Text
                    УСТОЙЧИВОСТЬ
И ФАЗОВЫЕ
ПЕРЕХОДЫ
Ф. ДАЙСОН,
Э. МОНТРОЛЛ,
М. КАЦ,
М. ФИШЕР
Перевод с английского
С. П. МАЛЫШЕНКО
и Е. Г. СКРОЦКОЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1973


СОДЕРЖАНИЕ От издательства 5 Ф. И. Дайсон. Устойчивость вещества 15 1. Введение 17 2. История вопроса 17 Утверждение 1 A9). 3. Обзор результатов 20 Теорема 1 B0). Теорема 2 B1). Теорема 3 B1). Тео- рема 4 B2). Предположение 1 B2). 4. Лемма Онсагера 23 Лемма 1 B3). Доказательство леммы 1 B3). 5. Фон компенсирующих зарядов . . .- 24 Лемма 2 B5). Доказательство леммы 2 B5). Тео- рема 5 B6). Теорема 6 B7). 6. Эвристическое доказательство теорем 1 и 5 ... 27 Замечание C0) 7. Доказательство теорем 1 и 5. Верхние пределы для энергии основного состояния 30 Лемма 3 C1). Доказательство леммы 3 C1). Дополнительное замечание C7). 8. Предварительные замечания к доказательству теоремы 3 37 Теорема 7 C7). Доказательство теоремы 7 C7). Теорема 8 C8). Лемма 4 C8). Доказательство леммы 4 C8). Доказательство теоремы 8 C9). 9. Доказательство теоремы 3. Кулоновская система, не подчиняющаяся правилу запрета 40 Лемма 5 D2). Лемма 6 D5). 10. Доказательство леммы 5 48 11. Численный пример к лемме 6 50 Лемма 7 E0). Доказательство леммы 7 E0). 12. Доказательство леммы 6 51 13. Правило запрета 52 Лемма 8 E2). Доказательство леммы 8 E3). Лемма 9 E4). Доказательство леммы 9 E5). Лемма 10 E5). 14. Доказательство теоремы 2. Верхняя граница для энергии системы, подчиняющейся правилу запрета в пределах каждого класса частиц 55 Лемма 11^E7). Содержание 173 15. Доказательство леммы 10. Нижняя граница для кинетической энергии 58 Предположение 2 E9). Лемма 12 F0). Лемма 13 F1). Предположение 3 F1). 16. Математическое отступление. Доказательство лемм 12 и 13 62 Предположение 2п F2). Предположение 2», F2). Доказательство леммы 12 F3). Доказательство леммы 13 F4). 17. Смешанные Ферми — Бозе системы 65 Лемма 14 F6). Лемма 15 F8). Предположение 4 F8). Предположение Ъ F8). Лемма 16 F9). Лемма 17 F9). Лемма 18 G0). Доказательство леммы 18 G0). 18. Разбиение конфигурационного пространства . . 71 Лемма 19 G1). Доказательство леммы 19 G1). 19. Оценка кулоновской энергии 73 20. Доказательство теоремы 4. Нижний предел для энергии систем, в которых отрицательные заряды в пре- делах каждого класса подчиняются правилу запрета 76 Лемма 20 G7). Доказательство леммы 20 G8). Доказательство теоремы 4 (80). 21. Доказательства лемм 14—17 82 Доказательство леммы 17 (82). Доказательство леммы 16 (83). Доказательство леммы 15 (84). 22. Заключительные замечания 89 Литература 91 Э. Монтролл. Лекции по модели Изинга 92 1. Новые экспериментальные результаты, полученные при изучении критических явлений 92 2. Модель Изинга 96 2.1. Изинговский ферромагнетик (96). 2.2. Бинар- ный сплав (98). 2.3. Модель Изинга для решеточ- ного газа A02). 3. Применение матричного метода при исследовании статистики решетки 106 3.1. Одномерная решетка Изинга и матричный метод A06). 4. Комбинаторный подход к решению задачи Изинга 112 4.1. Высоко- и низкотемпературные разложения A12). 4.2.* Дуальность A17). 4.3. Связь между статистической суммой двумерной решетки Изин- га и димерными конфигурациями A20). 5. Статистика димеров и расчет статистической суммы для двумерной решетки'Изинга 124 5.1. Характеристика димерных конфигураций и пфаффиан A24). 5.2. Построение производящей функции димеров^ для?квадратнойТрешетки A35). 5.3. Статистическая сумма для квадратной решет- ки Изинга A41). ..j
372 Содержание 6. Корреляции и спонтанная намагниченность двумер- ных решеток 146 6.1. Корреляции как статистические суммы решеток с дефектами A46). 6.2. Коррелятор (aitia2,i) A51). 6.3. Коррелятор (o1,iaiii+rn) A55). 6.4. Спонтанная намагниченность A57). 6.5. Магнитная восприим- чивость вблизи критической температуры A60). Литература 162 М. Кац. Математические механизмы фазовых переходов . . 164 1. Вводные замечания 164 2. Двумерная модель Изинга . . . 165 3. Модель Кюри — Вейсса 167 4. Асимптотическое вырождение и дальний порядок 170 5. Одномерная модель с потенциалом взаимодействия ¦V ехр (— у | i — / |) 174 6. Одномерные модели с потенциалом взаимодействия W (У \ i — У I) — У \ № ехр (— Ху I t — / I) dX ... 191 о 7. Класс двумерных моделей 220 8. Заключение 239 Приложение 241 Литература 243 М. Фишер. Теория сингулярностей в критической точке . . 245 Введение 245 1. Фазовые переходы и параметр порядка 246 1.1. Фазовые диаграммы и симметрия B46). 1.2. Тер- модинамика B49). 1.3. Поля и плотности B51). 1.4. Определение параметра порядка B54). 2. Критические индексы и скэйлинг . 257 2.1. Индексы, характеризующие сингулярность B57). 2.2. Критические индексы B60). 2.3. Слабые сингулярности B63). 2.4. Связь между индексами и неравенства B64). 2.5. Гипотеза однородности B66). 2.6. Следствия из гипотезы однородности и связанные с ними трудности B69). 2.7. Скэйлин- говая функция B72). 3. Скэйлинг, степенные законы и аналитичность . . 275 3.1. Введение B75). 3.2. Однородность и скэйлинг B76). 3.3. Суть гипотезы скэйлинга B78). 3.4. Экви- валентность различных скэйлингов B80). 3.5. Тре- бование аналитичности B82). 3.6. Явная аналитич- ность: параметрическое представление B84). 3.7. Изменение формы параметрической гипотезы B89). 3.8. Четырехфункционный скэйлинг B92). 3.9. Заключительные замечания B95). 4. Капельная модель: ее развитие и особенности . . . 297 4.1. Введение B97). 4.2. Капельная модель B98). Содержание 373 4.3. Численные расчеты C03). 4.4. Скэйлинг в ка- пельной модели C07). 4.5. Сжимаемые ферромаг- нетики C09). 4.6. Модели взаимодействующих кла- стеров C15). 4.7. Сингулярности и скэйлинг C21). 5. Конечные размеры и граничные эффекты 327 5.1. Возможные искажения критических явле- ний C27). 5.2. Пленки и слои C30). 5.3. Границы и граничные условия C33). 5.4. Сдвиг, сглаживание и корреляционная длина C36). 5.5. Теория скэй- линга для конечных систем C39). 5.6. Граничные или поверхностные сингулярности C42). 5.7. Пло- ская квадратная решетка Изинга C45). 5.8. Трех- мерные пленки Изинга C50). 5.9. Сферическая модель для d-мерных пленок C55). 5.10. Выво- ды C59). Приложения 360 A. Отказ от требования симметрии y=Y' ...... 360 Б. Доказательство теоремы 2 об аналитичности . . . 361 B. Сведение параметрического скэйлинга к гипотезе однородности 364 Г. Решение для модели взаимодействующих кластеров 365 Литература 368
УДК 530.1 От издательства В книге содержится четыре цикла лекций, по- священных исследованию свойств систем многих частиц вблизи границы устойчивости. Рассмотрены вопросы устойчивости систем заряженных частиц (Дайсон), а также термодинамического поведения вещества при фазовых переходах типа упорядочения (Кац, Монтролл, Фишер). Авторы лекций — крупнейшие зарубежные уче- ные — хорошо известны советскому читателю своими оригинальными работами, обзорами и монографиями, часть которых переведена на русский язык (Кац М., Вероятность и смежные вопросы в физике, изд-во «Мир», 1965; Фишер М., Природа критического состояния, изд-во «Мир», 1968). Настоящая книга предназначена для читателей — математиков, вычислителей, физиков, химиков, инже- неров, интересующихся проблемами устойчивости и фазовых переходов, а также для аспирантов и сту- дентов соответствующих специальностей. Редакция литературы по физике © перевод на русский язык, издательство «Мир», 1973 У 0232-056 041@1)-73 Изучение систем, состоящих из большого числа взаимо- действующих частиц, является одной из важнейших про- блем современной физики. Наиболее интересно исследо- вать поведение таких систем вблизи границы устойчивости. Прежде всего возникает задача определения границ устой- чивости, т. е. предельных значений энергий для различных систем частиц, а также изучения весьма своеобразного термодинамического поведения вещества в том случае, когда потеря устойчивости однородной системы обуслов- лена возникновением в ней определенного типа упорядо- чения. Фазовые переходы, связанные с появлением в системе упорядочения, происходят в различных физических систе- мах: упорядочение расположения атомов двух сортов в кри- сталлической решетке бинарного сплава; упорядочение расположения элементарных магнитных моментов в ферро- и антиферромагнетиках; упорядочение дипольных момен- тов в узлах решетки (сегнетоэлектрики); упорядочение состояний электронов в сверхпроводниках и атомов гелия в случае сверхтекучести, а также появление «упорядоче- ния» (исчезновение пространственной однородности) в кри- тических точках чистых и многокомпонентных жидко- стей. Появление общих закономерностей у несхожих физиче- ских объектов (жидкости иг твердые тела, квантовые и клас- сические системы), а также, например, наступление упоря- дочения при сверхнизких и высоких температурах указы- вают на наличие общих свойств систем многих частиц, не зависящих от природы изучаемого объекта. Сказанное можно проиллюстрировать на примере простого термодина-
От издательства мического рассмотрения, сравнивая энтропию и внутрен- нюю энергию системы. Энтропия 5 связана со степенью беспорядка при данном расположении частиц в системе, и чем хаотичнее распределение, тем энтропия больше. Внутренняя энергия Е минимальна при упорядоченном расположении частиц. Устойчивость системы, находящей- ся в данном объеме, определяется при разных температу- рах минимумом свободной энергии F = Е — TS. Отсюда видно, что при высоких температурах отрица- тельное второе слагаемое в F существеннее первого, т. е. минимальное значение свободной энергии опреде- ляется большой величиной энтропии, и система разупоря- дочена. При низких температурах, наоборот, первое сла- гаемое в F существеннее второго, т. е. минимум F связан с минимумом свободной энергии, а значит, с упорядочен- ным расположением частиц. Компромисс этих двух тен- денций — упорядочивающей «энергетической» и разупоря- дочивающей «энтропийной»— определяет температуру упо- рядочения. Оказывается, что эта температура (в энергети- ческих единицах) порядка характерной энергии взаимодей- ствия между частицами системы, и, поскольку других величин размерности энергии в задаче нет, не удается ввести малый параметр, что и обусловливает крайнюю слож- ность проблемы фазовых переходов. В этом смысле рас- сматриваемая задача похожа на проблему физики жидкого состояния, где главной сложностью построения теории является отсутствие малого параметра, так как средняя кинетическая (К) и средняя потенциальная (U) энергии частиц — величины одного порядка (в газе VIК < 1. а в твердом теле K/U < 1). Итак, появление упорядочения хотя и вызывается взаимодействием частиц, но не связано с конкретным видом взаимодействия, а имеет для разных объектов общую при- роду, определяемую статистическими свойствами системы многих частиц. Возникает естественное предположение, что специфика данной системы — характер сил взаимодей- ствия между составляющими ее частицами — определяет значение температуры фазового перехода, в то время как поведение различных термодинамических (а быть может, и кинетических) величин вблизи точки перехода является общим свойством всех систем многих частиц. От издательства Для теоретической проверки правильности этого пред- положения следовало бы, задавая различные модели систем многих частиц, отличающихся законами взаимодействия, и пользуясь методами статистической физики, обнаружить фазовый переход и сравнить термодинамическое поведе- ние различных систем вблизи температуры фазового пере- хода. Такая задача из-за огромной математической сложности может быть решена лишь в некоторых простейших случаях. К сожалению, простая модель идеального газа приводит только к монотонному изменению свойств и не дает фазо- вого перехода. При решении статистической задачи жела- тельно выбрать возможно более простую модель, чтобы получить точное решение, так как вблизи точки фазового перехода — особой (в математическом смысле) точки для термодинамических величин — всякая приближенная тео- рия может оказаться ошибочной. Вместе с тем, как это видно на примере идеального газа, модель не может быть слишком упрощенной, поскольку она должна после стати- стического расчета привести к появлению фазового пере- хода. Для понимания природы фазовых переходов наиболее важны точные решения двумерной модели Изинга и одно- мерной модели Каца. Модель Изинга содержит три основных предположения: 1) упорядочивающиеся объекты фиксированы в узлах кри- сталлической решетки; 2) каждый объект может находиться лишь в двух состояниях, скажем, для г-го узла решетки эти состояния характеризуются переменной аг, принимаю- щей два значения: +1 или —1 (для ферромагнетика — два направления элементарного магнитного момента, для бинар- ного сплава — расположение в узле атома А или В и т. д.); 3) учитывается взаимодействие / лишь между располо- женными по соседству объектами, т. е. энергия всей системы Е = —J^jOfGj, где г, j — соседние узлы решетки. В 1944 г. Ларе Онсагер [1] получил точное решение для двумерной модели Изинга. Оказалось, что для температур Т <С Ти система упорядочена, т. е. большинство объектов находится в одном из двух возможных состояний, а для Т =*! Т& не упорядочена. Температура упорядочения пол-
8 От издательства ностью определяется энергией взаимодействия: Т^ = = У/arcth (]Л2 — 1). Известным результатом работы Онса- гера является логарифмическое возрастание теплоемкости С ~ In | Т — Тк/Ть | при приближении к точке перехода со стороны высоких и низких температур. На языке модели Изинга легко понять, в чем смысл приближений термодинамической теории фазовых перехо- дов, восходящей еще к работам Гиббса и четко сформулиро- ванной Л. Д. Ландау в 1937 ?. [2]. Оказывается, что если при расчете средней энергии Е заменить среднее от произ- ведения случайных величин over,- произведением средних Gi<3j, то получатся все результаты теории Ландау, в част- ности конечный скачок теплоемкости в точке фазового пере- хода. Из математики известно, что подобная процедура усреднения соответствует независимости случайных вели- чин at, Gj. Такое допущение в действительности неверно, так как (для J > 0) пары типа (+1, +1) и (—1, —1) имеют меньшую энергию, чем пары (+1. —1). поэтому соседями для узла решетки с стг- = +1 будут скорее узлы с (г,- = +1, чем с gj — —1. Физически указанное приближение состоит в замене действующего на at «поля» (—^2ctj) его средним значением, т. е. теория Ландау является теорией «среднего» или само- согласованного поля. «Самосогласование» состоит в том, что каждая частица находится в некотором усредненном силовом поле, образованном другими частицами, и в свою очередь участвует в создании поля для других частиц. Такая процедура упрощает задачу многих тел, ибо позво- ляет избежать явного рассмотрения сложных взаимодейст- вий между частицами и сводит задачу многих частиц к набо- ру задач о поведении одной частицы во внешнем поле. Эффективное поле, действующее на данную частицу, зависит от состояний окружающих ее частиц, т. е. оно может с определенной вероятностью принимать различные значения, в то время как в методе самосогласованного поля вводится среднее поле, а отклонения от среднего, флуктуа- ции, не учитываются. Однако вблизи температуры фазового перехода флук- туации сильно возрастают — из термодинамической теории От издательства флуктуации [2] следует, что рост флуктуации является прямым следствием упорядочения. Итак, анализ модели Изинга показал, что термодинами- ческая теория явлений упорядочения должна быть спра- ведлива там, где флуктуации еще малы, т. е. не слишком близко к температуре перехода. Естественно теперь поставить вопрос: каковы должны быть силы взаимодействия между частицами, чтобы их точ- ное (а не приближенное, как это было в случае модели Изинга) статистическое описание давало те же результаты, что и термодинамическая теория? Ответ на этот вопрос дает так называемая модель Каца, в которой силы парного взаимодействия между частицами имеют вид ф (г) = —y3e"vr, причем в конце расчета совер- шается предельный переход у —>- 0. Параметр y имеет смысл радиуса действия сил взаимодействия (расстояние, на котором силы уменьшаются в е раз), т. е. переход y —*- 0 означает переход к очень слабым, но имеющим бесконечный радиус действия силам притяжения. Для одномерного случая удалось точно решить задачу о поведении термоди- намических величин в модели Каца, и оказалось [3], что получаются те же результаты, которые дает теория само- согласованного поля. Это не удивительно, поскольку, как мы видели, теория самосогласованного поля пренебрегает тенденцией к упорядочению в соседних узлах решетки. Ясно, что чем больше радиус сил взаимодействия, т. е. чем больше число частиц, участвующих в создании поля, действующего на данную частицу, тем метод самосогласо- ванного поля точнее. Действительно, при этом сгг, равное, например, +1, не может сильно влиять на значение сг7- в соседнем узле, ибо' на Gj влияют и остальные (Z — 2) узла, где Z — число узлов в сфере взаимодействия. Результаты теории самосогласованного поля получают- ся и для короткодействующих сил, если формально счи- тать, что размерность пространства неограниченно воз- растает [4]. Это фактически эквивалентно переходу к даль- нодействующим силам, поскольку каждая частица взаи- модействует с большим числом других частиц, т. е. Z ~^> 1, я возникает такая же ситуация, как в модели Каца.
10 От издательства Две рассмотренные здесь микроскопические модели — Изинга и Каца — являются предельными по величине г0 — отношению радиуса действия сил притяжения к среднему расстоянию между частицами: для модели Изинга г0 = 1 (взаимодействуют лишь расположенные по соседству объек- ты), а в модели Каца г0 неограниченно велико. Для реаль- ных веществ, как правило, г0 порядка нескольких единиц, что соответствует промежуточному случаю: не слишком близко к температуре перехода Тк (| Т — ТУТ^ | > 1//-J, где, как показывают специальные расчеты, п = 6) поведе- ние системы должно описываться теорией самосогла- сованного поля, а в непосредственной близости к Т& ([ Т — Тк/Тк | < 1/rjj) выводы теории самосогласован- ного поля становятся несправедливыми. Следовательно, мы сейчас в принципе понимаем, каким образом характер .межмолекулярных сил определяет тер- модинамическое поведение веществ при фазовых переходах типа упорядочения, хотя, конечно, необходимы теоретиче- ские расчеты для трехмерных моделей, более адекватных действительности, чем идеализированные модели Изинга и Каца. Нужна также широкая экспериментальная провер- ка предельных законов поведения термодинамических вели- чин вблизи температуры перехода и выяснение универ- сальности этого поведения для различных веществ. Такой работой заняты многие исследователи (см., например, 15, 61). Большое распространение в последние годы получила так называемая теория масштабных преобразований (или теория подобия, или скэйлинг-теория), которая, не пре- тендуя на полное описание явлений упорядочения, позво- ляет установить связи между поведением различных тер- модинамических величин вблизи температуры фазового перехода. Предполагается, что детали взаимодействия на малых расстояниях могут влиять лишь на величину температуры перехода, которая сильно меняется от веще- ства к веществу и не может быть рассчитана в рамках теории подобия. В то же время поведение термодинамиче- ских величин вблизи температуры перехода обладает боль- шей степенью универсальности и целиком определяется большими масштабами, порядка так называемого радиуса корреляции, т. е. характерным расстоянием, на которое От издательства 11 распространяется связь между отклонениями термодинами- ческих величин от их средних значений. За эту связь ответ- ственно взаимодействие между частицами, но информация о состоянии объектов передается на большие расстояния — порядка радиуса корреляции — эстафетным образом от частицы к частице. Теория подобия изучает явления со столь большими характерными масштабами, что можно применять разработанные макроскопические методы иссле- дования. В теории подобия предполагается, что термодинамиче- ские величины степенным образом зависят от близости к точке перехода, т. е. для теплоемкости С, радиуса кор- реляций гс и других величин справедливы следующие асимптотические законы: С ~ т~а; гс — т"^; . . ., где т = (Т — Тъ)/Тк. Основной результат теории [7] состоит в установлении связи между так называемыми критиче- скими индексами <х, v, . . ., например vd = 2 — ос, где d — размерность пространства. Оказалось, что лишь два критических индекса остаются независимыми, а остальные выражаются через них. Кроме того, в теории естественно возникает равенство соответствующих критических индек- сов выше и ниже точки фазового перехода. Хотя основные результаты теории подобия получены различными способа- ми, остается известное сомнение в правильности ее исход- ных предпосылок, прежде всего предположения о наличии лишь одной характерной длины, а также чисто степенных законов изменения термодинамических величин, а не, скажем, сложных логарифмических типа In In т или (In т)*. В настоящее время экспериментаторы интенсивно про- веряют соотношения между критическими индексами, выте- кающие из теории подобия. В целом эксперимент подтвер- ждает выводы теории, остаются лишь некоторые сомнения в существовании симметрии критических индексов по обе стороны от точки перехода. Имеются, однако, серьезные трудности при интерпретации экспериментальных данных, связанные с неопределенностью температурного интервала, где должны выполняться асимптотические законы, а также со сложностью учета различных факторов (примеси, внеш- ние поля и т. д. [8]), искажающих истинные значения критических индексов.
12 От издательства Следует упомянуть о нескольких важных теоретиче- ских работах, выполненных в самое последнее время. Это прежде всего исследования Бакстера [9] по так называемой «восьмивершинной» модели. На языке двумерной модели Изинга это означает наличие двух подрешеток, причем наряду с указанными выше парными взаимодействиями внутри каждой подрешетки учитываются также четверные взаимодействия между подрешетками, т. е. в энергии системы появляются слагаемые типа А. 2 aiasakab где индексы i, j относятся к одной, a k, I — к другой подрешет- ке, при этом узлы i, /, k, I являются ближайшими соседями в кристаллической решетке. Основной результат состоит в том, что критические индексы непрерывно зависят от параметра взаимодействия А,, т. е. от энергии взаимодействия между частицами. Зави- симость индексов от А, такова, что в первом порядке по А, по-прежнему выполняются все соотношения теории подобия. Сама по себе зависимость критических индексов от сим- метрии системы, как и от ее размерности, была известна и раньше, однако модель Бакстера представляет собой первый, хотя и весьма специальный пример системы, в кото- рой учет четверных взаимодействий приводит к непрерыв- ной зависимости критических индексов от энергии взаимо- действия, что в каком-то смысле не соответствует духу «скэйлинга». Вильсон [10] рассмотрел обобщенную модель Изинга, когда переменная а принимает непрерывный ряд значений от —оо до +оо, а в энергии системы содержатся слагаемые, пропорциональные а4. С помощью специального метода Вильсон обобщил теорию масштабных преобразований, что позволило ему не только получить соотношения между критическими индексами, но и вычислить (для температур выше температуры перехода и в отсутствие внешнего поля) некоторые из индексов (например, v = 0, 61 в трехмер- ном случае). До сих пор критические индексы в трехмерной модели Изинга можно было рассчитать лишь на ЭВМ. В этом смысле работы Вильсона представляют собой суще- ственный шаг вперед на пути построения количественной теории фазовых переходов. За последнее время большое число исследователей вклю- чилось в изучение этой проблемы, что привело к увеличе- От издательства 13 нию числа публикаций, которые естественно нуждаются в обобщающих обзорах и монографиях. На русском языке в 1967—1968 гг. вышли две моногра- фии: Фишера [11], рассчитанная в основном на нетеорети- ков, и Браута [4], в которой с единой точки зрения изложе- ны методы самосогласованного поля в применении к фазо- вым переходам. Обе эти книги оказались весьма полезными как для молодых исследователей, так и. для читателей — неспециалистов в этой области. Строгий математический подход к проблеме фазовых переходов, интересующий в основном математиков и часть физиков-теоретиков, нашел отражение в книге Рюэля [12]. Недавно вышла в русском переводе интересная и содержательная монография Стен- ли [13], в которой, помимо содержащихся в книге [11] материалов, обобщены новые работы, выполненные в 1965— 1970 гг., в частности по теории подобия и динамическим явлениям вблизи точек фазовых переходов. Среди всей этой литературы предлагаемая вниманию читателя книга занимает особое место. Она составлена из четырех циклов лекций. Первые три из них были прочи- таны Ф. Дайсоном, Э. Монтроллом и М. Кацем в Летней школе по теоретической физике при Университете Брэн- диса в 1966 г. и дополнены авторами для английского изда- ния 1968 г. [14], четвертый цикл был прочитан М. Фише- ром в 1970 г. в Летней школе физиков им. Энрико Ферми, посвященной критическим явлениям [15]. Заслуженный авторитет авторов — крупнейших зарубежных ученых, известных не только своими работами по фазовым перехо- дам, но и первоклассными исследованиями в других обла- стях физики,— служит гарантией и высокого научного уровня лекций, и оригинального подхода к обсуждаемым проблемам. Ф. Дайсон рассматривает вопросы устойчивости систем положительно и отрицательно заряженных частиц, движе- ние которых описывается классической или квантовой ста- тистикой. Для изолированного атома, а также для заряда, находящегося в периодическом поле других зарядов, как известно, существуют строгие квантовомеханические тео- ремы, однако для произвольных систем частиц с кулонов- ским потенциалом взаимодействия Дайсон, по-видимому, впервые получил ряд строгих результатов, касающихся
14 От издательства существования нижних и верхних пределов для энергии системы. Трудно переоценить значение этих работ для решения важнейшей проблемы устойчивости реальных веществ, а также задач физики плазмы или, например, широко обсуждаемой в настоящее время проблемы метал- лического водорода. Дайсон и в дальнейшем интересовался вопросами устойчивости систем заряженных частиц; так, в работе [16] в связи с проблемой нейтронных звезд он рас- сматривает устойчивость кристаллической решетки, состоя- щей из двух сортов заряженных частиц. В лекциях Э. Монтролла весьма подробно изложено решение задачи для одно- и двумерной модели Изинга, причем расчет статистической суммы и корреляционных функций проводится с помощью статистики димеров. Автор, которому принадлежит несколько обзоров по модели Изинга, сумел преподнести весьма непростые вопросы в достаточно "ясной для читателя-нетеоретика форме. Исключительная важность точно решаемой модели Изинга делает интересным всякий новый метод решения, к тому же димеры находят применение при различных обобще- ниях модели решеточного газа. Теперь с публикацией лекций Монтролла на русском языке имеются доведенные до достаточно простого вида изложения трех основных методов решения двумерной задачи Изинга: комбинатор- ного [2], матричного [17] и димерного. М. Кац в своих лекциях установил, что, несмотря на указанное выше качественное различие сил взаимодействия и связанное с этим различное термодинамическое поведе- ние систем, описываемых моделями Изинга и Каца, матема- тическим механизмом фазового перехода в обоих случаях является асимптотическое вырождение максимального соб- ственного значения соответствующего линейного оператора. Указан общий вид потенциала взаимодействия, который в различных предельных случаях сводится к короткодейст- вующему потенциалу Изинга и к дальнодействующему потенциалу Каца. Интересно, что фазовый переход типа самосогласованного поля может возникать не только при у —*- 0, но и при конечных радиусах действия сил у1, если взаимодействие представляет собой бесконечную сум- му экспонент. Проведенный М. Кацем математический анализ появления сингулярностей у термодинамических 1 \ t От издательства 15 величин несомненно будет использован в дальнейшем при построении количественной теории фазовых переходов. Обзор М. Фишера, представляющий собой естественное продолжение монографии того же автора [11], содержит весьма современное, доведенное до 1971 г., изложение вопросов, связанных с появлением сингулярностей в точке фазового перехода. Все рассмотрение ведется на основе теории масштабных преобразований, причем сначала изла- гается сама теория в ее наиболее современном варианте («параметрический скэйлинг»), а затем дается приложение скэйлинга к капельной модели жидкости и к анализу влия- ния конечных размеров на фазовые переходы в реальных веществах. М. Фишер обращает особое внимание на те ограничения теории масштабных преобразований, которые могут привести к противоречию с экспериментом (чисто степенные законы для термодинамических величин, полная симметрия критических индексов для Т > Тк и Т < 7\), и исследует возможности преодоления этих ограничений. В обзоре содержится много результатов, принадлежащих автору и ранее не опубликованных; по всему тексту раз- бросаны его тонкие замечания. Все лекции, включенные в книгу, предназначаются для неспециалистов в области фазовых переходов, при этом изложение всюду ведется на современном уровне, без специальных упрощений и физической «очевидности». Готовя свои лекции к публикации, авторы сохранили их специфически лекционный стиль, который по необходи- мости выдержан и при подготовке русского перевода. ЛИТЕРАТУРА 1. Onsager L., Phys. Rev., 65, 117 A944). 2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, изд-во «Наука», М., 1964. 3. Кае М., Uhlenbeck G. E., Hemmer P. С, Journ. Math. Phys., 4, 216, 229 A963); 5, 60 A964). (Имеется перевод в приложении к книге: Кац М., Вероятность и смежные вопросы в физике, изд-во «Мир», 1965.) 4. Брауш Р.,~ Фазовые переходы, изд-во «Мир», 1967. 5. Kadanoff L. P., et at.. Rev. Mod. Phys., 39, 615 A967). 6. Ber. Bunsenges. Phys. Chem., 76, № 3—4 A972). 7. Паташинский A. 3., Покровский В. Л., ЖЭТФ, 50, 439 A966); Kadanoff L. P., Physics, 2, 263 A966). 8. Heller P., Progr. Rep. Phys., 30, 615 A967).
16 От издательства 9. Baxter P. J., Phys. Rev. Let., 26, 832 A971); Ann. Phys. (New- York), 70, 193 A972). 10. Wilson K- G., Phys. Rev., B4, 3174, 3184 A971). 11. Фишер М., Природа критического состояния, изд-во «Мир», 1968. 12. Рюэль Д., Статистическая механика. Строгие результаты, изд- во «Мир», 1971. 13. Стенли Г., Фазовые переходы и критические явления, изд-во «Мир», 1973. 14. Statistical, Phys. Phase Transitions and Superfluidity, ed. M. Chretiln et. al., Gordon and Breach Science Publishers, Vol. 1, 2, New York, 1968. 15. Fisher M. ?., The Theory of Critical Point Singularities, в кни- ге: 1970 Enrico Fermi Summer School of «Critical Phenomena», Villa Monastero, Varenna sub Lago di Como, Italy. 16. Dyson F. J., Ann. Phys. (New York), 63, 1 A971). 17. Хуанг К-> Статистическая механика, изд-во «Мир», 1966. Ф. Дайсон Устойчивость вещества 1. Введение Эти лекции представляют собой подробное изложение работы, выполненной автором совместно с Эндрю Ленар- дом. Нам удалось решить весьма важную задачу: доказать устойчивость простых веществ. Ниже будет дано точное определение понятия устойчивости. Прежде чем перейти к математике, я хотел бы извиниться за изложение неокон- ченной работы. Имеющееся сейчас доказательство устой- чивости чрезвычайно длинно, сложно и некрасиво. Должен существовать лучший метод доказательства, и я надеюсь, что у кого-нибудь из слушателей появятся идеи более короткого и изящного доказательства. В ходе лекции будут сформулированы и предложены слушателям для решения некоторые математические задачи. Однако решение этих задач не приведет к реальному улучшению доказательства устойчивости вещества. Необходимо, чтобы кто-нибудь рассмотрел всю проблему в целом с иной, новой точки зрения. 2. История вопроса Рассматриваемая проблема имеет очень короткую исто- рию. Наш интерес к ней был стимулирован недавней статьей Фишера и Рюэля [1]. Проблема устойчивости вещества была в центре внимания физиков в течение 1908—1925 гг., после того как Резерфорд открыл, что атомы состоят из положительных и отрицательных зарядов, взаимодейст- вующих по закону Кулона, но до построения волновой механики. Квантовая теория оказалась тесно связанной с проблемой устойчивости. Планк в 1900 г. ввел понятие кванта энергии, чтобы избежать так называемой ультра- 2—0826
16 От издательства 9. Baxter P. J., Phys. Rev. Let., 26, 832 A971); Ann. Phys. (New York), 70, 193 A972). 10. Wilson K- G., Phys. Rev., B4, 3174, 3184 A971). 11. Фишер М., Природа критического состояния, изд-во «Мир», 1968. 12. Рюэль Д., Статистическая механика. Строгие результаты, изд- во «Мир», 1971. 13. Стенли Г., Фазовые переходы и критические явления, изд-во «Мир», 1973. 14. Statistical, Phys. Phase Transitions and Superfluidity, ed. M. Chretiln et. al., Gordon and Breach Science Publishers, Vol. 1, 2, New York, 1968. 15. Fisher M. E., The Theory of Critical Point Singularities, в кни- ге: 1970 Enrico Fermi Summer School of «Critical Phenomena», Villa Monastero, Varenna sub Lago di Como, Italy. 16. Dyson F. J., Ann. Phys. (New York), 63, 1 A971). 17. Хуанг К-, Статистическая механика, изд-во «Мир», 1966. ф. Дайсон Устойчивость вещества 1. Введение Эти лекции представляют собой подробное изложение работы, выполненной автором совместно с Эндрю Ленар- дом. Нам удалось решить весьма важную задачу: доказать устойчивость простых веществ. Ниже будет дано точное определение понятия устойчивости. Прежде чем перейти к математике, я хотел бы извиниться за изложение неокон- ченной работы. Имеющееся сейчас доказательство устой- чивости чрезвычайно длинно, сложно и некрасиво. Должен существовать лучший метод доказательства, и я надеюсь, что у кого-нибудь из слушателей появятся идеи более короткого и изящного доказательства. В ходе лекции будут сформулированы и предложены слушателям для решения некоторые математические задачи. Однако решение этих задач не приведет к реальному улучшению доказательства устойчивости вещества. Необходимо, чтобы кто-нибудь рассмотрел всю проблему в целом с иной, новой точки зрения. 2. История вопроса Рассматриваемая проблема имеет очень короткую исто- рию. Наш интерес к ней был стимулирован недавней статьей Фишера и Рюзля [1]. Проблема устойчивости вещества была в центре внимания физиков в течение 1908—1925 гг., после того как Резерфорд открыл, что атомы состоят из положительных и отрицательных зарядов, взаимодейст- вующих по закону Кулона, но до построения волновой механики. Квантовая теория оказалась тесно связанной с проблемой устойчивости. Планк в 1900 г. ввел понятие кванта энергии, чтобы избежать так называемой ультра- 2—0826
18 Ф. Дайсон фиолетовой катастрофы, т. е. непрерывной перекачки энер- гии вещества в поле классического излучения. В 1915 г. Бор выдвинул идею о квантовании электронных орбит и тем самым объяснил, почему электрон в атоме водорода не падает на ядро. Оба этих предположения представляют собой два аспекта одной и той же проблемы устойчивости системы положительно и отрицательно заряженных ча- стиц. Волновая механика в 1925 г. дала полное и законченное решение задачи об устойчивости изолированного атома. Из волновой механики непосредственно следует, что систе- ма, состоящая из точечного ядра с зарядом Ze и окружаю- щих его Z электронов с зарядом (—е), не может обладать энергией связи, большей чем Z3Ry, где Ry = me4/Bft3). Итак, в 1925 г. физики облегченно вздохнули и сочли про- блему устойчивости решенной. В действительности устойчивость была доказана только для изолированного атома. Реальное вещество состоит из большого числа положительно и отрицательно заряжен- ных частиц, взаимодействующих по закону Кулона. Дейст- вие кулоновских сил приводит к весьма тонким и во многих случаях коллективным эффектам. Кулоновским взаимо- действием обусловлены, например, химические связи, метал- лическая когезия, вандерваальсовские взаимодействия, сверхпроводимость, сверхтекучесть (и, возможно, некото- рые биологические явления). Поэтому вопрос об устойчи- вости макроскопических количеств вещества отнюдь не прост. Необходимо еще выяснить, почему для таких тонких эффектов, как химическая связь или когезия, характерно свойство насыщения, обусловливающее конечное значение энергии связи на атом. Очевидно, что некулоновское .взаимодействие не влияет на устойчивость вещества. Некулоновские силы (ядерные силы, магнитные дипольные взаимодействия, эффекты запаздывания и радиационные поправки), как известно, вносят очень малый вклад в энергию связи реальных атомов и молекул. Релятивистские эффекты также сравнительно малы. Поэтому в качестве модели «вещества» мы примем совокупность положительно и отрицательно заряженных точечных частиц с чисто кулоновским взаимодействием, подчиняющихся законам нерелятивистской квантовой меха- Устойчивость вещества 19 ники. Если нам удастся математически показать, почему такое «вещество» устойчиво, то мы сумеем также объяснить устойчивость реального вещества. Перейдем теперь к математической формулировке поня- тия устойчивости. Утверждение 1. Пусть N точечных зарядов е$, / = = 1, 2, . . ., N, с массами mj расположены в точках с коор- динатами Г;, а Е — наинизшее собственное значение опе- ратора "" I-SttStt B-1) полной энергии системы. Тогда, если все массы и заряды ограничены, т. е. / = 1, 2, . . ., N, B.2) то те* J m, \ ej \^е Е> -ANRy, B.3) причем константа А не зависит от N. В этих лекциях буква А повсюду будет использоваться для обозначения постоянной величины, но ее значения в разных случаях, вообще говоря, различны. Фишер и Рюэль первыми сформулировали утверждение 1 и поставили вопрос о его правильности. Осторожность заставила их добавить к утверждению 1: «возможно, при условии, что либо положительно, либо отрицательно заря- женные частицы описываются статистикой Ферми». Энергия основного состояния Е гамильтониана B.1) должна иметь вид E^—F (N) Ry, B.4) так как Ry — единственная величина размерности энергии, которая может быть построена из констант е, /п и ft. Задача состоит в определении вида функции F (N). Фишер и Рюэль занимались строгим математическим обоснованием стати- стической механики. По самому смыслу статистической механики необходимо, чтобы такие термодинамические величины, как энергия и энтропия, были экстенсивными 2*
20 Ф. Дайсон величинами, т. е. энтропия и энергия большой системы асимптотически должны быть пропорциональны числу частиц в этой системе. Таким образом, линейная зависимость F (N) = AN B.5) является необходимым условием справедливости статисти- ческой механики. Остается выяснить, является ли это условие также достаточным. Мы предполагаем, что обосно- вание статистической механики, проведенное Рюэлем и Фишером для короткодействующих сил взаимодействия, может быть распространено также на случай кулоновских систем, если для энергии основного состояния справедливо линейное ограничение B.3). Доказательство этого пред- положения — важная и весьма трудная задача (см. [2]). 3. Обзор результатов Вернемся к утверждению 1. Наш первый существенный результат состоит в том, что утверждение 1 в приведенной выше формулировке неверно. Теорема 1. Рассмотрим N частиц, масса которых оди- накова {см. утверждение 1), и пусть одна половина из этих частиц имеет заряд (+е), а другая (—ё). Если эти частицы не подчиняются какому-либо правилу запрета, энергия основного состояния удовлетворяет неравенству —AN7'* Ry. C.1) С другой стороны, мы выяснили, что утверждение 1 справедливо для частиц, подчиняющихся некоторому пра- вилу запрета. Что касается реальных веществ, то правило запрета должно распространяться отнюдь не на любую пару частиц, а лишь на частицы одного типа, находящиеся в одинаковом спиновом состоянии. Например, атому водо- рода соответствуют четыре эффективно различных типа частиц, так как протон и электрон имеют по 2 спиновых состояния. Хотя мы и пренебрегаем спин-спиновым диполь- ным-взаимодействием, приходится учитывать влияние спи- на частиц на их статистику. Поэтому основная теорема для системы ферми-частиц гласит: Устойчивость вещества 21 Теорема 2. Если N частиц, рассматриваемых в утвержде- нии 1, подразделяются на q различных классов, причем частицы каждого класса подчиняются правилу запрета, то энергия основного состояния системы удовлетворяет неравенству Е > —Aq2^NRy, C.2) где А не зависит от q и N. Интересно, что теорема 2 приводит к весьма нетривиаль- ному результату в случае q = N, когда правило запрета не имеет смысла. В этом частном случае теорема 2 форму- лируется так. Теорема 3. При выполнении тех же условий, что и в утверждении 1, и в отсутствие какого-либо правила запрета справедливо неравенство Е > —AN5 !*Ry. {3.3) Для системы кулоновских частиц, не подчиняющихся правилу запрета, предельные значения энергии основного состояния, определяемые теоремами 1 и 3, оказываются различными. Мы предполагаем, что теорема 1 дает пра- вильный порядок величины энергии основного состояния, так что степень б/3 в теореме 3 следует заменить на 7/5. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен при доказа- тельстве теорем 1 и 3. Теорема 2, если рассматривать ее как теорему, опреде- ляющую устойчивость вещества, обладает двумя сущест- венными недостатками. Во-первых, не следует требовать, чтобы положительные частицы подчинялись принципу запрета; гелий не менее устойчив, чем водород,— очевидно, статистика ядер не имеет отношения к вопросу об устой- чивости вещества. Во-вторых, экспериментально установ- лено, что при любых типах химической связи или когезии энергия основного состояния определяется постоянной Ридберга [см. B.3)], где в качестве т фигурирует масса электрона, а не ядра. В формулировке теоремы 2 в соот- ветствии с C.2) под т подразумевается масса ядра, т. е. неравенство C.2) ослаблено по крайней мере в 2000 раз. Эти два дефекта устраняются в нашей последней теореме.
22 Ф. Дайсон Теорема 4. Пусть все N частиц, рассматриваемых в утверждении 1, имеют конечные заряды \ ej | ^ е, но толь- ко отрицательно заряженным частицам соответствуют ограниченные массы mj ^ т. Пусть отрицательные заряды подразделяются на q классов, для каждого из которых выпол- няется правило запрета, а положительные заряды могут описываться любой статистикой. При этих условиях энергия основного состояния системы удовлетворяет нера- венству Е > —Aq2^NRy. C.4) Доказательство справедливости теоремы 4 намного сложнее и длиннее, чем теоремы 2. Поэтому мы докажем теорему 2 независимо, хотя она и является лишь частным случаем теоремы 4. Теорема 4 отвечает на основные вопросы, касающиеся устойчивости вещества. Мы предполагаем, что верно и более слабое неравенство, чем C.4), а именно сформулированное в предположении 1. Предположение 1. При тех же условиях, при которых справедлива теорема 4, справедливо и неравенство Е > — Aq2^NRy. C.5) Из теоремы 1 следует, что C.5)— самое слабое неравен- ство. Позднее мы увидим, что с помощью методов, исполь- зованных в этих лекциях, нельзя сделать обоснованный выбор между неравенствами C.4) и C.5), незначительно отличающимися друг от друга. 4. Лемма Онсагера Приступим к последовательному доказательству наших теорем. Мы начнем с теоремы 1, затем докажем теорему 3, потом перейдем к более трудной теореме 2 и, наконец, докажем самую сложную теорему 4. В дальнейшем мы не раз будем делать отступления для обсуждения некоторых сложных проблем и вспомогатель- ных теорем, доказать которые легче, чем наши основные теоремы. Первая лемма задает общий стиль всей нашей работы. Это — лемма Онсагера 13]. Устойчивость вещества 23 -Лемма 1 (Онсагер). Пусть R}- = min | rt — л,- I опреде- ляет расстояние между зарядом ej, находящимся в точке Гу, и его ближайшим соседом из совокупности N зарядов ег-, расположенных в точках лг- (i = 1, . . ., N). Тогда N \ri-i ei D.1) Это утверждение справедливо в классической электро- статике (без квантовомеханического рассмотрения). Оно отражает существенное свойство кулоновского потенциала, с которым связана устойчивость. Это свойство заключается в том, что взаимодействие каждого заряда с остальными (N — 1) зарядами может быть заменено взаимодействием с его ближайшим соседом. Появляется такая экранировка зарядов, благодаря которой можно пренебречь взаимодей- ствием неближайших соседей. Доказательство леммы 1. Опишем вокруг каждой точ- ки г} сферу с центром в точке г,- и радиусом at = Rj/2. Предположим, что заряд е,- изъят из точки rj и равномер- но «размазан» по поверхности соответствующей сферы. Поскольку сферы не пересекаются, то Щ + а, гг- — г. D.2) Энергия кулоновского взаимодействия точечных зарядов равна энергии взаимодействия между N, размазанными по «своим» сферам зарядами. С другой стороны, полная элек- тростатическая энергия системы зарядов, распределенных по своим сферам, равна „2 g2 Б^- D-3) так как е|/Bа^) — собственная энергия заряда, распреде- ленного по сфере с центром г,-. Полная энергия должна
24 Ф. Дайсон быть положительной: D.4) что и доказывает лемму. 5. Фон компенсирующих зарядов В одних случаях удобно рассматривать систему, состоя- щую из положительных и отрицательных зарядов, а в дру- гих — удобнее исходить из системы зарядов одного знака на фоне компенсирующего заряда другого знака. Мы сейчас докажем лемму, которая устанавливает связь между усло- виями устойчивости таких двух систем. Рассмотрим гамильтониан системы N положительных зарядов еу. E.1) 2тj гз- Пусть р (г) — плотность произвольно распределенных компенсирующих зарядов, а V (г) — создаваемый ими потенциал: Обозначим через Е+ (V) энергию основного состояния гамильтониана Н+ (V) = Н+ + 2 eJV (О) + y j V (г) р (г) d*r E.3) з системы N зарядов ej, находящихся в поле заряда р (г). Пусть Н- — гамильтониан системы N отрицательных зарядов (—е}), имеющих те же массы и подчиняющихся той же статистике, что и положительные заряды: а Н± — энергия взаимодействия между положительными и отрицательными зарядами: г- E-5) Устойчивость вещества 25 Пусть Ем ~~ энергия основного состояния гамильто- ниана НМ = Н+ + Я, + Н±, E.6) описывающего систему 2N зарядов. Лемма 2. Если входящие е Н+ (V) положительные заря- ды описываются той же статистикой (Ферми, Бозе или часть—Бозе, а часть—Ферми), что положительные и отрицательные заряды, энергии которых входят в Нм независимым образом, то для любого потенциала V (г) ¦ м 2Е+ (V). E.7) Доказательство леммы 2. Пусть Ч*" (rlt . . ., гN) — соб- ственная функция, соответствующая основному состоянию гамильтониана Н+ (V) И удовлетворяющая требованиям статистики рассматриваемой системы частиц. Тогда Е+ <У) = } dr,... dr N о(г') + 4-РС-') где a{r) = j. . . i ¦¦¦drN. E.9) Здесь а (г) — соответствующая состоянию ~*? средняя плот- ность заряда в точке для системы из N зарядов. Выберем пробную волновую функцию для системы, состоящей из положительных и отрицательных зарядов, описываемой гамильтонианом Нм, в виде (slf . . ., sN), E.10) т. е. предположим, что положительные и отрицательные заряды не коррелируют и описываются одинаковой волно-
26 Ф- Дайсон вой функцией "?. Тогда с помощью вариационного прин- ципа Рзлея — Ритца получаем для оценки сверху Ем<(Ф, НМФ) = 2 (Т, Я+Т) + (Ф, #±Ф) = Sl . . . ds N (rt, . . ., r (st, . . ., s N) x Таким образом, учитывая E.8), находим Еи - 2Е+ . E.12) Интеграл в E.12) представляет собой электростатиче- скую собственную энергию заряда, распределенного с плот- ностью (о + р), т. е. величину существенно положитель- ную, что и доказывает утверждение E.7). Заметим, что минимальное значение функции Е+ (V) достигается при Р (г) — —сг (г), когда плотность компенсирующего заряда р в точности нейтрализует среднюю плотность о системы зарядов. Лемма 2 очень полезна в обоих интересующих нас слу- чаях. Сначала рассмотрим систему положительных и отри- цательных зарядов, не подчиняющихся правилу запрета, и докажем теорему 1 о неустойчивости такой системы. Используя лемму 2, можно доказать теорему 5. Теорема 5. Пусть система N частиц, имеющих одина- ковые положительные заряды е и массы т, находится е ком- пенсирующем поле V (г) и описывается гамильтонианом E.3). Если частицы не подчиняются никакому правилу запрета, то можно выбрать поле V (г) так, чтобы энергия основного состояния системы Е+ (V) удовлетворяла условию E+{V)<-ANVsRy. E.13) Теорему 5 легче доказывать, чем теорему 1, поскольку проще иметь дело с волновой функцией основного состоя- ния для системы зарядов одного знака, а не для системы, состоящей из положительных и отрицательных зарядов. Устойчивость вещества 27 Наоборот, в случае системы-.частиц, подчиняющихся правилу запрета, удобнее доказывать устойчивость (см. теорему 2) для системы, состоящей из зарядов обоих знаков. С помощью леммы 2 мы сумеем доказать теорему 2 для слу- чая системы фермиевских частиц одного знака на фоне компенсирующего заряда, т. е. доказать следующую тео- рему: Теорема 6. Пусть N частиц, заряды которых еу- поло- жительны и удовлетворяют условию B.2), подразделяются на q, классов, причем частицы каждого класса подчиняются правилу запрета. Пусть влияние произвольного потенциаль- ного поля V (г) на частицы описывается гамильтонианом E.3). Тогда энергия основного состояния системы удовлетво- ряет неравенству Е+ (V) > — Aq2^NRy. E.14) Удивительно, что теорема 6 так легко следует из тео- ремы 2, в то время как похожая по внешнему виду теоре- ма 4 оказывается гораздо более сложной. На первый взгляд кажется, что теорема 4 является всего лишь частным слу- чаем теоремы 6, когда компенсирующий потенциал создает- ся совокупностью фиксированных точечных зарядов (в фор- мулировке теоремы 4 ничего не изменится, если устремить массы положительных зарядов к бесконечности и рассмат- ривать их как фиксированные классические заряды). Имеется, однако, разница между теоремами 4 и 6. В теоре- ме 6 полная собственная энергия компенсирующего заряда включена в гамильтониан, в то время как в теореме 4 соб- ственная энергия отдельных точечных зарядов не учиты- вается. Это, казалось бы, малосущественное отличие являет- ся причиной всех трудностей при доказательстве теоремы 4. 6. Эвристическое доказательство теорем 1 и 5 Прежде чем перейти к строгому доказательству, полезно дать эвристический вывод теоремы 5, позволяющий понять физический смысл множителя N7^ в выражении для энер- гии. Мы уже видели, что доказательство теоремы 5 является одновременно доказательством теоремы 1. Не претендуя на строгое описание, можно предполо- жить, что система N положительных зарядов, находящих-
28 Ф. Дайсон ся в компенсирующем поле V (г), образует волновой пакет, линейный размер которого Л, а плотность р, т. е. JV = pA3, F.1) где опущен численный множитель типа 4л/3. Волновая функция будет повсюду гладкой, за исключе- нием области короткодействующих корреляций, обуслов- ленных кулоновским отталкиванием и характеризуемых некоторой корреляционной длиной X. Таким образом, вокруг каждого положительного заряда образуется облако индуцированных отрицательных зарядов, содержащее при- близительно v = рХ3 F.2) частиц. Плотность зарядов в этом облаке оказывается меньше, чем р, а именно р [1 — A/v)]. Оценим теперь полную энергию системы Е = ЕР + Е кь + Е к. F.3) Кулоновская собственная энергия средней плотности заря- дов в точности компенсируется потенциалом компенсирую- щего фона. Остается лишь энергия кулоновского взаимо- действия Ер= j^-. F.4) обусловленная притяжением между каждым зарядом и окружающим его облаком. Локальная кинетическая энергия ЕKL является кинетической энергией, необходимой для образования облака зарядов. Каждое облако существует за счет корреляции v частиц, приводящей к тому, что волновые функции я|) этих частиц в пределах' корреляционной длины X заменяются на 11 — A/v)]1/2^. Необходимая для этого кинетическая энер- гия равна 2 .. ». , , ,2 ..», , Д,,, F5) «Корреляционная энергия» системы Ес состоит из двух частей: --*х F.6) Устойчивость вещества Для заданных N и р радиус локальных корреляций X определяется минимизацией энергии Ес, что дает a \V« й2 где а —«боровский радиус». Подставляя F.7) в F.6), полу- чаем Ес = —xNRy, х = (pa3I/!. F.8) Величина х является безразмерной плотностью систе- мы. Из F.8) видно, что при р ->- оо величина {EJN) стре- мится к (—оо), а это указывает на неустойчивость системы относительно локальной конденсации. Последнее слагаемое Ек в F.3) представляет собой полную кинетическую энергию, необходимую для обра- зования волнового пакета размером Л, т. е. -1 — Nj3x'3Ry. F-9) Итак, полная энергия равна Е = Ес + Ек = (—Nx + №l*x*l») Ry, F.10) а характерная длина Л определяется из условия минимума энергии Е. Минимизация дает х = N2^, E = —N7^Ry, F.11) что и доказывает тоеремы 5 и 1. Интересно сравнить этот результат для системы с чисто кулоновским взаимодействием т^ттг F-12) с результатом, который получается при учете взаимодей- ствия лишь между ближайшими соседями F.13) i Взаимодействия типа F.13) фигурируют в лемме Онса- гера. Допустим, что существует система фиктивных заря- дов, взаимодействующих по закону F.13). Хорошим при- ближением для описания основного состояния этой системы
30 Ф. Дайсон является волновой пакет размером Л, в котором заряды движутся независимо, не коррелируя друг с другом. Сред- нее значение R} по порядку величины равно R} ~ p-Vs = х~*'*а. F.14) Тогда полная энергия равна . F.15) Это выражение отличается от F.10) только тем, что корреляционная энергия, пропорциональная х ¦— р1/4, заменена энергией взаимодействия ближайших соседей, пропорциональной х4/3 — р1^. После минимизации F.15) получаем для энергии основного состояния x = N1'*, Е = — 7V3/3Ry. F.16) Это точно соответствует теореме 3, которая доказывает- ся строго. Из этих рассуждений вытекает следующее замечание. Замечание. До тех пор пока мы будем исходить из взаимодействия между ближайшими соседями F.13) вместо учета реального кулоноеского взаимодействия, максимумом того, что можно извлечь из нашего анализа, является дока- зательство теорем 2—4. В частности, нет надежды на доказательство предпо- ложения 1, основываясь на учете взаимодействия между ближайшими соседями. 7. Доказательство теорем 1 и 5. Верхние пределы для энергии основного состояния Теоремы 1 и 5, дающие верхние пределы для энергии основного состояния, могут быть доказаны с помощью вариационного метода. Мы должны лишь найти такую пробную волновую функцию Ф, для которой математиче- ское ожидание гамильтониана меньше чем (—AN^^'Ry). Не останавливаясь на деталях вычислений, изложим общую схему доказательства. Теоремы о существовании низшего предела представляют большой интерес и будут здесь рассмотрены с помощью новых методов. Устойчивость вещества 31 Для построения пробной волновой функции при доказа- тельстве теоремы 5 можно воспользоваться результатами теории возмущений. Теория возмущений для кулоновского газа бозе-частиц при высоких плотностях рассматривалась многими авторами [4]. Все эти работы основаны на работе Боголюбова [5]. Боголюбов построил общую теорию бозе-конденсации газа взаимодействующих частиц при низких температурах, а Фолди применил эту теорию к случаю кулоновского взаи- модействия. Расчет Фолди относится к основному состоянию беско- нечного бозе-газа с однородной плотностью р. Теория воз- мущений строится по степеням х~х, где х — (ра3)г/* — параметр, введенный в F.8). Таким образом, приближение Фолди тем точнее, чем выше плотность. Физический смысл теорем 1 и 5 выражается следующей леммой. Лемма 3. Пусть N положительных бозе-частиц с заря- дами е и массами т находятся в кубическом ящике размером L с периодическими граничными условиями, и пусть имеется компенсирующий однородный фон отрицательных зарядов. Тогда энергия основного состояния системы удовлетворяет неравенству - " Е <с (—А± (p«3)V4 + A2) NRy, G.1) где p^A/L-з, а = -^, Ry=-f^- G.2) Доказательство леммы 3. Мы не будем излагать детали доказательства; приведем лишь расчет Фолди, основанный на теории возмущений, и покажем, как из него можно получить точный верхний предел. Используя представление бозонов в виде плоских волн, запишем гамильтониан системы в импульсном представле- нии: H = H0 + W, G.3) ^=222 G.5)
32 Ф. Дайсон где аи, at — операторы исчезновения и рождения бозонов с импульсом k, а суммирование проводится по векторам k, I, q обратной решетки с периодом 2nL~x. Множитель 1/<72 возник в результате фурье-преобразования кулонов- ского потенциала. Наиболее важным местом в теории Боголюбова, на основе которой Бардиным, Купером и Шриффером (БКШ) была построена теория сверхпроводимости, является пред- положение о том, что при высоких плотностях (х ^> 1) почти все частицы сконденсируются в состоянии с k = 0. Предполагается, что в нулевом порядке теории возму- щений № G.6) NV2 для k Ф 0. G.7) Поэтому из оператора W можно выделить слагаемые порядка N : П[ 2 (a%a* + <*+a*_qa-q). G.8) at = ao = at, ah В гамильтониане нет слагаемых, пропорциональных N2 или jV3/2. Таким образом, главными слагаемыми в гамиль- тониане (приближение БКШ) являются Hi = #о + Wo = 2' [Ye (aqaq-\-atga_q) + $q {ag*a%-\- a-qaq)\, G-9) где суммирование по векторам обратной решетки идет до величины q/2, причем каждая пара (q, —q) учитывается только один раз, а о 4яе2р h2q2 г, /т 1 а\ Pg = -^—> Y7 = ^T + Pg- G.10) Боголюбов заметил, что гамильтониан Нг можно диаго- нализировать с помощью набора бозевских операторов bq, Щ: в. G.П) v , G.12) G.13) Ь%. G.14) Устойчивость вещества 33 В G.11) — G.14) использованы обозначения G.15) а угол ф3 определяется условием «Радиус экранирования» % равен " \ 8лтре2 ) \ 8яр G.17) что согласуется с величиной F.7), найденной из эвристи- ческих соображений. Из выражений G.13) и G.14) после простых алгебраических преобразований получаем а%аа ch <pe F — sh =2 (Ye - tqJr b-qbq) — ch qpg — 1, G.18) qj—shq>q, G.19) Величины ф9 G.16) выбираются в таком виде, чтобы из выражения G.9) при подстановке G.18) и G.19) выпали слагаемые (bqbt,q-\- b-qbq). Гамильтониан Я1? выраженный через операторы bq, записывается в форме #!¦= 2' (Yl —Р1I/3 (b*qbq + btqb_q+ 1 -с 2 G.20) Этот гамильтониан описывает газ невзаимодействующих квазичастиц (плазмонов), каждая из которых представляет собой комбинацию бозона с импульсом q, и «дырки» с им- пульсом (—q). Основное состояние XF оператора Н± соот- 3—0826
34 Ф. Дайсон ветствует полному отсутствию плазмонов bqW = 0 для всех q =f= 0. G.21) Введя унитарный оператор а*а* I G 22^ можно переписать преобразования G.11) — G.14), связы- вающие операторы aq и bq, в следующем виде: b*_q = SatqS-K G.23) Тогда собственная функция W оператора Hlt соответ- ствующая основному состоянию системы, равна W = 5Ф, G.24) где Ф — собственная функция основного состояния гамиль- тониана И о системы невзаимодействующих бозонов. Из определения оператора 5 видно, что W представляет собой когерентную суперпозицию возбуждений — пар бозонов с равными и противоположно направленными импульсами [(q) и (—q)]. Эти пары бозонов математически эквивалентны «куперовским парам» в теории сверхпроводимости БКШ. Уравнения G.24), G.22), G.17) и G.16) полностью определяют пробную волновую функцию W. Слушатели могут сами убедиться в том, что эта функция соответствует качественному описанию функции, введенной при эври- стическом выводе теоремы 5. Возвращаясь к G.20), получаем для энергии основного состояния гамильтониана Н± i-^ + 2I/2] • G.25) Фолди рассчитал Е± в предельном случае L —>¦ оо при условии, что плотность остается постоянной. При этом суммирование по q можно заменить интегрированием по г, что дает Ei = — -|- (8лра3I/4 JN Ry, G.26) G.27) Устойчивость вещества 35 Последнее равенство получено очень наблюдательным анонимным референтом статьи Стефана в Лондонском физическом обществе. Уравнение G.26) представляет собой основной результат Фолди. До сих пор мы пользовались методами теории возмуще- ний. Нетрудно, однако, получить и точное выражение для верхнего предела. Энергия Е основного состояния гамиль- тониана Н, полученная с помощью вариационного метода, удовлетворяет условию Е < Ei + OF, (W — Wo) 4f). G.28) Значения G.26) величина Et достигает лишь в пределе L —>¦ оо, но граничное значение Ei < —A (pa3L*N Ry, G.29) где А —малый коэффициент, может быть получено из G.25) также и для конечного L. Для оценки выражения (W, (W — Wo) Y) используем определения G.13) и G.14) и выразим W и Wo через опера- торы bq и bq. Тогда (W — Wo) будет представлять собой полином четвертого порядка по bq и ch+qbt+g) х X ( — Sl-qb-l+q+Ci-qbf-q) (Chbh — Sft&tft) (cfil — SZ6*l). G.30) Но благодаря G.21) в выражении для математического ожидания останутся лишь слагаемые, для которых & + /=0 или q = t—k. G.31) Следовательно, ^ . G.32) Положив k—Xy, k~\-q = 'kz и учтя определение G.15), найдем, что в пределе L-э-оо G.32) сводится к (W, (W — X G.33) 3*
Ф. Да'йсон Это выражение не зависит от плотности р, и поэтому в слу- чае высокой плотности оно оказывается меньше Et. Плохо лишь то, что коэффициент / логарифмически расходится при у = 2 = 0. Однако эту расходимость можно устранить тривиальным образом. Выберем некоторое положительное 6 и определим Ф9 выражением G.16) только для в, G.34) тогда как для Я | q | <; 6 положим срд = 0, т. е. bq = aq. Следовательно, преобразование Боголюбова применяется только для импульсов, больших чем F/1). Тогда для энергии Еи соответствующей состоянию W оператора Ни получается то же выражение G.26), что и раньше, но инте- грал / будет «обрезан» при z == 6. При этом снова спра- ведливо неравенство G.29), но коэффициент А теперь зави- сит от 6. Точно так же остаются справедливыми выраже- ния G.32) и G.33), однако в. интеграле / появляются ниж- ние пределы: у = 6, z == 6. «Обрезанный» интеграл / является конечным. Следовательно, из G.28) получаем Е < N Ry [—Ai (pa3I/* + А2), G.35) что и доказывает лемму 3. Заметим, что наша пробная волновая функция 4я не соответствует состоянию с определенным числом частиц N, поскольку при боголюбовских преобразованиях число частиц не сохраняется. Но так как полный гамильтониан Н записан для определенного числа частиц, применимость неравенства G.35) к состоянию 4я означает, что G.35) справедливо также для той компоненты 4я, которая одно- временно является собственной функцией оператора числа частиц N. Для наших целей этого достаточно. Остается завершить доказательство теоремы 5, исполь- зуя лемму 3. Мы не будем приводить подробности этого вывода. Ясно, что можно в духе проделанного выше эври- стического доказательства построить волновой пакет из N частиц с плотностью р, определяемой условием G 36) в соответствии с F.11). Затем мы должны показать, что неравенство G.35) справедливо не только для частиц, Устойчивость вещества 37 находящихся в периодическом ящике, но и для частиц, образующих волновой пакет. Нам пока не удалось дока- зать это просто, без утомительных вычислений. Дополнительное замечание. Один из слушателей заме- тил, что при расчете выражения Dя, (W — Wo) 4я) я опу- стил слагаемое в (а*а0 — N), которое оставалось при замене (а*а0) на N при переходе от W к Wo. Однако это слагаемое тождественно обращается в нуль, поскольку 4я = S<t>, оператор 5 коммутирует с (а*а0), а Ф является собственной функцией оператора (ala0) с собственным значением N. В то же время обсуждение с Гроссом и дру- гими убедило меня в существовании более простого и ясного доказательства теоремы 5 (см. также [6]). 8. Предварительные замечания к доказательству теоремы 3 Прежде чем доказывать теорему 3, получим несколько интересных выводов., исходя из очень простых сообра- жений. Теорема 7 (Рюэль — Фишер). При выполнении условий, сформулированных в теореме 3, справедливо неравенство ?>-^-7V3Ry. (8.1) Доказательство теоремы 7. Гамильтониан B.1) можно переписать в виде „ у Г Pi | Pi L_Iff?_l /я о\ п ~Zj L 2{Ы—\)тг "г" 2(N—l)tnj "г" \rt — rj\ J" ^ } Величина, стоящая в квадратных скобках, представляет собой гамильтониан системы из двух частиц с зарядами et, ej и массами (N — 1) mt, (N — 1) m7-. Энергия основного состояния такой системы равна ¦ (8-3) когда знаки зарядов et, ej противоположны, и еи — 0 в случае одинаковых знаков. Число пар разноименных
38 Ф. Дайсон зарядов в сумме (8.2) не превышает V4A^2. Тем самым тео- рема 7 доказана. Теорема 8. При выполнении условий, сформулированных в теореме 3, справедливо неравенство Е> — 2-V27V3 Ry. (8.4) Эта теорема не столь проста, как предыдущая. Для ее доказательства необходима лемма, определяющая выраже- ние типа (8.3) для короткодействующего потенциала Юкавы. Лемма 4. Частица с массой т в поле потенциала Юкавы (8.5) может находиться в связанном состоянии лишь при вы- полнении условия (8.6) Доказательство леммы 4. Гамильтониан (8.7) в импульсном представлении записывается в виде Н = = VV+7\ где (8.8) Применим к функции Vn неравенство Коши V» |2 < Dяе2K [ J J | р |3 | р' |3 | f (р) |а | Ц> (ре) | х Следовательно, гамильтониан (Т + Уд) может иметь отрицательные собственные значения лишь при a[i*Y^ Устойчивость вещества 39 Доказательство теоремы 8. Аналогично (8.2) перепи- шем гамильтониан B.1) в виде 2{N-l)mt -Д|гг—r- (8.11) Величина, стоящая в квадратных скобках в выражении (8.11), представляет собой гамильтониан системы из двух частиц, потенциал взаимодействия которых является потен- циалом Юкавы. «Боровский радиус» такой системы двух частиц равен №{mi+mj) ^ 2а .„ ,~ aii— {М-\)т1т}\еье}\ ^ТГГ\- ^-U> Поэтому в соответствии с леммой 4 двухчастичный гамиль- тониан положительно определен при условии Тогда из (8.11) следует, что (8.13) 2 г з 5 С помощью преобразования Фурье находим Z-l Z-l \n— rj\ ^ ' Следовательно, (8.14) 0. (8.15) (8.16)
40 Ф. Дайсон 9. Доказательство теоремы 3. Кулоновская система, не подчиняющаяся правилу запрета Перейдем, наконец, к самой трудной части нашей рабо- ты — доказательству существования нижних пределов. Начнем с теоремы 3. Предположим, что Т (гь . . ., rN) — волновая функция некоторого состояния системы N частиц, описываемых гамильтонианом B.1) и не подчиняющихся никакому пра- вилу запрета. Согласно B.2), математическое ожидание величины Н, соответствующее состоянию 4я, удовлетворяет неравенству где причем, согласно лемме. 1, N N (9.1) (9.2) (9.3) (9.4) Величина Ki представляет собой обратное среднее расстоя- ние между соседними частицами. Задачей дальнейшего расчета будет получение нижней границы для Т, выражен- ной через К\. Определим величину Rjq: как расстояние | rt ^- .г,- |, i ф /, между частицей, находящейся в точке г,-, и ее q = fx соседом. То расстояние, которое мы раньше называли Rj, соответ- ствует теперь Rn. По аналогии с (9.4) определим величину причем будем предполагать, что Rjq = ОО , /Сд == О ДЛЯ (9.5) (9.6) Устойчивость вещества 41 Попытаемся теперь найти верхний предел для величины (9.7) 7 '= Zj Ар- р=1 Если полностью выписать интегралы в конфигурацион- ном пространстве, характеризующие взаимодействия меж- ду ближайшими соседями, то (9.7) при учете (9.5) сведется-к X Здесь координата г3 характеризует положение произволь- ной частицы, a rh — ее (q + 1)-го ближайшего соседа. Символ 5) соответствует суммированию по q целым значе- •± ниям индекса /, отличающимся от / и k и относящимся к 1, 2 ... ^-му ближайшему соседу частицы, располо- женной в г,-. Область интегрирования R определяется усло- виями Г ri П rh — rh — для / 6 для / Ф j, k, I не 6 /. (9.9) Возникает вопрос, почему мы интересуемся величиной Хд? Дело в том, что при оценке величины L^ — /Ci, входя- щей в лемму Онсагера (9.3), оказалось, что ее нельзя опре- делить, не зная Кг, & L2 невозможно найти, не зная /Сз и т. д. Удобнее поэтому начать анализ сразу с определения величины Lq при произвольном q. Предположим, что интегрирование в (9.8) проводится сначала по тем переменным гь для которых / ? /. При этом область интегрирования представляет собой сферу с центром в точке г,-. Итак, нам необходимо оценить инте- грал ^J-\W{r)\2d3r. (9.10) Интегрирование в (9.10) проводится по сфере радиусом J r j < Ъ. Этот интеграл представляет собой потенциаль-
42 Ф. Дайсон ную энергию частицы, находящейся в кулоновском поле A/г). Для оценки интеграла достаточно элементарных сведений из квантовой механики. Существенно, однако, что мы не имеем дело с частицей, находящейся в сферическом ящике | г | < Ъ с граничными условиями 4я (г) = 0 при \г \ = Ъ. Нужно оценить инте- грал (9.10) без каких бы то ни было граничных условий. Нет никакой физической причины существования потен- циального барьера при | г | = Ъ; скорее наоборот, волно- вая функция гладко продолжается за пределы этого барьера. Для нашего метода вообще характерно рассмотрение задач со свободными границами, когда приходится мини- мизировать интеграл, определяющий энергию системы, без каких бы то ни было граничных условий. Оценка интеграла (9.10) проводится с помощью следую- щей леммы. Лемма 5. Пусть я|? (г) — произвольная дифференцируе- мая комплексная функция, определенная внутри области S —сферы радиусом \ г \ ^ Ъ. Тогда \ D—^ s X (9.11) Этому эквивалентно следующее утверждение: для про- извольных вещественных к, положительных или отрица- тельных, справедливо неравенство (9Л2) Еще одна эквивалентная форма этого утверждения: если е — наинизшее собственное значение энергии основ- ного состояния для уравнения Шредингера г\<Ь, (9.13) Устойчивость вещества 43 с граничным условием n-Vty = 0 на \r\ = b, то существует нижняя граница для е: ЗА, 2Ъ А,2 , 4 • (9.14) (9.15) Почему же после всего сказанного мы снова обращаемся к граничным условиям (9.14)? Дело в том, что условие (9.14)—условие обращения в нуль градиента — автома- тически выполняется при минимизации интеграла (9.12) в случае свободных границ. При вариации \ | VJ? (r) J2 d3r s по -vp (r) возникает интеграл по границе области (9.16) который для произвольного бя|> обращается в нуль лишь при выполнении условия (9.14). Таким образом, граничное условие (9.14) является «естественным» для всех задач со свободными границами. Вид нижней границы для энергии, записанный в (9.15), допускает простую физическую интерпретацию. Собствен- ная функция, соответствующая основному состоянию систе- мы, является для малых Я константой, а собственное зна- чение 26 (9.17) представляет собой потенциал (—АУг), усредненный по сфере. Для больших X основное состояние водородоподобно, а соб- ственное значение е=— -i-ЛД bkyi, (9.17а) является «ридберговской энергией» в поле потенциала (—"klr) в бесконечном пространстве. Следовательно, (9.15) означает, что истинная энергия ограничена суммой энер- гий, соответствующих приближениям слабой (9.17) и силь- ной (9.17а) связей. Отложим пока доказательство леммы 5 и вернемся к выражению (9.8). В каждом слагаемом суммы мы сначала
44 Ф. Дайсон интегрируем по rt при фиксированных значениях всех остальных величин гт. Тогда, согласно лемме 5 [см. (9.12)], получаем для положительных А,: N N j = 1 ft= 1 R Рассмотрим теперь подробнее интегралы в конфигура- ционном пространстве в выражении (9.18). Последнее сла- гаемое содержит интеграл от | \р |2 по всем конфигурациям, который равен единице. Второе слагаемое, в котором надо положить I rk — О I == Rj-q+i> (9.19) равно в соответствии с определением (9.5) Kq+i. Вычисле- ние первого слагаемого более трудоемко. Для произволь- ной конфигурации (rl7 . . ., гN) член J Уг'Ф I2 появляется только в тех точках xjt для которых в точке хг расположен р-й ближайший сосед (при условии 1 ^ р ^ q). Введем величину (Г1, • • -, rN), (9.20) определяющую число точек rJt для которых р-й ближайший сбсед расположен в точке гг, и запишем сумму таких вели- чин: Q p=i (9.21) В этих обозначениях неравенство (9.18) примет вид N 1=1 + 4 qKq+i +4" (9-22) При работе с величинами Мщ нам понадобится еще одна лемма. Устойчивость бещбства 45 Лемма 6 Mlq (9.23) откуда при соответствующем выборе Я, имеем - 3 Это — чисто геометрическое утверждение, и мы пока отложим его доказательство. Допуская справедливость неравенства (9.23), получаем из (9.22) и (9.2.) (9.24) (9.25) Для q> Л/715 оценка (9.23) слабее, чем тривиальное утверждение Miq < N. (9.26) Следовательно, для q>NI\b вместо (9.25) можно использовать неравенство Lq <Z ~ qKq+i + YNqT. (9.27) В частном случае q = N проведенный выше анализ выражения (9.8) остается справедливым, однако точка rk теперь находится на бесконечности, а интегрирование по гг распространяется на все пространство. При этом спра- ведлива лемма 5 в форме (9.12) при Ъ — оо и, таким обра- зом, верно также неравенство (9.18), в котором второе слагаемое обращается в нуль. Таким образом, вместо (9.27) получаем Т <^" Л/ l/^T1 /Q ОЯ\ I— г? *-»» JV у 1 , [iJ.^o) т. е. при выполнении условия (9.6) неравенство (9.27) справедливо для всех q. Теперь осталось лишь проделать элементарные алгеб- раические преобразования для доказательства теоремы 3, используя (9.25) и (9.3). Определим коэффициент РР (при Ро — 1): 2х5х ... 3 х 6 х ... х C/7) для р > 1, (9.29)
46 Ф. Дайсон или через гамма-функции (¦!¦+') (9.30) Тогда 2 Pp-t = p=i Зрфр-i р=1 и, следовательно, р=1 Предположим, что неравенство (9.31) (9.32) (9.33) доказано для / = 1, 2, ..., д. (Оно тривиально выпол- няется для 1=1.) Тогда из (9.25) получаем , (9.34) откуда следует справедливость . неравенства (9.33) для l = q + 'l. Таким образом, неравенство (9.33) справедливо для всех /. Тогда где f-2(ag — 1)У15Т, ЗхбХ ¦¦¦ XCq — 3) 2х5х ... ХC<7 — 4) (9.35) (9.36) Устойчивость вещества 47 И 1 /Ч А /Ч • • • У\ 3<7 —2 \Уз_ 3^7-5 ) - = Cq-2I/s- (9.37) Положив в (9.35) q = N и использовав (9.6), находим интересующую нас связь между величинами /Ci и Т: Ki < 2а^ У15Г < 2 C7VI/3 j^l 5Г. Объединяя (9.1), (9.3) и (9.38), имеем а минимизируя это выражение по Т, находим (Я) > —60.32/37V5/3Ry > —1257V5/3Ry, (9.38) (9.39) (9.40) что и доказывает теорему 3. Просматривая доказательство теоремы, нетрудно выяс- нить происхождение множителя N&/\ Он связан с видом коэффициента aq (9.37), который в свою очередь обусловлен множителем 3/2 в (9.25) и в конечном счете — множителем 3/2 в лемме 5. Множитель 3/2 в лемме 5 представляет собой . отношение среднего кулоновского потенциала внутри сферы к потенциалу на поверхности. Итак, множитель N6/s является следствием простого, геометрического свойства кулоновского потенциала. При доказательстве неравенства (9.40) мы воспользо- вались только справедливостью неравенства (9.25) для всех q, в то время как для q > Л/715 можно получить более сильное неравенство, исходя из (9.27). Использование (9.27) приводит к несколько меньшему численному коэффициенту: —447V5/3Ry. (9.41) Получение коэффициента 44 довольно сложно, и я не буду приводить здесь этот расчет.
48 Ф. Дайсон 10. Доказательство леммы 5 Рассмотрим задачу на определение собственных значе- ний V2^ — V (г)ty -+- 8я|з = О (ЮЛ) при выполнении граничного условия /z-V^ — O A0.2) для произвольного вида потенциала V (г) и произвольной области S. Волновая функция ч|) (г) основного состояния положи- тельна и не равна нулю. Поэтому вектор w = v-i_!-i A0.3) определен в области 5 и удовлетворяет уравнению у.ш + ш2_У(г) + е = 0 A0.4) и граничному условию V n-w = 0. A0.5) Интегрируя A0.4) по области 5 и используя A0.5), найдем 8==у—^Я, A0.6) где I V (г) d*r V==JLTTz • ¦ A0-7) s aw2 — аналогично определяемое среднее значение вели- чины до2. Уравнение A0.4) имеет любопытную гидродинамиче- скую аналогию. Если продифференцировать A0.4) еще раз, получается уравнение 2 (до* V) ДО + V2o> -г- V^ = 0, (Ю.8) которое похоже на уравнение Навье — Стокса для устано- вившегося потока вязкой жидкости. В дальнейшем мы не будем больше касаться этой гидродинамической аналогии г). х) В «навье-стоксовой» форме уравнения Шредингера A0.8) коэффициент вязкости оказывается отрицательным. В уравнение движения любой «уважающей себя» жидкости кинематическое уско- рение (w'V) w и вязкое трение V2tw должны входить с положи- тельными коэффициентами. Коэффициент в уравнении A0.8) можно очень просто сделать положительным, определив скорость жидкости как (—w). Таким образом, согласно A0.3), жидкость движется из области, где | г); |2 велико, в область, где | if) |2 мало. Устойчивость вещества 49 Пусть V (г) является кулоновским потенциалом а область 5 — сферической оболочкой а<:\г\<:Ь. Тогда среднее значение потенциала равно ЗА, A0.9) A0.10) A0.11) а собственная функция i|) (r) основного состояния окажется сферически симметричной. Далее, до — радиальная компо- нента вектора w, поскольку перпендикулярная к радиусу составляющая равна нулю. Тогда уравнения A0.4) и A0.5) преобразуются в —т--\ w4-w2-\ 1-8=0, A0.12) (XT Г ¦ ' Г ¦ * до = 0 для г=а, г — Ъ. A0.13) Дифференцируя A0.12), получаем dr* ^ ' Пусть Wi — любое максимальное значение величины w, т. е. при w = Wx dw n d?w _ (ШЛ5) dr* Тогда из A0.14) следует 1 A0.16) Аналогично, любое минимальное значение W2 удовлетворяет неравенству W, + ~k>0. A0.17) Если w обладает и максимумом, и минимумом, тогда из A0.16) и A0.17) получается, что Wt ^ W2, а это невоз- можно. Поэтому возможно существование либо максимума Wu либо минимума W2. Согласно A0.13), величина w изменяется от 0 до Wi (или W2). В любом случае из A0.16) 4—0826
50 Ф. Дайсо/i или A0.17) вытекает неравенство и, следовательно, Объединяя A0.6), A0.11) и A0.19), получаем ЗА, / 63-а A0.18) A0.19) Когда внутренний радиус а —*- 0, область 5 превращается в сферу, а энергия основного состояния ограничена снизу неравенством A0.20). Таким образом, мы доказали спра- ведливость неравенства (9.15), а следовательно, и лемму 5. 11. Численный пример к лемме 6 Прежде чем доказывать лемму 6, имеет смысл привести численный пример, который покажет, что более сильное неравенство, чем приведенное в лемме 6, невозможно. Лемма 7. Возможны, такие конфигурации точек, при которых для некоторых I и q справедливы соотношения Щц = т12 — . . . =ml,q_i =0, (ИЛ) Mlq=mlq = l2q. A1.2) Лемма 7 показывает, что коэффициент 15 в лемме 6 приблизительно соответствует реальности. Она также показывает, что нельзя извлечь ничего полезного из равен- ства, заменяющего неравенство (9.22), в том случае, когда вместо суммы Lq использовано только одно слагаемое Kq~ Можно написать равенство типа (9.22), в котором слева стоит Kq, а справа тп вместо Мtq. Но равенство A1.2) показывает, что замена М на т не приводит ни к чему новому. Возможность случайных изменений величин тй заставляет учесть различные Кр в сумме Lq для получения надежной оценки. Доказательство леммы 7. Пусть мы имеем N = 12^ + 1 точек rjt одна из которых (гг) находится в центре правиль- Ь?стойчивость вещества 51 ного двадцатигранника, a q из них сконцентрировано вблизи каждой из 12 вершин двадцатигранника. Так как ребро двадцатигранника больше чем радиус описанной вокруг него сферы на множитель 1,05, все 12 точек вблизи вершин имеют в -точке гг своего q-vo ближайшего соседа. Это дока- зывает A1.1) и (П-2). 12. Доказательство леммы 6 Вернемся теперь к доказательству леммы 6. Пусть (rlt . . ., rN)—произвольная конфигурация N точек, и пусть (гь г/i, . . ., Ум), М =Miq, A2.1) — подмножество точек, содержащее точку гг и те точки г,-, для которых в точке гг расположен р-й ближайший сосед (р ^q). Каждая точка yh для которой р-й ближайший сосед в конфигурации (г1; . . ., гN) расположен в rt, имеет в этой же точке s-ro ближайшего соседа в конфигурации {ги ¦ ¦ '., Ум), где s ^ р < q. Таким образом, при переходе от конфигурации (г1г . . . . . ., rN) к (гь у1г . . ., ум) величина Мш не изменяется, и этого достаточно, чтобы доказать лемму 6 для (ги . . .,ум)- Зададим некоторое направление Э в пространстве; пусть С (9) — конус с вершиной в точке rt, осью, парал- лельной 9, и с углом при вершине, равным 60°. Пусть п F) —число точек (у1} . . ., ум), которые лежат в С F), и пусть из всех точек п F) точка yk лежит на наибольшем (или на одном из наибольших) расстоянии от точки rt. Для любого yj из С F) с / =И= k Тогда \У (У]Г1Уп) и , - ri |< | yk - rt I, A2.2) угол (yjriyk) < 60°. A2.3) самая длинная сторона треугольника j — Ук \<~- \ Ук — rl !• (^-4J Неравенство A2.4) выполняется для п (9) — 1 точек у3-, а в точке гь как мы знаем, расположен р-й ближайший сосед к точке у и (при р ^ q). 4*
52 Ф. Дайсон ____!__ Поэтому для любого направления 9 п @) < q. A2.5) Интегрирование A2.5) по всем направлениям приводит к \ п (9) dQ^C4nq. A2.6) В левой части неравенства A2.6) стоит полное число точек yj, умноженное на полный угол раствора конуса С F), поэтому Miq2n A — cos 30°) < Anq, A2.7) A2.8) 13. Правило запрета В нескольких следующих лекциях будут рассматри- ваться ферми-системы, устойчивость которых обусловлена правилом запрета. Применению теории возмущений к кулоновскому газу ферми-частиц посвящено большое количество работ (см., например, [7]). Теория возмущения показывает, что в слу- чае высокой плотности система ферми-частиц вполне устой- чива, поскольку благодаря правилу запрета кинетическая энергия системы преобладает над кулоновским взаимодей- ствием. Доказывая теорему 2, мы хотим подтвердить выводы теории возмущений строгими методами. Очень интересной работой, о которой я расскажу, является работа Теллера [8]. Постараемся придать точную количественную форму- лировку следующей физической идее: чтобы удержать вместе несколько ферми-частиц, необходима большая кине- тическая энергия. Для этого рассмотрим такую лемму. Лемма 8. Пусть 4я (гь . . ., rv) —любая антисиммет- ричная функция координат v фермионов, определенная и дифференцируемая для каждого Г] внутри сферы S: I О I / = 1, . . ., v. A3.1) Устойчивость вещества 53 Тогда '"] 2 IV/ J. . . где |=2,082 — наименьший корень уравнения , ,.. drv, A3.2) A3.3) Доказательство леммы 8. Как и в лемме 5, мы имеем дело с задачей минимизации без граничных условий. Отношение левой части неравенства A3.2) к правой будет минимально для функции 4я, удовлетворяющей естествен- ным граничным .условиям: п- V/F =0 на | Г] | = R. A3.4) Пусть теперь tya (г) — одночастичная собственная функ- ция уравнения Шредингера (г) + га^а (г) = 0, | г | < удовлетворяющая граничному условию Функцию 4я можно разложить в ряд v а й=1 с антисимметричными коэффициентами С. Отношение S Я, A3.5) A3.6) A3.7) n ... drv A3.8) I . s является минимальным, когда W представляет собой детер- минант, составленный из v наинизших одночастичных состояний.
54 Ф. Дайсон Таким образом, т] > е0 + 8! + . . . + ev_b A3.9) где еа расположены в порядке возрастания. Наинизшее состояние я|H (г) постоянно в области S, и его энергия 80 = 0. Следующие три состояния являются Р-состояния- ми равной энергии с волновыми функциями ¦ф (г) = д Г Sin {4rlR) ^а \ ' дга L г и энергией а=1, 2,13, A3.10) =l, 2, 3. A3.11) Выше еа расположено второе 5-состояние с волновой функцией [r-4in (Z'r/R)] и энергией (|'7Я2), где g' — первый положительный корень уравнения (d/d'%) X X (I'-^sin ?') = 0. Очевидно, что ?' > g. Подстановка A3.10) в граничное условие A3.6) приводит к уравнению A3.3), определяющему |. Поскольку еа возрастает с ростом Ц, то неравенство A3.9) сводится к т, >(v - >-а A3.12 которое и доказывает лемму. Может показаться странным, что мы не учитывали зави- симость еа — а2/з при больших а. Выражение в правой части неравенства A3.2) линейно по v, хотя мы знаем, что при больших v могло бы получиться выражение, про- порциональное v5/a. Учет нелинейной зависимости не улуч- шает наши результаты, поскольку в нашем анализе сущест- венны малые v, для которых линейная зависимость спра- ведлива. Физически это означает, что система достаточно устойчива благодаря правилу запрета, действующему меж- ду парами и триплетами соседних электронов. Плотность никогда не достигает такого высокого значения, когда становится существенным тот факт, что энергия ферми- частиц изменяется пропорционально v6^. Следствием леммы 8 является следующая лемма. Лемма 9. Пусть (гъ . . ., rv) —координаты v фермио- нов, принадлежащих q различным классам, причем правило запрета действует только внутри каждого класса. Пусть W Устойчивость вещества 55 определено в области A3.1). Тогда из неравенства V ... drv A3.13) следует, что v>2?. A3.14) Доказательство леммы 9. Пусть vp — число частиц в классе р. Тогда при выполнении A3.14) из A3.2) вытекает A3.13), если коэффициент 1/2v заменить на g -v- A3Л5) При выборе 2q в качестве минимального значения v допу- скается возможность неоптимального v. Преимущества выбора оптимального v незначительны, поэтому мы исполь- зовали значение 2q в целях упрощения расчета. Теперь можно формально получить основной результат, вытекающий из существования правила запрета. Лемма 10. Пусть функция W (г1; . . ., гN) относится к произвольному состоянию системы N фермионов, принадле- жащих q классам, причем действие правила запрета распро- страняется только на частицы данного класса. Тогда (K2q~i)*<20T, A3.16) где определение Т дано в (9.2), a Kzq-i —в (9.5). Отметим, что это утверждение касается только кинети- ческой энергии Т и справедливо для любой ферми-системы независимо от характера взаимодействия между частицами. 14. Доказательство теоремы 2. Верхняя граница для энергии системы, подчиняющейся правилу запрета в пределах каждого класса частиц Прежде чем доказывать лемму 10, покажем, что из нее немедленно следует справедливость теоремы 2. Пусть выполняются все предположения теоремы 2. Тогда энергия
56 Ф. Дайсон основного состояния Е удовлетворяет неравенству E>^NT + W, A4.1) где Т определено в (9.2). Для доказательства теоремы 2 нам необходимо лишь объединить три полученных ранее результата. Во-первых, согласно лемме Онсагера 1, потенциальная энергия ограничена снизу W^>—Ne*Ki. A4.2) Во-вторых, в соответствии с леммой 10 при наличии правила запрета кинетическая энергия также ограничена снизу T>^-(/C2g-iJ. A4.3) Третье необходимое нам соотношение устанавливает связь между К\ и Кгч-\- Оно задается неравенством (9.35), которое было доказано без использования правила запрета; однако это неравенство справедливо, в частности, для системы фермионов. При доказательстве теоремы 3 мы воспользовались неравенством (9.35) при q = N; теперь мы используем (9.35), заменив q на Bq — 1), так что q-l + 2 («23-1— 1) A4.4) Практически Bq — 1) является малым числом порядка 3 или 7. Объединяя A4.3) с A4.4), получаем A4.5) 2^-1—1). A4.6) Последнее неравенство совместно с A4.1) и A4.2), дает Е > -^- NT — yqe2N Y~T > — y2gN Ry. A4.7) Используя грубую оценку (9.37) для a2q л найдем из A4.6) Юу'б^/з, A4.8) A4.9) А это и есть формулировка теоремы 2. Устойчивость вещества 57 Коэффициент в этом неравенстве необычайно велик, однако ясно, что мы не сможем уменьшить его в 100 раз просто за счет повышения точности расчета. Нашему методу расчета вообще свойственны большие коэффициенты. Для случая q = 2 была сделана попытка получить более строгий результат, чем A4.9), обращая больше вни- мания на детали вычислений. При этом вместо леммы 10 мы пришли к такой лемме. Лемма 11. Исходим из предположений леммы. 10 для q = 2. Тогда (Kz)z > 157\ A4.10) Отличие от леммы 10, выражающееся в изменении коэф- фициента с 20 на 15, не слишком велико, однако замена /Сз на Къ очень существенна. Теперь из (9.35) следует A4.11) откуда при учете A4.10) имеем A4.12) Итак, для # = 2 вместо A4.7) и A4.9) получается — Н5 A'Ry>-100 iVRy. A4.13) Это неравенство выглядит несколько лучше, чем A4.9), однако такая оценка энергии основного состояния все еще очень далека от истинной, которая, как нам известно из теории возмущений и из эксперимента, имеет порядок одного Ридберга на электрон. В разделе 5 мы установили, что теорема 6 является следствием теоремы 2. Из доказательства леммы 2 мы видели, что численный коэффициент А в теореме 6 почти в 22/з < 1,6 раза больше, чем коэффициент в теореме 2. Таким образом, A4.9) означает, что фигурирующая в тео- реме 6 энергия основного состояния Е+ (V) для фермионов класса q в компенсирующем поле V удовлетворяет нера- венству Е+ (V) > — 800<72/3WRy.
58 Ф. Дайсон 15. Доказательство леммы 10. Нижняя граница для кинетической энергии Мы докажем лемму 10, исходя из леммы 9, содержащей правило запрета, точно так же, как, используя лемму 5 для кулоновских сил, мы доказали лемму 3. Выберем произвольный радиус R и зададим функцию 1 (г) в виде *(ГН о, м>*. A5Л) Поскольку для любого г справедливо {г —У) d3y=\, то (9.2) можно переписать в форме d3y j . . . J drt ... dr^x N A5.2) Внутренний интеграл совпадает с интегралом A3.13) из формулировки леммы 9, согласно которой d3y J . . . J drt ... drN X JV A5.3) где F (y, r±, . . ., r^) по определению равно единице, если по крайней мере 2q точек rj находятся внутри сферы \rj-y\KR, A5.4) и равно нулю, если число точек внутри сферы меньше чем 2q. Проводя теперь в A5.3) интегрирование по у, получаем N Устойчивость вещества 59 где Fj — часть объема сферы A5.4), которая по крайней мере Bq — 1) раз перекрывается другими сферами радиу- сом R с центрами в точках г и- Если Rj. 23-i <LR, to сфера радиусом (R — Rj, 2q-i) с центром' в точке г,- наверняка {2q—1) раз перекрывается другими сферами. Поэтому и A5.5) сводится к N j, 2q-lK - ])• A5.7) Пусть \i (x) — вероятность нахождения Bq—1)-го ближай- шего соседа в состоянии ЧГ. Тогда \ \i (х) dx = 1, J (х (х) х-1 dx = о о A5.8) и A5.7) можно переписать в виде R f ^-R5, 0</?<oo. A5.9) Теперь перед нами стоит чисто математическая задача: получить из A5.8) и A5.9) неравенство, связывающее K^q-i с Т. Эта задача оказалась неожиданно трудной и увле- кательной. Предположение 2. Пусть \а (х) принимает любое поло- жительное значение в области @, оо), причем A5.10) R j (R —xK [i (x) dx< CR5, 0 < R < оо. Тогда A5.12)
60 Ф. Дайсон Если \i (x) — пилообразная функция, (X (X) о х<2/К, х>21К, A5.13) то знак неравенства в A5.12) заменяется равенством. Мы предполагаем, что в A5.12) должен входить именно коэф- фициент 40, но все попытки доказать это оказались неудач- ными. Самое лучшее, что нам удалось показать, сформули- ровано в лемме 12. Лемма 12. При соблюдении условий предположения 2 выполняется неравенство К2<43С. A5.14) Этого, конечно, вполне достаточно для приложений. Доказательство неравенства A5.12) является интеллек- туальным вызовом для людей, подобных мне, которые привыкли к строгости математических расчетов. Надеюсь, что кто-нибудь из слушателей попытается это сделать. Поскольку I2 = 4,33 ...> 4,3, A5.15) лемма 12 совместно с соотношениями A5.8) и A5.9) дает / ts- I» ^ 8&T 20Т, A5.16) что доказывает лемму 10. Прежде чем приступить к доказательству леммы 12, вернемся несколько назад и покажем, как следует модифи- цировать доказательство леммы 10 для q = 2, если мы хотим прийти к лемме 11. Для начала мы заменим Кз на Кг и используем лемму 9 для v ^ 3 вместо v ^ 4; это приведет к замене множителя V2 на V3 в правой части неравенства A3.13). В A5.5) Fj соответствует теперь той части сферы A5.4), которая пере- крывается другими сферами по крайней мере дважды. Самое неблагоприятное расположение двух сфер с центрами в местах нахождения двух ближайших-к г,- соседей соот- ветствует случаю, когда эти два соседа расположены по раз- ные стороны и на одинаковом расстоянии RJ2 от г,-. Устойчивость вещества 61 Если рассчитать объем двух сфер для этого неблагоприят- ного случая, то можно получить нижний предел для вели- чины F f. . ^-<^-. A5.17) 9, A5.18) Вместо A5.8) и A5.9) имеем <-|?-Я5, 0<Я<оо. A5.19) Теперь необходимо сформулировать аналог леммы 12. Лемма 13. Если [А (х) — любая положительно опреде- ленная функция, удовлетворяющая условиям A5.10), а также неравенству R то A5.20) A5.21) Как это уже было сделано раньше, выскажем недоказан- ное предположение о величине коэффициента в неравен- стве A5.21). Предположение 3, При условиях A5.10) и A5.20) должно выполняться неравенство К<20С. A5.22) Оптимизирующая функция \i (x) имеет тот же вид A5.13), что и раньше. Неравенство A5.15) совместно с леммой 13 приводит к следующему неравенству: {KzJ<-jrT<:l5T, A5.23) т. е. к лемме 11.
62 Ф. Дайсон 16. Математическое отступление. Доказательство лемм 12 и 13 У нас нет серьезных оснований для беспокойства по поводу справедливости предположений 2 и 3, однако мы все же уделим им некоторое время. Посмотрим на пред- положение 2. Интегрирование A5.11) по R дает в j (R—x)*\i(x)dx*C~-CR6. A6.1) Проводя аналогичное интегрирование (п — 3) раза, полу- чаем A6.2) Теперь можно обобщить предположение 2. Предположение 2„. Если выполняется A5.10), а нера- венство к (R— x)n\i{x)dx <UR справедливо для любых п, то К2 < 2U. n+2 0<Я<сю, A6.3) A6.4) Предположение 2 получается отсюда в частном случае п = 3. Предположение 2п легко доказать для п = \, однако для п = 2 это, по-видимому, уже трудно сделать. Чем больше п, тем слабее условие A6.3) и тем самым силь- нее предположение. Для всех конечных п делается более сильное предположение, чем если в A6.3) положить п = sR и устремить п—> оо, оставляя s фиксированным. Тогда мы придем к следующему предположению. Предположение 2^. Если справедливо A5.10) и нера- венство 0- оо, A6.5) Устойчивость вещества то K2<2U. A6.6) Если бы мы могли доказать предположение 2оо, из этого доказательства немедленно следовала бы справедливость предположения 2а и, в частности, предположения 2. Легко также проверить, что неравенство A5.20) получается из A6.5) при U = ЮС и, таким образом, из предположения 2оо следует также предположение 3. Поэтому вместо того чтобы возиться с предположениями 2 и 3, лучше попытаться доказать предположение 2оо. Самое большее, чего нам удалось добиться в этом направлении, это доказать, что при выполнении усло- вий A5.10) и A6.5) справедливо неравенство К2 U ch2 1 = 2,38 . . . U. A6.7) Доказательство леммы 12. Допустим, что A5.10) и A5.11 выполняются, и докажем справедливость неравенства A5.14). Во-первых, разделим A5.11) на R5 и проинтегри- руем по R, тогда в J (R — X)* (х (х) х~г dx < 4CR\ A6.8) о Добавив к A6.8) неравенство A5.11), умноженное на 11/4, получим в f (R-Xy(R + ^rx)li(x)x~1dx<-^-CRK A6.9) о Функция + Х#)' 0<у<1, A6.10) расположена выше прямой линии В(У)=1—?-У, A6.11) которая касается кривой / (у) в точке у = V3 и пересекает ее при у = 0 (фиг. 1). Наша идея заключается в нахожде- нии такой функции / (у), которую можно с минимальными
64 Ф. И. Дайсон потерями заменить прямой g (у), ограничивающей функ- цию f (у) снизу. Так как f (у) > g (у), то из A6.9) и A5.10) следует су=Г H. ^ A6.12) откуда при соответствующем выборе R нетрудно получить A5.14). У Фиг. 1. Доказательство A6.7) совершенно аналогично, если использовать пару функций / (у) = A. + ау) е~У, g(y) = I— Ay, A6.13) графики которых касаются друг друга в точке у = 2, если а = 4-<е2-3)' Л = -^(<Г2+1). A6.14) Доказательство леммы 13. Доказать лемму 13 еще проще, поскольку из A5.20) по аналогии с A6.8) вытекает неравенство к С (З/?4— 4R3x + х*) (х (х) ЛГ1 dx < 12CRK A6.15) о Опуская член х*, получаем 3/С — 4R-1 < 12CR, откуда сразу следует неравенство A5.21). A6.16) Устойчивость вещества 65 17. Смешанные Ферми — Бозе системы Приступим теперь к очень длинному вычислению, в ре- зультате которого будет доказана теорема 4. Начиная с этого момента будет рассматриваться система из N отри- цательных частиц, расположенных в точках (г1; . . ., rN), обладающих массами nij ^ т, зарядами <?; ^ —е и при- надлежащих к q разным классам, в пределах каждого из которых действует правило запрета. Удобно изменить принятые ранее обозначения так, чтобы термины «ближай- шие соседи» и «q-e ближайшие соседи» относились теперь только к отрицательным зарядам независимо от располо- жения положительных зарядов. Таким образом, Ki соот- ветствует среднему расстоянию между двумя ближайшими отрицательными зарядами. Используя неравенства A4.5) и A4.8), полученные ранее, найдем A7.1) где Т, определенное в (9.2), также относится только к отри- цательным зарядам. Неравенство A7.1) является основой всех дальнейших расчетов. Оно означает, что отрицательно заряженные частицы.не могут подойти друг к другу на бо- лее близкое в среднем расстояние, чем величина, кратная длине волны де Бройля. Число положительных зарядов М необязательно рав- но N. Для них нет никакого правила запрета, а также ограничения на величины их масс. Допустим, что они расположены в точках EЬ . . ., SM) и имеют заряды fb ^ е. Полный гамильтониан рассматриваемой системы состоит из пяти слагаемых: Я = Т_ + Т+ + W— + - + W A7.2) где Т"_ — кинетическая энергия отрицательных зарядов, 1^__ — кулоновское взаимодействие отрицательных заря- дов и т. д. При нахождении нижней границы для (Н) можно сразу сделать несколько упрощений. Во-первых, A7.3) 5—0826
66 Ф- Дайсон ' Кроме того, член Т+ нам ничего не даст, поскольку нет никаких требований, ограничивающих массы положитель- ных зарядов. Поэтому мы можем либо совсем опустить его, либо придать всем положительным частицам бесконеч- ную массу, т. е. рассматривать их просто как точечные классические заряды, находящиеся в точках Sk. Волновая функция системы ~Ф (г1; . . ., rN; S±, . . ., SM) удовлет- воряет уравнению Шредингера относительно переменных (г±, . . ., rN), а от (S±, . . ., SM) зависит только парамет- рически. Энергия взаимодействия W++ является С-числом, a W+- представляет собой сумму членов Гч_ = 2 W(r}), A7.4) где W (г) — классический кулоновский потенциал, опре- деляющий взаимодействие с положительными зарядами. Наконец, поскольку Н линейно относительно зарядов ej и fhi энергия основного состояния Е является выпуклой функцией величин е,- и fk. При изменении ej от 0 до (—ё) наименьшее значение Е должно достигаться либо при ej = О, либо при в, = —е. Аналогично наименьшее значе- ние Е как функции от fk достигается либо при fk = О, либо при fk = е. Поэтому при расчете нижней границы Е достаточно рассмотреть случай, когда все в] равны либо О, либо (—ё), а все fk равны либо 0, либо (+<?). Но нулевой заряд для нас неинтересен, и его не нужно учитывать. Итак, можно принять, что для любых / и k е} = —е, fk == +е. A7.5) Самым опасным членом в Н является W+-, так как потенциал W (г) в A7.4) отрицателен и неограничен. Мы справимся с этим членом, используя общее неравенство, которое интересно и само по себе. Лемма 14. Пусть V(r)—любая действительная, аг|з (г) — произвольная комплексная функции, причем эти функ- ции определены во всем пространстве, дифференцируемы и стремятся к нулю на бесконечности. Тогда V (г) | Ч> (г) |2 d»r (r) |2 d?r) V2 х X (J |УгИ/\)|2сг3гI/4( j Ц (г) \2d*rK/i. A7-6) Устойчивость вещества 67 По-видимому, это неравенство не встречается в других книгах, а для нас оно очень полезно, так как накладывает ограничения на величину взаимодействия /=—е J V\Tp\2dsr A7.7) для частиц, находящихся в поле потенциала V. Выраже- ние A7.7) оказывается связанным с кинетической энергией частиц A7.8) и электростатической энергией зарядов, создающих потен- циал V: W==-&T \ |VF|2d3r. A7.9) Действительно, подставляя A7.7)—A7.9) в A7.6), полу- чаем | / ] < 2ш1/**1/4 Ry1/*. A7.10) Если в поле V находится только одна отрицательная частица, гамильтониан которой Hi = t + w+I, A7.11) то, используя A7.10), для энергии основного состояния получаем >_. _^Ry .A7.12) (Hi) (f Ry)V4 >y — С помощью леммы 14 нам удалось найти нижний предел для энергии основного состояния одной частицы, находя- щейся в произвольном поле V. Отметим, что здесь Ry вклю- чает только заряд и массу рассматриваемой частицы и не зависит от зарядов, создающих потенциал V. К сожалению, такое простое выражение нижней гра- ницы для энергии неприменимо к системам, состоящим более чем из одной отрицательно заряженной частицы, потому что при получении A7.12) предполагалось, что вся собственная энергия w зарядов, создающих потенциал V, компенсирует взаимодействие с одной частицей. Чтобы применить лемму 14 к системе, состоящей из многих частиц, следует отделить частицы друг от друга и воспользоваться леммой для 5*
68 Ф. Дайсон каждой частицы в отдельности. Основная трудность дока- зательства теоремы 4 состоит в необходимости разделить конфигурационное пространство на множество областей таким образом, чтобы отрицательные заряды можно было рассматривать независимо друг от друга. Формулировка леммы 14 для того случая, когда частицы находятся в конечной области, имеет следующий вид. Лемма 15. Пусть функции V (г) и ty (г) определены и дифференцируемы в конечной области С со стороной L. Пусть V — среднее значение функции V (г) в области С. Тогда A7.13) Мы вводим также очередное предположение. Предположение 4. Лемма 15 справедлива при замене постоянного множителя 8 на 4. Для более общей формулировки леммы 15 необходимо сделать еще одно предположение. Предположение 5. Пусть С — произвольная область с гладкими (в определенном, смысле) границами. Тогда нера- венство A7.13) выполняется при замене числа 8 на коэф- фициент, зависящий только от формы, а не от размера области С. Мы не пытались строго доказать оба эти предположе- ния. Оказалось, что выбор области С в виде куба удобен в двух отношениях: во-первых, при этом легче доказать лемму, а во-вторых, проще разбить конфигурационное пространство на неперекрывающиеся области. Поэтому лемма 15 вполне пригодна для наших целей. Похоже на то, что выбор численных множителей — 1 в лемме 14 и 4 в лемме 15 — не лучший из возможных. Было бы интересно найти наилучший коэффициент для такого изящного неравенства, однако у нас нет времени, чтобы заняться этим, стоящим несколько в стороне вопро- Устойчивость вещества 69 сом. Нам, кроме того, необходима лемма, аналогичная лемме 15, для случая, когда V (г) — кулоновский потен- циал. Лемма 16. Пусть функция -ф (г) дифференцируема в ку- бе С со стороной L. Тогда для любого положительного X справедливо неравенство A7-14) Приведем также другую лемму такого же типа. Лемма 17. Пусть S — сфера \ г \ <z Ъ, а С — куб со стороной L ^ Ъ, содержащий точку г = 0, и пусть R — область пересечения S и С. Тогда для любого положитель- ного X R R A7.15) R Отметим, что обе леммы не требуют, чтобы точка г == О была в центре куба. Для приложений существенно, что центры куба и сферы могут не совпадать (эксцентричная сфера). В этом смысле последние две леммы отличаются от леммы 5, которая состоит в утверждении неравенст- ва (9.12), похожего на A7.14) для сферы с центром вг = О. То, что неравенство (9.32) неприменимо для случая экс- центричной сферы, заслуживает пристального внимания; когда Ъ велико, а точка 0 находится вблизи поверхности сферы, минимальное собственное значение оказывается меньшим, чем это следует из (9.15). Мы доказали, что для случая эксцентричной сферы справедливо неравенство (9.12), левая часть которого, однако, умножена на малый коэф- фициент, но это доказательство очень длинно и сложно. Как только исчезает сферическая симметрия, работать
70 Ф. Дайсон со сферой оказывается гораздо труднее, чем с кубом. В дальнейшем нам понадобятся только результаты, полу- ченные для куба. Для оценки W+-, помимо лемм 15,—17, нам понадобит- ся строгая форма онсагеровской леммы 1. Лемма 18. Для совокупности зарядов gjt расположенных в точках tj, и произвольной совокупности отрезков длиной aj имеет место неравенство где А (г, а, Ъ) = < 0, (а+6 — rJ/4abr, A7.16) r>a-\-b, г<\Ь-а\. A7.17) Доказательство леммы 18. Смысл функции А состоит в том, что выражение 4--А (г, а, Ь) представляет собой энергию взаимодействия двух еди- ничных зарядов, равномерно размазанных по поверхности сфер с радиусами а и Ъ, расстояние между центрами кото- рых равно г. Слушатели могут в порядке упражнения проверить справедливость A7.17). Правая и левая части неравен- ства A7.16) отличаются на величину полной электростати- ческой энергии, включающей также собственную энергию зарядов gj, каждый из которых равномерно размазан по поверхности сферы радиусом aj с центром в точке t}. Так как электростатическая энергия положительна, то лем- ма тем самым доказана. Лемма Онсагера 1 получается как частный случай леммы 18, когда величины а; выбраны настолько малыми, чтобы можно было пренебречь слагае- мыми с А в A7.16). Устойчивость вещества 71 При рассмотрении системы отрицательных фермионов и положительных классических зарядов следует пользо- ваться леммой 18, а не старой леммой Онсагера, поскольку для положительных зарядов нас не интересует расстояние между ближайшими соседями [имеется лишь соотноше- ние A7.1) для расстояний между отрицательными заря- дами]. При выборе aj мы встретимся с двумя противоречи- выми требованиями: 1) член, соответствующий собственной энергии положительных зарядов, не должен быть слишком большим; 2) для каждой положительной частицы должна найтись одна отрицательная частица, и тогда они вместе дают неисчезающий член А в A7.16). Существует одно важное условие, определяющее схему наших расчетов. Мы хотим применить леммы 15 и 16 к от- рицательно заряженным частицам, движущимся в поле потенциала А (г, at, aj), связанного с наличием вблизи них положительных зарядов. Но пока отрицательные заряды движутся в пределах области С, потенциал должен оста- ваться фиксированным. Поэтому первым делом мы должны выбрать область С, внутри которой движутся отрицатель- ные заряды, а затем выбрать величины aj в зависимости от области С, но независимо от положения отрицательных частиц в этой области. Области С нужно выбрать так, чтобы отделить отрица- тельные частицы друг от друга, тогда к каждой из них могут быть применены леммы 15 и 16. После выбора обла- сти С мы займемся выбором aj, а затем перейдем к оценке вкладов в Н отдельных членов гамильтониана. 18. Разбиение конфигурационного пространства Рассмотрим ЗА/-мерное конфигурационное простран- ство 5 для N отрицательных зарядов, расположенных в точ- ках (/ч, .... rN). Пусть S1 — (ЗЛА — 3)-мерное подпрост- ранство S, в котором две координаты rt и г,- совпадают. Мерность пространства S1 равна нулю, и оно не дает вкла- да ни в какой интеграл по пространству 5. При оценке интегралов мы можем исходить из пространства So = = S — S1. Лемма 19. Пространство So заполнено бесконечным числом неперекрывающихся областей U. Каждая область U
72 Ф. Дайсон определяется так, чтобы точки (г±, . . ., rN) лежали соот- ветственно в кубах (С±, . . ., CN) со сторонами (Ь±, . . . . . ., LN). Выбрав постоянную а ^ 7, мы можем располо- жить области U так, чтобы 3aLj, /=1,2, . . ., N, A8.1) где Rj — расстояние между частицей, находящейся в точке Г] и ее ближайшим соседом, расположенным в точке rh. Напомним, что A8.1) должно выполняться независимо от расположения точек rk в кубах Ch. Смысл A8.1) заклю- чается в том, что отношение размера каждого куба к его расстоянию до ближайшего соседнего куба выбирается при- мерно постоянным. Доказательство леммы 19. Пусть Мр — конечная после- довательность гиперкубов в р-мерном пространстве, причем ребро куба равно 2V (v — произвольное положительное или отрицательное число), а вершины куба расположены в точ- ках, координаты которых кратны 2V. Такие кубы много раз заполняют пространство и обладают тем свойством, что любые два из них либо совсем не связаны, либо один содержится в другом. Частичное перекрытие пары кубов невозможно. Рассмотрим последовательность М6 в шестимерном про- странстве пары трехмерных векторов (х, у). Куб С в Мв назовем «выделенным», если его ребро равно 2V и если х — у | > a2v A8.2) для каждого (х, у) в С. Для любого (х, у) при х =?= у суще- ствует выделенный куб, содержащий (х, у), кроме того, выделен любой куб в Мв, который содержится в этом выделенном кубе. Пусть Мв — ряд выделенных кубов в Мв, которые не содержатся в каком-либо большем выделенном кубе. Кубы из М6 покрывают все пространство (х, у) при х ф у и не пересекаются друг с другом. Пусть С — любой из кубов Мв со стороной L = 2V, и пусть (х, у) — произвольная точка в С. Тогда выпол- няется A8.2). Допустим, что С" — куб из Мв со стороной 2L, содержащий точку (х, у). По предположению, С не является выделенным кубом и поэтому в нем имеется Устойчивость вещества 73 такая точка (х', у'), что I х' — у' К 2La. A8.3) Но поскольку и (х, у) и (х', у') принадлежат области С, то \x — x'\<2LV3, | у— у' | < 2L УЗ. A8.4) Из A8.2) — A8.4) получаем La<| х — #l<2L(a + 21^3) < 3aL, A8.5) так как a ^ 7. Обозначим через Dtj разбиение ЗА^-мерного простран- ства So на кубические призмы d,-. Каждая dj выбирается так, чтобы координаты некоторой пары точек (гi, rj) отно- сились к кубу С, принадлежащему последовательности Мв, а остальные (Af — 2) из точек rh располагались произволь- но. Всего имеется 1/2Л/ (iV —1) различных разбиений Dtj, по одной на каждую пару индексов (i, /). Пусть D — ре- зультат одновременного разбиения So на всевозможные Dij. Тогда D представляет собой разбиение So на бесконечное число областей U. Каждая U определяется тем, что коор- дината Г] должна находиться внутри куба С;- со стороной Lj = 2V;f. Для каждого / целое число v7- является наи- меньшим из (Af — 1) целых чисел \iih (кф /), которые благодаря A8.5) удовлетворяют неравенству г, — rh A8.6) Определяя минимум A8.6) по отношению к k, получаем A8.1), а тем самым и доказательство леммы 19. Начиная с этого момента, все расчеты будут относиться к отрицательно заряженным частицам, расположенным в точках (гь . . ., rN) области U. 19, Оценка кулоновской энергии Рассмотрим область U, определенную в лемме 19. Пусть имеются кубы С7- со сторонами Lj, которые удов- летворяют условию A8.1), причем в каждом кубе нахо- дите я по одной отрицательно заряженной частице. Коор- динаты Sh положительно заряженных частиц могут быть
74 Ф. Дайсон любыми, т. е. эти частицы могут располагаться как внутри, так и вне кубов. Мы хотим найти нижнюю границу для величины (Л )и, которая представляет собой вклад в сред- нее значение Л такой волновой функции отрицательно заряженных частиц W (г1у . . ., rN), для которой каждое г,- находится в своем Cj, причем этот вклад нужно разделить на интеграл от | ^? |2 по области U. Итак, (Т. Здесь {W++)u — просто С-число: A9.1) A9.2) Величина {T--\-W—)v не зависит от координат Sk, a A9.3) где р (г) — соответствующее состоянию ~? среднее значение плотности отрицательно заряженных частиц в точке г при учете того, что каждая г,- принадлежит Cj. По определе- нию р (г) равно нулю всюду, кроме области внутри ку- бов Cj. Если теперь зафиксировать W и Cj и изменять только Sk, то соответствующее изменение (Л)и опреде- ляется решением уравнения Пуассона: VI (Л)и = [p(Sft)-SS(Sft-S,)] A9.4) и не имеет минимума в точке 5ь, если р (Sh) = 0. Поэтому минимальное значение функции {H)v достигается только, если 5,г —у- оо или когда Sk лежит в одном из кубов Cj. Значение {H)v при Sh —>~ оо соответствует случаю пол- ного отсутствия положительного заряда. Если последова- тельно проминимизировать {Л)и по всем 5ft, то в конце концов придем к такой конфигурации, в которой некото- t рые положительные заряды вообще отсутствуют, а все оставшиеся расположены внутри кубов С/. После полу- чения такого распределения положительных зарядов выбор новой функции ~4f будет соответствовать еще более низкому Устойчивость вещества 75 энергетическому состоянию. Поэтому при оценке миниму- ма (Л)и можно с самого начала предположить, что все положительные заряды находятся в кубах Cj. Теперь нетрудно выбрать величину радиуса, фигури- рующего в лемме 18. Естественно принять для радиуса, соответствующего отрицательно заряженной частице г} и всем положительно заряженным частицам Sk, находящимся в кубе С,-: aj=ak = f>Lj, а = 2@+1)- A9.5) Условия A8.1) и A9.5) обеспечивают отсутствие перекры- тия сфер, относящихся к различным кубам Cj. Используя неравенства A9.6) получаем из леммы 18 1 Sk- Sl в С; \Sk-Si\ И-^О + я»^, A9.7) где rij — число положительно заряженных частиц в С,. Правая часть этого неравенства представляет собой сумму независимых вкладов от различных кубов Cj, что дает возможность применить к ним леммы 15— 17. Тогда найдем где ... dr и N ... dr U N 2j h A9.8) A9.9) A9.10) A9.11)
76 Ф. Дайсон У сто йчивость*вещества 11 и ... drN) ... drN и A9.12) A9.13) Очевидно, что сумма в A9.11) и A9.13) распространяется только на Sh и Si в Cj. 20. Доказательство теоремы 4. Нижний предел для энергии систем, в которых отрицательные заряды в пределах каждого класса подчиняются правилу запрета Теперь мы сумеем довести до конца доказательство теоремы 4. Завершив доказательство основной теоремы, мы вернемся назад и докажем леммы 14, 15, 16 и 17. Последний этап доказательства нестрог и весьма неудов- летворителен. Нашей целью было — любыми средствами добиться результата, но мы надеемся в дальнейшем сде- лать это более изящно. Нам осталось, исходя из A9.9) — A9.13), определить нижнюю границу для величины [(/r72m) Tjn -f- WjV], которая по существу является полной энергией (кинети- ческой плюс кулоновской) для одной отрицательно и rij положительно заряженных частиц в кубе Cj, причем толь- ко отрицательно заряженная частица требует квантово- механического рассмотрения. Интуитивно ясно, что нижняя граница для полной энергии должна определяться нера- венством B0.1) где константы Ах и А2 не зависят от числа и расположения положительно заряженных частиц. Если rij мало, главную роль будет играть энергия связи отрицательно заряженной частицы, а если rij велико, будет превалировать кулонов- ская энергия Xj положительно заряженных частиц. Итак, наша цель—доказать справедливость неравенства B0.1) (или несколько более строгого). Лемма 15 сформулирована как раз так, что ее можно применить к выражению типа YjV (кулоновская энергия отрицательно заряженной частицы) и найти для него нижний предел, зависящий от Х} (кулоновская энергия положительно заряженных частиц) и Tjv (кинетическая энергия отрицательно заряженной частицы). Но, к сожа- лению, лемму 15 нельзя применить непосредственно для оценки потенциала Wj (г), так как интеграл \ | V Wj (r) \Ы3г расходится. Поэтому мы должны были бы использовать лемму 15 для модифицированного потенциала, а это услож- нило бы рассмотрение. Удобно вывести еще одну, послед- нюю, лемму, которая расширяет область применимости леммы 15 на случай потенциала, обладающего особен- ностью. Доказательство этой леммы довольно утомительно, но зато нам потом останется сделать всего один шаг для доказательства теоремы 4. Лемма 20. Пусть (Si, . . ., Sn) —п точек в кубе С со стороной L, и пусть \\> (г) — любая дифференцируемая в С функция. Если х — ZJ \Sb— \Sk-Si '@1 B0.2) B0.3) B0.4) mo у < 102 [t1/2 + It1 -f *Vi Btyi + L ~1/a) ]. B0.5)
78 Ф. Дайсон Отметим, что если справедливо B0.5), то полная энер- гия системы, состоящей из (л+1) частицы, задается равенством = -^rt + e2x-e'y, B0.6) которое, согласно B0.1), автоматически удовлетворяет условию B0.7) Доказательство леммы 20. В случае п = 1, когда к —0, из леммы 16 следует, что т. е. лемма 20 выполняется. Будем далее считать, что п>1 и соответственно *>!?-• B0.9) Обозначим через рь расстояние от 5fe до ближайшего к нему Si, I =/= k. Пусть ah — сфера радиусом 1/2Рь с цент- ром в точке Sh. Очевидно, что различные сферы ak не перекрываются. Применим теперь лемму 15 к кулонов- скому потенциалу V (г), создаваемому единичными поло- жительными зарядами, равномерно распределенными по поверхности сфер ah. Полная электростатическая энергия этих зарядов, включающая собственную энергию, равна B0.10) Каждый член \Sk — St\ 1 суммы х может появиться в V самое большее дважды, поэтому — <2х, Pfe и, следовательно, из B0.10) получаем B0.11) B0.12) Устойчивость вещества 79 Среднее значение V потенциала V (г) в области С по крайней мере в п раз меньше, чем среднее значение величины A/г) в области С, т. е. V<:~. B0.13) Итак, мы оценили все множители в утверждении A7.3) леммы 15, кроме интеграла \ V (г) | -ф (г) \2dsr. Запишем выражение B0.14) где v (г) отлично от нуля только внутри сферы о^, где оно равно v(r)= s l__. Y' r в ak. B0.15) Если сфера ah полностью содержится в области С, можно оценить \ v (г) [ г|э (г) \2d3r, используя лемму 5. Oh Но в общем случае ok будет частично лежать вне области С и следует воспользоваться леммой 17. Физически ясно, что положительно заряженные частицы, находящиеся вблизи углов куба С, вызывают больше беспокойства, чем частицы вблизи центра, так как отрицательно заряженной частице легче попасть в потенциальную яму, расположенную вбли- зи угла куба, чем вблизи его центра. Условие Ъ = 1/2Рь =?^ L леммы 17 удовлетворяется авто- матически. Поэтому для любых положительных X лемма дает j v (г) 11 (r) |2 d3r < -f В пределах каждого ak B0.16) B0.17)
80 Ф. Дайсон Используя B0.17) и суммируя B0.16) по всем ah, найдем |2d3r + j v (г) 11 (г) \*dsr <-|- j с с . B0.18) Учтя B0.14) и определения B0.3) и B0.4), приведем B0.18) к виду \ ib (г) 2 а3г Л С Лемма 15 совместно с B0.12) и B0.13) дает <96C*)V2^/4, — 8^/2. B0.19) ^ B0.20) а отсюда, используя условие B0.9), получаем неравенство , B0.21) г/ < 8/V» -f 72 Bл:I/» L~1/2 -f 96 (З*I/» ^/«, которое включает в себя B0.5). Таким образом, лемма 20 полностью доказана. Доказательство теоремы 4. Если вместо полной энер- гии B0.6) рассмотреть только выражение для половины кинетической энергии и кулоновской энергии положитель- ных зарядов, то можно в соответствии с. леммой 20 полу- чить ¦^fi + ^-^x — е2г/> — A-x ARy, B0.22) где константы Ait2 — большие числа: А, = 102 X 103, А2 = 32Л*. Можно применить теперь неравенство B0.22) для оценки величин Tju, Xj, Ущ, определенных в A9.9)—A9.13), так как при интегрировании B0.22) по (N — 1) коорди- натам, отличным от г,-, знак неравенства сохраняется. Так мы приходим к неравенству B0.23) I Устойчивость вещества 81 грубо совпадающему с неравенством B0.1), которое мы интуитивно записали с самого начала. Благодаря B0.9) при rij > 1 Xj>J?L> B0-24) и мы можем окончательно выбрать константу Р [см. A9.5)]: р^8, <х=18, ¦ aj = 8Lj, B0.25) так что " 2а, •о, B0.26) Таким образом,- мы выбираем радиус в лемме 18 достаточно большим, так что члены, включающие а,- в A9.7), прева- лируют над кулоновской энергией положительно заряжен- ных частиц. Тогда из A9.8), A9.10), B0.23) и B0.26) выте- кает неравенство ?^] B0-27) которое при учете A8.1) преобразуется к виду B0.28) где А3 — За A + Ах). Последнее соотношение справедливо для любого U. Согласно лемме 19, можно просуммировать неравенство B0.28) по всем V и получить для полной энергии Ry, B0.29) определенной на введенной выше последовательности 51 меры нуль, которая была исключена из всех рассматривае- мых нами областей U. Теперь, чтобы навести окончательный лоск, используем выражение A7.1). Поскольку отрицательно заряженные частицы подчиняются правилу запрета, то Am — A2N Ry , B0.30) 6 — 0826
82 Ф- Дайсон а это и есть утверждение теоремы 4, где численный коэф- фициент равен АА = [A000 X 542) + 32] [A02-103) + IP < 4-1014. B0.31) Совершенно очевидно, что доказательство могло бы быть и лучше. Интересно, что колоссальная константа, входя- щая в B0.30), возникла в результате перемножения малых чисел типа 2 и 3. 21. Доказательства лемм 14 — 17 Займемся теперь недоказанными леммами, причем будем их рассматривать в обратном порядке: 17, 16, 15, 14. Доказательство леммы 17. Пусть г± — некоторая точка в R. Отразим ее относительно граней куба С и получим ряд точек (г2, г3, ¦ • -) — отображений точки г^. Точки г/ образуют 8 кубических решеток с параметром 2L, и по- скольку Ъ ^ L, то в сфере 5 может находиться не больше чем одна точка из каждой решетки. Поэтому внутри сферы S имеется не больше чем 8 изображений гх, включая само г±. И наоборот, каждая точка г' в S является изображением некоторой точки г в С. Так как предполагается, что точка г = 0 принадлежит С, то имеет место неравенство | г \ ^ ^ | г' | ^ Ь, и г принадлежит R. Итак, каждая точка области 5 является изображением г,-, одной и той же точ- ки гь принадлежащей R. Продолжим функцию а|э, определенную в лемме 17 в об- ласти R, на всю область 5 следующим образом: (О) = B1.1) Определенная таким образом функция г(з непрерывна в S. Кроме того, если функция лр, заданная в области R, выби- рается в качестве минимизирующей функции в задаче на собственные значения A7.15), то производная а|э по нор- мали к границе области R равна нулю, и поэтому про- долженная функция -ф дифференцируема во всей области 5. Применим лемму 5 в формулировке (9.12) к продолженной Устойчивость вещества 83 функции -ф и получим f -г 8 B1.2) Используем теперь определение B1.1). Каждой точке г в левой части равенства B1.1) соответствует по крайней мере одна точка гх из области R, а каждой точке г в пра- вой части B1.1) соответствует не более 8 точек г< из R. Таким образом, неравенство A7.15) выполняется и лем- ма доказана. Лемма 17 справедлива также и в отсутствие дополни- тельного условия (точка г = 0 содержится в С), однако доказательство леммы оказывается более длинным. Мы не будем здесь останавливаться на этом более общем случае, поскольку нам потребуется лемма 17, когда дополнитель- ное условие выполнено. Доказательство леммы 16. Общую формулировку этой леммы нетрудно свести к случаю, когда точка г = 0 лежит в области С. Допустим, во-первых, что г = 0 находится вне С. Тогда мы выбираем новую систему координат, начало которой помещаем в самой близкой к г = 0 точ- ке г0 в области С. Для всякой точки г из С расстояние до точки г0 меньше, чем до г = 0. (Здесь мы используем тот факт, что кубическая область является выпуклой.) Следовательно, неравенство A7.14) безусловно выполняет- ся в старой системе координат, если оно справедливо в новой. Поэтому с этого момента будем считать, что точка г = 0 лежит в С. Мы теперь можем применить доказательство леммы 17 при условии, что сфера 5 достаточно велика, чтобы пол- ностью включить в себя область С, так что R = С и Ъ ¦< ^^ЗТ. Доказательство проводится так же, как и раньше, с тем отличием, что рассматриваемая совокупность изобра- жений (ги г2, • ¦ ¦) образует 32 объемноцентрированные кубические сверхрешетки со стороной 2L ]/3. В области 5 может находиться не более чем 32 изображения каждой точки. Поэтому мы приходим к неравенству A7.14) с коэф- фициентом Х/32- 6*
84 Ф. Дайсон Доказательство леммы 15. Во-первых, мы сведем дока- зательство леммы к случаю, когда обе функции V (г) и а|э (r) являются периодическими функциями в кубической решет- ке с постоянной решетки L. Пусть А — максимальное зна- чение отношения Q J (V (г) - V) 1112 d*r\ (-^- j | W \*d*r) lh X с с X ( J j с ~4i (jit \2dsr) ~Vi B1.3) для любых дифференцируемых V и i|), и пусть Л' — макси- мальное значение величины Q для периодических функ- ций V и о|э- Рассмотрим функции 7иг|), для которых дости- гается*максимум А. Обе они должны иметь нулевую произ- водную по нормали к границе области С, и поэтому, исполь- зуя отражение от граней С, можно найти их аналитическое продолжение, которое будет повсюду дифференцируемо и периодично в решетке с постоянной решетки 2L. Тогда функции V Bг) и t Br) периодичны в решетке с постоян- ной L и дают для Q величину Л2~3/2. Таким образом, A B1.4) Отсюда ясно, что лемма 15 выполняется в общем случае, если она справедлива для периодических К и ф, но при замене коэффициента 8 на 2 ]/2. Если лемма 15 доказана для периодических функций V и г|), то справедливо и пред- положение 4, следует лишь заменить 8 на ]/2. Будем теперь считать, что V (г) и ij; (r) определены в кубической решетке с постоянной L и периодичны. Тогда эти функции можно разложить в ряд Фурье: У (г) = 2j Vn ехР L T~^ 2т' (п-г) -г) "I B1.5) B1.6) где индекс п определяет трехмерный набор целых чисел, а Устойчивость вещества 85 Лемма 15 с множителем 2^2 (поскольку V и г|з теперь периодичны) может быть записана через коэффициенты Фурье: S,,- r* r I <- 9-тт X сп\*)а". B1.8) Далее мы будем доказывать справедливость неравенст- ва B1.8). Для любого угла 9 выполняется соотношение cosec29>9-2. B1.9) Интегрируя обе части этого неравенства от 9 до л/2, полу- чаем ctg9>e-1-^, 0<G откуда для любого положительного X л; B1.10) B1.11) B1.12) где п по-прежнему означает трехмерный набор целых чисел. Функция !() " B1-13) Рассмотрим теперь сумму зависящая от непрерывно меняющегося трехмерного век- тора х, удовлетворяет условию V2/(x)>0, B1.14) и поэтому / (п) меньше среднего значения / (х) в сфере радиусом V2 с центром в точке п. Отсюда при учете B1.11) следует оценка для 5 (Я,): S (*) < ) 123x2 B1.15)
86 Ф, Дайсон Неравенство 16 л* B1.16) является более грубым, чем B1.15), однако вполне доста- точным для наших целей. По-видимому, можно без особых трудов ослабить неравенство B1.16) на множитель 2. Если тип — ненулевые векторы, то из элементарных алгебраических соображений следует, что B1.17) Отсюда для любого фиксированного вектора q находим 5«W= 2 пЧ(п-1 Определим коэффициенты р следующим образом: для тфО, фО, B1.19) а т] будет выбрано чуть позже [см. B1.21)]. С помощью не- равенства Коши получим неравенство для произвольного комплексного сп: 22 cmcm-q cmP I cmPm \ I \\q\pm-q }\ cm-qPm-q \Ц\рт <22 B1.20) Воспользуемся теперь неравенством B1.18) и выберем ц в виде tf — 4л2К {S (к)]~г> B1.21) Тогда при учете B1.16) из B1.20) следует cmcm-q Я* Устойчивость вещества 87 B1.22) Поскольку B1.22) выполняется для любых X, находим B1.23) Кроме того, для любого <7 справедливо неравенство Коши | S п-3 | < 2 I с* |2. B1.24) п Умножая под знаком суммы левую часть неравенства B1.23) на B1.24), получаем B1.25) Наконец, запишем неравенство Коши S 2 "гп-пС*тСп Bi B1.26) Объединяя B1.25) и B1.26), приходим к B1.8), и, таким образом, лемма 15 доказана г). Это доказательство не слишком прозрачно, так как оно сведено к чисто алгебраическим преобразованиям. Наиболее трудным местом является получение B1.22). Интуитивно г) При доказательстве леммы 15 переход от B1.23) и B1.24) к B1.25) недостаточно обоснован, поскольку в B1.23) абсолютное значение берется после суммирования. Однако, исходя непосред- ственно из B1.20), мы приходим на самом деле к выражению B1.23), в котором знак модуля стоит под знаком суммы, и тогда переход к B1.25) вполне оправдан.
88 Ф. Дайсон мы можем приписать равенству B1.22) следующий физи- ческий смысл. Функция ¦ B1-27) представляет собой функцию Грина для куба С с периоди- ческими граничными условиями. Эта -функция R (х) есть не что иное, как кулоновский потенциал, образованный единичными положительными зарядами, находящимися в од- нородном компенсирующем поле отрицательных зарядов. Неравенство B1.22) эквивалентно утверждению, что для частицы массой т в поле периодического кулоновского потенциала [—e2R (r)] энергия основного состояния боль- ше чем (—16 Ry), или, в символическом виде: B1.28) независимо от постоянной решетки L. Трудность доказа- тельства связана главным образом с тем, что R (г) не обла- дает сферической симметрией, и поэтому неприменима лемма 5. Отметим, что R (г) определяется так, чтобы его среднее значение было равно нулю, так что в выражении для энергии основного состояния нет члена, пропорцио- нального е2. Теперь мы знаем, что в пределе L-> оо, когда R (г) превращается в кулоновский потенциал (Иг), энергия основного состояния равна одному ридбергу. Поэтому неравенство B1.28) справедливо при L -> оо без множите- ля 16. Легко также показать, что при L -> О справедливо B1.28) с коэффициентом, меньшим единицы. Эти соображе- ния можно считать физическим обоснованием того, что неравенство B1.28) выполняется без множителя 16 для любых L. А это в свою очередь означает, что неравенст- во B1.22) должно быть справедливо без множителя 4, и, наконец, неравенство _B1.8) должно оставаться спра- ведливым при замене 2^2 на У 2. Предположение 4, сде- ланное в связи с леммой 15, было бы доказано, если бы мы смогли показать, что энергия основного состояния для потенциала [—e*R (r)] монотонно уменьшается с ростом L. Устойчивость вещества 89 Доказательство леммы 14. Хотя мы формально и не использовали лемму 14, для завершения нашей работы приведем ее краткое доказательство. При L-*- оо ряды Фурье B1.5) и B1.6) превращаются в интегралы, а неравенства B1.8) и B1.22) по-прежнему выполняются, если суммы заменить соответствующим обра- зом нормированными интегралами. В частности, лемма 14 будет следовать из {21.22), если опустить множитель 4. Но мы видим, что неравенство B1.22) эквивалентно B1.28), и, таким образом, лемма 14 вытекает из неравенства B1.28), если опустить множитель 16. В случае L = оо неравен- ство B1.28) выполняется без множителя 16. Это просто означает, что энергия основного состояния атома водорода равна (—Ry). В этом случае неравенство B1.28) формально следует из леммы 5. Итак, лемма 14 доказана. При доказательстве леммы 14 мы обошли трудную часть доказательства леммы 15, апеллируя к известным свойст- вам кулоновского потенциала. Если бы мы больше знали о свойствах периодического потенциала R (х), мы бы, вероятно, смогли найти более удовлетворительное доказа- тельство леммы 15 и предположения 4. 22. Заключительные замечания 1. Основное содержание этих лекций было впоследствии опубликовано (см. [9]). Неудовлетворительный метод полу- чения верхней границы энергии (раздел 7) был заменен (см. [10]) строгим доказательством теоремы 1. Тем време- нем Гарднер и Нейман показали, что предположения 2 и 2оо несправедливы в большинстве интересующих нас случаев (их работа не опубликована). По-видимому, пред- положения 3 и 2П также ошибочны. 2. Остальные предположения, использованные в лек- циях, до сих пор не доказаны. Но главная проблема, кото- рая осталась открытой, заключается в нахождении более прямого и экономичного доказательства теоремы 4. Коэф- фициент 4-Ю14 в теореме 4 слишком велик. Кроме того, весь вывод следует сделать более прозрачным. 3. Нам представляется важным, что главная трудность доказательства леммы 15, на которой основано доказатель- ство теоремы 4, заключается в оценке энергии основного
90 Ф. Дайсон Устойчивость вещества 91 состояния электрона в поле периодического кулоновского потенциала. Физическая интуиция подсказывает, что в слу- чае высокой плотности вещества энергия основного состоя- ния должна быть связана с периодическим кулоновским потенциалом. Мы привыкли к мысли, что водород или любое другое вещество при достаточно сильном сжатии переходит в металлическую фазу, в которой электроны свободно движутся сквозь ионную (необязательно кубиче- скую) решетку. Отсюда ясно, что периодическая кулонов- ская решетка должна играть решающую роль в изучении проблемы устойчивости вещества. В связи с этим нам кажется неразумным, что при доказательстве теоремы 4 энергия основного состояния кулоновскои решетки учиты- валась не прямо, а чрезвычайно окольными путями через леммы 15—20. Как-то кажется, что изящное и физичное доказательство теоремы 4 должно обойтись без искусствен- ного метода разбиения конфигурационного пространства на кубы, а должно исходить непосредственно из рассмотре- ния периодической кулоновскои решетки с тем, чтобы затем оценить энергию основного состояния произвольной апе- риодической системы. Такой прямой метод доказательства не только обеспечил бы значительно лучшие численные коэффициенты, но также привел бы к ясному пониманию природы устойчивости вещества. Это понимание, а не про- сто получение количественно точных результатов, является основной целью нашей работы. 4. В заключение я бы хотел поблагодарить слушателей за то, что они терпеливо выслушали работу, не относящую- ся к области их непосредственных интересов как по стилю, так и по сути. Большинство слушателей привыкло рабо- тать либо с твердыми телами, либо со статистической меха- никой, причем с помощью методов, которые хотя и не претендуют на особую строгость, но дают результаты, вполне пригодные для практического использования и для получения согласия с экспериментальными данными. В та- кой аудитории очень трудно оправдать нашу попытку пол- ного отказа от очень правдоподобного метода теории возму- щений. Мне остается лишь надеяться, что более точный и строгий стиль работы может вызвать у некоторых слу- шателей чувство здорового скептицизма против предпочи- таемых до сих пор приближенных методов. ЛИТЕРАТУРА 1. Fisher M. Е., Ruelle D., Journ. Math. Phys., 7, 260 A966). 2. Ruelle D., Helv- Phys. Acta, 36, 183, 789 A963); Fisher M. E., Arch. Ratl. Mech. Anal., 17, 377 A964). 3. Onsager L., Journ. Phys. Chem., 43, 189 A939). 4. Foldu L. L., Phys. Rev., 124, 649 A961); Girardeau M., Arno- witt G., Phys. Rev., 113, 755 A959); Girardeau M., Phys. Rev., 127, 1809 A962); Bassichis W. #., Foldy L. L., Phys. Rev., A133, 935 A964); Bassichis W. #., Phys. Rev., A134, 543 A964); Step- hen J. M., Proc. Phys. Soc. (London), 79, 994 A962). 5. Боголюбов H. H., Journ. Phys. (U.S.S.R.), 11, 23 A947). 6. Ninham B. W., Nucl. Phys., 53, 685 A964); Lee D. K-, Feen- bers E., Phys. Rev., A137, 731 A965); Brueckner K- A., Sawa- da K-, Phys. Rev., 106, 1117, 1128 A957); Gross E. P., Ann. Phys. (New York), 20, 44 A962). 7. Gell-Mann M., Brueckner K-, Phys. Rev., 106, 364 A957); Gell- Mann M., Phys. Rev., 106, 369 A957); Sawada K-, Phys. Rev., 106, 372 A957). 8. Teller E., Rev. Mod. Phys., 34, 627 A962). 9. Dyson F. J., Lehard A., Journ. Math. Phys., 8, 423-A967); Dy- son F. J., Lenard A., Journ. Math. Phys., 9, 698 A968). 10. Dyson F. J., Journ. Math. Phys., 8, 1538 A967).
Э. Монтролл Лекции по модели Изинга 1. Новые экспериментальные результаты, полученные при изучении критических явлений Для реальных систем, обладающих большим числом сте- пеней свободы, характерны два замечательных равновес- ных свойства: высокая степень упорядочения при низких температурах и внезапность исчезновения или появления дальнего порядка при фазовых переходах. Фазовый переход представляет собой макроскопическое проявление молекулярного движения, при котором систе- ма, состоящая из огромного числа взаимодействующих частиц, подвергается резкой внутренней перестройке при незначительных изменениях внешних условий. Такая пере- стройка может происходить только благодаря коллектив- ности молекулярного движения. Построение теории, опи- сывающей разкий переход системы из одного упорядочен- ного состояния в другое, является одной из наиболее трудных проблем теоретической физики. Сложность проб- лемы не связана с постановкой задачи; наиболее трудным является расчет статистической суммы для большого кано- нического ансамбля, так как в настоящее время не суще- ствует математического аппарата, позволяющего решать задачи с большим числом зависимых переменных. Постоянный интерес теоретиков к кооперативным явле- ниям и фазовым переходам сильно вырос в связи с про- веденными в последнее время очень точными эксперимен- тами. Одним из первых таких экспериментов было измерение теплоемкости жидкого Не* вблизи А,-точки, проведенное Бакингемом, Фейербенком и Келлерсом (БФК) [1]. Наблю- даемое изменение темплоемкости Не4 с температурой вбли- зи Х-точки может быть с большой точностью описано эмпи- рической формулой с особенностью логарифмического типа. Лекции по модели Изинга 93 Экспериментальная установка, которая позволила про- вести такие точные измерения, включает медный сосуд, обладающий высокой теплопроводностью, наполненный жидкостью. При этом гелий находится на расстоянии не больше 0,007 см от поверхности меди, что гарантирует специально выбранная ребристая форма внутренней поверх- ности сосуда. Обычно при измерениях теплоемкости в большом объе- ме жидкости трудно добиться быстрого установления рав- новесия в связи с ростом флуктуации при приближении к критической точке. В эксперименте БФК используется очень малый объем гелия, а высокая теплопроводность меди способствует сравнительно быстрому выравниванию флуктуации. Теплоемкость гелия вблизи А,-точки очень велика и при приближении к точке перехода резко изме- няется, в то время как теплоемкость меди при низкой температуре перехода B,17 К) практически равна нулю и очень мало меняется в пределах нескольких десятых градуса. Поэтому для проведения эксперимента достаточно малого количества гелия. Поскольку температура перехода жидкость — газ для гелия при критической плотности равна 5,2 К, можно использовать метод БФК для определения температурной зависимости теплоемкости гелия при критической плотно- сти вблизи точки перехода жидкость — газ. Такая работа была выполнена Молдовером и Литтлом в Стэнфордском университете [2]. В этом случае также теплоемкость вблизи критической точки оказалась логарифмической функцией температуры. Такой же метод использовали Воронель и др. [3] для изучения температурной зависимости темплоемкости аргона вблизи критической точки при объеме, равном критическо- му. В результате этих экспериментов тоже была обнару- жена логарифмическая особенность темплоемкости вблизи критической точки A50,5 К). Аналогичные, но менее точ- ные результаты были получены для кислорода [4]. Прекрасные данные, полученные Фридбергом и др. [5, 61 для теплоемкости антиферромагнитных солей СоС12 °6Н2О и NiCl2 -6H2O, также свидетельствуют о ло- гарифмической особенности теплоемкости вблизи антифер- ромагнитной критической точки.
94 Э. Монтролл Весьма примечательно, что во всех случаях точное измерение теплоемкости привело к логарифмической особен- ности. Вопрос о том, универсален ли этот результат, т. е. за- висит ли он от закона взаимодействия между молекулами, является фундаментальным вопросом теории фазовых пере- ходов. Интересно отметить, что единственный имеющийся строгий теоретический расчет теплоемкости системы взаи- модействующих частиц также приводит к логарифмической особенности. Это, конечно, замечательный результат Онса- гера для двумерной изинговской модели ферромагнетика. Определенные закономерности проявляются также в уравнении состояния жидкостей. В 1945 г. Гуггенгейм [7] обработал лучшие из имеющихся в то время эксперимен- тальных данных по определению формы огибающей двух- фазной области. Из данных для Ne, Ar, Kr, Xe, N2, О2, СО и СН4 следовало, что pG А (Те - A.1) (pi, и Pg — плотности жидкости и газа на границе двух- фазной области) и что для этих веществ справедлив «закон прямолинейного диаметра»: J_. . v Г, , Тс—; 2 i + pG) = pG[l+a-%r?-], A.2) где а = 2,5. Точные эксперименты на ксеноне, выполненные в 1952 г. Вайнбергером и Шнайдером [8], подтверждают «закон V3» Вопрос об универсальности этого закона был поднят Эдвард- сом [9], который считал, что для Не* лучше пользоваться предложенной Бакингемом формулой где PL —Pg Pl + Pg Для ферромагнетиков роль уравнения состояния играет температурная зависимость спонтанной намагниченности. Наилучшее согласие с экспериментальными данными для непроводящих ферромагнетиков [10, 11] EuS и СгВг3 дает Лекции по модели Изинга 95 зависимость ЩТ) где вблизи критической точки для EuS, p = 0,33 ± 0,01, для СгВг3, р = 0,365 ± 0,015. Измерение ядерного магнитного резонанса на ядрах F19 в антиферромагнетике MnF2 показало, что уравнение A.3) справедливо для каждой подрешетки в температурной области 7-Ю < АТ/ТС < 0,1 при р = 0,333 ± 0,003. Для ферромагнетиков и жидкостей можно сравнить еще два критических индекса, характеризующих поведение маг- нитной восприимчивости и сжигаемости жидкости. Если приближаться к критической температуре Тс со стороны высоких температур, то магнитная восприимчивость обладает особенностью типа Хо = (¦-?)' A-5) Из экспериментов по рассеянию нейтронов Якрот [12] нашел, что для железа 7 = 1,3, в то время как Ноукс и Эррот [13], непосредственно измеряя восприимчивость, получили у = 1,37 ± 0,04. Кувел и Фишер [14] тщательно проверили старые экспериментальные данные Вейсса и Фор- рера [15] по никелю и нашли, что у = 1,35 ± 0,02. Грэхем [16] для гадолиния нашел у = 1,3. Для кобальта значение у= 1,21 ± 0,04, полученное Грэхемом, по-видимому, не- сколько меньше, чем для железа и никеля.. Как мы увидим ниже, в модели Изинга у = 1,25. Бейкер и др. [17] пока- зали недавно, что в модели Гейзенберга 7 = 1,43. Изотермическая сжимаемость жидкости A.6) является аналогом величины %о для ферромагнетика. Экс- периментальные данные для жидкостей вблизи критиче-
96 Э. Монтролл ской точки хуже приведенных выше данных для %0, так что критический индекс y B данном случае не так хорошо известен. Прекрасный обзор последних результатов по всем типам критических явлений был недавно опубликован в трудах Вашингтонской конференции по критическим явлениям [18]. 2. Модель Изинга 2.1. Изинговский ферромагнетик [19—23] Модель Изинга представляет собой единственную модель системы взаимодействующих частиц, для которой проведен строгий математический расчет критических индексов. Хотя первоначально эта модель была сформулирована для фер- ромагнетиков, она пригодна для описания фазового пере- хода в любой системе, характеризуемой набором перемен- ных, которые связаны с узлами кристаллической решетки, причем на каждом узле ¦ соответствующая переменная может принимать только два значения. Для ферромагне- тика — это два возможных значения спина частиц, нахо- дящихся в узлах решетки. Каждый /-й узел решетки характеризуется перемен- ной ау. + 1, если спин направлен «вверх», — 1, если спин направлен «вниз». B-1) Для бинарного сплава, состоящего из атомов двух сортов (А и В), переменная ау- равна (+1), если /-Й узел занят атомом сорта А, и (—1) — для сорта В. В случае жидкости или газа надо разделить объем на большое число эквива- лентных ячеек, настолько малых, что в каждой из них не может находиться более одного атома или молекулы, и тогда Oj = 1 (или —1), если /-я ячейка занята (или сво- бодна) . Сначала мы обсудим магнитный вариант модели Изинга, а затем другие интерпретации. Предположим, что взаимо- действуют лишь ближайшие соседи. Тогда энергия взаимо- действия пары частиц, расположенных в точках / и k, Лекции по модели Изинга 97 О , если узлы / и k являются бли- жайшими соседями, в остальных случаях, где Gj и суfe — спиновые переменные для /-й и k-й частиц. ^ Константа J, определяющая величину энергии взаимо- действия соседних атомов, является параметром теории. Кроме того, припишем каждой частице магнитный момент \i, и тогда гамильтониан системы N частиц во внешнем поле где J 3, k=l j=l 1, если узлы j и k ближайшие соседи, О в остальных случаях. B.3а) B.36) Ферромагнитному упорядочению соответствует / > О, антиферромагнитному — / < 0. Разумеется, термодинамические и магнитные свойства системы можно определить из статистической суммы ••• s expD- N N <Ti=±l з, fe=l где kT H kT B.4a) B.46) Например, внутренняя энергия U и намагниченность М, отнесенные к одной частице, равны соответственно U = dlnZ N дТ l dinz N д&в B.5) B.6) 7—0826
98 Э. Монтролл 2.2. Бинарный сплав При соответствующем выборе J. и \iH модель Изинга можно применить для описания фазовых переходов в двух- компонентной системе. Пусть компоненты перенумерованы. В случае твердого тела мы «привязываем» отдельные атомы или- молекулы к узлам решетки. Для бинарной жидкой системы весь объем делится на равновеликие ячейки, занятые частицами первого или второго сорта, т. е. системе навязывается некоторая «псевдорешетка». Энергия взаимо- действия пары ближайших соседей равна ejk = ehj, если один из соседей относится к /-му сорту, а второй — к &-му; например, etl —энергия взаимодействия двух частиц пер- вого сорта. Если (Xj — химический потенциал частиц сорта /, то статистическая сумма для большого канонического ансамб- ля 7 — V Ni=0 kT lijNi + PaN^ + Ei B-7) где Nt, N2 — числа частиц первого и второго сортов, a Et — энергия г-го состояния системы для данных Nt и N2. Сред- нее число частиц типа / есть (Nj) = kT -?j- In Z s, /=1,2. B.8) Если Nj задано, то соотношение B.8) является уравнением для нахождения [ау-. Энергетические уровни системы Е% могут быть выраже- ны через скалярные координаты решетки Изинга, если при- писать величине Oj значение (+1), когда /-й узел занят частицей первого сорта, и (—1), когда он занят частицей второго сорта. Тогда 1/2(l + о,-) равно единице, или нулю в зависимости от того, какого сорта частица находится на /-м узле. Поэтому l+oj) B.9) Лекции по модели Изинга 99 и аналогично N ^2==4 <1—°^' BЛ°) так что автоматически удовлетворяется условие Nt -\- N2 = Если /и k — ближайшие соседи, то величина «Ь (OjOk) == Щ~ A + Oj) A + Oh) + B.11) равна ецг eZz или е12, когда /-й и k-& узлы заняты соот- ветственно двумя частицами первого сорта, второго сорта или разных сортов. Поэтому полная энергия системы i = 2 -у- ^з (ojcrft), B.12) где ajh определено в B.3), а суммирование проводится при дополнительных условиях B.9) и B.10). Теперь можно переписать уравнение B.7) для статсум- мы большого канонического ансамбля в переменных о: N N = BЛЗ) exp(/C 7*
100 В. Монтролл где а = -§- [4 (Hi + И-2) — с {еп + е22 + 2е12)], = х12 A*1 —1*0 — с (ви— вя8)], B.15) B-16) B-17) .B.18) Константа с, называемая иногда координационным числом, определяет число ближайших к данному узлу соседей. Функция Zg, как это видно из B.14)., представляет собой с точностью до множителя exp [Na,/(kT)] статисти- ческую сумму B.4) для решетки Изинга; таким образом, установлена простая связь между моделью Изинга и би- нарным сплавом. При этом важнейшие термодинамические свойства фер- ромагнетика и бинарного сплава оказываются тесно свя- занными друг с другом. Например, среднее число узлов, занятых атомами каждого сорта, можно выразить через намагниченность: м М B.19) B.20) В специальном случае решетки Изинга без магнитного поля, когда Н, а следовательно, и SB равны нулю, больц- мановский множитель в статсумме B.4) инвариантен отно- сительно преобразования ст,--*-.—Oj, так что <<Г/} = 0 и поэтому М = 0. Для бинарного сплава соответствующее свойство описывает равенство {N±) = {Nz} = N12. Поэто- му решетка Изинга без поля изоморфна сплаву, состоящему из одинакового числа атомов первого и второго сорта. При К > 0 решетка Изинга является моделью ферро- магнетика, при /С< 0 — антиферромагнетика. Для бинар- ного сплава К > 0 соответствует однородному раствору, расслаивающемуся при низких температурах на две фазы, а К < 0 — сплаву замещения, для которого упорядочен- Лекции по модели Изинга 101 -н»о н»о ным состоянием при низких температурах является чередо- вание атомов первого и второго сортов в кристаллической решетке. Если предположить, что магнитное уравнение состоя- ния, вытекающее из модели Изинга, подобно уравнению, полученному из эксперимента, то рассчитанные кривые охлаждения для твердых растворов яр — у-изотер- мы окажутся качественно правильной формы. Следо- вательно, на модели Изинга видно, каким образом мно- гочастичные взаимодейст- вия приводят к различного рода критическим явле- ниям. Предполагая, что мо- дель Изинга качественно верно передает магнитное уравнение состояния, пе- рейдем к дальнейшему рас- смотрению модели бинар- ных твердых растворов. Для твердых растворов за- M/NjU0 N///V Фиг. 1. Связь между намагни- ченностью при постоянном внеш- нем магнитном поле и двухфаз- ным равновесием в бинарной системе. данной концентрации NJN значение намагниченности эквивалентной решетки Изинга определяется фор- мулами B.19) и B.20). Тогда, зная температуру Т, можно найти эквивалентное внешнее магнитное поле Н, если двигаться вдоль изо- термы и выбрать величину Н, связанную с данным М. Заметим, что при фиксированной концентрации Н растет с увеличением температуры. Другая возможность установления связи между NJN, M/(N[i0), Н и Т состоит в построении графика функции М/\л0 от температуры Т при постоянном Н (фиг. 1), причем на этом же графике может быть изображена и концентра- ция NJN. Очевидно, что если Н — фиксированно, то с ростом Т кривая M/(N\i0) стремится к нулю, т. е. NJN. ->- V2. По-видимому, наиболее интересной из
102 Э. Монтролл кривых с постоянным Н является кривая спонтанной намагниченности. Она соответствует кривой критических концентраций, что видно из следующего рассуждения. Возьмем твердый раствор, содержащий, скажем, 90% частиц второго сорта (см. пунктирную линию на фиг. 1). При температурах, более высоких, чем температура замер- зания, твердый раствор продолжает существовать вплоть до температуры Т1г когда частицы первого сорта начинают выпадать в осадок. Если температура продолжает пони- жаться, кривая Н = 0 достигает максимума, соответст- вующего максимальному числу частиц первого сорта, кото- рые можно растворить в веществе, состоящем из частиц второго сорта, при выбранной температуре. Модель Изинга изоморфна также ячеечной модели жид- кой бинарной смеси. Опять-таки нужно разделить объем на ряд тождественных ячеек, достаточно больших, чтобы почти все ячейки содержали по одной молекуле, и доста- точно малых, чтобы в одной ячейке практически никогда не находилось больше одной молекулы. Тогда соответст- вующие величины вводятся также, как это было сделано для твердых растворов. 2.3. Модель Изинга для решеточного газа Статсумма для большого.канонического ансамбля, соот- ветствующего газу в объеме V, B.21) Zg(T, |x, T/) = 2jAfZcG\ N, V), ехр где Zc— конфигурационная статсумма: Zc — ехп ехр v ±SSL kT \ da I aq- B.22) B.23) Плотность и давление определяются следующими выра- жениями: N kT д , „ .~ т. Р = — = — -^ In Zg (T, \i, V), P = kT\nZg{T, ix, V). B.24) B.25) Лекции по модели Изинга 103 Так как обычно, кроме температуры и объема, известна либо плотность, либо давление, то для определения входя- щего в B.22) химического потенциала [i нужно решить либо уравнение B.24), либо B.25). Ли и Янг [24] рассмотрели в качестве модели газа решетку, которая получается, если объем V разделить на V равных частей (соответствующим выбором единиц можно привести объем каждой ячейки к единичному объ- ему). Предполагается, что потенциал ф является суммой парных потенциалов ф%: оо, если два атома находятся в одной и той же ячейке, ¦4/, если атомы занимают соседние ячейки, 0 во всех остальных случаях. B.26) Такой потенциал взаимодействия удовлетворяет обыч- ным требованиям, а именно: отталкивание между частица- ми на очень малых расстояниях, притяжение — на про- межуточных и отсутствие взаимодействия на достаточно больших расстояниях. Припишем /-й ячейке координату Oj, равную (+1), если в ячейке находится атом, и (—1), когда ячейка пуста. В узле решетки не может находиться более одного атома (так как ф2 = °°). Потенциальная энергия газа может быть записана в виде ф=-кТК B.27) так что где штрих у знака суммы означает, что суммирование по <?i = ± 1, .. ., оу = ± 1 проводится при дополнительном условии 2 1/зA +<*]) = N, Использование статсуммы для большого канонического ансамбля позволяет избавиться
104 Э. Монтролл от этого ограничения, так что V ... 2 Ki x X ехр О s B-29) v X exp [iCj a/ft 2 х ar=±l 3, fe=i B.30) где ¦§- In {2nhr*mkT) + ^f-, B.31) i- In A,, = а с — координационное число решетки. Таким образом, статсумма для большого канонического ансамбля в модели решеточного газа пропорциональна статсумме в модели Изинга. Тем самым основные термодинамические свой- ства ферромагнетика и решеточного газа оказываются свя- занными. Например, плотность решеточного газа равна 3=1 или К 2 ^ 2,V[i0 v ' ^ Давление определяется следующим образом: р — In Z (Т и, V) = и // с .__ - B 34) где F/iV — свободная энергия, приходящаяся на одну частицу в решетке Изинга. Связь между р — и-изотермами и магнитным уравне- нием состояния в модели Изинга ясна из фиг. 2. Предпо- ложим, что (М, Я)-изотермы модели Изинга качественно. Лекции по модели Изинга 105 такие же, как у реальных магнитных материалов. Эти изо- термы показаны на фиг. 2, где в первом квадранте изобра- жена зависимость функции M/(iVjA0) от Я, а в четвертом квадранте — зависимость M/(N\i.Q) от (—Н). Высокотем- пературные изотермы расположены ниже оси Н. В левой полуплоскости фиг. 2 показано также изменение v в зави- симости от M/(N\i0) [см. B.33)]. Для температуры Т± (Тх < Тс) р—у-изотерма полу- чается следующим образом. Нужно определить величину Н, Т,<ТС Фиг. 2. Схема перехода от магнитного уравнения состояния к уравнению состояния для жидкости. соответствующую большому значению удельного объема v (обозначенного на фиг. 2 буквой А), и подставить ее в вы- ражение B.34) (напомним, что / постоянно, a F зависит только от Я и Т{). Величина M/(N\i0), соответствующая v, определяется точкой В, а величина Н —точкой D. Значе- ние Н растет с уменьшением v (для больших v Н отрица; тельно) до тех пор, пока не будет достигнута точка Е, которой соответствует Н = 0, причем Н остается равным нулю, когда v меняется от Е до F. Так как в этой области Н и Т постоянны, то остаются постоянными также свободная энергия Изинга F, а значит, и давление р, так что спонтан- ная намагниченность в модели Изинга прямо связана с равновесием газ — жидкость в решеточном газе. При дальнейшем уменьшении v (правее точки F) продолжается
106 Э. Монтролл рост Н и проявляется «жидкая» ветвь р — о-изотермы. Если Т > Тс (как для изотермы Т2 на фиг. 2), спонтанная намагниченность равна нулю, Н и р — монотонно убываю- щие функции и равновесие жидкость — газ невозможно. Очевидно, что если модель Изинга качественно верно передает магнитное уравнение состояния, то модель, исхо- дящая из двух возможных значений переменной и учиты- вающая взаимодействие ближайших соседей, будет также качественно верно описывать и другие кооперативные явле- ния. Расчет статсуммы для модели Изинга будет сделан после обсуждения одномерных систем. 3. Применение матричного метода при исследовании статистики решетки 3 1. Одномерная решетка Изинга и матричный метод [25—30] Для изучения термодинамических и магнитных свойств модели Изинга использовались два различных метода. В первом статсумма выражается через шпур матрицы высокого порядка и, следовательно, расчет сводится к на- хождению наибольшего собственного значения матрицы. Именно таким методом Онсагер впервые рассчитал стат- сумму для двумерной решетки. В дальнейшем мы будем применять иной, комбинаторный метод; однако здесь мы сделаем несколько замечаний относительно матричного метода, в частности замечания касаются расчета одномер- ной цепочки и общих условий существования дальнего порядка. Расчет статсуммы для одномерной цепочки Изинга в отсутствие внешнего поля весьма прост. Заметим, что = 2 2 N-1 Я-2 ¦ 2_ exp К .2 о&щ 2 exp (KoN-iON). C.1) Лекции по модели Изинга 107 Ho S exp (/Ctfff-iaff) = exp G<aff-i) + exp (— KeN-i) = 2 ch К независимо от значения oN-t (+1 или —1). Следовательно, ZN = Z^.i B ch К) = ZN-2 B ch КJ = Z2 B ch K)N~2. Ho так что ZiV = 2Bch/C)w-1. C.2a) Отсюда найдем, что теплоемкость как функция темпе- ратуры C.26) C.3) имеет при Т > 0 максимум, а не сингулярность. В присутствии магнитного поля статсумма N JV Z= 2 ... 2 ехр (/С 2<№> в отличие от C.1) не может быть непосредственно вычис- лена. Для расчета Z матричным методом вводится матрица Р второго порядка с матричными элементами где G] = ± 1 определяет две строки, a 0/+i = ±l—два столбца матрицы Р. Тогда C.46) exp( — К ехр (— К — \ао3в) ехр (К — Если теперь обозначить матричный элемент Pik> (о, с') через Ph, то статсумма запишется в виде z= 2 ••• 2 P(oit <у2)Р(о2, о3)... 2 Р (<%-i, oN) P (aN, Oi) = l
108 — 1л ... Р{ Э. tl < S i Монтролл 3(W) (fi, cr2) = S h) • •. ippw=2? ij , C .5) где Я/ — собственные значения матрицы Р. Из C.3) сле- дует, что Л2 ch sh2 C.6) Для больших N необходимо использовать лишь наиболь- шее собственное значение Х,1; так как Следовательно, ,. lnZ hm ,, = при iV—>-oo. C.7a) l C.76) Таким образом, основной результат матричного метода состоит в сведении проблемы нахождения статсуммы к на- хождению наибольшего собственного значения матрицы, характеризующей рассматриваемую модель. Термодинамические свойства системы непосредственно вытекают из соотношений C.5) и C.7). Намагниченность /vi Э In Я^ t ' > j '¦¦ — -» c-fs\ М'Л ^i* м N C-8) Отсюда видно, что спонтанная намагниченность (предель- ное значение М при Зё—*-0) равна нулю, т. е. рассматри- ваемая система не обладает ферромагнетизмом, или дальним порядком. Теплоемкость является непрерывной функцией температуры, и, следовательно, в данной модели невозмо- жен фазовый переход. Для решения вопроса о существовании дальнего поряд- ка лучше всего обратиться к изучению корреляций на больших расстояниях. При этом тоже можно воспользо- ваться матричным методом. Действительно, предположим, что для цепочки со свободными концами вероятность нахождения первого спина цепочки в определенном состоя- Лекции по модели Йзинга 109 нии задается вектором Вероятности нормированы так, чтобы или если то Например, если и±е = 1. C.9) U!(-l)=l, C.10) (ЗЛ1) и,= то вероятность того, что спин направлен «вверх» в три раза больше, чем «вниз». Вектор, определяющий вероят- ность распределения «вверх» или «вниз» для второго спина в цепочке из двух спинов, «2 = 2 " 1 (<*i) exp {Карг + H-o-^i) <7i=±l 2 2 "i(<?i) C7i=±l G%=±1 или с помощью матрицы Р' — транспонированной матрицы Р [см. C.46)]: и{Ре ' C.12) Точно так же вектор, определяющий вероятности рас- пределения для последнего спина (в цепочке из N спинов) по отношению к первому, равен '"W^-. C.13) Собственные значения Xj матрицы Р и Р' совпадают. Если Vj и Wf—собственные векторы, т. е. P'wj = KjWj, C.14)
по Э. Монтролл то хорошо известно, что при соответствующей нормировке v'3wk = 8jh. C.15) Вектор «1 можно представить в виде линейной комби- нации векторов W/. Cj = Тогда из C.13) получаем ИЛИ c2 c2 / X^ \Л-1 ^г (it) wi Так как ?ц 2, то \JV-1 •О при C.16) C.17) C.18) i, так что C.19) Таким образом, вероятность состояния для N-vo спина не зависит от коэффициентов с± и сг, а значит, и от вероят- ности состояния щ для первого спина. Такое отсутствие корреляции между спинами означает отсутствие дальнего порядка. Матричный метод, использованный нами для расчета статсумм и выяснения вопроса о существовании дальнего порядка, может быть применен не только для одномерных, но и для многомерных моделей. В общем случае можно считать, что решетка состоит из последовательных слоев (например, ряд за рядом —в прямоугольной решетке или плоскость за плоскостью — в кубической). Слой / взаимо- действует только с (/ + 1)- и (/ — 1)-слоями, так что эле- ментами матрицы Р являются больцмановские множители, соответствующие взаимодействию /-го слоя с (/ + 1)-м, а также с внешним полем. Тогда, как и выше, статсумма является шпуром матрицы Рт, где т—число слоев. Лекции по модели Изинга 111 Существенно, что в предельном случае бесконечной решет- ки матрица Р, вообще говоря, бесконечна. Тем не менее уравнение C.7) по-прежнему справедливо и статсумма выражается через наибольшее (по абсолютной величине) собственное значение матрицы Р. Это верно даже для случая вырожденных собственных значений (за исключе- нием экспоненциального роста степени вырождения с рос- том размерности матрицы). Общий метод расчета параметра дальнего порядка не меняется, и C.18) переписывается в виде где предполагается, что | Xt | ^ | X2 | ^> | X3 | >- . . . . Однако теперь вопрос о вырождении Xt становится прин- ципиально важным; так, для | At | = | Х2 | > | Х3 | ^ . . . UN так что u'n зависит от ct и Cz, т. е. я от щ. А это и соответ- ствует наличию дальнего порядка. Таким образом, необ- ходимым условием существования дальнего порядка является равенство | Х± | = | Х2 |. Теорема Фробениуса [31] позволяет сделать некоторые общие выводы. Теорема утверждает, что если все элементы конечной матрицы положительны и конечны, то имеется только одно наибольшее (по модулю) собственное значение, а все характеристические векторы положительны. В при- менении к одномерной решетке эта теорема подтверждает уже известный нам результат об отсутствии дальнего порядка, поскольку вероятности u'n, а значит, и все вели- чины w\ в C.19) положительны. Согласно этой теореме, дальний порядок невозможен даже в решетке, содержащей бесконечное число конечных слоев. Для бесконечного числа слоев теорема неприменима. На самом деле, как будет показано в разделе 5, в бес- конечной прямоугольной решетке Изинга происходит фазовый переход и существует дальний порядок.
112 Э. Монтролл 4. Комбинаторный подход к решению задачи Изинга Комбинаторный метод будет использоваться в дальней- шем для получения точных формул, описывающих термо- динамические и магнитные свойства двумерных решеток и оценок различных критических индексов для трехмерных решеток. Этот метод был впервые использован Кацем и Уордом [32] с целью упрощения точного решения Онса- гера для двумерной решетки. Домб и сотр. [33] впервые использовали полученные комбинаторным методом ряды для оценок критических индексов. В этом разделе содержится систематическое изложение высоко- и низкотемпературных рядов для статистической суммы в виде определенных решеточных диаграмм. Для двумерного случая дана связь этих диаграмм с моделью Изинга и способ размещения димеров на двумерной решет- ке. Этот результат был впервые получен Кастелейном [34]. 4.1. Высоко- и низкотемпературные разложения Мы покажем, как можно получить высоко- и низкотем- пературные ряды для различных термодинамических и маг- нитных величин. Сначала рассмотрим случай, когда маг- нитное поле отсутствует. При этом статсумма B.4) пред- ставляет собой сумму произведений множителей вида ехр (Коо'). Разложение такого множителя в ряд по К с учетом того, что сг2 = 1, имеет вид ехр (Коо') = 1 + -1-/С2 (стст') + 4г((У(У'L + • ¦ •+К(оо') + + Jg_(cra'K+ ... = сЪ'К + оо'sh К = ch К A+zoo'), D.1) где z=.th/C- Тогда статсумма равна 2 П <7=±1 б. С D.2) где с — число ближайших соседей для каждого узла решетки, N — общее число узлов, а индекс б. с. означает операцию для ближайших соседей. Раскрывая произведе- Лекции по модели Изинга 113 ние в D.2), получаем 1 + Z 2 OiOj + 22 2 OiOj 2 ОгОт б б 2 б. с 2 j 2 б. с б. с + Z3 2 OiOj 2 б б 2 СТ80г + . . . . D.3) б Этот ряд представляет собой высокотемпературное раз- ложение статсуммы, так как z = th [Jl{kT)\ -»- 0 при Т-> оо. • • Фиг. 3. • • • • • • • ' • » • • • Фиг. 4. Каждое произведение 0гст7-, относящееся к паре бли- жайших узлов решетки, может быть изображено отрезком (связью), соединяющим узлы i и /. Тогда каждое слагаемое, содержащее г, может быть представлено графиком типа фиг. 3, а слагаемые с 22 — одним из двух изо- браженных на фиг. 4 графиков соот- ветственно со связанными и несвязан- ными между собой отрезками. В графиках второго типа / = т, так что OiOjOiOjn ^ OiO"jOi s= огоi. Любая точка, через которую проходит четное число связей, дает множители сг2, которые равны единице. Полностью замкнутые графики (фиг. 5) содержат произве- дения сг вида а1сг2ст2<УзО:зО:4Ог4О:5ОГ5ОгбСГбОг1 = 1. Следовательно, для замкнутых графиков исчезают все сг, в то время как для графиков со свободными концами остается столько сг, сколько свободных концов у данного графика. Так как -1) = 0, D.4) Фиг. 5. то все слагаемые в D.3), которым соответствуют графики' со свободными концами, обращаются после суммирования по a в нуль. 8-0826
Э. МонтролЛ Так как S 1=2, 1 D.5) то каждое слагаемое, которому соответствует замкнутый график, вносит в статистическую сумму вклад 2^ (ch K)cN/2. Таким образом, получаем Z = 2N (ch K)nN/2 S n (r) zr, D.6) где n(O) = l, a n (r)—число замкнутых графиков с г связями, которые можно разместить в данной решетке. Для квадратной решетки п B) = п C) =0, а я D) — число способов, которыми можно расположить квадрат а I > • 1 г ?:: • • • а • • а a 6 д в i i >— \ i i > к >—— < 1 > Фиг. 6. с четырьмя связями на решетке из N узлов (для удобства будем использовать периодические граничные условия, так что решетка имеет форму тора). Это число равно N, так как левый нижний угол каждого квадрата может распола- гаться в любом из N узлов решетки. Точно так же п*F) = = 2N, так как многоугольник с шестью связями может быть ориентирован большими сторонами по вертикали или по горизонтали (фиг. 5). На фиг. 6 показаны различные типы многоугольников с восемью связями, причем на фиг. 6, а — в, д многоуголь- Лекциа по модели Изинга 115 ники связаны, а на фиг. 6, г не связаны. Всего возможно N графиков типа a, 2N—типа б, 2N—типа в и 4N — типа д. Для случая г первый квадрат может быть размещен N способами на решетке из N узлов. Второй квадрат, кото- рый не соприкасается с первым, может занять (N — 9) узлов. Всего, таким образом, возможны N (N — 9)/2 гра- фиков типа г. Итак, общее число восьмиугольников равно N(N-9) т 9N ^v-г- 2 ~2^2* Первые слагаемые ряда D.6) имеют следующий вид; Z = 2N(chKJN[l-hNz*+ 2JV26 + Y(iV24-9JV)z84- ...]. Так что при N- ¦ oo Таким же способом получаются разложения статисти- ческой суммы для других двухмерных, а также для трех- мерных решеток. Конечно, построение и расчет всех замк- нутых многоугольников данного порядка для трехмерной решетки сложен и утомителен, хотя группа из Королев- ского колледжа добилась заметных успехов в этом направ- лении. Например, согласно данным этой группы, разло- жения корня степени N из статистической суммы для трех кубических решеток имеют вид: для простой кубической решетки ХA 4-324 + 22264-19228+204б2104-248532124- • •.). D-7а) для объемноцентрированной кубической решетки Zl'N == 2 (ch КУ A 4- 12г* + 1482е 4- • + 25682s 4- 53944210 4- . . .). D-7б) для гранецентрированной кубической решетки Zi/n = 2 (ch К)в A 4- 823 4- ЗЗг4 4- 168z5 + 962z6 + + 5928г7 4- 389072s 4- 26805629 + . . .). D.7в) Используя эти ряды, можно получить разложения для всех термодинамических величин — внутренней энергии, теплоемкости и др. 8*
lie Э. Монтролл Гораздо проще работать с высокотемпературными ряда- ми для восприимчивости в нулевом поле; эти ряды будут рассмотрены в разделе 7. Уравнение D.6) можно обобщить, включив в него более сложные взаимодействия. Так, если, например, Ki—ве- личина взаимодействия между ближайшими по горизонта- ли соседями в квадратной решетке, а Кг — аналогичная величина для вертикальных соседей, то статистическая сумма имеет вид " Z = (chKiChK2)N2N%^n(r,s)thrKithsK2. D.8) Г S Подобным же образом можно получить низкотемпера- турные ряды. Наинизшая энергия ферромагнитной решетки Изинга соответствует параллельной ориентации всех спи- t t t t t t t t t t t t t J t t t t t t t t \ \ t t t t t t а о в Фиг. 7. Основное (а), а также первое (б) и второе (в) возбужден- ные состояния для квадратной решетки Изинга. нов. Больцмановский множитель, связанный с этим состоя- нием, равен exp (NKc/2), где с, как и раньше, число бли- жайших соседей данного узла решетки. Статистический вес этого состояния равен двум, поскольку в отсутствие внеш- него поля м-агнитный момент упорядоченного состояния может быть направлен либо «вверх», либо «вниз». Первое возбужденное состояние — состояние с одним перевернутым спином (фиг. 7, б). При этом энергия изме- няется на величину 2К для каждой пары «неправильных» связей, а число таких пар равно с. Перевернутый спин может находиться в любом из N узлов. Таким образом, при К —*- °° имеем ^^^ + • • ¦ • D-9а) Лекции по модели Изинга 117 так что zl/N. Ol/N Kc/2 D.96) Слагаемые следующего порядка соответствуют перево- роту двух спинов, находящихся на соседних узлах решетки (фиг. 7, в). Возникновение множителя «два» связано с рав- новероятностью направления параллельных спинов «вверх» или «вниз» в- основном состоянии системы в отсутствие внешнего поля. В общем случае при Н = О Z = 2eiVKc/22m(r)e-2x'\ D.10) где т (г) — число способов, какими г «неправильных» свя- зей могут быть размещены в решетке. В качестве примера приведем первые пять членов низкотемпературного разло- жения статистической суммы для объемноцентрированной кубической решетки: Zl/N = ога A + ш8 + 4ш14 — |- ш16 + — 64шза DЛ1) где w = ехр (—2К). 4.2, Дуальность Используя определенную симметрию, которая прояв- ляется при матричном методе решения задачи Изинга, Крамере и Ваннье [25] получили интересное соотношение между высоко- и низкотемпературными рядами для стати- стической суммы квадратной решетки. Хотя это соотно- шение и не помогает найти аналитическое выражение стати- стической суммы, оно позволяет определить положение точки Кюри, если она существует. Онсагеру удалось обоб- щить это соотношение на широкий класс двумерных решеток. Каждой решетке Онсагер ставит в соответствие «дуаль- ную» решетку, построенную из перпендикуляров к середи- не каждой связи исходной решетки, пересекающихся в центрах ячеек исходной решетки. На фиг. 8, а сплош- ными линиями изображена квадратная решетка, а пунк- тирными— дуальная ей, на фиг, 8,6 показаны гексаго-
118 Э. Монтролл нальная и дуальная ей треугольная решетки. Квадратную решетку будем называть самодуальной, поскольку дуаль- ная ей решетка также квадратная. .1- X X X • • X a Фиг. 8. Построение «дуальных» решеток. Квадратная решетка самодуальна (а); треугольная решетка дуальна гекса- гональной (б). Для установления связи между высоко- и низкотемпе- ратурными рядами для статистической суммы проведем геометрические рассуждения на • •••••• примере квадратной решетки (фиг. 9). Узлы решетки, для ко- торых а = +1, обозначим точ- ками, а узлы, соответствующие о = —1,— крестиком. Каждая связь, соединяющая узлы с про- тивоположно направленными спинами, делится пополам связью дуальной решетки. Ясно, что в случае периодических гранич- ных условий совокупность свя- зей дуальной решетки образует замкнутые многоугольники типа описанных в предыдущем пара- графе и что число связей у даль- кой решетки в точности равно числу пар противоположно направленных спинов в исход- ной решетке. Действительно, существует взаимно одно- значное соответствие между расположением связей, сое- диняющих узлы с противоположно направленными спи- нами в исходной решетке, и замкнутыми графиками с тем же числом связей в дуальной решетке. Фиг. 9. Связи для квад- ратной решетки. В двумерном случае связи в дуальной решетке, которые охватывают перевернутые спи- ны, образуют замкнутые мно- гоугольники. Лекции по модели Изинга 119 Сравнивая определения D.6) и D.10) функций п (г) и т (г), замечаем, что т (г) = nD (r), mD (г) = п (г), D.12) где индекс D относится к функциям дуальной решетки. Эти соотношения справедливы не только для рассмотрен- ной нами квадратной решетки, но и для других типов двумерных решеток. Для квадратной решетки можно опу- стить индекс D, поскольку дуальная решетка тоже квад- ратная. Определим К* с помощью соотношения thtf*=e-2K. D.13) Можно записать выражения D.6) и D.10) для Z в сле- дующем виде: Z (К) е~тк'г = 2 т (г) е-2Кг = = 2 nD (r) thr К* = ZD (К*) [2Nn (ch K*)Noco/2]-i. г Число связей в исходной и дуальной решетках одина- ково: NDcD/2 = Nc/2, поэтому можно несколько упростить последнее соотношение: Z (К) = ZD (К*) 2~"D B sh 2K)NcJk. D.14) Большое значение величины К* связано с малостью К. Следовательно, высокотемпературный ряд для статистиче- ской суммы любой решетки непосредственно связан с низ- котемпературным рядом для статистической суммы дуаль- ной решетки. Для самодуальной решетки, например для квадратной, соотношение D.14) означает, что если имеется сингуляр- ность при температуре Т = JlkK, то имеется также син- гулярность при температуре Т* = JlkK* (К). Если, одна- ко, интуитивно ясно, что возможна только одна сингуляр- ность, она должна быть при Т = Т*. Из D.13) видно, что эта критическая точка определяется равенством | sh 2/Сс I = 1, Кс = ±0,4407, D.15) где К с положительно для У>0и отрицательно для J < 0. Подставляя Т = Тс в D.14), видим, что соотношение D.14)
120 Э. Монтролл удовлетворяется тождественно, т. е. при Те функция Z остается непрерывной. Приведенные выше рассуждения непосредственно непри- менимы к треугольной и гексагональной решеткам, посколь- ку они не самодуальны. Однако Онсагер нашел точку Кюри с помощью другого, несколько отличного соотношения для треугольной и гексагональной решеток, так называемого звездно-треугольного преобразования. Оно связывает высо- котемпературное поведение треугольной решетки с низко- температурным поведением гексагональной. Сочетая звезд- но-треугольное и дуальное преобразования, можно связать низко- и высокотемпературное поведение треугольной (а также гексагональной) решетки. 4.3. Связь между статистической суммой двумерной решетки Изинга и димерными конфигурациями Прежде чем приступить к расчету статистической сум- мы двумерной решетки Изинга, рассмотрим задачу о раз- мещении на двумерной решетке димеров — двухатомных молекул, занимающих два узла решетки. Предположим, что имеется столько димеров, сколько необходимо, чтобы все узлы решетки были заняты, но каждый узел относился бы только к одному димеру. Размещение 32 димеров на 8 X 8 квадратной решетке эквивалентно размещению на шахматной доске 32 костей домино при условии, что каждая из них занимает две клет- ки доски. На фиг. 10 показаны типичные конфигурации димеров на квадратной решетке. Фаулер и Рашбрук впер- вые рассмотрели вопрос о числе способов размещения димеров на решетке при расчете энтропии двухатомного газа, адсорбированного на поверхности кристалла. Для аналитического исследования статистики димеров удобно ввести производящую функцию димеров. Для квад- ратной решетки, содержащей N узлов, со статистическими весами zt и г2 соответственно для горизонтальных и верти- кальных димеров эту функцию можно задать в виде («1. *з) = 2 - g (Ъ, ni+ns=N/2 D¦• 16) Лекции по модели Изинга 121 где g (n±, n2) — число возможных конфигураций с щ гори- зонтальными и п2 вертикальными димерами. В тривиаль- ном случае квадратной решетки B X 2) Ф(г1; z2)=z\ + z\. D.17) Общее число конфигураций димеров всегда равно Ф A, 1). В следующем параграфе мы найдем производящую 41 42 43 44 45 46 47 48 33 34 35 36 37 38 39 40 25 26 27 28 29 30 31 32 17 18 19 20 21 22 23 24 9 10 11 12 13 14 15 16 12 3 4 5 6 7 8 I I I I I I I I Фиг. 10. Две типичные конфигурации димеров. функцию димеров с помощью так называемых пфаффианов. В этом параграфе мы закончим рассмотрение комби- наторики доказательством непосредственной связи статисти- ческой суммы изингового ферромагнетика для квадратной решетки с производящей функцией димеров для не-
Фиг. 11. Декорированная решетка, для которой конфигурации димеров соответствуют конфигурациям многоугольников для квад- ратной и гексагональной решеток Изинга. Фиг. 12. Однозначное соответствие между конфигурациями диме- ров в единичной ячейке декорированной решетки и связями в квад- ратной решетке Изинга. Лекции по модели Изинга 123 сколько более сложной декорированной решетки, показан- ной на фиг. 11. Связь между конфигурациями димеров и моделью Изинга была впервые установлена Кастелей- ном [34]. Декорированная решетка, которую мы сейчас рассмотрим, эквивалентна решетке, впервые использован- ной Фишером [35]. Покажем, что имеется однозначное соответствие между каждой возможной конфигурацией замкнутых многоуголь- Фиг. 13. Единичные ячейки для квадратной решетки Изинга (а) и для декорированной решетки (б). ников в квадратной решетке Изинга и конфигурацией димеров в декорированной решетке (фиг. 12). Заметим, что квадратная решетка может быть построена из показанных на фиг. 13, а единичных ячеек, представляю- щих собой замкнутый квадрат, который всеми четырьмя сторонами примыкает к другим единичным ячейкам. Анало- гичным образом декорированная решетка может быть построена из ромбических единичных ячеек (фиг. 13, б), каждая из четырех сторон которых соприкасается с сосед- ними ячейками. Если наша декорированная решетка составлена из такого, же числа единичных ячеек по гори- зонтали и по вертикали, что и исходная квадратная решет- ка, то имеется однозначное соответствие между единичными ячейками квадратной и декорированной решеток. Точно так же имеется соответствие между сторонами квадратной и ромбической единичных ячеек. Различные слагаемые в высокотемпературном разло- жении статистической суммы D.6) и соответствующие им
124 Э. Монтролл замкнутые многоугольники можно охарактеризовать, задав определенную конфигурацию связей, исходящих из каж- дого узла исходной решетки Изинга. В случае квадратной решетки существуют восемь таких конфигураций; они показаны на фиг. 12. При этом одна из них соответствует четырем связям, приходящим в данный узел, четыре — двум связям, выходящим из узла под прямым углом друг к другу, две—двум связям, лежащим на одной прямой, и одна не содержит ни одной связи. На фиг. 12 показано однозначное соответствие между указанными восемью состояниями и конфигурациями диме- ров в единичной ячейке декорированной решетки. Благо- даря однозначному соответствию между единичными ячей- ками и конфигурациями связей в этих ячейках существует также однозначное соответствие между конфигурациями замкнутых многоугольников на решетке Изинга и конфигу- рациями димеров на декорированной решетке. Таким обра- зом, если г^ — статистический вес для каждого горизон- тального димера, пересекающего первую и третью стороны единичной ячейки декорированной решетки, а гг — для вертикального димера, пересекающего четвертую и вторую стороны, то статистическая сумма для квадратной решетки Изинга с точностью до множителя (ZchKichKz)™ равна производящей функции димеров для декорированной решет- ки в предположении, что каждый димер, локализованный внутри ромба и не пересекающий его сторону, имеет ста- тистический вес, равный единице, т. е. Z(zu z2) == Bch/Cich/C2)-'vO (zt, г2), D.18) где N — число узлов решетки. 5. Статистика димеров и расчет статистической суммы для двумерной решетки Изинга 5.1. Характеристика димерных конфигураций и пфаффиан На фиг. 10 показаны некоторые возможные конфигура- ции димеров для квадратной решетки, имеющей четное число узлов. Удобно приписать каждой конфигурации димеров некоторый набор чисел, состоящий из последова- Лекции по модели Изинга 125 тельности пар чисел, соответствующих парам узлов, на которых расположены димеры. Для простоты будем вести отсчет слева направо в нижнем ряду, затем слева направо — в следующем ряду и т. д., пока не дойдем до самого верх- него ряда. Так, конфигурация, изображенная на фиг. 10, описывается следующим набором чисел: A, 9) B, 3) D, 12) E, 13) F, 7) (8, 16) A0, 18) A1, 19) A4, 15) A7, 25) B0, 21) B3, 24) B6, 34) B7, 35) B8, 36) B9, 37) C1, 39) C2, 40) C3, 41) C8, 46) D2, 43) D4, 45) D7, 48). E.1) Нижний ряд заканчивается на (8, 16), верхний начи- нается с A0, 18) и т. д. Каждое из чисел последовательно- сти 1, 2, . . ., 48 входит в какую-нибудь пару. Очевидно, что любая возможная конфигурация димеров описывается рядом (Ри Рг) (Рз, Pi) ¦ ¦ ¦ (Pzj, pi8), E.2) где последовательность рх, р2, . . ., р48 представляет собой такую перестановку чисел 1,2, . . ., 48, что Pi < Рг, Рз < Pi, Ps < Ре» - • •> Pi<C Рз<Ср5, ... . E.3а) E.36) Возможны только такие перестановки, которые затра- гивают пары чисел (р, р'), соответствующие ближайшим узлам решетки. Существует связь между конфигурациями димеров и разложением определенных алгебраических объектов, так называемых пфаффианов. Пусть дана анти- симметричная матрица А четного порядка, скажем 2N, элементы которой а (р, р') удовлетворяют условию а (Р, Р') = —а (р'г р). E.4) Тогда пфаффиан, соответствующий этой матрице, опреде- ляется следующим образом: Pf (Л) = 2 8Ра (ри р2) а (р3, Pi) ... а (рш-i, Р*я), E.5а) Pi < Рг, Рз < Pi, p5<C p6, . . ., E.56) Pi < Рз < Ps ¦ . . . E.5в)
126 В. МонтролЛ Суммирование, в E.5а) проводится по всем перестанов- кам, удовлетворяющим указанным выше условиям, кото- рые задаются неравенствами E.3). Знак перестановки Р оп- ределяется множителем бр, причем Ьр = +1, если (Pi, P2, Рг, .'¦ ., Pzn) получено чет- ным числом перестановок из натураль- ного ряда A,2, . . ., 2N), и бр = —1 при нечетном числе перестановок. Кроме того, хорошо известно [36, 37], что Pf (A) = (det AI'2. Если элементы матрицы А выбра- ны так, что а {р, р') = 0, когда р и р' не относятся к ближайшим сосе- дям, то существует однозначное соот- ветствие между слагаемыми в Pf (Л ) и конфигурациями димеров на решет- ке, содержащей 2N узлов [38, 39]. Фиг. 14. Конфигу- рации димеров в слу- чае двух димеров и четырех узлов ре- шетки. Пфаффиан можно записать и в другой форме: )a(l, 3)a(l, 4) ...a(l, 2/V) a B, 3)aB, 4) ... a B, 2JV) aBiV— 1, 2N) . E.6) Это выражение может быть раскрыто по строкам или по столбцам так же, как это делается при разложении детерминантов. Однако минор элемента а (г, s) представ- ляет собой пфаффиан 2 (N — 1)-го порядка, полученного из исходного Pf (А) вычеркиванием r-го и s-ro столбцов и r-й и s-й строк. Полное разложение общего пфаффиана для N = 2 имеет, вид 2)аA,3)аA,4) а B, 3) а B, 4) а C, 4) 2)аC, 4) (, 3)аB, 4) + а A,4) а B, 3) - E.7) Рассмотрим теперь простейшую квадратную решетку, четыре узла которой показаны на фиг. 14. Если ввести Лекции по модели Йзинга обозначения а{\, 2) = а C, 4) = ги а A, 3) = —22 = —а B, 4), а для узлов, на которых не могут быть размещены димеры, положить а (I, 4) = а B, 3) = О, то, согласно E.7), получаем выражение Pl{A)=z\ + z\, E.8) которое точно совпадает с производящей функцией диме- ров D.17) для этой решетки. На фиг. 15 показан несколько более сложный случай восьми узлов. На этой фигуре изображены пять возмож- I I I I 5 6 7 8 / г з I 1 I i Фиг. 15. Конфигурации димеров в случае четырех димеров и вось- ми узлов решетки. ных конфигураций димеров. Следовательно, производя- щая функция димеров равна Ф (Zi, z2) = 2* + 32*2* + 4- E.9) Эта функция совпадает с величиной пфаффиана: О О гА О — 23 О О г2 О О О О гх О О О О ¦гг О О гг О О zt О
128 Э. Монтролл в котором а A, 2) = а B, 3) = а C, 4) = а E, 6) = а F, 7) = = а G, 8) = zu —а A, 5) = а B, 6) = —а C, 7) = а D, 8) = z2. Хотя очевидно, что соответствие между производящей функцией димеров и пфаффианом однозначно, остается, однако, неясным вопрос о выборе знака различных z2 — выборе, который обеспечивал бы положительный знак Лекции по модели Изинга 129 Ь n d п Фиг. 16. Суперпозиционные многоугольники, образованные нало- жением стандартной конфигурации димеров на произвольную кон- фигурацию. всех слагаемых в разложении пфаффиана. Кроме того, необходимо установить общее правило выбора знаков, поскольку нам придется иметь дело с производящей функ- цией димеров для весьма сложных решеток. Прежде всего обозначим через -\-zi статистический вес для всех горизон- тальных связей между ближайшими соседями. Теперь нам осталось определить знаки для вертикальных связей. Кастеляйном была развита очень изящная общая теория выбора знаков для связей, которую мы сейчас изложим. Будем исходить из стандартной конфигурации (см. фиг. 10, верх), в которой все связи горизонтальны. При наложении стандартной конфигурации на произвольную конфигура- цию димеров (фиг. 16) возникает диаграмма, состоящая из замкнутых многоугольников и перекрывающихся изоли- рованных димеров. Назовем замкнутые многоугольники супер позиционными. В любом суперпозиционном много- угольнике димеры стандартной конфигурации, изобра- женные на фиг. 16 пунктиром, могут быть превращены в димеры произвольной конфигурации (показанные сплош- ными линиями) с помощью циклической перестановки, соответствующей перемещению по часовой стрелке всего многоугольника на величину, равную постоянной решетки. Использованная выше процедура описания конфигура- ций димеров была удобна для выяснения однозначного соответствия между конфигурациями димеров и разложе- нием пфаффиана. Однако эта процедура не единственная, а при установлении правила знаков она оказалась не самой удобной. Прежде чем ввести новый способ записи конфигу- рации димеров, следует заметить, что можно так записать каждое слагаемое в разложении пфаффиана, соответствую- щее конфигурации димеров, чтобы без изменения величины этого слагаемого избавиться от одного или обоих типов неравенств E.3). Эти неравенства вводились для того, чтобы каждая перестановка входила в разложение пфаф- фиана один и только один раз. Если в типичном слагаемом из формулы E.5а) ' Ьра (ри р2) а (р3, р4) . . ., E.10) которое соответствует перестановке чисел pl7 р2, Рз, ¦ • •» нарушено условие р%, <С р2, то замена a (pt, р%) на # (Р2, Pi) = —а (Pi> Рг) не приведет к изменению выраже- ния E.10), так как одновременно с изменением знака пер- вого матричного элемента изменится и знак бр, поскольку сделана лишь одна перестановка ближайших соседей в последовательности pit p2, .... Можно отказаться и от требований E.36), поскольку при этом произойдет лишь перестановка коммутирующих величин а (р±, р2) и а (р3, р±) в E.10), а последовательности ри р2, р3, pit „ . . и р3, Pi, Pi, p%, . . . отличаются четным числом перестановок и 8Р = 1. Новый способ описания конфигурации димеров, наиболее удобный для выяснения правил выбора знаков, связан с поворотом каждого замкнутого супер позиционного мно- гоугольника по часовой стрелке. На фиг. 16 в правом 9-0826
130 Э. Монтролл нижнем углу изображен многоугольник а E, 13) а A4, 15) а A6, 8) а G, 6). Стандартной конфигурации соответст- вует часть этого многоугольника: а A3, 14) а A5, 16) а (8, 7) а F, 5). При циклической перестановке, преобразующей после- довательность чисел A3, 14, 15, 16, 8, 7, 6, 5) в E, 13, 14, 15, 16, 8, 7, 6), часть многоугольника, соответствующая стандартной конфигурации, превращается в другую его часть, соответствующую произвольной конфигурации димеров. Перестановка чисел, которая связана с произвольно выбранной конфигурацией димеров, представляет собой совокупность последовательностей р], причем каждая последовательность соответствует расположению конечных точек димеров в суперпозиционном многоугольнике. Поря- док, в котором различные суперпозиционные многоуголь- ники появляются в наборе чисел p'j, несуществен. Если Ро — перестановка чисел, связанная со стандартной, а Р±— с рассматриваемой произвольной конфигурацией, то где Р2 — результат циклических перестановок, преобра- зующих стандартную конфигурацию в данную. Известно, что если три перестановки связаны соотношением E.11), то Лекции по модели Йзинга 131 = бР2бР0. E.12) G другой стороны, если Р2 состоит из п циклов clt с2, . . ., то 6Р2 = 6ei6c,6Cl. ... E.13) Поскольку все суперпозиционные многоугольники имеют четное число сторон, каждая циклическая перестановка нечетна, так что каждое бе = —1. Если можно выбрать знак каждого слагаемого в раз- ложении пфаффиана таким же, как для стандартной конфи- гурации, то каждый член пфаффиана будет, как и требует- ся, положительным. Этого можно добиться, если, например, потребовать, чтобы величина ' а (р3, р^) а [р5, соответствующая стандартной конфигурации в суперпози- ционном многоугольнике, имела такой же знак, как и вели- чина дса (р2, Рз) а (рА, р5) . . ., характеризующая рассматриваемую произвольную конфи- гурацию. Так как бс = —1, то это требование будет выпол- нено, если sign [а (ри р2) а (р3, р4) а (р5, ре)..Л = = —sign [а (р2, р3) cl (Pa, Ps) . . Л, т. е. если ]Jsigna (pi, pi+i)= — 1, E.14) где в произведение входят все матричные'элементы, взятые вдоль суперпозиционного многоугольника. Необходимым условием выполнимости соотношения E.14) является появление нечетного числа множителей (—1) при повороте супер позиционного многоугольника по часовой стрелке. Для наглядного выявления знака суперпозиционного многоугольника полезно приписать определенное направ- ление (обозначаемое стрелкой) каждой связи, соединяющей соседние узлы решетки. Если а (р, р') > 0, то между точ- ками р, р' стрелка направлена от р к р', если же а (р, р') <С <С 0, то — от р' к р. Будем называть четными или нечетными многоугольниками те, которые содержат соответственно четное или нечетное число стрелок. Условие E.14) означает, что все суперпозиционные многоугольники нечетны. Рассматриваемые двумерные периодические решетки состоят из примыкающих друг к другу элементарных многоугольников, внутри которых нет узлов решетки. Для квадратной решетки такими элементарными много- угольниками являются малые квадраты, образованные из узлов решетки A, 2, 10, 9), B, 3, 11, 10) и т. д. (см. фиг. 10, верх), а для декорированной решетки (см. фиг. 11) элементарными ячейками являются треугольники и две- надцатиугольники. Все элементарные многоугольники мож- но сделать нечетными (при обходе по часовой стрелке). Действительно, направим все стрелки в данном элементар- 9*
132 Э. Монтролл Лекции по модели Изинга . 133 ном многоугольнике произвольным образом, а последнюю так, чтобы сделать многоугольник нечетным. Затем повто- рим эту же процедуру на соседнем многоугольнике для всех его сторон, кроме тех, которые касаются первого многоугольника, и т. д. Таким образом, можно сделать все элементарные многоугольники нечетными. Кастеляйн [38] обосновал важный вывод о том, что с помощью такой процедуры можно сделать нечетным любой суперпозицион- ный многоугольник независимо от его длины. Последнее утверждение следует из теоремы Кастеляй- на, которую мы сейчас докажем. Так как эта теорема является общей для произвольных пленарных диаграмм, введем сначала несколько определе- ний. Планарной называется диаграмма, состоящая из сово- купности точек на плоскости и связей, произвольным обра- зом соединяющих эти точки. Конечно, рассмотренные выше двумерные решетки являются планарными. Точки диаграм- мы, находящиеся внутри замкнутого многоугольника, образованного связями, называются внутренними точками. Элементарный многоугольник не содержит внутренних точек. Если при разрыве связей, проходящих через некото- рую точку, оставшаяся диаграмма будет состоять из двух или более несвязанных частей, назовем такую точку точ- кой сочленения. Теорема Кдстеляйна. Дана планарная диаграмма, в кото- рой отсутствуют точки сочленения и пересекающиеся связи, соединяющие точки диаграммы. Предположим далее, что стороны всех элементарных многоугольников снабжены, стрелками так, что все эти многоугольники при обходе по часовой стрелке нечетны. Тогда четность любого много- угольника противоположна четности числа внутренних точек для этого многоугольника. Доказательство. Доказательство теоремы проводится методом полной математической индукции. Для всех элемен- тарных многоугольников теорема справедлива, так как они по определению не содержат внутренних точек (нуль —¦ четное число) и, по предположению, являются нечетными многоугольниками. Пусть Гп — многоугольник, состоящий из п элементарных многоугольников (по определению 1\ — элементарный многоугольник). Теорема будет доказана, если мы покажем, что из ее справедливости для Тп следует ее справедливость для Tn+i. Пусть 7 и а — числа внутрен- них точек и направленных по часовой стрелке связей для Тп. Многоугольник Тп+! получается из Тп добавлением некоторого произвольного Ft. Предположим, что число общих для Ft и Тп связей равно р, а а' — число связей в Г4. Чтобы убедиться в справедливости доказываемой теоремы для Tn+t, надо сравнить с числом нечетных связей на границе Tn+i число внутренних точек 7 + р_1 E.15) (Р — 1 — число находящихся на общей границе Ft и Тп точек, которые являются внут- ренними для Гга+1). Число не- четных связей на границе Гп+1 представляет собой сумму нечет- ных связей Tt и Тп минус те из них, которые не лежат на гра- нице Tn+i. Так как любая связь, лежащая на общей границе Fj и Гп, должна быть направлена по часовой стрелке либо в Г1; либо в Тп (фиг. 17), то ни одна из р связей, лежащих на этой границе, не входит в число свя- зей, направленных по часовой стрелке в Tn+i. Следова- тельно, число связей, лежащих на границе Гга+1 и направ- ленных по часовой стрелке, равно Фиг. 17. Связи на общей границе многоугольников Fi и Тп. Стрелка, соответствующая свя- зи, общей для Ti н Тп, направ- лена по часовой стрелке для одного из многоугольников и против часовой стрелки — для другого; например, стрелка, проведенная нз а в Ь, направ- лена по часовой стрелке для Ti и против часовой стрелки для Г а' + а — р. E.16) Теорема будет доказана, если удастся показать, что числа E.15) и E.16) имеют противоположную четность, т. е. если отличается четность чисел (у — 1) и (а + а'), поскольку от четности Р четность выражений E.15) и E.16) зависит одинаково. По предположению, а и 7 имеют проти- воположную четность, а, значит, четность а и 7 — 1 одина- кова. Мы предполагали, однако, что а' нечетно и, таким
134 Э. Монтролл Лекции по модели Изинга 135 образом, числа (у — 1) и (а + а') имеют противоположную четность, а это доказывает теорему Кастеляйна. Каждый суперпозиционный многоугольник содержит четное число точек диаграммы, так как он образован из одинакового числа связей стандартной и рассматривае- мой конфигурации димеров. Число внутренних точек у суперпозиционного многоугольника четно, поскольку < 1 1 > 1 J 1 1 Фиг. 18. Расположение направленных связей для квадратной и декорированной решеток Изинга, при котором все элементарные многоугольники нечетны. их либо нет совсем, либо они относятся также к другим суперпозиционным многоугольникам. Следовательно, из теоремы Кастеляйна вытекает, что все супер позиционные многоугольники нечетны, как этого требует условие E.14), а, значит, все члены разложения пфаффиана, которым мы сопоставляем производящую функцию димеров, поло- жительны. На фиг. 18 показано расположение стрелок для квадрат- ной и декорированной квадратной решеток Изинга. Так как все элементарные многоугольники нечетны, то, соглас- но теореме Кастеляйна, нечетны также все суперпозицион- ные многоугольники, т. е. в качестве производящих функ- ций димеров можно использовать пфаффианы. 5.2. Построение производящей функции димеров для квадратной решетки [38] Построим теперь производящую функцию димера как квадратный корень из антисимметричного детерминанта, равного нашей производящей функции. Из фиг. 19 видно, что наша квадратная решетка, состоя- щая из горизонтальных и вертикальных связей, может Р^ 1* I (Рг>Рг) Фиг. 19. Соотношение между различными соседними единичными ячейками, использованное при подсчете числа конфигураций диме- ров на квадратной решетке. быть разбита на совокупность тождественных единичных ячеек, каждая из которых содержит два узла решетки. Нам необходимо построить матрицу А, удовлетворяющую условию det A = [Pf (Л)]3. E.17) Обозначим через (рг, р2) единичную ячейку, причем pt и р2 — номера этой ячейки соответственно по горизонтали и по вертикали. Сданной ячейкой (pt, p2) могут соприка- саться лишь ячейки (Pi ± 1, Рг) и (р1г р2 ± 1). Следова- тельно, все матричные элементы, которые соответствуют
136 Э. Монтролл связи данной ячейки с более далекими, чем ближайшие соседи, ячейками, равны нулю. Матрица А для решетки с п горизонтально расположен- ными единичными ячейками будет иметь вид A,1) B, 1) 3,1) in', 1) A,2) B,2) C, 2) in, 2) A, 3) B,3) A,1) г a Э' 0 0 t 0 0 0 0 B, 1] a Э' 0 0 V' 0 0 0 0 C, 1) . 0 . и • a . 0 '. 0 . 0 . y' ¦ 0 '. 0 . 0 . . . (n, 1) 0 0 0 ". a : 0 ; 0 ! 0 = • v i 0 : 0 : : A. 2; 1 I 0 0 a 0' 0 0 t B, 2) 0 У 0 0 & ос &' О О V C, 2) . О . О . У . О . '. О . a . о ! о . о . . . (л, 2) . . О О О • ' V О О О ОС О . О A,3) ¦ о О О О У О О О а &' B, 3) . . . О О О О '.'.'. О У О о .* .' ; & ... a . . . E.18) Здесь а, Р, Р', у' — матрицы с двумя строчками и двумя столбцами. Отличные от нуля 2x2 матрицы располагают- ся в E.18) вдоль центральной диагонали на двух ближай- ших к ней субдиагоналях и двух субдиагоналях, отстоя- щих от центральной на п единиц. Из-за трансляционной симметрии решетки связь между единичными ячейками A,1) и B, 1) такая же, как между B, 1) и C, 1) и вообще между (pi, р2) и (р± 4- 1, р2)- Конечно, такая же эквивалентность существует между ячейками, являющимися ближайшими соседями по вертикали. Найдем теперь точный вид матрицы, определяющей связь некоторой единичной ячейки с самой собой. Матричный элемент (L, L) или (R, R) в такой матрице: a = R —zi O E.19) равен нулю, так как левая часть единичной ячейки (фиг. 20) не может быть связана сама с собой при помощи димера. Однако левая часть может быть связана с правой при Лекции по модели Изинга 137 помощи горизонтального димерасо статистическим весом г±. Матричный элемент (R, L) равен —zu так как стрелка направлена из L в R. Точно так же L R L ГО 0"] = A'U Oj' E.20) так как между {ри р2) и {рх + 1, р2) может находиться единственный димер, связывающий точку R в (plt p2) с точкой L в {pi + 1, р2), причем димер направлен от R к L. Фиг. 20. Статистические веса, придаваемые различным димерам, которые могут располагаться в типичной единичной ячейке декори- рованной решетки. Аналогично, ГО —гЛ Р'- о о J- о о Q -НУ E.21) E.22)
138 Э. Монтролл Произвольный матричный элемент (plt р2; р\, р'2) 2 Х2 матрицы из-за наличия трансляционной симметрии в рас- сматриваемой квадратной решетке зависит лишь от сово- купности р\— pi и р'%— /5г, а не от каждого в отдельности. Следов ател ьно, а (р±, p2l Р\, Р'2) = а (р[ — pi; p'2—p2). E.23) Тогда отличны от нуля только следующие элементы матрицы а (р, р'): а (О, 0) = а, аA, 0) = р, а (— 1, 0) = р'; ¦а @, 1) = у, а @, —1) = у'. E.24) Матрица А, определенная соотношениями E.18)—E.24), обладает свойством трансляционной инвариантности E.23), которое позволяет рассчитать ее детерминант [20, 40]. Выберем решетку из т узлов в каждой строке и п в каж- дом столбце и используем периодические граничные условия а a (pi, n) = a {ри 0). E.25а) E.256) Благодаря цикличности матрицы А, которая следует из уравнения E.23), ее можно разложить в двойной ряд Фурье. Такое преобразование проводится с помощью набо- ра базисных векторов — собственных функций двух опера- торов циклической перестановки, которые оставляют решетку инвариантной. (Один из операторов обладает вер- тикальной симметрией, другой — горизонтальной.) Опре- делим матрицу R размерности 2 (тп/2) с матричными эле- ментами R (ku k2; К, fQ= E.26) В E.26) использованы те же условия, что и в E.24). Здесь /2 — единичная, a R (k±k2; k[k'2) — произвольная матрицы второго порядка. Если определить В с помощью соотно- шения В за RAR-1, E.27) Лекции по модели Изинга 139 то det В — det A. Используя соотношение ортогонально- сти для экспонент, входящих в разложение Фурье, легко получить, что т/2 п = ¦6 'б ' V, У, a(Pi, Л>) Pi=i Pa=i Отличны от нуля лишь те элементы матрицы В, для кото- рых kj = kj (/= 1, 2). Тогда из E.24) получаем B(klt k2; k\, K) = -f y'e-^, E.29a) В (ku k2) ¦ 2iz2 sin exp sin и где ifea) ? sin2-^- Поскольку и ^2 = det Л = det В, 2nk2 E.296) E.29в) E.29г) то так что ¦ m/2-i n-i det A = det 5= 2 2 det 5 fe0 m/2-i n-1 E.30)
140 Э. Монтролл При переходе к пределу п —*- оо и т -> оо переменные <?i и <?2 становятся непрерывными и d<?i = 2л/(т/2) и d<j>2 = = 2л;/п, т. е. 2я 2 l E.32) Если теперь обозначить <?j = 84 и ф2 — бг/2, то произ- водящая функция димеров Ф (zt, z2) определится выра- жением Фтп Bi, Z2) = 2я e exp In2 К^ -'2*cos cose,] f 0 E.33) Двукратный интеграл в E.33) может быть вычислен с помощью дифференцирования Фтп (zlt z2) по z\, после чего можно последовательно проинтегрировать по 6t и 92. Разложив полученное выражение в ряд по степеням (z±/z2J и проинтегрировав его по zb получим окончательный результат. В частности, для z4 = z2 при п -> оо и т-> со имеем [34] (fp/2 E.34) где G — постоянная Каталана G=l —-р--г--р-—^- =0,915965594. Так как число узлов решетки равно тп, то число димеров — тп/2. Следовательно, число конфигураций димеров экспо- ненциально возрастает с ростом числа димеров. Численный счет приводит к р2в/л — ] 7Q1R93 1*\ Ч^Ч Очень приятно, что результат оказывается такой простой комбинацией универсальных постоянных 2, я, eviG, Лекции по модели Изинга 141 Фишером и Кастеляйном [34, 35] были получены точные результаты также для конечных прямоугольников и торов. Интересен численный результат Фишера: число способов, каким 32 косточки домино могут покрыть шахматную доску (квадрат размером 8X8), равно ф8>8 A, 1) = 12 988 816 =2*.(901J. 5.3. Статистическая сумма для квадратной решетки Изинга В качестве второго примера определим производящую функцию димеров для декорированной квадратной решетки (см. фиг. 11), которая связана со статистической суммой модели Изинга для квадратной решетки. В этом случае, как показано на фиг. 18, каждая единичная ячейка содер- жит шесть точек, т. е. рассмотренная выше квадратная матрица a {pip%) будет уже не второго, а шестого порядка. Прежде всего нужно сопоставить каждой связи такое направление, чтобы все элементарные многоугольники были нечетными. Одна из возможностей показана на фиг. 18. На фиг. 20 указаны статистические веса, приписанные всем димерам. Будем по-прежнему полагать, что гг = Wi = w2 = Wz = Wi = w5 = we = 1, E.36a) zj = th Ku z2 = th Кг- E.366) Именно такие величины использовались нами при нахож- дении статистической суммы квадратной решетки Изинга. Для других типов решеток удобнее пользоваться иными обозначениями. Как и в случае конфигураций димеров в квадратной решетке, отличны от нуля лишь матрицы a {pi, p2), указан- ные в E.24). Теперь, однако, матрица а @, 0) = а шестого порядка: 2 3 PilPz 1 2 3 : 4 5 6 ч 1 0 — w3 0 о о о — w2 о о о w3 w2 о о о 4 0 0 о — we 5 0 0 о о w5 6 о\ о о we w.5 0 E.37)
142 В. МонтрдлА Матрица р = аA, 0) имеет только один отличный от нуля элемент zt в пятой строке и первом столбце; р" = — а (_1, 0) — элемент (—zt) в первой строке и пятом столбце; у^а @, 1) — элемент z2 в шестой строке и вто- ром столбце, а у' = а @, —1) — элемент (—z2) во второй строке и шестом столбце. При указанном выше выборе матриц а (р1г р2) получаем и»з 0 шг 0 0 гз -гз 0 0 -и»4 О —о>в — zi ехр С—«Ф 0 0 —ггехр(—/Фа) 0 Отсюда det В {k,k2 X (w2W3WiW6 — + 2z2z3 4- COS (^i — ф2) гУг^б^) cos ^>2 (w1w2w5we — E.38) X cos ^j. E.39) Учитывая значения величин г и да для квадратной решетки Изинга [см. E.36а)], найдем det В E.40) + 2zi A —z|) cos <^j + 2z2 A —2") cos <^2 Тогда для производящей функции димеров Ф (zl5 z2) получим Ф (z1? г%) = Pf (Л) = ехр [у 1п х 2я +-2г2A— 2? где N — общее число узлов решетки. E.41) Лекции по модели Изинга 143 Таким образом, из E.366) и E.41) получаем известную формулу Онсагера для статистической суммы: = In 2+—- JJ In (ch2/dch2/C2+<?iSh2ATi+c2sh2K2)d$id<$>2. о E.42) Здесь введено обозначение cj = cos <?j-. Выражение E.39) можно также использовать для рас- чета статистической суммы гексагональной решетки Изин- га [35]. Существует однозначное соответствие между любой возможной конфигурацией замкнутых многоугольников на гексагональной решетке и любой конфигурацией диме- ров на рассматриваемой декорированной решетке. Как и в случае квадратной решетки, в существовании такого соответствия можно убедиться, рассматривая все возмож- ные конфигурации связей, проходящих через данный узел решетки (фиг. 21). Если, как это показано на'фиг. 21, обозначить пара- метры взаимодействия для гексагональной решетки Изинга через К±, К2, Кз, то соответствующие статистические веса для различных положений димеров, изображенных на фиг. 20, и значения параметров, входящих в уравнение E.39), равны Zj = z2 = z3 = 1, E.43а) E.436) E.43b) E.43г) Возникновение квадратного корня в E.436)—E.43г) связано с тем, что димер в рассматриваемой декорирован- ной решетке, который исходит из угла, образованного двумя связями в решетке Изинга, «делится» на две связи. Иначе говоря, данная связь соответствует «половине» димера,.так как к каждому углу подходят два димера. Следовательно, каждому углу соответствует множитель (th /CI/2, а произведение двух таких множителей соот- ветствует целой связи. w5 = w1 = (th K2 -th w4 = w3 = (th Ki -th /C2I/2,
i44 Э. МонтролЛ ate Фиг. 21. Однозначное соответствие между конфигурациями диме- ров и конфигурациями связей в модели Изинга для гексагональных решеток. Димеры изображены сплошными линиями. Случаи а и Ь соответствуют узлам решеток Изинга, которые не содержат связей, образующих замкнутые много- угольники. При указанном выборе величин г и w выражение E.39) принимает следующий вид: det В (kik2) = Bc21clcl)-1 [ch 2Ki ch 2K2 ch 2/C3— — sh 2 Ki sh 2 K2 cos (ф2— ф^ — sh 2K3 sh 2Ki cos ф2 — — sh2/C,sh2/Cacos?i], E.44) где Cj = ch Kj. Статистическая сумма для гексагональной решетки записывается аналогично выражению D.18) для квадрат- ной решетки: Z =. 2* (ch Ki ch #2 ch /Сз)*/2 (det АЩ. E.45) Лекции по модели Изинга 145 В гексагональной решетке на единичную ячейку при- ходится два узла решетки. Поэтому при N -»- оо получаем In (de E.46) Комбинируя теперь E.44)-—E.46), приходим к хорошо известному выражению для статистической суммы [41, 42]: In Z = In 2 + ln-i [ch 2 /Ci ch 2/C2 ch 2/C3 + 1 — sh 2AT2 sh 2/Сз cos ^j — sh 2Кз sh 2/Ci cos ^2 — — sh 2Ki sh 2/C? cos (ф2 — ^4)] йф± йф2. Из этого выражения при учете равенства D.14), которое связывает статсуммы данной решетки и дуальной ей, нетрудно получить статистическую сумму для треуголь- ной решетки. Детальный расчет термодинамических свойств квадрат- ной решетки можно проделать, используя тождество, сво- дящее двукратное интегрирование в выражении E.42) к. однократному: 1пBсЬлг —: Внутренняя энергия, равная производной от lnZ по тем- пературе, в изотропном случае Ki = Кг = К имеет сле- дующий вид: = - J cth 2K [l+^г B th2 2К- 1) Ki где E.47) kt = 2sh 2K eh 2K, E.47а) полный эллиптический интеграл первого рода: Я/2 10—0826
146 Э. Монтролл Положение критической точки для рассматриваемой системы, как уже было показано в разделе 4, определяется из условия | sh 2Кс = 1 • При К = Кс, kt = 1 и 2th2 2/С= = 1. Несмотря на то что при kt = 1 функция Ki (&i) имеет логарифмическую особенность, коэффициент при Ki (&i) обращается в нуль по линей- ному закону так,, что функ- ция U непрерывна в точке Тс, т. е. скрытая теплота отсут- ствует. Теплоемкость системы оп- ределяется равенством 3U г,о 1,5 0,5 о дТ Фиг. 22. Теплоемкость дву- мерных решеток Изинга. /) j, = Jt (изотропный случай), 2) Ji = 100 Ji, 3) Ji = О (линейная цепочка). См. [23]. Так как одно из слагае- мых в E.47) вблизи Т = Тс пропорционально | Т — — Тс | In | Т — Тс |, то выра- жение для теплоемкости С содержит слагаемое, пропор- циональное In | Т — Тс |, т. е. теплоемкость имеет лога- рифмическую особенность при Т = Тс. В. общем случае Лл ф Кг анализ гораздо сложнее, однако он по-прежнему приводит к наличию логарифмиче- ской особенности при температуре, определяемой из усло- вия sh 2/Cj sh Жг = L E.48) Для фиксированной величины J± + J2 — энергии спин- спинового взаимодействия при 0 К — с уменьшением J2 уменьшается и критическая температура. Если 72 ~*~ 0» критическая температура тоже стремится к Т = 0 и, нако- нец, обращается в нуль при J2 == 0 (фиг. 22). 6. Корреляции и спонтанная намагниченность двумерных решеток 6.1. Корреляции как статистические суммы решеток с дефектами [43, 44] Корреляции между спинами, находящимися в узлах A, 1) и A + /, 1 + т) квадратной решетки, определяются Лекции подмодели Изинга 14 выражением (ffl.ltfl+J .1+т) = Z'1 (Ch Kl Ch K2)N 2 Ol.lOi+i.l+m X 1 +z2ora, Д F.1) Для решетки с периодическими граничными условиями или для бесконечной решетки корреляции зависят только от относительного расстояния между спинами, т. е. Произведение спинов, которое входит в [корреляционную функцию F.1), можно записать в виде m • • • (О!l, 1+mOi+l, i+m) = П (°rl,m'0ri, 1+m') X m'—i I X П (Ol'.l+rnPl+l. 1+m), F.3) l'i так как все с2 = 1. Это означает также, что аа' A + zoo') = z (I + z^oo'), F.4) и выражение F.1) можно переписать следующим образом: cr=±i тп'=1 X П (l+'Z2lai',l+mOl+V,i + m) X X 6. с F.5) Правая часть уравнения F.5) представляет собой ста- тистическую сумму ферромагнетика — решетки Изинга с параметрами взаимодействия Zj = th Ki по горизонтали и z2 = th Кг по вертикали для всех связей, не расположен- ных на пути, соединяющем узлы A, 1) и A + /, 1 + т). Если эти связи направлены по горизонтали, то они харак- теризуются, величиной Z71, а если по вертикали, то г^1. Таким образом, расчет корреляций эквивалентен расчету статистической суммы для решетки с дефектами, когда вдоль некоторого пути, связывающего изучаемые коррелирующие 10*
148 Э. Монтролл спины, zt заменено на z*1. Хотя этот результат получен здесь лишь для квадратной решетки, в действительности аналогичный результат справедлив для любой периодиче- ской решетки произвольной размерности. Теперь расчет корреляций может быть сведен к расчету пфаффиана или квадратного корня из кососимметричного детерминанта. Обобщая D.18) на произвольную решетку и проводя соответствующее обобщение E.33), можно свести F.5) к виду z2-2mzF2' <<rM ам, i+mJ det A = det (A + б) или (oi,i<yi+i. i+mJ =z\mzf det (/+ i4-*6). F.6) Здесь А — антисимметричная матрица, детерминант этой матрицы связан с решеткой Изинга, для которой рассмат- риваются корреляции спинов, а б учитывает изменение матрицы А, связанное, как показано в F.5), с заменой z4 на Z71, a z2 на zj1. Все элементы антисимметричной матрицы б равны нулю, за исключением тех, для которых zt и z2 в А заменены на z'1 и г;1. Всего имеется B1 + 2т) отлич- ных от нуля элементов матрицы б, которые равны zb (zi1—Zf) и zb{z~x—z2). Выражение F.6) может быть существенно упрощено, так как большинство из элементов 6N X 6N матрицы б равны нулю: Предположим, в качестве примера, что б12 и б21 — отличные от нуля элементы матрицы б. Тогда, обозначая р '1 у через с%? элементы матрицы А'1, получаем *21 а. 31 12 -1 ¦22 -1 32 «Гз1 «231 а 33 ...\/ 0 б21 0 V . б12 о О О 0 0 •Л ./V • • • + O2i15i2 ° • • do л V-le" 1 * • , ..1/ F.7) Лекции по модели Изинга 149 откуда 0 б21 0 F.8) где у — подматрица матрицы б, полученная из б вычерки- ванием строк и столбцов, содержащих только нулевые элементы, а матрица Q получена вычеркиванием тех же строк и столбцов из матрицы А'1. Заметим, что в левую часть равенства F.8) входит еди- ничная матрица 4JV-ro порядка, а в правую часть — вто- рого. Этому не следует удивляться, так как единичная матрица / должна быть того же порядка, что и матрица, к которой она добавляется. Возвращаясь теперь к уравнению F.6), перепишем его в виде (Gi.iO1+i,1+mJ = zlmz2l\I + Qy\. F.9) Здесь у и Q — кососимметричные матрицы порядка B1 + 2т), которые получаются из матриц 8 и Л вычер- киванием строк и столбцов, содержащих лишь нулевые элементы. Воспользовавшись соотношением и заметив, что из кососимметричности матрицы у следует кососимметричность ~г y~1JrQ, получим матрицы у~г, а значит, и матрицы и, следовательно, <оч.1 <*ш, i+m> = ± z™z[P (у'1 + Q)P (у). F.9а) Знак в F.9а) выбирается из требования положительности корреляций. Конечно, в общем случае легче всего рассчитать пфаф- фианы1 как квадратные корни из детерминантов кососим- метричных матриц. Однако очевидно, что, когда / или т обращаются в нуль, Р (у) сводится просто к Р (у~г + Q).
150 Э. Монтролл Так как решетка инвариантна относительно трансляций на целое число постоянных решетки, элементы матрицы, обратной к А, определяются следующим образом: А-1 F.10) где А~1(ф1,ф2)— обратная Fx6) матрица, определенная в E.38). Так как матрица А'1 (р[р'2; PiP2) зависит только от разностей р[— р± и р'2—р2, элемент (i, }) этой матрицы можно записать в сокращенной форме: \, р'2\ F.11) Кроме того, поскольку матричные элементы E.38) обладают свойством находим, что tpi, pzhj = — t—Pi, — pzhi- F-12) Легко показать, что диагональные элементы матрицы имеют следующий вид: , л 2ziz2wzwiwb sin ф2 Л'1! Л! Л'1! Л"! Л! Л! det В {ku k2) sin ф1 2) 33 det В (ftj, *2) 2г1г2а>1и;4^б sin(j>i— ф2) det 5 (?ь /г2) 2ziZ2w2w3w5 sin (Ф2 — Ф1) 22223^1^3^6 sin Ф2 detfi(Abfe2) ' 2ziz3wiwzwi sin Ф1 ~~ det В (ku k2) " F.13a) F.136) F.13b) F.13r) F.13Д) F.13e) Для квадратной решетки z3 = w± — . . . =ws = 1 det В (k±, k2) является четной функцией ф± и ф% [см. E.38)]. При этом можно показать, что [р, 0]и = [0, q]22 = [0, q]ee = [р, 0]55 = 0: F.14а) Лекции по модели Изинга 151 Для доказательства этих соотношений достаточно убе- диться, например, в том, что я я sin фг d&~&e\BWu k2) = 0. F.146) Различные матричные элементы могут быть выражены через полные эллиптические интегралы. 6.2. Коррелятор (<т1Л oz,i) В качестве иллюстрации применения полученных выше формул для расчета корреляторов найдем выражение корреляционной функции (о1Л a2,i> для пары ближайших по горизонтали соседей в квадратной решетке. Из фиг. 13 и 20 видно, какие из элементов матрицы б отличны от нуля. Заметим, что связь, направленная от точки 5 (см. фиг. 20), расположенной в единичной ячейке A, 1), к точке 1, находящейся в единичной ячейке B, 1), имеет статистиче- ский вес zlt который при расчете корреляторов надо заме- нить на z~lx. Следовательно, отличными от нуля элементами матрицы б будут: и 51 элемент б A, 1; 2, 1) = z'1 — zt 15 элементов б B, 1; 1, 1) = —(г^1 — Образуем теперь из матрицы б кососимметричную под- матрицу у, используя только те строки и столбцы матрицы б, которые содержат ненулевые элементы. В результате получаем A,1M B,1I A, 1M B,1) О (,) 5 Г 0 1 l-{z?- 0 J' FЛ5Э) F.156) Матрица второго порядка Q, полученная из Л вычер- киванием всех строк и столбцов, кроме тех, которые обо-
152 Э. Монтролл значены через B, 1) 1 и A, 1) 5, равна [0,0]и [-1, 0]м] 1 m - г от' FЛ6) Используя F.14) и F.12), сведем матрицу Q к кососим- метричному виду: L — 1 * , "J51 V J Чтобы привести коррелятор (а.,1 а1>2) = ±г,Р (у-1 + Q) Р (у)' F.18) к виду F.9), рассмотрим пфаффианы для матриц у и 0 О Пфаффиан равен квадратному корню из детерминанта соответствующей антисимметричной матрицы Р(у)=^-ги F.20) />(iT1 + Q)=-BT1-2i)-1+[l,0]M. F.21) Подставляя F.20) и F.21) в F.9), получаем <oi. iCTj, 2) = ±zt (г~г — zO { - (zr1 - Zj) + [ 1, 0]м> = = ±{-Zj + A-z;)[1,0]m}. F.22) Матричный элемент А~1[ф1, ф2]б1, согласно E.38), при Z3 = w1= ... = z?>4 = 0 равен ^**1 cos ф2 так что det В (klt k2) j -я [A - +г§) cos — zf) cos ф2 zf) (е- +1) A) +2г2A—2f)cos ф2 Лекции по модели Изинга 153 2Я [2г4 — 22jl— 2l)COSC0]2 — 4z| A — F.24) F.25) В F.25) входит функция б* (со), впервые введенная Онса- гером и равная где 1-22 1—г| z2 = F.26) F.27) В F.24) выбран знак плюс, так как (аь1 alF2>->l при Т-> оо, б* -*¦ 0, как и должно быть. Различные спиновые корреляционные функции могут быть выражены через функции Грина квадратной решетки, определяемые следующим образом: •Jb __L_ Г f *• m2 "" BяJ J J exp « + Vi cos Ф i + V2 cos ф2 F.28) В данном случае мы выбираем a, Vi. 7г в виде а= A + 2») A+2$), где zj = th/Cj, F.29) 71 = 22,A—2^, T2 = 2z2(l — г»). F.30) Для /rai = m2=m функция Грина сильно упрощается: ^m.m^ ^ i/2 Qm-i/, ( ° "^7^ ) ' F'31) Здесь Qn (х) — функция Лежандра второго рода с равным нулю верхним индексом. Она связана с полным эллипти- ческим интегралом второго рода К Ф) следующим соотно- шением: Q_1/2 (ch ti)'= 2er-^K (e-% F.32)
154 Э. Монпгролл Вспоминая определение критической точки E.48) sh 2/Ci sh 2/C2 = 1 F.33) и указанный выше выбор величин a, ylt y2 [см. F.29) и F.30)], приходим к следующему: {Bя th Ki th К2У1 К [(sh 2Ki sh 2/Сз)] при T<TC, -?- ch2 /Ci ch2 /C2/C (sh 2/Ci sh 2/C2) при Г > Гс. Функции Fmi, ma удовлетворяют дифференциальному уравнению m2 'mi—1, m2) ~f" + Fmit m2_ i) = 8mu 0&m2. 0 • F.35) Спиновая корреляционная функция для ближайших соседей F.23) может быть выражена через функции Грина (cti, iorll2> = 2zt A +z22) Fo, o + A -zl) F-Uo + + zt1(l-4)Fl.o- F.36) Комбинируя' F.34) и F.35), можно получить для част- ного случая Zj = г2 результат такой же, как у Кауфман [45] и Онсагера [46]: Г(Ц-ЛI' где ч при Г<ГС, при Т>ТС. F.37) F.38) В эти формулы входит эллиптический интеграл первого рода К (k). В этом параграфе изложение велось в духе работы [43]. Впервые расчет спиновых корреляторов в модели Изинга был выполнен Кауфман и Онсагером. Лекции по модели Изинга 155 6.3. Коррелятор (аЬ1 а1>1+т) Проведенный выше анализ можно обобщить для рас- чета коррелятора (а1Л а1>1+т) для любых двух спинов, расположенных на одной и той же горизонтали. Из фиг. 23 видны все отличные от нуля элементы матрицы б, а именно: Фиг. 23. Измененные связи, использованные при расчете корре- лятора <CTi,lCT1I+7ra>. элемент 51 Ь{т', 1; m'-f-l, l) = z11 — zt и элемент 15 6(т'-\-1, 1;т', 1)=— (г~г—z±), т' =1,2, ..., т. Тогда кососимметричная матрица у 2т-го порядка равна 5 . 1 1 -i (A.1) B, 1) • (т, I) ( B, 1) C, 1) (т+1, 1) A, 1) 0 0 0 -1 0 0 A, 2) .. 0 0 0 0 -1 0 . . . (Л1, 0 0 (Г 0 о . -1 (т, 1) B, 1) C, 1) 1 0 0 1 i 1) или, как естественное обобщение F.156), , X F.39) F.40)
156 Э. Монтролл Матрица Q 2т-го порядка, полученная из матрицы А * вычеркиванием строк и столбцов, содержащих лишь нуле- вые элементы, равна <2 = -s о/' F.41) где введена матрица о m-го порядка Г[— 1, 0]51 [2, 0]51 ]3,0]51 [О, 0]51 [1,0]61 [2,0]51 [— 1, 0]bi [0,0]„ П,0]51 • • • [т, 0]5i ...[т—1,0]61 ... [т — 2, Obi ..[2 - т, 0]51 ]3 - т, 0]В1 [4 - т,0]61 ... [ 1, 0]51 Чтобы свести коррелятор (cTi.torlp 1+Jn) = ± z™P {у1 + Q)P (у) к виду F.9), потребуем, чтобы и F.42) F.43) F.44) F.45) При выводе F.45) использовано вытекающее из F.40) соотношение  —I . F.46) Подставляя F.44) и F.45) в F.43), получаем По определению a_r=(l—zf) +/-, 0]61, r =1,2, —г, 0]51. F.47) F.48) Лекции по модели Изинга 157 Коррелятор может быть записан в виде детерминанта Теплица [43, 47]: а0 at a2 а0 ... „т_3 _ F49) fl-m+i Q—m+2 Q—m+3 a0 Здесь выбран знак плюс в соответствии с требованием поло- жительности коррелятора. Нам уже известно выражение величины а0 через функцию б* (со) [см. F.25)]. Аналогич- ное разложение приводит к g—irci)gi6*j((B) F.50) Таким образом, величины аТ представляют собой коэффи- циенты разложения функции exp (t'6*) в ряд Фурье. 6.4. Спонтанная намагниченность Для вычисления спонтанной намагниченности М можно воспользоваться равенством F.49), так как величина М связана с корреляционной функцией F.49) соотношением = lim<alf ! F.50) т. е. выражается через детерминант матрицы Теплица F.49). Интересующая нас величина может быть определена с по- мощью теоремы, доказанной Жего [48] для эрмитовых матриц Теплица, а затем обобщенной Кацем [49] на неэрми- товский случай. Пусть Dm (/) — детерминанты последова- тельности матриц Теплица пг-го порядка, элементы которых аг представляют собой коэффициенты разложения функ- ции / (со) в ряд. Лорана при условии, что | / — 1 | < 1. Тогда F-51а)
158 Э. Монтролл где И ln/(<o)]da> F.516) ln/(a>)= 2 kneina>. F.51b) Условие |/—1 |<1 выполняется, пока температура T остается меньше критической. Для Т = Тс это условие больше не выполняется, и при Т ^> Тс необходимо исполь- зовать другую теорему, несколько отличную от приведен- ной выше. В рассматриваемой задаче / (to) = ei6* и G(/) = exp[^j^ = Г, F.52) поскольку б* — нечетная функция со. Для определения kn разложим в ряд Фурье функцию —-^ . F.53) Здесь мы воспользовались соотношением F.26). Так как для Т<ТС F.54) -Яг • F-55) . то в этой области температур со in / и = 4- 2 т п=1 (it)n Следовательно, . F.56) Лекции по модели Изинга 159 И аи 1 nknk-.n = -^ 1П F-58) [1— Подстановка F.59) в F.51) приводит к Г (l-Zf)%?3-|V4 Г (l-2«J(l_zj)a-|l/4 f)?| 2(l_zj)a-|l/4 ipi—J • Окончательно получаем выражение для спонтанной намагниченности ниже критической температуры: :-[!-! Гбф! J » = [1 - (sh 2/d sh 2/C2)-2]1/s, где F.61a) F.616) F.61b) Этот результат был впервые получен Онсагером [50], однако он лишь упоминался в дискуссиях на различных конференциях, а его доказательство не было опубликована. Первое опубликованное доказательство принадлежит Янгу [51]. Приведенный здесь анализ взят из работы [43]. Недав- но подобное исследование было проделано Вдовиченко [52] и Румером [53]. Стивенсон [54] применил пфаффианы для расчета корреляторов треугольной и гексагональной реше- ток. Он также воспользовался теоремой Жего — Каца для расчета спонтанной намагниченности. Треугольные
160 Э. Монтролл решетки исследовались, кроме того, Кано [55] и Ваксом, Ларкиным и Овчинниковым [56]. Детальные расчеты корреляторов для температур выше температуры перехода были недавно выполнены Рязановым [57], By [58] и Кадановым [59]. 6.5. Магнитная восприимчивость вблизи критической температуры Мы закончим этот раздел обсуждением поведения маг- нитной восприимчивости в нулевом поле при температурах, превышающих критическую, но близких к ней. Эта вели- чина следующим образом выражается через спиновые кор- реляционные функции: F.62) ЗСо U) = где суммирование проводится по всем узлам решетки, кроме ¦ г — 0. При получении асимптотического вида функции ЗСо (Т) при Т —>- Тс мы будем придерживаться метода Фише- ра [23, 60]. Для температур выше температуры перехода, но близ- ких к ней, можно записать ~™<аг (Т), F.63) где <ог (Т) —функция г, которая при больших г меняется гораздо медленнее, чем экспонента. Как было впервые показано Онсагером, С (Т — Тс) при Т ->- Те F.64) где С — постоянная. Онсагер нашел также точное выраже- ние для функции /г (Тс), когда г направлено по диагонали, т. е. когда г = (al, al)—расстояние между ближайшими (по диагонали) узлами @, 0) и (al, al): fal, al (Тс) = г (о F.65) Лекции по модели Изинга 161 оо Здесь Г (t) — гамма-функция. При / fal. al (Тс) ~ Dot1/* ( 1 ~6^Г + • где ?>0 « 0,645002, так что при г - • ) , F.66) оо {)\ F.67) a D == 21/8 Do a? 0,70338. По-видимому, в непосредственной близости от точки перехода функция /> (Т) обладает круго- вой симметрией, так что можно предположить справедли- вость формулы F.67) для любого направления, а не только вдоль диагонали. Такое утверждение несправедливо-для температур далеких от температуры перехода. Так как при Т-*¦ Тс, сог (Т) -> /> (Тс), то fr (Т) = <ст0с7г) ~ Dr-V* exp [ — С(Т- Тс) г]. F.68) Сумма в F.62) расходится при Т ->• Тс, но так как при этом коррелятор <аостг) медленно меняется с ростом г, сумму в F.62) можно заменить интегралом. Тогда при Т -> Тс: Хо СО - J?- ¦§- J nr §- J 1/4 ехр [ - С (Т- Тс) г) dr kT D (Т - со 1 * dx ?гА(Т-Тс)-у\ F.69а) Jil kT где F.696) Степенной закон «7/4» был впервые получен Домбом [21, 33] в результате обработки высокотемпературных степенных рядов для восприимчивости. Онсагер не опуб- ликовал вывод выражений F.65) и F.66) однако это было недавно сделано несколькими авторами [57—59] х). *) В русском издании мы сочли возможным опустить послед- ний, седьмой раздел, содержащий результаты рядов для термо- динамических функций в трехмерной модели Изинга. Эти вопросы подробнее изложены, например, в монографии [23].— Прим. ред. 11—0826
162 Э. Монтролл ЛИТЕРАТУРА 1. Fairbank W. М., Buckingham M. J., Kellers С. F., Ргос. 5-th Intern. Conf. Low Temp. Phys. (Madison, Wisconsin, 1957); Buckingham M. J., Fairbank W. M., Progr. Low Temp. Phys., Vol. 3, Amsterdam, 1961, Ch. 3. 2. Moldover M. R., Little W. А., см. [18], стр. 79. 3. Багацкий М. И., Воронель А. В., Гусак В. Г., ЖЭТФ, 43, 728 A962). 4. Воронель А- В., Чашкин Ю. Р., Попов В. А., Симкин В. Г., ЖЭТФ, 45, 828 A963). 5. Robinson W. К., Friedberg S. A., Phys. Rev., 117, 402 <1960). 6. Scalyo J., Jr., Friedberg S. A., Phys. Rev. Lett., 13, 133 A964). 7. Guggenheim E. A., Journ. Chem. Phys., 13, 253 A945). 8. Weinberger M. A., Schneider W. G., Cah. Journ. Chem., 30, 422 A952). 9. Edwards M. Я., см. [18], стр. 84. 10. Heller P., Benedek G. В., Phys. Rev. Lett., 14, 71 A965). 11. Senturia S. D., Benedek G. В., см. доклад Бенедека на конфе- ренции [18], стр. 42. 12. Jacrot В., Konstantinovic J., Parette G., Gribier D., Sympos. Ine- lastic Scat, of Neutrons, Chalk. River, 1962. 13. Noakes J. E., Arrott A., Journ. Appl. Phys., 35, 931 A964). 14. Kouvel J., Fisher M. E., Phys. Rev., A136, 1626 A964). 15. Weiss P., Forrer R., Ann. Phys. (Paris), 5, 153 A926). 16. Graham G. D., Journ. Appl. Phys., 36, 1136 A965). 17. Baker G. A., Gilbert H. E., Ebe J., Rushbrooke G. S., Phys. Lett., 20, 146 A966). 18. Critical Phenomenon, Proc. of Washington, Conf., eds. M. S. Gre- en and J. V. Sengers, NBS, 1966. 19. Ising E., Zs. f. Phys., 31, 253 A925). Обзор исследований по этой модели дан в работах [20—23]. 20. Newell G. F., Montroll E. W., Rev. Mod. Phys., 25, 253 A953). 21. Domb С, Adv. Phys., 9, 149 A960). 22. Green H. S., Hurst C. A., Order Disorder Phenomenon, Inter- science, 1964. 23. Fisher M. E., Lectures in Theoretical Physics, University of Colorado Press, 1965. (Имеется перевод: M. Фишер, Природа •критического состояния, изд-во «Мир», 1968.) 24. Yang С. N., Lee T. D., Phys. Rev., 87, 404, 410 A952). 25. Kramers H. A., Wannier G. H., Phys. Rev., 60, 252 A941). 26. Lassetre E. N., Howe J. P., Journ. Chem. Phys., 9, 747 A941). 27. Montroll E. W., Journ. Chem. Phys., 9, 706 A941). 28. Ashkin J., Lamb W. E., Jr., Phys. Rev., 64, 159 A943). 29. Onsager L., Phys. Rev., 65, 117 A944). ' 30. Schultz Т., Mattis D., Lieb E., Rev. Mod. Phys., 36, 856 A964). 31. Frobenius S. B:, Preuss Acad. Wiss., 514 A909). 32. Kac M., Ward J. C, Phys. Rev., 88, 1332 A952). 33. Domb C, Journ. Roy. Stat. Soc, B26, 367 A964). 34. Kasteleyn P. W., Physica, 27, 1209 A961). 35. Fisher M. E., Journ. Math. Phys., 7, 1776 A966). Лекции по модели Изинга 163 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. Thomson, Tait, Treatise on Natural Philosophy, Cambr. Univ. Press, 1879. In Dover reprint entitled Principles of Mechanics and Dynamics, Pt. I, p. 394. Caianello E., Nuovo Cimento 14, 177 A959). Kasteleyn P. M., Journ. Math. Phys., 4, 287 A963). Temperley H. N. V., Fisher M. E., Phil. Mag., 6, 1061 A961). Montroll E. W., в книге Applied Combinatorial Mathematics, ed. E. F. Beckinbach, Wiley, 1964, Ch. 4, p. 96. Newell G. F., Phys. Rev-, 79, 876 A950). Houtappel R. M. F., Physica, 16, 425 A950). Montroll E. W., Potts R., Ward J., Journ. Math. Phys., 4, 308 A963). Green H. S., Zs. f. Phys., 171, 129 A963). Kaufmann В., Phys. Rev., 76, 1232 A949). Kaufmann В., Onsager L., Phys. Rev., 76, 1244 A949). Potts R., Ward J., Progr. Theor. Phys., 13, 381 A955). Grenander V., Szego G-, Toeplitz Forms and Their Applications, Univ. of California Press, 1958. Kac M., Duke Math. Journ., 21, 501 A954). Onsager L., Nuovo Cimento, 6, 261 A949). Yang C. N., Phys. Rev., 85, 808 A952). Вдовиченко Н. В., ЖЭТФ, 48, 526 A965). Румер Ю. Б., ЖЭТФ, 47, 278 A964). Stephenson J., Journ. Math. Phys., 5, 1009 A964). Капо К-, Progr. Theor. Phys., 35, 1 A966). Вакс В. Г., Ларкин А. И., Овчинников Ю., ЖЭТФ, 49, 1180 A965). Рязанов Г. В., ЖЭТФ, 49, 1134 A965). Wu Т., Phys. Rev., 149, 380 A966). Kadanoff L. P., Nuovo Cimento, 44, 276 A966). Fisher M. E., Physica, 25, 251 A959). 11*
М. Кац Математические механизмы фазовых переходов 1. Вводные замечания Теория Ван-дер-Ваальса была первой статистико-меха- нической теорией фазовых переходов. По существу теория спонтанной намагниченности Кюри — Вейсса и тео- рия фазовых переходов в бинарных сплавах Брэгга — Вильямса математически эквивалентны теории Ван-дер- Ваальса. В основе теорий Ван-дер-Ваальса и Кюри — Вейсса лежало предположение о слабости и дальнодействующем характере сил притяжения. С тех пор, как эти теории появились, и до последнего времени не было оснований считать, что эти теории недостаточно хороши. Точное решение двумерной задачи Изинга, предложенное Онса- гером, оказалось, вероятно, самым сильным возражением против этих теорий особенно в связи с тем, что в этом реше- нии была получена логарифмическая особенность в выраже- нии для теплоемкости, в то время как теории, основанные на предположении о слабых дальнодействующих силах, предсказывали скачок теплоемкости. Обычно считают, что механизмы возникновения фазовых переходов в классической теории и в теории Онсагера существенно отличаются друг от друга. Однако приведен- ное ниже исследование математического механизма фазовых переходов показало, что выводы, сделанные на основании изучения различных моделей, по-видимому, имеют весьма общий характер. Хотя некоторые рассмотренные здесь вопросы представляют собой скорее иллюстрации, чем доказательства, все же нам удалось выявить нали- чие глубокой связи между классическими идеями Ван- дер-Ваальса и Кюри — Вейсса и новыми идеями Онса- гера. Математические механизмы фазовых переходов 165 2. Двумерная модель Изинга Мы начнем с обзора некоторых результатов изучения двумерной модели Изинга. Рассмотрим N X М двумерную решетку, состоящую из М строк и TV столбцов, в узлах которой располагаются «спины» jap = ±1. Энергия взаимодействия при заданной конфигурации спинов /?_ J 'У]*ц и B 1) Звездочка при знаке суммирования в B.1) означает, что в сумму входят лишь те узлы решетки Р и Q, которые являются ближайшими соседями. Кроме того, предпола- гается равенство энергии взаимодействия ближайших соседей по вертикали и по горизонтали, а также / > О, т. е. взаимодействие носит ферромагнитный характер, так что в основном состоянии все спины направлены одинаково: jx = +1 или \i = —1. Статистическая сумма B-2) причем здесь и в дальнейшем символ 2MN рование по всем деляется равенством означает сумми- возможным конфигурациям, a v опре- B.3) у.Т Для свободной энергии "ф, отнесенной к одному спину, получаем после перехода к термодинамическому пределу — -Зг= lim (MN)'1 InQN,M. М, N-+oo хТ B.4) Важно подчеркнуть, что переход к термодинамическому пределу М, N —>- оо нужно совершить до всех других пре- дельных переходов. Крамере и Ваннье [1] свели задачу расчета величины Qn.m к определению собственных значений 2м X 2м
166 М. Каи матрицы перехода L: м м L (fx, fx') = exp [—- 2 M-ftM-ft+i) exp (v 2 №к) X k=l M B-5) Если (fx) = ([хъ fx2, ..., ^м) представляет собой сово- купность столбцов в решетке Изинга и на решетку нало- жены тороидальные граничные условия (т. е. в каждом столбце \iM+i — ^b а N-й столбец совпадает с первым), тогда легко показать [2], что 2м H Ln (fx, jx) = Sp (LN) = S Af, (H) 5=i B.6) где Лтах = Aj > Л2 > Л3 > ... > Л2М— собственные зна- чения матрицы L. Если устремить N к бесконечности, из B.6) сразу следует, что lim N MnQj, ,дг=1пЛ1, а поэтому, согласно B.4), J -^=-= lim v.T M—>-oo B.7) B.8) Расчет величины Amax был впервые выполнен Онсаге- ром [3]. Перечислим здесь только те свойства Лтах, кото- рые нам понадобятся в дальнейшем. 1) При конечном М величина Лтах является аналити- ческой функцией v, т. е. фазовый переход в решетке, огра- ниченной в одном измерении, невозможен. 2) При М —>- оо для температур Т, меньших некоторой критической температуры Тс, величина Лтах становится асимптотически вырожденной; точнее говоря, при Т > Те матрица L имеет невырожденный, спектр, а интервалы между величинами (ИМ) (In Л;) имеют порядок ИМ. Ниже Тс существуют два таких же спектра с теми же Математические механизмы фазовых переходов 167 интервалами для величин (ИМ) (In Aj), но эти спектры сдвинуты друг относительно друга на величину порядка ехр (—сМ), где с — положительная константа. Ашкин и Лэмб [4] впервые заметили, что асимптотиче- ское вырождение связано с существованием дальнего порядка. Таким образом, можно сказать, что асимптотиче- ское вырождение наибольшего собственного значения матрицы перехода лежит в основе математического меха- низма фазового перехода в двумерной решетке Изинга. Можно показать, что такой механизм носит весьма общий характер. Мы надеемся, что для каждого данного гамильтониана удастся построить линейный оператор, наибольшее собственное значение которого дает свободную энергию системы, а вырождение этого собственного значе- ния можно связать с фазовым переходом. Примеры, под- тверждающие этот вывод, и будут составлять содержание лекций. 3. Модель Кюри —Вейсса Прежде чем перейти к дальнейшему обсуждению связи между асимптотическим вырождением и дальним порядком, рассмотрим кратко модель Кюри — Вейсса. В модели предполагается существование решетки N спинов \it = ±1, причем энергия взаимодействия для данной конфигурации спинов равна Е=—7Г 2 №, ^>0, C.1) т. е. все спины взаимодействуют друг с другом одинаковым образом, причем энергия взаимодействия пропорциональна IIN. Подчеркнем два недостатка этой модели: а) нет зави- симости от размерности пространства и б) энергия взаимо- действия зависит от размера системы х). Первое ограничение нежелательно, поскольку наиболее интересные особенности фазовых переходов связаны с раз- мерностью системы, а второе — противоречит основным принципам статистической механики. J) Это замечание относится и к теории Ван-дер-Ваальса.
168 М. Кац Преимущество рассматриваемой модели состоит в том, что она допускает точное решение. Действительно, так как N N N . N то статистическая сумма равна Используя тождество =^гщ j exp ( _^- + ^2ag) dg, . C-2) C.3) C.4) получаем C.5) Теперь можно провести суммирование для каждого fij в отдельности, что дает оо Qn=4t=- f е~1уг Bchgl/ -^-Y<%>. C.6) — ОО После замены переменных g = т] ViV получаем dr). C.7) Используя метод Лапласа (т. е. метод перевала), находим для больших TV max где С — некоторая постоянная. Поэтому ch r\ V~2v)N, C.8) C.9) Математические механизмы фазовых переходов 169 где (v) = max (e-ia/2 ch т| C.10) Очевидно, что максимум выражения, стоящего в круглых скобках в C.10), имеет место для величины т], удовлетворяю- щей следующему уравнению: C.11) Положительное решение т]0 уравнения C.11) называется вейссовским средним полем. При v<V2 (высокие температуры) уравнение C.11) имеет лишь тривиальное решение т| = 0, но для v г1 г1г Фиг. 1. (низкие температуры) существует также и ненулевое реше- ние этого уравнения. Общая картина схематически показа- на на фиг. 1. Тогда из C.9) получаем f In 2, In 2- C.12) Температура Кюри соответствует ус = 1/2, т.е. Тс = = 2//ч. Из C.12) немедленно следует, что при Т — Тс внутренняя энергия остается непрерывной функцией тем- пературы, а теплоемкость имеет скачок. Несколько позже мы вернемся к результатам C.9)— C.12) и покажем, что они могут быть строго получены для одномерной модели путем определенного предельного пере- хода (у -> 0). Тщательное изучение предельного перехода
170 М. Кац у ->¦ 0 покажет, что рассмотренный механизм фазового перехода фактически может быть интерпретирован как асимптотическое вырождение наибольшего собственного значения соответствующего интегрального уравнения. 4. Асимптотическое вырождение и дальний порядок Вернемся теперь к вопросу о соотношении между асим- птотическим вырождением и дальним порядком. Парная корреляционная функция двух спинов k-й СТРОКИ /-ГО И (/ + Г)-ГО СТОЛбцОВ Pn.M (Г) = (Hk.lllk.l+r), зависящая благодаря трансляционной симметрии решетки лишь от относительного расстояния между узлами, опре- деляется выражением Pn. м (г) = Qn, m 2 Н*. гН-fc. 1+те~Е/*т. D.1) {ц} Используя матрицу L, можно переписать это выражение в виде . м <Г)=0&, ы 2 2 2 (n) (n') (Ю '1 (fx, fx') ^U (fx', fx") x X ii"hLN-r-l+i (fx", fx), D.2 где для конфигурации столбцов снова использовано обозна- чение (fx) = (fx1? [x2, ..., fXiv)- Разлагая матрицу L по соот- ветствующим образом нормированным собственным функ- циям ф; (fx) и собственным значениям Aj 2м Ls (fx, fx') = 2 A-iVJ № Ф/ (М-') D.3) 51 2 5=1 (fx), преобразуем и используя условие ортонормировки D.2) к следующему виду: Р*. м (г) = Qn1, mSS Af -rA) [2 срг- (fx) ць<р, (fx)]2. il ji () 2 (ц) D.4) Учтем, что при N-* со Qx.m и г — порядка единицы 1 A1i, а для конечных D.5) Математические механизмы фазовых переходов 171 Тогда D.4) сводится к оо («pi. где введено скалярное произведение1) (Ф> 5( ~ 2 (и) D.6) D.7) Заметим, что слагаемое / = 1 в D.6) тождественно обра- щается в нуль благодаря тому, что функция % (fx) сим- метрична и (q>i,-|ifc<Pi) =0. При Т > Тс А± не вырождено, т.е. для />1 UmiAj/AiY = 0. Тогда для Т>ТС lim p(r) = 0, D.8) т. е. дальний порядок отсутствует. При Т <iTc At вырож- дено и, следовательно, Р (г) > Dг = (Ф ь D.9) независимо от г. Так как ср2 (И-) — антисимметричная функция, то вхо- дящий в D.9) коррелятор (q>i, fxftcp2J отличен от нуля и, следовательно, при Т <ГС асимптотическое вырождение означает наличие дальнего порядка. Для доказательства обратного утверждения — вырождения Aj при наличии ?* г) Заметим, что благодаря циклической симметрии (<plt q>j\JLk) не зависит от k. Следует упомянуть, что выражение для р (г) при Т < Тс оказывается иным, если сначала подставить М = N, а затем перейти к пределу Л^ —>- оо. Это связано с асимптотическим вырождением А±, приводящим k.QNiN — 2Л^ и, следовательно» оо = -2- 2 (¦а? Представляется более удобным (и естественным) независимо устрем- лять JV и М к бесконечности, а не связывать их условием М = N.
172 М. Кац дальнего порядка1)—заметим, что, согласно D.6), 5=1 а из теоремы Парсеваля следует, что 5=1 т. е. D.10) D.11) D.12) и вырождение2) At есть следствие существования конеч- ного предела функции р (г) при г->¦ оо. Нормированная собственная функция ф! (fx) матрицы L, соответствующая наибольшему собственному значению, также играет важную роль при описании фазового перехода в упорядоченном состоянии. Это видно из следующего рассуждения. Рассмотрим /-й столбец решетки. Вероят- ность данной конфигурации (fx) спинов в этом столбце независимо от конфигураций спинов во всех остальных столбцах определяется выражением D.13) N-+00 где штрих у знака суммы означает, что суммирование по всем конфигурациям проводится при фиксированной конфигурации (\i) в 1-ы столбце. Нетрудно записать Р () с помощью матрицы перехода: lim LN (ц, Sp (LN) D.14) Последнее равенство в D.14) получено при учете D.3). х) Гриффите [5] недавно показал, что модель Изинга и широ- кий класс ферромагнитных систем Изинга при достаточно низких температурах обладают дальним порядком. 2) Так как мы уже перешли к термодинамическому пределу, то А± = Л2 при М -*- оо, что слабее высказанного ранее утвержде- ния об асимптотическом вырождении. Математические механизмы фазовых переходов 173 Таким образом, ф? (М-) служит мерой упорядочения в решетке и поэтому следует ожидать, что при низких температурах функция ср^ (jx) будет в основном определяться упорядоченными конфигурациями, а при высоких темпе- ратурах все конфигурации будут давать одинаковый вклад в функцию ц>\ (fx). Проиллюстрируем это утверждение на простом примере. Пользуясь методом Рэлея — Рица, выберем в качестве пробных векторов для Alt (ф. 1 две функции: = 2 -М/2 И Фо(И-) -Г' 0, <Pz> в остальных случаях. ИЛИ — 1, D.15) D.16) D.17) Здесь ф# (\i) соответствует полному разупорядочению, а Фо (И-) — полному упорядочению, причем следует ожи- дать, что при низких температурах Ло > AD, где Ло и AD — наименьшие значения величины Ль полученные подстановкой в D.15) соответственно q>o (И-) и Фл (нО- Вспо- миная теперь соотношение B.8), связывающее свободную энергию и величину Ль видим, что фо (t-О приводит к мень- шему значению свободной энергии, чем q>D (\i). Противо- положная ситуация реализуется при высоких температу- рах. Действительно, элементарный расчет показывает, что для пробного вектора ф0 (fx) а для q>D(\i) (n') D.18) D.19) Входящая в D.19) сумма может быть интерпретирована как статистическая сумма для 2 X М решетки Изинга. Матрицу перехода для этого' случая можно построить, добавляя строку за строкой. При этом получается, что D.20)
174 М. Каи -e2v 1 1 _ 1 1 1 e-2v 1 1 g-2v 1 1 1 " 1 1 e2v. где comax — максимальное собственное значение «малой» матрицы перехода D.21) Нижний предел величины сотах можно получить, выбрав в качестве пробного вектора в методе Рэлея — Рида вели- чину 72 A, 1, 1, 1), что приводит к неравенству Aj > B + sh2 v)^ = AD. D.22) Сравнение D.18) и D.22) показывает, что для e2v^ ^ 1 + 2/1^3 Ло ^ AD, D.23) что и требовалось доказать. Оценка величины V2ln [1 + B/]/1Г)] ъ 0,382, к которой приводят эти грубые соображения, случайно оказалась близкой к точной крити- ческой величине vc ~ 0,4407 для двумерной модели Изинга. 5. Одномерная модель с потенциалом взаимодействия Yexp ( — yI' — jl) Рассмотрим теперь одномерную модель *): цепочку из N спинов fXj = ±l с энергией взаимодействия -VH-JlfijfAy. E.1) E=—Jy Малое у соответствует большому радиусу взаимодейст- вия, т. е. 7 может рассматриваться как эффективное число спинов, взаимодействующих с данным спином. Таким образом, у1 соответствует величине z в формулах Браута, -1) Эта модель впервые рассматривалась мною в 1959 г. [б—8] ' и в 1961 г. другим методом — Бэйкером [9]. Континуальная модель стержней, взаимодействующих друг с другом по закону v (х) = = — Jy ехр (— 7 1*1) подробно обсуждалась Кацем, Уленбеком и Хеммером [10]. Более подробно эти вопросы рассмотрены в не- давно вышедшем обзоре Гельфанда 111]. Математические механизмы, фазовых переходов 175 поэтому можно ожидать, что в пределе при у-^Q (после перехода к термодинамическому пределу N -+ оо) мы при- дем к теории Кюри — Вейсса. Это и будет сейчас показано. Перепишем в симметричном виде энергию взаимодей- ствия спинов N N и статистическую сумму -^ 2 2 e-*-nw E.2) E.3) где снова введено обозначение v = J/кТ. Важную роль при расчете QN играет тождество [12]: N ехр (i- 2 hAtj i, 3=1 (det A) exp t) X N N X exp [ ~T 2 Xi (A~1)uxJ~\ dXi ... dxN, E.4) i, }=i где gj—действительные числа, а Л —любая вещественная, симметричная, неособая, положительно определенная матри- ца. В частном случае Лг-у = ехр( — y\i — /|) и Ei = ]/vYfAb используя тождество E.4), можно переписать выражение для статистической суммы в следующем виде: оо N QN = e-vNv/2 2 j ... j exp (V^ 2 хини) X {11} -oo ft=l X W (xu xz, . .., xN) dXi dx2 ... dxN, E.5) где ' 128 . W(xu ...,xN) = = w (xt) Py (xt j x2) Py (x21 xa) . .. Py (Xjf.11 xN), E.6)
176 М. Кац а величины w (x) и Ру (х | у) равны l PJx\y) = w(x) = 2(i_e-2v) Представление функции W (xit . . ., xN) в виде произ- ведения простых множителей, которое будет существенно для дальнейшего упрощения ¦ выражения E.5), связано с тем, что матрица, обратная к ехр (—у | i —/ |), имеет отличные от нуля элементы лишь на главной и двух ближай- ших к ней диагоналях. Полученные выше формулы могут быть легко проверены. Поскольку нам придется иметь дело с более сложными случаями, удобно дать вероятност- ную интерпретацию полученных результатов. Обратим внимание на то, что ехр (—у | t |) представляет собой кор- реляционную функцию стационарного гауссовского мар- ковского процесса (процесса Орнштейна — Уленбека) e~vi * I = (X (%) X (t-\- ~v)) E 8) Входящий в E.5) интеграл можно записать в виде ; n \ехр [V~vy S l*-kX (k)]~/, а факторизация E.6) просто отра- жает факт марковости процесса. Упрощение выражения E.5) для QN проводится сле- дующим образом. Проводя суммирование в E.5) по кон- фигурациям {ц}, получаем QN = w _eo ft=l X Д Pv (xh I i ... dx N. E.9) Вводя ядро K(x, у), (х) E.10) Математические механизмы фазовых переходов 177 приведем E.9) к симметричному виду JV—± X ТТ К (хк, Xk+i) h (xN), ... dx N, E.11) где величина h (x) определяется равенством a. E.12) Выполняя в E.11) интегрирование по дг2, х3, ..., xN-i, получаем Qn = e~vNy/22N j .... j dxdyh{x) KN~l (x, y)h(y), E.13) где Ks(x, y)— s-ая итерация ядра К(х, у). Теперь естественно обратиться к интегральному урав- нению: K(x, E.14) Так как ядро К {х, у) — симметричная, положительно опре- деленная функция типа Гильберта—Шмидта, т. е. ъ У) dxdy< 00, E.15) то уравнение E.15) имеет дискретный ряд положительных собственных значений Xt > А,2 > • • • и полный ряд соот- ветствующих им собственных функций tyi(x), ty2(x)... » Отсюда следует, что Ks (x, у) может быть представлено в виде К3 (х, у) - S X^j (х) % (у). E.16) 12-0826
178 М. Кац Подставляя E.16) в E.13), получаем E.17) Используя известные термодинамические формулы и пере- ходя к термодинамическому пределу, находим окончатель- ное выражение для свободной энергии, приходящейся на один спин: = lim N'1 K-MO E.18) Сразу подчеркнем формальную аналогию между фор- мулой E.18) и соответствующим выражением B.8) для модели Изинга, в котором свободная энергия на спин выра- жена через наибольшее собственное значение матрицы. Выражение для парной корреляционной функции в рас- сматриваемой одномерной модели также аналогично фор- муле D.6) для двумерной модели Изинга. Корреляционная функция (yii, pi+т) двух спинов, находящихся внутри Цепочки, т. е. между I и N — / узлами (чтобы избежать влияния границ, поскольку мы рассматриваем разомкнутую цепочку), и отстоящих друг от друга на расстоянии г порядка единицы, определяется выражением (г) E.19) Повторяя те же рассуждения, которые были использованы при упрощении формулы E.5), получаем оа N pN (г) = Q^e~vNv/2 2 j ' • • Ц} i=i х X W (xu ..., xN) dxt ;.. dxN = N j .7. j th A^*0 th X N X Д ch л) W (xu ..., xN) dxt... dxN. E.20) ft==i Математические механизмы фазовых переходов 179 Можно переписать E.20), вводя ядро К (х, у), X |, Xl+r) th X Л X x E.21) Проделывая теперь те же преобразования, что и в мо- дели Изинга при получении выражения D.6) из D.2), и используя E.16) и E.17), окончательно находим1) р (г) = lim р^ (г) = Это выражение полностью аналогично D.6) для двумерной модели Изинга. Снова отметим, что если Хх не вырождено, то р(г)-»-0 при г—>-оо и дальнего порядка не существует. В дальнейшем мы будем иметь дело лишь с предельно малыми значениями у. С этой целью удобно записать ядро К (х, у) в виде [тК(х, у) = ev/2e-(Y/2M*)«PI—(<—y)a/4shy] e_(Y/2)?(!/)> E.23) где yq (x) = i- th (-f) JCa - In ch (/n*). E.24) Заметим теперь, что величина * (*• 0 = F-25) х) Заметим, что слагаемое / = I в E.22) тождественно обращается в нуль, так как i|?i (х) — симметричная,? t\i(~\/vy х)—-антисимметрич- ная функция. 12*
180 М. Кац является решением уравнения теплопроводности dR 2 дх2 dt Поскольку благодаря тому, что lim {exp I — (х — y t-t-0 E.26) = 8 (* — начальное значение функции R(x, t = O) = f(x), формальное решение уравнения E.26) имеет вид ](*)- E-27) Используя E.27), получаем из E.23) (для ? = 2sh7), что интегральный оператор К (х, у) формально эквивалентен оператору ехр -|-) ехр [ —\q (*)] exp (sh7 -^ X E.28) и, следовательно, интегральное уравнение E.14) эквива- лентно уравнению ехр [ - ¦? q (*)] exp (sh у -~ ) ехр [ - \q (*)] ф (х) = . E.29) Вообще говоря, уравнение E.29) столь же сложно, как и исходное интегральное уравнение, так как произведе- ние экспонент в E.29) можно преобразовать по формуле Бэйкера — Хаусдорфа, которая имеет следующий вид для операторов А и В: eB/2gAeB/2 ._ ^ ± ] E.30) Это разложение в общем случае нельзя представить в компактной форме. Однако для малых у коммутаторы в E.30), состоящие из трех или более операторов, будут величинами порядка у2 и более высокого порядка [8]. Поэтому, оставляя лишь члены порядка у, можно собрать все экспоненты в E.29), и получающаяся при этом задача Математические механизмы фазовых переходов 181 на собственные значения эквивалентна следующему урав- нению Шредингера (при замене sh 7 на 7 и пренебрежении слагаемыми более высокого порядка по 7): где q (х) задается формулой E.24), а Е определяется из соотношения К = е-Еч. E.32 Таким образом, максимальное собственное значение Xt равно ехр( — Еоу), где Ео — наименьшее собственное значение уравнения E.31). Потенциал q(x) при сохранении членов наинизшего порядка по 7 имеет вид E.33) Функция q(х) достигает минимума при x = x\\f2ly, где т] — решение уравнения Tj^l^^vthd/^VTi). E.34) Из сравнения C.10) и C.11) непосредственно выте- кает, что min [yq (x)] = — In &C (v), . E.35) где г/Г (v) определено в C.10). Таким образом, в класси- ческом приближении получаем = min [yq (#)]=— In ЗГ (у). E.36) Поправки к соотношению E.36) являются величинами порядка у2, поэтому в пределе 7 ~^~ 0 равенство E.36) становится точным а). Сравнение E.36) и E.18) показывает, что в пределе 7-^0 мы приходим к выражению Кюри — Вейсса C.12) для свободной энергии. Для малых 7 можно провести стандартный анализ урав- нения E.31) с помощью теории возмущений [7, 8]. Так, для достаточно малых v Bv < 1, т. е. для высоких темпе- ратур) функцию In ch Y~vyx можно разложить в ряд, и оказывается, что в наинизшем порядке- по 7 уравне- х) В работе [7], исходя из интегрального уравнения, дано непосредственное доказательство этого утверждения,
182 М. Кац ние E.31) сводится к уравнению для гармонического осцил- лятора {Ё == Е + 1/2)'- с собственными значениями n==o, 1, 2,... E.38) и собственными функциями (функциями Вебера) , E.39) где Нп(х)— полином Эрмита л-го порядка. Можно рас- считать и следующий порядок теории возмущений, что дает [7]: Для 2v > 1 потенциал q (х) имеет два минимума при х = ±т)о V^/у, где тH — положительное решение урав- нения E.34). Поэтому прежде чем прибегать к теории воз- мущений, следует разложить функцию q (x) в ряд по т]0 У21у. Сохраняя члены наинизшего порядка, получаем , E.41) где введено обозначение v' == v [ 1 — th2 Используя E.40), можно сразу определить 2v>1. E.43) E.42) Относительно полученных выше результатов следует сделать два замечания: 1) высокотемпературное разложение E.40) является неаналитической функцией при 2v = 1 во всех порядках по у, т. е. теплоемкость имеет скачок в точке Кюри 2vq = 1; Математические механизмы фазовых переходов 183 2) строго получено низкотемпературное разложение Bv >- 1) по степеням у. Так как Х± — аналитическая функция v г) при всех конечных у, то из замечания 1) вытекает необходимость модификации высокотемпературного разложения при 2v ->- 1~. Мы вернемся к этому вопросу несколько позже. Получение низкотемпературного разложения является преимуществом развиваемого метода. В общем разложе- нии Б раута по степеням \1г нельзя получить низкотемпе- ратурного разложения без дополнительных предположений. Очевидно, что в нашем методе механизм фазового пере- хода (в пределе у ->¦ 0) связан с тем, что при 2v < 1 потен- циал имеет один минимум, а при 2v > 1 — два. Чтобы убедиться в том, что такое свойство потенциала соответст- вует асимптотическому вырождению, заметим, что при 2v > 1 два минимума потенциала отстоят друг от друга на величину 2т]о V%/y. При малых у можно рассматривать каждый из этих минимумов независимо. Тогда в наинизшем порядке для собственной функции, соответствующей Ео, имеем [ср. E.39) и E.41)]: [> Г ехр ( -1 ^1 - 2v' х*) . E.45) где Собственная функция, соответствующая следующему собственному значению Et, является в отличие от E.44) антисимметричной комбинацией функций -ф0. При этом легко увидеть, что с>0, E.46) г) Аналитичность по v вытекает из того, что детерминант Фредгольма для интегрального уравнения является аналитической функцией v при всех конечных у.
184' М. Кац определяет расстояние между Е± и Ео. Таким образом, при у -*- 0 максимальное собственное значение Xt становится вырожденным при 2v > 1.. К приведенным соображениям следует относиться с осто- рожностью, так как функция я|з0 (•*) получена методами теории возмущений, а множитель ехр (—с/у) выходит за пределы применимости этой теории (фактически во всех порядках теории возмущений Ео = ?i). Можно, однако, строго доказать сформулированное выше утверждение непосредственно, исходя из интегрального уравнения. Хотя, строго говоря, в рассмотренном случае нет асим- птотического вырождения, ситуация вполне аналогична двумерной модели Изинга (напомним, что в двумерной модели Изинга вырождение возникает просто при переходе к термодинамическому пределу, а здесь для получения вырождения следует еще совершить предельный переход ?->-0). Если, исходя из этих соображений, вернуться к формуле E.22) для парной корреляционной функции, то видно, что при 2v > 1 корреляции существуют на рас- стояниях порядка ехр A/^), а при 2v < 1 — радиус корре- ляции — величина порядка \1у. Для малых у эффект огромен, хотя, строго говоря, это и не соответствует даль- нему порядку (за исключением предельного случая у ->- 0). Вернемся теперь к вопросу об аналитичности высокотем- пературного разложения E.40) при 2v->-l~. Удерживая следующий член разложения в ряд In ch Qfvyx), вместо E.37) получаем [- — dx* E.47) До тех пор пока 2v < 1, а 1 — 2v достаточно велико, сла- гаемое с л:4 в E.47) может рассматриваться как возмуще- ние, т. е. E.48) Эта величина мало отличается от первого слагаемого в E.40) [ср. E.38)]. Поправочное слагаемое к E.48) имеет Математические механизмы фазовых переходов 185 вид [ср. E.39), E.40)]: ^1- j ехр ( —L УТ^ dx С ехр ( — i-Vl-2vxA dx 4A—2v) E.49) Область значений v, для которой эта поправка того же порядка, что и У I — 2v [см. E.48)], соответствует так называемой критической области. В этой области теория возмущений неприменима, и надо использовать другую процедуру суммирования. Из приближенного равенства ¦у/A —2v) ~- -"|/"l —2v непосредственно вытекает, что 1 — 2v — -у2/з> поэтому естественно полагать, что в кри- тической области 2v = 1 + VtY2'3. E.50) Хотя равенство E.50) получено при приближении к критической области со стороны высоких температур (vt < 0), мы увидим, что величина у2/з представляет собой разумный масштабный множитель и при подходе со сто- роны низких температур. Если подставить E.50) в E.47), дифференциальное уравнение примет следующий вид: —23— Т Полагая сведем E.51) к где со (Vi) =- ,1/3 E.52) E.53) E.54) Хотя безразмерный потенциал 48
186 М. Кац обладает теми же свойствами, что и исходный потенциал g (х) [одним минимумом в высокотемпературной (vt < 0) и двумя — в низкотемпературной (vt >> 0) области], функ- ция © (vt) теперь аналитична при всех Vj и точка vt — 0 (т. е. 2v= 1) вообще не является точкой сингулярности функции! Из E.54) и E.31) следует лишь, что разложение функции In A,max, ln^max = |--cu(v1)v4/3+---» E-55) является в критической области аналитической функцией vt с точностью до 74/з- Можно, однако, не сомневаться в том, что все коэффициенты при слагаемых более высо- кого порядка в E.55) также являются аналитическими функциями vt. Чтобы понять, в каком смысле выражение E.55) соответ- ствует высокотемпературному разложению E.40), рас- смотрим слагаемые в E.40) с наибольшей сингулярностью, а именно: 2 ^ гУ> ' 4 1—2v и другие. При подстановке 1 — 2v = vtya^ все эти слагае- мые становятся величинами одного порядка (как и должно быть в критической области) и вклад двух приведенных выше членов в коэффициент при у4/з соответствует двум первым слагаемым в асимптотическом разложении функции © (vt) при больших отрицательных vt. [Это разложение получено из E.53) с помощью ряда теории возмущений по величине v^1.] Нет никаких оснований сомневаться в том, что если бы можно было провести полное суммиро- вание слагаемых в высокотемпературном разложении, обла- дающих наибольшей сингулярностью, то мы получили бы асимптотическое разложение функции со (vt) при больших отрицательных vt. Для полноты рассмотрения одномерной модели дадим строгое доказательство асимптотического вырождения величины V! при малых 7- Мы докажем, что с>0, E.56) где Х2 — второе по величине собственное значение инте- грального уравнения_E.14). Математические механизмы фазовых переходов 187 Так как собственная функция г|?± (х), соответствую- щая наибольшему собственному значению, симметрична [поскольку К (х, у) =/С (—х, —у)], то антисимметричная комбинация ортогональна к x). Здесь 0, х<0. E.57) E.58) Таким образом, ф(л:) является подходящей пробной функцией для определения Х2 по методу Рэлея — Ритца, который приводит к (/, КГ) (/, f) ' = max E.59) оо Здесь введены обозначения: (/, g) — \ f(x)g (x) dx и (Kf) (x) — — оо оо = j K(x,y)f(y)dy. — оо Итак, взяв ф (х) в качестве пробной функции в E.59) и заметив, что % (х) — т|^ (х) + ^ (х) и что функции i|>i (x), а следовательно, и ф (х) нормированы, получим Xi > Х2 > (ф, К<р) = Л»! — 4 (i\>i, Kty^). E.60) Теперь нам осталось показать [ср. E.46)], что интеграл перекрытия (ij^, /СфГ) — величина порядка ехр (—с/у). Используя неравенство Шварца и выражение E.23) для ядра К (х, у), К (х, у) = ev/2e-(Y/2)g(*)/? (*, у) e-(v/2)g(y), где F (х, у) = ехр [ - E.61) E.62)
188 К. Ксщ найдем e-v/з ( = j UX J 0 —oo [ijji (л:) X [^i(у) е~ (х) ехр [ — х, о d yF (x, y). E.63) Интеграл по у сразу берется, если сделать подстановку x — y = zY2shy: О оо Z2 il f dyF (x, у) = .— \ E.64) Так как из E.34) следует, что —уд {х) < in ж {у), то из E.64) и E.65) получаем E.65) со e-v/з до, /с^т) < Ж (v) ]Ai J dxtf, (x) exp ( - ^~) < , E-66) если у выбрано достаточно малым, чтобы 2 sh y < 1- Если теперь умножить обе части интегрального уравне- ния для %i на я|?± (jc) exp (—х2/2), проинтегрировать правую и левую части этого уравнения и воспользоваться нера- венством Шварца, то в результате окажется, что A-ie-v/2 (х)е 2 = — oo oo oo dy fa (x) exp[- exp (—^- X -00 —00 Математические механизмы фазовых переходов 189 X {ti (у) exp [ - Xq (у)] е E.67) Помимо неравенства Шварца, мы при получении E.67) воспользовались тем, что dyF (х, у) = Кexp [(sh у) *2 E.68а) и <ехр[— ^- E.686) Используем теперь соотношение E.24). Для всех х, удовлетворяющих условию | х | ^ а УШу [причем, соглас- но E.34), а< ¦*]<)], получаем max l — yq(jc)] = (^ th-JJ a2 + Inch a ]/2^= In б (а). E.69) Если теперь разбить область интегрирования в E.67) на две части: |х\<аУ%/у и \х\~>аV2ly (обозначаемые соответ- ственно \х\< и |х|>), то, воспользовавшись E.69), придем к неравенству dxf{x)<. dxf(x)+ J dxf (x) exp I * l где через / (х) обозначена функция (.5.70) E.71)
i90 Af. кац Но так как, согласно E.43), %,t = m (v) + о (у), E.72) то из E.65) и E.69) вытекает возможность выбора настолько малого а, что Vv/2 > б (а) е~2а\ E.73) Поэтому неравенство E.70) можно переписать в следующем виде: <[V~V/2 — 8(a)e2a*] j \x\< oo = ^e-v/2 Г dxf(x) — 8(a)e2aZ -oo < С <? Используя теперь E.65) и E.71), имеем dxf(x)exv[-yq(x)-\-(shy)x*}< *2]. E.74) — A— E.75) Последнее из неравенств в E.75) является следствием НОрМИроВКИ фуНКЦИИ 1|5± (jc). Итак, из E.75) и E.74) следует, что для достаточно малых y оо -/V, E.76) Математические механизмы фазовых переходов i§l где и А = 5Г (v) — б (а) е2аа] E.77) = а2A — 2shv)>0. Комбинируя E.76), E.66) и E.60), получаем доказатель- ство асимптотического вырождения. 6. Одномерные модели с потенциалом взаимодействия 1 —j!)=Y Обобщим теперь изученную в предыдущем разделе одномерную модель, выбирая потенциал взаимодействия в виде суммы экспонент. Тогда энергия взаимодействия определяется выражением где р (t) = ~ffft''' 0, 0. F.1) F.2) Следует ожидать, что для конечных m получатся каче- ственно такие же результаты, как и для рассмотренного в предыдущем разделе потенциала взаимодействия E.1). Однако в интересующем нас случае т —>¦ оо (после пере- хода к термодинамическому пределу) появятся, вероятно, какие-то новые результаты. Действительно, будут приве- дены веские соображения в пользу того, что при специаль- ном выборе величин аи и а^ после перехода к пределу т ->• -*¦ оо [когда сумму F.2) можно заменить интегралом] фазовый переход наступает при конечном 7. а не только в пределе у-*-§, когда мы получали просто результаты теории Кюри — Вейсса.
M. Кац Повторяя рассуждения, приведенные в начале про- шлого раздела, снова сведем расчет статистической суммы для модели F.1) к нахождению наибольшего собственного значения интегрального уравнения. Можно воспользовать- ся тождеством E.4), но проще говорить на языке теории вероятности. Итак, рассмотрим совокупность независи- мых процессов Орнштейна — Уленбека xt (t), x2 (t), . . . - - -, хт (t), для которых хг @) = 0, а корреляторы опре- деляются выражениями: <**(') **('+*)>~e-ff*lTl. k = l, 2, ..., m. F.3) Независимость процессов означает, что {хк @ хг (t + т)> =с 0 для k Ф L F.4) Используя F.3) и F.4), легко показать, что стационар- ный гауссовский процесс т X{t)^^V^hxk{t) F,5) удовлетворяет условию (Х@Х(/ + т)) = р(т), F,6) где функция р(т) определена в F.2). Симметризуя F.1), можно сразу записать выражение для статистической суммы N i, 3=1 / N exp X 3=1 N /) W J) = X F.7) 3=1 Математические механизмы фазовых переходов 193 Используя то, что векторный процесс х (t) = = (xi (t), . ¦ ., хт (t)) является марковским, можно по ана- логии с E.6) записать совместную плотность вероятности для этого процесса в виде N W (xlf ...,xN) = w (xO [J Pv (xft | Xk+,0 F.8) где _ TT fexp(—x - II L V25 F.9) m | У) = П { exp A — 1 F.10) Теперь дословно повторим вывод формул E.9) — E.18) заменив скаляры векторами х, что дает F.11) Здесь ЯШах — наибольшее собственное значение (т-мерного) интегрального уравнения F.12) — оо с ядром /С(х, у) вида [ср. E.10)]: ,У) = / ch х Произведя действия, аналогичные E.23) — E.28), придем к выводу, что интегральный оператор К (х, у) эквивален- 13—0826
194 М. Кац- тен оператору х exp G m -у). F.14) Введенная в F.14) функция 7<7(х) равна * -lnch wOO-— У th ~ F.15) Ограничиваясь членами низшего порядка по 7. можно, как и прежде, объединить экспоненты в F.14) и получить (пренебрегая членами порядка у2) F.16) где Ео — наинизшее собственное значение дифференциаль- ного уравнения ft=i 2 F.17) i Производя замену переменных xh = Y<*hXh, дреобра- зуем уравнение F.17) к более удобному виду. Если, кроме того, определить величину г|? с помощью равенства яр (xl, ..., х'т) = ч5р (VotXl, ..., Vomx'm) F.18) и заменить в конце расчета х' на х, то уравнение F.17) сведется к следующему: л=1 F.19) Математические механизмы фазовых переходов 195 Прежде всего заметим, что в пределе 7 —*¦ 0 мы снова возвращаемся к теории Кюри — Вейсса. Простой расчет показывает, что потенциал в уравнении F.19) имеет мини- мум при х = х@\ где = 2 {/ у -л, а величина tj является решением уравнения т] = Bvv0) th ц, причем, согласно F.2), F.20) F.21) F.22) Условие v0 < 00 является просто условием устойчи- вости, необходимым для существования термодинамиче- ского предела. Очевидно, что равенство 2vc = l/v0 опреде- ляет точку Кюри, а Ео — минимальное значение потенциала при 7~^-0- Подставляя F.20) в F.15) и используя F.16), получаем '• 2V<1/V°' F.23) '[—(wo)th2rio+lnchTio], 2v>l/v0, f = S где Tjo — положительное решение уравнения F.21) (для 2v>l/v0). Для малых 7 опять можно применять теорию возмущений. Тогда для высоких температур Bv< l/v0) m. можно разложить In ch в уравне- нии F.19) в ряд и, сохраняя члены наинизшего порядка по у, свести F.19) к следующему уравнению: т -L-T 2 <**!-}( 2 F.24) Собственные функции и собственные значения квадра- тичной формы, соответствующей F.24), легко получаются 13*
196 М. Кац минимизацией выражения При этом оказывается, что собственные значения cos явля- ются решениями уравненияj (схематически показанного на фиг. 2) F.26) ВТ Фиг. 2. Собственным значениям cos соответствуют нормирован- ные собственные векторные функции: a<s>=(a<s>, a<s>, ..., a<?>), где Ns oJ-c F.27) Проведя ортогональное преобразование F.28) Математические механизмы фазовых переходов 197 перепишем уравнение F.24) в виде F.29) s=l s=i которое является уравнением Шредингера для т несвязан- ных осцилляторов. Поэтому 1[в наинизшем порядке по у получаем F.30) и, согласно F.16), Из фиг. 2 видно, что при V2v <vOl ©i <C 0, т. е. ниже точки Кюри, одна из мод невозмущенной системы осцилля- торов неустойчива и уравнение F.29) не может служить первым приближением для F.19), так как оно не учитывает связанные состояния. Ниже точки Кюри нужно, как и раньше, разложить потенциал в ряд вблизи минимума, а затем уже использо- вать методы теорий возмущений. Мы вернемся к этому несколько позже. Рассмотрим теперь частный предельный случай потен- циала взаимодействия F.2): p(t)= Jr< а>0. Заменим этот интеграл суммой m р@~ и, сравнивая с F.2), положим &h = (&ДА)а ДА, «jfe = F.32) --L (б.зз) F.34)
198 М. Каи При этом свободная энергия получается из F.11) с помощью предельного перехода т ->- <х>. Легко проверить, что F.35) и оо 1 ( С tp(t)dt= j lka-*d'k=\ о о *• Так как при а < 1 интеграл оо. оо, F.36) являющийся в определенном смысле мерой области взаимодействия1), обращается в бесконечность, то в этом случае можно ожи- дать нетривиального поведения системы2). В действитель- ности мы предполагаем, что при а < 1 в рассматриваемой модели возможен фазовый переход не только в тривиальном случае у = 0, но и при любом у. Это предположение под- тверждается поведением рассматриваемой системы в критиче- ской области (которое будет обсуждаться позже), а также «сферическим вариантом» потенциала F.32), когда для статистической суммы вместо F.7) получается следующее выражение [14]: N N г, >= 1 T. F.37) x) В этом случае величина Y не может служить мерой области взаимодействия. Такой мерой является величина оо оо [ \ thp 09 dtl § р (t) dt]illk и мы для простоты полагаем k = 1. оо 2) Ван-Хов [13] доказал невозможность фазового перехода в одномерном классическом газе с резко ограниченной конечной областью взаимодействия (когда взаимодействие равно нулю, начи- ная с некоторого конечного расстояния). Представляется вероятным, оо что фазового перехода не будет и при ^. tp (f) dt < °о, но это утвер- о ждение не было никем доказано. Математические механизмы фазовых переходов 199 Так как при переходе к «сферическому» потенциалу сингулярности стремятся исчезнуть (о чем свидетельствует исчезновение сингулярностей в двумерной модели Изинга при переходе к двумерной сферической модели), то можно думать, что наличие сингулярности в сферической моде- ли F.37) будет свидетельствовать о наличии сингулярности в исходной модели дискретных спинов. Чтобы доказать, что при а < 1 потенциал F.37) действительно приводит к появлению сингулярности, поступим следующим обра- зом. Рассмотрим интеграл N оо = J... jexp[-s N [det BsI—vA)} -1/2 = Bk)n/z Д Bs-vKj)-1/2, F.38) где через f {yi) обозначена функция N матрица А N-го порядка имеет вид /I). F.39) F.40) а Я,7- — собственные значения матрицы А. Подставляя в F.38) R = ]/~N и применяя обратное пре- образование Лапласа, получаем exp[f(fx)]da c-f-io j=l F.41)
200 М. Кац где знак ««» означает пренебрежение константами, воз- веденными в N-ю степень, а величина с выбрана так, чтобы все сингулярности подынтегрального выражения, как функции от s, располагались слева от прямой s = с. Тогда входящий в F.41) интеграл может быть вычислен методом перевала. Уравнение для определения перевальной точки имеет вид N F.42) а требования, предъявляемые к величине с, сводятся к 2s/v > | Ящах |. Для больших N в выражении F.42) суммирование можно заменить интегрированием, исполь- зуя теорему, сформулированную в [15], согласно которой N я ж 2 h (*->) =-ш где F.44) причем Яу — собственное значение матрицы Теплица (a {i — /)) N-то порядка, а функция h (x) интегрируема в смысле Лебега в области (— я, я). Поэтому для больших N урав- нение F.42) превращается в 2s F.45) где g (Э) определяется выражением [ср. F.44) и F.40)] =i- 2 F.46) Заметим теперь, что если интеграл в F.45) расходится при 2s/v —»- [max g F)]+, то уравнение F.45) имеет решение для любых v и фазовый переход невозможен х). г) Например, для одномерной модели при учете лишь взаимо- действия между ближайшими соседями g (9) = cos Э и интеграл расходится при 2s/v -*• 1+. Математические механизмы фазовых переходов 201 Наоборот, если интеграл сходится при 2s/v = max g @) (как это, например, имеет место для трехмерной модели, учитывающей лишь взаимодействия между ближайшими соседями), что означает v = vcjh s = s, то при v < vc седло- вая точка соответствует s = s и в данной модели имеет место фазовый переход при v =vc. В нашем случае из F.32) и F.46) получаем для боль- ших m Р (I я» I) — \т Га+а) F.47) и, следовательно, для малых 6 g @) _ 1 _ | е \а. F.48) Это означает, что для а < 1 интеграл в F.45) сходится при 2s/v = max g F), а при а > 1 расходится. Поэтому сферическая модель F.32) также приводит к наличию фазового перехода лишь при а-С 1. Подобно тому как это было сделано в разделе 5 для одномерной модели, можно, изучая низкотемпературные ряды теории возмущений, привести эвристические сооб- ражения о наличии фазового перехода при а < 1, исполь- зуя интегралы перекрытия. При низких температурах Bv > а), прежде чем использовать теорию возмущений, необходимо разложить потенциал в ряд вблизи минимума х@). Тогда в наинизшем порядке по у получаем из F.19) и F.20) m ? B = — [E + у In. где _ xk = %h v' определяется равенством [ср. E.42)] V' = V A — th2 TJo), F.49) F.50) F.51) a —y~x in e?T (v) соответствует минимальному значению потенциала (т. е. &С (v) — предел Кюри — Вейса величины "max (b.zo)Jl Здесь tj0 — положительное решение уравнения F.21). 
202 М. Кац Уравнение F.49) тождественно уравнению F.24) при замене v на v', a xk на xk. Поэтому квадратичная форма, входящая в F.49), может быть диагонализована с помощью преобразования т Xh == 2-1 "k "s> ^D.UO^ где аьу задается выражением F.27), в котором нужно заменить v на v'. При этом уравнение F.49) сводится к следующему: т 2 2 ^*8Ф = 1 In Ж (v)] F.54) s=l где (л'а — решения уравнения F.26), в котором v заменено на v'.' Используя F.21) и F.51), легко убедиться в том, что _L_>vo = -i-, F.55) т. е. (см. фиг. 2), что все о^ положительны. Сохраняя только члены наинизшего порядка по у, имеем из F.31) для 2v>a т = Ж (v)exp {--?[2 s=i F.56) Собственная ненормированная функция уравнения F.54), соответствующая максимальному собственному значению, равна [ср. E.39I Ц (х) =ехр ( —L а=1 г=1 где, согласно F.20), F.22), F.26) и F.27), m s У v F.57) F-58) Математические механизмы фазовых переходов 203 И F.59) Собственная функция F.57), (я|)+) локализована вблизи положительной потенциальной ямы (х^ > 0). Функция (¦ф~), локализованная вблизи отрицательной ямы (%?" <с 0), получается из F.57) заменой (y(s0>) на (—yi0)). Интеграл перекрытия функций г^+ и г^~, являющийся мерой расстоя- ния между уровнями энергии Ео и Еи равен ехр Г — — 's2' К) F.60) Для а< 1 сумма, стоящая в экспоненте формулы F.60), расходится при т—v оо и, следовательно, для конечных у появляется асимптотическое вырождение. Однако для а > 1 сумма сходится при m^-оои асимптотическое вырож- дение возникает лишь в пределе у -> 0. Для проверки сходимости суммы в F.60) вернемся к фор- муле F.26) (где v заменено на v'), откуда следует, что cos — корни полинома П 0»- fti ?) = 2v' П ah<Jh П (а)- <т?) ft=i /=i m = П (©—©k). fei F.6i) Умножая обе части равенства F.61) на [Т (о> — о%) и лога- рифмируя полученное выражение, получаем 2 ln(l- й=1 = in (l ft=i F.62) где © = 1/z (и | 2 | предполагается достаточно малым). Дифференцируя обе части равенства F.62) по v' и исполь-
204 М. Каи зуя выражение F.63) получающееся при дифференцировании обеих частей урав- нения F.26) по v' и при учете F.27), находим ? . ov' / i N'4l-z@') ^ I . F.64) s=l Можно воспользоваться уравнением F.64) для расчета моментов т ч h=i поскольку fi представляет собой коэффициент при zl+1 в левой части равенства F.64). Таким образом, имеем s=i - оо. F.66) где контур интегрирования в комплексной плоскости пред- ставляет собой достаточно малую окружность, охваты- вающую начало координат. Так как 2v' < а, подынтеграль- ное выражение не имеет полюсов, однако наличие точки ветвления заставляет провести разрез вдоль положитель- ной вещественной полуоси от единицы до бесконечности. Поэтому можно деформировать путь интегрирования в кон- тур С, показанный на фиг. 3, и свести интеграл F.66) к интегралу по вещественной оси х, взятому от единицы до бесконечности. Заменяя переменную х на 1/х, оконча- тельно получаем Ма тематические механизмы фазовых переходов 205 где g(x)=- (б _ V' 1П A ¦— X F.68) и 6=1—^п>0. F.69) Из уравнения F.67) и общей теоремы для моментов следует, что для ограниченной, интегрируемой в смысле Плоскость г . Ф и г. 3. Римана функции / (х) (которая, следовательно, может быть аппроксимирована набором полиномов) справедливо урав- нение т 1 lim У, Д^Д = Г f (х) g (x) dx. F.70) 7П->ОО 8=1 Это уравнение нельзя непосредственно применить в случае f (x)=x~s/2. Однако если обрезать функцию x~3/z при зна- чении х = 8, то уравнение применимо и 1 lim У. —Ksr = ( x~3/*g (x) dx. F.71) Легко убедиться, что для е-*- 0 интеграл F.71) расходится при а<1 и сходится при а > 1. Хотя приведенные выше эвристические соображения убедительно свидетельствуют о том, что при а < 1 Хтах
206 М. Каи асимптотически вырождено для больших т и малых, но конечных у (и для достаточно низких температур), стро- гого доказательства не существует. Обратимся теперь к изучению дифференциального урав- нения F.19) в критической области, где мы снова увидим существенное различие случаев а< 1 и а> 1. Мы пока- жем, что для а > 2 наша модель по существу эквивалентна случаю одного экспонента (см. раздел 5), когда размер критической- области пропорционален у2/3, а величина, соответствующая коэффициенту а> (v^ в E.55), является аналитической функцией Vi. Однако для а< 1 (мы не рас- сматриваем здесь интервал 1 <С а < 2) размер критиче- ской области окажется величиной порядка у, т. е. для а < 1 критическая область определяется равенством 2-v = а + F.72) а коэффициент при у в разложении величины vmax окажется при критическом значении v± — vlc неаналитической функ- цией Vj. Теперь критическая точка уже не является точкой Кюри 2vc = а, а с точностью до членов первого порядка по у определяется выражением 2vc = а + vlcV. F.73) В принципе, продолжая этот процесс, можно определить последовательность критических областей, уменьшающих- ся (по у) размеров, и получить разложение vc в ряд по у. Равенство F.73) содержит два первых члена такого раз- ложения. Для того чтобы увидеть, каким образом получаются уравнения F.72) и F.73), напомним [ср. E.49) и последую- щее обсуждение], что для высоких температур Bv < a)- критическая область соответствует той части области изменения величины v, в которой невозмущенная энергия Ео и поправка первого порядка теории возмущений ока- зываются величинами одного порядка. Определение критической области следует несколько изменить для рассматриваемого случая, когда потенциал взаимодействия является суммой экспонент F.2). При ¦т этом в пределе 2v —ъ- а выражение Ео — V2 Saft не стремит- Математические механизмы фазовых переходов 207 ся к нулю а лишь становится малой величиной разность ? о \^v) — -Ьо (я). Поэтому критическая область определяется требова- нием, чтобы величина Ео Bv) — Ео (а) была того же поряд- ка, что и первая поправка теории возмущений. Разлагая в ряд потенциал в уравнении F 19) и удержи- вая только члены первого порядка по у, найдем (для 2v < a) 4] ^ = — F.74) Далее, если выполнить преобразование F.28) и исполь- зовать вытекающее из F.26) и F.27) равенство s=i <*!-< 2v F.75) s=i то уравнение F.74) примет вид m m 2 ©.^i+aY B ж-'L] ф= -?ф> F.76) s=l 8=1 где Ct = - И F.77) F.78) Поэтому для невозмущенной энергии имеем [ср. F.30)] F.79) s=i
208 М. Кац а поправка первого порядка теории возмущений равна s=l Ут s=i j...jexp(-l — оо s= где введена величина р, 2 dy,... dym = 3avp2, F.80) m F.81) Как уже говорилось, критическая область определяется условием т s=i Bv) - s=l F.82) т поэтому нужно исследовать поведение величин 2 Y^s Bv) s=l и р при 2v->-a. Обозначая z= —?~2» получаем из F.62) s=l s=l F.83) Интегрирование обеих частей этого равенства по I от оо до + °° Дает , (т-^оо). F.84) о о При этом мы воспользовались очевидным соотношением оо F.85) Математические механизмы фазовых переходов 209 Теперь, производя элементарные расчеты, легко пока- зать, что 4=1 • 1 — 2v/a, а < 1, A— 2v/a)l/a, 1<а<2, F.86) Следует также заметить, что причем интеграл существует для всех а>0. Дифференцируя равенство F.85) по v и используя фор- мулу F.63), в которой v' заменено на v, найдем о о Из F.87) следует, что [— 2v/ar1/2 Например, при а > 2 имеем 1-2VJ О 14—0826 F.88) 2v_
210 М. Кац и, подставляя | = У~1 — 2v/ag', получаем для малых A —2v/a) art \ aj J i +[2v/(a — Таким образом, исходя из F.86), F.88) и F.82), при- ходим к следующему определению критической области (при 2v < a): {у, а <С 1, -уа/Bа-« 1 <;а<2 У2Ч ' а>2. F.89) Критическую область со стороны низких температур можно определить аналогичным образом как область зна- чений v, в которой энергия в классическом приближении (соответствующем требованию минимума потенциальной энергии) и энергия нулевых колебаний (т. е. первая кван- товая поправка) — величины одного порядка. При этом мы снова придем к тому же результату F.89), где, однако, A — 2v/a) заменено на Bv/a — 1). Чтобы получить поправки теории возмущений к энер- гии Ео в критической области Bv =-а -{- vty), вернемся к формуле F.76) и заметим, что при Vj <С 0, т. е. 2v <C а, все величины a>s положительны, и, следовательно, можно, как это делалось раньше, сразу применять метод теории возмущений. Однако при vt > 0 одна из мод для системы невозмущенных осцилляторов «неустойчива»: (о± = —а> < <С 0; поэтому следует пользоваться модифицированной теорией возмущений. Получим разложение для величины Ео в два этапа: сначала найдем нижнюю границу е0, а затем (вариационным методом) верхнюю границу е'о. Будет пока- зано, что в первом порядке по у г'о = е0, и, таким образом, мы получим Ео в первом порядке по у. Нижняя граница для ?0 внаходится следующим образом. Запишем F.76) в виде (xt) + H2(x1, x2, ..., F.90) Математические механизмы фазовых переходов 211 где введены операторы Нх (х±) т  v^l» • - • 7 хт) :== F.91) s=2 -^LJ. F.92) Оператору Н2 соответствуют только «устойчивые» моды, и, следовательно, к нему применима обычная теория воз- мущений. Если обозначить через [—Шо (*i)l наименьшее собственное значение оператора Н2, то Ео > в0, F.93) где е0 — наименьшее собственное значение уравнения [tfi (*i) - Шо (%!)] f=-ef. F.94) Докажем справедливость неравенства F.93). Следуя вариационному методу Рэлея — Ритца, запишем ... \ dx2 . . . dxm(f> (x) Я4ф (х) —оо + j . . . j dx2 . . . dxm(f> (x) Я2ф (x) J x — oo oo X [ f • • ¦ j dxt ... dxTOcp2 (x)] F.95) Второе слагаемое в F.95) можно рассматривать как коэф- фициент Рэлея — Ритца при [ — Ш0(х±)], т. е. оо ?о> — J . .. J dxi .. . dxm(p (x) [Hi — Шо (X]}] cp (x) x X oo [ j ... j dxt . .. (x) F.96) 14*
212 М. Кац Применяя еще раз вариационный метод Рэлея — Ритца, придем к F.93). Рассмотрим теперь задачу на определение собственных значений уравнения s=2 г=2 где , F.97) F.98) Если непосредственно применить метод теории возму- щений к уравнению F.97) [т. е. принять в качестве нуле- вого приближения систему (т — 1) осцилляторов], то поправки второго порядка теории возмущений содержат слагаемое порядка у (это следует из равенства 2v — а + + v^). Отсюда ясно, что обычную схему применять нельзя. Можно, однако, сначала произвести замену переменных xs = xs+xi0\ F.99) а затем использовать теорию возмущений, выбрав величины xfy так, чтобы из поправки второго порядка теории воз- мущений выпали нежелательные слагаемые. С точностью до величин первого порядка теории возму- щений находим ?0 \S) 4 иг* 4- 2 + s=2 s=2 gJ + av(S + SL, F.100) где величина р по-прежнему задается равенством F.81) с той лишь разницей, что суммирование по s начинается с s = 2, а не с s = 1, a S определяется соотношением F.101) «=2 Оказывается (быть может, не столь неожиданно), что величины xf\ необходимые для исключения пропорцио- нальных у слагаемых в поправках второго порядка, мйни- Математические механизмы фазовых переходов 213 мизируют выражение F.100), т. е. S v@) xs — где S является решением уравнения F.102) )8], F.103) a R определено соотношением т Р — V I (fi 104> «J /V со Подставляя теперь F.102) и F.103) в F.100), получаем в первом порядке по у т L. F-105) Можно теперь рассчитать величину е0 из уравнения F.94), которое после подстановки xjNi = ? примет вид В уравнении F.106) можно с точностью до величин порядка у пренебречь слагаемыми, соответствующими кине- тической энергии (приближение Борна — Оппенгеймера), поскольку -у- F.107) Кинетическая энергия положительна, поэтому приходим к неравенству [] Fло8) Легко показать, следуя вариационному методу (дающе- му верхнюю границу для Ео), что с точностью до величин порядка у знак неравенства в F.108) можно заменить на равенство, т. е. F-Ю9)
214 М. Кац Минимум выражения F.109) можно определить, исполь- зуя F.105) и F.103): E + i)[8aYQE + iJ + 24aTpQ-l] = 0, F.110) где s=l 2v-a ' Если 24<xypQ — 1 > 0, то =0 [согласно F.103), это означает, что S = f=O] и Если 24aypQ— 1 < 0, то 8a yQ и F.112) F.113) F.114) s=2 С учетом формулы F.111), а также равенств 2v = = a + VjY и a = l/D8a2) (с точностью до величин поряд- ка у) получаем 7Р2 . 3vlPy F.115) s=2 Критическое значение величины vA определяется из усло- вия 24ccypQ=\, т. е., согласно F.111), выражением ¦Vic — ~2 • F.116) а функция ?0 — неаналитична в точке vt = vlc[ Стоит заметить, что энергия g0 (I) — 1/4coA/f|2 также, как и исходный потенциал, имеет при v± <c vlc один минл- Математические механизмы фазовых переходов 215 мум в точке | = 0, а при vt > vlc — два минимума в точ- ках ? = ±1- Начиная с критической величины vlc соб- ственная функция локализуется вблизи значения ± (Will, xB°\ . . ., х1т) (в то время как при vt < vlc xs = 0). Для полноты покажем, что [ср. F.108) и F.109)] ?о< е0. F.117) Рассмотрим сначала более простой случай vt < Vic и выберем пробную функцию (для вариационного метода Рэлея —"Ритца) в виде Ф (х) - Из простого расчета следует т ехр [ -1 2 У«Г*!] ¦ F.118) s=2 s=2 где F.119) F.120) Пусть теперь a2 = vA~a)/a- F.121) Тогда, поскольку соЛ/J ~ у и l/Wf-~ у2^-1, С ~ у1/а; так как а<1, величина С вносит в F.119) поправки более высокого порядка малости по у. При vt>vlc удобно выбрать пробную функцию в виде F.122) s=2 где g, %s0> (?) и а определяются соответственно формула- ми F.110), F.102) и F.121). Легко показать, что коэффи- циент Рэлея — Ритца равен выражению, стоящему в пра- вой части F.114) с поправками порядка уг/а.
216 М. Кац По-видимому, очень трудно обобщить проведенный выше расчет с целью учесть слагаемые порядка 71/а- Можно думать, что для этого лучше выбрать пробную функцию вида q>(x)=fa)$(x-x«»(t)), F.123) чем функцию вида F.122), где г|) (х) — собственная функция уравнения - F.97), полученная' в первом порядке теории возмущений. При этом мы получим поправки следующего приближе- ния к величине Шо (§)> но, так как x(s0) (g) зависит от ?, верхняя и нижняя границы s0 отличаются на величину кинетической энергии, соответствующей перекрестным чле- нам оператора энергии системы s=2 мы!''" х s F.124) Выражение F.124) является величиной более высокого порядка малости, но входящая в него сумма расходится,, когда m—voo [см. F.71)]. Указанную трудность с расходимостью можно преодо- леть, если выделить в отдельный оператор не один осцил- лятор', которому соответствует «неустойчивая» мода, а / осцилляторов. Поступая таким образом и повторяя рас- суждения F.95) и F.96), получим ?0>8<ъ F.125) где б0, §0 уравнений i Xi) — наименьшие собственные значения i г-[т 2 ю^-&<*i ..•*,)]/=-s/ F.126) и =7+1 2 F.127) Математические механизмы фазовых переходов 217 где N F.128) Для решения уравнения F.127) можно непосредственно применять теорию возмущений без сдвига типа F.100), а затем оценить возникающие при этом ошибки 1). В ре- зультате получаем где и, как и раньше, s=l+i mm ez ¦ • • xi 8=1 F.129) F.130) F.131) Легко видеть, что при соответствующем выборе / фор- мула F.131) дает прежние результаты F.112) и F.114). Для этого необходимо выполнение трех условий: 2 V<°s» р — р, R — R должны быть величинами более высокого порядка, чем первая степень у. Эти требования удовлетво- ряются, если / таково, что ^^а)' F.132) Используя вариационный метод, можно, кроме того, показать, что с точностью до величин порядка у знак неравенства в F.131) можно заменить знаком равенства. С помощью этой же процедуры можно избежать также х) По-видимому, поправки к величине %о (?) в формуле F.100) очень трудно оценить.
218 М. Кац трудности с расходимостью «перекрестной» кинетической энергии. Действительно, эта энергия теперь равна Л/а F.133) и входит в отличие от F.124) с конечным коэффициентом. К сожалению, такой подход не помогает при нахождении поправок в следующих порядках теории возмущений, так как «перекрестная» кинетическая энергия, являющаяся разностью между оценками верхней и нижней границы величины Ео, имеет порядок у1/а *¦), т. е. тот же порядок, что и слагаемые, которые мы хотим учесть. Указанные выше результаты F.112) и F.115) можно получить также и другим методом, если исходить из урав- нения F.49) и разложить потенциал q (x) в ряд вблизи его минимума с точностью до членов более высокого поряд- ка. На этом пути удается избежать «неустойчивых» мод (все g>s положительны), и если снова произвести сдвиг и минимизацию, то для Ео получаются те же формулы F.112) и F.115). Можно найти также члены следующего порядка теории возмущений и определить слагаемое поряд- ка 71/(Х, но эта процедура до сих пор строго не обоснована. Преимущество такого подхода состоит в том, что удается избежать сложностей, связанных с расходимостью «пере- крестной» кинетической энергии, которая заставила нас выделить неустойчивую моду из набора нормальных мод. Мы закончим рассмотрение этой модели выявлением различия в поведении системы в критической области ¦Vj > 0 при а< 1и при а > 4 (случай 1<а<4 несколько более сложен и здесь не рассматривается). Можно снова повторить рассуждения F.90) — F.103), но теперь, по- скольку a i> 4, критическая область определяется усло- вием [см. F.89)] *. F.134) *) Другими словами, нельзя выбрать такое значение /, чтобы порядок величин ^j ~V~u>s> R — R и «перекрестной» кинетической s=l энергии стал выше, чем yi/a. Математические механизмы фазовых переходов 219 Таким образом, из F.111) при учете ^>2 F.135) и (см. приложение, стр. 241) ограниченности (при а>4 и Vj > 0) величины s=2 F.136) следует, что /?-~у-2/з. Из F.103) видно, что S ~ yVa и, следовательно, в наинизшем порядке по 7 сдвиг равен нулю. Поэтому для а>4 и V!>0 имеем, согласно F.93), F.105) и F.106). т Eq^>sq~\~ ~n~ j?j v g>s-|-Зосур2, F.137) ¦s=2 где 80 — наименьшее собственное значение уравнения м) f=-Bf. F.138) Применяя вариационные методы, снова можно заменить знак неравенства в F.137) равенством, но теперь, поскольку N\ ~ II(а -— 2), нельзя пренебречь кинетической энергией в F.138). Из того факта, что при а< 1 потенциал [ср. F.106)] h (|) = Шо (Ю — 1и<йЩg2 имеет один минимум при vt < < р/2 и два — при Vj > р/2, вытекает неаналитичность функции Ео (vj). Это связано с тем, что при vx = р/2 сла- гаемое, содержащее ?2 в Шо (?)> компенсируется величи- ной — 1li(oNlZ2 в h (g) [т. е. при Vj = р/2 коэффициент при |2 в /i (|) становится отрицательным]. При а > 4 слагаемое в ^0 (Ю> пропорциональное ?2, имеет вид баур!2 (см. выше) и является величиной порядка у, т. е. оно не может скомпенсировать слагаемое —^«Л^!2, порядок которого —у2/з для всех vt порядка единицы. Тогда с точ- ностью до членов наинизшего порядка по Yi можно пре- небречь слагаемым босрр!2 в F.138), и это уравнение сво- дится к '=—ef. F.139)
220 М. Кац Уравнение F.139) имеет точно такой же вид, как и урав- нение E.51) для модели, рассмотренной в разделе 5. Поэто- му, сделав ту же самую замену переменных ? = ху1/б, мы увидим, что'б (Vj) ~ у1/з и, следовательно, Ео является аналитической функцией v1# -, . 7. Класс двумерных моделей Модель, рассмотренная в предыдущем разделе, была слишком специфичной в том смысле, что задача считалась одномерной, а силы взаимодействия имели бесконечный радиус действия. В двумерном случае фазовый переход имеет место и для сил с конечным радиусом взаимодейст- вия, что ближе к реальности. В этой главе будет рассмот- рена некоторая специальная модель (так называемая мо- дель А, впервые введенная в работе [8]) двумерной решет- ки, состоящей из М строк и N столбцов, для которой энергия взаимодействия имеет вид где @<т<1) v(k, I; k', n = fefe' v(k, I; k', OHft.if**-,'*', G-1) M_i)I, G.2) т. е. учитываются взаимодействия спинов со всеми други- ми спинами той же самой и двух соседних строк, причем взаимодействие экспоненциально убывает с расстоянием между спинами. Благодаря экспоненциальному характеру взаимодействия можно использовать методы, развитые в предыдущих разделах, и свести расчет статистической суммы к задаче нахождения наибольшего собственного зна- чения TW-мерного интегрального уравнения. Мы увидим, что имеются интересные аналогии между результатами этого и предыдущих разделов, а также результатами для двумерной модели Изинга, которая, как будет показано, получается из G.1) в некотором предельном случае [при 7 —>¦ оо и специальном выборе / (у) и т (у)]. Будет также показано, что в пределе Изинга интегральный оператор сводится просто к матрице перехода. Математические механизмы фазовых переходов 221 Точно так же, как в разделе 5, сведем расчет статисти- ческой суммы к нахождению наибольшего собственного значения интегрального уравнения. Рассмотрим совокуп- ность М независимых процессов Орнштейна — Улёнбека Ui (k), 1 = 1,2, . . ., М, для которых и{ @) = 0, а кор- реляторы равны <?/,(*)¦?/!'(?')> = б"* I*--*''б,.,,. G.3) Предположим, что М-я строка связана с первой так, что UM+i.{.k) = Ui.{k). Тогда легко увидеть, что v (k, I; k', I') = Jy {X (k, I) X (kr, I')), G.4) где процесс X (k, l) определяется выражением X (k, I) = VIUi (k) + VT=l Ul+1 (k), G.5) a g удовлетворяет уравнению УГЦЬ=:Т) = т.' , G.6) Повторяя соображения, приведенные в начале раздела 6, получим = 2 e-zi"T= Be-w/2).™ / \\ Д ch . м 2 Nft=l 1=1 G.7) Совместная плотность вероятности векторного процесса и (&) = (%(?), u2(k), ...,uM(k)) равна W(u(l), uB), ...,u U где и м G.8) G.9) м j
222 М. Кац Окончательно находим N, М-+со -^-) In - G.11) Здесь Лтах — наибольшее собственное значение М-мерного интегрального уравнения ... j К (х, у) г|> (у) d^i .. . dyM = Aq (х), G.12) ядро /С(х, у) которого имеет вид м AT хД . G.13) Уравнение G.12) можно переписать в другой форме: м ехр (у 2 ?|) ехР [~yW (x)]1* (х) = ехр [ — й.=1 ехР [~y = Л-ф (х) G.14) где м м G.15) Удерживая лишь члены наинизшего порядка по у, можно собрать все экспоненты в G.14), что дает G.16) Лтах = ехр [ (?%.} — уЕ0~] , _ Математические механизмы фазовых переходов 223 где Ео — наименьшее собственное значение уравнения Шре- дингера: G.17) Чтобы показать, что модель Изинга является предель- ным случаем рассмотренной выше модели, положим t = ]/V2vA— e-2v) G-18) и J = G.19)' Подставим G.18) и G.19) в G.2) и перейдем к пределу у ->• оо. Тогда, поскольку (& ^= &') -вл',А-1, G.20) получим lim v {k, I; k', Г) = a0 [6Г> г Fft% fe+1 + 8k>, fe_j) + + 6k'.fc(SiM+i + SiM_i)], G.21) которое и является взаимодействием, характерным для мо- дели Изинга. Следуя Штиллингеру [16], покажем, каким образом при у —V оо интегральный оператор К (х, у) сводится к матрице перехода. Используя G.18), G.19) и G.13), а также произ- ведя замену переменных Ук kT G.22) перепишем интегральное уравнение G.12) для больших у: оо М fe=l ехр [ — т ^ (у)] т|з (у) dyt . . . df/M = ' = Лг|>(х), G.23)
224 М. Каи где м м G.24) Легко видеть, что для больших у функция q(x) имеет ряд острых максимумов одинаковой амплитуды при х = = (Н-i» М-21 • • •> Н-ц)» гДе М-/= ± 1- Поэтому, если разложить функцию q (х) в ряд вблизи точек максимума, то урав- нение G.23) примет следующий вид: М - „ Ы/9 (ц.) (n')ft=l Af Af X i ... dyM ехр (у v 2 fe=l fe=l M Af i^ 2 * Если теперь записать "ф (х) в виде м . G.25) -ц*)а]. G-26) (ц) умножить обе части уравнения G.25) на САМГ проинтегрировать их по л;!, .„^лг^г и использовать тож- дество lim |/^ехр[-!а(*-ц)а] = 6(*-ц), G.27) Математические механизмы фазовых переходов 225 то при у->-сю уравнение G.25) сведется к (и'> где G.28) G.29) a L (fi, ц,') представляет собой матрицу перехода [ср. B.5)]: м м L(\i, jx') = ехр i-s-v 2 M-feM-fe+i) ехР ( v 2 M-feM-ft) X X ехр D"v 2 H*H*+i) • G-30) Наконец, из G.29), G.19) и G.11) получаем [ср. B.8)] Основное возражение против выбора т и / в виде G.18), G.19) состоит в том, что при y —>- 0 потенциал взаимодей- ствия не может быть записан в виде G.2) с постоянными т и /. Если, однако, взять и в виде v(k, I; k', Г) = = J(&- l)e-vifc-fe'i (a,,f, + B chy) [бг, l+i +бГ)!_!]}, G.31) то при 7->0 G.31) переходит в G.2) (с т = V2), а при 7 —>- °° соответствует модели Изинга. Соображения Штил- лингера, касающиеся перехода у—v°°> можно с тем же успехом применить и в случае G.31), и, таким образом, можно сказать, что выражение G.31) обеспечивает связь между теорией Кюри — Вейсса (у —v 0) и моделью Изинга (у -*¦ сю). Повторяя соображения, использованные при получении формул D.1) — D.6) для модели Изинга и формул E.19) — E.22) для модели, рассмотренной в разделе 5, получим выражение корреляционнрй функции двух спинов, нахо- 15—0826
226 М. Кац дящихся в одной и той же строке и отстоящих друг от друга на расстоянии г порядка единицы: р (л) = lim <fxfe, ги-ft+r. i) = Hm 2 (?У Г f • • • f ^i (x) X ]=1 — oo (x)]2 dxt... dxM. G.32) X th Корреляционная функция для двух спинов, находящихся в одном и том же столбце и отстоящих друг от друга на расстоянии t порядка единицы, равна th ', /')> = i M (th П П x /Ccfe) (u1? u) th V^4 {VI th G.33) x Uw)i G.34) где A (x) = П [w (хг) ch Vvy(VJxi + Vl — I xl+i)]y\ G.35) Повторяя предыдущие рассуждения, окончательно получаем М, ОО = lim f. . . f itf (x) itf->oo J J th + VT=lxl+i) X X th l-gxw+i)d^i ... G.36) Интересно заметить, что корреляционная функция G.36) для спинов, находящихся в одном и том же столбце, не за- Математшеские механизмы фазовых переходов 227 висит от собственных значений интегрального уравнения, а определяется лишь собственной функцией, соответствую- щей наибольшему собственному значению. Напомним, что такая собственная функция модели Изинга допускает непосредственную физическую интерпре- тацию [см. D.14)]: cpf (jx) представляет собой вероятность Р (\i) того, что столбец (скажем, k-й) имеет конфигура- цию (\i) независимо от конфигураций остальных столбцов. Хотя собственная функция г)^ (х) интегрального уравнения не допускает непосредственной физической интерпретации, она связана с Р (jx) следующим образом. По определению lim QuV 2' N—»-oo {ц.} = lim X x M 11 exP , i)] \ x м X П = lim M M G.37) [Штрих у суммы в G.37) означает, что суммирование про- водится по всем конфигурациям, за исключением заданной конфигурации (\i) k-то столбца.] Если теперь повторить для функции Р (\i) те же рас- суждения, которые были сформулированы раньше для сг (t)? то окончательно получим G.38) Нетрудно показать, что при использований G.18), G.19) и переходе к пределу у -*- сю формулы G.32), G.36) и G.38) будут описывать модель Изинга. 15*
228 М. Кац Рассмотрим теперь подробнее свойство нашей модели при малых у. Для простоты ограничимся случаем т = *-/2 (что означает l/l = ~|/~1 — I = l/V~2), так что дифферен- циальное уравнение G.17) примет следующий вид: м 2 k=i дх% м т 2** -У~Х м G.39) Для достаточно высоких температур функцию In ch У~уу/2 х X (хь. + Xk+i) можно разложить в ряд по у, оставляя лишь члены наинизшего порядка. Тогда уравнение G.39) примет вид МММ 2д2т|э Г J_ хч а L v ^ ~дЖ L 4 Z) Хк 4 ZJ Квадратичная форма в G.40) (для определенности счи- таем М нечетным числом) м м (Af-l)/2 S 1=1 G.41) (где i —целая часть числа (s+l)/2) диагонализуется с по- мощью ортогонального преобразования r=l причем Г L ! /" 2 ' м ]1 г=1, г четное, г нечетное, G.42) G-43) <аг= 1— 4-v-f-4vsin2 (^- G.44) Математические механизмы фазовых переходов 229 Поэтому уравнение G.40) сводится к следующему: м-\ ь=о где АГ-1 ZJ dul 4 ZJ fe=0 G.45) Здесь в наинизшем порядке по у имеем м G.46) и с помощью G.11), G.43) и G.46) находим выражения для свободной энергии, приходящейся на один спин: G.47) Заметим, что входящий в G.47) интеграл представляет собой эллиптический интеграл, часто появляющийся в дву- мерных задачах, в частности в двумерной модели Изинга. Полученные результаты справедливы для случая, когда все со г положительны, что, согласно G.44), соответствует 4v < 1. Таким образом, у = V4 совпадает с обычным опре- делением температуры Кюри. При 4v > 1, прежде чем воспользоваться методами теории возмущений, следует разложить потенциал в ряд вблизи его минимального значения *). Так как If М lnch |/Y x) Это приводит к правильному результату в наинизшем порядке по у. Для получения членов следующего порядка нужно разло- жить потенциал в ряд вблизи х<°> и проминимизировать оконча- тельное выражение для ?0 по л40).
230 М. Кац м = - ii 2 м Ц- (xk + xh+i) < - ^ -i — Inch)/ ^ . G-48) то, если все д;ь одинаковы, получаем где (V) = е-ч«/2 ch 2 G.49) G.50) a TJ — неотрицательное решение уравнения ц =2Vvih2Vvt\. ~ G.51) Минимальное значение функции q (х) равно [ — My'1 x xlnST(v)], причем этот минимум достигается, когда все Xj равны либо г\У2/у, либо ( — y\Y^H)- Функция &С (v) снова представляет собой кюри-вейссовский предел (у ->• 0) величины Лтах- Разлагая потенциал в ряд вблизи минимума, т. е. под- ставляя в G.39) Xfe== /7 порядке по у ММ получаем в наинизшем МММ 2 §-[тЗ ЭГ=т*'2 fe=l — In G.52) где ' = v(l_th22]/vTi). G.53) Квадратичная форма в G.52) может быть диагонализована с помощью преобразования G.42), и окончательно получаем Математические механизмы фазовых переходов 231 (ср. F.56JJ и = ЙГ (v) ехр [ - i- у 2 (V®^"- 1)] . G.54) i s=i где g>s определяется выражением G.44) при замене v на v'. Ненормированная собственная функция уравнения G.52), соответствующая наибольшему собственному значению и ло- кализованная вблизи положительной потенциальной ямы (г\ > 0), имеет вид ч|)+(х)-ехр(—1 М-1 s=0 = ехр[-1 2 ^]-^ G.55) s=0 r=l а собственная функция "ф (х), локализованная вблизи отри- цательной потенциальной ямы, получается из G.55) заме- ной т] на (— г\). Поэтому интеграл перекрытия равен 1—4v')], G.56) т. е. мы снова эвристически показали, что при низких температурах и (малых) конечных значениях у величина Лтах асимптотически вырождена. К сожалению, строгого доказательства асимптотического вырождения не сущест- вует, хотя Гриффите [5] показал, что в рассматриваемой модели при достаточно низких температурах имеет место дальний порядок. Рассмотрим теперь критическую область. С этой целью необходимо разложить потенциал в ряд с точностью до ве- личин первого порядка по у. Тогда вместо G.39) при 4v < 1 получим м h=l м м м —tv G.57)
232 М.Кац где а = 48 ' G.58) Применяя преобразование G.42), сведем это уравнение к виду k=0 fe=0 k=i r=0 где .T — O-h, r+1 ~Ь r+1 • G.59) G.60) Отсюда, учитывая G.44), находим в нулевом прибли- жении М s=l л/2 J 0 при Ж->оо, G.61) а поправка первого приближения равна оо М М-1 B *.*) =l г=0 М-1 X ехр ( — -j 2 Vujyl) dyi ... dyM^ s=0 оо x[j. . . jexp(—I X М— 1 S=0 G.62) где, согласно G.60) и G.43), M-i . " ft| r 4 T (l+cos29)d9 p= V -«iZ.-^.-l I , У , : ПРИ М->СХ5. G,63) r=0 v r 0 Математические механизмы фазовых переходов 233 Как и раньше, определим критическую область условием при ш s=l (т) котором наиболее сингулярные слагаемые [1/BМ)] 2 s=l и 3 аур2 оказываются величинами одного порядка. Входящие в G.61) и G.63) интегралы легко свести к эллиптическим интегралам, что приводит при малых значениях A — 4v) к м s=l -4v) (ln2—i- G-65) И Таким образом, критическая область определяется условием. (l-^ln^-y (Ьт=^пУ> G-67) 4v т. е. G.68) Для низкотемпературной области Dv >> 1) получается такое же условие, но с заменой под знаком логарифма A — 4v) на Dv — 1). Чтобы получить ряд теории возмущения для Ео в кри- тической области при vj > 0 (случай vx < 0 относительно, прост), выделим «неустойчивые» моды 1, 2, . . ., s— 1 (т. е. g>[S/2] < 0, <»[(S+i)/2] > 0) и, поступая совершенно, аналогично F.90) — F.96), получим Ео > во, G.69)
234 М. Кац где so — наименьшее собственное значение уравнения 2 S-- Гт 2 «F# + *oOft, • •... У*-!] f= "В/, G.70) r=0 r=0 и Ша{Уи •••¦> ys-0—наименьшее собственное значение урав- нения м-х м-1 М М-1 + 2 G.71) = 2 г=0 G.72) Прежде чем. применить к уравнению G.71) методы теории возмущений, следует провести замену переменных Ут = уг + у?\ r = s, ..., М-1, G.73) после чего в наинизшем порядке по у получаем М-1 где G.74) G.75) a p определяется формулой G.63), в которой, однако, сум- мирование начинается не с г = 0, а с r = s. Соответствующие значения Уг0) получаются минимиза- цией выражения G.74), что приводит к результатам, подоб- ным F.102) и F.100). Проще, однако, сразу исходить Математические механизмы фазовых переходов 235 из формулы, аналогичной F.108), а именно: s-l G.76) г=0 и минимизировать не отдельно по величинам (у0, . . . . . ., ys-i) и (у?\ . . ., y$-i), а сразу по (у0, . . ., ys^; уТ, . . ., У%-д = (z0, Zi, • • •» 2^). Затем точно так же, как в предыдущем разделе, легко показать с помощью вариационной техники, что в наинизшем порядке по у знак неравенства в G.76) можно заменить равенством. Поскольку М-1 -f-It = Zj bh, rZr, r=0 то в переменных [см. G.42)] м r=l G.77) G.78) и при учете G.60) и G.41) выражение G.76) примет сле- дующий вид: м м Ео= min a-j- 2 м + ос?2 [(xh M-l 42fftH+3ayMPy. G.79) Повторяя рассуждения, которые привели к выраже- нию G.48), можно показать, что выражение G.79) имеет минимум, когда все xk равны между собой; следовательно, М-11 Л» G'8°)
236 М. Каи где у— решение уравнения ~у [32ауу~2 + (I — 4v Ч-96ctYP)] = 0 при 1 — 4v + 96gcyp > О, соответствующее у = 0, и ЛГ-1 ° = Т 2 G.81) G.82) а при 1 — О Критическая точка определяется условием 4v—1= G.84) которое при использовании соотношений G.66), G.68) х)г а также равенства а = 1/48 X 1/i6, выполняющегося в крити- ческой области, превращается в G.85) {2 Таким образом, при v4 < vlc Eo определяется выраже- нием G.82), а при Vj > vlc — формулами G.80) и G.83),. которые после упрощений сведутся к АГ-1 л. .9. г».. _ _ 9. G.86) 128 где G.87) В наинизшем порядке по у ln(l/|l—4v|) в выражениях G.87) и G.68) можно заменить на 1пA/7), и тогда, согласно G.68) и G.84), критическая точка определяется следующим образом: 1 . v ,_ / 1 Ч G 88> х) Можно показать, что в наинизшем порядке по р в G.66) получается тот же результат G.84) с | 4v — 1 | вместо 4v — 1. Математические механизмы фазовых переходов 237 Упрощается также выражение для EOi а именно: vi >|. G.90) Формула G.89) правильно описывает область vx < 0 (исследованную с помощью высокотемпературных разло- жений), и, следовательно, точка перехода Кюри — Вейсса (vA = 0) не является теперь критической точкой, т. е. функ- ция Ео в наинизшем порядке по у аналитична в точке vj = 0, а сингулярность сдвигается в точку vx = 2/п. При попытке проведения указанного выше расчета в следующем порядке по у мы придем к такой же, как и в предыдущем разделе, трудности с «перекрестной» кине- тической энергией, которая окажется величиной того же порядка, что и поправочные члены. Эту трудность можно преодолеть с помощью метода, указанного в конце разде- ла 6, а именно при подходе к критической области не со стороны высоких температур, как мы поступали до сих пор, а из низкотемпературной области. Вкратце ход рассуждений состоит в следующем. Если разложить потенциал, входящий в уравнение G.39), вблизи его минимума [ср. G.52)] и использовать преобра- зование G.42), то уравнение G.39) примет следующий вид: M-i. M-l -|> 2 M ft=0 ЛГ-1 s B ft=l r=0 М М-1 fe=l г=0 G.91) где величины (o'h определяются формулой G.44), в которой v заменено на v' [см. G.53)]; bh, r — формулой G.60), а Е — выражением G.92)
238 М. Кац Сюда вошли функция s%*(v), определенная в G.50), и вели- чины р' и а': G.93) 48" V1 4v / \* 4v / " G-9^) В критической области получаем в наинизшем порядке по 7 П2 = ^-, G.95) Р' = 32 Х G.96) G.97) G.98) G.99) и применим теорию возмущений. Тогда в наинизшем порядке по 7 получим ЛГ-1 М-1 Снова сделаем в G.91) замену переменных fc=0 Ь=0 ЛГ-1 ЛГ-1 2 -100> fe=0 где штрихованные величины получаются из нештрихован- ных заменой v на v'. Те же соображения, которые привели к G.79), пока- зывают, что минимум функций Ео по {г/"'} имеет место при равенстве всех уи\ а следовательно, при равенстве всех величин Sn~S. Уравнение для определения S оказы- вается следующим: 4-5= ~[4ayRf (S3 + 3p'S) + 3P7#'(<S24-P% G.101) Математические механизмы фазовых переходов 23» Здесь М ЛГ-1 bprbqr —4v' G.102) Используя G.97), G.98) и G.101), получаем 5з + 3 [/б^Гя2 Ч- A2v± 4- Зр') 5 Ч- Зр' ]/б^ = = (s + |/6vl) (sa + 2]/6\^S4-3p') =0, т. е. ^vT или 5= — G.103) vi — Зр'. G.104) При Vi < р72, т.е. Vi <c 2/л, из G.104) следует, что 5 = —-Vivi, а при vi > р'/2, т. е. v4 > 2/п, 5 = —У ± Убг З' 4 , У^ ± У! Зр', и можно сравнительно просто показать, что в наинизшем порядке по 7 получаются прежние выраже- ния G.89) и G.90) для Ео. Нетрудно получить также поправ- ки следующих порядков малости по у, но строгого обосно- вания соответствующих разложений не существует. Однако погрешности можно оценить исходя из результатов, полу- ченных для высокотемпературной области. 8. Заключение Каковы основные выводы, вытекающие из нашего рас- смотрения? Главный вывод состоит в том, что не существует столь сильного различия, как можно было бы ожидать, между моделями, учитывающими слабые дальнодействующие или короткодействующие взаимодействия (как, например, моде- лью Изинга с учетом взаимодействия между ближайши- ми соседями). В действительности мы убедились в том, что во всех случаях математическим механизмом, ответственным за воз- никновение фазового перехода, является асимптотическое вырождение собственного значения соответствующего ли- нейного оператора (хотя мы не можем во всех случаях строго доказать наличие такого вырождения).
240 М. Каи Последнее утверждение становится неверным при пере- ходе к пределу у —>• 0 (кюри-вейссовский или вандер- ваальсовский предел). Как было впервые показано Ван Кампеном [17] или, более изящно, Лебовицеми Пенроузом 118] (ограничимся здесь одномерным случаем), теория Кюри — Вейсса получается в пределе у —>• 0 в случае, любого взаимодействия типа если выполняется условие устойчивости При доказательстве не использованы ни интегральные уравнения, ни другие линейные операторы. Хотя это утверждение имеет весьма общий характер, его доказа- тельство основано скорее на интуиции. До тех пор, пока мы интересуемся только предельным случаем 7~*> нет никакой разницы между значениями выражения р (t) = ~м dk при а < 1 и а>\, хотя, как мы видели, различие между этими двумя случаями носит принципиальный характер. Точно так же при переходе у -*~ 0 имеет место лишь количественное различие между двумерной моделью^ А и одномерной моделью с экспоненциальным взаимодейст- вием, рассмотренной в разделе 6. В действительности же этим двум моделям соответствует качественно разное пове- дение вещества в критической области. К этому вопросу можно подойти несколько иначе, если учесть «связь» G.31) между моделями Кюри — Вейсса и Онсагера. Можно сказать, что случай 7 = 0 качественно отли- чается от 7 =?= 0> в т0 время как случаи малого 7 и 7 — °° отличаются лишь количественно. Если это утверждение правильно (строгого доказатель- ства не существует), то можно надеяться, изучая модели Математические механизмы фазовых переходов 241 с малым 7, выявить некоторые общие закономерности, при- сущие дву- и трехмерным моделям. Имеется, однако, следующее осложняющее обстоятель- ство. Так как, по всей вероятности, в любом порядке (по 7) теории возмущений сингулярность будет такого же типа, как в теории Кюри — Вейсса, то представляется совершенно безнадежным доказательство того, что истин- ная сингулярность является, например, логарифмической. В то же время, если наши методы не могут привести к точ- ному аналитическому описанию поведения системы, они должны дать результаты, качественно отличные в крити- ческой области от результатов теории Кюри — Вейсса. Более серьезное возражение против общего подхода к проблеме фазовых переходов, основанного на асимптоти- ческом вырождении, состоит в отсутствии ясного физиче- ского смысла вводимых в теорию линейных операторов. Можно попытаться придать матрице перехода L и ядрам К некий физический смысл с помощью таких рассуждений. Все корреляционные функции для любого конечного числа спинов могут быть записаны через собственные значения и собственные функции матрицы L. Поскольку эти корреля- торы, по-видимому, содержат всю информацию о системе, находящейся в условиях термодинамического равновесия, то из них, вероятно, можно сконструировать линейный оператор, максимальное собственное значение которого определяло бы свободную энергию системы, а вырождение этого собственного значения указывало бы на наличие фазового перехода. Приложение Здесь мы получим выражения для величин оэ3 в случае а>4. Мы видели F.88), что при 2v < a Р = -V2 При 1 ¦ а 0+. Интересно, что при 2v>a и 2v — a-*-0+ величина р, которая задается теперь выражением (так как щ = — со <; 0) 16—0826
242 М. Кац (ПЛ) s=2 остается конечной. Для доказательства этого утверждения продифференци- руем соотношение F.83) по v и полученное равенство перепишем в следующем виде: т 1 1 8=2 S=l s=i -CO Интегрируя это выражение по ? и переходя к пределу т —>¦ оо, получаем оо 1 1 Используем теперь следующее равенство: При получении (П.З) учтено, что l=2v (П.2) (П.З) (П.4) Преобразуем подынтегральное выражение (П.2): 2 f 2^1^ lJ Г2 + ^ ~ Г о dX i]}- <п-5> Математические механизмы фазовых переходов 243 Используя (П.4), а также равенство и + С02J ' (П-6) легко преобразовать числитель в выражении (П.5) к _ 2vN2t [ 7 -Л,2J i J ( f Xa+1 d% 9 л/2 f ka+1 dX 1 и, следовательно, J (П.7) Если a>4, то даже при со = 0 интегралы в (П.7) схо- дятся в точке ?=0 [в то время, как для а<2 при со-э-О, N\ ~ 1/(а — 2)]. Чтобы показать, что интегралы сходятся также в точке \ = оо (даже при со = 0), представим подын- тегральное выражение в (П.7) в виде *] С -1 откуда видно, что при любых а > 0 подынтегральное выра- жение при §->0 пропорционально 1/?2 (даже для со = 0). ЛИТЕРАТУРА 1 Kramers H. A., Wannier G. H., Phys. Rev., 60, 252, 263 A941). 2 Kerson Huang, Statistical Mechanics, New York, London, 1963. (Имеется перевод: Хуанг К-, Статистическая механика, изд-во «Мир», 1966.) 3. Onsager L., Phys. Rev., 65, 117 A944). 16*
244 М. КаЦ 4. Ashkin J., Lamb W. E., Jr., Phys. Rev., 64, 159 A943); см. так- же обзор: Newell G. F., Montroll E. W., Rev. Mod. Phys., 25, 353 A953). 5. Griffiths R. В., Phys. Rev., A136, 437 A964). 6. Kac M., Phys. Fluids, 2, 8 A959). 7. Kac M., Studies in Mathematical Analysis and Related Topics: Essays in Honor of George Polya, Stanford Univ. Press, Stanford, California, 1962. 8. Kac M., Helfand E., Journ. Math. Phys., 4, 1078 A963). 9. Baker G. A., Jr., Phys. Rev., 122, 1477 A961). 10. Kac M., Uhlenbeck G. E., Hemmer P. C, Journ. Math. Phys., 4, 216, 229 A963); 5, 60 A964). (Имеется перевод в приложении к книге: М. Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, изд-во «Мир», 1965.) См. также Uhlenbeck G. Е., в книге «Sta- tistical Physics: 1962, Brandeis Lectures», ed. W. A. Benjamin, Inc. ,Vol. 3, New York, 1963. 11. Helfand E., в книге «The Equilibrium Theory of Classical Fluids» ed. Frisch H. L., Lebowitz J. L., W. A. Benjamin, Inc., New York, 1961. 12. Cramer #., Mathematical Methods in Statistics, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1946, p. 118. 13. Van Hove L., Physica, 16, 137 A950). 14. Berlin T. #., Kac M., Phys. Rev., 86, 821 A952). 15. Grenander U., Szego G., Toeplitz Forms and their Applications, Univ. of California Press, Berkeley, California, 1958. 16. Stillinger F. H., Jr., Phys. Rev. A138, 1174 A965). 17. Van Kampen N. G., Phys. Rev., A135, 362 A964). 18. Lebowitz J. L., Penrose 0., Journ. Math. Phys., 7, 98 A966). M. Фишер Теория си н гуля рностей в критической точке Введение Мои лекции, как одни из первых в этой школе, должны быть вводными. Однако в ходе лекций я буду обсуждать некоторые новые идеи, а при изложении старых вопросов постараюсь обратить особое внимание на тонкости, о кото- рых обычно не упоминают. Среди новых вопросов будет обсуждаться так называемый «параметрический скэйлинг», причем общий и систематический анализ позволит устано- вить новые теоремы об аналитичности и чисто степенных законах. Будет развит расширенный «четырехфункционный параметрический скэйлинг», допускающий более сложные, чем степенные, сингулярности. В четвертой лекции речь пойдет о недавних интересных исследованиях капельной модели и ее приложениях к критическим явлениям. Нако- нец, если позволит время, мы обсудим особенности поведе- ния вещества в критической области, обусловленные нали- чием границ и конечными размерами. Тем, кто впервые сталкивается с критическими явле- ниями, можно рекомендовать обзорные работы [1—5], охватывающие, в частности, разложения в ряды и числен- ные экстраполяции для модели Изинга и более общих решеточных моделей, анализ применимости классической теории Орнштейна — Цернике для корреляционных функ- ций и анализ критического рассеяния — эти вопросы не будут подробно рассматриваться в настоящей школе. Работы [1, 5] дают краткое, а [2]—более подробное введение в равновесную теорию критических явлений. Теоретические [3,. 4] и экспериментальный [6] обзоры весь- ма обстоятельны, но они описывают ситуацию, которая была три-четыре года тому назад. В работе [7] рассматри- вается также теория критического рассеяния.
244 М. КаЦ 4. Ashkin J., Lamb W. E., Jr., Phys. Rev-, 64, 159 A943); см. так- же обзор: Newell G. F., Montroll E. W., Rev. Mod. Phys., 25, 353 A953). 5. Griffiths R. В., Phys. Rev., A136, 437 A964). 6. Kac M., Phys. Fluids, 2, 8 A959). 7. Kac M-, Studies in Mathematical Analysis and Related Topics: Essays in Honor of George Polya, Stanford Univ. Press, Stanford, California, 1962. 8. Kac M., Helfand E., Journ. Math. Phys., 4, 1078 A963). 9. Baker G. A., Jr., Phys. Rev., 122, 1477 A961). 10. Kac M., Uhlenbeck G. E., Hemmer P. C, Journ. Math. Phys., 4, 216, 229 A963); 5, 60 A964). (Имеется перевод в приложении к книге: М. Кщ, Вероятность и смежные вопросы в физике, изд-во «Мир», 1965.) См. также Uhlenbeck G. Е., в книге «Sta- tistical Physics: 1962, Brandeis Lectures», ed. W. A. Benjamin, Inc. ,Vol. 3, New York, 1963. 11. Helfand E., в книге «The Equilibrium Theory of Classical Fluids» ed. Frisch H. L., Lebowitz J. L., W. A. Benjamin, Inc., New York, 1961. 12. Cramer #., Mathematical Methods in Statistics, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1946, p. 118. 13. Van Hove L., Physica, 16, 137 A950). 14. Berlin T. H., Kac M., Phys. Rev., 86, 821 A952). 15. Grenander U., Szego G., Toeplitz Forms and their Applications, Univ. of California Press, Berkeley, California, 1958. 16. Stillinger F. H., Jr., Phys. Rev. A138, 1174 A965). 17. Van Kampen N. G., Phys. Rev., A135, 362 A964). 18. Lebowitz J. L., Penrose 0., Journ. Math. Phys., 7, 98 A966). M. Фишер си н гуля рностей в критической точке Введение Мои лекции, как одни из первых в этой школе, должны быть вводными. Однако в ходе лекций я буду обсуждать некоторые новые идеи, а при изложении старых вопросов постараюсь обратить особое внимание на тонкости, о кото- рых обычно не упоминают. Среди новых вопросов будет обсуждаться так называемый «параметрический скзйлинг», причем общий и систематический анализ позволит устано- вить новые теоремы об аналитичности и чисто степенных законах. Будет развит расширенный «четырехфункционный параметрический скэйлинг», допускающий более сложные, чем степенные, сингулярности. В четвертой лекции речь пойдет о недавних интересных исследованиях капельной модели и ее приложениях к критическим явлениям. Нако- нец, если позволит время, мы обсудим особенности поведе- ния вещества в критической области, обусловленные нали- чием границ и конечными размерами. Тем, кто впервые сталкивается с критическими явле- ниями, можно рекомендовать обзорные работы [1—5], охватывающие, в частности, разложения в ряды и числен- ные экстраполяции для модели Изинга и более общих решеточных моделей, анализ применимости классической теории Орнштейна — Цернике для корреляционных функ- ций и анализ критического рассеяния — эти вопросы не будут подробно рассматриваться в настоящей школе. Работы [1, 5] дают краткое, а [2] — более подробное введение в равновесную теорию критических явлений. Теоретические [3,. 4] и экспериментальный [6] обзоры весь- ма обстоятельны, но они описывают ситуацию, которая была три-четыре года тому назад. В работе [7] рассматри- вается также теория критического рассеяния.
246 М. Фишер В первой лекции в общих чертах обсуждаются фазовая диаграмма и критическая точка, но особое внимание обра- щается на отсутствие полной симметрии для некоторых систем и на определение параметра порядка. Во второй лекции будут введены широко распространенные крити- ческие индексы и сформулированы гипотезы термодинами- ческой однородности. Те, кто знаком с этим более или менее «подготовительным» материалом, могут пропустить первые две лекции. В третьей лекции будет обсуждаться соотношение между степенными законами и требованиями аналитичности. 1. Фазовые переходы и параметр порядка 1.1. Фазовые диаграммы и симметрия Фазовые переходы первого рода характеризуются скач- ками одной или нескольких производных свободной энер- гии по температуре или соответствующему внешнему упорядочивающему полю ?. Типичные примеры (фиг. 1): Система а) ферромагнетик б) жидкость упорядочивающее поле ?, Н ]х (или р) A.1) Здесь Н — магнитное поле (в первом приближении — это внутреннее магнитное поле, поправочные члены вводятся для учета размагничивающих факторов), \ь — химический потенциал, ар — давление. На линии фазовых переходов Т ^ Тс, A.2) возможно сосуществование двух фаз. Разные фазы харак- теризуются, в частности, различными значениями термо- динамической переменной — параметра порядка W, М, р (ИЛИ р — рс), A.3) где М — намагниченность, ар — плотность (числа частиц). На изображенной (фиг. 1) фазовой плоскости (?, Т) линия фазовых переходов первого порядка заканчивается точкой, которая называется критической. При приближении к кри- тической точке две сосуществующие фазы становятся все Теория сингулярностей в критической точке 247 более и более похожими друг на друга; выше критической точки исчезает всякое различие между фазами (практиче- ски это происходит постепенно); при этом критическую точку можно обойти непрерывным образом (как показано линиями с двумя стрелками на фиг. 1). Удобно выбирать Тс Фиг. 1. Фазовые диаграммы в переменных (?, 7") для типичной симметричной (а) и типичной несимметричной (б) систем. Линии раздела фаз изображены двойными линиями, критические изохоры — пунктиром. Линиями с двумя стрелками показаны аналитические пути вокруг критических точек. параметр порядка так, чтобы он обращался в нуль в кри- тической точке (?с, Тс); поэтому для жидкости в качестве параметра порядка обычно выбирают величину р — рс [см. A.3)]. Из анализа фиг. 1 и из физических соображений выте- кает, очень интересное различие ферромагнетиков и жидко- стей: наличие полной симметрии у ферромагнетиков и от- сутствие ее у жидкостей. Симметрия Полная Отсутствие симметрии симметрия Я-з—Я Л1-а М —\ia->—(ц—\ia) A.4) Одно из следствий симметрии кривых сосуществования, т. е. симметрии величин Чг± (Т) [значений W (Т) в двух сосуществующих фазах], показано на фиг. 2. Для магне- тиков эта симметрия является прямым и очевидным след-
248 М. Фишер ствием симметрии исходного гамильтониана. Для жидко- сти, конечно, нет такой очевидной симметрии. Порази- тельно, однако, что наблюдаемое поведение жидкости вблизи критической точки почти полностью симметрично в переменных ±({х — н-ст) и ±(р — рс) (например, «прямо- линейный диаметр» кривой сосуществования почти прямо- а Фиг. 2. Кривые сосуществования в переменных (W, Т) для а) симметричной (ферромагнетик) и б) несимметричной (жидкость) систем. Сплошными утолщенными лнинями изображены диаметры кривых сосуще- ствования — а) «прямолинейный» н б) «криволинейный», пунктирными — критические изохоры. Линии с двумя стрелками показывают аналитические пути, пересекающие критические изотермы, изображенные на фигурах точеч- ными линиями. линеен; фиг. 2, а). Это могло бы быть указанием на какую-то менее очевидную, скрытую симметрию, но в настоящее вре- мя природа такой симметрии неизвестна г). С отсутствием явной симметрии связаны определенные трудности теоре- тических исследований и сравнения с экспериментом. Нашей ближайшей задачей является экстраполяция линии фазовых переходов на область температур выше критической. Мы можем всегда определить критическую х) Вайдом и Раулинсон 18] недавно предложили остроум- ную континуальную модель жидкости, которая имеет нетри- виальную скрытую симметрию. Теория сингулярностейв критической точке 249 изохору: а, т) = = IXC = 0, p (A, Г) = pc. A.5) Для систем, обладающих симметрией, например для ферромагнетика, введение критической изохоры тривиаль- но: она является аналитическим продолжением линии фазовых переходов за критическую температуру, а именно Н = На (Т) = 0. В случае «несимметричной» критической точки линия фазовых переходов не обязательно должна быть аналитичной при Т = Тс. Так, для жидкости произ- водная d2\io/dT2 могла бы иметь такую же особенность г), как и теплоемкость при Т —>- Те (хотя существующие экс- перименты [9] показывают, что это, вероятно, не так). В таком случае аналитическое продолжение было бы невозможно; однако, даже если аналитическое продолже- ние существует, оно не должно, вообще говоря, и в общем случае не будет совпадать с критической изохорой даже асимптотически близко к Тс; конечно, очень трудно осу- ществить аналитическое продолжение в практических рас- четах. 1.2. Термодинамика Естественно теперь поставить вопрос, который мы до сих пор обходили: каково «правильное» или фунда- ментальное определение параметра порядка? Термодина- мика сама по себе мало помогает нам в поисках ответа на этот вопрос, так как она позволяет выбрать любой набор переменных для описания термодинамически равно- весного состояния. В частности, эквивалентны приведен- ные ниже термодинамические описания системы. 1) Теплоемкость жидкости при постоянном объеме определяется, согласно термодинамике, следующим образом: Cy/T = v (d2p/flT2)v— — (д^и/дТ1)?-. В двухфазной области ниже Тс при р = рс (d2p/dT2)Y= = d?paldT2_ и — E>/5Г2)г = — (d^a/dT2). Если Cv (Т) -> оо при Т —>¦ Тс и р = рс, то одна или обе эти производные тоже должны расходиться. Эксперимент с определенностью показывает, что d2pa/dT2 расходится, так что кривая насыщенного пара ро (Т) неаналитична при Т = Тс. Это служит достаточно сильным аргу- ментом против выбора р в качестве упорядочивающего поля вместо \х, (см. ниже).
250 М. Фишер Теория сингулярностей в критической точке 251 Термодинамические потенциалы циями полей («большой канонич = F(H,T), -p=-p(|x, Г), A-6) А) являются функциями полей («большой канонический» ансамбль), или, если использовать преобразования Лежандра, Б) являются функциями сопряженных плотностей («ка- нонический» ансамбль), , Т)= А = А(М, Т)=- A = A(v, T) = Ldp A.8) И — ( дА \ V дМ ) В этих соотношениях свободная энергия Гельмгольца A (v, T) рассчитана на одну частицу, а не на единицу объема, что удобнее при изучении критических явлений. Энтропия (на единицу объема) определяется следующим образом: \ дТ дТ dF дТ }н \ дТ Перейдем теперь к определению величин, наиболее важных для критических явлений,— это, во-первых, спон- танное упорядочение: * РП (Г)-То (Т)] = A.11а) A.116) 8-*0+ М0(Т)= lim М(Н, Г), Рж-Рг = lim , Г) — p(jLxg — е, Г) где индексы «ж» и «г» соответствуют жидкости и газу; во-вторых, изотермическая восприимчивость (сжимаемость): , A.12) которая обычно «сильно» расходится в критической точке, и, в-третьих, теплоемкость при постоянном параметре порядка: ^) (#) (#)- A.13, причем Счг (Т) и С? (Т) тождественны для симметричного перехода, когда Z, = ?а (Т) ^ 0. Как правило, но не всегда, теплоемкость «слабо» расходится при Т —>¦ Тс. Наконец, определим уравнение состояния: Т = Т (S, Г), или, наоборот, Af = Ж (Я, Г), р = -Ш = 3(ЛГ, Т), |г = A.14) A.15) 1.3. Поля и плотности В качестве иллюстрации объективности термодинамики напомню, что традиционными и привычными термодинами- ческими переменными для описания состояния жидкости являются переменные р, v и Т, а не используемые нами \i, р, и Т. Однако наш выбор не случаен. Например, произ- водная cPpa/dT2 расходится при Т^-Тё, скажем для Не4, как уже отмечалось раньше, в то время как d2\ia/dT* ос- тается конечной [9]. Более внимательный подход к термос- динамике реальных веществ приводит нас к способу выбора переменных в соответствии с так называемыми условиями «выпуклости», или устойчивости. В связи с этим целесообразно подразделять переменные на два класса, которые мы будем называть полями и плот- ностями х). Условие устойчивости заключается в требо- х) Традиционная термодинамика разделяет переменные на ин- тенсивные 1, не зависящие от размера системы, скажем от ее объема, и экстенсивные X, пропорциональные V. В то же время любая
252 М. Фишер ¦ вании положительности теплоемкости при постоянном Н и постоянном М для ферромагнетиков или при постоян- ном \i и постоянном v (точнее, р) для жидкости. В обще- принятых обозначениях это сводится к и ~ A.16) так что jF и А — выпуклые функции температуры. Теперь мы рассмотрим условия устойчивости по отношению к пе- ременным X, и Т, т. е. Н и М или \i и ,р. Основное требо- вание здесь состоит в том, чтобы изотермическая восприим- чивость и сжимаемость были существенно положительными. Это означает, согласно A.7), A.9) и A.12),, что A.17) Таким образом, термодинамический потенциал jF (?, Т) должен быть выпуклой функцией поля ?, так же как и тем- пературы Т; наоборот, термодинамический потенциал Jk OF, Т) должен быть вогнутой функцией сопряженной плотности, в то время как по отношению к температуре он является выпуклой функцией. Заметим, что это разли- чие инвариантно по отношению к изменению знаков полей или термодинамических потенциалов. Сказанное выше не исчерпывает вопроса о «выпуклости» термодинамических потенциалов г), но проясняет различие между полями и плотностями. Вообще говоря, условие устойчивости в переменных — полях — ?,о = Т, ?i — = ?, ?2, ... записывается проще, чем в других перемен- экстенсивиая переменная X, например общая намагниченность или общая внутренняя энергия, может быть превращена в интен- сивную переменную х = X/V делением на объем. Следовательно, различие это не слишком глубокое. Действительно, поскольку при исследовании фазовых переходов необходимо совершать пере- ход к термодинамическому пределу (V -*- со), экстенсивные пере- менные вообще ие должны входить в формулы! В то же время, несмотря на это, в литературе часто встречается величина, равная плотности, умноженной на объем, которую считают экстенсивной переменной, в то время как «интенсивными переменными» называют реальные «поля» (см. [10, 11]). г) Следует рассмотреть перекрестные производные: d2?F/d?,dT и др., а также матрицу, составленную из вторых производных. Теория сингулярносгпей в критической точке 253 ных, так как здесь оно сводится к требованию положи- тельной определенности матрицы (—d^/d^d^-). Более существенное различие, однако, вытекает из следующего известного факта: хотя в равновесном состоянии возможно сосуществование нескольких фаз с разными плотностями (например, рг и рж или +Л40 и —Мо), температура и все другие поля (например, Н, \i и р) должны быть одинако- выми для всех фаз г). Это обстоятельство без обсуждения учтено на фиг. 1 и 2. В действительности не столь очевид- но; что нельзя указать пример, когда две жидкие фазы находятся в равновесии при одинаковых плотностях и тем- пературах, но, скажем, различных давлениях,— другими словами, что кривая р (р, Т) разрывна при некотором Рг СП, когда газ конденсируется в жидкость. Естественно теперь продолжить рассмотрение на микро- скопическом уровне. Исходя из гамильтониана 3? для системы частиц, можно вполне строго получить условия устойчивости, определяя обычным образом свободную энер- гию как логарифм статистической суммы [12, 13]. В част- ности, можно показать в достаточно общем виде, что давле- ние р (р, t) и химический потенциал \i (p, t) всегда являют- ся непрерывными функциями плотности [хотя р (р, Т) или р (\i, Т) могут быть разрывными]. Идеи и методы расчета, использованные при получении этих результатов, приводят к указанному ниже микроскопическому или механическо- му различию между полями и плотностями. А это в свою очередь определяет выбор соответствующей плотности в качестве параметра порядка. Для описания механической системы необходимо, во- первых, выбрать ряд основных, локально определенных микроскопических переменных (или операторов): (г), S* (г), SY (r), S* (г) — спины, я (г) — плотность числа частиц, A.18) через которые выражается полный гамильтониан $? Ь|э (г)]. г) Именно это свойство полей положено Гриффитсом и Уилером [10] в основу определения «поля». О других различиях полей и плот- ностей см. также L11].
254 М. Фишер Во-вторых, надо конкретизировать оперцию взятия шпура Sp^, входящую в определение статистической суммы: Z (Т) = Sp^e-^^^7], A.19) т. е. указать рецепт интегрирования по т|э (г). Если К а (г, г1; г2, . . ., гп) — короткодействующее, т. е. быстро стремящееся к нулю с ростом (г* — г), ядро, то можно определить произвольную локальную механиче- скую переменную n-го порядка следующим образом: А (г) = j dTi ... j с1гпКа (г, гъ г2, .. ., г„) t (г4) ... -ф (г„). A.20) Очевидно, простейшей локальной переменной является сама одночастичная переменная ij) (г) [с К (г, rt) = — 5 (г — rt)]. Если переменная А (г) входит в полный гамильтониан для области Q в виде (r)dr, A.21) то мы назовем ?а термодинамическим полем, сопряженным термодинамической плотности = lim S1 {<i4(r)>dr, A.22) где Vq — общий объем области Q, а символ (...) озна- чает обычное статистическое усреднение. Из этого опре- деления ясно происхождение термина «плотность». Свой- ства выпуклости свободной энергии по отношению к пере- менным Т и СА прямо следуют из этих определений и тож- дества T)= lim A.23) 1.4. Определение параметра порядка Самый общий способ выбора параметра порядка для данной критической точки состоит в том, что этот параметр должен быть такой локальной переменной наинизшего порядка из набора основных переменных, которая «непо- Теория сингулярное/пей в критической точке 255 средственно» связана с переходом. Конечно, это не слиш- ком точное утверждение! Чтобы уточнить его, заметим, что характерная изотермическая восприимчивость %Т = = (dW/dt,)T, как правило, быстро стремится к бесконечности при приближении к критической точке. Эта расходимость вследствие известного соотношения. Хт (?, Т) = (&Б7Г1 j drGww (г; С, Т) A.24) связана с медленным затуханием вблизи критической точ- ки основной корреляционной функции G4-4- (г) при | г | -»-оо. Напомним общее определение двухчастичной корреляцион- ной функции: GAA (г) = (Л @) А (г)) — (А @)) (А (г)). A.25) Для введения параметра порядка выясним теперь, какая локальная переменная W (г) наинизшего порядка по ij) (г) х) связана с наиболее медленным затуханием корреляционной функции в критической точке. Наиболее медленное зату- хание должно, естественно, привести к самой сильной расходимости %т (Т) при Т->- Тс, скажем, вдоль критиче- ской изохоры. Тогда термодинамический параметр поряд- ка W определяется как среднее от Ч*" (г), согласно соотно- шению A.22). Следует заметить, что ядро К а (г; ти . . ., гп), опре- деляющее локальную переменную, не обязательно должно быть полностью трансляционно инвариантным. Так, чтобы определить «намагниченность подрешетки», которая являет- ся параметром порядка для антиферромагнетика, выберем Кчг(т, г1) = где q0 — так называемый волновой вектор сверхструктуры, характеризующий антиферромагнитное спиновое упорядоче- ние. Это приводит к s2(r), A.27) z(r))dr. A.28) х) Чтобы исключить любую примесь некритических или слабо расходящихся критических локальных переменных, надо провести максимизацию нормированного выражения типа i(GAA (г)/<Л2 @)>) — -1] или х/аа/<Ая@)).
256 M. Фишер Теория сингулярностей в критической точке 257 Аналогичная ситуация имеет место для бинарных метал- лических сплавов типа E-латуни E0 : 50 CuZn), для кото- рых характерен фазовый переход порядок — беспорядок. В этом случае подходящей микроскопической переменной является величина, принимающая на каждом узле два значения в соответствии с типом иона в данном узле (если возможны и вакансии, то эта переменная принимает три значения). Ниже Тс, но на линии фазовых переходов ? = ?ст (Т), корреляционная функция для параметра по- рядка Gqpp (г) не должна стремиться к нулю на больших г, как это имеет место в остальных точках фазовой диаграм- мы. Предельное значение этой функции, G^-ip (°°), опи- сывающее дальний порядок, является в случае антиферро- магнетика или бинарного металлического сплава типа E-латуни знакопеременной величиной. Этот параметр даль- него порядка должен в свою очередь равняться [Wo (Т)]2— квадрату величины спонтанного упорядочения (по крайней- мере в системах, обладающих симметрией). Наконец заметим, что если симметрия системы более высокого порядка, чем элементарное отражение ? —>¦ —?» W —>¦ —Ч*", то и параметр порядка должен удовлетворять этой симметрии. Например, кубический ферромагнитный кристалл имеет шесть (или более) эквивалентных осей «легчайшего намагничивания», а не два направления, как говорилось выше. Существуют также и непрерывные груп- пы симметрии, когда параметр порядка может быть пред- ставлен векторной - величиной W (г) = (Ч?х, Wv) или Пример возьми снова из области магнетизма: в пол- ностью изотропном ферромагнетике вектор спонтанного намагничивания Мо может свободно вращаться и, следо- вательно, иметь любое направление. Точно так же в сверх- проводниках и сверхтекучих жидкостях реальную и мни- мую части «макроскопической волновой функции» ty = = г|/ -f- Щ" можно рассматривать как две компоненты дву- мерного вектора-параметра порядка. Векторный характер параметра порядка существен как для наличия соответ- ствующего фазового перехода и величины спонтанного упо- рядочения (см., например, [5]), так и для значений крити- ческих индексов. Мы здесь, однако, не будем рассматривать этот вопрос. I Способ введения, единственность и максимальная общ- ность данного выше определения параметра порядка ни в какой мере не являются очевидными, но, по-видимому, «хорошо работают» во многих случаях как для реальных физических систем, так и для различных моделей, в част- ности моделей решеточных газов. Слова «хорошо работают» нужно понимать в том смысле, что наше определение дает простейшее, наиболее естественное и адекватное описание явлений, а также хорошо передает многочисленные анало- гии между различными физическими системами. Мы позже вернемся к некоторым аспектам этих основных вопросов — особенно для систем, не обладающих симметрией. По мере углубления наших знаний и понимания критических явле- ний мы будем рассматривать все более тонкие и общие свойства параметра порядка. 2. Критические индексы и скэйлинг 2.1. Индексы, характеризующие сингулярность Существование спонтанного упорядочения ниже точки перехода и отсутствие его выше Тс достаточно для следую- щего утверждения: критическая точка должна быть точкой неаналитичности 1) полной свободной энергии jF (?, Т). Вообще говоря, линия фазовых переходов ?,а (Т) тоже является геометрическим местом точек неаналитичности функции ер (?, Т), но здесь сингулярности более слабые (во многих случаях можно ожидать, что все термодинами- ческие производные остаются конечными при подходе к линии раздела фаз со стороны температур ниже крити- ческой). С большой степенью надежности (а во многих случаях это можно доказать строго) свободная энергия х) Напомним, и это будет важно в дальнейшем, что термины «неаналитический» или «сингулярный» обычно используются в смыс- ле теории функций. Неаналитичность функции f (х)_ в точке х = хс означает, что эта функция не может быть представлена сходящимся рядом Тейлора по степеням (х — хс). Часто точку неаналитичности определяют как такую точку, в которой бесконечна какая-нибудь достаточно высокая производная функции. Такое требование, однако, йе является необходимым, как Это видно на примере опре- деленной на вещественной оси функции ехр I—1/(х —хсJ], у кото- рой все производные обращаются в нуль при х —*¦ хс. 17—0826
258 М. Фишер является аналитической функцией ? и Т всюду вне крити- ческой точки и линии фазовых переходов. Задача стати- ческой теории критических явлений состоит в описании и понимании природы сингулярностей функции 3F (?, Т) в критической точке. Задача упрощается, если на первом этапе исследовать поведение функции $р (?, Т) и, что еще удобнее, ее производных при приближении в критической точке вдоль определенных линий на фазовой диаграмме. Мы будем рассматривать три такие линии: а) линию фазо- вых переходов ?ст (Т) (охватывающую обычно критическую изохору Т = Чс) ниже Тс; б) критическую изотерму Т = Тс и в) критическую изохору Ч*1 = ^Vc выше Тс. В некоторых случаях можно рассматривать и другие линии, например критическую изоэнтропу 5 = Sc, но ука- занные выше три линии кажутся наиболее удобными для практических целей —: опять-таки особенно для систем, обладающих симметрией. Для описания поведения функции / (л:), когда х сверху стремится к точке неаналитичности («критической точке») хс, введем индекс X, определяемый соотношением f (х) ~ (Ал:)*- при Ал: = х — хс 0+ или, более точно, lim B.1) B.2) Конечно, если функция f (x) специальным образом осцил- лирует, предельного значения может не существовать. Однако такие случаи, по-видимому, не встречаются при изучении критических явлений и мало вероятны где-либо еще! Экстремальные значения X = -+-оо и X = —оо соот- ветствуют, как обычно, более быстрому, чем любая сте- пень Ах, стремлению функции к бесконечности или к нулю. Существование предела B.2), конечно, не означает, что функция / (х) действительно пропорциональна (Ах)^ —про- сто имеет место «асимптотическая пропорциональность». Вообще говоря, не ясно, насколько хорошим асимптотиче- ским приближением является простая степенная зависи- мость. Полезно различать по возрастающей сложности три основных случая: Теория сингулярностей в критической точке 259 1) чисто степенная зависимость: f (x) = А (Дл:)\ А = const; B.3) 2) простой случай: f (х) = (Д*)*/о (*), B.4) где функция /о (л:) = /о + h (Д*) + /г (Ал:J + . ... B.5) аналитична вблизи точки х = л:с; 3) сложный случай: f (х) = (Ах)^0 (х), B.6) но /о (#) неаналитична в точке х = хс. Полезно, кроме того, различать два варианта реализа- ции случая 3): а) «сходящиеся» слабые сингулярности | In /0 (х) | ->- | In /о К °° при д;->- л:с, B.7) например, /о (*) = /о + hx» + . . . , B.8) где 0 < \i < 1; б) расходящиеся сингулярности например, In /о (х) | -»- оо при х -*¦ /о (х) = (In х-*)»и (х), хс, или f0 (х) = exp [v (In дс)**] foo (х), ц < 1. B.9) B.10) B.П) С математической точки зрения случаям 1) и 2) соот- ветствуют просто алгебраические точки ветвления функ- ции f (x) (которую бывает полезно, хотя это и не обязатель- но, продолжить на комплексную плоскость х). В случае 3 сингулярности имеют более сложный и менее наглядный характер. 17*
26G М. Фишер 2,2, Критические индексы Определенные выше критические индексы оказались полезными при изучении критических явлений благодаря тому, что чаще, чем можно было ожидать, и в теории и в эксперименте реализуется простой случай 2) или даже случай чисто степенной зависимости. Так, если обозначить t = -%?- = T~Tc B.12) 1 1 с и характеризовать критическим индексом р величину спон- танного упорядочения х) 4% (Л ~ I * |р при t-+0; B.13) то оказывается, что для многих простых теоретических моделей и большинства приближений реализуется случай 2) с р =1/2 (так называемая «классическая» величина). Более существенно, что «простой случай» Р =х /8 получился также в онсагеровском точном расчете спонтанной намагниченно- сти для двумерной квадратной решетки Изинга (см., напри- мер, [3]), хотя метод расчета отнюдь не прост! Такое же зна- чение р = х/8 имеет место для других плоских решеток: треугольной, Кагомё и др. Простой случай 2) реализуется также при строгом расчете таких свойств двумерной моде- ли Изинга, как расходимость корреляционного радиуса (в отсутствие поля) выше и ниже Тс, обращение в нуль поверхностного натяжения при Т ->- TZ и т. д. Кроме того, исследование решений, полученных для, трехмерных моде- лей Изинга в виде числовых рядов, подтверждает наличие простого степенного закона (или, самое худшее, случая 3(а)) с одинаковыми индексами для всех типов решеток. Каждый, кто никогда или давно не видел эксперимен- тов, касающихся определений величины критического индекса р, обязательно должен увидеть результаты этих экспериментов. В лучших работах, как, например, в изме- рениях Хеллера и Бенедека на антиферромагнетике MnF2 или Лоренцена на СО2 (см. [3, 4, 6], результаты очень убе- дительны. Как правило, измерения охватывают три (или г) В соответствии с обозначениями, принятыми в первой лек- ции, мы будем обозначать параметр порядка через Т, а сопряжен- ное упорядочивающее поле через ?. Теория сингулярное/пей в критической точке 261 более) порядка по приведенной температуре t вплоть до нескольких единиц на 10~5 или 10~в. Во всей этой области наблюдается степенной закон, а индекс Р определяется с точностью до нескольких процентов. Естественно, что для t « 10~2—10 наблюдаются отклонения от чисто сте- пенного закона, однако реализуется случай 2) с очень малыми величинами коэффициентов Д и /2- Величина отно- шения коэффициентов Д//о, конечно, обратно пропорцио- нальна так называемому «размеру критической области», в которой справедлив чисто степенной закон. Следует, одна- ко, помнить, что «критическая область» определена не стро- го и размеры ее могут, вообще говоря, меняться от одного свойства к другому (скажем, для изотермической воспри- имчивости, теплоемкости и т. д.) даже для одного и того же вещества. Необходимо в связи с этим подчеркнуть, что вполне вероятны большие значения величины fjfo. Этого нельзя забывать, иначе можно прийти к большим и систе- матическим ошибкам в определении величины индекса. Экспериментальные значения индексов будут приведены в других лекциях этой школы — здесь мы только заметим, что полученная теоретически величина индекса Р и других определенных ниже индексов, по-видимому, слабо зави- сит от типа физической системы. Для многих веществ полу- чаются близкие значения Р; так, Р = 0,34—0,36 достаточно хорошо описывает все эксперименты для широкого класса чистых жидкостей, а также бинарных и многокомпонентных жидких смесей. В качестве дополнения к уже определенным критиче- ским индексам введем индексы у я у', характеризующие особенности изотермической восприимчивости: ХТ(Т) ~ t-v при t-+ 0+ (W = Тс), B.14) Хт{Т) ~ | t \-У при *-*- 0- [? = ?а (ГI, B.15) где ниже Тс восприимчивость «в нулевом поле» рассчиты- вается в пределе ? ->- ?ст (Т). Штрих у индекса означает, что индекс берется для Т < Тс и употребляется в тех случаях, когда индекс имеет смысл и для Т > Тс. Типичные значе- ния у = 1,15—1,35; «классическая величина» у = Г, трех- мерная сферическая модель приводит К7 = 2, а прибли- женный расчет для трехмерной модели Изинга дает у =
262 М. Фишер = 1,25. В системах, не обладающих симметрией, надо в принципе различать индексы у+ и yl для двух фаз ? = = ?*. До сих пор, однако, нет разумных теоретических оснований для такого различия, а экспериментов по опре- делению у' явно недостаточно. Точно так же можно было бы различать E+ и E_, но экспериментальные данные противо- речат этому (хотя существуют теоретические модели, при- водящие к несовпадающим |3+ и Р-5 см- четвертую лекцию). Определим индекс б на критической изотерме: | AZ |~ | AY |б, Л?->0 (Г- Тс). B.16) Экспериментальные данные для «несимметричных» си- стем снова указывают на равенство 5+ и б_. Для реальных систем эксперимент дает 6=4,2—4,6; классическое значе- ние 6 = 3; трехмерная сферическая модель приводит к 6 = = 5; расчеты для модели Изинга дают.б = 5,0—5,2 в трех- мерном случае и б = 15 в двумерном. Определим, наконец, индексы для теплоемкости Теория сингулярное шей в критической точке 263 (W B.17) Найденные экспериментально и рассчитанные теоретиче- ски значения величин а и а' всегда очень малы, обычно меньше чем 0,2, и близки к нулю. Существенно, что тепло- емкость лучше всего описывается моделью 3(а), т. е. можно ожидать, что CW(T) = A (t) t~* + В (t), B.18) причем даже если амплитуда A (t) и слагаемое В (t) — гладкие (или даже аналитические) функции, то &? (Г) = Г« [Ао + Bot<* + Ait + ?^1+« + ...]. B.19) Второе и четвертое слагаемые в квадратных скобках имеют сингулярности; так как а мало, эти сингулярности отно- сительно сильны и затрудняют надежное и однозначное определение а и а'. Заметим, что, поскольку rrr [а*А0 — a)A±t— B.20) этими же сингулярностями обладают и производные от CV G), хотя при переходе к производным усиливается основная сингулярность. 2.3. Слабые сингулярности Если функция обладает слабыми сингулярностями, как, например, теплоемкость, то дифференцирование может ока- заться полезным для нахождения критических индексов. Пусть функция / (х) остается конечной (и не равной нулю) при х —>¦ хс или характеризуется более слабой расходимо- стью, чем степенная. Приведем наиболее важные примеры: 1) логарифмическая сингулярность f(x) = A In | Ах 2) пик с низкой степенью В + B.16) / (*) = /о — a I A* I* + • . ". (О < ц < 1). B.22) Оба примера имеют отношение к поведению теплоемкости и в соответствии с определением B.2) дают X — 0 (или ин- декс для теплоемкости a = 0). С другой стороны, при диф- ференцировании получаем выражения *) ^=-А(Ах)-1+...~(Ах)-\ At B-23) что соответствует индексам Хх = —1 и — A — ц). Если рассматривать операцию дифференцирования как «извле- чение» сингулярной части функции f (х), то. эти случаи можно охарактеризовать индексами Xs = —1 + 1 = 0 и Xs — — A — И-) + 1 = }л. Логарифмическая расходимость теплоемкости, наиболее убедительно наблюдаемая в ^-точ- ке гелия [14], соответствует as = 0. На практике индекс s обычно опускают. Так, например, а = —0,1 означает, что теплоемкость остается конечной в Та, но при малых t ме- няется как (<7с —At0'1 + . . .). Если предполагается, что особенность близка к логарифмической, ее следует искать в виде
264 М- Фишер где La{f) = t~a—i а. B.25) Такая запись функции допускает и степенную расходимость (а>0), и чистый логарифм (а->-0), и пик (а < 0). Итак, в общем случае можно сказать, что f (x) ~ (Д^Ж x-+ xt (сингулярная часть), B.26) если для достаточно больших целых k ¦> ±00 при х -> хе. B.27) 2.4. Связь между индексами и неравенства ' Одним из достижений теории критических явлений яви- лось предсказание соотношений между различными индек- сами, которые, по-видимому, достаточно хорошо подтвер- ждаются и экспериментальными данными, и расчетами тео- ретических моделей. Одно из первых соотношений было получено Вайдомом [15]: 6=1 B.28) Примерно в то же время автором и Эссамом [16] было предложено соотношение а' + 2Р + Y' = 2, B.29) которое в этой же работе было количественно подтверждено для моделей Изинга. Гипотеза, лежащая в основе этого соотношения, будет рассмотрена в четвертой лекции при изучении капельной модели критических явлений. Несколько позже соотношение B.29) обсуждалось Раш- бруком [17], который, исходя из чисто термодинамических соображений и используя приведенные выше условия устой- чивости, обнаружил, что можно доказать лишь неравенство ¦а' + 2$ + у' > 2. B.30) В ходе доказательства функция Q — CV была выра- жена через х (Т) и (dW/dT)^ и были использованы неравен- ство CV ^ 0 и определение критических индексов (см? Теория сингулярноетей в критической точке 265 [2, 3]). Вскоре после этого неравенство B.30) было обобще- но с учетом некоторых тонкостей на несимметричную кри- тическую точку [1]. Комбинируя B.28) и B.29), получаем а' + р A + 6) = 2. B.31) Гриффите установил [18], что и это соотношение можно строго получить лишь в виде неравенства а' + Р A + 6) >2. B.32) Доказательство Гриффитса непосредственно вытекает из общего положения статистической механики —«выпукло- сти» свободной энергии. Следует заметить, что ниоткуда не следует неравенство, соответствующее B.28) (оно, ве- роятно, и не существует). В то же время Гриффите полу- чил ряд других, более сильных неравенств, связывающих введенные выше и другие индексы. При этом он исходил из бесспорного факта — выпуклости свободной энергии — и использовал некоторые более частные предположения, как, например, невозрастание функции W (?, Т) с темпера- турой Т при фиксированном ? или выпуклость Т (?, Т) в функции ? ^ 0 при фиксированном Т. Эти предполо- жения были строго доказаны для модели Изинга и решеточных газов. По этой и по ряду других причин они кажутся весьма правдоподобными. В связи с этим возмож- ность использования других неравенств Гриффитса заслу- живает самого пристального внимания. Важность термодинамических соотношений B.28) и B.29), связывающих критические индексы, а также равенств а = а#, у = у', B.33) как это отмечалось многими авторами, состоит' в том, что только два индекса должны быть определены независимо — тогда все остальные можно будет найти из указанных соот- ношений *). Наиболее прямой и общий способ получения этих результатов — термодинамический скэйлинг или гипо- теза однородности, к изложению которых мы теперь при- 1) Существуют также важные равенства и соответствующие им неравенства для индексов, характеризующих корреляционные функции, но мы не будем их здесь рассматривать (см., например, [1-4, 19, 20]), У У '
266 М. Фишер ступим. Простейший вариант этой теории принадлежит Вайдому [21], и мы будем следовать его схеме. Заметим, что столь же эффективные и по сути эквивалентные идеи были в то же время выдвинуты Кадановым [22] в США, Дом- бом и Хантером [23] в Англии, Покровским и Паташин- ским [24] в СССР и автором [25] (капельная модель). 2.5. Гипотеза однородности Прежде чем перейти к изложению гипотезы однородно- сти, коротко остановимся на рассмотрении классической феноменологической теории критических явлений. Будем при этом исходить из «канонической» свободной энергии Jb (Ч?, Т), а не из «большой канонической» энергии jF ( Т) (см. стр. 250). Для простоты мы ограничимся симметричным случаем (Ч?с = 0, Хза == 0)- Используя аналитичность сво- бодной энергии, разложим ее в ряд Л (ЧГ, Т) = а(Т) + с (Т) ^F2 + е (Т) Y4 + . . ., B.34) который справедлив для любого фиксированного Т > Тс. Однако область применимости этого разложения может, а вообще говоря, должна, стремиться к нулю при Т —>¦ Т?. Предположение о том, что B.34) всегда справедливо,— основная ошибка феноменологического подхода! Из разложения B.34) непосредственно следует уравне- ние состояния: ? = 8 (ЧГ, Т) = 2с (Т) Ч* + 4е (Т) W3 + .... B.35) Допустим теперь, что коэффициенты с (Т) и е (Т) можно раз- ложить по AT в ряд 1). Таким образом, мы предполагаем, что B.36) B.37) с{Т) = с^Т + с2ДГ2 + е (Т) = е0 + е±АТ + . . . Отсутствие слагаемого с0 = с (Тс) следует из того, что обратная восприимчивость в нулевом поле обращается •*¦) В общем случае это, конечно, несправедливо: в частности, такое разложение совершенно неверно для двумерной модели Изинга. Теория сингулярноспгей в критической точке 267 в нуль в критической точке: B.38) Ясно, что эта теория всегда предсказывает у = 1! Сде- ланное предположение х) о том, что коэффициенты е0 и ct отличны от нуля, является самым простым. Подставляя B.36) и B.37) в B.35), получаем ? = Ч/ [2с±АТ + 4<?0Чг2 + О (AT2, АТЧ*2, 4м)]. B.39) Полагая теперь ? = 0, решая уравнение B.39) для Ч? и отбрасывая тривиальное решение Ч? = 0 (которое дает большую величину свободной энергии 2)), получаем для спонтанного упорядочения при Таким образом, оказывается, что B.40) B.41) Заметим теперь, что в предельном случае (AT—>-0, ? —»- 0 и Ч? —*- 0) уравнение состояния может быть перепи- сано в виде ? = 8 (V, Т) «* b0W [bit + I ЧГ |VP], B.42) где, как и раньше, t = АТ/ТС. Слагаемое в квадратных скобках является однородной функцией первого порядка (именно потому, что у = 1) относительно переменных t и | Ч? |1/C. Следуя Вайдому, обобщим теперь наше простое феноменологическое рассмотрение, постулируя асимптоти- х) Предполагая а = 0, с2 > 0, е0 = 0, е± > 0 и g0 > 0, можно получить такое же уравнение состояния, как и для сферической модели (см. ниже), но- это не. противоречит гипотезе однородности, которая нас сейчас интересует. 2) Проводя эти хорошо известные операции, мы не только незаконно экстраполируем применимость разложения B.34) на область Т < Тс, но также полагаем само собой разумеющимся, что свободная энергия имеет смысл в «нестабильной» или «мета- стабильной» области, где нарушена выпуклость. Однако «минимиг- зируя свободную энергию», мы эффективно исправляем эту боль- шую ошибку, так как заменяем функцию ^Прибл (^> -О ее выпук- лой огибающей.
268 М. Фишер ческое уравнение состояния вида | » ?Ф (^ | Y |Х/Р), *, g, W -*~ О, B.43) где Ф (л:, г/) — однородная функция порядка у, т. е. Ф (/*, /у) = /»Ф (х, у) B.44) для произвольного действительного и положительного чис- ла /. Обозначение у для степени однородности предвосхи- щает результат у — у, который будет получен несколько позже. Мы увидим также, что можно будет заменить у на | Т |1/р, где, вообще говоря, ]3 Ф р. Лишь в самом конце расчета мы сумеем доказать, что |3 = р. Гипотеза B.43) может быть выражена многими другими способами. Если выбрать / в виде 1/| W |1/р и обозначить получим B.45) B.46) — такой вид уравнения состояния был предложен Гриффйт- сом [26]. Из B.46) видно, что гипотеза однородности состоит, в сущности, в сведении общей функции двух переменных 3 ("Р, 0 к скэйлинговой функции h (x) одной переменной, а также во введении двух индексов Р и у. В следующей лекции мы вернемся к этому вопросу. Отметим, хотя это и не существенно, что гипотеза одно- родности содержит предположение о симметрии ?-«-»¦ — ?, W ¦<-*¦ — *F. Следовательно, можно сделать более общее предположение: ? — &, (Г) ** 3 (t, A?) (t, At,, AY -+ 0), B.47) где S удовлетворяет расширенному соотношению однород- ности : , г/). B.48) Это соотношение в точности эквивалентно B.46), а следова- тельно, и B.43), что сразу видно, если снова представить / Теория сингулярное/пей в критической точке 269 в виде / = | A*F | Х/Э и потребовать выполнения условия симметрии: S (х, —у) = — Е (х, у). B.49) Для большей общности следует, однако, ввести две скэй- линговые функции: h+ (х) = S (х, 1) -S (x, —1), B.50) допускающие отсутствие полной симметрии в уравнении состояния. Как мы увидим позже, эта возможность не мо- жет привести к различию индексов б+ и б_ или у+ и yL для е - ъ со ^ о. 2.6. Следствия из гипотезы однородности и связанные с ними трудности Прежде чем приступить к систематическому изложению следствий из гипотезы однородности B.43), B.46) или B.47) и ограничений, которые должны быть наложены на скэйлин- говую функцию h (x), сформулируем основные выводы. Единственное необходимое дополнение к приведенным фор- мулам касается более точного смысла асимптотического значка ««?». Во-первых, мы предположим, что асимптоти- ческое уравнение состояния описывает в первом приближе- нии все важнейшие сингулярности в критической точке, и, во-вторых, что асимптотическая функция вдали от кри- тической точки сохраняет те же свойства непрерывности, гладкости и, возможно, даже аналитичности, что и полное уравнение состояния 3 С^» Т). Без такого рода предположе- ний (которые часто не формулируются в явном виде) в дей- ствительности нельзя извлечь никаких выводов из гипо- тезы однородности. Возможно, однако, что последующие теоретические и экспериментальные исследования позво- лят освободиться от некоторых из этих предположений. Первый полученный нами результат состоит в том, что все критические индексы должны определяться через Р и б (или у), так как только эти индексы входят в сформулиро- ванную выше гипотезу. Мы позже увидим, что 8 = 8 и у = у, а сейчас перепишем полученные ранее соотноше-
270 М. Фишер ния между критическими индексами в более общем виде: ой + 2р + у' = 2, B.51) ей + р A + б) = 2, B.52) который допускает также возможность конечной теп- лоемкости в критической точке. В частности, равенство 2Р + у' = Р A + V) = 2 означает простую логарифмиче- скую расходимость теплоемкости Схр (T) [<xrs = 0 или а —>¦ ->-0в B.24)], хотя амплитуда Л_ сингулярности может при некоторых условиях [26] обращаться в нуль (как это имеет место в феноменологических уравнениях). Кроме того, непрерывность и гладкость при пересечении критической изотермы при t,, W =^= 0 приводят к необходи- мости выполнения условий симметрии: B.53) = <xs, У = V- При логарифмической особенности теплоемкости BР + у' = 2) условия симметрии еще более жесткие, по- скольку Cw (Т) « А± In \t \~x + В± + . . . (Т ^ Тс), B.54) где А+ = Л_ = А. Другими словами, амплитуды А+ и Л_ должны быть рав- ны [26] (хотя, вообще говоря, В+ =?= BJ). При этом снова допускается возможность А+ = Л_ = 0. По-видимому, этот результат скэйлинговой теории боль- ше всего противоречит имеющимся в настоящее время экспе- риментальным даннымх). Как уже говорилось, теплоем- кость гелия вблизи его А,-точки меняется [ 14] по закону, близкому к логарифмическому, при изменении температуры примерно на четыре порядка, вплоть до t л* 10~7. Извест- ные эксперименты Букингема, Фэйербенка и Келлерса соответствовали Л + « Л_, однако недавние эксперименты Алерса [14] не согласуются с полной симметрией логариф- х) ->днородность и скэйлинговая гипотеза успешно применя- лись и оказались весьма точными во многих случаях (и это будет показано в других лекциях). Поэтому, когда мы подчеркиваем некоторые трудности этих теорий, не следует забывать и об их больших достижениях. Теория сингулярнослгей в критической точке мической зависимости теплоемкости, а дают вдоль кривой насыщенного пара 4^>1,04. B.55) Эксперименты, проведенные позже для больших давлений, показали, что при переходе через Я-кривую наблюдается явный рост отношения Л+/Л_ с ростом давления. Мои иссле- дования, которые будут изложены в следующей лекции, как раз и направлены на обобщение и расширение идей скэй- линга и однородности с целью устранить это противоречие теории и эксперимента. По-видимому, другим тревожным фактом, противореча- щим скэйлинговой гипотезе, является явное отсутствие симметрии индексов, характеризующих восприимчивость, полученное для трехмерных моделей Изинга. Конечно, эти индексы могут быть получены лишь экстраполяцией точных, но оборванных высоко- и низкотемпературных рядов. Разные авторы подходили к этому вопросу очень внима- тельно, а используемые методы расчета были проверены на задачах, допускающих строгое решение. Выше Тс оказа- лось, что y = 1.250 dz 0,005, где ошибка взята с запасом, а ниже Тс лучшие оценки сходятся на y' = 1.29.—1,31. Даже с учетом малой точности, скажем ошибки ±0,02, различие y и V' вполне заметно. Отсюда следует, что ниже Тс возрастает поправочный член к чисто степенному закону и мы в действительности имеем дело со случаем 3(а), а воз- можно, и с 3F). Теоретическая возможность, которая позволяет в прин- ципе сохранить однородное уравнение состояния, устраняя в то же время указанную выше трудность, состоит в том, что на кривой сосуществования (которая является естест- венной границей области определения переменной х) скэй- линговая функция h (x) не должна описывать все сингуляр- ности. Но тогда в уравнение состояния необходимо ввести некоторые малые «добавки». Указание на такую возмож- ность содержится, быть может, в сферической модели для размерности d ^ 5. Эта модель удовлетворяет асимптотиче- скому феноменологическому уравнению состояния [B.40) и B.41)], которое, в частности, предсказывает конечность всех производных у}гу = (дпл?/д?п)т при ?->-0~для Т<
272 М. Фишер < Тс. Однако известно, что в сферической модели для достаточно больших п (по сравнению с d) x) и фиксирован- ном Т <ТС производные %гп) (?, Т) стремятся к бесконеч- ности при ?-»-0. Таким образом, скэйлинговая функция плохо описывает детали поведения высоких производных на границе однофазной области. Мы подробно покажем это в приложении А, а сейчас заметим только, что вопрос о точ- ных условиях, при которых справедливо «асимптотическое» уравнение состояния, является весьма деликатным 2). 2.7. Скэйлинговая функция В заключение этой лекции приведем скэйлинговую гипо- тезу в форме, предложенной Гриффитсом: и рассмотрим непосредственно вытекающие из нее след- ствия. При этом мы покажем, что скэйлинговая функция h (x) должна удовлетворять некоторым достаточно строгим требованиям. Рассмотрим прежде всего критическую изотерму Т — = Тс или t = О, где I = sign 0?) h @) | Ч! i6 при | ЧГ | -*- 0. B.57) Сравнивая B.57) с определением B.16), видим, что б = б и что h0 = h @) должна быть положительной и отличной от нуля. Напомним теперь (см. фиг. 2), что при фиксиро- ванном Ч? > 0 разложение вблизи Т = Тс должно иметь вид + z, (ЧГ) AT + z2 {ЧГ) AT2 + B.58) х) Для трех- и четырехмерного случаев хг* (?, Т) = %г (?, Т) -*¦ -»- оо при ?-»-0 для Т <СТС; для d = 5 оказывается, что хт* (S. ^) остается конечным, а хг* (?, 7") расходится. 2) В ситуации, когда стала очевидной неприменимость неко- торых тонких предсказаний скэйлинга для описания корреляцион- ных функций в критической области, были введены термины «силь- ного» и «слабого» скэйлинга. Однако, как показано в обзоре 127}, представляется очень сложным, а быть может, и невозможным установить какие-либо точные и ясные границы применимости или неприменимости предположений скэйлинга. Теория сингулярностей в критической точке 273 Для того чтобы такое же разложение получалось из скэй- линговой гипотезы, необходимо h (х) = hzx2 B.59) и, следовательно, из аналитичности $ (V, Т), т. е. из схо- димости B.58), следует, что h (x) должна быть аналитичной Фиг. 3. Общий вид скэйлинговой функции h (x). Точка х = х0 соответствует кривой сосуществования; х = 0 — критической изотерме и х -+ со — критической изохоре при Т > Тс. также при х = 0 (и во всех других точках). Подставляя B.59) в B.56) и сравнивая с B.58), видим, что ¦у /ЧГ\ „ I iff |б -у t\V\ —. I XV 16-О-/&) С? Р\С\\ »О V * / /"v*^ I I 5 i v / '^^'^ 1 \ у ... • V • *-'*-'/ Рассмотрим теперь кривую сосуществования ? —>- О, х? -+ 4*0. Очевидно, следует предположить, что h (x) обра- щается в нуль при х = х0 = — | лг0 |, т. е. = 0 = h (х0). B.61) Тем самым определяется величина спонтанного упорядо- чения ЧГ0(Т) B.62) и показатель степени р отождествляется с соответствующим индексом. Из сказанного выше вытекает, что функция h (x) должна в общем случае иметь вид, схематически изображенный на фиг. 3. Если, как естественно ожидать, 18—0826
274 М. Фишер разложение для слабых полей иГ< ТУ имеет вид У (?, Т) = Уо (Т) + lT (T) Z + %П+ . . ., B.63) то функция h (x) также должна разлагаться в ряд вблизи ОС h (x) = ki (x — x0) + k2{x — xQJ + . . . (x > *„)• B.64) Это приводит после некоторых преобразований к тож- деству 7Lt(J) = где 7' = р(б- B.65) которое доказывает соотношение между индексами, полу- ченное Вайдомом. Обратимся, наконец, к критической изохоре при Т > Тс. При этом необходим переход к пределу W ->¦ 0 для / > О, откуда в свою очередь следует х->оо. В соответствии с B.35), разложение ?в общем случае имеет вид ? = Х0 (Т) W + X2 (Г)Т3 + ^4 (Т) W5 + . . .{Т> Тс). B.66) Сравнивая B.66) с B.56), получаем, что для больших х скэйлинговая функция должна быть представлена рядом h{x) = = ЛР(б-1) (Яо + Н2х~2& + #3х~4Р +•••) (а:-^ оо), B.67) причем множитель перед круглыми скобками должен со- держать | W |б, так что после сокращения ё B.56) остается только множитель W. Учитывая это, получаем для воспри- имчивости в нулевом поле при Т' > Тс Хт (Т) - Хо (ТУ1 = НоЧ-ч, где у = р (б — 1), (Y = 0), B.68) в то время как Х2 (Т) = Hzt-v-*e , . . . . B.69) Сравнивая B.68) с низкотемпературной формулой B.65), опять приходим к ожидаемому ¦условию симметрии: у — у'. В случае отсутствия симметрии [см. B.50)] можно пред- положить, что индексы б+ и б_, Р+ и Р_ различны для функ- Теория сингулярностей в критической точке 275 ций h+ (x) и /i_ (x), однако соотношение B.66) для обеих скэйлинговых функций должно быть одинаковым. В част- ности, так как Хо (Т), Xi (Т), Х2 (Т), ... — однозначные функции, из B.68) и B.69) вытекают равенства б+ = б_ и Р+ — Р_, а следовательно, и у'+ = yL. [В то же время амплитуды на критической изотерме и кривой сосущество- вания могут быть различными для ? — ?ст (Т) 5? 0-1 Для расчета теплоемкости надо сначала проинтегриро- вать уравнение состояния по W, чтобы получить свободную энергию Jk OF, T), а появляющуюся при интегрировании произвольную функцию определить из условия отсутствия сингулярности свободной энергии вдали от Тс. Мы не будем приводить здесь детали вычисления (см. [21, 26]), но все указанные выше результаты непосредственно получаются таким же методом. В заключение заметим, что неочевидна совместимость двух требований: а) аналитичности функции h (x) при ко- нечных х, в частности при х = 0 и х = х0 [см. B.59) и B.64)], и б) существования разложения B.67), т. е. анали- тичности по л:~2р функции лг^6) h (x). В самом деле, я предлагаю каждому из слушателей, не думавшему раньше над этим вопросом, попробовать найти такую функцию для произвольного р *). С этого мы и начнем следующую лек- цию. 3. Скэйлинг, степенные законы и аналитичность2) 3.1. Введение В этой лекции мы более подробно остановимся на упоми- навшихся ранее гипотезах однородности и скэйлинга. Основная цель состоит в том, чтобы показать, насколько г) Заметим, что простые примеры типа h (х) = а (х — xQ)*t не годятся (если Р Ф /г), так как разложение вблизи х~г = 0 содержит только целые степени х~г. Напротив, выражение вида с со = 1 —1/2C удовлетворительно для больших х, но очевидно, что такая h (х) неаналитична при х = 0, если 2C не целое число, или при х = х0, если у/2$ не целое. 2) О новых результатах, обсуждаемых в этой лекции, было впервые сообщено на семинаре по статистической механике в Иешива Университете 30 ноября 1969 г., а более подробно — на конферен- ции по критическим явлениям в Ньюпорт-Бич в январе 1970 г. 18*
276 М. Фишер можно уточнить или развить скэйлинговые идеи для полу- чения, в частности, более общих, чем степенные, типов син- гулярностей в критической точке. В отличие от предыдущей лекции я не буду здесь обсуждать возможные поправки к скэйлингу. По моему мнению, прежде чем ввести попра- _ вочные члены, необходимо глубже изучить основную гипо- тезу. Главная задача — избежать, если это удастся, усло- вия полной симметрии относительно Тс и особенно утвер- ждения о равенстве амплитуд А+ = Л_ для теплоемкости выше и ниже Тс при логарифмической расходимости тепло- емкости [21, 26]. Как уже говорилось, это предсказание скэйлинга противоречит экспериментам Алерса [14] на гелии вблизи А.-точки, из которых вполне определенно вытекает, что А+/А- > 1,04. Прежде всего мы хотим проверить, действительно ли, как это считается само собой разумеющимся, чисто степен- нее законы являются ключевым моментом для различных вариантов теории скэйлинга. Требования аналитичности и эквивалентности различных формулировок скэйлинга особенно тесно связаны со степенными законами. Однако при обсуждении идеи параметрического скэйлинга [31], которая сразу обеспечивает аналитичность (иначе, чем в изложенной выше схеме Вайдома — Гриффитса), мы рас- скажем о более гибкой «четырехфункционной» формули- ровке скэйлинга, которая допускает^любые сингулярности в критической точке, а также условие А+ =^= А- для лога- рифмической особенности теплоемкости. Будет строго пока- зано, какой ценой удалось этого добиться. 3.2. Однородность и скэйлинг В переменных ? (упорядочивающее поле), Ф" (параметр порядка) и Т (температура) уравнение состояния можно записать с помощью одной неизвестной функции двух переменных. Напомним еще раз, что гипотеза одно- родности состоит в том, что вблизи критической точки мож- но в асимптотическом виде переписать C-2) Теория сингулярностей в критической точке 277 где АГ Г Тс C.3) C.4) В формуле C.3) ?ст (Т) — линия фазовых переходов в пло- скости (?, Т) г). Для простоты мы всюду будем предпола- гать, если не оговорено обратное, что Д? и AW не отрица- тельные величины. Очевидно, как это уже отмечалось, что предположение об однородности приводит к замене неизве- стной функции двух переменных 3 (х, у) неизвестной функ- цией одной переменной h (х) и двумя неизвестными индек- сами р и 6, т. е. 3 ~ {h\ P, б}. Теперь мы можем переформулировать эту гипотезу в скэйлинговой форме, предложенной Кадановым [4, 22]. Для этого покажем, что 3 (х, у) следует заменить функ- цией одной переменной, связывающей две масштабные переменные: t C5) т. е. Z^hit). C.6) Масштаб выбран по отношению к переменной W, a cp (W) и х (W) — соответствующие скэйлинговые функции для ?, и t. Таким образом, мы заменили 3 (х> У) тремя функциями одной переменной: h (х), ц> (х) и х (х), так что 3 ^ {h; ц>, х). Ясно, что это эквивалентно гипотезе однородности лишь при дополнительном предположении о том, что скэйлинго- вые функции определяются чисто степенными законами: т (W) = AY-VP. C.7) Зададим теперь естественный, хотя как будто никем пока не поставленный вопрос: возможна ли последователь- ная, систематическая модель скэйлинга без допущения о чисто степенном законе? Для ответа на этот вопрос сфор- мулируем в более общем виде математические основы теории скэйлинга. Обозначения см. в первой лекции.
278 М. Фишер 3.3. Суть гипотезы скэйлинга Проблема термодинамического описания критических явлений в достаточно общем виде сводится к нахождению «уравнения состояния», связывающего три «термодинами- ческие» переменные х, у и z: F (*, у, г; |) = 0. C.8) Здесь | — вспомогательный параметр, который удобным образом выражает «произвольность» уравнения состояния, т. е. тот факт, что уравнения состояния для различных систем могут отличаться, например, различными ампли- тудами и т. д. Привычные значения, приписываемые пере- менным х, у, z, указаны в табл. I. Таблица 1 Различные значения критических скэйлинговых переменных Система Общий случай Ферромагнетик Жидкость Сверхтекучий гелий X t t t t t t t t Термодинамическая переменная У AC Я Xyi = (дН/дМ)т H Р —Pc H —Hot*1) V А-Ас Z М М F — Fc Р — Рс А — Ас Р — Рс 1 * 1 1 * 1 Параметр g н. Л* Л* Л* Л* Л* Примечания l) Jj^ и /ц — спин-спиновые обменные энергии, связывающие пер- пендикулярные и параллельные компоненты спина; Н^ — перпендикулярная (не упорядочивающая) компонента общего магнитного поля Н = (Н, Н i ) в анизо- тропном ферромагнетике. ' 2) л* = (и/тест^I/2 — квантовый параметр де Бура; m, s и ст — соответственно масса молекулы, глубина потенциальной ямы и сечение рассеяния. 3) v и ф — недиагональное поле и макроскопическая волновая функция для сверхтекучего гелия. Подчеркнем, однако, некоторую необычность выбора переменных в табл. I, где, например, z отождествляется Теория сингулярносшей в критической точке 279 с сингулярной частью свободной энергии F — Fc. Заметим, кстати, что в принципе нет причины, по которой линейные комбинации обычно используемых переменных не могли бы использоваться в качестве масштабных переменных. Так, Д? всегда представляет собой, согласно C.3), линейную комбинацию ? — ?с и AT, так как ?ст (Г) = ?с + Ы + ... при ?—^0. Тогда в более общем случае следует положить х = t + а (I — Сс), C.9) # = (?-?с) + ы C.10) и т. д. Подчеркнем, что это отнюдь не чисто академическая возможность. В частности, она реализуется для некоторых допускающих точное решение моделей классической жидко- сти «со взаимодействием между кластерами», исследованных Фельдергофом и автором [32], о чем пойдет речь в следую- щей лекции. Представляется вполне вероятным, что такого рода линейные комбинации окажутся удобными при изуче- нии реальных несимметричных систем типа переход газ — жидкость. Конечно, такая возможность должна быть спе- циально изучена. Предположим, что переменные х, у, z выбраны так, что критической точке соответствуют их нулевые значения, т. е. F@, 0, 0; О -0. C.11) Если переменная, с которой мы хотим работать, расхо- дится в критической точке, как, например, восприимчи- вость %г> то мы будем чаще всего пользоваться обратной величиной. Конечно, в принципе уравнение C.8) может быть «решено», скажем, в таком виде: что по сути совпадает с исходной формулой C.1) (во всяком случае, если отождествить z с ? и у с Ч*). Теперь наша задача состоит в том, чтобы переписать уравнение состояния C.8) в несколько «исправленной форме». Имея в виду приложения, мы хотим привести его к асимптотическому виду, однако сейчас мы рассмотрим уравнение F = 0. Чтобы выявить суть гипотезы скэйлинга, выделим сна- чала одну переменную, скажем х, и введем скэйлинговые
280 М. Фишер Теория сингулярностей в критической точке 281 функции р (х) и а (х) для оставшихся переменных у и z. Тогда гипотеза заключается в возможности записать урав- нение состояния в виде чистого х-скэйлинга- x(- C.13) Это уравнение можно решить относительно у: C.14) Предполагая чисто степенной" закон р (х) = Сх^ и а (х) = С'х», C.15) мы получили бы, в соответствии с табл. 1,А, = рб и (л = р. Очевидно, что вместо чистого х-скэйлинга мы могли бы постулировать чистый у-скэйлинг, )- <зл6> или чистый z-скэйлинг, Z 1-тт, -4т; i) =0- C.17) \ -г (г) ' ф (г) ' ь / ч ' Уравнение C.17) тоже можно разрешить относительно у Можно исследовать также различные варианты смешанного или обратного скэйлинга 133], но мы не будем здесь на этом останавливаться. Предположим, что все скэйлинговые функции р (z), о (х), л (у)... допускают для положительных значений своих аргументов по крайней мере однократное дифферен- цирование; точно так же однократно дифференцируемы функции О [и; |], V (v; ?J и т. д. Разумеется, эти предполо- жения просто соответствуют дифференцируемости уравне-. ния состояния вдали от критической точки. 3.4. Эквивалентность различных скэйлингов Наш первый вопрос и отвечающая на него теорема отно- сятся к эквивалентности различных чистых скэйлингов. Рассмотрим, например, гипотезы чистых х- и z-скэйлингов. Формулы C.14) и C.18)—-два различных представления уравнения состояния, решенного относительно у. у = 2/ (х, г; I). C.19) Вопрос состоит в следующем: могут ли эти два выражения соответствовать одной и той же функции йУ, т. е. приводить к одинаковым термодинамическим функциям, и если да, то при каких условиях? Если при определенных обстоятель- ствах ответ на этот вопрос положительный, то те же физи- ческие результаты получаются при выборе любой показав- шейся наиболее удобной переменной в качестве масштаба. С другой стороны, при отрицательном ответе мы должны решить, является ли х-скэйлинг (скажем, Т-скэйлинг) физически более «правильным», чем z-скэйлинг (скажем, Ч^-скэйлинг). Ответ на вопрос об эквивалентности содер- жится в следующей теореме. Теорема 1. Эквивалентность и степенные законы. Чистый х-скэйлинг эквивалентен чистому z-скзйлингу тогда и только тогда, когда скэйлинговые функции р (х), о (х), т(г)йф (z) — чисто степенные; более того, если они чисто степенные, то без потери общности их можно записать в виде- а (х) =aixix, p (х) = р^К C.20) Доказательство достаточности этой теоремы элементарно. Действительно, исходя из C.14) и степенных законов, имеем что можно сразу переписать в форме z-скайлинга: у — ф (z) V если взять Ф (z) = ptzx/l-1, т (z) =^ aj" и у (у; |) = p^f/ (и~ц; с) C.22) • C.23) C.24)
282' М. Фишер Таким же образом, задавая чисто степеннйе скэйлинговые функции, легко доказать эквивалентность всех остальных вариантов скэйлинга (обоих чистых, смешанного и обрат- ного). Более того, так как эквивалентность сохраняется при интегрировании и дифференцировании, то однородность свободной энергии (или ее сингулярной части) означает однородность уравнения состояния, а также восприимчи- вости, и наоборот. Доказательство необходимости теоремы 1 является более тонким, хотя это доказательство нетрудно провести, исполь- зуя методы, обычно применяемые при решении функцио- нальных уравнений. Схема вычислений такова: нужно приравнять две формулы [C.14) и C.18)], подставить z = = ио (х), прологарифмировать и, дифференцируя по х и ?, разделить слагаемые, содержащие независимые пере- менные. Так мы придем к дифференциальным уравнениям для скэйлинговых функций о (х) и т (z), интегрирование которых приводит к чисто степенным законам. Детали вычислений будут опубликованы [33]. Теорема 1 подчеркивает ту сторону обычной формули- ровки гипотезы скэйлинга, которую часто используют, но редко четко формулируют, а именно свободу выбора мас- штабной переменной. Однако если мы хотим ввести логариф- мические множители, так чтобы а (х) = а^ (In x)^* (воз- можно, для описания какой-нибудь кривой сосуществова- ния или критической изотермы), то нужно выбрать одну масштабную переменную и предпочесть ее всем остальным. 3.5. Требование аналитичности Так как мы еще стремимся к обобщению идеи скэйлинга даже ценой отказа от соображений удобства ' (или, быть может, от «красоты»), будем считать х-скэйлинг основной гипотезой и исследуем требования, вытекающие из анали- тичности. (При этом можно опустить зависимость от |.) Теперь, как уже отмечалось в прошлой лекции, из условия аналитичности уравнения состояния, скажем в форме C.19), при всех а: и г, за исключением критической точки х = г = = 6, следуют определенные ограничения на скэйлинговую функцию h (x) в C.2) или U (и) в C.14). В частности, для случая чисто степенного закона функция h (x) должна быть Теория сингулярностей в критической точке 283 аналитичной для всех конечных х, в том числе и для х= 0) в то время как для | х \ ->¦ оо нужно потребовать аналитич- ности функции х-№-Цп (x) по переменной дг~2Р. Позже мы покажем, что общие функции, обладающие таким свой- ством, действительно можно построить, а теперь зададимся только вопросом' возникают ли из условия аналитичности какие-либо ограничения на класс возможных скэйлинго- вых функций р (х) и о (х), в частности, могут ли они содер жать логарифмические множители? Следующая теорема показывает, что эти ограничения весьма сильны, и в конце концов снова приводят к степенным законам. Теорема 2. Аналитичность и степенные законы. Если функция у (х, г) = р (х) U [-^г-] . C.25) и ее производные ду/dz и d2y/dz2 аналитичны по х вблизи точки х = 0 (при гФ0>) и если U (и) не является чисто степенной функцией [т. е. U (и)/иаф const], то .7 = 1 и C.26) C.27) где ро (х) и а0 (х) — аналитические функции, не обращаю- щиеся в нуль вблизи х = 0 при / ^ m м 6га ^ 0 (за исключе- нием случая т — 0, когда нет суммирования). Для доказательства этой теоремы заметим прежде всего, что аналитичность функции у (х, г) по х и г, когда х =Ф 0, обеспечивается просто предположением, что U (и) анали- тична при конечных и и что р (х) и а (х) аналитичны для х > 0 (т. е. для х =^ 0). Поэтому существенна лишь анали- тичность функции р (х) по х при х — 0, которая [так как мы можем предположить, что р (х) и о (х) —>- 0 при х—>- 0+] означает х—*0~. Исключение из рассмотрения случая чисто степенной функции U (и) вызвано соображениями удобства и несущественно, поскольку скэйлинговая функ- ция такого типа маловероятна.
284 М. Фишер Мы видим, если не обращать внимание на экспоненци- альные множители в C.26) и C.27), что теорема 2 в сущно- сти эквивалентна следующему утверждению: аналитичность обусловливает степенные законы. Единственное обобщение состоит в том, что степенная часть скэйлинговых функций может быть умножена на аналитические амплитуды р0 (х) и о (х). (Сравните с «простым случаем» 3F) в классифика- ции сингулярностей во второй лекции.) Несмотря на то что практическое использование этого свойства скэйлинговых функций обеспечивает соответствие с экспериментальными данными, может оказаться, что переход к скэйлингу по од- ной переменной обойдется нам слишком дорого. Что можно сказать об экспоненциальных множителях? Их появление—неожиданное и удивительное обстоятельство, возникающее при обобщении скэйлинга. Однако поведение функции ехр [—с/хп] при х -» О (для положительных или отрицательных с) показывает, что эти множители не имеют физического смысла. Эти экспоненты несущественны до тех пор, пока мы не интересуемся свойствами, для которых характерные величины при приближении к критической точке расходятся или стремятся к нулю быстрее, чем любая степень AT (или Д?, или А?). Доказательство теоремы 2 для случая у (О, г) ф 0 дано в приложении Б [33]. Мы не будем подробно останавливать- ся на трудностях, связанных с включением, скажем, лога- рифмических множителей в р (х) и о (х) и попыткой изба- виться от них при разложении функции у (х, z) при боль- ших х. Отметим лишь, что эти трудности связаны с появ- лением бесконечного числа логарифмов и их степеней, а это в "свою очередь приводит к недоказуемости теоремы 2. " Теперь мы перейдем к так называемому параметриче- скому скэйлингу [29—-31] и покажем, что он очевидным образом обеспечивает аналитичность уравнения состояния, также позволяет выйти за рамки чисто степенных зако- аов, хотя они по-прежнему предпочтительны, н 3.6. Явная аналитичность: параметрическое представление Задача нахождения скэйлинговых функций h (x), U (и) и т. д., которые явно удовлетворяют условиям аналитично- сти, была решена Джозефсоном [31] для чисто степенного Теория сингулярностей в критической точке 285 закона. Примерно в это же время Шофилд [29] предложил конкретный вид параметрического представления гипотезы однородности, который обеспечил очень удобное решение проблемы аналитичности, хотя Шофилд непосредственно и не занимался этой стороной дела. Основная идея весьма частного подхода Шофилда оказалась, как мы увидим, очень плодотворной, и мы воспользуемся ею в более общем случае. & = -/ е=вс в в=о ч ч в=-вс Фиг. 4. Иллюстрация к введению параметрических координат (г, 6). На фигуре указаны значения 9 для некоторых характерных кривых. Центральным пунктом термодинамики критического со- стояния является наличие выделенной точки (х, у, z) — = (О, 0, 0) и специальной линии или поверхности — грани- цы раздела фаз,— сходящейся к критической точке и «раз- резающей» пространство. Основная идея состоит во введе- нии «полярных координат», причем радиальная переменная г ^> 0 определяет расстояние от критической точки г — 0, в то время как «угловая» переменная 6 определяет поворот вокруг критической точки. Для конкретности мы будем придерживаться первой строки табл. I, т. е. (х, у, z) = (t, ?, W), т. е. (/, Н, М) для ферромагнетика. Рассматриваемая ситуация показана на фиг. 4, где в (х, у) плоскости сделан разрез вдоль отрицательной части оси х. Припишем опре- деленные значения 9 характерным линиям на фазовой диаграмме:
2 86 М. Фишер 1) 0=0, z г= 0 («критическая изохора»); 2) 0О, положительная часть оси х или у = 0; 3) ±0С, положительная (или отрицательная) часть оси у или х 5= 0; 4) ±1, отрицательная часть оси х, при обходе у = 0 сверху или снизу. Однако координаты г и 6 не являются общепринятыми полярными координатами; точнее сказать, мы постулируем, что уравнение состояния C.8) определяется исключением г и 9 из общего параметрического представления: x=l(f)k (9), C.28) У = Ч(гI F), C.29) z = Z(r)m F), C.30) где г > 0, — 1 < 0 < 1 и I {г) -»- 0, т] (г) -,- о, ? (г) -» 0 (при г -^ 0). C.31) Предположим также, что радиальные функции |, г\ и ? положительны, непрерывны и монотонно убывают (по край- ней мере для малых г). В простейшем случае они снова могут быть простыми степенными функциями, определяющими термодинамическое поведение на характерных линиях фазовой диаграммы. Чтобы удовлетворить приведенным (и показанным на фиг. 4) значениям величины 0 на этих характерных ли- ниях, мы, кроме того, должны предположить, что k (±9С) = 0, / (в0) = I (±1) = 0, т @) = 0. C.32) Следует, однако, подчеркнуть, что для общей формулиров- ки параметрического скэйлинга условия C.32) не являются необходимыми; они обусловлены лишь конкретным выбо- ром переменных (х, у, z) = (t, ¦?, W) и нашими знаниями относительно общей структуры уравнения состояния. Эти общие сведения подробно показаны на фиг. 5, где изобра- жены функции k\ l и т, согласующиеся с C.32). Эта фигу- ра иллюстрирует существо идеи параметрического скэй- линга, и я рекомендую каждому подумать о следствиях. Для изучения некоторых из них положим сначала 0 = = ±1. Тогда параметрическое уравнение состояния при- обретет вид * = — |*i II (г), z = m?(r), y = 0+, C.33) Теория сингулярностей в критической точке 287 к., к(в) /^ 1 о1 X N -1° в +1 /77. . Изотерма \9-&0 Изотерма \ Кривая Изохора Кривая сосуществования сосуществования > 0<О ' v 6>>0 ' Характерные линии на (разовой диаграмме Фиг. 5. Схема типичных угловых функций k F), I @) и т F) для обобщенного параметрического скэйлинга. (х, у, ?) этождествляются с (.f, ?, ЧГ) [т. е. (.f, H, М) для ферромагнетика или {t, Д/х, т$Г) для жидкости]. Указаны также нули и соответствующие ампли- туды других функций. где ki=k(l) и mi=m(l). Исключая из этих уравне- ний г, получаем кривую сосуществования: (у-=0, C.34) Если известна, скажем, из эксперимента положительная ветвь кривой сосуществования cr+ (| x |) и задана функция
288 М. Фишер ? (г), то из этого уравнения можно определить радиальную функцию: ?(r)=nii1o+l\kt || (г)]. C.35) Положим теперь 9 = 9С; тем же методом найдем урав- нение критической изотермы ^Г)] (x = Q, z>0), C.36) где 1С = / (9С) и mc = m(9c). Опять-таки если известна положительная ветвь критической изотермы, то C.36) можно переписать в виде Л (г) = ? C.37) определяющем г\ (г) через ? (г) и, следовательно, согласно C.35), через 1 (г) и положительную ветвь кривой сосущест- вования о+ (г). Аналогично получаются уравнения других характерных линий на фазовой диаграмме, но прежде, чем перейти к по- добному исследованию, сделаем ряд общих замечаний о па- раметрическом скэйлинге. а. Аналитичность. Как следует из C.28) —C.30), ана- литичность угловых функций по 0 и радиальных по г> 0 полностью обеспечивает аналитичность уравнения состоя- ния всюду вдали от критической точки и линии фазовых переходов. [Мы ожидаем, исходя из C.35) и C.37), что при г = 0 радиальные функции имеют по крайней мере степен- ные сингулярности.] Это замечание решает вопрос об ана- литичности. В приложении В к этой лекции будет подробно показано, как обобщить выражение для скэйлинговой функции h (х). б. Неаналитичность. Любой тип неаналитичности на характерной линии, например на пересечении с критиче- ской изохорой или при приближении к линии фазовых пере- ходов (см. следующую лекцию), может быть просто описан включением соответствующих сингулярностей в угловые функции. в. Симметрия. Если считать k (9) четной функцией [k (9) = k (—0)], а / (9) и т (9) — нечетными [/ (9) = = — / (—9) и т (9) = — т (—8)], то очевидно, что урав- нение состояния симметрично: F (х, у, z) = F (х, —у, —г). Теория сингулярностей в критической точке 289 Наоборот, несимметричное уравнение состояния сразу полу- чается (для всех х, у, г), если одна или несколько угловых функций несимметричны относительно 0 = 0. Именно такая ситуация показана на фиг. 5. Действительно, методом, использованным при получении C.34) и C.36), найдем и C.38) C.39) соответственно для отрицательной ветви кривой сосущест- вования и критической изотермы. Они отличаются от поло- жительных ветвей этих кривых лишь двумя численными скэйлинговыми множителями или. амплитудами. 3.7. Изменение формы параметрической гипотезы На первый взгляд параметрическая гипотеза C.28) — C.30) использует шесть функций одной переменной (?, ц, ?;" k, I, m) вместо исходной функции двух переменных. Мы покажем, однако, что, не теряя общности, можно умень- шить число функций до четырех, в качестве которых удобно выбрать (т|, t,; k, I). Чтобы это увидеть, напомним, что g (г) — монотонная и непрерывная функция, так что суще- ствует однозначная и непрерывная обратная функция г = е (г) = Г1 (г). C.40) Воспользовавшись этим соотношением, перепишем основ- ные уравнения в переменных г и 9: C.41) где Ч(г) = Л[8(г)], С (г) = ? [8 (г)]. C.42) Отсюда следует, что в самом общем случае можно выбрать I (г) = г, C.43) что мы и сделаем. 19—0826
290 М. Фишер Разумеется, мы не надеемся задать в общем виде осталь- ные радиальные функции ? (г) и "Л (г), поскольку мы видели, что уравнение C.35) и C.36), переписанные следующим образом: ; (г) = | г), ц (г) = определяют критическую изохору и изотерму, вид которых не зависит от нашего желания. Действительно, если эти функции задаются обычными степенными законами, мы немедленно получаем ? (г) = U*, т| (г) = цог№, C.45) где Эти формулы будут сопоставлены с первоначальной гипотезой однородности. Чтобы продемонстрировать произвольность выбора угло- вых функций, полезно рассмотреть следующий пример: х = rk (в), у = 1*Щ (9), z = гЧ*т @), C.46) соответствующий Р == х/г и 6=3. Тогда, если угловые функции связаны соотношением / @) = gotn (9) Ik (9) + gim2 F)] C.47) (оставляющим, конечно, еще большой произвол для выбора этих функций), то, исключая г и 9, можно прийти к следую- щему уравнению состояния: У = go? (х + gtz2). C.48) В этом разложении легко узнать феноменологическое урав- нение состояния, полученное в методе самосогласованного поля [см. уравнение B.42)]. Шофилд в своей работе [29] выбрал функцию | (г) в виде C.43), постулировал степенные законы C.45) и не рассматривал другие возможности, которые мы кратко наметили выше. Кроме того, он сделал предположение (без какого-либо обсуждения) о том, что функции k (9) и / @) можно выбрать в виде простейших симметричных Теория сингулярной/пей в критической /почке 291 полиномов, нули которых задаются формулой C.32). Так, по Шофилду k (9) = 1 — 692 (Ь > 1), / (9) = 0 A — 92). C.49) Теперь легко проверить, что соотношение C.47) удовлетво- ряется, если функция т (9) линейна по 0: т (9) = то0. C.50) Здесь т0 = go1 и Ъ — 1 + g"imo Э* 1 • Эти полиномиальные выражения для угловых функций определяют так назы- ваемую «линейную модель» [30], которая — при разумном выборе параметров /По и 6, а также индексов р и б — при- водит к хорошему и с теоретической и с экспериментальной точек зрения уравнению состояния (см., например, лекции д-ра Матильды Вицентини-Миссони). Вопрос о том, дей- ствительно ли т F) — линейная функция 9, серьезно обсуждался в литературе. G рассматриваемой нами общей точки зрения этот вопрос лишен смысла, так как из C.47) сразу ясно, что даже феноменологическое уравнение состоя- ния C.48) можно описать бесчисленным набором функций k, turn. Можно было бы спросить, почему не используются тригонометрические функции, и взять / @) —sin я9. Одна- ко тем не менее мы покажем, что, не теряя общности, мож- но выбрать в качестве т (9) линейную функцию. Прежде чем перейти к этому общему исследованию, заметим, что асимптотическое уравнение состояния для трехмерной сфе- рической модели [34] У = goz (x + giz*y C.51) может быть получено при значениях индексов р = V2, S =; 5 и любых угловых функциях,. удовлетворяющих условию / (в). = gom (9) Цг (9) + gifn2 @)P. C.52) Тогда, если, как и раньше, положить k @) = 1 — 692 и т @) = тов, то / @) будет нечетной функцией пятого порядка по 9. Наоборот, нельзя получить соотношение C.52) или удовлетворить условию C.51) в рамках линейной модели C.49) и C.50). Докажем возможность выбора линейной функции C.50) при т0 = 1. Согласно фиг. 5, можно ожидать монотонного 19*
М. Фишер изменения функции т F), т. е. ей однозначно соответствует обратная функция Теперь, подобно тому как это было сделано с радиаль- ной функцией g (г), выразим функции k и I через перемен- ную 9: k(B)=k [п @)] и / @) = / [я (9)], C.54) где т (9) = 9. Если т @) — немонотонная функция, то можно разбить область изменения 0 на отдельные участки, построить в каждом из них обратные функции и «сшить» в граничных точках. Практически это довольно трудно сде- лать, но принципиальных сложностей не возникает. 3.8. Четырехфункционный скэйлинг Формулировка скэйлинга сводится теперь к четырех- функционной схеме где функции "Л (г) и ? (г), согласно C.44), могут быть непо- средственно определены из вида кривой сосуществования и критической изотермы. Резюмируем преимущества такой формулировки: а) сингулярности функций tj (г) и ? (г) в критической точке могут быть весьма различными (в част- ности, произвольные комбинации чистых степеней, степе- ней логарифмов и аналитических множителей); б) обеспе- чена явная аналитичность уравнения состояния; в) неана- литичности на характерных линиях фазовой диаграммы легко вводятся с помощью соответствующего выбора угло- вых функций k (9) и / (9); г) естественно, описываются системы, обладающие и не обладающие симметрией. Относительно последнего пункта можно заметить, что в несимметричной ситуации (90 Ф 0) критическая изохора (9 = 0) задается уравнением типа : = 0, х- ¦о), C.56) Теория сингулярностеп в критической точке 293 а линия 9 == 90 определяется как (у = 0, х = 0), C.57) где &оо = k @О) [и, может быть, /л0о = т (90) = 90]. В чисто степенном случае C.45) эти. формулы приводят соответ- ственно к!/~# иг~Л %! Остался невыясненным еще один принципиальный воп- рос: действительно ли необходимы две угловые функции k (9) и / @) или одна из них может быть выбрана произ- вольно? Этот вопрос довольно естествен, так как первона- чальное обобщение гипотезы однородности [C.5) и C.6) или C.14)] содержало только три функции одной переменной, а именно {h; ср, т} или {U; р, а}, а не четыре {r\, ?; k, I). Однако в случае трех функций возникали трудности с ана- литичностью для не чисто степенных законов. С другой стороны, приведенные выше ([3.46) — C.52)] примеры пара- метрического скэйлинга допускали задание двух функций: т @) = 0 и произвольной, скажем, k @), но эти примеры соответствовали чисто степенным функциям г\ и ?. Итак, мы предполагаем, что правильно ситуацию описывает следую- щая теорема. Теорема 3. Четырехфункционный скэйлинг и степей" ные законы. Угловая функция k (9) в параметрических урав- нениях C.55) может быть выбрана произвольно (в рамках известных ограничений) тогда и только тогда, когда обе радиальные функции г\ (г) и ? (г) описываются чисто сте- пенными законами. Для доказательства этой теоремы, которая снова утвер- ждает, что степенные законы приводят к самой «приятной» формулировке скэйлинга, необходимо понять, что означает произвольный выбор k @). Пусть задана определенная функция k @), и мы хотим заменить ее новой функцией k (9). Эту процедуру можно описать изменением параметра Я, от нуля до единицы в выражении k @, X) = k @) + XAk (9), Ak @) = k @) — k @). C.58) Теперь мы хотим выяснить, можно ли заменить функ- цию / @) новой функцией I (9) так, чтобы новые параметри- ческие уравнения описывали то же самое уравнение
294 M. Фишер состояния при изменении переменных г и 9 в пределах обла- сти их определения. Если увеличить X на dX, следует потре- бовать, чтобы dx=kdr + rk'de + rAkdX = O, C.59) dy^t]'tdr-\-r\i'de+r\-^~dx = o, C.60) dz = ?,'Qdr + ?de = O, C.61) где штрихи означают дифференцирование по г или 9 (при постоянном X). Исключая дифференциалы, получаем ¦?--f(r) = Q(Q, где и C.62) ,3.63) Теперь продифференцируем~C.62) по г: C.65) Так как 9 и г—независимые переменные, равенство C.65) выполнимо лишь при одном из двух условий: или 2) = 0 C.66) Первую возможность можно сразу отбросить. В этом легко убедиться, если проинтегрировать 1) и учесть, что нули функций k (9) и / (9) не совпадают. Интегрирование вто- рого условия C.66) приводит к чисто степенным законам: г|(г)=ЛЛ Z(r)=Brb, C.67) где в наших обозначениях а = рб и 6 = р. Приступим теперь к доказательству достаточности тео- ремы 3. Если условие C.67) выполнено, то уравнения C.62) и C.64) сводятся к дифференциальному уравнению в част- ных производных для функции / (9, X), которое удобно за- Теория сингулярностей в критической точке 295 писать через функциональные производные: 6/(9) 68/'(8) — а/(9) 8)—k(Q) ¦ C.68) Это уравнение можно проинтегрировать всегда, за исклю- чением случая k (9) = ki 9г/*\ когда знаменатель в C.68) обращается в нуль. Решение уравнения C.68) показывает, как нужно изменить I (9), чтобы скомпенсировать любое изменение функции k (9) [значение k (9) = ^б1/*» исклю- чено как противоречащее требованию C.32)]. Следователь- но, для чисто степенного случая k (9) может быть выбрано произвольным образом. Заметим в заключение, что в чисто степенном случае очень легко показать, что трехфункционный параметриче- ский скэйлинг, вообще говоря, сводится к обычной гипо- тезе однородности. Детали этих вычислений приведены в приложении В. Как и следовало ожидать, удается найти выражение для скэйлинговой функции h (x), которое обеспе- чивает правильные аналитические свойства. 3. 9. Заключительные замечания Из предыдущего следует, что за попытки выйти за пре- делы обычной гипотезы однородности или скэйлинга с чисто степенными законами нам приходится расплачиваться. При этом четырехфункционный скэйлинг C.55) представ- ляется наилучшим методом для описания произвольных, а не только чисто степенных сингулярностей в критиче- ской точке, несмотря на то что приходится определять на одну угловую функцию больше, чем в параметрическом скэйлинге с простым степенным законом. В заключение этой лекции вернемся к нашей исходной идее — попытке построить такую формулировку скэйлинга, которая допускала бы логарифмическую аномалию тепло- емкости, но с асимметричными амплитудами выше и ниже Тс. Теперь мы можем это сделать! Допустим, что кривую сосуществования описывает обычный степенной закон: а (г) = ?(') = SA C.69) С другой стороны, постулируем наличие логарифмической особенности на критической изотерме (которая для гелия
296 М. Фишер Теория сингулярностей в критической точке 297 принципиально ненаблюдаема, так как нельзя создать необ- ходимое для этого конечное недиагональное поле): ф {z)=D \г |а In \г C.70) Напомним, что, согласно C.37), это уравнение определяет функцию т] (г). Теперь необходимо определить функцию, обратную k (9): 6 =/(?)= k-1 (в)] C.71) и вспомогательную функцию q (k) = Г (k) {/ (*) V (k)] - б/ [/ (k)]} = ik + q2k* + ... при k 0. C.72) Для получения логарифмической особенности теплоем- кости предположим, как обычно, что а = 2 — р A +5) — = 0, а также, что qt = 0. Это «случайное» обращение в нуль производной dqldk при k = 0 необходимо, чтобы погасить слагаемое (In 11 |J в теплоемкости. (Напомним, что в обыч- ном феноменологическом случае с р = V2, 6=3 такая же «случайность» полностью исключает логарифмическую осо- бенность теплоемкости.) При выполнении этих условий мы действительно получаем особенность теплоемкости в виде С (Т) = А± In | t |-х + Б± + ... при /-»- 0±, C.73) где А+Ф А.. Точные выражения для А+ и Д. содержат интегралы от функции q (k) и достаточно сложны [33] даже в случае обычной гипотезы однородности [26]. Отметим наконец, что, хотя на этот раз в уравнении кривой сосуществования C.69) не появляется лишний лога- рифмический член, он снова «выскочит» где-нибудь в дру- гом месте! В частности, восприимчивость на изохоре выше Тс и на кривой сосуществования ниже Тс имеет теперь сле- дующий вид: и,,-! ¦ <3-74> где, как обычно, у = у' = р (б — 1). Такую (недиагональ- ную) восприимчивость также, по-видимому, невозможно наблюдать на гелии. Имея асимметричный логарифм для теплоемкости C.73), мы вновь получили возможность описания свойств сверх- текучего гелия в рамках теории скэйлинга, хотя и несколь- ко более расширенной, поскольку теперь эта теория тре- бует определения по крайней мере еще одной дополнитель- ной функции одной переменной сверх необходимых для формулировки простой гипотезы однородности. По-види- мому, еще рано говорить о том, стоит ли это делать, не из- менятся ли экспериментальные данные для гелия (что кажется пока маловероятным!), не появятся ли более силь- ные противоречия скэйлинга с экспериментом. 4. Капельная модель: ее развитие и особенности 4.1. Введение Капельная модель — или, может быть точнее, капельный подход — представляет собой приближенный метод иссле- дования критических явлений [2, 25], обладающий рядом преимуществ по сравнению с существенно феноменологиче- ской гипотезой однородности и скэйлинговыми постулатами, которыми мы занимались до сих пор. Принципиальное преимущество состоит в том, что этот подход в рамках мик- роскопической картины позволяет понять влияние, оказы- ваемое на критические явления: а) близкодействующими силами взаимодействия и б) размерностью пространства d. Существенно, что это — единственный известный мне метод (не считая точные решения для модели Изинга и другие), который делает по крайней мере некоторые численные предсказания для критических индексов, а не ограничи- вается общими соотношениями, вытекающими из скэйлин- гового описания. Хотя эти предсказания и не точны, они, как мы увидим, очень эвристичны. Как недавно показано Киангом [35], капельная модель приводит также к некото- рым другим численным предсказаниям, которые, как оказа- лось, удивительно хорошо соответствуют как теоретическим расчетам, так и эксперименту. Благодаря тому что в моде- ли явно фигурируют силы взаимодействия, она, как было недавно показано Вагнером [36], может быть использована для изучения эффектов связи «основных степеней сво- боды», скажем набора взаимодействующих' спинов в фер-
296 М. Фишер Теория сингулярностей в критической точке 297 принципиально ненаблюдаема, так как нельзя создать необ- ходимое для этого конечное недиагональное поле): Ф (г) =D \z |б In \z I. C.70) Напомним, что, согласно C.37), это уравнение определяет функцию т] (г). Теперь необходимо определить функцию, обратную k F): 6 =/(&) =k~x (8)] C.71) и вспомогательную функцию q (k) = /' (k) {/ (k) Г [/ (fc)l — б/ [/ (Л)]} = = Яо + <7i? + g2^2 + ... при Л -»- 0. C.72) Для получения логарифмической особенности теплоем- кости предположим, как обычно, что а = 2 — РA + S) = = 0, а также, что q± ^ 0. Это «случайное» обращение в нуль производной dqldk при k = 0 необходимо, чтобы погасить слагаемое (In 11 |J в теплоемкости. (Напомним, что в обыч- ном феноменологическом случае с р = У2, 6=3 такая же «случайность» полностью исключает логарифмическую осо- бенность теплоемкости.) При выполнении этих условий мы действительно получаем особенность теплоемкости в виде = А± In | t I + J3± + ... при t-+- 0±, C.73) где А+ф А_. Точные выражения для А+ и Л_ содержат интегралы от функции q (k) и достаточно сложны [33] даже в случае обычной гипотезы однородности [26]. Отметим наконец, что, хотя на этот раз в уравнении кривой сосуществования C.69) не появляется лишний лога- рифмический член, он снова «выскочит» где-нибудь в дру- гом месте! В частности, восприимчивость на изохоре выше Тс и на кривой сосуществования ниже Тс имеет теперь сле- дующий вид: „i^ui- • C-74) где, как обычно, у = у' = р (б — 1). Такую (недиагональ- ную) восприимчивость также, по-видимому, невозможно наблюдать на"гелии. Имея асимметричный логарифм для теплоемкости C.73), мы вновь получили возможность описания свойств сверх- текучего гелия в рамках теории скэйлинга, хотя и несколь- ко более расширенной, поскольку теперь эта теория тре- бует определения по крайней мере еще одной дополнитель- ной функции одной переменной сверх необходимых для формулировки простой гипотезы однородности. По-види- мому, еще рано говорить о том, стоит ли это делать, не из- менятся ли экспериментальные данные для гелия (что кажется пока маловероятным!), не появятся ли более силь- ные противоречия скэйлинга с экспериментом. 4. Капельная модель: ее развитие и особенности 4.1. Введение Капельная модель — или, может быть точнее, капельный подход — представляет собой приближенный метод иссле- дования критических явлений [2, 25], обладающий рядом преимуществ по сравнению с существенно феноменологиче- ской гипотезой однородности и скэйлинговыми постулатами, которыми мы занимались до сих пор. Принципиальное преимущество состоит в том, что этот подход в рамках мик- роскопической картины позволяет понять влияние, оказы- ваемое на критические явления: а) близкодействующими силами взаимодействия и б) размерностью пространства d. Существенно, что это — единственный известный мне метод (не считая точные решения для модели Изинга и другие), который делает по крайней мере некоторые численные предсказания для критических индексов, а не ограничи- вается общими соотношениями, вытекающими из скэйлин- гового описания. Хотя эти предсказания и не точны, они, как мы увидим, очень эвристичны. Как недавно показано Киангом [35], капельная модель приводит также к некото- рым другим численным предсказаниям, которые, как оказа- лось, удивительно хорошо соответствуют как теоретическим расчетам, так и эксперименту. Благодаря тому что в моде- ли явно фигурируют силы взаимодействия, она, как было недавно показано Вагнером [36], может быть использована для изучения эффектов связи «основных степеней сво- боды», скажем набора взаимодействующих' спинов в фер-
298 М. Фишер ромагнетике со «скрытыми переменными» или «неоснов- ными степенями свободы», например такими, как коле- бания решетки, что может привести к появлению эффек- тивного дальнодействующего спин-спинового взаимодей- ствия. Существенный недостаток модели, который может в конце концов привести к неправильному результату, состоит во введении физических и математических при- ближений, точность которых трудно оценить и которые трудно усовершенствовать, не теряя общности моде- ли. Однако основные идеи капельного подхода можно использовать для анализа точных моделей — с определен- ными фиксированными гамильтонианами,— которые допу- скают строгое решение и в то же время описывают фазовые переходы и критические явления. Некоторые выводы, сде- ланные на основе моделей с кластерным взаимодействием, достаточно удивительны [32], однако не абсурдны; они ясно показывают решающую роль характера взаимодей- ствия между частицами, которая иногда затемняется при феноменологическом подходе. Конечно, возможность поль- зоваться моделями, допускающими точные решения, долж- на быть оплачена. Такой платой является одномерность моделей и лишь приближенный учет многочастичных взаи- модействий в гамильтониане. Однако большинство сингу- лярностей в критической точке, которые могут быть точно исследованы (включая также и те, которые противоречат скэйлингу), компенсируют упрощения, содержащиеся в этих моделях. Основной целью этой лекции является обзор некоторых новых исследований, но, по-видимому, естественно начать с общей схемы простой капельной модели. Я не буду здесь критически обсуждать различные предположения и мето- ды,— более полное изложение можно найти в работе [25]. 4.2. Капельная модель Основная идея капельной модели состоит в предполо- жении, что любую конфигурацию частиц, образующих, скажем, газ или, говоря несколько более смело, плотную жидкость, можно составить из вабора отдельных «капель» или «кластеров». Каждая капля состоит из 1, 2, 3... /... частиц (атомов или молекул), тесно связанных друг с дру- Теория сингулярностгй в критической точке 299 гом и эффективно образующих для больших I плотную кап- лю, свободная энергия которой такая же, как и у плотной жидкости при той же температуре. Для конкретности можно предположить, что парное взаимодействие между молеку- лами имеет конечный радиус действия г = Ъ, и назвать т:¦==. Ъ = с кластерным расстоянием в том смысле, что две ласти, находящиеся на расстоянии, меньшем с, принадле- жат одному и тому же кластеру *). (В отличие от «кластеров» Майера в его знаменитом кластерном разложении наши кластеры, во всяком случае, в постановке задачи представ- ляют собой реальные кластеры или капли, а не /-частичные группы в ряду теории возмущений.) • Чтобы сформулировать эту физическую идею на матема- тическом языке, сделаем ряд предположений. а. Невзаимодействующие капли. Будем предполагать, что отдельные капли можно считать независимыми, т. е. пре- небрежем объемом, занятым каплями, по сравнению со всем объемом. Это верно при малых плотностях, но остается открытым важный вопрос о критической плотности, которая обычно равна примерно х/3 плотности, соответствующей «плотной упаковке». Предполагается, однако, что ошибки могут быть исправлены некоторой «перенормировкой» вхо- дящих в теорию параметров. В этом предположении мы получаем с помощью стан- дартных методов статистической механики [25] DЛ) 1=1 где S — большая статистическая сумма для системы, нахо- дящейся в объеме V, в то время как z — активность, нор- мированная, как обычно, на величину, стремящуюся к ну- лю' при р ->- 0. Множитель qt (T) — статистическая сумма для изолированного кластера из I частиц, движущегося в объеме V. Эта статсумма связана со свободной энергией, энергией и энтропией кал ли соотношением ^1—тЗг+-ё- (¦•« x) В магнитных системах мы будем рассматривать спины, отклоненные от полного упорядочения, как частицы, и тогда капли —, микродомены обратной намагниченности.
300 М. Фишер б. Объемные и поверхностные слагаемые. Предполо- жим, что Fi/квТ содержит объемный вклад D.3) пропорциональный /, где Ео — энергия связи частицы в большой капле, т. е. в жидкости. Кроме того, предполо- жим, что поверхностный член может быть записан в виде D-4) где w — положительная поверхностная энергия (обуслов- ленная «уменьшением» взаимодействия или «уменьшением» энергии связи для частиц, находящихся на поверхности), а со — поверхностная энтропия, связанная с «неглад- костью» поверхности (и, быть может, дополнительными поверхностными конфигурациями, обусловленными умень- шением плотности и т. д.)- Множитель s (/) в D.4) — сред- няя, или эффективная, площадь поверхности (или длина периметра в двумерном случае, d = 2). Этот множитель неограниченно возрастает при /—>-оо, но не может расти при фиксированном /. Таким образом, мы постулируем, что 7A) да ао1а, где 0 < а < 1. D.5) Поскольку площадь поверхности реальной капли из гео- метрических соображений не может расти медленнее, чем /2/з в трехмерном и I1'2 в двумерном случаях, мы предпола- гаем, что а т -~- для d = 2, 2 • D-6) сг та -s- для d = 3. Это простое замечание послужит основой для наших чис- ленных оценок критических индексов. Приближенность равенства в D.6) учитывает возможность того, что сг может быть несколько больше из-за «негладкости» поверхности (это, вероятно, наиболее важная причина при критических температурах), с чем связано образование кластеров типа «морской водоросли», а не компактных сферических обра- зований. С другой стороны, пренебрежение возможностью Теория сингулАрНдстей в критической точке 301 перекрытия отдельных капель может привести к значениям сг, меньшим чем величины, указанные в D.6), так как 7A) представляет собой лишь эффективную площадь поверх- ности. в. Геометрическое слагаемое. Наконец, мы должны доба- вить к общей свободной энергии капли геометрическое сла- гаемое qi = _ т In / -f In <70. D.7) Второе слагаемое представляет собой несущественный амплитудный множитель в статистической сумме qt (Т). В то же время первое слагаемое приводит к появлению в статистической сумме множителя 1~х, т. е. второго индек- са т. Возникновение этого слагаемого связано с необходимо- стью такого выбора формы поверхности кластера, чтобы уменьшилась общая энтропия [25], связанная с поверхно- стью. В двумерном случае множитель такого типа хорошо известен и представляет собой отношение общего числа случайных путей или цепочек из s звеньев к тем из них, которые замкнуты, т. е. через s шагов возвращаются в исходную точку. Действуя таким образом, можно прий- ти к заключению, что т должно быть больше единицы, но трудно сказать насколько. Объединяя все эти предположения (а, б и в), запишем где множитель : = ехр Г — а0 {w — а>Т) D.8) D.9) связан с температурой и принимает значения от нуля до единицы и больше единицы, когда Т меняется от нуля до Тс и выше Тс, в то время как у = z ехр ехр Г »* ^{Т) '] D.10) определяет приведенную активность и меняется от нуля до единицы, когда z меняется от нуля до zc (T) — величины, соответствующей конденсации (для Т ^ Тс), или когда |г меняется от — оо до ца (Т). В этих обозначениях все тер-
302 М- Фишер Т>ТС Фиг. 6. Изотермы давление — плотность для капельной модели. На фигуре показаны критическая точка (/) и точки, где имеются существен- ные особенности при конденсации, B). Ниже Тс отсутствует жидкая, в собст- венном смысле этого слова, фаза. модинамические свойства системы описываются уравнением Ё—^,. в^ а плотность определяется соотношением со Y — ^ Л? Ь Т Ч С/«С К-гч 1 D.11) D.12) Исследуя эти уравнения, нетрудно [25] прийти к сле- дующим выводам (фиг. 6). Теория сингулярНостей в Критической точке 303 а) При х <; 1 (т. е. Т <С Тс) система конденсируется, когда у достигает величины уа.= 1. По существу конденса- ция имеет место внутри одной^бесконечной капли. б) Изотермы р ((х) и р (р) обладают сингулярностями (в смысле теории функций)] при }г —*- jact (Т)~ или р —*- р„ = = рг(Т)~ ниже Тс. Но это — существенно особые точки, для которых все производные, (дпр/дрп)т и т. п., остаются конечными даже в точке конденсации, т. е. эти особенности экспериментально необнаружимы. в) Уравнение D.12) в сущности непригодно для описа- ния жидкости и ветви кривой сосуществования, соответ- ствующей жидкости при Т ^.Тс (фиг. 6), в основном потому, что мы пренебрегаем возможностью образования «пузырь- ков» хв плотной жидкой фазе, которые были бы аналогом капель в газовой фазе малой плотности *). г) При Т — Тс, р = рс и р = Рс имеется обычная кри- тическая точка, в которой сжимаемость расходится как при Т-+- Тс для р =рс, так и при Т -*- Тс вдоль кривой сосуществования р = рг (Т) (фиг. 6). д) Все критические индексы определяются через индексы а и т; в частности, получаем а = а'^2—^-, D.13) т—2 D.14) и т. д. До сих пор мы рассматривали общие термодинамические свойства; перейдем теперь к некоторым численным расче- там, а затем к скэйлингу в капельной модели. 4.3. Численные расчеты Из уравнений для критических индексов D.13) и D.14) можно получить выражения для а (и т; см. ниже) через непосредственно наблюдаемые индексы. Так, а = ?Т7"- DЛ5) х) Существует простой путь устранения этого дефекта теории: ввести для исключенного объема нечто подобное вандерваальсов- ской процедуре и учесть сжимаемость жидкости. Однако это при- водит к моделям со «взаимодействующими кластерами».
-¦A 304 M. Фишер Теория сингулярностей в критической точке 305 Сравним теперь этот результат с имеющимися данными. Для двумерного случая существуют лишь расчеты для плоских моделей Изинга или для моделей решеточных газов [3], где р = V8 и у = 7/4. Тогда = * » 0,533, D.16) что очень хорошо согласуется с ожидаемой величиной ст = = Va 1см. D.6)]. Для трехмерного случая расчеты для модели Изинга [3] и эксперименты на бинарных сплавах дают р* « 5/1в и у = 5/4, что приводит к величине 16 F = 0,640, D.17) которая весьма близка к ожидаемому по D.6) значению а л; 2/3, хотя и несколько меньше его. Для реальных газов р= 0,34—0,36 и 7 = 1.15—1,26, откуда ст = 0,62—0,67. Из D.16) и D.17) видно, что капельная модель очень хоро- шо передает зависимость а от размерности пространства. Кианг недавно заметил [35], что капельная модель при более внимательном рассмотрении описывает также корре- ляцию между критическим отношением рс/рс&Б Тс и индек- сом б, характеризующим форму критической изотермы. Чтобы увидеть это, вернемся к формулам D.11) и D.12) и поставим в них Г = Тс и \i = \ia, т. е. х = 1 и у = 1. Это приводит к соотношению D.18) D.19) где g(s) —дзета-функция Римана, а g если только т > 2 (предполагаем, что это условие выполне- но,- чтобы обеспечить конечную величину критической плот- ности). Для того чтобы исключить т, можно воспользовать- ся приведенными выше соотношениями между индексами, но более поучительно перейти к непосредственному изуче- нию критической изотермы, на которой Р = Рс + Рс^в Тс (у — 1) + .... так что кроме того, а-у) Ар = Рс — D.20) D.21) D.22) z=i — соотношение, которое можно было получить и другим путем. Исключив A —у), получим (В ~ А —другая кон- станта) Др = Рс _ р « ВЛр*-2. D.23) Показатель степени в D.23), согласно обычным обозначе- ниям, нужно отождествить с б по следующему правилу: D.24) Комбинируя эти соотношения с D.18) и D.19), получаем [35] рс _g B + 6-Х) D25) На первый взгляд кажется, что определение D.25) критического отношения ничем не лучше, чем результат расчета с учетом известных (приближенно) первых шести вириальных коэффициентов. В защиту выражения D.25) можно заметить, что, во-первых, амплитуда q0 сокращается и, во-вторых, ряды для ? A + б) слабо расходятся (так как б < 0,2), так что капли достаточно больших размеров весьма существенны. Во всяком случае, пусть числа гово- рят сами за себя! В верхней части табл. II приведены значения величины б для различных теоретических моделей и приближений, а также полученные из эксперимента и даваемые форму- лой D.25) критические отношения. Сразу заметим, что истинные критические отношения зависят не только от S. Тем не менее при изменении критических отношений при- мерно в четыре раза теоретически предсказываемые вели- чины отличаются от истинных только на 5—9% — это действительно замечательный результат! 20—0826
306 М. Фишер d 2 3 oo Таблица 11 Проверка предсказываемых теорией Кианга ?35] критических отношений Система Квадратная решетка Изинга Треугольная решетка Изинга Простая кубическая решетка Изинга Гранецентрирова иная кубическая решет- ка Изинга Ван-дер-Ваальс Брэгг — Вильяме со2 Хе Не* б 15 . 15 5,2±0,2 5,2±0,2 3 3 4,6±034 4,6±0,2 4,45±0,2 PcWe 0,0986 0,1112 0,246 0,258 0,375 0,3863 0,287 0,290 0,305 Предсказа Рс/рс*БГс 0,1018 0,258±0,006 0,392 ния б 4,56 4,50 4,22 В нижней части табл. II ситуация обратная: наблюдае- мое критическое отношение использовано для предсказа- ния величины б (которая не слишком точно определяется в эксперименте). Корреляция снова поражающая —и кри- тические отношения и величины б явно отличаются от при- веденных в первой части таблицы, но хорошо согласуются между собой. Кианг предложил также формулу для расчета индекса б для различных углеводородов (предсказанные значения б = 4,7—5,2) и для жидкостей с полярными молекулами (в то время еще экспериментально не иссле- дованных). В последнем случае предсказанные величины были угрожающе велики. Так, для воды была предсказана величина б = 6,2. Штрауб [37] измерил критическую изотерму воды и нашел б == 4,2 (используя р = 0,35 и т. п.; скэйлинговые соотношения предсказывают б = 4,4). Теория сингулярностей в критической точке 307 Истинная величина явно отличается от предсказанной, что вызывает определенные сомнения относительно общности формулы D.25). С другой стороны, такого рода противоре- чие, вероятно, следовало предвидеть! Так, полярный харак- тер молекул воды (и их хорошо известная тенденция к обра- зованию молекулярных агрегатов в жидком состоянии) наводит на мысль, что источником ошибок в противополож- ность случаю простых веществ может служить перенесение результатов рассмотрения поведения больших капель на капли, состоящие лишь из дюжины молекул. Со временем мы сможем проверить это предположение с помощью деталь- ного изучения малых молекулярных кластеров, скажем методом Монте-Карло или молекулярной динамики. 4.4. Скэйлинг в капельной модели Для капельной модели были получены соотношения между индексами а' + 2Р + т'=2, а'Ч-РA+6) =2, D.26) 6=1+ ?, D.27) а = «', у = у', D.28) но не было показано, что вытекающее из D.11) и D.12) уравнение состояния действительно удовлетворяет обычной гипотезе однородности Вайдома г). Для того чтобы это показать и получить точную фор- мулу для скэйлинговой функции, перепишем уравнение D.12) для плотности в виде Р — Рс = <7о S (xl<syl—l) li~x- D.29) Так как хс = 1 и ус = 1 > то вблизи критической точки можно переписать D.9) и D.10) следующим образом: т —Тс где 0! = const, и . _ Цд(Г)-|* См. вторую ссылку в [35]. D.30) D.31) 20*
308 М. Фишер Эти формулы, за исключением нормировки на k&Tc, согласуются с нашими прежними общими соотношениями. Для малых t и ? сумма в D.29) медленно сходится; при этом можно в первом приближении заменить сумму инте- гралом. Тогда мы получаем D.32) причем интеграл сходится при ? ^г О и 1>ст>т — 2 (это неравенство выполняется при р <С 1). С помощью замены переменной в подынтегральной функции, и = ?/, формула D.32) может быть легко переписана в скэйлинго- вой форме: \Ш ^, Ух-2у ( \ (А ЧЯ^ i\f ~ С, Л. {-Jo"] ' {'i.OO) где точное значение скэйлинговой функции равно X(w) = qo\ (e^wu°-u—l)ui-cdu. D.34) Эта функция аналитична для всех вещественных, а также и всех комплексных хю, но имеет особенности при w = d=°°, что соответствует ? ->- 0. Для ? <С 0 (т. е. 7" <С Тс) эти сингулярности хорошо соответствуют наблюдающимся при конденсации существенно особым точкам, о которых гово- рилось выше как об интересном свойстве нашей модели. Для t > 0 (т. е. Т > Тс) сингулярности смещаются в сто- рону бесконечных плотностей (см. фиг. 6); это, конечно, отражает искусственность модели, связанную с отсутствием истинной жидкой фазы ниже Тс. Соотношение D.33) нетрудно переписать в более при- вычной форме Гриффитса C.2). Тогда так же, как и в про- шлой лекции, получим |1/(т-2)я Г I —* где = g-1 (х), g(y) = D.35) D-36) Теория сингулярностей в критической точке 309 Так как рассматриваемая модель по своей сути несим- метрична по С и Д^1 функция h (x) должна иметь две раз- личные ветви — одну при AW >0и другую при AW ^ 0, которые должны сливаться при х-*--<х>. Сравнение D.35) с приведенными выше формулами дает, как и раньше, х — 2 = 1/6 и а = 1/(рб). Конечно, с этих позиций можно изучить асимптотиче- ское поведение вблизи критической точки и получить соотношения между индексами D.26)—D.28) так же, как это было сделано выше при анализе общей скэйлинговой гипотезы. Единственное различие связано с тем, что изве- стно точное выражение для скэйлинговой функции и можно рассчитать все входящие в теорию амплитуды. Кроме того, было бы интересно исследовать вид добавок к асимптотиче- ским формулам, содержащихся в соотношении D.32). Эту задачу никто еще не пробовал решать, хотя она могла бы дать способ изучения поведения реальных веществ. 4.5. Сжимаемые ферромагнетики Один из очень интересных общих вопросов теории кри- тических явлений связан с изучением искажений асимпто- тического поведения вещества вблизи критической точки, вносимых дополнительными по отношению к идеальной системе «скрытыми переменными». Некоторые аспекты этой проблемы достаточно хорошо изучены, как, например, перенормировка критических индексов [38] на множитель A — а) за счет неупорядо- чивающего поля. Другие аспекты, особенно учет микроско- пических локальных связей со многими другими степенями свободы, гораздо менее понятны. К этой последней кате- гории относится и вопрос о влиянии колебаний решетки на магнитные критические явления. Связь между системами взаимодействующих спинов и взаимодействующих ионов обусловлена главным образом сильной зависимостью энергии обменного взаимодействия Jij спинов, локализованных на г-м и /-м узлах, от расстоя- ния между ионами R*j. Это расстояние в свою очередь модулируется колебаниями решетки, которые, следова- тельно, связаны с конфигурациями спинов. Нетрудно увидеть некоторые общие следствия, вытекающие из нали-
310 М. Фишер чия такого взаимодействия. Пусть Jtj (R«/) растет при уменьшении | Rt-j |. Тогда в ферромагнитно-упорядоченном состоянии система может понизить свою магнитную энер- гию при сжатии за счет увеличения обменных интегралов. Такое сжатие действительно будет происходить для сжи- маемой решетки, т. е. сжимаемость решетки должна стаби- лизировать ферромагнитное состояние и повышать тем- пературу перехода. Наоборот, когда спины при высоких температурах разупорядочены, т. е. энергия магнитного обменного взаимодействия мала, решетка будет расши- ряться, стремясь уменьшить свою упругую энергию. Итак, даже чисто гармоническая решетка будет с ростом температуры расширяться и разупорядочивать спины. С другой стороны, если исходить из упорядоченной системы спинов и совершить переход к другой конфигурации спи- нов, то энергия возбуждения спиновой системы будет отли- чаться от той энергии, которая была бы для неподвижной решетки, так как решетка подстраивается под новую конфи- гурацию спинов. Тогда эффект спин-решеточного взаимо- действия проявляется в перенормировке спин-спинового взаимодействия. Если это перенормированное спин-спино- вое взаимодействие короткодействующее, как и исходное обменное взаимодействие (это возможно для некоторых моделей), критические явления не должны сильно изме- ниться (при этом Тс Изменится, а индексы и скэйлинговые свойства останутся прежними). С другой стороны, если решетка вызывает дальнодействующие взаимодействия, естественно ожидать существенных изменений в критиче- ской области — но каких и какой величины? Я не буду здесь углубляться в эту проблему 1), хочу лишь кратко остановиться на недавней работе Вагнера [36], использовавшего капельную модель, так как она хорошо иллюстрирует преимущества «работающей модели» (даже если эта модель весьма груба), в которой можно проследить влияние взаимодействий на критическое поведение. Это по крайней мере даст нам возможность получить более надежные оценки и высказать разумные предположения. *) Подробные ссылки на литературу даны Вагнером и Свиф- том [39]. Теория сингулярностей в критической точке 311 Вагнер [36] рассмотрел трехмерный ферромагнетик Изинга со спиновыми переменными sT — ±1 и парным взаимодействием вида — J (Rr> а) SrSr+б, D-37) где векторы г и г' = г + б определяют равновесные поло- жения узлов решетки, в то время как Rr и Rr» (a Rr> б = = Rr — Rr+a) соответствуют истинным координатам ионов. Колебания ионов предполагаются чисто гармоническими, так что их гамильтониан квадратичен по смещениям ur = Rr — г. Затем обменный интеграл / (Rr> а) разлагается в ряд по смещениям ионов с точностью до линейных чле- нов так, что ответственная за спин-решеточное взаимодей- ствие часть гамильтониана имеет вид ^" спин-решетка = — 2 2 ur г а F) SrSI+6. D.38) Градиент Vr действует на переменную Rr, а затем как это и обозначено в D.38), подставляется равновесная координата иона. Далее показано, что это выражение можно точно про- интегрировать по всем решеточным степеням свободы, т. е. по смещениям ионов иг. В результате получается исходный спиновый гамильтониан <Шс-шт плюс добавочное слагаемое оЖ'епин. появление которого вызвано решеткой. Это последнее слагаемое.— величина четвертого порядка по спиновым переменным, а именно: = 2 2 2 2 г г' а а' F)Я5(Г— r')-Vr-/F') где тензорный потенциал взаимодействия _dq_ ei(q)ei(q) «--2j i Bя)з >3 (q) giq-i D.39) D.40) Здесь р — массовая плотность решетки, u>j (q) — диспер- сионное соотношение для решеточной колебательной моды с волновым вектором q и поляризацией / = 1, 2, 3, а е3 (q)— вектор поляризации. Основная ценность формулы D.40)
312 М. Фишер состоит в утверждении дальнодействующего дипольного характера потенциала взаимодействия, а именно: б„ 4яри2 (г) D.41) где у2 -— квадрат средней скорости фононов в пределе | q | —у 0. Кроме того, можно показать, что величина о&'спин исчезает для ферромагнитной конфигурации спинов, а во всех других случаях отрицательна. Это означает, что взаимодействие с решеткой препятствует ферромагнитному упорядочению спинов. Эффект, связанный с этим дополнительным взаимодейст- вием между спинами, иллюстрируется Вагнером на капель- ной модели. Прежде всего он показывает, что, несмотря на дальнодействующий характер функции S> (r), не суще- ствует никакого результирующего дальнодействующего взаимодействия между двумя отдельными кластерами или микродоменами, составленными из перевернутых спинов. Этот на первый взгляд парадоксальный результат являет- ся следствием диполь-дипольного характера взаимодей- ствия D.40). Дальнодействующее взаимодействие имеет место лишь между «неправильными» связями противополож- но направленных спинов, но конечный кластер из пере- вернутых спинов окружен замкнутой поверхностью «непра- вильных» связей (типа дипольного слоя), так что полное взаимодействие, полученное интегрированием по поверх- ности, оказывается равным нулю. (Этот же результат можно получить иначе, используя проинтегрирование по частям, и учесть, что V2 A/| г |) = 0.) Взаимодействие, связанное с решеткой, приводит лишь к изменению собст- венной энергии кластера из / перевернутых спинов. Разу- меется, именно эта собственная энергия Ei капли входит в общую статистическую сумму. Объемный вклад в эту энергию просто равен 21\х0Н, где ц0 — магнитный момент на один спин, а Н — внешнее поле. Для оценки поверхност- ного вклада Вагнер рассматривает почти сферический кла- стер радиусом R, содержащий / да 4nR3/Ca3) спинов, где а — постоянная решетки. Тогда две «неправильные» связи на поверхности такого кластера, которые направлены под углом 20 к центру, определяют энергию взаимодействия Теория сингулярностей в критической точке 313 вида А (в) sin3 0 D.42) причем А @) не обращается в нуль при 6 —>¦ 0. Учитывая также короткодействующее взаимодействие между ближай- шими соседями J и обычный член с поверхностной энтро- пией на узел со, получаем выражение для полной поверх- ностной свободной энергии Я/2 <Oi 2 J fa/R где f > 2 определяет нижний предел интегрирования по углу 6. Существование этого предела обусловлено диск- ретностью решетки. Значение интеграла в D.43) на нижнем пределе пропорционально Г А @) -1 L a*R& J 6=/a/K D.44) что означает просто эффект перенормировки энергии взаи- модействия J на некоторую фиксированную величину J'. С другой стороны, ясно, что значение интеграла на верхнем пределе определяется дальнодействующими взаимодейст- виями и пропорционально A /a2 R, где Л — некоторая сред- няя величина от А F). Наконец, заменяя R на /, получаем — соТ) Z2/3 + е/х/з. D.45) Более тщательный расчет показывает, что новый пара- метр — энергия где = C6я)Уз (уMfJ)*nK°T, 1 dlnJ (а) T din (a) D.46) D.47) определяет изменение J за счет колебаний решетки (и, сле- довательно, определяет величину магнитоупругой связи), п ^— плотность числа частиц и Кт — сжимаемость идеаль- ной решетки. (Последние две величины связаны со средним значением скорости фононов: соотношением пКт = 1/Mv2, где М — масса атома.)
314 M. Фишер В формулах D.45) и D.46) содержатся важные резуль- таты. Первый член в выражении для Wi, как и в D.4), представляет собой обычную короткодействующую поверх- ностную свободную энергию капли (с энергетическим и энтропийным слагаемыми). Новое, второе слагаемое в D.45) расходится слабее, чем первое, так что оно несуще- ственно до тех пор, пока не обращается в нуль величина BУ — соТ) ~ (Тс — Т). Это второе слагаемое, однако, не связано с энтропией, и поэтому оно не обращается в нуль в критической точке (которая целиком определяется пер- вым слагаемым). Чтобы увидеть вытекающие отсюда след- ствия, заменим, как мы это делали раньше, степени 2/3 и х/з соответственно на а и X, причем, вероятно, X да а/2. Тогда в капельной модели полная свободная энергия будет содержать слагаемое AF да — kBTqQ 2 Г VVY, где у = ехр (- 2щ>Я), = exp (~-1) , D.48) D.49) w =e —¦*>-. D.50) Очевидно, что если е = 0, то мы получаем результат, соответствующий обычной капельной модели с известным поведением в критической области; если, однако, е ^= 0, то легко увидеть, что все производные от свободной энергии должны оставаться конечными в критической точке (х = = у = 1, ноау<<1). Это означает, что особенности в кри- тической точке «сглаживаются» или «смазываются». Однако при s/(&bTc) <С 1 эт0 «сглаживание» происходит лишь для температур, более близких к Тс, чем некоторая «переход- ная» температура Т*. Эту температуру можно оценить, полагая в D.48) у = 1 и приближенно заменяя сумму интегралом с безразмерными переменными. При X = а/2 получаем t* = ¦ т1* В рассмотренном Вагнером примере [36] для типичных значений параметров найдено t* 3 10в Э р * да 3 • 10~в. Это соответст' Теория сингулярноспгей в критической точке 315 вует очень малой области «сглаживания». Тем не менее можно надеяться обнаружить изменения в теплоемкости (которая является весьма чувствительной величиной), ска- жем, при t да 10?*. Таким образом, взаимодействие с коле- баниями решетки может оказаться важной причиной х) «зарезания» наблюдаемых аномалий теплоемкости, которое даже в хороших твердых образцах наступает при t да да -10~*— 10~4, в то время как в жидкостях теплоемкость не «зарезается» вплоть до t— 10~5 и меньше. 4.6. Модели взаимодействующих кластеров С точки зрения теории все упомянутые выше работы, использующие капельную модель, обладают дефектами, связанными с наличием двух основных, плохо обоснован- ных приближений: а) с пренебрежением взаимодействием между каплями (или учетом этого взаимодействия лишь как источника «перенормировок» а и х) и б) с представле- нием свободной энергии капли в виде суммы объемного, поверхностного и вполне определенного геометрического слагаемого и особенно с предполагаемым линейным изме- нением поверхностной энергии при Т —>- Тс. Сейчас мы перейдем к описанию моделей [25, 32], допу- скающих точное решение, которые, однако, воспроизводят многие черты капельной картины. Эти модели возникли из капельной модели и соответствующие им гамильтонианы обладают определенными «капельными» свойствами. Как уже говорилось, точное решение возможно лишь в одномер- ном случае d = 1 и в предположении, что многочастичные взаимодействия (а не двухчастичные, как обычно) являются основной причиной фазового перехода. Так как расчеты в этом случае проводятся точно, без использования каких бы то ни было приближений, то нет оснований сомневаться в правильности получаемых в критической точке сингуляр- ностей! г) Конечно, имеется и довольно много других источников «сглаживания» особенностей в критической точке твердых систем, как, например, беспорядочно распределенные по образцу заморо- женные примеси, эффекты «конечных размеров», связанные с мик- рокристаллической структурой, и другие.
316 M . Фишер Для конкретизации моделей «взаимодействующих кла- стеров» [25, 32] обозначим через г± < г2 < г3 < . . . < г,- < .< г;+1 <С . . . <С /> координаты классических частиц, дви- жущихся вдоль линии (одномерный случай) с общей энер- гией взаимодействия UN (гь . . ., г^). Этим моделям соот- ветствует фиксированный гамильтониан в том смысле, что UN задано раз и навсегда (до расчета) и не совершается переход к вандерваальсовскому пределу [40, 41] или какие-нибудь другие подобные операции для получения фазового перехода после перехода к термодинамическо- му пределу iV—voo. Гамильтонианы устойчивы, т.е. Un x (ri> • • •> гп) ^ —NwA для некоторого фиксирован- ного wA и любого N; это — общее условие, необходимое для обеспечения разумного термодинамического поведения. Кроме того, предполагается, что имеется «строго ограни- ченная» область взаимодействия в том смысле, что если две группы, состоящие из N' и N" частиц, находятся на расстоянии R друг от друга, полная потенциальная энергия взаимодействия ®n'n" (R) = Un>+n~ - ?V ~ Un- D-52) тождественно обращается в нуль, как только R превысит некоторое значение Ro. Это условие вместе с условием устойчивости обеспечивает правильное термодинамическое поведение. Взаимодействие между частицами описывается обычным парным потенциалом взаимодействия оо для r<za, 0 для г>2а, т. е. потенциалом «твердых сфер» с резкой границей. Последнее означает, что парами могут взаимодействовать только ближайшие соседи. Кроме того, мы введем много- частичные потенциалы Ф2(гь . . ., rt), I = 3, 4, . . ., кото- рые описывают взаимодействие частиц, достаточно дале- ких друг от друга. Используем теперь идею капельной модели: введем раз- мер кластера с (Г> а) и пусть частицы i и / (с r} > rt) при- надлежат к одному и тому же кластеру тогда и только тогда, когда [ \ Теория сингулярностей в критической точке 317 т. е. когда из точки rt можно перейти в rj с помощью с или меньшего числа шагов. Тогда многочастичные силы дей- ствуют только между / последовательными частицами, относящимися к одному и тому же кластеру. Таким обра- зом, мы навязываем системе сильное кластерное свойство Фг (гь . . ., rt) == 0, если | rJ+i —r} | > с для любых /, D.54) которое, конечно, физически вполне разумно. Наконец, для того чтобы задача стала решаемой, предположим, что многочастичные силы, если они имеются, допускают парное разложение: Фг {ги ..., п) = 1-х = S^Ho+i — о) (|О+1 — О К с для всех /). D.55) 2=1 Это — существенное упрощение модели. Три соотношения D.53)—D.55) определяют общий класс моделей. Легко видеть, что эти соотношения могут быть сформулированы в следующем виде: энергия изолирован- ного кластера i-i Ui (/; п, ..., п) = 2 Фл (п+1 — rk), D.56) ft=i где q>ik (r) — эффективный парный потенциал взаимодей- ствия между k-n и (k + 1)-й частицами кластера размером /. Тогда конкретизация модели может быть связана с выбором потенциала <pth для k = l, 2, . . ., I — 1 и / = 2, 3, 4, .... Действительно, такой выбор наиболее удобен, так как именно ф;ь (г) непосредственно входит в решение. Решение для этих моделей [25, 32] состоит в основном в классификации всевозможных наборов кластеров. Для полноты мы объясним, как это делается в приложении Г в конце этих лекций. Анализ показывает, что основные результаты содержатся в функции W (I; p, T), которая определяется через преобразование Лапласа от больцманов- ских множителей ехр [—ф№ (г)/&БТ] [см. (Г.8)]. Эта функ- ция является, по сути, «поверхностной» свободной энер- гией Гиббса для кластера из / частиц, находящегося при температуре Т и давлении р [ср. с формулой D.4) капель-
318 М. Фишер ной модели]. Чтобы описать все термодинамические свой- ства системы, надо указать рецепт расчета «производящей функции» Y(u;p, r) = которая есть не что иное, как изобарическая статистическая сумма для изолированного кластера, а затем решить урав- нение где функция В (р, Т) аналитична по Т и р [см. (Г. 13)]. Термодинамика полностью определяется корнем (единст- венным) этого уравнения, а именно: И- (р, Т) = р. (р, Т) + kBT In и (р, Т). D.59) (р, Т) — известная функция, зависящая только от Здесь г-1 Фте (г) = lim (i-) 2 Фл (О- D.60) Действительно, {г«, является по существу химическим потенциалом (или свободной энергией Гиббса на одну частицу) для бесконечного кластера. На фиг. 7 показано типичное поведение «производящей» функции для разумных потенциалов в двух различных областях изменения переменных р и Т. В случае a) Y (и) —>- —>¦ оо при и-*- 1, и решение D.58) плавно изменяется как функция от \1В. При этом состояние системы всегда газо- подобно и описывается большим числом малых и несколь- кими большими кластерами. С другой стороны, в случае б) Y (и) ->¦ Y A) <С оо при м->1, и решение D.58) для достаточно больших \1В может «заканчиваться» при и = 1. Такое поведение соответствует, фазовому переходу; это означает,, что система сконденсирована в жидкоподобное состояние, состоящее по существу из одного бесконечного кластера -— с определенным выше эффективным потенциа- лом взаимодействия для ближайших соседей фоо {г). Если кривая Y Си) и вертикальная прямая и = \ пересекаются Теория'сингулярносшей в критической точке 319 под острым углом, это соответствует фазовому переходу первого рода, для которого характерен скачок плотности при В (ра, Т) — MY A). Однако если кривая Y (и) касается вертикальной прямой и — \ (или, что то же самое, если Фиг. 7. Поведение производящей функции Y (и; р, Т) для модели взаимодействующих кластеров в двух типичных случаях: a) Y ->- оо при ы-*-1 иб) У-*-УA)<оо при и ->• 1. Показан ход решений и для некоторых значений функции В, а также ход функций вблизи значения и = 1 для случая б. (dY/du) -*~ оо при и-*- 1), то фазовый переход будет пере- ходом высшего порядка, т. е. непрерывным, без скачка плотности. На фиг. 8 показана типичная фазовая диаграмма г) для этой модели. Линия фазовых переходов первого рода или кривая насыщенного пара ра (Т) разделяет газоподоб- ную фазу низкой плотности (кластеры конечных размеров, область //) и жидкоподобную плотную фазу (один бесконеч- ный кластер, область /). Заметим, однако, что возможны *) В действительности существуют и многие другие, более сложные и экзотические возможности, в частности нижние крити- ческие точки (см работу [32]).
320 М- Фишер две линии фазовых переходов первого рода. Кривая насы- щенного пара заканчивается в критической точке. В реальных системах можно, обойдя критическую точку, перейти от газоподобной к жидкоподобной фазе, непрерыв- но изменяя плотность. Искусственность рассматриваемой модели состоит в том, что при обходе критической точки Фиг. 8. Типичная фазовая диаграмма для модели взаимодейст- вующих кластеров. Сплошными кривыми показаны линии раздела фаз, а пунктирной — геомет- рическое место «предельных точек», разделяющих газоподобную (область //) и жидкоподобную (область /) фазы. Переход через пунктирную линию непре- рывен (см. текст). придется пересечь геометрическое место «предельных точек» (показано на фиг. 8 пунктирной линией), разделяющих «истинную жидкость» и «истинный газ». Это обстоятельство связано, как и в капельной модели, с пренебрежением взаи- модействующими «пузырьками» в жидкоподобной фазе. Обычно при пересечении этой линии имеет место «слабый» переход, при котором сжимаемость непрерывна, а высшие производные от свободной энергии могут расходиться. При этом возможен даже переход бесконечного порядка, когда все соответствующие производные по обе стороны от рассматриваемой линии равны друг другу — в таком случае переход в принципе не обнаружим! Теория сингулярноетей в крити еской точк 4.7. Сингулярности и скэйлинг Для получения определенных результатов в модели взаимодействующих кластеров следует конкретизировать вид потенциалов. Действительно уже говорилось, что надо задать такой многочастичный потенциал Ф^ или пар- ный потенциал <р№ (г), который не слишком быстро убывает при /—>- оо, чтобы какой-нибудь переход имел место. В наиболее полно исследованных моделях эффективный парный потенциал задавался в виде который при 1а и Л, ~ In / A-+ОО) D.61) D.62) очень напоминает потенциал капельной модели *). Заме- тим, что индекс о и логарифмический член вводятся прямо в потенциалы. Конечно, в реальных трехмерных системах индексы должны, как это было показано выше, вытекать из геометрических соображений. Но в одномерном случае мы должны чем-то возместить отсутствие геометрических соображений! Из D.61) и формул приложения Г следует, что при /->-оо «поверхностная» свободная энергия кла- стера имеет вид W{llpj, T) ъв{р, ГJг + т(р, Г)Л,+ ... D.63) при условии ог<;1/2 (что будет предполагаться и в даль- нейшем), где Ь Т) = Woo kBT , Т) D.64) Входящее в D.64) статистическое среднее определяется следующим образом: e-sr-wx fr) D.65) х) Можно рассмотреть и проанализировать и более общие случаи. 21 — 0826
322 М. Фишер Из этой формулы видно, что критические индексы т [= х (рс, Тс)] и скэйлинговые переменные в (р, Т) пол- ностью определяются потенциалами взаимодействия. Вид функции w (г) вряд ли существен; он определяет лишь зна- чение т в критической точке. Для остальных потенциалов наиболее удобен следующий простой вид: =<{ — 80 — е (г/а), а [О, г<а, -Vof!<T(r-±-a-±-c), a<r<Lc, D.66) L 0, r>c<2a, где характерные энергии e0, s и Vo положительны, a s* может быть любого знака. Некритическое поведение. Некоторые аспекты поведе- ния вещества вдали от критической точки достаточно интересны, и о них стоит упомянуть. Имеются существенные сингулярности на изотермах р (\х) или р (р) при Т <С Тс, когда \ь или р достигает линии фазовых переходов со сто- роны низких плотностей. Это строго подтверждает выводы, полученные в капельной модели. Все производные опять остаются конечными, но п-я производная растет как (п!I/а при п ->- оо. Следовательно, вблизи точки конденсации не существует сходящихся рядов Тэйлора, и никак нельзя сконструировать единственное «метастабильное продолже- ние» изотермы. Наоборот, со стороны высоких плотностей или жидкоподобнсй ветви линии фазовых переходов на изотерме нет никаких сингулярностей, предупреждающих о приближении к точке фазового перехода. Я думаю, что это упрощение модели по отношению к реальному слу- чаю связано (как и все прочие упрощения модели жидкого состояния) с отсутствием какой-либо попытки смоделиро- вать образование пузырьков в жидкой фазе. Интересно, что, хотя изотермы со стороны высоких плотностей могут быть продолжены вниз, в метастабильную область, нет никаких оснований предполагать, что суще- ствует какая-либо «спинодальная» точка, в которой сжи- Теория сингулярностей в критической точке 323 маемость расходится. Напротив, сжимаемость быстро убы- вает до нуля, и изотермы быстро переходят в область отрицательных давлений. В заключение снова напомним, что наша модель при- водит к существованию физически нереальной линии, являющейся абсолютной границей между жидкостью и паром. Для заданных потенциальных функций (р, р)- изотермы всегда гладкие, и при фазовом переходе сжимае- мость изменяется непрерывным образом. Высшие произ- водные в зависимости от выбора а также могут изменяться непрерывно [32]. Тем не менее наличие еще одной линии фазовых переходов является весьма прискорбным след- ствием упрощений, присущих рассматриваемой модели. Кривые сосуществования. Оказывается, что формы кри- вых сосуществования рж (Т) и рг G1) могут быть весьма разнообразными. Скачок плотности описывается обычным степенным законом Ар = Рж — Рг ~ \t p, причем в случае сг 1— а для D.67) D.68) Однако такой степенной закон справедлив только для газоподобной ветви рг (Т); жидкая ветвь рж G1) асимптоти- чески описывается линейным законом (хотя имеются син- гулярности более высокого порядка). Это отражает сильную асимметрию всех получаемых кривых сосуществования, которая резко отличает их от экспериментально наблю- даемых. Так как возможно значение индекса р* = 1, кривая сосуществования может быть заострена; ничему не противо- речат и значения р* > 1, т. е. кривые сосуществования могут иметь форму пика, когда рж (Т) и рг (Т) имеют общую касательную! Кроме того, оказалось, что обе ветви [рж (Т) и рг(Т)] могут подходить к ре либо сверху, либо снизу. Наконец, при -г > 2 кривые сосуществования имеют пло- ский участок, т. е. рж G1) и рг (Т) стремятся к различным пределам рЖе > рге при Т —*- Тс. Газовая ветвь опять-таки 21*
"¦* 324 М. Фишер может быть закругленной или прямой, а жидкая — под- ходить к рс сверху или снизу. Фиг. 9 иллюстрирует некото- рые из этих возможностей, другие приведены в оригиналь*, ной работе [32]. Заметим, что ни одно из этих странных и до сих пор не наблюдавшихся свойств фазовых переходов никоим Г' т • Тс / / / 1 \ \ \ \ 1 » Рс Р а Рс Р 6 Л в у У1 Рс р Pair: Aw P д Р Фиг. 9. Возможные (в модели взаимодействующих кластеров) кривые сосуществования. Несимметрично закругленная (а), в форме пнка (б), заостренная и подходящая к р сверху (г) или снизу (в) с плоскими вершинами (д и е). образом не противоречит термодинамике, статистической механике или просто классической механике! Сравнитель- ная простота свойств, наблюдаемых у реальных веществ, объясняется, по-видимому, специфическими (хотя вполне универсальными) свойствами реальных взаимодействий. Сжимаемость и теплоемкости. Оказалось, что при 3/2 < < т<3 сжимаемость Кт на «газовой» ветви кривой сосу- ществования расходится как | t \~У при 71 —»- Тс, т. е. так же, как и при обычном переходе газ — жидкость. Теория сингулярноетей в критической точке 325 Однако для 1 <: т < 3/2 (или т > 3) сжимаемость остается конечной при Т->- Тс. Действительно, в первом случае критическая (р, р)-изотерма — гладкая кривая, имеющая конечную производную в критической точке. (По-види- мому, в этих случаях Р > 1, т. е. кривая сосуществова- ния имеет форму пика.) Несмотря на это, можно опреде- лить сингулярную часть Кт, которая характеризуется индексом у' <С 0. Вопрос о поведении теплоемкости в критической точке является более тонким; можно, однако, ввести критиче- ский индекс а' < 0, характеризующий особенность тепло- емкости и удовлетворяющий обычному соотношению для индексов: а' + 20 + у' = 2. Скэйлинг. Тот факт, что давление вблизи критической точки, по крайней мере в газоподобной области, вплоть до линии раздела жидкость — газ (см. фиг. 8) описывается уравнением скэйлинга, является одним из наиболее инте- ресных выводов, сделанных на основе модели взаимодей- ствующих кластеров. Если ? — сингулярная часть химиче- ского потенциала [см. D.59)], а Ар = р — рс, то из обыч- ной гипотезы однородности следует асимптотический вид уравнения состояния: D.69) где индексы ф и г|э можно выразить через а, р\ у и т. д. с помощью уже рассмотренных соотношений. В то же время оказалось, что скэйлинг неприменим в переменных Ар и t. Следует ввести две специальные критические пере- менные: е t) + е2др, которая была определена в D.64), и I (р, Т) да Ы + ЬАР, D.70) D.71) определяемую аналогично, но через потенциалы и т. д. Из двух асимптотических «осей» 9 = 0 и t, = 0 одна являет- ся вполне естественной и задается тангенсом угла наклона кривой насыщенного пара в критической точке.
326 М. Фишер В то же время другая ось совершенно новая; как сле- дует из D.69), она не параллельна оси р или Т. Таким образом, должно выполняться соотношение 1 (р, Т) _ D.72) где введена скэйлинговая функция оо Хо (w) = f (e-u-wu<J— 1) u~xdu, D.73) которая очень похожа на функцию D.34) капельной модели. Как уже говорилось, можно думать, что необходимость введения «косых» критических осей для скэйлинга в модели взаимодействующих кластеров может возникать и в других несимметричных моделях, а также в реальных системах. Стоит также обратить внимание на существенные син- гулярности скэйлинговой функции D.73) в точках конден- сации ниже Тс; напомним, что то же самое имеет место и в капельной модели. В прошлой лекции уже говорилось, что интересно было бы понять, в какой мере точны эти свойства скэйлинговой функции, т. е. насколько такая асимптотическая функция отражает структуру точного аналитического решения. Соотношения между индексами. Как уже обсуждалось во второй лекции, можно ожидать, что из скэйлинговых уравнений D.69)—D.72) будут следовать обычные соот- ношения между индексами D.26) — D.28). Однако в ходе вычислений всегда предполагается, что не происходит «ничего плохого», -и действительно в приложении А пока- зано, каким образом свойства скэйлинговой функции на краю области определения могут привести, например, к неравенству у <С у' вместо обычного симметричного результата у = у'. В заключение, не входя в детали, заме- тим, что аналогичные явления могут происходить и в модели взаимодействующих кластеров; в частности, для определен- ных типов потенциалов можно получить у < уе и (или) ее > ее' 132]. Эти результаты связаны с наличием «пре- дельных точек» перехода жидкость — газ (разумеется, не для реальных систем), криволинейных осей, а также Теория сингулярносгпей в критической точке 327 весьма интересных типов кривых сосуществования, прин- ципиальная возможность которых была ранее указана Стилом [42]. Хотя можно ожидать, что некоторые из этих патологи- ческих результатов объясняются резкой асимметрией жидко- сти и газа в модели взаимодействующих кластеров, все же остается острое ощущение сложности и тонкости проблемы фазовых переходов и критических явлений в многочастич- ных системах! Будем надеяться, что Природа окажется к нам снисходительной! 5. Конечные размеры и граничные эффекты В этой лекции будет рассмотрена теория критических явлений в больших, но конечных системах и в «толстых» пленках. В числе новых результатов — последовательная скэйлинговая теория для этих эффектов, а также точные расчеты для модели Изинга и сферической модели. 5.1. Возможные искажения критических явлений В конечной системе, например в ферромагнетике, состоя- щем из взаимодействующих спинов, не может быть истин- ного фазового перехода. Это утверждение является очевид- ным следствием аналитичности статистической суммы любой конечной системы как функции температуры и всех полей, входящих в гамильтониан. Хорошо известно, что фазовый переход можно обнаружить лишь после перехода к термо- динамическому пределу JV-> оо в свободной энергии систе- мы. Предположим, однако, что предельная теплоемкость, приходящаяся на один спин, Со. (Г) = lim CN (Г) = lim ЛГ W* (T), E,1) N-*oo W-»oo имеет, как показано на фиг. 10, а, резкую аномалию Я,-типа. Тогда теплоемкость CN (T) для больших систем (N ^> 1) должна иметь такого же типа аномалию, которая будет все более и более походить на E.1) при JV->oo. Отсюда следует, что теплоемкость конечной системы должна иметь вид, показанный схематически на фиг. 10, б, а именно — большой пик с максимумом при Tmax (N), близким к истин-
328 М. Фишер Теория сингулярностей в критической точке 329 ной или предельной критической температуре Те = Те (<х>). Вследствие конечности N высота этого пика должна быть конечна: Cjv.nm* = CN [Tmas (Л/)]. E.2) Эта функция должна быть гладкой и аналитической; иными г Фиг. 10. Аномалия теплоемкости в бесконечной системе (а) и в большой, но конечной системе (б). Показаны относительный сдвиг е и «сглаживание» б (в). словами, резкий в пределе N —у оо фазовый переход сгла- живается для конечной системы. В общем случае возможны два типа искажений: а) относительный сдвиг g (TV) = E.3) б) относительное «сглаживание» AT* E.4) J с где AT* определяет величину «сглаживания» (фиг. 10, б). Без специального анализа точное определение AT* невозможно, но можно дать следующее не вполне точное определение. Во-первых, сдвинем температурную шкалу *) для конеч- ных систем так, чтобы Tmax (N) « Тс. При этом можно ожидать, что функция CN (T) и несмещенная предельная функция будут очень близки на крыльях; тогда мы сможем ввести температуру Т* (N) [скажем, более высокую, чем fmax (ЮЬ при которой график функции отклоняется от графика Сте (Т). Тогда определим AT* = T* (N) — — Тщах (Ю как ширину, измеренную по отношению к сдвинутой «критической точке». Разумеется, здесь остает- ся некоторая неясность, например возникает вопрос, не изменится ли ответ, если выбрать в качестве Т* (N) тем- пературу более низкую, чем Тс. Во-вторых, можно воспользоваться такими критериями, как традиционная «полуширина» на половине высоты или на 95% высоты. Если бы при этом оказалось, что различные критерии дают существенно разные результаты, мы бы кое-что смогли понять. Важно, что характерная «ширина» или «интервал сглаживания» действительно существует. На самом деле не очень ясно, является ли Тшах (ЛО наилучшей температурой для определения «сдвига» 8 (N). Быть может, лучше использовать, например, температуру Тх (N), при которой достигает максимума отрицательный . градиент —(dCN!dT), или какую-нибудь другую темпера- туру. Естественно, однако, ожидать, что относительный сдвиг, определенный соответствующим образом, будет для больших N отличаться от величины г [см. E.3)] только постоянным множителем. Ясно, что наиболее интересны асимптотические поведе- ния сдвига s (N), «сглаживания» б (N), максимума СN, max, а также детальное изучение предельной «формы» сглажен- ной аномалии. Как отмечалось несколько лет тому назад [44], нет никаких оснований ожидать, что 8 (ЛО и б (N) будут иметь похожее асимптотическое поведение, хотя мы, естественно, надеемся, что они будут описываться характерными степенными законами! Фактически есть основания предполагать, что асимптотический сдвиг может оказаться больше, чем сглаживание. Далее будут приведены общие соображения по этому х) Или умножим температуру на соответствующий множитель порядка единицы.
330 M. Фишер поводу, а также точные теоретические результаты, иллю- стрирующие обе возможности: s (N) Э> б (N) и s (N) л; л; б (N) при N-*¦ оо. Мы обсудим также экстраполяцию точных рядов для модели Изинга. Однако прежде чем заняться этими вопросами, обратим внимание на то, что наличие сдвига, сглаживание и изменение формы кривой обусловлены одними и теми же причинами. 5.2. Пленки и слои Пусть g— параметр, характеризующий специфику гамильтониана системы (включая размер системы и гра- ничные условия), причем значение g = 0 соответствует «идеальному» критическому поведению, а значения g > 0 — искажению, т. е. «сглаживанию» критических явлений. Можно предположить, что вблизи нуля функция g непре- рывна или квазинепрерывна (как, например, при g = \IN). Тогда из простых соображений следует, что для любого интересующего нас свойства можно, как и прежде, опреде- лить сдвиг s (g), относительное сглаживание б (g) и сгла- женную форму аномалии (включающую информацию о мак- симальной высоте пика и пр.). Наибольший интерес пред- ставляет асимптотическое поведение этих величин при g-*- 0. В качестве «вырожденного» параметра g можно выбрать даже обычное упорядочивающее поле At, (т. е. Н в ферромагнетике), поскольку оно удовлетворяет всем сформулированным выше требованиям. Довольно естественно распространить эти идеи и на тот случай, когда параметр g не вносит искажений в фазовый переход, а лишь модифицирует его, изменяя, в частности, критические индексы. Пусть при g = 0 система характе- ризуется идеальными индексами а, $, у, . . ., а при g> > 0 — измененными (но тоже постоянными) величинами • • о ос, р, у, . . . . Тогда сдвиг s (g) непосредственно связан с истинным сдвигом критической точки: e(g)-r'@)-re(g)- E.5) >¦ с Естественно, теперь, исходя из величины сглаживания б (g), определить «температуру пересечения» Т* (g): • Теория сингулярное/пей в критической точке 331 Здесь AT* (g) соответствует примыкающей к точке пере- хода области, в которой имеет место модифицированный индекс у» скажем, для восприимчивости %Т (Г), в то время как вне этой области еще применим идеальный индекс у. 9-0 Int =1п(лт/тс) Фиг. 11. Зависимость (в двойном логарифмическом масштабе) восприимчивости от безразмерной [по отношению к Тс (g)] темпе- ратуры. Показано отклонение от идеального (g = 0, тангенс угла наклона —7) K моди- фицированному (g > 0, тангенс угла наклона — V) поведению. Как показано на фиг. 11 (в двойном логарифмическом масштабе), можно вполне отчетливо указать «температуру пересечения»; однако искажение функции может быть гораздо более плавным (см., например, работу [45], в кото- рой приведены графики нескольких очень плавно меняю- щихся функций). Следует теперь заменить выражение «форма сглаженной аномалии» выражением «измененная форма функции», показывающим различие между расходимостями, описы- ваемыми, скажем, индексами у и у. Частично это различие будет определяться величинами новых индексов у. Фак-
332 М. Фишер тически в такое рассмотрение можно также формально включить случай искаженного фазового перехода. Тем самым будет описано -аналитическое поведение систем при g = 0 и g> 0. В теории магнетизма имеется важный и интересный пример реализации указанной ситуации: в гамильтониан реального ферромагнетика, помимо изотропного гейзенбер- говского обменного взаимодействия, часто вводят малые анизотропные слагаемые, которые определяют положение пространственных осей легкого намагничивания. Величина этих анизотропных членов определяется измененным пара- метром g. Прежде чем обсудить этот пример х) — и даже до обзора общей теории 2),— остановимся на одном непо- средственно относящемся к нашей теме примере «изменения размерности», которое происходит, когда конечная тол- щина L «пленки» или слоистой системы становится беско- нечной, а сама пленка превращается в объемную трех- мерную систему. Чтобы понять общую постановку задачи, рассмотрим конечную во всех измерениях d-мерную систему. Для кон- кретности возьмем ферромагнитную решетку «кубического» типа -— линейную цепочку при d = 1, квадратную решетку при d = 2, простую кубическую при d = 3 и т. д. — с постоянной решетки а и рассмотрим N = n-i X п2 X . . . X nd E.7) спинов, где rij — число спинов, направленных по /-й оси решетки. Если теперь размер системы в каком-то одном напрявлении стремится к бесконечности, скажем пг-^ ао, то возникает истинная, хотя и одномерная, термодинамиче- ская система. Этого еще недостаточно для фазового пере- хода в случае короткодействующих сил взаимодействия. Однако если теперь и п2-^°°, то возникает двумерная система и в ней (как правило) возможен фазовый переход. Таким образом, предельный переход п2 -*¦ сю (после пере- хода п% —>¦ со) совершенно аналогичен конечной во всех *) Теория критических явлений в анизотропных ферро- и анти- ферромагнетиках подробно обсуждается в работе Риделя и Вегне- ра [46]. 2) Общая ситуация описана в обзоре 127], который будет вскоре напечатан. Теория сингулярностей в критической точке 333 измерениях системе, в которой проявляется объемное пове- дение (т.е. iV->oo, tijltid = const). С другой стороны, если совершен также переход п3—*- °о, то возникает трех- мерная система, критические индексы которой а3, C3> Уз, • • • будут отличаться от индексов а = а2, Р = |32, у — у2 • • • двумерной системы (например, для модели Изинга уz = 7/4, а у3 = 5/4)- Отождествляя 1/п3 с пара- метром g, мы приходим к рассмотренному выше примеру модифицированных критических явлений. При d = 3 последний случай соответствует построению объемной простой кубической решетки при бесконечном увеличении числа п3 = п слоев двумерной квадратной решетки. В общем случае можно взять я* = п2 = . . . = = rtd-i = со, а число па = п (d — 1)-мерных «слоев» оставить конечным. Другими словами, п определяет тол- щину L = na «пленки». Критические индексы a^-i, Pd_i, Yd-i. • • • при п-^оо сведутся к «идеальным» индексам «d, Pd, Yd, .... В дальнейшем будут получены точные выражения сдвига и «сглаживания» критической точки для случая любого d в рамках ферромагнитных сфериче- ских моделей. Мы обсудим также результаты разложения в ряды для трехмерной модели Изинга. 5.3. Границы и граничные условия Для конечных систем сразу возникает вопрос о гранич- ных условиях на внешних поверхностях или «стенках» системы. Можно в каком-то смысле обойти этот вопрос, как это обычно делается, введением периодических гранич- ных условий. В слоистых системах это просто означает отождествление, (л + 1)-го слоя с первым, т. е. образова- ние «тора». При этом, конечно, не возникает свободных границ или стенок. В некоторых случаях удобно вводить антипериодические граничные условия, когда (л + 1)-й слой отождествляется с первым, но знак локального параметра порядка W (г) меняется на обратный — в ферромагнетике это соответст- вует «повороту» вектора намагниченности на 180° на проти- воположной границе образца. Когда точка на фазовой диа- грамме (?,, Т) попадает на линию фазовых переходов, т. е.
334 М. Фишер ? — ga (T), антипериодические граничные условия приводят к образованию своего рода межфазной поверхности (между фазами с противоположным направлением намагниченно- сти) или «стенки Блоха» с медленно поворачивающимся параметром порядка. Сравнение общей свободной энергии для периодических и антипериодических граничных усло- вий дает возможность рассчитать межфазную свободную энергию 2 (Т) (или поверхностное натяжение) [44] или (для «изотропных» систем, где параметр порядка — вектор) соответствующие «спиральные модули» Y (Г) [27]. Для случая сверхтекучести эти спиральные модули просто пропорциональны плотности сверхтекучей компоненты Ps (T) [27]. Мы не будем здесь рассматривать этот вопрос подробнее; по крайней мере ясно, что в случае антиперио- дических граничных условий тоже отсутствуют свободные границы. С другой стороны, поскольку мы имеем дело с внеш- ними граничными поверхностями (как в любых реальных конечных или слоистых системах), навязываемые гранич- ные условия должны быть строго определены. Для реаль- ных систем вопрос этот весьма тонкий и спорный. В модель- ных системах граничные условия обычно просты и наиболее естественны. Так, для жидкостей, как правило, рассматри- ваются твердые стенки с бесконечным потенциалом оттал- кивания, в то время как для магнетиков просто «обрывают» взаимодействие с «отсутствующими» (по ту сторону гра- ницы) спинами. Интересно, что из сравнения моделей реше- точных газов и магнетиков Изинга вытекает неэквива- лентность этих двух граничных условий. Твердая стенка в решеточном газе соответствует скорее «закреплению» всех граничных спинов магнетика в полностью упорядоченной ферромагнитной ориентации [44]. Вообще говоря, можно ввести конечное магнитное поле, действующее только на граничные спины [48]. Из всего сказанного непосредственно следует, что1 асимптотическое выражение полной свободной энергии JFn СП большой системы должно содержать, кроме обыч- ного объемного члена NFao (T), пропорционального N, также граничный вклад WF* (Т), где W — площадь гра- ницы или стенки, измеряемая, быть может, числом гра- ничных спинов N*. Теория сингулярноетей в критической точке 335 В случае конечной системы имеем W = N* = 2(n2n3 ... па + п±п3 ... nd+...+ = 2N (п^ + п-1 + ... + nt) 2Nd E.8) оо и можно записать для фиксированного Т и при N &N (Т) « NFo. СП + N*F* (Т) + . . . . E.9) Граничная свободная энергия F* (Т) должна зависеть от конкретного вида граничных условий. В случае перио- дических (или антипериодических) условий можно ожидать, что F* (Т) тождественно обращается в нуль; это действи- тельно может быть проверено на различных моделях. Самой простой для расчета моделью является гармонически колеблющаяся кристаллическая решетка, но приведенный выше результат может быть также проверен для плоской квадратной решетки Изинга [44, 49], для d-мерной сфери- ческой модели [50] и для идеального бозе-газа [51]. В случае слоистой системы толщиной п, согласно E.9), можно предполагать следующее асимптотическое поведение: Fn (Т) « F«, (Т) + 2л-1/1* (Г) + ... при л -^ со, Т = const. E.10) Предельная функция F^, (T) содержит все объемные индексы оса, Pd, yd, ¦ ¦ ¦ (подразумевается, что включено упорядочивающее поле Q. Соответственно граничная сво- бодная энергия F* (Т) также будет иметь особенности в критической точке, и, следовательно, можно ввести кри- тические индексы а* и а'* для граничной теплоемкости С* (Т), у* и у'* для граничной восприимчивости %* (Т) и.т. д. Сразу же возникает вопрос о величине граничных индексов а*, у*, . . .: связаны ли они с объемными индек- сами? А если да, то как? В дальнейшем мы обсудим неко- торые возможные ответы на эти вопросы, а затем применим их для модельных расчетов. До этого, однако, следует обсудить применимость формул E.9) и E.10). Первый член Foo (T) содержит все объемные сингуляр- ности в критической точке; пусть, например, С™ (Т) стре- мится к бесконечности при Т —>- Тс (со). Напомним теперь, что в конечных системах СN (T) остается конечной при
336 'M. Фишер всех Т; однако основная объемная расходимость не может быть устранена «граничными» слагаемыми или возможными слагаемыми более высокого порядка (которые тоже рас- ходятся в Тс). В слоистом случае возникает такая же труд- ность: теплоемкость конечного слоя Сп (Т) может быть и расходится, но в общем случае эта расходимость имеет место в другой критической точке Тс (п) Ф- Тс (ро). Отсюда следует, что для фиксированных, пусть даже очень боль- ших п или N, асимптотические приближенные формулы E.9) и E.10) справедливы лишь вдали Тс; они перестают быть верными вблизи Тс, вероятно, в областях «сглаживания» Тс A ± б) и сдвига Тс A ± s). Перейдем теперь к приме- нению скэйлинговых идей, с помощью которых удается устранить эту трудность, а также получить ответы и на некоторые другие из поставленных выше вопросов. 5.4. Сдвиг, сглаживание и корреляционная длина Первое соображение, которое приходит в голову при исследовании вопроса о зависимости сдвига е от конечных линейных размеров системы, заключается в том, что кри- тическая температура является мерой сил взаимодействия. Так, с ростом любых обменных взаимодействий в ферромаг- нитной модели Изинга величина Тс растет. Последнее спра- ведливо также в простой картине самосогласованного по- ля [44], где величина квТс пропорциональна энергии основного состояния — ?"°бп* (N). Для конечной системы модель Изинга с учетом взаимодействий между ближайши- ми соседями дает NkB Tc ~ Ef^ (N) да dJN — JN*, E.11) где второй член соответствует уменьшению энергии связи за счет спинов, находящихся на поверхности (конечно, имеются также поправки высшего порядка, связанные с краями и углами). Это сразу приводит к величине сдвига -™-, где Х=\ (я-э-оо). E.12) Здесь Ъ да 1, а средняя величина п при гармоническом усред- нении определена в E.8); для слоистых систем п = dn, Теория сингулярноетей в критической точке 337 но обычно пишут s да Ып%. По этим же причинам периодиче- ские граничные условия должны привести к b = 0, а для ферромагнитно-упорядоченных на границе спинов к Ъ да —1. Хотя из сказанного выше несомненно следует, что свободная энергия, теплоемкость и другие величины содер- жат члены, пропорциональные \1п, это соображение есте- ственно поставить под сомнение, так как простая теория самосогласованного поля применима только для дально- действующих сил (точнее, обладающих бесконечной обла- стью действия). В этом случае каждый спин эффективно взаимодействует со всеми другими спинами и, следова- тельно, непосредственно «чувствует» границу. Наоборот, для наиболее интересных систем с типичными короткодей- ствующими силами спин, находящийся в центре конечной системы (или пленки), может получить «информацию» о наличии границы лишь эстафетным образом благода- ря корреляциям, обусловленным взаимодействиями. Это совершенно иной процесс. В то же время мы убедимся в справедливости (при выполнений определенных усло- вий) формулы E.12). Упорядочение в системе описывается, конечно, основной корреляционной функцией для параметра порядка Gwv (г; Т) = (W @) W (г) > — <? @) >2, E.13) о которой говорилось выше. Вдали от критической точки затухание функции Gw (г) при | г | —>¦ оо описывается обычно экспоненциальной зависимостью [1—4]: Grpv (г; Т) ~ е-*/6(Т), | г [ -> оо, E.14) которая определяет радиус корреляции § (Т) = 1/х (Т). В свою очередь функция | (Т) расходится при приближе- нии к критической точке как \t I —V при при Г- Г- Г+ /VJT ¦Те (? = ! E.15) где, как и раньше, t = (Т — Тс)/Тс. Эти соотношения опре- деляют важные индексы v и v', которые для трехмерных систем принимают типичные значения 0,63—=0,72, или примерно v да 2/3. Даже если неверна экспоненциальная зависимость E.14), естественно ожидать, что характерным 1/2 22—0826
338 М. Фишер масштабом изменения корреляционной функции будет некоторое | (Т), точное определение которого может быть предметом специального обсуждения (см. лекции Хохен- берга в этой школе и обзор [27]). Самое важное в разви- ваемом подходе — наличие только одного расходящегося радиуса корреляции в системе; это является основой кор- реляционной скэйлинговой гипотезы [1—4]. Важность понятия радиуса корреляции | (Т) связана с введением естественного предположения о том, что когда корреляционная длина для ограниченной трехмерной системы станет равной характерному размеру конечной системы или толщине пленки L = па, «что-то» должно произойти с фазовым переходом. Так, спины, находящиеся на противоположных границах системы, окажутся пол- ностью скоррелированными и из-за ограниченности системы упорядочение не сможет продолжаться дальше. Можно думать, что область «сглаживания» или «пересечения» будет определяться этим критерием [44]. Таким образом, если аргумент сингулярной функции % (Т) отсчитывать от сдвинутой критической температуры слоя Тс (п) или от соответствующей конечной псевдокритической точки Т то l-^Sof'^y^'r; E-16) здесь |о — амплитуда сингулярности функции ? (Т). Это сразу приводит к следующей оценке для сглаживания [44]: 6«4". е = ^' E-17) где для слоистых систем с « (lo/aI/v « 1 и л = п. Так как для типичных трехмерных систем 1/v > 1, то E.17) вместе с соотношением E.12) приводит к выводу, что величина сглаживания может быть асимптотически меньше, чем величина сдвига на множитель п^—^Уч ~ л-5. Можно высказать предположение, что в случае конеч- ных систем некубической формы (n,- =fc rid) правильное усреднение л определяется «зарезанием» — нижним преде- лом в некотором интеграле, аппроксимирующем «оборван- ную» сумму, по соответствующей d-мерной обратной решет- ке, волновой вектор которой q входит в предельном случае Теория сингулярноетей в критической точке 339 в изотропном виде q2 = | q |2. Это означает, что п = d1/* X X (лт2 + . . . + «5a)~1/a; подчеркнем, однако, что мы при* шли к этой формуле чисто умозрительным путем и скорее всего она является лишь наводящим соображением. Эта формула полезна также при выяснении вопроса о зависимости сглаживания от формы конечной системы. Мы еще вернемся к этому вопросу при обсуждении выводов из точных расчетов для модели Изинга. Ортодоксальный приверженец скэйлинга считал бы, что сдвиг Тс должен определяться условием равенства радиуса корреляции и размера системы L, что дает Я=4 E.18) вместо E.12). В этом случае асимптотические величины сдвига и сглаживания были бы одного порядка. Мы увидим (об этом уже говорилось и раньше), что такой вывод не всегда верен, хотя он, по-видимому, справедлив для модели Изинга слоистой системы с d = 3. Заметим также, что условие E.18) никак не помогает в определении знака Ъ. Однако даже если принять наше первое предположение E.12), то для периодических граничных условий все равно должно быть справедливо E.18), так как в этом случае коэффициент Ъ в E.12) должен обращаться в нуль. Мы покажем, что это иногда верно, а иногда нет! Однако прежде чем перейти к детальным модельным расчетам, остановимся более под- робно на теории скэйлинга. 5.5. Теория скэйлинга для конечных систем Для определенности мы будем здесь говорить об изотер- мической восприимчивости % (Т) ферромагнетика в нуле- вом поле, однако все выводы будут применимы к сжимае- мости газа или, например, к теплоемкости газа и магне- тика и т. п. Мы будем пользоваться переменной п для обозначения конечного размера или толщины и будем главным образом иметь дело с пленками или слоистыми системами; при переходе к ограниченным во всех измере- ниях системам будет показано, как осуществить такой переход.
340 M.. Фишер Пусть предельная или идеальная восприимчивость имеет особенность вида где Хос (Т) « At-У при Т^Т% (оо), f_ Т — Тс(оо) E.19) E.20) и у = у а- Для конечного и фиксированного п при Т—*-Те (п) %n(T)ttAJ-i E.21) где y = yd-i, а «сдвинутая» безразмерная температура опре- деляется равенством ^=Г^?,)Я)==* + 8(/|)- E-22) Тогда для относительного сдвига критической точки имеем 8 W — —Ш™\ • v*-26' Пока мы оставляем в стороне вопрос о зависимости сдви- га s от п. Заметим, что в конечных системах 7 = 0и тогда величина Xn.max = Xn [Тс (я)] сводится к Ап, причем Тс (я), как уже говорилось выше,— псевдокритическая температура, определенная соответствующим образом. Теперь сформулируем скэйлинговую гипотезу в виде утверждения о том, что существует единственная перемен- ная Ll\ (T) — пР, обеспечивающая переход от E.19) к E.21). Наиболее удобна следующая форма гипотезы: Хп СП «п°Х (n*i), 6 = ±. E.24) Обратим внимание на появление переменной t в аргументе функции X в E.24). Индекс со мы определим несколько позже. Очевидно, что функция X (х) определяет форму, сглаженной особенности в критической точке для конеч- ных п. Следовательно, «сглаживание» п 1/V ' E.25) Теория сингулярносгйей в критической точке 341 Для определения со надо совершить предельный переход п ->¦ оо и результат сравнить с формулой E.19), т. е. нужно потребовать выполнения условия при оо E.26) для того, чтобы воспроизвести закон \1Р. Оставшаяся зависимость от п исчезнет при ю = е? = ^- = 2-ть E.27) где введен известный индекс г\ [1—4]. Следует также поло- жить Хос = А. E.28) Как уже говорилось, индекс v содержится в скэйлинго- вой функции X (х), так что для малых х (т. е. /-»- 0 при фиксированном п) должно быть Х(х)жЩ- при *-ч-0. E.29) Из сравнения с E.24) видно, что амплитуда Лп для образца конечных размеров меняется по следующему закону: Ап « Xon0(v-v) = Xon(v-v)/v. E.30) • Обычно у = уа <С Yd-i = V. так что ^п уменьшается с ростом п. Это предсказание теории может быть непосред- • ственно проверено, так как индексы у, v и у определяются независимо от амплитуды. Чтобы учесть возможность логарифмической особенно- сти, присущей, в частности, теплоемкости, надо несколько обобщить предположение E.24), а именно: Х„ (Г) « п® [X (пЧ) — X (пв/0)] + Хп (То), E.31) где tQ — некоторое фиксированное некритическое значение величины t, скажем t0 = 1, 2, а То — соответствующая абсолютная температура. Последний член слабо зависит от п ив дальнейшем будет опускаться. Для этого случая
342 M. Фишер анализ проводится так же, как и для предыдущего, так как добавочный член не дает вклада в особенность, хотя им определяется некоторая дополнительная информация. Для логарифмического случая, который может быть записан в виде 1 E.32) найдем, что при п- Х(х) оо. E.33) оо'E.26) заменится на Хж In (x) при х ¦ Отметим, что при этом дополнительное слагаемое па In (п)х в E.31) сократится. Одновременно мы должны потребовать со=О, что при 7 = 0 согласуется с E.27), и в согласии с E.28) приходим к Хж = А. Соотношение E.29) должно быть справедливо и для малых х; тогда для у Ф 0 получаем E.30), однако нам сле- дует положить v = 0. Наиболее интересен случай системы, ограниченной во всех измерениях. Для такой системы, отождествляя Тс (я) с Гтах (п), найдем X (х) -*- Хо при х^0 E.34) [ср. с E.29)], а затем, учитывая также E.33), получаем Xn.mas ~ QA 1ПП — In. ¦v E.35) Опущенные в этом выражении слагаемые Хо + * UA In + Хп (То) в первом приближении постоянны. Обратим внимание на то, что здесь предсказываются как логариф- мическая зависимость функции %n, max от п, так и ампли- туда этой функции. 5.6. Граничные или поверхностные сингулярности Из скэйлинговой гипотезы можно, кроме того, сделать вывод о расходимости поверхностной восприимчивости и других величин. Для этого надо исследовать полученные выражения в предельном случае п Э> 1 при фиксирован- ном t. Из общей формулы E.10) следует . (л -^ оо), E.36) Хп (Т) (Г) + 2n-y (T) + Теория сингулярноетей в критической точке 343 где х* — искомая поверхностная восприимчивость. Полу- ченная ранее формула E.26) [или E.33)] для асимптотиче- ского поведения скэйлинговой функции дает правильное выражение для первого слагаемого в E.36). Напишем сле- дующие члены в асимптотическом разложении, предпола- гая, что X (х) « Х^х-у + YocX-* + ...-, E.37). где индекс ф определен ниже (окажется, что он больше чем 7) Х)- Подстановка E.37) в E.24) [или в более общую формулу E.31)] и использование соотношений E.22) и E.28) приводят к [/ + е(л)]-* + .... E.38) Подставляя сюда выражение E.12) для сдвига s (n), найдем, что %п (Т) ж At~~v — уАЬп~Н~ч~г + 4- Yaan&-QH-*' + . . . . E.39) Рассмотрим теперь несколько случаев. а. Индекс, характеризующий сдвиг, больше единицы: ^->1. Тогда поверхностный член появляется в E.39) лишь при ю — вф = —1, т. е. если ф = 7 + v. E.40) Из сравнения E.39) с E.36) следует, что поверхностная восприимчивость меняется по закону 1* (Т) ж A*t~y*, E.41) где поверхностный индекс и амплитуда имеют вид V*==V^V2); д* = ±.уоо. E.42) Заметим, что ни величина, ни даже знак амплитуды А* не определены. 1У Конечно, такое предположение справедливо лишь для систем с реальными границами; можно думать (см. конец раздела' 5.7), что для ¦ систем с периодическими граничными условиями второе слагаемое в правой части E.37) имеет вид ехр (— gx ' ). 2) Равенство у* = 7 + v было впервые получено Ватсоном 153] да основе несколько менее общего подхода.
344 M. Фишер б. Предположим теперь, что % = 1. Тогда дополнитель- ный вклад в восприимчивость равен _ | уАЬГ E.43) [Конечно, если ф > у + v, то второго слагаемого в E.43; не будет.] Для v<l, как, например, в случае d ^ 3, первое слагаемое больше второго и результат отличается от E.42): -у* = -у> —|— 1 и А* =—я- уАЪ. E.44) В этом случае определяется также значение величины А*. Значение А* отрицательно для положительных Ь, т. е. критическая точка для конечных, п ниже чем Тс (оо). Наоборот, А* должно быть положительным для таких граничных условий, которые приводят к увеличению Тс. в. В случае А, < 1 (который, по-видимому, маловероя- тен для короткодействующих сил) мы приходим к заклю- чению, что либо асимптотическое разложение E.37) содер- жит слагаемые, компенсирующие зависимость типа п~х в E.40), либо становится неверным разделение на поверх- ностные и объемные слагаемые. Это, несомненно, имеет место для достаточно дальнодействующих сил. Приведенный выше анализ нетрудно повторить, исполь- зуя E.31), для идеальной логарифмической зависимости типа E.32). Оказывается, что в этом случае по-прежнему справедливы формулы E.42) и E.44) для индексов, но выра- жение для амплитуды в E.44) следует заменить G = 0). E.45) Напомним, что в нашем анализе была использована сдвинутая переменная t в скэйлинговой гипотезе E.24) [или E.31)]. Очевидно, что это можно делать в случае произвольной зависимости сдвига е от п. В ортодоксаль- ном скэйлинговом подходе отдается предпочтение перемен- ной t, т. е. формулировка гипотезы E.24) заменяется на E.46) Теория сингулярностей в критической точке 345 Индекс 0 в скэйлинговой функции просто означает, что в аргументе функции используется несдвинутая перемен- ная t. Действуя совершенно так же, как и раньше, полу- чаем для большого п: :~тг ПРИ X E.47) где to = ву = y/v и Хоо = А. Однако для малых, или, точнее, для конечных, х формула E.29) заменяется на Х°(х) при хс. E.48) Другими словами, предполагается, что скэйлинговая функ- ция расходится при х = хс, а не при х — 0. Тогда восприим- чивость для конечного п E.49) 6/п\ где E.50) (п)]-у при г-н е. Здесь сдвиг определяется выражением е (л) и = — хс Итак, мы снова получаем исходное скэйлинговое предсказа- ние для величины сдвига g (Г) = La, а амплитуда Ап по-прежнему определяется формулой E.30). Если речь идет о поверхностной восприимчивости %* (Т), в выраже- нии E.38) будут отсутствовать слагаемые, содержащие е, и, следовательно, реализуется только случай а), приводя- щий к E.41) и E.42), где, в частности, v* = Y + v- Напом- ним, что альтернативная формула у* — у + 1 справедлива лишь в случае б) — сдвига с индексом к = 1. 5.7. Плоская квадратная решетка Изинга Остановимся теперь на некоторых деталях расчета, которые позволяют проверить справедливость изложенной выше теории скзйлинга 1У. Сначала рассмотрим работу Х) Как это часто бывает, большинство точных и приближенных численных расчетов было выполнено до создания строгой теории скэйлинга. 23—0826
346 М. Фишер Фердинанда и автора [44, 49] по расчету теплоемкости квадратной ферромагнитной решетки Изинга, состоящей из п X т узлов, при учете взаимодействия между ближай- шими соседями и в случае периодических граничных усло- вий. Для такой модели точное выражение для статистиче- ской суммы было впервые получено Кауфман. Однако для того чтобы детально рассчитать асимптотики теплоем- кости, пришлось проделать очень большую работу. Безусловно, теплоемкость конечной системы [даже бес- конечного (т —>- оо) цилиндра с конечным поперечным сечением п] оказывается, нерасходящейся и сглаженной функцией. Основной результат состоит в том, что сгла- живание происходит в области б ~ \1п, так что индекс, характеризующий сглаживание, 9=1. E.51) Так как для бесконечных плоских моделей Изинга индекс, определяющий особенность радиуса корреляции, равен единице (v2 = 1), то равенство E.51) подтверждает спра- ведливость вывода теории скэйлинга 6 = 1/v. Полное выражение для теплоемкости при я—>-оо, х = nt и фиксированном множителе / = т/п, характери- зующем форму объекта, имеет вид [49] Л , Bi(nt)(\nn) E.52) Амплитуда А такая же, как и в объемном случае {т—п=оо), когда (при *-^0).,E.53) Выражения для входящих в E.52). функций В (х, /), В± (х) и В2 (х, f) очень длинны и сложны; они включают новые функции: обобщенные эллиптические тэта-функции и другие. Очевидно, что формула E.52) соответствует скэй- линговой гипотезе E.31) при со = 0, как и должно быть для теплоемкости, содержащей логарифмическую особен- ность [конечно, в E.52) содержится информация и о струк- туре слагаемых высшего порядка]. Теория сингулярностей в критической точке 347 Максимум теплоемкости равен выражению Стп. max » A In П + Вшах (/), E.54) которое находится в строгом согласии с соотношением E.35), предсказанным теорией скэйлинга. Положение максимума теплоемкости может быть найдено из формулы E.52), и, следовательно, для сдвига получаем при Я=1, E.55) что согласуется с высказанным ранее предположением для периодических граничных условий (см., однако, ниже!). Для симметричного или «квадратного» тора находим Ъ A) = —0,36029 .... ?тах A) = 0, 2013 . . ., E.56) т. е. максимум лежит выше Тс. На первый взгляд этот результат представляется весьма разумным, поскольку усиление корреляции между спинами из-за наличия двух различных направлений, по которым спины взаимодейст- вуют (одно из направлений — вокруг периодического тора), должно привести к более высокой псевдокритической тем- пературе. В этом рассуждении содержится некоторая доля истины, но при изменении структурного множителя / = = т/п результаты становятся весьма странными. Во-пер- вых, Ъ (/) уменьшается, когда / отличается от единицы; во-вторых, Ъ (J)-—*- 0 при f—*-0 или f-^-oo. Последнее просто означает, что для очень длинного тонкого тора, который в пределе переходит в бесконечный цилиндр, Гшах асимптотически приближается к Тс (оо). [В действи- тельности, как было установлено Онсагером еще в 1944 г., различие между ними определяется величиной порядка (In ri)/n?.] Во всем этом пока нет ничего необычного; сюрпри- зы возникают для тора промежуточной формы, когда /о = т/п = 3,1392. . . (или когда т/п = 1//0), где Ъ (/) меняет знак! Таким образом, для «длинного» тора, когда отношение длины тора к его ширине превышает величину /о, максимум теплоемкости лежит ниже Те, в то время как для достаточно «короткого и толстого» тора максимум рас- положен выше Тс. Это совершенно непонятный результат, и было бы интересно его объяснить. Несмотря на акаде- мичность поставленного вопроса, ответ на него явился 23*
348 М. Фишер бы хорошим критерием для понимания (или непонимания) того, что же происходит в действительности. Фердинанд получил также (эта работа не опубликована) точное выражение для теплоемкости л X оо полоски Изинга (или одномерной пленки) со свободными краями (грани- цами). Полный анализ асимптотического поведения не был проведен, но оказалось, что теперь положение максимума соответствует более низкой температуре, чем Тс, а индекс и амплитуда сдвига " равны соответственно Я = 1 и боо « 0,900 ± 0,007, E.57) т. е. по-прежнему 6 = 1/v = 1. Точный численный расчет [49] для пг X п квадратных решеток с малыми значениями man дает Я = 1 и bt « 1,35 ± 0,08. E.58) Индекс Я = 1 в E.58) согласуется с предсказаниями E.12) теории самосогласованного поля для сдвига в системе со свободными границами. Однако из-за «случайного» результата v = 1 для плоских ферромагнетиков Изинга фактически нельзя отдать предпочтение какому-либо одному из двух результатов: Я = 1 или Я = 1/v. Знаки амплитуд boo и б* также соответствуют выводам теории самосогласо- ванного поля, однако значение отношения bjboo ~ 1,5 отличается от значения bjbco = 2, вытекающего из E.12). Это, по-видимому, снова указывает на то, что учет зависи- мости от формы образца — вопрос более тонкий, чем про- стое определение E.8) значения п для гармонического случая [среднеквадратичное значение п, приведенное после формулы E.17), давало бы значение bjboo — 21/2 « 1,414, что согласуется с E.57) и E.58) при учете указанных там погрешностей]. Далее можно проверить предсказание скэйлинга для поверхностной теплоемкости на двумерной модели Изинга, так как она допускает точное решение как для свободных, так и для ферромагнитных граничных -условий [44, 48]. г> Численные оценки для амплитуды были проведены совме- стно с Барбером. Характеристикой точности расчета может служить тот факт, что сделанные тем же способом оценки дали для вели- чины Ь A) в E.56) значения — 0,358 ± 0,007, что очень близко к точному результату. Теория сингулярностеп в критической точке 349 Для свободных границ получаем при t~^0±. E.59) Заметим, что объемная теплоемкость Со (Т) всегда должна быть интегрируемой функцией, даже если она расходится. В то же время поверхностная теплоемкость не должна быть и в данном случае действительно не являет- ся интегрируемой функцией. Индекс а* = 1, характери- зующий расходимость теплоемкости, согласуется как с равенством а* = a -f- 1 (когда сдвиг пропорционален 1/п), так и с равенством а* = а -+- v. Поскольку а = 0 и v = 1, как и в предыдущем случае, обе эти возможности неразличимы. Однако отрицательный знак основного сла- гаемого в E.59) соответствует предсказанию теории само- согласованного поля, и, действительно, при ферромагнит- ных граничных условиях это слагаемое становится поло- жительным. С другой стороны, величина этого слагаемого должна приводить, согласно E.45), к значениям &i « 1,135 и boo = 0,568, которые не согласуются с E.57) и E.58). Как и следовало ожидать, точные расчеты в случае периодических граничных условий показывают, что в выра- жении для свободной энергии нет слагаемого типа 1/п, другими словами, вместе с исчезновением поверхности исчезает и поверхностная свободная энергия. Более того, оказалось, что при фиксированном Т Ф Тс теплоемкость Сщп {Т) и все другие производные от свободной энергии приближаются при п —э- оо к своим предельным значениям по экспоненциальному закону Х). Точнее, при фиксирован- ном Т Ф Тс и при п —>¦ оо С со (Т) — Cmn (T) ~ е-гот«9 E.60) где Г (Т) обращается в нуль при Т-> Тс. Вероятно, такого рода зависимость является весьма общей (см. дальше). Из скэйлинговой гипотезы сразу вытекает, что Г I1 = к, так что  Г (Т) « rofy' при E.61) Х) Онсагер з своей основной работе по модели Изинга обратил внимание на этот факт для случая бесконечного цилиндра-
350 М. Фишер Этот результат подтверждается расчетами для плоских моделей Изинга. Экспоненциальное поведение означает, что для систем с периодическими граничными условиями второй член в асимптотическом разложении скэйлинговой функции E.37) пропорционален ехр (—gx1/e), где g — константа. 5.8. Трехмерные пленки Изинга Для выбора одного из двух возможных значений индек- са для сдвига А, = 1 или X = 1/v и соответственно для поверхностных индексов v* = У + 1 или у* = у -f- v есте- ственно обратиться к трехмерной модели Изинга. Рас- смотрим простейший и во многих отношениях наиболее важный случай: пленку, состоящую из п. параллельных двумерных слоев. При этом, конечно,, придется обратиться к численным методам расчета. При рассмотрении критиче- ских явлений лучше других оправдал себя метод, исполь- зующий точные разложения в ряды [2, 3]. Результаты предварительного изучения высокотемпературных рядов были уже опубликованы Алланом [54], а здесь мы приведем более поздние и более полные результаты. Самой трудной частью расчета является определение коэффициентов аГ(п), входящих в разложение приведенной восприимчивости пленки, состоящей из л слоев: rrfi E.62) r—l где, как это обычно делается в расчетах модели Изинга, оказалось удобным ввести высокотемпературную переменную E.63) Представление коэффициентов ат (п) в виде совокупно- сти графиков сводит задачу к суммированию графиков с соответствующими «весами». Большую помощь здесь оказывает численный счет, который, однако, требует большой осмотрительности и внимания. Ряды, полученные Алланом для «пленки»— простой кубической решетки с двумя свободными поверхностями,— содержат по одиннад- Теория сингулярное/пей в критической точке 351 цати членов разложения для числа слоев п = 3, 4, 5, 6, 7 и двенадцать — для п = 2 1}. Подобная ситуация имеет место для пленок с периодиче- скими граничными условиями 2). Кроме того, Аллан полу- чил одиннадцать членов разложения поверхностной вос- приимчивости простой кубической решетки и десять —для поверхностной теплоемкости. Наконец, Ватсон [55] рас- считал восемь членов ряда для поверхностных свойств объемноцентрированной кубической решетки и семь — для гранецентрированной. При анализе рядов для вос- приимчивости с целью нахождения критической точки vc (л) мы пользовались главным образом известным мето- дом отношений [2, 3]. Этот метод основан на асимптотиче- ской формуле: при E.64) Входящий в E.64) индекс 7 мог бы в принципе зависеть от числа слоев п, причем известно, что Y 0) — ?2 = 7/4 и v (°°) — V C) = 5/4. Однако, как уже говорилось выше, мы думаем, что для всех конечных п у (п) = у2 = 7/4. Для п — 2 и п — 3 это, действительно, достаточно надежно установлено прямой экстраполяцией отношения коэффи- циентов в функции от 1/г [2, 3]. Одновременно очевидно, что для больших п должны проявляться переходные явле- ния, и, в самом деле, первые л отношений напоминают скорее объемный случай, чем двумерную пленку 3). Это обстоятельство следует учитывать при оценке vc (n). Удобнее всего исходить из равенства 7 (л) = У г — Х) Для п = 1 ряд содержит шестнадцать членов, а для п = оо — одиннадцать. 2> Для п — 2 были рассчитаны девять членов, для п = 3 — одиннадцать, для п — 4, 5, 6, 7, 8 — двенадцать, для п ^> 9 можно рассчитать по одиннадцать членов ряда. 3) Для периодических граничных условий первые (п — 1) отно- шений действительно тождественны отношениям для п = со, так как коэффициенты аг (п) и аг (оо) могут отличаться только за счет конфигураций, возникающих при однократном или многократном обходе тора. Ясно, что тдкие конфигурации содержат по крайней мере п взаимодействий. Это замечание объясняет также указан- ную в E.60) экспоненциальную зависимость и показывает, что ехр [— Г (Г)] « v при Т -*¦ оо.
352 М. Фишер = 7/4 (п < °°) и. исследовать отношения членов ряда для величины [(ksT/m2) 3cJ1/72, которая должна иметь особен- ность типа простого полюса. В таких отношениях член первого порядка по 1 /г должен быть постоянным, и, дейст- вительно, найдено, что отношения практически линейны по 1/г2. В табл. III представлены оценки критической тем- Таблица III Оценки критической температуры для пленки Изинга, состоящей из п слоев Число слоев п 1 2 3 4 5 6 7 8 со Свободные поверхности ( 1) 1/ос(п) 2,4142... 3,311 3,738 3,968 4,114 4,217 4,284 4,5840 / 1 \!/v (л + —) Ляс(л) 0,3683... 0,349 0,347 0,352 0,353 0,349 0,351 @,350) Периодические граничные условия @) 2,4142... 3,715 4,165 4,338 4,423 4,475 4,505 4,522 4,5840 n2Avc (п) 0,19606... 0,2042 0,1976 0,1979 0,199 0,193 0,19 0,19 @,1974...) пературы для л — 1 — 7 или л = 1 — 8. Результат являет- ся точным для п = 1, а величины для л = со (или d = 3) взяты из предыдущей работы [2, 3]. Погрешность в оценках l/vc для пленок со свободными границами составляет около ч-6 к последней цифре после запятой; для периодических решеток и л ^ 3 погрешность такого же порядка или несколько меньше. Как уже говорилось выше (см. также [3, 7]), первона- чально предполагаемые значения для индекса X, характе- ризующего сдвиг [44], были: Я.4 = 1 для пленок со свобод- ной поверхностью и Ао« l/v3 л; 1,56 для периодических граничных условий. Из табл. III видно в соответствии Теория сингулярностей в критической точке 352 с ожидаемым результатом, что в случае периодических граничных условий Тс (л) стремится к Тс (оо) значительно быстрее, чем в случае свободных границ. Результаты давней работы [54] не противоречили Х± = 1 и Хо ж 1,56, хотя несколько большие значения этих величин A,j да 1,3 и А.о да 2,0 давали лучшее согласие с расчетом. Приведен- ные в табл. III данные не оставляют сомнения в том, что большие значения Х± и Хо лучше соответствуют расчетным. Так, в последнем столбце табл. III даны оценки разности vc (п) — vc (оо) = Avc (n), умноженной на /г2. С точностью до погрешностей расчета, которые растут примерно от 0,5% для п = 2 до 5% при п = 6, эти величины почти постоянны. Фактически простая формула ос (/г) « vc (оо) + (^ E.65) определяет значение vc (n) в пределах указанной точности для всех п ^ 2; даже для /г = 1 она отличается от точного результата менее чем на 0,4%. Конечно, не следует слишком серьезно относиться к такой формуле, но она показывает, что для периодических граничных условий расчетные величины очень хорошо описываются индексом Хо = 2,0. E.66) Для проверки точности этой величины можно отложить графически [Avc (п)\~г1% как функцию от п для различных X и посмотреть, который из этих графиков ближе всех к пря- мой линии. При этом оказывается, что ошибка в определе- нии X составляет ±0,1. Проводя точно такие же оценки для свободных границ (фиг. 12), получаем с той же точностью, что Хг = ¦ 1,56 E.67) обеспечивает наилучшую линейную зависимость. Однако соответствующая прямая отстоит от начала координат на величину Ал « —0,5. Соответственно в табл. III вклю- чены оценки для величины (л + V2I/v Аус (л), которая оказалась постоянной с точностью 1—3%. Постоянство
354 М. Фишер этой величины свидетельствует о том, что формула 0,350 vc(n) 1/v E.68) обеспечивает хорошую точность вплоть до п — 2. Из сказанного следует, что предсказание теории скэй- линга об индексе сдвига X = 1/v подтверждается расчетами для моделей Изинга со свободными границами для d = 2 6 Фиг. 12. Зависимость A/ДасI/а от п для пленок из п слоев со свободными границами. Здесь Avc = vc(n) — t>c(°°), v = th (J/kS T). Приведены кривые для значе- ний величины X, равных 1 (кривая /), 1/V (кривая 2). 2 (кривая 3). и d = 3. Точно так же предварительный анализ рядов для трехмерной поверхностной восприимчивости привел к зна- чениям у* « 1,95 ± 0,08, что согласуется с предсказанной в теории скэйлинга величиной у -f- v « 1,89. С другой стороны, для периодических граничных условий и в том и в другом случаях сдвиг Тс уменьшается при учете высших степеней п, что до сих пор не объяснено с общих позиций. Теория сингулярноспгей в критической точке 355 5.9. Сферическая модель для d-мерных пленок Сферическая модель была предложена Берлином и Кацем [56]. В этой модели строгое условие (srJ = 1 для всех г, E.69) налагаемое на каждую локальную спиновую переменную sr в модели Изинга (где sr = d=l), «ослаблено» и заменено общим сферическим условием для N спинов е/ — /1 (ору — *V • у<Э • / Uy г Здесь sr считается непрерывной переменной, а оператор шпура сводится к JV-кратному интегралу. В термодинамиче- ском пределе (взятом по крайней мере в одном измерении) точное сферическое условие может быть заменено усред- ненным <(*)»>,= !. E.71) Такую процедуру удобнее всего провести, вводя в исходную статистическую сумму сопряженное к <5Р2 сферическое поле Ха> и соответственно дополняя термодинамические форму- лы [56, 57]. К сожалению, многие свойства сферической модели весьма нереалистичны; например, она дает фазовый переход лишь для d ^ 3, а критический индекс г\ всегда обращается в нуль [1—4]. Тем не менее она допускает точные решения для всех измерений (и для любых взаимодействий) и дает значения критических индексов [56, 57]. Поэтому не лише- но интереса исследование свойств сферической модели для d-мерных пленок, состоящих из п (d — 1)-мерных слоев [50, 58]. Наиболее интересные для нас результаты расчета приведены в табл. IV 1>. Во-первых, индекс, характеризующий сглаживание для любых граничных условий и произвольного d, равен ed = ^- D>3), E.72) как это и предсказано теорией скэйлинга. Правильными оказались даже добавочные логарифмические множители х> Другие результаты относятся к случаю антипериодических граничных условий и сводятся к расчету спиральных модулей 150].
356 М. Фишер Таблица IV Результаты расчета сферической модели для пленки, состоящей из п слоев Размер- ность d 3 4 5 >6 Объемный индекс V(d) 2 1 (X log) 1 1 v(d) 1 Hxlog1'2) 1 2 1 2 Сглаживание б (га) ~ (In П)/П2 ~ге-2 Сдвиг 8 (л) свободные поверх- ности A) п 1*11 п \Н\ п _1**1 п периоди- ческие граничные условия @) ь% п Ь\ ъ% rad-2 По- верхно- стный индекс v*<<0 3 2 2 2 для d — 4. Кроме того, из детального анализа [50] следует возможность введения скэйлинговой функции и ее явный вид. Во-вторых, для свободных границ сдвиг критической точки во всех случаях определяется (нескэйлинговым) индексом Я, = 1, E.73) так что для d ^ 4 сдвиг асимптотически больше, чем сгла- живание. Однако. знак асимптотического сдвига всегда соответствует увеличению Тс вопреки ожидаемому умень- шению, которое получается в модели Изинга для свободных границ! Отсюда следует, что Тс (п) не может монотонно приближаться к Тс (оо). Мы вскоре вернемся к этому, а здесь заметим только *>, что для трехмерных пленок пер- вая поправка к члену —\1п в выражении для сдвига имеет вид + (In ri)/n2, т. е. Тс (п) ниже Тс (оо) для п < 24, а для п ^ 25 становится больше, чем Тс (оо). Ясно, что в этом Следуя очень подробным расчетам Барбера. Теория сингулярноетей в критической точке 357 случае нельзя провести разумную экстраполяцию, имея результат расчета лишь для, семи или восьми слоев! Исходя из сдвига типа \1п, теория скэйлинга предсказы- вает для поверхностного индекса значение у* = у + 1; очевидно, что это предсказание полностью подтверждает- ся V. В действительности специальное исследование пока- зывает, что выражение для поверхностной восприимчиво- сти содержит также расходящийся член, характеризуемый индексом у + v, в соответствии с E.43) [55]. В пленках с периодическими граничными условиями Тс (п) всегда монотонно стремится к Тс (оо). Более того, так как Хо = d — 2 (d > 3), E.74) то асимптотический сдвиг меньше, чем сглаживание (за исключением «случайных» причин при d — 3). Как уже отмечалось, неясно, почему этот эффект необычайно сильно зависит от размерности пространства d. Для периодических граничных условий расчеты снова приводят к экспоненциально быстрому достижению пре- дельного значения восприимчивости при Т Ф Тс; об этом уже говорилось ранее в связи с моделью Изинга. Точнее говоря, получается (Т) (Т) » B°d (Т) я- где в согласии с гипотезой скэйлинга rotvd при г и E.75) E.76) E.77) а для d = 4 появляется также соответствующий логарифми- ческий множитель. Кроме того, в случае периодических граничных условий скэйлинговые функции X (х) правильно передают асимптотическое поведение E.75). Общий вывод, к которому мы пришли, рассмотрев сфе- рическую модель, состоит в том, что, за исключением ?) В анализе, приведенном ранее в работе Ватсона t53]B допу- щена в этом месте ошибка.
358 М. Фишер зависимости типа 1 (/г) для сдвига, скэйлинг хорошо рабо- тает х) во всех случаях, когда границы свободны. С другой стороны, такой сдвиг не согласуется также с теорией самосогласованного поля, так как он имеет противоположный знак. (Кроме того, хотя теория само- согласованного поля дает для модели Изинга правильный знак сдвига, она не дает ни правильной величины сдвига для d = 2 или для d = 3, ни даже правильного индекса.) Как это объяснить — неясно. Хотя ситуация в целом и неясна, можно все же отметить следующее. В сферической модели сферическое поле Хд> все время должно поддерживаться таким, чтобы обеспечи- валось выполнение сферического условия E.71). Таким образом, Хф зависит не только от Т (и от внешнего упорядо- чивающего поля ? = Н), но также должно зависеть и от числа слоев п. Вид зависимости от п можно предсказать из следующих соображений. Спины вблизи границы менее упорядочены из-за уменьшения величины взаимодействий, приводящих к ослаблению корреляции (как в модели Изинга). Сам по себе этот эффект привел бы к тому, что Тс (п) < Тс (оо). Однако эти граничные спины, составляю- щие, вероятно, l//z часть полного числа спинов, будут вно- сить меньший вклад также и в сферическую сумму З1* [см. E.70)]. Следовательно, для того чтобы выполнялось общее сферическое условие, поле Х^> должно увеличиться на величину порядка \1п. Возрастание величины Ха>, дей- ствующей на спины во всем объеме, приводит к пропорцио- нальному увеличению слагаемых, соответствующих спин- спиновому взаимодействию, тем самым увеличивая темпе- ратуру перехода на величину \1п порядка сдвига. Таким. образом, сферическое поле, которое, вероятно, можно рассматривать как замаскированное дальнодей- ствующее взаимодействие, обеспечивает прямую связь между граничными и внутренними спинами. Эта связь и явилась причиной сдвига пропорционального \1п\ 15 Заметим, что необъясненная зависимость l/nd~2 для сдвига в случае периодических граничных условий (пленки) наверняка связана со слагаемыми высшего порядка и, следовательно, соот- ветствует просто вкладу точки хс = 0 в скэйлинговую функцию; см. E.46)—E.48). Теория сингуляр ноете й в критической точке 559 ¦ Может быть, в действительности нельзя считать, что сферическое слагаемое в статистической сумме обусловлено дальнодействующими силами (в конце концов оно представ- ляет собой сумму строго локальных слагаемых). Скорее следует сферическое поле Хд> считать «скрытым полем» такого типа, как вводимое в эффектах перенормировки [38]. Термин «скрытое» вполне можно здесь применять, так как при рассмотрении пленок из идеального бозе-газа (как это было недавно показано [51]) оказалось, что сдвиг Тс (нескэйлинговый и немонотонный) пропорционален 1/п. «Естественно» изучать поведение пленки газа толщиной L при условии, что плотность всюду постоянна. В противном случае без этого «навязанного условия» постоянства хими- ческого потенциала в идеальном бозе-газе вообще невоз- можен фазовый переход. Но так как локальная плотность вблизи стенок меньше, чем в объеме, полный химический потенциал (который не играет решающей роли в конден- сации бозе-газа) должен увеличиться на величину порядка L. Этот «скрытый» эффект как раз и приводит к росту температуры перехода на величину того же порядка. 5.10. Выводы Если указанное выше объяснение правильно, а я думаю, что оно действительно правильно, то оно тем самым привело к приятному синтезу различных, высказанных ранее точек зрения. Скэйлинг по-прежнему оказался очень полезным, однако крайне важен правильный выбор переменных: скорее всего нужно использовать поля, а не плотности. Здесь мы ограничились только обсуждением теории, хотя уже настало время сравнить ее с поведением реальных веществ. К сожалению, почти из всех физических материа- лов очень трудно изготовить однородную пленку известной толщины, поэтому имеется лишь несколько достаточно точ- ных экспериментов. Однако экспериментальная техника в этой области быстро развивается, и мы можем рассчиты- вать на появление в недалеком будущем хороших экспе- риментов, в частности, на жидкостях и особенно на сверх- текучем гелии. В последнем случае подобные эксперименты дадут возможность измерить объемный критический индекс v, характеризующий недиагональный радиус корреляции, который нельзя найти ни из какого другого эксперимента.
360 М. Фишер Приложения А. Отказ от требования симметрии у = у' Для того чтобы равенство y = ?'» вытекающее из B.65) и B.68), перестало выполняться, можно было бы предполо- жить, что при переходе через Тс индекс р в B.56) принимает значение р*. Очевидно, что это не может повлиять на критическую изотерму B.57), которая не зависит от р. Рассмотрим, однако, производную {dtJdT)\p — —(dS/d\P")r, которая на критической изотерме есть не что иное, как коэффициент Zi (Ч*1) в B.58). Из B.60) видно, что z± (W) по определению [должно зависеть от р. Следовательно, из предположения о разных величинах Р для Т =s^ Te Т Т (dS/d р и Т ' > Тс вытекает наличие скачка при пересече- нии критической изотермы вдали от критической точки (т. е. при ?, *F > 0). Более того, интегрируя (dS/dW)T от 5 = Sc при \F == 0, получаем также скачок и самой энтропии, что совершенно бессмысленно. Все наши пред- ставления, как теоретические, так и экспериментальные, говорят о непрерывности энтропии, а также вообще всех производных от энтропии при W > 0. Итак, предложенным способом не удается избежать требования выполнения условия симметрии Y = ?'¦ Можно, однако, проиллюстрировать на конкретном примере, что упомянутый выше способ доказательства у =? у' неприменим, если предположить, что h (х) описы- вает не все важнейшие особенности. Так, предположим, что коэффициент k± = h' (x0) в B.64) равен нулю; тогда перестает выполняться B.65) и вытекающее из него соот- ношение у' = р (S — 1), так как восприимчивость в нуле- вом поле будет зависеть от неисчезающих поправок высшего порядка к асимптотическому уравнению состояния. По ана- логии с анализом, сделанным для корреляционных функ- ций [27, 28],- можно постулировать следующий вид урав- нения состояния: (АЛ) (A.2y Теория сингулярностей в критической точке 361 Это условие на 6i обеспечивает возможность пренебрежения слагаемым с hi (х), если h (x) не обращается в нуль. Допу- стим также, что hi (x) линейным образом обращается в нуль в той же точке х0, где и h (x), т. е. 6 0. (А.З) = P, а Тогда при расчете низкотемпературной в нулевом поле получаем для х~*-х0: восприимчивости ..., (A.4) при х = t/\W |*/Р—>-х0 \W | -+¦ Wo > 0, и, следовательно, второй, или «поправочный», член в этом разложении стано- вится важнее первого. Тогда восприимчивость все еще определяется формулой B.65), но k± должно быть заменено на &11', в то время как у' определяется теперь следующим образом: у' = р Ft - 1) > Р (б - 1) = V (А-5) Итак, мы сумели нарушить симметрию, но только ценой введения довольно искусственной гипотезы о «слу- чайном» обращении в нуль главного коэффициента k± я учета слагаемых более высокого порядка с новыми индек- сами. У нас, однако, имеются некоторые соображения на этот счет; действительно, есть основания полагать, что существенные поправки к асимптотическому уравнению состояния могут быть записаны в виде (А.1) (см. лекцию Домба на этой школе). Б. Доказательство теоремы 2 об аналитичности Мы приведем доказательство теоремы 2 при дополни- тельном условии у@,г)=&0. . (Б.1) Доказательство для случая у @, z) = 0, причем нуль — кратности h, будет опубликовано -в [33]. Для удобства введем обозначения w = In z, v = —In и, (Б.2) q (w, x) = In у (х, z), (Б.З) 24—0826
362 М. Фишер (х) = In р (х), со (х) = In о (х), L (v) = —In U (e~v). (Б.4) (Б.5) Исключим в дальнейшем случай степенной функции U (и), когда L (v) прямо пропорционально v. При этом получаем L» = |?-^0. (Б.6) Учтя введенные выше обозначения, перепишем основную формулу C.25) в виде q (w, x) = ty (x) — L [« (х) — w] (Б.7) и потребуем, чтобы q (w, х) было аналитично по х вблизи х = О для всех конечных w [здесь мы воспользовались также условием (Б.1)]. Предполагая дифференцируемость функции у (х, г), диф- ференцируя (Б.7), получаем (Б.8) (Б.9) (Б. 10) (Б.11) Ш ~ w] Учитывая соотношение (Б.6), можно исключить L"(co — из последних двух уравнений, что приводит к , х) и с помощью (Б.8) и (Б.9) найдем Предположим, что все функции дх, ^, ^х и ^ц, ана- литичны в точке х = 0 (для всех w). При этом допускается лишь, что при х = 0 функция qww может обратиться в нуль кратности, скажем, т + 1. Отсюда вытекает возможность разложения функции w' (x) в ряд Лорана, сходящийся Теория сингулярностей в критической точке 363 в интервале 8 < | х I < х0 для всех 8 > 0: со' С С_ ft=_TO-l И &=—то—1 (Б. 14) (Б.15) где d_m может обратиться в нуль, так как функции qw (w, x), qwx (w, x) могут иметь нули. Интегрируя эти уравнения, получаем г где , и '--2-Й- где а функции — 6о> (Б. 16) (Б.17) (Б. 18) (х) = «о (х) = S co(ft>x fe0 (Б. 19) — аналитичны для малых х, причем коэффициенты и ю@) произвольны, а Кроме того, (Б.20) я,= ^, ^ = -^f- (/>1). (Б.21) Вводя функции (Б. 16) и (Б.17) в показатели экспонент и обозначая po(x) = ew>w, о0(х)=еа>оЮ^ (Б.22) получаем функции р (х) и а (х) в такой форме, как тре- буется в теореме 2. 24
364 М. Фишер В. Сведение параметрического скэйлинга к гипотезе одно- родности Как уже было показано, можно исходить из четырех- функционной формулировки скэйлинга х = rk @), y = t\(r)l (9), г = ?(г) в, (В. 1) которая с очевидностью обеспечивает аналитичность. В слу- чае степенных законов ц (г) = Ага, I (г) = Вг\ (В.2) где а = рб и b = р, можно исключить г, что дает A\x\*l(Q) ,ft(9)|« ' z_B\x\bQ У—ТТШ^, 2 = Ч^Р- (В'3) Для исключения 0 определим функцию 0 (X) с помощью уравнения к\ку)=Л.?з J t> | . (В.4) Используя эту функцию (которая имеет как положительную, так и отрицательную ветвь), получаем ~a/b\zia/b AB~a/b\z [в (X)] а/Ъ ' где (В.5) (В.6) Сравнение этого результата с формулой Гриффитса у = I z |в h (X) (В.7) приводит к где' б = а/Ь. В случае простого полинома уравнение для 0 (X) примет вид -ef = a, где Теория сингулярностей в критической точке 365 Очевидно, что решение этого уравнения в замкнутой форме возможно, если b = р = V2 или 6 = 1, однако в наиболее интересной области V2 < 6 < 1 уравнение не имеет анали- тических решений. Г. Решение для модели взаимодействующих кластеров Во всех одномерных континуальных моделях такого типа наиболее эффективно использование преобразования Лапласа (Г.1) большой канонической статистической суммы Е (z, p, L) для цепочки длиной L. В этом приложении будет использовано обозначение Р (Г.2) которое не следует путать с критическим индексом. Если в точке s'o (z, Р) функция W (s) обладает сингуляр- ностью с наибольшей действительной частью — или, обоб- щая, наибольшей «абсциссой» сходимости,—-то термодина- мическое поведение системы определяется после перехода к бесконечному пределу по L простым уравнением: Рр = s0 (г, Р). Переход к преобразованию Лапласа позволяет выделить парные взаимодействия и, согласно D.56), ввести основные преобразования: (Г.З) и (Г.4)
366 М. Фишер тем самым конкретизируя модель. Тогда нетрудно учесть вклад всевозможных кластеров из I = 1, 2, 3, ... частиц * Это выражение можно переписать в виде со Я (z, p, s) = 2 zl ГУ» (8, s)!'-1 e Р. где г-i с , s) = lim П 7zft (p, s) l~l = f (Г.5) (Г.6) 1dr (Г.7) — преобразование Лапласа для бесконечного кластера. Функция IF (/; р, s), которая является «поверхностной» свободной энергией Гиббса для кластера из / частиц [ср. с D.4)], определяется из сравнения (Г.5) и (Г.6): Ц Р, s) = ТТ Г Jco Ф, s) -1 11 L /№ (P, s) J • (Х м> Отсюда следует при что, очевидно, должно быть справедливо для «поверхно- стных» членов. Наконец, всевозможные последовательности г = 0, 1, 2, 3,.. . . кластеров на линии могут быть записаны в виде = -Т + 7гЯ(ИК)гН. (Г.9) г=0 Нетрудно показать, что этот ряд расходится и функция 1 (s) обладает сингулярностью, являющейся простым полю- Теория сингулярное/пей в критической точке 367 сом, если выполнено внешнее условие Н(г, Р, s0) К (Р, s0) = 1. (Г. 10) Это обычное условие для определения s0 (z, P); оно соот- ветствует газоподобным конфигурациям жидкости с мно- жеством малых и несколькими большими кластерами. Кроме того, функция W (s) обладает сингулярностями (т. е. неаналитична), если сама функция Я (z, p, s) имеет сингулярности. Согласно (Г.6), это возможно, если выпол- нено внутреннее условие и = zJсо (Р, s) = 1 при s = s0 (z, Р), (Г. 11) которое соответствует жидкости с жидкоподобной конфи- гурацией, состоящей по существу из одного бесконечного кластера. Переход от одного из этих условий или состояний к другому (в зависимости от того, которое из них дает наибольшее s0) соответствует фазовому переходу. После того как выяснилось, что задача сводится лишь к анализу двух условий (Г. 10) и (Г. 11), имеет смысл перей- ти к иной формулировке на языке производящей функции (Г. 12) Y (и; р, s) = 2 и'е-0^; Р. В этой формулировке заключена вся существенная инфор- мация о «поверхностной» свободной энергии W (I; P, s) кластера из /-частиц [ср. с (Г.5)]. Тогда из (Г.9) следует, что для нахождения и (Р, s) необходимо решить уравнение (ТАЗ) Наконец, согласно (Г. 11), все термодинамические функ- ции системы могут быть получены из химического потен- циала (или свободной энергии Гиббса), определяемого сле- дующим образом: (р, T) = kBT In и (Р, In ] • (Г-14) где Л (Т) = Цг2/Bлткв Т)]1^ — длина волны де Бройля. Эти результаты (в несколько измененных обозначениях) приведены в лекции.
368 М. Фишер ЛИТЕРАТУРА 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. . Fisher M. E., Journ. Math. Phys., 5, 944 A964). . Fisher M- E., The Nature of Critical Points, в книге: «Lectures in Theoretical Physics», Univ. of Colorado, Press. Colorado, 1965. (Имеется перевод: Фишер М., Природа критического со- стояния, изд-во «Мир», 1968.) . Fisher M. E., Rep. Progr. Phys., 30, 615 A967). Kadanoff L. P., et at., Rev. Mod. Phys., 39, 615 A967). Fisher M. E., Phase Transitions and Critical Phenomena, в книге «Contemporary Physics. Triesbe Symposiym 1968», Vol. 1, IAEA, Vienna, 1969, p. 19. Heller P., Rep. Progr. Phys., 30, 731 A967). Fisher M. E., Burford R. J., Phys. Rev., 156, 583 A967). Widom В., Rowlinson J. S., Journ. Chem. Phys., 52, 1670 A970). Moldover M. R., Phys. Rev., 182, 342 A969). Griffiths R. В., Wheller J. C, Phys. Rev., A2, 1047 A964). Fisher M. E., Phys. Rev., 176, 257 A968). Fisher M. E., Arch. Ratl. Mech. Anal., 17, 377 A964). Ruelle D., «Statistical Mechanics — Rigorous Results», ed. W. A. Benjamin, Inc., New York A969). (Имеется перевод: Рюэль Д., Статистическая механика. Строгие результаты, изд-во «Мир», 1971.) Ahlers G., Phys. Rev. Lett., 23, 464 A969). Widom В., Journ. Chem. Phys., 41, 1633 A964). Essam J. W., Fisher M. E., Journ. Chem. Phys., 38, 802 A963). Rushbrooke G. S., Journ. Chem. Phys., 39, 842 A963). Griffiths R. В., Journ. Chem. Phys., 43, 1958 A965). Ganton J. D., Buckingham M. J., Phys. Rev. Lett., 20, 143 A967). Fisher M. E., Phys. Rev., 180, 594 A969). Widom В., Journ. Chem. Phys., 43, 3892, 3898 A965). Kadanoff L. P., Physics, 2, 263 A966). Domb C, Hunter D. L., Proc. Phys. Soc, 86, 1147 A965). Поташинский A. 3., Покровский В. Л., ЖЭТФ, 50, 439 A966). Fisher М. E., Physics, 3, 255 A967). Griffiths R. В., Phys. Rev., 158, 557 A967). Jasnow D- M., Fisher M. E., Theory of Correlations in the Criti- cal Regions (в печати). См. [3], гл. 9.3. Schofield P., Phys. Rev. Lett., 22, 606 A969). Schofield P., Litster J. D., Ho J. Т., Phys. Rev. Lett., 23, 1098 A969). Josephson B. D., Journ. Phys., C2, 1113 A969). Felderhof B. U., Fisher M. E., Ann. Phys., New York, 58, 176, 217, 268 A970). Fisher M. E., (в печати). Gunton J. D., Buckingham M. J., Phys. Rev., 166, 152 A968). Kiang С S., Pftys. Rev. Lett., 24, 47 A970); см. также. Ki- ang C. S., Stauffer D., Zs. Phys., 235, 130 A970). Wagner H., Phys. Rev. Lett., 25, 31, 261 A970). Straub J., Phys. Lett., 31A, 453 A970). Литература 369 38. Fisher M. E., Phys. Rev., 176, 257 A968). 39. Wagner H., Swift J., Zs. Phys., 239, 182 A970). 40. Kac M., Uhlenbeck G. E., Hemmer P. C, Journ. Math. Phys., 4, 216, 229 A963). (Имеется перевод в приложении к книге: Кац М.\ Вероятность и смежные вопросы в физике, изд-во «Мир», 1965.) 41. Lebowitz J. L., Penrose 0., Journ. Math. Phys., 7, 98 A966). 42. Steel G., Phys. Rev., 173, 314 A968). 43. Fisher M. E., Journ. Phys. Soc. Japan, Suppl., 26, 87 A969). 44. Fisher M. E., Ferdinand A. E., Phys. Rev. Lett., 19, 169 A967). 45. Fisher M. E., Scesney P. E., Phys. Rev., A2, 825 A970). 46. Riedel E. K-, Wegner F., Zs. Phys., 225, 195 A969). 47. Riedel E. K-, Journ. Appl. Phys., 42, 1383 A971). 48. McCoy В. М., Wu Т. Т., Phys. Rev., 162, 436 A967). 49. Ferdinand A. E., Fisher M. E., Phys. Rev., 185, 832 A969). 50. Allan G. А. Т., Barber M. N., Fisher M. E., Conference on Statis- tical Mechanics, Chicago, 1971; и дальнейшие публикации. 51. Barber M. N-, Fisher M. E., Conference on Statistical Mechanics, Chicago, 1971; и дальнейшие публикации. 52. Halperin В. I., Hohenberg P. C, Phys. Rev., 177, 952 A969). 53. Watson P. G., Journ. Phys. Soc, 1, 268 A968). 54. Allan G. А. Т., Phys. Rev., Bl, 352 A970). 55. Watson P. G., Ph. D. thesis (Univ. of London, 1969). 56. Berlin Т. Н., Кос М., Phys. Rev., 86, 821 A952). . 57. Joyce G. S., Phys. Rev., 146, 349 A966). 58. Fisher M. E., Allan G. А. Т., Finite Size Effects in the Spherical Model, report, April 1970.