие горизонтальной
плоскости oh=az дает 6 новых элементов: ohC6=S6; ohCs=Sz;
oflCl=i; ahCt = SJl; ahCl = STl; ahE = ah. Зона Бриллюэна имеет
шесть вертикальных плоскостей а„. Члены вида ahav дают 6
горизонтальных осей С2 или [/2, обозначаемых также в виде 2- Таким
образом, всего имеется 24 элемента симметрии. Их можно получить
в виде прямого произведения групп Сб0 и Ct. Действительно,
группа Свр содержит шесть поворотных осей и шесть вертикальных
плоскостей crD; умножив av на i, получим шесть осей i/2, а
произведение £Сб дает остальные шесть элементов, поэтому Г=Св0-С£.
Группа Св0 имеет 6 классов: Е; 2Св; 2С3; С2; За„; За„ и шесть
неприводимых представлений, размерности которых удовлетворяют условию:
12 = 12+12+12+12+22+22. Следовательно, группа точки Г содержит
12 неприводимых представлений, восемь из них одномерные,
четыре— двумерные. Это означает, что в центре зоны Бриллюэна могут
быть простые и двукратно вырожденные уровни энергии, в то время
как в кубической решетке есть и трехкратно вырожденные уровни.
Этот результат достаточно нагляден: переход от кубического
кристалла к гексагональному означает переход к решетке с меньшей
симметрией, что и должно приводить к снятию (частичному)
вырождения.
141

Таблица характеров группы точки Г (табл. 43) может быть
построена на основе табл. 31 и 17. При использовании табл. 31 учтем,
я 1
что cosco = cos — =—. Обозначим представления группы Свг, через
о А
Гх—Гв, а представления C6vt умножаемые на представления класса
i группы Cf, через Т\—Гб.
Таблица 43
Характеры неприводимых представлений точки Г гексагональной решетки
Г
Гх
г2
Г3
г4
г5
гв
г;
Г2
г;
Г4
г;
г;
Е
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2Св
1
1
— 1
—1
1
— 1
1
1
— 1
—1
1
— 1
2С3
1
1
1
1
—1
—1
1
1
1
1
— 1
— 1
с2
1
1
— 1
—1
—2
2
1
1
—1
—1
—2
2
за;
1
—1
—1
1
0
0
1
—1
~1
1
0
0
за;
1
— 1
1
—1
0
0
1
—1
1
—1
0
0
/
1
1
1
1
2
2
— 1
—1
— 1
— 1
-2
-2
2/С6
1
1
— 1
— 1
1
— 1
— 1
—1
1
1
— 1
1
2/С3
1
1
1
1
— 1
— 1
— 1
— 1
— 1
— 1
1
— 1
/С2
1
1
— 1
— 1
—2
2
— 1
— 1
1
1
2
—2
зш;
1
—1
—1
1
0
0
— 1
1
1
— 1
0
0
з;а;
1
—1
1
—1
0
0
—1
1
—1
1
0
0
Малые представления, т. е. представления групп волнового
вектора, могут быть найдены методом, аналогичным описанному для
простой или гексагональной решетки. Тем же способом могут быть
найдены малые представления для объемно-центрированной решетки.
§ 30. Матричные элементы операторов
В квантовой механике все физические величины определяются
соответствующими им квантовомеханическими операторами. Для
решения многих задач необходимо знать матричные элементы
операторов, вычисляемых с помощью системы собственных функций того
же или другого оператора.
А
Рассмотрим оператор М, действующий на базисные функции {%}
некоторого представления r(Gf), имеющего, например, приведенный
вид:
142

Возьмем одну из базисных функций ify и подействуем на нее
л
оператором М:
Л+,(г) = ф/(г).
л
Матричный элемент Mhj оператора М определяется эрмитовым
скалярным произведением функций tyh и фу-:
0М>/) = j4fe (г) Ф/ (г) dt = j ^ (г) Щ (г) dt=Mki.
Матричные элементы Mkj определяют разложение функции ф7- по
исходному базису {я|^.}. Действительно, разложим ф;(г) по {ify}:
т
Умножим это разложение слева на ф* и проинтегрируем по всему
пространству, в котором заданы базисные функции, получим
m m
= a/y = J ф'M^ydt=M//.
Таким образом, имеем
М*(г) = 2Л1^(г).
/
л
Возьмем оператор Gt из группы G, базисом представления
которой является набор функций {ify}, и запишем
СЛ(г) = 2Г;й(0г)%(г).
Рассмотрим действие операторов Ми Gj одновременно на базис-
Л Л
ные функции, например GttA:
G,M*/ = Gt 2 Ml7^ = 2 Mz, S Tml (Gf) i|>m=
/ / m
= SfSrml(G,)Al,/WM=S{r(GJ)M}w^m.
Взяв те же операторы в другой последовательности, найдем
мол-=м 2 г/у (G,) ^=s г/у (о,) 2 мт$пг=
I 1т
= H(IiMmlTu(Gi))^m = yi{Mr(Gi)}m^in.
т \ I ) т
л л л л л
Предположим, что операторы Ми Cf коммутируют: 0£М=ЛЮ^.
В таком случае из равенства
MGI% = GIM%
следует равенство матричных элементов
{МГ(0,)}т/={Г(0,)М}т/
143

и равенство произведений самих матриц
МГ(С,) = Г(Ог)М.
Умножим полученное соотношение между матрицами М и T(Gf)
слева на r(G~1) = r-1(G£):
r(Gr!)Mr(Gi) = r(Gr1)r(G£)M = r(E)M = EM = M,
т. е.
M = r-1(G«)Mr(G<).
Из равенства матриц следует равенство произвольных матричных
элементов
M,h = {Г"1 (G,) МГ (G,)}/ft=2IV (G,) MlmTmk (G,).
/, т
л
Слева стоит матричный элемент оператора М, не зависящий от
выбора элемента Gt группы G, поэтому, суммируя по всем
элементам группы G, получим
Mih • g=S S Г?/ (G,) М/шГть (G,) =
= 2Л1/т2г;у(0г)Гт,(Сг).
Для дальнейшего анализа связи матриц М с выбором базиса
{г|)/} необходимы более конкретные предположения о виде базиса.
1. Неприводимое представление. Предположим, что Г есть одно
из неприводимых представлений группы G. В таком случае
Sr;/e)(Gf)rJ?2(GJ)=-S-e/me/fc
и
gMih = 2 Mlm -J- */**/* = "Г" */* S M«-
Сокращая на g, получим
л
Таким образом, при вычислении матрицы оператора М с базис*
ными функциями неприводимого представления T(Gf) находим, что
матрица М имеет диагональный вид, недиагональные элементы равны
нулю: Mjk = 0 при \=fck. Если j = k, то для диагональных элементов
имеем
/a ^==l
Поскольку правая часть не зависит от /, отсюда следует, что все
диагональные матричные члены одинаковы. Обозначив
fa '=1
144

запишем
М]к = М(Щ]к,
где Л4<а> можно найти как среднее значение оператора М в любом
состоянии i|v
MW = $%№phdT = Mkk= (&) .
Среднее значение оператора необходимо искать методом прямого
вычисления, нулевые же значения недиагональных матричных
элементов получены только на основании свойств неприводимых
представлений.
Действительно, можно было бы, исходя из условия коммутации
матриц T(G£) и М, записать на основании леммы Шура M=dE, где
Л
d= ( М > . Получили тот же результат на основе коммутации
операторов.
2. Приводимое представление. Пусть Г—представление
приводимое, имеющее приведенный вид, например:
|Г(1)(Ог) О О
Г(Ог)= 0 T^HGi) О
L 0 0 ...
причем каждое неприводимое представление входит в Г (G{) не более
Л
одного раза. Матрица М оператора М имеет вид
М=
-мг1м12
м21м22
м,
MflMfi
м
//-I
~мим12
М21М22
м1}-л
ff-
X
Для определенности будем считать, что T{Gj) состоит из трех
различных неприводимых представлений. Рассмотрим произведение
матриц r-1(Gi)Mr(Gi):
т^Кст1) о о "
... r<2>(Gr') ...
- О 0 Г(з>(ОГ,)|1_Л|/1Д|/1_Л1
ГТО^) О О
X 0 Г<2>(Сг) О
[о о r<3>(Gj)J
Произведение МГ(Сг) распадается на блоки, элементы которых
образованы из диагональных блоков матрицы r(Gj) и
соответствующих им элементов (М) матрицы М:
r(M)r<»>(Gf) (Af)r<s)(G,) (Л1)Г<3>(Сг)_
Mr(G,)- (Af)n,)(G,) (M)rw(Gt) (M)T^(Gt)
L(M)r(I)(Gi) (М)Г<2)(^) (M)r(3)(Gi)J
10 Киреев П. С. 145

т. е. первый столбец сугерматрицы содержит Г(1), второй — Г(2)
и т. д. Первый блок, например, имеет вид
(М)Г<')(0|) =
' 2Л41:Г<,'> JUur|J» - - - ii Af «rJfV
i= 1 i= 1 i= 1
Произведение Г(1)М имеет также блочную структуру, субматрицы
которого состоят из строк, нумеруемых матрицами Г(а) (G^).
Следовательно, произведение r(Gr1)Mr(Gf) будет иметь блочную
структуру, строки суперматрицы в которой нумеруются матрицами
r(a)(G71)J а столбцы — матрицами r(a)(Gf). По диагонали
суперматрицы стоят блоки вида r(a)(Gr1)(M)r(a>(Gi), вне диагонали —
блоки вида ^(Gr^M)^^) при а ф 0:
Г(ОГ1)МГ(С,) =
T(1)(Gr1)(M)r<1)(G.) r(l)(Gr1)(M)r(2)(G,) ГО> (Gr')(lVl)r<3>(Gf)"
Г<2> (СГ1) (М) Г<*> (Gt) Г<2> (G"1) (М)Г(2) (Gf) Г<2> (ОГ')(М) Г<3>(G,)
_Г<3> (G71) (М) ГП) (Gt) Г<*> (G71) (М) Г<2> (G,) Г<3> (G^^M) Г<3>(G,)-
Исследуем вид матрицы M=r(G71)Mr(Gi), для этого вычислим
произвольный элемент М}1 матрицы М:
М/., = {г(С-,)МГ,;Ог)}/, = {Г<»)(ОГ,)(М)Г(Р)(0,.))/Л =
tat»
= 2 Г<.?>(ОГ')Л1,тГт*(Ог).
Просуммируем это равенство по G^. Так как левая часть не
зависит от Gj, то суммирование по G^ дает для левой части gMjk,
для правой части:
*Ai/fc=2 2 г)|в>(о|)л*/тг)й(0/)=
Gi I, m
fa fp fa f$
= 2 М/т2гГ*(0,)ГЖ(Сг)= Ц M * 6ap6,m6/ft =
/, m Gi I, m i a
'a I
Сокращая Hag и вводя сбозначение
MM = ± ±Mlh
fa '
146

получим
Таким образом, матрицам имеет диагональный вид: Mjk = 0 при
j=£k. Найдем теперь диагональные элементы. Для диагональных
элементов, стоящих в блоках Г<а) (Gt) (M) Г(а> (Gt)9 а = р, все элементы
одинаковы и равны 7W(°> = J af>ka)*Mi|^a>dT — среднему значению в
состояниях if^"), соответствующих неприводимому представлению
r(°)(Gj). Проведенный анализ позволяет написать матрицу М:
ЛЬ
•лип о
МО)
о
МО)
М<2)
о
M<2\
о
о
ЛП2>
о
МО) о
о
Л1<з)
Итак, матрица оператора М, вычисляемая с помощью базиса
{%}, преобразующегося по представлению Г (Gt) = 2 Г(а) (G|)f в ко-
а
торое каждое неприводимое представление входит не более одного
раза, является диагональной. Мы получили этот результат, взяв
приведенный вид для Г. Пусть матрица А позволяет получить
представление r'(Gj)=A_1r(Gj) А, не имеющее приведенного вида.
Подвергнем равенство
M=r(Gr')Mr(Gj)
преобразованию подобия
А-1МА=М' = А-Т (Gr')JVir (G,) А =
= А-Ч1 (Gr1) АА-ЧИАА-Ч1 (G,) А=Г (G"1) MT' (Gt).
Но диагональная матрица сохраняет свой вид при
преобразовании подобия
{А-1МА}/
иг
= ^кТ1ХМ1тАтк^АпМ^Ь1т Amk=
lt m I, m
= Mw2lA-l1Alh = M(«)bih,
следовательно, М'=--М. Поэтому полученный вывод оказывается
справедливым как для приведенного, так и неприведенного вида
представления r(Gf).
Предположим теперь, что неприводимые представления Г*")^)
входят аа>1 раз в r(G£). Рассмотрим, какой вид имеет матрица М.
10*
147

Пусть, например, Г (G,) = [r<»>(<},); Г<«>(0,); r<«(G,); r<»>(Gf)].
В таком случае матрица r(G/ ')Mr(Gj) должна иметь следующую
структуру:
r(G-1)Mr(Gi) =
'n,)(GrI)(M)r<I)(GJ) r(I)(Gr1)(M)r(i)(Gi)r<I)(Gr,)(M)n2)(Gi)
r<1)(Gr1)(M)r<1)(G:.) r(»(Gr1)(M)r<1)(Gj) r(1)(Gr1)(M)r(2)(Gl)
r(2)(GrI)(M)r<1)(Gf) Г(2>(ОГ')(М)Г<»(Ог) r(2)(Gr,)(M)r(2>(Gi) "*
_r<3)(Gr1)(M)r<D(Gi)r<3)(Gr1)(M)r<I)(Gl.) Г(3)(ОГ')(М)Г(2)(Ог)
r<I)(Gr1)(M)r(3)(Gi)
r«)(Gr1)(M)r(3)(Gi)
"*" r<2)(Gr1)(M)r<3)(G<)
r<3)(Gr1)(M)r(3)(Gi)J
M<>>
MU>
Af<» 0 M<'> 0
0 M<D
Af<»>
ЛЧ) 0
0 'mo
0
0
0
MO>
M<»>
0
Mu>
0
0
0
M(0
0
M<2>
M<2> 0 0
о 'm<2>
MO)
0 M<3>
0 Af(»)
Таким образом, если в приводимом представлении содержится
некоторое неприводимое представление аа раз, то суперматрица
содержит '2аа раз субматрицу Г^^Г1) (М) Па> (Gj), при этом матрица
М не имеет диагонального вида.
Л
Рассмотрим пример. В качестве оператора М можно взять опе-
: : . л
ратор Гамильтона Н, определяющий стационарное состояние г|э:
Нг|) = Е\|>.
148

Взяв некоторый базис {%} представления Г (Gf) = 2 Г<°) (G{),
а=\
можем вычислить матрицу Н. Она должна иметь вид согласно
доказанному:
"Нг О 0 ... О 0 ~
О Ях 0 ... О О
Н =
О
о
о о
о о
.. я2 о
.. о я,
По диагонали стоят собственные значения оператора Гамильтона.
Действительно, разложим собственную функцию i|)(r) по базису
г fa
a=l ft=l
и подставим в уравнение Шредингера:
нч>=2 2 4e)Nbe)00=£21 2 WW-
o=l k=l a=l fc=l
Умножив уравнение слева на iMp)*(r) и интегрируя по г,
получим
2 2 Ф*1нН*=Е 2 2 фб^-ЕАП-НЛ»,
а=1 6=1 а=1 Л=1
т. е. Яв = J "ф^Н^^йт есть собственное значение, встречающееся
в матрице Н /а раз, что находится в полном соответствии с
найденным ранее положением о кратности вырождения уровней энергии.
§ 31. Матричные элементы операторов.
Представление операторов
В предыдущем параграфе были найдены матрицы для оператора
Л Л
М, коммутирующего с операторами Gt группы преобразований про-
Л
странства. Однако оператор М может и не коммутировать с опера-
л
торами G£. Рассмотрим примеры.
Оператор кинетической энергии Т= А коммутирует со всеми
2т
преобразованиями пространственной группы. Это означает в свою
очередь, что его вид сохраняется при всех преобразованиях прост-
А
ранственной группы. Выражая оператор кинетической энергии Т че-
Л А
рез импульс р=—Шу, можем сказать, что оператор р2 инвариантен
149

относительно преобразований пространственной группы. Однако
Л
сам оператор импульса р =—Шу не инвариантен относительно
всех возможных преобразований. Действительно, рассмотрим
зеркальное отражение <зх, определяемое матрицей:
/—1 О (Г
°х=\ 0 1 О
\ 0 0 1
ГХ*\ л /-' 0 0
/ J=r' = ^r=j 0 1 О
ч*7 \ о о 1
Найдем у', т. е. найдем оператор у в исходном (х, у, г) и
преобразованном (х\ у', г') пространстве: ъ = (—, —, —) и
\д,г ду dz]
д _ д дх' _, л\ д _ д
дх~дх~' ~дх~^~ 'д? д?'
д____д_ ду__д_.
ду ду' ду ду'У
д___д_ fei_JL
dz dz' dz dz'
Следовательно, тт = (—; —; — ) = [ ; —; —). Если совершить
v \дх ду dz) \ дх' ду' dz') F
инверсию ir = r' =—г, то у =—у'.
Таким образом, набла, а тем самым и оператор импульса, не
остается инвариантным относительно зеркального отражения или
л
инверсии. Заметим кстати, что у2 инвариантен относительно i и ах9
например
v2=(-v')2=v'2-
л \
Отсутствие инвариантности оператора М при образовании прост-
л
эанства Gt и означает отсутствие коммутативности Gt и М.
Действительно, возьмем некоторую функцию i|>(r) и подействуем на нее
Л Л
операторами iy и yi соответственно, получим:
: одной стороны,
с другой,
VI*W = V*(— г)-
Но очевидно, что для произвольной функции гр(г) уф(—г)=£.
Л Л
т=—V^(—т)> поэтому iy^Vi-
150 )

Итак, на конкретном примере было показано, что возможны опе-
Л Л
раторы М, не коммутирующие с операторами G, преобразований
пространства.
Л
Решить вопрос о матричных элементах оператора М можно сле-
л
дующим образом. Оператор М, действующий на функцию г|э от г,
должен содержать операции умножения, дифференцирования и т. п.
действия над координатой. В этом случае принято говорить, что
л
оператор М задан в r-представлении и обозначать символически
Л Л Л
в виде М=М(г). Но в таком случае оператор М(г) можно
рассматривать как символическую — операторную функцию от координаты
л
и тем самым можно определить действие оператора G^ на оператор
М(г) в обычном для функций виде
6,М(г) = Л(0,г).
Это выражение позволяет понять, как можно найти коммутатор
Л Л Л Л Л Л
G£M — MGf.. Действительно, рассмотрим действие G^M на
произвольную функцию i|>(r):
&М (г) = G,M (г) ф (г)=М (6,г) ф (6|Г) = М (G,r) fcf if (г).
Отсюда следует
{6,А (г) - М (г) G j г|) (г) = Gtk (г) ф (г) _ М (г) thfy (r) =
= М (0,г) ф (G,r) - М (г) if (G,r) = {м (G,r) - М (г)} ф (G,r)
или
лл л л ( л / л \ л ) л.
GM (г) — М (г) G; = \М {G^) — М (г)} Gt.
Это соотношение подтверждает сказанное о связи коммутации
л л л
операторов ^иМи инвариантности оператора М(г) при преобра-
л л
зовании Gj пространства: если при преобразовании Gt пространства
Л Л Л Л Л Л Л
оператор М сохраняет свой вид, т. е. M(G£r)=M(r), то G^M=MG^ —
Л Л
операторы Gt и М коммутируют.
Теперь предположим, что оператор м((^г) можно выразить через
М(г) с помощью некоторой матрицы r\M\Gj):
м(^г) = ОгМ(г) = г(м(о^)м(г) = г(м(Ог))м(г).
151

Матрицу Г IM(Gj)), выражающую оператор М в преобразованном
л л
пространстве G^r через оператор М в исходном пространстве г, на-
л
зовем представлением оператора М. Очевидно, что
С другой стороны,
М(г) = СГ1м(б|.г) = СГ1г(м(бг.))м(г) =
= Г (м (G,)) Gf'M (г) = Г (м (G,)) Г (м (G"1)) А (г),
откуда следует, что
r(A(orI))=r-i(A(G1)).
Проверим, выполнено ли условие представления:
ЛЛЛ Л / Л Л \ ( Л Л \ Л Л /л \ Л
G/G.M (г)=М (0/С,г) = Г (GyGj М (г) = G/Г (М (G,)j M (г) =
= G/M (г) Г* (м (о,)) = Г (м (G/)) Г (м (6,)) М (г),
т. е.
г(оД)=г(ог)г(ог)
при
г(м(0^))м(г) = М(г)Г*(м(бг.)).
При вычислении матричного элемента Mjk необходимо
проинтегрировать функцию -ф* (г) М (г) ipft (г) по всему пространству (по
области определения функций). При действии оператора Gf. произведение
трех функций преобразовывается по представлению, являющемуся
прямым произведением трех представлений:
г*(о,)-г(м(ог)).г(бг).
Для дальнейших вычислений необходимы некоторые соотношения,
касающиеся базисных функций неприводимых представлений. Пусть
г|^а)(г) — одна из базисных функций неприводимого представления
гЦог):
ад«)(г)=2г}г)(б,)г1)(")(г).
Рассмотрим два интеграла:
/ia) = j^a)(r)dt
152

ла)/=|ад«)(г)^т.
Очевидно, что № не зависит от преобразований Qt системы
координат, т. е. он инвариантен относительно преобразований осей
координат. Но преобразование Gt пространства можно выразить
в виде бг1 преобразований осей координат. Следовательно, /ia)
остается инвариантным относительно преобразований пространства и тем
самым
/:
(а)
k '•
=j^«)dT=JG^(«)dT=/i0)'.
Суммируя по всем элементам группы Gt, получим
G,
=211 г}*» (6,) vt=21 г$> (ог) /г,
О. /=1 - О, /-I
откуда следует
Вспомним соотношение ортогональности для матричных
элементов неприводимых представлений:
2г;<?> (6>)j)(Gj)=-f м*а*.
°, /о
Поскольку оно справедливо для любых неприводимых
представлений, то возьмем в качестве Г(Р> единичное представление, в таком
случае Р = 1 и r*tvP)=l, и соотношение ортогональности запишется
в виде
О,- /о
Если Г(а)—неединичное представление, то 6ai =0 и
SWfoj-o.
Следовательно, для неединичного представления Г(п)
*Лв)=2/}в)о=о,
т. е.
153

Для единичного представления Г<!> iGJ= 1
Sr)^ (6f)-Sr^ (6f) ri^ldj^ff; a = P; 4u = /; v = k
и
т. e. /fe в общем случае не равно нулю.
Другими словами, отличным от нуля может быть только интеграл
от базисной функции единичного представления.
Рассмотрим теперь произвольную функцию г|) (г) и интеграл от нее:
/ = Дф(г)£*с.
Разложим г|)(г) по базисным функциям неприводимых
представлений г|^а>:
г fa
*(r)=s 2via4ia)(r).
a=l k=l
Найдем коэффициенты разложения. Умножив гр(г) на я|ДО>* и
интегрируя по всему пространству, получим
j 4f>* (г) яр(г) dr = 2 2 Y*a> 1 *(/}*(Г) **а> (Г) dt=
a=l k=l
f
а=1 k=\
Используем разложение г^ (г) по базисным функциям для
вычисления /:
a=l fe=l a= 1 fc= 1
Но согласно доказанному, все /£а), соответствующие неединичным
неприводимым представлениям, равны нулю, поэтому
/=Y(i)/(i).
Иначе, / = 0, если в разложении яр (г) не содержится базисной'
функции единичного представления, и 1ф О, если базисная функция^
единичного представления содержится в разложении я|)(г). В супн
ности, задача решена, однако это решение требует проведения им
тегрирования, в то время как следовало бы получить ответа
не проводя вычислений интегралов. Такая возможность дейИ
ствительно имеется. Разложив if>(r) по всем базисным функциям
154 \

г|^а)(г) с неизвестными коэффициентами y^ka\ подействуем на г)) (г)
л
оператором G^:
<W) = 6,2 2 Via)^a) (r) = S S Via) 1 Г <Д) (G )ф(»> (r).
<х=1А=1 а=1Ы /=1
Умножим это равенство слева на Г/™* \GJ и просуммируем по
л
всем элементам G^ группы:
М* (бг) G^(r)= S S У<ка) 2 Yla) (W* (6f)rJS> (6j) 4f > (r) =
=2 2 2Y*a)T-6oP6^^/a)(r)=f YLP4|p)(r),
a=l /fe=l /=1 /a 'a
т. e.
■yjPbf}» (r) = A ЖГ (0{.) G> (г).
Полагая m=l=k, можем записать
Yia4a)(r) = -^2r^*(6jG^(r)
S G.
или
^а)=--^-2гГ(бг)о^(г).
Учитывая выражение для Yia),l'J.a) (r)> можем записать тождество:
*(f)=S SYieMe)(r) =
o=l ft=l
r fa
=2 2-2rB?,(6''6'*(r>-
a=l /г=1 ^ G.
В последнем выражении можно выполнить суммирование по k:
*(г) = 22— Х<в)*(й,)о>(г).
o.a=1
155

Интегрируя это выражение по всему пространству и учитывая
инвариантность интеграла относительно пространственных
преобразований, получим
/=ЕА2х(а>*(бг)/=/2-^2х^(сг).
а=1 8 Л а=1 8 Л
Но для единичного представления 2%(а)* lGj = g, откуда имеем
л
/=/. Для неединичного представления 2i%{a)* (Gi) = 0, откуда сле-
°*
дует / = 0.
Таким образом, действительно, если в представлении, по
которому преобразуется функция г|)(г), не содержится единичное
представление, то интеграл от нее равен нулю.
Применим полученные результаты к вычислению матричных
л
элементов оператора М:
л
Если обозначить %M\|)ft = /(r), то можем утверждать, что M/ft = 0,
если в разложении /(г) нет функции единичного представления.
Так как /(г) преобразуется по представлению, являющемуся прямым
произведением трех представлений, по которым преобразуются ify,
л
М и %, то можно утверждать, что если в прямом произведении пред*
ставлений нет единичного представления, то M/ft=0. Таким образом,
задача о нулевых значениях матричных элементов решается на
основе анализа произведения представлений. А именно, необходимо*
вычислить коэффициент аг:
Если ах=0, то Mjk = 0; если ах^=0, то Mjk в общем случае может
быть отличным от нуля. Вопрос о его значении в этом случае
решается прямым вычислением.
§ 32. Правила отбора
Возмущение W> наложенное на физическую систему с гамильто-
л
нианом Н0 не только меняет спектр энергии, как это было уже
показано, но и приводит к переходу физической системы из одного
состояния в другое. Вероятность перехода за единицу времени при
этом пропорциональна квадрату модуля матричного элемента
оператора возмущения, соответствующего двум рассматриваемым
состояниям. В квантовой механике показывается, что при независящем от
156

времени возмущении W (г) вероятность перехода в единицу иршсни
w(n, m) между состояниями с энергией Еп и Ет равна
w(n, т)=Ц-\Жтп\*Ь{Ет-Еп),
т. е. переход разрешен только между состояниями с одшшкпноП
энергией: Еп=Ет. Переходы между состояниями с разной энергией
невозможны вследствие невыполнения закона сохранения энергии.
Если возмущение зависит от времени по гармоническому закону
Ц7(г, t)=W0(r)e±to'f то
w(n, m) = 2f\Wmn\*b(Em-En±b<o).
В этом случае закон сохранения энергии разрешает переходы
между уровнями энергии Ет и Еп, отделенных промежутком
hco:£,m = £,rt + hco.
Таким образом, закон сохранения энергии разрешает переходы
между любыми энергетическими состояниями, отличающимися друг
от друга на квант энергии hco. Однако для оценки вероятности
перехода необходимо знать матричный элемент возмущения Wmn,
который может быть отличен от нуля лишь в определенных
условиях.
Если для некоторой пары состояний пит Wmn=0y то w(n, m) = 0
и переход называется запрещенным; если Wmn =f= О, то переход
называется разрешенным. Условия, определяющие ненулевые значения
матричного элемента Wmn и тем самым разрешенные переходы,
называются правилами отбора.
1. Скалярное возмущение. Пусть возмущение W скалярно.
Поскольку скаляр инвариантен по отношению ко всем
преобразованиям координат, можем считать его инвариантным и по
отношению ко всем преобразованиям пространства. Это означает, что
G,W(r)=W (c£r) = W(r) = r(r (tt))w(r)9
т. е. матрица представления оператора возмущения является
единичной одномерной матрицей r\W(Gjj = l.
Здесь рассматриваются переходы между уровнями энергии,
соответствующими естественному вырождению, базисные функции
которых преобразуются по неприводимым представлениям а и р. В таком
случае необходимо вычислить
Подынтегральная функция преобразуется по представлению
Г а *\G|J-r^\Gj-r(P) \Gj, или при rV\Gj = l, по представлению
r(a)*(Gj.r(P)(6j. Разложим его по неприводимым представлениям
группы G:
157

где
a=-2X(Y)*(Gjx(a)*(6jx(P)(G,).
У g л
Gi
Для решения вопроса о разрешенных переходах достаточно найти
только коэффициент аъ соответствующий единичному
представлению. Но для единичного представления X(1)*(G^=1, поэтому
'■6t
Таким образом, при а=р аг=19 и единичное представление
содержится в прямом произведении представлений Г(а)* \Gj-r(a) (gJ.
при а=^р ах=0, и единичное представление не содержится в
прямом произведении представлений. Следовательно, при скалярном
возмущении переходы разрешены только между состояниями с
одинаковыми неприводимыми представлениями.
Полученный результат находится в полном согласии с
результатом, найденным в § 30, где было показано, что матрица М диа-
л л л л
тональна, если MGj = G,M, поэтому ограничимся сказанным.
Однако необходимо сделать одно замечание. Наложив
возмущение W(r)t имеющее группу симметрии меньшего порядка,
необходимо учесть изменение характера вырождения уровней энергии.
Другими словами, если W (г) имеет группу симметрии меньшего
порядка, то классификацию состояний и нахождение правил отбора
следует производить по подгруппе Gw, а не исходной группы, т. е.
разрешенными переходами являются переходы между уровнями
энергии с одинаковыми неприводимыми представлениями группы.
л
2. Векторное возмущение. Пусть возмущение W имеет
векторный характер. Обозначим W = £A, где g — некоторый скалярный
коэффициент пропорциональности, определяющий связь двух
векторов: W и А. Так как полярные и аксиальные векторы
преобразуются по-разному, то рассмотрим вначале полярные векторы. Любой
полярный вектор преобразуется по одному и тому же закону,
в частности по тому же закону, по которому преобразуется радиус-
вектор г:
Г' = 6; Г.
Следовательно, матрицами Г (А), определяющими преобразование
вектора А, являются матрицы Gi7 определяющие преобразование
радиуса-вектора. Вид этих матриц зависит от вида группы G.
Разрешенными переходами будут те, для которых
а1== ± ^ Х(а)* (6,) X (А) Х(Р) (ог)ф 0.
g A
Рассмотрим конкретные примеры.
158

Взяв группу Oh, найдем матрицы, соответствующие ее классам:
iC,=
-iCl
+ 1/2 -Кз/2 0\ /0-1
Кз/2 1/2
\ 0 0 — h
Характеры матриц преобразования вектора А для классов
группы 0Л указаны в табл. 44.
0 0-1,
Таблица 44
Характеры матриц преобразования вектора А для классов группы Он
А (Ой)
6С4 6С0
ЪС\
8С3 i 6iC4 6iC2 Ж\ &'С3
X (А (0Л))
1 —1
0 —3 —1
Пользуясь табл. 32 и 44, найдем коэффициент ау для различных
переходов, которые указаны в скобках при av При- вычислении ах
вначале указано число элементов в классе, затем характер
X(a)*\Gj, xI^IgJ] и 5С(Р) \Д). Проведем вычисления для переходов
Г^Г*»):
% (Га- Г,) = ^[1-1-3-1+6-1 .Ы+6-1-(-1)-1+3-1-(-1)-1 +
-4-8-1-0-1-Ы -1 -(—3)- 1+6-Ь(—1)-1+6-1 -1-1+3-1-1-1 +
+8-1-0-1]=0;
«1(Гх-Г2) = ^[1-Ь3.1+6.Ы.(-1)+6.Ь(-1).(-1)+
48
+3. Ь(_1). 1+8-1.0-1 + 1-1.(-3). 1+6-1-(-1)-(-1)+
+6-1-1-(—1)+3-1.1-1+8-1-0-1] = 0;
а1(Г1-Г12)=-[1-1.3.2+6-Ы.1.0+6.Ь(-1)-0+3-1-(-1).2+
48
+8-1-0-(—1)+1-1-(—3)-2+6-1-(—1)-0+
+6-1-1-0+3-Ы-2+8-1-0-(_1)] = 0;
MIY
Г„) = ^[1-1-3-3+6.1-Ы + 6-1-(-1)-(-1)+
+3-1-(-1)-(-1)+8-1-0-0+1-1-(-3)-(-3)+
+6-1-(— !)•(—1)+6-1-1-1+3-1 -1-1+8-1.0-0] = 1;
159

*i(Ti -Г25) = 1[Ы-3-3+6. Ы-(_1)+6.1Ч-1)-1 +
+3-Ь(-1)-(-1)+8. ЬО.О+Ь Ь(-3).(-3)+6-1-(-1)-1 +
+6.Ы-(—1)+3-1-1-1 + 8-1-0-0] = 0.
Таким образом, разрешенным переходом является 1\—Г15'
переходы Гх — 1\, Тг — Г2, 1\ — Г12 и 1\ —Г25 запрещены. Проводя
аналогичные вычисления для переходов 1\ — Г(а)/, получим:
^(Г1-Г/1) = 0; а1(Г1-Г;) = 0; ах (Гх- Г'12)=0;
fli(ri-r;5) = 0; а1(Г1-Г;5) = 0,
т. е. ни один из переходов не является разрешенным. Из
состояния Г2 разрешен переход в Г25, все переходы в состояния Г<а)'
запрещены.
Рассмотрим переходы из трехкратно вырожденных состояний.
Прежде всего обратим внимание, что характеры представления Г (А)
(см. табл. 44) совпадают с характерами Г15. Из табл. 32 видно,
что базисные Функции для представления Г15 могут быть выбраны в
1Х\
виде ху у, z, т. е. базис у J преобразуется, как радиус-вектор г,
(О
любой полярный вектор А действительно должен преобразовываться
по представлению Г15.
Рассмотрим теперь Г15-Г15-Г<а> и Г25-Г16'Г<в>. Имеем для
переходов Г15-»-Г(а':
й1(Г15-Г1) = 1[1.3.3.1+6-Ы.1+6.(-1)-(-1)-1 +
+3-(-1)-(-1)-1+8-0-0.Ц-1.(-3)-(-3)-1+6-(-1)-(-1)+
+6-Ы-1+3-ЬЫ+8.0.0-1] = 1;
<h(Г15-Г2)=1(9_ 6-6+3+9-6- 6+3)=0;
%(Г15-Г1г) = -^(9.2- 0+0+3-2+0+9.2+0+0+3-2+0) = 1;
%(Ги-Гм)=^(9-3+6- 6-3+0-9-3-6+6+3+0)=0;
а1(Г15 —Г25) = -(9-3—6+6—3+0—9-3+6 —6+3+0) = 0.
При вычислении Oi(r15—Г2) и других учтено значение
слагаемых для аг (Г15 — Tj). Видно, что из Г15 разрешены переходы в 1\ и
Г12. Кроме того, разрешены переходы в Г,5;
%(г15- г;5)=1[1-з.з.з+б.ы.1+б.(-1).(-1).(-1)+
+3.(-1).(-1).(-1)+8.0+1.(_3).(-3).(-3)+
+6.(-1).(-1).1+6.Ы.(-1)+3-Ы.(-1)+8.0] = 1
■и Г25:
«i(r15-r;5)=^[i-3.3.3+6.i.i-(-i)+6.(-i).(-i).i+
160

+3.(-1).(-1)-(-1)+8-0+1-(-3)-(-3)-(-3)-|-
+6-(—1).(—1).(—1)+6-ЬЫ+3-Ы-(—1)+8-0]«1.
Вычислим теперь коэффициенты аг(Г2Ь—Г(а))-
<h{Tu- Гх) = 1[1.3-3.1+6-(-1). L1+6. Ь(-1)-1 +
+3.(—1)-(—1). 1+8.0-0.1 + Ь(—3).(—3)-1 +
+6-Ь(— 1). 1+6-(—1).Ь 1+3-Ь Ь 1+8-0-0.1] = 0;
а, (Г25-Г2) = ~(9.1 + 6-1 + 6-1+3-1+9-1+6+6+3) = 1;
%(Г25-Г12) = ^(9.2+3^2+9.2+3.2) = 1;
fli(r»-r1B) = l(9.3- 6+6-3- 9-3+6 -6+3)=0;
%(Г25-Г25) = 1(27+6-6-3-27-6+6+3) = 0,
т. е. разрешенными переходами являются Г25—Г2 и Г2б— Г12,
другие запрещены.
Аналогичным образом могут быть найдены и остальные переходы.
3. Тензорное возмущение. Тензор второго ранга преобразуется
при преобразовании координат так же, как преобразуется
произведение двух проекций вектора, например, xtXy Как видно из
табл. 32, подобная комбинация координат соответствует
представлению Г25- Таким образом, таблица характеров представления
возмущения в группах Oh или Td соответствует строке г'25 табл. 32,
и разрешенными переходами являются те, для которых агф0.
Как известно, аксиальному вектору может быть поставлен в
соответствие антисимметричный тензор второго ранга.
Следовательно, при действии псевдовекторного возмущения оно преобразуется
по представлению Г^ (для группы 0Л), в то время как для
полярного вектора Г(А)=Г15.
Найдем некоторые разрешенные переходы в группе Oh для
тензорного возмущения, т. е. для возмущения, преобразующего
по Г^. Характеры возмущения указаны в табл. 45.
Таблица 45
Характеры представления тензорного возмущения в группе Од
Он
Г»
Е
3
6С4
—1
6С2
1
зс24
—1
8С3
0
i
3
6/С4
— 1
6tC2
1
ж\
—1
8/С3
0
И Киреев П. С.
161

Прежде всего проверим таблицу характеров. Для этого найдем
матрицы преобразований базиса
(ху\
уг
\ZXj
Положив, что С4 совпадает с осью z, найдем:
Гу(-х)\ /-10 0
|=| (-x)z = 0 0 -1 )| уг | = | -zx |; х(С4)=-1;
гу ) \ 0 1 0;.
0\ /_! О О
О 0 -1 ) = ( 0-1 0 ); %(Ci) 1.
О 1 О
Поворот вокруг оси С2 преобразует, например, х-+ —z; у-* —у
и 2-*- —х, поэтому
(ху\ /(-z)(-y)\ /yz\ /OlOWxyN
Цуг)=[ (-У)(-х) ) = [ху = 1 00 уг x(Q=l.
W \(-x)(-z)J \zxj \0 0lJ\zxJ
Матрица i совпадает с единичной:
Гху\ /(_^)(_у)\ /*у\
Уг = (-У)(-г) = \yz ; х(0=3.
\»У \(-г)(-*)/ W
Поскольку'матрица i совпадает с единичной, получаем
X(tC4) = -l; х(,-С4)=_1Ги X(fC2) = l.
Поворот С8 приводит, например, к преобразованию: х-»-у;
y-^—z и z->—х, поэтому
/*У\ / У(-г) \ /-Уг\ ( 0-10\/*у\
СА3 Уг = (-г)(-х) = zx =001 yz ; fy(C3)=0
\zx/ \ (-*)У / \-xyJ \-1 0 0/W
и х('С8)=0 В полном соответствии с табл. 45.
Найдем переходы из Г^, например Г^ — Г(0):
«i(r;5,-ri)=it1-3-3-n-6-(-i)-(-i)-i+6-M-i+
+3-(—1)-(—1)-1+8-0- 0.1 + ЬЗ-3-1+б.(—1)-(—1)' 1 +
+6-Ы-1+3-(—1).(—1).1+8-0-0-1] = 1;
а1(Г25-г2) = й[9-1+6'(-1)+6,(-1)+3'1+9"1 + 6*(_1)+
+6.(-1)+3-1]=0;
162

^(Г;б-Ги)=^[9.3+6.1+6.(-1)+3.(-1)+9.(-3)+6.(-1)+
+6.1+3-11=0;
«1(Г;5-Г25) = ^[9.3+6.(-1)+6.1+3.(-1)+9 (_3)+б.1 +
+6.(-l)+3.1] = 0,
т. е. разрешенными переходами являются Г^ — Гх и Г^—[Г12;
Аналогичным образом могут быть найдены и другие переходы.
Достаточно подробно даны вычисления разрешенных переходов
на примере группы Oh. Подобным образом могут быть найдены
правила перехода для любой группы. Для этого необходимо:
а) установить тип возмущения: скаляр, вектор, псевдовектор
(аксиальный вектор), тензор второго и т. д. ранга;
б) построить матрицы преобразований возмущения в данной
группе и вычислить характеры представления возмущения;
в) вычислить аъ пользуясь формулой
Oi-'-Jac (W(Ol)x(W(Gl)yxW(Gf)
8lo{
и таблицей характеров неприводимых представлений данной группы.
Переходы, для которых ах=0, являются при этом запрещенными,
а при агФ0— разрешенными.
4. Оптические переходы. Оптические переходы возникают при
действии возмущения
W=-(Aj),
ieh
где А — вектор-потенциал световой волны* j= у— оператор
т
плотности тока.
Поскольку возмущение записано в виде скалярного
произведения, на первый взгляд разрешенными переходами должны быть
переходы между состояниями с одинаковыми неприводимыми
представлениями. Действительно, скалярное произведение двух
полярных векторов а и b инвариантно относительно любых
преобразований пространства, поскольку ни модули, ни угол не меняются:
(ab) = | а | |b| cos къ) . Однако для вычисления, например, козффи-
циента поглощения или отражения необходимо проводить
интегрирование по состояниям в двух зонах Бриллюэна. Благодаря этому
возмущение становится Еекторнкм и разрешенными являются
те переходы, для которых отличны от нуля матричные элементы
импульса — /Лу. К этому результату можно прийти, исходя
и*
163

из того, что подынтегральная функция преобразуется йо йредстав-
лению
г^^(4)хГ1ба)хго)(о,),
т. е. считая, что возмущение преобразуется по представлению
T(W)=rl5(j), имеющему характеры для группы Oh (табл. 46)*
Та]бли|ца 46
°h Е 6С4 6С2 ЗС| 8С8 / 61С4 0iC2 Ж\ ЫСг
*(w)
-1 _ij О |-3 -1 I 1,
Причиной замены r(W)=rx на r(W)=r15 является и то, что W
«меет вид дифференциального оператора (Ау).
Таким образом, для прямых оптических переходов возмущение
с учетом интегрирования по зоне Бриллюэна преобразуется по
представлению Г15. Для непрямых оптических переходов необходимо
учитывать и векторный характер фонона, вследствие чего правила
отбора для прямых и непрямых переходов оказываются
различными. Анализ переходов в группе Oh при векторном возмущении
приведен в п. 2.
§ 33. Группа Лоренца
Согласно одному из постулатов теории относительности, скорость света
одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Считая, что начала координат
двух систем с одинаково ориентированными осями совпадают в момент времени,
принимаемый за начало отсчета, независимость скорости света от системы отсчета
позволяет записать:
*2+.y2+z2=(ri)2 и T'+yf+z7* =(ct'Y.
Введем четырехмерное пространство
*i=*; x2=y\ *3=z; xt=ict
и
х\=х'; х'2=у'\ ~x'3=z'; t\=ict*.
В таком случае имеем
4 \г
Точки, удовлетворяющие этим уравнениям, образуют так называемую миро-
4 4 я г
вую линию. В общем случае 2 х? = 12> 2*/' =s/# » где /=s/' называют ин*
тервалом. Вещественный интервал называется пространственно-подобным,
мнимый — времени-подобным.
Преобразования {*/}->{х[\ должны быть линэйными, в противном случае
прямолинейное движение с постоянной скоростью преобразуется в криволинейное,
что противоречит закону инерции. Пусть { х\} выражаются через {х{\ с помощью
матрицы X:
164

xl
x2
хг
1 /
1 XA
= L
*1
*2
*3
*4
J
an a12 a13 a14
a2i a22 ct23 a24
ct31 a32 a38 a34
a41 a42 a48 a44
Xl
*2
x*
*4
или
\xk= 2 °w-
/=1
Коэффициенты, имеющие один из индексов, равный 4, должны быть мнимыми
(или нулевыми), а44 — вещественный. Из условия сохранения интервала
4 ^ 4 /4Я \ / 4 \ 4
/'*= 2 *i = 2 2а/*** 2а/*** = 2 ajkanxkXi=
/=l 7=1 \*=1 / Wi / U,*=l
4 4 4
e 2 */=/2 = 2 ад 2 a/*a/f
У=1
/,fc=i
/=i
следует
L =
2 а1'№]Ч—йы>
/=1
т. е. матрица L ортогональна, поэтому ее определитель равен ±1, а
преобразование L представляет собственный или несобственный поворот в четырехмерном
пространстве — в пространстве-времени. Пусть поворот совершен так, что
соответствующие оси х2 и х3 и х2 и *з совпадают, и рассмотрим частный [случай:
а22=а3д= 1, остальные коэффициенты во второй и третьей строках обращаются
в ноль в силу ортогональности матрицы L.
Итак, положим
all a12 al3 a14
0 10 0
0 0 10
a41 a42 a43 a44
Из ортогональности же матрицы L следует
a12=a1j=a42=a43=0, т. е.
ап 0 0 а14
0 10 0
0 0 10
а41 0 0 а44
Учитывая, что L—1=X, запишем условия ортонормировки строк и столбцов:
all+«41e1'-
«41+a14el*.
a14+a44=1»
ana4i+cti4a44=0;
ctna14+a41a44=0.
165
L =

Решая систему уравнений, получим
9 9 ^41
af4=<4i ;а±4=±041;— = ±1;
«14
all=a44' «11—±0*45
Оц
ana4i=—044014;
йь._«й.±1._{±1),
ац a14
т. е. если a44 и ац имеют одинаковые знаки, то а^ и a4i — противоположные,
и наоборот. Найдем детерминант матрицы L:
ац 0 0 a14
0 10 0
0 0 10
041 ° 0 a44
an 0 a14
0 1 0
a4i 0 a44
О1Л4
041^14
detL=
Полагая ап=а44=:а>0 и Oi4= — 041=* Pa, получим
a2 —P2a2=l или a=an=a44=
=,ana44 — ai4a4i= ± !•
]Л-р*
Ctl4 = -
:8
|/l-p2
... Положительный знак 011=0:44 соответствует сохранению направления осей
Xi И А*4, При ЭТОМ
det L=af, —[a^—Oi4) « af j+af^a» - P2a2= 1,
как и должно быть при собственном повороте. Итак, имеем
1
или
X'
У
г'
L A LKi-p2
J/l-p*
О
О
-'Р
О О
'Р
УТ-Гр2
1 О О
О 1 О
о о 1— | . ш
X
У
г
V
t-Щх
]Л_р2 Kl-P2
т. е. получили преобразование Лоренца, параметром которого является Р = у/с,
где v — скорость движения «штрихованной» системы координат.
Допустим, что имеется два преобразования L(Pi) и L(P2). Рассмотрим их
произведение, пользуясь правилами умножения матриц;
Ltf2)L;(Pi) =
I+P2P1
О О
* (Pi+Pi)
К(1-Р1)(1-Й) l/"(i -Pi) (i-P?)
О 10 О
О 0 1 О
-*• (Pl+Pl) 0 0 1+р2р1
K(i-pi) (1 -р?) K"(i-P!)(i-P?) J
166

Обозначим
В таком случае
Pa+Pi
I-P2P1
-Р..
1+РаРх
Pa+Pi
Но
K0-pI)(i:-p?) PaK(i-Pi)(i-P?)
(1-P|)(l-P2)e(l+P2)(l-Pa)(l+P1)(l-Pi) = (l+P2)(l+Pl)(l-P8)(l-Pl)-
-(l+P«+Pi+PlPa) О - P. - Pl+P2Pl) = (^"1+P2+Pi) [^j^ ~ (P»+ Pi)]-
4^)2(.+Рз)(1-Р9)=(^)2(.-Рз2)
И
P2 + P1 P2+P1 Pa
K0-Pi)0-PD ic^)Vi-H /i-P
1+PaPi Рг+Pi I
где
K(i-Pi) (i-P?) p,K(i-Pi)(i-P?) Ki-Pl
Таким образом, преобразования с матрицей L(P) образуют группу:
L(P2)L(p1) = L(P8),
Ps+Pi
Р. = -
ИЛИ
1+Р2Р1•
1 +
С"
Группа L(P) называется группой Лоренца.
§ 34. Спин-орбитальное расщепление
Электромагнитное поле с релятивистской точки зрения
описывается четырехмерным антисимметричным тензором поля Т7^:
{^v} =
о
Вг -By-iEx
-в, о
Вх -1Еу
Ву -Вх 0 -iEz
LiEx iEy iEz 0 Ja
Компоненты тензора поля зависят от состояния движения
системы отсчета, вследствие чего характер поля меняется при переходе
от одной системы к другой:
4
t. /=1
167

Предположим, что в «неподвижной» системе координат
существует только магнитное поле: В=^=0 при Е = 0. На неподвижную
частицу магнитное поле не действует, а электрическое поле
отсутствует.
Пусть теперь частица движется со скоростью v вдоль оси х*
В таком случае матрица преобразования тензора {F^} есть L(P).
Используя ее, найдем общее выражение
f^v=a^iavi/7ii+a^iaV2Fi2+aMi^
+ад2ау2/722+ад2агз^2з+ад2^4^24+^
r+a^3aV4/734+aMavi/74i+aJU(4av2/^
+^ii\^vzF13+^ii2CLviF21+aU)2avsF23+allz^viF31+alLs^2F3^
Пользуясь им, получим для магнитного поля:
» в
Fi2=a11a22F12, или Bz>= г —;
1Л-Р»
, ID
F13=a11a33F13, или Ву>- у—•
1Л-Р2
^23=а22азз^2з или ВХ'=ВХ
и электрического поля
F'u=0, или Ех>=0;
F24 = a22a41F21, или Еу> = Р £,
Vi —Р2
F34 = a33aA1F3l9 или Ez> == 5
Vl-P2
В трехмерных обозначениях можем записать
E'-J, ' [vB]
у
Следовательно, на движущуюся в магнитном поле частицу
действует сила
F'=gE' = -g- [vB1 .
с V\ — р*
При р2<1 имеем
F'=-[vB],
т. е. на частицу действует сила Лоренца.
Теперь рассмотрим случай, когда в неподвижной системе
координат имеется только электрическое поле: Е=£0 при В=0.
Из общего выражения
Fuv=a^iaV4/7i4 + a^2av4/724 + a|Ut3av4f34 + a^4avl/741 + %4av2/742+
+ аД4^3^43»
168

откуда найдем:
£i2=a14a22F42, или В2> = 1р^у__= Еу:
VI -Р2 К1—р«
Fi3 = ai4a33f43» или Ву>= _1_^гЕ2;
V 1-ра
^23 = О, ИЛИ Вх> = 0.
В трехмерных обозначениях можно записать
B,=_JvE]_#
cVl-P2
Таким образом, при движении частицы со скоростью v
электрическое поле приводит к порождению магнитного поля.
Предположим теперь, что частица имеет магнитный момент ji и
движется со скоростью v в электрическом поле Е. В системе
координат, в которой частица покоится, существует магнитное поле
В', с которым «покоящаяся» частица взаимодействует с энергией
r==_([AB-)=-/fHEv]
^Vi-pv
Таким образом, энергия W возникает вследствие взаимодействия
магнитного момента ji частицы, движущейся со скоростью v, с
электрическим полем Е.
Магнитный момент р, связан с механическим моментом S-спином:
H=YS, где у— гиромагнитное отношение. Выразим у через е/2т0с:
2т0с
где g-фактор Ланде, или безразмерное гиромагнитное отношение.
Для орбитального движения g=l, для собственных моментов
электрона g=2. Выражая fi через S, получим
(e^-s ™ W ^=(S[vE]).
V 2m°c с ]Л—р2 J 2m0c* Vl — p2
Учитывая, что ту 1 — p2=m0, и выражая S в виде S=—s, а
си 2
v=p/m, запишем
W g-i?L(cr[Ep]),
4mgc2
где <j — двухрядные матрицы Паули.
Как уже говорилось, для собственных моментов g=2. Однако
если положить в выражении для W £=2, то результаты расчета
превосходят экспериментальные данные. Для совпадения с опытом
следует считать g=l. Другими словами, для движения в
электрическом поле гиромагнитное отношение такое же, как и для
169

орбитальных моментов. Замена g=2 на g = l носит название
поправки Томаса—Френкеля. С учетом ее имеем
W = f|-(cr[Ep]) = -L.(cr[VU, p]).
4mgc2 4mjc2
Применим это выражение к атому.
Для ядра с зарядом Z\e\ напряженность
E_(Z-on)\e\
г2
где оп — константа экранирования, и
w = _ AlZ-oMel {a [rp])=e*V(Z-on) (jL);
4mgc2r3 4т%с2г3
[rp] = M=hL,
где М — орбитальный момент количества движения.
Чтобы найти энергию спин-орбитального движения Е^
необходимо усреднить W по состоянию г|)(г). Возьмем в качестве
волновых функций 1|з собственные функции водородоподобного атома
'Ф(г)=<Фя/т(г)=^л1(г)^/т(9> Ф)- Опуская выкладки, запишем результат
усреднения:
р _ii7 _ <x2fly(Z-<r;04 /(/+l)-H/+l)+s(5+l)
Zso-wnlJ- з / 1 \
*('+Т)<Ж>
где п=1, 2, 3, ... — главное квантовое число, /=0, 1, ..., п —
орбитальное квантовое число, s=l/2 — спиновое квантовое число,
j=l±——внутреннее квантовое число, Ry=Rhc= 13,5 эВ (Рид-
берг),
а = —=7,2972-10-3«-
Ьс 137
постоянная тонкой структуры (константа Зоммерфельда). Выражая
Ел в электронвольтах, получим
^(эВ)=0,362-10-з^-^)4 /U+D-Jtf+D-Xs+l).
Как видно из этого выражения, спин-орбитальное расщепление
уровней энергии наблюдается у всех уровней, кроме s: ^для s-co-
стояний /=0, /=1/2 и £л=0 или, другими словами, в s-состоянии
11^=0, так как L=0.
В пределах одного ряда таблицы Менделеева п и ап для
валентных электронов постоянны, a Z возрастает, поэтому и величина
Ел возрастает. Например, спин-орбитальное расщепление пар
атомов С — О, Si — С, Ge — Se, Sn — Те из одинаковых рядов близко,
но у элементов шестой группы оно несколько больше, чем у
элементов четвертой группы.
170

^Для элементов одной группы п для валентной оболочки растет
с ростом Z, однако ап растет медленнее, чем растет Z, поэтому
в пределах одной группы эффективный заряд Z—ап растет с ростом
Z быстрее, чем п, вследствие чего величина Es0 с ростом
порядкового номера элемента возрастает.
Для четвертой группы, например, триплетное спин-орбитальное
расщепление основного достояния атомов составляет 0,005; 0,028 и
0,174 эВ соответственно для углерода, кремния и германия. У таких
тяжелых элементов, как теллур, Е^ составляет величину ~0,6 эВ.
При образовании кристаллов спин-орбитальное расщепление зон
энергии обусловливается взаимодействием магнитного момента
электрона с электрическим полем решетки Е = V U. Величина
е
спин-орбитального расщепления зон обычно несколько превосходит
величину расщепления уровней энергии атомов, образующих
кристалл. Величина спин-орбитального расщепления зон энергии в
точке Г часто обозначается через А0, а в точке L — через Alf при
этом выполняется во многих случаях соотношение Ах«—А0.
§ 35. Двойные группы
Учитывая спин-орбитальное взаимодействие, запишем оператор
Гамильтона для электрона в кристалле:
й=й0+&=-£-Д+Щг)+-4-([у U, p]h
л
оператор возмущения W имеет вид
*--*-<v и, р]^)=—^([vc/, уй.
4mgc2 4mgc2
л
Введем векторный оператор N:
л л л
его компоненты Nx, Ny, N2 обозначим:
л Аг лг / Ь \2 /6U д 3U д \
N,=^=*3i=(^)2(f£-f £);
л / Ь \2 (dU д 3U д \
В общем виде можно записать
N=— 2 е at
г 2 p'q гря pg'
171

где егрд — элемент единичного антисимметричного тензора третьего
ранга, равный 0, если он имеет хотя бы два одинаковых индекса;
остальные элем^чты равны ±1, причем
8123 = 8231= 6312 = 1
и
8213 = 6132 = 6321= * •
Элементы тензора можно выразить через компоненты [вектора
(псевдовектора):
™pq==2j N rerpg.
Векторы V и VI/ являются полярными векторами, а их
векторное произведение является вектором аксиальным (с
компонентами Nr). Из компонентов аксиального вектора можно построить
антисимметричный тензор, называемый дуальным аксиальному
вектору, в связи с этим компоненты аксиального вектора имеют либо
один (вектор), либо два (тензор) значка.
Матрицы Паули имеют вид:
r'>(i o): e*-(?^%-(o-i)-
Квадрат любой матрицы Паули дает единичную двухрядную
матрицу:
•j-(i l) (i JHo?} °Н° ~o) С ~o)-(J ?)
ss-(i ?)■
Используя (j и N, можем записать w в виде
Л АЛ ЛЛ ЛЛ ^*л\ 3"лА
W=-i'NA _ Му9у- ifi2*7=-i lNcrJ = -i 2 Nft<v
Наличие двухрядной матрицы а обусловливает выбор волновой
функции в виде двухрядного столбца:
-о-
Уравнение Шредингера, или уравнение Паули, можно записать
в виде
й*-{й.-1 («)}(*)-В (*)-**.
172

Перейдем к рассмотрению вопроса о дейстшш оигрнтрпм ирг
образования точечной группы G на гамильтониан и.
Л Л Л f Л Л Л ^ «-— Г Л Л Л Л |
О^Н(г)=Оу.|н0(г)-12^^| = |н0(г')-^^ЛаА|.
При действии операторов преобразования пространства осп
координат сохраняются, спин также остается неизменным. Оператор
Nft преобразуется, как аксиальный авектор. Например, если
преобразование пространства определяется некоторой матрицей \akl (gJj,
то
д л 3 /д \ л
0A=2awlGjN/f
1 = 1
поэтому
£,й(гнй0(г')-* i; i ^(gJnA=h0(o-
k=i i=i
3 л / 3
i=i \k=i
Л
hfih
Таким образом, компоненты спина подвергаются преобразованию
с матрицей \ам \GyJj.
Предположим теперь, что существует некоторая унитарная ма-
u л л
трица S, не действующая йа H0 и N, а действующая только на
спиновые координаты таким образом, что
s_1(JiaftA)s=^.
В таком случае можно записать:
S-^H (г) S=S-iGyH0S -1 jj NjS-1 I jj аыЛ S=
i=\ \k=i J
л л 3 л л л
= G}H0-i 5jNrt=H(r).
i=\
Другими словами, существование матрицы S, действующей
только на спин таким образом, что «компенсируется» действие опера-
Л Л
тора Gy- на N, обеспечивает инвариантность гамильтониана
относительно преобразования симметрии поля решетки.
Если подействовать матрицей S на уравнение Шредингера, то
можно записать
s-ws=s-^hss-^s=hs-^s=es-1 ys,
т. е. из решения ЧГ можно получить новое решение S""14fS.
Рассмотрим матрицу
173

, (g+Y) . (а — у)
P 2~ • P 2
cos — e — sin -11- e
s -I 2 2
э+ I .(g-v) . (g+Y)
P 2 P 2
vsin — e cos — e
2 2
в которой а и p—углы Эйлера, определяющие направление оси
поворота, а у— угол поворота вокруг этой оси. Легко проверить,
что она унитарна, обратная ей матрица совпадает с сопряженной:
, (g+Y) , (а —у)
Р Т~ • Р "
cos—e sin-^e
Э+ - 5+_ &+_ ( (а-у) (a+v)
• Р "г- Р
V—sin -£- е cos — e
2 2
Введем матрицу S_=(—1)S+:
. (g+Y) _, (g-Y)
P 2 • P 2
—cos-^- e sin -^- е
s -I 2 2
°- ' ^(g-Y) f (g+Y)
62 В 2
-sin —e —cos—e
2 2
причем
SZ1 = S±=Sl5
Наличие множителя 1/2 при углах a, p и у определяет одну
важную особенность матриц S+ и S_. Обозначим углы a, p и* у
в качестве параметров матриц и рассмотрим поворот вокруг оси а,
Р на угол 2я, т. е. заменим у на у+2я:
-*(g+Y) /аг -f(g-Y) ,,^
р —5 . Р 2—+ ч
cos — е —sin — e
S+(a, р, у+2п) = \ 2 ,(a_v) 2 ,(a+v)
. Р 2 Р ~^~+
sin — е cos — e
2 2
=_S+(a, p, Y) = S_(a, p, у).
Таким образом, поворот на угол 2я вокруг оси (a, P) приводит
к преобразованию: S+->S_;S__->S+. Обозначим это преобразование
в виде Е. Тождественное преобразование можно получить лкшь при
повороте вокруг оси (а, р) на угол 4я:
S+(a, p, Y+4*) = S+(a, p, ^-(а, P, Y+4ji)=S_(<x, p, у).
Формально можно положить Е2=Е и ввести циклическую
группу второго порядка, состоящую из двух элементов: Е, Е2=Е.
174

Элемент Е соответствует повороту на угол 2я пространства вокруг
произвольной оси (а, Р). Действительно, и при изменении а и р на
2я имеем:
S+(a+2jt, p, Y)=-S+(a, p, Y)=S_(a, p, у);
S+(a, р+2я, Y) = -S+(a, p, Y) = S_(a, p, у).
Элемент Е=Е2 есть тождественное г преобразование простран-
ства.
Найдем вид матриц S7I<JftS+.
Матрица ах преобразуется следующим образом:
* (a+V) -i(a-y)
cos-^-e 2 sin-^-e 2 \/о г
S+1^S+ = | /(a-y) -/(a+V) Hi oj S+ =
V—sin —e 2 cos —e 2
2 2
(a-Y) , (a+P)
- P 2 P 2
sin -^- e cos -^ e
2 2
-/ (a+V) f(a-y) 'X
P 2 . P 2
^cos^- e —sin — e
2 2
. (a + V) —Ma —V)
cos — e 2 —sin — e 2
2 2
X' f(a-V) / (a+V)
vsin-2-е 2 cos ie 2
2 2
r sin -£- cos -2- e-/a+sin — cos -£- e'a-
2 2 2 2
cos2 -£- e-' <a+Y) — sin2 J*- e1' <a - ?>-
2 2
_sin2-S- e-^^-YJJ-cos2-^- e<(°+Y)
2 ^2
—sin -2- cos -^- e-/a — sin -5- cos — eia
2 2 2 2
cos a sin p cos2 ■£- e' <°+?> _ sin2 -^ e-<* <a - y)n
^22
cos2 £ e-' (a+Y) _ sin2 -& e' <a - v) _cos a sin В
2 2 r
175

(cos a sin[P (cos a cos p+i sin a) e'Y\
(cos a cos P — i sin a) e-'Y —cos a sin p /•
Опуская^аналогичные выкладки, получим:
(sin a sin p
*cos2 Aei(a+Y)_isin2-5-e-^a-Y) >
2 2
i Cos2 -& e~* (a+Y)_t-i sin2 £ e-' <a - y)^
9 9
—sin a sin P
sin a sin p (sin a cos p — i cos a) e'Y
(sin a cos p+i cos a) e-t"Y —sin a sin p
__! / cosp —sinpe'Y \
s+*2s+ = ^_sin|Je_.Y _cosp j.
Вернемся к уравнению, определяющему условие инвариантности
гамильтониана с учетом спина относительно преобразований Gf.
Видно, что матрица S должна быть связана с оператором
л
Gy, так как она удовлетворяет условию
SflwW/K-s^s-s
k
т. е. S=S\Gj, и, следовательно, должно быть g матриц S, обра-
л л
зующих пару операторов G/S=SGy.
Однако не ясно, единственным ли образом можно выбрать
матрицу S. Предположим, что таких матриц может быть несколько.
Возьмем две из них Sx и S2. Для них можно записать
2 ам (g7) a^S^Sr^S^Sr1,
k
откуда следует
Л j Л |
Sl^Si = $2<*1$2
И
176

т. е. матрицы Бг^ и Si !S2 коммутируют со всеми матрицами
Паули. Обозначим S^T^ через В и запишем:
Л Л
В<тг = *гВ.
_ Л Л
Для ах и <зу имеем:
jbnb12\j0 l\ /b12bn\ (О l\fbnb12\fb21b22\
U31fc2JU 0}"\b22bj [l 0j[b21b22) \b11b12j;
}iib12\(° —i\iib12—ibnx/0 —i]/b11b12\l—ib21—ib22\
>2i b22 \ i 0 ) " \ib22 —ib21 *\i 0 / \b21 b22) ~~ \ ibn ib12 )'
Из первого соотношения следует
из второго:
Ьц=Ь22,
Ь12 ——Ь21;
Ьц—Ь22,
т. е. матрица B = S2~1S1 является диагональной с одинаковыми
диагональными элементами: bn=b22=b. Такая матрица коммутирует
с любой, в том числе и с az. Положив 6=±1, получим
02 S1=£; S1 = S2;
S2 Sx=—E; S±=—S2.
Если | b \Ф1, то условия коммутации не меняются, поэтому в
дальнейшем будем считать для определенности |6|=1.
Теперь легко увидеть, что в качестве матриц Sx и S2 можно
взять S+ = S! и S__ = S2 =—S+.
Действительно, например:
S_ S+=—S_[- S+ = —£".
Таким образом, существуют две матрицы S+ и S_, обеспечивающие
инвариантность гамильтониана с учетом спина относительно
преобразований точечной группы G. Точнее говоря, существует 2g
набора матриц S+(Gj) и S__(Gy). Формально можно рассматривать
группу порядка 2g, имеющую элементы S+(G/)G/ и S_(G/)G/.
Такая [группа называется двойной: G'. Ее представляют также в
виде прямого произведения групп G и (£, E):G' = G-(E9 £),
половина \g\ ее элементов совпадает с группой G=G-E, другая
половина имеет вид G-E> эти элементы обозначаются Gj=GjE.
12 Киреев П. С. 177

§ 36. Представление двойных групп
Поскольку двойная группа изображена в виде прямого
произведения двух групп, следовало бы ожидать, что она имеет удвоенное
число классов и неприводимых представлений. В .действительности
дело обстоит по-другому.
Рассмотрим основные виды преобразований пространства в двой«
ных группах.
Ось Сп в двойной группе является осью порядка 2л:
Сп "p. s>2n р
— результат достаточно очевиден.
Инверсия коммутирует со всеми поворотами, поэтому ее следует
считать элементом второго порядка
Но это в свою очередь означает, что зеркальное отражение а
необходимо считать элементом четвертого порядка:
a=iC2; o*=(iC2f=i2C22 = EE = E\
а4 = £.
Удвоение порядка а согласуется с удвоением порядка поворота
Ся, поскольку поворот можно представить в виде произведения
двух «вертикальных» плоскостей o'v и сГ с углом 2л/2п = л/п между
ними.
Группа С'п остается циклической:
С' . /> . >о2. wt — 1. f>n ~рт г>п-\-1 /7/"» . г>2п р
л. Ол, Urt, . . ., U/j , Un—Пу L/ft —ьЬл, . . ., Ksn —Ct
следовательно, она имеет 2g одномерных представлений, в качестве
которых выступают комплексные корни из единицы:
. 2я<Г 2л о/_
Г'»'(С„) = е' 2п =е » "2; а'=1, 2, ..., 2я;
. 2яа'1
Г'«'(С1п) = е1 2" ; 1=1у 2, ..., 2п.
Для элементов Е и Е имеем
. i — а' 2п
Га'(£) = е 2п =е'2яа' = 1;
. 2ла/_
Га'(£)=е' 2п Я=е''™' = (— 1)а'; а'=1, 2, ..., 2л.
Таким образом, элемент Е имеет в качестве представлений 1, I
элемент £ имеет четные (+1) и нечетные (—1) единичные npefr
ставления.
178

Как видно из определения Сл, ее действительно можно представить
в виде прямого произведения групп Сп и [Е, Е}:
С'п = Спх[Е9Е).
Записав представления группы Сп в виде прямого произведения
представлений Г(а)(Сл) и Г(Р) [Е, Ё):
r,af{Cfn) = T{a)(Cn)xT^{E9E)
и учитывая, что группа \Е,Е} имеет два представления:
{Е,Е}
Гх
г2
Е Е
1 1
1 —1
однако для Г а не получим те же выражения, что и ранее.
Действительно, рассмотрим группу С'2:С2; С2 = Е, С2 = ЕС2; С2=Е2=Е.
Она имеет четыре класса и четыре одномерных неприводимых
представления, которые указаны в табл. 47.
Таблица 47
Характеры неприводимых представлений
двойной группы С2
с2
г;
г;
г;
Гз
Е
1
1
1
1
с2
1
— 1
/
— i
Е
1
1
— 1
— 1
ЕС2
1
— 1
— i
i
Поскольку двойная группа С'2 циклическая, она изоморфна
простой группе С4 (см. табл. 19), а не группе, например, C2h (см.
табл. 21), как это следовало^ бы ожидать, исходя из того, что
С2 = С2х [Е, £} = {£, С2}х [Е9 Ё\ и рассматривая прямое произведение
представлений. Удвоение порядка группы вносит новые представления,
отсутствующие в прямом произведении представлений. Если разбить
табл. 47 на 4 блока, то характеры в блоках имеют простую структуру:
представления с четным индексом: а'=2а — совпадают с
представлениями простой группы, представления с нечетным индексом
отсутствуют в простой группе.
Полученный результат подчеркивает фиктивный характер двойных
групп Сп.
12*
179

Рассмотрим теперь группу Cnh. Она имеет порядок 4п и состоит
'из элементов:
ECm ECny ..., £; EonCn, EanCni ..., EanE = a!r
Ее можно представить также в виде
С. ^о /~i2 >^>/г ^т f>n -J- 1 s-i2n rp t
nh • l^n* ^ri9 • • •> ^Jn — £» ^n > • • •> ^n —£»
Группа Спн абелева, поэтому она должна иметь 4п одномерных
неприводимых представления. Рассмотрим некоторые простейшие
группы^ Группа С\п=С8 состоит из четырех элементов: С1Л = С§:£,
аЛ, Е, Eoh. Эта группа циклическая: C's:e/n o2n=E, ol=~Eo/lf о4п=Е,
следовательно, ее неприводимые представления совпадают с
неприводимыми представлениями группы С'2 (табл. 47).
Группа зеркальных поворотов S2rt имеет порядок 4л. Рассмотрим
группу минимального порядка /1=1, т. е. группу S2. Она состоит
из элементов: Е, C2oh = i, E, ЕЧ. Все ее элементы коммутируют,
т. е. группа S2 = Ct абелева, но нециклическая: S2 = Ctx [Et E). Ее
неприводимые представления можно найти как прямое произведение
неприводимых представлений группы С[, или Ct и (Е, Ё). Двойная
группа S\ оказывается циклической: S^iC^e,,, C2, C\a\, E, EC±oh>
ЁС2, ЁС34а1 Е, или апС4; ЕС2; ЁолСЪ Ё, EohCA, C2, ohC\y E.
В последнем случае группа S4 записана в виде цикла элемента аЛС4.
Этот результат можно обобщить: двойная группа S2n является
циклической при четном п и не является циклической при нечетном пг
так как в последнем случае она содержит инверсию, остающуюся
элементом второго порядка при переходе к двойным группам, в то
время как повороты и отражения повышают (удваивают) свой
порядок.
Все рассмотренные примеры двойных групп относятся к абелевым
или даже циклическим группам.
Двойные группы Dn и C'nv, как и простые, изоморфны. Для
нахождения их неприводимых представлений удобно использовать
метод базисных функций. Для поворотов Сп в качестве базисных
функций можно использовать etik(t>. Для простых групп имеем
т. е. с помощью функций e±ik(v можно построить как одномерные,
так и двумерные представления. При этом k может принимать любые
целочисленные значения.
180

При переходе к двойным группам следует считать к полуцелым,
что обеспечивает тождественное преобразование при повороте на
угол 4я. Действительно,
, -1. 2л; .
р2пе±^ф==е- „ е±1Лф=е±1Лф
т. е.
е п = e±i2*2jt= 1
или 2k — целое число, откуда и вытекает, в частности, условие, что
k — полуцелое число.
Рассмотрим в качестве примера группу D2 = V. Простая группа V
имеет четыре элемента: Е, С<?\ U{2X) и U{2y) и четыре класса, поэтому
она имеет четыре одномерных представления.
Двойная группа D^ имеет восемь элементов:
Е, С?\ Uix\ Uiy);
Ё, ЁС?\ EUix\ EU(2y)
или
Е;
Ё;
С{2г); С(22)3 = ЁС{22);
и{2х); и(2х)3 = Ёи(2х);
и{2у); и{2У)3 = Ёи{2У).
Элементы Е и Е образуют свои собственные классы. Оси второго
порядка различных направлений относятся к различным классам, тем
самым пять классов уже найдено. Остается проверить, образуют ли
кубы осей независимые классы. В простых группах имеем равенство:
С2=С2Х> но в двойных группах это равенство не справедливо.
В двойных группах обратными являются повороты С1п и С2/1"', т. е.
С2=С^3, или Cl = C*1.
Рассмотрим операцию сопряжения одной из осей в простой группе,,
например:
ир-'сРиР-ср-^сР.
Но в двойной группе следует записать
ир-1сРиР=ифшс£Щх) =Ёс(2г),
т. е. элементы С2 и С\ сопряжены. Следовательно, в группе D2
имеется 8 элементов, распределенных по пяти классам, как это и
было указано.
Таким образом, для группы D2 можем найти размерности
неприводимых представлений: 8= 12+12+12+12+22.
18!

Двузначное, или двумерное, представление, переставляющее для
осей второго порядка базисные функции eikx и e—ikx, имеют вид
О) Г
перестановочных единичных матриц
1 О
с характером, равным
нулю; для элементов Е и Е представления имеют вид диагональных
л 0\ /-1 0 \
матриц I 0 1 I и I а 1 I с характерами 2 и —2 соответственно.
Одномерные представления находятся на основе базисных функций
е±шР с целым k (как и в группе D2!):
/«w 1ч ±ik — la
Г(а)(с£)=е 2 .
Выбирая знак «+» и & = 1, получим
Т{а){С12) = еШа=(—1)1а.
Характеры группы D2 приведены в табл. 48, в которой все оси
обозначены С2.
Таблица 48
Таблица характеров неприводимых представлений двойной группы D2=V
D'2
Г<4>
Г(2)
Г(3)
Г(1)
гб
Е
1
1
1
1
2
Е
1
1
1
1
—2
2С[Х)
1
— 1
1
— 1
0
2С{2У)
1
—1
— 1
1
0
2df>
1
1
—1
—1
0
§ 37. Представление двойных групп
(высшей симметрии)
Перейдем к кубическим группам.
Двойная группа тетраэдра V имеет 24 элемента и не менее пяти
классов. Элементы группы 7" следующие:
Е, ЗС2, 4С3> 4С§;
Ё, 3£С2, 4£С3, 4£Ci
Пользуясь правилами умножения элементов простой группы и
порядками осей в двойной группе, можно показать, что все оси С2
сопряжены, а оси С3> С\, С3Ё и С%Е не сопряжены, т. е. группа Т
имеет семь классов:
Е, Е, 6С2, 4С3, 4С23, 4£С3, 4ECl
182

Это существенно меняет характер вырождения уровней энергии,
а именно, размерности неприводимых представлений удовлетворяют
условию
24 = 12+12+12+22+22+22+32,
в то время как для группы Т имеем
12=12+12+12+32.
Таким образом, к четырем неприводимым представлениям группы
Т добавляются три двузначных представления. Характеры одномерных
и трехмерных представлений могут быть найдены простейшим образом
на основе соотношений ортогональности. Они указаны в табл. 49.
Таблица 49
Заполнение таблицы характеров двойной группы тетраэдра V
V I E 6C2 4C3 4Cl E 4ЕС3 ЬЕС\
г;
г;
г;
г;
г5
гб
г7
1
1
1
3
2
2
2
i
1
1
—1
0
0
0
1
(О
О)2
0
1
со2
(0
0
1
—1
— 1
3
—2
—2
—2
1
—со
-О)3
0
I
—со2
—0>
0
Двумерные представления будем искать, используя матрицы S+
или S_, которые дают представления элементов группы Т. Положим,
аир равны нулю, т. ё. считаем ось поворота совпадающей с осью
Сл. Для С2 получим, используя S+:
/е"~ 0 \ i 0\
S+(C')=\o _етН° «)
и, следовательно, %(С2) = 0. Для Е можем записать
.♦т-мси-г; ;)=(-„' _0,).
Для элемента С8:
(<Г1~2 о \ 2т
S+(C3)= |±L ; 5C(C3)=2cosfL=l.
У 0 е'32у
183

Аналогичным образом для Х(с|), % [ЕСа) и %{ЕС\) найдем —1,
— 1 и 1.
Затем найдем сумму характеров, учитывая число элементов в
классах:
1.2+6-0+4.1+4-(— 1)+Ь(—2)+4-(—1)+4-1=0.
Таким образом, характеры найденного представления
удовлетворяют условию ортогональности, следовательно, найденное
представление является неприводимым: r5=S+. Умножая его на два
одномерных представления Г'2 и Гз, получим два новых двумерных
неприводимых представления: Гв=Г2ХГ5; Г7 = Г3хГ5, что позволяет
заполнить табл. 49 и получить табл. 50.
Таблица 50
Характеры неприводимых представлений двойной группы тетраэдра Т*
V
1\
г2
Гз
г4
гБ
г6
г7
Е
1
1
1
3
2
2
2
6С2
1
1
1
—1
0
0
0
г'-г'*-
А3_12
4С3
1
СО
СО2
0
1
со
со2
г7
4С*
1
со2
со
0
—1
со2
со
= Г6*; Г6
Е
1
—1
—1
3
—2
—2
—2
-r2xS+;
4£С3
1
—со
—со2
0
—1
—со
—со
2л
1 3
со = е
АЕС\
1
—со2
—со
0
1
—со2
—со2
Таким образом, характеры всех неприводимых представлений
двойной группы тетраэдра V найдены. Обратим внимание на то, что
все двузначные представления группы V найдены в виде прямого
произведения неприводимых представлений группы Т и матрицы S+.
Очевидно, что вместо матрицы S+ можно взять и матрицы S+1, S_,
SZ1, поскольку они дают эквивалентные представления.
Итак, все двузначные представления имеют вид
r^=r<xS+ = S+xrl; i = l, 2, 3, 4; /=i+4.
Но можно взять прямое произведение матриц S+ и Г4, что дает
представление размерности 2-3 = 6, являющееся, естественно,
приводимым. Характер представления S+xT4 дан в табл. 51.
Хотя характеры в сумме дают 0 и удовлетворяют условию
ортогональности, представление S+xr4 является приводимым. Разлагая
его по неприводимым представлениям, получим
s+xr4=r5+r6+r7.
184

Перейдем к группам Он Td. Двойные группы О' и Т* имеют по
48 элементов: 0' = Ох{Е, Ё} и Td=Tdx \E, Е\. Однако следует ипПти
число классов в двойных группах, ибо, как в случае группы 7",
переход к двойной группе приводит к удвоению числа элементов,
но не приводит к удвоению числа классов.
Таблица 51
Характер произведения представлений S+xT4 группы Т'
т
s+xr4
Е
6
6С2
0
4С3
0
4Cl
0
Е
—6
4£С3
0
4£С32
О
Группа О имеет классы:
Е, 6С4, 6С2, ЗС4, 8С3,
на основе которых запишем элементы группы О':
Е, 6С4, 6С2, 3d, 8С3, £, 6£С4, 6£С2, 3£С?, 8£С3.
Два класса очевидны: Е и Е.
Таблица 52
Характеры неприводимых представлений двойных групп О' ъ Td
О'
Т4
14-14
г2=г2
г3=г12
Г4=Г'15
г5=г;5
r6=s+xr!
T1=SjrXV2
1 8=^4-Х1 з
Е
Е
1
1
2
3
3
2
2
4
Е
Е
1
1
2
3
3
—2
—2
—4
зс4
ЗС^Е
354
3£S4
1
— 1
0
1
—1
1 2"
-/2
0
зс43
3£С4
3SJ
3ES4
1
— 1
0
1
— 1
-У 2
У 2~
0
ЗС*
ЪЁС\
зс2
3£С2
1
1
2
-1
— 1
0
0
0
6С2
бЕс2
6crd
6£ad
1
—1
0
—1
1
0
0
0
4С3
4Щ
4С3
1
1
—1
0
0
1
1
—1
4С23
4ЁС3
4С*
4£С3
1
1
—1
0
0
—1
—1
1
Рассмотрим элементы, образованные из поворотов С^:С^ Ci = C2y
С4, £С4, ~ЁС24 = ЁС2 и ~ЁС\ — всего 18 элементов. Элементы С4 и С\у
имеющие разный порядок, относятся к различным классам. Элементы
С4 и ЕС\ сопряжены друг другу и относятся к одному классу, как
и в группе Т\
185

Элементы С4 и С* в простой группе являются обратными и
относятся к одному классу, в двойной группе обратными являются
элементы С4 и Ci = EC\y они сопряжены и образуют один класс;
аналогично к одному классу относятся элементы С\ и £С4. Таким
образо^оси четвертого порядка дают классы (ЗС4, ЗЁС\), [ЗС\, ЗЁС^)у
\3Ci, ЗЕСъ), т. е. всего три класса, как и в простой группе. Оси
С2 и £С2 образуют один класс. Элементы С3 и С| относятся в
двойной группе к разным классам, а элементы С3 и £Сз и С\ и
£С3 — к одинаковым классам.
Суммируя, можем сказать, что в двойной группе О' имеется 8
классов, они указаны в табл. 52. Таким образом, двойная группа О'
имеет только 8 неприводимых представлений. Найдем их размерности,
подобрав квадраты восьми целых чисел:
48-12+12+22+32+32+22+22+42.
Для простой группы имеем
24=П2+12+22+32+32.
Таким образом, переход к двойным группам О' и Td связан с
добавлением трех классов и трех неприводимых представлений, пять
исходных неприводимых представлений сохраняется. Дополнительные
представления можно искать в виде прямого произведения
представлений Г простой группы и матрицы S+ (или S+1, или других).
Произведения Г^х&ц. и T2xS+ дадут два двумерных
представления, а произведение r3xS+ даст четырехмерное представление.
Таким образом получили все восемь неприводимых представления
двойной группы О' (и Td):
1\» Г2, Г3, Г4, Г5, r6 = rixS+, r7 = r2xS+, i8 = r3xS+.
Если образовать прямое произведение T4xS+ и r5xS+, то
получим два шестимерных представления, которые должны быть
приводимыми.
Теперь можем заполнить табл. 52.
Пять неприводимых представлений простой группы возьмем из
табл. 32. При этом учтем, что, например, классы ЗС4 и 3d двойной
группы совпадают в простой группе, поэтому они должны иметь
одинаковые характеры и в двойной группе, поскольку рассматриваем
исходные представления 1\ — Г5. Характер элементов Е можно найти
из условия ортогональности — сумма характеров строки равна нулю
(кроме 1\).
Перейдем к нахождению характеров дополнительных
представлений. Используем матрицу S+, в которой для аир выберем
нулевые значения:
(e~~t 0 \
S+(0, О, Y)= .Х =S+(Y)-
186

Полагая Y=Jt/2, я, Зя/2, 2я, 4я, 2я/3 и 2я-2/3 соответственно
для классов С4, С2, С^, С\, С$, С3 и Сз, найдем их характеры,,
относящиеся к представлению r6 = rlxS+ = S+:j
X(6)(^) = 2cos^- = 2cos^ = 2cos^#
х } 2п п 2
Прямая проверка показывает, что найденные таким образом
характеры ортонормированы. Характеры представлений Г7 и Г8
получим, перемножая характеры Г2 и Гв и Г3 и Гв. Они указаны
в табл. 52. Рассмотрим теперь произведения T4xS+ и T5xS+ —
характеры этих шестимерных представлений [указаны в табл. 53.
Таблица 53
Характеры приводимых представлений r4xS+ и r5xS6 групп 0' и Td
О'
Е
6
6
Е
—6
-6
6С4
V2
-V2
eel
-/J
/2
ес\
0
0
12C2
0
0
8С3
0
0
8С§
0
0
Пользуясь табл. 53 и 52, найдем разложение S+xr4 и S+xT5
по неприводимым представлениям двойной группы О'. Опуская
простые выкладки, запишем результат:
о+ х Г4 = Г6+Г§,
s+xr6 = r7+rg.
Дадим наглядную трактовку полученным результатам по
нахождению неприводимых представлений в двойных группах.
Учет спина приводит к удвоению кратности вырождения уровней
энергии— простые уровни 1\ и Г3 становятся двукратно вырожденными
Гв и Г7, двукратно вырожденный Г12 — четырехкратно вырожденным,
а трехкратно вырожденные — Г15 и Г25 — шестикратно вырожденными
S4-Ti5 и S4-T25. В результате спин-орбитального взаимодействия
шестикратно вырожденные уровни расщепляются на двукратно и
четырехкратно вырожденные уровни Гв и Г8 и Г7 и Tg соответственно.
Если теперь вновь пренебречь спином, то можно сказать, что спин-
орбитальное взаимодействие приводит к частичному снятию
вырождения трехкратно вырожденных состояний, в результате чего они
расщепляются на простой и двукратно вырожденные состояния:
Г15 —Гх+Г^,
Г25 = Г2 + Г12.
Кратко остановимся на группе Cev. Она имеет шесть классов и
шесть неприводимых представлений: 12= 12+12+ l2-f- 12+22+22.
Двойная группа Сби имеет 24 элемента, распределенных по 9 классам.
Дополнительно возникает 3 двумерных представления Г7, Г8 и Г9:
24 = 12+12+12+12+22+22+22+22+22.
187!

Состав группы Cqv и состав ее классов могут быть получены
аналогичными методами. Характеры дополнительных неприводимых
представлений двойной группы Сб« приведены в табл. 54.
Таблица 54
Характеры дополнительных представлений группы c'6v (D'6)
c&v
г7
г8
г9
Е
2
2
2
Е
—2
—2
—2
с2
ЕС2
0
0
0
Сз
ЕС*
1
1
—2
С2
L3
ЕС3
—1
—1
2
с6
£С|
/з"
-/з
0
с5
£с6
-/i"
/з
0
з^;
3£а;
0
0
0
зет;
ЗЯа;
0
0
0
Чтобы найти поведение уровней энергии при смещении из точки
Г в точку общего типа или точки симметрии, необходимо найти
соотношения совместности для двойных групп (табл. 55, 56, 57, 58).
Поскольку принцип нахождений двойных групп и соотношений
совместности достаточно подробно изложен, ограничимся приведением
окончательных результатов.
Таблица 55
Характеры неприводимых представлений
двойной группы Д'
Д'
Ai
д2
Дз
д4
А5
Е
1
1
1
1
2
Е
1
1
1
1
—2
2С42
1
1
—1
—1
0
21С2
1
—1
—1
1
0
2iC2
1
— 1
1
—1
0
Как видно из табл. 55 — 58, на осях А и 2 не возникает
дополнительных представлений, в то время как на оси Л происходит
удвоение представлений — 6 вместо 3. Состояния Гв и Г7 вдоль осей
Д и Л остаются двукратно ^вырожденными, а Г8 распадается на два
двукратно вырожденных состояния. Вдоль оси 2 происходит полное
снятие вырождения для всех состояний. Наглядно поведение уровней
энергии при переходе от точки Г к точкам на осях симметрии
показано на рис. 38 (сравните его с рис. 36, на котором изображено
расщепление уровней для простых групп).
J 88

В связи с двойными группами рассмотрим вопрос об инверсии
л
времени. Введем оператор т — оператор инверсии времени:
л
т/= — t.
Таблица 56
Характеры неприводимых представлений двойной
группы Л'
Л'
Ai
Л2
Лз
л4
л5
Е
1
1
2
1
1
2
Е
1
1
2
— 1
— 1
—2
2С3
— 1
2£С3
—1
3/С2
1
—1
0
i
—i
0
ZEiC2
1
—1
0
—i
i
0
Применим его к классическому уравнению движения. Радиус-
вектор инвариантен относительно инверсии времени: тг=г, откуда
следует инверсия знака скорости:
TV =
dr_
(It
dv
• dt
■= —v.
Таблица 57
Характеры неприводимых представлений
двойной группы 2'
2'
Si
22
S,
24
Е
1
1
1
1
/;
I
1
— 1
— 1
iC2
1
— 1
i
—i
EiC2
1
—1
—i
i
Ускорение же а остается неизменным:
л d2T
та='с ■=-
d4
dh
■ = =а.
dt2 <rf(_/)}2 dt2
Если сила F зависит только от координат, то она инвариантна
относительно инверсии времени, вследствие чего уравнение движения
при инверсии времени не меняется.
Подействуем оператором т на волновой вектор к; он должен
изменить свой знак
Л
хк= —к,
189

кольку волновой вектор связан со скоростью
K=m*v/h.
л
Таблица 58
Таблица совместности дополнительных
представлений двойных групп
Г'
д'
Л'
2'
г0
д5
А,
sss4
г,
дв
Ло
2324
г,
Д5Д«
A4A5A0i
232I4S324
Рассмотрим действие оператора -и на энергию. Из временного
внения Шредингера следует, что инверсия времени равносильна
рации комплексного сопряжения:
dt dt Y Y
л л
Поскольку гамильтониан физической системы веществен: Н*=Н,
кции ip и "ф* удовлетворяют одному и тому же уравнению.
В стационарном состоянии
эрмитовом гамильтониане с учетом вещественности энергии Е*=Е
*ует, что решением уравнения Шредингера является двойной
эр волновых функций: {г|)} и {я|)*}.
Если {г|?} и {-ф*} различны, то это означает, что уровень энергии
меет кратность вырождения 2f, а не f.
Вели же {if} и {г|)*} совпадают, то инверсия времени не приводит
зполнительному вырождению уровней энергии.
Этот вопрос может быть решен на основе анализа неприводимых
1;ставлений. Как. показывают исследования, для неприводимых
*ставлений Г(а) и Г(а)*, определяющих преобразование базисов
и {г|э*}, возможны три случая:
[) Г(а) и Г(а)* эквивалентны, но не могут быть действительными;
!) Г(а) и Г(а)* не эквивалентны;
\) Г(а) могут быть действительными.
:сли реализуется случай 2, то это свидетельствует о наличии
:ратного вырождения уровней энергии.

В случаях 1 и 3 следует учитывать спин. Если спин целочисленный,
то в случае 1 имеется дополнительное вырождение, а в случае 3
не имеется. Если спин полуцелый, то дополнительное вырождение
имеется в случае 3 и отсутствует в случае 1.
(V
(2)
(1)
(2h
At,
*5
Рис. 38. Расщепление уровней энергии двойных групп при переходе от
точки Г к точкам А, Л и 2- В скобках указана кратность вырождения
Для проверки того, какой случай имеет место, необходимо
вычислить сумму характеров от квадратов элементов группы. При
этом:
Ig — случай 1,
О —случай 2,
g— случай 3.
G,
§ 38. Свободный электрон
Методы теории групп используются для выбора волновых функций
при решении уравнения Шредингера.
Ограничимся только одним примером — свободным электроном.
Положим, что (7(г) = 0. Уравнение Шредингера для стационарного
состояния имеет вид
— — Ai|>=£^-
Его решением являются плоские волны де-Бройля:
г|)(г) =
(2я)3'2
J ("О
нормированные на б-функцию Дирака.
Волновые функции преобразуются по к-представлению. Группой
симметрии свободного электрона является непрерывная /С-группа
(сферическая группа).
Энергия Е связана с волновым вектором к соотношением:
£(к) = .
2/л0
191

Спектр энергии непрерывен, изоэнергетические поверхности в
пространстве волнового вектора к или импульса р=Ьк имеют вид
сфер:
•£ (K) = "I =£const»
Таким образом, симметрия пространства г и симметрия обратного
пространства к одинаковы.
Введем нормировку в ящике L2:
г|>(г) = -Ье(''кг).
TV ' £3/2
Спектр энергии при этом не меняется. Если наложим циклические
граничные условия ty(x+L, у, z) = ty(x, y+L, z) = ty(x, у, z+L)=ty(x,
у, z), то изменим спектр энергии — он станет квазинепрерывным:
e^L=e/V=e^L=l
или
2я
Kj= — nj; rij=0; ±1; ±2; ... j=x,y,z.
Однако при достаточно «большом» размере ящика разность двух
значений волнового числа мала:
Дя/ = Д/гу= при Лл7-=1
и спектр энергии практически является непрерывным.
Теперь предположим, что электрон помещен в периодическое
потенциальное поле £/(r) = £/(r+n), имеющее симметрию с точечной
группой G.
Волновая функция -ф (г) должна иметь вид волны Блоха:
фк (г) = е* <кг>срк (г); Фк (г+п) = фк (г),
энергия Е(к) имеет точечную группу симметрии G и периодична
с периодом обратной решетки:
G,(k)=£(G/k) = £(k);
£(к+2лЬ)=£(к).
Чтобы найти аналитические выражения для ярк (г) и Е (к),
необходимо решить уравнение Шредингера:
- £- ЛЧ>Ж (r)+U (г) г|)к (г)=£ (к) ^к (г),
но это требует знания потенциала решетки U (г), который не известен.
Предположим, что U (г) -> 0, в пределе будем иметь свободный
электрон, движущийся в пространстве, обладающем, однако,
«структурой» исходного кристалла. Поскольку все групповые свойства
одинаковы независимо от величины поля £/(г), они должны
сохраниться и при (/(г)->0. Другими словами, рассмотрим приближенное
решение уравнения Шредингера для кристалла,
— — A\\>+U\\>=Ety,
2//г0
192

отбросив член U, но потребовав, чтобы нулевое приближение имело
все общие свойства точного решения. Очевидно, что в таком случае
для электрона в кристалле решение для свободного электрона должно
быть модифицировано.
. Решим задачу о «свободном» электроне с учетом групповых
свойств поля U (г) -> 0.
Решение уравнения
ищем в виде волны Блоха
Фж(г) = еМ">фж(г),
где Фк(г+п)=фк(г) — периодическая функция.
Найдем уравнение, которому подчиняется функция фк(г); для
этого вычислим УФк(г) и Дя|)к(г):
V%(r) = iK%(r)+e <КГ>УФК(Г);
А^к (r)= V4 (г)= V {М>к (г)+е* <"> Vфк (г)} =
= нс{1кфк(г)+е' <кг>Уфк(г)} + '"ке1' (кг)Уфк(г)+е1' <кг>Дфк(1Г) =
= — к2^к (г)+2/ке<' (кг)\7ФК (г)+е* <кг>Дфк (г).
Обозначив -^- = х2, получим после сокращения на е£(кг):
- к2Фк (r)+2i (кУФк (г))+Афк (г)= - х2Фк (г),
или
АФк (г)+2* (кУфк (г))-|-(х2 - к2) Фк (г) = 0.
Получено однородное линейное относительно Уфк(г) уравнение
второго порядка, поэтому можем искать решение в виде
экспоненциальной функции вида
Фк(г) = Ле-'<Вг>.
Подставляя Фк(г) в дифференциальное уравнение, получим
— В2 — 21 (KtB)+(x2 — к2) = 0;
В2+2(кВ)+к2 = х2
или
(В — к)2 = х2 = я2; х = В — к или х = к — В.
Таким образом, энергия электрона принимает значение
Е = ^-\к — Ъ[\
а функция Блоха имеет вид
<фк(г)=Ле*' (кг)е-г-(вг) = ^емк-в, г)#
Нормировочный [множитель А при нормировке в ящике равен
1"3/2.
13 Киреев П. С. 193

Значения вектора В ищем из условия периодичности функции
Фк(Г):
Фк(г+п) = Ле-^в'г + п) = Ле-г"<Вг)е-£"<Вп) = фк(г),
рткуда следует
e-/<Bn)__ie
Это означает, что (Вп) = 2я<7, где q — произвольное целое число,
а вектор В с точностью до множителя 2я совпадает с произвольным
вектором b обратной решетки:
В = 2лЬ=2 л (т^+т2Ъ2+m3b3).
Учитывая это, запишем:
^к(г)=1-3/2ег'(к-2ль'г);
£(к)=^|к-2яЬ|2.
Дальнейший анализ решения в общем виде невозможен, поскольку
эазисные векторы обратной решетки различаются для решеток
различной структуры, поэтому проведем рассмотрение для конкретных
зидов кристаллов.
Простая кубическая решетка. Для нее
J aj a
b= b± (mfr+mfo+mfo),
где щ, m2, m% — произвольные целые числа, a elf e2, e3 — единичные
эрты вдоль осей, в них векторы к и г запишутся в виде
к=кхе1+куе2+к2е3; г = хе1+уе2+ге3;
золновая функция
i энергия
с / \ Ь2 Г/ 2я 2 / 2я \2 / 2я \21
Пользуясь этими общими выражениями, проанализируем точки
:имметрии.
Точка Г. В центре зоны Бриллюэна — в точке Г — к=0, и
золновая функция имеет вид
^г (г) = Ле-i2n <br> = i|)b (r).
При b=0 я1*г(г) = Л = //~3/2. Эта функция соответствует единич-
юму представлению, т. е. состояние ij)r(r) = L~3/2 есть состояние Гх.
Энергия электрона в этом состоянии минимальна: £г(0) = 0.
При Ь=^=0 энергия принимает дискретный ряд значений:
*г<Ь>-^
194

Обратим внимание на одну особенность выражения для энергии
в точке Г. Из квантовой механики известно, что энергия частицы,
заключенной в потенциальной одномерной яме шириной а, равна
я2Ь2 2
2т0а2
где я=1, 2, ... — квантовое число, а волновая функция имеет вид
стоячей волны.
Энергию электрона в точке Г можно рассматривать как энергию
в трехмерном потенциальном ящике со стороной а, при этом волновая
функция действительно имеет вид
стоячей волны, поскольку к=0.
Следующий энергетический
уровень получим, положив
400'
L2Z0
L2I/ .
L210-
и200 ■
г///.
L1t0 .
Еооо-
с22/
пи r= ± l;
/?22 = т£=0;
-т1 = 0;
пи
т1=т2=0.
Энергия принимает при этом
значение
Рис. 39. Схема уровней энергии
свободного электрона в точке Г
для простой кубической решетки
-100
4л2Ь2 1а== 2я2Ь2
2///0а2
т0а2
Ей соответствует шесть волновых функций вида е а . Из них
можно скомбинировать шесть других выражений (с точностью до
констант нормировки), а именно:
т , . 2пх . . 2яу . . 2л2
I. ib=sin ; ip=sin—-; if sin ;
да а
тт . 2я* 2яу 2л2 1 / 2я , 2jt \
II. tb=cos — cos—s \p=cos cos — .v+cos—у ;
a a a 2 \ a a )
TTT , 2nx , 2яу
III. ib=cos |-cos—--
a a
cos -
Само собой разумеется, что от этого кратность вырождения
уровней не изменилась, она осталась равной 6. Однако если исходные
функции при действии оператора точечной группы преобразовывались
друг через друга и образовывали тем самым шестимерное
представление, которое должно быть приводимым, то найденная комбинация
разбивает базис из 6 функций на три инвариантных подпространства,
и, следовательно, функции типа I, II и III образуют три
неприводимых представления. Пользуясь табл. 32, можно увидеть, что
симметрия найденных комбинаций соответствует представлениям Г1б, Г12
и Гх. Ценность этого результата состоит в том, что можно предсказать,
13*
195

как будет вести себя уровень энергии Ег при наложении возмущения.
Он имеет кратность вырождения, равную 6, которая обусловлена
случайным вырождением и естественным.
Если наложить поле с симметрией О, то уровень Ег расщепится
на три уровня 1\, Г12 и Г15, т. е. случайное вырождение будет снято.
Все сказанное остается справедливым и для любого уровня энергии
типа
„ 2яЧк» о
£/71,00 = — т\.
т0а2
0 2л2Ь2 13,08 , оч „ „ „
В единицах =—-— (эВ) = £100 энергия уровней Ет00 при-
т»а2 а» (А)
нимает значения: 0; 1; 4; 9; 16 и т. д. Эти уровни указаны на рис. 39.
Теперь рассмотрим уровни энергии типа Ет1тго''
Наинизший из них соответствует значениям:
/7*1= ±1, /Я2= ±1, Щ=0; т1=±\, m2=0, т3=±1,
т±=09 /7z2=±l, m3=±l; тх = 0, m2=±l, т3=±1.
Энергия при этом равна
£ио= *Е100.
Ей соответствует 12 различных волновых функций типа
е а , индуцирующих приводимое 12-мерное
представление. Из них можно скомбинировать базисные функции,
преобразующиеся по различным неприводимым представлениям группы О.
Симметризованные комбинации экспонент можно найти методом
подбора или методом разложения приводимого представления на
неприводимые.
Поскольку вопрос в принципе ясен, ограничимся сказанным. При
т—т^ уровни энергии типа Ет1т.,о имеют значение 2Е100-т21 = 2Ет00.
Рассмотрим общий случай: тъ т2, т3 не равны нулю. Уровень
энергии имеет значение
£"»*»*"»=-^Г («?+«!+«!) = Еш {m*+ml+ml).
Наинизший уровень этого типа соответствует m1=m2=tn3= ±1.
Энергия уровня равна 3£100, ему соответствует восемь различных
2Л
— i mx (±х±у±г)
функций типа е а , из которых также могут быть
построены симметризованные комбинации, преобразующиеся по
неприводимым представлениям группы О или 0Л.
Энергия в точке Г может принимать значения: О, Е100, 2ЕШ>
3£100, 4£100, 5£100, 6Е100, 8Е100 и т. д., т. е. имеем систему уровней
с расстояниями между ними, кратными £100. Вырождение уровней
может увеличиться за счет наложения уровней различного типа,
196

например энергия, соответствующая величине 9£100, может быть
получена двояким способом: 9=32=22+22+1.
Перейдем к точкам меньшей симметрии. Точки на оси Л соотист-
ствуют волновому вектору типа к=(кх, 0, 0). Волновая функция
имеет вид
.'Г/ 2itm, \ 2я , . J
e'[V-2«(br)] = e'[(«,--J-)*- — (».У + «.«)^
а энергия определяется выражением:
При кх->0 £(Д)-*£Г.
Минимальное значение в точке Г соответствует m1=m2=m3 = 0.
Это значение переходит на оси А в выражение
Максимальное значение, которое энергия £000 может достичь,
определяется величиной ях= ±я/а, т. е.
£ооо(Х)=^И2=#^ = ^оДГ).
2m0 \ a J 2т0а2 4
Этой ветви энергии соответствует одна волновая функция е' (*■**),
следовательно, это состояние относится к типу Д1#
Таким образом, энергия вдоль оси А изменяется от 0 до — £100
по квадратичному закону; значение —£100 достигается в точке X.
Но это значение можно получить и при т1= + 1:
^Я1оо(Г)=^(^-^-1)2,
4 2т0 \ а а /
что соответствует минимальному значению ветви
2/п0 V а)
имеющей своим максимумом значение
Ь24дт2^ 2л2Ь2
2т0а2~~ т0а* ~" 100^'
Две ветви энергии
£ооо(А) = |^- и£100(А) = ^-к-^.1)2
2m0 2/720 \ a J
смыкаются в точке X, вследствие чего состояние в точке X оказы-
iztx __ . юс
вается двукратно вырожденным: £(Х)=— £100; ih«efl ; ^2~e a
4
или симметризованные комбинации:
sin пх/а; cos пх/а,
соответствующие представлениям Хг и Х2.
197

Если исходить из точки £100(Г)= ——т\, то можно получить
т0а2 L
три ветви вдоль оси А, соответствующие:
/721 = 0; т2 = 0; т3=±1;
т1 = 0; т2=±1; т3 = 0;
т1=±1; т2=0; т3 = 0.
Ветвь энергии типа
имеет четырехкратное вырождение;
ветви
п /АЧ Ь2 Г , 2л f
и
17 /АЧ Ь2 Г 2Я12
простые, они соответствуют представлению Дх с базисными функциями
е V а / и ё v a J . Вторую из последних двух ветвей уже
рассматривали, она идет вниз и смыкается в точке X с ветвью £,000(Д).
Первая же ветвь идет «круто» вверх и достигает значения
ft2 Г я 2гс]2= 9л2Ь2 = 9 £
2m0 L a a J 2/;г0а2 _ 4 100'
Четырехкратно вырожденная ветвь достигает значения
2т0[а2 +a2J" 4100'
Из четырех функций вида
, . 2я . 2я . . . 2л . . 2я
*** + * у *«..*—« у iKx-\-i z Jkjc —i г
е a ; е ' a ; e a ; e a
можно образовать симметризованные функции, осуществляющие
неприводимые представления, например:
1к х • 2я iK х • 2л
е " • sin — у; е * • sin — z;
a a
/ас jc / 2л; . 2л \
е" cos — v+cos — г ;
\ a * a /
е ^ \ cos —
\ а
2л
у — cos — z
а
Две первые функции осуществляют представление А5 — двумерное,
две вторые преобразуются по одномерным представлениям Дх и Д2.
Таким образом, четырехкратно вырожденная ветвь состоит из двух
простых ветвей Да, Д2 и двукратно вырожденного уровня Д5. На
198

рис. 40 показаны несколько ветвей энергии вдоль оси А. Они
соединяют между собой уровни энергии в точке Г типа £Ш1оо.
Уровни энергии типа Ет1ГПпо соединяют ветви вдоль оси vf a
уровни энергии типа Emim2tn3 соединяют ветви энергии, соответствующие
состояниям вдоль оси Л.
Поскольку анализ этих ветвей в принципе ничем не отличается
от анализа ветвей, соответствующих оси Д, то сказанным можно
ограничиться. Аналогичным образом
можно найти ветви энергии и для
других кристаллических решеток.
Как видим, учет симметрии поля
решетки позволяет в приближении
свободного электрона получить
существенно важные результаты, а именно,
зонную структуру энергии. На
первый взгляд, это утверждение кажется
лишенным основания, поскольку
спектр энергии непрерывен. Но это
действительно так: спектр энергии
имеет «полосатую» структуру при
отсутствии «запрещенных» зон —
это особое состояние можно назвать
«бесщелевым» состоянием спектра
энергии. Отсутствие «щелей» или
запрещенных зон связано со
случайным вырождением, обусловленным
специфичностью выбранного
потенциального поля решетки: U (г) = 0.
Положив U (г) =£= 0, можем
утверждать, что случайное вырождение будет
снято, и бесщелевое состояние
превратится в зонную структуру с отличными от нуля запрещенными
зонами.
Но для этого необходимо выбрать потенциал U (г) и проводить
расчеты приближенным способом.
В большинстве случаев в расчет вводятся какие-либо параметры,
численное значение которых находится из сравнения расчетных
значений с экспериментальным.
Рис. 40. Ветви энергии вдоль
оси А для свободного электрона
в поле с кубической симметрией

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Глава 1.
1.1. Кольцо из 12 натуральных чисел 1, 2, . . ., 12 образует группу порядка
g= 12 при законе композиции, представляющем арифметическое сложение за
вычетом величины, кратной 12.
1.1.1. Составить таблицу умножения группы; найти подгруппы; инвариантную
подгруппу; правые сопряженные совокупности для всех подгрупп; классы.
1.1.2. Построить фактор-группу для условий предыдущей задачи. Построить
таблицу умножения для фактор-группы.
1.2. Найти подгруппы, сопряженные совокупности, инвариантные подгруппы,
фактор-группы, классы, таблицы умножения для фактор-групп для кольца с 24
элементами.
1.3. Доказать, что абелева группа имеет только инвариантные подгруппы.
1.4. Доказать, что подгруппа индекса 2 любой группы инвариантная.
1.5. Доказать, что совокупность из шести матриц
Q-
1
~ 2
VI
2
/з\
~~\
± '
- 2 /
/ 1 /з
| 2 2
1-/3 ±
\ 2 2
/ 1 —^
1 2 2
(
1 О,
\ 0 1/
1
2
(L
2
2
i
"~ 2
/з
образует группу, если законом композиции является обычное правило умножения
матриц — «строка на столбец».
1.6. Доказать, что совокупность шести трехрядных квадратных матриц
образует группу с законом композиции в виде обычного матричного умножения.
1.7. Существует ли соответствие между группами матриц, приведенных в
задачах 1.5 и 1.6?
1.8. Провести анализ группы перестановок Р(2).
1.9. Провести анализ группы перестановок Р(3).
1.10. Проверить, является ли группа перестановок Р (3) подгруппой группы
перестановок Р (4).
1.11. Найти фактор-группу группы перестановок Р(4) и составить ее таблицу
умножения.
200

Глава 2.
2.1. Составить матрицы преобразования координат точки М (х, у, z) при
поворотах пространства вокруг оси второго порядка (С2*\ С2У\ С22)).
2.2. Записать матрицы преобразования координат точки М (х, yt z) при
поворотах пространства вокруг осей третьего порядка С^х\ &3У\ С^.
2.3. Составить матрицы преобразования координат точки М (х, у> z) при
поворотах пространства вокруг осей четвертого порядка С4*\ С4у), С42).
2.4. Составить матрицы преобразований координат точки М (х> у, z) при
поворотах пространства вокруг осей шестого порядка С^\ С^у\ С^2).
2.5. Используя решения задач 2.2 и 2.4, найти связь между
матрицами С$\ С^\ C<f>.
2.6. Используя решения задачи 2.3, найти связь между матрицами C4*\
С\у\ С42>.
2.7. Используя решения задач 2.3 и 2.6, найти связь между матрица-
ми С<*>, #>, С«г>.
2.8. Записать матрицы преобразования координат точки М (хууу z) при
отражении пространства в координатных плоскостях ох, av, gz.
2.9. Показать, что произведение матриц отражения в координатных
плоскостях удовлетворяет соотношению axayaz=i.
2.10. Составить матрицы зеркального поворота S^\ 5(2у); 5(22); S^\ S(4y),
s<2> и s^;4y);42)-
2.11. Записать матрицы инверсионного поворота вокруг осей второго,
третьего, четвертого и шестого порядков.
2.12. Пользуясь матричной формой записи операции преобразования
пространства, показать, что инверсия коммутирует с любой другой операцией.
2.13. Найти группы матриц, изоморфные группам Clt С2, С3, С4, С6, при
совпадении оси поворота с осью z.
2.14. Найти группы матриц, изоморфные группам S2t «S4, 5e, при совпадении
оси зеркального поворота с осью z.
2.15. Найти группы матриц, изоморфные группам С1Л; С2/г; С3/г; C4/f, Ce/j.
2.16. Найти группы матриц, изоморфные группам Clv\ C2V\ Czv\ C4V\ C6z;.
2.17. Найти группы матриц, изоморфные группам D±\ D2\ D3; D4; D6.
2.18. Найти группы матриц, изоморфные группам Dld\ D2d\ D3d.
2.19. Найти группу матриц, изоморфную группе Т.
2.20. Найти группы матриц, мзоморфные группам Dih\ D2ll\ D3fl\ D4ft\ D6ft.
2.21. Найти группу матриц, изоморфную группе Th.
2.22. Найти группу матриц, изоморфную группе Т(/.
2.23. Найти группу матриц, изоморфную группе О.
2.24. Найти группу матриц, изоморфную группе О/,.
2.25. Найти преобразования прострапстна, изоморфные группам матриц,
приведенных в задачах 1.6 и 1.5.
2.26. Показать, что Td-i=Oh.
2.27. При каких условиях группы C2V\ C3V и C*v являются подгруппами
групп Td и 0Л?
2.28. При каких условиях группа D2 является подгруппой группы Т?
2.29. Найти точечную группу, изоморфную группе перестановок Р (3).
2.30. Найти фактор-группы групп C2V, C3V> Cev.
2.31. Найти фактор-группы групп Т, Т/г и Td.
2.32. Найти фактор-группы групп О и 0/г.
2.33. Привести примеры молекул, которые могут обладать симметрией C2V
и C3V.
2.34. Доказать, что £Л/г=£>Л-Су при n=2m-\-l и Dn/l=Dn-Ci при п—2т.
2.35. Доказать, что Dnd=Dn-Ci ПРИ п=2т-\-\.
2.36. Показать, что трансляции образуют инвариантную подгруппу
пространственной группы.
201

2.37. Показать, что в общем случае повороты не образуют инвариантной
подгруппы пространственной группы.
Глава 3.
3.1. Показать, что матрицы задач 1.6 и 1.5 ортогональны.
3.2. Показать, что матрицы преобразований пространства всех
кристаллических классов ортогональны.
3.3. Найти характеры классов в представлениях точечных групп,
соответствующих преобразованиям координат точек М (*, yt z) пространства, заданных
условиями задач 2.13 — 2.24.
3.4. Найти приводимые и неприводимые представления точечных групп,
заданные условиями задач 2.13 — 2.24.
3.5. Разложить на неприводимые представления матрицы преобразований
координат точек М (х, yt z), заданные условиями задач 2.13 — 2.24.
3.6. Найти характеры неприводимых представлений групп C2IM Cav, C±v,
Cev, используя произведения классов.
3.7. Найти характеры неприводимых представлений групп С2/г, С3/г, С4/г,
Св/г, используя произведения классов.
3.8. Найти характеры неприводимых представлений групп Dx; D2; D3;
Я4; А*.
3.9. Найти характеры неприводимых представлений групп Dlv\ D2V\ Dzv\
3.10. Найти характеры неприводимых представлений групп Z)ld; D2d\ D3d.
3.11. Провести вычисления таблиц характеров неприводимых представлений
групп Т, Thl Td, О и 0Л.
3.12. Для группы Cv даны матрицы
/1 0 0\ /0 0 1\ /0 1 0\
Г(£)= 0 1 0 ; Г(С3)= 10 0; Г(С*)= 0 0 1 ;
\0 0 1/ \0 1 0/ \\ 0 0/
/1 0 0\ /0 0 1\ /0 1 0ч
Г(а<|>)- 0 0 1 ; r(of >)= 0 1 0 ; Г(а<3>) = 10 0.
\0 10/ \1 0 0/ \0 0 1/
Показать, что они дают представление группы C3V> что оно приводимо, и
разложить его на неприводимые представления.
3.13. Найти матрицы преобразований тензора второго ранга для 32
кристаллических классвв.
3.14. Показать, что единичное представление содержится в прямом
произведении двух неприводимых представлений в том случае, когда они взаимно
комплексно-сопряжены.
3.15. Найти правила отбора в группе D2d.
3.16. Найти правила отбора для всех 32 кристаллических классов.
3.17. Указать, в каких кристаллических классах переходы обладают
поляризационной зависимостью.
3.18. Неприводимые представления группы 3 2 могут быть записаны в виде
3 2
**
Ла
Е
Е
1
1
м
loijl
А
1
1
Н-Ч-)
{v4-i!
В К L
1 1 1
1 —1 —1
/ \_ VJ_\ / !_ V3_\
UAPli-i)
м
1
—1
(j -щ
U-J
202

Показать, что функции xf (г), yf (г) преобразуются по прсдстимспшо /i\ n
функции zf (г) и r2f (г) по Аа и Ag соответственно.
3.19. Показать, что функции х+у и х—у преобразуются по прсдстл пленит
группы 3 2. Найти матрицы преобразований.
3.20. Показать, что функции 2ху и х2 — у2 и уг и (—ху) преобразуются пи
представлению группы 3 2.
3.21. Найти размерности неприводимых представлений всех 32
кристаллических классов.
3.22. Доказать, что матрицы 5+ и 5_ унитарны.
3.23. Прямое произведение каких неприводимых представлений групп C3V\
Cev\ T и 0^ содержит единичное представление?
3.24. Пользуясь леммой Шура, доказать, что сумма матриц неприводимого
представления, соответствующих элементам одного класса, кратна единичной
матрице.
3.25. Построить матрицу регулярного представления для группы шестого
порядка 56.
3.26. Доказать, что обратным элементам соответствуют
комплексно-сопряженные характеры.
Глава 4.
4.1. Построить фактор-группу группы Л и таблицу ее умножения.
4.2. Найти произведение классов в группах Л, А и 2 (из 0^).
4.3. Используя решение предыдущей задачи, найти характеры групп Л,
А и 2.
4.4. Для группы C3V дано представление с характерами
Е 2С3 За
0 1
Разложить его на неприводимые представления.
4.5. Найти разрешенные и запрещенные переходы в группе D2d-
4.6. Найти разрешенные и запрещенные переходы в группах О^ и 7V
4.7. Найти разрешенные и запрещенные переходы в группе Cev.
4.8. Найти разрешенные и запрещенные переходы в точках Л, L группы 0^.
4.9. Найти разрешенные и запрещенные переходы в группах Т и Тд.
4.10. Найти поляризационную зависимость для переходов в группе C6tr
4.11. Найти поляризационную зависимость переходов в группах C3v и D3.
4.12. Найти разрешенные переходы в группах С47;, D* и D±v.
4.13. Показать, что лапласиан коммутирует с отражением сг и инверсией i.
4.14. Построить обратную решетку для всех 14 типов решеток Браве.
4.15. Построить зоны Бриллюэна для ОЦК- и ГЦК-рсшеток.
4.16. Построить зоны Бриллюэна для решеток типа сфалерита и вюрцита.
4.17. Найти звезду векторов А и X для кристаллов с ГЦК, ОЦК и простой
кубической решеток.
4.18. Найти характеры неприводимых представлений групп Аи X для
кубических кристаллов.
4.19. Найти звезду векторов X и L для кубической решетки.
4.20. Найти звезду векторов А и X для простой и гранецентрированной
кубических решеток. Найти группы А и X и характеры их неприводимых
представлений.
4.21. Найти характеры неприводимых представлений групп % и L.
4.22. Найти звезду векторов Я и Л, группы Я и Л и характеры их
неприводимых представлений для гексагональной решетки.
4.23. На кристалл с группой 0^ наложено возмущение с группой C3V или
C2V. Найти расщепление уровней энергии в точках Г, А, 2 и Л.
203

4.24. Как изменятся разрешенные переходы в группе 0/г при наложении на
кристалл возмущения с группами Czv> C2V?
4.25. На гексагональный кристалл наложено возмущение с группой Czv.
Как изменится вырождение уровней? То же, при возмущении C2z;? Как
изменятся переходы между уровнями?
4.26. Найти разрешенные и запрещенные переходы в кристаллах с группами
симметрии 0/2, Та и C6v при магнитном дипольном взаимодействии.
4.27. Пользуясь группой Лоренца, найти релятивистский закон сложения
скоростей.
4.28. Показать, что матрица группы Лоренца унитарна.
4.29. Найти коммутаторы для матриц Паули.
4.30. Найти правила коммутации для операторов i\i.
4.31. Построить матрицы S+ и S_ для групп: Т, О, 0^, Та и C6V.
4.32. Найти разрешенные и запрещенные переходы в группах: D2, Т', О'у
Tdt Oh и C6v при скалярном, электрическом и магнитном дипольном
взаимодействии.
4.33. Найти характеры дополнительных неприводимых представлений для
групп: Т\ О', T'h, 0'h и С*Ьо.
4.34. Найти характеры дополнительных неприводимых представлений двойных
групп Л', А' и 2' группы Oh.
4.35. Найти соотношения совместности для дополнительных неприводимых
представлений двойных групп Г', Л', Д', 2' группы 0h.
4.36. Найти зоны энергии для свободного электрона в кристаллах ОЦК, ГЦК
и в кристаллах с гексагональной решеткой C6v.
4.37. Найти представления, по которым преобразуются функции
2лх 2лу 2nz
sin ; sin ; sin —;
a a a
2nx 2nz 2nz 1 /' 2nx 2ny\
cos — cos —; cos — — — cos -f cos ;
a a a 2 \ a a J
2лл- 2яу 2rcz
cos + cos + cos —
a a a
в простой кубической решетке.
4.38. Построить базисы неприводимых представлений свободного электрона
в простой кубической решетке в точках, линиях и плоскостях симметрии

ЛИТЕРАТУРА
1. Е. В и г н е р. Теория групп, М., 1961.
2. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц. Квантовая механика, ч. I. М.— Л.>
1948.
3. М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов. Применение теории групп в
квантовой механике. М., 1967.
4. С. Багавантам, Т. Венкатарайуду. Теория групп и ее
применение к физическим проблемам. М., 1959.
5. Ч. Киттель. Квантовая теория твердых тел. М., 1967.
6. Г. Джонс. Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в
кристаллах. М., 1968.
7. Дж. Каллуэй. Теория энергетической зонной структуры. М., 1969.
8. И. Г. К а п л а н. Симметрия миогоэлектронных систем. М., 1969.
9. Р. Н оке, А. Го л д. Симметрия в твердом теле. М., 1970.
10. Г. Штрайтвольф. Теория групп в физике твердого тела. М., 1971.
11. Г. Эйр инг, Д. Уолтер, Д. Ким балл. Квантовая химия. М., 1948..
12. Б. Ф. Б е й м а н. Лекции по применению теории групп в ядерной
спектроскопии. М., 1961.
13. В. И. Смирнов. Курс ныешеи математики, т. III, ч. I. 1957.
14. М. Хамермеш. Теория групп и ее применение к физическим
проблемам. М., 1966.
15. Г. Я. Любарский. Теория групп и ее применение в физике. М., 1958^
16. В. Хейне. Теория групп и ки.-штовой механике. М., 1963.
17. Г. Л. Б и р, Г. Е. Пик ус. Симметрия и деформационные эффекты в
полупроводниках. М., 1972.

ПЕТР СЕМЕНОВИЧ КИРЕЕВ
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГРУПП И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
В ФИЗИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Редактор Г. А. Сорокина
Художественный редактор Т. М. Скворцова
Обложка художника Ю. Д. Федичкина
Технический редактор Н. В. Яшукова
Корректор Г. А. Чечеткина
ИБ № 1533
Изд. № ЭР —208. Сдано в набор 09.11.78. Поди в
печать 29.06.79. Т-03387. Формат 60x90Vie. Бум. тип. № 2.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 13 усл. печ. л.
11,58 уч.-изд. л. Тираж 7000 экз. Зак. 663. Цена 40 коп.
Издательство «Высшая школа»,
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14
Типография изд-ва «Уральский рабочим»,
Свердловск, просп. Ленина, 49.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . ._ 3
Глава I. Абстрактные группы . . 4
§ 1. Аксиомы теории групп 4
§ 2. Подгруппа. Сопряженные совокупности 5
§ 3. Классы 8
§ 4. Изоморфизм и гомоморфизм групп . 10
§ 5. Прямое произведение групп , 12
§ 6. Таблицы умножения групп . 14
§ 7. Примеры конкретных групп .... 18
Глава II. Группы симметрии ... 26
§ 8. Преобразования пространства .... 26
§ 9. Точечные группы симметрии 35
§ 10. Точечные группы симметрии (продолжение) 46
§ 11. Группа трансляции 52
§ 12. Пространственные группы ..... 56
Глава III. Представление групп .... 63
§ 13. Представление как гомоморфизм групп . . .63
§ 14. Приводимость представлений . 66
§ 15. Представление, индуцируемое базисом 68
§ 16. Теоремы о свойствах неприводимых представлений .... 73
§ 17. Ортогональность характеров неприводимых представлений . . 78
§ 18. Характеры неприводимых ' представлений циклических групп.
Точечные группы 81
§ 19. Прямое произведение представлений 85
§ 20. Неприводимые представления прямого произведения групп . 90
§ 21. Характеры неприводимых представлений группы трансляций . . 93
§ 22. Характеры неприводимых представлений нециклических групп . 96
Глава IV. Уравнение Шредингера. Зоны энергии . . . 106
§ 23. Существенное вырождение 106
§ 24. Симметрия энергии в пространстве волнового вектора . ПО
§ 25. Построение зон Бриллюэна для некоторых решеток . . 112
§ 26. Влияние возмущения на существенное вырождение . . 124
§ 27. Группа волнового вектора 129
§ 28. Простая кубическая решетка. Маилые представления . 130
2(Х1

§ 29. Малые представления. Гранецсптрированная кубическая решетка
и решетка вюрцита . 139
§ 30. Матричные элементы операторов 142
§ 31. Матричные элементы операторов. Представление операторов . 149
§ 32. Правила отбора 156
§ 33. Группа Лоренца 164
§ 34. Спин-орбитальное расщепление 167
§ 35. Двойные группы 171
§ 36. Представление двойных групп 178
§ 37. Представление двойных групп (высшей симметрии) .... 182
§ 38. Свободный электрон .... 191
Задачи и упражнения .... . 200
Литература . 205