Математика в понятиях, определениях и терминах. Часть 1 - Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Соркин Ю.И., Федин Н.Г.

Author: Мантуров О.В. Солнцев Ю.К. Соркин Ю.И. Федин Н.Г.
Tags: математика математические термины пособие для учителей издательство просвещение
Year: 1978
Similar
Толковый словарь математических терминов
Геометрия. Том 2. Элементарная математика с точки зрения высшей.
Очерки по геометрии
Справочник машиностроителя. Том 1
Text
                    МАТЕМАТИКА В ПОНЯТИЯХ,ОПРЕДЕЛЕНИЯХ И ТЕРМИНАХ*ЧВСТЬI
Библиотека учителя математики
Библиотека учителя математики
МАТЕМАТИКА
В ПОНЯТИЯХ,
ОПРЕДЕЛЕНИЯХ
И ТЕРМИНАХ
Часть I
Под редакцией Л. В. САБИНИНА
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1978
Scan AAW
61
М34
О. В. МАНТУРОВ, Ю. к. СОЛНЦЕВ, Ю. И. СОРКИН, Н. Г. ФЕДИН
Рекомендовано
Главным управлением школ
Министерства просвещения СССР
Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. I.
М34 Пособие для учителей. Под ред. Л. В. Сабинина. М.,
«Просвещение», 1978. 320 с. (Библиотека учителя мате-
матики.) На обороте тит. л. авт.: О. В. Мантуров,
Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин.
Настоящее издание представляет собой первую книгу пособия для учителей.
Она является справочником по математической терминологии. Понятия, определе-
ния и термины, включенные в книгу, расположены в алфавитном порядке (в пред-
лагаемой книге с буквы А до буквы Л). Справочник может быть использован
студентами педагогических институтов, будущими учителями математики.
60501-877
М 103 (03)-78 подписное	51
© Издательство «Просвещение», 1978 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Предлагаемая вниманию читателя книга «Математика в понятиях, опре-
делениях и терминах» в двух томах, выходящая в серии «Библиотека учи-
теля математики» издательства «Просвещение», является справочным изда-
нием, предназначенным в первую очередь для учителей математики и других
смежных дисциплин, а также и для будущих учителей — студентов педагоги-
ческих институтов. Конечно, идея предприятия такого рода не нова —более
десяти лет назад в том же издательстве и тем же коллективом авторов была
выпущена книга «Толковый словарь математических терминов»; она быстро
разошлась и получила положительную оценку как в широких кругах учите-
лей и методистов, так и в прессе. В последующие годы в издательство по-
ступили многочисленные пожелания о ее переиздании. Однако прошедшее
десятилетие—десятилетие исканий, экспериментов и находок нашей педаго-
гики, порожденных научно-технической революцией, в корне изменило сущ-
ность, содержание и методы нашей системы образования. Да и лицо самой
математики сильно изменилось. Были разработаны и прошли проверку вре-
менем экспериментальные школьные программы и завершился переход школы
на новые учебные программы. Так что в сложившихся условиях авторы
должны были писать фактически новую книгу в попытке удовлетворить воз-
росшим требованиям учителей-математиков, созвучным времени и фактической
ситуации на сегодня. И несмотря на то что написать труд такого рода —
дело весьма и весьма не простое, представляется, что авторы со своей зада-
чей справились успешно, хотя, безусловно, окончательное суждение сделает
сам читатель. Опишем теперь некоторые принципы, которые легли в основу
построения книги. Отбор авторами и редактором терминов для книги дикто-
вался следующими соображениями: наиболее полно должны быть представ-
лены термины, непосредственно связанные с новой школьной программой,
школьным курсом математики и рядом смежных школьных дисциплин. Далее
достаточно полно должны быть представлены термины и понятия, связанные
с обучением будущих учителей, т. е. с действующими программами матема-
тических дисциплин педагогических институтов, наконец, должны быть пред-
ставлены важнейшие термины и понятия, характеризующие главнейшие черты
математики как науки в процессе развития.
Радикальные изменения содержания программы школьного курса мате-
матики, большие изменения в терминологии, определении понятий и симво-
4
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
лике нашли адекватное отражение в книге. Однако даны не только совре-
менные термины, но и термины, выходящие из употребления в преподавании
математики в средней школе, и малозначительные термины, представляющие
определенный исторический интерес. Что же касается терминов, связанных
с математическими программами педагогических институтов, то здесь мы
проявили умеренный радикализм, не стремясь к крайне модернистским трак-
товкам (в ущерб доступности изложения), и все же мы тщательно изгоняли
из употребления явные анахронизмы. Наконец, важнейшие термины и поня-
тия, характеризующие математику как науку, описаны, как правило, на
современном точном и ясном математическом языке.
При интерпретации большинства терминов имеется ссылка на родствен-
ные термины и литературу, откуда читатель может получить дополнительную
информацию. При первом упоминании в той или иной статье какого-либо
термина, о котором в книге есть отдельная статья, последний выделен кур-
сивом. В книге, естественно, помещены и синонимы основных терминов. Тер-
мины типа «полиномы Чебышева», «теорема Виноградова», «теорема Ферма»
и др. следует искать среди терминов, начинающихся с фамилии автора,
в честь которого дано название, т. е. «Чебышева полиномы», «Виноградова
теорема», «Ферма теорема» и т. д. Для некоторых терминов во избежание
ошибок произношения указано ударение, например «гомотетия», «симметрия».
Несколько слов о символике и языке книги. Было бы совершенно непо-
сильным, по крайней мере на сегодняшний день, предприятием унифициро-
вать символику и язык книги, точно так же как и символику и язык самой
математики. Математика напоминает огромное здание, которое строится, пере-
страивается и достраивается по частям в течение многих, многих веков, так
что наряду с совершенно новыми и частично переделанными ее частями оста-
ются и старые, не тронутые реставрацией. Все это привело к тому, что фак-
тически представители различных математических наук говорят на разных
диалектах, хотя и близких, одного и того же языка и употребляют различ-
ные системы письменности (символики). Поэтому нами была предпринята по:
пытка каждый раз пользоваться системой обозначений и языком, свойствен-
ными области математики, к которой термин относится, указывая, где уместно,
и другие альтернативные системы обозначений и языка.
Следует теперь отметить одну особенность книги методического плана.
Авторы и редактор стремились придать ей активный характер в вопросах
формирования в будущем новых точек зрения на те или иные методические
вопросы школьного и высшего педагогического математического образования.
Так, использовавшееся в школьном курсе математики отождествление понятий
отображения и функции достаточно удобно и естественно, однако в книге,
адресованной учителю, мы сочли необходимым объяснить разницу между этими
двумя понятиями и проиллюстрировать те преимущества, которые такое раз-
граничение дает. Другой пример такого рода связан с понятием дифферен-
циала и дифференциалов высшего порядка в программах математики высших
педагогических институтов. Здесь, с нашей точки зрения, очевидны методичес-
кие преимущества новейшей трактовки этого вопроса; всюду, где это уместно,
мы особо подчеркиваем, что дифференциал есть линейная или полилинейная
функция.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
5
В заключение следует заметить, что сотрудничество авторов и редактора
в процессе совместной работы над книгой носило, с одной стороны, деловой
и конструктивный, а с другой—неформальный характер. Редактор часто и
активно вторгался в авторский текст, пытаясь склонить авторов к пересмотру
тех или иных мест рукописи или точек зрения. Неоднократные многочасовые
обсуждения, как надеются редактор и авторы, во многом способствовали улуч-
шению текста. Улучшению книги способствовали рецензии 3. А. Скопеца,
Н. Я. Виленкина, В. А. Кондратьева, Г. В. Дорофеева, Г. Л. Луканкина,
В. А. Гусева и Б. М. Ивлева. Но «мир (математики) велик, а человек (в нем)
мал>, так что, конечно, мы отдаем себе отчет в том, что предлагаемая книга
отнюдь не свободна от недостатков и упущений. Все конструктивные замеча-
ния, пожелания и предложения читателей будут с благодарностью восприняты
редактором и авторами и учтены в последующих изданиях.
Лев Сабинин
A
АБАК — счетная доска или счетный столик у древних греков и римлян.
Впоследствии А. перешел через арабов в средневековую Западную Европу и
использовался для арифметических вычислений. А. имел различные конст-
рукции. У римлян А. представлял собой доску или стол, разграфленные вер-
тикальными линиями на столбцы, наверху которых, в направлении справа
налево, писались разряды единиц, десятков, сотен и т. д.: I, X, С .... Число
единиц любого разряда представлялось числом камешков (косточек, монет),
помещенных в соответствующем столбце. Число нуль на А. никак не изобра-
жалось: в соответствующем столбце камешки отсутствовали.
В дальнейшем счетные марки (камешки, косточки, монеты или бобы)
стали нанизывать на проволоки, и А. принял форму рамы с нанизанными на
проволоки косточками. А. встречается и сейчас у многих народов Востока.
В России с давних пор для арифметических вычислений применяют счеты —
своеобразный русский А. В Китае «китайский» А. называется суан-пан;
в отличие от русских счетов он имеет на каждой проволоке по 7 косточек,
разделенных продольной перегородкой на 5 и 2 косточки.
В Японии счеты называются соробаном; они содержат на каждой прово-
локе по 6 косточек, которые разделены продольной проволокой на 5 и 1 кос-
точку (в основу вычислений на китайском и японском А. положена пятерич-
ная система счисления).
АБАЦИСТЫ—общее название средневековых вычислителей и математи-
ков, употреблявших в своих арифметических операциях простейшее устрой-
ство— абак. А. вели борьбу со сторонниками алгоритмических вычислений —
алгоритмиками, производившими вычисления по определенному правилу (алго-
ритму). А. называют также абакистами.
АБЕЛЕВА ГРУППА, или коммутативная группа,—группа, в которой
групповая операция удовлетворяет коммутативному закону: ab = ba (см. Ком-
мутативность).
Примеры А. г. 1) Группа всех комплексных корней фиксированной
степени п из единицы относительно операции обычного числового умножения;
2) множество всех корней из единицы любых степеней образует А. г., но уже
бесконечную; 3) множество всех параллельных переносов пространства отно-
сительно композиции преобразований также образует А. г.
Теория А. г. достаточно хорошо изучена, а в части А. г. с конечным
числом образующих ее можно считать законченной.
АБСОЛЮТНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
7
А. г. названа по имени норвежского математика Н. X* Абеля.
Лит.: [70].
АБЕЛЯ ТЕОРЕМЫ—важные теоремы теории степенных рядов. Одна из
них утверждает, что если степенной ряд
со
₽(*)= 2 а»2"
п=0
сходится в некоторой точке z0, то он равномерно сходится в каждом замкну-
том круге радиуса /?, где | z | R < | z0 |. Кроме того, lim р (г) существует
> £	г -> г0
со
и равен 2 если 2	2о, и остается на полупрямой argz = argz0. А. т.
л = 0
носят имя норвежского математика Н. Абеля (1802—1829), открывшего их.
АБРИС —очертание, контур (граница) параллельной проекции плоской
или пространственной фигуры, имеющей границу, на плоскость. Понятие А.
важно в начертательной геометрии.
Пример. А. шара в ортогональной проекции есть окружность, А. же
шара в произвольной параллельной проекции есть эллипс»
Нем. AbriB — контур, очертание, граница.
См. также: Проекция. Начертательная геометрия.
АБСОЛЮТ—невырожденная кривая второго порядка на проективной
плоскости. А. определяет подгруппу Н группы всех коллинеаций проективной
плоскости, состоящую из всех коллинеаций, сохраняющих А. Относительно
этой подгруппы существует инвариантная метрика в области, ограниченной
А. Так получают модель Клейна (см. Клейна модель) геометрии Лобачевского
(см. Лобачевского геометрия).
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА действительного или комплексного числа —
то же самое, что и модуль числа.
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ—геометрия, построенная на основании
четырех групп аксиом Гильберта (см. Гильберта аксиомы)', принадлежности,
порядка, конгруэнтности, непрерывности и без использования аксиомы па-
раллельности (см. Параллельных аксиома). Таким образом, А. г. содержит
все теоремы евклидовой геометрии, доказательства которых не имеют ссылок
на аксиому параллельных или, что эквивалентно, на V постулат Евклида.
А. г. является общей частью геометрии Евклида и геометрии Лобачевского
(см. Лобачевского геометрия). Термин А. г. принадлежит венгерскому мате-
матику Я. Бойяи.
Термин А. г. употребляется и в несколько ином значении. Именно,
иногда к А. г. причисляют все те геометрические свойства фигур, которые
имеют место в евклидовой, гиперболической и эллиптической геометриях. В
этом смысле теорема о том, что сумма углов треугольника не превосходит
2л, не принадлежит А. г., хотя принадлежит А. г* в ранее определенном
значении. См. по этому вопросу [52].
АБСОЛЮТНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ функции f на множестве D, при-
надлежащем числовой оси или n-мерному евклидову пространству, — свойство
8
АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЙСЯ РЯД
функции /, состоящее в том, что существует j |/|dcr, здесь |/|— абсолютная
D
величина /, dv—элемент объема»
АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЙСЯ РЯД—числовой ряд 2 ап> Для которого
л= 1
во
РЯД 5 1а«1’ составленный из абсолютных величин членов данного ряда,
л= 1
является сходящимся. Любой А. с. р» является сходящимся. Обратное утверж-
дение неверно. В А. с. р. можно произвольно переставлять и объединять члены,
не изменяя его суммы. Сумма и произведение А* с. р» вновь будет А. с. р4
Например, ряд 1	••+(— 1)л	•• абсолютно сходящийся,
так как сходится ряд 1+у +-• • • (геометрическая прогрессия)*
00
Аналогично, функциональный ряд 2 ип(М) называется А. с. р. в облас-
л= 1
00
ти D, если для любой точки M£D соответствующий числовой ряд 2lttn(^)l
п= 1
сходится абсолютно.
АБСОЛЮТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ тензорных полей в простран-
стве аффинной связности (см. Аффинной связности пространство). Пусть
в пространстве аффинной связности задано некоторое тензорное поле Т. Рас-
смотрим точку М этого пространства, ее координатную окрестность U и
некоторую криволинейную систему координат (см. Криволинейные координа-
ты) S этой окрестности. Система координат S определяет систему координат
S(N) в касательном пространстве L(N) каждой точки N£U, и эти каса-
тельные пространства являются аффинными пространствами. При этом тен-
зорное поле в каждой точке N£U задает тензор Т (U) соответствующего ка-
сательного пространства L(N).
По многим причинам важно сравнить тензор Т (М) с тензором Т (N)
в точке 2V, близкой к М. (Эта задача является обобщением задачи сравнения
значений функции одного переменного f (х) в точке х и близкой к ней точке
х + Дх, которая решается в терминах понятия производной функции.)
В рассматриваемой ситуации задача сравнения осложняется тем, что
тензоры Т (М) и Т (N) определены в разных аффинных пространствах, а срав-
нивать между собой тензоры можно только в том случае, когда они заданы
в одном и том же пространстве. Эту трудность можно обойти следующим
образом. В пространстве аффинной связности определено отображение тензо-
ров касательных пространств в разных точках — параллельное перенесение
тензоров. Пусть Т (N)—тензор, параллельно перенесенный из пространства
L(N) в пространство L(M). Теперь можно рассмотреть разность Т (/V) — Т (М).
Главная линейная часть разности Т (N}—Т (М) называется абсолютным диф-
ференциалом тензорного поля Т (N) в точке УИ, а сама операция нахождения
абсолютного дифференциала—А. д. Абсолютный дифференциал тензорного
поля в точке М является тензором того же строения (см. Строение тензо*
АБСЦИССА
9
ров), что и Т (2И), и, будучи рассмотрен в каждой точке N£Ut определяет
дифференциал DT (N) тензорного поля Т (N)—тензорное поле того же строе-
ния, что и Т (N)t
Вычисление DT (N) обычно проводится в заданной системе координат S
окрестности Явное выражение DT (N) использует символы Кристоффеля
Г//? (см. Кристоффеля символы),
В случае, когда Т (2V) — тензор один раз контравариантный, DT (N)
имеет вид:
DT‘=dTl+ 2 2	(1)
/=1
для один раз ковариантного тензора
DT^DTi-^ 2Г&Т/К»;	(2)
р= 1 &= 1
вдесь (х1, ха, >«,, хп)— координаты точки N в системе S* Формулы, выра-
жающие абсолютный дифференциал тензорных полей более сложного строения,
аналогичны следующей формуле, в которой Г—тензор один раз контравари-
антный и два раза ковариантный:
dt1!,,=лтjft+ 2 I S Г'Л - 2 Wvk- 2 г₽/т*)	<3>
p-1 \q-\	7=1	P=1 J
Формула (3), так же как и (1), (2), инвариантна относительно замены коор-
динат, т. е. числа DT{jkt вычисленные в разных системах координат, явля-
ются координатами одного и того же тензора. Это обстоятельство имеет боль-
шое значение для дифференциальной геометрии.
Абсолютный дифференциал DT тензорного поля Т связан с ковариант-
ными производными этого поля соответствием
DT= 2 VjTdxi.
/ = 1
Абсолютный дифференциал называется также ковариантным дифференци-
алом.
Лит.: [95, 118].
АБСОЛЮТНЫЙ ЭКСТРЕМУМ числовой функции / — точка Ро в области
определения D функции, обладающая свойством / (Po)"^f (Р) для всех P£D
(абсолютный максимум) или свойством /(Ро)^/(Р) Для всех P^D (абсо-
лютный минимум); словом «абсолютный» подчеркивается отличие А. э. от от-
носительного экстремума.
Для дифференцируемой функции y = f(x)t определяемой на замкнутом
промежутке [а; 6] числовой оси, справедливо следующее утверждение: А.э*
функции принадлежит множеству {a, xj, х2, ...» Ь}, где хх, ха . ..£[а, Ь] и
обладают свойством f (х/) = 0, /=1, 2.
АБСЦИССА—первая из координат (декартовых или аффинных) точки на
Координатной плоскости. А. обычно обозначается буквой х латинского алфа-
вита,
10
АВТОМАТ
Лат. abscissus — отрезанный, отсеченный.
АВТОМАТ — понятие, возникшее в 50-х годах нашего века. Понятие А.
стало содержанием быстро развивающегося направления теоретической кибер-
нетики— теории А. (см. Автоматов теория).
А. называется объект А = А<й, X, F, б, Х>, состоящий из трех непустых
множеств: й— (внутренних) состояний А., X — входных сигналов, Y—выход-
ных сигналов и двух функций: б (а, х)— переходов, отображающей йХХ в й,
и Х(а, х)— выходов, отображающей йХХ в Y. Если для А. множества его
состояний й, выходов Y и входов X все конечны, то А. называется конечным А.
В противном случае А. называется бесконечным.
АВТОМАТОВ ТЕОРИЯ—направление в теоретической кибернетике, объ-
ектом исследования которой является понятие автомат. Для конечных
автоматов в А. т. задачи анализа и синтеза в основном решены. Для беско-
нечных автоматов также решен ряд алгоритмических задач. Вообще А. т.
тесно связана с теорией алгоритмов и теорией формальных языков и грам-
матик (см. Алгоритмов теория и Математическая лингвистика).
В А. т. рассматривают также вероятностные и стохастические автоматы,
т. е. автоматы, для которых б (а, х) является не однозначной функцией, а
случайной величиной, принимающей при фиксированных а и х значения из й
с некоторым распределением вероятностей.
Лит.: [38, 43].
АВТОМОРФИЗМ—изоморфное отображение множества с данной системой
операций и отношений на себя (см. Изоморфизм). Например, всякое невы-
рожденное линейное преобразование есть А. линейного пространства относи-
тельно операций сложения векторов и умножения вектора на число.
АВТОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ — аналитическая функция комплексного
переменного г, которая сохраняет свои значения, когда аргумент z подвер-
гается дробно-линейным преобразованиям.
Более точно: пусть f аналитична в области D, Г—подгруппа группы всех
преобразований вида w =
az-}-b
cz-\-d
ad—be / 0, преобразующих область D в себя.
Функция f (z) называется А. ф. относительно Г, если
/(г) = f(w),	{г-*и>(г)}£Г.
Наиболее важными частными случаями А. ф. являются периодические
функции (в этом случае подгруппа Г состоит из всех преобразований вида
u/(z) = z + na, а — комплексное число, п = 0, ±1, ±2, ..., D — плоскость
комплексного переменного z), а также функции, определенные в полупло-
скости Dlmz^O и не изменяющие своих значений под действием некоторой
подгруппы Г всех преобразований вида
сохраняющих D.
Последний случай связан с интерпретацией геометрии Лобачевского (см,
Клейна модель, Пуанкаре модель).
Теория А. ф. имеет приложение к различным вопросам алгебры, диффе-
ренциальных уравнений и др.
Лит.: [60, 142].
—у; а, Ь, с, d£R, ad—bc>Qt
4-d
АКСИОМА
11
АДАМАРА ПРИМЕР. Краевая задача
д2и , д2и
дх2 + ду2 -~U’
у>0,
“I—
нЬ=О, з“1	=e-^ cos пх, п нечетно
Г	ду\у = о
является некорректной, т. е. ее решение не является непрерывной функцией
граничных условий. Этот факт был установлен в 1923 г. французским мате-
матиком Адамаром и носит название А. п.
АДДИТИВНАЯ ГРУППА — абелева группа, групповая операция в которой
записывается символом « + » и называется сложением. Название происходит
от латинского слова additivus—прибавленный.
АДДИТИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ—раздел теории чисел, в котором изуча-
ются вопросы, связанные с разложением натуральных чисел 1,2,3, *.. на слага-
емые определенного вида. Характерными задачами для А. т. ч. являются Ба-
ринга проблема, Гольдбаха проблема и др. Название А. т. ч. происходит от
латинского слова additivus — прибавленный.
АДДИТИВНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ— числовые функции f, определенные на
множестве D, для элементов которого определено сложение, и удовлетворя-
ющие условию:
Примерами А. в. могут служить объем тела, площадь поверхности, длина
линии, масса, вес и т. д. Название А. в. происходит от латинского слова addi-
tivus— прибавленный.
АДЪЮНКТА — то же, что и алгебраическое дополнение. Название А. про-
исходит от латинского слова adjunctus — присоединенный. Говорят также
адъюнкт,
Лит.: [66, 72].
АКСИОМА—высказывание некоторой теории, принимаемое при дедуктив-
ном построении этой теории без доказательства, т. е. принимаемое как исход-
ное, отправное для доказательств других положений этой теории (теорем).
Так, например, одной из первых А., вводимых в школьном курсе
(VI класс), является А. прямой: через любые две различные точки проходит
одна и только одна прямая.
Понятие А. впервые встречается в трудах древнегреческого ученого Ари-
стотеля. Уже в «Началах» Евклида А. выступают в упомянутой роли для
дедуктивного построения геометрии.
В средние века взгляд на А. под влиянием аристотелевской философии
стал складываться как на утверждения очевидные и не нуждающиеся в дока-
зательстве. Учение И. Канта закрепило этот взгляд на А., придав им смысл
априорных истин. Первый существенный удар по таким взглядам на А. как
на вечные и непреложные истины был нанесен русским математиком Н. И. Ло-
бачевским построением неевклидовой геометрии. Таким образом было доказано,
что некоторая А., принимаемая в одной теории (например, V постулат
12
АКСИОМАТИКА
в евклидовой геометрии), в другой теории может быть заменена противопо-
ложным утверждением (отрицание V постулата в неевклидовой геометрии).
А. называют также постулатами. Термин А. происходит от древнегре-
ческих слов пора—удостоенное, принятое положение и afcioco—считают
достойным.
См. также: Аксиоматический метод.
АКСИОМАТИКА —система аксиом вместе с основными объектами (веща-
ми) и основными отношениями между ними. Каждая геометрия определяется
набором своих аксиом: аксиомы аффинной геометрии, аксиомы евклидовой
геометрии, аксиомы проективной геометрии и др. К А. предъявляются три
требования: непротиворечивости, независимости и полноты (см. Независимость
системы аксиом, Непротиворечивость системы аксиом, Полнота системы
аксиом).
Известны А. геометрии, арифметики, теории вероятностей и других ма-
тематических дисциплин.
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД—способ построения научной теории, при
котором в ее основу кладутся аксиомы, из которых все остальные утверждения
этой теории (теоремы) выводятся путем доказательств, т. е. формально-логи-
ческих выводов. Построение какой-либо дисциплины А. м. называют дедук-
тивным. В дедуктивной теории обычно фигурируют основные объекты (эле-
менты множества, или, более обще, классы), связанные отношениями (на мно-
жестве определены предикаты), удовлетворяющими некоторой системе аксиом.
Тем самыц основные объекты, первоначально не определяемые, получают
аксиоматическое определение.
Все дальнейшие понятия вводятся путем определений, разъясняющих их
точный смысл с помощью ранее введенных понятий.
А. м. применяется, как правило, при построении математических дисцип-
лин. Сначала А. м. был использован в геометрии, затем в арифметике, теории
вероятностей, теории множеств и т. д. А. м. применяется при построении
некоторых разделов физики (механика, термодинамика, электродинамика
и т. д.). Попытки применить А. м. для построения других дисциплин: этика
(Б. Спиноза), социология, политическая экономия, биология — удовлетвори-
тельных результатов пока не дали.
Лит.: (10, 39, 52, 91, 157].
АКСОНОМЕТРИЯ —способ изображения фигуры в параллельной проек-
ции, состоящий в том, что фигура изображается на плоскости вместе с про-
странственной прямоугольной системой координат, к которой отнесена изо-
бражаемая фигура, и вторичной проекцией фигуры на одну из координатных
плоскостей. Изображение (чертеж), выполненное по законам А., называется
аксонометрической проекцией.
В А. всякая точка А изображается в виде двух точек: первичной проек-
ции А' и вторичной проекции А”\ последняя (вторичная) проекция берется
на какую-либо координатную плоскость. На рис. 1,а,б изображены прямая
АВ и тетраэдр ABCD в А.; при этом вторичная проекция дана на коорди-
натную плоскость х'О'у'.
А. имеет преимущество перед изображением фигур на эпюре по способу
Монжа, т. е. при ортогональном проектировании фигуры на две или три вза-
АЛГЕБРА
13
имно перпендикулярные плоскости, когда изображение расчленяется на от-
дельные, разрозненные проекции (вид спереди—фасад, вид сбоку —профиль,
вид сверху — план). В случае А. изображение фигуры воспринимается наглядно
и в целостном виде, что облегчает чтение изображения (чертежа) и представ-
ление реальной фигуры. В зависимости от направления проектирования к
плоскости проекций различают прямоугольную (ортогональную) А., когда
направление проектирования перпендикулярно плоскости проекций, и косо-
угольную А., когда направление проектирования не перпендикулярно этой
плоскости.
Оси координат в А. изобразятся прямыми О'х', О'/, O'z', которые назы-
ваются аксонометрическими осями. В зависимости от величины углов наклона
между аксонометрическими осями и длины единичных отрезков (аксонометри-
ческих единиц) этих осей различают частные случаи А.: изометрия, диметрия,
кабинетная проекция и др.
Основным предложением А. является Польке—Шварца теорема, согласно
которой любой невырожденный четырехугольник с его диагоналями можно
принять за изображение любого тетраэдра, подобного любому данному. Иногда
рассматривают А. не только при параллельном проектировании, но и при
центральном проектировании; однако законы изображения фигур в централь-
ной проекции более сложные, чем это имеет место в параллельной проекции.
См. также: Начертательная геометрия, Эпюр, Чертеж, Проекция, Пол-
ное изображение, Неполное изображение,
АЛГЕБРА: 1°. А.— математическая наука, объектом изучения которой
являются алгебраические системы, например группы, кольца, поля п др.
Отдельной ветвью А. является элементарная алгебра.
В первоначальном понимании А. мыслилась как учение о решении урав-
нений. В наше время под А. понимается наука, изучающая операции и отно-
шения (предикаты) на множестве произвольной природы, обобщающие обыч-
ные операции сложения и умножения чисел и отношение неравенства чисел.
2°. А. линейная над ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей
К —кольцо А, в котором, кроме обычных для кольца действий, определяется
умножение на элементы из ассоциативно-коммутативного кольца с единицей К.
14
АЛГЕБРА С ДЕЛЕНИЕМ
Требуется выполнение следующих свойств:
1) 1к.а = а; 2) q (la) = (ql) а-, 3) (q + l)a = qa-{ la\ 4) q(a + b) = qa + qb
для любых а, Ь£А и Zg/G
Кольцо многочленов с целыми коэффициентами образует А.; кольцо мно-
гочленов с действительными или комплексными коэффициентами также яв-
ляется А.
3°. А.—- алгебраическая система без предикатов (отношений).
Лит.; [66, 72, 73, 85].
АЛГЕБРА С ДЕЛЕНИЕМ—так называется алгебра с единицей над полем
вещественных чисел, удовлетворяющая условию: для всякого элемента а & О
и произвольного b из алгебры уравнения ах = Ь и ха — Ь разрешимы.
Долгое время были известны следующие примеры А. с д.: алгебра веще-
ственных чисел, алгебра комплексных чисел (вещественная размерность—два),
алгебра кватернионов (вещественная размерность — четыре), числа Кэли (см.
Кэли алгебра) (вещественная размерность — восемь). При этом открытым
остался вопрос о существовании А. с д. других размерностей (кроме 1,
2, 4, 8). Сравнительно несложным доказательством было установлено, что
всякая А. с д. имеет вещественную размерность вида 2". Однако многочислен-
ные попытки построения А. с д. размерности 16 успеха не имели.
Этот вопрос был решен в середине 50-х годов нашего века американским
математиком Дж. Адамсом. Оказалось, что не существует А. с д. иных раз-
мерностей, кроме 1, 2, 4, 8. При решении этого вопроса существенную роль
сыграла К-теория.
Лит.: [144].
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ —раздел математики, изучающий ал-
гебраические многообразия, например совокупности точек (хг; х2\ »..;хп)
л-мерного аффинного пространства, удовлетворяющие системе алгебраических
уравнений:
Fi (*ь *2;	х„) = 0
/’аСхр х2; • ••; хп) = 0	(...)
х2;	х„) = 0.
В А. г, алгебраические многообразия изучаются с точностью до бира-
циональной эквивалентности. При этом алгебраические многообразия разли-
чаются по своим бирациональным инвариантам, в частности по размерности
и порядку (см. Размерность алгебраического многообразия, Порядок алгебраи-
ческого многообразия). Теория алгебраических многообразий малых размер-
ностей (таких, как размерность 1 — алгебраические кривые, размерность 2 —
алгебраические поверхности) к настоящему времени широко разработана.
Многие задачи А. г. связаны с рассмотрением системы алгебраических
уравнений (*) над произвольным полем, а также в проективном пространстве.
Исторически А. г. возникла при изучении алгебраических кривых и
поверхностей невысокого порядка. И. Ньютон классифицировал алгебраи-
ческие кривые третьего порядка на плоскости (1704).
Глубокие результаты в А. г. были получены в XIX в. норвежским матема-
тиком Н. Абелем, немецкими математиками Б. Риманом и К. Вейерштрассом.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ
15
В конце XIX — начале XX в. А. г. оформилась в самостоятельную мате-
матическую науку в трудах немецкого математика М. Нетера, итальянских
математиков Ф. Энриквеса и Ф. Северини. Дальнейшие успехи этой науки
связаны с именами Г. Кастельнуово, А. Гротендика, А. Вейля, американского
математика С. Лефшеца и советских математиков Н. Г. Чеботарева, И. Г. Пет-
ровского, И. Р. Шафаревича, Ю. И. Манина.
В настоящее время А. г. переживает период нового подъема. Методы и
результаты А. г. имеют большое значение для таких разделов математики,
как теория функций многих комплексных переменных, теория чисел, К-тео-
рия и др.
Лит.: [55, 152].
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ — алгебраическое многообразие размерности
один. Главным бирациональным инвариантом А. к. является род. К. к. рода
нуль называются рациональными А. к.
А. к. допускают параметризацию с помощью рациональных функций.
А. к. рода 1 можно параметризировать эллиптическими функциями. Такие
кривые называют эллиптическими. А. к., род которых превышает единицу,
параметризуются автоморфными функциями.
Для плоских А. к., т. е. для таких, которые задаются одним алгебраи-
ческим уравнением от двух переменных F (х, у) = 0» степень многочлена F
называют порядком А. к. Плоская А. к. называется неприводимой, если
многочлен F не разлагается на множители степени, большей нуля. В про-
тивном случае А. к. называется приводимой (над рассматриваемым полем).
При этом А. к. является объединением двух А. к., имеющих уравнения
Fi(x, у) = 0, F2(x, у) = 0, где F (х, y) = F1(x, y)-F2(x, у).
Особой точкой А. к. называется точка (х0, у о), для которой Fx(xq. #о) = О>
^(*о. Уо) = О (F'x, Fy означают частные производные от многочлена F по
переменным х, у соответственно). Строение А. к. вблизи особой точки сущест-
венно отличается от поведения А. к. в окрестности неособой точки.
Примеры. 1) А. к. рода нуль: а) окружность x2 + y2 = R2\ х, y£Rt
R > 0, б) лемниската (х2+у2)2 = а2 (х2—у2)’, х, у, a£R; 2) А. к. рода один:
у2 = х(х—а) (х—Ь).
Лит.: [55, 152].
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ элементов кольца. Пусть в ассо-
циативно-коммутативном кольце Л задано п элементов xlt х2, ...» хп. Это
множество элементов называется алгебраически независимым (обладают свой-
ством А. н.), если не существует многочлена Р (tf, t2, • ••, tn) от символов
/i, t2, ...» tn, обращающегося в нуль тождественно при подстановке ti = Xi,
t2 = x2, ..., tn = xn. При этом коэффициенты многочлена Р предполагаются
целыми числами или принадлежащими некоторому подкольцу М кольца Л.
В последнем случае х±, х2, ..., хп называются алгебраически независимыми
над М.
В частности, можно говорить об А. н. конечного множества функций от
нескольких переменных или об А. н. множества многочленов.
Примеры
1.	Любые два многочлена f (/) и g(/) от одного переменного алгебраически
16
алгебраическая поверхность
зависимы, так как F (f (/)> g(0)e0, где v)eKes< (/(/)—«, g(t)—v).
Здесь Rest означает результант, по переменному /.
2.	Функции sinх и cosх алгебраически зависимы, так как sin2x+cosa mL'
3.	Функции y = sinx и у = х алгебраически независимы*
Лит.: [78].
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ—алгебраическое многообразие раз-
мерности два.
Примеры
1.	Сфера радиуса R в трехмерном вещественном аффинном пространстве
xa+y2 + z2—/?2 = 0.
2.	Конус в трехмерном вещественном аффинном пространстве х*+у* —
— z2 = 0.
3.	А. п., определенная системой уравнений в четырехмерном вещественном
аффинном пространстве
ха+^ + 2а4-/а—1=0
*а+#а+*а—/а=0.
Эта А. п. является приводимым многообразием (неприводимость алгебраи-
ческого многообразия см. в статье Алгебраическое многообразие).
Лит.: [55, 152].
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА—непустое множество элементов А, на
котором определено множество операций Qp и множество предикатов или
отношений Qp. Таким образом, А. с.—это объект а = <А, Q/?, Qp>, состоящий
из трех множеств: А — носитель А. с., Qp—множество операций на А и Qp—
множество предикатов и отношений на А. Если Qp пусто,'то А. с. превращается
в модель. Если Qp пусто, то А. с. превращается в алгебру (см. Универсаль-
ная алгебра). Группы, кольца, булевы алгебры, решетки, квазигруппы и т. д.
являются примерами алгебр, а тем самым и примерами А. с. Еще одним при-
мером А. с. может служить кольцо целых чисел с двумя бинарными опера-
циями сложения и умножения и предикатом упорядочения « < ».
Лит.: [85].
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ—функция, удовлетворяющая алгебраи-
ческому уравнению. Иными словами, всякое уравнение вида
P(xt у) = 0,
где Р(х, у) —многочлен от переменных х, у, определяет (неявную) функцию
у (х), называемую А. ф. Важным частным случаем А. ф. являются: много-
члены у = аохл4-01Хп“1+ .. • + «п, функции, задаваемые формулами, в кото-
рых у выражается через х с помощью арифметических действий и операций
извлечения корней различных степеней, например
Существуют А. ф., которые не выражаются упомянутым способом: уравнения
вида у5 +ад* + ад3+ ада + ад+ «5=0, вообще говоря, не могут быть раз-
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ
17
решены относительно у в радикалах. Этот факт был установлен норвежским
математиком Н. Абелем. Согласно Абелю, в уравнении у®+ух+х=0 пере-
менная у не может быть выражена через х с помощью арифметических опе-
раций и радикалов.
Рассматривают также А. ф. нескольких переменных. Функция
#(Х1> х2, ..., хп) называется А. ф. нескольких переменных, если она удовлет-
воряет уравнению:
и»4-А1и"-*4-Ааи"-*4-.**4-Лл=0,
где	х2, *.*, хл), Z = 0, 1, 2, • *., л—многочлены от переменных
Xi, х2, * * *, хп, А. ф. являются многозначными функциями. Функции, не являю-
щиеся А.'ф., называются^ трансцендентными функциями. Примером транс-
цендентной функции является y=sinx.
Множество А. ф. образует поле*
Лит.: [78, 148].
АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТОЕ ПОЛЕ—такое поле F, в котором каж-
дый многочлен степени большей нуля, т. е. многочлен вида
-J-««• 4”1, а$, аъ <>•» an^F,
имеет по крайней мере один корень (см. Корень многочлена), принадлежащий
полю F,
Пример. А. з. п. является поле комплексных чисел, поле алгебраиче-
ских чисел и др. Поле вещественных чисел не является А. з. п., так как
многочлен /а4-1 не имеет вещественных корней.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ ПОЛЯ. Пусть Е—поле, a Г—его под-
поле, Элемент называется А. э. п. (над F), если в F существуют эле-
менты о0» в!» •**> аи» не все равные нулю, такие, что
а0 4-	4-	4-«•»4- апа" = 0.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ —выходящий из употребления термин*
См. Выражение с переменной,
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ какого-либо минора М порядка k
квадратной матрицы А есть минор АГ, дополнительный к М, т. е. полученный
из А вычеркиванием k строк и k столбцов, пересечением которых был обра-
зован минор АГ: при этом минор Мя следует взять со своим знаком или
с противоположным в зависимости от того, четна или нечетна сумма номеров
вычеркнутых строк и столбцов. А. д. используется при разложении опреде-
лителей по Лапласа теореме.
В частном случае при &=1 говорят об А. д. элемента ац квадратной
матрицы А, которое по определению равно (—\)1+1 Мц, где Л4//—дополни-
тельный минор элемента.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЗАМЫКАНИЕ ПОЛЯ F—такое алгебраическое рас*
ширение поля F, которое является алгебраически замкнутым. Любые два ми-
нимальных А. з. поля F изоморфны (см. Изоморфизм). Для каждого поля
существует его А. з.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ—множество точек в n-мерном аф-
финном пространстве, координаты которых (хх; х2, •••; хл) удовлетворяют
18
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ
системе алгебраических уравнений:
Fitxv, х2;	х„) = 0
х2; ...; xn) = Q
Fm(xb ^2» •••» хп) = 0,
где Flt F2, »»*, Fm — многочлены от п переменных. При этом чаще всего про-
странство рассматривается над полем вещественных или комплексных чисел,
однако» многие вопросы алгебраической геометрии связаны с рассмотрением
системы алгебраических уравнений (*) над другими полями; иногда исходное
пространство предполагается проективным (см. Проективное пространство).
А. м. различают по бирациональным инвариантам, в частности по раз-
мерности и по порядку.
А. м. называется приводимым, если его можно представить в виде объеди-
нения двух А. м. В этом случае А. м. обладает собственным алгебраическим
подмногообразием. Если такое представление невозможно, то А. м. называется
неприводимым.
Примеры
1.	Сфера в n-мерном евклидовом вещественном пространстве задается
уравнением Г(хь х2, а 4 x„) = Xi + xi+ ...	1 =0, т = 1 и является
А. м. размерности п—L
2.	Множество всех вещественных ортогональных матриц А = ||а/у|| по-
рядка п в п2-мерном вещественном пространстве всех квадратных матриц
является А. м., удовлетворяющим следующей системе алгебраических урав-
нений:
п
2 aikajk —
k=l
где 6/у—символ Кронекера: 6/у=0 при i j, 6//=1 при i — j. Размерность
А	п(п—1)
этого А. м. равна —,
Лит.: [55, 152].
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ — такое расширение Е поля F,
что всякий элемент а£Е является алгебраическим элементом поля Е над F
(см. Расширение поля).
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО—вещественное или комплексное число, яв-
ляющееся корнем многочлена Р (i) с целыми коэффициентами. Множество А. ч.
образует поле.
АЛГЕБРЫ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА — название теоремы о существовании
в поле комплексных чисел корня у всякого алгебраического уравнения
а$хп + агхп -1 + ... + ап _ хх+ап — 0 с комплексными коэффициентами (п 1,
а0 0). А. о. т. была сформулирована французским математиком А. Жираром
еще в XVII в., но первое строгое доказательство А. о. т. было дано немецким
математиком К. Гауссом в конце XVIII в.
АЛГОЛ — сокращенное название ряда алгоритмических языков, приспо-
собленных для программирования на электронных цифровых вычислительных
машинах (ЭЦВМ).
Основными символами А. (алфавитом) являются десятичные цифры (от 0
АЛГОРИТМ
19
до 9), латинский алфавит (26 строчных и 26 прописных букв), знаки препи-
нания, знаки математических и логических операций (+, —,Х,	>, <>
д, V и т.д.), знаки ряда функций (sin, cos, arctan, entier, sign, abs, sqrt,
exp, соответствующих синусу, косинусу, арктангенсу, антье, сигнуму, абсо-
лютной величине, корню квадратному (см. Корень из числа) и экспоненте),
других специальных знаков и ряда служебных английских слов (begin—на-
чало, integer — целое число, real—действительное число, end—конец и т. д.).
Из основных символов по определенным правилам (грамматике) образуются
более сложные конструкции—описания алгоритмов. Алгоритм, записанный
на А., называется А.-программой..
Термин А. происходит от двух (английских) слов: ALGOrithm—алго-
ритм и Language—язык. Первый вариант А. был разработан в 1958 г. груп-
пой ученых нескольких стран (А.-58). В 1960 г. в Париже Международная
конференция приняла А.-60. В дальнейшем технический комитет Международ-
ной федерации пр обработке информации (ИФИП) пересматривал его в 1962
и 1964 гг. Наконец в 1964—1968 гг. коллективомученых из 12 стран был раз-
работан и в 1968 г. утвержден ИФИП А.-68, являющийся дальнейшим обоб-
щением и развитием языков этой группы.
Лит.: [122].
АЛГОРИТМ (алгорифм)—точное предписание о выполнении в определен-
ном порядке некоторой системы операций, позволяющее решать совокупность
задач определенного класса.
А. приводит от исходных данных к искомому результату через конечное
число шагов (действий); при этом данные варьируются в известных границах.
Много различных А. рассматривается в алгебре и теории чисел, а также
в других математических дисциплинах. Простейшими алгоритмами являются:
правила, по которым выполняются арифметические действия, А. Евклида (см.
•Евклида алгоритм), К. извлечения квадратного корня и А. для вычисления
определителей n-го порядка, правило Саррюса (см. Саррюса правило) — К. для
вычисления определителей 3-го порядка, А. для вычисления ранга матриц,
К. для определения числа действительных корней алгебраического уравне-
ния—правило Штурма (см. Штурма правило) и т. д.
Слово А. возникло в результате искажения имени великого узбекского
математика IX в. Хорезми (по-арабски — аль-Хорезми, что означает „из Хо-
резма“, или латинизированное Algorithmi). Хорезми были написаны осново-
полагающие труды по арифметике и алгебре, которые переведены с арабского
языка на латинский в XII в.; по ним в Европе познакомились с индийской
десятичной позиционной системой счисления (часто называемой арабской) и
основными правилами алгебры.
Долгое время понятие А. в математике не имело точного определения как
ввиду трудности уточнения объема этого понятия, так и ввиду того, что оно
понадобилось лишь тогда, когда пришли к открытию отсутствия А. для ре-
шения некоторых задач. Точные определения А. были даны лишь в XX в.
несколькими математиками. Эти определения, различные по форме, впослед-
ствии оказались эквивалентными.
Было доказано отсутствие А. для решения ряда массовых задач. Наиболее
замечательный результат в этом направлении принадлежит советскому мате-
20
АЛГОРИТМИКИ
матику, лауреату Ленинской премии, академику П. С. Новикову, доказавшему
отсутствие какого-либо алгоритма для решения проблемы тождества в теории
групп.
Важность нахождения различных алгоритмов, доказательства их отсут-
ствия для ряда задач и создания общей теории алгоритмов (см. Алгоритмов
теория) исключительно повысилась в связи с бурным развитием машинной
математики, дающей возможность реализовать практически любой алгоритм
в виде построения соответствующей вычислительной машины.
Лит.: [86].
АЛГОРИТМИКИ — средневековые математики, употреблявшие в своих
письменных вычислениях определенные правила (см. Алгоритм). Вычисления
А. были более прогрессивными и совершенными по сравнению с вычислениями,
проводившимися абацистами на абаке.
АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ ЯЗЫК—формальный язык для записи алгорит-
мов. Разработка различных А. я. связана с необходимостью формального
описания и использования того или иного алгоритма в электронных цифро-
вых вычислительных машинах (ЭЦВМ). А. я. определяется заданием алфавита,
т. е. перечня исходных символов, и точным описанием его синтаксиса (грам-
матики формальной) и семантики. Исторически впервые А. я. были раз-
работаны для описания алгоритмических систем вообще: см. Нормальный
алгоритм, Рекурсивная функция Тьюринга машина и т. д. Однако эти А. я.
оказались практически мало пригодными для программирования, а так-
же для передачи, хранения и выработки информации в ЭЦВМ. Поэтому
для нужд ЭЦВМ был разработан ряд конкретных А. я., например алгол,
фортран и др.
АЛГОРИТМОВ ТЕОРИЯ — раздел математики, изучающий общие свой-
ства алгоритмов. А. т. начала оформляться в 20—30-х гг. XX в. Началом
систематической разработки А. т., видимо, следует считать 1936 г., когда .
американский математик А. Чёрч опубликовал определение вычислимой функ-
ции, предложив отождествить понятие определенной на множестве всех на-
туральных чисел вычислимой функции с понятием общерекурсивной функции
и привел первый пример функции, не являющейся вычислимой. Тем самым
был подготовлен фундамент для строгого определения понятия алгоритма,
что и было сделано независимо друг от друга американским математиком
Э. Л. Постом и английским математиком А. М* Тьюрингом. Оба дали опре-
деление алгоритма в терминах абстрактных идеализированных машин, полу-
чивших в дальнейшем название Тьюринга машина.
Э.	Л. Постом был выдвинут принцип о том, что любой конкретный алгоритм
описывается в терминах данного им определения. Дальнейшее развитие полу-
чила А. т. в работах американского математика С. К. Клини и советских
математиков А. А. Маркова и А. Н. Колмогорова. А. А. Марков дал новое
определение аглоритма с помощью введенного им понятия нормального алго-
ритма. Наиболее общее определение алгоритма предложил А. Н. Колмогоров.
Впрочем, все определения, как оказалось впоследствии, эквивалентны друг
ДРУГУ-
На основе А. т. была доказана алгоритмическая неразрешимость (отсут-
АНАГЛИФ
21
ствие алгоритма) для ряда задач. Первые результаты этого рода принадлежат
Э. Л. Посту и А. А. Маркову (алгоритмическая неразрешимость тождества
слов для полугрупп).
Лит.: [42, 86].
АЛЕФ—первая буква финикийского алфавита, используется, следуя
Г. Кантору, для обозначения мощностей бесконечных множеств. Например,
мощность счетного множества обозначается (читается А. -нуль).
АЛИДАДА—специальная подвижная линейка, имеющая на своих концах
перпендикулярные стойки (пластинки) с прорезями (щелями), называемые
диоптрами. А. свободно вращается вокруг центра лимба—круга или полу-
круга с делениями. А. является составной частью многих измерительных
приборов, с помощью которых производятся различные измерительные (геоде-
зические) работы на местности.
Араб, ал-идада—линейка.
См. также Астролябия.
АЛФАВИТ—любое конечное и непустое множество попарно различных
символов (знаков). Символы А. называются буквами этого А. Так, можно
рассматривать А. {а, z, ж, +, /, <:}, состоящий из греческой буквы а, ла-
тинской буквы а, русской буквы ж, знака плюс, цифры 1 и знака меньше или
равно. Словом в данном А. называется любая последовательность его букв;
например, последовательности жж all-f-zz, <^ + + +, 1лс11 + являются
словами в данном А. Число букв в слове называется его длиной.
Понятие А. используется в математической логике, математической линг-
вистике, вычислительной математике, теории алгоритмов и т. д.
Название происходит от наименования первых двух букв греческого А.
аир.
См. также: Кодирование.
АЛЬТЕРНАТИВНОЕ КОЛЬЦО—кольцо, в котором каждая пара элемен-
тов порождает ассоциативное подкольцо. Кольцо будет А. к. в том и только
в том случае, когда для любых его элементов а и Ъ выполняется [а, а, Ь] = 0
и [а, Ь, Ь] = 0; где [а, Ь, с] —ассоциатор. Легко показывается, что в А. к.
[а, Ь, а] = 0. Примером А. к., не являющегося ассоциативным кольцом, яв-
ляется алгебра Кэли (см. Кэли алгебра).
Лит.: [73].
АМПЛИТУДА гармонического колебания—наибольшее отклонение от
среднего (нулевого) значения величины. В уравнении гармонического колеба-
ния у —В cos (сох+ф) А. равна В. А. представляет собой размах колебаний
и колеблющаяся величина достигает своего амплитудного значения точно один
раз в течение каждого полупериода колебаний.
В гармоническом анализе при разложении функций в ряды Фурье вопрос
по сути дела сводится к нахождению А. различных гармоник.
АНАГЛИФ—особый чертеж фигуры, отличающийся от обычного тем, что
он состоит из двух частей (чертежей), сдвинутых на некоторый вектор отно-
сительно друг друга и выполненных в разных красках, например в красном и
зеленом. А. рассматривается через специальные очки—светофильтры, имею-
щие разные цвета для левого и правого глаза: для одного глаза—красный
цвет, для другого—зеленый.
22
АНАЛИЗ
При рассмотрении А. через такие двухцветные очки-светофильтры каждый
глаз воспринимает одно из двух изображений; и один глаз и другой глаз
видят разные чертежи — компоненты А. в соответствии с известными зако-
нами физики и физиологии глаза. Поэтому при одновременном двойном (бино-
кулярном) рассмотрении А. у человека создается впечатление стереоскопич-
ности (объемности, телесности) изображенной фигуры.
А. используется при изучении геометрии (стереометрии), в медицине (ил-
люстрации сердца и др. органов), в кристаллографии.
Греч.: avayXuqjov — рельеф, барельеф (рельефно, барельефно).
АНАЛИЗ—логический прием или метод исследования, состоящий в том,
что рассматриваемый предмет мысленно или практически расчленяется на
составные части (признаки, свойства, отношения). Каждая из этих частей
изучается в отдельности, с тем чтобы выделенные в ходе А. части соединить
с помощью другого логического приема — синтеза—в целое, обогащенное но-
выми знаниями. В узком смысле А.— метод доказательства, при котором
рассуждение идет по схеме: от неизвестного—к известному, от искомого — к
данному. А. иначе называется аналитическим методом доказательства. А.
используется при изучении многих разделов школьного курса математики:
например, а) при решении задачи на построение мы, как правило, предпола-
гаем, что задача решена и искомая (неизвестная) фигура построена, а затем
находим зависимости между тем, что дано, и тем, что требуется построить,
т. е. расчленяем искомую фигуру на отдельные части, компоненты и сводим
задачу к построению простейших, вспомогательных фигур поданным элементам;
б) при решении задач на составление уравнений (неравенств) мы также
отправляемся в своем рассуждении от искомой (неизвестной) величины (одной
или нескольких), выбираем обозначение этой величины и составляем зависи-
мости между известными (данными) величинами и неизвестными, чаще всего
обозначаемыми через латинские буквы х, у и т. д. Затем составляем уравне-
ние, приравнивая однородные величины. Решая его, мы находим значение
искомой (переменной) величины.
Примеры
1. Доказать, что
sin 42° < sin 40° + sin 2°,	(1)
Для доказательства этого неравенства воспользуемся формулой синуса суммы:
sin 42° = sin (40° + 2°) = sin 40° cos 2° + cos 40° sin 2°;	(2)
каждое слагаемое полученного выражения (2) сравним со слагаемыми правой
части неравенства (1):
sin 40° cos 2° < sin 40°, cos 40° sin 2° < sin 2°.	(3)
Отправляясь теперь от неравенства (3) к равенству (2), а от него к неравен-
ству (1), мы тем самым осуществляем синтетический метод рассуждения, т. е.
обращение А. Так как неравенства (3) верные, следовательно, верно и данное
неравенство (1).
2. Построить треугольник, если дано: af S, 6 + с. Проведем А. решения
задачи: предположим, что треугольник АВС (рис. 2) построен. На продол-
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
23
женин стороны В А от точки А отложим отре-	д*
эок АА', такой, что [А А'] —[АС], и точку А'
соединим с точкой С. Получим вспомогательный	д I
треугольник А'ВС, построить который можем:
по элементам СУС (сторона—угол—сторона);	\
при этом сторона В А' задана, и она равна	I Г
Ь-\-с. Построив этот вспомогательный тре-	V
угольник, мы можем построить точку А, равно- В а С
удаленную от точек С и А'; для этого проведем
к отрезку С А' серединный перпендикуляр р
(М—середина отрезка С А'). Точка пересечения перпендикуляра р с отрез-
ком В А' и даст третью, искомую вершину А треугольника АВС. Таким обра-
зом, А. решения задачи привел нас к синтезу ее, к построению: последо-
вательно строим: 1) треугольник ВСА' по элементам СУС; 2) проводим
к стороне С А' серединный перпендикуляр р; 3) находим (отмечаем) точку
А = рГ|[ВА']; 4) соединяем точки А и С. Треугольник АВС—искомый. До-
казательство и исследование задачи в силу ее простоты опускаем.
Греч. avaXuco—разложение, расчленение, разбор.
Лит.: [20, 64, 119, 138].
АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ — общее название целого ряда математи-
ческих дисциплин, основанных на понятиях функции и предельного перехода.
К А.м. обычно относят дифференциальное и интегральное исчисления, теорию
рядов, теорию дифференциальных уравнений, теорию аналитических функций,
теорию интегральных уравнений, вариационное исчисление, функциональный
анализ. В более узком смысле термин А.м. часто выражает название только
трех первых из упомянутых частей математики.
См. также: Дифференциальные уравнения, Интегральные уравнения, Диф-
ференциальное исчисление, Интегральное исчисление, Ряд.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ—часть математики, в которой иссле-
дуются геометрические образы средствами алгебры на основе метода коор-
динат.
Творцами А.г. являются французские ученые Ферма и Декарт, хотя зачатки
идеи координат встречались у древних математиков. Так, египтяне при выпол-
нении строительных работ пользовались параллельными отрезками (коорди-
натами), греческие же астрономы Гиппарх (II в. до н. э.) и Птолемей (П в.
н. э.) употребляли сферические координаты (широту и долготу) для опреде-
ления положения различных точек земной поверхности. Отсутствие буквенной
символики и завершенного представления о действительном числе служило
тормозом в развитии координатного метода у древних математиков.
Буквенная символика, созданная французским ученым Виетом, облегчила
двум другим французским ученым Ферма и Декарту, работавшим независимо
друг от друга, оформление и определенное завершение А. г. на плоскости
в XVII в. В А. г. на плоскости рассматриваются две основные задачи: 1) как,
зная геометрические свойства линии (как множества точек), найти ее уравне-
ние, т. е. уравнение, связывающее координаты ее точек; 2) зная уравнение
линии, связывающее ее координаты х и у, найти геометрические свойства
этой линии. Например, уравнение окружности с центром в точке (а, Ь) и
24
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
радиусом г в прямоугольной системе координат имеет вид: (х—а)2-\-(у—6)2=га,
т. е* это будет уравнение второй степени, в котором отсутствует член с про-
изведением координат х и у и коэффициенты при х2 и у2 равны. Верно и
обратное утверждение: если имеется уравнение второй степени относительно
координат х и у. в котором отсутствует член с произведением координат х
и у и коэффициенты при х2 и у2 равны, то это уравнение является уравне-
нием окружности (действительной или мнимой). Так, уравнение х2—4х+у* = 0
есть уравнение окружности с центром в точке (2,0) и радиусом г = 2. По виду
уравнения можно заключить, что окружность проходит через начало коорди-
нат, так как координаты начала удовлетворяют этому уравнению.
Идея метода координат на плоскости заключается в том, что положение
всякой точки на плоскости определяется пересечением двух линий, каждая
из которых принадлежит семейству координатных линий, образующих коор-
динатную сетку такую, что через каждую точку плоскости проходит одна и
только одна координатная линия, принадлежащая каждому из двух семейств.
Таким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между
точками евклидовой плоскости и упорядоченными парами чисел х и у—коор-
динатами этой точки на плоскости. Аналогично устанавливается взаимно
однозначное соответствие между множеством точек трехмерного евклидового
пространства и упорядоченными тройками действительных чисел (х, у, г) —
координатами точки, определяющими ее положение в пространстве.
Хотя термин А. г. прочно удерживается, однако правильнее было бы за
этой геометрией закрепить термин «координатная геометрия», что больше бы
отвечало содержанию А. г., так как для А. г. характерным является не только
и не столько приложение алгебры к геометрии, а следовательно приложение
метода анализа. сколько применение метода координат.
Знаменитый мыслитель Декарт понимал более, чем его современник Ферма,
ограниченность синтетического метода в геометрии древних математиков*
Декарт ввел в математику понятие переменной величины, создал более удач-
ную символику по сравнению с Ферма, установил тесную связь пространства
и числа, алгебры и геометрии. Поэтому часто именно Декарта считают созда-
телем, творцом А. г. По словам Ф. Энгельса, декартова переменная величина
явилась «поворотным пунктом в математике».
Однако создатель А. г. Декарт не смог провести «арифметизацию» геомет-
рии в полной мере: он не смог распространить метод координат на простран-
ство, а ограничился изучением только плоских кривых.
В конце XVII ив продолжение XVIII в. координатный метод был пере-
несен на пространство в основном работами Клеро и Эйлера. Затем во второй
половине XIX в. в связи с бурным развитием физики в геометрии появляются
новые понятия: вектор, тензор и др. Для описания материальной системы
требуется большее число параметров, чем три. В математике, теории относи-
тельности, в квантовой механике состояние системы определялось в четырех-
мерном, многомерном и вообще бесконечномерном пространствах (см. Функ-
циональное пространство).
См. также: Координаты. Криволинейные координаты, Барицентрические
координаты. Конические сечения. Аффинная геометрия.
Лит.: [5, 14, 112]*
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
25
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ—основное понятие теории функций комп-
лексного переменного* Однозначная функция / комплексного переменного
z — x-\-iy называется А. ф. в точке z0, если в некотором круге |z—z0 I < r
с центром z0 и радиусом г >0 она определена и представима степенным рядом:
I (г) = а0+ at (г —г0) + а, (г—г0)*+... 4-а„(г—г0)в+...
(этот ряд обязательно является рядом Тейлора этой функции). Функция /
называется А* ф. в области D плоскости комплексного переменного, если она
аналитична в каждой точке области D» А* ф. в точке г0 является А. ф.
в некоторой окрестности этой точки. Аналогично определяется понятие А. ф.
/действительного переменного х; здесь требуется сходимость степенного ряда
к / не в круге, а в промежутке |х—х0 | < г*
А.ф. комплексного переменного в области D имеет в каждой точке z0
области D конечную производную:
Мт /<го + Аг)—/(г0);
Дг-»>0 Д2
верно и обратное: если /' существует и конечна в D, то / является А. ф.
в области D, поэтому понятие однозначной А. ф. совпадает с понятием
голоморфной функции,
А.ф. в связной области D однозначно определена, если заданы ее значе-
ния для бесконечного множества точек, имеющего предельную точку внутри
области D; в частности, А.ф. определяется своими значениями/в произвольно
малой окрестности или на произвольно малой дуге, лежащими в D. Это
свойство, называемое теоремой единственности А*ф., показывает, насколько
тесно значения А. ф. связаны между собой* Например, А. ф. / действитель-
ного переменного может быть распространена в А. ф. комплексного перемен-
ного лишь единственным образом (см. Аналитическое продолжение).
Интеграл от А. ф. в односвязной области D по любому кусочно-гладкому
замкнутому контуру равен нулю (теорема Коши); обратное утверждение также
справедливо, если предполагать / (г) непрерывной в области D (теорема Мо-
рера). А.ф. имеет производные всех порядков, которые также являются А.ф.
в той же области.
Для того чтобы функция w — f(z) (которую всегда можно задать парой
функций ц = и(х, г/),и v — v (х, у) двух действительных переменных х, у, а
именно /(z)==u(x, ^) + <v(x, у)) была А.ф* в области D, необходимо и доста-
точно, чтобы в области D функции и (х, y)t v (х, у) были дифференцируемы и
ди ди ди ди .
дх^ду9 ~ду~—дх (Условия Коши—Римана или, точнее, Даламбера —
Эйлера). При выполнении этого условия и (х, у) и v (х, у) составляют пару
сопряженных гармонических функций,
X, ф. w=f (z)t не принимающая одинаковых значений в связной области D
(однолистная), задает конформное отображение области D плоскости г на
область D\ плоскости w.
Многозначная (может быть бесконечнозначная) функция, полученная ана-
литическим продолжением А, ф., также называется полной А* ф.; каждая одно-
значная ветвь функции / является однозначной А. ф*
26
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
Многозначная (быть может, однозначная или бесконечнозначная) функция
/(z), полученная из А. ф. всевозможными аналитическими продолжениями,
называется полной А. ф. в смысле Вейерштрасса.
К классу А. ф. принадлежит большинство элементарных функций, напри-
мер z, z^O, е*, sinz, и многие неэлементарные, например гамма-функция,
эллиптические функции, бесселевы функции. Алгебраическая сумма и произве-
дение конечного числа А. ф. являются А.ф., частное А. ф. есть А. ф. (в об-
ласти, где знаменатель отличен от нуля). Сложная функция s = fi[f2(z)],
составленная из А.ф. s — fi(w) и w = f2(z), является А.ф.
См. также: Риманова поверхность.
Лит.: [88, 115],
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ —распространение функции, анали-
тической в некоторой области, на более широкую область. Если f1(z) — ана-
литическая функция в области D± и область D2 имеет общую часть S
с областью Di (рис. 3, а), то может существовать только одна аналитическая
в области D2 функция f2(z), принимающая в области S те же значения, что
и Z1W (т. е. fi (z) = f2 (z) для всех точек z области S); функция f2(z) назы-
вается А. п. функции fi (z) в область D2 (наоборот, fi (z) есть А. п. f2 (z)
в область Di).
Можно считать функции fi (z) и f2 (z) частями одной аналитической в
DiU^a функции /(z), совпадающей с fi (z) в области Д и с f2(z) в области
D2; эта функция f (z) называется А. п. функции fi (z) на более широкую область
и обозначается снова символом fi (z).
Если f2 (z) — А. п. f! (z) в область D2, f3(z)—А. п. f2 (z) в область D3,
/4 (z)—А. п. f3(z) в область Z)4, то эта цепь А. п. функции fi (z) в совокупности
даст А. п. на более широкую область Di (J D2 (J D3 (J область D4 (или даже
£>з) может иметь общую часть S4 с областью Dr (рис. 3, б), но значения
/4 (z) в области S4 не обязаны совпадать со значениями fi (z), поэтому А. п.
функции f! (z) приводит к понятию многозначной аналитической функции, так
как продолженная функция (z) может быть двузначной в области S4 (а
при дальнейших А. п. даже бесконечнозначной).
А. п. функции f (z) можно строить следующим образом. Пусть дан элемент
аналитической функции f (z), т. е. дан степенной ряд a0-^-ai(z—zL) +
Рис. 3
АНАЛОГИЯ
27
+ ^2 (z—Zj)2 + • • • + an (z—Zi)n+ ..представляющий f (z) в круге Кг, функ-
ция / (z) в окрестности точки га внутри круга Ki представляется степенным
рядом ^o + ^i (z—z2) + ^a (z—z2)2+»• •(z—z2)” + * *., который имеет круг
сходимости К2 (не лежащий, быть может, целиком в круге Кд и является
А. п. /(г) на Кг (рис. 3, в); этот степенной ряд называется А. п. заданного
ряда.
Таким образом, исходный элемент функции /(z) определяет бесконечно
много новых элементов (с центрами внутри Кд> каждый из которых может
быть в свою очередь принят за исходный для дальнейшего продолжения f (z).
Если этот процесс продолжен неограниченно, то получается полная аналити-
ческая функция/(г) в смысле Вейерштрасса, вообще говоря, многозначная,
определенная в некоторой области £>, называемой областью существования
полной аналитической функции f (z).
Примеры. 1) При А. п. функции /(*) = + V х действительного пере-
менного получается двузначная функция f (z) = ±]/"z , область существова-
ния которой вся плоскость г, за исключением бесконечно удаленной точки
и точки z = 0; 2) при А. п. 1пх получается бесконечнозначная функция
f (z) = Lnz.
Лит.: [88, 115].
АНАЛОГИЯ — подобие, сходство предметов или явлений в каких-либо
свойствах, признаках, отношениях, причем сами эти предметы, вообще, раз-
личны. Умозаключение по А.— это попытка получить новые знания об изу-
чаемых свойствах, признаках, отношениях данных предметов на основе зна-
ний об их частичном сходстве. В математике часто рассматривают умозаклю-
чение по А., сходству отдельных свойств (признаков) при сравнении двух
множеств (фигур, отношений, объектов и т. д.).
А. весьма доступна и проста как прием рассуждения, но она больше
убеждает, чем доказывает. Используется А. лишь в том случае, если в даль-
нейшем утверждение по А. можно строго доказать.
А. используется при изучении: а) десятичных дробей, действия над кото-
рыми во многом аналогичны действиям над натуральными числами; б) алгеб-
раических дробей, операции над которыми во многом аналогичны операциям
над обыкновенными дробями; в) задач на составление квадратных уравнений;
методика решения задач на составление уравнений или неравенств второй
степени аналогична методике решения текстовых задач на составление урав-
нений или неравенств первой степени; г) свойства арифметической и геомет-
рической прогрессий во многом аналогичны; д) многие свойства равенств
переносятся на свойства неравенств; е) многие вопросы стереометрии изу-
чаются по А. с вопросами планиметрии: биссектральная плоскость двугран-
ного угла есть пространственный аналог биссектрисы угла, изучаемого в пла-
ниметрии; сфера — пространственный аналог окружности ит. д.
А. напоминает индукцию по характеру знания, получаемого в итоге рас-
суждения: А. и индукция могут привести к ложным утверждениям. Резуль-
таты, полученные по А., имеют вероятностный, гипотетический характер*
Греч. avaXoyia—соответствие, сходство.
Лит.: [20, 138, 64].
28
АНГАРМОНИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ
АНГАРМОНИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ четырех точек на прямой. Пусть
в аффинном пространстве дана прямая и четыре точки А, В, С, D, лежа-
щие на ней, символы (ABt С) и (АВ, D) означают простое отношение соот-
ветствующих трех точек. По определению А. о. четырех точек А, В, С, D
равно отношению (АВ, С):(АВ, D). А. о. обозначается (АВ, CD),
Если дополнить аффинное пространство бесконечно удаленной (несобствен-
ной) плоскостью, то получится проективное пространство, в котором дейст-
вует проективная группа преобразований. Каждое преобразование этой группы
переводит прямую линию снова в прямую линию. При этом А. о. четырех
точек сохраняется, т. е. если А', В', С', D’—точки, соответствующие А, В,
С, D прн упомянутом преобразовании, то (А'В', C'D’) —(АВ, CD),
Поскольку простое отношение трех точек аффинного пространства может
быть распространено на случай, когда одна или более одной точки принад-
лежат несобственной плоскости, то А. о. четырех точек определено на всем
проективном пространстве.
А. о. четверки точек А, В, С, D изменяется в зависимости от порядка,
в котором взяты эти точки. Если (АВ, CD) = v, то (АВ, DC)= 1/v, (AC, BD) =
= 1—v, (AC, DB)=1/(1—v), (AD, BC) = (v— l)/v, (AD, C£) = v/(v— 1). Bee
неперечисленные перестановки точек А, В, C, D имеют в качестве А. о. одно
из чисел v, 1/v, 1—v, 1/(1—v), (v— l)/v, v/(v— 1).
А. о. иначе называют сложным отношением.
Лит.: [151].
АННУЛЯТОР (правый) множества М в кольце R—множество всех элементов
9lczR, таких, что для всякого г£91 и всякого х£М выполняется равенство
хг — 0. А. (п.) множества М образует в кольце R правый идеал. Аналогично
определяется левый А. множества М, Если кольцо R коммутативно, то в нем
рассматривают просто А. множества М.
Если М состоит из одного элемента а, то говорят об А. (п.) (левом) эле-
мента а.
Лит.: [24, 73].
АНТЕЦЕНДЕНТ—первый член импликации. Если интерпретировать импли-
кацию А—>В как высказывание «если А, то В», то А. А является посыл-
кой этого высказывания, а В является консеквентом импликации. Имплика-
ция по определению ложна лишь в том случае, когда А. истинен, а консек-
вент ложен; во всех остальных случаях импликация истинна. Таким образом,
импликация не адекватна причинно-следственной связи А. и консеквента,
а отражает лишь функциональную зависимость истинности от истинности А.
и консеквента.
Термин происходит от латинского antecendens— предшествующий, преды-
дущий.
АНТИИЗОМОРФИЗМ КОЛЕЦ R и R', такой изоморфизм <р их аддитив-
ных групп, при котором (аЬ)ф = (Ьф) (аф).
Лит.: [73].
АНТИКОММУТАТИВНОСТИ ЗАКОН. В некоторых кольцах для любой
пары элементов а, b выполняется соотношение ab + ba — Q или равносильное
ему ab = — Ьа, называемое А. з. А. з. является следствием закона аа = 0.
Например, в кольце трехмерных векторов относительно операций сложения
АНТИНОМИИ
29
векторов и векторного умножения выполняется равенство а2 = 0 для любого
вектора а и, следовательно, А. з.
Лит.: [73].
АНТИ ЛИНЕЙ НОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ —преобразование А линейного
пространства L над полем комплексных чисел, удовлетворяющее свойствам:
А(х+у) = Ах+ Ау, АХх==КАх	(*)
—► —>	—
для любых векторов х, у из L и любого комплексного числа X (X в (*) озна-
чает число, комплексно сопряженное числу X).
Преобразование, обратное А, если такое существует, является А. п. Супер-
позиция нечетного числа А. п. является А. п., а суперпозиция четного числа
А. п. является линейным преобразованием.
Если в пространстве L задан базис (еь е2, .еп), то А. п. А может
быть задано матрицей || А ||, определяемой следующим образом. Пусть
= a^i +	. 4- I = 1, 2............
разложение векторов Aej по заданному базису. Тогда
1М||=||а/у||. <./=1,2......п.
—>	—>
При этом вычисление координат вектора у=Ах (уг\ у2\ • «»; Уп) в базисе
(ci, е2» ..., еп) по известным координатам хь х2, *»», хп вектора х в том
же базисе производится по формулам
У1 =	+ ai2x2 + ».. + ainxn
(Х[ означают числа, комплексно сопряженные числам х/).
Суперпозиции двух А. п. А и В соответствует матрица || А || || В ||, где
матрицы || А ||, || В || соответствуют А. п. А, В и || В || означает матрицу, комп-
лексно сопряженную матрице || В ц.
А. п. используются в некоторых вопросах, связанных с комплексной
структурой.
Другие, не общеупотребительные названия А. п.— антигомография, линей-
ное преобразование второго рода, полулинейное преобразование.
АНТИЛОГАРИФМ числа п (обозначается antloga п) есть число х (х > 0),
логарифм которого при данном .основании a (a / 1, а > 0) равен числу п:
antlogfl и = х = ап или \ogax = n.
Пример. antlog23=8.
Если у есть логарифм числа х, то х есть А. числа у при том же основа-
нии логарифмов, т. е. А. числа у по основанию а (а 1; а > 0) есть значе-
ние показательной функции х — аУ. А. называют также обращенным логариф-
мом.
АНТИНОМИИ теории множеств—логические противоречия в теории мно-
жеств, возникающие при слишком «вольном» обращении с понятием множе-
ства. В качестве примера А. отметим вопрос о множестве М всех кардиналь-
ных чисел. Кардинальное число р. этого множества должно было бы быть наи-
30
А НТИПАРА ЛЛ Е ЛОГРАММ
большим кардинальным числом, так как оно содержит все кардинальные
числа, но, образовав множество всех подмножеств этого множества, мы при-
ходим к большему кардинальному числу 2Р. А. теории множеств до сих пор
не получили удовлетворительного разъяснения. Одним из возможных путей
устранения А. из математики представляется аксиоматизация теории мно-
жеств, начатая К. Гёделем; однако на этом пути возникают свои большие
трудности.
Греч. avTivopia—противоречие.
АНТИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ—плоский непростой четырехугольник ABDC
(рис. 4), имеющий одну ось симметрии I. Объединение боковых сторон и диа-
гоналей равнобочной трапеции образует А. Если у параллелограмма противо-
положные стороны конгруэнтны и параллельны, то у А. противоположные
стороны конгруэнтны и антипараллельны (см. Антипар аллельные прямые)
относительно двух других сторон. Так, стороны АВ и CD конгруэнтны и.
антипараллельны относительно сторон АС и BD.
А. называют также и контрпараллелограммом.
АНТИПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ относительно сторон угла KOL (рис. 5)—
это прямые а и Ь, пересекающие стороны этого угла так, что образуют конг-
руэнтные углы, но с разными сторонами данного угла: при этом конгруэнт-
ные углы входят в треугольники, содержащие вершину О угла KOL. А. п.,
вообще говоря, не являются параллельными прямыми, кроме того случая,
когда прямые а и b перпендикулярны биссектрисе угла ROL. Понятие А. п.
используется при изучении геометрического преобразования инверсии.
Некоторые авторы придерживаются термина А. п. не относительно сторон
угла, а относительно двух других прямых, которые пересекаются с первыми
двумя прямыми. Так, во всяком вписанном в окружность четырехугольнике
(выпуклом или звездчатом) противоположные стороны антипараллельны отно-
сительно другой пары противоположных сторон. Иногда рассматривают А. п.
или антипараллельные отрезки не относительно сторон угла и не относи-
тельно двух других прямых, а относительно третьей прямой: прямые а и b
называются А. п. относительно прямой с, если они при пересечении с прямой
с образуют конгруэнтные внутренние односторонние углы. Например, боко-
вые стороны равнобедренного треугольника являются антипараллельными
отрезками относительно основания треугольника.
АНТИСИММЕТРИЧНОСТЬ бинарного отношения R на некотором множестве
(свойство бинарного отношения), состоящее в том, что из aRb и bRa следует
АПОРИЯ
3!
равенство a — b. Например, обычнее отношение порядка < на множестве
действительных чисел антисимметрично.
Лит.: [73].
АНТЬЕ от числа—то же, что и целая часть действительного числа. На-
звание происходит от французского слова entiere—целый.
АПОЛЛОНИЯ ЗАДАЧА —широко известная задача из конструктивной
геометрии, состоящая в следующем: построить циркулем и линейкой окруж-
ность, касающуюся трех данных окружностей. А. з. решается методом инвер-
сии. Доказывается, что если окружности расположены так, что каждая из
них лежит вне двух других, то А. з. имеет 8 решений; если же данные три
окружности касаются в общей точке, то А. з. имеет бесконечное множество
решений; если же одна из окружностей лежит внутри другой, то А. з. не
имеет решений. А. з. важна не только сама по себе, но и потому, что она
имеет множество частных (предельных) случаев, когда окружность выступает
в роли точки («окружность» нулевого радиуса) или прямой («окружность»
бесконечно большего радиуса).
Известная задача: построить окружность, касающуюся двух данных пря-
мых (пересекающихся или параллельных) и проходящую через данную точ-
ку,— эго частный случай А. з. Конечно, эту задачу можно решить и другим
способом, например преобразованием гомотетии.
А. з. названа по имени греческого математика Аполлония Пергского
(III в. до и. э.), впервые изучавшего ее.
Не следует смешивать А. з. с Аполлония окружностью.
См. также: Инверсия, Инверсор, Гомотетия.
АПОЛЛОНИЯ ОКРУЖНОСТЬ —есть множество точек плоскости, отноше-
ние расстояний от каждой из которых до двух данных точек равно данному
числу Л (Л > О, Л # 1). Если А и В—данные точки, то множество точек М,
lAMf Л .	1
для которых выполняется условие ।	। =^> Ь есть А- °*
Если точка Л4 делит отрезок АВ внутренним, a L—внешним образом
в одном и том же отношении, равном X, то окружность, построенная на от-
резке ML как на диаметре, и будет А. о. А. о. используется при решении
ряда задач на построение.
См. также: Аполлония задача, Геометрические построения, Окружность.
АПОРИЯ —ложное утверждение, к которому иногда прибегали в своих
рассуждениях древнегреческие ученые. Так, известны А. древнегреческого
философа Зенона (V—IV вв. до н. э.); например, А. «Ахиллес и черепаха»
утверждает, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, так как,
когда Ахиллес добежит до того места, где была черепаха, она тем временем
продвинется вперед на некоторое расстояние; когда Ахиллес добежит до вто-
рого местоположения черепахи, она снова продвинется на какое-то расстоя-
ние, пусть даже меньшее, чем прежде, и т. д. Таким образом, Ахиллес
никогда не догонит черепаху. Непрерывный процесс движения подменялся
суммой дискретных величин, без использования понятия предела: Ахиллес
должен пройти бесконечную последовательность пунктов, где находилась
черепаха, ему надо было пройти половину пути, затем четверть его, затем
одну восьмую и т. д., так что, по мнению древнегреческих философов,
32
АПОФЕМА
Ахиллес не сможет догнать черепаху. А. Зенона с математической точки
зрения приводит к отрицанию известного равенства (суммы бесконечной убываю-
щей геометрической прогрессии):
у А-ь
2k
Л=1
Греч, алорих—затруднение, удивление, противоречие*
См. также: Софизм, Парадокс.
Лит.: [120].
АПОФЕМА: Г. А. правильного многоугольника—длина отрезка перпен-
дикуляра, проведенного через центр этого многоугольника к какой-либо его
стороне. А. правильного л-угольника равна длине радиуса вписанного в него
круга.
2°. А. правильной пирамиды—высота боковой грани этой пирамиды, про-
веденная из вершины ее.
3°. А. правильной усеченной пирамиды —высота трапеции, являющейся
боковой гранью этой усеченной правильной пирамиды.
АП ПЛИ КАТА—одна из прямоугольных декартовых координат точки в
пространстве, третья по счету, после абсциссы и ординаты. Обозначается
А. буквой латинского алфавита г.
АППРОКСИМАЦИЯ —приближенное выражение математических величин
(чисел, функций и т. п.) через другие, более простые. При этом особо огова-
ривается способ измерения отклонения данной величины X от аппроксими-
рующей X, задаваемой обычно функцией расстояния р”(Х, X). Во многих за-
дачах строят последовательность аппроксимирующих значений Xnt п — 1,2,.**,
величины X так, чтобы lim р(Х, Хп) = 0.
Л->00
А. непрерывной на отрезке [а, 6] функции у = f (х) многочленами Рп(х)
возможна с любой степенью точности. Это значит, что для всякого е > 0
существует такой многочлен Р„(х), что max | f (х)—Рп (х) | < в (теорема
Вейерштрасса).
А. функции f на отрезке [а, 6] функциями Xf, Х2, ..„Х„, при усло-
вии, что отклонение f от Хп измеряется с помощью р(/, Хп) =
= max | / (X) — Xrt(x)|, называется равномерной А»
Частичные суммы Sn(x) Фурье ряда для функций f (х) с интегрируемым
квадратом аппроксимируют функцию f (х) «в среднем** Это значит, что
ъ
Р (/ (*)» Sn (х)) = $ (/ (x)-Sn (х))’ dx
а
И
Iimp(/(x), S„(x)) = 0.
Л~>00
АРИФМЕТИКА
33
А. числа е (см. е число) можно считать, например, последовательность
(или каждый член этой последовательности).
Идея А. лежит в основе определения некоторых понятий» Например,
длина кривой определяется как предел длин ломаных, геометрически аппро-
ксимирующих данную кривую, когда длина наибольшего звена ломаной стре-
мится к нулю.
Лат. approximo—приближаюсь.
Лит»: [46].
АРАБСКИЕ ЦИФРЫ —собирательный термин для следующих десяти
математических знаков: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А. ц. позволяют записать
любое целое число в десятичной позиционной системе счисления,
А. ц. пришли в Европу из Индии через арабов; к арабам эти цифры
пришли примерно в XI в. Правильнее было бы называть А. ц. индо-араб-
скими, хотя цифра нуль появилась, по мнению голландского математика
Ван-дер-Вардена, сначала у греческих астрономов, а затем нуль перекочевал
в Индию.
См. также: Цифры, Римские цифры, Число, Теория чисел.
Лит.: [50].
АРГУМЕНТ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА z=x+iy (обозначается arg г) —
функция, заданная на множестве отличных от нуля комплексных чисел и при-
нимающая значения в промежутке —л < arg z < л; при этом А. к. ч. 2 счи-
тается величина угла ф, отсчитываемого от оси ОХ в положительном (тогда
она берется со знаком плюс) или отрицательном (тогда она берется со зна-
ком минус) направлении до луча ОМ, где О—начало отсчета, М—точка»
изображающая комплексное число г на комплексной плоскости. Часто при-
ходится пользоваться многозначной функцией Arg. По определению прини-
мается Arg z = arg z+2nk, k£Z.
Если комплексное число записать в тригонометрической форме:
z=г (cos <p+f sin <p),
где г = | 21 =	то величина угла ф= arg 2 g Arg 2.
Комплексное число 0 не имеет определенного А. аналогично тому, как
нулевой вектор не имеет определенного направления.
Аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов мно-
жителей (сомножителей): Arg (ZiZ2) ® Arg zj + Arg 2S.
А. к. ч. иначе называется величиной полярного угла точки, изображаю-
щей комплексное число на комплексной плоскости.
См. также: Комплексное число, Аффикс комплексного числа, Модуль, По-
лярные координаты, Угол.
АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ (независимая переменная)—произвольный эле-
мент области определения функции (см. Функция).
АРИФМЕТИКА—наука о числах и операциях над ними. На начальной
ступени обучения А. изучает множество натуральных чисел N, затем мно-
жество положительных рациональных Q+ чисел, множество целых чисел Z,
множество рациональных чисел Q, множество действительных (вещественных)
* чисел Я, затем множество комплексных чисел С и гиперкомплексных чисел,
2 № 765
34
арифметическая прогрессия
А. часто называют теоретической арифметикой или теорией чисел. А. в своих
более высоких разделах изучает структуры порядка и структуры алгебраи-
ческие (кольца, поля, группы, векторные пространства и др.), т. е. она сли-
вается уже с алгеброй. Поэтому четкого разграничения между А. и алгеброй
провести нельзя.
Греч. apiBjwg (арифмос) — число.
Лит.: [22, 50].
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ —числовая последовательность, каждый
член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с
одним и тем же числом d, называемым разностью А. п. Если первый член
А. п. равен а±, то ее можно записать так:
tzf, Oj -|- d, Gj -|- 2d, *.., Gi -|- (о — 1) d, .««
А. п. можно задать первым ее членом и разностью. Если разность А. п.—
число положительное, то прогрессия будет возрастающей последовательностью,
если разность А. п. — число отрицательное, то А. п. — убывающая последова-
тельность; если разность А. п. равна нулю, то А. п.—постоянная последова-
тельность* Любой член А. п. выражается формулой: an — ai-\-d (п—1). Каждый
член А. п., начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и
последующего членов: a^ = (aft-i + aft+i):2, k> 1, k£N.
Сумма п первых членов А. п. определяется формулой:
ai4-an	q _/	, d(n—1)\
оп—	2	• п, или 5п— [ Ci-j	j п»
А. п. является арифметическим рядом первого порядка.
Лат. progressio—продвижение вперед.
См. также: Последовательность, Геометрическая прогрессия, Рекуррент-
ная формула.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ — равенство вида: а—Ь = с—d, где
а, Ь, с, d£R. А. п. иначе называется разностной пропорцией. Термин А. п.
выходит из употребления.
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ — неотрицательное решение уравнения
хп = а, где n^N. Для всякого числа а^О А. к. существует и единствен. Его
* п/~
обозначают у а.
При решении иррациональных уравнений корни (радикалы), входящие в
уравнения, всегда рассматриваются как А. к.
Примеры. А. к. \/625 = 5, А* к» р^27 = 3, А. к. —27 не сущест-
вует в силу определения.
См. также: Иррациональные уравнения, Иррациональное выражение, Ир-
рациональность п-й степени, Арифметика, Уравнение, Поле.
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ РЯД порядка т — последовательность значений не-
которого многочлена р (x) = amxw + am-ixw-1 + <.i + a1x+ao, гДе (i==l,
2....т), amj£iQ при значениях x£N. Если b±, b2, b3, iti есть А. р. порядка
т, то его разности Ci = fc2—bf, c2 = b3—b2,Cn = ^n+i—... образуют
A. p. (m —1)-го порядка, вторые разности dx = c2—cx, d2 = c3—c2,...tdn =
“• образуют A. p. (m — 2)-го порядка и т. д*
АРИФМОМЕТР
35
А. р. 1-го порядка является арифметической прогрессией. А. р. 2-го по-
рядка образуют, например, треугольные числа, фигурные числа и, в частнос-
ти, квадратичные числа. А. р. 3-го порядка образуют, например, пентагональ-
ные числа.
АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ числа А (0 < А < 1) есть число,
равное разности между единицей и числом А. Так, А.д. числа 0,3462 есть
число 0,6538 (число 0,6538 дополняет число 0,3462 до единицы).
А.д. нередко используется в логарифмических вычислениях, когда тре-
буется заменить логарифм с отрицательной мантиссой логарифмом с положи-
тельной мантиссой; при этом значение логарифма записывается в искусст-
венной форме, где характеристика логарифма — целое отрицательное число,
а мантисса положительна. Например: lgxx—1g х2 = 2,1326—0,3547 = 2,1326 +
+ 1,6453=1,7779.
См. также: Кологарифм, Дополнительный логарифм, Логарифм, Логариф-
мические таблицы.
АРИФМЕТИЧЕСКОЕ л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество Rn всех
упорядоченных наборов из п действительных чисел Р (хх; х2; ...;хл)— коорди-
нат точки Р, в котором определено понятие предела последовательности
точек Рр точка Р есть предел последовательности точек Ру, /=1, 2, ...,п, ...
(обозначается lim Pj=zP), если х{^—► х^у, х = 1, 2, ..., п, где	—t-я коор-
/->»
дината точки Ру.
Термин А. п. удобен, хотя и не широко распространен. Его часто без
особой необходимости заменяют термином евклидово пространство, предпола-
гая тем самым наличие в этом пространстве евклидовой метрики, которая во
многих вопросах, связанных с рассматриваемым пространством, не играет
никакой роли, и потому излишня.
АРИФМЕТИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ п чисел a*, a2t .>-,ап есть число
gi 4~ fl2 4~ • ♦»4~  ~
п
Вместо А. с. (число) часто говорят также арифметическая средняя (величина).
А. с. является одним из наиболее важных частных случаев степенной сред-
ней. Понятие А. с. находит широкое применение в практике измерения фи-
зических величин, математической статистике, экономике и т. д.
А. с. имеет следующие свойства. Если числа ах, а2, ап умножить на
одно и то же число с, то са[ = са(. Далее a-\-b = a-\-b. В частности, <?+а=
= с-\-а = с-\-а.
АРИФМОМАНТИЯ — религиозно-мистическое представление о магической
роли чисел, предсказание судьбы и гадание с помощью чисел. От халдеев,
египтят и евреев А. перешла к грекам. Особенно верили в силу А. пифаго-
рийцы (члены школы Пифагора).
Греч. apiOjios — число+ |xavTeia—прорицание, предсказание. (Сравните:
хиромантия — гадание по руке).
См. также: Магические квадраты.
АРИФМОМЕТР —настольная вычислительная машина для выполнения
арифметических действий, главным образом умножения и деления. Первый
2*
36
АРККОСЕКАНС
А* был сконструирован французским ученым Б. Паскалем в 1641 г. В 1890 г*
петербургский инженер В. Т. Однер организовал производство А. оригиналь-
ной конструкции, которые явились прототипом последующих моделей отече-
ственных А.
А. состоит из нескольких (обычно тринадцати) колес, соответствующих
разрядам числа, на каждом из которых поворот на 36° моделирует единицу.
А. имеет механизм для ввода чисел в счетчик, счетчик числа оборотов,
счетчик результатов, устройство для гашения результатов и ручной или
электрический привод.
С развитием вычислительной техники А. вытесняются более совершен-
ными клавишными вычислительными машинами, в развитии которых намети-
лась тенденция механическое моделирование чисел, имеющее место в А., за-
мещать электронным моделированием.
АРККОСЕКАНС—функция, обратная по отношению к косекансу на объ-
единении промежутков: —-у I 0 [U1 0;. Обозначение функции А.:
arccosec. Область определения и (arccosec) —{х || х 1}, область значений
Е (arccosec) =£—0 [ U ] 0;	. График А.представлен на рис. 6 сплош-
ной линией. Функция А.—непериодическая, ограниченная, нечетная; график
D (arocos) = [— 1; 1], область значений
х^1 функция у = arccosecх строго
убывает и непрерывна; для х<-1
функция у = arccosec х также строго
убывает и непрерывна.
Производная А* вычисляется по
формуле:
у' =------» 1*1 > 1-
х |х|Кха-1	1
Термин (функция) А» выходит из
употребления.
См. также: Аркфункция, Обрат-
ная функция, Обратные тригономет-
рические функции, Обратное соответ-
ствие.
АРККОСИНУС—функция, обрат-
ная по отношению к косинусу на про-
межутке [0; л]. Обозначение функции
A.: arccos. Область определения
Е (arccos) = [0, л]. Можно записать
область определения А. в виде двойного неравенства; —1	1; область
значений также удовлетворяет двойному неравенству: Осarccosх^ л.
График А. представлен на рис. 7 (сплошная линия). Функция у — arccos х
является обратной для функции x=cosy, если	в указанном про-
межутке функция x = cosz/ непрерывна и строго убывает, следовательно, и
функция 0 = arocosx непрерывна и строго убывает,
АРККОТАНГЕНС
37
Производная А. вычисляется по формуле:
Ух =----"Л-----; > 1*1 < I-
определения которой —
числовая прямая, т. е<
следующей формулой:
А.—ФУНКЦИЯ ограниченная, неотрицательная;
она не является ни четной, ни нечетной функци-
ей; для А. справедливо соотношение:
arccos (— х) = л—arccos х.
Значение функции arccos х есть число (вели-
чина дуги или угла) из промежутка [0; л], ко-
синус которого равен х.
Примеры: 1) arccos(—0,5) = л—arccos0,5=
л	2
= л——= — л; 2) график функции у =
о	О
= cos (arc cos х) есть отрезок биссектрисы у — х,
концы которого имеют координаты (—1; —1)
и (1; 1).
Иногда рассматривают многозначную, точ-
нее, бесконечнозначную функцию Arccos, область
числовой отрезок [—1; 1], область значений — вся
R, значения которой связаны со значениями А.
Arc cos х= ± arccos х+2л&,
Лат. arcus—дуга (величина дуги).
См. также: Косинус, Аркфункция, Обратная функция, Обратные
тригонометрические функции, Обратное соответствие.
АРККОТАНГЕНС—функция, обратная по отношению к котангенсу
на промежутке ]0; л[. Обозначение функции A.: arcctg. Область определе-
ния D(arcctg) = ]—оо; оо[, область значений Е (arcctg) = ]0; л[.
График А. представлен на рис. 8 сплошной линией, arcctg х есть число
(величина дуги или угла) из промежутка ]0; л[, котангенс которого равен
числу х. Функция у = arcctg х является обратной для функции x = ctgy,
если 0 < у < л; в указанном промежутке функция x = ctg у непрерывна
и строго убывает; следовательно, и обратная ей функция у = arcctg х
непрерывна и строго убывает. Функция А,
положительная и не является ни четной, ни
нечетной (см. рисунок). Имеет место соотноше-
ние:
arcctg (— х) = л—arcctg х*
А, и арктангенс связаны зависимостью
arctgx-j-arcctg х=0,5л; это тождество легко
доказывается с помощью производной *
Примеры, 1) arcctg (—1) = л—arcctg 1,
так как arcctg 1 = 0,25л, то arcctg (— 1) =
0,75л; 2) график функции у = ctg (arcctg х)
есть отрезок биссектрисы у = х, концы кото-
рого (0; 0) и (л; л) не принадлежат графи-
ку функции.
ограниченная, убывающая.
38
АРКСЕКАНС
Производная от arcctgx вычисляется по формуле:
(arcctg *);=-—l-j..
Лат. arcus—дуга (величина дуги).
См. также: Котангенс, Аркфункция, Обратная функция, Обратные триго-
нометрические функции, Обратное соответствие.
АРКСЕКАНС—функция, обратная по отношению к секансу на множестве,
являющемся объединением промежутков [0; л/2 [U] л/2; я]. Обозначение А.:
arcsec. Область определения D (arcsec) =
=]—оо; —1] U [1;	°°[, область значений
Е (arc sec) = [0; я/2 [ U ] я/2; л] •
График А. представлен на рис. 9 жир-
ной линией, состоящей из двух дуг (ветвей).
Функция А. для х > 1 строго возрастает
и непрерывна, так как функция x = secy в
промежутке 0^у<л/2 строго возрастает и
непрерывна. Функция А. для х^—1 в проме-
жутке л/2 < у^л обратна функции x = sec у
и строго возрастает и непрерывна, так как
функция x = secy в этих промежутках строго
возрастает и непрерывна. Функция А. во
всей области определения не является ни воз-
растающей, ни убывающей, а на отдельных
она возрастает; А. не является ни четной, ни
участках, указанных выше,
нечетной функцией аналогично арккосинусу и арккотангенсу.
Производная функции А. у = arcsec х вычисляется по формуле:
,	1
yY —---r
х |х|/х2— 1
(1*1 > 1).
А.—термин (функция) выходит из употребления.
См. также: Секанс, Аркфункция, Обратная функция, Обратные триго-
нометрические функции, Обратное соответствие.
АРКСИНУС—функция, обратная по отношению к синусу на промежутке
— "Т » ТГ I • Обозначение функции A.: arcsin. Области определения D(arcsin)=
= [— 1; 1] и значений Е (arcsin) = £— -у ; yj функции А. можно записать
и с помощью двойных нераренств: — 1 х 1, —- -у	arcsin х .
График функции А. представлен на рис. 10 жирной линией.
arcsinх есть число (величина дуги или угла) из промежутка £—
синус которого равен числу х.
Функция у = arcsin х является обратной по отношению к функции x = siny,
если значения у принадлежат промежутку £—; -у] ; в указанном проме-
АРКТАНГЕНС
39
жутке функция x = siny непрерывна и строго возрастает, следовательно,
обратная ей функция у = arcsin х также непрерывна и строго возрастает.
Функция А. ограниченная и нечетная. Производная функции у = arcsin х
равна:
*где 1*1 < ь
косинус того же аргумента х связаны зависимостью, аналогичной той, ко-
торая существует между арктангенсом и арккотангенсом одного и того же
числового аргумента:
1	л
arcsin х + arccos х = -у;
это тождество легко доказывается с помощью производной.
Примеры. 1) arcsin (—0,5) =—arcsin0,5, arcsin (—0,5) =—л/6; 2) гра-
фик функции у = sin (arcsin х) есть отрезок биссектрисы у = х, концы которого
имеют координаты (—1; —1) и (1; 1).
Иногда рассматривают многозначную, точнее, бесконечнозначную функ-
цию Arcsin, область определения которой есть числовой промежуток [—1; 1],
область значений—вся числовая прямая; значения этой функции связаны
со значениями А. формулой Arcsinx = (—1)Аarcsinx-j-nk, k£Z.
Лат. arcus—дуга (величина дуги).
См. также: Синус, Аркфункция, Обратная функция, Обратные триго-
нометрические функции, Обратное соответствие.
АРКТАНГЕНС—функция, обратная по отношению к тангенсу на про-
межутке ]—л/2; л/2[. Обозначение функции A.: arctg. Область определения
D (arctg) = ]—оо; оо[, область значений Е (arctg) = ]—л/2; л/2[.
График А. представлен на рис. 11 жирной линией, arctg х есть число
(величина дуги или угла) из промежутка ]—л/2; л/2[, тангенс которого
равен числу xt
40
АРКФУНКЦИЯ
Функция i/ = arctg х является обратной по отношению к функции х — tgy,
если значения у принадлежат промежутку ]— л/2; л/2[; в указанном про-
межутке функция х — Xgy непрерывна и строго возрастает, следовательно,
обратная ей функция у = arctg х также непрерывна и строго возрастает.
Функция А. ограниченная и нечетная. Производная функции —arctg х
равна:
у*~ 1+№ ’
можно представить в виде интеграла:
х
С м >
J T477F=arctg*‘
о
А. и арккотангенс того же аргумента х связаны зависимостью, анало-
гичной той, которая существует между арксинусом и арккосинусом одного
и того же аргумента:
л .____п\ (
2";	2 / ’ \
arctg х + arcctg х — п/2;
это тождество легко доказывается с помощью производной.
Примеры. 1) arctg (~ ]/з)=—arctg /3 , arctg (— УТ) = — л/3;
2) график функции y = tg(arctgx) есть отрезок биссектрисы у — х первого
и третьего координатных углов, концы которого с координатами
у; yj не принадлежат графику функции.
Иногда рассматривают многозначную, точнее, бесконечнозначную функ-
цию Arctg, область определения которой удовлетворяет условию — оо < х < оо,
а область значений связана с областью значений А. формулой: Arctg х —
= arctgx + n£, k£Z.
Лат. arcus—дуга (величина дуги).
См. также: Тангенс, Аркфункция, Обратная функция, Обратные триго-
нометрические функции, Обратное соответствие.
АРКФУНКЦИЯ —каждая из функций, обратных тригонометрическим
(круговым), т. е. одна из функций: арккосеканс, арккосинус, арккотангенс,
арксеканс, арксинус, арктангенс.
Аркфункции называются также обратными тригонометрическими функ-
циями.
Лат.: arcus—дуга (величина дуги).
Лит.: [94].
-АРНОСТЬ операции или предиката—понятие алгебры и логики. Пусть
на множестве В определен л-местный предикат Р или л-местная операция F
на В, тогда число п называется А. предиката Р или А. операции F, а сама
операция F называется л-арной.
Лит.: [73, 85].
АРХИМЕДА АКСИОМА —одна из аксиом непрерывности при дедуктивном
построении элементарной геометрии по системе, предложенной известным не-
мецким математиком Д. Гильбертом. Впервые А.а. была упомянута Архи-
АРЦЕЛА ТЕОРЕМА
41
медом (умер в 212 г. до н. э.) в его сочинении «О шаре и цилиндре» в числе
других геометрических аксиом. Суть А.а. для двух отрезков такова: пусть
имеются два каких-либо отрезка АВ и CD\ тогда на прямой АВ, на которой
расположен больший отрезок АВ, существует конечное число точек Alt
А2> &п таких, что отрезки AAf, AiA2, ...» АЯ-1А„ конгруэнтны от-
резку CD и точка В лежит между точками А и Ап, Более кратко: для лю-
бых двух отрезков существует такое натуральное число п, что произведение
длины меньшего из отрезков на число п превзойдет длину большего отрезка:
п | CD | > | АВ |. А.а. можно сформулировать и для двух положительных
действительных чисел а и Ь: для всяких положительных действительных чисел
а и b всегда найдется натуральное число п такое, что будет выполняться не-
равенство па > Ь. Аналогичное предложение имеет место для всякой изме-
римой величины (длина отрезков, площадь и объем фигур и т. д.). А.а. в евк-
лидовой геометрии часто называют аксиомой измерения.
А.а. при изложении геометрии по схеме Д. Гильберта не зависит от
остальных аксиом, аналогично тому как аксиома параллельности прямых не
зависит от других групп аксиом. Следовательно, существуют геометрии, где
А.а. не выполняется; такие геометрии называют неархимедовыми.
Если вместо двух аксиом непрерывности (А.а. и аксиомы Кантора о вло-
женных отрезках) в аксиоматике Д. Гильберта принять аксиому Дедекинда
(см. Дедекиндово сечение), то А.а. можно доказать и, следовательно, в этом
случае ее можно рассматривать как теорему.
Лит.: [39, 157].
АРХИМЕДОВА СПИРАЛЬ—одна из спиралей. А.с. можно определить как
траекторию (путь), описываемую точкой, равномерно движущейся по лучу, ко-
торый в свою очередь равномерно вращается во-
круг своего начала. Если начало луча принять
за полюс, а прямую, на которой лежит луч, —за
полярную ось, то уравнение А.с. в полярных ко-
ординатах представится в виде: р = а<р, где по-
стоянная а $£ 0. А.с. состоит из двух ветвей,
одна из которых соответствует значению поляр-
ного угла <р > 0, а другая —значению ф<0
(рис. 12). Расстояние между двумя соседними витка-
ми А.с. в направлении радиус-вектора всегда постоянно и равно разности:
а (ф + 2л) — аф = 2ла.
А.с. применяется при выполнении некоторых чертежей и в конструкциях
технических деталей (фрез, винтов с резьбой А.с. и др.).
АРЦЕЛА ТЕОРЕМА—утверждение, заключающееся в следующем: если
множество Й числовых функций равномерно ограничено и равностепенно не-
прерывно (см. Равностепенная непрерывность), то из любой последователь-
ности функций этого множества можно выбрать подпоследовательность, равно-
мерно сходящуюся к некоторой функции.
Для множества функций Q, которое является полным метрическим'про-
странством относительно метрики р (f, g) = sup |/—g|, выполнение условий
А.т. означает компактность множества Q. А.т. используется во многих
вопросах функционального анализа и теории функций.
42
АСИМПТОТА
А.т. названа в честь итальянского математика Арцела.
АСИМПТОТА кривой y = f(x), имеющей бесконечную ветвь, — прямая,
такая, что расстояние от точки (х, f (х)) до этой прямой стремится к нулю,
когда точка неограниченно удаляет-
ся по своей бесконечной ветви. А.
могут быть вертикальными с урав-
нением вида х = а (рис. 13, б) и
наклонными (в частности, горизон-
тальными) с уравнением вида у =
= kx-\-b (рис. 13, а, в), где угловой
коэффициент и начальная ордината
находятся по формулам
& =	и 6 = lim (f (х) — kx)
при х—>оо или х—>—оо. Верти-
кальные А. будут, в частности, у кри-
вой во всех точках, где задающая ее
функция имеет бесконечный разрыв.
Примеры. Логарифмика у =
=Avgax имеет вертикальную А. х = 0.
Гипербола у = 1/(х — Ь) имеет вер-
тикальную А. х = Ь и наклонную
(горизонтальную) А. у = 0.
Кривая	y = x + (sinx)/x имеет
единственную А. у = х.
Лит.: [140].
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ
ПОВЕРХНОСТИ — кривая на поверх-
ности, нормальная кривизна которой
в каждой точке равна нулю. Для
А.л. соприкасающаяся плоскость сов-
падает с касательной плоскостью к
поверхности. А. л. описывается ло-
кально дифференциальным уравнени-
ем:
D (du)* + W'dudv + D” (do)* = О,
где и, v—криволинейные координаты точки на поверхности, и = и(и) — урав-
нение А.л., D, D’, D"—коэффициенты второй квадратичной формы поверх-
ности. А.л. существуют (являются действительными) только в области по-
верхности с неположительной полной кривизной. В этом случае А.л. образуют
систему из двух однопараметрических семейств, совпадающих между собой
в области нулевой кривизны.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ —один из видов аппроксимации
функции f (х). Функция g(x) называется А.в. для функции f (х) при х—
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
43
f (х)
(а может быть числом или символом ±оо), если lim 1 >; = 1, что записи-
х-*аё(х)
вается символически f (x)~g (х) при х —► а.
При замене /(х) ее А.в. относительная погрешность	стре-
мится к нулю при х—>а. А.в. для /(х) является функцией более-удобной
для вычислений или более простой в каком-либо смысле, чем f (х).
Важными примерами А.в. являются Стирлинга формула п!~ }^2лпе-ппп
при п—>оо, закон распределения простых чисел л (х)—при х—>оо.
Специальным видом А.в. является асимптотическое разложение данной
функции.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ—представление данной функции
00
расходящимся рядом. Более точно—ряд Фл (*) = Фо W + Ф1 (*)+**• +
+ фл(х)+«.* называется А.р. функции f при х—>а (или х—>±оо), если
при х—*а
f W Фо (*)» f (*)~ фо (*) — Ф1(*), f W—Фо W—Ф! (*) - ф2 (х), ...
• -» fW—ФоМ—Ф1(*)—Ф2(*)—••-—фл(х)~фл+1(х), ... .
Запись а~ Р означает, что	и частные суммы (х) = ф0 (х) 4-
х-*а Р
+ Ф1 (х)+...+ ф*(х) представляют асимптотические выражения для /, все
.	f(x) — $£+f(x)
более точные в том смысле, что отношение ' \ ;—q ; \ стремится к нулю
/ \х)—\х)
при х—>а.
Нередко ограничиваются лишь несколькими первыми членами А.р., когда
трудно найти полное А.р.
Примером А.р. может служить формула:
Q„~lnn+C+-^--	,
дающая А.р. суммы Qrt = 1 +у + »* • + — первых п членов гармонического
ряда при п—► оо (здесь х = п принимает лишь целочисленные значения), где
С—Эйлера постоянная.
Иногда А.р. называют следующий частный вид А.р.:
/(*)~«о+-7-+тг+--.+7г+-- (*-»«);
здесь
а*= limx* Ff(x)—а»—7—•••—•
Х->ао L	*	л J
Понятие А.р. применимо к функциям комплексного переменного, в осо-
бенности указанный выше частный тип А.р.
44
АССОЦИАТИВНОЕ КОЛЬЦО
АССОЦИАТИВНОЕ КОЛЬЦО—кольцо, в котором умножение удовлетво-
ряет ассоциативному закону (ab)c = a(bc). А.к* составляют наиболее изучен-
ный класс в теории колец.
Лит.: [73].
АССОЦИАТИВНО-КОММУТАТИВНОЕ КОЛЬЦО—кольцо, в котором умно-
жение удовлетворяет одновременно ассоциативному закону: (ab)c=a(bc) и
коммутативному закону: од = 6а. А.-к. к. составляет в теории колец самый
изученный класс.
Лит.: [73].
АССОЦИАТИВНОСТЬ, или ассоциативности закон, —условие, которому
может удовлетворять бинарная операция. Если бинарную операцию запи-
сывать как умножение, то закон ассоциативности имеет вид: a(bc) — (ab) с.
Примерами операций, удовлетворяющих закону А., могут служить сложение
и умножение чисел и матриц, умножение подстановок, а также композиция
преобразований. Примером операции, не удовлетворяющей закону А., яв-
ляется векторное умножение (см. Векторное произведение). Операции вычи-
тания и деления чисел также не удовлетворяют закону А., так как, вообще
говоря, (а:Ь):с	а:(Ь:с).
Закон А. является одной из аксиом группы и полугруппы, а также вхо-
дит в аксиоматические определения многих других важных алгебраических
мвогообразий (кольца, поля, структуры и др.). Название происходит от ла-
тинского assotiatio—соединение, сочетание. Отсюда синоним А. — сочетатель-
ность. В элементарной математике часто закон А. называют сочетательным
ваконом.
АССОЦИАТОР—термин теории колец. Если а, Ь, с—элементы некоторого
кольца R, то А. этих элементов называется элемент (ab)c—а (be). Обозна-
чается А. символом [а, Ь, с], т. е. [а, b, c]==(ab)c—a (be). Очевидно, что
[а, Ь, с]=0 тогда и только тогда, когда для элементов а, Ь, с выполняется
ассоциативность. Ясно, что рассмотрение А. имеет значение при изучении
неассоциативных колец. А. удовлетворяет ряду соотношений, например:
[а + а', Ь, с] = [а, Ь, с] + [а', Ь, с],
[—а, Ь, с] = — (а, Ь, с],
[ab, с, d] — [а, be, d] + [а, b, cd]=a[b, с, d]+(a, b, с] d
в т. д., которые полезны в различных теоретических построениях.
Лит.; [73].
АССОЦИИРОВАННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ: 1°. А. э. в группе G. Два элемента
&U называются А. э., если существует такой элемент g^G, что =
А. э. в группе называются также сопряженными элементами. Мно-
жество всех элементов в G распадается на классы ассоциированных друг другу
элементов.
2°. А. э. в коммутативном кольце. Два элемента х±, х, кольца называются
А« э., если существует такой обратимый элемент у кольца, что х^—ух^.
АСТРОИДА —одна из частных случаев гипоциклоид. А.—кривая, описы-
ваемая точкой М окружности С (г), катящейся по неподвижной окружности
АФФИННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
45
радиуса R и находящейся внутри ее и имею-
щей радиус r = R:4 (рис. 14). А. имеет форму
четырехугольной звезды. Если радиус неподвиж-
ной окружности R = a, то уравнение А. в пря-
моугольных декартовых координатах будет иметь
2	2	2
вид: х3 +у8 — а3 * Площадь фигуры, ограни-
3
ченной А., равна -g- nR2, Отрезок касательной к
о
А., заключенный между осями координат, имеет
постоянную длину, равную а. Длина А. рав-
на 6 а.
Рис. 14
АСТРОЛЯБИЯ —один из простейших измерительных приборов, с помощью
которого измеряют величину углов, расположенных в горизонтальной плос-
кости.
АТЛАС—множество карт, или координатных окрестностей, покрывающих
многообразие М, вместе с отображениями координатных окрестностей в откры-
тые евклидовы шары. Эти отображения должны удовлетворять условиям
гладкости.
См. также: Гладкое многообразие, Дифференцируемое многообразие,
АФФИКС КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА г~а-\-Ы при геометрическом его
представлении—точка, соответствующая этому числу а + Ы, т. е. точка с
декартовыми координатами (а; Ь). Часто А. к. ч. не различают с самим
комплексным числом z. Термин происходит от латинского affico — прико-
лачиваю, приковываю к чему-либо.
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ—та часть геометрии, которая изучает аффин-
ные свойства, т. е. свойства, не меняющиеся при аффинных преобразованиях
и отображениях,
АФФИННАЯ ГРУППА—группа всех аффинных преобразований аффин-
ного пространства на себя относительно операции суперпозиции (композиции)
преобразований. А. г. является группой Ли.
АФФИННАЯ КООРДИНАТНАЯ СИСТЕМА—см. в.статье Аффинный репер,
АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ определяется объектом А. с. См. в статье Аффин-
ной связности пространство,
АФФИННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ—взаимно однозначное отображение L
одного аффинного пространства А в другое аффинное пространство В (в част-
ности, возможно А = В), удовлетворяющее следующим свойствам:
1.	Пусть Aft А2—произвольные точки из А и
LAi = Blt LA2 — В%
(Bi, Въ—точки из В), тогда LAiAa = BiBa.
2.	Для любого вектора х из А и любого числа а справедливо
—►	—►
L (ах) — aLx,
3.	Для любых двух векторов х, у £ А справедливо
у.
46
АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО
А. п. иначе называется аффинным изоморфизмом аффинных пространств
Л и В (в случае, когда А = В—аффинным автоморфизмом).
Отметим, что в современной терминологии термин «преобразование» озна-
чает взаимно однозначное отображение множества на себя (см. Преобразование),
Каждое А. п. двух аффинных пространств А и В можно получить следую-
щим образом* Выберем в Л и В по аффинному реперу (начальные точки ре-
перов обозначим через и О2). Каждой точке Ai из А поставим в соответ-
—1  —>
ствие точку Bi из В, выбрав ее так, чтобы координаты вектора OjAi в первом
репере (см.'( Аффинная координатная система) равнялись соответственно коор-
* ►
динатам вектора O2Bi во втором репере.
Суперпозиция двух А. п. L и М является А. п. (обозначается LM). Каж-
дое А/п. имеет обратное преобразование, являющееся А. п. (обозначается L”1).
Пример. А. п. трехмерного пространства в себя является всякое пре-
образование L, задаваемое формулами:
*1 = 011*1 + 0i2*2 + 013*3 + ^1,
*2 = 02Л“|_аЕ22*2“|_^23^3_|~^2,
*3 = «31*1 + ^32*2 + аЗЗХ8 Ьз*
здесь L(*i, *2, *з) = (*1, *2, *з), числа 0/у, i, /=1, 2, 3,	Ь2, ^произ-
вольны, за исключением условия det || ац || ф 0 (см. Детерминант),
АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО п измерений — совокупность точек и век-
торов, удовлетворяющих следующей системе аксиом:
1* Существует по меньшей мере одна точка.
2.	Каждой упорядоченной паре точек Л, В поставлен в соответствие один
и только один вектор (обозначаемый АВ).
3.	Для каждой точки А и каждого вектора * существует одна и только
одна точка В такая, что
—► ->
ЛВ=*.
(Точка А называется началом, а точка В — концом вектора АВ.)
— > >• - > —>
4.	Аксиома параллелограмма. Если AB = CD, то AC — BD.
5.	Для каждого вектора * и каждого числа а определен вектор а* (назы-
ваемый произведением вектора * на число а)*
6.	(a+P)* = a*+p*t
7.	а(*+у)=а*+ру*
8.	а (Р*) = (ар) х.
-> ->
9.	1х=х
(в аксиомах 6—9 а, р —произвольные числа, *, Р—произвольные векторы).
10.	Существует п линейно независимых векторов, но любые я-|-1 векто-
ров линейно зависимы (см. Линейная зависимость). А. п. является обобщением
обычного трехмерного пространства, в котором векторы понимаются как на-
АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ ПРОСТРАНСТВО
47
правленные отрезки, соединяющие пару точек, а равенство векторов АВ и CD
означает, что четырехугольник ABCD—параллелограмм.
Можно рассматривать А. п., в определении которых (аксиомы 5—10)
«числа» а, р берутся из произвольного поля или кольца, В этих случаях
говорят об А. п. над соответствующим полем или кольцом.
Следующий пример А. п. является универсальным в том смысле, что вся-
кое А. п. п измерений ему аффинно изоморфно (см. Аффинное преобразование)-
Назовем точками А. п. упорядоченные наборы чисел (хи х2;	х„), а век-
торами А. п.—упорядоченные пары точек. Аксиомы 1—10 выполняются для
так определенных точек и векторов, если умножение вектора на число ввести
естественным способом; пусть точки А и В заданы в виде (хх; х2; хп) и
— >»
(Уи у2\ *а',Уп) соответственно, и а—произвольное число. Положим аАВ рав-
ным вектору, определенному парой точек: (ахх; осх2; ...; ахп) и (qw/x; ау2; »,
См. также: Аффинное преобразование, Аффинный репер, Аффинное свой-
ство, Аффиннор, Аффинная геометрия, Аффинная связность, Аффинная группа^
Лит.: [118].
АФФИННОЕ СВОЙСТВО—свойство линий, поверхностей и т. п. в аффин-
ном пространстве, не изменяющееся под действием аффинных преобразований.
Например, свойство двух прямых быть параллельными, свойство точек быть
серединой отрезка являются А. с.
Лит.: [95, 118].
АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ ГЕОМЕТРИЯ —геометрия, изучающая прост-
ранства аффинной связности (см. Аффинной связности пространство),
АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ ПРОСТРАНСТВО. Пусть Ап—n-мерное диф-
ференцируемое многообразие, PQ — точка в Ап, U — окрестность Ро и отображе-
ние /: U —► Еп, где Еп—л-мерный параллелепипед аффинного пространства
задает локальную систему криволинейных координат
(х1; ха; <<.; хп) в У»
В каждой точке Р£У определено касательное к Ап пространство (см.
Касательное пространство), векторы которого являются векторами аффинного
пространства L(P), начала которых совпадают с точкой f(P). Во многих за-
п
дачах дифференциальной геометрии необходимо сравнивать касательные век-
торы, принадлежащие двум касательным пространствам к различным точкам
Ро» Р.
Для этой цели точки Ро и Р соединяют гладкой кривой y(i), у(О) = Ро,
у(1) = Р и в касательном пространстве L(t) для каждой точки y(t) выбирают
п линейно независимых векторов a(t), k=\, 2, ».., п, координаты которых
k
в заданной аффинной координатной системе, обозначенные через a'(t), явля-
k
ются дифференцируемыми функциями. Такая конструкция определяет парал-
лельное перенесение векторов из одного касательного пространства (к точкеРо)
—►
в другое касательное пространство (к точке Р) вдоль кривой у (/): вектор 5
48
АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ ПРОСТРАНСТВО
считается параллельно перенесенным вектором £0» если координаты этих век-
торов в базисах а (0) и а(1) одинаковы.
k k
Особое значение имеет параллельное перенесение векторов из точки
Ро(хх;	х") в бесконечно близкую точку Р'(xv + dxv; x2' + dx2'; **.
.**; xn* + dx"')«
Удобное задание такого параллельного переноса позволяет ввести парал-
лельный перенос вдоль любой кривой у(0. Естественное требование к такой
конструкции заключается в следующем.
Пусть g (х1; ха; хп) —произвольное гладкое векторное поле в Ui Рас-
смотрим разность
g(x1 + dxl; x’ + dx2; ..xw + dx")—£ (x1; x2;	x"),	(♦)
где g—вектор поля, перенесенный из точки (х1 + Лх1; х24-Дх2; хп + &хп)
в точку (х1; х2; хп). Естественно потребовать, чтобы при рассматривае-
мом параллельном переносе разность (♦) была линейной относительно
Дхх,Дх2, ...» Дхп с точностью до бесконечно малых более высокого порядка
малости, т. е.
[5(х1 + Дх1; х2 + Дх2; ...; х" +Дх")—£ (х1; х2; .хп)\1«
«	х’;	х”) <Ы,
где
16 (я1 + А*1’» х* + Ах2; i..; хп + ДхЛ)—5	• ’» хП)]1
обозначает i-ю координату вектора (♦) в исходном базисе касательного про-
странства точки (х1; х2; .	х").
При этом коэффициенты ГуЛ, зависящие только от координат х1, х2, ».*, xnt
называются символами Кристоффеля (см. Кристоффеля символы).
Говорят, что r^k задают объект аффинной связности в Ап* Пространство
Ап вместе с объектом связности называется А. с. п.
Параллельное перенесение вектора 5 (я1; *2‘> *••*» хП) вдоль кривой y(t)
следующим образом описывается в терминах А. с. п:
т-=- L 4** w т:	=V’ 1=1 •2.........п-
л/
Таким образом, для вычисления V (t) следует проинтегрировать систему диф-
ференциальных уравнений (♦♦) с указанными начальными условиями.
В А. с. п. определена операция абсолютного дифференцирования.(См. Кри-
визна, Кривизны тензор.)
Аффинная связность является геометрическим понятием, обобщающим
параллельное перенесение векторов в аффинном и евклидовом пространствах.
АФФИННЫЙ РЕПЕР
49
Аффинная связность может быть определена аксиоматически как операция
построения по заданным двум векторным полям £, г) третьего векторного
поля—g, описывающего параллельное пересечение векторов поля £ по направ-
лению векторов поля т|.
Термин А. с. п. введен немецким математиком Г. Вейлем*
Лит.: [95, 118].
АФФИНОР—закон, ставящий в соответствие каждому вектору х л-мер-
—►
кого аффинного пространства L другой вектор у того же пространства, удов-
летворяющий следующим двум свойствам:
1. Если векторам xt и х% А. сопоставляет векторы ух и уг соответственно,
то вектору Xi4-xa А. сопоставляет вектор У1 + уа.
2. Если вектору х А. сопоставляет вектор у, то для любого числа а век-
тору ах А. ставит в соответствие вектор ау.
А. является двухвалентным тензором, один раз ковариантным и один раз
контравариантным (см. Ковариантность и контравариантность). Если задана
аффинная система координат, то А. задается с помощью п2 чисел следующим
образом. Пусть О, ех, е2, ...» еп—система координат, где О—точка, а ?х,
е2, *.*, еп—векторы, образующие (вместе с О) аффинный репер. Пусть далее
—►
Ае/, 1=1, 2, ..., п, обозначает вектор, соответствующий вектору в/ по закону
рассматриваемого А. Тогда коэффициенты разложений а/у в формулах
Aei = auei + ai3et + ... + airfn. ‘ = 1. 2, .... n,
задают А. в рассматриваемой системе и называются координатами А* в этой
системе. При аффинном преобразовании системы координат координаты А.
меняются по тензорному закону. Последнее утверждение является перефрази-
ровкой того факта, что А. есть тензор.
АФФИННЫЙ РЕПЕР — совокупность, состоящая из точки О аффинного
пространства п измерений и п линейно независимых векторов ех, е2, .**,
этого же пространства, взятых в фиксированном порядке. Каждый А. р. за-
дает аффинную систему координат в аффинном пространстве, т. е. а) сопо-
ставляет каждому вектору х упорядоченный набор чисел я1,*8,	коэф-
фициентов разложения вектора х по векторам е^ е2, >и9
x = x1ei + x8ea+ . *. +х«еп;
б) сопоставляет каждой точке А упорядоченный набор чисел а1, а2, *,., ап —
коэффициентов разложения вектора ОА по векторам ?2, «>., 7Л.
Обратно, всякая аффинная координатная система определяется с помощью
некоторого А. р. указанным выше способом.
Лит.: [95, 118].
Б
БАЗИС векторного (линейного) пространства — упорядоченная совокупность
Е векторов линейного пространства, удовлетворяющая двум условиям:
1. Совокупность векторов Е линейно независима (см. Линейная зависи-
мость).
2. Всякий вектор из рассматриваемого векторного (линейного) простран-
ства является линейной комбинацией векторов из Е.
Если некоторый Б. векторного (линейного) пространства состоит из конеч-
ного числа п векторов, то и всякий другой базис состоит из такого же числа
векторов. В этом случае векторное (линейное) пространство называется п-мер-
ныю. Если векторное (линейное) пространство не обладает конечным Б., то
говорят о бесконечномерном пространстве.
Выбор Б. в векторном (линейном) пространстве позволяет сводить вычис-
ления, связанные с векторами пространства, к вычислениям, относящимся
только к векторам базиса.
Примеры
1.	Пусть L—векторное (линейное) пространство, элементами (векторами)
которого являются произвольные упорядоченные наборы из п чисел. Всякие п
векторов
—►
а1~(а1Ъ а12» •••’> а1п)
—>
°2 = (а2Ъ а22^> •••; а2п)
ап=(апГ> ап2> •••’»
удовлетворяющие условию det ||	|| # 0, являются базисом пространства L.
2.	Пространство L состоит из всех многочленов от одного переменного х.
степени не выше п. Совокупность из п+1 многочлена 1, х, х2, ...» х" обра-
зует базис в L.
3.	Векторное (линейное) пространство L всех непрерывных на отрезке
[0,1] функций у — f (х) не имеет конечного базиса. Это пространство беско-
нечномерно.
БАЙТ—единица количества информации, представляющая собой группу
из восьми соседних двоичных разрядов: 1 Б. =8 бит. В электронных цифро-
вых вычислительных машинах (ЭЦВМ) Б. оперируют как информативным
алфавитом для образования слов, т. е. единиц более сложной информации.
БАРИЦЕНТРИЧЕСКОЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ
51
Термин происходит от английской аббревиатуры byte.
БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ: 1°. Б. к. точек симплекса. Пусть
в я-мерном вещественном аффинном пространстве задана система точек Ло,
Л1, Ап, обладающая свойством: векторы Л0Лх, Л0Л2, ,Л0Л„ образуют
линейно независимую систему (см. Линейная зависимость). Тогда концы век-
торов вида
с = ХоОЛо 4" 110Л14" • * » 4" 1«0Л п,
где О—начало координат, a 0^1/^ 1, 21/= 1, Z = 0, 1, 2, и, являются
точками симплекса (Ло, Alt Л2, ..., Ап) = А, причем существует взаимно одно-
значное соответствие между точками симплекса Л и наборами 10, li, *.., 1П,
удовлетворяющими вышеуказанным условиям. Упорядоченная совокупность
чисел (10; If, ...; 1л) называется Б. к. точки С симплекса.
Пример. Б. к. центра тяжести треугольника являются числа
(1/3; 1/3; 1/3).
2°. Б. к. точки х арифметического п-мерного пространства относительно
системы из п4-1 точек Ло, Alt ..., Ап (в предположении, что не существует
уравнения а1х14-• • • 4-аЛ4"Р = 0, где не все аь ..., ап равны нулю,
которому удовлетворяют координаты каждой из точек Ло, Ль Лп;
Л/(х°; х|; ...; %?),/ = О, 1,2,	п)—числа 10, 1Ь 12, ^/удовлетворяю-
щие системе уравнений:
Xi = 10х0 4~ li-^i 4" • • • 4" ^пхп
Х2 = lo-^O 4" ^1Х1 4" • • • 4" ^ПХП
хп = V? 4" li^i 4" •«* 4~ ^пхп
1= lo^24~ • • • 4~где х==(х1'> х2^ хп)*
Эта система при условиях, указанных выше, имеет и притом единственное
решение для всякой точки х.
Б. к. введены немецким математиком А. Мёбиусом в 1827 году в связи
с задачей о центре тяжести системы материальных точек.
Лит.: [109].
БАРИЦЕНТРИЧЕСКОЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ симплициального комплекса
К в ^-мерном евклидовом пространстве состоит в разбиении множества точек
симплициального комплекса на «более мелкие симплексы» по сравнению с теми
симплексами, из которых состоит данный симплициальный комплекс. При этом
каждый симплекс S£K заменяется множеством «более мелких симплексов»
в соответствии с таким рекуррентным правилом: одномерный симплекс —отре-
зок Л В —заменяется на два одномерных симплекса АС и СВ, где С — сере-
дина отрезка АВ. Если все симплексы размерности уже подвергнуты
Б. п., то для симплекса размерности k Б. п. состоит в переходе от
к объединению симплексов, полученных как конусы над симплексами гра-
ницы Sk (теми, которые составляют Б. п., определенное по предположению)
с вершиной в центре симплекса S*, т. е. в точке, все барицентрические ко-
ординаты которой равны \/(k 4-1).
52
БЕЗУ ТЕОРЕМА
Б * п. удобно при изучении непрерывных отображений комплексов.
БЕЗУ ТЕОРЕМА—теорема об остатке от деления произвольного много-
члена f (х) на линейный двучлен х—а. Б. т. формулируется так: остаток от
деления многочлена
f (X) = аа + atx 4-	+ • • • + апхп
на двучлен х—а равен значению многочлена f (х) при х = а, т. е. равен f (а).
Б. т. была названа по имени французского математика Этьена Безу (1730—
1783), впервые сформулировавшего и доказавшего эту теорему. Из Б. т. вы-
текают такие следствия: 1) если многочлен f (х) делится (нацело, без остатка)
на х—а, то число а есть корень / (х); 2) если число а является корнем мно-
гочлена /(х), то / (х) делится (нацело, без остатка) на двучлен х—а.
Б. т. можно сформулировать в терминах «необходимо и достаточно»: для того
чтобы число а было корнем многочлена /(х), необходимо и достаточно, чтобы
остаток от деления этого многочлена на двучлен х—а был равен нулю.
БЕЗУСЛОВНОЕ НЕРАВЕНСТВО —неравенство, верное при всех допусти-
мых значениях переменных, входящих в это неравенство, или верное число-
вое неравенство.
Примеры: (х2 + 2 + а4)2 > 3,5 есть Б. н.; (5 +За2) > 4 есть Б. н.
Б. н. также называется тождественным неравенством или тождеством.
БЕРНСАЙДА ПРОБЛЕМА—задача теории групп, поставленная в 1902 году
английским математиком У* Бернсайдом: «Будет ли всякая группа с конеч-
ным числом образующих и тождественным соотношением х" = 1 конечной?»
Б. п. более 60 лет не была решена в общем виде. Удалось получить
положительное решение лишь для частных случаев и 3 (У. Бернсайд, 1902 г.),
п = 4 (И. Н. Санов, 1940 г.), п = 6 (М. Холл, 1957 г.). И лишь в 1968 г.
советские математики акад. П. С. Новиков и С. И. Адян нашли полное
отрицательное решение Б. п., построив для любого нечетного 4381 и лю-
бого т > 1 бесконечную группу Г (т, п) с т образующими, удовлетворяющую
тождеству хп=1. В дальнейшем С. И. Адян понизил границу л, повторив
этот же результат для н^665.
Лит.: [2].
БЕРНУЛЛИ ЗАКОН —одна из теорем, носящих название закона больших
чисел. Пусть дана Бернулли схема, т. е. последовательность независимых
испытаний, в каждом из которых вероятность р(А) наступления события А
одна и та же, и 0 < р (А) < 1. Тогда для всякого е > 0 случайная величинат,
равная количеству наступлений события А в п испытаниях, подчиняется
соотношению:
р(|т—/’|<e)Ss,“£b q = l~p- <*>
При больших п величина 1—pq/n& близка к Г, таким образом, при
больших п вероятность малого (меньшего е) отклонения частоты т/п от ве-
роятности р = р(А) велика. Формула (*) имеет следствием соотношение:
Mm Р f| —-р| < е^ = 1.
П -* оо \| п I /
БЕРНУЛЛИ ЧИСЛА
53
Б. з. является теоретическим основанием для статистического определе-
ния вероятности,
Б. з. исторически был первой теоремой из большого числа теорем, назы-
ваемых законами больших чисел. Первое строгое доказательство Б. з. было
получено швейцарским математиком Яковом Бернулли (учителем Л. Эйлера)
и опубликовано в его книге «Искусство предположения» в 1713 г.
Лит.: [28, 82].
БЕРНУЛЛИ НЕРАВЕНСТВО: (1 -\~h)n	1 -\-tih. Б. н. справедливо для
любого n£Z и h£R при h > — 1.
БЕРНУЛЛИ СХЕМА—условие многих теорем теории вероятностей, со-
стоящее в следующем. Производится п испытаний, в каждом из которых
вероятность наступления события А равна р (это означает, что испытания
независимы). Наступление события А называют также положительным исхо-
дом испытания или успехом испытания.
См. Бернулли закон, Муавра —Лапласа локальная теорема, Лапласа
теорема, Закон повторного логарифма.
БЕРНУЛЛИ ФОРМУЛА—формула, выражающая вероятность Pn(k)
в схеме Бернулли (см. Бернулли схема), т. е. вероятность того, что в серии п
независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления со-
бытия А равна р, будет ровно k положительных исходов. Б. ф. имеет вид:
= (*)
где 7=1— р, р—вероятность успеха в одном испытании, Сп—количество
сочетаний из п элементов по k.
В связи с тем что при больших п и k вычисление Рп (k) по формуле (*)
затруднительно, для этой цели используют локальную теорему Муавра —
Лапласа (см. Муавра—Лапласа локальная теорема), В случае, когда п велико,
а р мало, хорошее приближение для Рп(£) дает формула Пуассона (см. Пуас-
сона формула). Б. ф. была впервые доказана и опубликована швейцарским
математиком Яковом Бернулли.
БЕРНУЛЛИ ЧИСЛА—рациональные числа Вт, т^\, определенные
разложением в ряд Маклорена (см. Маклорена ряд) функции
Б. ч. участвует также в разложении:
I t	t* t*
------8..^—. •
Б. ч. выражается через интегралы, например:
О Л С х*"-1 .	_	2m Гх«"-‘
J 1 dX>	(2*«— 1) J shx 4X1
о	о
Следующая рекуррентная формула удобна для последовательного вычи-
сления Б. ч.:
(14- В)*»—В«=0,	(*)
54
БЕРТРАНА ПОСТУЛАТ
формула дана в символической записи; ее надо понимать так: многочлен
в левой части равенства (*) преобразуется заменой степеней Bk наЛ-еБ. ч.
т-1
1+ 2 с£в*=0.
k = 1
Б. ч. возникли при изучении сумм целых степеней чисел натурального
ряда:
$л(п) = 1* + 2* + 3*+444+я*.
Б. ч. и Sm(n) связаны между собой следующим образом:
(m+l)Sm(n)=	mSs1’ B° = i‘
k = Q
Все Б. ч. с нечетными номерами равны нулю ^кроме В± = —*
Б. ч. связаны с дзета-функцией Римана (см. Римана функция) £ (г) сле-
дующим образом:
Имеет место следующее свойство:
I ^2/Я I
^00 прит—>оо.
Первые двенадцать Б. ч. с четными номерами таковы:
R 1 R 1 R 1 n I n 5 R 691
6 ’ ^ — -30 ’ ^-42’	30 ’ *10“66’ B12-~2730’
o _7 D 3617 _	43876 o __ 174611
6 ’	5Ю’	^0------330“’
_854513	__ 236364091
n22- 138 , ^24—	2730	.
Свойства Б. ч. имеют большое значение в теории чисел. В последнее
время обнаружена их связь с гомотопическими группами сфер.
Название Б. ч. было дано Л. Эйлером в честь своего учителя швейцар-
ского математика Я. Бернулли.
Лит.: [19, 144].
БЕРТРАНА ПОСТУЛАТ—предложение, высказанное, но не доказанное
французским математиком Ж. Бертраном в связи с одной его теоремой в тео-
рии групп подстановок. Б. п. утверждал, что при п > 3 между числами п и
2п—2 существует простое число. (Часто формулируя Б. п. в более слабом
виде, говорят, что между числами п и 2п найдется простое число.) Б. п. был
доказан великим русским математиком П. Л. Чебышевым в 1852 г.
БЕСКОНЕЧНАЯ ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ—одна из форм записи действи-
тельного числа. Б. д. д. можно представить в виде такой записи:
(*)
Оо> • • • ап • • •»
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ
55
где а0— целое неотрицательное число, а аг, а2, а3, ..., ап, ...—числа
из множества {0, 1, 2 9}; при этом выражение (*) не называют Б. д. д.,
если начиная с некоторого номера все ak равны нулю или числу 9. Б. д. д.
можно записать в виде суммы ряда:
Б. д. д. в своей записи (*) за каждым знаком (цифрой) имеет другой какой-
либо знак, и поэтому она не имеет в своей записи последнего знака.
Б. д. д. является периодической, если в ее записи (*) начиная с некоторого
знака содержится группа цифр (период Б. д. д.), повторяющаяся неограни-
ченное число раз, и непериодической, когда такой группы повторяющихся
цифр нет.
Период Б. д. д. может быть сколь угодно большим. Всякое рациональное
число всегда представимо в виде конечной десятичной дроби или Б. д. д.
Всякое иррациональное число есть непериодическая Б. д. д.
При записях периодических Б. д. д. используют круглые скобки, заклю-
чая период Б. д. д. в эти скобки; тем самым периодическая Б. д. д. записы-
вается короче.
Примеры. 1) 0,444... =0,(4) читается: «нуль целых и четыре в пе-
риоде»)— это чистая периодическая Б. д. д.; ее можно записать в виде рацио-
4
нального числа: 0,(4) = —;
2) 0,3(2) — смешанная периодическая Б. д. д.; число 3 — предпериод, число
2 — ее период; эту дробь также можно представить в виде рационального числа:
0,3(2) = -=—=^; 3) V 2=1,4142..., /3=1,73.,., 1g 2 = 0,3010..
л = 3,1415..., е = 2,718... —непериодические
Б.д. д., т. е. иррациональные
числа.
Обращение периодических Б. д. д. в обыкно-
венные рассматривается при изучении пределов
последовательностей в школе (пределов суммы бес-
конечной убывающей геометрической прогрессии).
См. также: Периодическая десятичная дробь,
Непрерывные дроби, Неправильная дробь.
БЕСКОНЕЧНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ функции
y = f (%)—бесконечный предел: lim ^=оо (или
Дх -> 0
± оо).
Касательная к графику функции в точке
(х0,/(х0)), в которой функция имеет Б. п., пер-
пендикулярна оси Ох (рис. 15).
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ величина — переменная величина а, которая
в процессе своего изменения становится и при дальнейшем изменении остается
по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа М > 0.
Можно определить Б. б. как такую переменную, обратная величина которой
1/а есть бесконечно малая величина. Определение Б. б. конкретизируется
56
БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ
для различных процессов изменения: наиболее важными являются случаи Б. б.
последовательности и Б. б. функции при х—>а, или х—>+°°> —оо, оо.
Во всех этих случаях Б. б. определяется как величина, имеющая пределом оо
(бесконечность). Например, функция y — f(x) называется Б. б. при х—>*0»
если для любого числа М существует такое 6 > 0, что при | х—х0 | < 6, х х0
выполняется неравенство | / (х) | > М. (См. Предел последовательности, Пре-
дел функции, Предел функции нескольких переменных.)
Примеры. 1) Последовательность ап = (—2)« Б. б., ибо | (—2)п | > М
при п > JV-[log2М], здесь [х] означает целую часть числа х; 2) функция
i/ = sinх при х—>оо не является Б. б., так как у обращается в нуль для
х = Ш1, n£N.
БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ величина — переменная величина а, которая
в процессе своего изменения становится и при дальнейшем изменении остается
по абсолютной величине меньше любого наперед заданного положительного
числа е > 0, т. е. для любого 8 > 0 существует такое значение ае величины а,
что для всех значений а, следующих за ае, выполняется неравенство |а| < 8.
Можно определить также Б. м. как переменную величину, имеющую предел,
равный нулю. Приведенное выше определение Б. м. конкретизируется и ста-
новится математически точным для различных случаев задания процессов
изменения основной переменной, функцией которой является величина а.
Наиболее важными являются случаи: 1) Б. м. последовательности; 2) Б. м.
функции а=/(х) при х—>а, или при х—► а4-0 (справа), х—>а—0 (слева),
или при х—►Н"00» —°°> 00» 3) Б. м. функция нескольких переменных
а=/(Р) при Р—>Р0. Во всех этих случаях определение Б. м. связано
с определением понятия предела для случая, когда предел равен нулю.
Например, последовательность а^ а2, .ап, ... называется Б. м. после-
довательностью, если для любого е > 0 существует номер N такой, что при
п> N выполняется неравенство | ап | < е.
Используя понятие Б. м., можно определить понятие предела величины а
как такого постоянного числа Ь, от которого величина а отличается на Б. м.,
т. е. разность а—-6 является Б. м. Основные свойства Б. м.: 1) алгебраиче-
ская сумма или произведение конечного числа Б. м. есть величина Б. м.;
2) произведение ограниченной величины на Б. м. есть Б. м.; 3) величина,
обратная Б. м., есть бесконечно большая величина; 4) величина, обратная
бесконечно большой, есть Б. м.
„	sinx
Примеры. 1) Функция у = при х—> оо есть Б. м., так как про-
изведение ограниченной функции sinx на Б. м. у есть Б. м.; 2) последова-
тельность ап=^ есть Б- м > так как < 8 при п > #= £	, [х]
12 I	1
— < е=—. при п > AZ = 14;
П |	1ии
3) у = sinx—Б. м. функция при х—>0, ибо |sinx| < 8 при |х—0| < 6, где
можно взять 6 = 8.
Для сравнения одних Б. м. с другими введено понятие порядка Б. м.
В, м. а и р называются Б. м. одного порядка, если существует конечный,
БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
57
а гч
не равный нулю предел их отношения lim—. Это записывают: а = О(р) или
а==Вр, р = Ла, где А и В—ограниченные величины. В частности, когда
lim~= 1, тогда аир называются эквивалентными друг другу (это записы-
вают: а — Р).
Если lim~=0, то а называется Б. м. высшего порядка по отношению
к Б. м. р, а р называется Б. м. низшего порядка по отношению к Б. м. а.
Это записывают: а=О(р) или а=Ру, где у—Б. м.
Если же 1пп-~-=± оо, то, наоборот, а называется Б. м. низшего порядка
по отношению к Б. м. р, а Р называется Б. м. высшего порядка по отноше-
нию к Б. м. а. Это записывают: (3 = 0 (а) или р = ау, где у—Б. м.
Если некоторая Б. м. а принята за основную, то Б. м. одного с ней
порядка называются Б. м. 1-го порядка. Б. м. одного порядка с а2 называ-
ются Б. м. 2-го порядка; вообще, величина одного порядка с аР, где р > О
постоянное, называется Б. м. порядка р.
Примеры. 1) p = 2siQ*a—1 есть Б. м. второго порядка по отношению
2»in« a_____________।
к а, так как lim---------= 1п2; 2) Б. м.	х—>4-00, имеет высший по-
/ 1
рядок, чем I — j » где N—сколь угодно большое фиксированное число.
См. также: Предел последовательности, Предел функции, Порядок бес-
конечно малой.
БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННЫЕ элементы в геометрии — то же, что и не-
собственные элементы.
БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ — предел последовательных произведе-
п
ний, limPn=lim ихи2 * *. n„ = lim JJ uk при п—► оо.
Если предел не существует, то и в этом случае (уже в обобщенном смысле)
говорят о Б. п., подразумевая под этим запись самой последовательности Рп.
Если все члены ип Б. п. отличны от 0 и последовательность Рп имеет
отличный от 0 предел Р 0, то Б. п. называют сходящимся, а Р—его вели-
qo
чиной и пишут: JJ п^ = Р, если же последовательность Рп сходится к пре-
k=\
делу, равному 0, или расходится, то Б. п. называют расходящимся.
Имеет место следующий достаточный признак сходимости Б. п.: если
со
сходится ряд 2 |1~^л|, то сходится и Б. п. Признак этот применим,
k=\
разумеется, в случае необращения в нуль ни одного из и^.
Примером Б. п. может служить разложение в Б. п. числа:
л 2 4 4 6 6 8
4 “ 3 ’ 3 ’ 5 ‘ 5 ’ 7 ’ 7 ‘ ” *
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
Другое разложение для л вытекает из следующего Б. п.:
Л Ф sin®	л
TICOSJ=V При <Р = ‘2 •
Лит.: [140].
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ—важный класс функций, являющихся реше-
нием дифференциального уравнения:
х2г/* + х/ + (х2 — v2) у = 0, v = const.	(*)
Решение этого уравнения, имеющее вид:
/х\2* + У
оо	I  1
м*)-£<-|)«дх+1)'
называется Б. ф. первого рода порядка v. Ряд в правой части формулы (**)
сходится при всех х. Если у = /п+у, где то Б. ф. сводится к эле-
ментарной функции, например:
Sin Xi
2
Функции (**) и уравнение (*) называются бесселевыми. Б. ф. второго
ряда называется функция:
у (х} /у (х) cos УЛ — у (х)
v' '	sinnv ,	’
если v(^Z, и при n£Z
Yn (х) = lim Yv (x)=l /„ (x) In*
V -> n	Л	z
1	( X \ n + 2k
n~\	(___nfc _ ]
(n—Л— 1)! /_2\n-zk__\ 2 J
л	Л! \ x j л k\
rr(n+k + i) , Г (^ + D1
L	k\ ]•
k = Q
Если vtfcZ, to Cf/V +C2/-v есть общее решение уравнения (*).
В любом случае функции Zv (x) = C1Iv + C2YV исчерпывают все решения
уравнения (*).
Б.ф.	^«=1, 2, »i4,; v	Rv—положительные нули
Б. ф. 1у образуют на отрезке [0, I] ортогональную систему функций
с весом х.
БЕТТИ ЧИСЛА
59
X \V 1
2; цр-|-1);
График Б. ф. 1у(х) при х > 0 имеет вид затухающего колебания и имеет
бесчисленное множество нулей. При х, близких к нулю, Iv (х) «
при больших х > 0 справедливо асимптотическое представление:
/v (х) ~ Y2лх cos (х—
Дифференциальное уравнение (*) часто встречается при решении задач
математической физики методом Фурье (см. Фурье метод).
Б.ф. детально изучены как в действительной, так и в комплексной области,
и существует большое число таблиц Б. ф. Термин Б. ф. эквивалентен термину
«цилиндрические функции».
Лит.: [25].
БЕТТИ ГРУППА. Пусть X — топологическое пространство с заданным
клеточным разбиением, являющимся С ^-комплексом. Обозначим через Cq(X)
абелеву группу формальных целочисленных линейных комбинаций клеток
размерности q (группа цепей). Граничный оператор определяет гомоморфизм
d,cqm^cq^(X).
Подгруппа ZczC^(X), состоящая из элементов Z = a1/1 + M2 + . • • +anfn
(fi> /2» •••» fn—клегки, аъ a2i ...» ап—целые числа) таких, что dZ = 0, На-
зывается подгруппой циклов, а сами элементы Z—циклами. Подгруппа
DdCq, состоящая из элементов t = Мх + М2 + • • • -\~bnfn, таких, что ду = t
для некоторого у, называется подгруппой границ, а сами элементы t — гра-
ницами. Имеет место включение Dtz.Z.
Факторгруппа Hn(X) = ZjD называется n-мерной Б. г. клеточного комп-
лекса X. Б. г. инвариантна относительно гомотопической эквивалентности.
Это значит, что Б. г. не зависит от клеточного разбиения топологического
пространства X и Нп (X) — Нп (У) для гомотопически эквивалентных тополо-
гических пространств X, Y, в частности для гомеоморфных X и Y. Б. г. могут
быть определены в терминах симплициального комплекса. Б. г. размерности п
называются также n-мерной гомологической группой.
Примеры
1. Для n-мерной сферы Sn Б. г. таковы:
tf0(S") = Z, Hj(Sn) = Q\ /=1, 2, ..., и—1, Hn(S”) = Z.
2. Для вещественного проективного пространства RP3 размерности три
Б. г. таковы:
hq(rp3)=z, h1(rp3)=z2, h2(rp3)=o, h3(rp3)=z-,
здесь Z2— циклическая группа второго порядка.
Лит.: [109, 144].
БЕТТИ ЧИСЛА — инварианты топологического пространства X относи-
тельно гомотопической эквивалентности.
По заданному клеточному разбиению топологического пространства X,
являющемуся CW-комплексом, можно построить в каждой размерности п абе-
60
БИВЕКТОР
леву группу Нп(Х), т. е. группу Бетти (см. Бетти группа). При этом Нп(Х)
разлагается в прямую сумму
Нп (X^Z+Z+y.+Z+Vj + Га + . *. + Гш	(♦)
Ьп слагаемых
Ьп групп Z (изоморфных группе целых чисел по сложению) и нескольких ко-
нечных циклических групп Гх, Г2, ...» Гт. Количество Ьп групп Z в разло-
жении (♦) называется л-м Б. ч. клеточного комплекса X, Б. ч. не зависят от
клеточного разбиения, и, как было сказано выше, Б. ч. не изменяются при
переходе от X к гомотопически эквивалентному комплексу Y. В частности,
если X и Y гомеоморфны (см. Гомеоморфизм), то Нп(Х) — Нп(У). Б. ч. мо-
гут быть определены также в терминах симплициального комплекса.
Примеры
1. Для л-мерной сферы Б. ч. таковы:
6O(S")=1, bi(Sn) = Ot Г=1, 2, *.., л—1; bn(Sn)=l.
2. Для комплексного проективного пространства СРп комплексной раз-
мерности л Б. ч. таковы:
Ьи(СРп)=\, 1 = 0, 1, 2, tii, п; bii + i (СРп) = 0, i = 0, 1, 2, л—1.
Лит.: [66, 109, 144].
БИВЕКТОР—дважды контраварцантный кососимметрический тензор а1/,
i, /=1, 2, . *., л, в л-мерном аффинном пространстве. Б. называется прос-
тым, если
af/=-L(a[ai—a[al)	,	(»)
2	z ai а&
где а!, а£—координаты двух векторов at и этого же пространства. Каж-
дый простой Б., рассмотренный с точностью до числового множителя, задает
в аффинном пространстве семейство параллельных двумерных плоскостей.
Именно по данному простому Б, аО можно построить двумерную плоскость
Р, проходящую через векторы и 0$, связанные с аУ формулой (*). Если
—► —►
Ь± и Ь2—другая пара векторов, удовлетворяющая условию
то построенная по ним двумерная плоскость будет параллельной плоскости Р.
Задание двумерной плоскости простым Б. используется в вопросах, свя-
занных с кривизной аффинной связности пространства.
Лит.: [95, 118]*
БИЕКЦИЯ—взаимно однозначное отображение одного множества на
другое.
Б, иначе называется биективным отображением. Б. является одновре-
менно сюръекцией и инъекцией*
См. также: Отображение, Взаимно однозначное отображение,
БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ—уравнение вида ах4+^1+с=0, если
а £ 0. Решается Б. у. заменой х* на у и сведением его к квадратному урав-
БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА
61
нению ау2-\-Ьу^с = 0. Б. у. является частным случаем трехчленного урав-
нения. В поле комплексных чисел всякое Б. у. имеет ровно четыре корня.
БИКВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН —трехчлен вида ах4^Ьх2^с (а#0).
Б. т.— четная функция, и, следовательно, его график расположен симмет-
рично относительно оси ординат. Вид графика Б. т. и три точки экстремума
этой функции зависят от знака и величины а, b и с.
См. также: Квадратный трехчлен, Многочлен.
БИКОМПАКТНОСТЬ—термин топологии. Свойство Б. для широкого
класса топологических пространств тождественно компактности топологи-
ческого пространства. Б. топологического пространства означает, что из вся-
кого покрытия топологического пространства открытыми множествами можно
выбрать конечное покрытие. Термин Б. введен советским ученым академиком
П. С. Александровым.
В настоящее время наблюдается тенденция употреблять термин „ком-
пактность“ вместо Б. Компактность называют при этом счетной компактностью.
БИКУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — частный случай трехчленного уравне-
ния при л = 3. Б. у. в математике рассматриваются редко.
БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — числовая функция В (х, у), аргументами
—>
которой являются векторы x£Li, y^L2, где и L2—векторные простран-
ства, линейная по каждому аргументу, т. е. удовлетворяющая следующим
условиям:
В (х, + х2, у) = В (х1( у) + В (х2, у), В (х, У1 +у2) = В (х, уО +
4-В(х, у*2); В(сх, у) = сВ(х, у), В(х, су) = сВ(х, у),
где с—произвольное число.
Рассматривают также Б. ф., значения которых принадлежат некоторому
полю К. Тогда говорят о Б. ф. над полем К.
Аргументы х, у принадлежат двум (вообще говоря, различным) линейным
пространствам L2. Если заданы базисы этих пространств, то Б. ф. мо-
жет быть выражена формулой:
-* -> пт
В(х; у)= 2
i=i /=1
где х/, у/—координаты векторов х, у в заданных базисах. В этом случае
матрицу || bij|| называют матрицей Б. ф.
При совпадении линейных пространств Li и L2 Б. ф. определяет двухва-
лентный дважды ковариантный тензор. Это означает, что коэффициенты Ьц
при изменении базиса изменяются по тензорному закону, соответствующему
дважды ковариантному тензору.
—> —►
Если Б. ф. рассматривать только для пар аргументов (х; у), которые
—► —►	—>
удовлетворяют условию х = у, то построенная таким образом функция В(х9 х)
определит квадратичную форму.
Важным примером Б. ф. является скалярное произведение в вещественном
евклидовом пространстве.
62
БИЛЛИОН
Лит.: [95, 118].
БИЛЛИОН — число 109,. т. е. миллиард (у французов, американцев и
в прошлом у русских), или число 1012, т. е. тысяча миллиардов (у немцев,
англичан и других народов). Термин Б. у нас вышел из употребления и
в современной литературе не встречается.
Лит.: [50].
БИНАРНАЯ ОПЕРАЦИЯ на множестве А — закон, сопоставляющий
каждой упорядоченной паре элементов а и b из А единственным образом не-
который элемент с этого же множества А, называемый результатом этой опе-
рации. Если обозначить Б. о. символом *, то записывают, что а*& = с, поме-
щая знак Б. о. между элементами а и Ь, участвующими в Б. о. Б. о. можно
записывать и в виде правого оператора. При многократном применении Б. о.
в первом способе записи используют скобки. Например, если Б. о. удовлет-
воряет закону ассоциативности (см. Ассоциативность), то это записывается
так: а*(Ь*с) = (а*Ь)*с. При втором способе запись выполняется без скобок:
abc** = ab*c*. Вторая форма записи Б. о. ведет начало от польского матема-
тика Лукасиевича.
Б. о. можно рассматривать и как тернарное отношение или трехместный
предикат. Множество, в котором определена одна Б. о., называется группой-
дом. Квазигруппы можно рассматривать как множества, в которых определены
три Б. о. «•», «\» и «/», удовлетворяющие четырем условиям: (х/у) у = х,
{ху)/у = х, у\(ух) = х.
Лит.: [85].
БИНАРНОЕ ОТНОШЕНИЕ на множестве А — произвольное подмножество
декартова произведения А\А = А2. Таким образом, Б. о. R на множестве А
состоит из некоторого множества пар (а, Ь), где а£А и Ь£А. Если (a, b)£R,
то пишут также aRb. Например, отношение порядка < на множестве всех
действительных чисел является Б. о. Б. о. является частным случаем п-ар-
ного отношения на множестве при п = 2 (см. Отношение).
БИНОМ—то же, что двучлен. Термин образовался от латинского слова
Ы—дву(х) и греческого слова vopoo—область, часть, член (ср. Ньютона
бином).
БИНОМИАЛЬНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА — дискретная случайная
величина, связанная с Бернулли схемой. По определению Б. с. в. k есть ко-
личество положительных исходов (успехов) в схеме Бернулли (и, р); п — ко-
личество испытаний, р — вероятность успеха в одном испытании. Закон рас-
пределения Б. с. в. описывается Бернулли формулой:
Рп (k)=Cknp*q"-’‘-,
здесь Pn(k)— вероятность того, что в п испытаниях наступит ровно k поло-
жительных исходов.
Математическое ожидание и дисперсия Б. с. в. равны соответственно
пр и npq.
При больших п Б. с. в. может быть аппроксимирована пуассоновской
случайной величиной и нормальной случайной величиной.
См. Муавра—Лапласа локальная теорема, Муавра—Лапласа интеграль-
ная теорема, Пуассона случайная величина, Бернулли закон<
БИПИРАМИДА
63
БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ—коэффициенты бинома Ньютона,
п
т. е. числа Сп в формуле (а-\-Ь)п~ 2 Cnan~kbk прил = 0, 1, 2, *..,п. Б. к.
fe=o
обозначается часто символом	Одно из основных свойств Б. к. выража-
ется формулой Сп + Сп+1 = Сп+1, в силу которой Б. к. составляют Паскаля
треугольник. Б. к. выражают число сочетаний из п элементов по k в комби-
наторике. Б. к. удовлетворяют ряду соотношений, например:
rk _п (n—1).. .(п —£+1)__	и!
12..... k k\(n — k)\i
п	л
Сп = С1~к, 2 Сп = 2», 2 (-	=0
fe = 0	k=Q
И T. Д.
БИНОМИАЛЬНЫЙ РЯД — разложение степени (14~х)а бинома в степен-
ной ряд при произвольном a£R. Если a£N, то Б. р. становится биномом
(формула) Ньютона (см. Ньютона бином). Впервые возможность распростра-
нения формулы бинома Ньютона на случай Б. р. была указана Ньютоном
в 1676 г., хотя строго обоснована много позже Абелем, в 1826 г.
Пример. Б. р. (1	1—х4-х2+...+(—1)лхл+s, сходится
при | х | < 1.
БИНОРМАЛЬ—вектор единичной длины, один из векторов сопровождаю-
щего триэдра кривой в трехмерном евклидовом пространстве; обознача-
ется через р. По определению
P=TXV,
где т—единичный касательный вектор, v—главная нормаль, X— знак век-
торного произведения. Если кривая задана уравнением Af = Af(/), где М (/) —
векторная функция произвольного параметра /, то Б. может быть вычислена
по формуле:
dM ч d2M
dt Х dt* р
р /ds\3	’
w
где р—радиус кривизны кривой, a s—длина дуги.
БИПИРАМИДА —многогранник, представляющий собой объединение двух
пирамид, имеющих общее основание, а вершины которых расположены в раз-
ных полупространствах, определяемых плоскостью общего основания этих
пирамид.
Б. n-угольная есть двойственный (дуальный) образ n-угольной призмы:
если n-угольная призма имеет я+ 2 грани, то n-угольная Б. имеет п-\-2
вершины; если призма имеет 2п вершин, то двойственная ей Б. имеет 2п гра-
ней; число же ребер у двойственных многогранников одно и то же. Простей-
шим примером Б. является правильный октаэдр»
64
БИПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА
Рис. 16
Лат.: bi—два.
См. также: Пирамида, Двойственности принцип.
БИПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА координат на плоскости—одна из криволи-
нейных систем координат. В Б. с. координат выбираются две различные фик-
сированные точки Of и О2 за полюсы (начальные
точки) и единица масштаба, а координатными ли-
ниями служат два множества концентрических
окружностей с центрами Of и Оа. Пересечение
двух окружностей, принадлежащих разным мно-
жествам, дает две точки Mf и М2, симметрично
расположенные относительно линии центров 0^;
если окружности касаются, то точка касания
принадлежит прямой OfO2. Положение точки
М,(М2) на плоскости определяется двумя числа-
ми rf и г2—расстояниями от этой точки до со-
ответствующих полюсов Of и 02 (рис. 16).
БИПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ точки М на плоскости—числа rf и г2,
равные соответственно расстояниям от точки М до полюсов Of и 02 в би-
полярной системе координат. Следует отметить, что Б. к. точки—числа
г< и г2, вообще говоря, определяют на плоскости две точки, симметрично
расположенные относительно прямой OfO2. Поэтому Б. к. используют для
записи уравнений кривых, имеющих прямую OfO2 своей осью симметрии; так,
уравнение эллипса в Б. к. запишется так: rf4-r2 = 2a(a—большая полуось эл-
липса); уравнение гиперболы в этих координатах будет иметь вид: | rf—г2 | = 2а,
где а—действительная ось гиперболы. Б. к. используются в математике
весьма редко.
БИПРИЗМА—многогранник, представляющий собой объединение двух
призм, имеющих одно и то же основание, а вторые основания этих призм
расположены в разных полупространствах, определяемых плоскостью их
общего основания. Если общее основание обеих призм есть л-угольник, то
Б. имеет всего 5л ребер, Зл вершины и 2л+ 2 граней.
Лат.: bi—два.
См. также: Призма, Бипирамида.
БИРАЦИОНАЛЬНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ алгебраических многообра-
зий. Два алгебраических многообразия М] и Д12 называются бирационально
эквивалентными, если существует такое отображение f: Mf->M2> что 1) ко-
ординаты точек f (х), выражаются через координаты точек х с помощью
рациональных функций, 2) отображение f имеет обратное отображение
я координаты точек /-1(у), у^М2 выражаются через координаты точек у
с помощью рациональных функций. Б. э. есть свойство алгебраических мно-
гообразий быть бирационально эквивалентными.
Лит.: [152].
БИССЕКТОР—прибор (инструмент), делящий плоский угол пополам.
Ср. с трисектором (см. Трисекция угла), имеющим два шарнирных ромба.
Лат.: bi—два.
Лит.: [9, 10}.
БИССЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ двугранного угла — полуплос-
БИТ
65
кость, имеющая своей границей ребро двугранного угла и делящая этот угол
на два конгруэнтных двугранных угла. Б. п. д. у. есть пространственный
аналог биссектрисы плоского угла. Б. п. д. у. есть множество точек дву-
гранного угла, равноудаленных от его граней. Все 6 Б. п. д. у. при ребрах
любой треугольной пирамиды (тетраэдра) пересекаются в центре вписанной
в эту пирамиду сферы. Иногда под Б. п. д. у. понимают плоскость, прохо-
дящую через ребро этого угла и делящую его пополам. Б. п. д. у. проходит
через биссектрису линейного угла. Б. п. д. у. называют также биссектором
этого угла.
БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА—отрезок биссектрисы (или ее длина)
внутреннего угла треугольника от вершины до точки пересечения ее с проти-
воположной стороной треугольника. Б. т. пересекаются в одной точке—центре
вписанной в него окружности. В любом разностороннем треугольнике Б. т.
всегда лежит внутри угла, образованного высотой и медианой, проведенными
из той же вершины.
Во всяком треугольнике Б. т. делит сторону треугольника на части,
пропорциональные двум другим сторонам. Верно и обратное предложение.
Биссектриса внешнего угла разностороннего треугольника пересекает про-
должение противоположной стороны треугольника в точке, отстоящей от
концов этой стороны на расстояниях, пропорциональных длинам двух других
сторон. Справедливо и обратное утверждение. Четыре точки А, В, К, L, две
из которых А, В — вершины треугольника, а две другие К и L — основания
биссектрис, проведенных из третьей вершины С треугольника АВС, образуют
гармоническую четверку точек. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов
треугольника, проведенные из одной вершины, взаимно перпендикулярны.
Под Б. т. иногда понимают прямую, проходящую через вершину треуголь-
ника и делящую угол пополам (так Б. т. часто понимают в аналитической
геометрии).
Если а, Ь, с—длины сторон треугольника АВС, а Рд, Рв, Рс—длины
биссектрис его, то справедливы следующие соотношения:
$A = bc—bca2:(b-[-c)2 или p^=fo—а1а2,
Рв = са—cab2: (с + а)2 или Рв = са— ЬХЬ2,
$C = ab — abc2:(a-\-b)2 или $c = ab—сгс2,
где ах, а2—длины отрезков, на которые разбивает основание биссектрисы рл
сторону а\ аналогично определяются длины отрезков bt, Ь2 и clt с2.
БИССЕКТРИСА УГЛА — луч, исходящий из вершины угла и делящий его
пополам. Б. у. есть множество точек этого угла, каждая из которых обла-
дает следующим свойством: расстояния от этой точки до сторон угла равны
между собой.
См. также: Биссектриса треугольника, Биссектор, Биссектральная плос-
кость, Трисектриса угла.
БИТ—двоичная единица измерения количества информации. Источник
информации с двумя равновозможными и равновероятными исходами несет
информацию в один Б.
Термин происходит от английского binary digit—двоичная цифра.
з № 765
66
БЛИЗНЕЦЫ
БЛИЗНЕЦЫ— пара простых чисел р± и р2 называется Б., если их раз-
ность | pi — р21 = 2. Проблема Б. еще не решена: неизвестно, конечное мно-
жество их или бесконечное. Примеры Б.: 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19
и т. д. Существуют Б. и достаточно большие, например 10 016 957 и 10 016 959.
См. также: Бертрана постулат, Простое число, Четве>рки*близнецы.
БОКОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ. Г. Б. п. призмы —объединение всех боко-
вых граней призмы.
2°. Б. п. пирамиды — поверхность, состоящая из всех боковых граней
пирамиды.
3°. Б. п. усеченной пирамиды—поверхность, представляющая объедине-
ние боковых граней этой пирамиды.
4°. Б. п. конуса —это фигура вращения (поверхность), образованная
гипотенузой прямоугольного треугольника при его вращении вокруг одного
из катетов.
5°. Б4 п. усеченного конуса — это фигура вращения (поверхность), обра-
зованная боковой стороной равнобочной трапеции при вращении этой трапе-
ции вокруг оси ее симметрии. Аналогично Б. п. усеченного конуса опреде-
ляется Б. п. шарового слоя, Б. п. цилиндра. Б. п. шарового сегмента опре-
деляется по аналогии с Б. п. конуса.
Не следует смешивать Б. п. пространственной фигуры (трехмерной)
с площадью Б. п. этой фигуры.
См. также: Площадь, Пространство, Многообразие,, Поверхность.
БОЛЬЦАНО — ВЕЙЕРШТРАССА ТЕОРЕМА утверждает, что всякое бес-
конечное ограниченное множество в n-мериом евклидовом пространстве имеет
по крайней мере одну предельную точку. Б.—В. т. справедлива в произволь-
ном полном метрическом пространстве. Б. — В. т. имеет важное значение
в математическом анализе и теории функций действительного переменного.
В частности, при изучении числовых последовательностей Б. — В. т. утверж-
дает, чю всякая ограниченная числовая последовательность содержит сходя-
щуюся подпоследовательность. Б. — В. т. названа именами чешского матема-
тика Б. Больцано (1781—1848) и немецкого математика К. Вейерштрасса
(1815—1897).
БОЛЬШАЯ ОКРУЖНОСТЬ сферы — окружность, являющаяся пересече-
нием сферы в плоскостью, проходящей через центр сферы. Радиус Б. о. с.
конгруэнтен радиусу сферы, на которой расположена Б. о. с. Любые две
Б. о. с. пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы.
Через любые две точки сферы, не являющиеся диаметрально противополож-
ными, проходит только одна Б. о. с. Дуги больших окружностей на сфере
являются кратчайшими (геодезическими) линиями на ней. Б. о. с. играют
большую роль в сферической геометрии.
БОЛЬШАЯ ОСЬ ЭЛЛИПСА —ось симметрии эллипса, на которой лежат
его фокусы. Иначе: Б. о. э. есть максимальное из чисел 2а, 2Ь, входящих
в каноническое уравнение эллипса, записанное в прямоугольных декартовых
координатах:
^4-^=1.
Ь2
БРИГОВЫ ЛОГАРИФМЫ
67
См. также: Ось симметрии, Эллипс.
БОЛЬШОЙ КРУГ шара —круг, полученный от пересечения шара с плос-
костью, проходящей через центр этого шара. Радиус шара и радиус Б. к. ш.
конгруэнтны.
БРАХИСТОХРОНА—кривая наикратчайшего спуска. Если две точки А
и В, не лежащие на одной вертикали и на одном уровне, соединить семейст-
вом всевозможных кривых линий, то тяжелая
материальная точка, двигаясь под действием си-
лы тяжести от вышележащей точки А к ниже-
лежащей В (рис. 17), затратит наименьшее вре-
мя, следуя по Б.
Б. была открыта И. Бернулли в 1696 г., что
послужило толчком к развитию вариационного
исчисления.
Если координаты точек А и В равны со-
ответственно (0; 0) и (xf, (/х), yi > 0, то функция
у = У(х)> графиком которой
является Б., является экстремалью функцио-
нала:
*1
Z[i/(x)]=-7Uf
К У
dx,
у(0) = 0
y(xi)=yt.
Параметрические уравнения Б. имеют вид:
x=y(Z —sinZ), у=у(1—cosZ),
(*)
где с может быть вычислено из условия y(x1) = yi. Кривая, параметрические
уравнения которой имеют вид (*), есть траектория движения точки окруж-
£
ности радиуса при качении этой окружности по горизонтальной оси без
скольжения; такую кривую называют циклоидой.
БРИАНШОНА ТЕОРЕМА—одна из теорем проективной геометрии. Б. т.
формулируется так: во всяком шестистороннике, описанном вокруг кривой
второго порядка, прямые, соединяющие противоположные вершины, пересе-
каются в одной точке—точке Брианшона. Б. т» названа в честь французского
математика Ш. Брианшона, доказавшего ее. Б. т. является двойственной Па-
скаля теореме о вписанном шестивершиннике в кривую второго порядка.
Б. т. позволяет с помощью только одной линейки построить шестую каса-
тельную к кривой второго порядка, если известны пять из них, и решить
ряд других конструктивных задач проективной и элементарной геометрии,
используя лишь одностороннюю линейку.
БРИГОВЫ ЛОГАРИФМЫ—другое название десятичных логарифмов.
Б. л. названы по имени Г. Бригса, опубликовавшего в 1624 г. свои таблицы
логарифмов.
Лит.: [137].
68
БУКЕТ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
>—БУКЕТ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Ха.
f	\	Здесь а—индекс, пробегающий некоторое множество
I	J	символов. Пусть в каждом из Ха выбрана точка ха.
\	/	___ Построим новое топологическое пространство Y следую-
\	щим образом: точки пространства Y—это все точки,
УС.	J принадлежащие множествам Ха, за исключением ха,
/	и еще одна точка х0, «образованная склеиванием всех
/	\	выбранных точек ха в одну». Топология в простран-
f	1	ство Y вводится так: рассмотрим отображение F =
\	J	— 1|Ха—► /, заданное условием: F(x) — x, если xgXa,
х^ ^Х	a
Рис. 18 X ф Ха И F(xa) = x0-
Подмножество А в Y назовем открытым (см. Открытое множество), если
его прообраз в (J^a открыт*
а
Б. пространств Xi, Х2, ».», Хп обозначается так: Xt V Х2 V... V Хп.
Пример. Б* трех окружностей изображен на рис. 18.
Лит.: [144].
БУЛЕВА [АЛГЕБРА — дистрибутивная структура S с нулем и едини-
цей, такая, что в ней для всякого aопределено его дополнение ag S,
удовлетворяющее условиям:
afla = 0, аЦа = 1.
Примером Б. а. является множество всех подмножеств произволь-
ного множества относительно операций теоретико-множественного объеди-
нения, пересечения и дополнения.
Лит.: [73, 85].
БУЛЕВО КОЛЬЦО — ассоциативное кольцо с единицей называется буле-
вым, если его умножение удовлетворяет закону идемпотентности (см. Идем-
потентность)', а2 = а.
Всякое Б. к. коммутативно, и для любого его элемента а верно тожде-
ство 2a = 0.
Примером Б. к. может служить множество подмножеств произвольного
множества А, если в качестве операции умножения рассмотреть операцию
теоретико-множественного пересечения и в качестве сложения рассмотреть
симметрическую разность множеств, т. е. положить:
АВ = АПВ и А + В = (А\В)П(В\А).
Б. к. названо именем ирландского математика и логика Джорджа Буля
(1815—1864).
БУНЯКОВСКОГО НЕРАВЕНСТВО—неравенство
ь	/**/	\ / &	\
IJ f(x)g(x)dx^’j/ Ц /2(x)dxjH g2(x)dx\
а	\ а	/ \ а	/
справедливое для всех пар функций f (х), g(x), интегрируемых в квадрате
на числовом промежутке [а, /?]. Удобна следующая интерпретация Б. н. Пусть
ь
(J, g) = \ f (х) g(x) dx. Тогда билинейная форма (/, g), определенная на функ-
БЮФФОНА ЗАДАЧА
69
циях с интегрируемым квадратом, обладает свойствами обычного скалярного
произведения векторов: (/, g) = (g. f), (CJx + C,/,, g) = Ci(fi, g) + C2(/2, g).
Б. н. принимает вид:
(*)
Для скалярного произведения в конечномерном евклидовом пространстве
формула (*) хорошо известна как Коши — Буняковского неравенство.
Б. н. является, таким образом, интегральным аналогом Коши неравен-
ства. Б. н. — частный случай Гельдера неравенства, найденного позже. Б. н.
часто ошибочно связывают с именем Шварца, которым это неравенство было
использовано в 1884 г., тогда как В. Я. Буняковским оно было опубликовано
в 1859 г.
БЭРА КЛАССЫ — множества функций, заданных на числовом промежутке
[а, д] и определяемых индуктивно. Нулевой Б. к. состоит из непрерывных
на [а, £] функций. Пусть определены Б. к. с индексами 0, 1, 2, ..., т— 1:
//0,	..., Hm-i. Тогда Нт — множество функций f (х), не входящих ни
в один из классов 4 = 1, 2, ..., т—1, и представимых в виде:
f(x)= lira /„(%),
л-> оо
где все fn(x) принадлежат Нт-1.
Рассматривают Б. к. Нк, где 1—трансфинитное число второго класса*
Последние определяются с помощью трансфинитной индукции*, если все
при р < а (а, (3 — трансфинитные числа) определены, то На состоит из
всех функций, не входящих ни в один из и представимых в виде:
/W = lim fn(x),
П-+ <Х)
где fn(x) принадлежит HR ,	< а.
рп
Все функции, входящие в Б. к., измеримы, их множество имеет мощность
континуума; Б. к. не пусты.
Примеры
1. Функция, имеющая счетное множество точек разрыва, есть функция
первого Б. к.
2. Функция Дирихле D (х), определенная на отрезке [0, 1],
( 1, если х £ Q,
& J 0, если х ^Qt
есть функция второго Б. к. (см. Дирихле функция).
Б. к. впервые рассматривались французским математиком Р. Бэром.
Лит.: [30].
БЮФФОНА ЗАДАЧА — первая из классических задач теории вероятно-
стей, приведшая к рассмотрению геометрических вероятностей. Б.з. состоит
в следующем: на плоскость, разлинованную параллельными прямыми, отсто-
ящими друг от друга на расстоянии а, бросается игла длины с (с < а).
Какова вероятность того, что игла пересечет одну из параллельных линий?
Б. з. была поставлена французским математиком Ж. Бюффоном в 1733 г. и
опубликована им вместе с решением в 1777 г. Ответ к Б. з. р = 2с/ал.
Б. з. была использована рядом исследователей для экспериментального
вычисления числа л методом случайных испытаний.
в
ВАЛЛИСА ФОРМУЛЫ—формулы
jt __ 2	2	4	4	2k 2k
~2~~ 1 ’ 3 ’ 3 ’ 5 ’	'2k—1 ’ 2&-J-1
.Г- г (/и!)2 22/я
т-> (2т) I У т
полученные английским математиком Дж. Валлисом в связи с задачей о вы-
числении площади круга. В. ф.— один из первых примеров бесконечного {Про-
изведения.
ВАНДЕРМОНДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ—определитель вида:
.1	I	1	.. 1
	я2		•• ап
2	2	2	2
	а-2	«3	.. ап
п-1	п-1	п-1	П-1
ai	а2	аз	. . On
т. е. определитель, в котором элементы i-й строки являются <(/—1)-ми степе-
нями соответствующих элементов 2-й строки. В. о. равен произведению все-
возможных разностей сц — ар где 1	< /О, т. е. равен
II (ai—aj).
1<1 < /< л
Например:
1 1 1
2 5 7
4 25 49
= (7—5) (7 — 2) (5—2) = 2-5-3 = 30.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, изучающий методы
исследования функционалов на максимум и минимум. Простейшей задачей
В. и. является задача нахождения экстремума функционала вида:
b
= J F (х; у\ у') dx
а
среди кривых у = у(х), имеющих непрерывную производную и удовлетворяю-
щих условию у(а) = уъ, y(b) = yi (у0, уг — заданные постоянные числа). Ока-
зывается, что искомая кривая удовлетворяет дифференциальному уравнению
(уравнению Л. Эйлера):
ВАРИНГА ПРОБЛЕМА
71
?у dx Гу' ~
При этом всякая функция, удовлетворяющая уравнению (*), называется эк-
стремалью.
Левая часть уравнения связана с вариацией 6L функционала L, т. е.
с главной линейной частью разности L(y) — L(y), где у (х)— некоторая функ-
ция, у (х) близкая к ней другая функция, Ьу — у—у. Именно:
ь
а
Вариация 6L функционала L играет роль, аналогичную роли дифференциала
при исследовании функций на максимум и минимум.
Большое значение в развитии В. и. имела задача о брахистохроне, ре-
шенная И. Бернулли в 1696 г.
Уравнение (*) было получено в 1744 г. Л. Эйлером.
Общие принципы решения вариационных задач были разработаны Л. Эй-
лером и Ж. Лагранжем. Значительный вклад в эту науку внесли труды
К. Якоби, М. В. Остроградского, У. Гамильтона, К. Вейерштрасса.
В своем дальнейшем развитии В. и. включило в себя ряд разделов функ-
ционального анализа, топологии. В. и. послужило толчком к развитию раз-
нообразных численных методов решения экстремальных задач.
Особую главу В. и. составляет теория оптимального управления, разра-
ботанная в последнее время советским математиком академиком Л. С. Понт-
рягиным и его учениками.
На протяжении второй половины XVIII в. и всего XIX в. предпринима-
лись интенсивные попытки построить аксиоматику механики на основе
принципов, формулируемых в терминах В. и., в результате чего были раз-
работаны так называемые вариационные принципы механики. В более позднее
время были разработаны вариационные принципы построения квантовой
механики, электродинамики и других физических наук.
Лит.: [156].
ВАРИНГА ПРОБЛЕМА — задача в теории чисел, состоящая в доказа-
тельстве того, что для любого n^N, п^2, существует такое число г, зави-
сящее от п, что всякое число может быть представлено в виде суммы
г чисел, каждое из которых есть л-я степень некоторого целого числа, т. е.
г
я?- в. п. была поставлена Барингом в 1770 г. Однако первое полное
i= 1
решение В. п. было найдено лишь в 1909 г. Гильбертом (ранее были полу-
чены частные решения В. п.; например, для п = 2. Лагранж доказал, что
г = 4). В дальнейшем развитии теории чисел были получены новые доказа-
тельства В. п. В частности, в 1942 г. Ю. В. Линник нашел элементарное
решение В\ п. в том смысле, что его доказательство не требует привлечения
методов высшей математики.
Лит.: [22].
72
ВАРИНГА ФОРМУЛЫ
ВАРИНГА ФОРМУЛЫ —формулы, явно выражающие Ньютона полиномы

tn) — /1 + /2 + * • . + tn,
через элементарные симметрические функции S2, Sn от переменных
tlt t2...tn. В. ф. имеют вид:
**4 2
Ztt + 2/ft+ . .. +tk^=k
k2~^-... -4- k( — 1)!
ki\k2\...kt\
(____+

(*)
здесь суммирование ведется по всем наборам (£f, k2,	£/), состоящим из
/(п^/>0) натуральных чисел kx, k2, .... удовлетворяющих условию
^1 + 2^2+ - j + tkt = k. Все коэффициенты разложения (*) являются целыми
числами.
В частности,
Ki(G; 4;	U
t2, tn) = sl(t1-, t2,	/„) —2S2(/f, t2, tn)
fls(G; ‘г,	=	t2,	/„)S2(Zf,	/„) +
+ ЗЗз (G; t2\ ../„).
В приложениях В. ф. часто используется следующее следствие:
Rk(t^ t2, ...; tn) = (-\)b + 'kSk(ti, t2i /„) + Q(Si; S2; ...; S*_x),
l^k^n, Q (Si, S2,	S/e-i) — многочлен от элементарных симметрических
функций Sx, S2, ..., Sk-t.
ВВЕДЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ под знак корня — преобразование в области
действительных чисел иррационального выражение вида Ау/В (при А > 0)
к выражению вида АпВ, т. е. всякий положительный множитель, стоящий
перед корнем (радикалом), можно ввести под корень, возводя его в степень
с показателем, равным показателю корня:
Ау/В = уАпВ (А > 0).
Если А < 0, то преобразование В. м. п. з. к. при четном показателе
корня выполняется так: А^В = — ^/гАпВ, например, —Зр/”2 = —р/81 -2,
а при нечетном так: А^/В = —	—АпВ.
В. м. п. з. к. называется также внесением множителя под знак корня.
ВЕКОВОЕ УРАВНЕНИЕ квадратной матрицы—устаревшее название ха-
рактеристического уравнения.
ВЕКТОР: 1°. В.— параллельный перенос. В школьном курсе математики
рассматривают В. в двумерном и трехмерном линейном пространстве (точ-
нее—в евклидовой плоскости и евклидовом трехмерном пространстве).
В школьном курсе математики В. определяют как параллельный перенос
рассматриваемого пространства (см. Параллельный перенос).
ВЕКТОР
73
Это определение эквивалентно определению В. как направленного от-
резка, используемому в прежних школьных программах. Эта эквивалентность
может быть задана следующим образом: В. как параллельный перенос опре-
—>
деляет направленные отрезки АВ, где А — произвольная точка рассматривае-
мого пространства, а В—образ точки А при параллельном переносе. Все
получающиеся таким образом направленные отрезки одинаково направлены
и имеют равные длины. По старой терминологии все указанные направлен-
ные отрезки задают один и тот же вектор. Иными словами, одинаково на-
правленные и равной длины направленные отрезки равны как векторы.
>
Обратно, каждый направленный отрезок АВ определяет параллельный
перенос пространства при помощи следующей конструкции: образ произволь-
ной точки X при параллельном переносе есть точка Y, такая, что направ-
—>	—►
ленные отрезки АВ и ХУ имеют равные длины и сонаправлены.
Преимущества нового определения понятия В. состоят в следующем:
1. Нет необходимости связывать в определении понятия В. такие раз-
личные геометрические объекты, как различные направленные отрезки.
2. В новом определении понятия В. участвует фундаментальное общема-
тематическое понятие «преобразование». При этом учащиеся получают воз-
можность рассмотреть важный конкретный пример понятия «преобразование».
В то же время введение нового определения понятия В. сопряжено с не-
которыми неудобствами (гораздо менее значительными, чем упомянутые выше
преимущества). В частности, понятие В. в физике, технике и механике более
естественным образом ассоциируется с направленным отрезком, чем с парал-
лельным переносом.
2°. В.— элемент линейного (векторного) пространства. Совокупность век-
торов, составляющих векторное (линейное) пространство, является множест-
вом элементов произвольной природы, относительно которых определены две
операции:
1. Сложение векторов х, у, обозначаемое х-\-у.
2. Умножение вектора х на произвольный элемент а заданного поля, обо-
значаемое ах.
При этом х + у и ах являются элементами рассматриваемого векторного
(линейного) пространства, т. е. векторами. Операции 1, 2 по определению
удовлетворяют естественным свойствам (см. Линейное (векторное) простран-
ство).
Таким образом, всякий В. рассматривается вместе с векторным (линей-
ным) пространством, его содержащим, и операциями 1, 2.
Понятие В., сформулированное выше в абстрактной форме, является
обобщением понятия вектора, понимаемого как направленный отрезок аффин-
ного пространства, а операции 1, 2 обобщают сложение векторов аффинного
пространства по правилу параллелограмма и умножения вектора на число
с помощью растяжения направленного отрезка в заданное число раз.
К понятию вектора как направленного отрезка приводят многие задачи
механики, физики, теории упругости, теории электромагнитных полей. Соот-
74
ВЕКТОР КРИВИЗНЫ
ветствующие определения и свойства см. в статьях Свободный вектор и Свя-
занный вектор.
Примеры
1.	Векторное (линейное) пространство состоящее из векторов,— упоря-
доченных наборов из п чисел (jq;	хп), удовлетворяющих заданной
однородной системе линейных уравнений.
2.	Векторное (линейное) пространство L2, состоящее из векторов, являю-
щихся функциями одного переменного, удовлетворяющих заданной системе
линейных однородных дифференциальных уравнений.
3.	Линейное пространство L3, состоящее из векторов, являющихся ли-
нейными формами от переменных /j, /2, **•> с коэффициентами из задан-
ного поля /<» (Операции сложения векторов и умножения векторов на числа
в примерах 1—3 естественные.)
- 4. Преобразование плоскости, снабженной системой координат (для опре-
деленности— прямоугольной декартовой), заданное формулами
дгй = х + а,
у"=у+ь,
где (х; у)—координаты произвольной точки на плоскости, а (x'i у') — коор-
динаты ее образа, является параллельным переносом, т. е. В.
ВЕКТОР КРИВИЗНЫ кривой в трехмерном евклидовом пространстве —
dx
вектор-^-, где единичный касательный вектор к кривой, s—длина дуги
кривой. В. к. перпендикулярен касательному вектору и имеет длину, равную
кривизне кривой в данной точке. Направление В. к. совпадает с направле-
нием главной нормали к кривой.
Аналогично определяется В. к. для кривой в n-мерном евклидовом про-
странстве.
Лит.: [117].
ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ скалярного аргумента—функция, у которой
вависимая переменная г является вектором, а аргумент t принимает действи-
тельные (реже—комплексные) значения: г = г(/). Если векторы г (/) принад-
лежат трехмерному евклидову пространству (в приложениях векторного ис-
числения этот случай рассматривается чаще других), то задание В. ф. равно-
сильно заданию трех скалярных функций (/), /2 (/), являющихся
координатами вектора г (/) в заданном ортонормированием базисе 7, Д Г:
7(o=/i (о7+/2 ю7+/8(о7.
Графиком В. ф. скалярного аргумента является кривая в трехмерном
евклидовом пространстве, образованная концами радиус-векторов 7 (/).
Кроме алгебраических операций сложения В. ф., умножения их на число,
скалярного произведения и векторного произведения двух В. ф., выполняемых
при каждом значении t по правилам векторной алгебры, рассматривают также
дифференцирование, интегрирование, линейный интеграл и циркуляцию В. ф.
ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
75
Дифференцирование и интегрирование В. ф. производятся по формулам
t	t	t	t
J 7(о dt =7 J a (/) dt+7 J ft (o dt+? J /з ю at.
t«	to	t0	/0
t
В. ф. r' (/) называется производной В. ф. т (t), а В. ф. J ~r (t)dt — Инте-
ле
гралом В. ф. г (/) по переменному t.
В. ф. широко применяются в дифференциальной геометрии для исследо-
вания свойств кривых, а также в механике при изучении криволинейного
движения материальной точки.
См. также: Векторное поле.
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — математическая дисциплина, изучающая
свойства векторов, векторных функций скалярного аргумента и векторных
полей. В. и. разделяется на векторную алгебру и векторный анализ.
Предметом изучения векторной алгебры являются такие операции над
векторами, как сложение векторов, умножение вектора на число, скалярное
произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произве-
дение векторов, линейные преобразования, проекция и т. п.
Векторный анализ изучает векторные функции скалярного аргумента и
некоторые вопросы теории поля методами дифференциального и интеграль-
ного исчислений.
Основными понятиями векторного анализа являются дивергенция вектор-
ного поля, ротор векторного поля, циркуляция векторной функции вдоль
контура, градиент поля, поток векторного поля и т. п.
Связи между этими понятиями установлены в классических теоремах
Остроградского — Гаусса, Грина, Стокса (см. Остроградского — Гаусса тео-
рема, Грина формулы, Стокса формула) и др.
В. и. является основным инструментом в решении многих задач диффе-
ренциальной геометрии, теории поля, механики.
В. и. составляет отдельную главу тензорной алгебры и тензорного ана-
лиза.
Лит.: [45, 118].
ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ —в широком понимании термина—векторная функ-
ция F, сопоставляющая каждой точке х£Х (X—обычно многообразие той
—►
или иной гладкости) вектор F (х), принадлежащий некоторому векторному
пространству, возможно, зависящему от х.
В различных вопросах геометрии и векторного анализа векторным про-
странством, в котором F принимает значение, обычно является объемлющее
данный X аффинное или евклидово пространство.
Говоря о В. п. на (гладком) многообразии X, часто имеют в виду т. н.
касательное В п., функцию F на X, принимающую векторные значения на
касательном пространстве к X в точке х.
76
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Если над топологическим пространством X задано векторное расслоение
П.Е—+Х, то под В. п. на X понимают сечение этого расслоения, т. е. функ-
цию F*,X—► где Е—пространство расслоения, такую, чго nF(x) = x для
всякого х£Х\ здесь л—проекция расслоения.
Часто рассматриваемым примером В. п. является поле скоростей движу-
щейся жидкости. В этих случаях некоторые теоремы векторного анализа,
например теорема Стокса, Остроградского (см. Стокса формула, Остроград-
ского теорема), получают гидромеханическую интерпретацию.
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ двух векторов а, b трехмерного евклидова
пространства (обозначается aXb или [а, д]) — такой вектор с, который:
1)	равен по длине числу | а 11 b | sin а, где | а |, р| — длины векторов а,
Ь, а(О^а^л) — величина угла между а и Ь;
2)	перпендикулярен векторам а, Ь\
3)	удовлетворяет условию: ориентация тройки векторов а, Ь, с совпадает
с ориентацией базисной тройки i, j, k.
Если i, /, k—единичные взаимно перпендикулярные векторы трехмер-
ного евклидова пространства и
а = ari + a2j -|- aak
6 = b\i -j-- b2j b3k,
TO
i
by
i
a9
^2
«3
^3
Последняя формула является символической, ее точный смысл таков:
с =7(а2Ь3—а3Ь2) + 7~ ^b3) + k (аАЬ2 — а2&1)«	(*)
—>
(Запись с в виде определителя помогает запомнить формулу (*).)
Свойства В. п.: 1) В. п. axb равно нулю югда и только тогда, когда
векторы а, b коллинеарны (см. Коллинеарные векторы)',
2)	axb ——(Ь%а) (свойство антикоммутативности);
3)	(ka)Xb = ‘k (axb), ахМ)=^(ахЬ) при любом вещественном X;
4)	аХ(Ьс) = (axb)(аХс) (свойства 3), 4) называются свойствами би-
линейности);
5)	~аХфХс) + ^Х(ахЬ) + Ьх{сХа)^=^.
В. п. и его свойства используются во многих вопросах аналитической
геометрии, дифференциальной геометрии, теории поля, механики. Следует
отметить, что В. п. зависит от ориентации базисной тройки, т. е. является
псевдовектором.
ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА СФЕРАХ
77
ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО—то же, что и линейное пространство.
Иногда термин В. п. употребляется как синоним конечного линейного про-
странства над полем вещественных чисел.
ВЕКТОРНОЕ РАССЛОЕНИЕ — расслоенное пространство, слои которого
являются линейными пространствами и группа которого состоит из линей-
ных отображений слоев. Размерность В. р. есть размерность слоя этого В. р.
Примеры. 1. Пусть Мп— гладкое многообразие; если касательное
пространство Lx к Мп в каждой точке х£Мп считать слоем над точкой
х£Мп, то этим задано В. р., называемое касательным расслоением много-
образия Мп.
2. В евклидовом пространстве Еп множество всех прямых, проходящих
через начало координат, является многообразием, диффеоморфным проектив-
ному пространству Р”-1. Если для каждой точки х£Рп определить слой как
прямую в Еп, порождающую точку х^Рп~1, то возникает (одномерное) В. р.
над Р"“х, называемое универсальным.
В. р. являются одним из важнейших объектов исследования многих ма-
тематических дисциплин (см. К-теория).
ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА СФЕРАХ — так называется задача, имеющая
давнюю историю и решенная американским математиком Дж. Адамсом в се-
редине 60-х годов нашего столетия.
Векторное поле на п—1-мерной сфере
х* + xl + * * * + Хп = 1
в л-мерном евклидовом пространстве есть непрерывная функция, относящая
каждой точке (хх; х2; хп) сферы вектор из касательного пространства
к сфере в этой точке. Этот касательный вектор можно толковать как вектор
л-мерного евклидова пространства, перпендикулярный радиус-вектору точки
(xf, х2; хл) сферы.
Система векторных полей на сфере называется линейно независимой, если
в каждой точке сферы рассматриваемые векторные поля задают линейно не-
зависимую систему векторов. (Это условие означает, между прочим, что ни
одно векторное поле из линейно независимой системы векторных полей не
может обратиться в нуль в какой-либо точке сферы).
Еще в начале века возникла такая задача: какое максимальное число
линейно независимых векторных полей можно построить на сфере S"-1?
Немецкому математику Гурвицу удалось построить р (и)— 1 векторных полей
на S'*-1 сфере, где функция р (п) определена следующим образом: представим
n£N в виде
n = (2/п + 1) 2*<«>, m£Z;
представим число b (п) в виде
b (п) = с (п) 4- 4d (п),
где с (п)— остаток от деления b (и) на четыре. По определению
p(n) = 2c(^ + 8d(n).
78
ВЕЛИЧИНА
Например, р (1)= 1, р(2) = 2, р (3) = 1, р(4) = 4, р(5) = 1, р (6) = 2, р(7)= 1,
р(8) = 8, р (9) = 1, р (16) = 8 и т. д.
Долгое время попытки доказать (или опровергнуть) утверждение о том,
что максимальное число линейно независимых полей на S'1-* равно р (и)—1,
были безуспешными.
Как сказано выше, этот вопрос был решен Дж. Адамсом. Оказалось, что
максимальное количество линейно независимых полей на S'*-1 равно p(n) —1.
ВЕЛИЧИНА, Потребности практической деятельности человека с давних
времен требовали от науки соизмерения различных (но однородных) физи-
ческих, геометрических и тому подобных свойств реальных объектов. Такое
соизмерение (сравнение) естественным образом привело к математической кон-
струкции сопоставления каждому элементу из рассматриваемого множества
числа, характеризующего этот элемент с интересующей исследователя точки
зрения. Такими конструкциями являются способы измерения площади, длины,
массы, температуры и т. п. В этих конструкциях некоторый элемент рас-
сматриваемого Множества выбирается за единичный, а остальные элементы
измеряются по естественным правилам с помощью этого единичного элемента,
в результате чего получаются числа, их характеризующие (измеряющие).
Примерами сказанного могут служить измерения длин единичным отрезком,
площадей единичным квадратом, масс единичной массой и т. д.
Описанные конструкции могут быть положены в основу математической
абстракции, приводящей к математическому понятию В. Аксиомы, определяю-
щие положительные В., таковы.
Говорят, что задана В., если задано множество объектов А и на этом
множестве отношение равенства (=), отношение больше (>), отношение
меньше (<) и операция сложения (+). При этом
1)	для любых двух а, Ь£А имеет место одно из трех а = Ь, а<Ь,
а > Ь\
2)	если а < b п b < с, то а < с (транзитивность отношения <);
3)	для любых двух а, Ь£А существует однозначно определенная с = а-\-Ь',
4)	a-\-b = b + a—коммутативность сложения;
5)	a+(Z? с) = (а + Ь) + с—ассоциативность сложения;
6)	а-\-Ь > а—монотонность сложения;
7)	если а> Ь, то существует одна и только одна В. с£А, для которой
Ь-{-с = а (возможность вычитания);
8)	какова бы ни была В. а£А и натуральное число п, найдется та-
кая В. Ь£А, что nb\= а (возможность деления);
9)	каковы бы ни были В. Ь, а£Ау найдется такое п, что nb > а (аксиома
Архимеда или Евдокса).
Понятие В., построенное на аксиомах 1—9, не описывает в полной мере
измерения длин отрезков ввиду существования несоизмеримых отрезков. Это
неудобство устраняет следующая аксиома.
10)	Пусть последовательность В. az £A, <=1, 2, ..., п, ..., обладает
свойством ах < а2 < ,. < ап < . *., а последовательность Ь^А, < = 1,2, ...,
п, ..., свойством bY < b2 < ... < Ьп < ..., при этом а/ < bj для любых j£N.
Пусть для любого е > 0 существует такое N (е), что при всех п > N разность
|ал—Ьп \ < е.
ВЕРОЯТНОСТЬ
79
Тогда существует единственный элемент с£ А, удовлетворяющий условиям
at < с, с < bj для любых /, .j £N.
Свойства 1)—10) дают современное понятие системы положительных ска-
лярных величин.
Понятие В., описанное выше, исторически подвергалось многократным
обобщениям. В частности, изучение сил, скоростей, упругих напряжений
привело к понятиям векторов и тензоров.
Эти понятия по современным соглашениям также считаются В., хотя
многие из аксиом, указанных выше, для них неверны.
Употребителен термин «переменная В.», означающий функцию (числовую,
векторную, тензорную), значения которой меняются с изменением независь
мой В.— аргумента.
Лит.: [77].
ВЕРНАЯ ЦИФРА—понятие теории приближенных вычислений, связан-
ное с десятичной записью приближенного значения числа, т. е. приближения.
Цифра а (в записи приближения) называется В. ц., если модуль погрешности
не превосходит единицы (в некоторых пособиях—половины единицы) того
разряда, в котором записана цифра а.
При практических вычислениях рекомендуется пользоваться определен-
ными правилами для подсчета В. ц. (см. Приближенные вычисления).
ВЕРНЬЕР — приспособление с прямолинейной или круговой шкалой, ис-
пользуемое для измерения небольших отрезков или дуг окружностей. В.
встречается в некоторых приборах (планиметрах, астролябиях и др.). В.,
предназначенный для измерения длин отрезков, называется нониусом. В. изо-
бретен французским математиком Пьером Вернье.
ВЕРОЯТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ непрерывной случайной величины X — число
ЕХ, удовлетворяющее условию
Р(|Х-а|<£Х)=1,
которое иначе формулируется так: вероятность того, что величина X откло-
нится от своего среднего значения а не более чем на ЕХ, равна
В. о. является мерой рассеяния значений случайной величины от сред-
него значения а.
В. о. для равномерной (Xj), экспоненциальной (Х2) и нормальной (Х8)
случайных величин (см. Равномерная случайная величина, Экспоненциальная
случайная величина, Нормальная случайная величина) равны соответственно:
где ]я; Ь[~- промежуток, в котором задана Xi, А,—-параметр случайной вели-
чины Ха, о—среднеквадратичное отклонение случайной величины Х8.
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ —см. Теория вероятностей.
ВЕРОЯТНОСТЬ случайного события А —число р(А), заключенное между
нулем и единицей, 0<;р(А)^1, измеряющее степень возможности наступ-
80
ВЕРТИКАЛЬ
ления события А в результате испытания. В. невозможного события А равна
нулю, а достоверного—единице.
Понятие В. случайного события А всегда рассматривается в связи с пол-
ным пространством S элементарных исходов. Если все элементарные исходы
равновероятны н пространство S состоит из конечного числа п элементар-
ных исходов, то В. события А определяется по формуле р(А)=^ , где т —
количество элементарных исходов, благоприятствующих наступлению собы-
тия А (классическое определение вероятности). Тем самым определена функ-
ция р(А), сопоставляющая каждому событию А число р(А). Эта функция
обладает свойством:
р(А + В) = р(А) + р(В),
где А, В —случайные несовместные события и А + В— сумма событий А и В.
Если пространство элементарных исходов является бесконечным, то для
строгого определения В. необходимо привлечение понятий и методов теории
меры. Аксиоматическое построение теории вероятностей на основе теории
меры было проведено в 30-х годах советским математиком А. Н. Колмогоровым.
В. р (А) события А может быть приближенно оценена следующим образом
(статистическое определение вероятности). Пусть испытание, в котором собы-
тие А может наступить, повторено большое количество раз Пусть М —
М
количество всех испытаний, в которых А наступило. Тогда р (А) «.
Точный смысл этого приблизительного равенства вскрывает Бернулли за-
кон.
Лит.: [139].
ВЕРТИКАЛЬ —см. Фронталь.
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ-два
выпуклых угла, центрально симмет-
ричных относительно их общей верши-
ны. В. у. конгруэнтны. На рис. 19, а
углы 1 и 2, 3 и 4 являются В. у.
В стереометрии также рассматривают-
ся В. у. Они образуются при пере-
сечении двух плоскостей (рис. 19, б)\
так, двугранные углы 1 и 2 с общим
ребром, а также углы 3 и 4—В. у.
Двугранные В. у. конгруэнтны; общее
их ребро можно рассматривать как
ось симметрии этих углов.
В. у. на плоскости, пожалуй, целесообразней было бы называть противо-
положными углами, так
как они ограничены про1ивоположно направленными
лучами, но силы традиции велики.
Лат.: vertex — вершина («вертикальные» углы—«привершинные» углы).
ВЕРХНИЙ ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ чисел аъ а2, ...» ап —
наибольшая из предельных точек этой последовательности, если последова-
тельность ограничена сверху; обозначается В. п. п. символом lini ап. Если по-
Л->00
ВЕРХНЯЯ ГРАНЬ ФУНКЦИИ
81
следовательность не ограничена сверху, то полагают lim =4 оо, если после-
довательность ограничена сверху и не имеет предельных точек, то полагают
lim ап =—оо. В случае существования конечного или бесконечного предела
Л->00
последовательности В. п. совпадает с этим пределом. Если В. п. конечен, то
его можно охарактеризовать следующим образом: число I будет В. п. после-
довательности, если в любой окрестности I найдется бесконечное множество
членов последовательности и если при любом е > 0 имеется лишь конечное
число членов последовательности, больших, чем
Примеры
1	*	1 о 1	1	р-
1.	1, -гр, 2, — , ..., п, — , ..lim а„ = 4-оо.
*	3	П	п -> оо
П n 1	3 п 4	_	п t 1	—	м
2.	2, —1,	—2, — , —3, ..., ---, —-п, ..lim ап— 1.
2	3	п	n-ж
ВЕРХНИЙ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ y = f(x) в точке а—наибольший (конеч-
ный или бесконечный) из частичных пределов функции в точке а: обозна-
чается он символом: lim f(x). Это определение сохраняет силу в тех слу-
х-+а
чаях, когда точка а заменяется на символы +оо, —оо, а также, когда х
стремится к а справа или слева (односторонний В. п. ф.).
Примеры. 1. lim 2sin —= 2; 2) lim f — -—L—_оо;
x- о x	x-> i \	\x—-1)* J
3) lim xcosx = + oo; 4) lim — = 4-oo, но lim —— — oo.
X-* + 00	X-+0+0 X	X-+0-0 X
ВЕРХНЯЯ ГРАНЬ МНОЖЕСТВА E (подмножества E множества действи-
тельных чисел) — наименьшее из чисел, ограничивающих данное множество
сверху, т. е. число 44, удовлетворяющее следующим условиям: 1) любое х из
множества Е удовлетворяет неравенству х«с44; 2) для любого е > 0 сущест-
вует в множестве Е такой элемент х', что х' > М—е. В. г. м. обозначается
символом sup£ = 44. У всякого ограниченного сверху множества существует
В. г. м. Если В. г. м. не принадлежит этому множеству, то она обязательно
является предельной точкой этого множества.
Примеры. 1. Е = | 1; -1 ; 2. ; . . .; J- ; . . . | , SUp Е = 1J 2) Е — ]бГ, 6[ —
конечный интервал; supE = &;	3) Е — последовательность art = sinn,
п=1,2, ..., sup Е= 1.
ВЕРХНЯЯ ГРАНЬ ФУНКЦИИ y = f(x) или u = f(xf,x2\ ...;х„) издан-
ном множестве Е—верхняя грань множества значений функции, которое она
принимает, когда аргумент х или (jq; х2; ...; хп) пробегает множество Е.
В. г. ф. обозначается символом sup / (х) или sup U (xf, х2; хп). Если при
хеЕ	хеЕ
некотором х из Е / (х) = sup / (х), то В. г. ф. на множестве Е является наи-
х^Е
82
ВЕТВЛЕНИЯ ТОЧКА
большим значением функции на множестве Е (говорят, что функция достигает
своей верхней грани).
Примеры. 1) sup (1—х2) = 1, 1 — наибольшее значение функции;
- 00 < X < оо
оно достигается при х = 0; 2) sup	(1—х2)=1, но функция не имеет наи
о <х< 1
большего значения на интервале ] 0; 1 [; 3) sup 2* не существует или, условно,
о < х < оо
равняется +оо, так как функция не ограничена сверху на данном множестве.
ВЕТВЛЕНИЯ ТОЧКА многозначной аналитической функции есть точка,
обход которой в комплексной плоскости по окружностям сколь угодно малых
радиусов с центром в этой точке, сопровождаемый непрерывным изменением
значений данной функции, приводит к значениям, отличным от первоначально
выбранных. Количество различных значений в каждой точке может быть как
конечным (например, z в окрестности о), так и бесконечным (например,
Ln z = Ln (р-е*?) = In р +пр в окрестности 0, оо, Arctg г — в окрестности ± t);
z = x + ^, р= Vx2 + y\ <p = Argz.
См. также: Аналитическая функция, Аналитическое продолжение.
ВЕТРЯНАЯ МЕЛЬНИЦА—одна, из плоских
кривых некоторого семейства, называемого узла-
ми. Полярное уравнение узлов имеет вид: р =
=агс tg &(р. При k — 2 узел есть одна из кривых
семейства; В. м. Форма В. м. напоминает лопасти
ветряной мельницы (рис. 20). В. м. имеет асимп-
тоты, уравнения которых таковы:
х= ± а, у = ± о,
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА—синоним терми-
на действительные числа. Обозначается множе-
ство В. ч. буквой R.
ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ЧИСЛА—два числа а 0 и , a£R.
Произведение В. о. ч. равно единице; это свойство можно принять за
определение В. о. ч. Положительные В. о. ч. удовлетворяют соотношению:
а-]—-^2. В. о. ч. используются при делении обыкновенных дробей, при
возведении чисел в степень с отрицательным показателем.
ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ (биекция) одного множества
на другое—такое отображение множества на множество УИ2» при котором
разные элементы из первого множества отображаются на разные элементы из
второго множества. Иначе: В. о. о. одного множества на другое—это такое
соответствие между элементами этих множеств, когда каждому элементу одного
из них соответствует только один элемент второго и обратно: каждому эле-
менту второго из множеств соответствует только один элемент первого мно-
жества.
В. о. о. называют также взаимно однозначным соответствием между эле-
ментами множеств.
Если множества находятся в отношении В. о. о., то они имеют одинако-
ВИВИАНИ КРИВАЯ
83
вую мощность. В. о. о. иногда называют <одно-одно-значным соответст-
вием» или «1—1 соответствием». Понятие В. о. о. одного множества на другое
было введено немецким математиком Г. Кантором около ста лет тому назад.
Пример. Существует В. о. о. множества натуральных чисел на мно-
жество их квадратов: п—>п2.
ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ между элементами двух
множеств — синоним термина взаимно однозначное отображение одного мно-
жества на другое.
См. также: Биекция, Инъекция, Сюръекция, Отображение.
ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ. Многочлены flt f2,	fk(k^2)
называются В. п. м., если их наибольший общий делитель является много-
членом нулевой степени. Одно из важных свойств В. п. м. состоит в том, что
если многочлен g взаимно простой с каждым из многочленовf2, то
многочлен g взаимно простой и с произведением
ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА—целые числа alt а2, ..., ak(k^2), не
имеющие общих делителей, кроме 1 и —1. Например, числа 18, 35 и 121
(здесь k = 3) — В. п. ч., по числа 14, 35 и 49 не являются В. п. ч., так как
они имеют общие делители 7 и —7 наряду с 1 и —1.
Основные свойства В. п. ч.: 1) если каждое из чисел alt а2, .1.,аь яв-
ляется В. п. ч. с Ь, то произведение а1а2...а/ъ и b—В. п. ч.;
2) если ait а2, ak—B. п. ч., то существуют x^Z(i=l, 2, ..., k)
k
такие, что а 1*1 = 1;
i=\
3) наименьшее общее кратное двух В. п. ч. совпадает с их произведением.
Понятие В. п. ч. не следует путать с понятием попарно простых
чисел.
ВЗВЕШЕННОЕ СТЕПЕННОЕ СРЕДНЕЕ п положительных чисел alt а2,..,
...,ап— обобщение степенного среднего. В. с. с. выражается формулой:
1
/ PiQ? ~t~	Рпап \ а
а \ Pl-Г Р2± • • • Т Рп /
В. с. с. является средним и обращается в степенное среднее при Pi = P2=...
...~рп. Так же как из степенного среднего
при некоторых конкретных значениях а полу-
чаются специальные виды средних, так и из
В. с. с. получаются взвешенное арифмети-
ческое среднее, взвешенное гармоническое
среднее и т. д. В. с. с. применяется в
различных вопросах математики и матема-
тической статистики, например при математи-
ческой обработке результатов наблюдений.
ВИВИАНИ КРИВАЯ —линия пересечения
сферы радиуса R и кругового цилиндра, обра-
зующая которого проходит через центр сферы,
а радиус равен R (рис. 21).
84
ВИЕТА ФОРМУЛЫ
Плоскость экватора (хОу) разделяет В. к. на две конгруэнтные части —
половины В. к., пересекающиеся в точке А. Ряд архитектурных памятников
(храмов, соборов), увенчанных полусферической крышей (куполом), имели на
этой крыше окна, контуры которых были В. к.
ВИЕТА ФОРМУЛЫ (Вьета формулы)—формулы, устанавливающие связь
между коэффициентами многочлена п-й степени (с коэффициентом при старшем
члене, равным единице) х7, + а1х/2“;1+•»•и его корнями oci, а2, ...» «п*
В. ф. имеют вид:
О] = — (<Хх + а2 + i.. + а„),
а2 ~ + (^i0^ + а1аз + • • • +	- 1ап)>
а3 = — (aia2a3 +	+ ... +	_ 2ап - !«„),
(—1)"аха2...а„.
В частном случае при п = 2 получаем В. ф. для многочлена второй сте-
пени ха + рх + </, а именно: af + a2 =— р, aia2 = p. Эти формулы впервые
были получены французским математиком Франсуа Виетом (1540—1603).
ВИЛЬСОНА КРИТЕРИЙ (теорема) — число tn является простым в том и
только в том случае, если (т— 1)! + 1	0 (mod tn), т. е. когда (т—!)!-[- 1 де-
лится на т. В. к. был высказан английским математиком Дж. Вильсоном
(1741—1793). Опубликован в 1770 г.
ВИНОГРАДОВА ТЕОРЕМА—одно из крупнейших достижений в теории
чисел первой половины текущего столетия. В. т. утверждает, что всякое до-
статочно большое нечетное число является суммой трех простых чисел. Дру-
гими словами, существует такое число (константа Виноградова), что всякое
нечетное число п, большее, чем С, представляется суммой трех простых чи-
сел. Число С было оценено в 1939 г. Бороздкиным, который показал, что оно
41,96
не больше, чем е . Позже эта оценка неоднократно улучшалась. В. т,
явилась решением Гольдбаха—Эйлера проблемы для нечетного случая. В. т.
была доказана акад. И. М. Виноградовым в 1937 г.
ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ — линия, описываемая точкой Л4, движущейся равно-
мерно по образующей кругового цилиндра, если сама образующая равномерно
вращается вокруг оси цилиндра. Кривая АМВ (рис. 22, а) есть В. л. Разли-
ВНЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ
85
чают правую В. л. (рис. 22,6) и левую В. л. (рис. 22, в) в зависимости от
того, как движется образующая: против часовой стрелки или по часовой
стрелке, если смотреть со стороны положительного направления оси г ци-
линдра. Расстояние |Л4В| = Л, которое проходит точка М за время полного
оборота вокруг оси цилиндра, называется шагом В. л.
Параметрические уравнения В. л. имеют вид:
x = rcos/, y = rsin/, z=~-/,
где г—радиус цилиндра, h—шаг, t — угол поворота радиуса ОМ' (М' — проек-
ция точки М на плоскость основания цилиндра).
Если цилиндрическую поверхность развернуть на плоскость, то В. л.
превратится в прямую.
Проекция В. л. на любую плоскость, проходящую через ось цилиндра
или ей параллельную, есть синусоида.
ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ—поверхность, описываемая плоской кривой
линией при своем винтовом движении вокруг неподвижной оси, т. е. вращаю-
щейся вокруг оси с постоянной угловой скоростью со и одновременно пере-
мещающейся поступательно с постоянной линейной скоростью v в направле-
нии оси вращения.
Если прямая линия совершает винтовое движение, то В. п. называется
геликоидом. Если прямая линия пересекает ось вращения под прямым углом,
то геликоид называется прямым или обыкновенной В. п.
ВИНТОВОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ—преобразование трехмерного евклидова про-
странства, являющееся композицией двух перемещений: вращения вокруг оси
и параллельного переноса в направлении этой оси (вектора).
ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО поля —то же, что и ротор векторного поля.
ВКЛЮЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ. Если два множества А н В таковы, что из
х£А следует х£В, то говорят о включении множества А в множество В и
записывают:
Ас В или В С А,
где с и □ знаки В. м.
Если множества А и В связаны вышеуказанным отношением, то множе-
ство А называется подмножеством (частью) множества В, а множество В на-
зывается надмножеством множества А. Впрочем, последний термин практи-
чески вышел из употребления.
Для отношения В. м. часто используются наряду с вышеотмеченными
знаками знаки и Отношение В. м. рефлексивно (см. Рефлексивность)
и транзитивно (см. Транзитивность). Если одновременно Ас В и Вс А,
то множества А и В равны.
ВНЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ треугольника —окружность, располо-
женная вне треугольника и касающаяся одной из его сторон и продолжения
Двух других сторон. Для всякого треугольника можно построить три В. о.,
центрами которых будут точки пересечения Оъ О2, 03 биссектрис внешних
углов этого треугольника (рис. 23).
86
ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Рис. 23
В планиметрии понятие В. о. используется
при решении задач на построение.
ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ —операция ум-
ножения во внешней алгебре.
ВНЕШНИЙ УГОЛ треугольника — угол,
смежный с одним из его внутренних углов; ве-
личина этого угла также называется В. у. тре-
угольника. В евклидовой геометрии имеет место
теорема: В. у. треугольника равен сумме внутрен-
них углов, не смежных с ним.
Аналогично определяется В. у. выпуклого
многоугольника. Сумма внешних углов выпукло-
го n-угольника всегда равна 4d.
В абсолютной геометрии справедлива теорема
о том, что В. у. треугольника больше каждого
внутреннего угла, не смежного с первым.
‘ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА Еп на векторном пространстве Ln (над полем К)~
алгебра с единицей (обозначается 1) и образующими elt е2,	со-
ставляющими базис линейного пространства Ln. В. а. по определению ассо-
циативна, т. е.
а/\(Ь/\с) = (а/\Ь)Лс, а, Ь, с£Еп
и определена соотношениями е[/\е}- = — Cj/\ei, е/Ле^ — О, 1 де/ = е/А 1 ==е/,
Z, /===1,2, ..., п, Л — знак умножения в В. а.
В. а. не зависит от выбора базиса elf е2, >.. ,еп линейного пространства Ln.
Это значит, что при выборе другого базиса в L„, удовлетворяющего пере-
численным выше свойствам, новая В. а. будет совпадать со старой.
Линейное пространство в Еп, являющееся линейной оболочкой всех эле-
ментов вида	где (r’i,/2, ..— набор из чисел 1,2,
называется внешней степенью линейного пространства Ln.
В. а. иначе называют алгеброй Грассмана.
ВНЕШНЯЯ СТЕПЕНЬ линейного пространства см. в статье Внешняя
алгебра.
ВНЕШНЯЯ ТОЧКА? 1°. В. т. множества действительных чисел—точка,
для которой существует открытый промежуток, содержащий эту точку и
целиком состоящий из точек, не принадлежащих данному множеству. Дру-
гими словами, В. т.—точка, не принадлежащая множеству вместе с некото-
рым содержащим ее промежутком.
2°. В. т. множества л-мерного евклидова или метрического пространства —
точка, для которой существует открытый шар соответствующего пространства,
содержащий эту точку и состоящий целиком из точек, не принадлежащих
данному множеству. Другими словами, В. т.—точка, не принадлежащая мно-
жеству вместе с некоторым содержащим ее открытым шаром.
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ поверхности — совокупность свойств поверх-
ности, которые не меняются при ее изгибании. Поскольку изгибание является
преобразованием поверхности, сохраняющее линейный элемент, то к В. г.
относятся те величины, которые могут быть выражены через коэффициенты
ВОЗВРАТА ТОЧКА
87
первой квадратичной формы поверхности. Такими величинами являются длина
линии, величина угла между линиями, площадь куска поверхности, геодези-
ческая кривизна кривой на поверхности, полная кривизна поверхности и др.
В то же время нормальная кривизна кривой на поверхности, средняя
кривизна поверхности не являются объектами В. г. Существенным отличием
свойств В. г. от других геометрических свойств является то, что первые могут
быть сформулированы без употребления терминов, связанных с пространст-
вом, в котором лежит поверхность (объемлющим пространством).
Понятие В. г. рассматривают не только в применении к случаю двумер-
ной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, по и в более общем
случае /n-мерной поверхности в n-мерном евклидовом пространстве.
Лит.: [117].
ВНУТРЕННЯЯ ТОЧКА: 1°. В. т. множества действительных чисел —
точка данного множества на числовой оси, для которой существует содер-
жащий эту точку открытый промежуток, целиком состоящий из точек мно-
жества. Другими словами, В. т. — точка, принадлежащая множеству вместе
с некоторым содержащим ее открытым промежутком.
2°. В т. множества н-мерного евклидова или метрического пространства —
точка данного множества, для которой существует открытый шар соответст-
вующего пространства, содержащий эту точку и целиком состоящий из точек
данного множества. Другими словами, В. т. — точка, принадлежащая множе-
ству вместе с некоторым содержащим ее открытым шаром.
ВОГНУТОСТЬ—свойство графика у — [(х) (кривой). Кривая f (х) назы-
вается вогнутой в точке х = х0, если существует окрестность точки х0 такая,
что в этой окрестности каждая дуга кривой лежит не ниже своей хорды.
Вместо слова «во!нута» говорят также, что кривая обращена выпуклостью
вверх. Если существует /" в окрестности х0, то В. в точке x—xfl характери-
зуется условием f" (х0)	0.
ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ (натуральную) числа или выражения—опе-
рация, состоящая в нахождении произведения:
ааа-. . ,-а — ап,
п множителей
где n£N'f п называется показателем степени, а—основанием степени на”—
степенью. Понятие В. в с. в математике обобщается на случай, когда n£Z,
а затем, когда n£R или п£С. Термин В. в с. встречается также и в абст-
рактной алгебре (в теориях групп, колец и др.), где рассматривается муль-
типликативная ассоциативная операция. В. в с. имеет две обратные операции:
извлечение корня и логарифмирование.
См. также: Степень числа, Мультипликативная группа, Извлечение корня,
Логарифмирование.
ВОЗВРАТА ТОЧКА (точка заострения) — особая точка кривой, такая, что
две ветви кривой, исходящие из этой точки, имеют общую полукасательную.
Для плоской кривой В. т. делятся на В. т. первого и второго рода. В пер-
вом случае обе ветви кривой лежат по одну сторону от касательной, во вто-
ром случае — по обе стороны.
88
ВОЗВРАТНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
ВОЗВРАТНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — последовательность чисел а0,
alt а2, ...,ап удовлетворяющих соотношению:
an+p-\~cian+p-i~}- • • • +<угя = О,
где clt c2t а ., ср—постоянные величины для данной В. п. Это соотношение
позволяет, зная первые р членов В. п., последовательно (рекуррентно) вычис-
лять ее последующие члены. Примером В. п. может служить Фибоначчи ряд,
в котором a0 = ai= 1 и выполняется соотношение ап + 2 = ап + 1-}- ап для осталь-
ных членов. Термин В. п. предложен А. де Муавром, рассмотревшим степен-
ные ряды, коэффициенты которых образуют В. п.
Лиг.: [157].
ВОЗВРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ п-й степени — алгебраическое уравнение:
aoxn-f- а1хп~1+ ... 4-ап_1Х + ап = 0,	(*)
в котором ak~an-k, где 6 = 0, 1, 2, .п. Часто В. у. определяют как урав-
нение вида (♦), в котором коэффициенты членов, равноотстоящих от начала
и конца, одинаковы. Последнее определение менее удачно, так как может
привести к недоразумению (например, уравнение х5 + Зх3 + Зх2 + х = 0 не яв-
ляется В. у., так как в нем а0= 1, П1 = 0, а2 = 3, а3 = 3, я4 = 1 и а5 = 0, т. е.
во аг Ф а4, хотя п2 = п3).
Термин В. у. был введен Л. Эйлером в 1733 г.
Корни В. у. отличны от нуля. Если а—корень В. у., то также яв-
ляется корнем этого В. у. (В. у. нечетной степени имеет корень хг = — 1;
делением его левой части на х+ 1 оно сводится к В. у. четной степени.)
Решение В. у. четной степени 2т подстановкой y = x-j--^- сводится к ре-
шению уравнения т-й степени и 2т квадратных уравнений. К В. у. сводится
уравнение деления круга. Близкими к В. у. являются косовозвратное урав-
нение и возвратное уравнение второго рода.
Пример. Решим В. у. х5 + 3х4—6х3 — 6х2 + 3х + 1 =0. хх = — 1. По-
этому исходное уравнение сводится к В. у. четвертой степени:
х4 4- 2х3 — 8х2 4- 2х + 1 = 0.
Разделив обе части уравнения на х2 (х ?= 0) и сделав замену у = А; + "~,откуда
у2 — 2 = х2 + -^, получаем: у2-\-2у—10 = 0. Отсюда t/1>2 =—1± рПТ. Да-
лее имеем:
— 1 — КП ± Кв-J 2 КП —1 + КП ± Кв—2 /П
*2,3 —	2	’	*4,5 ~	2
ВОЗРАСТАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — последовательность
а2, ...,ап ..., для которой каждый следующий член больше предыдущего:
а„ + 1 > ап (п £N). В случае выполнения нестрогого неравенства an+i^an
последовательность называется неубывающей. Неубывающая ограниченная
последовательность имеет конечный предел.
ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ОСИ
89
ВОЗРАСТАЮЩАЯ ПРОГРЕССИЯ: 1°. В. п. арифметическая — такая про-
грессия, разность которой больше нуля (d > 0).
2°. В. п. геометрическая — такая прогрессия, знаменатель которой больше
единицы (q > 1) и первый член положителен.
ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ в п-угольник—окружность, касающаяся
каждой из сторон этого n-угольника. Центр В. о. равноудален от сторон
многоугольника. Для того чтобы можно было вписать окружность в выпуклый
четырехугольник, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин противопо-
ложных сторон его были равны. В любой правильный многоугольник можно
вписать окружность.
ВПИСАННЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК (в кривую или другой многоугольник)—
многоугольник, все вершины которого лежат на кривой или сторонах другого
многоугольника. Говоря о В. м. в другой многоугольник, следует заметить,
что В. м. может иметь меньшее число сторон, чем тот, в который вписан
многоугольник. В общем случае говорят о многоуголь-
нике, вписанном в кривую 2-го порядка; о квадрате,
вписанном в круговой сегмент; о треугольнике, вписан-
ном в квадрат; о треугольнике, вписанном в треуголь-
ник (см., например, Шварца треугольник}, и др.
ВПИСАННЫЙ УГОЛ — угол, вершина которого ле-
жит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Угол АВС (рис.24) — В. у. Дуга ARC, не содержащая
вершины В, называется дугой, на которую опирается
В. у. Имеет место предложение: величина В. у. равна
половине угловой величины дуги, на которую он опи-
рается. В. у., опирающийся на диаметр (следователь-
но, на полуокружность), — прямой.
ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО—упорядоченное множество,
в котором всякое непустое подмножество имеет элемент, предшествующий
всем остальным элементам. Примером В. у. м. может служить натуральный
ряд с естественным отношением порядка чисел по возрастанию.
ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ОСИ — перемещение трехмерного евклидова прост-
ранства, при котором каждая точка некоторой прямой / (оси вращения)
остается неподвижной и перпендикулярная этой оси плоскость L переходит
в себя, причем последнее преобразование есть поворот плоскости вокруг точки
пересечения плоскости L с прямой / на угол а (не зависящий от L).
Если выбрать декартову прямоугольную систему координат так, чтобы
оси х, у принадлежали плоскости L, а ось г совпадала бы с прямой I, то
В. в. о. может быть описано формулами:
х' = х cos а — у sin а,
у' = х sin а+ (/cosа,
г' =--- г.
где х, у, z (х', у’, г')—координаты исходной (преобразованной) точки, а а —
величина угла поворота.
90
ВРОНСКИАН
ВРОНСКИАН —определитель, составленный из функций/1 (х),/2 W, •• •
. ..,/л(х) и их производных до п—\ порядка включительно:
Ц7(Х) =	Л Л	/2	» /2	• • fn »‘ fn
	z<n-	-1) с(Л—1) /2	;<П-1) • • /п
Такое название дано функции U7 (х) по имени польского математика Ю. Врон-
ского.
Тождественное обращение В. в нуль является необходимым условием
линейной зависимости системы функций /1 (х), /2(х),	(имеется в виду
линейная зависимость с постоянными коэффициентами).
Если /] (х), /2 (х)» •»•> fn (х) — решения дифференциального уравнения
У(п} + ап -1 W У,п - ” + • • • + а0 (х) у = 0	(*)
и В. системы функций Л (х), /2 (х),	обращается в нуль в некоторой
точке х = х0, т. е. W (хо) = О, то W (х) = 0 при всех х.
В. W (х), составленный для системы решений Л (х), /2 (х), ...,/п(х) урав-
нения (♦), удовлетворяет дифференциальному уравнению
Г' (х) = ап_1(х) F (х),
из чего вытекает формула:
ТГ (х) = IF (х0) exp J а„_, (х) dx.
*0
В теории систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
В., составленным из п векторных функций у{1) =	уп'), i=l,
2, .п, являющихся решениями системы уравнений
У1 = «п (х) У! + «12 (х) у2 + ... + «и (х) уп
У1 = в2\ (X) У1 4- «22 (х) У2 4- • . . 4- «2л (X) уп
Уп ~ ап\ (х) 4" «л2 (х) У2 + • • • 4" апп (х) Уп>
называют определитель
№ (х) =
У?\	уГ
У2>, у?\ ...» уГ
У(п1\у'п-\	у!Г
Имеют место соотношения:
р;" (х) = [ап (х) 4- а22 (х) + ... 4- апп (х)] W (х),
W' (х)= W (х0) ехр [ои (х)4-агз (х)4-... +апп (х)] dx.
ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
91
Из последней формулы следует, что если 1Г(хо) = О, то W (х) = 0 при всех х.
Лит.: [12, ПО].
ВСЕОБЩНОСТИ КВАНТОР —то же, что и общности квантор *
ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ функционала
ь
Hy]=^F (х, у, у') dx,	(*)
а
определенного на множестве всех непрерывно дифференцируемых функций
у = у(х), таких, что у (а) = ylf у(Ь) — у2 (у\, у2 — заданные числа) — функционал
ь
б2/ [/!] = $ (Qft2+ Ph'2) dx,
а
где(2=у ^Fyy~^Fyy'^ > P = ^Fy'y,} h(a)=h(b) — O. Если функция
у = у(х) является экстремалью функционала / [у], то в случае положитель-
ной определенности В. в. (62/ (А) > 0)'функция у = у(х) является локальным
минимумом функционала /; в случае отрицательной определенности В. в.
(62/ (А) < 0) функция у = у (х) является локальным максимумом функционала /.
В. в. является аналогом второго члена d2f |р формулы Тейлора (см.
Тейлора формула) для функции f нескольких переменных; здесь d2/|p—второй
дифференциал (см. Высшие дифференциалы) функции f в точке Р. (В этой ана-
логии функции f соответствует функционал /, первому дифференциалу соответ-
ствует первая вариация, точке Р—функция у(х), вектору приращения
аргументов функции f—функция А(х).)
Лит.: [156].
ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА поверхности. Пусть М = М(и, v) —
уравнение поверхности S в трехмерном евклидовом пространстве Е3, М =
= х (и, и) i’+ у (и, v) j—\--Z (и, v) k\ i\ j, /?—единичные координатные орты
в Е3. Если функции у, г дважды непрерывно дифференцируемы, то опре-
делена квадратичная форма относительно дифференциалов du, dv:
(п, d2M) — L du2 4- 2M du dv-\- N dv2,
где n—единичный вектор нормали к поверхности S (его нужно вычислить
по формуле п = —7=—=—-, где Ми, —частные производные векторной
I X Mv |
функции М по переменным и, , ^2Л1— второй дифференциал М, т. е.
d2M = Маи du2 4- 2MUV du dv 4- Mvv dv2.
В. к. ф. поверхности инвариантна относительно замены переменных (несмотря
на то, что d2M этим свойством не обладает).
92
ВТОРАЯ КРИВИЗНА
Коэффициенты L, Л4, W следующим образом выражаются через функции
х, у, г и их частные производные по и, v:
L = v \ {ми, Mv, Маи),
lAfnXMJ
М= _	(М„, Mv, Mav),
| мих Mv I
N =	(Ma, Mv, Mvv).
IMaXMvl
В. к. ф. поверхности вместе с первой квадратичной формой ds2 опреде-
ляют все дифференциально геометрические свойства поверхности, расположен-
ной в трехмерном евклидовом пространстве.
В частности, кривизна нормального сечения поверхности, проходящего
через вектор Ми du-\-Mv dv, в точке (и, v) равна
b_L du2 + 2M dudv-\-N dv2
Задание двух квадратичных форм (первой и второй) определяет поверхность S
однозначно с точностью до ее расположения во вмещающем трехмерном про-
странстве.
Однако, для того чтобы две произвольные квадратичные формы (одна из
которых положительно определена) являлись первой и второй квадратичными
формами поверхности, необходимо (и достаточно), чтобы они совместно удов-
летворяли некоторым условиям. Эти условия были найдены К. Ф. Гауссом
(см. Гаусса формула) и К. М. Петерсоном (см. Петерсона—Кодации уравне-
ния).
Лит.: [117].
ВТОРАЯ КРИВИЗНА пространственной кривой то же, что кручение про-
странственной кривой.
ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ — производная от производной f функции f
(действительного) переменного х называется В. п. функции f и обозначается
/* (читается: «Эф два штриха»).
В. п. характеризует ряд глубоких свойств функции. Знаком В. п. функ-
ции f характеризуется направление выпуклости графика функции: если на
некотором промежутке В. п. положительна, то график на нем обращен вы-
пуклостью вниз; если на некотором промежутке В. п. отрицательна, то график
обращен выпуклостью вверх. Если в некоторой точке В* п. равна нулю, то
график функции при этом значении х может менять направление выпуклости,
т. е. точка может быть точкой перегиба (см. Перегиба точка).
Лит.: [140].
ВУРФ— четверка точек проективной прямой, взятая в определенном
порядке. Обозначается В. так: {ABCD}. Два прямолинейных В. равны, если
образующие их четверки точек проективны: {ABCD} = {Af B'C'D'}, если
(АВ, CD)^ (A'B't C'D'). Аналогично рассматриваются плоские и пространст-
венные В. Над В. можно производить операции сложения и умножения, как
над числами в арифметике.
ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД
93
Термин В. был введен немецким математиком Штаудтом.
Вурф (wurf — нем.)—бросок (см. Сложное отношение).
ВЫБОРА АКСИОМА, или Цермело аксиома, —аксиома теории множеств,
предложенная немецким математиком Э. Цермело в 1904 г*
В. а. утверждает, что если элементами множества Т являются непустые
непересекающиеся множества Аа, то существует по крайней мере одно мио-*
жество В, содержащее по одному и только одному элементу из каждого мно-
жества Аа из Г.
С помощью В. а. Э. Цермело доказал теорему о возможности вполне
упорядочить любое множество. В. а. вызвала большую полемику среди ученых,
часть которых не признала ее, а стало быть, и многие результаты теории
множеств, математического анализа, алгебры и т. д., доказательства которых
опираются на В. а.
В 1963 г. американский математик П. Коэн доказал, что В. а. является
независимой в системе аксиом (Цермело—Френкеля) теории множеств.
В. а. называют также принципом произвольного выбора.
Лит.: [68].
ВЫБОРКА, или выборочная совокупность,— термин выборочного метода
в математической статистике. В.— это та часть генеральной совокупности,
элементы которой подвергаются статистическому обследованию. Объем В.,
т. е. число п ее элементов, предполагается существенно меньшим, нежели
объем N генеральной совокупности.
Различают два вида В.—бесповгорная, когда отобранный (и статистиче-
ски обследованный) из генеральной совокупности в В. элемент не возвра-
щается в генеральную совокупность, и повторная, когда отобранный в В.
элемент после обследования возвращается в генеральную совокупность. При
повторной В. таким образом один и тот же элемент может попасть в В.
несколько раз.
ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД—ряд способов оценки параметров генеральной
совокупности по параметрам выборки и в более общем виде—оценки распре-
деления генеральной совокупности по выборочному распределению.
Существуют два способа оценки параметров генеральной совокупности —
точечная оценка и интервальная оценка. Точечная оценка должна удовлетво-
рять условиям состоятельности, эффективности и несмещенности (см. Состоя-
тельная оценка, Эффективная оценка, Несмещенная оценка).
Важным примером применения В. м. является нахождение интервальной
оценки среднего значения генеральной совокупности, распределенной нор-
мально. Решение этой задачи вытекает из соотношения
— s	— s \
<а<Л+/^) = 7’ W
здесь а — оцениваемое среднее, х—средняя выборочная, п—объем выборки,
f D — дисперсия выборки, у — доверительная вероятность, t —
п— 1	v
'v
число, удовлетворяющее соотношению 2^ S (/; n)dt — y (t^ обычно находят
О
94
ВЫДЕЛЕНИЕ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА
из таблицы), S (£; л) — дифференциальная функция распределения Стыодента
(см. Стьюдента распределение).
/— S
Формула (♦) определяет доверительный интервал (x—t—— ,
\ у у п
х -Н —, которому с заданной вероятностью у принадлежит неизвестное а.
у у п /
См. также: Статиститская проверка.
Лит.: [44].
ВЫДЕЛЕНИЕ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА — тождественное преобразование
трехчлена, заключающееся в том, что данный трехчлен представляют в виде
суммы квадрата двучлена и некоторого выражения, числового (которое может
быть равно нулю) или буквенного.
П р и ме р ы В. к. д. 1) a24-2ab + &2 = (a + d)2; 2) а2—2ад + &2 = (а—6)2;
3) х2+10х—4=х2—2-5х + 25 —25 —4 = (х+5)2 —29.
В. к. д. используется при выводе формулы корней квадратного уравне-
ния и решения уравнений и неравенств, при упрощении уравнения кривой
2-го порядка, при построении графика квадратного трехчлена и при изуче-
нии других вопросов математики.
См. также: Тождественное преобразование.
ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ за скобки—тождественное прео-
бразование многочлена, заключающееся в том, что многочлен разлагают на
множители, используя распределительный (дистрибутивный) закон.
Примеры ' Bi о. м. 1)	6а2д—12а62-|- 42a2b2 = 6ab (а—2Ъ-\-7аЬ)\
2) (х—5)—2а?(5—х) —(х—5)(1+2х).
В. о. м. за скобки применяется при решении- всевозможных уравнений
и неравенств, при упрощениях (преобразованиях) различных выражений.
ВЫПРЯМЛЕННЫЙ» УГОЛ—синоним термина развернутый угол. Термин
В. у. выходит из употребления.
ВЫПУКЛАЯ КРИВАЯ на плоскости относительно декартовой системы
координат—кривая, каждая дуга которой лежиг не выше своей хорды. Более
точно: если y = f(x)—уравнение В. к. и у = Ах-}-В—уравнение какой-нибудь
хорды с концами (xj; у^ (х2; t/3), то имеет место неравенство f (х) < Ах-\-В
для всех хт < х < ха. Следующее условие является достаточным для того,
чтобы кривая. y = f(#) была В. к.: f” (х)$^0. (В предположении, что функция
f (х) дважды дифференцируема.)
Кривая называется В. к. в точке х0, если она является В. к. в некото-
рой окрестности точки х$.
ВЫПУКЛАЯ ОБЛАСТЬ евклидова (аффинного) пространства — область D,
обладающая следующим свойством: если Р, Q—две любые точки, принадле-
жащие Dy то все точки отрезка PQ также принадлежат D.
Пересечение любого конечного числа В. о. либо пусто, либо является В. о.
Пример. Непустое множество точек (хх; х2; ...; хл) n-мерного евкли-
дова пространства, удовлетворяющее системе линейных неравенств
^11*1 +	2*2 + • • • + а1пхп <
«21*1 + «22 *2 + • • • + а2пхп < ^2
является В. о.
«тЛ + «/л2х2 + • • • + атпхп <
ВЫРАЖЕНИЕ С ПЕРЕМЕННОЙ
95
См. также: Выпуклое множество.
ВЫПУКЛАЯ ПОВЕРХНОСТЬ в трехмерном евклидовом пространстве
относительно декартовой системы координат—поверхность, у которой каса-
тельная плоскость в каждой точке лежит не выше данной поверхности. Более
точно: если z=f(x\y)—уравнение В. п. и г = Ах-\-Ву + С—уравнение ее
касательной плоскости, то имеет место неравенство f (х, у)^ Ву+С.
Следующее условие является достаточным для того, чтобы поверхность
z = f (х, у) была В. п.
\dxdy/ \дх2/ \ ду2 )	* дх2
(В предположении, что функция f дважды дифференцируема.)
Поверхность z = f(x,y) называется В. п. в точке (х0; у0), если она
является В. п. в некоторой окрестности точки (х0; у^).
ВЫПУКЛАЯ ФИГУРА—-фигура, множество точек которой является
выпуклым множеством.
ВЫПУКЛАЯ ФУНКЦИЯ—-функция y = f (х), график которой обладает
свойством выпуклости. Для любых трех точек Xf < ха < х3, принадлежащих
области определения В. ф., имеет место неравенство:
(*»—х,) f (х,) +.(Xi—xs) f (*,)+.(*,—*1) / (Xi) За 0.
Примерами В. ф. являются у = еах, y=xik, fe=l, 2, .... а, ... . Если /(х)
дважды дифференцируемая В. ф., то [" (х)^0.
В. ф. нескольких переменных определяются аналогично.
ВЫПУКЛОЕ МНОЖЕСТВО — множество точек евклидова или аффинного
пространства, обладающее тем свойствам, что соединяющий две его любые точ-
ки прямолинейный отрезок целиком содержится в этом множестве. Примерами
В. м. являются шар, куб, иолу пространство, выпуклые многогранники. В. м.
обладают рядом интересных и важных свойств, изучением которых занимается
теория выпуклых тел. Основы этой теории заложены в конце XIX в. немец-
кими математиками Г. Брунном и Г. Минковским. Глубокие результаты в этой
области были получены советскими математиками А. Д. Александровым,
А. В. Погореловым.
В последнее время интерес к В. м. усилился в связи с развитием линей-
ного программирования, математического программирования, динамического
программирования.
Лит.: [3]
ВЫПУКЛОЕ ТЕЛО —тело, множество точек которого является выпук-
лым множеством.
ВЫПУКЛОСТЬ —свойство графика функции y = f(x) быть выпуклой кри-
вой и свойство графика функции z = f(x,.y^ быть выпуклой поверхностью.
ВЫРАЖЕНИЕ С ПЕРЕМЕННОЙ — выражение, содержащее одну перемен-
ную. Переменная, входящая в выражение, может быть обозначена любой
буквой, например а, х, у и т. д. Если выражение содержит две или большее
число переменных, то оно называется выражением с переменными. Например,
(о—3)+2а есть В. с п. а; (х—3y-f-5) есть В. с п. х и у.
96
ВЫРОЖДЕННАЯ МАТРИЦА
См. также: Переменная, Предикат, У равнение.
ВЫРОЖДЕННАЯ МАТРИЦА (вырождающаяся, особенная матрица; —
квадратная матрица, определитель которой равен нулю.
ВЫСКАЗЫВАНИЕ — термин математической логики, которым обозначается
предложение в каком-либо языке (естественном, искусственном или формаль-
ном), рассматриваемое лишь с точки зрения его истинности. В. составляют
предмет изучения начального раздела математической логики — исчисления
высказываний, в котором В. может быть либо истинным, либо ложным. В ма-
тематической логике рассматриваются также исчисления, в которых истин-
ность В. принимает не два значения (истина, ложь), а большее число значений.
Если В. обозначить одной буквой, например буквой А, то его отрицание
обозначается “] А или А и читается «не А» или «неверно, что А».
Примеры В.
1. Функция целая часть числа х есть ступенчатая. Это верное (истинное) В.
2. Композиция двух отображений на плоскости, вообще говоря, неком-
мутативна. Например, Slt о Sl2 £	S^, где lJf 12 — не перпендикулярные
оси симметрий. Это также верное (истинное) В.
Из простейших В. А и В можно получать сложные высказывания, исполь-
зуя логические связки. В. также называют утверждением.
См также: Конъюнкция, Дизъюнкция, Импликация, Квантор.
ВЫСКАЗЫВАНИЙ ИСЧИСЛЕНИЕ — начальный раздел математической
логики, в котором рассматриваются логические операции над высказываниями
(см. Высказывание). Основные операции над высказываниями: конъюнкция,
дизъюнкция, импликация, отрицание, а также другие операции, производные
от основных. С помощью операций из простых высказываний строятся слож-
ные. В В. и. рассматривается истинность сложных высказываний как функ-
ция истинности простых высказываний. Рассматриваются также правила
вывода, т. е. получения из истинных высказываний правильных следствий,
что является абстракцией анализа теории доказательств.
Лит.: [93].
ВЫСКАЗЫВАТЕЛЬНАЯ ФОРМА — повествовательное предложение, содер-
жащее одну или несколько переменных. В. ф. не является высказыванием, а
лишь по форме напоминает нам высказывание. В. ф. обращается в высказы-
вание, если вместо переменных подставить их значение Например, уравне-
ние 1=3 есть В. ф., и оно обратится в высказывание, если вместо
переменной х подставить какое-либо число.
В. ф., содержащая одну переменную, называется одноместным предикатом;
В. ф., содержащая п переменных, называется «-местным предикатом. В. ф.
иначе называется высказывательной функцией.
См. также: Высказывание, Квантор, Предложение с переменной.
ВЫСОТА: 1°. В. выпуклой плоской фигуры относительно отрезка (осно-
вания), принадлежащего ее границе, есть наибольшая из длин отрезков пер-
пендикуляров, проведенных из граничных точек фигуры на прямую, содер-
жащую этот отрезок (основание). На рис. 25, а — в изображены различные
фигуры и их В.; так, В. кругового сегмента АС В есть отрезок СР (стрелка
сегмента) или его длина; высота треугольника АВС относительно стороны
(основания) АВ есть отрезок CD; отрезок ML (или конгруэнтный ему отре-
ВЫСШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
97
зок СК) есть высота параллелограмма ABCD (за основание его взят отре-
зок AD).
2°. В. выпуклой пространственной фигуры (тела) относительно плоского
основания (замкнутой плоской фигуры), входящего в границу этой фигуры,
есть наибольший из отрезков перпендикуляров, проведенных из граничных
точек фигуры на плоскость основания.
На рис. 25, г — е изображены высоты различных трехмерных фигур:
отрезок CD — В. (стрелка) сферического сегмента АВС\ отрезок KL—В. на-
Рис. 25
клонного (косого) цилиндра; отрезок SO—В. пирамиды относительно осно-
вания АВС.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА — ряд математических дисциплин, изучаемых
во многих учебных заведениях: аналитическая геометрия, дифференциальное
исчисление, интегральное исчисление, линейная алгебра и некоторые другие.
Название термина В. м. связано с тем, что раньше В. м. изучалась в ос-
новном в высших учебных заведениях; в ней использовались общие методы
исследования функций и другие методы, и тем самым В. м. противопостав-
лялась термину «элементарная математика», изучавшейся в средних учеб-
ных заведениях.
Однако в настоящее время деление математики на высшую и элементар-
ную не делается, поскольку начала математического анализа—дифференциаль-
ное и интегральное исчисление—в небольшом объеме, но на достаточно
строгом уровне теперь изучаются в старших классах средней школы.
См. также: Анализ математический, Аналитическая геометрия, Линей-
ная алгебра, Дифференциальные уравнения, Элементарная математика.
ВЫСШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ функции y = f(P), Р (хх, х2; ...; хп) —
формы k-н (k = 2, 3, ...) степени dkf |р относительно приращений Дхь Дх2, -
Дхп, определяемые символической формулой:
(д	а	()	\ ь
~д^х'+~дГ, дх8+‘,-+а?7ЛА") Лр-
(О	()
•gj- Д*! -f- Дх2 4-... -j- -- Дхп 1 имеет сле-
4 № 765
98
ВЫЧЕТ
дующий смысл: &-я степень суммы вычисляется по правилам умножения
многочленов с дополнительным условием:
-ч— • з—=з—> G / = 1; 2;
dxi дх; dxidxj 1
Полученное в результате возведения в степень символическое выражение
dVL=(/, + f, + ? + r„ = /‘'1G- “ik дХ‘1' Щ . • -Ч»)	ДЛ22---ДХ"
рассматривают как оператор дифференцирования, применяемый к функции f:
dkf\ =*	> Л. .	. —:----ч--------/
il+l,+^.+in=k 111г--Лпдх11'дх^...дх‘пп 1₽
Дх * ‘ Дх'2“... Дх‘п".
(*)
В. д. dkf не обладают свойством инвариантности относительно замены
переменной в отличие от (первого) дифференциала df.
В. д. входят в правую часть формулы Тейлора (см. Тейлора формула).
Формулу (*) можно записать иначе, заменив формально Дх/ на dx{. Если
(*) выражает В. д. как форму k степени через аргументы Дх/, то новая запись
дает выражение В. д. через линейные формы
dxi (Axi, Дх2, .»., Дх„) = 1 • Дх/.
См. также: Дифференциал.
Пример.
й 4«+.5м+гАш,+|м.
ВЫЧЕТ: 1°. В. аналитической функции f комплексного переменного от-
носительно изолированной особой точки z0 называется коэффициент при
(z — z0)~x в разложении этой функции в Лорана ряд в окрестности этой
точки. Знание В. в некоторых случаях позволяет вычислить интегралы функ-
ции f по замкнутому в комплексной плоскости контуру (в частности, по
действительной оси от — оо до + оо).
2°. В теории чисел В. числа а по модулю т называется остаток от
деления а на т, где а и т— произвольные целые числа.
ВЫЧИСЛИМАЯ ФУНКЦИЯ — одно из основных понятий теории алго-
ритмов (см. Алгоритмов теория). Функция f называется вычислимой, если
существует алгоритм, перерабатывающий в f (х) всякий х, для которого/
определена, и не применимый ни к какому х, для которого f не определена.
Значениями аргумента и значениями В. ф. могут быть лишь так называемые
конструктивные объекты.
Примеры. Для х £ N функция [ (х) = х2 будет В. ф. Эта же функция
для х ел не будет В. ф. (ввиду неконструктивности задания аргумента).
Саррюса правилом задается В. ф. на множестве квадратных матриц третьего
порядка с натуральными, целыми или рациональными элементами.
См. Частично-рекурсивная функция, Тьюринга машина, Нормальный
алгоритм.
ВЫЧИТАНИЕ
99
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА — направление в математике, рас-
сматривающее круг вопросов, связанных с использованием электронных
вычислительных машин (ЭВМ). Такое понимание термина В. м. нельзя считать
установившимся. Часто термин В. м. понимают как синоним численных
методов.
В В. м. можно условно выделить три раздела. Во-первых, раздел, свя-
занный с теорией и практикой математического моделирования, т. е. с соз-
данием и анализом математических моделей реальных естественных и социаль-
ных процессов. Во-вторых, раздел, связанный с разработкой методов постановки
и решения массовых задач на ЭВМ. В-третьих, раздел, связанный с взаимо-
отношениями человек — ЭВМ. Последний раздел включает в себя и такие
вопросы, как автоматизация программирования для ЭВМ и разработка алго-
ритмических языков.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА—совокупность технических и матема-
тических средств, приемов и методов для облегчения и ускорения решения
трудоемких задач, связанных с большим объемом числовой информации,
путем автоматизации вычислительного процесса.
Исторически первые устройства для механизации вычислений (абак, ки-
тайские счеты) и математические правила для решения массовых задач (на-
пример, Евклида алгоритм) появились за сотни лет до н. э. Вычислитель-
ные устройства типа логарифмической линейки, арифмометра стали появ-
ляться в XVII в. Затем появился планиметр. В XIX и XX вв. начали
конструировать вычислительные машины с программным управлением и за-
поминающими устройствами.
Революция в В. т. произошла в 40-х гг. XX в. с созданием электрон-
ных цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ). Первая ЭЦВМ «ЭНИАК»
была создана в США в 1946 г., а уже к 1965 г. мировой парк ЭЦВМ пре-
вышал 50 тысяч экземпляров машин различного назначения. Первая совет-
ская ЭЦВМ «БЭСМ» была построена под руководством академика С. А. Ле-
бедева. В настоящее время в СССР выпускаются различные ЭЦВМ, например
«Минск», «Урал», «Мир» и т. д., пользующиеся широкой известностью как
в нашей стране, так и за рубежом.
ВЫЧИТАЕМОЕ — один из элементов (второй элемент) бинарной операции
вычитания. Например, в выражениях с—а = Ь и 7—3 = 4 В. являются соот-
ветственно а и 3.
ВЫЧИТАНИЕ — операция, обратная к (коммутативной, бинарной) опера-
ции сложения. Если (в абелевой группе или в аддитивной группе кольца)
а-\-Ь — с, то под В. из элемента с, называемого уменьшаемым, элемента а,
называемого вычитаемым, понимают элемент Ь = с—а, называемый разностью
элементов сна. Лля обозначения операции В. используется знак минус,
введенный немецкими математиками в конце XV в.
4*
г
ГАЛУА ГРУППА алгебраического уравнения:
хп + а1Х'’-*+...+л„_1х+ял = 0.	(*)
Рациональным соотношением между корнями 51. £2. .... уравнения
(*) называется многочлен F (xlt x2t ...» хп) от п независимых переменных,
обращающийся в нуль при x1 = 5i, х2—£2, •••» Хп — Ъп> причем коэффициен-
ты многочлена F выражаются с помощью операций сложения, вычитания,
умножения и деления через коэффициенты аъ а2, ...» ап.
Множество всех перестановок переменных хъ х2, хп, переводящих
рациональное соотношение .снова в рациональное соотношение, образуют
Г. г. относительно операций умножений подстановок.
Г. г. впервые рассматривал французский ученый Э. Галуа (1811 —1832)
в связи с исследованием алгебраических уравнений п-й степени.
Лит.: [111].
ГАЛУА ТЕОРИЯ — созданная Э. Галуа (1811 —1832) теория алгебраиче-
ских уравнений с одним неизвестным, т. е. уравнений вида:
X" 4- агхп -1+а2х" - 2 4- ... 4- а„_ ,х 4- а„ = 0.	(*)
Задача ставится так: выразить корни уравнения (*) через его коэффициенты
а2» •••> ап с помощью четырех арифметических операций и операции
извлеченйя корней. Поэтому задача часто именуется задачей о разрешимости
уравнения (*) в радикалах. При п=1 и п = 2 решение этой задачи было
известно еще в античной древности. При п = 3 и п = 4 задача была решена
в эпоху Возрождения (XVI в.) итальянскими математиками Бомбелли, Ферро,
Кардано, Тарталья, Феррари. В течение трех следующих веков все попытки
решить в радикалах уравнение (*) при п = 5 были безуспешными. В 1824 г.
Абель доказал, что уравнение (♦) при п = 5 (следовательно, и при любом
п > 5) не имеет решения в радикалах. Возник вопрос о том, каковы необхо-
димые и 'достаточные условия разрешимости в радикалах того или иного
конкретного уравнения вида (*), и другие сходные вопросы.
Г. т. решает вопрос, следуя такой схеме: каждому уравнению сопостав-
ляется некоторая конечная группа подстановок его корней. Эта группа на-
зывается Галуа группой уравнения (*)• Далее надо проверить, выполнено ли
в этой группе некоторое свойство (разрешимости группы) или нет. Ответ на
ГАРМОНИКА
101
этот вопрос будет идентичен ответу на вопрос о разрешимости в радикалах
уравнения (♦).
Таким образом, в Г. т. был решен основной вопрос (того времени) теории
алгебраических уравнений с одним неизвестным. Г. т. имеет ряд приложений
к другим вопросам математики; в частности, с ее помощью удалось устано-
вить необходимые и достаточные условия (критерии) разрешимости задач на
построение с помощью циркуля и линейки.
Г. т. продолжала бурно развиваться вплоть до наших дней. Крупный
вклад в ее развитие был сделан И. Р. Шафаревичем, которым была решена
так называемая обратная задача Г* т., состоящая в том, что по заданной
группе С требуется построить уравнение (♦), для которого группа С была бы
группой Галуа.
Лит.: [111].
ГАММА-ФУНКЦИЯ—функция, определяемая формулой
00
Г (х) = sx~1e~s ds; х # О,—1, —2,
о
Если n£N, то Г (и) — (п—1)1 Г.-ф. может быть аналитически продол-
жена в комплексную область. Основные соотношения для Г.-ф.:
Г U+ 1) = гГ (г), Г (г)-Г (1—г) =-Д—, Г (г) Г	/д' Г (2г).
Ы1 i Лс	\	/
Через Г.-ф. выражается большое число определенных интегралов. В комп-
лексной области Г.-ф. — мероморфная функция с полюсами: z = 0, —1, —2.
Г.-ф. введена Эйлером.
Лит.: [140].
ГАРМОНИКА—функция вида у = A cos (сох + ф). Г. есть периодическая
2л
функция с периодом Т ==— • Колебательное движение, совершаемое по фор-
муле у — A cos (сох + ф) (переменная х—время), называется простым гармо-
ническим колебанием; при этом число А называется амплитудой колебания,
со — круговой частотой (круговой скоростью), ф—начальной фазой колебания*
Функции А2 cos (2сох + фа); cos (Зсох+фз), ... называются соответственно
второй, третьей и т. д. высшими Г. относительно основной Г. Л cos (сох+ф).
тт	1 со	.	1
Число v=y=2^ называется частотой колебания. Если Vi=y —частота
первой, или основной, Г., то частоты высших Г. равны va = 2vi (вторая Г.),
'Vg = 3v1 (третья Г.) и т. д.
Часто периодическую функцию y — f(x) можно аналитически представить
в виде суммы Г* (см. Гармонический анализ):
y = aQ + al cos (2nvi/ + фх) + а2 cos (2л va/ + фа) + . • • »
где а0—постоянная средняя величина функции у, около которой происходит
колебание, alf фх—амплитуда и фаза первой (основной) Г., ait фа —амплитуда
и фаза второй Г. и т. д.
102
ГАРМОНИЧЕСКАЯ пропорция
Общий вид простой Г. с частотой со можно записать и в виде a cos сод? +
+ b sin а>х, где а и b — действительные числа:
. , •	,/• о 	/ а cos ©х . 6 sin (ох \ л .	, х
a cos (ох+b sin сох = у а2 + b*1 —_ • -4—--	) = A cos ((ох+<р).
^Ка24-д2	/а2 + *2/
График Г. получается из графика y = cosx путем последовательного [построе-
ния и преобразования графиков функций:
cos х, A cos х, A cos (ox, A cos ^(о ^х-|-~^ = A cos ((ох + <р);
график y = cosx растягивают в направлении оси Оу в А раз, затем получен-
ный график сжимают по оси Ох в © раз и, наконец, полученный график
переносят (сдвигают) в направлении оси Ох на —единицы длины.
Одним из главных свойств r.y=Acos((ox+qp) является то обстоятельство, что
k	k
Г. удовлетворяет дифференциальному уравнению	У = 0, (о2=—, которое
описывает колебание материальной точки массы т около точки у — Ъ при
условии, что сила, действующая на точку, пропорциональна отклонению
у (х) от точки равновесия у = 0 (и направлена в сторону точки у = 0).
См. также: Синусоида.
ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ —пропорция вида:
а:с=(а—b):(b—с).
Число b в Г. п. есть среднее гармоническое чисел а и с:
, ох , 2ас
Ь = Н(а, с), т. е. Ь=—:—.
'	а + с
Термин Г* п. используется в математике редко и имеет лишь историче-
ское и терминологическое значение.
См. Гармоническое среднее, Пропорция.
ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Действительная функция /, определен-
ная в некоторой области D пространства переменных хХ) х2, «..,х„£Р,
называется Г» ф. в D, если все ее вторые частные производные непрерывны
в D и
п
i= 1
d2f
дх*
0.
Г. ф. обладает рядом замечательных свойств, среди них:
1.	Среднее значение Г. ф. /(Р) по сфере S радиуса Р с центром в точке
Ро равняется f (Ро). Здесь предполагается, что f гармонична внутри сферы S;
среднее значение есть интеграл J f (Р) ds, деленный на площадь сферы.
s
2.	Как следствие свойства 1 имеет место принцип максимума:
максимальное значение, а также минимальное функции / (Р) в замыка-
ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЧЕТВЕРКА
103
нии D' ограниченной области D’ при условии, что f гармонична в области
достигается в точках границы области D'.
3.	Для функции w = f (г) комплексного переменного, аналитической
в области D, имеет место следующее утверждение: вещественная и мнимая
части f (г), т. е. и (х; у), v (х; у), где /(z) = w(x; y) + iv(x\y), г = х-{-1у,
являются Г, ф.; более того, и (х; у), v(x\ у) — пара сопряженных Г. ф. (см.
Коши—Римана уравнения).
4.	Пусть =	£=1,2, .«», п— замена переменных х/ на х/ орто-
i
зональным преобразованием. Если f (xlt х2, ...» хп)— Г. ф., то функция
/ f 5 aiJxi’ 2 aV*/> • ‘ • S a»jx'i\ = ф Хг'<
\ /	/	/ J
будет Г. ф. переменных х', х', 4.., х^, т. е.
В n-мерном пространстве переменных х/, х2, .«*, хп замечательны Г. ф.
вида fp„(P) = f(Xi\ х2> xn) = r2-n, где
г(хг, х2;	x„) = ]^(x1—xi)2 + (x2—Xi)2+...+(x„—Xn)i ;
Р0(х?; х2',	Хп) — произвольная, но фиксированная точка. Для п — 2 за-
мечательна Г. ф.
fp0 (В) = / (х; У) = In ((*—х0)2 + (г/—Уо)2),
Ро(хо> Уо)~произвольна, но фиксирована.
Эти функции позволяют построить новые Г. ф. следующим образом:
если S — некоторая поверхность в Еп и <р (Ро) — функция на S, то
рРо(^)Ф(^о)^о
S
является Г. ф. всюду в Еп, кроме поверхности S.
Лит.: [133].
ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЧЕТВЕРКА точек — четыре точки А, В, С, D пря-
мой проективного пространства, для которых сложное отношение равно (—1),
т. е. (АВ, CD) =— 1. Аналогично определяется Г. ч. прямых пучка первого
порядка: четыре прямые a, b, с, d образуют Г. ч., если их сложное отно-
шение равно —1, т. е. (ab, cd) —— 1. Г. ч. точек при проектировании пере-
ходит в Г. ч. точек; это свойство Г. ч. точек используется при доказа-
тельстве ряда теорем проективной геометрии.
Если точка С—середина отрезка АВ, то гармонически сопряженная с ней
точка D относительно точек А и В будет несобственной. Это свойство Г. ч.
точек используется для построения с помощью только линейки (математи-
ческой, односторонней) прямой, параллельной данному отрезку, если известна
его середина.
104
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Если точки А и В—две вер-
шины ^треугольника, а точки Р и
yt\	Q — основания биссектрис (внут-
/I	ренней и внешней), проведенных
у / |	из третьей вершины треугольника,
А р В	Q то точки Л, B,P,Q составят Г. ч.
рис 2б	точек (рис. 26).
Г. ч. точек иначе называется
гармонической группой или гармонически расположенными точками.
Г. ч. прямых пучка аналогично определяется с помощью полного четы-
рехсторонника. Г. ч. прямых является двойственной формой Г. ч. точек
(см. Двойственности^ принцип). При проективных преобразованиях Г. ч. то-
чек (прямых) снова переходит в Г ч. соответствующих элементов.
Лит.: [151J.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ—раздел математики, в котором изучают-
ся свойства функций с помощью разложения их в ряд Фурье (см. Фурье
ряд) и в интеграл Фурье (см. Фурье интеграл).
Всякая периодическая функция f с периодом 2/, удовлетворяющая усло-
виям Дирихле (см. Дирихле условия), может быть разложена в ряд Фурье:
f (х)=-^-}-£ ancos ™ *+*„ sin ™ х,	(•)
/1=1
или, что то же,
1	+00 пп
f (х)="2" Crf I » ^п~ап ibn*
п= — 00
который сходится к f (х) в точках непрерывности f(x), а в точках х0 разрыва
первого ряда — к полусумме
/(Хр—0)4-/(Хо + 0)
2
Аналогично этому всякая определенная на всей числовой оси функция
f (х), удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в интеграл
Фурье:
F (s) elsx dx.
(*♦)
00
При этом интеграл в правой части (♦») равен f (х) в точках непрерывности
г, ч	Л(хо-+-О)4-/(х0—0)
f (х) и равен —- -—-у—--------в точках х0 разрыва первого рода.
Формулы (♦) и (»♦) сопоставляют каждой разлагаемой в ряд или интеграл
Фурье функции f(x) так называемый спектр. Для разложения (♦) спектр
ес1ь набор частот гармоник*.
ГАУССА ЛЕММА
105
.пп	, ЯП
пп , . . пп	е * ,	~ е *
ancos — x+bns\n — x = c^ +с_пе
лл	ш	(	Сп	С ~ ft \
т. е. чисел —, л £ Z и соответствующих им амплитуд ( чисел ~ и .
Для разложения (♦♦) спектр есть функция F (s) (говорят, что в первом слу-
чае спектр дискретен, а во втором непрерывен).
Идея изучения функции по ее спектру оказалась весьма плодотворной. ч
Она находит широкое применение при решении задач математической физики
методом Фурье (см. Фурье метод), а также во многих вопросах радиотех-
ники. В задачах радиотехники функцию f (х) рассматривают как сигнал
(напряжение, изменяющееся во времени). Преобразование сигнала при про-
хождении его через радиотехнические устройства удобно описывается в тер-
минах спектра сигнала.
Г. а. тесно связан с операционным исчислением. Основные результаты
Г. а. были получены французским математиком Фурье и немецким матема-
тиком П. Г. Леженом Дирихле.
Большой вклад в эту науку внесли Б. Риман, А. Лебег и советские
математики Н. Н. Лузин, Д. Е. Меньшов, А. Н. Колмогоров, Н. К. Барн.
Лит.: [103, 140].
ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД—числовой ряд
'+т+т+-+4+--
члены которого являются числами, обратными числам натурального ряда.
Г. р. — расходящийся ряд; расходимость его была доказана Г. Лейбницем
(т j	\
7 Л —— In m ] = С — константа (см. Эйлера по-
Л=1	/
стоянная).
Название Г. р. связано с тем, что каждый член этого ряда, начиная со
второго, есть среднее гармоническое (см. Гармоническое среднее) двух сосед-
них членов—предыдущего и последующего.
Лит. [140].
ГАРМОНИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ п положительных чисел а2.............
ап(п^2)—число, равное
п
-+—+•••+-
01 О? ап
Г. с. является средним чисел alf а2, .**, ап. Г. с. чисел а/, а2, <<>, ап
является обратной величиной к среднему арифметическому величин, обратных
к аь а2, ...» ап. Г. с. — частный случай степенного среднего. Применения
Г. с. весьма широки. Например, Г. с. используется в демографии.
ГАУССА КРИВИЗНА—см. Гауссова кривизна.
ГАУССА ЛЕММА о приводимости многочленов формулируется так: если
целочисленный многочлен приводим в поле рациональных чисел, то он при-
106
ГАУССА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
водим в кольце целых чисел. Иными словами, если многочлен с целыми ра-
циональными коэффициентами разлагается на множители с рациональными
коэффициентами, то он разлагается также и на множители с целыми коэф-
фициентами. Иногда эту лемму называют теоремой Гаусса.
В учебниках высшей алгебры приводится еще и следующее предложение,
именуемое Г. л.: произведение примитивных функций равно примитивной
функции.
ГАУССА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределение нормальной случайной ве-
личины,
ГАУССА ФОРМУЛА: 1°. Формула, выражающая полную кривизну #
поверхности через коэффициенты первой квадратичнойформыск2 = £с(ц24-
2F du dvG dv2. Г. ф. имеет вид:

“2~ баи. ^uv 2 ^vv
Fv-^Ga
„ dE „	dE _ dF r dF
где Ea=7-~ , Ev = ^—, Fa=z-, F„—rr~,
du	v dv du v dv
r _dG r -dG r -d2G F - d2F
u~dll' Uv~dv ’ uu~d^' f'uv-dTte’
Evv=^, W=yEG-F*.
dv*
Г. ф. устанавливает тот факт, что полная кривизна поверхности, опреде-
ляемая с помощью второй квадратичной формы, может быть выражена через
коэффициенты первой квадратичной формы и, следовательно, принадлежит
внутренней [геометрии поверхности. Это значит, что кривизна поверхности
однозначно определяется метрикой самой поверхности; при этом кривизна не
меняется при изгибании поверхности и не [зависит от способа вложения по-
верхности в трехмерное евклидово пространство.
Утверждения, содержащиеся в Г. ф., носят название theorems egreg-
hium—блестящая теорема (лат).
Если на поверхности задана ортогональная система координат (и, с)
с линейным элементом ds2 = A du2 + B dv2, то Г. ф. принимает более
простой вид:
ГЕКСАЭДР
107
2°. Формула для приближенного вычисления определенных интегралов:
ь
J f (х) dx=(b-a) [AJ (xx) + A2f (x2) +... + AJ (x„)],
a
где коэффициенты A{ и абсциссы X( даются в специальных таблицах. Г. ф.
является гораздо более точной, чем формулы математических квадратур (см.
Численное интегрирование),
Г. ф. дает совершенно точный результат, если подынтегральная функ-
ция— многочлен степени не выше чем 2л—1.
Лит.: [92, 117].
ГАУССОВА КРИВИЗНА поверхности в точке М определяется формулой
k~RlR»’
где /?2 — радиусы главных кривизн в точке, т. е. радиусы
максимальной и минимальной кривизны плоских кривых (нормальных сече-
ний), которые получаются от пересечения данной поверхности с плоскостями,
проходящими через нормаль к поверхности в рассматриваемой точке М»
Г. к* иначе называется полной кривизной. Г. к. играет важную роль при
рассмотрении вопроса об изгибании поверхности. Всякая поверхность, имею-
щая Г. к. (полную кривизну), равную нулю в каждой точке, допускает раз-
вертывание на плоскость.
Полусумма (иногда сумма) главных кривизн в точке называется средней
кривизной Я=
в то время как Г. к. представляет собой про-
изведение главных кривизн.
При изгибании поверхности средняя кривизна, вообще говоря, изменяет-
ся, а гауссова остается инвариантной в каждой точке поверхности.
Г. к. поверхности следующим образом выражается через коэффициенты
первой и второй квадратичных форм поверхности (см. Первая квадратичная
форма поверхности, Вторая квадратичная форма поверхности):
’ £’ F’ G> L> V}
ds2 = E du2-\-2F du dv-\-G dv2
(л, d2M) = L du2 + 2Af du dv + N dv\
где ds2 = Edu2-{-2F du dv + 6 dv2— первая квадратичная форма, (л, d2M) ==
= Ldu2-}-2M du dv-}-N dv2—вторая квадратичная форма поверхности, и, v —
координаты на поверхности.
Лит.; [117].
ГЕКСАЭДР—шестигранник. Иногда под Г. понимают правильный Г.,
т* е. куб. Примерами Г. являются такие многогранники: 5-угольния пира-
мида, параллелепипед, любая усеченная 4-угольная пирамида, любая 4-уголь-
ная призма.
Греч.:	— шесть, ебра—грань.
См. также: Правильный многогранник, Многогранник,
108
ГЕЛИКОИД
2	ГЕЛИКОИД—одна из форм винтовой поверхности,
когда образующая линия есть прямая I (рис. 27). Г. по-
J думается, если прямая /, пересекающая ось г, вращается
равномерно вокруг оси г и вместе с тем движется равно-
мерно и поступательно в направлении оси z. Если образую-
\ щая прямая перпендикулярна оси I, то Г. называется пря-
I I мым, если же не перпендикулярна, то Г. называется косым.
ГЕЛЬФОНДА ТЕОРЕМА (в теории чисел) утверждает,
что всякое число вида аЗ, где а—алгебраическое число,
\ отличное от 0 и 1, и р—иррациональное алгебраическое
___1 число, будет трансцендентным числом. Например 3 ° тран-
J сцендентно.
<	Г. т. была доказана в 1934 г. советским матема-
тиком Гельфондом (1906—1968), чем была решена седьмая
из двадцати трех Гильберта проблем.
Рис. 27	ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ—термин выбороч-
ного метода в математической статистике. Под Г. с. по-
нимают множество всех статистических единиц, из которого производится
отбор некоторой его части—выборки для статистического обследования.
Предполагается, что объем Г. с., т. е. число N ее элементов, велико или
даже бесконечно.
ГЕНЕРАТРИСА последовательности функций ф0 (*), Ф1(х), ...» фя(*)>
...— это функция f (х\ t), разложение которой в ряд по степеням t имеет
вид:
f(x, Л = фо (х) + ф1(х)/+ф,(ж)<84-...+<Рп(х)/п4-... .
Например, если фп(х)— Лежандра многочлены, то
f(x,	==.
/1—2х<-На
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА Kg кривой на поверхности —проекция
вектора кривизны на касательную плоскость, т. е.
где v—вектор кривизны, Л1 = пХт, т—единичный касательный вектор, п —
единичный вектор нормали к поверхности, р—кривизна кривой.
Г. к. кривой на поверхности равна кривизне проекции кривой на каса-
тельную плоскость.
Г. к. кривой не меняется при изгибании поверхности, т. е. принадле-
жит внутренней геометрии поверхности.
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ—линия на поверхности, геодезическая кри-
визна которой в каждой точке равна нулю. Уравнение Г. л. на поверхности
может быть получено решением следующей системы дифференциальных урав-
нений:
ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ
109
du___ 1
ds“” /Ё
cos а
dv
ds
da
—7=7 sin а
Го
1 dlnE
ds 2 G &
cos а
__1_
2 VE
dlnG .
sin a.
(♦)
du,
Здесь u, v—криволинейные координаты поверхности с ортогональными ли-
ниями u, tr, s—длина дуги; a—величина угла, образованного Г. л. с каса-
тельным вектором линии и\ Е, G—коэффициенты первой квадратичной формы
поверхности, которая в рассматриваемом случае имеет вид: ds2 = E(du)2 +
+ G (do)2. При заданных начальных условиях u(so) = «o, p(so) = 0o> a(s0) = ao
система (») однс^начно определяет кривую u = u(s), u = u(s), которая является
Г. л., проходящей через точку (и0, ^о) в направлении, задаваемом а©.
Г. л. риманова пространства—кривая xz = xz(s), i=l, 2, .л, удов-
летворяющая системе дифференциальных уравнений:
п п
^ = -УУ	*-1, 2........
ds	i^j^l ds
где Г//—символы Крис’гоффеля (см. Кристоффеля символы), s—длина дуги.
Если две точки А и В (поверхности в пространстве или л-мерного
риманова пространства) достаточно близки, то из всех кривых, соединяющих
эти две точки, наименьшую длину имеет Г. л.
Г. л. остается Г. л. при изгибании поверхности; она полностью опреде-
ляется первой квадратичной формой поверхности (или римановой метрикой
ds2 в случае риманова пространства).
Лит.: [117, 118].
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ. Система криволинейных координат
называется Г. к. в данной точке х поверхности (или л-мерного риманова про-
странстве!), если
Г/л(х) = 0, t, /, £=1, 2, ..., л;
здесь Г/fe —символы Кристоффеля (см. Кристоффеля символы).
Лит.: [118].
ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ кривой на поверхности —величина
= dO/ds, где %—кручение кривой, 0—величина угла между вектором
нормали к поверхности и главной нормалью к кривой, s—длина дуги. Г. к.
равно нулю на линиях кривизны. Г. к. входит в разложение производных
dx dn g dfi	->->->	'
векторов	~ по векторам т, ngi л; здесь т—единичный касатель-
—►
ный вектор, ng—вектор геодезической нормали, т. е. вектор, полученный
поворотом т на угол в касательной плоскости, л—единичный вектор
нормали к поверхности.
по
ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ СООТВЕТСТВИЕ
ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ СООТВЕТСТВИЕ между точками двух поверхностей
(или римановых пространств) такое соответствие, при котором геодезические
линии одной поверхности соответствуют геодезическим линиям другой по-
верхности (аналогично—для римановых пространств).
Пример. Соответствие, осуществляемое проекцией сферы из центра
на плоскость, является Г. с. При этом геодезические линии сферы (большие
круги сферы) соответствуют геодезическим линиям плоскости (прямым ли-
ниям), и наоборот.
Г, с. применяется при составлении морских карт.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ — числовая последовательность, пер-
вый член которой не равен нулю, а каждый член, начиная со второго, равен
предыдущему члену, умноженному на некоторое постоянное и не равное нулю
число q, называемое знаменателем прогрессии.
Г. п. можно записать так:
б?1, а^, ад2, .**, arqn, . ti,
где ox—первый член прогрессии, q — знаменатель ее.
Если первый член Г. п. а± > 0 и знаменатель ее q > 1, то Г. п. — воз-
растающая; если же а± > 0 и 0 < q < 1, то Г. п. — убывающая последова-
тельность. n-й член Г. п. определяется формулой a/J = alg/I-1, п > 1. Любой
член Г. п. с положительными членами, начиная со второго, равен среднему
геометрическому двух соседних членов (предыдущего и последующего): ал =
= V	J откуда и происходит название Г. п. Если знаменатель про-
грессии q 1, то сумма ее п членов находится по формуле:
с
п-----T=q~‘
Если | <? | < 1, то при неограниченном увеличении числа членов Г. п.
(поо) сумма Sn стремится к определенному пределу S=a/(1—q), что мож-
но записать так: a-{-aq-{-aq2-}-.. * -j~aqn-j~ »* .=а/(1—q). Левую часть послед-
него равенства называют геометрическим рядом.
См. также: Аналогия, Последовательность, Арифметическая прогрессия,
Геометрическое среднее, Арифметическое среднее.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СУММА —вышедшее из употребления название сум-
мы векторов (см. Векторное исчисление).
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА — всякое множество точек, как конечное
(в частности, пустое), так и бесконечное.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ (или теория геометрических построе-
ние-раздел геометрии, где изучаются вопросы и методы построения геометри-
ческих фигур, используя те или иные инструменты построения. Г. п. изуча-
ются как в геометрии Евклида, так и в других геометриях (сферической,
проективной, геометрии Лобачевского и др.), как на плоскости, так и в
пространстве. Классическими инструментами построения являются циркуль
и линейка (односторонняя, математическая); однако существуют построения и
другими инструментами: только одним циркулем (построения Мора—Маске-
рони), только одной линейкой, если на плоскости начерчена окружность и ее
центр (построения Штейнера), только одной линейкой с параллельными края-
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
111
ми, только одним угольником (модель прямоугольного треугольника), только
с помощью острого угла (или только прямого угла, или с помощью двух пря-
мых углов) и других инструментов.
Все задачи на построения как на плоскости, так и в пространстве опи-
раются на постулаты построения (аксиомы конструктивной геометрии), т. е.
на простейшие, элементарные задачи на построение, и задача считается ре-
шенной, если она сведена к конечному числу этих простейших задач-посту-
латов. Естественно, каждый инструмент имеет свою конструктивную силу—
свой набор постулатов.
Так, известно, что разделить отрезок, пользуясь только одной линей-
кой, на две конгруэнтные части нельзя; а пользуясь циркулем, это сделать
можно.
Рассматривают построения с «недоступными точками», «недоступными
прямыми» и другие построения.
Важнейшими методами Г» п. являются: метод множества точек и пересе-
чения множеств, метод геометрических преобразований и алгебраический ме-
тод. Один из самых мощных методов решения задач на построение—алгеб-
раический метод, который позволяет ответить на вопрос: можно ли ту или
иную задачу на построение решить циркулем и линейкой. Так, с помощью
алгебраического метода устанавливается, что построить треугольник по трем
его различным биссектрисам нельзя (а по трем высотам и медианам можно);
разделить произвольный угол на три конгруэнтных угла также нельзя (хотя
угол, величина которого равна л/2", разделить на три конгруэнтные части
можно циркулем и линейкой). При решении задач на построение традицион-
ная методика рекомендовала нам четыре этапа: анализ, синтез (построение),
доказательство и исследование. Однако указанная схема решения задачи весь-
ма академична, и для ее осуществления требуется много
времени. Часто отдельные этапы традиционной схемы
решения задачи опускаются, в частности этап «дока-
зательства» нередко опускается.
Приведем пример решения задачи, считая, что посту-
латы построения известны* Задача: «Построить тре-
угольник АВС, зная его основание а, высоту ha, меди-
ану /ла».
Решение. Предположим, что задача решена и треугольник АВС (рис. 28)
построен. Задача будет решена, если мы построим вершину А треугольника,
так как основание а легко строится на любой прямой. Но вершина А нахо-
дится от прямой ВС на расстоянии, равном данной высоте, а от середины М
отрезка ВС на расстоянии, равном данной медиане. Следовательно, точка А
принадлежит как множеству точек плоскости, находящихся от прямой ВС
на расстоянии, равном ha, так и множеству точек окружности с центром в
точке М и радиусом та. Таким образом, искомая точка А принадлежит
пересечению этих множеств, т. е. пересечению двух прямых, параллельных
прямой ВС, и окружности с центром в точке М и радиусом, равным медиа-
не та. Отсюда легко следует построение треугольника АВС и исследование
задачи. Построение и доказательство опускаем. Задача имеет решение, если
длина медианы больше длины высоты. Всего будет четыре решения, но все
В МНС
Рис. 28
112
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
Рис. 29
треугольники при этом будут конгруэнтными. Так что за искомое решение за-
дачи принимают только один из четырех конгруэнтных треугольников. Если
длина высоты и медианы одна и та же, то решением задачи будут два конг-
руэнтных треугольника, которые принимаются за одно решение (оба треуголь-
ника равнобедренные).
Мы указали решение этой несложной задачи методом пересечения фигур
или методом пересечения точечных множеств. Однако решить задачу можно
и так: построить прямоугольный треугольник АМН (по гипотенузе и катету),
а затем отложить на прямой МН от точки М по разные стороны от нее два
конгруэнтных отрезка ВМ и МС, конгруэнтные половине отрезка а. Соеди-
нив точки А и В, А и С, получим искомый треугольник.
Естественно, что одну и ту же задачу на построение можно решить раз-
личными способами. Например, разделить данный отрезок на три конгруэнт-
ных отрезка можно по меньшей мере тремя способами: 1-й способ основан
на применении теоремы Фалеса (рис. 29, а), 2-й способ основан на теоремах
о пропорциональных отрезкал (рис. 29,6): [Л' /<'], [К' L'b W В'] —конг-
руэнтные отрезки, прямые АВ и I параллельны, прямые ЛЛ', КК', LU,
ВВ' —прямые пучка с центром S, следовательно, отрезки Л/(, KL, LB
конгруэнтны. 3-й способ основан на свойстве медиан треугольника. Примем
отрезок АВ за медиану некоторого треугольника (рис. 29, в), проведем через
точку В произвольную прямую I и на ней построим когруэнтные отрез-
ки BD Ъ"ВС, затем построим отрезок AD и найдем его середину. Пересе-
чение отрезков-медиан (треугольника ADC) АВ и МС даст точку L—цент-
роид треугольника ЛВС* Построив отрезок LK, конгруэнтный отрезку LB,
тем самым решим задачу.
Приведем пример задачи на Г. п. с недоступным элементом (точкой).
«Дан треугольник с недоступной вершиной. Вычислить его периметр».
Решение. Пусть точка (вер-
шина) Л недоступна (рис. 30),
т. е. эту точку можно мыслить рас-
Рис. 30
положенной за стеной, за горой или
в озере.
Примем прямую ВС за ось сим-
метрии и построим треугольник, сим-
метричный данному. Для этого возь-
мем доступные точки сторон АВ и
АС, построим им симметричные, после
ГЕОМЕТРИЯ
ИЗ
чего легко строится Л Л'ВС, симметричный Л ЛВС. Периметр Л Л'ВС (сумма
длин сторон) равен периметру искомого треугольника. Очевидно, что в этой
задаче можно было бы поставить вопрос о нахождении также высоты, или ме-
дианы, или биссектрисы (их длин), проведенных из недоступной вершины
треугольника. Можно было бы решать задачу и иначе: построить в доступной
части чертежа (плоскости) угол, конгруэнтный данному и с сонаправленными
сторонами (лучами), а затем в этом углу провести отрезок, параллельный и
конгруэнтный отрезку ВС, и с концами, принадлежащими сторонам построен-
ного угла.
Тогда бы задача была сведена к конгруэнтному треугольнику со всеми
доступными вершинами и сторонами.
Лит.: [9, 10, 150].
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД—ряд, членами которого являются члены гео-
00
метрической прогрессии. Г. р. можно представить в виде 2 гДе последо-
п= 1
вательность (ал) есть геометрическая прогрессия, п £ N.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО каких-либо фигур (точек, прямых и др.) —
множество этих фигур. Г. м. точек и других фигур—-термин, выходящий из
употребления. Г. м. точек — это множество точек. Г. м. прямых — множество
прямых и т. д.
См. также: Множество, Фигура, Окружность, Гипербола, Парабола,
Эллипс.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ п положительных чисел ах, аа, ... , ап
есть арифметический корень степени п из произведения этих чисел:
____________ * / п
0=	а1-а2» ... -ап, или 0=1/ Па/,
Г. с. двух чисел ах и называется также средним пропорциональным между
ах и а2.
Г. с. нескольких положительных чисел, как и всякое среднее этих чисел,
есть число, заключенное между наименьшим и наибольшим из данных чисел.
Г. с. является частным случаем степенного среднего.
ГЕОМЕТРИЯ —одна из древнейших частей математики, изучающая про-
странственные отношения и формы тел. Предмет и методы Г. в большой сте-
пени изменялись на протяжении ее многовекового развития. Первые дошед-
шие до нас сведения о зарождении и успехах Г. связаны с задачами земле-
мерия, вычисления объемов тел и площадей (Древний Египет, Вавилон,
Древняя Греция). Уже в то время, по-видимому, возникло абстрактное понятие
геометрического тела (фигуры) как некоторого объекта, сохраняющего лишь
пространственные свойства соответствующего физического тела и лишенного
всех остальных свойств, не связанных с понятием расстояния, протяженности
и т. п. Таким образом, Г. с момента зарождения изучала некоторые (а имен-
но —ггеометрические) свойства реального мира. Отмеченная связь Г. и реаль-
ного, мира является существенной чертой Г. на всем протяжении ее развития,
при этом степень абстракции объекта изучения поднималась на все более вы-
сокий уровень.
114
ГЕОМЕТРИЯ
С V в. до н. э. начинается новый этап в истории Г. Усилиями древне-
греческих ученых предприняты попытки аксиоматического построения Г.
Крупнейшим успехом в этом направлении явилось создание Евклидом знаме-
нитых «Начал» (около III в. дон. э.). Впервые в истории человечества Г. была
описана с помощью аксиом — «истин, не требующих доказательства» и логи-
чески вытекающих из этих аксиом выводов—теорем. Геометрический мате-
риал, изложенный в «Началах» Евклида, был довольно широк — он содержал,
по существу, все теоремы, изучаемые в недавнем прошлом в школьном курсе
Г., а также много сведений из теории конических сечений.
Дальнейшие качественные сдвиги в Г. имели место лишь в первой поло-
вине XVII в. н. э. В трудах великого французского ученого Р. Декарта был
введен так называемый координатный метод, установивший глубокую связь
между геометрическими и алгебраическими свойствами фигур. Это дало воз-
можность применить к изучению геометрических объектов развивавшиеся в то
время алгебру и анализ бесконечно малых. На этом пути возникла аналити-
ческая геометрия и позже дифференциальная геометрия,
К тому же времени (первая половина XVII в.) огносится зарождение
проективной геометрии. Это было сделано в основном трудами французских
ученых Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Дальнейшее развитие проективной геоме-
трии связано с именами французских математиков Г. Монжа и Ш. Понселе.
Многие теоремы проективной геометрии имели важные приложения в начерта-
тельной геометрии.
Революционным моментом в развитии Г. явилось создание неевклидовых
геометрий, первая из которых названа именем великого русского математика
Н. И. Лобачевского (см. Лобачевского геометрия). Оказалось, что если в си-
стеме аксиом Евклида аксиому параллельных заменить ей противоположной, то
получаемая при этом Г. будет непротиворечивой. При этом теоремы новой Г.
не соответствуют обычным наглядным представлениям. Этот факт имел огромное
значение, поскольку в большой степени изменил взгляд человечества на свой-
ства реального физического пространства. Важным шагом в развитии Г. яви-
лись работы немецкого математика Б. Римана, открывшие новые методы и
объекты изучения Г., получившие впоследствии название римановых прост-
ранств. Значение работ Б. Римана стало особенно важным в связи с тем, что
его идеи составили математическую основу теории относительности А. Эйн-
штейна. Значительное место в Г. начиная со второй половины XIX в. зани-
мает теория групп преобразований. Основы этой теории для непрерывных групп
заложил норвежский математик С. Ли. В терминах этой науки немецкий ма-
тематик Ф. Клейн сформулировал новое толкование Г. как науки, изучающей
свойства, инвариантные относительно заданной группы преобразований (см.
Эрлангенская программа). Наиболее крупные достижения Г. в XX в. связаны
с именем французского математика Э. Картана. Им открыты и исследованы
так называемые симметрические пространства, а также создан метод, поз-
воляющий исследовать системы дифференциальных уравнений, описыва-
ющих геометрические объекты (так называемый метод внешних форм
Картана).
При описании развития Г. невозможно обойтись без упоминания алгебра-
ической геометрии, оформившейся в самостоятельную математическую дис-
ГЕССИАН
115
циплину, а также тензорного анализа—мощи ого метода исследования много-
мерных римановых пространств.
Геометрические идеи и методы оказались весьма важными и плодотворными
во многих областях человеческих знаний, таких, как многочисленные физи-
ческие теории, механика, дифференциальные уравнения, номография и т.п.
Советская математическая наука уделяла большое внимание Г. и достигла
в этом направлении крупных успехов (С. П. Фиников, А. П. Норден, П. А. Ши-
роков, П. К. Рашевский, Г. Ф. Лаптев, В. В. Вагнер, А. Д. Александров,
Н. В. Ефимов, А. В. Погорелов и др.).
В последнее время основные геометрические исследования связаны со сле-
дующими направлениями: теория однородных пространств, теория представле-
ний компактных групп Ли, структуры на однородных пространствах, тополо-
гические свойства однородных пространств, вопросы Г. в целом, теория
многообразий.
В школьном курсе математики изучению Г. отведено значительное место.
Новая программа в большой степени изменила как объем предмета Г., тради-
ционно изучаемый в школе, так и систему изложения материала. Построение
Г. в школьном курсе аксиоматическое, система понятий и определений стала
более строгой, соответствующей возросшим требованиям, предъявляемым со-
временным состоянием научно-технического прогресса.
ГЕОМЕТРИЯ ПОЛОЖЕНИЯ —то же самое, что и проективная геометрия.
Термин Г. п. устарел.
ГЕРОНА ФОРМУЛА—формула, выражающая площадь треугольника через
длины его сторон:
S=	а)(р —6) (р—С),
где а, 6, с—стороны треугольника, р — полупериметр, т. е. (а+& ф-с)/2, a S_
площадь треугольника. Формула названа именем древнегреческого ученого
Герона, работавшего в Александрии в I в. н. э. Герои рассматривал треуголь-
ники со сторонами а=13, Ь= 14, с=15 и а = 5, Ь= 12, с= 13, у которых
площади выражаются целыми числами (84 и 30). Впоследствии такие тре-
угольники с целочисленными сторонами и площадью стали называть геро-
новыми.
ГЕССИАН функции у = f х2;	; хп) — определитель, составленный из
вторых частных производных функций /:
	d*f d2f dxf дхгдх2 •’	d2f * dXidxn
	d2f d2f dx2dXt dxj •*	d2f * дх2дхп
	d2/ d*f dxndxY дхпдх2 ‘	дх*п •
Г. является определителем матрицы квадратичной формы, равной второ-
му дифференциалу функции y = f(P), Р (хх; х2; ,м ; хп) (см. Высшие диффе-
ренциалы).
116
ГЁДЕЛЯ ТЕОРЕМЫ
Более подробно: пусть
/(Xj + Azp x,+Ax{;	; х„+Дх„) =
= f(P) + y^LI д*. + * у Дх.Дх 4-
' X. dxi р 2 Хи дх,дх, ' 1
i	«. /
+ о ( К(ЛХ|)*4-(Дхе)2 b ... 4- (Ах„)2)2 =
= /(Р)4-^|/>(М+4<*2/|р(Лг Де") +
+ о( Г(Д*>)24 (Лх2)а± ... + (Дх„)2)2
разложение функции / (хь х2, хп) по формуле Тейлора (см. Тейлора фор-
мула) до величин второго порядка малости относительно р. Здесь р =
= Y(Дх^2 + (Дх2)2 + ... + (Дхп)2, d/ (Дх) =	Дх,— первый дифференциал
функции, (Р{(кхъ Дх2) = У,	J- Дх, Дху — второй дифференциал функции.
Если Р—особая точка функции /, то 4/|^(Дх) = 0 и разность
/(хх + Дхр х2 + Дх2; х„ + Дх„)—f (xf, х2; ...; хп)
с точностью до величин второго порядка малости относительно р совпадает
с квадратичной формой:
dv| =4- У 5-4-1 Д^-Дху.
'Ip 2 Z^dxidxylp J
На этом факте основаны методы изучения и классификации особых точек.
В частности, если квадратичная форма d*f |р положительно определена,
то точка Р—локальный минимум функции, если d2/|p отрицательно опреде-
лена, то точка Р—локальный максимум функции (см. Локальный экстремум).
Свойства Г. имеют важное значение в теории Морса (см. Морса теория).
ГЕДЕЛЯ ТЕОРЕМЫ —две теоремы математической логики о неполноте
формальных систем. Были получены австрийским математиком Куртом Гёде-
лем в 1939 г.
Первая Г. т. утверждает, что во всякой формальной системе, содержащей
арифметику,^ т. е. операции +, •, Пеано аксиомы, кванторы V и 3 и
некоторые правила вывода, найдется утверждение (высказывание) А такое,
что ни А, ни его отрицание “|Л не являются выводимыми в этой системе.
Вторая Г. т. утверждает, что при некоторых естественных дополнитель-
ных условиях в первой Г.т. в качестве невыводимого высказывания А может
быть взято: «Рассматриваемая система непротиворечива».
Г.т. нанесли удар плану Д. Гильберта обоснования всей математики
путем ее полной формализации с последующим «математическим» доказа-
тельством ее непротиворечивости. Этот план начал зарождаться у Гильберта
в его «Основаниях геометрии» (1899) (см. [39]) и окончательно сформиро-
вался к 1922 г. Подробно он развит в двухтомнике «Оснований математики»,
написанных Гильбертом совместно с П. Бернайсом и вышедших в 1934 и
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
117
1939 гг. Однако в этом труде в концепции Гильберта пришлось вносить
изменения в силу влияния Г. т.
Лит.: [93].
ГЁЛЬДЕРА НЕРАВЕНСТВО для конечных сумм имеет вид:
Г. н. в интегральной форме:
1 1
Ь	/ b	\ р / b	\л
\f(x)g(x)dx < $|/(Х)|^	.
а	/
где р > 1 и ——I—-=1. Г. н. часто применяется в математическом анализе.
Р Я
Г. н. является обобщением неравенства Коши (см. Kouiu—Буняковского нера-
венство) в алгебраической форме и неравенства Буняковского (см. Буняков-
ского неравенство) в интегральной форме, в которые Г. н. обращается при
р = 2, (/ = 2.
ГИЛЬБЕРТА ПРОБЛЕМЫ. В 1900 г. на Математическом международ-
ном конгрессе в Париже немецким математиком Д. Гильбертом были сфор-
мулированы 23 проблемы, к решению которых в конце XIX в. не видно было
никаких подходов. Решению Г. п. было посвящено много работ, и в настоя-
щее время большинство из них решено. Г. п. касались узловых вопросов
различных разделов математики: теории множеств, теории функций, основа-
ний математики, теории чисел, топологии и др. Приведем некоторые из Г. п.
I. Существует ли множество, мощность которого больше мощности счет-
ного множества, но меньше мощности континуума? (см. Коншину ум-проб-
лем а).
III. Будут ли два равновеликих тетраэдра равносоставленными?
VII. Числа вида cP, где а—алгебраическое число (а ?£ 0, а # 1) и fl —
алгебраическое иррациональное число, трансцендентные или алгебраические?
(См. Гедьфонда теорема.)
Некоторые Г. п. окончательно не решены до сих пор.
Лит.: [125].
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО—обобщение и-мерного евклидова про-
странства на бесконечномерный случай. Элементом (вектором) Г. п. является
00
последовательность чисел xit х2, ...» хл, ... такая, что ряд сходится.
i=l
Обычным образом определяется сложение векторов и умножение вектора на
число. Скалярное произведение двух векторов х (а^;	...; хл; *..) и
У(Уъ Уъ Уп> •••) равно по определению
(*)
<=i
118
ГИПЕРБОЛА
СО	00
причем	этот	ряд	всегда	сходится,	если	сходятся	ряды	2	5	Г.	п‘
i=i	/=1
можно	интерпретировать	как	пространство	интегрируемых с квадратом функ-
ций (см. Функция, интегрируемая с квадратом). Именно, если каждой такой
функции, заданной, скажем, на отрезке [—л; л], поставить в соответствие
последовательность ее коэффициентов Фурье по заданной ортонормированной
полной системе функций, то скалярное произведение функций / и g
л
(Л g) = J f(x)g(x)dx
-л
в терминах этих коэффициентов запишется в виде (*). В этой интерпре-
тации две различные функции с одинаковыми коэффициентами Фурье
задают один элемент. Существуют также и другие модели Г. п. Наиболее
общее определение Г. п. таково — это полное векторное пространство со ска-
лярным произведением. Из свойств Г. п. весьма важным является полнота
(см. Полное пространство) в смысле нормы, определяемой скалярным произ-
ведением (*):
11/11=/О-
Г. п. рассматривалось впервые в работах немецкого математика Д. Гиль-
берта. Понятие Г. п. встречается во многих отделах математики: в функцио-
нальном анализе, теории вероятностей, интегральных уравнениях и др.
Лит.: [90, 140]
ГИПЕРБОЛА—кривая, являющаяся пересечением кругового конуса пло-
скостью, параллельной двум образующим конуса. Другое определение: Г. есть
множество точек М на плоскости, разность расстояний которых (по абсолют-
ному значению) до двух заданных точек (фокусов Г.) постоянна (равна 2а)
(рис. 31). Если Fi и —фокусы Г., М—текущая точка Г., то
| MFi—MF2 | = 2а.
Если расположить точки Fi и F2 на плоскости, снабженной декартовой
прямоугольной системой координат, так, чтобы координаты Fx и Г2 равня-
лись соответственно (—с, 0) и (с, 0), то уравнение Г. примет вид (канони-
ческое уравнение Г.):
ха и2
^-^=1, b=Vc*-a*.
Рис. 31
Числа а, b называются длинами со-
ответственно действительной и мнимой
полуосей, величина е называется
эксцентриситетом Г., е> 1.
Г. состоит из двух ветвей. Пря-
, b
мые у = ± — х являются асимпто-
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ
119
там и Г. Прямые х= ± ~ называются директрисами Г. В терминах директрис
может быть сфбрмулировано следующее характеристическое свойство точек Г.:
отношение расстояния точки Г. до ближайшего фокуса к расстоянию до бли-
жайшей директрисы постоянно и равно эксцентриситету.
Г. имеет две оси симметрии (у = 0—действительная ось, х = 0—мнимая
ось) и центр симметрии (0; 0)). Г.— кривая второго порядка. Для того чтобы
кривая второго порядка с уравнением Ах2+ 2Вху + Су2Dx-\-Ey-\-F = Q
(А, В, С, D, F£R) бцла Го необходимо и достаточно, чтобы
Полярное уравнение Г. имеет вид:
1 —е cos <р*
(*)
(В полярной системе координат, центр которой совпадает с фокусом, а поляр-
ная ось направлена по действительной оси Г. в положительном направлении.)
В уравнении (*) г, ф—полярные координаты точки Г., р—фокальный пара-
метр, е—эксцентриситет.
Если за оси координат на плоскости взять асимптоты Г., то уравнение
г	Ь
Г. примет вид: у =
Греч. tnepPolr]—избыток, превышение.
См. также: Конические сечения.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ —то же, что и геометрия Лобачев-
ского (см. Лобачевского геометрия). Название Г. г. связано с тем, что в основ-
ных соотношениях этой геометрии гиперболические функции sh х и chx
играют такую же роль, какую в обычной, евклидовой геометрии играют
тригонометрические функции sin х и cosx.
Лит.: [39]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ — плоская кривая, уравнение которой
в полярных координатах имеет вид: р = — . Г. с. описывается точкой М
при движении ее по вращающемуся лу-
чу О А, если ее расстояние от центра
вращения О обратно пропорциональ-
но величине угла поворота (рис. 32).
т- «	а
Г рафиком уравнения р =— в пря-
моугольных декартовых координатах
является гипербола (график обратной
пропорциональной зависимости), от-
сюда происходит и название Г. с.
См. также: Спираль, Гипербола.
Рис, 32
120
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ТОЧКА
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ТОЧКА поверхности—точка, в которой гауссова
кривизна поверхности отрицательна. Вблизи Г. т. поверхность имеет седло-
образную форму.
См. также: Гиперболический параболоид, Гауссова кривизна, Кривизна.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ЛОГАРИФМЫ — синоним термина Натуральные
логарифмы.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. Г.ф. синус и Г. ф. косинус обозна-
чаются соответственно sh х и ch х и определяются равенствами:
ех—е~х	ех \-е~~х
sh х =--, ch х ----------•
Г.ф. тангенс и котангенс определяются так:
., sh х	ch х
thx = —— , cthx = ——.
chx	sh x
По аналогии с обычным тригонометрическим секансом определяется Г, ф.
секанс и аналогично тригонометрическому косекансу определяется Г. ф.
косеканс.
Многие свойства Г. ф. аналогичны свойствам тригонометрических функ-
ций; Г.ф. синус—функция нечетная, а Г.ф. косинус —четная; однако обе
эти Г.ф.— неограниченные и могут принимать
шие. Имеют место следующие формулы:
значения сколь угодно боль-
sh х = х + -^ + 51 + • • •
*=о
Х2Л + 1
(2A>+ 1)!;
.	, , X2 . х4 . V
chx 4-21 + 41+--------
sh (х + у) = sh х ch у 4- ch х sh у\
ch (x4-f/) = ch х ch i/4-sh x sh y;
ch2 x—sh2 x= 1.
НОСТИ X2 + у2 — 1, X = cos t
равнобочной гиперболы
У
Рис. 33
Если тригонометрические функции связаны с параметризацией окруж-
, y = sin/, то Г.ф. связаны с параметризацией
х2—y2—l, x — cht, y = sh t. Числовой аргумент/
выражает двойную площадь
заштрихованного криволи-
нейного треугольника ОМЕ
(рис. 33, а), аналогично то-
му как для круговых (три-
гонометрических) функций
аргумент t численно равен
удвоенной площади криволи-
нейного треугольника СКЕ
(рис. 33, 6): пл. ОКЕ=
=0,5KER=0,5KE • I =0,5 • /,
т. е. / = 2 пл. ОКЕ.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД
121
Г. ф. играют большую роль в геометрии Лобачевского; они используются
также при изучении сопротивления материалов, в электротехнике и других
областях знаний.
Г. ф. рассматриваются также в комплексной области.
Г. ф. и тригонометрические синус и косинус связаны равенствами:
sh х = — i sin ix, ch x = cos ix,
где i— мнимая единица.
См. также: Эйлера формулы, Круговые функции, Тригонометрические
функции.
Лит.: [162].
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ КОСИНУС—одна из гиперболических функций.
Г. к. есть функция 0,5 (ех-\-е~х), которая обозначается chx. Производная
Г. к. вычисляется по формуле (chx)' = shx, гдезЬх—синус гиперболический.
См. также Гиперболический синус, Гиперболические функции.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД—поверхность, каноническое урав-
нение которой в декартовых координатах
имеет вид:
Это поверхность 2-го порядка, имею-
щая форму седла (рис. 34). В сечении Г. п.
плоскостями, параллельными координатным
плоскостям, получаются параболы и гипер-
болы, откуда происходит и название Г. п.
Поверхность Г. п. можно получить пере-
мещением параболы КОМ в пространстве
так, чтобы ее плоскость оставалась парал-
лельной самой себе, а вершина О скользила
проходят две прямые,
бы по параболе АОВ. Через каждую точку Г. п.
целиком лежащие на его поверхности,— это так называемые прямолинейные
образующие Г. п. Г. п. можно получить также путем перемещения некоторой
прямой, пересекающей три попарно скрещивающиеся между собой прямые
Для того чтобы уравнение второго порядка от трех переменных х, у, z
«п*2 Н 2(712^"}“2«i:tXZ4* 2«цХ4~
4" а2ъУ2 + 2а2зуг 4- 2а24у +
+ «зз*2 + 2йз42 4"
+ аи — О
являлось уравнением
Г. п., необходимо и достаточно:
«11	«12	«13	«14
«12	«22	а2Т	«24
«13	«23	«зз	«34
«14	а24	«34	«44
Здесь rank означает ранг.
> О,
/«11	«12
rank I «12 «22
\«13	«23
«1з\
«23 ) = 2.
«33 '
122
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ СИНУС
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ СИНУС—одна из гиперболических функций. Г. с.
есть функция 0,5 (ех —е~х), которая обозначается shx. Производная Г. с.
вычисляется по формуле (shx)' = chx, где ch х—косинус гиперболический.
См. также: Гиперболический косинус, Гиперболические функции.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ТАНГЕНС — одна из гиперболических функций.
Г.т. есть функция (ех—е~х)/(ех -\-е~х), которая обозначается th х, т. е.
th x = sh x/ch х.
См. также: Гиперболические функции, Гиперболический синус, Гипербо-
лический косинус.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР — цилиндрическая поверхность, у кото-
рой направляющей линией является гипербола. Каноническое (простейшее)
уравнение Г. ц. в декартовых координатах имеет вид:
а3 Ь3
Таким образом, Г. ц.— поверхность 2-го порядка. Г. ц. имеет целую прямую
(ось Z) центров симметрии. Для того чтобы урав-
Рис. 35
нение второго порядка от трех переменных х, у, z
апх2 + 2а! 2ху + 2а13хг + 2о14х 4-
+ а22У2 + 2o23I/Z + 2^24# +
+ o33z3 4-2o34z +
+ а44 —О
было уравнением Г. ц., необходимо и достаточно:
°12	Д13	°14
а22	0123	о24
Огз	а33	С34
о24	о34	о44<
/ ali а12
rank ( О42 О22
\О13	О23
а18\
С23 ) = 2
Q33'
(здесь rank означает ранг), и два ненулевых соб-
ственных значения матрицы
Оц-	012	с1з’
012	а22	а23
а13	а23	а33
5)
имеют разные знаки.
ГИПЕРБОЛОИДЫ — центральные поверхности
2-го порядка. Различают два вида Г.: однополост-
ные (рис. 35, с) и двуполостные (рис. 35, б). Одно-
полостный гиперболоид относится к числу линейча-
тых поверхностей, через любую точку его проходят
две прямые, целиком лежащие на его Поверхности.,
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
123
Эти прямые называются прямолинейными образующими. В сечении его раз-
личные кривые 2-го порядка: эллипс, гипербола и пересекающиеся прямые.
В сечении двуполостного Г. различными плоскостями получаются также
эллипс, параболы и гиперболы. Оба гиперболоида имеют асимптотический
конус, к которому они приближаются; однополостный Г. имеет внутренний,
а двуполостный Г.— внешний асимптотический конус.
Канонические уравнения Г. имеют вид:
у*	у% Z*
^+^-^-=1 (ОДНОПОЛОСТНЫЙ), ^5+^ —^-=—1 (ДВуПОЛОСТНЫЙ).
Для того чтобы уравнение второго порядка от трех переменных х, у, г
ацх2 + 2а12х^ + 2a13xz + 2а14х +
+ c22i/2 + 2^23^2 + 2fl24T/ +
+ аззг2 + 2fl34z +
+ a44 =0
было уравнением однополостного (соответственно двуполостного) Г., необхо-
димо и достаточно, чтобы- собственные значения матрицы
/ fl12 fl13\
I fli2 g22 g23 ) имели разные знаки и
\flis fl23 азз/
(All А12	А13	П14\
а12	°22	023	fl24
013 023 033 034
014 fl24 034 044 У
(< 0 для двуполостного Г.).
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — аналитическая функция,
у (а, р, у, х), определяемая при |х| < 1 с помощью ги пер геометрического
уравнения
X (!—*)/+[?—(а+Р4-1)х]/—офу=О.
Важнейшие специальные функции математического анализа являются реше-
ниями гипергеометрического уравнения. Имеется большое число соотношений
между различными Г. ф., например:
у(а, 1, у, х) = р^у (1, ?-а, у,
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД—ряд вида:
/ Q 4 1! а Р I а(а+ О Р (Р+ О 2 .
у(а, ₽, у, х)=|+т-2х+	* +
, <х(«+1)(«+2) р (Р+ 1) (Р + 2)
Т 12 -3	у (у + 1) (у + 2)х ‘'
f. р. был впервые изучен Л. Эйлером (1778).
Ряды Тейлора (см. Тейлора ряд) многих функций представляют собой
частные случаи Г* р., например:
(1+х)а=у(-а, р, р, -х),
In (1 -{-х) = ху (1, 1, 2, — х).
124
ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА —понятие, к которому пришли на пути
обобщения понятия числа. Понятие Г. ч. шире, чем понятие комплексных чисел.
Г. ч. представляют собой выражения вида
X1«14- х,е, 4-... 4- Хпеп,	(*)
где хх, х2, »*., хп—произвольные действительные числа, a elt e2t .еп —
фиксированная система «базисных единиц». Для Г. ч. устанавливаются две
бинарные операции — сложения и умножения. Сложение Г. ч. производится
почленным сложением «компонент» х/ при «базисных единицах» в/. Умноже-
ние производится как умножение многочленов (почленно), т. е. по правилу
^2	= 2 xiyj(eiejY н0 Для этого необходимо предвари-
тельно определить умножение «базисных единиц», т. е. представить л2 произ-
ведений е/еу в виде:
п
е1е]=	где cijk£R*
fe=i
При рассмотрении систем Г. ч. приходится отказываться от некоторых
привычных арифметических законов. Простейшим примером Г. ч. являются
кватернионы, при этом приходится отказаться от коммутативности умноже-
ния. Дальнейшее обобщение понятия Г. ч. приводит к понятию алгебры над
полем действительных чисел.
Лит.: [71, 851.
ГИПЕРПЛОСКОСТЬ — множество точек л-мерного аффинного простран-
ства А, координаты которых (хх; х2;	х„) в некоторой аффинной коорди-
натной системе (см. Аффинный репер) удовлетворяют уравнению;
ал + а2х2 + *»* + апхп + b » 0.	(*)
Здесь ах, а2>	—элементы того поля, над которым рассматри-
вается аффинное пространство А (чаще всего ах, a2t ..., ап, b—вещественные
или комплексные числа); предполагается дополнительно, что среди ах, a2t ...
»*., ап не все элементы равны нулю.
Г., определенная условием (*), является аффинным пространством размер-
ности п—1. Всякое аффинное пространство, точки и векторы которого при-
надлежат А и аффинные операции которого индуцированы аффинными опе-
рациями пространства А, является пересечением некоторого числа Г.
ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ: 1°. Г.— множество точек л-мерного аффинного
пространства А, координаты которых (хх, х2,	х„) в некоторой аффинной
системе координат удовлетворяют уравнению:
F(xlt х.....х„) = 0,
где F—непрерывно дифференцируемая функция и ранг матрицы-строки ’
II dF	dF	dF\\ t
|jdxx ’ dx, ’	dx„|| равеи
2°. Г. л-мерного многообразия— подмногообразие размерности п—1.
Греч, тер—сверх, над.
ГИППОКРАТОВЫ луночки
125
ГИПЕРСФЕРА—сфера размерности п—1 в л-мерном евклидовом про-
странстве. Термин Г. употребляется для отличия сферы размерности п — 1
от сфер меньших размерностей (например, экваториальных сечений Г.), лежа-
щих внутри рассматриваемого евклидова пространства.
ГИПЕРЦИКЛ — то же, что и эквидистанта.
ГИПОТЕНУЗА—сторона прямоугольного треугольника, лежащая против
прямого угла.
Греч.: uiorevoa—тянущаяся под чем-либо (под прямым углом).
ГИПОТРОХОИДА—плоская кривая, являющаяся траекторией движения
точки М, жестко связанной с окружностью со, катящейся внутри и без
скольжения по другой окружности L, остаю-
щейся неподвижной. На рис. 36 Г. точки М
обозначена буквой I. Если точка М принад-	//	\ /
лежит окружности со, то Г. называется гипо- f \	'
циклоидой,	•
Греч.: то—под, xpoxoeidug—колосообраз-	I
ный, круглый.	/
ГИПОЦИКЛОИДА—плоская кривая, опи-
сываемая точкой окружности со, катящейся
внутри и без скольжения по другой непо-
движной окружности. В зависимости от со-	рис зд
отношения длин радиусов подвижной и не-
подвижной окружности (г и R) получаются различные формы Г.: астроида
и др. Если длина радиуса подвижной окружности равна половине длины
радиуса неподвижной окружности (г = 0,57?), то Г. вырождается в отрезок
прямой—диаметр неподвижной окружности.
Свойством превращения кругового движения (перемещения) в прямоли-
нейное иногда пользуются при конструировании зубчатых передач (в печат-
ных машинах), в некоторых часовых механизмах. Г. и эпициклоиды принад-
лежат к кривым, называемым рулеттами, частным случаем которых явля-
ются Г.
Параметрические уравнения Г. таковы:
х — (R — г) cos 0	г cos £ (R — г)
y-(R — г) sin 0 — г sinf(/? —г) у
где 7?—длина радиуса неподвижной окружности, г—длина радиуса катя-
щейся окружности, 0—величина угла, измеряемого величиной дуги, заклю-
ченной между точками касания окружностей.
Греч.: 1ло—под (ниже), xo%Xoei6o£ — кругообразный; «под циклоидой».
ГИППОКРАТОВЫ ЛУНОЧКИ—плоские фигуры, ограниченные дугами
двух окружностей, для которых можно циркулем и линейкой (классические
инструменты геометрических построений) выполнить построение равновели-
кого прямоугольника. Г. л. названы по имени древнегреческого математика
Гиппократа Хиосского (из Хиоса, V в. до н. э.; не смешивать со знаменитым
греческим врачом Гиппократом из Коса (460—377 (?) до н. э.)). Гиппократ,
126
ГЛАВНАЯ ДИАГОНАЛЬ
занимаясь вопросом квадратуры круга, нашел
три квадрируемые Г. л., впоследствии другими
математиками были найдены еще две такие Г. л.
Одной из первых задач квадрирования Г. л.
была такая: сумма площадей двух луночек, обра-
зованных дугами окружностей с центрами в сере-
динах сторон равнобедренного прямоугольного
треугольника, равна площади этого треугольни-
ка (рис. 37).
ГЛАВНАЯ ДИАГОНАЛЬ матрицы—(упорядоченная) совокупность эле-
ментов ап, а2г> ••чйпп квадратной матрицы ||а,/||
#11012
001^22
ап1^п2
• • • °Лп
... а2п
• • апп.
ГЛАВНАЯ НОРМАЛЬ кривой—единичный вектор v, имеющий то же
направление, что и вектор , гдет—единичный касательный вектор, a s—
длина дуги. Г. н. лежит в соприкасающейся плоскости кривой. Г. н.— один
из трех векторов сопровождающего триэдра.
ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ поверхности в точке М — наибольшая и наимень-
шая из кривизн нормальных сечений поверхности в точке А4.
Величины J?i и Я2> обратные к Г. к., называются радиусами Г. к. Кри-
визна любого нормального сечения поверхности в данной точке выражается
через Г. к. по формуле Эйлера (см. Эйлера формула).
|£__М_______kF\
..	' .. ,_| = 0,
Ivi Кл । /V —яи I
где Е, Г, G—коэффициенты первой, a L, А4, N—коэффициенты второй квад-
ратичной формы (см. Первая квадратичная форма).
ГЛАВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ поверхности в точке М —те из
нормальных сечений поверхности в точке Af, для которых кривизна дости-
гает наибольшего и наименьшего значений.
ГЛАВНЫЕ ОСИ центральной кривой или центральной поверхности вто-
рого порядка—оси симметрии этой кривой или поверхности.
Если уравнение кривой второго порядка имеет вид
0цх2 + 2#i2xy + 2013х 4-
+ а22У2 + 20азУ +
+ 033 = 0,
то Г. о. имеют уравнения:
х = Хо~|-С1^/, У =
где векторы e<l‘> = (Ci), Съ'), 1=1, 2, являются собственными векторами мат-
(01101а\	/	\	•
, а (х0, #о) —центр симметрии кривой.
0Ц022/
ГЛАДКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
127
Аналогично для поверхности второго порядка, задаваемой уравнением:
апх2 4- 2а12ху + 2a13xz + 2а14х +
+ а22У2 + 2a23yz Ц- 2а24у +
+ азз%2 4-2a34z 4-
+ а44 — О,
уравнение Г. о. имеет вид:
x — XQ-j-Ci^t, у = yv + Cz't, и = ?о4“Сз^Л
где векторы e<o = (Cif), С20, Сз°), * = 1, 2, 3, являются собственными векто-
рами матрицы
а11а12а1з’
012^22^23
a13c23fl33
а (х0; У о', z0)—центр симметрии поверхности.
Центры симметрии центральной кривой и центральной поверхности вто-
рого порядка (х0; у о) и (х0; Уо‘> 2о) могут быть вычислены соответственно из
систем уравнений («уравнения центра»)
ацх4~ а\2У + Д1з = 0
«12Х 4“ а22У 4" °23 — 0>
4" й\2У 4“ °13г 4“ а14 = О
а12Х 4- &22У 4" 023Z + fl24 = О
Д13Х 4“ а2зУ 4“ rt33Z 4" а34 = 0.
ГЛАВНЫЙ ИДЕАЛ — идеал колы а, порожденный одним элементом. Нуль
кольца в любом кольце образует Г. и. В ассоциативно-коммутативном кольце
R Г. и., порожденный элементом а, состоит из всевозможных сумм вида
га-\-па, где r£R и n£Z. В ассоциативно-коммутативном кольце R с едини-
цей е Г. и., порожденный элементом а, состоит из всевозможных кратных
элемента а, т. е. элементов вида га. В случае некоммутативного кольца R
следует различать правые Г. и. и левые Г. и.
Лит.: [24, 71].
ГЛАДКОЕ МНОГООБРАЗИЕ — многообразие, в котором каждая пара
пересекающихся координатных окрестностей А, В обладает следующим свой-
ством: отображение go/”1:—►£» является гладким (см. Гладкое отобра-
жение). Здесь [:А—► Еп, g:B—► Еп отображения координатных окрестно-
стей в открытый л-мерный евклидов шар.
ГЛАДКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ. Пусть Еп и Ет— пространства переменных
(jq; х2\ ...; хп) и (yi\ у2\ ...; ут) соответственно, D и D' — области в Еп и Ет.
Всякое отображение f:En—► Ет определяется функциями:
y, = yi(xi, х2;	x„),t = l, 2, .... т.
(*)
Отображение / называется Г. о., если функции (*) являются гладкими функ-
циями. Термин «гладкая» функция означает функцию, все частные производ-
ные которой, до порядка г включительно, непрерывны (тогда говорят о глад-
кости класса Сг).
Рассматривают также Г. о. многообразий.
128
ГОЛОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ
Пусть f \V—► V' отображение многообразия V в многообразие V', P£Vt
U, U’—координатные окрестности точек Р и Р’ соответственно,
отображения g: U—►	gf,.U'—>D'czErt определяют локальную
систему криволинейных координат в U, U'.
Отображение f называется Г. о., если для любой пары точек Р, Р' =f(P)
и для любой пары координатных окрестностей U, U't содержащих точки Р
и Р' соответственно, отображение g'fg~l'.D—► D' является Г. о.
Г. о. имеет смысл рассматривать только для гладких многообразий (той
же или более высокой степени гладкости).
Лит.: [154].
ГОЛОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ— однозначная аналитическая функция.
ГОЛЬДБАХА ПРОБЛЕМА часто называется также проблемой Гольдбаха —
Эйлера. Г. п. заключается в гипотезе, что всякое нечетное число, начиная
с 7, может быть представлено суммой трех простых чисел, а всякое четное
число, начиная с 4, может быть представлено суммой двух простых чисел.
Г. п. для нечетных чисел была высказана петербургским академиком Хри-
стианом Гольдбахом в письме к Леонарду Эйлеру в 1742 г., и в ответном
письме Эйлера была высказана Г. п. для четного случая. Решению Г. п. по-
священа Виноградова теорема.
ГОМЕОМОРФИЗМ—взаимно однозначное и взаимно непрерывное отобра-
жение двух топологических пространств. Иначе—два топологических про-
странства X и Y называются гомеоморфными друг другу, если сущест-
вует непрерывное отображение f:X —► У, взаимно однозначное и такое, что
обратное отображение f”1:Y—>Х тоже непрерывно. Свойства топологиче-
ских пространств, сохраняющиеся при Г., называются топологическими
свойствами.
Осх< 1, 0 < у < 1 гомеоморфен
л и открытый интервал не гомео-
ГОМОЛОГИЯ в проективной гео-
метрии— взаимно однозначное проек-
тивное преобразование проективной
плоскости, при котором некоторая
прямая (ось Г.) остается неподвиж-
ной. В Г., не являющейся тождест-
венным преобразованием, все прямые,
соединяющие соответственные точки
(А и А', В и В'), пересекаются в од-
ной точке S—центре Г., а соответст-
венные прямые (АВ и А'В') пересе-
каются на оси гомологии.
Если центр S не лежит на оси
Г., то Г. называется неособенной
(или гиперболической, рис. 38, а);
если центр S лежит на оси Г., то
Г. называется особенной (или пара-
болической). Обычно Г. задается цент-
ll р и м е р ы. Квадрат плоскости
кругу х2 + у2 < I. Замкнутый интерв
морфны.
ГОМОТЕТИЯ
129
ром S, осью и парой соответственных точек А, Д'. Г. с собственным (конеч-
ным) центром и несобственной (бесконечно удаленной) осью (рис. 38, б) есть
гомотетия; Г. с несобственным центром S* и собственной осью X есть
растяжение (сжатие) к оси (рис. 38, в), Г. с несобственным центром So.
и несобственной осью (центр лежит, следовательно, на оси) есть параллель-
ный перенос. Особая Г. е Несобственным центром $«, но с собственной
осью X (центр лежит на оси) есть параллельный перенос (рис. 38, г). Всякое
проективное преобразование плоскости есть произведение двух преобразова-
ний: Г. и перемещения.
От греч. yopoXoyia—соответствие, согласие.
ГОМОМОРФИЗМ — понятие математики и логики, возникшее первоначально
в теории групп и впоследствии оказавшееся важным и плодотворным и в ряде
других разделов математики. Термин происходит от греческих слов уоцо—
одинаковый, общий, равный и цорфоо—вид, форма.
Пусть даны две группы G (*) и G' (*). Однозначное отображение ф элемен-
тов группы G в группу G' называется Г., если из а*Ь = с в группе G для
любых а и b из G следует равенство аф*&ф = сф в группе G'.
В общем случае для двух алгебраических систем а = <Д, QF, Qp> и
ц' = <Д', Qf, ЙрХ между множествами операций и множествами предикатов
которых существует взаимно однозначное соответствие Fl^Fi и Pjt-tPj,
сохраняющее их арности, если задано однозначное отображение ф носителя
Д в Д', такое, что F/Gh, п2, •••» ami)^ = Fi(a^, а2ф, •••> Qmfl)) и из
истинности предиката Р/(аъ я2, ..., следует истинность предиката
Р/(Я1Ф, п2ф, »*., ату.ф), то ф называется Г. а в а'.
Частный случай, когда a = a', т. е. Г. алгебраической системы на себя,
называется эндоморфизмом.
Примером Г. группы целых чисел (относительно сложения) может слу-
жить отображение каждого целого числа в его остаток от деления на фикси-
рованное натуральное число т. Тем самым, как легко проверить, задается
гомоморфное отображение бесконечной группы в конечную группу вычетов по
модулю т. При этом числа, сравнимые по модулю /и, a = b (mod /и), отобра-
жаются в один и тот же элемент группы вычетов по модулю т.
Лит.: [85].
ГОМОТЕТИЯ — один из видов преобразования плоскости и пространства.
Г. с центром в точке О и коэффициентом k 0 называется такое отображение
множества точек плоскости на себя, при котором всякая точка М отобра-
—>	—►
жается в точку М' такую, что выполняется векторное равенство: ОЛГ — k-OM.
Аналогично Г. определяется и для трехмерного пространства. Г. при k > 1
означает как бы «растяжение» всей плоскости от точки G—центра Г. Если
коэффициент Г. k положительный, но меньше 1 (0<&<1), то Г. есть «сжатие»
плоскости к точке О. Если 6=1, то Г. есть тождественное преобразование
(отображение) плоскости на себя.
Если коэффициент Г* £=—1, то Г. есть центральная симметрия с цент-
ром симметрии в точке О. Отметим другие свойства Г. Любая прямая при Г.
отображается на параллельную прямую, совпадающую или не совпадающую
с первой прямой; всякий отрезок АВ отображается на параллельный отрезок
5 № 765
130
ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ГРУППА
А'В' так, что отношение их длин равно коэффициенту k: | Д'В' |:| АВ \ = k.
В преобразовании Г. центр Т. отображается на себя, т. е. остается непод-
вижной точкой.
Множество Г. е общим центром представляет собой группу преобразова-
ний. Г. есть частный случай более общего преобразования — подобия. Г. может
задаваться по-разному: центром и коэффициентом Г.; центром и двумя соот-
ветственными точками; двумя парами соответственных точек А и А', В и В'.
Всякая окружность при Г. отображается на окружность, при этом центр
одной из них переходит в центр другой.
Г. используется при копировании фигур с помощью пантографа, при
съемках плана на местности (мензульная съемка), при фотографировании,
при решении задач на построение (метод гомотетии).
ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ГРУППА топологического пространства X. Пусть
Sn — стандартная n-мерная сфера, a s0 и х0 — выделенные точки Sn и X. Рас-
смотрим непрерывные отображения
/: S«—
такие, что f(s0) = x0. Множество всех отображений f разобьем на классы по
отношению гомотопности отображений, т. е. в каждом классе объединим все
отображения /, гомотопные (см. Гомотопия) друг другу. Обозначим множество
классов через лл(Х, х0). В этом множестве можно ввести структуру группы,
если'определить групповую операцию следующим образом. Пусть а£лл(Х,х0),
0^л„(Х, х0) и f\Sn—g'.Sn—представители отображений из этих клас-
сов. Отобразим стандартным образом сферу Sn в букет двух сфер Sn v Snt
h:Sn—*SnySn (для этого экватор сферы Sn, проходящий через точку s0,
следует стянуть в точку (см. Стягивание в точку)). Отобразим первую сферу
букета в X с помощью /, а вторую сферу—с помощью g; построенное ото-
бражение букета Snv Sn в X обозначим через (/, g). Рассмотрим сквозное
отображение и его гомотопический класс:
Sn Д S" v S” — Д X, (f, g)oh-.Sn —> X.	(*)
Оказывается, что при выборе других представителей g' классов а и 0
(вместо f и g) суперпозиция (/', g')°h определит toi же гомотопический
класс. Таким образом по двум элементам а, 0£л„(Х, х0) построен новый
элемент у из л„(.¥, х0). Можно доказать, что соответствие (а, р) —► у задает
групповую операцию в л„(Х, х0). При h > 1 эта операция является комму-
тативной и соответствующая группа—абелевой группой. При h=l построен-
ная группа называется фундаментальной группой пространства X.
Г. г. является одним из важнейших инвариантов- гомотопического типа.
Примеры
1. Л1(51) = 2, л„(51) = 0, и==2, 3,	здесь S1 —окружность, Z—группа
целых чисел по сложению, 0—единичная группа.
2. n3(S2) = Z, л1в (S9) = Z24o’» здесь S2 и S9—сферы размерности 2 и 9
соответственно, Z240— циклическая группа порядка 240.
Задача вычисления лл(5п) привлекает внимание математиков на протя-
жении нескольких десятков лет. В процессе ее решения получен ряд глубоких
результатов, однако надежд на полное решение в настоящее время нет.
ГОНИОМЕТРИЯ
131
ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ. Два топологических про-
странства X и Y называются гомотопическими эквивалентами, если суще-
ствуют два непрерывных отображения
f:X—+Y и g:Y —> X,
удовлетворяющие следующему свойству: отображения
g°f-.X-+X и fog:Y-+Y
(каждое в отдельности) гомотопны (см. Гомотопия) соответственно тождест-
венным отображениям X —► X, Y —► Y.
Примеры
1.	Двумерная плоскость гомотопически эквивалентна точке.
2.	Окружность комплексной плоскости | z | = 1 гомотопически эквивалентна
1	, ,	3
кольцу —	.
3.	Окружность и двумерная сфера не являются гомотопически эквива-
лентными.
Лит.: [144].
ГОМОТОПИЧЕСКИЙ КЛАСС непрерывного отображения f*.A —► В, где
А и В—топологические пространства,— множество всех непрерывных ото-
бражений g:A —► В, гомотопных отображению / (см. Гомотопия).
Лит.: [144].
ГОМОТОПИЧЕСКИЙ тип — множество всех топологических пространств,
гомотопически эквивалентных друг другу (см. Гомотопическая эквивалент-
ность).
ГОМОТОПИЯ. Два непрерывных отображения топологического простран-
ства X в топологическое пространство Y
f'.X—»-Y, g:X->-Y
называются гомотопными, если существует семейство отображений
ff-X —0</^1,
удовлетворяющее таким свойствам:
1. ft(x) непрерывна по совокупности аргументов i и х£Х,
2. fo(x) = f(x), fi(x)=g(x).
Примеры
1. Вложение окружности в двумерную сферу в качестве экватора гомо-
топно отображению окружности в любую точку этой сферы.
2. Вложения окружности в тор в качестве меридиана и параллели не
гомотопны между собой.
Лит.: [144].
ГОНИОМЕТРИЯ — устаревшее название раздела школьного курса мате-
матики о тригонометрических функциях и зависимостях между ними. Г. была
вводной частью тригонометрии, растворившейся теперь в геометрии и алгебре
и началах анализа. Термин Г. теперь не употребляется.
Греч.; yovia —угол, ретрео —измеряю.
5*
132
ГОРИЗОНТАЛЬ
ГОРИЗОНТАЛЬ—термин начертательной гео-
।	I 2 метрии. Г.— прямая, параллельная ‘ горизонталь-
ft ]..............-1—— ной плоскости проекций и не перпендикулярная
|	_-^***с? вертикальной плоскости проекций. Г. изобража-
|	1 ется на эпюре в виде двух прямых at и а2; ПРИ
^**и*0^	этом вертикальная ее проекция а2 (рис. 39)
рис. 39	параллельна оси проекций хх, а горизонтальная
ее проекция может занимать относительно
оси проекций любое положение, не перпендикулярное оси хх. Прямая
a(ai, а2) есть Г.
ГОРНЕРА СХЕМА—способ деления многочлена n-й степени aoxn-f-
+	.-j-an шТ линейный двучлен х—а, основанный на том, что
коэффициенты неполного частного ~1 ~h ~2 4~ • • • 4-^n-i и остаток
г связаны с коэффициентами делимого многочлена и с а формулами:
b0 = aQ, bk = abk_f-}-ak, fc=l, 2, tli, n— 1 и г = abn-i~\-an. Вычисления по
Г. с. располагают в таблицу:
	«о	01	а2		an-l	an
а	^0	bi = abo 4~	b2 — abi 4~ Д2		bn-i=abn_2-\-an-i	r=abn_x+an
Г. с. позволяет быстро вычислить коэффициенты неполного частного и остаток.
Пример. Разделить /(х) = х4 4-2х3— 4x4-3 на х4-3.
	1	2	0	—4	3
—3	1	—1	3	— 13	42
Неполное частное равно х3— х24~3х—13 и остаток равен 42 = /(—3).
Г. с. позволяет быстро вычислять значения многочлена при х = а, т. е.
/(«).
Лит.: [72].
ГРАД — величина угла, равная сотой части величины прямого угла.
Г. обозначается 1д. Сотая часть Г. называется метрической минутой (Г), а
сотая часть метрической минуты называется метрической секундой (Г). Г.,
как единица измерения величины угла, был введен вместе с метрической
системой мер (конец XVIII в.). Практического применения Г. не получил.
ГРАДИЕНТ функции u = f(x\ у\ г), заданной в некоторой области про-
дф дф дф
странства х, у, г—векторное поле с проекциями	,
ч	j дф . дф -? , дф т*	... ч
мый символами gradu = -g^- i / Н" или	У* *)•
обозначав-
ГРАММАТИКА ФОРМАЛЬНАЯ
133
Аналогично определяется Г. фу'нкции нескольких переменных г =
= /(*ь *2, • ».; хп):
1
где г/—единичные орты положительных направлений координатных осей х/,
1 = 1,2, . < *, п.
Производная функции f(xf, ха; хп) в направлении, задаваемом еди-
ничным вектором I (Zx; /2; .	/л) ^обозначается равна:
-|2-=(grad f, 7) = | grad/1 cos а;
здесь круглые скобки означают скалярное произведение, а—величина угла
между векторами grad f и I в рассматриваемой точке. При а = 0, т. е. в слу-
,	j .	д®
чае, когда направления I и grad f совпадают, производная принимает
наибольшее значение. Г. функции ортогонален к поверхности гдровня функции.
Это поле является потенциальным (см. Потенциальное векторное поле) с по-
тенциалом f(xi, ха; хп).
Точки (х/, ха; ...; хп) пространства, в которых grad f 0, называются
неособыми точками функции, в противном случае, когда grad/ = O, — особыми
(см. Особая точка).
ГРАДУС — единица измерения плоских углов. Г. —величины прямого
уи
угла. Один градус обозначается так: 1°.
Лат.: gradus—шаг, ступень.
См. также: Стерадиан, Радиан.
ГРАММА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ системы векторов аъ а2, ak евклидова
пространства — определитель матрицы	элементами которой являются
скалярные произведения а/у = (а/, ау). Аналогично определяется Г. о. для
системы элементов гильбертова пространства. В частности, можно говорить
о Г. о. для системы функций <рх, фа, ..., (р^, определенных на отрезке [a; bj
с интегрируемыми квадратами. Тогда
ь
aij=^ Ф< w V/Wdx.
а
Система элементов линейно независима тогда и только тогда, когда их
Г. о. положителен. Г. о. всегда неотрицателен.
Г. о. введен датским математиком И. Граммом. Термин Г. о. часто встре-
чается в литературе в другой транскрипции: Грама определитель.
ГРАММАТИКА ФОРМАЛЬНАЯ —собирательный термин нескольких ти-
пов математико-логических исчислений. Основным объектом приложений Г. ф.
и одновременно источником идей теории Г. ф. является математическая линг-
вистика (см. Математическая лингвистика).
134
ГРАНИЦА МНОЖЕСТВА
Одним из основных типов Г. ф. является порождающая грамматика, кото-
рой называется четверка Г = <У, W, J, R>, где V и W — конечные непересе-
кающиеся множества, называемые соответственно основным и вспомогательным
словарями (алфавитами) грамматики Г, J — начальный символ грамматики
Г и /? —конечное множество правил грамматики Г. Правила грамматики Г
имеют вид <р —► ф, где ф и ф—слова в алфавите I/(J W и символ —
и по определению слово XityX2 считается непосредственно выводимым из
слова Х1фХ2 в грамматике Г. Далее определяются вообще выводимые слова
в Г, а множество всех выводимых слов называется языком, порождаемым
Г. ф. Г.
Систематическое изучение Г. ф. было начато в 50-х годах XX в. Н. Хом-
ским. Дальнейшие сведения по Г. ф. читатель найдет в [41].
ГРАНИЦА МНОЖЕСТВА — совокупность граничных точек этого мно-
жества.
ГРАНИЦА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ — термин теории прибли-
женных вычислений. Пусть а—приближенное значение числа х и со — отно-
сительная погрешность этого приближения. Тогда любое число е, удовлетво-
ряющее неравенству | со | е, называется Г. о. п.
Таким образом, в качестве Г. о. п. может выступать любое число, не мень-
шее модуля относительной погрешности. Ясно, однако, что, чем меньшую
Г. о. п. нам удастся указать, тем лучше будет получена оценка приближен-
ных вычислений, тем большую информацию мы будем иметь о неизвестном
точном числе. Например, в качестве Г. о. п. можно взять отношение h/\ а |,
где h—граница погрешности.
При умножении и делении приближенных значений чисел для оценки
погрешностей используется теорема: Г. о. п. произведения и частного равна
сумме Г. о. п. исходных данных.
Лит.: [49].
ГРАНИЦА ПОГРЕШНОСТИ приближенного значения а числа х— это лю-
бое число /г, удовлетворяющее неравенству ] х—a\^h. Таким образом, в каче-
стве Г. п. может быть взято любое число h, не меньшее абсолютной величины
погрешности. Ясно, что, чем меньшее число указано в качестве Г. п., тем
приближение лучше.
Г. п. имеет синоним—граница абсолютной погрешности.
Если h является Г. п. приближенного значения а числа х, то говорят,
что а есть приближенное значение х с точностью до Л, и записывают этот
факт в виде: х = а ± h или в виде двойного неравенства: а—h^x^a-\-h.
Говоря о приближенном равенстве двух выражений, необходимо указать,
с какой точностью они равны, так как в противном случае любое число а
равно любому числу b (с точностью до |а—b |).
При сложении и вычитании приближенных значений чисел используется
теорема о том, что при сложении и вычитании Г. п. складываются.
ГРАНИЧНАЯ ТОЧКА; 1° Г. т. множества действительных чисел—такая
точка, что в любом содержащем ее открытом промежутке найдутся как точки,
принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие множеству. Г. т.
множества сама может как принадлежать множеству, так и не принадлежать
ему.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
135
Примеры
1.	Для множества рациональных чисел х на отрезке [0; 1] граничными
точками являются все (как рациональные, так и иррациональные) точки
отрезка [0,1];
2.	Для множества точек х =	, n£N граничными точками являются точки
I 1 1
множества <—> и, кроме того, нуль;
3.	Граничными точками открытого промежутка ]а; 6[ служат точки а и Ь.
2°	.'Г. т. множества n-мерного арифметического, или метрического, прост-
ранства— такая точка, что в любом, содержащем ее открытом шаре имеются
как точки, принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие мно-
жеству. Г. т. множества может как принадлежать множеству, так и не при-
надлежать ему.
3°	. Г. т. подмножества А топологического пространства X — всякая точка
х0£Х, удовлетворяющая условию: любая окрестность точки х0 в X содержит
по крайней мере одну точку, принадлежащую А, и хотя бы одну точку не при-
надлежащую А. Понятие Г. т. подмножества А топологического, пространства
X в качестве частного случая включает в себя определения 1° и 2°. При этом
вещественная прямая и метрическое пространство рассматриваются как то-
пологические пространства. Система окрестностей здесь задается множествами
вида (Q- , ау	, а) | р (х, х) < а}, х— лю-
бая точка X, а—любое действительное положи-
тельное число.
Примеры
1. Для множества точек М (х; у) плоскости,
удовлетворяющих условиям г0 < У^х2 + у2< Г{,
ro < ri» граничными точками являются точки
двух концентрических окружностей с центром в
начале координат О (0; 0) и радиусами г0 и rf (в
случае г = 0 одна из окружностей заменится
точкой —началом координат, рис. 40, а).
2. Граничными точками множества точек
А1 (х; у, г) в пространстве, определяемого условия-
ми x2 + i/2 < г < А, служат точки параболоида вра-
щения с уравнением x2 + #2 = z, лежащие ниже
плоскости z — h, и точки круга, лежащего в этой
плоскости и ограниченного окружностью, являю-
щейся пересечением параболоида с плоскостью
z — h (рис. 40, 6).
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ (краевые условия).
При решении задач математической физики часто
бывает важным выделить из множества всех реше-
ний соответствующего уравнения в частных произ-
водных (или системы таких уравнений) то единствен-
ное решение, которое описывает изучаемый процесс.
У
Рис. 40
136
ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР
Обычно требуется, чтобы искомая функция удовлетворяла дифференциальному
уравнению в частных производных внутри области D и обладала некоторыми
свойствами на границе Г области D. Для многих задач математической физики
установлено, что те или иные условия на границе выделяют единственную
функцию из всего множества решений. Такие условия носят название Г. у.
См. Дирихле задач а, Неймана задача.
Лит.: [133].
ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР: 1°. Г. о. клеточного комплекса—оператор д,
определенный на цепях клеточного комплекса, т. е. на целочисленных фор-
т
мальных линейных комбинациях ориентированных клеток комплекса е =
г= 1
где а/—целые числа, е1'—ориентированные клетки. На каждую клетку е раз-
мерности п оператор д действует по формуле
т
де = 5 [е, fi]fh	(•)
i=l
где fi (i=l, 2, «.i, m) —все клетки размерности п—1. Символ [е, Д] означает
целое число (коэффициент инцидентности), определяемое следующим образом.
Пусть е, fi — ориентированные клетки и f:En—► X, g-.En~l—► X—соответст-
вующие им характеристические отображения. Граница S”*1 множества Еп
отображается под действием f в п—1-мерный остов Х”“х пространства X*
Этот остов X”-1 стандартным образом отображается в пространство
Хп“1/Хп”2; /rX^-^—^X^J/X"-2 (здесь Хп“2— я —2-мерный остов, а
Хл”1/Хп”2 означает топологическое пространство X"”1, в котором подмно-
жество Хп”2 объявлено одной точкой (топология Хп~х/Хп~2 определяется то-
пологией Хп~х; см. Стягивание в точку)). Пространство Хл”1/Хп”2 имеет кле-
точное разбиение, являющееся букетом п — 1-мерных сфер. Рассмотрим сквозное
отображение:
Xn-1/Xn~2xSi~l vs"-1 V...V Sm-1.
Всякое отображение ориентированной сферы Sn~x в букет ориентированных
сфер Si-1 v S?"1 V V 3^"1 = В1 гомотопически эквивалентно (см. Гомото-
пическая эквивалентность) отображению, построенному по следующей кон-
струкции: сначала сфера Sn~x стягиванием в точку нескольких подмножеств
Mi, i=l,2, »»., т— 1, превращается в букет сфер S? v S”"1 V »». V 3^-1 =
=В2. (Для этого надо в качестве Mi выбрать сферы размерности п—2, пересе-
кающиеся между собой только в одной точке.) Далее букет 32 отображается в
букет Bi так: сферы букета В2 отображаются в соответствующие (по номеру)
сферы букета при этом каждое таксе отображение Л^З?”1 —► 3?“\
i=l, 2, ..., т (с точностью до гомотопической эквивалентности) определяет-
ся целым числом deg Л,— степенью отображения.
Итак, граница З”*1 шара Еп отображена в B1 = Si"1 V S?”1 V... V З^”1, а
среди Si“\ S?”1, ...» З^"1 есть та сфера, которая является образом клетки fi
при отображении Л:ХЛ—► Хп~1/Хп“2 (пополненным одной замыкающей точ-
кой).
ГРАФИК ОТНОШЕНИЯ
Г 7
Пусть номер этой сферы i. Тогда
[е, fi]=deghi.
Действие оператора д, определенное формулой (♦), распространяется на
множество всех цепей по линейности, т. е.
1 = 1
Лит.: [144].
2°. Г. о. симплициального комплекса—оператор д, определенный на цепях
симплициального комплекса, т. е. на целочисленных линейных комбинациях
ориентированных симплексов c = S где а/—целые числа, s* — ориентиро-
ванные симплексы. На каждый симплекс размерности п оператор д действует
по формуле
dsn = Uo 1 + и1} 1+i..4~Wn \	(**)
где и?"1, «Г1, in» и""1—совокупность когерентно ориентированных граней
симплекса sn, т. е. если sn = е (Ао, At.Л„), то н?“1 = (—1)' е (Ао, Alf ...
Л/+1, ..., Л„), здесь Ло, Л1, ».., Ап—вершины симплекса, а е —
ориентация симплекса.
Лит.: [109].
ГРАНЬ. 1°. Г. многогранника — плоский многоугольник, являющийся
частью поверхности многогранника и ограниченный его ребрами.
2° Г. многогранного (телесного) угла — любой плоский угол при вершине.
3°. Г. в арифметике—группа цифр числа. Так, для облегчения чтения
натурального числа, записанного более чем тремя цифрами, его разбивают
справа налево на Г. (см. Класс, пример 2).
4°. Г. в смысле границы множества действительных чисел и грани функ-
ции см. Верхняя грань множества, Нижняя грань множества, Верхняя грань
функции. Нижняя грань функции.
ГРАФ —конечное множество точек (вершин Г.), для некоторых пар кото-
рого установлены связи (ребра Г.). При этом пара вершин может соединяться
несколькими ребрами. Ребром может соединяться и вершина сама с собой.
Рассматривают также ориентированные Г., на ребрах которых указаны на-
правления. Рассматривают также Г. с весами, т. е. Г., ребрам которого при-
писываются некоторые веса (числа, символы). Г. является предметом изучения
графов теории (см. там же литературу). Термин происходит от греческого
урафю— пишу, черчу, рисую.
ГРАФИК ОТНОШЕНИЯ R между 'числами — элементами данных множеств
X и Y—это подмножество множества упорядоченных пар чисел (х; у), изобра-
женных точками на координатной плоскости, где х£Х, y£Y.
Множество первых элементов х упорядоченных пар чисел (х; у) называют
областью определения отношения R, а множество вторых элементов у этих
138
ГРАФИК ФУНКЦИИ
пар —областью значений отношения. Область
определения отношения есть подмножество мно-
жества X, а область значений отношения есть под-
множество множества Y (оно может и совпасть
со всем множеством Y).
Примеры
1.	Г. о. h между числами, заданного мно-
жеством пар (х; у), где х^О, | у | = 2, является
пара параллельных лучей и Л42Х2> прохо-
дящих соответственно через точки (0; 2) и (0;
—2) (рис. 41, а).
2.	Г. о. g между числами, заданного множеством
пар: {(*,{/) I [х] = 1, М=2| , есть квадрат ABCD
(рис. 41, б), у которого удалены стороны ВС и
DC.
3.	Г. о. р между числами, заданного множе-
ством пар: |(х; у) | у > х и (х—2)2 + {/2= 1} , яв-
ляется пустое множество, так как окружность
(х—2)2+^2=1 и полуплоскость у>х не пере-
секаются (рис. 41, в). В этом случае отношение
между элементами множеств X и Y также пусто
(между элементами х£Х и y£Y нет никакого
стрелочного соответствия).
4.	Г. о. f между числами, заданного множест-
вом пар: |(х; у) | xgZ?, {/ = 2} , есть прямая, па-
раллельная оси абсцисс и проходящая через
точку (0; 2) (рис. 41, г). В дан.ном примере отно-
шение f между элементами множеств X и Y есть
функция (постоянная функция).
См. также: Бинарное отношение, Отношение,
Тернарное отношение, Функция, Декартово произведение (множеств).
ГРАФИК ФУНКЦИИ: 1°. Г. ф. y = f (х) действительной переменной —
множество точек плоскости, декартовы прямоугольные координаты которых
удовлетворяют соотношению (равенству) y = f(x). В зависимости от того,
какая задана функция, Г. ф. может быть непрерывной (сплошной) линией,
а может быть и дискретным множеством, состоящим из изолированных точек.
Так,Г.ф. у = ах+Ь (линейная функция) есть прямая (на рис. 42, а изобра-
жена линейная функция у = 2х+ 1); Г. ф., заданной формулой у = ах2-\-Ьх-\-с
(на рис. 42, б изображена функция у = х2 — х), есть непрерывная кривая, на-
зываемая параболой, которая проходит через начало координат; Г. ф.
у = — , выражающей обратную пропорциональную зависимость между пере-
менными х и у, есть гипербола, асимптотами которой являются оси коорди-
нат (на рис. 42, в коэффициент а=1); график дробно-линейной функции
ГРАФИК ФУНКЦИИ
139
У
(c/ipg) ’ если определитель Д= |	|?£ 0 и с 0, есть гипербола с асим-
I х I
птотами, параллельными осям координат; Г* ф* у=-—t (х 0) есть пара па-
раллельных лучей у—1 при х > 0 и # = —1 при х < 0, начала лучей не
принадлежат Г. ф. (рис. 42, д).
Если рассмотреть Г. ф., являющейся последовательностью, то это будет
дискретное множество точек, расположенных справа от оси ординат; так, по-
следовательность, л-й член которой задан формулой an=f(ri) (на рис. 42, а
1
С1п—
п X
где xgJV), представляет собой дискретное множество точек.
Для построения графика функции или уравнения f (х\ у) = 0, где функция
выражена неявно через аргумент х, обычно составляют таблицу значений
аргумента и функции (или переменных, входящих в уравнение) и строят в вы-
бранной прямоугольной декартовой системе координат (а иногда в аффинной
или полярной) соответствующие точки по паре значений х и yt Если функция
непрерывная и достаточно гладкая (ее вторые производные изменяются без
резких скачков с изменением аргумента), то, соединив построенные точки
плавной кривой, получим Г. ф. или график уравнения. Чем ближе будут взяты
точки на координатной плоскости, тем точнее будет построен Г. ф. или график
уравнения.
Рис. 42
140
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Некоторые Г. ф. имеют названия, сходные с названиями самих функций, гра-
фиками которых они являются: синусоида (Г. ф. синуса), косинусоида, тан-
генсоида, логарифмика.
По ,Г. ф. можно наглядно судить о поведении и свойствах функции: ее
четности и нечетности, возрастании и убывании, ограниченности и неограни-
ченности, об участках области определения функции, где она имеет положи-
тельный или отрицательный знак, где она имеет нули и др.
Так, Г. ф., изображенный на рис. 42, е, наглядно показывает, что на
участках ах{, х2х^ функция убывает, а на участках Х]Х2, х4Ь она возрастает;
на участках ах3, хьЬ она положительна, а на участке х3хб—отрицательна и т. д
Г. ф. широко используется при приближенном, графическом решении урав-
нений, неравенств и их систем, т. е. Г. ф. можно использовать как простейшую
номограмму; так, Г. ф. х2 (парабола) может быть использован для приближен-
ного извлечения квадратного корня из неотрицательного числа, а» Г. ф.
ах (а > 0, а Ф 1) или logex(a >0, а 1) можно использовать как номограмму
для приближенного извлечения корня любой (натуральной) степени из поло-
жительного числа.
См. также: Сигнум, Целая часть, Дробная часть, Аркфункция, Тригоно-
метрические функции, Показательная функция, Логарифмическая функция,
2° Г. ф. синоним термина функциональное отношение.
Лит.: [140].
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ уравнений — приближенное решение уравне-
ний вида /(х) = ф(х), где f и <р—функция действительной переменной, с помо-
щью построения графиков функций /(х) и <р (х), сводящееся к нахождению
абсцисс точек пересечения этих графиков.
Г. р. уравнений дает наглядное представление о числе корней (решений)
уравнения. Г. р. уравнений обычно используют тогда, когда нет или трудно
найти другие методы решений уравнения. В школе прибегают к Г. р. не только
уравнений, но и неравенств, а также систем уравнений и неравенств.
Примеры
1. Г. р. уравнения х3 + х—1=0, или х8=1—х, сводится к построению
графиков функций у = х3 и у=1—х и вычислению абсциссы точки пересече-
ния этих графиков (рис. 43, a) Xi « 0,7.
2. Г. р. уравнения sinx = lgx сводится к приближенному нахождению
абсцисс точек пересечения графиков функций y = sinx и у = 1g х (рис. 43, б);
Рис. 43
ГРИНА ФУНКЦИЯ
141
решением этого уравнения является множество чисел: {2,7; 7,4; 8,2}, взятых
с точностью до 0,1.
При Г. р. уравнений необходимо учесть, что далеко не всегда легко
найти приближенные значения корней уравнения. Так, читатель на примере
решения уравнения \ogax = ax при a может убедиться, что найти три
корня этого уравнения графически довольно трудно. Однако неравенство
]х—2| < 5 решается графически весьма просто: график функции | х—2|
лежит ниже графика функции у = 5 для всех х из промежутка: —3 < х < 7.
Конечно, упомянутое неравенство легко решить и методом интервалов, и на
основе определения модуля числа, и возвышением обеих частей неравенства в
квадрат, и на основе формулы расстояния между двумя точками.
См. также: Уравнение, Т ригонометрические’ уравнения, Логарифмическое
уравнение.
ГРАФОВ ТЕОРИЯ —раздел конечной математики, для которого характе-
рен геометрический подход к решению вопросов. Основным содержанием Г. т.
является изучение графов. Первой работой, относящейся к Г. т., считается
одна из работ Л. Эйлера (1736), однако'существенные результаты в Г. т.,
позволившие выделиться Г. т. в самостоятельный раздел математики, были
получены лишь в XX в. В настоящее время Г. т. бурно развивается, имеет
приложения как в классических разделах математики, так и в новых (алгебра,
топология, теория чисел, булевы алгебры, теория автоматов и др.), а также
в теории программирования, сетевом планировании, в изучении физических,
химических, технологических, экономических, социологических процессов.
Есть основание полагать, что область применения Г. т. будет расширяться и
в будущем.
Лит.: [17, 97].
ГРЕФФЕ МЕТОД—исторически неправильное название Лобачевского ме-
тода.
ГРИНА ФОРМУЛЫ—формулы интегрального исчисления функций не-
скольких переменных, связывающие интеграл по области с интегралом по
границе области. Простейшей из них является формула:
И (-S—dx ^fPdx+Qdy,	W
D	Г
здесь Р, Q—функции от х, у, определенные в односвязной области D плоско-
дР
ду
dQ
сти переменных х, у и такие, что
непрерывны в D, а Р и Q непре-
рывны в замыкании области D, Г—кусочно-гладкая замкнутая кривая, являю-
щаяся границей области D, и ориентированная так, что при движении по Г
в положительном направлении точки области D остаются слева.
Лит.: [45, 103].
ГРИНА ФУНКЦИЯ. Пусть дана Дирихле задача для уравнения Пуассона
д«=/(/>),	“|s=m
142
ГРУППА
где А—оператор Лапласа:
Л- д* 4_ д2 4_ д*
дХ2"Г^2 -Г dz2 ’
D—область в пространстве переменных х, yt г, S—гладкая граница области
D, f (Р), F (s) — заданные в D и S функции.
Г. ф. для рас.сматриваемой задачи называется функция G(P,P0)’, Р»Ро€^>
обладающая следующими свойствами:
1.	G(P, Ро) при фиксированном Ро есть гармоническая функция точки Р
всюду в D, за исключением Р = Р0.
2.	G(P, Ро) как функция точки Р удовлетворяет условию
G(P, P0) = P(s).
8.	В области D функция G(P, Ро) допускает представление
G(P. ₽.)= 4й7+г(р’
где г—расстояние между точками Р, Ро, g(P, Ро) — гармоническая функция
в D (без особенностей).
Для рассматриваемой задачи искомая функция существует. С ее помощью
решение задачи записывается в виде:
«(Ро)=J J F (s)	dS- G (Р, Ро) / (Р) dp,
S	D
где —дифференцирование по нормали к поверхности S.
Лит.: [133].
ГРУППА—одно из основных понятий современной математики. Г. назы-
вается непустое множество элементов G, для которых определена одна бинар-
ная операция ♦, удовлетворяющая условию ассоциативности:
а * (Ь * с) = (а ♦ Ь) * с,
и такая, что уравнения а*х=Ь и у*а = Ь разрешимы и притом однозначно
для любых a, b£G.
В Г. существует единица, т. е. такой элемент е, что для всякого a£G
верны равенства а* е = е * а = а. Для всякого элемента Г. a£G существует
единственный обратный элемент а-1, такой, что а*а“1 = й"1*а=е, где е —
единица группы.
Важным примером Г. является множество подстановок п символов отно-
сительно операции умножения подстановок. Эти Г. впервые начали появляться
в работах французских математиков Ж. Лагранжа и А. Вандермонда в конце
XVIII в. Затем Г. подстановок использовали итальянский математик П. Руффини
и норвежский математик Н. Абель для доказательства неразрешимости в ра-
дикалах алгебраических уравнений степени п^5. Термин Г. был введен фран-
цузским математиком Э. Галуа (см. Галуа теория). Им же получены первые
серьезные результаты в теории Г. Большую роль в развитии теории Г.
сыграла монография по Г. французского математика К. Жордана (1870).
ГРУППА С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ОБРАЗУЮЩИХ
143
Далее изучение Г. происходило очень бурно. И к 1916 г. с выходом книги
русского математика О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» зеория Г.
окончательно оформилась как самостоятельная область математики.
В современной теории Г., с одной стороны, выделился ряд направлений,
связанных с теми или иными ограничениями, налагаемыми на групповую
операцию: теория конечных Г., абелевых Г., нильпотентных и разрешимых Г.,
конечно-определенных Г. и т. д. С другой стороны, выделился ряд направле-
ний, связанных с внесением в Г. дополнительных отношений, согласованных
с групповой операцией, таких, как Ли Г., непрерывные группы, упорядочен-
ные Г. и т. д. И наконец, понятие Г. обобщалось в разных направлениях,
что в свою очередь привело к созданию ряда содержательных теорий, таких,
как теория квазигрупп и луп, полугрупп и т. д.
Лит.: [66, 73].
ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. Пусть D—некоторое множество и/: D—
g: D—► D— два взаимно однозначных отображения Зтого множества на себя.
Тогда определены взаимно однозначные отображения fog: D—^P {композиция
отображений f и g), f-1: D—► D, g-1: D—>D (обратные отображения к /, g
соответственно). Как известно, операция композиции отображений обладает
свойством ассоциативности, т. е., в частности, для любых трех взаимно одно-
значных отображений f, g, h: D—>D справедливо f о (go h) — (fog) oh. Это
обстоятельство позволяет ввести в множество всех взаимно однозначных
отображений (преобразований) множества D структуру группы относительно
операции композиции отображений. Построенная таким способом группа, а
также любая её подгруппа называется Г. п. множества D.
Пример. Если D —конечное множество и его элементы занумерованы
символами 1,2, л, то всякое взаимно однозначное отображение множе-
ства D на себя является перестановкой символов 1,2......п, Множество
всех перестановок относительно операции умножения перестановок является
группой (см. Симметрическая группа).
Часто понятие Г. п. рассматривают при дополнительных условиях, нала-
гаемых на множество D и его преобразования. В этих случаях предполагают,
что множество D наделено некоторой структурой, а преобразования множе-
ства D сохраняют эту структуру.
Примеры. 1) D—n-мерное линейное пространство, а отображения D
на себя — (невырожденные) линейные преобразования. Множество всех преоб-
разований D, обладающих указанным свойством, является группой относи-
тельно композиции линейных преобразований.
2) D — гладкое многообразие, отображения D на себя — диффеоморфизмы»
Множество всех диффеоморфизмов многообразия D относительно операции
композиции диффеоморфизмов является группой, обозначаемой символом
Diff (D),
3) D — евклидово пространство, отображения D на себя — перемещения.
Множество всех перемещений пространства D относительно операции компо-
зиции перемещений является группой.
ГРУППА С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ОБРАЗУЮЩИХ—группа, имеющая
систему образующих М, состоящую из конечного числа элементов. Группа
с одним образующим называется циклической (см. Циклическая группа).
144
ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА
Примеры. Аддитивная группа целых чисел является Г. с к. ч. о. Она
циклическая с образующим элементом 1.
Мультипликативная группа рациональных чисел, отличных от нуля, не
является Г. с к. ч. о.
Лит.: [70].
ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА группы G — множество формальных сумм вида
2
k=\
(*)
в этой сумме а— числа из некоторого поля (обычно поля действительных
чисел /?), gk (6=1,2, ...» п)— различные элементы группы G. Умножение
элементов (♦) производится по правилам умножения многочленов с учетом
закона перемножения элементов в группе. Г. а. является ассоциативной ал-
геброй.
Если G — линейная группа, то G приводима тогда и только тогда, когда
приводима ее Г, а.
Пример. Для группы ортогональных матриц Г. а. является алгебра
всех вещественных матриц.
Лит.: [26].
ГРУППОИД—непустое множество, в котором определена одна бинарная
операция. Другими словами, Г.— это множество элементов произвольной при-
роды G — {а, Ь, ...}, в котором каждой упорядоченной паре его элементов а,
b однозначно сопоставлен некоторый элемент с того же множества, обычно
называемый произведением а на b (обозначение ab = c). Название «произведе-
ние» является условным. Оно не совпадает в общем случае с понятием про-
изведения чисел, так как даже сами элементы Г. не обязаны быть числами.
Понятие Г. является очень общим. В различных разделах математики
находят применения более узкие классы Г., получаемые из общего понятия
наложением на бинарную операцию тех или иных дополнительных ограниче-
ний, например группа, полугруппа, квазигруппа и др. Г. также называют
магма.
Лит.: [73].
ГУРВИЦА КРИТЕРИЙ—условие, необходимое и достаточное для того,
чтобы все корни многочлена Р (x) = a0*n + ai*n“1+--- + ап имели отрицатель-
ные действительные части. В частности, если а0 > 0 и все коэффициенты
многочлена вещественны, то все корни многочлена Р (х) имеют отрицательные
действительные части тогда и только тогда, когда выполняются неравенства:
Д1 а3 а5 ... a2k -1
До а2 • •« а2/г~2
0 ai а3 i.» Ог/г-з
0 aQ а2 . * * 02^-4
0 0 0 ... ak
при 6=1, 2, п. Г. к. имеет важное значение в теории дифференциальных
уравнений. При помощи Г. к. определяется устойчивость решений системы
дифференциальных уравнений. Объектом применения Г. к. в этом случае яв-
ляется характеристический многочлен матрицы линеаризированной системы.
Г. к. впервые был дан немецким математиком А. Гурвицем в 1895 г.
ДАЛАМБЕРА ЛЕММА — лемма к одному из наиболее распространенных
доказательств основной теоремы алгебры. Д. л. утверждает, что для всякого
многочлена f (х) с комплексными коэффициентами степени п$>1, не обращаю-
щегося в нуль при х = х0, т. е. если f (х0) Ф 0, найдется комплексное число Л
(по модулю сколько угодно малое), такое, что \f (х0 + Л)| < \f (х0)'|. Геометри-
ческий смысл Д. л. состоит в том, что функция | f (х) | не может достигать
ненулевого минимума.
ДАЛАМБЕРА УРАВНЕНИЕ (Лагранжа уравнение)—дифференциальное
уравнение вида:
z/ = xq> (/) + /(/),
где ф и f—некоторые дифференцируемые функции. Изучалось впервые
Ш. Даламбером в 1748 г.
ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА счисления — позиционная система счисления с ос-
нованием g — 2. В д. с. с. всего две цифры 0 и 1, что весьма удобно поддается
физическому моделированию двумя физическими состояниями. Так, в элект-
ронных вычислительных машинах электронная лампа (например, триггер)
может находиться в одном из двух состояний: пропускать ток (в фиксиро-
ванном направлении) или не пропускать, что соответственно моделирует О
или 1 (или наоборот). Поэтому во многих вычислительных машинах пользу-
ются Д. с. с. На практике в устных и письменных немашинных вычислениях
пользоваться Д. с. с. неудобно, так как сравнительно небольшие числа в
Д. с. с. записываются как весьма многозначные. Например, число 900 в Д. с. с.
записывается как 10-значное число: 1110000100.
Д. с. с. была известна издревле. Еще в начале XIII в. ею пользовался
Леонардо Пизанский. В 1494 г. Лука Пачиоли использовал ее для решения
задачи о минимальном числе разновесков для взвешивания ограниченных
тяжестей. Систематическое изложение Д. с. с. было дано Дж. Непером в 1617 г.
ДВОЙНАЯ ТОЧКА кривой— простейший тип особой точки кривой
F (х \ ^)=0, характеризующейся тем, что в этой точке имеют место равенства
— = —=0 (признак особой точки вообще) и по крайней мере одна из част-
d*F
ных производных второго порядка
d2F
или , отличная от нуля.
146
ДВОЙНОЙ РЯД
Д. т. кривой может быть узловой (или точкой самопересечения (рис. 44, а)),
изолированной (рис. 44,6), точкой возврата (рис. 44, в)).
ДВОЙНОЙ РЯД—выражение вида:
+ •••
+ ^21 + а22 + • • • + ^2п+ • • •
+ а/л1 + Л/л2+ »» • + атпА •••
Д. р. удобно записывать в виде таблицы с бесконечным числом строк и столб-
цов. Если aij—числа, Д. р. называется числовым, если д/у—функции, Д. р.
называется функциональным. Как и в случае обыкновенных рядов, важным
т п
понятием Д. р. является частичная сумма smn— 2	Говорят, что чи-
а=10=1
еловой Д. р. сходится к числу $ (сумме ряда), если для всякого е > 0 суще-
ствует натуральное N, такое, что при т > N и п > N выполняется неравен-
ство:
|s»>n —s| < В.
00
С Д. р. связан повторный ряд—ряд с элементами Ьт= 2 атп (конеч-
п= 1
00	00
но, если 2 атп сходится). Сумма 2 если она существует, называется
п=1	т=\
суммой Д. р по строкам. Аналогично определяется сумма по столбцам.
У сходящегося Д. р. суммы по столбцам и по строкам существуют, совпа-
дают между собой и равны сумме Д. р. Обратное неверно. Имеются такие
Д. р., у которых существуют суммы по строкам Sj и по столбцам s2> hosj?^*
ДВОЙНОЙ ЭЛЕМЕНТ геометрического преобразования—точка (прямая
или плоскость), которая переходит (преобразуется) сама в себя, т. е. точка,
для которой образ М' и прообраз М совпадают: М' = М. Так, например,
центр гомотетии является двойной точкой; точки оси симметрии и сама ось
симметрии являются двойными элементами в преобразовании симметрии.
Д. э. преобразования также называют неподвижным элементом геометричес-
кого преобразования.
ДВОЙСТВЕННОСТИ ПРИНЦИП
147
ДВОЙСТВЕННОСТИ ПРИНЦИП —одна из основных теорем проективной
геометрии'. Г. Д. п. в проективной плоскости (малый Д. п.) заключается в
следующем. Если какое-нибудь предложение, выраженное в терминах инци-
дентности „точек" и „прямых", верно, то будет также верно и другое пред-
ложение (двойственное первому), в котором все слова „точка" заменены сло-
вами „прямая” и, наоборот, все слова „прямая" заменены словами „точка".
2°. Д. п. в проективном пространстве (большой Д. п.) состоит в том, что
если какое-нибудь проективное предложение, выраженное в терминах инци-
дентности „точек", „прямых" и „плоскостей", верно в проективном прост-
ранстве, то будет верно также и другое предложение (двойственное первому),
в котором все слова „точка" заменены словами „плоскость" и, наоборот, все
слова „плоскость" заменены словами „точка".
На проективной плоскости двойственными предложениями будут:
1. Теорема Паскаля: Во всяком
шестивершиннике, вписанном в кри-
вую 2-го порядка, точки пересечения
противоположных сторон лежат на
одной прямой — прямой Паскаля. На
рисунке 45, а в шестивершиннике
123456 противоположными сторонами
являются: 12 и 45; 23 и 56; 34 и 61.
Точки пересечения К, L, М противо-
положных сторон принадлежат одной
прямой хх—прямой Паскаля.
2. Две различные точки инци-
дентны только одной прямой.
1. Теорема Брианшона: Во вся-
ком шестистороннике, описанном око-
ло кривой 2-го порядка, прямые, сое-
диняющие противоположные вершины,
пересекаются в одной точке —точке
Брианшона. На рисунке 45,6 в шес-
тистороннике 123456 вершины 1 и 4;
2 и 5; 3 и 6 являются противополож-
ными. Прямые, проходящие через про-
тивоположные вершины, 14, 25 и 36
пересекаются в одной точке S—точке
Брианшона.
2. Две различные прямые инци-
дентны только одной точке.
Если одна теорема проективной геометрии доказана, то двойственная ей
теорема будет верна по Д. п. Впервые Д. п. был высказан французским уче-
ным Ш. Понселе.
Рис. 45
148
двоякой КРИВИЗНЫ КРИВАЯ
Д. п. иногда называют принципом взаимности или дуальным принципом.
Имеется также Д. п. абстрактной теории множеств, в математической логике
(в исчислении высказываний и в исчислении предикатов) и в топологии.
ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ КРИВАЯ —синоним кривой в пространстве, кручение
которой не равно нулю. Название Д. к. к. связано с тем, чтокручение иногда
называют второй кривизной.
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ—пересечение двух полупространств, границами
которых служат непараллельные плоскости. Д. у. есть выпуклая фигура. Дге
полуплоскости, ограничивающие его, называются его гранями, а общая пря-
мая, из которой они исходят, называется ребром Д. у. Все точки Д. у., не
принадлежащие его граням, называются его внутренними точками.
Пересечение 'Д. у. с плоскостью, перпендикулярной
его ребру, называется линейным углом Д. у. За величину
Д. у. принимается величина его линейного угла. Если а и
0—полуплоскости Д. у., I—его ребро, то Д. у. обознача-
ется так: /а/р, или / а, р, или <// (рис. 46).
Д. у. бывает прямым, тупым или острым в зависимос-
ти от того, будет ли его линейный угол прямым, тупым
или острым.
Две пересекающиеся плоскости образуют четыре Д. у.,
величину меньшего из них называют углом между двумя
плоскостями. Если плоскости параллельны, то угол меж-
ду ними (величина угла) равен 0°. Плоскость, проходя-
щая через ребро Д. у. и делящая его на два конгруэнт-
ных угла, называется биссектральной плоскостью. Бис-
сектором Д. у. иногда называют полуплоскость, граница которой есть ребро
Д. у., делящую этот угол пополам.
ДВУПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД—одна из поверхностей 2-го порядка,
каноническое уравнение которой в прямоугольных декартовых координатах
имеет вид:
£1 — _ 1
а2 ’ Ь2 с2
J3
Рис. 46
где a, bt с—отрезки (числа), называемые полуосями Д. г. Пересекая Д. г.
координатными плоскостями х = 0, i/ = 0, 2 = 0, получим в сечении соответст-
Z2 X2	Z2 и2
венно мнимый эллипс и гиперболы ^ — ^-=1 (в плоскости xOz) и^ —^=1
(в плоскости уОг). Д. г. состоит из двух частей (полостей). При а = Ь Д. г.
Z2 X2
называется Д. г. вращения, он получается вращением гиперболы —%— ^=1
вокруг оси Oz. Уравнение Д. г. вращения имеет вид:
z2 х2 + у2.
с2 а2
Д. г. имеет центр симметрии—точку О (0; 0; 0); координатные плоскости
являются его плоскостями симметрии.
ДЕДЕКИНДОВО СЕЧЕНИЕ
149
Для того чтобы уравнение 2-го порядка от трех переменных х, у, z
апх2 + 2a12xt/ + 2aJ3xz + 2а14х +
+ а22у2 + 2а23уг + 2а24у +
+ 0зз*2 + 2a34z 4-
+ а44 = О
было уравнением Д. г., необходимо и достаточно, чтобы собственные значения
матрицы
/0Ц Я12 ^13
I Д12 а22 а23
\fll3 Д23 а33
имели разные знаки и
det
(aii Я12 ЛТЗ 014
012 022 023 ° 24
013 023 033 034
014 024 034 044.
<0
(det означает определитель).
ДВУЧЛЕН (бином) —многочлен, содержащий в точности два члена мно-
гочлена.
ДВУЧЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ —уравнение вида — а = 0, где a£C,n£N.
Д. у. в поле комплексных чисел имеет п различных решений (корней), изоб-
ражаемых в комплексной плоскости точками окружности с центром в начале
координат и длиной радиуса, равной арифметическому значению корня л-й
степени из модуля комплексного числа а.
Д. у. при а=1 называется уравнением деления круга (окружности),
так как задача о делении круга (окружности) на п конгруэнтных частей сво-
дится к решению уравнения хп—1=0.
Все корни уравнения деления круга имеют вид:
2л£ , . . 2nk
8b = C0S---4-i sin — ,
п 1 n
где & = 0, 1,2, .. », n— 1.
Зная хотя бы один корень уравнения хп — а = 0, можно путем умножения
его на корни л-й степени [из единицы получить все корни этого уравнения.
Произведение и частное двух любых корней л-й степени
из единицы есть также некоторый корень из единицы. Среди корней л-й сте-
пени из единицы существуют такие корни е*, что остальные корни из еди-
ницы есть степени корня е*. Такие корни е* называются первообразными.
Так, корень ei — всегда первообразный: е* = е*.
Д. у. называются также и уравнения вида axm-]-bxn = 0 (т, n£N); эти
Д. у. приводятся к Д. у., рассмотренным выше.
ДЕДЕКИНДОВО СЕЧЕНИЕ —одно из основных понятий при методе введения
иррациональных чисел, предложенном немецким математиком Дедекиндом
(1831—1916). Суть Д. с. заключается в следующем. Пусть Q—множество
рациональных чисел, которое является упорядоченным. Назовем сечением
150
ДЕДУКТИВНЫЙ МЕТОД
множества рациональных чисел Q всякое разбиение его на два непустых
веп.ересекающихся подмножества А и В — на два класса; класс А назовем
нижним (левым), а класс В—верхним (правым). При этом должны выполнять-
ся условия:
1) Каждое число из класса А меньше всякого числа из класса В\
2) в нижнем классе нет наибольшего числа, а в верхнем—нет наименьшего.
Тогда сечение (Л, В), введенное таким образом на множестве рациональных
чисел, определяет некоторое иррациональное число а = (Л, В).
С помощью Д. с. также можно определить рациональное число а как
сечение (разбиение) множества Q на два класса: к нижнему классу А отне-
сем числа, меньшие или равные числу а, к верхнему классу В—числа,
большие а.
Во множестве таких чнсел-разбиений вводятся операции сложения, вычи-
тания и др.
Д. с.—это только один из способов определения иррационального числа.
Существуют и другие способы определения понятия иррационального числа,
например через бесконечные непериодические дроби.
Пример. —иррациональное число, оно разбивает множество ра-
циональных чисел на два класса: один из них содержит отрицательные чис-
ла, число нуль и положительные числа а, такие, что а2 < 3, другой класс —
положительные числа Ь, такие, что № > 3.
См. также: Действительные числа, Рациональные числа, Комплексное
число, Гиперкомплексные числа, Бесконечная десятичная дробь.
ДЕДУКТИВНЫЙ МЕТОД в математике—синоним термина дедукция.
ДЕДУКЦИИ ТЕОРЕМА — одна из важных теорем математической логики,
относящаяся к теории доказательств. Ее смысл состоит в следующем: если из
системы посылок Г и посылки А выводимо высказывание В, то из системы Г
выводима импликация А В. Если для выводимости использовать символ |—,
то Д. т. можно сформулировать так: если (Г, Л) |—В, то Г|—(А —> В).
Лит.: [93].
ДЕДУКЦИЯ—форма мышления, посредством которой утверждение вы-
водится чисто логически (по правилам логики) из некоторых данных ут-
верждений — посылок. В узком смысле под Д. понимают дедуктивное умо-
заключение, т. е. вывод, в результате которого по правилам логики из
рассматриваемых обших утверждений или положений (принципов) получают
новое знание об изучаемом предмете. Так, известным примером Д. является
такой: „Все люди — смертны. Сократ — человек. Следовательно, Сократ—
смертен (вывод-заключение)". Д. широко используется в преподавании
математики в школе и других учебных заведениях. Например, если утверж.
дение: „Всякое натуральное число, сумма цифр которого делится на три, са-
мо делится на три“ — верно, а мы хотим узнать, делится ли данное число
(пусть это будет число 4635) на три, то для этого достаточно проверить, бу-
дет ли сумма его цифр (4 + 64-34*5=18) делиться на три. Проверив, что
число 18 делится на три, заключаем, что данное число делится на три. В на-
стоящее время под Д. чаще всего понимают строгое математическое рассуж-
дение, основанное на принятой той или иной системе аксиом. Поэтому Д.
навивают аксиоматическим методом доказательства, рассуждения. Для того
ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ
151
Рис. 47
, на которой лежат точки пересече-
чтобы доказать какую-либо теорему, скажем в геометрии, следует свести ее
доказательство к ранее доказанной, уже известной теореме или к одной или
нескольким аксиомам. Д. используется в сочетании с другой формой мыш-
ления— индукцией. Однако математическая индукция — это пример Д., пример
строгого рассуждения, основанного на общем утверждении—аксиоме (прин-
ципе) математической индукции. Д. иначе называется дедуктивным ме-
тодом.
См. также: Индукция, Анализ, Синтез, Аналогия.
Лат.: deductio—выведение.
ДЕЗАРГА ТЕОРЕМА—одна из интересных и важных теорем проективной
геометрии. Д. т. формулируется так: если соответственные стороны двух
трехвершинников АВС и А'В'С' пере-
секаются в трех точках х, у, г, принад-
лежащих одной прямой, то прямые, сое-
диняющие соответственные вершины,
проходят через одну точку S (первая
Д. т. (рис. 47)).
Верна и обратная теорема: если
прямые, соединяющие соответственные
вершины двух трехвершинников АВС и
А'В'С', проходят через одну точку,
то соответственные стороны этих трех-
вершинников пересекаются в трех точ-
ках, принадлежащих одной прямой.
Точка S, о которой говорится в Д. т.,
называется центром гомологии, а прямая
ния х, у, z, — ось гомологии.
Если доказать первую Д. т., то вторая Д. т. следует из первой по прин-
ципу двойственности (см. Двойственности принцип). Д. т. справедлива для
трехвершинников, лежащих в одной или разных плоскостях. Известный не-
мецкий математик Д. Гильберт доказал, что если два трехвершинника АВС
и А'В'С' лежат в одной плоскости, то доказать Д. т., используя только ак-
сиомы проективной плоскости, не выходя в пространство, нельзя. Следова-
тельно, Д. т. можно рассматривать как аксиому, не зависимую от остальных
аксиом плоской проективной геометрии.
Д. т. часто называют теоремой о гомологичных треугольниках. Д. т. иног-
да используется в конструктивной геометрии. Так, задача «провести через
данные две точки прямую с помощью линейки (односторонней), длина которой
меньше длины отрезка АВ> решается на основе Д. т. Ряд задач с недоступными
элементами также решается с привлечением Д. т. Теорема названа по имени
французского математика Ж. Дезарга (1593—1662), доказавшего ее.
ДЕЗАРГОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, основанная на аксиомах проек-
тивной геометрии на плоскости и аксиоме Дезарга о гомологичных треуголь-
никах.
См. также: Дезарга теорема, Недезаргова геометрия, Неевклидовы геометрии.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ комплексного числа z — a-\-bi—действитель-
ное число а. Обозначается Rez = a.
152
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА—элементы множества /?, на котором опре-
делены операции « + » и «•» (сложения и умножения), элементы 0 и 1 (нуль
и единица), отношение порядка «>», удовлетворяющие установленной системе
аксиом (свойств).
Три группы аксиом Д. ч. таковы:
I
1.	х-\-у = г для любых х, у£R существует единственный z£R.
2.	(х + у) + г — х-|-(у + г) для любых х, у, z£R.
3.	*+у = у + х для любых х, y£R.
4.	х+0 = х для любого x£R.
5.	х+х' = 0 (для любого x£R существует x'g/?, противоположный х).
6.	x-y — z (для любых х, у£R существует единственный z£R).
7.	(Х'у)-2 = х-(у z) для любых х, у, z£R.
8.	Х'У = у х для любых х, у
9.	(х + у)-2 = Х-2-\-у 2 для любых х, у, z£R.
10.	х-1=х (1£/?, 1 / 0) для любого x£R.
И. х^0=>хх'=1 (для любого x£R (х £ 0) существует х'£Л, х'—
обратный элемент для х).
II
12.	X 5^ у => X > у или у > х для любых X, y^R-
13.	~\х > х для любого x£R ("]—знак отрицания высказывания).
14.	(х > у, у > z) => (х > z) для любых х, у, z£R.
15.	(х > у) =>(x-Hz > y + z) для любых х, yt z£R.
16.	(х> у, г > 0) =?> (хг > уг) для любых х, у, z£R.
17.	Если х > 0 и у >0, то существуетп£N, такое, что п-х > у для любых
х, у£R (аксиома Архимеда).
III
18.	Для любой фундаментальной последовательности {ап} элементов R
существует в R элемент а такой, что
lim а„=а.
П->со
Д. ч. образуют поле (аксиомы 1—11 — аксиомы поля) или числовое поле.
Множество Д. ч. образует упорядоченное множество (аксиомы 12—17). Все
поля Д. ч. изоморфны: поле Д. ч. определено однозначно с точностью до
изоморфизма. Поле Д. ч. содержит подполе рациональных чисел Q. Множе-
ство Д. ч. R несчетно и непрерывно.
Д. ч. можно определить и как сечение Дедекинда в <?, а также с по-
мощью десятичных дробей: конечных и бесконечных; при этом бесконечная
непериодическая десятичная дробь будет выражать иррациональное число, а
конечные и периодические дроби будут выражать рациональные числа.
Множество Д. ч. есть объединение множества Q и множества иррацио-
нальных чисел.
ДЕКАРТОВ ОВАЛ
153
Д. ч. изображаются точками на координатной прямой так, что каждому
действительному числу соответствует точка на координатной прямой и каж-
дой точке координатной прямой соответствует действительное число. Термин
Д. ч. противопоставляется числам мнимым (комплексным). Действительные
числа иначе называют вещественными числами.
См. также: Дедекиндово сечение, Десятичная дробь, Натуральное число,
Целые числа, Рациональные числа, Иррациональные числа, Комплексное число,
р-адические числа, Алгебраическое число, Трансцендентное число.
Лит.: [157, 143, 22].
ДЕКАРТОВ ЛИСТ—плоская кривая, уравнение которой в прямоугольной
декартовой системе координат имеет вид:
х3 + У3 — 3<ш/ = 0.
Д. л. — кривая 3-го порядка. Прямая x-j-у-{- а = 0 есть асимптота. Д. л. изоб-
ражен на рисунке 48. Если положить
y = xt,	(**)
то из (*) и (**) получим параметрическое урав-
нение Д. л.:
_ За/ _ За/2
Х~ 1+/3 ’ У~ 1 + /з ’
Полярное уравнение Д. л. имеет вид:
а cos (р sin ф
cos8 ф + sin3 ф *
Так как координаты х и у входят в уравне-
ние (*) симметрично, то Д. л. расположен сим-
метрично относительно биссектрисы 1-го и 3-го
(*)
координатных углов. Начало координат есть узловая точка Д. л. Оси
координат х = 0 и г/ = 0 являются касательными к Д. л. в узловой точке.
Кривая пересекает сама себя в начале координат под прямым углом.
Д. л. как кривая, обладающая определенным свойством, впервые был
упомянут в 1638 г. в письме Декарта к Ферма. Форма Д. л. была ус-
тановлена Робервалем. Окончательная форма кривой вместе с ее асимп-
тотой была определена в конце XVII в. X. Гюйгенсом и И. Бернулли. На-
звание Д. л. прочно вошло в математику лишь с начала XVIII в.
Лит.: [136]*
ДЕКАРТОВ ОВАЛ — плоская кривая, обладающая тем свойством, что рас-
стояния ri и г2 любой ее точки М до двух данных точек и Г2 (фокусов)
связаны неоднородным линейным уравнением г^тг2 = а (т, а — постоянные
числа). Это уравнение Д. о. в биполярных координатах.
Д. о. — кривая 4-го порядка. При т=1 Д. о. превращается в эллипс,
при /и = — 1 Д. о. превращается в гиперболу.
Частным случаем Д. о. является также Паскаля улитка. Впервые Д. о.
исследован Декартом в его „Геометрии" (1637) в связи с задачами по оптике:
требовалось найти такую кривую, которая преломляла бы лучи, выходящие
154
ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ
из одной точки, так, чтобы преломленные лучи проходили через другую за-
данную точку.
И. Ньютон определил Д. о. как множество точек плоскости, отношение
расстояний которых до двух заданных окружностей, лежащих в той же плос-
кости, постоянно; центры этих окружностей есть фокусы овала.
Существует также стереометрический способ определения (построения)
Д. о.: Д. о. есть проекция линий пересечения двух круговых конусов с па-
раллельными осями на плоскость, перпендикулярную к этим осям.
Лит.: [136].
ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ—прямолинейная система коорди-
нат на плоскости или в пространстве, в которой масштабы по осям коорди-
нат (или длины базисных векторов, направленных по осям) равны.
Д. с. к. — частный случай аффинной системы оординат, когда длины
базисных векторов равны. Д. с. к. названа по имени французского матема-
тика и ученого Р. Декарта (1596—1650), хотя система координат у самого
Декарта сводилась лишь к одной координатной четверти и была, вооб-
ще говоря, косоугольной. Если оси координат взаимно перпендикулярны,
то Д. с. к. называется прямоугольной. Обычно в школьном курсе матема-
тики графики функций строятся в декартовой прямоугольной системе коор-
динат.
См. также: Система координат, Координаты.
ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ множеств А и В, символически ЛхВ—
совокупность всех упорядоченных’пар вида (а; Ь), где а£А, Ь£В. Напри-
мер, если А = {1; 2}, В = {3; 4; 5}, то
Лхв = {(1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 4), (2; 5)}, но
ВхД = {(3; 1), (3; 2), (4; 1), (4; 2), (5; 1), (5; 2)}.
Аналогично можно определить Д. п. более чем двух множеств. Если
А = В, то говорят о декартовой степени множеств ЛхЛ = Л2, А3, Ап.
Д. п. названо по имени французского математика Р. Декарта.
ДЕКРЕМЕНТ ПОДСТАНОВКИ. Пусть подстановка п-fi степени разложена
в произведение циклических подстановок без общих действительно перемещае-
мых символов. Пусть s — число циклических подстановок-сомножителей плюс
число символов, оставляемых рассматриваемой подстановкой на месте. Тогда
Д. п. равен разности п — s. Д. п. четен для четной подстановки и нечетен
для нечетной подстановки.
Пример. Д. п.
(з I 5 1 4 2 7 б)=(’ 3 5 4><286)(7)
равен 8—3 = 5, так как здесь участвуют две циклические подстановки и
один символ 7 остается на месте. Подстановка нечетна.
ДЕЛЕНИЕ — операция (действие), обратная операции умножения. Д. по-
зволяет находить по данному произведению и одному из множителей другой
множитель. Разделить число а на число b — значит найти такое число х, что
имеет место равенство Ьх=а или xb = a. Заданное произведение а называется
делимым, заданный сомножитель b называется делителем, а неизвестный (ис-
ДЕЛЕНИЕ КРУГА
155
комый) другой сомножитель х называется частным от Д. а на Ь. Операция
Д. а на b обозначается так: а:Ь, , а/b. В кольце целых чисел Д. не всегда
выполнимо. Если при Д. целого числа а на целое число b получается целое
число, то говорят, что первое число делится на второе нацело (без остатка)
или, кратко, а делится на 6; символически,это записывают а • Ь. Д. в поле
рациональных чисел всегда выполнимо (кроме случая деления на нуль) и
однозначно. Если а = 0 и 6 = 0, то решением уравнения Ьх = а может быть
любое чисЛо| однако, чтобы избежать неоднозначности, Д. на нуль считают
невозможным.
Д. с остатком дбух целых неотрицательных чисел а и b — это нахождение
двух неотрицательных чисел х и у9таких, что выполняются условия: 1) а — Ьх-\-у,
2) у < Ь. Число а называется делимый, 6*-делителем, х—неполным частным
при у Ф 0 и частным при у = 0, у — остатком. Аналогично определяется Д. и
Д. с остатком для многочленов.
См. также: Деление комплексных чисел, Золотое деление, Гармоническвя
четверка, Евклида алгоритм.
Обобщение понятия Д. см. в статье Алгебра с делением.
Лит.: [22, 50, 157].
ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ производится по формуле:
а-\-Ы__ac-\-bd , be—ad ,
c + di — c2 + d2 + c2 + d2 l'
При Д. к. ч. в тригонометрической форме модуль частного равен частному
от деления модуля делимого на модуль делителя, а аргумент частного равен
разности аргумента делимого и аргумента делителя:
(cos (pi + * sin (pi)
г2 (cos <p2 + i sin ф2)
Т- (cos (Ф1—Ф2) + i si П <Ф1—ф2)1.
Г2
ДЕЛЕНИЕ КРУГА (окружности) на п конгруэнтных частей с помощью
циркуля и линейки — это одна из древнейших задач. Древнегреческие мате-
матики могли делить круг циркулем и линейкой на 3, 4, 5, 15 частей, а также
неограниченно удваивать число делений. К. Гаусс доказал, что можно осу-
ществить Д. к. на 17 равных частей, а следовательно, и построить циркулем
и линейкой правильный 17-угольник. (Правильный 17-угольник изображен
на могиле Гаусса.) Он также доказал, что Д. к. на п равных частей можно
выполнить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда число п имеег
вид:
п = 2тр1р2.. .р5,
где pi = 22ki-\-1 — различные простые числа Ферма (см. Ферма числа),
i= 1, 2, । s, a ki£N.
Задача о Д. к. сводится к решению двучленного уравнения вида хп—1=0;
если корни этого уравнения выражаются через квадратные радикалы, то их
можно построить циркулем и линейкой согласно критерию разрешимости
задач на построение этими же инструментами; отсюда вытекает, что можно
156
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА
построить правильный л-угольник при тех же условиях. Например, правиль-
ный 7-, 9-, 11-угольники циркулем и линейкой построить нельзя.
См. также: Трисекция угла, Правильный многоугольник.
Лит.: [19],
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА в крайнем и среднем отношении — синоним термина
во лотов деление.
ДЕЛИЙСКАЯ ЗАДАЧА — неудачное название делосской задачи.
См. также: Удвоение куба.
ДЕЛИТЕЛЬ ЕДИНИЦЫ — понятие теории колец и полугрупп. Пусть дано
произвольное кольцо с единицей е, тогда Д. е. называется всякий элемент а
кольца, для которого в кольце существует обратный элемент а”1, т. е. такой
элемент, что аа~1 = е = а~га.
Д. е. играют важную роль в теории разложения на далее неразложимые
множители. Эта теория является обобщением теории разложения целых чисел
на простые множители.
Например, в кольце Z целых чисел Д. е. будут числа ± 1. В кольце
многочленов Р [х] над полем Р Д. е. является произвольный многочлен нуле-
вой степени.
В теории делимости рассматривают разложения на неразложимые непри-
водимые множители с точностью до Д. е.
Д. е. часто называют единицами.
Лит.: [24, 71].
ДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНА. Многочлен d называется Д. м. f, а много-
член / называется делящимся на многочлен d в том и только в том случае,
если существует многочлен g такой, что f = dg. Другими словами, многочлен
d (х) из кольца Р [х] является Д. м. f (х) из того же кольца, если при деле-
нии с остатком f (х) на d (х) получается остаток, равный нулю.
Лит.: [66, 72].
ДЕЛИТЕЛЬ НУЛЯ — понятие теории колец. Так как в произвольном
кольце из а £ 0 и b 0, вообще говоря, не следует неравенство ab £ 0, то
вводится понятие Д. н. Элемент кольца а называется левым Д. н., если
в кольце существует элемент b Ф 0, такой, что од = 0. Аналогично определя-
ется правый Д. н. Ясно, что в случае коммутативного кольца понятия левого
и правого Д. н. совпадают и говорят просто о Д. н. Таким образом, нуль
также является по определению Д. н. Если в кольце, кроме нуля, нет других
Д. н., то такое кольцо называется кольцом без Д. н.
Примером кольца с Д. н. может служить кольцо квадратных матриц
порядка п > 1 над произвольным ассоциативно-коммутативным кольцом К.
Д. н. будут, например, все вырожденные матрицы.
Лит.: [24, 66, 72].
ДЕЛИТЕЛЬ ЦЕЛОГО ЧИСЛА а—всякое целое число, на которое делится
(нацело, без остатка) число а.
См. также: Деление, Наибольший общий делитель (нескольких натураль-
ных чисел).
ДЕЛИТЕЛЬНЫЙ ЦИРКУЛЬ—см. Пропорциональный циркуль^
ДЕЛОССКАЯ ЗАДАЧА—то же самое, что и задача об удвоении куба.
ДЕЛЬТОИД—выпуклый четырехугольник, имеющий только одну ось сим-
ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
157
метрии, содержащую его диагональ* На рисунке 49 че-	S
тырехугольник A BCD—Д., прямая (BD)—его ось сим-	УЧ
метрии.	/ X
Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны; /________________
так как суммы длин противоположных сторон Д. \	J
равны, то в Д. можно вписать окружность. Площадь \	/
Д. равна половине произведения длин его диагоналей* \	/
Д. иначе называется ромбоидом.	\	/
ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ множеств —раздел	\ /
теории * множеств, изучающий строение точечных	▼
множеств в евклидовом пространстве. Д. т. м. имеет	17
своей задачей описать множества, полученные изданной рис
системы некоторых простых множеств при помощи
операций суммы, пересечения, проекции и т. д.
ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ — обыкновенная дробь, знаменатель которой есть
степень числа 10. Д. д. записывается в одну строку, при этом целая и дроб-
3
ная части числа отделяются запятой. Так, обыкновенную дробь можно
представить в виде Д. д.: 0,3 (читается: нуль целых три десятых); дробь
203	„ л
у-г-г можно записать также в виде Д. д.: 2,03 и т. д.
1 Ом
Д. д. образуют подмножество множества рациональных чисел, и дейст-
вия над ними во многом аналогичны действиям над натуральными
числами. От переноса запятой вправо (влево) на п знаков Д. д. увеличива-
ется (уменьшается) в 10" раз. Всякое рациональное число «у , где q Ф 0
и q при разложении на простые множители содержит только двойки и пя-
терки, можно записать в виде Д. д. Если же рациональное число—несокра-
тимая дробь, знаменатель которой при разложении на множители, кроме
двоек и пятерок, содержит другие простые множители, то это рациональное
число нельзя -представить в виде конечной Д. д. Однако такую Д. д. мож-
но записать в виде периодической бесконечной десятичной дроби, например
1/6 = 0,1 (6). Д. д. находят большое применение в измерениях и вычислениях.
Д. д. — одна из систематических дробей.
См. также: Бесконечная десятичная дробь, Рациональные числа, Действи-
тельные числа, Непрерывная дробь.
ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — одна из позиционных систем
счисления с основанием q, равным 10. В Д. с. с. имеется всего 10 цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры 1-го разряда — это единицы, второго раз-
ряда—десятки, третьего разряда — сотни и т. д. Десять единиц 1-го разряда
образуют единицу следующего разряда — число 10 (один десяток), десять
единиц 2-го разряда образуют единицу 3-го разряда — число 100 (одну сотню)
и т. д. Д. с. с. у нас широко используется в связи с десятичной системой
мер и масс. Однако Д. с. с. далеко не единственная система счисления. Так,
в науке и технике в связи с развитием электронно-вычислительных машин
(ЭВМ) получили широкое распространение двоичная система счисления, вось-
меричная и др. До настоящего времени мы иногда пользуемся шестидесяте-
158
ДЕСЯТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
ричной системой счисления (градусы, минуты, секунды, счет дюжинами) и
семеричной системой счисления (счет неделями, а в неделе семь дней).
См. также: Позиционная система счисления, Разряд, Система счисления,
Римские цифры,
ДЕСЯТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ действительного числа х = а0, а2 ..«
ап ...—числа, взятые по недостатку и по избытку с точностью до 10“п:
хп~ао^ ai а2 •••	—по недостатку,
=	Ю“"	—по избытку.
ДЕСЯТИЧНЫЙ ЛОГАРИФМ числа г > 0—логарифм этого числа, взятый
по основанию (при основании) 10, т. е. число х такое, что 10х = г. Д. л. ч.
г обозначается знаком 1g г, что равносильно записи: lgr = logi0r. Д. л. иначе
называется бриговым логарифмом.
См. также: Логарифм, Натуральный логарифм.
ДЕТЕРМИНАНТ —синоним термина определитель квадратной матрицы.
Термин Д. происходит от латинского determine—определяю. Впервые тер-
мин Д. употреблен Гауссом в 1801 г. и вошел во всеобщее употребление в его
современном значении после ряда работ К. Якоби в 1841 г. Д. матрицы А
часто обозначают символом det А.
ДЕФЕКТ ТРЕУГОЛЬНИКА в геометрии Лобачевского —разность между
числом л и суммой углов треугольника (угловых мер треугольника). Обозна-
чается Д.т. буквой Вдвс или б две, следовательно, ОдВС = л — А—В—С. Д. т.
пропорционален площади треугольника. Для Д. т. справедливо неравенство
0 < dABC < л.
Д. т. иначе называется недостатком этого треугольника.
Лат.: defectus—недостаток (изъян, недочет).
ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ Римана £(z) для z = a-{-bi при действительной части а
аргумента г, большей 1, т. е. при Rez = a> 1, определяется как значение
со
абсолютно сходящегося ряда (г) =	. Для произвольных комплексных
п = 1
значений г Д.-ф. определяется как аналитическое продолжение вышеприве-
денного ряда. Д.-ф. играет важную роль в аналитической теории чисел,
и в частности в вопросе о распределении простых чисел в натуральном ряду
(см. Эйлера тождества в теории чисел).
В частности, важен вопрос о нулях Д.-ф. Известно, что Д.-ф. имеет нули
в г = — 2п при n£N (эти нули принято называть тривиальными), а остальные
(нетривиальные) нули лежат в полосе 1 > а > —1, называемой критической
полосой. Риман высказал гипотезу, что все нетривиальные нули Д.-ф. нахо-
дятся на прямой Однако эта гипотеза Римана до настоящего времени
(1978 г.) не доказана и не опровергнута.
Лит.: [88].
ДИАГОНАЛЬ: Г. Д. многоугольника—отрезок, соединяющий две вер-
шины многоугольника, не принадлежащие одной его стороне (или его длина).
Во всяком n-угольнике можно провести С2п—п диагоналей, т. е. число диа-
гоналей в нем равно п (п—1):2—л = л (и—3):2,
ДИАМЕТР
159
2°. Д. многогранника—отрезок (или его длина), соединяющий две его
вершины, не принадлежащие одной грани.
3°. Д. квадратной матрицы—совокупность элементов он, а2г> •••» апп
(главная диагональ) или элементов aln, я2(л-1)> Лз(л~2)» • ani (побочная
диагональ).
Греч.: dta—два, ycovia —угол (идущая от вершины одного угла к вер-
шине другого).
См. также: Определитель^ Матрица.
ДИАГОНАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ многогранника—плоскость, проходящая
через две пересекающие диагонали многогранника. Чаще всего Д. п. рас-
сматривают у параллелепипеда, прямого или наклонного; Д. п. параллеле-
пипеда делит его на две конгруэнтные треугольные призмы. У тетраэдра
Д. п. нет. Д. п. часто используется при решении задач по геометрии, когда
приходится рассматривать диагональные сечения многогранника, т. е. сече-
ния его Д. п.
ДИАГРАММА — один из наглядных способов изображения зависимости
между величинами. Наибольшее распространение получили Д. прямоугольные
(столбчатые) и секторные (круговые). На прямоугольных Д. высота каждого
столбца строится пропорционально изображаемой величине в выбранном
масштабе, а ширина столбца берется произвольно. На секторных Д. длина
дуги сектора взятого круга также строится пропорционально изображаемой
величине.
Если объектом исследования являются множества A, В, С, ... и их
отображения flt f2, f3, ..., то удобно записывать информацию о предмете
изучения следующим образом: точками обозначают
множества, а стрелками отображения (рис. 50). Та-
кой рисунок называется Д. При этом если всякие
два пути (т. е. последовательный набор стрелок со-
гласованного направления), имеющие общее начало
и конец, обладают тем свойством, что сквозные ото-
бражения начального множества в концевое мно-
жество тождественны между собой, то Д. называют
коммутативной Д.
Для коммутативности Д., изображенной на
рис. 50, необходимо и достаточно, чтобы
Рис. 50
/1°/з = /г: С -* В.
Греч.: Siaypajxjrz— рисунок, фигура.
См. также: Эйлера диаграммы.
ДИАМЕТР: Г. Диаметр точечного множества Е, подмножества метри-
ческого пространства X, есть верхняя грань расстояний между точками мно-
жества Е. Д. множества Е обозначается так: diam Е, или 6Е, или
sup {d (х\ y):x£Et у£Е}> где d(x\ у)—расстояние между точками хну,
sup (от supremum) — наименьшая верхняя грань множества Е (точная верхняя
грань его). Если множество пусто или состоит из одной лишь точки, то Д.
его равен нулю.
160
ДИАМЕТРАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
2°. Д. кривой второго порядка—прямая, на которой лежат середины
всех параллельных хорд данного неасимптотического направления. Д. кривой
2-го порядка, сопряженный другому диаметру, см. в статье Сопряженные
диаметры кривой второго порядка.
Примеры: 1) Д. параллелограмма—длина наибольшей из его диаго-
налей; 2) Д. прямоугольника—длина любой из его конгруэнтных диагоналей;
3) Д. разностороннего треугольника—длина наибольшей из его сторон;
4) Д. круга (или окружности, а также шара или сферы)—длина любой хор-
ды, проходящей через центр, или сама эта хорда; 5) Д. куба—длина его
любой диагонали; 6) Д. многоугольной пирамиды—длина наибольшего из ее
всех ребер.
Греч.: б(,ар,етро$ — поперечник, калибр (орудия).
ДИАМЕТРАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ поверхности 2-го порядка — плоскость,
содержащая середины всех параллельных хорд неасимптотического направ-
ления г. Эта Д. п. называется сопряженной направлению г. Если уравнение
поверхности второго порядка имеет вид:
апх* 4~ а22У^ 4~ Дзз*2 4“ Яс^ху 4- 2a^3xz 4- 2с>2зуг 4- 2ацХ -j- 2^24^ d- 2#з4£ 4" #44 — О,
а вектор направления имеет координаты г (а; р; у), то уравнение Д. п., со-
пряженной вектору г неасимптотического направления, будет иметь вид:
(ПцХ + а^У 4" #13г + #14) а + (а21* 4- а22У + #23г + #24) Р +
+ (#31*4- а32У + #33* + а34) У = О’
Если уравнение поверхности 2-го порядка обозначить кратко
Г (х, у, г) = 0, то уравнение Д. п. можно записать через частные производные:
dF	. dF	, dF	a
-T— a 4—3— P d—5— V =0.
dx	' dy	' dz
ДИВЕРГЕНЦИЯ (или расходимость) векторного поля F = Р (x\y\z) i 4е
-*	-►	дР
+ Q (х; у; z)j-\-R(x\ у\ z) k в точке (х; у\ z) есть величина div Г = -^-4*
. dQ , dR д	п
4-	—I—. Аналогично определяется Д. векторного поля F =
п
= 2^>/(х1> х2? хп)еь заданного в л-мерном евклидовом пространстве
(здесь — единичные орты осей координат).
div? = V^
4^ dxi
Д. не зависит от выбора системы декартовых координат в евклидовом про-
странстве. Геометрический смысл Д. таков: Д. есть предел отношения потока
векторного поля через замкнутую гладкую поверхность, окружающую данную
точку, к объему, ограничиваемому этой поверхностью, когда поверхность
п	дР dQ dR
стягивается к точке. При этом частные производные	пред-
ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
161
полагаются непрерывными. Если векторное поле F = Pi-\-Qj-\-Rk интерпре-
тировать как поле скоростей движущейся в пространстве несжимаемой жид-
кости, то условие div F |р > 0 означает наличие источника в точке Р (из ок-
рестности точки Р жидкости больше уходит, чем входит); наоборот, если
—►
div F |р < 0, то точка Р есть сток.
См. Остроградского формула.
ДИЗЪЮНКЦИЯ—бинарная операция над высказываниями в исчислении
высказываний (см. Высказываний исчисление). Если А и В — произвольные
высказывания, то их Д. называется новое высказывание АуВ (где V знак Д.),
истинность которого зависит от истинности высказываний А и В. Эта зави-
симость выражается для Д. следующей таблицей, в которой истинность обо-
вначена буквой и, а ложность буквой л:
А	В	АуВ
и	и	и
и	л	1	и
л	и	
л	л	1 ‘
Таким образом, Д. ложна в том и только в том случае, когда ложны оба
образующих ее члена. В остальных случаях, т. е. если хотя бы один ее член
истинен, Д. истинна.
Д. возникла как формализация и аналог (русского) языкового союза
„или“. Термин происходит от латинского disjunctio—разобщение, разделение.
Лит.: [93].
ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА — гладкое многообразие М вместе с задан-
ной на нем гладкой однопараметрической группой преобразований. Обычно
Д. с. задается системой дифференциальных уравнений вида:
х2; хп),	(♦)
где Xf, х2»	хп—криволинейные координаты карты многообразия М.
Действие однопараметрической группы G преобразований описывается
следующим образом: пусть х{-(/), i = l, 2, п — решение системы (*) при
начальном условии х,(0) = х°; по определению элемент группы	соот-
ветствующий параметру /, переводит точку о?; x§; Хп) в точку
(хх (/); х2 (/);	xn(t)).
Многие механические системы характеризуются набором параметров
Xi, х2, ...» хл, изменяющихся во времени в соответствии с (♦). Само много-
образие параметров (хх; х2', ...; хп) называется фазовым пространством.
Интегральные кривые системы '(♦) называются фазовыми траекториями.
Лит.: [12].
6 № 765
162
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ
ДИОФАНТОВ АНАЛИЗ—раздел теории чисел, изучающий решение ал-
гебраических уравнений или систем таких уравнений с целыми коэффициен-
тами в целых или рациональных числах. Так, уравнение ах—ту =
= Ь [ах = b (mod /и)], где a, b, m£Z и а и т взаимно простые, имеет ре-
шения, записываемые в виде формул: х = х0-Рт&, у —Уо + mk, где (х0; £/о) —
одно любое решение уравнения, k£Z. Д. а. называли еще неопределенным
анализом.
Д. а. назван по имени греческого математика Диофанта (из Александрии)
(см. Диофантовы уравнения).
Лит.: [36, 37].
ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ —раздел теории чисел, изучающий ре-
шение в целых числах линейных или нелинейных неравенств или систем не-
равенств с действительными коэффициентами. В теории Д. п. большое значе-
ние имеют непрерывные дроби и принцип Дирихле (см. Дирихле принцип).
Глубокие исследования по Д. п. принадлежат русским математикам
А. А. Маркову, П. Л. Чебышеву, а также немецким математикам Л. Кроне-
керу и Г. Минковскому. Минковский использовал для решения задач Д. п.
геометрические методы.
. Простейшим примером неоднородных линейных уравнений указанного
типа является следующее:
ха—у—р = 0,
где а и Р€Л. а х и у — целочисленные неизвестные, которые должны удов-
летворять приближенному решению уравнения, т. е. должно выполняться
неравенство:
|ха—у—р | < е.
Лит.: [36, 37, 157 т. 1].
ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ — алгебраические уравнения или система
таких уравнений с двумя или большим числом переменных с целыми коэффи-
циентами, для которых разыскиваются целые или рациональные решения;
при этом число неизвестных в Д. у. больше числа уравнений.
П р и м е р ы Д. у.: 1) Д. у. ax+by= 1, где а и & —взаимно простые числа,
имеет бесконечное множество целых решений: х = х$-\-Ьп, у = у^—ап, где
(х0; f/о)— какое-либо решение, zigZ; 2) Д. у. х2—dy2 = 0 (см. Пелля уравнение)
имеет бесконечное множество целочисленных решений; 3) Д. у. хп + уп = zn
(п > 2; великая теорема Ферма) — неизвестно до настоящего времени, имеет или
не имеет целые решения при любом целом п > 2. Для п = 3, 4, ..., 6000 до-
казано, что оно не имеет целых решений х, у, г.
При /г = 2 Д. у. x2 + y2 = z2 дает целые решения, которые называются
пифагоровыми числами, а прямоугольный треугольник с целочисленными
катетами х и у и целочисленной гипотенузой z называется пифагоровым
треугольником (см. Пифагора теорема). Решения этого Д. у. имеют вид
х=и2— v2, y — 2uv, z = u2-\-v2, где и, v£N. Методы исследования Д. у.
связаны с непрерывными дробями, с теорией алгебраических чисел.
Лит.: [22, 31].
ДИРИХЛЕ ЗАДАЧА
163
ДИРЕКТРИСА невырожденной кривой 2-го порядка — прямая, обладаю-
щая определенным свойством относительно кривой. Для любой точки кривой
выполняется следующее условие. Отношение расстояния от нее до фокуса
к расстоянию от нее до соответствующей Д. постоянно и равно эксцентриси-
тет кривой. Эллипс имеет две Д.
(рис. 51, а), гипербола имеет так-
же две Д. (рис. 51,6), парабола
же имеет одну Д. (парабола имеет
и один фокус, рис. 51, в).
Уравнения Д. гиперболы и
. а
эллипса имеют вид: х = ± — , где
е
а—длина большой полуоси эл-
липса или длина действительной
полуоси гиперболы, е — эксцен-
триситет эллипса или гиперболы.
Так как для эллипса значение
е<1,то число — > а и обе Д.
е
расположены вне эллипса, пер-
пендикулярно оси абсцисс (что
видно из уравнения Д.). Для ги-
перболы значение е > 1 и число
Я	гг
— < а; поэтому Д. гиперболы бли-
же расположены к центру, чем се
вершины.
Уравнение параболы имеет
вид: у* — 2рх, эксцентриситет по
определению кривой равен едини-
це (е=1), а уравнение Д. имеет
р
вид: х = —
Д. параболы перпендикуляр-
на оси симметрии ее, а вершина
параболы находится на одинако-
вом расстоянии от Д. и фокуса.
См. также: Гипербола, Пара-
бола, Эллипс, Эксцентриситет
кривой 2-го порядка.
Лат.: directrix — направляющая.
ДИРИХЛЕ ЗАДАЧА —одна из
краевых задач уравнений математической
физики. Различают внутреннюю Д. з. и внешнюю Д. з. Внутренняя Д. з. состоит
в следующем: пусть S — замкнутая гладкая гиперповерхность, ограничивающая
конечную область D в пространстве переменных xt, х2, ...» хп. Требуется найти
функцию f, гармоническую (см. Гармоническая функция) внутри области D, не-
прерывную в замыкании D области D и принимающую на границе S области
6*
164
ДИРИХЛЕ ПРИНЦИП
заданные значения <р(р), p£S, где (р(р) непрерывна на S. Внешняя Д. з. фор-
мулируется так: найти функцию /, гармоническую вне области D, принима-
ющую заданные значения ф(р) на границе, и такую, что lim /(р) = 0.
р 00
Обе Д. з. имеют единственное решение.
Рассматривают также Д. з. для уравнения Пуассона: найти функцию f (р),
удовлетворяющую уравнению &u = f(p) внутри области D и принимающую
па границе области заданные значения <р(р); <р(р) непрерывна.
Лит.: [133].
ДИРИХЛЕ ПРИНЦИП —утверждение о том, что при разбиении множе-
ства из п+1 элементов на п классов в одном из классов будет по крайней
мере два элемента. Д. п. иллюстрируется такой задачей: «В лесу 100 000 елок,
на каждой из них не более 50 000 иголок. Доказать, что найдутся две елки
с одинаковым количеством иголок». Д. п. находит применение в теории
чисел и др.
00
ДИРИХЛЕ РЯДЫ — ряды вида • Д-Р- используются в аналитиче-
п— 1
ской теории чисел, в частности в вопросе о распределении простых чисел
в арифметических прогрессиях и других последовательностях натуральных
чисел.
Лит.: [19].
ДИРИХЛЕ ТЕОРЕМА — утверждение, состоящее в следующем: всякая
арифметическая прогрессия, у которой начальный член и разность — целые
взаимно простые числа, содержит бесконечное множество членов, являющихся
простыми числами. Впервые это утверждение было высказано в качестве
гипотезы французским математиком Лежандром в 1788 г. Доказательство
Д. т. было найдено в 1837 г. немецким математиком П. Г. Леженом Ди-
рихле. Это доказательство опиралось на созданный Дирихле аппарат
L-рядов (см. Дирихле ряды), позволивший автору получить несколько весьма
глубоких результатов в теории рядов Фурье, из которых, как следствие, вы-
текала Д. т.
В 1928 г. голландским математиком Ван-дер-Варденом получено элемен-
тарное (но совсем не простое) доказательство Д. т.
Лит.: [146].
ДИРИХЛЕ УСЛОВИЯ — условия, сформулированные немецким математи-
ком П. Г. Леженом Дирихле, достаточные для того, чтобы функция f (х)
разлагалась в ряд или интеграл Фурье (см. Фурье ряд, Фурье интеграл).
Д. у., достаточные для разложения периодической функции в ряд Фурье,
таковы: все точки разрыва f (х) являются точками разрыва первого рода и
f (х) имеет не более чем конечное число локальных экстремумов на отрезке
[а; а+Т], где Т —период.
Д. у., достаточные для разложения функции f (х) в интеграл Фурье,
таковы: все точки разрыва функции f (х) являются точками разрыва первого
рода, на любом конечном интервале f (х) имеет не более чем конечное число
локальных экстремумов, f (х) абсолютно интегрируема (см. Абсолютная ин-
тегрируемость).
ДИСКРИМИНАНТ МНОГОЧЛЕНА
165
При выполнении Д. у. ряд Фурье (интеграл Фурье) определяет функцию,
совпадающую с исходной функцией f (х) во всех точках непрерывности /(х)
f (*о 0) -р f (Хо—0)	х / \
и равную '	-—------------- в точках х0 разрыва f (х).
Лит.: [103].
ДИРИХЛЕ ФУНКЦИЯ—функция, определенная на отрезке [0; 1] и равная 0
для рациональных х и равная 1 для иррациональных х. Д. ф. разрывна
в каждой точке отрезка [0; 1]. Д. ф. играет важную роль в математическом
анализе и теории функций действительного переменного. Названа именем
немецкого математика П. Дирихле (1805—1859).
Д. ф. наряду с вышеприведенным описательным определением может быть
задана аналитическим выражением, правда, с (двукратным) участием предель-
ного перехода, как
lim ( lim cos2л (m! лх) А .
т-+ оо \л -> оо	J
Д. ф. неинтегрируема в смысле Римана, но интегрируема в смысле Ле-
бега. Д. ф. является функцией 2-го класса по бэровской классификации
(см. Бэра классы) функций.
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА — собирательный термин ряда разделов
математики, изучающих свойства конечных (финитных) множеств. Д. м. вклю-
чает в себя конечные графы, конечные группы, конечные автоматы, комбина-
торику, конечные геометрии, кодирование и др. разделы.
Д. м. находит широкое применение в приложениях.
Д. м. называют также дискретным анализом, конечной математикой.
См. также: Графов теория, Кодирование, Комбинаторика, Прикладная
математика.
ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА — случайная величина, значе-
ния которой составляют дискретное множество числовой прямой. Д. с. в. за-
дается законом распределения, т. е. функцией, сопоставляющей каждому
значению случайной величины вероятность того, что случайная величина
примет это значение. Закон распределения Д. с. в. обычно задается таблицей
из двух строк:
X	*!, Х2, .	. ., Хп, . ,
р	Р2> • <	' • > Рп, • • *
где х/ —значения, а р/ —соответствующие им вероятности. При этом сумма
всех pi равна 1. См. Биномиальная случайная величина, Бернулли схема.
ДИСКРЕТНОЕ ПРОСТРАНСТВО — топологическое пространство, в котором
каждое подмножество является (по определению) открытым множеством.
В частности, каждая точка Д. п.— открытое множество.
ДИСКРЕТНОСТЬ — прерывность. Множество точек обладает свойством Д„
если оно не имеет предельных точек.
ДИСКРИМИНАНТ МНОГОЧЛЕНА
аох” + а1х'‘-1-|-...+«я_1х+а„	(*)
166
ДИСПЕРСИЯ
это умноженный на а%п~2 квадрат произведения разностей его корней. Д. ча-
сто обозначают буквой D, реже буквой Д. Таким образом, по определению
о=4п-2 П
i < k
tj& Xf, xt, .xn—корни многочлена (♦). Д. многочлена является симметри-
ческой функцией его корней и, следовательно, является многочленом от своих
коэффициентов, точнее, от ох = — — , о2 = — , , *о„ = (—1)п —. Д. равен
я0	«о
нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
В элементарной математике важную роль играет D. трехчлена
ах2-\-Ьх-\-с, где а £. О, а, Ь,
В этом частном случае D. принимает вид:
D = b2—4ас.
Если D > 0, то трехчлен имеет два действительных различных корня. Если
р = 0, то трехчлен имеет двукратный действительный корень. Если D < О,
то трехчлен имеет два различных комплексно сопряженных корня.
Лит.: [24, 72].
ДИСПЕРСИЯ: Г. Д. случайной величины X—одна из основных число-
вых характеристик случайной величины. Д. характеризует степень рассеян-
ности значений случайной величины относительно математического ожидания
MX случайной величины. По определению
DX = M(X —MX)2,
здесь М—обозначение математического ожидания. Для дискретной случайной
величины
DX = 2 (*/-МХУ рь
i = 1
где Хр < = 1, 2, .si, п—значения X, а pi—соответствующие им вероятности.
Для непрерывной случайной величины
+ «
DX = J (X—MX)2f (х) dx,
— 00
где f (х) — дифференциальная функция распределения случайной величины X.
Основные свойства Д: 1) Д. постоянной случайной величины равна нулю;
2) D (CX) = C2DX, где С—произвольное число; 3) DX = M (X2) — (MX)2-,
4) DX^O; 5) D (X-}-Y) = DX-\- DY для независимых случайных величин X,Y.
2° Д. статистического распределения (в частности, генеральной совокуп-
ности, выборки) определена формулой:
п
2 (Xi-Xyni
V * = 1
ДИСТРИБУТИВНОСТЬ
167
где х/—варианты, а П(— соответствующие им частоты, X—статистическое
среднее.
Имеет место формула:
5 *ini —
ДИСТРИБУТИВНАЯ СТРУКТУРА (решетка)—структура S, в которой
каждая из двух операций дистрибутивна относительно другой операции.
Другими словами, Д. с.— это непустое множество S, в котором определены
две бинарные операции U и П» удовлетворяющие обычным условиям струк-
туры:
(aU*)U* = aU(*U<3, (аП*)Пс = аП(ЬГМ,
аи<лП&) = а, яП(аи^) = л
и, кроме того,
аи(^Пс) = (аи^)П(аи^)» <m(*Uc) = (an*)U(*fk).
Примером Д. с. может служить множество натуральных чисел относи-
тельно операций взятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего
делителя.
Лит.: [71, 85].
ДИСТРИБУТИВНОСТЬ—условие, которому могут удовлетворять две
бинарные операции, определенные на одном и том же множестве. Если одну
операцию записывать как умножение, а другую как сложение, то закон Д.
имеет вид:
a (b-]-c) = ab+ac.
Ввиду того что операции (умножения и сложения) входят в закон Д. несим-
метрично, вышеприведенное равенство называют Д. умножения относительно
сложения. Так как далее умножение может оказаться некоммутативным,
т. е. не удовлетворяющим закону коммутативности ab = ba, то наряду с вы-
шеприведенным законом Д., называемым законом левой Д., рассматривается
правый закон Д.:
(&4-с) а = Ьа-\-са.
Название происходит от латинского distributus—распределенный. Закон Д.
поэтому часто называют распределительным законом.
Операции объединения множеств и пересечения множеств взаимно дистри-
бутивны, т. е. имеют место следующие законы Д.:
АП(ВиС) = (АПВ)и(АПС); (ВиС)П4 = (ВПЛ)и(СПЛ);
Ли(5ПС) = (ЛиВ)ПМиС); (BDC)U4 = (BUA)(1(CUЛ).
Умножение чисел и матриц дистрибутивно относительно сложения, но
их сложение не дистрибутивно относительно умножения, т, е., вообще говоря,
а6-|-с # (а-|-с)(6-| с).
168
ДИФФЕОМОРФИЗМ
ДИФФЕОМОРФИЗМ гладких многообразий (в частности, областей евкли-
дова пространства). Отображение f:V—► V многообразия V на многообразней
называется Д., если f взаимно однозначно, и f и f-1 — гладкие отображения.
Говорят, что Д. имеет класс Сг, если отображения f и f-1 класса Сг.
Д. класса Сг имеет смысл рассматривать для многообразий, гладкость
которых не ниже, чем Сг.
Лит.: [154].
ДИФФЕРЕНЦИАЛ: 1°. Д. функции y = f(x) вещественного переменного
х—функция F (х; Ах) двух аргументов—-х и Ах (Ах — приращение х), обладаю-
щая следующими свойствами:
1) F (х; Ах) линейная по Ах, т. е. F (х; Ах) = А(х)Ах,
2) lim ——Ах^ = 0, где А/ —/ (х +Ах)—/ (х).
Дх —► О
Д. функции у — f (х) существует и однозначно определен тогда и только
тогда, когда существует производная от / (х); в этом случае Д. f (х) имеет
вид: F (х\ Ах) = /' (х) Ах.
Д. функции f обозначается символом df (df — F, или df (х; Ах) = Е(х; Ах),
d/v(Ax) = F(x; Ах)).
Определение Д. функции y = f(x), содержащееся в свойствах 1), 2), часто
формулируют так: Д. есть главная линейная часть приращения функции /(х).
В случае /(х) = х, df — dx, dxx(kx) — x' Ах, т. е. dxx(Ax) = Ax, откуда
dfx = Г (x)dxx = ff (x)dx.
Формула dxx(Ax) = Ax для независимого переменного х требует следую-
щего уточнения: dxx (Ах) = 1 -Ах. Здесь подчеркнуто, что dxx является линей-
ной формой от Ах, и тот факт, что dx и Ах являются различными матема-
тическими понятиями: dx—линейная форма, Ах—аргумент этой линейной
формы.
При этом Д. функции f является линейной формой от Ах.
2°. Д. функции y = f(x1\ х2, ..., хп) нескольких вещественных перемен-
ных— функция F (хг, х2, ...» хп\ Ахь Ах2, ..., Ахп) от двух наборов пере-
менных хь х2, ..., хп и Ахь Ах2, ..., Ах„ (где Ахь Ах2..&хп — прираще-
ния аргументов xlt х2, ..., хп соответственно), обладающая следующими двумя
свойствами:
1) F (xlt х2, ..., хп\ Ахь Ах2, ..., Ах„) линейная по Ахь Ах2, ..., Ахп, т. е.
F (xlt х2, ..., хп\ Axf, Ах2, ..., Axn)= А1 (х) Дхг4- А2 (х) Ах2+ ... + Ап (х) Ах„.
2) lim	= Где
дз->о У (Дх,)2 + (Дх,)2 + ... + (Дх„)2
As = V (Д*1)2+ (Дх2)2 + • • • + (М.)2-
Для существования и единственности Д. функции y = f(xr, х2, ..., хп)
достаточно непрерывности частных производных 1 = 1, 2, ».., п.
При этом Д. функции f (обозначаемый df) равен:
п
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
169
или, учитывая, что Дх/ = с?х/(Дх) (для функции f(x) = xz),
п
1=1	4
—>
в смысле равенства линейных форм от Дх. Функция y = f(xi, х2, *»*, хп) на-
зывается дифференцируемой в точке (хь х2, хп), если в этой точке суще-
ствует Д. функции.
3°. Д. отображения f'.U—>V, где (7, V—области в евклидовых простран-
ствах Ет, Еп соответственно.
Такое отображение аналитически задается с помощью п функций от т
вещественных переменных. Пусть P£Ut и (хх, х2, .... xm), (уг,у2, ...
• Уп) — координаты точек Р, Q соответственно. Если f(P) = Q, то
_ Vi = fi(Xi,	хг.....хт)
1' y2 = fi(Xlt	X.....Хт)
Уп = !п(хъ	Хг....хт).
Рассмотрим дифференциалы функций /х, f2.....fn в точке Р:
т
dyi = dft=X J^dxj.	(«.)
Система равенств (♦) определяет линейное отображение линейного про-
странства Lm векторов dx=(dxx, dx2.....dxm) в линейное пространство Ln
векторов dy = (dylt dy2, .dyn). Здесь dx (h) = h = (h1..Л„), dy (p) = p =
—>	—>
= (Pi, ...» Ри), так что dx и dy—векторнозначные линейные формы. Это ли-
нейное преобразование называется Д. отображения f в точке (хх; х2\ ...; хт)
и обозначается df.
—>	—>•
Д. df отображения f обладает свойством: длина вектора
Д^—d/(A^=(Ai/i—d/i(Axj, Дх/а—d/г (Дх)2 •••. Дуп—
является величиной бесконечно малой по сравнению с длиной вектора
(Дхх, Дх2, Дхот) (под длиной вектора (ах\ а2\ ...; понимается число
V о? + at + • • • + ak\ &yi = fi (Xi + Дхх, x2 + Дх2, ..., xm + Дхт)—Л (хх, x2, ...
xm)\ 1=1, 2,	n).
Для существования и единственности Д. отображения f достаточно не-
прерывности всех частных производных
dfi
дх}-
в рассматриваемой области,
1=1, 2, ...,п; /=1, 2, Отображение f называется дифференцируемым
в точке Р (Xi, х2, ...» хт), если существует Д. отображения df.
Свойства Д. функции f одного или нескольких переменных:
1) d (c1f1-\-c2f2) = c1df1-}-c2df2 при любых числах сг, с2 и дифференцируе-
мых функциях /1 и f2 (линейность Д.);
2) d (fg) = (df) g + fdg для любых дифференцируемых функций /, g.
170
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Особое значение имеет свойство инвариантности Д. относительно замены
переменных. Оно состоит в следующем:
Пусть у = /[ф(х)], где у = f (ц), и = ф (х) — дифференцируемые функции .
переменных и, х. Тогда
dy = y' W dx,
или, с учетом правила дифференцирования сложной функции,
dy = f [ф W1 ф' (x)dx.
Отсюда вытекает:
dy = f (и) du (u = q> (х), du = ф' (x) dx)	(**)
и, следовательно,
dy = y' (x) dx=f' (u) du,
В этой формуле Д. функции Иф(*)Ь равный по определению у’ (х) dx,
представлен в другом виде: dy = f' (и) du.
В случае, когда y = f(u) и и — независимая переменная, dy = f' (и) du по
определению.
В обоих случаях (ц = <р(х) и и — независимая переменная) dy = f' (и) du\
таким образом, формула (♦*) не изменяется при замене независимой пере-
менной и на зависимую переменную н = ф(х). (Формула (*♦), выражающая
дифференциал функции y = f (и), инвариантна относительно замены переменной.)
Инвариантность Д. функции нескольких переменных y = f(ur, и2, ..., ип)
есть свойство, выражаемое формулой:
dHMxn х2, хт), м2(хь х2, ..., х,л), ип(хъ х2, ..., хт)] =
dui + -^- du2+ ... + ~^—dun.
dut ди2 * 1	1 дип п
Инвариантность Д. отображения
У1 = Ь(“1. «s.	“й)
=	««.	“к)
ym = fm (“1. “г. •••, «й)
есть свойство, выражаемое формулой:
d(f <>&+= df+* о dg->,	(***)
A	g КА/	А
где g—отображение, определенное формулами:
«i=gi Ui. хг, х„)
g. Ut = g2(XIt xt, .... х„)
Uk = gk(Xlt х........
*=(xi. х2, ...,xm), g=(gi.(x), g2(x)..gk(x)).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
17|
Символом dfodg в формуле (***) обозначена суперпозиция (композиция) линей-
ных отображений df и dg.
Пример. Пусть =	и2, цл) и «/=«/(/), 1 = 1, 2,	—
дифференцируемые функции своих аргументов. Рассмотрим
Ф(/) = Г («1(0, ut(t)..МО).
Используя свойства инвариантности, можно вычислить Д. функции Ф(/)>
k	k
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, изучающий
свойства кривых, поверхностей в трехмерном евклидовом или аффинном про-
странстве, а также многомерных поверхностей и многообразий методами
математического анализа (см. Анализ математический).
Возникновение Д. г. связано с именами Л. Эйлера и Г. Монжа. В ни
трудах были изучены важные дифференциально геометрические вопросы: кри-
визна нормального сечения поверхности и ее зависимость от секущей пло-
скости (см. Эйлера формулы), свойства развертывающихся поверхностей
(Г. Монж) и другие.
Глубокий вклад в Д. г. был внесен К. Ф. Гауссом. Он ввел две основные
квадратичные формы поверхностей (см. Первая квадратичная форма, Вто-
рая квадратичная форма), рассматривал вопросы внутренней геометрии по-
верхностей. Им доказана замечательная теорема об инвариантности полной
кривизны поверхности при изгибании—theorema egreghium (см. Гаусса фор-
мула). Построение основ теории поверхностей в трехмерном евклидовом
пространстве было завершено в XIX в. основателем московской геометриче-
ской школы К. М. Петерсоном, установившим необходимые и достаточные
условия того, чтобы две квадратичные формы, первая из которых положи-
тельно определена, задавали поверхность с точностью до положения ее
в пространстве.
Новый этап развития Д. г. связан с развитием идей Н. И. Лобачевского.
В 1840 г. Ф. Миндинг, изучая поверхности постоянной отрицательной кри-
визны, вывел тригонометрические соотношения, совпадавшие с тригонометри-
ческими соотношениями плоскости Лобачевского. Этот факт долгое время
оставался незамеченным (его не знал и сам Н. И. Лобачевский). Однако
в 1868 г. итальянский геометр Е. Бельтрами, повторив исследования Ф. Мин-
динга, дал полученным результатам следующее толкование: геометрия Лоба-
чевского может быть реализована как внутренняя геометрия поверхностей
постоянной отрицательной кривизны в евклидовом пространстве (правда,
только лишь в малом). Таким образом, был установлен факт непротиворечи-
вости (в малом) геометрии Лобачевского.
В скором времени (1871) немецкий математик Ф. Клейн построил модель
плоскости Лобачевского в целом (см. Клейна интерпретация), используя
понятия проективной геометрии.
172
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА
Большое значение в развитии Д. г. имела Эрлангенская программа, пред-
ложенная Ф. Клейном, которая устанавливала новую точку зрения на гео-
метрию (в частности, на Д. г.). Согласно этой точке зрения геометрия является
наукой, изучающей свойства пространства, инвариантные относительно за-
данной в нем группы преобразований.
С этого времени Д. г. стала связанной с теорией групп преобразований.
Немецким математиком Б. Риманом было предложено обобщение понятия
внутренней геометрии поверхностей. Ои ввел в рассмотрение многомерные
пространства, на которых определена квадратичная форма от дифференциалов
криволинейных координат (метрика) — аналог первой квадратичной формы
поверхности. Эти пространства получили впоследствии название римановых.
Теория римановых пространств стала иметь особенно большое значение
после открытия А. Эйнштейном теории относительности. Многообразие собы-
тий (пространство—время) этой теории может быть истолковано как некото-
рое риманово пространство, а метрика в нем связана с распределением ма-
терии и гравитацией.
Дальнейшие обобщения понятий типа „поверхность", „пространство" не
в последнюю очередь связаны с математическим аппаратом теории относи-
тельности— таковы пространства аффинной, конформной, проективной связ-
ности (см. Аффинной связности пространство, Конформной связности прост-
ранство, Проективной связности пространство). В исследовании этих прост-
ранств важную роль играет тензорный анализ с его аппаратом абсолютного
дифференцирования.
В XX в. значительный вклад в Д. г. был внесен французским матема-
тиком Э. Картаном. Им создан так называемый метод внешних форм, позво-
ляющий исследовать с геометрической точки зрения системы уравнений
в частных производных, описывающие широкий класс геометрических объектов.
Им же были открыты и классифицированы симметрические римановы прост-
ранства— ближайшее обобщение пространств постоянной кривизны.
В последнее время при исследовании дифференциально геометрических
вопросов широко используются методы теории групп Ли, алгебры, топологии,
функционального анализа.
Значительные результаты в Д. г. были получены советскими учеными:
Д. Ф. Егоровым, Н. Н. Лузиным, С. П. Финиковым, А. П. Норденом,
П. К. Рашевским, Г. Ф. Лаптевым, Н. В. Ефимовым, А. Д. Александровым,
А. В. Погореловым и др.
Лит.: [60, 95, 117, 118].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА от п переменных xif х2, .*.,хп— форма
относительно дифференциалов dxx dx2, ...,dxn рассматриваемых переменных
с коэффициентами, зависящими от хх, х2, ...,хп. Д. ф. первой степени
Gi (xf, х2; ...; х„) dxr 4- а2 (хх; х2;...; хп) dx2 4- ... 4- ап (хх; х2; ...; хп) dxn
называется Д. ф. Пфаффа (см. Пфаффа дифференциальная форма). Д. ф. вто-
рой степени имеет вид:
п
2 aij х2\ ...; хл) dx, dxJt
«7=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
173
Д. ф. рассматриваются также на многообразии в заданной системе ло-
кальных криволинейных координат (xj,x2, . **,Хп)» В этом случае Д. ф. есть
форма от дифференциалов dxi с коэффициентами, зависящими от х/, /=1,
2, п.
Важными примерами таких Д. ф* являются первая, вторая и третья
квадратичные формы поверхности.
Д. ф. можно рассматривать на многообразии в целом. Задание Д* ф. на
всем многообразии означает, что 1) в каждой локальной системе координат Ui
(из числа покрывающих все многообразие) задана некоторая Д. ф. Л,-; 2) если
V=t/z-nt/y, где Ui, Uj—локальные системы координат, то две Д. ф.
Л/ (xi, х'ъ, ... х'п\ dxi, dx2, ...» dxn) и Aj (xi, xi, ». »,Xn; dx{, ..*, dx„), индуци-
рованные в V, связаны соотношением:
Ai [xi (xi, xi, ..., xrt), x2 (xi, x», *. *, xA), ..., xn (xi, X*2, ».., Xn);
dxA (xi, xi, ..., x^), dx2 (xi, xi, ..., Xn), ..., dxn (xi, xi, ... x«)J =
= A] (xi, xi, 4 * ., x'\ dx'it dx'2, •. *, dxn),
где x, (xi, xi, in, Xn), i=l, 2, . .., n—функции перехода от локальной си-
стемы координат (xi, xi, . *Хп) к локальной системе координат (xi, х2,...
Коэффициенты Д. ф. определяют тензорное поле на многообразии.
В терминах кососимметрических Д. ф. могут быть определены Бетти
числа компактного многообразия.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ распределения непрерывной случай-
ной величины X—функция /, определенная формулой
f(0 = ^'(0,	(*)
здесь t — (действительный) аргумент функции f, F—интегральная функция
распределения случайной величины X, F'—производная функции F.
Д. ф. обладает следующими свойствами:
1.	всюду в области определения /.
+ 00
2. J /(/)Л = 1.
- 00
В практически интересных случаях Д. ф. распределения определена для всех
t^R, за исключением, быть может, конечного множества точек (в которых не
существует производная F').
С помощью Д. ф. распределения можно вычислить Р(а^Х < Ь), т. е.
вероятность того, что случайная величина X примет значение в [а, 6[, именно
ь
Р(а<Х < b)=^f(t)dt.	(♦*)
а
Последняя формула имеет следующий геометрический смысл: вероятность того,
что случайная величина X примет значение в [а, Ь[, численно равна площади
криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком y=f(t) и
прямыми t = a, t = b.
174
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
Формулы (*), (♦♦) делают понятным название Д. ф. распределения, так как
(♦♦) задает распределение вероятностей по множествам [а, Ь[, а в (*) присут-
ствует операция дифференцирования.
Интегральная функция распределения случайной величины X связана
с Д. ф. формулой
t
F(/)=J f(x)dx
— 00
(что оправдывает название „интегральная функция"). Многие характеристики
случайной величины X удобным образом выражаются через Д. ф.—таковы
математическое ожидание, дисперсия, моменты случайной величины. Значе-
ния f (t) Д. ф. f в точке t имеют следующий вероятностный смысл: f (t) есть
плотность вероятности в том смысле, что
f(Q = lim	+	(w)
д/->о А/ *
здесь Р(/<Х < / + Д/) 'есть вероятность того, что случайная величина X
примет значение в полуоткрытом интервале [/, /4-А/[малой длины А/. Свой-
ство (♦♦♦) может быть сформулировано иначе: вероятность Р (t С X < / + А/)
с точностью до бесконечно малой более высокого порядка малости, чем А/,
равна f (0 А/.
Во многих вопросах, связанных с приложениями теоремы вероятностей,
бывает удобной следующая конструкция: непрерывная величина X заменяется
дискретной случайной величиной X, принимающей значения ж/, f = 0, ± 1,
±2,	—х/=Ах с вероятностями / (ж,) Ах. При этом в случае малого
Ах величины X и X мало отличаются с практической точки зрения. .
Д. ф. распределения пары случайных величин X, Y есть функция f, опре-
деленная равенством
d2F
где /1, t2— (действительные) аргументы Д. ф., a F—интегральная функция
распределения пары X, Y.
Вероятность Р (X, Y £D) того, что значения пары случайных величин
X, Y будут принадлежать заданному множеству D точек плоскости (х; у),
может быть вычислена по формуле
P(X,r^D) = JJ f(t,tt) dt, dt,.
D
Д. ф. распределения пары содержит в себе всю информацию о паре случай-
ных величин X, У, включая все вопросы зависимости случайных величин.
Аналогично определяется Д. ф. распределения системы случайных величин.
Д. ф. распределения иногда называется просто функцией распределения
или (дифференциальным) законом распределения.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
175
См. также: Нормальная случайная величина, Экспоненциальная случайная
величина, Равномерная случайная величина.
Лит.: (27, 44, 139].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ —раздел математики, в котором
изучаются свойства функций с помощью производных и дифференциалов. Основ-
ная идея Д. и. заключается в изучении и исследовании локальных свойств
функции для описания свойств функции в целом.
Так, например, при вычислении абсолютного экстремума функции f, за-
данной в области D, используют следующий факт: если точка х—внутренняя
точка D и является абсолютным экстремумом, то она же является локальным
экстремумом. При этом исследование вопроса о локальном экстремуме может
быть проведено в терминах производной и дифференциала.
Отдельные задачи Д. и., связанные с нахождением максимума или мини-
мума некоторых функций, а также с вычислением касательных к некоторым
кривым, были решены еще математиками Древней Греции. В большем объеме
и на более высоком уровне вопросы Д. и. изучались в трудах французских
математиков Р. Декарта, П. Ферма и др.
Основателями Д. и. по праву считаются английский ученый И. Ньютон
и немецкий ученый Г. Лейбниц. В их трудах были введены основные понятия
Д. и. —производная и дифференциал. И. Ньютон разработал теорию флюксий
(в современной терминологии — производных). В работах Лейбница, независимо
от И. Ньютона, Д. и. построено на основе понятия дифференциала.
Оба эти понятия базируются на идее предела, которая в то время не
имела еще четкого логического обоснования.
Крупнейший научный успех, каким явилось создание Д. и., связан, ко-
нечно, с практическими потребностями развивающегося человечества, в част-
ности с актуальностью задачи описания движения тел. (И. Ньютон пришел
к своему открытию, изучая законы движения тел, в частности небесных тел.)
Свойства производных, открытых И. Ньютоном и Г. Лейбницем, в сочетании
с удобной символикой, введенной Г. Лейбницем, позволили свести задачу
о вычислении производной к чисто техническим операциям, выполняемым
в соответствии со сравнительно простыми правилами (среди упомянутых выше
свойств особенно важное значение имеет правило дифференцирования сложной
функции и связанная с ним инвариантность дифференциала относительно
замены переменных).
Дальнейшее развитие Д. и. шло по пути, намеченному его основателями.
Большую роль на этом этапе сыграли работы братьев Я. и И. Бернулли,
Б. Тейлора (см. Тейлора ряд), Л. Эйлера и Ш. Лагранжа.
В начале XIX в. была решена задача обоснования Д. и. в терминах по-
строенной в это время теории пределов (О. Коши, Б. Больцано, К. Гаусс).
Более глубокий анализ исходных понятий Д. и. был связан с развитием тео-
рии множеств и теории функций действительного переменного (Р. Дедекинд,
Г. Кантор и др.).
Начиная с XVIII в. Д. и. породило ряд самостоятельных математических
дисциплин, таких, как дифференциальная геометрия, вариационное исчисление!
дифференциальные уравнения и др.
Лит.: [103, 140].
176
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — уравнения, содержащие искомые
функции, их производные любых порядков и независимые переменные. Д. у.
возникли в XVII в. в связи с потребностями механики и других разделов
естествознания.
Приведем простейшую задачу, решение которой сводится к Д. у. Если
тело имеет температуру Т > 0 и находится в среде, температура которой нуль,
то падение этой температуры тела за время Д/с достаточной точностью дается
ДТ
формулой: ДТ = —kT At, или	гДе &—некоторый постоянный
коэффициент. Если в последнем соотношении устремить Д/ к нулю, получим:
Г' = — kT. Для полученного уравнения можно указать все частные решения —
они даются формулой T = Ce~kt, где С — постоянно.
Д. у. делятся на обыкновенные, в которые входят как неизвестные функ-
ции только одного переменного, и уравнения с частными производными, со-
держащие частные производные функций нескольких аргументов.
1°. Д. у. обыкновенные. Среди этих уравнений простейшим является урав-
нение 1-го порядка, т. е. уравнение вида:
f(x; у; у') = 0.
Иногда его можно записать в виде:
y’=f(x,y).	(*)
Последнее уравнение является частным случаем более общего уравнения:
Р(х; y)dx + Q(x; y)dy = O.
Решить это уравнение—значит найти все кривые на плоскости, вдоль которых
оно выполняется.
Уравнение (♦) допускает геометрическую интерпретацию. В'каждой точке
плоскости (х; t/) можно провести вектор с тангенсом наклона к оси ОХ
k = f(x; у). Таким образом, получается поле направлений. Кривая у (%) будет
решением (*), если она в каждой своей точке касается некоторого вектора
поля направлений. Каждое Д. у. обыкновенное имеет, вообще говоря, бесчис-
ленное множество решений. Поэтому для нахождения частного решения надо
указать начальные данные, т. е. должно быть задано, через какую точку
проходит решение. Таким образом, семейство решений есть однопараметриче-
ское семейство кривых:
y(x) = F(x-,C).	(..*)
Если из (**) соответствующим выбором С можно получить любое решение,
то оно называется общим решением Д. у. обыкновенных.
В теории Д. у. обыкновенных изучаются также уравнения высших по-
рядков, а именно уравнения вида:
F (х \ у\ у'\ у", ...;	у<">) — 0
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ
177
и системы уравнений. Как правило, решить Д. у. обыкновенные в квадрату-
рах (т. е. в элементарных функциях и их первообразных) невозможно, поэтому
для их решения широко применяются приближенные методы: метод конечных
разностей, графический метод, разложение в ряды. Большое значение имеют
качественные методы.
2°. Д. у. с частными производными. Их главным отличием от обыкновен-
ных является то, что общее решение зависит не от произвольных постоянных,
«	« и	Л	гт д2ф д2ф
а от произвольных функции. Например, общим решением Д. у.	яв’
ляется выражение и (х, /) = f (х + /) + g (х—/), где f и g—дважды дифференци-
руемые произвольные функции.
Типичной задачей для Д. у. с частными производными является задача
Коши: найти решение и (х; t) Д. у., которое при t = 0 обращается в заданную
д>и
функцию Ф1 (х), а производные до (и—1)-го порядка —/=1, 2, п—1
dtl
(где п—порядок уравнения по t) — в некоторые заданные функции ф/(х).
Обычно в такого рода задачах переменная t играет роль времени. Для урав-
нений порядка выше 1-го рассматриваются также краевые задачи. Д. у. с ча-
стными производными являются основным математическим аппаратом в гидро-
механике, аэромеханике, теории упругости и т. п.
Лит.: [12, НО].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ БИНОМ—выражение вида хт (a-{-bxn)P dx, где
а и b—постоянные, отличные от нуля, а т, п, р Основная задача для
Д. б. — указать все случаи его интегрируемости в элементарных функциях.
Л. Эйлер указал три случая его интегрируемости: 1) p£Z, 2)	* gZ,
3) md~. 1 -i_ П. Л. Чебышев доказал, что других случаев интегрируемо-
сти Д. б. нет.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функций f (х) — нахождение производной f' (х)
данной функции. Термин происходит от латинского differentia — разность, что
связано с определением производной как предела частного соответствующих
разностей значений функции и значений аргумента.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ—функция одного или нескольких
переменных t/ = /(xf, х2; ...; х„), 1О< оо, называется Д. ф. в точке
Р (xi; х2; ...; х„), если в этой точке существует дифференциал df функции
/(xt; х2; ...; х„). Функция называется Д. ф. в области D, если она диффе-
ренцируема в каждой точке области D. Для дифференцируемости функции
y = f(x^ *2; •••*» *А) нескольких переменных в точке Р (в области D) доста-
df . , п
точно непрерывности всех ее частных производных , *=1,2, в рас-
сматриваемой точке Р (во всех точках области D).
Д. ф. обладают рядом важных свойств, например:
1.	Если y — f(Xi, х2; ...; х„), л^1, определена в измеримой области D
пространства переменных хь х2, ..., хп и непрерывно дифференцируема в D,
то гиперповерхность y = f(xx\ х2; ...; х„) имеет конечную м-мерную площадь.
2.	Если Д. ф. у= f (xf, х2; ...; хл), п >> 1, определена в открытой области D
пространства переменных хь х2, ...,хп, то всякий локальный экстремум
178
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ
функции y — f (Xi, х2; хп) принадлежит множеству решений системы урав-
нений
*L=o, ^=о,...,^=о.
дхг дх2	дхп
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ—многообразие, в котором каж-
дая пара пересекающихся координатных окрестностей А, В обладает следую-
щим свойством: отображение gof~1:En—>Еп является дифференцируемым
(см. Гладкое отображение)', здесь f:A—►Е'2, g:B—► Еп—отображение коор-
динатных окрестностей в открытый n-мерный евклидов шар.
ДЛИНА ВЕКТОРА евклидова пространства. В евклидовом пространстве
с метрикой, определенной скалярным произведением (х, у), Д. в. х равна по
определению (х, х). Д. в. х обозначается | х |.
При выборе ортонормированного базиса Д. в. х может быть найдена по
формуле | х | = Sx*, где Xi—координаты вектора х в этом базисе.
Д. в. х, заданного как направленный отрезок в евклидовом л-мерном про-
странстве, равна У S (ai—bi)2, где а/, bi (i == 1, 2, ...»n) — соответственно ко-
ординаты точек А и В — концов направленного отрезка АВ в прямоугольной де-
картовой системе координат.
ДЛИНА КРИВОЙ (дуги кривой)— предел, к которому стремится длина
вписанных в эту кривую (дугу кривой) ломаных при неограниченном увели-
чении числа их звеньев, когда длина наибольшего звена стремится к нулю.
Длина окружности может быть рассмотрена как предел периметров вписанных
или описанных выпуклых л-угольников, когда число сторон их неограниченно
возрастает и длина наибольшей стороны стремится к нулю. Длина окружности
(О; г) (О—центр, г—радиус) вычисляется по формуле/ = 2лг. Для непрерыв-
ных кривых упомянутый предел всегда существует—конечный или бесконечный.
Если этот предел конечный, то кривая (дуга ее) называется спрямляемой.
Условие спрямляемости кривой было установлено Жорданом (см. Жордана
кривая).
Если плоская кривая задана в прямоугольных декартовых координатах
уравнением y — f(x), где а^х^Ь, и функция f (х) имеет непрерывную произ-
водную /' (х), то длина ее вычисляется по формуле:
ь __________
/=^ К l+/,2(x)dx;
а
если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(/), y — y(t), где
a^t^b, то ее длина
ь
(/)+/’(t)di.
а
Аналогично определяется длина пространственной кривой.
Лит.: [103, 117].
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
179
ДЛИНА ЛОМАНОЙ —сумма длин отрезков, ее составляющих (сумма длин
всех ее звеньев).
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ — предел последовательности периметров {рп}
правильных вписанных многоугольников. При удвоении числа сторон этих
многоугольников члены последовательности {рп} будут возрастать, но
останутся меньше периметра р'п любого правильного описанного многоуголь-
ника. По теореме Вейерштрасса последовательность {рп} имеет предел при
п—► оо. Этот предел обозначают С и называют Д. о.
Д. о. радиуса длины г можно вычислить, взяв производную площади
круга 5 = лга по радиусу:
Sr = 2лг = С.
См. также: Длина кривой, Длина отрезка.
ДЛИНА ОТРЕЗКА АВ в евклидовой геометрии — неотрицательное число
р(АВ) — расстояние между А и В при выбранной единице измерения.
См. также: Метрика, Метрическая геометрия, Метрическое простран-
ство, Расстояние, Длина ломаной, Длина кривой.
ДЛИНА ЦИКЛИЧЕСКОЙ ПОДСТАНОВКИ (длина цикла)—число элементов
Xi, х2, ..., хп этой циклической подстановки. При записи подстановки в виде
произведения циклов обычно опускаются циклы длиной, равной 1. Циклы
обычно заключаются в круглые скобки. Циклы (xlt х2, . »»,хп) и (х2, х3, •
к«> хп, Xi) выражают одну и ту же подстановку.
Пример. А= g з 5	= (2) (3) (145) = (145). Д. ц. п. А равна 3.
ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ—термин теории вероятностей (см.
Интервальная оценка).
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ—термин теории вероятностей (см. Ин-
тервальная оценка). В рассмотренном там примере Д. г. равны х ± /о/ У~п.
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ—термин теории вероятностей (см. Ин-
тервальная оценка).
ДОДЕКАЭДР —двенадцатигранник. Обычно рассматривают в математике
правильный Д. — правильный 12-гранник—один из пяти типов правильных
многогранников, иначе называемых Платоновыми телами. Гранями правиль-
ного Д. являются правильные 5-угольники. Правильный Д. имеет 20 вершин,
12 граней и 30 ребер. В каждой вершине правильного Д. сходится по три
ребра. Правильный Д. двойствен (дуален) правильному икосаэдру; центры
граней икосаэдра являются вершинами правильного Д. Во всякий правиль-
ный Д. можно вписать сферу и вокруг всякого правильного Д. можно опи-
сать сферу.
Число вершин В, число граней Г и число ребер Р Д., согласно теореме
Эйлера, связаны соотношением: В + Г — Р = 2.
См. также: Правильный многогранник, Эйлера теорема, Тетраэдр, Окта-
эдр, Гексаэдр (куб), Икосаэдр.
Греч.: бобеха—двенадцать, ебра—грань.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО в математике и других дедуктивных науках—цепочка
правильных умозаключений, идущих от исходных для данной теории посылок
(аксиом), признанных истинными, к доказываемому утверждению (теореме).
180
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО
Такая концепция Д. ведет свое начало от древнегреческих ученых вообще
и от Аристотеля в частности. При этом предполагалось, что исходные по-
сылки— аксиомы „истинны в силу своей самоочевидности". Открытие Н. И. Ло-
бачевским неевклидовых геометрий сильно пошатнуло такую трактовку Д.,
так как выяснилось что аксиомы не только не самоочевидны, но и не всегда
вопрос их истинности может быть решен эмпирическим путем. Более того,
две системы аксиом, в одной из которых участвует аксиома Л, а в другой ее
отрицание Л, могут путем правильных Д. приводить к различным теориям,
противоречащим друг другу, но внутренне не противоречивым.
Поэтому на рубеже XIX и XX вв. немецким математиком Д. Гильбертом
была начата работа по формализации Д. Им впервые была предложена фор-
мализованная схема перечня правил вывода. Гильберт полагал, что по его
плану удастся довести дело до такого положения, что будет найден алгоритм,
позволяющий распознавать выводимость или невыводимость всякой формулы.
Однако выяснилось, что такой план оказался утопическим. Как показали
исследования австрийского математика К. Гёделя (1931), всякое достаточно
содержательное исчисление не может быть до конца формализовано в том
смысле, что на его языке может быть сформулировано утверждение, которое
средствами этого исчисления не может быть ни доказано, ни опровергнуто.
В качестве примера формализованного вывода как одного из основных
методов Д. см. дедукции теорему.
Лит.: [93].
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО—метод доказательства теоремы,
состоящий в том, что доказывают не саму теорему, а теорему, противополож-
ную обратной теореме, т. е. доказывают теорему, эквивалентную данной.
Д.о.п. используют всякий раз, когда прямую теорему доказать представляется
затруднительным. При доказательстве теоремы методом от противного заклю-
чение теоремы заменяют отрицанием и путем рассуждения приходят к отри-
цанию условия, т. е. к противоречию, к «противному» (противоположному)
тому, что дано; такое приведение к абсурду, к нелепости и доказывает тео-
рему.
Д.о.п. теоремы А—равносильно доказательству теоремы ""|В—► ”]Л,
где “]В—отрицание В, ”]Л— отрицание А (т. е. не Л).
Д.о.п. широко применяется в школьном курсе математики. Так, метод
Д.о.п, используется при доказательстве утверждений: а) 1^2, У^З, 1g 5 —
иррациональные числа; б) если прямая пересекает одну из двух параллель-
ных плоскостей, то она пересечет и другую плоскость.
Д.о.п. основано на законе исключенного третьего, заключающегося в том,
что из двух утверждений (высказываний) А и ”|Л одно из них истинно,
а другое—ложно.
Лат.; ad absurdum—к нелепости (приведение к нелепости).
См. также: Доказательство, Теорема, Обратная теорема, Противополож-
ная теорема, Индукция математическая.
ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО (дополнение множества). Если мно-
жество А является подмножеством основного множества R, т. е. A CZ /?,
тогда Д.м. множества А (в множестве R) называют разность /?\Л. Обозна-
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ
181
чается Д.м. как Л, или СА, или СдЛ, если хотят подчеркнуть» в каком мно-
жестве рассматривается Д.м.
Таким образом, переход от подмножества Л к Д.м. Л можно рассматри-
вать как унарную операцию над подмножествами. Эта операция удовлетворяет
свойству инволюции, т. е. Л=Л, а также связана рядом соотношений с дру-
гими теоретико-множественными операциями, например с объединением и
пересечением множеств связана законами де Моргана:
л“цв = лг|В и ллв = лия,
или в общем виде соотношениями:
Тмв=пла и ТМа=ила,
а а а а
которые можно прочитать соответственно как: Д.м. к объединению множеств
равно пересечению их Д.м.; Д.м. к пересечению множеств равно объедине-
нию их Д.м.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ — синоним термина кологарифм,
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ УГОЛ к углу а—угол, величина которого равна
90°—а. Таким образом, каждый из углов а и 90°—а (углы названы их ве-
личинами) является дополнительным к другому углу.
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ истинности некоторого утверждения — всякое
условие, из которого следует это утверждение. Д.у. может не быть необхо-
димым условием. Д.у. является важнейшим понятием в математике наряду
с необходимым условием. Ряд теорем в математике формулируются в терминах
необходимо и достаточно. Для выполнения какого-либо утверждения можно
указать не одно, а несколько Д.у. Например, для того чтобы выпуклый че-
тырехугольник был параллелограммом, достаточно выполнения одного из
условий: 1) чтобы любые две его противоположные стороны были конгруэнтны
и параллельны друг другу; 2) чтобы в точке пересечения диагонали его де-
лились пополам; 3) чтобы этот четырехугольник имел центр симметрии.
Примеры
1.	Для того чтобы целое число делилось на 4, достаточно, чтобы оно
оканчивалось двумя нулями. Но это условие — равенство двух последних цифр
числа нулю — не является необходимым условием для делимости целого числа
на 4. Можно указать условие, которое будет одновременно достаточным и
необходимым условием для делимости целого числа на 4: для того чтобы
целое число делилось на 4, достаточно и необходимо, чтобы двузначное число,
на которое оканчивается целое число, делилось на 4.
2.	Для того чтобы функция f (х) была непрерывна в точке х, достаточно,
чтобы она была дифференцируема в этой точке.
3.	Для того чтобы в выпуклый 4-угольник можно было вписать окруж-
ность, достаточно и необходимо, чтобы суммы длин противоположных его
сторон были равны.
4.	Для того чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярны, доста-
точно и необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
182
ДРОБНАЯ ЧАСТЬ
5)	Для того чтобы векторное произведение двух ненулевых векторов было
равно нулю, достаточно, чтобы эти векторы были коллинеарны. (Последнее
условие будет и необходимым, если векторы ненулевые.)
Д.у. называют также достаточным признаком.
См. также: Необходимое условие, Критерий, Теорема, Обратная теорема.
числа х есть разность между числом х
и его целой частью. Д.ч. числа х
обозначают символом {х}. Таким
образом, Д.ч. числа х и целая часть
числа х связаны соотношением:
х=[х] + {х}. Д.ч. числа х—это
неотрицательное число, меньшее 1.
Д.ч. числа х есть функция, которую
можно записать в виде у = х—[х].
Областью определения Д.ч. числа х
является множество действительных
х состоит из множества конгруэнт-
ДРОБНАЯ ЧАСТЬ действительного
Рис. 52
чисел R. График функции Д.ч. числа
ных отрезков, параллельных прямой у — х, из которых удалены верхние кон-
цы (рис. 52).
Примеры. {2,57} = 0,57; {5} = 0; {— 4,25} = 0,75; {л} = {3,1415..»} =
= 0,1415... .
ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ—функция вида:
У cx-j-d
Ia b I
J 0. При с=0 Д.-л.ф. обращается в линейную функцию у =
= -~х4~~. Если а, Ь, с, d, x£J?, то график Д.-л.ф. является равнобочной
_	d а _
гиперболой с асимптотами х =----и у =— . Д.-л.ф. не имеет локальных экст-
с с
ремумов. Если a, b, с, d, х£С, то функция (*) осуществляет взаимно однознач-
ное конформное преобразование расширенной комплексной плоскости на себя.
При этом всякая прямая или окружность переходит в прямую или окруж-
ность. Суперпозиция двух Д.-л.ф. является Д.-л.ф., функция, обратная к
Д.-л.ф., является Д.-л.ф. Множество всех Д.-л.ф. относительно операции
суперпозиции является группой.
ДРОБЬ — выражение — , где а и b — выражения, содержащие числа или
переменные (Ь 0).
См. также: Бесконечная десятичная дродь. Систематическая дробь, Непре-
рывная дробь, Цепная дробь, Периодическая десятичная дробь.
ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА — синоним термина содружественные числа.
ДУГА — часть связной кривой, заключенная между двумя любыми ее
точками.
См. также: Простая дуга»
ДЮПЕНА ИНДИКАТРИСА	183
ДЮПЕНА ИНДИКАТРИСА —плоская кривая, которая наглядно дает
представление об искривлении поверхности в данной на ней точке.
Пусть от произвольной точки Р (и; ц) поверхности в каждом направле-
нии (du\ dv) отложен отрезок, равный -рг== , где k — кривизна нормального
сечения поверхности в том же направлении. Множество концов этих отрез-
ков называется Д.и. поверхности в точке Р.
В зависимости от типа точки, лежащей на поверхности, Д.и. в этой
точке может иметь различный вид: в эллиптической точке Д.и.— эллипс;
в гиперболической точке Д.и. — пара сопряженных гипербол; в параболи-
ческой точке Д.и. — пара параллельных прямых.
Д.и. называется также индикатрисой кривизны поверхности в точке Р.
Д.и. названа по имени французского инженера и математика Шарля Дю-
пена (ученика Г. Монжа), впервые применившего ее к изучению поверхности.
Лит.: [117].
е ЧИСЛО — одна из важнейших постоянных математического анализа;
е— lim fl + — • Этот предел и lim -  х = 1 часто называют за меч а-
п оо \ п /	О X
тельными пределами; е—число трансцендентное и приближенно равно
2,7182818284590452353. В математике и ее приложениях удобно рассматривать
логарифмы по основанию е, так называемые натуральные логарифмы. Среди
свойств, выгодно отличающих натуральные логарифмы от других логарифмов,
отметим формулу:
d In х _ 1
dx х ’
тогда как
d loga х _	1
dx x In a ’
что более сложно.
ЕВКЛИДА АЛГОРИТМ—метод для нахождения наибольшего общего де-
лителя двух целых чисел, а также двух многочленов от одного переменного.
Е.а. первоначально был изложен в «Началах» Евклида в геометрической форме
как способ нахождения общей меры двух отрезков. Е.а. для нахождения
наибольшего общего делителя как в кольце целых чисел, так и в кольце
многочленов от одного переменного является частным случаем некоего общего
алгориша в евклидовых кольцах.
Е.а. для целых чисел состоит в следующем. Пусть a, b£Z, причем а^Ь.
Разделим с остатком а на b—получим неполное частное и остаток rlt
такой, что < Ь. Затем разделим b на г± — получим неполное частное q2
и остаток г2> 0^г2<',1‘ Теперь разделим Гх на г2 и т. д. Получим це-
почку равенств:
a = ^i + ri (0< гх < b)t
^ = Г1^2 + Г2 (0^г2 < Г1)>
Г1 = г2^з + Гз(^^Г3<г2)>	/.ч
^-2 = ^-1^ + ^	< гп-1),
rn-l = rnQn + l~\- гп + 1 (гп + 1 = 0)>
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
185
в которой через конечное число шагов получается очередной остаток, рав-
ный нулю (г„ + 1 = 0), так как последовательность остатков является убываю-
щей последовательностью неотрицательных целых чисел:
Ь > гг > г2 > г3 > ... > гп > гп+1
и, значит, должна через конечное число шагов закончиться нулем. Тогда
наибольший общий делитель чисел а и b равен последнему отличному от
нуля остатку гп в схеме последовательного деления (*).
Пример. Найти наибольший общий делитель чисел 1981 и 378. Выпол-
няем последовательное деление:
1981=378.5 + 91,
378 = 91.4+14,
91 = 14-6 + 7,
14 = 7-2 + 0.
Последний отличный от 0 остаток 7 и есть наибольший общий делитель чи-
сел 1981 и 378.
Е.а. для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов
ZW и g(x) также состоит в последовательном делении с остатком f(x) на
g(x), затем g(x) на первый остаток г1(х), затем (х) на второй остаток
г2(х) и т. д.:
f(x) = g(x)q1 (x) + ri (х),
g(x) = r1(x)q2(x) + r2(x),
ri (х) = г2 (х)дя (х)Ч-Гз(х),
rn-2 W = гп-1 (х) qn (х) + Гп (х),
г п-i (x) = rn (x)qn+1 W + 0.
Так как степени остатков, являющихся натуральными числами, убывают,
то через конечное число шагов приходим к остатку, равному нулю. Послед-
ний отличный от нуля остаток гп(х) и является наибольшим общим дели-
телем многочленов f (х) и g (х).
Лит.: [24, 66, 72].
ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ —геометрия евклидова пространства. Многие
вопросы Е.г. изучаются в средней школе под названием «Элементарная гео-
метрия». Название Е.г. связано с тем, что первое систематическое ее по-
строение было изложено древнегреческим геометром Евклидом (III в. до н. э.)
в книге «Начала» (см. «Начала» Евклида).
На протяжении сотен лет (до XIX в.) Е.г. считалась единственной гео-
метрией, описывающей свойства реального (физического) пространства.
В XIX в. была детально разработана геометрия Лобачевского (см. Лоба-
чевского геометрия) и доказана ее непротиворечивость. Возникли многочис-
ленные новые геометрии, получившие название неевклидовых. Был сформу-
лирован принцип построения различных геометрий (см. Эрлангенская про-
грамма). Наконец, в свете идей А. Эйнштейна установился новый взгляд на
реальное физическое пространство, геометрия которого имеет весьма сложную
природу. При этом различные стороны этой геометрии с разных точек зре-
186
ЕВКЛИДОВО КОЛЬЦО
ния могут быть приближенно описаны теми или иными из упомянутых выше
геометрий.
См. также: Римановы геометрии.
Лит.: [60, 91].
ЕВКЛИДОВО КОЛЬЦО—целостное кольцо, в котором каждому ненулевому
элементу а сопоставлено целое неотрицательное число g(a) со следующими
двумя свойствами:
1. Для любых а 0 и b Ф 0 справедливо неравенство g (ab)^g(a)g 0).
2. (Алгоритм деления с остатком.) Для любых двух элементов а и Ь, где
а / 0, существуют элементы q и г, такие, что b = aq-]-r и g(r)<g(a) или
г = 0.
Элемент q называется неполным частным от деления (с остатком) b на а,
а г называется остатком от деления b на а (см. Остаток). В случае г = 0
говорят также, что Ь делится на а.
Всякое Е.к., имеющее единицу (см. Единица кольца), является кольцом
главных идеалов, и во всяком Е.к. имеет место Евклида алгоритм.
Примерами Е.к. могут служить кольцо целых чисел Z, где g(a) = |a[,
и кольцо многочленов Р [х] над полем Р, где g(a) — степень многочлена а.
Важным примером Е.к. служит кольцо целых гауссовых чисел, т. е. всех
комплексных чисел вида a=a + 6i, где a, b£Z. Здесь g(a) = a*+62-
Понятие Е.к. допускает обобщение и на случай некоммутативных колец.
Тогда нужно требовать существование как левого, так и правого алгоритмов
деления с остатком. Важным примером такого кольца является кольцо мно-
гочленов над телом.
Лит.: [24, 71].
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО. Пусть Е означает множество всех упо-
рядоченных наборов x(Xi; х2; ...; хп), состоящих из вещественных чисел
(точек). Такое множество называется арифметическим п-мерным пространст-
вом.
Функция
р(7, F) = J/S (х,—х')2,	(*)
определенная для любой пары точек х, х'£Е, называется евклидовой метри-
кой на Е. Значение функции р (х, х') называется расстоянием между точ-
ками х, х'. Метрика р (х, х') удовлетворяет условиям:
1.	р (х, х')^0 для любой пары х, х'^Е',
2.	р(х, х') = р(х', х) для любой пары х, х' g£;
3.	р(х, х') + Р (x'f х*)^р(х, х") (неравенство треугольника) для любой
тройки х, х', х*£Е;
4.	Если р(х, х') = 0, то х = х'.
Множество Е с функцией р вида (*) называется n-мерным евклидовым
пространством. Свойства 1—4 означают, что Е.п. является метрическим про-
странством.
При п = 3 Е.п. изоморфно (см. Изоморфизм) пространству, определяемому
аксиомами Евклида. При этом понятию «прямая», содержащемуся в аксиомах
ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР
187
Евклида, соответствует: «множество точек (xf, х2; х3), удовлетворяющих соот-
ношениям =	x2 = x°~t-tt, Хз — x^-^ct, где (xj; xg; х°)— точка в
E, а, Ь, с—три вещественных числа, одновременно не равных нулю, t — ве-
щественный параметр, —оо < t < оо, задающий точку на прямой».
Понятию «плоскость», содержащемуся в аксиомах Евклида, соответствует:
«множество точек (х^ х2; х3) Е.п., удовлетворяющих соотношению
Axi -j- Ех2 Сх3 -J- D = О,
где Л, В, С, £>£/?, из которых три первых Л, В, С не равны нулю одно-
временно».
Возможны и другие определения Е.п., эквивалентные вышеприведенному.
Термин «аксиомы Евклида» требует следующего уточнения. Система ак-
сиом, на базе которой Евклид построил геометрию (изучаемую теперь в сред-
ней школе под названием «Элементарная геометрия»), как установлено еще
в прошлом веке, является неполной. В связи с этим эта система аксиом была
значительно переработана. В настоящее время имеется несколько систем ак-
сиом, определяющих Е.п. и евклидову геометрию: аксиомы Д. Гильберта,
Г. Вейля, А. Н. Колмогорова и др. Так что «аксиомы Евклида» — собира-
тельный термин для обозначения системы аксиом Е.п.
Лит.: [91, 157].
ЕДИНИЦА ГРУППЫ —такой элемент е в группе, что ае = еа=а для
всякого элемента а из эгой группы. Е.г. есть в каждой группе, и притом
двух различных Е.г. в одной группе быть не может.
Лит.: [24, 66, 70].
ЕДИНИЦА КОЛЬЦА—такой элемент е в кольце, что ае = еа= а &ля вся-
кого элемента а из этого кольца. Е.к. имеется в кольце не всегда. Например,
в кольце многочленов над полем Р единица есть, а в кольце четных чисел
единицы нет. В поле единица есть всегда.
Лит.: [24, 71].
ЕДИНИЦА МНИМАЯ — комплексное число (см. Комплексное число) вида
(0; 1). Е.м. обозначается буквой i и представляет собой одно из двух реше-
ний уравнения ха4-1 = 0.
Впервые обозначение i для Е.м. встречается у Л. Эйлера (1777). Во все-
общее употребление это обозначение введено К. Гауссом.
ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА—квадратная матрица, в которой по главной
диагонали стоят единицы, а на всех остальных местах нули. Е.м. в кольце
матриц играет роль единицы кольца.
ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР — вектор, длина которого равна единице. Е.в,
иначе называется ортом.
См. также: Вектор.
ж
ЖЕНЕРАТРИСА—вышедшее из употребления название генератрисы.
ЖЕРГОНА ТОЧКА—точка пересечения прямых, проходящих через вер-
шины треугольника и точки касания его сторон, противолежащих вершинам,
с вписанной окружностью. Ж.т. названа по имени французского математика,
изучавшего ее, Ж. Жергона (1771—1859).
ЖОРДАНА КРИВАЯ — множество точек плоскости, задаваемое уравнени-
ями: х = /(/), y = g(t)> где функции f (/) и g (/) непрерывны, 0«С/«С1.Ж. к.
может иметь вид, совершенно не похожий на кривую в обычном представлении.
Так, Пеано построил Ж. к., проходящую через каждую точку квадрата (см.
Пеано кривая). Более короткое определение Ж. к.— непрерывный образ
отрезка. Задание кривой по Жордану есть один из возможных способов
определения кривой.
ЖОРДАНА МЕРА множества. Пусть дано подмножество А отрезка [а; 5]
действительной прямой. Разобьем отрезок [а; 6] точками а = х0 < хг < ... <хп = b
на п отрезков [x/-f, xj, (i=l, 2, ..., п). Обозначим через s сумму длин
всех отрезков, целиком лежащих в множестве Л, и через s' — сумму длин
всех отрезков, содержащих хотя бы одну точку множества А. Назовем внеш-
ней мерой по Жордану множества А (символически т* (Л)) нижнюю грань
значений суммы s' при всевозможных разбиениях отрезка. Назовем внутрен-
ней мерой по Жордану множества Л (символически /п* (Л)) верхнюю грань
значений суммы s при всевозможных разбиениях отрезка. Если для множе-
ства Л его внешняя и внутренняя меры совпадают, то множество Л называется
измеримым по Жордану, а общее значение /п* (Л) = /п* (Л) называется Ж. м.
множества Л (символически т (Л)).
Ж- м. легко обобщается с одномерного случая на двумерный, трехмер-
ный и т. д., что приводит к понятиям площади и объема. В этих случаях
вместо отрезков рассматриваются прямоугольники и параллелепипеды соот-
ветственно. Однако, несмотря на естественность конструкции Ж- м., она
оказалась недостаточной ввиду узости класса множеств, измеряемых по Жор-
дану. Например, легко показать, что множество всех рациональных точек
отрезка [я; 6] неизмеримо по Жордану. Более плодотворным оказалось по-
нятие меры, предложенное французским математиком А. Лебегом (см. Лебега
мера).
Лит.: [90, 143].
ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА—см. Нормальная жорданова форма.
3
ЗАДАЧА ПОТЕНОТА (Потенота —Снеллиуса задача) —одна из задач кон-
структивной геометрии, состоящая в следующем: найти на плоскости точку М,
из которой один из данных отрезков Л В, принадлежащий плоскости, виден
под углом а, а другой отрезок CD, принадлежащий той же плоскости, виден
под углом р.
3. П. названа по имени французского математика Л. Потенота, давшего
одно из геометрических решений этой задачи. Еще в начале XVII в. решение
3. П. было дано голландским ученым В. Снеллиусом. Частные решения 3. П.
были известны в XVI в. Известно свыше 100 решений этой задачи.
Лит.: [126, 100, 150].
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ—ряд теорем теории вероятностей, устанав-
ливающий устойчивость средних характеристик большого числа опытов, т. е.
приближения этих характеристик к некоторым постоянным величинам.
Наиболее известными 3. б. ч. являются закон Бернулли, теорема Чебы-
шева (см. Чебышева теорема), теорема Пуассона (см. Пуассона теорема).
Одной из глубоких теорем, относящихся к 3. б. ч., является закон повтор-
ного логарифма, открытый советским математиком А. Я. Хинчиным в 1924 г.
Лит.: [27, 139].
ЗАКОН КВАДРАТИЧНОЙ ВЗАИМНОСТИ — теорема, доказанная немецким
математиком К. Ф. Гауссом, утверждающая, что
/	\	<7-i , х
(!)=<’"! (!)•
где р, q — простые нечетные числа и	—символы Лежандра (см.
Лежандра символы).
Лит.: [19, 31].
ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА—теорема, утверждающая следую-
щее. Пусть задана схема п независимых испытаний Бернулли (см. Бернулли
схема), 0 < р < 1 — вероятность положительного исхода в одном испытании,
д=1— р, тп—случайная величина, равная количеству положительных исхо-
• тп—пр
дов в п испытаниях, тп =— -	*
У npQ
190
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
Тогда справедлива формула:
..	ГПп
lim sup------------ = 1.
п -* ®	--
(2 In Inn) 2
Это означает, что при X > 1 с вероятностью единица неравенство
1
тп > пр + 1 (2npq In In п)2	(♦)
осуществляется лишь конечное число раз, а при 1 < 1 с вероятностью еди-
ница неравенство (♦) окажется выполненным для бесконечного числа значений п.
3. п. л. является одним из самых тонких и глубоких результатов теории
вероятностей первой половины двадцатого столетия. Он был получен совет-
ским математиком А. Я. Хинчиным в 1924 г.
Лит.: [139J.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ в кратных интегралах. Вычисление кратных
интегралов иногда упрощается, если воспользоваться формулами 3. п.:
П “; Рх* *л) dxi dXi" 'dXn= И “/ Р[х’ уг' 	* * •
• ••> хп (уг, У......	11 (Ук .... Уп)\<1У1 dyt ... dyn, где
Xi = Xi(yi, уг; ...; уп), i=l, 2, .... п.	(»)
Функции (♦) задают отображение области Df в евклидовом пространстве пе-
ременных ^1, t/a, ».», уп в область D евклидова пространства переменных
Xi, х2, •••» хп* ? (Уъ	Уп)—якобиан преобразования (♦).
Особенно употребительны такие 3. п.:
1.	х = гсозф —переход к полярным, координатам rt <р; 7 (г, ф) = г$
y = r sin ф
2.	x = rcos<p —переход к цилиндрическим координатам г, ф, г\
у = гз1пф	7 (г, ф, z) = r;
3.	х = рз1п0со8ф—переход к сферическим координатам р, 0, ф;
у = рз1п0 81пф	7 (р, 0, ф)= р2 sin 0.
г = р cos ф
Пример. Вычисление объема шара х2 + у2 + z2*CR2:
п 2п R	л	R
sin 0 у р2 dp=y я/?3.
о о о	о о
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. В курсе математического анализа выво-
дятся следующие два 3. п.:
lim	и lim (1+—V=2,718281828459... =е.
, Эти пределы замечательны тем, что, пользуясь ими, можно очень просто
и легко находить численные значения бесконечного множества других преде-
лов, которые другими путями выводятся гораздо сложнее,
V
р2 sin 0dp = 2n
ЗАМЫКАНИЕ
191
Из первого 3. п., например, сразу вытекает эквивалентность друг другу
следующих бесконечно малых: ах, sin ах, tg ах, arcsin ах, arctg ах, т. е. пре-
делы отношений любых двух из этих функций при х —► 0 будут равны единице.
Из второго 3. п. также непосредственно получаются, например, следую-
щие пределы:
1	1 д
lim (1 + х)х =е, lim -V = e-1, lim (1 + ax)bx = eb и т. д.
x->0	х->оо\1т*/	x-> 0
См. Предел функции, Предел последовательности чисел, е число,
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ в треугольнике —это следующие четыре
точки в треугольнике, сохранившие еще по традиции название «замечательных»:
1) центр описанной около треугольника окружности—точка пересечения
серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; 2) центр вписанной
в треугольник окружности—точка пересечения биссектрис его; 3) ортоцентр
треугольника — точка пересечения высот его; 4) центроид треугольника —
точка пересечения медиан его; центроид треугольника также называется цент-
ром масс треугольника.
Точки пересечения медиан и биссектрис треугольника всегда лежат внутри
треугольника, а точки пересечения высот и серединных перпендикуляров
к сторонам треугольника могут лежать как внутри треугольника, так и вне
его и на сторонах треугольника. Центроид треугольника делит каждую ме-
диану на отрезки, отношение длин которых (считая отрезки от основания
медианы) равно 1:2.
Кроме указанных «замечательных» точек в треугольнике, имеется еще
множество других «специальных» точек, связанных с треугольником и назва-
ние которых отражает имя математика, изучавшего эти точки: Торричелли
точка, Жергона точка и др.
ЗАМКНУТОЕ МНОЖЕСТВО. Множество М называется замкнутым в со-
держащем его топологическом пространстве А, если всякая точка а£А,
являющаяся предельной точкой множества Л1, принадлежит М. Эквивалент-
ное определение: М замкнуто, если его дополнение (см. Дополнительное мно-
жество) открыто. При рассмотрении множества М точек на прямой (на плос-
кости, в пространстве) под топологическим пространством А, содержащим М,
подразумевается сама прямая (плоскость, пространство), и это обстоятель-
ство обычно не оговаривается.
Примеры. 1) Отрезок [а; числовой прямой является 3. м; 2) всякое
конечное множество точек плоскости является 3. м; 3) множество точек на
плоскости, состоящее из точек кривой r/ = sin-^-, 0 <х^1 и точек отрезка
—х = 0, лежащего на оси Оу, является 3. м; 4) интервал ]а; Ь[
числовой прямой не является 3. м.
ЗАМЫКАНИЕ множества Е—множество Е, объединенное со своим произ-
водным множеством Е'. Если 3. м. Е обозначить через Е, то по определе-
нию Е = Е[)Е'. Другими словами, 3. м. Е—множество Е, полученное при-
соединением к множеству Е всех его предельных точек, или 3. м. Е есть
пересечение всех замкнутых множеств, содержащих Е, 3. м. является замкну-
тым множеством.
192
ЗАОСТРЕНИЯ ТОЧКА
Операцию 3. м. можно определить и аксиоматически как сопоставление
всякому подмножеству Е множества / некоторого нового подмножества В
(3. м. Е), удовлетворяющего трем требованиям: 1) ~Б ID Е (экстенсивность);
2)	Е = Е (идемпотентность); 3) из ЕэК следует Е ZD К (изотоп ность).
Лит.: [90, 143].
ЗАОСТРЕНИЯ ТОЧКА—то же, что возврата точка.
ЗВЕНО НЕПРЕРЫВНОЙ ДРОБИ
< ak
— дробь ~ в разложении
непрерывной дроби. Дробь	называется звеном /г-го порядка непре-
рывной дроби, которую можно написать так:
Яо4
Qi
62 4-
или кратко
См. Непрерывная дробь.
ЗЕРКАЛЬНОЕ ОТРАЖЕНИЕ от прямой на плоскости (от плоскости
в пространстве) — синоним термина симметрия относительно этой прямой на
плоскости (относительно плоскости в пространстве). 3. о. от прямой на пло-
скости называется также осевой симметрией на плоскости.
См. также: Осевая симметрия, Центральная симметрия, Поворот, Пере-
мещение, Отображение.
ЗНАКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ—условные обозначения (символы) различ-
ных математических понятий (операций, функций, отношений и др.). Для
некоторых 3. м. существует' общепринятая символика как в нашей стране,
так и за рубежом; однако все еще существует разнобой как у нас, так и за
рубежом в символике одних и тех же понятий. Так, во всех европейских
странах отношение длины окружности к длине диаметра, как и у нас в стране,
обозначают символом л (греч. буква «пи»).‘ Логика обозначения функции,
обратной синусу, не поддается строгому объяснению: в нашей стране эта
функция обозначается arcsin х, англичане же эту функцию обозначают sin”1*
(в этом есть тоже определенный резон, так как функция, обратная функции f,
обозначается символом f”1).
k
Сумму конечного числа слагаемых обозначают знаком 2 а бесконеч-
о=1
ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЙ РЯД
193
00	/
кого числа слагаемых в виде 2 ап ( иногда встречаются обозначения и такие:
л= 1	\
k ®	\
и 2 ) •
О роли 3. м. великий русский математик Н. И. Лобачевский писал:
«Подобно тому как дар слова обогащает нас мнениями других, так язык
математических знаков служит средством еще более совершенным, более точ-
ным и ясным, чтобы один передавал другому понятия, которые он приобрел,
истину, которую он постигнул, и зависимость между всеми частями, которую
он открыл...» (Н. И. Лобачевский. Наставление учителям математики
в гимназиях).
Удачно выбранные 3. м. могут содействовать развитию той или иной
отрасли математических знаний; так» тензорное исчисление в XIX в. получило
успешное развитие благодаря удачно созданной символике. 3. м. прошли
довольно длительную и сложную историю своего развития, прежде чем они
приняли современный вид.
Знаки в математике в основном подразделяются на три группы:
1)	знаки математических объектов;
2)	знаки различных операций;
3)	знаки всевозможных отношений.
Приведем несколько примеров.
1.	Точки обычно обозначаются прописными буквами латинского алфавита
Л, В, С, ... или иногда цифрами 1, 2, 3, ..*; прямые, проходящие через
две какие-либо точки, обозначаются так: (ЛВ), (ВС), ... или (12), (23), ...
или обозначаются строчными буквами латинского алфавита a, Ь, .... От-
резки ЛВ и CD обозначаются в школьном курсе математики так: [ЛВ], [CD],
а длины этих отрезков—| АВ |, | CD |.
2.	3. м. операций (действий): + и — (сложение и вычитание) были
введены немецкими математиками в конце XV в.; 3. м. • и : (умножение и
деление) ввел Г. Лейбниц (1698); 3. м. а, а2, а3, ... (степени) введены Р. Де-
картом (1637), 3. м. V, у/\ ... (корни) введены X. Рудольфом (1525) и
А. Жираром (1629); 3. м. Log—И. Кеплером (1624), log—Б. Кавальери (1632);
знаки тригонометрических функций sin, cos, tg—Эйлером (1753); 3. м.1 (фак-
ториал)—^. Крампом (1808); 3. м. dx, ddx, J у dx (дифференциалы и
интеграл)—Г. Лейбницем (1675; в печати появились в 1684); 3. м. |х|
(модуль)— Вейерштрассом (1841).
3.	3. м. отношений: = (равенство) введено Ф. Рекордом (1557); >, <
(больше, меньше) — Т. Гарриотом (1631); || (отношение параллельности) —
У. Оутредом (1677); | (знак отношения перпендикулярности)—П. Эригоном.
Это все 3. м. бинарных отношений. 3. м. £ (принадлежности элемента мно-
жеству; сокращение греческого слова ебл—быть) введен итальянским мате-
матиком и логиком Джузеппе Пеано (1858—1922).
См. также: Конъюнкция, Дизъюнкция, Импликация, Эквивалентные ут-
верждения, Конгруэнтность.
ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЙ РЯД—числовой ряд, члены которого имеют как
7 № 765
194
ЗНАКОПОСТОЯННЫЙ РЯД
положительные, так и отрицательные знаки. 3. р. противопоставляется поня-
тию знакопостоянного ряда —ряда, у которого все члены имеют одинаковые
знаки. Частным случаем 3. р. является знакочередующийся ряд.
ЗНАКОПОСТОЯННЫЙ РЯД—числовой ряд, в котором все члены имеют
один и тот же знак, т. е. либо все положительны, либо все отрицательны.
Термин 3. р. является антонимом к знакопеременному ряду.
ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЙСЯ РЯД —знакопеременный ряд, члены которого
попеременно (поочередно) положительны и отрицательны, т. е. это ряд:
«1—«г+иц— •* + (—1)"'4+”‘>
где числа щ положительны.
3. р. сходится (признак Лейбница), если ип—>0 при п—► оо и члены
его монотонно убывают по абсолютному значению (| ип+11 < | ип |). Например,
3. р. 1 —	сходится к 1п 2;	(1)
Л	О	4
3. р. 1—т+4—сходится к(2)
О	и	/	Ч
Остаток сходящегося 3. р. гл = (—1)л ил + 1+.». меньше первого
члена ип + 1 (первого из отброшенных членов) и имеет знак этого члена. Это
свойство используется при приближенном вычислении суммы 3. р.
Например, сумма трех первых членов в первом из приведенных примеров
(1	1	5 \
S3= 1 —] будет отличаться от суммы этого ряда (S = 1п 2) меньше,
2	о	о )
чем на первый из отброшенных членов, т. е. меньше, чем на . Следова-
5
тельно, — — приближенное значение этого ряда, взятое с избытком (гп < 0).
ЗНАМЕНАТЕЛЬ: 1°. 3. дроби p{q— число или выражение q.
2°. 3. геометрической прогрессии — постоянное число q, не равное нулю,
на которое умножаются члены прогрессии, так что каждый член геометри-
ческой прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему члену, умно-
женному на это число q 0.
См. также: Дробь, Геометрическая прогрессия, Алгебраическое выражение.
ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ числа, записанного в виде десятичной дроби, — все
его цифры, начиная с первой слева, отличной от нуля цифры. Так, для чисел
3,240; 0,0372 3. ц. будут соответственно 3, 2, 4, 0 и 3; 7; 2. Числа 13,7;
1,37; 0,137; 0,0137 имеют одни и те же 3. ц.: 1, 3 и 7.
Значащие цифры натурального числа—это все его цифры (знаки).
Число 3. ц. числа, представленного в десятичной записи, или натураль-
ного числа называется значностью этого числа.
См. также: Погрешность, Округление (действительного положительного
числа).
ЗНАЧНОСТЬ ЧИСЛА — число значащих цифр этого числа.
См. также: Значащие цифры, Погрешность, Скругление (действительного
положительного числа).
ЗОЛОТОЕ ДЕЛЕНИЕ отрезка (длины отрезка)—деление длины отрезка
на две части так, что большая из них есть среднее геометрическое между
меньшей частью (ее длиной) и длиной всего отрезка. Если а—длина всего
ЗОНА
195
отрезка, х—длина большей его части, то 3. д. отрезка можно записать в виде
пропорции: а:х = х:(а—х) (рис. 53).
Упомянутую пропорцию запишем в виде уравнения х2-}-ах—а2 = 0, решая
которое найдем длину большего из отрезков х=-^ (V 5—0 « 0,62а (с точ-
ностью до 0,01а). С помощью циркуля и линейки строят его таким образом:
через точку В отрезка АВ, конгруэнтного данному отрезку длины а (см.
рис. 53), проводят перпендикуляр [ВС] длиной
у	ВС| = —^ ; затем проводят отрезок АС и
откладывают отрезок CD, конгруэнтный отрезку
ВС. Тогда отрезок АЕ, конгруэнтный отрезку
AD, будет искомым отрезком х. 3. д. отрезка
было известно еще в древности; так, в книге II Д
«Начал» Евклида имеется построение, равносиль-
С
Рис. 53
ное решению рассмотренного выше уравнения;
в книгах IV и XIV «Начал» Евклида 3. д. отрез-
ка применяется для построения правильных пяти- и десятиугольников.
В стереометрии 3. д. Евклид использует для построения правильных двенад-
цати- и двадцатигранников.
3. д. отрезка некоторые авторы называли «божественной пропорцией».
3. д. отрезка называется также золотым сечением его, а иногда делением
отрезка в крайнем и среднем отношении, а также гармоническим делением
(этот термин менее удачен).
Лит.: [101].
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ отрезка — синоним термина золотое деление отрезка.
ЗОНА—синоним термина шаровой пояс.
и
ИДЕАЛ — важное понятие теории колец. Подкольцо А кольца R называется
левым И., если для любых а£А и r£R элемент га£А, т. е. левый И. содер-
жит все «левые кратные» своих элементов.
Аналогично определяется правый И. как подкольцо А., содержащее вместе
с любым из своих элементов все его «правые кратные» аг для любого r£R.
Подкольцо А, являющееся одновременно н левым и правым И., называется
двусторонним И. или просто И. Ясно, что если кольцо R коммутативно, то
понятия левого И., правого И. и двустороннего И. совпадают.
Например, в кольце целых чисел подкольцо четных чисел является И.
В кольце непрерывных на отрезке [0; 1] функций множество функций f (х)
таких, что f (0) = 0 образуют И.
Лит.: [24, 71].
ИДЕМПОТЕНТ — элемент е группоида или кольца, удовлетворяющий соот-
ношению ее — е, т. е. закону идемпотентности (см. Идемпотентностъ).
ИДЕМПОТЕНТНОСТЬ — свойство, которому может удовлетворять б)ипар-
ная операция. Если бинарную операцию записывать как умножение, то за-
кон И. имеет вид: аа — а.
Примерами операций, удовлетворяющих закону И., могут служить пере-
сечение множеств и объединение множеств, а также конъюнкция и дизъюнкция
высказываний. В структуре обе операции идемпотентны. Примерами операций,
не удовлетворяющих закону И., могут служить сложение и умножение чисел.
ИЗБЫТОК СФЕРИЧЕСКОГО треугольника (или избыток треугольника) —
число а+Р + у—л, т. е. разность между суммой величин углов, выраженных
в радианах, сферического треугольника и суммой величин углов треугольника
на евклидовой плоскости, выраженных также в радианах. И. с. треугольника
называют также эксцессом этого треугольника.
См. также: Сферический треугольник, Сферическая геометрия, Сфериче-
ский двуугольник, Сфера, Сфероид.
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ — операция, обратная возведению в степень и со-
стоящая в том, что "по данной степени и по данному ее натуральному пока-
зателю ищется основание степени, т. е. решается уравнение хп — а. Извлечь
корень л-й степени из числа а—значит найти такое число х, п-я степень
которого равна а. Если И. к. л-й степени из числа а рассматривают в поле
комплексных чисел, то в результате получают ровно л различных значений.
ИЗМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ
197
Если а^О, то под корнем п-й степени из числа а часто понимают не-
отрицательное значение корня, т. е. арифметический корень.
Всякий арифметический корень л-й степени (n£2V, п > 1) из числа
k£N, не являющегося n-й степенью другого натурального числа, есть число
иррациональное.
При нахождении арифметических корней (квадратных, кубичных) часто
используют их рациональные приближения, в частности таблицы корней,
счетные (логарифмические) линейки, приближенные формулы, разложения
в биномиальные ряды, номограммы и другие алгоритмы.
Лат.: radix — корень.
См. также: Кубическая парабола, Г рафик функции, Логарифмирование,
Степенная функция.
ИЗГИБАНИЕ поверхности — преобразование поверхности, при котором
сохраняется линейный элемент поверхности. Другими словами, И. п. есть
такое преобразование поверхности, при котором длины всех кривых этой
поверхности остаются неизменными.
Простейшим примером И. является наложение куска плоскости на по-
верхность цилиндра или конуса. Название И. поверхности связано с нагляд-
ным представлением о поверхности как о гибкой, несжимаемой и нерастяжи-
мой пленке.
Поверхности, которые с помощью И. могут быть преобразованы в кусок
плоскости, называются развертывающимися поверхностями.
Свойства поверхности, не меняющиеся при И., составляют внутреннюю
геометрию поверхности.
Лит.: [117].
ИЗМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ (вариация функции) — важная характеристика
функции действительного переменного. И. ф. f на отрезке [а; &] обозначается
С	п
V%f или \df | и означает верхнюю грань суммы: 2 If (Xi)—f (*<-1)|, Т. е.
а	«=1
l^ = sup 2 If (Xi)-f (Xi-,)},
Г=1
где а = х0 < Xi< < xn-t < xn = b при всевозможных разбиениях отрезка,
на любое конечное число частей. Геометрический смысл Vbaf, если f непре-
рывна, состоит в том, что Vbf равняется длине проекции графика y — f(x)
на ось ординат, считая кратность покрытия. Существуют непрерывные функ-
ции, И. ф. которых бесконечно. Так, функция
( . 1
I xsin — при х О,
У ।	%
V 0 при х = 0
обладает указанным свойством на [0; 1]. Класс функций, обладающих конеч-
ным изменением, обладает многими интересными свойствами и часто рассма-
тривается в теории тригонометрических рядов, геометрии и функциональном
анализе.
198
ИЗМЕРЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА
Лит.: [89, 143].
ИЗМЕРЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА—см. Степень многочлена.
ИЗМЕРЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ ФУНКЦИИ Дх, у. г, ..., /), удовлетвори-
ющей равенству:
f (Хх, ку, kzt iti, kt) = knf (хЛ у, г, /).
где 1£J?, X 5^ О, есть число п. И. о. ф. называется также степенью однород-
ности этой функции. Например, И. о. ф. f (х, у) = х2—Зху + у2 равно 2;
И. о. ф. f (х, У) = ^Гу равно 0.
ИЗМЕРЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА—см. Степень одночлена.
ИЗМЕРЕНИЕ РАДИАННОЕ величины угла — см. Радиан,
См. также: Градус, Стерадиан.
ИЗМЕРИМАЯ ФУНКЦИЯ—функция f (xlt х2, ...,хп) такая, что мно-
жество всех точек с координатами х^, х2, .,.,хп, удовлетворяющих неравен-
ству f (xj, х2, ...» хи)^Л4, измеримо при любом М (см. Измеримое мно-
жество). Пример неизмеримой функции строится довольно сложно.
Лит.: [89, 143].
ИЗМЕРИМОЕ МНОЖЕСТВО — множество, имеющее меру в смысле Лебега
Рис. 54
(см. Лебега мера). Всякое замкнутое или
открытое ограниченное множество являет-
ся И. м. Иногда измеримость множества А
символически обозначают так: A (L).
ИЗОБРАЖЕНИЕ — см. Операционное ис-
числение, чертеж.
ИЗОГОНАЛЬНАЯ ТРАЕКТОРИЯ дан-
ного семейства линий—линия, пересекаю-
щая все линии данного семейства под од-
ним и тем же углом а. Если а = 90°, то
И. т. называется ортогональной. Ортого-
нальной траекторией пучка прямых у — kx
будет любая окружность х2Ц-//2 = г2 в де-
картовой прямоугольной системе координат
(рис. 54, а), И. т. пучка прямых у = kx
будут логарифмические спирали р = в
полярной системе координат (рпс. 54, б).
См. также: Локсодрома, Софокусные
кривые.
Греч.: ioog — равный, одинаковый и
yovta—угол.
ИЗОКЛИНА — кривая на плоскости
переменных х, у, в каждой точке которой
правая часть дифференциального уравне-
ния
У' = f(x, у)
(*)
ИЗОМОРФИЗМ
199
принимает постоянное (произвольное, но фиксированное) значение С. Иначе
говоря, И.— линия, уравнение которой имеет вид /(х; у) = С (♦). Интеграль-
ные кривые дифференциального уравнения (♦), пересекающие данную И.
в различных точках, образуют в точках пересечения с И. постоянный угол а
с положительным направлением оси х, такой, что tga=C.
Построение И. уравнения (♦) для достаточно частого множества значе-
ний С позволяет наглядно представить поведение интегральных кривых урав-
нения (*) и потому применяется при графическом решении уравнений такого
типа.
Греч.: 1сю$—равный, xtavo—наклоняю.
ИЗОЛИРОВАННАЯ ТОЧКА множества в топологическом пространстве —
такая точка, у которой существует окрестность^ не содержащая других точек
этого множества. В геомегрин рассматриваются И. т. кривой или поверхности.
Например, точка (0; 0) является И. т. кривой #а = х*—4ха.
ИЗОМЕТРИЯ — отображение f:Mi—> М2 метрического пространства Mt
на метрическое пространство М2, сохраняющее расстояния между точками.
Частными случаями И. являются изгибание поверхности, ортогональное пре-
образование евклидова пространства, перемещения плоскости.
ИЗОМОРФИЗМ — одно из важнейших понятий современной математики,
возникшее первоначально в теории групп и вообще в алгебре (кольца, поля
и т. д.), а затем перенесенное в математическую логику, общую теорию
алгебраических систем и другие разделы математики. Сначала определим по-
нятие И. для групп. Две группы G и G' называются изоморфными, если между
их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие (p:g—► £',
такое, что равенство а*Ь = с в группе G выполняется тогда и только тогда,
когда в группе (7 выполнено равенство а' * Ь’ — с?. А само взаимно однознач-
ное соответствие (или отображение) ср в этом случае называется И. между
группами G и G'. Заметим, что при И. групп единице группы G соответствует
единица группы G', а обратный элемент соответствует обратному, т. е.
(а-1)'= (я')~Ч Таким образом, с точки зрения изучения свойств групповой
операции изоморфные группы одинаковы. Термин И. происходит от грече-
ских слов toog — равный, одинаковый, подобный и рорсрт]— вид, форма.
В общем случае И. определяется для алгебраических систем. Пусть даны
две алгебраические системы 21 = <А, Qp, Qp} и 2Г = <А', Qf> Qp> и сущест-
вует взаимно однозначное соответствие ср между элементами носителей А и Д',
множествами операций Q/? и Qf и множествами предикатов Qp и Qp, сохра-
няющее арности операций и предикатов. Взаимно однозначное соответствие ф
называется И. между алгебраическими системами 21 и 2Г тогда и только то-
гда, когда для любых F/gQp, P/gQp, а1г а2. >..,ат.£А, аъ а2, ат^А
и им соответствующих по (р FJ^Qf, Pj^Qp, Щ, а\, ...» a’m.£Af, a'lt d2, ...
..., umC А' выполняется соотношение F; (аъ a2, ...» am.) = Ft (ai, a2, ...» am.)
и предикаты Pj (Qi* a2t ..., amj) и P'.d2, a'm^ верны или неверны
одновременно.
Частный случай И., когда 21 = 21', т. е. когда ф отображает алгебраи-
ческую систему 21 на себя, называется автоморфизмом.
200
ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
Лит.: [71, 85].
ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА—одна из основных задач вариаци-
онного исчисления, заключающаяся в следующем: среди всех кривых данной
длины найти ту, для которой некоторая величина, зависящая от кривой,
имеет максимальное или минимальное значение.
Например, среди всех замкнутых плоских кривых данной длины (одина-
кового периметра) найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь.
Решением этой задачи является окружность.
Лит.: [75, 156].
ИЗОТРОПНАЯ ПРЯМАЯ —прямая псевдоевклидова пространства, направ-
ляющий вектор которой имеет нулевую длину.
Пример. В 4-мерном псевдоевклидовом пространстве, точками которого
являются упорядоченные четверки вещественных чисел (xf, х2; хз> х4), а
псевдоевклидова метрика (квадрат длины вектора (хх; х2; х3; х4)) определена
квадратичной формой — Xi + x2 + x3 + x4; всякая прямая с уравнением
о	о	о	о
*1 —*1 Х2—Х2 Х3 — Хз Ха — XI	т.
—-----=—-----=—------=—------- является И. п., если выполнено условие
Pi Рз Рз Pl
—Р1+Р2 + Рз + Р4 = 0. Здесь (х?; х2\ х3; х4)—точка рассматриваемого прост-
ранства, а (рх; р2; р3; р4)— ненулевой вектор. Все И. п., проходящие через
начало координат этого пространства, принадлежат изотропному конусу,
уравнение которого—х? + xl + х3 + xj = 0.
ИКОСАЭДР: 1°. И.— двадцатигранник.
2°. И. правильный — правильный двадцатигранник, гранями которого
являются правильные треугольники. И. правильный имеет 12 вершин, 30 ре-
бер, сходящихся по 5 в каждой вершине. И. правильный двойствен (дуален)
правильному додекаэдру и получается из него, если центры граней правиль-
ного додекаэдра принять за вершины правильного И. Рисунок правильного И.
помещен в тексте, поясняющем термин «правильный многогранник». Пра-
вильный И.— один из пяти правильных многогранников геометрии Евклида.
Греч.: eixooi—двадцать, ебра—грань, основание.
См. также: Додекаэдр, Двойственности принцип, Правильный много-
гранник.
ИМПЛИКАЦИЯ— бинарная операция над высказываниями в исчислении
высказываний (см. Высказываний исчисление). Если А и В—произвольные
высказывания, то их И. называется новое высказывание А —► В, где —►
знак И., истинность которого зависит от истинности высказываний А и В.
Эта зависимость выражается для И. следующей таблицей, в которой истин-
ность обозначена буквой и, а ложность—буквой л\
А	В		t
и и л л	и л и л		и Л и и
ИНВАРИАНТ
201
Таким образом, И. ложна в том и только в том случае, когда А истинно,
а В ложно. В остальных случаях И. истинна.
И. возникла как формализация и аналогия языкового выражения «если А,
то В» или «из А следует В». Ясно при этом, что роль членов А и В, участ-
вующих в формировании И., различна. Первый член А И. А—>В называют
антецедентом, а второй ее член В называют консеквентом.
Термин происходит от латинского implicate—тесно связываю. Для обо-
значения И. наряду с символом —► часто используют и другие, например
=> или Z).
ИНВАРИАНТ. Многие математические объекты определяются в каждой
системе координат пространства набором чисел, называемых координатами
объекта. Так, кривая второго порядка определяется своими коэффициентами,
линейное преобразование — элементами матрицы линейного преобразова-
ния и т. д.
Координаты математического объекта изменяются при переходе от одной
системы координат пространства к другой. Однако некоторые функции от
координат математического объекта не меняются при изменении системы
координат в пространстве. Такие функции называются И. (относительно раз-
личных выборов системы координат пространства). Полезно также рассматри-
вать функции от координат объекта, которые не изменяются лишь при неко-
торых преобразованиях системы координат пространства (обычно образующих
группу преобразований). Такие функции называют И. относительно этой группы
преобразований.
Примеры.
1. Функция x2 + */2 + z2 есть И. относительно всех ортогональных пре-
образований систем координат трехмерного пространства; здесь х, у, г —
координаты вектора в этом пространстве.
2. И. линейного преобразования L л-мерного векторного (линейного)
пространства относительно всех невырожденных линейных преобразований
являются коэффициенты многочлена от переменного %
det| А —Х£|.
Здесь
<Яц а12 ...
°21 °22 • • • а2п
ап2 ••• аПП‘
матрица линейного преобразования в некотором базисе, Е—единичная ма-
трица, det означает определитель.
В частности, И. являются функции ац + 022 4- • • • -\~апп и det А. Это
значит, что
0ц + 022+ • * • ~\~ппп— лц -4-^22+ . * • +ялп, det А = det А'
202
ИНВЕРСИЯ
для матрицы
/ Дц 012 ... Сщ
А' = I 021 022 • * * 02и
\Ofll 0/12 . » * 0/1/Z
линейного преобразования L в любом другом базисе пространства.
В более общем смысле понятие И. употребляется в следующей ситуации.
Рассматривают множества с заданной в них структурой и отображения одного
множества в другое, сохраняющие эту структуру. Если в каждом из таких
множеств X задан некоторый объект А (X, S) (зависящий от структуры S)
и отображения f:X —► X' переводят А (X, S) в А (X', S'), то объект А (X, S)
называется И. структуры.
Примеры. Пусть {X} — некоторое множество гомеоморфных (см. Гомео-
морфизм) друг другу топологических пространств, а отображения этих
пространств друг на друга являются гомеоморфизмами. Тогда числа Бетти
(см. Бетти числа), группы Бетти (см. Бетти группа) являются И. тополо-
гической структуры.
Числа Бетти и группы Бетти являются также И. гомотопическою типа,
т. е. И. соответствующей структуры.
Пусть {X}—множество сопряженных подгрупп некоторой конечной
группы G. Тогда порядок подгрупп есть И. групповой структуры этих под-
групп относительно преобразований X—► gXg-1; здесь X—подгруппа из
множества {X}, a g—произвольный элемент группы G.
Лит.: [26].
ИНВЕРСИЯ: Г. И. относительно данной окружности (О; г), где О—центр,
г—радиус окружности — отображение плоскости этой окружности е исклю-
ченной точкой О на себя, при котором всякая точка М =£ О отображается
в точку М' так, что при этом выполняются условия: 1) точка М' принадле-
жит лучу ОМ; 2) произведение длин отрезков ОМ и ОМ' равно г2, т. е.
| ОМ | -| ОМ' | = г2. Окружность (О; г) при этом называется базисной окруж-
ностью или окружностью И., точка О—центром или полюсом И., число г2
(квадрат длины радиуса базисной окружности)—коэффициентом или степенью И.
Положив г =1, получим | ОМ | = или Р = “7» откуда происходит
другое название И.: преобразование обратными радиус-векторами.
Упомянутая И. называется часто гиперболической. Если же точки М и
М' принадлежат противоположным лучам с началом в точке О, то такую И.
называют эллиптической.
Укажем простейшие свойства И.: 1) И. есть взаимно однозначное отображе-
ние плоскости с удаленной точкой О на себя; 2) всякая внутренняя точка
окружности (О; г), кроме точки О, отображается во внешнюю точку; при этом,
чем дальше отстоит от центра точка М, тем ближе к центру находится ее
образ М'; 3) прямая, проходящая через центр И., отображается в себя;
4) окружность И. отображается на себя, т. е. окружность И. есть множество
двойных точек плоскости; 5) всякая прямая, не проходящая через центр,
ИНВОЛЮЦИОННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
203
отображается на окружность, проходящую через центр (при этом точка О
исключается из окружности); справедливо и обратное утверждение: всякая
окружность, проходящая через центр, отображается на прямую, не прохо-
дящую через центр; 6) всякая окружность, не проходящая через центр, отоб-
ражается на окружность, также не проходящую через центр; при этом центры
взаимно инверсных окружностей не являются соответственными точками
в заданной И., что имеет место, например, при гомотетии окружности;
7) И. есть конформное преобразование 2-го рода, т. е. в И. сохраняются
углы между линиями, но ориентация фигур не сохраняется (изменяется на
противоположную); 8) всякая окружность, ортогональная к окружности И.,
отображается на себя, хотя точки этой окружности не являются двойными,
за исключением только двух точек пересечения этой окружности с окружностью
И.; 9) И. есть инволюция точек плоскости, подобно тому как осевая симмет-
рия есть инволюция плоскости.
В силу определения И. и ее свойства 9) И. называют зеркальным ото-
бражением относительно окружности.
Отображение И. используется при решении ряда конструктивных задач,
особенно тех из них, где рассматривается вопрос о касании окружностей
(см. Аполлония задача). И. применяется в теории функций комплексного пере-
менного, в основаниях геометрии (при изучении вопроса непротиворечивости
геометрии Лобачевского на модели А. Пуанкаре).
Если вместо окружности (О; г) взять сферу (0\ г), то аналогично можно
определить И. пространства.
Фигуры Ф и Ф', соответственные в заданной И., называются взаимно
инверсными. Отображение фигуры Ф на фигуру Ф' в И. называется также
инвертированием фигуры Ф на фигуру Ф'.
2°. И. в комбинаторике—всякое нарушение нормального {обычного, алфа-
витного) порядка двух элементов независимо от того, стоят ли они рядом или
нет в некоторой перестановке. Например, в перестановке Ъса элементы b и
а, с и а образуют И., если нормальное расположение элементов считать abc.
Лат.: inversio—перестановка, превращение {беспорядок),
ИНВЕРСОР—прибор, позволяющий строить
фигуру, инверсную данной в заданной инверсии. Су-
ществует ряд различных конструкций И. Так, ин-
версор Поселье состоит из 6 стержней, соединен-
ных шарнирно (рис. 55); при этом отрезки О А	Jf
и ОВ конгруэнтны и четырехугольник АМВМ'—
ромб, точка О—неподвижная точка—центр ин- О	В
версии. Если точка М описывает какую-либо	рИСа 55
фигуру Ф, то точка М' будет описывать инвер-
сную фигуру Ф' в инверсии с центром в точке О и коэффициентом инверсии,
равным числу | О А |а—| ОМ |2.
И. находит применение в технике для превращения кругового движения
в прямолинейное.
См. также: Инверсия, Планиметр, Биссектор.
ИНВОЛЮТА КРИВОЙ—см. Эвольвента кривой.
ИНВОЛЮЦИОННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ—то же, что и инволюция.
204
инволюция
ИНВОЛЮЦИЯ — преобразование / множества М в себя такое, что /2 = Е,
где Е— тождественное преобразование множества Л4. Другими словами, И.
/: М—► М характеризуется условием 1(1 (х)) = х для всех х£М.
Примеры И.: 1) комплексное сопряжение (см. Комплексно-сопряжен-
ные числа) чисел комплексной плоскости; 2) симметрия евклидова простран-
ства; 3) инверсия плоскости относительно окружности.
ИНДЕКС—числовой, буквенный или иной значок, с помощью которого
отличают выражения, обозначаемые одинаковыми буквами (символами). Раз-
личают нижние (подстрочные) И., например: х0, xlt га и т. д., и верхние
(надстрочные) индексы, например: х+, х~, х*, х7 и т. д.
Термин происходит от латинского index—указатель.
ИНДЕКС ПОДГРУППЫ в теории групп (см. Группа)—число различных
смежных классов по этой подгруппе. Например, в группе всех подстановок п
символов множество всех четных подстановок образует подгруппу И. два.
ИНДЕКСЫ в теории чисел—числа, играющие при решении сравнений
роль, аналогичную роли логарифмов при решении показательных уравнений.
Если р — простое нечетное число и g—первообразный корень по модулю р,
то И. числа а называется такое число & = inda, что a = g*(modp).
Свойства И.:
ind ab=a ind a-J-ind b (mod p—1),
ind ^y^ ind a— ind b (mod p—1),
где у'понимают как решение сравнения bx = a(mod р), аналогичны свой-
ствам логарифмов.
С помощью И. решение двучленного сравнения axn^b (mod р) я-й сте-
пени сводится к решению линейного сравнения ind a + л ind х^= ind b (mod p).
Для практического использования И. для них составлены таблицы.
Термин И. в теории чисел введен немецким математиком К. Гауссом
в работе «Арифметические исследования» (1801). В этой же работе им состав-
лена первая таблица И. для простых чисел до 89. Более обширную таблицу
И. для всех простых чисел первой тысячи составил в 1839 г. немецкий мате-
матик К. Якоби.
ИНДУКЦИЯ — форма мышления, посредством которой мысль наводится
на какое-либо общее утверждение или положение, присущее всем единичным
предметам определенной совокупности. И. часто используется в сочетании с
другой формой мышления—дедукцией, В математике под И. (индуктивным
умозаключением) понимают следующие четыре вида И.
1°. И. неполная — заключение (вывод) от частного к общему,т. е. общий
вывод, основанный на изучении отдельных, частных фактов (частных наблю-
дений или экспериментов).
Примеры.
1. Рассмотрим числа вида 22”4-1 (числа Ферма), давая переменной п зна-
чения 1,2, 3; получим соответственно простые числа 5, 17,257. Используя И. н.,
можно сделать вывод: все числа вида (22” +1) — простые. Но вывод оказался
неверным: уже при п = 5 число 2*” + 1, как доказал Эйлер, делится на 641.
ИНДУКЦИЯ
205
2. Построив графики конечного числа линейных уравнений с двумя пере-
менными, например х—2y-f-4 = 0 и 2* + ^—5 = 0, и убедившись в том, что
графики этих уравнений в прямоугольной декартовой системе координат
представляют собой прямые линии, мы на основании И. н. можем заключить,
что графиком всякого уравнения вида ах + ^+с=0 в той же системе коор-
динат будет прямая линия. Этот вывод верный (его можно доказать, например,
в аналитической геометрии).
Как мы видели, И. н. может привести как к верным, так и к неверным
выводам. И. н часто называется индуктивным методом или короче—ин-
дукцией или несовершенной индукцией.
Лат.: inductio—наведение.
2°. И. полная — вывод, основанный на рассмотрении всех частных фактов
(объектов, фигур, чисел) или всех элементов конечного множества.
Пример И. п. При доказательстве теоремы об измерении величины
вписанного в окружность угла рассматриваются все частные случаи располо-
жения центра окружности по отношению к сторонам угла (центр окружности
лежит на одной из сторон; центр лежит внутри угла и центр лежит вне впи-
санного угла). Поэтому полученный вывод (заключение) будет представлять
собой полную И. Вывод, сделанный на основании применения полной И.,
будет всегда верным.
Утверждения, основанные на применении полной И., всегда истинны.
И. п. иначе называется совершенной индукций.
3°. И. математическая — один из важнейших методов доказательства
утверждений в математике, основанный на принципе (аксиоме) математической
индукции. Принцип И. м. состоит в следующем: если предложение Л (л), где
n£N, истинно для л=1 и из предположения о том, что оно истинно для
некоторого натурального числа n — k, вытекает, что оно истинно для сле-
дующего числа п = &4-1, то предложение верно для любого n£N.
Доказательство, основанное на принципе И. м., называется методом мате-
матической И.; этот метод доказательства состоит из двух частей: в первой
из них доказывается (проверяется) истинность высказыванися А (1), во вто-
рой предполагают, что А (п) верно при n — k, и доказывают истинность выска-
зывания Л (л) при л = &+1, т. е. во второй части доказательства устанав-
ливают A (k) =Ф А (& + 1). После чего утверждается истинность предложения
Л (л) для всякого n£N.
Пример применения метода математической И. Докажем справедливость
равенства:
р + 2г + Зг+...+пг = п(п+1)6(2”+1)	(•)
при n£N,
1. Для л=1 высказывание Л (1) истинно.
2. Докажем, что A (k) =£ Л (&+ 1). Предположим, что равенство (*) верно
при л = £, докажем, что оно верно и при л=Л+1:
12 + 22 + З2 + ... + *4- (k + 1)2 = *(*+В(2*-И_) _|_ _|_ j} г =
_ (*+ 1) (2Л2 + Л) + 6 (k 4 1>2
—	6
206
ИНЕРЦИИ ЗАКОН
Упрощая последнюю дробь, получим:
1*4-2»+. .. + ^+(Л+1)г = ^+1) <* + 2И2(Л+1)~Ь—) 	(**)
Следовательно, равенство (♦) справедливо для любого n£N. И. м. широко
используется в математике при выводе множества формул (прогрессий, фор-
мулы Ньютона, логарифмов, комбинаторики и др.). Она является строгим,
дедуктивным методом доказательства, но, как и всякая дедукция, включает
в !себя элемент индукции: непосредственную проверку рассматриваемого
утверждения А (п) для п = 1.
4°. И. трансфинитная — обобщение метода математической индукции. И. т.
состоит в следующем: пусть дано некоторое вполне упорядоченное множество А
(его можно считать множеством всех трансфинитов, меньших некоторого дан-
ного) и некоторое утверждение Р (а), сформулированное для каждого а£А,
и такое, что Р (а) верно для первого элемента из А и верно для а, если оно
верно для всех элементов, предшествующих а. Тогда Р (а) верно для всех
элементов а
См. также: Трансфинитные числа, Вполне упорядоченное множество.
ИНЕРЦИИ ЗАКОН действительных квадратичных форм—утверждение
о том, что число положительных и число отрицательных квадратов в нор-
мальном виде квадратичной формы с действительными коэффициентами, к кото-
рому она приводится невырожденным линейным преобразованием, не зависит
ст выбора этого преобразования. Сформулированное предложение является
одной из основных теорем теории действительных квадратичных форм.
ИНТЕГРАЛ — одно из важнейших понятий математики, возникшее в XVII в.
из потребностей отыскивать функции по заданным производным, к чему при-
водили задачи измерения площадей, объемов, длин дуг и ряд задач механики
и физики.
Если задана функция /, то функция F называется ее первообразной, если
производная от F совпадает с /. Одна и та же функция f может иметь раз-
личные первообразные, однако все они отличаются друг от друга лишь по-
стоянным слагаемым. Это приводит к понятию неопределенного И. А именно,
неопределенным И. от функции f (х) называется совокупность всех ее перво-
образных функций. Обозначается неопределенный И., следуя Л. Эйлеру:
J f{x)dx.
Неопределенный И. в силу вышесказанного равен F(x)4-C, где F (х)—
любая из первообразных функций, а С — произвольная постоянная (интегри-
рования). Одна из основных теорем интегрального исчисления устанавливает
существование неопределенного И. для любой непрерывной функции f (х) дей-
ствительного переменного.
Определенным И. от функции f (х) с нижним пределом а и верхним пре-
делом b можно назвать разность F (Ь)—F (а). Определенный И. обозначается:
ь
J / (х) dx. Это определение, как показал французский математик О. Коши
а
ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ
207
(1823), для непрерывных функций f(x) и а<Ь равносильно следующему.
Пусть отрезок [а; д] разбит произвольно выбранными на нем точками
a = xQ < хг < х2 < ... < хп = Ь
на п отрезков [х,-1; х/] (i = l, 2, л) и в каждом из них выбрана про-
извольная точка Рассматривается интегральная сумма:
Z=1
зависящая от л и выбора точек х^ и 5/. Затем рассматривается предел Sn при
л—► оо и длине максимального отрезка |х/—x/_f|, стремящейся к нулю.
Этот предел (если он не зависит от выбора точек х/ и £/) является опреде-
ленным И. от функции f (х) в пределах (на отрезке [а; £]) от а до Ь.
2
Р х3	Р 23 I3 7
Примеры. 1) \x2dx = —+ С; 2) \x2dx = ——. Последний
J	о	J	ООО
1
интеграл имеет следующий геометрический смысл—это площадь криволиней-
ной трапеции, ограниченней снизу осью абсцисс, слева и справа прямыми
х=1 и х = 2 и сверху параболической дугой у = х*.
Термин И. происходит от латинского integer—целый. Понятие И. со вто-
рой половины XIX века подверглось ряду обобщений. Об обобщениях см.
Римана интеграл, Лебега интеграл, Стилтьеса интеграл, Несобственный
интеграл.
Лит.: [76, 103, 140].
ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ—функция
2 С
Ф (*) = -£= \е 2 dt.	(0
/2л j
Для случайной величины X, подчиненной нормальному закону распреде-
ления, вероятность Р (а < х < Ь) того, что X примет значение х между чис-
лами а и Ь, выражается через И. в. следующим образом:
«г	хл 1	МХ\ ^(a—MXY}
Р(а<х<Ь) = -^ |ф(_—}-<Ц—
вдесь MX—математическое ожидание X, оХ—среднеквадратичное откло-
нение X.
Функция Ф(х) не может быть выражена через элементарные функции.
Другое название И. в.— функция Лапласа; иногда используется обозначение
еН(х) = Ф(х /2).
Для практических вычислений вероятностей по формуле (*) используют
таблицы функции Лапласа.
Иногда название И. в. употребляют для функций § е 2 dt, erf (х).
Лит.: [27, 139].
f08	ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ
ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ—функция Ф(х)=
К
= \ f (/) dt переменного х. Если f непрерывна на отрезке [а, х], то Ф'(х) =
j
а
= f (х). Таким образом, функция Ф является первообразной для f.
См. Ньютона—Лейбница формула,
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, в котором изу-
чаются некоторые специальные характеристики («меры») для множеств точек,
прямых, отрезков, окружностей, плоскостей и других геометрических объек-
тов, вычисляемые обычно с помощью интегрирования. При этом «мера» р
множества Q удовлетворяет следующим условиям: 1) р (Q)	0; 2)p(Qi) +
+ р (Q2) = р (QiUДля непересекающихся множеств Qf и Qa; 3) Если мно-
жество Qi получено из Q2 движением, то р (Qt) = р (Q2).
Простейшей и исторически первой задачей И. г. была Бюффона задача
из теории вероятностей, в которой требуется определить «меру» множества
отрезков длины Z, пересекающих систему параллельных линий на плоскости
(в которой расстояние между соседними прямыми равно /).
Методы И. г. имеют многочисленные приложения к геометрии в целом,
к изучению выпуклых областей, к геометрической оптике и теории излучения.
Лит.: [124].
ИНТЕГРАЛЬНАЯ КРИВАЯ — кривая, являющаяся графиком решения
дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений.
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ системы дифференциальных уравнений
в частных производных — поверхность в пространстве переменных xi, х2, ...
xnt уравнения которой
Хд+/=хд+/(х1; х2; Хд), Z=l, 2, .... n—k,	(♦)
обладают следующим свойством: подстановка функций (♦) в систему уравнений
обращает последние в тождества. Уравнения И. п. могут быть заданы и в неяв-
ном виде.
Лит.: [133].
ИНТЕГРАЛЬНАЯ СУММА. Пусть D—замкнутая ограниченная область
в евклидовом пространстве Еп и f—функция, определенная в D, Во многих
вадачах математики, а также в приложениях важное значение имеет следую-
щая конструкция. Область D представляется в виде D=U Ад, где Аь (£=1,
k
2,	л) — измеримые непересекающиеся подмножества в D, в каждом из Ak
произвольно выбирается точка Рд£Ад и затем рассматривается сумма
2/(Ра)И(Ай),	(♦)
в которой р (Ад) означает меру множества Ад. Эта сумма называется И. с.
Особый интерес представляет поведение И. с. при таком изменении разбиения
£)== у Ад и сопутствующем этому изменению выборе точек Рд, в котором
множества Ад становятся все более «мелкими». Более точно: рассматривают
так называемый диаметр разбиения D = U Ад, равный максимальному из
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
2С9
диаметров множеств Ak (см. Диаметр множества), и изменяют разбиение так,
чтобы диаметр разбиения стремился к нулю. Если в таком процессе вели-
чина (♦) имеет предел, не зависящий от способа измельчения разбиения и
выбора точек	то этот предел называется интегралом функции f по
множеству D и мере ц (см. Интеграл).
И. с. можно рассматривать и в более широком смысле, предполагая, что
множество D является произвольным топологическим пространством и что
в нем задана мера,
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ распределения непрерывной случайной ве-
личины X—функция F, определенная условием
F(/) = P(X<0;
здесь / — (действительный) аргумент функции F, Р (X < /) означает вероятность
того, что случайная величина X примет значение, меньшее /.
И. ф. обладает следующими свойствами, непосредственно вытекающими из
ее определения:
1.	O<F(/)<1,
2.	F(tx)^F(t2) при
3.	lim Г(/)=!, lim F(/) = 0.
/-►-<»
С помощью И. ф. можно вычислить Р (а^Х < Ь), т. е. вероятность того, что
случайная величина X примет значение не меньшее, чем а, и меньшее, чем b
(для любых действительных а и Ь):
Р(а^Х < b) = F(b)-F(a).
Эта формула делает понятным название И. ф. распределения, так как задает
«распределение вероятности по множествам вида [а, Ь[». И.ф. распределения
содержит в себе всю информацию о случайной величине, поскольку с помощью
И. ф. можно вычислить вероятность всякого события, связанного с данной
случайной величиной. Возможность сведения изучения случайной величины
к изучению более простого математического объекта—И. ф. распределения —
широко используется в теории вероятностей. И. ф. распределения называется
также интегральным законом распределения.
И. ф. распределения пары непрерывных случайных величин X, Y есть
функция F, определенная условием
F(tu t2) — P(X <tXtV < /2),
здесь Zj, /а—(действительные) аргументы И. ф., Р (X < /f, Y < /2) означает
вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее G, и
при этом случайная величина Y примет значение меньшее, чем /2-
С помощью И. ф. распределения пары X, Y можно вычислить Р (а^Х < Ь,
c^Y < d), т. е. вероятность того, что случайная величина X примет значение
в (а, и при ’этом Y примет значение в [с, d[. И. ф. распределения пары
X, Y содержит в себе всю информацию о паре случайных величин X, К, вклю-
чая все вопросы зависимости случайных величин X, Y. Аналогичным обра-
зом определяется И. ф. распределения системы случайных величин.
Лит.: [44, 139].
210
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в котором изуча-
ются интегралы различного вида, такие, как определенный интеграл, неопре-
деленный интеграл, криволинейный интеграл, поверхностный интеграл, двойной
интеграл, тройной интеграл и т. д., их свойства, способы вычисления, а также
приложения этих интегралов к различным задачам естествознания.
Центральной формулой И. и. является формула Ньютона—Лейбница (см.
Ньютона—Лейбница формула), связывающая определенный и неопределенный
интегралы (см. Определенный интеграл, Неопределенный интеграл) функции
y = f W—величины, определяемые в совершенно непохожих друг на друга
терминах.
Именно эта формула утверждает, что
п
Вт 2 f(ck)^k = F(b)-F(a)
при следующих условиях и обозначениях:
[а; Ь]— отрезок числовой оси, f (х)—непрерывная на [а; 6] функция,
Т—разбиение отрезка [а, Ь] точками х0 = а < Х1 < х2 < • • * < xn—b, &xk—от-
резок	xk\> ck—точка отрезка Ax*, I (Т) = тах | Дх*|, т. е. максимальная
k
из длин отрезков Дх*, F (х) — первообразная функция для f (х), т. е. такая,
что F(x) = /(x). Предел в левой части существует в случае непрерывной
функции f (х), любого способа измельчения разбиения Т, при котором
ЦТ)—>0, и любого выбора точек с*£Дх*.
Пределы вида lim 2/ (ck) ^xk возникают при вычислении многих величин,
k
связанных с физическими, геометрическими и т. п. понятиями. В то же время
вычисление первообразной F (х) для простых функций f (х) достаточно эффек-
тивно выполняется по правилам И. и. В основе этих правил лежат свойства
дифференцируемых функций, изучаемых в дифференциальном исчислении, так
что И. и. и дифференциальное исчисление составляют неразрывное целее.
При переходе от функций одного переменного к функциям нескольких
переменных содержание И. и. становится значительно богаче. Возникают
понятия двойного, тройного (и вообще—n-кратного), поверхностного и криво-
линейного интегралов. И. и. устанавливает правила вычисления этих интегра-
лов путем сведения их к несколько раз повторяемым вычислениям определенных
интегралов.
Отдельным разделом И. и. функций нескольких переменных является
теория поля (см. Поля теория), существенную часть которой составляют тео-
ремы, устанавливающие связь между интегралами по области и интегралами
по границе области (см. Остроградского формула, Грина формулы, Стокса
формула).
В дальнейшем своем развитии И. и. привело к изучению интегралов
Стилтьеса, Лебега, Данжуа, основанных на более общих идеях, чем рассмот-
ренные выше интегралы.
Возникновение И. и. связано с задачами вычисления площадей и объемов
различных тел. Некоторые достижения в этом направлении имели место еще
в Древней Греции (Евдокс Книдский, Архимед и др.). Возрождение интереса
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
211
к задачам подобного рода имело место в Европе в XVI—XVII вв. К этому
времени европейские математики имели возможность ознакомиться с трудами
Архимеда, переведенными на латинский язык. Но основной причиной такого
внимания к И. и. явилось промышленное развитие ряда стран Европы, поста-
вившее перед математикой новые задачи. В это цремя большой вклад в И. и.
внесли И. Кеплер, Б. Кавальери, Э. Торричелли, Дж. Валлис, Б. Паскаль,
П. Ферма, X. Гюйгенс.
Качественным сдвигом в И. и. явились труды И. Ньютона и Г. Лейбница,
создавших ряд общих методов нахождения пределов интегральных сумм. Важ-
ное значение имела удобная символика И. и. (применяемая до сих пор), введен-
ная Г. Лейбницем. После трудов И. Ньютона и Г. Лейбница многие задачи
И. и., ранее требовавшие значительного искусства для своего решения, были
сведены до уровня чисто технического. При этом особенно большое значение
имели формулы дифференцирования сложной функции, правило замены пере-
менной в определенном и неопределенном интегралах и (более всего) формула
Ньютона—Лейбница, упомянутая выше.
Дальнейшее историческое развитие И. и. связано с именами И. Бернулли,
Л. Эйлера, О. Коши и русских математиков М. В. Остроградского, В. Я. Буня-
ковского, П. Л. Чебышева.
И. и. вместе с дифференциальным исчислением до настоящего времени
является одним из основных математических инструментов многих физических
и технических наук.
Лит.: [103, 140].
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ—-уравнения, содержащие неизвестные
функции под знаком интеграла. Наиболее разработана теория линейных И. у.,
которые имеют вид:
Ф(Р)+$К(Р, Q)<p(Q)dQ = /(P),	(*)
где ф (Р) — неизвестная функция, Р, Q—точки рассматриваемой области G,
dQ — мера. При этом функция К(Р, Q) называется ядром. И. у. такого вида
в случае, если область Q конечна, а ядро К(Р, Q) ограничено, называют
уравнением Фредгольма.
Частным случаем их является уравнение Вольтерра:
X
ф(х)+^К(х, s)9(s)ds = /(x).
а
Решения И. у. Фредгольма обладают многими свойствами, аналогичными тем,
которые имеют место для решений систем линейных алгебраических уравнений.
Соответствующие точные утверждения носят название альтернатив Фредгольма.
В приложениях часто встречаются уравнения вида (*), где/((Р, Q) = /С (Q, Р),
т. е. уравнения с симметрическим ядром. К И. у. может быть сведено решение
краевых задач для эллиптических уравнений. Теория И, у. включается в тео-
рию линейных операторов.
212
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ
К И. у. сводятся некоторые задачи механики и физики, в частности за-
дача о распределении силы, действующей на закрепленную в концах упругую
нить, которая под действием этой силы приняла заданную форму.
Лит.: [102].
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ динамической системы—интеграл вида
И-х2, •••> хп) dxx dx2.. .dxn, взятый по некоторой области D и
D
сохраняющий свое значение при замене D областью G, в которую D перехо-
дит в любой момент времени t.
оо
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ КОСИНУС—функция ci(x) = —И. к. не вы-
X
ражается в конечном виде через элементарные функции, но так как И. к. важен
для приложений, например, в теории автоматического регулирования, то для
него составлены таблицы. И. к. введен в математику итальянским математиком
Л. Маскерони в 1790 г.
X
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ—функция 11 (х) = §	. И. л. не вы-
о
ражается в конечном виде через элементарные функции. И. л. тесно связан
с вопросом о распределении простых чисел в натуральном ряду. Русский
математик П. Л. Чебышев установил, что число простых чисел л (х), не пре-
восходящих числа х, асимптотически равно И (х). Более подробно об этом
см. Простые числа.
X
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ СИНУС—функция si (x)=j^dz. И. с. не выра-
о
жается в конечном виде через элементарные функции, но так как И. с. важен
для приложений, например, в теории автоматического регулирования, то для
него составлены таблицы. И. с. введен в математику итальянским математиком
Л. Маскерони. Однако еще Л. Эйлеру было известно, что
СО •
f sin t л
о
ИНТЕГРИРОВАНИЕ —вычисление определенных и неопределенных интег-
ралов (а также иных видов интегралов—кратных, криволинейных и т. п.).
Кроме этого, термин И. означает отыскание решений дифференциального
уравнения или систем дифференциальных уравнений.
ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ: Г. И. вещественной функции на множестве D —
свойство функции /, заключающееся в существовании J / (р) Т. е. в суще-
о
ствовании предела
Um (Pk)V-{Ak)>	(*)
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
213
Здесь Г = U Л*—разбиение множества D на подмножества А*, ц—мера
k
на D (Ak предполагаются измеримыми), Pk—точка в А*, I (Г)—верхняя грань
совокупности диаметров множеств А&, диаметры А рассматриваются в смысле
определенной на D метрики.
Для непрерывной функции f (р) и ограниченной замкнутой области D
в евклидовом пространстве предел (*) существует.
2°. И. функции f действительного переменного в элементарных функциях —
свойство функции /, заключающееся в том, что первообразная F для f является
элементарной функцией. Некоторые функции не обладают свойством И. в эле-
ментарных функциях. Например, у = е“*2.
См. также: Интегральный синус, Интегральный логарифм.
3°. И. дифференциального уравнения в квадратурах — выражение общего
решения этого уравнения через элементарные функции и неопределенные
интегралы от них.
Важнейшие типы интегрируемых в квадратурах уравнений:
а)	с разделяющимися переменными;
б)	однородные 1-го порядка,
в)	линейные 1-го порядка,
г) уравнение Бернулли.
Класс уравнений, интегрируемых в квадратурах, мал. При решении прак-
тических задач часто встречаются дифференциальные уравнения, решение ко-
торых не выражается в квадратурах. Для решения таких уравнений разра-
ботаны приближенные численные методы.
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ — множитель, после умножения на
который левая часть дифференциального уравнения
Р (х; у) dx-\- Q (х\ y)dy = O
обращается в полный дифференциал некоторой функции и(х\ у). И. м., вообще
говоря, есть функция двух переменных х и у, но в частных случаях он может
зависеть от одной переменной. Так, например, для дифференциального урав-
нения у dx—х dy=O И. м. является функция — . И. м. р(х; у) должен удов-
летворять уравнению в частных производных
д(цР) d^Q)
Оу дх
Это уравнение есть условие того, что выражение р,Р dxр,Р dy является
полным дифференциалом.
Всякое дифференциальное уравнение 1-го порядка Р dx + Q dy = O имеет
бесконечное множество И. м. Для интегрирования такого уравнения достаточно
знать какой-нибудь один И. м. Для многих видов дифференциальных уравне-
ний 1-го порядка И. м. заранее известен. Так, для линейного дифференциаль-
ного уравнения:
Ldy-\-(My + N) dx = O, L = const, M = M(x)t /V = /V(x);
С M .
\T-dx
выражение eJ есть И. м.
214
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-- уравнения, содержа-
щие неизвестную функцию как под знаком интеграла, так и под знаком про-
изводной.
ИНТЕРВАЛ числовой прямой—множество действительных чисел х, удов-
летворяющих строгому двойному неравенству а < х < Ь, где а и 6—действи-
тельные числа, называемые концами И. Число х0 =(« + Ь)/2 называется цент-
ром И. Обозначается И. числовой прямой так: Jtr, b[ или (а; Ь).
Длиной И. ч. п. называется положительное число Ь—а. И. ч. п. также
называется открытым промежутком.
Иногда рассматривают полуоткрытые промежутки, которые также назы-
вают полуинтервалами [л; Ь[, ]а; 6] или в других обозначениях {а; Ь), (а; 6].
В математике рассматривают также бесконечные И. ч. п.— лучи числовой пря-
мой (числовые лучи), например ]а; + оо( (знак «+» у символа бесконечности
часто опускается) — открытый числовой луч, ]— оо; 4- оо[—открытый промежу-
ток, т. е. вся числовая прямая (числовая ось). И. ч. п. можно определять и
и неравенством |х—х0| < б, где х0—центр И. ч. п., а 26 —его длина. Такой
И. ч. п. называется 6-окрестностью точки х0.
И. ч. п. кратко называют интервалом или промежутком (открытым).
И. ч. п. используется при иллюстрации решений неравенств и их систем
(неравенства с одной переменной), при определении предела и непрерывности
функции.
Лат.: intervallum —промежуток (перерыв, расстояние между чем-либо).
См. также: Промежуток, Ст ре зек, Окрестность точки, Область откры-
тая, Область замкнутая, Замкнутое множество.
ИНТЕРВАЛ СХОДИМОСТИ степенного ряда 2	—интервал» в каж-
л = 0
дой точке которого ряд абсолютно сходится, а в каждой внешней точке этого
интервала ряд расходится. На концах И. с. ряд может сходиться или расхо-
диться. И. с. может состоять из единственной точки, а может и совпадать
со всей прямой.
ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА в теории вероятностей. Часто для неизвест-
ного параметра а требуется установить вероятностную оценку того, что этот
параметр находится в некотором интервале числовой прямой. Пусть вероят-
ность того, что оцениваемый параметр а принадлежит интервалу ]а—е; а-|- е[,
равна р, т. е.
Р (а—е < о < а4-е) = Р или Р (|а—а| < е) = 0.
Установление такого рода соотношений называется И. о. параметра а. Интер-
вал ]а—е, а-|-е[ называется доверительным интервалом. Он задается своими
концами, называемыми доверительными границами. Вероятность 0 называется
доверительной вероятностью. Число 8 называется точностью И. о.
Пример. Пусть количественный признак X (случайная величина) рас-
пределен в генеральной совокупности по нормальному закону с известным
средним квадратическим отклонением а. Требуется дать И. о. для матема-
тического ожидания а признака X по известной выборочной средней а при
некоторой выборке объема п с заданной доверительной вероятностью у*
ИНТУИЦИОНИЗМ
215
Ответ на поставленную задачу дается соотношением:
Р (х--^=- < а<х-|—^^=2Ф(/) = у,
\ Г И	V п /
где Ф(/) — интеграл Лапласа (см. Лапласа теоремы в теории вероятностей).
Так как х, а и п известны и у задано, то t находится из таблиц для Ф(0
и тем самым находится И. о. для а в виде доверительного интервала
]х—/о/ Уп\ х + to/ У п[ с доверительной вероятностью у.
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ функции—нахождение по данной функции другой
функции из наперед заданного класса функций и совпадающей с данной
функцией в заданных точках (узлах интерполяции). Эта новая функция назы-
вается интерполяционной или интерполирующей функцией. Для нахождения
интерполирующих функций используются различные интерполяционные фор-
мулы. См., например, Лагранжа интерполяционную формулу.
Одним из широко используемых приемов И. функций на отрезке [—1; 1]
являются Чебышева многочлены.
Лит.: [18, 89].
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ — нахождение приближенных значений функции f (х)
в точках х, лежащих между точками х/ (/ = 0, 1, .*., л), если известны зна-
чения функции f (Xi) лишь в этих точках х0 < Xj < *.. < хл. Если возникает
вопрос о значениях функции в точках х вне отрезка [х0; хл], то эта задача
называется экстраполяцией функции. Простейшая линейная И. для х£[х0; хг]
осуществляется по формуле
У=~Т~ ^-Цх»)) + f (х9)>
Xi—хв
К И. приходится обращаться, когда функция задана таблично, а также
когда из эксперимента известно лишь конечное число значений функции.
Для И. известен ряд интерполяционных формул, например Лагранжа
интерполяционная формула, Ньютона интерполяционная формула и др.
Лит.: [46].
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ. Пусть имеется некоторое множество объектов Q, на-
ходящихся между собой в заданных отношениях. Пусть f инъективно отобра-
жает множество Q во множество других объектов О’*, на котором задана своя
система отношений. Если отображение f сохраняет отношение объектов, то
говорят, что f есть И. системы Q в системе О'.
Примерами И. являются Клейна И., Пуанкаре И. геометрии Лобачевского.
Тот факт, что аксиомы плоскости Лобачевского имеют место для объектов
этой И., а эти объекты принадлежат евклидовой геометрии, означает, что
геометрия Лобачевского непротиворечива.
И. иначе называется моделью.
Лат.: interpretatio—истолкование, раскрытие смысла чего-либо, разъясне-
ние чего-либо.
ИНТУИЦИОНИЗМ—одно из философских направлений в математике.
Содержание И. заключается в отрицании математики как науки, отражающей
некоторые стороны явлений природы. Интуиционисты считают математику
216
ИНФОРМАЦИЯ
«деятельностью» отдельного человека, опирающегося на интуицию. Основате-
лем И. является голландский математик Л. Брауэр. Его идеи, предназначав-
шиеся, по мысли автора, для объяснения не вполне установившихся в мате-
матике некоторых понятий теории множеств, приводят к громоздким и
запутанным построениям.
Интуиционисты отрицают, в частности, закон исключенного третьего для
бесконечных множеств (см. Антиномии). Понять идеи И. можно, только
приняв ложную философскую концепцию Брауэра. И. был поддержан некото-
рыми крупными математиками (Г. Вейль и др.). И. приводит к отрицанию
многих достижений математического анализа. Им отрицается также элемен-
тарная геометрия. Брауэром получены некоторые результаты конструктивной
логики (см. Математическая логика), поэтому на Западе эту науку часто
неправомерно называют интуиционистской.
ИНФОРМАЦИЯ — основное понятие теории информации. Пусть даны две
дискретные случайные величины £ и -q, значения которых ?2» •••» in и
Ль Лг» Лт имеют вероятности р2, ..., рп и qx, q2, ...» qm соответ-
ственно. Тогда И. J (5, л) ° случайной величине £, заключенной в величине л,
называется сумма
7г? \ X? V' р zt t	\1	? (i — ib Л=Л/)
ЛЬ п)=У, У.Р (£ = Ь. r)=4/)'og2------—-------,
/tut?	p‘qJ
здесь Р (£ = £/, т] = Л/) означает вероятность того, что £ примет значение £/
и при этом л —значение Л/-
ИНЪЕКТИВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ —см. Инъекция.
ИНЪЕКЦИЯ, инъективное отображение—отображение f множества А в
множество В, при которо.м [ устанавливает взаимно однозначное соответствие
между множеством А и подмножеством f (А) а В. Отображение п—> л2, где
n£N, является И. множества натуральных чисел в себя.
ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ—всякое выражение (числовое или
с переменной), содержащее радикалы (корни) с натуральным показателем.
Примеры И. в. a У~2, а + Ух, 1/х-\- У а—х2.
Необходимо заметить, что при некоторых допустимых значениях букв,
входящих в И. в., оно может и не быть иррациональным числом, например
Уа2-\~Ь2 при л = 3, Ь = 4 есть число 5.
См. также: Выражение с переменной, Иррациональные уравнения, Ирра-
циональные числа, Формула.
ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ л-й степени — корень многочлена л-й степени
с целыми коэффициентами, не приводимого в поле рациональных чисел. При
л = 2 мы приходим к понятию квадратичной иррациональности. Понятие
И. и-й степени совпадает с понятием алгебраическое число степени л. Большой
вклад в изучение И. л-й степени был сделан русским математиком Г. Ф. Во-
роным и другими учеными из Петербургской школы теории чисел. Подробнее
об этом см. в книге [48].
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ— уравнения, содержащие переменные
(неизвестные) под знаком радикала.
ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ
217
Примеры. 1) /х—2 = х—2; 2)	2 + угх+2 = 0; 3) yGc—3 + х =
=
И. у. могут иметь конечное число решений, могут не иметь решений
(множество решений пусто), а могут иметь бесконечное число решений. На-
пример: 1) уравнение имеет два корня (числа 2 и 3); 2) уравнение имеет пу-
стое множество решений. Уравнение же
Их + 8 —6	+ И* + 3 —4	= I
имеет бесконечное множество (континуум) решений: 5«Сх^10.
Все радикалы, входящие в И. у., рассматриваются только как арифмети-
ческие, а решения И. у.—только в поле действительных чисел. При решении
И. у. необходимо обращать внимание на понятие равносильных уравнений,
на возможность нарушения равносильности уравнений и приобретение лиш-
них (посторонних) корней, а также их потерю.
Методы решения иррациональных уравнений таковы: 1) метод введения
вспомогательных переменных (неизвестных), в результате чего решение И. у.
сводится к решению систем уравнений, уже не содержащих радикалов, на-
пример уравнение 3), рассмотренное выше, заменой переменных Yx—3 = у,
Yх2 — 9 = s сводится к решению системы х—3 = t/2, y-]-x = s, х2—9 = s2;
2) метод изолирования (уединения) радикала и возведения обеих частей урав-
нения в степень, в результате чего приходят к уравнению, не содержащему
радикалов или содержаще.му их меньшее число; 3) метод умножения обеих
частей уравнения на выражение, сопряженное одной из его частей.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА—действительные числа, не являющиеся
рациональными. Множество иррациональных чисел есть дополнение множества
рациональных чисел (до множества действительных чисел). И. ч. могут опре-
деляться дедекиндовым сечением или бесконечной непериодической десятичной
дробью. Примеры И. ч.: 0,1010010001..., ^"2, 1g 5, sin 31°, Y 3— Y 2 и др.
Множество иррациональных чисел несчетно.
И. ч. могут быть как алгебраическими, так и трансцендентными.
Строгая теория И. ч. была создана во второй половине XIX в. немецким
математиком Р. Дедекиндом.
Всякое И. ч. можно с любой степенью точности выразить приближенно
рациональным числом. При действиях над И. ч. их часто заменяют действиями
над рациональными приближениями. Понятие И. ч. возникло при извлечении
корня, при измерении длин отрезков и при изучении ряда функций.
Лат.: irrationalis — неразумный, необоснованный (непостигаемый разумом,
рассудком).
См. также: Дедекиндово сечение. Число, Алгебраическое число, Рациональ
ные числа, Галуа теория, Иррациональность n-й степени, Трансцендентнее
число.
ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ (переменных) —переход от системы урав
нений, содержащей несколько неизвестных (переменных), к системе уравнений
(или к одному уравнению), равносильной первоначальной, но содержащей
меньшее число неизвестных.
См. также: Результант,
218
ИСКОМАЯ ВЕЛИЧИНА
ИСКОМАЯ ВЕЛИЧИНА (скалярная, векторная или тензорная) —вели-
чина, которая ищется или значение которой отыскивается. И. в. иногда назы-
вают искомым. Так говорят об искомой сумме данных векторов, об искомой
площади фигуры и т. д.
ИСТИННОЕ ПОДМНОЖЕСТВО множества А — подмножество множества А,
отличное от самого множества А и непустое. И. п. называют также собствен-
ным подмножеством.
ИСТОЧНИК. При отображении f множества А в множество В И. назы-
вается отображаемое множество А.
ИСЧИСЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ —раздел математики, охваты-
вающий дифференциальное исчисление и интегральное исчисление. Название
происходит от того, что основные понятия И. б. м. «производная» и «интег-
рал» образованы с помощью рассмотрения бесконечно малых величин.
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ —синоним термина теория вероятностей.
ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ — см. Конечных разностей исчи-
сление.
ИТЕРАЦИЯ. Пусть f—отображение множества 2И в себя. Это значит,
что f определено для всех х£М и f (х)£М. Ввиду этого определено отобра-
жение fof:M—► М, f о f (x) = f (f (х))£М. Это отображение называется И.
отображения /. Рассматривают многократные И. отображения /: f о f о.. .о f (х)=
Примеры
1. / — функция одного действительного переменного, D—область опреде-
ления f, М—множество значений /, М с D, f ° f = f (f (х))—сложная функция.
2. Пусть 7И—ограниченное множество полного метрического простран-
ства и f:M—► М—отображение, удовлетворяющее условию р(/(х), f (у)) <
< <7Р (*> У)> при некотором q < 1 (едином для всех пар х, у^М)\ р—метрика
в М. Тогда последовательность И. /, / о /; f о f о /, 4* *, f о f о.. .о /, 4.. обла-
дает следующим свойством: образ f о f о.. .о f (М) при достаточно большом п
п раз
принадлежит любой наперед заданной окрестности некоторой точки x0£Af,
Это обстоятельство лежит в основе доказательства принципа сжатых отобра-
жений.
См. также: Последовательных приближений метод.
к
КАВАЛЬЕРИ ПРИНЦИП —предложение, состоящее в следующем: если
при пересечении двух плоских фигур любой прямой, параллельной некоторой
другой прямой, получаются в сечении равные хорды, то площади этих фигур
равны. Аналогичное предложение имеет место и для пространственных фигур.
К. п. является теоремой, обоснование которой принадлежит итальянскому
математику Кавалъери.
Это предложение было известно еще древнегреческим математикам, кото-
рые принимали его без доказательства.
КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ многочлена. Если в некотором
многочлене выполнить приведение подобных членов во всех случаях, когда
это возможно, и выбросить все получившиеся члены с нулевыми коэффициен-
тами, то в результате получим К. п. многочлена. Если при этом окажется,
что выбрасываются все члены, то К. п. многочлена считаем 0, а исходный
многочлен в этом случае называется нуль-многочленом. Можно легко пока-
зать, что для всякого многочлена К. п. многочлена единственно с точностью
до порядка следования членов многочлена. Все члены многочлена в его К. п.
попарно неподобны (см. Подобные члены).
Греч.: xavcov —правило, норма, канон.
КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. Всякое уравнение (в том числе диффе-
ренциальное) обычно рассматривается в заданной системе координат, и вид
его изменяется при переходе к другим координатам. Во многих математи-
ческих исследованиях бывает удобным переход к новой системе координат,
упрощающей вид данного уравнения. Если для каждого уравнения из неко-
торого класса указано то простейшее уравнение, к которому каждое уравне-
ние может быть преобразовано с помощью замены координат, то это простей-
шее уравнение называется К. у.
Примеры. Всякая плоская кривая второго порядка {или всякое урав-
нение второго порядка) с вещественными коэффициентами от двух веществен-
ных переменных х, у за счет ортогонального преобразования системы коор-
динат может быть приведена к одному из следующих Ку.:
№ у^	х2 у2
^+£2=1— эллипс,	1— гипербола,
220
КАНТОРА АКСИОМА
v х2 у2	х2 у2
у2 = 2рх-— парабола,	-f"	~ 1 —мнимый эллипс,	—-^2-=0—пара
пересекающихся прямых, y2 — a2j^0—пара параллельных прямых, у* = 0—
пара слившихся прямых.
Греч.: xavcov—правило, канон, норма.
КАНТОРА АКСИОМА—одна из аксиом непрерывности прямой линии.
К. а. "утверждает, что любая последовательность вложенных друг в друга
(замкнутых) отрезков, длины которых стремятся к нулю, имеет общую точку.
К. а. сформулирована немецким математиком Г. Кантором в 1872 г. К. а.
иначе называется аксиомой плотности или принципом вложенных отрезков.
КАНТОРА — БЕРНШТЕЙНА ТЕОРЕМА в теории множеств утверждает,
что если множества А и В таковы, что в А содержится подмножество А',
эквивалентное В, а в В содержится подмножество В', эквивалентное А, то
множества А и В эквивалентны (равномощны). К.— Б. т. названа именами
немецких математиков Г. Кантора, высказавшего ее, и Ф. Бернштейна, дока-
завшего ее в 1898 г.
КАНТОРОВО МНОЖЕСТВО (или Кантора множество)—множество, полу-
чаемое из отрезка [0; 1] следующим образом. Сначала удаляется интервал
] 1/3; 2/3[, являющийся средней третью отрезка [0; 1]. Затем из каждого из
двух оставшихся отрезков [0; 1/3] и [2/3; 1] удаляются их средние трети.
Этот процесс удаления средних третей продолжается неограниченно. Остав-
шееся в результате этого процесса множество и называется К- м.
К. м. может быть задано и аналитически, как множество правильных
троичных дробей, в записи которых участвуют лишь 0и2, т. е. не участвует 1.
К. м. является совершенным мно-
жеством. Оно имеет мощность конти-
нуума и меру нуль. К. м. играет
важную роль в ряде разделов мате-
матики: топологии, теории функций
действительного переменного и др.
К. м. построено немецким математи-
ком Г. Кантором в 1883 г.
КАППА—плоская кривая линия,
представляющая собой множество то-
чек касания прямых, проведенных из
начала координат к окружности ради-
уса а, центр которой перемещается по оси абсцисс. В полярных координатах К*
имеет уравнение вида: р = a ctg ф. В прямоугольной декартовой системе коор-
динат К. представляется уравнением 4-го порядка: (х2 + у2) у2 = а2х2 (рис. 56).
Начало координат—узловая точка для К. Прямые у=± а являются асимп-
тотами кривой. К. является кривой из множества других кривых—узлов
(см. Узлы). К. имеет форму греческой буквы х (каппа).
КАРДАНО ФОРМУЛА—формула, выражающая корни кубического урав-
нения вида:
x? + px+q = 0
(*)
КАРДИОИДА
221
через его коэффициенты. К йиду (♦) приводится всякое кубическое уравнение.
К. ф. записывается так:
«= ’/-1+	+V-i-
3 /'
Здесь под / с следует понимать одно из решений уравнения г3 = с. Выбирая
произвольно значение первого кубического радикала, следует выбрать то зна-
чение второго радикала (из трех возможных), которое в произведении с вы-
бранным значением первого корня радикала дает (—р/3). Таким образом, по-
лучают все три корня уравнения (♦). До сих пор неясно, кому принадлежит
К. ф.: Дж. Кардано, Н. Тарталье или С. Ферро. К. ф. открыты в XVJ в.
КАРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО—важное понятие теории множеств. К. ч.
характеризует множество с точки зрения запаса его элементов—мощности
множества. К. ч. является обобщением понятия количественного числа на
бесконечные множества. Интересным при таком обобщении является то обсто-
ятельство, что одно и то же бесконечное множество можно существенно
по-разному упорядочить (см. Вполне упорядоченные множества), и в связи с
этим К. ч. резко отличается от трансфинитных чисел — обобщения порядко-
вых чисел. Для конечных множеств К. ч. совпадает с трансфинитным числом
и равно количеству элементов множества.
Лит.: [72].
КАРДИОИДА—плоская кривая, описываемая
ружности радиуса ОХМ, равного а, катящейся без
ной окружности того же радиуса и имеющей с
первой окружностью внешнее касание (рис. 57).
К. является частным случаем эпициклоиды. К.
можно рассматривать как подэру окружности
относительно какой-либо из ее точек. К. явля-
ется также одной из конхоид и улиток Паскаля
(см. Паскаля улитка).
Если над параболой выполнить преобразова-
ние инверсии с центром в фокусе параболы, то
парабола перейдет в К.
Уравнение К. в полярных координатах име-
ет вид:
какой-либо точкой М ок-
скольжения по неподвиж-
р = 2а (1 —cos <р),
при этом полярная ось имеет началом точку ок-	^ис*
ружности, соответствующую / = 0 (рис* 57), и направлена по оси Ох вправо,
а в декартовых —
[(а—х)2 + ^2—2а (а—х)]2 = 4а2 [(а—х)2 + у8].
Из последнего уравнения вытекает, что К. является алгебраической кривой
4-го порядка.
Греч.: хард их—сердце, eido£—вид; сердцевидная.
222
КАРНО ТЕОРЕМА
КАРНО ТЕОРЕМА. Пусть АВС—треугольник с указанной на нем ориен-
тацией и f (х)— плоская алгебраическая кривая порядка т, пересекающая
каждую из сторон треугольника или ее продолжение в т точках. Если обо-
значить точки пересечения кривой f (х) с прямой АВ через Ср С2, ...» Ст9
с прямой ВС — через Ai, Л2» **•> с прямой С А — через Blf B2t ...» Вт
и составить Зт отношений:
CjA А(В
С [В ’ Afl
В jC f__19 w
В,С’	’ 2..... ’
С‘А
то произведение этих отношений будет равно 1. Отношение —-р > 0, если
С fD
точка Ci лежит между А и В или, что то же самое, направления отрезков
С А
ACi и С/В совпадают, в противном случае отношение < 0. При т=1
U [О
получаем теорему Менелая, при т = 2 получаем теорему о пересечении кони-
ческого сечения со сторонами треугольника.
Теорема названа по имени французского математика Л. Карно, устано-
вившего ее.
КАРТА—то же, что локальная система координат — см. в статье Коор-
динатная окрестность.
КАСАНИЕ—свойство двух кривых или кривой и поверхности иметь в
некоторой точке общую касательную прямую или свойство двух поверхностей
иметь в некоторой точке общую касательную плоскость. Точка, в которой
две кривые (кривая и поверхность или две поверхности) имеют К., называется
точкой касания или точкой соприкосновения.
КАСАТЕЛЬНАЯ к кривой I в точке /И—прямая, являющаяся предельным
положением секущей ММ*, при неограниченном приближении точки М* кри-
вой I вдоль по кривой к точке М (рис. 58). Если кривая I задана в де-
картовой системе координат л-мерного евклидова пространства уравнения-
ми xi=Xi(t), f=l, 2, то уравнение К. в точке М (хг (/0)’» х2 (/0); ...;
хп (М) имеет вид:
Xj — Xj (/0)_х2—х2 (/0)_	__хп—хп (/0)
x'lUd x'zUq)	x'n(t0)
(Существование производных Xi(/0)> x- (/0)» •»♦» x’n (f0) и условие 2 xi (/o)^O
является необходимым и достаточным условием
существования К.)
Для плоской кривой с уравнением у =
= f(x) уравнение К. к кривой в точке
(*0; 7(х0)) таково: у—y0 = f(x0)(x—x0).
Для кривой Z, заданной уравнением
F(x-, у) = 0, уравнение К. в точке
(Хо, у о), F(x0; уо) = 0 таково:

КАССИНИ ОВАЛ
223
К. к поверхности 5 в точке М называют любую прямую, являющуюся К.
в точке М к некоторой кривой, лежащей на поверхности S.
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ к поверхности 5 в точке М — плоскость,
проходящая через точку М и характеризующаяся тем свойством, что рас-
стояние от переменной точки М' поверхности при стремлении М' к М до
этой плоскости есть бесконечно малая по сравнению с расстоянием ММ'.
Если поверхность задана уравнением f (х\ у\ z) = Qt то уравнение К. п.
к этой поверхности в точке М (х0; Уо'> ?0) имеет вид:
Й I о(Х-Хо) |о {У~Уо) +Ъ L <г-го) = 0'
где I , тМ ,	—значение частных производных в точке (х0\ у0; *о)«
дх |о оу Jo 02 |о
К- п. к сфере (О; г) в точке М, лежащей на сфере, перпендикулярна
радиусу сферы, проведенному в точку касания. К. п. к конусу и цилиндру
(см. Коническая поверхность, Цилиндрическая поверхность) в точке М, лежа-
щей на поверхности, проходит через одну образующую этих поверхностей,
содержащих точку М.
КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО к дифференцируемому многообразию
в точке P£V. Пусть А—координатная окрестность, содержащая точку Р,
и f:A—>Еп- отображение, задающее локальную систему координат в А.
Рассмотрим множество кривых в V, проходящих через точку Р, и таких, что
их образы при отображении / являются дифференцируемыми кривыми в Еп.
Множество всех векторов, касательных к образам этих кривых в Еп, обра-
зуют линейное пространство, называемое К. п. к многообразию V в точкеР.
Можно считать, что К. п. состоит из всех векторов того евклидова (а воз-
можно, и аффинного) пространства, в котором лежит открытый шар Еп.
Если многообразие (в частности, кусок поверхности того или иного чис-
ла г измерений) вложено в объемлющее евклидово (или аффинное) простран-
ство, то К. п. допускает следующее наглядное описание:К. п. является
предельным положением r-мерного линейного многообразия в объемлющем
пространстве, проходящего через г+1 точку A, Plt Р2, Pr£V при
Pz—>Р, 1 = 1, 2, ..., г.
КАССИНИ ОВАЛ—плоская кривая, представляющая собой множество
точек, произведение расстояний которых от двух данных точек постоянно.
Простейшее уравнение К. о. в декартовой системе координат имеет вид:
(x2 + t/2)—2с2 (х2—у2) = а* — с4,
где с—половина расстояния между двумя
данными точками	а2—данная кон-
станта, равная произведению MFi-MF2
(рис. 59).	__
Если а^с^2, то К. о. — выпуклая
кривая вида /, если с < а < с 1^2", то К. о.
имеет вид кривой 2, если а = с, то К. о.
вырождается в лемнискату ыщз 3, если
с < а, то К. о. — кривая вида 4, состоящая
из двух овалов.
224
КАТЕГОРИЯ
К. о. назван по имени французского ученого Джовани Доминико Кассини,
впервые рассмотревшего эту кривую.
КАТЕГОРИЯ — понятие алгебры, имеющее приложение в ряде других раз-
делов математики. К. называется непустое множество to, для некоторых упо-
рядоченных пар которого определена бинарная операция, удовлетворяющая
условиям:
1.	Если оф и Ру определены, то (оф) у и а (Ру) определены и равны
между собой.
2.	Ру определено всякий раз, когда определено (оф) у для некоторого а
и определено Р (уд) для некоторого д.
3.	Для каждого элемента agto существует левая и правая единица 8а,
т. е. такой элемент, что еаа и аеа определены и gap = p и ува = у всякий
раз, когда левые части этих двух равенств определены.
Примеры. 1) К. всех групповых гомоморфизмов; 2) К. всех непрерыв-
ных отображений топологических пространств.
Наряду с приведенным определением часто исходят от эквивалентного
определения К. через /(-объекты и Л-морфизмы. Такое определение несколь-
ко длиннее вышеприведенного, но часто оказывается удобнее для приложе-
ний. Читатель может ознакомиться с ним в [65].
КАТЕНОИД—поверхность, образуемая вра-
щением цепной линии вокруг ее оси (рис. 60).
К. — единственная минимальная поверхность сре-
Жди поверхностей вращения.
Уравнение К. имеет вид:
г __z
»). (♦)
К. обладает следующим свойством. Пусть Sj и
S2— две окружности, полученные пересечением
поверхности (♦) с плоскостями х=—с, х=-\-с
соответственно. Тогда любая поверхность, «края»
Рис. 60	которой совпадают с Sf и Sa, имеет площадь
большую, чем та часть К.» которая расположена
между Sj и S2.
Мыльная пленка, соединяющая и S8 под действием сил внутреннего
натяжения, принимает форму /(,
КАТЕТ—каждая из двух сторон прямоугольного треугольника, лежа-
щая против острого угла.
Греч.; хаОетод (катетос)—отвес.
См. также: Пифагора теорема, Гипотенуза.
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ дифференциальных уравнений—изучение
свойств решений дифференциальных уравнений без нахождения самих реше-
ний. Так как в большинстве случаев решение в явном виде найти невозмож-
но, ясно, что К* т. д. у. имеет большое значение. Основателями К* т* д. у.
являются русский математик А. М. Ляпунов и французский математик А. Пуан?
каре. В дальнейшем большой вклад в развитие К. т. д. у. внесли советские
КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ
225
математики А. А. Андронов, Н. Н. Боголюбов, Н. М. Крылов, В. В. Немы*
цкий, И. Г. Петровский, В. В. Степанов и др.
Основные разделы К. т. д. у.: линейные проблемы, нелинейные проблемы
и зависимость решений от параметров.
Линейные проблемы. Рассматривается система линейных диффе-
ренциальных уравнений:
п
at fe = l
или одно уравнение:
п
1=0
В К.т. д. у. изучается вопрос об асимптотическом поведении решений
таких уравнений при /~* + оо. В зависимости от коэффициентов получаются
оценки роста решений. Выводятся критерии устойчивости решений. Первым
их изучал А.М. Ляпунов. К.т. д. у. занимается также исследованием нулей
решений линейных дифференциальных уравнений (число их, чередование ну*
лей линейно-независимых решений).
Нелинейные проблемы. Рассматривается система уравнений:
^^fi (*ь х»>	(1=1,2......п).
Наиболее важными являются вопросы об устойчивости решений по Ляпу*
нову и о существовании периодических решений. При решении этих вопросов
в основном применяются методы, разработанные Ляпуновым. Подробно изу-
чено поведение решений около особой точки. Важной задачей является иссле-
дование интегральных кривых в целом, а не в окрестности особой точки.
Зависимость решений от параметров. Исследуется вопрос
о сохранении периодических решений при изменении параметров, от которых
зависят правые части. Большое число работ посвящено исследованию урав-
нений с малыми параметрами при старших производных.
Лит.: [12,110].
КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ—методы, дающие возможность указать те
или иные свойства решения задачи без нахождения его. Примерами задач,
решаемых К. м., могут служить следующие: 1) выяснить, устойчивы ли реше-
ния дифференциального уравнения, колеблются ли они, какого типа особые
точки встречаются; 2) указать особенности расположения корней уравнения
f(z) = O, например выяснить, вещественны ли они, в какой полуплоскости
расположены.
С отдельными вопросами качественного характера математика сталки-
валась давно, но широкое распространение К. м. получили лишь в XX в.
Так, основы качественной теории дифференциальных уравнений заложены
трудами русского математика А. М. Ляпунова. Наиболее значительные резуль-
таты в области К. м. в вариационных задачах получены советскими матема-
тиками Л. А. Люстерником и Л. Г. Шнирельманом,
Лит.: [80].
8 Хе 765
226
КВАДРАНТ
КВАДРАНТ—один из четырех прямых углов
какого-либо К., то говорят, что
на плоскости, образованных двумя перпендикуляр-
ными осями координат. Нумерацию К. обычно
производят в направлении против движения часо-
вой стрелки. Первым К. считают тот, стороны
которого—положительно направленные полу-
оси Ох и Оу (рис. 61). Иногда четвертый квад-
рант, взятый в положительном направлении, на-
зывают первым отрицательным К., третий (поло-
жительный)— вторым отрицательным и т. д. Если
вершина угла МОК совпадает с началом коорди-
нат, неподвижная сторона его совпадает с полу-
осью Ох, а подвижная сторона ОМ лежит внутри
К.; на рис. 61 угол МОК лежит во втором К.
угол МОК лежит или расположен в этом
К. также называют координатным углом или четвертью.
Лит.: [157],
КВАДРАТ — прямоугольник, у которого все стороны конгруэнтны, т. е.
прямоугольник, у которого длины всех сторон равны. Приведенные опре-
деления К. являются избыточными: достаточно было бы в определении К.
указать конгруэнтность (или равенство длин) только двух смежных сторон
прямоугольника. К. является ромбом с прямым углом при вершине.
К.— правильный четырехугольник. К. имеет центр симметрии и четыре оси
симметрии.
Вокруг К. можно описать и в него вписать окружность. Из всех
прямоугольников, вписанных в данную окружность (О; г), К. имеет наиболь-
шую площадь. Существует всего 8 перемещений (движений или изометрий),
включая н тождественное, отображающих квадрат на себя.
Иногда рассматривают «одномерный» К., или «каркасный» К., т. е. контур
(границу) К.; «каркасный» К. и окружность гомеоморфны, так как непре-
рывной деформацией, без разрыва и склеиваний, «каркасный» К. можно пре-
образовать в окружность.
Множество ъсех поворотов К. вокруг его центра на углы, равные 0, 90,
180 и 270°, образуют группу поворотов (вращений, преобразований) К. Мно-
жество всех осевых симметрий К. и поворотов его на упомянутые выше углы
составляет также группу самосовмещений К.
К. есть двумерный куб; число вершин л-мерного куба равно 2я; число
вершин К. равно 22 = 4 (и = 2).
См. также: Правильный многоугольник, Куб.
КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА—выражение
A i —|- Ад —АД
п
где А—ошибка измерения, т. е. разность между действительным, истинным
значением величины и ее измеренным значением, п—число измерений, [А2]—
обозначение суммы по Гауссу,
КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
227
К. о. является хорошей мерой точности произведенных измерений и ка-
чества данного ряда измерений по следующим причинам: во-первых, на вели-
чину К. о. сравнительно мало влияют большие по абсолютной величине слу-
чайные ошибки, во-вторых, К. о. устойчива, так что практически достаточно
сравнительно небольшого числа измерений, чтобы определить значение этой
ошибки с удовлетворительной степенью точности.
Чем меньше К. о. оценки, тем более эффективной считается сама оценка.
К. о. иногда называют квадратичной ошибкой.
См. также: Ошибка округления, Погрешность, Округление.
КВАДРАТИЧНАЯ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ — иррациональный корень квад-
ратного уравнения с целыми (рациональными) коэффициентами. Другими
словами, К. и.—корень квадратного уравнения, не приводимого в поле рацио-
„	_	л+в/с
нальных чисел. К. и. всегда может быть представлена в виде ——у2—,где
А, В, С, D£Z, D 0 и С не является квадратом другого целого числа.
Основной теоремой о К. и. является Лагранжа теорема и теорема, обратная ей.
См. также: Квадратное уравнение, Иррациональность п-й степени.
КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА—однородный полином второй степени
п п
F(xi, хг...х„)= 2 S aiixixJ'
i=i/=1
к.ф. характеризуется квадратной матрицей A = ||azy||. При помощи линей-
ного преобразования переменных х с комплексными коэффициентами К.ф.
может быть приведена к виду:
4'1 + 4'! +	26'7Х/-
/=1
Если	а линейные преобразования переменных х рассматриваются
над полем действительных чисел, то К.ф. F приводится к виду:
п
J'? + i'2 + “‘+4's—^+1~•••—4ф	У1= ^biJxJ> « = 1. 2......
i=i
причем независимо от способа приведения F к этому виду количество поло-
жительных квадратов S остается неизменным (см. Инерции закон К. ф. и
Сигнатура К. ф.). При линейном преобразовании переменных xlt х2, .хп с
матрицей С матрица К. ф. переходит в матрицу С АС', где С'—транспонирован-
ная матрица к С.
Ортогональными преобразованиями над переменными х±, х2, ..., хп можно
привести F к виду:
^1У{ + ЪУ* + * “ + кпУп>	(♦)
где 12, sa., — вещественные числа, инварианты К.ф.
Вышеописанные теоремы находят важные и многочисленные применения
во многих отделах математики. Так, в определении типа (вида) кривой (по-
верхности) 2-го порядка в аналитической геометрии по существу решается
8Ф
228
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
задача о приведении К.ф. к виду (♦), а вычисление, например, полуосей
эллипса, гиперболы и т. п. сводится к вычислению чисел Z/ в формуле (♦).
В дифференциальной геометрии рассматриваются К.ф. с переменными
коэффициентами: ац^ац (xr\ ха; 4i.; х„), в связи с чем теория К.ф. напол-
няется новым содержанием. Большое значение среди К-ф. имеют поло житель-
неопределенные К.ф., У которых X/> 0, /=1, 2, л. Рассматриваются
также отрицательно определенные К.ф.
Лит.: [34, 35, 53].
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ—функция вида
f (х) = ах* + Ьх+с, где а # О,
т е. К.ф.—функция, определяемая квадратным трехчленом.
Графиком К.ф. является парабола с Осью симметрии, параллельной оси
пк	f b 4ас—Ь2\
ординат. Вершина параболы имеет координаты I— —; ——1 . Ветви па-
раболы направлены вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0.
График К.ф пересекает ось абсцисс в двух точках, если дискриминант
Д = Ьа—4ас > 0; пересекает в одной точке (касается), если Д = 0, и не пере-
секает ось абсцисс, если Д < 0.
КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ величин xlt х89...9хдот некоторой
величины с—число, равное
-1/ (Х1—С)а + (х8—с)* + • ••+(хп—с)5
V	п
. ,	тл	Xj "4~ "4“ • • • "4“ ХП
Наименьшее значение К. о. имеет при
К. о. случайной величины £ (иначе—среднеквадратичное отклонение) есть
квадратный корень из дисперсии £. К. о., как и дисперсия, является мерой
рассеяния значений случайной величины 5 относительно математического ожи-
дания. Если и — независимые случайные величины с К-о. о^ и оа со-
ответственно, то
а (514 5г) =	<*1 + 02.
Рассматривают также К. о. статистической совокупности. Если статистическая
совокупность задана таблицей *2’	где х/—даты, а // — соответ-
ствующие им частоты, то К. о. этой совокупности равно	’
КВАДРАТИЧНОЕ СРЕДНЕЕ п чисел Oj, Па» ..., ап (я > D — число, рав-
ное
1/* 4~ fl2 4~ • •  ~4~
V п
К. с. является средним чисел аг, а2, ..., ап. К. с. чисел alt а2, *.>» ап
является корнем квадратным из среднего арифметического квадратов данных
чисел. К. с.— частный случай степенного среднего.
КВАДРАТИЧНЫЕ ЧИСЛА—натуральные числа вида л2, где №
К. ч. образуют арифметический ряд 2-го порядка, первые разности кото-
КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ
229
рого составляют натуральный ряд, а вторые разности равны единице. К. ч.
являются частным случаем фигурных чисел,
КВАДРАТИЧНЫЙ ВЫЧЕТ по модулю р (р—натуральное число). Чис-
ло о, взаимно простое с р, называется К. в. по модулю р в том и только в
том случае, если сравнение x2sa(modp) имеет решения, и называется квад-
ратичным невычетом в том и только в том случае, если указанное сравнение
не имеет решений. Если р—простое нечетное число, то половина из чисел
приведенной системы вычетов по модулю р будет К. в., а половина будет
квадратичными невычетами, т. е. и тех и других будет по • Для распо-
знавания К* в. и квадратичных невычетов используется Эйлера критерий.
Этот же вопрос легко решается с помощью символов Лежандра и Якоби
(см. Лежандра символ, Якоби символ).
Пример. По модулю 13 числа 1, 3, 4, 9, 10 и 12 будут К. в., а числа
2, 5, 6, 7, 8, 11 будут квадратичными невычетами.
КВАДРАТИЧНЫЙ НЕВЫЧЕТ по модулю р—см. Квадратичный вычет.
КВАДРАТНАЯ МАТРИЦА л-го порядка—матрица, имеющая
п строк и п столбцов. Если элементы К.м. являются числами (или элемен-
тами некоторого кольца), то определены операции сложения К. м. и умноже-
ния К.м. Именно, сумма А-|-В и произведение АВ К. м. А и В суть соот-
ветственно матрицы
(A + B)zy = а/у + ^/7» (AB)zy = 2
k
здесь A = ||azy||, B = ||6zy||.
Множество всех К. м. порядка п относительно этих операций является
кольцом.
С помощью К.м. задают квадратичные формы и линейные преобразования.
Важными характеристиками К.м. являются определитель, след, собствен-
ные числа, собственные векторы.
КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ с одной переменной — уравнение вида аха+
+ 6х4-с = 0, где а £ 0. Коэффициенты а, Ь, с могут быть как действитель-
ными, так и комплексными числами, однако обычно К. у. рассматривают с
действительными коэффициентами. Всякое К. у. над полем комплексных чисел
имеет всегда два корня. Если в К. у. коэффициент а=1, то такое уравнение
называется приведенным, его обычно записывают в виде: ха+рх+<7 = 0; если
в К. у. 6 = 0, или 6 = с = 0, или с = 0, то К. у. называется неполным.
Если К. у. с целыми коэффициентами имеет один иррациональный корень,
то оно имеет и второй иррациональный корень.
Если а, Ь, с—действительные числа и число z = u-\-vi—корень К. у., то
сопряженное число z = u—vi также корень этого К. у. Иррациональные кор-
ни К. у. с целыми (рациональными) коэффициентами называются квадрати-
ческими иррациональностями.
b	6
Сумма корней К. у. равйа — —, т. е. Xi+*2 =— ~» а произведение
его корней равно ~, т. е. х1х2 = “ (Виета теорема).
230
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
К. у. называется также уравнением 2-й степени с одной переменной.
См. также: Уравнение, Комплексно-сопряженные числа, Иррациональные
числа, Виета формулы.
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН — многочлен второй степени с одной перемен-
ной х, в котором приведены подобные члены, т. е. многочлен вида:
ах*-\-Ьх-\-с, где а 0.
К.т. определяется квадратичная функция.
КВАДРАТРИСА — кривая на плоскости, уравнение которой в прямо-
. лх
угольных декартовых координатах имеет вид: y = *-ctg^, где г—длина ра-
диуса ОА окружности с центром в начале ко-
ординат (рис. 62).
К. может быть определена как множество то-
чек пересечения Р прямых ОМ, равномерно враща-
ющихся вокруг точки О (по часовой стрелке)
и прямых А'В', параллельных оси Оу и равно-
мерно перемещающихся в направлении оси Ох,
указанном стрелкой оси; при этом, когда пря-
мая ОМ повернется вокруг точки О на прямой
угол, прямая А'В' переместится в направлении
оси Ох на расстояние, равное |ОА| = г.
К. была известна древнегреческим математикам: Гиппию Элитскому (V в.
до н. э.), использовавшему ее для решения задачи о трисекции угла, и Дино-
страту (IV в. до н. э.), использовавшему К. для решения задачи о квадра-
туре круга.
Если х-»0, то из уравнения К. получим:
Уо = limxctg^ = lim
х -+ 0	х -> 0
X
. их
tg27
2г
Л ’
откуда, зная отрезок yQ (его длину), можно построить квадрат, равновеликий
кругу радиуса г.
КВАДРАТУРА: 1°. К. фигуры —вычисление ее площади.
2°. К. круга—задача о построении квадрата, равновеликого данному
кругу. Эта задача не разрешима циркулем и линейкой, как и трисекция
угла, удвоение куба. К. к. сводится к решению уравнения х2 = лг2, где х —
длина стороны искомого квадрата, г—длина радиуса данного круга, или по-
строению отрезка длины х= ]/лг-г. Отрезок же длины х построить нельзя
циркулем и линейкой согласно известному критерию построения отрезка; так
как число л—трансцендентное, то отрезок длины яг построить указанными
классическими инструментами нельзя.
Одиако существуют другие средства построения отрезка длиной х, напри-
мер с помощью квадратрисы, а также приближенные способы и механичес-
кие, например с помощью цилиндра Леонардо да Винчи.
3°. К.— вычисление определенных интегралов.
См. также: Критерий, Трансцендентное число.
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
231
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ служат для приближенного вычисления
определенных интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном
числе некоторых точек отрезка интегрирования—узлах функции. К. ф. имеют
вид:
ь
^f(x)dx=A1f (хх) + A J (х2) +... + А п f (х„)+Rnt
а
где хь х2, »*•» Хл—узлы, 41, Л2,	А„—коэффициенты и Rn~остаточный
член К.ф. Важными частными случаями К.ф. являются трапеций формула.
Ко теса формула, Симпсона формула, Чебышева формула.
Лит.: [92].
КВАДРИЛЛИОН—вышедший из употребления термин. К. называлось
число Ю1^ (во Франции и США), а в других странах (Англия, Германия) К.
называлось число 1024.
КВАДРИРУЕМАЯ ОБЛАСТЬ—область плоскости, имеющая плоскую меру
в смысле Жордана (см. Жордана мера) и, стало быть, имеющая площадь.
Для того чтобы область была К. о., необходимо и достаточно, чтобы ее гра-
ница имела меру Жордана, равную нулю. Существуют области, не удовлет-
воряющие этому условию, и следовательно, неквадрируемые.
Лит.: [90, 143].
КВАЗИГРУППА—группоид, в котором каждое из уравнений
ох = д, уа — Ь	(*)
имеет решение и притом единственное. Таким образом, К.— это непустое
множество G={a, b, ...}, в котором определена одна бинарная операция,
называемая умножением и обозначаемая ab = c9 которая удовлетворяет
условию однозначной разрешимости уравнений (*). Гели на операцию К. на-
ложены какие-либо дополнительные условия, то тем самым выделяются те
или иные специальные классы К.
Наиболее важным классом К. являются группы, получающиеся из К.,
если потребовать, чтобы операция удовлетворяла закону ассоциативности.
Другим интересным классом К. являются дистрибутивные К., получаю-
щиеся при условии выполнения для операции в К. законов дистрибутивности:
(ab) с = (ас) (Ьс) и с (ab) = (са) (cb)<
Примером дистрибутивной К. является множество всех действительных чисел
относительно операции взятия арифметического среднего чисел.
Если К. имеет единицу, т. е. такой элемент е, что ае = еа = а при любом
a£G, то К. называется лупой.
Лит.: [16,71].
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ—уравнения вида:
п	_
*»>	*я.	Хп, «) = 0	(•)
относительно неизвестной функции u = u(xlt х2,..., хп).
232
КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
К. у. (*) линейно относительно производных от и, но не относительно
самого и. Если дифференциальное уравнение содержит производные порядка
выше первого, то оно называется квазилинейным, в случае, если оно линейно
относительно старшей производной от и, но нелинейно относительно произ-
водных от и более низкого порядка.
КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ—функции, определяемые тем свой-
ством, чю они могут быть равномерно приближены на всей действительной
оси посредством обобщенных тригонометрических полиномов вида:
5 а»,»,.../>* е1 <я‘а>+л’а*+•••+»*«*>*,
где nlf nit ..., njt — любые числа, аь а2, ...» а* — заданные действительные
числа. Этот класс функций был впервые рассмотрен и подробно исследован
латвийским математиком П. Болем в 1893 г. Боль указал ряд необходимых
и достаточных условий квазипериодичностн функции. В частности, всякая
функция вида
/(х) = /1 (х) + /а(х)+...+/л (X),
где каждая из функций Л (х), /а (х), ...» /Л(х) непрерывна и периодична (пе-
риоды их могут быть различными), является К. ф. Теория К. ф. послужила
основой для создания теории почти-периодических функций.
КВАНТОР — собирательный термин для двух видов операторов математи-
ческой логики. См. Общности К., Существования К.
КВАТЕРНИОН — выражение a-\-bi + с/ + dk, где а, Ь, с, d £ R, a t, /,
k— некоторые символы, связанные между собой и с числом 1 следующей таб-
лицей умножения:
	1 i j k
1	1 i / k
i	i —1 k —j
i	/ —A —1 i
k	k j —i —1
В таблицу выписаны произведения символов, стоящих в столбце, на сим-
волы, стоящие в строке. При этом необходимо сохранять (не переставлять)
порядок сомножителей. Чтобы перемножить два К., надо поступить согласно
правилам умножения многочлена на многочлен и учесть приведенную выше
таблицу умножения. Произведение двух К. зависит от порядка сомножителей.
Число Уa2 + b2+c2-{-d2 называется нормой К.» а произведение (a+&’ +
4- cj + dk) (a—bi—cj—dk) равняется квадрату нормы. К. а—Ы—cj—dk на-
зывают К. сопряженным a-f-bi-\-cj-\-dk. К. образуют алгебру (линейную).
Ненулевые К. образуют группу по умножению. Норма произведения равна
произведению норм.
КЛАСС
233
К. введены в 1843 г. английским математиком Гамильтоном в связи с за-
дачей обобщения комплексных чисел. Фробениусу принадлежит следующая
теорема: все ассоциативные алгебры с делением конечного ранга над полем
вещественных чисел исчерпываются тремя _алгебрами: алгеброй вещественных
чисел, алгеброй комплексных чисел и алгеброй кватернионов.
Термин К. происходит от латинского quaterni — по четыре.
Лит.: [71].
КЕПЛЕРА УРАВНЕНИЕ — уравнение вида у—asiny = x. Это уравнение
впервые рассматривалось И. Кеплером (1571—1630) в связи с задачами не-
бесной механики.
КИБЕРНЕТИКА—наука об общих закономерностях процессов управле-
ния и связи в организационных системах—машинах, живых организмах и их
объединениях. К. также определяют как науку о способах восприятия, пере-
дачи, хранения, переработки и использования информации (см. Теория ин*
формации) в машинах, живых организмах и их объединениях.
Большую роль в создании К. сыграли работы Н. Винера, К. Шеннона,
Дж. Неймана, И. В. Вышнеградского и работы по физиологии И. П. Павлова.
В развитии отечественной К. огромную роль сыграли работы А. Н. Колмого-
рова и А. А. Ляпунова.
См. также: П рограммирование, Алгоритм.
Лит.: [29, 30].
КЛАВИШНАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАШИНА — настольная вычисли-
тельная машина, в которой ввод исходных данных осуществляется ручным на-
бором на клавиатуре. К. в. м. является наиболее массовым современным
средством вычислительной техники для механизации вычислительных и учет-
ных работ. К. в. м. широко используется в инженерно-технических, экономи-
ческих, бухгалтерских и торговых работах.
К. в. м. по степени автоматизации вычислительного процесса делятся
на три группы. Простейшие, где все операции осуществляются вручную, на-
пример BK-I (СССР). Полуавтоматические, снабженные электроприводом и
выполняющие какую-либо одну операцию автоматически, например ВК-2
(СССР) или „Зоемтрон-210“ (ГДР), автоматические, где лишь ввод исходных дан-
ных осуществляется вручную, а далее все операции выполняются автоматически
по команде оператора, например „Зоемтрон-221“ (ГДР) или „Вега“ (СССР).
Среди автоматических К. в. м. особо выделяются модели, почти полностью
оборудованные на электронных элементах. Такие К. в. м. по быстродействию,
бесшумности, программности управления создают новые возможности. Габа-
риты К. в. м. постепенно уменьшаются, что привело к созданию карманных
К. в. м.
КЛАСС — термин, имеющий различные значения. Например, при разбиении
некоторого множества на непересекающиеся подмножества, родственные по
какому-либо признаку элементов, говорят о разбиении множества на К.
Часто разбиение множества на К. определяется некоторым отношением экви-
валентности (обозначается~), удовлетворяющим требованиям: \)х~х (рефлек-
сивность); 2) если х~у, у—г, то х—z (транзитивность); 3) если х—у, тоу^х
(симметричность). В этом случае К. является совокупностью эквивалентных
между собой элементов.
234
КЛЕЙНА ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
В аксиоматике теории множеств К. —первичное понятие, более общее,
чем множество.
Примеры
1. Пусть дана группа G и ее подгруппа И. Введем в G отношение экви-
валентности: х~у, если ху~* £ Н. К., возникающие при этом, называются
классами смежности группы G по подгруппе Н,
2. Пусть дано число anan-i. ♦ .a8a8alt где а/=0, 1, 2, ,,,, 9, ап 0.
Тогда всякую группу цифр а/+2а/+1а/, isl(mod3) называют К.» читая
справа налево. Группа цифр a3a2ai—первый К-(К. единиц), ава6п4—второй К.
(К. тысяч) и т. д. К. цифр пишутся друг от друга с некоторым промежутком.
КЛЕЙНА ИНТЕРПРЕТАЦИЯ (Клейна модель) —отображение объектов
плоскости Лобачевского в объекты евклидовой плоскости по следующему закону:
У
Рис. 63
точкам плоскости Лобачевского соответству-
ют точки (х; у) открытого круга S (х2 + у2 < 1)
евклидовой плоскости; прямым плоскости Ло-
бачевского соответствуют хорды окружности
х2 + у2=1; движениям в плоскости Лобачевс-
кого соответствуют преобразования круга S в
себя такие, которые, являясь проективными
X преобразованиями плоскости х, у, переводят
кругЗ в себя; расстояние между любыми точ-
ками А, В плоскости Лобачевского равняется
логарифму сложного отношения четырех точек
(а^а,	где а, b—точки круга, соответствую-
щие Af, Bi, a at, bi—концы хорды, содер-
жащей точки а, b (рис. 63).
К. и. позволяет легко видеть, что через данную точку проходит беско-
нечное множество прямых плоскости, не пересекающих заданную прямую.
К. и. явилась исторически первым доказательством непротиворечивости
геометрии Лобачевского (см. Интерпретация)-, К- и. предложена немецким
математиком Ф. Клейном в 1871 г.
Лит.: [60].
КЛЕРО УРАВНЕНИЕ—обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
у = ху‘ + <р (у'), где ф—дифференцируемая функция. Общее решение К. у. по-
лучается из него заменой у' произвольным постоянным числом С. К. у. на-
звано именем французского математика А. Клеро (1713—1765).
КЛЕТКА (размерности л)—подмножество еп хаусдорфова топологического
пространства X такое, для которого существует гомеоморфное отображение
f:En—► еп,
где Еп—внутренность n-мерного шара; при этом требуется еще, чтобы гра-
ница шара Еп отображалась под действием f на множество (ёп озна-
чает замыкание еР в пространстве Х\ от f на S'1-1 требуется только непре-
рывность).
Продолжение f с Еп на однозначно определено по непрерывности
(при естественных предположениях).
КЛЕТОЧНОЕ РАЗБИЕНИЕ
235
Отображение f, определенное на замкнутом шаре Еп евклидова простран-
ства, называется характеристическим отображением клетки.
Пример. К. размерности 2 является множество точек сферы S2, при-
надлежащих «северному полушарию», при этом — проекция на горизон-
тальную плоскость.
Лит.: [144].
КЛЕТОЧНОЕ РАЗБИЕНИЕ хаусдорфова топологического пространства
X—разбиение пространства X на непересекающиеся подмножества, удовлет-
воряющие следующим свойствам:
1.	Каждое такое подмножество—клетка.
2.	Граница каждой n-мерной клетки разбиения принадлежит п — 1-мерному
остову, т. е. совокупности точек всех клеток разбиения, размерности которых
меньше, чем п.
3.	Подмножество пространства X замкнуто тогда и только тогда, когда
замкнуто его пересечение с замыканием любой клетки.
4.	Каждая клетка содержится в замкнутом множестве, являющемся объ-
единением конечного числа клеток.
Пространство X, допускающее К. р.» называется клеточным полиэдром
или клеточным комплексом. Тот же смысл имеет термин С№-комплекс, заим-
ствованный из зарубежной литературы (С и W—начальные буквы слов Clo-
sure-finite, Weak topology).
Всякое подмножество клеток, содержащееся в данном К. р.» называется
подкомплексом, если объединение всех точек рассматриваемых клеток явля-
ется замкнутым в X. Подкомплекс, очевидно, является комплексом (характе-
ристические отображения клеток подкомплекса считаются совпадающими с
соогветствующими отображениями клеток комплекса). В частности, множество
всех клеток К. р. размерности меньшей или равной т является подкомплек-
сом и называется m-мерным остовом К. р.
К. р. задает граничный оператор, с помощью которого определяются
Бетти группы пространства X.
К. р. является удобной моделью пространства X при исследовании гомо-
топических свойств пространства X.
Примеры
1. Сфера S2. К. р. состоит из двух клеток е2, е° размерности 2 и 0 со-
ответственно. Клетка е2 является гомеоморфным образом внутренности круга
к2 + У2 1 — множеством всех точек сферы, за исключением ее северного по-
люса. Этот гомеоморфизм можно задать, например, с помощью стереографи-
ческой проекции', —нульмерная клетка, состоящая из единственной точки —
северного полюса сферы.
2. Двумерное вещественное проективное пространство RP2. Моделью RP2
будем считать множество точек сферы х2 + у2 + z2 = 1 с отождествлением
(х, у, z)~(—х,—у,—г). Действительно, RP2—множество прямых в трехмер-
ном пространстве, проходящих через начало координат. Каждой такой пря-
мой можно поставить в соответствие пару точек на сфере (точки пересечения
прямой и сферы). К. р. состоит из трех клеток: е2, е1, е°. Клетка е2—верх-
няя половина сферы (гомеоморфизм открытого круга и верхней половины
сферы предполагается произвольным, но фиксированным), Граница де2 клетки е2
236
КЛЕТОЧНЫЙ КОМПЛЕКС
принадлежит одномерному остову RP*. Этот последний является окружностью
с отождествлением (х, У)~(— х,—у). Клетка е1 состоит из точек
(х, у) окружности, для которых у > 0; клетка е°—точка /?Р2, определяемая
тройкой (0; 1; 0) или (0; — 1; 0). Осталось описать характеристическое отоб-
ражение клетки е2 на границе. Поскольку одномерный остов является окруж-
ностью, имеем:
Si=&4
Можно показать, что это отображение устроено так. Пусть S1—точки
единичной окружности комплексной плоскости |z| = l. Тогда /(z) = a2.
Лит.: [144].
КЛЕТОЧНЫЙ КОМПЛЕКС—см. Клеточное разбиение.
КЛЕТОЧНЫЙ ПОЛИЭДР—см. Клеточное разбиение.
КЛОТОИДА—то же самое, что и спираль Корню (см. Корню спираль).
КОВАРИАНТНОСТЬ И КОНТРАВАРИАНТНОСТЬ —понятие линейной ал-
гебры и тензорного анализа. Пусть в n-мерном линейном пространстве заданы
своими координатами две величины (см. Тензор и Спинор): х(хг; х2;	*л),
у (у^ у2\ ...; у^. Если при изменении базиса линейного пространства обе они
преобразуются при помощи одинаковой матрицы, то х и у называют ковари-
антными. Если же матрица А преобразования величины х связана с матрицей
В преобразования величины у соотношением А = В'~1, В'”1 транспонирова-
ния, обратная В матрица, то х и у называются контравариантными (конгра-
гредиентными). Например, вектор и линейная форма контрагредиентны (коор-
динаты вектора и коэффициенты линейной формы преобразуются так, как
указано выше).
Лат.: со (cum) — совместно, сообща, contra — напротив, наоборот, vario —
изменяюсь.
Лит.: [118].
КОДИРОВАНИЕ множества слов R алфавита А—отображение <р этого
множества в некоторое множество слов алфавита В. Образ R' множества R
при этом отображении ср называется кодом множества R. Слова из/?' называ-
ются кодовыми словами; при этом, если слово г из R отображается в сло-
во г* из /?', то г' называется кодом слова г. Слова из R называются сообще-
ниями, А — алфавитом сообщений, В—кодирующим алфавитом.
Если кодирующий алфавит состоит из двух букв, например В = {0; 1},
то код /?' множества R называется двоичным.
См. также: Алфавит.
КОЛЕБАНИЕ ФУНКЦИИ на множестве А—разность между верхней
гранью и нижней гранью значений функции на множестве А.
КОЛИЧЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО — числовая характеристика всех эквивалент-
ных конечных множеств. К. ч. показывает количество элементов множества.
Аналогом понятия количества элементов для бесконечных множеств явля-
ется мощность множества.
См. также: Кардинальное число, Порядковое число, Алеф, Мощность мно-
жесте а.
КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ векторного (линейного) пространства—два
вектора а и Ь, удовлетворяющие при некотором числовом X условию а = Ад.
кольцо
237
К. в. в трехмерном или двумерном аффинном пространстве изображаются
параллельно направленными отрезками (сонаправленными и противопо-
ложно направленными).
Лат.: со (cum)—вместе, сообща, lineo— линия.
КОЛЛИНЕАЦИЯ в проективной геометрии — всякое преобразование
плоскости, при котором прямая преобразуется (отображается) в прямую.
См. также: Корреляция, Перемещение,
КОЛОГАРИФМ числа х при основании а(а > 0,	1) —логарифм числа
_L(x/O). Обозначается К. так: cologex. К. используется иногда при лога-
рифмических вычислениях: чтобы избежать действий с отрицательными ман-
2
тиссами, вычитание заменяют сложением, например lg -^-= 1g 2—1g 3 = lg2 4-
о
2
+ colg3, colg3 = —lg3 = —0,4771 = 1,5229; lg-5-=0,3010 + 1,5229 = 1,8239.
О
В настоящее время термин К. выходит из употребления, однако отрица-
тельная мантисса логарифма часто заменяется положительной, если всему ло-
гарифму числа придать искусственную форму записи (характеристика лога-
рифма пишется под знаком минус).
КОЛЬЦО: 1°. К. — совокупность элементов произвольной природы, для
которых определены две бинарные операции — сложение (обозначается 4-) и ум-
ножение (обозначается •)• Каждая из этих операций ставит в соответствие вся-
кой упорядоченной паре элементов некоторый элемент К., причем должны
выполняться следующие условия: 1) a-{-b = b-]- а—коммутативность сложения;
2) (a-hh)+c= а+ (Ь-4-с) —ассоциативность сложения; 3) для любых а и b
уравнение а-]-х = Ь имеет единственное решение;	у
4) дистрибутивность умножения по отношению к
с ложен ию: а (Ь 4- с) = ab 4- ас, (Ь 4- с) а = ba + са.	::
В К. может отсутствовать ассоциативность
умножения (неассоцнативные К.) и коммутатив-	1-
ность умножения (некоммутативные К-); необяза-	----1
тельным для К- является также наличие едини-
цы. Не следует путать операции сложения и
умножения в К., определенные на элементах про-
ИЗВОЛЬНОЙ ПрирОДЫ, С ОбыЧНЫМ СЛОЖеНИеМ И ум-
ножением чисел. Общим для первого и второго	рис
являются только законы 1—4.
Примеры К. 1) Вещественные числа, взятые с обычными операциями
сложения и умножения; 2) совокупность многочленов от одной переменной
относительно операций сложения и умножения многочленов; 3) совокупность
всех кососимметрических матриц л-го порядка с естественной операцией сло-
жения матриц и с операцией умножения, определяемой формулой ab = ab~-ba,
где ab и Ьа означают обычные произведения двух матриц. Это К. бег еди-
ницы, а также без ассоциативного и коммутативного законов умножения.
Лит.: [71, 85].
2°. К.— множество точек евклидовой плоскости, ограниченное двумя кон-
центрическими окружностями и содержащее эти окружности (рис. 64).
288
КОЛЬЦО ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
Если центр концентрических окружностей совпадает с началом прямо-
угольной системы координат и радиусы (длины их) окружностей равны ri
и rj (г2 > и), то К. есть множество точек плоскости, координаты которых
удовлетворяют условию (двойному неравенству):
КОЛЬЦО ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ — ассоциативно-коммутативное кольцо с
единицей и без делителей нуля, в котором всякий идеал является главным
идеалом.
Примерами К. г. и. могут служить кольцо целых чисел Z и кольцо мно-
гочленов Р [х] над произвольным полем Р. В обоих случаях идеал, порож-
денный п элементами ai, п8, »*., ап, совпадает с главным идеалом, порож-
денным их наиболыиим общим делителем. Вообще всякое евклидово кольцо
является К. г. и.
Лит.: [24, 71].
КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ над ассоциативно-коммутативным кольцом А
с единицей е можно построить (для одного неизвестного) как множество
всевозможных счетных последовательностей
«=(“о> «1. «2. *••). «16 А,	(♦)
в которых лишь конечное число и/ отлично от нуля. Операции сложения и
умножения вводятся по определению как:
u+v = (uQt ult и2, ...) + (уо» и** *..) = («о + ^о> «1 + ^1»	+	*.•)>
uv = w = (wOt Wft w2, .».), где wk— 2	= 0 или k£N).
i+j=k
Легко проверяется, что тем самым построено ассоциативно-коммутативное
кольцо, которое и называется К. м. от одного неизвестного (или от одной
переменной) над кольцом А и обозначается А [х]. Построенное К. м. содер-
жит подкольцо, изоморфное кольцу А. Это подкольцо состоит из последова-
тельностей вида (а, 0, 0, 0, .».) для всех а£А. Если идентифицировать такую
последовательность сан обозначить последовательность (0, е, О, О, .».)
через х, то многочлен (или полином) (*) можно представить в привычном виде:
и (х) = Uq + щх + н2х2 +.., + и^п,
где ип— последний, отличный от нуля, элемент последовательности (*). Эле-
менты щ (i = 0, 1, <<», п) называются коэффициентами многочлена, ип—на-
зывается старшим коэффициентом, а п0—свободным членом. Индекс старшего
коэффициента ип многочлена и называется степенью многочлена и часто обоз-
начается через deg и. В частности, dega = 0 для всех кроме а=0.
Многочлен 0 считается многочленом без степени или же полагают degO»—оо.
Справедливы следующие соотношения:
deg (« + у) max (degiz, degt»), deg (uv)	deg и + deg u.
Если А*-кольцо без делителей нуля, то и Л [х] — кольцо без делителей
нуля, т. е. целостное кольцо.
Важность К. м. определяется рядом факторов и в том числе тем, что
в произвольном ассоциативно-коммутативном кольце # для любого подкольца А
КОММУТАТИВНОСТЬ
239
в любого t^K подкольцо {А, /}, порожденное этим подкольцом А и элемен-
том /, будет гомоморфным образцом К. м. А [х].
К. м. от п неизвестных (п переменных) А [хь х2, ««*, хл] для любого n£Z
строится индуктивно как Ап_г [хл], где Лл-1 = А[хх-, х2,	хл-1].
Лит.: [66, 72].
КОЛЬЦО С ЕДИНИЦЕЙ—кольцо /<, в котором существует элемент е,
называемый единицей, такой, что для любого а£/(, еа=ае = а.
Например, множество всех целых чисел относительно обычных арифме-
тических операций сложения и умножения образует К. с е., но множество
всех четных чисел относительно этих же операций образует кольцо, но без
единицы.
КОМБИНАТОРИКА—раздел элементарной математики, в котором для
конечных множеств рассматриваются различные соединения элементов, такие,
как сочетания, размещения, перестановки, а также все эти виды соединений
с повторениями и сходные понятия. Задачи К. впервые рассматривались
в XVI — XVIII вв. в связи с возникновением теории вероятностей, где к за-
дачам К. приводит подсчет вероятностей на основе гипотезы «равновозможных»
элементарных событий. К. используется также в алгебре многочленов, напри-
мер в Ньютона биноме и в его обобщении—полиномиальной теореме.
Лит.: [28].
КОМБИНАТОРНАЯ ТОПОЛОГИЯ —раздел топологии, изучающий топо-
логические пространства с помощью разбиения их на простейшие части —
симплексы. В терминах целочисленных линейных комбинаций симплексов
(называемых цепями), а также операции взятия границы устанавливаются
важнейшие топологические инварианты рассматриваемых пространств—Бет-
ти группы, Бетти числа, Пуанкаре характеристика и др. При изучении
непрерывных отображений топологических пространств, допускающих раз-
биения на симплексы, обычно заменяют заданное непрерывное отображение
близким к нему симплициальным отображением, т. е. таким, которое пере-
водит симплекс в симплекс.
Методами К. т. были доказаны глубокие топологические теоремы.
Лит.: [4, 109].
КОММУТАНТ—термин теории групп. К. называется подгруппа группы G,
порожденная всевозможными ее коммутаторами. К. является нормальным,
делителем группы. Факторгруппа группы по ее К. является абелевой группой.
КОММУТАТИВНАЯ ГРУППА—то же, что абелева группа.
КОММУТАТИВНОЕ КОЛЬЦО—кольцо, в котором умножение удовлетво-
ряет закону коммутативности: ab = ba. К. к. не образуют хорошо изученного
класса колец в отличие от ассоциативно-коммутативных колец.
Лит.: [24, 71].
КОММУТАТИВНОСТЬ—свойство, которому может удовлетворять бинар-
ная операция. Если бинарную операцию записывать как умножение, то закон
К. имеет вид: ab = ba.
Термин происходит от латинского commutare—перемещать. Поэтому
часто закон К. называют переместительным законом.
Примерами операций, удовлетворяющих закону К., могут служить сло-
жение и умножение чисел, пересечение и объединение множеств, дизъюнкция
240
КОММУТАТОР
и конъюнкция высказываний. Примерами операций, не удовлетворяющих за-
кону К., могут служить деление и вычитание чисел (так как, вообще говоря,
a-.b^bta и а—b^b—а), умножение подстановок, умножение матриц, век-
торное умножение.
КОММУТАТОР—термин алгебры, применяемый при изучении некомму-
тативных групп, колец, алгебр и *т. д. К. элементов а и b равен
(в группе) и ab—Ьа (в кольце).
КОМПАКТ—компактное метрическое пространство, в частности любое
ограниченное замкнутое множество евклидова пространства.
КОМПАКТНОСТЬ—термин топологии, широко используемый во многих
разделах математики. Множество М топологического пространства называется
счетнокомпактным, если любая бесконечная последовательность точек этого
множества имеет предельную точку, принадлежащую множеству М. Множе-
ство М называется компактным, если из всякого его открытого покрытия
можно выбрать конечное подпокрытие (см. Бикомпактность). Если М лежит
в конечномерном евклидовом пространстве, то М компактно (и счетноком-
пактно) тогда и только тогда, когда М ограничено и замкнуто. Множество
всех единичных векторов гильбертова пространства—единичная сфера — не
счетнокомпактна, хотя является замкнутым и ограниченным множеством.
Непрерывные функции на компактном множестве обладают рядом замечатель-
ных свойств: всякая непрерывная функция на компактном множестве огра-
ничена и достигает своего максимального и минимального значений.
Примеры компактных множеств: 1) отрезок [а; 6] на числовой прямой;
2) окружность в евклидовой плоскости; 3) канторово множество.
Лит.: [6].
КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ векторного (линейного пространства)—век-
торы, принадлежащие двумерному линейному подпространству. Три вектора
а, Ь, с компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы, т.е.
когда по крайней мере один из них является линейной комбинацией осталь-
ных. В трехмерном аффинном пространстве К. в. изображаются направлен-
ными отрезками, параллельными некоторой плоскости. Если векторы а*, а2, ...
—►
*.., ат линейного пространства заданы своими координатами
«/(«л; ад •••; ад), f=i, 2, ..., т,
то необходимым и достаточным условием компланарности этих векторов яв-
ляется неравенство
Rank А <2;
здесь А—матрица Цд/уЦ размератхп; /=1, 2, ..., п\ /=1, 2, ..., т. Rank
означает ранг. В частности, для трех векторов Мад ад д13), да(ад «22’, «23),
«з(«зй «82» «зз) трехмерного пространства таким условием будет
det (I aij |) = 0 или (аь а2, а2) = 0,
где (ад a2t а3) означает смешанное произведение.
КОМПЛЕКСНАЯ СТРУКТУРА
241
КОМПЛЕКС симплициальный—одно из основных понятий комбинаторной
топологии. Изучение широкого класса топологических пространств сводится
к изучению топологических свойств К* Симплициальный К. есть совокупность
симплексов различных размерностей, которая удовлетворяет следующим ус-
ловиям:
1. Пересечение любых двух симплексов, размерности п± и п2, входящих
в К., есть симплекс размерности, меньшей или равной min (пр л2), или
пустое множество.
2. Если симплекс принадлежит К-, то все его грани принадлежат К.
Размерностью К* называется наибольшая из размерностей симплексов,
входящих в него.
Пример. Пусть S—многогранник в трехмерном евклидовом простран-
стве, каждая грань которого — выпуклый многоугольник. Диагонали, прове-
денные в каждом таком многоугольнике из фиксированной вершины, разби-
вают его на треугольники—симплексы. Множество таких треугольников
(симплексов размерности два), множество сторон многоугольников и построен-
ных диагоналей (симплексов размерности один) и множество вершин много-
гранника (симплексов размерности нуль) образуют симплициальный комплекс.
Лит.: [109, 4].
CW-КОМПЛЕКС—см. Клеточное разбиение.
КОМПЛЕКС ПРЯМЫХ—совокупность прямых, зависящих от трех пара-
метров. К- п. заполняет все пространство или его часть так, что через каж-
дую точку проходит бесконечное множество прямых этой совокупности. Прямые
К. п., проходящие через некоторую точку, образуют конус с вершиной в этой
точке. Если конус вырождается в плоские пучки прямых, то К. п. называется
линейным.
См. также: Линейчатая геометрия.
КОМПЛЕКСНАЯ СТРУКТУРА. Всякое n-мерное линейное пространство Сп
над полем комплексных чисел С порождает 2п-мерное линейное простран-
ство /?2п над полем вещественных чисел R следующим образом. Пусть elt е2, ...
..., еп (*)—базис в Сп. Рассмотрим векторы elt ielt е2, ie2, ..., еп, ien (*♦),
где i=y^—1. Эти векторы линейно независимы над полем вещественных
чисел R, и каждый вектор из Сп единственным образом выражается через
вектора (**) в виде линейной комбинации с вещественными коэффициентами.
Таким образом, линейная оболочка векторов (♦♦) над полем R является
2п-мерным вещественным линейным пространством.
В некоторых задачах геометрии требуется по заданному 2п-мерному ве-
щественному линейному пространству R2n построить n-мерное комплексное
линейное пространство Сп, такое, чтобы порождаемое этим Сп вещественное
2п-мерное пространство совпадало бы с исходным R2n. Если такое Сп найдено,
то говорят, что исходное R2n обладает К. с.
Вычисление К. с. для данного Rin может быть проведено средствами
линейной алгебры. Именно, пусть /—линейное преобразование J?2n, удовлет-
воряющее условию /2 = — Е, где Е—тождественное преобразование. Преоб-
разование / имеет два собственных значения 4-1 и —I. Пусть е2, ..., ~еп
п линейно независимых над R векторов из /?2„, принадлежащих собственному
242
КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО
значению+£ (такие векторы существуют). Положим далее ie^Ie^
2, п (***). Этим определено умножение каждого вектора из линейной
вещественной оболочки векторов (**») на i, а следовательно, по линейности,
и на любое комплексное число. Комплексная линейная оболочка векторов
(♦♦♦) является искомым Сп.
Всякая К. с. может быть построена с помощью преобразования /, /2 =—Е
указанным выше способом. В этом смысле часто К. с. называют само преоб-
разование /.
Говорят, что К. с. инвариантна относительно множества W вещественных
преобразований /?2п, если 1А — А1 для всех	Преобразования A£W
при этом можно рассматривать как линейные преобразования комплексного
линейного пространства Сп, соответствующего преобразованию /.
КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО—в первоначальном представлении—выражение
вида а + где a, b£Rt i—некоторый символ. Множество всех К. ч. (поле
К. ч.) обозначают С. Сложение, умножение и деление К. ч. задается формулами:
(a + bi} + (x+yi)^(a + x) + (b + y)i9
(а+Ы) (х+yi) = (ах—by) + (ay + bx) i,
a-\-bi _____ax-f-by , bx—ay .
x-[-yi ““ xa4-^2 “• x2 + ^2 X‘
В К. ч. z = a+bi число а называется действительной его частью (обозна-
чается a=Rez), а число b называется мнимой частью (обозначается & = Imz),
Чисто мнимым называется К. ч. z, такое, что Rez = 0.
Вещественные числа являются частным случаем К. ч. (когда коэффициент
при i равен нулю). Хотя К. ч. не выражает количества, как это имеет место
у действительных чисел, применение их бывает полезно в решении задач,
составленных в терминах действительных чисел, например задач о прохож-
дении тока через проводник, о профиле крыла самолета и др.
Не менее важным является применение К. ч. для чисто математических
задач. Так, нахождение действительных корней кубического уравнения тре-
бует действий с К. ч. Исторически К. ч. были введены в связи с решениями
уравнений второй степени. Одним из корректных определений *К. ч. является
следующее: К. ч. есть упорядоченная пара действительных чисел (а; Ь). Сло-
жение, умножение и деление определяется формулами:
(п; £) + (*; У) = (а+х; Ь + у),
(а; д) (х; у) = (ах—by; ay + bx)t
(а; b) / ах-\-Ьу . bx—ау \	(*)
(х; У)	\ х2+у8 ’ х2+у2 /
Пара (0; 1) называется мнимой единицей и обозначается символом ь
Пара (1; 0) играет роль единицы при умножении К. ч. Из формулы (*) выте-
кает, что i2 =—1. Действия над К. ч. удовлетворяют обычным законам ком-
мутативности, дистрибутивности и ассоциативности (как и в случае действи-
тельных чисел). Множество пар вида (а; 0) образует подполе, изоморфное
полю /?.
КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННЫЕ ЧИСЛА
243
Одним из важнейших свойств К- ч. является то, что любой многочлен
степени п 1 с комплексными коэффициентами имеет ровно п комплексных
корней, считая их кратность. Это следует из основной теоремы алгебры (см.
Алгебры основная теорема) и Безу теоремы.
Иногда удобно записывать К. ч. в тригонометрической форме:
а+ bl = p (cos(p + t sinqp),
р== Ya2 + b2t ф = arctg-^-+2л&, k£Z для а > 0 и ф=л + arctg-^—|-2nfc, k^Z
для а<0; при а = 0, ф=у , если b > 0, и ф=— у , если b < 0. Число р на-
зывается модулем К. ч., а ф—его аргументом. В такой форме очень удобно
производить умножение К. ч.: при умножении К. ч. их модули перемножа-
ются, а аргументы складываются. Из этого правила вытекает формула Муавра:
(cos ф + i sin ф)" = cos лф + i sin лф.
К. ч. часто изображают векторами на комплексной плоскости. При сло-
жении К. ч. их векторы складываются по правилу параллелограмма. К. ч.
в тригонометрической форме тесно связаны с показательной функцией мни-
мого аргумента; имеет место формула Эйлера:
е*<₽ = со8ф + / эшф;
с ее помощью определяются возведение в степень К. ч., логарифмы К. ч. и др.
К. ч. образуют алгебраически замкнутое поле (см. Поле и Алгебраически
замкнутое поле). Поле К. ч. является расширением поля действительных чисел
путем присоединения к последнему элемента i такого, что i2 = —1.
Лит.: [66, 72].
КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННЫЕ ФУНКЦИИ—две функции комплекс-
ного переменного, у которых действительные части равны, а мнимые части
противоположны по знаку.
КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННЫЕ ЧИСЛА —комплексные числа вида z =
= a-|-W и z — a—bi. Такие два числа называют также взаимно сопряжен-
ными, или, что то же, каждое из чисел z и г называют сопряженным с дру-
гим (или другому),— это соответствует более общему термину сопряженных
чисел. Если обозначать переход от комплексного числа z к сопряженному
с ним черточкой над числом, т. е. z, то имеют место следующие равенства:
*l + *a = *il + *L *1*2 = *1*^ 2= г,
которые могут быть прочитаны так: число, комплексно-сопряженное сумме
(произведению), равно сумме (произведению) комплексно-сопряженных слагае-
мых (сомножителей), и число, комплексно-сопряженное с комплексно-сопря-
женным z, равно исходному комплексному числу.
Сумма К.-с. ч.— действительное число, равное удвоенной (их общей) бей-
244
КОМПОЗИЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ
ствительной части, т. е. z-f-z = (a+60 + (fl—Ы) = 2а. Произведение К.-с. ч.—
также действительное число, равное квадрату (их общего) модуля, т. е.
z'z — (a-\-bi) (а—Ы) = а2 + Ь2 =г2.
Число совпадает со своим сопряженным тогда и только тогда, когда оно
действительно. Отображение множества всех комплексных чисел в комплексно-
сопряженные с ними является автоморфизмом поля комплексных чисел. При
геометрической интерпретации комплексных чисел такое отображение озна-
чает симметрию относительно действительной оси.
КОМПОЗИЦИЯ (СУПЕРПОЗИЦИЯ) ОТОБРАЖЕНИЙ (в частности, пре-
образований). Пусть дано отображение a: Af —► N множества М в N и дано
второе отображение ($: А—множества А в L. Таким образом, a(x)£N и
P(^)g£ для любого х£М, y£N. Тогда К.о. а и Р называется новое ото-
бражение множества М в L, обозначаемое роа и определяемое для всякого
х£М следующим образом:
(Роа)(х) = Р(а(х)).
При таком определении К.о. сначала применяется «правое» отображе-
ние а и к его результату применяется р, т. е. запись производится справа
налево. Можно ввести наряду с упомянутой «левой» К.о. и правую Ко. ♦.
Если записывать отображения в виде правых операторов, т. е. как ха, то
К.о. можно записывать:
х(а*Р) = (ха)р.
Оба способа записи, левая и правая, равноправны, хотя в школьном препо-
давании используется первый способ.
Так как функция тесно связана с отображением, то в школьном курсе
говорят о композиции функции: (fog) (x) = f(g (х)).
КОМПОНЕНТА — составная часть. Так, координаты вектора, слагаемые
суммы, множители произведения называют К. соответственно вектора, суммы,
произведения. Вместо термина К. иногда употребляется компонент.
К. связности точки топологического пространства называется множество
всех точек пространства, которые могут быть, соединены с данной непрерыв-
ной кривой. К. точки топологического пространства является одновременно
открытым и замкнутым множеством. К. единицы топологической группы
является топологической группой.
КОНВЕНЦИОНАЛИЗМ — направление в философском толковании мате-
матики. К. рассматривает математику как науку, развивающуюся на основе
соглашений (конвенций), касающихся признания аксиом. Выбор же этих ак-
сиом производится из соображений удобства мышления. Основатель К., круп-
ный французский математик А. Пуанкаре, создавая это течение, абсолютизи-
ровал аксиоматический метод построения математики. Для конвенцианалистов
вопрос, например, об истинности различных геометрий (см. Неевклидовы гео-
метрии) не существует.
В 30-х гг. XX в. в связи с развитием математической логики получили
развитие некоторые новые аспекты К. (Р. Карпан (Австрия), К- Айдукевич
КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ ФОРМУЛА
245
(Польша)). Однако в настоящее время интерес к концепциям К. заметно
ослаб. Некоторые положения К- входят как составные части в различные
направления идеалистической и позитивистской философии.
КОНГРУЭНТНОСТЬ — одно из основных бинарных отношений, заданное
на множестве фигур на плоскости или в пространстве евклидовой геометрии.
Отношение К. является отношением эквивалентности. К. есть свойства фигур
быть конгруэнтными. Если фигуру ф можно отобразить на фигуру ф' так,
что для любых точек А и В расстояние между точками А и В фигуры ф
равно расстоянию между соответствующими точками А' и В' фигуры ф', то
говорят, что фигура ф конгруэнтна фигуре ф'. Это отношение К. обозна-
чается знаком s*. Аналогичное определение дается конгруэнтным множествам.
Можно доказать, что все лучи конгруэнтны, все прямые конгруэнтны.
См. также: Перемещение (Движение), Отношение, Расстояние.
КОНГРУЭНЦИЯ (конгруенция) в алгебре. Отношение эквивалентности
(см. Эквивалентность) л, определенное на алгебраической системе 9Л =
= <А, Qf, Qp>, называется К-, если для любой операции и /и; пар эле-
ментов а^, а2, ..., ат, a'v а'2, ..., a'mt таких, что ^.naj(/ = l, 2, ...» т.),
выполняется
Fi(alt а2, ..., ат.)пР1(а'ъ а2, ..., а'т^
По любой К.л алгебраической системы ПЛ можно взять фактор-систему ПЛ/л.
Лит.: [71, 85].
КОНЕЧНАЯ ГРУППА—группа, состоящая из конечного числа элемен-
тов. Число элементов К.г. называется порядком группы. Теория К.г. яв-
ляется в настоящее время одним из разделов общей теории групп, которая
развилась, первоначально отправляясь от К.г.
Лит.: [70].
КОНЕЧНООПРЕДЕЛЕННАЯ ГРУППА—группа, имеющая конечную сис-
тему образующих и задаваемая конечным числом определяющих соотноше-
ний (см. Определяющие соотношения).
Лит.: [70].
КОНЕЧНОПОРОЖДЕННАЯ (УНИВЕРСАЛЬНАЯ) АЛГЕБРА —универ-
сальная алгебра, имеющая конечную систему образующих. М. Например, го-
ворят о конечнопорожденных группах или группах с конечным числом обра-
зующих. Если система образующих М группы G состоит из одного элемента,
то группа называется циклической.
Лит.: [71, 85].
КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ ФОРМУЛА (Лагранжа формула)—формула,
выражающая связь между приращением дифференцируемой функции f (х) и
значением ее производной; эта формула имеет вид: f(b)—f(a)(с) (b—а),
где с—некоторое число, удовлетворяющее неравенству а < с < Ь. К.п.ф. имеет
место для любой функции f (х), если она определена и непрерывна в замк-
нутом промежутке [а; 6], а ее производная /' (х) существует по крайней мере
246
КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ
в открытом промежутке ]а; £[. Геометрически
(рис. 65) К.п.ф. выражает тот факт, что на дуге
всегда найдется по крайней мере одна точка С, в
которой касательная параллельна хорде АВ.
К. п. ф. часто записывают в виде:
/(х0 + Дх)—f (х.) = /' (х0+0 Дх) Дх,
где 0—некоторое число, зависящее, вообще го-
воря, от х0 и от Дх и удовлетворяющее неравен-
ству 0 < 0 < 1. .
Для случая функций от многих переменных К. п. ф. записывается в виде:
Е(х?+Дх1; х?+Дха; Хл+Дх„)—Г(х®; х?;	х%=>
= (xJ-f-OAx^ х®4-0Дха; х’+ОДх^Дх^
+fk(*i+eAjci? *а+едх,; • ••; ^+6Дх„)Дх1+
+ ^п(х« + едхх; х«4-0Дх2; х«+0Дхп)Дхп.
К.п.ф. была открыта французским математиком Лагранжей (1797).
КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в кото-
ром изучаются функции при дискретных значениях аргумента, в отличие от
дифференциального и интегрального исчисления, где аргумент предполагается
непрерывно изменяющимся.
Задачи интерполирования, численного дифференцирования и интегриро-
вания, приближенного решения дифференциальных уравнений являются основ-
ными задачами К.р.и.
Пусть функция y — f(x) определена для всех значений вида xn = a-[-nh
(a, h—фиксированные числа, n^Z). Можно образовать некоторый аналог
производной f (х)\
Уп+1-Уп f(xn+i)~f(xn) f[a+(n+\)h]-f(a + nh) .
Xn+i хп хп + 1 хп
Выражение f [а + (л+ 1)Л]— f [a-J-nA] обозначается и называется ко-
нечной разностью 1-го порядка функции f (х) в точке хп, Конечные разности
1-го порядка могут служить для образования конечных разностей 2-го по-
рядка и т. д.:
ДЛ/(х)=/(х+Л)-/(х),
Д^(х) = Дл/(х + Л)-Д^(х),
W w = 4-V (х-Н)-W-
Разности Дл/ (х) (в отличие от соответствующих дифференциалов dkf (х))
называют конечными разностями.
По аналогии с дифференциальным исчислением отыскиваются конечные
разности от элементарных функций. Так, в предположении, что разность
КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ	247
двух последовательных значений аргумента равна единице и АЭгп, получено:
Дпх(х—1)(х—2).. ,[х-(А-1)]=А(А-1).. .(*-«+ 1)х(х—1).. .[х—(А—л—1)]
Д”а* = (а—1)па*,
Ansinax= ^2sin-y^ sin £ax+y (л+a)}.
Эти формулы соответствуют формулам дифференциального исчисления:
/{Пук
^±-=А(А-1)...(А-л + 1)х*-»,
dna* ..	,
-ЗРГ=(In
d" sin ax „ . f , л\
———=an sin ax 4-n 77 .
dxn	\	1	2 J
Аналогом формулы Тейлора в дифференциальном исчислении является
формула Ньютона в К. р. и. Так, если известны значение функции f (х) и ее
последовательных разностей при некотором х = а, то формула Ньютона по-
зволяет вычислить значение функции при другом значении аргумента:
ЦГ\ — пм-L (х—а) д/(а) 1 (х—а)(х—а—Л) Л2/(а) .
/W-fWi j-j h Т 21	h2
। (x—a)(x—a—A)...[x—a—(n— 1)ft] Anf(a) , „
••H	/й	—±кп,
где остаточный член
(x—a)(x—a—ft)...(x—a—nA) Дп+7(|) л t n,nh
Rn=---------------------------F+5- ' a < « < a+«A.
В к. p. И. важное значение имеет задача суммирования разностей. Если
£(х)—функция, для которой ф(х) — разность первого порядка, то
<p(a) = F(a+A)—F(a),
^(a + h) = F(a+2h)—F(a + h)t
Ф(а + (Л— l)h) = F(a + kh)-F(a+(k— 1)Л).
Складывая все эти равенства, получим:
Л-1
2 <f(a + mh) = F(a + kh)—F (а)
т=0
равенство, являющееся аналогом формулы интегрального исчисления, вы-
ражающей определенный интеграл через первообразную функцию.
Для приближенного решения дифференциального уравнения часто за-
меняют входящие в него производные соответствующими разностями, делен-
ными на соответствующие степени аргументов, и решают полученное таким
образом уравнение в конечных разностях.
Лит.: [37].
248
КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — множество всех
точек пространства, каждая из которых принадлежит
прямой, проходящей через заданную точку S (вершину
конуса) и текущую точку кривой у, не содержащей
точки S.
Другое (кинематическое) определение К. п. таково:
К> п. есть поверхность, образуемая движением прямой
I так, что она все время проходит через неподвижную
(данную) точку S -и пересекает неподвижную (данную)
линию CDF (рис. 66). Прямая / называется образу-
ющей К. п., точка S—ее вершиной, линия CDE—
направляющей К.п. К. п. имеет две полости, одна из
которых описывается лучом SA, другая—лучом SB.
Если направляющая К.п. есть окружность и точка S проектируется
в центре О окружности, то К. п. будет поверхностью вращения с осью
вращения SO. Уравнение К. п. вращения с осью вращения SO и вер-
шиной S в прямоугольных декартовых координатах имеет вид:
х* + у* г1
а* с*
Здесь предполагается, что окружность лежит в плоскости (х, у), О—на-
чало координат, SO лежит на оси г.
Часто К-п. вращения называют круговым конусом или просто конусом,
К.п. в n-мерном пространстве определяется аналогичным образом. Урав-
нение К.п. с вершиной в начале координат имеет вид F (хц ха;	хп) = 0,
где F—однородная функция переменных Xf, ха; . **; хп.
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ —линии пересечения конической поверхности
(направляющая которой — окружность) с плоскостями, не проходящими через
ее вершину.
Если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих ко-
нической поверхности, то К. с. есть эллипс, в частности круг (рис. 67, а).
Если секущая плоскость параллельна только одной из образующих ко-
нической поверхности, то К. с. есть парабола (рис. 67, б).
Если секущая плоскость параллельна двум образующим конической по-
верхности, то К. с. есть гипербола (рис. 67, в).
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
249
В случае эллипса и параболы секущая плоскость пересекает только одну
полость конической поверхности, а в случае гиперболы секущая плоскость
пересекает обе полости конической поверхности.
К. с. иначе называют кривыми 2-го порядка. К.с. исследовались уже ма-
тематиками Древней Греции (например, Менехм в IV в. до н. э. решал за-
дачу об удвоении куба с помощью К. с.). Наиболее полное исследование К. с.
было проведено Аполлонием Пергским (III в. до и. э.).
К- с. находят применение в технике, например в эллиптических зубчатых
колесах, в прожекторных установках (параболические зеркала) и т. д. Пла-
неты солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фокусов кото-
рых находится Солнце; кометы движутся как по эллипсам, так и по парабо-
лам и гиперболам.
Исследование К. с. с помощью сфер, вписанных в коническую поверхность,
было проведено бельгийским геометром Ж. Данделеном (XIX в.).
Уравнение К.с. в полярных координатах имеет вид:
1—е cos <р *
где г—фокальный радиус-вектор;
р—фокальный параметр;
е—эксцентр иситет;
ф—полярный угол.
Если в < 1, то это уравнение определяет эллипс; при этом угол ф изменяется от
О до 2л. Если е=1, то это уравнение определяет параболу; при этом
угол ф изменяется от 0 до 2л. Если е > 1, то это уравнение определяет ги-
перболу; при этом для угла ф, изменяющегося от ф0 до 2л—ф0 ^где 2ф0 —
угол между асимптотами 12фо = -^ » получим правую ветвь гиперболы,
а для углов ф, изменяющихся от —ф0 до фо, получим левую ветвь гиперболы.
Названия конических сечений (эллипс, парабола и гипербола) связаны
с геометрическими построениями древних геометров.
Пусть АВ — 2а—диаметр эллипса (рис. 68), AE = 2pt CF—перпендикуляр
к АВ; тогда квадрат, построенный на CD, будет равен площади прямоуголь-
ника (АГ):
СР2 = ЛС.СЛ т. е. CF = ^-CB
а \2р 2а
Положив АС = х, СВ = 2а—х, CD = y, получим:
у2 = ~(2а—х)х нли ^2 = 2рх—-^-х2.
Аналогично для гиперболы будем иметь:
^2 = у (2а-\-х)х или y2 = 2px-j--^-x2.
250
КОНОИД
В случае эллипса в формуле стоит знак минус, т. е. площадь прямо-
угольника (СЕ) используется с недостатком (греч. eXXenptg—недостаток).
В случае гиперболы в формуле стоит знак плюс, т. е. площадь прямоуголь-
ника (СЕ) используется с избытком (греч. шерроХт)—превышение, избыток).
Если имеет место равенство площади квадрата и площади прямоуголь-
ника (СЕ) (в формуле нет ни минуса, ни плюса — ни избытка, ни недостатка),
т.е. у2 = 2рх, то кривая (коническое сечение) называется параболой (лсерароХт)—
приложение площадей, приравнивание).
КОНОИД—поверхность, образованная движением прямой, параллельной
данной плоскости (направляющей плоскости), пересекающей данную прямую
(направляющую прямую) и данную линию (направляющую линию); при этом
если направляющая линия плоская, то она не должна лежать в направляю-
щей плоскости. К. является линейчатой поверхностью. Примером К. может
служить геликоид, у которого направляющая плоскость перпендикулярна
оси, направляющая линия—винтовая линия, а направляющая прямая—ось
вращения.
Греч.: XcovoeSqg от Xcovog— конус и eifiog — вид.
КОНСЕКВЕНТ—второй член импликации. Если интерпретировать импли-
кацию А—► £ как высказывание «если А, то В», то К. является В, а А
является антецедентом импликации. Термин происходит от латинского соп-
sequens—следствие, следующий.
КОНСТАНТА—постоянная величина (векторная или скалярная). Напри-
мер, число л есть К.» оно выражает отношение длины окружности к длине
ее диаметра. К. является и сумма величин углов треугольника в геометрии
Евклида, для любого треугольника АВС эта сумма величин углов равна
Д + В + С=180° или равна л радианам.
Если х есть К., то это символически обозначают так: х = const, а также
х = с.
Лат. constans—постоянный, неизменный.
КОНСТРУКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, где изучаются
теория и методы построения фигур различными инструментами (циркулем и
линейкой, односторонней, математической линейкой; двусторонней линейкой,
т. е. линейкой с параллельными краями; только циркулем; только используя
прямой угол и др.). К. г. называется также теорией геометрических постро-
ений.
Лат. constructio—построение.
КОНСТРУКТИВНАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ — раздел теории функций,
изучающий их свойства, исходя из их приближенных представлений. К. т. ф.
оформилась в самостоятельное направление в работах академика С. Н. Берн-
штейна, который исходил из идей русского математика П. Л. Чебышева по
наилучшему приближению функций методом наименьших квадратов.
Лит.: [89].
КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Пусть в пространстве L переменных
#°, у1, у8...ут> Zi, z2....гт задана дифференциальная форма Пфаффа
(см. Пфаффа дифференциальная форма):
ш = — dy» + ?! dy14- г, dy* +... -f- гт dy*.
КОНТИНУУМ
251
Преобразование вида:
у1; у8;	у"; г,; ?2; •••; *«)» ‘=°> К2. •••> «•	,.
г/=г/(у°; у1; уа; ут; z2; гт), j=l, 2..............nt,
называется К. п., если
— dy® 4- Zjdy’ + za <$*+... +zmdy®=	(»*)
= Р(У°> У1. •	У™. .......гт)(— dy® + ?1dyl+z2<fys+«..+z(Bdyl>’).
Здесь р—произвольная функция, не обращающаяся в нуль. Преобразования
(♦) предполагаются определенными по крайней мере в некоторой окрестности
точки пространства L.
Свойство, выражаемое формулой (♦»), означает, что дифференциальное
уравнение <в = 0 обладает следующим свойством: если в уравнении интеграль-
ной поверхности этого дифференциального уравнения переменные у0, у1,
у2, уж, *i, г2» 4ii, zm заменить на у0, у1, у2, ...» уж, Zf, z2, 44.» zOT из
(♦), то получится опять уравнение интегральной поверхности этого диффе-
ренциального уравнения.
К. п. рассматривают и в другом варианте. Именно: уравнение <й=0
позволяет истолковать пространство L переменных у0, у1, у2, *.4, уж, zlt
z2, • • •» г/л как пространство плоскостных элементов в пространстве Lf пере-
менных у0, у1, у2, 4.., ут (плоскостным элементом в L± называется точка
с заданной в ней /п-мерной плоскостью касательного пространства). При
этом совокупность плоскостных элементов, огибающих какую-нибудь поверх-
ность в пространстве отображается под действием К- п. снова в совокуп-
ность плоскостных элементов, огибающих некоторую поверхность в L.
Пример. Полярное преобразование Р (см. Поляра) в пространстве Lt
переменных у0, у1, у2, ...» уА относительно параболоида вращения 2у° =
= (^)8 + (!/8)8+... + (^)а.
Полярное преобразование переводит точку Af в гиперплоскость р, а ги-
перплоскость р в точку 2Й, сохраняя инцидентность точки и гиперплоскости.
Именно: если координаты точки М суть (у0; у1; у2; *.*; уЛ), то РМ = р—
гиперплоскость с уравнением:
У* + !/“ = у]у1+»*?+•••+f*5*.
где у*—текущие координаты точки гиперплоскости р. Плоскостной элемент
в какой-нибудь точке Л1 (у0; у1; у2;	у*) определяется соотношением
^У5 = У^У1+ • * * +yk dyk- Переходя от пространства Lj к пространству L,
имеем = аналогично этому y' = Zi.
Все вышеизложенное означает, что полярное преобразование Р в про-
странстве L имеет вид:
?=—У* + У1?!+уг?2 +.. * 4- у*гк,
у' = 21, z' = yit i=l, 2, k.
Легко видеть, что преобразование, задаваемое этими формулами, есть К. п.
КОНТИНУУМ — название мощности множества L чисел отрезка	1.
Множество натуральных чисел 1,2» ..., п, sii (счетное множество) может
252
КОНТИНУУМ-ПРОБЛЕМА
быть отображено взаимно однозначно на собственное подмножество L, но не
на все множество; таким образом, L более мощное, чем Z, множество.
Мощность К- имеют такие множества, как: канторово множество, мно-
жество точек прямой л-мерного пространства. Это означает, что существует
взаимно однозначное соответствие между этими множествами.
Множество всех функций на отрезке [0; 1], множество точек гильбертова
пространства имеют мощность большую, чем К.
Много лет был не решен вопрос о существовании множества, более мощ-
ного, чем счетное, и менее мощного, чем К- (см. Континуум-проблема).
КОНТИНУУМ-ПРОБЛЕМА — задача, состоящая в том, чтобы средствами
теории множеств доказать или опровергнуть континуум-гипотезу: мощность
континуума — первая из мощностей, превосходящих мощность натурального
ряда. Эта гипотеза является частным случаем обобщенной континуум-гипотезы:
для всякого бесконечного множества М первая мощность, превосходящая
мощность множества М, есть мощность множества всех подмножеств мно-
жества М.
К. п. была поставлена еще в начале 80-х гг. XIX в. немецким матема-
тиком Г. Кантором. Однако ни ему, ни другим крупным математикам ни
в XIX, ни в первой трети XX в. не удалось решить К. п. В 1900 г. немец-
кий математик Д. Гильберт поставил К. п. на первое место среди централь-
ных нерешенных задач математики (см. Гильберта проблемы).
Первый существенный сдвиг в решении К. п. был сделан в 1936 г. австрий-
ским математиком К. Гёделем, доказавшим, что обобщенная континуум-гипо-
теза совместна с одной естественной аксиоматикой теории множеств (система
аксиом Цермело—Френкеля), т. е. не может быть опровергнута традицион-
ными средствами теории множеств. Окончательную ясность в К. п. внес
в 1963 г. американский математик П. Коэн, доказавший, что отрицание
обобщенной континуум-гипотезы также совместно с аксиоматикой Цермело —
Френкеля теории множеств, т. е. не может быть доказано обычными методами
теории множеств.
Лит.: [68].
КОНТР АВ АРИ АНТНОСТЬ—понятие линейной алгебры и тензорного исчис-
ления. См. Ковариантность и контравариантность, Контрагредиентность.
КОНТРАГРЕДИЕНТНОСТЬ—то же, что и контравариантность. В теории
представлений групп отношение контрагредиентности распространяется на
представления. Представление называется К: данному, если оно задается
транспонированными матрицами и обратными к матрицам данного пред-
ставления.
КОНТРПАРАЛЛЕЛОГРАММ—синоним термина антипараллелограмм.
См. также: Антипар аллельные прямые, Параллелограмм.
КОНУС—геометрическое тело, ограниченное одной из двух полостей
замкнутой конической поверхности и пересекающей ее плоскостью, не прохо-
дящей через вершину S (рис. 69, а). Часть этой плоскости ABCDE, лежащая
внутри конической поверхности, называется основанием К. Расстояние от
вершины до секущей плоскости называется высотой К. Часть конической
поверхности, заключенная между вершиной и основанием, называется боковой
поверхностью К.
КОНФИГУРАЦИЯ
253
Если основание К. есть круг, то К. называется круговым; если при этом
вершина S его проектируется в центр этого круга, то К. называется прямым
круговым (иногда также круглым К-). Отрезок SM, где М—точка окружно-
сти основания К., называется образующей К. Прямой круговой К. может
быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из
катетов (рис. 69, б).
В элементарной геометрии чаще всего рассматривают прямой круговой
К., называя его К. (без слова «круговой»).
Боковая поверхность К. (прямого кругового) вычисляется по формуле
•^бок == "2* С = nr I,
где I—образующая, а г — радиус основания К.
Объем К. (прямого кругового) вычисляется по формуле:
и=4’?л=4’я/’*л’
О	о
где h—высота К.
Пирамида есть частный случай К.» когда его основание есть многоугольник,
В аналитической геометрии часто К. называют также коническую поверх-
ность.
См. Усеченный конус.
Греч.: xcovog — сосновая шишка, остроконечная верхушка шлема.
КОНФИГУРАЦИЯ: Г. К. на плоскости—система h точек и т прямых,
расположенных таким образом, что через каждую точку проходит одинаковое
число (k) прямых и на каждой прямой лежит одинаковое число (е) точек.
Например, К. Дезарга (см. Дезарга теорема) состоит из 10 прямых и
10 точек (n = m), при этом через каждую точку проходит по три прямых, и
на каждой прямой лежат три точки (fc = e). К. Дезарга обозначается так:
или 103.
2°. К. в пространстве типа (nJ, m?, г£) состоит из п точек, т прямых
и г плоскостей, при этом через каждую точку проходит а плоскостей и Ъ
264
КОНФОКАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
прямых, каждая прямая проходит через d точек и лежит на с плоскостях,
а каждая плоскость содержит f точек и е прямых.
Примером пространственной К. может служить К. Рейе, состоящая из
12 точек и 12 плоскостей, которую можно иллюстрировать на модели куба.
За точки этой К. берутся 8 вершин куба, центр куба и три бесконечно уда-
ленные точки, принадлежащие параллельным ребрам куба. За плоскости К.
берутся 6 граней куба и 6 диагональных плоскостей, каждая из которых
проходит через противоположные ребра куба. В каждой точке в этом случае
будут пересекаться 6 плоскостей, а в каждой плоскости будут находиться
6 точек (как собственных, так и несобственных). Эту К. символически обо-
значают так: 12в.
Лит.: [40].
КОНФОКАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ —то же, что и софокусные кривые,
КОНФОРМНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — ветвь геометрии, в которой изучаются
конформные свойства фигур, т. е. свойства, инвариантные при всех конформ-
ных преобразованиях пространства.
Лит.: [95]*
КОНФОРМНАЯ ГРУППА—см. в статье Конформное пространство,
КОНФОРМНАЯ СВЯЗНОСТЬ—см. Конформной связности пространство,
КОНФОРМНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ —ветвь дифферен-
циальной геометрии, в которой изучаются свойства фигур, инвариантные при
всех конформных преобразованиях пространства.
Лит.: [95].
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — отображение f области D риманова
пространства V на область D' риманова пространства У'; f:D—>D', взаим-
но однозначное, гладкое и обладающее свойством: угол между любыми двумя
кривыми в D равен углу между образами этих кривых при отображении /.
Особое теоретическое и прикладное значение имеют случаи двумерных
римановых пространств, двумерных поверхностей в трехмерном евклидовом
пространстве, а также областей, расположенных в двумерной евклидовой
плоскости.
Важным примером К. о. является стереографическая проекция, отобра-
жающая двумерную сферу на двумерную плоскость, пополненную одной бес-
конечно удаленной точкой.
При рассмотрении К. о. двух областей, принадлежащих евклидовым
плоскостям Z, W, удобно считать, что точки этих плоскостей изображают
комплексные числа (это значит, что точке (х; у) плоскости Z соответствует
комплексное число x-\-iy> а точке (a; v) плоскости IF—комплексное число
н+«Ъ).
Рис, 70
КОНФОРМНОЕ ПРОСТРАНСТВО
255
Ум
2ni
/////////. '///>/////4
Рис.
О
Аналитическая функция и>=/(з), однолистная в области D плоскости
комплексного переменного г, задает К. о. области D на область D' плоско-
сти W. Обратно: любые две односвязные области D и D', отличные от полной
плоскости или плоскости с выключенной точкой, могут быть конформно ото-
бражены друг на друга с помощью аналитической функции, которая опреде-
лится однозначно, если потребовать, чтобы данной точке из D и данному
направлению в ней соответствовала определенная точка из D' с заданным
в ней направлением. Эта важнейшая теорема теории К. о. была доказана
Б. Риманом.
Выше имелись в виду К. о. первого рода, т. е. есть такие К. о., при
которых сохраняется направление обхода (по замкнутой кривой и ее образу).
К. о., при котором направление обхода меняется на противоположное, на-
зывается К. о. второго рода. К. о. второго рода задается функцией w = f(z)f
сопряженной с аналитической функцией w = f(z) (рис. 70, а, б; 71, а, б).
КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — переход от данной фигуры к ее
образу при конформном отображении,
КОНФОРМНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Пусть Еп и Еп+1—евклидовы простран-
ства размерности п и соответственно, Еп вложено в En+i таким обра-
зом, что точке (хх; ха; хп) соответствует точка (хх; х2; хл; 0)^Ел + 1.
Пусть далее S'1 —сфера в En+t с уравнением Xi + xl+• • •+*л= 1. При этом
определено отображение сферы Sn в евклидово пространство Еп, пополнен-
ное бесконечно удаленной точкой (оо), так называемая стереографическая
проекция:
Ортогональные преобразования пространства Ел+1 преобразуют сферу
Sn в себя
O(S«) = S«.
На пополненном пространстве Вли°° действуют преобразования g, опре-
деляемые формулой:
gX = foOo f~*X, x£En\Jcot
gx—образ x при преобразовании g, О—ортогональное преобразование про-
странства Еп+11 о означает композицию (суперпозицию) преобразований.
256	КОНФОРМНОЙ СВЯЗНОСТИ ГЕОМЕТРИЯ
Множество всех таких преобразований пространства EnU°° является
группой относительно суперпозиции преобразований (изоморфной ортогональ-
ной группе в Ел+1) и называется конформной группой.
Пространство E„U°° вместе с действием конформной группы преобразо-
ваний в нем называется К. п. (соответствующим евклидову пространству Еп).
Лит.: [95].
КОНФОРМНОЙ СВЯЗНОСТИ ГЕОМЕТРИЯ — ветвь геометрии, изучающая
пространство конформной связности (см. Конформной связности пространство).
Лит.: [95].
КОНФОРМНОЙ СВЯЗНОСТИ ПРОСТРАНСТВО—риманово пространство
У, для которого определена следующая конструкция. Пусть Р (х1; х2; ...; хп)
и Р^+Дх1; х2 + Дх2; «**; хи +Дх")—-две достаточно близкие точки V; L и
L' — касательные евклидовы пространства к V в точках Р и Р( соответственно
и К, К'—конформные пространства, соответствующие евклидовым простран-
ствам L и L'. Пусть для каждой пары Р/Р' определено отображение f :К —► К',
сохраняющее конформную структуру этих пространств (это значит, что пре-
образование k't задаваемое формулой f (х)—*fk(x), принадлежит конформной
группе пространства К', если аналогичным свойством обладает k: К—► К)
и являющееся линейным относительно Дх1, Дх2, 444, Дхи с точностью до бес-
конечно малых более высокого порядка малости, чем
К (Дх1)2 + (Дх2)2 + ... + (Дхп)2.
Описанная конструкция задает, как говорят, конформную связность на У«
Само V называется К. с. п.
Лит.: [95].
КОНХОИДА некоторой кривой — плоская кривая, получающаяся умень-
шением или увеличением длины радиус-вектора каждой точки кривой на
одну и ту же величину d. Если полярное уравнение кривой имеет вид:
г = / (<р), то уравнение ее К. будет иметь вид: r = /(<p)±d. На рис. 72
сплошной линией изображена К. эллипса, начерченного штриховой линией.
Обычно под К. понимают К. прямой, так называемую конхоиду Никомеда —
по имени древнегреческого геометра Никомеда (ок. 250—150 гг. до н. э.),
который использовал ее для решения задач о трисекции угла и удвоении
куба.
полюса О полярной системы до данной прямой
равно а, то уравнение конхоиды Никомеда имеет
вид:
а , а
г =-----± а,
COS ф
или в декартовых координатах с началом в по-
люсе:
(х—а)2( х2 + у2)—d2x2 = 0.
Рис. 72
Конхоида Никомеда—это алгебраическая кривая
4-го порядка, состоящая из двух ветвей.
конъюнкция
257
Рис. 73
В зависимости от соотношения and ветви конхоиды Никомеда будут
иметь разную форму; при этом полюс О может быть узловой точкой (d > а,
рис. 73, а), точкой заострения (d = a, рис. 73, 6) и изолированной точкой
(d < а, рис. 73, а). Обе ветви конхоиды Никомеда асимптотически приближают-
ся в обоих направлениях к прямой. К* окружности относительно полюса,
лежащего на окружности, называют улитками Паскаля (см. Паскаля улитка).
Греч.: xovxo8idr£—ракообразная.
КОНЦЕНТРИЧЕСКИЕ ОКРУЖНОСТИ — см. Окружности концентри-
ческие.
КОНЪЮНКЦИЯ—бинарная операция над высказываниями в исчислении
высказываний (см. Высказываний исчисление). Если А и В — произвольные
высказывания, то их К. называется новое высказывание А Л Bt где Л—знак
К., истинность которого зависит от истинности высказываний А и В. Эта
зависимость выражается для К. следующей таблицей, в которой истинность
обозначена буквой w, а ложность—буквой л:
А	В	АьВ
и	и	и
и	Л	л
л	и	л
Л	л	л
Таким образом, К. истинна в том и только в том случае, когда истинны оба
образующие ее члена. В остальных случаях, т. е. если хотя бы один ее член
ложен. К. ложна.
9 Ki 765
258
КООРДИНАТНАЯ ОКРЕСТНОСТЬ
К. возникла как формализация и аналог (русского) языкового союза „и“.
Термин происходит от латинского conjunct io—союз, связь. Для К. наряду
со знаком Л часто используют знак &.
Лит.: [93].
КООРДИНАТНАЯ ОКРЕСТНОСТЬ — множество А точек л-мерного много-
образия, гомеоморфное открытому шару Еп евклидова пространства вместе
с гомеоморфизмом f\A^—+En. Термин К. о. входит в определение понятия
«многообразие». Отображение f задаете К. о. координаты (криволинейные). Это
дает возможность применять в изучении многообразий методы теории функций
и математический анализ. К. о. вместе с гомеоморфизмом / иначе называется
картой или локальной системой координат.
Лит.: [154].
КООРДИНАТНЫЕ ВЕКТОРЫ — векторы, составляющие заданный в линей-
ном пространстве базис.
КООРДИНАТЫ — числа, взятые в определенном порядке и характеризую-
щие положение точки на линии, на плоскости, на поверхности или в прост-
ранстве. В зависимости от целей и характера исследования того или иного
объекта выбирают различные системы К., с помощью которых каждой точке
пространства относят определенную совокупность чисел—К. точки. Так, на-
пример, в некоторой области плоскости или во всей плоскости рассматрива-
ют два семейства несамопересекающихся линий w(M) = const и v(M) = const,
таких, что каждая линия
одного семейства пересекается с каждой линией
другого семейства только в
одной точке. Тогда, выбрав за начальные линии
и = 0 и и = 0, получим точку М пересечения
линий u = Ui, 0 = 0! (рис. 74). Числа и t’i
и будут К.' точки М на плоскости. Аналогич-
но определяются К. точки на любой поверхно-
сти и в пространстве. Линии и = const и v= const
называют координатными линиями.
Общая конструкция введения К. такова:
рассматривают область D на поверхности (воз-
можно, многомерной) и отображение f:D —►
где Еп — арифметическое п-мерное простран-
ство, К. точки Р по определению равны К.
точки f(P)£En.
См. также: Барицентрические координаты
(координаты Мёбиуса), Биполярные координа-
ты, Тангенциальные координаты, Однородные координаты, Проективные
координаты, Карта.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА в заданном базисе линейного пространства.
Пусть х—вектор линейного пространства L и /1, /2» fn—базис в Ln. Век-
—►
тор х единственным образом представим в виде
х— £ifi +^2/2+ •»»+£л/п>
при этом числа (сх, с2, .сп) называются К. в. х в заданом базисе.
КОРЕНЬ ИЗ ЧИСЛА
259
Если А — невырожденное линейное преобразование пространства Lnt то
векторы = Afi, £ъ = А[г, ..gn — Afn составляют базис в Ln (вообще го-
воря, не совпадающий с базисом (flt ft, .**, fn)). В этом новом базисе К* в. х
описываются формулами, где
X = cjgi +	+ .. * + Cngnt
Q = ^11^1 + ^21С1 + • * • + ^nlCnf
Сз =Ь12^1 + ^22са+ • • • ~}~ЬП2СП,	(♦)
^n = ^i^i + ^2n^a+ * • * 4~^ппсл»
и коэффициенты Ьц являются элементами матрицы линейного преобразования
А”1, обратного к А, в базисе /2, fn (см. Матрица линейного преоб-
разования). Соотношения (*) означают, что К. в. преобразуются с помощью
матрицы обратной и транспонированной по отношению к матрице, задающей
изменение векторов базиса.
При истолковании векторов как упорядоченных наборов чисел сами эти
числа можно рассматривать как К. в. в некотором базисе. Следующая фор-
мула придает точный смысл этому утверждению:
(аь а2, i..,an) = a1(l,0, .,.,0) + а2(0, 1, ..., 0) + .., +ап (0, 0, ..., 1).
 ' >
При рассмотрении вектора как направленного отрезка К. в. АВ называют
числа (bi — аъ Ь2—а2,	Ьп—ап), где а^ bi соответственно означают коор-
динаты точек А, В в выбранной системе координат.
Действия над векторами удобно описываются с помощью К. в. При сло-
жении векторов складываются их соответствующие координаты, при умноже-
нии вектора на число все К- в. умножаются на это же число.
См. также: Скалярное произведение, Векторное произведение.
КОРЕНЬ ИЗ ЧИСЛА. Корень n-й степени из числа а—число х, я-я
степень которого равна а, т. е. корень уравнения хп—а = 0, где n£N, а —
любое число. Корень второй степени (я = 2) иначе называется квадратным,
корень третьей степени (п = 3) — кубическим. Для извлечения квадратного и
кубического корней существуют определенные вычислительные правила — алго-
ритмы. На практике эти правила применяют редко. Для извлечения этих
корней чаще пользуются счетной (логарифмической) линейкой, таблицами кор-
ней и приближенными формулами, полученными из формул Ньютона для
дробного показателя; для нахождения К. из ч. второй и третьей степени
применяют также графические способы и номограммы.
Корень n-й степени из числа а в поле комплексных чисел имеет ровно п
значений, которые находятся по формуле:
/j7i(cosi±^ + isir
где | а | — модуль числа а, ф—его аргумент, fc = 0, 1, 2, .♦.,(«—!).
Неотрицательное значение корня из неотрицательного числа называется
арифметическим корнем.
9»
260
КОРЕНЬ МНОГОЧЛЕНА
Корень n-й степени из натурального числа k Ф п?, где пг—натураль-
ное число, есть число иррациональное, точнее, иррациональность n-й степени.
См. также: Арифметический корень. Алгоритм, Комплексное число, Урав-
нение, Корень уравнения.
КОРЕНЬ МНОГОЧЛЕНА
/ = аох« + а1хп-*+ ,„+ап_1х+ап
из кольца многочленов А [х]—такой элемент cl целостного кольца К, содержа-
щего А в качестве подкольца, что
f (а) = аоапЧ-	»,»+ ап_!«+ ап = 0.
Для К* м. справедлива Безу теорема. Говорят также о кратных корнях много-
члена. К. м. называют также нулями многочлена. Вопрос об алгоритмах на-
хождения К. м. в течение ряда веков был движущим стимулом развития ал-
гебры (см. Галуа теория).
Лит.: [24, 66, 72].
КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ алгебраического или трансцендентного — числен-
ное значение переменной, входящей в уравнение, обращающее уравнение
в истинное равенство.
Алгебраическое уравнение n-й степени вида
а0*л+	‘"х+*»» + ал== 0 (ао^О, n£N)
над полем комплексных чисел всегда имеет ровно п корней, включая и крат-
ные корни. Над полем действительных чисел множество К. у. может быть пусто.
К. у. f (х) = 0, где f (х) = аохл4-а1хл“1+ »». + пп, называется также ре-
шением уравнения, а также корнем или нулем многочлена (функции) f (х).
Множество корней трансцендентного уравнения может быть как конечным,
в частности пустым, так и бесконечным; например, уравнение sinx=
= cosx, равносильное уравнению tg(x)=l, имеет бесконечное множество
корней х = л/4 + лп, где n£Z\ уравнение sinх= 1gх имеет только три кор-
ня, которые легко находятся приближенно графически.
См. также: Уравнение, Трансцендентное уравнение.
КОРНЮ СПИРАЛЬ — спиралевидная кривая, параметрическое уравнение
которой имеет вид:
Рис. 75
t	t
Р	Р	UTZ/®
х = а j cos-^" du, ^ = aJ sin—2“du.
о	о
К. с. состоит из двух ветвей, симметрично
расположенных относительно начала координат
(рис. 75). Точки А (у; у) и В (—у; —у)
являются асимптотическими (см. Особая точка).
Кривая названа по имени французского физика
Корню, использовавшего ее при изучении диф-
ракции света. К. с. иначе называют клотоидой,
а также спиралью Эйлера.
КОРТЕЖ
26!
КОРРЕЛЯЦИОННОЕ ОТНОШЕНИЕ — понятие математической статистики.
Если статистическая совокупность разбита на k групп Af, Аа, ..., А*, то
общая дисперсия о2 равна сумме арифметического среднего о? групповых ди-
сперсий a*-(i=l, 2, ,,*,£) и меэюгрупповой дисперсии б2, т. е.
а« = 5?+62.
Это соотношение называют правилом сложения дисперсий. К. о. называется
К. о. удовлетворяет неравенствам 0 < т) < 1. К. о. служит мерой колеблемости
изучаемого статистического признака и характеризует долю межгрупповой
дисперсии в общей дисперсии.
Лит.: [44].
КОРРЕЛЯЦИЯ; 1°. К. (иначе—коррелятивное преобразование) — взаимно
однозначное соответствие между точками и прямыми проективного простран-
ства, сохраняющее отношение инцидентности прямых и точек. Важным ча-
стным случаем К. является полярное преобразование,
2°. К. в математической статистике и теории вероятностей — зависимость
между случайными величинами, выражающаяся в том, что распределение одной
величины меняется в зависимости от значения, принятого другой величиной.
Аналогичным образом определяется корреляционная зависимость нескольких
случайных величин.
Полное описание корреляционной зависимости двух случайных величин
X, У может быть задано с помощью интегральной функции распределения
F пары случайных величин (X; У):
F(/i; G)=P(X</i; У < G);
здесь Р (X < tf, У < /2) означает вероятность того, что величина X примет
значение меньшее, чем /f, а величина У—значение меньшее, чем /2.
В этих же целях рассматривают дифференциальную функцию распреде-
ления f (f f, /2) пары (X; У):

dtlt dti
Корреляционную зависимость характеризуют также более простым (и бо-
лее грубым) способом—с помощью коэффициентов К. и корреляционного от-
ношения.
Лит.: [44, 51].
КОРТЕЖ — упорядоченный набор, конечная последовательность каких-
либо объектов. Понятие К. по сути дела совпадает с понятием слова и, бу-
дучи редко употребляемым, вытесняется последним термином. Понятие К.
близко также к понятию вектора. Термин происходит от французского corte-
ge—торжественное шествие.
262
КОСЕКАНС
КОСЕКАНС—одна из тригонометрических функции, обозначаемая cosec х
(х— аргумент) и определяемая формулой
1
cosec х=—— ,
sin х
где sinx—синус того же аргумента (величины угла) х. Областью определе-
ния К. является вся числовая прямая, за исключением точек х — лп (п = 0,
± 1, ±2, ..♦).
К.—функция неограниченная (1 < | cosecx | < оо), нечетная и периодиче-
ская, с периодом Т = 2л (рис. 76, а).
Если рассматривать произвольный радиус-вектор ОМ = г, начало которого
совпадает с началом координат (рис. 76,6), то отношение | г \:ум = cosec а,
— ►
где а—величина угла, составленного радиус-вектором СМ с положительным
направлением оси Ох (а = АОМ), Ум,— ордината точки М — переменной точки
окружности (О, г).
Знак К. совпадает со .знаком синуса того же аргумента.
Если ограничиться острым углом а, то К. можно определить как отно-
шение длины гипотенузы ОМ к длине катета Al/Wf, лежащего против угла а
(рис. 76, б). График К. в прямоугольной системе координат называется ко-
секансоидой. Функция, обратная К., называется арккосекансом.
Производная К. вычисляется по формуле:
. w cos х .
(cosec х) — —	— — cig х • cosec х.
Иногда К. обозначают короче: cscx.
Рис. 76
КОСИНУС
263
К* называется также кофункциен по отношению к секансу или функцией
дополнительного угла:
cosec х — sec ( -у — х \.
Интеграл от К- находится по формуле:
I cosec х dx = lnl tg-~| + C.
К. разлагается в сходящийся ряд:
1 , х , 7х3 . 31х* , /л । । ч
cosecx— х + б+3бо+1512О'*"‘“ (° < IхI < ”)•
Термин (функция) К- выходит из употребления.
Лат.: со—сокращение от complementum—дополнение + секанс.
КОС Е К АНСОИДА—график функции косеканса в прямоугольной декарто-
вой системе координат.
КОСИНУС—одна из тригонометрических функций, обозначаемая симво-
лом cos и определяемая следующим образом. Пусть в ориентированной пло-
скости выбрана прямоугольная декартова система координат хОу (рис. 76, б)
и угол АОМ величины а, вершина которого совпадает с началом координат,
неподвижная сторона его совпадает с лучом Ох, а подвижная сторона ОМ
составляет угол а с осью
XtfifOM | или хм‘. | г |, где хм — аб-
сцисса переменной точки М окруж-
ности; если длина радиуса окружно-
сти равна 1, то К. угла а есть абсцис-
са точки М единичной окружности.
К. угла АОМ есть функция вели-
чины этого угла. График К. показан
на рис. 77. Наименьший положитель-
ный период К. Т = 2л, т. е. cosx =
cos(x+2n&), где k = 0, ±1, ±2, ... .
Ох. К* величины угла а называется отношение
Областью определения К. является вся числовая прямая, радианная мера
угла х изменяется от —оо до + оо; областью значений К. является проме-
жуток (сегмент) [—1; 1]. К.—функция четная, ограниченная и периодическая.
С возрастанием величины угла х от 0 до 90° К.» как и все тригономет-
рические кофункции, убывает (от 1 до 0).
Косинус и синус связаны тождеством (формулой) sin2 х 4-cos2 х = 1, К. и
секанс связаны равенством cosx=l:secx.
Производная К* вычисляется по формуле: (cos х)'= —- sin х.
К. разлагается в сходящийся на всей числовой прямой степенной ряд:
. х2 , х4	V* *2i / м?
С	21 + 41	--------(21)1 < ) 1
дг=О 4 '
264
КОСИНУС-ВЕРЗУС
Функция, обратная К., называется арккосинусом.
Если величину угла х рассматривать в промежутке от 0 до 90°, т. е.
если угол острый, то К. величины острого угла можно определить как отно-
шение длины катета, прилежащего к углу х, к длине гипотенузы (из прямо-
угольного треугольника 0ММ± рис. 76, б).
К. и синус комплексного аргумента г связаны с показательной функцией
формулой Эйлера:
e^=cos г + i sin z,
из которой нетрудно получить выражения для sin х и cos х (где х—действи-
тельное число), зависящие от показательной функции чисто мнимого аргу-
мента:
е?х е~^х . eix—е~*х
cos X =--т;---, SI n X=---7Г7-.
2	2i
Эти формулы дают возможность определить синус и косинус комплекс-
ного аргумента; так, положив z — ix (чисто мнимое число), получим:
-4- с “ х
cos ix=—------= ch х,
где ch х—гиперболический косинус. Имеет место также равенство cosx = ch ix.
Для К. комплексного аргумента справедлива формула: cos z = cos (x-j-ii/) =
= cos x ch у— i sin x sh y.
Если г = л + ц то из последней формулы получим:
е -4~ е~
cos (л +1) = cos л ch 1 — i sin л sh 1 =-« —1,5;
т. е. К. комплексного аргумента может быть по модулю больше единицы. Для
комплексного аргумента К. может принимать любые значения, большие 1.
Лат.: «со» (сокращение от слова complementum)—дополнение + синус,
т. е. функция дополнительного угла, или функция, сходная по названию
с синусом.
См. также: Синус, Тангенс, Котангенс, Т риго но метрические функции,
Т рансцендентные функции, Арккосинус.
КОСИНУС-ВЕРЗУС угла а—функция угла, значение которой равно от-
ношению длины отрезка ВМ к длине радиуса окружности г, где точка М —
проекция конца подвижного радиуса на ось Оу, а В—конец неподвижного
, радиуса. К. в. угла а равен 1 — sina. К. в., как и синус-верзус, был введен
в математику в XVII в. и в настоящее время не употребляется.
КОСИНУС ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ —см. Гиперболический косинус.
КОСИНУСОВ ТЕОРЕМА! 1°. К. т. в евклидовой геометрии (плоской три-
гонометрии)— утверждение: во всяком треугольнике квадрат длины любой его
стороны равен сумме квадратов длин двух других его сторон без удвоенного
произведения длин этих сторон и косинуса величины угла между ними. К. т.
выражается равенством:
с2 = а2 + b2—2ab cos С,
КОСОСИММЕТРИЧНОСТЬ
265
где а, Ь, с—длины сторон треугольника, а С—величина угла, заключенного
между сторонами а и Ь. К. т. довольно широко используется при решении
задач в школьном курсе математики. Существуют различные способы ее до-
казательства, в том числе и векторный способ с использованием понятия
скалярного произведения двух векторов.
2°. К. т. для стороны (длины ее) сферического треугольника—утверждение:
во всяком сферическом треугольнике косинус одной стороны равен произве-
дению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов тех же
сторон на косинус величины угла между ними. К.т. для длины стороны сфе-
рического треугольника записывается в виде равенства:
cos а — cos b cos с + sin b sin с cos А.
3°. К. т. для угла (величины его) сферического треугольника—утвержде-
ние: во всяком сферическом треугольнике косинус величины угла равен про-
изведению косинусов величин двух других его углов, взятому с противопо-
ложным знаком, плюс произведение синусов величин двух других углов на
косинус длины стороны, противолежащей первому углу.
Теорема записывается в виде равенства:
cos А = — cos В cos С + sin В sin & cos а.
КОСИНУСОИДА—график функции y = cosx в прямоугольной декартовой
системе координат (см. рисунок в тексте термина Косинус). представляет
собой бесконечную волнообразную кривую линию, симметрично расположен-
ную относительно оси ординат. К. есть синусоида, сдвинутая влево по оси
л 71
Ох на -g- единиц, так как имеет место равенство:
cos x = sin I ——X j.
Если под знаком функции cos вместо аргумента х стоит пх или х:п, где
n£N, то график такой функции часто называют косинусоидальной кривой
(сдвинутая по оси Ох синусоидальная кривая). К-, как и косинусоидальная
кривая, применяется при графическом решении уравнений и неравенств, а
также для иллюстрации свойств функции cos: четности, ограниченности,
периодичности и др.
См. также: Синусоида, Тангенсоида, График функции, Графическое ре-
шение.
КОСОСИММЕТРИЧЕСКАЯ МАТРИЦА—квадратная матрица, в которой
элементы, симметричные относительно главной диагонали, противоположны
по знаку, т. е. в которой ац =— ар, в частности ац=0.
КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ—определитель кососиммет-
рической матрицы. Всякий К. о. нечетного порядка п равен 0. Понятие К. о.
введено в математику английским математиком А. Кэли в 1844 г.
КОСОСИММЕТРИЧНОСТЬ: 1°. К. функции —свойство функции f (xlt х2,...
..i, хп) нескольких переменных, заключающееся в том, что знак функции
меняется на противоположный при любой нечетной перестановке аргументов
и не меняется при любой четной перестановке. Например, функция трех
переменных f(x\ у, z) = (x—y)(y—z)(z—x) кососимметрична.
266
КОСОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
29. К. тензора (ковариантного или контравариантного)—свойство тен-
зора, заключающееся в том, что координаты, отличающиеся только порядком
индексов, равны между собой либо отличаются знаком. Первое имеет место
в случае четной перестановки индексов, второе—в случае нечетной. К. тен-
зора не изменяется при замене одной ортонормированной системы координат
пространства другой ортонормированной.
КОСОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ — частный случай аффинных координат
(общих декартовых) на плоскости или в пространстве, когда оси координат
не перпендикулярны друг другу, но единичные (базисные) отрезки по осям
равны между собой.
См. также: Координаты,
КОТАНГЕНС—одна из тригонометрических функций, обозначаемая ctg
и определяемая для аргумента х формулой:
cos х
sin х *
где cos х—косинус, sinx—синус. Областью определения функции К« является
вся числовая прямая, за исключением точек х = лп(я£2).
График К. состоит из отдельных ветвей (рис. 78, а); на нем хорошо видны
свойства К.: неограниченность, периодичность, нечетность и др. Период К.
> —>
равен я. К. можно определить и так. Пусть ОМ —г— произвольный радиус-
вектор (подвижный радиус), начало которого совпадает с началом координат
(рис. 79,6), тогда отношение Хм:ум. = ctg а, где а—угол (точнее: величина
угла), составленный радиус-вектором с положительным направлением оси Ох,
 >
т. е. угол, составленный радиус-вектором ОМ с неподвижной стороной ОА
угла a=AOAf; числа хм и ум — координаты точки М — конца подвижного
радиуса, принадлежащего окружности радиуса г. К. и тангенс любого угла
Рис. 78
КОТЕСА ФОРМУЛА
267
х из области допустимых значений аргумента для этих двух функций связа-
ны соотношением:
. 1
ctgx=------,
6 tgX
Из этой формулы следует, что значения тангенса и К. для одного и того же
аргумента х являются взаимно обратными числами. Знаки тангенса и К. для
одного и того же аргумента совпадают.
Если ограничиться острым углом а, та К. можно определить из рас-
смотрения прямоугольного треугольника ОММг или гомотетичного ему тре-
угольника с центром гомотетии в точке О (рис. 78, б) как отношение длины
катета OAfj, прилежащего к углу а, к длине катета ММ{, противолежащего
этому углу.
График К. в прямоугольной декартовой системе координат называется
котангенсоидой. Функция, обратная К., называется арккотангенсом.
Производная К. вычисляется по формуле:
(ctg xY —--Д—=— cosec1 х.
v ' sin2x
Интеграл от К. определяется по формуле:
J ctg х dx = In | sin x 14- C.
К. разлагается в ряд:
1 x X8
ctg*=~y-45-..‘ (0<|х|<л).
К. является по отношению к тангенсу функцией дополнительного угла.
Лат.: «со» (сокращение слова complementum)—дополнение + тангенс.
См. также: Тангенс, Тригонометрические функции, Тригонометрические
ряды,
КОТАНГЕНСОИДА —график функции котангенса y = ctgx в прямоуголь-
ной декартовой системе координат. К. состоит из отдельных ветвей (см. ри-
сунок в тексте термина Котангенс).
См. также: Тангенсоида, Синусоида, Косинусоида, График функции.
КОТЕСА ФОРМУЛА—формула для приближенного вычисления опреде-
ленных интегралов. К. ф. имеет вид:
ь	п
С(а + -Ц^-Л
где n£N. К. ф. является одной из квадратурных формул с равностоящими
узлами. Коэффициенты К. ф. находятся из условия, чтобы К. ф. была
точной для случая, когда подынтегральная функция является многочленом
степени не выше п. Для коэффициентов К. ф. составлены таблицы. При
л=1 К.ф. дает трапеций формулу, а при л = 2— Симпсона формулу. К.ф.
указаны английским математиком Р. Котесом (1682—1716),
Лит.: [92].
268
КОХЛЕОИДА
КОХЛЕОИДА—кривая, полярное уравнение которой имеет вид:
К. относится к квадратрисам. Название кривой ввиду ее сходства с проек-
цией раковины было предложено Юнгом (1883).
Греч, xoxloj—улитка.
КОШИ — БУНЯКОВСКОГО НЕРАВЕНСТВО —неравенство
п	\*	/ п	\ / п	\
2	) < ( 2 ) ( S bk )•
.*= 1	/	\л= 1 / \л= 1 /
имеющее место для конечных сумм;
в различных областях математики и
Впервые оно было установлено Коши в
очень важное и часто употребляемое
математической физики неравенство.
1821 г. Интегральный аналог К-В. н.:
\2	?	3
а (х) b(x)dxj < j а2 (х) dx b2 (х) dx
/	а	а
установлен русским математиком В. Я. Буняковским.
КОШИ ЗАДАЧА—одна из основных задач теории дифференциальных
уравнений, впервые систематически изучавшаяся французским математиком
О. Коши.
К задаче Коши приводят процессы, характеризуемые некоторым диффе-
ренциальным законом и определенным начальным состоянием. К. з. и заклю-
чается в отыскании такого решения дифференциального уравнения, которое
удовлетворяет данному начальному условию. Так, для обыкновенного диф-
ференциального уравнения:
^п) = /(х; у\ у'\ у”\ **.;
К. 8. состоит в отыскании решения при заданных значениях:
Ув=У(*в), Уо = у'(х,), .... Уо’-1)=у(п"1)(хв).
В случае квазилинейного дифференциального уравнения с двумя независи-
мыми переменными:
«(*; у, и)-^+ь(х> у> “)-^=с(х> У'
К. з. состоит в нахождении решения этого уравнения при условии и (х0; у)=
= ф(у). где ф (у) —заданная функция.
Вообще, в случае дифференциального уравнения л-го порядка с частными
производными К* з. заключается в нахождении решения дифференциального
уравнения:
дпи	d^ + ki+ .. .+km \
5/"	”	dtk'dx^.. .dxkJ J
kt + kt +. ч + km < n, k0 < n,
КОШИ - РИМАНА УРАВНЕНИЯ
269
ди д*и дп-*и	.
если заданы и,	, 1М_. дЛЯ некоторого фиксированного значе-
ния аргумента t. На языке геометрии этому соответствует случай (т + 2)-мер-
ного пространства с координатами (/; xf, х2; * *.; хт\ и). К. з. в случае ква-
зилинейного уравнения вида:
/	ч ди I /	ч ди .
°i («1. ......  u)^--i-a2	(хь х2, ..х„, и) ^-4-
it/	\ ди _	<
4-...+an(xi, х2.....xn, u)-^-=c(Xj, .......... и)
состоит в определении интегральной поверхности и = и(х\, х2, хп) этого
уравнения, проходящей через заданную (п—1)-мерную поверхность.
О. Коши в 1842 г. и независимо от него С. Ковалевская в 1874 г. дока-
зали существование и единственность решения К. з. при условии аналитич-
ности функции F (см. (*)) и функций, входящих в начальные условия,
К. з. и теорема Коши—Ковалевской имеют место также для систем диф-
ференциальных уравнений.
Адамар в 1923 г. показал, что постановка К» з. для эллиптических урав-
нений не корректна, т. е. решение К. з. не является непрерывно зависящим
от начальных условий. См. Адамара пример.
Лит.: [133].
КОШИ КРИТЕРИЙ! 1°. к. к. сходимости последовательности — см. Фун-
даментальная последовательность.
2°. К. к. существования предела функции. Для существования конечного
предела функции lim f (х) необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О
х-+а
существовало 6 > 0 такое, что при любых двух х', xff£R, таких, что
О < | х' —а | < б, 0 < | х"—а | < б,
было справедливо, неравенство:
|/(х')-/(х")|<8.
3°. К. к. сходимости ряда. Для сходимости числового ряда Hi4-«2+it.
iii + un+i»» необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовал
номер N такой, что при всех п > N и р > О справедливо неравенство:
I wn+i+ wn + a+ »»* -\~ип+р I < е-
КОШИ — РИМАНА УРАВНЕНИЯ (другое название—уравнения Эйлера —
Даламбера) — система уравнений с частными производными:
ди до	ди  до
дх ду ’ ду	дх *
Решения К.— Р. у. суть сопряженные гармонические функции. Пару
функций и и о этого решения можно рассматривать соответственно как дей-
ствительную и мнимую части некоторой аналитической функции и-}-io комп-
лексного переменного z=x-\-iy. Обратно, действительная и мнимая части
аналитической функции комплексного переменного x-\-iy удовлетворяют
уравнениям К.— Р.
270
КОЭФФИЦИЕНТ
КОЭФФИЦИЕНТ: 1°. К. одночлена, содержащего переменные (буквы),
есть числовой множитель одночлена.
Примеры. 1) К. алгебраического выражения 7ху*, являющегося одно-
членом, есть число 7; 2) К. одночлена — b есть число —1, так как (—1)-Ь =
=—Ь. К. может быть любым действительным числом.
2°. К. угловой в уравнении прямой y — kx-\-b—число k, которое равно
тангенсу угла наклона прямой с положительным направлением оси Ох,
3°. К. гомотетии —см. Гомотетия.
4°. К. биномиальный—коэффициент в разложении степени бинома по
формуле Ньютона (см. Биномиальные коэффициенты).
5°. К. пропорциональности — число k £ 0 в формуле y = kxt выражающей
прямую пропорциональность. Переменные х и у при этом называются про-
порциональными или прямо пропорциональными.
Иногда понятие К. относят к множителям в различных формулах и пре-
образованиях, более общих, чем указано в 2°—4°.
Лат.: со или cum—с, вместе -J- efficiens—производящий, вызывающий при-
чину; дословно: коэффициент—содействующий.
К. инцидентности двух ориентированных клеток клеточного комплекса
см. в статье Граничный оператор.
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА уравнений математической физики—задача нахожде-
ния функции f(P), являющейся решением заданного дифференциального урав-
нения (или системы уравнений) в области D и удовлетворяющей на (гладкой)
границе S области D условиям вида:
/Ь = Ф(Р). или -^-|5=ф(Р), или л/Ь + б-^-|5 = ° И ’• П-
Здесь ф, ф, х—заданные на S функции (обычно непрерывные), — произ-
водная по направлению нормали; А,В — постоянные.
Примеры К- з. см. в статьях Дирихле задача, Неймана задача.
См. также: Грина функция.
Лит.: [133].
КРАЙНИЕ ЧЛЕНЫ пропорции a\b = c'.d—члены а и d этой пропорции.
Члены пропорции b и с называются средними членами ее. Если указанную
выше пропорцию записать в виде b:a = d:c, то К. ч. п. перейдут в средние
члены, а средние члены перейдут в крайние. Основное свойство пропорции
заключается в том, что произведение крайних членов пропорции равно про-
изведению ее средних членов.
См. также Кратная пропорция.
КРАМЕРА ПРАВИЛО—правило решения систем линейных уравнений.
Система п уравнений с п неизвестными, определитель которой отличен от
нуля, всегда имеет решение. Это решение единственно и определяется таким
К. п.: значение каждого из неизвестных х/ (t = 1, 2, 3, <«,, п) равно дроби,
где знаменателем является определитель D 0 системы, а числитель D, полу-
чается из определителя системы путем замены столбца коэффициентов при
искомом неизвестном х/ столбцом свободных членов.
КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
271
Пример. Решить систему:
Xi —Х2 Ху = 1
2Х} Зх2 — 2х3 = 2
X] -}- х2 Зх3 = — 4.
По К. п. выписываем определитель D, стоящий в знаменателях, и определи-
тели Dlt D2 и Ds, стоящие в соответствующих числителях:
Р8 =
1 —1 1
2	3	2
1	1	—4
Вычислив эти определители
и убедившись, что D 0, можем написать:
—£1 —_ Р2_ 20
Х1~£>~18’	*2~ D ~~~	18’ хз— р —	18«
Лит.: [66, 72].
КРАТНАЯ ПРОПОРЦИЯ — синоним пропорции. К. п. называют также
геометрической пропорцией в отличие от арифметической пропорции.
Термин «арифметическая пропорция» теперь не употребляется.
КРАТНОЕ натурального числа пг—натуральное число п2, которое де-
лится (без остатка, нацело) на число /ц.
Пример. Число 65 есть К. числа 13. Общее К. двух натуральных
чисел nt и п2 есть натуральное число л3, делящееся как на flf, так и на л2.
Наименьшее из всех К. чисел nf и п2 называется наименьшим общим К. этих
чисел; оно обозначается так: НОК (п^ п2).
Целые числа, К. двум, называются четными, а не являющиеся К. двум,—
нечетными.
КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ. Пусть D—квадрируемая ограниченная область
в евклидовой плоскости переменных х, у; / (Р)— функция, определенная в £>,
Р = Р(х, (/), Г —разбиение области D на квадрируемые множества Ал, D =
=	— площадь Ak,	—точка из множества Ал, А=1, 2, • «», л;
d(Ал)—диаметр множества Ал, / (T) = max d (Ал). Если
k
Вт £/<С*)н04л)	(*)
/(Т)->07
существует при любом способе измельчения разбиения Т, лишь бы ЦТ)—>0,
и не зависит от выбора точек Сл£Ал, то предел (♦) называется двойным
интегралом по области D от функции f (х, у), обозначается /(х, y)dxdy.
D
Двойной интеграл—самый простой вид К. и*
Аналогично может быть определен тройной интеграл функции. f(P),
Р (х; у\ г) по (кубируемой ограниченной) области D евклидова пространства
переменных х, yt г f обозначается J f (P)dxdy йг\ и л-кратный интеграл
от функции f (Р), Р (xi; х2; .. хл) по измеримой ограниченной области D
272
КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
евклидова пространства переменных (xf, ха; ...; хп) (обозначается
J 5 4 “ J / (Р) dx2 ... dxn, или короче J f (Р) dp,).
D	D
К* и. есть общее название вышеперечисленных видов интегралов.
Пределы, аналогичные пределу (♦), определяющие К. и., существуют, если
/(Р)—непрерывная функьия, a D—ограниченная замкнутая область в евкли-
довом пространстве.
К. и. обладают следующими свойствами:
1.	^(f(P)+g(P))dv^^f(P)dv+^g(P)dv;
D	D	D
2.	J Cf (P)dv = С J f (P) dv, C—константа;
D	D
3.	J f(P)dv= J f(P)dv+ J f(P)dw,
D	Di	Dt
где Df и D2 — непересекающиеся области, D = Di\JD^
4.	теорема о среднем:
J/(P)do = /(c)p(D),
D
где с—некоторая точка в D; p(D) = J dv—n-мерный объем области D; f не-
D
прерывна в D.
Вычисление n-кратного интеграла сводится к вычислению (п—1)-кратного
интеграла с последующим вычислением (одномерного) определенного интеграла
по формуле:
ь
f(P)dv=^dxn J f(P)dXidxt ... dxn-t,
D	a D' (xn)
где Df (xn)—проекция сечения области D (n—1)-мерной гиперплоскостью
Xn = xn на гиперплоскость Хл = 0.
Для двойных и тройных интегралов справедливы следующие формулы,
сводящие эти К. и. к повторным определенным интегралам:
ь <7 (х)
/ (х; У) dx dy — J dx J f (x; y) dy,
Di	a p (x)
b ^(x) ЧГ(х; g)
f(x\y\z)dxdydz=^dx J dy J f(x\y,z)dz,
а ф(х) Ф(х; у)
где р(х), g(x) —правые части уравнений р=р(х), y = q(x), задающие две
кривые—нижнюю и верхнюю границы области Dx; Ф (х; у), ¥ (х; у)—правые
части уравнений г = Ф(х; у), £ = ¥ (х; у), задающие две поверхности— нижнюю
и верхнюю границы области Da; ф(х), ф (х)—правые части уравнений у = ф(х),
КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
273
Рис. 79
у = ф(х), задающие две линии — нижнюю и верхнюю границы области —
проекции D2 на плоскость х, у. См. рис. 79, а, б.
При вычислении К. и. бывают полезны формулы замены переменной в К.и.
К. и. допускают важные геометрические, механические и физические
интерпретации, среди них:
1. Геометрический смысл двойного интеграла JJ/(x; y)dxdy при
D
f(x; в D есть объем цилиндрического тела, ограниченного поверхно-
стью z = f (х; у), плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью F(x, у) = 0
(здесь F (х, у) = 0—уравнение границы области D в плоскости х, у).
2. Масса М неоднородного тела, распределенная с плотностью f (х; у\ z)
в области D трехмерного пространства, равна:
М = J f (х\ у\ г) dx dy dz.
V
Лит.: [103, 154].
КРАТНЫЙ КОРЕНЬ многочлена
/ (х) = аохп + а^хп -1 + ... + ап
число Хо такое, что /(х) делится (нацело, без остатка) на степень бинома
(х—х0)л, где 1 < k^nt но не делится на (х—х0)*+х. При этом корень
х0 называется корнем кратности k. Если х0 — корень кратности k многочлена
/ (х), то х0 — корень кратности (k—Z)ero Z-й производной (Z=l, 2, k— 1).
К. к. многочлена f (х) называется также К. к. уравнения f (х) = 0. Корень х0
многочлена f (х), не являющийся К. к. (однократный), называется также
простым корнем этого многочлена (или простым корнем уравнения /(х) = 0).
См. также: Корень многочлена.
КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА —множество точек координатной плоско-
сти, координаты которых в любом аффинном репере удовлетворяют урав-
нению:
F (х, у) = ац№ + 2alsxj/ 4- агъу* + 2а10х + 2аыу+а00 = 0,

КРИВИЗНА
где коэффициенты ап, а12, а22—действительные числа, не равные одновре-
менно нулю. К. в. п. также называют коническим сечением или линией вто-
рого порядка.
См. также: Эллипс, Г ипербола, Парабола, Окружность, У равнение, Гра-
фик функции.
Лит.: [5, 14, 104, 112, 114].
КРИВИЗНА: 1°. К. плоской кривой — величина, характеризующая сте-
пень отклонения ее от прямой в окреп кости некоторой точки М. Направ-
ление кривой в точке М можно охарактеризовать углом 6, составленным
касательной к кривой в точке М с осью Ох
У и	(рис. 80). Скорость изменения угла 0 при равно-
]/ мерном движении точки М по кривой называет-
ся К- кривой в точке Л4.
МУгол 0 можно рассматривать как функцию
от длины дуги где Л40—фиксированная (на-
/ чальная) точка, при этом К. кривой в точке
запишется в виде:
ч	*	„ I I г I де I
Рис. 80	I ds I As -> 0 I As Г
где 0—угол между касательными к кривой в точках М и Мо,	—длина
дуги ЛШ0.
К. окружности £ = -Ь-, т. е. обратна радиусу окружности.
А
В случае произвольной плоской кривой (при определенных условиях
дифференцируемости) в любой точке М можно построить так называемую
соприкасающуюся окружность (круг К.), которая наиболее тесно примыкает
к кривой в тоЗке Л1 по сравнению с другими окружностями, касающимися
кривой в той же точке М. Центр соприкасающейся окружности и ее радиус
называются центром К. и радиусом К.
К. и радиус К. р связаны соотношением £=-L. Если кривая задана в
прямоугольных декартовых координатах у = у(х), то ее К. вычисляется по
формуле:
Если знак абсолютного значения не пишут, то получают К. со знаком +
или —, в зависимости от выпуклости или вогнутости кривой в точке М.
К. пространственной кривой определяется аналогичным образом. Если
уравнение кривой имеет вид M = M(s), где s—длина дуги кривой, то К.
измеряют пределом отношения приращения единичного касательного вектора
—►
т (s) к приращению длины дуги As при As—>0. Такой предел (существу-
—►
ющий, когда М (s) дважды дифференцируема) есть вектор, коллинеарный
КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ
275
единичному вектору нормали к кривой, т. е.
rfl / / г”*
^- = *(S)V.
Здесь нормаль v выбирается так, что k (s)	0.
Число k ($) называется К. кривой в точке Af.
2°. К. риманова пространства Хп в двумерном направлении, определяемом
бивектором д'Л— величина
К=4- S Rmk.ub^b<J,	(*)
а mkij
Д= У,
il,mk\g‘h Si f I
здесь g/y —метрический тензор (см. Риманово пространство), Rmk, if —тензор
кривизны Хп.
Параллельный перенос касательного в точке Р пространства L вдоль
бесконечно малого параллелограмма, определяемого бивекторами порож-
дает линейное преобразование пространства L, В случае двумерной поверх-
ности в трехмерном евклидовом пространстве имеет место следующее: чем
—►
больше гауссова кривизна поверхности, тем больше угол между вектором £
(переносимым параллельно вдоль бесконечно малого параллелограмма) и век-
тором Lg; при этом гауссова кривизна равна правой части формулы (*).
Это обстоятельство объясняет геометрический смысл формулы (*) в общем
случае риманова пространства (см. Риманово пространство).
Лит.: [118].
КРИВИЗНЫ ТЕНЗОР в пространстве аффинной связности (или римано-
вом пространстве) — тензор, компоненты которого определяются формулой:
Rrsk — d/Tsk — djErfe-j- 2 Гг/nEsfe—2
т	т
где Г/fe —символы Кристоффеля (см. Кристоффеля символы). В аффинном
пространстве без кручения, в частности в римановом пространстве, К. т. об-
ладает свойством
(V/Vfe— VaVz) «< = 5й^“р-
где ui—произвольное поле одновалентного ковариантного тензора, V6 Vy—
ковариантные производные по направлению t-й и /-й координаты. К.т. опре-
деляет кривизну пространства в двумерном направлении и измеряет уклонение
пространства аффинной связности от аффинного пространства (риманова
пространства от евклидова пространства).
Лит.: [118].
КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ—термин интегрального исчисления.
К. т. возникает при применении определенного интеграла к вычислению пло-
щадей фигур. К. т. называется фигура, ограниченная снизу (основание К. т.)
отрезком оси абсцисс, слева и справа отрезками, перпендикулярными к осно-
276
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
ванию (боковые стороны К. т.), и сверху графиком произвольной функции f (х)
(верхнее основание, вообще говоря, криволинейное, из-за чего и вся фигура
названа К. т.). Одна или обе боковые стороны К. т. могут выродиться в точку.
Лит.: [103].
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ точки на поверхности (или точки
многообразия).
Пусть S—поверхность (многообразие), Ро — точка на S и (/ — окрестность
точки PQ на поверхности (в многообразии) S. Пусть f\U—* Е2— гомеоморф-
ное (см. Гомеоморфизм) отображение на внутренность квадрата 0 < и\ v < 1,
плоскости переменных и, v. При этом каждой точке Р соответствуют два
вещественных числа — координаты точки f (Р) в плоскости переменных и, v.
Эти числа называются К. к. точек P£U. Отображение /, определяющее К. к.
точек в U, задает, как говорят, локальную систему К. к. в S, или коорди-
натную карту (см. Карта).
Если поверхность S расположена в евклидовом (или аффинном) про-
странстве, то часто дополнительно требуют, чтобы функции, выражающие
координаты точки f (Р) через координаты точки Р (х; у, z) в евклидовом про-
странстве, т. е. и = и(х’, у\ z), v = v (х; у\ z), обладали бы той или иной
степенью гладкости. То же требуется и от функций х = х(и, v)\ у = у(и, и);
з=г(ц, и), задающих обратное отображение /-1 (см. Гладкое отображение).
К. к* на поверхности определяют двупараметрическое семейство линий
в окрестности U на поверхности
/“1(« = С1), f-'lv^Ct)
(линии и и пинии и). При этом каждая линия и пересекается с каждой ли-
нией v в одной точке поверхности.
Аналогично определяется локальная система координат в окрестности
точки многообразия, в частности в окрестности неособой точки многомерной
поверхности.
Введение К. к. на поверхности позволяет привлечь к изучению геомет-
рических свойств поверхности методы дифференциальной геометрии, а также
упрощает вычисление интегралов.
В некоторых случаях возможно распространение К. к. с окрестности U
на более широкое множество точек. Подробнее об этом см. в статье Много-
образие.
Примеры.
1. Географическая широта ф и долгота 6 точки на поверхности сферы
(точнее, на подмножестве U сферы :0 < ф0 < Ф < Ф1 < 2л, 0 < 0О < 0 < 0f < л)
суть К. к.
2. В области ₽0 < Vх2 4- у* < ф0 < arctg у < фг, х; у > 0, где ₽0»
Яь Фо» Ф1 —вещественные числа, такие, что /?0, Rt > 0, 0 < ф0 < фх < -у
плоскости переменных х, уч отображение /:(х; у)—► (г; ф), определенное фор-
мулой г = У"ха + ф = arctg -у, задает локальную систему К. к. (полярные
координаты)»
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
277
Эту систему координат распространяют на всю плоскость х, у, оговари-
вая, во-первых, что полярные координаты точки (0; 0) не определены (г=0,
Ф не определено) и, во-вторых, что одна и та же точка плоскости опреде-
ляется не одним, а бесконечным множеством значений полярного угла
ф(ф = ф02£л; k£Z). Так что в строгом смысле слова полярные коорди-
наты не являются К. к. для всей плоскости переменных.
Название К. к. связано с тем обстоятельством, что координатные линии
u, v на поверхности (или даже плоскости) являются кривыми линиями в от-
личие, например, от аффинных координат плоскости, координатные линии
которых — прямые.
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ. Пусть кривая L в трехмерном евкли-
довом пространстве задана уравнениями х = х(/), у~у (/), z = z(/), в которых
функции х(/), у (/), z(/) непрерывно дифференцируемы; пусть, кроме того,
задана функция F (х; у\ z), определенная для всех точек (х; у\ г), принадле-
жащих рассматриваемой кривой. Многие задачи математики приводят к рас-
смотрению следующих двух конструкций, аналогичных той, которая лежит
в основе понятия определенного интеграла.
1°. Пусть Т (tQ = a; /2, •••» tn = b) — разбиение отрезка [а; д] на отрез-
ки Ал=[/л- 1, /л], Ck С — некоторая внутренняя точка в Ад, £=1, 2, ...»
п. Тогда величина
2 F (ск) «ft.
где Sk—длина дуги кривой L, заключенной между точками, определяемыми
параметрами и называется интегральной суммой функции F вдоль
кривой L от а до b по длине дуги.
Если lim 2 F (ck) sk существует при любом выборе точек Ck внутри Ад
и не зависит от способа измельчения разбиения, лишь бы только максималь-
ная из длин Sk стремилась к нулю, то этот предел называется К. и. функ-
ции F вдоль кривой L от а до b по длине дуги. (При этом I (Т) = тах
k
называется диаметром разбиения Т.)
Если F — непрерывная функция, то упомянутый предел существует; его
обозначают так:
в
lim 2 F Oft) sk=\F (*! У! г) ds
1<т>-°к (lU
Л = (х(а), у (а), г (а))
В = (х(Ь), y(b), г(Ь)).
Аналогично определяется К. и. по длине дуги в двумерном и п-мерном
евклидовом пространстве.
2°. Пусть Т(/0 = а; /2,	tn — b) — разбиение отрезка [а; д] на от-
резки Afc =[/£-!; б Ал—некоторая внутренняя точка в A*, 6=1, 2,
... , п. Тогда величины
2 F о») о*)-* о*-i)i. 2 F (<*) (‘к)-у Oft-oi. 2 f to) и os) -г (/A_i)i
называются интегральными суммами функции F (х; у\ г) вдоль кривой L от а
до b соответственно по координатам х, у, г. Если lim 2 F Ол) I* Oft)—*0ft-i)l.
Um2f Oft) fyOft)—4'0ft-i)].Um2/?0ft) lz0ft)—2(/fe-i)] существуют при
любом выборе внутри Ад и не зависят от способа измельчения разбиения,
278
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
лишь бы только величина lx (T) = max | х (i^)—(соответственно
/JZ(T) = max|y(Zft)—1г (T) = max | г (tk) — г (/*_,) |) стремилась бы
к нулю, то эти пределы называются К. и. функции F вдоль кривой L от а
до b по координатам х, у, г соответственно. Если Р, Q, R—непрерывные на L
функции, то пределы lim
ix
lim ^^\y(t^-y(tk^}, lim У/?(<:*) [?(/»)-z(/*_,)]
/ytD-oV	W)-of
существуют и обозначаются соответственно
В	в	в
Р (х, у, г) dx, Q (х, у, г) dy, R (х, у, г) dz. (*)
<L)A	(L) А	(I) Л
Рассматривают также выражение
в
Р dx+Qdy + Rdz,
(L)A
понимая под ним сумму К. и. (♦).
Аналогично определяют К. и. по координатам в двумерном и л-мерном
евклидовом пространстве.
Вычисление К. и. производится по формуле:
в	ь
$ Pdx+Qdy + Rdz=f\)P(x(t); у (/); г(/))х'(Ш
(4) Л	а
ъ	ъ
+ $ Q (X (0; У (О; г (/)) у* (0 di + J R (х (/); у (ty, г (/)) г* (/) di
а	а
(правая часть этой формулы представляет собой определенный интеграл).
К. и. по длине дуги и по координатам обладают следующими свойствами!
общими всем видам интегралов:
1.	^(F+G)ds = ^Fds+^Gdst
L	L	L
J (P+Pi)dx+(Q + Q1)dy + (R + Rl)dz=^Pdx + Qdy^Rdz +
L	L
+ Pi dx 4- Qi dy 4- Ri dz.
L
2.	= Fds,
L	L
J k(Pdx + Qdy + Rdz) = K^Pdx + Qdy + Rdz,
L	L
здесь X—произвольное число.
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
279
В	Д'	в
3.	J Fds— J Fds-\- J F ds,
(L)A	(DA	(DA'
В	A'	В
J Pdx + Qdy + Rdz= § P dx-j-Q dy-f-R dz-{- J P dx+Q dy + Rdz>
(DA	(DA	(DA'
здесь Ar—точка на кривой L, соответствующая параметру а',
в
4.	J Fds = F(C)s‘,
(DA
в
J Р dx +Q dy + R dz = (Р (С) xf (c) + Q(C) у' (с) + R (С) z' (с)) (&-а),
(DA
здесь Р, Q, R непрерывны, С—точка кривой L, соответствующая параметру с,
a^c^b, S—длина дуги АВ.
Свойство 4 составляет содержание теоремы о среднем.
Рассматриваемые К. и. обладают также следующими свойствами:
в
1. J ds есть длина дуги АВ.
(DA
2.. ф Р dx-\-Qdy={{ (——dxdy (Грина формула),
L
здесь L—ориентированная замкнутая кривая, ограничивающая односвяз-
ную область D на плоскости; функции Р (х; у), Q (х; у) имеют непрерывные
частные производные в замыкании D области £>; если при этом выполняется
условие 4^- = ~~, то ф Р dx-[- Q dy не зависит от кривой области D, вдоль
которой производится интегрирование, а зависит только от крайних точек
этой кривой. (См. Стокса формула.)
Следующие важные задачи механики сводятся к К. и.:
1. Масса неоднородного криволинейного материального стержня. Если
уравнения криволинейного стержня имеют вид x = x(s), y = y(s), z = z(s),
здесь s—длина дуги от начальной до текущей точки, и распределение массы
вдоль стержня задано функцией плотности р (s), то масса стержня может
быть вычислена по формуле
в
. М = р (s) ds.
(DA
2. Работа силового поля F= Pi + Qj + Rk (здесь /, /, k — орты вдоль коор-
динатных осей) вдоль кривой L с уравнениями х = х(/), y = y(t), z = z(t) от
280
КРИСТОФФЕЛЯ СИМВОЛЕ}
точки А (х (а); у (а); г (а)) до точки В (х (Ь)\ у (Ь); г (Ь)) может быть вычислена
по формуле
в	в
Л = J (F, dl)= J Pdx + Qdy + Rdz)
(ЦА	(L)A
здесь dl = dxi-}-dyj -]~dzk, (F, dl) означает скалярное произведение векторов.
Лит.: [154].
КРИСТОФФЕЛЯ СИМВОЛЫ. Пусть Ап—пространство аффинной связ-
ности (см. Аффинной связности пространство) и х1, х2, 4ii , хп— локальная
система криволинейных координат (см. Криволинейные координаты) в окрест-
ности U точки Р в Ап. В пространстве аффинной связности определено
параллельное перенесение любого касательного в точке Р вектора £ вдоль
любой гладкой кривой у (/), у(^о) = Р»
Дифференциал векторного поля vl (t), полученного параллельным пере-
несением вектора vl (t) вдоль у, удовлетворяет соотношению:
dvi+^l(i)lkvk = 0.	(♦)
k
Коэффициенты в (*), если их выразить через криволинейные коорди-
наты xz, принимают вид:
=	(*Х’ *2’ * • * » хп)4х\	(♦♦)
s
Коэффициенты в (♦*), зависящие только от координат точки и опреде-
ляемые аффинной связностью, называются К. с. Говорят, что со^, а также
К. с. определяют объект связности. К. с. не являются координатами тензора.
При изменении системы координат они изменяются по закону более слож-
ному, чем тензорный.
С помощью К. с. могут быть вычислены ковариантный (абсолютный)
дифференциал, ковариантные производные, тензор кривизны пространства
аффинной связности (см. Абсолютное дифференцирование, Кривизна).
В римановом пространстве Хп с метрикой '^gijdxidxi можно ввести
аффинную связность, связанную с метрикой. При этом К. с. следующим
образом выражаются через gif.
r!‘=i
' “j *	\ dxk dxJ дх9 /
В римановом случае рассматривают также *К. с. второго рода:
Гр,/4 Л =	jk
(при этом называются К. с. первого рода).
КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА
281
К. с. для аффинного (или евклидова) пространства тождественно равны
нулю в аффинной системе координат.
Если ГуЛ=Г^-,/, £=!, 2, ii4 , л, то аффинная связность называется
связностью без кручения.
Лит.: [118].
КРИТЕРИЙ выполнения какого-либо утверждения — признак, необходи-
мый и достаточный для этого утверждения.
Примеры. 1) К. разрешимости задач на построение циркулем и ли-
нейкой на плоскости состоит в том, чтобы длина некоторого отрезка, к по-
строению которого сводится задача, выражалась как положительная функция
от длин данных отрезков и через конечное число основных операций (сложе-
ние, вычитание, умножение, деление и извлечение квадратного корня).
2) К. Больцано—Коши Для сходимости ряда состоит в следующем: ряд
00
2 ип сходится тогда и только тогда, если для любого числа 8 > 0 сущест-
л= 1
вует такое число W, зависящее от 8, что | un+t + ип+^ + .«»+ ип+р | < 8 для
всякого n^N и всякого р^1.
В литературе иногда встречаются теоремы, выражающие только доста-
точные условия (признаки), и тем не менее они называются К., например К.
неприводимости многочленов—К. Эйзенштейна и др.
К. называют не все необходимые и достаточные условия, а лишь те,
которые являются наиболее важными и существенными в том или ином раз-
деле математики, в той или иной математической теории.
См. также: Достаточное условие, Необходимое условие, Эйзенштейна
критерий.
КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА: 1°. К. т. дифференцируемой функции несколь-
ких переменных z = f(Xi, х2; .хп)—точка, в которой градиент функции
обращается в нулевой вектор. Если точка Р—внутренняя точка области
определения /, в которой функция имеет локальный экстремум, то Р обяза-
тельно К. т. Если Р—К. т. и матрица, составленная из вторых частных
d*f I
производных [I а/; ||,	| положительно определена, то Р—локальный
минимум, если же эта матрица отрицательно определена, то Р — локальный
максимум. В случае двух переменных указанные достаточные условия локаль-
ного экстремума во внутренней точке Р
имеют
вид-
d2f V d2f d2f
дх ду J	дх2 ду2
д2/ V _d^L d^f_
дх ду) дх2 ду2
< О,
< о,
I
дх2 |р
d2f |
дх2 |р
>0
< О
— минимум,
— максимум
См. также: Сильвестра критерий.
2°. К. т. функции f действительного переменного х. Пусть производная f*
функции f существует в некоторой окрестности точки х0, за исключением,
быть может, самой точки х0. Точка х0 называется К. т. функции /, если
/'(хо) = О или /' терпит разрыв в точке х0. В последнем случае f не опре-
282
К РОНЕ К ЕР А-—К АП ЕЛ ЛИ ТЕОРЕМА
делена в х«. Понятие К. т. полезно и удобно при исследовании функций
действительного переменного на экстремум. Справедлива теорема: если точка
х0 является локальным экстремумом функции f и /' определена в окрест-
ности точки х0, за исключением, быть может, самой точки х0, то х0—К. т«
Эта теорема позволяет свести задачу об отыскании экстремумов к исследо-
ванию К. т.
Лит.: [154].
КРОНЕКЕРА — КАПЕЛЛИ ТЕОРЕМА—одна из основных теорем линей-
ной алгебры, выражающая необходимое и достаточное условие существования
решения системы п линейных уравнений с т переменными. К. —К. т. фор-
мулируется так: для того чтобы система уравнений:
aii*i +	+ • • • +	— bi >
аъ1х1 +	4" ... -г-	— Ь»,
anlxl 4" ап2^ 4- • • • 4 аппхт = Ьп
была совместна, т. е. имела хотя бы одно решение, необходимо и достаточно,
чтобы ранг матрицы системы (основной матрицы) был равен рангу расши-
ренной матрицы.
При этом матрицей системы называется матрица |а/у| (Г=1, 2, «... п\
/=1, 2,	m), составленная из коэффициентов л,/ при переменных данной
системы, а расширенной матрицей называется матрица, составленная из коэф-
фициентов ац и свободных членов b( (t = l, 2, tii, п).
Теорема названа по имени немецкого математика Кронекера и итальян-
ского математика Капелли, доказавших эту теорему независимо друг от
друга.
Лит.: [66, 72].
КРУГ с центром О и радиусом г—множество всех точек плоскости, рас-
стояние от каждой из которых до точки О, лежащей в плоскости, не пре-
вышает длины радиуса г.
Границей К. является окружность. Если центр круга совпадает с началом
координат плоскости и г—длина радиуса круга, то множество точек пло-
скости, координатьГкоторых удовлетворяют соотношению х2-}-у2^г2, и есть К.
Можно доказать теорему о том, что всякое непрерывное отображение
круга в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку.
К. имеет бесконечное множество осей симметрии.
См. также: Большой круг, Круг кривизны, Окружность, Сфера, Шар.
КРУГ КРИВИЗНЫ — синоним соприкасающегося круга.
См. также: Соприкасающаяся окружность, Радиус кривизны.
КРУГ СХОДИМОСТИ степенного ряда:
2 ак(г—с)* = а0 + ах (г—с) + а, (z—с)* +... +а„ (г—с)" +...
k=o
круг радиуса R с центром в точке z — c комплексной плоскости, для всех
внутренних точек г которого (|z—с| < R) степенной ряд абсолютно сходится,
а для всех внешних точек расходится. Радиус R К. с. называется радиусом
КРУЧЕНИЕ
283
сходимости степенного ряда. На границе К- с. степенной ряд может сходиться,
а может расходиться* Радиус сходимости степенного ряда может быть равен О
или оо; в последнем случае степенной ряд сходится в любой точке комплекс-
ной плоскости. Для всякого степенного ряда областью сходимости является
круг, за исключением, быть может, некоторою множества точек, лежащих
на его границе. Для нахождения радиуса сходимости степенного рада часто
используют признаки сходимости Даламбера или Коши.
См. также: Интервал сходимости, Абеля теоремы, Аналитическая функ-
ция.
КРУГЛЫЕ ТЕЛА в курсе геометрии—собирательный термин для мно-
жества шаров, конусов и цилиндров (прямых круговых конусов и прямых
круговых цилиндров).
Все К. т. являются телами вращения: частными их случаями. Термин
«круглые тела» весьма условен; К. т. называются также фигурами вращения.
См. также: Тело вращения, Тор, Эллипсоид, Фигура вращения.
КРУГЛЫЙ КОНУС в курсе геометрии—прямой круговой конус, т. е.
тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного
из его катетов. Круглый конус называют также круговым конусом. В вузов-
ских курсах геометрии К» к. или вообще конусом называют коническую
поверхность, заданную определенным уравнением. Существует плоскость, не
параллельная основанию наклонного кругового конуса, которая пересекает
его по кругу.
См. также: Коническая поверхность, Конические сечения, Конус.
КРУГЛЫЙ ЦИЛИНДР в курсе геометрий—прямой круговой цилиндр,
т. е. тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его
сторон. В геометрии рассматривают часто цилиндр как поверхность беско-
нечную, заданную определенным уравнением. К. ц. также называют круго-
вым цилиндром.
См. также: Фигура вращения, Тело вращения, Коническая поверхность,
Конические сечения, Цилиндр, Поверхность.
КРУГОВАЯ ТОЧКА на поверхности — точка, в которой все нормальные
сечения имеют одну и ту же кривизну, например, точка пересечения поверх-
ности вращения с осью вращения есть К- т. На сфере любая точка есть К. т.
На поверхности К. т. иначе называется точкой округления или омбилической
точкой.
КРУГОВЫЕ ФУНКЦИИ—синоним тригонометрических функций. Как
определение гиперболических функций связано с гиперболой, так и опреде-
ление К. ф. связано с кругом (окружностью).
КРУЧЕНИЕ кривой—скорость вращения соприкасающейся плоскости кри-
вой в точке А при равномерном движении точки с единичной скоростью. Строго
К. кривой определяется аналитически из формул Френе (см. Френе формулы)
коэффициентом х:
где р—единичный вектор бинормали, v—единичный вектор нормали, $—длина
дуги. К. характеризует степень отклонения кривой от соприкасающейся пло-
284
К-ТЕОРИЯ
скости в данной точке. К. и кривизна являются основными характеристиками
кривой: имея две произвольные гладкие функции k (s) > 0 и х (s) (кривизну
и кручение от длины дуги), можно восстановить всю кривую с точностью до
положения ее в пространстве. Например, кривой постоянного К. является
винтовая линия; прямая линия имеет неопределенное К.; всякая плоская
кривая имеет К., равное нулю.
Лит.: [117].
К-ТЕОРИЯ — ветвь алгебраической топологии, начало и бурное развитие
которой относится к последним двум десятилетиям.
Исходным объектом этой теории является векторное расслоение над ко-
нечным клеточным комплексом. Пусть $ и т)—два векторных расслоения
над С W-комплексом. Эти расслоения (пучки) называются стабильно эквива-
лентными, если существует такое натуральное число W, что расслоения
и т) + # эквивалентны как векторные расслоения. Здесь	означают
векторные расслоения, равные суммам Уитни расслоений £ и т) с тривиаль-
ным векторным расслоением размерности jV.
Множество классов эквивалентных векторных расслоений над X, факто-
ризованное по отношению стабильной эквивалентности, порождает кольцо
(над целыми числами). Его обозначают /С° (X). Операция сложения элемен-
тов |, и £ Ко (X) порождается суммой Уитни расслоений £, т)—представи-
телей классов стабильно эквивалентных пучков f, 1].
Корректность операции вычитания элементов f, rj £ Х° (X) обусловлена
следующим фактом из теории векторных расслоений: для каждого расслое-
ния | над X существует такое расслоение £х, что сумма Уитни 5® 51 яв-
ляется тривиальным векторным расслоением W (т. е. тривиальным расслоением
размерности N) над X. При этомАГ— I и т|— | = г|—(^—11) = л + £~~N
(волна над £, т), & означает класс стабильной эквивалентности, соответст-
вующий 5, 1), £х).
Умножение элементов из Х° (X) порождено тензорным умножением век-
торных расслоений.
Описанное построение кольца Х° (X) называется конструкцией Гротен-
дика. Идея этой конструкции лежит в основании К-т. В дальнейшем описа-
нии К-т. ограничимся случаем комплексных векторных расслоений—комп-
лексная К-т.
Фундаментальным фактором этой теории является периодичность Р. Ботта.
Теорема Ботта о периодичности устанавливает изоморфизм /<° (X) « К0 (S2X)
как аддитивных групп, т. е. взаимно однозначное соответствие элементов Х° (X),
/Ca(S2X), сохраняющее операцию сложения. Здесь <$2Х означает двойную над-
стройку над пространством X.
Пусть К*=К° (Х)4-Х° (SX), где/Г° (X) означает множество элементов К (X)
размерности нуль (У==Х, SX). При этом К* (с учетом изоморфизма Ботта)
оказывается кольцом, закон умножения в котором удовлетворяет условию
МсД МсК‘, К'К'сР, здесь
Каждое векторное расслоение 5 размерности п над X удобно описываегся
с помощью так называемого характеристического отображения: /:Х —* BU (п),
К-ТЕОРИЯ
285
где BU (и) — универсальное пространство—множество n-мерных плоскостей
в Х-мерном эрмитовом линейном пространстве, проходящих через начало ко-
ординат. (Чему равно N—несущественно, важно только, что X велико.)
Гомотопический класс характеристического отображения определяет рас-
слоение 5 однозначно с точностью до эквивалентности. Топологически про-
странство BU (п) хорошо изучено. Его кольцо когомологий изоморфно коль-
цу симметрических многочленов от п переменных Xf, х2, »»*» хп> каждому из
которых приписана степень два. Образующие этого кольца—элементарные
симметрические полиномы Of, а2, »*•,	—порождают классы когомоло-
гий пространства X по формуле
s* =/•(<’*).
где антиотображение когомологий /• соответствует характеристическому отоб-
ражению f. Элемент называется Л-м классом Черна расслоения
В алгебре когомологий пространства BU (п) над полем действительных
чисел имеется замечательный элемент
п
(здесь	х^ —полиномы Ньютона, они являются многочленами от эле-
z=i
ментарных симметрических полиномов Of, а2, ал, так что в самом деле
принадлежат алгебре когомологий пространства BU (п) с вещественными коэф-
фициентами). Элемент А порождает элемент ch£ в алгебре когомологий прост-
ранства X по формуле:
ch£ = f(A).
При этом ch£ называется характером Черна расслоения
Характер Черна задает отображение
ch:5->tf(X, Q).
Это отображение индуцирует отображение
ch :Х* (X) —> Я* (X, (?) = Ячет (X, (?) + Янеч (X, (?).	(♦)
При этом элементам из Х° (X) соответствуют четномерные когомологии из
ЯчеТ(Х, Q), а элементам из К1—нечетномерные когомологии из ЯнеЧ (X, Q).
Это отображение является гомоморфизмом колец К* и Я*.
Резюмируем и уточним вышесказанное. Каждому CIT-комплексу X можно
поставить в соответствие кольцо Х*(Х). Это соответствие является контрава-
риантным функтором из категории СU^-комплексов и непрерывных отображе-
ний в категорию колец и гомоморфизмов. Гомотопически эквивалентным (см.
Гомотопическая эквивалентность) X, Y соответствуют изоморфные Х*(Х),
X* (У). Это обстоятельство позволяет изучать гомотопические свойства про-
странства X, рассматривая алгебраические свойства колец Х*(Х). Отображе-
ние (♦) связывает Х-теорию .с теорией когомологий.
286
КУБ
Ввиду того что К-теория построена на основе геометрического понятия
векторного расслоения, она оказывается более тонкой характеристикой гомо-
топического типа пространства X, чем теория когомологий.
С помощью X-теории в последнее время было получено решение ряда
трудных и давно ждавших решения задач: об алгебрах с делением, о вектор-
ных полях на сферах и др.
Основные труды по Х-теории принадлежат А. Гротендику, Р. Ботту,
М. Атье, Дж. Адамсу, С. П. Новикову.
Лит.; [153].
КУБ в трехмерном евклидовом пространстве —правильный шестигранник.
X. — один из пяти типов правильных многогранников в геометрии Евклида,
имеющий 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. К. с ребром а имеет площадь по-
верхности, равную ба* (кв. ед.), объем же его равен а* (куб. ед.). К. обозна-
чается ABCDA'B'CD' (по числу 8 его вершин) или [ЛС*] (какой-либо
своей диагональю; рис. 81).
К. двойствен (дуален) правильному октаэдру: вершины октаэдра сов-
падают с центрами граней К- Всего X. имеет 13 осей симметрии различ-
ных порядков: 6 осей симметрии 2-го порядка (обычных осей симметрии),
4 оси симметрии 3-го порядка и 3 оси симметрии 4-го порядка.
Рис. 82
К. иначе называется правильным гексаэдром.
В сечении К. плоскостью получить прямоуголь-
ный треугольник нельзя; нельзя в сечении К. плос-
костью получить и правильный 5-угольник.
В л-мерном евклидовом пространстве рас-
сматривается л-мерный /<., т. е. совокупность
л-ок («энок»—в частности двоек, троек, четверок
и т. д.) чисел (Xi; х2; . *» ; х„), где каждое
О <	1 (ребро длиной в единицу). У п-мерно-
го куба всего 2" вершин; координаты вершин ку-
ба состоят только из единиц и нулей, п-мерный
куб имеет вершины, ребра, двумерные, трехмер-
ные, четырехмерные и т. д. грани.
См. также: П рае ильный многогранник, Удво-
ение куба, Двойственности принцип.
КУБИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА —плоская кри-
вая, являющаяся графиком функции у —ах?, где
а 0 (рис. 82). При а > О К. п. проходит в пер-
вом и третьем координатных углах. Если а=1,
то К. п. может быть использована как номограм-
ма для приближенного вычисления кубических
корней из действительных чисел. Начало коор-
динат для К. п. является ее центром симметрии.
См. также: Парабола, Графическое решение.
КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ—уравнение
вида:
-|- atxa 4- а,х + а, = О,
КЭЛИ АЛГЕБРА
287
где а0, аг, а2, а3—произвольные комплексные числа, причем д0 # 0. Подста-
новкой х = у —	К. у. общего вида приводят к виду:
У3 + ₽!/ + <?=0.
где
_ Д1 । Да 2о?	С1дг	а8
За» °о ’ 4 27 д?	Зд^	«о
Последнее уравнение решается по формуле Кардано (см. Кардано формула).
Таким образом, корни К. у. в принципе могут быть выражены через коэффи-
циенты уравнения в явной форме. Однако случай, когда все три корня К. у.
вещественны, требует извлечения кубического корня из комплексных чисел,
что нельзя свести к вычислению кубических корней из действительных чисел.
На практике формула Кардано употребляется редко. Она связана с громозд-
кими вычислениями. Поэтому чаще применяются приближенные методы реше-
ния К. у.: Штурма правило, Ньютона метод, Лобачевского метод. К. у*
иногда называют также и кубичным.
КЭЛИ АЛГЕБРА — всевозможные пары вида а + ре, где а и Р — произ-
вольные кватернионы и е—некоторый новый символ, для которых определено
сложение и умножение на действительные числа формулами:
(а+Ре) + (у + ёе) = (а + Т) + (Р + 6)е
(а 4-Ре) а = аа+ (ра)е
и умножение через умножение восьми базисных единиц 1, Z, /, k, е, ie, je,
ke таблицей
	1	I	1	k	e	ie	je	ke
1	1	i	i	k	e	ie	ie	ke
i	i	—1	k	—i	ie	—e	—ke	ie
i	i	—k	—i	i	le	ke	—e	—ie
k	k	i	—i	— 1	ke	-je	ie	—e
е	e	—ie	—je	—ke	— 1	i	i	k
ie	ie	—e	ke	—je	—i	—1	—k	i
ie	ie	ke	e	—ie	—i	k	—1	—i
ke	ke	—je	ie	e	—k	—i	i	— 1
В таблице приведены результаты умножения элементов столбца на эле-
менты строки.
К. а. является восьмимерной действительной неассоциативной алгеброй
с однозначным делением и с единицей, т. е. образует неассоциативное тело.
К. а., являясь системой гиперкомплексных чисел, не является ни коммутатив-
ной, ни ассоциативной; в то же время К. а. является альтернативной (см. Аль-
тернативное кольцо). К. а. названа по имени открывшего ее английского
математика А. Кэли.
Лит.: [71, 85].
л
ЛАГРАНЖА ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА — формула для нахож-
дения многочлена L (х) степени т, принимающего в m-f- 1 точке =0,1,..т)
промежутка [a; 6] задания функции f (х) данные значения /(*/). Л. и. ф.
имеет вид:
т
1(Х) = f (х )	(x—xk)(x—xi)...(x—xk)(x—xk+l)...{x—xm)
1	к) <хк—хй) {Хк —Хг). . .(хк—хА_,) (хк—хк+1).. .(хк—хт) ’
к = и
Погрешность, возникающая при замене функции f (х) Л. и. ф. L (х), не пре-
вышает
(х —Хр) (х—х,)... (х—хт)
(«4-1)1
где М— наибольшее значение модуля (/п4-1)-й производной /<««+» (х) функ-
ции f(x) на отрезке [х0; хт]. Л. и. ф. найдены французским математиком
Ж. Лагранжем в 1793 г.
ЛАГРАНЖА ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ — выражения
Lm (х' _ (х—х0)(х—Х1)...(х—xft-!)(x—xft+t),..(x—х„)
' '	(хк—хл)(хк—х1)...(хк—хк.1)(хк—кк+1)(хк—хп) ’
где k = 0t 1, .т, содержащиеся в Лагранжа интерполяционной формуле.
Ввиду трудоемкости вычислений Л. и. к. по этой формуле в разное время
различными авторами составлялись таблицы Л. и. к. Например, в 1956 г.
таблицы, содержащие Л. и. к., опубликованы Академией наук СССР.
ЛАГРАНЖА МЕТОД неопределенных множителей для отыскания относи-
тельных экстремумов функции и = ((хг\ х2; хп) при условиях:
ф/ (*ь	хл) = 0, 1 = 1,2, ..., т < п,
называемых уравнениями связи, состоит в том, что вводят вспомогательную
функцию
т
F(Xlt Х2, ..., Хт, Х2, ..., М = /(*!, *2»	*и)+ У	*2» •••»*«),
/=1
где Xj, Х2,	называются неопределенными множителями. С помощью
ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР
289
функции F необходимые условия относительного экстремума могут быть
записаны в виде:
dF dF
Г_ = 0, -^-=0, где Z= 1, 2, ...» n; /=1, 2, ...» m,
dXi dKf	*	1	’	’
аналогичном необходимым условиям (безусловного) экстремума функции F. Л. м.
был впервые предложен французским математиком Ж. Лагранжем в 1797 г.
Лит.: [140, 157].
ЛАГРАНЖА ТЕОРЕМА о квадратических иррациональностях утверждает,
что всякая кмдратическая иррациональность разлагается в периодическую
(бесконечную) цепную dpo6b. Например,
/Й = (3, (3,6)); -l-°-2.51-42^6947_L = (2, 4> (7, 5, 9, 1)).
Справедлива и теорема, обратная Л. т.: всякая периодическая цепная дробь
является квадратической иррациональностью.
Таким образом, Л. т. и обратная ей теорема дают арифметическую характе-
ристику для периодических цепных дробей.
ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЕ (Даламбера уравнение)—обыкновенное диффе-
ренциальное уравнение 1-го порядка, линейное относительно зависимой и не-
зависимой переменных, имеющее вид:
у=х<р (у') + /(/),
где у' — dy/dx, а ф и f—заданные дифференцируемые функции своего аргу-
мента. Общий интеграл Л. у. может быть найден в параметрической форме
дифференцированием уравнения по х\ он выражается в квадратурах. Частным
случаем Л. у. является Клеро уравнение.
Название Л. у. не является исторически оправданным, так как это урав-
нение ранее Лагранжа исследовалось французским математиком Даламбером.
Лит.: [12].
ЛАГРАНЖА ФОРМУЛА—см. Конечных приращений формула.
ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР—линейный дифференциальный оператор 2-го по-
рядка. Определен на пространстве дважды дифференцируемых функций. Обо-
значается символом А (греческая буква дельта). Л. о. преобразует данную
функцию <p(xlt х2, ...» хп) от п переменных хъ х2, .хп в функцию:
. д2<р . д2ф .	. д2ф
Дф=—R—и  • • +—i •
dxY dx2	dxn
Важность Л. о. во многих вопросах математики обусловлена следующим его
основным свойством: Л. о. является единственным из всех дифференциальных
операторов 2-го порядка, инвариантным при любом ортогональном преобра-
зовании переменных хъ х2.......хп, т. е. при замене xlt х2, ..., хп коорди-
натами У1, у2, .уп ортогональным преобразованием имеет место равенство:
д2ф . д2ф . д2ф д2Ф . д2Ф .	. д2Ф
где Ф (уг, у2\	yn) = <f (хх; х2; ...; хп).
10 № 765
290
ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Л. о. называют также лапласианом, дельта-оператором.
См. также: Лапласа уравнение, Гармоническая функция.
ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ —преобразование, переводящее функцию
действительного переменного f (/) (оригинал) в функцию комплексного пере-
менного g (р) (изображение) по формуле:
со
Lf(i) = g(p)=^e-Pif(t)dt.
о
Изображение g(p) обладает некоторыми замечательными свойствами, например:
о	s)L [p<T)dT]=-^;
2) L\f (01 = pg (p)-f (0); 4) L [i»f (/)] =	(p), n £ Z.
Свойство 3) означает, что если оригинал проинтегрировать, то изображение
разделится на аргумент р. Л. п., его свойства и применения составляют
основное содержание операционного исчисления.
Л. п. введено французским математиком П. Лапласом в 1812 г.
ЛАПЛАСА ТЕОРЕМА в теории определителей. Если в определителе D
порядка п выделить произвольные k (k < п) строк (или столбцов), то опреде-
литель D будет равен сумме произведений всех миноров #-го порядка, со-
ставленных из выделенных строк (столбцов), на их алгебраические дополнения
(см. Алгебраическое дополнение).
Л. т. является обобщением разложения определителей по элементам какой-
либо строки (какого-либо столбца), которое получается из Л. т. при 6=1
или k = n—1.
Л. т. была применена французскими математиками Бине и Коши к откры-
той ими теореме об умножении определителей.
ЛАПЛАСА ТЕОРЕМЫ в теории вероятностей—две теоремы теории веро-
ятностей: локальная (Л. Л. т.) и интегральная (И. Л. т.), дающие приближен-
ные выражения для вероятностей, связанных с количеством наступлений со-
бытия А в схеме повторных испытаний событий.
Пусть вероятность наступления события А при единичном испытании
равна р (0 < р < 1). Тогда если провести п испытаний, то вероятность того,
что при этом событие А наступите точности k раз, приближенно равна (Л. Л. т.):
Pn{k) — —^=e 2. где х = q=l—p.
Vnpq	V npq
Вероятность того, что число наступлений события А при п испытаниях
будет лежать в пределах от ki до (#i < k2) приближенно равна (И. Л. т.):
1 f —5-	ki — пр
Pn(k±\	гДе =	, * = L 2.
V 2л J	V npq
Приближенные равенства в Л. т. асимптотические (см. Асимптотическое
выражение), т. е. при п оо отношение левой части к правой стремится к еди-
нице.
ЛЕБЕГА ИНТЕГРАЛ
291
Л. т. были доказаны французским ученым П. Лапласом в его трактате
„Аналитическая теория вероятностей", вышедшем в 1812 г. Частный случай
интегральной Л. т. (при р= 1/2) был ранее (1730 г.) отмечен А. де Муавром.
Поэтому И. Л. т. иногда называют теоремой Муавра—Лапласа.
Л. т. являются простейшими из так называемых предельных теорем в тео-
рии вероятностей.
См. также: Ляпунова теорема, Бернулли схема.
Лит.: [27, 44, 139].
ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ—дифференциальное уравнение с частными про-
изводными второго порядка
где u(xlt х2, *»4, хп) — искомая функция п независимых переменных. Исполь-
зуя Лапласа оператор, Л. у. записывается короче: Аа = 0.
Л. у. впервые изучалось французским ученым П. Лапласом в 1782 г. К Л. у.
сводятся многие задачи физики и техники. Решение Л. у. приводит к гармо-
ническим функциям.
См. также: Краевая задача.
ЛАПЛАСА ФОРМУЛА для приближенного вычисления определенных ин-
ъ
тегралов—формула, дающая выражение для интеграла J f(x)dx через значе-
а
ние функции f (х) в некоторых точках и конечные разности этих значений:
г	/ 1	I \ А
J f (х) dx = h (j- f (a) + f (a+ft) +.,. +f (a+ (n-1) h)+y f (b) j -	-
a
- Дуо)+Ph-t - Д W- |^(Д3уя	ДЧ)	(Д4Уп-4-Д4Уо) -
~~60480 ^Уп~Д5Уо)~•••»
где Ду* = уй+1—Уь, Myii^^yk+i—ti-'yk-
Л. ф. получается из Эйлера формулы для вычисления определенных интегра-
лов, если в последней записать приближенно производные с помощью конечных
разностей. Л. ф. находит широкое применение в современной вычислительной
математике, в частности при численном решении интегральных уравнений с
помощью электронных цифровых вычислительных машин.
ЛЕБЕГА ИНТЕГРАЛ — важное понятие математического анализа. Л. и.
Ь
явился обобщением интеграла Гимана. Определяется Л. и. J f (х) dx на от-
fl
резке [я; ft] следующим образом. Область возможных значений подынтеграль-
ной функции делим точками ... < у_2 < у-i < у0 < У1 < ... <У( < .. t и обо-
значаем через Mt множество тех точек отрезка [a; ft], для которых yi-i<f(x)< у
Рассмотрим интегральную сумму S = 2 f Ob) И (М/), где ^- — произвольная
10*
292
ЛЕБЕГА МЕРА
точка промежутка	уД и ц (Mi) — мера (Лебега) множества Л4/. Если
ряды, определяющие интегральные суммы, абсолютно сходятся при
max (yi—yi-i)	0, то предел этих сумм называется Л. и., а функция y = f (х)
называется интегрируемой в смысле Лебега.
Л. и. был предложен в 1902 г. французским математиком А. Лебегом. Не-
обходимым и достаточным условием интегрируемости функции по Лебегу
является ее принадлежность к классу измеримых функций. И хотя доказано
существование неизмеримых функций, до настоящего времени ни одного кон-
кретного примера неизмеримой функции не известно. Таким образом, Л. и.
исчерпывающим образом удовлетворяет потребностям математического анализа*
Всякая функция, интегрируемая по Риману, интегрируема по Лебегу. Обратное
неверно, среди функций, интегрируемых по Лебегу, существует сколько
угодно всюду разрывных функций, например, Дирихле функция, и, следова-
тельно, не интегрируемых по Риману.
Определение Л. и. легко обобщается обычным образом на случай интегри-
рования по лучу или по всей числовой прямой, что приводит к понятию
несобственного Л. и.
Лит.: [76, 90].
ЛЕБЕГА МЕРА множества—важное понятие теории функций действитель-
ного переменного, имеющее много приложений в математическом анализе, тео-
рии вероятностей и других математических дисциплинах. Объясним Л. м. для
одномерных множеств, т. е. введем Л. м. для множеств на действительной
прямой. Пусть дано ограниченное множество А, т. е. множество А входит
в некоторый отрезок [а; Ь]. Назовем внешней мерой множества А (обозначе-
ние т* (А)) нижнюю грань сумм длин интегралов по всем покрытиям мно-
жества А, т. е.
m*G4) = inf	Лс иЛ
Внутренней мерой множества А (обозначение (А)) назовем разность длины
отрезка [а; д] и внешней меры дополнения множества А (СА — [а; Ь] \ А), т. е.
(А) = (Ь—а) — т* (СА).
Множество А называется измеримым (по Лебегу), если его внешняя и внут-
ренняя меры совпадают, а общее значение внешней и внутренней меры А
называется Л. м. множества А. Аналогично определяется Л. м. для множеств
в пространствах больших размерностей, чем 1.
Л. м. удовлетворяет свойству счетной аддитивности, т. е. для любой счет-
ной последовательности попарно пересекающихся измеримых множеств А,
их теоретико-множественное объединение измеримо и равно сумме мер А/, т. е.
т( У Л/)= при А‘ п 0V /)•
Л. м. отрезка равна его длине. Можно показать, что Л. м. является единст-
венной мерой множеств (см. Мера множества) с двумя указанными свойствами.
Пример неизмеримого по Лебегу множества строится довольно сложно (с ис-
пользованием выбора аксиомы, т. е. неэффективно).
Лит.; £77, 90, 143].
ЛЕЖАНДРА СИМВОЛ
293
ЛЕВАЯ КАСАТЕЛЬНАЯ —см. Односторонняя касательная.
ЛЕВАЯ ПРОИЗВОДНАЯ— см. Односторонняя производная.
ЛЕЖАНДРА МНОГОЧЛЕНЫ, сферические многочлены, — последователь-
ность специальных многочленов Рп(х) при п = 0 и п £ Z. Л. м. могут быть
определены как коэффициенты при n-й степени в разложении по t произво-
дящей функции,
Л. м. могут быть определены также формулой:
(л/2]
Рл(х) =—— • — (х2—1)« =—5— У (—l)z ! СпХп~2/.
п{) п! 2" dx*' И	4 (п—201
Например Р0(х)=1, P±(x) = xt Р2 (х) = 1/2 (Зх2 — 1), Р3 (х) = 1/2 (5х2—Зх),
^4 (х) = 1/2 (Збх4—30х2 + 3), Р5(х) = 78(63х5—70х3+15х) и т. д.
Все корни Л. м. Рп(х) действительны и лежат в промежутке ]—1; 1[,
перемежаясь с корнями Pn+f(x). Л. м. образуют полную систему ортогональ-
ных многочленов на отрезке ]—1; If с весом L Поэтому всякая функция /,
интегрируемая на отрезке [—1; 1], может быть разложена в ряд:
f to = 2 а>*рп to> где а»= 2n^‘ С f to рп to dx,
п=0
чем объясняется важность Л. м.
Л. м. могут наряду с вышеприведенными определениями быть определены
посредством рекуррентной формулы:
пРп W + (п — 1) Рп_2 (х) -(2п-1) xPn-i (х) =0
или как решение дифференциального уравнения типа Штурма—Лиувилля
(с некоторыми граничными условиями):
fx (°) +"(rt+Рп (х) =0-
Л. м. впервые были введены в рассмотрение независимо друг от друга
в 1782—1785 гг. французскими математиками А. Лежандром и П. Лапласом.
ЛЕЖАНДРА СИМВОЛ. Если р — простое нечетное число и а не делится
на р, то под Л. с., обозначаемым ( — ) понимают +1,если а—квадратичный
\Р )
вычет по модулю р, и понимают —1, если а—квадратичный невычет по
модулю р, Л. с. читается «символ а по отношению к р» или «символ а надр».
Л. с. имеет следующие свойства:
1) если (modp), то =	’	%)	=
3) (4)-(-оЧ »
294
ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА
р*- 1
5) ^^=(—1) 2 ;	6) удовлетворяет закону квадратичной взаим-
ности:
р—1 7—1 / \
-£=(-1) 2  2 (1\
Я k f	\Р/
Л. с. используется для практического выяснения вопроса о том, явля-
ется ли число а квадратичным вычетом по модулю р или нет.
ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА, выражающая производную n-го порядка от
произведения двух функций через производные сомножителей:
(uv)<«> = Cnu<">v+ciu<" -	+ CnU<n - 2 V + ...
... + (^Гки^п-*>+..,+ Сп~г u'i/n-»> + C£uv<n>.
Л. ф. была сообщена в 1695 г. немецким математиком Г. Лейбницем
швейцарскому математику И. Бернулли.
ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД разложения многочленов на множи-
тели предложен Л. Кронекером для нахождения множителей многочлена
f(x,ytz,s, от многих переменных над полем рациональных чисел. Он
состоит в замене многих переменных (аргументов) х, у, z, s, t одной
переменной и:
•>	rt	гв	,	rk — 1
X—Ut y = urt z = u , s=u , i = u ,
где число переменных (аргументов) заданного многочлена f (х, у, г, s, ..., t)»
Полученный в результате таких подстановок многочлен от одной пере-
менной и разлагается на множители обычными методами. После этого в най-
денных сомножителях многочлена от одной переменной степени аргумента и
обратно заменяются через первоначально заданные переменные (аргументы)
х, у, z, $, ..., /. Очевидно, что обратная замена переменных всегда одно-
значна. Слишком большим недостатком этого метода является очень высокая
степень многочлена от одной переменной, получаемого после замены многих
переменных (аргументов).
Для отыскания разложения многочленов от многих переменных на мно-
жители над полем рациональных чисел известны и другие методы.
Лит.: [157, 159]. .
ЛЕММА —вспомогательное предложение, являющееся верным высказыва-
нием, используемое для доказательства одной или нескольких теорем. Так,
при изучении алгебры встречается Даламбера лемма, при изучении векторов,
расположенных на числовой оси (прямой), рассматривается Шаля лемма и т. д.
Греч.: Хтщца—взятка, прибыль, доход, корысть.
ЛЕМНИСКАТА—одна из алгебраических плоских кривых, т. е. множе-
ство точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению:
(х2+у2)2—2а2 (х2—у2) = 0.
Произведение расстояний от любой точки Л. до двух фиксированных
точек (фокусов) Fi(—а;0) и F2 (а\ 0) равно постоянному числу а2. Эта кривая
впервые изучалась Я. Бернулли и называется лемнискатой Бернулли. Л. имеет
форму восьмерки, Л.—уникурсальная кривая 4-го порядка.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
295
ЛЕМУАНА ТОЧКА—точка пересечения симедиан треугольника, т. е.
прямых, проходящих через вершины треугольника и делящих (внутренним
образом) противоположные стороны его на части, пропорциональные квадра-
там длин прилежащих сторон. Л. т. названа по имени французского матема-
тика Э. Лемуана.
Лит.: [57].
ЛИ ГРУППА — см. в статье Непрерывная группа.
ЛИНЕЙКА: 1°. Л. — инструмент для проведения прямой линии.
2°. Линейка счетная или вычислительная — см. Логарифмическая линейка*
См. Геометрические построения.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА —раздел алгебры, изучающий линейные преобра-
зования, в основном, в конечномерных линейных пространствах. Первона-
чальным объектом исследования Л. а. были системы линейных уравнений.
Описание свойств и решений системы линейных уравнений потребовало вве-
дения и подробного изучения таких понятий, как „матрица", „определитель
матрицы14, „ранг матрицы", „след матрицы", „линейное преобразование", „мат-
рица линейного преобразования", „умножение и сложение линейных преобра-
зований4 (матриц линейных преобразований), „умножение линейного преобра-
зования44 (матрицы линейного преобразования) на число, „векторное (линейное)
пространство", „вектор", „линейная зависимость векторов", „базис векторного
(линейного) пространства44, „линейная функция" „линейная форма", „скаляр-
ное произведение", „векторное произведение" (в трехмерном евклидовом про-
странстве) и др.
Последующие задачи Л. а. связаны с изучением полилинейных форм,
в частности, квадратичных форм. На этом пути возникли основные понятия
и идеи тензорной алгебры и теории инвариантов. Поскольку многие понятия
Л. а. (такие, как „вектор44, „линейное преобразование44, „квадратичная форма44
и др.) определяются своими координатами, а эти последующие зависят от
базиса исходного линейного пространства, то возникает задача о выборе та-
кого базиса, в котором координаты исследуемого объекта имеют наиболее
простой вид (задача о приведении объекта к каноническому виду).
Весьма важным является тот факт, что основные алгебраические объекты
(такие, как группа, кольцо и т. п.) могут быть в значительной степени ис-
следованы методами Л. а. Дело в том, что во многих случаях исследуемый
алгебраический объект допускает гомоморфное (см. Г омоморфизм) или даже
мономорфное (см. Мономорфизм) отображение в алгебру матриц (или в ал-
гебру линейных преобразований некоторого конечномерного пространства).
При этом возникает конкретная модель абстрактного алгебраического объекта,
удобная для изучения. На этой основе выросли некоторые важные и глубокие
алгебраические теории — в частности, теория представлений групп.
Некоторые разделы Л. а. связаны с изучением бесконечномерных вектор-
ных пространств и их обобщений (см. Модуль).
Л. а. как наука о линейных преобразованиях в конечномерных простран-
ствах была обобщена в некоторых разделах функционального анализа, изучаю-
щих линейные преобразования в бесконечномерных линейных пространствах.
При рассмотрении гладких отображений /: D—>D't где D и D'—области
в евклидовых пространствах размерности т и пг соответственно.
296
ЛИНЕЙНАЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ
Vt = h(xu хг....хт)	x[xlt х2, .... xm)^D
7=(flt fi...fn) yi = h(x\, x.....xm)	y(yt,  .....Уп)&У
yn = fn(xi, x2, .... xm)
большую роль играет разложение функций /х, f2i fn по степеням хх,
х2, .х по формуле Тейлора (см. Тейлора формула) в окрестности точки
Хо(4; 4; ... 4)
У1 У1==^Сц‘ (х/— Xi) 4- Scify (xt X i) (ху X/)
Уч — yl = ^c2i (х{ —Xi) + Sc2ly (xi—xT) (xy—X/)+ . . .	(*)
yn — yn = Zcni (xZ—x?) + Sc„Zy (xZ —Xf) (xy—x/)+ ...
Многоточия в (*) означают функции, бесконечномалые более высокого
порядка малости, чем S (xt-—х?)2. При х, близких к х°, в правых частях
формул (♦) слагаемые составляют главную часть yi—yi в том смысле, что
остальные слагаемые имеют больший порядок малости. При этом отображе-
ние (%!— 4, Х2—Xi, ....	4)—>(2ciiU1—4), 2сц(х; — 4), ...,
^cni (х;—4)) является линейным. Таким образом, анализ этого отображения
средствами Л. а. позволяет получить важные сведения и об отображении f
(в окрестности особой точки х0). Указанное обстоятельство лежит в основе
применений Л. а. ко многим важным вопросам анализа бесконечномалых,
дифференциальных уравнений: теорема о неявных функциях, теорема об устой-
чивости решений автономной системы уравнений и др.
В последнее время в связи с запросами практики возникла новая мате-
матическая дисциплина—линейное программирование. Теоретической основой
линейного программирования является Л. а.
ЛИНЕЙНАЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ—функция /, определенная для всех
векторов некоторого векторного (линейного) пространства L, принимающая
векторные значения (быть может из другого векторного пространства Lx), и
линейная, т. е« обладающая свойствами:
Т(х+у)=Г(х)+Т(у), 7(Кх)^Т(х),
где х, у— произвольные векторы из L, %—произвольное число. Т. е. f:
Lf —► Lf есть гомоморфизм векторных пространств.
Если пространство Li одномерно, то Л. в.-ф. называют линейной формой.
Если Li совпадает с L, то Л. в.-ф. называют также аффиннором. В общей
ситуации синонимом Л. в.-ф. является термин линейный оператор.
Если в пространствах L и Lx выбраны базисы, то всякая Л. в.-ф. может
быть определена формулами:
yi^a^xj, ~у=7(х),
__
где х—аргумент Л. в.-ф. /, координаты которого в заданном базисе —
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
297
(хь х2, ..., хп), у—значение Л. в.-ф., f—вектор, координаты которого в за-
данном базисе yt, у2, ...» уп- Матрицу ((а<у)) называют матрицей Л. в.-ф. f
(в заданных базисах).
Сумме двух Л. в.-ф. соответствует сумма матриц этих Л. в.-ф. При умно-
жении Л. в.-ф. на число X соответствующая ей матрица умножается на то же X.
Если Л. в.-ф. /: L—► Li и Л. в.-ф. g: Li—► L2, то (при выбранных ба-
зисах линейных пространств L, Lj, 12) Л. в.-ф. f°g'.L—>L2, определенной
равенствами (f о g) x=f [g (х)] для каждого x£L, соответствует произведение
матриц АВ, где А, В —матрицы Л. в.-ф. f и g.
Лит.: [35, 45].
ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА — множество линейных преобразований линейного
пространства L, образующих группу относительно композиции преобразований.
При выборе базиса в L каждому линейному преобразованию соответствует
матрица (см. Матрица линейного преобразования). При этом Л. г. может быть
интерпретирована как группа матриц относительно операции умножения
матриц.
Пример. Множество всех ортогональных преобразований п-мерного
евклидова пространства Ln является Л. г. Если в Ln выбрать 'ортонормиро-
ванный базис, то каждому ортогональному преобразованию будет соответ-
ствовать ортогональная матрица, при этом рассматриваемая Л. г. изоморфна
группе ортогональных матриц.
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ — свойство совокупности векторов линейного
пространства. По определению, п векторов xlt х2, ..., хп линейного прост-
ранства L линейно зависимы (обладают свойством Л. з.) над полем F, если
существуют п элементов поля F—с±, с2, ..., сп, из которых не все равны
нулю, такие, что выполняется равенство:
Ci*i+ с2х2+ ... + спхп = 0.	(♦)
Бесконечная система векторов линейно зависима, если линейно зависима ее
конечная подсистема.
Часто не упоминают о том, над каким полем рассматривается Л. з., под-
разумевая то поле, над которым задано линейное пространство L.
Система векторов х^, х2, ..., хп называется линейно независимой, если
из равенства (♦) вытекает, что cf = c2= ... =сп = 0.
Понятие размерности линейного пространства определяется в терминах
Л. з. В n-мерном линейном пространстве всякая система векторов, содержа-
щая более чем п векторов, является линейно зависимой, и существует линейно
независимая система из п векторов.
Два линейно зависимых вектора называются коллинеарными (см. Колли-
неарные векторы), три линейно зависимых вектора называются компланар-
ными (см. Компланарные векторы). Если система векторов содержит нулевой
вектор, то система является линейно зависимой. Если система векторов ли-
нейно зависима, то, по крайней мере, один из векторов системы есть линей-
ная комбинация остальных.
298
ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
Понятие Л. з. и линейной независимости векторов позволяет свести
многие задачи линейной алгебры к исследованию конечной системы векто-
ров— базиса рассматриваемого линейного пространства. Так, вычисление ска-
лярного произведения двух векторов х, у, которые в евклидовом л-мерном
пространстве с базисом еъ еъ ..., еп имеют координаты (хь х2, •••> хп) и
Уъ •••> Уп) соответственно, сводится к вычислению скалярных произве-
дений векторов базиса (е/, еу), г, /=1, 2.п. Если базис ортонормиро-
ван, то (х, у) = 2 ХМ-
1 = 1
ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ — приближенное вычисление значений
функции y = f(x) для внутренних точек отрезка [а, 6] по известным значе-
ниям f (а) и f (Ь), определяемое формулой ф(х) = /(а) + (х—a) tJQ—
Эта формула дает хорошее приближение для функций f (х) с ограниченной
второй производной (и на небольшом отрезке [а, 6]):
I f W—ф WKy (х—а) (ь~ х),
здесь М= sup f(x).
х€ [а, Ь]
ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ векторов хь х2, ...» хп линейного про-
странства—вектор, равный	где с2» •••» сп~~набор чисел (из поля,
над которым рассматривается линейное пространство). В л-мерном линейном
пространстве каждый вектор является Л. к. векторов базиса.
ЛИНЕЙНАЯ ОБОЛОЧКА множества W векторов линейного пространства
L—множество векторов, являющихся линейными комбинациями векторов из W.
Л. о. является наименьшим (по включению) линейным подпространством в L,
содержащим каждый из векторов множества 1Г.
ЛИНЕЙНАЯ ФОРМА—в л-мерном линейном пространстве L—функция /,
определенная для всех векторов пространства L, принимающая числовые зна-
чения (в некотором поле) и линейная, т. е. обладающая свойствами:
f (x+y)=f (х) +f (у), f (cx)=cf (xj
для любой пары х, y£L и любого с.
Если хъ х2, ...» хл—координаты вектора х в заданном базисе, то Л. ф.
имеет вид: f (х) = a1*f + a2*2+ • • • + ^nxn. Таким образом, каждая Л. ф. яв-
ляется многочленом первой степени от координат вектора. Л. ф. является
ковариантным тензором первой валентности. Л. ф. называют также линей-
ным функционалом на конечномерном пространстве L.
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ—функция, которую можно задать формулой
вида y = kx+b, где k и д—некоторые числа. Область определения Л. ф.
есть множество всех действительных чисел или любое его подмножество.
Название Л. ф. связано с тем, что графиком ее является прямая линия.
См, также: Функция, Квадратный трехчлен,
ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
299
ЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ —отображение f линейного пространства L
в линейное пространство Llt f: L—► L±, удовлетворяющее условиям f(x + *y)=
= f (x) + f (У)> f(cx)=cf(x)t где x, у—любые два вектора из L, с—любое
число (из того поля, над которым рассматриваются линейные простран-
ства Li, L).
См. также: Линейное преобразование.
ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ векторного пространства L—отобра-
жение /: L—► £ такое, что f (х-\-у) = f (х) + / (у), f(cx) = cf(x) для любых
—► —>
двух х, y£L и любого числа с (из того поля, над которым задано L).
Примерами Л. п. являются: 1) Тождественное преобразование про-
странства L: f(x) = x; 2) симметрия евклидова пространства относительно
любого подпространства; 3) проекция линейного пространства на подпрост-
ранство; 4) поворот трехмерного евклидова пространства вокруг прямой, про-
ходящей через начало координат; 5) дифференцирование в пространстве диф-
ференцируемых функций.
Во множестве всех Л. п. пространства! рассматривают операции: 1) сумма
двух Л. п. А и В; 2) умножение Л. п. А на число; 3) произведение двух
Л. п. А и В. Эти операции определены формулами
1)	Сумма А и В, обозначается А + В: (А + В) х — Ax-j-Bx.
2)	Произведение А на число с, обозначается с А: (с А) х = с(Ах).
3)	Произведение Л. п. А и В, обозначается АВ: (АВ)х=А(Вх).
—> —►	—>
Если в конечномерном линейном пространстве L выбран базис еъ е2, ...» ent
то каждому Л. п. А соответствует квадратная матрица (матрица линейного
преобразования A)t
(ап а12 ... ащ
а21 а22 ... а2п
............
ап1 ап2 • •• апп
описываемая следующим образом: пусть Ае—вектор, разложение которого по
выбранному базису имеет вид: Ae/ = ai,ei + a2^2 + • • • + ^п^п- Коэффициенты
этих разложений при i = l, 2, ...» и, расположенные в естественном порядке,
определяют матрицу Л. п. || А(|. При этом сумма Л. п. соответствует сумме
матриц, Л. п., умноженному на число,— матрица, умноженная на то же
число, произведению Л. п.— произведение матриц. Координаты всякого век-
тора Ах в рассматриваемом базисе могут быть получены умножением матрицы
Л. п. на столбец координат вектора х. Например, Л. п. Ас матрицей А
300
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
в заданном базисе переводит вектор x = (xt, х2, х3) в вектор y=(yi, Уг, УзУ
/1 2	0\	(\	2	0\ /—1\ / —1\
|А||=( 0 1	3 ),	х=(—1, 0,	— 4),	у = ( 0	1	3)( 0 ] = ( —12 ]
\0 4	—2/	\0	4	—2/ \—4/ \ 8/
т. с. у=(—1, —12, 8).
—►	—>
Множество всех векторов x£Lt для которых Ах = 0, называется ядром
Л. п. А. Множество всех x£Lt таких, что существует y£L такой, что
Ау=х, называется образом Л. п. А. Всякое Л. п. A: L—► £, L конечномерно,
ядро которого состоит из одного нулевого вектора (в этом случае всегда
образ Л. п. совпадает со всем L), задает взаимно однозначное отображение L
на себя. Такие Л. п. называются невырожденными (в противном случае вы-
рожденными). Матрицы невырожденных Л. п. (в любом базисе) имеют опре-
делитель отличный от нуля, и наоборот. Если Л. п. А невырожденно, то
существует обратное ему отображение (обозначается А-1), которое является
также Л. п. Матрица Л. п. Д-1 является обратной матрицей к ||А||. Множе-
ство всех невырожденных Л. п. образует группу относительно операции
умножения Л. п.
При изменении базиса пространства L матрица Л. п. изменяется по сле-
—> ~>
дукицим правилам. Если в базисе (е±, е2, ...» ert) Л. п. А соответствовала
—►	—►	—>
матрица || А ||, а новый базис имеет вид Сех, Се2.Сеп, где С — некоторое
Л. п., то в этом новом базисе матрица Л. п. А будет иметь вид || С || || А || || С“11|,
—► —>	—>
где |С-1||—матрица, обратная к матрице ||С|| Л. п. С в базисе (ех, е2, ...,ел).
Вопрос о наиболее простом виде заданного Л. п. конечномерного линей-
ного пространства над полем комплексных чисел весьма важен для многих
математических задач. Решение этого вопроса см. в статье Нормальная жор-
данова форма.
Л. п. рассматриваются также и в бесконечномерных линейных простран-
ствах, обычно в пространствах функций, обладающих тем или другим свой-
ством. Изучение таких Л. п. является важной составной частью функцио-
нального анализа. Задание Л. п. в функциональных пространствах часто
связано с операциями дифференцирования и интегрирования. Например:
1
(А/) (х) = Г (х) + 3x7 W, (Af) (х) = р (X, у) f (у) dy.
о
Здесь линейное пространство состоит из всех дважды дифференцируемых
функций f от переменного х на отрезке [0, 1], k(xt у) — заданная интегрируе-
мая функция.
Многие понятия и идеи линейной алгебры, раздела математики, изучаю-
щего Л. п. конечномерных пространств, имеют аналогии и в бесконечномер-
ном случае и более общих ситуациях.
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ —математическая дисциплина, посвя-
щенная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций
на множествах, описываемых системой линейных неравенств и уравнений.
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
301
Основная задача Л. п. состоит в следующем: дана система линейных
неравенств и линейных уравнений от переменных Xf, х2......хп и линейная
функция от тех же переменных. Требуется найти такую точку (х?, х2.....*п)
в пространстве переменных х1э х2, ...» х„, которая удовлетворяет заданной
системе неравенств и уравнений и является экстремумом заданной линейной
функции.
Многие вопросы экономики, а также различные задачи других наук
в своей математической постановке являются задачами Л. п.
В качестве примера приведем следующую задачу. «Предприятие выпускает
п видов изделий из т видов сырья. Заданы числа a/у, i~ 1, 2, ... п\
/=1,2,	означающие количество сырья t-го вида, необходимого для
производства единицы продукции вида /. Известны также наличные запасы
сырья (сырье вида / имеется в количестве bj единиц, / = 1,2» ...» /и). Нако-
нец, заданы цены, по которым предприятие продает выпущенную продукцию
(с/—цена единицы изделия i-ro вида, 1=1, 2......п).
Требуется составить план выпуска изделий, т. е. указать, сколько изде-
лий каждого вида следует изготовить с тем расчетом, чтобы, во-первых, хва-
тило бы запасов сырья и, во-вторых, суммарная стоимость произведенной
продукции была бы наибольшей».
Если xj, х2, ...» хп—планируемые количества изделий видов 1,2, .п
соответственно, то описанная выше задача имеет следующую математическую
постановку.
Найти xi, х2, ...» хп такие, что
п
2 aikxk > xi 0»
k=l
и линейная форма z = cjXi + c2x2+ ... +спхп в точке (xlt х2, ...,х„) прини-
мает максимальное значение.
К задаче Л. п. сводятся многие вопросы технико-экономического содер-
жания, такие, как задача о раскрое материала, задача о диете, задача о
смесях и др. Отдельной главой Л. п. является теория транспортных задач.
В простейшей постановке транспортная задача формулируется следующим
образом: даны запасы (однородного) товара у поставщиков (Л/— запас t-ro
поставщика, 1 = 1, 2, ги), потребности потребителей (Bj— потребность
/-го потребителя, /=1, 2.....л), а также тарифы, т. е. числа с/у, означаю-
щие стоимость перевозки единицы товара от г го поставщика к /-му потре-
бителю, 1 = 1, 2, ..., /и, /=1, 2, ..., л. Требуется составить план перевозок
с наименьшими транспортными расходами, т. е. вычислить числа х/у, i =
= 1, 2, ...» m, / = 1, 2, ..., л, означающие количество перевозимого товара
от i-ro поставщика к /-му потребителю; при этом
2] xi j	Al 2] xi j ~ > xi j О
/ *
и линейная форма 2 Сахи принимает минимальное значение.
Решение задач Л. п. может быть проведено с помощью так называемого
симплексного метода. Сущность этого метода состоит в следующем. Множе-
302
ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
ство точек (хь х2, •••> удовлетворяющих заданной системе линейных
неравенств и уравнений (допустимая область), представляет собой выпуклое
множество, граница которого разделяется на «кускиэ—грани различных
размерностей. Так, в трехмерном пространстве переменных допустимая область
является многогранником (возможно пустым или незамкнутым), граница
которого состоит из граней (размерность два), ребер (размерность один),
вершин (размерность нуль); л-мерный случай аналогичен трехмерному. Экстре-
мум линейной формы на выпуклом множестве не может быть во внутренней
точке и, если существует, находится на границе множества. Оказывается, что
в задаче Л. п. экстремум линейной формы совпадает с одной из вершин
допустимой области. Вычисление такой вершины согласно симплексному
методу происходит следующим образом: 1) выбирается начальная вершина;
2) решается вопрос о том, существует ли вершина соседняя (по ребру) к на-
чальной вершине, с лучшим значением линейной формы (т. е. с большим
значением, если искомый экстремум—максимум, и с меньшим значением, если
экстремум — минимум). Решение этого вопроса производится по правилам,
предписываемым симплексным методом; 3) если такая вершина есть, то ее
выбирают за начальную, и все операции повторяются; если такой вершины
нет, то изучаемая вершина является искомым экстремумом. Практическое
решение задач Л. п. по симплексному методу связано с построением и
пересчетом симплексных таблиц; каждая таблица соответствует вершине допу-
стимой области.
Л. п. как наука возникла в конце 30-х г. нашего века в трудах совет-
ского математика Л. В. Канторовича. В 1958 г. американский математик ван
Данциг разработал описанный выше симплекс-метод в современной редакции.
Лит.: [131].
ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО (векторное пространство) над полем /С—
множество L элементов произвольной природы и называемых векторами,
относительно которых определены две операции: 1) сложение векторов и
2) умножение векторов на элементы поля /С. Таким образом, для любых
двух х, у £ L и любого с £ К определены однозначно х+~у (сумма х и у) и
сх—векторы из L.
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее переменные только в
первой степени. Например, уравнение
а1Х1 + а2х2 + • • • 4	= b
(*)
есть Л. у. с переменными (а// 0, 1 = 1,2,	л). Если в уравнении (*) все
коэффициенты а, = 0, i = 2, 3, ,.., л, но аг 0, это уравнение принимает вид
aix = b или ах = д, которое называется Л. у. с одной переменной. Совокуп-
ность нескольких Л. у. вида (*) относительно одних и тех же переменных
называется системой Л. у., которую можно записать в виде:
0цХ14" Я12*2 4" » • • 4" а1 пхп = bi
°21Х1 4" fl22*2 4" • • • 4- а2пхп = ^2
(**)
Qmlxl + ат2х2 4“ •»• 4" атпхп— Ьт
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
303
Под решением системы (**) понимают всякую совокупность (набор) чисел
ах, а2, ап, которые при подстановке вместо соответственно Xj, х2, »•*, хп
обращают все уравнения этой системы в тождества. Вопрос о разрешимости
системы Л. у. (**) сводится к сравнению рангов двух матриц—основной А
и расширенной В.
Если ранги матриц А и В совпадают, то система Л. у. (**) совместна,
если ранг матрицы В больше ранга матрицы А, то система Л. у* (**) несов-
местна (теорема Кронекера — Капелли).
Если все системы (**) равны нулю, то система Л* у. называется одно-
родной. Если m = n, т. е. число уравнений системы равно числу неизвестных,
то для нахождения решения системы уравнений (*♦) применяют правило
Крамера (если определитель системы D # 0) или приближенные методы реше-
ния уравнений или решение системы уравнений находят на специальных
машинах.
При исследовании системы Л. у. часто используют геометрические поня-
тия (см. Вектор, Прямая, Плоскость, Линейный оператор).
См. также: Неопределенное уравнение.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ —уравнения вида:
Ро (х) У(п' + Pi (х) У{п -11 + . • • + Рп (X) у = f (х).	(*)
Предполагается, что р0(х)	0. Если f (x)s=0, то уравнение называется одно-
родным, если же / (х) £ 0, то неоднородным. Линейное однородное дифферен-
циальное уравнение имеет п линейно независимых решений. Если их обо-
значить yi, у2, •••, Уп, то общее решение будет иметь вид: г/ = С3г/1 + С2у2 +
+ ... + где СА, С2, ..., Сп—произвольные постоянные. Линейно неза-
висимые решения обладают тем свойством, что их вронскиан не обращается
в нуль ни в одной точке. Общее решение линейного неоднородного уравнения
есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и про-
извольного частного решения неоднородного уравнения.
Уравнение вида (♦) можно легко решить, если коэффициенты постоян-
ные. Рассмотрим сначала однородное уравнение:
0'л’+ Р1У*Я -11 +... + РпУ = 0.
Составим характеристическое уравнение:
^+рАл-1+...+рл=о.
Пусть Aj, А2, . ..,АГ—различные корни характеристического уравнения.
Тогда общее решение записывается так:
у =	+ Qaex‘* + ... + QreKrX,
где- Qi — произвольный многочлен степени на единицу меньшей кратности
корня А/. Если А,/—число комплексное (А, = а+р0, то вместо решения
е(а±Р0х можно взять eaxcospx и eaxsinpx. Линейные неоднородные урав-
нения с правой частью вида Fm (х) еах sin рх, где Fm (х) — многочлен степени
т, имеют частные решения вида:
[Qw W eax sin 0х -|- Rm (х) еах cos 0х],
304
ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР
где $—кратность корня a+0i в характеристическом уравнении, a Qm (х) и
Я m (х) —многочлены степени т с неопределенными коэффициентами. В случае
же произвольной правой части применяется другой метод—метод вариации
произвольных постоянных, который состоит в том, что решение неоднород-
ного уравнения ищут в виде сгу± +	. + Спуп, где ylt y2i	уп —
линейно независимые решения однородного уравнения, a с19 с2, счи-
таются функциями х.
В теории Л. д. у. наиболее полно изучено уравнение 2-го порядка.
Большое число исследований посвящено системам линейных уравнений.
В теории уравнений с частными производными линейные уравнения занимают
большое место. Это суть уравнения вида:
у У,	• • •*'» (х,х, ... х„)
fe = 0 ki + kf + . . .
д ^i + kt+ . . . +^пи
дх^дх^ ... dxknn
= /(*1*2 ... хп).
Лит.: [12, ПО].
ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР—отображение А векторного (линейного) про-
странства в себя или в другое линейное пространство такое, что
-► -► -► -►
А (х+у) = Ах± Ау, АХх = ХАх,
где х и у—произвольные векторы линейного пространства, X—произвольное
число. В конечномерных линейных пространствах Л. о. при определенном
выбранном базисе может записываться матрицей. Коэффициентами этой мат-
рицы являются коэффициенты разложения Ае/, / = 1, 2, ..., п, по векторам
базиса. В бесконечномерных пространствах Л. о. часто записывается в виде
интеграла. Например, в пространстве непрерывных функций оператор
х
(Ау) (х) = у (t) dt является линейным. Теория Л. о. составляет большой и
о
весьма важный раздел функционального анализа.
Лит.: [131].
ЛИНЕЙНЫЙ ЭЛЕМЕНТ поверхности — квадратный корень из первой
квадратичной формы поверхности, т. е.
ds = Е du2 -\-2F du dv-\-G dv2.
Длина дуги кривой на поверхности выражается через Л. э. следующим образом:
в
l—(L) J ds,
А
в
здесь А, В — начальная и конечная точка кривой L, (L) ds означает
А
криволинейный интеграл от выражения ds по кривой L u — u(t), u = v(t).
Лит.: [117].
ЛИУВИЛЛЯ ТЕОРЕМА
305
ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ—ветвь геометрии, в которой в качестве
основного элемента пространства рассматриваются прямые линии. Как известно,
прямые в пространстве, не параллельные оси z, определяются четырьмя
постоянными коэффициентами a, b, р, q в уравнениях x = az-\-p, y = bz-\-q.
Поэтому числа a, b, р, q можно рассматривать как координаты прямой.
Если эти координаты есть функции от одного, двух и трех параметров, то
соответствующие совокупности прямых образуют линейчатые поверхности,
конгруэнции и комплексы прямых, которые и изучаются в Л. г.
ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, образуемая движением
прямой (образующей) по некоторой линии (направляющей). Л. п. можно рас-
сматривать как совокупность прямых, зависящую от одного параметра. Л. п.
бывает двух видов: развертывающиеся и косые. Развертывающиеся Л. п.
можно посредством изгибания (см. Изгибание поверхности) наложить на
плоскость (например, цилиндр и конус). Касательная плоскость к разверты-
вающимся Л. п. в различных точках одной и той же образующей будет одна
и та же. Косые Л. п. обладают тем свойством, что касательные плоскости
в различных точках одной и той же образующей будут различные, т. е. при
перемещении вдоль образующей косой Л. п. касательная плоскость вращается
вокруг этой образующей. Примером косой Л. п. может являться коноид.
Изгибаемые друг на друга Л. п. можно катить одну по другой, что
используется в теории механизмов, например при зубчатых передачах.
ЛИНИИ КРИВИЗНЫ поверхности—линии, имеющие в каждой своей
точке главное направление. Главное направление поверхности в данной точке
есть такое направление, что кривизна нормального сечения поверхности
достигает экстремума. В общем случае из каждой точки исходят две Л. к.,
образующие между собой прямой угол. Характеристическим является такое
свойство: нормали вдоль Л. к. образуют развертывающуюся поверхность, пер-
вая и вторая квадратичные формы поверхности пропорциональны вдоль Л. к.
См. также: Родрига формулы.
Лит.: [117].
ЛИПШИЦА УСЛОВИЕ. Функция f удовлетворяет Л. у. на отрезке [а, 6],
если существует k > 0, такое, что | f (x)—f (xf) | < k | х—х' | для всех х, х'
из [а, Ь].
Л. у. входит в формулировку теоремы о существовании и единственности
решения дифференциального уравнения у' = f(x, у), а также используется во
многих вопросах теории функций. Всякая непрерывно дифференцируемая
функция удовлетворяет Л. у.
ЛИУВИЛЛЯ ТЕОРЕМА—теорема о приближениях иррациональных чисел
рациональными: если а—вещественное иррациональное число n-й степени
(п>2)
то существует постоянное число с, такое, что соотношение а—— 1^ —
I Я I Яп
не будет выполняться ни при каких целых числах р и q. Иными словами,
всякое рациональное число — будет отличаться от иррационального числа а
с
по меньшей мере на — , т. е. неравенство
будет справедливо
при любых целых р и q. Этот результат был получен французским матема-
306
ЛОБАЧЕВСКОГО ГЕОМЕТРИЯ
тиком Лиувиллем. Л. т. позволяет строить сколько угодно конкретных непре-
рывных дробей, выражающих трансцендентные (т. е. неалгебраические) числа,
что и было сделано Лиувиллем в работах 1844 и 1851 гг.
Л. т. в 1908 г. была уточнена норвежским математиком Туэ, который
доказал, что для всякого алгебраического числа а
при любом с^О допускает лишь
ство а—
степени п > 2 неравен-
конечное число решений
в целых числах р и q.
См. также: Туэ теорема.
ЛОБАЧЕВСКОГО ГЕОМЕТРИЯ —геометрическая теория, основанная на
тех же аксиомах, что и обычная евклидова геометрия, за вычетом аксиомы
о параллельных, которая заменяется на противоположную.
Аксиома о параллельных прямых евклидовой геометрии формулируется
так: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной
прямой, лежащей с данной в одной плоскости и не пересекающей ее.
В Л. г. принимается вместо приведенной евклидовой аксиомы следующая
(аксиома Лобачевского): через точку, не лежащую на данной прямой, про-
ходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной пло-
скости и не пересекающие ее.
Л. г. так же непротиворечива, как геометрия Евклида, хотя следствия
(теоремы), вытекающие из аксиом Л. г., на первый взгляд носят парадоксаль-
ный характер и кажутся противоречащими нашим обычным представлениям.
Так, в Л. г. сумма углов в треугольнике непостоянна и гсегда меньше 2d\
не вокруг всякого треугольника можно описать окружность. Не существует
подобных и неконгруэнтных (неравных) треугольников и т. д. Л. г. приме-
няется как в математике, так и в физике.
Л. г. иначе называется гиперболической неевклидовой геометрией (в про-
тивоположность эллиптической геометрии Римана) (см. Неевклидовы геометрии,
Римана геометрия).
Л. г. названа по имени ее творца, великого русского математика
Н. И. Лобачевского.
ЛОБАЧЕВСКОГО МЕТОД—метод приближенного нахождения корней
алгебраических уравнений. Л. м. состоит в следующем.
Пусть требуется найти корни xlf х2, ..., хп уравнения;
авхп-]-ауХп-1+ ... +«п = 0.
(*)
С помощью указанных Лобачевским формул:
л<1>	z,2
По =По»
П1 > = П1 — 2й()П2>
п!1-1 — &П-1— ^ап~2ап>
а(п1,^а2п
строится многочлен
А (х) =4”х» + аГ’хи-Ч-... + а,?’,
корни которого являются квадратами корней уравнения (*).
ЛОГАРИФМ
307
Продолжая этот процесс—квадрирование, строят многочлены /2(*), /з W
и т. д., где многочлен
fk W = a(?yxn + cfi}xn “1	+ аУ?;
его корнями будут числа x*k,	, ...» х^\ при этом коэффициенты
многочлена f*+i(x) получаются возведением в квадрат коэффициентов
многочлена /*(&), т. е. имеет место приближенное равенство: aj*+1) « [а^]2
в пределах устанавливаемой точности, следовательно, и корни многочлена
f (х) могут быть найдены приближенно по тем же формулам:
Знак корня определяется подстановкой в исходное уравнение. При этом пред-
полагается, что корни действительны и различны и такие, что удовлетворяют
условию:
где знак означает «значительно больше». При выводе формул (♦*) исполь-
зуется зависимость (обобщенная теорема Виета) между корнями и коэффи-
циентами уравнения. Нарушение отмеченной закономерности между корнями
(когда корни по значению близки или комплексные) влечет за собой нару-
шение указанной аналогичной закономерности между коэффициентами.
Л. м. может быть использован и для приближенного вычисления комп-
лексных корней, хотя при этом вычисления усложняются, а действительные
корни находятся по приближенной формуле (♦♦).
Л. м. был описан Лобачевским в его книге «Алгебра или исчисление
конечных» (1834).
Л. м. в литературе встречается как Греффе метод—по имени швейцар-
ского математика К. Греффе, или Данделена метод—по имени бельгийского
математика Ж. Данделена, открывших этот метод независимо от Лобачевского.
См. Ложного положения правило, Ньютона метод, Итерация.
Лит.: [72, 157].
ЛОГАРИФМ: 1°. Л. числа b по основанию а (а > 0, а 1) есть показа-
тель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число Ь.
Следовательно, согласно определению Л. имеем равенство:
а’°в«* = &,
где loga b—обозначение Л. числа b по основанию а (или при основании а).
Из указанного выше равенства следует, что число b > 0, т. е. при выбран-
ном положительном и не равном единице основании существуют логарифмы
только положительных чисел: b может быть только положительным. Иначе:
Л. числа b по основанию а (а > 0, а 1) есть решение уравнения ах = Ь.
Если основание логарифма а =10, то логарифм числа b называется деся-
тичным Л. и обозначается: lg b (основание 10 в этом случае не пишется, как
не пишется, например, показатель квадратного корня).
308
ЛОГАРИФМ
Если основание логарифма а = е (см. е число), то логарифм числа b по
основанию е называется натуральным Л. и обозначается: In b.
Всякое положительное число имеет при данном основании единственный Л.
р
Десятичный Л* всякого числа Ь, отличного от числа 10 q , где р и q—целые
числа (q 0), есть число иррациональное, точнее, трансцендентное; поэтому
в таблицах логарифмов чисел приведены лишь приближенные значения Л*
в виде конечной десятичной дроби. Целая часть Л. называется характерис-
тикой, дробная часть — мантиссой.
2°. Л.— логарифмическая функция y = logax. Логарифмическая функция
по основанию а(а>0, а ?£1)—функция, обратная показательной: у=ах (а>0).
Основные свойства логарифмической функции (кратко: логарифма):
loge (х^г) = loga *1 + loga *2, l°gfl (*i’*2) = l<>ga Xj — loga x2, xj > 0, x2 > 0,
logfl xr = r logflx, ]oganx=^- logflx.
Между Л. двух различных систем с .разными основаниями существует
вависимость:
log^=i8S’или ,og^=i^Tlog^-
Стоящий в правой части последнего равенства постоянный множитель Af =
= l/logaZ? называется модулем перехода (пересчета) от логарифмов чисел,
взятых по основанию а, к логарифмам чисел, взятых по другому основанию д.
Полагая в последней формуле перехода от одной системы логарифмов к дру-
гой х = а, получим интересную зависимость:
t 1
log»» а=~:--г-,
т. е. числа log& а и loga Ъ являются взаимно обратными; если при этом взять
еще условие а > 1 и b > 1 (или взять модули этих логарифмов), то будет
иметь место также’неравенство:
logb а + log а Ь 2.
Рассмотренные выше формулы играют определенную роль при решении
показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
Десятичные Л. называются также бриговыми*
Область определения Л. функции y=logax есть множество чисел х > 0.
График этой функции называется логарифмикой. Логарифмом можно назвать
и непрерывную функцию при х > 0, удовлетворяющую функциональному
уравнению:
f (xy) = f(x) + f (у), где X > 0, у> 0.
При изучении теории функций комплексного переменного рассматриваются
натуральные Л. комплексных чисел (обозначаются Ln г). В отличие от нату-•
ральных Л. действительного аргумента натуральные Л. комплексных чисел
являются многозначными, точнее, бесконечнозначными. Имеет место соотно-
шение: Ln z = in | z [ -|- i Arg z, где [ z [ — модуль числа г, Arg z = arg z +	£ Z
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ
309
Греч.: Хоуод (логос)—мысль, слово, смысл, отношение, apiOpio—число.
ЛОГАРИФМИКА—график логарифмической функции (логарифма) дей-
ствительного аргумента, т. е. график функции y = logax(a > 0, а # 1).
ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ—операция нахождения логарифма числа или
нахождения логарифма некоторого выражения. Л. используется при нахож-
дении числовых значений выражений, при решении простейших показатель-
ных уравнений. При Л. используются свойства логарифмов положительных
чисел.
См. также: Логарифм, Потенцирование.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ БУМАГА—бумага, на которой нанесена функ-
циональная (логарифмическая) шкала. Эта шкала неравномерная, и строится
она так: на осях прямоугольной системы координат откладываются не сами
числа, а логарифмы их: x = lgu и y=lgy и через точки деления, имеющие
числовые пометки и и v, проводятся прямые, параллельные Ох и Оу. Если
уравнения линий прямоугольной сетки имеют вид х=ти, y — nlgv, то такая
бумага называется полулогарифмической.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА—счетное устройство, используемое
для выполнения различных вычислений: умножения и деления чисел, возве-
дения в степень и извлечения корня, нахождения значений некоторых три-
гонометрических функций, решения некоторых уравнений и др.
Л. л. имеет различные конструкции. Точность вычислений на 25-санти-
метровой Л. л. составляет три знака.
Для объяснения действий на Л. л. в классных (аудиторных) условиях
прибегают к так называемым демонстрационным Л. л. длиной 1 — 2 м.
Лит.: [98].
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНАЯ — производная от логарифма дан-
ной функции. Л. п. применяется в том случае, если легче найти производ-
ную от логарифма данной функции (1п у), чем производную самой фун-
кции.
Пример. Найти производную функции у — хх. Имеем: 1пу = х1пх,
откуда, рассматривая 1п у как сложную функцию переменной х, найдем про-
изводную этой функции у':^ = 1пх4-1 или у' = хх (1п х + 1), х > 0.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ — плоская кривая, уравнение которой
в полярных координатах имеет вид:
р=ае*ф.	(♦)
Л. с. можно записать в виде уравнения: 1п-£-=#ф.
Из этого уравнения Л. с. видно, что полярный угол (его величина) про-
порционален логарифму радиус-вектора, измеренного единицей масштаба,
равной а. Отсюда и происходит название Л. с.
Из уравнения (*) Л. с. следует, что при k > 0 ее точка М. неограниченно
удаляется от полюса О с возрастанием величины угла ср; если же при k > 0
величина угла ф—►—оо, то расстояние от точки М. до полюса О стремится
к 0. Обратную картину изменения расстояния от точки М. до полюса О будем
иметь, если k < 0.
Л. с. пересекает все свои радиус-векторы под одним и тем же углом а.
310
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Подера и эволюта Л. с. есть снова Л. с. Кривая была известна многим ма-
тематикам XVII в., например Декарту, Торричелли и др. Проекция на неко-
торую плоскость отдельных видов раковин улиток напоминает Л. с.
Л. с. иначе называют равноугольной спиралью, так как она образует
всюду равные углы (по величине) с радиус-векторами, проведенными в про-
извольную точку М спирали.
См. также: Архимедова спираль, Гиперболическая спираль, Параболическая
спираль, Спираль.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ—функция, обратная показательной фун-
кции. Обозначается Л. ф. так: t/=logex, где а —основание Л. ф. (а > 0, а 1),
Значение Л. ф., соответствующее данному значению аргумента х, называется
логарифмом числа х по основанию а.
Л. ф. по основанию а — е (см. е число) комплексного аргумента обоз-
начается так: Ln г; Л. ф. комплексного аргумента многозначная.
Л. ф. часто кратко называется логарифмом.
См. также: Логарифм, Показательная функция, Функция.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ —таблицы, содержащие мантиссы (дроб-
ные положительные части) логарифмов положительных чисел. Л. т. бывают
и четырехзначные (содержат четыре знака мантиссы), и пятизначные, и боль-
шей значности.
Первые Л. т. были опубликованы Д. Непером в 1614 г. Его таблицы
в связи со специальными целями содержали логарифмы тригонометрических
функций по основанию е (основание натуральных логарифмов). В неперовских
таблицах логарифм числа а равен 107 In 107/а. Затем Л. т., близкие к не-
перовым, издал швейцарский математик И* Бюрги (1620).
В 1617 г. Бригс опубликовал таблицы десятичных логарифмов для
натуральных чисел от 1 до 1000 с 14 знаками, а затем в 1624 г. он опубли-
ковал также Л. т* с 14 знаками для чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до
100 000.
Голландский математик А* Влакк опубликовал (1628) второе издание
таблиц Бригса, устраняя пробел чисел от 20 000 до 90000, но уже не с 14
знаками, а только с 10 знаками; эти таблицы стали выпускать во многих
странах мира. На русском языке первые Л. т. были изданы лишь в 1703 г.,
а затем в 1716 г. для чисел от 1 до 10000 (Андрей Фархварсон, Леонтий
Магницкий). Из многих Л. т., издававшихся во многих странах, наибольшее
распространение, очевидно, имели семизначные таблицы Г. Вега; этим Л. т.
пользуются и сейчас.
Лит.: [21, 137].
См. также: Таблицы математические, Табулирование, Логарифм.
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее перемен-
ную (неизвестное) под знаком логарифма или в основании логарифма. При
решении Л. у. используются различные способы, основанные на: 1) свойст-
вах логарифма', 2) приведении уравнения к виду logaA = logaB; 3) графи-
ческих и других приближенных способах решения уравнений; 4) замене
переменных и др.
См. также: Показательные уравнения, Логарифм, Уравнение.
ЛОГИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ —см. Математическая логика,
ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
311
ЛОЖНОГО ПОЛОЖЕНИЯ ПРАВИЛО—один из классических способов
приближенного вычисления корней уравнения f (х)=0—алгебраического или
трансцендентного. Сущность Л. п. п. сводится к следующему. Рассматривают
два значения а и Ь аргумента функции действительного переменного х, близ-
ких к простому корню х0 этой функции (два ложных положения), таких, что
функция в этих точках х = а и х — Ь принимает разные по знаку значения
(например, f (а) < 0 и f (Ь) > 0). При этом предполагается, что в окрестности
точки х0 функция вместе со своими производными f (х) и f” (х) непрерывна
и в этой окрестности f (х) и f” (х) не меняют знака. На отрезке [а; 6] функ-
цию f (х) заменяют линейной функцией (дугу графика функции y = f(x) заме-
няют соответствующей хордой). Получают новое приближенное значение х — с
корня уравнения, более близкое к истинному значению корня х = х0, чем
исходное приближение х = а, из равенства:
с =	и /(с) < °> И*) > 0.
Применив второй раз Л. п. п. к отрезку [с; 6], получим новое приближенное
значение корня x = cit более близкое к истинному значению корня, чем х-с,
и т. д. Таким образом, Л. п. п. дает возможность вычислить корень урав-
нения /(х) = 0 с любой степенью точности. Л. п. п. часто используют в ком-
бинации с другими методами (см. Ньютона метод, Метод касательных).
Л. п. п. иначе называют методом секущих, методом хорд или методом (пра-
вилом) линейного интерполирования.
Л. п. п. называют также метод решения задач в арифметике на предпо-
ложение. Термин происходит от перевода с латинского regula falsi.
Лит.: [72, 157].
ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ функции—общее название для локального
максимума и локального минимума. Пусть y—f (х)—дифференцируемая в интер-
вале ]а; 6[ функция. Точка х0€]а’> ЭД называется локальным максимумом
функции y=f (х), если существует такая окрестность Q точки х0, что f (x0)^f (х)
для всех x£Q. Аналогично определяется локальный минимум.
Необходимым условием Л. э. является следующее:
Г(хо)=О
(Г (*о)— значение производной функции /' (х) в точке х0)*
В точке локального максимума производная /' (х) меняет знак при пере-
ходе х слева направо через точку х0 — с плюса на минус.
В точке локального минимума производная меняет знак с минуса на плюс
(предполагается, что f (х) непрерывна).
Указанные выше условия являются достаточным признаком существова-
ния Л. э.
Если f (х) обладает второй производной, то достаточный признак сущест-
вования Л. э. может быть сформулирован в терминах второй производной;
если f (хо) = О и /*(х0)<0, то х0—локальный максимум; если /'(хо) = О,
f” (хо) > о, то х0—локальный минимум.
В некоторых задачах, связанных с Л. э., бывает удобен следующий
достаточный признак существования Л. э.: если /' (x0)=f" (х0)=.»(хо)=О,
/<л+1>(х)#0 и Л4-1 —четное число, то при (х0) < 0 х0—локальный
312
ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
максимум, а при (х0) > 0 х0—локальный минимум (здесь /<2>(х) —/-я
производная функции /(х), 1 = 1, 2, ..., #4-1 предполагается (#4-1) раз диф-
ференцируемой).
Следует заметить, что признаки, описанные выше, справедливы лишь для
функций, дифференцируемых требуемое число раз во всех внутренних точках
рассматриваемого отрезка и только для тех точек х0, которые являются
внутренними точками отрезка [а; #].
Для нахождения абсолютного экстремума функции f (х) на отрезке [а; 6]
следует рассмотреть: 1) все точки отрезка, значение производной в которых
равно нулю (стационарные точки); 2) граничные точки отрезка; 3) все точки
отрезка, значение производной в которых не определено. Выделив затем из
множества стационарных точек точки Л. э. требуемого вида, следует сравнить
между собой числа f (х^), Z=l, 2, ..., где {х/} — множество точек, объединяю-
щее множество Л. э. исследуемого вида, множество точек, в которых не су-
ществует /' (х), и две граничные точки а, Ь, Максимальное из чисел /(xz)
определит абсолютный максимум функции f (х) на отрезке [а; #]—точку х?
(может быть, не единственную), минимальное из чисел f (х/) укажет абсолют-
ный минимум функции f (х) на отрезке [а; #]— точку xj (тоже, возможно, не
единственную).
Понятие Л. э. рассматривают и для функции z = f(xr, х2, ..., хп) не-
скольких переменных. Пусть точка Ро (х?; х°; ...; х«) — внутренняя точка
области D, в которой задана функция f. Если существует такая окрестность Q
точки Ро, что /(P)^f(Po) Для всех PgQ, то Ро называется локальным
минимумом; если в некоторой окрестности Q точки Ро /(^o)^f(^),
то Ро—локальный максимум. Если функция f дифференцируема в точке Ро
(являющейся внутренней точкой D), то необходимые условия существования
в этой точке Л. э. имеют вид:
Эх, |р0
=0,
-г- =0>
Л =о-
дхи |РО
(*)
Достаточное условие существования Л. э. в точке Ро в случае непрерыв-
ности вторых частных производных функции f двух переменных xlt х2 форму-
лируется следующим образом: если в точке Ро имеют место соотношения (♦), то
пои det II - II > ТТ > 0 точка Ро есть локальный минимум, при
|| dxi dxj ||ро	oxi Pq
det|a^k>0’ Й|ро<0_ЛОКаЛЬНЫЙ максимум. Здесь det||
означает определитель матрицы Ца/уИ, составленной из значений вторых
частных производных функции f в точке Ро: а;у
__ I
«7
1, 2.
Аналогично случаю одного переменного вычисление абсолютных экст-
ремумов непрерывной функции f на множестве D (замкнутом и ограниченном)
сводится к анализу точек локальных экстремумов, точек границы области D
и точек, в которых / недифференцируема.
ЛОПИТАЛЯ ПРАВИЛО
313
ЛОКСОДРОМА—линия двоякой кривизны, лежащая на сфере, сфероиде
или какой-либо другой поверхности вращения и пересекающая все меридианы
этой поверхности под постоянным углом. Форму Л. имеет путь корабля в
океане или самолета над земной поверхностью при постоянном истинном курсе
(направлении) К. Термин Л. был введен в 1624 г. голландским ученым В. Снел-
лиусом, Л. называют также локсодромией, локсодромной спиралью или локсо-
дромной кривой.
При А? = 0 или 180° Л. совпадает с меридианом поверхности вращения,
при & = 90°— с параллелью. Если угол k—острый или тупой, то Л. образует
бесконечное число витков вокруг полюса, приближаясь к нему неограниченно.
Греч. Хо£о£ — косой, 6роро£ — бег; локсодрома — кособежная (линия).
ЛОМАНАЯ — А0А1А2...Ап—объединение отрезков A0Ai, А}А2, . ...
АП-1ЛП, таких, что конец каждого из них (кроме последнего) является на-
чалом следующего и смежные отрезки не лежат на одной прямой. Точка Ло—
начало Л., точка Лл —конец Л. Любой из отрезков Л/Л/+ь где «Сп—1,
называется звеном Л. Сумма длин всех звеньев Л. называется длиной Л.
Используя свойство расстояния, можно доказать, что длина Л. больше рас-
стояния между ее концами.
Если все звенья Л. лежат в одной плоскости, то Л. называется плоской;
если не все звенья лежат в одной плоскости, то Л. называется пространст-
венной. Л. без самопересечений, у которой конец совпадает с началом, назы-
вается простой замкнутой Л.
См. также: Многоугольник, Кривая, Отрезок,
ЛОПИТАЛЯ ПРАВИЛО вычисления предела
А = lim
х-+аё(х)
при lim f (х) = lim g (х) = 0 / или lim / (х) = lim g (х) = оо \ .
х-*а х-+а	х->а	J
Л. п. может быть применено при выполнении следующих двух условий:
а) функции f (х) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x = xQ,
быть может за исключением самой точки х = х0; б) существует предел
B=lim
х-*а& W
(**)
При выполнении этих условий имеет место равенство А = В. К вычислению
пределов вида (♦) (^раскрытию неопределенностей типа сводятся вычи-
00
сления других неопределенностей типа —, оо — оо, 0 — оо, 0°, I00, оо°. В слу-
чае, когда функции /' (х) и gf (х) правой части равенства (♦*) таковы, что
lim /' (х) = lim g' (х) = 0 и удовлетворяют вышеупомянутым условиям а) и б),
х-+а	х->а
возможно повторное применение Л. п.
Л. п. является мощным инструментом для вычисления пределов. Например,
814
ЛУДОЛЬФОВО ЧИСЛО
х2
cos х—l-j-y
lim
.. — sinx + x	—cosx+1
lim  j-——= lim  гк-7-1—
x->0	4x3	12x3
.. sinx .. cosx 1
= lim in—= hm ——.
x->0 24* x^O 24	24
Здесь Л. п. применено многократно.
Л. п. названо именем французского математика Г. Лопиталя, впервые
опубликовавшего его в первом печатном учебнике по дифференциальному ис-
числению в 1696 г. В основу этого учебника легли лекции швейцарского
математика И. Бернулли, которому Л. п. было известно.
ЛУДОЛЬФОВО ЧИСЛО —приближенное значение трансцендентного числа л
с 32 верными знаками. Названо по имени голландского математика Лудольфа
ван Цеулена (1540 —1610). Л. ч. было опубликовано в 1615 г.
Иногда необоснованно называют Л. ч. само число л.
См. также: л число, Мециево число.
ЛУПА—квазигруппа G, имеющая единицу, т. е. такой элемент е, что для
любого a£G выполнены равенства
еа = ае = а.
Лит.: [16, 71, 85].
ЛУЧ открытый — каждое из множеств, на которые точка О разбивает мно-
жество точек прямой, отличных от точки О. Объединение открытого Л. с его
началом—точкой О—называется Л. с его началом О или замкнутым Л. Если
точка О лежит между точками А и В, то лучи с началом О запишутся: [ОВ)
и (АО].
ЛЮИЛЬЕ ЗАДАЧИ —две задачи элементарного курса геометрии следую-
щего содержания: а) Если г — радиус вписанной в треугольник окружности,
a ri, г2, г3—радиусы вневписанных в него окружностей, то имеет место ра-
венство: l/r = l//*i + l/r2 + l/f3-
б) Если г — радиус вписанной в треугольник окружности, а г2, гз —
радиусы вневписанных в него окружностей и Q — площадь треугольника, то
имеет место равенство: Q2 = r .грг2«г3.
Задачи названы по имени французского математика С. А. Люилье (1750—
1840).
ЛЯПУНОВА ТЕОРЕМА в теории вероятностей—центральная предельная
теорема, установленная русским математиком А. М. Ляпуновым в 1901 г.
Пусть X/(Zg2V)— независимые случайные величины с математическим
ожиданием mi, среднеквадратическим отклонением о, и третьим абсолютным
моментом
Р? = ЛЦ|Х,—/п, Is).
п	п	п	п
Пусть далее т = 2	д2= 2	Р3=2 и
i = 1	i=l	i = 1	i = 1
Тогда Л. т. утверждает, что если р3 конечен при любом i и lim — =0,
п—>оо а
то X имеет асимптотически нормальное распределение с параметрами т и а.
Л. т. позволила получить близкое к окончательному решение вопроса
о том, когда сумма большого числа независимых случайных величин имеет
нормальное распределение.
ЛИТЕРАТУРА
L Ада мар Ж. Элементарная геометрия, ч. I. М., Учпедгиз, 1948.
2.	Адян С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М., «Наука»,
1975.
3.	Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей.
М.—Л., 1948.
4.	Александров П.С. Комбинаторная топология. М.—Л., Гостехиздат,
1947.
5.	Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М., «На-
ука», 1968.
6.	Александров П.С., Колмогоров А. Н. Введение в общую тео-
рию множеств и функций. М., Гостехиздат, 1948.
7.	А н д р о н о в И. К., О к у н е в А. К. Основной курс тригонометрии.
М., Учпедгиз, 1960.
8.	Арбиб М. Мозг, машина и математика. Пер. с англ. М., «Наука»,
1968.
9.	Аргунов Б. И., Балк М. Б. Элементарная геометрия. М., «Просве-
щение», 1966.
10.	Аргунов Б. И., Балк М. Б. Геометрические построения на плоскос-
ти. М., Учпедгиз, 1957.
И. А р г у н о в Б. И., С к о р н я к о в Л. А. Конфигурационные теоремы,
М., Гостехиздат, 1959.
12.	Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «На-
ука», 1975.
13.	Атья М. Лекции по /(-теории. М., «Мир», 1967.
14.	Базылев В. Т., Д у н и ч е в К. И., Иваницкая В. П. Геометрия,
ч. I. М., «Просвещение», 1974.
15.	Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии. М.,
«Наука», 1969.
16.	Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. М., «Наука», 1967.
17.	Берж К. Теория графов и ее применения. Пер. с франц. М., ИЛ,
1962.
18.	Б е р н ш те й н С. Н. Собр. соч., т. I — Конструктивная теория функций
1905—1930. М., 1952.
19.	Б о р е в и ч 3. И., Ш а ф а р е в и ч И. Р. Теория чисел. М., «Наука»,
1972.
20.	Брадис В. М. Методика преподавания математики в средней школе.
М.—Л., Учпедгиз, 1954.
21.	Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М., «Просве-
щение», 1977.
22.	Бухштаб А. А. Теория чисел. М., Учпедгиз, 1960.
23.	Бэр Р. Теория разрывных функций. Пер. с франц. М.—Л., ГОНТИ,
1932.
24.	Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М., «Наука», 1976.
25.	Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. М., ИЛ, 1949.
316
ЛИТЕРАТУРА
26.	Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. М.,
ИЛ, 1947.
27.	Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Физматгиз, 1962.
28.	Виленкин Н. Я. Комбинаторика. М., 1969.
29.	Винер Н. Кибернетика и общество. Пер. с англ. М., ИЛ, 1958.
30.	Винер Н. Кибернетика. Пер. с англ. М., ИЛ, 1968.
31.	Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.—Л., Гостехиздат, 1949.
32.	В и н о г р а до в И. М. Избранные труды. М., 1952.
33.	Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел.
М., сНаука», 1971.
34.	Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., «Наука», 1966.
35.	Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М., «Наука», 1971.
36.	Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. М., «Наука»,
1956.
37.	Гельфонд А.О. Трансцендентные и алгебраические числа. М., Гостех-
издат, 1952.
38.	ГиллА. Введение в теорию конечных автоматов. Пер. с англ. М.,
«Наука», 1966.
39.	Гильберт Д. Основания геометрии. Пер. с нем. М.—Л., Гостехиздат,
1948.
40.	Гильберт Д., Кон Фоссен С. Наглядная геометрия. Пер. с нем,
М., Гостехиздат, 1951.
41.	Гладкий А. В. Формальные грамматики. М., «Наука», 1973.
42.	Глушков В.М. Введение в кибернетику. Киев, 1964.
43.	Глушков В.М. Синтез цифровых автоматов. М., Физматгиз, 1962.
44.	Гм урман В. Е. Введение в теорию вероятностей и математичес-
кую статистику. М., «Высшая школа», 1977.
45.	Гол ьдфа йн И. А. Элементы векторного исчисления. М., Гостехиздат,
1948.
46.	Г о н ч а р о в В. Л. Теория интерполирования и приближения функций.
М., Гостехиздат, 1954.
47.	Гроссиан И., Магнус В. Группы и их графы. М., «Мир», 1971.
48.	Делоне Б. Н. Петербургская школа теории чисел. М., АН СССР,
1950.
49.	Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной матема-
тики. М., «Наука», 1966.
50.	Депман И. Я. История арифметики. М., Учпедгиз, 1959.
51.	Дунин-Барковский И. В., Смирнов Н.В. Теория вероятнос-
тей и математическая статистика в технике. М., Гостехиздат, 1955.
52.	Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М., «Наука», 1971.
53.	Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. М., «Наука», 1975.
54.	Ефимов Н.В., Родендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная
геометрия. М., «Наука», 1974.
55.	Жижченко А. Б. Алгебраическая геометрия в работах советских ма-
тематиков. М. «Знание», 1969.
56.	Зейферт Г., Т рельфаль В. Топология. М.—Л., ГОНТИ, 1938.
57.	ЗетельС. И. Новая геометрия треугольника. М., Учпедгиз, 1960.
58.	К а н т о р И. Л., С о л од о в н и к о в А. С. Гиперкомплексные числа.
М., «Наука», 1973.
59.	К а н т о р о в и ч Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высше-
го анализа. М., Физматгиз, 1962.
60.	Клейн Ф. Лекции о развитии математики в 19 столетии. Пер. с нем. М.—
Л., ГОНТИ, 1937.
61.	Клини С. К. Введение в математику. Пер. с англ. М., ИЛ, 1957.
62.	Кобринский Н.Е., Трахтенброт Б. А. Введение в теорию ко-
нечных автоматов. М., Физматгиз, 1962.
63.	Колмогоров А. Н. Что такое функция. «Квант», 1970, № 2.
64.	Колями Ю. М. и др. Методика преподавания математики. М., «Про-
свещение», 1975,
ЛИТЕРАТУРА
317
65.	Кон П. Универсальная алгебра. Пер. с англ. М., «Мир», 1968.
66.	Кострикин А. И. Введение в алгебру. М., «Наука», 1977.
67.	Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. М., «Наука»,
1975.
68.	Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. Пер . с англ.
М., «Мир», 1969.
69.	Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. Пер. с
англ. М., «Мир», 1970.
70.	Кур ош А. Г. Теория групп. М., «Наука», 1967.
71.	Кур ош А. Г. Общая алгебра. М., «Наука», 1974.
72.	Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., «Наука», 1975.
73.	Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М., «Наука», 1975.
74.	Кэррол Л. История с узелками. М., «Мир», 1973.
75.	Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А. Курс вариационного
исчисления. М., Гостехиздат, 1950.
76.	Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций. Пер. с
франц. М.—Л., ГОНТИ, 1934.
77.	Лебег А. Об измерении величин. Пер. с франц. М., Физматгиз, 1960.
78.	Ленг С. Алгебра. М., «Мир», 1968.
79.	Лобачевский Н. И. Алгебра или исчисление разностей. Поли. собр.
соч., т. 4. М.—Л., 1951.
80.	Л я п у н о в А. М. Общая задача устойчивости движения. М.—Л., Гос-
техиздат, 1950.
81.	Магнус В., Каррас А., Солитер Д. Комбинаторная теория
групп. Пер. с англ. М.,«Наука». 1974.
82.	Майстров Д. Е. Теория вероятностей. Исторический очерк. М.,
«Наука», 1967.
83.	Мак Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программиро-
вание на ФОРТРАНе. М., «Мир», 1977.
84.	Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М., «Наука»,
1965.
85.	Мальцев А. И. Алгебраические системы. М., «Наука», 1970.
86.	Марков А. А. Теория алгорифмов. М.—Л., 1954 (Тр. Матем. института
АН СССР, т. 42).
87.	М а р к у ш е в и ч А. И. Возвратные последовательности. М., Гостех-
издат, 1947.
88.	М а р к у ш е в и ч А. И. Теория аналитических функций. М., Гостех-
издат, 1950.
89.	Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.—Л., 1949.
90.	Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.,
«Наука», 1974.
91.	Начала Евклида. Пер. сгреч.,т. 1—3. М.—Л., Гостехиздат, 1948—1950.
92.	Никольский С. М. Квадратурные формулы. М., Физматгиз, 1958.
93.	Новиков П. С4 Элементы математической логики. М., «Наука»,
1973.
94.	Новоселов С4 И. Специальный курс тригонометрии. М., «Советская
наука», 1954.
95.	Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., «Наука», 1976,
96.	Ок ст об и Дж. Мера и категория. Пер. с англ. М*, «Мир», 1974,
97.	Оре О. Графы и их применения. Пер. с англ. М,, «Мир», 1965*
98.	Панов Д. Ю. Счетная линейка. М., Физматгиз, 1953.
99.	П а п и Ф., П а п и Ж. Дети и графы. Пер. с франц. М., «Педагогика»,
1974.
100.	Перепелкин Д. И. Геометрические построения в средней школе.
М.—Л., АПН РСФСР, 1974.
101.	Перепелкин Д. И. Курс элементарной геометрии, ч. I. М. Л., Гос-
техиздат, 1948.
102.	Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений.
М.—Л., Гостехиздат, 1951,
318
ЛИТЕРАТУРА
103.	Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления*
т. 1—2. М., «Наука», 1976.
104.	Погорелов А. В. Аналитическая геометрия. М., «Наука», 1968.
105.	Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.,
«Наука», 1969.
106.	Пой а Д. Как решить задачу. Пер. с англ. М., Учпедгиз, 1959.
107.	Пой а Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Пер. с англ.
М., ИЛ, 1957.
108.	Пой а Д. Математическое открытие. Пер. с англ. М., «Наука», 1970.
10Э.	Понтрягин Л. С. Основы комбинаторной топологии. М.—Л., Гостех-
издат, 1947.
ПО. П о н т р я г и н Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.,
«Наука», 1970.
111.	Постников М. М. Теория Галуа. М., Физматгиз, 1963.
112.	Постников М. М. Аналитическая геометрия. М., «Наука», 1973.
113.	Прахар К. Распределение простых чисел. Пер. с нем. М., 1967.
114.	Привалов И. И. Аналитическая геометрия. М., Гостехиздат, 1954.
115.	Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного перемен-
ного. М., Гостехиздат, 1954.
116.	Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравне-
ниями. Пер. с франц. М.—Л., Гостехиздат, 1949.
117.	Р а ш е в с к и й П. К. Курс дифференциальной геометрии. М.,'Гостех-
издат, 1950.
118.	Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., «На-
ука», 1967.
119.	Репьев В. В. Общая методика преподавания математики. М., Учпедгиз,
1958.
120.	Рыбников К. А. История математики. М., Изд-во Моск, ун-та, 1960.
121.	Савелов А. А. Плоские кривые. М., Физматгиз, 1960.
122.	Савинков В. М., Цальц В. Д. Программирование на АЛГОЛе. М.,
1975.
123.	Сакс С. Теория интеграла. Пер. с англ. М., ИЛ, 1949.
124.	Сантало А. А. Введение в интегральную геометрию. М., ИЛ, 1956.
125.	Сборник «Проблемы Гильберта». М., «Наука», 1969.
126.	Сенников Г. П. Решение задач на построение в VII—VIII классах.
М., Учпедгиз, 1955.
127.	Серпинский В. 100 простых, но одновременно и трудных вопросов
арифметики. М., Учпедгиз, 1961.
128.	Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах.
Пер. с польск. М., Учпедгиз, 1963.
129.	Серпинский В. К. Аксиома Zermelo и ее роль в теории множеств и
анализа. «Матем. сб.», т. 31, вып. I. М., 1922.
130.	Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций
комплексного переменного. М.—Л., 1964.
131.	Солодовников А. С. Введение в линейную алгебру и линейное про-
граммирование. М., «Просвещение». 1966.
132.	Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук.
Пер. с англ. М., ИЛ, 1948.
133.	Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической фи-
зики. М., «Наука», 1977.
134.	Трахтенброт Б. А. Алгоритмы и машинное решение задач. М.,
1960.
135.	Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Пер.
с англ. М., ИЛ, 1963.
136.	Уокер Р. Алгебраические кривые. Пер. с англ. М., ИЛ, 1952.
137.	Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. Пг. Научное книго-
издательство. 1923.
138.	Федин Н. Г., Мишин В. И. Сборник вопросов и упражнений по
методике преподавания математики. Ми «Просвещение», 1967»
ЛИТЕРАТУРА
319
139.	Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Пер.
с англ., т. I. М., «Мир», 1967.
140.	Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального ис-
числения, т. 1—2. М., «Наука», 1969.
141.	Фомин С. В. Системы счисления. М., Физматгиз, 1968.
142.	Ф о р д Л. Р. Автоморфные функции. М.—Л., 1936.
143.	Фролов Н. А. Теория функций действительного переменного. М.,
Учпедгиз, 1961.
144.	Ф у к с Д. Б., Ф о м е н к о А. Т., Г у т е н м а х е р В. Л. Гомотопичес-
кая топология. М., Изд-во Моск, ун-та, 1968.
145.	Харари Ф. Теория графов. Пер. с англ. М., «Мир», 1973.
146.	Хин чин А. Я. Три жемчужины теории чисел. М.—Л., Гостехиздат,
1948.
147.	Чеботарев Н. Г. Теория Галуа. М., ОНТИ, 1936.
148.	Чеботарев Н. Г. Теория алгебраических функций. М.—Л., 1948.
149.	Четверухин Н. Ф. Изображение фигур в курсе геометрии. М.,
Учпедгиз, 1958.
150.	Четверухин Н. Ф. Методы геометрических построений. М., Учпед-
гиз, 1952.
151.	Четверухин Н. Ф. Проективная геометрия. М., «Просвещение»,
1963.
152.	Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. М., «Наука»,
1972.
153.	Шварц Д. Дифференциальная геометрия и топология. М., «Мир», 1970.
154.	Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции нескольких веществен-
ных переменных. М., «Наука», 1972.
155.	Шиханович Ю. А. Введение в современную математику. М., «Наука»,
1965.
156.	Эльсгольц Л. Э. Вариационное исчисление. М.—Л., Гостехиздат,
1952.
157.	Энциклопедия элементарной математики, т. 1—4. М.—Л., Гостехизлат,
1951, 1952, 1963.
158.	Яковлев Г. Н. Числовые последовательности и непрерывные функ-
ции. М., «Просвещение», 1978,
159.	Яковкин М. В. Свойства чисел, аналогичные теореме Безу.— «Мате-
матика в школе», 1952, № 1.
160.	Яковкин М. В. Вычислительные действия над многочленами. М.,
АПН РСФСР, 1961.
161.	Яновская С. А. Апории Зенона Элейского и современная наука. —
В кн. «Философская энциклопедия», т. 2. М., «Советская энциклопедия»,
1962.
162.	Яснопольский А. Р. Гиперболические функции. М., Гостехиздат,
1960.
Библиотека учителя математики
ИБ № 1606
МАНТУРОВ ОЛЕГ ВАСИЛЬЕВИЧ
СОЛНЦЕВ ЮРИЙ КОНСТАНТИНОВИЧ
СОРКИН ЮРИЙ ИСААКОВИЧ
ФЕДИН НИКОЛАЙ ГЕОРГИЕВИЧ
МАТЕМАТИКА В ПОНЯТИЯХ,
ОПРЕДЕЛЕНИЯХ И ТЕРМИНАХ
Часть I
Спец, редакторы
В. А. ГУСЕВ, Б. М. ИВЛЕВ
Редактор Л. М. КОТОВА
Художник обл. Б. Н. ЮДКИН
Художественный редактор
Е. Н. КАРАСИК
Технический редактор
С. Н. ТЕРЕХОВА
Корректор В. Ф. МАЛЫШЕВА
Сдано в набор 22.04.78. Подписано к печати 29.11.78.
60X90716. Бум. типогр. № 2. Гарн. Литер. Печать
высокая. Усл. печ. л. 20. Уч.-изд. л. 21,56. Тираж
251 000 экз. Заказ № 765. Цена 1 руб.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство
«Просвещение» Государственного комитета РСФСР
по делам издательств, полиграфии и книжной тор*
говли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с матриц ордена Октябрьской Револю-
ции и ордена Трудового Красного Знамени Первой
Образцовой типографии имени А. А. Жданова Союз-
полиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной тор-
говли. Москва, М-54, Валовая, 28 на Саратовском
ордена Трудового Красного Знамени полиграфиче-
ском комбинате Росглавполиграфпрома Государст-
венного комитета РСФСР по делам издательств, по-
лиграфии и книжной торговли. Саратов, ул. Черны-
шевского. 59.
Школьные учебники (((Р
SHEBA.SPB.&U/SHKOLA