Предисловие
1 Элементы комбинаторики
1.2 Задачи
2 Стохастический эксперимент
2.2 Задачи
3.2 Задачи
3 Дискретное вероятностное пространство
4 Условная вероятность
4.2 Независимые события
4.3 Задачи
5 Дискретная случайная величина и ее распределение
5.2 Дискретные распределения на R^1
5.3 Задачи
6 Математическое ожидание дискретной случайной величины
6.2 Задачи
7 Аксиоматика теории вероятностей
7.2 Аксиомы Колмогорова
7.3 Задачи
8 Геометрические вероятности
8.2 Задачи
9 Распределение случайной величины
9.2 Функция и плотность распределения случайного вектора
9.3 Абсолютно непрерывные распределения на R^1
9.4 Задачи
10 Математическое ожидание
10.2 Задачи
11 Свертка
11.2 Распределение суммы независимых случайных величин
11.3 Задачи
12 Сходимость распределений
12.2 Задачи
13 Характеристическая функция
13.2 Теоремы единственности и непрерывности
13.3 Задачи
14 Оценивание параметров распределений
14.2 Доверительные интервалы
14.3 Оценки с минимальной дисперсией
14.4 Задачи
15 Методы построения оценок
15.2 Метод моментов
15.3 Метод максимального правдоподобия
15.4 Задачи
16 Задача проверки статистических гипотез
16.2 Задачи
17.1 Проверка гипотезы Но: а =ао
17.3 Проверка гипотезы Нo: сигма^2/сигма0^2 = 1
17.4 Проверка гипотезы Но: сигма_кси^2/сигма_эта^2= 1
17.5 Задачи
18 Критерий хи^2
18.3 Критерий хи^2 как критерий независимости
18.4 Задачи
19 Непараметрические критерии
19.2 Критерий знаков
19.3 Критерий Вилкоксона
19.4 Задачи
20 Линейная регрессия
20.2 Задачи
21 Решения, указания, ответы
21.2 К главе 2
21.3 К главе 3
21.4 К главе 4
21.5 К главе 5
21.6 К главе 6
21.7 К главе 7
21.8 К главе 8
21.9 К главе 9
21.10 К главе 10
21.11 К главе 11
21.12 К главе 12
21.13 К главе 13
21.14 К главе 14
21.15 К главе 15
21.16 К главе 16
21.17 К главе 17
21.18 К главе 18
21.19 К главе 19
21.20 К главе 20
21.21 Задания для самостоятельной работы
22 Таблицы математической статистики
22.2 хи^2-распределение
22.3 Распределение Стьюдента
22.4 Распределение Фишера
22.5 Биномиальное распределение
22.6 Распределение Пуассона
22.7 Критерий А. Н. Колмогорова. Критические значения
22.8 Критерий Вилкоксона. Нижние критические значения
22.9 Критерий знаков. Границы критической области
22.10 Равномерно распределенные случайные числа
Литература
Оглавление
Text
                    

В.Н. ТУРЧИН ТОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИМАТЕМАМШ СТАТИСТКА основные понятия примеры задачи Учебник для студентов высших учебных заведений Утверждено Министерством образования и науки, молодежи и спорта Украины Днепропетровск. «ИМА-ПРЕСС». 2012
УДК 519.2 (075.8) ББК 22.17я73 Т89 Рецензенты: А. В, Скороход, д-р физ.-мат. наук, проф., акад. НАН Украины (Институт математики НАН Украины), М. И. Ядренко, д-р физ.-мат. наук, проф., чл.-кор. НАН Украины (Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко). Утверждено Министерством образования и науки, молодежи и спорта Украины в качестве учебника для студентов высших учебных заведений (письмо № 1/11 - 7270 от 04.08.11/ ТУРЧИН в. н. Т89 Теория вероятностей и математическая ста- тистика. Основные понятия, примеры и задачи. Учебник для студентов высших учебных заведений. — Днепропет- ровск, ИМА-ПРЕСС. - 2012. - 576 с. ISBN 978-966-331-437-2 Учебник охватывает программный материал курса ’’Тео- рия вероятностей и математическая статистика” (или соответству- ющие разделы курса ’’Высшая математика”). Изложены основные понятия и факты теории вероятностей и математической статистики. Теоретические положения проиллю- стрированы многочисленными примерами из всевозможных сфер деятельности человека (физики, химии, биологии, генетики, меди- цины, психологии, сельского хозяйства, космонавтики, военного де- ла, машиностроения, строительства, геологии, металлургии, эконо- мики, лингвистики, социологии, психологии, спорта и т. д.). К каждой главе приведен набор задач для самостоятель- ной работы, в отдельной главе даны ответы и краткие решения к задачам. Для студентов высших учебных заведений. ISBN 978-966-331-437-2 УДК 519.2 (075.8) ББК 22.17я73 © В. Н. Турчин, 2012
Предисловие Учебник предназначен для тех, кто приступает к изу- чению теории вероятностей и математической статисти- ки. В каждой главе приведены основные понятия, утвер- ждения, факты, задачи, примеры использования вероят- ностно-статистических методов и моделей в конкретных ситуациях. Учебник поможет овладеть основами теории, сформировать вероятностно-статистическое мышление и интуицию, овладеть навыками решения прикладных за- дач. При первоначальном знакомстве с курсом необходи- мо рассмотреть как можно больше примеров и решить как можно больше задач. Их богатая подборка приведе- на в учебнике, при этом для иллюстрации накопленного на протяжении веков опыта применения теории вероят- ностей и математической статистики при исследовании реальных явлений и процессов в большинстве случаев за- дачи формулируются не в формально математических, а в естественно-научных терминах. Такие задачи есте- ственным образом возникают в разнообразных сферах деятельности человека: физике, химии, биологии, генети- ке, медицине; в психологии, социологии, экологии, сель- ском хозяйстве; в астрономии, космонавтике, военном де- ле, машиностроении, строительстве, геологии, металлур- гии; в экономике, лингвистике, педагогике, спорте и т. д. Решение приведенных в книге задач требует неформаль- ного овладения материалом: необходимо предложить ту или иную математическую модель, обосновать этот вы- бор, выбрать метод решения задачи, дать интерпретацию полученным результатам. Задачи классифицированы по степени трудности (хо- тя сложных задач в книге нет). При этом элементарные 3
4 задачи обозначены значком °, более сложные — звездоч- кой, задачи средней сложности не выделены. В отдельной главе приведены указания, решения за- дач и ответы. Доказательство утверждений (если они не приведе- ны) можно найти, например, в [11]. Учебником могут пользоваться как студенты механи- ко-математических факультетов, факультетов приклад- ной математики и кибернетики университетов, так и сту- денты технических, педагогических, экономических выс- ших учебных заведений. Поэтому одна глава посвящена комбинаторике, которая занимает важное место в курсе теории вероятностей этих учебных заведений. В учебнике теоремы, примеры, формулы, таблицы, рисунки имеют тройную, а задачи — двойную нумера- цию. Например, запись “формула (3.1.2)” обозначает фор- мулу 2 из параграфа 1 главы 3, а запись “задача 5.12” — задачу 12 из главы 5. Автор благодарен дочери Наталье Олерих и сыну Ев- гению Турчину за тщательное прочтение рукописи книги и ее содержательное обсуждение. Автор будет благодарен всем, кто в той или иной фор- ме выскажет свои соображения и замечания относитель- но содержания книги и стиля изложения материала. За- мечания, предложения и пожелания просим посылать по адресу: В. Н. Турчину, кафедра статистики и теории ве- роятностей, механико-математический факультет, Днеп- ропетровский национальный университет, пр. Гагарина, 72, Днепропетровск, 49010, Украина. Автор
Глава 1 Элементы комбинаторики 1.1 Основной принцип комбинаторики Комбинаторика изучает конечные множества. Мно- жества будем обозначать большими латинскими буква- ми А, В, С,, их элементы — малыми. Число элементов конечного множества А будем обозначать п(А). Вычисляя число элементов множества А, удобно поль- зоваться таким фактом: если между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие, то п(А) = п(В) (часто число элементов множества В подсчитать проще, чем число элементов множества А). Прямое произведение множеств. Пусть А и В — произвольные множества. Каждые два элемента а 6 А и b 6 В задают упорядоченную пару (а, Ь). Мно- жество всех упорядоченных пар (а, Ь),а 6 А, b 6 В, бу- дем называть прямым {декартовым) произведением мно- жеств А и В и будем обозначать А х В. Пример 1.1.1. Найти прямые произведения Ах В и ВхА,гдеА = {1,2} и В = {3,4,5}. Решение. А х В = {(1;3), (1;4), (1;5), (2;3), (2;4), (2; 5)}, В х А = {(3; 1), (3; 2), (4; 1), (4; 2), (5; 1), (5; 2)}. 5
6 Глава 1. Элементы комбинаторики Пусть дано к множеств Ai, А2,..., А^. Множество упо- рядоченных наборов (ai, а2,..., где a\ 6 Ai, ^2 6 A2, ... 6 A&, будем называть прямым (декартовым) про- изведением множеств Ai, А2,..., А& и будем обозначать Ai х А2 х • • • х А&. Пример 1.1.2. Если Ai = В\А2 = В1, Аз = R1, mo прямое произведение Ai х А2 = R1 х R1 = R2 является плоскостью, a Ai х А2 х A3 = R1 х R1 х R1 = R3 - трехмерным пространством. Правило умножения (основной принцип ком- бинаторики). Числоп(АхВ) элементов декартова про- изведения Ах В конечных множеств А и В равно произ- ведению п(А\п(В) числа п(А) элементов множества А и числа п(В) элементов множества В: п(А х В) = п(А)п(В). В самом деле, для каждого элемента а 6 А существует п(В) элементов (а, Ь), b 6 В, декартова произведения А х В. И поскольку множество А содержит п(А) элементов, то число п(А х В) элементов декартова произведения А х В равно п(В)+п(В) + ... п(В) = п(В)п(А) (в левой части п(А) слагаемых — по числу элементов в множестве А). Правило умножения для декартова произведения к множеств: число n(Ai х А2 х • • • х А&) элементов декар- това произведения Ai х А2 х • • • х А^ конечных множеств Ai, А2,..., Ak равно произведению n(Ai)n(A2)... п(А^) числа элементов n(Ai), 72(^2),..., n(Ak) этих множеств n(Ai х А2 х • • • х А&) = п(А1)п(А2) ... п(Аь). Пример 1.1.3. Пусть А = {1,2,3}, В = {4,5,6,7}. Найти п(А х В). Решение. п(А х В) = п(А)п(В) = 3 • 4 = 12. Правило умножения в терминах действий. Ча- сто правило умножения формулируют в терминах дей- ствий. Пусть необходимо выполнить одно за другим к дей- ствий. Если первое действие можно выполнить п\ чис- лом способов, второе — П2 числом способов и так до к-го
1.1. Основной принцип комбинаторики 7 действия, которое можно выполнить числом спосо- бов, то все к действие вместе могут быть выполнены П1П2 .. .пь числом способов. В самом деле, обозначим через Ai множество спо- собов выполнить первое действие, — второе, и т. д., Ak — к-е действие. Тогда элемент (ai, ^2,..., декарто- ва произведения А± х А% х • • • х А^ задает способ выпол- нить все к действий вместе. Поэтому число всех способов выполнить к действий равно числу элементов декартова произведения А± х А% х • • • х А^. Следовательно, n(Ai х Аъ х • • • х Ak) = n(Ai)n(A2)... п(А^) = П1П2 • • • Пк- Примеры.4. Сколько четырехзначных чисел мож- но записать цифрами 0,1,2,3,4, 5, если ни одна цифра не повторяется больше одного раза? Решение. Записывая четырехзначное число, мы вы- полняем четыре действия: записываем слева направо пер- вую, вторую, третью, четвертую цифры. Первое действие можно выполнить пятью способами (нуль на первом ме- сте не пишут), второе — пятью способами (одну цифру уже использовано при записи первой слева цифры, но, на- чиная со второго места, можно использовать нуль), тре- тье действие — четырьмя способами, четвертое — тремя. Поэтому согласно правилу умножения все четыре дей- ствия вместе можно выполнить 5 • 5 • 4 • 3 = 300 способа- ми. Следовательно, цифрами от 0 до 5 можно записать 300 различных четырехзначных чисел, в записи которых цифры не повторяются. Упорядоченные множества. Множество, состоя- щее из п элементов, будем называть п-элементным. Определение. n-Элементное множество Q будем называть упорядоченным, если каждому его элементу по- ставлено в соответствие число (номер элемента) от 1 до п, причем так, что различным элементам поставлены в со- ответствие различные номера (другими словами, уста- новлено взаимно однозначное соответствие между мно- жеством Q и подмножеством 1,2,..., п натуральных чи- сел). Упорядоченные множества различны, если они отли- чаются или своими элементами, или их порядком.
8 Глава 1. Элементы комбинаторики Каждое конечное множество можно упорядочить так: записать все его элементы в список a,b,c,..., /, а затем каждому элементу приписать номер места, на котором он стоит в списке. Как правило, так и будем поступать. Перестановки. Упорядоченные множества, отлича- ющиеся только порядком элементов, но не самими эле- ментами, будем называть перестановками. Определение. Перестановкой n-элементного мно- жества будем называть его n-элементное упорядоченное подмножество. Пример 1.1.5. Выписать все перестановки множе- ства Q = {а, Ь, с}. Решение. (а, Ь, с), (а, с, Ь), (Ь, а, с), (Ь, с, а), (с, а, Ь), (с, Ь, а). Число перестановок. Число Рп всех перестановок п-элементного множества {число способов упорядочить п-элементное множество) равно п\, т. е. Рп = п\ Пример 1.1.6. Сколькими способами можно упоря- дочить множество чисел 1,2, ...,2п так, чтобы чет- ные числа получили четные номера? Решение. Чтобы упорядочить множество 1,2,..., 2п, расположим 2п чисел на 2п местах, причем так, чтобы четные числа оказались на местах с четными номерами (а следовательно, нечетные — на местах с нечетными но- мерами). Выполним это в два действия. Действие первое — расположить п четных чисел на п четных местах (упорядочить n-элементное множество) — можно выполнить п! способами, действие второе — рас- положить п нечетных чисел на п нечетных местах — п! способами. Два действия вместе (расположить четные числа на четных местах, нечетные на нечетных) согласно правилу умножения можно выполнить (п!)2 способами. Размещения из п элементов по к. Размещени- ем из п элементов по к будем называть упорядоченное fc-элементное подмножество n-элементного множества. Размещения из п элементов по к различны, если они отличаются или своими элементами, или их порядком.
1.1. Основной принцип комбинаторики 9 Пример 1.1.7. Пусть Q = {а, Ь, с}. Выписать все размещения из 3 элементов по 2. Решение, (а, Ь), (Ь,а), (а,с), (с,а), (Ь, с), (с, Ь). Число размещений. Число всех упорядоченных k-элементных подмножеств п-элементного множества (число размещений из п элементов по fc) равно п(п— 1)... ... (п — (к — 1)), т. е. А^ = п(п- . .(п- (к - 1)). Пример 1.1.8. Сколь ко трехзначных телефонных номеров можно составить из цифр от 0 до 9 так, что- бы в записи номера все цифры были разные? Решение. Трехзначный телефонный номер из раз- личных цифр — это 3-элементное упорядоченное подмно- жество множества 0,1,..., 9. А количество 3-элемент- ных упорядоченных подмножеств, которые можно соста- вить из элементов 10-элементного множества, равно 10 • 9 • 8, т. е. А?о = Ю • 9 • 8 = 720. Сочетания из п элементов по к. Сочетанием из п элементов по к будем называть fc-элементное подмно- жество n-элементного множества. Сочетания из п элементов по к различны, если они от- личаются своими элементами (по меньшей мере одним). Порядок элементов в сочетании не существенный — со- четания, состоящие из одних и тех же элементов, нераз- личимы. Пример 1.1.9. Пусть Q = {а,Ь,с}. Выписать все сочетания из 3 элементов по 1 и из 3 по 2. Решение, {а}, {Ь}, {с} — все сочетания из 3 элемен- тов по 1, {а, Ь}, {а, с}, {Ь, с} — из 3 по 2. Заметим, что как сочетания {а, Ь} и {Ь, а}; {Ь, с} и {с, Ь}; {а, с} и {с, а} совпадают. Число сочетаний. Число С„ всех к-элементных под- множеств п-элементного множества (число сочетаний из п элементов по к) равно п\/(к\(п — fc)!), т. е. _ п' п ~ к\(п-ку:
10 Глава 1. Элементы комбинаторики Пример!.1.10 (шахматный город). Рассмотрим пря- моугольную сетку квадратов — “шахматный город”, со- стоящий из т х п квадратных кварталов, разделенных п — 1 “горизонтальными” и т — 1 “вертикальными” ули- цами {рис. 1.1.1). Сколько на этой сетке различных крат- чайших путей, ведущих из левого нижнего угла {точки (0,0)) в правый верхний угол {в точку {т,п})? Решение. Обозначим буквой Г горизонтальный от- резок пути, буквой В — вертикальный. Каждый кратчай- ший путь из (0,0) в (т, п) имеет п вертикальных отрезков и т горизонтальных. Он полностью задается упорядо- ченной последовательностью длиной п + т, составленной из т букв Г и п букв В и наоборот. Поэтому число крат- чайших путей равно числу последовательностей длиной п + т, составленных из т букв Г и п букв В. Каждая такая последовательность однозначно задается выбором т мест из п + т для буквы Г (оставшиеся места запол- няются буквами В), поэтому их число равно С™+т. Разбиение множеств. Разбиением п-элементного множества Q на т попарно непересекающихся подмно- жеств, состоящих соответственно из fci, ^2,..., km элемен- тов {hi + къ + • • • + кт = п), будем называть набор
1.1. Основной принцип комбинаторики 11 из m непересекающихся подмножеств множества Q, со- стоящих соответственно из fci, • • •, km элементов. Два разбиения на m попарно непересекающихся под- множеств, состоящих соответственно из fci, &25 • • • , km эле- ментов, различны, если хотя бы в одной паре соответ- ствующих fcj-элементных подмножеств (J = 1,2, ...,т) имеются различные элементы. Пример 1.1.11. Привести все возможные разбиения множества Q = {а, Ь, с, d} на 3 непересекающихся под- множества: {А, В, С}, состоящие соответственно из ki = 1 элементов (множество А); к^ = 2 элементов (множество В); к$ = 1 элементов (множество С). Решение. {{а}, {6, с}, {</}}; {{а}, {с, d}, {£>}}; {{а}, {6, d}, {с}}; {{Ь}, {а, с}, {</}}; {{£>}, {с, d}, {а}}; {{Ь}, {а, d}, {с}}; {{с}, {а, Ь}, {d}}; {{с}, {a, d}, {&}}; {{с}, {b, d}, {а}}; {{d},{а,Ь}, {с}}; {{d},{а, с},{£>}};{{d},{b,с}, {а}}. Заметим, что например, {{а}, {Ь, с}, {d}} и {{d}, {Ь, с}, {а}} являются различными разбиениями множества Q = = {а, Ь, с, d}. Число разбиений множества на подмножества. Число Cn(fci, • • • > кт) разбиений п-элементного мно- жества Q на т непересекающихся подмножеств В^Въ, ..., Вт, состоящих соответственно из fci, А?2> • • • ,кт эле- ментов (fci + &2 +....+ кт = п), равно т. е. п) Сп(к\^ къ,..., кт) = - Перестановки с повторениями. Перестановкой с повторениями (словом) длиной п, образованной к\ эле- ментами (буквами) ai, ^2 элементами (буквами) ^2? и т. д., кт элементами (буквами) ат (ki + kz +.. - + кт = п) будем называть упорядоченную последовательность дли- ной п, образованную к± элементами (буквами) ai, ^2 эле- ментами (буквами) й2? и т. д., кт элементами (буква- ми) ат.
12 Глава 1. Элементы комбинаторики Два слова длиной п, образованные fci буквами ai, ^2 буквами й25 и т. д., km буквами am различны, если они отличаются порядком букв. Число перестановок с повторениями. Число пе- рестановок с повторениями {слов) длиной п, которые можно составить из к\ элементов {букв) а\, к% элемен- тов {букв) а2, и т. д., кт элементов {букв) ат {ki + k2 + ... + km = n), равно Cn{ki,k2,... ,km). Пример 1.1.12. Сколько существует способов раз- местить п различимых частиц по т ячейкам так, что- бы в первую ячейку попало ki частиц, во вторую — к2, и т. д., в т-ю — кт? Решение. Разобьем n-элементное множество разли- чимых частиц на т непересекающихся подмножеств: fci-элементное подмножество частиц, которые попадут в первую ячейку, ^-элементное — во вторую, и т. д., кт- элементное подмножество частиц, которые попадут в т- ю ячейку {ki+k2+-. -+кт = п). А число способов разбить n-элементное множество, как это описано выше, равно •••? кт). Сочетания с повторениями. Сочетанием из т эле- ментов поп с повторениями будем называть набор (мно- жество) из п элементов, каждый из которых принадле- жит одному из т типов. Поскольку сочетание из т элементов по п с повто- рениями однозначно задается числом х\ элементов пер- вого типа, числом Х2 элементов второго типа, и т. д., числом хт элементов m-го типа, в него входящих, т. е. задается последовательностью (#i, Х2, . . ., хт) неотрица- тельных целых чисел, таких, что х± + Х2 + ... + хт = п, и наоборот, каждая такая последовательность задает набор из п элементов, х± из которых первого типа, Х2 — второго, и т. д., хт — тп-го типа, то можно дать такое определение сочетания из т элементов по п с повторениями. Сочетанием из т элементов по п с повторениями бу- дем называть последовательность (xi, Х2,..., хт) неотри- цательных целых чисел таких, что Х1+Х2 + ••• + хт = п. Два сочетания с повторениями из т элементов по п различны, если они отличаются количеством элементов
1.2. Задачи 13 хотя бы одного типа. Порядок элементов в сочетании с повторениями не существенный. Пример 1.1.13. Выписать все сочетания с повторе- ниями из 4 элементов a,b,c,d по 2. Решение, аа, bb, сс, dd, ab, ас, ad, be, bd, de. Число сочетаний с повторениями. Число со- четаний из т элементов по п с повторениями равно Сп+т-1, е. fn = Jm ~ ^п+т-1' Если п > т, то число таких сочетаний из т элемен- тов по п с повторениями, в которых каждый элемент встречается хотя бы один раз, равно С^1 • Пример 1.1.14. Сколько неотрицательных решений в целых числах имеет уравнение xi + Х2 + ... + хт = п? Решение. Решением уравнения Xi + Х2 + • • • + Хт = П в целых неотрицательных числах является последователь- ность (^1,^2? • • • целых неотрицательных чисел та- кая, что х\ + Х2 + ... + хт = п, т. е. является сочетанием из т элементов по п с повторениями, а число таких со- четаний равно 1.2 Задачи АЗ: 1.3°, 1.10,1.14,1.16°, 1.18,1.19°, 1.22,1.23,1.25. СЗ: 1.4°, 1.5°, 1.11°, 1.15,1.17°, 1.20,1.24,1.27,1.30,1.32. В предлагаемых далее задачах, прежде чем подсчи- тывать число элементов того или иного множества, необ- ходимо четко определить: что именно представляют со- бой эти элементы (т. е., что подсчитывать). Прежде чем отвечать на вопрос “сколько?”, необходимо ответить на вопрос “что?” (что будем подсчитывать?). 1.1 °. Из города А в город В ведет п дорог, а из В в С — т дорог. Сколькими способами можно осуществить путешествие по маршруту А — В — С?
14 Глава 1. Элементы комбинаторики 1.2 °. На вершину горы ведет семь тропинок. Сколь- кими способами турист может подняться на гору и спу- ститься с нее? Ответить на этот вопрос при условии, что восхождение и спуск осуществляются различными путя- ми. 1.3 °. В розыгрыше первенства страны по футболу бе- рут участие 17 команд. Сколькими способами могут быть распределены между ними золотая, серебряная и бронзо- вая медали? 1.4 °. Сколько трехзначных чисел можно записать циф- рами 0, 1, 2, 3, 4? 1.4 °. 4-5-5. 1.5 °. Сколько трехзначных чисел можно записать циф- рами 0, 1, 2, 3, 4, если каждую из них использовать не более одного раза? 1.6 °. Сколькими способами семь человек могут стать в очередь к кассе? 1.7 °. Ученики изучают 10 предметов. В понедельник по расписанию 6 уроков, причем все разные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник? 1.8 °. Сколько существует пятизначных чисел, деля- щихся на 5? 1.9 °. Автомобильный номер состоит из двух букв и четырех цифр. Какое число различных номеров можно составить, используя 26 букв латинского алфавита? 1.10 . В розыгрыше первенства страны по футболу принимают участие 16 команд. Команды, занявшие пер- вое, второе и третье места, награждают соответственно золотой, серебряной и бронзовой медалями, а команды, оказавшиеся на двух последних местах, покинут высшую лигу. Сколько различных результатов первенства может быть? 1.11 °. Сколькими способами можно из 9 человек вы- брать комиссию в составе 4 человек? 1.12 °. Сколькими способами читатель может выбрать три книги из пяти? 1.13 °. Сколькими способами можно разместить на пол- ке 4 разные книги? 1.14 . Пусть pi,p2? • • • ,Рп — различные простые числа. Сколько делителей имеет число ™ = Р11Р22
1.2. Задачи 15 где ai, Q2, • • •, — некоторые натуральные числа? 1.15 . Сколько существует перестановок из п элемен- тов, у которых два данные стоят рядом? 1.16 °. Сколькими способами можно рассадить 4 уче- ников на 25 местах? 1.17 °. Студенту необходимо на протяжении 8 дней сдать 4 экзамена. Сколькими способами это можно сде- лать? 1.18 . Сколькими способами можно упорядочить мно- жество {1,2,3,..., п} так, чтобы числа 1,2,3 стояли ря- дом и в порядке возрастания? 1.19 . Сколько существует четырехзначных чисел, у ко- торых каждая последующая цифра больше предыдущей? 1.20 . Сколько существует четырехзначных чисел, у ко- торых каждая последующая цифра меньше предыдущей? 1.21 *. В прямоугольную таблицу из т строк и п столб- цов необходимо записать числа +1 и —1 так, чтобы про- изведение чисел в каждой строке и каждом столбце было равно 1. Сколькими способами это можно сделать? 1.22 . Имеется р белых и q черных шаров (р > д). Сколькими способами можно расположить в ряд все ша- ры так, чтобы никакие 2 черных шара не лежали рядом? 1.23 . На плоскости проведено п прямых так, что ни- какие две из них не параллельны и никакие три не пере- секаются в одной точке. 1) Найдите количество точек пересечения прямых. 2) Сколько треугольников образуют прямые? 3) На сколько частей делят плоскость прямые? 4) Сколько среди частей, на которые делится плос- кость прямыми, ограниченных и сколько неограничен- ных? 1.24. Сколько диагоналей имеет выпуклый п-уголь- ник? 1.25. В скольких точках пересекаются диагонали вы- пуклого n-угольника, если никакие три из них не пересе- каются в одной точке? 1.26* . В выпуклом n-угольнике проведено все диаго- нали. Известно, что никакие три из них не пересекаются в одной точке. На сколько частей при этом разделится п-угольник?
16 Глава 1. Элементы комбинаторики 1.27. Доказать, что n(Ai х А% х • • • х Ak) = n(Ai)n(A2)... п(Аь). 1.28. Доказать, что число способов упорядочить n-элементное множество равно п! 1.29. Доказать, что число Ак размещений из п эле- ментов по к равно п(п — 1)... (п — (к — 1)). 1.30. Доказать, что Ск — число fc-элементных под- множеств п-элементного множества равно n!/(fc!(n — &)!). 1.31. Доказать, что (a + b)n = ^Ckakbn~k. fc=0 1.32. Доказать, что число Cn(fci, &2> • • •, km} способов разбить n-элементное множество на тп непересекающихся подмножеств, содержащих соответственно fci, &2, • • • ,km элементов, равно n!/(fci!fc2! • • -ктГ). 1.33. Доказать, что существует Cn(fci, &2,•••5 кт) слов ДЛИНОЙ п ИЗ fci букв tti, ^2 букв tt2? и т. д., кт букв ат. 1.34. Сколькими способами можно разделить m+n+s предметов на три группы так, чтобы в одной группе было т предметов, в другой — п, в третьей — s? 1.35. Сколькими способами можно разделить Зп пред- метов между тремя лицами так, чтобы каждый получил п предметов? 1.36 Доказать, что выражение (ai + аз + ... + ат)п равно сумме всех возможных слагаемых вида —ак1ак2 акгп кХ\к2\...кт\ttl ’ где fci + fc2 + • • • + кт = п, т. е. (ttl + 6Z2 + • • • + &m)n — _____IL_____a kl a k<2 п km k]\k2\...km\ 1 2 • /С1>0,/С2>05-Лт>0;&1+&2+--+km=n 1.37. Доказать, что число сочетаний из m элемен- тов по п с повторениями равно
Глава 2 Стохастический эксперимент 2.1 Пространство элементарных событий, алгебра событий Теория вероятностей изучает стохастические экспе- рименты, исследуя их математические модели. Под сто- хастическим экспериментом мы понимаем эксперимент, результат которого невозможно предсказать заранее (до проведения эксперимента), но который можно повторить независимым образом (результаты предыдущих экспери- ментов не влияют на последующие) в принципе неогра- ниченное число раз. Примеры стохастических экспериментов 1. Последовательно подбрасывают две монеты и реги- стрируют стороны, какими легла каждая монета. Резуль- тат эксперимента — “герб, герб”, “герб, решка”, “решка, герб”, “решка, решка” — предсказать заранее невозмож- но. 2. Подбрасывают игральную кость и регистрируют число выпавших очков. Результат эксперимента — появ- ление 1,2,..., 6 — предсказать заранее невозможно. 3. Подбрасывают монету и регистрируют число под- брасываний до первого появления герба. Результат экс- перимента — число подбрасываний: 0,1,2,... — заранее предсказать невозможно. 17
18 Глава 2. Стохастический эксперимент 4. Регистрируют интервал времени до выхода из строя прибора. Результат — продолжительность безотказной ра- боты прибора — заранее предсказать невозможно. 5. Частица участвует в броуновском движении — дви- жется под воздействием ударов молекул жидкости (моле- кулы постоянно пребывают в хаотическом тепловом дви- жении) . Результат эксперимента — траекторию движения частицы — заранее предсказать невозможно. Заметим, что каждый из перечисленных выше экспе- риментов можно независимым образом повторить неогра- ниченное число раз. Пространство элементарных событий. Каждому стохастическому эксперименту соответствует простран- ство (множество) его исходов. Пространство исходов бу- дем обозначать через Q, а сами исходы, как правило (но не обязательно), будем обозначать через (возможно с индексами). Исходы стохастического эксперимента еще называют элементарными событиями. В примере 1 в качестве пространства исходов есте- ственно рассматривать множество Q = {ГГ, ГР, РГ, РР}, в примерах 2, 3, 4 соответственно множества Q = {1,2,... ..., 6}, Q = {0,1,...}, Q = [0, оо), в примере 5 в качестве Q естественно рассматривать множество траекторий ча- стицы. Реализацию стохастического эксперимента мы интер- претируем как случайный выбор точки со из пространс- тва Q. Пространство элементарных событий Q будем назы- вать дискретным, если множество Q конечно или счетно, т. е. его элементы можно занумеровать числами 1,2,... Алгебра событий. В каждом стохастическом экспе- рименте можно наблюдать определенную совокупность событий, мы их будем называть случайными событиями и будем обозначать А, В, С,..., совокупность всех собы- тий, наблюдаемых в данном стохастическом эксперимен- те, будем обозначать через 21. В примере 1 наблюдаемы- ми событиями являются А — “выпал хотя бы один герб”, В — “монеты легли одной стороной”, ... Каждое событие А стохастического эксперимента мож- но описать некоторым подмножеством пространства эле-
2.1. Пространство элементарных событий 19 ментарных событий Q, а именно: А = {и Е Q, которые влекут событие А}. Поэтому в дальнейшем случайное событие мы будем отож- дествлять с подмножеством элементарных событий (ис- ходов), которыми это событие описывается и будем обо- значать их одной и той же буквой. Если в результате проведения стохастического экспе- римента точка попала в множество А, которое описыва- ет событие А, будем говорить, что событие А произошло, в противном случае — не произошло. В примере 1 событие “монеты легли разными сторо- нами” описывается подмножеством {ГР, РГ} простран- ства Q = {ГГ, ГР, РГ, РР}, в примере 2 событие “вы- пало четное число очков” описывается подмножеством {2,4,6} пространства Q = {1,2, ...,6}, в примере 3 со- бытие “эксперимент закончился до четвертого подбрасы- вания” описывается подмножеством {0,1,2,3} простран- ства Q = {0,1,...}, в примере 4 событие “продолжитель- ность безотказной работы прибора превысила 100 единиц времени” описывается подмножеством (100, оо) простран- ства Q = [0, оо). Среди наблюдаемых событий стохастического экспе- римента выделяются два — событие, которое происхо- дит при каждой реализации стохастического эксперимен- та (оно называется достоверным и описывается множе- ством Q), и событие, которое не происходит ни при одной реализации эксперимента (оно называется невозможным и описывается множеством 0). Пусть А и В — случайные события стохастического эксперимента, которые описываются соответственно под- множествами А и В пространства элементарных собы- тий Q. Если каждый раз, когда происходит событие А, про- исходит и событие В, то будем говорить, что событие А влечет событие В и будем обозначать это так: А С В (в терминах подмножеств, которыми описываются собы- тия, А является подмножеством В). События А и В, такие что А с В и В с А (т. е. А и В происходят вместе), в теории вероятностей неразли- чимы. Их отождествляют и обозначают это так: А = В
20 Глава 2. Стохастический эксперимент (в терминах подмножеств, описывающих события, под- множества А и В равны). Событие, состоящее в том, что происходит хотя бы одно из событий А или В, называется суммой (объедине- нием)1 событий А и В и обозначается так: A U В (сумма событий А и В описывается объединением A U В мно- жеств А и В). Событие, состоящее в том, что происходит как со- бытие А, так и событие В, называется произведением (пересечением) событий А и В и обозначается так: А А В (произведение событий А и В описывается пересечением А А В множеств А и В). Если события А и В такие, что А А В = 0, то они называются несовместными. Событие, состоящее в том, что А происходит, а В не происходит, называется разностью событий А и В и обо- значается так: А\В (разность событий А и В описывается разностью А \ В множеств А и В). Событие, состоящее в том, что А не происходит, на- зывается противоположным к событию А и обозначается А (событие А описывается дополнением А множества А до Q). Класс 21 событий, который с каждым событием А со- держит событие А, с каждыми двумя событиями А и В содержит событие A U В, будем называть алгеброй собы- тий. Так что совокупность событий, которые наблюда- ются в стохастическом эксперименте является алгеброй (подробнее относительно алгебры событий см. гл. 7). Пусть в эксперименте 1 событие В — “монеты легли разными сторонами”, А — “в результате первого подбра- сывания выпал герб”. События В и А как подмножества пространства элементарных событий Q = {ГГ, ГР, РГ, РР} опишутся так: В = {ГР, РГ}, А = {ГГ, ГР}. Тогда, со- гласно приведенным определениям А А В = {ГР} — “в результате первого подбрасывания выпал герб, а в ре- зультате второго — решетка”, A U В = {ГГ, ГР, РГ} — “хотя бы один раз выпал герб”, А \ В = {ГГ} — “выпало два герба”, В = {ГГ, РР} — “монеты легли одной сторо- ной”. 1 Относительно операций над событиями см. разд. 7.1. в гл. 7.
2.2. Задачи 21 Приведем еще одну иллюстрацию операций над собы- тиями. Пример 2.1.1 (диаграмма Венна). В квадрат с пря- моугольниками {рис. 2.1.1) наудачу бросают точку. Ес- ли точка попала в “вертикальный” прямоугольник, гово- рим, что произошло событие А, а если в “горизонталь- ный” — событие В. События А, В, А, АиВ, АГ\В, В\А происходят, если точка попадает в соответствующую фигуру, изображенную на рис. 2.1.1. Рис. 2.1.1: Диаграмма Венна 2.2 Задачи АЗ: 2.2°, 2.5,2.8°, 2.11,2.12,2.15,2.16,2.17. СЗ: 2.3°, 2.4,2.6°, 2.7°, 2.10°, 2.13,2.14,2.18,2.19. Замечание. Термины “элементарное событие стоха- стического эксперимента”, “исход стохастического экспе- римента”, “результат стохастического эксперимента” обо- значают одно и то же. 2.1° . Указать события, противоположные к таким: а) А — “выпадение герба в результате двух подбрасы- ваний монеты”; б) В — “три попадания в результате трех
22 Глава 2. Стохастический эксперимент выстрелов по мишени”; в) С — “хотя бы одно попадание в результате трех выстрелов по мишени”. 2.2° . Сделано три выстрела по мишени. Пусть собы- тие Ai состоит в том, что в результате г-го выстрела про- изошло попадание, i = 1,2,3. Выразить через А* такие события: а) А — “произошло три попадания”; б) В — “не было ни одного попадания”; в) С — “произошло только одно попадание”; г) D — “произошло не менее двух попа- даний”. 2.3° . Пусть А, В, С — случайные события. Записать события, состоящие в том, что не произошло ни одно из событий А, В, С; из событий А, В, С произошло: а) только событие А; б) события А и В и не произошло событие С; в) все три события; г) хотя бы одно событие; д) одно и только одно событие; е) не более двух событий. 2.4. Радиолокационная станция ведет наблюдение за космическим объектом, при этом проведено п циклов ос- мотра. Обнаружение объекта в г-м цикле — случайное событие, обозначим его через A*, i = 1,2,..., п. Выразить через А*,г = 1,2, ...,п, такие события: А — “объект не будет обнаружен (ни в одном цикле)”; В — “объект будет обнаружен (хотя бы в одном цикле)”; С — “объект будет обнаружен только в одном цикле”. 2.5. Каждая из m радиолокационных станций, сле- дящих за космическим объектом, делает п циклов на- блюдений. Обозначим через Aji событие “объект будет обнаружен j-й станцией в г-м цикле”, j = 1,2, ...,m, i = 1,2,..., n. Выразить через Aji такие события: А — “объект будет обнаружен (хотя бы одной станцией)”; В — “объект будет обнаружен каждой станцией”. 2.6° . Дважды подбрасывают монету; предложить про- странство элементарных событий Q этого стохастическо- го эксперимента. Описать как подмножества Q события: А — “хотя бы один раз выпадет герб”, В — “при втором подбрасывании выпадет герб”. Найти число всех элемен- тарных событий; число элементарных событий, принад- лежащих А, В. 2.7° . Игральную кость подбрасывают дважды. Пред- ложить пространство элементарных событий Q. Описать как подмножества Q события: А — “сумма выпавших оч-
2.2. Задачи 23 ков равна 8”; В — “хотя бы один раз выпала 6”; С — “при первом подбрасывании выпало четное число очков”; D — “при обоих подбрасываниях выпадет нечетное число очков”. Найти число элементарных событий в Q, А, В, С, D. 2.8° . Подбрасывают монету, а затем игральную кость. Предложить пространство элементарных событий Q. Опи- сать как подмножества Q события: А — “выпадет герб”; В — “выпадет цифра 5”. Найти число элементарных со- бытий в Q, А, В. 2.9° . Пусть эксперимент состоит в измерении двух ве- личин, принимающих значения из отрезка [0; 1]. Описать пространство элементарных событий. 2.10° . Из цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирают одну, а за- тем из четырех оставшихся — другую. Предложить про- странство элементарных событий Q. Описать как подмно- жества Q события: А — “на первом шаге будет выбра- на четная цифра”, В — “на втором шаге будет выбрана четная цифра”. Найти число элементарных событий в Q, А, В. 2.11. Из партии, содержащей N изделий, среди кото- рых М бракованных, наудачу выбирают п изделий. Пред- ложить пространство элементарных событий Q. Описать как подмножество Q событие А — “среди выбранных п из- делий имеется в точности т бракованных” (п < 7V, т < М,т < п). Найти число элементарных событий в Q, А. 2.12. В лифте 7 пассажиров, лифт останавливается на 10 этажах. Для каждого пассажира фиксируется номер этажа, на котором он выходит. Предложить пространство элементарных событий Q. Описать как подмножество Q событие А — “все пассажиры выходят на разных этажах”. Найти число элементов в Q, А. 2.13. Два игрока по очереди подбрасывают монету. Выигрывает тот, у кого впервые выпадет герб. Предло- жить пространство элементарных событий Q. Описать как подмножества Q события: А — “игра закончится на к- м подбрасывании”, В — “игра закончится до fc-ro подбра- сывания”, С — “выиграет начавший игру первым”, D — “выиграет начавший игру вторым”. 2.14. В урне содержится один шар, о котором извест- но, что он белый или черный. В урну положили белый
24 Глава 2. Стохастический эксперимент шар, а затем после тщательного перемешивания извлек- ли один за другим оба шара. Предложить пространство элементарных событий Q этого стохастического экспери- мента. Описать как подмножества Q события: А — “пер- вый раз извлечен белый шар”, В — “второй раз извлечен белый шар”. 2.15. Игральную кость последовательно подбрасыва- ют п раз. Предложить пространство элементарных собы- тий Q. Описать как подмножество Q событие А — “выпа- дет П1 единиц, П2 двоек, и т. д., tiq шестерок” (П1 + П2 + ... ... + nQ = п). Вычислить количество элементов в Q, А. 2.16. В турнире участвуют 2п человек, которые по жребию разделены на две группы по п человек в каж- дой. Предложить пространство элементарных событий Q. Описать как подмножества Q события: А — “двое наи- более сильных игроков будут играть в разных группах”, В — “четверо наиболее сильных игроков будут играть по двое в разных группах” (все игроки различаются по си- ле). Вычислить число элементов в Q, А, В. 2.17. В наудачу выбранной группе, насчитывающей г (г < 12) студентов, интересуемся месяцами их рожде- ния. Предложить пространство элементарных событий Q. Описать как подмножества Q события: А — “хотя бы два студента родились в одном месяце”, В — “только один студент родился в сентябре”, С — “хотя бы один студент родился в сентябре”, D — “ни один студент не родился в сентябре”. Найти число элементов в Q, А, В, С, D. 2.18. Числа 1,2,..., п располагают наудачу. Каждо- му из них приписывают номер места, на котором распо- ложено число. Предложить пространство элементарных событий Q. Описать как подмножества Q события: А — “число 1 получит номер 1”, В — “число 1 получит номер 1, а число п — номер п”. Найти число элементов в Q, А, В. 2.19. Подбрасывают три игральные кости. Предло- жить пространство элементарных событий Q. Описать как подмножества Q события: А — “единица выпадет толь- ко на одной кости”, В — “шестерка выпадет только на двух костях”, С — “на всех костях выпадут разные гра- ни”, D — “на костях выпадет одинаковое число очков”. Найти число элементов в Q, А, В, С, D. 2.20. Монету и игральную кость подбрасывают по очереди неограниченное число раз. Предложить простран-
2.2. Задачи 25 ство элементарных событий Q. Описать как подмноже- ство Q события: А — “герб выпадет раньше шестерки”, В — “пятерка выпадет раньше герба”. 2.21* . Каждая из п различимых частиц попадает в одну из т ячеек. Предложить пространство элементар- ных событий Q. Описать как подмножество Q событие: А — “в первую ячейку попало к± частиц, во вторую — &25 и т. д., в т-ю — кт”. Найти число элементов в Q, А. 2.22* . Каждая из п неразличимых частиц попадает в одну из т (n > rri) ячеек. Предложить пространство элементарных событий Q. Описать как подмножество Q событие: А — “каждая из ячеек содержит по меньшей мере одну частицу”. Найти число элементов в Q, А. 2.23. В поезде т вагонов. Каждый из п (п > т) пас- сажиров выбирает себе вагон. Предложить пространство элементарных событий Q. Описать как подмножества Q события: А — “в каждом вагоне будет по меньшей мере один пасса- жир”, В — “будет занято ровно г вагонов” (вагон занято, если в нем находится хотя бы один пассажир). 2.24. Девять пассажиров садятся в три вагона. Пред- ложить пространство элементарных событий Q. Описать как подмножества Q события: А — “в каждый вагон ся- дет по три пассажира”, В — “в один вагон сядут четыре, в другой — три, в третий — два пассажира”. 2.25. Студент пришел на экзамен, зная 35 из 40 вопро- сов программы. Экзаменатор задает студенту 4 вопро- са. Предложить пространство элементарных событий Q. Описать как подмножества Q события: А — “студент зна- ет ответы на все вопросы”, С — “студент не знает ответа ни на один вопрос”, Bi — “студент знает ответы на i во- просов” (г = 1,2,3), D — “студент сдаст экзамен” (чтобы сдать экзамен, необходимо ответить не менее чем на 3 вопроса). 2.26. Участник лотереи “Спортлото” из 49 названий видов спорта (обозначенных числами 1-49) должен наз- вать 6. Предложить пространство элементарных собы- тий Q. Описать как подмножества Q события: А — “участ- ник правильно укажет все шесть названий”, В — “участ- ник получит выигрыш (для получения выигрыша необ- ходимо правильно указать не менее чем 3 вида)”.
26 Глава 2. Стохастический эксперимент 2.27. Два лица, договорившись встретиться в тече- ние часа, решили, что каждый независимо от другого приходит на место встречи в наудачу выбранный момент указанного часа. Предложить пространство элементар- ных событий Q. Описать как подмножество Q события: А — “встреча состоится, если каждый будет ждать дру- гого на протяжении времени t (t < 1), после чего ухо- дит с места встречи”, В — “данное лицо придет на ме- сто встречи раньше другого”, С — “данное лицо придет на место встречи раньше другого на время, не меньшее, чем q (q < 1)”. 2.28. Наудачу берут три отрезка, длина которых не превышает 1. Предложить пространство элементарных событий Q. Описать как подмножества Q событие: А — “из отрезков можно построить треугольник”. 2.29. Числа 1,2, ...,п расположены наудачу. Пред- ложить пространство элементарных событий Q. Описать как подмножество Q событие А — числа 1 и 2 располо- жены рядом. Найти число элементов в Q и А.
Глава 3 Дискретное вероятностное пространство 3.1 Вероятность, классическая модель Частота события. Вероятность. Опыт свидетель- ствует, что в стохастическом эксперименте события раз- личаются частотой своего появления (одни наблюдают- ся чаще, другие — реже). Например, при подбрасывании игральной кости событие В — “шестерка не выпала” про- исходит чаще, чем событие С — “шестерка выпала”. При подбрасывании симметричной монеты до первого появле- ния герба событие В — “герб впервые выпадет при первом подбрасывании” происходит чаще, чем событие С “герб впервые выпадет при одиннадцатом подбрасывании”. Количественной мерой частоты появления события А является частота события А в последовательнос- ти п экспериментов. Частота определяется так. Проведем стохастический эксперимент независимым образом п раз; пусть кп(А) — число тех экспериментов, в которых про- изошло (наблюдалось) событие А, тогда i/n(A) = кп(А)/п. Частота i'n(A) обладает следующими свойствами. 27
28 Глава 3. Дискретное вероятностное пространство 1. Для каждого события А vn(A) > 0. 2. Для несовместных событий А и В i/n(A U В) = i/„(A) + i/n(B). 3. Для достоверного события Q i/n(Q) = 1. (3.1.1) (3.1.2) (3.1.3) Частота события А в последовательности экспе- риментов является устойчивой — колеблется около неко- торого числа, причем с ростом п значительные отклоне- ния vn(A) от этого числа встречаются все реже — частота z/n(A) стабилизируется. Математической моделью частоты является вероят- ность. Вероятность — это функция Р: А^Р(А), заданная на классе событий, такая, что 1. Для каждого события А Р(А) > 0. (3.1.4) 2. Для непересекающихся событий A*, i = 1,2,..., {Ai П Aj, i 7^ j) (oo \ oo Ua =£p(A). 2=1 / 2 = 1 (3.1.5) 3. Для достоверного события Q P(Q) = 1. (3.1.6) Значение P(A) функции P на А называют вероятнос- тью события А.
3.1. Вероятность, классическая модель 29 Вероятность на дискретном пространстве. Па- ру {Q, Р}, где Q — дискретное пространство элементар- ных событий стохастического эксперимента, а Р — веро- ятность на классе событий (подмножеств Q), будем на- зывать дискретным вероятностным пространством. В дискретном пространстве {Q, Р} каждое событие А можно представить в виде объединения (не более чем счетного числа) исходов аг. А = U {"}• cuG Д поэтому Р(А) = £Р(о>), (3.1.7) cuG Д в частности 1 = р(0) = £рН. cuGQ Равенство (3.1.7) означает, что в дискретном вероятност- ном пространстве вероятность события А равна сумме вероятностей Р(ш) исходов ш, описывающих событие А. И, следовательно, чтобы задать вероятность на дис- кретном пространстве Q, достаточно задать вероят- ности исходов P{w), w Е Q; при этом имеет место равен- ство (3.1.7), в общем случае (не дискретного Q) это не так. Дискретное вероятностное пространство {Q, Р} явля- ется математической моделью стохастического экспери- мента с конечным или счетным множеством исходов. Примечание. Вероятность р = Р(А) события А можно интерпретировать как количественную меру прог- ноза его появления: частота появления события А в длин- ной серии независимых экспериментов близка к ее веро- ятности р. Пример 3.1.1. Подбрасывают игральную кость, мас- са которой распределена так, что частота появления определенной грани пропорциональна ее номеру {числу оч- ков на ней). Построить вероятностное пространство
30 Глава 3. Дискретное вероятностное пространство этого стохастического эксперимента. Описать как под- множества Q события: А — “выпадет число очков, крат- ное 3” В — “выпадет четное число очков”. Вычислить их вероятности. Подбрасывают симметричную игральную кость (все грани выпадают одинаково часто). Предложить веро- ятностное пространство этого стохастического экспе- римента. Вычислить вероятности событий А и В. Решение.В качестве пространства элементарных со- бытий первого из описанных стохастических эксперимен- тов естественно рассматривать Q = {1,2,..., 6}. Вероят- ность появления единицы обозначим р, тогда вероятность появления грани с номером j равна jp, и поскольку ЕрИ = 1, cuGQ то р + 2р + ... + 6р = 1. Отсюда р = 1/21, P(j) = j/21, j = 1,2,..., 6. Так что вероятностное пространство {Q, Р} стохастического эксперимента построено. События А и В опишутся соответственно подмноже- ствами А = {3; 6} и В = {2; 4; 6} пространства Q. Вероятности событий Аи В (как вероятности событий в дискретном вероятностном пространстве, см. (3.1.7)) вычисляются так: Р(А) = Р({3;6}) = Р(3) + Р(6) = А + = 3 1 1 । 2 4 6 4 Р(В) = Р({2;4;6}) = Р(2)+Р(4)+Р(б) = 1 1 1 । При подбрасывании симметричной игральной кости пространство элементарных событий будет таким же: Q = {1,2,...,6}, а вероятности элементарных событий естественно задать следующим образом: Р(%) = 1/6,г = 1,2,... ,6. Тогда Р(А) = Р({3; 6}) = Р(3) + Р(б) = | + | = 1; ООО
3.1. Вероятность, классическая модель 31 Р(В) = Р({2; 4; б}) = Р(2) + Р(4) + Р(б) = | + | + | = |- О О О 2 Замечание. Заметим, что здесь фактически реша- ются две задачи (и это стандартная ситуация). Задача 1. Строится математическая модель стоха- стического эксперимента (вероятностное пространство), т. е. выбирается пространство элементарных событий Q и задается вероятность каждого элементарного события: Р(г) = г/21, г = 1,2,..., 6, (для несимметричной кости) и Р(г) = 1/6, г = 1,2,..., 6, (для симметричной кости). При этом необходимо заме- тить, что теория вероятностей никаких указаний и ре- комендаций относительно задания вероятностей элемен- тарных событий не дает — ни из каких теорем не следует, что, скажем, для симметричной игральной кости Р(г) = 1/6, i = 1,2,...,6. И каждый раз, когда (из тех или иных соображений) ве- роятностное пространство выбрано, вопрос о его адекват- ности стохастическому эксперименту остается открытым (ответить на него помогает, в частности, математическая статистика). Заметим, что построение (выбор) вероятностного про- странства не является задачей теории вероятностей. Задача 2. После выбора вероятностного простран- ства {Q, Р} вычисляют вероятности тех или иных собы- тий (пользуясь теоремами теории вероятностей). Классическая модель. Дискретное вероятностное пространство {Q, Р}, все элементарные события си* кото- рого равновероятны, т. е. P(cvJ = P(wj) для всех z,j, будем называть классической моделью. В классической модели {Q, Р} пространство элемен- тарных событий Q конечно, вероятность Р(шг) элемен- тарного события щ Е Q равна l/n(Q), т. е. Р(Шг) ~
32 Глава 3. Дискретное вероятностное пространство и для любого события А Р{А) = n(Q) ’ (3.1.8) Последняя формула называется формулой классической вероятности. П р и м е р 3.1.2. Симметричную игральную кость под- брасывают шесть раз. Построить математическую мо- дель этого стохастического эксперимента. Описать со- бытие А — “выпадут все шесть граней” и вычислить его вероятность. Решение.В качестве пространства элементарных со- бытий стохастического эксперимента естественно рассмат- ривать множество упорядоченных последовательностей, составленных из шести чисел (от 1 до 6). Например, по- следовательность (6,1,6,3,2,4) описывает исход стохас- тического эксперимента, состоящий в том, что при пер- вом подбрасывании игральной кости выпала 6, при вто- ром — 1, и т. д. при шестом — 4. Событие А — “выпали все грани” опишется подмно- жеством множества исходов Q, состоящим из последо- вательностей, в записи которых встречается каждая из цифр 1,2,..., 6. Далее, поскольку каждый из исходов стохастического эксперимента ничем не лучше и не хуже другого (кость симметричная), то естественно считать, что все элемен- тарные события равновероятны (ни из одной теоремы это утверждение не следует). Другими словами, в качестве математической модели данного стохастического экспе- римента будем рассматривать классическую модель. Тем самым вероятностное пространство (модель стохастиче- ского эксперимента) построено — предложено Q и для каждого w Е Q задана его вероятность Р(си): P(cj) = l/n(Q). Теперь вычислим вероятность события А — “выпадут все шесть граней”. Поскольку модель классическая, то согласно формуле классической вероятности (3.1.8), ве- роятность события А равна отношению числа п(А) эле-
3.2. Задачи 33 ментарных событий, входящих в событие А, к числу n(Q) всех элементарных событий Q. Элементарных событий в Q столько, сколько после- довательностей длиной 6, которые можно построить из шести чисел (от 1 до 6). Согласно правилу умножения их б6. Элементарных событий, входящих в событие А, столько, сколько имеется последовательностей, которые можно построить из различных чисел от 1 до 6 (сколько существует перестановок из чисел 1,2,..., 6) — их 6! Следовательно, искомая вероятность 3.2 Задачи АЗ: 3.1,3.5,3.6,3.7,3.14,3.16,3.21,3.27,3.28*. СЗ: 3.2,3.9,3.10,3.11,3.18,3.19,3.20,3.21,3.22. В предложенных далее задачах прежде чем вычис- лять вероятность того или иного случайного события А, необходимо построить математическую модель стохасти- ческого эксперимента, т. е. задать пространство Q элемен- тарных событий ш и их вероятности P(cu), w Е Q. Затем описать событие А как подмножество Q и вычислить его вероятность в дискретном вероятностном пространстве {Q,P}. Примечание. Задачи с подбрасыванием игральных костей, монет следует решать в предположении, что кос- ти и монеты симметричные (если не оговорено иное). 3.1. В наудачу выбранной группе, насчитывающей г студентов (например, академическая группа), интересу- емся их датами рождения. Вычислить вероятность собы- тия А, состоящего в совпадении дат рождения хотя бы у двух студентов. 3.2. В наудачу выбранной группе, насчитывающей г студентов, интересуемся месяцами их рождения. Вычис- лить вероятность события А, состоящего в том, что хотя бы два студента родились в одном и том же месяце.
34 Глава 3. Дискретное вероятностное пространство 3.3. Для уменьшения общего количества игр 2п ко- манд (разных по силе) по жребию делят на две подгруп- пы по п команд каждая. 1. Вычислить вероятность того, что две самые силь- ные команды окажутся: а) в разных подгруппах; б) в од- ной подгруппе? 2. Вычислить вероятность того, что четыре самые силь- ные команды окажутся: а) в разных подгруппах (по две в каждой); б) в одной подгруппе; в) в разных подгруппах, причем в одной подгруппе 3 команды, в другой — 1? 3.4° . В коробке содержится пять одинаковых зануме- рованных кубиков. Наудачу по одному вынимают все ку- бики. Вычислить вероятность того, что номера кубиков появятся в порядке возрастания. 3.5. Числа 1,2,..., п упорядочивают наудачу. Вычис- лить вероятность того, что 1 и 2 будут расположены ря- дом. 3.6. Студент пришел на экзамен, зная 20 из 25 во- просов программы. Экзаменатор задает студенту три во- проса. Вычислить вероятность того, что студент: 1) знает ответы на все вопросы; 2) знает ответы на два вопроса; 3) сдаст экзамен (если для этого необходимо ответить не менее чем на два вопроса); 4) не сдаст экзамен. 3.7. Игральную кость подбрасывают 6 раз. Вычис- лить вероятность того, что выпадут только четные гра- ни. 3.8. Из карточек разрезной азбуки составлено сло- во “статистика”. Потом из этих десяти карточек науда- чу выбирают семь. Вычислить вероятность того, что из выбранных карточек можно составить слово “статика”. 3.9. Ребенок играется десятью буквами разрезной аз- буки А,А,А,Е,И,К,М,М, Т, Т. Вычислить вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд обра- зуется слово “математика”. 3.10. Пусть п человек, среди которых присутствуют А и В, строятся в ряд в произвольном порядке. Вычис- лить вероятность того, что между А и В будет стоять ровно г человек. 3.11. В шахматном турнире участвуют 20 человек (разных по силе), которых по жребию делят на две груп- пы по 10 человек каждая. Вычислить вероятность того,
3.2. Задачи 35 что: а) двое наиболее сильных участников будут играть в разных группах; б) четверо наиболее сильных участников будут играть по два в разных группах? 3.12. Найти вероятность того, что среди двух чисел, выбранных наудачу из последовательности 1,2,..., п, од- но окажется меньшим, а другое большим заданного чис- ла к (1 < к < п). 3.13. Девять пассажиров располагаются в трех ваго- нах. Вычислить вероятность того, что: а) в каждый вагон сядет по три пассажира; б) в один вагон сядут четыре, в другой — три, в третий — два пассажира? 3.14. В лифте 7 пассажиров. Лифт останавливается на десяти этажах. Найти вероятность того, что никакие два пассажира не выйдут на одном и том же этаже. 3.15° . Вычислить вероятность того, что даты рожде- ния 12 человек придутся на разные месяцы года. 3.16. Среди N изделий М бракованных. Наудачу бе- рут п изделий. Найти вероятность того, что среди них т бракованных (т < М)? Какова вероятность того, что среди них более чем т бракованных? 3.17. В лотерее п билетов, среди них т выигрышных. Найти вероятность выигрыша для владельца г билетов. 3.18. На экзамене предлагается N вопросов. Студент знает ответы на п вопросов. Экзаменатор задает студенту к вопросов, а для того чтобы сдать экзамен, необходимо ответить не менее чем на г (г < fc) вопросов. Найти веро- ятность того, что студент сдаст экзамен? 3.19. Участник лотереи “Спортлото” из 49 названий видов спорта (обозначенных числами 1,2,..., 49) должен назвать 6. Полный выигрыш получает тот, кто правильно укажет все шесть названий. Выигрыш получат и те, кто угадает не менее трех названий. Найти вероятность пол- ного выигрыша в “Спортлото”. Вычислить вероятность того, что участник “Спортлото” угадает 5, 4, 3 названий. Какова вероятность получить выигрыш в “Спортлото”? 3.20. Подбрасывают 12 игральных костей. Какова ве- роятность того, что каждое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 выпадет дважды? 3.21. Подбрасывают п игральных костей. Какова ве- роятность того, что выпадут п\ единиц, П2 двоек, ... шестерок + П2 + ... + tiq = п)?
36 Глава 3. Дискретное вероятностное пространство 3.22° . Четырехтомное собрание сочинений расставля- ют на полке наудачу. Вычислить вероятность того, что тома расположатся в порядке возрастания их номеров. 3.23° . Дважды подбрасывают симметричную монету. Предложить вероятностное пространство этого стохасти- ческого эксперимента. Описать события: А — “при пер- вом подбрасывании выпадет герб”, В — “при втором под- брасывании выпадет герб”. Вычислить вероятности F(A), F(B), Р(АПВ). 3.24° . Трижды подбрасывают симметричную монету. Предложить вероятностное пространство этого стохасти- ческого эксперимента. Описать события: А — “дважды выпадет герб”, В — “хотя бы один раз выпадет герб”. Вы- числить вероятности F(A), Р(В), Р(АС\В), Р(В/А). 3.25. Подбрасывают п игральных костей. Вычислить вероятность того, что на всех игральных кубиках появит- ся одинаковое число очков. 3.26° . Подбрасывают шесть игральных костей. Вы- числить вероятность того, что суммарное число очков на костях будет равно 7. 3.27. Пусть п лиц садятся в ряд наудачу. Какова ве- роятность того, что два определенных лица окажутся ря- дом? Вычислить вероятность того же события, если лица садятся за круглый стол. 3.28* . Доказать, что вероятнее получить хотя бы одну единицу при подбрасывании четырех игральных костей, чем в случае 24 подбрасываний двух костей получить хо- тя бы один раз две единицы. Примечание. Задача известна как парадокс “де Ме- ре”. Придворный кавалер и азартный игрок шевалье де Мере, современник Блеза Паскаля, считал, что вероят- ности этих событий одинаковы, и обвинял математиков в своих проигрышах. 3.29. Доказать, что в классической модели {Q, Р} про- странство элементарных событий Q конечно и для каж- дого элементарного события ц € (1 значение вероятности Р(с^г) — l/z^(Q), г = 1,2,..., n(Q), где n(Q) — число всех элементарных событий.
3.2. Задачи 37 3.30. Доказать, что в классической модели {Q, Р} для любого события А (подмножества А пространства Q) п n(Q) ’ где n(Q) — число всех элементарных событий, а п(А) — число элементарных событий, входящих в состав А. 3.31 (статистика Максвелла-Больцмана). Каж- дая из п различимых частиц попадает в одну из т ячеек. Найти вероятность того, что в первой, второй, и т. д., т-й ячейке будет соответственно fci, &25 • • • , кт частиц? 3.32. За круглым столом располагаются п лиц. Вы- числить вероятность того, что три определенные лица окажутся рядом. 3.33. Подбрасывают три монеты. Найти вероятность событий: А — “на первой монете выпадет герб”, В — “вы- падет ровно два герба”, С — “выпадет не более двух гер- бов”. 3.34. Из множества всех последовательностей дли- ной п, составленных из цифр 0,1,2, наудачу выбирается одна. Найти вероятности событий: А — “последователь- ность начинается с О”, В — “последовательность содержит т + 2 нулей, причем два из них — на концах последова- тельности”, С — “последовательность содержит т еди- ниц”, D — “последовательность составлена из то нулей, mi единиц, m2 двоек”. 3.35. Подбрасывают две игральные кости. Найти ве- роятности событий: А — “сумма очков кратна 6”, В — “сумма очков кратна 2”, С — “произведение очков четное число”. 3.36. Вычислить вероятность того, что четырехзнач- ный номер наудачу выбранного в большом городе авто- мобиля: а) состоит из разных цифр; б) имеет только две одинаковые цифры; в) имеет две пары одинаковых цифр; г) имеет только три одинаковые цифры; д) состоит из одинаковых цифр. 3.37. Из урны, содержащей Mi шаров с номером 1, М2 шаров с номером 2, и т. д., Мы шаров с номером 7V, наудачу извлекают п шаров. Вычислить вероятность со- бытия А — “появится mi шаров с номером 1, m2 шаров
38 Глава 3. Дискретное вероятностное пространство с номером 2, и т. д., появится тп^ шаров с номером N”, В — “каждый из N номеров встретится хотя бы один раз”. 3.38. Из множества {1,2,..., N} последовательно на- удачу без возвращения выбирают два числа и £2- Вы- числить вероятность события {£1 < £2}- Из множества {1,2,..., N} последовательно наудачу без возвращения выбирают три числа £1,£2>£з- Вычис- лить вероятность того, что второе число будет располо- жено между первым и третьим, т. е. вычислить вероят- ность события {£1 < £2 < £з}- 3.39. Куб, все грани которого покрашены, распилили на тысячу кубиков одинакового размера. Кубики переме- шали. Найти вероятность того, что наудачу выбранный кубик: а) имеет хотя бы одну окрашенную грань; б) имеет две окрашенных грани; в) имеет три окрашенных грани. 3.40 (призовая игра). Вы участвуете в призовой игре (приз — автомобиль). Перед вами три закрытых двери. За одной из них автомобиль. Ведущий предлага- ет вам выбрать дверь. Вы выбираете. Прежде чем от- крыть выбранную вами дверь ведущий открывает одну из оставшихся дверей — за ней автомобиля нет. После этого ведущий предлагает вам два варианта последую- щих действий: открыть выбранную ранее вами дверь или открыть оставшуюся дверь. Если за открытой дверью ав- томобиль — он ваш. Какой выбор сделать — открыть первоначально вы- бранную дверь или открыть оставшуюся? Естественно, что предпочтительнее тот выбор, для ко- торого вероятность выигрыша автомобиля больше. Вычислите вероятность выигрыша автомобиля, если: 1) вы открываете первоначально выбранную дверь; 2) вы открываете оставшуюся дверь. Задача и ее решение становятся особенно “прозрач- ными”, если автомобиль находится за одной из п дверей (пусть для наглядности п = 1000). Вы выбираете дверь, после чего ведущий демонстри- рует, что за п — 2 дверями из п — 1 оставшихся автомобиля нет. Теперь выбор за вами — открыть первоначально вы- бранную дверь или открыть оставшуюся дверь.
Глава 4 Условная вероятность 4.1 Формула полной вероятности. Формулы Байеса Условная вероятность. Пусть {Q, Р} — вероятност- ное пространство. Условной вероятностью Р(А/В) со- бытия А относительно события В (Р(В) > 0) будем на- Р(А П В) зывать величину —p(jty ’ т’ е' Р(А/В) = Р(А П В) Р(В) (4-1.1) Из (4.1.1) имеем Р(А П В) = Р(А/В)Р(В), (Р(В) > 0) Это равенство называют формулой умножения. В классической модели {Q, Р} РМ/m = Р(АПВ) = п(АПВ)/п^ = та(АПВ) 1 1 ’ Р(В) п(В)/п($) п(В) т. е. условная вероятность Р(А)В') события А относитель- но события В равна отношению числа п(А П В) элемен- тарных событий, входящих в АП В, к числу п(В) элемен- тарных событий, входящих в В. 39
40 Глава 4. Условная вероятность Примечание. Условную вероятность р = Р(А/В) события А относительно события В можно интерпрети- ровать как количественную меру прогноза появления А, когда дополнительно известно, что произошло событие В. Пример 4.1.1. Подбрасывают три симметричные игральные кости. Найти вероятность того, что хотя бы на одной выпадет единица, если известно, что на трех выпали разные грани. Решение. Кости будем считать различимыми. В ка- честве пространства элементарных событий Q рассмот- рим упорядоченные тройки, составленные из чисел 1,2,... ..., 6. Поскольку кости симметричны, то естественно счи- тать все элементарные исходы равновероятными. Тем са- мым вероятностное пространство стохастического экспе- римента построено. Пусть В — событие “на трех костях выпали разные грани”, А — “хотя бы на одной кости выпала единица”. В задаче необходимо вычислить условную вероятность Р(А/В). Имеем РМ/Я1_-Р(ЛГ|В) _Сз-5-4/6-5-4 _1 Р(Л/-В) - Р(В-) - “бЗ-/ “"63“ - 2 Вероятность Р{А/В} также можно вычислить, вос- пользовавшись тем, что в классической модели {Q, Р} условная вероятность Р{А/В} равна отношению числа элементарных событий, принадлежащих А П В, к числу элементарных событий, принадлежащих В, т. е. = ттт = -2- Пример 4.1.2 (задача Льюиса Кэррола). В урне со- держится один шар, о котором известно, что он или бе- лый (с вероятностью 1/2), или черный. В урну положи- ли белый шар, и затем, тщательно перемешав шары,
4.1. Формула полной вероятности. Формулы Байеса 41 извлекли наудачу один, который оказался белым. Како- ва вероятность того, что после этого из урны извлекут белый шар? Решение 1. Эксперимент состоит в последователь- ном извлечении из урны двух шаров. Обозначим белый шар через W, черный — В. Множеством всех исходов сто- хастического эксперимента является Q = {WW, WB, BW} Например, пара WB описывает исход: “первым извле- чен белый шар, вторым — черный”. Пусть Ai — собы- тие “белый шар извлечен первым”, А2 — “белый шар из- влечен вторым”. Необходимо вычислить P(A2/Ai). Собы- тия Ai, А2, Ai П А2 как подмножества Q опишутся так: Ai = {WW,WB}, А2 = {WW,BW}, Ai П Л2 = {WW). Поскольку в Q входят три элементарные события, в Ai — два, в Ai П А2 — одно, то Р(А м _ 1/з _ 1 Р(ЛМ1) “ Р(А) - 273 - 2- Решение 2. Белый шар, который кладут в урну, по- метим, например, звездочкой и обозначим его через W*. Тогда множеством всех исходов стохастического экспери- мента является Q* = {WW*,W*W,BW*,W*B}. Собы- тия Ai, А2, Ai П А2 как подмножества Q* опишутся так: Al = {WW*,W*W,W*B}, А2 = {WW*,W*W,BW*}, Al П А2 = {WW*, W*W}. Поэтому РМ /4 , P(^nA) 2/4 2 P(A2/Ai) - F(A) -374-3- Два решения — два разных ответа. Не хорошо. Вопрос 1. Какое из решений неверное? Вопрос 2. Где допущена ошибка? Попытайтесь сначала ответить на вопросы 1 и 2, не читая дальше. Ответ к примеру 4.1.2. Решение 1 неверное. Модель не классическая, а ве- роятности событий вычисляются как в классической мо- дели. Вероятности элементарным событиям необходимо приписать так: P(WW) = 1/2, P(WB) = 1/4, P(BW) = 1/4.
42 Глава 4. Условная вероятность Поскольку сначала в урне находился белый шар (с веро- ятностью 1/2) или черный (с вероятностью 1/2), то по- сле того, как в урну положили один белый шар, в урне находятся с вероятностью 1/2 шары одного цвета и с ве- роятностью 1/2 — разного. В этой модели имеем: P(Ai П Л2) = P(WW) = 1/2, Р(Аг) = P({WW,WB}) = = P(WW) + Р(ТУВ) = 1/2 + 1/4 = 3/4, = P(A2PA!) = 1/2 = 2 P(Ai) 3/4 3' В решении 2 каждому исходу приписываем вероят- ность 1/4. Заметим, что в урне, после того, как в нее положили один белый шар и до того, как шары начали извлекать, находилось: два белых шара (с вероятностью 1/2), или один белый, другой черный (с вероятностью 1/2). Комментарий к примеру. Пример, в частности, иллюстрирует тот факт, что для одного и того же стоха- стического эксперимента можно предложить разные про- странства элементарных событий, а вместе с ними и раз- ные вероятностные пространства, которые адекватно опи- сывают стохастический эксперимент. В примере было предложено два пространства элементарных событий: Q = {WW,WB,BW} и Q* = {WW*,W*W,BW*,W*B}. Распределение вероятностей на пространстве элементар- ных событий Q такое: P(WW) = 1/2, P(WB) = 1/4, P(BW) = 1/4, а на пространстве Q* такое: P(WW*) = = 1/4, P(W*W) = 1/4, Р(ТУ*В) = 1/4, Р(ВТУ*) = 1/4. Обе модели адекватно описывают стохастический экспе- римент. Заметим, что одна из них классическая, другая — нет. Формула полной вероятности. События Bi С Q, i = 1,2,..., п, будем называть полной группой событий, если они попарно не пересекаются (В* П В? = 0, г 7^ J) и п в объединении дают достоверное событие (|J Bi = Q). г=1
4.1. Формула полной вероятности. Формулы Байеса 43 Теорема. Пусть В±, В^-.., Вп — полная группа со- бытий и P(Bi) > 0, г = 1,2,..., п. Тогда для любого со- бытия А имеет место формула полной вероятности п Р(А) = ^Р(А/В^Р(В^ г=1 Формула полной вероятности справедлива и для счет- ной полной группы событий. Пример 4.1.3 (“счастливые” билеты). Среди N эк- заменационных билетов имеется п “счастливых” (все студенты их знают). Студенты один за другим под- ходят за билетами. У кого больше вероятность вытя- нуть “счастливый” билет: у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым? Решение. Обозначим через А* событие “г-й студент вытянул счастливый билет”, i = 1,2, а через А™ — “1-й студент вытянул несчастливый билет”. Далее вычис- ляем р(4) и р(4). Согласно формуле классической вероятности Р(Х)=%. Вероятность события Р(А2) вычисляем по формуле пол- ной вероятности, учитывая, что А{ и А™ образуют пол- ную группу событий: р(4) = р(4/4)р(4) + р(а12/а^р(а^ = _ п — 1 п п N — п _ п = N-1N + ЛГ-1 N = N' Следовательно, вероятность вытянуть “счастливый” билет для обоих студентов одинакова. Примечание. Такой ответ получается, если первый студент не говорит, какой он вытянул билет. В противном случае вероятность того, что “счастливый” билет вытя- нул второй студент, Р(А2/А{) = (п — 1)/(N — 1), если первый вытянул “счастливый” билет (и объявил об этом),
44 Глава 4. Условная вероятность и P(Al<JA±) = n/(N — Y) — если первый вытянул “несчаст- ливый’ билет. Формулы Байеса. Пусть В\, В*},..., Вп — полная группа событий и P(Bt) > 0, г = 1,2, ...,п. Тогда для любого события А (Р(А) > 0) Р(В>/А)- £ Р(А/В„)Р(Вк) к=1 п. Пример 4.1.4 (сигнал на фоне шума). На фоне шу- ма на вход радиолокационного устройства с вероятно- стью р (0 < р < 1) поступает сигнал. Если поступил сигнал (с шумом), то устройство регистрирует нали- чие сигнала с вероятностью р\, если только шум, то устройство регистрирует наличие сигнала с вероятно- стью р2- Известно, что устройство зарегистрировало сигнал. Какова вероятность того, что на вход радиоло- кационного устройства поступил сигнал? Решение. Введем такие обозначения: Ас — на вход пришел сигнал (с шумом), А — на вход пришел только шум, Вс — устройство зарегистрировало наличие сигна- ла, В — устройство зарегистрировало шум. Необходимо вычислить Р{АС/В^). Воспользовавшись формулой Бай- еса (события Ас и А образуют полную группу событий), получим Р^/А^А^ Р{АС/ВС} р(Вс/Ас)р(Ас) + р(вс/Л)Р(А) ‘ По условию задачи Р(АС) = р, Р(А) = 1—р, Р(ВС/АС) = = pi, Р(ВС/А) = р2- Следовательно, искомая вероят- ность р(Л/вс) = —? Р1Р + Р2(1 ~Р)
4.2. Независимые события 45 4.2 Независимые события Интуитивно, случайные события независимы, если ин- формация об одном событии (произошло, не произошло) не меняет прогноз появления другого. (Например, при подбрасывании монеты и игральной кости информация о выпадении шестерки на кости не меняет прогноз появле- ния герба на монете.) Поэтому формально независимые события Аи В можно определить как такие, для которых имеет место равенство Р(А/В) = Р(А) или, что то же, = Р(А'). Последнее равенство можно переписать и так Р(ААВ) = Р(А)Р(В). Определение. Пусть {Q,P} — вероятностное про- странство. События А и В (А С Q, В с Q) будем назы- вать независимыми, если Р(АПВ) = Р(А)Р(В). События А1, Аг,..., Ап будем называть независимы- ми в совокупности, если для любых к = 2,3,... ,п и 1 < < • • • < ik — ™ P{Ail П Ai2 П ... П Aik) = PtAiJPtAiJ ... P(Afc). События Ai, A2,..., An будем называть попарно неза- висимыми, если для любых двух различных индексов s и к P(AsnAfe) = P(As)P(A). Если события А и В независимы, то события А и В; А и В также независимы.
46 Глава 4. Условная вероятность При мер 4.2.1 (С. Н. Бернштейн). Подбрасывают пра- вильный тетраэдр, три грани которого окрашены соот- ветственно в красный, синий и зеленый цвета, а в окрас- ке четвертой грани присутствуют все три цвета. Со- бытия: R — “красный”, В — “синий”, G — “зеленый” озна- чают, что в окраске грани, соприкасающейся с поверх- ностью, присутствуют соответствующие цвета. Убе- диться, что события R, В, G попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности. Решение. Исход эксперимента — тетраэдр данной гранью соприкасается с поверхностью. Поскольку тет- раэдр правильный, то в качестве математической моде- ли стохастического эксперимента естественно рассматри- вать классическую модель. Каждый цвет присутствует в окраске двух граней, по- этому Р(Я) = 2/4 = 1/2, Р(В) = 1/2, P(G) = 1/2. В окраске только одной грани имеются три цвета, поэто- му Р(ВП ВП G) = 1/4, Р(ЛП В) = 1/4, P(R PG) = 1/4, Р(В PG) = 1/4. Так что Р(ВП В) = Р(В)Р(В), Р(ВPG) = P(B)P(G), P(BPG) = P(B)P(G). Следовательно, события R,B,G — попарно независимы. Но Р(В Р В Р G) = 1/4 / 1/2 • 1/2 • 1/2 = P(B)P(B)P(G). Последнее означает, что события В, В, G не являются неза- висимыми в совокупности.
4.3. Задачи 47 4.3 Задачи АЗ: 4.11°, 4.12,4.13,4.22,4.23,4.24. СЗ: 4.3°, 4.5,4.7°, 4.9,4.10°, 4.13,4.16,4.19,4.24,4.26. 4.1° . События А и В — независимы. Доказать, что события А и В, А и В также независимы. 4.2° . События Ai, А2,... ,Ап независимы в совокуп- ности и P(Afc) = р£, к = 1,2,..., п. Какова вероятность того, что: а) не произойдет ни одно из событий Ai, А2,..., Ап, б) произойдет по меньшей мере одно из событий Ai, А2,..., Ап] в) произойдет одно и только одно из событий Ai, А2, ...Мп? 4.3° . За один цикл осмотра радиолокационной стан- ции, наблюдающей за космическим объектом, он будет обнаружен с вероятностью р. Объект в каждом цикле об- наруживается независимо от других. Проведено п циклов наблюдения. Какова вероятность обнаружения объекта? 4.4° . Прибор, состоящий из п блоков, выходит из строя если выходит из строя хотя бы один блок. Блоки выходят из строя независимо один от одного. Надежность каждо- го блока равна р. Вычислить надежность прибора. Под надежностью прибора или блока приборов будем понимать вероятность его безотказной работы на опреде- ленном фиксированном интервале времени. 4.5. Для повышения надежности прибора (см. зада- чу 4.4°) он дублируется таким же прибором; надежность каждого прибора равна р. В случае выхода из строя пер- вого прибора происходит мгновенное переключение на дублирующий прибор. Приборы выходят из строя неза- висимо один от другого. Найти надежность: 1) этой системы приборов; 2) системы приборов, если устройство переключения срабатывает с надежностью pi. 4.6. Для повышения надежности прибора (см. зада- чу 4.4°) он дублируется п — 1 такими же приборами; на- дежность каждого прибора равна р. Приборы выходят из строя независимо один от другого. Найти надежность: 1) этой системы приборов;
48 Глава 4. Условная вероятность 2) системы приборов, если каждый из приборов, вклю- чающий дублирующий прибор, имеет надежность pi. Сколько необходимо приборов, чтобы надежность системы приборов была не меньше F? 4.7° . Подбрасывают две игральные кости: красного и розового цветов. Какова вероятность того, что сумма очков на костях больше или равна 10, если известно, что: а) на красной кости выпало 5 очков; б) на одной из костей выпало 5 очков (возможность выпадения 5 очков на обоих костях не исключена)? 4.8° . В урне содержится п шаров. Все возможные предположения относительно количества белых шаров в урне равновероятны. Наудачу из урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что шар белый? 4.9° . В N урнах содержится ni, П2,..., шаров, сре- ди них белых соответственно тп^ m2,..., тп^. Наудачу выбирают урну, а из нее — шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется белым? 4.10° . В двух урнах содержится п\ и П2 шаров, из них белых шаров соответственно mi и m2. Из первой урны переложили во вторую один шар, цвет которого неизве- стен. Затем из второй урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый? 4.11° . Подбрасывают две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков не менее девяти, если на одной из костей выпало четыре очка? 4.12. Радиолокационная станция ведет наблюдение за космическим объектом, который может создавать про- тиволокационные помехи. Если объект не создает поме- хи, то за один цикл осмотра станция обнаруживает его с вероятностью ро, если создает, то с вероятностью pi (pi < Ро)- Вероятность того, что во время цикла осмотра будут созданы помехи, составляет р и не зависит от того, как и когда создавались помехи в других циклах. Найти вероятность обнаружения объекта по меньшей мере один раз за п циклов осмотра. 4.13. Прибор состоит из п блоков, дублирующих друг друга, и может работать в благоприятных условиях или в неблагоприятных. В неблагоприятных условиях надеж- ность работы каждого блока равна pi, а в благоприят- ных — р2. Вероятность того, что прибор будет работать
4.3. Задачи 49 в благоприятных условиях, равна р, а в неблагоприятных — (1 — р). Вычислить надежность прибора. 4.14° . В урну, которая содержит п шаров, положили белый шар. Какова вероятность того, что извлеченный из урны шар окажется белым, если все предположения относительно первоначального количества белых шаров в урне равновероятны? 4.15° . В урне находится п шаров, часть из них бе- лые. Все предположения относительно количества белых шаров в урне равновероятны. Наудачу извлеченный из урны шар оказался белым. Вычислить вероятность всех предположений относительно количества белых шаров в урне. Какое предположение наиболее вероятно? 4.16° . В каждой из ki урн (первая группа) содержит- ся mi белых и ni черных шаров, а в каждой из к% урн (вторая группа) содержится m2 белых и П2 черных ша- ров. Из наудачу выбранной урны извлекли шар, который оказался белым. Какова вероятность того, что его выбра- ли из первой группы урн? 4.17. Стрелок А попадает в цель с вероятностью Pi = 0,6, стрелок В — с вероятностью р2 = 0, 5, стре- лок С — с вероятностью рз = 0,4. Стрелки сделали залп по мишени. Известно, что имеется два попадания. Что вероятнее: попал стрелок С в мишень или нет? 4.18. В урне содержится 12 белых, 8 черных и 10 крас- ных шаров. Наудачу извлекают два шара. Какова веро- ятность того, что эти шары разного цвета, если известно, что красный шар не выбран? 4.19. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных ша- ра, переложили два шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Какова вероятность теперь извлечь бе- лый шар из второй урны? 4.20. Детали изготавливают на двух заводах. Объем продукции второго завода в п раз превышает объем про- дукции первого завода. Доля брака на первом заводе pi, на втором — р2. Наудачу выбранное изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что оно изготов- лено на втором заводе? 4.21* (задача Банаха). Математик носит с собой две коробки спичек. Каждый раз, когда ему нужна спич- ка, он наудачу берет одну из коробок. Когда то насту- пит такой момент, что вынутая коробка окажется пустой.
50 Глава 4. Условная вероятность Найти вероятность того, что другая коробка содержит г спичек, в предположении, что сначала каждая коробка содержит по N (N > г) спичек. 4.22. Трем радиостанциям разрешена работа на одной из трех заданных частот. Вероятность выбора радиостан- цией каждой из частот равна 1/3 и не зависит от того, какие частоты выбраны другими радиостанциями. Най- ти вероятности событий: “все радиостанции работают на одной частоте”, “все радиостанции работают на разных частотах”. 4.23. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание у больного туберкулезом состав- ляет 1 — /3, а вероятность признать здорового человека больным равна а. Пусть доля больных туберкулезом от- носительно всего населения составляет 7. Найти вероят- ность того, что человек здоров, если он был признан боль- ным при обследовании. 4.24. Вероятность того, что изделие предприятия удо- влетворяет стандарту, равна 0,96. Предлагается упрощен- ная схема контроля, которая классифицирует стандарт- ное изделие как стандартное с вероятностью 0,98, а нестан- дартное как стандартное с вероятностью 0,05. Какова ве- роятность того, что изделие, выдержавшее контроль, удо- влетворяет стандарту? 4.25° . Подбрасывают две игральные кости. Какова вероятность того, что выпадет по меньшей мере одна пя- терка, если известно, что сумма очков равна восьми? 4.26. Два стрелка стреляют в цель. Один из них по- падает в цель в среднем в 5 случаях из 10, а второй — в 8 случаях из 10. Перед выстрелом они подбрасывают сим- метричную монету для определения очередности. Посто- ронний наблюдатель знает условия стрельбы, но не знает, кто в данный момент стреляет. Он видит, что стрелок по- пал в цель. Какова вероятность того, что стрелял первый стрелок? 4.27. Имеются три урны: в первой находится TVi бе- лых и Mi черных шаров, во второй — 7V2 белых и М2 черных, в третьей — N3 белых и М3 черных шаров. На- удачу выбирают одну из урн и из нее без возвращения
4.3. Задачи 51 два шара. Один из них оказался белым, другой — чер- ным. Найти вероятность того, что шары были извлечены а) из первой, б) из второй, с) из третьей урны. 4.28 (задача о разделе ставки). Задача о разделе ставки имеет давние корни. Впервые ее опубликовал в Ве- неции в 1494 г. известный математик Фра Лука Пачоли. Имеются основания считать, что задача имеет арабское происхождение. На ее решение было потрачено немало усилий знаменитых математиков. Сам Пачоли не видел связи этой задачи с теорией вероятностей. Неправильное решение дал Никколо Тарталья (1499-1557), хотя он был достаточно гениальным, чтобы в математической дуэли за одну ночь найти формулу корней кубического уравне- ния. Правильное решение независимо друг от друга по- лучили Паскаль и Ферма в 1654 г. Это открытие выгляде- ло настолько важным, что многие считают 1654 г. годом рождения теории вероятностей. Итак, задача о разделе ставки. Два игрока играют в справедливую игру (у обоих шансы выиграть одина- ковы). (Например, подбрасывают симметричную монету, если при этом монета легла гербом, партию выиграл пер- вый игрок, если решеткой — второй.) Игроки договори- лись, что тот, кто первым выиграет 6 партий, получа- ет весь приз. На самом деле игра остановилась до того, как один из игроков выиграл приз (скажем, первый выиг- рал 5 партий, а второй — 3). Как справедливо разделить приз? Хотя на самом деле эта задача не является парадок- сом, безуспешные попытки выдающихся ученых решить ее (а также неправильные решения) создали легенду о парадоксе. 4.29. Два игрока играют в справедливую игру. Тот, кто первым выиграет 7 партий, получает весь приз. Иг- ра прекратилась, когда первый выиграл 6 партий, а вто- рой — 3. Как справедливо разделить приз? 4.30 (обобщение задачи Льюиса Кэррола). В ур- не находится один шар, о котором известно, что он либо белый (с вероятностью 1/2), либо черный. В урну поло- жили п белых шаров, а затем после тщательного пере- мешивания последовательно извлекли п шаров, которые оказались белыми.
52 Глава 4. Условная вероятность Какова вероятность того, что последний шар, извле- ченный из урны, окажется белым? 4.31. Из урны, содержащей 5 белых и 2 черных шара, потеряли один шар. Для того, чтобы определить состав урны, из нее извлекли 2 шара, которые оказались белы- ми. Вычислить вероятность того, что был потерян белый шар. 4.32. Работает тп радиолокационных станций, каждая из которых за один цикл осмотра обнаруживает объект с вероятностью р (независимо от других циклов и других станций). За время Т каждая станция успевает сделать п циклов. Найти вероятности следующих событий: А — “за время Т объект будет обнаружен по меньшей мере од- ной станцией”, В — “за время Т объект будет обнаружен каждой станцией”. 4.33. Вы участвуете в игре, описанной в задаче 3.40, но после выбора вами двери ведущий из оставшихся две- рей одну выбирает наудачу и открывает. Если за ней ока- зался автомобиль, то игра прекращается (при этом вы остаетесь без приза), если автомобиля нет — игра про- должается по правилам, описанным в задаче 3.40. Найти вероятность выигрыша автомобиля. Мы рассмотрим более общую задачу: автомобиль на- ходится за одной из п дверей. После выбора вами двери ведущий из п — 1 оставшихся дверей наудачу выбирает п — 2 и открывает их. Если за ними автомобиля нет, вам предоставляется право открыть одну из двух оставшихся дверей. Какой выбор сделать? Какова вероятность, что вы вы- играете автомобиль?
Глава 5 Дискретная случайная величина и ее распределение 5.1 Вычисление распределения функции от случайной величины Случайная величина на дискретном вероятност- ном пространстве. Интуитивно, случайная величина — это величина, которая принимает те или иные значения в зависимости от исхода стохастического эксперимента (число космических частиц, достигших счетчика, число мутаций в клетках при радиоактивном облучении, ...). Исходы стохастического эксперимента описываются точ- ками множества исходов Q вероятностного простран- ства {Q, F}, поэтому формально случайную величину мы определяем как функцию £ = £(cv) на множестве Q. Определение. Случайной величиной на дискрет- ном вероятностном пространстве {Q, Р} будем называть функцию £ = = (£1(<л>),£2(<л>), ... ,<n(w)) со значения- ми в Rn, заданную на пространстве элементарных собы- тий Q. Если п > 1, то случайную величину £ = £(cv) = = (£i(<^), £2(^)5 • • • , Сп(^)) называют многомерной или слу- чайной величиной со значениями в Rn (случайным век- тором) , в частности, если п = 2 — двумерной, если п = 1 53
54 Глава 5. Дискретная случайная величина ... — одномерной (скалярной) или просто случайной величи- ной. Случайная величина на дискретном вероятностном пространстве принимает не более чем счетное число зна- чений. Такая случайная величина называется дискрет- ной. Распределение дискретной случайной величи- ны. Дискретная случайная величина описывается свои- ми значениями и вероятностями, с которыми она эти зна- чения принимает (коротко, своим распределением). Точку х 6 Rn будем называть возможным значени- ем случайной величины £ = £(cv) — со значениями в Rn, заданной на дискретном пространстве {Q, Р}, если Р{£ = х} > 0; множество возможных значений £ будем обозначать через Х(Х с Rn). Определение. Распределением дискретной случай- ной величины £ = £(cv) со значениями в Rn будем назы- вать функцию Р% : х Р^(ж), х е X, определенную на множестве X различных возможных значений случайной величины £, и ставящую в соответ- ствие каждому возможному значению х 6 X вероятность Р^(гг) = Р{£ = ж}, с которой £ принимает это значение. Распределение Р£(^г> Pj> • • • > zk) — Р{£1 — > ^2 — Pj> • • • > £>п — zk} случайной величины £ = (£i,£2> • • • >£п) со значениями в Rn (n > 1) еще называют совместным распределением случайных величин £1, £2, • • • , Распределение PQ ' Pdxi,yj'), (Xi,yj) € X С R2, случайной величины £ = (£, rf) со значениями в R2 удобно записывать в виде табл. 5.1.1.
5.1. Вычисление распределения функции ... 55 Таблица 5.1.1. Распределение £ = (£,т]) Значе- ние £ Значение ту У1 У2 Ут Х1 P<dx^yi) Р<(ХЪУ2) Рс(®1,Ут) Х2 Pdx2,yi) Р^Х2,У2) Р<(®2,Ут) Хп Pdxn,yi) P<dxn,y2) Р<(гГп, Ут) Распределение дискретной случайной величины £ = £(cv) со значениями в R1 часто записывают в виде таблицы, в верхней строке которой указывают различные возможные значения случайной величины, а в нижнем — вероятности, с которыми эти значения принимаются: Xi Xi X2 Xn P^(Xi) Pf(xl) PdX2) Pdx«) Пример 5.1.1. Пусть £ — число гербов, выпавших в результате подбрасывания двух симметричных монет. Найти распределение £. Решение. Случайная величина £ — функция £ = £(cv) на дискретном вероятностном пространстве {Q, Р}, где Q = {ГГ, ГР, РГ, РР}, а вероятность каж- дого элементарного события равна 1/4 (монеты симмет- ричны); £ принимает значения 0,1,2, причем Р{£ = 0} = = Р{ш : £(ц>) = 0} = Р(РР) = 1/4, PR = 1} = = Р(ГР, РГ) = РДР) + Р(РГ) = 1/4 + 1/4 = 1/2, PR = 2} = Р(ГГ) = 1/4. Следовательно, распределе- нием £ является Xi 0 1 2 Pdxi) 1/4 1/2 1/4
56 Глава 5. Дискретная случайная величина ... Вычисление распределения функции от случай- ной величины. По распределению случайной вели- чины £ всегда можно найти распределение любой функ- ции з(С) от Теорема. Пусть £ — случайная величина со зна- чениями в Rn на дискретном вероятностном простран- стве {Q, Р}, Р^: х Р^х) — ее распределение ид = д(х) — функция на Rn со значениями в Rz. Для произвольного множества В из Rz Р{д^ев}= £ ВД. (5.1.1) В частности, если Q д = д(х,у) и Р^х^у/) — распределение £ = (£,гу), то р{5«) е В} = Р{5(С, т?) е В} = %)• {xi.yjY.g^Xi.y^eB (5.1.2) П р и м е р 5.1.2. Дважды подбрасывают пару симмет- ричных монет, £ — число гербов при подбрасывании пары монет первый раз, г) — второй. Найти распределение случайной величины min{£,77}. Решение. Сначала найдем распределение Q = (£, ту). Случайная величина Q = £(cv) = (£(cv), ту(о;)) — функ- ция на дискретном вероятностном пространстве {Q,F}. Пространство элементарных событий Q образуют после- довательности “длиной четыре” из букв Г и Р; например, элементарное событие = (ГРГГ) означает, что при пер- вом подбрасывании пары монет на первой монете выпал герб, на второй — решетка, а при втором — на обоих моне- тах выпали гербы. Элементарные события равновероят- ны (монеты симметричны), вероятность каждого из них равна 1/16. Вычислив F^(z,j) для каждой пары (z,j), получим распределение £ = (£,ту):
5.1. Вычисление распределения функции ... 57 Значе- НИЯ £ Значения ту 0 1 2 0 1/16 1/8 1/16 1 1/8 1/4 1/8 2 1/16 1/8 1/16 Например, Рс(1,1) = РК = (1,1)} = Р{(6 7/) = (1,1)} = = Р{“ : (C(w), = (1,1)} = = Р{ГРГР, ГРРГ, РГГР, РГРГ} = = Р(ГРГР) + Р(ГРРГ) + Р(РГГР) + Р(РГРГ) = = 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 1/4. По распределению F^(z,j), z, j = 0,1,2, случайной ве- личины £ = (£, ту) всегда можно найти распределение лю- бой функции от нее (см. (5.1.2)), в частности, распреде- ление g(Q = g^r]) = min{£,77}. Для В = {fc},fc = 0,1,2, имеем: P{min{£, 77} = k} = P<G>»- Например, если k = 0 имеем P{min{£, т]} = 0} = p<(m) = (z,j):min(z,j)=0 = P<(0,0) + Pc(0,1) + P<(0,2) + pc(l, 0) + Pc(2,0) = = 1/16 + 1/8 + 1/16 + 1/8 + 1/16 = 7/16. Аналогично P{min{£,7/} = 1} = 1/2, P{min{£,7/} = 2} = 1/16. Следовательно, распределением случайной величины min{£, 77} является
58 Глава 5. Дискретная случайная величина ... Xi 0 1 2 Рз(С)(ж«) 7/16 1/2 1/16 Независимые случайные величины. Случайные величины £ и т) будем называть независимыми, если для всех возможных значений Xi, yj случайных величин £ и т) (5.1.3) (Распределение Р^, для которого имеет место равенство (5.1.3), называется произведением распределений и F^.) Другими словами, случайные величины £ и ту независи- мы, если их совместное распределение равно произведе- нию распределений £ и ту. Случайные величины £1, • • • > £п будем называть независимыми, если их совместное распределение равно произведению распределений £i, & > • • • > £п- Функции от независимых случайных величин явля- ются независимыми случайными величинами. Примечание. Интуитивно, случайные величины независимы, если информация о значении, принятом од- ной случайной величиной, не меняет прогноз появления значений, принимаемых другой. Пример 5.1.3. Пусть £i,£25---5£n — независимые случайные величины, каждая из которых имеет распре- деление \k P{£i = к} = —е~А, А > 0, к = 0,1,... (/ = 1,2,..., п). к\ Выписать совместное распределение случайных вели- чин £1,£2,---,£п- Решение. По распределениям Р^, Р&,..., Р$п неза- висимых случайных величин £1,^2 • • • Лп их совместное распределение F^(fci, &2, • • • 5 fcn) — Р{£1 — kl, ^2 — &2,•••,£п — кп}
5.2. Дискретные распределения на R1 59 получаем как произведение распределений этих случай- ных величин: п Р?(А:1Л2,...Лг1) = ПР^^) = г=1 -------------е ki — 0,1,...; &2 — 0,1,... j... j kn — 0,1,... 5.2 Дискретные распределения на R1 Испытания Бернулли. Биномиальное распре- деление, пуассоновское распределение. Последова- тельность независимых испытаний (экспериментов) с дву- мя исходами (“успех”, “неудача”) и вероятностью успеха, не меняющейся от испытания к испытанию, называется испытаниями Бернулли. Пространство Q исходов в п испытаниях Бернулли об- разуют последовательности = (1,0,1,...,1) длиной п, составленные из 1 и 0 (1 интерпретируем как успех, 0 — как неудачу). Вероятность исхода ш определяется ра- венством P(w) = р^(1 -р)п~^ (о <р < 1), где p(cv) — число единиц в последовательности cv, р — вероятность успеха в одном испытании. Пара {Q, Р} яв- ляется вероятностным пространством п испытаний Бер- нулли. Определение. Случайная величина £ имеет бино- миальное распределение с параметрами (п;р), если Pe(fc) = Ckpk(l - p)n~k, k = 0,1,..., n. (5.2.1) Далее Ckpk(l— p)n~k будем обозначать через Bn-p(k) (для k > п + 1 будем считать, что Bn;p(fc) = 0).
60 Глава 5. Дискретная случайная величина ... Число £ успехов в п испытаниях Бернулли с вероят- ностью успеха р в одном испытании имеет биномиальное распределение с параметрами (п;р) (см. (5.2.1)). Определение. Случайная величина £ имеет пуас- соновское распределение (распределение Пуассона) с па- раметром А (А > 0), если P^k) = k = 0,1,... (5.2.2) Во многочисленных задачах возникает необходимость вычислять Bn;p(fc), когда п и к большие (сотни и тысячи). При этом, как правило, пользуются теоремами Пуассона (когда п большое, а р малое) и Муавра—Лапласа. Теорема Пуассона. Если пр А (А > 0) при п оо, то для каждого фиксированного к, к = 0,1,2,... \k lim Вп.р(к) = —е~х. (5.2.3) П—ЬОО к\ Из теоремы Пуассона следует, что для больших п и малых р пуассоновское распределение является хорошей аппроксимацией биномиального распределения. В условиях теоремы Пуассона имеет место неравен- ство 2А min{2, А} (5.2.4) п (Ю. В. Прохоров). Теорема Муавр а—Л а п л а с а. Если npq оо при п оо, то для т, удовлетворяющих условию т — пр y/npq < С (С — произвольная, но фиксированная константа), Jim К 1 f т — пр 2 у y/npq (5.2.5)
5.2. Дискретные распределения на R1 61 Интегральная предельная теорема Муав- ра—Лапласа. Пусть т — число успехов в п испыта- ниях Бернулли с вероятностью успеха р в одном испы- тании. Для произвольных Xi < Х2 „ Г т — пр 1 1 Г ( t21 _ lim Р < xi < —, < Х2 > = ,— / exp < — — > at. n->oo ( y/npq ) v2tt J I 2 J Xi (5.2.6) Геометрическое распределение. Случайная вели- чина £ имеет геометрическое распределение с парамет- ром р (р > 0), если P^k) = (1 - р)кр, к = 0,1,... (5.2.7) Число испытаний до первого успеха в последователь- ности независимых испытаний с вероятностью успеха р в каждом имеет геометрическое распределение с парамет- ром р(р > 0). Отрицательное биномиальное распределение. Случайная величина £ имеет отрицательное биномиаль- ное распределение с параметрами (г;р), если - Р)*> fc = 0,1, • • • (5-2.8) Число неудач до r-го успеха в последовательности неза- висимых испытаний с вероятностью успеха р в каждом имеет отрицательное биномиальное распределение с па- раметрами (г;р). Заметим, что если г = 1, отрицательное биномиальное распределение совпадает с геометрическим. Гипергеометрическое распределение. Случайная величина £ имеет гипергеометрическое распределение с параметрами если /^п—т Р^т) = PN,M,n(m) = М"~М, (5.2.9) т = 0,1, 2,..., min{n, }; п < N — М. Пусть в урне находится N шаров, из них М — белые, остальные (N—M) — черные. Число белых шаров среди п
62 Глава 5. Дискретная случайная величина ... (n < N — М) наудачу выбранных из урны, имеет гипер- геометрическое распределение с параметрами (TV, М, п). Если N, М оо так, что M/N —> р (0 < р < 1), то Р№(т) С™р™(1 - р)—, m = 1, 2,..., п. Пример 5.2.1. Известно, что вероятность р рож- дения мальчика равна 0,515. Какова вероятность того, что мальчиков среди п = 10000 новорожденных будет меньше, чем девочек? Решение. Обозначим через £ количество мальчиков среди п = 10000 новорожденных, тогда девочек будет 10000 — Необходимо вычислить Р{£ < 10000 - О = FR < 5000}. п Количество £ мальчиков можно представить в виде ^2 Мй г=1 где щ принимает значение 1, если г-й новорожденный яв- ляется мальчиком и 0 — если девочкой. Случайные вели- чины pi, i = 1,2,..., п, — независимы, каждая с распре- делением P{Pi = 1} = р, P{pi = 0} = 1 - р = q. Далее воспользуемся интегральной теоремой Муавра— Лапласа. Поскольку в данном случае п большое (п = 10000), то можно считать, что of / £ - пр Р < Х1 < —----- < Х-2 I \/nPQ a?i И следовательно, Р{С < 5000} = е - 5150 ^10000 0,515 0,485 -150 ^10000 0,515 0,485
5.2. Дискретные распределения на R1 63 -3,0 „ f С - 5150 1 1 f Г i2l , = Р < ———— < —3,0 > = .— / ехр < — — > dt = 0,001 I 49,98 J J I 2 J —ОО (значение интеграла найдено по таблице нормального рас- пределения, см. табл. 22.1.1). Пример 5.2.2. Пусть £ и т) — независимые целочис- ленные случайные величины с распределениями Р{С = k} = рк, k = 0,1,...; Р{т) = 1} = qi, I = 0,1,... Найти распределение случайной величины С = £ + т)- Решение. Поскольку случайные величины £ и т] неза- висимы, то их совместным распределением является Р{&Т1) = = pkqh fc = 0,l,...;Z = 0,l,... Далее, согласно (5.1.2) имеем Р{С = т} = Р{£ + г) = т} = т = 52 Pkqi = ^Pk9m-k, т = О,!,... (к,1):к+1=т к=0 Распределение т fm = ^2 РкЧт-к = PoQm +Р19т-1 + • • • +Рт<10, т = 0, 1,. . . fc=0 называют сверткой распределений {рк} и {qi}. Так что распределение суммы независимых целочис- ленных случайных величин равно свертке распределений слагаемых.
64 Глава 5. Дискретная случайная величина ... 5.3 Задачи АЗ: 5.3°, 5.8(1в), 5.8(2е), 5.8(36), 5.13,5.29,5.30. СЗ: 5.1°, 5.4°, 5.8(16), 5.8(2з), 5.14,5.18,5.29,5.31. 5.1 °. Пусть £ — число очков, выпавших при подбра- сывании симметричной игральной кости. Найти распре- деление случайной величины т) = sin 5.2 °. Пусть £ — число очков, выпавших при подбра- сывании игральной кости, изготовленной так, что веро- ятность выпадения грани пропорциональна числу очков на ней. Найти распределение случайной величины т) = = sign (cos 5.3 °. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных ша- ра, переложили два шара в урну, в которой содержится 1 белый и 2 черных шара. Затем из второй урны извле- кают 2 шара. Пусть £ — число белых шаров среди них. Найти распределение %. 5.4 °. Пусть £i, £2, • • •, — независимые случайные ве- личины, каждая из которых имеет геометрическое рас- пределение с параметром р : Pfe = k} = = (1 - р)кр, k = 0,1,2,...; I = 1,2, ...,n. Найти совместное распределение случайных величин €2, • • • Дп- 5.5 °. Пусть £1, £2, • • • ? — независимые случайные ве- личины, каждая из которых имеет биномиальное распре- деление с параметрами (т,р) : P{^l = k} = С^рк(1 - p)m~k, k = 0,1,..., m; I = 1,2, ...,n. Найти совместное распределение случайных величин €2, • • • Дп- 5.6 *. Пусть j = 1,2,..., n, — независимые случайные величины, для которых Р{^ > 0} = р, P{£j < 0} = q, Ptfj = 0} = /, p+q+f = 1,
5.3. Задачи 65 j = 1,2,..., n; s — количество случайных величин среди j = 1,2,..., п, отличных от нуля, а ц — число поло- жительных среди j = 1,2,..., п. Найти совместное распределение случайных величин /UL И S. 5.7 . Стохастический эксперимент состоит в подбрасы- вании пары симметричных игральных костей. Построить вероятностное пространство {Q, Р} этого стохастическо- го эксперимента. Пусть £ = (£, rf) — случайная величина на {Q, Р} со значениями в R2, где £ — число очков на пер- вой игральной кости, т] — на второй. Найти совместное распределение случайных величин £ и т) (распределение векторной случайной величины £ = (£,??)). Доказать, что случайные величины £ и т] — независимы. 5.8 . Подбрасывают пару симметричных игральных ко- стей и рассматривают случайную величину £ = (£, ту), где £ — число очков на первой игральной кости, ту — на вто- рой. 1. Найти распределения: а) шах{£,ту}; б) тт{^,ту}; в) С + Т]. 2. Вычислить: а) Р{£ < 2, тах{£,?7} > 4}; б) Р{тах{£,7/} > 4}; в) > 3}; г) Р{4 < £ + т] < 6}; д) Р{£ < 1,тах{£,7/} > 3}; е) Р{тах{^г)} < 4}; ё) F{min{£,7y} < 1,тах{^,ту} > 5}; ж) Р{тах{£,т]} > 3}; з) Р{£ > 2,тах{£,ту} > 3}. 3. Найти совместное распределение случайных вели- чин: а) £ и £ + ту; являются ли случайные величины £ и £ + т] независимыми? б) £ и шах{£,ту}; являются ли случайные величины £ и шах{£, г)} независимыми? в) £ и шш{^,ту}; являются ли случайные величины £ и min{£, г)} независимыми?
66 Глава 5. Дискретная случайная величина ... 5.9. Подбрасывают пару симметричных монет и сим- метричную игральную кость. Предложить математическую модель (вероятностное пространство {Q, F}) этого стохастического эксперимен- та. Пусть £ = (£,т?) — случайная величина на {Q,F} со значениями в R2, где £ — число гербов, выпавших на паре монет, г) — число очков на грани игральной кости. Найти распределения случайных величин, перечис- ленных в задаче 5.8, вычислить вероятности, ответить на вопросы. 5.10. Совместное распределение случайных величин £ и г) задано таблицей 5.3.2. Найти распределения случайных величин, перечис- ленных в задаче 5.8, вычислить вероятности, ответить на вопросы. Таблица 5.3.2. Совместное распределение £ и т] Значе- НИЯ £ Значения ту 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1/16 1/32 0 1/32 1/32 1/32 1/32 1/32 2 1/32 1/16 1/32 0 1/32 1/32 1/32 1/32 3 1/32 1/32 1/16 1/32 0 1/32 1/32 1/32 4 1/32 1/32 1/32 1/16 1/32 0 1/32 1/32 5.11. Пусть £ и г) — независимые случайные величины с распределениями Р{£ = %k} = ak, Р{п = xk} = bk, fc = 1,2,..., п. Вычислить Р{£ = Г)}. 5.12. Пусть £ и г) — независимые случайные величины с распределениями F{£ = г} = l/(n + 1), Р{г] = г} = 1/(п+ 1), i = 0,1,... , п.
5.3. Задачи 67 Найти распределение случайной величины £ = £ + т). 5.13. Пусть £ и г] — независимые случайные величи- ны, имеющие распределение Пуассона соответственно с параметрами А и р. Найти распределение случайной величины £ = £ + т). 5.14. Пусть £ и г) — независимые случайные величи- ны, имеющие распределение Пуассона соответственно с параметрами А и р. Доказать, что условным распределением случайной величины £ при условии £ + т) = п является биномиальное распределение с параметрами (n, А/(А + р)), т. е. (\ \ k / \ \ п~к л “Г р / \ л “Г р / к = 0,1,..., п. 5.15. Пусть £ и г] — независимые геометрически рас- пределенные с параметром р случайные величины: F{£ = к} = р(1 — р)\ Р{г) = к} = р(1 — р)\ к = 0,1,... Найти совместное распределение случайной величи- ны £ и шах{£,р}; распределение случайной величины шах{£, г)}. 5.16. Подбрасывают две игральные кости. Пусть £ — случайная величина, равная нулю, если на первой кости выпадет число очков меньшее чем 3, и единице — в про- тивном случае; р — случайная величина, равная числу очков на второй игральной кости. Найти распределение случайной величины £ = £ + р. 5.17. Подбрасывают симметричные монеты: одна до- стоинством 25 коп. и две достоинством 50 коп.; — число гербов, выпавших на монете достоинством 25 коп., а £2 — на двух монетах достоинством 50 коп. Найти распределе- ние случайной величины р = (^1,^2)- 5.18* . Доказать, что если каждая из независимых слу- чайных величин и ^2 имеет геометрическое распределе- ние, то и случайная величина р = min{£i,£2} имеет гео- метрическое распределение. Найти параметр этого рас- пределения, если параметры распределений случайных величин £1 и & равны соответственно pi и р2.
68 Глава 5. Дискретная случайная величина ... 5.19° . Симметричную игральную кость подбрасыва- ют 5 раз. Найти вероятность того, что: 1) дважды по- явится число очков, кратное трем; 2) больше двух раз появится число очков, кратное трем. 5.20° . Пару симметричных игральных костей подбра- сывают 6 раз. Вычислить вероятность того, что на обоих костях трижды выпадет одинаковое число очков. 5.21° . Симметричную игральную кость подбрасыва- ют 6 раз. Вычислить вероятность того, что трижды вы- падет четное число очков. 5.22. При техническом контроле изделий, каждое из них, независимо от остальных, может с вероятностью р оказаться дефектным. 1. Какова вероятность того, что из 10 проверенных изделий только одно окажется дефектным? 2. Найти вероятность того, что первым дефектным изделием окажется fc-e проверенное изделий. 3. Найти вероятность того, что последующие 10 изде- лий окажутся стандартными, при условии, что предыду- щие I изделий были стандартными. Зависит ли эта веро- ятность от Z? 5.23° . Трижды подбрасывают монету, вероятность по- явления герба которой составляет 1/3; £ — число выпав- ших гербов. Найти распределение случайной величины 5.24. Найти вероятность выпадения хотя бы: а) одной шестерки при подбрасывании 6 игральных костей; б) двух шестерок при подбрасывании 12 игральных костей; в) трех шестерок при подбрасывании 18 игральных костей. 5.25° . Симметричную монету подбрасывают 10 раз. Найти распределение случайной величины £ — числа вы- павших гербов. 5.26° . Симметричную игральную кость подбрасыва- ют 10 раз. Найти распределение случайной величины £ — числа выпавших троек. 5.27° . Пару симметричных монет подбрасывают три- жды, £ — число тех подбрасываний, при которых на обе- их монетах выпал герб. Найти распределение случайной величины %.
5.3. Задачи 69 5.28. Что вероятнее, выиграть у игрока, равного по силе (игра ведется без ничьих): 1) 4 партии из 8 или 3 из 5? 2) 3 партии из 6 или 2 из 4? 3) 3 партии из 4 или 5 из 8? 4) не менее чем 3 партии из 4 или не менее чем 5 из 8? 5) не более чем п партий из 2п или более чем п партий из 2п? 6) не более чем п партий из 2п + 1 или более чем п партий из 2п? 5.29. Найти распределение суммы т) = ^1+^2 + - • • + Сг независимых случайных величин, каждая из которых име- ет геометрическое распределение с параметром р. 5.30. Вероятность того, что в справочное бюро в те- чение часа обратится к человек, равна ^е“Л, к = 0,1,..., к\ (А > 0). Для каждого из них вероятность отказа равна р. Найти вероятность того, что в течение часа s человек не получат ответ на свой вопрос. 5.31. Предположим, что некоторое насекомое с веро- ятностью откладывает к (к = 0,1,...) яиц. Веро- ятность появления насекомого из яйца равна р. Предпо- лагая взаимную независимость появления насекомых из яиц, найти вероятность того, что потомство насекомого будет составлять i особей. 5.32. В экспериментах на встречных электронно-по- зитронных пучках вероятность того, что за единицу вре- мени произойдет j столкновений, сопровождающихся рож- дением новых элементарных частиц, составляет А7 х Pj = -?e Л, J = о, 1,..., з' А — положительный параметр. При каждом столкнове- нии в результате взаимодействия могут образоваться раз- личные группы элементарных частиц, вероятность появ- ления каждой группы постоянная и не зависит от резуль- татов взаимодействий при других столкновениях. В ка- честве одной из таких групп рассмотрим пару ^-мезонов
70 Глава 5. Дискретная случайная величина ... и обозначим через р вероятность их появления при одном столкновении. Найти распределение случайной величины — количества пар рожденных ^-мезонов. 5.33. Автоматическую телефонную станцию А на 500 абонентов необходимо соединить с телефонной станци- ей В. Известно, что количество требований связи абонен- тов телефонной станции имеет распределение Пуассона. Если параметр пуассоновского распределения: а) А = = 5; б) А = 8; в) А = 10, то каким должно быть минималь- ное число линий связи станции А со станцией В, чтобы вероятность отказа не превышала 0,01 (0,02; 0,05)? 5.34. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два раз- ных входа. Возле каждого из них имеется гардероб. Ко- личество мест в гардеробах одинаковое. Какое минимальное количество мест должно быть в гардеробах, чтобы в среднем в 9 случаях из 10 все зри- тели могли раздеться в гардеробе того входа, через ко- торый они вошли? Рассмотрите два случая: а) зрители приходят парами; б) зрители приходят по одному. Пред- положите, что входы зрители выбирают с одинаковыми вероятностями. 5.35. Пусть £ — дискретная случайная величина с распределением Xi Xi X2 Xn P^(xi) Pl P2 Pn Для каждого х 6 (—оо,оо) вычислить Р{£ < х}. По- строить график функции F(rr) = Р{£ < ж}, х 6 (—оо, оо). Какие значения принимает F(x)? Исследовать функцию F(x) на монотонность и непрерывность. 5.36* . Доказать, что случайная величина £ имеет гео- метрическое распределение тогда и только тогда, когда для каждого n, п = 1,2,..., выполняется равенство Р{£ = п + m/£ >п} = Р{£ = т}, т = 0,1,... (свойство отсутствия последействия геометрического рас- пределения) .
5.3. Задачи 71 5.37. Два игрока подбрасывают по очереди монету. Выигрывает тот, у кого впервые выпадет герб. Найти ве- роятность pk того, что игра закончится на к-м подбра- сывании. Во сколько раз больше вероятность выигрыша для игрока, который начинает первым? 5.38. Двое одинаково метких стрелков по очереди стре- ляют в мишень. Каждый должен сделать не более двух выстрелов. Тот, кто первым попадет в мишень, получает приз. 1. Если вероятность попадания р = 1/5, то что веро- ятнее: получат стрелки приз или нет? 2. Чему равно отношение вероятности получить приз первым стрелком к вероятности получить приз вторым, если вероятность попадания составляет р = 1/3 и коли- чество выстрелов не ограничено? 5.39. Для экспериментальной проверки свойства устой- чивости частоты в разное время были проведены следу- ющие опыты. 1° Монету подбросили 4040 раз, при этом герб выпал 2043 раз (Бюффон). 2° Монету подбросили 12 000 раз, при этом частота выпадения герба составила 0,5016; в другом эксперименте при подбрасывании монеты 24 000 раз частота выпадения герба составила 0,5005 (К. Пирсон). Для каждого из экспериментов: а) найти вероятность того, что в случае повторения эксперимента отклонение частоты от 1/2 по абсолютной величине не превышает отклонение частоты от 1/2 в экс- периментах, проведенных Бюффоном и Пирсоном; б) считая, что событие, вероятность появления кото- рого составляет 0,9999, практически достоверное, найти такое минимальное е, что событие “частота по абсолют- ной величине отклоняется от 1/2 меньше чем на е” явля- ется практически достоверным событием. 5.40. Грани симметричной игральной кости зануме- рованы двумя единицами, двумя двойками и двумя трой- ками. В квадратном уравнении £х2 + рх + £ = 0 £, ту, £ определяются как результаты трех последователь- ных независимых подбрасываний кости. Найти вероят-
72 Глава 5. Дискретная случайная величина ... ность того, что уравнение: 1) имеет действительные кор- ни; 2) имеет рациональные корни; 3) не имеет действи- тельных корней. 5.41. По распределению Р<; (xk,yi) -> P<yck,yi) случайной величины £ = (£, т?) со значениями в R2 найти распределение £. 5.42. Привести пример дискретного вероятностного пространства {Q,F} и случайных величин £ = £(си), г) = 7?(cv) на нем, таких, что распределения и слу- чайных величин £ и т) совпадают, но £ ± т) в каждой точке cu G Q. 5.43. Пусть £ — пуассоновская случайная величина с параметром А. Для каждого х вычислить Р{£ < х}. Построить график функции F(x) = р{£ < х}. 5.44. Симметричную монету подбрасывают 10 раз. Как известно, вероятность того, что герб выпадет 4 раза, равна £?10;1/2(4) = C^W0. А чему равна вероятность того, что при последователь- ном подбрасывании монеты для появления 4-х гербов необ- ходимо сделать 10 подбрасываний?
Глава 6 Математическое ожидание дискретной случайной величины 6.1 Определения, свойства, вычисления Случайная величина описывается своим распределе- нием Pfai) = Р{£ = Xi}, задающим значения, принимаемые случайной величиной, и вероятности, с которыми эти значения принимаются. Информацию о распределении случайной величины мы получаем из эксперимента (независимых наблюдений слу- чайной величины). Но зачастую получить распределе- ние случайной величины непосредственно из эксперимен- та не удается. Поэтому возникает необходимость описы- вать распределение случайной величины характеристи- ками, которые, возможно, и не всегда полностью описы- вают распределение, но дают достаточно хорошее пред- ставление о нем и которые можно оценить по экспери- ментальным данным. Такими характеристиками, в част- ности, является математическое ожидание и дисперсия случайной величины. (Некоторые распределения мате- матическим ожиданием и дисперсией описываются пол- ностью.) 73
74 Глава 6. Математическое ожидание Определение. Математическим ожиданием случайной величины £ = £(си), заданной на дискретном вероятностном пространстве {Q, F}, будем называть сум- му ряда cuGQ если он абсолютно сходится. Свойства математического ожидания. 1. Математическое ожидание константы равно этой же константе: Мс = с (с — константа). 2. Математическое ожидание суммы случайных вели- чин равно сумме математических ожиданий этих случай- ных величин: м(е + т?) = м + мг). 3. Константа выносится из под знака математическо- го ожидания: Ма£ = аМ{. 4. Математическое ожидание произведения независи- мых случайных величин равно произведению их матема- тических ожиданий: М£г/ = М^Мг). Вычисление математического ожидания случа- йной величины по ее распределению. По распреде- лению случайной величины всегда можно вычислить ма- тематическое ожидание функции от нее (если только оно существует). Теорема 6.1.1 Пусть £ = £(си) — случайная величи- на со значениями в R1; Р? : Xi P{(xi) — ее распределе- ние; g — функция на R1 со значениями в R1. Если ряд ^9{хг)р^хг) сходится абсолютно, то Xi Mg(£) = ^g^P^xi), (6.1.1) Xi
6.1. Определения, свойства, вычисления 75 в частности, если ряд ^XiPfai) сходится абсолютно, Xi то = (6.1.2) Xi Теорема о вычислении математического ожидания функции от случайной величины по ее распределению имеет место и для случайных величин со значениями вГ. Если ряд ^2 g(xi,X2,...,Xn)P^X1,X2,...,Xn) Х1,Х2,...,ХП сходится абсолютно, то = ^2 g(.Xl,X2,...,Xn)P^X1,X2,...,Xn), (6.1.3) xi,a?2 где : (#1, х^,..., хп) —> P^(xi,X2,..., хп) — распределе- ние случайной величины £ = (£i,£2, ... , £п)- Примечание. Часто математическое ожидание (сред- нее) случайной величины определяют равенством (6.1.2). На равенство (6.1.2) можно смотреть как на опреде- ление среднего вероятностного распределения. Пример 6.1.1. Пусть £ — число выпавших очков при подбрасывании игральной кости. Кость изготовлена так, что распределением случайной величины £ являет- ся Xi 1 2 3 4 5 6 P^^Xi) 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/2 Вычислить математическое ожидание £. Решение. Согласно (6.1.2) м«=1й+2-п)+ +54+Ч=4'5-
76 Глава 6. Математическое ожидание s 6 6..... 6 6 Пример 6.1.2. Случайная величина £ имеет распре- деление Пуассона с параметром А. Вычислить М-±- Решение. По известному распределению случай- ной величины £ всегда можно вычислить математическое ожидание Мд(£) функции д(£) от £, если только оно су- ществует, (см. (6.1.1)). В нашей задаче g(t) = 1/(1 + t), а случайная величина £ имеет пуассоновское распределе- ние с параметром А: \k Pc(k) = —е-А, к = 0,1,... fc! Поэтому 1 °° 1 °° 1 \к Afc+1 е-А 1-е-А Л ^(1 + fe)! А } Л • Дисперсия случайной величины. Дисперсией случайной величины £ будем называть М(£ — М£)2 (если М(£ — М£)2 < оо), т. е. Щ - М£)2.
6.1. Определения, свойства, вычисления 77 Непосредственно из определения получаем = М? - (6.1.4) Приведенные далее свойства дисперсии непосредствен- но следуют из ее определения. 1. Дисперсия константы равна нулю: De = 0 (с — константа). 2. Константа выносится из-под знака дисперсии с квад- ратом: Da£ = а2Щ. 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(£ + rj) = D^ + Dr). Пример 6.1.3. Вычислить математическое ожида- ние и дисперсию биномиально распределенной с парамет- рами (п;р) случайной величины Решение. Распределением £ является Р{£ = k} = P^k) = Скрк(\ - р)п~к, к = 0,1,..., п. Согласно (6.1.2) = кР^к) = ЬСкр\1 - р)п~к = к=0 к=0 Обозначив к — 1 = s, последнюю сумму перепишем так: п—1 Z 1 \ .
78 Глава 6. Математическое ожидание = пр(р + (1 - р))" 1 = пр. Следовательно, М£ = пр. Аналогично п Mf? = k2Ckpk(l - p)n~k = пр(пр - р + 1). к=0 Отсюда D£ = М£2 — (MQ2 = пр(пр — р + 1) — (пр)2 = пр(1 — р). Пример 6.1.4. Подбрасывают две симметричные иг- ральные кости. Вычислить математическое ожидание и дисперсию суммы выпавших очков. Решение. Пусть £ — число очков, выпавших на пер- вой игральной кости, р — на второй, тогда £ = £ + р — сумма очков, выпавших на костях. Кости симметричны, поэтому распределением каждой из случайных величин £ и р является Xi 1 2 3 4 5 6 P(Xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Отсюда = М(е + р) = Me + Мр = 7/2 + 7/2 = 7, = м? - (м$)2 = = 12-| + 22-| + ---+б2-| - (Т)2 = 35/12- о о о А поскольку £ и р — независимые случайные величины, то DC = D(e + р) = DC + Dr] = 35/12 + 35/12 = 35/6.
6.1. Определения, свойства, вычисления 79 Заметим, что непосредственное вычисление матема- тического ожидания и дисперсии суммы очков было бы громоздким. Определение. Ковариацией случайных величин £ и г) будем называть cov(£, 77) = М(£ — — Мр). Определение. Коэффициентом корреляции случай- ных величин £ и т) будем называть м(е- мр) Если случайные величины £ и т] таковы, что г(£, ту) = О, то они называются некоррелированными. Теорема 6.1.2 (неравенство Чебышёва). Если < 00, mo для произвольного г > О Р{|£ - М$\ > £} < Из неравенства Чебышёва, в частности, следует, что если дисперсия мала, большие отклонения (больше чем ё) случайной величины от своего среднего встреча- ются изредка. Теорема 6.1.3 (закон больших чисел). Пусть — независимые одинаково распределенные слу- чайные величины со средним М& = а и конечными дис- персиями < 00, i = 1,2,... Тогда для произвольного е>0 при п 00.
80 Глава 6. Математическое ожидание 6.2 Задачи АЗ: 6.1°(1),6.2,6.4° ,6.5,6.16,6.18,6.21, 6.27*, 6.31*,6.32; СЗ: 6.3°,6.6°,6.13°,6.15,6.17,6.20, 6.24°,6.30,6.33. 6.1°. Подбрасывают симметричную монету и правиль- ную игральную кость, £ — число выпавших при этом гер- бов, г] — очков. Вычислить: 1) М cos ^-77; 2) Ме^ sin ^77. 7 £ +1 6 ' 7 6 ' 6.2 . В урне содержится 2 белых и 8 черных шаров. Из урны наудачу извлекают три шара. Найти распределение случайной величины £ — числа выбранных белых шаров; вычислить М£ и D£. 6.3 °. Пусть £ и 77 — независимые случайные величины соответственно с распределениями 6.4°. Дважды подбрасывают симметричную монету, £ — число выпавших при этом гербов. Вычислить M(-l)?sin^£. О 6.5 . Случайная величина £ принимает целые неотри- цательные значения. Доказать, что оо ж = Е m=l 6.6 °. Пусть £ и 77 — независимые случайные величины соответственно с распределениями
6.2. Задачи 81 Вычислить GO • 6.7 °. Случайная величина £ имеет распределение Xi —2 -1 1 2 (Xi ) 1/4 1/4 1/4 1/4 Найти математические ожидания случайных вели- чин г): l)i? = sin^; 2)7/ = £2|с|; 3)i? = ^sin^. S 6 6.8 °. Случайная величина £ имеет распределение Xi —2 -1 1 Р^(Жг) 1/2 1/4 1/4 Вычислить М£22“?. 6.9 °. Случайная величина £ имеет распределение Xi -1 1 2 P^{xi) 1/4 1/4 1/2 Вычислить: l)Af£2sin^£; 2) cos2-^-£. О 1 Z
82 Глава 6. Математическое ожидание 6.10. Случайная величина £ имеет распределение 2) математическое ожидание и дисперсию т). 6.11°. Случайная величина £ имеет распределение Xi —2 -1 1 2 1/6 1/6 1/2 1/6 Вычислить М£ sin2 J_ 6.12 °. Случайная величина £ имеет распределение Xi —2 -1 2 P^(Xi) 1/2 1/4 1/4 Вычислить: 1) М2|?| cos2 6.13°. Пусть £ и г) — независимые случайные величи- 6.14°. Пусть £ и г) — независимые случайные величи- ны соответственно с распределениями
6.2. Задачи 83 6.15. Пусть случайная величина £ принимает значе- ния —п, —(п — 1),..., —1,0,1,...,п-1,пс вероятностями 1/(2п+1). Вычислить: 1)М£; 2)М|£|. 6.16. Случайная величина £ имеет распределение Пуас- сона с параметром А. Вычислить: D£. 6.17. Пусть и г) — независимые случайные величи- ны, каждая из которых имеет распределение Пуассона с параметром А. Вычислить: 1)М—; 2)М^; 3)W 4)Г>(е + т?). 1 + Г] 6.18. Случайная величина £ имеет геометрическое рас- пределение с параметром р. Вычислить: D£. 6.19. Симметричную игральную кость подбрасывают до первого появления шестерки. 1. Сколько раз в среднем необходимо подбросить кость? 2. Какова вероятность того, что будет выполнено не более двух подбрасываний? 6.20. Случайная величина £ имеет геометрическое рас- пределение с параметром р. Вычислить: 1) W, |ж| < 1; 2)Meit?. 6.21. Случайная величина £ имеет распределение Пуас- сона с параметром А. Вычислить: 1)Мж5, |ж| < 1; 2)Meitc. 6.22° . Вычислить математическое ожидание и дис- персию случайной величины £ — числа появлений собы- тия в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события равна 0,7.
84 Глава 6. Математическое ожидание 6.23° . Трижды подбрасывают монету, вероятность вы- падения герба которой составляет 1/3. Пусть £ — число выпавших при этом гербов. Найти распределение случайной величины %. Вычис- лить и D£. 6.24° . Симметричную монету подбрасывают 10 раз. Найти распределение случайной величины £ — числа вы- павших гербов. Вычислить и D£. 6.25° . Вычислить математическое ожидание и дис- персию случайной величины £ из задачи 5.26. 6.26° . Вычислить математическое ожидание и дис- персию случайной величины £ из задачи 5.27. 6.27* . Рассматривается последовательность независи- мых испытаний с вероятностью успеха р (0 < р < 1)в одном испытании. Пусть £ — случайная величина, рав- ная числу неудач до r-го успеха. Случайная величина £ имеет отрицательное биномиальное распределение с па- раметрами (г,р): PR = k} = С^_1РГ(1 - p)fc, к = 0,1,... Доказать, что 1 — п 1 — п М£ = г----= р р2 6.28.1 Для случайной величины £ = (£,р) из задачи 5.8 вычислить 1) Мтах{£, ту}; 2) Msin(7rmax{£,p}/6); 3) Mmin{£, р}. 6.29. По совместному распределению случайных ве- личин £ и р из задачи 5.10 вычислить: 1) М min{£,p}; 2) Mcos(7rmax{£,p} 3) М шах{^,ту — £}; 4) Msin(7rmin{p, р — £}/4). хДля решения задач 6.28 — 6.31 следует воспользоваться фор- мулой (6.1.3).
6.2. Задачи 85 6.30. Случайный вектор р = (/zi, ^2,..., /zr) имеет распределение Р{(М1, М2,..., Mfc,..., Mr) = (о, 0,..., 0,1,0,..., 0)} = Рк, у последовательности (0,0,..., 0,1,0,..., 0) на fc-м месте находится единица, на остальных — нули, к = 1,2,..., г. Вычислить М ехр{г(£, р)} = Mexp{z(^i^i + + • • • + 6.31* . Пусть £1,£2,---,£п — независимые одинаково распределенные случайные величины со значениями в R1; г R1 = \Jxj,Xsp\Xl = ^,s^l, J=i P{Ck € Xj} =pj,j = 1,2,..., r; v = (z^i, ^2,..., *4) — случайный вектор, j-я компонен- та Vj которого равна количеству случайных величин с £1, £2, • • • , которые попали в JQ, j = 1,2,..., г. Вычислить М ехр{г(£, z/)} = Mexp{z(£iz/i + £2^2 + • • • + ti 6 Я1, i = 1,2,..., г. 6.32. У большого числа к людей исследуют кровь. Исследование можно организовать двумя способами. Способ 1. Кровь каждого человека исследуют от- дельно. В этом случае необходимо выполнить к анализов. Способ 2. Кровь к людей смешивают и анализируют полученную смесь. Если результат анализа отрицатель- ный (диагноз не подтверждается), то этого одного анали- за достаточно для к людей. Если результат положитель- ный, то кровь каждого человека анализируют отдельно и в целом на к человек необходимо выполнить к + 1 ана- лизов. Предположим, что вероятность р положительного результата анализа одна и та же для всех людей и что результаты анализов независимы. 1. Найти вероятность того, что анализ смешанной кро- ви к людей положительный.
86 Глава 6. Математическое ожидание 2. Вычислить математическое ожидание числа анали- зов £, необходимых во втором способе обследования. 6.33. В урне содержится 2 белых, 3 черных, 5 красных шаров. Из урны наудачу берут три шара. Найти распре- деления случайных величин: £ — числа выбранных белых шаров, г) — черных, £ — красных. Вычислить математи- ческое ожидание и дисперсию каждой из случайных ве- личин. 6.34. Пусть £ — неотрицательная целочисленная слу- чайная величина с распределением P{£ = k}=pk, fc = 0,l,... Функцию F(£), определенную равенством оо P(f) = Mt* = Y,tkPk, |i| < 1, fc=0 будем называть производящей функцией случайной ве- личины £ (распределения {р&})- Вычислить производящую функцию случайной вели- чины £, имеющей: 1° пуассоновское распределение; 2° гео- метрическое распределение; 3° биномиальное распреде- ление. 6.35. Доказать, что различные дискретные вероят- ностные распределения имеют разные производящие фун- кции (теорема единственности). 6.36. Доказать, что производящая функция суммы независимых случайных величин равна произведению про- изводящих функций слагаемых (мультипликативное свой- ство производящих функций). 6.37. Доказать, что сумма независимых пуассонов- ских случайных величин £ и ту с параметрами и О2 соответственно является пуассоновской случайной вели- чиной с параметром 01 + 62- 6.38. Доказать, что сумма независимых биномиаль- но распределенных случайных величин £ и р соответ- ственно с параметрами (п; 0) и (т; 0) является биноми- ально распределенной случайной величиной с парамет- рами (n + т; 0).
6.2. Задачи 87 6.39. Пусть Q = {0,1,2,..P(cj) = арш. ш = 0,1,..., р — произвольное фиксированное число из (0; 1). При ка- ких значениях параметра а функция P(cv) = арш, 6 Q, задает вероятность на подмножествах Q ? Пусть £ = £(cv) — случайная величина на {Q,P}, за- данная равенством £ = £(си) = 2~ш. Вычислить М£2. 6.40. Пусть Q = {0,1,2,...}, P(cv) = w Е Q. При каких значениях а пара {Q, Р} является вероятностным пространством? Пусть £ = £(cv) — случайная величина на {Q,P}, за- данная равенством £ = £(си) = 2Ш. Вычислить D£. 6.41. Пусть Q = {0,1,...}, Р(о>) = G Q, А — произвольное фиксированное положительное число. При каких значениях а пара {Q, Р} является вероятност- ным пространством? Пусть £ = £(cv) — случайная величина на {Q,P}, за- данная равенством £ = £(cv) = 2Ш. Вычислить D£. 6.42. Доказать неравенство Чебышёва (теорема 6.1.2). 6.43. Доказать закон больших чисел (теорема 6.1.3). 6.44. Пусть Р^(^г, yj) — распределение случайного век- тора £ = (£,??). Вычислить М£. 6.45. Подбрасывают три симметричные игральные ко- сти. У первой три грани занумерованы единицей, три гра- ни — двойкой, у второй три грани занумерованы тройкой, три — четверкой, а у третьей кости три грани занумеро- ваны пятеркой, три — шестеркой. Найти математическое ожидание, дисперсию и распределение суммы выпавших очков. 6.46. Подбрасывают три симметричные игральные ко- сти. Грани первой кости занумерованы числами от еди- ницы до шести. У второй кости две грани занумерованы единицей, две — двойкой, две — тройкой. А у третьей ко- сти три грани занумерованы единицей, три — двойкой. Найти математическое ожидание, дисперсию суммы вы- павших очков. 6.47. Пусть £i,£2, • • •,— случайные величины, с ко- нечными дисперсиями, Sn = + £2 + • • • + £п- Доказать,
88 Глава 6. Математическое ожидание что п DSn = ^D^k + 2^ COV k=l i<j а если случайные величины £i, £2,•••, £п попарно незави- симы, то п DSn = ^D£k. k=l 6.48. Пусть Ci и С2 — независимые случайные вели- чины с одинаковыми распределениями и С — С1 + С2? г) = С1 — С2- Доказать, что случайные величины £ и т) некоррелированы, т. е. г(£,ту) = 0. 6.49. Пусть С и г) — соответственно сумма и разность очков, выпавших при подбрасывании двух игральных ко- стей. Доказать, что 1) случайные величины £ и т] некор- релированы; 2) С и г) не являются независимыми. 6.50. Пусть случайная величина С принимает значе- ния — 1, +1, —2, +2 каждое с вероятностью 1/4, а ту = £2. Найти совместное распределение £ и т). Доказать, что: 1) случайные величины £ и т] некоррелированы; 2) С и ту — не являются независимыми случайными величинами. 6.51. Вычислить математическое ожидание случай- ной величины £ из задачи 5.3.
Глава 7 Аксиоматика теории вероятностей 7.1 Алгебры, сг-алгебры Операции над множествами. Далее мы будем иметь дело с множеством (пространством) Q элементов и его подмножествами Q (подмножества Q будем обо- значать прописными латинскими буквами Л, В, С,...). Множество полностью задается своими элементами. Если является элементом множества А, то это будем записывать так: 6 А (и будем читать: “си принадлежит А”); если си не является элементом множества А, то это будем записывать так: А (и будем читать: “си не при- надлежит А”). Множество, не содержащее ни одного элемента, будем называть пустым и будем обозначать символом 0. Если каждый элемент множества А является элемен- том множества В, будем это обозначать так: А С В (и бу- дем читать: “А — подмножество В”). Если каждый элемент множества А является элемен- том множества В (А С В) и каждый элемент множества В является элементом множества А (В С А) (другими словами, совокупность элементов множеств А и В одна и та же), то множества А и В будем отождествлять и будем это обозначать так: А = В. Для того чтобы установить равенство А = В, достаточно проверить, что А С В и 89
90 Глава 7. Аксиоматика теории вероятностей В С А, т. е. каждый элемент ш множества А является элементом множества В, и каждый элемент ш множест- ва В является элементом множества А. Из элементов множеств А и В можно строить новые множества. Множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А или В, будем называть объединением множеств А и В и будем обозначать A U В. Множество, состоящее из элементов, принадлежащих как множеству А, так и В, будем называть пересечением множеств А и В и будем обозначать А П В. Множество, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих В, будем называть разностью множеств А и В и будем обозначать А \ В. Множество, состоящее из элементов Q, не принадле- жащих множеству А, будем называть дополнением мно- жества А и будем обозначать А. Будем говорить, что множества А и В не пересекают- ся (непересекающиеся), если А П В = 0. Пример 7.1.1. Пусть {Ап} — последовательность непересекающихся множеств (A* Q А;- = 0, г 7^ J) и оо Вп = I^J Ai, п = 1,2,... i=n оо Доказать, что П Вп — 0. П = 1 оо Решение. Предположим, что Q Вп 0, и пусть П = 1 оо оо 6 П Вп. Тогда w Е Bi = U Ai и, следовательно, п=1 г=1 принадлежит хотя бы одному из множеств А*,г = = 1,2,..., а поскольку Ai r\Aj = (b,i^ j, то только одно- му множеству, обозначим его через Апо. Поэтому оо U Аг = ^п0+1- г=по+1
7.1. Алгебры, а-алгебры 91 ОО А последнее противоречит предположению w Е Q Вп. П = 1 Алгебра множеств. Непустой класс 21 подмножеств пространства Q будем называть алгеброй множеств, если: 1° вместе с любым множеством А 6 21 его дополнение А принадлежит 21; 2° вместе с любыми двумя множествами А, В 6 21 их объединение A U В принадлежит 21. Определение. Пусть Я — некоторый класс под- множеств Q. Наименьшей алгеброй, содержащей класс Й (алгеброй, порожденной классом Я), будем называть ал- гебру 21 (Я), которая: 1° содержит класс Я, т. е. ЙС 21 (Я); 2° содержится в любой другой алгебре 21, содержащей класс Я, т. е. 21(Я) С 21. а-Алгебра множеств. Непустой класс 5 подмно- жеств пространства Q будем называть а-алгеброй мно- жеств, если: 1° вместе с каждым множеством А 6 5 его дополнение А принадлежит 2° вместе с любой счетной последовательностью мно- оо жеств Ai 6 $, i = 1,2,..., их объединение |J Д принад- г=1 лежит 5- Множества из сг-алгебры 5 еще называют событиями. Определение. Пусть Я — некоторый класс подмно- жеств Q. Наименьшей а-алгеброй, содержащей класс Я (а-алгеброй, порожденной классом Я), будем называть а- алгебру а(Я), которая: 1° содержит класс Я, т. е. Я С а(Я\, 2° содержится в любой сг-алгебре содержащей класс Я, т. е. сг(А) С Пример 7.1.2. Пусть Я1 и Я2 — два класса подмно- жеств Q, причем С Я2. Доказать, что а(Я1) С а(Я2). Р ешение. По определению Я2 С а(Я2), а по условию Й1 С Я2, поэтому С сг(^2)« И поскольку сг(^1) — наи- меньшая сг-алгебра, порожденная классом Я1, а а(Я2) —
92 Глава 7. Аксиоматика теории вероятностей одна из сг-алгебр, содержащих класс Я1, то сг(Я1) С сг(Я2). Борелевские множества на R1. а-Алгеброй боре- левских множеств на R1 будем называть а-алгебру 23 \ порожденную классом R промежутков вида [а, Ь). Мно- жества из а-алгебры 231 будем называть борелевскими множествами на R1. Пример 7.1.3. Доказать, что борелевским множе- ством на R1 является: 1. Множество {а} для каждого а 6 R1. 2. Счетное множество на числовой прямой. 3. Интервал 4. Открытое множество на числовой прямой. 5. Замкнутое множество на числовой прямой. Решение. Заметим, что сг-алгебра множеств замкну- та относительно операции пересечения в счетном числе, поскольку оо оо А А* = U г=1 г=1 ОО 1. Очевидно, {а} = Q [а, а + 1/п). А поскольку каж- П = 1 дый из промежутков [а, а + 1/п) принадлежит 231, а 231 замкнута относительно операции пересечения в счетном числе, то {а} = Q [а, а + 1/n) € 251. п=1 2. Счетное множество А можно представить в виде оо U {а^}, где {аг} 6 231 для всех i = 1,2,... (см. пункт 1), г=1 поэтому А 6 23г. 3. Поскольку (а, Ь) = [а, Ь) П {а}, [а, Ь) 6 231, {а} 6 231 и 231 замкнута относительно операции пересечения, то (а,Ь) 6 231.
7.2. Аксиомы Колмогорова 93 4. Каждое открытое множество О на R1 можно пред- ставить в виде объединения конечного или счетного мно- жества открытых непересекающихся интервалов: О = — U(a*> М- Открытые интервалы (a*, принадлежат 23 \ г поэтому О = bi) е 231. г 5. Замкнутое множество принадлежит 231 как допол- нение открытого. Пример иллюстрирует тот факт, что класс борелев- ских множеств достаточно “широкий”. В книге мы будем иметь дело только с борелевскими множествами. Борелевские множества на R2. су-Алгеброй боре- левских множеств на R2 будем называть а-алгебру 232, порожденную классом Я прямоугольников вида [ai, bi) х х[а2,Ь2). Борелевские множества на Rn. а-Алгеброй боре- левских множеств на Rn будем называть а-алгебру *ВП, порожденную классом Я параллелепипедов вида [ai, bi) х x[tt2,&2) х ... х \an,bn). Борелевские множества в метрическом прост- ранстве. а-Алгеброй борелевских множеств в метри- ческом пространстве (Х,р) будем называть сг-алгебру 23 (X), порожденную классом открытых в (Х,р) подмно- жеств. 7.2 Аксиомы Колмогорова Пусть Q — пространство элементарных событий и 5 — а-алгебра подмножеств Q. Вероятность. Вероятностью, заданной на сг-алгеб- ре 5 подмножеств пространства Q, будем называть неот- рицательную счетноаддитивную нормированную функ- цию. Другими словами, вероятность Р — это функция мно- жества, заданная на сг-алгебре 5 подмножеств Q, такая, что: 1° для каждого А 6 5 Р(А) > 0;
94 Глава 7. Аксиоматика теории вероятностей 2° для произвольных Ai G i = 1,2,..., таких, что Ai П Aj = 0, г / j, (ОО \ оо UA =£р(А); г=1 / г=1 3° P(Q) = 1. В частности, если Q = R71, а 5 = 25п, то вероятность называют вероятностным распределением на Rn. Аксиомы 1°, 2°, 3° из определения вероятности обра- зуют систему аксиом теории вероятностей. В таком виде они были предложены А. Н. Колмогоровым. Аксиомы 1°, 2°, 3° вероятности являются аналогами свойств неотрицательности, аддитивности и нормирован- ное™ частоты, см. (3.1.1), (3.1.2), (3.1.3). Определение. Вероятностным пространством бу- дем называть тройку {Q,#, Р}, где Q — пространство элементарных событий, $ — сг-алгебра подмножеств про- странства Q, Р — вероятность на а-алгебре Вероятностное пространство {Q,#, Р} является мате- матической моделью стохастического эксперимента. При этом Q — пространство элементарных событий — матема- тическая модель множества исходов стохастического экс- перимента, 5 — сг-алгебра подмножеств пространства Q — математическая модель алгебры случайных событий, на- блюдаемых в эксперименте, Р — вероятность на 5 — математическая модель частоты событий в по- следовательности экспериментов. Свойства вероятности. Все перечисленные далее свойства являются следствиями аксиом 1°, 2°, 3° веро- ятности. 1. Вероятность невозможного события равна нулю: Р(0) = 0. 2. Вероятность любого события А 6 5 не превышает 1: Р(А)<1, 3. Если АсВ (А, В 6 5), то вероятность разности событий В и А равна разности вероятностей этих собы- тий: Р(В\А) = Р(В)-Р(А).
7.2. Аксиомы Колмогорова 95 4. Р(А) = 1 - Р(А). 5. Для произвольных А, В 6 5 Р(А U В) = Р(А) + Р(В) - Р(А П В) (7.2.1) (теорема сложения). Пример 7.2.1 Теорема сложения допускает следую- щее обобщение: Р(Ах U А2 U ... U Ап) = = Е P(AJ- 52 P(AilQAi2) + ... l<2i<n l<ii<i2<n + E Р(Л1ПЛ2П...ПЛп). (7.2.2) 1<г1<г2<...<гп<п Решение. Воспользуемся методом математической индукции. Для двух множеств равенство (7.2.2) справед- ливо (см. (7.2.1)). Предположим, что равенство (7.2.2) имеет место для п — 1 множеств, и докажем, что оно спра- ведливо для п множеств. Имеем: Р(АХ U А2 U ... U А„) = Р(АХ) + Р(А2 U А3 U ... U Ап)- —Р((АХ П А2) U (Ах П Аз) U... U (Ах П А„)) = Р(АХ)+ + £ р(аХ1)- е р(а1па2) + ... 2<ii<n 2<г1<г2<п ... + (-1)п"2 р(4пд2п...п4)- 2<г1<г2<..<гп<п —Р((АХ П А2) U (Ах П Аз) U ... U (Ах П Ап)). Для завершения доказательства, остается заметить, что Е Р(АЙ ПА2П...ПА4)+ 2<Zi<Z2<..<2fc<n + Е P((AxnAil)n(AxnAj2)n... 2<2i<Z2<..<2fc-l<n
96 Глава 7. Аксиоматика теории вероятностей ...n(AlnAik_1)) = р(4пд2п...пдд l<2i<Z2<...<2fc<n к = 2,3,..., п. Пример 7.2.2. Числа 1,2,... ,п расположены науда- чу. Найти вероятность того, что по меньшей мере од- но число совпадает с номером своего места. Найти пре- дельное значение этой вероятности при п оо. Решение. Элементарное событие стохастического эксперимента, состоящего в расположении наудачу п чи- сел на п местах, — упорядоченная последовательность этих чисел. Естественно считать, что все элементарные события равновероятны, поэтому стохастический экспе- римент описывается классической моделью. Заметим, что количество всех элементарных событий равно п\ Обозначим через Ajs событие, состоящее в том, что число is находится на месте с номером г$, тогда пере- сечение А^ A Ai2 А ... A Aik, к = 1,2,..., п, описывает событие “число находится на месте с номером zi, число г 2 — на месте с номером Z2, и т. д., число — на месте с номером (остальные п — к чисел на п — к местах упо- рядочены произвольно). Задача сводится к вычислению вероятности события А± U А2 U ... U Ап. Воспользуемся теоремой сложения (см. (7.2.2)): P(Ai U А2 U ... U Ап) = = £ P(AJ- £ Р(Л1рЛ2) + ... l<ii<n 1<г1<г2<п • + P(4n4n...n4). l<h<i2< •• <in<п Вычислим каждую сумму в правой части. Начнем с сум- мы ^2 -P(Ai)- Сначала вычислим P(A^). В событие l<ii<n А^ входят все последовательности длиной п, у которых
7.2. Аксиомы Колмогорова 97 на месте с номером ii находится число i±. Таких последо- вательностей, очевидно, (п — 1)! Согласно формуле клас- сической вероятности (п- 1)! _ 1 п! п' Поэтому Е Е Д1 Далее рассмотрим ^2 P(Aj Аг П... П ДД. l<2i<22<...<2fc<n Вычислим F(Ai A Ai2 А ... А Afc). В A Ai2 А ... A Aik входят последовательности длиной п, у которых на ме- сте с номером ii находится число zi, на месте с номером Z2 — число Z2, и т. д., на месте с номером z& — число а остальные п —к чисел на п — к оставшихся местах, упо- рядочены произвольно. Таких последовательностей, оче- видно, (п — к)\ По формуле классической вероятности Р(АХ пл2п...п АД = Поэтому Р(Д1ПД2П...ПЛД = l<2i<22<...<2fc<n (n — fc)! n! Количество одинаковых слагаемых в последней сумме рав- но числу способов выбрать к индексов zi, Z2,..., ik из про- межутка [1,п] так, чтобы 1 < zi < Z2 < ... < Zfc < п. Очевидно, это число равно С^. Так что, E z . . 4 \ 1 Р(ДХ П Д2 П ... П ДД = =
98 Глава 7. Аксиоматика теории вероятностей Таким образом, P(At иЛ2и...иЛ„) = 1-1 + | + ... + (-1)"-11. О! Г1Л Заметим, что при п —> оо последняя сумма сходится к 1 — 1/е. 7.3 Задачи АЗ: 7.1,7.12,7.13,7.14,7.15(1,2), 7.16(1), 7.19. СЗ: 7.2,7.9,7.10,7.15(3,4,5), 7.16(2), 7.20. 7.1° . Доказать, что: a) A U В = A U (В \ (А А В)), причем А П (В \ {А А В)) = 0; б) A A (UjBj) = иДА A Bj), причем, если Bj A Bj = 0, i / j, то (A A Bj) A (A A ВД = = 0Д Ф j- 7.2° . Последовательность подмножеств {Ап} плоскос- ти определена так: Ап = {(ж, у) : х2 + у2 < 1/п2}, п = 1,2,... Описать подмножества ОО оо А = (J А„, В = р| А„. П=1 П=1 7.3° . Доказать равенства: а) А \ В = А \ (А А В) = (A U В) \ В; б) А А (В \ С) = (А А В) \ (А А С); в) (А \ С) А (В \ С) = (А А В) \ С. 7.4° . Пусть Ап = ^277, , п = 1,2,... Описать мно- жества ОО оо А = (J Ап, В = р| А„. П=1 П=1
7.3. Задачи 99 7.5. 1° Пусть {Ап} — произвольная последователь- ность множеств. Доказать, что оо оо U Ап = U Вп, П = 1 П=1 п—1 где Bi = Ai, Вп = Ап \ IJ Ai, п = 1,2,..., причем мно- г=1 жества Вп попарно не пересекаются. 2° Пусть {АД — возрастающая последовательность множеств, т. е. А2 CZ A^+i, i — 1,2,... Доказать, что оо оо Ja = U(a\a-i), г=1 г=1 где Ао = 0, причем (А \ A-i) П(А \ A-О = i + з- 7.6. Пусть I — некоторое множество индексов. Дока- зать, что U Аа = П Аа; Q Аа = U Аа. aEl ocEl ocEl aEl 7.7° . Пусть 21 — алгебра множеств, А, В е 21. Дока- зать, что АП В 6 21 (алгебра замкнута относительно опе- рации пересечения). 7.8° . Пусть 21 — алгебра множеств. Доказать: а) если А^ е 21, k = 1,2,..., п, то Q А& е 21; к=1 б) если А^ 6 21, к = 1,2,..., п, то Q А& 6 21; к=1
100 Глава 7. Аксиоматика теории вероятностей в) Q е 21; 0 е 21. 7.9. Доказать, что: а) класс всех подмножеств множества Q является ал- геброй; б) для каждого класса Я подмножеств Q существует по меньшей мере одна алгебра, содержащая класс Й; в) пересечение любой совокупности алгебр является алгеброй. 7.10. Доказать, что для каждого класса Я существует наименьшая алгебра, содержащая класс Я. 7.11° . Пусть — а-алгебра множеств, Е п = оо = 1,2,... Доказать, что Q Ап 6 П = 1 7.12. Доказать, что: а) класс всех подмножеств множества Q является сг-алгеброй; б) для каждого класса Я подмножеств Q существует по меньшей мере одна сг-алгебра, содержащая класс Л; в) пересечение любой совокупности сг-алгебр является сг-алгеброй. 7.13. Доказать, что для каждого класса Я существует наименьшая сг-алгебра <т(Я), содержащая класс Я. 7.14. Пусть Я — класс открытых интервалов (а, Ь) на числовой прямой. Доказать, что наименьшая сг-алгебра <т(Я), содержащая класс Й, является сг-алгеброй борелев- ских множеств на R1. 7.15. Доказать, что сг-алгебры, порожденные каждым из перечисленных далее классов, являются сг-алгебрами борелевских множеств на R1: 1) = {[а, Ь]; а, Ь е R1}; 2) = {(-оо,ж];ж е R1}; 3) Я3 = {(-оо,ж);ж е R1}; 4) Я4 = {(ж,+оо);ж е R1}; 5) Й5 = {[ж,+оо);ж е R1}. 7.16. Доказать, что а-алгебра борелевских множеств порождается: 1) классом открытых множеств на числовой прямой, 2) классом замкнутых множеств на числовой прямой. 7.17. Пусть 21 — алгебра множеств на R1, элементами которой являются конечные объединения промежутков
7.3. Задачи 101 вида [а, &), где а,6 Е R1 (а и Ь могут быть равны —оо и +оо). Доказать, что алгебра 21 порождает сг-алгебру борелевских множеств на R1. 7.18. Пусть 5 — сг-алгебра множеств Q, В — произ- вольное, но фиксированное множество из Доказать, что класс множеств вида А П В, где А Е является сг-алгеброй. Примечание. Дополнение берется до множества В. 7.19. Пусть 231 — а-алгебра борелевских множеств на R1, В — произвольное, но фиксированное множество из 231. Пусть 23 # — класс множеств вида ВП А, где А 6 231. Доказать, что 23^ является сг-алгеброй. Примечание. Дополнение берется до множества В. 7.20. 231 — сг-алгебра борелевских множеств на R1. Пусть 23^) — класс множеств вида В П [а, Ь),В 6 23\ [а, Ь) — фиксированный промежуток. Доказать, что 23 является сг-алгеброй. Примечание. Дополнение берется до множества [а, Ь). 7.21. Пусть класс Я образуют множества Ai с Q, п i = 1,2,..., п, причем Ai Q Aj = 0, i ± j, и |J Ai = Q. г=1 Описать сг-алгебру, порожденную классом Я. 7.22. Пусть класс Я образуют множества Ai с Q, оо i = 1,2,..., причем Ai Q Aj = 0, i ± j, и |J Ai = Q. г=1 Описать алгебру, порожденную классом Я. Описать сг-алгебру, порожденную классом Я. 7.23* . Доказать, что в Rn борелевским множеством является: а) множество {а}, для каждой точки а Е Rn; б) счетное множество; в) открытое множество; 7.24. Доказать, что класс бесконечных интервалов Лг1,а2г--»Оп = = {(#1,^2, . . . , Хп) : Xi < ai, Х2 < «2, • • • < «п}, ai е R1, i = 1,2,... , п, порождает а-алгебру 23п.
102 Глава 7. Аксиоматика теории вероятностей 7.25. Доказать, что класс Я открытых множеств в Rn порождает а-алгебру борелевских множеств 25п. 7.26. Доказать, что класс Я замкнутых множеств в Rn порождает а-алгебру борелевских множеств 25п. 7.27. Пусть (X, р) — сепарабельное метрическое про- странство. Доказать, что: 1) одноточечное множество является борелевским; 2) счетное множество является борелевским; 3) замкнутое множество является борелевским. 7.28. Пусть (X, р) — сепарабельное метрическое про- странство, 5 — класс замкнутых множеств, 93 — класс множеств вида В(ж,г) = {у : р(х,у) < г}, 2П — класс множеств вида В(я,г) = {у : р(ж,?/) < г}. Доказать, что каждый из перечисленных классов по- рождает сг-алгебру борелевских множеств в метрическом пространстве (X, р). 7.29. Пусть {Ап} — последовательность подмножеств множества Q. Обозначим через limAn множество элемен- тов си, принадлежащих бесконечному числу множеств Ап; через limAn — множество элементов, принадлежащих всем множествам Ап, исключая, быть может, конечное их чис- ло. Доказать, что оо оо оо оо 1 ini А п = Am; limAn = Am. n=lm=n n=lm=n 7.30. Пусть {An} — монотонно убывающая последо- вательность подмножеств Q, т. е. для всех п имеет место включение An+i С Ап. Доказать, что оо limAn = limAn = Q Ап. п=1
Глава 8 Геометрические вероятности 8.1 Определения. Примеры Стохастический эксперимент состоит в бросании на- удачу точки в множество В из Rn (например, на отре- зок [а, 6], в прямоугольник [«i, &i] х [(12,62], параллелепи- пед [ai, bi] х [(12,62] х [(13,63] и т. д.). В качестве мате- матической модели этого стохастического эксперимента естественно рассматривать вероятностное пространство {В, 23^, В}, где В — борелевское1 множество из Rn, 93# — класс борелевских подмножеств В, Р — вероятность на классе определяемая для каждого А из 23 ра- венством р,Л; = л4? (811) L — мера Лебега на Rn (значение L на параллелепипедах п [ai, bi] х [в2,62] х • • •х [dn, Ьп\ равно П (fy—сц), в частности, г=1 L([ai,&i] х [612,62]) = (61 - ai) х (62-612), L([a, 6]) = b-a). Определенную таким образом вероятность будем назы- вать геометрической (разумеется, множество В должно удовлетворять условию 0 < L(B) < 00). 1 Относительно борелевских множеств см. гл. 7. 103
104 Глава 8. Геометрические вероятности Далее в слова “точку наудачу бросают в множест- во В” мы будем вкладывать вполне конкретное содержа- ние: брошенная точка может попасть в любое (борелев- ское) подмножество В' множества В, и вероятность того, что точка окажется в В', пропорциональна мере Лебе- га L(B') множества В'. Формально это обозначает, что в качестве математической модели стохастического экс- перимента, состоящего в бросании наудачу точки в мно- жество В, мы будем рассматривать {В, 23^, В}, где Р — геометрическая вероятность на 23^. Пример 8.1.1 На отрезок [0; 1] наудачу бросают па- ру точек. Вычислить вероятность того, что расстоя- ние между ними меньше 1/2. Решение. Точки будем считать различимыми (на- пример, они окрашены в разные цвета). Пусть х и у — координаты этих точек. Упорядоченной паре точек на отрезке [0; 1] с коорди- натами х и у соответствует одна точка в квадрате [0; 1] х [0; 1] с координатами (ж, у} и наоборот. Поэтому бросание наудачу пары точек на отрезок [0; 1] равносиль- но бросанию наудачу одной точки в квадрат [0; 1] х [0; 1]. При этом парам точек на отрезке [0; 1], для которых рас- стояние меньше 1/2 (т. е. \у — ж| < 1/2), соответствует множество точек (х,у) квадрата [0; 1] х [0; 1], координа- ты которых удовлетворяют соотношению \у — ж| < 1/2, и наоборот. Обозначим это множество точек квадрата че- рез А: А = {(ж, у) G [0; 1] х [0; 1] : |у - ж| < 1/2} = = {(ж, у) е [0,1] х [0,1] : х - 1/2 < у < х + 1/2} (см. рис. 8.1.1, множество А заштриховано). Вероятность того, что расстояние между брошенными наудачу на отрезок [0; 1] точками будет меньше 1/2, рав- на вероятности попадания брошенной наудачу в квадрат [0; 1] х [0; 1] точки в множество А. Математической моделью стохастического эксперимен- та, состоящего в бросании наудачу точки в квадрат [0; 1] х х [0; 1], является вероятностное пространство {В, 93^, В}, где В = [0; 1] х [0; 1], 93 — класс (сг-алгебра) борелевских
8.1. Определения. Примеры 105 подмножеств квадрата [0; 1] х [0; 1], Р — геометрическая вероятность (см. (8.1.1)) на 25#. Поэтому Р(Л] 3/1 3 И'А' ЦВ) 1 4' Рис. 8.1.1: К примеру 8.1.1 Пример 8.1.2. Стержень длиной 1 наудачу разла- мывают на три части. Вычислить вероятность того, что из образовавшихся при этом частей можно постро- ить треугольник. Решение. Стержень длиной 1 удобно интерпрети- ровать как отрезок [0; 1] на координатной прямой. Раз- ламывать отрезок [0; 1] на три части будем следующим образом: наудачу бросим на него две точки и разломаем отрезок в этих точках (точки будем считать различимы- ми, их координаты обозначим х, у). При этом образуются три отрезка: крайний левый (длиной min{a;,?/}), средний (длиной |ж —у|), крайний правый (длиной 1 — шах{ж, у}). Из этих отрезков можно построить треугольник, если дли- на каждого из них меньше суммы длин двух других: ' тш{ж, у} <\х-у\ + (1- тах{ж, ?/}); < |я — у\ < min{a;, у} + (1 — тах{ж, ?/}); k 1 — тах{ж, у} < тт{ж, у} + |я — у\. (8.1.2) Бросание двух точек на отрезок [0; 1] равносильно бро- санию одной точки в квадрат [0; 1] х [0; 1] (см. также при-
106 Глава 8. Геометрические вероятности мер 8.1.1). При этом парам точек на отрезке [0; 1], коорди- наты которых удовлетворяют неравенствам (8.1.2), соот- ветствуют точки (ж, у) квадрата [0; 1] х [0; 1], координаты которых удовлетворяют тем же неравенствам. Обозначим это множество точек квадрата через А. Его удобно пред- ставить в виде А = А П ({(ж, у) : х < у} U {(ж, у) : х > у}) = = (А А {(ж,у) : х < у}) U (АП {(ж,у) : х > у}) = = {(ж, у) : ж < 1/2, ж + 1/2 > у, у > 1/2} U U {(ж, у) : У < 1/2, ж - 1/2 < у, ж > 1/2} Так что вычисление вероятности построения треуголь- ника из частей отрезка сводится к вычислению вероятнос- ти попадания брошенной в квадрат [0; 1] х [0; 1] точки в множество А (см. рис. 8.1.2, множество А заштриховано). А поскольку точку бросают наудачу, то искомая вероят- ность вычисляется как геометрическая: РМ) = ,/1J = 1/1 = 1 ' ' Ь([0; 1] х [0; 1]) 1 4
8.1. Определения. Примеры 107 Пример8.1.3 (задача Бюффона). Плоскость разграф- лена параллельными прямыми, находящимися на рассто- янии 2а одна от одной. На плоскость наудачу 2 бросают иглу длиной 21 (21 < 2а). Найти вероятность того, что игла пересечет одну из прямых. Решение. Обозначим через х расстояние от середи- ны иглы до ближайшей прямой, через ср — угол меж- ду иглой и прямой (ср будем откладывать против часо- вой стрелки от направления иглы до направления прямой (рис. 8.1.3)). Рис. 8.1.3: Игла на разграфленной плоскости Тогда игла на плоскости, разграфленной параллель- ными прямыми, задает упорядоченную пару чисел (</>, х), ср Е [0,7г], х 6 [0, а]. Та же пара чисел (ср, х) задает на ко- ординатной плоскости ср, х точку с координатами (ср, х), принадлежащую прямоугольнику В = [0, тг] х [0, а] (см. рис. 8.1.4). И обратно: каждая точка из прямоугольни- ка В на плоскости ср, х задает пару чисел (ср, х), а вместе с ней и положение иглы относительно параллельных пря- 2 В задаче оборот “наудачу бросают иглу” обозначает следующее: 1° середина иглы (точка) равномерно распределена на отрезке дли- ной 2а, перпендикулярном параллельным прямым; 2° угол р, обра- зованный иглой с параллельными прямыми, распределен равномер- но на промежутке [0, тг]; 3° случайные величины х — расстояние от центра иглы до ближайшей прямой — и р являются независимыми.
108 Глава 8. Геометрические вероятности мых на плоскости. Поэтому бросание иглы на плоскость, разграфленную параллельными прямыми, и регистрация ее положения относительно прямых (см. рис. 8.1.3) равно- сильны бросанию наудачу точки в прямоугольник В = [0,7г] х [0, а] (см. рис. 8.1.4). При этом игла пересекает с прямую тогда и только тогда, когда выполняется нера- венство х < Isnup (см. рис. 8.1.3) или, что то же, когда брошенная в прямоугольник В = [0, тг] х [0, а] точка попа- дает в область А, ограниченную кривой х = I sin ср и осью Оср (см. рис. 8.1.4). А поскольку точку бросают наудачу, то вероятность р попадания точки в множество А (ве- роятность пересечения иглой прямой), вычисляется как геометрическая вероятность (см. (8.1.1)). Следовательно. 7Г 1 /, • , 2/ р = — / Ismipdsp = —. атг J ал о Интересно, что полученное соотношение можно ис- пользовать для экспериментального определения числа тг. Рис. 8.1.4: К задаче Бюффона Представим, что игла брошена на плоскость п раз (п — большое), при этом игла m раз пересекла прямую. Если построенная модель адекватно описывает экспери- мент, то при больших п частота m/п числа пересечений
8.2. Задачи 109 иглой прямой должна быть близка к вероятности р, т. е. Й « 1п- Отсюда 21 п 7Г ~-------- а т 8.2 Задачи АЗ: 8.1°(1,2,3,10), 8.2°(1,2,3), 8.4(1,7, И, 14), 8.12°, 8.18,8.20,8.29,8.31. СЗ: 8.3°(3,6,8), 8.4(2,10,15), 8.11°, 8.16,8.17°, 8.19, 8.25,8.28,8.30. 8.1 °. В квадрат [0; 1] х [0; 1] наудачу бросают точку. Вы- числить вероятность того, что ее координаты (ж, р) свя- заны соотношениями: 1) ху < 1/2; 6) х2 + у2 < 1/4; 2) min{e-rc, y/у} > е-1/2; 7) х + у < 1/3; 3) min{p — х2, х — у2} >0; 8) у + 1/2 < 1/гг; 4) шах{р — е-гс, у — 3/4} >0; 9) у < х2/2\ 5) р > -х2 + 1/9; 10) |р - > 2/3. 8.2 °. В квадрат [0; 1] х [0; 1] наудачу бросают точку. Обо- значим ее координаты через (а;,р). Найти вероятности следующих событий: 1) площадь прямоугольника со сторонами х и у боль- ше 1/2; 2) расстояние от брошенной точки до начала коорди- нат меньше 1/4; 3) расстояние от брошенной точки до точки (1,1) боль- ше 1; 4) расстояние от брошенной точки до точки (0,1) мень- ше 1. 8.3 °. На отрезок [0;1] наудачу бросают пару точек. Пусть х — координата одной точки, у — другой. Найти вероятности следующих событий:
110 Глава 8. Геометрические вероятности 1) шах{ж, у} < 1/2; 2) шах{ж, у} > 1/3; 3) шш{ж, у} < 1/4; 4) шш{ж, у} > 1/2; 5) ж + -у/1 - у2 < 1; б) у + \/2ж — х2 < 1; 7) ж + \Jy-y1 > 1; 8) шах{ж2,?/} < а, 0 < a < 1; 9) шах{ж, у2} > а, 0 < a < 1; Ю) уех < 1;_____ 11) ?/ + х/1 — — 1 >0; 12) у + \/х — х2 < 1. 13) х2 — у2 — х + у > 0. 14) (з/ - а7)(з/ - 1/2) > 0. 8.4. На отрезок [—2; 2] наудачу бросают пару точек. Пусть х — координата одной точки, у — другой. Найти вероятности следующих событий: 1) х + \х\ = у + \у\; 8) (у - 2х)(у + 2д?) > 0; 2) х — |ж| = у - |у|; 3) [у] = [ж]; 4) [у] = -И; 5) [у] = [ж - 1]; б) {у} < {ж}; 9) (|ж| + |у| - 1)(|ж| + |у| — 2) < 0; 10) |ж-1| + |у-1| < 1; 11) (у - ж)(у + х - 2) > 0; 12) ([у] - [ж])({у} - {ж}) > 0; 13) (ж - sign ж)2 + (у - sign у)2 < 1; 7) Н + \у\ < 1; 14) - signal + \у - signу\ < 1; 15) (\х - 1| + \у - 1| - 1)(|я - 1| + \у - 1| - 2) < 0; 16) ((ж — signa;)2 + (у — sign?/)2 — 1)(|я — signя| + + \у - sign 2/| - 1) < 0; (Здесь [а] — целая часть числа а, {а} = a — [а] — дробная часть числа а.) 8.5° . На паркетный пол бросают монету радиуса г. Паркет имеет форму прямоугольников со сторонами a и Ь (а < Ь, 2г < а). Найти вероятность того, что монета пересечет мень- шую сторону какого-нибудь прямоугольника, если извест- но, что она пересекла одну из сторон. 8.6. На отрезке длиной I наудачу выбраны две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними не превосходит kl (0 < к < 1)? 8.7. Два судна должны подойти к одному причалу. Моменты прихода суден к причалу — независимые слу- чайные события, равновозможные на протяжении суток. Найти вероятность того, что одно из суден будет вынуж- дено ждать освобождения причала, если время стоянки первого судна (судна номер 1) — 1 час, а второго — 2 часа.
8.2. Задачи 111 8.8° . На паркетный пол наудачу бросают монету диа- метра d. Паркет имеет форму квадратов со стороной a (a > d). Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одну из сторон квадратов паркета. 8.9. В круг радиуса R наудачу бросают точку. Найти вероятность того, что точка окажется внутри правильно- го n-угольника, вписанного в круг. 8.10. На окружности единичного радиуса с центром в начале координат наудачу выбирают точку. Найти веро- ятность того, что: а) проекция точки на ось Ох находится от центра окружности на расстоянии, не превышающем г (г < 1); б) расстояние от выбранной точки до точки с ко- ординатами (1; 0) не превышает г. 8.11° . В круг радиуса R наудачу бросают точку. Най- ти вероятность того, что расстояние от этой точки до цен- тра круга: 1) не превышает г; 2) больше г. 8.12° . В круг радиуса R с центром в точке О наудачу независимо одна от другой бросают N точек. Вычислить вероятность того, что: 1) расстояние от центра круга до самой удаленной точки не превышает г (г < /?); 2) расстояние от центра круга до ближайшей точки превышает г (г < Я); 3) все точки попадут в круг радиуса г (г < R) с цен- тром в точке О; 4) ни одна точка не попадет в круг радиуса г (г < R) с центром в точке О; 5) все точки попадут в круг радиуса г (г < /?), содер- жащийся в данном круге; 6) ни одна точка не попадет в круг радиуса г (г < /?), содержащийся в данном круге; 7) все точки попадут в квадрат со стороной а, содер- жащийся в данном круге; 8) ни одна точка не попадет в квадрат со стороной а, содержащийся в данном круге. 8. 13. На отрезок АВ длиной а наудачу независимо одна от другой бросают пять точек. Найти вероятность того, что две точки окажутся на расстоянии, меньшем Ь (Ь < о) от точки А, а три — на расстоянии, большем Ь. 8.1 4. Из наблюдений (с телескопом и спектрометром) можно заключить, что ряд химических элементов, най-
112 Глава 8. Геометрические вероятности денных в земной коре, представлен также и на Солнце. Это заключение основано на физическом законе, откры- том Густавом Кирхгофом, согласно которому пары эле- ментов поглощают в точности те же лучи света, кото- рые они излучают (при высокой температуре химические элементы превращаются в светящиеся пары). Пользуясь призмой, можно обнаружить в излучении Солнца (в сол- нечном спектре) некоторую последовательность парал- лельных линий (фраунгоферовы линии). Мы можем об- наружить последовательность параллельных спектраль- ных линий также в излучении других элементов, в част- ности, железа. (В качестве модели фраунгоферовых ли- ний (и спектральных линий излучения химических эле- ментов) будем рассматривать последовательность парал- лельных линий на плоскости.) В наблюдениях Г. Кирхгофа 60 спектральных линий излучения железа совпали3 с фраунгоферовыми лини- ями излучения Солнца. Оцените вероятность того, что эти совпадения случайны, если на шкале, использован- ной Г. Кирхгофом, линии на расстоянии меньшем 0,5 мм уже неразличимы, а среднее расстояние между соседни- ми солнечными фраунгоферовыми линиями равно 2 мм. 8.1 5. На отрезок [0; 1] наудачу бросают три точки, — их координаты. 1. Вычислить вероятность того, что из отрезков дли- ной £, ту, £ можно построить треугольник. 2. Вычислить вероятность того, что £ + ?? + £ <3/2. 3. Вычислить вероятность того, что max{£,7y,£} < £, 0 < t < 1. 8.1 6. Два лица, решив встретиться в течение часа, до- говорились, что каждый независимо от другого приходит на место встречи в наудачу выбранный момент указанно- го часа. 1. Если лица договорились, что каждый ожидает в те- чение времени t (t < 1), после чего уходит с места встре- чи, то какова вероятность того, что встреча состоится? 3Заметим, что никакое физическое наблюдение не является аб- солютно точным. Поэтому две линии, которые мы считаем совпада- ющими, в действительности могут быть различными, но в пределах точности наших наблюдений мы не можем их различить.
8.2. Задачи 113 2. Какова вероятность того, что данное лицо придет на место встречи: а) раньше другого; б) раньше другого на время, не меньшее чем q (g < 1)? 8.17°. В сферу радиуса /?, с центром в точке О на- удачу независимо одну от другой бросили N точек. Вы- числить вероятность того, что: 1) расстояние от центра до самой удаленной точки не превышает г (г < /?); 2) расстояние от центра до ближайшей точки превы- шает г (г < /?); 3) все точки попадут в сферу радиуса г (г < R) с центром в точке О; 4) ни одна точка не попадет в сферу радиуса г (г < R) с центром в точке О; 5) все точки попадут в сферу радиуса г (г < /?), со- держащуюся в данной сфере; 6) ни одна точка не попадет в сферу радиуса г (г < /?), содержащуюся в данной сфере; 7) все точки попадут в куб со стороной а, содержа- щийся в данной сфере; 8) ни одна точка не попадет в прямоугольный парал- лелепипед со сторонами щЬ, с, содержащийся в данной сфере. 8.19. На отрезке [—1; 1] наудачу выбирают две точки. Пусть р и q — координаты этих точек. Найти вероятность того, что квадратное уравнение х2 +рх + q = 0: 1) имеет действительные корни; 2) не имеет действительных кор- ней. 8.20. На отрезок наудачу одну за одной бросают три точки. Какова вероятность того, что третья по счету точ- ка попадет между двумя первыми? 8.21° . В круг вписан квадрат. Точку наудачу броса- ют в круг. Найти вероятность того, что она попадет в квадрат. 8.22* . Пусть х = (^1,^2) — координаты точки, науда- чу брошенной в квадрат [0; 1] х [0; 1]. При каких значени- ях Г СОбыТИЯ Аг = {|Ж1 — #2| > г} И Вг = {#1 + Х2 < Зг} независимы?
114 Глава 8. Геометрические вероятности 8.23. Пусть х = (®i, ж2) — координаты точки, наудачу брошенной в квадрат [0; 1] х [0; 1], Ai = {(Ж1,т2) : < 1/2}, Л2 = {(Ж1,ж2) : х2 < 1/2}, Аз = {(a?i,a?2) : (a?i - 1/2)(ж2 - 1/2) < 0}. Доказать, что любые два из событий Ai, А2, A3 независи- мы, но все три не являются независимыми. 8.24. Плоскость разбита сеткой прямых: 1) на квад- раты со стороной 1; 2) на правильные треугольники со стороной 1. На плоскость наудачу бросают монету диаметра 1. Какова вероятность того, что монета накроет одну из вер- шин сетки? 8.25. На отрезке [0; 1] наудачу последовательно выби- рают три числа. Какова вероятность того, что: 1) число, выбранное последним, наибольшее; 2) числа выбраны в порядке возрастания? 8.26. Отрезок разделили на три равные части. Какова вероятность того, что три точки, наудачу брошенные на отрезок, попадут в три разные части? 8.27* . Монету, радиус которой г и высота Л, науда- чу бросают на горизонтальную плоскость. Найти вероят- ность того, что монета станет на ребро. 8.28. На отрезок [0; 1], разделенный на три равные ча- сти, наудачу бросают три точки. Вычислить вероятности следующих событий: 1) все три точки попадут на одну часть; 2) занятыми окажутся не менее двух частей; 3) на среднюю часть не попадет ни одна точка; 4) на крайние части не попадет ни одна точка. 8.29. На окружности наудачу выбирают три точки. Какова вероятность того, что треугольник с вершинами в этих точках остроугольный? 8.30. На окружности наудачу выбраны три точки. Вычислить вероятность того, что в треугольнике с вер- шинами в этих точках: 1) имеется угол меньший 30°; 2) все углы больше 30°; 3) имеется угол 90°.
8.2. Задачи 115 8.314 . На окружности наудачу выбраны точки А, В, С, D. Вычислить вероятность того, что отрезки АС и BD пересекаются. 8.32* . На плоской горизонтально размещенной фоль- ге находится точечный источник радиоактивного излу- чения, посылающий лучи равномерно во всех направле- ниях пространства. Если параллельно фольге на единич- ном расстоянии от нее поставить экран, то на нем можно наблюдать точечные вспышки, вызванные радиоактив- ным излучением. Найти вероятность того, что очередная вспышка будет наблюдаться на экране внутри круга ра- диуса В, центр которого находится над источником излу- чения. 8.33* . Шарикоподшипник можно собрать, если ради- ус R внешнего кольца, радиус г внутреннего кольца и диаметр d шарика удовлетворяют условиям О < R — г — d< 5. Предположим, что R,r,d — независимые и равномер- но распределенные соответственно на отрезках [50,0; 51,0] [40,0; 41,0], [9,5; 10,0] случайные величины. Найти вероятность того, что шарикоподшипник будет собран, если <5 = 0,5. 8.34. Прямая разбита точками с шагом d. Пусть для определенности nd, п = ..., —2, — 1,0,1,2,..., — коорди- наты точек деления. На прямую наудачу бросают отрезок случайной длины £, где £ — координата наудачу выбран- ной на отрезке [0, d] точки. Вычислить вероятность того, что отрезок “накроет” одну из точек деления. 8.35° . В единичный квадрат наудачу бросают точку. Какова вероятность того, что точка будет находиться от центра квадрата на расстоянии, меньшем 1/3, если из- вестно, что от каждой из сторон квадрата она удалена более чем на 1/6? 8.36° . На плоскости проведены параллельные пря- мые, расстояние между которыми составляет 2a. На плос- кость наудачу бросают монету радиуса г (г < а). Какова 4 4 Васильев Н. Б. Геометрические вероятности // Квант. — 1991. - N1. - С.47 - 53.
116 Глава 8. Геометрические вероятности вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых? 8.37° . На отрезок длиной L наудачу бросают точку. Вычислить вероятность того, что она упадет не далее, чем на I (Z < L/2) от середины отрезка. 8.38° . Случайная точка А равномерно распределена в квадрате со стороной 1. Найти вероятности таких со- бытий: а) расстояние от точки А до фиксированной стороны квадрата не превышает х; б) расстояние от точки А до ближайшей стороны квад- рата не превышает х; в) расстояние от точки А до центра квадрата не пре- вышает х; г) расстояние от точки А до фиксированной вершины квадрата не превышает х. 8.39° . Случайная точка А равномерно распределена в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найти вероятности таких событий: а) расстояние от точки А до ближайшей стороны пря- моугольника не превышает х; б) расстояние от точки А до обоих диагоналей прямо- угольника не превышает х. 8.40° . Случайная точка А равномерно распределена в квадрате со стороной а. Найти вероятность того, что расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата меньше расстояния от А до ближайшей диагонали квад- рата. 8.41° . Случайная точка X равномерно распределена в квадрате А = {(ж,?/) : |хг| < а, \у\ < а}. Найти вероят- ность того, что квадрат с центром в точке X и сторонами длиной Ь, параллельными осям координат, полностью со- держится в квадрате А,
Глава 9 Распределение случайной величины 9.1 Функция и плотность распределения Случайная величина — функция исхода стохастиче- ского эксперимента (см. гл. 5) может принимать значе- ния не только из конечного или счетного множества, ее значения могут “заполнять” промежутки. Например, вре- мя безотказной работы прибора, результат измерения, ... Формально случайную величину определяют следующим образом. Определение. Пусть — вероятностное пространство. Случайной величиной будем называть функ- цию £ = £(cv) на Q со значениями в R1, такую, что для каждого х 6 R1 {о; : £(о>) < ж} € Свойства случайных величин. Если £ и т) — слу- чайные величины, то случайными величинами являются С + *7, С - *7, £*7, (последняя при условии, что т] 0). Функция от случайной величины является случайной величиной. Подробнее, если £ — случайная величина, д — 117
118 Глава 9. Распределение случайной величины борелевская1 функция на R1 со значениями в R1, то д(£) — случайная величина. Если £i, > £п • • • — случайные величины, то слу- чайными величинами являются sup£n, inf£n, lim£n, ljm£n, n n в частности, предел lim£n (если он существует) является случайной величиной. Функция распределения случайной величины. Дискретная случайная величина £ описывается своим рас- пределением Р$ : Xi -> Р^(Жг) = Р{£ = Xi}. В общей ситуации случайная величина £ описывается так называемой функцией распределения, по которой всегда можно вычислить вероятность попадания £ в любой за- данный промежуток [а, Ь). Определение. Функцию F^x) = P{w : £(а>) < ж}, х е R1, называют функцией распределения случайной величины £. Свойства функции распределения F^(x) случайной ве- личины £. 1.0<^(ж)<1. 2. F^(x) — неубывающая: если х\ < х^, то Р$(^1) < 3. F^(x) непрерывна слева. 4. lim Fc(x) = 0, lim Fc(x) = 1. 5. Для произвольных а и b (а <Ъ) P{^e[a,b}} = F^b}-F^a}. 1 Функция g : R1 —> R1 борелевская, если для произвольного бо- релевского множества В его прообраз <?-1(В) — борелевское мно- жество. Непрерывные функции являются борелевскими, но класс борелевских функций значительно шире.
9.1. Функция и плотность распределения 119 6. Для произвольного Хо Р{£ = ®o} = F^xo + 0) - Р€(т0 - 0). Функцию Р5(В) = Р{ш : СМ € В}, Be S31, определенную на классе 231 борелевских множеств пря- мой, будем называть распределением случайной величи- ны Плотность распределения случайной величины. Если функцию распределения F(x) случайной величи- ны £ можно представить в виде F(x) = / p(t)dt^ х е R1, (9.1.1) то говорят, что случайная величина £ имеет абсолют- но непрерывное распределение {абсолютно непрерывна), а функцию р(х) называют плотностью распределения случайной величины %. По плотности распределения р(х) случайной величи- ны £ всегда можно вычислить Р{£ 6 [а, Ь)}: ь Р{С 6 [а, 0} = [p(x)dx. (9.1.2) Непосредственно из равенства (9.1.1) следует, что поч- ти для всех х = Р(ж), ах плотность распределения р(х) случайной величины неот- рицательна и +оо / p(x)dx = 1.
120 Глава 9. Распределение случайной величины Вычисление распределения ff(C) по плотности распределения £. Пусть £ — абсолютно непрерывная случайная величина со значениями в R1 и р(х) — ее плот- ность распределения, д(х) — борелевская функция на R1 со значениями в R1. Тогда Р{д(() ев}= J p(x)dx, (9.1.3) х:д(х)еВ в частности р{5«) < 0 = У p(x)dx, (9.1.4) x:g(x)<t Р{С € В} = У p(x)dx. (9.1.5) в 9.2 Функция и плотность распределения случайного вектора Определение. Пусть £i,£2, • • • — случайные ве- личины на вероятностном пространстве Функ- цию £ = £(cj) = (£i(o>),••• ,£пМ) будем называть случайным вектором, или случайной величиной со зна- чениями в Rn. Если £1, £2, • • •, — случайные величины, то {<Л> :£i(w) < a?i,$2(w) < ж2,...,^п(ш) < хп} € $ (для произвольных Х2, ..., хп). Определение. Функцию F(x1,x2,...,xn) = = Р{ш : £i(w) < ®i,<2(w) < х2,. ..,СпМ < хп},
9.2. Функция и плотность распределения... 121 определенную на Rn, будем называть функцией распреде- ления случайного вектора £ = (£1, £2, • • • 5 £п)- Определение. Функцию : В РС(В) = Р{ш : <(cv) е В} = = Р{ш : «1 (ил), е2(см),... е в}, в е определенную на классе борелевских множеств про- странства Rn, будем называть распределением случайно- го вектора < = (£1, £2, •, Сп)« Определение. Если функцию распределения F(xi,х2, ...,хп) случайного вектора Q = (£1, £2, • • • , £п) можно пред- ставить в виде F(x1,x2,...,xn) = Xi Х2 Хп —00 —00 —00 р(^1? ^2? • • • ч tn)dtndtn_i .. dti. (9.2.1) то будем говорить, что вектор С = (^1,^2, • • • ,Сп) имеет абсолютно непрерывное распределение (вектор абсолют- но непрерывный), а функцию p(xi,x2,... ,хп) называют его плотностью распределения, или совместной плотно- стью распределения случайных величин £1,^2, • • • ч£>п- Плотность распределения p(a?i, х2,..., хп) случайного вектора £ = (£1, £2, • • •, £п) неотрицательна и +оо +оо +оо —00 —00 —00 Р(11ч ^2ч • • • ч tn)dtndtn—i .. dti = 1. Вычисление распределения <?(£) по плотности распределения £. Пусть С = (£1, £2, • • • 5 £п) — абсолют- но непрерывная случайная величина (вектор) со значе- ниями в Rn и p(xi,x2,... ,хп) — ее плотность распре- деления, g(xi,x2,... ,хп) — борелевская функция на Rn со значениями в Rz, В — борелевское множество в Rz.
122 Глава 9. Распределение случайной величины Тогда РШ е в} = p(x)dx, х G Rn, (9.2.2) х.д(х)еВ в частности Р{£ 6 В} = j p(x)dx, х е Rn. в (9.2.3) Если распределение Q = (£1,^2, • • • , £п) дискретное, то распределение д(£) вычисляется по формулам (5.1.1) и (5.1.2). Независимые случайные величины. Случайные величины ^1,^2, со значениями в R1 будем назы- вать независимыми, если для произвольных Ж1,Ж2,... ...,xne R1 Р{£1 < ^1, & < Х2, • • • , < Хп} = = Р{£1 < Ж1}Р{^2 < Х1} . . . Р{^п < Жп}- Если £1,^2,~ независимые абсолютно непре- рывные случайные величины соответственно с плотно- стями распределений Pi(#i),P2(#2)? • • • ,Pn(xn), то суще- ствует совместная плотность p(rri, #2, • • •, ^п) распределе- ния этих случайных величин, и она равна произведению плотностей распределений Pi(#i),P2(#2)? • • • ?Рп(#п): р(Х].,Х2, . . . , Хп) = Р1(Ж1)р2(ж2) • • • Рп(хп). Пример 9.2.1. Пусть £i,£2,---,£n — независимые одинаково распределенные случайные величины, каждая с плотностью распределения р(х): / ч 1 р(х) = . ехр У 7 V&2 {х — а)21 2<72 J' Выписать совместное распределение случайных величин £1,&, ••-,6г-
9.2, Функция и плотность распределения... 123 Решение. Поскольку случайные величины ..., £п независимы и абсолютно непрерывные, то суще- ствует совместная плотность p(#i, #2, • • • ? #п) распреде- ления, и она равна произведению плотностей распределе- ний p(^i),p(rt2)? • • • ?р(^п) случайных величин £1,^2, • • • п п р(Х1,Х2, • • • , Хп} = p(Xi) = i=l i=l 1 х/2тгст2 Пример 9.2.2. Пусть £ и ц — независимые случай- ные величины соответственно с плотностями р$(з) и Найти плотность распределения случайной вели- чины С — ^ + р- Решение. Сначала найдем функцию распределения F^(z) суммы С = £ + р. По определению Fdz) = < z} = Р{£ + г) < z}. Вычислим Р{£ + г) < z}. Поскольку £ и р — незави- симые, то существует совместная плотность распределе- ния p(s, t) случайных величин £ и р, при этом p(s, t) = — p^(s)pr/(^). Далее воспользуемся (9.2.2), рассмотрев в качестве х пару ($,£) 6 R2, в качестве д(х) — функцию p(s, t) = s +1 а в качестве множества В — промежуток (—оо,ж). Имеем р<(0 = P{^ + r]<z} = = J J p(s,t)dsdt = j J p^sjp^tjdsdt = (s,t):s+t<z (s,t):s+t<z
124 Глава 9. Распределение случайной величины Z —оо \—оо Z —оо \—оо Таким образом, Z —оо \—оо Поэтому по определению (см. (9.1.1)) функция (9.2.4) является плотностью распределения случайной величи- ны С = £ + г). Плотность р('и), определенную равенством (9.2.4), на- зывают сверткой плотностей р^(£) и р^). Пример 9.2.3. Пусть i = 1,2, — незави- симые случайные величины, каждая с функцией распре- деления F(x). Найти функцию распределения случайной величины min{£i,£2, ... ,£п}- Решение. Обозначим р = min{£i,£2, • • • , £п}- По оп- ределению функции распределения случайной величины Fn(a;) = Р{г] < ж}. Отсюда 1 — Fv(x) = 1 — Р{г] < х} = Р{г) > х} = = P{min{<i,<2, • • • , 6г} > ж} =
9.3. Абсолютно непрерывные распределения на R1 125 = -PR1 > х, £2 > х,..., > ж} = Р{& >х} = г=1 = П<1 - fw) = (1 - ж»” г=1 (мы воспользовались независимостью случайных вели- чин £i, ^2, • • •, £п)- Следовательно, F^x) = 1 — (1 — F(x))n. 9.3 Абсолютно непрерывные распределения на R1 Нормальное распределение. Случайная величи- на £ имеет нормальное распределение с параметрами {а; а2) {гауссовское распределение, распределение Na.^2), если ее плотность распределения / ч 1 р(х) = . ехр (х — а)2 1 2cr2 J ’ Равномерное распределение. Случайная величи- на £ имеет равномерное распределение на отрезке [а; Ь], если ее плотность распределения р(ж) = 1 b — а’ О, если х € [а; Ь]; если х [а; Ь]. Гамма-распределение. Случайная величина £ име- ет гамма-распределение с параметрами (z/; 0), в > 0, и > О, если ее плотность распределения р(ж) = < ,х" 1 ехр {—Ох} , Г(р) 1 J ’ О, если х > 0; если х < 0.
126 Глава 9. Распределение случайной величины Показательное распределение. Случайная вели- чина £ имеет показательное распределение с параметром О, если ее плотность распределения р(ж) = 0ехр{—Ох}, О, если х > 0; если х < 0. Показательное распределение является гамма-распреде- лением с параметрами (1; 0). Распределение Эрланга. Случайная величина £ име- ет распределение Эрланга с параметрами (т;0), если ее плотность распределения р(ж) = < (т — 1)! -----хт 1 ехр {—Ох} , если х > 0; 0, если х < 0. Распределение Эрланга является гамма-распределением с параметрами (т; 0), т = 1,2,... Распределение х2* Случайная величина £ имеет рас- пределение у2 с п степенями свободы, если ее плотность распределения р(ж) = < хп/2 1 ехр 0, если х > 0; если х < 0. Распределение у2 с п степенями свободы является гамма- распределением с параметрами (п/2; 1/2). Распределение Коши. Случайная величина £ име- ет распределение Коши с параметром а, если ее плотность распределения Логарифмически нормальное распределение. Случайная величина £ имеет логарифмически нормаль- ное распределение с параметрами (р;сг2), если ее плот-
9.4. Задачи 127 ность распределения р(ж) = < 1 у/^тгсг^х ( (In ж —и)2 ехр1 2^ О, если х > 0; если х < 0. Распределение Парето. Случайная величина £ име- ет распределение Парето с параметрами (А;0), если ее плотность распределения р(ж) = < 0Хв /р^+1 ’ Ju о, если х если х > А; < А, л > о, е > 2. 9.4 Задачи АЗ: 9.2°, 9.4°(5), 9.5,9.6,9.12*, 9.14,9.19,9.23,9.28. СЗ: 9.1°, 9.4°(1—4,6), 9.7,9.10,9.16,9.24,9.25,9.29,9.38, 9.42. 9.1 °. Пусть £ — случайная величина с плотностью распределения „м = 1 °, если Х^ [—1;1]; ’ } 1 — |ж|, если х е [— 1; 1]. Вычислить F{£2 > 1/4}. 9.2 °. Случайная величина £ равномерно распределена на отрезке [—1;3]. Вычислить F{|£| > 1/2}. 9.3 °. Распределение случайной величины £ абсолютно непрерывно с плотностью / ч 11 JW = ~1 i 2’ 7Г 1 + ХЛ Вычислить: 1) Р{—у/З < £ < 1}; 2)F{|£| > х/3}« 9.4 °. На отрезок [0; 1] наудачу бросают пару точек. Пусть £ — координата одной точки, т] — другой. Найти функции распределения случайных величин:
128 Глава 9. Распределение случайной величины 1) С = тах{£; ту}; 4) < = £ + ту; 2) С = min{£; ту}; 5) £ = тах{£2; ту}; з)С = ^; 6) с = |т?-е|. 9.5° . На отрезок [0; I] наудачу бросают точку, £ — ее координата. Найти функцию и плотность распределения случайной величины %. 9.6. Случайная величина £ равномерно распределена на отрезке [—1; 3]. Найти функцию и плотность распре- деления случайной величины т) = £2. 9.7. Случайная величина £ равномерно распределена на отрезке [—2; 2]. Найти плотность распределения слу- чайной величины г] = |£|. 9.8. Случайная величина £ равномерно распределена на отрезке [0; 1]. Найти плотность распределения случай- ной величины т] = 1/£ (если £ = 0, то по определению ту = 0). 9.9. Случайная величина £ равномерно распределена на отрезке [—2; 1]. Найти плотность распределения слу- чайной величины т) = 1/£2. 9.10. Случайная величина £ равномерно распределе- на на отрезке [0; 2]. Найти плотность распределения слу- чайной величины г) = |£ — 1|. 9.11. Случайная величина £ равномерно распределе- на на отрезке [а, Ь]. Найти плотность распределения слу- чайной величины г] = е^. 9.12* . Случайная величина £ распределена показа- тельно с параметром А. Найти плотность распределения случайной величины ту = 1/(1 — £). 9.13. Пусть F(x) — функция распределения случай- ной величины %. Найти функцию распределения случай- ной величины г] = — 9.14. Пусть F(x) — функция распределения случай- ной величины Найти функцию распределения случай- ной величины г) = sign£. 9.15. Случайная величина £ распределена показатель- но с параметром 1. Найти функцию распределения слу- чайной величины г] = 1 — е~^. 9.16. Пусть р(х) — плотность распределения случай- ной величины £. Найти плотности распределений случай- ных величин: 1) р = |£|, 2) р = а ± 0.
9.4. Задачи 129 9.17. Пусть F(x) — функция распределения случай- ной величины £. Найти функцию распределения случай- ной величины г) = £2. 9.18. Случайная величина £ распределена показатель- но с параметром А. Найти плотности распределений слу- чайных величин: 1) р = |£ — 11; 2) р = (£ — I)3. 9.19. Функция распределения F(x) случайной вели- чины £ строго монотонна и непрерывна. Найти функцию распределения случайной величины р = F(£). 9.20. Пусть р(х) — плотность распределения случай- ной величины £. Найти плотности распределений случай- ных величин: 1) р = —2£ + 1; 2) р = £2. 9.21. Пусть F(F) — функция распределения случай- ной величины £. Найти функции распределений случай- ных величин: 1) р = 2) р = |£|. 9.22. На отрезок [0; 1] наудачу бросают пару точек. Пусть £ — координата одной, р — другой. Для 0 < х < 1 найти: 1) Р{|?7 — £| < х}; 2) Р{£р < х}. 9.23. Пусть г = 1,2,..., п, — независимые случай- ные величины, каждая с функцией распределения F(x). Найти функцию распределения случайной величины шах{6,£2, • • • ,6г}- 9.24. Пусть , г = 1,2,...,п, — независимые случай- ные величины соответственно с функциями распределе- ния Fi(x\ i = 1,2,..., п. Найти функции распределений случайных величин: 1) тах{6,6г,---,6г}; 2) шт{6,6г,---,6г}- 9.25. Пусть г = 1,2,...,п, — независимые случай- ные величины соответственно с плотностями распределе- ния Рг(гг), i = 1,2,..., п. Найти плотности распределений случайных величин: 1) шах{£1,6г, • • • ,6г}; 2) min{6,6г}- 9.26. Пусть г = 1,2,..., п, — независимые случай- ные величины, каждая с плотностью распределения р(х). Найти плотности распределений случайных величин: 1) тах{£1,£2,---,6г}; 2) min{£i,&, • • • ,6г}-
130 Глава 9. Распределение случайной величины 9.27. Случайная величина имеет своей плотностью распределения функцию р(а?) = ае~х\х\,Х > 0. Найти: 1) коэффициент а; 2) функцию распределения случайной величины. 9.28. На отрезок [0; 1] наудачу бросают точку, которая делит его на две части. Найти функцию распределения длины меньшей части. 9.29. На отрезок [0; 1] наудачу бросают точку, которая делит его на две части. Найти функцию распределения длины большей части. 9.30. На отрезок [0;Т] наудачу бросают две точки. Найти функцию и плотность распределения расстояния между ними. 9.31. Пусть = 1,2,..., п, — независимые случай- ные величины, каждая с плотностью распределения р(ж): \ , если х 6 [а; Ь]: 1)р(х) = < b - cP L ’ J’ 0, если х £ [а; &]; 0ехр{—вх}, если х > 0; 3)р(^) = iexp|-|k-bl 4)р(Ж) = / Аехр{-4о -fe)}’ если х > Ь; если х < Ь. Выписать совместную плотность распределения слу- чайных величин £i, £2, • • •, £п- 9.32. Пусть случайная величина £ распределена нор- мально с параметрами (0;1). Найти функцию распреде- ления р = 1/£. 9.33. Пусть случайная величина £ распределена нор- мально с параметрами (0;1). Найти функцию распреде- ления случайной величины р = 1/£2. 9.34. Случайная величина £ называется симметрично распределенной, если распределения случайных величин £ и — £ совпадают. Доказать, что Nq.^2-распределенная случайная вели- чина является симметрично распределенной. Сформулировать условие симметричной распределен-
9.4. Задачи 131 ности случайной величины в терминах: а) функции рас- пределения; б) плотности распределения. 9.35. Случайная величина £ равномерно распределе- на на отрезке [0; 1]. Найти распределения случайных ве- личин: 1) р = 1 — £; 2) р = 1п£. 9.36. Случайная величина р распределена Na.a2. До- казать, что случайная величина £ = (р — а) /о распреде- лена М);1- 9.37. Случайная величина £ распределена М);1- Найти распределение случайной величины р = а + (а > 0). 9.38. Случайная величина р распределена 7Vq;1 • Най- ти распределение случайной величины = тах{0, р}. 9.39. Случайная величина р распределена No-a2. Най- ти распределение случайной величины р+ = тах{0, р}. 9.40. Пусть F(x) — функция распределения случай- ной величины %. Найти функцию распределения F^x) случайной величины р = (£ — а)+ = тах{0, £ — а} (а — константа). По графику функции F(x) построить график функ- ции F^x). 9.41. Случайная величина £ абсолютно непрерывна с плотностью р(х). Найти функцию распределения случай- ной величины р = (£ — а)+ = тах{0, £ — а} (а — констан- та). Является ли р абсолютно непрерывной случайной ве- личиной? 9.42. Пусть F(x) — функция распределения случай- ной величины £. Найти функцию распределения случай- ной величины р = min{£, L} (L — константа). 9.43. Случайная величина £ абсолютно непрерывна с плотностью р(х). Найти функцию распределения случай- ной величины р = min{£, L} (L — константа). Является ли р абсолютно непрерывной случайной ве- личиной? 9.44° . По плотности распределения случайной вели- чины найти ее функцию распределения, если случайная величина: 1) нормально распределена с параметрами (а; сг2); 2) равномерно распределена на промежутке [а; &]; 3) имеет гамма-распределение;
132 Глава 9. Распределение случайной величины 4) имеет распределение Коши; 5) имеет распределение Эрланга; 6) имеет распределение Парето. 9.45° . Построить графики плотностей распределений и функций распределений случайных величин, перечис- ленных в задаче 9.44°. 9.46° . Пусть £ распределена Na-cr^- Вычислить: 1) Р{а — а < £ < а + сг}; 2) Р{а — 2сг < £ < а + 2сг}; 3) Р{а — Зег < £ < а + Зег}; 4) Р{а — 4сг < £ < а + 4сг}. Примечание. Воспользоваться таблицей нормаль- ного распределения (см. табл. 22.1.1). 9.47. Пусть £1,£2,---,£п — независимые случайные величины, каждая из которых имеет показательное рас- пределение с параметром А. Доказать, что случайная величина 7j = mm{£i,$2,---,£n} имеет показательное распределение с параметром пХ. 9.48. Пусть £1,£2,---,£п — независимые случайные величины, каждая из которых имеет показательное рас- пределение с параметром А. Найти распределение случайной величины 9.49. Система состоит из п блоков. Пусть & — вре- мя безотказной работы г-го блока. Случайные величины £1, £2, • • • ? — независимы и каждая из них имеет показа- тельное распределение с параметром А. Система выходит из строя, если выходит из строя хотя бы один блок. Най- ти функцию распределения времени безотказной работы системы. 9.50. Случайные величины & — — 1,2,.. заданы на вероятностном пространстве {Q, Р}, где Q = [0; 1], 5 = ©[од], Р = L, равенствами: 1) £1 = б(^) = < о?, ш + 1/3, ш- 1/3, если ш G [0; 1/3); если ш G [1/3; 2/3) если ш Е [2/3; 1);
9.4. Задачи 133 си + 2/3, если ш 6 0;1/3); 2) £2 = &М = < 07, . си — 2/3, если w 6 1/3; 2/3); если ш 6 2/3; 1]; 07, 1/4, ш- 1/4, если ш 6 [0;1/4); 3) Сз = &М = < если ш 6 если w 6 1/4; 2/4); 2/4; 3/4); 1 1/2, если ш 6 [3/4; 1]. Найти их функции распределений. 9.51. Случайные величины 7=1,2, T)j = ^М, j = 1,2, заданы на одном и том же вероятностном пространстве Распределения и & совпадают, совпадают и рас- пределения и 7)2- Будут ли совпадать распределения случайных величин: 1) £iT)i и £2^2; 2) £1 + т/i и £2 + ^2? 9.52. Привести пример случайных величин £ = £(cv) и г] = 7?(cv), заданных на одном и том же вероятностном пространстве {Q,#, F}, распределения которых совпада- ют, но Р{ш : СМ ± r?(w)} = 1. 9.53. Пусть £ — (£, ту) — абсолютно непрерывная слу- чайная величина со значениями в R2 и Д(ж, у) — ее плот- ность распределения. 1) Доказать, что £ и ту — абсолютно непрерывные слу- чайные величины соответственно с плотностями Л(«) = У /<(«,v)dv, = у* R1 R1 2) Доказать, что при каждом фиксированном у функ- ция fi = I ЛМу)Щу)’ еслиД(у)>0; I*/ о, если frj^y) = 0; является плотностью распределения вероятностей на R1; при каждом фиксированном х функция f, = f fc(x’y)/fdx)’ если Л(ж) > °; I / 0, если Д(ж) = 0;
134 Глава 9. Распределение случайной величины является плотностью распределения вероятностей на R1. 9.54. Пусть f(t) — плотность распределения случай- ной величины %. Является ли функция f(t — а) (а — константа) плот- ностью распределения некоторой случайной величины и если да, то какой. 9.55* . Пусть £ и т) — независимые случайные вели- чины соответственно с функциями распределения и <7(я). Доказать, что функция распределения Q(x) суммы £ + г) есть <Э(ж) = Р{£ + Г) < ж} = +оо +оо j F(x ~ y)G(dy) = j G(x - y)F(dy).
Глава 10 Математическое ожидание 10.1 Определения, свойства, вычисление Распределения абсолютно непрерывных случайных величин часто можно описать несколькими числовыми характеристиками. Важнейшими из них являются мате- матическое ожидание и дисперсия (см. также п. 6.1 в гл. 6). Пусть £ = £(cv) — случайная величина на вероятност- ном пространстве {Q,#, F} со значениями в R1. Определение. Математическим ожиданием неотрицательной случайной величины £ будем называть ж = / = +nP{w : £(о>) > п} 135
136 Глава 10. Математическое ожидание Математическое ожидание Mt случайной величины £, принимающей значения обоих знаков, определяется ра- венством Mt = Mt+ - Mt~, если только и Mt~ одновременно не равны +оо, где = max{0,£}, t~ = — min{0, £}. Свойства математического ожидания: 1. Математическое ожидание константы равно этой же константе: Мс = с (с — константа). 2. Математическое ожидание суммы случайных вели- чин равно сумме математических ожиданий этих случай- ных величин: м(е + т?) = ж + мг). 3. Константа выносится из-под знака математическо- го ожидания: Mat = aMt- 4. Математическое ожидание произведения независи- мых случайных величин равно произведению их матема- тических ожиданий: г/ = MtMrj. Вычисление математического ожидания случай- ной величины. Математическое ожидание случайной величины (и функции от нее), если только оно существу- ет, всегда можно вычислить по распределению случайной величины. Теорема 10.1.1. Пусть t = £(<*>) — случайная вели- чина со значениями в R1, g — борелевская функция на R1 со значениями в R1. Если случайная величина t абсолютно непрерывна и р(х) — ее плотность распределения, то при условии су- +оо ществования интеграла f g{x)p{x)dx —оо +оо = У g(x)p(x)dx, (10.1.1) —оо
10.1. Определения, свойства, вычисление 137 в частности, при условии существования интеграла +оо f xp(x)dx —оо +оо М£ = J xp(x)dx. (10.1.2) —оо Если случайная величина £ дискретна и Р^. Xi Pfaiyxi е х, ее распределение, то при условии абсолютной сходимо- сти ряда ^g^Pfai) Xi Mg{£) = ^2g(xi)P^Xi\ Xi в частности, при условии абсолютной сходимости ряда Xi Щ = ^XiP^Xi). Xi Дисперсия. Дисперсией Щ случайной величины £ будем называть М(£ — М£)2 (если М(£ — М£)2 < оо ), т. е. = м(е - м^2. Свойства дисперсии: 1. Дисперсия константы равна нулю: De = 0 (с — константа). 2. Константа выносится из-под знака дисперсии с квад- ратом: Da£ = а2Щ. 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: £>(£ + /?) = -°C + Dr).
138 Глава 10. Математическое ожидание Пример 10.1.1. На отрезок [0; 1] наудачу бросают точку. Она делит отрезок на две части. Найти распре- деление и вычислить математическое ожидание длины окружности, радиус которой равен длине большей час- ти отрезка. Решение. Пусть £ — координата наудачу брошенной на отрезок [0; 1] точки, тогда г) = max{£, 1 — £} — длина большей части отрезка, а £ = 2тгт) — длина окружности, радиус которой равен г/. Сначала найдем функцию распределения случайной величины г] = max{£, 1 — £}. Очевидно, при х < 1/2 Р{т) < х} = 0, при х > 1 Р{т) < х} = 1. А при 1/2 < х < 1 имеем Р{т) < х} = F{max{£, 1 — £} < х} = Р{£ < ж, 1 — £ < х} = = Р{1 — х < £ < х} = (х — (1 — #))/(! — 0) = 2х — 1 (F{1 — х < £ < х} вычислена как геометрическая вероят- ность, поскольку точку бросают на отрезок [0; 1] науда- чу). Таким образом, функцией распределения т) является 0, если х < 1/2; Рт](х) = < 2х — 1, если 1/2 < х < 1; [ 1, если х > 1 (т. е. р распределена равномерно на отрезке [1/2; 1]). От- сюда получаем функцию распределения Гс(ж) = Р{< < ж} = Р{27Г7? <x} = Fr] (£- \ Z7T 0, если ж/(2тг) < 1/2; = 2 (^0 — 1, если 1/2 < ж/(2тг) < 1; 1, если ж/(2тг) > 1.
10.1. Определения, свойства, вычисление 139 Или о, ТГ 1, = если х < тг; если тг < х < 2тг; если х > 2тг. Далее, поскольку р равномерно распределена на от- резке [1/2; 1], то = М2тгр = 2тг Мр = Зтг/2. Заметим, что можно вычислить как математиче- ское ожидание функции £ = 2тгшах{£, 1 — £} случайной величины £ по ее распределению (см. формулу (10.1.1). Распределение £ равномерное на отрезке [0; 1], поэтому = М2тг max{£, 1 — £} = 2тг / max{x, 1 — x}p^x)dx = 1 = 2тг у* шах{ж, 1 — x}dx = Зтг/2. о Пример 10.1.2. Пусть случайная величина £ распре- делена показательно с параметром X. Найти распределение случайной величины р = [£], вы- числить Мр ([ж] — целая часть х). Решение. Случайная величина р = [£] принимает значения 0,1,2,... (является дискретной). Найдем ее рас- пределение: F^fc) = Р{р = k} = F{[£] = к} = Р{к < е < к + 1} = к+1 У Xe~Xxdx = е~Хк(1 - е-Л) = р(1 - р)к, к где р = 1 — е х. Следовательно, р = [£] имеет геометри- ческое распределение с параметром р = 1 — е~х.
140 Глава 10. Математическое ожидание По известному распределению случайной величины т) можем вычислить ее математическое ожидание (см. фор- мулу (6.1.2) и задачу 6.18): ОО ОО 1 _д Мл = £ fcpn(fc) = 52 fc(i - p)fep = —-^ = 7^—А • k=o k=o r Пример 10.1.3. Вычислить математическое ожи- дание и дисперсию случайной величины, распределенной нормально с параметрами (а; а2). Решение. Плотность нормально распределенной с параметрами (а; сг2) случайной величины £ р(ж) = 1 л/27Г<72 (ж — а)2 2<т2 Вычислим М(£ —а), воспользовавшись формулой (10.1.1) (при этом выполним замену (х — а)/а = Г): a)p(x)dx (х — а)2 2а2 ехр [—п,п]
10.1. Определения, свойства, вычисление 141 (последний интеграл равен нулю как интеграл от нечет- ной функции по симметричному промежутку). Таким об- разом, М(£ — а) = 0, а следовательно, М£ = а. Аналогично - М£)2 = - а)2 = После замены переменной (х — а}/ст = t имеем (последний интеграл как интеграл Эйлера—Пуассона ра- вен л/2тг). Пример 10.1.4. Вычислить математическое ожи- дание, второй момент и дисперсию случайной величи- ны £ с плотностью р(х} = < -JI xxv 1 exp {—0а;} , r(z/) 1 J ’ 0, если х > 0; если х < 0 (р(х) — плотность гамма-распределения с параметрами Решение. По известной плотности р(ж) случайной величины £ согласно формуле (10.1.2) получим М£ = +оо +оо 0" .-1 хХ Г(р) —оо О ехр {—Qx}dx
142 Глава 10. Математическое ожидание r^ + i) г 0-+1 „ = wr J exp{-fe’rfl = О = Г(1/ + 1) 1/Г(р) = I/ 0Г(р) ’ “ 0Г(р) “ О' Мы воспользовались тем, что интеграл Г 0"+1 J грй) о х" ехр {—вх} dx равен единице как интеграл от плотности гамма-распре- деления с параметрами (z/ + 1,0). Аналогично ,,л2 ^(^ + 1) ж2 = Отсюда щ=ме - (mo2 = Пример 10.1.5. Пусть £ — абсолютно непрерывная случайная величина с конечным математическим ожи- данием и плотностью f(x), х 6 R1, график которой симметричен относительно прямой х = а. Найти М£. Решение. Поскольку график функции f(f) симмет- ричен относительно прямой х = а, то /(а +1) = /(а — t) (там, где /(а + t) и /(а — t) определены). Последнее ра- венство означает, что функция /(а +1) является четной. Далее, +оо Mi = / ХЦХ)ЛХ. —оо В последнем интеграле сделаем замену х = t + а. Имеем +оо +оо У xf(x)dx = У (t + a)f(t + a)dt = —оо —оо
10.2. Задачи 143 + a)dt + / tf(t + d)dt = a • 1 + 0 = a. +oo Интеграл f tf(t+a)dt равен нулю как интеграл от нечет- —оо ной функции по симметричному промежутку. 10.2 Задачи АЗ: 10.1°(2), 10.2°(1), 10.6°(1), 10.7,10.12,10.13,10.16(2), 10.19(1а), 10.19(36), 10.21,10.20(5). СЗ: Ю.1°(1), 10.2°(2), 10.6°(2,3), 10.8,10.10(1), 10.16(1), 10.14,10.17(2), 10.19(16), 10.19(За), 10.20(1,2), 10.22(2,3), 10.26. 10.1°. Пусть £ — случайная величина, равномерно распределенная на промежутке: 1) [—a; а]; 2) [а;&]. Вы- числить и D£. 10.2°. Случайная величина £ распределена равномер- но на промежутке [0; 1]. Вычислить математическое ожи- дание случайной величины ту: 1) г] = 1п(1/£); 2) г] = sin2 тг£; 3)т7 = е^. 10.3 °. Случайная величина £ распределена равномер- но на промежутке [а; Ь]. Вычислить: 1) М£2, если а = 0, b = 3; 2) если а = 0, b = 1; 3) М(£ — I)2, если а = 1, b = 4; 4) если а = —1, b = 1; 5) Ме2^, если а = 0, 6=1/2. 10.4 . Пусть £ — случайная величина с плотностью распределения = Вычислить 1) Mmin{|£|,l}, 2) Мmin{|£|, \/3}. 10.5 . Пусть £ — нормально распределенная случайная величина с параметрами (0; сг2). Вычислить Ме^.
144 Глава 10. Математическое ожидание 10.6 °. Пусть £ — случайная величина с плотностью распределения P(I) = Вычислить математическое ожидание случайной величи- ны г) : 1) >) = к2 +1)/|0;Л|(«); 2) rj = ; з) ч = /|1/3;3](^2); 4) Т) = (1л (#) — индикатор множества А — функция, принима- ющая на А значение 1, а на А — значение 0). 10.7. Пусть £ имеет показательное распределение с параметром А. Вычислить: l)Af£; 2)D£; 3)F{£>1}; A)M£k. 10.8. Длительность работы электронной лампы (еди- ница измерения времени — сутки) — случайная величи- на, имеющая показательное распределение с параметром А = 0,003. Через год лампу меняют, даже если она не вы- шла из строя. Найти математическое ожидание времени работы лампы. 10.9. Найти математическое ожидание и дисперсию произведения £ = £т) независимых случайных величин £ и г) с равномерными распределениями: £ — на отрез- ке [0; 1], г] — на отрезке [1; 3]. 10.10. Пусть £ — случайная величина с плотностью распределения р(ж) = < 0, х — а, —х + a + 2, если х £ если х 6 если х 6 а, а + 2); а, a + 1); а + 1, а + 2). Вычислить: 1)М£; 2)М£2. 10.11. Пусть £ — случайная величина с плотностью распределения
10.2. Задачи 145 р(ж) = |е Ч Вычислить М1[0.4](^2). 10.12. Плотность распределения случайной величи- ны £ р(х) = А>0 £ (двустороннее показательное распределение с парамет- ром А). Вычислить и D£. 10.13. Из точки А, равномерно распределенной на ок- ружности радиуса R с центром в начале координат, про- ведена касательная к окружности. Найти функцию рас- пределения и плотность распределения длины £ отрезка касательной между точкой А и точкой пересечения этой касательной с осью Ох. Что можно сказать о существо- вании М£? 10.14. Точка Р равномерно распределена в круге ра- диуса R. Пусть р — расстояние от точки Р до центра кру- га. Найти функцию распределения F(x') и плотность рас- пределения р(х) случайной величины р. Построить гра- фики функций F(x) и р(х). Вычислить Мр и Dp. 10.15. Точка А равномерно распределена на окруж- ности единичного радиуса с центром в начале координат. Пусть £ — проекция точки А на ось Ох. Найти: 1) функ- цию распределения |£|; 2) плотность распределения |£|; 3) М|£|; 4) Р{|£| > 1/2}. 10.16. Длина стороны квадрата £ — случайная вели- чина, 1) распределенная равномерно на промежутке [а; &], a > 0, a < Ь; 2) имеющая гамма-распределение с параметрами (z/; 0); 3) распределенная показательно с параметром А. Найти распределение случайной величины р — площади квадрата со стороной £ — и вычислить ее математическое ожидание. 10.17. Радиус окружности £ — случайная величина, 1) распределенная равномерно на промежутке [а; &], а, b > 0, a < Ь; 2) имеющая гамма-распределение с параметрами (z/; 0);
146 Глава 10. Математическое ожидание 3) распределенная показательно с параметром А. Найти распределение случайной величины т) — длины окружности радиуса £ — и вычислить ее математическое ожидание. 10.18. Длина ребра куба £ — случайная величина, распределенная: 1) равномерно на промежутке [а; &], a > 0, a < Ь; 2) показательно с параметром А. Найти распределение случайной величины т) — объема куба с ребром £, вычислить математическое ожидание т). 10.19. На отрезок [0; 1] наудачу бросают точку. Она делит его на две части. Найти распределение и вычислить математическое ожидание случайной величины т). 1. Длины окружности, радиус которой равен длине: а) меньшей части отрезка; б) большей части отрезка. 2. Площади круга, радиус которого равен длине: а) меньшей части отрезка; б) большей части отрезка. 3. Площади квадрата со стороной, равной длине: а) меньшей части отрезка; б) большей части отрезка. 4. Объема куба с ребром, равным длине: а) меньшей части отрезка; б) большей части отрезка. 10.20. Пусть £ и г] — независимые случайные вели- чины. Вычислить математическое ожидание случайных величин: 1° min{£,77}; 2° max{£,7?}; 3° £77; 4° 77/^+ 1); 5° т?ехр{^}; 6° ехр{— min{£,77}}, если: а) £ и 77 распреде- лены равномерно на промежутке [0; 1]; б) £ распределе- на равномерно на промежутке [0; 1], 77 — на промежутке [0; 2]; в) £ распределена равномерно на промежутке [0; 1], 77 имеет показательное распределение с параметром А; г) £ и 77 имеют показательное распределение с парамет- ром А (для 1°, 2°, 3°, 6°). 10.21. Пусть £1,£2>--->£п — независимые случайные величины, каждая из которых имеет своей плотностью распределения / х _ / 0, | ехр{а — ж}, если х < а; если х > а. Вычислить М min{^1,^2, • • • , 10.22. Пусть £1,£2>--->£п — независимые случайные величины, каждая из которых распределена равномерно
10.2. Задачи 147 на отрезке [а; Ь]. Вычислить математические ожидания случайных величин: 1 п 1) 2) тах{£1,М; 3) Ъ Ё г=1 10.23. Пусть £1,^2, • • • Лп — независимые случайные величины, каждая из которых имеет своей плотностью распределения / \ _ J 0, если х £ [0 — h; в + h]; Р\х) — | l/2/i, если хе [О — h-,0 + h]. Вычислить математические ожидания случайных вели- чин: 1) 2) max{£i,&,• • • ,£n}; 3) (max{£i, £2, • • •,- min{£b £2, • • •, Cn})/2. 10.24. Пусть £1,^2, • • • , — независимые случайные величины, каждая из которых имеет своей плотностью распределения р(я) = < если х < 0; если х > 0, a > 0. Вычислить математические ожидания случайных вели- чин: 1И= 2) min{&}; г=1 3) = minfe} - С 4) 02 = е - 01. 10.25. Случайные величины £1, £2,•••, £п распределе- ны показательно с параметром 1/0. Вычислить матема- 1 п тическое ожидание случайной величины £ = ^2 £г- г=1 10.26. На отрезок [0; Т] наудачу бросают две точки. Пусть £ — расстояние между ними. Найти функцию рас- пределения и плотность распределения £, вычислить М^п.
148 Глава 10. Математическое ожидание 10.27. Точка Р равномерно распределена на окруж- ности х2 + у2 = 1. Пусть т) — длина проекции радиус-вектора ОР точки Р на ось Ох. Найти плотность распределения и математи- ческое ожидание случайной величины т). 10.28* . На окружности радиуса R наудачу выбирают две точки. Найти функцию распределения расстояния т) между ними и вычислить Мт). 10.29. На отрезок оси ординат с концами (0; 0) и (0; R) наудачу брошена точка. Через нее проведена хорда окруж- ности х2 + у2 = R2 перпендикулярно к оси Оу. Найти функцию распределения длины этой хорды. 10.30* . Пусть Ах = {(?z, v) : u + v < х} — множество из R2, х — произвольное, но фиксированное число. Вычислить М1дх(£,т]), если известно: 1) распределение Q вектора Q 2) распределения F и G независимых случайных ве- личин £ и ту; 3) плотности f и g абсолютно непрерывных независи- мых случайных величин £ и т). 10.31. Случайная величина т) распределена No-д. Вы- числить математическое ожидание случайной величины = шах{0, г)}. 10.32. Случайная величина т) распределена No-a2. Вы- числить математическое ожидание случайной величины г)+ = шах{0, г)}. 10.33. Вычислить математическое ожидание, второй момент и дисперсию случайной величины £ с плотностью / х _ J 0ехр{—Ох}, если х > 0; Р\х) — I о, если х < о, параметр в > 0 (р(а?) — плотность показательного рас- пределения с параметром 0}. 10.34. Вычислить математическое ожидание, второй момент и дисперсию случайной величины £ с плотностью р(х) = < (т — 1)! —----хт 1 ехр {—Ох} , если х > 0; 0, если х < 0,
10.2. Задачи 149 параметр в > 0 (р(ж) — плотность распределеня Эрланга с параметрами (т; 0), т = 1,2,...). 10.35. Вычислить математическое ожидание, второй момент и дисперсию случайной величины £ с плотностью р(ж) = * ж”/2 1 ехр О, если х > 0; если х < 0 (р(гг) — плотность ^-распределения с п степенями сво- боды) . 10.36. Вычислить математическое ожидание, второй момент и дисперсию случайной величины £ с плотностью р(я) = < 1 \/2тга2х (In ж — д)2 2a2 если х если х >0; <0, параметр о > 0 (р(т) — плотность логарифмически нор- мального распределения с параметрами (р;<т2)). 10.37. Вычислить математическое ожидание, второй момент и дисперсию случайной величины £ с плотностью р(ж) = < ехе если х > если х < Х> А, 0; параметр в > 2 (р(ж) — плотность распределения Парето с параметрами (А;#)). 10.38. Пусть £ и р — независимые случайные вели- чины, причем £ распределена равномерно на промежут- ке [1; 2], г) имеет показательное распределение с парамет- ром в. Найти математическое ожидание и дисперсию слу- чайных величин: 1) (д = £р, 2) £2 = £ + Т], 3) Сз — р/6 10.39. Точка А равномерно распределена на окруж- ности единичного радиуса с центром в начале координат. Пусть £ — проекция точки А на ось Ох.
150 Глава 10. Математическое ожидание Найти: 1) функцию распределения £, 2) плотность распределения %. Вычислить: 1) М(^ 2) Р{£ > 1/2}. 10.40. Пусть £ = (£,т?) — абсолютно непрерывный вектор с плотностью Вычислить Mr). 10.41. Пусть £1,£2,---,£п — независимые одинаково распределенные (каждая с распределением F) случайные г величины со значениями в R1; R1 = |J JQ, (Xi QXj = 0, г=1 г / J); — число случайных величин £1, £2, • • •, попав- ших в pi = F(Xi) — вероятность, того, что попадет в Х^ i = 1,2,..., г. Вычислить Мщ, Dvi, i = 1,2,... , г.
Глава 11 Свертка 11.1 Свертка вероятностных распределений Определение. Вероятностным распределением на R1 будем называть неотрицательную, нормированную, счетноаддитивную функцию F, заданную на сг-алгебре 231 борелевских множеств R1. Другими словами, вероятностное распределение на R1 — это вероятность на сг-алгебре 231 (см. разд. 7.2 в гл. 7). Определение. Пусть F — вероятностное распреде- ление на R1. Функцию точки F(x), определенную равен- ством F(x) = F((—оо, ж)), будем называть функцией распределения F. Распределение F однозначно задается своей функци- ей распределения F(#). Определение. Если функцию распределения F(x) можно представить в виде х F(*) = j fWy, —ОО то распределение F называют абсолютно непрерывным, а функцию f — плотностью распределения F. 151
152 Глава 11. Свертка Вероятностное распределение F будем называть дис- кретным^ если существует не более чем счетное множе- ство X С R1 точек Xi, таких, что F({^}) > 0 и Е F({xi}) = 1 XiEX (при этом точки Xi будем называть атомами распределе- ния F и будем говорить, что распределение F сосредото- чено на множестве X). Напомним, что интеграл Лебега f (p(y)F(dy) от функ- х ции р(у) по распределению F равен f ip(y)f(y)dy, если F х — абсолютно непрерывное распределение с плотностью /, и ^2 ¥?(^)F({^}), если Г ~ дискретное распределение, XiEX сосредоточенное на множестве X. Свертки. Пусть <р — борелевская функция на R1 со значениями в R1 и F — вероятностное распределение на R1 Определение. Сверткой функции ср с вероятност- ным распределением F будем называть функцию и(х), определенную для каждого х 6 R1 равенством и(ж) = У <р(х - y)F(dy). R1 Обозначать свертку ip с F будем так: и = F * р. Определение. Сверткой вероятностных распреде- лений G и F будем называть вероятностное распределе- ние Q) функция распределения Q(x) которого является сверткой функции распределения G(x) с распределени- ем F: <2(ж) = J G(x - y)F(dy). IR1 Обозначать свертку вероятностного распределения G с вероятностным распределением F будем символом F*G.
11.1. Свертка вероятностных распределений 153 Заметим, что если распределение F абсолютно непре- рывно и f — его плотность, то <2(ж) = у G(x - y)F(dy) = J G(x - y)f(y)dy. (11.1.1) IR1 IR1 В классе вероятностных распределений операция сверт- ки коммутативная и ассоциативная. Другими словами, если F, G, Q — вероятностные распределения, то F * G = G * F, (F * G) * Q = F * (G * Q). Если хотя бы одно из вероятностных распределений абсолютно непрерывно, то их свертка так же абсолютно непрерывна. Более того, имеет место такое утверждение. Теорема. Свертка V = F * G абсолютно непре- рывного вероятностного распределения G с вероятност- ным распределением F является абсолютно непрерыв- ным распределением и его плотность v равна свертке плотности g абсолютно непрерывного распределения G с распределением F: v(x) = J g(x — t)F(dt). IR1 (11.1.2) В частности, если F и G — абсолютно непрерывные, то теорему можно сформулировать так: Свертка абсолютно непрерывных вероятностных рас- пределений G и F соответственно с плотностями g и f является абсолютно непрерывным распределением, и его плотность v равна свертке плотностей g и f: v(x) = Jg(x- y)f(y)dy = J f(x- y)g(y)dy (11.1.3) R1 R1 (будем обозначать v = f*g = g*f).
154 Глава 11. Свертка Пример 11.1.1. Доказать, что класс гамма-распре- делений замкнут относительно операции свертки, а именно: fv,0 * f— f* fu,0 — fis+ii’,0- Решение. Плотностью гамма-распределения с пара- метрами является Л;^(ж) = < хХи 1 ехр {—Ох} , Г(р) L J О, 0 > 0, и > 0. При х < О равенство если х если х >0; <0, f/i;0 * — fv+iiflix) очевидно. При х > 0 имеем +оо fn-,e * = У fv-e(x - y)fli;e(y)dy о = j fu-,o(x ~ y)fnMdy = О = /г^)(1-9Г1е‘е<'‘“вд9,“1е‘%9 = о = vWMe^J(-x^,,r'^'dy- о Выполнив в последнем интеграле замену у = xt, полу- чим: л
11.2. Распределение суммы 155 = хи+»-1е~вхГ(1' + ^ f _ ty-idt = Г^ + м) Г(р)Г(м)7 V ’ О = ^+м;^(ж)г(^вд - ty^dt. О Итак, /к» * I1 - ‘Г-1*- о Поскольку fn-o * fy.g и — плотности, то, проинте- грировав последнее равенство по прямой, получаем, что Г(р + f tv-l(l - t}u~1dt = 1 ВДГ(д)/* ц tj о Следовательно, f/j,;0 * fufi = fy+ii’,0- 11.2 Распределение суммы независимых случайных величин Следующее утверждение устанавливает связь между сверткой вероятностных распределений и распределени- ем суммы независимых случайных величин. Теорема. Функция распределения суммы независи- мых случайных величин равна свертке функций распре- делений слагаемых. Другими словами, если £ и Т) — независимые случай- ные величины соответственно с распределениями FuG,
156 Глава 11. Свертка a Q(x) — функция распределения суммы, то Q{x) = У IR1 G(x - y)F(dy). Отсюда и из формул (11.1.2), (11.1.3) имеем. Сумма независимых случайных величин, хотя бы одна из которых абсолютно непрерывна, является аб- солютно непрерывной случайной величиной, и ее плот- ность распределения равна свертке плотности распре- деления абсолютно непрерывной случайной величины с распределением другой. Плотность распределения суммы независимых абсо- лютно непрерывных случайных величин равна свертке плотностей распределений слагаемых. Другими слова- ми, если и г) — независимые абсолютно непрерывные случайные величины соответственно с плотностями р$(£) и то плотность распределения и(х) суммы £ + г) равна свертке плотностей p^(t) и рД1), т. е. и(х) = jp^x-y)pr1(y)dy = У Pr)(x - y)pt:(y)dy. (11.2.1) IR1 IR1 В тех же предположениях плотность распределения v(x) разности £ = £ — р равна •и(ж) = / р$(х + y)pv(y)dy. (11.2.2) В1 Пример 11.2.L Пусть £ и г) — независимые случай- ные величины, каждая из которых равномерно распреде- лена на [0; 1]. Найти: 1° плотность распределения суммы Q = £ + р; 2° функцию распределения суммы £ = £ + г/; 3° вероятность F{|£ + р — 1/2| < 1}. Решение. 1° По известным плотностям распределе- ний случайных величин £ и ту: Л (у) = { J’ если у 6 [0; 1 если у £ [0; 1
11.2. Распределение суммы 157 f („д _ f 1, если у € [0; 1]; Q, если у g [Q. 1], плотность распределения суммы £ = £ + т) находим как свертку плотностей слагаемых (см. (11.2.1)): 1 /с(ж) = j fdx R1 - y)frj(y)dy = J ft-(x - y)dy = J 0 x—1 (воспользовались заменой переменной x — у = t). Вычис- лив последний интеграл для каждого значения х 6 R1, пробегающего R1 = (—оо, +оо) от —оо до +оо (интегри- рование ведется по промежутку [ж — 1,ж]), получим: х х если х < 0, то J = f Odt = 0; х— 1 х— 1 х Ox если 0 < х < 1, то f f^(t)dt = J Odt + f Idt = ж; x—1 x—1 0 x lx если 0 < я — 1 < 1, то f f^(t)dt = f Idt + f Odt = x—1 x—1 1 = 2-ж; если x — 1 > 1, то f fe(t)dt = f Odt = 0. x—1 x—1 Таким образом, плотность распределения случайной ве- личины £ = £ + т] /<(*) = * о, ж, 2-х, 0, если если если если х < 0; 0 < ж < 1; 1 < х < 2; х > 2. 2° Функцию распределения F^{x) случайной величи- ны Q по ее плотности f^t) находим следующим образом: X F№ = [ =
158 Глава 11. Свертка f Odt = О, —ОО f Odt + f tdt = x2/2, —oo 0 f tdt + f(2 — t)dt = — (x — 2)2/2 + 1, о i О 1 2 f Odt + f tdt + f(2 — t)dt = 1, . -oo О 1 если x < 0; если x e [0,1); если x 6 [1,2); если x > 2. 3° По известной плотности распределения fc(t) слу- чайной величины £ вероятность попадания значения £ в множество В, вычисляется так: Р{< G В} = I f^t)dt В (см. формулу (9.1.5)). В частности, Р{|С + ?7-1/2| < 1} = Р{|<-1/2| < 1} = = Р{-1/2 < С < 3/2} = 3/2 о 1 3/2 / fa(t')dt = У Odt + j tdt + J(2 — t)dt=^. — 1/2 —1/2 0 1 Пример 11.2.2. Пусть £1,^2,• --Лп ~ независимые случайные величины, каждая из которых распределена No-,i- Найти распределение случайной величины п г=1 Решение. Сначала проверим, что если случайная величина £ распределена 7Vo;i> то 77 = £2 имеет гамма- распределение с параметрами (1/2; 1/2). В самом деле, Р^(ж) = Р{Т) < ж} = Р{£2 < ж}.
11.3. Задачи 159 При х < 0 значение F^x) = Р{£2 < ж} равно нулю, а при х > О у/х F^(a;) = Р{|£| < у/х} = -J= [ exp{-t2/2}dt. у2тг J — у/х После замены t2 = s в последнем интеграле имеем ^?(ж) = /^fs V2e S,2ds = г(1/2) /51/2 lg S/2</s’ О о а это функция распределения гамма-распределения с па- раметрами (1/2; 1/2) (воспользовались тем, что Г(1/2) = Далее, поскольку гамма-распределение замкнуто от- носительно операции свертки (см. пример 11.1.1), то сум- ма независимых гамма-распределенных с параметрами (1/2; 1/2) случайных величин является гамма-распреде- ленной случайной величиной с параметрами (п/2; 1/2). Гамма-распределение с параметрами (п/2; 1/2) еще на- зывают ^-распределением с п степенями свободы. 11.3 Задачи АЗ: 11.2(1), 11.4(1,3), 11.13(1), 11.17. СЗ: 11.2(2,3), 11.3,11.4(2,6), 11.13(2), 11.18. 11.1. Пусть £ и г) — независимые случайные вели- чины; £ распределена равномерно на промежутке [0; 1], г] имеет своим распределением Р^к) = Р{г) = к} = 1/2, к = 0,1. Найти распределение случайной величины С = £ + т). 11.2. Случайные величины £ и т) независимы и рас- пределены равномерно на промежутке: 1) [а; &], a < &; 2) [0;а], a > 0; 3) [-а;а], a > 0; 4) [-1/2; 1/2].
160 Глава 11. Свертка Найти плотность распределения суммы £ = £ + т). 11.3. Пусть £ и г] — независимые случайные величи- ны, равномерно распределенные соответственно на про- межутках [0; 1] и [0;2]. Найти плотность распределения р(ж) суммы £ = £ + г/. 11.4. Пусть £ и г] — независимые случайные величи- ны, £ распределена равномерно на промежутке [— 1; 1], г) — на промежутке [0; 1]. Вычислить: 1) PR2+ 7? >1/2}; 2) Р{е + т7>1}; 3) Р{|е + т?| > 1/2}; 4) Pd/z-e^W 5) Р{т72-е>0}; 6) Р{|£| +т/ > 1}. 11.5. Случайные величины £ и г) — независимые и распределены равномерно на промежутке: 1) [а; &], a < &; 2) [0;а], a > 0; 3) [—а; а], a > 0; 4) [0; 1]. Найти плотность распределения р^(ж) разности £ = £ — р. 11.6. На отрезок [0; 1] наудачу бросают две точки. Пусть £ — координата одной точки, р — другой. Найти функцию распределения случайной величины £ = = (e+W2. 11.7. Пусть £ — координата точки, наудачу брошен- ной на отрезок [0; 1], р — число очков, выпавших в ре- зультате подбрасывания симметричной игральной кости. Найти распределение случайной величины £ = £ + р. 11.8. На отрезок [0; 1] наудачу бросают две точки, £ — координата одной точки, р — другой. Для 0 < х < 1 найти Р{|р — £| < х}. 11.9. Координаты каждой из двух случайно выбран- ных на отрезке [0; 1] точек распределены равномерно. Най- ти математическое ожидание расстояния между ними. 11.10. Пусть £i и £2 - независимые случайные вели- чины с плотностями Pi(x) = Xie XiX, 0, если х > 0; если х < 0; Xi > 0, г = 1,2; Ai / Л2.
11.3. Задачи 161 Найти плотности распределения: 1) суммы 2) разности £2 — £1- 11.11. Пусть £ и г) — независимые случайные величи- ны, распределенные показательно с одним и тем же па- раметром А. Найти плотности распределения случайных величин: 1) £ + 77; 2) £ - ту; 3) |£ - т)\. 11.12. Пусть £ и г] — независимые случайные величи- ны, распределенные показательно соответственно с пара- метрами 1 и 2. Найти плотность распределения случай- ной величины £1 + £2- 11.13. Пусть £ и г] — независимые одинаково рас- пределенные случайные величины с плотностями р(х) = = ехр{—|ж|}/2. Найти плотности распределения случай- ных величин: 1) £ + ту; 2) £ — ту. 11.14. Пусть £ и ту — независимые случайные величи- ны, £ распределена равномерно на промежутке [—а; а], ту имеет показательное распределение с параметром А. Найти плотность распределения случайной величины С = С + 'п- 11.15. Пусть £ и ту — независимые случайные величи- ны, £1 распределена равномерно на промежутке [— 1; 1], £2 имеет показательное распределение с параметром А = 1. Найти плотность распределения случайной вели- чины ту = £1 + £2- 11.16. Случайная величина ту равномерно распреде- лена на промежутке [—Л; Л], £ имеет своей функцией рас- пределения F(rr), £ и ту — независимы. Найти функцию распределения и плотность распределения (если она су- ществует) суммы С = £ + ту. 11.17. Пусть £ и ту — независимые случайные величи- ны. Случайная величина £ имеет распределение = (-l)fcJ = G({(-l)fc}) = 1/2, к = 0,1, а ту — распределение Q. Найти функцию распределения случайной величины С = £ + ту. 11.18. Пусть £ и ту — независимые случайные вели- чины; £ распределена равномерно на промежутке [0; 1], ту имеет своим распределением
162 Глава 11. Свертка p{tj = k} = k = 0,1. Найти распределение случайной величины £ = £ + г). 11.19. Найти распределение суммы п независимых случайных величин, каждая из которых имеет показа- тельное распределение с параметром А. Сравните ее с плотностью распределения Эрланга (см. разд. 9.3 в гл. 9). 11.20. Пусть £1,£2,---,£п — независимые равномер- но распределенные на [0; 1] случайные величины. Найти распределение случайной величины Т] = 6^2 • • - Сп- Вычислить Mr). 11.21. Независимые случайные величины £ и т] име- ют гамма-распределения соответственно с параметрами (z/, 0) и (^,0). Найти плотность распределения случайной величины £ + т). 11.22. Пусть независимые случайные величины £ и т] 9 имеют х -распределения соответственно с п и m степе- нями свободы. Доказать, что случайная величина £ + т] имеет ^-распределение с п + m степенями свободы.
Глава 12 Сходимость распределений 12.1 Определения. Примеры Мы будем рассматривать вероятностные распределе- ния на R1 (см. разд. 11.1 в гл. 11). Напомним, что для распределения F и его функции распределения F(x) = F((—оо, ж)) имеет место соотношение F([a;b)) = F(6)-F(a) (при а < Ь), а значение F({xq}) распределения F на одно- точечном множестве {а?о} через функцию распределения F(x) вычисляется так: F({^o}) = F(^o + O)-F(^o-O). Определение. Распределение F на R1 будем назы- вать собственным вероятностным распределением (ве- роятностным распределением), если F(R1) = 1, и несоб- ственным, если F(R1) < 1. В терминах функции распре- деления: F — собственное вероятностное распределение, если F(+oo) = 1; F — несобственное вероятностное рас- пределение, если F(+oo) < 1. 163
164 Глава 12. Сходимость распределений Несобственные вероятностные распределения естест- венным образом возникают как пределы последователь- ностей вероятностных распределений. Определение. Точку xq будем называть атомом распределения F, если F({xq}) > 0. Распределение F бу- дем называть атомическим, если оно сосредоточено на множестве своих атомов. Определение. Интервал I вида [а; Ь) (конечный или бесконечный) будем называть интервалом непрерывнос- ти распределения F, если точки а и b не являются ато- мами распределения F. Определение. Последовательность распределений {Fn} сходится к распределению F при п оо, если Fn(I) F(J) для каждого конечного интервала непре- рывности I распределения F (обозначение: Fn F или lim Fn = F). Если при этом F — собственное вероят- п ностное распределение, то будем говорить, что последо- вательность {Fn} сходится к F собственно, если F — несобственное, то — несобственно. Часто полезными являются следующие достаточные условия сходимости распределений. 1° Если последовательность функций распределений {Fn(x)} сходится к функции распределения F(x) в каж- дой точке непрерывности последней, то последователь- ность распределений {Fn} сходится к распределению F (в собственном или несобственном смысле). 2° Собственные вероятностные распределения Fa с одним и тем же средним а и дисперсией а2, стремя- щейся к 0, сходятся к собственному атомическому рас- пределению, сосредоточенному в точке а. Пример 12.1.1. Пусть {Fn} — последовательность распределений с функциями распределения Fn(x) = < 0, пх, 1, если х < 0; если 0 < х < 1/п; если х > 1/п. Исследовать последовательность {Fn} на сходимость.
12.1. Определения. Примеры 165 Решение. Докажем, что при п —> оо последователь- ность функций {Fn(a;)} сходится к функции г-,/ ч fl, если х > О = t о’ если X < О атомического распределения, сосредоточенного в точке х = 0, в каждой точке, кроме точки х = 0 (точка х = О является точкой разрыва F(xY). В самом деле, по условию для произвольной, но фик- сированной точки ж, лежащей слева от нуля, при каж- дом п имеет место равенство Fn(x) = 0, поэтому \im Fn(x) = 0 = F(x). п Для произвольной, но фиксированной точки ж, лежащей справа от нуля, начиная с некоторого N (п > 7V) имеет место неравенство 1/п < х. Поэтому для n > N значение Fn(x) равно 1, и следовательно, limFn(a;) = 1 = F(x). Таким образом, при п —> оо Fn(x) F(x) в каждой точке х € R1, исключая, быть может, точку 0. Отсюда, согласно достаточному условию 1° сходимости распределений, при п —> оо Fn^F. Следовательно, последовательность распределений {Fn} сходится к собственному атомическому распределе- нию, сосредоточенному в точке 0. Пример 12.1.2. Пусть {Qn} — последовательность распределений с плотностями = -J=exp у2тг (ж — (—1)")2П2 2 п = 1,2,... Исследовать последовательность {Qn} на сходимость
166 Глава 12. Сходимость распределений Решение. Согласно достаточному условию сходимо- сти 2° для четных п последовательность распределений {Qn} сходится к собственному атомическому распреде- лению, сосредоточенному в точке 1, а для нечетных — в точке —1. Поэтому последовательность {Qn} не является сходящейся. Пример 12.1.3. Пусть — вероятностные распре- деления с плотностями t ( \ - 1 J (ж - а)21 v^AeXPl 2/г2 Г Исследовать на сходимость 1° при h оо, 2° при h^O. Решение. 1° Заметим, что функция F(x) = с, х 6 R1, где с — константа из промежутка [0; 1], явля- ется функцией несобственного вероятностного распреде- ления, тождественно равного нулю. В самом деле, значе- ние F([a; &)) распределения F на промежутке [а; Ь) равно F(b} — F(a) = 0, поэтому F(A) = 0 и на множествах А из алгебры 21 конечных объединений непересекающих- ся промежутков вида [а; Ь) (а и Ь не обязательно долж- ны быть конечными), а следовательно, и на борелевских множествах, поскольку сг(21) = 231. Поэтому, если после- довательность {Fn(x)} функций распределения сходится к функции F(x) = с (с — константа из промежутка [0; 1]), то Fh при h оо сходится к распределению F, тожде- ственно равному нулю. Далее, X Fh(x) = / fh^dt = —оо (x-atfh 1 f J Нл — /— / exp < —— > du у/2л J I 2 J —oo (мы воспользовались заменой (t—d)/h = u). Для каждого
12.1. Определения. Примеры 167 фиксированного х lim Fh(x) = h—юо Поэтому Fh при /г —> оо сходится к распределению, тож- дественно равному нулю. 2° При /г —> О семейство распределений сходится к собственному атомическому распределению, сосредото- ченному в точке а (согласно достаточному условию схо- димости к атомическому распределению). Определение. Последовательность распределений {Fn} слабо сходится к распределению F при п оо от- носительно класса функций U, если для каждой функции ие U IR1 IR1 u{x)F{dx) при п оо. Пусть С(—оо;+оо) — класс непрерывных ограничен- ных функций на R1; Со[—оо;+оо] — класс непрерывных ограниченных функций, для которых lim и(х) = О, я—>+оо lim и(х) = 0. х—>—оо Теорема 12.1.1. Из сходимости {собственной или несобственной) последовательности вероятностных рас- пределений {Fn} к распределению F следует слабая схо- димость {Fn} к F относительно класса Со[—оо;+оо] и наоборот. Из собственной сходимости вероятностных распре- делений {Fn} к распределению F следует слабая сходи- мость {Fn} к F относительно класса С{—оо;+оо). Пример 12.1.4. Пусть {Fn} — последовательность вероятностных распределений с плотностями s 9 9 \ г / ч П I Х П I i fn(x) = —f= ехР 5---5“ Г ’ п = 1? 2’ • • • V *7Г )
168 Глава 12. Сходимость распределений Вычислить IR1 Решение. Последовательность распределений {Fn} сходится к собственному атомическому распределению F, сосредоточенному в точке 0 (согласно достаточному усло- вию 2°). Поэтому согласно теореме 12.1.1 последователь- ность {Fn} слабо сходится к F относительно класса С(—оо;+оо). И поскольку eztx 6 С(—оо;+оо), то lim eitxFn(dx) = eitxF(dx) = eiWF({0}) = 1. г—>оо / / IR1 IR1 Пример 12.1.5. Пусть F — вероятностное распре- деление со средним т и дисперсией а2. Доказать, что для а О F{x : к — т\ > а} < —z-. az Решение. a2F(dx) = a2 j F(dx) = a2F{x : — т\ > а}. х:|х—т|>а х:|х—т|>а Пример 12.1.6. Пусть {Fn} — последовательность собственных распределений соответственно со средни- ми ап, сходящимися к а, и дисперсиями а2, сходящими- ся к 0. Доказать, что последовательность {Fn} сходится к собственному атомическому распределению, сосредото- ченному в точке а.
12.2. Задачи 169 Решение. Достаточно доказать, что последователь- ность {Fn(rr)} функций распределения сходится к функ- ции Fa(x) атомического распределения, сосредоточенно- го в точке а, т. е. к О, если х < a 1, если х > a Пусть t > 0, х = a — 2t. Поскольку an а, при п —> оо, то при достаточно больших п Fn(x) = Fn(a—2f) = Fn((-oo,a-2£)) < Fn((-oo,an-£)) = = Fn{y :y <an — t} < Fn{y : \y - an\ > t} < а поэтому Fn(a — 2t) 0, при n —> оо (воспользовались примером 12.1.5). Аналогично убеждаемся, что Fn(a+2f) 1, при п оо. 12.2 Задачи АЗ: 12.1,12.3,12.5,12.7(2,5), 12.9,12.11,12.12,12.15*. СЗ: 12.2,12.4,12.6,12.7(1,3,4), 12.10,12.16*. 12.1. Пусть {Na.a2} — последовательность нормаль- ных распределений соответственно со средним а и дис- персиями сг^. Доказать, что если сходится к нулю, то {Afa.a2} сходится к собственному атомическому распреде- лению, сосредоточенному в точке а. 12.2. Пусть Fh — семейство вероятностных распреде- лений с плотностями 1 Г (х — 62^2 1 А(а:) = ехр { ’ h > °' Исследовать на сходимость F^ при /г —> 0.
170 Глава 12. Сходимость распределений 12.3. Пусть F(x) — монотонно возрастающая функ- ция распределения. Исследовать на сходимость последо- вательность распределений {Fn }, заданных своими функ- циями распределений, Fn(x) = < 0, F(rr)-F(-l/n) F(l/n) — F(—1/п) ’ 1, если х < — 1/п, если — 1/п < х < 1/п; если х > 1/п. 12.4. Пусть {Fn} — последовательность распределе- ний с функциями Fn(rr) = < 0, п(х + 1/п)/2, 1, если х < —1/п; если — 1/п < х <1/щ если х > 1/п. Исследовать последовательность распределений {Fn} на сходимость. 12.5. Пусть {Fn} — последовательность распределе- ний с плотностями п/2, если х 6 0, если х £ — 1/п; 1/п — 1/п; 1/п Исследовать последовательность распределений {Fn} на сходимость. 12.6. Пусть {Fn} — последовательность распределе- ний соответственно с плотностями /п(^) = < 0, п\х + 1/п), —п2(х — 1/п), О, если х < —1/п; если — 1/п < х < 0; если 0 < х < 1/п; если х > 1/п. Исследовать последовательность распределений {Fn} на сходимость при п —> оо. 12.7. Пусть F(x) — функция распределения непре- рывного собственного вероятностного распределения. Исследовать на сходимость каждую из приведенных далее последовательностей распределений, заданных сво- ими функциями распределения:
12.2. Задачи 171 1) Fn(x) = F(x + l/тг), n = 1,2,...; 2) Gn(x) = F(x + n), n = 1,2,...; 3) Sn(x) = F(x -n), n = 1,2,...; 4) Pn(a;) = F(x/n), n = 1,2,; 5) Qn(x) = F(x + (-1)"тг), 77 = 1,2,... 12.8. Исследовать на сходимость последовательность распределений {Рп}, заданных плотностями Рп(ж) = 2тг2 2 п = 1,2,... 12.9. Исследовать на сходимость последовательность распределений: 1 \ т-l ( \ 1 Q 1) Рп 1/2 1/2 J ’ п~ 1’2’ 2> G” : ( ’1/2" ‘/Д )• п=1>2,... 12.10. Пусть {Fn} — последовательность распределе- ний соответственно с плотностями ( п/2, если х Е [(—1)п — 1/п; (—1)п + 1/п]; 0, если х £ [(—1)п — 1/п; (—1)п + 1/п]. Исследовать {Fn} на сходимость при п оо. 12.11* . Пусть ^х;а2{у) Вычислить Ит^х;<72(у)- СТ—>0 ’ 12.12. Пусть {Fn} — последовательность вероятност- ных распределений с плотностями
172 Глава 12. Сходимость распределений Вычислить lim / sin xFn(dx). n^OO I IR1 12.13. Пусть {Fn} — последовательность вероятност- ных распределений с функциями распределения из зада- чи 12.12. Вычислить lim / cos xFn(dx). n^oo I IR1 12.14* . Пусть F — собственное вероятностное распре- деление, 1 f f (t — x)2 1 Nx-a2 (y) = J exP |---------J X' У R1’ a > 0‘ —oo Вычислить +oo lim / 2(y)F(da>), <7->0 J —OO если у — точка непрерывности F. 12.15* . Пусть Л(у) = Е ТГе“А’ У е R1, А > 0. k:O<k<y Вычислить lim Fa(у). А—>0 12.16* . Пусть ^л(у) = Е ТГе-А’ у е R1, А > 0. k:O<k<y
12.2. Задачи 173 Вычислить lim Л—>0 12.17. Пусть {Fn} — последовательность распределе- ний с плотностями f м = I п/2’ если х е К-1)"/” _ Vn; (-!)"/« +!/«]; [ 0, если х £ [(—l)n/n — 1/n; (—1)п/п + 1/п] соответственно. Исследовать последовательность {Fn} на сходимость при п оо. 12.18. Пусть последовательность {Fn} вероятностных распределений и распределение F сосредоточены на мно- жестве натуральных чисел и при п —> оо Fn({k}^ F({fc}) для каждого натурального к. Доказать, что Fn F при п оо. 12.19. Пусть {Ffc} — последовательность собственных вероятностных распределений, {pk} — последовательность оо неотрицательных чисел, для которых ^2 Рк — 1- к=о Доказать, что последовательность распределений п Un 2 PkFk, 1,2,..., к=0 сходится в собственном смысле к распределению оо и = ^PkFk. к=0 12.20. Пусть Fh — семейство вероятностных распре- делений с плотностями fh (ж) = если х Е [a, a + h\; 0, если х £ [а, a + h]
174 Глава 12. Сходимость распределений (а — фиксировано). Исследовать на сходимость F^: 1) при /г —> оо, 2) при /г —> 0. 12.21. Пусть Gh — семейство вероятностных распре- делений с плотностями 1 2/г’ 0, Ыж) = < если [—h, h]; если х $ [—h,h\. Исследовать на сходимость Gh- 1) при h оо, 2) при h 0.
Глава 13 Характеристическая функция 13.1 Определения, свойства, вычисление Определение. Пусть £ — случайная величина, F — ее распределение. Характеристической функцией слу- чайной величины £ (распределения F) будем называть ком- плекснозначную функцию <р(£), определенную для всех t 6 R1 равенством y(t) = Ме^ = / eitxF(dx\ Если распределение F (распределение случайной величи- ны £) имеет плотность /, то y(t) = Ме^ = / eitxf(x)dx- если распределение F (распределение случайной величи- ны £) дискретно т. е. F: xk -> F({xk}) > О, А; = 1,2,...; ^F({xk}) = 1, 175
176 Глава 13. Характеристическая функция то ^(f) = Мег^ = ^exp{itxk}F({xk}). Многочисленные применения характеристических функций используют приведенное далее свойство. Мультипликативное свойство характеристиче- ских функций. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению ха- рактеристических функций слагаемых. В терминах свер- ток характеристическая функция свертки вероятност- ных распределений равна произведению их характеристи- ческих функций. Теорема (о дифференцируемости характеристиче- ской функции). Если п-й абсолютный момент распреде- ления F конечный, то существует п-я производная ха- рактеристической функции распределения F, и ее можно получить дифференциро- ванием под знаком интеграла: +оо —оо Следствие. В условиях теоремы +оо у?(п)(0) = in J xnF(dx) = inMC, —ОО rit) = 1 + ^“(O) + ^(2>(0) + ... + ^<">(0) + «(<"), при t —> 0.
13.1. Определения, свойства, вычисление 177 Пример 13.1.1. Вычислить характеристическую функцию случайной величины %, имеющей распределение Пуассона с параметром X: \ к Р{£ = к} = —е~\ £ = 0,1,2,... Решение. Согласно определению V(t) = = У = е-А У = 7 fc! к\ к=0 к=0 = ехр{—А} ехр{Аехр{г£}} = ехр{А(ехр{г£} — 1)}. Пример 13.1.2. Найти характеристическую функ- цию нормально распределенной с параметрами (а; <т2) слу- чайной величины. Решение. Сначала найдем характеристическую функцию cp(t) случайной величины £, распределенной нор- мально с параметрами (0; 1). Согласно определению +оо ¥>(*) = Ме^ = [ eitx-^e~x2/2dx = J v 2тг —оо +оо +оо — [ е~х1^'1 cos txdx Н—[ е~х2^ sin txdx. J J —oo —oo Последний интеграл равен нулю, поскольку j e x2/2sin о j е w2/2 sin tudu. о Продифференцируем воспользовавшись теоремой о дифференцируемости характеристической функции (пер- вый момент нормального распределения конечный). Име- ем +оо ср (t) = —^= /* х(— sintx)e~x2/2dx = ^277 J —оо
178 Глава 13. Характеристическая функция +оо — [ sintxde~x2^ = \/27Г J —ОО +оо / t cos tx • e~x2!2dx = у2тг J —oo Отсюда /(i)/^(i) = -t. Решая это уравнение, получаем ¥>(*) = е *2/2 (мы учли, что <^(0) = 1). Далее, если £ распределена 7Vo;i, то т) = + а рас- пределена нормально с параметрами (а;сг2) (проверяется непосредственно), поэтому характеристической функци- ей ^(t) случайной величины ту, распределенной ТУо;а2, яв- ляется ^(^) = Meitri = Me^+a} = eitaMei{at^ = eitap(at) = = exp{ita} ехр{—сг2£2/2} = exp{ita — a2t2/2}. 13.2 Теоремы единственности и непрерывности Теорема единственности. Различным вероят- ностным распределениям соответствуют различные ха- рактеристические функции. В задачах исследования сходимости распределений ча- сто используется теорема непрерывности. Теорема непрерывности. Для того чтобы по- следовательность {Fn} вероятностных распределений собственно сходилась, необходимо и достаточно, чтобы
13.2. Теоремы единственности и непрерывности 179 соответствующая последовательность характеристи- ческих функций {</>п(£)} сходилась к непрерывной функ- ции ip(t) в каждой точке t 6 R1. Предел ip(t) последо- вательности характеристических функций {</>п(£)} «яв- ляется характеристической функцией предельного рас- пределения F и {</>п(£)} сходится к ip(f) равномерно на каждом конечном промежутке. Пример 13.2.L Пусть F и Q — нормальные распре- деления соответственно с параметрами (ai; сг^) и (с^; Найти свертку F * Q распределений Q и F. Решение. Воспользовавшись мультипликативным свойством характеристических функций (характеристи- ческая функция свертки вероятностных распределений равна произведению характеристических функций рас- пределений), по характеристическим функциям 4>\(t) = exp {ztai — /2} и = exp [ita2 — t2O2/2} нормальных распределений F и Q с параметрами («1; сг^) и (^25^2) соответственно (см. пример 13.1.2) находим ха- рактеристическую функцию свертки F * Q: </?(<) - = exp {zt(ai + а2) - *2(fi + ^)/2} • Далее, с одной стороны, cp(t) — характеристическая функ- ция свертки F * Q, с другой, </>(£) = exp {it(a! + «2) - ^2(cri + &2)/2} является характеристической функцией нормального рас- пределения с параметрами («1+^2;^1+^2), т. е. характе- ристическая функция распределения F*Q и нормального распределения с параметрами (ai + ^25^1 + ^2) совпада- ют. А поэтому согласно теореме единственности совпада- ют и сами распределения. Следовательно, свертка нор- мальных распределений с параметрами (ai;cr^) и (g^;^) является нормальным распределением с параметрами (ai + ^25^1 + ^2) (^л^сс нормальных распределений зам- кнут относительно операции свертки).
180 Глава 13. Характеристическая функция Пример 13.2.2. Пусть F u Q — пуассоновские рас- пределения соответственно с параметрами Ai и А2. Най- ти свертку F * Q распределений Q и F. Решение. Характеристическими функциями пуас- соновских распределений соответственно с параметрами Ai и А2 являются <Р1(£) = exp{Ai(exp{rt}-l)} и <р2(*) = ехр{Л2(ехр{^}-1)} (см. пример 13.1.1), поэтому характеристическая функ- ция cp(t) свертки F * Q, согласно мультипликативному свойству, равна 9Р1 (i)<^2(^)9 т. е. = <pi(f)p2(i) = exp{(Ai + A2)(exp{?f} - 1)}. Ho exp{(Ai+A2)(exp{?f}—1)} — характеристическая функ- ция пуассоновского распределения с параметром Ai + А2. Поэтому согласно теореме единственности распределение F *Q совпадает с пуассоновским распределением с пара- метром Ai + А2. Следовательно, свертка пуассоновских распределений с параметрами Ai и А2 является пуассоновским распре- делением с параметром Ai + А2 (класс пуассоновских рас- пределений замкнут относительно операции свертки). Пример 13.2.3. Пусть случайная величина £п,рп рас- пределена биномиально с параметрами (щрп). Доказать, что если прп А при п оо, то распределение случай- ной величины £п,рп сходится к пуассоновскому распреде- лению с параметром А (теорема Пуассона). Решение. Вычислим характеристическую функцию случайной величины £п,рп и покажем, что при п —> оо, она сходится к характеристической функции пуассонов- ского распределения с параметром А. Характеристическая функция ipn(t) биномиально рас- пределенной с параметрами (п\рп) случайной величины 6i,p„ равна (1 +Рп (еи - 1))”, т. е. <Pn(i) = (1+Рп (ег< - 1))” (см. решение задачи 13.7). Далее, поскольку прп А, при п —> оо, то рп —> 0 и для In <pn(t) = nln (1 + рп (ezt — 1))
13.3. Задачи 181 при каждом фиксированном t имеем 1п</>п(£) ~ прп (ezt — 1) , при п оо. Отсюда, In ^n(t) Л (ег* - 1), <Лг(*) -> ехр{А(ег< - 1)}. Но ехр{А(ег* — 1)} — характеристическая функция пуассо- новского распределения с параметром А, поэтому соглас- но теореме непрерывности распределение случайной ве- личины ^п,рп сходится к пуассоновскому распределению с параметром А. 13.3 Задачи АЗ: 13.1,13.2,13.5,13.6,13.7,13.9,13.10,13.16,13.17, 13.27. СЗ: 13.2,13.4,13.8,13.14,13.18,13.19,13.20,13.21,13.23, 13.25. 13.1. Пусть случайная величина £ принимает значе- ния 1 и — 1, каждое с вероятностью 1/2. Вычислить ха- рактеристическую функцию случайной величины %. 13.2. Пусть случайная величина £ принимает значе- ния — 1, 0, 1, каждое с вероятностью 1/3. Вычислить ха- рактеристическую функцию £. 13.3. Доказать, что = cos2 z является характе- ристической функцией; найти соответствующее распре- деление вероятностей. 13.4. Доказать, что оо оо V’lC?) = ^akcoskz, у?2(-г) = ^акегХкг k=0 fc=0 ОО > 0, 52 ak — 1) являются характеристическими фун- k=o кциями. Найти соответствующие распределения вероят- ностей.
182 Глава 13. Характеристическая функция 13.5. Пусть £1,£2>--->£п — независимые случайные величины, каждая из которых принимает значения 1 и — 1с вероятностью 1/2. Вычислить характеристическую функцию случайной величины 8п — £1 + + • • • + £>п- 13.6. Доказать, что = cosn z является характе- ристической функцией (для каждого натурального п). 13.7. Вычислить характеристическую функцию слу- чайной величины £, распределенной биномиально с пара- метрами (п;р): р{е = k} = су (1 - р)п~\ к = о, 1,..., п. 13.8. Вычислить характеристическую функцию слу- чайной величины £, геометрически распределенной с па- раметром р: P{£ = k} = p(l-p)fe, А: = 0,1,... 13.9. Пусть — случайная величина, имеющая рас- пределение Пуассона с параметром А. Вычислить характеристическую функцию случайной величины (£д — А)/х/А. 13.10. Найти характеристическую функцию случай- ной величины, равномерно распределенной на промежут- ке [—а; а]. 13.11. Вычислить характеристическую функцию слу- чайной величины, равномерно распределенной на проме- жутке [а; Ь]. 13.12. Вычислить характеристическую функцию слу- чайной величины с плотностью р(а?) = е~\х\/2. 13.13. Вычислить характеристическую функцию по- казательного распределения с параметром а. 13.14. Вычислить характеристическую функцию дву- стороннего показательного распределения с параметром а Плотность двустороннего показательного распределения /(Ж) = V“kl,a>0.
13.3. Задачи 183 13.15. Вычислить характеристическую функцию тре- угольного распределения с параметром а. Плотность тре- угольного распределения О, если |я| > а; (а — |ж|)/а2, если |ж| < а. 13.16* . Вычислить характеристическую функцию рас- пределения Коши с параметром а. Плотность распреде- ления Коши / \ 1 CL л Р(ж) =--------2, 2’ Х е R • тг а/ + xz 13.17. Пусть F и Q — распределения Коши соответ- ственно с параметрами а и Ь. Найти свертку F * Q рас- пределений Q и F. 13.18. Пусть £ и г] — независимые нормально распре- деленные случайные величины соответственно с парамет- рами (ai;cr2) и (^25^2)- Найти распределение случайной величины £ + т). 13.19. Пусть £ и г] — независимые случайные величи- ны, имеющие распределения Коши с параметрами а и Ь соответственно. Найти распределение случайной величи- ны £ + г). 13.20. Пусть £ и г) — независимые случайные величи- ны, имеющие пуассоновские распределения соответствен- но с параметрами Ai и А2. Найти распределение случай- ной величины £ = £ + г). 13.21. Пусть — характеристическая функция слу- чайной величины £, для которой М£ = а и D£ = а2 < оо. Выписать разложение Тейлора для в окрестности точки t = 0, содержащее t2. 13.22. Пусть {£п} — последовательность нормально распределенных случайных величин соответственно с па- раметрами (ап; сг2), причем ап а, а2 0, при п оо. Доказать, что при п оо, распределение случайной величины сходится к собственному атомическому рас- пределению, сосредоточенному в точке а. 13.23. Пусть ~ пуассоновская случайная величина с параметром А < оо.
184 Глава 13. Характеристическая функция Доказать, что если А —> оо, распределение случайной величины (£д — A)/VX сходится к нормальному распреде- лению с параметрами (0; 1). 13.24. В каждой точке хь = k/n,k = 0,1,..., п, отрез- ка [0; 1] сосредоточена масса l/(n + 1). Обозначим через Fn полученное таким образом вероятностное распределе- ние. 1° Найти характеристическую функцию (pn(t) распре- деления Fn. 2° Вычислить предел при п —> оо . 3° Доказать, что при п оо, последовательность {Fn} сходится к равномерному на промежутке [0; 1] рас- пределению. 13.25 (центральная предельная теорема). Пусть {£п} — последовательность независимых одинаково рас- пределенных случайных величин со средним 0 и диспер- сией сг2 (D£k = &2 < оо). Доказать, что при п оо, распределение случайной величины Sn 1 ay/n i=l сходится к нормальному распределению с параметрами (0;1). Указание. Обозначим через <р(£) характеристиче- скую функцию случайной величины & (^ — 1,2,...), а че- п 52 & i=l 1 рез — случайной величины (Ту/П Последовательно решите такие задачи: 1° Выписать характеристическую функцию че- рез характеристическую функцию 2° Выписать разложение Тейлора для в окрест- ности точки t = 0, содержащее t2. 3° Воспользовавшись результатами пунктов 1° и 2°, найти предел характеристической функции при п оо. 4° Воспользовавшись результатом пункта 3° и теоре- мой непрерывности, доказать, что при п оо, распре-
13.3. Задачи 185 1 п деление случайной величины —^2 & сходится к нор- avn i=i мальному распределению с параметрами (0; 1). 13.26. Пусть {£п} — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конеч- ными дисперсиями = a2 < оо. Тогда из неравенства Чебышёва p{|C-MC|>e}<DC/e2 1 п следует, что при п оо, последовательность Sn = ^2 & i=l сходится по вероятности к a = т. е. для любого е > 0 P{\Sn-a\>£}^0. Не будем требовать, чтобы сг2 < оо, но пусть = а ф оо. Доказать, что при п оо, последова- тельность Sn сходится по вероятности к а (закон больших чисел в форме Хинчина). 13.27. Пусть £1,^2, • • • — независимые одинаково рас- пределенные случайные величины, каждая из которых имеет распределение Коши с параметром а. 1 п Доказать, что Sn = ^2 & не сходится по вероятно- го сти к константе (ни к одной). Указание. 1° Найти характеристическую функцию Sn. 2° Вычислить при п о оо предел характеристической функции случайной величины Sn. Заметим, что у случайной величины, имеющей рас- пределение Коши, математическое ожидание не существу- ет. 13.28 (центральная предельная теорема). Пусть {£п} — последовательность независимых одинаково рас- пределенных случайных величин со средним а (М£* = = а / оо) и дисперсией сг2 (£>£* = сг2 < оо). Доказать, что при п оо распределение случайной величины
186 Глава 13. Характеристическая функция сходится к нормальному с параметрами (0; 1). Указание. См. задачу 13.25. 13.29. Пусть £цп, £2,п, • • •, , Сп,п, — независимые одинаково распределенные случайные величины, каждая с распределением P{Ck,n=j} =р№-РпУУ 7 = 0,1, к = 1,2,..., п, причем прп А, при п оо. Доказать, что если п —> оо распределение суммы п 52 сходится к пуассоновскому распределению с па- к=1 раметром А: 13.30. Пусть Vi — случайная величина, определенная в задаче 10.41. Доказать, что при п оо, распределение У г - ПРг y/npiil-pi) сходится к нормальному распределению с параметрами (0;1). 13.31. Пусть — последовательность нор- мальных распределений с параметрами ((—1)п; 1/тг2). Исследовать последовательность вероятностных рас- пределений N^_^n.^/n2 на сходимость при п оо. Приведенные далее задачи можно решить, выписав характеристические функции соответствующих распре- делений и исследовав их сходимость при п оо. 13.32. Пусть {Fn} — последовательность вероятност- ных распределений с функциями распределения Fn(tf) = пх1 если х < 0; если 0 < х < 1/п; если х > 1/п. 1,
13.3. Задачи 187 Доказать, что при п оо, последовательность рас- пределений {Fn} сходится к собственному атомическому распределению, сосредоточенному в точке 0. 13.33. {Fn} — последовательность вероятностных рас- пределений с функциями распределения ' 0, Fn(x) = \ п(я + 1/п)/2, 1, если х < —1/п; если — 1/п < х < 1/п; если х > 1/п. Доказать, что при п —> оо последовательность распре- делений {Fn} сходится к атомическому распределению, сосредоточенному в точке 0. 13.34. {Fn} — последовательность вероятностных рас- пределений с плотностями ( п/2, если х 6 [—1/п, 1/п]; [ 0, если х £ [—1/п, 1/п]. Доказать, что при п —> оо последовательность распре- делений {Fn} сходится к атомическому распределению, сосредоточенному в точке 0. 13.35. Fn — последовательность вероятностных рас- пределений с функциями распределения если х < —1/п; если — 1/п < х < 1/п; если х > 1/п. Доказать, что при п —> оо последовательность рас- пределений Fn сходится к атомическому распределению, сосредоточенному в точке 0. 13.36. Fn — последовательность вероятностных рас- пределений с плотностями ( п/2, если х 6 0, если х £ — 1/п, 1/п — 1/п, 1/п Доказать, что при п —> оо последовательность рас- пределений Fn сходится к атомическому распределению, сосредоточенному в точке 0.
188 Глава 13. Характеристическая функция 13.37. Пусть £п, п = 1,2,..., — последовательность нормально распределенных случайных величин соответ- ственно с параметрами (а;сг^), для которых 0, при п оо. Доказать, что распределение случайной величины сходится к собственному атомическому распределению, сосредоточенному в точке а. Указание. Исследовать сходимость характеристи- ческих функций нормального распределения с парамет- рами (а; сг2) при 0.
Глава 14 Оценивание параметров распределений 14.1 Точечные оценки Типичная задача теории вероятностей — по математи- ческой модели стохастического эксперимента вычислить вероятности тех или иных событий и тем самым спрогно- зировать те или иные его исходы. Типичная задача математической статистики — по исходу стохастического эксперимента предложить (вы- брать) математическую модель, которая бы адекватно его описывала. Во многих случаях решение последней за- дачи сводится к оцениванию параметров распределений и проверке статистических гипотез. Определение. Случайный вектор £ = (£i,£2, • • • ,£п) со значениями в пространстве Rn будем называть выбор- кой (выборочным вектором). Выборку £ = (£1, £2, • • •, £п), образованную последова- тельностью независимых одинаково распределенных слу- чайных величин £i,£2> • • • каждая из которых имеет распределение G, называют выборкой из распределения (закона) G объемом п. Значение £(cv) = (£i(c^), £2(^)5 • • • выборки £ = — (£ь £2, • • •, £п) будем называть ее реализацией. 189
190 Глава 14. Оценивание параметров распределений Множество X всех возможных значений (реализаций) выборки будем называть выборочным пространством (вы- борочное пространство X — это Rn или его подмноже- ство) . Мы будем иметь дело с выборками, распределения (функции распределения) которых зависят от парамет- ра в. В качестве множества возможных значений Q па- раметра в мы, как правило, будем рассматривать под- множества конечномерного пространства Rs. (Распреде- лениями, зависящими от параметров, например, являют- ся нормальное, пуассоновское, показательное, равномер- ное, ...) Постановка задачи оценивания параметров рас- пределений. Пусть £(cj) = (£i(cv),&М,... ,Cn(^)) — ре- ализация выборки £ = (£i,£2> • • • >£п) с распределением F(-; в). Распределение F(-; в) зависит от параметра 0, при- нимающего значения из множества Q. Значение парамет- ра в неизвестно и его необходимо оценить (определить) по реализации £(cu) = (£i(^), £2(^)5 ••• ^пС^)) выборки £ — (£1>£2> • • • >£п)- В этом и состоит задача оценивания параметров распределений. Единственное, что нам известно для оценивания неиз- вестного параметра 0, — это реализация £(си) выборки %. Кроме реализации £(cv) выборки, мы не имеем ничего, что бы несло информацию о значении параметра в. По- этому “оценить (определить) в по реализации £(cv) (точно или хотя бы приближенно)” обозначает поставить в со- ответствие реализации £(cv) выборки £ значение в из 0, которое мы будем использовать в качестве неизвестного параметра в. Формально это обозначает, что для оцени- вания в на выборочном пространстве X — множестве ре- ализаций выборок — необходимо определить (построить, задать) функцию Л(-) со значениями в О — множестве возможных значений параметра в — такую, что 7i(£(cv)) равно в или 7i(£(cv)) хотя бы приближенно равно в. Зна- чение 0 = ьш мы и будем использовать в качестве в. Заметим, что для каждой реализации £(си) значение в = Л(£(си)), свое.
14.1. Точечные оценки 191 Поэтому в как функция £ = £(cv) является случайной величиной. Определение. Пусть £ = (£i,£2> • • • >£п) — выборка со значениями в Rn и F(-, 0) — ее распределение (0 е 0 С С Rn). Борелевскую функцию Zi(-), заданную на выбороч- ном пространстве X С Rn, со значениями в 0 — множе- стве возможных значений параметра 0 — будем называть статистикой, а случайную величину 9 = h£) = h&, — борелевскую функцию от выборки — оценкой. Строить статистики Ti(-), такие, что 0 = = 0, т.е. статистики, с помощью которых по £(cv) можно было бы точно определить 0, явно не удастся уже хотя бы пото- му, что 0 является константой, а оценка 0 = Л(£(си)) как функция выборки (случайной величины) является слу- чайной величиной. Поэтому нравится нам это или нет, для определения 0 нам придется довольствоваться оцен- ками 0 = /г(£) как приближенными значениями 0. Заметим, что для одного и того же параметра 0 мож- но предложить много оценок. Например, для оценивания параметра 0 равномерного на промежутке [0—1,0+1] рас- пределения по выборке £i,>£п из него можно пред- ложить оценки 01 = 1529 ; 03 = l(max{^} + min{^}) п 2 2 г=1 (при этом естественно возникают вопросы: какая из пред- ложенных оценок лучше? Как построить наилучшую оцен- ку? ...). Погрешности оценивания параметров. В связи с постановкой задачи оценивания параметров распределе- ний как задачи получения приближенных значений 0 — 7i(£) параметра 0 необходимо уметь отвечать на во- прос: насколько велика погрешность в — в при замене 0
192 Глава 14. Оценивание параметров распределений на 0, другими словами, как далеко могут уклоняться зна- чения оценки 0 = МСьбг, • • • ,£п), вычисленной по выборке £ = (£1, £2, • • • > £п), от оценивае- мой величины 01 От оценки О = h(g), предлагаемой для оценивания того или иного параметра, естественно требовать мало- го разброса ее значений, другими словами, концентрации их в узкой окрестности. В качестве количественной меры разброса значений случайной величины О = h(£) будем рассматривать do = м(ё - мё)2 (для наглядности 0 — одномерный параметр). Количественно меру погрешности при замене 0 на О (меру разброса О относительно 0} будем описывать вели- чиной М\0 - 0|2. Среди всех оценок с одной и той же дисперсией DO (ме- рой разброса) минимальную меру разброса относитель- но 0 имеют оценки, для которых МО = 0. Последнее сле- дует из равенств м\ё - 0\2 = м\(ё - мё) + (мё - 0)|2 = м(ё - мё)2+ +2М(ё - мё)(мё -0) + м(мё - 0)2 = вё + (мё - 0)2. Определение. Оценку 0 будем называть несмещен- ной оценкой параметра 0, если М0 = 0, или, что то же, М(0 — 0) = 0. Наглядно несмещенность оценки 0 параметра 0 можно трактовать так: при многократном использовании оцен- ки 0 в качестве значения 0, т.е. при многократной заме- не 0 на 0, среднее значение погрешности 0 — 0 равно нулю.
14.1. Точечные оценки 193 Часто рассматривают не одну оценку 0 = h^) = h^,^,...^n), построенную по выборке £ = (£i,£2, ... , £п), а последова- тельность оценок @П — ^2, • • • ч £>п)ч П = 1,2,... В этой ситуации естественно говорить об асимптотиче- ском поведении последовательности оценок. Определение. Последовательность оценок {0П} бу- дем называть состоятельной последовательностью оце- нок параметра 0, если для каждого е > О р{\дп-о\>е}^о при п оо, или, что то же, {0П} сходится по вероятности к в при п оо. Определение. Последовательность оценок {0П} бу- дем называть асимптотически несмещенной последова- тельностью оценок параметра 0, если М(0п - 0) -> О при п оо, или, что то же, М0п^0 при п оо. Пример 14.1.1. Пусть £1,^2, ... ,£п — выборка из рас- пределения с плотностью f(x;a,b) = < 1 b — а'1 О, если х € [а; Ь]; если х <j£ [а; Ь]. Рассматриваются оценки 01 = min{£i,£2,.. 02 = max{£i,£2,..
194 Глава 14. Оценивание параметров распределений ft = iff., ft = H±b IL i=l Какие из оценок #i, #2, #4 и для каких параметров (воз- можно, отличных от а и Ь) являются несмещенными оценками? Состоятельными оценками? Решение. Рассмотрим каждую из оценок. Оценка #2 — max{£i,£2, • • • ,£п}- Найдем сначала распределение Оъ- По условию £i, £2,•••, £п — выборка из равномерного на отрезке [а; Ь] распределения, т. е. £i,£2,--- ..., — независимые случайные величины, каждая из которых распределена равномерно на отрезке [а;Ь]. От- сюда, учитывая, что распределения случайных величин С1, ^2, • • •, Сп абсолютно непрерывны с плотностями f(x, а, Ь), имеем Fg2{x) = Р{02 < ж} = Р{тах{£1,£2,... ,£п} < ж} = п = Р{£1 < X,& < < ж} = JJ-PRi < ж} = г=1 /(у; a, ft) dy = Поэтому 02 — абсолютно непрерывная случайная вели- чина и ее плотность распределения (х \ га-1 У f(y;a, b) dy j —ОО / А поскольку х О, [ f(y,a,b)dy = < -<*> 1, если х < а; если а < х < &; если х > Ь,
14.1. Точечные оценки 195 то Л2(ж) = * (Ь - а)п О, (х — а)п-1, если х £ [а; &]; если х 6 [а;Ь]. п График плотности f^x) изображен на рис. 14.1.1. По известной плотности распределения оценки 02 мо- жем вычислить ее математическое ожидание: оо —оо Следовательно, оценка 02 не является несмещенной оцен- кой ни параметра а, ни параметра Ь; но, при п оо, ме2 = п 1 а -------Ь-\--------- п + 1 п + 1 ~^Ь. Последнее обозначает, что 02 является асимптотически несмещенной оценкой параметра Ь. Выясним, является ли 02 состоятельной оценкой пара- метра Ь, другими словами, сходится ли 02 по вероятности к Ь. Для достаточно малых е имеем F{|02 - Ь\ > в} = Р{02 е (—оо, b - s) U (Ь + s, +оо)} = dx = dx =
196 Глава 14. Оценивание параметров распределений что сходится к нулю, при п оо. Следовательно, Р{\02-Ъ\>е}^0. при п оо. Последнее обозначает, что 0% является состо- ятельной оценкой параметра Ь. Рис. 14.1.1: Плотность распределения оценки 0^ Оценка #1 = min{^1,^2, ••• Оценка исследу- ется аналогично оценке #2- Распределение оценки абсолютно непрерывно с плот- ностью feSx>> = < п (b-a)n О, (Ь — если х £ [а; &]; если х 6 [а; Ь]. Отсюда МОг = n b -----“I----------7* п + 1 п + 1 Поэтому вг не является несмещенной оценкой ни пара- метра а, ни параметра Ь, но она является асимптотически несмещенной оценкой параметра а.
14.1. Точечные оценки 197 Оценка 0\ является состоятельной оценкой парамет- ра а (см. исследование оценки 02)• 1 п Оценка 0з = 52 Поскольку i = 1,2,...,п, — г=1 равномерно распределенные на отрезке [а;&] случайные величины, а для них математическое ожидание mi, как известно, равно (а + Ь)/2, то Л/rn л/г 1 г- а + b М03 = = тх = п 2 г=1 Следовательно, 0з не является несмещенной оценкой ни параметра а, ни параметра Ь, но 0з — несмещенная оценка параметра mi — (а + &)/2 — математического ожидания равномерного на отрезке [а; Ь] распределения. 1 п Далее, согласно закону больших чисел 0з = 52 г=1 сходится по вероятности к mi = (а + Ь)/2, т. е. 0з — со- стоятельная оценка параметра mi = (а + Ь)/2. Оценка 04 = (£n-i + Сп)/2. Для оценки 04 ме4 = мСга~1+ега = + м<п) = Следовательно, 04 — несмещенная оценка параметра mi = (а + Ь)/2. Рис. 14.1.2: Плотность распределения оценки 04
198 Глава 14. Оценивание параметров распределений Оценка О4 не сходится по вероятности ни к одной кон- станте (параметру). В самом деле, плотностью распреде- ления случайной величины 0^ = (£п-1 + £п)/2 является функция /<?#) = < о, (Ь - а)2 (1> “ если х £ [а; &]; если х е [а, a % ^]; если х 6 [а 2~ Ч (/^(я) получена как свертка плотностей равномерных на отрезке [а;&] распределений, график /^(я) изображен на рис. 14.1.2). Поэтому для любого параметра 0, каждого достаточно малого е > 0 вероятность Р{|04 - 0| > £} = У hSX>dX {я:|я-0|>£} не зависит от п (численно она равна площади заштрихо- ванной фигуры (см. рис. 14.1.2)) и, следовательно, Од не сходится к 0 по вероятности при п оо. 14.2 Доверительные интервалы Помимо точечного оценивания параметров распреде- ления, используют так называемое интервальное оцени- вание, суть которого состоит в том, что для неизвестного параметра находят интервал, содержащий с заданной ве- роятностью неизвестный параметр. Рассмотрим довери- тельные интервалы для параметров нормального распре- деления. Доверительный интервал для а. Для выборки £ — (Сь&а, • • • Лп) из распределения Na-a2 случайная ве- личина (£ — а) / -4= имеет ^-распределение с п — 1 степе-
14.2. Доверительные интервалы 199 нями свободы. Поэтому < ta;n—1 ( — 1 ИЛИ ।_ g _ si Р л £ 1 < £ Н J=ta\n—1 f — 1 — 2а, I Vп Vn J где ta-m — верхняя о-граница ^-распределения с m степе- нями свободы (см. гл. 22 и табл. 22.3.1). Другими слова- ми, (14.2.1) содержит неизвестный параметр а с вероятностью 1 — 2a. Интервал (14.2.1) называют доверительным интервалом для параметра а с коэффициентом надежности 1 — 2а (координата £ середины доверительного интервала и его длина 2-j=ta-n_i — случайные величины). Как правило, для коэффициента надежности выбирают значения 0,99; 0,98; 0,95; 0,90. Коэффициенту надежности 1 — 2а можно дать следу- ющую частотную интерпретацию: если провести доста- точно длинную серию независимых экспериментов, ска- жем 100, то доля тех из них, в которых доверительный интервал (14.2.1) содержит неизвестный параметр а, близ- ка к 100(1 — 2а). Доверительный интервал для а2. Если £ = (£i, £2, • • • ~ выборка из распределения Na.a2^ то случайная величина (n — l)s2/cr2 имеет распределение х2 с п ~ 1 степенями свободы. Поэтому Р ) v2 * ] Х1—а;п—1 (п — l)s2 <72 < Ха;п—1 J1 1 2се ИЛИ (п — l)s2 1 (п — l)s2 Xl—а,п— 1 = 1 - 2а,
200 Глава 14. Оценивание параметров распределений ш — верхний /3-предел ^-распределения с m степеня- ми свободы, см. гл. 22 и табл. 22.2.1). То есть интервал (п — l)s2 (п — l)s2 Xa;n— 1 (14.2.2) Xi—a,n—1 « 2 содержит неизвестный параметр а с вероятностью 1 — 2a. Другими словами, интервал (14.2.2) является до- верительным интервалом для параметра сг2 (дисперсии нормального распределения) с коэффициентом надежно- сти 1 — 2a. Пример 14.2.1. Найти доверительный интервал для показаний микроскопа I (см. пример 17.2.1) с коэффици- ентом надежности: 1) 0,90; 2) 0,99. Решение. Показания микроскопа естественно счи- тать реализацией выборки из нормального распределе- ния. Доверительный интервал для параметра а (матема- тического ожидания) нормального распределения имеет вид (14.2.1). В рассматриваемом примере п = 12, £ — 2,34, S2 = 1,66, £о,О5;11 — 1,796, £о,ОО5;11 = 3,106. Поэто- му доверительным интервалом для параметра а с коэф- фициентом надежности 0,90 является интервал (1,68; 3), а доверительным интервалом с коэффициентом надеж- ности 0,99 — интервал (1,19; 3,49) (фактически найдены реализации доверительных интервалов, хотя мы говорим о доверительных интервалах). Обратим внимание на то, что за увеличение коэффи- циента надежности мы “расплачиваемся” расширением доверительного интервала, и наоборот — чем уже дове- рительный интервал, тем меньше коэффициент надежно- сти. Пример 14.2.2. Найти доверительный интервал для дисперсии разности урожаев (см. пример 17.1.1) с коэф- фициентом надежности: 1)0,90; 2)0,98. Решение. Разность урожаев естественно считать ре- ализацией выборки из нормального распределения. Дове- рительный интервал для параметра сг2 (дисперсии) нор- мального распределения имеет вид (14.2.2). В рассмат- риваемом примере п = 10, s2 = 0,667; Хо95-9 = 3,32,
14.3. Оценки с минимальной дисперсией 201 Хо,О5;9 = 1б’92; Хо,99;9 = 2>В 9, Хо,О1;9 = 21>67' Поэтому ДО- верительным интервалом для параметра сг2 с коэффици- ентом надежности 0,90 (точнее, реализацией доверитель- ного интервала, построенного по выборке) является ин- тервал (0,35; 1,81), а с коэффициентом надежности 0,99 — интервал (0,28; 2,07). 14.3 Оценки с минимальной дисперсией Основной вопрос задачи оценивания параметров рас- пределений — насколько велика погрешность при замене параметра 0 оценкой 0. Оценки 0, предлагаемые для оценивания параметра 0, должны быть несмещенными, т. е. МО = 0. Такие оценки имеют меньшую меру разброса относительно 0 по срав- нению с оценками, для которых МО ± 0. Для оценивания параметра 0 можно предложить много несмещенных оце- нок. Из семейства таких оценок естественно выбрать те, которые имеют минимально возможную меру разброса (дисперсию). Определение. Несмещенную оценку 0* параметра 0 будем называть его наилучшей оценкой, оценкой мини- мальной дисперсии или эффективной оценкой, если DO* = inf DO. ё-.мё=е В связи с этим определением естественно возникает во- прос: насколько малой может быть минимально возмож- ная дисперсия оценки (насколько малыми могут быть отклонения 0 от 0)? Оказывается, что если семейство распределений F(--,0),0 е 0, выборки £=(£1,^2, • • • ,£п) достаточно регулярно зависит от оцениваемого парамет- ра 0, то можно указать нижнюю границу дисперсий всех несмещенных оценок параметра (неравенство Крамера- Рао). В некоторых случаях существуют оценки парамет- ра, на которых нижняя граница достигается. Эти оценки
202 Глава 14. Оценивание параметров распределений являются эффективными. Сравнивая дисперсию данной оценки с нижней границей дисперсий несмещенных оце- нок, можно выяснить, насколько оценка близка к наилуч- шей возможной. Пусть выборка £ = (£1, £2, • • •, £п) фиксированного объ- ема п имеет плотность распределения f(x;0) = f(x1,X2,...,xn;0'). Параметр 0 будем считать одномерным, а относительно множества его возможных значений 0 предположим, что она является конечным интервалом числовой прямой. В дальнейшем мы будем пользоваться приведенным далее утверждением. Лемма 14.3.1. Если почти для всех х 6 сущест- вуют производные вее, мажорируемые интегрируемыми функциями: —-f(xi в) оо, i = 1,2, IRn и выполняются условия / д \2 оо, М дд2 1ПЖ0) < оо, 0 Е 0, то для всех 0 Е 0 M^ln/(£;0) = O, о / о \ 2 о2 1п ж = м (даln fK’9)-
14.3. Оценки с минимальной дисперсией 203 Определение. Функцию / д \2 1(0) = М -1п/(£;0) \<7(/ ) (когда она определена) называют информацией по Фише- РУ- В лемме 14.3.1 приведены достаточные условия, при которых информация 1(0) существует. Отметим, что ( д \2 Э2 /(0) = M^-ln/(£;0)j = -М^1п/(£;0). Теорема 14.3.1 (неравенство Крамера—Рао). Пусть выполняются условия леммы 14.3.1 и в = Л(£) — несме- щенная оценка параметра в такая, что функция е, мажорируема интегрируемой функцией: < U(x), J U(x)dx < оо. IRn Тогда (14.3.1) причем равенство в (14.3.1) достигается тогда и только тогда, когда та 1п/(ж;0) представима в виде In /(ж; 0) = с(0) (/i(a;) - 0). Следствие 1. Если оценка 0 = 0* удовлетворяет условиям теоремы и для нее неравенство Крамера—Рао D0 1 -ж
204 Глава 14. Оценивание параметров распределений обращается в равенство, то в* является эффективной оценкой параметра в. Следствие 2. Если оценка в = Л(£) удовлетворя- ет условиям теоремы, а статистика h(x) (х 6 Rn) — условию где f(x; в) — плотность распределения выборки £ = (£i, £2, • • • то h(g) — несмещенная и эффективная оценка па- раметра в. Неравенство Крамера—Рао (распределение дис- кретное). Неравенство Крамера—Рао и утверждения, ана- логичные приведенным выше, имеют место также тогда, когда распределение Р(-;0) выборки £ = (£1,^2, • • • ,£п) дискретно, т. е. существует не более, чем счетное множе- ство точек х = (#i, #2, • • •, Хп) 6 Rn, для которых Р^х) = Р(х; в) = P(xi,X2,.. .,хп-,в) = = Р(С1 = $2 = Х2, • • •, £п = хп; б») > 0; ^2 Р(х1,х2,...,хп-,0) = 1. (Х1,Х2,...,ХП) Лемма 14.3.2 (распределение дискретное). Если для всех возможных значений х = (#i, #2, • • •, #п) выборки £ — (£ь £2, • • •, £п) существуют производные ряды X X сходятся абсолютно и равномерно относительно в 6 0 и выполняются условия мС^р&е-) < оо, М д021пР(С;^) < оо, 0 € О,
14.3. Оценки с минимальной дисперсией 205 то для всех 0 6 О М^1пР(£;0) = О, Ои о / о \ 2 о2 D- In Р(£; 0) = М ( - In Р(£; 0)1 = -М—^ In Р(£; 0). Ои \ Ои J Ои Теорема 14.3.2 (неравенство Крамера—Рао, распре- деление дискретное). Пусть выполняются условия лем- мы 14.3.2 и 0 = Л(£) — несмещенная оценка параметра в такая, что для всех возможных значений х = (#i, #2, • • • ..., хп) выборки £ = (£1? £2, • • •, Сп) ряд Ои X сходится абсолютно и равномерно относительно в 6 0. Тогда D0~wy причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда 1п Р(х; в) представима в виде -lnP(x;0) = C(0)(^)-0). Следствие 1. Если оценка 0 = 0* удовлетворяет условиям теоремы и для нее неравенство Крамера—Рао De~H0) обращается в равенство, то 0* является эффективной оценкой параметра 0. Следствие 2. Если оценка 0 = h(0) удовлетворя- ет условиям теоремы, а статистика h(x) (ж Е Rn) — условию In Р(ж; 0) = c(0)(h(a>) - 0),
206 Глава 14. Оценивание параметров распределений где Р(х'О) — распределение выборки £ = (Сь&а, • • • то Л(£) — несмещенная и эффективная оценка парамет- ра в. Пример 14.3.1 Пусть £1,^2, • • • — выборка из нор- мального распределения с параметрами (0; 1), 0 принад- лежит отрезку [а; Ь]. Является ли 1 п i=l эффективной оценкой параметра в? Решение. 0 = £ — несмещенная оценка математиче- ского ожидания в. Чтобы выяснить, будет ли в = £ эф- фективной оценкой 0, воспользуемся неравенством Кра- мера—Рао (см. следствие 1 из теоремы 14.3.1): если De=W то оценка 0 — эффективная. Сначала убедимся, что для выборки из нормального распределения с параметрами (0; 1) и функции 1 ” ад = k=l выполняются условия теоремы 14.3.1. Обозначим через p(t;0) плотность нормального рас- пределения с параметрами (0; 1). Плотность п = Дад;0) г=1 распределения вектора £ = (£i,£2, ... ,£п) дважды диф- ференцируема по 0 и г=1
14.3. Оценки с минимальной дисперсией 207 П о П = 52^1п^;0)= 52 ~0^' г=1 г=1 о2 о ^2 In /(ж; 0) = — ^Xi — 0) = —п; г=1 1п/(€;^) = М| — п\ = п. м ^1пЖ«) Далее, функция h(x)f(x] в) дифференцируема по 0, при- чем д д —fl(x)f(x, 0) = -QQh(x^ Х2,..., Xn)f(x1,x2, ...,xn-,e) = ъ П П / й \ П = = Hx\d0^Xi'en П 9(xj;0) = 7=1 г=1 ' ' j=lj^i = n ^2 52 Xk(Xi ~ 0) П g^xi' г=1 k=l j=l Мы воспользовались тем, что д , ЛЧ д 1 f (^-0)21 аё9<1*;в> = да75ехр1--------~Г = (xi — ОУ _______ехр V 2тт — 9 } = (xt ~ G)g{xi-,9'). J
208 Глава 14. Оценивание параметров распределений Чтобы убедиться в существовании интегрируемой мажо- ранты для функции в), достаточно установить, что она существует для каждой из функций п ХкХг = 1,2,... ,п; 0б[а;Ь]. J=i Определим функцию v(t): 5(i; 0, с, v{t) = < если t > &; если t < а; если a < t < &, где с = max g(t,О'), к = 1,2,..., п. Функция |t|v(t) яв- t,0e[a;d] ляется интегрируемой мажорантой для функции tg(t; 0), 0 Е [а; Ь]. В последнем убеждаемся непосредственной про- веркой. Поэтому функция п является интегрируемой мажорантой для функции п XkXi Ц5(а?7;0)- 7=1 В этом легко убедиться, воспользовавшись теоремой Фу- бини. Таким образом, условие теоремы 14.3.1 выполняется и, следовательно, неравенство Крамера—Рао имеет мес- то: Ш ~WY А поскольку / d V (д2 \ А*) = м In /«; е) J = —м in /(С; *) J
14.3. Оценки с минимальной дисперсией 209 D0 = то неравенство Крамера—Рао обращается в равенство, что является достаточным условием эффективности оцен- ки 0 параметра 0. Другой способ решения примера состоит в проверке достаточного условия обращения неравенства Крамера- Рао в равенство, а именно: ^1п/(Ж;0) = с(0)(ад-0); жеГ. Ои Имеем О О — In /(ж; 0) = — In /(Ж1, х2, ...,хп-,е) = Ои Ои й n А п г=1 г=1 п = У? Xi — п0 = г=1 /1 п А = n I — Xi — 0 I = п(ВД — 0). \ г=1 / Отсюда следует, что 0 = £ — эффективная оценка пара- метра 0. Пример 14.3.2. Пусть £i,£2,---?£n — выборка из пуассоновского распределения с параметром А (А принад- лежит отрезку [а; &], а > 0). Является ли Х = £ эффек- тивной оценкой параметра X?
210 Глава 14. Оценивание параметров распределений Решение. Отметим, что А = £ является несмещен- ной оценкой А. Далее воспользуемся неравенством Кра- мера—Рао. Убедимся, что для выборки из пуассоновского распределения и функции 1 п М*) = п^Хк к=1 выполняются условия теоремы 14.3.2 (неравенство Кра- мера—Рао). Обозначим ^-е-Л через #(а;;А), х = 0,1,... ..., п. Распределением выборки £1, £2,•••, £п является П П \Xj Р(х; А) = P(®i, ®2,..., хп-, А) = JJ g(xj-, А) = —-е-А. 7=1 7=1 Xj- Функция Р(х\ А) дважды дифференцируема по А и In Р(ж; А) = In JJ g(xf, А) = J=1 П о 1 П = 52 эх МСъ;А) = А 52<^ - Л); 7=1 7=1 5а21пР(ж;А) - dx I а52^ Л)|- х2/2хР \ 7=1 / 7=1 Функция /г(ж1,Ж2, • • • ,Xn)P(xi,X2,... ,жп; А) = хР(х\,Х2,... ,жп; А) дифференцируема по А, причем h{xly х2,хп)—Р(х1,х2, • • •, хп; А) = д n п ( д \ п = %дХ П^7’л) = *52\dX9(Xi,X4 П 9(xj;X) = j=l г=1 ' '
14.3. Оценки с минимальной дисперсией 211 k=l г=1 XXi п —е-А J] 5(^;А) = k=l г=1 поскольку д . д (XXi Л dxg{Xi-,X)- дх ^_,е J (у - 1)5^; Л). Далее, при суммировании по х = (#i, #2, • • •, хп) вели- чины Xi (г = 1,2,..., п) принимают целые неотрицатель- ные значения. Ряд £ад^Р(гг;Л) = X п п п \ -ЕЕж* k=l г=1 j=l j У n n ( n = -EE E Цу-1)П^Л) k=l г=1 \(xi,j?2,.--^n) 7—1 мажорируется рядом - n n / n \ -EE E It - i| : k=l г=1 -^n) 7—1 / 1 n n / / \ / = - EE ((E^i;A)) I Е^Ж2;Л) k=l г=1 \ \ #i / \ X2 ^xkg{xk-,X) \ ... ( Ely - 1|5(^;A) > %k / \
212 Глава 14. Оценивание параметров распределений I J2#(zn;A) I I. \ Хп / / Последний сходится абсолютно и равномерно относитель- но А 6 [а; Ь], поскольку Е^) = Е£-а^-“Е£=^ XX X \х ^ж5(а;;Л) = ^ж—е"А < X X Так что для выборки из пуассоновского распределе- ния и функции 1 п h(x) = ~У2хг г=1 выполняются условия теоремы 14.3.2 и следовательно име- ет место неравенство Крамера—Рао D6 1 ~W\ При этом /Я \2 Л2 /(А) = Л^—1пРЛ(0) = -М^1пРА(£) = -; ~ I 1 । 1 1 А ЯА = я = ^пХ = - \ I и f I и ! L IL \ J=1 /
14.4. Задачи 213 Поэтому для выборки из пуассоновского распределения и оценки А = £ неравенство Крамера—Рао обращается в равенство, а следовательно, £ — эффективная оценка параметра А. Другой способ решения примера состоит в проверке достаточного условия обращения неравенства Крамера- Рао в равенство, а именно: In Р(ж; А) = с(А)(/г(ж) - А). ил Имеем ^1пР(ж;А) = ^InJJ^sA) = ^^ln5(a;j;A) = j=i j=i 1 п л ( n \ ( Л П 1 = д 52^ -А) = д (52^_ пХ = х I п ^Xj ~Л 7=1 \7=1 / \ J = 1 / Поэтому А = £ — эффективная оценка параметра А. 14.4 Задачи АЗ: 14.4,14.6,14.27,14.43. СЗ: 14.9,14.12,14.22,14.47. 14.1. Пусть £i, £2, • • •, £п — выборка из распределения с плотностью /(ж; 0, Н) = < 1 27? О, если х G [0 — h;0 + h\; если х [0 — h;0 + h] Обозначим через (0, fi) точку, в которой функция L(0, h) = п = П достигает наибольшего значения. г=1
214 Глава 14. Оценивание параметров распределений Являются ли 0, h оценками и, если да, то будут ли они несмещенными оценками параметров 0 и hl Состоя- тельными оценками этих параметров? Если нет, то, воз- можно, О и h являются несмещенными и состоятельными оценками других параметров распределения? 14.2. Пусть £i,£2, • • •,— выборка из распределения (1 \г( 9 \k —е) {—в)’к = 0’1Л-- где г — фиксированное и известное, параметр О > 0. Обозначим через 0 решение уравнения 1 п miW = IL . 1 г=1 где mi(0) = ^2 кР^к^О). к=о Является ли 0 оценкой и если да, то будет ли она несмещенной оценкой параметра 01 Состоятельной оцен- кой 01 Замечание. Если обозначить । = р, то распре- деление / I \т / л \ к принимает вид P(fc; т,р) = - р)к, к = 0,1,..., хорошо известного отрицательного биномиального рас- пределения (см. задачу 15.35). 14.3. Пусть £i, • • • Лп — выборка из распределения с плотностью
14.4. Задачи 215 t( 2ч 1 Г х2 1 сг2 принадлежит конечному отрезку [а; &], a > 0. Является ли 1 п г=1 эффективной оценкой параметра сг2? 14.4. Пусть £1, & > • • • > £п — выборка из распределения с плотностью 1 b — а’ 0, = < если х 6 [а; &]; если х [а; Ь]. Рассматриваются оценки 1 п 01 = min {&}; 02 = max {&}; 03 = - V & п г=1 #4 = ^п~12+^п; = max {£г} - min {&}; #6 = |(max{^} + min{^}); f)i = min {&}---—-(max {&} - min {&}); п — 1 0% = max {&} + (max {&} - min {&}). Выяснить, какие из оценок = 1,2,...,8, являются несмещенными, состоятельными оценками параметров a и Ь. Возможно, среди них имеются несмещенные и состо- ятельные оценки параметров, отличных от а и Ь? 14.5. Пусть £i, £2, • • • ? — выборка из пуассоновского распределения с параметром А : Р(к-,Х) = -тте-х, к = 0,1,... к\
216 Глава 14. Оценивание параметров распределений Обозначим через А точку, в которой функция п цл) = Пр(^л) г=1 достигает своего наибольшего значения. Является ли А оценкой и если да, то будет ли она несмещенной оценкой параметра А? Состоятельной оцен- кой А? 14.6. Пусть £i,£2, • • •,— выборка из распределения с плотностью р(ж) = < 1 \/27Г<Т2Ж ехр Г (1пж-/1о)21 I 2^ Г О, если х > 0; если х < 0 (р(гг) — плотность логарифмически нормального распре- деления), ро — известно, сг2 > 0 и принадлежит конечно- му отрезку [а; &], a > 0. Является ли V2 = - мо)2 г=1 эффективной оценкой параметра сг2? 14.7. Пусть £i,£2, • • •,— выборка из распределения с плотностью 1 2’ 0, если х 6 [0 — 1, в + 1]; если х £ [0 — 1, в + 1]. Обозначим через в точку, в которой функция п г=1 достигает своего наибольшего значения.
14.4. Задачи 217 Является ли О оценкой и если да, то будет ли она несмещенной оценкой параметра 01 Состоятельной оцен- кой 01 14.8. Пусть & > • • • > £п — выборка из распределения с плотностью /(ж; а, О') = < А ехР О, если х если х >0; <0. Рассматриваются оценки Оу = min {&} - е Несмещенными, состоятельными оценками каких па- раметров являются 01 и 02 (возможно, эти параметры от- личны от а и 0)1 14.9. Пусть £i, ^2, • • •, — выборка из распределения с плотностью ,, лч 1 f (*-0)21 = ехр 1---9^2— f ’ V27T0O I 2<7о J его — известно, 0 принадлежит конечному отрезку [а; Ь]. Является ли эффективной оценкой параметра 01 14.10. Пусть £1,^2, • •• Лп — выборка из распределе- ния с плотностью у/ . _ Г 0? если х < 0] J\x^ J — | ехр {0 _ если х > 0 Является ли О = -- + min{£j п
218 Глава 14. Оценивание параметров распределений несмещенной оценкой параметра в? Состоятельной оцен- кой в? 14.11. Пусть £1,^2, • •• Лп — выборка из распределе- ния с плотностью ,, 2ч 1 f (х - а)21 f{x'a'a) = V^exv\^~r Обозначим через (а, <т2) точку, в которой функция £(а,ст2) = ПЖ;а,а2) г=1 достигает своего наибольшего значения. Являются ли а и <т2 оценками и если да, то будут ли они несмещенными оценками соответственно параметров а и сг2? Состоятельными оценками этих параметров? 14.12. Пусть ^1,^2» — выборка из распределе- ния / I \г/ л \ к г — фиксировано и известно, в принадлежит конечному отрезку [а; Ь]. Является ли эффективной оценкой параметра в? Указание. См. задачи 14.2 и 15.35. 14.13. Пусть £1,^2,... , — выборка из распределе- ния с плотностью 2^о ’ если х е + 0, если х £ [0 — + hQ\. Обозначим через в точку, в которой функция L(0) = п = П достигает своего наибольшего значения. г=1
14.4. Задачи 219 Является ли О оценкой и если да, то будет ли она несмещенной оценкой параметра 01 Состоятельной оцен- кою 01 14.14. Пусть £1,^2,— выборка из распределе- ния с плотностью /(ж;0,сг2) = < 1 2\/Зсг’ О, если х G [0 — х/3<т, 0 + х/Зст]; если х $.[0 — \/3<7,0 + х/3<т]. Обозначим через 0, а2 решение системы уравнений 1 " т^а2) = ~У^г, г=1 где 772^(0; а2) = j хкf(x]0^a2) dx, /с = 1,2. IR1 Являются ли 0 и д’2 оценками и, если да, являются ли они несмещенными оценками соответственно параметров О и а21 Состоятельными оценками этих параметров? 14.15. Пусть £1,^2, • •• Лп — выборка из распределе- ния 1 / 0 \к = 't = 0'1.................. где 0 > 0 и принадлежит конечному отрезку [а; Ь]. Является ли 1 п г=1 эффективной оценкой параметра 01
220 Глава 14. Оценивание параметров распределений Указание. Если обозначить @ = р, то распреде- ление 1 / 0 \ принимает вид хорошо известного геометрического рас- пределения F(fc;p) = р(1 — р)\ к = 0,1,... 14.16. Пусть — выборка из распределе- ния с плотностью < 2Ко’ если х [0 — ho,0 + ^о]; 0, если х [0 — ho,0 + До], ho — известно (/(ж; в) — плотность равномерного на от- резке [0 — ho,0 + ho] распределения). Рассматриваются оценки 1 п 01 = min {&}; 02 = max {&}; 03 = п г=1 0х = А(тах{&} - /г0) + (1 - A)(min {&} + h0), А € [0; 1]. Выяснить, имеются ли среди оценок 0i (г = 1,2,3), 0\ несмещенные, состоятельные оценки параметра в. Воз- можно, среди них имеются несмещенные, состоятельные оценки других параметров? Каких именно? 14.17. Пусть £i,£2, ...,£п — выборка из нормального распределения с плотностью tl 2\ 1 f (х~ а)2 Обозначим через а, а2 решение системы уравнений 1 п mi (а; ст2) = - г=1
14.4. Задачи 221 1 п m2(a;a2) = -^£, где т^(а; <т2) = J xkf(xt, a, <т2) dx, к = 1,2. R1 Являются ли fl и а2 оценками? И если да, то явля- ются ли а и а несмещенными оценками соответственно параметров а и сг2? Состоятельными оценками этих па- раметров? 14.18. Пусть £1,^2, • ”,61 — выборка из распределе- ния с плотностью /(ж; т, 0) = 0т(т - 1)! хт 1 ехр | — если х > 0; 0, если х < 0 (/(а;;т,0) — плотность распределения Эрланга с пара- метрами (т,0)), т — известно; в принадлежит конечно- му отрезку [а; Ь]. Является ли эффективной оценкой параметра в? 14.19. Пусть £1,£2>--->£п — выборка из распределе- ния с плотностью 1 f(x^a, Ь) = < b — а’ если х 6 [а; &]; если х £ [а; Ь]. Обозначим через (а, 6) точку, в которой функция ь(в,ь) = П/« достигает своего наибольшего значения (может существо- вать не одна такая точка).
222 Глава 14. Оценивание параметров распределений Являются ли а и Ь оценками? Если да, то являются ли а и Ь несмещенными оценками соответственно парамет- ров а и Ь? Состоятельными оценками этих параметров? 14.20. Пусть £1,£2,---,£п — выборка из распределе- ния Обозначим через О решение уравнения гДе mi(0) = ^kP(k;F). к=0 Является ли О оценкой? И если да, то является ли она несмещенной оценкой параметра 01 Состоятельной оценкой 01 Указание. См. задачу 14.15. 14.21. Пусть £1,£2>--->£п — выборка из распределе- ния с плотностью f^0}={ ехр если х > 0; если х < 0, параметр 0 > 0 (О принадлежит конечному отрезку [а; &]). Является ли 1 п п г=1 эффективной оценкой параметра 01 14.22. Пусть £1,£2,---,£п — выборка из распределе- ния с плотностью 1 27? 0, /(ж;0,А) = < если х G [0 — h, 0 + Л]; если х [0 — h, 0 + h].
14.4. Задачи 223 Рассматриваются оценки 01 = | (max {&} - min {&}); 02 = |(max {&} + min {&}); 0з = min{£i}---J—(max{&} - min{&}); n — 1 04 = max {&} + 1 (max {&} - min {£*})• Выяснить, имеются ли среди 0*, i = 1,2,3,4, несме- щенные, состоятельные оценки параметров в и h. Воз- можно, среди них имеются несмещенные, состоятельные оценки других параметров? Каких именно? 14.23. Пусть • • • >Сп — выборка из распределе- ния Q(fc;p) = рк(1 — р)1-\ к = 0; 1, 0 < р < 1. Обозначим через р точку, в которой функция п г=1 достигает своего наибольшего значения. Является ли р несмещенной оценкой параметра р? Со- стоятельной оценкой этого параметра? 14.24. Пусть £1,^2, • • • ,£п — выборка из распределе- ния с плотностью /(ж;0) = * если х > если х < mg, параметр 0 > 0 (то — известно, 0 принадлежит конечно- му отрезку [а; &]). Является ли 0 = £ — то эффективной оценкой пара- метра 0? 14.25. Пусть £1,^2, • ”,61 — выборка из распределе- ния с плотностью
224 Глава 14. Оценивание параметров распределений тД-, если х 6 [0о — h, Oq + А]; б, если х [Oq — h, Оо + h]; О о — задано. Рассматриваются оценки 0i = - (max {&} - min {&}); 02 = #о - #1! 03 = 00 + 0Г, 01 = max {max {&} - 0о, 0о - min {&}} . Выяснить, имеются ли среди 0$, i = 1,2,3,4, несме- щенные, состоятельные оценки параметра h. Возможно, среди них имеются несмещенные, состоятельные оценки других параметров? Каких именно? 14.26. Пусть ^1,^2» — выборка из распределе- ния с плотностью /(ж; а) = < & ехР | —если х > 0; б, если х < 0. Доказать, что является несмещенной и состоятельной оценкой парамет- ра а. Является ли 02 — z(Cn-l + Сп) несмещенной оценкой параметра а? Состоятельной оцен- кой этого параметра? 14.27. Пусть £i, £2, • • •, — выборка из биномиально- го распределения P(fc; 9) = CkNekO - 0)N~k, k = 0,1,..., N,
14.4. Задачи 225 где N — известное целое число; О принадлежит конечно- му отрезку [а; Ь]. Является ли 1 п г=1 эффективной оценкой параметра О? 14.28. Пусть • • • >Сп — выборка из распределе- ния с плотностью /(ж; 0,0 = < I ехр{-|(ж-0}, О, если х > &; если х < Ь. Рассматриваются оценки 1 п ^1 = ~ ^2 = min{Ci}; #з = 01-#2- п г=1 Имеются ли среди #1, Оъ, #з несмещенные, состоятель- ные оценки параметров в и Ь? Возможно, среди них име- ются несмещенные и состоятельные оценки других пара- метров? Каких именно? 14.29. Пусть £1, £2, • • • Лп — выборка из биномиально- го распределения с параметрами т и 0: Р(к-, 0) = C^k(l - 0)т~к, k = 0,1,..., т, т — известно. Обозначим через О точку, в которой функция п Ц0) = Пс^(1-0т-^ г=1 достигает наибольшего значения (может существовать не одна такая точка). Несмещенной и состоятельной оценкой каких параметров является 01
226 Глава 14. Оценивание параметров распределений 14.30. Пусть £i, ^2, • • • , — выборка из двустороннего показательного распределения с плотностью Л*;0) = ехР е > о, где то — известная константа, параметр в принадлежит конечному отрезку [а; Ь]. Является ли 0=ib к* - m°i г=1 эффективной оценкой параметра в? 14.31. Пусть £1,£2,---,£п — выборка из распределе- ния с плотностью /(ж; А) = < 1 2/г’ О, если х G [#о — h, 0о + А]; если х [0q — h, 0q + А]. Обозначим через h точку, в которой функция п ВД = ПЖ;й) г=1 достигает своего наибольшего значения. Является ли h оценкой и если да, то является ли она несмещенной оценкой параметра h? Состоятельной оцен- кой этого параметра? 14.32. Пусть £1,£2,---,£п — выборка из распределе- ния с плотностью /(т;<т2) = < О, если х > 0; если х < 0 (/(ж;сг2) — плотность полунормального распределения).
14.4. Задачи 227 Несмещенной состоятельной и эффективной оценкой какого параметра является 1 п г=1 14.33. Пусть • • • >Сп — выборка из распределе- ния с плотностью /(ж;0)=1 fexp если х > 0; если х < 0 (/(ж;#) — плотность распределения Рэлея), параметр в принадлежит конечному отрезку [а; Ь]. Является ли эффективной оценкой параметра в? 14.34. Пусть £1,^2, • • • ,£п — выборка из распределе- ния с плотностью /(ж; 0 = < 1 Ь — ао' 0, если х 6 [ао; Ь]; если х £ [ао; Ь], ао — известно. Рассматриваются оценки 1 п 01 = max {Сг}; #2 = - У2 г=1 $з = тах{£г} Ч--—-(тах{^} - а0). п — 1 Выяснить, имеются ли среди 0$, i = 1,2,3, несмещен- ные, состоятельные оценки параметра Ь. Возможно, среди них имеются несмещенные и состоятельные оценки дру- гих параметров? Каких именно?
228 Глава 14. Оценивание параметров распределений 14.35. Пусть £i, ^2, • • • , — выборка из биномиально- го распределения с параметрами тир: P(fc;p) = С^рк(1 -р)т~к, к = 0,1,...,т. Является ли 1 п тп г=1 состоятельной оценкой параметра р? 14.36. Пусть £1,£2,---,£п — выборка из распределе- ния с плотностью /(ж;м) = < 1 Г (In ж — и)2 1 п > а ехр < —дz >, если х > 0: х/2тг(ф I 2сг§ J 0, если х < 0, где его > 0 (/(ж; м) — плотность логарифмически нор- мального распределения); его — известно; р принадлежит конечному отрезку [а; Ь]. Является ли 1 п г=1 эффективной оценкой параметра р? 14.37. Пусть £1,£2>--->£п — выборка из распределе- ния с плотностью Л*;0,А) = 0Хв г0+1 ’ если х > А; если х < А, А > 0, в > 2 (распределение Парето); в — известно. Рассматриваются оценки л -’-‘У г=1 0-2Д On г=1 Несмещенными и состоятельными оценками каких па- раметров являются Ai и А2?
14.4. Задачи 229 14.38. Пусть • • • >Сп — выборка из распределе- ния с плотностью О ехр если х > 0; если х < 0, у — известный параметр. Является ли 1 п ПУ г=1 эффективной оценкой параметра 0? 14.39. Пусть £i, £2, • • •, — выборка из равномерного на отрезке [a; a + 1] распределения. Рассматриваются две оценки параметра а: 1 1 п г=1 Доказать, что ai и Й2 являются несмещенными оцен- ками параметра а. Найти Dai и Da^. Доказать, что Da2 = o(Dai), при п оо. 14.40. Пусть £1,^2, • • • ,£п — выборка из распределе- ния с плотностью /(s;0) = ехр | -||ж| ZC7 I U 0>0. (f(x; в) — плотность двустороннего показательного рас- пределения). Является ли 1 п г=1 эффективной оценкой параметра в?
230 Глава 14. Оценивание параметров распределений 14.41. Известно, что £1,^2, • • • — выборка из рав- номерного на отрезке [а; Ь] распределения, но сам отре- зок [а; Ь] неизвестен. Можно предложить несколько оце- нок середины этого отрезка. В частности, 1 ХП л - 1 ^ = -526; ^2 = -(тах{&} + тт{&}). г=1 Доказать, что 01 и 02 являются несмещенными оцен- ками середины (а + Ь)/2 отрезка [а; Ь] и D0\ > -D02* 14.42. Найти доверительный интервал для: 1° границы прочности на разрыв материала (см. при- мер 17.4.1) с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,99; 2° дисперсии границы прочности на разрыв матери- ала с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,98 (для измерений, проведенных на стенде А). 14.43. Найти доверительный интервал для: 1° содержания золота на кубический метр породы, до- бываемой ударно-канатным бурением (см. задачу 17.8) с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,99; 2° дисперсии содержания золота с коэффициентом на- дежности: а) 0,90; б) 0,98. 14.44. Найти доверительный интервал для: 1° содержания золота на кубический метр породы, до- бываемый из шурфов (см. задачу 17.8), с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,99; 2° дисперсии содержания золота с коэффициентом на- дежности: а) 0,90; б) 0,98. 14.45. Найти доверительный интервал для: 1° толщины пластикового покрытия провода (см. за- дачу 18.46) с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,99; 2° дисперсии толщины пластикового покрытия про- вода с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,98. 14.46. Найти доверительный интервал для: 1° значения величины е, найденной Р. Милликеном при определении заряда электрона (см. задачу 18.34) с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,99;
14.4. Задачи 231 2° дисперсии измерений величины е с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,98. 14.47. Найти доверительный интервал для: 1° содержания марганца в стали, выплавленной в кон- верторе I (см. задачу 17.17) с коэффициентом надежнос- ти: а) 0,90; б) 0,99; 2° дисперсии содержания марганца в стали с коэффи- циентом надежности: а) 0,90; б) 0,98. 14.48. Найти доверительный интервал для: 1° отражательной способности краски А (см. зада- чу 17.2) с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,99; 2° дисперсии отражательной способности краски В с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,98. 14.49. Найти доверительный интервал для: 1° содержания хрома в нержавеющей стали 18CrlONi2Mo (см. задачу 17.22) с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,99; 2° дисперсии содержания хрома с коэффициентом на- дежности: а) 0,90; б) 0,98. 14.50. Найти доверительный интервал для: 1° сопротивления провода типа А (см. задачу 17.24) с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,99; 2° дисперсии сопротивления провода с коэффициен- том надежности: а) 0,90; б) 0,98. 14.51. Найти доверительный интервал для: 1° пористости конденсаторной бумаги партии I (см. задачу 19.36) с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,99; 2° дисперсии пористости конденсаторной бумаги пар- тии I с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,98. 14.52. Найти доверительный интервал для: 1° температуры левой шины автобуса (см. задачу 17.31) с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,99; 2° дисперсии температуры левой шины автобуса с ко- эффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,98. 14.53. Найти доверительный интервал для: 1° длины изделий после обжига (см. задачу 17.37) с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,99; 2° дисперсии длины изделий после обжига с коэффи- циентом надежности: а) 0,90; б) 0,98.
232 Глава 14. Оценивание параметров распределений 14.54. Найти доверительный интервал для: 1° глубины канавки на шине, полученной контроле- ром I (см. пример 19.2.1) с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,99; 2° дисперсии глубины канавки с коэффициентом на- дежности: а) 0,90; б) 0,98. 14.55. Найти доверительный интервал для: 1° разности толщины плиток при износе для отно- сительной концентрации наполнителя 1 к 1 (см. пример 19.2.1) с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,99; 2° дисперсии разности толщины плиток при износе с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,98. 14.56. Найти доверительный интервал для: 1° объема хлебных булок, содержащих 1 мг бромисто- го калия (см. задачу 19.8) с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,99; 2° дисперсии объема хлебных булок с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,98. 14.57. Найти доверительный интервал для: 1° температуры возгорания эмали, полученной опера- тором А (см. задачу 17.38) с коэффициентом надежности а) 0,90; б) 0,99; 2° дисперсии температуры возгорания эмали с коэф- фициентом надежности а) 0,90; б) 0,98. 14.58. Найти доверительный интервал для: 1° диаметра шейки рабочей части сверл (см. задачу 19.7) с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,99; 2° дисперсии диаметра шейки рабочей части сверл с коэффициентом надежности: а) 0,90; б) 0,98.
Глава 15 Методы построения оценок 15.1 Эмпирические оценки Эмпирическая функция распределения. Пусть £ — случайная величина, функция распределения F(#), которой неизвестна. Мы имеем п независимых наблюде- ний £i, £2, • • •, £п случайной величины £ — выборку из рас- пределения F. По выборке £i, £2,•••, £п можно построить “хорошую” оценку функции распределения. Определение. Функцию Fn(ж), заданную на R1 ра- венством 1 п Аг(^) — ~ A-oo,x)(£fc)> к=1 будем называть эмпирической функцией распределения ~ индикатор множества А). Эмпирическую функ- цию распределения еще можно определить так: F („Л _ М(®) Fn\X) Ч п где р(х) — количество Для которых < ж, поскольку п Л—00,3?) (£&)* k=l 233
234 Глава 15. Методы построения оценок Для каждого фиксированного х эмпирическая функ- ция распределения Fn(rr) как функция случайного векто- ра С1,С2, • • • ,Сп является случайной величиной. Поэтому Fn(x) является функцией и си, т.е. Fn(rr) = Е Q, х е R1. Эмпирическая функция распределения Fn{x) для каж- дого фиксированного х является несмещенной и состоя- тельной оценкой значения F(x) функции распределения. По выборке £1,^2, • • • ,£п определим случайные вели- чины Для каждого фиксированного wEQ упорядочим значения (си), £2(^)5 • • •, £п(^) в порядке воз- растания: Cfci(w) < Ыч) < ••• < ?kn(w) и положим £ГМ = Cfci(w), ЙМ = Cfe2(w), • • • > Cn(w) = CfcnM- Определение. Последовательность £1, £2 >•••> £n на" зывается вариационным рядом последовательности £1, £2, ..., £п, а случайные величины , ££> • • • > £п называют — порядковыми статистиками. В терминах порядковых статистик эмпирическую фун- кцию распределения можно представить в виде Л(х) = (15.1.1) п где //*(#) — количество ££, для которых ££ < х. Непосред- ственно из равенства (15.1.1) получаем, что при фикси- рованном ш значение Fn(x) равно 0 в каждой точке х промежутка (—oo,£J], поскольку количество тех ££, для которых ££ < ж, равно 0; Fn(x) = 1/п в каждой точ- ке промежутка (££,£2], поскольку количество тех ££, для которых ££ < ж, равно 1, и т. д., и, наконец, Fn(x) = 1 для каждого х из промежутка (£*, +оо).
15.1. Эмпирические оценки 235 Из сказанного выше следует, что для каждого фикси- рованного ш функция Fn(x) = Fn(x,w) неотрицательна; постоянна на каждом из промежутков (—оо, ££], (££, k = 1,2,..., п — 1, (£*, +оо) (а следовательно, непрерыв- на слева) и неубывающая — растет в точках ££, к = = 1,2,..., п, скачками 1/п. График эмпирической функции распределения Fn(x) (точнее, реализации Fn(#,cu)) изображен на рис. 15.1.1. Замечание 1. Для выборок Лп из непре- рывных распределений вероятность того, что выбороч- ные значения совпадут, равна нулю, но поскольку мы фиксируем результаты с заданной точностью (например, до третьего знака), некоторые выборочные значения мо- гут совпадать. При этом скачок эмпирической функции распределения в точке равен Z/n, где I — количество выборочных значений, совпадающих с учитывая и Замечание 2. Распределение, соответствующее эм- пирической функции распределения Fn(x\ будем назы- вать эмпирическим. Для каждого фиксированного ш это дискретное распределение, ставящее в соответствие каж- дой точке £&, к = 1,2,..., п, “массу” 1/п (или Z/n, если с совпадают Z выборочных значений, учитывая и £&). Рис. 15.1.1: График реализации эмпирической функции распределения Fn(x)
236 Глава 15. Методы построения оценок Об уклонении эмпирической функции распре- деления Fn(x) от функции распределения F(x). Эмпирическая функция распределения Fn(rr), построен- ная по выборке £i, £2,•••, £п из Гч является несмещенной и состоятельной оценкой F(x) (дает хорошее приближе- ние для F(xY). Естественно поставить вопрос: насколько эмпирическая функция распределения Fn(x) уклоняется от F(x)? (Какими могут быть уклонения Fn(x) от F(#)?) Заметим, что уклонение Fn(x) от F(x) является случай- ной величиной, и когда мы говорим о таком уклонении, то имеется в виду его распределение. Меру уклонения эмпирической функции распределе- ния Fn(x) от функции распределения F(x) можно вво- дить различными способами. Рассмотрим уклонение Fn(x) от F(x), предложенное А. Н. Колмогоровым (для непре- рывной F(xY): sup |f(®) - Л(ж)|, — ОО<Х<ОО I I ших п распределение sup F(#) — Fn(x) x I далее будем писать sup F(#) — Fn(x)|. Эта мера уклоне- ния обладает важным свойством: для достаточно боль- / -Д=, независи- / п мо от распределения F, из которого получена выборка £1,^2, • • • ч^пч близко к распределению А.Н. Колмогорова (см. 19.1). Вычисление sup F(a?) — Fn(x) . Пусть Fn(x) — эм- X I I пирическая функция распределения, построенная по вы- борке £i, ^2ч • • • ч £>пч точнее — по реализации выборки; F(x) — непрерывная функция распределения. Часто возника- ет необходимость вычислить sup|F(a;) - Fn(x) X I Заметим, что £i,£2, • • • — не обязательно выборка из распределения F.
15.1. Эмпирические оценки 237 Поскольку Fn(x) постоянна на промежутках (-оо, #], (ег, £],..., (£*_i, а (с +<*>), (15.1.2) то для вычисления sup х когда х “пробегает” R1, значение sup |F(:e) — Fn(x) | доста- точно вычислить на каждом из указанных промежутков, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее. Вычислим сначала sup — Fn(a;)| , k = 1,2,..., n — 1. 1 1 Функция Fn(x) постоянна на каждом из промежутков (15.1.2), F(x) — неубывающая функция, а следовательно и функция F(x) — Fn(x) на промежутках (15.1.2) неубы- вающая, и поэтому (см. рис. 15.1.2) значение sup F(z)-Fn(£ 1 равно одному из чисел sup [F^x) .inf (F(x)-Fn(x Далее, sup (F(x) - Fn(x)) = *e(^+i] v 7 = lim (г(х)-А(гг))=Ж+1)-А(^+1);
238 Глава 15. Методы построения оценок = F&) - lim A(rr) = Ж) - A(^+i). x^k Вычисляя пределы, мы учли, что функция Fn(x) посто- янна на промежутках (15.1.2), а следовательно, непре- рывна слева (см. рис. 15.1.2). X Таким образом, sup F(rr *e(^+i]1 равен sup (г(ж) - А(ж)) *ё(е^+1] v 7 или . inf (f(x) - Fn(z)) же(5к’?А:+1] ' 7 к = 1,2,...,п-1. )-Л(я) = Ж)-А(^+1) ,
15.1. Эмпирические оценки 239 Для промежутков (—оо,^] и (£*,+оо) sup \f(x) - Fn(z)| = F(tf) = |f(£D - Fn(tf )|; xe(-oo,cj] sup |f(x) - Fn(z)| = |F(£*) - 1| = 1 - F(£*). же(е*,+оо)1 1 Если через £*+1 обозначить произвольную точку, лежа- щую правее £*, то по определению функции Fn(x) ее значение -Fn(Cn+i) Равн0 единице и последнее равенство можно записать в той же форме, что и остальные: sup If^) - f„(x)I = |f«:) - F„(e:+i)|. a:6(g*,+oo) 1 11 1 Следовательно, sup|F(a;) - Fn(®)| X равен наибольшему из чисел |Ж) - Ш)|, |f(^) - F„(^+1)|, k = 1,2,... ,n, где Fn(Cn+i) = L Пример 15.1.1. Пусть 2,4; 1,0; 0,7; 0,0; 1,1; 1,6; 1,1; —0,4; 0,1; 0,7 — выборка из непрерывного распределения. Построить график реализации эмпирической функ- ции распределения Fn(x) и графики функции F(F) нор- мального распределения с параметрами: 1) а = 0,8; а = 0,8; 2) а = 1; а = 0,5. Вычислить значение sup \F(x) - Fn(я) . X I I Решение. Для построения графика реализации эм- пирической функции распределения Fn(rr), расположим
240 Глава 15. Методы построения оценок выборочные значения в вариационный ряд: —0,4; 0,0; 0,1; 0,7; 0,7; 1,0; 1,1; 1,1; 1,6; 2,4. Поскольку выборка получена из непрерывного рас- пределения одинаковых выборочных значений не долж- но быть. Но в рассматриваемой выборке они все-таки имеются: 0,7 и 1,1 встречаются дважды. Это связано с тем, что измерения производятся с ограниченным коли- чеством знаков, в рассматриваемом примере — до деся- тых. Поэтому некоторые выборочные значения могут сов- падать. Для построения графика реализации эмпирической функции распределения нанесем на ось абсцисс порядковые статистики к = 1,2,..., 10. Эмпиричес- кая функция распределения Fio(^tv) постоянна на про- межутках (-oo,£i], (Cfc,Cfc+1], к = 1,2, ...,9, (£i0,+oo).Ha промежутке (—оо,^] она равна нулю и, “переходя через точки” ££ (кроме 0,7 и 1,1), растет скачками 1/10, а при переходе через точки 0,7 и 1,1 — скачками 2/10 (посколь- ку выборочные значения 0,7 и 1,1 в выборке встречают- ся дважды). График реализации Fio(^tv) эмпирической функции распределения Ао(^) изображен на рис. 15.1.3. Для вычисления sup F(z) - Fn(ж) = sup bve;(72(a:) - Fn(x X I I X I кроме значений Fn(x), еще необходимо знать значения функции распределения в точках ^1,^2? • • • Значения функции Na.a2{x) нахо- дим по значениям табулированной функции 7Vo;i(#) нор- мального распределения с параметрами (0;1) (см. табл. 22.1.1). После замены переменной (t — а)/ст = у в послед-
15.1. Эмпирические оценки 241 нем интеграле получаем dt = 7Vq;1 Рис. 15.1.3: К вычислению sup М),8;0,64(ж) - Ао(ж) и sup М;0,25(®) “ Ао(ж) X I I х I Этапы вычисления 6 = sup F(a;) — Ао(^) , х । I когда F(x) = TVo,8;O,64(^), сведены в табл. 15.1.1, согласно которой 6 = 0,16. Аналогично получаем, что sup |М;0,25(^) - Ао(^) I = 0,26. х । I
242 Глава 15. Методы построения оценок Таблица 15.1.1. К вычислению sup Г(ж) - Гю(яг) = sup M>,8;0,64(x) - Г\о(х) X I I X I & Ао(^) \f(&) - АоО \F(M - Ао(&+1)1 -0,4 0 0,07 0,07 0,03 0,0 0,1 0,16 0,06 0,04 0,1 0,2 0,19 0,01 0,11 (2) 0,7 0,3 0,45 0,15 0,05 1,0 0,5 0,58 0,08 0,02 (2)1,1 0,6 0,64 0,04 0,16 1,6 0,8 0,84 0,04 0,06 2,4 0,9 0,98 0,08 0,02 1,0 Эмпирические (выборочные) значения парамет- ров. По эмпирической функции распределения можно строить интуитивно-наглядные оценки параметров рас- пределения. Пусть £i, £2, • • • Лп — выборка из распределения F(-; 0), зависящего от параметра 0. Параметр 0 неизвестен, и его необходимо оценить по выборке. Предположим, что параметр 0 однозначно определя- ется распределением (функцией распределения F(a;;0)), т.е. е= где Ф — функционал, заданный на некотором множестве функций распределения. Например, a = a2 = (когда они существуют) являются функционалами функ- ции распределения F(x) случайной величины: Выборка £i, £2, • • •, £п задает эмпирическую функцию рас- пределения Fn(x). И поскольку последняя близка к функ- ции распределения F(rr;0) (Fn(x) при каждом х являет- ся несмещенной и состоятельной оценкой F(rr;0)), а 0 =
15.1. Эмпирические оценки 243 = Ф(Р(х\ 0)), то в качестве оценки параметра 0 естествен- но рассматривать оп = ф(А(^)). Например, для параметра а формула вп = Ф(Рп(х\) дает оценку /* । п а = / xFn(dx) = - J ni^ R1 1-1 9 а для параметра — оценку 1 n i n 2 n 2 = 1 k=l 2 = 1 Интегралы вычисляются как интегралы Лебега по дис- кретному распределению, сосредоточенному в точках £2, • • •, (с “массой” 1/п в каждой). Определение. Оценку вп параметра в = Ф (F(x; 0)), построенную по формуле вп= Ф (Fn(x^ , будем называть эмпирическим (выборочным) значением параметра в. В частности, 1 п а = п 2 = 1 — эмпирическое (выборочное) среднее, а 1 п = - Ё -а)2 ' 1 2 = 1 — эмпирическая (выборочная) дисперсия.
244 Глава 15. Методы построения оценок Теорема 15.1.1. Пусть £i,£2,---?£n — выборка из распределения F и д(х) — борелевская функция на R1 со значениями в R1. Если G = j g^x^F^dx) ф оо, IR1 то выборочное значение Gn величины G является ее состоятельной и несмещенной оценкой. Следствие. Пусть ъЬ £2, • • • Лп ~ выборка из равномерного на промежутке [0; 1] распределения, тогда 1 п k=l является состоятельной и несмещенной оценкой G. Следствие из теоремы обозначает, что при больших п значительные отклонения суммы Gn от G встречаются изредка и поэтому в качестве приближенного значения интеграла G можно рассматривать сумму Gn. Описанный метод вычисления интегралов известен под названием метода Монте-Карло (статистических ис- пытаний). Он особенно эффективен при вычислении ин- тегралов большой кратности, когда другие методы при- ближенного анализа непригодны.
15.2. Метод моментов 245 Пример 15.1.2. На отрезок [0;2] наудачу бросают точку, которая делит его на две части, и фиксируют координату £ точки деления. Эксперимент проведен 10 раз. При этом получено 10 значений независимых наблюдений случайной величи- ны (д 0,00; 0,31; 0,70; 1,40; 0,08; 1,93; 0,79; 1,43; 1,42; 1,69. Оценить по выборке математическое ожидание объ- ема куба с ребром, равным большей части отрезка. Решение. По условию задачи длина ребра куба рав- на шах{£, 2 — £}. Объем = (шах{£, 2 — £})3 куба — функция случайной величины £. Значение G = Мд(£) ко- нечно, поскольку распределение случайной величины £ сосредоточено на конечном промежутке [0;2], а функция д(х) на этом промежутке ограничена. Поэтому несмещен- ной и состоятельной оценкой математического ожидания объема куба G = Мд(£) = М(шах{£, 2 — £})3 является 1 П 1 п Gn = - Е Ж) = - Е (тах{6, 2 - <£j)3. г=1 г=1 В рассматриваемом примере п = 10, а выборочные зна- чения £i, £2, • • •, приведены в условии. Значение Сщ = = 4,44. 15.2 Метод моментов Пусть (£1,^2, • • • ,£п) — выборка из распределения F(-; в) = F(-; 0i, #2,• • •, #$)• Параметры #i, #2, ..., 0$ неиз- вестны. Их необходимо оценить по выборке. Первым общим методом построения оценок парамет- ров по выборке был метод моментов, предложенный К. Пирсоном. Согласно этому методу определенное ко- личество выборочных моментов приравнивают соот- ветствующим моментам mfe(0i,02,---,0s) = У xkF{dx,01,02,---,Os) (15.2.1) Ri
246 Глава 15. Методы построения оценок распределения F(-; 0i, #2, • • • ? #$), вычисленным при зна- чениях параметров #i, #2, • • • ? равных соответственно оценкам #1,02, ••• этих параметров (моменты = — ,#&) распределения F(-; #i, #2, • • •, $$) яв- ляются функциями параметров #i, #2, • • •, #$)• Так что пер- вый выборочный момент 1 п mi = - V & п г=1 приравнивают первому теоретическому моменту mi(0i,02, •••,0s) = У xF(dx;0i,02,.. .,08У R1 второй выборочный момент 1 п г=1 — второму теоретическому моменту m2(0i,02, • • • ,0S) = У x2F(da;;0i,02,...,0s) R1 и т. д. Рассматривая количество моментов, равное числу неизвестных параметров (подлежащих оцениванию), по- лучают такое же количество уравнений для определения неизвестных параметров: mi = у xF(dx;0i,02,...,0s); R1 m2 x2F(dx; 0i, 02,... ,0sy, R1
15.2. Метод моментов 247 ms = j xsF(dx, 0i, 02,..., 0s)- IR1 Решая эти уравнения относительно 0i, 02,..., 0s, находим искомые оценки. Примечание. Некоторые теоретические моменты могут не зависеть от неизвестных параметров. В этом случае к выписанным уравнениям добавляют следующие, так чтобы количество уравнений было равно количеству неизвестных параметров. Метод моментов можно использовать, если существу- ют все перечисленные моменты. На практике он приво- дит к сравнительно простым вычислениям. Пример 15.2.1. Найти оценки параметров а и а2 нормального распределения методом моментов. Решение. Для нормального распределения с пара- 9 метрами а и а т2(а,а2) = 1 [ о f (*£ — 1 j 2 2 /----- / х2 ехр <--—г— \ dx = а2 + а2. y/2^J 2сг2 J IR1 Моменты mi (а, а2) и ??22(ft,cr2), вычисленные при значе- ниях параметров а и сг2, равных соответственно а и сг2, равны ??2i(ft; «г2) = а\ <т2) = а2 + а2. Первым и вторым эмпирическими моментами являются 1 П 1 п = "i2 = -52^- 72 П г=1 г=1
248 Глава 15. Методы построения оценок Приравнивая моменты т1(а;<т2) и Ш2(а,^2) соответству- ющим эмпирическим моментам, получим уравнения mi(a; «г2) = mi; m2(a,J2) = m2, или подробнее 1 п п г=1 г=1 Решения этих уравнений относительно а и а2 и являют- 9 ся оценками параметров а и <т , найденными по методу моментов: г=1 15.3 Метод максимального правдоподобия Пусть £ = (£i,£2, • • • ,£п) — выборка с распределени- ем F(-; 0) = F(-; 0i, 02, • • •, 0$), зависящим от параметра в = (01,02, • • •, 0$) £ & С Rs. Параметр 0 6 0 неизвест- ный и его необходимо оценить по выборке (£i,£2, • • • Общим (важным как с точки зрения теории, так и приложений) методом построения оценок является метод максимального правдоподобия, предложенный Р. Фише- ром.
15.3. Метод максимального правдоподобия 249 Определение. Функцией максимального правдопо- добия выборки £ = (^1,^2, • • • ,Сп) будем называть функ- цию L(0) = £(0i, 02, • • •, 0s) параметра 0 6 0, определяе- мую равенством Ц0) = /(Ш 0е3, если выборочный вектор £ = (£1,^2,... , £п) абсолютно непрерывный с плотностью /(ж; 0) = /(#1, а?2, • • •, хп\в) и равенством L(0) = Р(£;0), 0 6 0, если выборочный вектор £ = (£i, £2, • • •, £п) дискретный с распределением Р(я; 0) = P(#i, £2,..., rrn; 0). Метод максимального правдоподобия построения оце- нок состоит в том, что в качестве оценки параметра 0 = (01,02, • • •, 0s) выбирается точка 0 = (01,02, • • •, 0s), в которой функция максимального правдоподобия 1/(0) достигает наибольшего значения. Определение. Оценкой максимального правдопо- добия будем называть точку 0, в которой функция мак- симального правдоподобия достигает наибольшего значе- ния. Другими словами, оценкой максимального правдопо- добия параметра 0 будем называть отличные от констан- ты решения уравнения L(0) = шах 1/(0), & если такие решения существуют. Корни, не зависящие от выборки £1,^2, • • • ,£п, т- е- имеющие вид 0 = с, где с — константа, следует отбросить (оценка — это функция вы- борки). Логарифм 1п!/(0) от функции максимального правдо- подобия 1/(0) называют логарифмической функцией мак- симального правдоподобия. Заметим, что функции 1/(0) и 1п!/(0) достигают наи- большего значения в одной и той же точке. А найти точ- ку, в которой функция 1п!/(0) достигает наибольшего зна- чения, зачастую проще.
250 Глава 15. Методы построения оценок Поэтому если функция £(0) = £(0i, 02, • • •, 0s) диф- ференцируема по 0i, 02,..., 0S, то для решения уравнения 1/(01,02,..., 0S) = max 1/(01,02,..., 03) (15.3.1) 01,02г- достаточно найти стационарные точки функции In £(01,02,..., 0з), решая уравнение о —1пЦ01,02,..., 0S) = 0, i = 1,2,..., S, Uui и, сравнивая значения функции lnl/(0i, 02,..., 0S) в стаци- онарных точках и на границе множества 0, выбрать точ- ку 0 = (01, 02, . . . , 0$), В которой функция 1п1/(01, 02, ... , 0S) достигает наибольшего значения. Эта точка и будет ре- шением уравнения (15.3.1). Уравнение о —1п£(0ь 02,..., 0S) = 0, i = 1,2,..., s, Uui называют уравнением максимального правдоподобия. Пример 15.3.1. По выборке £i,£2,---,£n из распреде- ления с плотностью , ,л\_ ) 0 ехр {—0а;}, если х > 0; Р\х, ) — о, если х < 0 {показательное распределение с параметром в) найти оценку максимального правдоподобия параметра в. Решение. Совместной плотностью распределения неза- висимых случайных величин £i, £2,•••, £п является р(ж1,Ж2,...,жп;0) = р(жх; 0)р(ж2; 0) • • -р(хп;0) = = 0ехр{—0Ж1}0ехр{—6x2} ... 0ехр{—0хп} =
15.3. Метод максимального правдоподобия 251 = Оп ехр | —в Xi г=1 если все Xi > 0, i = 1,2,..., п, а если хотя бы одно Xi < О, то р(гг1, #2,... ,#п;0) = о. Функцией правдоподобия выборки £i, £2,•••, £п является £(0) = 0геехр|-052&|, г=1 ' если все & > 0, i = 1,2,..., п, и L(0) = 0 — в противном случае. Функция L(0) дифференцируема по а поэтому можем выписать уравнение правдоподобия: или (после дифференцирования) 1 п п0-Е^ = о- Решением уравнения правдоподобия является На границе области допустимых значений параметра в функция L(0) принимает значение 0, поэтому в точке в = 1/£ функция максимального правдоподобия L(0) до- стигает наибольшего значения, а следовательно, в = 1/£ является оценкой максимального правдоподобия парамет- ра в.
252 Глава 15. Методы построения оценок Пример 15.3.2. Пусть £i, £2, • • •, — выборка из рас- пределения с плотностью f(x; а,Ь) = < 1ехр{-4(ж О, если х > если х < Ь; Ь (f(x', а>, Ь) — плотность смещенного показательного рас- пределения) . Найти оценки параметров а ub методом максималь- ного правдоподобия. Выяснить, являются ли оценки максимального прав- доподобия параметров а и b их несмещенными и состо- ятельными оценками? Решение. Функция максимального правдоподобия 1 ( 1 ж 0 = -п ехр{ -- г=1 если все & > Ъ и L(a, b) = 0, если существует < Ь. Если Ь — точка, в которой функция Q(b) = — Ь) i=l (£г > b, i = 1,2,..., п) достигает наименьшего значения, а а — точка, в которой функция L(a,b) достигает наи- большего значения, то в точке (а, Ь) функция L(a,b) до- стигает наибольшего значения (в этом убеждаемся непо- средственной проверкой). п Функция Q(b) = £(&-Ь) (& > ь, i = 1,2, ...,п) г=1 достигает наименьшего значения в точке b = min{^}, а функция L(a,b) достигает наибольшего значения в точ- ке а = Q(b)/n. Оценки а,Ь — асимптотически несмещенные и состо- ятельные соответственно для параметров а, Ь.
15.4. Задачи 253 15.4 Задачи АЗ: 15.3,15.18,15.28,15.32,15.33. СЗ: 15.13,15.24,15.31,15.38,15.51. 15.1. Пусть 1,31; 1,18; 1,50; 1,06; 1,01; 1,06; 1,33; 1,80; 1,30; 1,35 — выборка из распределения с плотностью р(Ж;а,0= Aexp{-A(>-b)}’ e™H х > Ь; если х < b (смещенное показательное распределение) при значениях параметров a = 0,5; b = 1. По выборке построить график реализации эмпириче- ской функции распределения F^x). Построить график функции F(x) смещенного показательного распределе- ния с параметрами a = 0,5; b = 1. Вычислить sup \F(x) - Fn(x 15.2. На отрезок [0;2] наудачу бросают точку и фикси- руют ее координату %. Эксперимент проведен 15 раз. При этом получено 15 значений независимых наблюдений слу- чайной величины %: 0,14; 1,81; 1,58; 1,28; 1,39; 0,80; 0,31; 0,70; 1,40; 0,08; 1,93; 0,79; 1,43; 1,42; 1,68. Оценить по выборке математическое ожидание объ- ема куба, ребро которого равно меньшей части отрезка [0;2] при его делении точкой %. 15.3. Пусть £i, & > • • • > £п — выборка из распределения с плотностью р(ж; р, a ) — < у/2тгсг2х 0, если х < 0, параметр a > 0 (р(ж; р,сг2) — плотность логарифмически нормального распределения). Найти оценку параметров р и сг2 методом моментов.
254 Глава 15. Методы построения оценок Замечание. Вычисляя первый и второй моменты, целесообразно сделать замену А6 = t. 15.4. Пусть £i,£2, • • •,— выборка из распределения с плотностью < 2^о’ если х [0 — ho,0 + ho]] 0, если х £ [0 — ho, 0 + ho]. Найти оценку в параметра в методом максимального правдоподобия. Выяснить, является ли в несмещенной, состоятельной оценкой параметра в. 15.5. Воспользовавшись таблицей случайных чисел (см. табл. 22.10.1), получить выборку объемом п = 20 из нормального распределения со средним a = 2 и дисперси- ей <т2 = 4 (см. также пример 19.1.1). По этой выборке по- строить график реализации эмпирической функции рас- пределения Fn(x). Построить график функции 7V2;4(^)- Вычислить sup pV2;4(z) - А (я) • X I I 15.6. С помощью таблицы случайных чисел (см. табл. 22.10.1) оценить значение интеграла Пуассона —оо Указание 1. Сделать в интеграле замену 1 1 у = -arctgrr + -. 7Г 2 Указание2. Воспользовавшись таблицей случайных чисел (см. табл. 22.10.1), получить выборку из равномер- ного на отрезке [0; 1] распределения и применить теоре- му 15.1.1.
15.4. Задачи 255 15.7. Пусть £i, ^2, • • •, — выборка из распределения с плотностью /О;0, Ь) = ехр -^|а: - Ь| параметр в > 0 (/(ж; 0, Ъ) — плотность смещенного дву- стороннего показательного распределения). Найти оценки 0 и Ь параметров в и Ь методом момен- тов. Выяснить, являются ли в и Ь несмещенными и состо- ятельными оценками в и Ь. 15.8. Пусть £i, £2, • • • Лп — выборка из распределения параметр в > 0, г — известно. Найти оценку параметра в методом максимального правдоподобия. Выяснить, является ли оценка максимального прав- доподобия в несмещенной, состоятельной, эффективной оценкой параметра в. Указание. См. задачу 14.2. 15.9. Воспользовавшись таблицей случайных чисел, получить выборку объемом п = 20 из равномерного на отрезке [0;1] распределения (см. задачу 19.4). По этой вы- борке построить график реализации эмпирической функ- ции распределения Fn(rr), п = 20. Построить график фун- кции F(x) равномерного на отрезке [0;1] распределения. Вычислить sup F(z) - (я) • х । I 15.10. На отрезок [0;4] наудачу бросают точку и фик- сируют ее координату %. Эксперимент проведен 15 раз. При этом получено 15 значений независимых наблюде- ний случайной величины %: 0,55; 2,94; 0,65; 1,49; 3,08; 1,01; 2,38; 1,18; 1,63; 3,18; 0,39; 1,71; 2,72; 0,95; 1,18. Оценить по выборке математическое ожидание пло- щади поверхности шара, радиус которого равен меньшей части отрезка [0;4] при его делении точкой £.
256 Глава 15. Методы построения оценок 15.11. Пусть £1,^2, ...,£п — выборка из геометриче- ского распределения с параметром р: P(k',p) = (1 — р)кр, к = 0,1,... Оценить параметр р методом моментов. 15.12. Пусть £1,£2>--->£п — выборка из распределе- ния с плотностью = — ехр < —\х а(х I а Ь|}, a > 0. Найти оценки параметров а и Ь методом максималь- ного правдоподобия. 15.13. Выпишите 50 случайных, на ваш взгляд, чи- сел из отрезка [0;1] (для определенности — с четырьмя знаками после запятой). Их можно рассматривать как выборку из некоторого распределения. По этой выбор- ке построить график реализации эмпирической функции распределения Fn(x),n = 10. Построить график функ- ции F(x) равномерного на отрезке [0;1] распределения. Вычислить sup|F(a;) -Fn(®)| • 15.14. Длительность работы элемента до первого вы- хода из строя является показательно распределенной слу- чайной величиной. Наблюдалась работа 20 элементов и фиксировали длительность их работы до первого выхода из строя (в часах): 11, 149, 846, 563, 384, 950, 864, 63, 990, 77, 685, 158, 348, 318, 25, 278, 1803, 83, 1544, 380. По выборке найти оценку математического ожидания длительности безотказной работы элемента, если его ме- няют после 200 часов непрерывной работы, даже если элемент не вышел из строя. 15.15. Пусть £1,£2,---,£п — выборка из распределе- ния с плотностью f(x;a,0) = (х - (a - Vfty/f), = < ~(х - (а + \/0))/0, 0, если х е [а — х/0, а]; если х 6 [а,a + \/0]; если х £ [а — a + у/0].
15.4. Задачи 257 Найти оценки а и в параметров а и в методом момен- тов. Выяснить, являются ли а и 0 несмещенными и состо- ятельными оценками параметров а и в соответственно. Указание. Вычисляя второй момент, целесообразно воспользоваться соотношением a = m2 — т^. 15.16. Сделано п выстрелов из орудия по неподвиж- ной точечной цели без изменения прицела, причем в к (О < к < п) случаях наблюдался перелет, а в остальных п — к случаях — недолет снарядов. Предположим, что высоты выстрелов являются неза- висимыми, нормально распределенными случайными ве- личинами с единичной дисперсией и математическим ожи- данием h. Какую поправку необходимо внести в установ- ку орудия, чтобы среднее значение высот выстрелов было возможно ближе к цели? Примечание. Здесь “высота выстрела” обозначает высоту точки попадания снаряда в вертикальную плос- кость, проходящую через цель перпендикулярно к плос- кости направления выстрелов. Высота выстрела отсчи- тывается от горизонтальной плоскости, в которой распо- ложено орудие. 15.17. Получить выборку объемом п = 10 из 7Vo;i-pac- пределения. По этой выборке построить график реализа- ции эмпирической функции распределения Fn(x\ п = 10. Построить график функции Nq-i (ж) нормального распре- деления с параметрами (0;1). Вычислить sup рУ0;1(я) - Fn(rr) х I Указание. Если случайная величина £ имеет сво- ей функцией распределения F(x\ то случайная величина г] = F(£) распределена равномерно на промежутке [0; 1]. Отсюда, если случайная величина г) распределена равно- мерно на промежутке [0; 1], то £ = F-1^) имеет своей функцией распределения F(x).
258 Глава 15. Методы построения оценок 15.18. Воспользовавшись таблицей случайных чисел (см. табл. 22.10.1) оценить значение интеграла оо /sin fix а2 + X2 о dx. a > 0, /3 > 0, если a = 1, /3 = 1. Указание 1. Сделать в интеграле замену 2 у = — arctgrr. 7Г Указание2. По таблице получить выборку из рав- номерного на отрезке [0;1] распределения и воспользо- ваться теоремой 15.1.1. 15.19. Пусть £1,£2,---,£п — выборка из распределе- ния с плотностью (/(ж;0) — плотность двустороннего показательного рас- пределения). Найти оценку дисперсии методом моментов и выяс- нить является ли она несмещенной и состоятельной оцен- кой дисперсии. 15.20. Пусть £1,£2,---,£п — выборка из распределе- ния с плотностью !^х. = если ж € [00 - h, 00 + h]; 0, если х £ [^о — h, во + h\. Найти оценку параметра h методом максимального правдоподобия. Выяснить, является ли оценка максимального прав- доподобия параметра h его несмещенной и состоятельной оценкой. 15.21. Наблюдаются цифровые части номеров 10 ав- томобилей (в номере пять цифр), проезжающих мимо
15.4. Задачи 259 вас. Пусть Сг, вг — цифры, встречающиеся в номе- ре г-го автомобиля, если его читать слева направо. Стро- ится последовательность чисел & = lO"1^ + Ю-2^ + 10-3Cj + 10-4di + 10-5ej, i = 1,2,..., 10. Их можно рассматривать как выборку из некоторого распределения. По выборке £i,£2,... ,£ю построить график эмпири- ческой функции распределения Fn(x) (п = 10). Постро- ить график функции F(rr) равномерного на отрезке [0;1] распределения. Вычислить sup \F(x) - Fn(x х । Замечание. Если номер автомобиля содержит че- тыре цифры, то рассмотрим последовательность чисел О = 10-4 + 10-2i>i + 10-3Сг + 10"Ч, i = 1,2,..., 10. 15.22. Пусть £i,£2, ...,£п — выборка из распределе- ния с плотностью f(x;0,p) = < если х если х >0; <0, параметр в > 0 и р > 0 (/(а;;0,р) — плотность распреде- ления Вейбулла), р — известно. Найти оценку параметра в методом максимального правдоподобия. 15.23. Пусть £i,£2, • • •,£п — выборка из равномерного на отрезке [0 — ст\/3, в + <т\/3] распределения, сг > 0. Найти оценки в и а2 параметров в и <т2 методом мо- ментов. Выяснить, являются ли оценки в и а2 несмещенными, состоятельными оценками соответствующих параметров.
260 Глава 15. Методы построения оценок 15.24. Пусть £1,£2>--->£п — выборка из распределе- ния с плотностью /(*;£) = < если если х > 0; х < 0, (/(ж;#) — плотность распределения Рэлея). Найти оценку параметра в методом максимального правдоподобия. Выяснить, является ли оценка максимального прав- доподобия параметра в его несмещенной, состоятельной, эффективной оценкой? 15.25. Имеем выборку: 2,22; 0,67; —0,14; —0,33; —0,97;—1,81; —0,94; —0,91; 0,11; 3,94 из распределения с плотностью /(ж; а, с) = a тг(а2 + (ж — с)2) ’ где а = 0,5 и с = 1 (/(ж; а, с) — плотность распределения Коши). Построить график реализации эмпирической функ- ции распределения Fn(#). Построить график функции F(x) распределения Коши с параметрами a = 0,5; с = 1. Вычислить sup|F(a;) -Fn(®)| • 15.26. На отрезок [0;3] наудачу бросают точку и фик- сируют ее координату %. Эксперимент проведен 20 раз. При этом получено 20 значений независимых наблюде- ний случайной величины %: 1,91; 1,08; 1,25; 0,87; 2,42; 1,49; 2,10; 2,21; 0,33; 0,09; 0,39; 0,54; 2,39; 0,51; 2,51; 1,44; 0,96; 1,85; 2,38; 0,67. Оценить по выборке математическое ожидание объе- ма шара, радиус которого равен большей части отрезка [0;3] при его делении точкой 15.27. Пусть £1,£2>--->£п — выборка из распределе- ния Эрланга с параметрами m и А. Оценить параметры m и А методом моментов.
15.4. Задачи 261 Плотность распределения Эрланга с параметрами т и А имеет вид /(ж; А, т) = < хт _i _ 1)! ехр {“если х > 0; 0, если х < 0. 15.28. Пусть £i, ^2, • • • , £п — выборка из равномерного распределения на промежутке: 1) [(9 - 1,(9 + 1]; 2) [(9,(9 + 1]; 3) [в - hQ.O + h0\. Найти оценку в параметра в методом моментов. Выяснить, является ли оценка в несмещенной, состо- ятельной оценкой параметра в. 15.29. Воспользовавшись таблицей случайных чисел (см. табл. 22.10.1), получить 10 независимых выборок объ- емом 12 из равномерного на промежутке [0;1] распреде- ления (см. также задачу 19.4). Обозначим их • • • ,&,12, к = 1,2,..., 10. Пусть 12 % = У2 ~ 6’ Ь 2,..., 10. 1=1 Последовательность тд, т/2, • • •, Шо является выборкой из некоторого распределения. По этой выборке построить график реализации эмпирической функции распределе- ния Fio(rr). Построить график функции Nq-i (ж) нормаль- ного распределения с параметрами (0;1). Вычислить sup рУ0;1(я) - Ао(* х । 15.30. Интервалы безотказной эксплуатации (часы ме- жду последовательными отказами) аппаратуры кондици- онирования воздуха на самолете “Боинг-720” приведены в таблице (читать по строкам):
262 Глава 15. Методы построения оценок 6 23 261 87 7 120 14 62 32 24 47 225 71 246 21 42 20 5 97 18 12 120 11 3 14 71 11 14 100 7 11 16 90 1 16 52 95 97 98 5 51 11 4 141 18 142 68 77 85 91 80 1 16 106 206 82 54 31 3 230 216 46 111 39 63 18 191 18 3 131 163 24 50 44 102 72 22 39 18 95 3 15 197 188 79 88 46 5 62 74 5 36 22 139 210 97 30 23 81 48 Найти эмпирическую оценку математического ожида- ния длительности безотказной работы аппаратуры, если ее профилактический ремонт осуществляется после 100 часов эксплуатации. 15.31. Пусть £1,£2,---,£п — выборка из распределе- ния с плотностью /(ж; и, а) = < 1 exp {-аж}, 0, если х если х >0; <0; z/ > 0, a > 0 (/(ж; у, а) — плотность гамма-распределения с параметрами Найти оценку параметров у и а методом моментов. 15.32. Пусть £1,£2>--->£п — выборка из распределе- ния 1 / 0 \ Найти оценку параметра 0 методом максимального правдоподобия. Выяснить, является ли оценка максимального прав- доподобия параметра 0 его несмещенной, состоятельной, эффективной оценкой. 15.33. Воспользовавшись таблицей случайных чисел (см. табл. 22.10.1), получить выборку объемом 20 из рас- пределения арксинуса (см. также пример 19.1.1). По этой выборке построить график реализации эмпирической фун- кции распределения Fn(x), п = 20. Построить график функции распределения арксинуса А(х) = < 0, arcsine/ж, 1, если х < 0; если х 6 (0; 1]; если х > 1.
15.4. Задачи 263 Вычислить 15.34. На отрезок [0; 1] наудачу бросают точку и фик- сируют ее координату Эксперимент проведен 20 раз. При этом получено 20 значений независимых наблюде- ний случайной величины %: 0,33; 0,93; 0,62; 0,38; 0,65; 0,53; 0,31; 0,07; 0,61; 0,04; 0,70; 0,85; 0,83; 0,81; 0,40; 0,59; 0,93; 0,24; 0,55; 0,17. Оценить по выборке математическое ожидание пло- щади круга, радиус которого равен большей части отрез- ка [0;1] при его делении точкой £. 15.35. Обозначим через £ случайную величину — чис- ло неудач до появления r-го успеха в неограниченной последовательности независимых испытаний с вероятно- стью успеха р в одном испытании. Случайная величина £ имеет распределение PR = к} = -Р)к, к = 0,1,... Это распределение называют отрицательным биномиаль- ным с параметрами (г;р) или распределением Паскаля. Пусть £1,^2, • • • Лп — выборка из отрицательного би- номиального распределения с параметрами (г;р), г — из- вестно. Найти оценку параметра р методом моментов. Указание. Общее количество неудач до r-го успеха можно представить в виде суммы £ = т + р2 + • • • + г)г, где pi, г)2ч • • •, Лг — независимые случайные величины, каж дая из которых имеет геометрическое распределение с па- раметром р. 15.36. С целью оценить количество N рыб в озере, выловили К рыб, пометили их и выпустили в озеро. Че- рез некоторое время в озере выловили п рыб. При этом к из них оказались помеченными. Какое наиболее вероятное количество рыб в озере? Указание. Задачу решить в предположении, что ко- личество N рыб в озере большое по сравнению с п. В этом
264 Глава 15. Методы построения оценок предположении случайную величину £ — количество ме- ченых рыб среди п выловленных — можно считать бино- миально распределенной. 15.37. Стохастический эксперимент состоит в после- довательном подбрасывании монеты четыре раза и реги- страции результатов следующим образом: выпадение гер- ба (Г) обозначается единицей, решки (Р) — нулем. Ска- жем, результаты экспериментов ГРРГ, РГРГ, и т. д., ре- гистрируются соответственно как 1001, 0101, и т. д. По- лученным последовательностям из нулей и единиц ста- вятся в соответствие числа из промежутка [0;1], которые в двоичной системе исчисления можно представить так: 0,1001; 0,0101; и т. д., т. е. 0,1001 — это запись в двоичной системе числа 11 1 . 1' 2 + 0'22 + 0 ’ 23 + 1 ' 1 _ _9_ 24 “ 16’ а 0,0101 — числа о-1+14+о4+1- 1 _ _5_ 24 “ 16 ‘ Эксперимент проведен 16 раз. Получено 16 чисел. Их можно рассматривать как выборку из некоторого распре- деления. По этой выборке построить график реализации эмпирической функции распределения Fn(#) (п — 16). Построить график функции F(x) равномерного на отрез- ке [0;1] распределения. Вычислить sup \F(x) — Fn(x) X 1 15.38. Воспользовавшись таблицей случайных чисел (см. табл. 22.10.1), оценить значение интеграла о Указание. С помощью таблицы случайных чисел получить выборку из равномерного на отрезке [0; 1] рас- пределения и воспользоваться теоремой 15.1.1.
15.4. Задачи 265 Значение G = 0,915965... известно под названием “постоянной Каталана”. 15.39. Пусть £1,^2, • ”,61 — выборка из распределе- ния с плотностью f(x'a.b) = < i ехр { — 1 (х — 6) |, если х > Ь; О, если х < Ь. Найти оценки параметров а и b методом моментов. 15.40. Пусть £1,£2>--->£п — выборка из распределе- ния с плотностью 1 f(x^a, Ь) = < b — а’ если х 6 [а; &]; если х £ [а; Ь]. Найти оценки параметров а и b методом максималь- ного правдоподобия. Выяснить, являются ли оценки максимального прав- доподобия а и Ь параметров а и Ь их несмещенными оцен- ками? Состоятельными оценками? 15.41. Время, показываемое остановившимися меха- ническими часами, естественно считать случайной вели- чиной, распределенной равномерно на отрезке [0;12]. Ниже приведены показания 14 часов в витрине часо- вого магазина: 9 ч 18 мин; 8 ч 35 мин; 10 ч 45 мин; 11ч 30 мин; 3 ч 06 мин; 7 ч 50 мин; 4 ч 22 мин; 10 ч 12 мин; 7 ч 47 мин; 4 ч 28 мин; 11 ч 16 мин; 7 ч 08 мин; 5 ч 53 мин; 8 ч 00 мин. По этой выборке построить график реали- зации эмпирической функции распределения Fn(x). По- строить график функции F(x) равномерного на отрезке [0;12] распределения. Вычислить sup - Fn(x 15.42. На отрезок [0; 1] наудачу бросают точку и фик- сируют ее координату Эксперимент проведен 10 раз. При этом получено 10 значений независимых наблюде- ний случайной величины %: 0,33; 0,93; 0,62; 0,38; 0,65; 0,53; 0,81; 0,07; 0,61; 0,04.
266 Глава 15. Методы построения оценок Оценить по выборке математическое ожидание пло- щади квадрата со стороной, равной меньшей части от- резка [0;1] при его делении точкой %. 15.43. Пусть £i, £2, • • •, — выборка из биномиально- го распределения Р(к;тп) = С^рк(1 -р)т~к, к = 0,1,...,т, т известно. Найти оценку р параметра р методом моментов. Выяс- нить, является ли оценка р несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой р. 15.44. Пусть £1,£2,---,£п — выборка из распределе- ния с плотностью 1 = l 27Р если х 6 [0 — Л; 0 + Л]; О, если х [в — h] в + h\ (f^x; О, IT) — плотность равномерного на отрезке [0—h, 0+ h] распределения). Найти оценки параметров в и h методом максималь- ного правдоподобия. Выяснить, являются ли оценки максимального прав- доподобия в и h параметров в и h несмещенными оцен- ками? Состоятельными оценками? 15.45. Имеем выборку: 0,04; 1,95; 0,38; 0,20; 0,24; 1,14; 0,10; 1,96; 1,00; 0,07 из распределения с плотностью 1 I гр I г/ \ , 77 ехр < — если х > 0; f{x]a) = < « н Р ’ 0, если х < 0. По этой выборке построить график реализации эмпи- рической функции распределения Fn(x). Построить гра- фик показательной функции распределения F(x) с пара- метром 1. Вычислить sup F(z) - Fn (ж)
15.4. Задачи 267 15.46. Пользуясь таблицей случайных чисел (см. табл. 22.10.1) , оценить значение интеграла о cos /Зх а2 + х2 dx. если а = 1, /3 = 1. Указание 1. Сделать в интеграле замену 2 у = — arctgrr. 7Г Указание 2. С помощью таблицы случайных чисел получить выборку из равномерного на отрезке [0;1] рас- пределения и воспользоваться теоремой 15.1.1. 15.47. Пусть £1,^2, • • • Лп — выборка из распределе- ния с плотностью /(ж; 0, h) = < 1 0, если х G [0 — х/ЗЛ; 0 + х/ЗЛ]; если х [0 — \/3h; 0 + х/ЗЛ]• Найти оценки в и h параметров в и h методом момен- тов. Выяснить, являются ли в и h несмещенными, состоя- тельными оценками параметров в и h соответственно. 15.48. Пусть £1,^2, • •• Лп — выборка из распределе- ния с плотностью /(ж;/1,ст2) = < 1 х/ 2-тгсг2ж (In ж — /г)2 2<т2 если х если х >0; <0, параметр а > 0 (/(ж; /z, сг2) — плотность логарифмически нормального распределения). Найти оценки параметров /л и а2 методом максималь- ного правдоподобия.
268 Глава 15. Методы построения оценок 15.49. Пусть £1,£2>--->£п — выборка из распределе- ния р(к-, (?) = c-j+i (i/o)' (i - k = о, i,..., г известно (см. также задачу 15.35). Найти оценку параметра 0 методом максимального правдоподобия. Выяснить, является ли оценка максимального прав- доподобия параметра 0 его несмещенной, состоятельной, эффективной оценкой. 15.50. Пусть £1,£2>--->£п — выборка из распределе- ния с плотностью /(ж; Ъ) = < 1 Ь-ао’ О, если х е [ао; Ь]; если х £ [ао; Ь\. Найти оценку параметра Ь методом максимального правдоподобия. Выяснить, является ли оценка максимального прав- доподобия параметра Ь его несмещенной и состоятельной оценкой. 15.51. Пусть £1,£2>--->£п — выборка из распределе- ния Пуассона \k Р(к;Х} = —е~\ А; = 0,1,... fc! Найти оценку параметра А методом максимального правдоподобия. Выяснить, является ли оценка максимального прав- доподобия параметра А его несмещенной, состоятельной, эффективной оценкой. 15.52. Пусть £1,£2,---,£п — выборка из распределе- ния ^^>=с:--и(тЬ)г(тЬ)‘’ '==0’1’-1 параметр в > 0, г известно.
15.4. Задачи 269 Найти оценку в параметра в методом моментов. Выяснить, является ли в несмещенной, состоятель- ной, эффективной оценкой параметра в. Указание. См. задачу 14.2. 15.53. Пусть £i, £2, • • • ? — выборка из биномиально- го распределения P(fc; m) = С^рк(1 - р)т~к, к = 0,1,..., т, т известно. Оценить параметр р методом максимального правдо- подобия. Выяснить, является ли оценка максимального прав- доподобия параметра р его несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой. 15.54. Пусть £1,^2, •--,61 — выборка из распределе- ния с плотностью /(*;£) = < ^ехр если х > 0; если х < 0. Найти оценку в параметра в методом моментов. Выяснить, является ли в несмещенной и состоятель- ной оценкой параметра в. 15.55. Пусть £1,^2,— выборка из распределе- ния с плотностью охв о, если х > если х < А; А, параметр в > 1, параметр А > 0 (/(ж;#, А) — плотность распределения Парето). Найти оценки параметров в и А методом максималь- ного правдоподобия. 15.56. Пусть £1,^2, • ”,61 — выборка из распределе- ния с плотностью 0, если х > 0; если х < 0
270 Глава 15. Методы построения оценок (f(x]a2>) — плотность полунормального распределения). Найти оценку параметра в = сг2 методом максималь- ного правдоподобия. Выяснить, является ли оценка максимального прав- доподобия параметра сг2 его несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой. 15.57. Пусть £1,£2,---,£п — выборка из распределе- ния у ф(я) — Р*(1 “ р)1-гс, х — 0; 1, р е (0; 1). Найти оценку параметра р методом максимального правдоподобия. Выяснить, является ли оценка максимального прав- доподобия параметра р его несмещенной, состоятельной, эффективной оценкой. 15.58. Частота р = ц/n события А в последовательно- сти экспериментов является несмещенной и состоятель- ной оценкой его вероятности р = Р(А). Выяснить, является ли частота р = ц/n эффективной оценкой р.
Глава 16 Задача проверки статистических гипотез 16.1 Критерий, функция мощности критерия Задача проверки статистических гипотез. Часто задачи математической статистики формулируют в сле- дующем виде. Имеется результат £(cu) = (£1(<^), £2(^)5 • • • . ..,£n(cv)) стохастического эксперимента, состоящего в наблюдении случайной величины £ = (Сь&а, • • • ,£п) со значениями в Rn. Относительно распределения случай- ной величины £ = (£i,£2, ... , £п), или, что то же, выбор- ки, в лучшем случае известно лишь то, что оно принад- лежит некоторому классу распределений Р. Далее класс Р будем считать параметрическим: р = {Рв]0Е 0cRs}. По значению £(си), принятому случайной величиной £, необходимо выбрать ее распределение из класса Р. Будем поступать следующим образом. Из класса Р возможных распределений случайной величины £ выбе- рем некоторое распределение G — “кандидатуру” на рас- пределение %. Другими словами, относительно распреде- ления случайной величины £ выдвигаем гипотезу (пред- положение): распределением £ является G. Затем прово- дим эксперимент — получаем реализацию £(cv) случайной 271
272 Глава 16. Задача проверки статистических гипотез величины £ и по значению £(си), принятому £, делаем за- ключение: случайная величина £ может иметь своим рас- пределением G или G не может быть распределением £. При этом будем поступать так, как в свое время Сократ, когда хотел опровергнуть утверждение своего оппонен- та. А именно, если гипотеза: G является распределением £ — противоречит результату эксперимента, то ее следует отклонить (G не может быть распределением £), в про- тивном случае — гипотезу не отклоняем (G может быть распределением £). Сформулированная задача относится к задачам про- верки статистических гипотез. Соглашения и определения. В теории проверки статистических гипотез приняты такие определения и со- глашения. Гипотезы относительно распределений случайных ве- личин называют статистическими. Выбор распределения (или класса распределений) из совокупности Р будем называть выбором основной (ну- левой) гипотезы относительно распределения случайной величины £ со значениями в пространстве Rn. После вы- бора нулевой гипотезы выбирают гипотезу альтернатив- ную к нулевой (из множества возможных альтернатив- ных гипотез). Альтернативная (конкурирующая) к Но гипотеза — это гипотеза, в пользу которой отклоняют Но (если Но отклоняют). В качестве множества альтернатив- ных гипотез, как правило, будем рассматривать парамет- рическое семейство, обозначая его через Н^О 6 0. Проиллюстрируем введенные понятия на примере би- номиального распределения. Монету, вероятность выпадения герба в которой неиз- вестна, независимым образом бросают п раз. Число вы- павших гербов оказалось равным £. Можно ли считать, что монета симметрична? Сформулируем эту задачу в терминах проверки ста- тистических гипотез. Распределением случайной величины £ может быть любое распределение из класса V = {Ре, О 6 (0,1)}, где Рв(к) = С^0к(1 - 0)п~к, к = 0,1,..., п. Поскольку мы интересуемся симметричностью монеты,
16.1. Критерий, функция мощности критерия 273 то в качестве кандидатуры на распределение случайной величины £ из семейства распределений Р выберем рас- пределение Ро,5(&)? k = 0,1,...,п. Тем самым выбрана нулевая гипотеза (Но- распределением £ является Род(^)? к = 0,1,... ,п). Конкурирующими к Но являются гипо- тезы Н$: распределением £ есть F^(fc), к = 0,1,...,п, Ое (0,1), 0^0,5. Ответ на вопрос о симметричности монеты сводится к проверке гипотезы Hq. Гипотеза относительно распределения, которая одно- значно его определяет, называется простой] если гипоте- за не определяет распределение однозначно, она называ- ется сложной. Например, гипотеза Hq: случайная величина £ имеет распределение ^o(fc) = Ск0ок(1 - 0о)п~к, к = 0,1,... ,п, где во — фиксировано, простая. Гипотеза Н: случайная величина £ имеет распределение Рв(к) = Ск0к(1 - 0)п~к, к = 0,1,..., п, где в G (0; 1/2), сложная. Формулируя задачу проверки статистических гипо- тез, в качестве нулевой гипотезы (для наглядности и про- стоты) мы рассмотрели простую гипотезу: распределени- ем случайной величины £ является G, где G — полностью определенное распределение. Заметим, что математическая статистика не дает ре- комендаций относительно выбора нулевой гипотезы, этот выбор определяется поставленной задачей и исследовате- лем. Критерий. Пусть £ — случайная величина со значе- ниями в Rn. Относительно неизвестного распределения случайной величины £ выдвигается гипотеза Hq: распре- делением £ является G] альтернативная гипотеза: G не является распределением %. Необходимо проверить гипотезу Но, т. е. сделать вы- вод: G может быть распределением случайной величи- ны £ (будем говорить “гипотеза Но не отклоняется”) или G
274 Глава 16. Задача проверки статистических гипотез не может быть распределением случайной величины £ (будем говорить “гипотеза Но отклоняется”). Согласно нашему общему подходу, проводим стоха- стический эксперимент — получаем реализацию £(cv) = = (£i(cu), £2(^)5 • ч Сп(^)) случайной величины (выборку) £ — (Ci, С2, • • •, Сп)- Далее, если гипотеза Но противоречит результату эксперимента, ее отклоняем, в противном слу- чае — не отклоняем (отметим, что кроме реализации £(cv) выборки £, мы не имеем ничего, что бы несло информа- цию о распределении £). Чтобы по результату эксперимента можно было вы- носить заключение об отклонении или неотклонении ги- потезы Но, необходимо определить (задать) множество тех исходов £(cv) = (£i(cv), £2(^)5 • • • ,£п(^)) эксперимента, которым гипотеза противоречит. Пусть S С Rn — множе- ство таких исходов. Далее проводим эксперимент. Если при этом его исход £(си) оказался среди исходов из множе- ства S (которым гипотеза Но противоречит) — гипотезу Но отклоняем, в противном случае — нет. Определение. Борелевское множество S выбороч- ного пространства Rn такое, что при £ 6 S гипотеза Но отклоняется, а при £ S' — не отклоняется, будем назы- вать критическим множеством (критической областью) или критерием для проверки гипотезы Hq. Далее, естественно, возникает задача (это основная задача проверки статистических гипотез): как выбрать критическое множество S С Rn для проверки данной ги- потезы (борелевских множеств S в пространстве Rn мно- го и ясно, что не все они одинаково хороши как критерии для проверки гипотезы Но). Чтобы указать пути решения этой задачи, сначала рассмотрим так называемые ошибки первого и второго рода и вероятности этих ошибок. Ошибки первого и второго рода. Пусть Но — ну- левая гипотеза относительно распределения случайной величины £, £(ш) — реализация £, S — борелевское мно- жество в пространстве Rn. Будем проверять Но, пользу- ясь множеством S как критическим, а именно, если исход £(ш) эксперимента попадает в S, то гипотезу Но откло- няем, в противном случае — нет.
16.1. Критерий, функция мощности критерия 275 При этом возможны такие ситуации: гипотеза Но вер- на или неверна, реализация £(cv) случайной величины £ попала в S или нет. Рассмотрим их подробнее. 1° Гипотеза Но верна. Реализация £(си) не попала в S, поэтому согласно критерию S гипотезу Но не отклоняем. 2° Гипотеза Но неверна. Реализация £(cv) не попала в S; и, следовательно, согласно критерию S гипотезу Но не отклоняем. 3° Гипотеза Но верна. Реализация £(cv) попала в S, и поэтому согласно критерию S гипотезу Но отклоняем. 4° Гипотеза Но неверна. Реализация £(си) попала в S, и, следовательно, согласно критерию S гипотезу Но отклоняем. Из четырех ситуаций две (1° и 4°) удовлетворитель- ны, а остальные (2° и 3°) — неудовлетворительны. В си- туациях 2° и 3° мы говорим, что в результате использо- вания критерия S допускается ошибка. При этом ошиб- ки в ситуации 2° (гипотеза Но не отклоняется, когда она неверна) и в ситуации 3° (гипотеза Но отклоняется, когда она верна) качественно различны. Проиллюстрируем отличие между ошибками в ситу- ациях 2° и 3° на примере проверки медицинского препа- рата на токсичность биологическими методами. Исследуя препарат на токсичность, определенную его дозу вводят подопытным животным (кроликам) и реги- стрируют количество летальных исходов (заметим, что это число является случайной величиной). Необходимо по реализации £(cv) случайной величины £ (количеству летальных исходов) сделать вывод относительно токсич- ности препарата — “препарат токсичен” или “препарат нетоксичен”. Ясно, что когда число £(cv) летальных ис- ходов большое, препарат следует классифицировать как токсичный, в противном случае — нет. Задачу исследования препарата на токсичность био- логическими методами можно сформулировать в терми- нах проверки статистических гипотез. А именно, отно- сительно токсичности препарата выдвигаются гипотезы: Но — препарат токсичен (альтернативная гипотеза Hi — препарат нетоксичен). Необходимо проверить гипоте- зу Но, т. е. отклонить ее или не отклонить. Выбор меж- ду этими действиями осуществляют по реализации £(cv)
276 Глава 16. Задача проверки статистических гипотез случайной величины £ — количеству летальных исходов: если £(cv) 6 S = {х : х < fc}, то гипотезу отклоняют, в противном случае — нет (S — критерий для проверки гипотезы Hq). Как и в каждой задаче проверки статистических ги- потез, в рассматриваемой задаче возможны ошибки: гипотеза Hq неверна, но согласно критерию она не от- клоняется; гипотеза Hq верна, но согласно критерию она откло- няется. Посмотрим, какие последствия этих ошибок и какова их “цена”. 1. Пусть допущена ошибка: гипотеза Hq неверна, но согласно критерию не отклоняется. Утверждение “гипо- теза Hq неверна” в рассматриваемой задаче обозначает, что препарат нетоксичный (не является опасным для здо- ровья пациентов), а утверждение “Hq не отклоняется” обозначает, что препарат классифицируется как токсич- ный. Таким образом, нетоксичный препарат согласно кри- терию классифицируется как токсичный и возвращает- ся поставщику (для переработки или уничтожения). По- следствия ошибки такого рода выражаются в финансо- вых убытках, увеличении стоимости препарата (“цена” ошибки — финансовые потери). 2. Пусть допущена ошибка: гипотеза Hq верна, но со- гласно критерию отклоняется. Утверждение “гипотеза Hq верна” обозначает, что препарат токсичен (опасен для здоровья пациентов). Утверждение “гипотеза Hq откло- няется” обозначает, что препарат классифицируется как нетоксичный (безопасный для здоровья пациентов). Та- ким образом, токсичный препарат (опасный для здоро- вья пациентов) согласно критерию классифицируют как нетоксичный (безопасный для здоровья пациентов) и от- правляют в продажу. Последствия ошибки такого рода могут привести к смерти пациентов, использующих этот препарат (“цена” ошибки — летальный исход для пациен- та). Этот пример показывает, что описанные выше ошиб- ки существенно отличаются своей “ценой”.
16.1. Критерий, функция мощности критерия 277 Определение. Ошибка, состоящая в том, что гипо- теза Hq отклонятся, когда она верна, называется ошибкой первого рода. Ошибка, состоящая в том, что гипотеза Hq не откло- нятся, когда она неверна, называется ошибкой второго рода. О выборе нулевой гипотезы. Как уже отмечалось, нулевую гипотезу из семейства всех возможных гипотез мы выбираем сами. Этот выбор тесно связан с ошибками, которые мы допускаем, проверяя гипотезы. (Об ошибках, связанных с проверкой гипотез, и состоящих в том, что данную гипотезу Н$ (в 6 &) мы отклоняем, когда она верна, можно говорить и не выбрав нулевую гипотезу.) Как правило, в качестве нулевой гипотезы выбираем ту, для которой важнее избежать ошибки, состоящей в ее отклонении, когда она верна. Уровень значимости критерия, функция мощ- ности критерия. Можно ли построить критическое мно- жество (критерий) для проверки гипотезы, использова- ние которого не приводило бы к ошибкам? Нет, нель- зя. Поскольку каким бы ни было критическое множество S / 0, значение £(си) случайной величины £ (результата стохастического эксперимента) может попасть в S, когда гипотеза Hq верна, при этом будет допущена ошибка пер- вого рода. Значение £(cv) может попасть и в S, когда Hq неверна (при этом будет допущена ошибка второго рода). И поскольку построить критерий для проверки гипотезы Hq, который бы не приводил к ошибкам, невозможно в принципе, мы, естественно, будем стремиться строить та- кие критерии, которые бы гарантировали минимальную частоту ошибок при их использовании. Пусть Hq — основная гипотеза, Hi — конкурирующая (для наглядности предположим, что Hq и Hi простые), S — критерий для проверки Hq. Пользуясь критерием S, мы можем допустить ошибки двух типов: Hq верна, но согласно критерию S отклоняется (ошибка первого ро- да); Hq неверна, но согласно критерию S не отклоняется (ошибка второго рода). Вероятность ошибки первого ро- да равна вероятности значению £ попасть в критическое множество S, когда гипотеза Hq верна, т. е. Р{£ 6 S|Ho} (F{£ 6 S|Ho} коротко будем записывать так: F(S|Fo))-
278 Глава 16. Задача проверки статистических гипотез Вероятность ошибки второго рода равна вероятности вы- борочному значению попасть в множество S, когда гипо- теза Hi верна, т. е. Р{£ е S|Bi} (F{£ G S|Bi} коротко будем записывать так: F(S|Bi)). Заметим, что Р{£ 6 S|Ho} — это вероятность собы- тия {£ 6 S}, вычисленная в предположении, что гипотеза Но верна; она не имеет ничего общего с условной вероят- ностью. Вероятности ошибок первого и второго рода однознач- но определяются указанием критического множества S. Поэтому, выбирая S, скажем, из условия, что вероятность ошибки первого рода мала, мы одновременно получаем вероятность ошибки второго рода, которая определяется выбранным критическим множеством S и будет такой, какой получится. Можно выбрать S и из условия малости вероятности ошибки второго рода, но при этом вероят- ность ошибки первого рода однозначно определяется вы- бранным ранее множеством S. Следовательно, выбрать S так, чтобы можно было одновременно контролировать вероятности ошибок первого и второго рода, невозмож- но. Поэтому будем поступать следующим образом. По- скольку важнее избежать ошибки первого рода (ее “цена” выше), наше первое требование к критическому множе- ству S будет состоять в том, чтобы вероятность ошибки первого рода F(S|Fo) была малой. (Это обозначает, что используя критерий S в длинной серии экспериментов, верную гипотезу Hq будем отклонять изредка.) Форма- лизуем это требование. Фиксируем малое а и выберем критическое множе- ство S так, чтобы вероятность ошибки первого рода не превосходила а: F(S|F0) < а. Если последнее неравенство удовлетворяет не одно мно- жество S, то окончательно критерий выбираем так, что- бы вероятность F(S|Bi) отклонения неверной гипотезы Но была максимальной. Для этого множество S выбира- ем “пошире”. Определение. Число а, ограничивающее сверху ве- роятность ошибки первого рода, называется уровнем зна- чимости.
16.1. Критерий, функция мощности критерия 279 Если критическое множество S удовлетворяет усло- вию P(S|H0) < а, то будем говорить, что S соответствует уровню значимо- сти а. Определение. Вероятность P{S\Hi) отклонить ос- новную гипотезу, когда верна альтернативная гипотеза Hi, называется мощностью критерия S. Если альтернативная гипотеза сложная, причем когда она верна, верна одна из простых гипотез 6 0, то для каждого О Е 0 можно вычислить P{S\Hq). Определение. Функция Ж = P{S\He), Ое0, при каждом в 6 0 равная вероятности отклонить ос- новную гипотезу Но, если верна гипотеза называется функцией мощности критерия. Замечание. Вопрос о том, каким должен быть уро- вень значимости, не является статистической задачей. Обычно уровень значимости полагают равным 0,10; 0,05; 0,01; 0,001. Чем серьезнее последствия ошибки первого рода, тем меньше должен быть уровень значимости. Пример 16.1.1 (выборочный контроль). Предназна- ченная для продажи партия изделий в количестве N = 10000 штук проходит выборочный контроль на каче- ство. Поставщик уверен, что доля дефектных изделий равна 1 % {или меньше), и хочет, чтобы всякий раз, ко- гда доля дефектных изделий составляет 1 %, вероят- ность того, что партия выдерживает контроль, была равна 0,9. Покупатель считает, что партию целесооб- разно закупить даже в том случае, если доля дефектных изделий будет больше 1 %, но 6 % дефектных изделий он считает предельно допустимой долей и хочет, что- бы контроль обнаруживал партии с 6 %-м содержанием дефектных изделий с вероятностью 0,95. Поставщик и покупатель договорились осуществлять контроль сле- дующим образом: из партии в 10000 изделий извлека- ют случайную выборку объемом п; если при этом ко- личество ^{<jj) дефектных изделий в выборке окажется малым {меньше некоторого I), то партия выдерживает контроль и закупается, в противном случае — нет.
280 Глава 16. Задача проверки статистических гипотез Каким должен быть объем п выборки из партии из- делий и значение I? Ответить на эти вопросы, сформулировав и решив поставленную задачу как задачу проверки статистичес- ких гипотез. Решение. Решение о закупке или отклонении пар- тии изделий будем принимать по реализации £(cv) слу- чайной величины £ — количеству дефектных изделий из п выбранных. Изделия в выборку объемом п извлекают последова- тельно. Поскольку объем N партии большой (N = 10000 изделий), а п по отношению к N мало, то можно считать, что случайная величина £ имеет биномиальное распреде- ление с параметрами (п;р): Р{£ = к} = Рр(к) = Скрк(1 - р)п~к, к = 0,1,..., п (параметр р — вероятность выбора дефектного изделия — неизвестен). Другими словами, семейством возможных распределений случайной величины £ является Р = {Рр:ре(0;1)}. Отметим, что распределение из семейства Р однозначно определяется значением параметра р и наоборот. По реализации £(cv) случайной величины £ необходи- мо сделать заключение о распределении £ или, что то же, о значении параметра р. Представляют интерес та- кие значения параметра р: pi = 0,01 и р2 = 0,06 (им соответствует 1 %-й и 6 %-е содержание дефектных изде- лий в партии). Согласно изложенной методике из семейства возмож- ных гипотез Р = {PpiP 6 (0; 1)} необходимо выбрать ну- левую, а затем проверить ее. Поскольку между покупателем и поставщиком сущест- вует соглашение: “если количество £(cv) дефектных изде- лий в выборке мало, партия выдерживает контроль и ее закупают, в противном случае — нет”, то в качестве нуле- вой выбираем гипотезу “£ имеет биномиальное распреде- ление с параметрами (п; 0,06)” (альтернативная гипотеза Рр е {Рр : р е (0; 0,06)}). Неотклонение нулевой гипоте- зы обозначает классификацию партии как такой, кото- рая содержит 6% (или больше) дефектных изделий, с
16.1. Критерий, функция мощности критерия 281 последующим отказом в закупке партии. (Если при этом какая-то из партий с малым процентом дефектных изде- лий будет забракована, то это уже проблема поставщи- ка.) Отклонение нулевой гипотезы в пользу альтернати- вы Рр G {Рр : р 6 (0; 0,06)} обозначает классификацию партии как такой, которая содержит меньше 6 % дефект- ных изделий, и последующую закупку партии. (Если при этом какая-то из партий с большим процентом дефект- ных изделий не будет забракована, и следовательно, бу- дет закуплена, покупатель, разумеется, понесет убытки.) Для проверки Но в качестве критического естественно выбрать множество вида S = {к : к < I}. Это множество определяется числом I и объемом выборки п. По договоренности между покупателем и поставщи- ком множество S = {к : к < Z}, а фактически числа п и Z, должны быть такими, чтобы выполнялись приведен- ные далее условия, а именно: партия с 6 %-м содержанием дефектных изделий должна обнаруживаться с вероятно- стью 0,95, т. е. P(S\Ho) >0,95, или, что то же, Р(5|ЯО) = PR е £|я0} = PoR < 1} = i = J2C'£(0,06)/c(0,94)n~fc < а = 0,05. к=0 (Последнее неравенство — формализованная запись тре- бований покупателя, согласно которым партии с 6 %-м содержанием брака должны обнаруживаться с вероятно- стью, не меньшей чем 0,95.) А значение /3(р) = P(S\Hp) функции мощности кри- терия S в точке р = 0,01 должно быть не меньшим чем 0,9: /3(0,01) = P(S|Po,oi) = PR е S|Po,oi} = I = PR < /|Po,oi} = 52^(0,01)\0,99)n-fe > 0,9. k=0
282 Глава 16. Задача проверки статистических гипотез (Последнее неравенство является формализованной за- писью пожеланий поставщика, согласно которым партии с 1 %-м содержанием брака должны выдерживать кон- троль с вероятностью, не меньшей 0,9.) Таким образом, искомые п и I должны удовлетворять соотношениям 1 C'^(0,06)/c(0,94)n-fc < 0,05; (16.1.1) k=0 I C*(0,01)fc(0,99)"-fc > 0,9. (16.1.2) k=0 В рассматриваемой задаче биномиальное распределе- ние = C™pm(l - p)n~m, m = 0,1,..., n, можно аппроксимировать пуассоновским, поскольку па- раметр р малый (вероятность р выбора дефектного изде- лия мала), ап — объем выборки — большой. Основанием для этого является теорема Пуассона. Напомним ее со- держание. Пусть пр А > 0, при п оо. Тогда для каждого фиксированного т, т = 0,1,..., \т lim С™рт(1 -р)п~т = —-ге-Л. п—^оо т\ Чтобы погрешность аппроксимации биномиального распределения пуассоновским была незначительной, п должно быть не меньше нескольких десятков (а лучше сотен), а произведение пр должно удовлетворять нера- венствам 1 < пр < 10. Собственно говоря, мы с самого начала в качестве рас- пределения случайной величины £ — количества дефект- ных изделий в выборке — могли бы рассматривать пуас- соновское распределение (поскольку вероятность успеха
16.1. Критерий, функция мощности критерия 283 мала, а количество испытаний большое). Таким образом, будем исходить из того, что п и I должны удовлетворять неравенствам е-А° < 0,05, Ао = п0,06; (16.1.3) е“А1 > 0,90, Ai = п0,01 (16.1.4) (сравните с неравенствами (16.1.1) и (16.1.2)). Определяя пи/, мы, естественно, будем стремиться выбрать п по возможности меньшим. Посмотрим, можно ли для п = 50 определить I так, чтобы выполнялись соотношения (16.1.3) и (16.1.4). Если нет, выбираем п большим, и так поступаем до тех пор, пока не найдем пи/, которые будут удовлетворять нера- венствам (16.1.3) и (16.1.4). При п = 50 имеем До = 50-0,06 = 3; Ai = 50-0,01 = 0,5. Пользуясь таблицей распределения Пуассона (см. табл. 22.6.1), находим, что неравенство (16.1.3) удовлетворяет- ся при I = 0, а (16.1.4) — при I > 1. Поэтому для п = 50 не существует Z, которое бы удовлетворяло неравенствам (16.1.3) и (16.1.4). При п = 100 имеем Ао = 100 • 0,06 = 6; Ai = 100 х х0,01 = 1. Пользуясь таблицей распределения Пуассона находим, что неравенство (16.1.3) удовлетворяется, при I < 1, а (16.1.4) — при I > 2. Поэтому для п = 100 не суще- ствует Z, которое бы удовлетворяло неравенствам (16.1.3) и (16.1.4). При п = 150 имеем Ао = 150 • 0,06 = 9; Ai = 150 х х0,01 = 1,5. Для таких Ао и Ai неравенство (16.1.3) удо- влетворяется, при Z < 4, а неравенство (16.1.4) — при Z > 3. Попытаемся уменьшить п. Пусть п = 130. Тогда Ао = 130 • 0,06 = 7,8; Ai = 130 • 0,01 = 1,3; неравен- ство (16.1.3) удовлетворяется, если Z < 3, а неравенство (16.1.4) — если Z > 3. Таким образом, для п = 130 и Z = 3 оба неравенства (16.1.3) и (16.1.4)имеют место. И
284 Глава 16. Задача проверки статистических гипотез следовательно, искомым критическим множеством (кри- терием) является S = {k:k<3}. Для этого критерия вероятность ошибки первого рода P(SW = Po(S) = £ ^е-Л” = £ ^-е"7’8 = 0,048. Значение функции мощности критерия /3(р) = P{S\Hp) в точке р = 0,01: /3(0,01) = P(S|Ho,oi) = Po,oi(S) = 3 \ £• 3 л г. k=0 k=0 Вероятность ошибки первого рода, равная 0,048, обо- значает следующее. Используя описанный критерий, на 100 партий изделий, содержащих 6 % брака, около 5 пар- тий будут классифицироваться как содержащие меньше 6 % брака. Значение мощности критерия P(S|Ho,oi) — 0,957 ин- терпретируется так: на 100 партий изделий с I %-м со- держанием брака, около 96 партий будут классифициро- ваться как содержащие I % брака. Для решения задач можно пользоваться табл. 22.6.1. 16.2 Задачи АЗ: 16.1,16.15. СЗ: 16.9,16.11. 16.1 (о телепатах). Некоторые люди утверждают, что они могут читать мысли на расстоянии — являются телепатами. При этом телепат не претендует на безоши- бочное чтение мыслей, но утверждает, что иногда ошиба- ясь, он все-таки чаще читает мысли верно, чем неверно.
16.2. Задачи 285 Вам необходимо проверить способности телепата чи- тать мысли на расстоянии. С этой целью предлагается провести такой эксперимент. Вы задумываете наудачу чис- ло (для простоты нуль или единицу) и фиксируете его, например, на бумаге. Телепат читает вашу мысль — за- думанное число и также фиксирует его, и так п раз. Если телепат действительно читает ваши мысли, то доля пра- вильно прочитанных нулей (нуль читается как нуль) и единиц (единица читается как единица), т. е. доля успе- хов (успех — правильно прочитанный символ) будет боль- шой. Вы предлагаете телепату прочитать п символов, £(cv) из них были прочитаны правильно. Свидетельствует ли это о способности телепата читать мысли на расстоянии? Предложите правило (критерий), с помощью которо- го можно обнаружить способности телепата читать мыс- ли на расстоянии. Сформулируйте и решите поставленную задачу в тер- минах проверки статистических гипотез, а именно: предложить нулевую (основную) и альтернативные ги- потезы; выяснить, в чем состоят ошибки первого и второго рода; определить случайную величину, наблюдаемую в экс- перименте (что означают выдвинутые гипотезы относи- тельно распределения этой случайной величины?); предложить критерий для проверки нулевой гипоте- зы; выбрать уровень значимости критерия, обосновать свой выбор; вычислить вероятность ошибки первого рода; исследовать поведение функции мощности критерия в зависимости от уровня значимости и от п, построить графики функции мощности критерия; дать частотную интерпретацию полученных резуль- татов. 16.2 . Необходимо проверить монету на симметрич- ность (она может быть как симметричной — вероятность выпадения герба составляет 0,5, так и несимметричной — вероятность выпадения герба отлична от 0,5; несиммет- ричная и симметричная монеты внешне неразличимы).
286 Глава 16. Задача проверки статистических гипотез С этой целью подбрасываем монету п раз (п = 5, 10,...) и регистрируем количество выпавших гербов. Предложить правило (критерий) для проверки моне- ты на симметричность. Какое минимальное число раз необходимо подбросить монету, чтобы симметричная монета классифицировалась как несимметричная с вероятностью, не большей чем 0,1, а несимметричная, вероятность выпадения герба которой равна 0,8, обнаруживалась с вероятностью 0,95? Решить поставленную задачу как задачу проверки ста- тистических гипотез (см. задачу 16.1). Пусть теперь уровень значимости и число п подбра- сываний монеты мы можем выбирать сами. Исследовать, как меняется функция мощности критерия в зависимо- сти от его уровня значимости и от п, построить графики функции мощности критерия. 16.3 (диагностика начальной формы туберку- лёза). Рассмотрим задачу диагностики туберкулёза, свя- занную с открытием того факта, что метод рентгеновско- го анализа не является абсолютно надежным при опреде- лении наличия или отсутствия заболевания: здоров инди- видуум или нет, результат рентгеновского исследования на туберкулёз может быть как положительным, так и от- рицательным. Из опыта известно, что: а) если пациент страдает туберкулёзом, то вероят- ность того, что отдельный рентгеновский анализ выявит заболевание (анализ будет положительным), составля- ет р0; б) если у пациента нет никаких признаков туберку- лёза, то вероятность того, что отдельный рентгеновский анализ будет положительным (пациенту будет поставлен диагноз: “болен туберкулёзом”), равна pi. Предположим, что в некоторой клинике при обсле- довании состояния здоровья пациента делается одним и тем же способом п рентгеновских снимков с целью обна- ружения возможных признаков туберкулёза. Допустим, что толкование снимков, принадлежащих одному и тому же пациенту, производится так, чтобы была обеспечена независимость диагноза по каждому снимку от выводов, сделанных по предыдущим снимкам.
16.2. Задачи 287 Пусть ро — 0,95, pi = 0,05 и в условиях описанно- го обследования изготовили два снимка. При этом один из двух анализов оказался положительным. Вынести за- ключение, страдает пациент туберкулёзом или нет. Сформулируйте и решите поставленную задачу в тер- минах проверки статистических гипотез (см. задачу 16.1). Исследуйте, как меняется функция мощности критерия в зависимости от его уровня значимости, постройте гра- фики функции мощности критерия. 16.4 (о телепатах). Есть люди утверждающие, что они могут читать мысли на расстоянии — являются те- лепатами (утверждают, что читают, но не гарантируют, что правильно будут прочитаны все мысли, т. е. призна- ют, что иногда ошибаются: ведь мысли на расстоянии чи- тать непросто). Вам предлагают проверить способности телепата чи- тать мысли на расстоянии. С этой целью проведите такой эксперимент. Подбросьте правильную монету и зафикси- руйте результат, например на бумаге. Телепат читает ва- шу мысль — герб или решетка — и также фиксирует ре- зультат. Далее подсчитываем количество правильно про- читанных гербов (герб читается как герб) и решеток (ре- шетка читается как решетка). Если телепат в самом деле читает ваши мысли, то доля правильно прочитанных гер- бов и решеток, т. е. доля успехов, будет большой (успех — правильно прочитанный символ, неудача — неправильно прочитанный символ). Монету подбросили п раз. При этом телепат правиль- но прочитал £ символов. Свидетельствует ли это о спо- собности телепата читать мысли на расстоянии? Проверьте телепатические способности своего товари- ща. Предложите критерий, с помощью которого можно было бы обнаружить способности телепата читать мыс- ли на расстоянии. Сформулируйте и решите поставленную задачу в тер- минах проверки статистических гипотез (см. задачу 16.1). Исследуйте, как меняется функция мощности крите- рия в зависимости от его уровня значимости и количес- тва п подбрасываний монеты, постройте графики функ- ции мощности критерия. 16.5 (о статистике и экспериментаторе). Два сту- дента (одного будем называть статистиком, другого —
288 Глава 16. Задача проверки статистических гипотез экспериментатором) имеют монеты: симметричную и не- симметричную, вероятность выпадения герба которой рав- на р (р / 1/2). Экспериментатор и статистик договарива- ются о следующем: экспериментатор выходит в соседнюю комнату, выбирает одну из монет (какую — статистик не знает), подбрасывает ее п раз и результат (число выпаде- ний герба) сообщает статистику. Последний утверждает, что может определить, какую из двух монет подбрасывал экспериментатор. Однако экспериментатор ставит под со- мнение эти способности статистика и как аргумент вы- двигает такие возражения: поскольку результат экспери- мента (число выпавших гербов) предсказать невозможно, причем как для симметричной монеты, так и для несим- метричной это число может быть любым (0,1,..., п), то определить, какая из монет подбрасывалась, невозмож- но. Кто прав — статистик или экспериментатор? Сформулируйте поставленную задачу с позиции ста- тистика, т. е. как задачу проверки статистических гипо- тез (см. задачу 16.1). Исследуйте, как меняется функция мощности крите- рия в зависимости от его уровня значимости и количе- ства п подбрасываний монеты, постройте графики функ- ции мощности критерия. Что можно сказать относительно возможности разли- чить симметричную и несимметричную монеты? Пусть п = 25. Какими будут выводы, если герб выпал 21 раз? 16.6 (проверка препарата на токсичность). Про- цесс производства некоторого медицинского препарата до- статочно сложный, так что несущественные на первый взгляд отклонения от технологии могут вызвать появле- ние высокотоксичных побочных примесей. Токсичность последних может оказаться столь высокой, что даже не- значительное их количество, которое не может быть об- наружено при обычном химическом анализе, опасно для человека, принимающего этот препарат. Поэтому до реа- лизации партии препарата его исследуют на токсичность биологическими методами. Определенная доза препара- та вводится подопытным животным и регистрируется ре- зультат (количество летальных исходов). Если препарат токсичный, то все или почти все животные гибнут — ко-
16.2. Задачи 289 личество летальных исходов £(cv) большое (£(cv) > Z). В противном случае количество летальных исходов £(cv) малое (£(cv) < Z), или, что то же, количество выживших животных большое. Известно, что если препарат токсичный, то вероят- ность летального исхода не меньше чем 0,9, а если пре- парат нетоксичный, то вероятность летального исхода не превышает 0,05. Какое минимальное число п животных необходимо инъецировать, чтобы токсичный препарат об- наруживался (классифицировался как токсичный) с ве- роятностью, не меньшей чем 0,999, а нетоксичный препа- рат выдерживал контроль (классифицировался как неток- сичный) с вероятностью 0,98? Найти п, сформулировав поставленную задачу как за- дачу проверки статистических гипотез (см. задачу 16.1). 16.7 (выборочный контроль). Качество партии из- делий считается удовлетворительным, если дефектные изделия в ней составляют не более чем 2%. Какое ми- нимальное количество изделий в партии необходимо ис- пытать для того, чтобы партия, содержащая 8 % дефект- ных изделий, обнаруживалась с вероятностью, не мень- шей чем 0,95, а партия, содержащая 2% таких изделий, принималась с вероятностью, не меньшей чем 0,9? Сформулировать и решить поставленную задачу в тер- минах проверки статистических гипотез (см. задачу 16.1 и пример 16.1.1). Вычислить значение функции мощности критерия в точках 0,04; 0,06; 0,1 и вероятность отклонения партии, содержащей 4; 6; 10 % дефектных изделий, построить гра- фик функции мощности критерия. Замечание. Поскольку выборку для контроля мож- но взять большого объема, а процент дефектных изделий мал, то в качестве распределения числа £ дефектных из- делий можно рассматривать пуассоновское распределе- ние. 16.8 . Чтобы выяснить, является ли болезнь инфек- ционной, биолог прививает ее пяти мышам и размеща- ет их в одной клетке с п непривитыми мышами. Если болезнь инфекционная, то вероятность того, что непри- витая мышь заболеет в течение 10 дней, составляет 0,9; если же болезнь неинфекционная, то вероятность того,
290 Глава 16. Задача проверки статистических гипотез что непривитая мышь заболеет на протяжении указанно- го времени, составляет 0,05. Через 10 дней фиксируется количество непривитых мышей с признаками заболева- ния. Какое минимальное количество непривитых мышей необходимо использовать в эксперименте, чтобы с веро- ятностью, не меньшей чем 0,999, обнаружить инфекцион- ное заболевание и с вероятностью, не большей чем 0,01, классифицировать неинфекционное заболевание как ин- фекционное. Сформулировать и решить поставленную задачу как задачу проверки статистических гипотез (см. задачу 16.1). 16.9 (о контроле чистоты воды). Для нужд неко- торого химического производства необходимо, чтобы ис- пользуемая вода была чистой — содержала мало бак- терий. Вода, содержащая в среднем менее одной бакте- рии на единицу объема, считается пригодной для данного химического производства. Если же среднее количество бактерий на единицу объема воды равно одной или боль- ше, то ее использование недопустимо. Обычная методика контроля воды на чистоту состоит в следующем. Берется 10 (в общем случае п) проб воды единичного объема. Затем каждая из этих проб добавля- ется в колбы с питательной средой, которые содержатся при температуре, благоприятной для роста бактерий. Ес- ли проба загрязнена, т. е. содержит по меньшей мере одну бактерию, то колония бактерий будет расти и первона- чально прозрачный раствор помутнеет. О чистоте воды судят по количеству £ загрязненных проб: если это ко- личество не превышает определенного числа Z, то вода считается чистой; в противном случае — загрязненной, тогда проводится дополнительная очистка воды, и она снова проходит контроль на чистоту. (Дополнительная очистка воды, естественно, требует труда и затрат, одна- ко, если используемая вода содержит значительное коли- чество бактерий, то вызванные этим потери существенно больше.) Каким должно быть Z, чтобы вода со средним содер- жанием бактерий, равным одной на единицу объема, об- наруживалась с вероятностью 0,99? Найти указанное Z, сформулировав поставленную задачу как задачу провер- ки статистических гипотез (см. задачу 16.1).
16.2. Задачи 291 Пусть теперь уровень значимости и число п не фик- сировано. Исследовать, как меняется функция мощности критерия в зависимости от его уровня значимости и от п, построить графики функции мощности критерия. Замечание. В качестве распределения числа бакте- рий в единичном объеме воды со средним содержанием А бактерий на единицу объема естественно рассматривать пуассоновское распределение с параметром А. 16.10 (о леди, пробующей чай). Некая леди утвер- ждает, что, попробовав чашку чая с молоком, она может определить, что было сначала налито в чашку — моло- ко или чай (различает рецепты приготовления чая). При этом леди не претендует на безошибочное определение разницы во вкусе, но утверждает, что, пусть иногда оши- баясь, она чаще определяет правильно, нежели непра- вильно. Прежде чем признать наличие у леди способностей различать рецепты приготовления чая, ей предлагают попробовать и классифицировать п пар чашек чая (по паре чашек за завтраком в течение п дней). В каждую пару входит по чашке чая, приготовленного по разным рецептам. Количество £ правильно классифицированных пар регистрируется. Пусть леди из п пар чашек правиль- но классифицировала £(си) пар. Свидетельствует ли это о способностях леди различать рецепты приготовления чая? Вы — член доброжелательного жюри — не хотите по- напрасну отвергнуть способности леди различать рецеп- ты приготовления чая, если они у леди в самом деле име- ются. Предложите правило (критерий), которым должно руководствоваться жюри, вынося заключение о способ- ностях леди различать рецепты приготовления чая. Сформулируйте и решите поставленную задачу в тер- минах проверки статистических гипотез (см. задачу 16.1). Выясните, как меняется функция мощности критерия в зависимости от уровня значимости критерия и количе- ства п пар чашек чая, предлагаемых для классификации, постройте графики функции мощности критерия. Замечание. Как член жюри, вы, разумеется, не хо- тите признать за леди упомянутые способности, если их нет на самом деле; поэтому в качестве нулевой гипоте- зы предлагаете гипотезу Hq: леди не имеет способностей.
292 Глава 16. Задача проверки статистических гипотез Но как член доброжелательного жюри, не хотите пона- прасну отвергать способности леди, если она их имеет, а поэтому назначаете не слишком малый уровень значимо- сти критерия. 16.11 (о выборочном контроле). Потребитель при- обретает крупные партии товара. Чтобы избежать значи- тельной доли дефектных изделий, осуществляется выбо- рочный контроль. Из каждой партии для контроля вы- бирается п изделий. Партия принимается, если число де- фектных изделий среди п проверенных не превышает I. Потребитель предъявляет следующие требования к контролю: если доля дефектных изделий в партии мень- ше 8%, то партия выдерживает контроль и закупается, но партии с 8 % дефектных изделий должны обнаружи- ваться с вероятностью, не меньшей 0,9. У поставщика свои пожелания относительно контроля: он хочет, чтобы партия, доля дефектных изделий в которой составляет 1 %, браковалась с вероятностью не большей, чем 0,04. Каким должен быть объем п выборки из партии (ра- зумеется, минимальный) и значение Z? Сформулировать и решить поставленную задачу в тер- минах проверки статистических гипотез (см. задачу 16.1 и пример 16.1.1). Какова вероятность забраковать партию товара, со- держащую 1; 2; 4; 8; 10 % дефектных изделий? Построить графики функции мощности критерия. 16.12 (об игральных костях). Имеются две играль- ные кости: одна — симметричная (вероятность выпаде- ния каждой грани равна 1/6), другая — несимметричная, центр тяжести которой смещен так, что вероятность по- явления числа очков, большего 3, превышает 1/2. С целью обнаружения несимметричной кости, берем одну (какую именно, неизвестно — кости внешне разли- чить невозможно), подбрасываем ее п раз и регистрируем количество выпавших очков. Какое минимальное количе- ство подбрасываний необходимо выполнить, чтобы сим- метричная кость классифицировалась как несимметрич- ная с вероятностью, не большей чем 0,1, а несимметрич- ная, вероятность выпадения количества очков большего чем 3 которой равна 0,9, обнаруживалась с вероятностью 0,95?
16.2. Задачи 293 Решить поставленную задачу, сформулировав ее как задачу проверки статистических гипотез (см. задачу 16.1). Вычислить вероятность того, что несимметричная кость, вероятность выпадения числа очков большего чем 3 которой равна 0,6; 0,7; 0,8; 0,9, будет обнаружена; не будет обнаружена. 16.13 . Решить задачу 16.9 в предположении, что в эксперименте используется п проб воды. Выяснить, как изменяется функция мощности крите- рия в зависимости от уровня его значимости и количест- ва п проб воды, используемых в эксперименте? Постро- ить графики функции мощности критерия. 16.14 . Имеются две игральные кости: одна — сим- метричная (вероятность выпадения каждой грани рав- на 1/6), и другая — несимметричная, центр тяжести ко- торой смещен так, что вероятность появления числа оч- ков большего 3 не меньше 0,6. Выбираем одну из костей (какую именно, неизвестно — кости внешне неразличи- мы), подбрасываем ее п раз и регистрируем количество выпавших очков. Можно ли по результату эксперимента обнаружить несимметричную кость? Сформулируйте и решите поставленную задачу в тер- минах проверки статистических гипотез (см. задачу 16.1). Исследуйте, как меняется функция мощности крите- рия в зависимости от его уровня значимости и от числа п подбрасываний кости, постройте графики функций мощ- ности критерия. Что можно сказать о вероятности обнаружения несим- метричной кости? 16.15 (о булочках с изюмом). Государственным стандартом установлено, что при выпечке сладких було- чек на 1000 изделий должно приходиться 10 000 изюмин (в среднем 10 на одну булочку). У нас, однако, имеют- ся сомнения, что весь изюм использован по назначению (его могли, по крайней мере частично, использовать для других целей), и мы хотим проверить, так ли это. С этой целью покупаем одну булочку и подсчитываем количе- ство изюмин в ней: оказалось, что в булочке £(cv) изю- мин. По количеству £(cv) изюмин в булочке необходимо сделать вывод: весь изюм идет на выпечку булочек или
294 Глава 16. Задача проверки статистических гипотез он расходится и по другим каналам (не предусмотренным стандартом). Решить поставленную задачу, сформулировав ее как задачу проверки статистических гипотез (см. задачу 16.1). Как изменятся выводы, если изюм подсчитывается в двух булочках? Исследовать поведение функции мощности критерия в зависимости от его уровня значимости, построить гра- фики функции мощности критерия. 16.16 . Медицинский препарат проходит контроль на токсичность по методике, описанной в задаче 16.6. Известно, что вероятность летального исхода при ис- пользовании токсичного препарата не меньше 0,6, а если препарат нетоксичный, то вероятность летального исхода не превосходит 0,02. Можно ли, инъецировав 10 мышей, с вероятностью 0,999 выявить токсичный препарат (токсичный препарат классифицировать как токсичный)? Если да, то какова вероятность того, что нетоксичный препарат выдержит контроль (будет классифицирован как нетоксичный)? Препарат был введен 10 мышам, при этом зафикси- рована гибель двух мышей. Какой вывод относительно токсичности препарата необходимо сделать? Решить поставленную задачу, сформулировав ее как задачу проверки статистических гипотез (см. задачу 16.1). Пусть теперь уровень значимости и число п подопыт- ных мышей мы можем выбирать сами. Исследовать, как меняется функция мощности критерия в зависимости от его уровня значимости и от п, построить графики функ- ции мощности критерия. 16.17 . Чтобы выяснить, является ли болезнь инфек- ционной, биолог прививает ее пяти мышам и помещает их в одной клетке с тремя непривитыми мышами. Если болезнь инфекционная, то вероятность того, что неприви- тая мышь заболеет в течение двух недель, равна 0,95; ес- ли же болезнь неинфекционная, то вероятность того, что непривитая мышь заболеет, равна 0,04. Через две недели фиксируется количество £ непривитых мышей с призна- ками болезни. Можно ли, наблюдая три непривитые мыши, с веро- ятностью, не меньшей 0,99, выявить инфекционное забо- левание и с вероятностью, не превышающей 0,05, класси-
16.2. Задачи 295 фицировать неинфекционное заболевание как инфекци- онное? Если нет, то сколько непривитых мышей необхо- димо для этого? Если да, то можно ли обойтись меньшим числом мышей? Каким именно? Сформулируйте и решите поставленную задачу как задачу проверки статистических гипотез (см. задачу 16.1). Какой вывод вы сделаете, если у двух из трех непри- витых мышей были обнаружены признаки заболевания? Пусть теперь уровень значимости и число п подопыт- ных мышей мы можем выбирать сами. Исследовать, как меняется функция мощности критерия в зависимости от его уровня значимости и от п, построить графики функ- ции мощности критерия. 16.18 . Имеем пять внешне неразличимых монет, ве- роятность выпадания герба которых составляет соответ- ственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Берем одну из монет (какую именно, неизвестно — монеты по внешнему виду неразличимы) и подбрасываем 20 раз. По результатам подбрасываний сделать вывод о симметричности монеты. Сформулируйте и решите поставленную задачу в тер- минах проверки статистических гипотез (см. задачу 16.1), выбрав гипотезу “монета симметрична” как основную. По- стройте критерий для проверки этой гипотезы с уровнем значимости a = 0,05. Какова вероятность обнаружить несимметричную монету, вероятность выпадения герба которой составляет 0,6; 0,7; 0,8; 0,9? Пусть теперь уровень значимости и число п подбра- сываний монет мы можем выбирать сами. Исследовать, как меняется функция мощности критерия в зависимости от его уровня значимости, построить графики функций мощности критерия. 16.19 (качество инсектицида). Как специалиста с математической подготовкой Вас приглашают проанали- зировать результаты исследовательской работы, связан- ной с производством инсектицидов. Качество инсектици- да определяется процентом поражения — процентом по- гибших насекомых популяции, обработанной инсектици- дом. Лучший из имеющихся инсектицидов имеет процент поражения 92. В лаборатории разработан новый инсекти- цид INC. Возникает вопрос: является ли он более каче- ственным?
296 Глава 16. Задача проверки статистических гипотез Чтобы выяснить это, предлагается обработать новым инсектицидом 100 насекомых и подсчитать количество выживших. Если количество выживших насекомых мень- ше определенного числа Z, то INC качественнее, в против- ном случае — нет. Авторы нового препарата утверждают, что он имеет процент поражения не меньший 98, и хотят, чтобы это его свойство проявлялось с вероятностью, не меньшей 0,96. Инсектицид INC дороже, чем имеющийся в продаже препарат с процентом поражения 92, и покупатель, есте- ственно, отказывается приобретать INC, если его процент поражения 92, и настаивает, чтобы при тестировании ин- сектицида INC, препарат, процент поражения которого составляет 92, обнаруживался с вероятностью не мень- шей 0,95. Можно ли, использовав в эксперименте 100 насеко- мых, сделать вывод относительно качества инсектицида INC, обеспечив перечисленные выше условия? Если 100 насекомых в эксперименте не достаточно, то каким долж- но быть минимальное количество насекомых в обрабаты- ваемой группе, чтобы можно было ответить на постав- ленный вопрос? Дайте ответ на перечисленные вопросы, сформулиро- вав поставленную задачу как задачу проверки статисти- ческих гипотез (см. задачу 16.1). Пусть теперь уровень значимости и число п насеко- мых мы можем выбирать сами. Исследовать, как меня- ется функция мощности критерия в зависимости от его уровня значимости и от п, построить графики функции мощности критерия. 16.20 . Вы занимаетесь исследованиями, связанными с производством инсектицидов. Качество инсектицида оп- ределяется процентом поражения — процентом насеко- мых, которые гибнут от препарата в исследуемой популя- ции. Лучший из имеющихся инсектицидов имеет процент поражения 90. В лаборатории получен новый инсектицид NIP. Возникает вопрос: является ли этот препарат луч- шим? Чтобы выяснить, отличаются ли инсектициды по ка- честву, популяция из п насекомых обрабатывается NIP и подсчитывается количество выживших насекомых. Ес- ли их меньше определенного числа Z, то считается, что
16.2. Задачи 297 инсектицид NIP качественнее, в противном случае — нет. Авторы нового препарата утверждают, что он имеет процент поражения не меньший 99, и хотят, чтобы это его свойство проявлялось с вероятностью не меньшей 0,98. Инсектицид NIP дороже имеющихся в продаже препа- ратов, и покупатель, естественно, отказывается приобре- тать NIP, если его процент поражения 90, и настаивает, чтобы инсектицид NIP, процент поражения которого ра- вен 90, обнаруживался с вероятностью 0,95. Какими должны быть п (по возможности меньшим) и Z, чтобы инсектицид, процент поражения которого 90, обнаруживался с вероятностью 0,95, а инсектицид, про- цент поражения которого 99, классифицировался как та- кой с вероятностью не меньшей чем 0,98? Сформулировать и решить поставленную задачу как задачу проверки статистических гипотез (см. задачу 16.1). 16.21 . Пусть в условиях эксперимента, описанного в задаче 16.3, значения ро — 0,98, pi = 0,01. Какое минимальное количество п снимков необходи- мо сделать при обследовании каждого пациента, чтобы пациента с признаками туберкулеза можно было выявить с вероятностью 0,95, а пациент, не имеющий признаков туберкулеза, выдерживал проверку на туберкулез с ве- роятностью 0,90? Определить п, сформулировав поставленную задачу как задачу проверки статистических гипотез (см. задачу 16.1). 16.22 . Рассмотрим эксперимент, описанный в задаче 16.5. Пусть вероятность выпадания герба несимметрич- ной монеты равна 0,8. Что вы можете сказать относи- тельно возможности различить симметричную и несим- метричную монеты? Свой ответ аргументируйте. Дайте количественные оценки. Сформулируйте и решите эту задачу как задачу про- верки статистических гипотез (см. задачу 16.1). 16.23 . Некоторые люди претендуют на чтение мыс- лей на расстоянии, их называют телепатами. Как пра- вило, телепаты не настаивают на безошибочном чтении мыслей, но утверждают, что чаще читают мысли верно, чем неверно. Вам необходимо проверить способности телепата чи- тать мысли на расстоянии. С этой целью предлагается
298 Глава 16. Задача проверки статистических гипотез провести такой эксперимент. Вы задумываете наудачу цифру от 0 до 9 (при этом можно воспользоваться таб- лицей случайных чисел) и фиксируете результат. Теле- пат читает Вашу мысль — и фиксирует четность (чет- ная, нечетная) задуманной Вами цифры и так п раз. Ес- ли эффект телепатии в самом деле имеет место, то доля правильно прочитанных четных и нечетных цифр будет большой. Вы предлагаете телепату определить четность п цифр. При этом телепат правильно определил четность £ цифр из п предложенных. Свидетельствует ли это о способно- сти телепата читать мысли на расстоянии? Проверьте телепатические способности своего товари- ща. Предложите критерий, с помощью которого можно было бы обнаружить способности телепата читать мыс- ли на расстоянии. Сформулируйте и решите поставленную задачу в тер- минах проверки статистических гипотез (см. задачу 16.1). Исследуйте, как меняется функция мощности крите- рия в зависимости от его уровня значимости и количес- тва п предлагаемых для чтения цифр, постройте графики функции мощности критерия.
Глава 17 Проверка гипотез о параметрах распределения 17.1 Проверка гипотезы Hq: а = ао Критерии для проверки гипотез о параметрах нор- мального распределения строятся на основании следую- щей теоремы: Теорема 17.1.1. Если £ = (£1,^2, • • • , £п) — выборка из нормального распределения Na.a2, то оценки 1 п 1 п ё = и з2 = —_£(^-ё)2 п п — 1 г=1 г=1 являются независимыми случайными величинами, при- чем (п — l)s2/а2 имеет распределение х2 с п — 1 степе- нями свободы, а £ распределена Na]a2/n. Следствие. Если £ = (£i,£2, ... , £п) — выборка из нормального распределения Na-,cr2> то случайная величи- на имеет распределение Стьюдента с п — 1 степенями сво- боды 299
300 Глава 17. Проверка гипотез о параметрах Na.a2 Относительно распределений х2 и Стьюдента, см. гл. 22. Постановка задачи проверки гипотезы Но*. a = ао. Пусть £(cu) = (£i(си), £2(^)5 • • • ,Сп(^)) — реализа- ция выборки £ = (£1, £2, • • •, £п) из нормального распреде- ления Na.a2. Параметры а и <т2 неизвестны. Относительно значения’неизвестного параметра а выдвигается гипотеза Hq: a = ао, или, что то же, £ = (£i,£2, ... , £п) — выбор- ка из нормального распределения NaQ.a2. Альтернатива к гипотезе Hq может быть как односторонней: если a / ао, то а > ао (она может быть и такой: а < ао), так и двусто- ронней: если а 7^ ао, то а > ао или а < ао- Альтернатива в каждой задаче своя. Необходимо проверить нулевую гипотезу, т. е. по ре- ализации выборки £ = (£1,^2,... ,£п) сделать вывод: от- клонять Hq или нет. Выбор статистики для построения критерия. Независимо от того, верна или нет гипотеза Hq: a = ао (и вообще, выдвигались какие-либо гипотезы или не вы- двигались), оценка £ = 52 построенная по выбор- г=1 ке £ = (£1,^2, • • • , £п) из АГо;а2, является несмещенной и состоятельной оценкой параметра а, т. е. £ дает хоро- шее приближение для а. Поэтому, если a = ао (гипоте- за верна), уклонение £ — ао между оценкой £ параметра а и его гипотетическим значением ао малое, если гипо- теза Hq: a = ао неверна, то £, будучи близким к а, от ао отличается существенно — уклонение £ — ао большое. (Заметим, что уклонение £ — ао является случайной ве- личиной.) И следовательно, для проверки гипотезы Hq: a = ао естественно вычислить значение уклонения £—ао и в зависимости от того, большим или малым оно окажет- ся, отклонять гипотезу Hq или не отклонять. (Нам бу- дет удобно нормировать £ — ао величиной -^= и рассмат- ривать нормированное уклонение t = (£ — ао)/-^=, где 1 п _ 2 S2 = _ и 52 (& — £) •) Чтобы так можно было посту- ГЬ 1 1 г=1
17.1. Проверка гипотезы Hq: a = ао 301 пать, необходимо определить границы, отделяющие боль- шие значения уклонения t от малых, а для этого необхо- димо знать, какие значения принимает уклонение (в идеале найти распределение t), когда гипотеза Hq вер- на и когда она неверна (или хотя бы, когда гипотеза Hq верна). Когда гипотеза Hq: a = ао верна, уклонение £, которое в этом случае будем обозначать через tn_\: tn—l — (£ — / \Jn имеет распределение Стьюдента с (п — 1) степенями сво- боды (см. теорему 17.1.1). Отсюда, в частности, следует, что Mt = Mtn-i = 0 и значение t = tn-i “почти всегда” (с вероятностью 1 —2а) принадлежат промежутку (—ta-n_i^ta-n_i\ где ta-n_i — верхний a-предел £п_1-распределения. Если гипотеза Hq: a = ао неверна (пусть для опреде- ленности а > ао), то уклонение t можно представить в виде < = (С - «о)/~7= = (С - а)/-7= + (« - «о)/“7= = / х/П / х/П / х/П (17.1.1) Из равенства (17.1.1), в частности, следует, что при п оо Mt оо и — когда гипотеза Hq: a = ао неверна, уклонение t прини- мает большие значения.
302 Глава 17. Проверка гипотез о параметрах Na.a2 В качестве границ, отделяющих большие значения ук- лонения t от малых, естественно выбрать числа — £а;п-1, при этом значения уклонения £, принадлежащие промежутку, (—будем классифицировать как малые, в противном случае — большие. Теперь для проверки гипотезы Hq: a = clq вычисляем значение г = (ё-ао)/4 / х/П нормированного уклонения £ от oq и выясняем, большое оно или малое, сравнивая t с границами — ta,п-1 отделяющими большие значения уклонения t от малых. Если t приняло большое значение, т. е. |t| > ta-n_i, гипо- тезу Hq: a = clq отклоняем, в противном случае — нет. Критерий Стьюдента для проверки гипотезы Hq: a = o,q. Пусть £ = (Сь&г, • • • — выборка из Na-a2-распределения, £a;(n-i) — верхний ос-предел t-pac- пределения с (п — 1) степенями свободы. Если гипотезу Hq: а = clq отклонять при |£ — fto| j> ^a;(n—1) и не отклонять в противном случае, то с вероятностью 2а гипотеза Hq будет отклоняться, когда она верна {аль- тернатива двусторонняя: а> oq или а < oq). Если альтернатива односторонняя, например а > oq, то (£ — ао)/-4= сравниваем с при гипотезу Hq отклоняем, в противном случае — нет {уро- вень значимости одностороннего критерия равен а). Ошибки при проверке гипотезы Hq: а = clq. Независимо от того, верна или нет гипотеза Hq: а = clq, случайная величина (£ — а)/имеет распределение Стьюдента с п — 1 степенями свободы и, как следствие,
17.1. Проверка гипотезы Hq: a = ао 303 £ “почти всегда” (с вероятностью 1 — 2а) принимает зна- чения из окрестности S S 1)? “I 1) \/П ,v 7 \/П ,v 7 точки а, но может, хотя и изредка (с вероятностью 2а) принимать значения вне указанной окрестности точки а. Поэтому при верной гипотезе уклонение t = (£ —ао)/ может, хотя и изредка (с вероятностью 2а), принимать большие значения, т. е. |£ — ао|/> £а;(п-1), ПРИ этом верную гипотезу Hq мы отклоняем и тем самым допуска- ем ошибку первого рода. Далее, при неверной гипотезе Hq случайная величи- на £, “почти всегда” принимая значения из окрестности точки а, может (хотя и изредка) принять значение, мало отклоняющееся от ао (т. е. |£ — ао|/< ^а;(п-1))- При этом мы гипотезу Hq: a = ао не отклоним (хотя она и неверна) и тем самым допустим ошибку второго рода. Пример 17.1.1 (об эффекте использования специ- альной сеялки). С целью обнаружения эффекта исполь- зования специальной сеялки, 10 участков земли засея- ли обыкновенной сеялкой и 10 — специальной, а затем сравнили полученные урожаи. 20 участков одинаковой площади были разделены на пары, причем в каждую па- ру входили смежные участки. Вопрос о том, какой из двух смежных участков должен обрабатываться спе- циальною машиной, решался подбрасыванием монеты. В таблице приведены разности урожаев с пар смежных участков, засеянных специальной сеялкой и обыкновен- ной. Номер пары Разность урожаев Номер пары Разность урожаев 1 2,4 1,0 6 1,6 2 7 -0,4 3 0,7 8 1,1 0,1 4 0,0 9 5 Ы 10 0J
304 Глава 17. Проверка гипотез о параметрах Na.a2 Свидетельствуют ли приведенные данные о наличии эффекта использования специальной сеялки, другими сло- вами, дает ли использование специальной сеялки прибав- ку к урожаю? Решение. В терминах проверки статистических ги- потез эту задачу можно сформулировать так. Имеем 10 независимых наблюдений случайной величины (см. таб- лицу) — реализацию £i(cv), £2(^)5 • • • ,£io(^) выборки £i,£2, ..., £io из нормального распределения Na.a2 (предполо- жение относительно нормального распределения резуль- татов измерений в большинстве случаев оправдывается), параметры а и а2 этого распределения неизвестны. Отно- сительно параметра а распределения Na.a2 выдвигается гипотеза Hq: а = 0 (к сожалению, обидная для разработ- чиков новой сеялки). Альтернатива односторонняя: а > 0 (специальная сеялка конструировалась для повышения урожайности). Отклонение гипотезы Hq: а = 0 в пользу альтернативы а > 0 будем трактовать как наличие эф- фекта использования специальной сеялки, неотклонение — как отсутствие эффекта. Необходимо проверить гипотезу Hq. В соответствии с критерием Стьюдента для проверки гипотезы Hq: а = oq при альтернативе а> oq вычисляем значение и сравниваем его с ~ верхним ct-пределом t(n-i)- распределения. Если гипотезу Hq отклоняем, в противном случае — нет (уро- вень значимости критерия равен а). В рассматриваемом примере п = 10, - 1 1 е = - У & = 7п <2’4 + 1,0 + • • • + 0,7) = 0,83; п 10 г=1
17.2. Проверка гипотезы Hq : 305 -72. 1 = 7—г E & - £)2 = J((2’4 - °’83)2+ n — 1 ' 9 2 = 1 +(1,0 - 0,83)2 + ... + (0,7 - 0,83)2) = 0,667; - / /0,667 o 4 = «/V v = °’83/ViF =3’22' Таким образом, t = £ / —j= — 3,22 > 2,26 — £o,O25;9- / yjn Поэтому согласно критерию Стьюдента гипотезу /?о: a = 0 отклоняем в пользу альтернативы a > 0. Другими словами, гипотеза о том, что выборка получена из нор- мального распределения со средним нуль, противоречит имеющимся данным. Полученный результат можно интерпретировать так. Предположение о том, что разность урожаев с участков, засеянных специальной сеялкой и обычной, несуществен- но отклоняется от нуля, противоречит имеющимся дан- ным. Для сеялки, использование которой не дает эффек- та, уклонения разности урожаев от нуля, приведенные в таблице, невозможны (точнее, возможны, но крайне ред- ко). Следовательно, эксперимент дает основания утвер- ждать: эффект использования специальной сеялки суще- ствует. (К радости разработчиков специальной сеялки.) 17.2 Проверка гипотезы Hq: = ал Постановка задачи. Пусть £(о>) = (£1 (о>), £2 (<*>)>•• • . ..,^n(cj)) и t/(cj) = (77i(cj),772(^),...^m(^)) — реализа- ции независимых выборок £ = (£1, £2, • • •, £п) и т) = (771,%, ... ,т]т) соответственно из распределений Na^a2 и Narj.a2. Средние и и дисперсия сг2 (одна и та же для обоих распределений) неизвестны. Относительно параметров и выдвигается гипоте- за Но: или, что то же, £1, £2, • • •, и Ш, %, • • •, ?7т
306 Глава 17. Проверка гипотез о параметрах Na.a2 — выборки из одного и того же нормального распреде- ления. Альтернатива к гипотезе Hq может быть как од- носторонней: если то (она может быть и такой: так и двусторонней: если ± то или < а^. Альтернатива в каждой задаче своя. Необходимо по выборкам £i, £2,•••, £п и %, • • •, 'Пт соответственно из распределений Na^ и Наг)-,сг2 сделать вывод: отклонять гипотезу Hq или нет. Выбор статистики для построения критерия. Независимо от того, верна или нет гипотеза Hq: оценки £ и г) являются несмещенными и состоятельны- ми оценками соответственно параметров и а сле- довательно £ — г) является несмещенной и состоятельной оценкой а>£ — а^. Поэтому, если (гипотеза Hq вер- на), разность £ — г) мало уклоняется от нуля, если гипо- теза Hq неверна, уклонение разности от нуля большое. И для проверки гипотезы Hq: естественно вычис- лить разность £ — г) и в зависимости от того, какое значе- ние она приняла: большое или малое — отклонять или не отклонять гипотезу Hq. (Нам будет удобно нормировать £ — г] величиной и РассматРивать нормирован- ное уклонение t = (£ — ту)/(^у/Ппт^>)' где опРеДеля" ется равенством (17.2.2).) Чтобы так можно было посту- пать, необходимо определить границы, отделяющие боль- шие значения t от малых, а для этого необходимо знать, какие значения принимает уклонение (а в идеале найти распределение t), когда гипотеза Hq верна и когда она неверна (или по меньшей мере, когда гипотеза Hq верна). Если гипотеза Hq: верна, нормированная раз-
17.2. Проверка гипотезы Hq : 307 ность £, которую в этом случае обозначим через tn+m-2'- tn+m—2 — имеет распределение Стьюдента с (m + п — 2) степенями свободы. Отсюда, в частности, следует, что Nit — 2 — 0 и значения уклонения t = tn+m-2 “почти всегда” (с веро- ятностью 1 — 2а) принадлежат промежутку ^a;(n+m—2)? ^а;(п+тп—2))> где ^a;(n+m-2) — верхний a-предел ^-распределения с n + m — 2 степенями свободы. Если гипотеза Hq: = 0 неверна (пусть для определенности разность можно представить в виде n + тп nm Из равенств (17.2.1) следует, что при n^m оо и Mt —> оо t — когда гипотеза Hq неверна, уклонение t принимает боль- шие значения.
308 Глава 17. Проверка гипотез о параметрах Na.a2 В качестве границ, отделяющих большие значения ук- лонения t от малых, естественно выбрать числа ^a;n+m-2, —ta-n+m-2, при этом значения уклонения £, принадлежа- щие промежутку, (-ia;n+m-2,ia;n+ni-2), будем классифи- цировать как малые, в противном случае — большие. Теперь для проверки гипотезы Hq: = 0 вычис- ляем значение нормированной разности и выясняем, большое оно или малое, сравнивая t с гра- ницами —£а;(п+т-2) и ^а;(п+т-2), Отделяющими большие значения отклонения t от малых. Если t приняло боль- шое значение, т. е. |t| > £n+m_2, гипотезу отклоняем, в противном случае — нет. Напомним, что s<2 = v + ln-z ~1)s?2 + (т_ ’ (17-2-2) т lib — 4 где 1 n 1 m s?2 = " ^)2’ s”2 = ^1 - ^)2- г=1 г=1 Критерий Стьюдента для проверки гипотезы 7?о: &£ = (о равенстве средних нормальных распределений). Пусть £i, £2, • • •, и ^2, • • • , Лт — независимые выборки соответственно из распределений Na^2 и Nari.a2, ta^n+m-2) ~ верхний a-предел t-pacnpe- деления с {п + т — 2) степенями свободы. Если гипотезу Hq: отклонять при п + т s\ ----- V пт — ta;(n+m—2) и не отклонять в противном случае, то с вероятно- стью 2а гипотезу Hq будем отклонять, когда она верна (альтернатива двусторонняя: или > а^.
17.2. Проверка гипотезы Hq : 309 Если альтернатива односторонняя, например > а^, то t сравниваем с £а;(п+т-2); пРи п + т\ I _ 1а:(п+т—2) пт I Л 7 гипотезу Hq отклоняем, в противном случае — нет {уро- вень значимости одностороннего критерия равен а). Пример 17.2.1. Ниже приведены данные измерения неровностей поверхности одной и той же чистоты об- работки с помощью двух двойных микроскопов. Можно ли считать, что между показаниями при- боров нет систематического расхождения? Микроскоп I: 0,8; 1,9; 3,0; 3,5; 3,8; 2,5; 1,7; 0,9; 1,0; 2,3; 3 3* 3 4. ’ Микроскоп II: 1,4; 2,1; 3,1; 3,6; 2,7; 1,7; 1,1; 0,2; 1,6; 2,8; 4,0; 4,7. Решение. Для определенности обозначим через £1,£2,---,£п данные измерений, полученные с помощью первого микроскопа, через 771, 772, • • •, Рт — второго. В терминах проверки статистических гипотез эту за- дачу можно сформулировать так. Имеются реализации двух независимых выборок £i,£2, • • •,£п и 771,772, • • •, 'Пт соответственно из распределений Na^a2 и Na^a2 (пред- положение о нормальном распределении результатов из- мерений в большинстве случаев оправдывает себя). От- носительно параметров и выдвигается гипотеза Hq: 0^ = 0^. Это гипотеза об отсутствии систематического расхождения между показаниями приборов. Априори, ес- ли то может быть как так и поэтому альтернатива двусторонняя. Отклонение гипоте- зы Hq в пользу этой альтернативы интерпретируется как наличие систематического расхождения показаний при- боров, неотклонение — как отсутствие расхождений по- казаний. Согласно критерию Стьюдента для проверки гипоте- зы Hq: при двусторонней альтернативе или необходимо сравнить значение Н = !£-*?!
310 Глава 17. Проверка гипотез о параметрах Na.a2 с ta-,(n+m-2) ~ верхним a-пределом £(п+т_2)-распределения. Если — ta-,(n+m—2)? гипотезу Hq отклоняем, в противном случае — нет (уро- вень значимости критерия 2а). В рассматриваемом примере п = 12, m = 12, е = ^(0,8 + 1,9 + ... + 3,4) = 2,34; rj = -El,4 + 2,1 + ... + 4,7) = 2,42; J_ S2 = —-1---z((n - l)s<;2 + (m - l)sn2) = 1,44, n + m — 2 где 1 n 1 m + = E& - £)2’+ = lib - -L - / /1,44(12+12) _ = |2,42 — 2,34|/y ’(]^12) ^0,16. Таким образом, \t\ = 0,16 < 2,074 = ^0,025; 22- Поэтому согласно критерию Стьюдента гипотезу Hq о ра- венстве на 5 %-м уровне значимости не отклоня- ем. Этот результат можно трактовать так. Предположе- ние об отсутствии систематического расхождения между
17.3. Проверка гипотезы Hq: ст2/ст q = 1 311 показаниями микроскопов не противоречит эксперимен- тальным данным. Такие показания вполне могли быть получены при работе с одним и тем же прибором. Дру- гими словами, эксперимент не дает оснований говорить о существовании систематического расхождения между показаниями микроскопов. 17.3 Проверка гипотезы Но-. <т2/а2 = 1 Постановка задачи. Пусть £(о>) = (£i(cv), £2(^)5 •• • — реализация выборки £ = (£i,$2? • • • из Na.a2. Параметры а и сг2 неизвестны. Относительно зна- ’ 2 чения параметра а выдвигается гипотеза Яо: cr2/<^o = !• Альтернатива к гипотезе Hq: ст2/ст q = 1 может быть как односторонней: если a2/oq / 1, то a2/(Jq > 1 (она мо- жет быть и такой: а2< 1), так и двусторонней: если сг2/сго 7^ 1, т0 0,2/°о > 1 или сг2/сго < 1- Альтернатива в каждой задаче своя. Необходимо по реализации £(cu) = (£i((^), £2(^)5 •• • ... ,Сп(^)) выборки £ = (£i,£2, • • • ,6г) из Na.a2 прийти к выводу: отклонять гипотезу Hq или нет. Выбор статистики для построения критерия. Независимо от того, верна гипотеза Hq: a2/oq = 1 или нет, г=1 является несмещенной и состоятельной оценкой парамет- ра сг2. Поэтому если гипотеза Hq: ст2/ст q = 1 верна, от- ношение s2/оц = s2/а2 мало уклоняется от 1 по срав- нению с отношением s2/ао, когда гипотеза Hq: а2/аq = = 1 неверна. А именно, если o^/oq = 1, то M(s2/ctq) =
312 Глава 17. Проверка гипотез о параметрах Na.a2 M{s2/а2} = 1 и s2/о$ Д сг2/а^ = 1. А если ct2/ctq ф 1, то M{s2/сгд) = сг2/оо 1 и s2/а$ Д а2/а$ ± 1. Поэто- му критерий для проверки гипотезы Hq\ сг2/сго ~ 1 есте- ственно строить, сравнивая отношение s2/(Jq с 1. Если отношение s2/аq существенно уклоняется от 1, то гипо- тезу Hq: а2/оq = 1 естественно отклонять, в противном случае — нет. Границы, отделяющие значения s2/^, су- щественно уклоняющиеся от 1, от значений s2мало (допустимо) уклоняющихся от 1, устанавливаются на ос- новании того, что для выборки £ = (£1,6, • • •, 6г) из Na.a2 случайная величина (п — l)s2/cr2 имеет распределение х2 с (п — 1) степенями свободы (от- носительно распределения у2 см. гл. 22). _2 Критерий для проверки гипотезы Hq*. = 1. ао Пусть £ = (6,6,... ,6г) - выборка из Na.a2, Х^п-г) ~ верхний fl-предел х^п_у~распределения. Если гипотезу Hq: ст2/ctq = 1 отклонять при S2 ( 1 д 1 2 и не отклонять в противном случае, то с вероятно- стью 2а гипотезу Hq будем отклонять, когда она верна {альтернатива двусторонняя: а2/Oq < 1 илио-2/оо > 1). Если альтернатива односторонняя, например а2 /сгц > 1, то при s2 1 2 ^2 > ^TTXQ;(n-l) гипотезу Hq отклоняем, в противном случае — нет {уро- вень значимости одностороннего критерия равен о).
17.4. Проверка гипотезы Hq: (т^/a^ = 1 313 17.4 Проверка гипотезы Но: cr^/a^ = 1 Постановка задачи. Пусть £(о>) = (£i(cv), £2(^)5 •• • . ..,Сп(^)) и t/(cj) = (77i(cv),772M,---,W^)) — реализа- ции независимых выборок £ = (£i, £2,•••5 £п) и Л — (ш? ^2? ... ,7?т) соответственно из распределений Na^.a2 и Параметры и нормальных распределений неизвестны. Относительно значений и выдвигается гипотеза Но : = 1 или, что то же, выборки £ = (£1, • • • , £п) И 7/ = (т/l, 7)2, ... ... ^r/m) получены из нормальных распределений с од- ной и той же дисперсией. Альтернатива к гипотезе Hq: al/ari — 1 может быть как односторонней: если сг^/сг^ ± 1, то сг^/сг^ > 1 (она может быть и такой: сг^/сг^ < 1), так и двусторонней: если crj/cr^ 7^ 1, то < 1 или сг^/сг^ > 1. Выбор альтернативы определяется поставлен- ной задачей. Необходимо по реализациям выборок £ = (£i,£2>--- ..., Сп) и г) = (т?1,772,..., т?ш) из распределений Na^.a2 и Narj.a2 соответственно прийти к выводу: отклонять гипо- тезу Hq или нет. Выбор статистики для построения критерия. Независимо от того, верна гипотеза Hq: сг^ /сг^ = 1 или нет, - п - т г=1 г=1 являются состоятельными оценками соответственно па- раметров и с^, а поэтому s^Jсходится по вероят- ности к сг^, когда п оо, т оо. Следовательно, если = 1, то отношение при больших п и
314 Глава 17. Проверка гипотез о параметрах Na.a2 m мало отличается от = 1- Если же / 1? то отношение s^Jбудучи близким к crj/cr^, от 1 от- личается существенно. Поэтому критерий для проверки гипотезы Hq-.o^/ct^ = 1 естественно строить, сравнивая отношение s^jс 1: если это отношение существенно отличается от 1, то гипотезу Hq естественно отклонять, в противном случае — нет. Границы, отделяющие значе- ния существенно отличающиеся от 1, от значений которые мало (допустимо) отличаются от 1, уста- навливаются на основании того, что при = 1 (т. е. когда гипотеза Hq верна) случайная величина име- ет F-распределение с (n — l,m — 1) степенями свободы (относительно F-распределения см. гл. 22). Критерий для проверки гипотезы Hq*. = 1. Пусть £i,£2, • • • >u — независимые вы- борки соответственно из распределений Na^.a2 и Nar).a2; Ffi;s-,k ~ верхний fl-предел F-распределения с s,k степе- нями свободы. Если гипотезу Hq: = 1 отклонять при 1 sl 4 । р-------------, sr] l);(n—1) Fa;(n—l);(m— 1) и не отклонять в противном случае, то с вероятно- стью 2а гипотезу Hq будем отклонять, когда она верна (этим критерием пользуемся, если альтернатива дву- сторонняя: о^/о^ < 1 или а^/>1). Если альтернатива односторонняя, например а1/аг1 > 1, то пРи
17.4. Проверка гипотезы Hq: о^/о^ = 1 315 гипотезу Hq будем отклонять, в противном случае — нет (уровень значимости этого одностороннего крите- рия равен а). Пример 17.4.1. Определяется предел прочности на разрыв материала на двух стендах А и В. Получены та- кие выборки значений предела прочности на разрыв. Стенд А: 1,32; 1,35; 1,32; 1,35; 1,30; 1,30; 1,37; 1,31; 1 39* 1 39. Стенд В: 1,35; 1,31; 1,31; 1,41; 1,39; 1,37; 1,32; 1,34. Выяснить, можно ли считать, что точность из- мерений предела прочности на разрыв на стендах А и В одинакова. Решение. В терминах проверки статистических ги- потез эту задачу можно сформулировать так. Имеем две реализации независимых выборок из нормальных рас- пределений Na^a2 и В^.^.2 (пусть для определенности £ — (С1?С2, • • • ,Сп) — выборка, полученная на стенде А, Л = • • • чРт) — на стенде В). Относительно неиз- вестных параметров и выдвигается гипотеза Во: = 1 (это гипотеза об одинаковой точности изме- рений на стендах А и В). Альтернатива двусторонняя: < 1 или > 1, поскольку нет никакой априор- ной информации относительно точности работы стендов А и В. Отклонение гипотезы Во в пользу этой альтер- нативы будем интерпретировать как наличие отличий в точности измерений на стендах, неотклонение — как от- сутствие отличий. Согласно критерию для проверки гипотезы Bq: = = 1 при двусторонней альтернативе гипотезу Во откло- няем, если sl f 1 \ 72 I ~ (га-1);("1-1) ) > и не отклоняем в противном случае.
316 Глава 17. Проверка гипотез о параметрах Na.a2 В рассматриваемом примере п = 10, m = 8, £ = 1,34; 7? = 1,35, «е2 = -^Т£(6-е)2 = 12,2 10-‘; г=1 = “ ^)2 = 14’°' 10~4’ 7=1 з2е 12,2 • 1(Г4 л „„ s _ 7________ _ п оу. 14,0 • 10-4 ’ ’ ^k;(n-l);(m-l) = ^0,01;9;7 = 6,72; -^а;(т—1);(п—1) 5,61 Значение принадлежит промежутку ^а;(п-1);(тп-1) ) — (0Д8; 6,72), поэтому гипотезу Hq: сг^/сг^ = 1 на 2 %-м уровне значи- мости не отклоняем. Этот результат можно интерпретировать так. Пред- положение (гипотеза), что стенды А и В имеют одинако- вую точность измерений предела прочности на разрыв, не противоречит экспериментальным данным. (Такие дан- ные вполне могли быть получены при работе на одном и том же стенде.) Другими словами, эксперимент не дает оснований утверждать, что точность измерений предела прочности на разрыв на стендах А и В различна.
17.5. Задачи 317 17.5 Задачи АЗ: 17.1,17.6,17.8,17.15. СЗ: 17.4,17.9,17.14,17.33. Далее, если это не оговорено специально, мы будем предполагать, что результаты измерений являются вы- борками из нормальных распределений. В большинстве случаев это предположение оправдывает себя в опыте. 17.1. В течение летних каникул группа из 10 учеников находилась в спортивном лагере. В начале сезона и после его завершения у них измерялся объем легких (в милли- литрах). По результатам измерений необходимо сделать вывод, существенно ли изменился этот показатель под влиянием интенсивных физических упражнений. Уче- ник Объем легких Уче- ник Объем легких В на- чале сезона После окончания сезона В на- чале сезона После окончания сезона 1 3400 3800 6 3100 3200 2 3600 3700 7 3200 3200 3 3000 3300 8 3400 3300 4 3500 3600 9 3200 3500 5 2900 3100 10 3400 3600 17.2. С целью сравнения отражательной способности двух видов краски (А и В), провели следующий экспери- мент: из 10 выбранных наудачу пробных образцов пять покрасили одной краской, остальные — другой и измери- ли их отражательную способность с помощью оптическо- го прибора. Получили следующие результаты. Краска А: 195; 150; 205; 120; 160. Краска В: 200; 115; 220; 185; 170. Свидетельствуют ли эти данные о различии отража- тельных способностей красок? 17.3. Один из методов количественного анализа сте- пени износа шины состоит в измерении глубины проник- новения щупа1 в определенном месте шины. Имеется по- дозрение, что значительная часть дисперсии измерений 1 Здесь щуп — тонкая продолговатая металлическая пластинка прямоугольной формы.
318 Глава 17. Проверка гипотез о параметрах Na.a2 связана с действиями контролеров. Чтобы выделить из общей дисперсии измерений указанную часть, двум кон- тролерам (X и У) предложили провести по 12 измерений в одной и той же точке шины. Получили следующие ре- зультаты. Контролер X: 121; 121; 126; 130; 127; 131; 127; 124; 125; 119; 126; 123. Контролер У: 120; 129; 128; 136; 117; 138; 124; 119; 136; 136; 134; 132. Существенно ли отличаются дисперсии измерений, про- веденных контролерами X и У? 17.4. В процессе производства электрические счетчи- ки с вращающимся диском были отрегулированы так, что их работа стала синхронной с работой стандартного счет- чика (работа счетчика характеризуется постоянной, рав- ной 1,000). Проверка 10 счетчиков, состоящая в опреде- лении их постоянной с помощью точных ваттметров и секундомеров, показала следующие результаты: Номер счетчика Значение постоянной Номер счетчика Значение постоянной 1 0,983 6 0,988 2 1,002 7 0,994 3 0,998 8 0,991 4 0,996 1,003 9 1,005 0,986 5 10 Можно ли отклонения от стандарта рассматривать как случайные, или, напротив, результаты указывают на то, что постоянная отрегулированных счетчиков система- тически уклоняется от постоянной стандартного счетчи- ка? Дать ответ на этот вопрос, проверив гипотезу о том, что 10 измерений образуют выборку, полученную из нор- мального распределения со средним 1,000. 17.5. С целью сравнения двух сортов стали (I и II) на способность к глубокому отпуску, изготовили по семь об- разцов из каждого сорта и испытали их по методу Эрик- сона, согласно которому в образец вдавливается конус с шаровым наконечником. Глубину проникновения шарика измеряют в миллиметрах. Результаты испытаний приве- дены ниже.
17.5. Задачи 319 Сталь сорта I: 10,85; 10,24; 10,48; 10,35; 11,07; 9,54; 11,18. Сталь сорта II: 11,05; 10,07; 10,03; 10,57; 10,27; 9,97; 9,92. Можно ли считать, что оба сорта стали имеют одина- ковую способность к глубокому отпуску? Решить поставленную задачу, сформулировав ее как задачу проверки статистических гипотез. 17.6. Масса упаковки с натуральным красителем дол- жна составлять 50 кг, а дисперсия массы упаковки не должна превышать 0,01 кг2. Взвешивание 10 упаковок дало следующие результаты: 50,10; 50,07; 49,93; 49,81; 49,70; 49,76; 50,08; 50,18; 49,79; 51,02 (масса в килограм- мах). Свидетельствуют ли приведенные данные о том, что указанные требования 1° к массе упаковки, 2° к дисперсии массы упаковки выполняются? 17.7. Приведенные ниже данные характеризуют твер- дость 14 образцов сплава в условных единицах: 12,1; 13,7; 11,0; 11,6; 11,9; 13,4; 12,2; 12,5; 11,9; 11,5; 12,9; 13,0; 10,5; 11,7. Предположим, что твердость сплава распределена нор- мально. Можно ли считать, что среднее а нормального распределения равно 12,0? 17.8. Исследовалась возможность снижения затрат на разведку залежей золота на одном из участков рассып- ного месторождения. С этой целью вместо части запла- нированных для закладки шурфов пробурили скважины ударно-канатного бурения (затраты на бурение меньше). Получили такие результаты исследований на содержание золота в образцах пород из шурфов и скважин (содержа- ние золота в миллиграммах на кубический метр породы). Скважины: 322; 250; 225; 315; 399; 348; 192; 375; 381; 538; 198; 317; 293. Шурфы: 478; 299; 541; 457; 251; 221; 548; 431; 397; 462; 457; 251; 221; 548. Можно ли считать, что результаты исследований об- разцов на содержание золота из скважин и из шурфов отличаются несущественно?
320 Глава 17. Проверка гипотез о параметрах Na.a2 17.9. На станке-автомате производится один вид про- дукции. Критическим размером изделий является внеш- ний диаметр. После настройки станка отобрали 20 из- делий. При этом оказалось, что выборочная дисперсия размера внешнего диаметра составляет 0,84 мм2. Через определенное время для контроля точности работы стан- ка отобрали 15 изделий. Вычисленная по ним выборочная дисперсия оказалась равной 1,07 мм2. Свидетельствуют ли приведенные данные об измене- нии точности работы станка? 17.10. Проверялась скорость полимеризации на не- скольких образцах полимера. Расчетная скорость поли- меризации равна 24 %. В восьми экспериментах получены такие результаты (в %): 23,6; 22,8; 25,7; 24,8; 26,4; 24,3; 23,9; 25,0. Имеются ли основания считать, что расчетная ско- рость полимеризации согласуется с этими данными? 17.11. С целью проверки влияния специального спо- соба приготовления бетона на его прочность провели экс- перимент. Из данной партии сырья взяли шесть порций. Затем порции случайным образом разделили на две груп- пы по три в каждой. После этого сырье одной группы под- вергли специальной обработке и из каждой порции изго- товили пробный куб. После 28-дневной выдержки шести пробных кубов определили их сопротивление на сжатие. Регистрировали значения нагрузок, при которых проис- ходит разрушение образцов (предел прочности на сжа- тие). Получили такие результаты. Бетон (без обработки) 290 311 284 Бетон (с обработкой) 309 318 318 Свидетельствуют ли эти данные о наличии эффекта специальной обработки бетона? 17.12. С целью уменьшения выхода нежелательно- го побочного продукта использовали катализаторы А и В. Для каждого из них были получены выборки выхода нежелательного продукта (в %). Катализатор А: 41; 52; 29; 43; 38; 45; 52; 42; 36. Катализатор В: 40; 27; 59; 42; 25; 58; 42; 26; 37.
17.5. Задачи 321 Можно ли считать, что разброс выхода нежелатель- ного продукта (разброс характеризуется дисперсией) при использовании катализаторов А и В одинаковый? 17.13. На компьютере моделируется нормально рас- пределенная случайная величина. Реализация выборки этой случайной величины: 2,41; 2,26; 2,10; 2,53; 1,96; 1,31; 2,32; 2,66. Можно ли утверждать, что выборка получена из нор- мального распределения со средним 2,5? 17.14. В классе 20 детей, из них наудачу отобрали 10, которым ежедневно начали давать апельсиновый сок. Ос- тальные 10 учеников ежедневно получали молоко. Через некоторое время зафиксировали следующее увеличение веса детей в фунтах (1 фунт = 453,6 г). Сок 4,0 2,5 3,5 4,0 1,5 1,0 3,5 3,0 2,5 3,5 Молоко L5 3,5 2А. 3,0 2Л_ 2,0 2^_ 2^_ Г5 3,0 Среднее увеличение веса на одного ученика в группе, где давали апельсиновый сок, составило 2,9 фунта, а в группе, где давали молоко, — 2,4. Существенно ли отли- чается увеличение среднего веса детей в группах? 17.15. Были измерены неровности поверхности с ре- гулярным профилем (одного и того же уровня чистоты) с помощью двойных микроскопов (I и II). При этом по- лучены такие результаты. Микроскоп I: 0,8; 2,0; 3,1; 3,5; 2,1; 1,7; 0,9; 1,1; 3,3. Микроскоп II: 0,7; 2,1; 3,1; 0,9; 3,6; 2,7; 0,8; 4,7; 0,3; 4,1; 2,8; 0,6. Выяснить, можно ли считать, что точность измерений каждым микроскопом одинакова? (Точность измерений характеризуется дисперсией.) 17.16. Номинальное сопротивление производимых ре- зисторов 2000 Ом. С целью контроля отобрали партию из 12 резисторов. После измерения сопротивления каждого получили такие значения: 2130; 2090; 2030; 2080; 1920; 2020; 2015; 2000; 2045; 1940; 1980; 1970. Можно ли отклонения от номинала (2000 Ом) рас- сматривать как случайные (допустимые), или, напротив, результаты измерений свидетельствуют о том, что сопро- тивление резисторов существенно отличается от номина- ла?
322 Глава 17. Проверка гипотез о параметрах Na.a2 17.17. На сталелитейном заводе для контроля содер- жания марганца в одной из марок стали сделали 10 от- ливков из конвертора I и столько же из конвертора II. Ниже приведено содержание марганца (в %) в каждом отливке. Конвертор I: 1,20; 1,17; 1,15; 1,21; 1,14; 1,17; 1,18; 1,21; 1,25; 1,14. Конвертор II: 1,39; 1,29; 1,28; 1,34; 1,32; 1,30; 1,28; 1,35; 1,35; 1,30. Можно ли считать содержание марганца в стали, вы- плавленной в этих конверторах, одинаковым? 17.18. В целях уменьшения дисперсии отражатель- ной способности краски были внесены изменения в техно- логию ее изготовления. Чтобы убедиться, что такие изме- нения в самом деле дают эффект, изготовили 10 пробных образцов. С помощью специального оптического прибо- ра определили отражательную способность краски, изго- товленной по традиционной (А) и новой (В) технологии (в относительных единицах). Получили следующие ре- зультаты. Технология А: 40; 45; 195; 65; 145. Технология В: 110; 55; 120; 50; 80. Свидетельствуют ли приведенные данные об измене- нии дисперсии отражательной способности краски? 17.19. С целью контроля напряжения в осветитель- ной сети каждый час в течение суток регистрировали на- пряжение (в вольтах): 220; 222; 220; 220; 220; 222; 220; 218; 218; 220; 220; 222; 222; 220; 218; 220; 222; 216; 218; 214; 210; 218; 223; 215. Можно ли отклонения от стандарта (стандарт равен 220 В) рассматривать как случайные? Или наоборот, при- веденные данные указывают на систематическое откло- нение напряжения от стандарта? 17.20. Исследования, проводимые на протяжении ря- да лет после того, как в практике лыжного спорта стала применяться техника коньковых ходов, дают основания предполагать, что она в условиях специально подготов- ленной трассы, обеспечивает на дистанции 15 км у муж- чин выигрыш по сравнению с традиционной техникой бо- лее чем на 1 мин. Ниже приведены результаты соревнова- ний (в минутах) двух групп лыжников (дистанция 15 км:
17.5. Задачи 323 одни проходили дистанцию традиционным ходом, другие — коньковым). Традиционный ход: 37,02; 36,74; 37,82; 38,12; 36,91; 37,98; 38,21; 37,51; 37,56; 38,03. Коньковый ход: 35,81; 35,61; 35,02; 35,53; 35,84; 35,12; 36,12; 36,49; 35,62; 36,28. Можно ли на основании результатов этих соревнова- ний сделать вывод, что эффект техники коньковых ходов на дистанции 15 км составляет более чем 1 мин? 17.21. На станках АиВ одного класса точности изго- тавливают одинаковые изделия. Критическим размером изделия является его внешний диаметр. Ниже приведены значения несмещенных оценок внешнего диаметра и его дисперсии, вычисленные по выборкам объемов 15 и 10, полученным соответственно для станков АиВ: G = 45,3; s2A = 1,07; = 46,1; s2B = 0,84. Свидетельствуют ли приведенные данные о том, что внешний диаметр изделий, изготовленных на станках А и В, одинаковый? 17.22. Исследовалась коррозионная стойкость нержа- веющей стали 18CrlONi2Mo (сталь, содержащая 18 % хро- ма, 10 % никеля, 2 % молибдена). Эксперимент проводили на 12 образцах. Прежде чем исследовать их на коррози- онную стойкость, определяли содержание хрома, никеля и молибдена в стали, из которой были изготовлены образ- цы. В частности, содержание хрома (в процентах массы) в исследуемых образцах было таким: 17,4; 17,9; 17,6; 18,1; 17,6; 18,9; 16,9; 17,5; 17,8; 17,4; 24,6; 21,0. Можно ли на основании приведенных данных утвер- ждать, что содержание хрома в стали составляет 18 %? 17.23. В лаборатории, изучающей влияние окружаю- щей среды на человека, с целью определения комнатной температуры, при которой наиболее комфортно чувству- ют себя мужчины и женщины, были обследованы 10 муж- чин и 10 женщин. Получили такие значения температуры наибольшей комфортности (по Фаренгейту). Мужчины: 74; 71; 77; 76; 72; 75; 73; 74; 75; 72. Женщины: 75; 77; 78; 79; 77; 73; 78; 78; 80; 76. Свидетельствуют ли эти данные о том, что температу- ра, при которой человек чувствует себя комфортно, для мужчин и женщин одинакова?
324 Глава 17. Проверка гипотез о параметрах Na.a2 ПримечаниеЛ °F = (9/5)t°C + 32, где t°F — темпе- ратура по Фаренгейту; t°C — температура по Цельсию. 17.24. Измеряя сопротивление провода двух типов (А и В), получили такие данные. Провод А: 0,126; 0,131; 0,126; 0,127; 0,124; 0,130; 0,128; 0,124. Провод В: 0,121; 0,121; 0,124; 0,122; 0,120; 0,124; 0,125; 0,120. Утверждается, что между разбросом сопротивления провода типа А и типа В нет различий. Не противоречит ли это утверждение имеющимся дан- ным? 17.25. Расчетная прочность на изгиб изготовленной резины равна 11 условным единицам. Чтобы убедиться действительно ли это так, испытали на изгиб 16 образцов этой резины. Можно ли по приведенным ниже данным прийти к выводу, что изготовлена резина с ожидаемой прочностью на изгиб? Прочность на изгиб: 10,3; 11,1; 11,8; 12,0; 10,8; 13,6; 12,0; 12,5; 11,6; 12,2; 12,3; 12,5; 12,6; 13,7; 13,3; 10,5. 17.26. В задаче 17.21 утверждается, что станки, на которых изготавливаются изделия, имеют одинаковый класс точности. Так ли это в действительности? 17.27. Предлагается новая методика определения со- держания марганца в одной из марок сталей. Ожидает- ся, что эта методика дает меньший разброс результатов по сравнению с традиционной. Ниже приведено процент- ное содержание марганца в 10 отливках, определенное по традиционной методике, и в 8 отливках — по новой. Традиционная методика: 1,22; 1,15; 1,17; 1,22; 1,26; 1,27; 1,19; 1,22; 1,20; 1,15. Новая методика: 1,21; 1,24; 1,18; 1,17; 1,15; 1,18; 1,17; 1,17. Имеются ли основания считать, что новая методика определения содержания марганца дает меньший разброс по сравнению с традиционной? 17.28. Для стальной проволоки, идущей на изготов- ление канатов, значение растягивающего усилия, при ко- тором происходит разрыв проволоки (предел прочности на разрыв) должно быть равным 6720 кг/см2.
17.5. Задачи 325 Проведенная серия наблюдений дает основания счи- тать, что значение предела прочности на разрыв прово- локи имеет нормальное распределение. Для контроля качества из каждой партии проволоки, которая приходит на завод, 20 образцов испытывают на разрыв. Фиксируют значение усилия, при котором обра- зец разрушается. Результаты одного из таких испытаний приведены ни- же. Предел прочности на разрыв: 6300; 6870; 6720; 6980; 6780; 6780; 6780; 6720; 6630; 6660; 6900; 7130; 6690; 6750; 6560; 6700; 6930; 6720; 6950; 6960. Можно ли на основании приведенных данных утвер- ждать, что для этой партии проволоки предел прочности на разрыв не менее 6720 кг/см2? 17.29. Два предприятия (А и В) производят кирпич- ную футеровку для кислородных конверторов. Потреби- тель хочет выяснить, отличается ли футеровка предпри- ятий по своим характеристикам, чтобы в дальнейшем за- купать продукцию с лучшими показателями. Для этого он регистрирует количество плавок, проведенных в кон- верторе до очередной замены футеровки. При этом полу- чены такие результаты. Предприятие А: 237; 224; 218; 227; 234; 215; 219; 225; 230. Предприятие В: 216; 202; 205; 200; 207; 198; 222; 214; 226; 204. Можно ли на основании этих данных заключить, что различие между числом плавок до замены футеровки, изготовленной на предприятиях А и В, существенно? 17.30. Дисперсия предела прочности на разрыв во- локна составляет 35,63 фунта2 (предел прочности — уси- лие, при котором происходит разрыв волокна). Ожидает- ся, что внесенные в технологический процесс изменения уменьшат дисперсию. Зарегистрированы такие значения предела прочности на разрыв (в фунтах, 1 фунт = 453,6 г): 151; 156; 147; 153; 155; 148; 160; 149; 156; 161;154;162;163; 149; 150. Уменьшилась ли дисперсия предела прочности на раз- рыв волокна с изменением технологического процесса?
326 Глава 17. Проверка гипотез о параметрах Na.a2 17.31. В процессе разработки модификации автобус- ных шин, которые имели бы больший пробег, проводи- лось исследование ряда их параметров. В частности, ре- гистрировалась температура, до которой нагревались пе- редние шины во время движения автобуса. По приведен- ным в таблице значениям температуры (в условных еди- ницах) левой и правой шин, которые использовались на 12-ти автобусах, выяснить, являются ли существенными отличия этих параметров. Авто- бус Шина Авто- бус Шина Левая Правая Левая Правая 1 36 27 7 41 60 2 42 45 8 40 34 3 55 84 9 100 117 4 59 84 10 58 78 5 79 70 11 38 56 6 108 99 12 73 88 17.32. На автоматическом станке обрабатывают втул- ки. После настройки станка получили выборку из 10 из- делий. Оказалось, что выборочное среднее диаметра втул- ки £ = 2,059 мм, а значение несмещенной оценки диспер- сии = 4,4 мкм2. Через некоторое время для контроля настройки станка на заданный диаметр втулки снова по- лучили выборку из 10 изделий, для которой выборочное среднее rj = 2,063 мм, а значение несмещенной оценки дисперсии s2 = 8,6 мкм2. Предположим, что в течение указанного интервала времени изменения в работе стан- ка могут сказаться только на его настройке на заданный диаметр втулки, но точность работы станка не изменяет- ся. Свидетельствуют ли приведенные данные об измене- нии настройки станка за промежуток времени, отделяю- щий моменты получения выборок? Замечание. Точность работы станка характеризу- ется дисперсией 17.33. При комнатной температуре исследовалась си- ла сцепления двух типов клейких веществ: изобутила 2-цианакрилата и MBR-4197. Ниже приведены значения силы сцепления для каждого образца, которая измеря- лась в фунтах на квадратный дюйм (1 фунт = 453,6 г, 1 дюйм = 0,0254 м).
17.5. Задачи 327 Изобутил 2-цианакрилат: 365; 169; 210; 297; 228; 146; 163; 213; 300; 218. MBR-4197: 518; 403; 473; 329; 457; 419; 437; 396; 424; 363. Можно ли считать, что дисперсии силы сцепления изобутила 2-циан акрилата и MBR-4197 одинаковы? 17.34. В таблице приведены данные измерения длины образцов изделий (в миллиметрах) до и после отжига их в высокочастотной печи. Обра- зец Длина, мм Обра- зец Длина, мм До от- жига После отжига До от- жига После отжига 1 11,94 12,00 6 11,96 11,98 2 11,99 11,98 11,99 7 11,95 11,96 12,03 3 11,95 12,07 8 12,02 4 12,03 9 11,92 12,01 5 12,03 12,03 10 12,00 11,99 Привела ли термообработка к изменению размеров изделий? 17.35. С целью сравнения пределов прочности на рас- тяжение резиновых смесей типов А и В изготовили пар- тию из восьми образцов прямоугольной формы (по четы- ре из каждой смеси) и подвергли их продольному растя- жению. (Один из образцов смеси А, который квалифи- цировали как дефектный, был исключен из партии до начала испытаний.) Фиксировался предел прочности на растяжение образцов двух резиновых смесей (значение растягивающего усилия, при котором происходит разру- шение образца). Получили следующие результаты. Предел прочности (смесь А): 3210; 3000; 3315. Предел прочности (смесь В): 3225; 3320; 3365; 3145. Можно ли считать, что состав резины не влияет на ее прочность? 17.36. В задаче 17.32 описывается процесс контроля за работой станка-автомата. При этом предполагается, что точность работы станка не изменяется, хотя значения несмещенных оценок дисперсий после настройки станка и через определенное время составляют соответственно = 4,4 мкм2 и s2 = 8,6 мкм2. Является ли обоснованным предположение о неизмен- ности точности работы станка?
328 Глава 17. Проверка гипотез о параметрах Na.a2 17.37 (длительность обезболивающего действия препарата). Сравнивается действие обезболивающих пре- паратов А и В. (В некоторых случаях одним из “лекарств” может быть инертное плацебо (пустышка), которое ис- пользуется для “контроля” при исследовании действия другого препарата.) В группе больных, выразивших желание взять уча- стие в эксперименте, насчитывается восемь человек. Впо- лне возможно (и естественно), что у этих больных воз- раст, общее состояние и т. д. далеко не одинаковы. Поэто- му каждому больному дают оба препарата и каждый раз фиксируют продолжительность обезболивающего дейст- вия. Чтобы обеспечить чистоту эксперимента, приняты все разумные меры предосторожности: второй препарат дают не раньше чем закончится действие первого, чет- веро больных получают сначала препарат А, а другие четверо — сначала В, при этом ни один из них не знает, какой именно препарат он употребляет, и т. д. Результаты эксперимента приведены в таблице. Боль- ной Длительность действия препарата, час Разность длительности действия препаратов В и А, час А В 1 3,2 3,8 0,6 2 1,6 1,0 -0,6 3 5,7 8,4 2,7 4 2,8 3,6 0,8 5 5,5 5,0 -0,5 6 1,2 6,1 3,5 2,3 7 7,3 1,2 8 2,9 4,8 L2 Сделать вывод об эффективности действия препара- тов в предположении, что: 1° отсутствует априорная информация об эффектив- ности препаратов; 2° эффективность действия препарата В не уступает действию препарата А. Ответ дать в терминах проверки статистических ги- потез. 17.38. Два оператора (А и В) провели 14 незави- симых экспериментов, исследуя температуру возгорания эмали одного и того же состава. Каждый из операторов
17.5. Задачи 329 испытал по семь образцов. Получены такие результаты экспериментов. Оператор А: 1450; 1425; 1420; 1410; 1370; 1360; 1270. Оператор В: 1430; 1420; 1380; 1320; 1320; 1290; 1280. Является ли существенным отличие между результа- тами, полученными операторами? 17.39. В процессе производства синтетического во- локна для уменьшения усадки продукции, которая будет изготовляться из него, волокно, движущееся непрерыв- ным потоком, проходит термическую обработку. Далее приведены данные о величине усадки волокна (в %) после обработки при температурах 120 °C и 140 °C. Усадка при 120 °C: 3,45; 3,62; 3,60; 3,49; 4,64; 3,56; 3,52; 3,53; 3,57; 3,44; 3,56; 3,43. Усадка при 140 °C: 3,72; 4,01; 3,54; 3,67; 4,03; 3,40; 3,96; 3,60; 3,76; 3,91. Необходимо выяснить, является ли усадка при темпе- ратуре 140 °C большей, чем при температуре 120 °C. 17.40 (красное смещение). Астрономы М. Гумасон и Н. Майал определяли поправку на красное смещение (в километрах на секунду) галактик типа SO. Результа- ты, полученные в серии из 10 наблюдений (номера галак- тик приведены по каталогу NGC), оказались такими. Номер га- лактики М. Гу- масон Н. Майал Номер га- лактики М. Гу- масон Н. Майал 1332 1507 1471 5866 924 1033 3607 858 778 6661 4607 4430 3998 1205 1155 6703 2592 2670 4111 832 915 7625 1930 2050 5308 2206 2194 7679 5378 5278 Свидетельствуют ли приведенные данные о расхож- дении в результатах, полученных астрономами? Сформулировать и решить задачу в терминах провер- ки статистических гипотез. 17.41. Значения несмещенной оценки дисперсии вы- борки А составляет 55,4 кг2, а выборки В — 87,3 кг2. Можно ли утверждать, что выборки получены из рас- пределений с одним и тем же значением дисперсии, если объемы выборок равны соответственно 15 и 12? Какие при этом необходимо сделать предположения?
330 Глава 17. Проверка гипотез о параметрах Na.a2 17.42. Исследовалась потеря массы десяти одинако- вых резиновых стержней при испытаниях на износ. Для проведения исследований от каждого стержня отрезали по два образца. Один из них прошел вулкани- зацию при 80 °C, другой — при 150 °C. Стер- жень Потеря массы Стер- жень Потеря массы 80 °C 150 °C 80 °C 150 °C 1 3,U2 2,91 6 3,11 3,2U 2 2,22 2,30 7 2,70 2,50 3 4,60 4,15 8 2,58 2,29 4 4,53 2,63 9 3,27 3,11 5 2,31 2,40 10 4,19 3,80 Можно ли на основании приведенных данных утвер- ждать, что различие между средними потерями массы образцов, которые прошли различную вулканизацию, яв- ляется существенным?
Глава 18 Критерий х2 18.1 Критерий х2 (гипотетическое распределение не зависит от параметров) Постановка задачи. Пусть £(о>) = (£i(<^), £2(^)5 •• • ..., — реализация выборки из неизвестного распре- деления F, относительно которого выдвигается гипотеза Hq: F = G, где G принадлежит заданному классу рас- пределений (в частности, G может быть полностью опре- деленным распределением). Гипотезу Hq можно сформу- лировать и так: £ = (£i,£2? ... ,£п) является выборкой из распределения G с заданными свойствами. Необходимо по реализации выборки £ = (£1, £2, • • •, £п) сделать вывод: отклонить гипотезу Hq или нет. Об уклонении эмпирического распределения от гипотетического. Независимо от того, верна гипотеза Hq или нет, эмпирическое распределение Fn, построен- ное по выборке £ = (£i,£2? ... ,£п) из F, мало уклоняет- ся от распределения F, а именно, для каждого фиксиро- ванного х значение эмпирической функции распределе- ния Fn(x) является несмещенной и состоятельной оцен- кой F(x). Поэтому, если ввести уклонение D(Fn^ G) эмпи- рического Fn распределения от гипотетического G, при- чем так, чтобы оно принимало малые значения, когда ги- потеза Hq верна, и большие, когда гипотеза Hq неверна, 331
332 Глава 18, Критерий х2 то гипотезу Но естественно отклонять или не отклонять в зависимости от того, какое значение приняло уклонение D(Fn, G) — большое или малое. Уклонение Пирсона эмпирического распреде- ления от гипотетического. Два вероятностных распре- деления F и G, заданные на X с R1, совпадают, если для каждого борелевского множества В из X справедливо ра- венство F(B) = G(B). Если F и G различны, то найдется борелевское множество В' с X такое, что F(Bf) / G(Bf). Поэтому в качестве уклонения между двумя распределе- ниями: F и G естественно рассмотреть величину £9(г(^)-с(х,))2, 7=1 где {Aj} — разбиение X на непересекающиеся борелев- ские множества: Q Xj = Х, Xi p|Xj; = 0, i / j, 2 < г < oo; J=i Cj — неотрицательные константы. Уклонение Пирсона между эмпирическим распределением Fn, построенным по выборке £1, £2, • • • , и гипотетическим G из этих со- ображений и строится. А именно, в качестве уклонения между Fn и G рассмотрим г D(Fn,G) = - G(Xj))2, 7=1 где G(Xf) — вероятность попадания выборочного зна- чения в множество Xj, вычисленная по гипотетическо- му распределению G (далее будем обозначать G(Xj) = = pj); Fn(Xj) — вероятность попадания выборочного зна- чения в Xj, вычисленная по эмпирическому распределе- нию Fn (она численно равна частоте Vj/n попадания вы- борочного значения в множество Xj, вычисленной по вы- борке £1,^2,... , Vj ~ число выборочных значений из
18.1. Критерий %2 (параметры известны) 333 £1,^2, ... , попавших в Xj); Cj — коэффициенты, кото- рые выбираются более или менее произвольно. К. Пир- сон в качестве Cj предложил рассматривать n/pj, j = = 1,2,..., г. При этом уклонение D(Fn, G) принимает вид D(Fn, = - G(X3))2 = £ i Q -w)2. 7=1 7=1 (Заметим, что Fn и G заданы на множестве X выбороч- ных значений X — это R1 или часть R1; если, напри- мер, принимает значения 0 и 1, то X = {0,1}, если — нормально распределенная случайная величина, то X = R1.) Далее, вне зависимости от того, верна гипотеза Hq: F = G или нет, частота Vj /п попадания выборочных зна- чений в Xj, вычисленная по выборке ^1,^2, • • • ,Сп из является несмещенной и состоятельной оценкой F(JQ), т. е. M^j/n) = F(Xj) И щ/п-Ъ F(Xi) при п оо (для всех j = 1,2,..., г). Поэтому, если гипо- теза Hq: F = G верна, то F(Xj) = G(Xj) = pj и, следо- вательно, (i/j/n - Pj)2 = (Vj/n - F(Xj))2 сходится по вероятности к нулю при п оо (для всех j = 1,2,..., г), при этом распределение уклонения К. Пир- сона ЕТ1 / V 4 \ 2 р7 _ Pj) 7=1 Рз v n ' сходится к ^-распределению с (г —1) степенями свободы. Если же гипотеза Hq: F = G неверна, т. е. F ± G^ то D(F„,G) = ]HQ-W)2 7=1 Рз v n 7
334 Глава 18. Критерий х2 сходится к +оо при п оо, поскольку Q ~Pj)2 -Pj? = (F(Xj) - ОД))2 , а среди (Г^-ОД))2, j = 1,2,... ,г, при достаточно “мелком” разбиении выборочного прост- ранства X найдутся числа строго большие нуля. Так что уклонение К. Пирсона Dw-G) = £;r 7=1 Р] ц_п.\2 = v (^' ~ пр>)2 п 3' 2^ npj при верной гипотезе Hq принимает малые значения (при этом распределение D(Fn,F) близко к Xr-i), а когДа ги- потеза Hq неверна — большие ( D(Fn,G) —> +оо при п оо). Таким образом, для проверки гипотезы Hq: £1,^2, • • • • • •, £п — выборка из распределения G, вычисляем укло- нение D(Fn,G). Если при этом D(Fn,G) приняло малое значение, то гипотезу Hq не отклоняем, в противном слу- чае — отклоняем. Границы, отделяющие большие значения уклонения D(Fn^G) от малых, устанавливаются на основании того, что для выборки £i,£2, из распределения F при больших п распределение D(Fn,F) мало отличается от распределения х2 с (г — 1) степенями свободы. Критерий х2 (гипотетическое распределение не зависит от неизвестных параметров). Пусть £ = — (£i,£2, • • • , £п) — выборка из распределения F и Х2.^.^ — верхний a-предел х2-распределения с (г —1) степенями свободы. Если гипотезу Hq: £ = (^1,^2, • • • ,Сп) является вы- боркой из распределения G отклонять при
18.1. Критерий х2 (параметры известны) 335 D(F ГП - V ~ npi^ - i=l прг и не отклонять в противном случае, то с вероятно- стью а гипотеза Hq будет отклоняться, когда она вер- на. Рекомендации по применению критерия х2* Кри- терием х2 можно пользоваться, когда объем п выборки и вероятности р^ i = 1,2,..., г, выборочным значениям по- пасть в множество Xi, вычисленные по гипотетическому распределению, являются такими, что npi >10, i = 1,2,...,г. (18.1.1) По сути, это требования относительно объема выборки: п должно быть настолько большим, чтобы выполнялись условия (18.1.1). Разбиение X — пространства выборочных значений — на непересекающиеся подмножества Xf. г х= U*b Х;Г|Х, = 0, i/j, i,j = 1,2,...,r, i=l осуществляют, вообще говоря, произвольно, но количе- ство г подмножеств стремятся выбрать как можно боль- шим, при этом должны выполняться условия (18.1.1). Ес- ли при указанном делении для некоторых множеств Xi имеют место неравенства npi < 10, то такие Xi следу- ет объединить с другими Xj так, чтобы для полученных при этом новых множеств Х^, выполнялись неравенства пр' > 10 (где р' = Р{& е X'} = С(Х'),г = 1,2,...,г) или чтобы они содержали по меньшей мере по 10 выбо- рочных значений. Если выборочных значений насколько мало, что это сделать невозможно, пользоваться крите- 9 рием х не следует. Пример 18.1.1 (показания механических часов). В таблице приведены показания 500 наудачу выбранных механических часов, выставленных в витринах часовых магазинов.
336 Глава 18. Критерий %2 Согласуется ли с приведенными данными гипотеза о равномерном распределении показаний часов на интерва- ле [0; 12) ? г Пг г Пг 0 41 6 41 1 34 7 33 2 54 8 37 3 39 9 41 4 49 10 47 5 45 11 39 Всего 500 Здесь i — номер интервала от i-го часа до (г + 1)-го, i = 0,1,..., 11; щ — количество часов,показания кото- рых принадлежат i-му интервалу. Решение. Показания 500 часов можно рассматри- вать как реализацию выборки объемом 500 из некоторо- го непрерывного на интервале [0;12) распределения F. Относительно распределения F случайной величины £ (показаний часов) выдвигается гипотеза Hq: F — равно- мерное на интервале [0; 12) распределение, т. е. плотность f(x) распределения F имеет вид р/ х _ ( 1/12, если х е [0; 12); J\x) — q, если х £ [0; 12). Для проверки гипотезы Hq воспользуемся критери- ем х2- Разобьем множество возможных значений X = = [0; 12) случайной величины £ на непересекающиеся под- множества Xi = [г,г + 1), i = 0,1,..., 11. Вероятность попадания £ в вычисленная по гипотетическому рас- пределению: Pi = г+1 [ 1 , 1 / — ах = —. . 12 12 И поскольку nPi = 500 • = 41,7 > 10; г = 0,1,..., 11,
18.2. Критерий х2 (параметры неизвестны) 337 9 то можно воспользоваться критерием х в приведенной выше форме. Вычислим значение уклонения между эмпирическим распределением Fn и гипотетическим G. Имеем = ((41 - 41,7)2 + ... + (39 - 41,7)2} = 9,99. Таким образом, D(Fn, G) = 9,99 < 19,7 = Xo,O5;ii — Xa;(r-i)- Поэтому, согласно критерию х2> гипотеза о равномерном на интервале [0; 12) распределении случайной величины £ — показаниях механических часов в витринах магазинов — не отклоняется. Другими словами, предположение о том, что показания часов распределены равномерно на интервале [0;12), не противоречит наблюдениям. 18.2 Критерий х2 (параметры неизвестны) Пусть £ = (£1,^2, • • • , £п) — выборка из неизвестно- го распределения F, относительно которого выдвигается гипотеза H0:F(.) = (01А, • • •, Ok) = 0 € 0. Распределение G(-; #i, #2, • • •, 0^) зависит от неизвестных параметров 0i, 02, • • • , 0&, причем единственным источни- ком информации о значениях этих параметров является выборка £ = (£i,£2, ... ,£п)- Другими словами, гипотеза Но СОСТОИТ В ТОМ, ЧТО £ = (£i, £2, • • •, £п) является выбор- кой из распределения, принадлежащего классу распреде- лений G(.-,0l,02,...,Ok), 0 = (01,02,...,Ок) е е.
338 Глава 18. Критерий х2 Необходимо по реализации выборки £ = (£1, £2, • • • £п) Сде- лать вывод: отклонять гипотезу Но или нет. Естественно поступать следующим образом: оценить параметры 01, #2,•••, по выборке £1, £2, • • •, £п и в ка- честве гипотетического распределения рассмотреть рас- пределение G(-; #i, #2,..., Ok}- Уклонение D(Fn, G) стро- им так же, как и ранее: г D(Fn,G) = Y, i=l (yi - npi(0]_,e2,... npi(0-i,02,---,Ok) где Рг(#1, #2, • • •, ®k) ~ вероятность попадания выборочно- го значения в множество г = 1,2,..., г, вычисленная по гипотетическому распределению. Р. Фишер установил, что когда гипотеза Но верна и оценки #i, #2, • • •, полу- чены по методу максимального правдоподобия, то рас- пределение уклонения D(Fn, G) между Fn и G при п —> оо сходится к распределению х2 с (г — 1 — fc) степенями сво- боды, где к — количество параметров, оцененных по вы- борке £1,62, Таким образом, если параметры оцениваются по вы- борке по методу максимального правдоподобия, можно пользоваться критерием х2 в следующей формулировке. Если гипотезу Но отклонять при D(Fn,G} г ~ - 2 npi(01,02,...,0k) > Xa;(r— 1—к) и не отклонять в противном случае, то с вероятно- стью а гипотеза Но будет отклоняться, когда она вер- на. Пример 18.2.1 Среди 2020 семей с двумя детьми 527 имеют двух мальчиков, 476 — двух девочек, у остальных (1017 семей) дети разного пола. Можно ли считать, что количество мальчиков в се- мье, имеющей двух детей, является биномиально рас- пределенной случайной величиной?
18,2, Критерий х2 {параметры неизвестны) 339 Решение. Обозначим через £ количество мальчиков в семье с двумя детьми, £ принимает значения 0,1,2. От- носительно распределения случайной величины £ вы- двигается гипотеза Яо: = G(fc;p) = С%рк(1 ~pf~k, к = 0,1,2, (гипотеза о биномиальном распределении £), которую необ- ходимо проверить. Гипотетическое распределение зависит от неизвестно- го параметра р. Оценкой максимального правдоподобия параметра р биномиального распределения Р(к-р) = С*рк(1 -р)т~к, к = 0,1,...,т, полученной по выборке £i, £2, • • •,£п является 1 п р=—5Z+- тп к=1 В рассматриваемом примере значение оценки максималь- ного правдоподобия параметра р равно Л 0-476 + 1-1017 + 2-527 р =------------------------= 0,513. Р 2•2020 Поэтому гипотетическим распределением является G(fc;p) = Ск(0,513)fe(l - 0,513)2-fc, к = 0,1,2. Его можно записать и в таком виде: ( ° 1 2 \ ь 0,237 0,500 0,263 ) ’ В качестве разбиения выборочного пространства X = = {0,1,2} рассмотрим Xq = {0}, Х± = {1}, Х? = {2}. Для множеств Xi оценки pi гипотетических вероятно- стей выборочному значению попасть в Х^ i = 0,1,2,
340 Глава 18. Критерий х2 соответственно равны 0,237; 0,500; 0,263; объем выборки п = 2020, потому npi >Ю, i = 0, 1, 2, О и, следовательно, пользоваться критерием х можно. Вычислим значение уклонения Пирсона между эмпи- рическим Fn и гипотетическим G распределениями: D(Fn G\ = (^0 - пРо)2 + (^1 - таР1)2 + (^2 - »Р2)2 = п’ про прг ПР2 _ (476 - 478,74)2 (1017 - 1010)2 (527 - 531,26)2 _ 478,74 + 1010 + 531,26 = 0,098. Отсюда имеем P(Fn,G) = 0,098 < 3,84 = Х205;1 = x2;(r_i_fc) (г — 1 — к = 3 — 1 — 1; к = 1 — количество параметров, оце- ненных по выборке; г = 3 — количество подмножеств, на которые разбивается выборочное пространство). Поэто- му согласно критерию х2 гипотеза о биномиальном рас- пределении случайной величины £ не отклоняется. Пред- положение, что количество мальчиков в семьях с двумя детьми имеет биномиальное распределение, не противо- речит имеющимся данным. 18.3 Критерий х2 как критерий независимости Постановка задачи. Имеется п независимых наблю- дений (a*, bj), i = 1,2,..., s, j = 1,2,..., к векторной слу- чайной величины £ = (£,??). При этом значение случайная величина С = (£, г?) приняла г/*? раз, i = 1,2,...
18.3. Критерий у2 как критерий независимости 341 s k ..., s, j = 1,2,..., к (ясно, что ^2 52 yij — п)- Резуль- г=1 7 = 1 таты наблюдений удобно представлять в виде так на- зываемой таблицы сопряженности признаков (см. табл. 18.3.1). Но ни распределение векторной случайной вели- чины £ = (£, ту) Р{С = bj)} = Pij, i = 1,2,..., s; j = 1,2,..., к (см. также табл. (18.3.2)), ни распределения ее компонент С и vjz Р{£ = ai} = Pi', г = 1,2,..., s; Р{р = bj} = Pj, j = 1,2,..., fc, неизвестны. Таблица 18.3.1. Таблица сопряженности признаков Значе- НИЯ £ Значения ту Сумма bl b2 ьк ai I'll V12 У1к У1 a2 V21 V22 У2к V2 CLs У si Vs2 Vsk Vs Сумма У 2 У к п В таблице 18.3.1 k S »i- = 5? V j = 52 г = 1,2,..., s, j = 1,2,..., к. j=i i=i Относительно совместного распределения случайных величин £ и т) (распределения вектора С = (£,ту)), см. табл. 18.3.2, выдвигается гипотеза Но ipij =PiPj, i = 1,2, . ..,$, j = 1,2,... ,fc.
342 Глава 18. Критерий %2 Другими словами, Но — это гипотеза о независимости случайных величин £ и т] (еще говорят, гипотеза о неза- висимости признаков). Таблица 18.3.2. Совместное распределение случайных величин £ и т] Значе- НИЯ £ Значения ту Сумма bl Ь2 Ьк ai Pll P12 Pl к Pi a2 P21 P22 P2k P2 CLs Psi Ps2 Psk Ps Сумма Pl P2 Pk 1 В табл. 18.3.2 k s Pi = ^Pij, г = 1,2,..., s; Pj = 'ThPiji j = 1,2,..., fc. 7=1 г=1 s к s к ^Pi = Y'p-j = ^2^pij = 1- г=1 j=l г=1 j=l По результатам наблюдений С = (£, р) (см. табл. 18.3.1) необходимо проверить гипотезу Hq о независимости ком- понент £ и г] векторной случайной величины £ = (£,р). Для проверки гипотезы Но воспользуемся критери- 9 ем х , когда гипотетическое распределение зависит от неизвестных параметров. Неизвестными параметрами яв- ляются и рj, г = 1,2,..., s; j = 1,2,..., fc, причем s к ^pi = i; = L г=1 j=l
18.3. Критерий %2 как критерий независимости 343 В качестве разбиения выборочного пространства X = {(ai,bjl г = 1,2,... j = 1,2,..., fc} рассмотрим подмножества Xij = {(аг,Ь7)}, i = 1,2, . j = 1,2,..., k. Уклонение эмпирического распределения Л{(аг,^)} = ^, ? = l,2,...,s; j = 1,2, ...,k, от гипотетического G{(ai,bj)} =pi.p.j, i = 1,2, j = 1,2, равно s k i=l j=l (Vjj - npj.p.j)2 npi.p.j где pi. = jn (г = 1,2,..., s) и p.j = v.j/n (j = 1,2,..., fc) — оценки максимального правдоподобия соответственно параметров р^. (г = 1,2,...,$) и p.j, (j = 1,2,..., fc). To есть s k D(Fn, i=l j=l ("ij - (Vj.V.^/n)2 {Vi.V.j}/n Количество параметров, оцененных по выборке, равно ($—l)+(fc—1). Количество подмножеств Л^-, i = 1,2,...,$; j = 1,2,..., fc, на которые разбивается выборочное про- странство X, равно sk. Поэтому число степеней свобо- ды ^-распределения, предельного для D(Fn,G), равно sk - 1 - (($ - 1) + (fc - 1)) = ($ - l)(fc - 1). Таким образом, гипотезу Hq о независимости слу- чайных величин £ и г) отклоняем, если (yij ~ 2 (Vi.v.^/n >^-1)^-1)’ г=1 j=l ' г З’1
344 Глава 18. Критерий х2 и не отклоняем в противном случае; при этом с веро- ятностью а гипотезу Но будем отклонять, когда она верна. Значения случайных величин £ и ту еще называют при- 9 знаками, и в этом случае говорят о критерии х для неза- висимости признаков. Разбиение выборочного пространства (X, У) двумер- ной случайной величины £ = (£, rf) на непересекающиеся подмножества Xi х У мы проводим сами. При этом необ- ходимо следить, чтобы для гипотетических вероятностей Pi P j выборочным значениям (£, ту) попасть в Xi х Yj вы- полнялись неравенства (Рг Р j)n = > Ю (при всех возможных значениях i и j ), где п — объем выборки. Замечание. Следует отметить, что имея дело со статистическими зависимостями, необходимо быть очень осторожным. Из наличия статистической зависимости (от- сутствия статистической независимости) не следует при- чинная зависимость. Идеи относительно причинных свя- зей должны приходить “извне” статистики. Пример 18.3.1 (прививка против холеры). В табли- це {Гринвуд, Юл, 1915) приведены данные о 818 случаях, классифицированных по двум признакам: наличию при- вивки против холеры и отсутствию заболевания. Можно ли на основании этих данных прийти к вы- воду о зависимости между отсутствием заболевания и наличием прививки? Наличие прививки Наличие заболевания Всего Не заболели Заболели Привитые 276 3 279 Непривитые 473 66 539 Всего 749 69 818 Решение. В терминах проверки статистических ги- потез поставленная задача формулируется как задача про- верки гипотезы о независимости признаков (наличие при- вивки и отсутствие заболевания).
18.4. Задачи 345 Таблица сопряженности признаков (см. табл. 18.3.1) приведена в условии примера, заметим, что здесь s = 2, к = 2, п = 818. Поскольку (Рг-Ру)п = Vi.V.j/n > 10, i,j = 1,2, 9 то можно воспользоваться критерием х . Значение отклонения между эмпирическим распреде- лением Fn и гипотетическим G: s к d(#„,G) = ££ г=1 j=l j)/n)2 {Vi.V.^/n _ (276 - 279 • 749/818)2 (3 - 279 • 69/818)2 279 • 749/818 + 279 • 69/818 + (473 - 539 • 749/818)2 (66 - 539 • 69/818)2 + 539-749/818 + 539-69/818 “ ’ Таким образом, D(Fn,G) = 29,61 > 3,84 = ^>05;1 = X^(e_i)(fe_i)- Поэтому согласно критерию у2 гипотеза о независимо- сти признаков (отсутствие заболевания и наличие при- вивки) отклоняется; она противоречит имеющимся дан- ным. Другими словами, приведенные экспериментальные данные дают основания утверждать, что эффект привив- ки против холеры существует. 18.4 Задачи АЗ: 18.2,18.7,18.17,18.20. СЗ: 18.14,18.23,18.29,18.52. 18.1 (адекватность модели). В ряде прикладных задач при использовании методов теории вероятностей,
346 Глава 18. Критерий %2 прежде чем вычислять вероятность того или иного собы- тия, необходимо построить математическую модель сто- хастического эксперимента (вероятностное пространство); вероятность события можно вычислять только тогда, ко- гда определено (явно или неявно) вероятностное простран- ство. Теория вероятностей дает правила, по которым в данной модели вычисляются вероятности событий, но ни- чего не говорит о выборе модели стохастического экс- перимента. И принципиальный вопрос: “Адекватно ли описывает предложенная модель стохастический экспери- мент?” остается открытым. Дать ответ на этот вопрос может математическая статистика. Ответ дается в тер- минах проверки статистических гипотез. Например, рассматривается стохастический экспери- мент, состоящий в подбрасывании игральной кости. Необ- ходимо вычислить вероятность того, что выпадет четное число очков. В качестве множества элементарных событий Q вы- берем {1,2,3,4, 5,6}. Вероятность элементарных событий можно задать, скажем, так: P(?) = |, i = 1,2,.б. Тем самым вероятностное пространство определено. По- чему именно Р(г) = 1/6, i = 1,2,..., 6, теория вероятно- стей не дает ответа. Вероятности мы задаем сами. Кто-то другой может задать эти вероятности, например, так: Р(г) = г/21, i = 1,2,...,6, — пропорционально числу очков на грани (или еще каким- нибудь способом), и это (как возможная гипотеза) будет ничуть не хуже. По известной математической модели {Q, Р} вычис- лить вероятность случайного события просто. Например, вероятность события А — “выпало четное число очков”, вычисляется так: Р(А) = Р({2,4,6}) = Р(2) + Р(4) + Р(6). Для симметричной игральной кости имеем Р(А) = Р(2) + Р(4) + Р(б) = | + | + | = |- о о о 2
18.4. Задачи 347 Таким образом, если предложенная модель адекватно опи- сывает эксперимент, то Р(А) = 1/2. Однако, адекватно ли описывается эксперимент пред- ложенной моделью? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо провести эксперимент: подбросить кубик достаточно большое чис- ло раз, зафиксировать результат и далее проверить, со- гласуется ли модель с результатом эксперимента. Результаты наблюдений удобно представить в таком виде: 1 1 2 3 4 5 6 Пг где i — количество выпавших очков; щ — число подбра- сываний, в которых было зафиксировано i очков. 18.2 (количество смертей от удара копытом). Далее приведены классические данные фон Борткевича о количестве лиц, убитых ударом копыта коня в 10 прус- ских армейских корпусах за 20 лет (1875—1895): 1 0 1 2 3 4 5 и более Всего Пг 109 65 22 3 1 0 200 где i — количество смертей в одном корпусе за год; щ — количество корпусов, в которых случилось г смертей. Проверить гипотезу о пуассоновском распределении количества смертей от удара копытом коня в одном кор- пусе в течение года. 18.3 . В таблице приведены данные К. Пирсона о воз- расте кандидатов, которые сдали и не сдали вступитель- ные экзамены в Лондонский университет в 1908 и 1909 гг. (для двух старших возрастных групп указаны оценки сред- него возраста). Возраст кандидата Результат экзамена Всего Сдали Не сдали 16 583 563 1146 17 666 980 1646 18 525 868 1393 19-21 383 814 1197 22—30 (средний возраст 25) 214 439 653 Свыше 30 (средний возраст 33) 40 81 121 Всего 2411 3745 6156
348 Глава 18. Критерий %2 Свидетельствуют ли эти данные о наличии зависимо- сти между возрастом кандидатов и успешно сданными экзаменами? 18.4 . Стохастический эксперимент состоит в подбра- сывании двух игральных костей и регистрации минималь- ного числа очков, выпавших на них. Предложить математическую модель этого стохасти- ческого эксперимента. Проверить ее адекватность экспе- рименту. Для этого провести эксперимент достаточное число раз и проверить, согласуется ли предложенная мо- дель с полученными данными. Сформулировать и решить поставленную задачу как задачу проверки статистических гипотез (воспользовать- ся критерием х2)- Результаты эксперимента удобно представить в виде таблицы: i 1 2 3 4 5 6 тц где i — минимальное число очков, выпавших на играль- ных костях; гц — количество экспериментов, в которых минимальное число очков на игральных костях оказалось равным г, i = 1,2,..., 6. Замечание. О выборе модели эксперимента и про- верке ее адекватности см. задачу 18.1. Указание. Чтобы предложить гипотетическое рас- пределение (в предположении, что игральные кости сим- метричны), найдите распределение случайной величины min{£,77}, где £, т) — число очков на игральных костях. Распределение функции = min{£,77} от случайной величины £ = (£,т?) по распределению можно найти, воспользовавшись формулой РЖ) е В} = Р{д(£, д)еВ} = р<(^> %) (относительно распределения функции от случайных ве- личин см. также гл. 5 и, в частности, пример 5.1.2). 18.5 (вероятность рождения мальчика). С 1871 по 1900 гг. в Швейцарии родились 1 359 671 мальчиков и 1285 086 девочек.
18.4. Задачи 349 Согласуется ли с этими данными гипотеза Hq: веро- ятность рождения мальчика равна: а) 0,5? б) 0,515? 18.6 (распределение а-частиц). В эксперименте Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество наблюда- лось в течение N = 2612 интервалов времени (каждый длительностью 1/8 мин), для которых регистрировалось количество а-частиц, достигших счетчика. В таблице приведено количество Nk интервалов вре- мени, в течение которых наблюдалось к а-частиц. Об- щее количество частиц Т = ^2 к^к — Ю 132. Среднее их к количество, зарегистрированное за один интервал, равно Д = T/N = 10132/2612 = 3,879. к Nk к Nk 0 57 6 273 1 203 7 139 2 383 8 49 3 525 9 27 4 532 10 10 5 408 > 10 6 Всего 2612 Воспользовавшись критерием аЛ проверить гипотезу о пуассоновском распределении числа частиц, достигших счетчика, за интервал времени длительностью 1/8 мин. 18.7 (смышленость и материальные условия). В таблице приведены результаты обследования 697 школь- ников. Мальчики были упорядочены согласно IQ и в соответ- ствии с условиями их жизни дома. При этом использова- ны обозначения: А — очень способный, В — достаточно умный, С — имеет средние способности, D — недостаточ- но развит, Е — умственно отсталый. М атериальная обеспеченность Уровень смышлености Всего А В С D Е Хорошая 33 137 125 47 8 350 Плохая 21 127 129 61 9 347 Всего 54 264 254 108 17 697 Можно ли утверждать, что условия жизни (обеспе- ченность) детей влияют на их смышленость?
350 Глава 18. Критерий %2 Замечание. IQ — Intellectual quality (умственные способности) — показатель умственных способностей шко- льников в баллах, используемый в американской педаго- гической практике. 18.8 . Имеется три монеты: одна стоимостью 1 коп. и две — стоимостью 10 коп. Стохастический эксперимент состоит в выборе наудачу одной из монет (с возвращени- ем) и регистрации количества шагов до первого появле- ния монеты стоимостью 10 коп., т. е. в регистрации числа появлений монеты стоимостью 1 коп. до первого появле- ния монеты стоимостью 10 коп. Предложить математическую модель этого стохасти- ческого эксперимента. Проверить ее адекватность экспе- рименту. Для этого получить выборку (достаточно боль- шого объема) и проверить, согласуется ли предложенная модель с результатами эксперимента — полученной вы- боркой. Результаты эксперимента удобно представить в виде 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Пг где i — количество шагов до первого появления моне- ты стоимостью 10 коп.; щ — количество экспериментов, в которых до появления монеты стоимостью 10 коп. было сделано г шагов. Замечание. О выборе модели стохастического экс- перимента и проверке ее адекватности эксперименту см. задачу 18.1. 18.9 . Четыре монеты были подброшены 20 160 раз, при этом комбинации: четыре герба, три герба и решетка, два герба и две решетки, один герб и три решетки, четыре решетки — появились соответственно такое число раз: 1181, 4909, 7583, 5085, 1402 (данные эксперимента, проведенного В. И. Романовским). Свидетельствуют ли эти данные о том, что количе- ство гербов, появившихся на четырех монетах, является биномиально распределенной случайной величиной? Сформулировать и решить поставленную задачу как задачу проверки статистических гипотез.
18.4. Задачи 351 18.10 (аромат сигарет). Менеджеры табачной фир- мы хотели бы знать, можно ли отправлять заказчикам си- гареты и трубочный табак в общей упаковке. (Если при этом качество сигарет не становится хуже, то можно су- щественно сократить затраты на транспортировку.) Для этого провели эксперимент. Изготовили 400 картонных коробок и в 250 из них положили табачные изделия обо- их типов, а в остальные — только сигареты. Через месяц коробки открыли и все 400 упаковок сигарет разложили в случайном порядке. Несколько экспертов анализирова- ли аромат сигарет, пытаясь обнаружить его отличие от начального. Результаты эксперимента приведены в таб- лице. Вывод относи- тельно аромата Тип упаковки Всего Общая Раздельная Не изменился 72 119 191 Изменился 178 31 209 Всего 250 150 400 Можно ли на основании этих данных утверждать, что связь между ароматом сигарет и типом упаковки отсут- ствует? 18.11 (эксперимент Сведеборга). В начале XIX столетия было открыто замечательное явление, получив- шее название броуновского движения (по имени англий- ского ботаника Р. Броуна, открывшего его). Это явление состоит в том, что мельчайшие частицы вещества, взве- шенные в жидкости, пребывают в хаотическом движении без видимых на то причин. Причины этого, казалось бы, самопроизвольного дви- жения долго не могли объяснить, пока кинетическая тео- рия газов не дала простого и исчерпывающего объясне- ния: движение взвешенных частиц является результатом ударов молекул жидкости по этим частицам. Кинетичес- кая теория дает возможность вычислить вероятность то- го, что в данном объеме жидкости не будет ни одной ча- стицы взвешенного вещества, таких частиц будет одна, две, три и т. д. Для проверки результатов теории был проведен ряд экспериментов.
352 Глава 18. Критерий %2 Далее приведены результаты эксперимента шведского физика Сведеборга. Эксперимент состоял в наблюдении и регистрации чис- ла мельчайших частиц золота, которые попали в поле зре- ния микроскопа через одинаковые промежутки времени. Было проведено 518 таких наблюдений. При этом бы- ли получены следующие результаты. г 0 1 2 3 4 5 6 7 8 и более Пг 112 168 130 69 32 5 1 1 0 В таблице i — количество частиц золота в поле зрения микроскопа; щ — количество наблюдений, когда в поле зрения микроскопа было зарегистрировано г частиц зо- лота. Проверить гипотезу о пуассоновском распределении числа частиц золота, наблюдавшихся в поле зрения мик- роскопа. 18.12 . В таблице приведены официальные данные шведской статистики за 1935 г. о распределении новорож- денных по месяцам. Месяц Девочки Всего детей Месяц Девочки Всего детей Январь 3537 7280 Июль 3621 7585 Февраль 3407 6957 Август 3596 7393 Март 3866 7883 Сентябрь 3491 7203 Апрель 3711 7884 Октябрь 3391 6903 Май 3775 7892 Ноябрь 3160 6552 Июнь 3665 7609 Декабрь 3371 7132 Всего 42 591 88 273 Свидетельствуют ли эти данные о том, что в каждом месяце в течение года дети рождаются одинаково часто? Девочки рождаются одинаково часто? Мальчики рожда- ются одинаково часто? 18.13 (непредвзятость экспериментатора). Каж- дую из 150 спичек разломайте наудачу на две части. Ли- нейкой с миллиметровым делением измерьте с точностью до десятых долей миллиметра длину 300 полученных ча- стей. При этом придется оценивать первый знак после
18.4. Задачи 353 запятой в десятичной записи длины части спички в мил- лиметрах. Зафиксируйте этот знак (последнюю цифру записи). Результаты измерений удобно представить в таком ви- де: i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tli где i — последняя цифра в записи результата измерений длины части спички, i = 0,1,..., 9; щ — число появлений последней цифры i в измерениях. Проверьте с помощью критерия х2 непредвзятость ва- ших измерений. Замечание. Предвзятость при снятии показаний встречается достаточно часто. Сомнительно, чтобы бы- ла какая-то объективная причина, обуславливающая бо- лее частое появление одних цифр по сравнению с други- ми; поэтому естественно предположить, что неодинако- вая частота появления цифр указывает на предвзятость наблюдателя. Даже те наблюдатели, которые знают о возможности предвзятости и о необходимости осторож- ности при снятии показаний, все-таки не всегда могут избежать ее. 18.14 (ошибочное соединение телефонных но- меров). В таблице приведены данные о количестве оши- бочных соединений телефонных номеров. Всего наблюда- лось 267 номеров. к пк к пк к пк 0 0 6 22 12 18 1 1 7 43 13 12 2 0 8 31 14 7 3 5 9 40 15 6 4 11 10 35 16 2 5 14 11 20 Всего 267 Здесь к — количество ошибочных соединений; — чис- ло номеров, для которых было зафиксировано точно к ошибочных соединений, к = 0,1,..., 16. Проверить гипотезу о пуассоновском распределении количества ошибочных соединений.
354 Глава 18. Критерий %2 18.15 (цвет волос и цвет глаз). В таблице приве- дены данные о 147 наудачу выбранных студентах, кото- рые были распределены согласно цвету их волос (свет- лые, темные) и глаз (голубые, карие). Цвет волос Цвет глаз Всего Голубые Карие Темные 31 41 72 Светлые 40 35 75 Всего 71 76 147 Можно ли на основании этих данных сделать вывод о том, что цвет глаз связан с цветом волос? 18.16 (предвзятость наблюдателя). Перед датчи- ком, состоящим из круглого диска, разделенного на 10 одинаковых секторов, занумерованных от 0 до 9, поста- вили наблюдателя. Диск вращался с большой скоростью. Время от времени перед ним вспыхивала электрическая лампочка на столь короткое время, что диск казался непо- движным. Наблюдатель должен был смотреть на диск и записывать номер того сектора, который в момент вспыш- ки лампочки находился напротив фиксированного указа- теля. Прибор предназначался для получения случайных чи- сел и в самом деле их выдавал, когда в эксперименте участвовал другой наблюдатель. Однако наблюдатель, о котором шла речь выше, снимал показания с заметной предвзятостью. Частоты появления цифр в 10 000 выполненных ним наблюдениях приведены в таблице (в таблице частота цифры — количество ее появлений в 10 000 наблюдени- ях). Проверить, свидетельствуют ли эти данные о пред- взятости наблюдателя. Цифра Частота Цифра Частота 0 1083 5 1007 1 865 6 1081 2 1053 7 997 3 884 8 1025 4 1057 9 948 Всего 10 000
18.4. Задачи 355 Замечание. Если бы наблюдатель был непредвзя- тым, то цифры появлялись бы приблизительно с одина- ковой частотой. Из таблицы, однако, видно, что он имел пристрастие к четным цифрам и предубеждение против нечетных цифр 1, 3 и 9. Причина такого поведения и предвзятости непонятна и загадочна, поскольку наблю- датель не должен был давать оценку, а должен только записывать то, что видит, или думал, что видит. Объ- яснение, по-видимому, состоит в том, что наблюдатель отдавал значительное предпочтение некоторым цифрам, при этом фиксировал не те из них, которые в момент вспышки лампочки в самом деле видел напротив указа- теля. Здесь мы имеем дело с одной из чрезвычайно силь- ных форм психологического пристрастия. 18.17 . Рассматривается стохастический эксперимент, состоящий в подбрасывании четырех монет и регистра- ции количества выпавших гербов. Предложите матема- тическую модель этого эксперимента. Проверьте ее адек- ватность эксперименту. Для этого проведите эксперимент « 2 достаточное число раз и воспользуйтесь критерием х . Результаты подбрасываний четырех монет удобно пред- ставить в виде таблицы: i 0 1 2 3 4 где i — количество гербов, выпавших на четырех моне- тах; щ — количество экспериментов, в которых выпало i гербов. Замечание. О выборе модели стохастического экс- перимента и проверке ее адекватности эксперименту см. задачу 18.1. 18.18 (перестройка хромосом в клетке). Рент- геновское облучение вызывает в органических клетках определенные процессы, которые будем называть пере- стройкой хромосом. Число перестроек хромосом в клет- ке согласно теории должно подчиняться распределению Пуассона. В эксперименте подсчитывали количество пе- рестроек хромосом под действием рентгеновских лучей. Результаты эксперимента оказались следующими. i 0 1 2 3 4 и более Всего 434 195 44 9 0 682
356 Глава 18. Критерий %2 Здесь i — количество изменений в клетке; тц — количе- ство клеток, в которых произошло i изменений. Согласуется ли с приведенными данными гипотеза о пуассоновском распределении числа перестроек? 18.19 (глухонемота и пол). При переписи населе- ния Англии и Уэльса в 1901 г. было зарегистрировано (с точностью до тысяч) 15 729 000 мужчин и 16 799 000 женщин, из них 3497 мужчин и 3072 женщин глухоне- мые от рождения. Проверить гипотезу о том, что глухонемота не связана с полом. 18.20 (случайно и произвольно). Случайно не оз- начает произвольно: случайность подчиняется своим стро- гим законам. Например, на первый взгляд кажется, что предложить случайную последовательность цифр просто. Однако на самом деле это могут сделать немногие люди. Последовательность случайных цифр должна удовлетво- рять ряду требований случайности. В частности, от та- кой последовательности естественно потребовать, чтобы появление цифр 0,1,..., 9 было равновероятным. Проверьте свои способности, а именно: выпишите слу- чайную (с вашей точки зрения) последовательность: 1) из 150 “четырехзначных” чисел (нуль может занимать пер- вое место слева, как и любая другая цифра); 2) из 600 цифр. Проверьте с помощью критерия х2, действитель- но ли в предложенных вами последовательностях цифры 0,1,..., 9 встречаются с вероятностью 1/10. Сравните результаты этих экспериментов. Примечание. Выписывая последовательность, не просматривайте и не используйте каким либо иным спо- собом уже выписанную часть последовательности: каж- дое следующее число (каждую следующую цифру) выпи- сывайте так, как будто вы его (ее) пишете впервые, как будто до этого ничего не выписывалось. Замечание. Встречаются люди, у которых психо- логические процессы настолько хорошо сбалансированы, что они могут получать случайные выборки. Обычно та- кие лица считают себя чрезвычайно одаренными. См. так- же замечание к задаче 18.17. 18.21 . Стохастический эксперимент состоит в после- довательном подбрасывании монеты четыре раза и ре-
18.4. Задачи 357 гистрации результатов следующим образом: выпадение герба (Г) обозначается единицей, а решетки (Р) — нулем. Так что, выпадение, например, ГРРГ регистрируется как 1001. Рассмотрим эти последовательности из нулей и еди- ниц как запись чисел в двоичной системе исчисления, т. е. 1001 — это запись в двоичной системе исчисления девят- ки. Будем фиксировать только числа, меньшие 10. Результаты эксперимента удобно представить в виде таблицы: i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 тц где щ — количество экспериментов, в которых было за- регистрировано число i. Можно ли считать появление цифр 0,1, 2,..., 9 в опи- санном эксперименте равновероятным? Дать ответ в терминах проверки статистических гипо- тез. Для этого предложить математическую модель сто- хастического эксперимента, провести его достаточное чис- 9 ло раз и, воспользовавшись критерием х , проверить адек- ватность модели эксперименту. 18.22 (умственные способности и качество одеж- ды). В таблице приведены данные (полученные Гилби) о 1725 учениках, классифицированных в соответствии с: 1) качеством их одежды; 2) умственными способностями. При этом для характеристики умственных способностей использована следующая градация: А — умственно отста- лый; В — медлительный и недостаточно развитый; С — недостаточно развитый; D — медлительный, но умный; Е — достаточно умный; F — явно способный; G — очень способный. Умствен- ные спо- собности Качество одежды Всего Очень хорошее Хорошее Снос- ное Очень плохое А и В 33 41 39 17 130 С 48 100 58 13 219 D 113 202 70 22 407 Е 209 255 61 10 535 F 194 138 33 10 375 G 39 15 4 1 59 Всего 636 751 265 73 1725
358 Глава 18. Критерий %2 Можно ли на основании этих данных сделать вывод, что качество одежды учеников и их умственные способ- ности — независимые признаки? 18.23 (бактерии в чашке Петри). В чашке Пет- ри наблюдаются колонии бактерий. Под микроскопом их видно как темные пятнышки. Чашка Петри (ее дно) раз- делена на маленькие квадраты, в каждом из которых подсчитывается количество колоний (пятнышек). Резуль- таты наблюдений приведены в таблице: к 0 1 2 3 4 5 6 7 Пк 5 19 26 26 21 13 8 0 где к — количество колоний в квадрате; — количество квадратов с к колониями. Проверить гипотезу о пуассоновском распределении количества колоний на квадрат. 18.24 . В таблице приведены вероятности появления в тексте букв русского алфавита (включая пробел, он обо- значен черточкой). Вообще говоря, вероятности появления букв в тексте зависят от его характера, особенно это заметно в сти- хах. В качестве примера можно назвать стихотворение К. Д. Бальмонта “Камыши”: Полночной порою в болотной глуши Чуть слышно, бесшумно шуршат камыши ... Все построено на обыгрывании шипящих звуков “ч” и “ш”, поэтому частота их появления заметно выше приве- денных в таблице. - 0,175 и 0,062 Р 0,040 м 0,026 о 0,090 т 0,053 в 0,038 Д 0,025 е,ё 0,072 н 0,053 л 0,035 п 0,023 а 0,062 с 0,045 к 0,028 У 0,021 я 0,018 б 0,014 X 0,009 ц 0,004 и 0,016 г 0,013 ж 0,007 щ 0,003 3 0,016 ч 0,012 ю 0,006 э 0,003 ь,ъ 0,014 й 0,010 ш 0,006 0,002 Рассмотрите отрывок из поэмы А. С. Пушкина “Рус- лан и Людмила” от “У лукоморья дуб зеленый ...” до “... сказку эту теперь поведаю я свету”.
18.4. Задачи 359 Проверьте, согласуются ли в этом отрывке частоты появления букв с вероятностями, приведенными в табли- це. 18.25 . Стохастический эксперимент состоит в подсче- те числа появлений пары (1;1) на 100 пар, извлеченных из таблицы случайных чисел, например из табл. 22.10.1. Предложить математическую модель стохастического эксперимента. Проверить ее адекватность эксперименту. Для этого провести эксперимент достаточное число раз О и воспользоваться критерием х . Данные удобно представить в следующем виде: г 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Пг где i — число появлений пары (1; 1) на 100 пар, извлечен- ных из таблицы случайных чисел; щ — количество тех экспериментов, в которых пара (1;1) встречается г раз. Замечание. О выборе модели стохастического экс- перимента и проверке ее адекватности эксперименту см. задачу 18.1. 18.26 (селекция гороха Г. Менделем). В экспери- ментах по селекции гороха Г. Мендель наблюдал частоту появления различных видов семян (в этой задаче часто- та — количество семян определенного вида), полученных в результате скрещивания растений с круглыми желты- ми и морщинистыми зелеными семенами. Эти данные и значения теоретических вероятностей, определенные со- гласно теории наследственности Менделя, приведены в таблице. Вид семян Частота Вероятность Круглые желтые 315 9/16 Морщинистые желтые 101 3/16 Круглые зеленые 108 3/16 Морщинистые зеленые 32 1/16 Всего 556 1 Согласуются ли вероятности, полученные согласно те- ории Менделя, с приведенными экспериментальными дан- ными?
360 Глава 18. Критерий х2 18.27 (смышленость и качество питания). В со- циальном обозрении (Пирсон и Моул, 1925) 618 мальчи- ков были классифицированы согласно уровню их смыш- лености и качеству питания. Результаты обследований приведены в таблице. При этом использованы обозначения: А — очень способный, В — способный, С — смышленый, D — недостаточно смыш- леный, Е — медлительный, F — очень медлительный. Качество питания Уровень смышлености Всего А В С D Е F Хорошее 9 27 60 63 24 5 188 Посредственное 5 41 126 120 36 6 334 Плохое 5 12 38 32 8 1 96 Всего 19 80 224 215 68 12 618 Существует ли связь между качеством питания детей и их смышленостью? 18.28 (автомобильные номера). Стохастический эксперимент состоит в фиксировании цифр числовой ча- сти номеров автомобилей, проезжающих мимо наблюда- теля. Относительно появления цифр выдвигается вполне естественная гипотеза: цифры в автомобильных номерах встречаются одинаково часто (вероятность появления цифр в автомобильных номерах одинакова). С целью проверки выдвинутой гипотезы, зарегистри- руйте числовую часть номеров 40—50 автомобилей, про- езжающих мимо вас (почему этого будет достаточно?) и воспользуйтесь критерием х2- Данные удобно предста- вить в следующем виде: i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 где гц — количество появлений цифры i в числовых ча- стях автомобильных номеров. 18.29 . Во время Второй мировой войны на Лондон упало 537 самолетов-снарядов. Всю территорию Лондо- на разбили на 576 участков площадью 0,25 км2. Ниже приведено количество участков, на которые упало i снарядов.
18.4. Задачи 361 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 и более Всего Vi 229 211 93 35 7 0 0 1 0 576 Воспользовавшись критерием х2> проверить гипоте- зу о пуассоновском распределении количества самолетов- снарядов, упавших на участок. 18.30 . Одновременно подбрасывают 12 игральных ко- стей и регистрируют значение случайной величины £ — количества костей, на которых выпало число очков боль- шее 3. Данные 4096 экспериментов приведены в таблице. г Пг i Пг 0 0 7 847 1 7 8 536 2 60 9 257 3 198 10 71 4 430 11 11 5 731 12 0 6 948 Всего 4096 Здесь i — значение случайной величины гц — коли- чество экспериментов, в которых случайная величина £ приняла значение г, г = 0, 1,..., 12. Проверить гипотезу о биномиальном распределении случайной величины £. 18.31 (цвет волос и цвет бровей). В таблице при- ведено распределение цвета волос и цвета бровей у 46 542 шведских призывников. Цвет бровей Цвет волос Всего Светлые или рыжие Темные Светлые или рыжие Темные 30472 3364 3238 9468 33 710 12 832 Всего 33836 12 706 46 542 Свидетельствуют ли эти данные о связи между цве- том волос и цветом бровей? 18.32 . В таблице приведены длины интервалов меж- ду последовательными импульсами вдоль нервного во- локна (единица измерения 1/50 с), полученные доктором П.Фетом и профессором Б.Кацу (Лондонский универси- тет).
362 Глава 18. Критерий х2 3,0 25,5 5,5 47,0 14,5 36,5 18,0 7,0 27,5 14,0 2,0 0,5 2,5 3,5 5,5 19,0 10,5 24,5 19,0 19,0 0,5 3,0 6,5 3,0 0,5 8,0 2,5 5,0 8,0 3,0 3,0 3,0 5,5 22,0 2,5 4,5 2,0 13,5 25,0 12,5 12,5 4,0 0,5 35,0 2,0 4,0 8,0 19,0 4,0 16,0 19,5 29,0 28,0 37,0 7,5 13,0 12,5 8,5 32,5 30,5 7,5 13,0 1,5 2,5 17,0 3,5 5,0 4,5 1,0 15,0 Проверить гипотезу о: а) нормальном распределении; б) равномерном распределении длины интервала между импульсами. 18.33 . Последовательно дважды подбрасывают пару монет и регистрируют число £ выпавших гербов на паре монет при первом подбрасывании и т] — при втором, т. е. регистрируют значение случайной величины £ = (£,??). Предложить математическую модель этого стохасти- ческого эксперимента. Проверить ее адекватность экспе- рименту. С этой целью провести эксперимент достаточ- 9 ное число раз и воспользоваться критерием х • Результаты подбрасываний удобно представить в виде следующей таблицы: Значе- НИЯ £ Значения ту Сумма 0 1 2 0 ^00 ^01 ^02 ^0 1 ^12 2 ^20 ^21 V22 V2 Сумма ^0 И У 2 п Здесь Vij — количество экспериментов, в которых слу- чайная величина Q = (^rf) приняла значение (г, j), 2 2 j=0 г=0 2 2 i, j = 0,1,2, n = ^2 52 г=0 j=0 Замечание. Относительно выбора модели стохасти- ческого эксперимента и проверки ее адекватности экспе- рименту см. задачу 18.1.
18.4. Задачи 363 18.34 . В таблице приведены данные о 1426 заключен- ных, классифицированных по отношению к алкогольной зависимости (алкоголик, не алкоголик) и характеру пре- ступлений, за которые их осудили (данные Горинга, цити- рованные К. Пирсоном). Столбцы таблицы упорядочены в соответствии с “интеллектуальностью” вида преступле- ния, хотя это упорядочение довольно условное. Вид преступления Алкоголики Не алкоголики Всего Поджог 50 43 93 Изнасилование 88 62 150 Насильственные действия 155 ПО 265 Воровство 379 300 679 Изготовление фальшивых денег 18 14 32 Мошенничество 63 144 207 Всего 753 673 1426 Можно ли на основании этих данных сделать вывод о наличии связи между алкоголизмом и характером пре- ступления? 18.35 (заряд электрона). В таблице приведены 58 значений величины е, найденных Р. Милликеном при опре- делении заряда электрона, который равен е • 10“10 ед. сгс. 1 4,740 13 4,769 25 4,778 37 4,788 49 4,795 2 4,747 14 4,771 26 4,779 38 4,788 50 4,797 3 4,749 15 4,771 27 4,779 39 4,789 51 4,799 4 4,758 16 4,772 28 4,779 40 4,789 52 4,799 5 4,761 17 4,772 29 4,781 41 4,790 53 4,801 6 4,764 18 4,772 30 4,781 42 4,790 54 4,805 7 4,764 19 4,774 31 4,782 43 4,790 55 4,806 8 4,764 20 4,775 32 4,783 44 4,791 56 4,808 9 4,765 21 4,775 33 4,783 45 4,791 57 4,809 10 4,767 22 4,776 34 4,785 46 4,791 58 4,810 11 4,768 23 4,777 35 4,785 47 4,792 12 4,769 24 4,777 36 4,785 48 4,792 Проверить гипотезу о нормальном распределении ре- зультатов измерений величины е при определении заряда электрона.
364 Глава 18. Критерий %2 18.36 . Последовательно дважды подбрасывают пару монет и регистрируют число £ выпавших гербов при пер- вом подбрасывании и максимальное число т) гербов вы- павших при первом и втором подбрасываниях, т. е. реги- стрируют значение случайной величины £ = (£,??). Предложить математическую модель этого стохасти- ческого эксперимента. Адекватно ли описывает его пред- ложенная модель? Являются ли случайные величины £ и г) независимыми? Дать ответ на вопрос об адекватности модели в тер- минах проверки статистических гипотез. Для этого про- вести стохастический эксперимент достаточное число раз и воспользоваться критерием х2 * *- Данные удобно предста- вить в виде таблицы. Значе- НИЯ £ Значения ту Сумма 0 1 2 0 ^00 ^01 ^02 1 ^10 I'll ^12 V\- 2 ^20 1^21 V22 V2. Сумма ^•0 ^1 У 2 п Здесь Vij — количество экспериментов, в которых слу- чайная величина Q = (£,rf) приняла значение (г, j), г, j = = 0,1,2; 2 2 Pj. = v-j = j=0 г=0 2 2 i,j = 0,1,2; n = г=0 j=0 Замечание!.О выборе математической модели сто- хастического эксперимента и проверке ее адекватности см. задачу 18.1. Замечание 2. Распределение функции случай- ной величины £ = (£,т?) (в частности, функции д(£) = = — (^maxR?7?})) п0 распределению Q можно
18.4. Задачи 365 найти, воспользовавшись соотношением Р{д(Я,‘П) = {х, у)} = 18.37 (о телепатах). В Гарвардском университете, университете Дюка и других университетах при провер- ке способностей телепатов “читать” мысли, в частности, ставились эксперименты по чтению цифр 0,1,..., 9. Проведите аналогичный эксперимент. Наудачу заду- майте цифру: 0,1,..., 9 и зафиксируйте результат. Теле- пат читает задуманную вами цифру и также фиксиру- ет результат. Эксперимент проводится достаточное коли- чество раз. Если телепат в самом деле обладает способ- ностями читать мысли, то доля правильно прочитанных цифр: нуль читается как нуль, единица — как единица, и т. д., девятка — как девятка, т. е. доля успехов будет боль- шой (успех — правильно прочитанная цифра, неудача — неправильно прочитанная). По результатам проведенного эксперимента сделать вывод относительно способностей телепата читать мысли на расстоянии. Указание. Для чистоты эксперимента, задумывая цифры 0,1,..., 9, пользуйтесь таблицей случайных чи- сел. 18.38 (несчастные случаи с водителями авто- бусов). Частотное распределение 166 водителей лондон- ских автобусов в соответствии с количеством несчастных случаев, случившихся с ними в течение одного года, при- ведено в таблице. i Пг i Пг 0 1 2 3 4 5 45 36 40 19 12 8 6 7 8 9 10 и более 3 2 1 0 0 Всего 166 Здесь i — число несчастных случаев; щ — количество водителей, с которыми случилось i несчастных случаев, i = 0,1,...
366 Глава 18. Критерий х2 Можно ли считать, что количество несчастных слу- чаев, случившихся при участии водителя в течение года, подчиняется распределению Пуассона? 18.39 (пирожные и бактериальные колонии). В таблице приведены данные о колониях бактерий, со- держащихся в трех видах пирожных (данные А. Абра- хамсона). Можно ли утверждать, что существует зависимость между видами пирожных и размерами бактериальных колоний, содержащихся в них? Вид пирожных Размеры колонии Всего Малые Средние Большие Эклер 92 37 46 175 Наполеон 53 15 19 87 Ореховое 75 19 12 106 Всего 220 71 77 368 Ответ дать в терминах проверки статистических ги- потез. 18.40 (момент последнего уравнивания). Сим- метричную монету подбрасывают четыре раза и реги- стрируют значение случайной величины — момент, когда в последний раз количество гербов сравняется с количе- ством решеток (момент последнего уравнивания), этими моментами в эксперименте являются 0; 2; 4. Относительно момента последнего уравнивания вы- двигается гипотеза: распределением момента последнего уравнивания является 0 2 4 \ 3/8 2/8 3/8 ) (дискретное распределение арксинуса порядка 2). Проверить выдвинутую гипотезу. Для этого получить выборку момента последнего уравнивания (достаточного объема) и воспользоваться критерием х2- Результаты проведения экспериментов удобно пред- ставить в таком виде: i 0 2 4 Tli
18.4. Задачи 367 где i — момент последнего уравнивания; тц — количество наблюдений (экспериментов), в которых момент послед- него уравнивания оказался равным г. 18.41 (показания механических часов). Механи- ческие часы, выставленные в витринах часовых магази- нов, показывают случайное время. Выдвигается естествен- ная гипотеза: показания часов распределены равномерно на интервале [0;12). Результаты 1000 наблюдений приве- дены в таблице (интервал [0;12) разбит на 12 равных ча- стей: [г, г + 1), г = 0,1,..., 11). 1 Пг 1 Пг 0 1 2 3 4 5 77 81 95 86 98 90 6 7 8 9 10 11 73 70 77 82 84 87 Всего 1000 Здесь i — номер интервала от г-го часа до (г + 1)-го, i = = 0,1,..., 11; щ — количество часов, показания которых принадлежат г-му интервалу. Согласуется ли выдвинутая гипотеза с этими данны- ми? 18.42 (смышленость и сложение). В таблице при- ведены данные о степени смышлености учеников с атле- тическим сложением и с неатлетическим. Сложение ученика Степень смышлености Всего Высокая Низкая Атлетическое 581 567 1148 Неатлетическое 209 351 560 Всего 790 918 1708 Что можно сказать относительно связи между смыш- леностью учеников и их сложением? Ответ дать в терминах проверки статистических ги- потез. 18.43 . Данные о количестве трещин в стержне, об- наруженных при испытании 600 нейлоновых стержней, приведены в таблице
368 Глава 18. Критерий %2 i 0 1 2 3 4 5 6 и более Всего тц 275 207 81 23 8 6 0 600 где i — число трещин в стержне; щ — количество стерж- ней, в которых обнаружено i трещин. Проверить гипотезу о пуассоновском распределении количества трещин в стержне. 18.44 (эксперимент К. Пирсона). В результате 24 000 подбрасываний монеты К. Пирсон зарегистриро- вал 12012 случаев появления герба. Согласуется ли гипотеза о симметричности монеты с этими данными? 18.45 . В результате проверки 500 контейнеров со стек- лянными изделиями получены такие данные о количе- стве поврежденных изделий: 1 Пг г Пг 0 1 2 3 4 199 169 87 31 9 5 6 7 8 и более 3 1 1 0 Всего 500 где i — число поврежденных изделий; щ — количество контейнеров с г поврежденными изделиями, г = 0,1,... Можно ли считать, что количество поврежденных из- делий, приходящееся на контейнер, подчиняется распре- делению Пуассона? 18.46 . В таблице приведены значения толщины (в ми- крометрах) пластикового покрытия медной проволоки (в выборку вошли 225 бобин проволоки). Толщина Частота Толщина Частота 145 1 153 37 146 3 154 25 147 3 155 23 148 7 156 11 149 11 157 9 150 25 158 2 151 33 159 0 152 34 160 1 Можно ли на основании этих данных считать, что толщина покрытия проволоки имеет нормальное распре- деление?
18.4. Задачи 369 Замечание. В этой задаче частота — это количе- ство бобин проволоки, для которых была зарегистриро- вана данная толщина покрытия. 18.47 (возраст молодоженов и уровень их до- ходов). Проводилось обследование с целью обнаруже- ния связи между возрастом вступления в первый брак и уровнем доходов молодоженов. Результаты обследования (количество семейных пар) приведены в таблице. Уровень доходов Возраст молодоженов До 18 18-21 Старше 21 Низкий 45 25 15 Средний 35 60 25 Высокий 10 28 24 Свидетельствуют ли приведенные данные о наличии связи между возрастом вступления в первый брак и уров- нем доходов молодоженов? 18.48 . В эксперименте наблюдалась неотрицательная непрерывная случайная величина %. Для п = 48 наблюде- ний получены такие ее значения (упорядоченные и округ- ленные до 0,01): 0,01 0,04 0,17 0,18 0,22 0,25 0,25 0,29 0,42 0,46 0,47 0,56 0,59 0,67 0,70 0,72 0,76 0,78 0,83 0,85 0,87 0,93 1,00 1,01 1,01 1,02 1,03 1,05 1,32 1,34 1,37 1,47 1,50 1,52 1,54 1,58 1,71 1,90 2,10 2,35 2,46 2,46 2,50 3,73 4,07 6,03 6,21 7,02 Проверить гипотезу о том, что эти данные являются реализацией выборки из показательного распределения с параметром А = 1 (его функция распределения F(x) = = 1 — е-х, при х > 0). 18.49 (эксперимент Уэлдона). В одном из экспе- риментов с игральными костями Уэлдон подбросил кости 49 152 раз. При этом в 25 145 случаях выпали числа 4, 5 или 6. Согласуется ли с этими данными гипотеза о симмет- ричности костей? 18.50 . При обследовании coat-colour (масти) 1000 пар чистокровных скаковых лошадей mother (матерей) и dau- ghter (дочерей): black, brown, bay, chestnut, grey получены результаты, приведенные в таблице:
370 Глава 18. Критерий %2 Coat-colour of daughter Coat-colour of mother Всего Black Brown Bay Chestnut Grey Black 7 8 11 11 5 42 Brown 7 40 75 20 9 151 Bay 13 95 230 101 42 481 Chestnut 6 23 113 82 17 241 Grey 5 7 18 16 39 85 Всего 38 173 447 230 112 1000 Свидетельствуют ли эти данные о связи между coat- colour лошади-матери и лошади-дочери? 18.51 (острота зрения). В таблице приведены дан- ные об остроте зрения невооруженным глазом 3242 муж- чин в возрасте 30—39 лет — служащих Королевских ар- тиллерийских заводов Великобритании (1943 — 1946 гг.). Степень ост- роты зрения (правый глаз) Степень остроты зрения (левый глаз) Всего Высшая Вторая Третья Низшая Высшая 821 112 85 35 1053 Вторая 116 494 145 27 782 Третья 72 151 583 87 893 Низшая 43 34 106 331 514 Всего 1052 791 919 480 3242 Можно ли на основании этих данных сделать вывод о том, что острота зрения правого и левого глаз не связаны между собой? 18.52 (гипотеза Д’Аламбера). Стохастический экс- перимент состоит в подбрасывании пары симметричных монет. Замечательный французский ученый и математик Д’Аламбер считал, что события А — “обе монеты выпали гербом”, В — “обе монеты выпали решеткой”, С — “моне- ты выпали разными сторонами”, равновероятны и, следо- вательно, вероятность каждого из них равна 1/3. А впро- чем, и до Д’Аламбера и после него был известен правиль- ный подход к решению этой задачи: монеты необходимо различать. Для симметричных различимых монет каж- дому исходу ГГ, РР, ГР, РГ необходимо приписать веро- ятность 1 /4 (буква Г обозначает появление герба, буква Р — решетки). Тогда Р(А) = Р(ГГ) = 1/4, Р(В) = Р(РР) = 1/4,
18.4. Задачи 371 F(C) = F({FP, РГ}) = F(FP) + F(PF) = 1/4 + 1/4 = 1/2. Но, по-видимому, невозможно логически обосновать, по- чему не прав Д’Аламбер, считая, что события Л, В, С равновероятны. В физике элементарных частиц встреча- ются ситуации, в которых Д’Аламбер скорее прав, чем неправ. Рассмотрите две модели стохастического эксперимен- та, состоящего в подбрасывании двух монет. Модель 1° (гипотеза Д’Аламбера). Q* = {А, В, С}, Р(А) = Р(В) = Р(С) = | ООО (события Л, В, С определены выше). Модель 2°. Q = {ГГ,ГР,РГ,РР}, Р(ГГ) = 1 Р(ГР) = 1 Р(РГ) = 1 Р(РР) = 1 С целью проверки адекватности описания этими мо- делями стохастического эксперимента, проведите его до- статочное число раз и проверьте: 1. Адекватно ли описывается стохастический экспери- мент моделью 1° (согласуется ли гипотеза Д’Аламбера с результатами эксперимента)? 2. Адекватно ли описывается стохастический экспери- мент моделью 2°? Заметим, что, вообще говоря, для описания одного и того же стохастического эксперимента можно предло- жить не одну модель, которая адекватно его описывает, но из предложенных выше моделей одна заведомо не бу- дет адекватно описывать эксперимент, поскольку вероят- ности, например, события “монеты легли разными сторо- нами”, вычисленные в разных вероятностных простран- ствах, различны. Для проверки адекватности модели 1° будем фикси- ровать число подбрасываний, в которых обе монеты лег- ли гербом; обе — решеткой; монеты легли разными сто- ронами.
372 Глава 18. Критерий %2 Для проверки адекватности модели 2° будем реги- стрировать число подбрасываний, в которых обе монеты легли гербом; обе — решеткой; первая монета легла гер- бом, а вторая — решеткой; первая монета легла решеткой, а вторая — гербом. Результаты экспериментов удобно записывать в виде приведенных далее таблиц (первая таблица для провер- ки адекватности модели 1°, вторая — модели 2°), где, например, 7Vrp — количество подбрасываний из N про- веденных, в которых на первой монете выпал герб, на второй — решетка. А В С Na Nb Nc гг РР ГР РГ №г NPP №р Npr 18.53 (эксперимент Ж. Бюффона). В результа- те п = 4040 подбрасываний монеты Ж. Бюффон зареги- стрировал = 2048 случаев появления герба и = 1992 случаев появления решетки. Согласуется ли с этими данными гипотеза: вероят- ность выпадения герба равна 1/2? 18.54 (время ожидания). Рассматривается время ожидания четного числа в последовательности целых неот- рицательных случайных чисел, меньших 100. Другими словами, рассматривается случайная величина, равная количеству нечетных чисел между двумя последователь- ными (соседними) четными числами, меньшими 100. Предложить математическую модель (распределение) случайной величины — времени ожидания четного чис- ла. Проверить адекватность модели стохастическому экс- перименту. Воспользовавшись таблицей случайных чисел (табл. 22.10.1), получить выборку времени ожидания чет- ного числа (достаточного объема) и проверить, согласует- ся ли предложенная модель с результатом эксперимента — полученной выборкой. Результаты наблюдений удобно представить в виде: i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
18.4. Задачи 373 где i — время ожидания четного числа; тц — число на- блюдений, в которых время ожидания равно г. Замечание. О выборе модели стохастического экс- перимента и проверке ее адекватности эксперименту см. задачу 18.1. 18.55 (катастрофы на угольных шахтах). В таб- лице приведены интервалы (в днях, читать по строкам) между катастрофами на угольных шахтах Великобрита- нии с 1875 по 1951 г. (данные В. Мегью, Е. Пирсона и А. Винна). Maguire В. A., Pearson Е. S., Wynn А. Н. A. The time intervals between industrial accidents // Biometrika. 1952. Vol. 39. P. 168 - 180. Проверить гипотезу о показательном распределении интервалов между катастрофами. 378 36 15 31 215 11 137 4 15 72 96 124 50 120 203 176 55 93 59 315 59 61 1 13 189 345 20 81 286 114 108 188 233 28 22 61 78 99 326 275 54 217 113 32 23 151 361 312 354 58 275 78 17 1205 644 467 871 48 123 457 498 49 131 182 255 195 224 566 390 72 228 271 208 517 1613 54 326 1312 348 745 217 120 275 20 66 291 4 369 338 336 19 329 330 312 171 145 75 364 37 19 156 47 129 1630 29 217 7 18 1357 Примечание. Катастрофой считается ситуация, вле- кущая за собой гибель 10 и более человек. 18.56 (предвзятость экспериментатора). Количе- ство случаев появления последней цифры в результатах 1000 измерений, выполненных экспериментатором, при- ведено в таблице. Сомнительно, чтобы существовали объ- ективные факторы, обуславливающие более частое по- явление одних цифр по сравнению с другими; поэтому вполне естественно предположить, что отклонение от оди- наковой вероятности появления цифр свидетельствует о предвзятости экспериментатора. Свидетельствуют ли приведенные данные о предвзя- тости экспериментатора? Примечание. О предвзятости при измерениях см. замечание к задаче 18.12.
374 Глава 18. Критерий х2 к пк к пк 0 158 5 71 1 97 6 90 2 125 7 56 3 73 8 125 4 76 9 129 Всего 1000 В таблице к — последняя цифра в результатах измере- ний; rik — количество результатов измерений, в которых последней была цифра fc, к = 0,1,..., 9. 18.57 . Стохастический эксперимент из известной за- дачи Льюиса Кэррола (см. пример 4.1.2) состоит в по- следовательном извлечении из урны двух шаров. Мож- но предложить по меньшей мере две модели (два веро- ятностных пространства) этого стохастического экспери- мента (как и в примере 4.1.2, белый шар обозначим че- рез ТУ, черный — через В, белый шар, который положили в урну, пометим звездочкой и обозначим через ТУ*). Модель 1°. Q = {ТУТУ,ТУВ,ВТУ}, P(WW) = ±P(WB) = ±P(BW) = 1. ООО Модель 2°. Q = {WW*, W*W, W*B, BW*}, P(WW*) = ^,P(W*W) = ^,P(W*B) = = 1 Правдоподобные рассуждения (см. пример 4.1.2) скло- няют нас к мысли, что адекватной моделью стохастиче- ского эксперимента является модель 2°. Но так ли это на самом деле? Проведите стохастический эксперимент достаточное число раз и проверьте: 1. Адекватно ли описывается стохастический экспери- мент моделью 1°? 2. Адекватно ли описывается стохастический экспери- мент моделью 2°?
18.4. Задачи 375 Заметим, что хотя для одного и того же эксперимен- та можно предложить не одну модель, которая адекватно его описывает, но для данного стохастического экспери- мента по меньшей мере одна из моделей не будет адекват- ной эксперименту уже хотя бы потому, что вероятности одного и того же события, вычисленные в различных ве- роятностных пространствах, разные (см. пример 4.1.2). Стохастический эксперимент будем проводить следу- ющим образом. Возьмем две урны: вспомогательную и основную. Во вспомогательной находятся два шара: бе- лый и черный. Из вспомогательной урны наудачу выбе- рем один из шаров и переложим в основную, не регистри- руя результат. Таким образом, в основной урне находит- ся белый шар (с вероятностью 1/2) или черный. Далее в основную урну кладем белый шар, его при проверке адекватности модели 2 пометим звездочкой. И наконец, из основной урны последовательно извлекаем оба шара, фиксируя результат эксперимента: WW, WB, BW — в случае проверки адекватности модели 1° и WW*,W*W,W*B,BW* — в случае проверки адекватности модели 2°. Данные экспериментов удобно записать в виде таблиц (первая — для проверки адекватности модели 1°, вторая — модели 2°), где, например, Nww — количество экс- периментов из N проведенных, в которых исходом была пара WW. WW WB BW Nww Nwb Nbw WW* W*W W*B BW* Nww* Nw*w Nw*b Nbw* 18.58. Подбрасывают пару монет и игральную кость, при этом £ — число выпавших гербов на паре монет, т] — число выпавших очков на игральной кости, £ = (£, в) — случайная величина со значениями в R2, где в = /{2,4,6} (^7)
376 Глава 18. Критерий х2 Проверить гипотезу о независимости компонент слу- чайной величины £ = (£, 0). С этой целью подбросить монеты и игральную кость достаточное число раз и вос- 9 пользоваться критерием х • Результаты наблюдений удобно представить в виде таблицы: ________________________ Значе- НИЯ £ Значения 0 Сумма 0 1 0 ^00 ^01 ^0 1 У11 2 ^20 ^21 V2 Сумма ^0 И п где Vij — количество подбрасываний, в которых случай- ная величина Q = (£, в) приняла значение (z,j), г = 0,1, 2; 3= 0,1; 1 2 Щ = v j — — 0,1, 2; j’ = 0,1. 7=0 г=0 Замечание. О выборе модели стохастического экс- перимента и проверке ее адекватности см. задачу 18.1. 18.59 (телепатия и карты Зеннера). Начиная с двадцатых годов XX столетия в Гарвардском универси- тете, университете Дюка и других университетах финан- сируются экспериментальные исследования по телепатии (“чтении” мыслей на расстоянии), в которых, в частно- сти, используются так называемые карты Зеннера, на ко- торых изображены пять символов: окружность, квадрат, плюс, три волнистые линии, звезда (рис. 18.4.1). С помощью карт Зеннера проверить способности теле- пата “читать” мысли на расстоянии. С этой целью прове- сти следующий эксперимент. Из колоды карт Зеннера вы наудачу выбираете одну и фиксируете результат. Телепат читает выбранную вами карту и также фиксирует резуль- тат. Эксперимент проводится достаточное число раз.
18.4. Задачи 377 Если телепат в самом деле читает мысли, то частота правильно прочитанных символов (окружность читается как окружность, квадрат — как квадрат, и т. д.), т. е. частота успехов будет большой (успех — правильно про- читанный символ, неудача — неправильно прочитанный символ). По результатам проведенного эксперимента сделать вывод относительно способности телепата читать мысли на расстоянии. Рис. 18.4.1: Карты Зеннера Указание 1. Сформулировать задачу проверки спо- собностей телепата читать мысли на расстоянии как зада- чу проверки статистических гипотез. В качестве нулевой рассмотреть гипотезу: телепат мысли не читает. Восполь- 9 зоваться критерием х . Указание 2. Проверить телепатические способно- сти своего товарища, знакомого (попросить прочитать ва- ши мысли). 18.60. Симметричную монету подбрасывают до пер- вого появления герба и регистрируют количество /л ре- шеток, которые при этом выпали (количество шагов до первого появления герба). Предложите математическую модель этого стохасти- ческого эксперимента. Проверьте ее адекватность экспе- рименту. Для этого проведите эксперимент достаточное « 9 число раз и воспользуйтесь критерием х • 18.61. Подбрасывают пару монет и регистрируют со- бытие: “на обоих монетах выпал герб”. Предложите математическую модель этого стохасти- ческого эксперимента. Проверьте ее адекватность экспе- рименту. Для этого проведите эксперимент достаточное « 9 число раз и воспользуйтесь критерием х •
378 Глава 18. Критерий %2 18.62. Ниже приведены моменты прибытия пациен- тов на пункт скорой помощи (Оксфорд, данные А. Бар- роу) в феврале, марте, апреле, мае 1963 г. 4 февраля 11.00 17 марта 11.05 29 апреля 18.45 17.00 20 марта 16.00 4 мая 16.30 8 февраля 23.15 22 марта 19.00 6 мая 22.00 11 февраля 10.00 24 марта 17.45 7 мая 8.45 16 февраля 12.00 20.20 11 мая 19.15 18 февраля 8.45 21.00 13 мая 15.30 16.00 28 марта 12.00 14 мая 12.00 20 февраля 10.00 12.00 18.15 15.30 30 марта 18.00 16 мая 14.00 21 февраля 20.20 2 апреля 22.00 18 мая 13.00 25 февраля 4.00 22.00 19 мая 23.00 12.00 6 апреля 22.05 20 мая 19.05 28 февраля 2.20 9 апреля 12.45 22 мая 22.00 1 марта 12.00 19.30 23 мая 10.05 3 марта 5.30 10 апреля 18.45 12.30 7 марта 7.30 11 апреля 16.15 24 мая 18.15 12.00 15 апреля 16.00 25 мая 21.05 9 марта 16.00 16 апреля 20.30 28 мая 21.00 15 марта 16.00 23 апреля 23.40 30 мая 0.30 16 марта 1.30 28 апреля 20.20 Можно ли на основании этих данных заключить, что момент прибытия пациента распределен равномерно в те- чение суток? Если нет, предложите свои варианты рас- пределений момента прибытия пациента. 18.63. Проверить гипотезу о показательном распреде- лении длины интервала времени между прибытием паци- ентов на пункт скорой помощи (см. задачу 18.62).
Глава 19 Непараметрические критерии 19.1 Критерий Колмогорова Постановка задачи. Пусть £(о>) = (£i(<^), £2(^)5 • • • , — реализация выборки £ = (£i,$2? • • • из неизвестного непрерывного распределения F. Относитель- но F выдвигается гипотеза Hq: F = G или, что то же, £ — (Сь&а, • • • >£п) — выборка из G, где G — полностью определенное непрерывное распределение. Необходимо проверить гипотезу Но, т- е- п0 реализа- ци выборки £ = (£i,£2> • • • >£п) сделать вывод: отклонять гипотезу Но или не отклонять. Статистика Колмогорова. Для проверки гипотезы Hq: F = G естественно ввести уклонение D(Fn,G) эм- пирического распределения Fn, построенного по выбор- ке £ = (^1,^2, • • • ,Сп), от гипотетического G (см. гл. 18). А. Н. Колмогоров в качестве уклонения эмпирического распределения Fn, построенного по выборке £ = (£1, £2, • • • ... ,£п), от гипотетического G предложил рассматривать D(Fn,G) = sup Ig(^) - Fn(^)| • X I I Так введенное уклонение при верной гипотезе Но, т.е. ко- 379
380 Глава 19. Непараметрические критерии гда F = G, принимает значения Dn = D(Fn, F) = sup |г(ж) X I А (я) | и является малым по сравнению с уклонением D(Fn,G), когда распределение G отлично от F (более того, Dn = = D(FniF) — минимально возможное уклонение). По- следнее вполне естественно, поскольку для каждого фик- сированного х эмпирическая функция распределения Fn(x) является несмещенной и состоятельной оценкой F(x). К тому же распределение минимально возможного уклонения Dn эмпирического распределения от гипоте- тического, во-первых, не зависит от F (одно и то же для всех непрерывных F) и, во-вторых, при больших п в ка- честве распределения нормированного минимально воз- можного уклонения можно рассматривать распределение Колмогорова, его функция распределения +оо К(Х) = (-l)feexp{-2Аг2А2}. k=—оо Последнее следует из теоремы Колмогорова: Теорема. Пусть £i,£25---5£n ~ выборка из непре- рывного распределения F, Fn(x) — эмпирическая функ- ция распределения, построенная по выборке £1, £2? • • • > тогда limP f sup |к(а;) - F„U)| /^= < л) = F(A), А > 0. га I х I I / у/П I Так что при верной гипотезе Н$\ F = G уклонение D(Fn,G) = sup |(ЭД - Fn(#)| = sup\f(x) - Fn(x) X I I X I
19.1. Критерий Колмогорова 381 малое, в противном случае — большое. Поэтому, прове- ряя гипотезу Hq, ее естественно отклонять, если D(Fn, G) приняло большое значение, и не отклонять в противном случае. Границы £а;п, отделяющие большие значения укло- нения D(Fn,G) от малых, находят по известному рас- пределению минимально возможного уклонения Dn = = D(Fn,F) эмпирического распределения от гипотети- ческого. А именно, еа-п находится как верхний о-предел (критическое значение) распределения уклонения D(Fn,F) = sup\F(x) X I т. e. как наименьшее s, для которого Значения еа-п для заданных а (уровня значимости) и п (объема выборки) приведены в табл. 22.7.1. При больших п (п > 100), в качестве рассматривается Ха/\/п, т. е. _ Ха £а,п — \Jn где Аа — верхний о-предел распределения Колмогорова, т. е. Ха — корень уравнения К{ [Аа, +оо)) = а. Критерий Колмогорова. Пусть £ = (£1,^2, ... , £п) — выборка из непрерывного распределения F. Если гипо- тезу Hq: £ = (^1,^2, • • • ,Сп) является выборкой из рас- пределения G отклонять при D(Fn, G) = sup С(ж) - Fn(ж) > Ea.n X I I и не отклонять в противном случае, то с вероятно- стью, не превосходящей а, гипотезу Hq будем откло- нять, когда она верна. Замечание. Критерием Колмогорова можно поль- зоваться только тогда, когда гипотетическое распределе- ние G полностью определено и непрерывно.
382 Глава 19. Непараметрические критерии Пример 19.1.1 Воспользовавшись таблицей случай- ных чисел (табл. 22.10.1), получить выборку объемом 10 из стандартного нормального распределения (нормаль- ного распределения с параметрами (0; 1)). С помощью критерия Колмогорова проверить, дей- ствительно ли эта выборка получена из указанного рас- пределения. Решение. Если г) — случайная величина, равномер- но распределенная на промежутке [0;1] и F(x) — воз- растающая непрерывная функция распределения, то слу- чайная величина £, определенная равенством имеет своей функцией распределения F(x). В самом деле, F5(rr) = F{£ < ж} = Р{Р-1(?7) < ж} = = P{7?<F(x)} = Fn(F(x)) = F(x). Это утверждение дает возможность по выборке п = — (ш? ^2? • • • > ?7п) из равномерного на промежутке [0;1] распределения строить выборку £ = (£i, £2, • • •,£п) из дан- ного распределения F, а именно: Ci = F-1(7?i), г = 1,2,... ,тг, — выборка из распределения F. В частности, если в качес- тве F(x) рассмотреть функцию стандартного нормально- го распределения М);1(ж) = —ОО ТО £г — ^0;1 (%)’ = 1? 2, . . . , П, будет выборкой из Nq-i. Выборку из равномерного на промежутке [0;1] рас- пределения можно получить, воспользовавшись таблицей случайных чисел (табл. 22.10.1) (см. также задачу 19.4).
19.1. Критерий Колмогорова 383 Из табл. 22.10.1 выберем 10 чисел (для определенно- сти — четырехзначных). Выбор можно начинать с лю- бого места таблицы (скажем, с верхнего правого угла) и продолжать любым оговоренным наперед способом. На- пример, двигаясь по диагонали, получим 1009 5420 2689 2529 7080 3407 5718 1656 7048 7835 Числа 0,1009 0,5420 0,2689 0,2529 0,7080 0,3407 0,5718 0,1656 0,7048 0,7835 из промежутка [0;1] можно рассматривать как реализа- цию выборки 771,772, ••• из равномерного на проме- жутке [0; 1] распределения. По значениям гц, i = 1,2,..., ..., 10, пользуясь тем, что функция Nq-i(ж) табулирована (табл. 22.1.1), получим реализацию выборки из стандарт- ного нормального распределения как значения (fli) : -1,27 0,11 -0,62 -0,67 0,55 -0,41 0,18 -0,97 0,54 0,78 Последний знак получен методом линейной интерполя- ции. Далее, пользуясь критерием Колмогорова, проверим гипотезу Hq: выборка получена из распределения 7Vo;i. Для этого вычислим D(Fn, G) = sup |(9(ж) - Fn(x где G(x) = 7Vo;i(^) — функция нормального распределе- ния с параметрами (0;1); Fn(rr) — реализация эмпириче- ской функции распределения, построенная по выборке, и сравним его с критическим значением еа-п. Значение £>(Л,М);1) = sup |7V0;i(rr) - Fn(x)\ = 0,21
384 Глава 19. Непараметрические критерии (методика вычисления sup <7(я) — Fn(#) | описана в гл. 15); критическое значение £o,O5;io — 0,4087 найдено по табл. 22.7.1); D(Fn, 7Vo;i) = 0,21 < 0,4087 = eo,o5;io = £a,n поэтому согласно критерию Колмогорова гипотеза: вы- борка получена из нормального распределения с пара- метрами (0;1) не отклоняется. Для выборки объемом 10 из нормального распределе- ния с параметрами (0;1) максимальное уклонение между эмпирической функцией распределения Ао(^) и функци- ей распределения 7Vo;i(#)> равное 0,21, не является боль- шим, такое уклонение естественно и допустимо. 19.2 Критерий знаков Постановка задачи (наблюдения повторные). Имеем (£i (cj) , 771 (cj)), (£2 М, Ъ (cj),..., (Cn М ,т)п (cj)) — ре- зультат наблюдения п пар случайных величин (£1,771), (£2,772), • • • 5 (£п, т)п), относительно которых известно, что разности Q = rjj — представимы в виде Cj = @ + ej> J = 1? 2,..., п, где 0 — константа, а случайные величины ei, е2,..., еп: 1° независимыми (сами rjj и могут быть зависимыми); 2° симметрично распределены относительно нуля (рас- пределения ej и — ej совпадают) и абсолютно непрерывны (далее это ограничение будет снято). Относительно неизвестного параметра 0 выдвигается гипотеза Но:0 = О. Альтернатива к гипотезе Hq: в = 0 может быть как од- носторонней — если в / 0, то в > 0 (она может быть и такой: в < 0), так и двусторонней — если в ± 0, то в > 0 или в < 0. В каждой задаче альтернатива своя. Необхо- димо построить критерий для проверки гипотезы Hq.
19.2. Критерий знаков 385 Замечание. Пары (£ьт), (&, %), • • •, (£п,77п) мож- но интерпретировать как 2п наблюдений — по два на- блюдения на каждые п объектов, пациентов, приборов, и т. д., при этом называют наблюдениями до обработ- ки, a rjj — наблюдениями после обработки, j = 1,2,..., п. Параметр в, называют эффектом обработки. Отклонение гипотезы Hq свидетельствует в пользу наличия эффекта обработки, неотклонение — в пользу отсутствия. Статистика для построения критерия. Верна ги- потеза Hq: в = 0 или нет, случайные величины е7, j = 1,2,..., п, абсолютно непрерывно, симметрично рас- пределены относительно нуля и независимы. Отсюда сле- дует, что случайная величина, равная количеству е7, j = 1,2,... ,п, которые приняли положительные значе- ния, имеет биномиальное распределение с параметрами (п; 1/2) и поэтому количество положительных величин среди = 1,2,... ,п, близко к половине имеющихся, т. е. к п/2. Обозначим через /л количество положительных раз- ностей среди Cj — Vj ~ # + eji «7 = 1,2,...,™. (19.2.1) Если гипотеза Hq верна, т. е. в = 0, то количество поло- жительных разностей среди (19.2.1) совпадает с количе- ством случайных величин е?, j = 1,2,... ,п, принявших положительные значения, а следовательно, мало отлича- ется от п/2 — половины имеющихся разностей. Если же гипотеза Hq: в = 0 неверна, то количество положитель- ных разностей среди = 1,2,..., п, существенно отли- чается от п/2 — будет существенно большим или мень- шим п/2 (в зависимости от знака в). Таким образом, если гипотеза Hq верна, количество ц положительных разностей среди (j, j = 1,2, ...,п (обо- значим его через ^о) мало отличается от п/2 по сравне- нию с отклонением /л от п/2, когда гипотеза Hq неверна. Поэтому, проверяя гипотезу Hq: в = 0, ее естественно отклонять, если количество положительных разностей /л существенно отличается от п/2, и не отклонять в против- ном случае. Границы mQ;n, отделяющие большие значения укло- нений /л от п/2 от малых, строятся по известному распре-
386 Глава 19. Непараметрические критерии делению количества pq положительных разностей С? = ~ = ej ’ J = 1? 2,..., которое минимально отклоняется от п/2. А именно, ma-n находится как минимальное число т, для которого Р{ро > т} < а, (19.2.2) где ро — биномиально распределенная случайная вели- чина с параметрами (п; 1/2). Значения ma-n по данному уровню значимости а и объему выборки п табулированы (см. табл. 22.9.1). Критерий знаков. Пусть (£1, ш) Л&2,7/2), • • •, (Сю %) — n nap случайных величин, для которых разности Q = = ~ ^з представимы в виде Cj = @ Н" ej> J ~ 1? 2,..., п, где случайные величины е^: 1° независимы, 2° симмет- рично распределены относительно нуля и абсолютно не- прерывны; число та.п определяется из (19.2.2). Если гипотезу Hq: в = 0 отклонять при Р > ^а,п и не отклонять при Р < та\пч то с вероятностью, не превосходящей а, гипотезу Hq будем отклонять, когда она верна (односторонний кри- терий знаков, альтернатива: в > 0). Если гипотезу Hq отклонять при ц^[п- та;п', та.п] и не отклонять при Р G [п — та-п; mQ;n], то с вероятностью, не превосходящей 2а, гипотезу Hq будем отклонять, когда она верна (двусторонний кри- терий знаков, альтернатива: в > 0 или в < 0).
19.2. Критерий знаков 387 Ошибки первого и второго рода. При верной ги- потезе Hq: в = 0 случайная величина р — количество по- ложительных разностей Q = ту — j = 1,2,..., п, име- ет биномиальное распределение с параметрами (п; 1/2). Поэтому р, “почти всегда” мало уклоняясь от п/2, мо- жет (хотя и изредка) принимать значения, которые суще- ственно отличаются от п/2. При этом гипотезу Hq: в = О отклоняем и тем самым допускаем ошибку первого рода (ее вероятность не превышает выбранного уровня значи- мости) . Если гипотеза Hq неверна, например, в > 0, то, несмот- ря на то, что случайная величина р (количество поло- жительных разностей) почти всегда принимает большие значения (существенно большие, чем п/2), она может, хо- тя и изредка, принимать значения, которые мало отлича- ются от п/2. При этом мы гипотезу Hq не отклоняем и тем самым допускаем ошибку второго рода. Связи. Если снять требование об абсолютной непре- рывности распределений случайных величин ту и £?, то разности Су = ту — £>j, j = 1,2,..., n, могут принимать ну- левые значения с ненулевой вероятностью (говорят, что имеются связи). Можно ли в этом случае пользоваться критерием знаков для проверки гипотезы Hq: 0 = 0? Ока- зывается — да, причем в той же формулировке, что и раньше, отбросив равные нулю разности и применяя кри- терий знаков к оставшимся отличным от нуля разностям (разности, равные нулю, не учитываются, как будто их вообще не было). Критерий знаков при наличии связей. Пусть (£1, т), (6, %), • • •, (£п, Tin) — П пар случайных величин, для которых разности Cj = ту — Cj, j = 1,2,..., п, пред- ставимы в виде Cj — # + eji J = 1,2,..., n, где случайные величины е?: 1° независимы; 2° симмет- рично распределены относительно нуля. Обозначим через s количество разностей Cj = rjj — Су j = 1,2,..., п, отличных от нуля, а через р — количество положительных среди них. Для каждого фиксированно- го s (s = 1,2,..., п) определим число ma-s как минималь-
388 Глава 19. Непараметрические критерии ное т, для которого Р{р > тп} < а, где р — биномиально распределенная случайная величи- на с параметрами ($; 1/2). Если гипотезу Hq отклонять при V > ma.s и не отклонять при < W;s, то с вероятностью, не превышающей а, гипотезу Hq будем отклонять, когда она верна (альтернатива одно- сторонняя: в > 0). Если гипотезу Hq отклонять при ma.s, mQ;s] и не отклонять при pe[s- ma.s, ma.s], то с вероятностью, не превышающей 2а, гипотезу Hq будем отклонять, когда она верна (альтернатива дву- сторонняя: в > 0 или в < 0). Двухвыборочный критерий знаков. Пусть £i, ... и гр, 7/2? • • • > Цп ~ независимые выборки соответ- ственно из распределений F и G. Распределения F и G связаны соотношением G(x) = Р(х — в\ Параметр в (эф- фект обработки) неизвестен. Необходимо выяснить, от- лично значение в от нуля или нет. Будем решать постав- ленную задачу, проверяя гипотезу Hq: в = 0 (нулевую гипотезу можно сформулировать и так Hq: F = G). Аль- тернатива к гипотезе Hq: в = 0 может быть как односто- ронней, так и двусторонней. Гипотезу Hq: в = 0 можно проверять, пользуясь кри- терием знаков в той же формулировке, что и для парных наблюдений: подсчитать число р положительных разно- стей Q = rjj — среди Ci,C2> • • • iCn и сравнивать его
19.2. Критерий знаков 389 Пример 19.2.1 (смещенность результатов измерений у контролеров). Один из методов количественного ана- лиза степени износа шины состоит в измерении глуби- ны проникновения щупа1 в канавку протектора в опре- деленном месте шины. В рамках дорожно-эксплуатационных исследований два контролера измеряют глубину канавок на шинах по- сле каждого эксперимента. Основная сложность прове- дения измерений состоит в том, что каждый контро- лер имеет свое, присущее только ему смещение резуль- татов измерений, связанное с силой давления на щуп {от силы давления зависит глубина проникновения щу- па в канавку протектора). Результаты 10 измерений, выполненных контроле- рами в 10 фиксированных точках шины, приведены в таб- лице. Точ- ка Первый контролер Второй контролер Точ- ка Первый контролер Второй контролер 1 126 125 6 159 152 2 128 120 7 152 150 3 157 163 8 138 136 4 131 118 9 138 140 5 142 129 10 142 136 Имеются основания предполагать, что первый кон- тролер получает более высокие результаты, чем вто- рой. Согласуется ли это предположение с результатами эксперимента? Решение. Результаты измерений, выполненных пер- вым контролером, обозначим через rjj, а вторым — через j = 1,2,..., 10. Разности Q = rjj — j = 1,2,... ..., 10, естественно считать представимыми в виде Cj' ~ @ Н" J ~ 1? 2,..., 10, где ej — независимые случайные величины. Параметр в характеризует различия (если они имеются) в силе дав- ления на щуп первого и второго контролеров (если 0 = 0, то отличий нет, а если 0^0, они имеются). 1 Здесь щуп — тонкая продолговатая металлическая пластинка прямоугольной формы.
390 Глава 19. Непараметрические критерии Необходимо по результатам измерений сделать вывод о значении параметра а именно: 0 = 0 или 0^0. Сфор- мулируем поставленную задачу в терминах проверки ста- тистических гипотез. Относительно параметра 0 выдвигаем гипотезу Hq : 0 = 0, т. е. контролеры получают одинаковые результа- ты. Поскольку имеется подозрение, что первый контро- лер получает более высокие результаты, в качестве аль- тернативы к основной гипотезе выберем одностороннюю альтернативу: 0 > 0. Отклонение гипотезы будем трактовать в пользу бо- лее высоких результатов первого контролера по сравне- нию с результатами второго, неотклонение — как отсут- ствие различий в измерениях контролеров. Для проверки гипотезы Hq воспользуемся критерием знаков. Имеем такие знаки разностей: ++-+++++-+. Всего 10 разностей (все они отличны от нуля), количество р положительных среди них равно 8. При этом Р = 8 < 8 = Шо,О25;1О = Поэтому согласно критерию знаков для проверки гипо- тезы Hq: 0 = 0 против альтернативы 0 > 0 гипотеза Hq на уровне значимости 0,025 не отклоняется. Этот результат можно трактовать так. Эксперимент не дает оснований утверждать, что результаты измере- ний (см. таблицу), полученные первым контролером, су- щественно выше по сравнению с результатами, получен- ными вторым контролером. (Такие результаты вполне могли быть получены одним и тем же контролером.) 19.3 Критерий Вилкоксона Постановка задачи. Пусть £(о>) = (£i(cv), £2(^)5 •• • • • -6гМ) и ... ,77m(^)) — реализации независимых выборок £ = (£i, £2, • • • , £п) и Л — (ш, • • ..., т)т) соответственно из непрерывных распределений F
19.3. Критерий Вилкоксона 391 и G. Относительно распределений F и G известно лишь то, что их функции распределений связаны соотношени- ем G(x) = F(x — 0). Параметр О неизвестный. Относительно него выдвигается гипотеза Но: 0 = 0. Альтернатива к нулевой гипотезе Но может быть как дву- сторонней: если 0 0, то 0 > 0 или 0 < 0, так и одно- сторонней: если 0 / 0, то 0 > 0 (односторонняя альтер- натива может быть и такой: 0 < 0). Выбор альтернативы определяется решаемой задачей. Далее рассматривается критерий Вилкоксона для про- верки гипотезы Но: 0 = 0. Статистика W (статистика Вилкоксона). Распо- ложим выборочные значения £1, £2,•••, £п и 02, • • • , т}т в общий вариационный ряд. Индексы, как правило, будем опускать. Получим перестановку из п букв £ и т букв ту, например w = • • • ^)- (19.3.1) Далее для определенности через £ = (£i, £2,•••,£п) будем обозначать выборку меньшего объема. Определим ранг каждого выборочного значения как номер места, на котором оно находится в общем вари- ационном ряду (19.3.1). Поскольку £ = (£1,^2, • • • >£п) и г) = (771,772, • • • , 'Пт) ~ выборки из непрерывных распреде- лений, вероятность того, что выборочные значения сов- падут, равна нулю, но на практике выборочные значения регистрируются с конечным числом знаков и поэтому они могут совпадать с ненулевой вероятностью. В этом слу- чае совпадающим выборочным значениям мы приписы- ваем один и тот же средний ранг. Например, если = 7,1; rjj = 7,1, причем имеются четыре выборочные значения, меньших 7,1, то каждому из выборочных зна- чений & и rjj) равных 7,1 (они находятся на 5-м и 6-м местах) приписывается средний ранг (5+6)/2 = 5,5.
392 Глава 19. Непараметрические критерии Далее определим W как сумму рангов выборки мень- шего объема (т. е. выборки £i,£2, • • • а именно: W = и + г2 + ... + гП1 где Г1, г2,..., гп — ранги выборочных значений £1, £2, • • • ...,£п в перестановке (19.3.1). Величиной W можно описывать меру перемешаннос- ти букв £ и г] в общем вариационном ряду: если сумма рангов W большая (большинство выборочных значений располагается справа от выборочных значений ту7) или малая (большинство выборочных значений & располага- ются слева от выборочных значений vyj), то буквы £ и т) в общем вариационном ряду перемешаны плохо, в против- ном случае — хорошо. Заметим, что минимально возможное значение суммы рангов W равно l + 2 + 3 + ... + n — п(п + 1) 2 максимально возможное — (m + 1) + (т + 2) + ... + (m + n) = тпп + n(n + 1) 2 среднее — 1 2 (n(n + l) ( п(п + Г)\\ n(n + m + 1) 2 Математическое ожидание W, когда гипотеза Hq: в = О верна, равно n(n + m + 1)/2 (заметим, что n(n + m + 1)/2 — координата середины отрезка с концами п(п + 1)/2 и пт + п(п + 1)/2). Величину W называют статистикой Вилкоксона. На ее основе строится критерий для проверки гипотезы Hq : F = G. Если гипотеза Hq: F = G верна, то £ = (£1, £2,..., £п) и г) = (771,т?2, • • • > 'Пт) являются независимыми выборками из одного и того же распределения; поэтому буквы £ и ту
19.3. Критерий Вилкоксона 393 в перестановке (19.3.1) перемешаны хорошо и W прини- мает значения, близкие к своему среднему значению п(п + m + 1)/2 (статистику W, когда гипотеза верна, будем обозначать ТУо). Если же гипотеза Но неверна, W принимает значе- ния, которые существенно отличаются от п(п + m + 1)/2 (при в > 0 статистика W принимает малые значения, а при в < 0 — большие). Следовательно, если гипотеза Hq верна, случайная величина W = Wo мало уклоняет- ся от п(п + m + 1)/2 по сравнению с уклонением вели- чины W от п(п + m + 1)/2, когда гипотеза Но неверна. Поэтому, проверяя гипотезу Но, ее естественно не откло- нять, когда W приняло значение, мало уклоняющееся от n(n+m+1)/2, и отклонять в противном случае. Границы Wa-n-m и n(n + m + 1) — Wa]n]m, отделяющие значения ТУ, мало уклоняющиеся от п(п + m + 1)/2, от значений ТУ, отличающихся от п(п + тп + 1)/2 существенно, строятся по известному распределению случайной величины ТУо. По данным а (уровню значимости) и n,m (объемам выборок) число ТУа;п;гп находим как наибольшее целое £, для которого P{W < t} < a. Значения Wa;n;m табулированы (см. табл. 22.8.1). Критерий Вилкоксона. Пусть & , • • •, £п ^2? ..., т)т — независимые выборки соответственно из не- прерывных распределений FuG, причем G(x) = F(x—0). Если гипотезу Hq:0 = 0 отклонять при W < W„ и не отклонять при ТУ > ТУ^ гэ ггэ
394 Глава 19. Непараметрические критерии то с вероятностью, не большей а, гипотезу Но будем отклонять, когда она верна (альтернатива односторон- няя : в > 0). Если гипотезу Hq отклонять при W > п(п + т + 1) - Wa-n-m и не отклонять в противном случае, то с вероятно- стью, не превосходящей а, гипотезу Hq будем откло- нять, когда она верна (альтернатива односторонняя: 0< 0). Если гипотезу Hq отклонять при РИ (Wa;n;mi ^(^ + Ш + 1) — Wa-n-m) и не отклонять в противном случае, то с вероятно- стью, не большей чем 2а, гипотезу Hq будем откло- нять, когда она верна (альтернатива двусторонняя : в < 0 или в > 0). Если объемы выборок пит большие (в критерии Вилкоксона пит большие, когда min{n, т} > 6, т+п > > 20), то в качестве Wa-n-m используется Wa-n-m = -п(п + т + 1) + zaJ —пт(п + т + 1), где za — о-квантиль нормального распределения с па- раметрами (0;1), т. е. решение уравнения М)д(^а) — а (см. табл. 22.1.1). Это следует из того, что при n, m —> оо, статистика W асимптотически нормальна со средним п(п + т + 1)/2 и дисперсией пт(п + т + 1)/12. Ошибки первого и второго рода. При верной ги- потезе Hq: F = G случайная величина W — сумма рангов выборки меньшего объема, принимая значения из проме- жутка [п(п + 1)/2, пт + п(п + 1)/2] и почти всегда мало уклоняясь от среднего значения п(п + т + 1)/2, т. е. W Е (Wa-n-mj п(п + т + 1) — Wa-n;m) ч
19.3. Критерий Вилкоксона 395 может, хотя и изредка, принять значение, которое суще- ственно отличается от п(п + тп + 1)/2, т. е. W < Wa-n-m ИЛИ W > п(п + m + 1) - Wa;n;m. При этом мы гипотезу Hq отклоняем и тем самым допус- каем ошибку первого рода. Если же гипотеза Hq неверна, то ТУ, почти всегда при- нимая значения, существенно отличающееся от среднего п(п + тп+1)/2 (малые или большие) может, хотя и изред- ка, принять значение, близкое к п(п + m + 1)/2, т. е. ТУ (Е (ТУо!;п;т5 Ш + 1) — ТУа;п;т) . При этом мы гипотезу Hq не отклоняем и тем самым до- пускаем ошибку второго рода. Пример 19.3.1. Для исследования устойчивости к истиранию эпоксидной пластмассы с использованием как наполнителя окиси алюминия в разной концентрации из- готовили две партии плиток. Рассматривались два значения относительной кон- центрации наполнителя в смоле, выражаемые отноше- ниями 1/2 к; 1 u 1 к 1. Изготовили по 18 образцов пли- ток, при этом две из них с концентрацией 1/2 к 1 были забракованы и не испытывались. Затем каждую из пли- ток приводили в возвратно-поступательное движение по абразивному материалу (по 10000 циклов для плитки). Измерялась разность толщины плиток до и после испытаний; точность измерений составляла 10-4 дюй- ма (1 дюйм = 0,0254 м.). Концентрация 1/2 к; 1 : 7,0; 6,4; 7,3; 5,1; 5,7; 6,6; 5,0; 7,7; 6,8; 5,1; 4,6; 5,5; 5,8; 6,2; 4,8; 5,8. Концентрация 1 к 1 : 7,1; 5,0; 6,4; 6,9; 5,7; 6,5; 6,5; 4,0; 6,2; 6,8; 4,0; 7,5; 7,2; 5,2; 7,8; 4,8; 4,4; 6,0. Различаются ли плитки из эпоксидной пластмассы (по отношению к истиранию), в которых наполнителем была окись алюминия в разных концентрациях? Други- ми словами, влияет ли концентрация наполнителя на устойчивость плитки к истиранию? Решение. Сформулируем поставленную задачу как задачу проверки статистических гипотез.
396 Глава 19. Непараметрические критерии Обозначим через F и G распределения разности тол- щины плиток (до и после испытаний) соответственно с концентрацией наполнителя 1/2 к 1 и 1 к 1. Распреде- ления F и G непрерывны. Предположим, что G(x) = = F(x — в) (0 — параметр, характеризующий различия в истирании, если они имеются). Относительно различий плиток с разной концентра- цией наполнителя выдвигается гипотеза Hq: концентра- ция наполнителя не влияет на устойчивость плитки к ис- тиранию. Эту гипотезу можно сформулировать так: Hq: F = G или, что то же, Hq : в = 0. Поскольку относительно влияния концентрации наполнителя на истирание ничего не известно, рассматриваем двустороннюю альтернативу: в < 0 или в > 0. Необходимо проверить гипотезу Hq, т. е. по реализа- ции выборки сделать вывод — отклонять гипотезу Hq или не отклонять. Отклонение гипотезы Hq будем интерпре- тировать как наличие влияния концентрации наполните- ля на истирание плиток. Если же гипотеза Hq не отклоня- ется, то можно утверждать, что в эксперименте влияние концентрации наполнителя на истирание не обнаружено. Для проверки гипотезы Hq воспользуемся критерием Вилкоксона. Гипотезу Hq отклоняем, при w?(wQ ;n;mi Tl(Tl + ПТ + 1) Wa;n;m) ч и не отклоняем в противном случае. Сначала вычислим W — сумму рангов выборки мень- шего объема в общем вариационном ряду: 4,0; 4,0; 4,4; 4ф; 4Д 4,8; 5Д; 5,0; 5Д; 5Д; 5,2; 5ф; 5J; 5,7; 5Д 5Д 6,0; ф2; 6,2; ф4; 6,4; 6,5; 6,5; 6ф; 6Д 6,8; 6,9; 7Д; 7,1; 7,2; 7Д; 7,5; 7,7; 7,8 (подчеркнуты выборочные значения выборки меньшего объема). W = 4 + (5 + 6)/2 + (7 + 8)/2 + (9 + 10)/2 + (9 + 10)/2 + +12 + (13 +14)/2 + (15 +16)/2 + (15 +16)/2 + (18 +19)/2 + +(20 + 21)/2 + 24 + (25 + 26)/2 + 28 + 31 + 33 = 273. Далее, учитывая, что объемы выборок большие, а имен- но: п = 16 > 6, m = 18 > 6, n + тп = 34 > 20,
19.3. Критерий Вилкоксона 397 в качестве Wa-n-m можно рассмотреть -п(п + m + 1) + za\ —птп(п + тп + 1), у X где za — ct-квантиль нормального распределения с пара- метрами (0;1). По таблице нормального распределения находим za — ^0,025 — —1,96 (см. табл. 22.1.1). Таким образом Wa-n-m = Wo,O25;16;18 = —16(16 + 18 + 1)- -1,96л/-^-16 • 18(16 + 18 + 1) = 223,2; V х n(n + m + 1) - Wa;n;m = = 16(16 + 18 + 1) - Wo,O25;16;18 = 336,8. Для суммы рангов W = 273 имеем Wa-n-m — И/0,025;16;18 = 223,2 < 273 < 336,8 = = 16 • 35 - W0,025;16;18 = п(п + ТП + 1) - Wa;n;m. Поэтому согласно критерию Вилкоксона гипотеза Hq: в = 0 не отклоняется. Она не противоречит результа- там эксперимента. (Сумма рангов W = 273 естественна (типична) для выборок объема п = 16 и тп = 18 из одного и того же распределения.) Следовательно, экспериментальные данные не дают оснований утверждать, что плитки с разной концентра- цией наполнителя отличаются устойчивостью к истира- нию.
398 Глава 19. Непараметрические критерии 19.4 Задачи АЗ: 19.7,19.11,19.12. СЗ: 19.1,19.13,19.30. 19.1 (анкетирование “Преподаватель глазами студентов” — эффект экзаменационной оценки). Вопрос о непредвзятости оценивания тех или иных ка- честв, величин, параметров весьма интересен. При этом предвзятость в оценивании встречается заметно чаще, чем непредвзятость. В некоторых ситуациях причины предвзятости мож- но объяснить, в других они абсолютно загадочны и непо- нятны (см., например, задачу 18.17 из гл. 18, где приве- ден пример сильного пристрастия при считывании цифр с вращающегося с большой скоростью круга). При обработке результатов анкетирования “Препода- ватель глазами студентов”, как и при любом другом оце- нивании, возникают вопросы: 1) о непредвзятости оцени- вания (которую едва ли следует ожидать) и 2) о причинах предвзятости (в этом оценивании вполне понятных). Мы, исследуя возможные причины предвзятого оце- нивания, рассмотрим: 1° эффект экзаменационной оценки (задача 19.1); 2° эффект практического занятия — зависимость оцен- ки преподавателя студентами от того, проводит препода- ватель в группе (параллельно с чтением лекций) практи- ческие занятия или нет (задача 19.5); 3° эффект экзамена (задача 19.17). Можно исследовать и другие факторы как возмож- ные причины предвзятого оценивания. Эффект экзаменационной оценки. Еще до нача- ла анкетирования высказывались соображения, что оцен- ка характеристик преподавателя студентами не может быть непредвзятой. Как на причину предвзятого оцени- вания указывалось на то, что студенту на экзамене препо- даватель выставляет оценку, и поэтому, оценивая препо- давателя, студент сознательно или подсознательно учи- тывает результат экзамена — полученную оценку, особен- но если она неудовлетворительная.
19.4. Задачи 399 В связи с выдвинутой гипотезой о наличии эффекта экзаменационной оценки возникает вопрос: согласуется ли она с экспериментом (результатами анкетирования)? Таблица 19.4.1. Оценки студентами характеристик преподавателя Характеристика преподавателя Оценка 1 2 3 4 5 6 7 1. Преподает ясно и доступно 8,4 7,3 7,9 8,5 7,9 8,0 7,1 8,1 2. Разъясняет сложные места 8,3 7,3 7,5 8,3 3. Выделяет главные моменты 4. Умеет вызвать и поддержать 8,5 7,5 8,5 8,4 7,8 8,5 интерес аудитории к предмету 8,6 6,4 7,9 8,7 5,8 7,2 5. Следит за реакцией аудитории 6. Задает вопросы, побуждает 8,4 8,3 7,9 7,3 6,1 7,6 к дискуссии 7. Соблюдает логическую после- 8,2 5,5 7,2 6,0 4,7 6,7 довательность изложения 8. Демонстрирует культуру речи, четкость дикции, нормальный 8,5 7,7 8,9 8,6 8,4 8,8 темп изложения 7,0 3,9 6,5 6,4 5,5 6,5 9. Умеет снять напряжение 10. Ориентирует на использование материала в будущей профес- 8,1 5,6 7,1 5,8 5,1 6,5 сиональной деятельности 11. Творческий подход и интерес 6,9 6,1 7,9 5,1 3,9 6,5 к своему делу 12. Доброжелательность и такт по 8,5 7,2 7,9 7,9 7,1 8,1 отношению к студентам 8,0 6,6 7,9 8,1 7,7 7,9 13. Терпение 8,2 5,8 8,5 8,0 7,1 8,8 8,3 14. Требовательность 15. Заинтересованность в успехах 8,8 8,3 8,9 8,7 8,8 студентов 16. Объективность в оценивании 8,4 6,4 8,0 7,7 7,2 7,8 знаний студентов 17. Уважительное отношение 8,7 6,2 7,4 7,7 7,3 7,5 к студентам 18. Располагает к себе высокой 8,6 6,5 8,5 8,3 7,9 8,4 эрудицией, манерой поведения 8.8 6.5 7Д_ м 8Д 8,2 В таблице 19.4.1 (столбцы 2 и 3) приведены результа- ты анкетирования в студенческих группах: столбец 2 — в группе ПМ-84-4, столбец 3 — в группе ПМ-84-1. При этом обе студенческие группы находились в одинаковых условиях относительно преподавателя: в обеих группах
400 Глава 19. Непараметрические критерии на протяжении года он читал лекции, вел практические и лабораторные занятия, принимал зачеты, экзамены. Од- нако результаты экзамена в этих группах заметно отли- чаются количеством полученных студентами двоек (см. табл. 19.4.2 и примечание 1). Сформулировать задачу об эффекте экзаменацион- ной оценки как задачу проверки статистических гипотез и решить ее: выбрать основную гипотезу и альтернативные (что обозначает отклонение основной гипотезы? ее неоткло- нение?); предложить уровень значимости и критерий для про- верки основной гипотезы; проверить основную гипотезу; дать частотную интерпретацию полученным резуль- татам. Таблица 19.4.2. Результаты экзамена Оценка на экзамене Количество оценок в группах ПМ-84-4 ПМ-84-1 ПМ-85-1 ПМ-85-2 ПМ-85-3 ПМ-85-5 Отлично 1 4 3 4 Хорошо 7 2 10 6 Удовлетворительно 4 6 7 6 Неудовлетворительно 6 9 11 15 Пр имечание 1.В таблице 19.4.1 приведены резуль- таты оценивания автора как преподавателя студентами групп ПМ-84-4, ПМ-84-1, ПМ-85-1, ПМ-85-2, ПМ-85-3, ПМ-85-4, а именно, оценки в баллах характеристик пре- подавателя — среднее в группе или в нескольких груп- пах (максимально возможная оценка характеристики — 9 баллов): столбец 2 — в группе ПМ-84-4; на экзамене шесть сту- дентов получили неудовлетворительные оценки (четверо из них отказались отвечать после ознакомления с содер- жанием экзаменационного билета, т. е. фактически са- ми оценили свои знания как неудовлетворительные (см. табл. 19.4.2));
19.4. Задачи 401 столбец 3 — в группе ПМ-84-1; на экзамене девять студентов получили неудовлетворительные оценки (см. табл. 19.4.2); столбец 4 — в группах ПМ-85-1, ПМ-85-2, где лектор вел также практические занятия; столбец 5 — в группах ПМ-85-3, ПМ-85-4, где лектор не вел практических занятий (их проводил другой пре- подаватель); столбец 6 — в группах ПМ-85-1, ПМ-85-2, ПМ-85-3, ПМ-85-4 (анкетирование проведено до экзамена); столбец 7 — в группах ПМ-85-1, ПМ-85-2, ПМ-85-3, ПМ-85-4 (анкетирование проведено после экзамена). Анкета приведена в оригинальном виде. Примечание 2. В таблице 19.4.2 приведены резуль- таты первой сдачи экзамена: речь идет об экзамене по курсу “Теория вероятностей и математическая статисти- ка” на факультете прикладной математики Днепропет- ровского государственного университета во время зимних сессий 1986/87 и 1987/88 учебных годов. 19.2. Стохастический эксперимент состоит в последо- вательном подбрасывании симметричной игральной ко- сти трижды и регистрации результатов следующим обра- зом: появление 1 или 2 очков обозначаем нулем, 3 или 4 — единицей, 5 или 6 — двойкой. Если, например, результат эксперимента: выпало 3, 5, 1 очков, то это регистрирует- ся как 120, если результат: выпало 6, 1, 4 очков, то это регистрируется как 201 и т. д. Вместе с этими последовательностями из нулей, еди- ниц и двоек рассмотрим числа из промежутка [0; 1], кото- рые в троичной системе исчисления записываются соот- ветственно так: 0,120; 0,201;... Так что 0,120 — это запись в троичной системе числа 1’|+2’^+0‘ 1 _ 5 З3 “ 9’ а 0,201 — числа Ч+о4+1- _ 19 З3 “ 27’ Эксперимент проводится восемь раз.
402 Глава 19. Непараметрические критерии Можно ли считать, что полученные таким образом восемь чисел являются реализацией выборки объемом 8 из равномерного на промежутке [0;1] распределения? Дать ответ на этот вопрос в терминах проверки ста- тистических гипотез, воспользовавшись критерием Кол- могорова. 19.3. Регистрируются интервалы между последова- тельными импульсами вдоль нервного волокна у индиви- дуумов А и В (единица измерения — 1/50 с). Они оказа- лись такими. Индивидуум А: 2,5; 2,0; 7,0; 4,0; 10,5; 1,0; 31,5; 17,5; 0,5; 19,5; 21,5; 1,5; 19,5; 2,0; 8,5; 11,5; 39,0; 7,0; 4,0; 5,5; 3,5; 22,5; 23,0; 10,0; 9,5; 25,5; 4,5; 11,0; 14,5; 0,5. Индивидуум В: 9,5; 3,0; 19,5; 4,0; 1,5; 14,0; 4,5; 8,5; 22,5; 20,0; 3,5; 15,0; 8,0; 12,0; 40,5; 67,5; 0,5; 1,0; 1,5; 3,0; 6,0; 16,5; 32,5; 4,0; 7,5; 34,0; 15,0; 3,0. Свидетельствуют ли эти данные об отличиях в интер- валах между импульсами у индивидуумов А и В1 19.4. С помощью таблицы случайных чисел (см. табл. 22.10.1) можно получить (смоделировать) реализацию вы- борки из равномерного на промежутке [0;1] распределе- ния описанным ниже способом (кстати, по выборке из равномерного на промежутке [0; 1] распределения можно построить выборку из любого распределения F с моно- тонно возрастающей функцией F(x) (см. пример 19.1.1)). Из таблицы случайных чисел (см. табл. 22.10.1) выбе- рем п чисел (пусть, например, п = 10). Выбор чисел мож- но начинать с любого места любым наперед оговоренным способом. Начиная, скажем, с левого верхнего угла таб- лицы и двигаясь книзу (для определенности будем выби- рать четырехзначные числа), получим 1009, 3754, 0842, 9901, 1280, 6606, 3106, 8526, 6357, 7379. Рассмотрим числа из промежутка [0;1], полученные по выбранным случайными числами: 0,1009; 0,3754; 0,0842; 0,9901; 0,1280; 0,6606; 0,3106; 0,8526; 0,6357; 0,7379. Воспользовавшись критерием Колмогорова, убедитесь, что эту последовательность чисел можно считать реали- зацией выборки из равномерного на промежутке [0; 1] рас- пределения.
19.4. Задачи 403 19.5 (анкетирование “Преподаватель глазами студентов” — эффект практического занятия). При оценивании студентами преподавателя выдвигается пред- положение о наличии эффекта практического занятия: если в группе параллельно с чтением лекций препода- ватель ведет практические (лабораторные) занятия, то оценка его студентами выше. В таблице 19.4.1 приведены оценки характеристик пре- подавателя студентами: столбец 4 — в группах ПМ-85-1 и ПМ-85-2, где преподаватель читал лекции и вел практи- ческие и лабораторные занятия, а столбец 5 — в группах ПМ-85-3 и ПМ-85-4, где практические и лабораторные занятия вел другой преподаватель (анкетирование про- ведено после экзамена). Проверить, существует ли эффект практического (ла- бораторного) занятия. Сформулировать задачу о наличии эффекта практи- ческого (лабораторного) занятия при оценивании препо- давателя как задачу проверки статистических гипотез и решить ее, подробнее см. задачу 19.1 (выберите 5% уро- вень значимости). 19.6. Решить задачу 17.8, воспользовавшись критери- ем Вилкоксона. 19.7. Шейки рабочей части сверл обрабатываются на шлифовальном станке. Номинальный диаметр шейки со- ставляет 9,8 мм с техническим допуском 0,05 мм. Измерения рабочей части шейки 20 сверл дало такие результаты (в миллиметрах): 9,76; 9,77; 9,83; 9,79; 9,80; 9,81; 9,79; 9,75; 9,80; 9,78; 9,75; 9,81; 9,82; 9,76; 9,78; 9,77; 9,81; 9,79; 9,77; 9,79. Можно ли считать, что номинальный диаметр шейки равен 9,8 мм с техническим допуском 0,05 мм при норме отхода 1 %, другими словами, что диаметр шейки сверла находится в пределах от 9,75 до 9,85 мм с вероятностью 0,99? Сформулировать поставленную задачу как задачу про- верки статистических гипотез. Воспользоваться критери- ем Колмогорова. 19.8 (влияние работы метронома на плавность речи). В таблице приведены результаты эксперимента,
404 Глава 19. Непараметрические критерии в котором изучалось влияние работы метронома на речь людей, страдающих заиканием. Номер участника Число заиканий при условии Номер участника Число заиканий при условии N R А N R А 1 15 3 5 7 10 0 2 2 11 3 3 8 8 0 3 3 18 1 3 9 13 0 2 4 21 5 4 10 4 1 0 5 6 2 2 11 11 2 4 6 17 0 2 12 17 2 1 Обследовалось 12 человек с тяжелой формой заболе- вания. Каждый из них импровизировал трехминутную речь при условиях 7V, В, А: N — говорить без метронома; R — говорить при регулярной (ритмичной) работе мет- ронома (120 ударов за минуту), причем человек был пред- варительно проинструктирован о необходимости произ- носить один слог слова на каждый удар метронома; А — говорить при неритмичной работе метронома, ра- ботающего со случайными интервалами между ударами (от 0,3 до 0,7 с), совершая при этом в среднем те же 120 ударов в минуту (при условии А, как и при условии В, человек должен произносить один слог на каждый удар метронома). Приведенные данные, безусловно, свидетельствуют о том, что работа метронома (как ритмичная так и нерит- мичная) уменьшает количество заиканий (почему?). А су- ществуют ли отличия во влиянии на заикание ритмично и неритмично работающих метрономов? 19.9. Пробы очень чистого железа, полученные по ме- тодам А и В, имели следующие точки плавления (в гра- дусах Цельсия). Метод А: 1439, 1519, 1518, 1512, 1514, 1489, 1508, 1503. Метод В: 1509, 1494, 1512, 1483, 1507, 1491. Различаются ли точки плавления железа, полученно- го разными методами? 19.10 (случайно и произвольно). Случайно — не означает произвольно. Случайность подчиняется своим
19.4. Задачи 405 строгим законам (см. задачи 18.12, 18.17, 18.20). Выпи- сать случайную последовательность чисел не так просто, как это может показаться на первый взгляд. Проверьте свои способности: выпишите 50 случайных, на ваш взгляд, чисел из отрезка [0; 1] (для определенности — с четырьмя знаками после запятой). Если предложен- ные числа в самом деле случайные, то они должны быть равномерно распределены на промежутке [0;1]. Воспользовавшись критерием Колмогорова, выясни- те, можно ли предложенную последовательность чисел считать случайной. Примечание. Выписывая случайную последователь- ность чисел из промежутка [0;1], не просматривайте и не используйте каким-либо другим способом уже выписан- ную часть последовательности. 19.11. Астрономы АиВ измеряли в минутах боль- шой диаметр наиболее ярких галактик. Каждый измерил диаметры 18 галактик. Результаты измерений приведены в таблице. Номер галактики Астроном Номер галактики Астроном А В А В 224 2,3 2,4 441 1,1 1,1 272 1,5 1,5 557 5,5 5,6 313 1,5 1,3 563 2,0 2,1 354 4,5 4,1 773 1,7 1,7 377 3,5 4,5 604 1,9 2,2 391 1,5 1,3 638 1,4 1,3 407 1,0 1,2 796 2,3 2,8 427 3,0 2,0 805 2,3 2,6 436 1,1 808 0,8 1,0 Указывают ли эти данные на существенное отличие результатов измерений? 19.12. Для исследования устойчивости к истиранию эпоксидной пластмассы с разными наполнителями изго- товили две партии плиток с использованием как напол- нителя железных и медных опилок. Изготовили по 27 об- разцов плиток с каждым наполнителем. Затем каждую плитку приводили в возвратно-поступательное движение по абразивному материалу (выполняя при этом 10000 циклов для каждой плитки). Измеряли разницу в тол- щине плиток в дюймах (1 дюйм = 0,0254 м.) до и после
406 Глава 19. Непараметрические критерии испытаний; точность измерений составляла 10-4 дюйма. Получены следующие результаты. Железные опилки: 3,6; 1,6; 2,3; 3,8; 1,0; 2,5; 2,9; 1,6; 2,4; 2,1; 1,1; 1,7; 2,6; 1,1; 1,0; 1,6; 0,9; 1,4; 2,3; 1,1; 1,8; 2,6; 1,2; 2,0; 2,1; 0,7; 2,4. Медные опилки: 2,8; 1,5; 2,4; 2,6; 1,1; 2,1; 1,9; 1,4; 2,0; 2,1; 1,0; 1,5; 1,0; 1,6; 1,5; 1,2; 1,7; 2,6; 1,3; 2,6; 2,9; 1,5; 3,3; 2,8; 1,2; 2,7; 1,8. Указывают ли эти данные на существенное различие устойчивости к истиранию образцов эпоксидных пласт- масс, изготовленных с разными наполнителями? 19.13 (момент последнего уравнивания). Экспе- римент состоит в последовательном подбрасывании мо- неты 2п = 40 раз и регистрации момента (номера ис- пытания), когда в последний раз количество выпавших “гербов” и “решеток” было одинаково. Будем говорить: наблюдается момент последнего уравнивания количества “гербов” и “решеток”. В эксперименте этими моментами могут быть 0, 2,4,..., 40. Относительно распределения момента последнего урав- нивания выдвигается гипотеза: момент 2k последнего урав- нивания имеет распределение арксинуса; подробнее — слу- чайная величина 2k/2п = k/n имеет распределение арк- синуса, т. е. ее функцией распределения является А(х) = < 0, arcsin х/ж, 1, если х < если 0 < если х > 0; х < 1; 1. Провести эксперимент пять раз, фиксируя момент по- следнего уравнивания количества “гербов” и “решеток”. Можно ли на основании полученных данных считать, что момент последнего уравнивания имеет распределение арксинуса? Ответ дать в терминах проверки статистических ги- потез. Воспользоваться критерием Колмогорова. Замечание 1. Эксперимент удобно проводить так. Подбрасываем монету и выпадение “герба” обозначаем через +1, а “решетки” через —1. После 40 подбрасыва- ний получаем последовательность, образованную из чи- сел + 1 и —1. Последовательно складывая члены после- довательности, начиная с первого, зафиксируем момент,
19.4. Задачи 407 когда сумма будет равна нулю — это будет момент второ- го уравнивания (момент первого уравнивания равен ну- лю); и так продолжаем, пока не найдем значение момента последнего уравнивания (см. также задачу 19.22). Замечание 2. Ниже приведены значения функ- ции распределения арксинуса А(х) в точках 0,05 - г, г = = 0,1,2,..., 10: X Л(а;) X Л(х) 0,00 0,000 0,30 0,369 0,05 0,144 0,35 0,403 0,10 0,205 0,40 0,436 0,15 0,253 0,45 0,468 0,20 0,295 0,50 0,500 0,25 0,333 Для вычисления значений А(ж), если 0,5 < х < 1,0, можно воспользоваться соотношением А(х) = 1 — А(1 — х). 19.14. При испытании на устойчивость к истиранию люминесцентной краски типов А-102 и А-108 измеряли потерю массы (в граммах) через определенный интервал времени, причем известно, что устойчивость к истира- нию краски А-108 не меньше, чем краски А-102. Краску каждого из двух типов наносили на восемь панелей. По- лучили такие результаты: Потеря массы Потеря массы А-102 А-108 А-102 А-108 17 19 33 35 10 17 20 25 19 16 22 23 17 12 28 21 Можно ли на основании этих данных утверждать, что краски существенно различаются по устойчивости к ис- тиранию? 19.15. Из большой группы рабочих, которые работа- ют на сборочном конвейере, наудачу выбирают двух и несколько раз хронометрируют продолжительность сбор- ки ими определенного изделия (в минутах). Получили та- кие результаты.
408 Глава 19. Непараметрические критерии Первый рабочий: 19,4; 21,1; 16,2; 21,2; 21,6; 17,8; 19,6. Второй рабочий: 19,9; 15,7; 15,2; 19,8; 18,9; 16,1; 16,2; 18,5; 17,3; 20,4. Существенно ли различается время сборки изделия этими рабочими? 19.16 (показания механических часов). Механи- ческие часы, выставленные в витринах часовых магази- нов, через некоторое время останавливаются. Момент ос- тановки часов — случайная величина. Естественно пред- положить, что показания часов распределены равномер- но на промежутке [0;12]. Наблюдения 20 часов дали сле- дующую выборку: 10 час 57 мин, 3 час 28 мин, 5 час 18 мин, 1 час 32 мин, 3 час 21 мин, 4 час 13 мин, 4 час 06 мин, 10 час 10 мин, 6 час 48 мин, 2 час 51 мин, 0 час 44 мин, 3 час 57 мин, 4 час 16 мин, 4 час 58 мин, 7 час 47 мин, 11 час 04 мин, 7 час 54 мин, 10 час 30 мин, 11 час 06 мин, 11 час 52 мин. Согласуется ли с этими данными гипотеза о равно- мерном распределении на промежутке [0;12] показаний часов? 19.17 (анкетирование “Преподаватель глазами студентов” — эффект экзамена). Анкетирование “Пре- подаватель глазами студентов” должно проводиться по- сле экзамена, но в группах ПМ-85-1, ПМ-85-2, ПМ-85-3, ПМ-85-4 его ошибочно провели до экзамена (результаты анкетирования приведены в столбце 5 табл. 19.4.1). По- том анкетирование провели и после экзамена (результаты приведены в столбце 6 табл. 19.4.1). Эта ошибка дала воз- можность говорить о существовании эффекта экзамена (а может, это эффект еще какого-нибудь другого факто- ра?), а именно, влияет ли на оценивание преподавателя студентами проведение экзамена? В связи с этой гипоте- зой выяснить, согласуется ли она с данными анкетиро- вания. Речь идет об экзамене по годовому курсу “Теория вероятностей и математическая статистика” (результаты экзамена приведены в табл. 19.4.2). Сформулировать задачу о наличии эффекта экзамена при оценивании преподавателя как задачу проверки ста- тистических гипотез и решить ее (подробнее см. задачу 19.1).
19.4. Задачи 409 Примечание. Эффект экзамена оказался доволь- но неожиданным: несмотря на высокую требовательность преподавателя (см. табл. 19.4.2, а также строку “Требо- вательность” в табл. 19.4.1), данные анкетирования после экзамена заметно выше, чем до экзамена (см. столбцы 5 и 6 табл. 19.4.1). 19.18. Средний объем стока воды в реке (в кубиче- ских футах за секунду, 1 фут = 0,3048 м) фиксируется ежемесячно в течение двух лет (обозначим их I и II). Сравнивая сток за соответствующие месяцы (сток под- чиняется годовым циклам), сделать вывод относительно отсутствия (или наличия) изменений объема стока воды в разные годы. Месяц Год Месяц Год I II I II Январь 14,1 14,2 Июль 92,8 88,1 Февраль 12,2 10,5 Август 74,4 80,0 Март 104,0 123,0 Сентябрь 75,4 75,6 Апрель 220,0 190,0 Октябрь 51,7 48,8 Май 110,0 138,0 Ноябрь 29,3 27,1 Июнь 86,0 98,1 Декабрь 16,0 15,7 Проверить нулевую гипотезу об отсутствии система- тических изменений объема стока за указанные годы. 19.19. Получили 10 чисел способом, описанным в за- даче 15.37. Можно ли считать, что полученные таким об- разом 10 чисел являются реализацией выборки из равно- мерного на промежутке [0;1] распределения? Ответ дать в терминах проверки статистических ги- потез, воспользоваться критерием Колмогорова. 19.20. Регистрировались интервалы безотказной ра- боты (в часах) кондиционеров на двух самолетах “Боинг- 720”. Получены такие результаты. Самолет I: 74, 57, 48, 29, 502, 12, 70, 21, 386, 59, 22, 153, 26, 326. Самолет II: 55, 320, 56, 104, 220, 239, 47, 246, 176, 182, 33, 15, 104, 35. Можно ли на основании приведенных данных сделать вывод, что время безотказной работы кондиционеров на этих самолетах одинаково или данные свидетельствуют
410 Глава 19. Непараметрические критерии о наличии существенной разницы в длительности безот- казной работы кондиционеров? 19.21. Для изготовления корда с одинаковыми номи- нальными данными два завода (А и В) используют раз- ные производственные процессы. Проведено по 20 испы- таний продукции каждого завода на разрыв. Катушку корда для испытаний и место разрыва на ней выбирали наудачу. Приведенные данные являются отклонениями проч- ности от 21,5 фунта (1 фунт = 453,6 г). Единица измере- ния составляет 0,1 фунта. Завод А:-1; -5; 1; 10; 2; -3; 6; 10; -1; 4; -8; -1; -10; -9; —2; -2; -8; 1; 2; 5. Завод В: 10; 8; 9; 12; 0; 8; 5; 9; -1; -1; 7; 16; -5; 1; 10; 9; -5; 6; 6; 15. Существенно ли отличается корд, изготовленный на заводах А и В? 19.22 (время пребывания на “положительной” стороне). Эксперимент состоит в последовательном под- брасывании монеты 2п = 40 раз (одно подбрасывание за единицу времени). Появление “герба” будем обозначать через +1, а появление “решетки” — через —1. Таким об- разом, на fc-м шаге, к = 1,2, ...2п, имеем символ равный +1 или —1 в зависимости от того, какой сторо- ной легла монета. Пусть Sfc = £1 + £2 + • • • + £fc, so = 0, к = 1, 2,..., 2п, где Sk — разность между количеством “плюсов” и “ми- нусов” (между количеством “гербов” и “решеток”). Если воспользоваться геометрической терминологией и систе- мой координат (t, ж), то результат эксперимента можно представить в виде ломаной с вершинами в точках (к, SkY к = 1,2, ...,2п (рис. 19.4.1). Вычислим время, когда монета находилась на “поло- жительной” стороне, т. е. когда разность между количе- ством “гербов” и “решеток” была положительной. Напри- мер, если в результате первых 10 подбрасываний монеты получена последовательность +1, +1, — 1,— 1,— 1,— 1,— 1, +1,+1,— 1 (см. также рис. 19.4.1), то время пребывания монеты на “положительной” стороне составляет 4 едини- цы.
19.4. Задачи 411 Относительно времени пребывания на “положитель- ной” стороне выдвигается гипотеза: время пребывания на “положительной” стороне имеет распределение арксину- са. Подробнее, распределение арксинуса (см. задачу 19.3) имеет случайная величина 2к/2п = к/п, где через 2к обо- значено количество единиц времени (из 2п единиц), когда монета пребывала на “положительной” стороне. Рис. 19.4.1: Результат эксперимента — ломаная с вершинами в точках (fc, s&), к = 0,1,..., 2п Провести эксперимент пять раз, фиксируя время пре- бывания монеты на “положительной” стороне. Можно ли на основании полученных данных заклю- чить, что время пребывания монеты на “положительной” стороне имеет распределение арксинуса? Ответ дать в терминах проверки статистических ги- потез, воспользоваться критерием Колмогорова и заме- чанием 1 к задаче 19.13. 19.23. Четное число мышей рассадили наудачу по од- ной в клетку. Затем клетки снова-таки наудачу объедини- ли в две одинаковые по количеству мышей группы. Мы- ши первой группы (А) предназначались для контроля, а второй — подопытной (В) подвергались действию опре- деленного препарата. После этого все мыши в случайном порядке инфицировались туберкулезом. Заметим, что экспериментаторы, как правило, инфи- цируют сначала мышей контрольной группы, а затем — подопытной, что абсолютно неверно.
412 Глава 19. Непараметрические критерии Дни гибели мышей после инфицирования приведены в таблице (данные об одной из мышей были утеряны). Группа А: 5, 6, 6, 7, 8, 9, 11, 12. Группа В: 7, 7, 8, 8, 9, 10, 13, 14, 15. В предыдущих экспериментах установлено, что ис- пользуемый препарат нетоксичный. Поэтому можно пред- положить, что мыши в подопытной группе гибнут не быст- рее, чем в контрольной группе. Свидетельствуют ли приведенные данные о наличии эффекта препарата? Указание. Проверить гипотезу Hq: препарат не вли- яет на течение туберкулеза. Воспользоваться критерием Вилкоксона. 19.24. Для сравнения эффективности двух методов преподавания математики сформировали две группы уче- ников (А и В) одного уровня подготовки, в каждой из ко- торых математику изучали с использованием своего ме- тода. После окончания учебного года каждому ученику был предложен тест. Результаты теста (в баллах) оказа- лись такими. Группа А: 94, 92, 90, 86, 86, 84, 82, 90. Группа В: 90, 86, 84, 82, 80, 82, 78. Можно ли на основании этих данных сделать вывод, что оценки, полученные в группах А и В, существенно отличаются? 19.25. Провести серию из 10 экспериментов, каждый из которых состоит в подбрасывании 16 монет и регистра- ции количества Si выпавших “гербов” (г — номер экспери- мента, i = 1,2,..., 10). Рассмотреть последовательность чисел £ Можно ли считать, что £i, £2,• • •, £10 является выбор- кой из стандартного нормального распределения? Из каких соображений выдвинута сформулированная гипотеза? Примечание. Эксперимент, состоящий в подбрасы- вании 16 монет, удобно провести, например, так: поме- стить в коробку все 16 монет, а потом, хорошо встряхнув ее несколько раз, подсчитать количество выпавших “гер- бов”.
19.4. Задачи 413 19.26. В таблице приведены значения объемов булок (в миллилитрах), выпеченных из 100-граммовых порций теста, изготовленного из 12 разных сортов муки, содер- жащей 1 и 2 мг бромистого калия (КВг). Сорт муки Объем булки, мл Сорт муки Объем булки, мл КВг 1 мг КВг 2 мг КВг 1 мг КВг 2 мг 1 1075 1055 7 900 905 2 980 955 8 860 870 3 850 820 9 940 1000 4 815 765 10 1000 1015 5 1040 1065 11 935 965 6 960 985 12 835 870 Свидетельствуют ли приведенные данные о влиянии содержания бромистого калия на объем булок? Ответ дать в терминах проверки статистических ги- потез. 19.27. Приборы типов АиВ для измерения количе- ства осадков размещены наудачу на некотором участке. За определенный промежуток времени над контролиру- емой областью пронеслось 14 ураганов. Среднее количе- ство осадков, измеренное с помощью приборов А и В, приведено в таблице. Ураган Прибор типа Ураган Прибор типа А В А В 1 1,38 1,42 8 2,63 2,69 2 9,69 10,37 9 2,44 2,68 3 0,39 0,36 10 0,56 0,53 4 1,42 1,46 11 0,69 0,72 5 0,54 0,55 12 0,72 0,72 6 6,94 6,15 13 0,95 0,93 7 0,59 0,61 14 0,50 0,53 Можно ли заключить, что приборы АиВ дают оди- наковые результаты? 19.28. Стохастический эксперимент состоит в подбра- сывании игральной кости пять раз и вычислении суммы выпавших очков. Для г-го эксперимента обозначим эту сумму через Si. Проведем эксперимент 16 раз и рассмот- рим последовательность Si - 17,5 . & = —z-zr—, г = 1,2,..., 16. si 3,82 , ’ ’ ’
414 Глава 19. Непараметрические критерии Можно ли считать, что последовательность чисел £i, £2,• • • ? £16 является реализацией выборки из нормального распределения, со средним a = 0 и дисперсией сг2 = 1? Из каких соображений относительно распределения слу- чайной величины £ выдвинута именно эта гипотеза? Ответ дать в терминах проверки статистических ги- потез, воспользовавшись критерием Колмогорова. 19.29 (катастрофы на угольных шахтах). В таб- лицах приведены интервалы в днях между катастрофами (катастрофа влечет смерть 10 и более человек) на уголь- ных шахтах Великобритании с 1875 по 1951 г. (данные В. Мегью, К. Пирсона, А. Винна, их следует читать по строкам). Интервалы между катастрофами с 1875 по 1900 г. 378 36 15 31 215 11 137 4 15 72 96 124 50 120 203 176 55 93 59 315 59 61 1 13 189 345 20 81 286 114 108 188 233 28 22 61 78 99 326 275 54 217 113 32 23 151 361 312 354 58 275 78 17 1205 644 Интервалы между катастрофами с 1901 по 1951 г. 467 871 48 123 457 498 49 131 182 255 195 224 566 390 72 228 271 208 517 1613 54 326 1312 348 745 217 120 275 20 66 291 4 369 338 336 19 329 330 312 171 145 75 364 37 19 156 47 129 1630 29 217 7 18 1357 Свидетельствуют ли эти данные о наличии существен- ных отличий между интервалами времени от катастро- фы к катастрофе за период с 1875 по 1900 г. и с 1901 по 1951 г.? 19.30. Исследовалась длительность эксплуатации ави- ационных пневматических шин марок U и V на самоле- тах, базирующихся на авианосцах. Для испытаний ото- брали 10 самолетов. Приведенные в таблице данные — количество посадок до разрушения шин. Можно ли по результатам этих испытаний сделать вы- вод о наличии отличий в длительности эксплуатации шин марок U и V?
19.4. Задачи 415 Само- лет Количество посадок Само- лет Количество посадок Марка U Марка V Марка U Марка V 1 5 5 6 7 24 2 55 14 7 14 38 3 5 24 8 32 41 4 32 27 9 10 32 5 56 24 10 8 24 19.31 (автомобильные номера). Выпишите циф- ровые части номеров 20 автомобилей, проезжающих ми- мо (номер содержит пять цифр). Обозначим через a*, bi, Ci, di, ei цифры, встретившиеся в номере, если его читать слева направо. Рассмотрим последовательность чисел G = 10"Ч + 10-2&i + 10-3Cj + 1(ГЧ + 10-5ej, где i = 1,2,..., 20. Можно ли считать, что последовательность Q, г = = 1,2,..., 20, является реализацией выборки из равно- мерного на промежутке [0;1] распределения? Замечание. Если номер автомобиля содержит че- тыре цифры, то рассмотрим последовательность Ci = 10-Ч + 10-2i>i + 10-3Cj + 10"Ч, где i = 1,2,..., 20. 19.32 (электрошок и аккомодация). При после- довательном чтении вслух людьми, страдающими заика- нием, одного и того же текста несколько раз подряд чис- ло заиканий имеет тенденцию к уменьшению. Электро- шок как метод борьбы с заиканием претендует на ускоре- ние этого процесса (аккомодацию). Цель описанного ни- же эксперимента — ответить на вопрос: так ли это? Восемнадцать человек студенческого возраста, стра- дающих заиканием, согласились участвовать в экспери- менте — читали вслух фрагмент текста последовательно по пять раз (без действия электрошока). Потом они чи- тали вслух пять раз другой фрагмент текста и в момент заикания подвергались воздействию электрошока. В таблице приведены полученные по специальной ме- тодике оценки аккомодации в баллах. Высокий балл соот- ветствует лучшей аккомодации. (Данные из работы: Daly
416 Глава 19. Непараметрические критерии D. A. and Cooper Е. В. Rate of stuttering adaptation under condition// Behav. Res. Theory. 1967. Vol. 5. P. 49-54.) Свидетельствуют ли эти данные о том, что шок в мо- мент заикания влияет на аккомодацию? Номер участ- ника Баллы Номер участ- ника Баллы Без шока С шо- ком Без шока С шо- ком 1 57 51 10 50 50 2 59 56 11 44 56 3 41 44 12 50 46 4 51 44 13 70 74 5 43 50 14 42 57 6 49 54 15 68 74 7 48 50 16 54 48 8 56 40 17 38 48 9 44 50 18 48 44 19.33. Токсичность двух препаратов (Л и В) сравни- вали на двух группах мышей (по 50 в каждой). Мышам первой группы ввели препарат А, а второй — такую же дозу препарата В. Количество мышей, которые остались живыми в каждой группе через определенное время Т (в часах) после введения препаратов, приведено в табли- це. Время Т Количество живых мышей После действия А После действия В 1 29 35 3 21 23 8 16 16 16 12 13 24 10 10 48 9 8 72 7 8 96 6 7 Свидетельствуют ли приведенные данные о различ- ной токсичности препаратов А и В? 19.34. Шейки рабочей части сверл обрабатываются на шлифовальном станке. Номинальный диаметр шейки составляет 9,8 мм с техническим допуском 0,04 мм. Были измерены диаметры рабочей части шейки 16 сверл. Их значения (в миллиметрах) оказались такими:
19.4. Задачи 417 9,76; 9,78; 9,81; 9,77; 9,75; 9,78; 9,75; 9,77; 9,74; 9,78; 9,77; 9,83; 9,78; 9,81; 9,79; 9,80. Можно ли считать, что номинальный диаметр шейки равен 9,8 мм с техническим допуском 0,04 мм при норме отхода 5%, т. е. не выходит за пределы 9,76—9,84 мм с вероятностью 0,95? Указание!. Сформулировать поставленную задачу как задачу проверки статистических гипотез и восполь- зоваться критерием Колмогорова. Указание 2. Решить задачу в предположении, что результаты измерений являются выборкой из нормально- го распределения (см. также решение к задаче 19.7). 19.35 (мантиссы логарифмов чисел п!). В табли- це приведены значения десятичных логарифмов чисел п! п п\ 1g п! 1 1 0,000000 2 2 0,301030 3 6 0,778151 4 24 1,380211 5 120 2,079181 6 720 2,857332 7 5040 3,702431 8 40320 4,605521 9 362880 5,559763 10 3628800 6,559763 11 39916800 7,601156 12 47900160 40 8,680337 13 62270208 402 9,794280 14 87178291 403 10,940408 15 13076744 405 12,116499 16 20922790 406 13,320619 Можно ли считать, что мантиссы логарифмов чисел п! равномерно распределены на промежутке [0; 1]? Ответ дать в терминах проверки статистических ги- потез, воспользоваться критерием Колмогорова. 19.36. Ниже приведены данные о пористости конден- саторной бумаги двух партий (из каждой партии рулоны, пористость бумаги в которых измерялась, брали науда- чу).
418 Глава 19. Непараметрические критерии Партия I : 1,5; 1,5; 2,7; 3,0; 1,6; 1,9; 2,4; 1,6; 1,7; 2,0. Партия II : 1,9; 2,3; 1,8; 1,9; 1,5; 2,4; 2,9; 3,5; 4,7. Можно ли по этим данным сделать вывод, что пори- стость конденсаторной бумаги в партиях I и II различна? 19.37. С помощью таблицы случайных чисел (см. табл. 22.10.1) получить выборку объемом 16 из нормального распределения со средним a = 1 и дисперсией сг2 = 0,01. Проверить, воспользовавшись критерием Колмогоро- ва, действительно ли полученная последовательность чи- сел является реализацией выборки из указанного нор- мального распределения.
Глава 20 Линейная регрессия 20.1 Нормальная линейная регрессия В математической статистике часто встречается сле- дующая задача. Предположим, что величины у и х связаны функци- ональной зависимостью у = а + Ьх, но коэффициенты (параметры) а и Ь неизвестны. (Зави- симость между у и х может быть и более сложнее, напри- мер, она может быть такой: у = а$ + а\х + а2Х2 или такой: у = acosx + bsina; + err, у может зависеть от нескольких переменных: у = bo + biXi + 62^2 + • • • + bd^d-) Мы име- ем возможность в данных вполне определенных точках ^1,^2, • • •, хп наблюдать значения & величины yi = a + bx^ г = 1,2, ...,п, но не точно, а с некоторой погрешностью е$, т. е. факти- чески наблюдаем & = а + bxi + е$, i = 1,2,..., п. Погрешности е$, г = 1,2, ...,п, неизвестны, однако их естественно считать независимыми (наблюдения произ- водятся независимо) нормально распределенными случай- ными величинами со средним 0 и некоторой (неизвест- ной) дисперсией сг2. По наблюдениям i = 1,2, ...,п, 419
420 Глава 20. Линейная регрессия необходимо определить (оценить) неизвестные парамет- ры а, Ь, сг2. (Разумеется, если значения yi = a + bxi, i = 1, 2,..., п, наблюдаются с погрешностью, то парамет- ры а, Ь, сг2 также будут определяться с погрешностью.) В строгой математической постановке эту задачу мож- но сформулировать следующим образом. Дана последовательность независимых нормально рас- пределенных случайных величин £1,^2, • • • ,£п соответст- венно со средними yi = a + bxi и дисперсией сг2. Парамет- ры неизвестны, их необходимо оценить по ^1,^2, • • • ,Сп- Функцию у = a + Ьх, будем называть простой нормальной линейной регресси- ей, кратко — линейной регрессией (“простая” обозначает зависимость у от одной переменной ж, “нормальная” — наблюдения нормально распределены). Далее линейную регрессию будет удобно записывать в виде у = a + /3(ж - я), — 1 п где х = 52 #i, #2, • • •, — значения переменной ж; г=1 а, /3, сг2 — неизвестные параметры. Для оценивания неиз- вестных параметров а, /3, сг2 воспользуемся методом мак- симального правдоподобия. Введем обозначения г=1 г=1 п п --- г=1 г=1 1 п R12 = - -^)(6 - О- г=1
20.1. Нормальная линейная регрессия 421 Теорема 20.1.1 (об оценках максимального правдо- подобия параметров а, /3, сг2). Пусть £i, £2,•••, £п — неза- висимые нормально распределенные случайные величины со средними = а + /?(ггг — я), i = 1,2,..., п, и дисперсией а2. Оценками максимального правдоподобия параметров а, /3, сг2 линейной регрессии у = а + (д(х -х) являются & = & Р = 4^5 а2 = ~ - (а + - я)))2. 1 г=1 Замечание. Для оценки сг2 имеет место представ- ление (е>2 \ 1 _ 1 Далее мы будем использовать обозначение а = V а2. Теорем а 20.1.2 (о распределении оценок а, /3, сг2). Оценки максимального правдоподобия « = С; 4 = а2 = - - (а + 0(Xi - ж)))2 1 г=1 параметров а, /3, сг2 нормальной линейной регрессии у = а + - х) обладают следующими свойствами: 1) d,3,cr2 — независимые в совокупности случайные величины;
422 Глава 20. Линейная регрессия 2) d,/3 — несмещенные и состоятельные оценки со- ответственно а и /3, а2 — асимптотически несмещен- 9 ная и состоятельная оценка а. 3) d — а (20.1.1) Г-^ tn 2 ч У <72/(п - 2) Р-Р . (20.1.2) 1 ^п—2 ч - 2)) О’2 2 п~2 ~ Хп-2; сг (20.1.3) ((d-a)2 + S2(/3-/3)2) /2 1О (20.1.4) -Г 2\п—2ч а2/(п - 2) (знак ~ заменяет оборот “имеет распределение”). По известным распределениям оценок d, /3, сг2 (см. (20.1.1), (20.1.2), (20.1.3), (20.1.4)) можно построить кри- терии проверки гипотез о параметрах о, /3, сг2 и довери- тельные интервалы для них. Критерий для проверки гипотезы Hq : /3 = /3q. Если гипотезу Hq : /3 = /Зо отклонять при a /(Si у/п — 2) (20.1.5) > 2 и не отклонять в противном случае, то с вероятнос- тью 27 гипотеза Hq будет отклоняться, когда она вер- на {альтернатива двусторонняя). В частности, гипотеза Hq : /3 = 0 (гипотеза о значимо- сти линии регрессии) проверяется при помощи критерия: если гипотезу Hq : /3 = 0 отклонять при <t/(Si \/п — 2) > ^7;n—2 (20.1.6)
20.1. Нормальная линейная регрессия 423 и не отклонять в противном случае, то с вероятнос- тью 27 гипотеза Но будет отклоняться, когда она вер- на (альтернатива двусторонняя). Критерий для проверки гипотезы Но : а = а0. Если гипотезу Hq : а = ао отклонять при дс — OLQ а/\/п — 2 (20.1.7) > 2 и не отклонять в противном случае, то с вероятнос- тью 27 гипотеза Но будет отклоняться, когда она вер- на (альтернатива двусторонняя). В частности, гипотеза Но : о = 0 проверяется с по- мощью критерия: если гипотезу Но : а = 0 отклонять при . . >tr,n-2 (20.1.8) и не отклонять в противном случае, то с вероятнос- тью 27 гипотеза Но будет отклоняться, когда она вер- на (альтернатива двусторонняя). Критерий для проверки гипотезы Hq : а2 = сгд. Если гипотезу Hq : сг2 = <Jq отклонять при а2 n—Q ^0 А/у;п—2> (20.1.9) и не отклонять в противном случае, то с вероятнос- тью 7 гипотеза Hq будет отклоняться, когда она верна (альтернатива односторонняя: а2 > Oq). Критерий для проверки гипотезы Но : а = «о, /3 = /30. Если гипотезу Но : а = ао, /3 = /Зо отклонять при ((а-а0)2 +W-^o)2) а2/(п — 2) /2 > -^7;2;п—2 (20.1.10) и не отклонять в противном случае, то с вероятнос- тью 7 гипотеза Но будет отклоняться, когда она верна (альтернатива: а ао или f3 / До) •
424 Глава 20. Линейная регрессия Доверительные интервалы для параметров про- стой линейной регрессии. Доверительные интервалы с коэффициентом надежности 1 — 27 Для параметров о, /3, сг2 просто получить из (20.1.1), (20.1.2), (20.1.3): d --------—tyn—2 < о < d + у--------—tyn—2<) (20.1.11) V п — 2 V п — 2 3 — Гу,п-2 < Д < 3 + — \ ty-n-2^ (20.1.12) bi\/n — 2 bi\/n — 2 Ху,п-2 Х1-7;п-2 Доверительным интервалом с коэффициентом надеж- ности 1 — 27 Для значения уо = a + Д(^о — ^) линии ре- грессии у = а + /3(х - х\ в точке хо является d + /3(^0 - #) - ^7;п-2 1 п — 2 (#0 - я)2 «г <а + /3(^о - #) < (20.1.14) Совместная доверительная область для а и /3, доверительная область для регрессии. Из (20.1.4) можно получить доверительную область с коэффициен- том надежности 1 — 7 для пары (о,/3): (о-*)2 ! (£-/?)2 2Д;2;п-2 а2/(п - 2) 2F7;2;„_2 a2/(S2(n - 2)) (20.1.15) Границей этой области является эллипс.
20.1. Нормальная линейная регрессия 425 Доверительной областью с коэффициентом надежно- сти I — 7 для линии регрессии у = a + /3(х — х) является Л / / 1 \ & + /3(ж - х) - ay/FTt2-n-2\ -X I 1 + ^2— ) - у TL Z у J < a + /3(х — х) < Л X (х_____X ) 2 \ < a + /3(ж - х) + ay/FrAn-2\ --z I 1 + —-^2— ) у ГЬ Zi у J (20.1.16) (с вероятностью 1 — 7 линия регрессии у = a + /3(х — х) при всех х лежит в указанной области). Проверка адекватности линейной регрессии. Ес- ли имеются повторные наблюдения, то можно ответить на вопрос: “Адекватно ли линия регрессии у = ot+fl(x—~x) описывает данные?” Под повторными наблюдениями в точке Xj значения yj = f(xj) будем понимать независимые нормально рас- пределенные случайные величины £j,i,£j,25 • • • , — со средним У1 = f(xj) : = f(xj), ^=1,2,..., nj, (20.1.17) и дисперсией сг2. Всего имеется к точек х^ в которых про- водились наблюдения, т. е. j = 1,2,..., к. Число (количе- ство) наблюдений, как и ранее, будем обозначать через п, так что к n = ^nj. J=1 Для дисперсии сг2 наблюдений (дисперсии случайных величин v = 1,2,..., nj, j = 1,2,..., fc) можно пред- ложить оценку к rij j=l У=1
426 Глава 20. Линейная регрессия где _ 1 пз к = ~~ J — 1? 2,..., fc, п = пр ПЭ „=1 J=1 Оценка з? описывает разброс наблюдений £7)1, вне зави- симости от того, говорим мы о регрессии или нет. Оценка । __________ *2 = 7----о 12 “ (« + ~ Ж))2 К Zi J=1 описывает разброс наблюдений £j>IZ относительно эмпи- рической линии регрессии у = а + Р(х-х). Если выполнены предположения (20.1.17), и функция /(ж) имеет вид /(ж) = a + /3(х — ж), то отношение s^/s^ имеет ^_2;П-д:-распределение. Поэто- му для проверки гипотезы Но : = a + /3(xj — х), v = 1,2,..., nj, j = 1,2,..., fc (гипотезы об адекватности описания линейной регресси- ей данных) имеем следующий критерий. Если гипотезу Но отклонять при я2 ^2 771 о > -Г'у;к—2;п—к S1 и не отклонять в противном случае, то с вероятно- стью 7 гипотезу будем отклонять, когда она верна. Замечание 1. Выписывая оценки d, /3,сг2 соответ- ственно параметров а, /3, <т2 и значение х, в случае по- вторных наблюдений удобно пользоваться двойными ин- дексами не только для наблюдений: = 1,2,..., nj] j = 1,2,..., k,
20.1. Нормальная линейная регрессия 427 но и для точек Xj, в которых проводились наблюдения, а именно Xj^y — Xj, v — 1,2,..., Wj , j — 1,2,..., к. При этом для я, Si, £, S2, -R12 (см. теорему 20.1.1 об оцен- ках параметров) мы получим следующие выражения: 1 х = — п у к nj k nj = 52^> - = n £ ~ = j=l l/=l j=l l/=l J=1 Л к rij k nj £= й 52 52 s2 = - J2 52 - £)2; 5=1 v=l J=1 v=l 1 k ni R\2 — — 5? 52 — — £) — n j=l „=1 1 к ni = ~ 5? 5? ^xj ~ ~ ^)- j=i i/=i Замечание 2. Если повторные наблюдения отсут- ствуют, т. е. nj = 1, j = 1,2,..., fc, то к к n = ^2nj = J21 = & = j = 1,2, • • • Л- J=1 5=1 При этом оценку дисперсии сг2 получить невозможно и, как следствие, невозможно получить и критерий для проверки адекватности линейной регрессии.
428 Глава 20. Линейная регрессия Проверка адекватности теории эксперименту. Пусть Х2ч..., хп — теоретически предсказанные зна- чения некоторой измеряемой величины, а ^1,^2? • ~ фактические ее наблюдения. Возникает вопрос — можно ли с точностью до погрешности считать, что теория со- гласуется с наблюдениями. Другими словами, можно ли расхождения £1 —£1, £2“#2, • • •,t>n~Xn объяснить погреш- ностью наблюдений или они свидетельствуют о неадек- ватности теории? Один из возможных подходов состоит в следующем. Предположим, что наблюдаемая величина у и теорети- чески предсказанная х связаны линейной зависимостью у = a + /?(# - х) (х — п 52 хг введено для удобства). В эксперименте мы г=1 наблюдаем & = a + ^(Xi -х) +бг, i = 1,2,..., п, где ei — погрешности наблюдений. По на- блюдениям ^1,^2, • • • ,Сп можно оценить неизвестные па- раметры и проверить относительно них специальным об- разом выбранные гипотезы: 1) Hq-г. /3 = 0; 2) Hq-2- /3 = 1; 3) Hq,4: /3 = /?о — 1; — ао — х- В зависимости от то- го, отклоняются эти гипотезы или нет, можно говорить о согласии или несогласии теории с экспериментом. 1. Гипотеза Hq-i : /3 = 0. Неотклонение гипотезы обо- значает, что предсказанный теорией эффект вообще от- сутствует. 2. Гипотеза Hq-2 • /3 = 1. Неотклонение гипотезы сви- детельствует в пользу согласия теории с экспериментом, если при этом а—х ± 0, то присутствует систематическая ошибка. 3. Гипотеза Но,4 : /3 = /3q = 1; Q = «о = ^- Неотклоне- ние гипотезы трактуется как согласие теории с экспери- ментом. Пример 20.1.1 (эксперимент Эддингтона). Рассмот- рим пример проверки адекватности теории эксперимен- ту. Речь идет о проверке общей теории относительно- сти по отклонению луча света в поле тяготения. Дан- ные для статистической обработки взяты из сборника
20.1. Нормальная линейная регрессия 429 статей Альберта Эйнштейна: “Физика и реальность” {М.,“Наука”, 1965). Схема опыта, проведенного под руководством Эддинг- тона, состоит в следующем {см. рис. 20.1.1). Пусть звез- да лежит примерно в плоскости земной орбиты. Тогда в момент, когда Земля находится в положении 1, звезда видна в направлении 1. Через полгода Земля окажется в положении 2, и ес- ли бы луч света в поле тяготения Солнца не откло- нялся, звезда из положения 2 Земли в направлении 2 не наблюдалась бы. Но звезда из положения 2 тем не ме- нее наблюдается {см. рис. 20.1.1), она как бы смещает- ся, и это смещение можно вычислить. {Разумеется, на- блюдать звезду из положении 2 Земли в направлении 2 можно лишь в момент полного солнечного затмения.) Направление 2 Земля в положении 2 Земная орбита Земля в \ положении 1 Направление 1 Луна Солнце Видимое положение звезды Луч света, отклонённый Солнцем Звезда Рис. 20.1.1: Отклонение луча света звезды в поле тяготения Солнца Для наблюдения было выбрано 7 звезд. Их видимые перемещения {векторы на небесной сфере, которые из-за малости можно считать векторами на плоскости) раз- лагались по двум осям координат. Полученные резуль- таты {в угловых секундах) приведены в табл. 20.1.1,
430 Глава 20. Линейная регрессия 20.1.2, где Xi — вычисленная координата вектора пере- мещения, & — наблюденная координата вектора пере- мещения. Согласуются ли вычисленные значения координат век- торов перемещений с наблюденными? Таблица 20.1.1. Первая координата Xi -0,22 +0,31 +0,10 +0,12 +0,04 +0,09 +0,85 & -0,19 +0,29 +0,11 +0,20 +0,10 -0,08 +0,95 Таблица 20.1.2. Вторая координата Xi +0,02 -0,43 +0,74 +0,87 +0,40 +0,32 -0,09 & +0,16 -0,46 +0,83 +1,00 +0,57 +0,35 -0,27 Решение. Рассмотрим вопрос о согласии вычислен- ных значений координат с наблюденными для первой ко- ординаты (см. табл. 20.1.1). Будем предполагать, что вычисленные (предсказан- ные теорией) значения х координат и наблюденные у свя- заны линейной зависимостью у = а + /?(# - х), где i 7 X = - = 0, 184. г=1 По результатам наблюдений (см. табл. 20.1.1) получим оценки неизвестных параметров регрессии: а = ё = 0,197; /3 = 1,081, а2 = 0,006, S? = 0,0948 (см. теорему 20.1.1). Сначала проверим гипотезу Нод • /3 = 0, неоткло- нение которой свидетельствует об отсутствии какой-либо связи между теорией и экспериментом. Согласно (20.1.6), 3 = <7/(61 у/п — 2)
20.1. Нормальная линейная регрессия 431 1,081 У0,006/(0,0948 • 5) = 9,61 > <о,О1;5 = 3,365. Так что обидная для Эйнштейна гипотеза об отсутствии связи теории с опытом отклоняется. Далее проверим гипотезу Но;2 • /3 = До — 1- Согласно (20.1.5), 3-До (t/(Si \/п — 2) 1,081-1 У0,006/(0,0948-5) = 0,72 <*o,oi;5 = 3,365. И, следовательно, гипотеза Но;2 • Д = До — 1 не отклоня- ется. Последнее можно трактовать как согласие опыта с экспериментом, но при этом возможна систематическая ошибка (если о / ж). В согласии (или несогласии) теории с опытом можно убедиться, проверяя гипотезу Но : Д = 1; a = 0,184. Согласно (20.1.10) ((а - а)2 + S?(3 - £)2)/2 a2/(n — 2) _ ((0,197-0,184)2 + 0,0948(1,081 - 1)2)/2 _ 0,006/5 = 0,33 < Ho,oi;2;5 — 13,3. Поэтому можно считать, что Д = 1; a = 0,184, а, следо- вательно, зависимость у от х имеет вид У = х, подтверждающий согласие теории с опытом.
432 Глава 20. Линейная регрессия Пример 20.1.2. В “Основах химии” Д. И. Менделе- ева приведены данные о растворимости азотно-кислого натрия NaNO$ в зависимости от температуры воды. В таблице приведены данные о количестве условных час- тей NaNO%, которые растворяются в 100 частях воды при соответствующих температурах (х — температу- ра в градусах, £ — растворимость в условных частях на 100 частей воды). X £ X £ 0 4 10 15 21 66,7 71,0 76,3 80,6 85,7 29 36 51 68 92,9 99,4 113,6 125,1 Теоретические соображения дают основания предпо- лагать, что зависимость количества растворенного ве- щества от температуры является линейной: £ = а + /3(х — х). Найти оценки максимального правдоподобия парамет- ров а, (3 и дисперсии а2. Построить доверительные ин- тервалы для a, ft, а2. Проверить гипотезу Hq : /3 = 0 о значимости регрессии . Решение. 1Д 234 л - 1ДЛ 811,3 х = - > Xi = —— = 26; £ = - / £i = —-— = 90,14, 9 9 9 9 г=1 г=1 а 1 7 9 г=1 о2 тч2 3083,98 „„ = 9 Ete - С) = —= 342,66, г=1 9 Я12 = 1 -& = = 392’75‘ У * ~ у
20.2. Задачи 433 Оценки максимального правдоподобия коэффициен- тов а, /3 простой линейной регрессии: = 0, 72. Оценка максимального правдоподобия дисперсии сг2: Л / р2 \ „2 _ / 1 _ Л12 \ . a -52V s2s22J' / 392,752 = 342,66 I 1--------------- ’ V 451,11-342,66 Уравнение эмпирической линии регрессии у = 90,14 + 0,87(я —26). Проверим гипотезу Hq : /3 = 0 о значимости линии регрессии. Согласно (20.1.6) J a/y/S2(n - 2) _______0,87_________ д/0,7158/451,11(9-2) = 57,83 > £о,О5;7 = 1? 895, поэтому гипотеза Hq : /3 = 0 отклоняется, линейная ре- грессия значимая. Согласно (20.1.11), (20.1.12), (20.1.13) доверительны- ми интервалами с коэффициентами надежности 0,90 для параметров регрессии являются: (89,54; 90,75) — для а; (0,84; 0,90) — для параметра /3; (0,46; 2,97) — для пара- 9 метра <т . 20.2 Задачи 20.1 (тормозной путь). При изучении движения уличного транспорта фиксировалось расстояние <§, прой- денное автомобилем по инерции после сигнала “остано- виться” (тормозной путь) в зависимости от скорости V.
434 Глава 20. Линейная регрессия Наблюдения проводились для различных автомобилей, с разными водителями, различным поверхностным по- крытием дороги и т. д. Результаты наблюдений приве- дены в таблице, где s — тормозной путь в метрах, v — скорость автомобиля в км/час. В предположении, что зависимость между тормозным путем автомобиля и скоростью линейная: s = a + /3(v — v), найти оценки максимального правдоподобия параметров а, /3 и дисперсии сг2; построить доверительные интервалы для параметров а,/3,сг2; проверить гипотезу о значимо- сти линейной регрессии. Проверить гипотезу об адекват- ности линейной регрессии. V S V S V S V S 6 0,6 19 7,3 26 9,8 32 14,6 3,0 8,5 12,2 15,6 11 1,2 21 7,9 27 9,8 17,1 6,7 10,4 12,2 19,5 13 4,9 10,4 15,2 35 20,1 14 3,0 14,0 29 12,8 37 16,5 16 5,5 23 7,9 17,1 39 21,3 7,9 11,0 23,2 28,0 10,4 18,3 25,6 28,4 18 5,2 24,4 31 11,0 36,6 8,5 24 6,1 14,0 40 25,9 19 4,3 7,9 20,8 6,1 16,5 32 9,8 На плоскости (v, s) изобразить исходные данные и по- строить эмпирическую линию регрессии. 20.2. Исследуется содержание аскорбиновой кислоты, сохранившейся в овощах в процессе их сушки и хранения. Далее приведено содержание сухого вещества в све- жем шпинате и содержание аскорбиновой кислоты, со- хранившейся после сушки шпината при температуре 90°С (х — содержание сухого вещества в свежем шпинате в процентах; у — содержание аскорбиновой кислоты после сушки в процентах). Имеются основания предполагать, что зависимость со- держания сохранившейся аскорбиновой кислоты от со- держания сухого вещества линейная: у = a + р(х -х).
20.2. Задачи 435 Найти оценки максимального правдоподобия парамет- ров а,/3 простой линейной регрессии и дисперсии сг2, по- строить доверительные интервалы для параметров а, /3, 9 и a , проверить гипотезу о значимости регрессии, гипо- тезу об адекватности линии регрессии. X У X У X У 7,8 69,4 10,0 66,7 11,2 89,6 8,2 50,9 88,9 83,8 8,9 74,0 10,1 76,0 67,9 58,6 10,2 77,2 11,8 79,9 9,0 66,4 10,3 69,8 12,3 83,1 9,2 80,6 10,7 69,0 12,5 74,2 9,5 10,0 61,9 10,8 65,2 12,9 86,0 70,9 П,1 77,2 14,9 88,2 На плоскости (ж, у) изобразить исходные данные и по- строить эмпирическую линию регрессии. 20.3. В таблице приведены результаты эксперимен- тального исследования количества тепла, выделяемого в процессе затвердения портландского ыцемента в зависи- мости от состава клинкеров (х — содержание в клинке- рах алюмината кальция ЗСаО- AI2O3 в процентах от веса клинкеров; у — количество тепла, выделенного на протя- жении 180 дней, в калориях на грамм цемента). X У X У X У 1 74,3 72,5 7 78,5 95,9 11 109,2 113,3 2 3 83,8 93,1 102,7 10 11 109,4 104,3 87,6 21 115,9 Предполагая, что количество тепла является линей- ной функцией содержания алюмината кальция: у = а + /3(я - ж), найти оценки максимального правдоподобия параметров а, /3 простой линейной регрессии и дисперсии сг2. Постро- ить доверительные интервалы для параметров а,/3,сг2, проверить гипотезу о значимости регрессии, гипотезу об адекватности линейной регрессии.
436 Глава 20. Линейная регрессия На плоскости (ж, у) изобразить исходные данные и по- строить эмпирическую линию регрессии. 20.4. Образцы медно-никелевого сплава, каждый с определенным содержанием железа, были испытаны на коррозионную устойчивость в установке с колесом. Ко- лесо вращалось в соленой морской воде со скоростью 30 футов в секунду на протяжении 60 дней. Коррозия опре- делялась по потере веса сплава (ж — содержание железа в сплаве; у — потеря веса сплава, мг/см2). Предполагая, что зависимость потери веса образца от содержания железа в сплаве линейная: у = a + /?(# - х), а результаты измерений потерь веса — независимые нор- мально распределенные случайные величины с диспер- сией сг2, найти оценки максимального правдоподобия па- раметров а,/3 и дисперсии сг2. Построить доверительные интервалы для параметров а, /3, сг2, проверить гипотезу о значимости регрессии, гипотезу об адекватности линей- ной регрессии. X У X У X У 0,01 0,48 127,6 130,1 128,0 124,0 122,0 0,71 0,95 1,19 1,44 110,8 113,1 103,9 101,5 92,3 1,41 1,96 91,4 83,7 86,2 На плоскости (ж, у) изобразить исходные данные и по- строить эмпирическую линию регрессии. 20.5 (потребление вина и смерть от сердечно- го приступа). Полезно ли вино для здоровья? Имеются данные, свидетельствующие о том, что употребление ви- на в умеренных количествах способствует предотвраще- нию сердечных приступов. В таблице приведены данные о годовом потреблении вина на человека (в литрах I алкоголя, выпитого с вином) и количестве п смертей в год от сердечных заболеваний (п — число смертей на 100 000 человек) в 19 развитых странах.
20.2. Задачи 437 Предполагая, что зависимость между количеством п смертей от сердечных приступов и потреблением I вина линейная: п = a + /3(Z — Z), найти оценки максимального правдоподобия параметров а,/3 и дисперсии сг2. Построить доверительные интерва- лы для а, /3, сг2. Проверить гипотезу о значимости регрес- сии. Страна 1 п Страна 1 п Австралия 2,5 3,9 211 Нидерланды 1,8 167 Австрия 167 Новая Зеландия 1,9 266 Бельгия 2,9 131 Норвегия 0,8 227 Канада 2,4 191 Испания 6,5 86 Дания 2,9 220 Швеция 1,6 207 Финляндия 0,8 297 Швейцария 5,8 115 Франция 9,1 71 Великобритания 1,3 285 Исландия 0,8 211 США 1,2 199 Ирландия 0,7 300 Германия 2,7 172 Италия 7Д 107 На плоскости (Z, п) изобразить исходные данные и по- строить эмпирическую линию регрессии. 20.6 (остеопения и количество выводимого из организма кальция). Потеря кальция в костной ткани человека — остеопения 1, 2, 3, 4 степени в своих тяже- лых формах (4-я степень остеопении — остеопороз) ведет к разрушению костной ткани. В настоящее время остео- пороз приобретает формы широко распространенного за- болевания. Степень потери кальция в костной ткани че- ловека определяют при помощи ультразвуковой денсито- метрии, которая мало доступна как по причине ее до- роговизны, так и недостаточной обеспеченности соответ- ствующей аппаратурой. Предлагается метод диагности- рования степени остеопении — по содержанию кальция, выводимого с мочой. Обозначим через Т результат денси- тометрического исследования, характеризующего плот- ность костной ткани и содержание кальция в ней. Ес- ли значение Т принадлежит промежутку [—г — 1; —г), то состояние костной ткани определяется как г-я степень остеопении, i = 1,2,3,4. При значении Т из промежутка [—2; —1) степень остеопении классифицируется как сред- няя, при Т < — 2 — как тяжелая. Через С а обозначим
438 Глава 20. Линейная регрессия количество кальция, выводимого с мочой. Исходя из дан- ных Института гастроэнтерологии Академии медицинских наук Украины (см. таблицу), убедиться, что между вели- чинами Т и Са существует линейная зависимость — по- стройте линейную регрессию Т на С а. Проверьте гипоте- зы о значимости и адекватности линейной регрессии. По известной зависимости Т от Са дифференцируйте тяже- лую форму остеопении (остеопороз) по количеству выво- димого Са. Са Т Са Т Са Т Са Т 2,2 0,23 3,12 -1,63 3,84 -2,1 4,4 -1,77 0,6 3,2 -0,21 4,1 -1,51 4,63 -1,61 2,24 -1,21 2,06 4,12 -1,86 4,8 -1,04 2,32 -0,04 -1,2 -0,65 5,8 -2,13 2,5 0,14 -1,49 4,2 -0,8 5,84 -2,94 2,6 0,49 3,35 -0,9 -0,6 5,9 -2,34 0,07 3,5 -1,4 0,54 6,1 -2,56 2,62 -0,02 0,23 -2,23 6,7 -1,62 2,64 -0,27 3,6 -0,15 4,24 0,15 6,8 -2,67 2,67 -1,62 -0,2 0,0 6,82 -2,96 2,76 -0,05 -0,2 4,3 -1,43 7,82 -4,08 2,8 -1,84 1,0 4,32 -1,8 -3,61 -2,04 3,64 -1,46 4? 4 -1,61 -2,91 На плоскости (Са, Г) изобразить исходные данные и построить эмпирическую линию регрессии. 20.7. В таблице приведено содержание в процентах крахмала и протеина в зернах пшеницы, которым харак- теризуется качество пшеницы (у — содержание протеина, х — содержание крахмала). Определение протеина требу- ет сложного химического анализа, тогда как содержание крахмала определять просто. У X У X У X 10,3 60 10,8 45 14,4 85 12,2 75 11,4 51 15,8 96 14,5 87 11,0 17 15,6 92 11,1 55 10,2 36 15,0 94 10,9 34 17,0 97 13,3 84 18,1 98 13,8 74 19,0 99 14,0 91 10,1 24 Предполагая, что зависимость содержания протеина от содержания крахмала линейная: у = а + /3(ж-ж),
20.2. Задачи 439 найти оценки максимального правдоподобия параметров а,/3 и дисперсии сг2. Построить доверительные интерва- лы для параметров а,/3,сг2. Проверить гипотезу о значи- мости регрессии. На плоскости (ж, у) изобразить исходные данные и по- строить эмпирическую линию регрессии. 20.8. В таблице приведены результаты измерения ско- ростей v (в км/сек) и расстояний s до Земли (в миллионах парсек) для десяти внегалактических туманностей. V S V S 1,20 630 9,12 4820 1,82 890 10,97 5230 3,31 2350 14,45 7500 7,24 3810 22,91 11800 8,92 4630 36,31 19600 Предполагая, что скорость галактики линейно зави- сит от расстояния: v = a + /3(s — s), найти оценки параметров а,/3 и дисперсии сг2; построить доверительные интервалы для параметров а,/3,сг2. Про- верить гипотезу Hq : /3 = 0 о значимости регрессии. На плоскости (s, v) изобразить исходные данные и по- строить эмпирическую линию регрессии. 20.9 (стоимость эксплуатации самолета и его “возраст”). Дирекция авиакомпании с целью планиро- вания расходов хочет установить количественную зави- симость стоимости эксплуатации самолета от продолжи- тельности его эксплуатации (от “возраста” самолета). Со временем из-за старения деталей и узлов самолета ком- пания несет большие затраты на поддержание его в ра- бочем состоянии, в частности, необходимо чаще прово- дить ремонтно-профилактические работы, заменять от- дельные узлы. В таблице приведены данные о стоимости эксплуата- ции самолетов и их “возрасте” (ж — “возраст самолета” в годах; у — стоимость эксплуатации самолета в течение полугода в долларах). Предполагая, что зависимость стоимости эксплуата- ции самолета от его “возраста” линейная, найти оценки
440 Глава 20. Линейная регрессия максимального правдоподобия параметров а, /3 и диспер- сии сг2. Построить доверительные интервалы для пара- метров а,/3,сг2. Проверить гипотезу о значимости линей- ной регрессии, гипотезу об адекватности линейной рег- рессии. X У X У 4,5 619 5,5 987 1049 0,5 163 1033 182 4,0 495 6,0 764 723 1373 681 1,0 978 5,0 890 466 1522 549 1194 На плоскости (ж, у) изобразить исходные данные и по- строить эмпирическую линию регрессии. 20.10. Ниже приведены результаты эксперимента по изучению нового метода измерения скорости крови в ор- ганизме человека (х — скорость крови, найденная стан- дартным методом, у — с помощью нового метода). X У X У X У 1190 1115 1900 1830 2720 2630 1455 1425 1920 1920 2710 2740 1550 1515 1960 1970 2530 2390 1730 1795 2295 2300 2900 2800 1745 1715 2335 2280 2760 2630 1770 1710 2490 2520 ЗОЮ 2970 Предполагая, что зависимость скорости крови, изме- ренной с помощью нового метода и стандартного, линей- на: у = a + /3(я - х), найти оценки максимального правдоподобия параметров а,/3 и дисперсии сг2. Построить доверительные интерва- лы для а, /3, сг2. Проверить гипотезу о значимости регрес- сии. На плоскости (ж, у) изобразить исходные данные и по- строить эмпирическую линию регрессии.
20.2. Задачи 441 20.11. Функциональной и структурной единицей нерв- ной системы является нейрон (нервная клетка), составля- ющей которого является дендрит (он по форме напомина- ет дерево). Большинство характеристик дендрита нейро- на — случайные величины, в частности, диаметр сегмента дендрита нейрона. В таблице приведены результаты измерений (в мкм) диаметра у начала дочернего сегмента и диаметра х кон- ца материнского сегмента. Предполагая, что зависимость у от х линейная: у = a + /?(# - ж), найти оценки максимального правдоподобия параметров а,/3 и дисперсии сг2. Построить доверительные интерва- лы для параметров а,/3,сг2. Проверить гипотезу о зна- чимости регрессии, гипотезу об адекватности линейной регрессии. X У X У X У X У 0,40 0,40 0,60 0,60 0,75 0,60 1,00 0,45 0,45 0,45 0,60 0,70 0,55 0,45 0,60 0,75 0,75 0,45 0,65 0,35 0,75 0,85 0,45 0,45 0,80 0,40 0,85 0,45 0,45 0,50 1,00 0,5 0,40 0,45 0,50 1,05 0,60 0,40 0,50 0,50 0,65 0,45 0,50 0,60 0,75 0,45 0,50 0,60 1,10 0,90 0,50 0,60 0,80 1,15 0,60 0,50 0,60 0,85 0,50 0,65 0,70 0,65 0,55 1,20 0,65 0,55 0,35 0,65 0,55 1,25 0,85 0,40 0,65 0,60 1,00 0,45 0,65 0,65 1,30 0,85 0,45 0,65 0,65 1,35 0,90 0,55 0,70 0,45 0,65 0,90 0,55 0,45 0,85 1,00 0,55 0,50 0,90 0,90 1,60 0,55 0,50 0,90 1,40 0,75 0,55 0,55 0,95 0,60 1,45 0,75 0,55 0,65 0,60 1,50 0,90 0,60 0,50 0,80 0,80 1,60 0,95 0,55 0,75 0,50 0,95 1,65 0,65 0,60 0,50 1,05
442 Глава 20. Линейная регрессия На плоскости (ж, у) изобразить исходные данные и по- строить эмпирическую линию регрессии. 20.12. Проверить, согласуется ли теория с экспери- ментом по второй координате (см. пример 20.1.1 и данные таблицы 20.1.2). Найти оценки максимального правдоподобия парамет- ров а, /3 и дисперсии сг2, построить доверительные интер- валы для параметров а,/3,сг2. 20.13 (барометрическое давление и точка кипе- ния воды). Исследовалась зависимость между баромет- рическим давлением и точкой кипения воды. Цель иссле- дования — оценить высоту над уровнем моря по темпе- ратуре кипения воды. В горных условиях для определе- ния барометрического давления удобнее измерять темпе- ратуру кипения воды. В таблице приведены данные об измерениях барометрического давления и точки кипения воды в 17 экспериментах. Номер Дав- ление Точка кипения Номер Дав- ление Точка кипения 1 20,79 194,5 10 24,01 201,3 2 20,79 194,3 11 25,14 203,6 3 22,40 197,9 12 26,57 204,6 4 22,67 198,4 13 28,49 209,5 5 23,15 199,4 14 27,76 208,6 6 23,35 199,9 15 29,04 210,7 7 23,89 200,9 16 29,88 211,9 8 23,99 201,1 17 30,66 212,2 9 24,02 201,4 Предполагая, что зависимость барометрического дав- ления от точки кипения воды линейная: у = a + /3(я - х), найти оценки максимального правдоподобия параметров а,/3 и дисперсии сг2. Построить доверительные интерва- лы для а, /3, сг2. Проверить гипотезу о значимости регрес- сии.
Глава 21 Решения, указания, ответы 21.1 К главе 1 1.1° . тп. 1.2°. 49; 42. 1.3°. 17 • 16 • 15. 1.4° . 4-5-5. 1.5°. 4-4-3. 1.6°. 7! 1.7° . 1.8°. 9 • 10 • 10 • 10 • 2. 1.9°. 262 • 104. 1.10. 16 • 15 • 14 • С^. 1.11°. С$. 1.12°. С%. 1.13° . 4! 1.14. (ai + 1)(а2 + 1)... (ап + 1). 1.15. 2-(п-1)! 1.16°. А$5. 1.17°. Aj. 1.18. (п-2)! 1.19. Су, указанные числа однозначно задаются мно- жеством своих цифр. 1.20. С40. 1.21* . Заполняем все клетки таблицы, кроме клеток последней строки и последнего столбца (правого), чис- лами +1 и —1 (согласно правилу умножения, это можно сделать способами). Заполняем п — 1 клеток последней строки, кроме последней (правой) так, чтобы произведение чисел в каждом столбце равнялось +1. За- полняем клетки последнего столбца так, чтобы произве- дение чисел в каждой из т — 1 первых строк и в послед- нем столбце равнялось +1. Следовательно, произведение чисел в каждом столбце будет равно +1 и в каждом из т — 1 первых строк будет равно +1, но тогда произведе- ние чисел и в последней строке будет равно +1, поскольку 443
444 Глава 21, Решения, указания, ответы в таблице произведение чисел по строкам равно произве- дению по столбцам. Ответ: 1.22. Из р + 1 промежутков между белыми шарами (учитывая два крайние бесконечные промежутка) выбе- рем q, в которых расположим черные шары. Это можно сделать способами. 1.23 (3). Последовательно проводим на плоскости пря- мые. Пусть проведено п — 1 прямых и Ап-\ — число ча- стей плоскости, которые при этом образовались. Прове- дем n-ю прямую. К Ап-\ частям п-я прямая добавит еще п частей, поэтому л4п — An—i + п. Подробнее: Ai = 2, А2 = Ai + 2,..., Ап = Ап-\ + п,... Складывая почленно первые п равенств, получим Ответы: 1) С^; 2) С^; 3) п(п+1)/2+1; 4) 2п — количе- ство неограниченных частей, п(п — 3)/2 +1 — количество ограниченных. 1.24. п(п-3)/2. 1.25. Каждая точка пересечения диагоналей задает четыре вершины n-угольника и наоборот, поэтому число точек пересечения диагоналей равно С^. 1.26* . Всего диагоналей N = п(п — 3)/2 (см. задачу 1.24). Пусть k — 1 первых диагоналей делят многоуголь- ник на Ak-i частей. Проведем fc-ю диагональ. Обозначим через pk число точек пересечения к-й диагонали с первы- ми к — 1 диагоналями. Тогда Ak = А^-1 + (pk + 1)- Ответ: 1 + + п(п — 3)/2. 1.27. Воспользоваться методом математической ин- дукции. 1.28. Записать элементы в список и приписать каж- дому из них номер места в списке.
21,2, К главе 2 445 1.29. Воспользоваться правилом умножения. 1.30. С одной стороны, n-элементное множество мож- но упорядочить п! способами. С другой — С^к\(п—к)\ спо- собами — сначала разбить его на два непересекающихся подмножества (С^ способами), а затем упорядочить каж- дое из них (соответственно к\ и (n — fc)! способами). По- этому п\ = С^к\(п — к}\ 1.32. С одной стороны, n-элементное множество мож- но упорядочить п\ способами. С другой стороны — Сп(&1, • • • ч km)kilk2^... кт1 способами — сначала разбить его на т непересекающихся подмножеств, содержащих соответственно fci, &25 • • • , кт элементов (это можно сделать Cn(fci, А?2> • • • > &т) способа- ми), а затем упорядочим каждое из них соответственно fci!, к2кт\ числом способов. Поэтому п\ = Cn(ki,k2)..., fcm)fci!fc2! • • • кт\ 1.33. Слово задается выбором мест под букву каждо- го типа (разбиением множества на подмножества). 1.34. Cm+n+s(m,n,s). 1.35. C3n(n,n,n). 1.36. Слову ДЛИНОЙ п ИЗ Г1 букв tti, Г2 букв tt2, • • • , букв (а таких слов n!/(ri!r2!.. .г^!)) соответствует произведение a^a2 ... . 1.37. Каждому сочетанию с повторениями из т эле- ментов по п можно поставить в соответствие последо- вательность из п нулей, разделенных т — 1 единицами (причем число нулей между единицами равно числу эле- ментов данного типа) и наоборот. 21.2 К главе 2 2.1 °. а) А — герб не выпал; б) В — хотя бы один промах в трех выстрелах в) С — ни одного попадания в трех выстрелах. 2.2 °. а) А_= Л П А2_П А3; б) В = Аг ПА2 П А3; в) С = (Ai П А2 П A3)U (Ai П А2 П A3)U (Ai П А2 П А3);
446 Глава 21. Решения, указания, ответы г) D = (Ai П А2 П A3) U (Ai П А2 П А3) U (Ai П A2 П A3) U U(Ai П A2 П A3)._ _ _ 2.3 °. а) А П В П С; б)_А П_В П в) А_П В П С; г) АиВиС; д) (АПВПС) U (АПВПС) U (АПВПС); е) АПВПС. 2.4 . a=Qa, b = Qa, i=i i=i С = (Ai П А^ П Аз П ... П А^) U (А7 П А2 П Аз П ... ... П А^) U ... U (Ai П Аг П A3 П ... П An). 2.5 . m n m n a= и U & = A U j=l г=1 j=l г=1 2.7° . Пространство Q — множество упорядоченных nap (z,j), г, j = 1,2,..., 6, согласно правилу умножения n(Q) = 6-6 = 36; А = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}, п(А) = 5; В — множество пар (г, j), в которых встреча- ется 6, п(В) = 11; С — множество пар (г, j), в которых i принимает значения 2,4,6, п(С) = 18; D = {(z,j) : г, J = 1,3,5}, п(В) = 9. 2.11. Пространство Q состоит из n-элементных под- множеств TV-элементного множества изделий; в событие А входят те из них, которые содержат ровно тп бракован- ных изделий; n(Q) = С^; п(А) = 2.12. Пространство Q состоит из последовательностей длиной 7, образованных из 10 чисел (номеров этажей, на которых останавливается лифт); в событие А входят по- следовательности, состоящие из различных чисел; n(Q) = 107; n(A) = 10-9...4. 2.13. Q = {Г, РГ, РРГ,..А = {РР„.РГ}, В = = {Г,РГ,РРГ,...,РР.;.РГ}; С = {Г,РРГ,РРРРГ,.. D = {РГ, РРРГ, РРРРРГ,...}.
21,2, К главе 2 447 2.14. Можно предложить по меньшей мере два про- странства элементарных событий этого стохастического эксперимента. Если обозначить белый шар через ТУ, чер- ный — через В, то множеством исходов стохастического эксперимента будет Q = {ТУТУ, ТУВ, ВТУ}. Если белый шар, который кладут в урну, обозначить, например, через ТУ*, то Q* = {ТУТУ*, ТУ*ТУ, ВТУ*, ТУ*В}. 2.15. Q состоит из слов длиной п, образованных из “букв” 1,2, ...,6; n(Q) = 6П. Событие А описывается словами длиной п, образованными из п\ букв 1, букв 2, ..., tiq букв 6; п(А) = п!/(п1!п2! .. . ng!). 2.16. n(Q) = п(А) = п(В) = C^Cl См. также задачу 3.3. и 3.11. 2.17. n(Q) = 12г; п(А) = 12г - 12 • 11... ... (12 —(г —1)); n(B) = rllr-1; п(С) = 12г-1Г; п(В) = = 11г. 2.18. n(Q) = п!; п(А') = (п — 1)!; п(В) = (п — 2)! 2.19. Q — множество упорядоченных троек, состав- ленных из чисел от 1 до 6; А — подмножество упорядо- ченных троек, в которых 1 встречается один раз; В — в которых 6 встречается ровно два раза; С — составлено из различных чисел; D = {(1; 1; 1), (2; 2; 2),..., (6; 6; 6)}; n(Q) = 63; п(А) = Сз52; n(B) = Cf5; п(С) = 6-5-4; п(В) = 6. 2.20. Q — множество всех бесконечных последова- тельностей, образованных буквами Г, Р на нечетных ме- стах и цифрами 1,2,..., 6 на четных. Событие А описыва- ется последовательностями из Q, которые записываются до первого появления буквы Г буквами Р на нечетных местах и цифрами 1,2, ...,5 — на четных. Событие В описывается последовательностями из Q, которые запи- сываются до первого появления цифры 5 буквами Р на нечетных местах и цифрами 1,2,3,4,6 — на четных. 2.21* . Каждой частице поставим в соответствие но- мер ячейки, в которой она оказалась. Q — множество последовательностей, длиной п, составленных из чисел 1,2,..., т. Событие А описывается последовательностя- ми длиной п, составленными из fci единиц, к<2 двоек, ..., кт чисел т, 2.22* . Q — множество последовательностей (#i, #2, • • • ..., составленных из неотрицательных чисел, таких,
448 Глава 21, Решения, указания, ответы что Х1+Х2 + ••• + хт = п. Событие А описывается последовательностями (#1, #2, • • • ..., хт), образованными положительными целыми числа- ми. 21.3 К главе 3 3.1. Р(А) = 1 - Р(Л) = 1 - А£65/365г. 3.2. Р(А) = 1 - А^2/12г, если г < 12, и Р(А) = 1, если г > 12. 3.3. Мы будем различать подгруппы: подгруппа 1° и подгруппа 2°. Исход эксперимента — упорядоченная пара n-элементных подмножеств 2п-элементного множе- ства (пространство элементарных событий — множество всех таких пар). При этом выбор одного из п-элементных подмножеств пары (одной из подгрупп, например под- группы 1°), определяет состав другого подмножества (подгруппы 2°). Поэтому исходов всего Модель клас- сическая. Событие А — “две наиболее сильные команды оказа- лись в разных подгруппах” — описывается упорядочен- ными парами n-элементных подмножеств, в состав каж- дого из которых входит ровно одна из наиболее сильных команд. Поэтому Р(А) = С'С^/С^. Событие В — “две наиболее сильные команды оказа- лись в одной подгруппе” описывается упорядоченными парами n-элементных подмножеств такими, что в состав одного n-элементного подмножества входят две наиболее сильные команды, в состав другого — ни одной. Поэтому сначала выберем подгруппу (1° или 2°), в состав которой войдут две наиболее сильные команды (С<| способами), а затем дополним ее до полного состава способами. Отсюда Р(В) = с®2/^-
21,3, К главе 3 449 3.4° . 1/5! 3.5. 2/п, 3.6. l)Cf0/Cf5; 2) С^С^/С^ 3) C^qCI/C^+C^q/C^ 4) 1 — ^20/^25 — ^20^5/^25 • 3.7. 1/26. 3.9. Решение 1. Будем считать буквы различимы- ми, например, А1,А2,Аз,М1,М2,Т1,Т2. Исход эксперимен- та — перестановка из 10 различимых букв. Модель клас- сическая. Событие А — получилось слово “математика” — образуют перестановки, в которых буквы стоят на сво- их местах. Таких перестановок 3!2!2! Поэтому Р(А) = = 3!2!2!/10! Решение 2. Исход эксперимента — слово длиной 10, составленное из букв А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Та- ких слов 10!/3!2!2! Событие А состоит из одного слова, поэтому Р(А) = 3!2!2!/10! 3.10. Исход эксперимента — перестановка из п эле- ментов. Событие “между А и В расположены г человек” описывается перестановками, в которых между элемен- тами А и В размещено г элементов. Число таких пере- становок равно (п — г — 1)2!(п — 2)! Искомая вероятность равна 2(п — г — l)/(n(n — 1)). 3.11. а) С'СЪ/С™-, б) ClC^/C™. 3.12. {k-^n-k-)/Cl 3.13. Каждому пассажиру припишем номер вагона, в который он садится, ш — последовательность длиной 9, составленная из чисел 1,2,3 (слово длиной 9, образован- ное “буквами” 1,2,3); модель классическая. Событие “в каждый вагон сядут по три пассажира” описывается словами длиной 9, образованными 3 едини- цами, 3 двойками, 3 тройками; таких слов 9!/(3!3!3!). По- этому искомая вероятность равна Событие “в один вагон сядут четыре, второй — три, третий — два пассажира” описывается последовательнос- тями (словами) длиной 9, образованными цифрами (бук- вами) 1,2,3, причем одна цифра встречается четыре, дру- гая три, третья два раза. Подсчитаем число таких слов. Первым действием выбираем букву (цифру), которая встречается четыре раза (тремя способами), затем ту, ко- торая встречается три раза (двумя способами); встреча- 9!/(3!3!3!) 3d
450 Глава 21, Решения, указания, ответы ющуюся два раза, может быть выбрана одним способом. Вторым действием из выбранных букв (цифр) образуем слово длиной 9 с заданным числом букв (9!/(4!3!2!) спосо- бами). Поэтому описанных выше слов, согласно правилу умножения, 3! • 9!/(4!3!2!). Следовательно, искомая веро- ятность равна 3!9!/(4!3!2!) З9 3.14. А7о/1О7, что приближенно равно 0,06. m min {М, n} /^п—к 3.15. 12!/1212. 3.16. См^~м, £ м^~м. к=т+1 min{m,r} svr—s 3.17. ^2 , если r < n — m, и 1, если s=l r > n — m, 3.18. £ S=r 3.19. Ar = {участник угадал г видов}, г = 3,4,5,6; Р(А3) = 0,017650, Р(Л4) = 0,000969, Р(А5) = 0,000018, Р(Аб) = 0,00000007151, Р{участник получил выигрыш} = = P(A3UA4UA5UA6) = Р(А3) + Р(А4) + Р(А5) + Р(А6) = = 0,01863707115. 3.20. 12!/(26612), что составляет приблизительно 0,0034. 3.21. n!/(6"ni!n2!... п6!). 3.22°. 1/4! 3.24° . Р(А) = 3/8, Р(В) = 7/8, Р(А П В) = 3/8, Р(В/А) = 1. 3.25. l/e71"1. 3.26°. 1/65. 3.27. Если лица садятся в ряд, искомая вероятность равна 2/п, Способы размещения лиц за круглым столом отлича- ются взаимным размещением лиц между собой. Сначала размещаем за круглым столом первое из двух указанных лиц (не имеет значения на каком месте — стол круглый). Далее перенумеруем оставшиеся места, напри- мер против часовой стрелки, и расположим на них осталь- ные (n — 1) лиц, (п — 1)! способами. При этом число спосо- бов, когда два указанные лица будут сидеть рядом, равно
21,3, К главе 3 451 2!(п — 2)! Поэтому искомая вероятность равна (2!(п — 2)!)/(п — 1)! = 2/(п — 1). 3.28* . Вероятность появления единицы хотя бы один раз в четырех подбрасываниях равна 1 — (5/6)4, а появле- ние пары (1,1) хотя бы один раз в 24 подбрасываниях па- ры кубиков равно 1 —(35/36)24. Необходимо доказать, что 1 — (5/6)4 > 1 — (35/36)24. Для этого достаточно устано- вить, что (35/36)24 > (5/6)4 или (35/36)6 > 5/6. Послед- нее следует, например, из неравенства (1 + х)п > 1 + пх (где х > — l,n > 1) для п = 6, х = —1/36. 3.29. Воспользоваться тем, что £РН = 1. cuGQ 3.31. Каждой из п частиц припишем номер ячейки, в которую она попала. Исход ш стохастического экспе- римента — последовательность (слово) длиной п, состав- ленная из чисел 1,2,..., т. Согласно правилу умножения исходов всего — тп. Поскольку относительно ячеек все частицы находятся в одинаковых условиях, то каждому исходу естественно приписать одну и ту же вероятность (модель классическая). Событие “в первой, второй, ..., т-й ячейках будет соответственно fci, &2,..., частиц” образуют слова длиной п, составленные из fci единиц, к<2 двоек,..., кт чисел т. Всего таких слов n!/(fci!fc2! • • • ктУ). И поскольку модель классическая, то искомая вероят- ность равна №!.. 3.32. _ 2)6(п — 1) (см‘ также решение к задаче 3.27). 3.36. Вероятность того, что четырехзначный номер 10 • Q • Я • 7 состоит из разных цифр, равна iq4 • Вероятность того, что четырехзначный номер имеет , 10Cj4!/(2!l!l!) только две одинаковые цифры, равна-----v Четырехзначный автомобильный номер — упорядо- ченная последовательность длиной 4 (слово), образован- ное цифрами 0,1,2,..., 9; всего таких последовательно- стей 104. Номера, имеющие две пары одинаковых цифр,
452 Глава 21, Решения, указания, ответы — это последовательности длиной 4 (слова), образован- ные двумя разными цифрами, которые встречаются по два раза, их всего С^04!/(2!2!). (Сначала из 10 цифр вы- бираем две (С10 способами), а затем из них образуем сло- во длиной 4, в которое каждая буква входит дважды — 4!/(2!2!) способами.) Поэтому вероятность того, что че- тырехзначный номер имеет две пары одинаковых цифр, С12о4!/(2!2!) , равна iq4------L (см. также задачу 3.13). Вероятность того, что четырехзначный номер имеет , 10 • 9 • 4!/(3!1!) три одинаковые цифры, равна-------------L, Вероятность того, что четырехзначный номер состоит из одинаковых цифр, равна 1/103. 3.38. Исход си — упорядоченная пара чисел (г, f),i ± j-, i,j < N; n(Q) = 7V(7V — 1). Событие A = {£i < £2} описы- вается множеством пар (г, j), Для которых i < J; п(А) вы- числяем так: если первое число равно к, то второе можно выбрать (N — к) способами, поэтому ЛГ-1 n(A)= ^(2V-fe) = -2V(2V-l). к=1 Следовательно, P{£i < £2} — 1/2. Рассмотрим задачу для трех чисел. Пусть к — первое число (l<fc<7V — 2), тогда два других необходимо выбрать из множества чисел {к + 1,,,,,N} так, чтобы £2 < £з> & это рассмотрено выше. 3.40. Вероятность того, что автомобиль находится за данной (выбранной вами) дверью, равна 1/3, а следова- тельно, вероятность того, что за данной дверью автомо- биля нет, т. е. автомобиль находится за одной из двух других дверей, равна 2/3. Поэтому следует отказаться от первоначального выбора двери и выбрать оставшуюся дверь (одну дверь ведущий уже открыл и за ней авто- мобиля не оказалось). (Заметим, что открывает ведущий дверь или нет, вероятность того, что автомобиль находит- ся за оставшимися, не выбранными Вами, дверями рав- на 2/3.)
21,4, К главе 4 453 Предложенное решение особенно “прозрачно”, если ав- томобиль находится за одной из п дверей (например, п = 1000). Вероятность автомобилю находиться за выбранной ва- ми дверью равна 1/п, и следовательно, вероятность про- тивоположного события — автомобиль находится за од- ной из п — 1 оставшихся дверей, равна 1 — 1/п, При п = = 1000 эта вероятность составляет 0,999. Так что открыв оставшуюся дверь, вы почти наверняка уедете домой на автомобиле. 21.4 К главе 4 4.2 °. Т1 Tt п п а) ПС1б)1 - Ш1в) Ёя П (1-рл)- г=1 г=1 г=1 k=l,k^i 4.3 °. Обозначим через Ai событие “объект обнаружен в г-м цикле”, i = 1,2,..., п; события Д, i = 1,2,..., п, независимы. Событие С — “объект обнаружен” — через п события Ai, А2,..., Ап можно выразить так: С = |J Д; г=1 Р(С) = = 1 - Р(С) = 1 - Р(П А) = 1 - (1 -р)”. г=1 4.4 °. Ai — событие “г-й блок работает”, i = 1,2,..., п; п события Ai независимы. А = f| Л - событие “прибор г=1 п работает”; Р(Д = Р( Q Д) = рп (см. так же задачу 4.6). 4.5 . 1) l-(l-p)t 2) 1-(1-P)(1-PP!)- 4.6 . 1) 1 — (1 — р)п; 2) Ai — “прибор работает”; Ai — “работает г-й дубли- рующий прибор”, г = 2,3,..., n; Bi — “работает прибор включения г-ro дублирующего прибора”, i = 2,3,..., п (все события независимы); С — “система не работает”, с = л1П(в.и(в.Пл)); г=2
454 Глава 21. Решения, указания, ответы Р(С) = 1 - Р(С) = 1 - (1 - р)(1 - ppi)"’1; Чтобы надежность системы была не меньшей Р, число дублирующих приборов должно быть не меньше 1п(1 — Р)/ 1п(1 — р). 4.7° . а) 1/3; 6)3/11. 4.8°. 1/2. 4.9° . 4r Е 4.10°. mi/+w27?- ni(n2 + l) 4.11° . 4/11. 4.12. 1 - (1 - ppi - (1 -р)ро)". 4.13. 1 - (1 -рр2 - (1 -р)р1)". 4.14°. 2^+1)- 4.15° . Вероятность предположения “в урне к белых шаров” равна 2к/(п(п + 1)). 4.17. Вероятнее, что стрелок С в мишень попал. 4.18. 48/95. 4.19.0,52. 4.20. р1^2пр2- 4.21* . Пометим одну из коробок, например, звездоч- кой. Поскольку коробки берут наудачу, то вероятность взять меченую коробку равна 1/2. Если одна из коробок оказалась пустой, а другая со- держит г спичек, то коробки брали 2N — г раз. Рассмотрим 2N—г испытаний Бернулли (коробки бра- ли 2N — г раз) с вероятностью успеха в одном испытании 1/2 (успех — взяли меченую коробку). Если пустой оказа- лась меченая коробка, то вероятность N успехов в 2N — г испытаниях равна С2/у_г/22ЛГ-г, а если пустой оказалась не меченая коробка, то вероятность N—r успехов в 2N — г испытаниях s-tN—r /r)2N—r _ fiN /r)2N—r U2N-r/Z ~ U2N-r/2 Следовательно, искомая вероятность равна хчЛГ /г)2ЛГ—г С2Л-г/2 4.22. 1/9; 2/9.
21,4, К главе 4 455 4.23. Пусть событие S — “человек болен”, S — “чело- век здоров”, Rs — “результат рентгеновского анализа по- ложительный” (человек согласно результату рентгенов- ского анализа признан больным). По условию задачи P(Rs\S) = 1-/3, P(S) = у, P(S) = 1-7, P(Rs\S) = a. Необходимо вычислить P(S\Rs\ P(S\Rs) = а(1 - 7)/(«(l - 7) + (1 - /?)7)- 4.24. Пусть событие S — “изделие стандартное”, S — “изделие нестандартное”, Ds — “классификация изделия как стандартного”. По условию - NiMi ^(Ni + M^Ni + Mi-1) P(S) = 0,96, P(Ds\S) = 0,98, P(Ds\S) = 0,05. Необходимо вычислить P(S\Ds). P(S\Ds) = 0,9978. 4.25° . 2/5. 4.26. 5/13. 4.27. ________NkMk__________ (Nk + Mk)(Nk + Mk-l) 4.28. Задачу о разделе ставки Паскаль и Ферма рас- сматривали как вероятностную. Пусть вместо игроков, которые прервали игру, ее про- должают двое новых игроков (один за первого, другой — за второго, мы по-прежнему будем называть их первым и вторым игроками). Они играют до выигрыша одним из игроков шести партий. При этом 6 партий может выиг- рать как первый игрок, так и второй. Вот только с раз- ными вероятностями. Вполне естественно считать спра- ведливым раздел приза пропорционально вероятностям выиграть 6 партий соответственно первым и вторым при продолжении игры. Игра будет продолжаться не более чем три партии. Пусть событие Ai — “первый игрок выиграл г-ю партию”,
456 Глава 21, Решения, указания, ответы Bi — “второй игрок выиграл г-ю партию”, i = 1,2,3; С — игру выиграл первый. Очевидно, С = Ai U (Bi П Л2) U (Bi П В2 П Аз), С — объединение непересекающихся событий, причем со- бытия Ai и Bj при разных значениях индексов независи- мы, поэтому Р(С) = Р (Al) + Р (Bl) Р (А2) + Р (ВО Р (В2) Р (Аз) = -2 + 22 + 23“8' Вероятность выигрыша игры вторым игроком равна 1/8. Поэтому приз необходимо разделить в отношении 7:1. 4.29. Приз необходимо разделить в отношении 15 : 1. 4.30. Шар, который изначально находится в урне, обозначим через W, если он белый, и через В, если он черный, а белые шары, которые кладут в урну обозна- чим через Wi, i = 1,2, ,,,,п (будем считать их разли- чимыми). Эксперимент состоит в последовательном из- влечении из урны (n + 1) шаров. Исход эксперимента — последовательность длины (n + 1), составленная из букв Wi, ТУ2,..., Wn, W или из букв W\, ТУ2,..., Wn, В. Поскольку сначала в урне с вероятностью 1/2 находится белый или черный шар, то естественно считать модель классической. Пусть Ап — событие “первые п извлечен- ных шаров белые”, А — “последний извлеченный шар бе- лый”. Ясно, что необходимо вычислить вероятность Р(А/А ) = П А”) Р(А/Ап) . Вычислим вероятности Р(АП) и Р(АС\ Ап) по форму- ле полной вероятности, рассматривая как полную груп- пу события: W — “сначала в урне находится белый шар”, В — “сначала в урне находится черный шар”. Имеем Р(АП) = Р(АП/Ш)Р(Ш) + Р(АП/В)Р(В) = 1 2 п! 11 (п +1)! ’ 2 “ 2 1 \ п + 1/
21.4. К главе 4 457 Р(АПА„) = Р((АПА„)/Ж)Р(Ж)+Р((АПА„)/В)Р(В) = Так что Р(А/А ) =_________—________= n + 1 Интересно, что когда п —> оо, то F(A/An) -э 1. Последнее вполне согласуется с нашей интуицией. При наличии в урне черного шара вероятность того, что пер- вые п выбранных шаров будут белыми, равна Л n! 1 Р(АП/В) = (га+1)! = а вероятность того, что среди первых п извлеченных ша- ров окажется черный — __ 77 =(^1)' последняя при больших п близка к 1. Если в урне сначала был белый шар, то P(An/W) — вероятность того, что первые п извлеченных шаров будут белыми, равна 1. И поскольку первые п шаров оказались белыми, то скорее всего сначала в урне был белый шар, а следовательно, вероятность Р(А/АП) близка к 1. Заметим, что в частном случае, когда п = 1, мы имеем дело с задачей Льюиса Кэррола, при этом Р{А/А^ = ^±1 = |, что совпадает с ответом к этой задаче. 4.32. Обозначим через Aji событие “объект будет об- наружен j-й станцией в г-м цикле”, j = 1,2,..., m;
458 Глава 21, Решения, указания, ответы i = 1,2,. ,.,п; через Aj событие — “объект будет обна- ружен j-й станцией”, j = 1,2,... ,m, Очевидно, п Aj = U Aj^ i=l m m n =u =U U a?*; j=l 3=1 1=1 m m / n \ В = Pl A3; = Pl I U Aji j • 7=1 j=l \г=1 / Отсюда, учитывая независимость событий Aji, j = 1,2,... ..., m; i = 1,2,... ,n, имеем (m n UUa* j=l i=l m = П(1-(1 -?)") = (! - (! 1-1 4.33. Обозначим через А событие “за выбранной Вами дверью находится автомобиль”, через В — “за открытыми
21,4, К главе 4 459 ведущим п — 2 дверями находится автомобиль”. Вычис- лим Р(В\ рассмотрев А и А в качестве полной группы событий: Р(В) = Р(В/Л)Р(Л) + Р(В/Л)Р(Л) = 1 п — 2 п — 1 п — 2 — О • —I --- ----=-------. п п —1 п п Заметим, что Р(В) = 1 — (п — 2)/п = 2/п — вероятность того, что за открытыми ведущим дверями автомобиля нет (но это не вероятность выигрыша автомобиля Вами). Вычислим Р(А/В} и Р^А/В}: Р(А/В) = Р(В/А)Р(А) Р(В/А)Р(А) + Р(В/А)Р(А) 1/п 1 1/п + (1/(п - 1))((п - 1)/п) 2’ а значит, и Р{А/В} = 1/2, Следовательно, если автомобиля нет за выбранными ведущим дверями, то он с вероятностью 1/2 находится за первоначально выбранной Вами дверью (и с такой же — за оставшейся). Вычислим Р(В П А) и Р(В П А). Очевидно, А С В, поэтому ВПЛ = Л, и, следователь- но, В=(ВЪА)ЩВПА) = АЩВПА/ Отсюда и из равенства Р(В П Л) = Р(Л) = 1/п имеем Р(В) = Р(Л) + Р(ВПЛ), 2 1 ___ _ - = - + Р(ВПЛ). п п Так что Р(РПА) = 1, Р(РПА) = 1. п п Поэтому, какую бы дверь вы ни выбрали (после выбо- ра ведущего), вероятность выигрыша для Вас составля- ет 1/п,
460 Глава 21. Решения, указания, ответы 21.5 К главе 5 5.1°. Xi -V3/2 0 y/3/2 P^^Xi) 1/3 1/3 1/3 5.2°. Уз -1 1 Pn(yj) 3/7 4/7 5.3°. Xi 0 1 2 0,27 0,58 0,15 5.4°. Р{6 = A:i,<2 = k2,...,£n = kn} = Пр(1 —p)ki; i=i fci = 0,1,...; k2 = 0,1,кп = 0,1,... 5.6* . (/z, s) = (м(С*), S(O) — функция случайного век- тора С* = (sign £i, sign sign £n). Сначала найдем распределение £*: Р{С = = = Р{ (signal, sign £2, •••, sign £n) = (xi, x2,..., xn,)} = = nP{sign6 = Xi} = i=l где x^ i = 1,2, ...,n, принимает значения —1,0,1, s(x) — количество компонент вектора х отличных от ну- ля, — равных +1. Р{м = k,s = j} = Р{/л(С) = к, s(O = j} =
21.5. К главе 5 461 = Е = x:/j,(x)=k,s(x)=j _ рр(х)цЗ(х)-р,(х) jn-s(x) _ x.p\x)=k,s(x)=j = CJnCkjpkqj~k fn~j, к = 1,2,..., j; j = 1,2,... ,n. 5.7. Cm. 5.8. 5.8. Решение к пункту 2(ж). Сначала найдем распределение С = (£,77). Случайная величина С = £(cu) = (£(cv), 77(0;)) является функцией на вероятностном пространстве {Q,P}. Про- странство элементарных событий образуют пары (г,j)? i = 1,2,..., 6, j = 1,2,..., 6, a P(z,j) = 1/36 для всех (z,j) (выбрана классическая модель, поскольку кости симмет- ричны). Поэтому распределением £ = (£,77) является РС(м) = PR = (г, j)} = 1/36, г, j = 1,2,..., 6. Табличная форма записи распределения случайной вели- чины £ = (£,77) приведена в табл. 21.5.1. Таблица 21.5.1. Распределение £ = Значе- НИЯ £ Значения ту 1 2 3 4 5 6 1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
462 Глава 21, Решения, указания, ответы По известному распределению случайной величины С — (£? ту) (см. табл. 21.5.1), пользуясь формулой (5.1.2) (где д = g(s, t) = max{s, t}, В = [3, +oo)), находим Р{шах{£,т]} > 3} = 1 — Р{шах{£,т]} < 3} = = 1- £ PQ(i,j) = l-(PQ(l,l) + Pc(l,2)+ (z,j):max{z,j}<3 +F<(2,1) + Pc(2,2)) = 1 - 4/36 = 8/9. Решение к пункту 3(в). Совместное распределе- ние £ и min{£,77} (распределение вектора (£, min{£, ту})) находим как распределение функции O = g^,r]) = (£, min{£,Tj}) от £ = (£,ту) по известному распределению С = (£,ту) (см. табл. 21.5.1). Пользуясь формулой (5.1.2), вычислим несколько значений P$(i,j} = Р{(£, min{£, ту}) = Имеем P{(e,min{e,7?}) = (1,1)} = рс(м) = = Рс(1,1) + рс(1,2) + ... + Р<(1,6) = 6/36; P{(£,min{£,7/}) = (1,2)} = р<(м) = 0; P{(£,min{£, ту}) = (1,А:)} = рс(м) = 0; (zj):(z,min{z,j})=(l,fc) k = 3,4,5,6. Совместное распределение £ и min{£, 77} (распределе- ние случайной величины в = (£, min{£, 77})) приведено в табл. 21.5.2. Случайные величины £ и min{£, 77} не являются неза- висимыми, поскольку их совместное распределение от- лично от произведения распределений случайных вели- чин £ и шт{£,ту} (распределение шт{£,ту} приведено в ответе к пункту 1(6)).
21,5, К главе 5 463 Таблица 21.5.2. Распределение в = (£, min{£, т/}) Значе- НИЯ £ Значения min{£, 77} 1 2 3 4 5 6 1 6/36 0 0 0 0 0 2 1/36 5/36 0 0 0 0 3 1/36 1/36 4/36 0 0 0 4 1/36 1/36 1/36 3/36 0 0 5 1/36 1/36 1/36 1/36 2/36 0 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 Ответ к пункту 1(a): 1 2 3 4 5 6 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 Ответ к пункту 1(6): 1 2 3 4 5 6 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 Ответы: 2(a) 1/6; 2(6) 3/4; 2(в) 1/3; 2(г) 1/3; 2(д) 1/9; 2(e) 4/9; 2(ё) 1/9; 2(ж) 8/9; 2(з) 7/9. Ответ к пункту 3(6). Распределение случайной величины в = (£, шах{£, ту}) (совместное распределение £ и тах{£,7?}) приведено в табл. 21.5.3. Случайные величины £ и шах{£, ту} не являются неза- висимыми, поскольку их совместное распределение (см. табл. 21.5.3), отлично от произведения распределений слу- чайных величин £ и шах{£, ту} (распределение шах{£, ту} приведено в ответе к пункту 1(a)).
464 Глава 21. Решения, указания, ответы Таблица 21.5.3. Совместное распределение £ и тах{£,т/} Значе- НИЯ £ Значения max{£, 77} 1 2 3 4 5 6 1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 2 0 2/36 1/36 1/36 1/36 1/36 3 0 0 3/36 1/36 1/36 1/36 4 0 0 0 4/36 1/36 1/36 5 0 0 0 0 5/36 1/36 6 0 0 0 0 0 6/36 5.11. Р{£ = ту} = £ akbk- k=l 5.12. PR + ту = fc} = < fe + 1 (тг + I)2’ 2n — fc + 1 (n + l)2 если 0 < k < n; если n < k < 2n. 5.13. Случайная величина £ = £ + g имеет распреде- ление Пуассона с параметром А + /jl. Воспользуйтесь формулой (5.1.2). При этом совмест- ное распределение случайных величин £ и т) равно про- изведению пуассоновских распределений, а д = д(х, у) = = х + у. 5.15. P{R, шах{£,ту}) = (ij)} = р2(1 — р)г+-/, р(1 - (1 -p)i+1), о, если г если г если г <j; = j; > J; i,j = 0,1,.. P{max{£, ту} = k} = p2(l-p)fe (2(1 - (1 - p)k}/p + (1 - p)fe), fc = 0,l,...
21.5. К главе 5 465 5.16. 1 2 3 4 5 6 7 1/18 3/18 3/18 3/18 3/18 3/18 2/18 5.17. Распределение случайной величины р = Ri, £2) Значе- ния £i Значения & 0 1 2 0 1/8 1/4 1/8 1 1/8 1/4 1/8 5.18* . pi +Р2 -Р1Р2- 5.19° . 1) 80/243. 5.20°. 0,0536. 5.21°. 5/16. 5.22. 1) С^о; 2)р(1—p)fc-1; 3) (1—р)10, независимо от/. 5.23° . PR = к} = С3 (j)’ \ fc = 0,1,2,3. 5.24. яч 1 б6. бч ! 17- 511. „ч ! 268- 516 а) 1 - 6^, °) 1---fjTS-’ в' 1----б15—’ 5.25° . PR = к} = С%/210; к = 0,1,..., 10. 5.26° . PR = fe} = c1fco(0/C Q)10 к, /г = 0,1,..., 10. 5.27° . PR = fc} = c3fc QV fI? k, fc = 0,1,2,3.
466 Глава 21. Решения, указания, ответы 5.28. Вероятнее выиграть: 1) 3 партии из 5; 2) 2 партии из 4; 3) 3 партии из 4; 4) не менее 5 партий из 8; 5) не более чем п из 2п партий; 6) не более чем п из 2п + 1 партий. 5.29. Сначала выпишем совместное распределение £1, £2,..., затем распределение функции Л — £1 + + • • • + £г от случайных величин £1, £2, • • •, Совместным распределением £i, £2, • • •, является P(k1,k2,...,kr) = P{£i = fci,^2 = k2,...,£r = kr} = = Пр(1 ~p)ki = Рг(1 -p)kl+k2+"'+kr, i=l fci=0,1,...; &2 = 0,1,...; fcr = 0,1,... Для каждого k, k = 0,1,..., P^k) = P{p = k} = PU1 + & + ••• + 6- = k} = = pr(i - P^+k2+-+k- = (fclЛ2г -Лг):^l+^2d-\~kr=k (ki,k2,---,kry.ki+k2~\-\~kr=k (суммирование ведется по всем последовательностям неот- рицательных чисел fci, ^2,..., являющихся решениями уравнения xi + х% + - - - + хг = к, всего таких решений — Cfc+r-i’ см- пРимеР 1.1.14). Так что г] имеет отрицатель- ное биномиальное распределение с параметрами (г,р). 5.30. Пусть £ — количество лиц, обратившихся в спра- вочное бюро, г) — количество отказав. События {£ = к},
21.5. К главе 5 467 к = 0,1,2..., образуют полную группу событий. Соглас- но формуле полной вероятности оо р{п = s) = = =кУр{£ = к} = к=0 = У2 Р^ = = к)р{£ = к} = k=s = ---рв(1 _ p\k-s^_e-X _ sl(k — $)! fc! k=s e~xpsXs 1 s! k=s = = (АрГ-д,, s! s! Следовательно, количество отказов имеет пуассоновское распределение с параметром Ар. 5.31. Пуассоновское распределение с параметром Ар (см. задачу 5.30). 5.32. Пуассоновское распределение с параметром Ар (см. задачу 5.30). 5.34. Обозначим через к количество мест в каждом гардеробе. Пусть р* — случайная величина, принимаю- щая значение 1, если г-й зритель выбрал вход 1, и 0, если выбрал вход 2, г = 1,2,..., 1000; щ — независимые слу- чайные величины, каждая с распределением P{pi = x} = (l/2)x(l/2)1-\ rr = 0,l. 1000 Тогда p = 52 Рг — количество зрителей, которые вошли г=1 через вход 1, а 1000 — р — через вход 2. Событие “все зрители имеют возможность раздеться” в терминах случайной величины р запишется так: {р < fc, 1000 - р < к} = {1000 - к < р < к}.
468 Глава 21. Решения, указания, ответы Количество мест к (в каждом гардеробе) находится как минимальное натуральное число, удовлетворяющее условию P{1000-fc</z<fc}>0,90. Чтобы найти к, воспользуемся интегральной теоремой Муавра—Лапласа (формула (5.2.6)). См. также пример 5.2.1 и задачу 5.39. Ответ: к = 527. 5.35. Упорядочить xi, х%,..., хп по возрастанию. 5.37. рк = (1/2)\ Вероятность выигрыша для начи- нающего первым в два раза больше. 5.38. 1. Вероятнее, что стрелки получат приз, посколь- ку Р{стрелки не получат приз} = (1 — 1/5)4 < 0,5; 2. Отношение вероятностей равно 3/2. 5.39. Решение (1°а). Частота ип равна р/п, где р — число тех экспериментов из п проведенных, в ко- торых событие произошло. Отклонение в опыте Бюффона составляет 2048/4040— —0, 5 = 0,007 = е. Необходимо вычислить P{kn -0,5| < е} для п = 4040. Частоту vn = р/п представим в виде 1 п »п = ц/п = -У^Мг, г=1 где pi принимает значение 1, если в эксперименте со- бытие произошло и 0 — в противном случае. Случай- ные величины pi независимы и q = P{pi = 0} = 1/2, р = P{pi = 1} = 1/2. Поскольку число экспериментов п большое (п = 4040), то для вычисления P{|z/n — 0, 5| < е} можно воспользоваться интегральной предельной теоре- мой Муавра—Лапласа (см. (5.2.6)): Р{|рп - 0,51 < е} = р(о, 5 —е < - < 0,5 + е) = I п ) п(0,5 — е) — пр y/npq р — пр < п(0,5 + е) — пр y/npq ~ \fnpq
21.5. К главе 5 469 = Р _О,88<^<О,88 . I у/пР<1 ) А последняя вероятность с незначительной погрешностью равна 0,88 If ( —t2 1 .— / exp < —— > dt = 0,6212 х/2тг J I 2 J -0,88 (значение интеграла найдено по табл. 22.1.1 нормального распределения). 5.40. Непосредственно “перебираем” все варианты. 1)4/27; 2)1/9; 3)23/27. 5.41. Р5(жг) = Р{£ = Xi} = P{(£,T}} G x R1} = = 52 Pdxk,yj) = yj 5.42. Пусть Q = {cui,cv2}; F(cji) = 1/2, F(cv2) = 1/2. Случайные величины £ = £(cj), p = зададим равен- ствами e(Wi) = -i, e(^2) = i; 7/(^1) = 1, //(Cv'2) = -1. Распределения P?((-iy) = 1/2, i = 1,2; Р„((-1)*) = 1/2, j = 1,2; совпадают, при этом С / »7- 5.44. Число неудач £ до r-го успеха в последователь- ности независимых испытаний с вероятностью успеха р в каждом испытании имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами (г;р): Pdk) = crk-1r_1pr^-p)k, £ = 0,1,...
470 Глава 21. Решения, указания, ответы Решение задачи сводится к вычислению вероятности то- го, что число неудач до 4-го успеха равно 6 (вероятность успеха в каждом испытании 1/2). Искомая вероятность C'4-i_1(1/2)4(1 - 1/2)6 = С93(1/2)10. 21.6 К главе 6 6.1 °. 1) - 1/8; 2) (1 + е)(2 + л/3)/12. 6.2 . Mi = 3/5, Di = 28/75, Xi 0 1 2 7/15 7/15 1/15 6.3 °. 27/40. 6.4°. -х/3/8. 6.6°. 0. 6.7 °. 1)0; 2)0; 3) Зл/З/4. 6.8°. 69/8. 6.9 °. 1) V3; 2) (8 + \/3)/4. 6.10 . Mrj = 13/12; Drj = 59/144, Уз 0 1 2 PdyA 1/6 7/12 1/4 6.11 °. (2 - л/3)/12. 6.12°. 1) (20 + ч/3)/8; 2) - 5/2. 6.13 . 5/6. 6.14. 29/54. 6.15 . 1)Ме = 0; + 6.16 . Mi = Л, Mi2 = А + A2, Di = А. 6.17 . Решение к пункту 3): Dir} = Mi2r}2 - (Mir})2 = Mi2Mr}2 - (Mi)2(Mi})2 (см. также пример 6.1.2). Ответы: 1) 1 - e“A; 2) A2; 3)A2(1 + 2A); 4)2A. 6.18 . Для |ж| < 1 k=0 1 1 — x'
21.6. К главе 6 471 Продифференцировав последнее равенство и умножив на ж, получим оо = (21.6.1) Продифференцировав равенство (21.6.1) и умножив его на ж, получим В---'-':'-; (21.6.2) fro f1-1’3 Из равенств (21.6.1) и (21.6.2) при х = 1 — р имеем Ж = f>(i-р)кр = ?f>(i-р)к = Р^г = к=0 к=0 Р Р М;2 = f>2(i - pfy, = pfva - ri* = (1 - rt<2 - , k=0 fc=O p DC = MC? - (M£)2 = 1-2^. 6.19 . Число подбрасываний £ кости до первого вы- падения шестерки — геометрически распределенная слу- чайная величина с параметром р = 1/6. Поэтому = 5; Р{£ < 2} = 91/63. 6.20 . 1) W = ------; 2) Меи$ = --------------ч 1 — (1 — р)х 1 — (1 — р)еи 6.21 . 1) Мх$ = 2) Ме^ = ехр {А(е* - 1)}. 6.22 °. МС = 70; DC = 21. 6.24 °. Р{С = к} = С'{:0/210, к = 0,1,..., 10; МС = 5; DC, = 2,5. 6.25 °. Р{С = к} = C1fc0(l/6)fc(5/6)10-fc, к = 0,1,..., 10; МС = 5/3; DC = 25/18. 6.26 °. МС = 3/4; DC = 9/16.
472 Глава 21. Решения, указания, ответы 6.27 *. Распределение случайной величины £ совпада- ет с распределением суммы £ = + £2 + • • • + где г = 1,2,..., г, независимые случайные величины, каждая из которых имеет геометрическое распределение с пара- метром р (см. также задачу 5.29). Математическое ожидание случайной величины, име- ющей геометрическое распределенной с параметром р, равно (1 — р)/р (см. задачу 6.18). 6.30. £ pkexp{itk}. k=i 6.31* . Выразите вектор v = (1/1, ^2,..., 14) через век- торы = (ZXi(Cfc),Zx2(Cfc),---,ZXr(Cfc)), k = 1,2,..., г, где 1а — индикатор множества А. (г \п Рке*р{Ик}) k=i / 6.32. Найдем распределение случайной величины £ — количества анализов, необходимых для обследования крови к человек, в случае проведения обследования спо- собом 2. Случайная величина £ может принимать два значе- ния: 1 и к + 1. Пусть г) — количество положительных анализов на к проведенных. Очевидно, Р{£ = 1} = Р{г) = 0}, FR = к + 1} = Р{г) > 1}. Случайная величина р имеет биномиальное распределе- ние с параметрами (п;р), поэтому вероятность хотя бы одного положительного анализа из к определяется так: Р{р > 1} = 1 - Р{р = 0} = 1 - Ф°(1 -р)к = 1 - (1 -р)к. Вероятность того, что все к анализов отрицательны, рав- на (1 —р)к. Следовательно, распределением £ является PR = 1} = (1 -р)к, PR = k + 1} = 1 - (1 -р)к. По распределению £ находим м = i(i-р)к+(fc+i)(i - (1 -p)fc) = fc(i - (i -p)fc)+1.
21.6. К главе 6 473 6.34. 1° Пусть Р{£ = к} = ^е~в, 0 > 0, к = 0,1,... Тогда 00 лк _°° Ptf) = Mt* = ytk0-e-e = У У^-е-в = 4 ’ к\ к\ fe=O fc=o 2° Пусть Р{(, = к} = (1 - 0)к0, О £ (0; 1), к = 0,1,... Тогда ОО ОО /J P(i) = Mt* = ytk(l-0)k0 = 0^(i(l-0))fc = к=0 к=0 ' 3° Пусть Р{£ = к} = ск0к(1 - 0)п~к, 0 £ (0; 1), к = 0,1,..., п. Тогда P(f) = Mt$ = ytkCk0k(l - 0)п~к = к=0 = У Ck(t0)k(l - 0')п~к = (t0 + (1 - ff)Y\ к=0 6.35. Пусть р£, к = 0,1,..., и fn, п = 0,1,..., — ве- роятностные распределения, P(f) = ytkpk, |t| < I, F(f) = ytkfk, |t| < I к=0 к=0
474 Глава 21. Решения, указания, ответы их производящие функции. Предположим, что P(t) = F(t), \t\ < 1. (21.6.3) Отсюда при t = 0 имеем F(0) = F(0), или ро — По- степенные абсолютно сходящиеся ряды можно почлен- но дифференцировать, поэтому из (21.6.3) оо оо = P'(t) = Q'(t) = Yktk~1fk. k=l k=l Отсюда при t = 0 имеем F'(0) = F'(0) или pi = qi и т. д. Так что Pk = Qk^ к = 0,1,... Тем самым утверждение доказано. 6.36. Если £ и г] — независимые случайные величины, то Pe+^(i) = Mtt+r) = ММ = Mt^Mt11 = 6.37. Производящая функция суммы независимых пу- ассоновских случайных величин P5+J?(i) = P?(f)P4(t) = = e(^i+^)(t-i) С другой стороны е^1+^2^*-1) — производящая функция пуассоновской случайной величины с параметром 01+ 02- Поэтому согласно теореме единственности (см. задачу 6.35) распределение случайной величины £+т) совпадает с пуас- соновским распределением с параметром 0± + 02- 6.38. Производящая функция суммы независимых би- номиально распределенных случайных величин = = = (to + (1 - 0^n(t0 + (1 - 0))m = (to + (1 - 0))n+m. С другой стороны (t0+(l —0У)п+т — производящая функ- ция биномиально распределенной случайной величины с
21.6. К главе 6 475 параметрами (n + т, 0). Поэтому согласно теореме един- ственности (см. задачу 6.35) распределение суммы £ + т) совпадает с биномиальным распределением с параметра- ми (п + т, 0). 6.39. 1 = Р(П) = £ <ч>“ = “ Е Г = “А; = 1- cuGQ cuGQ Отсюда a = 1 — р, поэтому P(cu) = (1 — p)pw,cj 6 Q, или, что то же P(fc) = (1-р)Л к = 0,1,... м( = е?мрм = f cuGQ k=0 6.40. 1 00 1 1 = Р(О) = ^а- = ^а- = ае. cuGQ k=0 Отсюда a = e-1, поэтому P(cu) = е-1-д, wE Q, или, что то же P(fc) = 1-е-1, к = 0,1,... к\ о° 1 ^е = 52 c(w)p(w) = 522fc £ie-1 =е-1е2 =е- cuGQ k=0 = е, D£ = М(е)2 - (Ж)2 = е3 - е2. 6.41. См. решение к задаче 6.39, 6.40. a = е~\ = ех, Щ = М^2 ~ (М&2 = еЗА - е2А. 6.42. не = - ме)2 = 52 №) - м^2р^ >
476 Глава 21. Решения, указания, ответы > Е (ем - ми2ж > : I £ М—МI >е2 е л^) = е2п^м-жм1>£}. 6.43. г=1 6.44. Случайная величина £ является функцией от вектора £ = (£, ту): € = <?«) = ^(Сл)- Поэтому = Mg(£,rf) = Е XiP^XiPj). •£г,Уд 6.45. Обозначим число очков, выпавших на i-й кости, через &,i = 1,2,3. Тогда £ = £1 + £2 + £з — сумма очков выпавших на трех костях. Случайные величины £1, £2, £з — независимы, их распределения имеют вид РС1(г) = 1/2, i = 1,2; РьЫ = 1/2, j = 3,4; РСз(А:) = 1/2, к = 5,6. Поэтому М = + М& + М£3; D£ = D£y + D& + Р£з-
21.7. К главе 7 477 Распределение £ = £1 + £2 + £з можно найти, напри- мер, так. Определим случайные величины 771,772,773 сле- дующим образом: £1 = (£1 - 1) + 1 = % + 1, £2 — (£2 — 3) + 3 = 772 + 3, Сз = (Сз - 5) + 5 = 773 + 5. Случайные величины 771,772,773 независимы как функции от независимых случайных величин £1, £2, £з и одинаково распределены, каждая с распределением п 0 1 Рп 1/2 1/2 Тогда £ = 6 + & + 6 = т + 772 + 773 + 9 = 77 + 9, где 77 = 771 + 772 + 773. Очевидно 77 имеет биномиальное рас- пределение с параметрами (3,1/2). Распределение функ- ции £ = 77 + 9 от случайной величины 77 находим согласно (5.1.1). 21.7 К главе 7 7.2. А = {(х, у) : х2 + у2 < 1}; В = {(0,0)}. 7.10. Рассмотрите совокупность всех алгебр 21а, со- держащих класс А, и докажите, что = 21(A). a 7.13. Рассмотрите совокупность всех а-алгебр 5а, со- держащих класс Я, и докажите, что Q5a = а (Я). а 7.14. Пусть — класс промежутков {[а, Ь) : а, b 6 R1} (напомним, что cr(^i) = 251). Имеет место включение Я1 С сг(й).
478 Глава 21. Решения, указания, ответы В самом деле, сг(й) содержит {а}, поскольку п {а} = Р| (а — 1/п, а + 1/п), п=1 а [а, 6) = (а, 6) U {а}. Из определения сг-алгебры, порожденной классом Я1, имеем <т(й1) С сг(Я). А поскольку сг(й1) = 251, то 251 С сг(й). Далее, Я С cr(^i) = 251 (это устанавливается анало- гично тому, как устанавливается включение С сг(й)). Потому согласно определению а-алгебры, порожденной классом Я, имеем <т(Я) С Ф1. Следовательно, а(Я) = 531. 7.15. Указание. См. решение задачи 7.14. 7.16. Указание. См. решение задачи 7.14. 21.8 К главе 8 8.1 °. 1) (1 + 1п2)/2; 2) (1 - е“1)/2; 3)1/3; 4)1/4 + +е-1+3(1пЗ-1п4)/4; 5) 1-2/34; б) тг/16; 7)1/18; 8)1/2+ + 1пЗ-1п2; 9)1/6; 10)1/9. 8.2 °. 1) (1 - 1п2)/2; 2)тг/64; 3) 1 — тг/4; 4)тг/4. 8.3 °. 1)1/4; 2)8/9; 3)7/16; 4)1/4; 5) 1 - тг/4; 6) 1-тг/4; 7)7г/8; 8)а^; 9) 1-ау/а; 10) 1-1/е; И)тг/4; 12) 1 - 7г/8; 13)1/2; 14)3/4. 8.4. 1)1/4; 2)1/4; 3)1/4; 4)3/16; 5)3/16; 6)1/2; 7)1/8; 8)1/4; 9)3/8; 10)1/8; 11)1/2; 12)5/8; 13) тг/4; 14)1/2; 15)1/4; 16) (тг — 2)/4. 8.5° . а/(а + b - 2г). 8.6. 1 - (1 - А:)2.
21.8. К главе 8 479 8.7. Если £ — момент прихода к причалу первого суд- на, г) — второго, то событие “одно из суден будет вынуж- дено ждать освобождения причала” можно представить в виде {(Сл) [£,£ +1]} и {(С, г?); С е [77,77 + 2]}. Ответ: 0,12065. 8.8° . (a — d)2/a2. 8.9. ^nsin^. 8.10. а) 1 - | arccosr; б) I тг arcsin 2, если т < 2; [1, если г > 2. 8.11° . 1)г2/Т?2. 8.12°. 1) r2N/R2N. 8.13. C£(b/a)2(l - b/af. 8.14. 1/260. 8.15. 1)1/2; 2)1/2; 3)i3. 8.16. 1) 1 - (1 - f)2; 2)(a) 1/2; 2)(б) (1 - q)2/2. 8.17° . 2) Пусть — расстояние от г-й точки до цен- тра сферы, г = 1,2,... ,N. Тогда искомая вероятность (п \ п П {& > О) = П р {6 > о = г=1 / г=1 = (1 - Г3/7?3)^ 8.18. 1/2. 8.19. 13/24; 11/24. 8.20. 1/3. 8.21° . 2/гт. 8.24. 1) 7г/4; 2) тг/(2^). 8.25. 1)1/3; 2)1/6. 8.26. 2/9. 8.27* . Монету будем рассматривать как цилиндр, ра- диуса г и высоты h. Слова “наудачу бросают” естествен- но понимать как равномерную ориентацию цилиндра от- носительно вертикального направления. Поскольку ци- линдр однородный, то центр описанной около него сферы совпадает с его центром масс. Цилиндр упадет на боко- вую поверхность, если луч, направленный вертикально вниз из центра масс, пересечет его боковую поверхность. Соответствующую вероятность вычисляем как отноше- ние площади сферического пояса, описанного около ци- линдра, к площади всей сферы. 8.28. 1)1/9; 2)8/9; 3)8/27. 8.29. Йри любом повороте окружности вероятность события “треугольник остроугольный” (и не только этого события) остается неизменной, поэтому можно считать,
480 Глава 21. Решения, указания, ответы что из трех вершин А, В, С одна, например С, фикси- рована. Две другие выбирают наудачу. Будем задавать положения точек АиВ относительно точки С величина- ми дуг СА = а и СВ = {3 (рис. 21.8.1), откладывая их против движения часовой стрелки, дуги будем измерять в радианах. Рис. 21.8.1: К задаче 8.29 Треугольник АВС остроугольный, если каждая из дуг С А = а, АВ = /3 — а, ВС = 2тг — /3 меньше тг, т. е. /3 > а, а < тг, /3 — а < тг, /3 > тг, (21.8.1) или каждая из дуг СВ = /3, В А = а — /3, С А = 2тг — а меньше тг, т. е. /3 < а, /3 < тг, а — /3 < тг, а > тг. (21.8.2) Далее, упорядоченной паре чисел (а,/3), 0 < а < 2тг, 0 < /3 < 2тг соответствует одна точка квадрата [0,2тг] х х [0,2тг] на плоскости с осями Оа и 0/3 и наоборот. А следовательно, множеству дуг а,(3, которые удовлетво- ряют одному из условий: (21.8.1) или (21.8.2), соответ- ствует множество точек квадрата [0,2тг] х [0,2тг], коорди- наты которых удовлетворяют одному из условий: (21.8.1) или (21.8.2). Это множество точек квадрата имеет вид, аналогичный изображенному на рис. 8.1.2.
21.9. К главе 9 481 Искомая вероятность равна , 8.30. 1)3/4; 2) 1/4 (см. также задачу 8.29). 8.31. Зафиксируем одну из точек, например А. То- гда положение других можно описать дугами АВ, АС, AD, которые откладываются против движения часовой стрелки (см. также задачу 8.29). Ответ: 1/3. 8.35° . тг/4. 8.36°. (a — r)/a. 8.37°. 21/L. 8.38° . а) х, 0 < х < 1. 21.9 К главе 9 9.1 °. 1/4. 9.2°. 3/4. 9.3°. 1)7/12; 2)1/3. 9.4 °. Р ешение к пункту (5). Бросание пары точек на отрезок [0; 1] равносильно бросанию одной точки в квадрат [0; 1] х [0; 1] и наоборот (см. также примеры 8.1.1, 8.1.2, 8.1.3). Обозначим Ffa) = Р{(^ < х} = Р{тах{^2,г)} < х}. Очевидно, Ffa) = 0, если х < 0, и F^(x) = 1, если х > 1. Если 0 < х < 1, то Ffa) = Р{тах{^2,г)} < х} = = Р{£ < у/х,г) < ж} = Р{(£,т?) € -4}, где А = [0; у/х] х [0; ж]. Вероятность события {(£,77) 6 А} вычисляем как геометрическую вероятность: Следовательно, ' 0, если х < 0; F^x) = < ж3/2, если 0 < х < 1; 1, если х > 1. Ответы:
482 Глава 21. Решения, указания, ответы l)Fc(x) = < 2)Fc(z) = < 3)ВД = < 4)ВД = < 6)Fc(x) = < о, если х < О; ж2, если о< х < 1; 1, если х > 1; о, если х < О; 1 — (1 — ж)2, если 0 < х < 1; 1, если х > 1; О, если х < О; а;(1 — Ina;), если О < х < 1; 1, если х > 1; О, если х < О; а;2/2, если О < х < 1; 1 — (2 — а;)2/2, если 1 < х < 2; 1, если х > 2; О, если х < О; 1 — (1 — а;)2, если О < х < 1; 1, если х > 1. 9.5°. Функция распределения случайной величины Гс(ж) = < о, a;/Z, 1, если х < О; если О < х < I- если х > Z; плотность распределения р5(ж) = < если х < О; если О < х < Z; если х > Z. 9.7. Р^х) = 9.8. А?(ж) = 9.6. Fn(x) = < о, л/ж/2, (V^+ 1)/4, 1, если х < О; если О если 1 если х О VIVI н НО V V Л О, если х <£ [О; 2]; 1/2, если х е [0;2]. О, 1/ж2, если х если х < 1; > 1.
21.9. К главе 9 483 9.9. рп(ж) = < н н 1 1 bO|W bO|W О СО О если х < если 1/4 если х > 1/4; 1. х < 1 9.10. Рп(ж) = 1 9.11. [ 0, если 1 1, если ' 1 х [0; 1]; х G [0; 1]. , если х € если х £ © © %- %- рп(ж) = < (6 — а)х 0, 9.12*. Воспользуйтесь (9.1.3). / \ _ Г 0, если х е [0; 1]; Рт]\х) Аехр {—А(1 — 1/ж)}/ж2, если х £ [0; 1]. 9.13. F^x) = 1 — F(—x+ ty. 9.14. Сначала найти распределение дискретной слу- чайной величины г] = sign£, потом по распределению г] выписать ее функцию распределения: f 0, если х < —1; Fn(a;) = < F(0), если — 1 < F(0 + 0), если 0 < х ; х < 0; < 1; 1, если х > 1. 9.15. 0, если х < 0; Fj/rr) = < ж, если 0 < х < 1; 1, если х > 1. 9.16. 1)рп(ж) = 2)рп(ж) = 9.17. ( 0, если 1 р(а?) + р(—ж), если : И*/0)' х < 0; х > 0, р / F(y/x) — F(—y/x + 0), если х > 0; 0, если х < 0. 9.18. Ответ к пункту (1): Г 0, если х < 0; рп(ж) = * Л (е-А(х+1) + еА(х-1)) , если х 6 [0; 1] если х > 1.
484 Глава 21. Решения, указания, ответы — (р(у/х) + р(—у/хУ), если х > 0; 0, если х < 0. 9.19. Случайная величина р = F(£) распределена рав- номерно на отрезке [0; 1]. 9.20. 1)рп(ж) = ' 1 2)^(0 = < 2-/г 9.21. \ \ если х < 0; ) г]\х) — F(lna;), если х > 0; 9\ р / \ f 0, если х < 0; ) т]\х) — F(x) — F(—x + 0), если х > 0. 9.22. 1)2я-я2; 2)^(1 -1пя). 9.23. (F(rr))n. п п 9.24.1) пад; 2)1 - П(1 -К(хУ). i=l г=1 п п 1) JJ г=1 1) пр(х) 2) пр(х) 9.27. a = Л/2, F^x) = | если Х 1 [ 1 — е ЛХ/2, если х > 0. 9.28. Можно предложить по меньшей мере два под- хода к решению этой задачи. Пусть — координата брошенной на отрезок [0; 1] точ- ки, тогда длина р меньшей части отрезка равна Р = 5(0 = min{^, 1 - £}.
21.9. К главе 9 485 По определению F^x) = Р{г) < х} = F{min{£, 1 — £} < х}. Очевидно, F^x) = 0, если х < 0 и ^(ж) = 1, если х > 1/2. Если 0 < х < 1/2, то F^x) = F{min{£, 1 —£} < х} = 1 — F{min{£, 1—£} > ж} = = 1 — Р{£ >х,1 — £>х} = 1 — Р{х < £ < 1 — х}. Вероятность Р{х < £ < 1 — ж} вычисляем как геометри- ческую вероятность. Другой подход. = р{п < ж} = Р{д(£) <х} = = / = / pe(i)di. t:g(t)<x t}<x Следовательно, ' О, Fn{x) = 2ж, I 1, если х < 0; если 0 < х < 1/2; если х > 1/2. 9.29. См. решение задачи 9.28. 0, (2x-Z)/Z, 1, если х < Z/2; если 1/2 < х < I; если х > I. 9.30. F(x) = < О, 1 - (1 -х/Т)2, 1, р{х} = < О, если х < 0; если 0 < х < Т-, если х > Т; 2(1 -х/Т)/Т, О, если х < 0; если 0 < х < Т-, если х > Т. 9.32. Воспользуемся формулой (9.1.3): Г^(а?) = < F(x) = Р 1 ё X t: l/t<x ехр {—i2/2} dt =
486 Глава 21. Решения, указания, ответы f exp{-i2/2} dt, у27Г 1/х +оо1/2’ 2 + тЬ J ехр{-<2/2} dt, v2tt 1/а. если х < 0; если х = 0; если х > 0. 9.33. F^x) = 0, если х < 0, а если х > 0, то — 1/\/х +оо F^x) = ~^= у* ехр{—t2/2}dt+-^= ехр{—t2/2}dt. -оо 1/7х 9.34. Условие симметричной распределенности слу- чайной величины в терминах ее функции распределения: F(x) = 1 — F(—х + 0), а в терминах плотности распреде- ления: р(х) = р{—х). 9.35. Решение 1): Fn(x) = Р{г) <х} = Р{1 - £ < ж} = = 1 - р{е < 1 - ж} = 1 - p5(i - ж), Рг&) = i-F^x) = ~ ~ = ~ = р№>- (LJu ClJb Ответ: р = 1 — £ равномерно распределена на проме- жутке [0; 1]. 9.36. уэ — d 1 Р^(ж) = Р{£ < ж} = Р <-----------< х > = Р{?7 < a + ох} = a+ax (* - «)21 2<72 / —и2/2} du (воспользовались заменой (t — о)/ст = и). 9.37. Случайная величина р распределена
21.9. К главе 9 487 9.38. Воспользуемся формулой (9.1.4): F^+tx) = P{max{0, г/} < х} = ехр {—12/2} dt = f:max{0,f}<x 2 + ^7= Jехр {—£2/2} dt, если х > 0; 0, если х < 0. 9.39. F„+(a;) = 1 1 А + // о f ехР V2тгст2 о 0, 9.40. FJ?(a;) = P{(e-a)+ если х > 0; если x < 0. t:(t—a) + <x t:max{0,t—a}<x o, если x < 0; если x > 0. Следовательно, 0, F(x + a), если x < 0; если х > 0. 9.41. Воспользуйтесь формулой (9.1.4) (см. также ре- шение к задаче 9.40). х+а f p(t) dt, если х > 0; —ОО 0, если х < 0.
488 Глава 21. Решения, указания, ответы Случайная величина т) = (£ — а)+ абсолютно непре- рывна, если плотность р(Г) случайной величины £ равна нулю для t < a. 9.42. Fr/(a;) = Р{т) < х} = F{min{£, L} < х} = Р^—оо,х'), 1, если х если х < L- > L. Следовательно, F(rr), 1, если х если х < L -, > L. 9.43. См. решение задачи 9.42. 9.50. 0, если х 6 (—оо;0]; 1) ^1(ж) = < х, если х 6 (0; 1]; к 1, если х 6 (1; оо); 0, если х 6 (—оо;0]; 2) ГС2(гг) = < х, если х 6 (0; 1]; к 1, если х 6 (1; оо); 0, если х 6 (—оо;0]; 3) = * х, если х 6 (0; 1/4]; х + 1/4, если х е (1/4; 1/2] ч 1, если х е (1/2; оо); 9.51. Пусть Q = [0; 1], 5 = ®[од], Р = L = Ы4*') = ) | 1, если ш € [0; 1/2); 0, если ш € [1/2; 1]; 6 = 6(w) = ) f 0, если ш € 0; 1/2); 1, если ш € 1/2; 1]; m = = Г 1, если ш G [0; 1/2); 0, если ш Е [1/2; 1]; Т]2 = %(<*>) = • Г 1, если ш G [0; 1/2); [ 0, если ш Е [1/2; 1];
21.9. К главе 9 489 Так определенные случайные величины удовлетворя- ют условиям задачи, но 1) распределения £iT)i и £2^2 раз- личны; 2) распределения £1 + т?1 и £2 + ^2 различны. 9.52. Пусть Q = [0; 1], 5 = 25[О;1], Р = L. Распределе- ния случайных величин е = ем = { Д если uj 6 [0;1/2); если си е [1/2; 1]; и г) = т/(си) = — £(си) совпадают, но P{w : £(си) / 77(0;)} = 1. Примером абсолютно непрерывных случайных вели- чин (на одном и том же вероятностном пространстве), удовлетворяющих условиям задачи являются с = ем = ш, х = хм = 1 - ш (обе равномерно распределены на [0; 1]). 9.53. Fn(y) = < у} = р{(£М е R1 X (-оо,у)} = IR1 х(—oo,i/) dv. Последнее равенство означает, что случайная величина г) абсолютно непрерывна и функция \и IR1 является ее плотностью. 9.54. Функция f(t — а) является плотностью распре- деления случайной величины £ + а.
490 Глава 21. Решения, указания, ответы 21.10 К главе 10 10.1° . 1)ме = 0, /)£ = а2/3; 2)м< = (а + 0/2, D£ = (b- а)2/12. 10.2°. 1) 1; 2) 1/2; 3) е - 1. 10.3° . 1)3; 2) 1 — 2/е; 3)3; 4)0;5)е-1. 10.4. 1) (1п2)/7г + 1/2. 10.5. ехр{<72/2}. 10.6° . Р ешение к пункту (3). Математическое ожидание функции т) = /[i/зд] (£2) от случайной величи- ны С вычисляется по плотности распределения С согласно формуле (10.1.1): +оо МГ} = М/[1/м(е2) = / /[1/3,3](а;2)^^2)^ = —ОО Ответы: 1) х/З/тг; 2) (х/З - 1)/тг - 1/12; 3)1/3; 4) 1/2. 10.7. 1)Ме = 1/А; 2)/?С = 1/А2; 3) Р{£ > 1} = = е~\ 4)fc!/A*. 10.8. +оо М min{£,365} = J шш{ж, 365}Аехр{—Xx}dx = о 365 ехр{—Xx}dx + 365А 365 = (1 - ехр{—365А})/А = 222. 10.9. МС = 1; DC = 4/9. 10.10° . 1)М£ = a + 1; 2)М£2 = (а + I)2 + 1/6 (см. также пример 10.1.5).
21.10. К главе 10 491 10.11. 1 - 1/е2. 10.12. М£ = О, Z>£ = 2/A2. 10.13. Выражение “точка А равномерно распределена на окружности с центром в точке О” означает, что угол <р между осью Ох и радиус-вектором О А равномерно рас- пределен на отрезке [0; 2тг]. Очевидно, £ = \R tg </>|. Ответ: 0, если х < 0; 2 R , f , если х > 0. 7Г(Ж2 + Л2) ’ Математическое ожидание случайной величины £ рав- но +оо. 10.14. ре(ж) = О, ж2//?2, 1, О, 2x/R2, F(a;) = если х < 0; если 0 < х < R; если х > R; если х £ (0; R]; если х 6 (0; /?]; Mrj = 2R/3; Dr) = R2/18. 10.15. Условие “точка А равномерно распределена на окружности” означает, что угол ср между осью Ох и ра- диус-вектором О А равномерно распределен на отрезке [0;2тг]. Случайная величина £ равна cose/?, поэтому Fiei(x) = 1 о, arccos ж, 1, если х < 0; если 0 < х < 1; если х > 1; Pl£l(z) 0, если х (0; 1]; —, , если х G (0; 11; k 7TV 1 — X2 Miei = 2/7Г. 10.16. l)F(x) = < Мп — b3 — a3 . Мт1~3(Ь-аУ 2 если а; < а , если а2 < х < Ь2, если х > Ь2;
492 Глава 21. Решения, указания, ответы ' 0, если х < 0; 2)F(x) = < \/х f \tu~1e~etdt, если х > 0; 1 о Г(р) З)Г(х) = | 0, если х < 0; 1 — е~х^, если х > 0; Мт] = 2/А2. 10.17. ' 0, если х < 2тга; l)F(x) = < о3' Л, ^7Г<3\ , если 2тга < х < 2тгЬ; 2тг(о — а) — ч 1, если х > 2тг6; Мт] = 7г(а + Ь); 2)F(x) = < ' 0, если х < 0; ^/(27г) д[/ f ^tu~1e~etdt, если х > 0; 1 о rW Мт] = 2тги/0; 3)F(x) = < 0, если х < 0; 1 — ехр {—2^} , если х > 0; Mr] = 2тг/Л. 64 — а4 . 4(6 — а) ’ 6 10.18. 1) Мт] = 10.19. ✓ 1(a) Fn(x) = < Мт] = 7г/2; ✓ 1(6) Fr, (ж) = < Мг/ = Зтг/2; / 2(a) F^x) = < О, если х < 0; ж/тг, если 0 < х < тг; 1, если х > тг; О, если х < тг; х/тг — 1, если тг < х < 2тг; 1, если х > 2тг; если х < 0; если 0 < х < тг/4; если х > тг/4;
21.10. К главе 10 493 Mr] = 7г/12; 0, если x < тг/4; 2(6) F^x) = < 2д/х/тг — 1, если тг/4 < x < тг; 1, если х > тг; Mr] = 7тг/12; ' 0, если х < 0; 3(a) Fv(x) = < 2у/х, если 0 < х < 1/4; k 1, если х > 1/4; Mrj = 1/12- 0, если х < 1/4; 3(6) = < 2у/х — 1, если 1/4 < х < 1; , 1, если х > 1; Mr] = 7/12; ' 0, если х < 0; 4(a) F^x) = < 2«§<г, если 0 < х < 1/8; k 1, если х > 1/8; Mr] = 1/32; 0, если х < 1/8; 4(6) F^x) = < 2^х — 1, если 1/8 < х < 1; , 1, если х > 1; Mr) = 15/32. 10.20. В задачах 1°, 2°, 6° целесообразно сначала най- ти распределения соответствующих случайных величин, в остальных задачах удобнее воспользоваться мультипли- кативным свойством математического ожидания. 1°а) 1/3; 2°а) 2/3; 2°б) 13/12; 3°а) 1/4; 3°б) 1/2; 3°в) 1/(2Л); 3°г) 1/А2; 5°в) (е — 1)/А; 6°г) 1/(А3(1 + А)). 10.21. a + 1/п. 10.22. 1)^0+^ 2)^+^; 3) 10.23. 1)0-2)«+ 3)^Л. 10.24. 1) М£ = 0 + а; 2) М min{&} = 0 + a/n- 3) MOr = 0 + a/n2- 4) М02 = а(1 - 1/n2). 10.25. = 0.
494 Глава 21. Решения, указания, ответы 10.26. F(x) = < р(х) = < О, если х < 0; . (Т-ж)2 Л/ 1 — 1, если 0 < ж < Г; 1, если х > Т. О, если х < 0; 2(Т — х) п . гт1 v , если 0 < х < Г; О, если х > Т. гр гр2 ж = f; ре = fe; меп = 2ГП (п + 1)(п + 2)’ 10.27. р(х) = < О, 2 7Г\/1 — X2 ’ если х £ (0; 1); если х е (0; 1); Мт/ = 2/тг. 10.28* . Поскольку при любом повороте окружности вероятность события, зависящая только от расстояния между двумя точками окружности, остается неизменной, то одну из точек можно считать фиксированной. если х < 0; -^(ж) = < о, arcsin 1, х если 0 < х < 27?; если х > 2R. 10.31. Мг]+ = 1/72%. 10.32. Мг]+ = a/T^F- 10.33. Me = Ре = Ме2 = (см. также при- мер 10.1.4). 10.34. ме = у; Ре = р; Ж2 = т^У (см. также пример 10.1.4). 10.35. = п, = 2п, М£2 = п(п + 2) (см. также пример 10.1.4). 10.36. = ехр{р + сг2/2}; М£2 = ехр{2^ + 2сг2}; = exp{2/z + сг2}(ехр{сг2} — 1). 10.37. ме = 1^; ме2 =
21.11. К главе 11 495 10.38. 1)М<Х = 2)М^ = | + |; D^ = T2 + & З)м<3 = ¥; = 1п2^-1- 10.40. Случайная величина £ является функцией век- тора С = £ = 9(0 = 9(60 = 6 поэтому MS = Мд(£) = J g(x,y)fQ(x,y}d(x,y} = J xfc(x,y)d(x,y). R2 R2 10.41. Очевидно, i = 1,2,...,r. k=l Отсюда Mui = npi, Di>i = npi(l - pi), i = 1,2,..., r. 21.11 К главе 11 11.1. £ — абсолютно непрерывная случайная величи- на, поэтому £ = £ + г) также абсолютно непрерывная и /<(О = У Л(ж - y)P(dy) = |л(О + ^Д(ж - 1) = R1 о, Л(О/2, Л(т-1)/2, О, если х < 0; если 0 < х < 1; если 0 < х — 1 < 1; если х — 1 > 1.
496 Глава 21. Решения, указания, ответы Или fdx) = { о, 1/2, если х [0; 2]; если х е [О; 2]. Ответ: Fc(x) = °’ < х/2, 1, если х < 0; если 0 < х < 2; если х > 2. 11.2. Ответ к пункту 1): если х < 2а; если 2а < х < a + 6; если a + b < х < 26; если х > 2Ь. 11.3. р(ж) = < О, х/2, (3-а;)/2, О, если если если если если х < 0; 0< х< 1; 1 < х < 2; 2 < х < 3; х > 3. 11.4. Сначала найти распределение суммы (разности) соответствующих случайных величин. Другой подход — найти совместную плотность распределения £ и ту, а по- том воспользоваться равенством (9.1.3). Ответы: 1) 1—1/(3-\/2); 2)1/4; 3)9/16; 4)7/16; 5)2/3; 6)1/2. 11.5. Ответ к пункту 1): рс(т) = °’ < (т + (5-а))/(5-а)2, ((5 — a) — x)/(b — а)2, 0, если х < — (6 — а); если — (6 — а) < х < 0; если 0 < х < b — а; если х > b — а. 11.6. Fdx) = < 0, от2 1 — 2(1 — ж)2, 1, если х < 0; если 0 < х < 1/2; если 1/2 < х < 1; если х > 1.
21.11. К главе 11 497 11.7. Случайная величина £ распределена равномер- но на промежутке [1; 7]. 11.8. 1 - (1 - ж)2. 11.9. 1/3. 11.10. °’ 1)р(ж) = < AjAo _ e-Aian . Al — А2 V если x если x 2}f{x')=< 11.11. 1)р(ж) = | 2)р(ж) = | З)р(ж) = ( еЛ13\ если x < 0; e~X2X, если x > 0. Ai + A2 0, если x < 0; X2xe~Xx, если x > 0; АеЛгс/2, если x < 0; Ае-Лгс/2, если x > 0; 0, если х < 0; Хе~Хх, если х > 0. 11.12. Указание: см. задачу 11.10(1). 11.13. Плотность распределения /(ж) суммы £ + ту +оо /(ж) = 1 j e-^e-^dy = —ОО 0 +оо = 1 У e-^eydy + 1 У e-^e-ydy. —оо 0 Сделаем в интегралах замену х — у = t. Получим /(ж) = 1 I ех У e~^e~tdt + е~х J e^^dt \ X —оо / Рассмотрим два случая: х < 0 и х > 0. При х < 0 имеем /(ж) =
498 Глава 21. Решения, указания, ответы = ех(1 — гг)/4. При х > О = е-ж(1 + ж)/4. Аналогично находим плотность д(х) распределения разности — г) Так что 1)Ж) = { 2)<М = | ех(1 — ж)/4, з-а:(1 + ж)/4, еж(1 — ж)/4, ?~х(1 + я)/4, если х < 0: если х > 0: если х < 0: если х > 0. 11.14. Р<(*) = < если х < —а; если — а < х < а; если х > а. 11.16. Функция распределения суммы £ = £ + т) неза- висимых случайных величин £ и т) равна свертке функ- ций распределения F(x) и Н(х) слагаемых £ и т) (Н(ж) — функция распределения случайной величины ту), т. е. Fc(x) = J F(x - y)H(dy) = J H(x - y)F(dy). JR1 R1 Поскольку распределение Н имеет плотность ад={Т если у 6 [—h; h]] если у [—h-, h],
21.11. К главе 11 499 то F^(x) = J F(x - y)H(dy) = J F(x - y)h(y)dy = R1 R1 h x+h - £/г!3; - —h x—h (воспользовались заменой x — у = t). Далее, распределение случайной величины т) абсолют- но непрерывно, поэтому распределение суммы £ = £ + т) также абсолютно непрерывно и его плотность /Дж) рав- на свертке плотности распределения h = h(t) случайной величины г] с распределением случайной величины £: Л(ж) = У h(x- y)F(dy). R1 По определению функции h(t) h(x -у)= < О, 1/(2Л), О, если х — у < —h] если — h < х — у < h] если х — у > h. или А(гг - у) = < О, 1/(2Л), О, если у < х — h, если х — h < у < х + h] если у > х + h. Поэтому /<(ж) = У Цх - y)F(dy) IR1 как интеграл от простой функции, принимающей значе- ние 1 /(2Л) на промежутке [х — h^x + h\ и значение 0 вне
500 Глава 21. Решения, указания, ответы промежутка [х — h;x + h], равен F([# — h-,x + h])/(2li). Следовательно, Л(ж) = lj-F([x~h-,x + h]). 11.17. Функция распределения суммы £ = £ + т] неза- висимых случайных величин £ и т) равна свертке функций распределения слагаемых, т. е. ^с(ж) = j Q(x ~ y}G{dy}. IR1 Учитывая, что G — дискретное распределение, сосредо- точенное в точках —1 и 1 (с “массой” 1/2 в каждой), имеем ^<00 = J Q(x- y)G(dy) = |<Э(ж - 1) + ^Q(x + 1). IR1 11.18. Сумма независимых случайных величин, одна из которых абсолютно непрерывна, является абсолютно непрерывной случайной величиной, и ее плотность рав- на свертке плотности абсолютно непрерывной случайной величины с распределением другой (см. также задачу 11.17): о, 3/4, 1/4, 0, Pc(z) = < если х < 0; если 0 < х < 1; если 1 < х < 2; если х > 2. 11.19. /(ж) = < хп (п-1)! хп-1е-Хх 0, если х > 0; если х < 0. 11.20. Чтобы найти распределение ту, воспользуйтесь тем, что ln(l/£J имеет показательное распределение. Mr] = • • • 6г = ...М£п = (1/2)"
21.12. К главе 12 501 21.12 К главе 12 12.2. При /г —> 0, распределение сходится к собс- твенному атомическому распределению, сосредоточенно- му в точке а. 12.3— 12.6. Последовательность распределений {Fn} сходится к собственному атомическому распределению, сосредоточенному в точке 0. 12.7. Последовательность распределений {Fn} собс- твенно сходится к F; последовательности распределений {Gn}, {Sn}, {Fn}, {Qn} сходятся к несобственному рас- пределению тождественно равному нулю (см. также при- мер 12.1.3). 12.8. Последовательность распределений {Fn} собс- твенно сходится к атомическому распределению, сосре- доточенному в точке 1. 12.9. Воспользуйтесь достаточным условием 1° сходи- мости вероятностных распределений (см. также пример 12.1.3). Ответы: 1) последовательность распределений {Fn} сходится к несобственному распределению, тождествен- но равному нулю; 2) последовательность распределений {Gn} сходится к собственному атомическому распределе- нию, сосредоточенному в точке 0. 12.10. Последовательность распределений {Fn} не яв- ляется сходящейся. 12.11* . 1(_оо.2/)(ж) для каждой пары (ж,?/),х ± у. 12.12. sinl. ’12.13. cosl. 12.14* . Воспользоваться 12.11*. Ответ: F(—оо; у). 12.15* . Достаточное условие 2° сходимости распреде- лений можно сформулировать в более общем виде (см. пример 12.1.6). Собственные вероятностные распределения Faa2 со средним а ао и дисперсией а2 —> 0 сходятся к соб- ственному атомическому распределению, сосредоточен- ному в точке ао- Математическое ожидание и дисперсия пуассоновско- го распределения равны А, поэтому, если А —> 0, пуассо- новское распределение сходится к собственному атоми-
502 Глава 21. Решения, указания, ответы ческому распределению, сосредоточенному в точке 0 (его функцией распределения является 1(о,оо) (?/))• Из сходи- мости последовательности распределений следует сходи- мость последовательности функций распределений, по- этому функция Гх(у) = 52 Tie А k:k<y пуассоновского распределения с параметром А, при А —> 0, сходится к /(0,оо)(у)- 12.16* . Ответ: 1. Воспользуйтесь решением задачи 12.15*. 12.17. Последовательность {Fn} сходится к собствен- ному атомическому распределению, сосредоточенному в точке 0, поскольку ап —> 0 и сгп —> 0 (см. пример 12.1.6). 21.13 К главе 13 13.1. cost. 13.2. (eu + е~и + 1)/3. 13.3. Указание. См. задачи 13.1,13.5. 13.4. См. задачу 13.1. 13.5. cosn z (см. задачу 13.1). 13.6. См. задачу 13.5. 13.7. Как известно, случайную величину £, имеющую биномиальное распределение с параметрами (п;р), мож- но представить в виде суммы п £> = P'k k=i независимых случайных величин pi, Р2, • • •, Мп, каждая из которых имеет распределение Р{/ц> = <§} = ps(l — p)1-s, s = 0,1; к = 1,2,..., п.
21.13. К главе 13 503 Отсюда, пользуясь мультипликативным свойством харак- теристических функций, получаем п = П к=1 где <Pk(t) = Meltflk = elt lp + elt 0(l — р) = pezt + 1 — р = = 1 + р(ег* — 1). Следовательно, И(4) = (1+?(<=“-<. 13.8. V(t) = ---X-----г. 1 - еп(1 - р) 13.9. Найти характеристическую функцию (£) слу- чайной величины Воспользоваться тем, что характери- стическая функция <Рт/(£) случайной величины р = а + &£ равна elta^p^at). Ответ: ехр {—А — it\/~X + A exp{it/\/~X} }. z ч £>^а „—ita z ч Atb Ata 13.10. p(f) = e . 13.11. p(i) = ^5^. 13.12. p(f) = 13.13. p(i) = 13.14. <р(г) = 13.15. p(z) = 21~jga*. 13.16* . Сначала вычислим характеристическую функ- цию двустороннего показательного распределения с па- раметром а. Его плотность /(ж) = ^е~аМ, xeR1, а характеристическая функция +о° 2 p(f) = j"eitxf (x)dx = J ^e-a^dx = -A—^. IR1 -oo Дальше воспользуемся утверждением, известным под названием теоремы обращения для характеристических функций.
504 Глава 21. Решения, указания, ответы Если характеристическая функция вероятност- ного распределения F интегрируема на R1, то распреде- ление F абсолютно непрерывно, и его плотность f(x) представима в виде /w = IR1 (21.13.1) Характеристическая функция ср(Р) = а2 а'2 + f Двусто- роннего показательного распределения интегрируема на R1, поэтому имеет место равенство (21.13.1): 2 2тг а2 2 i +2 а2 + которое можно переписать так: 1 а тг а2 +t2 dt. Остается заметить, что последний интеграл — не что иное, как характеристическая функция распределения Коши с параметром а. 13.17. Свертка F*Q является распределением Коши с параметром (а + Ь). 13.18. Сумма £ + р распределена нормально с пара- метрами (tti + 02] <Т2 + ^2)* 13.19. Сумма £ + г) имеет распределение Коши с па- раметром (а + Ь). 13.20. Сума £ + т) имеет пуассоновское распределение с параметром Ai + А2. 13.21. ср(Р) = 1 + ita — ^(я2 + a2)t2 + o(t2). 13.23. Найти характеристическую функцию случай- ной величины (£д — А)/х/А и исследовать ее сходимость при А —> оо (см. также задачу 13.9) .
21.13. К главе 13 505 13.24. Воспользуйтесь теоремой непрерывности. 13.25. (/ \ \ п •г^))' 2° cp(t) = 1 — + °(^2); 3° lim ^n(t) = ехр {—12/2}. п^оо 1 J 13.26. Обозначьте через <р(£) характеристическую функцию случайной величины & (i = 1,2,...), а через ^п(^) — характеристическую функцию случайной вели- 1 п чины Sn = 52 Последовательно решите следующие г=1 задачи: 1° Выразите характеристическую функцию ^п(<) че- рез характеристическую функцию 2° Выпишите разложение Тейлора для ip(f) в окрест- ности точки t = 0, включающее t. 3° Воспользовавшись решениями задачи из пунктов 1° и 2°, найдите предел характеристической функции при п оо. 4° Воспользовавшись решением задачи из пункта 3° и теоремой непрерывности, докажите, что если п —> оо, то распределение случайной величины Sn сходится к соб- ственному атомическому распределению, сосредоточен- ному в точке а. 5° Докажите, что из сходимости распределений слу- чайных величин Sn к собственному атомическому распре- делению, сосредоточенному в точке а, следует сходимость по вероятности случайных величин Sn к а. В самом деле, сходимость последовательности {Fn} распределений случайных величин Sn/n к собственно- му атомическому распределению Fo, сосредоточенному в точке а, равносильна сходимости функций распределе- ний Fn(x) к функции распределения Fo(:r), т. е. 7—1 / \ j-) г I z-y / I 'i 7—1 / \ ГО, если х а Fn(x) = P{\Sn/n < Ж|} ад = { i’ если х > а Далее несложно убедиться, что при п оо из сходимости Fn(x) -> Fq{x) следует P{|Sn-a|>e}^0.
506 Глава 21. Решения, указания, ответы 13.29. Найдите характеристическую функцию слу- п чайной величины 52 &,п и воспользуйтесь теоремой не- k=i прерывности. 13.30. Представьте случайную величину в виде п Щ = г = 1,2,..., г. А:=1 и воспользуйтесь центральной предельной теоремой. 13.31. Последовательность распределений N^_^n.^/n2 не является сходящейся. 21.14 К главе 14 14.1. Функция L(0, /1) достигает наибольшего значе- ния в точке (в, К) = ((max {<*;,} + min{^})/2, (max{^} - min{^})/2). Учитывая, что случайные величины £i, £2,•••, £п — неза- висимы и каждая из них имеет своей плотностью f(x; в, h), находим плотности случайных величин max{^}, min{^}; Мшах{Л}, Mmin{£j, Р— lim тах{£Д, Р— lim min{&} п^оо п^оо и убеждаемся, что в — несмещенная и состоятельная оцен- ка в, a h — асимптотически несмещенная и состоятельная оценка h. 1 п 14.2. 0 = 777 52 & — несмещенная и состоятельная г=1 оценка в. 14.3. Да. 14.4. Относительно оценок #1,02,03,04 см. пример 14.1.1; 05 — асимптотически несмещенная и состоятель- ная оценка параметра Ь — а; 07,0g — несмещенные и со- стоятельные оценки соответственно параметров (а + Ь)/2, а, Ь. 14.5. А — несмещенная и состоятельная оценка А.
21.14. К главе 14 507 14.6. Да. 14.7. Функция T(n\_i 1/2п, если все & е [0 — 1,0 + 1]; — [ 0, если существует £j £ [0 — 1, в + 1] принимает два значения: 1/2п и 0. Наибольшее значение, равное 1/2п, функция L(0) принимает, если 0- 1 < & < 0 + 1Д = 1,2,...,п, или, что то же, если max{£j - 1 < 0 < min{£j + 1, другими словами, — в точках 0Л = A(max{£j - 1) + (1 - A)(min{£j + 1), А е [0; 1], промежутка [шах{^} — 1,тт{&} + 1]. Относительно несмещенности и состоятельности 0д см. пример 14.1.1. 14.8. 01,02 — асимптотически несмещенные и состоя- тельные оценки соответственно параметров 0, а. 14.9. Да. 14.10. 0 — несмещенная и состоятельная оценка 0. 14.11. а — несмещенная и состоятельная оценка а, а — асимптотически несмещенная и состоятельная оцен- 9 ка сг . 14.12. Да. 14.13. L(0) достигает наибольшего значения в точках 0д = A(max{£j - До) + (1 - A)(min{£j + ^о), А е [0; 1], промежутка [шах{^} — min{^} + ho\. См. также зада- чу 14.7. 14.14.
508 Глава 21. Решения, указания, ответы 0 — несмещенная и состоятельная оценка О', а2 — асимп- 9 тотически несмещенная и состоятельная оценка а . 14.15. Да. 14.16. #1, #2, — асимптотически несмещенные и со- стоятельные оценки параметров в — ho, 0 + ho, в соответ- ственно; $з — несмещенная и состоятельная оценка 0. 14.17. -2 а — несмещенная и состоятельная оценка а; а — асимп- 2 тотически несмещенная и состоятельная оценка а . 14.18. Да. 14.19. Функция L(a, Ь) достигает наибольшего значе- ния в точке (а, Ь) = (шт{£Д, тах{£Д); а и Ь — асимпто- тически несмещенные и состоятельные оценки соответ- ственно параметров а и Ь. 1 п 14.20. в = 52 & ~ несмещенная и состоятельная г=1 оценка параметра 0. 14.21. Да. 14.22. #2, $4 — несмещенные и состоятельные оцен- ки соответственно параметров в, в — h, в + Л; 01 — асимп- тотически несмещенная и состоятельная оценка h. 1 п 14.23. р = 52 — несмещенная и состоятельная г=1 оценка параметра (1 — р)/р. 14.24. Да. 14.25. 01, Оъ, Оз, Од, — асимптотически несмещенные и состоятельные оценки соответственно параметров h, 0— ho, 0+ho, h. Относительно оценок Oi, Оъ, 0% см. пример 14.1.1. Для исследования оценки 0±, сначала найдем ее функ- цию распределения <7(я). Поскольку случайная величина Од = шах{$о — тт{&}, шах{£Д — #о}
21.14. К главе 14 509 неотрицательна, то при х < 0 значения G(x) = P{fU < х} = 0. При х > 0, учитывая независимость £1,^2, • • - имеем G(rr) = P{fh < ж} = = P{max{0o — min{^}, max{^} — 0о} < х} = = Р{0о - х < min{£i}, max{£i} <0о + х} = < 0о + я} > = = Р{0о - X < & <0О + х} = П=1 = (Р{0О - X < < 00 + Х}}п = (F(0O + X) - F(0O - х)}п , где FCO = < если t < 0о — h; если 0о — h < t < 0o + h; если t > 0o + h о, (t - (00 - h])/2h, 1, F(0o + х) = F(0O - х) = — функция равномерного на отрезке [0о — Л, 0о + h] рас- пределения. При х > 0 (х + h)/2h, если 0 < х < h, 1, если х > h; (Ji — x)/2h, если 0 < х < h; О, если х > h. После несложных преобразований получим = = ах пхп 1/hn О, если х 6 [О, К если х £ [0, h По известной плотности распределения оценки 04, нахо- дим М04 = -^—h, п + 1
510 Глава 21. Решения, указания, ответы / £\п Р{\04 — Н\> г} = (1 — , (0 < s < h). Поэтому ^4 — асимптотически несмещенная и состоятель- ная оценка h. 14.26. 02 ~ несмещенная оценка параметра а, но не является его состоятельной оценкой. 14.27. Да. 14.28. 01 — несмещенная и состоятельная оценка О+Ь; Оъ, Оз ~ асимптотически несмещенные и состоятельные оценки соответственно параметров b и 0. 1 п 14.29. 0 = 52 — несмещенная и состоятельная г=1 оценка 0. 14.30. Да. 14.31. L(Ji) достигает наибольшего значения в точке h = шах {тах{£Д — Oq — min{^}} , и h является асимптотически несмещенной и состоятель- ной оценкой h (см. также задачу 14.25). 14.32. 0 — несмещенная и состоятельная оценка сг2. 14.33. Да. 14.34. 02 — несмещенная и состоятельная оценка па- раметра (а + Ь)/2; 01, 0% — асимптотически несмещенные и состоятельные оценки Ь. 14.35. Да. 21.15 К главе 15 15.1. 0,3. 15.2. 0,18. 15.3. /л = 2 In пи - (1пт2)/2. 15.4. Оценкой максимального правдоподобия 0 явля- ется 0х = А(шах{£Д - Ло) + (1 - A)(min{£j + Ло), А е [0; 1]; 0х — асимптотически несмещенная и состоятельная оцен- ка параметра 0; 01/2 — несмещенная и состоятельная оцен- ка 0,
21.15. К главе 15 511 15.7. b = О = (й + (mi)2)/2; b — несмещенная и состоятельная оценка параметра Ь; в — асимптотически несмещенная и состоятельная оценка параметра в. -I п 15.8. в = 52 0 ~ несмещенная, состоятельная г=1 и эффективная оценка в. 15.10. 5,4тг. 15.11. р= 1/(£ + 1). 15.12. Функцией максимального правдоподобия яв- ляется Если Ь — точка, в которой Q(b) = 52 I& — Ъ\ достигает г=1 наименьшего значения, a a — точка, в которой L(a, 6) до- стигает наибольшего значения, то в точке (а, 6) функция 1/(а, Ь) достигает наибольшего значения. Это утвержде- ние проверяется непосредственно. Далее, пусть , ££> • • • > £п — вариационный ряд выбор- ки £i, £2, • • • , При п = 2fc, функция Q(b) достигает наи- меньшего значения в каждой точке промежутка [££, ££+1], поэтому оценкой Ь является ьх = + (1 - ж+1, А 6 [0; 1]. Если п = 2к + 1, функция Q(b) достигает наи- меньшего значения в точке Ь = ££+1. Это хорошо видно из графиков функции у = Q(b) (при четном и нечетном п). Обозначим Q* = Q(b). Функция Ь(а,Ь) = 7^ехр("^*} \2а)п а ) достигает наибольшего значения в точке а = Q*/п. Сле- довательно, оценкой максимального правдоподобия (а, 6) параметра (а, Ь) является (Q*/n, &).
512 Глава 21. Решения, указания, ответы 15.14. 158,3. 15.15. Для случайной величины с плотностью рас- пределения f(x;a,0) = —(x — (a + V0))/0, О, если х 6 [а — VO, а]; если х 6 [а, a + х/#]; если х £ [а — VO, a + VO] имеем mi = mi(a,0) = а, m2 = Ш2(а,(Г) = а2 + 0/6. Согласно методу моментов оценки а и 0 получаем как решение системы mi = 7712 = а2 + 0/6. Отсюда а = ту, в = б{тп2 — (?7ii)2). Из теоремы 15.1.1 следует, что а и в — состоятельные оценки соответственно параметров а и 0; а — несмещен- ная оценка а. Поскольку выборочная дисперсия а2 явля- ется асимптотически несмещенной оценкой сг2, то 0 явля- ется асимптотически несмещенной оценкой 0. 15.16. Пусть а — высота цели, £ — высота выстрела — нормально распределенная с параметрами (Л; 1) слу- чайная величина (h неизвестно). Событие {£ > а} будем считать успехом. Вероятность успеха а Наблюдается случайная величина т) — число успехов в п испытаниях, при этом число таких наблюдений, т. е.
21.15. К главе 15 513 объем выборки, равен единице. Распределением т) явля- ется P{rj = m} = C™(p(/i))m(l - p(/i))n"m, т = 0,1,..., п. Функция максимального правдоподобия i(p(ft)) = СЙ(р(Л)),'(1 -р(Л-))"-''. Логарифмическое уравнение максимального правдоподо- бия к lnp(7i) + (n — fc) 1п(1 — p(/i)) = 0. Решая его относительно p(/i), получим p(/i) = к/п, или a—h Условие к установке орудия: |а — h\ принимает минималь- ное значение, другими словами, а — h = 0. Поэтому из равенства (21.15.1) имеем к _ 1 п 2’ Следовательно, орудие необходимо установить так, что- бы количество перелетов было равным количеству недо- летов. 15.20. Оценкой максимального правдоподобия h яв- ляется h = шах {шах{£г} — #о — min{^}} . Функция распределения h F(x) = P{h < х} = = F{max {max{£j — 0o, #o — min{^}} < x} =
514 Глава 21. Решения, указания, ответы = Р{тах{£,} - 0о < х, 0q - min{&} < ж} = = р\ (Ata<0o+*})ri(Qte>0o-*}) \ \г=1 / \г=1 / = Р f Q{0o-£ < 6 < 00 + я} ] = \г=1 / = Пр{0о-*<& <0о + х} = (Р{0о-х<& <0о + х})п. г=1 И поскольку = 1,2,..., п, распределены равномерно на [#о — h,0o + h], то F(x) = < 0, (x/h)n, i, если х < 0; если 0 < х < h; если х > h. Отсюда Mh —-----------------------h —h, п + 1 при п —> оо, т. е. /г является асимптотически несмещенной оценкой h. Для достаточно малых е > 0 P{\h - h\ < s} = P{h -£<h<h + s} = fh-e\n = P{h - s < h} = 1 - P{h < h - s} = 1 - —— -> 1, \ h J при n oo, t. e. h — состоятельная оценка h. - /1 n \ 15.22. 0 = i • \ i=i / 15.23. в = m[, a2 = m2 — (rhi)2; в — несмещенная и состоятельная оценка в] a2 — асимптотически несмещен- 9 ная и состоятельная оценка a , 15.24. в = — несмещенная, состоятельная г=1 и эффективная оценка параметра в. 15.26. 15,52-тг. 15.27. m = 1/ (m2/(^i)2 — 1); А = 1/ (m2/mi — mi).
21.15. К главе 15 515 15.28. п 1) 52 — несмещенная, состоятельная, эф- г=1 фективная оценка параметра в. 2) $=п52£г — — несмещенная, состоятельная, г=1 эффективная оценка параметра в. 1 п 3) $ = 52 — несмещенная, состоятельная, эф- г=1 фективная оценка параметра в. 15.31. 0 = 1/ (m^/rnl — 1); a = 1/ (m2/mi — mi). 15.32. в = mi — несмещенная, состоятельная и эф- фективная оценка в. / п \ -1 15.34. 0,567Г, 15.35. р = ( 1 + . \ г=1 / 15.36. N = (пК/к). 15.39. a = у/т2 — (mi)2; b = mi — a. 15.40. Поскольку £i, £2, • • •, — независимые случай- ные величины, то их совместная плотность распределе- ния равна П f(xi;a,b\ а функция максимального прав- г=1 доподобия п 1(а,Ь) = Ц/Ш = г=1 _ ( l/(b — a)n, если все е [a, b]; ~ 1 0, если существует [а, Ь]. Функция 1/(а, Ь) достигает максимального значения в точ- ке (а, 6), где разность (&—а) достигает минимального зна- чения, последняя же достигает минимального значения при а = а = min{^}; b = b = шах{^}- а,Ь — асимптотически несмещенные и состоятельные оцен- ки соответственно параметров a, b (см. также пример 14.1.1).
516 Глава 21. Решения, указания, ответы 15.41. Время указать в часах, sup |f(&) — Fi4(^)l = 0,306. X I I 15.42. 0,09. 1 n 15.43. p = 52 p — несмещенная, состоятель- г=1 ная и эффективная оценка р. 15.44. Оценкой параметра (в, Ji) является (0, К) = ((max{£j + min{£j)/2; (max{£j - min{^})/2); в, h — асимптотически несмещенные и состоятельные оценки соответственно параметров а и Ь. 15.45. sup |f(x) - F„(z)| = 0,287. 15.47. в = mi, h = m2 —(mi)2, 0 — несмещенная и со- стоятельная оценка 0; h — асимптотически несмещенная и состоятельная оценка h. Tl 71 / П \ 15.48. Д = Ё 1п6; <72 = Ё (1п& - £ 1п& ) • г=1 г=1 \ г=1 / 15.49. е = 1 + ± f г=1 15.50. Ь = шах{£г}; Ь — асимптотически несмещенная и состоятельная оценка Ь. 15.51. А = £; А — несмещенная, состоятельная и эф- фективная оценка А. 1 п 15.53. р = 52 6? Р ~ несмещенная, состоятель- г=1 ная и эффективная оценка р. 15.54. в = y^^rhi; в — несмещенная и состоятельная оценка в. 15.55. Функция максимального правдоподобия L{0,X) = < 0пХпв если все £г > А; если хотя бы одно < X.
21.16. К главе 16 517 Зафиксируем значение переменной т. е. О — произ- вольное, но фиксированное. Функция 1/(0, А) одной пере- менной А (не дифференцируемая) достигает своего наи- большего значения в точке А = min{£j. Функция А) дифференцируема и достигает наиболь- шего значения в точке п г=1 — 1п шш{£г И поскольку L(0, А) < 1/(0, А) < 1/(0, А), то (0, А) — оценка максимального правдоподобия параметра (0, А). 15.56. Оценка максимального правдоподобия пара- 9 метра a : i=l a2 — несмещенная, состоятельная, эффективная оценка 9 параметра a . 15.57. р = & р — несмещенная, состоятельная, эф- фективная оценка параметра р. 15.58. Частота р = р/п является эффективной оцен- кой р. 21.16 К главе 16 16.1. Нулевая гипотеза Hq: телепат мысли не читает. 16.2. Нулевая гипотеза Hq: монета симметричная, аль- тернатива — двусторонняя. 16.3. Нулевая гипотеза Hq: больной страдает тубер- кулезом. 16.4. Нулевая гипотеза Hq: телепат мысли не читает. 16.5. Нулевая гипотеза Hq: монета симметричная, аль- тернатива — двусторонняя.
518 Глава 21. Решения, указания, ответы 16.6. Нулевая гипотеза Hq: препарат токсичный. 16.8. Нулевая гипотеза Ну болезнь инфекционная, альтернатива — болезнь неинфекционная. 16.9. Нулевая гипотеза Ну А = 1 — среднее содер- жание бактерий на единицу объема воды составляет 1. Альтернативная гипотеза Н\ (А < 1) — среднее содержа- ние бактерий на единицу объема воды меньше чем 1. Наблюдается случайная величина £ — количество за- грязненных проб; £ имеет биномиальное распределение с параметрами (10; р), где р — вероятность того, что в про- бе будет по меньшей мере одна бактерия. Если гипотеза Hq верна, т. е. среднее содержание А бактерий на единицу объема равно 1, то р = ро = 1 — е-1. Критическое множе- ство для проверки гипотезы Hq имеет вид S = {к : к < I}. 16.11. Нулевая гипотеза Hq: доля дефектных изде- лий составляет 0,08; альтернативная гипотеза Нр: р 6 6 (0;0,08) (сложная). Критическое множество S = = {к : к < I}. Требование потребителя: P(S\Hq) >0,90, пожелания поставщика ЛЖощ) >0,96. 16.12. Нулевая гипотеза Hq: игральная кость симмет- ричная, альтернативная гипотеза Нр: р 6 (0,5; 1]. Крити- ческое множество S = {к : к > I}. 16.15. Нулевая гипотеза Hq: весь изюм использован по назначению, альтернативная гипотеза Яд: часть А изю- ма разошлась не по назначению, А 6 (0,1). 16.16. Регистрируем количество погибших мышей. Нулевая гипотеза Hq: препарат токсичный. Критиче- ское множество будем искать в виде S = {k:k<l}. По условию P{S\Hq} < 0,0001 или I C'ioCO, 8)*(0, 2)10“fc < 0,0001. к=0
21.17. К главе 17 519 Последнее неравенство удовлетворяют I 6 [0; 2], поэтому S = {к : к < 2}. Вероятность того, что при проверке на токсичность с помощью критерия S нетоксичный препа- рат выдержит контроль 2 Р{5|Я1} = J2C1feo(O,O2)fe(O,98)1°-/c > 0,996. к=0 Результат эксперимента свидетельствует в пользу не- токсичное™ препарата. 16.18. Нулевая гипотеза Hq: монета симметрична, аль- тернативная гипотеза Нр: р равно одному из чисел 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 (альтернатива сложная). 16.19. Регистрируем количество к выживших насе- комых. Нулевая гипотеза Hq: процент поражения инсек- тицида в = 98, альтернативная гипотеза Н$: в 6 [0;98). Критическое множество S = {к : к > I}. Пожелание ав- торов нового инсектицида F(S|H98) >0,96, Требование покупателя F(S|H92) >0,95. 21.17 К главе 17 Далее, проверяя гипотезу Hq: a = ао, через t будем обозначать (£—ао) / ~у=> а проверяя гипотезу Hq: через t будем обозначать (£ — ??)/ J • 17.1. Рассмотрим разность £ = т) — £ между объе- мом легких после и до сезона (в данном случае пользо- ваться критерием Стьюдента для проверки гипотезы Hq: = ap нельзя, поскольку выборки объема легких после и до сезона не являются независимыми). Относительно
520 Глава 21. Решения, указания, ответы среднего разности £ выдвигается гипотеза Hq : a = 0 (гипотеза об отсутствии эффекта физических упражне- ний) , в качестве альтернативной к гипотезе Hq естествен- но рассматривать гипотезу a > 0. Значение t = (^/~^= = = 3,36 > 1,833 = £о,о5;9 = ta;n—1- Поэтому согласно кри- терию Стьюдента гипотеза Hq отклоняется (на 5 %-м уровне значимости), что интерпретируется как су- щественное увеличение объема легких под влиянием фи- зических упражнений. 17.2. Нулевая гипотеза Но'- = а^, альтернатива двусторонняя. Значение |t| = 0,51 < 2,306 = ^о,О25;8 — — ta;n+m-2- Поэтому согласно критерию Стьюдента ги- потеза Но не отклоняется (на 5%-м уровне значимости), что интерпретируем как отсутствие различий отража- тельных способностей красок. 17.3. Нулевая гипотеза Hq: сг^/сг2 = 1, альтернати- ва двусторонняя. Значение s^/s* = 0,24. Гипотеза Но на 2 %-м уровне значимости отклоняется. Последнее обозна- чает, что точность работы контролеров необходимо ква- лифицировать как различную. 17.4. Нулевая гипотеза Hq: а = 1, альтернатива дву- сторонняя. Значение |t| = 2,35 > 2,262 = £о,О25;9 — Поэтому гипотеза Но (на 5 %-м уровне значимости) от- клоняется, что указывает на то, что счетчики отрегули- рованы неудовлетворительно. 17.5. Нулевая гипотеза Hq: = а^, альтернатива двусторонняя. Значение |t| = 0,891 < 2,262 = ^о,О25;9 — — ta;n+m-2- Поэтому гипотеза Hq на 5 %-м уровне значи- мости не отклоняется (не противоречит эксперименталь- ным данным). Другими словами, эксперимент дает осно- вания утверждать, что сталь I и сталь II не отличаются способностью к глубокому отпуску. 17.6( 2°). Нулевая гипотеза Hq: <т2/0,01 = 1, альтер- натива односторонняя: сг2/0,01 > 1 (нас интересует толь- ко превышение дисперсией заданного уровня). Значение s2/0,01 = 14,53, Х2а.(п_1}/(п - 1) = Х205;9/9 = 1,88 < < 14,53 = s2/0,01. Поэтому гипотеза Но на 5 %-м уровне значимости отклоняется. Взвешивание 10 упаковок да-
21.17. К главе 17 521 ет основания утверждать, что требования относительно дисперсии массы упаковок не выполняется — разброс мас- сы упаковки превышает заданную норму. 17.7. Нулевая гипотеза Hq: a = 12,0, альтернатива двусторонняя. Значение \t\ = |£ — 12,0|/~^= = 0,42; \t\ = = 0,42 < 1,77 = £о,о25;13 — ta;n-1- Поэтому гипотеза Hq не отклоняется. 17.8. Пусть — среднее содержание золота, в об- разцах из шурфов, а — из скважин, Hq: = ari. альтернатива односторонняя: (результат иссле- дования образцов на содержание золота из скважин не выше, чем из шурфов). Мы не хотим пренебрегать воз- можным снижением расходов (за счет бурения скважин вместо закладки шурфов), поэтому назначаем не очень большой уровень значимости, скажем, a = 0,025. Значе- ние t = (77 - £),/ = 1,82; t = 1,82 < 2,06 = — £о,О25;25 = ta-,n+m~2- Поэтому гипотеза Hq не отклоня- ется. Так что можно считать, что результаты исследова- ния образцов из скважин и из шурфов существенно не отличаются. Следовательно, можно рекомендовать вести разведку залежей рассыпного месторождения золота по образцам, взятым из скважин, что уменьшает затраты. 17.9. Пусть — дисперсии размера внешнего диа- метра изделия соответственно после настройки станка и через определенное время после этого. Нулевая гипотеза Hq: = 1, альтернатива односторонняя: < 1, поскольку со временем точность работы станка может только уменьшиться (дисперсия критического размера из- делия может только увеличиться). Значение отношения s^/s^ = 0, 77 > 0,44 = 1/Fo,o5;i4;i9- Поэтому гипотеза Hq не отклоняется. Последнее обозначает, что приведенные данные не дают оснований говорить о снижении точности работы станка. 17.10. Нулевая гипотеза Hq: a = 24, альтернатива двусторонняя. Значение |t| = |£ — 24|/-^= = 1,363 < < 2,365 = £о,О25;7 — ta-n_ i. Поэтому гипотеза Hq не от-
522 Глава 21. Решения, указания, ответы клоняется (на 5 %-м уровне значимости). Следовательно, можно считать, что расчетная скорость полимеризации составляет 24% за час. 17.11. Пусть и а?) — средние предельного сопротив- ления на сжатие соответственно бетона, приготовленного без обработки, и бетона, приготовленного с обработкой. Относительно и выдвигается гипотеза Hq: — гипотеза об отсутствии эффекта специального способа приготовления бетона (обидная для авторов нового спо- соба). Альтернатива односторонняя: (специаль- ный способ приготовления бетона ориентирован на по- вышение его прочности на сжатие). Вы — член доброже- лательной комиссии по проверке эффекта специального способа приготовления бетона (не хотите несправедливо пренебрегать эффектом специального способа приготов- ления бетона, если он существует), поэтому назначаете не очень малый уровень значимости. Выберем, скажем, 5 %-й уровень. Значение > 2, 13 — £о,О5;4 — ta,n+m—2* Поэтому нулевая гипотеза Hq отклоняется. Последнее обо- значает, что эксперимент дает основания утверждать, что специальный способ приготовления бетона повышает его сопротивление на сжатие. 17.12. Пусть — дисперсии выхода нежелатель- ного продукта при использовании соответственно ката- лизаторов А и В. Гипотеза Hq: = 1, альтернати- ва двусторонняя: < 1 или > 1, поскольку априори ничего не известно о стабильности выхода неже- лательного продукта как в случае использования одно- го катализатора, так и другого. Значение s^/s^ = 0,335; l/^a;(m-l);(n-l) = 1/^0,01;8;8 = 0,166 < 3^/3% < 6,03 = — Л},01;8;8 = ^k;(n-l);(m-l)• Поэтому ГИПОТеза Hq не ОТ- клоняется. Эксперимент не дает оснований считать, что разброс выхода нежелательного продукта при использо- вании катализаторов А и В различен.
21.17. К главе 17 523 17.13. Нулевая гипотеза Hq: a = 2,5, альтернатива двусторонняя. Значение |t| = |£ — 2,5|/-^= = 2,08 < < 2,365 = £о,О25;7 = ta-n_ 1, поэтому гипотеза Hq не от- клоняется (на 5 %-м уровне значимости). Следовательно, можно считать, что выборка получена из нормального распределения со средним 2,5. 17.14. Пусть и — среднее увеличение массы детей, которым выдавали соответственно сок и молоко. Нулевая гипотеза Hq: альтернатива двусторон- няя: или > а^. Значение |t| = 1,30 < 2,01 = — ^0,025; 18 — ta-,n+m~2- Поэтому ГИПОТеза Hq не ОТКЛОНЯет- ся, что мы интерпретируем как несущественное отличие в увеличении средней массы детей в группах. 17.15. Нулевая гипотеза Hq: = 1, альтерна- тива двусторонняя: > 1 или < 1 (если Hq неверна, то априори неизвестно, точность какого мик- роскопа выше, а какого ниже). Значение = 0,47; l/^k;(m-l);(n-l) = 1/^0,01;11;8 = 0,17 < sj/< 4,47 = -^b,oi;8;ii — -Fa;(n-i);(m-i)- Поэтому гипотеза Hq на 2 %-м уровне значимости не отклоняется. Эксперимент не да- ет оснований ставить под сомнение одинаковую точность измерений микроскопами I и II. 17.16. Нулевая гипотеза Hq: а = 2000, альтернати- ва двусторонняя (сопротивление резисторов может быть как меньшим, так и большим 2000). Значение |t| = 1,02 < < 2,20 = £q,025;11 — ta,n-1- Поэтому гипотеза Hq не от- клоняется (на 5 %-м уровне значимости). Последнее обо- значает, что такие отклонения значения сопротивления резисторов от номинала допустимы (они естественны и избежать их невозможно). 17.17. Нулевая гипотеза Hq: альтернатива двусторонняя. Значение |t| = 8,566 > 2,10 = ^о,О25;18 = — ta;n+m-2- Поэтому гипотеза Hq отклоняется (на 5 %-м уровне значимости). 17.18. Пусть сг^, — дисперсии отражательных спо- собностей краски, изготовленной соответственно по тех- нологиям А и В. Нулевая гипотеза Hq: = 1, аль-
524 Глава 21. Решения, указания, ответы тернатива односторонняя: > 1 (изменения в техно- логии направлены на уменьшение дисперсии отражатель- ных свойств краски). Отклонение в пользу этой альтерна- тивы будет свидетельствовать об уменьшении дисперсии. Значение sj/s^ = 4,74 < 6,39 = F0>05;4;4- = ^a;(n-i);(m-i)- Поэтому гипотеза Hq на 5 %-м уровне значимости не от- клоняется. Эксперимент не дает оснований утверждать, что изменения в технологии, направленные на уменьше- ние дисперсии отражательных свойств краски, оказались эффективными. 17.19. Нулевая гипотеза Hq: a = 220, альтернатива двусторонняя: a > 220 или a < 220. Значение \t\ = |£ “ 2201/-^= = 1,48 < 2,07 = ^0,025;23 — Поэтому гипотеза Hq не отклоняется (на 5 %-м уровне значимости). Отклонения от стандарта можно считать допустимыми. 17.20. Пусть и ал — средние значения результа- тов прохождения дистанции в 15 км соответственно тра- диционным ходом и коньковым ходом. Нулевая гипотеза Hq: — 1 = а?], альтернатива односторонняя: — 1 > > Отклонение нулевой гипотезы в пользу альтерна- тивной: — 1 > будет свидетельствовать о наличии более чем одноминутного эффекта техники конькового хода, неотклонение гипотезы Hq будет свидетельствовать об отсутствии такого эффекта. Значение сравниваем с ta-n+m_2, если t > ta-n+m_2 гипотеза Hq от- клоняется, в противном случае — нет. Имеем t = 3, 774 > > 2, 10 = £q,05;18 — ta;n+m-2- Поэтому СОГЛаСНО крите- рию Стьюдента гипотеза Hq: — 1 = на 5 %-м уровне значимости отклоняется, что интерпретируется как более чем одноминутный выигрыш во времени при использова- нии техники коньковых ходов по сравнению с традици- онной техникой. 17.21. Нулевая гипотеза Hq: = а^, альтернатива двусторонняя: или > а^, поскольку нет апри-
21.17. К главе 17 525 орной информации относительно диаметров изделий, из- готовленных на станках А и В. Значение |t| = 1,98; |t| = 1,98 < 2,07 = £о,о25;23 — ta;n-1- Поэтому гипотеза Hq не отклоняется. Эксперимент не дает оснований утвер- ждать, что диаметры изделий, изготовленных на разных станках, отличны. 17.22. Нулевая гипотеза Hq: a = 18, альтернатива двусторонняя. Значение |t| = 0,89 < 2,20 = £o,O25;ii — — Поэтому гипотеза Hq не отклоняется (на 5 %-м уровне значимости). Последнее трактуется как выполне- ние требований стандарта относительно содержания хро- ма в стали 18CrlONi2Mo. 17.23. Нулевая гипотеза Hq: альтернатива двусторонняя. Значение |t| = 2,55 > 2,10 = ^о,О25;18 = — ta;n+m-2- Поэтому гипотеза Hq отклоняется (на 5 %-м уровне значимости). Эксперимент дает основания утвер- ждать, что комфортная температура для женщин и муж- чин различна. 17.24. Нулевая гипотеза Hq: = 1, альтернатив- ная гипотеза двусторонняя. Значение s^/s^ равно 1,71; 1/Л*;(тп-1);(п-1) = 1/^Ь,01;7;7 = 0, 14 < 3^/3% < 6,99 = — Лэ,01;7;7 = ^a;(n-l);(m-l) • Поэтому ГИПОТеза Hq не ОТ- клоняется (на 2%-м уровне значимости). Эксперимент свидетельствует в пользу отсутствия различий между раз- бросом сопротивлений провода типа А и В. 17.25. Нулевая гипотеза Hq: a = 11, альтернатива односторонняя: a < 11 (прочность на изгиб меньше 11). Значение t = (£ — 11)/~^= = 3,8 > —1,75 = —Лэ,05;15 = — — Поэтому гипотеза Hq не отклоняется (на 5 %-м уровне значимости). Таким образом, можно считать, что прочность на изгиб не меньше чем 11. 17.26. Точность станка характеризуется величиной дисперсии: меньше дисперсия — больше точность, боль- ше дисперсия — меньше точность. Проверяем гипотезу Hq: &д/(?в = 1, альтернатива двусторонняя: > 1 или Сд/#^ < 1, поскольку неизвестно, точность какого станка больше, а какого мень- ше. Значение s2A/s2B = 1,27; l/^a;(TO-i);(n-i) = 1/Fo>oi;9;14 =
526 Глава 21. Решения, указания, ответы = 0, 25 < 1,27 = 82д/Bp < 5, ОО = -Fb,01;14;9 = Fл;(п—l);(m—1)* Поэтому гипотеза Hq не отклоняется (на 2 %-м уровне значимости). Эксперимент не дает оснований утверждать, что станки принадлежат разным классам точности. 17.27. Разброс характеризуется дисперсией, больше дисперсия — больше разброс. Пусть crj — дисперсия со- держания марганца в случае его определения по тради- ционной методике, а а2 — по новой. Нулевая гипотеза Hq: al/ari — 1? альтернатива односторонняя: > 1 (ожи- дается, что новая методика определения содержания мар- ганца дает меньший разброс результатов).Отклонение Hq в пользу этой альтернативы будет свидетельствовать об уменьшении дисперсии. Значение s^/s2 = 1,55; s^/s2 = = 1,55 < 3,68 = F0,05;9;7 = ^a;(n-l);(m-l)• ПОЭТОМУ ГИПО- теза Hq не отклоняется. Эксперимент не дает оснований говорить об уменьшении разброса. 17.28. Нулевая гипотеза Hq: a = 6720; альтернатива односторонняя: a < 6720 (главное — обнаружить прово- локу, которая рвется, когда значение усилия на разрыв меньше предельного). Значение t = (£ — 6720) j-j= = = —1,38; t > —1,729 = — ^оо5;19 — —ta;n-i- Поэтому ГИ- потеза Hq не отклоняется. Эксперимент дает основания утверждать, что требования к прочности партии прово- локи, из которой изготовляют канаты, выполнены. 17.29. Нулевая гипотеза Hq: = a^, альтернатива двусторонняя (нет априорной информации относительно характеристик футеровки предприятий АиВ). Значе- ния \t\ = 4,05 > 2,11 = *0,025;17 = ta,n+m-2- Поэтому гипотеза Hq отклоняется (на 5%-м уровне значимости). Эксперимент дает основания утверждать, что футеров- ка, изготовленная на предприятиях АиВ, отличается по своим характеристикам. 17.30. Пусть Hq: a2/35,63 = 1, альтернатива односто- ронняя: сг2/35,63 < 1. Отклонение Hq в пользу этой аль- тернативы будет свидетельствовать об уменьшении дис- персии, в противном случае — нет. Значение s2/35,63 = 0,842 > 0,47 = Хо,О5;14/14 = Xa;(n-i)/(n- !)• Поэтому ги- потеза Hq не отклоняется. Эксперимент не дает основа-
21.17. К главе 17 527 ний утверждать, что дисперсия за счет технологических изменений процесса уменьшилась (несмотря на ожида- ния их авторов). 17.31. Поскольку регистрируется температура пра- вой и левой шин для одного и того же автобуса, то выбор- ки не являются независимыми (а следовательно, нельзя пользоваться критерием для проверки гипотезы о равен- стве средних), поэтому рассмотрим разность £ = т) — £ температур, скажем правой и левой шин. Относительно среднего а разности £ выдвигается гипотеза Hq: a = О, альтернатива двусторонняя. Значение |t| = = = 2,16. Так ЧТО \t\ = 2, 16 < 2,20 = *0,025;11 = *a;n+m-2- Поэтому гипотеза Hq не отклоняется (на 5 %-м уровне значимости), что свидетельствует в пользу несуществен- ной разницы температуры, до которой нагреваются пра- вая и левая шины автобуса во время его движения. 17.32. Нулевая гипотеза Hq: альтернатива двусторонняя. Значение |t| = 3,5 > 2,10 = £о,О25;18 — — ta;n+m-2 • Поэтому гипотеза Hq отклоняется. Экспе- римент дает основания утверждать, что в течение задан- ного интервала времени произошли изменения в уровне настройки станка. 17.34. Рассмотрим разность £ = т) — £ между длиной образцов после отжига и до него. (Пользоваться критери- ем Стьюдента для проверки гипотезы о равенстве сред- них нельзя, поскольку выборки не являются независимы- ми — измеряется длина одного и того же образца до от- жига и после него.) Относительно среднего а разности £ выдвигается гипотеза Hq: a = 0, альтернатива двусто- ронняя: a > 0 или a < 0. Значение |t| = 2,14 < 2,262 = — £о,О25;9- Поэтому гипотеза Hq не отклоняется. Экспе- римент не дает оснований говорить об изменении длины образцов изделий после их отжига. 17.35. Нулевая гипотеза Hq: альтернатива двусторонняя. Значение |t| = 0,916 < 2,015 = £q,05;5 = — ta;n+m-2- Поэтому гипотеза Hq не отклоняется. Пред- положение о том, что состав резины не влияет на ее проч- ность, не противоречит эксперименту. 17.36. Точность работы станка характеризуется дис- персией и со временем не возрастает (а дисперсия соот-
528 Глава 21. Решения, указания, ответы ветственно не уменьшается). В терминах проверки ста- тистических гипотез предположение о неизменности точ- ности работы станка формулируется как гипотеза Hq: al/ari = 1? альтернатива односторонняя: сг^/сг2 < 1. Зна- чение = 0,51 > 0,31 = 1/Го,О5;9;9 = l/Fa;(m-l);(n-l)- Поэтому нулевая гипотеза не отклоняется. Таким обра- зом, можно считать, что точность работы станка не умень- шилась (хотя значение оценки дисперсии и возросло с = 4,4 мкм2 до s2 = 8,6 мкм2, но это допустимое увели- чение дисперсии). 17.37. Рассмотрим разность £ = т)— £ между длитель- ностью обезболивающего действия препаратов В и А. (В данном случае пользоваться критерием Стьюдента для проверки гипотезы Ну нельзя, поскольку вы- борки не являются независимыми.) Относительно сред- него а разности £ выдвигается гипотеза Ну а = 0, при этом в случае 1° (при отсутствии априорной информа- ции об эффективности препаратов) альтернатива двусто- ронняя: а < 0 или а > 0; в случае 2°, когда извест- но, что В имеет не меньшую фармакологическую актив- ность чем А, альтернатива односторонняя: а > 0. Да- лее, t = = 2,43; |i| = 2,43 > 2,365 = f0,025;7 = — Поэтому в случае 1° гипотеза Hq отклоняет- ся (на 5%-м уровне значимости), что мы трактуем как различную фармакологическую активность препаратов В и А. Отклоняется гипотеза Hq и при наличии априорной информации (фармакологическая активность В не мень- ше чем А), поскольку t = 2,43 > 1,895 = £q,05;7- Это сви- детельствует в пользу большей фармакологической ак- тивности препарата В по сравнению с А. 17.38. Нулевая гипотеза Hq: = а^, альтернатива двусторонняя: или а^> Значение |t| = 1,14 < < 2,179 = £q,025;12• Поэтому гипотеза не отклоняется. Эксперимент не дает оснований утверждать, что резуль- таты операторов существенно различаются.
21.18. К главе 18 529 21.18 К главе 18 Примеры интерпретации неотклонения нулевой гипо- тезы, отклонения нулевой гипотезы в пользу той или дру- гой альтернативы можно найти в решениях и указаниях к задачам гл. 17. 18.7. Чтобы обеспечить выполнение условия щ.и^/п > > 10 для всех z,j, не исключено, что признаки D и Е необходимо будет объединить в один признак S — недо- статочно развитый или умственно отсталый. 18.8. Можно предложить две модели: в первой — мо- неты симметричны, в другой — информация о симмет- ричности отсутствует. В последней модели гипотетиче- ское распределение зависит от неизвестного параметра, который необходимо оценить по выборке методом макси- мального правдоподобия. 18.9. См. указание к задаче 18.8. 18.19. Формально гипотеза о независимости глухоне- моты от пола формулируется как гипотеза о независимо- сти признаков: пол и глухонемота. Сначала необходимо построить таблицу сопряженно- сти признаков. Наблюдается 15 729 000+16 799 000 значе- ний (по количеству жителей Англии и Уэльса) случай- ной величины (£,??), где £ — “индикатор” пола (принима- ет значение 0 для женского пола и 1 — для мужского), г) — “индикатор” глухонемоты (принимает значение 1, ес- ли человек глухонемой и 0 — в противном случае). 18.22. Чтобы обеспечить выполнение условия Vi.u.j/n > 10 для всех z,j, не исключено, что два признака: F и G (или два признака: “сносное” и “очень плохое”) необходимо бу- дет объединить в один признак. 18.25. Гипотеза Hq: число появлений (1,1) на 100 пар имеет пуассоновское распределение. 18.27. Не исключено, что некоторые признаки необ- ходимо будет объединить в один (см., например, указание к задаче 18.7). 18.30. См. указание к задаче 18.8.
530 Глава 21. Решения, указания, ответы 18.37. Если телепат мысли не читает, то вероятность правильно прочитать задуманную цифру равна 1/10. Пусть £ — случайная величина — число правильно прочитанных цифр в одном эксперименте, £ принимает значения 1 и 0, распределение £ имеет вид P5(fc) = 0fc(l - 0)1-*; k = 0,1; ее (0; 1). Относительно распределения выдвигаем гипотезу Но : Р^к) = (l/10)fe(9/10)1-fc; к = 0,1. Альтернативная гипотеза Нв : Р^к) = 0к(1 - 0У~к- к = 0,1; 0 > 1/10. Отклонение нулевой гипотезы в пользу альтернативной свидетельствует о наличии способностей телепата читать мысли, не отклонение — об отсутствии таковых. 21.19 К главе 19 Примеры интерпретации неотклонения нулевой гипо- тезы, ее отклонения в пользу той или другой альтерна- тивы можно найти в решениях и указаниях к задачам гл. 17. 19.7. Номинальный диаметр шейки рабочей части сверла составляет 9,8 мм, но в процессе производства по- лучается то, что получается (см. выборку), по-другому в принципе не может быть — уж очень много случай- ных (неконтролируемых) факторов влияет на конечный результат. Поэтому измерения диаметров шеек 20 сверл, каждый из которых должен быть равен 9,8 мм, дают не одно число 9,8, а реализацию выборки некоторой случай- ной величины £, которую мы и называем диаметром шей- ки сверла. Относительно распределения значений диаметра шей- ки сверла выдвигается вполне естественное предположе- ние: £ — нормально распределенная случайная величина
21.19. К главе 19 531 (теоретическим обоснованием этого предположения, ко- торое в большинстве ситуаций оправдывается, является центральная предельная теорема). Нормальное распреде- ление Na.a2 определяется двумя параметрами: а и сг2; его функция распределения ^Va;a2(a') — Поскольку номинальный диаметр шейки сверла 9,8 мм, то a = 9,8. Требование “норма отхода при техническом допуске 0,05 мм должна составлять 1 %” обозначает, что Р{9,75<<< 9,85} = 0,99. Последнее равенство, с учетом предположения о нормаль- ности распределения £, можно переписать так: 9,85 1 f ( (i-9,8)2 ^5 J 9,75 }dt = 0,99, а после замены (t — 9,8)/<т = и так: 0,05/сг —0,05/ет du = 0,99, или du = 0,495. По таблице 22.1.1 нормального распределения находим 0,05/сг = 2,575, a = 0,02. Таким образом, функция гипо- тетического распределения диаметра шейки сверла имеет вид
532 Глава 21. Решения, указания, ответы (х—а)/сг где а = 9,8, ст2 = 0,0004. Осталось, воспользовавшись критерием А. Н. Колмо- горова, проверить гипотезу Hq: диаметр шейки сверла имеет распределение Na](T2; а = 9,8, а2 = 0,0004. 19.16. Показания часов записать в часах. 19.25. Случайную величину Si можно представить в виде 16 к=0 где в*.* , к = 0,1,..., 16, — независимые одинаково распре- деленные случайные величины, распределением каждой из которых является Согласно центральной предельной теореме, нормирован- ная сумма независимых одинаково распределенных слу- чайных величин (с конечными дисперсиями) имеет рас- пределение, близкое к ^^-распределению. Заметим, что 16 16 MSi = = 8> Dsi = D^sk} = 4’ к=0 к=0 поэтому gj - 8 2 19.28. См. задачу 19.25.
21.20. К главе 20 533 21.20 К главе 20 20.1. Оценки a = 13, И; 3 = 0,74;<т2 = 20,57. Дове- рительными интервалами с коэффициентом надежности 0,90 являются: (12,01; 14,21) для параметра а; (0,61; 0,87) для параметра /3; (15, 78; 31,08) для параметра сг2. Уравнение регрессии з = 13,11 + 0, 74(v — 24, 78). Проверка значимости регрессии: |t| = 9,661 > 1,677 = — £о,О5;48? поэтому гипотеза Hq : /3 = 0 отклоняется (на 5% уровне значимости). Регрессия значима. Для проверки адекватности линейной регрессии вы- числим k nj *2 = 52 ni(s3 - (а + ~ -у))2, 7=1 1 х-А А Sj = = 1,2,... ,k, п = ^nj, V = - ^Vi. I O') II' . 7 = 1 Имеем ni = 2, «2 = 2,пз = l,...,nig = 1; n = 50, k = 19; sf = 20,31; s22 = 21,23; = 1,05 < 1,96 = — Лэ,05;17;31 поэтому гипотеза об адекватности описания линейной моделью зависимости тормозного пути от его скорости не отклоняется. 20.2. Оценки a = 73,98; 3 = 3,85;^2 = 59,44. Дове- рительными интервалами с коэффициентом надежности 0,90 являются: (71,15; 76,80) для параметра а; (2,06; 5,64) для параметра /3; (42,06; 115,6) для параметра сг2. Уравнение эмпирической линии регрессии у = 73,98 + 3,85(^-10,53).
534 Глава 21. Решения, указания, ответы Проверка значимости регрессии: значение |t| = 3,689 > > 1,717 = £о,О5;22, поэтому гипотеза Hq : /3 = 0 отклоня- ется (на 5% уровне значимости) — регрессия значима. Проверка адекватности регрессии: имеем п\ = 1,П2 = = 1,пз = 2, ...,ni9 = 1; п = 24, к = 19; = 129,84; $2 = 5,12; значение = 0,04 < 4,59 = Лэ,о5;17;5 поэто- му гипотеза об адекватности не отклоняется. 20.3. Оценки d = 95,42;/? = 1,87;^2 = 97,36. Дове- рительными интервалами с коэффициентом надежности 0,90 являются: (90,08; 100, 76) для параметра а; (0,92; 2,82) для параметра /3; (64,31; 276,35) для параметра сг2. Уравнение регрессии у = 95,42 + 1,87(^-7,46). Проверка значимости регрессии: значение |t| = 3, 55 > > 1,796 = £о,О5;11> поэтому гипотеза Hq : /3 = 0 отклоня- ется (на 5% уровне значимости). Регрессия значима. Проверка адекватности регрессии. Имеем п\ = 3, П2 = = 1, пз = 1,..., п? = 1; п = 13, к = 7; s2 = 101,17; = = 48,83; s^/s2 = 0,48 < 4,39 = поэтому гипотеза об адекватности не отклоняется 20.4. Оценки a = 108,82; Д = -24,07; а2 = 8,37. До- верительными интервалами с коэффициентами надеж- ности 0,90 являются: (107,25; 110,38) для параметра а; (—26,44;—21, 70) для параметра /3; (5,53; 23, 75) для па- 9 раметра а . Уравнение регрессии у= 108,82-24,07(^-0,87). Проверка значимости регрессии: значение |t| = 18,23 > > 1,796 = £о,О5;11> поэтому гипотеза Hq : /3 = 0 отклоня- ется (на 5% уровне значимости) — регрессия значима. Проверка адекватности регрессии. Имеем п\ = 3, П2 = = 2, пз = 2,..., ns = 2; п = 13, к = 8; s2 = 2,28; S2 = = 10,10; S2/5? = 4,44 < 4,95 = -Fb,o5;6;5 поэтому гипотеза об адекватности не отклоняется 20.6. Оценки а = — 1,10; /3 = —0,59; сг2 = 0, 75. Дове- рительными интервалами с коэффициентом надежности
21.20. К главе 20 535 0,90 являются: (—1,31; —0,90) для параметра а; для пара- метра /3 — (—0, 73; —0,45); (0,58; 1,12) для параметра сг2. Уравнение регрессии Т = -1,10-0,59(Са- 4,09). Проверка значимости регрессии: значение |t| = 7,19 > 1,676 = £о,О5;5О? поэтому гипотеза Hq : /3 = 0 отклоняется (на 5% уровне значимости) — регрессия значима. Проверка адекватности регрессии: имеем п\ = 2, П2 = = 1, п3 = 1,..., П34 = 3; п = 52, к = 34; s2 = 0,87; s\ = = 0,45; = 0,51 < 2,19 = Лэ,о5;з2;18 поэтому гипотеза об адекватности описания линейной моделью зависимо- сти значения Т денситометрического анализа от количе- ства выводимого С а не отклоняется. В соответствии с уравнением регрессии значению Т = — 2 (границе между средней и тяжелой формой осте- опении) соответствует значение 5,7 ммоль/л Са. Поэто- му, если Са > 5, 7 {Са выводится больше чем 5, 7 еди- ниц) степень остеопении естественно классифицировать как тяжелую. 20.7. Оценки а = 13,425; 3 = 0,078; а2 = 1,648. Дове- рительными интервалами с коэффициентом надежности 0,90 являются: (12,90; 13,95) для параметра а; для пара- метра /3 — (0,061; 0,096); (1,141; 3,509) для параметра сг2. Уравнение регрессии £ = 13,425+ 0,078(^-67). Проверка значимости регрессии: значение |t| = 7, 737 > > 1,734 = £о,О5;18> поэтому гипотеза Hq : /3 = 0 отклоня- ется (на 5% уровне значимости). Регрессия значима. 20.9. Оценки а = 804; 3 = 131,72; а2 = 70906,29. Доверительными интервалами с коэффициентом надеж- ности 0,90 являются: (683,47; 924,52) для параметра а; (69,29; 194,14) для параметра /3; (48235,57; 166034,03) для О параметра а. Уравнение регрессии у = 804 + 131,72(ж — 3,65).
536 Глава 21. Решения, указания, ответы Проверка значимости регрессии: значение \t\ = 3,69 > 1, 753 = £о,О5;159 поэтому гипотеза Hq : /3 = 0 отклоняется на уровне значимости 0,05. Регрессия значима. Проверка адекватности регрессии: имеем ni = 3, п<2 = = 3, пз = 3,..., П7 = 3; п = 173, к = 7; = 68475; s\ = = 103385; S2/5? — 1,51 < 3,33 = Лэ,05;5;ю поэтому гипо- теза об адекватности не отклоняется. 20.10. Оценки a = 2125,28; Д = 0,97;<т2 = 2826,22. Доверительными интервалами с коэффициентом надеж- ности 0,90 являются: (2102,07; 2148,48) для параметра а; (0,93; 1,02) для параметра /3; (1934,29; 6390,95) для па- 9 раметра а . Уравнение регрессии у = 2125,28 + 0,97(^-2165). Согласно (20.1.6) значение \t\ = 38,74 > 1,746 = ^о,О5;1б, поэтому гипотеза Hq : /3 = 0 отклоняется (на 5% уровне значимости). Регрессия значима. 20.11. Оценки а = 0,63;/3 = 0,46;сг2 = 0,02. Дове- рительными интервалами с коэффициентом надежности 0,90 являются: (0,606; 0,653) для параметра а; для пара- метра /3 — (0,377; 0,543); (0,017; 0,026) для параметра сг2. Уравнение регрессии у = 0,63 + 0,46(^-0,81). Проверка значимости регрессии: значение |t| = 9,184 : > 1,660 = £о,О5;Ю1> поэтому гипотеза Hq: /3 = 0 отклоня- ется (на 5% уровне значимости). Регрессия значима. Проверка адекватности регрессии: имеем п\ = 1,П2 = = 5, пз = 7,..., П25 = 1; п = 103, к = 25; s2 = 0,017; s\ = = 0,022; s^/s2 = 1,28 < 1,67 = Лэ,05;23;78 поэтому гипоте- за об адекватности не отклоняется.
21.21. Задания для самостоятельной работы 537 21.21 Задания для самостоятельной работы Задание 1 Стохастический эксперимент. Дискретное вероятностное пространство Вариант Задача 1 1.10 2.26 2.11 3.14 3.36 4.2 4.17 2 1.14 2.14 2.12 3.13 3.37 4.3 4.18 3 1.15 2.13 2.15 3.12 3.36 4.4 4.19 4 1.19 2.25 2.24 3.11 3.40 4.5 4.30 5 1.20 2.10 2.23 3.9 3.32 4.6 4.21 6 1.22 2.9 2.22 3.8 3.28 4.7 4.22 7 1.24 2.8 2.21 3.7 3.27 4.8 4.23 8 1.25 2.7 2.20 3.6 3.25 4.9 4.24 9 1.23 2.5 2.19 3.5 3.21 4.10 4.28 10 1.33 2.4 2.18 3.3 3.20 4.12 4.19 11 1.21 2.3 2.17 3.2 3.16 4.13 4.23 12 1.26 2.2 2.16 3.1 3.38 4.29 4.12 Задание 2 Дискретная случайная величина, ее распределение и числовые характеристики Вариант Задача 1 5.41 5.8(1а) 5.10(За) 5.28 6.34 6.32 2 5.42 5.8(16) 5.11 5.29 6.35 6.31 3 5.44 5.8(1в) 5.12 5.30 6.37 6.28(1) 4 5.6 5.8(2а) 5.13 5.31 6.39 6.27 5 5.7 5.8(26) 5.14 5.32 6.5 6.21 6 5.19 5.8(2в) 5.15 5.34(a) 6.40 6.20 7 5.20 5.8(2г) 5.16 5.34(6) 6.41 6.18 8 5.21 5.8(2д) 5.18 5.38 6.45 6.17 9 5.22 5.8(2е) 5.19 5.39 6.46 6.16 10 5.23 5.8(3а) 5.8(2ё) 5.40(1) 6.49 6.30 11 5.24 5.8(36) 5.8(2ж) 5.40(2) 6.50 6.28(2) 12 5.27 5.8(3в) 5.8(2з) 5.39 6.51 6.28(3)
538 Глава 21. Решения, указания, ответы Задание 3 Аксиоматика теории вероятностей Вариант Задача 1 7.1 7.7 7.15(1) 7.18 2 7.2 7.8 7.17 7.19 3 7.3 7.9 7.15(3) 7.20 4 7.4 7.10 7.15(4) 7.29 5 7.5 7.7 7.15(5) 7.30 6 7.6 7.8 7.15(1) 7.20 7 7.1 7.9 7.15(2) 7.14 8 7.2 7.10 7.15(3) 7.21 9 7.3 7.7 7.15(4) 7.22 10 7.4 7.8 7.15(2) 7.30 11 7.5 7.9 7.16 7.16 12 7.6 7.10 7.17 7.14 Задание 4 Геометрические вероятности Вариант Задача 1 8.3(1) 8.4(1) 8.6 8.18 8.33 2 8.3(2) 8.4(2) 8.7 8.17 8.15(3) 3 8.3(3) 8.4(3) 8.32 8.19 8.13(2) 4 8.3(4) 8.4(6) 8.8 8.20 8.18 5 8.3(5) 8.4(7) 8.9 8.23 8.19 6 8.3(6) 8.4(8) 8.10 8.25 8.20 7 8.3(7) 8.4(9) 8.33 8.26 8.23 8 8.3(8) 8.4(11) 8.12 8.28 8.25 9 8.2(1) 8.4(13) 8.13(1) 8.24 8.28 10 8.2(2) 8.4(14) 8.14 8.30 8.16 11 8.2(3) 8.4(15) 8.15(1) 8.31 8.6 12 8.2(4) 8.4(16) 8.15(2) 8.34 8.7
21.21. Задания для самостоятельной работы 539 Задание 5 Случайная величина и ее распределение Вариант Задача 1 9.47 9.12 9.23 9.33 2 9.48 9.11 9.24(1) 9.34 3 9.49 9.13 9.24(2) 9.35(1) 4 9.50 9.14 9.25(1) 9.35(2) 5 9.51 9.15 9.25(2) 9.36 6 9.52 9.16 9.26(1) 9.37 7 9.53 9.17 9.26(2) 9.38 8 9.6 9.18 9.27 9.39 9 9.7 9.19 9.28 9.40 10 9.8 9.20 9.29 9.41 11 9.9 9.21 9.30 9.42 12 9.10 9.22 9.32 9.43 Задание 6 Математическое ожидание случайной величины Вариант Задача 1 10.1(1) 10.10 10.19(1а) 10.21 10.31 2 10.1(2) 10.11 10.19(16) 10.22(1) 10.32 3 10.38 10.12 10.19(2а) 10.23(1) 10.33 4 10.39 10.13 10.19(26) 10.23(2) 10.34 5 10.40 10.14 10.19(За) 10.24(1) 10.35 6 10.4 10.15 10.19(36) 10.24(2) 10.21 7 10.5 10.16(1) 10.19(4а) 10.24(3) 10.23(1) 8 10.41 10.16(2) 10.19(46) 10.25 10.23(2) 9 10.6(3,4) 10.16(3) 10.20(1а) 10.26 10.31 10 10.7 10.17(1) 10.20(26) 10.27 10.32 И 10.8 10.17(2) 10.20(За) 10.28 10.22(1) 12 10.9 10.17(3) 10.20(46) 10.29 10.22(2)
540 Глава 21. Решения, указания, ответы Задание 7 Свертка Вари- ант Задача Вари- ант Задача 1 11.1 11.10(1)11.16 7 11.4(1) 11.11(3) 11.18 2 11.2(1) 11.10(2) 11.17 8 11.4(2)11.12 11.5 3 11.2(2)11.8 11.16 9 11.4(3) 11.13(1) 11.18 4 11.2(3)11.6 11.19 10 11.4(4) 11.13(2) 11.19 5 11.2(4) 11.11(1) 11.20 11 11.4(5) 11.14 11.22 6 11.3 11.11(2)11.9 12 11.4(6) 11.15 11.7 Задание 8 Сходимость распределений. Характеристическая функция Вариант Задача 1 12.1 12.9(1) 13.1 13.16 13.23 2 12.2 12.9(2) 13.2 13.15 13.24 3 12.3 12.10 13.3 13.13 13.25 4 12.4 12.11 13.4 13.17 13.26 5 12.5 12.12 13.5 13.18 13.7 6 12.6 12.13 13.6 13.19 13.9 7 12.7(1) 12.14 13.7 13.20 13.26 8 12.7(2) 12.16 13.8 13.27 13.25 9 12.7(3) 12.17 13.9 13.28 13.24 10 12.7(4) 12.18 13.10 13.29 13.23 11 12.7(5) 12.19 13.11 13.30 13.19 12 12.15 12.20 13.12 13.22 13.37 Задание 9 Оценивание параметров распределений. Вари- ант Задача Вари- ант Задача 1 14.1 14.2 14.3 14.40 7 14.19 14.20 14.2114.46 2 14.4 14.4 14.6 14.41 8 14.22 14.23 14.24 14.47 3 14.7 14.8 14.9 14.42 9 14.25 14.26 14.2714.48 4 14.10 14.1114.1214.43 10 14.28 14.29 14.30 14.42 5 14.1314.14 14.1514.44 11 14.31 14.32 14.33 14.40 6 14.16 14.1714.1814.45 12 14.34 14.35 14.36 14.41
21.21. Задания для самостоятельной работы 541 Задание 10 Методы построения оценок Вари- ант Задача Вари- ант Задача 1 15.1 15.2 15.3 15.4 7 15.2515.2615.2715.28 2 15.5 15.6 15.7 15.8 8 15.29 15.30 15.3115.32 3 15.9 15.1015.1115.12 9 15.33 15.34 15.35 15.56 4 15.1315.1415.1515.16 10 15.3715.3815.3915.40 5 15.1715.1815.19 15.20 И 15.41 15.42 15.43 15.44 6 15.2115.22 15.23 15.24 12 15.4515.4615.4715.48 Задание 11 Задача проверки статистических гипотез. Критерий, функция мощности критерия Вариант Задача Вариант Задача 1 16.1 16.2 7 16.13 16.14 2 16.3 16.4 8 16.15 16.16 3 16.5 16.6 9 16.17 16.18 4 16.7 16.8 10 16.19 16.20 5 16.9 16.10 11 16.21 16.10 6 16.11 16.12 12 16.5 16.10 Задание 12 Проверка гипотез о параметрах нормального распределения Вариант Задача Вариант Задача 1 17.1 17.2 17.3 7 17.19 17.20 17.26 2 17.4 17.5 17.6 8 17.22 17.23 17.24 3 17.7 17.8 17.9 9 17.25 17.21 17.27 4 17.10 17.11 17.12 10 17.28 17.29 17.30 5 17.13 17.14 17.15 11 17.31 17.32 17.33 6 17.16 17.17 17.18 12 17.34 17.35 17.36
542 Глава 21. Решения, указания, ответы Задание 13 Критерий х2 Вари- ант Задача Вари- ант Задача 1 18.1 18.2 18.3 18.4 8 18.29 18.30 18.31 18.32 2 18.5 18.6 18.7 18.8 9 18.33 18.34 18.35 18.36 3 18.9 18.1018.1118.12 10 18.3718.38 18.39 18.40 4 18.1318.1418.1518.16 11 18.41 18.42 18.43 18.48 5 18.1718.18 18.19 18.20 12 18.45 18.46 18.4718.48 6 18.21 18.22 18.23 18.24 13 18.49 18.50 18.51 18.52 7 18.2518.26 18.2718.28 14 18.54 18.53 18.56 18.55 Задание 1J Непараметрические критерии: критерий А. Н. Колмогорова, критерий Вилкоксона, критерий знаков Вариант Задача Вариант Задача 1 19.2 19.1 19.3 7 19.19 19.20 19.21 2 19.4 19.5 19.6 8 19.22 19.23 19.24 3 19.7 19.8 19.9 9 19.25 19.26 19.27 4 19.10 19.11 19.12 10 19.28 19.29 19.30 5 19.13 19.14 19.15 11 19.31 19.32 19.21 6 19.16 19.17 19.18 12 19.34 19.35 19.36 Задание 15 Линейная регрессия Вариант Задача Вариант Задача 1 20.1 20.5 7 20.5 20.7 2 20.2 20.6 8 20.2 20.8 3 20.3 20.12 9 20.9 20.11 4 20.4 20.11 10 20.5 20.7 5 20.7 20.8 11 20.10 20.11 6 20.9 20.10 12 20.9 20.12
Глава 22 Таблицы математической статистики В эту главу включены все необходимые для работы с учебником таблицы. В частности, приведены кванти- ли, верхние пределы (критические значения) основных распределений математической статистики: стандартно- го нормального, Стьюдента, Фишера, х2"РаспРеДеления- Пусть F — абсолютно непрерывное распределение. Для каждого /3 6 (0; 1) число являющееся решени- ем уравнения F(^) = /3, или, что то же, F((—оо,^)) = /3, называется /3-кванти- лью распределения F. Для каждого а 6 (0; 1) число га, являющееся реше- нием уравнения 1 - F{za) = а, или, что то же, уравнения F([za,+oo)) = а, будем на- зывать верхним ct-пределом (верхним 100а-процентным пределом, 100а-процентной точкой, 100а-критическим значением) распределения F. 543
544 22. Таблицы математической статистики 22.1 Нормальное распределение В таблице 22.1.1 приведены значения функции Ф(£) нормального распределения с параметрами (0;1) (кван- тили нормального распределения): для заданных t табу- лированы значения функции —оо Для каждого t значение 7Vq;1 (£) численно равно площади заштрихованной на рисунке 22.1.1 фигуры. Рис. 22.1.1: К определению квантили нормального распределения; /(ж) — плотность распределения 7Vq;1 Значение Na.a2 (ж) — функции нормального распреде- ления с параметрами (а; сг2) — вычисляется по значени- ям табулированной функции Nq-i (ж) = Ф(ж) нормального распределения с параметрами (0; 1) следующим образом: ЛТ ( \ Ж I ^;<72(ж) = Ф -------- Таблица 22.1.1 допускает линейную интерполяцию.
22.1. Нормальное распределение 545 Таблица 22.1.1. Значения функции Ф(£) t -0,0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -1,0 -1Д -1,2 -1,3 -1,4 -1,5 -1,6 -1,7 -1,8 -1,9 -2,0 -2,1 -2,2 -2,3 -2,4 -2,5 -2,6 -2,7 -2,8 -2,9 t 0123456789 ,5000 ,4960 ,4920 ,4880 ,4840 ,4801 ,4761 ,4721 ,4681 ,4641 ,4602 ,4562 ,4522 ,4483 ,4443 ,4404 ,4364 ,4325 ,4286 ,4247 ,4207 ,4168 ,4129 ,4090 ,4052 ,4013 ,3974 ,3936 ,3897 ,3859 ,3821 ,3783 ,3745 ,3707 ,3669 ,3632 ,3594 ,3557 ,3520 ,3483 ,3446 ,3409 ,3372 ,3336 ,3300 ,3264 ,3228 ,3192 ,3156 ,3121 ,3085 ,3050 ,3015 ,2981 ,2946 ,2912 ,2877 ,2843 ,2810 ,2776 ,2743 ,2709 ,2676 ,2643 ,2611 ,2578 ,2546 ,2514 ,2483 ,2451 ,2420 ,2389 ,2358 ,2327 ,2297 ,2266 ,2236 ,2206 ,2177 ,2148 ,2119 ,2090 ,2061 ,2033 ,2005 ,1977 ,1949 ,1922 ,1894 ,1867 ,1841 ,1814 ,1788 ,1762 ,1736 ,1711 ,1685 ,1660 ,1635 ,1611 ,1587 ,1562 ,1539 ,1515 ,1492 ,1469 ,1446 ,1423 ,1401 ,1379 ,1357 ,1335 ,1314 ,1292 ,1271 ,1251 ,1230 ,1210 ,1190 ,1170 ,1151 ,1131 ,1112 ,1093 ,1075 ,1056 ,1038 ,1020 ,1003 ,0985 ,0968 ,0951 ,0934 ,0918 ,0901 ,0885 ,0869 ,0853 ,0838 ,0823 ,0808 ,0793 ,0778 ,0764 ,0749 ,0735 ,0721 ,0708 ,0694 ,0681 ,0668 ,0655 ,0643 ,0630 ,0618 ,0606 ,0594 ,0582 ,0571 ,0559 ,0548 ,0537 ,0526 ,0516 ,0505 ,0495 ,0485 ,0475 ,0465 ,0455 ,0446 ,0436 ,0427 ,0418 ,0409 ,0401 ,0392 ,0384 ,0375 ,0367 ,0359 ,0351 ,0344 ,0336 ,0339 ,0322 ,0314 ,0307 ,0301 ,0294 ,0288 ,0281 ,0274 ,0268 ,0262 ,0256 ,0250 ,0244 ,0239 ,0233 ,0228 ,0222 ,0217 ,0212 ,0207 ,0202 ,0197 ,0192 ,0188 ,0183 ,0179 ,0174 ,0170 ,0166 ,0162 ,0158 ,0154 ,0150 ,0146 ,0143 ,0139 ,0136 ,0132 ,0129 ,0125 ,0122 ,0119 ,0116 ,0113 ,0110 ,0107 ,0104 ,0102 ,0099 ,0096 ,0094 ,0091 ,0089 ,0087 ,0084 ,0082 ,0080 ,0078 ,0075 ,0073 ,0071 ,0069 ,0068 ,0066 ,0064 ,0062 ,0060 ,0059 ,0057 ,0055 ,0054 ,0052 ,0051 ,0049 ,0048 ,0047 ,0045 ,0044 ,0043 ,0041 ,0040 ,0039 ,0038 ,0037 ,0036 ,0035 ,0034 ,0033 ,0032 ,0031 ,0030 ,0029 ,0028 ,0027 ,0026 ,0026 ,0025 ,0024 ,0023 ,0023 ,0022 ,0021 ,0021 ,0020 ,0019 ,0019 ,0018 ,0018 ,0017 ,0016 ,0016 ,0015 ,0015 ,0014 ,0014 -3,0 -3,1 -3,2 -3,3 -3,4 -3,5 -3,6 -3,7 -3,8 -3,9 ,0013 ,0010 ,0007 ,0005 ,0003 ,0002 ,0002 ,0001 ,0001 ,0000
546 22. Таблицы математической статистики Окончание табл. 22.1.1 t 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1Д 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 t Ж 0123456789 ,5000 ,5040 ,5080 ,5120 ,5160 ,5199 ,5239 ,5279 ,5319 ,5359 ,5398 ,5438 ,5478 ,5517 ,5557 ,5596 ,5636 ,5675 ,5714 ,5753 ,5793 ,5832 ,5871 ,5910 ,5948 ,5987 ,6026 ,6064 ,6103 ,6141 ,6179 ,6217 ,6255 ,6293 ,6331 ,6368 ,6406 ,6443 ,6480 ,6517 ,6554 ,6591 ,6628 ,6664 ,6700 ,6736 ,6772 ,6808 ,6844 ,6879 ,6915 ,6950 ,6985 ,7019 ,7054 ,7088 ,7123 ,7157 ,7190 ,7224 ,7257 ,7291 ,7324 ,7357 ,7389 ,7422 ,7454 ,7486 ,7517 ,7549 ,7580 ,7611 ,7642 ,7673 ,7703 ,7734 ,7764 ,7794 ,7823 ,7852 ,7881 ,7910 ,7939 ,7967 ,7995 ,8023 ,8051 ,8078 ,8106 ,8133 ,8159 ,8186 ,8212 ,8238 ,8264 ,8289 ,8315 ,8340 ,8365 ,8389 ,8413 ,8438 ,8461 ,8485 ,8508 ,8531 ,8554 ,8577 ,8599 ,8621 ,8643 ,8665 ,8686 ,8708 ,8729 ,8749 ,8770 ,8790 ,8810 ,8830 ,8849 ,8869 ,8888 ,8907 ,8925 ,8944 ,8962 ,8980 ,8997 ,9015 ,9032 ,9049 ,9066 ,9082 ,9099 ,9115 ,9131 ,9147 ,9162 ,9177 ,9192 ,9207 ,9222 ,9236 ,9251 ,9265 ,9279 ,9292 ,9306 ,9319 ,9332 ,9345 ,9357 ,9370 ,9382 ,9394 ,9406 ,9418 ,9429 ,9441 ,9452 ,9463 ,9474 ,9484 ,9495 ,9505 ,9515 ,9525 ,9535 ,9545 ,9554 ,9564 ,9573 ,9582 ,9591 ,9599 ,9608 ,9616 ,9625 ,9633 ,9641 ,9649 ,9656 ,9664 ,9671 ,9678 ,9686 ,9693 ,9699 ,9706 ,9713 ,9719 ,9726 ,9732 ,9738 ,9744 ,9750 ,9756 ,9761 ,9767 ,9772 ,9778 ,9783 ,9788 ,9793 ,9798 ,9803 ,9808 ,9812 ,9817 ,9821 ,9826 ,9830 ,9834 ,9838 ,9842 ,9846 ,9850 ,9854 ,9857 ,9861 ,9864 ,9868 ,9871 ,9875 ,9878 ,9881 ,9884 ,9887 ,9890 ,9893 ,9896 ,9898 ,9900 ,9904 ,9906 ,9909 ,9911 ,9913 ,9916 ,9918 ,9920 ,9922 ,9925 ,9927 ,9929 ,9931 ,9923 ,9934 ,9936 ,9938 ,9940 ,9941 ,9943 ,9945 ,9946 ,9948 ,9949 ,9951 ,9952 ,9953 ,9955 ,9956 ,9957 ,9959 ,9960 ,9961 ,9962 ,9963 ,9964 ,9965 ,9966 ,9967 ,9968 ,9969 ,9970 ,9971 ,9972 ,9973 ,9974 ,9974 ,9975 ,9976 ,9977 ,9977 ,9978 ,9979 ,9979 ,9980 ,9981 ,9981 ,9982 ,9982 ,9983 ,9984 ,9984 ,9985 ,9985 ,9986 ,9986 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 ,9987 ,9990 ,9993 ,9995 ,9997 ,9998 ,9998 ,9999 ,9999 ,1000
22,2, х2-распределение 22.2 х2"РаспРеДеление 547 X2-распределением с п степенями свободы (коротко Xn-распределением) будем называть распределение слу- чайной величины п Хп = Х& (22.2.1) г=1 где £1, & > • • • > — независимые случайные величины, каж- дая с распределением Nq-i. Для данных а и п значение Ха-П определяется как +оо решение уравнения J f(x)dx = а, где /(ж) — плотность Ха;п Xn-распределения (см. рис. 22.2.1). Рис. 22.2.1: К определению Ха п ~ верхнего а-предела Хп_РаспРеДеления> /(#) — плотность 9 Хп-распределения В таблице 22.2.1 приведены значения Ха-n? или> чт0 то же, верхние a-пределы (ЮОа-критические значения) 9 X -распределения.
548 22. Таблицы математической статистики Таблица 22.2.1. Значения г?,.„ п Значения a 0,990 0,975 0,950 0,900 0,100 0,050 0,025 0,010 1 0,00 0,00 0,00 0,02 2,71 3,84 5,02 6,64 2 0,02 0,05 0,10 0,21 4,61 5,99 7,38 9,21 3 0,12 0,22 0,35 0,58 6,23 7,82 9,35 11,34 4 0,30 0,48 0,71 1,06 7,78 9,48 11,14 13,28 5 0,55 0,83 1,14 1,61 9,24 11,07 12,83 15,09 6 0,87 1,24 1,64 2,20 10,64 12,59 14,45 16,81 7 1,24 1,69 2,17 2,83 12,02 14,07 16,01 18,48 8 1,65 2,18 2,73 3,49 13,36 15,51 17,53 20,09 9 2,90 2,70 3,32 4,17 14,68 16,92 19,02 21,67 10 2,56 3,25 3,94 4,86 15,99 18,31 20,48 23,21 11 3,05 3,82 4,58 5,58 17,28 19,68 21,92 24,72 12 3,57 4,40 5,23 6,30 18,55 21,03 23,34 26,22 13 4,П 5,01 5,89 7,04 19,81 22,36 24,74 27,69 14 4,66 5,63 6,57 7,79 21,06 23,68 26,12 29,14 15 5,23 6,26 7,26 8,55 22,31 25,00 27,49 30,58 16 5,81 6,91 7,96 9,31 23,54 26,30 28,85 32,00 17 6,41 7,56 8,67 10,09 24,77 27,59 30,19 33,41 18 7,02 8,23 9,39 10,86 25,99 28,87 31,53 34,81 19 7,63 8,91 10,12 11,65 27,20 30,14 32,85 36,19 20 8,26 9,59 10,85 12,44 28,41 31,41 34,17 37,57 21 8,90 10,28 11,59 13,24 29,62 32,67 35,48 38,93 22 9,54 10,98 12,34 14,04 30,81 33,92 36,78 40,29 23 10,20 11,69 13,09 14,85 32,01 35,17 38,08 41,64 24 10,86 12,40 13,85 15,66 33,20 36,42 39,36 42,92 25 11,52 13,12 14,61 16,47 34,38 37,65 40,65 44,31 26 12,20 13,84 15,38 17,29 35,56 38,89 41,92 45,64 27 12,88 14,57 16,15 18,11 36,74 40,11 43,19 46,96 28 13,56 15,31 16,93 18,94 37,92 41,34 44,46 48,26 29 14,26 16,05 17,71 19,77 39,09 42,56 45,72 49,59 30 14,95 16,79 18,49 20,60 40,26 43,77 46,98 50,89
22.3. Распределение Стьюдента 549 Окончание табл. 22.2.1 Значения а п 0,990 0,975 0,950 0,900 0,100 0,050 0,025 0,010 40 22,16 24,43 26,51 29,05 51,80 55,76 59,34 63,69 50 29,71 32,36 34,76 37,69 63,17 67,50 71,42 76,15 60 37,48 40,48 43,19 46,46 74,40 79,08 83,30 88,38 70 45,44 48,76 51,74 55,33 85,53 90,53 95,02 100,4 80 53,54 57,15 60,39 64,28 96,58 101,9 106,6 112,3 90 61,75 65,65 69,13 73,29 107,6 113,1 118,1 124,1 100 70,06 74,22 77,93 82,36 118,5 124,3 129,6 135,8 22.3 Распределение Стьюдента Распределением Стьюдента или t-распределением с п степенями свободы (коротко ^-распределением) будем называть распределение случайной величины t п (22.3.1) где £ и Хп ~ независимые случайные величины, £ распре- делена 7Vo;i? Хп имеет Х2_РаспРеДеление с п степенями свободы. В таблице 22.3.1 приведены значения £а;п, или, что то же, верхние а-пределы (lOOa-критические значения) распределения Стьюдента с п степенями свободы (^-рас- пределения). Для данных а и п значение ta-n определяется как ре- +оо шение уравнения f f(x)dx = а, где f(x) — плотность tn- распределения, ta-n — число, отсекающее правый “хвост” ^-распределения, на который приходится “масса” а (см. рис. 22.3.1).
550 22. Таблицы математической статистики Рис. 22.3.1: К определению ta-n — верхнего a-предела ^-распределения, /(ж) — плотность ^-распределения Таблица 22.3.1. Значения ta.n Значения a Значения a п 0,050 0,025 0,010 0,005 п 0,050 0,025 0,010 0,005 1 6,314 12,706 31,821 63,657 18 1,734 2,101 2,552 2,878 2 2,920 4,303 6,965 9,925 19 1,729 2,093 2,539 2,861 3 2,353 3,182 4,541 5,841 20 1,725 2,086 2,528 2,845 4 2,132 2,776 3,747 4,604 21 1,721 2,080 2,518 2,831 5 2,015 2,571 3,365 4,032 22 1,717 2,074 2,508 2,819 6 1,943 2,447 3,143 3,707 23 1,714 2,069 2,500 2,807 7 1,895 2,365 2,998 3,499 24 1,711 2,064 2,492 2,797 8 1,860 2,306 2,896 3,355 25 1,708 2,060 2,485 2,787 9 1,833 2,262 2,821 3,250 26 1,706 2,056 2,479 2,779 10 1,812 2,228 2,764 3,169 27 1,703 2,052 2,473 2,771 11 1,796 2,201 2,718 3,106 28 1,701 2,048 2,467 2,763 12 1,782 2,179 2,681 3,055 29 1,699 2,045 2,462 2,756 13 1,771 2,160 2,650 3,012 30 1,697 2,042 2,457 2,750 14 1,761 2,145 2,624 2,977 40 1,684 2,021 2,423 2,704 15 1,753 2,131 2,602 2,947 60 1,671 2,000 2,390 2,660 16 1,746 2,120 2,583 2,921 120 1,658 1,980 2,358 2,617 17 1,740 2,110 2,567 2,898 (X) 1,645 1,960 2,326 2,576
22.4. Распределение Фишера 551 22.4 Распределение Фишера Распределением Фишера или F-распределением сп,т степенями свободы (коротко Гп,т-распределением) будем называть распределение случайной величины = Хп/П Хт/т' (22.4.1) О О „ О где Хп и Хт ~ независимые случайные величины, Хп име- ет распределение Пирсона с п степенями свободы, Хт ~ с т степенями свободы. Для данных а, п, т значение Fa-n-m определяется как +оо решение уравнения f f(x)dx = а, где /(ж) — плот- -^а;п;т ность ^^-распределения (см. рис. 22.4.1). Рис. 22.4.1: К определению Fa;n;m — верхнего a-предела ^^-распределения, /(ж) — плотность -Р^-распределения В таблицах 22.4.1 и 22.4.2 приведены значения Fa.n.mi или, что то же, верхние ct-пределы (100а-критические значения) ^^-распределения.
552 22. Таблицы математической статистики Таблица 22.4.1. Значения Fa.n.m для a = 0,05 тп п (число степеней свободы числителя) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93
22.4. Распределение Фишера 553 Табл и ца 22.4.1 (окончание) ТП п (число степеней свободы числителя) 12 14 16 18 20 30 40 50 60 100 3 8,74 8,71 8,69 8,67 8,66 8,62 8,59 8,58 8,57 8,55 4 5,91 5,87 5,84 5,82 5,80 5,75 5,72 5,70 5,69 5,66 5 4,68 4,64 4,60 4,58 4,56 4,50 4,46 4,44 4,43 4,41 6 4,00 3,96 3,92 3,90 3,87 3,81 3,77 3,75 3,74 3,71 7 3,57 3,53 3,49 3,47 3,44 3,38 3,34 3,32 3,30 3,27 8 3,28 3,24 3,20 3,17 3,15 3,08 3,04 3,02 3,01 2,97 9 3,07 3,03 2,99 2,96 2,94 2,86 2,83 2,80 2,79 2,76 10 2,91 2,86 2,83 2,80 2,77 2,70 2,66 2,64 2,62 2,59 11 2,79 2,74 2,70 2,67 2,65 2,57 2,53 2,51 2,49 2,46 12 2,69 2,64 2,60 2,57 2,54 2,47 2,43 2,40 2,38 2,35 13 2,60 2,55 2,51 2,48 2,46 2,38 2,34 2,31 2,30 2,26 14 2,53 2,48 2,44 2,41 2,39 2,31 2,27 2,24 2,22 2,19 15 2,48 2,42 2,38 2,35 2,33 2,25 2,20 2,18 2,16 2,12 16 2,42 2,37 2,33 2,30 2,28 2,19 2,15 2,12 2,П 2,07 17 2,38 2,33 2,29 2,26 2,23 2,15 2,10 2,08 2,06 2,02 18 2,34 2,29 2,25 2,22 2,19 2,П 2,06 2,04 2,02 1,98 19 2,31 2,26 2,21 2,18 2,16 2,07 2,03 2,00 1,98 1,94 20 2,28 2,22 2,18 2,15 2,12 2,04 1,99 1,97 1,95 1,91 22 2,23 2,17 2,13 2,10 2,07 1,98 1,94 1,91 1,89 1,85 24 2,18 2,13 2,09 2,05 2,03 1,94 1,89 1,86 1,84 1,80 26 2,15 2,09 2,05 2,02 1,99 1,90 1,85 1,82 1,80 1,76 28 2,12 2,06 2,02 1,99 1,96 1,87 1,82 1,79 1,77 1,73 30 2,09 2,04 1,99 1,96 1,93 1,84 1,79 1,76 1,74 1,70 40 2,00 1,95 1,90 1,87 1,84 1,74 1,69 1,66 1,64 1,59 50 1,95 1,89 1,85 1,81 1,78 1,69 1,63 1,60 1,58 1,52 60 1,92 1,86 1,82 1,78 1,75 1,65 1,59 1,56 1,53 1,48 100 1,85 1,79 1,75 1,71 1,68 1,57 1,52 1,48 1,45 1,39
554 22. Таблицы математической статистики Таблица 22.4.2. Значения Fa.n.m для a = 0,01 тп п (число степеней свободы числителя) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 34,1 30,8 29,5 28,7 28,2 27,9 27,7 27,5 27,3 27,2 4 21,2 18,0 16,7 16,0 15,5 15,2 15,0 14,8 14,7 14,5 5 16,3 13,3 12,1 11,4 11,0 10,7 10,5 10,3 10,2 10,1 6 13,7 10,9 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7 12,2 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 8 11,3 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 9 10,6 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 10 10,0 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 17 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,79 2,70 60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 100 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50
22.4. Распределение Фишера 555 Таблица 22.4.2 (окончание) ТП п (число степеней свободы числителя) 12 14 16 18 20 30 40 50 60 100 3 27,1 26,9 26,8 26,8 26,7 26,5 26,4 26,4 26,3 26,2 4 14,4 14,2 14,2 14,1 14,0 13,8 13,7 13,7 13,7 13,6 5 9,89 9,77 9,68 9,61 9,55 9,38 9,29 9,24 9,20 9,13 6 7,72 7,60 7,52 7,45 7,40 7,23 7,14 7,09 7,06 6,99 7 6,47 6,36 6,27 6,21 6,16 5,99 5,91 5,86 5,82 5,75 8 5,67 5,56 5,84 5,41 5,36 5,20 5,12 5,07 5,03 4,96 9 5,11 5,00 4,92 4,86 4,81 4,65 4,57 4,52 4,48 4,42 10 4,71 4,60 4,52 4,46 4,41 4,25 4,17 4,12 4,08 4,01 11 4,40 4,29 4,21 4,15 4,10 3,94 3,86 3,81 3,78 3,71 12 4,16 4,05 3,97 3,91 3,86 3,70 3,62 3,57 3,54 3,47 13 3,96 3,86 3,78 3,72 3,66 3,51 3,43 3,38 3,34 3,27 14 3,80 3,70 3,62 3,56 3,51 3,35 3,27 3,22 3,18 3,11 15 3,67 3,56 3,49 3,42 3,37 3,21 3,13 3,08 3,05 2,98 16 3,55 3,45 3,37 3,31 3,26 3,10 3,02 2,97 2,93 2,86 17 3,46 3,35 3,27 3,21 3,16 3,00 2,92 2,87 2,83 2,76 18 3,37 3,27 3,19 3,13 3,08 2,92 2,84 2,78 2,75 2,68 19 3,30 3,19 3,12 3,05 3,00 2,84 2,76 2,71 2,67 2,60 20 3,23 3,13 3,05 2,99 2,94 2,78 2,69 2,64 2,61 2,54 22 3,12 3,02 2,94 2,88 2,83 2,67 2,58 2,53 2,50 2,42 24 3,03 2,93 2,85 2,79 2,74 2,58 2,49 2,44 2,40 2,33 26 2,96 2,86 2,78 2,72 2,66 2,50 2,42 2,36 2,33 2,25 28 2,90 2,79 2,72 2,65 2,60 2,44 2,35 2,30 2,26 2,19 30 2,84 2,74 2,66 2,60 2,55 2,39 2,30 2,25 2,21 2,13 40 2,66 2,56 2,48 2,42 2,37 2,20 2,П 2,06 2,02 1,94 50 2,56 2,46 2,38 2,32 2,27 2,10 2,01 1,95 1,91 1,82 60 2,50 2,39 2,31 2,25 2,20 2,03 1,94 1,88 1,84 1,75 100 2,37 2,26 2,19 2,12 2,07 1,89 1,80 1,73 1,69 1,60
556 Глава 22. Таблицы математической статистики 22.5 Биномиальное распределение При получении значений Вп;р(г) для р < 0,5 с помо- щью табл. 22.5.1 не пользуются двумя крайними правы- ми столбцами и двумя последними (нижними) строками, а при получении значений Вп;р(г) для р > 0,5 не пользу- ются двумя крайними левыми столбцами и двумя первы- ми (верхними) строками. Таблица 22.5.1. Значения Вп;р(г) = С^рг(1 — р)п г п г Р 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 0,34868 0,10737 0,02825 0,00605 0,00098 10 1 ,38742 ,26844 ,12106 ,04031 ,00977 9 2 ,19371 ,30199 ,23347 ,12093 ,04395 8 3 ,05740 ,20133 ,26683 ,21499 ,11719 7 4 ,01116 ,08808 ,20012 ,25082 ,20508 6 10 5 0,00149 0,02642 0,10292 0,20066 0,24609 5 10 6 ,00014 ,00551 ,03676 ,11148 ,20508 4 7 ,00001 ,00079 ,00900 ,04247 ,11719 3 8 ,00007 ,00145 ,01062 ,04395 2 9 ,00014 ,00157 ,00977 1 10 ,00001 ,00010 ,00098 0 0 0,20589 0,03518 0,00475 0,00047 0,00003 15 1 ,34315 ,13194 ,03052 ,00470 ,00046 14 2 ,26690 ,23090 ,09156 ,02194 ,00320 13 3 ,12851 ,25014 ,17004 ,06339 ,01389 12 15 4 ,04284 ,18760 ,21862 ,12678 ,04166 11 15 5 0,01047 0,10318 0,20613 0,18594 0,09164 10 6 ,00194 ,04299 ,14724 ,20660 ,15274 9 7 ,00028 ,01382 ,08113 ,17708 ,19638 8 8 ,00003 ,00345 ,03477 ,11806 ,19638 7 9 ,00067 ,01159 ,06121 ,15274 6 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 г п Р
22.5. Биномиальное распределение 557 Продолжение табл. 22.5.1 п i Р 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 10 0,00010 0,00298 0,02449 0,09164 5 11 ,00001 ,00058 ,00742 ,04166 4 15 12 ,00008 ,00165 ,01389 3 15 13 ,00001 ,00025 ,00320 2 14 ,00002 ,00046 1 15 ,00003 0 0 0,12158 0,01153 0,00080 0,00004 20 1 ,27017 ,05765 ,00684 ,00049 ,00002 19 2 ,28518 ,13691 ,02785 ,00309 ,00018 18 3 ,19012 ,20536 ,07160 ,01235 ,00109 17 4 ,08978 ,21820 ,13042 ,03499 ,00462 16 5 0,03192 0,17456 0,17886 0,07465 0,01479 15 6 ,00887 ,10910 ,19164 ,12441 ,03696 14 7 ,00197 ,05455 ,16426 ,16588 ,07393 13 8 ,00036 ,02216 ,11440 ,17971 ,12013 12 9 ,00005 ,00739 ,06537 ,15974 ,16018 11 20 10 0,00001 0,00203 0,03082 0,11714 0,17620 10 20 11 ,00046 ,01201 ,07099 ,16018 9 12 ,00009 ,00386 ,03550 ,12013 8 13 ,00001 ,00102 ,01456 ,07393 7 14 ,00022 ,00485 ,03696 6 15 0,00004 0,00129 0,01479 5 16 ,00001 ,00027 ,00462 4 17 ,00004 ,00109 3 18 ,00018 2 19 ,00002 1 20 0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 1 п Р
558 Глава 22. Таблицы математической статистики Окончание табл. 22.5.1 п 1 Р 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 0,07179 0,00378 0,00013 25 1 ,19942 ,02361 ,00144 ,00005 24 2 ,26589 ,07084 ,00739 ,00038 ,00001 23 3 ,22650 ,13577 ,02428 ,00194 ,00007 22 4 ,13842 ,18668 ,05723 ,00710 ,00038 21 5 0,06459 0,19602 0,10302 0,01989 0,00158 20 6 ,02392 ,16335 ,14717 ,04420 ,00528 19 7 ,00722 ,11084 ,17119 ,07999 ,01433 18 8 ,00180 ,06235 ,16508 ,11998 ,03223 17 9 ,00038 ,02944 ,13364 ,15109 ,06089 16 10 0,00007 0,01178 0,09164 0,16116 0,09742 15 11 ,00001 ,00401 ,05355 ,14651 ,13284 14 12 ,00117 ,02678 ,11395 ,15498 13 25 13 ,00029 ,01148 ,07597 ,15498 12 25 14 ,00006 ,00422 ,04341 ,13284 11 15 0,00001 0,00132 0,02122 0,09742 10 16 ,00035 ,00884 ,06089 9 17 ,00008 ,00312 ,03223 8 18 ,00002 ,00092 ,01433 7 19 ,00023 ,00528 6 20 0,00005 0,00158 5 21 ,00001 ,00038 4 22 ,00007 3 23 ,00001 2 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 г п Р
22.6. Распределение Пуассона 559 22.6 Распределение Пуассона Таблица 22.6.1. Значения Рд(А:) = ^-е-А к Значения Л 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 ,9048 ,8187 ,7408 ,6703 ,6065 ,5488 ,4966 ,4493 ,4066 1 ,0905 ,1637 ,2222 ,2681 ,3033 ,3293 ,3476 ,3595 ,3659 2 ,0045 ,0164 ,0333 ,0536 ,0758 ,0988 ,1217 ,1438 ,1647 3 ,0002 ,0011 ,0033 ,0072 ,0126 ,0198 ,0284 ,0383 ,0494 4 ,0001 ,0003 ,0007 ,0016 ,0030 ,0050 ,0077 ,0111 5 ,0001 ,0002 ,0004 ,0007 ,0012 ,0020 6 ,0001 ,0002 ,0003 к Значения Л 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0 ,3679 ,1353 ,0498 ,0183 , 0067 ,0025 ,0009 ,0003 ,0001 1 ,3679 ,2707 ,1494 ,0733 , 0337 ,0149 ,0064 ,0027 ,0011 2 ,1839 ,2707 ,2240 ,1465 , 0842 ,0446 ,0223 ,0107 ,0050 3 ,0613 ,1804 ,2240 ,1954 , 1404 ,0892 ,0521 ,0286 ,0150 4 ,0153 ,0902 ,1680 ,1954 , 1755 ,1339 ,0912 ,0573 ,0337 5 ,0031 ,0361 ,1008 ,1563 , 1755 ,1606 ,1277 ,0916 ,0607 6 ,0005 ,0120 ,0504 ,1042 , 1462 ,1606 ,1490 ,1221 ,0911 7 ,0001 ,0034 ,0216 ,0595 , 1044 ,1377 ,1490 ,1396 ,1171 8 ,0009 ,0081 ,0298 , 0653 ,1033 ,1304 ,1396 ,1318 9 ,0002 ,0027 ,0132 , 0363 ,0688 ,1014 ,1241 ,1318 10 ,0008 ,0053 , 0181 ,0413 ,0710 ,0993 ,1186 11 ,0002 ,0019 , 0082 ,0225 ,0452 ,0722 ,0970 12 ,0001 ,0006 , 0034 ,0113 ,0264 ,0481 ,0728 13 ,0002 , 0013 ,0052 ,0142 ,0296 ,0504 14 ,0001 , 0005 ,0022 ,0071 ,0169 ,0324 15 , 0002 ,0009 ,0033 ,0090 ,0194 16 ,0003 ,0014 ,0045 ,0109 17 ,0001 ,0006 ,0021 ,0058
560 22. Таблицы математической статистики 22.7 Критерий А. Н. Колмогорова. Критические значения В таблице 22.7.1 приведены критические значения супремума модуля разности истинной и эмпирической функций распределений. Значение еа-п для данных а и п определяется как ми- нимальное е, для которого P{sup |Р(ж) - Fn(a;)| > е} < а. X Таблица 22.7.1. Критические значения еа.п для супремума модуля разности истинной и эмпирической функций распределения п Значения а п Значения а 0,05 0,02 0,01 0,05 0,02 0,01 1 0,9750 0,9900 0,9950 25 0,2640 0,2952 0,3166 2 0,8419 0,9000 0,9293 30 0,2417 0,2702 0,2899 3 0,7076 0,7846 0,8290 35 0,2243 0,2507 0,2690 4 0,6239 0,6889 0,7342 40 0,2101 0,2349 0,2520 5 0,5633 0,6272 0,6685 45 0,1984 0,2218 0,2380 6 0,5193 0,5774 0,6166 50 0,1884 0,2107 0,2260 7 0,4834 0,5384 0,5758 55 0,1798 0,2011 0,2157 8 0,4543 0,5065 0,5418 60 0,1723 0,1927 0,2067 9 0,4300 0,4796 0,5133 65 0,1657 0,1853 0,1988 10 0,4093 0,4566 0,4889 70 0,1598 0,1786 0,1917 11 0,3912 0,4367 0,4677 75 0,1544 0,1727 0,1853 12 0,3754 0,4192 0,4491 80 0,1496 0,1673 0,1795 13 0,3614 0,4036 0,4325 85 0,1452 0,1624 0,1742 14 0,3489 0,3897 0,4176 90 0,1412 0,1579 0,1694 15 0,3376 0,3771 0,4042 95 0,1375 0,1537 0,1649 20 0,2941 0,3287 0,3524 100 0,1340 0,1499 0,1608 При п > 100 можно считать, что 1,36 £0,05;п = — 1,63 £0,01;п = \Jn
22.8. Критерий Вилкоксона 561 22.8 Критерий Вилкоксона. Нижние критические значения В таблице 22.8.1 приведены нижние критические зна- чения Wa-n-m распределения W — суммы рангов выборки меньшего объема. Значения Wa-n-m для данных а (уровня значимости), пит — объемов выборок (п — объем меньшей выборки, т — большей) определяется как наибольшее целое £, для которого P{W <t}<a. При значениях пит больших приведенных в табли- це (а фактически при пит, удовлетворяющих неравен- ствам min{n,т} > 6,т + п > 20), можно считать, что Wa-n-m равно ^п(п + т + 1) + zayj ^пт(п + т + 1), где za — это а-квантиль нормального распределения с параметрами (0;1) (см. табл. 22.1.1). Таблица 22.8.1. Нижние критические значения Wa.n.m распределения W Объ- емы Значения a Объ- емы Значения a п т 0,005 0,01 0,025 0,05 п т 0,005 0,01 0,025 0,05 6 6 23 24 26 28 6 18 37 40 45 49 7 24 25 27 29 19 38 41 46 51 8 25 27 29 31 7 7 32 34 36 39 9 26 28 31 33 8 34 35 38 41 10 27 29 32 35 9 35 37 40 43 11 28 30 34 37 10 37 39 42 45 12 30 32 35 38 11 38 40 44 47 13 31 33 37 40 12 40 42 46 49 14 32 34 38 42 13 41 44 48 52 15 33 36 40 44 14 43 45 50 54 16 34 37 42 46 15 44 47 52 56 17 36 39 43 47 16 46 49 54 58
562 22. Таблицы математической статистики Таблица 22.8.1 (окончание) Объ- емы Значения а Объ- емы Значения а п тп 0,005 0,01 0,025 0,05 п тп 0,005 0,01 0,025 0,05 7 17 47 51 56 61 9 13 65 68 73 78 18 49 52 58 63 14 67 71 76 81 8 8 43 45 49 51 15 69 73 79 84 9 45 47 51 54 16 72 76 82 87 10 47 49 53 56 10 10 71 74 78 82 11 49 51 55 59 11 73 77 81 86 12 51 53 58 62 12 76 79 84 89 13 53 56 60 64 13 79 82 88 92 14 54 58 62 67 14 81 85 91 96 15 56 60 65 69 15 84 88 94 99 16 58 62 67 72 11 11 87 91 96 100 17 60 64 70 75 12 90 94 99 104 9 9 56 59 62 66 13 93 97 103 108 10 58 61 65 69 14 96 100 106 112 11 61 63 68 72 12 12 105 109 115 120 12 63 66 71 75 13 109 113 119 125 22.9 Критерий знаков. Границы критической области В таблице 22.9.1 приведены левая (n — mQ;n) (левый столбец) и правая ma-n (правый столбец) границы кри- тической области критерия знаков (области отклонения гипотезы Hq: в = 0). Значения ma-n для данных а (уровня значимости) и п (числа отличных от нуля разностей) определяется как минимальное целое т, для которого Р{ц > тп} < а, где ц — биномиально распределенная случайная величина с параметрами п и 1/2.
22.9. Критерий знаков 563 Критические области критерия знаков: (mQ;n;n] для односторонней альтернативы в > 0; [0; п — ma]n) для односторонней альтернативы в < 0; [0; п—marn)u(ma-n; п] для двусторонней альтернативы в < 0 или в > 0; Уровень значимости одностороннего критерия не пре- вышает а, двустороннего — 2a. Таблица 22.9.1. Границы критических областей критерия знаков п Значения a п Значения a 0,025 0,010 0,005 0,025 0,010 0,005 5 0 5 0 5 0 5 25 8 17 7 18 6 19 6 1 5 0 6 0 6 26 8 18 7 19 7 19 7 1 6 1 6 0 7 27 8 19 8 19 7 20 8 1 7 1 7 1 7 28 9 19 8 20 7 21 9 2 7 1 8 1 8 29 9 20 8 21 8 21 10 2 8 1 9 1 9 30 10 20 9 21 8 22 11 2 9 2 9 1 10 31 10 21 9 22 8 23 12 3 9 2 10 2 10 32 10 22 9 23 9 23 13 3 10 2 11 2 11 33 11 22 10 23 9 24 14 3 11 3 11 2 12 34 11 23 10 24 10 24 15 4 11 3 12 3 12 35 12 23 11 24 10 25 16 4 12 3 13 3 13 36 12 24 11 25 10 26 17 5 12 4 13 3 14 37 13 24 11 26 11 26 18 5 13 4 14 4 14 38 13 25 12 26 11 27 19 5 14 5 14 4 15 39 13 26 12 27 12 27 20 6 14 5 15 4 16 40 14 26 13 27 12 28 21 6 15 5 16 5 16 41 14 27 13 28 12 29 22 6 16 6 16 5 17 42 15 27 14 28 13 29 23 7 16 6 17 5 18 43 15 28 14 29 13 30 24 7 17 6 18 6 18 44 16 28 14 30 14 30
564 22. Таблицы математической статистики Таблица 22.9.1 (окончание) Значения a Значения a п 0,025 0,010 0,005 п 0,025 0,010 0,005 45 16 29 15 30 14 31 73 28 45 27 46 26 47 46 16 30 15 31 14 32 74 29 45 27 47 26 48 47 17 30 16 32 15 32 75 29 46 27 48 26 49 48 17 31 16 32 15 33 76 29 47 28 48 27 49 49 18 31 16 33 16 33 77 30 47 28 49 27 50 50 18 32 17 33 16 34 78 30 48 29 49 28 50 51 19 32 17 34 16 35 79 31 48 29 50 28 51 52 19 33 18 34 17 35 80 31 49 30 50 29 51 53 19 34 18 35 17 36 81 32 49 30 51 29 52 54 20 34 19 35 18 36 82 32 50 31 51 29 53 55 20 35 19 36 18 37 83 33 50 31 52 30 53 56 21 35 19 37 18 38 84 33 51 31 53 30 54 57 21 36 20 37 19 38 85 33 52 32 53 31 54 58 22 36 20 38 19 39 86 34 52 32 54 31 55 59 22 37 21 38 20 39 87 34 53 33 54 32 55 60 22 38 21 39 20 40 88 35 53 33 55 32 56 61 23 38 21 40 21 40 89 35 54 34 55 32 57 62 23 39 22 40 21 41 90 36 54 34 56 33 57 63 24 39 22 41 21 42 91 36 55 34 57 33 58 64 24 40 23 41 22 42 92 37 55 35 57 34 58 65 25 40 23 42 22 43 93 37 56 35 58 34 59 66 25 41 24 42 23 43 94 38 56 36 58 35 59 67 26 41 24 43 23 44 95 38 57 36 59 35 60 68 26 42 24 44 23 45 96 38 58 37 59 35 61 69 26 43 25 44 24 45 97 39 58 37 60 36 61 70 27 43 25 45 24 46 98 39 59 38 60 36 62 71 27 44 26 45 25 46 99 40 59 38 61 37 62 72 28 44 26 46 25 47 100 40 60 38 62 37 63
22.10. Равномерно распределенные случайные числа 565 22.10 Равномерно распределенные случайные числа Приведенные в таблице 22.10.1 цифры можно рассмат- ривать как реализации независимых и одинаково распре- деленных случайных величин, принимающих значения 0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9 с одной и той же вероятностью 0,1. Табулированные цифры сгруппированы по две. Па- ры можно рассматривать как реализации независимых и одинаково распределенных случайных величин, прини- мающих значения от 00 до 99 с одной и той же вероятно- стью 0,01. Аналогичные утверждения можно сформулировать, если цифры группировать по три, четыре ... Рассмотрим группы из к цифр как целые числа. Пере- множим каждое из них на 10-fc. Полученные числа мож- но считать реализациями независимых случайных вели- чин, равномерно распределенных на отрезке [0; 1]. Табл и ца 22.10.1. Равномерно распределенные случайные числа 10 09 73 25 33 37 54 20 48 05 08 42 26 89 53 99 01 90 25 29 12 80 79 99 70 66 06 57 47 17 31 06 01 08 05 85 26 97 76 02 63 57 33 21 35 73 79 64 57 53 98 52 01 77 67 11 80 50 54 31 83 45 29 96 34 88 68 54 02 00 99 59 46 73 48 76 52 01 35 86 64 89 47 42 96 19 64 50 93 03 09 37 67 07 15 80 15 73 61 47 34 07 27 68 50 45 57 18 24 06 02 05 16 56 92 05 32 54 70 48 03 52 96 47 78 14 90 56 86 07 39 80 82 77 32 06 28 89 80 83 86 50 75 84 01 87 51 76 49 69 34 67 35 48 76 24 80 52 40 37 23 20 90 25 60 38 31 13 11 65 64 03 23 66 53 36 69 73 61 70 35 30 34 26 14 68 66 57 48 18 90 55 35 75 48 35 80 83 42 82 22 10 94 05 58 50 72 56 82 48 13 74 67 00 78 36 76 66 79 51 91 82 60 89 28 80 95 90 91 17 20 63 61 04 02 15 95 33 47 64 88 67 67 43 97 98 95 11 68 77 65 81 33 98 85 86 79 90 74 39 73 05 38 52 47 28 46 82 87 09 60 93 52 03 44 60 97 09 34 33 29 40 52 42 01 18 47 54 06 10 90 36 47 64 93 93 78 56 13 68
566 22. Таблицы математической статистики Таблица 22.10.1 (продолжение) 65 48 11 76 74 80 12 43 56 35 74 35 09 98 17 69 91 62 68 03 09 89 32 05 05 91 49 91 45 23 80 33 69 45 98 44 10 48 19 49 12 55 07 37 42 63 60 64 93 29 61 19 69 04 46 15 47 44 52 66 94 55 72 85 73 42 48 11 62 13 23 52 37 83 17 04 49 35 24 94 00 54 99 76 54 35 96 31 53 07 59 80 80 83 91 46 05 88 52 36 32 17 90 05 97 69 23 46 14 06 19 56 54 14 30 45 15 51 49 38 94 86 43 19 94 98 08 62 48 26 33 18 51 62 32 80 95 10 04 06 79 75 24 91 40 18 63 33 25 37 17 46 85 09 50 17 72 70 80 15 77 40 27 72 14 66 25 22 91 48 14 22 56 85 14 68 47 92 76 86 26 94 03 68 58 85 15 74 79 54 11 10 00 20 40 16 50 53 44 84 26 45 74 77 74 95 27 07 99 53 67 89 75 43 87 97 34 40 87 21 73 20 88 98 37 75 24 63 38 24 64 05 18 81 59 26 89 80 93 54 45 42 72 68 42 01 39 09 22 86 87 37 92 52 41 20 11 74 52 04 01 75 87 53 79 19 47 60 72 46 36 16 81 08 51 45 24 02 84 04 41 94 15 09 49 96 38 27 07 74 71 96 12 82 96 98 14 50 65 71 58 04 77 69 74 45 31 82 23 74 43 23 60 02 10 36 93 68 72 03 46 42 75 67 88 46 16 28 35 54 70 29 73 41 35 32 97 92 65 75 12 86 07 46 97 40 21 95 25 63 51 92 43 37 29 59 36 78 38 48 54 62 24 44 31 16 86 84 87 67 68 93 59 14 16 45 86 25 10 25 96 11 96 38 96 33 35 13 54 62 83 60 94 97 00 77 28 14 40 77 05 56 70 70 07 15 95 66 00 00 40 41 92 15 85 43 66 79 45 43 34 88 88 15 53 44 99 90 88 96 89 43 54 85 81 20 15 12 33 87 69 86 10 25 91 31 01 02 46 74 73 03 95 71 86 21 11 57 82 53 45 52 16 42 37 76 62 11 39 90 96 29 77 88 22 94 75 08 99 23 53 14 03 33 40 57 60 04 08 81 96 64 48 94 39 43 65 17 70 82 65 39 45 95 93 82 39 61 01 18 91 19 04 25 92 03 07 11 20 59 26 25 22 96 63 61 96 27 93 35 54 69 28 23 91 77 97 45 00 24 13 02 12 48 92 93 91 08 36 47 86 74 31 71 57 18 74 39 24 23 66 67 43 68 06 59 04 79 00 33 01 54 03 54 56 39 09 47 34 07 88 69 54 19 94 25 01 62 52 98 74 85 22 05 39 05 45 56 14 27
22.10. Равномерно распределенные случайные числа 567 74 02 54 17 11 66 48 32 69 07 09 18 90 04 73 18 75 76 54 01 08 35 28 30 53 84 91 75 89 41 77 51 19 50 21 81 51 47 99 55 33 71 85 27 84 13 56 73 65 13 38 00 37 40 97 12 21 82 73 13 Таблица 22.10.1 (продолжение) 94 39 02 84 56 11 44 98 83 47 79 28 49 41 38 77 55 73 22 70 80 99 33 71 43 52 07 98 48 27 31 24 96 47 10 87 63 79 19 76 97 79 01 71 19 05 33 51 29 69 59 38 17 15 39 02 29 53 68 70 35 58 40 44 01 52 52 75 80 21 56 12 71 92 55 09 97 33 34 40 32 30 75 75 46 10 51 82 16 15 82 00 97 32 82 53 95 27 04 22 08 63 04 83 38 98 73 74 58 54 97 51 98 15 06 54 94 93 88 19 97 91 87 07 61 50 95 02 07 47 67 72 62 69 62 29 06 44 64 27 12 46 70 18 87 64 90 20 97 18 17 49 90 42 91 22 72 95 37 50 58 71 64 40 56 66 28 13 10 03 00 68 22 73 98 20 71 45 32 95 86 99 10 78 54 24 27 85 13 66 15 88 73 04 61 89 75 53 60 32 64 81 33 31 05 91 40 51 00 78 93 32 60 46 04 75 08 62 33 81 59 41 36 28 51 21 59 02 90 28 46 66 87 95 75 37 41 61 61 36 22 69 50 26 39 02 12 55 78 17 65 14 59 26 94 00 39 75 83 91 12 60 71 76 46 48 94 97 23 06 30 38 20 86 83 42 99 01 68 41 48 27 74 51 90 81 39 80 23 71 74 69 97 92 02 88 55 21 02 97 73 74 28 77 52 51 85 93 13 93 27 88 17 57 05 68 67 31 56 07 08 28 50 46 46 64 99 68 10 72 36 21 94 04 99 13 45 42 83 60 91 91 96 83 31 62 53 52 41 70 69 77 71 28 30 74 81 97 81 42 34 80 07 93 58 47 28 69 51 92 66 47 21 58 30 32 98 22 48 68 93 11 30 32 92 70 28 83 43 41 37 73 51 59 04 00 38 96 40 44 03 55 21 66 73 85 27 00 91 61 22 26 05 61 21 62 34 17 39 59 61 31 10 12 39 16 22 85 49 65 75 60 85 68 06 87 64 88 52 61 34 31 36 58 61 45 87 52 10 69 10 21 76 81 71 91 17 11 71 60 29 29 37 74 21 96 40 49 29 63 97 01 30 47 75 86 56 27 11 00 86 47 32 46 26 05 54 03 48 87 08 33 14 17 21 81 53 92 50 75 23 76 20 47 64 11 34 47 14 33 40 72 64 63 88 59 02 49 13 90 64 41 54 27 42 95 71 90 90 35 85 79 47 42 96 08 78 98 81 56
568 22. Таблицы математической статистики Таблица 22.10.1 (окончание) 07 63 87 79 29 03 06 11 80 72 96 20 74 41 56 23 82 19 95 38 60 52 88 34 41 07 95 41 98 14 59 17 52 06 95 05 53 35 21 39 83 59 63 56 55 06 95 89 29 83 05 12 80 97 19 77 43 35 37 83 10 85 06 27 46 99 59 91 05 07 13 49 90 63 19 53 07 57 18 39 39 82 09 89 52 43 62 26 31 47 64 42 18 08 14 43 80 00 93 51 59 58 00 64 78 75 56 97 88 00 88 83 55 44 86 23 76 80 61 56 38 50 80 73 41 23 79 34 87 63 90 82 29 70 22 17 71 90 42 07 30 69 27 06 68 94 68 81 61 27 56 19 68 00 91 82 06 76 34 00 65 44 39 56 59 18 28 82 74 37 49 63 22 40 41 08 33 76 56 76 27 26 75 02 64 13 19 27 22 94 07 47 74 46 06 17 98 54 89 11 91 30 70 69 91 19 07 22 42 10 36 69 95 37 28 28 82 53 57 93 68 43 49 46 88 84 47 31 36 22 62 12 69 84 08 12 84 38 25 90 48 90 81 58 77 54 74 52 45 91 35 70 00 47 54 83 82 45 26 92 06 91 34 51 97 42 67 27 86 01 11 88 30 95 28 63 01 19 89 01 10 45 51 60 19 14 21 03 37 12 91 34 23 78 21 88 32 58 08 51 12 88 39 73 43 65 02 76 11 84 04 28 50 13 92 17 97 41 50 77 21 77 83 09 76 38 80 73 69 61 31 64 94 20 96 63 28 10 20 23 19 52 35 95 15 65 12 25 96 59 86 28 36 82 58 69 57 21 37 98 67 24 55 26 70 35 58 31 65 63 79 24 68 66 86 76 46 33 42 22 60 58 44 73 77 07 50 03 79 92 45 13 42 65 29 26 76 08 36 37 53 85 34 13 77 36 06 69 48 50 58 83 87 38 59 49 36 47 33 31 24 63 73 87 36 74 38 48 93 42 52 62 30 79 92 12 36 91 86 01 83 08 01 24 51 38 99 22 28 15 07 75 95 17 77 97 37 72 75 85 15 44 42 43 34 36 15 19 90 73 27 49 37 09 39 85 13 03 25 52 60 79 01 81 57 57 17 86 57 62 11 16 17 85 76 45 81 95 29 79 03 99 11 04 61 93 71 61 68 94 66 08 32 46 53 84 60 95 82 32 38 55 59 55 54 32 88 65 97 80 08 35 56 08 60 29 73 54 77 62 17 54 67 37 04 92 05 24 62 15 55 12 12 92 81 59 07 60 79 36 32 64 35 28 61 95 81 90 68 31 00 91 19 89 36 76 35 59 37 79 69 57 26 87 77 39 51 03 59 05 14 06 04 06 19 29 54 96 96 16
Литература [1] Большее Л. Н. Таблицы математической статисти- ки/ Л. Н. Большей, Н. В. Смирнов — 3-е изд. — М.: Наука, 1983. — 416 с. [2] Ван дер Варден Б. Л. Математическая статистика. — М.: Изд-во иностр, лит., 1960. — 434 с. [3] Гихман И. И. Теория вероятностей и математиче- ская статистика/ И. И. Гихман, А. В. Скороход, М. И. Ядренко — К.: Вища шк., 1979. — 320 с. [4] Джонсон Н. Статистика и планирование экспери- мента в науке и технике. Методы обработки данных/ Н. Джонсон, Ф. Лион — М.: Наука, 1980. — 600 с. [5] Емельянов Г. В. Задачник по теории вероятно- стей и математической статистике/ Г. В. Емельянов, В. П. Скитович — Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1967. - 332 с. [6] Зубков А. М. Сборник задач по теории вероятно- стей/ А. М. Зубков, Б. А. Севастьянов, В. В. Чистя- ков — М.: Наука, 1989. — 320 с. [7] Крамер Г. Математические методы статистики. — 2-е изд., перераб. — М.: Мир, 1975. — 648 с. [8] Кендалл М. Дж, Теория распределений/ М. Дж. Кендалл, А. Стьюарт — М.: Наука, 1966. — 587 с. [9] Мешалкин Л. Д. Сборник задач по теории вероят- ностей. — М.: Изд-во Москов. ун-та, 1963. — 155 с. 569
[10] Прохоров А. В. Задачи по теории вероятностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случай- ные процессы/ А. В. Прохоров, В. Г. Ушаков, Н. Г. Ушаков — М.: Наука, 1986. — 328 с. [11] Турчин В. Н. Теория вероятностей и математиче- ская статистика: — Днепропетровск. — Д.: Изд-во Днепропетров. ун-та, 2008. — 656 с.. [12] Турчин В. М. Математична статистика. — К.: Ви- давничий центр “Академ!я”, 1999. — 240 с. [13] Турчин В. М. Teopin ймов!рностей. Основш поняття, приклади, задач!. — К.: А.С.К., 2003. — 208 с. [14] Турчин В. М. Teopin ймов!рностей i математична статистика. Основш поняття, приклади, задач!. — Д.: Видавництво ДНУ, 2006. — 476 с. [15] Тутубалин В. Н. Теория вероятностей. — М.: Изд-во Москов. ун-та, 1972. — 230 с. [16] Дороговцев А. Я. Теор!я ймов!рностей. 36. задач/ А. Я. Дороговцев, Д. С. Ольвестров, А. В. Скороход, М. Й. Ядренко — К.: Вища шк., 1976. — 384 с. [17] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее при- ложения: В 2-х т.— М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 527 с.; Т. 2. - 751 с. [18] Хальд А. Математическая статистика с технически- ми приложениями. — М.: ИЛ, 1956. — 664 с. [19] Ядренко М. Й. Дискретна математика. — К.: ВПЦ “Експрес”, 2003. - 244 с. [20] David F. N. Elementary Statistical Exercises, David F. N., Pearson E. S. — Cambridge: University Press, 1961 - 241 p. 570
Оглавление 1 Элементы комбинаторики 5 1.1 Основной принцип комбинаторики.........5 1.2 Задачи................................13 2 Стохастический эксперимент 17 2.1 Пространство элементарных событий, алгебра событий..................17 2.2 Задачи................................21 3 Дискретное вероятностное пространство 27 3.1 Вероятность, классическая модель......27 3.2 Задачи................................33 4 Условная вероятность 39 4.1 Формула полной вероятности. Формулы Байеса............................39 4.2 Независимые события ..................45 4.3 Задачи................................47 5 Дискретная случайная величина и ее распределение 53 5.1 Вычисление распределения функции от случайной величины.........53 5.2 Дискретные распределения на R1........59 5.3 Задачи................................64 571
6 Математическое ожидание дискретной случайной величины 73 6.1 Определения, свойства, вычисления..................73 6.2 Задачи................................80 7 Аксиоматика теории вероятностей 89 7.1 Алгебры, а-алгебры ...................89 7.2 Аксиомы Колмогорова...................93 7.3 Задачи................................98 8 Геометрические вероятности 103 8.1 Определения. Примеры ..............103 8.2 Задачи................................109 9 Распределение случайной величины 117 9.1 Функция и плотность распределения.........................117 9.2 Функция и плотность распределения случайного вектора...............................120 9.3 Абсолютно непрерывные распределения на R1...................125 9.4 Задачи................................127 10 Математическое ожидание 135 10.1 Определения, свойства, вычисление................................135 10.2 Задачи...............................143 11 Свертка 151 11.1 Свертка вероятностных распределений.............................151 11.2 Распределение суммы независимых случайных величин.............155 11.3 Задачи...............................159 12 Сходимость распределений 163 12.1 Определения. Примеры ................163 12.2 Задачи...............................169 572
13 Характеристическая функция 175 13.1 Определения, свойства, вычисление................................175 13.2 Теоремы единственности и непрерывности ..........................178 13.3 Задачи...............................181 14 Оценивание параметров распределений 189 14.1 Точечные оценки......................189 14.2 Доверительные интервалы..............198 14.3 Оценки с минимальной дисперсией.................................201 14.4 Задачи...............................213 15 Методы построения оценок 233 15.1 Эмпирические оценки .................233 15.2 Метод моментов.......................245 15.3 Метод максимального правдоподобия.............................248 15.4 Задачи...............................253 16 Задача проверки статистических гипотез 271 16.1 Критерий, функция мощности критерия.................271 16.2 Задачи...............................284 17 Проверка гипотез о параметрах распределения Na.a2 299 17.1 Проверка гипотезы Hq: а = clq........299 17.2 Проверка гипотезы Hq: 305 17.3 Проверка гипотезы Но: cr2/crg = 1.......................311 17.4 Проверка гипотезы Hq: сг^/сг^ = 1....313 17.5 Задачи...............................317 573
18 Критерий х2 331 18.1 Критерий х2 (гипотетическое распределение не зависит от параметров) .........................331 18.2 Критерий х2 (параметры неизвестны).......................337 18.3 Критерий х2 как критерий независимости................................340 18.4 Задачи..................................345 19 Непараметрические критерии 379 19.1 Критерий Колмогорова....................379 19.2 Критерий знаков........................384 19.3 Критерий Вилкоксона....................390 19.4 Задачи.................................398 20 Линейная регрессия 419 20.1 Нормальная линейная регрессия..........419 20.2 Задачи.................................433 21 Решения, указания, ответы 443 21.1 К главе 1..............................443 21.2 К главе 2..............................445 21.3 К главе 3..............................448 21.4 К главе 4..............................453 21.5 К главе 5..............................460 21.6 К главе 6..............................470 21.7 К главе 7..............................477 21.8 К главе 8..............................478 21.9 К главе 9..............................481 21.10 К главе 10...........................490 21.11 К главе 11...........................495 21.12 К главе 12...........................501 21.13 К главе 13...........................502 21.14 К главе 14...........................506 21.15 К главе 15...........................510 21.16 К главе 16...........................517 21.17 К главе 17...........................519 21.18 К главе 18..........................529 21.19 К главе 19..........................530 21.20 К главе 20 ......................... 533 574
21.21 Задания для самостоятельной работы ................537 22 Таблицы математической статистики 543 22.1 Нормальное распределение...............544 22.2 ^-распределение........................547 22.3 Распределение Стьюдента................549 22.4 Распределение Фишера...................551 22.5 Биномиальное распределение............556 22.6 Распределение Пуассона.................559 22.7 Критерий А. Н. Колмогорова. Критические значения.......................560 22.8 Критерий Вилкоксона. Нижние критические значения................561 22.9 Критерий знаков. Границы критической области................562 22.10 Равномерно распределенные случайные числа............................565 Литература 569 575
Навчальне видання ВАЛЕР1Й МИКОЛАЙОВИЧ ТУРЧИН ТЕОР1Я ЙМОВ1РНОСТЕЙ I МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА Основн! поняття, приклади, задач! Пщручник для студентов вищих навчальних заклад!в (Росшською мовою) Редактор Козаченко Ю.В. Вщпов!дальний за випуск Турчин С. В. Художник Ткаченко К.Д. Корректор Литвиненко М.Г. Оригинал-макет Турчин В.М. Щцписано до друку 20.10.2011 р. Формат 84х 108 Друк офсетний. Патр офсетний. Гарштура Computer modern Ум. др. арк. 30,24. Зам. № 0-9339. Тираж 500 прим. 1-й завщ —1—250 прим. Видавництво 1МА-ПРЕС, 49051, м. Дшпропетровськ, вул. Журналюйв, 7/215. 050-514-52-75, 067-910-61-01. E-mail: IMA@optima.com.ua Свщоцтво про внесения до Державного реестру суб’ект!в видавничо!’ справи ДК № 244 вщ 16.11.2000 р. В1ддруковано у ПРАТ “Видавництво “Зоря”, м.Дшпропетровськ, вул. Журнал1ст1в, 7 Свщоцтво про внесения до державного реестру ДК №4127 вщ 28.07.2011 р. 576
ТУРЧИН Валерий Николаевич Автор 95 научных и научно- методических работ, 12 учебников и учебных пособий по теории вероятностей и математической статистике. Заведующий кафедрой статистики и теории вероятностей Днепропетровского национального университета.