/
Author: Шеваль В.В. Огольнов И.И. Терсков В.Г..
Tags: техника средств транспорта технология металлов машиностроение приборостроение автоматизация летательные аппараты авиатехника
ISBN: 978-5-9909916-4-4
Year: 2017
Similar
Text
В.В.
аваль, И.И. Огольцов, В.Г. Тороков
АНАЛИЗ ДИНАМИКИ
ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО
СОПРОВОЖДЕНИЯ
АВИАЦИОННОГО БАЗИРОВАНИЯ
В.В. ШЕВАЛЬ, И.И. ОГОЛЬЦОВ, В.Г. ТЕРСКОВ
ДИНАМИКА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО
СОПРОВОЖДЕНИЯ
АВИАЦИОННОГО БАЗИРОВАНИЯ
Учебное пособие
Допущено
федеральным учебно-методическим объединением в системе
высшего образования по укрупненной группе специальностей и
направлений подготовки 24.00.00 «Авиационная и ракетно-
космическая техника» в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по основным образовательным программам
высшего образования по специальности 24.05.05
«Интегрированные системы летательных аппаратов»,
специализации «Системы приводов летательных аппаратов».
Москва
2017
УДК 629 7.05*4
ЬЬК М.9
Д46
Д46 Динамика пространственной системы автоматически! о сопроип* ieHH4
авиационною базирования : Учебное пособие ВН Шевать. ИИ Ofoimior
В Г. Терехов. М.: БИБЛИО-ГЛОБУС, 2017. 200 с.
ISBN 978-5-9909916-4-4
Излагаются методы аналитического описания динамики подвижных масс
трехосевого опорно-поворотного устройства, установленного на подвижном объекте, г :я
общего случая несферических эллипсоидов инерции кардановых колец с произвольным
расположением главных осей инерции относительно осей вращения. Разработана
физическая модель для механической системы с гремя степенями свободы, учи гынлюпмя
специфику конкретной конструкции и особенности функционирования оптических
элементов - полезной нагрузки карданова подвеса. Получены векторно-матричные и
скалярные структурные схемы, позволяющие строить имитационные модели для анали за
динамики систем автоматического сопровождения авиационного базирования.
Для студентов старших курсов, обучающихся по специальноети «Ингегрированные
системы летательных аппаратов», и специалистов в области авиационной и ракетно-
космической техники.
г Шеваль В.В., Огольцов И И ,
Терехов В.Г., 2017
V 000 Издательский дом
«БИБЛИО-ГЛОБУС», 2017
Оглавление
Список используемых сокращений..................................5
Введение........................................................7
Глава 1. Авиационный комплекс с бортовым оптическим прибором
для сопровождения подвижного объекта...........................18
1.1. Понятие «сложная техническая система»..................18
1.2. Дерево функций АК БОП..................................20
1.3. Обобщенная функциональная схема АК БОП.................25
1.4. Иерархическая структура конструктивных устройств
и систем АК БОП в режиме автосопровождения..................26
1.5. Структурные схемы АК БОП в режиме автосопровождения ...29
1.5.1. Контур управления оптико-механической системы слежения .. 29
1.5.2. Контур управления полетом и ориентацией КК........30
Глава 2. Особенности обеспечения угловых поворотов
оптического прибора, расположенного на подвижном основании.....35
2.1. Трехстепенное опорно-поворотное устройство АК БОП......35
2.1.1. Принципы построения ОПУ............................35
2.1.2. Последовательность поворотов вокруг осей ОПУ САС...41
2.2. Параметры поворотов вокруг осей ОПУ САС................45
2.2.1. Сравнительный анализ бортовых ИНС и САС...........45
2.2.2. Особенности компоновки трехстепенного ОПУ САС.....48
2.2.3. Анализ влияния несовпадения точек пересечения
осей трехстепенного ОПУ САС..............................59
Глава 3. Уравнения движения инерционных масс ОПУ САС...........66
3.1. Векторно-матричные методы преобразования СК............66
3.2. Момент количества движения.............................68
3.3. Динамические уравнения Эйлера..........................71
3.3.1. Вывод динамического уравнения Эйлера..............71
3.3.2. Вращательное и поступательное движения
механической системы.....................................75
Глава 4. Движущие моменты и угловые скорости тел
механической системы ОПУ САС...................................81
4.1. Обобщенные векторные координаты
механической системы ОПУ САС.................................81
4.2. Приведение движущих моментов к осям
выходной платформы ОПУ САС ..................................83
4.3. Влияние возмущающих моментов на динамику ОПУ САС.......92
4.3.1. Возмущающий гироскопический момент.................92
4.3.2. Возмущающий момент со стороны КК..................95
4.4. Уравнения связи угловых скоростей платформ ОПУ САС....100
Глава 5. Уравнения динамики вращения платформ ОПУ САС.........106
5.1. Общий алгоритм проведения исследования динамики ОПУ САС... 106
3
5.2. Уравнения Эйлера, описывающие динамику платформ ОПУ САС .. 108
5.2.1. Уравнение динамики платформы 4...................108
5.2.2. Уравнение динамики платформы 3...................115
5.2.3. Уравнение динамики платформы 2...................125
Глава 6. Уравнения моментов движения инерционных масс ОПУ САС.. 130
6.1. Постановка задачи...................................130
6.2. Уравнения моментов по осям вращения ОПУ САС.........131
6.2.1. Уравнения моментов по оси вращения Oz4.........131
6.2.2. Уравнения моментов по оси вращения Оу3.........131
6.2.3. Уравнения моментов по оси вращения Ох2.........132
6.3. Уравнение динамики движения платформ ОПУ САС
в матричной форме.........................................136
Глава 7. Уравнения динамики полезной нагрузки ОПУ САС ......142
7.1. Постановка задачи...................................142
7.2. Уравнения связи угловых скоростей платформ ОПУ САС..143
7.3. Уравнения связи моментов, приложенных к платформе 4,
с угловыми скоростями её вращения.........................146
7.4. Уравнения связи моментов, приложенных к платформе 3,
с угловыми скоростями вращения платформы 4................148
7.5. Уравнения связи моментов, приложенных к платформе 2,
с угловыми скоростями вращения платформы 4................150
7.6. Система уравнений динамики по осям вращения ОПУ САС..153
7.6.1. Уравнения динамики по оси вращения Oz4..........153
7.6.2. Уравнения динамики по оси вращения Оу3..........153
7.6.3. Уравнения динамики по ос вращения Ох2..........153
7.7. Уравнение динамики вращения полезной нагрузки
ОПУ САС в матричной форме.................................154
Глава 8. Векторно-матричные и скалярные структурные схемы САС ... 158
8.1. Векторно-матричная структурная схема САС.............158
8.2. Динамика САС при сферических эллипсоидах инерции
трех платформ ОПУ..........................................163
8.3. Динамика ОПУ САС при сферических эллипсоидах инерции
платформ 2 и 3 в случае выполнения платформы 4 в виде
наклонного зеркала оптического тракта пеленгатора.........178
Глава 9. Преобразование векторно-матричной структурной схемы САС.. 185
9.1. Передаточная матрица звена связи движения ОПУ САС
с движением корпуса КК....................................185
9.2. Передаточная матрица звена связи с движением корпуса КК
при сферических эллипсоидах инерции всех трех платформ
ОПУ САС...................................................191
9.3. Передаточная матрица звена связи движением корпуса КК
при несферических эллипсоидах инерции платформ и отсутствии
«перекосов» эллипсоидов инерции...........................193
Библиографический список....................................198
4
Список используемых сокращений
АК
БОН
БЛА -
ВО -
ДВ
ДиК
дпт
ИНС -
ИС -
ИО -
КК -
КСУ -
ЛА -
ЛВ -
ММ -
00 -
ОПУ -
осп -
ОУ -
ПС -
ПУ -
ПФ -
PH -
САС -
СК -
СН -
СП -
СТС -
СУ -
СУП -
ЦБ
ЦВ
ЦМ -
авиационный комплекс с бортовым оптиче-
ским прибором;
беспилотный летательный аппарат;
визирная ось;
исполнительный двигатель;
динамика и кинематика;
двигатель постоянного тока;
инерциальная навигационная система;
измерительная система;
исполнительный орган;
квадрокоптер;
комплексная система управления;
летательный аппарат;
линия визирования;
математическая модель;
оптическая ось;
опорно-поворотное устройство;
объединение следящих приводов;
объект управления;
подсистема;
пеленгационное устройство;
передаточная функция;
регулятор наведения;
система автоматического сопровождения;
система координат;
система наведения;
следящий привод;
сложная техническая система;
система управления;
система управления полетом;
центральный блок;
центр вращения
центр масс.
5
Предисловие
Так сложилось, что в память о совместной работе с профессо-
ром Валентином Георгиевичем Терсковым (1929-2001 гг.) его уче-
никами (В.В. Шеваль и И.И. Огольцов) было задумано написание
двух научно-технических работ, в основу которых были положены
как оригинальные прижизненные труды самого ВТ. Терскова, так
и материалы дальнейшего развития его идей, связанных с метода-
ми системного проектирования сложных технических систем.
Чтобы наглядно продемонстрировать специфику системного
проектирования сложных технических систем авиационного бази-
рования, формулируемых как «объединения следящих приводов»,
было решено в этих работах показать особенности комплексирова-
ния на двух иерархических уровнях итерационного процесса со-
здания таких систем, а именно, при решении задачи обеспечения
заданного углового движения приводов в условной плоскости со-
провождения динамического объекта, а также при решении про-
странственной задачи сопровождения.
В рамках решения первой задачи было опубликовано учебное
пособие «Методы комплексирования объединений следящих при-
водов бортовых авиационных комплексов» (издательство БИБ-
ЛИО-ГЛОБУС, 2016. -319 с.: ил.).
Аналогичным образом параллельно велась работа над учебным
пособием «Динамика пространственной системы автоматического
сопровождения авиационного базирования», которое и представле-
но в настоящем издании.
По безжалостному стечению обстоятельств на заключительном
этапе создания второй из задуманных книг после тяжелой болезни
ушел из жизни Игорь Иванович Огольцов (1958-2016 гг.). И дове-
дение данной работы до издания в виде учебного пособия стало
моей важнейшей жизненной задачей в настоящее время.
И пусть эта книга станет одним из штрихов в нашей общей па-
мяти о замечательных людях - В.Г. Терскове и И.И. Огольцове.
В.В. Шеваль
6
Введение
Процесс создания комплексов авиационного базирования, ис-
пользующих управляемое перемещение бортовых инерционных
нагрузок при постоянной оценке качества выполнения главной
функциональной задачи комплекса с помощью оптико-
электронных и электромеханических приборов, в настоящее время
не осуществим без привлечения методов системного проектирова-
ния.
Как показано в работе [1], проектировщик сложных технических
систем (СТС) сталкивается с необходимостью рассмотрения созда-
ваемого комплекса на различных уровнях системной иерархии:
эшелоны, страты и слои, что предопределяет рассмотрение проек-
тируемого объекта (комплекса) в различных аспектах абстрагиро-
вания при его описании. Т.е. одна и та же система исследуется как
набор систем с различными принципами организации структуры.
Среди них для рассматриваемой в работе информационной
управляемой системы авиационного базирования (в данном случае,
системы автоматического сопровождения) может быть выбран сле-
дующий набор представлений одной и той же системы:
- система механического перемещения твердых тел с не менее
чем тремя степенями свободы;
- оптоэлектронная система дискриминации (определения) про-
странственных координат объекта наблюдения;
- система измерения параметров состояния исследуемой систе-
мы авиационного базирования;
- система управления в режиме автоматического сопровожде-
ния объекта наблюдения;
- система преобразования энергетических потоков и т.д.
Также в работе [1] было отмечено, что системное проектирова-
ние не реализуется одноразовой процедурой, это многоцикловый
(итеративный) процесс сменяющих друг друга этапов анализа и
синтеза (для каждого из вышеперечисленных уровней иерархии), а
также процесс поиска решений для достижения определенной (за-
данной) цели. При этом все итерационные циклы в качестве фи-
нального этапа рассматривают задачу пространственного управля-
емого движения объекта наблюдения.
7
В настоящем пособии подробно исследую гея вопросы матема-
тического описания динамики механического объекта управления
(ОУ), обеспечивающего пространственное угловое перемещение
функционального параметра оптического устройства комплекса
авиационного базирования - визирной оси бортового оптического
прибора. Процесс такого управления составляет суть функциони-
рования широкого класса систем управления, а именно, систем ав-
томатического сопровождения (САС) бортового базирования.
Сложность такого описания объясняется тем, что вращения
твердого тела относительно трех осей оказываются независимыми
лишь в частном случае, когда его эллипсоид инерции является сфе-
рическим, а оси вращения - строго ортогональными, что практиче-
ски не обеспечивается на практике для систем с высокой динами-
кой. При неортогональности осей вращения, а также при несфери-
ческом эллипсоиде инерции твердого тела (и особенно, когда его
главные оси инерции не совпадают с осями вращения), движения
вокруг каждой из осей оказываются связанными между собой. Си-
туация ещё более усложняется, когда появляется необходимость
учета инерционных масс подвижных частей конструкции, обеспе-
чивающей вращение твердых тел вокруг различных осей (напри-
мер, инерционных масс рам карданова подвеса). Т.е. в управляемом
движении участвует не одно, а несколько твердых тел, взаимодей-
ствующих друг с другом. При произвольном расположении эллип-
соидов инерции рам конструкции подвеса относительно их осей
вращения, движение одного из приводов, обеспечивающего враще-
ние вокруг собственной локальной оси, может приводить к нежела-
тельным движениям вокруг других осей за счет наличия естествен-
ных, обусловленных конкретной конструкцией, связей между ося-
ми вращения, вызванных взаимодействием подвижных масс.
Вопросы о том, что собой представляют естественные взаимные
связи, какими физическими явлениями они вызываются, какова
степень их влияния на динамику системы и каковы нуги ослабле-
ния их влияния, могут быть разрешены лишь путем исследований
уравнений динамики пространственного движения инерционных
масс нагрузок приводов САС. При гаком абстрагировании описа-
ния конкретной САС её ОУ рассматривается как система механи-
ческого перемещения твердых тел, входными воздействиями для
8
которого являются движущие моменты, развиваемые приводами
относительно осей вращения, в том числе и полезной нагрузки
(инерционный оптический элемент БОН). Такая механическая си-
стема представляет собой конструкцию, как правило, реализую-
щую принцип карданова подвеса, она материализует необходимые
оси вращения, и носит название опорно-поворотное устройство
(ОПУ). Таким образом, указанные выше движущие моменты при-
водов (их число зависит от количества степеней свободы угловых
перемещений полезной нагрузки) приложены непосредственно к
рамам (платформам) ОПУ САС
Основной задачей при проектировании САС как системы управ-
ления в части системы механического перемещения полезной оп-
тической нагрузки является исследование динамики движения
платформ ОПУ с учетом действия управляющих и возмущающих
моментов и собственных движений основания (качка авиационного
борта, на которОхМ расположен оптический прибор).
Такие исследования позволяет решить ряд вопросов, связанных
с выбором компоновки и конструкции (или формулированием тре-
бований к ним) ещё на начальных этапах проектирования (разра-
ботки), когда какие-либо подробности об исполнительных приво-
дах ещё неизвестны. Главная цель исследования динамики по-
движных масс пространственной САС - выявить и изучить есте-
ственные взаимные связи между приводами различных осей вра-
щения, между системами различных плоскостей сопровождения,
оценить степень их влияния, отбрасыванием связей второго поряд-
ка малости влияния упростить математическую модель силового
взаимодействия приводов, разработать, если необходимо, специ-
альные меры, направленные на подавление нежелательных с точки
зрения обеспечения заданной динамики САС влияний.
Исследование динамики механической системы бортовой САС в
общем виде можно осуществлять с помощью уравнения Лагранжа
второго рода, когда процедура его применения одинакова для всех
задач и не требуется дополнительных рассуждений для учета спе-
цифики конкретной механической системы. В этом случае задача
исследования формулируется для рассматриваемого случая про-
странственного вращения четырех тел (три управляемых вращения
9
- оси платформ ОПУ, одно неуправляемое вращение - качка авиа-
ционного борта) следующим образом.
Материальное тело 1 соответствует подвижному основанию
(авиационному борту), на котором размещен БОН; тела 2, 3 и 4 со-
ответствуют конструкциям (твердым телам), реализующим одну из
степеней свободы углового движения полезной нагрузки. Такая
ситуация показана на рис. В.1, на котором приняты следующие
обозначения:
ДВ/ - исполнительные двигатели, создающие движущие момен-
ты для каждого из управляемых тел: i - 2, 3, 4;
ЦВ/ - центры вращения четырех тел и роторов двигателей;
ЦМ/ - центры масс четырех тел;
- радиус-векторы, определяющие взаимное положение ЦВ и
ЦМ участвующих во вращательном движении.
Сделаем близкое к реальности предположение, что роторы ис-
полнительных двигателей являются осесимметричными телами и
вращаются вокруг своих осей симметрии, а их ЦМ совпадают с со-
ответствующими ЦВ.
Вращательные движения тел данной механической системы
происходят под действием движущих моментов Mi, создаваемых,
в свою очередь, моментами двигателей Мдв. с преобразованием их
с помощью соответствующих механических передач.
Вращения тел и роторов исполнительных двигателей механиче-
ской системы в инерциальной системе координат OaXaYaZa будем
задавать с помощью векторов £2. (угловые скорости тел 1, 2 и 3) и
Qj (угловая скорость подвижного основания) мгновенных угловых
скоростей, а также векторами и t/cpj бесконечно малых абсо-
лютных углов поворота тех же тел.
Относительные вращения тел задаются векторами О(/Ч)/и
б/ф(. (), а относительных вращений роторов двигателей - векторами
И • В этом случае кинематические связи могут быть
записаны в виде Й(М), = и rf<p(W)/ = Qdip^, где Qt -
10
тензоры передач, характеризующих кинематику конструкции ме-
ханических передач.
Рис.В.1 Схема взаимного расположения тел механической системы
Для вывода уравнений движения рассматриваемой механиче-
ской системы используется уравнение Лагранжа второго рода в
векторной форме [2] относительно обобщенных координат:
d( dlA _ 3L
" бф. ’
11
где: L = T + U - функция Лагранжа; Г - кинетическая энергия
системы; U - силовая функция системы (зависит от обобщенных
координат б/ф.).
В рассматриваемом случае кинетическая энергия не зависит от
бесконечно малых поворотов, а силовая функция - от мгновенных
угловых скоростей её тел. Тогда формула (В.1) принимает вид:
(в.2)
Выражение (В.2) получено в [2] для систем с идеальными,
удерживающими и голономными связями.
Из практических соображений в настоящей работе в качестве
метода исследования динамики механической системы бортовой
САС выбрано описание динамики движения материальных тел с
помощью второго закона Ньютона в форме динамических уравне-
ний Эйлера. В этом случае необходимо вводить дополнительные
координаты и реакции связей по сравнению с более общим мето-
дом применения уравнений Лагранжа второго рода. Но такое
усложнение может дать существенное преимущество при исполь-
зовании причинно-следственного (структурного) подхода к проек-
тированию, учитывающего информацию о внутреннем содержа-
нии системы, о связях ее частей, т.е. об ее структуре.
При использовании динамических уравнений Эйлера исследо-
вание динамики механической системы будут проводиться при
конкретизации конструктивного вида размещения полезной
нагрузки в кардановом подвесе, как это показано на рис. В.2, где
кроме осей вращения учитываются также конструктивные опоры
вращения (Ош, / = 2,3,4) этих осей относительно платформ подве-
са. Материальное тело 1 является безопорным.
Материал пособия организован следующим образом.
В первой главе пособия приводится пример авиационного ком-
плекса с размещенным не его борту оптическим прибором, основ-
ной задачей которого является сопровождение своим полем зрения
объекта, произвольно перемещающегося относительно носителя
авиационного комплекса. Как и в работе [ 1 ], показаны различные
иерархические представления этого комплекса в режиме автосо-
провождения: конструктивное, энергетическое, а также информа-
12
ционно-управляющсс. В качестве основного уровня иерархии в
данной работе рассматривается управляющий страт, т.е. представ-
ление проектируемого технического объекта как системы автома-
тического управления. Анализ контуров управления САС (с учетом
кконтуров управления угловой ориентацией носителя авиационно-
го комплекса) позволяет выделить ОУ, динамическое поведение
которого во многом определяет вид структуры рассматриваемой
САС. Дальнейший материал пособия посвящен математическому и
конструктивному анализу динамики ОУ - механической системы,
обеспечивающей возможность угловых перемещений (по выбран-
ным степеням свободы) функционального параметра бортового
оптического прибора.
Во второй главе пособия проводится анализ особенностей кон-
структивного построения бортовой механической системы (ОПУ
на основе карданова подвеса). Появление дополнительных связей
при описании движения полезной нагрузки (оптического элемента)
с гремя степенями свободы увязывается с особенностями оптиче-
ской схемы БОП и конструктивного исполнения ОПУ. Рассматри-
ваются требования к конструкции ОПУ САС с оптическим элемен-
13
том, позволяющие упростить динамику пространственного враще-
ния этого элемента.
В третьей главе пособия на основе использования век горно-
матричного метода описания пространственного движения матери-
ального тела с помощью физических и математических векторов
показан упрощенный вывод динамических уравнений Эйлера для
вращательного движения и показаны уравнения для поступатель-
ного движения. Проводится анализ возникающих взаимных связей
между переносным поступательным и относительным враща-
тельным движениями тел механической системы.
В четвертой главе пособия вводятся в рассмотрение векторные
обобщенные координаты механической системы ОПУ САС, физи-
ческая модель которого содержит три подвижных тела (управляе-
мых по углам) и «основание», жестко связанное с авиационным
носителем. С каждым из этих тел связывается собственные систе-
мы координат (базисы тел), у которых в начальном положении
совпадают направления осей. Векторные обобщенные координаты
описываются с помощью математических векторов, которые не
соответствуют реальным физическим векторам, но включают в ка-
честве элементов входные воздействия на рассматриваемую меха-
ническую систему (моменты, создаваемые приводами), а также
включают в качестве элементов выходные угловые скорости плат-
форм карданова подвеса, обеспечивающего три угловые степени
свободы вращения полезной нагрузки. Вводится упрощающее до-
пущение, что реакции в опорах лежат в плоскостях, перпендику-
лярных осям вращения ОПУ САС, и за счет математического опи-
сания равновесия «средней» платформы (тело 3) выводятся урав-
нения, связывающие моменты, создаваемые приводами, с состав-
ляющими пространственного вектора движущею момента, прило-
женного к полезной нагрузке со стороны тела 3. Рассмотрены
условия формирования гироскопических воздействий, а также воз-
мущающих моментов со стороны подвижного основания. Анали-
тически определены связи абсолютных угловых скоростей (скоро-
стей в инерциальной системе координат) выходных валов приводов
с абсолютными угловыми скоростями полезной нагрузки и по-
движного основания (авиационного борта).
14
В пятой главе пособия выводятся уравнения, описывающие ди-
намику вращения каждого из трех тел рассматриваемой механиче-
ской системы, т.е. уравнения связывающие управляющие моменты,
прикладываемые к подвижным телам, с абсолютными угловыми
скоростями этих тел вокруг соответствующих трех осей вращения
(выходные угловые скорости платформ карданова подвеса). При
учете действующих на тела физических факторов исключен эффект
упругости опор вращения, что позволяет при описании динамики
вращения трех тел не учитывать внешних моментов, которые могут
вводиться как дополнительные составляющие моментов по осям
вращения (включаемые затем в полученные без их учета уравнения
динамики).
В шестой главе пособия выявляются взаимные связи между
приводами осей вращения, показываются физические причины,
приводящие к появлению взаимосвязей, изучаются сравнительные
оценки глубины влияния этих связей на динамику движения систе-
мы. Выводятся уравнения моментов, связывающие векторные
обобщенные координаты входных воздействий на механическую
систему (моменты, создаваемые приводами) с вектором абсолют-
ной угловой скорости полезной нагрузки и с абсолютной угловой
скоростью подвижного основания. Уравнения моментов по осям
вращения ОПУ САС представляются в матричной форме с выделе-
нием нелинейных каналов связи формирования центробежных и
гироскопических моментов.
В седьмой главе пособия для расширения возможностей анализа
динамического поведения рассматриваемой механической системы
выводятся уравнения, связывающие векторные обобщенные коор-
динаты входных воздействий на механическую систему с абсолют-
ными угловыми скоростями полезной нагрузки и подвижного ос-
нования. Алгоритм получения такого уравнения динамики движе-
ния полезной нагрузки (выходной платформы карданова подвеса),
обусловленного взаимодействием инерционных масс ОПУ САС,
подобен алгоритму, примененному в шестой главе настоящего по-
собия. Уравнения моментов также представляются в матричной
форме с выделением нелинейных каналов связи.
В восьмой главе пособия рассмотрены вопросы построения век-
торно-матричной структурной схемы САС. Для этого уравнения
15
динамики подвижных масс ОПУ САС представляются в векторной
форме. При этом в механической системе четырех подвижных
твердых тел (три тела, вращаемые с помощью приводов, и подвиж-
ное основание), со связанными через взаимодействие инерционных
масс осями вращения, выделяются инерционные слагаемые и сла-
гаемые гироскопического происхождения. С учетом вводимых в
рассмотрение нелинейных преобразований векторов угловых ско-
ростей в общем виде разработана векторно-матричная структурная
схема САС. Подробно изучается частный случай сферических эл-
липсоидов инерции трех платформ, анализируются возникающие
при этом упрощения уравнения моментов, представленного в мат-
ричной форме, и показывается соответствующая ему векторно-
матричная структурная схема САС. Также показан частный случай
сферических эллипсоидов инерции платформ 2 и 3 ОПУ в случае
выполнения платформы 4 (полезной нагрузки) в виде наклонного
зеркала (отклоняющий оптический элемент БОП), для этого случая
выводится уравнение динамики в матричной форме.
В девятой главе пособия рассмотрены преобразования вектор-
но-матричной структурной схемы САС в случае осуществления
линеаризации блоков исходной структурной схемы (исключения
нелинейных слагаемых уравнения динамики). Для частного случая
сферических эллипсоидов инерции трех платформ выводится вы-
ражение для передаточной матрицы блока связи с параметрами
вращения подвижного основания. При несферических эллипсоидах
инерции трех вращаемых платформ ОПУ и отсутствия «перекосов»
эллипсоидов инерции относительно собственных базисов опреде-
ляется уравнение динамики в матричной форме, а также выводится
выражение для передаточной матрицы блока связи с параметрами
вращения подвижного основания.
Предлагаемые методы анализа физических процессов, проходя-
щих в бортовой САС (в первую очередь в её механической систе-
ме), полученные соотношения и структуры позволяют провести
исследования нелинейных связей по выходным координатам ОПУ
САС, координатам качки подвижного основания и их произведени-
ям, выделить наиболее существенные из них, оценить степень их
влияния на динамическую точность и устойчивость САС. Помимо
этого в настоящем пособии показаны пути ослабления, подавления
16
или компенсации нежелательных линейных или нелинейных свя-
зей.
Настоящее учебное пособие будет способствовать внедрению
методов системного проектирования сложных перспективных
авиационных СН в рамках дисциплин «Методы комплексирования
приводных систем управляемых объектов», «Динамика следящих
приводов».
Пособие предназначено для студентов, проходящих подготовку
по специальности «Системы приводов летательных аппаратов».
Оно также будет полезно студентам других специальностей, обу-
чающихся в рамках направления «Интегрированные системы лета-
тельных аппаратов», а также аспирантам и специалистам, работа-
ющим в данном направлении.
17
Глава 1. АВИАЦИОННЫЙ КОМПЛЕКС
С БОРТОВЫМ ОПТИЧЕСКИМ ПРИБОРОМ
ДЛЯ СОПРОВОЖДЕНИЯ ПОДВИЖНОГО
ОБЪЕКТА
1.1. Понятие «сложная техническая система»
В работе [1], подробно анализировался смысл и особенности
понятия «сложная техническая система» (СТС).
Общее определение сложной системы через присущие ей осо-
бенности формулировалось, в том числе, следующим образом:
- многоэлементность иерархической структуры системы с нели-
нейными частично неизвестными характеристиками взаимосвязей;
- невозможность сведения свойств системы к простой суперпо-
зиции составляющих элементов (подсистем);
- наличие «памяти» и других свойств, приводящих к нечеткой
предсказуемости поведения;
— отсутствие необходимого объема информации для управления
системой с необходимой эффективностью.
Как и в работе [1], рассматривается класс комплексов и систем с
двумя взаимообусловленными процессами - измерение и управле-
ние (информационно-управляющие системы), для которых основ-
ная цель функционирования и их показатель эффективности непо-
средственно связан с динамической точностью системы в целом, в
данном случае, системы управления (СУ) параметрами различных
физических процессов.
Более конкретно, здесь изучаются динамические свойства
управляемых систем, в которых изменение контролируемых пара-
метров достигается за счет перемещений инерционных тел, т.е. при
использовании следящих приводов (СП), обладающих двумя кана-
лами распространения воздействий (сигналов):
- информационно-управляющий канал, по которому передаются
сигналы информации и управления;
- энергетический канал, по которому преобразуемая энергия
распространяется от источника энергии к исполнительному органу
системы, где она в соответствии с полученными в первом канале
18
сигналами управления изменяет физические координаты объекта
(изменяет состояние ОУ).
Особенностями данных СТС, представляющих собой объедине-
ние бортовых авиационных СП, являются либо факт возникнове-
ния новых контуров, не существовавших в отдельных подсистемах,
либо факт образования в результате какого-то общего (для различ-
ных подсистем) воздействия двух (или более) прямых путей к ре-
гулируемой координате системы в целом.
Наиболее компактное определение СТС - это объединение вза-
имодействующих подсистем (ПС), основанных на различных фи-
зических процессах, функционирующих как единое целое для до-
стижения общей цели.
В СТС всегда появляются незапланированные перекрёстные
связи между отдельными устройствами и системами (так называе-
мые связи взаимодействия). Такие связи определяются реальными
физическими процессами, происходящими на уровне материаль-
ных взаимодействий. В механической подсистеме, например,
вследствие специфики пространственного движения твердых тел,
упругости конструкций крепления и передачи силовых воздей-
ствий; в информационной подсистеме - из-за несовпадения осей
чувствительности и нулей отсчёта пеленгационных устройств и
прочих датчиков информации с осями вращения различных пово-
ротных устройств.
Материалы настоящего пособия иллюстрируются примерами
проведения операций системного проектирования авиацион-
ного комплекса с бортовым оптическим прибором (АК
БОП), реализующего автоматическое слежение за перемещени-
ем подвижных объектов (наземных и воздушных) с помощью
оптических приборов в активном и пассивном режимах, разме-
щенных на борту легких (с весом от 1 кг до 20 кг) беспилотных
летательных аппаратов (БЛА) вертолетного типа - мультико-
птеров.
Использование легких мультикоптеров объясняется часто
встречаемыми в практических приложениях требованиями
управлять пространственным положением осей чувствительно-
сти оптических приборов с высокими быстродействием и дина-
мической точностью для решения информационных и энергети-
19
ческих задач слежения за подвижными объектами при обеспече-
нии закрытости функционирования авиационного комплекса
(низкий уровень шума, малая заметность, незначительность соб-
ственных внешних излучений). Кроме того, с эксплуатационной
точки зрения АК БОН должен обеспечивать легкость и опера-
тивность перемещения в места применения без использования
специальных транспортных средств, простоту развертывания и
подготовки к работе, взлет и посадку АК БОН в условиях необо-
рудованных площадок и т.п.
1.2. Дерево функций АК БОП
В рамках настоящего пособия рассматривается один класс бес-
пилотных мультикоптеров - квадрокоптеры (КК) - дистанционно
или автоматически управляемые БЛА вертолётного типа с четырь-
мя электродвигателями, размещенными на концах крестообразно
расположенных конструктивных балок и снабженными гиговыми
воздушными винтами, с креплением через редуктор или напрямую,
например, имеющие конструктивную схему вида, показанного на
рис. 1.1.
Нис 1.1 Конструктивная схема КК
20
Основная функциональная часть КК центральный блок (ЦБ) слу-
жит для размещения оборудования, полезной нагрузки (целевого
оборудования в данном случае оптический прибор в кардановом
подвесе - БОН) и аккумуляторов. Радиально от ЦБ на несущих
балках Bj, расположенных попарно коаксиально ( В с В2 и В с
Вл) и ортогонально (В}, В: и Вх, В4), устанавливаются электро-
двигатели D , образуя тем самым симметричную крестообразную
компоновку всего КК. На роторах электродвигателей Dt напря-
мую или через повышающий редуктор крепятся воздушные винты
V., создающие тяговые усилия. При этом принято (/ = 7, 2, 3, 4).
КК компонуется таким образом, чтобы центр масс (ЦМ) всего
КК находился в пределах габаритов конструкции ЦБ, а в идеальном
случае - на пересечении продольных осей несущих балок, являю-
щихся осесимметричными телами (сбалансированный КК).
Для компенсации момента реакции, вызывающего неконтроли-
руемое вращение корпуса КК два электродвигателя, например и
D., вращаются в одну сторону, а два других, Д и D4 - в другую.
Следовательно, изначально формируется ограничивающее условие
для управляемых моментов (точнее для однозначно связанных с
ними моментов реакции), развиваемых электродвигателями:
(Мр1+Мр3) = (Мр2-Мр4),
где М - моменты реакции соответствующих тяговых элек-
тродвигателей Df (/ = 1, 2, 3, 4).
На рис. 1.2 показана примерная схема функционирования гипо-
тетического канала оптической связи с изменяемой конфигураци-
ей, снабженного АК БОП.
АК БОП в составе такого комплекса предназначены для реали-
зации слежения за подвижными объектами при оперативной смене
места функционирования самого комплекса и объектов слежения с
учётом изменения числа и взаимной конфигурации в пространстве
локальных АК БОП (их может быть более одного).
Основными конструктивными составными частями подобного
АК являются:
21
- легкий БЛА вертолетного типа (КК) с четырьмя тяговыми
электродвигателями;
- автопилот управления пространственными положением и ори-
ентацией КК;
- целевой БОП;
- механизм карданова типа (ОПУ) изменения пространственной
ориентации оси чувствительности БОП;
- многоконтурная СУ изменением пространственной ориента-
цией функционального параметра БОП.
Главной задачей АК БОП является обеспечение высокоточного
сопровождения подвижного объекта (или, даже, ограниченной об-
ласти на таком объекте), что и определяет набор необходимых
функций, реализуемых АК БОП. Термин «высокоточное сопро-
вождение» означает требования достижения ошибок сопровожде-
ния в районе единиц (или долей единиц) угловых секунд.
Для решения этой задачи АК БОП должен выполнять следую-
щие функции:
- автоматические старт и посадка в местах, где отсутствуют
специально оборудованные площадки;
- информационное и управляющее обеспечение навигации КК
при его полете в точку ожидания;
- обнаружение и распознавание подвижного объекта;
- пеленгация (измерение координат подвижного объекта относи-
тельно КК) и сопровождение этого объекта полем зрения БОП
(функции формирования поля зрения, измерения координат вектора
дальности, управления пространственной ориентацией поля зрения).
Материалы настоящего пособия посвящены рассмотрению осо-
бенностей обеспечения заданной динамики в режиме автоматиче-
ского сопровождения, который направлен на решение главной за-
дачи АК рассматриваемого класса.
Для решения сформулированной выше задачи автоматического
сопровождения должны быть реализованы следующие частные
функции:
- функция определения параметров состояния электромехани-
ческой подсистемы (исполнительного органа СУ БОП);
- функция определения относительных и абсолютных угловых
координат сопровождаемого подвижного объекта;
22
AKbOIH
Рис.1.2 Схема функционирования канала оптической связи с изменяемой конфигурацией
- функция определения дальности до подвижного объекта;
- функция определения навигационных параметров КК;
- функция определения параметров пространственной ориента-
ции КК;
- функция управления пространственной ориентацией поля зре-
ния или луча излучения БОП;
- функция управления пространственной ориентацией КК;
- функция управления пространственным положением КК.
Многоконтурная комн, /ексния
система уяраыемия
~ТКСУС4С) ' -
даты
леиня
С У ншетом КК
(Ж
Нелепая
фуНКПИН
Обеспечение высокоточном о сопровождения
«и раниченнон o&iaciH на подвижном
объекте наблюдения
Функция
управления
полетам
IKIlilX
i potгрансгвенн
положением К
( 5 объединеннем
следящих
Приводов
навит;
ЮН (ЫХ
napuftcWoB КК
вектора
пи до объекта
Функция
управления j v. tome.
имением
ких осей
опти
параметров пре
Рис. 1.3. Дерево функций, необходимых для решения задачи автоматического
сопровождения
Функция оярбдслё
парами
Функция Определении
абсолютных угловых
коорл/нат объект
Функция
относительных угловых
координатЧщхьоста
функцн»уп
f простране
г»«ен i aiMcii онт4чсекок рей
Функция ОП
состояния 1:кЛ^роме.хзш1ческо1|
иоде»
.Ч1Н0Н
Функция ynpaf/ення "'ч
ПрОсГрвНСТ
орйеита
нон )
Функция шрслелсння
Функция определения
нет ценной
гёцнн КК
На рис. 1.3 показаны основные функции из общего числа необ-
ходимых для решения задачи автоматического сопровождения, ко-
торые соответствуют так называемому «дереву функций» АК БОП,
где приняты следующие обозначения:
СУ объединением следящих приводов (СУ ОСП) - многокон-
турная функциональная система, обеспечивающая согласованное
управление объединения СП, управляющих поворотом осей ОПУ;
24
СУ полетом (СУП) - функциональная СУ линейным и враща-
тельным движениями КК.
Решение основной задачи осуществляется при согласованном
управлении ОСП и совокупностью из четырех тяговых электродви-
гателей, что обеспечивается СУ режима автосопровождения - СУ
верхнего уровня, т.е. СУ САС, представляющую собой многокон-
турную и многосвязную систему
1.3. Обобщенная функциональная схема АК БОП
На рис. 1.4 показана обобщенная функциональная схема АК
БОП с независимыми управлениями угловым положением оси чув-
ствительности БОП двумя управляемыми системами, предназна-
ченная для выполнения функций по рис. 1.3.
На рис. 1.4 приняты следующие обозначения:
1 - корпус КК;
2 - тяговые электродвигатели;
3 - датчики скорости вращения роторов тяговых электродвига-
телей;
4 - оборудование GPS/ГЛОНАСС;
5 - инерциальная навигационная система (ИНС);
6 - датчики аэродинамических параметров;
7 - пеленгационное устройство с жестким креплением к кор-
пусу КК;
8 - внешняя рама ОПУ;
9 - электродвигатель привода внешней рамы;
10 - датчик угла вращения внешней рамы;
11 - внутренняя рама ОПУ;
12 - электродвигатель привода внутренней рамы;
13 - датчик угла вращения внутренней рамы;
14 - целевое оборудование (полезная нагрузка ОПУ);
15 - лазерный дальномер;
16 - электродвигатель привода поворота полезной нагрузки;
17 - датчик угла вращения полезной нагрузки;
18 - приемник измерителя угловых пространственных коор-
динат объекта наблюдения;
25
19 - КСУ АК БОП, информационно-управляющие потоки в ко-
торой реализуются в распределенной вычислительной системе АК
БОП с контроллерами подсистем и соответствующим программ-
ным обеспечением.
1.4. Иерархическая структура конструктивных
устройств и систем АК БОП в режиме
автосопровождения
Для выполнения перечисленных выше функций АК БОП (в ре-
жиме автосопровождения) должен иметь конструктивный состав
устройств и их объединений в подсистемы, как показано на рис.
1.5, где приняты следующие обозначения:
эшелоны - уровни иерархии конструктивного построения
устройств и подсистем АК;
эшелон 1 - уровень иерархии сложных технических комплексов;
эшелон 2 - уровень иерархии СТС;
эшелон 3 - уровень иерархии функциональных систем;
эшелон 4 - уровень иерархии ПС СТС, рассматриваемых с по-
зиций автоматического управления;
эшелон 5 - уровень иерархии элементов и узлов СТС;
страты - уровни иерархии систем и ПС с точки зрения процес-
сов создания и управления энергетическими потоками (энергетиче-
ский страт), процессов преобразования информационных потоков
(страт обработки информации) и процессов формирования управ-
ляющих воздействий (страт управления);
। -------> - механические воздействия;
_ передача информации;
- воздействия физических полей.
С точки зрения рассмотрения САС как информационно-
управляющей системы, на рис. 1.5 штриховыми линиями выделены
СУ с единичными обратными связями: СУП КК и СУ ОСП, кото-
рые представляют собой два вида объединения СП:
26
Рис. 1.4 Обобщенная функциональная схема АК БОП
тглг
го
00
АК БОН в режиме сопровождения (САС) Комплексное С У
кислой I
•тортовой оптический прибор
СУ осп
Автопилот КК
Регулятор наведения
Эшелон 5
ОПУ
1
ТУ
М
Датчики параметров
состояния приводов
I
I
I
I
I
: Физика, оптика.: »
: механика ОЭС
Привода
ОПУ
Т яговые
ЭД
ГЛОНАСС
GPS
I
Компоновка
КК
| Страт |
| уприаленин |
I I
Стрит оорабатки информации
квадрокоптер
Эшелон 3
Элементы ЬОП
СУОК
Элементы КК
Электромеханика ОСП
Оптино-
электроника ОСП
Аэродинамика
механика КК
ИНС
Знсргет и чески и
страт
рногокхнапуркая етруь тура
упра&ленця пожто. и
Датчики аэродинамических
параметров_______
Система измерения КК
Система измерения
БОП
!нигоконтурная струкяртит С/7
Пеленгатор
Дальномер
Рис. 1.5. Конструктивный состав устройств АК БОП и их объединений в подсистемы
- четыре скоростных СП, являющихся исполнительным органом
(ИО) пространственной многоконтурной следящей СУП КК (по
положению ЦМ КК в пространстве и по ориентации строительных
осей КК относительно ЦМ КК);
- пространственная многоконтурная СУ ОСП (оптико-
механической системы слежения).
1.5. Структурные схемы АК БОП
в режиме автосопровождения
1.5.1. Контур управления оптико-механической
системы слежения
В терминах теории автоматического управления основная зада-
ча АК БОП может быть также сформулирована следующим обра-
зом.
Оптическая ось (ОО) БОП вращается в пространстве за счет
управления по результатам измерения углового рассогласования
между направлениями на подвижный объект (линия визирования -
ЛВ) и ОО (в частности может совпадать с направлением визирной
оси БОП, т.е. нулевое угловое положение пеленгатора в простран-
стве). Для реализации управляемого вращения ОО или весь корпус
БОП, или отклоняющие элементы в его оптической схеме разме-
щаются в качестве полезной нагрузки ОПУ, установленного на
борту КК, а само угловое движение осуществляется с помощью
приводов по каждой из трех ортогональных осей. Следовательно,
структура СУ ОСП соответствует объединению одноконтурных
СП, как показано на рис. 1.6. Структурная схема рассматриваемой
локальной СУ включает традиционный набор функциональных
элементов: дискриминатор - регулятор - ИО - ОУ.
На рис. 1.6 приняты следующие обозначения:
ДиК ОПУ - динамика и кинематика сложного пространственно-
го механического движения трех рам (платформ) карданова под-
веса;
Ф// > Фго ~ пространственные углы ЛВ и ВО в абсолютной си-
стеме координат (СК), соответственно;
29
Дфг0, Лф*() - угловое рассогласование между ЛВ и ВО в про-
странстве и его измеренное значение, соответственно;
ф2Л/ш - выходной сигнал регулятора САС (заданное значение
пространственного угла визирной оси БОП);
Дсрся - ошибка отработки ipzad т;
--- *
Мт - вектор механических моментов, создаваемых приводами
и приложенных к осям вращения ОПУ.
Рис. 1.6 Структура СУ ОСП
1.5.2. Контур управления полетом и ориентацией КК
Функционирование системы наведения (СН) КК также базиру-
ется на принципе обратной связи, а СУ наведением КК имеет в
своем составе СУП, ИО СН КК и ОУ (ДиК КК).
Будем рассматривать задачу управления полетом КК в условно
неподвижной стартовой системе координат (СК) O.xy.zc, с нача-
лом в точке старта Ос.
СУ наведением КК, которая функционирует по командам от
КСУ, относящейся к верхнему уровню формирования управляю-
щих процессов (команды смены режимов, анализ стратегии выпол-
нения целевой функции, выработка задающих воздействий и т.п.),
как раз и называется СУП, являющейся регулятором замкнутого
контура СН КК. При этом регулирование осуществляется по трём
параметрам:
30
а) вектор путевой (земной) скорости КК (или воздушной
скорости 1ц );
Ь) пространственное положение центра масс (ЦМ) КК в
стартовой СК О х( у z ;
с) угловая ориентация строительных осей КК в инерциаль-
ной СК OXYZ .
а а а а
В процессе функционирования СУП изменяется её структура, по-
этому при решении задач а) и Ь) будем использовать часть СУП,
называемую автопилотом', а при решении задач Ь) и с) будем ис-
пользовать часть СУП, называемую регулятором наведения (PH).
Суть управления параметрами полета КК заключается в под-
держании такого углового положения КК, при котором вектор ско-
рости КК Wkk имеет направление и величину, обеспечивающие
движение (полет) КК по заданной траектории, а также обеспечива-
ет «зависание» КК в заданной угловой ориентации при решении
целевой задачи АК БОП.
На рис. 1.7 показана структурная схема СП КК, где приняты
следующие обозначения:
Rlkk -ad ’ ^кк > ^кк > ^кк ~ векторы заданного, истинного, изме-
ренного значений пространственного положения КК в стартовой
СК OcXcycZc, а также вектор ошибки пространственного пози-
ционирования КК, соответственно;
ф zad , ф'Д , ф^ - заданное, истинное, восстановленное с по-
мощью измерительной системы (ИС) угловое положение КК, соот-
ветственно;
Лф'Д , (Лф^ )*, (Аф^У"‘У - значения углового рассогласования
направления строительных осей К К на объект наблюдения: истин-
ное, восстановленное с помощью ИС КК, а также измеренного с
помощью пеленгатора, закрепленного на корпусе КК, соответ-
ственно;
31
GO
ГО
RL
Комплексная
система
управления
kk.~ud
Ди К КК
®кк
Vkk
=w=>
Исполнительный орган
Оггъект управления
Регулятор
кы
е-
Дискримииатор с
переменной структурой
Рис.1.7 Структурная схема СН КК
* .Автопилот
ТЗГ-'Л’
Исполнительный орган CH Л*Л*
'zad<9kt
&>.
» Пелен1а<ор
-1\
я
npngotki
Система
правления
налетом
Раюиклутьм
HUIItWIU
Тяговые
винты
PH
tyzad.v
^kk
Укк
Пен ери телепня
система
$
ф . ф _ векторы заданного и реального значении скорости
вращения тяговых винтов, соответственно;
Л , АЛ, - векторы сил тяги и моментов реакции ЭД КК, соот-
ветственно;
, (0^ - векторы реальной и измеренной угловой скорости
КК. соответственно;
I Г’* - векторы реальной и измеренной воздушной скорости
КК. соответственно;
PR - переключатель между автопилотом и PH, управляемый
сигналом f, вырабатываемым КСУ.
На рис. 1.8 показана структурная схема КСУ САС, реализующая
двухканальность наведения за счет использования различных вари-
антов построения структуры, где М - момент реакции со сто-
роны приводов ОПУ САС, создающий возмущенное вращение КК
вокруг своего ЦМ.
Вариант I соответствует нахождению контакта переключателя
Р в положении 1.
ф
В этом случае управление полетом КК производится в соответ-
ствии с задающими воздействиями, вырабатываемыми в КСУ. Для
работы контуров СУ ОСП функционирование автопилота приводит
к формированию внешних (возмущающих) воздействий, которые
передаются на угловое положение ВО через элемент «Связь» (вид
которого определяется структурными, конструктивными и элек-
тромеханическими параметрами ОСП).
Вариант II соответствует нахождению контакта переключателя
в положении 2.
В этом случае структура управления АК БОП в режиме САС со-
ответствует двухканальной системе, например, комбинированного
управления. Функционирование этой структуры обеспечивается
установкой на корпусе КК оптического пеленгатора, который из-
меряет угловое рассогласование Аф*. относительно ЛВ только при
движении КК.
33
Дискриминатор t
переменной с тр\ ктурой
испынитеАЫыц
орган Объект \ применю
Рис. 1.8 Структурная схема СУ АК БОП
34
Глава 2. ОСОБЕННОСТИ ОБЕСПЕЧЕНИЯ
УГЛОВЫХ ПОВОРОТОВ ОПТИЧЕСКОГО
ПРИБОРА, РАСПОЛОЖЕННОГО
НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВАНИИ
2.1. Трехстепенное опорно-поворотное устройство
АК БОП
2.1.1. Принципы построения ОПУ
В широком круге задач, решаемых различными АК, необходимо
обеспечивать управляемые пространственные повороты техноло-
гических направлений БОП, размещенных в ОПУ. Сами повороты
осуществляются с помощью приводов, располагающихся на осях
ОПУ.
Как было указано выше, ОПУ выполняется обычно в виде кар-
данова подвеса (состоит из нескольких, двух, трёх или более, ци-
линдрических шарниров, соединённых последовательно, с осями
вращения, пересекающимися в одной точке), хотя в некоторых
случаях подвесом может служить шаровой шарнир (вращение во-
круг одной точки). И в одном, и в другом случае такие точки назы-
ваются точкой подвеса
Наиболее простыми реализациями карданова подвеса являются
двухстепенные ОПУ (две оси вращения), поэтому они получили
наиболее широкое применение. Трехстепенные ОПУ (три оси вра-
щения) применяются, например, в случае необходимости недопу-
щения вращения оптического прибора вокруг его оптической оси
(случай сопровождения объектов наблюдения, воспринимаемых
оптической системой в виде протяженной области, а не точки).
Если же предельные углы поворота оптического прибора при-
ближаются к девяноста градусам (в этом случае оси карданова под-
веса стремятся совместиться друг с другом, «схлопнуться») ис-
пользуются четырех- и пяти- степенные ОПУ (четыре или пять
осей вращения).
Классификация ОПУ с кардановым подвесом показана на рис.
2.1.
35
Рис.2.1 Классификация ОПУ карданова типа
Кинематические схемы двух- и трехстепенных ОПУ приведены
на рис. 2.2. Опоры для осей вращения внешних рам крепятся к по-
движному основанию.
На рис. 2.2а изображена алът-азгшутальная схема (двухстепен-
ное ОПУ), в которой внешняя рама вращается вокруг «вертикаль-
ной» оси, а внутренняя - вокруг «горизонтальной» оси, причем
направление этих осей не совпадает с направлением оси чувстви-
тельности оптического прибора, имеющей «горизонтальное»
направление, ортогональное внутренней оси. Двухстепенное ОПУ
по альт-альт схеме (рис. 2.2 b) имеет ортогональные между собой
«горизонтальные» внешнюю и внутреннюю оси, направление этих
осей также не совпадает с направлением оси чувствительности оп-
тического прибора («вертикальное» направление).
В альт-альт-альт схеме трехстепенного ОПУ (рис. 2.2с) внеш-
няя рама вращается вокруг «вертикальной» оси (совпадает с
направлением оси чувствительности оптического прибора), а внут-
ренняя рама и рама полезной нагрузки (оптический прибор) - во-
круг ортогональных между собой «горизонтальных» осей. В алът-
альт-азимутальной схеме ОПУ с вращением вокруг оси чувстви-
тельности оптического прибора (рис. 2.2d), имеющей «горизон-
тальное» направление (как и ортогональная ей ось вращения внут-
ренней рамы), внешняя рама имеет «вертикальную» ось.
36
Рис.2.2 Кинематические схемы двух- и трехстепенных ОПУ
37
Разновидность схемы по рис. 2.2</пока ина на рис, Не. где внешняя
рама и рама поделкой нагрузки имеют ортогональные между собой
«гориэонтальныев оси, а внутренняя рама - «вертикальную» ось
В дальнейшем будем рассматривать случай ОПУ с гремя степеня-
ми свободы. соотвстствузощий кинематической схеме по рис, 2 Id
Для такой кинематической схемы покажем на рис, 2.3 графиче-
ское представление формирования эллипсоида инерции полезной
нагрузки ОПУ. На рис. 2.Зя представлена схема по рис. 2.2d. а на
рис. 2.36 - конструктивная схема размещения БОП в данной схеме
ОПУ. В этом случае эллипсоид инерции принимает, как показано
на рис. 2.3с, где углы произвольной оси OL, проходящей через
точку Л/ на полезной нагрузке ОПУ, по отношению к произвольной
СК OX}Y{Z} равны а, Р и у.
В соответствии с работой [2] можно записать следующее выра-
жения для моментов инерции:
J = Jx cos2 а + Jy cos2 р + J, cos2 у -
-2 cos а cos р - 2 J cos p cos у — 2 J , cos у cos а,(11)
где: J x, J у , J z - осевые моменты инерции;
2x - центрооежные момен-
ты инерции.
Ha рис. 2.3а показана схема ОПУ, реализующая трехосевое
вращение материальной системы, а на рис. 2.36 схематическое
представление этой материальной системы, в котором через ее
точку О поведена произвольная ось L'OL. Обозначим момент
инерции этой материальной системы относительно оси LOL че-
рез J . Естественно, что при изменении направления в простран-
стве оси L'OL момент инерции J также будет изменяться.
Отложим па прямой OL отрезок ОМ , длина которого опреде-
ляется следующим уравнением
ом =г = -=. (2.2)
38
b)
Рис.2.3 Графическое представление формирования эллипсоида инерции матери-
альной системы ОПУ
39
Так как точка М имеет координаты в СК OXy^Z {х, р z j
то можно записать:
cos а = — = х, , cos р = — = Ti v J ,
г г
Z. п
cosy = — = z}\/J . (2.3)
г
где: а , Р и у - углы, определяющие направление оси OL .
Подставим (2.3) в (2.1), получим:
(2.4)
Этому уравнению второго порядка удовлетворяют координаты
точки М на прямой OL, следовательно, оно определяет поверх-
ность, которую описывает точка М при изменении направления
прямой OL. В данном конкретном случае поверхности второго
порядка условию нахождения всех точек поверхности на конечном
расстоянии (J > 0) удовлетворяет только эллипсоид, который назы-
вается эллипсоидом инерции.
Уравнение эллипсоида упрощается, если за координатные оси
взять три взаимно перпендикулярные направления главных диа-
метров поверхности (как показано на рис. 2.36):
+ Jyy2 + JzZ2 = I,
г.е. в этом случае все центробежные моменты инерции равны
нулю.
Каноническое уравнение эллипсоида:
2 2 2
х у Z
2 + 12 + Л “ ’
а о с
следовательно, для каждой точки тела существуют три главных
оси инерции. Причем большему главному моменту инерции соот-
40
ветствует меньшая ось эллипсоида инерции (из сравнения уравне-
Если среди моментов инерции относительно главных осей в
данной точке нет равных, то эллипсоид инерции называется трех-
осным. При двух равных моментах инерции эллипсоид инерции
превращается в эллипсоид вращения. Если Jx = Jv = Jz, эллипсоид
инерции вырождается в сферу, а соответствующие точки становят-
ся шаровыми (сфероид инерции).
Главные оси инерции, проходящие через центр масс, называют-
ся главными центральными осями инерции.
2.1.2. Последовательность поворотов вокруг осей ОПУ САС
Вращения твердого тела относительно трех осей оказываются
независимыми лишь в частном случае, когда его эллипсоид инер-
ции является сферическим (Jx = Jy = J:, Jxy = J _ = Jzx = 0 ), а оси
вращения - ортогональными. При неортогональности осей враще-
ния, а также при несферическом эллипсоиде инерции твердого тела
(и, особенно, когда его главные оси не совпадают с осями враще-
ния, что как раз характерно для полезной нагрузки карданова под-
веса ОПУ САС, например, выходного зеркала оптического тракта)
вращения твердого тела относительно осей подвижности оказыва-
ются связанными. Ситуация еще более усложняется с учетом инер-
ционных масс (эллипсоидов инерции) промежуточных рам карда-
нова подвеса, когда в движении физически участвует не одно, а
несколько твердых тел, взаимодействующих друг с другом. При
произвольном расположении эллипсоидов инерции рам подвеса
относительно их осей вращения движение одного из приводов мо-
жет приводить к паразитным движениям остальных нагрузок за
счет наличия естественных, обусловленных конкретной конструк-
цией, связей между каналами, вызванных взаимодействием по-
движных масс.
41
Вопросы о том, каковы естественные взаимные связи, какими
физическими явлениями они вызываются, какова степень их влия-
ния на динамику системы и каковы пути для ослабления их влия-
ния, могут быть разрешены лишь путем исследований уравнений
динамики пространственного движения инерционных масс нагру-
зок приводов САС. При этом можно входными (управляющими
воздействиями для такой механической системы считать движущие
моменты, развиваемые приводами Пр( , Пр,3 , Пр(:> относи-
тельно осей вращения <рх, <р , ср, и приложенные непосредственно
к соответствующим рамам ОПУ САС, после чего исследовать ди-
намику их движений с учетом дополнительных внешних (возму-
щающих) моментов и движений основания. Такая постановка зада-
чи позволяет решить ряд вопросов, связанных с выбором компо-
нентов конструкции (или формулированием требований к ней) еще
на начальных этапах разработки, когда какие-либо подробности об
исполнительных приводах (тип энергоносителя двигателей, инер-
ционные массы, наличие или отсутствие редуктора, нежесткости и
редукция передач и др.) еще неизвестны.
Главная цель исследования динамики подвижных тел ОПТ’ САС
- выявить и изучить естественные взаимные связи между привода-
ми различных осей вращения, между системами различных плос-
костей сопровождения, провести оценку степени их влияния, от-
брасыванием связей «второго порядка малости», упростить мате-
матическую модель (ММ) силового взаимодействия приводов, раз-
работать, если необходимо, специальные меры, направленные на
подавление опасных влияний.
Примем следующее упрощающее ограничение: элементы кон-
струкций платформ и опор подвеса ОПУ будут рассматриваться
как абсолютно жесткие.
Схема расположения осей вращения ОПУ, полезной нагрузкой
которого является оптический пеленгатор (или его элементы), а
также последовательность поворотов при отрицательных значени-
ях углов показана на рис. 2.4, где приняты следующие обозначе-
ния:
42
1 - тело, неподвижное относительно КК, которое будем назы-
вать платформа 7, угловое положение которого в пространстве
определяется СК (базисом) Б1 {Ox, j/, z,} .связанной с этим телом;
2 - внешняя платформа 2 с «вертикальной» осью вращения,
вращаемая приводом канала Пр^ , угловое положение которой в
пространстве (углы «азимута»), определяется СК Б2
{O(xt)x2y2z2};
3 - средняя платформа 3 с «горизонтальной» осью вращения,
вращаемая приводом канала Пр^ , угловое положение которой в
пространстве (углы «наклона»), определяется СК БЗ
{Ox3(y2)y3z3};
4 - внутренняя платформа ( полезная нагрузка) 4, вращаемая
приводом канала Пр^ , угловое положение которой в простран-
стве (углы «крена»), определяется СКБ4 {Ox4y4(z3)z4}.
На начальном этапе исследования движения ОПУ САС, вызван-
ного реакциями подвижной части САС на ее «неподвижную»
часть, можно пренебречь и считать, что угловое положение СК Б1
{OX^ZJ в инерциальном пространстве определяется исключи-
тельно положением авиационного носителя (в данном случае, КК).
Тем самым можно свести задачу к рассмотрению динамики про-
странственного движения лишь трех материальных тел - подвиж-
ных платформ ОПУ, считая четвертое тело (платформа 1) связан-
ным с КК.
Четыре платформы ОПУ, входящие в систему материальных
тел, связаны друг с другом осями вращения и представляют собой
несвободную механическую систему. Однако применение извест-
ного «принципа освобождаемости» [3] позволяет несвободную
механическую систему рассматривать как свободную. При этом
механические связи между телами отбрасываются, а их действие на
систему тел заменяется силами и моментами, представляющими
собой реакции связей.
43
Рис.2.4 Последовательность поворотов осей вращения ОПУ
Такой подход позволяет для описания динамики движения ма-
териальных тел использовать второй закон Ньютона в форме дина-
мических уравнений Эйлера. Этот путь обладает рядом преиму-
ществ но сравнению с другими пулями (использование уравнений
Лагранжа второго рода, теорем об изменении кинетической энер-
гии, общих теорем динамики и др.), наиболее важные из них -
44
применимость к системам с телами, не являющимися абсолютно
жесткими, возможность введения составляющих, учитывающих
трение в опорах, простота, наглядность и возможность установле-
ния физических причин возникновения различных взаимных свя-
зей. Необходимость применения нескольких СК с постоянными
углами поворота (углы а, |3, у между главными осями инерции
платформ и их осями вращения в ОПУ) и переменными углами по-
ворота (относительные углы поворота платформ <pv, cpv, ср ) при-
водит к целесообразности использования векторно-матричного ма-
тематического аппарата.
2.2. Параметры поворотов вокруг осей ОПУ САС
2.2.1. Сравнительный анализ бортовых ИНС и САС
Известны работы, посвященные исследованию динамики инер-
ционных масс колец карданова подвеса ИНС и систем детального
фотографирования (видеонаблюдения). Основной особенностью
подобных систем является то, что все они относятся к системам
стабилизации относительно инерциального пространства, тогда как
рассматриваемая система АК БОП является системой автоматиче-
ского сопровождения (САС) подвижных (в инерциальном про-
странстве) объектов (целей).
Перечислим главные различия бортовых ИНС и САС и их неко-
торые общие свойства.
Общими для ИНС и САС являются факты применения кардано-
ва подвеса с исполнительными приводами на осях вращения для
управления положением в пространстве подвижных платформ и
наличие контуров обратной связи по угловым координатам или по
их производным, измеряемым относительно инерциального про-
странства с помощью гироскопических устройств.
Угловая скорость стабилизированного элемента ИНС (полезной
нагрузки карданова подвеса) является её регулируемым парамет-
ром, что позволяет управлять положением СК Б4 {Chc4y4(z3)z4},
т.е. ИНС представляет собой следящую систему замкнутую по аб-
солютной скорости, и в связи с этим такое устройство называют
45
«пространственным интегратором» [4]. Теоретически, на выход-
ную платформу ИНС может быть установлено пеленгационное
устройство (ПУ) для визирования подвижных целей, тогда подавая
выходные сигналы ПУ, соответствующим образом обработанные,
на приводы ИНС, можно ее «преобразовать» в САС.
Но, как правило, для САС необходим особый подвес, оси вра-
щения которого ориентированы и расположены относительно друг
друга из соображений обеспечения требуемых углов обзора, а так-
же в зависимости от требуемых скоростей и ускорений простран-
ственного сопровождения динамической цели при одновременном
обеспечении минимальных потребных ускорениях приводов отно-
сительно качающегося основания.
Оси вращения карданова подвеса ИНС и их взаимное распо-
ложение выбираются в соответствии с принципом, заложенным
в инерциальную систему, например, они аппаратурно реализу-
ют последовательности углов Эйлера навигационной (или же
инерциальной) СК. Различные гироскопические и другие дат-
чики информации в ИНС располагаются на выходной (стабили-
зированной) платформе и ориентируются в соответствии с при-
нятой для данной ИНС СК («оси стабилизации»). При этом ос-
новным режимом управления ИНС является режим сохранения
заданного направления в инерциальном или навигационном
пространстве (режим стабилизации). Угловое движение ЛА -
носителя (в том числе, КК) рассматривается состоящим из
сравнительно медленных траекторных движений с малыми ко-
лебаниями относительно его центра массы (качка). Особенно-
сти режима стабилизации позволяют считать углы Эйлера
матриц связи различных СК (cpv, <pv, <р_) постоянными, что
существенно упрощает выкладки связанные, с вычислением
производных от векторов в другом базисе. С учетом особенно-
сти режима стабилизации углы поворота платформ подвеса,
обусловленные работой приводов в ИНС, обычно отсчитыва-
ются относительно стабилизируемой платформы (она принима-
ется за неподвижную в инерциальном пространстве). Малые
угла качки ЛА и «неподвижность» выходной платформы ИНС,
как правило, позволяют легко осуществлять линеаризацию
уравнений динамики ИНС.
46
Для САС, учитывая подвижность целей в инерциальном про-
странстве, углы поворота платформ (рам) карданова подвеса ни в
каких режимах не могут считаться постоянными, динамика их из-
менения является высокой, и поэтому при определении производ-
ной какого-либо вектора в другом базисе возникает необходимость
в отыскании производной от матрицы связи базисов, включающей
углы, являющиеся функциями времени. Существенные диапазоны
изменения углов поворота рам <pY,<pv,<p_ требуют особой осто-
рожности при применении линеаризации уравнений, а в ряде слу-
чаев приходится рассматривать исходные нелинейные уравнения,
так как линеаризация оказывается слишком приблизительной опе-
рацией.
Инерциальная навигация по своим принципам основана на ин-
тегрировании угловых скоростей и линейных ускорений. Как из-
вестно [1], угловые скорости можно представлять в виде векторов,
поскольку они представляют собой бесконечно малые приращения
углов за бесконечно малые приращения времени. В связи с этим
применение векторно-матричного аппарата при теоретических ис-
следованиях ИНС обычно не встречают каких-либо затруднений.
САС замыкаются по угловым координатам, однако, известно,
что конечные углы поворота некоммутативны и не могут быть
представлены в виде векторов. Это обстоятельство приводит к
необходимости применения различного рода ухищрений, чтобы
можно было воспользоваться удобным и экономным векторно-
матричным аппаратом, а также к ряду других принципиальных
трудностей.
Для ИНС платформы карданова подвеса в подавляющем боль-
шинстве случаев могут быть выполнены в виде симметричных от-
носительно осей вращения тел, при этом главные оси инерции эл-
липсоида инерции платформ направлены вдоль осей вращения, что
обращает в нуль центробежные моменты инерции относительно
осей вращения и ослабляет взаимные связи между приводами осей
вращения. В ряде случаев для ИНС рамы карданова подвеса даже
удается выполнить в виде вложенных друг в друга сферических
оболочек, при этом эллипсоиды инерции рам оказываются сфери-
ческими и почти полностью ликвидируются взаимные связи между
47
приводами. Последнее обстоятельство позволяет их рассматривать
при проектировании как автономные.
2.2.2. Особенности компоновки трехстепенного ОПУ САС
На рис. 2.5 показаны схемы поворота рам карданова подвеса с
полезной нагрузкой в виде отклоняющего зеркала оптического
тракта БОП.
Обозначения на рис. 2.5 соответствуют обозначениям рис. 2.4,
кроме того:
- на рис. 2.5а показано исходное начальное положение плат-
форм ОПУ САС. При этом показано и возможное угловое положе-
ние полезной нагрузки 4’ при её конструктивном закреплении под
углом у0 к плоскости yjOzj;
- на рис. 2.5b показано положение платформ ОПУ после пово-
рота внешней рамы 2 на угол фх;
- на рис. 2.5с показано положение платформ ОПУ после пово-
рота средней рамы 3 на угол фу;
- на рис. 2.5d показано положение платформ ОПУ после пово-
рота полезной нагрузки 4 на угол ф2.
Рамы карданова подвеса ОПУ САС, хотя и обладают некоторой
симметрией (иногда, например, плоскость x}Oz} является плоско-
стью геометрической симметрии ОПУ и полезной нагрузки 4), но
симметричного распределения плотности подобной конструкции
не удается обеспечить почти никогда.
Для совпадения осей вращения ОПУ с главными осями инерции
необходимо, чтобы плоскости, включающие в себя каждую из трех
осей вращения ОПУ, были бы плоскостями динамической симмет-
рии (не только геометрическая симметрия, но и симметричное рас-
пределение плотности).
48
Рис.2.5 Схема поворота рам карданова подвеса САС БОП
На рис. 2.6 показаны плоскости компоновки ОПУ, включающие
в себя каждую из трех осей вращения этой ОПУ.
А 4
Рис.2.6 Плоскости компоновки несбалансированной ОПУ
Очевидно, что в случае компоновки по рис. 2.6 для привода
llpt плоскости XjQPi и xxOzx не являются даже плоскостями
геометрической симметрии; для привода Пр(> плоскость y\Oz{
является плоскостью геометрической симметрии, а плоскость
х}Оу} не является плоскостью геометрической симметрии; для
привода Прч плоскости xAOz} и y}Oz} являются плоскостями
геометрической симметрии.
Кроме того, если не предприняты меры по балансировки нагру-
зок по каждой из осей вращения центр масс (ЦМ) платформы 2
50
(С2) нс находится на оси Ох}, ЦМЗ С3 не находится на оси ()у\,
зато r соответствии с конструктивной схемой рис. 2.6 ЦМ4 С4
находится на оси Oz}.
Для обеспечения геометрической симметрии плоскостей х}Оу}
и xxOz} для привода Пр^ , а также геометрической симметрии
плоскости ххОух для привода Пр^ , а также для создания возмож-
ности расположения ЦМ2 С2 на оси Охх и ЦМЗ С3 на оси Оу\
можно в качестве одного из вариантов выполнения таких требова-
ний предложить конструктивную схему, показанную на рис. 2.7.
Для этого приводы Пр и Пр выполнены в виде двухдвига-
ЦУу (pz
тельных приводов, что дополнительно расширяет динамические
возможности следящих приводов (СП) по каждой из осей вращения
и увеличивает жесткость конструкции ОПУ.
К недостаткам такой схемы относится необходимость разворота
полезной нагрузки 4 (зеркала) на угол у0 к плоскости y{Oz} с це-
лью обеспечения незатененного поля зрения БОП. В этом случае
нарушаются условия достижения динамической симметрии по
осям вращения.
Рассмотрим вариант компоновки зеркала 4’, размещенного под
углом у0 к плоскости yxOz}, как показано на рис. 2.5а. Считаем,
что из исходного положения зеркало 4' совершает поворот только
вокруг оси Оу2 на угол срг в отрицательном направлении (вместе
с платформой 3), а повороты вокруг осей Охх и OzA отсутствуют
(ф = ф7 — 0). Ситуация с таким единственным поворотом зеркала
показана на рис. 2.8.
51
Рис.2.7 Плоскости компоновки сбалансированной ОПУ
При повороте вокруг оси Оу2 плоскость зеркала (полезная
нагрузка 4’) оптического тракта БОП (а, следовательно, и ортого-
нальная к ней оптическая ось БОП) при <pv ^0 расположена под
углом у = у0 + Ф, к плоскости }\Oz}.
Будем считать, что зеркало в плане является кругом с радиусом
Г, как показано на рис. 2.9, где Ох\, Оу\ и Oz\ - главные оси
инерции круглого цилиндрического зеркала толщиной I.
52
i
Рис.2.8 Компоновка зеркала ОПУ, размещенного под углом у() к плоскости
По табличным данным для цилиндрического тела можно запи-
сать значения для главных моментов инерции:
а4
л 4 12
2
53
Рис.2.9 Главные оси инерции платформы 4
В соответствии с формулой (2.1) можно записать:
12
Л; ’
54
Предположим, что конструктивными решениями по схеме рис.
2.7 удалось обеспечить размещение ЦМ4 С4 полезной нагрузки 4
(зеркало в оправе) на пересечении осей вращения Ох} и Oz}, а од-
на из главных центральных осей эллипсоида инерции (Ту, плат-
формы 4’ совпадает с осью вращения Оу}. Однако две другие
главные центральные оси эллипсоида инерции платформы 4' рас-
положены под углами у по отношению к Oz{ и Ох}, и прене-
бречь этим обстоятельство невозможно (рис. 2.9).
Следовательно, установка полезной нагрузки под произвольным
углом у0 к осям вращения ОПУ приводит к тому, что главные оси
инерции не совпадают с этими осями вращения. Все это не позво-
ляет в общем случае принять допущение, что все главные оси эл-
липсоидов инерции расположены вдоль осей СК, связанных с
платформами ОПУ.
Рассматривая рис. 2.7, можно сделать вывод о том, что и для
платформы 3, даже обеспечив её статическую балансировку отно-
сительно осей вращения (9х3, трудно, или даже практически не-
возможно, добиться, чтобы главные оси эллипсоида инерции этой
платформы были направлены вдоль осей СК БЗ (y,)y3z3}.
Пусть, например, с помощью балансировки компоновки враща-
емых тел по рис 2.7 обеспечено размещение ЦМЗ С3 этой плат-
формы на оси вращения Оу3. Тогда, учитывая, что платформа 3 с
наклонным зеркалом 4' имеет плоскость динамической симметрии
x3Oz39 т.е. одна из главных осей эллипсоида инерции Оу3 будет
*
совпадать с осью Оу3, главные оси эллипсоида инерции (Jz3 и
Ох3 будут располагаться под углом у-const к осям Oz3 и ()х3,
как показано на рис. 2.10.
Аналогичные замечания можно сделать и по поводу эллипсоида
инерции платформы 2.
Даже не проводя специального исследования, можно заключить,
что расположение эллипсоида инерции платформы 4 под углом у
55
к оси вращения О>4 будет приводить к появлению составляющей
момента центробежных сил, действующего на ось привода Пр
(рис. 2.6) за счет линейной скорости перемещения ЦМ4 (4 отно-
Рис.2.10 Главные оси инерции платформы 3
56
Аналогичным образом, на ось привода Прц) будет действовать мо-
мент центробежных сил, возникающий из-за расположения эллипсоида
инерции платформы 3 под углом р к оси вращения Ох3 (появление ли-
нейной скорости перемещения ЦМЗ С3 относительно оси Oz4 ).
Таким образом «перекос» эллипсоидов инерции платформ при-
водит к возникновению дополнительных взаимных связей между
приводами и должен обязательно учитываться при исследовании
динамики инерционных масс ОПУ САС.
Балансировку полезной нагрузки 4’ можно было бы обеспечить,
например, за счет введения в оптический тракт БОП оптического
«колена», как это показано на рис. 2.11, где приняты следующие
обозначения:
5 - конструктивное дополнение, формирующее из двух парал-
лельных зеркал 4' оптическое «колено», имеющее цилиндрическую
форму;
6 - путь прохождения оптического пучка через элементы опти-
ческого «колена».
Рис.2.11 Двухзеркальный оптический тракт БОП
57
Еще одна принципиальная особенность конструкции ОПУ САС
по сравнению с кардановым подвесом ИНС (или прибора видеона-
блюдения) состоит в несовпадении точек пересечения между осями
Ох} и Оу{, между осями Охх и Ozx, а также в несовпадении ЦМ
(точки С2, С3 и С4) платформ ОПУ. Такие несовпадения в общем
виде показаны на рис. 2.12, где приняты следующие обозначения:
С34 - ЦМ платформы 3 с размещенной на ней платформой 4:
С234 - ЦМ платформы 2 с размещенными на ней платформами 3 и 4;
Ох - точка пересечения «вертикальной» оси О х} с плоскостью
платформы 3 в исходном положении {yxOz]);
77г, - смещение оси О Ххх от оси Ozx;
П - смещение оси Оххх от оси Оух;
Рис.2.12 Схема ОПУ с непересекающимися осями вращения
а - расстояние от ЦМ С234 до ЦМ С2;
b - расстояние от ЦМ С34 до оси Оу}.
58
В данном частном случае считаем, что ось проходит через
отражающую поверхность зеркала 4 (условие отсутствия оптиче-
ских искажений при поворотах зеркала относительно оси Оух}),
I
поэтому ЛХУ = —.
Эти обстоятельства также подлежат обязательному учету при
исследовании динамики пространственного движения инерцион-
ных тел ОПУ САС.
В связи с высокими требованиями к точности сопровождения
САС исследование естественных взаимных связей, обусловленных
перечисленными особенностями, является очень важным этапом
разработки системы.
2.2.3. Анализ влияния несовпадения точек пересечения осей
трехстепенного ОПУ САС
Анализируя рис. 2.6У2.12, можно сделать следующие заключе-
ния с учетом представления плоскости x}Oz} плоскостью геомет-
рической симметрии для подвижных частей ОПУ САС.
Во-первых, особенности конструкции зеркальной оптико-
кинематической схемы САС с расположением оптоэлектронного
приемника пеленгатора на корпусе КК приводят к тому, что прак-
тически невозможно обеспечить совпадение точек пересечения
между осями ОхЛ и Оу}, между осями Ох} и Ozx (рис. 2.12а). Вы-
нужденно между этими точками пересечения оказывается парал-
лаксы П и ПХ2, определяемые оптической схемой пеленгатора.
Во-вторых, при необходимости обеспечения значительных уг-
лов обзора и отсутствия возможности применения двухдвигатель-
ных приводов (как показано на рис. 2.7) элементы конструкции
платформы 2 (с расположенными на ней платформами 3 и 4), не-
сущей опоры оси вращения Оу} (), вынужденно оказываются
расположенными консольно по отношению к опорам оси вращения
Охх} (опора А, на рис. 2.12а, вылет «а» относительно оси вра-
щения ОхХ\ на рис. 2.12b к точке С234 - ЦМ2 платформы 2 в сбо-
59
ре). Аналогично элементы конструкции платформы 3 (с располо-
женной на ней платформой 4), несущей опору оси вращения Oz
() при требовании обеспечения значительных углов обзора
должны также располагаться консольно относительно опор оси
вращения Оу} (опора Л3_*2 на рис. 2.12я, вылет «й» относительно
оси вращения Оу\ на рис. 2.12Z? к точке С34 - ЦМЗ платформы 3 в
сборе).
В-третъих, только для платформы 4 относительно легко может
быть обеспечено совпадение ЦМ4 (точка С4 на рис. 2Л2Ь) с осью
вращения Oz{ поскольку платформа 4 обладает приблизительной
симметрией относительно этой оси. В связи с этим статическую
балансировку платформы 4 относительно оси вращения Oz, часто
удается обеспечить во многих практических приложениях. Для
платформы 3 ее статическая балансировка относительно оси вра-
щения Оу} может потребовать специальных технических решений
при разработке ее конструкции, либо даже применения двухдвига-
тельных приводов (рис. 2.7 - Пр\ф и Пр2^ ), что на легких БЛА
(КК) нежелательно из-за увеличения веса ОПУ.
В более общей постановке было бы эффективнее, предположив,
что ЦМЗ С3 платформы 3 смещен относительно его оси вращения
Оу}, получить уравнения динамики для такого общего случая, а за-
тем, исследуя полученные соотношения, проанализировать допусти-
мость статической неуравновешенности платформы 3 относительно
оси вращения Оу} и определить требования к допустимой величине
небаланса. Однако, даже не проводя специального анализа, нетрудно
сделать вывод о том, что и небольшое смещение ЦМ С4 платформ 3
и 4 с оси вращения Oz} (положение С34) приводит к появлению до-
полнительных взаимных связей между приводами осей вращения, и
поэтому большая неуравновешенность нежелательна.
Появление дополнительных связей иллюстрируется на рис. 2.13.
60
При вращении привода Пр^ возникает центробежная сила
F б, которая, в случае расположения ЦМ С34 платформ 3 и 4 на
оси Oz}, направлена перпендикулярно оси Оу1 и проходит через
неё.
Если ЦМ С34 платформ 3 и 4 оказывается в произвольном по-
ложении С34, то возникающая при вращении привода Пр^ цен-
тробежная сила F\, может быть разложена на две составляющие:
- F б м, которая направлена перпендикулярно оси Оу} и про-
ходит через неё;
- , которая направлена перпендикулярно радиус-вектору,
соединяющему по кратчайшему пути ось Оу} и ЦМ С34 платформ
3 и 4, а, следовательно, создает момент М = Ft. • г’, стремящий-
ся развернуть платформу 3 в положение, при котором расстояние
Ь' до оси Оу} разместится на оси Ozt.
Даже, если статической балансировкой обеспечено расположе-
ние ЦМЗ платформы 3 на оси вращения Ох1, вполне может ока-
заться, что он лежит сравнительно далеко относительно оси враще-
ния Oz} (параллакс Пхг).
Рассмотрим частный случай балансировки компоновки карда-
нова подвеса САС в соответствии со схемой, показанной на рис.
2.14, где приняты обозначения:
Ох - точка пересечения оси Ох{ с «горизонтальной» плоскостью
zQz, txyjxxy-,
Ох - точка пересечения оси Ох} с «горизонтальной» плоско-
стью, включающей в себя ЦМ2 платформы 2 в сборе С234
(C„dO'XyX
v 234 х yz
С2“ - точка пересечения «вертикали», опущенной на «горизон-
тальную» плоскость J]C4Z] (X\\.С\Хуу\) с этой плоскостью.
61
о
nj
а)
Рис.2.13 Схема возникновения дополнительных механических связей
Платформа 3, несущая на себе платформу 4, установлена на
платформе 2. С точки зрения динамического взаимодействия плат-
форм 3 и 4 существенное значение имеет расположения ЦМ С34
системы из двух твердых тел (платформ 3 и 4) относительно оси
вращения Оу}. В рассматриваемом частном случае ЦМ С4 лежит
на пересечении осей Ozx и Оу}, т.е. он жестко связан с этими ося-
ми вращения. Так как ЦМ С3 лежит на оси вращения Oz{ и с ней
также жестко связан, получаем, что ЦМ С34 системы из двух твер-
дых тел (платформ 3 и 4) также лежит на оси вращения Oz}.
Следовательно, положение ЦМ4 (С4) не изменяется при вра-
щениях приводов Пр^ и Пр^ , а положение ЦМЗ (С3) - не из-
меняется только при вращении Пр^ . Положение ЦМ4 (С4) в
инерциальном пространстве однозначно определяется движением
КК и вращением Пр .
Особенности оптико-кинематической схемы БОП сказываются
и на распределении масс всех нагрузок платформы 2, и возможен
случай, когда ЦМ (С2) платформы 2 лежит не на оси вращения
Ох}, как показано на рис. 2.14л.
В общем случае не лежит на оси Охл и ЦМ всех подвижных тел
ОПУ С234 , что приводит возмущениям при повороте вокруг оси
Охх.
Следовательно, из условия минимальных возмущений, переда-
ваемых на КК при работе привода Пр^ ЦМ С234 системы трех
твердых тел 2, 3, 4 должен лежать на оси вращения Ох{. Это может
быть обеспечено, если ЦМ платформы 2 будет расположен в
плоскости, проходящей через оси вращения Охх и Ozx, на которой
расположены ЦМ С3 и ЦМ С34 (рис. 2.14/?).
63
Рис.2.14 Частный случай балансировки компоновки карданова подвеса САС
Условия для обеспечения статической балансировки платформы
2 с ее нагрузкой (платформы 3 и 4) относительно оси вращения
Ох} легко обеспечиваются (в отличие от динамической баланси-
ровки), поэтому будем считать, что ЦМ С234 системы трех тверды4
тел 2, 3, 4 лежит на оси вращения Ох} (рис. 2.146). Поскольку
64
платформа 2 имеет плоскость симметрии, включающую оси Оу и
Ох}, одна из главных осей эллипсоида инерции Oz2 совпадает по
направлению с осью Oz2 , а две других Ох2 и Оу2 лежат в плос-
кости симметрии х}Оу} и расположены под углом а = const по
отношению к осям Ох2 и Оу2.
Таким образом, для рассматриваемой далее физической модели
ОПУ САС может быть принято допущение, что ЦМЗ (С3) плат-
формы 3, ЦМ34 ( С34) системы твердых тел 3 и 4 лежат на оси вра-
щения Oz}, а ЦМ234 (С234 ) системы твердых тел 2, 3 и 4 лежит на
оси вращения Ох}. Кроме того, ЦМ4 (С4) платформы 4 лежит на
пересечении осей вращения Oz} и Ох{.
В дальнейшем для всех платформ ОПУ САС принято, что одна
из главных осей эллипсоидов инерции платформ совпадает с осью
OZ, остальные расположены произвольно.
65
Глава 3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ИНЕРЦИОННЫХ МАСС ОПУ САС
3.1. Векторно-матричные методы
преобразования СК
В дальнейшем будем использовать следующую систему обозна-
чений векторов и матриц.
Вектор, существующий в пространстве независимо от выбора
СК, называется физическим вектором, а три числа (трехмерное
пространство), являющихся составляющими физического вектора и
образующих матрицу-столбец (3x1) -математическим вектором,
R = xi + yj 4- zk , Т = х°, 7 = У°> k =zQ - физический век-
тор;
- математический вектор, где
b - обозначение СК
С математической точки зрения R и Rb являются разными ве-
личинами, хотя оба этих выражения являются условными пред-
ставлениями одного и того же физического понятия - положения
точки в пространстве.
Угловая скорость СК b относительно СК а (абсолютная или
инерционная СК) представляется физическим вектором угловой
скорости с нижним индексом £1аЬ = -£1^). Тогда - ма-
тематический вектор, формируемый составляющими вектора С1аЬ в
СК/?.
Производную по времени будем обозначать оператором р. Тогда
phR - это скорость изменения физического вектора R в СК Ь.
Символ р без нижнего индекса, предшествующий математиче-
скому вектору или матрице, означает дифференцирование по вре-
мени каждого элемента вектора или матрицы:
66
Г “|Л
рх
[аДТ = pRb = ру
[pz_
Так как векторное произведение двух векторов можно записать
как произведение кососимметрической матрицы и вектора:
о
673
—CZ2
—а3
О
а
то для представления в матричной форме операции векторного
произведения запишем:
со
<л\ =
ab
Ьт
аЬ
“z
со z
-0)
-юг
0
°C
—и
О
а х b
О
w
w
Как известно [1], матрица А направляющих косинусов (3^3)
преобразует составляющие вектора из одной СК в другую СК:
= A£Rb. (3.2)
Дифференцируя уравнение (3.2), получим:
PRa = AabpRb + pA°Rb = A“[PRb + AhaPA°Rh},
где A„ =(A^)~1 - матрица, обратная A“.
Запишем с помощью физических векторов известное уравнение
Кориолиса [2]:
(3.3)
PaR = PbR + Х ’ (3-4)
т.е. изменение R в СК а равно изменению R в СК b плюс вли-
яние на R относительной скорости вращения Q аЬ двух СК.
Поскольку уравнения (3.3) и (3.4) описывают одну и ту же гео-
метрическую ситуацию, то х j и А^рА,' должны быть эк-
вивалентны. Тогда из уравнения (3.1) следует
АьарА“
а 1 о ab ’
(3.5)
67
что приводит к математической формулировке уравнения Ко-
риолиса:
pRa=Aab[pRb+ClbmbRb]. (3.6)
Умножив обе части уравнения (3.5) на матрицу направляющих
косинусов Ааь , получим соотношение, описывающее скорость из-
менения этих косинусов:
= (3.7)
3.2. Момент количества движения
Движение свободного твердого тела в пространстве описывает-
ся дифференциальными уравнениями Эйлера в векторной форме
[2] с учетом ограничений, также описываемых дифференциальны-
ми уравнениям. По смыслу рассматриваемой задачи (вращения во-
круг осей, не имеющих поступательного движения в пространстве)
покажем дифференциальные уравнения только вращательного
движения.
Покажем на рис. 3.1 положение тела со связанной с ним СК в
инерциальном пространстве.
Как известно [4], движения ЦМ С твердого тела в инерциальном
пространстве описывается выражением (второй закон Ньютона):
О-8)
Рис.3.1 Схема движения ЦМ твердого тела
68
где приняты обозначения:
- R t - радиус-вектор ЦМ С твердого тела с началом в точке
О;
- т и Л - масса тела и вектор суммы сил, действующих на
него;
OX Y Z а - абсолютная (инерциальная) СК;
- OhXhYhZb - СК, связанная с материальным телом.
Умножим обе части уравнения (3.8) на вектор R н и отдельно
преобразуем его левую часть ( с учетом R х R = 0):
РА^ое Х ”Ч>Л*А = Ра(Кс) Х + К Х "ЧАс =
= Rac х mp2uRx.
R x inn R = H называется кинетическим моментом
ас ла ас с
твердого тела с массой т , сосредоточенной в ЦМ С.
После умножения на вектор Rac уравнение (3.8) принимает вид:
(39)
где Ма - вектор суммарного момента сил, действующих на
твердое тело относительно точки О .
Уравнение (3.9) является математическим выражением второго
закона Ньютона для вращения относительно начала отсчета инер-
циальной (абсолютной) СК.
По теореме Кориолиса
рА= РА +
а для твердого тела верно соотношение pbRK =0 (вращение
тела вокруг точки (){ = С не изменяет вектор R ), г.е. кинетиче-
ский момент (момент количества движения) можно представить в
виде:
77,.=^xtQ(hX^j,
или, с учетом формулы для двойного векторного произведе-
ния | а х [/? х с] = b(a с) — с (а b) ]:
69
Z7 =(mR ,-R, )il.-(mR -42,)/? .
Отсюда следует, что вектор кинетического момента // и век-
тор угловой скорости Q ;/ в общем случае нс совпадают по направ-
лению.
Запишем выражение для вектора R „ в абсолютной С К
a a a
0)
ас
ab
L“.J
Используя формулу для векторного произведения
i
Ю л х R 1 =
L ‘"ab ас J
0)
, а также матричные записи векторов
0)
®z
z
ab
, для получения значения кинетического
“у
“z-
момента Ht =mRac x[Qaft х 7?с] произведем следующие преобра-
зования:
х Rac ] = 7(zwy - ycoz) - J(zcox - хо)г) + к (ywx - xio„) •
к
I
R x[Q , х/? 1 =
ас I ah ас 1
Z0)y - ya>2
Х(0.. — Z(0v
Ж
/'/«[(у2 + Z2 )(DX - xywv - XZW2 ] +
+km[—xzu)
... (3.|0>
70
ху XZ
- матрица инерции с составляющими
ZX
ху Z
его элементами J = т(у2 + z2V, J = Jvx =
Л X _Лу уЛ
j = т(х2 + z2) ; J _ = J = -mxz и
XZ ZX
Jу и Jz - моменты инерции относительно осей х, у и z, со-
ответственно;
J ху ’ xz и yz ~ центробежные моменты инерции.
Так как J является вещественной, симметричной матрицей, то
существует преобразование поворота, приводящее эту матрицу к
диагональному виду, т.е. обращающее в нуль все центробежные
моменты инерции. Соответствующая СК называется системой
главных осей инерции тела. В этом случае выражение (3.10) при-
нимает вид:
Z
X
о
о
у
о
0
Следовательно, угловая скорость и кинетический момент инер-
ции твердого тела совпадают по направлению, когда тело вращает-
ся вокруг главных осей инерции.
3.3. Динамические уравнения Эйлера
3.3.1. Вывод динамического уравнения Эйлера
Запишем физический вектор кинетического момента инерции в
подвижной СК b {ObXbYbZb): Нс = iHbx + jHby + kHbz и продиф-
ферецируем это выражение в СК OXYaZa:
71
тт 7 d^bx . 7 dHby < dHbz di
7 dt dt dt dt
ir $ < rf (3.12)
dt dt
Сумма первых трех слагаемых в (3.12) называется относитель-
ной или локальной производной рьНс [2].
Изменение во времени ортов 1 , j и к может быть обусловле-
но только вращением подвижной СК b с угловой скоростью £2^,
как это показано на рис. 3.2.
Так как из определения орта следует i = 1, то модуль элемен-
тарного изменения этого орта при вращении di = l-sinv-dcp,
где V - угол между вектором мгновенной угловой скорости £lah и
осью ОЬХЬ; б/ф - элементарный угол поворота вокруг вектора
мгновенной угловой скорости £1аЬ.
di I . б7ф
Продифференцируем ----= 1 sm у--, что с учетом формулы
dt dt
для векторного произведения соответствует записи в векторном
dj _ - dk - -
Аналогично можно записать: — = о х / и — = £2 , х к .
dt J dt ab
Следовательно:
— 14
bx dt_+ by dt + bz~dt~
= H bx (Qb X О T ^by (Qab X J ) + Hbz (Qab X ) = Qtb X ^c'
1аким образом, производная по времени от вектора кинетиче-
ского момента твердого тела в связанной с ним СК b будет опреде-
ляться уравнением:
(3.13)
72
Рис.3.2 Схема изменение во время вращения ортов i , j и к
Записав векторное уравнение (3.13) в проекциях на оси СК Ь,
связанной с твердым телом (Нс = ), получим уравнения дви-
жения в форме Эйлера:
х (JQo4)] =
(Л))х
к
“г
(J(0)2
= i [U^y + Jy^y®y + -
- 7[(^xzWz0’z +^°’zwy + Jz®z®z)-(Jz®z®y +^®y®z +-7zz(°z®z)] +
+ + Jy®x®y + Jy^y)- (Jx^y + JxvC9vC0v + 7вйд)] ,
(3.14).
ЛЮХ + Jxy^y + (Jo))./
1» = JХ?®Х у^ У 4" yz^z — (/«),.
Jxzb)z + Jyz^у + Jz^z _
Для вращения тела вокруг главных осей инерции последнее вы-
ражение упрощается, и динамические уравнения Эйлера при дви-
жении тела относительно неподвижной точки в проекциях на оси
системы координат с началом в этой точке принимают вид:
73
Jxp^x + (J, -Jv)o)yaz = Ma ;
JyP^y + (Л - ЛX°\ = M<y;
J2p(oz + (Jv - = Ma.
Если возникает необходимость рассмотрения поступательного
движения ЦМ С, то такое движение описывается векторным урав-
нением (3.8) при условии что равнодействующая всех сил , дей-
ствующих на тело, приложена в ЦМ С.
Уравнения Эйлера для поступательного движения в проекциях
на оси координат принимают вид:
тр2х = FX(;
™Р2 У = ;
mprz = .
Векторное уравнение (3.9) и три скалярных уравнения системы
(3.15) описывают вращательное движение ЦМ твердого тела С в
инерциальной СК; векторное уравнение (3.8) и три скалярных
уравнения (3.16) описывают поступательное движение ЦМ твердо-
го тела С в инерциальной СК. При этом, как было принято ранее,
оси координат Xb, Yb, Zb, связанные с твердым телом С, являют-
ся главными осями инерции тела, а моменты инерции I , 1 и /,
являются главными моментами инерции.
Другими словами движение твердого тела в пространстве пред-
ставляется в виде двух составляющих: поступательное перемеще-
ние начала отсчета подвижной СК OhXhYbZb и изменение ориен-
тации (вращение) подвижной СК ObXbYbZb, связанной с телом,
относительно СК ОУ,У Zz. Поступательное движение описывает-
ся изменением вектора Rtii , связывающего два начала отсчета (О
и Оь), а вращение - изменением мгновенного вектора угловой ско-
роста
Если вращение происходит относительно тоски С, неподвижной
в инерциальной СК (Rac = const), то сведений, заключенных в
74
уравнениях (3.9) или (3.15) достаточно для решения задач динами-
ки вращательного движения тела. Если же вращение происходит
относительно перемещающейся в абсолютной СК точки С, то к
действующим вращательным моментам добавляются силы инерции
переносного движения.
Таким образом, при применении уравнений динамики в форме
Эйлера целесообразно сложное движение тела представлять в виде
суммы двух движений - переносного поступательного и относи-
тельного вращательного.
3.3.2 Вращательное и поступательное движения
механической системы
В дальнейшем будем рассматривать механическую систему из
трех материальных тел, как показано на рис. 3.3. При этом, если не
фиксировать оси конкретного базиса (Xf, у^, Zj) будем пользо-
ваться общими обозначениями для таких осей X, Y, Z
Платформы 2 и 3 совершают лишь вращательные движения
(платформа 2 относительно оси О2хх, платформа 3 - относительно
оси О2у2). Только платформа 4 находится в сложном движении,
которое может быть представлено как сумма поступательного дви-
жения ЦМ С4 со скоростью Vx (оно однозначно связано с изме-
нениями угла поворота <рг) и вращательного - относительно ЦМ
С4, расположенного на точке пересечения осей O2Y и C4Z. По-
скольку вращательное движение платформы 4 происходит относи-
тельно точки С4, для изучения только вращательного движения
системы материальных тел в целом начало осей СК XYZ, связан-
ной с ЦМ тела 4, необходимо совместить с осью вращения О2хх,
т.е. с точкой О3. Таким образом, для изучения только вращатель-
ного движения рассматриваемой системы материальных тел оси
СК Б2, БЗ, Б4, связанные с телами должны иметь общее начало ко-
ординат, лежащее на оси вращения О2хх (точка О2).
75
Рис. 3.3. Механическая система из трех материальных тел с вынесенным
центром вращения одного из них
Используя известный «принцип независимости действия сил и
моментов» [1], можно при составлении уравнений динамики рас-
смотреть вращательные движения системы материальных тел и
получить связь угловых движений с движущими моментами. За-
тем, определить дополнительные силы и моменты, вызванные по-
ступательным перемещением начала СК XYZ по дуге окружно-
сти радиуса П = О2С4 относительно оси О2х} в соответствии с
изменением <pv, и, дополнив такими дополнительными силами
математическую модель, составленную с учетом вращательных
движений, получить полную математическую модель движения
системы трех твердых тел.
Таким образом, при наличии несовпадения точек ЦМ трех тел
полное движение платформы 4 может быть представлено как сумма
двух движений: поступательного и вращательного. При изучении
вращательного движения платформы 4 вокруг ЦМ С4 эта точка
должна быть условно совмещена с точкой пересечения осей (Х^и
(Э2^2, т.е. система должна рассматриваться так, как будто па-
раллакс 17 отсутствует (П = 0), как это показано на рис. 3.4.
76
Рис. 3.4. Механическая система из трех материальных тел с совпадением центров
вращения
Поступательное движение соответствует плоскому пере-
мещению точки ЦМ С4 по окружности с радиусом равным парал-
лаксу 77. Все точки тела, движущегося поступательно в каждый
момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения, а их
траектории полностью совмещаются при параллельном переносе,
поэтому для описания динамики поступательного движения тела
достаточно знать динамику движения любой его точки. В рассмат-
риваемом случае такой точкой является ЦМ С4 платформы 4, и
динамика её плоского движения полностью определяет динамику
плоского поступательного движения всей платформы 4.
Для учета влияния переносного движения на динамику углового
движения рассматриваемой системы достаточно учесть инерцион-
ные и центробежные силы, действующие на платформы ОПУ САС
и обусловленные этим переносным движением (в данном частном
случае - платформы 4).
Если ЦМ С4 платформы 4 совпадает с точкой пересечения осей
C4Z и С4У, то переносное поступательное движение не может
создавать каких-либо инерционных вращательных моментов, дей-
ствующих на платформу 4. Переносное движение может приводить
лишь к появлению дополнительных нагрузок на опоры платформы
4, т.е. косвенно влиять на платформу 4 через реакции в опорах. Эти
77
реакции зависят от нормальных или осевых сил, действующих на
опоры, а они в свою очередь зависят от переносного поступатель-
ного движения.
При вращении вокруг оси О2х} с постоянным угловым ускоре-
нием фл. (вращательная составляющая ускорения) силы в опорах
платформы 4 пропорциональны инерционным силам (приложен-
ным к связям - опорам), направленным вдоль оси C4Z (),
следовательно, в этом случае реакции со стороны платформы 4.
обусловленные переносным поступательным движением и переда-
ваемые на платформу 3, направлены по касательной к траектории
движения, лежат в плоскости, содержащей ось вращения C4Z и
перпендикулярной к оси вращения О2х1? тем самым они не созда-
ют моментов относительно оси вращения C4Z , как это показано на
рис. 3.5. Скалярное выражение для инерционной силы можно пред-
ставить в виде Fin = т4фх • П.
Рис.3.5 Вращение системы тел вокруг оси
О2Х{ с постоянным угловым
ускорением
Естественно, такая же ситуация возникает и при вращении КК с уг-
ловым ускорением в плоскости, параллельной с плоскостью j4C4z4.
При изменениях <рк с постоянной скоростью фх появляется
осестремительная составляющая ускорение (ф"-77), т.е. воз-
78
никает центробежная сила ( ), приложенная к ЦМ платфор-
мы 4, а, следовательно, и к опорам платформы 4 перпендикулярно
осям её вращения (составляющая ~/\), как это показано на рис.
3.6.
▼-2
Рис.3.6 Вращение системы тел вокруг оси 6?2Х1 с с постоянной угловой
скоростью
Поскольку ЦМ платформы 4 лежит на оси C4Z , то параллакс П
фактически приводит лишь к увеличению составляющей момента
инерции от этой платформы, при вращении системы материальных
тел 2, 3, 4 как единого целого относительно оси О2х}.
Таким образом, параллакс по существу (при принятых выше
условиях) оказывает влияние лишь на динамику привода Пр^ и
лишь в виде простого увеличения момента инерции платформы 4,
вызванного смещением её ЦМ на величину П относительно оси
вращения О2х}.
В соответствии с выражением для локальной производной:
PbHe = + JyP^y'j + JzP®zk
первые слагаемые системы уравнений Эйлера (3.15) физически
представляют собой моменты инерционных сил (например, р^х -
это проекция углового ускорения тела в инерциальном простран-
стве на ось O2Xj); вторые слагаемые уравнений (3.15), содержащие
произведения угловых скоростей, физически представляют собой
79
гироскопические моменты, обусловленные кинетическими момен-
тами Jx®x , Jvtov, Jz®z и вращениями твердого тела относительно
осей, ортогональных к направлениям этих кинетических моментов.
В отличие от формирования гироскопических сил в гироскопах
угловые скорости в выражениях кинетических моментов для рас-
сматриваемого случая не являются постоянными, они изменяются
во времени, поэтому в общем случае вторые слагаемые системы
уравнений (3.15) характеризуют нелинейные обратные связи мо-
ментов гироскопических реакций, вызванных вращениями относи-
тельно ортогональных осей.
80
Глава 4. ДВИЖУЩИЕ МОМЕНТЫ И УГЛОВЫЕ
СКОРОСТИ ТЕЛ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
ОПУ САС
4.1. Обобщенные векторные координаты механической
системы ОПУ САС
Физическая модель ОПУ САС содержит три подвижных тела
(платформы 2, 3, 4) и «основание» (тело, не управляемое по углам),
жестко связанное с КК (платформа 1), как это было показано на
рис. 2.4. С каждым телом свяжем свою СК: (Б1 {Oxxyxzx}\ Б2
{Ox2(x})y2z2}; БЗ {Ох3у3(у2)г3} и Б4 {Ox4j4z4(z3)}), нумерация
которых соответствует порядковому номеру платформы, начала всех
СК совпадают (точка О), также совпадают направления осей всех СК
в начальном положении (<p v (0) = 0, <р (0) = 0, ср. (0) = 0).
Как уже отмечалось ранее, конечные углы поворота непредста-
вимы в виде векторов в связи с отсутствием свойства коммутатив-
ностью, угловые скорости же могут быть представлены в виде век-
торов.
Математические векторы угловых скоростей платформ 1, 2, 3, 4
относительно инерциальной СК в проекциях на оси соответствую-
щих базисов (СК) Б1, Б2, БЗ, Б4. связанного с этой платформой за-
писываются в виде:
=
21 Si
0)(а2)х2 Ю(аЗ)х3
®С«Ол 5А2 = ®(а2)у2 5^3 _ Ш(аЗ)Л
Ю(я1)--1 _ _(0(а2)^ _ _“<a3)Zj_
Г- —।
^а4 —
(4-1)
Ю(а4)х4
®(в4)х4
В обозначениях физических векторов, отражающих факт суще-
ствования какой-либо физической величины, которая представима
81
в виде вектора, безотносительно к любой СК, верхний индекс в
обозначении вектора отсутствует.
В обозначениях математических векторов, заданных составля-
ющими (проекциями) в каких-либо СК, верхний индекс указывает
базис, в котором «измерен» вектор.
Первый элемент первой группы (в круглых скобках) нижних
индексов в обозначениях векторов и их составляющих показывает
их принадлежность к СК, относительно которой вектор определя-
ется (СК, в которой рассматривается движение объекта). Второй
элемент этой группы показывает физический объект, которому
принадлежит рассматриваемый вектор. При перемене индексов
этой группы местами изменяется и знак, т.е. Qah = -€lha •
Вторая группа нижних индексов в обозначениях составляющих
вектора указывает базис и его оси, на которых измеряется данный
вектор.
Моменты, которые могут быть охарактеризованы как «возму-
щающие», записываются в виде:
= - вектор момента, создаваемого внешними
силами f, действующими непосредственно на платформу 4 и из-
меряемый в базисе 4;
-^(43)х3 ^(32)х2
МБЗ = ^(43)у3 > МБ2 - '"32 Мз2)Л ; МБ' = ’ 1У12\ - момен-
^(43)*, _ _-^(32)z2 _
ты реакции, характеризующие взаимодействие смежных платформ
через реакции в опорах.
Последовательность поворотов соответствует рис. 2.4.
Введем в рассмотрение математические векторы, которым не
соответствуют реальные физические вектора:
82
~м2~
— ^(23)72
_м,_ ^(34)z3
(4.2)
Q* = т ю2 ш3 — ОТ эх (az)x2 Ш(аЗ)Л (4.3)
_ш4_ _tt)(a4)z4 _
Математический вектор (4.2) составлен из движущих моментов,
развиваемых приводами Пр^ , Пр^ , Пр^ , а математический век-
тор (4.3) - из угловых скоростей вращения относительно инерциаль-
ного пространства выходных валов приводов Пр^ , Пр^ , Пру ,
т.е. платформ 2,3 и 4 вокруг осей Охх(Ох2) 9 Оу2(Оу\) и Oz3(Oz4) ,
соответственно. Этим математическим векторам не соответствуют
какие-либо реальные физические векторы, более того, отдельные со-
ставляющие (компоненты) каждого из этих векторов, как это ясно из
формул (4.2) и (4.3), заданы в различных базисах и в общем случае не
ортогональны. Однако, составляющие этих математических векто-
ров представляют собой вполне конкретные физические скалярные
величины, а именно, движущие моменты на выходных валах при-
водов и угловые скорости платформ в инерциальной СК, опреде-
лённые в базисах этих платформ.
Нижний индекс «т» указывает на основную функцию исполни-
тельных приводов создавать вращающие движущие моменты,
верхний индекс * («звездочка») символизирует, что эти математи-
ческие векторы заданы сразу в нескольких базисах.
4.2. Приведение движущих моментов к осям
выходной платформы ОПУ САС
Определим матричную передаточную функции связи между
входным вектором М*г и выходным вектором СТ механического
ОУ с учетом взаимодействия инерционных масс платформ ОПУ
САС.
83
Положительным направлением действия момента будем считать
такое, которое вызывает положительное направление вращения,
другими словами, правило знаков для вращательных моментов та-
кое же, как и для векторов угловых скоростей. Положительными
считаются такие направления векторов моментов, которые совпа-
дают с отрицательным направлением осей СК.
В механической системе, показанной на рис. 2.4 с каждым из
тел связана своя СК, начала которых расположены в общей точке
(О), в исходном положении оси всех СК совпадают. Относитель-
ные углы поворота тел известны cpv, <pv, ср_. Поскольку принято
допущение, что тела абсолютно жесткие, передача моментов про-
исходит безынерционно и, в принципе, для пересчета вектора дви-
жущего момента из одного базиса в другой, достаточно знать мат-
рицы связи базисов. Матрицы связи базисов, соответствующие из-
бранному расположению осей вращения (последовательности по-
воротов на углы Эйлера <рх, , ср2) показаны в [1].
Правда, имеется одна особенность, которая заключается в том,
что вектор М*т движущего момента задан компонентами, изме-
ренными в разных базисах. Необходимо привести их в какой-либо
один базис, тогда появляется возможность воспользоваться матри-
цами связи базисов.
Сделаем несколько предварительных замечаний.
Пусть рассматривается механическая передача из нескольких
пар цилиндрических зубчатых колес. Если на ее входе приложен
движущий момент, выходной момент легко может быть определен
умножением движущего момента на входе на передаточное число
всей передачи. Однако, если известны (например, определены
предварительно) реакции взаимодействия какой-то пары внутри
передачи, то выходной момент можно определить по моментам
силы действия любого звена «к» передачи на «к+7» звено и по пе-
редаточному числу выходной части передачи (от «к+/» до выхода).
Если тела связаны осями вращения (как платформы ОПУ САС),
непараллельными друг другу, задача несколько усложняется, но
принцип остается прежним. В этом смысле с каждым телом связы-
вается СК и пространственные векторы моментов, действующие на
тела, удобно представлять в виде проекций на оси соответствую-
84
ших СК. В связи с изменениями взаимных положений коэффици-
енты передачи тракта оказываются функциями относительных уг-
лов поворота платформ. В исходном положении рамы карданова
подвеса ортогональны и для обеспечения относительных углов по-
ворота используются приводы Пр,. , Пр^ , Пр,., , расположен-
ные в сопряжениях между платформами 1 и 2, 2 и 3. 3 и 4. Тот
факт, что привод Пр, (или Пр^ ) оказались не в начале «кине-
матической цепи», а в ее середине, принципиально ничего не изме-
няет.
По-прежнему для пассивного и активного сопряжений третий
закон Ньютона остается в сиде, поэтому движущий момент двига-
теля передается по кинематической цепи вперед, а равный ему ре-
активный момент, приложенный к статору моментного двигателя
передается по кинематической цепи назад, создавая в каждом со-
членении пару равных по величине и противоположно направлен-
ных моментов.
Если все рамы подвеса ортогональны друт другу, то соответ-
ствующие оси различных базисов параллельны и движущие мо-
менты приводов 77ро , Пр<? , Пра передаются на выходную
платформу 4, так, что каждый из них создает движущий момент,
действующий на платформу 4 только вдоль оси соответствую-
щего привода. Составляющие пространственного вектора мо-
мента. действующего на платформу 4, представленные проекци-
ями на оси СК Б4, связанной с платформой 4, в этом положении
равны движущим моментам, развиваемым соответствующим
двигателем. Моменты реакций от статоров двигателей переда-
ются через сочленения на основание (платформа 1) и в проекци-
ях на оси СК Ь7, также численно равны соответствующим мо-
ментам приводов.
При углах, <рл, ср , ср отличных от нуля, коэффициенты пе-
редачи «кинематических цепей» могут быть не равны единице, они
зависят от относительных углов поворота рам. Но, и в этом случае
для определения моментов, приложенных к платформе 4 с равным
успехом можно пользоваться как непосредственно движущими
85
моментами (вектор Л/*), так и моментами между любыми смеж-
ными платформами (Мп , Л/23, Л/34).
Кроме того, при ненулевых углах cpv, ф;, cpz составляющие
движущих моментов, действующие на платформу 4 вдоль осей СК
Б4 определяются не только моментами «своего» привода Пр( , в
них могут входить составляющие от «чужих» приводов (Прф ,
Лръ )•
Будем рассматривать статическое положение всех платформ,
когда приводы Пр^ , 77рф и Пр^ создают движущие моменты
отрицательного направления. Все моменты передаются на плат-
форму 4 и уравновешиваются вектором внешнего момента. Такой
случай поворотов ОПУ САС показан на рис. 2.4.
Будем считать, что реакции в опорах лежат в плоскостях, пер-
пендикулярных оси вращения. Рассмотрим равновесие платформы
3, на которую действуют моменты со стороны платформы 2, а так-
же моменты реакции со стороны платформы 4.
Данная ситуация показана на рис. 4.1, где приняты следующие
обозначения:
A{i+Xy^i ~ опора вала платформы i +1 на подшипники, располо-
женные на платформе Z;
М2 , М3 и М4 - моменты, развиваемые приводами ,
Пр^ и Пр^ , соответственно;
•> МГ12))? “ паРа сил в опорах А2 и, действующая со сто-
роны платформы 1 (конструктивная база на борту КК, к которой
крепится основание ОПУ) на платформу 2 вдоль оси Оу2, создаю-
щая момент Л/(1ф вдоль оси Oz2;
^(43)л4 ’ ^(43)х4 ~ паРа сил реакции в опорах Л4__>3, действующая
со стороны платформы 4 (полезная нагрузка пеленгатора САС) на
платформу 3 вдоль оси Ох4;
86
Рис.4.1 Схема формирования реакций в опорах валов вращения ОПУ
N(43)z, > и ЛГ(43)Хз , jV('43),3 - пары сил реакции в опорах
Л4^3 > действующие со стороны платформы 4 на платформу з
вдоль осей Oz. и Ох., соответственно. Эти пары сил вызваны.»
свою очередь, парой сил jV(43) V( и 2V('43)r при повороте оси Ох4 от.
носительно оси Ох3 на угол ф,;
А/(43)2з и 7И(43)- моменты реакции в опоре Л4 >3, действую-
щие со стороны выходной платформы 4 на раму 3, вдоль осей Ог
и Ох3, соответственно.
В результате схему равновесия платформы 3 можно изобразить,
как показано на рис. 4.2, где приняты обозначения:
Рис.4.2 Схема равновесия платформы 3
88
М) - момент, развиваемый приводом Пр ;
Z z 1рх
“ составляющая момента, действующего со стороны
платформы 1 на платформу 2 вдоль оси Oz2;
^(43)х, и ^(43)z, “ составляющие момента реакции опор со сто-
роны платформы 4 на платформу 3 вдоль осей Оху и (9z3.
В соответствии с рис. 4.2 можно записать баланс уравнений мо-
ментов вдоль осей Ох3 и Oz3:
M(12)z2 sin - М2 cos <pv - М(43)Хз = 0;'
M(i2)z2 cos cpy + M2 sin q>y + М(43)гз = 0
Принимая во внимание, что
~^(43)z3 ~ ^(34)z3 = ^4 ’
^(43)х3 ~ “^(З4)х3 ’
система уравнений (4.4) принимает вид:
М2 cos<pv -М(34)Хз = Л/(12)22 sincp„; '
М2 sin<py -M(34)Zj = -М(12Ч cosqy
(4.4)
(4.5)
(4.6)
Исключая переменную из системы уравнений (4.6), по-
лучим:
Л/(34)х3=-^2-----Л/^Фг- <4’7)
cos ср г
Из условия совпадения осей Оу2 и Оу. следует, что
Чгз)* = Чз4)у3 А- так как М{22}уг = Му, получаем:
(4.8)
Уравнения(4.5), (4.7) и (4.8) могут быть записаны в матричной
форме:
89
1 0
^Сз4)х, cos ср
^(34)Ъ — 0 1
^(34)2, 0 0
/g<Py ’Л//
0 Л/3 (4.9)
1 .^4.
или в векторной форме:
л/Д3 = «,
(4.10)
1 0 -wr
cos ср
। де = 0 1 0
0 0 1
БУ
Обращая матрицу Аь. , получим
cos ср, 0 sin ср
(^у'=^; = 0 1 0
0 0 1
Для пересчета вектора в СК Б4 можно воспользоваться
cos ср. sin ср. 0‘
матрицей связи [1] А^ = -sin ср. cos ср. 0 , а так как
0 0 1
Л/Д' = окончательно получаем:
л/Д4 = л£л/Д3 = «Ж = 4Ж • (4.11)
Ь 4
Для матрицы связи Аь. верно следующее соотношение:
90
I
С08фг
S4
S’
costp,
1
-sintp.
cos<py
0
sin<p? - cos <p 7g<p„
cos<p. sincp./gfp^
0 1
(4.12)
Таким образом, зная движущие моменты М,. Л/,, приво-
дов Пр^,Пр^, Пр^ , можно определить составляющие про-
странственного вектора движущего момента, приложенного к
платформе 4 в проекциях на оси СК Б4:
coscp
------ simp.
cos ср,
^(34)>’4 — sincp. COSCP;
СО8ф_
_-^(34):4 _ 0 0
-cos<p/g<pv
sin <p/g<p „ M . (4.13)
1
Матричное уравнение (4.13) подтверждает, что при ортогональ-
но расположенных платформах (ф^ = 0,фт=0) матрица связи
вырождается в единичную (направления осей СК Б2, БЗ, Б4
совпадают) и моменты, приложенные к платформе 4 вдоль осей
Ох4, Оу49 Oz. совпадают с движущими моментами ЛЛ, А/3,
М4 соответствующих приводов Пр ц) , Пр^ , Пр^ . Причем по-
ворот «азимутальной» платформы на угол фЛ не оказывает влия-
ние на выполнения данного условия.
В общем случае, koi да ф ^0 и фг 0 только момент Л/(34) ,
приложенный к платформе 4 вдоль оси Oz4, совпадает но величине и
направлению с движущим моментом Л/4 привода Пру .
91
Движущие моменты, приложенные к платформе 4 вдоль ее осей
Ох4 и Оу4 оказываются зависящими одновременно от движущих
моментов М2, М3, М4 всех трех приводов Пр^ , Пр^ , Пр(
Не ортогональность рам карданова подвеса приводит к появлению
каналов передачи вектора движущего момента М*т на платформу 4
(полезная нагрузка).
4.3. Влияние возмущающих моментов
на динамику ОПУ САС
4.3.1. Возмущающий гироскопический момент
Для пересчета внешнего момента Mbf 4 , действующего на плат-
форму 4, к осям приводов Пр^ , Прф , Пр(У , воспользуемся мат-
рицеи связи АБ4:
COS ср . COS(py -sinф. СО5ф(, sin ср v
аб* -ГаБ4Т' - sin (р2 COS ф. 0 =Q
0 0 1
(4.14)
Тогда можно записать:
Л/2
м4_
coscp, cos<pr
sin <pz
О
-sin ср2 cos<pv
cos<pz
О
sin фу ‘
0
1 _-Ц/4)х4_
(4.15)
или в векторной форме
К=ел/;44.
(4.16)
92
Матрица Q характеризует преобразование внешнего момента
Л/^4, действующего на выходную платформу 4, через кинематику
конструкции ОПУ САС к выходным валам приводов Прг , Прц ,
77/? (результат действия внешней нагрузка на каждый из приво-
дов ОПУ САС).
При применении редукторных исполнительных механизмов с
высокооборотными двигателями может возникнуть необходимость
учета влияния кинетических моментов роторов таких двигателей в
виде дополнительных динамических возмущающих (гироскопиче-
ских) моментов, действующих на те платформы, на которых они
установлены.
При вращениях ротора, расположенного на платформе 4, в
инерциальном пространстве с угловой скоростью Q rot Пр вектор
кинетического момента вращающихся вокруг оси Oz{ частей ра-
вен:
^(Г4>4 ~ ^iS^a.rot.np^ ’
где суммарный момент инерции, приведенный к ротору двига-
т rrot . rred . Jzer \
теля, равен JZz=Jz + JZ + —).
<lred
В этом случае при наличии угловой скорости вращения
платформы 3 вокруг её центра вращения ЦВЗ (угловая скорость
вынужденной прецессии для вращающихся частей платформы 4),
возникает гироскопический момент реакции, действующий на
платформу 4, определяемый векторным произведением
Мгл = х Q /3. Такая ситуация показана на рис. 4.3.
Для оценки в общем виде составляющих вектора воз-
мущающего момента Л/Д4, приложенного к платформе 4, восполь-
зуемся соотношением, аналогичным (3.1), т.е. матричной формой
векторного произведения с привязкой к базису Б4'.
МБ^ = НБ* х О64
ZT4 77Г4 *
93
Рис. 4.3. Схема формирования момента гироскопической реакции
Из работы [5] известно, что для гироскопического момента
можно записать:
МБГ44 = Н% х Qf34 = -[Qf34 х .
Поэтому, используя это соотношение, а также записывая вектор
(Г4)х4
, можно представить следую-
(Г4)^4
(Г4)г4 _
7754
Г1Г4
т т Б4
™Г4 ~
щим образом: 0
/7/>4 v о/4 — ПГ4 Л “ ^(Г4)г4 0 “"(Г4)х4 0)(аЗ)у4 .(4.17)
~Н(Г4)у4 "(Г4)х4 0 J°(a3)z4 _
Т. е. операция векторного произведения может быть представ-
лена в виде умножения специальной матрицы размера 3x3, состав-
94
ленной из проекций вектора, стоящего слева в произведении, на
вектор стоящий справа.
Если вектор (для удобства представления) записать в виде
, то получим следующую зависимость:
54 х QS4 —
(4.18)
(4.19)
—
4.3.2. Возмущающий момент со стороны КК
Рассмотрим случай, когда возмущающий момент М* прило-
жен к внешней платформе 2 за счет пространственного вращения
КК (в частном рассматриваемом случае только вдоль оси Ох}), как
показано на рис. 4.4. По-прежнему будем считать, что вектор кине-
тического момента вращающихся вокруг оси Ozx частей равен
^(T4)z4 •
КК, совершая вращение вокруг своей оси ОхХх, передают при
этом на платформу 2 вместе с расположенными на ней платформа-
ми 3 и 4 момент М*к. Обозначим момент инерции суммарной
нагрузки вдоль оси Охх: Jlx, в этом случае для подвижных частей
можно записать второй закон Ньютона вдоль этой оси:
М* - */ь.фх = 0. Следовательно, суммарная нагрузка вращается
вокруг оси Охх со скоростью фЛ (угловая скорость вынужденной
прецессии), что приводит к возникновению момента гироскопиче-
ской реакции М, {п А , направленного вдоль оси Оух [5].
95
Рис. 4.4. Схема формирования возмущающего момента со стороны КК
Обозначим момент инерции суммарной нагрузки (платформа 3 с
расположенной на ней платформой 4) вдоль оси Оу\: Лг, в этом
случае для движения вокруг этой оси можно записать второй закон
Ньютона: Мгирц> ф =0- Суммарная нагрузка платформы
3 вращается вокруг оси Оу\ со скоростью <pv, что приводит к воз-
никновению момента гироскопической реакции Мгирл^ > направ-
ленного вдоль оси Oxt.
96
Угловое движение вокруг осей <7х( и Отбудет продолжаться
до момента выполнения равенства , что может
быть достижимо в случае М*к = const.
Но, даже при выполнении последнего условия за время проте-
кания процессов уравновешивания происходит поворот нагрузки с
моментом инерции на угол Дф вокруг оси Оу}, и на угол
Лфд. вокруг оси Ох},
Оценим динамику изменения углов Дф и Дф( при действии
момента возмущения со стороны КК М%к.
Из работы [5] известны следующие соотношения (записываем
их в скалярном виде):
мгир.^ =<PxSm(<py var)//z и =фузт(фх уаг)//.,.
Принимаем допущение: Фхуаг~>0 и фгуаг—>0, учтем при
этом, что фх = Афх и фг = Дфг, после чего записываем соотно-
шения для гироскопических моментов следующим образом:
МгиР.фуфх = ДФлЛгФ; И МгиР.фуфх = ДФ.гЛзФг > ™е
^ХгФт ~~ Л'z *
Запишем уравнения моментов относительно осей Ох{ и :
кк ~ ^гиР.фуфх ~~ Минлрх ~ ’
Мгирхруфх Мин.фу ~ 0 ,
ГДе: Мин.фх = ЛхДФх И Мин.фу = ДФу •
В развернутом виде с учетом проведенной линеаризации
(фЛУШ~>0 И Ф;ха1—>0) и» используя оператор Лапласа, эти
уравнения принимают вид:
- Нг А'Лф,. - ' Aipv - 0;
(4.20)
97
Граф, соответствующий системе уравнений (4 20)
рис. 4.5. ' ‘ Казан на
Рис. 4.5. Граф структуры гиропривода
Введем упрощающие обозначения: МГу=М,ир^ и
МГх ~~ Мгцр'ф^у •
Будем искать передаточные функции (ПФ), по которым опреде-
ляются динамические характеристики данного гироскопического
привода (гиропривода).
В соответствие с формулой Мейсона характеристический опре-
делитель гиропривода имеет вид:
д=1+тТ^=—~гп—
JZxJZyS
Прямые пути к выходным углам (А<рх и Д<ру) равны:
Лсрд Л/Д
Л<р j. Л/КА.
_2_
ПФ замкнутого гиропривода принимают вид:
98
Лф,АГ'к
т.1 XX
т X
мх
КК
н2
---5 !
Н2Х
дфЛ™ \лх
л КК
— s2 + 1)
Отсюда следует, что нутационная (переходная) составляющая
реакции данного гиропривода соответствует относительно слабо
задемпфированному колебательному звену с ПФ —-— --.
(^ф52+1)
Нz
Если использовать данный гиропривод в качестве усилителя
момента (выделен на рис. 4.5), то прямые пути к гироскопическим
моментам равны:
2
) _ _____Z р
МГхМ*к Т v ’ МГуМ*
2 ’
ПФ замкнутого усилителя момента принимают вид:
~S
z
> = ——
ЛЛХ
КК
^S2 + \)
Z
мгу 1
ф v =--------- =-------------.
МГуМкх Л/[Х
кк ( ь- ly s2 +
Z
ПФ разомкнутого тракта усиления момента соответствует инте-
Hz
грирующему звену с усилением ки = —-, а частота среза такого
звена численно равна этой же величине. Для гиропривода, в кото-
99
ром паразитные (не создающие кинетического момента Н2) мас-
сы незначительны, частота среза составляет от нескольких десят-
ков до сотни Гц. Интегрирующее звено для постоянного входного
сигнала (на нулевой частоте) имеет усиление (в идеальном пред-
ставлении), равное бесконечности, что говорит о высоком реаль-
ном быстродействии в широкой полосе пропускания тракта усиле-
ния момента.
4.4. Уравнения связи угловых скоростей платформ
ОПУ САС
Платформы 1*4 ОПУ САС представляют собой механическую
систему материальных тел, со связанными осями вращения. Каж-
дой платформе соответствует своя СК (базис): Б1, Б2, БЗ, Б4, нача-
ла и направления осей которых в исходном положении совпадают.
Углы <pv,<pv,(p_, представляют собой относительные повороты
платформ и являются углами Эйлера связи этих СК, последова-
тельность которых соответствует принятому взаимному располо-
жению осей вращения ОПУ САС (тип карданова подвеса). Угловые
скорости платформ (4.1) относительно инерциального простран-
ства представляют собой математические векторы, поэтому для их
пересчета из одного базиса в другой достаточно воспользоваться
матрицами связи базисов. Поскольку углы фг,фр,ф_, являющие-
ся относительными углами поворота выходных валов приводов
платформ, изменяются с течением времени, скорости их изменения
должны быть учтены при составлении уравнений связи угловых
скоростей платформ ОПУ САС. Учитывая последовательность
расположения платформы и взаимное расположение их осей вра-
щения, можем считать, что для каждой следующей по номеру
платформы движение в инерциальном пространстве предыдущей
платформы является переносным, а поворот относительно нее во-
круг собственной оси вращения - относительным. Вектор полной
(т.е. относительно инерциального пространства) угловой скорости
какой-либо из подвижных платформ в соответствии с теоремой
сложения скоростей [2] равен сумме векторов переносной и отно-
сительной угловых скоростей. Тогда, с учетом того, что положи-
100
тельные направления отсчета углов <рг,<р ,<р? и составляющих
скоростей совпадают, для угловых скоростей платформ в инерци-
альном пространстве получаем следующие соотношения:
Q*2
(4.21)
Принимая во внимание, что матрицы связи имеют вид [ 1 ]:
"1 0 0
аБ2 - ЛБ1 0 cos <р x sin <pv 5
0 -sin <P.v cos<px_
coscpy 0 -sinq>r
ЛБ2 ~ 0 1 0 5 > (4.22)
sin <р„ 0 coscp,
cos <р, sin <p. 0
аБ4 - ЛБЗ -sin<pz coscp, 0 5
0 0 L
математические векторы абсолютных угловых скоростей
а
платформ и привода соответствуют формулам (4.1) и (4.3), можно
записать следующие уравнения связи угловых скоростей платформ
ОПУ САС в матричной форме [4]:
101
Ю(я2)х2 РФх" Б2 ’1 0 0 ^(aDxi
W(a2)y2 = 0 + 0 cos срх sin (px 0)(а1)У1
0 0 -sincpx coscpx _(0(a1)z1 _
®(a3)xj 0 БЗ coscp^ 0 -sincpy W(a2)x2
“(аЗ)^ = РФу + 0 1 0 k
0 sincpv 0 coscp^ _ _^(a2)z2 _ (4.23)
W(a4)x4 0 Б4 coscpz sin срг 0 0(a3)xj
й(а4)Л = 0 + - sin cpz cos срг 0 ®(*3)y3 •
_й(а4)г4 _ 0 0 L
Выписывая соответствующие системе (4.23) уравнения в ска-
лярной форме и выражая слагаемые через составляющие абсолют-
ной угловой скорости выходных валов приводов и абсолют-
ной угловой скорости подвижного основания (КК) платформы
1 получаем следующие системы скалярных уравнений:
= РФх+{0(а1)х1 =«2;
®(в2)у2 =cos<PxW(fli)>1 +sin<px(0(al)Zi =(0(а1)У2;
W2 =“Sin<PAal)y1 +C0S<Px«(al)z1 =(W2’
®(аЗ)х3 = C0S Ф A - Sin ФЛ.1)2г ;
®(«3)Л = РЧ>у+<^2)У1 =«3;
®>(e3)lj = sin ФА + cos <p v(0(ol)Ij,
“w,,. = cos <рг cos <pyw2 + sin <p2(i>3 - cos ф, sin ф,,ю(<11)г,;
w<ai)>. = ~ sin Ф2 cos Ф A + cos фгю3 + sin фг sin ФАя1)»г ’
(4.24)
(4.25)
(4.26)
WM)z. = РФг+а>(а3)11 =w4.
102
Сопоставляя выражения (4.24)+(4.26) с выражениями (4.21),
(4.22), запишем уравнения (4.24^(4.26) в матричной форме:
®2
Ю(«1)Уг
0), ,,
0^3 _ jb’3
^La3 ~ 2
Q6'2 =
oi2
oj3
to,.,.
9
L^a4 “ ЛБЗ
0)2 COS<py-(0(ol)Z2Sin<p7
®3
®4
(4.27)
Подставляя в уравнения (4.26) значения ю(а1) из (4.24), полу-
чим:
®(О4)х4 = cos cpz cos <pv®2 + sin <pzco3 +
+ cos<pz sin<py sin <pz(o(al)n
w
-cos<pz sin<py cos<pxoi(
'(a4)y4 = - sin <PZ COS cpy(02 + cos <pzco3 -
-sin cpz sin <p„ sin <рхо)(а1)Л + sin cpz sin cpy cos <px(o(aI)Z],
0)(a4)z4 = И4-
(4.29)
О
О
Система скалярных уравнений (4.28) может быть записана в
матричной форме:
cos <pz cos <p v
-sincp2 coscp
0
0 cos <pz sin<pr sin<px
L= 0 - sin <pz sin ( sin ф
0 0
sin<pz
cos <p2
0
где: R =
-cos<p. sin vv cos<pv
sintp. sinip,, cos<pv
0
103
Уравнения (4.28) и (4.29) показывают связь абсолютной угловой
скорости платформы 4 с векторами угловых скоростей выход-
ных валов приводов Q*( и платформы 1 (КК) Q^1.
Умножая уравнение (4.29) слева на матрицу, обратную по от-
ношению к матрице R , получаем:
о; = R-'Q% - R-’mf,1 = TT’Qf4 - ГО®’ - ИЗО)
где: F R-' = y=R~ L ; cos<p2 coscp^ sin ср z 0 sin <pz coscpy cos<pz 0 0 0 1 •
Перем ножая матрицы R 'L ,3 апишем окончательно:
0 tg<S>y sinq ’x cos <pt
р = R-'L = 0 0 0 (4.31)
_0 0 0
Уравнение (4.30) может быть использовано для выражения аб-
солютных угловых скоростей выходных валов приводов через аб-
солютные угловые скорости выходной платформы 4 ОПУ САС и
основания (платформы 1, т.е. КК).
Матрица R (4.29) отражает преобразование абсолютной угло-
вой скорости (т. е. абсолютных угловых скоростей выходных
валов приводов Пр^ , Пр^ , Пр^ , измеренных в базисах тех
платформ, которые они приводят в движение) в угловую скорость
платформы 4 при неподвижной относительно инерциального про-
странства платформе 1.
Матрица L (4.29) отражает преобразование абсолютной угло-
вой скорости основания Q^1 в угловую скорость платформы 4 при
угловых скоростях выходных валов приводов Пр^ , Прц, ,
относительно инерциального пространства, равных нулю.
104
При <pv = О (это условие соответствует ортогональности осей
вращения ОПУ САС) все элементы магрины Л равны нулю, т. е.
движение платформы I не сказывается на движении платформы 4
(при абсолютных угловых скороетях приводов ///< , Пр. , Нр< ,
равных нулю)
При нарушении ортогональности осей карданова подвеса, т.е.
при ср, 0, движение платформы 1 (КК) влияет на угловое по-
ложение платформы 4 даже при СУ = 0, т. е. для парирования кач-
ки подвижного основания требуется компенсирующее вращение
выходных валов соответствующих приводов относительно инерци-
ального пространства.
Матрицы /?' и Р (4.30) отражают следующие преобразования:
У? - составляющих абсолютной угловой скорости, измеренных
вдоль осей базиса Б4, в составляющие абсолютной угловой скоро-
сти приводов при неподвижной относительно инерциального про-
странства платформе 1;
Р - составляющих абсолютной угловой скорости платформы 1,
измеренных вдоль осей базиса Б1, в составляющие абсолютной уг-
ловой скорости приводов при неподвижной относительно инерци-
ального пространства платформе 4.
Так, например, при = 0 (визирование неподвижной отно-
сительно инерциального пространства цели), как это следует из
уравнения (4.31), для парирования качки КК относительно трех его
осей требуется вращение лишь одного привода Пр^ .
105
Глава 5. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ
ВРАЩЕНИЯ ПЛАТФОРМ ОПУ САС
5.1. Общий алгоритм проведения исследования
динамики ОПУ САС
В рамках данного курса под уравнениями динамики будем по-
нимать уравнения связывающие моменты, действующие на тела
исследуемой механической системы, с угловыми перемещениями
тел и их производными.
На первом этапе исследования динамики механической систе-
мы рассматриваемого типа осуществляется разработка и обоснова-
ние физической модели исследуемой системы. Этот этап является
чрезвычайно важным и ответственным, так как полностью опреде-
ляет соответствие конечных результатов теоретического исследо-
вания действительным физическим процессам и, как следствие, их
практическую полезность. Продуманная в деталях и обоснованно
упрощенная физическая модель часто значит гораздо больше, чем
вся остальная работа по её исследованию, поэтому на выполнение
этого этапа никогда не следует жалеть времени.
Как это следует из приведенных выше материалов, динамические
уравнения Эйлера дня описания вращательных движений каждого из
тел ОПУ САС вокруг неподвижной точки (или оси) составляются в
СК, жестко связанных с платформами ОПУ, причем начало СК рас-
полагается в неподвижной точке вращения, а оси координат направ-
ляются по главным осям инерции тела. В связи с этим, для каждого
тела рассматриваемой механической системы должны быть введены
дополнительные СК (если имеющиеся не удовлетворяют упомя-
нутому требованию), в проекциях на которые составляются динами-
ческие уравнения Эйлера. Учитываются внешние моменты, моменты
от активных сил (моменты, развиваемые исполнительными привода-
ми), моменты реакций механических связей. С учетом углов Эйлера
(направляющих косинусов) составляются матрицы связи базисов
главных осей инерции с базисами платформ; а скорости, ускорения и
моменты пересчитываются из базисов главных осей инерции в кон-
структивные базисы платформ.
106
С целью упрощения и сокращения выкладок, обеспечения мак-
симальной наглядности и соответствия физике функционирования
системы при выполнении этого этапа рекомендуется использовать
следующий методический приём. Он заключается в том, что в ка-
честве основных переменных используются скорости и моменты
вдоль осей базисов платформ (ориентированных в соответствии с
осями вращения ОПУ САС), с помощью матриц связи базисов ско-
рости и моменты вдоль главных осей инерции выражаются через
скорости и моменты вдоль базисов платформ и производится заме-
на переменных в уравнениях Эйлера.
Следует напомнить одну принципиальную особенность САС,
резко отличающую динамику САС от динамики ИНС, - это дина-
мичность изменения углов (pv, <рг, ср„ между платформами кар-
данова подвеса. Эта особенность приводит к тому, что при отыска-
нии производных от сложных выражений, включающих скорости,
углы фх, фг, ф_ уже нельзя считать постоянными (как это дела-
ется при исследованиях динамики ИНС) и искать производные от
матриц связи (если рассматривают уравнения в матричной форме)
или от тригонометрических функций углов поворота (если рас-
сматриваются уравнения в скалярной форме).
Второй этап вывода уравнений динамики состоит в исклю-
чении в полученных уравнениях «лишних» переменных, тогда из
составляющих моментов остаются только компоненты вектора М*н
и векторов учитываемых внешних моментов, а из составляющих
скоростей остаются только составляющие векторов ГГ и Qf2.
Если исследуется физическая модель механической системы без
учета упругости опор, когда тела рассматриваются как абсолютно
жесткие (а моменты передаются мгновенно), для упрощения вы-
кладок можно при описании динамики не принимать во внимание
внешних моментов. Внешние моменты могут быть легко приведе-
ны к осям приводов с помощью матриц связи, аналогичных мат-
рице Q (4.14), и затем введены просто как дополнительные слага-
емые моментов на осях вращения (включаемые в полученные без
их учета уравнения динамики).
107
После исключения «липших» переменных искомые уравнения
записываются в виде трех уравнений разрешенных относительно
составляющих вектора движущего момента М'т, члены этих урав-
нений расположенные в правой части систематизируются по при-
знаку принадлежности к тем или иным обобщенным переменным
(или их группам для нелинейных членов уравнения). По получен-
ным скалярным уравнениям записываются уравнения в матричной
форме.
Третий этап заключается в исследовании естественных взаим-
ных связей между отдельными приводами и каналами плоскостей
сопровождения, оценке их веса, анализу возможностей упрощения
общей нелинейной математической модели механической системы.
Проводится, если необходимо, изыскание средств подавления
или компенсации нежелательных естественных взаимных и нели-
нейных связей.
5.2. Уравнения Эйлера, описывающие динамику
подвижных платформ ОПУ САС
5.2.1. Уравнение динамики платформы 4
Составление уравнений целесообразно начинать с платформы 4
ОПУ САС, у которой принимаем наличие плоскости динамической
симметрии У40х4 , расположенной перпендикулярно оси и
включающей в себя оси Ох4 и Оу4.
Следовательно, одна из главных осей инерции, а именно, Oz*4
платформы 4 совпадает с осью Oz4.
В соответствии с рис. 2.8 ось главного момента инерции <2л'д
лежит в плоскости динамической симметрии платформы
под углом к оси Ох4 : у = у0 — <pv. Аналогично, ось главного мо-
мента инерции Оу4 расположена в той же плоскости у4Ох4 под
тем же углом у к оси Оу4 .
108
ЦМ полезной нагрузки (платформа 4) совпадает с началом О
СК Б1+Б4. Введем СК оси которой совпадают с главными
центральными осями инерции платформы 4 (начало этой СК сов-
падает с ЦМ платформы 4).
Для режима автосопровождения характерны малые значения уг-
лов Ср. (на практике угол ср, не превышает десятка угловых ми-
нут), а вращение вокруг оси Оу2 отсутствует, поэтому можно при-
нять, что угол смещения эллипсоида инерции относительно осей
главных моментов инерции у постоянен и равен у0.
Пусть главные моменты инерции платформы 4 равны J ,
J?*. Тогда, обозначая внешние моменты и моменты реакций опор,
передаваемые от платформы 3 на платформу 4, приведенные к осям
инерции, через и МБ**, соответственно, покажем на рис. 5.1
эллипсоид инерции платформы 4.
В соответствие с (2 5.15) запишем:
г4* х Р^\а4*)х4* 1у ^\а4*)у4^ ^(a4*)z4„ ^(34)х4, “ ^(/)Х4. ’
г4* у Р^(а4*)у4. + (Л4*-. 0)(а4*)^ = ^(34)у4, >(5.1)
-4* z P^\a4*)z4* +(4*-* х )®(а4*)х4* 0)(а4*)^ = ^(34)z4,
СК Б4* может быть получена из СК Б 4 поворотом вокруг оси
Oz4 на угол Эйлера у, в соответствии с этим матрицы связи бази-
сов 54* и БА имеют вид (рис. 5.1):
cosy sin у 0 cosy -sin у o'
дБ^ ЛБ4 — -sin у cosy 0 • а™ - ’ ^S4* sin у cosy 0
0 0 1 0 0 1
(5.2)
Следовательно, можно записать в матричной:
W(o4*)x4, cosy sin у o' 0)(a4)x4
W(a4*)T4* — - sin у cosy 0 0)(a4).y4 ’
0 0 1 _°\a4)z4 _
(5.3)
109
Рис. 5.1. Эллипсоид инерции платформы 4
или в скалярной форме:
W(a4.)z4. = C0S Y%4)z4 + sin Y“(a4>,4 >
“(04.)^ = - sin Y<0(O4)z4 + cos ую(а4)У4; (5 4)
W(o4*)z4, “ W(a4)z4 *
Аналогичным образом могут быть записаны соотношения для
моментов, действующих на платформу 4:
+ sinyM(m;
+ cosyA/(/) 4 (5.5)
1 ЧГ)Ха.
^(ПУа.
М.А..
м.
(34)х4.
^(34)1»,
= СО57Л/(ПХ4
= -sinyM(/)X4
= *W
= cosyA/U4)X4 + sinyM134m;
= -sinyM(34)X4
= ^(34)z4 = М4.
(34)у4 ’
110
Подставляя (5.4) (5.6) в (5.1) и перенося r левые части уравне-
ний моменты, передаваемые от платформы 3 на платформу 4, а в
правые части уравнений - все остальные слагаемые, получаем сле-
ду юшнс зависимости:
cos уЛ/( М)х< + sin ?Л/(34)У1 » cos y4/>,4 + sin уЛ/(/)/4 + I
+J4*pcosyo)(o4)x + J4‘psinYd)(e4)J,4 +
+(Л° ~ Jу )(- sin yW(o4)X4 + cos уИ(в4)л )(o(a4),4; !
-sinуЛ/(34)Х4 + cosyM(34)>, = -sinyM(/)X4 + cosyM(/)>4 -
- J*y' p sin yo)(a4)X4 + J*’p cos Yw(o4)y4 +
+(JV4’ - J4’)(cos уы(а4)Х4 + sm yo)(a4)>,4 )o(e4)Z4;
•^(M)z4 = ^(/)z4 + P^aAz, +
+(Л4* “ Jx‘ )(COSуЮ(в4)Х4 + Sin y«J(a4)n )(“sin У“(в4)х4 + C0S YW(a4)y4 )•_
(5.7)
Чтобы в дальнейшем появилась возможность рассматривать
уравнения (5.7) для платформы 4 совместно с уравнениями для
платформы 3, необходимо моменты реакции, обусловленные взаи-
модействием платформы 4 с платформой 3, в уравнениях (5.7) вы-
разить в базисе БЗ.
Так как связь вектора данного момента в различных базисах
имеет вид Л/?? = , то можно записать:
34 Ь 3 34
-^(34)х4 ’ cos<pz sin <рг 0' ^(З4).г3
^(34) у4 — -sin<pz cos<pz 0 ^(34 >1,
^(34)z4 _ 0 0 1 _ ^(34Uj _
В скалярном виде последнее матричное уравнение представля-
йся следующим образом:
^(34)х4 = COS фг^(34)х3 Фж^Лз4)>»3 ’
м(34)у4 =~sin <ргЛ/(34)Хз +cosq\M(34)№;> (5 8)
^(34)z4 = ^(34)z3 ’
111
С помощью уравнений, идентичных (5.8) вектор внешнею мо-
мента также может быть записан в базисе БЗ:
= cos ф2Л/(/)Xj +sincpzAf(/)Zi;
M(.nyi = “sin + cos Ч>гМ<Пу, >
(5.9)
(»4
(П*з •
В уравнениях (5.7) для исключения лишних переменных необ-
ходимо все угловые скорости выразить через составляющие векто-
ров и Qfj2. Для этого можно воспользоваться полученными
ранее соотношениями (4.26).
Кроме того, в соответствии с (4.5) можно произвести следую-
щую замену в третьем уравнении системы (5.8):
^(34)z4 = ^(34)z3 = ^4 (5.10).
С учетом выполнения исполнительного механизма одной оси
вращения в виде двух независимых приводов появляется возмож-
ность реализовать взаимную компенсацию влияния возмущающих
моментов от кинетических моментов вращения роторов, что позво-
ляет в дальнейших выкладках не учитывать слагаемые с составля-
ющими внешнего момента М.
Также будем учитывать принятое ранее условие малости углов ср.
(как правило, в рассматриваемой задаче - несколько угловых минут, т.е.
~1(Г3 рад), что позволяет считать sin (рг = 0 и cos = 1.
В этом случае, подставляя (4.26), (5.8), (5.10) в уравнения (5.7),
получим:
cosyM(34)Xj + sinyM(34)>,3 = Jx4> cosy cos <pvo2 - J^cosysincp^
+J4*p sin yw, + (J4* - J4*) cos у(о3й)4 - I
-Ю’ - J4’)sinycos<pvio2(o4 + (J4* - J4*)smysin<.pvio(al),2(o. (5.11)
-sinycos<pzM(34)Xj +cosyM34l/i = -J4>sinycoscpvw2 +
+J4y’p sin у sin <p,,w(ol)Z2 + J^p cos yo)3 + (J4’ - J4') sin yw,io4 +
+(Y4’ - Л4’)cos Y cos <pv(02(04 - (J4* - J4*) cos у sin фу(0(я1)22 w4 •
(5.12)
112
i л r4* . z г4* г4* \ * 2 2
MA=JZ p<a4-(Jv -Jx ) sin у cos у cos <p„w2 +
+( J4‘ - J4*) sin у cos y®3 + (J4’ - J4*) cos 2y cos <pr®2®3 +
+(J4* - J4’) sin у cos у sin2 <p„®2al)Z2 + (J4* - J4’)sin<p,o3®(al)Z2 +
+(Jr‘ - Л4*)sin 2Ysin <Pvcos <Pv®2®(ai)Z2 • (5-13)
Учитывая, что ф_ « 0 и у — const для производных в уравнени-
ях (5.11)^-(5.13) можно записать следующие выражения:
/?(cos у cos <p>vco2) = cos у cos ф р(о2 - cos у sin фу со2/?фу;
p(cos у sin <pyv\al)l2) = cos у sin cpyjp®(al)Z2 + cos у cos cpv®(al)Z2 p<py; I
р(8ШуСО8ф (02) = sin у COS ф P®2 -8ту8Шфу(02/7фу ;
Xsinysin<p3,®(al)Z2) = sinysintp^ffl(al)Z2 + sinycoscp>,®(al)Z2p<pr J
(5.14)
Из второго уравнения системы (4.25) следует /?фу = ш3 - 0)(a2)v ,
что с учетом второго уравнения системы (4.24) позволяет записать:
^<Ру=®3-®(а1)Л' (5-15)
Подставляя (5.14) и (5.15) в (5.11X5.13), получаем следующие
соотношения:
cosyAf(34)z. +smyM(34)j,3 = Jx cosycos<p^®2 - Jx cosysintp,®^ +
+J4‘ cos у sin <р„®2ю(а1)л + Л4’ sin yp®3 -
-J4* cos у sin <pyp^a])Z2 - J4’ cos у cos tpv(o(al)Z2 w3 +
+J4‘ cosy cos <рую(а|)г2®(а1)3,2 -(j4* - J4’)sinycoscpv®2®4 +
+(Y4‘--/4‘)sinysincpv®(al)Z2®4-(J4*-J4‘)cosyw3M4 = (5.16)
- sin yA/(34)Zj + cos уЦ34)Л = - J4’ sin у cos q>ypw2 +
+J4’ sin у sin q> w2w3 - J4’sin у sin <p ®2®(al) + J4’cos ypw3 +
+Jy' sin ysin<pvpw(al)Z2 + J4* sinycos<pvw(al)Z2®3 -
-J4* sin у cos <p„®(al)Z2®(a)b,2 + (Д4* - Д4’) cos у cos cpv®2®4 -
~(j4’ -Y4*)cosysin(pv®(al)Z2®4 + (Y4* ~ Д4’)8(пу«з®4 = 4• (5.17)
113
МА = 4*Р«4 ~(4* - 4*) sin у cos у cos <pv(07? +
+(J*‘ - J4’) sin у cos yo)2 + (J4* - J4‘)cos2ycos<pi)o),o)
+(J у ~ JT) sin 2y sin <pv cos <py(o2 (0(el)Jj +
+(J,. -J, )sinycosysin tpv0)(al)l2-
-(4’ ~4*)sn^/o3a)(ol)Z2 = 4- (5.18)
В дальнейшем потребуется исключать из общей схемы уравне-
ний моменты реакций взаимодействия платформ 3 и 4, поэтому
получим выражения для их определения через правые части урав-
нений (5.16) и (5.17):
Чм* cos у + М(34)Уз sin у = 4; 1
-^(З4)х3 sin у + Л/(34)й cos у = 4. J
Из этой системы уравнений получаем следующие соотношения:
М(34);(з = 4 cos у - 4 sin у; Э
М(34)Уз = 4 sin Y + 4 cos У • J
Подставляя в (5.18) выражения для 4 (5.16) и Л2 (5.17), получаем:
Мз4)х3 = (4* cos2 у + 4*sin2 У) cos (р^(02 +
+(4* - J4’) sin у cos у/?(о3 -
-(4* cos2 у+ J4’ sin2 y)sin<pv©2id3 +
+(J4’ - 4*) sin У cos у cos q> ,.0)3(04 +
+(4* - 4* s*n2 У “ Jy* cos2 У)“зй4+
-(J4* cos2 y+J4‘ sin2 у)со8ф,.(0(й1)г2(03 +
+(J4‘ cos2 у + 4‘ sin2 у)81Пф,,(02(0(а1)>.2 +
-(J4‘ cos2 у + J4‘ sin2 y)sin Ф„/ио(Л1)г2 "
+(J4’ cos2 y +J4‘ sin2 у)собф3,(0(в1)г2(0(в1)Л +
+(4‘ - 4’)sin у cos у sin “4=4-
(5.20)
114
= (-,Г “^*)81ПуСО8уСО8ф1,р(02 +
+(J*’ sin ' у + J? cos Y)/хо, - (./*’ - J '') sin у cos у cos <ри/хлГа11!
+(J, cos y-Jy sin y-J2 cos2y)cos<p o)2o),-
-(Д4’ - J^’)sinycosysin(pvo)2(t)j + (J^’ - J,‘')sinycosy(!),<i)4 +
+(Л4’ -^v*)sinycosysin<pv(0,to(ol)Z2 -
z у 4* 2 r4* • 2 r4* \ •
-(Л cos y + Jv sin y-Jz )sin<p^4(0(el)22+
+(Л4’ - Jy )sin Y cos Y sin «Ww* +
+(JA4’-J"’)sinycosYCos<pv(o(al)Z;o)(anv2 = 4- (5.21)
Третьи уравнения систем (5.1), (5.7), а также уравнения (5.6),
(5.10), (5.13) и (5.18) относятся к оси вращения Oz. платформы 4 и,
по существу, представляют собой зависимость движущего момента
Л/4 от угловых скоростей Q*; и Q^2.
Таким образом, уравнения динамики вращения платформы 4
могут быть представлены в следующей форме:
^(З4)х3 ~ 4 ’
^(з4).Уз=Л’ * (5.22)
м4 = 4. J
5.2.2. Уравнение динамики платформы 3
ЦМ платформы 3 лежит на оси Оу3 и в общем случае он не
совпадает с точкой О пересечения осей вращения Оху и Оу\.
Платформа 3 совместно с платформой 4 обладает плоскостью ди-
намической симметрии х3Оуъ, расположенной перпендикулярно
оси Oz3 и включающей в себя оси Ох3 и Оу}.
Введем вспомогательную СК БУ ()x\y\z\, связанную с плат-
формой 3, оси которой совпадаю! с главными осями инерции згой
платформы. Одна из главных осей инерции Oz\ совпадает с осью
115
Oz3, остальные лежат в плоскости Х3Оу3 и отклонены на постоян-
ный угол р относительно соответствующих осей СК БЗ Ox3y3z3
Пусть главные моменты инерции платформы 3 равны J ,
. Тогда, считая, что для платформы 3 моментами внешних сил
являются моментами реакций со стороны платформы 2 (М23) и со
стороны платформы 4 (М43), покажем на рис. 5.2 эллипсоид инер-
ции платформы 3 с нагрузкой.
Рис. 5.2. Эллипсоид инерции платформы 3
Учитывая, что М43 =— М34, записываем динамические уравне-
ния Эйлера (3.15) в проекциях на главные оси инерции базиса 53 :
116
^х Р®(а1*)х^ + z ^у )U)(a3*V3.0)(a3*)z> “ ^(23)х3. ^(34)x3. ’
у Р^{аЗ*}у^ (*^х *^z )W(a3*)xj. ^(аЗ*)х3. — ^{23}уу, ~ ^(34)^*
z Р®(аЗ*)г^ + (Jу ~^х )(0(аЗ*)х3.С0(аЗ*)у3, = ^(23)х3. “ (З4)х3„ ' '
(5.23)
СК БЗ* может быть получена из СК БЗ поворотом вокруг оси
Oz$ на угол Эйлера р, в соответствии с этим матрицы связи бази-
сов 53* и БЗ имеют вид (рис. 5.2):
cos Р sin р 0 cos р - sin р 0
ЛБЗ - sin р cos р 0 ASi - ’ Б 3* sin р cos р 0 • (5.24)
0 0 1 0 0 1
Следовательно, можно записать в матричной:
®(оЗ»)х3. cos р sin р 0 Ш(аЗ)х3
И(оЗ*)Л. — -sinp cosp 0 ®(«3)Л (5.25)
° 0 1_ _®(яЗ)23 _
или в скалярной форме:
®(аЗ*)лз, = cosp(d((I3)Xj+sinp®(fl3)^; j
“(аз.)Л, = -sinp®(a3)Xj + cospffl(a3)j,3; b (5'26
ш(«з*к ” C0(«3)z3 • J
Аналогичным образом могут быть записаны следующие соот-
ношения:
^(23)x3. =cos рл/(23)хз +sinpM(Wj; '
•^(23)уз. = ~ sinp3/(23)Xj + cos рЛ/(23)й;
МгЗ)23. = ^(23)2, •
Чз4)х3. = cospA/(34)Xj +8шрЛ/(34)л;
Чз4)Л. =-sin₽A/(34)x! +cospAY(W3;
^(34)2j. - ^(З4)23
(5.27)
(5.28)
117
Подставляя (5.26)~^(5.28) в (5.23) и перенося в левые части урав-
нений моменты, передаваемые от платформы 2 на платформу 3, а в
правые части уравнений - все остальные слагаемые, получаем
окончательные зависимости:
cos рЛ/(23)Х1 + sin рл/(23)уз = cos рЛ/(34)Хз + sin рЛ/(34)л +
+ J>cospw(o3Mi + J3>sinp®(a3)^ +
+ (J3* - J3*)(-sinpco(a3)Xj +С08рф(о3)л)й(я3)гз;
- sin pM(23)Xj + cos рЛ/(23)л = - sin рЛ/(34)Хз + cos рМ(34)л -
- J3>sinpco(a3)X3 + У3>со8рю(а3)л +
+ (J3* - Л3*)(со8р®(<13)Хз +sinp®(o3)j,3)o(a3)Z3;
+ Л3>®«згз +
+ (J3* - J3’)(cospM(a3)X3 +sinp<0(o3^)(-sinp®(e3)X3 + cos р(о(а3)л )J
(5.29)
В уравнениях (5.29) присутствуют компоненты векторов моментов
и М^3 , причем во втором и третьем уравнениях системы (5.29)
компоненты М^3 выражены в базисе БЗ. Поэтому для согласования
уравнений динамики платформы 3 с уравнениями динамики платфор-
мы 2 необходимо компоненты вектора М^3 выразить в базисе Б2.
Так как связь вектора данного момента в различных базисах
имеет вид М^3 = А£3М?2 , то можно записать:
^(23)x3 ^(23)й _^(23)z3 _ — COS(py 0 sincp^ 0 -sin(py, 1 0 0 cosq\ -^(23)х2 ^(»)л _^(23)z, _ •
В скалярном виде последнее матричное уравнение г ется следующим образом: м(2з^3 =cos<pyAf(23)X2 - sin ф„Л/(23)г;; ' ^(23)у3 = ^(23)Л ’ Чгз^ = sin<p„A/l23)Xj +cos<pvA/(23122. _ [редставля- (5.30)
118
Из условия совпадения осей ()у2 и Оу\ верна следующая зави-
симость:
^(23)>»3 = ^(23)у2 = ^з (5.31).
Аналогичным образом запишем (с учетом системы уравнений 4.23):
w(fl3)x3 = cos<p,(o(a2)jr. -sincpva)(fl2)Z2;
®<аЗ)Уз — (t)(a2)y2 = W3 ’
<%3)z3 =Sin<Pv(0(a2)x2 +COS(pvW(fl2)Z2 .
Также можно записать:
“(O2)x2 = ®(al)x, = ®2 ' (5'33)
Подставляя (5.30) и (5.31) в (5.29) и выражая с помощью соот-
ношений системы (4.25) все угловые скорости через компоненты
векторов Q*;, Qf’ и , получим
cospcos<pvM(23)X2 -cospsin<pyAf(23)Z2 = -sinPA/3 +
+ cospM(34)Xj +sinpM(34)^ + Jj>cospcos<pym2 -
~Ур cos P sin <pv(0(el)Z2 + У p sin p(03 +
+«!* - j’*)(-sinpcoscpyo)2 +sinpsincp7(o(al)Z2 +
+ cos po)3) sin фv(02 + (J3* - J3*)(- sin p cos <p v®2 +
+ sinPsin<pvo)(al)Z2 +cosp(o3)coscpy(o(al)Z2. (5.34)
- sin p cos Ф3.Л/(23)Хг + sin p sin фуЛ/(23)г; = - cos РЛ/3 -
-sinpM(34)Xj +cospA/(34)№ - J3; p ship cos фую2 +
+У*Р sin p sin фу(о(а1)г2 + У p cos p(D3 +
+(Jx* - У )(cos P cos фу(02 - cos P sin фуw(al )Z2 +
+ sinpW3)SH^/02 +(JX” - 7х*)(С08Рс08фу(1)2 -
-СО8р8П)фуй)(а1),2 +8тР(1)3)С08ф,,(1)(а1)Х2 . (5.35)
8Шф^Л/(23)Х2 +СО8фуЛГ(23),2 = Л/4 + Jz'*psinq\(D2 +Л<>СО8фу0)(а1)22
+(J3‘ -У’’)с08рС08фу(02(-8трС08ф1,(02 +8тр8Шф1,Ю(а|),1 +
119
+cos p®3)-(J3’ - J3’)cospsin<p/o(al)22 (-sinpcos<p„0)2 +
+sinPsin<pvw(al)2 +cos0(o3) + (Jv'’ - J3*)sinpoj3(-sinpcos(py(e2 +
+sinpsin<p ®, n +cospw3).
(5.36)
Учитывая, что p = const, и поэтому cos0 и sin^ выносятся за знак
производной, получаем с учетом второго уравнения системы (4.25)
по аналогии с системой уравнений (5.14):
Xcos cp^o2) = cos <pv/?(02 - sin <pvcd2 0)3 + sin <р?й)2о)(д1)Уг;
/’(sin (р„®(а1)22) = sin <-Pypc\al)22 +
+ cos cpv®(al)22 ®3 - COS <py®(al)22 ®(а1)л;
/?(sin <p„®2) = sin <pv/?®2 + cos <py®2®3 - cos <py(a2aWy2;
Xcos<pv6)(el)22) = cos <pv^®(al)22 - sin <py®(ol)2,w3 +
+ 8Ш<р^(а1)22®(а1)у2.
(5.37)
Подставляя (5.37) в (534)^(5.36) и выполнив приведение подоб-
ных членов, получаем следующие соотношения:
cospcostp^M^ -cosPsin<pv7W(23)22 =
= -sin рмз + cos рЛ/(34)Лз + sin РМ(34)Л +
+/3’ cos P cos tpypo)2 - (J3* + Jy ~
J2*)cosPsin<pva2®3 +
+J;’*cospsincp7w2w(ol)y2 - J3’cospsin<pyp(o(a))22 -
-(J,3* + J3* - J3*) cos p cos <pv(o(aI)Z2 % + J3* cos p cos ср/о(д1)22 ®(а1)Л +
+J3’sinPpw3 -(J23’ - J3‘)sinPsin<pv coscpy®2 -
-(Z* - Jy ) sin P cos 2<py(B(al)22 w2 +
+(Л3’ - J3’)sinPsin cpv cos<p„(o(2al)22 = 5,. (5J8)
-sinpcoscpyA/^ +sinpsin<p^Af(23)22 =
= -cospA/3-sinpA/(34)Xj +созрЛ/(34)Л -
-J3*sinPcos<pvpw2 + (Jf + J'y ~J3*)sinpsinср^йг^з"
-J3’sinPsin<p>,(i)2(o(el)y2 +J3’sinpsin<pv/?w(ai)22 -
120
^* + J;’* -Z‘)sinpcosq?vo)(01)X20)3 -J3* sinpcoscp^^o)^^ +
+J’*cosppw, + (J3* - J/)cospsin<pv cos<pvo)2 +
+(Л” -•/z*)C0SPC0s2(P.rft)(Ol)z2®2 “
-(Jx3* - j’’)cospsin<p„ coscp, W(O|)Z2 = B2. (5.39)
sin<pvA/(23)X2 +cos<p//(23)Z2 = M4 + J3‘ sin tpypo)2 +
+[Z* + (^3‘ - J3*) cos 2p] cos <pr<o2co3 -
-Л* cos ф y®2(i>(al)y2 + J3’ cos (pypw(al)22 +
+J;' sin<pv(o(al)Z2(o(aI)y2 - (J3’ - J3’) sin pcos pcos2 <pvio2 +
+(Jy --Osinpcospsincp^, coscp^0)(al)Z2(02 -
4Л3‘ + (Jy -Jx3’)cos2p]sincpj(o3®(al)22 -
-(J-* - J3’)sin pcospsin2 <р?®(а1)г2 + (J3* - J3’)sin Pcos Pw3 = Вз•
(5.40)
Вторые уравнения систем (5.23) и (5.29), а также уравнения
(5.35) и (5.39) описывают вращение платформы 3 вокруг оси Оу3,
поэтому с их помощью можно получить зависимость от Q’; и
СУ2. Уравнения (5.38) и (5.40) содержат информацию о компонен-
тах вектора момента реакции связей платформ 3 и 2, поэтому за-
пишем уравнения (5.38) и (5.40) в виде:
маз)х2 cosрcos <ру - M(2i}Z2 cos psin <р„ = Д; [
Л/(34Ч sin <Р7 + M(23)Z2 cos cp„ = В3. J
Из этой системы уравнений получаем следующие соотношения:
cos cpv
М12Г)Х1 = в, sin <p v + —— Вх;
sincp,,
^(23)z2 = ВУ COS‘Py - —Г Bl • <541)
C i 'л | >
Подставляя правые части (5.38) и (5.40) в систему урав-
нений (5.41) и приводя подобные члены, запишем:
121
ъл
(jSO3
W’d>soo'dnns(.£/’-,l7) + <bu-s^i’-
‘’"•f7v’d> ins - r/v 4b ms
(jS03
{fuis
+ ’’jy4 disoo =
‘‘‘«Ту
(Cf<) W = V'0’*^ :u’s .{Г + Л<Ъ гЯОЭ -£^+
^ii’w\t> soo cbuis^—-^-( V— V) +Л<Ь uis{jsoo{juis(<i(./’—<c/’)]+
+ г L ’ (jins 1 4 1
! ^WAcbsooл<Ьш$( У- У)+ 4o‘A<1PWcbsoo 'cbuisQ/'- *£/*)~
- £G)‘2"'”o){‘,d> .uisf^sooQf- .£/)+.£/’]“
-id>jS03(.£Y-.;/-+.£7)}-
- 4n :г"‘,)(0[ 4<b soo 4<Ьг SOO
- ’d>uls''d>зulS£|soo^uIs(>£/- ,£Г)]+
+ £ra'<buis^soofjuis(t£/’- ф£/’)+
jjsoo
+ ico’ib ,soo '<b uis-—
z ^jins
(<r-d:uis .y + djSoo >£7)+
+ £гочо thsoo 'd>uisjQT’-(j ,uis i£f + £| .soo ,’f)-
- Wibsoo
(jsoo
^ilis
+ :vd(*d> Uis 7 + 'cb soo >)+
U(K) dsoo
4- /V cbsoo--------4-
0U1S
X a._____ f 4 J dsoo _ z.
+ /V disoo + '^f ibsoo---------d>uis= *<(t)
(JUI8
W Sill Р . z • 5 7
'J' ^flShl<Pv/X0’+(Jl s,n ‘Pv+Л cos2 <pr)p®(el)Ji +
+[(•/’* + -C + -C cos 2tpv) - 2cos? <pv(J'* cos2 p + Jl‘ sin' p)]<o2o>( +
। г/ • 2 r3*\ sin P
+[(Л sin <p -Jv )—-cos<pv +
cosp
+(/’" cosp cos <pv - j'' sin P)sin pcos2 <p J«)2 +
+(J,” - Jf) sin pcos pcos <pvw2 +[(•/'” - J’*)sinPcospsin<p„ cos' <p, +
3. 3. sin p
+«- ~Jy )^pcos2<p4e)2®(^ +
+ sin 2<рД(J3’ - J3*) cos2 P + J3' sin2 -
-(J3’ sin2 <pv + J3* cos2 <pv)®2(o(al)y2 +
+[(.73’- JA’)sinpcospsin2<p cos<pr +
/ r3* r3*\ sin P . 2 12
+(Л -Л- )-----„sin-cp cos<p ]®(al) +
cosp
+(•/’’ - Л”)81ПФУ COSCPAallyAalfe = B5 • <5-43)
Представим правую часть уравнения (5.39) в виде полинома:
Bt = В2 + М3 cos р,
после чего слагаемые левой части этого уравнения, содержащие М(23)х>
и Л/(23)г^, перенесем в его правую часть. В результате запишем:
М3 cosp = M(23)x sinpcos(|)v -A/(23)z sinpsin<|>v +B2.
В данное соотношение подставляем значения из (5.41) и получаем:
,v,cosp = + (5.44)
cosp
123
В полином В{ (5.38) входит слагаемое, пропорциональное м
(т.е. -sinpA/3), которое после умножения на множитель —^1
cosp
и sin2P
оказывается равным -м3-------.
cosp
Таким образом можно записать:
= - sin РМ. + Д*.
с sin?₽
Если полученное значение слагаемого -М.------- перенести в
cosp
левую часть уравнения (5.44), то эта левая часть запишется:
М, cos В + Л/, ——= Л/, ——.
3 н 3 cosp 3 cosр
Подставляем в (5.44) выражения Вх (5.38) и В* = В2 + 7И3 cosp,
где В2 - правая часть уравнения (5.39), выполним операцию по
переносу слагаемого с М3 из правой части в левую, умножаем обе
части равенства на cosp и приводим подобные члены:
= М(3*)у, ~(Jy -)SinРcospcosф„/?(02 +
+(J3’ sin2 р+J3* cos2 P) p&3 +
+(J3‘ cos2 p +J3‘ sin2 P- J3,)cos2(p,0)2(0(e1)Z2 -
-(•/’* -Л3’) sin P cosp sin <py(B2a)(al)j,2 +
+^y -Л3‘)sin₽cospsin<pypo\al)Z2 -
~Uy -J3’)sinpcospcos<pz(0((,))Z2W(al)>2 -
-(J3’cos2p+J3’sin2p-J3,)sin<pycos<p,,w2al)Z2 = Bb. (5.45)
Таким образом, уравнения динамики вращения платформы 3
могут быть представлены в следующей форме:
124
^/[23)х2 = ^4 ’
^(23)_у2 ~ Ч ~ ^6 ’
^(23)z2 = ^5 ‘
5.2.3. Уравнение динамики платформы 2
ЦМ платформы 2 лежит на оси Оу2 и в общем случае он не
совпадает с точкой О пересечения осей вращения Ох2 и Оу2.
Платформа 2 совместно с платформами 3 и 4 обладает плоско-
стью динамической симметрии х2Оу?, расположенной перпен-
дикулярно оси Oz2 и включающей в себя оси Ох2 и Оу2.
Введем вспомогательную СК Л2* Ox2y2z*, связанную с
нагруженной платформой 2, оси которой совпадают с главными
осями инерции этой платформы. Одна из главных осей инерции
Oz2 совпадает с осью Oz2, остальные лежат в плоскости х^Оу,
и отклонены на постоянный угол а относительно соответ-
ствующих осей СК Б2 Ox2y2z2.
Пусть главные моменты инерции платформы 2 равны
J2*, J1*. Тогда, считая, что для платформы 2 моментами
внешних сил являются моментами реакций со стороны плат-
формы 3 (М32) и со стороны платформы 1 (Л/,2), покажем на
рис. 5.3 эллипсоид инерции платформы 2.
Учитывая, что М32 = — М23, записываем динамические уравнения
Эйлера (3.15) в проекциях на главные оси инерции базиса 2>2*:
Р0)(а2*)х2. Т (Jz ~~Jy )(,)(«2*)y2/j)(a2*)z2. = ^(12)х2ф " ^(23)х2. ’
Р®(а2*)у2. + СЛ ~^z )0)(«2*)x2.0)(a2*)z2. = ^(12)v2. ~ ^(23)У> ’
P^(a2*)z2, + (Jy х )Ш(«2*)х2/°(а2*)у2. ~ ^(12)z2. “ ^(23)z2.
125
Базис А2* представляет собой СК Б2, повернутую относитель-
но оси Oz2 на угол a, поэтому:
cos a sin a 0 cos a - sin a 0
АБ2" - ЛБ2 ~ - sin a cos a 0 ; = sin a cos a 0 . (5.48)
0 0 L [° 0 1
Следовательно, можно записать в матричной:
W(a2*)x2. cos a sin a o' W(a2)x,
&W)y2. -sin a cos a 0 W(a2)v2 , (5.49)
OL 0 0 1 (Oz
L (*2*)z2, J lu(a2)z2 _
или в скалярной форме:
<W)x2. = COSRa2)x2 +sina(W2 ’
=-sinao)(fl2)X2 +cosaw(a2b, ;
^(a2*)z2„ ~ (,)(a2)z2 ’
126
Аналогичным образом могут быть записаны следующие соот-
ношения:
Мед*. = с08аМед* +sinaM(12)>,3;
М12).*. =- sin aAf(12)X2 +cosaA/(12)/2; M12)*. = M12)* ’ > > (5.51)
Мед*. = cosaAf(23)X2 + sin «Мед*;
Мед*. =-sinaAf(23)x2 +cosaM{23te; Мед*. ~ Мед* > > > (5.52)
Подставляя (5.50)^(5.52) в (50.47) и перенося в левые части
уравнений моменты, передаваемые от платформы 1 на платформу
2, а в правые части уравнений - все остальные слагаемые, получа-
ем окончательные зависимости:
cos clW(12)X2 +sinaA/(12)y2 = cosaM(23)X2 + sinaM(23)j,2 +
+ J^pcosao^ +^>smat)(o2|V! +
+ (J2* - J2*)(-sinao)(a2)^ +coscao(e2)^)io(e2)Z2;
-sinaM(12)X2 + cos aM(12)y2 =-sinaM(23)X2 + cos aM(23)72 -
- 42>smaw(a2)X2 + J^p cos aa(a2)y2 +
+ (Л2* -Л2’)(созаш(а2)Х2 +sma(o(a2)V2)(fl(a2)Z2;
Mj2)z2 =-^(23)z2 "'"Zz +
+ Ц2' -Л2’)(соза(о(а2)Х2 +sma®(e2)j,2X-sina&>(o2)X2 + cos aw(a2)y2
(5.53)
Компоненты векторов моментов Mf2 и М22 в уравнениях си-
стемы (5.53) выражены в базисе Б2. Компоненты момента реакции
платформы 3 на платформу 2 при составлении уравнений динамики
платформы 3 ранее были также выражены в базисе 2 (5.30 и 5.31),
поэтому какого-либо дополнительного согласования базисов не
требуется.
В рассматриваемом нами случае следует учитывать лишь со-
ставляющую момента М[\2 вдоль оси вращения Ох2, т.е.
M(i2)x2 ~ ^(12)%! ИЛИ’
127
М2 = A/(12)t2 = /И(12)Г( (5.54).
Следовательно, в дальнейшем нс требуется представлять ком-
поненты вектора момента Л/122 в базисе Б1 платформы I.
И лишь в случае крепления основания ОПУ с помощью аморти-
заторов следует пользоваться соотношением Л//’2 = или:
^(12)х2 ’1 0 0 ^(12)Xj
^(12)^ = 0 cos<px sin<px
^(12)z2 _ 0 - sin фх coscpx_ _^(12)2, _
В уравнениях (5.53) угловые скорости выражаются через ком-
поненты векторов Q*; и О.Б^ с помощью соотношений (4.24) на
основании (4.2) и (5.31) и замены М(23Ьч = Л/3.
Учитывая, что а = const и cos a, sin а выносятся за знак про-
изводной, получаем после раскрытия производных от произведе-
ния и приведения подобных членов:
cos аМ2 + sin аЛ/(12)у? = cos aM(23)^ + sin аЛ/3 +
+Л2'cos ap»2 + Л2* sinaP®(ai)v2 - (Л2’ - ^2’)sin ай)2(0(а1)2! +
+(J2’-J2*)cosaw(al)zw(al)j,2 = Д. (5.55)
-sinaAf, + cos аЛ/(12)у2 =-sinaA/(23)r + cosaAf3 -
-J2' sin apw2 + J2’ cos ар®(а1)л + (J2’ - J2’) cos aw2w(al)2; +
+(J2‘ - J2,)sinaw(al)z a(al)y2 = D2. (5.56)
412)Z2 = M(23)z2 +J?Pa>«.m2 -Oy - J?) sin a cos aw; +
+Oy -Л2')соз2а®2“(а|)Л +(j2‘ --^sinacosaw2^ = D}. (5.57)
Учитывая, что «лишняя» переменная в уравнении (5.55) мо-
мент Л/(12)) - входит в уравнение (5.56), определяем момент ЛЛ
из этих двух уравнений:
128
M2 cosot + A/(12)Vi since = D};
-M. sina + cosa = Z>9. I
Исключая из этой системы уравнений момент МП2 , получаем
следующие соотношения:
М2 = D} cos a - D2 sin a; I
^(12)>, = £>1sina + Z>2cosa J (5.58)
Подставляя значения D} (5.55) и D2 (5.56) в систему уравнений
(5.58) и приводя подобные члены, получаем:
М2 = Л/(23)^ + (J2* cos2 a + J1* sin2 a)/?co2 +
+<Z‘ -Jx‘)sinacosaco2w(al)Z2 -(J2* - J2’)sinacosap®(fll)72 -
-(J2* sin2 a + J2* cos2 a - J^al}z^(al)y2 = Z>4; (5.59)
М12)Л = Мз “ (j2y ~ j2*) sin a cos OP®2 +
+(J2* cos2 a + J2’ sin2 a-J2’>(al)Z2®2 +
+(J2’ sin2 a + J2* cos2 a)p<B(al)j,2 -
-(J2* - J2’) sin a cos а®(а!)л ®(al)Z2 = Z)5. (5.60)
Таким образом, уравнения динамики вращения платформы 2
могут быть представлены в следующей форме:
м2 =D4;
M(t2)y2=D5; Л (5.61)
^(12)z2 = Г»3 . У
129
Глава 6. УРАВНЕНИЯ МОМЕНТОВ
ДВИЖЕНИЯ ИНЕРЦИОННЫХ МАСС ОПУ САС
6.1. Постановка задачи
Полученные в главе 5 системы уравнений (5.22) - для платфор-
мы 4; (5.46) - для платформы 3; (5.61) - для платформы 2 описы-
вают пространственное вращательное движение этих платформ,
соединенных между собой и с основанием КК (платформа 1) через
оси вращения.
Как и для одномерной задачи (динамика движения инерционно-
го тела относительно локальной оси вращения подробно рассмот-
рен в [1]) основной интерес представляет связь движущих момен-
тов, развиваемых приводами, с параметрами угловых скоростей
вызываемых ими движений платформ. В одномерных системах
инерционная масса тела вращения определяет связь между ускоре-
нием вращения и движущим моментом относительно той же оси. В
рассматриваемой многомерной системе имеется три оси вращения
и три подвижных тела, инерционные массы вращения которых ха-
рактеризуются эллипсоидами инерции. «Перекос» эллипсоидов
инерции (отклонения от идеальных сфероидов инерции) приводит
к взаимному влиянию инерционных масс, проявляющемуся в виде
моментов сил реакций в опорах осей вращения.
В данном разделе выявляются взаимные связи между приводами
осей вращения, показываются физические причины, приводящие к
появлению взаимосвязей, предлагаются сравнительные оценки
глубины влияния этих связей на динамику движения системы. Дру-
гими словами, будут рассмотрены уравнения, характеризующие
связь вектора движущего момента Л/* и его составляющих (ком-
понент) с угловыми скоростями вращения выходных валов приво-
дов Пр^ , 11р() , Пр^ относительно инерциального простран-
ства Q’ и скоростью углового движения основания .
Целесообразно искать выражение для М'т через угловые скоро-
сти, тогда различные связи, обусловленные какими-либо скоростя-
130
ми или ускорениями, будут? выражены в виде слагаемых на кото-
рые «расходуется» движущий момент привода относительно каж-
дой из осей вращения. В этом случае оценка глубины влияния раз-
личных связей осуществляется с единых методических позиций и с
использованием общего критерия в виде оценки сравнительных
величин возмущающих моментов.
Т.е. в системах уравнений (5.22), (5.46), (5.61) должны быть ис-
ключены все переменные, кроме входящих в зависимости компо-
нент вектора Л/‘ (4.2) от компонент векторов угловых скоростей
Q’; (4.3) и . Поэтому за основу берутся уравнения, относящи-
еся к осям вращения платформы 2 (5.59), платформы 3 (5.45) и
платформы 4(5.18).
6.2. Уравнения моментов
по осям вращения ОПУ САС
6.2.1. Уравнения моментов по оси вращения Oz4
Как показывает анализ уравнения (5.I8) для движущего момента
Л/4 на оси вращения (3z5(Ct4), проведенная в разделе 5.2.1 заме-
на и исключение «лишних» переменных из уравнений моментов
платформы 4, позволяет в дальнейшем пользоваться уравнением
(5.18) в представленном ранее виде.
6.2.2 Уравнения моментов по оси вращения Оу3
Уравнение (5.45) для движущего момента М3 на оси вращения
Qv\(Ch ,), полученное в разделе 5.2.2 показывает, что для полу-
чения необходимого выражения необходимо из него исключить
момент реакции платформы 4 Л/(34( на платформу 3. Выражение
(5.21) для данного момента не содержит каких-либо «лишних» пе-
ременных, поэтому, подставим его в (5.45) и получим:
=[(J4’-J4’) sin у cos у-(•/?’ -Jf)sinPcos0]coscp pw, +
/ г л
131
+[(J'~ sin2 p + J3’ cos2 P) + (J4* sin2 у + J4* cos ’ у)]р®3 -
- Jx*)sinPcosPsm<py + (J4* - J4*)sin ycosYCoscpJp(,)(ol| +
+(J;' cos2 p+J3’ sin2 p - J3’) sin <pv cos q> Д 1)Z2 +
+(J4* cos2 у - •/„* sin2 у - J4* cos 2y) cos ср1,®2(o4 +
+(V4‘ - J4*) sin у cos у sin <p v®2®3 + (J4 ’ - J4*) sin у cos уы3й4 +
+(/T cos2 p+J2’ sin2 p-J2*)cos2<py®2®(ol)Z2 +
+(Z’ -^v*) sin Y cosy sin cpv®3®(al)Z2 -
-(J4' sin2 у + J4’ cos2 у - J4’)®4®(ai)Z2 -
-[(J,” - J3’) sin p cos P+(J4‘ - J4’) sin у cos y] sin <p„®2a(al)3,2 -
-[(•/’* - J2') sin p cos p - (J4* - J4') sin у cos y] cos <py<i\al}Zi ®(ol) л.
(6.1)
6.2.3 Уравнения моментов по оси вращения 0х2
В уравнении (5.59) для движущего момента М2 на оси вращения
Охх (Ох2) , полученном в разделе 6.2.3, также входит момент реакции
платформы 3 на платформу 2 M(23)v , и его необходимо исключить.
Однако, выражение (5.42) для момента Л/(23)г показывает, что и в него
входят «лишние» переменные, которые также требуется исключать.
Для сокращения выкладок и времени необходимого для их вы-
полнения вначале следует выполнить операцию исключения и за-
мены переменных в уравнении (5.42).
Запишем соотношение (5.42) в виде:
^(23)х2 = sin <р„Л/4 + cos <pvA/(34)Xj -
sin В __ sin В . . D* м
------- cos <p M3 +--- cos <p Л/(34) + , (6- )
COSp cosp
где:
B4 = (J2’ cos2 <pv + J3" sin2 (p„)p®2 + j3' ^^СО8<Р^ЙЗ +
132
+(J': * - 4’ ) sin Фу COS ФуРШ(я| )z2 - (4* - 4‘ ) sin Фу C0S Фу®(я1)у2 ®2 -
-(4* cos2 P + 4* sin2 p - J3* )2 sin <p„ cos q>v(o2(o} +
+(4‘ cos2 P + 4* sin2 p-4’) ^7 sin <p cos2 <p to2 +
cos p
+(4’ - J2‘) sin pcos P sin <pv(o2 + [(4* - J2’')sinpcospsin2<pysin<p.
/ r3* r3*\ sinP
“(4 - Jу )--------- cos 2<p cos ф ](0(el) ®2 -
COS P
-{(/Г + J* - Jx3-) + sin2 фу[(4‘ - J2’) COS2 P-Л3’]}0)3®(а1к; -
4(4* - ^y’) sin P COS psin3 <py +
। / тЗ* t3* x SIH P • 2t2 ।
+(4 ~Jy)---------sincp COS <p„]®(el) +
cos p
+(4’ COS2 Ф, + 4* sin2 Фу>(в1)22®(в1)л •
Выражение (5.45) для момента M3 показывает, что в него входит
момент Л/(34) v , поэтому вначале рассмотрим отдельно третье и четвер-
тое слагаемые правой части равенства (6.2). Представим (5.45) в виде:
Л/3 = + В6, (6.3)
где:
В* = -(J3* - 4*) sin р cos р cos фур®2 + (4* sin2 р+4’ cos2 р) +
+(4‘ -4’)8трсо8р8тф),/?ю(а1)г2 +
+(4‘ cos2 р + 4‘ sin2 р-4‘)со82фуш2(0(о1).2 -
-(4’ -4’)sinpcosps^r®2ffl(al)>.2 -
-(4* -4’)8трСО8рСО8ф,.®(а|)12®(а1)У2 -
-(4* COS2 Р + 4* Sin2 р - 4*) sin Ф„ cos фу®(в|)г2 •
Тогда сумма третьего и четвертого слагаемых правой части ра-
венства (6.2) равна:
133
sinp lz sin В ljr sin В
-----оСО8Фг^З +-----"COSCp Л/ 34 =----пС08фД- <6-4)
cosp cosp y 1 }y' cosp y
Рассматривая попарно выражения B\ (6.2) и 5* (6.3), а также
Л/(34)л (5.20) и Л/4 (5.18) замечаем, что первая пара содержит мо-
менты инерции платформы 3, а вторая - платформы 4. В связи с
этим целесообразно представить (6.2) в виде:
д i • дж- д г sin Р D* i D*
Ч23)х2 = sin<pvAf4 + cos<pvM(34)------— coscp В6 + В4 =
cos В
(23)х2 ,
(23)х2 ,
—‘•'4
(6.5)
где:
^(23)х
D. SinP
^4 л
cosp
cos <руВ*;
(23)х2 ,
^4
= sin <pvM4 + cos <руМ(34)Лз.
(6.6)
(6.7)
Первая часть момента реакции со стороны платформы 3 на плат-
форму 2
(23)х2 Д
обусловлена инерционными массами собственно
платформы 3; вторая часть этого момента реакции М( ?3)х
-обу-
Л
словлена моментами реакции со стороны платформы 4, как проявле-
ния инерционных масс платформы 4, передаваемых через платформу
3 (как через жесткое тело) на платформу 2.
Выражения (6.6) и (6.7) после подстановки в них значений В*4
(6.2), 5* 6.3), Л/(34ЬД5.20), М4 (5.18) содержат в качестве пере-
менных только компоненты векторов угловых скоростей Q*w и
, что позволяет осуществить дифференцированную оценку
влияния инерционных масс платформ 3 и 4 по отдельности.
После приведения подобных членов получаем следующие вы-
ражения:
М(23> = [(Л3’ cos2 Р + Jy sin? Р)cos2 Ф, + /Г sin2 <pv ]pto2 +
134
+(•/’* - J," )sin Pcos pcos <p, jxn, - J ‘)sinpcos0sin<p/i)’
-(J'* cos' P + J,'* sin p - J'; )sin Ф, cos ф, ро)(д|,ъ +
+(/’*cos' p + J’" sin p~ J.1') sin<p, cos <p„(o| +
COS0
.r/ ,j. ,3.4 sin p .
+КЛ ~Jr)---------sin2<p costp +
cosp
+(Л” - J’’)sinPcospsin <pv cos2<pv]a)2al)2; -
-(•/’* cos2 p+j’* sin2 p~ J,‘)sin 2<pvco2(i)3 -
4( Jl” - Jj*) sin ф „ cos cpv + (J2* - J3;) sin2 p sin <p„ cos <рУК<о,а11<
+(J2* - J2')sinpcosp(cos<pvcos2<p>, +sin<pvsin2<pv)(o2w(al)_., +
+(J; * - J3’ )(1 + sin2 <pv cos2 p) - J3' (1 + sin2 cpv )w3w(ol)22 +
+[Л” cos2 фу + J3' sin2 tpv +(Z’ --Osin2 pcos2 tpv]w(al)>;w(alU;.
(6.8)
Af(23)jr; ] , = Sin 4>yM* + C0S =
= (J4* cos2 у + J4* sin2 y)cos2 <pvpo)2 -
-(J4* - «Osinycosycoscp^Wj -
-(J4; cos2 у + J4‘ sin2 y)sin <p„ cos <pVjpw(al)22 + sin <pvp<o4 -
-(J4* - J4’) sin у cos у sin <p„ cos2 <p(,w; +
+(J4' - J4')sinycosysin<p,o)2 +
+(Л4* -•A4*)sinYcosYsin Ч>Хжг2 +
+(j4’ -J4’) sin у cos у cos2 <p3,w2io4 +
+[(j* - J4,)cos2y-(Jt4* cos2 у + J у sin' y^sinq^costp^w, +
+(7л4* cos2 у + J4* sin ’ y)sin<pv costp,w2w(<jlll.
135
4(^v J**)sin2 <pv + (J4’ cos у - J4‘ sin ’ y)cos7 <pv ]w,Wr+
+(JV4’ cos2 Y + Л4’ Sin2 Y)cos2 <p,.<%bA1)i; +
+(J4‘ - J4’ sin2 y -J4* cos’ Y)cos(py<o3(o4 +
+(Л4’ - Л4’) sin y cosy sin cpy cos<p,®4®(el)2j. (6.9)
Уравнение (5.59) с учетом (6.5) может бызь записано в виде:
Л/2 ~ + ^(23)х2 , + ^(23)х2 j ’ (6.10)
u. —*‘'3 '4
где
D* = (J2* cos2 a + J2’ sin2 a)/xo; +
+(J* - J2*)sinacosam2(o(ol)Z2 -(J; - J2*)sinacosapw(flI)>! -
-(Л2*sin2« + J1* cos2 a - • (6.11)
Уравнение (6.10), слагаемые правой части которого определя-
ются соотношениями (6.8), (6.9) и (6.11), представляет собой урав-
нение моментов по оси Ох2.
Полученные в предыдущих разделах уравнения моментов Л/2,
М2 и Л/4 на осях вращения Ох2, Оу2 и (9z3, определяемые соот-
ношениями (6.10), (6.1) и (5.18), представляют собой систему урав-
нений, совместное решение которых описывает динамику движе-
ния инерционных масс в рассматриваемой задаче. Состав правых
частей уравнений (6.10 с учетом 6.8, 6.9 и 6.11), а также (6.1) и
(5.18) показывает, что эти уравнения оказываются связанными и не
разделяются (должны рассматриваться только совместно). Кроме
того, эти уравнения являются нелинейными, так как присутствуют
операции произведения переменных.
6.3. Уравнения динамики движения платформ ОПУ
САС в матричной форме
Обычная форма записи уравнений, использованная в пре (Ы-
дущем разделе, обладает рядом недостатков. Один из них за-
ключается в том, что обозримость и наглядность полученных
результатов существенно ухудшаются с увеличением числа
136
слагаемых правой части. С этих позиций матричные формы за-
писи выгодно отличаются от скалярной формы записи. При ис-
пользовании матричной формы слагаемые уравнений система-
тизируются по входным и выходным переменным, необходи-
мые члены уравнений отыскиваются быстро и без какого-либо
напряжения внимания (матрицы осуществляют в известном
смысле кодирование записи). Эта форма записи почти нечув-
ствительна к количеству членов уравнений.
Матричная форма записи уравнений применительно к рас-
сматриваемому случаю имеет следующую структуру. Слева от
знака равенства располагается матрица-столбец из трех компо-
нент вектора М'т, справа от знака равенства располагаются
суммы членов представляющих собой произведения матриц-
операторов размера 3><3 (это могут быть передаточные матрицы
[6], матричные передаточные функции [7]) на матрицы-
столбцы входных переменных и их композиций; матрица-
оператор умножается слева на матрицу-столбец переменных.
Уравнение движения инерционных масс ОПУ САС (5.18), (6.1),
(6.8), (6.9), (6.10) и (6.11) в матричной форме имеет вид:
Л? = А р£1* + + A + Л 4Q* + A SQ* +
т ри* т ©2 m2. ©□ тп$ ©4 ш4 ©5 /п5
+ Ди©2^и©2 + ДжоЗ^тшЗ ’ (6.12)
где приняты следующие обозначения:
Р«>2 ар" ии ар* u12 ары ы13
/?£Т = ' т 9 Ари ар“ и21 ар{и «22 0 - матрица преобразо-
-Р^А. 0 0
вания между векторами момента Л/,* и углового ускорения p£Ytn
(инерционные моменi ы);
= (J2* cos2 а з- J2* sin2 а) + [( J3* cos" р + У* sin2 р) cos2 ср +
+Z* sin2 <p J + <Z" c°s2 Y + Jv‘sin Y)cos2 <pv;
137
- ./'* ) sin pcos pcos ср v
< = (.<
-(.7,1* - J4* )sin у cosy coscpj
tnw у 4*
sin<p„;
r3* n . r3*_________2 n\ , / r4* ,
,p*>
22
'и 2
tu2
aH
«2
a2i
<u2
^31
u33
a*2
U)2
0
cv2
fl32
4* .
2 9
0
0
0
- матрица преобразования в
центробежные моменты, обусловленные квадратами угловых ско-
ростей со2,
<1)2
а,.
со3 и со4;
= [</** sin Рcos р + sin у cos у] sin срv cos2 cpv +
+[ J3. Sir?|
cos p
г4* • т • 2
-Jy sm у cos у] sin срv cos cpv-
-j’YgPsincp^cos2 <pv;
a“22 = -[Jsin P cos P + J4* sin у cos y] sin cp,. +
+[J2* sinpcosp + J4" sin у cos у ] sin <p,.;
a"2 = (J2’ cos2 p + J2’ sin2 p - J2’) sin <pv cos <p„;
«3i2 = - Л4*) sin Y cos у cos2 <py; a“2 = (J4' - J4') sin у cos у;
m3 СО4ОЭ2 0320)3 » Лз (1)3 67ц шЗ ®21 шЗ #12 w3 а22 а”3' “13 а“2 “23 - матрица преобразова-
ю3(04 _ 0 а“3 U32 0
ния в гироскопические моменты, вызванные совместными (попар-
ным) действиями угловых скоростей (02 , (03 , со4;
a"2 = (J4‘ - J4’) sin у cos у cos2 <р,;
"iz = _(Л” cos2 Р+Jy sin2 р - J2* )2 sin ср, cos ср,. -
138
-(Л4‘ cos2 Y + J4’ sin2 Y)sin <p„;
„w3 / /4* r4* • 2 »4* 7 x
«13 ~<Л sin y-Jy cos Y)cos<p, ;
a“3 = ( J4‘ cos2 y + J,4’ sin2 y - Jz4’) cos <p,;
„«3 _ z r4* т-4* \ •
«22-“(< -J у ) Sin Y COSY Sin <pv;
(!)3 «23 — z 1-4* _ r4* x у ) sin у cos y; «32 = -(Л4* - -J4*)cos2ycos(pv;
"a”4 U11 <7°4 u12 «;f
= w4 W(al)z20)3 ’ 4j4 ~ rf4 U21 «22 «2Ю34 - матрица преобра-
_(0(al)z2W4_ «(°4 _u31 «32 0
зования в гироскопические моменты, вызванные взаимодействием
угловых скоростей (02 , (03 , 0)4 и угловой скорости качки КК отно-
сительно оси Oz2;
аи - - Л2*) sin ci cos а + (J3y - J3*) sin p cos p sin 2<pv sin <pr -
/ ,3. гЗ.ч sinP о
-(/’ - J; ) —r cos 2<p cos <pv;
cosp
<=-(J3;+J3;-J3;)cos2 <py -[/Г+(/’* - j3-)cos2₽]sin2 Ф, -
-(J4* cos2 Y + J у sin2 Y) cos <pv;
<7™4 = (J4* - J4*) sin y cos y sin <pv cos <pv;
a"4 = (J3’ cos2 P + Jy sin2 p-^’)cos2<p,;
a«>4 = (j4. _ j4.) s in Y cos Y sin Ф,;
а“4 в -(J4* sin2 y + Л4’ Ct»2 Y -^‘) i
= (J4'-J4,)sin2ysincpycos<py; a£ =-(Jy -Jx4’)sm<p;,;
139
О О
(0(al)y2W3
^(a1).v2^4
О
О 0 - матрица преобразова-
ния в гироскопические моменты,
вызванные взаимодействием уг-
0 О
ловых скоростей (02 , (03 , 0)4 и угловой скорости качки относитель-
но оси Оу2;
= -(•<-* -J’’)sin<pvcos<pv - J’*)sin2 psincpvcos<pv +
cos2 у + J4’ sin2 y)sin<p,;
«21 = [(Л” ~ J у ) sin P cos p - (J4* - J4*) sin у cos y] sin <pv;
PM(a|)x2 0
dQ£2 = г P^y2 J - ’ pma 0
_P^2 _ 0
зования в инерционные моменты
<2
“12 ^13
0 pmiD «23 - матрица преобра
0 0
от ускорений угловой качки КК;
- ~(^у* ~ А*) sin а cos а ’
АГ = -(J4* cos2 у+ J4* sin2 у)sinф^, + (J^* - cos<pv;
= (J v' - J у ) sin P cos P sin - (J4‘ - ) sin у cos у cos ф,;
",,2 (ol)x2 ’o 0 a”B2'
Q52 = ’ Am 2 “ 0 0 - матрица преобразова-
-“(aDz, _ 0 0 a^2
ния в центробежные моменты, вызванные квадратами угловых
скоростей качки КК;
АГ = Л3* sin р cosp sin фу соз2ф^ - J4* sinycosysin3 фг -
-J\ (sinpcos psin фгcos2фр +--—sin2фу. cosфу) +
cosp
140
Н‘ • -3 r3. sin р .
+J sin у cos у sin <р + J. ---------sin2<p cos<p ;
COS P
= (J.v‘c°s2 P + sin2 p - J3*) sin <p„ cos<py;
C2 = O’ -.Osin у cos у sin2 <pv.
И(а1)г2Ю(а1)х2 r° 0 mw3
= ®(al)x2 ®(al)y2 ’ A - 0 0 ^23 - матрица преобра-
_®(al)y2(0(al)z2 _ 0 0 0
зования в гироскопические моменты, обусловленные совместными
(попарным) действиями угловых скоростей качки КК;
С3 - s*n2 а + ^2у со§2 01 “ Л2*)+
+[ J3* cos2 ф + Jz3’ sin2 <pv + О* cos2 у + J4* sin2 у) cos cpy;
c3 = -[О* - Л3*) sin P cos P + (J4* - Jx4’) Sin у cos y] cos <pv.
141
Глава 7. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ
ПОЛЕЗНОЙ НАГРУЗКИ ОПУ САС
7.1 Постановка задачи
При проведении математического моделирования систем рас-
сматриваемого типа в ряде случаев может оказаться полезным
уравнение динамики подвижных масс ОПУ САС, связывающее
векторы М*т, , Qf2, т. е. уравнение относительно составляю-
щих угловой скорости платформы 4 (полезной нагрузки) ОПУ
САС, определяющей угловое положение визирной оси оптического
прибора (угол <р"о в инерциальном пространстве).
В главе 6 было получено уравнение динамики в матричной
форме (6.12), связывающее между собой векторы А/*, flf2,
следовательно, имеется принципиальная возможность произвести в
таком уравнении замену переменной, пользуясь соотношением
(4.30): '
Однако, присутствие в правой части уравнения динамики дви-
жения платформ ОПУ САС производной от вектора и связан-
ная с этим необходимость отыскания производных от матриц 7?”1 и
R]L9 содержащих тригонометрические функции переменных во
времени углов срл., <ру, фг, а также наличие нелинейных центро-
бежных и гироскопических зависимостей для соответствующих
моментов, делает этот путь громоздким и практически нецелесооб-
разным.
Значительно удобнее необходимую замену переменных (точнее
сказать - сохранение необходимых и исключение «лишних» пере-
менных) выполнить на начальных этапах преобразований уравне-
ний динамики платформ ОПУ САС, еще до вывода общего уравне-
ния динамики вида (6.12).
В уравнениях динамики платформ ОПУ САС 4, 3 и 2 (5.7),
(5.29) и (5.53) угловые скорости платформ 2 и 3 необходимо выра-
142
зитъ через угловые скорости платформы 4, тогда, выполняя преоб-
разования. аналогичные приведенным в главе 6, можно найги ис-
комые уравнения динамики платформы 4 (полезной нагрузки)
7.2. Уравнения связи угловых скоростей платформ
ОПУ САС
Нами рассматривается задача движения системы тел относи-
тельно инерциального пространства, а также движение составляю-
щих систему тел друг относительно друга.
Как известно [2], движение относительно инерциальной СК
называется абсолютным движением тела; движение относительно
подвижной СК (СК, связанной с одним из тел системы) - относи-
тельным движением тела; абсолютное движение той точки отно-
сительной СК, через которую движущееся тело проходит в рас-
сматриваемый момент времени - переносным движением тела.
Условимся движение платформы 4 считать переносным, тогда, с
учетом принятия положительных направлений отсчетов углов, по-
лучим:
0 БЗ 0 БЗ
Ь &аЗ = - 0 ~ ЛБ30Б4 - 0 • (7.1)
_Рфг.
0 Б2 0 Б2
**а2 = Q52 - ^аЗ РЧ>у 0 — ЛБ2С1БЗ - ” ЛБ3^1аЗ 0 « (7.2)
= о';’ - /'Ч>. 0 0 БЗ дБ\ 0 0 Б\ • (7.3)
Обращая матрицы, соответствующие формулам (4.22), запишем
следующие соотношения для используемых в (7.1) >(7.3) матриц
преобразования углов:
143
д£з - ЛБ4 ~ coscp. sin <p. 0 - sin ф. 0 cos ф. 0 0 1_ 0 - » л53 СО8ф, 0 - sin фу 0 1 0 sin " 0 COSCp 5
‘1 0
АБ1 ЛБ2 — 0 СО8ф v -8ШфЛ. •
о sintp v COS фл.
(7.4)
Будем использовать три первых соотношения выражения (4.1):
0)(а2)л-2 ®(аЗ)х3
= • о*2 - ®(а2)у2 ’ о/3 —
_%2)z2 _ _0)(a3)z3 _
а для четвертого соотношения выражения (4.1) введем новые
обозначения:
пК4 = ^а4 C0(o4)x4 (°(«4)у4 —- Ю(РО)х Б4 5
_W(a4)z4 _ ^(vo)z _
(7.5)
в результате, используя выражение (7.1), получим:
W(a3)x3 ~СО8фг -sin<f>z 0' W(vo)x 54 0 БЗ
0)(*3)у3 — БШфг cos<pz 0 W(vo)jp 0 . (7.6)
_W(a3)z3 _ 0 0 1 _^(vo)z _
Аналогично с помощью уравнения (7.2) запишем:
—1 -1 52
0)(л2)х2 СО8ф^ 0 sin фу 0
^\а2)уг —— 0 1 0 — РФ.Г , (7.7)
^(a2)z2 _ _-8Шфу 0 cos ф у _ _W(a3)Z3 _ 0
а с помощью уравнения (7.3):
144
^(аПх! т 0 0 0)(я2)л2 ’яр/ /л
— 0 С°8фх -8Шф1 W(a2)y2 — 0 • (7.8)
0 sin фх СО8фх _ _0)(a2)z2 _ 0
Следовательно, раскрывая матричное уравнение (7.6), получаем
систему скалярных уравнений:
^аз)Хз = cos фЛро)х - sin Ф ;
®(оз)л = sin ФЛ,„, + cos Cpz®(vo)?; f (7.9)
®Иг!=®Иг~Ж
Аналогичным образом раскрываем матричное уравнение (7.7):
®(а2)х2 = cos Ф, cos Фг“(у0)х - cos Ф, sin Ф2®(и,)У + "
+ sin<py®(w)z-sin<p^q>z;
®(«2)72 = sin Фг®(vo)x + cos <pz(0(vo)у - р<ру; > (7.1 (
®(а2)г2 = - sin ф, cos Фг6)(га)х + sin ф? sin фг(0(к,)? +
+ СО8ф7®(га)г-СО8ф^ф
z’
а также матричное уравнение (7.8):
®(Ы)Х, = cos Фу COS фхи(га)х - cos Ф? sin ф2а( w +
+sin ф,(0(то)г - sin фу/>ф2 - р<рх;
®(Ы)Л = COS Фх S^ ф2®(уо)х + COS фх COS фгС%0)>, - COS фх/?фу +
+sin фх sin <ру cos ф2ю(и,)х - sin фх sin фу sin Фг®( w -
- sin фх cos ф„м(га)2 + sin фх cos <pyp<pz;
®(ai)2| = sin фх sin фг(0(да)х + sin фх cos фг(0(И)Ъ> - sin фЛрф,. -
- cos фх sin фу cos фг<о(то)х + cos фх sin фy sin Фг®(то|>. +
+ cos фх cos ф„w(ie), - cos фх cos ф,рфг .
(7.11)
Как следует из второго и третьего уравнений системы (4.24) угловые
скорости ®(а2н и ®(а2)-2 по существу представляют собой угловые
скорости качки основания (платформы 1), выраженные в базисе Б2:
145
W(«2).v2 0)(tfl)v2 И W(a2)<2 W(«l)22 * Г7.12)
Второе и третье соотношения системы (7.10) должны учитывать
равенства из системы (4.24): о)(а2)у2 = 0)(а1)Л и 0)(в2),2 = о>(а1)2;, а в
выражениях для (0(д2) , со(а2)2 и (0(л3)2 необходимо исключить пе-
ременную р<р..
Из третьего уравнения системы (7.10) находим:
“РФ- = tg<py coscp2(o(w)x -tg<py sii^©(w), -
^W+sec<P/W2- (7.13)
Подставив (7.12) в третье уравнение системы (7.9), получим:
®(аз)гз = cos<p2w(vo)x -tgipy sin<p2®(vo)> +sec<py®(a2)Z2. (7.14)
Подставив (22.13) в первое уравнение (22.10), запишем:
= sec(Pv cos<p2®(vo)x -seccpy sin cp2®(vo)>, + tg<pyw(a2)z2. (7.15)
Для дальнейших вычислений необходимо также найти р<ру из
второго соотношения системы (22.10):
-®(й2)У2+“<аЗ)й =РЧ>У
С учетом второго соотношения (22.9) и первого соотношения
(22.12) получаем:
=sin<p^(w)z +cos<pz(o(w)y . (7.16)
7.3. Уравнения связи моментов, приложенных
к платформе 4, с угловыми скоростями её вращения
По-прежнему считаем, что выполняется условие: ф, = 0,
§Шф2 = 0, СО8фг =1.
Имеет значение, что угловое рассогласование может быть пари-
ровано с помощью лишь двух приводов Прх и Прх . Но, за счет
движения отметки цели в произвольном направлении относительно
осей чувствительности Ох4 и ОуА появляется дополнительная ди-
намическая нагрузка, которая снижается с помощью привода Пр..
146
Кроме того, принимаем условие у = const.
Подставляя (5.8), (5.10) и значение матрицы связи [1], а именно
— 8Шф_ 0
созф_
sin ф.
0
cos ф^ 0 , в систему (5.7) уравнений динамики
0
платформы 4, получим:
cos уЛ/(34)Хз + sin уМ(34)?з = J4* cos yp(0(vo)x + J4‘ sin урю(И))7 -
-(Z* - ) sin yw(ro)x®(ro)2 + (J4* - J у ) COS yo)(w) vco(vo)z = 4. (7.17)
- sin уЛ/(34)Хз + cos уЦ34)Л = -Jу sin ype)(vo)x + J4’ cos y/?a>(vo)? +
+(J4‘ - Jz4’)cosy®(w)xro(TO)z + (J4’ - J4*)sinyw(w)v(o(w)z = 4. (7.18)
= J'* P^vo)z - ОТ ~ JT) sin у cos ую2го)х +
+(J у - Л4’)sin Y cos Y®(vo)y +
+Oy -44’)cos2ya)(w)Aw)y = 4. (7.19)
Воспользуемся формулами (5.19) и окончательно запишем:
= ОТ cos2 у + Jy* sin2 у)рш(и>)х -
z г4* r4*\
-Оу ~JX +
+ОТ -^’)sinycosypo)(vo)x©(TO)z -
-(J.r Sin2 у + JT cos2 у - 44-)(0(w),0)(w)z = Д,. (7.20)
Чз4)Л = ОТ sin2 у + JT cos2 y)/?(B(wV -
-(J4’ - JT) sin у cos ypo)(w)x +
+(J4' cos2 у + JT sin2 у - J4’)<o(vo)x(0(>b)2 -
-ОТ -^4*)sinycosyo)(vo)J,o)(TO)z =4. (7.21)
147
7.4. Уравнения связи моментов, приложенных
к платформе 3, с угловыми скоростями вращения
платформы 4
Принимаем ф. = 0, рф = 0, sin фг = 0, cos ф. = ]
Р = Учитываем, что в соответствии с (7.16) можно в этом
случае записать соотношение:
Р<Р у ~ ^(w).y W(al)/2 ’
Из третьего уравнения системы (7.9) и уравнения (7.14) с учетом
рф. = 0 получаем:
“(vo)z = + SeC С7'22)
Раскрывая производные произведений, запишем:
/’te<Pv“(v0)z) = + Sec2 WlX), - ) • (7'23)
p(sec <руи(а|)г2 = sec ф„рю(а1)г2 + tg<py sec <py®(V0)yro(allZ2 -
-tg<py secg>y<D(at)ya(al)22. (7.24)
Подставляем (5.30), (5.31), а также первое и второе соотношения
(7.9) и (7.14) в систему уравнений динамики платформы 3 (5.29), в
результате получаем:
cosp cos ф^Мда^ - cospsinфуЛ/(23)22 =
= -sin РЛ/Ч +cosPM(34)Xj +sinpM(34)>,3 +
+J3’ cos рр®(да)х + J3* Sin ppo)(vo)y - (J3* - Jy ) sin prgtp+
+(P -^o^WWW -р>трзесфую(то)х(0(о1)г;4
+(J3’ -/3*)со8р8есфр(0(И))>,(0(а1)г2 = Д. (7.25)
-втрсозф^Л/^ +зтрзтф„Л/(23)Х2 =
= -cosPA/3 -sinpM(34)Ij +cospM(34Vj -
-J3’ sin fipw(w), + Jy cos ppo>(vo)v + (J3’ - J3*) cos Р&Ф A»* 4
+(J3* - J3‘)sinp^„(«)(vo)xoj(W)|1, + (J3’ -^ЭсозРвесФЛ^Л-')-’: +
+(J3* - Уг’,)зтрзесф,,(о(и,)),ю(в1),2 =-(Wtcosp+52’ = B2. (7.26)
148
sin ф,.Л/(23)Х2 +со8фуЛ/(И)Гг =
= М. + + Л'* 8есф^о)(в1)г2 -
-(<” - Л” ) sin Р cos +<”(2ТО)у)+
+[(Л'* - ^’Xcos2 р - sin2 р) + J3* sec2 <p,]<0(w),©(W)Z +
+J;'tg<Py sec Ф,,(о(И1)у(о(о1)г2 - Jz sec2 Фуо)(и))хо)(а1)У2 -
- J*tgq>y sec ф v(o(al)Z2 ®{в1)л = B3. (7.27)
На основании системы уравнений (5.41), а также с учетом выраже-
ний (7.25) и (7.27), выполняя приведение подобных членов, полу-
чаем следующие соотношения:
ЧгЗ)х2 = М4 sin Фу - М3 COS ФЛР + Мз4)х, C0S Фу +
+М(34)у3 C0S Фу#Р + 54 = Л > С7-28)
где:
в; = (J3* cos2 ф? + J? sin2 фу)8есф^ю(го)х
+Л3‘^Р COS ФуP®(vO)y +Л3’^Фу/7®(а1)22 +
+(/’* cos2 Р + J3y* sin2 Р - Jz3*Xgpsin фХ^ф +
+(J3* - J3’) sinpcos рsin фХу)у -Л3‘^2фу®(а1)у2®(а1)г2 +
+{[(•/? - Л3* )(cos2 р - sin2 Р) + J3’ sec2 Ф„ ] sin фу +
+(Л3‘ sec2 Ф^ - J3*)(0(w)^(al)Z2 - Л3’sec фу&Фу%)Ло1)у2; (7-29)
M(23)z2 = М4 C0S Фу + М3 sin Фу^Р + Мз4)х3 sin Фу “
-Л/(34)Л sin ф/gP+в; = В5, (7.30)
где:
=(Л3* - J3‘)sinVvpw(w)x - J3*/gpsii^Vjpw(w)v + J3>0)(al)22 +
+[<3’ cos2 р-J2‘(cos2 p+rg^v) + Л’^я'фуVgPcosфЛ.Ю(ТО)х +
+(*73* —-7X*) sin p cos pcos + {[(^3’ - J3*)(cos2 p-sin2 p) +
+J3* sec2 фу]со8фу -(Jz* -У3*)со8ф^2фДш(„)хй)(И)Ь, +
149
+(J? -/*ЖР&ФЛ(И))жш(01)1г +-/Г^‘Р„0)(и>)/Л(а||гг -
-J’* sec<pvw(lw)x(0(el)h +^>ш(01),2 -^‘^Фу(0(в1),/)(о1)Гг • (7.31)
Аналогичным образом на основании выражения (5.44) будем
пользоваться соотношением: sin |34- В\ cosp, после под-
становки в которое значений его составляющих, выполняя приве-
дение подобных членов, получим:
М3 = М(34)Л + В‘6 = В6, (7.32)
где:
В6 Jy) sin pcos ppco(w)x + (Л3* sin2 P + J3y cos2 р)/ю(да), +
+(4‘ cos2 p+j3; sin2 p-j3zyg^m)x +
+(J2* -J3') sin pcos Р^фую(то)хй(то)у +
+(ZT cos2 p+J3y* sin2 p-V;*)sec<ptxo(vo)xw(al)_.; +
+(J3* - J'Osinpcospsectp^,^^^ . (7.33)
7.5. Уравнения связи моментов, приложенных
к платформе 2, с угловыми скоростями вращения
платформы 4
Принимаем ф. =0, p<p;=0, sinep. =0, cos<p. = 1,
а = const.
В этом случае выражение (7.15) принимает вид:
®(Я2)х2 = sec Ф,“(и,)х + W4 > (7-34>
а для р<ру справедливо выражение рсру = 0)(w)v -w(ol)v,.
Раскрываем производные произведение функций, тогда с учетом
условия а = const значения cos а и sin а выносится за знак про-
изводных:
р(8есфу®(И))х) = seccp^pto^ +
+‘ёЧ>у see Ф>®(и>)х®(и,)> - sec Ф^и-Лол; 17'35)
р(/ЯФуш(о||г,) = tgcpvpw{al}!2 +
+sec2 Ф,,®(И))>,®(а1|12 -sec2 Ф„о)(в1),2(о(а1и2 • (736)
150
Подставим равенства ш(в2)„г = ю(о1)л, w(o2)Zj = 0)(о1)/2 и (7.34) в
уравнения динамики платформы 2 (5.53), после приведения иодоб-
них членов с учетом М2 = Л/(|2)Хг = Л/(|2)Х1 и Л/(23)л = М., ?апи-
шем следующее соотношения:
cosotA/, 4-sinaA/(12)v = cosaA/(23)Xi +sinaA/3 +
+JX* cos a sec cpv/?0)(vo)x + J;’ cos a(g<pvpw(ol)X2 + Jx* sinapw(el)/2 +
+J;’ cosa/gcp,. sec<p,,(o(w)x(D(TO)? -
+J;* cosaZgcp,. sec фую(го)х(о(и,)у - J2* cosa/g<py sec<pv(o(vo)xc)(al)J,2 +
+JX* cos a sec2 <pv®(vo)7®(al)Z2 -
-(Л2’ -^2’)sinaseccpy(o(w)xa)(eI)Z2 “(Jz‘ +
+(J22’ -Jy -Jx sec2 cpv)cosaw(ol)Z2(0(ol)V2 = Д. (7.37)
- sin aM2 + cos аЛ/(а2) v, = - sin aA/(23)X2 + cos aM2 -
-Jy* sinaseccpypw(vo)x -J2* sinoig<pyp®(a^ + J2* созс^(о(а1)Л -
-J2* sin a(gcpv sec <pv®(vo)z®(w)v + J2* sin a/g<pv sec <рую(и))х®(а1)л -
-J2’ sin a sec2 <pv0)(vo)J,®(al)Z2 +
+(J2* - Jz2’)cosaseccpyw(w)x(o(al)Z2 +
+(J2* -./2*)cosa/g<pvc)2al)_, +
X^2*-^’+Jv*sec2tPy)sina0)(ai)z2(0(ai)y2 =A- <7-38)
4a2)22 = A/(23)Z2 +Л2>“(о1)гг - (J2* - J2*)sinacosasec<pv(o2wb -
-(J2* - J2*)sin2asec<p/g<pv(o(TO)xo)(al)Z2 +
+(J2y -./2’)cos2asec<p,.(o(voUo)(a,b,2 -
-(•/?’ - J2‘)sinacosaZg2<pl.(o2<ll)22 +
+(J2* - J2*)cos2asec<pl.(0(>w)x(o(<11)_),2 -
-(J2’ - J2’)sinacosa/g2<p,.®2el)Z2 +
151
+(J2* “^sinacosoo^ +
+(Jу ~Л2’)С°32a/g4>lw(«i)y!w(«iltl = А (ГУ»
Воспользовавшись соотношениями (5.58) и выполнив приведе-
ние подобных членов, получим:
m2 = m^Xi+d; = d4, (7.40)
где
£>: = (J2* cos2 a +J2‘ sin2 a)seccpvp®(ie)x +
+(J2’ cos2 a +J2* sin2 a)/g<pvpw(el)Z2 +(J2* - J^smacosap©,^
+(J2’ cos2 a + J2’ sin2 a)Zgcpv sec cpvw(w)xw(lo^ +
+(J2' cos2 a + J2’ sin2 a) sec2 q\w(vo)>,o)(al).2 +
+(J2* - J2’)sinacosasec<pv®(w)jt(i)(al),2 -
-(J2* cos2 a + J2’ sin2 a)Zgcpv sec <руи(и,)х<в(а1)Л +
+(J2* - J2’)sinacosaig<p?a)2al)22 - [J2* (sin2 a + cos2 asec2 <pv +
+J2*(cos2 a + sin2 asec2 Ф0-Л2’Н1)л<0(О1)22 (7 41)
Mmy2=M3+Dl=D5, (7.42)
где
£>; = -(J2* - J2,)sinacosasec(pvpffl(wU -
-(J2’ - J2’)sinacosa/g<pyp(o(el)Z2 +(J2* sin2 a + J;' cos a)pw(al)>;
-(J2’ - J2') sin a cos a/g<py sec <p, ,(0(w)Jtw( w)> +
+(J2’ cos2 a + J2’ sin2 a - J2*) sec q>y©(al)l2-
-(J2y -J2’) sin a cos a sec2 tpyw(w)y(o(el)22 +
+(J2’ - J2‘) sin a cos a/g<p„ sec Ф Л(И))хй)(а1)Л -
+(J2’ cos2 a + J2' sin2 a-Jj'VgiPvW2,,!),, +
+(J}' -^;*)sinacosu/g2<pvio(ol)l2w(al)v2. (7.43)
152
7.6. Система уравнений динамики
по осям вращения ОПУ САС
7.6.1. Уравнение динамики по оси вращения Oz^
Уравнение моментов по оси вращения Oz4 соответствует урав-
нению движения платформы 4 (7.19).
7.6.2. Уравнение динамики по оси вращения Оу3
Подставляем (7.21) в (7.32) с учетом соотношения (7.33) и, вы-
полняя приведение подобных членов, получим:
Ч - [(Л3’ - Jy )sin Р COS Р - (Jy - J?) sin Y cos Y]pft)(w)x +
+[(Л3* Sin2 P + cos2 p) + (Jx4* sin2 у + Jy4* cos2 у)]р^т)у +
+(/’* cos2 p+J3; sin2 p - J3zyg^2(vo)x +
+(Л4’ cos2 Y + Л4’sin2 Y “ Л4’ +
+(Л3‘ --Z3’) sin pcos pzg<p?®(ro)x(0(w)y -
_(y4. _ y4. ) sin y CQS у(0(и)Ли))г +
+(J2* cos2 P + J3; sin2 P - Jz3*) sec Ф,(0(ю)хю(а1)22 +
+(Л3’ “Л3’) sin p cosp sec ф?(о(и))у(о(я1)г2. (7.44)
7.6.3. Уравнение динамики по оси вращения Ох2
В выражении (7.40) для М2 с учетом (7.41) представим М(23)д.
в виде суммы двух слагаемых:
^(23)х2 “ |^^(23)х2 +[^(23).v2 ’ (7»45)
которые, в свою очередь, определяются соотношениями (6.6) и
(6.7).
Подставляя в (21.6) и (21.7) выражения В\ (7.29), В*ь (7.33),
Л/4 (7.19), Л/(И)Л( (7.20), получаем после приведения подобных
членов:
153
'М{22}Хг ]7j = [(Л3* cos2 р + J’’ sin2 P) cos2 <p y +
+Л” sin2<py]seccp^o)(vo)x-
-(/’* sin2 P+Jy cos2 P)Zgpcos<pv^w(vo)l, + Z'*/g<pl,po>falK! -
-(j3‘ - Jiy ) sin P C0S P C0S - Jy ) sin P C0S P%A1)22 +
+[-J2* cos2 p - Jy sin2 p + (1 + sec2 <pv)]sin <pv®(vo)x®(w)7 -
-(.J3* sin2 p + Jy cos2 p-Jf* sec2 <pv)®(TO)y®(ai)Z2 -
-J3; sec<р^Ф^)хСй(в1)>2 - Л3*^2Фу®(«1)л • <7-46)
M(23} ], = (Л4* cos2 Y + J у sin2 y) cos2 <pyjp®(w)x -
l- -v4
-(J'y - Л4’) sin Y cos Y COS <pypa(vo)y + J4’ sin <pypa>(m)z -
-(J4’ - J4*) sin y cos y sin cp,®2*»* +
+(Jy* ~ Jx*)sin Ycos ysin<py®2ro)y +
+(J у - J'*) sin Y cos y cos <py®(ro)x®(vo)x +
+(J4’ - J4‘)cos2Ysintpv®(vo)x®(voV -
-(J4’ sin2 y + Jy cos2 y - J4’) cos <pv®(vo)3,®(vo)z • (7.47)
Таким образом:
М2 = D; + [М(23)Х2 ] + [М(23)Х2 ] , (7.48)
L- _JJ3 l_ _IJ4
где слагаемые данного выражения определяются соотношениями
(7.41), (7.46) и (7.47).
7.7. Уравнение динамики вращения полезной
нагрузки ОПУ САС в матричной форме
Уравнение движения инерционных масс ОПУ САС в соответ-
ствии с выражениями (22.19), (22.41), (22.44), (22.46), (22.47) и
(22.48) в матричной форме принимает вид:
к = А/т,р^44 + 4„2Qf442 + 4„pf443 + +
+ ^2^2 + - (7-49)
154
где приняты следующие обозначения.
W) R cir'v UI1 < «г
рП" — • /1 = арх,° U21 ,/ 0 - матрица ггреобразо
0 0 <
вания между компонентами вектора момента М',, и угловыми ускоре-
ниями Р^\а4)х4 P^\vo'!x' Р^(а4)у4 Р^\\ю)у ’ P®(a4)z4 P^\vo)z ’
а^“ = ( J2‘ cos2 а + J1* sin2 a) sec <p +
+[(Jf cos2 P + J'* sin2 p)cos2 <p, +
+J-* sin2 cpv]sec<pv + (JX* cos2 y + sin2 y)cos“ <p ;
< = -(Л3* sin2 P + J2* cos2 p)/gpcos <pv -
z r4* r4*\
~(JV -Jx )sinycosycos<pv
a17=J4’sintp>,;
a%° = (J? - J2‘) Sin P cos p - (j; - r;) sin у cos у;
22
q£4
-4а4.2
2
^(vo)x
2
W(vo)x
^(vo)z _
r4*
х
2 . r4* 2 \
y + Jv cos y);
- матрица преооразо-
0
0
0
~ z ’
^vo2
CZ|2
0
„vo 2
^32
обусловленные квадратами угло-
v‘ C°S2 I
< :
„vo 2
a\\
= avo2
U21
vo 2
_^31
вания в центробежные моменты,
вых скоростей (D(vo)x, a)(w)y, (D(w)z,
u"'2 = -(J4* - J4*) sin у cos у sin <py;
"n2 = -(^2‘ - J2’)sinPcos₽sinФ> +
+(J4’ - J4’ ) sin у cos у sin <pv
a2v“2 = (J2* cos2 p + J2* sin2 p - J2' )/g<pv;
155
w2 аз\ “ (J4*-J4*) sin у cosy; a"'2 = (./4* -./ v У 4* \ r ) sin Y cosy;
r "1 „vo3 _vo3 луоЗ
^(vo)s^(vo)x «11 ai2 Д13
QA4 = ^(vo)x^(vo)y » А-оЗ ~ vo3 U21 «и' ^vo3 «23 - матрица пре-
_^(vo)jA'\vo)z _ 0 «32°3 0
образования в гироскопические моменты, вызванные совместным
действием угловых скоростей ю(го)х, (0(vo)j,, ffl(vo)z;
«в3 = (J4* - J4*) sin у cos у cos <py;
«123 = U? cos2 a + J1* sin2 a)rg<p v sec <pv + (J* - J4 ’) cos 2у sin <pv +
+[-J3* cos2 p-J3‘ sin2 P + Jz3*(l + sec2 «p^jsmjw,;
«в3 = “(Л4’ sin2 у + J4* cos2 у - J4’) cos <py;
a^3 = J4* cos2 у + J4‘sin2 у - J4*;
<^(Jx3*-J3‘)sinpcospWv;
ЛгоЗ ^23 “ :-(j;-Jx4’)sinycosy; a-3=(J4;- J4*)cos2y;
W(al)z2M(a4)x4 ’<4 O’
OA4 - ^^a4.4 ~~ 0)(ol)z2tt(a4)^ ’ A^o4 vo4 v°4 r\ «21 «22 U - матрица пре-
(fk . (0 0 0 0
UJ(al)z2U(a4)24 _ L— __
образования в гироскопические моменты, вызванные действием
угловых скоростей 0)(w)x, w(vob,, w(W)z ПРИ наличии скорости кач-
ки КК относительно оси Oz2;
~ ^2у ~ ) Sin a C0S a SeC Фу ~ (^Х* “ ) S^n P C0S P ;
a}^ = (J** cos2 a + sin2 a)sec2 cpv -
-(J3* sin2 P + J3' cos2 p - J3* sec2 <pv);
a?4 = (J3* cos2 P + J3; sin2 P - J3;) sec <p;
«224 ~ U* -«Л”)sinpcospsec<p7;
156
(0(al).y2(0(a4)A-4 _vo5 <Z|| 0 о’
Ь *<?4.5 — W(al)y2^(a4)y4 / - ’ ^vo5 ' 0 0 0 - матрица преобра-
_a)(al)y2(0(a4)24 _ 0 0 0
зования в гироскопические моменты, вызванные действием угло-
вых скоростей (0(w)x, co(w)>., (0(w)z при наличии скорости качки КК
относительно оси Оу2;
= -(Л2* cos2 а + Л2*sin2 <*)tg<py sec Ф.у - sec Фу;
рО.Б2 = г т& ^“(а1)х2 ; 4 vmvo ‘o 0 0 pmvo pmvo 0 0 0 0
а^Г = (J? - ) sin a cos a; a^vo =(j2; cos2 a + J;*sin2a + J 23’)^<pj
2 ®(al)x2 'o 0 a mvo2 13
О52 = ®(al)y2 A = pm vo 0 0 0 матрица преобразова-
n2 _W(al)z2_ 0 0 0
ния в центробежные моменты, вызванные квадратами угловых
скоростей качки КК;
a,7°2 = ( J2* - J2*) sin a cos a/g<py;
0)(al)z2 W(al)x2 ’o 0 wvo3 U13
Q* = ^*ww3 0)(al)x20j(al)y2 • / = ’ Z1/77V(J3 0 0 0 - матрица преоб-
_W(al)y2(0(ol)z2 _ 0 0 0
разования в гироскопические моменты, обусловленные совмест-
ными (попарным) действиями угловых скоростей качки КК;
a””3 = -(J2‘(sin2a + cos2 asec2 <pv) +J2*(cos2 a + sin2 asec2 <pv)-
157
Глава 8. ВЕКТОРНО-МАТРИЧНЫЕ
И СКАЛЯРНЫЕ СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ САС
8.1. Векторно-матричная структурная схема САС
Как известно [1], структурные схемы строятся на основании
дифференциальных уравнений динамики, записанных в оператор-
ной форме. Для изображения скалярных структурных схем можно
непосредственно использовать уравнения подвижных масс, запи-
санные в матричной форме, заменив символы дифференцирования
оператором Лапласа, а функции времени - их изображениями по
Лапласу. Для формирования векторно-матричных структурных
схем предварительно необходимо представить уравнения динамики
подвижных масс ОПУ САС в матричной форме.
Напомним, что уравнения Эйлера в проекциях на оси коорди-
нат, связанные с твердым телом, описывающие вращательные дви-
жения этого тела относительно неподвижной точки соответствуют
векторному уравнению Кориолиса для производной от кинетиче-
ского момента твердого тела в инерциальной СК (3.13):
PbHc + X нс = Ма,
где: Нс = JQah ~~ вектор кинетического момента твердого тела;
J - матрица инерции твердого тела;
- вектор угловой скорости твердого тела в инерциальном
пространстве;
Ма - вектор момента сил.
Первое слагаемое этого выражения, по существу, включает
инерционные моменты, пропорциональные угловым ускорениям,
второе слагаемое, отражающее моменты гироскопического проис-
хождения, включает нелинейные члены с квадратами и произведе-
ниями проекций вектора угловой скорости £1аЬ.
Рассматривая уравнения динамики подвижных масс ОПУ САС за-
писанные в матричной форме (6.12), можно заметить, что для системы
четырех подвижных твердых тел, связанных осями вращения, можно
выделить инерционные члены и члены гироскопического происхожде-
158
ния. Есть некоторые отличия, вызванные переносным движением «не-
подвижной» платформы 1, угловая скорость которой характеризуется
вектором , в связи с чем присутствуют дополнительные инерцион-
ные и гироскопические члены, обусловленные этой угловой скоростью;
помимо этого присутствуют гироскопические слагаемые, порождаемые
векторным произведением х .
С учетом (4.2), (4.3) и соотношения
q£2
Ю(*1)г2 _
уравнения динамики подвижных масс ОПУ САС
условно представить в следующем виде:
й>1Ж + 1(.1)рЯ? + г,(п;)+
+r,.,)(fif,2)+r,(a,)(a;;n“)
(6.12) можно
(8.1)
Условность этой записи уравнения динамики в векторной форме
проявляется в том, что только выражения I и 1(а1) строго соответ-
ствуют матрицам уравнений динамики в матричной форме, т.е.
первое и шестое Арть) слагаемые соотношения (6.12); выраже-
ния, обозначенные Гт, Г(а1), Г не являются матрицами в
обычном смысле, они отражают нелинейные преобразования соот-
ветствующих векторов.
Нелинейное преобразование Гт (Q*;) соответствует моментам,
возникающим при наличии угловой скорости (вращение валов
приводов). Они равны сумме второго слагаемого (Aii)2Cl^t2 - центро-
бежные моменты, обусловленные квадратами угловых скоростей эле-
ментов математического вектора Q*w) и третьего слагаемого (Аы3£2т3
- гироскопические моменты реакции, обусловленные взаимодействием
между различными угловыми скоростями элементов математического
вектора ) правой части уравнения динамики (6.12).
159
Нелинейное преобразование Г (t/))(fl^2) соответствует момен-
там, возникающим при наличии угловой скорости Q^2 (качка КК).
Они равны сумме седьмого слагаемого (~ Центробежные
моменты, обусловленные квадратами угловых скоростей элементов
вектора Qf2) и восьмого слагаемого (AW j3Q^j3 - гироскопические
моменты реакции, обусловленные взаимодействием между различ-
ными угловыми скоростями элементов вектора Clf2) правой части
уравнения динамики (6.12).
Нелинейное преобразование Г (al) (Q*n; Clf2), соответствует
моментам, возникающим вследствие гироскопического эффекта,
обусловленного переносным движением твердого тела со скоро-
стью Qf2, обладающего кинетическим моментом, вызванным ско-
ростью . Они равны сумме четвертого слагаемого (A^£Ym4) и
пятого слагаемого (A^5£Ym5) уравнения (6.12).
Преобразуем уравнение (8.1) к следующему виду:
Затем, умножая обе части этого уравнения слева на матрицу
(I/»)-1 = (I) ' • —, получим:
Р
Ч,=ОрГ'Й - ilo„pnf,2 - г_(й;>-
(8.2)
На рис. 8.1 приведена векторно-матричная структурная схема
САС соответствующая уравнению (8.2), нелинейные передаточные
матрицы выделены, в отличие от линейных матриц, двойными ли-
ниями. Для систем, установленных на стабилизированном основа-
нии, обеспечивающем « 0, верхняя часть данной структурной
схемы (выделенная штриховым прямоугольником) при предвари-
тельных исследованиях может быть отброшена.
160
Структурная схема по рис. 8.1 демонстрирует связь между дви-
жущими моментами, развиваемыми приводами осей вращения
(А/*), качкой основания (S^f2) и абсолютными угловыми скоро-
стями платформ вокруг их осей вращения (). Для получения
значений абсолютных углов поворота платформ ОПУ САС доста-
точно проинтегрировать составляющие вектора .
При больших углах обзора оптической подсистемы пеленгатора
ее подвижную часть целесообразно устанавливать на платформе 4
(или на платформе 3). В этом случае на платформу будут действо-
вать внешние аэродинамические моменты (A/J*), которые пере-
считываются к осям вращения приводов с помощью матрицы Q
(см. соотношения 4.14 и 4.16).
Гироскопические датчики, особенно управляемые гироскопы
направления, оказывается целесообразным устанавливать на плат-
форме 4 (полезной нагрузке) ОПУ САС. В этом случае и пеленга-
ционное устройство (ПУ) САС также устанавливается на платфор-
ме 4. Для перехода к угловой скорости Ъ2а4 по известным значе-
ниям векторов СГт и Qfj1 можно воспользоваться соотношением
(4.29). Чтобы учесть, что вектор Qf,1 представлен в базисе Б2,
необходимо от матрицы L перейти к матрице Л* для чего доста-
точно принять в матрице L угол срх = 0:
Г =
0
0
О 0 -cos ср z sin ср v cos ср
О 0 sin cpz sin срy cos срЛ
0 0 0
sin срz sin cpv cos срv
0
Динамика исполнительного органа формирующего вектор
управляющих моментов Л/* учитывается с помощью передаточ-
ной матрицы В , а динамика регулятора САС - с помощью переда-
точной матрицы А .
161
162
Рис.8.1 Векторно-матричная структурная схема САС
Относительные углы поворота платформ (рг, ср, ср7, триго-
нометрические функции которых входят в элементы матриц R , L ,
Q, I, I(ai) и нелинейных передаточных матриц Гт, Г(а1),
, являются зависящими от времени переменными, определяемыми
векторами СТ и Qf2.
Углы поворота платформы 4 относительно инерциального про-
странства в базисе Б4 представляют собой интегралы по времени
от составляющих векторов угловой скорости •
Передаточная матрица (7* описывает динамику гироскопиче-
ских датчиков угловой скорости, размещенных на платформах 2, 3,
4, а также угловое расположение их осей чувствительности относи-
тельно осей вращения платформ (следует стремиться, чтобы оси
чувствительности совпадали с осями вращения). Передаточная
^Б4
матрица Сга4 описывает динамику управляемого гироскопа
направления (или блока интегрирующих гироскопов) и расположе-
ние его осей чувствительности относительно базиса Б4. В связи с
тем, что оси вращения платформ 2 и 3 в общем случае не совпада-
ют с осями базиса Б4 (что типично для САС), т.е. не совпадают с
осями чувствительности блока гироскопических датчиков, уста-
новленного на платформе 4, предусмотрено формирование специ-
альных сигналов управления приводами по этому каналу (матрица
С формирования сигналов управления).
8.2. Динамика САС при сферических эллипсоидах
инерции трех платформ ОПУ
Выясним, какой вид принимает уравнение динамики ОПУ САС
(6.12) и векторно-матричная структурная схема САС по рис. 8.1
Для некоторых частных случаев.
Уравнения динамики в матричной форме для системы с тремя
платформами карданова подвеса, полученные при допущении по-
стоянства матриц, зависящих от углов поворота этих платформ
(возможность их вынесения за знак производной), показаны в [4].
163
В качестве частного случая рассмотрим представление каждой
из трех платформ с моментами инерции в виде сферических эллип-
соидов, как это условно показано на рис. 8.2.
Моменты инерции для такого частного случая записываются в
виде:
В этом случае обнуляются многие члены матриц уравнения
(6.12), слагаемые вектора момента Л/* с квадратами скоростей ис-
чезают и уравнение (6.12) записывается в упрощенном виде:
*
рт&.с-г тс-з ^п&З.с
где приняты следующие обозначения:
'w(i)3 ’
, о
2 7 з
'рю.с
о
о
3 ’ ^4
О
* у
о
ъ2.с
ко2.с
о
о
о
о
о
о
О
о
о
юЗ.с
о
о
о
о
о
4
у
о
о
о
ы4.с
о
о
о
3
\ coscp
О
О
о
о
о
ш5.с
4 sin ф„
О
О
рта. с
о
о
о
о
о
о
о
о
тг/йЗ.с
О
о
о
з
О
О
о
о
Рассмотрим
четвертое (СО’|5) и шестое ( Ат
(8.3). Все перечисленные слагаемые являются компонентами мо-
мента М2, поэтому, раскрывая их, запишем:
отдельно второе (Лм31.Q„,3), третье (Л(в4<Д2я4),
юз.с^тШз) слагаемые уравнения
164
165
Рис.8.2 Сфероид инерции ОПУ САС
о
о
ж
0 - J4 sin ip, 0J(«l)x2 ’дл/2
0 0 P 4- 0
0 0 (0/ <4 0
_ (a^)z2
для компоненты
ДМ2
(8.4)
где
ДЛ/2
дм3
дм4
= АЛ/ш >
которого, в свою
очередь, верно следующее соотношение:
Ш2 = -J4 sincpy(02C03 -(J3 + J4 cos<py)ra(al)Z2(03 +
+Л sin <P.v®2(0(o1)>,2 + ( J3 + j4 cos <py >(al)Z2 (0(а1)л. (8.5)
На основании (4.24) и (4.25) можно записать:
®3 = Р<Ру + Й(О2),2 = РФу + “(а1)у2 > <8-6)
и тогда выражение (8.5) принимает вид:
Ш2 = -J4 sin <р„0)2 (р<ру + (0(а1)ъ) + J4 sin Ф3,®2®(Я1)У2 -
-(J3 + J4 cos ipy )«>{oI)Z2 (p<py + «(а1)У2) +
+(Л + Л cos<py>(al)?2W(al)Z2 =
= -J4 sin <pytt2p<py -(j3 + j4 COSФ^^/мр,, (8.7)
или в матричной форме:
-J4 sin <р„ 0 О' ®2/?Ф7
ДАТ =» т 0 0 0 «З/’Р.И +
0 0 0_
'0 0 -(J,+J4cos<pv)
4- 0 0 0 (8.8)
.° 0 0 ^2Р^У.
166
Таким образом, уравнение (8.3) можно представить в виде:
К = 1.Л + 1(й1)17^1 +АЛ/;, (8.9)
где:
О
О
•Л sin <ри
*у 4
*(ol)c
О
О
О - JA sin Ф„
О О
О О
Из (8.9) получаем уравнение относительно СТ:
о; =(1.рГ[К-1м,Ж2-л<1. (810)
Обращая матрицу 1е, получаем:
Введем обозначение Mlm =
Структурная схема, соответствующая соотношениям (4.2), (4.3),
W(ol)*2
(°(О1)Л ’
W(ol)z2 „
(8.7), (8.10) и (8.1 I) показана на рис. 8.3, где при-
няты следующие обозначения:
167
О)
оо
ф
«Т1 = ;
J2+J3+J4cos фу
sin ср
~р®-с _________'У______.
“13 *“ т т I 2 ’
J2+J3+J4cos ф?
W'r‘=y;
A + J 4 J 4
С01’с = -Л sin ср,; а^-с = -(J3 + J4 cos ср,).
Координата /?ср, определяется с помощью выражения (8.6).
Если платформа 1 (КК) неподвижна (стабилизирована) в инер-
циальном пространстве (т.е. Q^2 = 0), то часть структурной схемы
по рис. 8.3, показанная на сером фоне, может быть отброшена. В
этом случае в структурной схеме по рис. 8.3 остаются лишь пере-
даточные матрицы (1ср) 1, R и ® Гш(б7]Л]тс)1 с) . При этом на входе
множительного звена Мн1 нелинейной передаточной матрицы
«Гт фактически оказываются координаты fw(Q*;) и ю3
(например, в соответствии с выражением 8.4).
Если траектория движения цели такова, что одна из угловых
скоростей Гт (Q*;) или (03 оказывается малой, то величиной гиро-
скопического момента
(АЛ/2^ = -[-J4 8тф,со2й)3]), (8.12)
показанного в формуле (8.4), также можно пренебречь. В струк-
турной схеме по рис. 8.3 остаются лишь матрицы (1( р) 1 и R .
Рассматривая структурную схему по рис. 8.3 и сопоставляя её с
выражениями для матриц (1(..) 1 (8.1 1) или 1( (8.9) нетрудно уви-
деть, что диагональные элементы этих матриц характеризуют пря-
мые (или, так называемые, сепаратные) каналы передачи воздей-
ствий, тогда как внедиагональные элементы этих матриц опреде-
ляют перекрестные связи между сепаратными каналами.
169
Покажем на рис. 8.4 принцип формирована диагональных и
внедиагональных элементов указанных выше матриц (вид со сто-
роны положительного направления оси Оу2).
При сферических эллипсоидах инерции платформ в матрицах
(I У 1 и 1 имеется всего лишь один внедиагональный элемент,
физически он отражает (см. рис. 8.4) тот факт, что поскольку плат-
форма 4 представляет собой внутреннюю раму карданова подвеса,
то реактивный момент привода Л/4 , численно равный
движущему моменту М4 (приложен к платформе 4) и противо-
положный ему по направлению, передается с платформы 3 на
платформу 2 и является для привода «возмущающим». В частно-
сти, при фу = 90 , когда оси приводов Пр^ и Пр^ оказывают-
ся параллельными друг другу, этот момент М4 (90 ) передается
полностью, а при фг = 0 , когда оси приводов Пр<р и Пр р орто-
гональны, реактивный момент не передается.
Заметим, что для изображения скалярной структурной схемы
операция обращения матрицы 1С не является обязательной. Струк-
турная схема может строиться непосредственно на основании об-
щего уравнения динамики подвижных платформ ОПУ САС в мат-
ричной форме (6.12), В этом случае прямые цепи формирования
обобщенных координат (02, со3, (04 зависят от значений М2, М3,
Л/4, определяемых диагональными членами матрицы I , которые
характеризуют обычную связь ускорения движения твердого тела и
момента приложенного к нему, все прочие слагаемые учитываются
как обратные связи по полученным таким образом координатам
С)2 j 0)3, С)4 ,
Естественно, что конечный результат оказывается таким же, как
и в случае построения структурной схемы в соответствии с уравне-
нием (8.10), различие заключается лишь в том, что при использова-
нии матрицы (1.) 1 внедиагональные ее члены характеризуют пе-
рекрестные связи, точки ответвления которых приведены к сё вхо-
170
ду (т.е. к моментам М2, Л/3, Л/4); тогда как во втором случае
внедиагональные члены матрицы 1( характеризуют те же пере-
крестные связи, но точки ответвления которых приведены к выхо-
ду блока (I ,) 1 т.е. к угловым скоростям 0)2, (03, w4.
Рис. 8.4. Принцип формирования диагональных и внедиагональных элементов
матриц связи
171
Диагональные члены матрицы (1Г) показывают, что моменты
инерции нагрузки приводов различных осей вращения в основном
определяются суммарными инерционными массами (при сфериче-
ских эллипсоидах инерции платформ).
Так, для привода Пр^ инерционные массы нагрузки равны
моменту инерции платформы 4. Для привода Лд(р приведенный
момент инерции нагрузки равен сумме моментов инерции плат-
формы 3 и 4, поскольку платформа 4 установлена, на платформе 3,
причем оси вращения перпендикулярны, а эллипсоиды инерции
сферические. В связи с тем, что ортогональность осей вращения
Ох3 и Oz3 при фг 0 нарушается, в выражении приведенного
момента инерции привода Пр^ , момент инерции J4 входит с ве-
совым коэффициентом cos2(pv, моменты же инерции J, и Д
входят с весовым коэффициентом равным единице (оси вращения
Ох3 и Оу3, также как оси Оу3 и Oz3 всегда перпендикулярны
друг к другу). При ф =90 ось Oz3 параллельна оси Ох,, и в
этих условиях от привода Пр1р не требуется дополнительного
движущего момента для её вращения.
Матрица R (4.29) характеризует трансформацию абсолютных
угловых скоростей выходных валов приводов 0)(о2)Хп =w2,
(0(а3)х = соз ’ cd(a4)z4 = °C в абсолютные угловые скорости платфор-
мы 4 в базисе Б4 при изменениях относительных углов поворота
Ф v, ф2, связывающих базисы Б2, БЗ, Б4.
Если для коррекции силовой части САС используются гироско-
пические датчики, установленные на выходной платформе 4, при-
сутствие в сепаратных контурах диагональных элементов матрицы
R делает систему нелинейной, а внедиагональные элементы этой
матрицы приводят к взаимным перекрестным связям между кана-
лами СО скоростями 0)(a4)v и (%4)v .
172
Ориентация осей чувствительности гироскопических датчиков
платформы 4 относительно базиса />4 может быть учтена с помо-
щью самостоятельной матрицы, которая (как и матрица /? ) должна
приниматься во внимание при разработке схемы формирования
сигналов управления, по соответствующим осям вращения приво-
дов.
Нелинейная положительная обратная связь к звену суммирова-
ния при М2, обусловленная гироскопическим моментом по выра-
жению (8.12) , вызванным абсолютными скоростями вращения вы-
ходных валов приводов Пр^ и Пр^ , формируется в соответствии
со следующими принципами (см. рис. 8.5).
При вращении платформы 2 с угловой скоростью й)2 вместе с
ней, в конечном счете, вращается относительно этой оси и плат-
форма 4. Однако, поскольку в соответствии со структурной схемой,
показанной на рис. 8.3, угловая скорость 0)4(<pv =0 ) сохраняет
свое прежнее значение (напомним, что w(a4)^ = (о4 представляет
собой угловую скорость перемещения относительно инерциально-
го пространства вектора, который направлен вдоль оси Oz4, по-
этому он непрерывно изменяет свое положение в пространстве),
действительная угловая скорость вращения платформы 4 вокруг
оси Ох2 относительно инерциального пространства co4(cpv) зави-
сит от угла <р), как это показано на рис. 8.4.
В этом случае кинетический момент, вызванный этим вра-
щением, равен ./uo.)2 cos<рt, при q\=W ось вращения Oz4 па-
раллельна оси вращения ()х2, и, несмотря на вращение платформы
2, вращения платформы 4 не происходит. При cpv=O ось Oz4
173
перпендикулярна оси вращения Ох и вращение платформы 2 пол-
ностью передастся на платформу 4.
Вращение инерционной массы, обладающей кинетическим мо-
ментом еще и относительно второй оси, ортогональной к первой, с
угловой скоростью со3, приводит к появлению гироскопического
момента, вектор которого расположен перпендикулярно относи-
тельно векторов угловых скоростей (о2 и со3, а величина (при сфе-
рических эллипсоидах инерции) равна произведению кинети-
ческого момента J4(o2 cos <рг на угловую скорость со3.
Рис. 8.5 Принцип формирования гироскопических моментов, вызванных абсолют
ными скоростями вращения выходных валов приводов Пр и Пр.
Однако, будет ли передаваться этот момент системой из грех
твердых тел, соединенных осями вращения, о г платформы 4 на
платформу 2, зависит от взаимного расположения этих тел (взаим-
ного расположения осей вращения). Гироскопические силы непо-
средственно действуют на платформу 4 и передаются через плат-
174
форму 3 на платформу 2, поэтому результат их действия зависит от
угла поворота фг.
При фг=0 гироскопический момент не передается на ось
вращения Ох2, так как оси вращения ортогональны, а вектор этого
момента перпендикулярен оси вращения Ох2. При ф 0 возни-
кают условия для передачи гироскопического момента, образуется
нечто вроде карданного вала с коэффициентом передачи sin ф по
моменту.
Если положение подвижного основания, на котором установле-
на конструкция ОПУ САС (КК), нестабилизировано в простран-
стве, тогда дополнительно появляется еще одна нелинейная обрат-
ная связь к звену суммирования при М2 (рис. 8.3), обусловленная
гироскопическим моментом
= -[-(Л + Л cos2 cpvWv(fl(al)Z2 ] =
= (J3 + JA cos2 cpy)(w3 -0J(ol)y2)(0(al)Z2, (8.13)
вызванным скоростями вращения /?фг и о)(д1)7э. Заметим, что
по каналу создания угловой скорости со3 эта связь является поло-
жительной обратной связью, как и в рассмотренная выше случае.
Физическая природа этой связи может быть показана аналогич-
ным образом (см. рис. 8.6). При вращении платформы 3 относи-
тельно оси Оу2 со скоростью /хрг возникает кинетический мо-
мент Л/хр . Вращение инерционной массы, обладающей кинети-
ческим моментом относительно оси Oz2 (перпендикулярной к век-
тору кинетического момента, совпадающему при сферическом эл-
липсоиде инерции с направлением вектора скорости /хри), со ско-
ростью приводит к появлению гироскопического момента,
вектор которого расположен перпендикулярно к векторам угловых
скоростей /хрг и 0)(д1)2), т. е. он параллелен оси Ох2, и поэтому
этот момент передается через опоры оси вращения Оу2 платформы
175
2 на привод Пр^ с весовым коэффициентом, равным единице.
Платформа 4 расположена на платформе 3 и вращается вместе с
ней, однако, имеет значение положение её собственной оси враще-
ния Oz4, которое зависит от угла поворота фг платформы 3. При
ф =0 ось OzA перпендикулярна оси Ох2, инерционная масса
JA полностью участвует в создании кинетического момента, а ги-
роскопический момент передается полностью на привод Прг .
При фг=90 ось Oz4 параллельна оси Ох1 и гироскопический
момент на привод Прф не передается.
Помимо гироскопической нелинейной связи по составляющей
качки подвижного основания проявляют себя также связи с переда-
точными матрицами L и I(d)c. от вектора угловой скорости Q5-
(рис. 8.3).
Рис. 8.6. Формирование дополнительного гироскопического момента
Передаточная матрица С (или передаточная матрица L, если
вектор выражен в базисе Ы) вместе с передаточной матрицей
R характеризуют «кинематическую» связь угловых скоростей
платформы 4 в её базисе (Ь'4) с угловыми скоростями выходных
176
валов приводов, которые заданы в комбинированном базисе Ь*, и
угловыми скоростями подвижного основания платформы 1, вы-
раженными либо в базисе Б7, либо в базисе Б2. Эта «кинематиче-
ская» связь обусловлена лишь значениями углов Эйлера, связыва-
ющих базисы Б1+Б4, представляющих собой относительные углы
поворота выходных валов приводов Пр^ , Пр^ 9 Пр<р .
Напомним, что угловые скорости (02, й)3, (04, ю(а1) , со(а1)л,
®(ai)z2 ’ ®(a4)x4 > ®(в4)У4 > “(а4)24 представляют собой составляющие
векторов угловых скоростей относительно инерциального про-
странства, являющиеся, однако, проекциями на оси подвижных в
инерциальном пространстве базисов.
Передаточная матрица 1(а1)с в канале связи от вектора к
звену суммирования при М2 (рис. 8.1 и 8.3) отражает особенности
динамического влияния качки подвижного основания (КК). Можно
отметить, например, различную роль инерционных масс платформ
при сопровождении подвижной в пространстве цели и при париро-
вании качки (задача стабилизации или задача удержания визирной
линии на неподвижной в пространстве цели).
В первом случае инерционные массы всех без исключения
платформ ухудшают быстродействие, требуют запасов движущих
моментов приводов на преодоление моментов от сил инерции.
Во втором случае инерционные массы платформ влияют раз-
личным образом - инерционная масса платформы 4 способствует
стабилизации визирной линии, при этом для обеспечения условия
Qf4 = 0, независимо от величины момента инерции J4, от приво-
да Пр^ не требуется создания какого-либо движущего момента
(при условии ортогональности осей вращения платформ ОПУ
САС). Инерционные массы платформ 2 и 3 наоборот желательно
уменьшать, так как они увеличивают связь осей вращения ОПУ
САС с корпусом КК, делают её более тесной. В идеальной случае
(при решении задачи стабилизации) моменты инерции платформ 2
и 3 должны быть близкими к нулю, чтобы никакие инерционные
силы не мешали им занимать с любой скоростью любые положения
при возможной качке КК. Только в этом случае промежуточные
177
рамы подвеса не будут оказывать влияние на положение стабили-
зированной платформы в пространстве при качке КК.
Положительная связь от вектора к звену суммирования при
М2 через передаточную матрицу 1(а1)с, отражает тот физический
факт, что при качке КК для сохранения положения инерционной
массы платформы 4 в инерциальном пространстве от привода
77Д не требуется дополнительного момента, так как абсолютное
угловое ускорение платформ 4 равно нулю.
8.3. Динамика ОПУ САС при сферических
эллипсоидах инерции платформ 2 и 3 в случае
выполнения платформы 4 в виде наклонного
зеркала оптического тракта пеленгатора
В реальных конструкциях ОПУ высокоточных САС полезной нагруз-
кой (платформа 4), как правило, является выходное зеркало оптического
тракта пеленгатора. Отражающая поверхность зеркала расположена по
углом 45° к осям Ох4 и Оу4 базиса Б4, ось (9z4 параллельна плоскости
зеркала (рис. 8.7). Во многих приложениях масса зеркала оказывается
значительной по отношению к массе установочной конструкции плат-
формы 4, и любые попытки динамического уравновешивания платфор-
мы 4 с нагрузкой относительно осей Ох4 и Оу4 приводят к существен-
ному увеличению общего веса и ухудшению других характеристик си-
стемы. В то же время динамическое уравновешивание платформ 2 и 3
относительно соответствующих осей с позиции конструирования систе-
мы оказывается значительно более лёгкой задачей.
Полагая в общем уравнении динамики подвижных масс ОПУ
САС (6.12) J2; = J1' = J1: = J2; J* = = Л3* = j3, а также, учи-
тывая незначительную величину угла <р, (sinср, =0) и используя
соотношения:
= 45 ; sin у =
V2
—; cosy =
cos2y = cos90 =0;
178
sin2y = sin 90 =1; sin у cosy = -; sin2y = cos2y = —,
получаем уравнение в матричной форме:
где приняты следующие обозначения:
p^.Z U11 pco.z u12 ap^c" u13
A = p^.z p<o.z U21 <-C 0 5
0 0 P<!).C ^33
1 ‘ ) sin Фу C°S2 Фу ’ <2 1 = I (Jy4’ " j4* ) sin Фу ;
а^2 = (J’* cos2 р + J’* sin2 р - Jz3’)sin <pv cos <pv;
w3.z Лю3.г
a\\ ai2 °13
0 0 0
<31 = | Vy - j4‘) c°s2 фу; апг=-1 +Jy) sin ;
179
Ля/
<o3.z г 1 / r4* . г4*\ /4*п
^21 ~ [т(*Л
og'=|w4‘-^)sin4>,;
Ля/
Рис.8.7 Сферические эллипсоиды инерции платформ 2 и 3 и наклонного зеркала
(платформа 4)
180
181.
О 0 0
’ rj* О О
_гс«'р о о
‘ tb uisf — /’)—= "р •'<
• и' гиРv^/ *н ' । гггом/
\-JuV о о
•О 0 0
_гг^ о о
О 0 0
• о о
_z-J> о о
UJS (*f - „*/•) у- = 7.'> ‘ *
2-£0)М/
V
7
UIS( ,'/•- 'г) — = 7.^'г>
£ « ' *(7 * иф* ' J
с
О
О
О
0
0
0
Zit
Z‘^L
cbsoo 'd>uis( 7*
И
1'^
ZZ
гра
Z\
сг
I
£1
о
Z'Q&
II
Z’CG)
fl
Zf>G)
If
Z p(*
0
z
zzv
г11
Z
-1 (Jy - J*) cos (py J*’ sin <py
Л+|(Л4'+Л4’)
о
.А^^Ивф,; < —
В рассматриваемом случае матрица инерции, приведенная к
осям вращения приводов, равна:
4+Л+~(Л4’+Л4‘)со82ф
т.|((44’-Л4,)со8ф„
о
о
r4*
I
(8.15)
Матрица инерции по каналу качки подвижного основания запи-
сывается в виде:
0 0 --(J4’ 2 х + J4*)sincpy
0 0 2{ у -J4*)cos<p? (8.16)
0 0 0
—
pto.z ра.с
«12 «13
^22С О
о <-с
Матрица инерции 12 =
показывает, что по
О
сравнению с рассмотренным ранее случаем появились два допол-
нительных внедиагональных члена (a!^'z = a^'z), характеризую-
щие взаимные перекрестные связи, обусловленные «перекосом»
эллипсоида инерции платформы 4 с зеркалом относительно осей
её базиса Б4.
Наличие этих дополнительных внедиагональных членов матри-
цы I, приводит к сложному и громоздкому выражению для об-
ратной матрицы (I,)"1. В связи с этим структурную схему, отра-
жающую динамику подвижных масс ОПУ целесообразно изобра-
жать непосредственно по уравнению (8.14).
182
Оценим влияние гироскопических связей для рассматриваемых
здесь общих и частных случаев.
По сравнению с предыдущим случаем наличия трех сфероидов в
компоновке ОПУ САС (Jx2* = J2* = J2* = J2; jj* = J* = J* = J3;
J4* = = J4* = J4), динамика движения которых описывается
уравнением (8.3), можно заметить, что в соответствии с уравнени-
ем (8.14) существенно возросла роль гироскопических нелинейных
связей (Ги,Г(а|) и Г^).
Для трех рассмотренных выше случаев определим количество
связей между обобщенными координатами в соответствующих
уравнениях динамики:
- общее уравнение движения платформ ОПУ САС (6.12): 9
инерционных связей, 8 центробежных связей, 19 гироскопических
связей;
- уравнение движения платформ в случае трех сфероидов инер-
ции ОПУ САС (8.3): 5 инерционных связей, 0 центробежных свя-
зей, 4 гироскопические связи;
- уравнение движения платформ в случае двух сфероидов
инерции и наклонного зеркала ОПУ САС (8.14): 8 инерционных
связей, 7 центробежных связей, 16 гироскопических связей.
Если сравнивать уравнения динамики для рассматриваемого
частного случая (8.14) и общего случая (6.12), то можно заметить,
что в структуре уравнения при сферических эллипсоидах инерции
платформ 2, 3 и несферическом эллипсоиде инерции для платфор-
мы 4, главные оси которого расположены под углом к осям враще-
ния, присутствует большая часть членов общего уравнения. Из об-
щего количества слагаемых, обусловленных какими-либо перемен-
ными, их квадратами или произведениями, равного 36 в общем
случае, в частном рассматриваемом уравнении присутствует 30
слагаемых.
Даже при внешнем сравнении уравнений динамики подвижных
масс ОПУ САС и соответствующих им структурных схем можно
сделать заключение, что «перекос» эллипсоидов инерции платформ
и, особенно платформы 4, имеет существенное значение для струк-
туры САС, в частности, с позиции связанности плоскостей сопро-
вождения, т.е. их взаимного влияния, а также с позиций сложности
183
системы в целом, возможности применения теории линейных си-
стем для анализа и синтеза и т.п.
Уравнения и структурные схемы для общего и частного случаев
могут быть использованы на различных этапах проектирования
САС. В полном виде они применяются при математическом моде-
лировании динамики подвижных масс ОПУ САС в целях выбора
предпочтительного варианта конфигурации эллипсоидов инерции и
их положения по отношению к соответствующим базисам.
Исследование полных уравнений позволяет выявить связи, ока-
зывающие преобладающее влияние с различных позиций, и наме-
тить пути их упрощения в целях исследования силовых частей
приводов замкнутых гироскопическими датчиками обратной связи,
исследования динамики систем отдельных плоскостей сопровож-
дения и системы в целом.
184
Глава 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОЙ СТРУКТУРНОЙ
СХЕМЫ САС
9.1. Передаточная матрица звена связи движения
ОПУ САС с движением корпуса КК
Во многих практических задачах многомерные системы
связного регулирования удается представить как линейные или же
линеаризованные. В таких случаях необходимые частные или
общие передаточные функции (ПФ) и передаточные матрицы
замкнутой системы могут быть получены путем преобразований
векторно-матричных структурных схем. Все преимущества такого
способа отыскания необходимых ПФ или преобразования
исходной многоконтурной структуры к эквивалентным структурам,
содержащим меньшее число контуров, справедливые для
одномерных линейных систем, сохраняются (и даже усиливаются)
для многомерных линейных систем.
Правила преобразования векторно-матричных структурных
схем, показанные, например в [7], остаются такими же, как и для
одномерных систем, с одной следующей особенностью.
При любых преобразованиях необходимо учитывать тот факт, что
произведение матриц некоммутативно. В большинстве же простых
преобразований обычно бывает достаточным использование широко
известных правил преобразования структурных схем одномерных
систем, если принять несколько предосторожностей для учета
некоммутативности произведения матриц.
Предосторожности заключаются в следующем.
Во-первых, передаточная матрица последовательной цепи
мазричных звеньев должна записываться в виде произведения
передаточных матриц звеньев в порядке перехода от выходного
сигнала цепи к входному сигналу, т.е. в произведении
передаточные матрицы должны быть расположены в порядке,
противоположном по отношению к порядку, соответствующему
направлению прохождения сигнала.
Во-вторых, при преобразованиях типа переноса звена
суммирования вдоль по ходу сигнала или точки ответвления
против хода прохождения сигнала (преобразования типа
185
«расщепление структуры») следует в преобразованной ветви
сохранять все матричные звенья в том же порядке, в каком они
встречались по ходу сигнала в исходной схеме. Запись
эквивалентных передаточных матриц в виде произведений
рекомендуется выполнять после изображения частично
преобразованной структурной схемы, учитывая порядок
расположения матричных звеньев.
В третьих, при преобразованиях типа переноса звена
суммирования против хода прохождения сигнала или точки
ответвления по ходу сигнала (преобразования типа «объединение
структур») следует поступать также как в предыдущем случае, но с
двумя дополнениями:
- при таких переносах в получаемую цепь вводится
передаточная матрица, обратная передаточной матрице
«обойденного» звена;
- рекомендуется после каждой операции проводить проверку, не
изменилась ли общая передаточная матрица рассматриваемого
тракта (такая проверка полезна и при преобразованиях типа
«расщепления структуры»).
В четвертых, при сворачивании структур, имеющих в прямой
цепи передаточную матрицу а в отрицательной обратной
связи - передаточную матрицу И' , можно пользоваться любым из
следующих соотношений:
V (5)
^. = 7^ = (е + ^ЛГ|^,;
^=^,(Е + ^№; ~ (9.1)
Г1 о ... о’
... о
О
где Е =
- единичная матрица;
О
О ...
Е =[И/'(ИЛ)1]; ИЛЕ = ЕИ/.
186
Если обратная связь является положительной, то знак «плюс»
перед вторым слагаемым обращенной матрицы, стоящей в круглых
скобках, должен быть заменен на знак «минус».
При преобразовании структурных схем следует избегать
случаев переноса звеньев суммирования и точек ответвления через
неминимально-фазовые звенья (верно и для структурных схем
одномерных систем). В противном случае некоторые из свойств
исходной системы при переходе к эквивалентной структурной
схеме могут быть утеряны.
Выше отмечалось, что для трехстепенного карданова подвеса
даже при применении безредукторных моментных приводов,
полная развязка от качки подвижного основания (корпуса КК)
обеспечивается лишь при cpv = 0 , когда все три оси карданова
подвеса ортогональны между собой. Кроме того, было отмечено,
что и моменты инерции платформ подвеса оказывают
существенное влияние на связь ОПУ САС с корпусом КК.
Рассматривая структурную схему по рис. 8.1 можно отметить,
что от вектора угловой скорости качки основания (ilf2) имеется
несколько каналов воздействия на прямой канал полной структуры
САС. Матрица Z* (или матрица L, если вектор Q и задан в
базисе Б1) характеризует «кинематическую» связь, матрица
характеризует «инерционную» связь. Условимся, в дальнейшем,
считать эти связи линейными.
Строго говоря, они являются линейными лишь при малых значениях
амплитуды качки подвижного основания относительно какого-то
среднего медленно изменяющегося углового положения КК в
пространстве. Обычно амплитуда угловых колебаний КК
действительно составляет небольшую величину, позволяющую считать
эти связи практически линейными (в этом случае - линеаризованными).
Помимо этих связей в САС имеются каналы нелинейных
гироскопических связей (нелинейные преобразования Г(а1),
Г (а1)). Даже, если нелинейные гироскопические связи по качке
Q^2 отсутствуют, существенное значение с точки зрения
187
преобразования структурной схемы имеет нелинейная
гироскопическая обратная связь по выходной координате СГ
(нелинейное преобразование Г/н).
Рассмотрим упрощенный случай, когда нелинейные
гироскопические связи отсутствуют, либо являются слабыми и не
оказывают существенного влияния, либо когда влияние этих
нелинейных связей на динамику САС подавлено специальными
техническими средствами.
В таком случае можно пренебречь нелинейными связями и
рассматривать систему как линейную. При этом по воздействию
остается лишь два канала связи: через передаточные матрицы
Z* и , как это показано на рис. 9.1.
Чтобы иметь возможность оценивать влияние качки КК на
динамику САС целесообразно звено суммирования при координате
Л/* связи от Qf2 (сумматор S1), идущей через передаточную
матрицу перенести вперед по ходу сигнала к звену
суммирования связи, идущей через передаточную матрицу L
(сумматор Е2), и эти связи объединить. Тогда результирующая
передаточная матрица, учитывающая и «кинематические», и
«инерционные» причины передачи качки КК на платформу 4 ОПУ
САС, будет отражать связь САС с угловыми движениями КК.
Условимся эту передаточную матрицу называть «передаточной
матрицей связи САС с качкой корпуса КК» и обозначать №связи В
соответствии со структурной схемой по рис. 9.1 передаточная
матрица №связи фактически будет соединять вектор угловой
скорости качки КК Qf2 с эквивалентным возмущением AQ^44,
приложенным к выходу структурной схемы САС:
®(al)x2
= И7 связи (9-2)
_AW(a4)x4_ _^(al)z2 _
188
00
(О
Рис.9.1 Векторно-матричная структура линеаризованной САС
поэтому ошибка САС, вызванная качкой КК, будет также зависеть от
структуры силовой части САС (в частности, от того, охвачено ли по
воздействие глубокой отрицательной обратной связью по информации
от гироскопических датчиков, от усиления контуров датчиков угловых
скоростей на качке), от структуры управляющей части САС и числовых
значений параметров рассматриваемой системы.
Покажем в упрощенном виде структурные схемы исходной (рис 9.2щ
и преобразованной (рис. 9.2Z>) САС. При этом принимаем, что в качестве
исполнительных приводов применяются безредукторные моментные
приводы и отсутствуют какие-либо специально введенные связи по
относительным углам поворота фх, ф( и ф,, идущие в силовую или
управляющие части структуры САС.
В соответствии со структурными схемами по рис. 9.2, учитывая, что
скалярные множители можно менять местами с матричными, получаем:
(9.3)
9.2 Передаточная матрица звена связи с движением
корпуса КК при сферических эллипсоидах инерции
всех трех платформ ОПУ САС
Рассмотрим случай сферических эллипсоидов инерции всех
трех платформ: 2, 3 и 4 (рис. 8.1). Матрицы > (U_1h
этого случая определяг Из уравнения (4.29) отся выражением (8.9). следует: 0 0 —coscp г sin(pv
Г = 0 0 sincpzsin<pv 0 0 0 cosq>zcos<pl, sin<pz 5 o' (9.4)
/? = - sin <рг cos cos ф , 0 0 0 1 • (9.5)
Учитывая, что операция умножения матриц обладает свойством
ассоциативности (т.е. при умножении матриц скобки,
190
Рис.9.2 Порядок преобразования векторно-матричной структуры линеаризованной САС
определяющие порядок выполнения умножения, можно
расставлять произвольно), второе слагаемое правой части
уравнения (9.3) представим в виде 7?((1с) и определим
вначале значение произведения ar’w Для ЭТОГО
перемножим данные матрицы и получим:
0 0 Л Sin Фу о
J 2 + J3 + J4 cos- фу
(U-1W = 0 0 0 (9.6)
0 0 0
Умножая матрицу R (9.5) слева на матрицу (1с T'W (9-6),
получим:
0 0 J4 sin ф v cos фу cos ф, Л + J3 +J4 cos2 фг
ДО%1)е = 0 0 J4 sincp,, созф^, sin<pz (9.7)
J2 + J3 + J4 COS2 cpy
0 0 0
и тогда:
О О
= 00
0 0
- cos фг sin ф
sin фг sin ф
J2 + J3 + J4 cos ф v (1 - cos фу )
J2 + J3 + J4 COS2 <pv
Л + Л ) + Л cos Фу (1 ~ cos фу)
J2 + J3 + J4 COS2 (pv,
(9.8)
0
192
На основании соотношения (9.2) и в соответствии со
структурной схемой (рис. 9.2Z?) запишем:
А(д(а4).г4 Al°(a4)r4 _A(D(a4)z4 _ = 0 0 0 0 0 0 -cos<p_ sin <pv sin ф2 sin cp - J2 + J3 + J4 costal-cos Cpp J2 + J3 + J4 cos2 <pv 72 + +J4 cos 4)^(1-cos ф^) Й(Я1)Л •
J2 + J3 + J4 COS2 фг 0
(9.9)
Выражение (9.9) характеризует эквивалентное воздействие на
САС, обусловленное качкой основания (КК), приведенное к
выходу структурной схемы САС. Отсюда следует, что качка КК
будет сказываться лишь при фу. 0, т.е. при неортогональных
осях карданова подвеса.
Кроме того, с позиций ослабления связи САС с движением
корпуса КК целесообразно по возможности максимально
уменьшить моменты инерции промежуточных платформ карданова
подвеса. При J2+J3=0 передаточная матрица ^связи связи
САС с движением корпуса КК (качка и вибрации) имеет
1 - COS ф v
минимальное значение, определяемое соотношением ” .
COS ф у
9.3. Передаточная матрица звена связи движением
корпуса КК при несферических эллипсоидах
инерции платформ и отсутствии «перекосов»
эллипсоидов инерции
Рассмотрим случай несферических эллипсоидов инерции всех
платформ, когда отсутствуют «перекосы» эллипсоидов инерции
относительно базисов Б2, БЗ, Б4 платформ.
Для этого положим в уравнениях динамики подвижных масс
ОПУ САС (6.12) а = 0, |3 = 0, у = 0, в результате получаем:
193
Мт ^1К>.нсР^т + 4>2.ис^т2 + Аз.ис^тЗ + 4о4.яс^т4 + 4.>5.ИсЦ„
рпм.нс
Qft2
ь 4л|И2
7л<оЗ ’
(9.Ю)
где приняты следующие обозначения:
рыж
II
рыж
0 а^"с
а^нс 0
0 <-"с
рыж
И
рыж
= J* + (J3* + Л4*) cos2 <р, + J2* sin2 ;
= J4‘sin<p/ <нс
раж __ г4* ,
а33 “ J z >
4)2. нс
,«2.нс
21
о
о
о
о о
о о
о о
о
0
13.
a
0
а2в2 ис = (J3* - J?) sin <ру cos <pv;
)3.wc (o3.wc
2 а13
0 0 ;
)3ж Q
2 U
аш3.ис = _(j3* _ ) sin 2tpv + (/4* _ 2 J4* ) sin CQS _
-(j;-J24*)cos<pv;
= (J4; - J4*) cos ср „; 43 *0 = -(J4; - J4t) COS <pv;
a^-HC 0
0 a^HC ;
щ4 нс 0
<24 HC = -(J3; - J3;) COS 2<py - J3; - J4' cos cpr;
аш24м = (J3; - J3;) cos 2Ф,; a^c = (Л4* “
0
^4.hc
21
(u 4. нс
194
m4.wc
^32
m3, нс
II
э.нс
9
«пж = (Jv’ ~ J 3*)sin ф Vcos Фу+Л4’sin Фу;
о о
рт&.нс
“13
Л—= о о
о о
О
<з"“"с = -(Л3* - Л3’) sin Ф, cos ф „ - Л4* sin фу cos фу;
0 0 О
О О <2-
0 0 о
jymI.hc
23
= (^*-Л3‘)8тф„со8фу;
О
о
о
о
о
о
w(i)3.hc
тшЗ.кс
13
О
о
9
_то3.нс
#13
=-(Л2*-Л2’)+(Л3’со82фг+/Г
sin2 фу) + J4’ cos фу.
Обращая матрицу 1НС, получаем:
«"Т*
О
(9.11)
где:
г2* гЗ* 2 , гЗ* • 2 । г4* 2 ’
Л +Л cos Фу+Л sin <PV+JV cos фу
195
«НСУ'
2»
-sincp^
гЗ* •
i-Jz sin
«"Т1
У
^4* 5
У
«НСУ1
-4* ’
z
Далее можно записать:
О
О
У
У
(al) нс
о
о
о
О
о
о
(9.12)
Произведение матриц окончательно принимает следующий вид:
л а [-и.Г - Л’* ) C0S Фу-Л4*]™ Фу COS фу COS ф.
г2* гЗ* 2 тЗ* • 2 г4* ?
Л + Л cos Ф^ + Л sin Фу+Дх cos ф^
, [-(Jx’ - Л3’)СО8ф - Jx*)sin ф СОвф sin ф
т \-1т _ /ч /ч L 4 *_____- 7____т У__х 7___' У___~ У___т z
1(а1)нс V V “Т* гч* 7 гЗ* • 2 г4* 7
Л +Л СО82Ф5,+Л sm2<p,+Jx4 cos-ф,
0 0 О
Передаточная
корпуса КК принимает вид:
матрица связи движения
движением
связи. НС
(а\)нс
О
О
О
связи
^13
связи
«23
О
о
о
196
О О
О О
О О
[•/л2* - Z* cos 2<py + J*' cos фy (I - cos фу)]sin <pv cos <p.
x +JX cos <р„ + л sin cpy + J, cos <p,
[J;* - J3* cos 2cpv + Jx cos<py(1 - cos<p„)]sin <py sin <pz
Jx +Л cos Ф„+Л sin Фу + Л cos-ф,
0
(9.14)
Учитывая соотношение (9.2) и сравнивая выражения (9.8) и
(9.14), можно сделать заключение, что выводы о влиянии
инерционных масс различных платформ на вид связи САС с
движением корпуса КК, сделанные для случая сферических
эллипсоидов инерции, остаются в силе и при несферических
эллипсоидах инерции (при условии отсутствия их «перекосов»:
О' = о, р-о, 7 = 0). Связь движения САС с движением корпуса
— т1* тЗ*
КК тем слабее, чем меньше сумма J v + J _ по сравнению с
общим моментом инерции подвижных масс ОПУ САС,
приведенных к оси Oz:
т2* тЗ* 2 тЗ* • 2 г4* 2
Jx +JX cos ф +Л sm ф +J cos-ф,,.
-А- JX’ у —• ’ » .Л • г
Соотношения (9.2) и (9.14) также показывают, что из
W 6'2
составляющих угловых движении основания £2 н , выраженных в
базисе Б2, на движение САС оказывает влияние лишь
составляющая :
А^(а4)х4 ’о 0 связи “\3
^W(a4)v4 — 0 0 связи а23 (9.15)
^0)(o4)i4 0 0 0 _10(аЩ2 _
Следовательно, если организовать измерение угловой скорости
КК вокруг оси (практически, измерение угловой скорости
платформы 2 вокруг оси O}z2), появляется возможность создавать
197
дополнительные каналы (компенсации или управления) в режиме
автосопровождения подвижного объекта визирной осью АК БОН
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шеваль В.В,, Огольцов И.И., Тсрсков В.Г. «Методы
комплексирования объединений следящих приводов бортовых
авиационных комплексов», учебное пособие, издательстве-
БИБЛИО-ГЛОБУС, 2016 г. - 319 с,: ил.
2. Бутснин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. «Курс теоретической
механики», в двух томах, М.: издательство «Лань», 2009 г., 736 с
3. Яворский Б.М., Детлаф А.А. «Справочник по физике для
инженеров и студентов вузов», М.: «Наука», 1977 г.
4. Ригли У., Холлистер У., Денхард У. «Теория, проектирование
и испытания гироскопов», М.: «Мир», 1972 г.
5. Терсков В.Г., Федотов Б.К., Огольцов И.И. «Системное
проектирование многомерных систем автоматического
сопровождения комплексов бортового оборудования ЛА», учебное
пособие, издательство МАИ, 1991 г. - 60 с.: ил.
6. Иванов В.А., Чемоданов Б.К., Медведев В.Т., Ющенко А С
«Математические основы теории автоматического управления» в
двух томах, М.: издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008 г.
7. Морозовский В.Т. «Многосвязные системы автоматического
регулирования», М.: «Энергия», 1970 г.
198
В.В. ШЕВАЛЬ, И.И. ОГОЛЬЦОВ, В.Г.ТЕРСКОВ
ДИНАМИКА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО СОПРОВОЖДЕНИЯ АНИАПИОНHOI О
БАЗИРОВАНИЯ
Учебное пособие
Корректор: А.В. Цветкова
Верстка и оформление: И. В. Сазонова
ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ
БИБЛИО-ГЛОБУС
Издательский Дом
«Библио-Глобус»
http://www.idbg.ru
тел. +7 495 215 01 38
ISBN 9785990991644
Сдано в набор 12.03.2017. Подписано в печать 15.04.2017.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Гарнитура LiteraturnayaC. Печать офсетная. Усл. печ. л. 12,5.
Тираж 1000 экз, Заказ № 2684.
Отпечатано:
Публичное акционерное общество
«Т8 Издательские Технологии»
109316 Москва, Волгоградский проспект, дом 42, корпус 5
Тел.: 8 (499) 322-38-30