ББК 22.13
К68
УДК 511.336
Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложе-
приложения.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.— 1989.— 240 с.
ISBN 5-02-013940-8.
Дано подробное изложение метода тригонометрических сумм
и его приложений в теории чисел и вычислительной математике.
Рассмотрены как традиционные приложения к распределению
дробных долей, оценкам дзета-функции, теории сравнений и дио-
фантовых уравнений, так и ряд новых приложений тригонометри-
тригонометрических сумм к вполне равномерному распределению, распределе-
распределению знаков в периодических дробях и приближенному вычисле-
вычислению кратных интегралов.
Для научных работников и аспирантов, специализирующихся
в теории чисел и других разделах математики, использующих ме-
методы теории чисел. Доступна также студентам математических
факультетов университетов и педагогических институтов. Для ее
чтения достаточно знания элементарной теории чисел и основ ма-
математического анализа.
Табл. 1. Библиогр. 51 назв.
Рецензент
доктор физико-математических наук А. И. Виноградов
1602030000—006
К 053@2)-89 20'89
ISBN 5-02-013940-8
) Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1989
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Введение 7
главА I
ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ 12
§ 1. Суммы первой степени 12
§ 2. Общие свойства полных сумм 19
§ 3. Суммы Гаусса 25
§ 4. Простейшие полные суммы 34
§ 5. Метод Морделла 43
§ 6. Системы сравнений 48
§ 7. Тригонометрические суммы с показательной функ-
функцией 56
§ 8. Распределение знаков в полном периоде периодиче-
периодических дробей 61
§ 9. Тригонометрические суммы с рекуррентной функ-
функцией 70
§ 10. Суммы символов Лежандра 78
глава и
СУММЫ ВЕЙЛЯ 86
§ 11. Метод Вейля 86
§ 12. Системы уравнений 97
§ 13. Теорема Виноградова о среднем 106
§ 14. Оценки сумм Вейля 118
§ 15. Повторное применение теоремы о среднем . . . 132
§ 16. Суммы, возникающие в теории дзета-функции . 141
§ 17. Неполные рациональные суммы 149
§ 18. Двойные тригонометрические суммы . . . . 157

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА III
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ, НОРМАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 163
§ 19. Равномерное распределение дробных долей - . 163
§ 20. Равномерное распределение систем функций и впол-
вполне равномерное распределение 174
§ 21. Нормальные и совместно нормальные числа . . 184
§ 22. Распределение знаков в части периода периодиче-
периодических дробей *92
§ 23. Связь между тригонометрическими суммами, квад-
квадратурными формулами и распределением дробных
долей 204
§ 24. Квадратурные и интерполяционные формулы с тео-
теоретико-числовыми сетками 217
Список литературы 235
ПРЕДИСЛОВИЕ
Метод тригонометрических сумм — один из немногих
общих методов, позволяющих решать широкий круг раз-
разнообразных задач теории чисел и ее приложений. С по-
помощью этого метода были получены наиболее сильные
результаты в ряде центральных вопросов аналитической
теории чисел. Поэтому знание основ теории тригономет-
тригонометрических сумм необходимо каждому, кто хочет свободно
ориентироваться в методах современной теории чисел.
Изучение метода тригонометрических сумм осложня-
осложняется тем, что известные монографии [5] — [7], [36] и [37]
рассчитаны на специалистов, охватывают сразу большое
число фундаментальных проблем, написаны сжато и в
связи с этим трудны для первого знакомства с предметом.
Главная цель настоящей монографии — дать по возмо-
возможности простое изложение основ теории и на ряде при-
примеров показать, как тригонометрические суммы возника-
возникают и применяются в задачах теории чисел и в вопросах,
связанных с ее приложениями. Книга рассчитана в пер-
первую очередь на тех, кто только приступает к изучению
тригонометрических сумм. Вместе с тем она может пред-
представить интерес и для специалистов, так как содержит
ряд результатов, не вошедших в другие монографии.
Книга представляет собой расширенный курс лекций,
который автор в течение многих лет читал на механико-
математическом факультете МГУ. В ней подробно изло-
изложены классические результаты Гаусса, методы Вейля,
Морделла и Виноградова, рассматриваются традиционные
приложения тригонометрических сумм к распределению
дробных долей, оценкам дзета-функции Римана, теории
сравнений и диофантовых уравнений. В книгу включены
также и некоторые новые приложения тригонометриче-
тригонометрических сумм. В частности, рассматриваются вопросы рас-
распределения знаков в периодических дробях, возникающих
при разложении рациональных чисел в произвольной си-

6 ПРЕДИСЛОВИЕ
стеме счисления, и изложен ряд результатов по вполне
равномерному распределению дробных долей и прибли-
приближенному вычислению кратных интегралов.
В книгу не включены вопросы аддитивной теории
чисел, так как для их неформального усвоения необхо-
необходимо свободное владение основами теории тригонометри-
тригонометрических сумм. С этими и другими вопросами, изложенны-
изложенными в монографиях [5] — [7], [37], (?47], [38] и [10], легче
будет знакомиться при последующем, более углубленном
изучении предмета.
Для чтения книги достаточно знания основ матема-
математического анализа и начальных сведений по элементар-
элементарной теории чисел. Тем, кто впервые знакомится с вопро-
вопросом, чтение книги полезно сочетать с решением задач
на исследование и применение простейших тригонометри-
тригонометрических сумм [8].
I
ВВЕДЕНИЕ
Тригонометрическими суммами называются суммы
вида
S(P) = 2 e™Wx\ A)
X
где суммирование распространено на все целые или часть
целых из некоторого интервала, Р — число слагаемых и
/ (х) — произвольная функция, принимающая при целых х
действительные значения. К изучению таких сумм могут
быть сведены многие вопросы теории чисел и ее прило-
приложений.
Покажем, например, как возникают тригонометриче-
тригонометрические суммы при решении вопроса о возможности предста-
представить натуральное число N в виде суммы одинаковых сте-
степеней натуральных чисел
N = xn1+...+xnh B)
(проблема Варинга). Пусть п, к и N — фиксированные
натуральные числа, Р — наибольшее целое, не превосхо-
превосходящее Nl/n, и Tk(N) —число решений уравнения B).
При целом а определим функцию if (я) с помощью ра-
равенства
/ \ Г „ ¦„„ , fl, если а = О,
•ф (а) = J e2maada '
о
Тогда, очевидно,
р
ж,,.
0, если а Ф 0.
*!„,.,*?=!?
I da.

ВВЕДЕНИЕ
Таким образом, арифметическая задача о числе решений
уравнения B) сводится к исследованию интеграла, за-
зависящего от степени тригонометрической суммы
р
S(P)=
C)
Наиболее важны для приложений суммы, в которых
функция f(x) является полиномом, а область суммиро-
суммирования представляет собой некоторый интервал:
Q+P
S(P)= 2 e2Iti«x\ / (x) = ахх + ... + апхп. D)
x=Q+l
Такие тригонометрические суммы называются суммами
Вейля, а степень полинома f(x)— степенью суммы Вейля.
Так, например, сумма C), возникающая в проблеме Ва-
ринга, является суммой Вейля степени п.
Центральной задачей теории тригонометрических сумм
является получение возможно более точных верхних оце-
оценок для модуля тригонометрической суммы. Так как
модуль каждого слагаемого суммы равен единице, то для
всякой суммы A) справедлива тривиальная оценка
\S(P)\<P.
Первые общие нетривиальные оценки сумм D) при-
принадлежат Г. Вейлю [49]. При определенных требованиях
к старшему коэффициенту полинома f(x) им было пока-
показано, что при любом е из интервала 0 < 6 < 1 справед-
справедлива оценка
v
е2Я»/(я)
E)
где *у = 1 — е и С(п, е) не зависит от Р. Существенное
усиление этого результата при п > 12 было получено
И. М. Виноградовым [5], показавшим, что в оценке E)
при некотором -у > 0 вместо С (п, г)Р 2 можно поста-
поставить величину С(п)Р .
Если дробные доли функции f(x) имеют целочислен-
целочисленный период, т. е. если при некотором натуральном т для
всякого целого х выполняется равенство {f(x + x)} =
= {f(x)}, где {/(ж)} — дробная доля функции f{x), то
ВВЕДЕНИЕ
сумма
S (т) = 2
x=i
называется полной тригонометрической суммой. Приме-
Примером полной тригонометрической суммы может служить
сумма Вейля, в которой все коэффициенты полинома/(а;)
рациональны и число слагаемых равно общему знамена-
знаменателю этих коэффициентов:
s (q) = 2
ОС—1
ах+...+апхп
г=
F)
При а„ Ф 0 (mod q) такие суммы называются полными
рациональными суммами степени п. Для них известны бо-
более точные оценки, чем оценки сумм Вейля общего вида.
Всестороннее исследование полных рациональных сумм
второй степени было проведено Гауссом. В частности, им
было показано, что при (я, q) = 1 для модуля суммы
x=i
выполняются равенства
yq,
\S(q)\-
если q == I (mod 2),
1^2g, если q = 0 (mod 4),
О, если #^=2 (mod4).
Для полных рациональных сумм произвольной сте-
степени при простом q Морделлом [45] была получена оценка
2Яг-
ж=1
G)
где С(п) не зависит от q. Xya Ло-ген [37] распространил
эту оценку на случай произвольного натурального q. Су-
Существенное усиление результата Морделла было получе-
получено А. Вейлем [48], показавшим, что при простом q мо-
модуль суммы G) не превосходит величины (п — 1) Уд. При
фиксированном п и возрастающем д оценки А. Вейля и
Хуа Ло-гена являются по порядку роста предельно точ-
точными и не допускают уже дальнейшего усиления.
Примером полных сумм, отличных от полных рацио-
рациональных сумм F), являются тригонометрические суммы

10
ВВЕДЕНИЕ
с показательной функцией
2Яг-
(8)
где (q, m)=l и т — показатель, которому q принадле-
принадлежит по модулю т. К оценкам таких сумм и сумм S(P)
сР<т сводится вопрос о числе появлений фиксирован-
фиксированной группы знаков среди первых Р знаков периодической
дроби, возникающей при записи произвольного рациональ-
рационального числа — в д-ичной системе счисления [25]. Величина
суммы (8) зависит от характера разложения т на простые
сомножители и для полных сумм в большинстве случаев
„ т-1 тч ^ In/те
оказывается равной нулю. Если же Р < т, то при п = т—-
и т, равном степени простого числа, выполняется оценка
2Лг
.ад*
1—
где С и 1 — абсолютные константы.
Необходимость оценивать тригонометрические суммы
возникает и в вопросе о приближенном вычислении ин-
интегралов произвольной кратности [16]. Рассмотрим, на-
например, квадратурную формулу, построенную с по-
помощью произвольной сетки Mh = M{%\(k), %ъ{к)) (к =
= 1,2, ..., Р):
СС 1 ?
J J F (xu x2) dxxdx2 = -f 2 F (Si (A), Sa (*)) ~ Rp IЛ, (9)
о о ft=al
где ^(#i, жг) — периодическая функция, заданная абсолют-
абсолютно сходящимся рядом Фурье:
F (Xl, х2) =
С К,
Подставляя этот ряд в равенство (9), после перемены
порядка суммирования получим
Rp IF] = 4' C (mi> m^ 2 e^m^k)+m^h)) ,
т. ,т =—оо ft=l
где 2' означает суммирование по всем (ти т2)^@, 0).
ВВЕДЕНИЕ
11
Отсюда следует, что для погрешности квадратурной фор-
формулы (9) выполняется оценка
где тригонометрическая сумма
S(m1: т2) = ^ е2Я
определяется заданием сетки #(gi(A;), |2(A;)). Выбирая
функции ^(/с) и |2(&) так, чтобы суммы 5(т(, тге2) оце-
оценивались достаточно хорошо, мы получаем возможность
строить квадратурные формулы высокой точности.
Первая глава книги содержит подробное изложение
начальных сведений из теории полных тригонометриче-
тригонометрических сумм и сумм, оценки которых сводятся к оценкам
полных сумм. Теоремы, помещенные в этой главе, срав-
сравнительно просты, однако они составляют фундамент тео-
теории тригонометрических сумм общего вида и служат не-
необходимой подготовкой к более сложным построениям
второй главы. Для иллюстрации возможных приложений
полных сумм в первой главе дано решение вопроса о
распределении знаков в периоде систематических дробей,
возникающих при записи рациональных чисел в произ-
произвольной системе счисления.
Вторая глава технически значительно сложнее пер-
первой. Она посвящена изложению теории сумм Вейля об-
общего вида. Наряду с основополагающими методами Вей-
Вейля и Виноградова в ней изложены исследования, осно-
основанные на повторном применении теоремы о среднем,
и дано их приложение к оценкам сумм, возникающих в
теории дзета-функции Римана [18]—[21].
В третьей главе рассматриваются приложения триго-
тригонометрических сумм к распределению дробных долей и
построению квадратурных формул. В ней изложена соз-
созданная Вейлем теория равномерного распределения, рас-
рассмотрены вопросы вполне равномерного распределения
[13] и их связи с теорией нормальных чисел [15]. Заклю-
Заключительная часть главы посвящена вопросу о приближен-
приближенном вычислении кратных интегралов и построению интер-
интерполяционных формул для функций многих переменных
[161, [22], [23].

ГЛАВА I
ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
§ 1. Суммы первой степени
Простейшим примером сумм Вейля является сумма
первой степени
Q+p
S(P)= 2
0
Эта сумма относится к числу немногих тригонометриче-
тригонометрических сумм, которые удается не только оценить, но и не-
непосредственно вычислить. Действительно, если а — целое,
то е2яга= 1 и, следовательно,
Q+P
x=Q+l
Если же а не является целым числом, то егяЫФ 1, и сум-
суммируя геометрическую прогрессию, получим
Q+P
¦«г! лШаР — 1
> е2Ягах __ g2nia(Q+i) flO)
Однако обычно удобнее пользоваться не этими точными
равенствами, а следующей оценкой:
Лемма 1. Пусть а — произвольное действительное
число, Q — целое и Р — натуральное. Тогда
Q+P
е2ягах
x=Q+l
< min P,
1
2||а
A1)
где Hall — расстояние от а до ближайшего целого.
Доказательство. Так как обе части A1) являют-
являются четными периодическими функциями а с периодом,
равным единице, то оценку A1) достаточно доказать при
0 ^ a ^ -7J-. Замечая, что на этом интервале
| е»«*«_ 11 = 2 sin яа ^ 4a = 4 Hall,
§ 1. СУММЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
13
при а Ф- 0 из равенства A0) получим
Q+P
2ЯгаР _
; -S- и применяя при
Пользуясь этой оценкой при ^р-
^р тривиальную оценку
Q+P
N1 g2niax
x=Q+l
получаем утверждение леммы.
Пусть а — произвольное целое и q — натуральное.
Определим функцию 8,(а) с помощью равенства
„ . . _ fl, если а^О (modg),
1{а)~@, если ащкО (modg).
В следующей лемме устанавливается связь между этой
функцией и полными рациональными суммами первой
степени.
Лемма 2. При любом целом а и любом натуральном
q выполняется равенство
ч .ах
83(а) = —^ е2ЯТ A2)
Ж=1
Доказательство. Если а = 0 (mod q), то
9 .ах .4
ж=1
Пусть теперь а Ф 0 (mod q). Тогда получим
42
е ч = —
0.
9 — 1
Утверждение леммы следует, очевидно, из этих равенств
и определения 8q(a).
Функция 8q(x) постоянно будет использоваться в
дальнейшем изложении. Ее значение определяется тем,
что она позволяет устанавливать связь между исследо-
исследованием тригонометрических сумм и вопросом о числе ре-
решений сравнений.

14 ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Рассмотрим, например, вопрос о числе решений срав-
сравнения
а? = Я, (modg),
A3)
аналогичный упомянутому во введении вопросу о числе
решений уравнения Варинга B). Обозначим через Т(Х)
число решений этого сравнения, когда величины
хи ..., хк независимо друг от друга пробегают полные
системы вычетов по модулю q. Очевидно, в силу опреде-
определения функции 6q(x),
Т(к)= 2 бв(а?+ ... +xl-%).
Ki xft=i
Отсюда, согласно лемме 2, следует, что
g
2
g
- 2 т
9 а(х?+...+х?—X)
o=l
1 V -2«iS
0=1
a=l Vx=i
Таким образом, число решений сравнения A3) выра-
выражено через полные рациональные тригонометрические
суммы
Приведем некоторые свойства функции 8q(x), непо-
непосредственно следующие из ее определения.
1°. Функция 8q(x) периодична. Ее период равен q,
2°. Если (a, q) = 1 и Ъ — произвольное целое, то спра-
справедливы равенства
бд (ах) = бд (х),
з
2
Х — 1
§ 1. СУММЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 15
3°. При любом натуральном q\ выполняются равенства
V (qtx) = б, (х), 2 \д (х + ЧУ) = бд (х).
V=l Х
4°. Если (дч, q)= 1, то справедливо равенство
5°. При любом натуральном Р, не превосходящем д,
будет
еСЛИ
если
Лемма 3. Пусть q — произвольное натуральное, 1
а < q и (a, q)= 1. Тогда справедливы оценки
g-l
Х=1
9-1
«=1 Ж
18М In2 q,
где М — наибольшее из неполных частных числа —.
Доказательство. Пусть m — произвольное нату-
натуральное число. Пользуясь при х 5= 1 неравенством
получим
Отсюда соответственно при нечетном и при четном #
следует, что
9-2
9-1
2
Х=1
Так как функция | — | периодична с периодом q и

16
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
(a, q)~ 1, то при нечетном q согласно A5) получим
9-1 9—1
9-1
2
9-1
2
ж=1
х=1
iL9 II II Ч II II Ч
Такая же оценка получается в силу A5) и при четному:
д—1
чем доказано первое утверждение леммы.
Для доказательства второго утверждения применим
преобразование Абеля
g—I
2
g—i
oc=i
9—1
2
При их = — и vx = -г г получим
г х х х \\ах \\ J
9-1
х=1*
х=1
1
Н
1 \\т\\ Н1т
Пусть разложение числа a/q в цепную дробь имеет вид
Тоща при v = 1, 2, ..., п выполняются равенства
Т==? + ^- (l9vl<l)- A7)
где 9*ч и Qv взаимно просты, 1 = ^0^ Qi^ ... < Qn— q,
Q^(qv+ 1) Qv-^ 2MQv-i.
1
Если l^.m<i -z- q, то, определяя v из условия
§ i. СУММЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
я пользуясь равенством A7), получим
17
Ql
c;
Так как при 1 < х < -j- <?v будет
то из A8) следует, что
1т1>т|-я
Но тогда, пользуясь первым неравенством леммы, по-
получим
т Qv-1
^ 8MQV^X In q ^ 16Л/пг In g1.
¦[
Если же -z-q^.m<.q, то
9-1
5C=1
и, следовательно, оценка A9) выполняется не только»
при т < -s- ?, но и при любом т< q. Подставляя ее в
равенство A6), получаем второе утверждение леммы;
9—1 9 — 1
т=1
Покажем, что эти леммы, содержащие еще совсем"
небольшую информацию о тригонометрических суммах,
позволяют получать нетривиальные арифметические ре-
результаты.
Пусть (a, q) = 1, Pi^ q, P2<q и Т — число решений
сравнения
ах^х2 (modg) (I ^
Н. М. Коробов

18 ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Если Pt или Р2 совпадает с q, то, очевидно,
т — р р
q I 2
Вопрос становится сложнее, если и Р, и Р, меньше
чем q. В этом случае можно показать, что
Т = — РХР2 + 90Jlf In2 q, |9|<1, B1)
где М — наибольшее из неполных частных разложения
—— в цепную дробь.
Действительно, пользуясь леммой 2, получим
т =
^2 9 (ах-х)х
2яг
е q
Отсюда после выделения слагаемого с х = q следует, что
T = ±-PXP2 + R, B2)
где
9-1 / г\
2B
=i \*,=1
\ /•
V< —2Яг-
7, е
\х2=1
9-1
х=1 х,—
Таким образом вопрос о числе решений сравнения B0)
сводится к вопросу об оценке сумм Вейля первой сте-
т-г « / Х II || ах II
пени. Пользуясь леммой 1 и замечая, что — и — —
четные периодические функции с периодом q, получим
X
Я.
1
1—1
II Я I
Отсюда согласно лемме 3 следует, что
|йК9ЛПп2?,
а эта оценка в силу B2) равносильна равенству B1).
§ 2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОЛНЫХ СУММ
§ 2. Общие свойства полных сумм
Как уже было сказано, сумма
S (т) = 2 e2Iti«*>
x=l
19-
B3>
называется полной тригонометрической суммой, если при
любом целом х для дробных долей функции f(x) выпол-
выполняется равенство {f(x + %)} = {f(x)}.
Приведем некоторые примеры полных сумм. Пусть
аи ..., ап — целые и ц>(х) = а1х+ ... + апх". Так как,
очевидно,
(x+qy^x- (mod?) (v = 1, 2, ...,«),
то выполняются сравнения
п п
2 av(x + q)v = 2 avx4 (mod g),
V=l V=l
Ф (x + g) ^ ф (x) (mod g).
Но тогда при любом целом а;
/ф (» + g)
и, следовательно, сумма
Мх)
2Лг
о зс+...+а„жп
Х=1
Х=1
названная во введении полной рациональной суммой»,
будет полной тригонометрической суммой в смысле опре-
определения B3).
Рассмотрим теперь тригонометрическую сумму с по-
показательной функцией
= 2j
2Я
.aqx
X=l
B4)
где (а, тп)=1, (q, m) = \ и % — показатель, которому q
принадлежит по модулю т. Будем под q~l понимать-
решение сравнения qx = I (mod m). Тогда, пользуясь
сравнением q% ^ I (mod?re), при любом целом а; получим
aqx+^
. т ) { т j
Следовательно, т является периодом дробных долей

20
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
функции — и сумма B4) будет полной тригонометри-
тригонометрической суммой.
Приведем некоторые свойства полных сумм, непосред-
непосредственно следующие из определения.
1°. Величина полной тригонометрической суммы B3)
не изменится, если переменная суммирования вместо ин-
интервала [1, т] будет пробегать любую полную систему
вычетов по модулю т.
Действительно, так как if(x + х)} = {f(x)}, то при
же= г/ (mod т) выполняется равенство if(x)} {/())
Но тогда
и совокупность слагаемых в сумме B3) не будет зави-
зависеть от того, какие именно вычеты, образующие по моду-
модулю т полную систему вычетов, пробегает переменная
суммирования.
2°. Если (к, т)=1, ц —целое и п — натуральное, то
для полных сумм выполняются равенства
т
2 е2яг/(х) =
Х=1
пх
х
х=1
B6)
Первое из этих равенств является частным случаем
свойства 1°, так как при (X, т)=1 линейная функция
Кх + ц одновременно с х пробегает полную систему вы-
вычетов по модулю т. Второе равенство также следует из
1°, так как при изменении от 1 до пх переменная сум-
суммирования п раз пробегает полную систему вычетов по
модулю т.
3°. Если суммы
B7)
2 <?2Iti/i(x) и 2
Х=1 Х=1
являются полными, то полной будет и сумма
х=1
Действительно, из полноты сумм B7) следует, что
дробные доли функций fi(x) и fz{x) имеют одинаковый
§ 2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОЛНЫХ СУММ
21
период т:
{/, (х + т)} = {/, (х)}, {/, (х + х)} = </, (а:)}.
Но тогда
(Л (ж + т) + U (х + т)} = {/, {х) + /2 (а:)}
и сумма B8) будет полной тригонометрической суммой.
Теорема 1 (формула умножения). Пусть при це-
целых х
где дробные доли функций /,(ж), ..., f,(x) периодичны
и имеют попарно взаимно простые периоды хи ..., %,.
Тогда справедливо равенство
X=l
JJ 2
C0)
Доказательство. Так как, согласно условию,
{/v(;r + Tv)} = {/v(z)} (v=l, 2, .... s) C1);
ж в силу B9)
{/(ж+ т.... т.) }-{/(*)},
то все тригонометрические суммы в равенстве C0) яв-
являются полными. Пусть величины хи ..., х, независимо
друг от друга пробегают полные системы вычетов соот-
соответственно по модулям Tj, ..., т,. При этом, так как
*ci, ..., т, попарно взаимно просты, сумма
XtT2 . . . Т, + . . . + Т4 . . . Т,_1Ж,
будет пробегать полную систему вычетов по модулю
Ti... ts и, следовательно,
2 е«я«(*)= 2 ... 2 eMit^xr-'x*+"'+xi-x—i**). C2)
ж=1 ж1=1 ж8=1
Так как в силу B9) и C1)
iffaxt... т. + ... + т,... x.-tx.)} =
= {/i (xix2... т.) +... + /, (n ... T,_ia;,)},
то равенство C2) можно переписать в виде
= 2 ... 2

22
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Отсюда, пользуясь свойством B5), получаем формулу
умножения:
тг..т8 тх xs
2 e2Iti/(x> =2 • • • 2 e2niVi(xi>+'"+f'(Xt'>'> =
Формула умножения в ряде случаев существенно
упрощает исследование полных сумм. Покажем это на
примере полных рациональных сумм.
Пусть ф (х) = а^х + ... + а„хп — произвольный целочис-
ленный полином,? = Pi . • • Ps — каноническое разложе-
разложение q на простые сомножители и числа Ъи , Ъе выбра-
выбраны так, чтобы выполнялось сравнение
1 ^ Ъ1Раг . .. р** + ... + Р7 ... р??Ъ, (modq). C3)
Тогда для полных рациональных сумм справедливо ра-
равенство
bvq>(xv)
Ф(х)
X=l
Действительно, так как
= П 2
V=l Iv=l
C4)
и в силу C3)
bs<? (J)
то применяя теорему 1, получаем равенство C4).
Формула умножения C4) сводит исследование пол-
полных рациональных сумм с произвольным знаменателем
q к исследованию более простых сумм со знаменателем,
равным степени простого числа.
В качестве другого примера на формулу умножения
докажем равенство
) '^Ч C5)
2
§ 2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПОЛНЫХ СУММ
23
которое понадобится в дальнейшем при исследовании
сумм Гаусса. Рассмотрим сумму '
4? .ж2
2 2яЧ
Ж=1
Выделим слагаемые с х, кратным q, и объединим осталь-
остальные слагаемые в четыре группы:
S= 2j e
ж=1
2лг^— 9V11 / 2лг—
; * + 2 U 45!
2л
;Bд-хJ
49
49
49
Х=1
C6)
С другой стороны, согласно формуле умножения
..2 . 2
*!=1 Х2=1
где й, и &2 удовлетворяют сравнению qbt + 4&2 еэ
s I (mod 4g). Так как это сравнение выполняется при
bt = q и Ь2 = -?- A — д2), то после выделения слагаемого
с х2 = q и замены х2 на 2а;, получим
2 2
2 в q ==
Х=1
я^+ 2 е^^е***-
. C7)
Теперь, замечая, что
4 дж^
¦кл 2лг
2j е 4 = 2 (I + is),,
из C6) и C7) получаем равенство C5):
9-1 ^.х2
^ 2Л^
9-1 .х2
2Лг—
Рассмотрим теперь некоторый класс тригонометриче-
тригонометрических сумм, нетривиальные оценки которых можно

24
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
легко получить путем сведения задачи к оценке полных
сумм.
Пусть дробные доли функции f(x) периодичны, их
наименьший период равен т, 1=^Р<т и Q — произволь-
произвольное целое. Тогда сумма
Q+p
<= 2
x=Q+l
C8)
называется неполной тригонометрической суммой.
Теорема 2. Для всякой неполной тригонометриче-
тригонометрической суммы S(P), определенной равенством C8), выпол-
выполняется оценка
| S (Р) |
max
2-
Ж=1
2ni\f(x)+~
1ПТ).
Доказательство. Из свойства A4) функции
6q(x) следует, что при Р=^т
1'
2 ¦
y=Q+l
если
Применяя этот разрывный множитель и пользуясь
леммой 2, получим
Q+P
Q+x
Q+P
2
l
Q+p
2
5C=Q+1
Так как дробные доли функций f(x) и — имеют пе-
период т, то согласно B8) последняя сумма в этом равен-
равенстве является полной и, следовательно,
i V / V -2ItiT V 2
0=1 \y=Q+l / х=1
Отсюда, пользуясь леммами 1 и 3, получаем утверждение
§ з. суммы гаусса
25
теоремы:
Q+P
2
(l + lnr).
§ 3. Суммы Гаусса
Суммой Гаусса называется полная рациональная три-
тригонометрическая сумма второй степени
g .ax2
*(<?)= 2 е2яг~,
Ж=1
где q — произвольное натуральное число и (a, q)=l.
Суммы Гаусса, так же как и рассмотренные в первом
параграфе суммы первой степени, можно точно вычис-
вычислить. Рассмотрим сперва сравнительно простой вопрос о
вычислении модуля таких сумм.
Теорема 3. Для модуля суммы Гаусса выполня-
выполняется равенство
\S(q)\ =
О,
если g=l (mod2),
, если q = 0 (mod 4),
если #==2 (mod 4).
Доказательство. Обозначим через S(q) сумму,
сопряженную сумме S(q). Тогда получим
.ах"
Воспользуемся вторым свойством полных сумм и заменим
во внутренней сумме х на х + у. Тогда, после перемены

26
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
порядка суммирования, получим
2=
а(.х+у)г-ау2
= 2j
ж=1 y=i
Отсюда согласно лемме 2 следует, что
9
.а
глг-
Ж=1
C9)
Так как по условию а я q взаимно просты, то при
нечетном q в правой части этого равенства отлично от
нуля только то слагаемое, которое получается при х — q,
и, следовательно,
9 =
D0)
Если же q четно, то в сумме C9) отличны от нуля два
слагаемых, которые получаются при х = -к-q ж х = q.
Поэтому, замечая что при четном q из (a, q) = 1 следует
нечетность а, получим
• Л9 \ ( • Я. \
_ f2<7, если q == 0 (mod 4),
~ 1 0, если q=E2 (mod 4).
Отсюда и из равенства D0) следует утверждение тео-
теоремы.
Заметим, что в случае нечетного q утверждение тео-
теоремы 3 справедливо и для сумм общего вида.
Действительно, покажем, что при Bа2, q)=l выпол-
выполняется равенство
=Vq.
D1)
Выберем Ъ так, чтобы выполнялось сравнение lajb ¦
^ui (mod q). Тогда, очевидно,
aix + azxz^a2(x + bJ — a2bz (modq)
и, следовательно,
„ O1+OJ8
« 2JtiJ 2_
aob2
=
Ж—1
Ч
х=1
§ 3. СУММЫ ГАУССА
Отсюда получаем равенство D1) :>
27
о ж+о х2
Рассмотрим простейшие свойства сумм Гаусса. Будем
предполагать, что q = р, где р > 2 — простое число. Легко
показать, что при аФО (mod;?) справедливо равенство
Ж=1
D2)
где 1 — 1— символ Лежандра. Действительно, если х из-
изменяется от 1 до р — 1, то х2 дважды пробегает значения
квадратичных вычетов по модулю р, и так как
B, если х — квадратичный вычет,
1 + =
Р1 [О, если х — квадратичный невычет,
то
Р-1
.ах'
г
= 1 +
.аж
2Я1—
Р
Ж=1 Ж=1 Х=1 '
Отсюда, замечая, что согласно лемме 2 при а Ф 0 (mod p)
получаем равенство D2).
Покажем теперь, что при а Ф 0 (modp)
D3)
/ 2 \
Действительно, умножая равенство D2) на (—) = 1
и замечая, что ах пробегает приведенную систему выче-
вычетов одновременно с х, получим

28
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Отсюда, так как в силу D2)
2G)' '-
ж=1
следует равенство D3).
Покажем еще, что зная модуль суммы Гаусса, легко
вычислить ее значение с точностью до знака. Действи-
Действительно, пусть
Р 2Я«-
Тогда, пользуясь равенством D3), получим
-2лг-
2Лг-
х—1
Отсюда после домножения на (—) S (р) следует, что
Теперь, так как ( —) принимает значение 1 при р
= 1 (mod4) и значение —1 при р^Ъ (mod4), получаем
{-4- Yp, если р == 1 (mod 4),
~ ' D4)
± i у р, если р = Ъ (mod 4).
Вопрос о том, какой знак следует выбрать в этих
равенствах, более сложен. Его решение было найдено
Гауссом. Ниже приведено сравнительно простое доказа-
доказательство теоремы Гаусса, предложенное в работе [50].
Теорема 4. При любом нечетном простом р выпол-
выполняются равенства
р глг^ \VP-, если />=1 (mod4),
ж=1 \i у р, если /> = 3 (mod4).
Доказательство. Покажем сначала, что
2Лг—
о 4Р
< Vp-
D5)
§ 3. СУММЫ ГАУССА
Действительно, применим преобразование Абеля
29
Р-1
: ^ЭС—l) ^Ж == xi Ид; (Уд; i
D6)
при g = [Ур] и
X
вШЯгг-
Так как, очевидно,
2лг:
P-1
,, ,. _ р 4 _ / \\
М-р—1*^р С ^ 1]
2Л1— / 2Лг— -2Лг—
= e ip(e 4p-e iV
2Лг—
то из D6) следует, что
„_;*2 р-1
x=q+l
1-1 1_\
(sinn— ьы Jt Ж + 1 1
2 е
(-«)¦-
Но тогда, замечая, что при 1 < х < /) — 1
. х -\- 1
8шя
sin я тг sin я -
2р
получим
2лг—
4Р
е
р-1
я=9+11 втяттт sin я
+ !+¦
х+ 1

30 ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Отсюда, так как
вш п
-
следует оценка D5).
Теперь, замечая, что
НеA-0
2Л1—
e ip-
и пользуясь оценкой D5), получим
р-1 •?!
am—
A - г) _2 /Яг4Р > /р — 1 — /2 /р> — //>•
D7)
Пусть р = 1 (mod 4). Тогда, согласно D4),
p 2Лг—
2 p
x=l
= ± Vp,
D8)
т. е. эта сумма является действительным числом, и, сле-
следовательно,
2 2
X
р 2лг—
2« р =1
X2
Р—Х 2лг—
^ * р
Х=1 Х=1
Так как, согласно C5) при р = 1 (mod 4)
.х2 ¦ х2
р—1 2Яг— р—1 2яг—
2 е р = A - г) 2 е 4Р,
Х=1 Ж=1
то, пользуясь оценкой D7), получим
х2 "х2
Я=1 Х=1
чем в силу D8) доказано первое утверждение теоремы.
§ 3. СУММЫ ГАУССА
Если р = д (mod 4), то согласно C5) и D4)
р, D9)
и, как и выше, получим
Х=1 Х=1
р _
= Re l±i 2 в 4Р = Re A — г) _
Х=1 Х=1
чем в силу первого из равенств D9) теорема доказана
полностью.
Заметим, что утверждение теоремы 4 можно записать
с помощью одного равенства, не выделяя особо случаи
р = 1 (mod4) vi р^Ъ (mod4):
E0)
Отсюда в силу D3) при любом аФО (mod;?) получаем
E.,
Х=1
Равенство E0) доказано в предположении, что р —
простое нечетное число. Покажем, что такое же равен-
равенство справедливо и для сумм Гаусса с произвольным не-
нечетным знаменателем q:
E2)
Рассмотрим сначала суммы вида
Х=1
где а — натуральное, р — нечетное простое и а взаимно
просто с р. Пользуясь индукцией по а, легко показать,

32
что
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
р ) — \^—
E3)
Действительно, при а = 1 это равенство совпадает с
равенством E1). При а = 2 оно принимает вид S(a,p2) —
= р и получается с помощью замены переменной сум-
суммирования:
2 СЕЭС
р 2яг
СЕЭС
—- р р—1 2Я
2 = s 2 •
г/=12=о
p
„:aV
Пусть равенство E3) доказано для некоторого а S* 2 и
всех меньших значений а. Докажем его для а +1.
Очевидно
pUT1 2Я1-
ра р-1 2Я1-
_ V
y=i z=o
ра 2Яг-
= р2 в г
г=о
Замечая, что в последней сумме отличны от нуля только
слагаемые с у, кратным р, и что р2 = 1 (mod 8), получим
= p 2
чем равенство E3) доказано полностью.
Пусть теперь q > 1 — произвольное нечетное число.
а.
Запишем каноническое разложение q в виде q — Pi ...
а.
... ps и определим аи ..., а, из сравнения
22 ... р3 + ... +Р!1 ... ps-ias= l[mod pS ... ps J.
E4)
§ 3. СУММЫ ГАУССА
33
Будем считать, что в произведении р1 . .. ps нечетные
степени простых стоят на первых г местах. Так как ра-
равенство E3) можно записать в виде
e. x±)i 2 ' р\ если а=1 (mod2),
Ь [а, р )
рг, если а == 0 (mod 2),
то, пользуясь формулой умножения C4), получим
а,
.7 . .X2 < Pv
V—1 v __i
v
Определим величины |3,- и fr равенствами
г
P; = fS-, 7^= 2 РА-
Из определения E4) следует, что
J»!1 ... av . . . pss= I (mod pv),
и, так как
Jl(mod2), если l^v^r,
10(mod2), если r<v^s,
то, очевидно, при 1 ^ v =S r
'Рг-.^...Pr) , {'Л (Рг-Ру-гРу+г-Рг \
К j = 1' \Tj-( 7V J'
Тогда, пользуясь законом взаимности квадратичных вы-
вычетов в форме
ЦФк),
3 II. JI. Коробов

34 ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
из E5) и E6) получим
Pi) \Pr
= .(
E7)
x=l
Так как, очевидно,
(Pi
_ (Pl...pr~l a _
2 j —
(mod 4),-
то из E7) следует, что для всякого нечетного q выпол-
выполняется равенство E2):
\2 ,_
= iV s ; УЧ.
Х=1
Точное значение сумм Гаусса известно и для произ-
произвольного четного q. Если д = 2 (inod4), то согласно тео-
теореме 3 сумма Гаусса обращается в нуль. При q = О
(mod 4) можно показать, что
Х=1
- A + /)
Таким образом полное описание величины сумм Гаусса
дается равенствами
(—J2
2 Уп> если #=1 (mod2),
A + i) Уд, если q = 0 (mod 4),
О, если qE=2 (mod 4).
§ 4. Простейшие полные суммы
Естественным обобщением сумм Гаусса являются
полные рациональные суммы вида
пхп
S(a, q) = 2 «""", E9)
где a a q взаимно просты и п > 2. В отличие от сумм
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ПОЛНЫЕ СУММЫ
35
Гаусса (га = 2) при и>2 для сумм E9) уже не удается
получить явное выражение, но для них легко установить
оценки, порядок которых не допускает дальнейшего улуч-
улучшения. Совсем просто получается оценка
F0)
х=1
где р — простое число.
Действительно, пусть, соответственно, Т(Ъ) и Т —
число решений сравнений azn = b(modp) жхп = j/"(modp).
Пользуясь свойствами двучленных сравнений, получим
T(b)^d, T = l + d,(p~l), F1)
где d= (n, p~l). С другой стороны, согласно лемме 2,
р р ._,(*"-!/")*
Т =
x,V=l
x,y,z=i
. р-1 р
7
2=1 Х,у=1
Следовательно, в силу F1),
1
.2Х"
2Лг
2Л1
.гх
1
Х=1
— /?) = (й — 1) /, (jo — 1). (G2)
Так как согласно B5) при l^z^,р— 1
" ojti—
2^ г
Х=1
то, проводя суммирование по z, получим
2Лг-
р-1
= 2
2=1
Объединим здесь слагаемые с azn = b (modр). Тогда,
пользуясь оценкой F1) и равенством F2), получим
р
1
2Лг-
р .Ьхг'
р-1
JL.V
3*
Ь=1
2Л|-
= d(d—i)p.

36 ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Отсюда, так как d «? п, следует оценка F0):
г. ,ОЖ"
Р гпг
Yd(d-i)p <пУр.
Следующая теорема уточняет эту оценку.
Теорема 5. Пусть п>2, р — простое, (а, р)=1 и
(п, p-l) = d. Тогда
.ax"
2Л1
P
Х=1
F3)
Доказательство. Рассмотрим сперва случай
= n. Пользуясь леммой 2, получим
V=l X=l
(*") - 1] = 0. F4)
Пусть g — первообразный корень по модулю р. Обозна-
Обозначим через ?v сумму
Sv =
Согласно B5) получим
P 2iti *
x=l
и, следовательно,
p-i
t
X=l
~4gx
p
e
)"
p
P 2ni^
= Л е
ж=1
?v-lx™
P
V=l
р-1
F5)
v=l
Замечая, что agv~i и v одновременно пробегают приведен-
приведенные системы вычетов по модулю р, в силу F2) и F4)
получим
-1 V 2Л
,agv~1x"
Р-1 Р
=0,
v=i
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ПОЛНЫЕ СУММЫ
37
Р-1
р-1
2
agv-i
P
P-l
2
V=l
X™
2
P
V
~j
ж—1
=:
2Л5
e
vxn
V
= (п- 1)р(р- 1).
Отсюда согласно F5) следует, что
Si + ... + Sn = 0 и |^|2 + ...
Но тогда
n(n-l)p-(\Si\*+ ...
и, следовательно,
Так как, по определению,
F6)
то из F6) получаем утверждение теоремы для случая
(п, р-1) = п:
P 2лг
2e p
X=l
(«-1)/р.
F7)
Рассмотрим теперь случай (п, p — l) — d, где d^n.
Обозначим наименьшие неотрицательные вычеты хп и х"
по модулю р соответственно через гх и tx. Замечая, что
величины ги ..., гР образуют перестановку величин tif ...
..., tp, получим
и, следовательно,
Ж=1
F8)

38 ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Так как (d, p — l) = d, то согласно F7)
Р 2Я1
2* р
чем в силу F8) теорема доказана полностью.
Остановимся еще на вопросе о возможности дальней-
дальнейшего улучшения оценки F3). Выберем величину а так,
чтобы
— шах
Р 2Ш-
Тогда, пользуясь равенством F2), при (п, p—\) — d
получим
V 2Jti-
2
= max
п УХ"
Р-1
р —
V=l
f
1
Отсюда согласно теореме 5 следует, что
„ .ах71
Vd-1 Vp< 2 е р
Ж=1
F9)
Неравенства F9) показывают, что при фиксированном
п и возрастающем р оценка, полученная в теореме 5,
имеет неулучшаемый порядок. Более того, можно по-
показать [26], что в оценке F3) нельзя улучшить не толь-
только порядок, но и ни при каком 8 > 0 нельзя вместо
(d— 1) Ур поставить величину A — е) (d — 1) ip.
Рассмотрим теперь суммы со знаменателем, равным
степени простого числа.
Лемма 4. Пусть 2 s? а < п, р — простое, большее п,
(аи ..., а„, р)=1 и f(x) = alx+ .. . + апхп. Тогда справед-
справедлива оценка
2Лг:
./(*)
Доказательство. Пусть у и z пробегают полные
системы вычетов соответственно по модулям ра~1 и р.
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ПОЛНЫЕ СУММЫ
39
Тогда сумма y + pa-xz пробегает полную систему выче-
вычетов по модулю ра и, так как а>2 и р>2, то
f(y + p-lz) ^ f(y) + f (y)p-*z (mod p°).
Следовательно,
J/=l 2=1
2=1
У=1
e pabp{f(y)\. G0)
Но тогда
2 бр
У=1
G1)
где Т — число решений сравнения
f'(y)— 0 (mod^).
Гак как (а{, ..., а„, р)={ и р>п — простое, то хотя
бы один из коэффициентов полинома /' (у) = ^ + 2а2у + ...
.. . + папуп-1 взаимно прост с р и, следовательно, Т <
<w—1. Подставляя эту оценку в G1), получаем ут-
утверждение леммы.
Для полиномов частного вида этот результат легко
уточнить. Пусть р — простое, {а, р) = \ и
Х=1
Покажем, что при a > 2 и п > 3 выполняются ра-
равенства
Р«-\
если
И И («, р) =-- 1,
" xS{a,pa "), если а>ге+1. .. ..
Действительно, из G0) следует, что
(«.ра) = Р 2
г/=1

40 ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Отсюда при (п, р)=1 получаем первое из равенств G2):
V=l
у=\
= р
а~\
Пусть теперь а > п+ 1 и /7е — наивысшая степень р,
делящая п. Тогда, пользуясь оценкой а Р* рр +1 >
^ (р — 1) Р + 2 и рассматривая отдельно случаи а > 2j3 + 2
и га+1*?а^2р + 1, получим
~iyn-iz (mod />а).
Следовательно,
2
2 .
I z=\
pOt-P-1
1/=1
2=1
pP+1
Отсюда, так как (an, pp+1) = pp, получаем
ay"
= pn~lS (а, ра~п),
чем утверждение G2) доказано полностью.
Теорема 6. Пусть п и q ~ произвольные натураль-
натуральные числа и (a, q)= 1. Тогда для суммы
выполняется оценка
?)K»"Y n. G3)
Доказательство. Так как (a, q) = 1, то при и = 1
и га = 2 оценка G3) следует, соответственно, из леммы 2
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ПОЛНЫЕ СУММЫ
41
и теоремы 3:
Поэтому достаточно рассмотреть случай п &* 3.
Покажем сперва, что для любого простого р при
а>1, в>3и (а!^)==1 будет
где
будет
'(*,ра)\<Ср(п)ра{1-^,
G4)
1/р (П) = \ , „
е v ' A, если р> пв.
Действительно, при а = 1 согласно F0)
если
р ", если
Пусть 2 < а < га и (ге, р) = р. Тогда р^п, и, пользуясь
тривиальной оценкой, получим
Пусть, наконец,
но G2)
га и (ге, р)=1. Тогда
соглас-
согласТаким образом оценка G4) выполняется при 1 < а <
< л. Применим индукцию. Пусть при 1+(А — 1)га<а<
< Ага эта оценка верна для некоторого А; > 1.
Покажем, что тогда она будет верна и при 1 + kn ^
< a < (к + 1) п. Так как отсюда следует, что 1+(А; — 1)я<
^а — п<1 + кп, то пользуясь равенством G2), по ин-
индукционному предположению получим
чем оценка G4) доказана для любого а > 1.

/,2 ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Пусть теперь q = Pi . . . ps — каноническое разложе-
разложение q на простые сомножители. Пользуясь формулой ум-
умножения C4), получим
2 /""-Г = Д2 е"^
G5)
где величины bv взаимно просты с р„. Определим av с
помощью равенств
av = abv (v = 1, 2, ..., s).
Тогда, очевидно, (av, />v)= 1 и в силу G5)
Отсюда, пользуясь оценкой G4) и замечая, что число
простых, меньших пв, не превосходит пв, получим ут-
утверждение теоремы:
IS (a, q)[\ < CPi (п) л ^"У ...СРш (и) р
Заметим, что при и>2, q=pn и (а, />)=1 согласно
G2) для всякого простого р будет
Следовательно, в этом случае
S(a,q) = q n.
Таким образом, при фиксированном п и возрастающем q
оценка G3) имеет неулучшаемый порядок.
пусть /v3^— в4ж т .,, т в„ж , \ui, ..., а„, ц)—I и
i — полная рациональная тригонометрическая сумма
общего вида:
G6)
В теореме 6 для полиномов частного вида f(x) = anxn
§. 5. МЕТОД МОРДЕЛЛА
доказана оценка
\S(q)\^C(n)q
43
G7)
где С (п) = пп . С помощью значительного усложнения
техники доказательства Хуа Ло-ген показал, что при не-
некотором С(п) оценка G7) выполняется также и для про-
произвольных полных рациональных сумм G6). Доказатель-
Доказательство оценки, близкой к G7), можно найти в работах
[36] п [6].
§ 5. Метод Морделла
Рассмотрим полную тригонометрическую сумму с
простым знаменателем
ад =2/ * .
Морделлом [45] был предложен метод оценки таких
сумм, основанный на использовании свойств системы
сравнений вида
Xj -f- ... -f- xn == г/х -f- ... -+- i/n
'n ' ' ' : ' n' ' П ' ' ' ' Й (П10^^)! - G8)
Xl + • • • + Xn = г/j + . . . + Уп ¦ .... : -• --
где р — простое, большее и, и переменные #,, ..., г/п не-
независимо друг от друга пробегают - полные системы вы-
вычетов по модулю р.
Докажем прежде всего одну лемму о числе решений
системы сравнений более общего вида.
Лемма 5. Пусть qt, ..., qn — произвольные натураль-
натуральные числа, g = HOK(gf, ..., qn) и Th — число решений
системы сравнений
хх + . .. + xh = у1+ ... + yk (mod qx)
yl (mod?n)
G9)
Тогда справедливо равенство
J V V
__ „ Z* ... д
2ft

44 ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Доказательство. Так как произведение
6qi(xt + . .. - yk) . .. 8вв(ж? + .. . -yl)
равно единице, если числа хи ..., ук удовлетворяют си-
системе сравнений G9), и обращается в нуль в противном
случае, то, очевидно,
7\= ? 6 (z1+ ...-yk)...bqjxn1 + ...-ynk). •
Отсюда, пользуясь леммой 2, получаем утверждение лем-
леммы 5:
1
X
X 4* 4л е \
Чп
V V
Чп
2- 1
аи=1
In
2ft
В частности, при к = п и д4 = ... = qn = p из леммы 5
следует, что выполняется равенство
a X.L J-n....r« 2И
т - 1
(80)
где Т„ — число решений системы G8).
Лемма 6. При любом п > 1 и простом р> п для
числа решений системы G8) выполняется оценка Тп <
=? п\ рп.
Доказательство. Пусть Я4, ..., Хп — фиксирован-
фиксированные целые, (XXv^p— 1 и T(Xi, . ¦., %„) — число реше-
решений системы сравнений
хп ^
Покажем, что
Т(Хи ..., Xn)
(81)
(82)
\
§ 5. МЕТОД МОРДЕЛЛА
45
Действительно, обозначим соответственно через о4, ...
..., о„ и Si, ..., sn элементарные симметрические функции
и суммы степеней величин хи ..., ж„:
хг ...
1 .
Пусть л?!, ..., хп — произвольное решение системы (81).
Тогда, очевидно,
и, пользуясь рекуррентной формулой Ньютона
VO"V = SiOy-i — S2O"v-2 + . . • Т Sv-i0i ± Sv,
при v = 1, 2, ..., п получим
V0V = ^iOv-! — X2av-2 + ... + Xv-iOi ±Xv (mod/?). (83)
Так как р — простое, большее п, то (v, p)=l и сравне-
сравнение (83) разрешимо относительно ov. Из (83) последо-
последовательно получаем
а, = |я„ ..., а„ = \in {raoAp) @<\iv<p-l),
где значения |х±, ..., |я„ единственным образом опреде-
определяются заданием величин Я1? ..., Яп- Но тогда каждое
решение системы (81) совпадает с одной из перестановок
корней сравнения
хп - iiixn~l + ... ± цп = 0 (mod />)
с фиксированными коэффициентами и, следовательно,
Теперь, так как
р
т V т (a j_
y1,'.-,!/n=1
получаем утверждение леммы:
v
T <* V 7
Замечание. Из этой леммы и равенства (80) не-
непосредственно следует, что при любом п > 1 и простом

ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
р> п выполняется оценка
P 2яг-
P
2
o1,...,on=l
Теорема 7. Пусть п^2, р — простое, большее п,
(ah ..., an, p)= 1 и f(x) = a1x + ... + anxn. Тогда справед-
справедлива оценка
? Г~
Доказательство. Рассмотрим сперва случай
(й.„, р)=1. Пусть целые к и (л меняются в пределах
ККр-1 l=S|a<^. Расположим полином /(А.#+ц)
по степеням х:
n (84)
н заметим, что
Обозначим через Н (bt, ..., bn) число решений системы
bx (к, ц) = by
bn (к, \х) == Ъп
(mod/?).
(85)
Очевидно, Н(Ьи ..., Ъп) не превосходит числа решений
системы, составленной из двух последних сравнений си-
системы (85) :
и, следовательно, так как (пап, р)=1 и (к, p)=i,
Н(Ъи ..., Ъп)<п. (86)
Согласно B5) для полных сумм выполняется равенство
Отсюда в силу (84) после суммирования по К и
S 5. МЕТОД МОРДЕЛЛЛ
следует,
р 2лГ'
<1 2Л!
Iе
Х—1
ЧТ
[X)
V
О
1
р-1
1 V ^
p-1 p
У у
р
v *Ч^
2 ^
X+IL)
V
гп
+ bn(Kil)xn
2П
Собирая здесь вместе слагаемые с фиксированными зна-
значениями bt(k, |я), ..., Ьп(к, ц) и пользуясь оценкой (86),
получим
гп
р
* 2Яг-
Ж=1
Отсюда согласно замечанию к лемме 6 следует утверж-
утверждение теоремы для случая (ап, р) = 1:
„2И—2
2Я
,«*)
ЗС=1
Покажем теперь, что общий случай (я,, ..., ап, p)=i
сводится к случаю, когда старший коэффициент полино-
полинома взаимно прост с р.
Действительно, пусть (as, p)~i и as+l = ... = я„ = О
(mod р) A sS s < «). Тогда получим
i
2
2,
< sp
1-1-
1-1
чем теорема доказана полностью.
Замечание. Существенное усиление оценки Мор-
делла было получено А. Вейлем [48], показавшим, что

48
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
при простом р> п и («1, ..., ап, р) — 1 справедлива
оценка
o1sc+...+onxn
<(«-!)/р.
§ 6. Системы сравнений
Одним из основных моментов метода Морделла (§ 5)
является использование оценки числа решений системы
сравнений вида
хг
хп == у1
уп
(mod р)х
где р — простое число, большее п. В дальнейшем суще-
существенное значение будут иметь сравнения такого же
вида, но по различным модулям, равным возрастающим
степеням простого числа р. Впервые такие системы срав-
сравнений были применены Ю. В. Линником [28] для оценки
сумм Вейля по методу Виноградова.
Лемма 7. Пусть п > 1,
п ~}
простое,
большее п, и Th(pn)—число решений системы сравнений
х1 + ... + хк = ух + ... + yk (mod р) )
ynh(modpn)
Тогда справедлива оценка
(87)
2nft-
Доказательство. При п — 1 утверждение леммы
очевидно, поэтому достаточно рассмотреть случай п ~3? 2.
Выберем в лемме 5 qx = /?,..., qn = рп.
Т
Тогда получим
п(п+\)
2
ax
Разобьем область суммирования по аи ..., ап на две
§ 6. СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЙ
49
час
»!,¦••.
21
где суммирование в 21л и 2j2 распространено соответ-
соответственно на те наборы аи ..., ап, для которых
р\аг, р2\а3, ..., рп-'\ап,
и те, для которых хотя бы при одном v. из интервала
2 < v < п pv~x не будет делителем av.
В первом случае, определяя Ьи ..., Ьп с помощью
равенств
«1 = Ъи а, = Ъ2р, ..., ап = Ь„р"-\
получим
Следовательно,
:«\ 2ft
= /7
2nh—2h
2*
3C=1
2яг-
„2nk—in
и, пользуясь замечанием к лемме 6, получаем
pn 2Jajl+...+ajt
h—2n yi
Oj,..., Ь„=j
H. M. Коробов
2Я1-
(88)

50 ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ СУММЫ
Во втором случае на интервале 2 < v =S п найдется v
такое, что^"^1 I avpn~^. Следовательно,
yuiP , а,р , ..., an, p ) — p ,
где 2 ^ a ^ п. Но тогда
и, пользуясь леммой 4, получим
V П v'^ I
2л
Отсюда, так к
П"(П +
следует, что
-4J2
а,х а~х{
2ft
к. (89)
Теперь, замечая что при п ~5? 2
„»_ (л _ 1)» ^ 2Л(га - IJ6 > п(п - I)"-1
из (88) и (89) получаем утверждение леммы:
( 2i + 2г V
\o1,...,an at, ..,<7„/
п(п
Замечание. Обозначим через ГА (Р) число реше-
решении системы (87), когда область изменения переменных
имеет вид
\<х}^Р, к^Р (/ = 1,2, .... й).
Если m — натуральное, то при /* = трп справедлива
оценка
Th(mpn)
П
(90)
§ 6. СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЙ
51
Действительно, пользуясь свойством полных сумм
B6), получим
а, х
е [Р
ЗС=1
и, следовательно,
р
= т
7Пр'1 2 Л г!
ах апх'
!
2ft
= W"
VI
ax a,,*1
U V
•!ft
Отсюда, так как согласно лемме 7
" "
tlG1
получаем оценку (90).
Будем обозначать через
сумму, в которой пе-
ременные суммирования хи ..., хп пробегают полные
системы вычетов по модулю ра и принадлежат различ-
различным классам по модулю р.
Лемма 8. Пусть р — простое число, большее п,
а > 2 и f(x) = aiX + ... + anxn. Определим сумму
Sa(a[, . .., ап) с помощью равенства
Р 2Я1"
хп)
..+/(*„)
Тогда
(p'-a-1)nS1 (Ь2,. . .,6»), если av =pa~%
(О е остальных случаях.
Доказательство. Проведем замену переменных
Хч — у^ -|- na^12v (v = 1 2 n)
Так как по условию величины .гь ..., ,х„ принадлежат
разным классам, то и величины г/,, ..., уп будут, принад-
принадлежать разным классам по модулю р. Следовательно,
4*

52
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
пользуясь тем, что
получим
О<х @-1, . . ., пп) =
¦+ЦУп)
= 2
2 еЯ'
/'(?/,)*,+...+/'(?/„);„
2
(Vv-,Vn)
...вРГ/'Ы1. (91)
Так как f (y) = at + 2а2у + ... + nanyn~\ то при простом
р > гс и («1, ..., й„, /») == 1 сравнение /'(#) = 0 (mod/?)
может выполняться не более чем при ге — 1 значениях у
из разных классов по модулю р. В сумме (91) величи-
величины j/i, ..., уп принадлежат разным классам, и, следо-
следовательно,
й
'1' если (alt ...,ап,р) = р,
и, если {аъ . .., ап, р) — I.
Но тогда согласно (91) при (а,, ..., а„, /?)=1 сумма
8а(аг, ..., а„) обращается в нуль. Если же («,, ...
..., а„, р)=.р, то
Таким образом,
1, • • ¦, апр~1), если («!, . . ., а,г, />) = р,
0, если (а1, . . ., ап, р) = 1.
(92)
Применяя равенство (92) к Sa-i («i/?"', ..., anp~l), по-
получим
«а (й], . , ., йп) =
_ [р^^а-г (atp~2, . . ., апр~2), если (alf . .., an, /72) = р2,
I 0 в остальных случаях.
§ 6. СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЙ
53
Продолжим этот процесс. Тогда по"сле a — 1 шага полу-
получим утверждение леммы:
если (e1,...,en,/>a~1)=pa~1,
в остальных случаях.
Лемма 9 (лемма Линника). Пусть К{, ..., Кп — фик-
фиксированные целые, р — простое, большее п, и T*(Xi, ...
..., К„)— число решений системы сравнений
X-L+ ... + хп == Ях (mod p)
Xi + ... + xl = ln (mod pn)
где переменные хи ..., хп пробегают полные системы вы-
вычетов по модулю рп и принадлежат различным классам
по модулю р. Тогда
п(п—1)
Т*(Ки ...,КХп\р 2 .
Доказательство. Пусть f(x) — a1pn-1x + a2pn-2x2 +
+ ... + апхп и согласно обозначениям леммы 8
г>п 2яг !
'/'~\ ..., ап) =
(Х! Хп)
Пользуясь леммой 2, получим
П(П
где суммирование по ai? ..., а„ распространено на об-
область 1 «? «! ^ /?, ..., 1 ^ an ^ /?".

54 ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Отсюда, замечая, что
х +...+хп *"+...+*"
„п гяг \ а,-± + •- х п
2
= 2
2лг"
получаем
Определим величины Ь„ ..., Ъп с помощью равенств
Согласно лемме 8
lt . . ., Ъп), если av = pv~-'bv (v = 1, 2,
в остальных случаях,
где
S.ib,, ...,bn)=
Следовательно,
_п(и—з)
2
(xv...,xn)
V
2
xl,...,xn) Ь1,..,6П=1
§ 6. СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЙ
Теперь, пользуясь леммой 2, получаем
Р п
2
где
= р 71 (^j, . . ., Ята
Кп)—число решений системы сравнений
(modp)
Отсюда, так как согласно (82) Т(%{, ..., Я„)<и!, следует
утверждение леммы:
п(п— 1) п(п—1)
i V^l? • • • > ^71/ ^s /^ -* V^li • • • ) ^Tij ^; '^' P
Следствие. Пусть T*t{mpn) — число решений си-
системы сравнений
ху + . .. — уп = 0 (mod р) \ 1 ^ Xj, yj ^ ягрп,
^ + . .. _ у1 = 0 (mod рп) I 1ф ]&хфх), угф
Тогда справедлива оценка
3 т^и)
* ' " ' 271 S2
р)-
(93)
Доказательство. Так как каждая из переменных
х,, ..., уп пробегает m раз полную систему вычетов по
модулю р" (при дополнительных условиях i Ф j =*- хг Ф хи
Уг^Уз (modp)), то пользуясь леммой, получим
К (mpn) = mnK (рп) ==
2
П(_П-1)
271
2 71G1+1)

50
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
§ 7. Тригонометрические суммы
с показательной функцией
Пусть а — целое, т^2 и
натуральные числа. Суммы вида
2 — взаимно простые
называются рациональными тригонометрическими сум-
суммами с показательной функцией. При исследовании та-
таких сумм будут нужны некоторые свойства показателя
q по модулю т.
Пусть р — простое, т = рти х и т4 — показатели q
соответственно по модулям т и mt. Покажем, что если
х Ф %i и p\m,i, то выполняется равенство
x = pxt. (94)
Действительно, так как игД/тг, то из сравнения qx =
= 1 (mod m) получаем qx = I (mod /rii) и, следовательно,
тДт. С другой стороны, из сравнения g * = 1 (mod /%) по-
получаем g ' = 1 + Wi^d где wt — целое и, согласно условию,
т( кратно р. Но тогда
g х = A + u^m-j) s= 1 (mod /и)
и x\pxi. Отсюда, так как тДт,
дует равенство (94):
Ф х и р — простое, сле-
слетсТ1 = Р, х =
Пусть теперь m — нечетное, m = рг1 . . . pss — канони-
каноническое разложение m на простые сомножители, тип —
показатели q соответственно по модулям тп и pi ... ps.
Определим величины {J,, ..., ps с помощью условий
... pfs (u0, Pl...p.) = 1. (95)
Будем для определенности считать, что в каноническом
разложении m те простые, для которых выполняется
неравенство av > {5Т, стоят на первых г местах @ ^ г ^
<s), так что av>pv при v<r и av < pv при v > г.
Пусть, далее,
Из определения Ti и равенства (95) следует, что пока-
§ 7. СУММЫ С ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ 57
затель q по модулю wii будет равен Ti, причем
qX]- = 1 + M^j, («!, />! . . . рг) = 1.
Покажем, что справедливы равенства
qx = I + шп, (и,рг .. .рг) = 1 и х = —хг. (96)
m
Действительно, пусть т2 = рпг,, где ^ — любое из про-
простых /?1, ..., рг- Обозначим через т2 показатель q по мо-
модулю пг2. Очевидно х2Фх{ (иначе было бы m.2\q г—1 и
ртп^щт^ что противоречит условию (иг, pi...pr)=l).
Так как, кроме того, р\ти то согласно (94) т2 = />т.1. Но
тогда
q l = A
ы1яг1)р ^ 1 + М!?!! (mod рх . .. ргт),
q 2 = 1 + м2щ'
где ц2 — Mi (mod Pi ¦ ¦ ¦ pr), и, следовательно, (м2) Pi • • • Рг) =
= 1. Таким образом,
q-=i + u2m2, (u2,p1...pr)=l и тя = -2т1.
mi
Повторяя этот процесс av — ^v раз с р, равным каждому
из pv (v = 1, 2, ..., г), получаем равенства (96).
Теорема 8. Пусть т^2, р — простое, m = pmu x
и xf — показатели q соответственно по модулям m и тЛ.
Если х Ф Xi и р2\т, то при любом а, не кратном р,
i zjii
2 е п = 0. (97)
Х—1
Доказательство. Обозначим через Т число ре-
решений сравнения
qx ss q'J (mod m) {i^x,y^x).
Пользуясь леммой 2, получим
a=l x,y=l
2-
зс=1
aq*

58 ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
С другой стороны, очевидно, Т = т. Но тогда
a=i
2яг-
= mT = тт.
(98)
Следовательно, в силу (94)
12
«1
(а,Р) = 1
т 2яг-
е
2 -""т
а=1
2
= /?гт —
- 2
l"l 2яг-^-
У Р '"I
Zj с
2яг-
= TOT — ^WZj^ = 0.
Отсюда для всякого а, не делящегося на р, получаем ут-
утверждение теоремы:
= 0.
ЗС=1
Покажем, что если хотя бы одно из условий теоремы
х Ф Ti и /?2\/?г
ire выполняется, то сумма (97) может оказаться отлич-
отличной от нуля.
Действительно, пусть р > 2 — произвольное простое,
m = 2р (а, т) = 1 и q — первообразный корень по мо-
модулю 2р. Тогда получим
2j e
2Яг—
2
= -е 2 =1.
В этом примере условие т Ф rt, очевидно, выполняет-
выполняется, но р2 i 2p и второе условие нарушено.
Пусть теперь m = p2, g — первообразный корень по
модулю р2 и q — gp. Тогда т = р — 1 и, пользуясь равен-
§ 7. СУММЫ С ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ 59
ством (98), получим
max
(a,p)=i
2яг-
"-1 2Яг^2-
\
p(p-i)
9—11 Ad
1 V
а,=1
р-1
2Яг
max
глг-
На этот раз условие р2\пг было выполнено, но т = %\.
В следующей теореме указана другая форма условий,
при которых полные суммы S{%) обращаются в нуль.
Теорема 9. Пусть т=р11 . . . ps — каноническое
разложение нечетного m на простые сомножители, х — по-
показатель q по модулю m и величины {J,,..., р» определены
равенством (95). Если существует v такое, что av> ^v и
VJ,
)
иго
о.
Доказательство. Выберем то значение v, при ко-
котором выполняются условия
av > pv, а Ф 0 (mod /?vV v),
и запишем а в виде а — pvv v а', где у^1 и (a', pv) =
= 1. Пусть /n=pvV v VW, m'=pvm", x' я х" —показа-
—показатели q соответственно по модулям т' и т". Так как
Pvv\m, то /?vV 7\/?г'. Но тогда pvv \т" и, согласно (96),
т"_^!т х' -—т -т'т"-пт"
Из делимости /?г' на pvv следует также, что

C0 гл- I- ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Таким образом,
т' = pvm", х' =/= т", /?,;
Следовательно, по теореме 8
' и (a', pv) = 1.
"^1 771' Л
ЗС=1
Так как qx = 1 (mod w) и to'W, to gr =H (mod m') и т'
будет делителем т. Теперь, пользуясь свойством B6)
полных сумм и равенством (97), получаем утверждение
теоремы:
,а<Г
_.a'qx
х=1
зс=1
,n'qx
= 0.
Заметим, что в теореме 9 можно освободиться от тре-
требования нечетности пг. Для этого достаточно (см. [25]) при
определении величин {$1? ..., {$, вместо равенства (95)
воспользоваться равенством
q — 1 = и^1 ...ps (uQ, p1...p.) = 1,
где М- = 1, если m = 0(mod2), Ti = l(mod2),
q = 3 (mod 4), и ц = 0 в остальных случаях.
Теорема 10. Пусть т>2 — произвольное целое,
(а, т)= 1, (q, т)= 1 и т — показатель q no модулю т.
Тогда при любом целом Ъ справедлива оценка
X
2
т.
(99)
Доказательство. Так как дробные доли
- ff
№
имеют одинаковый период т, то согласно B8) сумма
(99) будет полной тригонометрической суммой. Но тогда
при любом целом z
х—1
VI ;
эс=1
= и
§ 8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАКОВ В ПОЛНОМ ПЕРИОДЕ 61
Следовательно,
X .(aqx Ьх\
2 еЧ-+т)
У е2"
г=1 зс=1
Отсюда, так как сравнение
qx = qy (mod /?г) 1 «S х, у < %
выполняется только при х = у, получаем утверждение
теоремы:
2/-и+т;
х=г
2
X
х,у=1
X
зс=1
т
2=1
т
2
¦ Ъ(х-%
е %
Щ
т
зс
Jaqx
2Яг 1——V
е » m
2J
е
) m
2
.(дК_дг/J
е т
2=1
t
,г/=1
?)
2л1ъ(х-у)
е х б„
</-
§ 8. Распределение знаков в полном периоде
периодических дробей
Пусть несократимая дробь п q > 2 — произволь-
а
ное целое, взаимно простое с т. При записи числа — в
системе счисления с основанием q возникает бесконечная
чисто периодическая дробь
с периодом т, равным показателю, которому q принадле-
принадлежит по модулю т.
Обозначим через Nm ^ fii ¦ ¦ ¦ fin) число выполнений ра-
равенства
¦Ух-Ц • • • Т"+п = fil ¦ • • бп (Х = О, 1, ..., Р— 1),
где Р ^ х и Si... fin — произвольное фиксированное

62
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
и-значное число в </-ичной системе счисления. Иначе гово-
говоря, N\n (Ь1 .. . 6„) — число И0Я11Л0ШШ заданной группы нз
п знаков 6\... б„ среди первых Р групп
Ь ¦ ¦ ¦ Y», Ь ¦ ¦ ¦ у,1+1, ..., Чр... Чр+п-ц
образованных соседними знаками дроби A00).
Вопрос о характере распределения знаков в периоде
г- а
дроои — тесно связан со свойствами рациональных три-
тригонометрических сумм с показательной функцией. Эта
связь основывается на возможности выразить величину
дГ(Р) /вех
я 7п (°i .., On) через число решении сравнения
acf = y + b(modm), 0 «S х < Р, 1 ^ у «5 h, A01)
где Ъ и h зависят от выбора группы знаков 6, ... 6„. Чи-
Число решений сравнения (,101) обозначай через Tm\b, h).
Лемма 10. Определим величины t, Ъ и h с помощью
равенств
0,8,...8п = - 6=ф|, h =
Тогда
(m
Доказательство. Пусть х — любое решение урав-
уравнения,
T«+i . • .W= 84... б„
Тогда из A00) получим
A02)
ft
. .. = 0, ух+1 ... ух+п + -? =
ПА Ль8»
= 0, о, .. . оп -\ =
11 qn
+ 9«
ч ч"
где 0 < 6* < 1. Отсюда видно, что равенство A02) выпол-
выполняется для тех и только тех х, для которых
A03)
Так как из определения b и h следует, что
i-<-i<L±J и ь + h t
m qn m m
§ 8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАКОВ В ПОЛНОМ ПЕРИОДЕ 63
то неравенства (ЮЗ) равносильны неравенствам
. A04)
Обозначим через г/ наименьший неотрицательный вычет
feel
^-j = -^- и неравенства A04)
будут выполняться для тех и только тех х, которые удо-
удовлетворяют сравнению
aqx= у (mod m), 0<x<P, b<y^b + h
или, что то же, сравнению
aqx = y + b (mod то), 0
х<Р, 1 sS
A05)
Но тогда число решений сравнения A05) совпадет с чи-
числом решений уравнения A02) и лемма доказана.
a as
Пусть m — нечетное, m = р \ . . . р, — каноническое
разложение m па простые сомножители, ti— показатель с/
по модулю pi ... ps и величины {$lt ..., ^s определены как
в § 7 с помощью условий
q%1 — 1 = MoPi1 •¦¦ Р*' («о. Pi ¦ • • Рд = !¦
Будем считать, что ccv > [3v при v «S г и av < р\ при v > г
(OsSr^s). Выберем то, =/V . . . p/pZ+V ¦ ¦ ¦ Ps'- Тогда
показатель g по модулю то, будет равен т, и, соглас-
согласно (96), т = ^-тх.
Лемма 11. Пусть 6 = 6,(modTO,), A = /
ц h ^ hi. Тогда выполняется равенство
Доказательство. Пользуясь леммой 2, получим
(ь, к) - 2J 2 бт («^ - у - 6) =
г=1 Vy=
Согласно теореме 9 внутренняя сумма, стоящая в правой
части этого равенства, может быть отлична от нуля толь-

6i
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
ко для тех значений z, для которых выполняются срав-
сравнения
т. е. для
(v= 1,2, ....г),
Pr \=~Zl
Следовательно, пользуясь тем, что т = — тх и b = Ъ{
(mod mt), получим
г,=1 \г/=1
-=:2 2
l / h (v+b)z \ / tj
2Я1-
S ЪЬт{адуЪ) 2 2 8
Отсюда, так как разность h — hi кратна nil и, следова-
следовательно,
h-h.
6m| (aq* — y — bj)^
получаем утверждение леммы:
зс = 1 у=1 L
h — h.
Рассмотрим вопрос о распределении групп знаков в
полном периоде дроби —. Так как существует qn различ-
различных групп 6i... 8„, то среднее значение числа появлений
1
заданной группы из п знаков равно —т.
§ 8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАКОВ В ПОЛНОМ ПЕРИОДЕ 65
Теорема 11. Пусть Rn—^отклонение величины
(т Фг ¦. • б«) от ее среднего значения:
Тогда при нечетном т, любом и
ков 6i ... б„. выполняется оценка
и любом выборе зна-
знаA06)
где Ti — показатель q no модулю, равному произведению
простых, входящих в каноническое разложение т.
Доказательство. Согласно лемме 10
где Т(т (b, h) —число решений сравнения
aqx== у +.Ь (mod т), 0 «S х < т, 1 -< у < h
и величины Ъ и h определены с помощью равенств
\
Обозначим через hi наименьший неотрицательный вычет
h по модулю mt:
h ss ^(mod m,i), 0 ^ hi < mi.
Замечая, что — целое и h — \
получим
т т
Но тогда из леммы 11 в силу равенства т= — тх следует,
что
5 Н. М. Коробов

66
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Так как О
rrii— 1, то
\
tm
О в остальных случаях
и, следовательно,
rn
\
(miin) I 0 в остальных случаях.
Отсюда, так как
О^Т^Ь.йаХт! и 7^ F,0) = О,
получаем утверждение теоремы:
Легко убедиться, что оценку A06) нельзя существен-
существенно усилить. Действительно, пусть q = 2, т>1, а = 1 и
те = 2х — 1. Разложение дроби — в двоичной системе счи-
счисления будет иметь период т:
а
m
0@... 01H ...01...
2х -1
Выберем б, ... б„= 0 ... 0. Тогда получим N$ (^ .. . бп) =
= т — пи
Заметим еще, что при Ti= 1 из теоремы И следует
равенство
где |8„| < 1. Так будет, например, при д = 4 и те = За.
S 8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАКОВ В ПОЛНОМ ПЕРИОДЕ
67
Вообще, для m = р^ . .. р/при фиксированных простых
pv и растущих av величина Ti будет ограничена и, согласно
A06), будет справедлива асимтотическая формула
Установим теперь связь между появлением заданной
группы знаков в периодах дробей
У*
а Га1,п
где величина /ra4 определена как в лемме 11.
Теорема 12. 2?а/ш при некотором п0 > 1 будет
qn°\m —/»!, го при любом п ^ п0 и любом выборе группы
знаков bi... б„ справедливо равенство
Т — Т,
6, ... б„).
Доказательство. Определим целые t, b, h, bt и h,
с помощью равенств
Тогда, очевидно,
Пользуясь сравнением те = Щ] (mod g"), справедливым

ГЛ. t. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
при п =g, n0) получим
\tm\ _ f^i
Следовательно,,
qn(b — bl)= t{m — mi), qn(h — hi)=m — l
и, так как rtii\m и (q, rtii)= 1, то
b = bi (modm-i), h = hl (mod m().
Но тогда, согласно лемме 11,
A07)
Домножим второе из равенств A07) на—-. Тогда, за-
замечая, что т = — Tlt получим
m
— h.
Т, = ¦
mi * my
¦X, =
п >
и, следовательно,
Отсюда, пользуясь леммой 10, получаем утверждение те-
теоремы:
Х ... б„) =
8Х . .. бп).
Отметим особо случай g = 2, т = ра и /тг4= /?р, где
/? > 2 — простое число. Если к тому же {J = 1 (так будет,
например, при р = 3, 5, 7), то при п ^ щ число появле-
появлений любого n-значного числа в периоде двоичного разло-
разложения дроби — будет на одну и ту же величину (рав-
т — т
ную —~) больше, чем в периоде двоичного разложения
дроби —.
Так, например, при т = 27 получим ml= 3, т = 18,
%i= 2 и п„= 3. Следовательно, число появлений любой
8 8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАКОВ В ПОЛНОМ ПЕРИОДЕ 69
группы из одного, двух или трех .знаков в периоде дроби
^ = 0, @00010010111101101) 00 ...
будет соответственно на 8, 4 и 2 больше числа появлений
такой же группы знаков в периоде дроби
-i = 0, @1H1...
Аналогично, при т = 25 получим п0 = 2 и число поя-
появлений любой группы из одного или двух знаков в перио-
периоде дроби
4- = 0, @0001010001111010111) 00 ...
соответственно на 8 и 4 больше числа появлений такой
же группы знаков в периоде дроби
— = 0,@011H0...
По приведенной ниже таблице можно проследить эти за-
закономерности при р = 3, 5, 7, п = 1, 2, 3 и ра< 125.
Таблица значений
™ (8i...8n)
в...л„^<^
0
l
00
01
10
11
000
001
010
011
100
101
110
111
1
3
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
9
coco
2
1
1
2
1
1
0
1
1
0
1
1
1
27
CD CD
4
5
5
4
2
2
3
2
2
3
2
2
1
lir
27
27
14
13
13
14
7
7
6
7
7
6
7
7
i
5
to to
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
25
10
10
5
5
5
5
3
2
3
2
2
3
2
3
l
125
50
50
25
25
25
25
12
13
12
13
13
12
13
12
l
7
2
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
49
11
10
6
5
5
5
3
3
3
2
3
2
2
3

70
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
§ 9. Тригонометрические суммы
с рекуррентной функцией
Рассмотрим функции ty(x), удовлетворяющие линей-
линейному конечноразностному уравнению с постоянными ко-
коэффициентами
$(х) = а^(х-1)+... + ап$(х-п) (х>п). A08)
Известно (см., например, [И]), что всякая функция г|)(ж),
определенная рекуррентным равенством [108], может быть
представлена в виде
ф (X) = 0»! (X) Я* + . . . + 0>г (X) Я?,
где г ^п, Я4, ..., Яг — различные корни характеристиче-
характеристического уравнения
Я" =
«„
A09)
и ?Pi (x), ..., 3>т (х) — полиномы, степени которых на еди-
единицу меньше, чем кратность соответствующих корней ура-
уравнения A09). В частности, если характеристическое ура-
уравнение не имеет кратных корней, то
ф(х) = С^+...+СХ A10)
— константы, зависящие от выбора началь-
функции г|)(х). Если коэффициенты ура-
и начальные значения т|)A), ..., ty(n)
, то, очевидно, при любом натуральном х
будет принимать целые значения.
1, (ап, т) = 1 и хотя бы одно из началь-
¦фA), ..., г|)(гс) не кратно т.
уравнении A08) х на х + п и перейдем к
модулю т:
где Си ..., Сп
ных значений
внения A08)
будут целыми
функция ty(x)
Пусть т >
пых значений
Заменим в
сравнению по
n — 1)+ ...
(mod m). (Ill)
Так как (а„, т)= 1, то в этом сравнении ty(x) можно
выразить через ^(х+1), ..., ty(x+n) и, полагая х =
= 0,-1,-2, ..., доопределить функцию ty(x) для це-
целых х ^ 0.
Функция ^(х), определяемая для целых х сравнени-
сравнением A11) и начальными значениями г|)A), ..., г|)(гс)
(см. [141), называется рекпуррентной функцией порядка
§ 9. СУММЫ С РЕКУРРЕНТНОЙ ФУНКЦИЕЙ 71
п по модулю т, а сумма
— тригонометрической суммой с рекуррентной функцией.
Легко видеть, что при п = 1 эти суммы совпадают с рас-
рассмотренными в § 7 тригонометрическими суммами с пока-
показательной функцией.
Покажем, что последовательность наименьших нео-
неотрицательных вычетов функции if (x) по модулю m пе-
периодична и что ее наименьший период не превосходит ве-
величины тп— 1.
Действительно, обозначим через "[* наименьший не-
неотрицательный вычет i|>(#) по модулю т:
ty(x)= "[ж (mod т) @ < ^^ т — 1).
Тогда в силу A11)
Y*+n= «i Чх+n-i + • • • + а« Т* (mod те). A12)
Рассмотрим и-значные числа в те-ичной системе счисле-
счисления
b+i---b+n (ж-0, 1, ..., тп). (ИЗ)
Так как число различных w-значных чисел равно тп, то
среди чисел A13) найдется два одинаковых:
7^+1 • • • 7*!+« = Y*2+i • • • Ух2+п (х2 > хг).
Определим т равенством т = х2— xi и покажем, что при
Любом X > Xi
b+i ¦ ¦ ¦ Ч*+п = Y*+*+i • • • Y*+tfn. A15)
Действительно, при х = хг это равенство выполняется в
силу A14). Применим индукцию. Допустим, что равенст-
равенство A15) справедливо при некотором х > хи Заменим в
сравнении A12) а; на х + т+ 1. Тогда, пользуясь индук-
индукционным предположением, получим
и, следовательно, уя+т+п+1= ^х+п+1. Но тогда
+п+4 (mod m),
чем равенство A15) доказано для всякого x>Xi. С по-
помощью таких же рассуждений получаем это равенство и

72
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
для х < Xi (надо только предварительно в сравнении
A12) выразить у* через у*+1, ..., f»+n, что возможно, так
как (ап, т)= 1).
Отсюда следует, что наименьшие нотрицательные вы-
вычеты функции ty (х) имеют период т, где 1 ^ т ^ тп.
Допустим, что наименьший период равен тл. Тогда среди
чисел (ИЗ) встретится любое гс-значное число и, в част-
частности, число 0... О, состоящее из одних нулей. Но тогда
в силу A12) все члены последовательности вычетов бу-
будут равны нулю и ее наименьший период равен 1, что
противоречит допущению. Следовательно, наименьший пе-
период функции $(х) не превосходит тп— 1.
Будем в дальнейшем через т обозначать наименьший
период последовательности наименьших неотрицатель-
неотрицательных вычетов функции ty(x) по модулю т. Легко видеть,
что т будет периодом дробных долей функции -—'
(*
= V* = f Ч> (х)\
т \ ш )'
Следовательно, сумма
S (т) = 2 е т
Х=1
будет полной тригонометрической суммой. Так как при
целом а
(а (х + т)
то согласно B8) полной суммой при любом целом а бу-
будет также и сумма
/
Пусть tyt (x), ..., фп (х) — рекуррентные функции,
удовлетворяющие уравнению A08), определенные на-
начальными значениями
если х = /,
если 1 ^ ж ^ /г, хф /
(/=1,2, ...,п)
Легко показать, что
A16)
§ 9. СУММЫ С РЕКУРРЕНТНОЙ ФУНКЦИЕЙ
73
Действительно, в силу линейности уравнения A08)
любая линейная комбинация его решений также будет
решением. В частности, решением уравнения A08) бу-
будет сумма, стоящая в правой части равенства A16). Из
определения функций tyj(x) видно, что начальные зпа-
чения этой суммы при х = 1, 2, ..., п равны соответ-
соответственно if)(z+l), i|)(z + 2), ..., ty(z + n). Такие же на-
начальные значения имеет решение г|з (х + z). Но решения,
имеющие одинаковые начальные значения, совпадают,
чем равенство A16) доказано.
Теорема 13. Пусть ty(x) — рекуррентная функция
порядка п по модулю т, т — ее наименьший период и
Р «S т. Тогда справедливы оценки
п In m). A17)
Доказательство. Так как при целом а сумма
Sa(t)=
является полной суммой, то при любом целом z
Х=1
Возведение в квадрат и суммирование по z дает
Т-1
2=0
Обозначим через уг наименьший неотрицательный вы-
вычет функции i|)(z) по модулю т. Тогда в силу A16)
¦ф (х + z) = гA (z
и, следовательно,
... + г|з (z + w) г|зп (х) =
(mod/тг),
Т—1
2 = 0
х pz
у, М -
+—
¦ A18)
Так как т — наименьший период "[* по модулю т, то

74
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
при z = О, 1, ..., т —1 все гс-значные числа fz+i.. • fz+n
различны. Следовательно, распространяя суммирование
на всевозможные гс-значные числа z4 ... zn, получим
p-1
т I ?
у J*^ "y A^l(
T
где 71 — число решений системы сравнений
(mod m)
A19)
A20)
Допустим, что эта система имеет решение с у Ф х. Без
ограничения общности можно считать, что у > х. Поль-
Пользуясь равенством A16), получим
¦ф (z) = ¦ф (z — х + 1) if»! (x) + ... + г|з (z — х + п) 1|з„ (а:),
Отсюда в силу A20) следует, что при любом целом z
i|)(z+г/— а:) = i|)(z) (mod/?г).
Но тогда у — х будет периодом fz, и, так как т — наи-
наименьший период, то у — х > т, что противоречиво. Таким
образом, система сравнений A20) не имеет других ре-
решений, кроме решений с у = х, и, следовательно, Т = т.
Теперь из A19) получаем
Л A21)
т | Sa (т) |2 < тпТ = тпх, |5а(т)|<та.
При а — 0 отсюда следует первое утверждение теоремы:
Второе утверждение теоремы непосредственно следует из
§ 9. СУММЫ С РЕКУРРЕНТНОЙ ФУНКЦИЕЙ
75
теоремы 2 и оценки A21):
р
2Яг^—
max
Х=1
s.'
1 + 1ПТ) =
я
= max | ?а (т) | A + Inт) < иг A + п In m).
Заметим, что в общем случае порядок оценки
уже не допускает дальнейшего усиления. Действительно,
пользуясь соображениями из теории конечных полей (см.
напр., [27]), можно показать, что при любом простом
р > 2 и натуральном п< р существуют рекуррентные
функции $>(х) порядка п по модулю р с периодом т =
= рп — 1. При этом корни соответствующего характери-
характеристического уравнения A09) различны и, согласно A10),
(ж) =
Сп%хп.
A22)
В силу свойств симметрических функций существует
уравнение с целыми коэффициентами
\in = Ьфп-1 + ... + К,
корни которого \ii, ..., \in равны соответственно Ki, . . ., Яп
и свободный член взаимно прост с р. Рассмотрим функ-
функции 1|эB;г) и г|)B;г+1). Из A22) следует, что
1|з B* + l) = CA^i + • • • + С„Х„|4.
Таким образом, -фBа:) и -фBа: + 1)— рекуррентные функ-
функции порядка п по модулю р, удовлетворяющие урав-
уравнению
Обозначим через у* наименьший неотрицательный вычет
1 #
¦ф(ж) по модулю р. Прит1 = -2-т получаем ) у2(х+х1) =
= Ъх+х = V2x. и, следовательно, у2* имеет период, рав-
равный т4.
vn — 1
*) Так как /> — нечетное, то т^ = — — целое число.

76
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Допустим, что Ti не является наименьшим периодом.
Тогда найдется натуральное т2 < Ti такое, что при лю-
любом целом х
A23)
(mod/?).
Применяя равенство A16), получим
Но тогда согласно A23) при любом целом х должно
выполняться сравнение
0 (modр). A24)
»Bт,
Из свойств решений системы A20) следует, что хотя бы
одна из квадратных скобок в A24) не сравнима с нулем
по модулю р и, значит, число решений сравнения A24)
не превосходит рп — 1. С другой стороны, согласно оп-
определению функции ty(x) при х = 1, 2, ..., т4 наборы
Тгх, Чгх+i, • ¦ ¦, Y2x+n-i дают различные решения этого
сравнения. Так как, очевидно,
то приходим к противоречию и, следовательно, т4 — наи-
наименьший период у2*- Аналогично получаем, что наимень-
наименьший период *{гх+1 также равен ti. Теперь, тем же путем,
что и при выводе A18), приходим к равенствам
2Л-
¦Was)
SC=1
= 2
2=0
2Яг
*=1
г=0
§ 9. СУММЫ С РЕКУРРЕНТНОЙ ФУНКЦИЕЙ
Отсюда в силу выбора функции ty(i) следует, что
77
2
эс=1
2яг
2 eni—
р—1
2'
2, 2„=0
2Яг-
A25)
V
где штрих в сумме 2л означает, что из области сум-
Zj•• • Zn , ,
мирования исключена система zt ... zn, состоящая цели-
целиком из нулей. Обозначим через Т± число решений систе-
системы сравнений
(modp)
Так же, как в системе A20), будет
вательно,
и, следо-
следор-1
2
• zv...,zn=o x=l , , ; :
Но тогда A25) можно записать в виде
2в
=i
i
2Яг-
' +
2 еШ~^~
Ж=1
1
v е2
¦' .. A26)
Определим |5*(ti)l с помощью равенства
| S* (tj) | = max |
Тогда из A26) получим
2 е *
х=1
ж=1
Отсюда в силу A17) следует, что при любом простом
р>2 п любом п>Л существует рекуррентная функция

78
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
порядка п по модулю р такая, что для тригонометриче-
тригонометрической суммы ?*(ti) выполняются оценки
§ 10. Суммы символов Лежандра
Пусть р>2 — простое, f(x)=ao + a1x+... + anxn—
многочлен с целыми коэффициентами, п < р и (ап, р)= 1.
Обозначим через ап сумму символов Лежандра
A27)
и пусть Тп — число решений сравнения
y2^f(x) (modp). A28)
Величины Тп и ап связаны простым соотношением:
Это соотношение сводит вопрос о числе решений сравне-
сравнения A28) к изучению сумм символов Лежандра.
Для полиномов первой и второй степени суммы A27)
легко вычисляются. Действительно, так как символ Ле-
Лежандра (-—)—периодическая функция с периодом р и
линейная функция а0 + atx при (ал, р)=1 одновременно
с х пробегает полную систему вычетов по модулю р, то
Чтобы вычислить сумму
р
зс=1
рассмотрим сравнение
уг = х2 + a (mod p)
§ 10. СУММЫ СИМВОЛОВ ЛЕЖАНДРА 79
и обозначим через Т(а) число егр решений. Очевидно
Т(а) = |] 8р(а:2-г/2 + а) =
х,у=1
.02 Р Ах2-У2)
2 2Я
z=0
р-1
V .гх2
х=1
Пользуясь тем, что модуль суммы Гаусса равен У^,
получим
Т(а) = р+ Z e v =
и, следовательно, согласно A29)
р
8р (а) -
A30)
Пусть а2 ^ 0 (mod /?). Тогда, замечая, что
получим
'.-И 2
ж=1
1V
Отсюда в силу A30) следует, что при (а2, р)—1
(g + a;+V') = (^) ГА D«0а2 - а?) - l].
A31)

80 ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Отметим, что, в частности,
(х — а\ 1х— Ь\
р
р8р(а — Ь)— 1.
A32)
Действительно, это равенство непосредственно следует
из A31):
'х — а\ [х —
Р
аЬ - (а + Ь)х+х
р J ¦' ?? \ Р
= р8р [4ab — (a + bf] — 1 = р8р (а - Ь) — 1.
При га > 3 за исключением отдельных частных слу-
случаев исследование сумм ап значительно сложнее.
Рассмотрим один из таких частных случаев. Пусть
п > 3 — нечетное, р > п— простое, (а'и р) — 1 и
On («i) =
Покажем, что
2
(га - 1) /р.
A33)
Действительно, так как при 2^0 (mod/?) линейная
функция zx одновременно с х пробегает полную систему
вычетов по модулю р, то
оп(а1)= У ^-М-
_ V ^ /
Следовательно,
р 7Ж"
Возводя1 это равенство в квадрат и суммируя" по z,
получим
(р - 1) | а„ К) |2 =
if ;
2=1
A34)
§ 10. СУММЫ СИМВОЛОВ ЛЕЖАНДРА
где t (к) — число решений сравнения
а^п~г = Х (mod^).
Так как t(X)^n— 1, то из A34) следует, что
81
"
(. -1» 2,
Отсюда, пользуясь равенством A32), получаем оценку
A33):
При нечетном п>3 и (ап, р) = 1 такая же оценка
справедлива и в общем случае:
зс=1
pl^j
<(га-1)/р. A35)
Для и = 3 эта оценка была получена Хассе [40], при про-
произвольном п она следует из более общих результатов
А. Вейля [48]. С элементарными методами получения
оценок сумм A35) можно познакомиться по работам
[29], [34] и [24],
Как было показано выше, суммы символов Лежапдра
от полиномов второй степени можно вычислить с по-
помощью сумм Гаусса. Покажем, что суммы Гаусса мож-
можно использовать и при оценке простейших неполных
сумм символов Лежандра:
р
6 Н. М. Коробов

82
ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Действительно, тем же путем, как при оценке не-
неполных тригонометрических сумм (теорема 2), получим
р-1 Р • Р-1 Р Р-1 .г(х-у)
¦- ¦ ¦ -1 л утл { х \ ^ -Г1 2Яг- —
Отсюда после перемены порядка суммирования и выде-
выделения слагаемого с z = 0 в силу D1) и D2) следует,
что
Р-1 / Р Zy\ /Р-1
V
Таким образом получаем оценку
р
A36)
При Р>Ур\пр эта оценка будет, очевидно, лучше три-
тривиальной.
Наличие нетривиальной оценки
р
<Р
говорит о том, что на интервале [1, Р] есть хотя бы один
квадратичный невычет по модулю р. Обозначим через
Ро наименьший квадратичный невычет. Из A36) сле-
следует, что
Согласно предположению, высказанному И. М. Виногра-
Виноградовым, при любом 8 > 0 справедлива оценка
с константой в знаке О, зависящей только от е.
§ 10. СУММЫ СИМВОЛОВ ЛВЖАНДРА
83
Наиболее сильный результат, полученный в этом на-
направлении, имеет вид
Доказательство
где у — любое число, большее чем
—у=.
4 уе
у
этого результата [39] основано на использовании оценки
Хассе — Вейля A35).
Пусть Ni и N2 — соответственно число квадратичных
вычетов и квадратичных невычетов по модулю р среди
первых Р натуральных чисел. С помощью оценки A36)
легко получить асимптотические формулы для iVi и N2.
Действительно, замечая, что число решений сравнения
г/2 = ж (mod/?) (l^ys^p, Kx<P)
при Р<р равно 2NU получим
р р р
2N, = 2 2 бР(г/2 -х) = 2
x=l V—1 x=i
= Р
где в силу A36) 161^1. Отсюда, так как Nt + N2= Р.
получаем
Так же просто решается вопрос о распределении
квадратичных невычетов в последовательности значений
рекуррентных функций.
Пусть р>2 — простое и ф(ж) — рекуррентная функ-
функция порядка и^2 с периодом т по модулю р. Обозначим
соответственно через Л^, Nt и N2 число нулей (modp),
квадратичных вычетов и квадратичных невычетов в пе-
периоде функции ф(ж). Очевидно,
X X р—1
2=1 Х=1
6*

84 ГЛ. I. ПОЛНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
Отсюда, пользуясь теоремой 13, получим
р—1
¦J_V
: р
z=l
Т
2 2Л1-
A37)
где 10О ( =5 1. Тем же путем, пользуясь теоремами 3 и 13,
получим
Следовательно,
2=1 у=
П+1
П 2
п+1
A38)
Теперь, замечая, что No + Ni + N2 = т, из A37) и A38)
получим асимптотические формулы для Nt и N2:
е0).
Если период рекуррентной последовательности достаточ-
достаточно велик:
x>p*(Vp+i),
A39)
то величины Nt и N2 будут положительны и, следова-
следовательно, среди членов рекуррентной последовательности
будут встречаться как квадратичные вычеты, так и квад-
§ 10. СУММЫ СИМВОЛОВ ЛЕЖАНДРА
85
ратичные невычеты по модулю р. 'Заметим, что для по-
последовательностей третьего порядка условие A39) явля-
является почти предельно точным. Согласно A39) рекур-
рекуррентные последовательности третьего порядка, период
которых больше чем р2 + рУр, содержат квадратичные не-
невычеты по модулю р. Покажем, что существуют последо-
последовательности третьего порядка с периодом, равным
~2~(р2 — Р)»не содержащие квадратичных невычетов.
Действительно, пусть g — первообразный корень по
модулю р. Рассмотрим функцию ty(x), удовлетворяющую
уравнению третьего порядка
1|з (х) = 3/-Ф (х - 1) - 3^*1|з (х - 2) + ge$ (х - 3)
и определенную начальными условиями
Легко проверить, что \$(x) = x2g2x. Очевидно, последова-
последовательность значений этой функции не содержит квадра-
квадратичных невычетов. Обозначим через т наименьший пе-
период функции ty(x) по модулю р. Тогда для любого
целого х выполняется сравнение
Отсюда без труда получаем, чтот = -^-(р2 — р).
Таким образом, при га = 3 граница A39) для вели-
величины периодов рекуррентных функций, среди значений
которых встречаются квадратичные невычеты, имеет
правильный порядок и ее нельзя улучшить более чем
в два раза.

ГЛАВА II
СУММЫ ВЕЙЛЯ
§ 11. Метод Вейля
В первой главе рассматривались суммы Вейля первой
степени и было показано, что для них справедлива
оценка
р
1
х=1
<min Р.
'2||а
A40)
Основная идея метода Вейля состоит в сведении оценки
суммы произвольной степени п ^ 2
р
s(P)= 2 е2я*Кж+---+а«жП)
х=1
к оценке суммы (п— 1)-й степени и, в конечном счете,
к использованию оценки A40). С понижением степени
тригонометрической суммы мы уже встречались при до-
доказательстве теоремы о модуле суммы Гаусса. В теореме
Гаусса квадрат модуля тригонометрической суммы вто-
второй степени с помощью линейной замены переменной
суммирования переходил в двойную сумму, в которой
одно из суммирований сводилось к вычислению суммы
первой степени. Сходные, но технически более сложные
соображения используются для понижения степени сумм
и в методе Вейля.
При выводе оценок сумм Вейля нам понадобятся сле-
следующие неравенства:
р \k I р \ft-i р
2 "xVx < 2 и * 2 uxvhx, A41)
я1 / \1 /
Ж=1
х=1 х=1
Эти неравенства справедливы при их
извольном натуральном к.
0, vx
A42)
A43)
0 и про-
про§ 11. МЕТОД ВЕЙЛЯ
87
Докажем неравенство A41)'. Обозначим через ой
суммы
р р
а0 = 2 "ж. °h = 2 "х^х (А = 1, 2, . . .).
Если о,, = 0 или 0О ^ 0 и /с = 1, то неравенство A41) три-
тривиально. Будем предполагать, что о0 ^ 0 и к S* 2. Так как
^ 1 + Vy - i;^ = (ух - у») (ух-1 - v*-1)
— vxvh~x) =2(aocrfe — a^u^).
то, очевидно,
р
2 и*"»
Но тогда
a, >-! aft_x > - aft_
и, следовательно, выполняется неравенство
совпадающее с неравенством A41).
Неравенство A42) получается из A41) при щ =...
>-- = Мр = 1. Неравенство A43) также следует из A41).
Действительно, обозначим через 2 сумму, распрост-
распространенную на те значения х, для которых их Ф 0. Тогда,
выбирая в A41) к = 2, получим неравенство A43):
р
2 "х
с=1 / \ж=1 /
< 2*ul ?*"х(^^хJ< 2 «x 2
х=1 х=1 х=1 ж=1
Пусть г/i ^ 0 — целое. Будем обозначать через Д/
конечную разность функции /(ж):
При к > 1 конечную разность /с-го порядка Д / (ж)

88
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
определим с помощью равенства
Д f(x) = A\ А
Легко видеть, что А / (х) пе зависит от порядка сле-
»1 Vh
дования величин уи ..., ук. Так, например,
VVV
(x)= A f{x).
Пусть f(x) — полином степени га !> 2:
f(x) = a0 + ayx + ... + anxn.
Покажем, что для его конечной разности порядка га — 1
выполняется равенство
Д / (х) = п\ а„уг ... уп-хх + р, A44)
Vv-..,Vn-l
где р зависит только от коэффициентов многочлена f(x)
и величин уи ..., yn-L
Действительно, для полиномов второй степени /2 (х) =
= а^х2 + с^х + a0 это равенство непосредственно следует
из определения конечной разности:
Д /3 (х) = а2 (х + г/iJ + ах (ж + ^) + а0 — (а2х2 + а^ + а0) =
= 2а2у1х + Р2.
Применим индукцию. Пусть при некотором к > 2 для
всякого полинома /А (х) = сс^ж* + ... + а0 справедливо ра-
равенство
/ft (ж) = /с!
^х + pft.
A45)
Тогда для /ft+i (ж) = ah+ixh+i + ... + a0 получим
A /fc+i (ж) = Д [/fc+1 (х + ук) - Д+1 (х)] =
У]
= А [{к+ i)ak+1ykxb+ ...] =
Vy.Vh-l
= (ft + 1)! ай+1г/! . . . yhx + Pft+i,
чем равенство A45) доказано для любого ft > 2. В част-
§ н. мвтод вейля
89
ности, при ft = ra получаем равенство A44). Центральной
в методе Вейля является следующая лемма.
Лемма 12. При любом к>\ справедлива оценка
->2ft-ln2ft-(ft+l)
Рь-1
2Jli
где Pt=P и при v = l, 2, ..., ft величины Рч+1 опреде-
определяются равенством Pv+i = Pv — г/v.
Доказательство. Покажем сначала, что утверж-
утверждение леммы справедливо при ft = l. Действительно,
У. e2nif(x)
х=Х
_ V e2Ki[f(v)-f(x)] =
2 2
Отсюда после перемены порядка суммирования следует,
что
Pj— у у 2лгД/(ж)
Возведем это неравенство в степень 2* '. Тогда, соглас-
согласно A42), получим
-Vf-i-x ^
. A46)
Применяя неравенство A46) последовательно к его пра-
правой части и замечая, что Pt=P и PV^P, приходим

90 ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
к утверждению леммы:
Pk+1 2Яг Д /(ж)
ж=1
д /(ж)
Лемма 13. Пусть Я и хи ..., хп — натуральные
числа. Обозначим через т„(Я) число решений уравнения
xt ... хп = Я. Тогда при любом в @ < е < 1) выполня-
выполняется оценка
где Сп(г)—константа, зависящая только от п и г.
Доказательство. Пусть а^1, р^2 и 0<
^ 1. Так как
то для любого р &* 2
Если
циент
A47)
^е,то в этой оценке можно отбросить коэффп-
¦
е1п2"
<раЕ. A48)
При Я = 1 утверждение леммы очевидно. Пусть 1^2 и
задано каноническим разложением на простые со-
сомножители
Я =
(Pi<P2<...< Л).
Оценим число делителей Я. Пусть рт-<.ег ^рг+1- Тогда,
применяя для ри ..., рг оценку A47) и пользуясь для
§ Н. МЕТОД ВЕЙЛЯ
91
рг+1, . ¦., ps оценкой A48), получим
т (Я) = A + «0 ... A + а.) <
J_VnalE «s*_( 1 V-в
Отсюда, так как число простых, меньших ев, не превос-
1
ходит еЕ, следует, что
Заменим в этой оценке г на —. Тогда, замечая,
т„(Я)< [т(Я)]п, получим утверждение леммы:
что
Лемма 14. Пусть Р > 2 и
а + (а9)
Тогда при любом натуральном Q и произвольном дейст
вительном р выполняются оценки
1'. 2
Доказательство. Представим В в виде
где & — целое, 16i I < 1 и знак 0! противоположен зна-
знаку 8. Тогда при 1 ^ х <: q получим
ах 4- Ъ , 9ж 6Х
ах ~\-b
q
. A49)

92
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
Покажем сначала, что
Q
491пР- A50)
Действительно, если g или Р меньше четырех, то зта
оценка тривиальна. Пусть q ^ 4 и Р ^ 4. Тогда согласно
A49) для тех значений х, при которых
|| _2_
II ""*" Ч '
будет выполняться оценка
1 II йж -f- b
Этой оценкой можно пользоваться для всех х из интер-
интервала 1 ^ х < g кроме тех, для которых
аз; + & ез 0, ±1 (mod g).
Так как (fl, д) =1, то ах + Ъ одновременно с х пробега-
пробегает полную систему вычетов по модулю q. Следовательно,
о
' || ах + Ъ
W3P
Отсюда, замечая, что
2 **№)
A51)
Ш
р
получаем оценку A50).
Выберем теперь ^ = 1 + [-L^] и заменим в оценке
Г величину х на qxt + x2. Тогда, пользуясь неравенством
§ 11. МЕТОД ВЕЙЛЯ
93
A50), получим
Q
х=1
Отсюда, так как Q1 <С 1 -\ , следует первое утвержде-
утверждение леммы.
Для доказательства утверждения 2° покажем сна-
сначала, что
2 min (Р\ i—з) < ЗР* + APq. A52)
Действительно, как и при доказательстве оценки
A51), получим
Отсюда, так как
Л")< 2
2 4
получаем оценку A52). Следовательно,
29
р
«I
+ 4Рд)<4Р|1
чем лемма полностью доказана.
+ д),

94
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
Замечание. Пусть т — произвольное натураль-
натуральное число и
а + М 1 1е1<1
Тогда при любом р и любом 8 @ < е < 1) справедлива
оценка
J,
Действительно, при Р < 3 эта оценка тривиальна.
Пусть i> > 3. Тогда 1< In i3 < ~ Ре и
2mQ—1
<
Отсюда очевидно следует оценка A53).
Теорема 14. Пусть п> 2, f(x) = агх
. +апхпи
Если Р «? g < i3"-1, го гари любом положительном е < 1
выполняется оценка
< С (га, 8)
1-Е
„П-1
г5е С (га, е) — константа, не зависящая от Р.
Доказательство. Из леммы 12 при А: = га —
следует, что
<22
- ... 2
, A54)
где Pt=P и Pv+t=Pv -yv (v = 1, 2, . .., га - 1). Так
§ 11. МЕТОД ВЕИЛЯ
95
как согласно A44)
Vr.-Vn-l
то, пользуясь оценкой A1), получим
рп
2л е
Подставляя эту оценку в A54) и выделяя слагаемые,
в которых встречаются величины yv, равные нулю,
получим
р
2
ж=1
nj
Соберем вместе слагаемые с одинаковыми значениями
произведения г/4 ... уп-\- Так как согласно лемме 13 для
числа решений уравнения г/i.. . yn~i = Я при любом по-
положительном 8^1 выполняется оценка т„_!(Л)<
^C»_i(e)Xe, то
р
min(P,
рП-1
.-.»„_!«„ |
рп— 1
Теперь, пользуясь условием Р:
к лемме 14, получим
р
1
и замечанием

96
ГЛ. II. СУММЫ ВВЙЛЯ
и, следовательно,
Р г"
+ 32к! 22
Cn_x (8) n2n-l_
l+era
Отсюда после замены е на — получаем утверждение
теоремы:
"У
1—
1-Е
1-Е
Замечание. Нетривиальную по порядку оценку
суммы Вейля степени га ^ 2 можно получить не только
па интервале Р s? q «S Pn~\ указанном в теореме 14, но
и на более широком интервале
h < Я <
@ < е, < 1).
A56)
Действительно, в этом случае из A55) следует
оценка
р
1—
<р
имеющая нетривиальный порядок при любом положи-
положительном е < в4. Дальнейшее расширение интервала
A56) до q < Рп уже невозможно, так как при q = Рп
существуют суммы Вейля степени п, для которых
р
Чтобы убедиться в этом, выберем, например, п S? 12,
q — Рп и
Тогда, так как
| е2яг/(Ж) _ 11 == 21 sin я/ (х) |< 2я
- (д - -t)n+1
§ 12. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
97
то, очевидно,
р
и, следовательно,
р
S
¦i^ ¦*
р _4_ X1 /->2лг/(ж) 4 \
Х=1
р
x)-l\>{l-ih)p>^p-
§ 12. Системы уравнений
Метод, предложенный Морделлом для оценки полных
рациональных сумм (§ 5), состоит в сведении оценки
отдельной суммы к оценке при к = п среднего значения
2ft
р
±у
п ?i • • •
Р
п ?i Li
Р a1=l an=X
2Я1-
x=i
или, что то же, к оценке числа решений системы
сравнений
(mod p).
Подобно этому в методе Виноградова оценка суммы
Вейля сводится к оценке при некотором к среднего зна-
значения величины
Р
х=1
2ft
равного
Л р
J..J ? «4V+-W
2ft
,! ... dan
и, как будет показано ниже, совпадающего с числом
7 Н. М, КороВов

98
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
решении системы уравнении
yt 4- ... + хк = yt + ... + у к
П , I 71
Xj. + . . . + Xk
A57)
...+Ук
Обозначим через S(ait ..., ап) сумму Вейля
п/ ч VI 2лг(а х+...+апхп)
Пусть п ^ 2, Я.1, .. ., %п — фиксированные целые числа и
^k,n(^i, •. •, Хп) — число целочисленных решений системы
уравнений
ху 4- ... 4- xk — {уу 4- ... 4- Ы = Ях
A58)
в которой величины xs и ^ изменяются в пределах
I 5s ^ ^ Г, 1 %= J/j 5; Г ч/ — 1, /, . . ., К) .
При Я4 = ... = Кп — 0 эта система уравнений, очевидно,
совпадает с системой A57).
Рассмотрим простейшие свойства таких систем. По-
Покажем прежде всего, что при любом натуральном к вы-
выполняется равенство
\S(alt ...,ari)|2ft =
ganJ(e1».1+...+aBxn)j A59)
где суммирование проводится по области
\U<kPv (v = l, 2, ..., п).
Действительно, так как
Sh(a,, ...,«„)= | e««'[»l(«l+
то, очевидно,
§ 12. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 99
Объединим здесь слагаемые с фиксированными зна-
значениями сумм #!+... — у1 (v = 1, 2, ..., п):
Ху+ ... — yh = Ху
71 . 71 л
*i + • • • — Ук = К
Так как l<Xj<P и l^y^P (/= 1, 2, ..., к), то
согласно A58) число таких слагаемых равно Nktl(Xy, .. .
. .., Яп), причем
Следовательно,
чем в силу A60) равенство A59) доказано.
Соотношение A59) представляет собой разложение
функции \S(a,i, ..., а„)|2" в кратный ряд Фурье. Числа
•^ftfn(^n ...Дп) являются ее коэффициентами Фурье.
Следовательно,
= J ... J 15 (аи ,.,а„)
- ,0
A61)
и, в частности,
1 1
¦¦ Nffi @, ¦ ¦ ¦, 0) = J ... J 15 (alf ..., ап) \2k даг... dan.
о о
В дальнейшем часто вместо М^п @, • • •. 0) мы будем
пользоваться сокращенными обозначениями Nkn(P)
и Nh(P), а вместо А^п(^и • • • Дп) — обозначением
¦^'ftP> (^и • • ч ^п)- ^ак как М0ДУль интеграла не превосхо-
превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции, то
7*

100 ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
из A61) следует, что при любых ки ..., к„
... j \S(alt ..., an) |« dax ..
о о
Покажем, что справедливы равенства
2 N(kP) (к,, ..., кп) = N{P) (k1} ..
2
= Nh(P). A62)
,kn^), A63)
A64)
h(P). A65)
Действительно, согласно введенным обозначениям,
число решений системы уравнений
+ • • • — У к = К
п—1
A66)
. . ~ Ук
равно A'rftP)(A,1, ..., Яп-j). Дополним эту систему уравнением
Число решений дополненной системы равно Nk (Я15 ...
..., кп). Каждое решение системы A66) удовлетворяет
одной и только одной из дополненных систем, возникаю-
возникающих при различных значениях Я„, и каждое решение до-
дополненной системы удовлетворяет системе A66). Поэто-
Поэтому сумма величин N^ '(Я1( ..., Я„), распространенная
на всевозможные значения Я„, будет равна числу реше-
решений системы A66), т. е. будет выполняться равенст-
равенство A63).
Равенство A64) непосредственно следует из D63):
Для доказательства равенства A65) рассмотрим систему
§ 12. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
101
уравнении
x2h — уг — .'.. — y2k = 0
A67)
Число решений этой системы равно Nik(P). Соберем
вместе те решения, для которых при фиксированных
А,1, ..., Я„ выполняются уравнения
Х1
Ук+i
Угк — хк+1 — . . . — %2к =
Ук+1
zk+i
• — хгк
Число таких решений будет, очевидно, равно [^^(к^ . ..
• •¦, кп)\2. Каждому набору значений kh ..., кп соответст-
соответствует своя совокупность решений системы A67) и каж-
каждое решение системы входит в одну и только одну из
этих совокупностей. Таким образом, рассматривая все-
всевозможные наборы Я), ..., Я„, мы получим все решения
системы A67), и, следовательно,
2 [NiP)(k1,...,kn)]2=N2h(P).
При изучении свойств систем уравнений
— Ук =
A68)
и при выводе оценок сумм Вейля существенно исполь-
используется связь между тригонометрическими суммами
рассматриваемыми как функции п переменных at,..., а„
и числом решений системы уравнений A68). Эта связь
видна из разложения функции \S(ai,. ,.,ап) \2к в кратный

102
ряд Фурье:
\S(alt ...,а„)|2й =
тл. п. суммы вейля
!,..., К)
апХг>). A69)
Фактически ряд A69), как это показано в равенстве
A59), представляет собой конечную сумму, так как ес-
если хотя бы одна из величин Kv по модулю больше или
равна kPv, то система A68) не имеет решений и соот-
соответствующий коэффициент Фурье обращается в нуль:
NlhP)(klf...,K) = 0 (\K\>kPv). ' ' '
Покажем, что установленные выше свойства величин
Nh Скъ...,%п) A63) — A65) являются очевидными
следствиями этого разложения.
Действительно, полагая в A69) ai = ... = а„ = О,
получаем равенство A64):
p2h= 2 мПк-.-Лп). ' /,;';/
Из равенства Парсеваля для фупкции
сразу следует равенство A65):
2 [NPii,, ..
j
о о
Накопец, полагая в A69) an — 0, получим
| S (a1: ...,«„_!) |2ft =
= J .. . J f| S(a,, ...,an) \*<f da,... dan =
о о
1 1
= j ... \\S(au .. „о»)!4***! ... dan - N2h(P).
Отсюда в силу единственности разложения функции
\S (a,, ..., а„-,) I2* в ряд Фурье
§ 12. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
следует равенство A63):
103
Наиболее важным вопросом в теории систем
уравнений
хг+ ... — ук = О
является вопрос о характере возрастания числа реше-
решений системы в зависимости от величины интервала из-
изменения переменных, т. е. вопрос о характере возраста-
возрастания величины Nh(P) при неограниченном возра-
возрастании Р.
Нижнюю границу для Nh(P) установить легко. Дей-
Действительно, так как 1 < х, < Р (/'= 1, 2, ..., к), то . ве^
личины хи ..., хк можно выбрать Рк способами.. Выбирая
затем г/i = хи ..., ук = хк, получим Ph решений. Следо-
Следовательно, выполняется оц&нка
Nk(P)>P\
A70)
Далее, согласно A62) и A64)
P2ft= 2
Nh(P),
и, следовательно,
Bк)п
Объединяя этот результат с оценкой A70), получаем
нижнюю оценку для Nk (P):
A71)
Покажем, что при к «S п эта оценка указывает пра-
правильный порядок роста величины Nh(P)- Действительно,

104
ГЛ. П. СУММЫ ВЕЙЛЯ
рассмотрим систему уравнений
X I • • • ( /j iJX. ' • • • I ij
Тем же путем, как и при доказательстве леммы Мордел-
ла (§5), легко убедиться, что величины хи ..., xh, удов-
удовлетворяющие этой системе, совпадают с перестановками
величин г/i, ..., yh. Поэтому число ее решений не пре-
превосходит к\Рк. Так как система A72) получается из
системы
xk = ух
yk
отбрасыванием последних п — к уравнений, то Nh(P)
не превосходит числа решений системы A72), и, следо-
следовательно, Nk(P)^ k\Ph. Таким образом, при к^п оцен-
оценка A71) имеет правильный порядок по Р.
При к ^ п легко показать, что Nh(P)^ п\РгК~п. Дей-
Действительно, пользуясь тривиальной оценкой суммы
S{au ..., а„), получаем
1 1
2h~2n
1 1
J ... J
2k-n. A73)
Вопрос о верхних оценках Nh(P), имеющих при
к > п правильный порядок по Р, значительно сложнее.
Этот вопрос, получивший название теоремы о среднем,
является центральным в методе, предложенном Виногра-
Виноградовым для оценки сумм Вейля.
При доказательстве теоремы о среднем нам понадо-
понадобятся две леммы.
Лемма 15. При любом фиксированном целом а
число решений системы уравнений
{хг + а) + ... — (yh + а) = 0 1
1<*,, Уз^Р A74)
(х1 + а)п+ ... - (yh + а)п = 0 j
не зависит от а и равно Nh{P).
I
§ 12. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
105
Доказательство. Пусть api, ..., у к — произволь-
произвольное решение системы уравнений
+ ¦ • • — Ук = 0 '
A75)
Тогда при любом s = 1, 2, ..., п получим
s
(Xj + a)s — (у3- + a)s = 2 Cvsas~v(х) — у]),
v=o
ft s ft
2 1(Ъ + a)s - {yi + ay] = 2 Cr«s-v 2 (x) - y)) = 0.
v=o
3=1
Следовательно, каждое решение системы A75) является
решением системы A74). Так же легко проверить, что
в свою очередь каждое решение системы A74) будет
решением системы A75). Но тогда эти системы уравне-
уравнений имеют одинаковое число решений, что совпадает с
утверждением леммы.
Замечание. Согласно лемме 15
2ft
x=a+l
и, следовательно, при любом целом а выполняется
равенство
J-
а+Р
2ft
—j ... j \ 2j <
tx ... dxn —
nx')
Пусть, как и в § 6 (замечание к лемме 7), Th(P) —
число решений системы сравнений
. •. — J/A = 0
хп1+ ...-ynhSS
A76)
Покажем, что число решений этой системы можно вы-
выразить через величины N^ (к1г .. ,х А.и).

106
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
Лемма 16. Справедливо равенство
тк{Р)= 2 nT(Kp, ...Апрп),
где суммирование распространено на область •
1Я..1 < кРр~\ ..., |Я„1 < кРпр~\ A77)
Доказательство. Легко видеть, что система
сравнений A76) равносильна совокупности систем
уравнений
xi + • • • — Ун = КР
71 п „
... —yh = кпрп
возникающих при всевозможных наборах целых Kt, ...
..., Я„. Так как число решений этой системы при фикси-
фиксированных значениях A.i, ..., Я„ равно N^^kj^p, ..., кпрп),
то сумма величин ./V^ (Я^, .. . ,Я„рп), распространенная
на все возможные значения %lt ..., Я„, будет равна чис-
числу решений системы сравнений:
Tk(P)= 2 N{hp)(KlP, ...,
Суммирование ' достаточно проводить по области A77),
так как иначе хотя бы для одного значения v (I ^v=sS
< п) будет выполняться неравенство |5w/?vl ^ kP" и соот-
соответствующее слагаемое Nh (^iP) • • •> ^прп) будет обра-
обращаться в нуль.
§ 13. Теорема Виноградова о среднем
Как уже было сказано в предыдущем параграфе,
в теореме о среднем устанавливается верхняя оценка
величины Nk (P), где Nk (P) — число целочисленных ре-
решений системы уравнений
xh = уг
Xh= yx
yk
A78)
В основе доказательства теоремы о среднем, предло-
предложенного И. М. Виноградовым, лежит рекуррентный про-
процесс, сводящий оценку величины Nh(P)к оценке Nki(Px),
§ 13. ТЕОРЕМА ВИНОГРАДОВА О СРЕДНЕМ
107
где kt < к и Л < р-4 Ниже приведены два доказательства
теоремы о среднем. Первое из них проще, но оно при-
приводит к результату, справедливому лишь при завышен-
завышенном числе переменных в системе A78). Второе доказа-
доказательство несколько сложнее, но зато оно позволяет по-
получить результаты, которые близки к окончательным.
Оба доказательства проводятся с помощью различных
вариантов /ьадического подхода, предложенного в этом
вопросе Ю. В. Линником [28]. J
Лемма 17. Пусть п>2, г==пг, Р>пп, р-простое,
Рп <р < 2Рп и А = Рп-1. Тогда при к>п2 для числа
решений системы A78) выполняется оценка
Доказательство. Пусть f(x) = alx + ... + anzn и
суммы S и S (г) определены с помощью равенств
S'=
Тогда, очевидно,
z=i
|Spft = |S|2r|S|2ft-2r
ll^r2|^(z)|2ft~2r.
Так как число решений системы A78) возрастает при
возрастании Р, то, пользуясь равенством A61) и заме-
замечанием к лемме 15, получим
1 i
x) = [ ... [ \Sfdax ... <*«„<
об
ft-sr-i 2 f ... j> ГI ^ (z) |3&-2Г Azj .. ; dan. A79)
Пусть максимальное значение слагаемых в сумме A79).

108 гл. п. суммы вейля
достигается при z = z0. Тогда получим
о о
2Г
2ft—2Г
da1 ... dan.
Легко видеть, что интеграл в этой оценке равен числу
решений системы уравнений
1+ . . . — ут = (Zo + pXj) + . . . — (Zo
i + ... - Уг = («о + №)n + ... - (z0 +
или, что то же, числу решений системы
(zo + хх)+ ... — (z0 + yr) = (z0 + pxt) + ... — (z0
(«о + «i)n + • • • - (z0 + г/г)" = (z0 + jBarj)" + ... - (z0 + pyh-r)n
P — z0<a>j,
— z0
В свою очередь эта система (см. лемму 15) равносильна
системе
Х1 + • • . — Ут = Р (Хг + ... — Уь-г)
р —
— z0 + pPlt
Заменим здесь интервал изменения х} и у, на более ши-
широкий:
Кх,, yi^2pPl (/=1, 2, ..., г).
Тогда, объединяя решения с фиксированными значения-
значениями сумм х\+ ... —yt-T (v = 1, 2, ...,п) к пользуясь
I
\
§ 13. ТЕОРЕМА ВИНОГРАДОВА О СРЕДНЕМ
оценкой A62), поручим
109
где суммирование распространено на область |Я„1 <
<rBP,)v (v = l, 2, ..., п). Отсюда, так как Pt = рп~\
пользуясь леммой 16 и замечанием (90), получаем
утверждение леммы:
Nk (P) ^p2k-2rNk-r (P±) Тг Bрп) <
iP a Nb-riPJ.
Теорема 15. Пусть п>2, %>0, к>пгх,
Р>;A+-)', ч.:ци(,_!)•.
Тогда для числа решений системы A78) выполняется
оценка
(Р)
4П* V
A80)
Доказательство. Утверждение теоремы получа-
получается с помощью несложной индукции. Действительно,
при т = & оценка A80) тривиальна. Пусть она верна
при- некотором т^0. Выберем к>п2(х+1) и^
> п V ' Определим натуральные г, Р4 и простое
, как в лемме 17:
г = га2,
2Р" ,
Тогда
и по индукционному предположению
A81)

НО гл. и. суммы вейля
Но согласно лемме 17
п, следовательно, в силу A81)
2ft-
Отсюда, так как рР\ = рп <2пР, (п— l)et = nsx+i и
получаем
nft('2™P) 2 т+1
чем теорема доказана.
Рассмотрим теперь вопрос о точности полученных ре-
результатов. Так как , г
то при возрастании т и соответствующем возрастании к
величина ех стремится к нулю. Так, при т >2raln(ra+1)
получим
Соответственно при т> 3nln(ra+,l) будет ет<0 /„ i <п •
Отсюда следует, - что для всякого е > 0 при к >
> Зп3 In (re + 1) и ra^-s- выполняется оценка
e\
A82)
1п Р 2 = i
С другой стороны, согласно A71)
\ 2*
Nb(P) > ' Р
Из сопоставления этой оценки с оценкой A82) видноА
что порядок оценки A80) почти предельно точен.
Вопрос о наименьшем значении к, при котором вы-
выполняется оценка A80), значительно сложнее. Этот во-
I
§ 13. ТЕОРЕМА ВИНОГРАДОВА О СРЕДНЕМ
111
прос важен в связи с тем, что, оценки сумм Вейля, полу-
получающиеся с помощью теоремы о среднем, как правило,
тем точнее, чем при меньших значениях к удается уста-
установить оценку вида A80).
Покажем, что оценка
A83)
не может выполняться при k<Z о" Действительно,
согласно A71) Nh(P)>Pk, и, следовательно, для того
чтобы оценка A83) выполнялась, должна выполняться
оценка
•).
Рп=О\Р 2
7 _ п(п+ 1) _, „
что возможно только при к^ '—-. Таким образом,
лучший результат, на который можно было бы рассчиты-
рассчитывать, это получение правильной по порядку оценки при
к= g • Оценка A83), следующая из теоремы 15,
получена при к ^ Зи31п(га+ 1). Пользуясь вместо лем-
леммы 7 леммой Линника (лемма 9), мы получим теперь
эту оценку при к 5* Зи21п(и+ 1).
Лемма 18. Пусть п>2, Р>BпJп, р —простое,
п (п + 1)
—-
и "i — [РР 1 ^
выполняется оценка
._ .„ 2ft-
Тогда при
Nb-niPJ. A84)
Доказательство. Как и в лемме 17, введем обо-
обозначения: f(x) = а^ +... + апхп,
р.
x-p+l
\ S(z)= Zi e
2Яг/(г+рж)
Тогда получим
р
2
Будем относить систему z{, ..., zh к первому классу, если

112
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
в ней можно найти п различных величин Zj. Все осталь-
остальные системы Zi, ..., zh отнесем ко второму классу. Так
как
2i
2i •¦
zv,..,zh
+ 2
где суммы 2i и 2г распространены соответственно на
системы первого и второго классов, то, замечая, что
Р ^ рРи и пользуясь замечанием к лемме 15, получим
1
1) = J ...
о о
1 1
+ 2f...
S (Zl) ... S (zh)
J-Jl 2,
oJ о hi--.**
x... dan
x ... dan. A85)
Обозначим соответственно через Nk и yVfe интегралы,
стоящие в правой части этого неравенства. Так как п
различных величин можно разместить на к местах С&
способами, то
S(z1)...S(zk)
о hi
da1...dan,
где в сумме 2i различные Zj занимают первые га мест,
а переменные zn+1, ..., zft независимо друг от друга про-
пробегают интервал [1, р]. Отсюда, замечая, что
S(Zl)...S(zh)
2Г s (zj... s (znJ
p
z=l
2(ft-n)
2?
i 13. ТЕОРЕМА ВИНОГРАДОВА О СРЕДНЕМ
ИЗ
получим
р 1 1
X 23 J • • • J'l 2i S(z1)...S(znJ\S(z)fk-n)da1...dan.
z=10 0 I zi>"'.zri
Легко видеть, что при фиксированном z интеграл в
этой оценке равен числу решений системы уравнений
. •. -(tn
.. .—(z+pyh_n)
'nT= B
... - (z
A86)
где l^x'j, y'j, Xj, y'i^Ph l<Zj, ij-^j? и при i?=j выпол-
выполняются условия г, ?= zh ti ?= tj. Введем новые переменные
Xj и у3:
z} + px] = z + xh tj + py] = z
Тогда система A86) примет вид
(z + хг) + ... - (z + yn) = (z
(/=1,2,..., n).
(z + Xl)n + ;. .-(z+yn)n=(z + рх±)п + ... -(z+pyh_n)n\
A87)
а область изменения переменных будет определяться
условиями 1 <Xj, ijj =?SЛ, p-z<xh y^p-z + pPl и
при г =^ / #i ^ ^j, ^, ^ у3 (mod p).
В силу A74) число решений системы A87) не пре-
превосходит числа решений системы уравпений
Х1 + • ¦ ¦ ~ Уп = Р (xi + ¦ • • ~ Ук-п)
Объединяя решения с фиксированными значениями сумм
8 Н, М, Коробов

114
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
+ ... — yl-n (v = 1, 2, ..., п), пойучим
-n(Рх) 2 N*n(XlP, ..., Крп),
где Nn(Яхр, ..., Яирп) — число решепий системы
rx + ... — г/и =
*? + • • • - Уп = Крп
ХхФ X}, У г Ф У) (mod p)
и суммирование распространено на область |Я„| <
<ra(Pi+l)v (v = 1, 2, ..., п). Но согласно лемме 16
2 К(XlP, ..., кпРп) = Тп(рР, + р)^Т*п(трп), .
где „ =
и Тп (трп) — число
решений системы сравнений
xi + .. . — Уп = 0 (modp) | 1 <arj, yj^mp",
(modp).
Следовательно, пользуясь оценкой (93), получим
П(П+1)
Tl(mpn)^n\m2np 2 <п!
N'k < (ClJP2(h-n)Nh-n {PJ T*n (mPn) ¦¦
2П—-
-„(Р,). A88)
Оценим теперь величипу Nk. Замечая, что число си-
систем второго класса пе превосходит п"рп~\ получим
22 S(zJ...S(zh)
zv.,.,zh
<«Vn-2 21 s (z) \2h < n2hP2n-2p? 2\s{z) |2"-2",
p
z=l
§ 13. ТЕОРЕМА ВИНОГРАДОВА О СРЕДНЕМ
115
1 1
J • • • 11 S (z) f-^da,... dan =
Так как согласно условиям леммы'/с^ге 7" и р>п2,
то
и, следовательно,
k-niPx). A89)
Теперь из. A85), A88) и A89) получаем утверждение
леммы:
JV
2N'h
BкJпР2пр
Рекуррентное неравенство A84) позволяет сущест-
существенно усилить формулировку теоремы о среднем, так как
оно сводит оценку Nk(P) к оценке Л^-„(Л) (а не к
Nk-nz(Pi), как это было получено ранее в лемме 17).
Теорема 16. Пусть п>2,
гат и
8t =
Тогда при любом Р ^ 1 для числа решений системы
A78) выполняется оценка ¦ .
л2й Bя)п P 2 ¦ T. A90)
Доказательство. Так как, очевидно,
ге(й-1)ТЧ?Л ' 1 ^v
,2
то для Доказательства оценки A90) достаточно показать,
s*

116
что
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
Nh (P) < Bkfk Bnp^-+%-1'P 2
Если т = О, то эта оценка принимает вид
. A91)
и согласно A73) выполняется при любом Р>1. Приме-
Применим индукцию. Пусть при некотором т > 0 и к — П Т +
+ гат оценка A91) выполняется для любого Р> 1. Дока-
Докажем ее для т+1, т. е. при к —п + га(т+1).
Рассмотрим отдельно случаи P>\2n)ink2 и Р<Bп)гпкг.
Если Р>BпJпк2, то согласно лемме 18
где ^-
. Так как к — п =
= 2 ^ гат' т0> пользуясь индукционным предполо-
предположением, получим
B* -
A92)
Замечая, что Р > Ак2 и, следовательно,
получим
2&-
§ 13. ТЕОРЕМА ВИНОГРАДОВА О СРЕДНЕМ
117
Но тогда из A92) следует, что
Nh(P)<
2«(fe—n)
(++
„. п(п+1),„
Bnf*°+-+^ph—^+ex+\ A93)
Пусть теперь Р <Bп)гпкг. Согласно предположению
индукции
2"BгаГЕ°+-+?*-ЧР
и, следовательно,
< BkJk~2n BnJ
Отсюда, замечая, что
для значений Р, меньших чем А2BгаJп, также получаем
оценку A91). Таким образом, эта оценка выполняется
для любого Р > 1, и теорема доказана полностью.
Пусть теперь А; > к0, где Ао =  + п%. Легко
убедиться, что оценка A90), доказанная в теореме 16
для к = к0, будет справедлива и при к > к„. Для этого
достаточно воспользоваться очевидным неравенством
и применить к ^ka{P) оценку A90).
Замечание. С помощью более сложных соображе-
соображений [6] в теореме о среднем можно освободиться от со-
сомножителя Р % и при га > 1, к > era2 In га, Р > 1 получить
оценку
2Й
»Р 2 , A94)
где с — абсолютная константа и С (га) — константа, зави-
зависящая только от га. Элементарное доказательство теоремы
о среднем в форме A90), получено в работе [30].

118 гл. ii. суммы вейля
§ 14. Оценки сумм Вейля
Для получения оценок сумм Вейля по методу Вино-
Виноградова кроме теоремы о среднем будут нужны две не-
несложные леммы. * - .
Лемма 19. Пусть f{x) — произвольная функция, при-
принимающая действительные значения. Тогда при любых
натуральных Р, Ри а и к справедливы оценки:
1°.
2°.
3°.
p
2
ж=
p
V einif(x)
p
2 е2Яг/(Ж)
*=1
еШ1(х)
1
2ft+
¦-*-2
!/=0
P
х—1
e2nif(x+ayz)
P— 1
г/=о
+ 2аР\,
чь.
A95)
Доказательство. При любом целом у>О
г/
P+V
У, A96)
где |9j,l ^1. Отсюда, проводя суммирование по у, полу-
получаем утверждение 1°: .
Для доказательства оценки 2° заменим в равенстве
A96) у на аг/z и проведем суммирование по у и z:
P P
2 е2я*Л*> = 2
x=i
Pli
+ 20 (у, z) ayz,
2« 2 Q(y,z)yz.
V,z=l
§ 14. ОЦЕНКИ СУММ ВЕЙЛЯ
Отсюда, так как |9(г/, z)l,< 1 и
119
следует утверждение 2°:
P
2 е2л{.
2 -• е2ПгКх+ауг)
V,z=l
+ 2пР\.
Определим Si и Pt с помощью равенств
p-l
с V
^i = 2j
y=o
p
Л^ л9лИ(Х-
ж=1
1
Тогда Sp+^P^i
/ Р!-Х
IV
\ 1 !/=0
p
oc=
' е2яг/(ж+у)
1
?^
2ft
Г)
1 ^1 =
™i™ I C2S+1
ПИПЦ^! J
' и, следовательно,
2ft Px-:
<^2
Р
"V е2яг/(ж+г/)
ж=1
1 г/=о
V е2яг/(ж+г/)
4-^2ft<5f+i.
Отсюда, пользуясь оценкой 1°, получаем утверждение 3°:
ж=1
2 е^1
1 у=о
2ft+l
Р-1
г/=о
2ft
Лемма 20. Если функция F(ah ..., ап) задана
кратным рядом Фурье
F(alt...,an)= 2 C(Xlt...tk
%1,,.,,хп=-«>
и удовлетворяет условию
ап)>0,

120 гя. и. суммы вшля
то при любых натуральных qu ..., дп будет
i • •. ?» 2
lv.,.,kn=—oo
Доказательство. Так как F(at, ...,
0, то
х^о *„=0
2 с (ях,...
х
A97)
Согласно лемме 2
Пользуясь этим равенством, из A97) получаем утверж-
утверждение леммы:
и ...,Я„)Х
. <7„
^ >,„=—оо
Следствие. Пусть /(ж) = «^ +. .. + а„ж" и
и/)м любых натуральных г^п и к выполняется
щенка
П(П + 1)
\%T\<.hI"
(U, . .., АГ) . . .,
§ 14. ОЦЕНКИ СУММ ВЕЙЛЯ
Доказательство. Рассмотрим функцию
F(ai, .... a»)-15@,, ..., ап)\2\
Согласно A59)
121
где суммирование распространено на область
\K\<kPv (v = l, 2, ..., в).
A98)
Так как F(a,, ..., а„)^0, то условия леммы выполня-
выполняются. Выберем
J1, если v = г,
^ = 1/сР\ если v^r. A99)
Тогда, пользуясь леммой, получим
\S(au ...,an)|2ft<
B00)
где в силу A98) и A99) область суммирования можно
записать в виде
' "Рг, если v = г,
L, если v=^=r,
или, что то же, в виде
1 1 Л 11 I <г- ?• Рг 7 1 Л
Замечая, что
из B00) получаем утверждение следствия:
2 n{P)(o, ...,к,...,о)

122 ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
Теорема 17. Пусть п>2, }(x) = aix + ... + алхп и
Яд2' ' "^
Если Р < q ^ Рп~\ то справедлива оценка
Доказательство. Пользуясь леммой 19, получим
2ft+l
Р-1
Р-1
= 22h+1 2
2 ?2я1/(* + Ю
2лг(а1(у)ж+...
2ft
2ft
, B01)
гдо av (г/) = -1- /(v) (г/) и, в частности,
a«-i (?) = ^r~j)\ f(n~1} (у) = m«y + a«-i-
Согласно следствию леммы 20 выполняется оценка
2яг(а1(г/)х+!.,+ап(у)ж") aft
n(n
-+1
х
(о... ^„.i
Подставляя эту оценку в B01), после перемены порядка
суммирования получим
2ft+l
Р
2 е2Яг/
х S
|Xn_1|<ftP"-l
n(n-i)
2
n(n-l)
+ 1
X ;-..
Р-1 -
2 е2ягпапхп-1
Выберем в замечании к лемме И е = —¦* и восполь-
2
2п
§ ii. ОЦЕНКИ СУММ ВЕЙЛЯ
зуемся условием Р < q^ Pn~l. Тогда получим
123
<8п_
~~~~ е
и, следовательно,
р
2.
Ж=1
п—1+-
(Р
гг(п+1) 1
ft(P). B02)
Выберем в теореме 16 г = [Зтг1п/г]+*1. Так как, оче-
очевидно,
. _ J_\t в(в-1) J1
* I
2 (/ в j ^ 2n3
то согласно A90) при к = „ + гат будет выпол-
выполняться оцепка
Подставляя эту оцепку в B02) и пользуясь тем, что
Зге2 In и < к < An2 In и, получаем утверждение теоремы:
Р
2
Р
2/1+1-1--^-
р
2
х=1
Оценка сумм Вейля, полученная в теореме 17, зависит
от рациональных приближений старшего коэффициента
полинома /(#)= aix + ... +а„хп. Покажем, что аналогич-
аналогичная оценка справедлива и в том случае, когда заданы ра-
рациональные приближения произвольного коэффициента
ar

124 ГЛ. П. СУММЫ ВЕЙЛЯ
Лемма 21. Пусть Q, t — натуральные числа,
а . в / _ _.\ 4 1Л1 ^i
и Т — число решений неравенства
IMKy, \
Тогда выполняется оценка
Доказательство. Обозначим через
решений неравенства
число
Согласно A49) при некотором целом Ъ, зависящем только
от {5, выполняется оценка
|s±i.|<i«+M+±.
Отсюда следует, что Т($) не превосходит числа решений
неравенства
ах + Ъ II t + 1 . .
Так как (a, q)=l, то число решений этого неравенства
равно 2t+l и Г(Р)**2* + 1.
Рассмотрим теперь неравенство
\\az\\<-L, -Qiq<x^Qiq, B03)
где Qx = \— + 1. Заменяя х на qxi + хг, перепишем это
неравенство в виде
t ^ ^ ^ ^ .
1 — х>
у, — Q1 <
Так как ^tg > Q, то Т не превосходит числа решений не-
неравенства B03), и, следовательно,
Отсюда, пользуясь оценкой T(aqxi)^ 2t+1, получаем
§ 14. ОЦЕНКИ СУММ ВЕЙЛЯ
утверждение леммы:
125
Лемма 22. Пусть п>2, f(x) = atx + ... + апхп и
(z) = 7r/(s)(z) =
= as + C]+1as+1x + ...+ Cl-Sanxn-S (s > 1).
для некоторых целых у, z и t @ «S у, z < Р) при
s = 1, 2, ..., п — 1 выполняются неравенства
B04)
то будут также выполняться неравенства
Jп
0/ - z)||<BпJп -L- (s = 1, 2, ..., п- 1).
Доказательство. Определим величины hs и
с помощью равенств
"! г, „
ra—1).
Тогда, очевидно,
= an_s
s—1
SJY.^-i+\ B05)
где величины ^sj определены равенствами
Из определения fes и ^si видно, что выполняются оценки
Л.<п-\ Hsl^n*s~v B06)
и что Л8 и #si — целые числа.

126
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
Пользуясь тем, что при целом т и произвольном f
справедлива оценка llm^ll ^ \т\ Ц\\, получим из B05)
S-1
hs Фп-s (у) - Pn-S (z)) = ys (у—z) + .2 Hsjy. (jf-i+i— 2
I У$ (У - г) I < 1К Фп-s (У) - Рп-5 (z)) || +
s-1
+ Д1 ^7;- (У - г) (Г"> + ... + zs~i) j <
S-1
+ 2 Hsi (y*-i + ...+ z*-i) I! у (у - z) ||. B07)
Покажем, что при s = 1, 2, ..., n — 1 выполняется не-
неравенство
Н(У-Щ<(^Г~2~ B08)
Действительно, при s = 1 это неравенство совпадает
с последпим из перавепств B04):
II Yi (У ~ «) II = I Pn-i (^) - Pn-i (г) || < -pbr- . -
Применим индукцию. Пусть 2^s</?
B08) выполняется при / < s — 1:
и .неравенство
f-27l-r (/= 1, 2, ...,.9—1). B09)
Из B07) в силу B06) следует, что
|| У, (У ~ 2) || < в'-i 1 рп_5 (у) - pn_s (Z) 1 +
+ U I*-* (* _ / + 1) PS-J' J у, (у - Z) J,
Отсюда, пользуясь предположением индукции и оценкой
B04), получим
s—1
\2s-2
j=l
p«-
§ 14. ОЦЕНКИ СУММ ВЕЙЛЯ
127
Таким образом, если неравенства B09) выполняются при
/ < s — 1, то они выполняются и при / < s. Следователь-
Следовательно, эти неравенства выполняются при любом / < п — 1,
что совпадает с утверждением B08).
Теперь, замечая что п\ as+i = s\ ^n-s и пользуясь оцен-
оценкой B08), получим утверждение леммы:
I п\ as+1 (у - z) || = j si yn_s (у - z)
<
| yn_s {у - z) \\ <
-±г<BпГ-±г (s= I, 2, ..., п- 1).
Лемма 23. Пусть п > 2, /(ж) = ata; + ... + а„жп,
6S (х) = —р / (z) м и/ш некотором г из интервала
Пусть, далее, Р «S q < Pr-1 и сумма
распространена на те значения у и z @ =? г/, z < Р), для
которых при некотором натуральном t выполняются не-
неравенства
Й(Ш-Мг)К^г (*=1,2, ...,тг-1). B10)
Тогда справедлива оценка
Доказательство. Обозначим через Tt число сла-
слагаемых в сумме 2л- Тогда оценивая все слагаемые три-
впально, получим
П(П — 1
2
Так как Г, — число тех значений у и z, дли которых вы-

128
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
полняются условия B10), то согласно лемме 22 Г, не
превосходит числа решений системы неравенств
\\n\as+1{y-z)\\<{2nfn-L., 0 <y, z<P
(«=1, 2, ..., п-1),
и, следовательно, не превосходит числа решений нера-
неравенства
, z<P.
\\n\ar(y-z)\\<BnJn-^r,
Заменим п\ (у — z) на х. Тогда, очевидно, \х\ <п\ Р
и каждое целое значение х принимает не более Р раз. По-
Поэтому Tt s^ РТ, где Т — число решений неравенства
\\агх\\<BпJп ^-, \\х\<п\Р.
Так как q < Pr~l, то Т не превосходит числа решений не-
неравенства
\\arx\\<{2nfn-L, \x\<nlP,
и согласно лемме 21
Но тогда, замечая, что # > Р, получим
+
BnfnPt.
Подставляя эту оценку в B11), получаем утверждение
леммы:
тг(п—1) п(п—1)
Теорема 18. Пусть п > 2, f(x) = atx + ... + а„хп,
а = + (а^ 1 1е1<1
Р ^ g < Рг~\ то справедлива оценка
Х=1
1—
24П21ПП
§ 14. ОЦЕНКИ СУММ ВЕЙЛЯ 129
Доказательство. Определим величины [J,(у) с
помощью равенств
Тогда, очевидно,
и согласно лемме 19
р
2
х=1
р-1
г/=о
_ o
р-1
г/=о
2ft
ii[P1(v)*+...+Pn(tf>*n]
Далее, пользуясь равенством A59), получим
е2лг/(х)
Р-1
2/4+1
2ft+1
г/=о
р-1
VI
г/=о
2ft
где суммирование распространено на область
\Xv\<kPv (v = l, 2, ..., п).
Отсюда, пользуясь неравенством Коши A43) и соотноше-
соотношением A65), получим
р
х
где
р-1
2 е2я*(
2/=0
Р-1
2-
B12)
Н. М. Коробов

130
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
Оценим величину V(P). Замечая, что $н(у) не зависит
от у, получим
V (Р) < 2кРп X
х if 2 e2iiii(iii(!')-piB))J'i+---+(pn-i(y)~6n
!/,г=оЛ1...Л„_1
где сумма
rain Pv,
V,z V,z
v=l
распространена на те значения г/ и z, для которых при
некотором t sS 1 выполняются неравенства
II Р. (У)-Р. (*)!!<-?- (*= 1. 2 ге— 1).
Соответственно сумма
y,z y,z v—1
' ||Pv(i/)-Pv(z)||
B14)
распространена на тс значения у и z, для которых най-
найдется s (I ^ s < п — 1) такое, что
B15)
Согласно лемме 23 для суммы
оценка
2г < Bп)яп Р
выполняется
+1
Применяя к одному из сомножителей в B14) оценку
B15) и оценивая остальные сомножители тривиально,
§ 14. ОЦЕНКИ СУММ ВЕЙЛЯ
131
получим
-1 п(п—]
п(п—1)
+ 2
Так как в силу B13)
то, выбирая t = [УР] + 1, получим
V(P)^BkfPniBnKnP 2
Подставляя эту оценку в B12), получим
4А+2
^3Bk)n2ih+2BnKnN2h(P)P 2 2. B16)
"(W+1) 3
2 I
п
Выберем
Легко проверить, что тогда выполняются оценки
2fe>w(re2+1) +пт, т>3/г1пп + п,
»(«-!)
-!) Л 1 У ^n(n-i) ^ 1
2 Г п! 2еп3 ^24-
2еп3
Следовательно, пользуясь теоремой 16, получим
ыГр
+
Подставляя эту оценку в B16), получаем утверждение
9*

132
теоремы:
ih+2
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
(8k)ih+2 Bnf+3n Bк)пР
>] е2Я1/(х)
|x=i
Оценки вида
24D/i+2)
24П21ПИ
х=1
B17)
полученные в теоремах 17 и 18, установлены в предполо-
предположении, что Р < q «? Pr~l, где g — знаменатель рациональ-
рациональных приближений r-го коэффициента полинома f(x) —
— aiX + ... + апхп:
«r=-f + -T. (a,q) = l, |6|<1 B<r<n).
Можно показать, что оценка B17) сохраняется и при
Ре =S g =S Рт~г с произвольным е > 0, но это, как и в мето-
методе Вейля (см. замечание к теореме 14), приведет к ухуд-
ухудшению константы y.
§ 15. Повторное применение теоремы о среднем
Пусть f(x)= a,iX +... +an+ixn+i и S(P)— сумма
Вейля
S(P)= ^ е2л1«*>. B18)
Х=1
Будем записывать оценку этой суммы в виде
\S(P)\^C{n)Pl-o B19)
и называть Р" понижающим множителем.
Общая особенность различных методов оценки сумм
Вейля состоит в том, что понижающий множитель стано-
становится тем меньше, чем в большую степень в процессе по-
получения оценки B19) возводится сумма S(P). Так в ме-
методах Морделла, Виноградова и Вейля сумма возводится
§ 15. ПОВТОРНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ 133
в степень, имеющую соответственно порядок п, пг In n н
2", что в конечном счете приводит к оценкам с понижаю-
где
и
— не-
непиши множителями рп, Рп 1пп и Р
которые положительные константы.
Иной характер имеют результаты, изложенные в этом
параграфе. Здесь сумма Вейля возводится в сравнитель-
сравнительно высокую степень, имеющую порядок до п\ однако это
не приводит к ухудшению оценок. Напротив, появляется
возможность улучшить понижающий множитель и, кро-
кроме того, уменьшить или даже заменить на абсолютную
константу коэффициент С(п) в оценке B19). Последнее
обстоятельство имеет важное значение в тех случаях, ког-
когда при возрастании Р возрастает также и степень поли-
полинома f(x). В основе этих результатов лежит следующая
лемма.
Лемма 24. При любых натуральных кг и к2 для
суммы B18) выполняется оценка
I S (Р) |4
где
V = 2
B20)
суммирование распространено на область
\и<к,Р", \iiJ<k2Pv (v = l, 2, ..., п)
и величины fJv определены равенством
Доказательство. Рассмотрим сумму
2fe,
х=1
Определим величины Оп,(у) с помощью равенств
и запишем полином f{x + у) в виде
f(x + у) = ос (у) + cti (у)х + ... + а„+, (y)xn+t.

134
Согласно A59)
р
V 2Яг(<х,
2j &
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
2ft,
.х=1
чл \r(P) i\ 1 \ 2яг('а,(y)Xt + ...-
2j Л^ (Я,, . . ., Яп+])е ^ 1 1
и, следовательно,
р
"в*
2/=i
х=1
2ft,
Так как согласно A63)
2
f (Я1? ..., Яп+1) = N^ (Я„ ..., Яп),
то, замечая, что а„+1 (г/) не зависит от у, получим
р
Применяя неравенство A41) и пользуясь соотношением
<%i(y)Xi + ... + ап(у)Хп = PiJ/ + ... + $пуп,
следующим из определения величин fJv и av(i/), получим
2—1 V
X
!, ...,ЯП)
р
2
'«2
X
где V определено равенством B20).
2ft
Покажем, что V~^P 1. Действительно, из определе-
определения величин pv видно, что в равенстве B20) сумма ^i^i +
I
§ 15. ПОВТОРНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ 135
+ ... + $nlin является однородной линейной функцией ве-
величин Яь ..., Я„:
Pi|Xi + ... + $пцп = fAi + ... 4- ¦упЯп.
Но тогда согласно A59)
2 iVif> (Ях, ..., Я„) в»ч(РЛ+-+М») =
ftf (Я1, . •., Яп)
; B22)
и величину V можно оценить слагаемым, получающимся
при 1Д.1 = .. . = цп = 0:
цх, ...,и-я) 2
х
= P2hlNKi (Р) > Р2. B23)
Теперь, пользуясь неравенством A95), получим
р 1
^\
У=0
р
2 e™V<-x
Ж=1
р
2
у=о
+У)
2ftj
Р
*S\ g2nif(x-{-y)
x=l
р
2
е2яг/(ж+г/)
гк \
J
2ft,
2.1
Отсюда, пользуясь неравенствами B21) и B23), полу-
получаем утверждение леммы:
I s (P) |"Л+
^ 24'?А + 4Й2-1 (piklh2
Следствие. При любых натуральных к,, к2 и m
A =S m ^ n) для суммы B18) выполняется оценка
'1-3)
B24)

136
где
гл. ii. суммы вейля
• B25)
суммирование распространено на область \%j\ < kiPj и ве-
величины [Jv определены равенствами
Доказательство. Так как согласно B22)
> О,
то, очевидно,
X
Меняя порядок суммирования, получим
^ Nk ,п (Р) 2 N(l) (кх, ..., К) X
2 л л 1
V:
m(m— 1)
Отсюда, замечая, что при m > 2 величины р,, ..., pm не
зависят от Я„+2-т, •.., Я„, и пользуясь равенством
2
> (я15..., я„) = Ni^ (х,,..., яп+1_т),
получаем утверждение следствия:
X 2
§ 15. ПОВТОРНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ 137
m(m
(P) |4
krn (P) a,
где
Из неравенства B24) видно, что лемма 24 сводит
оценку суммы S(P) к оценке произведения величин
Nkvn+i-m(P) и Лгй2(П(Р). При оценке этого произведе-
произведения приходится дважды применять теорему Виноградова
о среднем. Поэтому использование леммы 24 при оценке
сумм Вейля получило название повторного применения
теоремы о среднем. Покажем, что повторное применение
теоремы о среднем позволяет усилить оценки сумм Вей-
Вейля, полученные в теореме 17.
Теорема 19. Пусть Р> 1, п > 2, f(x)= а,х + ...
an+lxn+l,
и г определено равенством q = Рг. Тогда при любом г из
интервала 1 ^ г ^ п выполняется оценка
2П1ПП 1
^ 2es2dn3n~ins)/) 95п2Aпзгс—in s) B26)
где s = min(,[r], [п + 1 — г])'.
Доказательство. Согласно следствию леммы 24
оценка суммы B26) сводится к оценке величины
°= 2
f-1 '•¦n+l—
где суммирование проводится по области \К}\ < kiPs
(Kj<n + l~m) и
f)v = Cv+i

138
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
Определим Pv с помощью равенства pv = C^
+ ... + Cnan\n-V и запишем f5v в виде
Pv = Cn
pv (m <; v <; п).
Так как pv не зависит от An+1-v, то согласно замечанию
А/ 1
к лемме 14 при 6 = —^ выполняется оценка
Обозначим через а4 сумму
'm+i
. .. min
in(pn —
Г 'IIP»
Замечая, что среди величин [Jm, ..., р„ только pm зависит
ОТ Яп-и-m, ПОЛУЧИМ
n+i—m
V B27)
Пусть, далее, сумма о2 определена равенством
2
^l Ьп-m-i
II Pm+ z II
. . . min
Так как среди величин pm+I> ..., р„ только pm+1 зависит
от А„-т, то аналогично B27) получим
q)
§ 15. ПОВТОРНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ 139
Продолжая этот процесс, в итоге приходим к оценке
\ п+1—т п
Выберем т = п + 1 — s. Тогда
, т = п + 1 — min (,[r], [га + 1 — г]) ^ ?•,
i га + 1 — т = min (,[r], [ге + 1 — г]) < г,
и при v > т будет выполняться неравенство га + 1 — v
sS r ^ v. Следовательно, Pn+l~w $Zq, Pv> q n
L n n(n+\) m(m-l) 1
»olnJn2 TT / r>V ^- //7. \«o4»2 П 2 2 2
Но тогда согласно следствию леммы 24
?>2Я1/(*)
Х=1
4ft1ft2+2ft2
< (8*^V^+^+" V^1^^^,. (P) iVVn (Р).
B28)
Воспользуемся теперь теоремой о среднем в форме,
указанной в теореме 16:
где Р > 1, т > О, А =
и (ra + 1)
2
re (re — 1)
+ ПХ И
Определим Ti и т2 равенствами
Тогда, очевидно,
(в —
18na

140 ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
Следовательно, выбирая
получим
Теперь, замечая, что 1 ^ s^~-, 2кх + 1 ^7s2 и ет +
ет ^ -о- s2, из B28) получаем
б2Яг/(х)
С (s, п) р^
где
,, n)
Отсюда, так как при п > 2
следует утверждение теоремы:
р 20ПЗ 1
2n Inn
1—
95п2Aпзп—ins) B29)
Заметим, что наиболее сильные оценки в теореме 19
получаются при больших значениях s. Так, например,
при четном пж s = -|- из B29) следует, что
172"
§ 16. СУММЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В ТЕОРИИ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ 141
При произвольном е 10 ¦< е ^у ] для любого s> &n вы-
выполняется оценка
1—
с коцстантами Сиу, зависящими только от е. Наконец,
оценки вида
р
2
х=1
р
Х=1
е2Яг/(х)
1-
1-
п'
п
1П1ПП
V
"Inn
с абсолютными константами С и *у следуют из теоремы 19
соответственно ПРИ s ==^ ь7^ и s^ К га-
§ 16. Суммы, возникающие в теории дзета-функции
При исследовании вопроса о границе нулей дзета-
функции Римана возникает необходимость в получении
нетривиальных оценок сумм вида
Q+Q1
z=Q+l
B30)
Наиболее сильные оценки таких сумм удается получить
с помощью повторного применения теоремы о среднем,
предложенного в [17]—[19] и примененного затем в [9],
[20], [21], D7] и в ряде других работ.
Докажем прежде всего лемму, аналогичную лемме 24.
Лемма 25. При любых натуральных Р, п и к для
суммы
р р
С_ \1 V 2ni(a13ct/+)
х—\ у=1
выполняется оценка

142
где
гл. п. суммы вейля
= 2 N(hp)(klt ..., ln)
и суммирование распространено на область
\U<kPv, \yLv\<kPv (v = l, 2, .... в). ,
Доказательство. Пользуясь неравенством A42),
получим '•
р
2
Р
2 e2n(ai^+-
р
..+anxny")
\ о Ь
<
/ ^
Р
^ e2Jti(aixy+---+a,1a:Vi)
2ft
. B32)
Так как согласно A59)
р .
^ e2ni(a1xj/+...+anxV
г/=1
= 2 N{kP)(Xu ..., К)еМ^Ч
%v.--,\n
где суммирование распространено на область
1Я,,| <кР, ..., \XJ <kP\
то из B32) следует, что
...Дп)
р
Х=1
Возведем это неравенство в степень 2/с и воспользуемся
неравенством A41):
X
\2ft
2
X
§ 1В. СУММЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ 13 ТЕОРИИ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ 143
Отсюда, так как согласно A64)
получаем утверждение леммы:
X
' I]
>.,,¦¦ -Дп
2 е2лН
Х=1
2ft
С л е дств ие. Если при v = 1, 2, . .., п будет
ro и/7м любом натуральном
к.
¦¦ (п + 1)
2
суммы
5= 2
х,у=1
выполняется оценка
, 4ft'2—2ft+— "
| S f1' < BAJn/> "ftArft (Р) П min [ Pv,
v=l
Доказательство. Для величины V, определенной
равенством B31), получим
v=
2ft
<Nh(P)
2ft
2
ч, ...,ы 2 /^v^+.-

144 ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
Отсюда в силу леммы 1 следует, что
V^Nh(P) 2
Hn
. B33)
Согласно замечанию к лемме 14 при любом е из интервала
(О, 1] будет
Так как, кроме того, всегда справедлива тривиальная
оценка
то, выбирая е = —, получим из B33)
к
V
Д
v=l
;B?Lп[ЛГй(Р)]гР*Ппп
Теперь, пользуясь леммой 25, получаем утверждение
следствия:
(P)
§ 16. СУММЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В ТЕОРИИ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ 145
\ Для оценки суммы B30) нам понадобятся еще две
простые леммы. Обозначим через 2 сумму, распро-
распространенную на целые х, принадлежащие некоторому ко-
конечному множеству М.
Лемма 26. Пусть функции f,(x) и /2(#) определе-
определены при х е М. Тогда справедливо равенство
sceikf
2
хем
то
г 191 ^1.
Доказательство. Так как, очевидно,
| е**У?х) — 11 = 2 | sin jx/3 (x) К 2я | /2 (.
¦¦«-О|.
xsM
х&М
и, следовательно,
XSM
х=М
где 181 ^ 1.
Лемма 27^ Пусть п, Р, Q, Qt — натуральные числа,
Qi<:Q и Р< yQ. Тогда при любом t > 0 выполняется
оценка
2\п+1
ид — некоторое целое из интервала (Q, 2Q].
Ю н. М. Коробов

146
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
Доказательство. Пусть функция /(z) определе-
определена равенством ;
f(z) = ±\n(Q + z).
Тогда, пользуясь леммой 19, получим
Q+Qi
2
Q
zu
У, й2лг/B)
V p?mf(.z+xy)
+
2Р3, B34)
где
=- max
V
Обозначим через q сумму Q + z0. Тогда, очевидно,
< q «S 2<? и
t fp
[
)
где
что
Отсюда согласно лемме 26 следует,
, ('р2\"+1\
...+а„.г/пу1г+е(х,1у)—' -^ J J
Подставляя эту оценку в B34), получаем утверждение
леммы.
§ 16. СУММЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В ТЕОРИИ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ 147
(Теорема 20. Пусть п, Q, Qi — натуральные числа,
\ п—\
п > 12 и Qi < Q. Если t принадлежит интервалу Q 3 ^
п
^.t <C.Q , то выполняется оценка
2800"
Доказательство. Выберем Р = | Q3 J. Тогда
<3(?3
и утверждение леммы 26 можно записать в виде
где
У, z^
z=Q+l
~~~~~ р*
s
2
+ 3(?3
B3r>)
e%m(axy+...+anxnyn)
x,y=l
(v —1> 2, .. .,
a. q — некоторое целое из интервала (Q, 2Q].
Запишем величины av в виде
^ ^ () l |6l<
и воспользуемся следствием леммы 25:
B36)
(P) ft min (P\ Vb + ¦?=) ¦
| S Г' < (rk () ft (\ Vb +
v=i V
B37)
тт ^ ге
Применяя при v <. у и v = и тривиальную оценку, по-
получим
v=i
V4
П(П + 1)
10*

148 гл. ii. суммы вейля
Пусть а = -„- и р > 1. Тогда
1 (Р) 1,6
B39)
Так как при v ^ -у будет
то согласно B39)
\V— 1
и, следовательно, в равенствах B36) при v ^ -^ можно
выбрать qv = [2nvqvt~l]. Но тогда для каждого v из интер-
вала 2~^ v ¦< га будут выполняться оценки
п
V
Q 3 <qv<2nv2vQ
V V 1 — 1 / 1\ —V
V—n+l
П
~«v<n
w
п
<22n<? e ,
v—n+l n2—in
48
Теперь из B38) и B37) получим
Дтп
48
48 • B40)
Выберем т = Зга и k= n ^ + nx. Тогда согласно
теореме 16
n(n+l)
' 2 Т
n(n+1) c
2
§ 17. НЕПОЛНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ СУММЫ
149
где
B41)
Следовательно, из B40) получим
n3p 2fe
40 <? 48
Так как га > 12, то га2-Зга>-|-гаа и 9га4 < F < 13га4.
Но тогда
2П° зи2 1
2 2 "~ 2~
Я П9/П 640В ^- О П9/П 2800И
I о | ^ /п \ /? D2/1 640Я" - г) П2/1
| о | ^. Bп.) jr ^ <. Zi \J
Подставляя эту оценку в B35), получаем утверждение
теоремы:
Q+QL
x=Q+l
\2Q
3Q3 < 3Q
1—
2800"
§ 17. Неполные рациональные суммы
Пусть га > 2 и f(x) = ахх + ... + апхп — полином с це-
целыми коэффициентами. Рассмотрим рациональную триго-
тригонометрическую сумму
S(P)= %em~.
Если (а„, q)= 1 и q =Pr, то при 1 ^ г < га — 1 из теоре-
теоремы 17 следует оценка
9n2lnn
Пользуясь повторным применением теоремы о среднем,
этот результат можно несколько усилить. Так, из теоре-
теоремы 19 следует, что для определенного интервала значе-
значений г выполняется оценка
B42)
где С и y — абсолютные константы.

150
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
При произвольном натуральном q оценка B42) явля-
является лучшей из известных и к задаче о ее существенном
усилении пока не видно подходов. Однако при специаль-
специальном выборе знаменателя q эту оценку удается усилить.
Покажем, как это можно сделать при q, равном степени
простого числа.
Лемма 28. Пусть ос, п, Р — натуральные чис-
числа, р> пг — простое, F (х) = Ьо + Ъ& + .. . + Ъпхп и
Та [F, Р] — число решений сравнения
F{x)^0 (modpa), 0<x<P. B43)
Если (Ьо, ..., Ъп, р)= 1 иР~^рп, то выполняется оценка
а
Ta[F, Р]~
Доказательство. Покажем сначала, что при
Р = ар', где 1 ^ а < р и s > 0, справедлива оценка
а
~2П
Ta[F, ар']^пар 2п. B44)
При s = 0 эта оценка тривиальна, так как
а
2п
и, следовательно, пар 2п^>п, а сравнение
F(x)=0 (modpa), 0^x<a,
имеет не более п решений.
Пусть s ^ 1. Запишем сравнение B43) в виде
F(y + px)=0 (modpa), 0<y<p, 0 ^ х < ар'-1
B45)
и рассмотрим случай 1 ^ а < п. Переходя к сравнению по
модулю р, получим
F(y)=0 (mod/7), O^y<p.
Отсюда видно, что у в B45) может принимать не бо-
более п различных значений и, следовательно,
Ta[F, ар^^пар^^пар" п <пар$ 2п.
Теперь применим индукцию. Допустим, что оценка B44)
§ 17. НЕПОЛНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ СУММЫ
151
верна при некотором а>ли всех меньших значениях а.
Покажем, что тогда она будет выполняться и при а + 1.
Действительно, обозначим через г/4 то из решений
сравнения B45), для которого сравнение
px)=0 (mod/7a+1), 0^х<ар3-*
имеет наибольшее число решений, и определим полином
Fi(x) равенством
где р 1 — наивысшая степень р, делящая все коэффици-
коэффициенты полинома F(г/i + рх). Заметим, что cti =S n, так как
иначе из равенства
F (Уг + px) = F Ы + F' (У1) рх + .. . + ± Fw (у,) рпхп
следовало бы, что F(yi) = ... = ЯП) (у{) = 0(mod/)) и Ь0 =
= .., = J» = 0 (modp), что противоречит условию леммы.
Сокращая сравнение
i
на р , получим
F1 (x) e= 0 (mod pa+1-ai), 0 < x < aps~\
Так как at =S тг, то число решений этого сравнения не пре-
превосходит числа решений сравнения
^1(ж)=0 (mod/7a+1-n), 0^x<aps-\
Следовательно,
Ta+1[F, ap^^n
B46)
a+1
Пользуясь тем, что ар ^ р , получим
сс+1
a+1-n
=Р
Но тогда согласно предположению индукции
a+l—и а_1 a+l
ja+1_n [F!, ap j^nap = пар .
Подставляя эту оценку в B46) и пользуясь условием

152 ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
п < Ур, получим
Та+1 [F, aps] < п
s
„ 2
а+1
пар
чем оценка B44) доказана.
Утверждение леммы для произвольного Р непосред-
непосредственно следует из оценки B44). Действительно, опре-
определим целые s и а с помощью условий
Здесь s>0 vt I <a<p. Так как
то согласно B44)
m = n[(a-l)p' + pt]p 2п^2пРр 2П.
Теорема 21. Пусть г и а — натуральные числа,
f(x) = alx + ... + апхп, п>ЪЪ, а>Ап2, р> An2 —про-
—простое, q = pa, Pr^q<P+l и TV(P)~ число решений
сравнения
Тогда при любом г из интервала
оценка
-^ выполняется
О
Ж=1
i
ЗР г + пТ (Р),
где у — абсолютная константа и Т(Р)= max Tv (P).
2r+3<V<3r+3
Доказательство. Определим целое s с помощью
неравенства
4(r+l)s<a<4(r+l)(s+l). B47)
Легко проверить, что тогда выполняются оцепки
s>r+i, sDr + 8)>a, P>pis.
Действительно, если s ^ г, то мы приходим к противо-
§ 17. НЕПОЛНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ СУММЫ
153
речию:
и, следовательно, s ~> г + 1. Далее, очевидно,
Наконец,
Выберем в лемме 19 Рг = а = р\ Тогда получим
2Лг-
j(x+psyz)
/,2 = 1
+ 2pss.
Обозначим через М множество тех х из интервала 1 ^ х =S
^ Р, для которых не выполняется ни одно из сравнений
3.
Для остальных ге[1, Р] выполняется хотя бы одно из
этих сравнений и, следовательно, число таких х не пре-
превосходит гТ (Р). Поэтому, замечая, что p3S < Р*, получим
Р . ./(X)
S B48)
где
x=l P xsM
s „„.f(x+psyz)
ijx = Zj e *
Так как в силу B47)
/ (х + psyz) == / (х) + /' (х) psyz + .. .
•• ¦ + Dr+7)!y '
то, полагая п^ = Аг + 7, получим
»,*=!
(mod J9a),
/b, bn, n n
2Л1 -VZ+...+—V lz 1

154 гл. п. суммы вейля
где 6V и qv определены равенствами
/(у)И
= 1,2, ...,щ).
a_sv ?, (b»,gv) l
P "v
Покажем, что для величин qv выполняются оценки
^(зг+з-v) <qv<p™ Br + 3 < v ^ Зг + 3). B49)
Действительно, так как в сумме Sx величина х при-
принадлежит множеству М, то для каждого v из интервала
2r + 3<v=S3r+3 наибольший общий делитель чисел
/(v) (x) и ра меньше чем
И) следовательно,
з
—a—sv
*
Отсюда, замечая, что -г-ос — sv ^ s (Зг + 3 — v) и
a — sv = sv + а — 2sv «S sv + s Dr + 8) — 2s Br + 4) = sv,
получаем оценку B49).
Оценим теперь сумму Sx- Согласно следствию лем-
леммы 25
X П mi
min
+
B50)
Так как в силу B49) при 2r + 3<v^3r + 3 будет
mm
то, применяя при остальных v тривиальную оценку, по-
получим
V=l
V I
П
V=2r+4
§ 17. НЕПОЛНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ СУММЫ
155
Согласно B49) g\, > psl-3r+3-v'> и, следовательно,
Зг+З _1 Зг+3 sCr+3-v) sr(r-1)
В 9v2< Up 2 -Р 4 ,
V=2r + 4 V=2r+4
П mi
— \<2rP 2
Подставляя эту оценку в B50), получим
Теперь воспользуемся теоремой 16:
з
П
где при т = 6«i и г > 2 будет
Л = №l(rei + 1) + 6и2х - 2 Dг + 7) A3г + 23) < 270г2,
800
20 Г •
Так как, кроме того, выполняются оценки
-г г2 1 ^ г2 з (г+ !)(«
4 20 2fe -^ 9 ' ^ 5
то, пользуясь определением величины s, получаем
„. (r+lKs+l) „. a
«a 2
\Sx\<2p
Отсюда в силу B48) следует утверждение теоремы:
р
гш-— | р
! — max
' p2s кх<р'
где 7 =
9-106

156
ГЛ. П. СУММЫ ВЕЙЛЯ
Следствие. Пусть р = -=- . Если для полинома
j(x) = а^х + ... + апхп выполнены условия теоремы 21 и
при v ^ 4г хотя бы один из коэффициентов ач не делится
на р9, то справедлива оценка
2Я1
J(x)
: 3/х2р1-р
где р = у mini—, —1 м f >0 — абсолютная константа.
Доказательство. Согласно теореме 21
2Яг-
2 в *>-
Х=1
где
Г (Р) = max 7
2r+3<v<3r+3
и 7\, (P) — число решений сравнения
г* +пТ(Р),
(Р)
B51)
). B52)
Обозначим через pv наивысшую степень р, делящую
каждый из коэффициентов av, ..., ап, и определим поли-
полином Fv(x) равенством
Так как сравнение B52) равносильно сравнению
и хотя бы один из коэффициентов полинома Fv(x) не де-
делится на р, то согласно лемме 28
ib
Но тогда выполняется оценка
а
Т(Р)^2пРр~Ъ
и из B51) получаем утверждение следствия.
40П
Г
§ 18. ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ 157
§ 18. Двойные тригонометрические суммы
В § 14 при оценке сумм Вейля
р
S(P)= 2 e2Jti«x> B53)
полином f(x) = а»ж + ... + апхп заменялся полиномом
f(x + y), зависящим от двух переменных, и оценка сум-
суммы B53) сводилась к оценке двойной тригонометриче-
тригонометрической суммы
р р
5=22
ап(х + у)\
с полиномом
F(x, y)= а,{х
Другой важный частный случай двойных тригонометриче-
тригонометрических сумм с многочленом
F(х, у) = oiiXy + ... + апхпуп
был рассмотрен в § 16.
Покажем, что, пользуясь повторным применением тео-
теоремы о среднем, легко получить ([32], добавление II)
оценки двойных тригонометрических сумм общего вида
= 2 2
х=1 у=1
B54)
где
B55)
j=o ft=o
Теорема 22. При любых натуральных пи п2, kt, кг,
Pi и Р2 для двойной тригонометрической суммы B54)
выполняется оценка
где
'^МЧл{Рг) МКуПг (Р2) a, B56)
2>ra)---min(p:2'ra)'B57)
суммирование распространено на область | Xj | < к1Р1

158 ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
(/ = 1, 2, .. ., rii) и величины f>k определены равенствами
P2^ (к = 1,2,...,п2). B58)
3=1
Доказательство. Определим величины щ(у)
помощью равенств
Ч (У) = 2
2 €С}кУк (j = 0, 1, . . . , П])
ft=o
и запишем полином B55) в виде
Тогда, очевидно,
= а0 (у) + ах (у) а; + . . . + «^ (г/)
2ni(a1(y)x+...+an (y)xnl)
2ft,
X
Пользуясь равенствами B58), получим
 /«а \
i (у) Я„ = 2 2 ЩьУк h =
J l \ft0 У
J = l \ft=0
22
я—0 \^3—1
= р0
и, следовательно,
<^-\ 2 <J(xlf...,4
Отсюда, повторяя выкладки, проведенные в лемме 25, по
у 2
Z e
У=1
§ 18. ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ 159
лучим неравенство, аналогичное неравенствам, установ-
установленным ранее в леммах 24 и 25:
где
V=l
I s (/>„/>,) Г"
v= 2 <Vi. ¦-.. Ч)
Л1 %щ
= 2 AriPl)(^, ...,XnJX
^¦1 М.)г2
х<2)(^...,и„2)е2я!
и суммирование распространено на область
уП~]
Определим величины Pj с помощью равенств
«2
Pj = 2 ajftl^ft (/=1,2,..., щ).
h=l
Так как в силу B58)
п2 /nl \
... + рП2^»2 =22 «№^ н =
ft \ i /
22
ft=i \ i=
= 2B
то согласно A59)
2 ^(я,,...,^)
Следовательно,
^= 2 <
+ ... + Pn
x 2 <1)(Л1,...д„1)в1я1(В1|11+-+р».11-»)<

1G0
ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
1 лпх
х 2
1*1 Мчг
Отсюда, пользуясь леммой 1, получим
)(Я1'---Ч).П^пBА3Р1|-Ц
X
где величина о определена равенством B57). Подставляя
эту оценку в B59), получаем утверждение теоремы.
Теорема 23. Пусть п = 1 + max (щ, п2), Pi > P2 и
otrs — произвольный коэффициент полинома F(x, у). Ес-
Если г и s отличны от нуля,
и величина q лежит в интервале Pi
для суммы S(Pi, Рг), определенной равенством B54),
справедлива оценка
г5е у — абсолютная константа и С(п)—константа, зави-
зависящая только от п.
Доказательство. Теорема 22 сводит оценку
двойной тригонометрической суммы к оценке величины
где pft определены равенствами B58). Оценим здесь все
минимумы кроме s-ro тривиально. Тогда получим
Xj *
§ 18. ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
161
Согласно B58) ES является линейной функцией величин
Ях, ..., Я„х и, в частности,— линейной функцией Яг:
ps = а^ + ... + а„18ЯП1 = агДР + р.
Следовательно, при е = -т^, пользуясь условиями теоре-
теоремы и замечанием к лемме 14, получим
2 P,
Выберем Ti = [c«t In щ], т2
n2],kt ^
4. B60)
&2 =
Y~—- + п2х.г, где с — абсолютная кон-
константа, при которой согласно A94) выполняются оценки
ni
2ft, -
2ft9
Тогда из B56) и B60) получим утверждение тео-
теоремы:
\S(P1, Р2) \Щк* < 64п DАЛ)" С± Ы Сг (пг) P?lk*P?lka~^f
1 V^r-
ГД6 ? = i?'
Результаты, полученные для двойных тригонометриче-
тригонометрических сумм, без труда переносятся на случай сумм Вейля
произвольной кратности т:
х,
х,=1
И Н. М. Коробов

162 ГЛ. II. СУММЫ ВЕЙЛЯ
где F(xu ..., хт)— полином от т переменных
«1 пт
Р (r r \ _ V У г/ (v „ \rV]
i V^ij . ¦ ¦ j •I'm/ — Zj • • ¦ *-i ^ V vli • • • > vm) Л1
. . . Жт
Пусть т>2, Pi > ... > Рт, п = 1 + шах (пи ..., пт)
и а = а(г4, ..., гт)— произвольный коэффициент полино-
полинома F (#!, ..., хт). Если произведение г4... rm Ф О,
и величина g лежит в интервале
э'т-1р'»»-
m—x r m
Р
то справедлива оценка
\S(P Р \\
где С и y — константы, зависящие соответственно от ге
и т. Доказательство этой оценки получается с помощью
последовательного m-кратного применения теоремы
о среднем и по своему характеру близко к доказательству
аналогичной оценки для двойных сумм, приведенному в
теореме 23.
Другой подход к оценке кратных сумм основан на
многомерном обобщении теоремы о среднем [1]. Этот под-
подход позволил усилить оценки сумм, следующие из теоре-
теоремы 22. Наиболее сильные оценки кратных тригонометри-
тригонометрических сумм получены в работе [32]. В последние годы
кратным суммам посвящены многочисленные публикации,
однако интересные приложения известны лишь для двой-
двойных сумм, возникающих при оценке обычных сумм
Вейля.
ГЛАВА III
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ,
НОРМАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
И КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
§ 19. Равномерное распределение дробных долей
Понятие равномерного распределения в общем виде
было введено Г. Вейлем [49]. Им же были получены ос-
основополагающие результаты о функциях, дробные доли
которых распределены равномерно.
Пусть функция f(x) определена при натуральных зна-
значениях х. Рассмотрим последовательность ее дробных
долей:
{/A)}, {/B)},..., ЩР)}, ... B61)
Обозначим через 7VP (y) число выполнений неравенства
{/(*)>< Y (х=1,2,...,Р),
где y — произвольное число из интервала @, 1].
Последовательность B61) называется равномерно
распределенной, если
lim±NP(y) = y. B62)
Если дробные доли функции f(x) равномерно распре-
распределены, то и саму функцию также называют равномерно
распределенной.
Перепишем соотношение B62) в виде
NP(*()= чР + о(Р). B63)
Равенство B63) показывает, что для равномерно распре-
распределенных функций при произвольном f е @, 1] число тех
дробных долей из Р, первых в последовательности B61),
которые попадают на интервал [0, у), асимптотически про-
пропорционально длине интервала. Если 0 < Yi < Та ^ 1, то
число дробных долей, попавших на интервал [fi, *f2), рав-
равно NPDz) — NPDi) и в силу B63) также, очевидно, асимп-
асимптотически пропорционально длине этого интервала:
Рассмотрим, например, функцию /(#)= Ух и покажем,
что ее дробные доли распределены равномерно. Действи-

164
ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
тельно, обозначим через Тк(у) число выполнений нера-
неравенства Их) < у, когда х пробегает целые числа из ин-
интервала ? «? х < (к + IJ. Тогда при п = [УР] получим
Тк(у),
и, следовательно,
h=\
B64)
Так как, очевидно, к = [Ух], то при х = ? + у получим
*+
Но тогда
;BЛ-
И —1
' ^^ '
: /1 -
И-1
и в силу B64)
Отсюда согласно определению следует, что дробные доли
{Ух) распределены равномерно.
Таким же путем легко исследовать и другие монотон-
монотонные функции / (х), удовлетворяющие условию
Ш
= 0.
В частности можно показать, что при 0 < а < 1 дробные
доли функции ха распределены равномерно, а дробные
доли функции lrip х будут или не будут равномерно рас-
распределены, смотря по тому, будет ли р > 1 или (J < 1.
Исследование функций, растущих как полиномы,
и особенно функций более быстрого роста, значительно
сложнее. Так, например, неизвестно, будут ли равномер-
равномерно распределены дробные доли функций ех и \^-\ или
§ 19. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ 165
функций I^~I при п> 1, т> п и взаимно простых /те
и /г. Вместе с тем легко привести нетривиальные приме-
примеры показательных функций, дробные доли которых не бу-
будут равномерно распределены.
Действительно, пусть Я и 0 — корни квадратного
уравнения z2 + pz + q = 0 с целыми коэффициентами, та-
такого, что Я>1 и 0<8<1 (так будет, например, при
р = — 3 и <? = 1). Так как симметрическая функция
Xх + 6* принимает при ж= 1, 2, ... целые положительные
значения, то {Я*} = 1 — 8*. Следовательно, дробные доли
функции Я* монотонно возрастают, стремясь к единице,
и, очевидно, не будут равномерно распределены.
Рассмотрим общий критерий равномерного распреде-
распределения, связывающий вопросы распределения дробных до-
долей с оценками тригонометрических сумм.
Пусть 0<y<1 и 0<8<min(Y, 1 —у). Определим
функции i))i (x) и i|J (x) с помощью равенств
1,
е
о,
1
е
1
?*'
1,
0,
(у + 8 — X),
(X + 8 - 1),
если
если
если
если
если
если
если
если
Y<*<1,
Y<;
7 + 8^5
1 — е<а
<8,
< У — 8,
v<Ly + 8,
5<1 — 8,
<1.
B65)
г|>2 (х) =
Лемма 29. Пусть ф (ж) — характеристическая функ-
функция интервала [0, y)- Обозначим через Cl(m) и Сг(тп)
коэффициенты Фурье функций i|>i(#) и ^2(х). Тогда вы-
выполняются соотношения
B66)
max (| Сг (m) |, I C2 (m) | )<mm j^-
{m = ±l, ±2, ...
1

166 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
Доказательство. Так как
, если
О, если
то первое из соотношений B66) непосредственно следу-
следует из определения функций -ф^ (х) и i|J (x).
Далее, очевидно,
у—г
j
—j- j (у - ж) dx =
7-е
Аналогично получаем
1
-| = т — 8,
чем доказано второе утверждение леммы.
Наконец, при т Ф 0 имеем
1
<?i (т) = J ^ (a:) e~2nimxdx =
о
-^Чх + J V—^ + 1 J G - ,) е
Е
V—е
\ е—2Шт(у—Е)
2nime
—2Ягтх
Отсюда, так как
следует, что
e~2nimxdx
Г«м г
Таким же путем получаем оценку
чем лемма доказана полностью.
§ 19. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ 167
Теорема 24 (критерий Вейля). Необходимым и до-
достаточным условием равномерности распределения функ-
функции f(x) является выполнение равенства
р
lim 1 У e2nimf(x) = 0 B67)
\ любом целом тпФ 0.
Доказательство. Пусть 0 < Y < 1> $(х)—х&-
рактеристическая функция интервала [0, у) и функции
tyi(x) и ^(х) определены согласно равенствам B65).
Тогда, очевидно,
р
= S
Так как согласно лемме
B68)
то, проводя суммирование по х, в силу B68) получим
2 Ъ ({/ W» - Y^ < Np (У) - 7^ < 2 ^2 ({/ (*)})- Y*.
B69)
Предположим, что условие B67) выполняется. Выберем
Р>Р0(е) так, чтобы при п= — +1 выполнялась
оценка
max
= 4 A + 2 In n)
Тогда, пользуясь разложением функции ч|м
Фурье, получим
eP.
B70)
в ряд
- гР +
х (т) |
\ Н 2 e2ltim/(x)
Х=1
2j e
-у е2ягтдх)

168
ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
(штрих у суммы означает, что пропущено слагаемое с
т = 0). Отсюда, применяя оценку B70) при \т\ <ге2 и
тривиальную оценку при \т\ > га2, в силу леммы получим
m=_n*
|m|>n2
Таким же путем получается
оценка
Р
2-
Х=1
Но тогда из B69) следует,
что
и, в силу произвольной малости е, получаем
lim - NP (у) = у,
Р-*оо г
чем доказана достаточность условия B67).
Докажем теперь необходимость этого условия. Дей-
Действительно, пусть функция f(x) равномерно распределе-
распределена. Зададим тФО я выберем целое g>|m|. Обозна-
Обозначим через Mh множество тех х из интервала [1, Р], для
которых
j<{f(^)}<k-~-- B71)
Число выполнений этого неравенства обозначим через
Th. Тогда, очевидно,
9-1
B71) следует, что при же
§ 19. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ 169
Пользуясь леммой 26, получим
.(mh твх \
= 2t e + 2л6 (к)
же М ^
хеМь
где \Q'(k)\ < 1. Но тогда
9—1
. mh
г
2п\т
9-1
й=0
9-1 .mh
2лг —
q
ft=o
I
B72)
Так как по условию дробные доли функции f(x) рас-
распределены равномерно, то
Зададим произвольное е>0 и выберем Р>Р0(г) так,
чтобы при g = —-— + 1 выполнялась оценка
Замечая, что 1 < \т\ < q и, следовательно,
получим
ft=o
h=o
г
Но тогда, так как
9—1
«2
h=o
из B72) получаем

170 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
равенство B67):
р
V1 2Ягтп/(х)
х=1
= 0,
чем теорема доказана полностью.
В качестве примера на применение критерия Вейля
покажем, что дробные доли линейной функции
J \ / Ww I у \ * }
при иррациональном а и произвольном [J распределены
равномерно.
Действительно, пусть тФО — целое. Пользуясь лем-
леммой 1, получим
2ягт(свс+|3)
е
х=1
Следовательно,
гягатпх
e
_2ягт(ах+C)
'2||«
x=i
1
lim r=-
21| am || Р
= 0,
x=l
а согласно критерию Вейля дробные доли функции
B73) равномерно распределены.
Рассмотрим теперь вопрос о распределении дробных
долей полиномов произвольной степени п ^ 1:
f(x) = a0 + a,iX + ... + апхп.
Предварительно докажем одно достаточное условие рав-
равномерности распределения дробных долей, принадлежа-
принадлежащее ван дер Корпуту [51].
Лемма 30. Пусть Af(x)—конечная разность функ-
h
ции f(x) с шагом h:
x) = f(x + h)-f(x).
Тогда при любом Pi из интервала [1, Р] справедлива
§ 19. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ 171
оценка
< 2Р PPZ1 + 1РХ + max
V „2яг/(х)
Доказательство. Согласно A96)
Х=1
х=1
и, следовательно,
7*е
Х — 1
Так как, очевидно,
р
<-2
^ т>2 *шт
у=о
+ 2Р\. B74)
<2
Ж=1
— рр 4- 9 У
2*
Ж=1
2Яг(/(х+г/)-/(х+г))
, B75)
то,
р
2
х=
замечая,
1
г+Р
ЧТО
)—/(Х+2))
<2z
x=l
получим из B75)
У>г
р
2^
Х + Р\ + Р\ max
2<
Х=1
Подставляя эту оценку в B74), получаем утверждение

172
ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
леммы:
р
е
Ж=1
V Л2Я1/(х)
J—1
Г + 2РРг + 2Р max
2Р
ЛпШ(х)
+
2 e™lAh
max
Р гягдд.-с)
Теорема 25. Достаточным условием равномерно-
равномерности распределения функции f(x) является равномерное
распределение ее конечной разности А/ (х) при каждом
h
целом h 5* 1.
Доказательство. Пусть согласно условию тео-
теоремы,, при любом натуральном h дробные доли \Af(x)\
распределены равномерно. Тогда по критерию Вейля
при каждом целом тп?= О
р
-?г У. е
Р-»оо -
=0.
B76)
Применим неравенство леммы 30 к функции mf{x).
Тогда, замечая, что Amf (х) = mAf (х), получим
л л
2ямп/(ж)
:2Р[
+
+ max
Р 2Я1'тпД/(ж)
B77)
Пусть 0<е<1 и ^1==[-т] + 1- Из B76) следует, что §
можно выбрать Рг = Р2(г, т) так, чтобы при
> max (Ри Р2) выполнялось неравенство
2ЯгтД/(ж)
max
Выберем .Р^тах / ^-Р^ РА Тогда из B77) получим
V е2ягт/(ж)
ж=1
2Р /4-
I о
VI
2Ягт/(х)
§ 19. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ 173
и, следовательно,
чем в силу критерия Вейля теорема доказана.
Теорема 26 (теорема Вейля). Если полином
f(x) — <х0
апхп
B78)
имеет хотя бы один иррациональный коэффициент (не
считая свободного члена), то его дробные доли распре-
распределены равномерно.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай,
когда иррационален старший коэффициент полинома.
При п = 1 полином B78) представляет собой линейную
функцию а0 + UiX с иррациональным коэффициентом
при х. Согласно B73) дробные доли таких линейных
функций распределены равномерно. Применим индук-
индукцию. Пусть п ^ 2 и теорема доказана для полиномов
степени п — 1, имеющих иррациональный старший ко-
коэффициент. Выберем произвольное натуральное h и рас-
рассмотрим конечную разность
= ап [(х + h)n - хп]
аг [(х + h) — х].
Очевидно, Af (х)—полином (п — 1)-й степени с ирра-
л
циональным старшим коэффициентом. По предположе-
предположению индукции дробные доли этого полинома равномерно
распределены. Но тогда по теореме 25 равномерно рас-
распределены и дробные доли исходного полинома f(x).
Таким образом, для полиномов с иррациональным стар-
старшим коэффициентом теорема доказана.
Пусть теперь 1 ^ s < п и as — старший из иррацио-
иррациональных коэффициентов полинома / (х). Обозначим че-
через q общий знаменатель коэффициентов as+i, ..., а« и
запишем полином B78) в виде
где /i (х) = а0 + а{х + ... + asxs и ф (х) — полином с це-
целыми коэффициентами. Выберем произвольное целое

174 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
т?= 0 ш определим целое Р4 из условия
Тогда, полагая х = у + qz, получим
piq q pi~1 znitmfjly+qz)
— 2j 2j e
y=l z=0
q
m<p(y+qz) \
1 )
Рг-^
2=0
Так как у полинома Д (г/ + gz) коэффициент при стар-
старшей степени z иррационален, то его дробные доли рав-
равномерно распределены и по критерию Вейля
Но тогда
z=0
2Я?т/(х)
б?
q
_ "у
2
Отсюда, снова применяя критерий Вейля, получаем ут-
утверждение теоремы.
§ 20. Равномерное распределение систем функций
и вполне равномерное распределение
Пусть s^ 1 — фиксированное натуральное число,
Yi, ..., ys — произвольные положительные числа, не пре-
превосходящие единицы, и ft (х), ..., fs (x) — функции, оп-
определенные при натуральных значениях х. Обозначим
через NP(^i,..., Ys) число выполнений системы неравенств
{/.(*)}<?.
=1, 2, ...,
Система функций /i (х), .,., f, (x) называется равно-
равномерно распределенной в единичном s-мерном кубе, если
lim -p-.
или, что то же,
, ..., ys) =
§ 20. ВПОЛНЕ РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
175-
Легко видеть, что при s = 1 это определение совпадает
с определением равномерного распределения, введенным
в предыдущем параграфе.
Пусть mi, ..., ms — произвольные целые, не все рав-
равные нулю. Тем же путем, как и при доказательстве тео-
теоремы 24, можно показать, что необходимым и достаточ-
достаточным условием равномерности распределения системы
функций /((х), ..., /, (х) является выполнение равенства
11т12е2ЯЧтЛ(Ж)+^+тЛ(Ж)) = °- B79)
Это равенство, представляющее собой многомерный кри-
критерий Вейля, сводит исследование равномерности рас-
распределения системы функций к оценкам соответствую-
соответствующих тригонометрических сумм.
Пользуясь многомерным критерием Вейля, легко по-
показать, что необходимым и достаточным условием рав-
равномерности распределения системы функций /? (х), ...
..., fs (x) является равномерность распределения
функции
F (х) = mji (х) + ... + msfs (x) B80)
при любых целых m1; ..., ms, не равных одновременно
нулю.
Действительно, если дробные доли функции F{x)
распределены равномерно, то при любом целом т Ф (X
выполняется равенство
Х=1
Отсюда при т = 1 следует, что
и по многомерному критерию Вейля система функций:
fi(x), ..., js(x) равномерно распределена. С другой сто-,
роны, если система функций /4 (х), ..., /, (х) равномер-
равномерно распределена в единичном s-мерном кубе, то соглас-
согласно B79)
Выберем произвольное целое т?= 0 ж заменим в равен-

176 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
стве B81) mv на mmv (v = 1, 2, ..., s). Тогда получим
у 2nimF(.x) _ у 2Л»(тт1/1(ж)+.. +mmsfs(x)) _
х=1 ж=1
Отсюда по критерию Вейля следует, что дробные доли
функции F(x) распределены равномерно, чем свойство
B80) доказано полностью.
Покажем, что система линейных функций
Д (х)
, ...,/. (х) = ал
B82)
яри определенных требованиях к величинам а4, ..., as
будет равномерно распределена в единичном s-мерном
кубе.
Действительно, пусть числа 1, ait ..., as линейно не-
независимы. Тогда при любых целых ти ..., т„ не рав-
равных одновременно нулю, линейная комбинация
mia4 + ... + ms<xa не может равняться целому числу.
Следовательно, согласно лемме 1
у JLni(m1fl(x)+.l.+msjs(x))
х—1
,= 0{Р)
и по критерию Вейля система функций B82) равномер-
равномерно распределена.
Пусть теперь числа 1, аи ..., as не будут линейно
независимы. Тогда найдутся целые m4, ..., ms+i, не рав-
равные одновременно нулю такие, что т^у + ... + msas =
= ms+i. Следовательно, при ти ..., ms, удовлетворяю-
удовлетворяющих этому равенству, получим
р
2 е™Ъ
р р
S2ni(mla1+...+msas)« ^ 2Лгт$+1х
е === Л е
__ р
Но тогда условие B79) не выполняется и система функ-
функций aix, ..., asx не будет равномерно распределена. Та-
Таким образом, система линейных функций B82) тогда и
только тогда равномерно распределена в единичном
s-мерном кубе, когда числа 1, а1г ¦ ¦ ¦¦ а* линейно
независимы.
§ 20. ВПОЛНЕ РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
177
Теорема 27. Пусть f(x) = ao + aiX + ... + anxn —
полином с иррациональным старшим коэффициентом.
Система функций f(x+l), ..., f(x + s) будет или не
будет равномерно распределена в единичном s-мерном
кубе смотря по тому, будет ли s < п или s> п.
Доказательство. Рассмотрим функцию
где mu ..., ms — целые, не равные одновременно нулю,
Пользуясь формулой Тейлора, получим
3=0'
F(x) = 2 rnvf(x+v) =2j-/(j)(^J
г„. B83)
Так как определитель
1 1
i 2
3=0
V=l
1 2s-1 •.. ss"
отличен от нуля, то среди сумм
iv4 (/=o, 1, ...,*-
V=l
B84)
хотя бы одна не равна нулю (иначе система s линей-
линейных однородных уравнений
s
2 vJmv = 0 (/ = 0, 1 ..., s — 1)
V=l
имела бы. только нулевое решение TOt = ... = ms = 0,
что противоречило бы выбору величин ти ..., тв).
Обозначим через t наименьшее значение /, при кото-
котором сумма B84) отлична от нуля:
2 v3mv = 0 @ </<*), 2 v*mv = Я, Ф 0. B85)
V=l v=l
12 н. М. Коробов

178 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
Подставляя эти равенства в B83), получим
V=l
= jr f' (*) + 2 77 /W) {X) 2 v'mv- B86)
j=t+l v=l
Отсюда видно, что старший член полинома F(x) совпа-
совпадает со старшим членом полинома
-? /«> (х) = С^Яяпа:"-' + ...
Так как Я — целое, отличное от нуля и t < s — 1, то при
s ^ га функция /''(ж) будет полиномом степени п — f>i
с иррациональным старшим коэффициентом. Но тогда
согласно теореме 26 дробные доли {F(x)} распределены
равномерно, и, следовательно, система функция
1(х + 1), ..., f(x + s) равномерно распределена в еди-
единичном 5-мерном кубе.
Пусть теперь s = п + 1. Рассмотрим последователь-
последовательные конечные разности с шагом, равным единице:
АA)/(х + 1) = / (х + 2) - f(x + 1),
Д<2>/(* + 1) = /(* + 3) - 2/(г + 2) + /(* + 1),
Так как переход к конечной разности понижает степень
полинома на единицу, то Awf{x + i) будет полиномом
степени га —1, AB)f(x + 1)—полиномом степени га —2
и, наконец, A{n)f(x+1) будет константой. Следователь-
Следовательно, при
mv = (— l)^ (v = 1, 2, .. ., га + 1)
получим
р ._.,
х=1
Но тогда в силу многомерного критерия Вейля система
функций f(x+i), ..., f(x + s) при s = ra + l (а следо-
следовательно, и при любом s > п) не будет равномерно рас-
распределена в единичном s-мерном кубе, чем теорема пол-
полностью доказана.
§ 20. ВПОЛНЕ РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
179
Согласно теореме 27 существуют функции f(x) та-
такие, что система функций f(x + i), ..., f(x + s) при s,
не превосходящем некоторой границы, будет равномер-
равномерно распределена в единичном s-мерном кубе. В следую-
следующей теореме показано, что существуют функции, для
которых ограничение на величину s может быть снято.
Функция f(x) называется вполне равномерно распре-
распределенной, если при любом s 3* 1 система функций
f(x+l), ..., f(x + s) B87)
будет равномерно распределена в единичном s-мерном
кубе. Из B80) следует, что функция f{x) тогда и толь-
только тогда вполне равномерно распределена, когда при
каждом s> 1 ш любом выборе целых ти ..., ms, не
равных одновременно нулю, равномерно распределена
функция
... + m.f(x + s).
B88)
Теорема 28. При любом а>4 функция f{x), оп-
определенная рядом
2
h=0
вполне равномерно распределена.
Доказательство. Пусть ти ..., та — произ-
произвольные целые, не равные одновременно нулю и функ-
функция F(x) определена равенством B88). При п > 2s оп-
определим Q(x) и R(x) с помощью равенств
Q(x)=
e~h
R(x)=
() S
где ak = e~h . Пусть, далее,
Q.(x)= m&ix + i)+ ... + m.Q(x + s),
Rs{x)=miR{x + {)+... + msR(x + s).
Тогда, очевидно, f(x) = Q(x) + R(x) и
Согласно многомерному критерию Вейля для доказа-
доказательства теоремы достаточно показать, что при любом
12*

180 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
фиксированном натуральном s будет выполняться оценка
Пользуясь леммой 26, получим
2*
х—1
2niF(x)
jni(Qs(x)+Rs{x))
2*
х=1
2niQs(x)
+ 2л 2 | Rs (x) |. B89)
Оценим сначала величину
р
= 21
Х=1
Определим /г из условия
и выберем Р так, чтобы выполнялось неравенство п >
> max Dms, 2a+1), где т = max | mv J. Тогда получим
+ v
Отсюда,
р
s
V=l
так
mvR
<sm
как
р
<*
в
+
V)
?(ж
S Р
' У I т I У"
"v=i x=i
e~h
(x + s)h.
следует, что
B90)
Так как согласно определению п
_ pa
— х- г
§ 20. ВПОЛНЕ РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 181
то для отношения соседних членов ряда B90) получим
и, следовательно,
п + z
¦<¦
P + s + i
_S+J_ _1_
B91)
Оценим теперь сумму
а;=1
i i —)'а
Пусть, как и выше, т = max [ mv |, а$ = е и t опреде-
лено равенствами B85). Тогда
(х) =
l Qw (v) xk =
v=i
где
v=l
Так как, очевидно,
п / s
У Ф I У V}~'
j=h+t+l 3 \v=l
v=l
v=l

182 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
то при некотором вк (I0ftl < 1) получим
2 v%v ) е-^а + Bkm Bs)«
+ Qkm Bs)" e-(*+*+i)* B92)
где согласно B85) К Ш < ms*.
Определим г равенством г = -я- + 1 и выберем к— г.
Так как O^t<s, «>4 и га>maxDms, 2a+1), то выпол-
выполняются оценки
-i га3,
(r+t+ l)a>
mBs)ne-t'
и в силу B92)
B93)
Выберем g = [РГ1]- Тогда, очевидно, (Jr можно записать
в виде
-1 е-(г+О« < рг < (*/»)• «-(••+*)«,
Покажем, что
Действительно, так как
B94)
B95)
то, пользуясь неравенством B93), получим
In \a
С другой стороны, из очевидных неравенств
>л., {sn)-*p>(^ :
§ 20. ВПОЛНЕ РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 183
в силу B93) следует, что
Соотношения B94) и B95) показывают, что к сумме
р р
а V1 2iciQs(x) V* 2ЯгC0+Р,ж+...+Зп*;7г)
можно применить оценку, полученную в теореме 18:
Так как а>4 и га"-1 <1пР<(п+ I)", то при Р-*¦ <»
1 m«—S
и, следовательно, S = o(P). Но тогда согласно B89) и
B91) получим оценку
р
равносильную утверждению теоремы.
Замечание. Если функция f(x) вполне равномер-
равномерно распределена, то при любом выборе натуральных чи-
чисел t и г система функций
f(tx + i),...,f(tx + r) B96)
равномерно распределена в единичном r-мерном кубе.
Действительно, пусть Шц ..., тг — произвольные це-
целые, не равные одновременно нулю. Согласно многомер-
многомерному критерию Вейля для доказательства равномерности
распределения системы функций B96) достаточно пока-
показать, что сумма
р
где F(x) = mJ(x+1) + ... + mrf(x + r), имеет нетри-
нетривиальную оценку 5 = о (Р). Пользуясь леммой 2, получим
tp t tP
a=i ж=
a=l
ж=1
B97)

184
ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
Определим функцию Fa (x) равенством Fa (x) =
= F (х) + ^ и обозначим через A Fa (x) ее конечную
t h
разность с шагом h:
A Fa(x) =
h
- Fa(x) =
Разность F(x + h) — F(x) является, очевидно, линейной
комбинацией соседних значений функции / (х):
F(x + h) - F (x) = тг (f(x + 1 + h) - f(x + 1)) + ...
... + mr (/ (x + r + h) — f (x + r)) =
= mi/ (x + 1) + ... + m'r+hf (x + r + h),
где mx, ..., mr+ft — целые, не все равные нулю. Отсюда,
так как функция f(x) вполне равномерно распределена,
согласно B88), следует равномерность распределения
функции F(x + h) — F(x). Вместе с тем будет равномер-
равномерно распределена и функция A Fa (x), отличающаяся от
h
F(x + h) — F(x) только постоянным слагаемым. Но тогда
согласно теореме 25 равномерно распределена функция
Fa(x). Следовательно, при любом а из интервала 1<а^
^ t будет
tP
и из B97) получим
ах\ tP
х=1
tP
x=l
= о(Р),
чем утверждение B96) доказано.
§ 21. Нормальные и совместно нормальные числа
Пусть q > 2 — целое и а — произвольное число из
интервала @, 1). Запишем а в системе счисления с ос-
основанием о:
а = 0, ь, ?»...?«... B98)
Обозначим через W(p)Fi, ..., бп) число выполнений
равенства
Y*+i • • • W = 6i • • • б„ (ж = 0, 1, ..., Р - 1), B99)
§ 21. НОРМАЛЬНЫЕ И СОВМЕСТНО НОРМАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 185
где 6i... б„ — произвольная фиксированная группа зна-
знаков 6V е [0, q — 1] и равенство B99) рассматривается как
равенство целых чисел, записанных в q-жчяой системе
счисления. Как и в § 8, ./V<p) (б4... б„) равно, очевидно,
числу появлений заданной группы из п знаков б4... б„
среди первых Р групп,
образованных соседними знаками g-ичной записи а B98).
Число а называется нормальным в системе счисления
с основанием q, если для любого фиксированного п >* 1
при Р -*¦ о» выполняется асимптотическое равенство
Теория нормальных чисел тесно связана с вопросами
равномерного распределения дробных долей показатель-
показательных функций aqx. В основе этой связи лежит следующая
общая лемма о равномерном распределении дробных до-
долей произвольной функции f{x).
Лемма 31. Если существует бесконечная последо-
последовательность натуральных чисел ml < mz < ... < mn < ...
такая, что при каждом в>1 к любом целом v @< v <
<т„ —1) для числа Tv выполнений неравенства
при Р -*¦ оо будет
C00)
то дробные доли функции f(x) равномерно распределены.
Доказательство. Выберем произвольное fi e
е@, 1] и обозначим через iVp(P) число попаданий дроб-
дробных долей if(x)} (х = 1, 2, ..., Р) на интервал [0, р).
Определим целое & с помощью неравенств
Тогда, очевидно,

186 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
Пользуясь условием C00), получим
V=0
и, следовательно,
Ъ
Пусть-теперь задано произвольно малое е>0. Выбе-
Выберем по = по(г) так, чтобы при п^п0 выполнялось нера-
1 8
венство — < -у. Тогда, очевидно,
Отсюда при Р > Ро = Ро (е) получим
и, следовательно,
Р-»оо
что совпадает с утверждением леммы.
Теорема 29. Число а тогда и только тогда будет
нормальным в системе счисления с основанием q, когда
дробные доли функции aqx будут равномерно рас-
распределены.
Доказательство. Выберем произвольную группу
знаков 64... б„ (O^dj^q — 1) и определим целое v
с помощью равенства
Пусть при некотором х будет
C01)
§ 21. НОРМАЛЬНЫЕ И СОВМЕСТНО НОРМАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Тогда
{ад*} = 0, ух+1 ... ух+п + — = —— (
и, следовательно, выполняется неравенство
187
C02)
Так же легко проверить, что из выполнения этого нера-
неравенства следует равенство C01). Но тогда неравенство
C02) и уравнение C01) при ,# = 0, 1, ..., Р—1 имеют
одно и то же число решений, равное N(F) (б4... 8п). Если
дробные доли функции aqx распределены равномерно,
то при х — 0, 1, ..., Р—1 для числа выполнений нера-
неравенства C02) получим
N{P) FХ ... б„) = -^ Р + о (Р), C03)
и, согласно определению, а будет нормальным числом.
Пусть теперь а — нормальное число в системе счис-
счисления с основанием q. Тогда для любого п и любой
группы знаков б4... б„ выполняется равенство C03), и,
следовательно, при каждом целом v @ < v < q) число
Tv выполнений неравенства
асимптотически равно — ^
Отсюда согласно лемме 31 следует, что дробные доли
функции aqx распределены равномерно, чем теорема до-
доказана полностью.
Теорема 30. Пусть q ^ 2 — целое. Всякое число
а, определенное равенством
где 9А = {/(&)} (& = 1, 2, ...)—дробные доли произволь-
произвольной вполне равномерно распределенной функции, будет

188
ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
нормальным числом в системе счисления с основа-
основанием q.
Доказательство. Согласно определению вполне
равномерного распределения при любом фиксированном
s система функций
*)
C04)
равномерно распределена в единичном s-мерном кубе.
Разобьем каждое ребро куба на q равных частей и, соот-
соответственно, весь куб на qs малых кубиков с объемом
—. Перенумеруем полученные кубики, считая номером
число
v =
1V
61V 6SV -
где —, ..., — координаты ближайшей к началу коор-
координат вершины кубика. Очевидно, при этом v примет
каждое из целых значений от 0 до qs — 1.
Из равномерности распределения системы функций
C04) следует, что при ж = 0, 1, ..., Р—1 число Nv од-
одновременного выполнения неравенств
(/=1,2, ...,*) C05)
удовлетворяет соотношению
1
C06)
Так как {f(x + j)} = Qx+j, то неравенства C05) выпол-
выполняются для тех и только тех х @<#=s;P— 1), для
которых
[Qx+iq] = б,„ ..., [Qx+Sq] = 6Sv. C07)
В силу условия теоремы
s?] IV [0*
г-1
0_
gs
Отсюда видно, что при v = 8ivqs~l + ... + 6SV число Tv
\ § 21. НОРМАЛЬНЫЕ И СОВМЕСТНО НОРМАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 189
выполнений неравенства
<^±^ (х = 0, 1, ...,Р— 1) C08)
совпадает с числом выполнений равенств C07) и, сле-
следовательно, совпадает с Nv. Так как в неравенствах C08)
v может принимать любое значение из интервала 0 <
< v =? д5 — 1, s — произвольное натуральное число и в си-
силу C06)
то применима лемма 31. Согласно утверждению леммы
дробные доли функции aqx распределены равномерно и,
следовательно, «— нормальное число в системе счисле-
счисления с основанием q, что совпадает с утверждением
теоремы.
Замечание. Согласно теореме 30, при любом вы-
выборе вполне равномерно распределенной функции f(x)
число а, заданное рядом
_. V
C09)
будет нормальным числом. Можно показать C1], что,
в свою очередь, каждое нормальное число в системе
счисления с основанием q будет суммой ряда C09), где
{/(&)} — дробные доли некоторой вполне равномерно
распределенной функции. Таким образом, число а тогда
и только тогда будет нормальным числом в системе счис-
счисления с основанием q, когда для знаков его д-ичного
разложения
« = 0, YiYz • • • Ь...
выполняется равенство ^x = [{f(x))q] (x = l, 2, ...), где
/ (х) — вполне равномерно распределенная функция.
Понятие нормального числа естественно обобщается
на случай нескольких чисел. Рассмотрим числа аи ...
..., а„ заданные разложениями в системах счисления
соответственно с основаниями д4, ..., qs:
= 0,
C10)

190
ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
Пусть 6jV) ... 6{п} (или, кратко, Av) — произвольные фик-
фиксированные группы из п знаков в gv-ичной системе счис-
счисления (v = l, 2, ..., s). Обозначим через N(p)(At, ..., А,)
число выполнений системы равенств
х = 0, 1, ...,Р — 1, C11)
Ух+х • • • Ух+
О„
рассматриваемых как равенства целых чисел, записанных
соответственно в д\,-ичных системах счисления.
Числа «1, ..., as называются совместно нормальными
(в системах счисления с основаниями qu ..., qs), если
при любом выборе Д4, ..., Д„ выполняется асимптотиче-
асимптотическое равенство
Таким образом, числа а4, ..., а, будут совместно нор-
нормальными, если при любом выборе знаков 6j (/ =
= 1, 2, ..., п, v — 1, 2, ..., s) каждая из q\ ... q" воз-
возможных различных групп знаков
встречается среди групп
образованных соседними знаками разложений C10),
с асимптотически равной частотой. Тем же путем, как и
в теореме 29, легко показать, что числа сс1; ..., as тогда
и только тогда будут совместно нормальными, когда си-
система функций
«1Й, ...,<ЗД? C12)
будет равномерно распределена в единичном s-мерном
кубе.
В следующей теореме, обобщающей теорему 30, ус-
устанавливается связь между совместно нормальными чис-
§ 21. НОРМАЛЬНЫЕ И СОВМЕСТНО НОРМАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 191
лами и вполне равномерно распределенными функ-
функциями.
Теорема 31. Пусть qt > ... > qt > 2 — целые числа
и f(x) — произвольная вполне равномерно распределен-
распределенная функция. Тогда числа at, ..., те,, определенные ра-
равенствами
(v = 1,2, ...,*), C13)
будут совместно нормальны.
Доказательство. Определим величины Yft
венствами
Ра-
РауТ = [{/(** + v)}qv] (v = 1, 2, ... *; к = 1, 2, .. .)•
Очевидно, Yft — целые числа из интервала [0, qv — 1].
Следовательно, ряды C13) можно рассматривать как
запись чисел а„ в системах счисления с основаниями qv
и вместо C13) писать:
Пусть SAV) ... 6^v) — произвольные фиксированные
группы знаков в ^v-ичных системах счисления и, как и в
C11), 7V(-P)(Ai, ..., Д„) — число выполнений системы
равенств
„CD „CD _ я(О Ad) 1
Ух+1 ¦ ¦ ¦ Ух+п = Ох . . . Оп
1 = 0,1 Р-1. C14)
(«) „(«) *(«) *(«) '
• • Ух+п — °1 • • • О„ J
Равенства C14), очевидно, равносильны равенствам
„(V) c(V) (V) c(V)
v = l, 2, ...,*; ж=0, 1,...,Р-1.
Пользуясь определением величин ¦$ , перепишем эти ра-
равенства в виде
[{f(sx+ns+v)}qy]=W
В свою очередь эти равенства равносильны системе

192 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
неравенств
¦ •
v = 1, 2, ..., s,
x = 0,l, ..., P— 1.
<7v
f
C15)
Таким образом, N(p) (Au ..., As) равно числу решений си-
системы C15), т. е. числу попаданий дробных долей систе-
системы функций
), ..., f(sx + s + ns) C16)
в ««-мерный параллелепипед, определяемый неравенства-
неравенствами C15). Этот параллелепипед лежит внутри единичного
sn-мерного куба; его объем не зависит от выбора величин
я1 ••• is
Согласно замечанию B96) система функций
f(sz+l), ..., f(sx + ns) равномерно распределена в еди-
единичном /«-мерном кубе. Но тогда равномерно распределе-
распределена и система функций C16). Следовательно, выполняет-
выполняется асимптотическое равенство
Отсюда, пользуясь определением совместной нормально-
нормальности, получаем утверждение теоремы.
§ 22. Распределение знаков в части периода
периодических дробей
Вопрос о распределении знаков в полном периоде дро-
дробей, возникающих при записи рациональных чисел в про-
произвольной системе счисления, был рассмотрен в § 8. Мы
сохраним введенные там обозначения и будем предпола-
предполагать, что q > 2, т = 1 (mod 2), (q, m)=l, (а, и)=1 и
т — период дроби, возникающей при записи числа —
в системе счисления с основанием q:
= ух
1). C17)
: 22. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАКОВ В ЧАСТИ ПЕРИОДА
19$
Обозначим через Nm (8г . . . 8п) число появлений задан-
заданной группы из п знаков 6t... б„ среди первых Р групп
1 • • • [п, [2 • • • \п + 1, ¦ • ., \Р ¦ • • Т[Р+1»-1,
образованных соседними знаками дроби C17), и пра
Р =S т определим i?n (P) равенством
Степень равномерности распределения групп знаков
б4... бп в периоде или части периода дроби будет, очевид-
очевидно, характеризоваться оценкой отклонения Nm (8г ... бп)
от среднего значения — Р,т. е. оценкой величины Rn(P).
Вопрос о распределении групп знаков в части периода
(при Р < т) решается по-разному в зависимости от того,
, где е — произ-
произбудет ли Р больше или меньше т 2
вольно малое положительное число.
тт а1 as
Пусть т = рг ... ps — каноническое разложение не-
нечетного т на простые сомножители, т и Ti — показатели
q соответственно по модулям т и pt... ps. Определим ве-
величины р4, ..., р, с помощью условий
qXi-l = uop*...p*; (u0, Pl ... р.) = 1. C18)
Без ограничения общности можно считать, что J5V < av
при v = 1, 2, ..., г и ocv < Pv при v = г + 1, ..., s. Очевид-
Р |3r ar+1 as
но, при т1 = Pi ... рг рг+1 ... ps показатель q по моду-
модулю mi будет равен т4 и согласно (96) т^х, = тхи
Распределение знаков в большой части периода (при:
)
)
2 J исследуется сравнительно просто с помощью
следующей леммы.
Лемма 32. Пусть q > 2, величины тп, тпи т, т4 оп-
определены согласно C18), Ъ — произвольное натуральное-
и d — (b, m). Тогда при d<i— для всякого Р ^ т спра-
ведлива оценка
C19>
13 Н. М. Коробов

194
ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
Доказательство. Рассмотрим сперва случай
d = 1. Как показано в § 7, при любом целом с справедли-
справедлива оценка
Следовательно, пользуясь теоремой 2, получим оценку
х=0
С max
Х—1 .(bjjp сх
2 \ т Т
_
1пт)< УтA + Ыттг), C20)
совпадающую при й = 1 с оценкой C19)'.
Пусть теперь d > 1. Так как т = р^... pssnd\m, to d
можно записать в виде d = pi1 ... ps', где 0 < kt *S au ...
*.., 0 < к, < а.. Заметим, что при v = 1, 2, ..., г хотя бы
для одной из величин kv выполняется неравенство кч <¦
<¦ av — pv. Действительно, иначе было бы
что противоречит условию теоремы. Но тогда в силу тео-
теоремы 9 будет справедливо равенство
t-l
= 0,
C21)
^|г и то в виде & = b'd, m — m'd, (&', m')= 1
и обозначим через %' показатель, которому принадлежит
q по модулю тп'. Пусть, далее, Р' и Q определены усло-
условиями
Тогда, пользуясь свойством полных сумм, получим
е "' =
и в силу C21)
2
ж=0
^ - о.
§ 22. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАКОВ Б ЧАСТИ ПЕРИОДА 195
Следовательно,
Р1
.b'qXV+Z P'-l .b
2Яг—2—;— «-, 2Яг
у=0 г=о
2=0
2=0
-
2=0
г=о
Отсюда, пользуясь оценкой C20), получаем утверждение
леммы:
Р—1
2
х=о
.Ьд*
2Яг —
е т
==
2о
2Яг-
е '
Теорема 32. #г/сгь Р < т, m = р"* ... p"s, оц>2
(v = l, 2, ..., s) и величина Nffi^ ... б„) определена
согласно C17). Тогда для всякого д>1 и/?м любом
выборе знаков б4... б„ и любом г > 0 справедливо-
равенство
где константа в знаке О зависит только от е.
Доказательство. Определим целые t, Ъ и h как
в §8:
aq*s=y + b (mod тге), 0<ж</>,
Тогда согласно лемме 10
и обозначим через f^f} (b, h) число решений сравнения
C23)
Пользуясь леммой 2, получим
Р-1 Л
, h) =
- у - ft) = A P + Д, C24)
X=0 V—X
13*

196 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
где R определено равенством
Р-1 А
m—I / h
х=о у=1
/
-ill
-2Яг<2±^
е т
2Яг^-
е т
Оценим величину \R\. Очевидно,
z=l
h zy
2е
х=о
m-1
<1 V 1
i\
.azqx
гпг——
р -^ ^
ж=о
тп-1
2=1
Z
р-! .аг9ж
/В 7/1
х=п
. C25)
Пусть nti определено согласно C18) и d — наибольший
общий делитель т и z. Пользуясь при d ^ — тривиальной
ы Т ^- 171
оценкой и применяя приы< — оценку
* х.
2
.azqx
2 Яг—2_
m
следующую из леммы 32, получим из C25)
-г
1 d\m
\ C26)
Так как по условию av > 2 (v = 1, 2, ..., s), то
i
^i ••• Ps<pl ¦¦¦ Ps2 =Vm.
Но тогда для показателя q по модулю pt... ps выполняется
§ 22. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАКОВ В ЧАСТИ ПЕРИОДА 197
оценка Ti < Pi... р, < Vm, и, следовательно,
т ^- т
Замечая, что при любом в > О
d\m
получим из C26)
Теперь из C24) следует, что
Отсюда в силу C22) и C23) получаем утверждение тео-
теоремы:
^¦¦¦^ = ^ + {^}]P + R-j:P + o{J+i
Заметим, что равномерность распределения групп зна-
знаков б4... б„ в части периода дроби — следует из теоре-
I+8
мы 32, лишь когда Р принадлежит интервалу т <
<-Р<т,т. е. когда период достаточно велик и рассматри-
рассматривается достаточно большая его часть. Так будет, напри-
например, если потребовать, чтобы выполнялись неравенства
av>2pv (v = I, 2, ..., s).
Действительно, согласно C18) в этом случае пг1 =
Pi Pi -,
= Pi ... ps • 1ак как тп =
ps и т = — т15 то
т
т1
2 ...Ps2
C27)
Пусть a = max ccv. Тогда
и, пользуясь оценкой C27), получим нужную границу для

198 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
величины периода:
1 J+J
Перейдем теперь к вопросу о распределении групп зна-
знаков в малой части периода. Этот вопрос труднее предыду-
предыдущего, и для его решения приходится привлекать более
сложные методы оценки соответствующих тригонометри-
тригонометрических сумм. Мы ограничимся случаем т — ра, где р >
> 2 — простое. Будем предполагать, что величины т, rf
и J3, как и раньше, выбраны согласно C18).
Теорема 33. Пусть (q, р) = 1, (а, р) = 1, а > Щ
и г определено равенством Рт = ра. Если 2 ^ г <_ -^-,
то справедлива оценка
ЛЧХ
„а
х=0
<ЗР
где у =
3-108
Доказательство. Если Р
теоремы тривиально, так как
то утверждение
ЗР
' 2
36V
Пусть Р > езвг. Определим целые s и п с помощью ус-
условий
s<^r<s+l, ге<-2-<и+1. C28)
Легко проверить, что выполняются оценки
Prf
Действительно, так как по условию а > 8j3r и ра
то из C28) получим
Далее, очевидно,
— 1^7 и, наконец,
a In />
§ 22. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАКОВ В ЧАСТИ ПЕРИОДА 199
Определим целые au ..., а„ с помощью равенства
п\ (Clup* + ...+ Cnxunpsn) = в1 А + ... + anpsnxn C29)
и покажем, что при (и, р)= 1 среди величин ov (v = 1,
2, ..., п) нет кратных р\ Действительно, сравнивая ко-
коэффициенты при xv, получим
avPsv = -^- w
а^а» (mod p>).
Пусть /^ — наибольшая степень р, делящая —р. Тог-
Тогда, так как п < s(p — 1), получим
— + —г- I + ... <JTT1<S'
и, следовательно,
(ov, ;>') = У\ 0<o)v<5, ©„ = 0. C30)
Обозначим через ts показатель g по модулю р\ Так
как s > р, то, согласно (96)
q a = 1 + wps, (м, j>) = 1, Ts = Tjj>s~P </".
Пользуясь тем, что s(n + 1)^ а, при любом целом ж 5= О
получим
= 1 + CW + .-.+ C2unpm (mod/).
Отсюда по лемме 19 в силу C28) и C29) следует, что
х—о
Р-1
х—0
2iti
ад
x+xsyz
y,z=l
р-1
+ 2Р*. C31)
Определим функцию /«(у, z) и целые ftv, ?v с помощью

200 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
условий
/х (У, Z) =
Тогда из C31) получим
= l (v= 1, 2, ...,n). C32)
r-1 : P*
+2Р\ C33)
где в силу C30) и C32)
fx(y,z) = b,x
Для оценки суммы
C34)
ах=
воспользуемся следствием леммы 25:
2лг М
2Й2
Так как sn <
Дует, что при
5
C35)
(п+l) и0<и,<5] тоиз C34) сле-
=% v < n выполняются оценки
gv <Г i + №-' -> n -|(n-l-v)
§ 22. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАКОВ В ЧАСТИ ПЕРИОДА 201
Но тогда
п
п
."("+D
п
п
-<v<n
<»nV
П" 2
(n-2)(n-4)
. C36)
Чтобы оценить ^(i5'), выберем А: =" (ге„+1}+3/г2
и воспользуемся теоремой 16:
з +
<BnL> 2 « . C37)
Теперь из C35) в силу C36) и C37) следует, что
80
2S-
Так как
— js<FrKs, то
s rs 1
и, следовательно,
где V =
\<2p2SP *'wbrt = 2puP~r\
Подставляя эту оценку в C33) получа-
получаем утверждение теоремы:

202
1'Л. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
Заметим, что полученная оценка нетривиальна начиная
со значений Р, составляющих очень малую часть перио-
периода т. В частности при любом 8 > 0 и достаточно боль-
большом а для Р > те выполняется оценка
<3P
где Yi — некоторая положительная константа. Легко так-
также проверить, что наименьшие значения Р, начиная с ко-
которых оценка теоремы 33 будет нетривиальной, имеют по-
порядок ес1п2 Зг, где с — некоторая абсолютная константа.
Пусть, как и раньше, Nm (&i ... 8п)—число появле-
появлений заданной группы знаков 6\ ... 6„ среди первых Р
групп, образованных соседними знаками д'-ичного разло-
- а
жения дроби —.
Теорема 34. Если р>2 — простое, (а, р)=1,
(q, р)— 1, Рг = ра и 3 ^г <С?g-, то при m — ра справед-
справедливо равенство
где у =
3-Ю1
5'
Доказательство. Определим целые t, Ъ и h ра-
равенствами C22):
o,8l...«„ = _, ».
Тогда из C23) и C24) получим
C38)
где согласно C25) выполняется оценка
§ 22. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАКОВ В ЧАСТИ ПЕРИОДА
Отсюда следует, что
203
а—1
2 -f
v=0
P-l .azqx
2Лг а
x=o
2 1 v 1
v=0
„a-v
ж=о
Так как по условию Рт = ра и 3 < г < <щ-, то выбирая
= г (v = 1, 2, ..., а — 1), при v §J -=-¦ получим
.а — v
и согласно теореме 32 будет выполняться оценка
|p-i
2Л1-
Пользуясь этой оценкой и применяя при v^-=- триви-
тривиальную оценку, получим
г2 ^ IV»1
+Pp
—-<v<a
In p«) =
„a-v
1-2-
r'lnP).
Теперь, замечая, что
из C38) получаем утверждение теоремы:
1...6n)=^i3+i?

204 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
§ 23. Связь между тригонометрическими суммами,
квадратурными формулами и распределением
дробных долей
Как было отмечено во введении, существует тесная
связь между оценками тригонометрических сумм и при-
приближенным вычислением кратных интегралов
1 1
j ... } f(x±, ..., xs)dx1 .. . dxs.
о о
Эта связь устанавливается особенно просто если функция
f(xt, ..., xs) по каждой из переменных хи ..., х, имеет
период, равный единице, и ее ряд Фурье
,,,,
С(тх, ...,
сходится абсолютно.
Рассмотрим квадратурную формулу
1 1
C39)
Pin
k=i
Здесь через — RP \j] обозначена погрешность, получаю-
получающаяся при замене интеграла средним значением подын-
подынтегральной функции, вычисленным в точках
Мк = М(Ъ(к), ..., ?.(*)) (к = 1, 2, ..., Р).
Совокупность точек Mh называется сеткой, а сами точ-
точки — узлами квадратурной формулы.
Пусть задана некоторая система равномерно распреде-
распределенных функций ft (х), ..., /, (х). Тогда при любом выбо-
выборе величин yv е@, 1] (v = 1, 2, ..., s) число выполнений
неравенств
0 < {/, (к)} < у., ..., 0 < ifs(k))< у. (к = 1, 2, ..., Р)
C40)
равно Yi... isP + о (Р). Если координаты узлов квадра-
§ 23. СВЯЗЬ С КВАДРАТУРНЫМИ ФОРМУЛАМИ 205
турной формулы определены равенствами
5.(ft)-f/i(ft)}, .... ?.(*)= {/.(*)> (ft-1, 2, .... Р),
то узлы будут равномерно распределены в единичном
s-мерном кубе. Согласно критерию Вейля в этом случае
при любом выборе целых пги ..., ms, не равных одновре-
одновременно нулю, выполняется равенство
^ е2Ж(т161(*)+...+т,6,<«) = 0 (р)> C41)
Суммы C41) будем обозначать через S(mu ..., ms):
и называть тригонометрическими суммами, соответствую-
соответствующими сетке квадратурной формулы.
Теорема 35. Пусть ряд Фурье функции f(xu ...
..., xs) сходится абсолютно, C(mh ..., ms)—ее коэффи-
коэффициенты Фурье и S(mu ..., m3)—тригонометрические
суммы, соответствующие сетке квадратурной формулы
1 1
J... ) f(xt, ..., xs)dxx ... dxs =
0 °
=4-2/&(*>• ••••
h—l
Тогда справедливо равенство *)
2 1,s)A,...,ms) C42)
m1,...,ms=—oo
и при Р -*¦ оо погрешность RP \f] будет Ьтремитъся к нулю
тогда и только тогда, когда узлы квадратурной формулы
равномерно распределены в единичном s-мерном кубе.
Доказательство. Так как
1 1
С@, ...,0) = |...|/(Ж1, ...,xs)dx±...dxs,
о о
то, пользуясь разложением /(ж4, ..., xs) в ряд Фурье,
*) Здесь и далее 2 означает суммирование по системам
(j»,, ..., т.) Ф @, ..., 0).

206 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
получим
Р
дия = 4- 2/& с*) s.(A» —
1 1
— J...J /fo, ..., Ж^С^ ...dzs =
о о
Р оо
=42 2 ск-....^)^1
Отсюда после выделения слагаемого с (яг,, ..., ms) —
= @, ..., 0) и перемены порядка суммирования следует
равенство
4- 5
mi,...,ms=—°o
k=l
которое в силу определения сумм S(mu ..., т„) совпада-»
«т с первым утверждением теоремы.
; Перейдем к доказательству второго утверждения.
Пусть узлы квадратурной формулы равномерно распре-
распределены в единичном s-мерном кубе. Тогда, согласно C41)
S(mu ..., ms) =
k=i
Зададим произвольное s>0 и выберем т0 = то(е) и
Р» =Р0(е) так, чтобы выполнялись оценки
\C(m1,...,ms)\\S(m1,...,ms)\<^-P,
2
max|mv|>m0
\C(m1,...,ms)\\S(m1,...,ms)\<~P
(Первую из этих оцнок получаем, используя абсолютную
«ходимость ряда Фурье и тривиальную оценку I6"(mt, ...
..., ms) I ^P; вторая оценка выполняется в силу C43).)
§ 23. СВЯЗЬ С КВАДРАТУРНЫМИ ФОРМУЛАМИ 207
Пользуясь равенством C42), получим
\С(ти ...,ms)\X
,ms=—oo
т ,...,ms=
X\S(mi, ..., ms) К -i- ^i + 4"
и, следовательно, lim RP [f] — 0.
Р-»оо
Пусть теперь известно, что при Р -*¦ °° погрешность
квадратурной формулы стремится к нулю. Выберем про-
произвольные целые ти ..., ms не все равные нулю, и рас-
рассмотрим функцию
Так как все коэффициенты Фурье этой функции кроме
С(т{, ... ms) равны нулю, а С(ти ..., ms)= 1, то соглас-
согласно C42)
П1,...,Па=—сх,
-i- 2
ki
Следовательно,
р
lim * У e«rt(
= нт ±.Rp[f] = 0, C44)
Р F
и по критерию Вейля система функций ti(&), ..., Is (к)
равномерно распределена в единичном s-мерном кубе.
Таким образом, узлы квадратурной формулы распределе-
распределены равномерно, чем теорема доказана полностью.
Пусть а > 1 — произвольное действительное число,
т — целое, m = max(l, \m\) и С — некоторая положи-
положительная константа. Будем говорить, что функция f(xu ...
..., xs) принадлежит классу Е? (С), если для ее коэф-
коэффициентов Фурье выполняется оценка
| С (ти ..., т.) | <
C45)
Пользуясь теоремой 35, легко оценить погрешность при-
приближенного интегрирования функций f(xit ..., z,), при-
принадлежащих классу Щ (С).

208 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
Действительно, согласно C42)
\C(m1,...,ms)\\S(m1,...,ms)\,
C46)
. следовательно, в силу C45)
,771 с=—ОО
\S{mv ..., ms)\
(mi ¦ ¦ ¦ mJa
C47)
Оценка C47) будет, очевидно, тем лучше, чем меньше
{особенно при небольшой величине произведений ти
..., ms) будут модули тригонометрических сумм S(mu ...
..., ms). Совокупность значений этих сумм зависит толь-
только от вида сетки Mh = Л/(|4(к), ..., |,(А)) (ft = 1, 2, ...
..., -Р). Поэтому выбирая сетку так, чтобы суммы
S(mh ..., ms) имели достаточно хорошие оценки, можно
влиять на степень точности соответствующих квадратур-
квадратурных формул.
Покажем, что для функций f(xt, ..., xs), принадлежа-
принадлежащих классу Ef(C), оценку C47) нельзя улучшить.
Действительно, зададим величины Со (ти ..., ms) с по-
помощью равенств
если S{mu ...,ms) = 0,
(mx...ms)a'
и определим функцию U(xu ..., xs) рядом Фурье
oo
m1,.,.,ms=-oo
Так как, очевидно, выполняется оценка
С
| Со (mlt ..., ms
о функция /0(ж1, ..., ж8) принадлежит классу Ef(C).
§ 23. СВЯЗЬ С КВАДРАТУРНЫМИ ФОРМУЛАМИ 209
Согласно теореме 35 получим
оо
-Sp[/oJ= 2' С0(ти ...,ms)S(m1, ...,т,) =
m1,...,ms=-oo
ОО
= 2" Со(тп ¦¦.,ms)S(m1, ...,ms)t
m]1...,ms=—oo
где в сумме 2" из области суммирования кроме набора
mi = ... = ms = 0 исключены наборы значений ти • ¦ •
..., ms, для которых 5A^!, ..., т.) = 0. Но тогда, поль-
пользуясь определением величин Со (т^ ..., ms), получим
¦[/«>]=-?-
m ,...,ms=—o
\S(mV ¦¦¦'ms)\
и, следовательно, оценку C47) нельзя усилить.
Из теоремы 35 следует, что соотношение
Р-»оо
выполняется тогда и только тогда, когда точки
М(\1(к): ..., !*(&)) равномерно распределены в единич-
единичном s-мерном кубе. Заметим, что это равенство (см. [49])
справедливо не только для функций f(xu ..., xs), пред-
ставимых абсолютно сходящимися рядами Фурье (как это
было показано в теореме 35), но и для произвольных
функций, интегрируемых по Риману.
Пусть система функций /4 (х), ..., /, (ж) равномерно
распределена в единичном s-мерном кубе и у4, ..., "у» ~
произвольные числа из интервала @, 1]. Как и в § 20,
обозначим через NP(^i, ..., ys) число попаданий точек
Мк = М({Д (А)>, ..., {/.(ft)}) (ft = 1, 2, ..., Р)
в область 0
14 Н. М. Коробо»
<
0 < х, < у, и определим:

210
ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
itp(fi, • • •) Y«) c помощью равенства
ЯрЫ, ...,*)= -J-Xpfa, •.., у.) - Yi • • • Y«-
В теории равномерного распределения рассматриваются
различные характеристики степени равномерности рас-
распределения точек Мк в единичном s-мерном кубе. К чис-
числу таких характеристик относятся отклонение D(P)
и квадратичное отклонение Т(Р), определяемые соответ-
соответственно равенствами
D(P) = sup |i?p(Yi,....,Y.)b
*I V,
1 1
i?| fe, . .., *,) da^ ... dxs.
(P) = j ...
В следующей теореме устанавливается соотношение,
позволяющее оценивать погрешность квадратурных фор-
формул через указанные характеристики равномерности рас-
распределения точек сетки. Будем говорить, что функция
f(xi, . .., xs) принадлежит классу WS(C), если выполня-
выполняются условия
f(xu ..., Xv-i, 1, ж*ц, ..., xs) = 0 (v = 1, 2, ..., s),
C49)
asf(xv
dxx... dxs
о о
и ее частные производные
dx1 ... dxs ^ C,
непрерывны по переменным, для которых щ — 0, и удов-
удовлетворяют условиям Дирихле по остальным переменным.
Теорема 36. Пусть f(xu ..., xs)—произвольная
функция из класса WS(C) и величина Др(у4, ..., у8) оп-
определена равенством C48), составленным для координат
сетки квадратурной формулы
x1... dxs =
- Лр [Л • C50)
§ 23. СВЯЗЬ С КВАДРАТУРНЫМИ ФОРМУЛАМИ 211
Тогда для погрешности формулы C50) выполняются со-
соотношения
"dsf (x х \
.f
Т(Р)— квадратичное отклонение сетки.
Доказательство. Пользуясь первым из условий
{349), получим
1vl
Но тогда, очевидно,
Г av/(*1,-..,*vSv+1 (*),...,
J a*. ... 5a;v
(v= 1,2, ...,*).
и, следовательно,
f
J • • • J ax.... dxs dxi--- dx* ~
e_ г г ^/(«, uw
J J dx. ...ax. ,
Далее, замечая, что
. C51)
Vd ',)
14*

212
получим
1 1
ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
Г Г'У (у-••>*.) xdx dx_
J • • • J ex. ...ax. Xl ¦ • • XsdXl ¦¦¦йх*-
0 0
~ ~ J ' • • J dx....axt_x Xl'-- x*-idxi ¦ ¦ • dx* - • ¦ •
о о
г l
J ... §f(xlt ...,xs)dx1... dxs. C52)
о о
о о
Определим функцию т|)(ж, y) с помощью равенства
|1, если
(*. V) =
), если
C53)
Тогда для числа точек сетки M(^i(k), ..., is(ft)) (А =
= 1, 2, ..., Р), лежащих в области O=S^!<Yi, . •., 0<
«S xs < ув, получим
и согласно C48)
4-
- Vi
Пользуясь, равенствами C51) и C52), запишем погреш-
погрешность квадратурной формулы в виде
р
RpW=-Y 2 /(Si (*). --..б. (ft))-
ft=i
1 1
— j ... J / (#a, • • •, x,) dxx ... dxt
о о
-/_i)./jLy f ^
- (- i) — 2л J • • •
ft==1
ax....axt
f f^fa'-.^j. xdx
— J • • • J ax1...ax, x*' • • x'dXl ¦ ¦ •
dx)
dXsГ
§ 23. СВЯЗЬ С КВАДРАТУРНЫМИ ФОРМУЛАМИ 213
Отсюда, замечая, что
JC д f (х х \
••• J -jifrrrkf-dx-• ¦ ¦dx^
= j ... — v "'' "' Цif (|v(A;), a;v) dxx ... ctes,
о о
в силу C54) получаем первое утверждение теоремы:
0 0
I р » \
X I -р- 2 П ч|> (Sv (ft), av) — «i . • • ж A dxx ... dxs
ft=l V=l /
о о 1
C55)
Второе утверждение теоремы непосредственно следу-
следует из этого равенства:
/11 \ 2
о
<
fg/ri' •••' ж») dx dx
... I т- j- I а^! ... ахг
о о
1 1
X J .. .$R%(xlt ..., xs)dx1 .. . dzs^CT* (P),
о о
C56)
Замечание. Для погрешности приближенного ин-
интегрирования функций / е Wa (С) справедлива также
оценка
\RP[f]\<yCD(P), C57}
где D (Р) — отклонение сетки квадратурной форму-
формулы C50).

214 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
Действительно, согласно определению
1 1
Т2 (Р) = j .. . \ Rp (xlf ...,xs)dx1... dxs <
о о
< sup Rp(xlt ...,xs) = D2(P).
Следовательно, T(P)^D(P) и оценка C57) следует пз
оценки C56).
Покажем теперь, что оценку
полученную в теореме 36, нельзя улучшить.
Действительно, определим функцию fa{xu ..., xs) с
помощью равенства
1 1
Л/с Г С
/0 (х±, ..., xs) = ^^ ... Rp(yi, ...,ys)dy1... dya,
Xl XS
C58)
Эта функция, очевидно, удовлетворяет первому из усло-
условий C49):
/„ (хи ..., *_., 1, xv+i, ...,xs)=^0 (v = 1, 2, ..., s).
Ясно, далее, что
5% (XV • ¦¦' Xs) (— 1)S
Но тогда
i i
о о
1 1
J ... Jfl^arx, ...,«,)&!... dxs = С,
так что второе из условий C49) также выполняется и,
следовательно, /«(«i, . •., жДеЩС). Теперь, применяя-
§ 23. СВЯЗЬ С КВАДРАТУРНЫМИ ФОРМУЛАМИ
равенство C55), получим
215
( ^J'"] ax.... ax. rp(xh ¦•¦,xl)dx1 ...
о о г s
1 1
dx.
т. е. погрешность приближенного интегрирования функ-
функции /o(#i, ..., xs) равна 1/СТ(Р) и оценку C56) нельзя
усилить. '
Полученные результаты позволяют сравнивать каче-
качество сеток квадратурных формул. Действительно, рас-
рассмотрим квадратурные формулы, построенные с по-
помощью сеток М{1} и М12) (& = 1, 2, ..., Р). Обозначим
через Ti(P) и Т2(Р) квадратичные отклонения этих се-
сеток и будем предполагать, что Ti(P)<Ti(P).
Если функция /(#!, ..., xs) принадлежит классу WS(C),
то согласно теореме 36 погрешность первой из квадра-
квадратурных формул не превосходит УС7\ (Р). С другой сто-
стороны, определяя fo(xt, ..., xs) равенством C58), полу-
получим, что в классе WS(C) есть функция, для которой по-
погрешность второй формулы Rp [/0] будет больше, чем
(Р):
f/oJ = YCT2 (Р) > УСТХ (Р).
Таким образом, справедлив следующий критерий ка-
качества сеток квадратурных формул: при интегрировании,
функций, принадлежащих классу WS(C), лучшей из
двух сеток будет сетка с меньшим квадратичным откло-
отклонением.
Из определения функции if>(x, 7) C53) следуют ра-
равенства
1 1
Г Г 1 — ж2
J ф (ж, у) ydy = J ydy = ——,
1
= J dy = 1 — max (x, y).
max(x,y)

216
ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
(ь помощью этих равенств можно получить простое вы-
выражение для вычисления квадратичного отклонения.
Действительно, согласно C54)
= "F 2 ^ & (А), Vi) • • •
= i 2 П Ч> (?v (/).
^ l
=1 V=l
ft=l
и, следовательно,
Т2 (Р) = f ...
^- _ 2 Ц И - max (gv (/), Iv (A))] -
f C59)
Пусть, как и выше, Z> (P) — отклонение сетки Мк
(к = 1, 2, ..., Р). Из оценки
\RP[f]\<yCD(P), C60)
указанной в замечании к теореме 36, видно, что о каче-
качестве сеток квадратурных формул можно судить и по ве-
величине отклонения D(P). Однако для вычисления от-
отклонения нет явного выражения, подобного C59), что
мешает практическому использованию оценки C60).
Оценку
оо
4- 2
C61)
m1,...,ms=-oo
следующую согласно C47) из теоремы 35, также не все-
всегда можно использовать для практического сравнения
сеток квадратурных формул. Однако эта оценка являет-
является неулучшаемой и в некоторых случаях позволяет ус-
устанавливать удобные критерии качества сеток.
§ 24. КВАДРАТУРНЫЕ И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 217
§ 24. Квадратурные и интерполяционные формулы
с теоретико-числовыми сетками
Пусть s > 2, р — простое, большее s и (ти ...
..., ms, p) = 1. Согласно лемме 4 справедлива оценка
2лг-
h=l
C62)
Определим координаты сетки Мк равенствами
¦¦¦>Ъ(к) = [!^} (А = 1,2, ...,
и рассмотрим тригонометрическую сумму, соответствую-
соответствующую сетке Мк:
S(mu ..., ms) =
2ni-
Если Р = р2, то сумма 5G71!, ..., ms) совпадает с сум-
суммой C62), и, следовательно, при {ти ..., ms, р)— 1 для
нее будет справедлива оценка
15A»!, ..., т.)\ <{s — l)p=(s— lI~p. C63)
Следующая теорема основана на использовании этой
оценки.
Теорема 37. Если функция j{xu ..., xs) принад-
принадлежит классу Es (С), р — простое, большее s, и Р = рг.
то для погрешности квадратурной формулы
1 1
J • • • J /(Ж1> ¦•-, xs)dx1 ... dxs =
о о
р
k=l
выполняется оценка
C64)
Доказательство. Как показано в предыдущем
параграфе, при f(x1: .. ., xs) e Ef (С) вьшолняется

218 ГЛ. Ш. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
оценка
Величины mt, ¦ •., ms, общий наибольший делитель кото-
которых кратен р, можно представить в виде щр, ..., nsp.
Применяя в этом случае тривиальную оценку
\S(ntp, ..., nsp)\^p2 = P
и пользуясь при (ти ..., ms, p)=l оценкой C63),
i 2
\S (mV ¦•¦'
оо
у * _ ,
п,....^—оо
+ ¦
C65)
Гак как из определения величин т следует, что
п\ при любом nv,
-
1= Rvj9 При «v^O,
то для всякой системы целых raj, ..., ns, не равных од-
одновременно нулю, справедлива оценка
щр ... nsp > рпх... па.
Но тогда
Подставляя эту оценку в C65), получаем утверждение
f
§ 24. КВАДРАТУРНЫЕ И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 219
теоремы:
/ v ( °° V
/_3а V
Заметим, что оценка
полученная в теореме 37, справедлива и для квадратур-
квадратурной формулы
1 1
j ... )f («i, ..., xs) dxx ... dxs =
о о
где j3 — простое, большее s, и Р = p. При доказательст-
доказательстве этого утверждения приходится привлекать более глу-
глубокие сведения из теории тригонометрических сумм и
вместо оценки C62) пользоваться оценкой А. Вейля
<(*-!)//>
(см. замечание к теореме 7). В остальном доказатель-
доказательство не отличается от доказательства оценки C64).
Квадратурные формулы C64) и C67) гарантируют
такой же порядок убывания погрешности, какой с веро-
вероятностью, близкой к единице, получается в квадратур-
квадратурных формулах, основанных на методе Монте-Карло.
В следующей теореме мы рассмотрим квадратурные
формулы, погрешность которых на классе Ef (С) имеет
более высокий порядок убывания.
Пусть р> 2, Р < р и av — целые, взаимно простые с
р (v = 1, 2, ..., s). При Р = р сетки вида
называются параллелепипедалъными сетками. Тригоно-

220
ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
метрические суммы, соответствующие параллелепипе-
дальным сеткам
S(тъ ...,ms)= 2 с™ р
k=i
представляют собой полные рациональные тригономет-
тригонометрические суммы первой степени. Согласно лемме 2 для
них справедливо равенство
S (тг, ...,ms) = p8p (a1m1 + ... + asms) =
p, если a1m1 + ... + asms = 0 (mod/)),
О в остальных случаях.
C68)
Теорема 38. Пусть f(x1,...,xs)^Ef(C), p>s,
(av, p)=i (v = 1, 2, ..., s) и P = p. Для погрешности
квадратурных формул с параллелепипедалъными сетками
1 1
J ... j / (
1... dxs =
выполняется оценка
2'
сегвг/ формулы C69) можно выбрать так, что при лю-
любом а > 1 будет
где Ci — Ci (a, s) — константа, зависящая только от а и s.
Доказательство. Из определения класса Е%(С)
следует, что для коэффициентов Фурье функции f(xit ...
..., xs) выполняется оценка
§ ,24. КВАДРАТУРНЫЕ И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 221
Но тогда согласно теореме 35
\C(m1,...,ms)\\S(m1,...,ms)\^
...
1»
. .,me——со
\' | S(mv ..., ms)
-co (тг... ms)a
Отсюда, пользуясь равенством C68), получим первое
утверждение теоремы:
2'
m ...,ms=—oo
Для доказательства второго утверждения определим
fp-ll
целые I»! и jj с помощью равенств рх = —^— > Рг ==
= Го" и заменим в C71) »гу на nvp + mv:
\R*lf\\<c
2'
Так как, очевидно, при m е [
и согласно C66)
За
За \» 1
то, выделяя в C72) слагаемые с mi = ... = ms = 0,

222 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
получим
C73)
Обозначим через Т7^, ..., zs)
i, • •., «.) = 2'
сумму
где zlf ..., zs — целые. Пусть минимум функции
rfo, ..., z.) в области Kzv<p (v = l, 2, ..., s) до-
достигается при Zi = au ..., zB = as:
Т («!,..., as) = min 71 (zlt ...,«,). C74)
1^ zs<p
Так как при »г1; ..., ms, не делящихся одновременно на
р, выполняется оценка
+ ... + mszs) < (р — IM, C75)
то, очевидно,
Г
x 2
-=r- X
р-1
• • • + mszs).
§ 24. КВАДРАТУРНЫЕ И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 223
Отсюда в силу C75) следует, что
1 V
J It*-)» • • . ч Wg/ ¦^> л s J
- C76)
Рассмотрим квадратурную формулу C69), в которой
величины Oi, ..., as выбраны согласно условию C74).
Так как а > 1, то
2
2
J
! ms=-Pl
1...ms
Следовательно, пользуясь оценкой C76), получим
У Р (aimi + • • • + asms) ^ 2а C + 2 In p)as
Подставляя эту оценку в C73), при некотором Сх
J 30 а \а5
j-l получим второе утверждение теоремы:
ba
Если существует бесконечная последовательность на-
натуральных р такая, что при некоторых Co = Co(s), p =
= P(s) и al = ui(p), ..., а, = аа(р) выполняется оценка
, C77)
I—-—I и j92 = |-y ,
где р± = I—-—I и j92 = |-y , то для каждого р, принадле-
принадлежащего последовательности, целые аи ..., ае называются

224
ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
оптимальными коэффициентами по модулю р, а соответ-
соответствующие им сетки
— оптимальными параллелепипедалъными сетками.
Из теоремы 38 видно, что оптимальные параллеледи-
педальные сетки позволяют строить квадратурные фор-
формулы, для погрешности которых выполняется оценка
Ш =
(У =
C78)
Можно показать, что ни при каком выборе сеток на клас-
классах Е"(С) нельзя получить оценку погрешности, луч-
лучшую чем
(^?y C79)
Таким образом, оценка C78) близка к предельной и в
ней можно улучшить лишь логарифмический сомно-
сомножитель.
Отметим некоторые другие характерные особенности
квадратурных формул с параллелепипедальными сетка-
сетками. Из оценки C78) видно, что такие квадратурные фор-
формулы автоматически реагируют на гладкость подынтег-
подынтегральной функции: чем более гладкой будет периодиче-
периодическая функция f{Xi, ..., х,), тем более точные результаты
обеспечены применением одной и той же квадратурной
формулы. Это свойство вычислительных алгоритмов
(см. [2]) называется их ненасыщаемостью. Таким обра-
образом, квадратурные формулы с параллелепипедальными
сетками обладают свойством ненасыщаемости.
Обозначим через q минимальные значения произве-
произведения mi...m, для нетривиальных решений сравнения
uiirii + ... + asms вэ 0 (mod р). C80)
Еще одна особенность квадратурных формул с паралле-
параллелепипедальными сетками состоит в том, что они точны
для конечных тригонометрических полиномов вида
m1...ms<q
C81)
т. е. при Р = р для всякого тригонометрического полинома
§ 24. КВАДРАТУРНЫЕ И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 225-
C81) выполняется равенство
1 1
J • • • J Q (xi,. ¦ ¦ ¦. xs) dxx ... dxs =
о о
Действительно, рассмотрим квадратурную формулу
1 1
J • • • J Q(xv ..-, xs)dx1 ... dxs =
- <383>
Так как при тг... т*^ q коэффициенты Фурье полино-
полинома C81) равны нулю, то согласно теореме 35 выполня-
выполняется равенство
_ ДГ
mv..ms<g
и ..., ms) бр (а1т1
C84)
В силу определения величины q в сумме C84) нет ни
одного набора значений ти ..., т3, для которого выпол-
выполнялось бы сравнение а^ + ... + asme з= 0 (mod p), и,
следовательно, каждое слагаемое этой суммы равно ну-
нулю. Но тогда RP[f] = 0 и из C83) мы получаем равенст-
равенство C82).
Величину q, определенную согласно C80), будем на-
называть параметром параллелепипедалъной сетки. Из ра-
равенств C81) и C82) видно, что чем больше параметр
сетки, тем для большего числа тригонометрических по-
полиномов будет точна соответствующая квадратурная фор-
формула. Поэтому при построении квадратурных формул
естественно использовать сетки с возможно большими
значениями параметра q. Именно такими сетками и яв-
являются оптимальные параллелепипедальные сетки. Что-
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим неравенство C77)
mv...,m,—Pl
15 н. М. Коробов

226
ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
использованное при определении оптимальных коэффи-
коэффициентов. Так как в сумме 2 есть набор значений
mv...,ms
mh ..., ms, для которого выполняются соотношения
fhi... т. = q, ajrii +... + asms 33 0 (mod p),
1
то в ней есть слагаемое, равное —, и, следовательно,
2'
8Р С6!! + • • • + «Vя.)
77Т1,... ,Wlg=—
С другой стороны, из определения C80) видно, что q <
^ р. Таким образом, параметр оптимальных параллеле-
пипедальных сеток не более чем на некоторую степень
логарифма отличается от предельно большого значения.
В связи с нуждами вычислительной практики возни-
возникает вопрос об экономных алгоритмах для вычисления
оптимальных коэффициентов. При s = 2 этот вопрос лег-
легко решается с помощью свойств конечных цепных дро-
дробей. Пусть 1 < а< р, (а, р) = 1 и неполные частные раз-
а -
ложения числа — в цепную дробь ограничены некото-
некоторой константой М:
— = — 1 а <М (v = l 2 п)
C85)
Покажем, что тогда числа 1, а будут оптимальными коэф-
коэффициентами по модулю р.
Действительно, выберем в сумме C77) s = 2, ui = 1
и а,2 = а. Замечая, что слагаемые с тг = 0 или т2 = 0
обращаются в нуль, и пользуясь при т^ФО равенством
mv— \mw\, получим
р* ... р, р, _ .
2'
т. ,т.,=-
C86)
§ 24. КВАДРАТУРНЫЕ И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 227
Так как l^l^^^ — p, то для величин ти т2, при ко-
которых слагаемые суммы C86) отличны от нуля, выпол-
выполняются соотношения
ат2 ss —
Р II II Р II' Р
Но тогда из C86) следует, что
2,
2
т1т2
р
ат„
Отсюда, пользуясь леммой 3, получим
2
У
4- am.
и согласно определению C77) целые 1, а будут опти-
оптимальными коэффициентами по модулю р.
В частности, при И = 1 все неполные частные дроби.
C85) равны 1, а числители и знаменатели ее подходя-
подходящих дробей будут соседними числами последовательно-
последовательности Фибоначчи
1, 1, 2,3, 5, 8, ...,<?„,...,
Таким образом, при любом и>2 числа 1, (?n_i будут оп-
оптимальными коэффициентами по модулю Qn. Можно пока-
показать, что при « = <?„_,, p = Qn и Р = р для функций, при-
принадлежащих классу ¦?" (О, погрешность квадратурной
формулы
о о
4-
15*

228 ГЛ. Ш. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
оценивается особенно точно:
Из C79) следует, что порядок этой оценки нельзя улуч-
улучшить ни при каком выборе сеток.
Если кратность интеграла s > 2, то алгоритмы для
вычисления оптимальных коэффициентов сложнее. Не
останавливаясь на этом подробнее, приведем некоторые
из них.
Пусть р — простое, большее s, и (z, р)—1. Определим
функции T(z) и H(z) равенствами:
р-1
т (*)=у 2 (* -ln 4 sin2 п {f
-ln 4 sin2 я
Если при г = я достигается минимум T'(z) или /7(z) для
целых z из интервала 1 ^ z<р, то наименьшие положи-
положительные вычеты чисел 1, а, ..., а8 будут оптимальными
коэффициентами по модулю р.
При доказательстве этого утверждения используется
теорема о числе решений полиномиальных сравнений по
простому модулю и вид коэффициентов в рядах Фурье
функций 1 — In4 sin2nx и 3A — 2{х}J:
1 — In 4 sin2 nx = 1 +
\m\
\ 3/ — "• 2 ^^
Число элементарных арифметических операций при
минимизации функций Т(z) и H(z) имеет порядок О(р2)
и требует большого объема вычислений. Тем не менее с
помощью незначительной модификации этих алгоритмов
были получены таблицы оптимальных коэффициентов для
вычисления интегралов, кратность которых не превос-
превосходит десяти. В настоящее время найдены более эконом-
экономные алгоритмы, в которых число операций снижено до
§ 24. КВАДРАТУРНЫЕ И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 229
О(р), что существенно сокращает объем предварительных
вычислений и расширяет возможности приближенного
вычисления интегралов методом оптимальных коэффи-
коэффициентов.
Теоретико-числовые квадратурные формулы могут
быть использованы в ряде задач анализа и математиче-
математической физики. Мы ограничимся здесь лишь одним при-
примером, иллюстрирующим подход к построению интерпо-
интерполяционных формул для функций многих переменных.
Ради удобства записи при s > 1 будем пользоваться
обозначением
7 (*!
Лемма 33. Пусть а>2
принадлежит классу Ef (С).
ство
и функция f(xt, ..., х,)
Тогда справедливо равен-
равен2
xv...,rs=oo
x П tav - *v} - хГ dyi ¦ ¦ ¦dy*
V=l
Доказательство. Заметим прежде всего, что при
сс>2 из принадлежности функции f(xu ..., ж,) классу
Е"(С) следует существование и непрерывность прои
изводных
A '/« -г \ (С\ <-^ -г <-^ 1 л> 4 9 <Л
Пусть s = 1, а > 2 и / (ж) е Я™ (С). Проводя интегри-
интегрирование по частям и пользуясь периодичностью интегри-
интегрируемых функций, получим
1
о
1 i
1
= f(*)-$fWdyt
о о

230 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
п, следовательно,
т=о
Применяя это равенство последовательно по переменным
хи ..., х„ получаем утверждение леммы:
ti==0
I 1 Х
= 2 J ^ ^i' Ж2. • • •, **) (O/i — *i} — yj dyx= ...
t==0 о
•¦¦=, 2 J-.]/1 Х'(Уг..-.,У.)Х
xl<--->rs—0 0 0
X П [{Уч - Xv) - y
Замечание. Если г — натуральные, а > г +1 и
f^E%(C), то справедливо равенство, аналогичное ра-
равенству C87):
J..J/rtl "'(^•••.у.)
X П
где Br (x) — полиномы Бернулли:
dyx... dys,
±-,...
При г = 1 это утверждение совпадает с C87), а в об-
общем случае доказывается индукцией по г с использова-
использованием равенств
Теорема 39. Пусть г 3* 2 — натуральное, а > 2г и
аи ..., а, — оптимальные коэффициенты по модулю р.
§ 24. КВАДРАТУРНЫЕ И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 231
Если функция f(xit ..., xs) принадлежит классу Ef(C),
то справедливо равенство
г<9е константа f зависит только от г и s.
Доказательство. Пусть функции fi(xu ..., xa)
и /2(жь ..., жа) принадлежат соответственно классам
Ef (Ci) и Ef(C2)- Покажем, что произведение этих
функций
/з (Ж4, . . ., X.) = /j (#!, . . ., X,)f2(xl, . . ., Xs)
принадлежит классу Ef (Ся), где С3 зависит от d, Cz,
а и s.
Действительно, обозначим через Cj(mu ..., ms) (j =
= 1, 2, 3) коэффициенты Фурье функций /t, /2 и /,. Пере-
Перемножая ряды Фурье функций /4 и /2, получим
= 2
где
Следовательно,
ц ..., ns)C2(m1 —
''П1,...%=-ос К • • • ns К - ni) • • • К - res)]a
I C89)

232 ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
где через о(т) обозначена сумма
оо
1
о(т)=
^оо 1п (т — п)\
Оценим сумму а(т). Если т > 1, то
о{т)= ^ - — , + 2 1
<
<
Эта оценка, очевидно, выполняется и при m = i. Но тог-
тогда из C89) получим
\Ся(т1, ..., пгв)|<
ОС \ 5
и, следовательно,
= Ef(C3), где С3 = С\СхСг
( )
Согласно замечанию к лемме 33 при
гт, nr. -rr
= / (Vi, ...,У,) П
Br ({yv -
C90)
справедливо равенство
xi т«=
.,y,)dylt..dys.
C91)
Дифференцируя ряд Фурье
..., тш) в*«1(«Л+
§ 24. КВАДРАТУРНЫ^ И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ 233
получим
rx1,...,rxs
= C
C(mu ...,mt)e
где С = Bяг) ( х s;. Так как
i[ 1 ... ms SC (m,!, .. ., ms) \ ^
-
то функция
/Tl "
= /Tl "s (ft,
принад-
принадлежит классу E^Cj) с константой С1 = \С'\С.
Пусть с(т) — коэффициенты Фурье r-ro полинома
Бернулли Вг({'у}). Так как с(т)— 0A/тг), для коэф-
»
фициентов Фурье функции /2(ft> • • • i^J—II^r ({г/v —
V=l
получим оценку С2 (mx, ..., ms) = О —= _ ч-г ], и,
\ v 1 ¦ ¦ ¦
следовательно, функция ^(ft, . •., Уз) принадлежит клас-
классу Ers(C2). Но тогда и функция Р(у{, ..., ys), опреде-
определенная равенством C90), принадлежит некоторому клас-
классу Ers(C3) и для вычисления интегралов в равенстве
C91) можно воспользоваться квадратурной формулой,
полученной при Р — р в теореме 38:
I-'
о
где у зависит только от г и s. Отсюда согласно C90)
следует равенство
_J_v у р\Щ 1

234
ГЛ. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ
которое в силу определения функции F(yt, ..., у3) совпа-
совпадает с утверждением теоремы.
Интерполяционная формула C88) получена в пред-
предположении, что функция f(xu ..., ха) принадлежит клас-
классу Ef (С), где a>2r и г > 2. Тем же путем, несколько
усложняя доказательство, можно убедиться, что она спра-
справедлива и при г = 1. Так, если f(xlt ..., xs) e E] (С)
и аи ..., as — оптимальные коэффициенты по модулю р,
то при Р = р выполняется равенство
L/' ЧЭД №)
X
где y зависит только от s. В отличие от формулы C88),
которая не является неулучшаемой, порядок убывания
погрешности в интерполяционной формуле C92) нельзя
улучшить ни при каком выборе сеток.
Квадратурные и интерполяционные формулы с парал-
лелешшедальными сетками, установленные в этом па-
параграфе, были получены в предположении, что выполня-
выполняется равенство Р = р, где Р — число узлов сетки яр —
модуль оптимальных коэффициентов. Если величины
аи ..., as выбрать так, чтобы числа 1, аи ..., as были
s + 1-мерными оптимальными коэффициентами по моду-
модулю р, то эти формулы будут справедливы и при Р < р.
Однако тогда их точность снизится. Так, например, в фор-
формулах C69) и C88) порядок убывания погрешности бу-
дет уже не О \—рг\ и °[~рТ~)> а лшш> °[~p~j-
Первые результаты по применению теоретико-число-
теоретико-числовых сеток к приближенному вычислению интегралов про-
произвольной кратности были получены в работах [16], [22].
В дальнейшем существенный вклад в теоретико-число-
теоретико-числовые методы приближенного интегрирования был внесен
в работах [3], [43], [41], [35], [12], [4]. В настоящее время
теоретико-числовым методам в приближенном анализе
посвящена обширная журнальная литература и ряд мо-
монографий [23], [42], [44], [46].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
10.
11.
12.
13
14.
15.
16.
17.
Архипов Г. И. Оценки двойных тригонометрических сумм
Г. Вейля / Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР.—
1976.—Т. 142.—С. 46—66.
Бабенко К. И. Основы численного анализа.— М.: Наука,
1986.
Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных ин-
интегралов / Вестн. МГУ. Сер. 1, Математика, механика.—
1959.— № 4.- С. 3-18.
.Быковский В. А. О правильном порядке погрешности оп-
оптимальных кубатурных формул в пространствах с доминирую-
доминирующей производной и квадратичных отклонениях . сеток.—Пре-
сеток.—Препринт/ВЦ ДВНЦ АН СССР.— Владивосток, 1985.—TV» 23.— 31 с.
.Виноградов И. М. Избранные труды.— М.: Изд-во АН
СССР, 1952.
Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в тео-
теории чисел.—М.: Наука, 1980.
Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометри-
тригонометрических сумм.— М.: Наука, 1976.
Виноградов И. М. Основы теории чисел.—М.: Наука,
1972. •
Виноградов И. М. Новая оценка функции ?A + it) // Изв.
АН СССР. Сер. мат.—1958.—Т. 22, № 2.—С. 161—164.
Вон Р. Метод Харди —Литтлвуда.—М.: Мир, 1985.
Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей.— М.: Физ-
матгиз, 1959.
Добровольский Н. М. Оценки отклонений обобщенных
параллелепипедальных сеток/Тульский пед. ин-т.— Тула,
1984.—00 с—Деп. в ВИНИТИ 17.01.85, № 6089.
.Коробов Н. М. О некоторых вопросах равномерного рас-
распределения / Изв. АН СССР. Сер. мат., 1950.— Т. 14.— С. 215—
238.
Коробов Н. М. Распределение невычетов и первообразных
корней в рекуррентных рядах / ДАН СССР.— 1953.— Т. 88.—
С. 603—606.
Коробов Н. М. О вполне равномерном распределении и сов-
место нормальных числах // Изв. АН СССР. Сер. мат.—
1956.— Т. 20.— С. 649—660.
Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных ин-
интегралов с помощью методов теории чисел / ДАН СССР.—
1957.- Т. 115.- С. 1062-1065.
Коробов Н. М. Об оценке рациональных тригонометриче-
тригонометрических сумм / ДАН СССР.—1958.—Т. 118.—С. 231—232.

236
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
*»* v лгл-
18. Коробов Н. М. О нулях функции ?(s) / ДАН СССР.—
1958.—Т. 118.—С. 431—432.
19. Коробов Н. М. О границе нулей функции Римана ?(«) //
УМН.— 1958.— Т. 13, вып. 2.— С. 243—245.
20. К о р о б о в Н. М. Оценки тригонометрических сумм и их при-
приложения / УМН.— 1958.— Т. 13, вып. 4.— С. 185—192.
ТА. Коробов Н. М. Оценки сумм Вейля и распределение про-
простых чисел / ДАН СССР.— 1958.— Т. 123.— С. 28—31.
22. Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных ин-
интегралов / ДАН СССР.— 1959.— Т. 124.— С. 1207—1210.
23. К о р о б о в Н. М. Теоретико-числовые методы в приближен-
приближенном анализе.— М.: Физматгиз, 1963.
24. К о р о б о в Н. М. Оценки суммы символов Лежандра / ДАН
СССР.- 1971— Т. 196.—С. 764-767.
25. К о р о б о в Н. М. О распределении знаков в периодических
дробях / Мат. сб.—1972.-Т. 89A31).-С. 654-670.
26. Книжнерман Л. А., Соколинский В. 3. О неулучша-
неулучшаемости оценок А. Вейля для рациональных тригонометриче-
тригонометрических сумм и сумм символов Лежандра/МГПИ им. В. И. Лени-
Ленина.-М., 1979.-15 с.-Деп. в ВИНИТИ 13.06.79. № 2152.
27. Кострикин А. И. Введение в алгебру.— М.: Наука, 1977.
28. Л и нни к Ю. В. О суммах Вейля / ДАН СССР.—1942.—
Т. 34— С. 201-203.
29. М а н и н Ю. И. О сравнениях третьей степени по простому
модулю / Изв. АН СССР. Сер. мат.—1956.—Т. 20.—С. 673—
678.
30. Н е с т е р е н к о Ю. В. К теореме о среднем И. М. Виноградо-
Виноградова / Тр. Моск. мат. общ-ва.— 1985.— Т. 48.— С. 97—105.
31. Постников А. Г. Арифметическое моделирование случай-
случайных процессов / Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР.—
I960.- Т. 57.— С. 3-84.
32. Прах ар К. Распределение простых чисел.— М.: Мир, 1967.
33. Роговская Н. Н., Соколинский В. 3. К оценке крат-
кратных тригонометрических сумм / УМН.— 1985.— Т. 40.— С 261—
262.
34. Степанов С. А. О числе точек гиперэллиптической кривой
над простым конечным полем / Изв. АН СССР. Сер. мат.—
1969.-Т. 33.—С. 1171-1181.
35. Ф р о л о в К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных
формул на классах функций / ДАН СССР.— 1976.— Т. 231.—
С. 818—821.
36. X у а Л о - г е н. Аддитивная теория простых чисел / Тр. Мат.
ян-та им. В. А. Стеклова АН СССР.—1947.— Т. 22.— С. 3—
-179.
37. X у а Л о - г е н. Метод тригонометрических сумм и его приме-
применения в теории чисел.— М.: Мир, 1964.
38. Чандрасекхаран К Арифме
д ригонометрических сумм и
нения в теории чисел.— М.: Мир, 1964.
38. Чандрасекхаран К. Арифметические функции.— М.: На
ука, 1975.
39. В u r g e s s D. The distribution of quadratic residues and non-
residues / Mathematika (London).—1957.—V. 4.—P. 106—112.
40. H a s s e H. Abstrakte Begriindung der komplexen Multiplikation
und Riemannsche Vermutung in Funktienkorpern / Abh. Math.
Sem.— Hamburg.— 1934.— B. 10.— S. 325—34&
41. H1 a w k a E. Zur angenaherten Berechnung mehrfacher Inte-
grale / Monatsh. Math.— 1962.— B. 66.— S. 140—151.
СЛИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 237
42. Hlawka E., Firneis F., Zinterhof P. Zahlentheoretische
Methoden in der numerischen Mathematik.— Wien; Munchen; 01-
denbourg; 1981.
43. H a 11 о n J. On the efficiency of certain quasirandom sequences
of points in evaluating multidimensional integrals / Number
Math.— I960.— V. 27, N 2.— P. 84—90.
44. Hua Loo Keng, Wang Yuan. Applications of Number
Theory to Numerical Analysis.— Berlin; Heidelberg: New York:
Springer Verlag, 1981.
45. Mordell L. On>a sum analogous to a Gauss's sum / Quart.
J. Math.— 1932.— V. 3.— P. 161—167.
46. Niederreiter H. Quasi Monte-Carlo methods and pseudoran-
doms numbers / Amer. Math. Soc.— 1978,— V. 84, N 6.— P. 957—
1041.
47. W a 1 f i s z A. Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zah-
lentheorie.— Berlin: Velrag der Wissenschaften, 1963.
48. W e i 1 A. On some exponentional sums / Proc. Nat. Acad. Sci.
USA.- 1948.— V. 34, N 5 — P. 204-207.
49. W e у 1 H. Ober die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins.
Math. Ann.— 1916.— V. 77.— P. 313—352.
50. Estermann. On the Sign of the Gaussian Sums / J. London
Math. Soc— 1945,— V. 20.— P. 66—67.
51. Van der Corput J. Diophantische Ungleichungen / Act»
Math.- 1931 — V. 56.- P. 373—456.
/V

Научное издание
НОРОВОВ Николай Михайлович
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
-Заведующий редакцией А. П. Баева
Редактор Я. Е. Морозова
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор Я. Ш. Апсельрод
Корректоры Н. Д. Храпко, Н. Б. Румянцева
ИБ N5 32524
¦Сдано в набор 29.02.88. Подписано к печати
30.08.88. Формат 84Х108'/з2. Бумага тип. № 1.
Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Усл.
леч. л. 12,6. Усл. кр.-отт. 12.6. Уч.-изд. л. 12,57.
Тираж 3400 экз. Заказ Яг 77. Цена 2 р. 50 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077 г. Новосибирск-77, Станиславского, 25
N. М. KOROBOV
TRIGONOMETRIC SUMS
AND THEIR APPLICATIONS
This hook contains a detailed exposition of the trigonometric
sums method and its applications in the number theory and nu-
numerical analysis.
CONTENTS
Preface
Introduction
CHAPTER I
COMPLETE TRIGONOMETRIC SUMS
§ 1. Sums of the first degree
§ 2. General properties of complete sums
§ 3. Gaussian sums
§ 4. Simplest complete sums
§ 5. Mordell's method
§ 6. Systems of congruences
§ 7. Trigonometric sums with exponential function
§ 8. Distribution of digits in complete period of periodic
fractions
§ 9. Trigonometric sums with recurrent functions
§ 10. Sums of Legendre's symbols
CHAPTER II
WEYL'S SUMS
§ 11. Weyl's method
§ 12. Systems of equations
§ 13. Vmogradov's mean-value theorem
§ 14. Estimate of Weyl's sums
§ 15. Repeated application mean-value theorem
§ 16. Sums, arising in Zeta-function theory
§ 17. Non-complete rational sums
§ 18. Double trigonometric sums
5
7
12
12
19
2&
34
43
48
56
61
70
78-
86
97
106
118
132
141
149
157

CHAPTER Ш
DISTRIBUTION OP FRACTIONAL PARTS, NORMAL NUMBERS
AND QUADRATURE FORMULAS 163
§ 19. Uniform distribution of fractional parts 163
§ 20. Uniform distribution of functions systems and
completely uniform distribution 174 '¦
§ 21. Normal and jointly normal numbers 184 »!
§ 22. Distribution of digits in period part of periodical ',
fractions 192 A
§ 23. Connection between trigonometric sums, quadrature J
formulas and fractional parts distribution 204 |
§ 24. Quadrature and interpolation formulas with num- j
ber-theoretical nets 217 jj
Literature 235