Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. Книга для учителя - Эрдниев А.М., Эрдниев Б.П.

Author: Эрдниев А.М. Эрдниев Б.П.
Tags: методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе математика методика обучения книга для учителя
Year: 1986
Similar
Методика преподавания математики в средней школе. Часть 1
Приобщение к математическому творчеству
Педагогические технологии
Деятельностный подход как теоретическая основа проектирования методической системы обучения математике. Автореферерат
Text
                    
П.М. ЭРДНИЕВ Б.П. ЭРДНИЕВ
Укрупнение
дидактических
единиц
в обучении
математике
КНИГА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
МОСКВА
«ПРОСВЕЩЕНИЕ»
19В4
ББК 74.262
Э75
Рецензенты:
доктор пед. наук Ю. М. Калягин;
методист МП РСФСР К. И. Шалимова
Эрдниев П- М-, Эрдниев Б. П.
Э75 Укрупнение дидактических единиц в обучении математике:
Кн. для учителя.—М.: Просвещение, 1986.—255 с., ил.
В книге изложена разработанная авторами система обучения математике, основан-
ная на идее «укрупнения дидактических единиц», выражающейся, в частности, в одно-
временном изучении взаимосвязанного математического материала.
4306010000—443	-	ББК 74.262
9 103(03)- 86	57-86	51
(g) Издательство «Просвещение», 1986
О Т РЕДАКЦИИ
Учитывая просьбы и пожелания учителей, изда-
тельство предлагает вниманию читателей книгу заслу-
женного деятеля науки РСФСР доктора педагогических
наук профессора П. М. Эрдниева и кандидата педаго-
гических наук Б. П. Эрдниева, посвященную идее укруп-
нения дидактических единиц. Созданная ими (совме-
стно с руководимым ими коллективом учителей) систе-
ма обучения воплощена в многолетнем эксперименте в
ряде школ.
В книгу вошли основные дидактические и методиче-
ские положения теории укрупнения дидактических
единиц, получившие конкретную реализацию в экспе-
риментальных учебных пособиях по математике.
Не каждое высказывание авторов представляется
бесспорным, однако книга содержит оригинальный ма-
териал, полезный учителю для творческого применения
на уроках.
В ряде случаев использован материал ранее вышед-
шей книги П. М. Эрдниева «Преподавание математики
в школе» (М., 1978), который несомненно окажется по-
лезным начинающему учителю.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . .	. .
1.	Математическое упражнение как основное звено процесса обучения мате-
матике
2.	О перспективах применения метода противопоставления
3.	О полноте системы математических упражнений
4.	О месте обратных задач при обучении математике
5.	Математическое творчество — высшая форма самостоятельности мышле-
ния учащихся
6.	Обобщение и аналогия при обучении математике
7.	Взаимосвязь индукции и дедукции в обучении математике
8.	Соединение анализа и синтеза как условие гибкости и прочности матема-
тических знаний	. .
9.	Информационный аспект укрупнения единиц усвоения знаний. Феномен
сверхсимвола
10.	Взаимосвязь словесного н символического мышления в плане укрупнения
дидактических единиц
11.	Функциональная асимметрия головного мозга и принцип дополнитель-
ности в обучении
12.	Двойственность в математике и математических упражнениях
13.	Матрица упражнений как средство укрупнения знаний
14.	Системность знаний как результат укрупнения дидактической единицы
15.	Самоу крупней не знаний	.	. .	. .
16.	О диалектическом характере знаний, усваиваемых благодаря укрупнению
дидактических единиц	...
17.	О взаимосвязи логики и психологии в решении проблемы укрупнения
дидактической единицы
18.	Взаимосвязь методологии и технологии при укрупнении единиц усвоения
19.	Фактор времени в экспериментальном исследовании проблемы укрупне-
ния знаний .	.	.	.	...
20.	Укрупнение знаний при повторении пройденного
21.	Проблемы внедрения методической системы УДЕ
22.	Опыт построения учебного предмета «Линейная математика»
23.	Информация и «шум» в обучении математике
Заключение
Литература ..........................................................
5
12
22
30
35
51
60
74
81
91
100
117
129
142
155
164
168
173
183
193
199
204
206
241
251
252
ПРЕДИСЛОВИЕ
... В соответствии с задачами школы и новым учеб-
ным планом переработать действующие учебники,
повысить их идейно-воспитательный уровень, обес-
печить доступность, практическую направленность,
межпредметные связи...
Из постановления ЦК КПСС и Совета Министров
СССР «О дальнейшем совершенствовании общего
среднего и специального образования молодежи и
улучшении условий работы общеобразовательной
школы».
Я предпочитаю лучше заслужить упрек в диле-
тантском отношении к соседним научным областям,
чем вовсе от них отмежевываться, так как я в те-
чение всей своей научной деятельности был глубоко
убежден, что именно работа в промежуточных
областях может обогатить нас наиболее плодотвор-
ными общими идеями.
Я. К- Кольцов
Все согласны с тем, что нет «царского пути в матема-
тику». Много труда и терпения, настойчивости и внимания требуется от
учителя и школьника, чтобы последний смог освоить программный
минимум знаний по этому предмету.
Мы привыкли сейчас к открытиям, одно поразительнее другого:
изобретены лазеры и голография; расшифрован код наследственности;
синтезирован ген; научились выращивать копии животных...
Недалеко, видимо, то время, когда и в психологии и педагогике
будут найдены такие средства обучения, эффективность которых труд-
но сейчас представить.
Н. Е. Жуковский имел основания считать, что методы обучения ма-
тематике можно сделать столь совершенными, что ее будет понимать
«всякий желающий из публики».
Добиться того, чтобы человек за меньшее, чем прежде, время ов-
ладел ббльшим объемом основательных и действенных знаний, —
такова одна из главных забот современной педагогики.
Данная книга посвящена итогам исследования, в основу которо-
го положена идея укрупнения дидактических единиц, и перспекти-
вам внедрения этой методической системы в широкую школьную прак-
тику.
Становление любой педагогической идеи (в частности, и данной)
имеет две стороны: практическую и теоретическую.
Нам удалось осуществить «первым заходом» в условиях массовой
школы с положительным в целом исходом проверку этой концепции,
организовав в 1960—1984 гг. экспериментальное обучение по своим
пробным учебникам от I до VI класса включительно.
Реализация дидактической идеи в «главной книге школы» — учеб-
нике представляется венцом педагогического поиска: по нему есть
что испытывать и улучшать!
Учебник может быть проверен на деле каждым учителем, который
в конечном счете является «верховным судьей» методической идее.
Испытание учебников—дело долгое и нелегкое, во многом про-
тиворечивое.
Как известно, при сортоиспытании растений не всегда оправдыва-
ются радужные ожидания селекционеров.
Нередко структуру учебника математйки определяют лишь фор-
мально-логическими связями самой науки математики, вне учета за-
кономерностей усвоения математических знаний.
Между тем средства формальной логики ограничены, они упорядо-
чивают отвлеченные результаты мышления, но никак не сам процесс
мышления, к этим результатам приводящий. Формально-логические
соображения не только не являются единственными, но и не являются
главными при решении вопросов методики*: дело в том, что категории
формальной логики не учитывают фактора времени, учет которого
является важнейшим элементом для совершенствования процесса
обучения.
В настоящее время важнейшие открытия делаются, как правило»
на стыках наук.
Понятно отсюда, почему так важно методисту и дидакту смотреть
на свои сочинения с позиций, «отдаленных» от явления обучения, т. е.
с учетом современных представлений о мышлении в философии, пси-
хологии, физиологии, логике и информатике.
Как при изобретении новых механизмов, так и при конструирова-
нии новых методов обучения исходным толчком к удачным находкам и
обобщениям могут стать соображения, связанные с любой из указан-
ных наук. Это человек для удобства создал разные науки, а «природа
не знает деления на науки»**.
Укрупненная дидактическая единица — это клеточка учебного
процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающих
* Трудно не согласиться с тем, что «всякие попытки педагогической оценки
математического материала, исходя из самой математик^, заведомо обречены на
провал и способны только дискредитировать методику» (ПотоцкийМ. В.
Преподавание высшей математики в педагогическом институте. М.» Просвещение,
J975, с. 25).
Б последние годы были изданы различные варианты пробных учебников мате-
матики для средней школы. Однако авторы таких сочинений предпочитают издать
учебник, но не решаются теоретически обосновать его новизну, разъяснить то, в
чем заключаются дидактические преимущества предлагаемого варианта по сравне-
нию с ранее изданными.
Так, во всех известных нам пособиях по алгебре для восьмилетней школы из-
лагают умножение многочленов и разложение их на множители в двух отдельных
разделах, в то время как мы уже в 1975 г. описали более эффективную систему сов-
местного (на одних и тех же уроках!) изучения этих тем, аналогично тому, как сов-
местное изучение сложения и вычитания, умножения и деления стало теперь нормой
для I—V классов. (А ведь эти взаимно обратные операции излагались не так давно
обязательно в различных главах учебника.)
Ныне стало необходимостью критическое обсуждение в печати материалов ис-
пытания уже изданных вариантов учебников, памятуя о том, что и отрицательный
опыт тоже ценен для принятия правильных решений, если только выявлены причи-
ны неудачи той или иной структуры учебника.
** Семе нов Н. Н. Где истина. — Неделя, 1974, № 19.
6
в то же время информационной общностью. Укрупненная дидактиче-
ская единица обладает качествами системности и целостности, устой-
чивостью к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти.
Понятие укрупнения единицы усвоения достаточно общо, оно вби-
рает следующие взаимосвязанные конкретные подходы к обучению:
1)	совместное и одновременное изучение взаимосвязанных дейст-
вий, операций, функций, теорем и т. п. (в частности, взаимно об-
ратных);
2)	обеспечение единства процессов составления и решения задач
(уравнений, неравенств и т. п.);
3)	рассмотрение во взаимопереходах определенных и неопределен-
ных заданий (в частности, деформированных упражнений);
4)	обращение структуры упражнения, что создает условия для
противопоставления исходного и преобразованного заданий;
5)	выявление сложной природы математического знания, достиже-
ние системности знаний;
6)	реализация принципа дополнительности в системе упражнений
(понимание достигается в результате межкодовых переходов между
образным и логическим в мышлении, между его сознательным и под-
сознательным компонентами).
Почему совокупное применение указанных методов действительно
оказывается более результативным по сравнению с «измельчением без
меры» учебного материала?
Потому, что при этом создаются условия для проявления фунда-
ментальных закономерностей мышления (вкупе оптимизирующие
познавательный процесс), а именно:
1)	закона единства и борьбы противоположностей;
2)	перемежающегося противопоставления контрастных раздражи-
телей (И. П. Павлов);
3)	принципа обратных связей, системности и цикличности процес-
сов (П. К- Анохин), обратимости операций (Ж. Пиаже);
4)	перехода к сверхсимволам, т. е. оперирования более длинными
последовательностями символов (кибернетический аспект).
Общность выводов теоретического анализа позволяет предвидеть
и выгоды переноса указанной методической системы с младших клас-
сов на старшие, с математики на другие учебные предметы, от школь-
ной практики в вузовскую дидактику.
Единую психологическую суть указанных выше конкретных пу-
тей укрупнения единицы усвоения мы видим в следующем: в ткани
развивающихся системных знаний предыдущие и последующие во
времени звенья должны иметь, как правило, больше общих носителей
информации, начиная с возможно более низшего кода.
Фактором, обеспечивающим высокое качество укрупненного зна-
ния, может выступить общий графический образ, общность символов
для группы формул, наличие одних и тех же слов или словосочетаний
в сравниваемых высказываниях, в цепи доказательств и т. п.
Поясним сказанное на простейшем (информационном) уровне.
Две или несколько взаимосвязанных мыслей обретают внутреннее
единство, а тем самым и импульс к дальнейшему развитию, если они:
т
а)	составлены только (или почти только!)
из одних и тех же букв, знаков, цифр, как,
например, в следующих парах равенств:
2 + 3 = 5 и 5 — 3 = 2;
(х2 + СУ = 2х и J*2xdx = л2 + С;
б)	содержат возможно больше общих слов,
как, например, в паре правил:
«От перестановки
слагаемых
сомножителей
сумма
----------- не изменяется»:
произведение
в)	содержат общие понятия или суждения,
различающиеся разве что порядком включе-
ния их в цепь силлогизмов спаренного дока-
зательства; например, на рисунке 1 показа-
но доказательство прямой теоремы (двойными
стрелками);
1-я посылка. Большая хорда стяги-
вает большую дугу.
2-я посылка. Ббльшая дуга соответствует большему централь-
ному углу.
Заключение. Большая хорда соответствует большему цен-
тральному углу.
Одинарные стрелки противоположного направления характеризу-
ют доказательство обратной теоремы.
Опыт показывает: если на освоение доказательства прямой теоре-
мы ушло, скажем, 10 единиц времени, то на освоение обратной теоремы,
изучаемой совместно с ней, будет истрачено не более 2—3 единиц вре-
мени. Почему это происходит?
Согласно современным представлениям физиологов и психологов
(П. К. Анохин, А. Н. Леонтьев) центральным явлением психической
жизни человека выступает образование функциональных систем» т. е.
ансамблей нейронов, «специализирующихся» на решении сходных в
чем-либо познавательных задач.
Функциональные системы обретают способность непосредственного
схватывания пространственных, количественных и логических отно-
шений.
При существующей практике обучения математике, в которой пре-
обладают аналитические методы, функциональные системы для укруп-
ненного, целостного овладения знаниями вовсе не возникают или воз-
никают с большим трудом, с запозданием.
В развитие идеи укрупнения единиц усвоения сотрудники кафедры
алгебры, геометрии и методики математики Калмыцкого университета
в последнее время успешно применяли в обучении найденные ими но-
вые формы упражнений, получившие названия «матричные схемы»,
8
граф-схемы доказательств» навеянные представлениями об этажной
переработке информации и визуальном мышлении*.
Переработка информации мозгом человека осуществляется парал-
лельно на низших и высших кодах (на кодах знаков» звуков, слов;
фраз и смысла)» т. е. на подсознательном и сознательном уровнях
одновременно.
В данной связи интересны последние исследования интеллекта
животных:
«Самый удивительный факт, с которым мы сталкиваемся» — пи-
шет проф. Крушинский, — это способность животных безо всякого
предварительного обучения» уже при первом предъявлении им задачи»
в структуре которой лежит определенная логическая связь» решать
эту задачу с помощью своего элементарного разума»**.
Мысли, получившие словесную реализацию и логическую форму» —
это как бы лишь видимая, надводная часть айсберга. Путь к основа-
тельным знаниям лежит через усиление первосигнальных компонен-
тов знания, ближайших проводников действительности.
Человеческий мозг, по-видимому, унаследовал некоторые механиз-
мы симультанного мышления, ускоренной переработки информации»
которые мы называем подсознательными, от нервных систем предше-
ственников на эволюционной лестнице органического мира.
При укрупнении дидактических единиц как раз используются эти
скрытые резервы мышления, существенно повышающие результатив-
ность процесса обучения в целом.
Основные методические положения настоящей книги создавались и
проверялись в ходе многолетних исследований (1960—1984).
Экспериментальное обучение по предлагаемой методике проводи-
лось многими учителями в школах г. Ставрополя (1959—1963), в
школах Калмыцкой АССР (1964—1978), студентами старших курсов
Ставропольского пединститута (1957—1963) и Калмыцкого универси-
тета (1964—1984), а также другими учителями нашей страны; со мно-
гими из них авторы имели возможность обсуждать лично результаты
практического внедрения отдельных положений излагаемой системы
обучения.
Круг вопросов, связанных с содержанием книги, обсуждался в
последние годы в печати, на научных конференциях***.
Значительную помощь в разработке темы книги оказали добро-
вольные корреспонденты, учителя-активисты.
В похвальном стремлении самостоятельно разобраться в ценности
тех или иных рекомендаций они перепроверяли наши выводы в весьма
разнообразных условиях городских и сельских школ****.
* Эрдниев Б. П. Упражнения с матрицами при изучении функций. —
В сб.: Активизация обучения математике в сельской школе. М.» Просвещение, 1975.
** Крушинский Л. В. Возможный механизм рассудка. — Природа,
1974, № 5, с. 24.
♦** В Элисте проведены три научно-практические конференции по проблеме
укрупнения единиц усвоения (1967, 1976, 1982).
Отметим, что отдельные наши работы по данной теме были опубликованы
в ГДР, Франции, Венгрии, Румынии, Польше, Болгарии, Монголии, США, Англин.
9
Многолетние наблюдения по внедрению в школу описанной в книге
методики позволяют утверждать следующее: многое из того, что при
первом знакомстве «противоречит привычным взглядам учителя», на
деле оказывается вполне осуществимым и эффективным.
Авторы старались избежать налета нормативности в изложении,
столь нередкой для методических руководств.
Не инструкция, а обоснование — вот что здесь важно!
Поэтому они в меру своих сил пытаются убедить читателя теорети-
чески, найти в нем союзника, решившегося испытать технологию
укрупнения в собственной работе.
На этом нелегком, но верном пути внедрения новой системы нам
трудно добиться совершенства в освещении материала, ибо избранные
в работе обобщающие характеристики мышления еще не стали при-
вычными для строя мышления учителей математики.
В книге излагаются не только результаты исследования, но и
прогнозы, требующие дальнейшего исследования и развития.
Авторы надеются, что данная книга будет содействовать детальной
разработке системы обучения посредством укрупнения дидактических
единиц (УДЕ) усилиями широкого круга педагогов и психологов и
поможет последовательному внедрению этой системы в школьную
практику. Практика экспериментальной работы с каждым годом
расширяет предполагавшиеся нами ранее «границы» приложимости
идеи укрупнения.
Надо особо отметить важность учета фактора времени в психолого-
дидактических исследованиях вообще.
Выгода от раннего внедрения эффективного метода обучения под-
чиняется как бы «закону сложных процентов»: алгоритм укрупнения
дидактической единицы, обладая силой общности, тем больше облег-
чает усвоение знаний школьником, чем раньше учитель возьмет его
на вооружение.
В базисных программах по математике, утвержденных Министерст-
вом просвещения СССР в 1981 г., было предусмотрено изучение укруп-
ненных разделов, объединяющих ранее изучавшиеся раздельно такие
пары понятий, как «пропорция и проценты», «уравнения и неравен-
ства», «координаты и векторы», «параллельность и перпендикулярность
плоскостей и прямых» и др. (см. Математика в школе, 1981, № 4).
Следует ожидать, что в некоторых типах школ, где проблема вре-
мени стоит особо остро (вечерние школы, школы с сокращенным сроком
обучения, школы с математическим уклоном» средние специальные
учебные заведения, профтехучилища), рассмотренные в книге приемы
и методы обучения найдут еще более широкое применение и развитие.
В содержание книги входят некоторые задачи, являющиеся естест-
венным обобщением (углублением) отдельных вопросов школьного
курса. Эти задачи могут быть использованы во внеклассных занятиях
с учениками, увлекающимися математикой.
Итоги и перспективы нашего исследования можно выразить кратко
так: они являются подступами к решению глобальной задачи построе-
ния теории учебного предмета математики и созданию цикла учебни-
ков, реализующих на деле новую закономерность экономного и высо-
10
некачественного обучения посредством укрупнения учебной инфор-
мации.
Наши материалы по исследованию проблемы укрупнения дидак-
тических единиц были экспонированы на ВДНХ СССР на тематиче-
ской выставке Институтом нормальной физиологии имени П. К- Ано-
хина в 1983—1984 годах. Авторы пользуются случаем выразить бла-
годарность директору этого института чл.-кор. АМН СССР проф.
К- В. Судакову за помощь в научных консультациях по физиологиче-
ским аспектам укрупненного и ускоренного обучения.
Авторы считают своим приятным долгом выразить искреннюю при-
знательность учителям и методистам, принимавшим участие в экспе-
риментальной проверке методических положений и давшим ценные
советы по отдельным вопросам книги: И. Л. Улицкой (Одесса),
В. М- Терехину (Калуга), И. Г. Ткаченко (Кировоград), С- Н. Лаще-
новой (Ленинград), Р. И. Магогиной (Краснодар), Л. К- Горбаневой,
Р. Б. Харнаевой, Л. Г- Королевой (Элиста), А. Г. Гайштуту (Киев),
В. К. Совайленко (Новочеркасск), а также ученым-методистам, при-
нявшим активное участие в обсуждении различных аспектов данной
проблемы в педагогической литературе, а именно доцентам М. П. Ма-
ланюку (Тернополь), А. В. Ефремову (Бугульма), А. М. Крупенни-
кову (Ставрополь), Я. М. Жовниру (Харьков), В. А. Рагимову (Ка-
зань), Л. И. Балашовой (Коломна), профессорам Б- И. Коротяеву
(Славянск), И. П. Радченко (Пятигорск), Г. Н. Александрову
(Новосибирск), Л. М. Фридману (Москва), Л. Ф. Пичурину (Томск).
Авторы также получили письма от лауреатов премии им. Н. К. Круп-
ской учителей Н. И. Васильевой (Московская область), М. И. Куляни-
цы (Калининская область), К. О. Монгуш (Тувинская АССР), Р. М. Ми-
щенко (Ростовская область); все они сообщают о положительных
результатах использования на своих уроках приемов УДЕ.
Все замечания по книге просьба направлять по адресу: Москва,
И-18, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, издательство «Просвещение»,
редакция математики.
1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ УПРАЖНЕНИЕ
КАК ОСНОВНОЕ ЗВЕНО ПРОЦЕССА
ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Таким образом в любом предложении можно (и
должно), как в «ячейке» («клеточке»), вскрыть за-
чатки всех элементов диалектики, показав таким
образом, что всему познанию человека вообще свой-
ственна диалектика.
В. И. Ленин
Состояние знаний учащихся средней школы по матема-
тике в настоящее время нельзя считать вполне удовлетворительным.
Несмотря на значительное время, отведенное учебным планом изуче-
нию математики, знание ее все же остается подчас формальным и
быстро выветривается из памяти.
По свидетельству экзаменаторов, многие выпускники средних
школ не умеют самостоятельно рассуждать; на вступительных экза-
менах в вуз они показывают силу своей памяти, а не живую, актив-
но работающую мысль [24]*.
Многие недочеты в обучении математике являются следствием не-
совершенства методов преподавания. Наиболее распространенные
методы и приемы обучения далеко не соответствуют познавательным
возможностям учеников, которые оказываются в действительности
значительно выше, чем это принято считать.
Подходя к исследованию проблем обучения математике всесторон-
нее, удается обнаружить недостатки общепринятой системы обучения
и найти научно обоснованные, эффективные способы и приемы улуч-
шения обучения; мы постараемся избежать при этом голой рецеп-
турности изложения (нередко встречающейся в методической лите-
ратуре).
Совокупность математических понятий и связей между ними от-
носится к предмету математики, методика же рассматривает процесс
формирования математических понятий и установле-
ния связей между ними, выявляет наилучшие способы передачи
знаний, их закрепления и последующего применения.
Методика математики** не может ограничиваться в своей теории
понятиями и средствами формальней логики, рассматривающей мыш-
ление в статическом плане, с точки зрения результатов мышления;
условием уейешного развития методики математики является ее опора
* Здесь и дальше в квадратных скобках указан номер работы из приложенного
Списка литературы.
** Это словосочетание условимся употреблять вместо более многословного «мето-
дика преподавания математики».
12
на диалектическую логику, поскольку последняя от-
ражает закономерности процессов мышления, изменения и саморазви-
тия знания.
Наука методика математики изучается по обязательной части
учебных планов факультетов, готовящих учит» чей математики.
Методика учебного предмета изучает вопросы: чему, как (и по-
чему так!) следует учить.
Мы в своей книге ставим целью аргументированно убедить чита-
теля в неизбежности вообще укрупненного подхода к структуре изу-
чаемого материала, ибо это диктуется самой природой человеческого
знания.
Одним из главных условий успешного овладения некоторой от-
раслью знаний является выявление «основной клеточки» соответствую-
щей науки, что позволяет, сосредоточив усилия на всестороннем анали-
зе этой клеточки, построить эффективную систему знаний.
В качестве такой клеточки методики математики на наш взгляд,
следует взять понятие «математическое упражнение» в самом широком
значении этого слова, как соединяющее деятельность ученика и учи-
теля, как элементарную целостность двуединого процесса «учения —
обучения».
Действительно, всякое исследование по методике математики в
конце концов сводится к упражнениям: к выяснению принципов
классификации их, разнообразия форм и содержания, к вопросу о
приемах работы и последовательности выполнения упражнений.
Усвоение математики осуществляется в процессе выполнения уп-
ражнений, а потому и развитие методики математики идет по пути
внедрения новых форм и видов математических упражнений, вызываю-
щих у школьников большую мыслительную активность.
В настоящее время трудно утверждать, что общие вопросы методи-
ки математических упражнений решены достаточно основательно, на
уровне современных представлений о мышлении.
В работе над математическим упражнением (задачей) отчетливо
выделяются четыре последовательных и взаимосвязанных этапа:
а)	составление математического упражнения;
б)	выполнение упражнения;
в)	проверка ответа (контроль);
г)	переход к родственному, но более сложному упражнению.
В существующей практике обучения ограничиваются большей
частью вторым из указанных этапов (т. е. лишь одним из четырех эта-
пов работы над упражнением!).
В познавательном отношении не может быть нормальным то, что
процесс возникновения математического упражнения (задачи, уравне-
ния ит. п.) целиком отдан другому лицу, не обучающемуся. Между
тем процесс составления задачи, уравнения, тождества, неравенства и
т. п. в психологическом отношении богат своеобразными, синтетиче-
скими ходами мысли, принципиально недоступными познающему уму,
если только учебная работа ограничивается решением чужих задач;
в той же мере процесс выполнения готового задания, взятый в изоля-
ции от предшествующего этапа, носит преимущественно аналитиче-
х	13
скую направленность, ибо он структурно противоположен этапу со-
ставления упражнения. Понятно отсюда, почему так важно ознако-
мить ученика с обоими процессами в их диалектически противоречи-
вых качествах и во взаимосвязях. Решение и составление задачи —
взаимодополняющие методы работы над ней.
Даже рассматривая вопрос обучения с обычной, более ограничен'
ной позиции — выработки умения решать определенные виды задач,
мы приходим к выводу о необходимости включать в учебную работу
школьника деятельность, адекватную (тождественную) той, которая
заключена в задаче; в задаче же заключена прежде всего деятельность
по ее составлению, а не только деятельность по ее решению, являющая-
ся логически уже второй ступенью, следующей за деятельностью по
составлению задачи.
До последнего времени в нашей школе применение математических
знаний в основном сводилось к решению задач, в которых математиче-
ски вопрос уже сформулирован составителем. В среде учителей ма-
тематики в ходу упрощенная трактовка: «изучить математику - это
научиться решению задач» (?!). А на производстве, в жизни от чело-
века требуется умение самому сформулировать вопрос и, применяя
математические знания, найти ответ на него.
Одним из способов пропедевтики такого качества ума является со-
ставление задач учениками на уроках, причем естественно, что вна-
чале образцами для элементарного творчества детей должны служить
типичные школьные упражнения.
Серьезного внимания методистов требует и последний этап — за-
вершение одного упражнения и переход к новому, усложненному уп-
ражнению, т. е. проблема группировки упражнений по степени их
трудности, информативности и т. п.
Опыт обучения на основе укрупнения единиц усвоения показал,
что основной формой упражнения должно стать многокомпонентное
задание, образующееся из нескольких логически разнородных, но
психологически состыкованных в некоторую целостность частей, на-
пример:
а)	решение обычной «готовой» задачи;
б)	составление обратной задачи и ее решение;
в)	составление аналогичной задачи по данной формуле (тождест-
ву) или уравнению и решение ее;
г)	составление задачи по некоторым элементам, общим с исход-
ной задачей;
д)	решение или составление задачи, обобщенной по тем или иным
параметрам исходной задачи.
Разумеется, вначале в укрупненное упражнение могут войти лишь
некоторые из указанных вариаций.
Главное в работе над укрупненными упражнениями — чтобы все
составные части по возможности были выполнены в указанной после-
довательности на одном занятии (при нехватке времени — хотя бы
устно или обсуждены кратко с завершением в домашней работе).
Наш акцент на необходимость пространственного и временного
совмещения элементов укрупненного знания имеет психологическую
причину. Согласно современным научным данным всякая информа-
ция, воспринятая человеком, циркулирует в так называемой опера-
тивней памяти в течение 15—20 мин, после чего «уходит» на хранение
в долговременную память. Фаза оперативной памяти наиболее опти-
мальна для всевозможных перекодировок информации, для преобра-
зования знаний.
Поэтому так важны технологические детали, чтобы прямая и об-
ратная задачи записывались и решались в двух параллельных колон-
ках, чтобы доказательства взаимно обратных теорем фиксировались в
двуединой граф-схеме, а графики родственных функций изобража-
лись на одном рисунке и т. п.
Приведем пример такого укрупненного задания, выполняемого
на одном уроке как дидактически единое целое*.
а)	Решить задачу составлением уравнения:
«Во дворе куры и поросята, причем число голов равно 19, а число
ног 54. Сколько тех и других?»
б)	Составить условие аналогичной задачи по ее уравнению:
4 • b + 2 (10 — Ь) = 38.
Решить эту задачу.
в)	Составить и решить задачу на основе уравнения с одной пере-
менной про число вершин треугольников и квадратов, исходя из сле-
дующего равенства (сколько было квадратов?):
4 • 8 + 3 • (15 — 8) = 53.
г)	Составить и решить задачу, похожую на предыдущие.
В экспериментальных учебных пособиях одного из авторов данной
книги, как правило, несколько заданий, благодаря специально пре-
дусмотренным внутренним связям между ними, образуют одно круп-
ное упражнение; каждое частичное задание обозначается индексом
при общем номере.
Характерный же недостаток структуры некоторых учебников и
задачников математики мы видим в изолированности упражнений
друг от друга, когда каждое из них снабжено отдельным номером и
информационная общность между ними почти отсутствует (задачи
различаются сразу и фабулой, и набором чисел, и математическими
величинами). Порядок их решения почти произволен и полностью пре-
доставлен учителю.
Методы обучения реализуются через выполнение упражнений
и объективируются в знаниях.
При этом не одно только количественное разнообразие методов
и упражнений важно само по себе.
Лишь набор определенных упражнений, сконструированных на
основе принципа укрупнения, в четкой их последовательности обеспе-
чивает прочность и сознательность усвоения знаний.
* Если же ие удалось на уроке полностью справиться со всем заданием, то ос-
тавшиеся пункты выполняются учащимися самостоятельно в соответствующей до-
машней работе.
>6
В постановке упражнения, основной клеточки обучения, сущест-
венным недостатком продолжает оставаться калейдоскопичность под-
бора упражнений, отсутствие тесных информационных связей между
ними, благодаря чему группа упражнений не
бразует внутренней
целостности.
Лейтмотивом урока, построенного по системе укрупнения дидак-
тических единиц, служит правило: не повторение (да еще отсрочен-
ное, т. е. отложенное на следующие уроки), а преобразование выпоТь
пенного задания, осуществляемое немедленно на этом уроке, через
несколько секунд или минут после исходного, дабы познавать объект
в его развитии, дабы противопоставить исходную форму знания видо-
измененной.
Укрупнение знаний должно осуществляться прежде всего на
уроке.
Рассмотрим урок математики, проведенный во II классе учитель-
ницей-экспериментатором Горбаневой Л. К- для участников III науч-
но-практической конференции в г. Элисте 14 мая 1982 г.
Детали этого урока, поистине изящные в своем живом исполнении,
наглядно передают существо применяемой ею методической системы
укрупнения дидактических единиц.
Тема урока. Повторение всех арифметических действий в пределах
1000.
Ход урока. Учительница. Рассмотрите ряд чисел:
1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9, 10, 11, 12.
Ответьте на следующие пары вопросов:
1а. Назвать однозначные числа ряда.
16. Назвать двузначные числа ряда.
2а. Назвать наибольшее однозначное число.
26. Назвать наименьшее двузначное число.
За. Уменьшить число 12 на 2. Как вы получили число 10?
36. Уменьшить число 12 в 2 раза. Как вы получили число 6?
4а. Число 12 увеличить на 2. Каким действием это делается?
46. Число 12 увеличить в 2 раза. Каким действием это делается?*
Почему здесь получаются разные ответы? Как ты получил число
24? число 14? В чем заключается сходство этих задач? Чем отличаются
друг от друга эти задания?**
Далее учительница предлагает учащимся решить следующую груп-
пу деформированных примеров с общим делителем и общим ответом-
50
коп.
кг
* Здесь и дальше существенно то, что, отвечая на пары вопросов, ученик при-
учается применять противопоставление понятий: «однозначное — двузначное»,
«наименьшее — наибольшее», «на — в» и т. п.
*♦ Так выполняется глубокий сопоставительный анализ структуры примера
(выполненного действия). В. обычной практике часто ограничиваются «спрашиванием
правил»: «Как называется число 24? число 14?» И т. п.
16
Дети записывают внутри клеток пропущенные названия мер, а
также общий делитель*.
Учительница читает условие следующей задачи:
«В школьный буфет привезли 10 ящиков яблок по 9 кг в каждом
и 6 ящиков груш по 7 кг в каждом. Скс. зко всего яблок и груш при-
везли в школьный буфет?»
Задача решается на доске и в тетрадях отдельными действиями
или путем составления выражения:
Z способ.
1)	9 кг • 10 — 90 кг
2)	7 кг • 6 = 42 кг
3)	90 кг + 42 кг = 132 кг
11 способ.
9 кг • 10 + 7 кг • 6 = 132 кг
Затем учительница делит доску на четыре части и в каждой из
них записывает по одному числу из условия решенной задачи.
10	9	6	7
Каждое из написанных чисел является искомым для соответствую-
щей обратной задачи, составляемой школьниками.
К доске вызываются четыре ученика.
Один ученик, например, рассказывает условие следующей задачи
(искомое — 9):
«В школьный буфет привезли 10 ящиков яблок и 6 ящиков груш.
В одном ящике 7 кг груш. Всего было привезено 132 кг фруктов.
Сколько килограммов яблок было в одном ящике?»**
Дети пишут на доске и в тетрадях в колонке под искомым числом
решение соответствующей задачи в виде числового выражения, на-
пример:
10
(132 — 7 6) :9=...
6
(132 — 9 • 10) : 7 = ...♦•♦
* В системе укрупнения единиц усвоения важное значение приобретает и
«знаковое укрупнение» информации. Так, в данной записи тройка примеров пред-
ставляет единое задание, причем решение одного примера помогает решению любого
другого примера из данной совокупности заданий. Информационная общность этих
примеров улавливается школьником на подсознательном уровне, автоматически,
благодаря специальной форме записей.
*♦ Характерна деталь: ученик Д. недоволен оборотом в «одном ящике» и предла-
гает говорить в «каждом ящике». Данная деталь многозначительна: это верный
признак развитости мысли у детей данного экспериментального класса. Подоб-
ная логичность возникает не без общего влияния главной методической
линии укрупнения знаний (данный класс обучается Горбаневой уже второй
год по системе укрупнения единиц усвоения).
Преобразование задачи в обратную (тем более задачи в три действия!) яв-
ляется само по себе сложнейшей умственной операцией для 8-летнего школьника.
Понятие «обратная задача» имеется в объяснительной записке к программам для
начальной школы (увы, не для средней).
17
Далее учительница предлагает классу решить два варианта «де-
формированных» примеров*:
I вариант
□ . 9 + 9 = 72.
□ 90 + 90 = 720.
II вариант
64 : □ + 25 = 33.
640 : □ + 250 = 330.
Описанный урок был проведен для показа специфики метода ук-
рупнения знаний на уроке.
Сравнивая содержание урока с тем, какие знания предусмотрены
программой для II класса, мы видим, что учащиеся данного экспери-
ментального класса вполне сознательно овладели следующими до-
полнительными знаниями и умениями:
1)	составление и решение обратной задачи по отношению к исход-
ной задаче в три действия;
2)	операции с круглыми десятками в пределах 1000;
3)	свернутая запись решения задачи в три действия в виде матема-
тического выражения, например: (132 — 7 • 6) : 9 == ;
4)	решение деформированных примеров с трехзначными числами
вида:
720 : □ + 250 = 340.
Овладение такими весьма ценными «внепрограммными» навыка-
ми в экспериментальных классах достигнуто в пределах обычных уро-
ков, без дополнительных занятий, причем при суммарной экономии
учебного времени, составляющей около 20% от существующих
норм.
Описанный выше урок принципиально отличается от так называе-
мого комбинированного урока, самого распространенного ныне в
практике обучения математике не только в начальной, но и в средней
школе.
Структура комбинированного урока чаще всего такова, что в нал
отсутствует логический центр, который должен концентрировать уси-
лия учащихся и учителя.
Если, скажем, на таком уроке изучается умножение на 7, то счи-
тается нормальным, когда учитель планирует на этом же уроке «по-
вторить» любой ранее изученный материал, нередко вообще не связан-
* Эти парные задания специально рассчитаны на актуализацию куста числовых
ассоциаций. Числовые результаты, полученные при нахождении пропущенного
числа в верхнем примере, проявляются при переходе к нижнему примеру; при этом
совершается как бы принудительный выход арифметических операций в пределы
1000 (единицы превращаются в десятки и т. п.). Например, если при решении верх-
него примера имеем: 72 — 9 = 63, то соответственно при решении нижнего примера
получаем: 720 — 90 = 630. Таким образом, данная пара примеров есть, в сущности,
двуединое укрупненное задание, когда верхнее задание программирует зрительно
и логически нижнее задание.
18
ный с новым материалом, скажем, вычитание, построение геометри-
ческих фигур и т. п.
Комбинированный урок предполагает, что прочность усвоения
материала обеспечивается главным образом частотой повторения, рас-
тянутым и отсроченным повторением.
Урок же математики, построенный сознательно на необходимости
укрупнения знаний, заботится об окружении основного понятия, о на-
ращивании знаний вокруг логического ядра урока, о повторении ма-
териала через его развитие, преобразование.
Так, если урок во II классе посвящен умножению на 7, то в связи
с примером 5 • 7 должны тут же решаться примеры-следствия, вклю-
чающие числа 50, 70, а также именованные числа (50 коп. • 7), обрат-
ное действие — деление (4 ц20 кг : 70 кг), уравнения на умножение и
деление (7х = 49) и т. п.
Образно говоря, на уроке укрупненных единиц усвоения объект
постигается «через свое другое»:
прямая задача — через обратную, умножение — через деление, ре-
шение задачи — через составление ее, тождество — через уравнение;
или, говоря более общо:
часть — через целое, анализ— через синтез.----
Изучать не всего понемногу, а многое об одном, о главном, пости-
гая многообразие в едином, в целом!
Не скольжение по поверхности, по верхушкам знаний, а их углуб-
ление сейчас же, на данном уроке, проникновение в сущность изу-
чаемого, в богатство его связей со всеми родственными знаниями,
выращивание куста ассоциаций, древа знаний вокруг основного
ствола!
В учебниках знакомство с задачами на проценты начинается в IV,
а заканчивается в V классе.
В нашем опыте именно концентрированное изучение (все три вида
задач на проценты изучались совместно и одновременно) позволило
детям усвоить все виды задач на проценты полностью в IV классе!
В базисной программе по математике (1981) предусмотрена следую-
щая последовательность изучения тем: сначала — пропорции, потом —
проценты.
Этот порядок в определенной мере соответствует и истории матема-
тики: если пропорции освоены 2000 лет назад греческими математика-
ми, то вычисления с процентами появились лишь 300 лет тому назад
в связи с изобретением десятичных дробей.
Мы предложили понятия пропорции и проценты ввести в одном
разделе целых чисел в IV классе, причем решение любого вида задачи
на проценты сводится к единообразному алгоритму составления про-
порции.
Покажем этот метод в следующей таблице совместного изучения
всех видов задач на проценты:
19
	Нахождение про- цента от числа	Нахождение числа по проценту	Нахождение про- центного отношения (отношение двух чи- сел, выраженное в процентах)
	Сберкасса выпла- чивает за деньги, 'хранящиеся в ней, 2% вклада по исте- чений года. Сколько процентных денег вы- платят вкладчику, если он положил 300 руб. в сберкассу год тому назад?	Сберкасса выпла- чивает за деньги, хранящиеся в ней, 2% годовых. Кахой был вклад, если на него по истечении го- да было начислено 6 руб. процентных денег?	Вклад в сберкассу был равен 300 руб. По истечении года сберкасса начислила еще 6 руб. Сколько процентов годовых платит сберкасса за вклад?
1. Изобра- зим условие задач в виде таблицы: на- пишем в ле- вом верхнем углу 100%, а напротив на- пишем соот- ветствующую денежную сумму.	100% —300 руб. 2% — х руб.	100% — у руб. 2% — 6 руб.	100% — 300 руб. а% — 6 руб.
2. Соста- вим пропор- цию.	100 300 2	>ч| <£) 11 8 | СЧ	100 300 а 6 *
3. Найдем неизвестный член пропор- ции.	2 -300 * = 100 -6<руб.)	100-6 2 = 300 (руб.)	. *‘.,ж 300
4. Ответ.	Вкладчику выпла- тят 6 руб. процент- ных денег.	Вклад составлял 300 руб.	Сберкасса платит 2% годовых.
Важно подчеркнуть здесь то, что все три вида задач на проценты
(процент от числа, число по проценту, процентное отношение) реша-
ются единым алгоритмом, основанным на выполнении следующей по-
следовательности «команд»:
1.	Напиши условие задачи в матрице 2x2.
2.	В левом верхнем углу напиши: «100%».
3.	Напиши «проценты под процентами».
4.	Заполни таблицу числами; искомую величину обозначь бук-
вой.
20
5.	Составь уравнение (пропорцию) и реши его (найди неизвестный
член пропорции):
100х = 300 -2
300-2
Л= ------
100
X = 6 (руб.)
При такой методике укрупненной подачи знаний исчезает необхо-
димость изучения темы «Проценты» в трех отдельных подтемах, т. е.
становится ненужным ни запоминание названия вада задачи, ни запо-
минание особых (словесных!) правил решения каждого вида задач в
отдельности.
Описанный случай является характерным примером того, как ук-
рупнением можно помочь существенному улучшению качества знаний
при объединении в одном разделе логически родственных вопросов
(«Пропорции» и «Проценты»).
Подводя итог рассмотрению проблемы упражнений, мы считаем:
наиболее актуальной для современного обучения является проблема
преодоления излишней растянутости изучения материала, а отсюда
и калейдоскопичности и изолированности друг от друга упражнений,
выполняемых на одном уроке.
Естественно, что данная проблема решается в пользу укрупнения
знаний.
21
2. О ПЕРСПЕКТИВАХ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА
ПРОТИВОПОСТАВЛЕНИЯ
... И это превращение из одной формы в другую,
противоположную, вовсе не праздная игра, — это
один из самых могучих рычагов математической
науки...
Ф. Энгельс
В программе каждого года обучения содержатся такие
группы взаимосвязанных вопросов, которые в настоящее время по
традиции изучаются раздельно. По характеру мыслительных процес-
сов, на которых основывается изучение таких взаимосвязанных раз-
делов, они совершенно сходны, поэтому важно обсудить вопрос о
возможностях совместного изучения этих тем в плане противопостав-
ления, а именно:
а) Целесообразно изучать одновременно взаимно обратные дейст-
вия и операции, как-то: сложение и вычитание, умножение и деление,
возведение в степень и извлечение корня, заключение в скобки и рас-
крытие скобок, логарифмирование и потенцирование и т. п.
В младших классах особенно выгодно использовать этот подход,
например, изучая раздробление и превращение именованных чисел»
нахождение части числа и числа по его части, задачи на уменьшение
и увеличение числа в несколько раз (на несколько единиц) и т. д.
При одновременном изучении прямых и обратных теорем (задач)
Ь геометрии усваивается понятие множества точек, обладающих опре-
деленным свойством, или понятие «характеристическое свойство фи-
гуры».
Одновременное изучение умножения и деления облегчает усвоение
свойств этих действий и связи между ними (в этом случае в мысли-
тельной практике ученика появляется понятие «действия второй сту-
пени»).
Мы видим, как** подобное укрупнение единицы усвоения содейст-
вует своевременному обобщению знаний, раннему оперированию уча-
щимися в своей логической практике содержательно более емкими
понятиями.
Это явление имеет далеко идущие положительные последствия.
Так, при одновременном рассмотрении сложения и вычитания
дробей (0,5 + 0,1 =0,6 и 0,6 — 0,1 =0,5) становится возможным
сразу же на этом уроке пользоваться такими рабочими операциями,
как проверка сложения вычитанием и наоборот, а также решение всех
видов простейших уравнений или нахождение неизвестных компонен-
тов (х + 0,1 = 0,6 и у — 0,1 = 0,5).
Если же слишком долго отрабатывается какое-либо одно преобра-
зование или правило посредством многократного повторения однооб-
разных упражнений, представления учащихся поневоле пребывают в
фазе необобщенных «элементарных знаний».
Отсюда видно, как традиционный элементаризм в структуре про-
граммного материала искусственно сдерживает развитие мышления.
22
В данной связи кратко обсудим вопрос об эффективной методике
изучения дробных чисел в школе. Как известно, в стабильных учеб-
никах математики для IV—V классов принята система, когда в IV
классе преимущественно изучаются десятичные дроби, а в V классе —
обыкновенные дроби. В пробных учебниках для IV—V классов
И. В. Барановой и др. принят противоположный порядок: в IV клас-
сах — обыкновенные дроби, а в V — десятичные дроби.
В нашем эксперименте осуществлен иной подход, а именно совмест-
ное изучение обыкновенных и десятичных дробей [77, 79]. При таком
варианте основные математические понятия, вводимые в связи с изу-
чением дробей, изучаются концентрированно, т. е. основательно,
чем облегчается выработка основных умений и навыков (уравнения,
законы действий, зависимость между компонентами, нахождение
части числа и числа по его части, задачи на проценты).
Вот как выглядит, например, в нашем учебнике интерпретация пе-
реместительного закона сложения сразу для целых чисел, обыкновен-
ных и десятичных дробей:
а + b = b -|- а
24-7 = 74-2 = 9
0,2 4- 0,7 =	0,7 4- 0,2	=	0,9
7.2	2.7	9
---— —------------— — _	и	т.	д.
10	10	10	10 10
Ценно здесь то, что при совместном изучении обыкновенных и
десятичных дробей ученик постигает переходы между двумя-тремя
формами единой мысли (например: 0,3 от 200 равны 60; -jg от 200
равны 60; 30% от 200 равны 60).
Таким образом, укрупненная структура знаний поневоле держит в
поле зрения школьника в первую очередь связи между понятиями
(о,з =- = 30 %
\	10	/
Понимание же связей между явлениями действительности — это и
есть главное условие диалектического оформления знаний (недаром
Энгельс подчеркивал: диалектика — это прежде всего связь).
В этом и заключается наиболее ценный развивающий фактор новой
методики, в данном случае — совместного изучения обыкновенных и
десятичных дробей.
Надобно также отметить, что возникающая при этой системе суще-
ственная экономия времени (до 20% учебных планов) позволяет учи-
телю уделить больше внимания решению наиболее сложных задач и
достичь тем самым углубленных и действенных знаний.
В недавнем прошлом тождественные преобразования в начальном
курсе алгебры изучались по трем разобщенным во времени разделам:
действия над одночленами и многочленами (VI класс); разложение
на множители (VII класс);действия над алгебраическими дробями (VII
класс).
23
Программы предусматривают совместное изучение в одном разделе
VI класса умножения многочленов и соответствующих случаев разло-
жения на множители.
Это нововведение, конечно, прогрессивно, но, по нашим данным»
выгодно пойти еще дальше.
Так, в экспериментальном обучении нам удалось на одних и тех
же уроках одновременно рассматривать в едином цикле все возможные
формы связей между алгебраическими выражениями по следующим
этапам:
1)	2а6 • За2 = 6а’; 6а’: За2 = 2аь; = 2а6, —
За2	562
2а	56 а2____3_
За	а * 66	4а6
2)	(а—2Ь)‘С = ас — 2Ьс;	ас—2Ьс — с(а—2Ь);
106. 4а» .
562 ’ 5£>« ’ 10*’
ас — 26с
————— =
с
с (а — 26)  	ас — 2Ьс  с (а — 26) 
с	а — 2Ь а — 2Ь
г В этом же разделе мы рассматривали все действия над алгебраи-
ческими дробями (ограничиваясь в разложении на множители лишь
вынесением общего множителя за скобки).
3)	Умножение многочлена на многочлен; разложение многочлена
на множители группировкой; все действия над алгебраическими дро-
бями с соответствующими членами.
4)	Формулы сокращенного умножения и разложения на множите-
ли; все действия над соответствующими алгебраическими дробями»
например:
х2— 4у2 = (х—2у)(х + 2у); —-— = х— 2у и т. п.*.
Достойна также внимания методика одновременного изучения
взаимно обратных операций на логарифмической линейке, по табли-
цам, на компьютере (умножение и деление, возведение в квадрат и из-
влечение квадратного корня, нахождение числа по его логарифму и
нахождение логарифма числа, нахождение значения тригонометриче-
ской функции по заданной величине угла и определение величины
угла по значению его тригонометрической функции и т. д.).
При раздельном изучении взаимно обратных операций ученики
длительное время решают однородные задачи на основе одного пра-
вила и зачастую создается обманчивая видимость успешного усвоения
материала. Но после того как «пройдены» порознь обе операции, уче-
ник при решении любой задачи принужден выбрать один из двух воз-
можных вариантов рассуждения. Тут-то и обнаруживается неожидан-
но дефект обучения. Пока дети изучали каждую тему в отдельности-,
они не встречались с необходимостью выбора операции и соответствую-
* Такая методика подробно описана в нашей книге [77] и реализована в нашем
опытном учебнике для VI класса [58].
24
щее умение у них не вырабатывалось. Поэтому и возникают массовые
ошибки подмены одного действия другим.
Иное дело при одновременном изучении этих задач: здесь с самого
начала ученик рассматривает различие и сходство задач разного вида,
овладевает надежными приемами их дифференцирования, выбора
действий.
б)	При обучении математике важно сравнить противоположные
понятия, рассматривая их одновременно: прямая и обратная теоремы;
прямая и противоположная теоремы; прямая и обратная функции
(тригонометрическая и обратная тригонометрическая функции); пе-
риодические и непериодические функции; возрастающие и убываю-
щие функции; неопределенные и «определенные» уравнения (и их
системы); непротиворечивые и противоречивые уравнения, неравен-
ства (и их системы); прямые и обратные задачи вообще (например, по-
строение графика данного квадратного трехчлена и нахождение квад-
ратного трехчлена по координатам точек параболы).
в)	Можно сопоставить родственные и аналогичные понятия, как-
то: уравнения и неравенства, арифметические и геометрические про-
грессии, одноименные законы и свойства действий первой и второй
ступени; определения и свойства синуса и косинуса, свойства прямой
и обратной пропорциональности, производные и интегралы от суммы
функций, дистрибутивность произведения суммы чисел на число н
дистрибутивность скалярного произведения суммы векторов на век-
тор; одновременное изучение свойств операций дизъюнкции и конъ-
юнкции (противопоставление в пределах логики высказываний); одно-
временное изучение свойств объединения и пересечения множеств
(противопоставление в пределах теории множеств) и в итоге сопостав-
ление алгебры логики высказываний с алгеброй множеств (сравне-
ние по линиям: дизъюнкция — объединение, конъюнкция — пересече-
ние); сравнение двух классификаций одного и того же множества объ-
ектов по разным основаниям и др.
г)	Можно сопоставить этапы работы над упражнением, способы
решения, например: графическое и аналитическое решение системы
уравнений; аналитический и синтетический способы доказательства
теорем (решения задач); геометрическое и аналитическое (через коор-
динаты) определение вектора; доказательство «рассуждением» и с по-
мощью граф-схемы; решение задачи «с объяснением» и табличное ре-
шение задач; доказательство формул логики высказываний с помощью
составления таблицы истинности и вывод тех же формул с помощью
«рисуночного кода» и т. п.
В методической литературе встречается понятие «совместное, или
параллельное, изучение разделов математики», под которым нередко
разумеют такой порядок, когда взаимосвязанные действия «сближа-
ются» во времени, но рассматриваются на разных уроках: скажем»
один день изучают умножение трех, на следующий день—деление
на три (II класс).
Хотя такой вариант и лучше варианта с разрывом изучения вза-
имно обратных(операций на большее время (скажем, на неделю), его
нельзя считать осуществлением принципа противопоставления.
Термин «одновременное изучение» подчеркивает ту мысль, что
между решениями взаимосвязанных примеров или задач (например,
3 • 4 = 12 и 12 : 3 = 4) должно пройти не более чем несколько минут,
а не сутки; причем этот промежуток времени нельзя заполнять ка-
кой-либо другой работой мысли, не связанной с исходным заданием.
Только в этих условиях проявляется эффект оперативной памяти:
информация, связанная с прямой операцией, лишь непродолжитель-
ное время <15—20 мин) находится в активной фазе, в оперативной
памяти, благоприятной для ее «вторичного включения» в состав про-
изводных операций.
Разумеется, это вовсе не исключает того, что в отдельных случаях
при введении новых трудных понятий может быть целесообразным
один-два урока посвятить ознакомлению с содержанием только этого
понятия.
Например, специально 1—2 урока возможно посвятить введению
понятия умножения во II классе (как повторение равных слагаемых)
или введению понятия нахождения части часла в V классе.
Однако противоположная операция (деление по содержанию во
II классе, нахождение числа по его части в V классе) вводится до за-
крепления прямой операции; закрепление, выработка навыков при-
менения этих операций лучше всего осуществляются в процессе одно-
временной работы над обеими операциями.
В этом заключается то принципиально новое, что вносит последо-
вательное осуществление принципа противопоставления в обучении.
К сожалению, некоторые методисты при использовании данного
эффективного приема непоследовательны: предусматривают одно-
временное введение увеличения и уменьшения на несколько единиц
(I класс) ... и раздельное введение увеличения и уменьшения в не-
сколько раз (?!) (II класс), в то время как в наших исследованиях
была давно доказана целесообразность одновременного введения ука-
занных понятий и во втором случае [48].
Другие исследователи, правильно указывая на значение связей
между понятиями, оказываются непоследовательными при оценке
роли фактора времени; так, Л. Н. Занков пишет, что «вовсе не обяза-
тельно, чтобы соответствующие примеры на сложение и вычитание,
умножение и деление решались на одном и том же уроке...» [9].
Вопрос об интервале времени между изучением противоположных
операций не может иметь однозначного решения. Все зависит от слож-
ности предлагаемых упражнений.
Например, доказательства прямой и обратной теорем (необходи-
мое и достаточное условия) не всегда удается рассмотреть на одном
уроке.
Однако важно помнить следующее: еще до доказательства обеих
теорем полезно на первом же уроке сформулировать обе теоремы, за-
писать их символически рядом; тем самым поневоле будет запрограм-
мировано изучение обеих теорем в противопоставлении хотя бы на
двух смежных уроках.
Но ведь часто на уроках геометрии поступают по-другому: сна-
26
чала изучают (например, в теме «Параллельные прямые») подряд все
... прямые теоремы (?), а через неделю все обратные им теоремы, при-
чем учащиеся так и остаются в неведении относительно связей и разли-
чий между взаимно обратными теоремами.
Разумеется, вопрос о границах и своеобразии применения в обу-
чении противопоставления требует внимательного изучения.
Так, лишь после рассмотрения всех частных случаев сложения
рациональных чисел (что потребует 1—2 специальных уроков) возмож-
но ввести действие вычитания.
Это вызвано тем, что пример на вычитание (4-6) — (4-4), получен-
ное обращением сложения (4-2) 4“ (4-4) = 4-6, решается через сведе-
ние к сложению (4-6) — (+4) = (+6)Я“ (—4) = (-|- (6—4)) = 4-2
и т. д.
Однако важно то (подчеркнем еще раз1), что основную тренировку
по освоению действий первой ступени над рациональными числами
выгодно выполнить сразу на оба действия (на сложение и вычитание).
Несомненно, что при детальной разработке метода противопостав-
ления возникнут и будут решены многие иные вопросы методики мате-
матики (не только школьной), например, вопрос об изучении в школе
элементов интегрального исчисления в тесной связи с понятиями диф-
ференциального исчисления [60] или реализации идей единой геомет-
рии, т. е. совместного изучения планиметрии и стереометрии [47].
Для выяснения возможностей применения противопоставления в
тех или иных классах, по тем или иным темам требуется конкретное
изучение вопроса, нужны усилия широкого круга учителей; принцип
противопоставления должен быть разработан в деталях.
Однако противопоставляемые знания образуют единую целостную
структуру, лишь входя в укрупненную единицу усвоения.
Укрупнение дидактических единиц, завоевав право новой законо-
мерности эффективного и экономного обучения, постепенно учитывает-
ся сейчас при составлении программ и учебников.
В нашем опыте экспериментального обучения были успешно испы-
таны в 1970—1982 гг. варианты наших пробных учебников математи-
ки для I, II, III, IV, V, VI классов ([55—58]), построенные на идее ук-
рупнения единиц усвоения.
Весьма успешным оказался наш опыт построения в вузах лекций
по аналитической геометрии, в котором парные аналогичные предло-
жения, относящиеся к плоскости и пространству, излагались на одном
занятии, записывались символически параллельно (отображения,
симметрии, сходные уравнения прямой и плоскости, линий и поверх-
ностей второго порядка и т. п.).
Наш опыт экспериментального обучения высшей математике в вузе
также убеждает в действенности данного общедидактического подхода.
Так, студенты у нас приучались видеть за одним и тем же урав-
нением все возможные геометрические интерпретации, например: урав-
нение х — 3 = 0 может означать и точку М на оси Ох (геометрия
прямой), и прямую а, перпендикулярную оси Ох (геометрия плоско-
сти), и плоскость а, перпендикулярную той же оси (геометрия про-
странства) (рис. 2).
27
Мы убедились также в эффективности приема сравнения сходных
правил и законов при обучении математике в школе» например: изме-
нение суммы и произведения в зависимости от изменения слагаемого и
сомножителя и т. п.
Не преминем подчеркнуть» что восприятие пар определений»
свойств или правил еще более облегчается, если сопровождать эти
правила удачными иллюстрациями и символическими записями.
Так, на рисунке 3 сначала на числовом коде» а ниже на символи-
ческом изображены свойства суммы и произведения:
Если одно из слагаемых уве-
личить на несколько единиц (ос-
тавив другие без изменения), то
сумма увеличится на столько же
единиц.
Вот пример пары правил:
Чтобы вычесть сумму из числа,
достаточно вычесть каждое сла-
гаемое последовательно.
Если один из сомножителей
увеличить в несколько раз (ос-
тавив другие без изменения), то
произведение увеличится во
столько же раз (рис. 3).
Чтобы разделить число на
произведение, достаточно разде-
лить его на каждый сомножитель
последовательно (рис. 4).
• 3 = 30
ЕН ЕН
 6 = 60
а-Ь=с
а-(Ь-х) =С‘Х
Рис. 3
А-(Ь+с) = (А-Ь)-с
A?(b c) = (A -’ b): С
Рис. 4
28
В заключение отметим, что применение метода противопоставления
облегчает усвоение всякого материала сходной структуры; например,
сложение и вычитание целых чисел (дробей, рациональных выраже-
ний, комплексных чисел, векторов) всегда выгодно изучать совместно.
Или: будут ли доказываться теоремы в стиле Евклида или на век-
торной основе, на основе геометрических преобразований, — одина-
ково важно сравнивать прямую и обратную теоремы (как уже гово-
рилось, необходимо на первом же занятии хотя бы сформулировать
обе теоремы, дать их символическую запись, попытаться обойтись
общим чертежом или общей граф-схемой доказательства).
В практике обучения важно проводить не только доказательства
истинности высказываний, но и доказательства ложности высказыва-
ний (опровержения высказываний). Это приучает учащихся опериро-
вать истинными суждениями как
(и наоборот).
Вот еще пример.
Прямая теорема.
Произведение двух четных чисел
есть четное число.
Доказательство.
Возьмем числа в соответствии с
условием. Пусть 2а — первое
четное число, 26 — второе четное
число. Тогда 2а • 26 = 4а6 —
четное число. Теорема истинна.
антиподами ложных суждений
Обратная теорема.
Всякое четное число есть произ-
ведение двух четных чисел.
Опровержение. Со-
ставим контрпример. Возьмем
четное число 2 и нечетное число 7.
Их произведение 2 7=14 —
четное число, но оно есть произ-
ведение четного и нечетного чи-
сел. Теорема ложна.
Применение рассматриваемого метода облегчается при освоении
таких противоположных операций, как логическое сложение (дизъюнк-
ция) и логическое умножение (конъюнкция) высказываний.
Приведем примеры.
Требуется решить неравенство
(х + 3) (х — 2) < 0.
Ответ. (—3 < х) Л (х<2).
(Здесь конъюнкция высказыва-
ний, и буква х означает одно и
то же число в двух неравенствах:
—3 < х < 2.) (Рис. 5.)
Требуется решить противополож-
ное неравенство
(х + 3) (х — 2) > 0.
Ответ. (—3 > х) V (х > 2).
(Здесь дизъюнкция высказыва-
ний, и буква х в этих неравенст-
вах означает разные числа.)
(Рис. 6.)
______х
(х+3)(х-2) < О
-3<х<+2
(х+3)(х-2)>*0
0гп^ет.-]~3'^[р] -
' '0 '
^/77^?/77.]-oo;-3]6/[v-2; оо [
Рис. 6
Рис. 5
Рис. 7
Оба неравенства возможно ил-
люстрировать совместно, используя
график квадратичной функции.
Пусть у | (х — 2) (л+ 3) (рис. 7).
Отметим здесь следующую ме-
тодическую деталь.
При пользовании укрупненны-
ми упражнениями создаются лучшие
условия для противопоставления
суждений. При этом как бы само
по себе одно противопоставление
порождает другое.
Так, на первых порах важно
обратить внимание на то, что со-
ответственно трем символам ре-
зультата сравнения в правилах
«работают» три предлога для ха-
рактеристики положения точек
плоскости относительно графика:
больше — над графиком
равно — на графике
меньше — под графиком
Таким образом, здесь визуальное мышление подкрепляет правило-
сообразные ассоциации: «если у > f (х) (игрек больше эф от икс), то
этому неравенству удовлетворяют координаты точки, лежащей над
графиком функции у = f (х), и наоборот».
Мы видим, как противопоставление контрастных понятий соз-
дает дополнительные возможности для обновления структуры упраж-
нений, обеспечивающих основательность знании.
3. О ПОЛНОТЕ СИСТЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
УПРАЖНЕНИЙ
Диалектика как живое, многостороннее (при вечно
увеличивающемся числе сторон) познание с бездной
оттенков всякого подхода, приближения к дейст-
вительности (с философской системой, растущей
в целое из каждого оттенка)...
В. И. Ленин
Известно, что при одном наборе тренировочных упраж-
нений изучаемый материал понимается хуже, чем при другом.
Возникает вопрос, немаловажный как для учителя, так и в осо-
бенности для авторов учебных руководств: как же достичь необходи-
мой полноты системы упражнений? Или: каким оптимальным набо-
ром упражнений возможно достичь целостного и прочного усвоения
знаний?
30
Новейшими исследованиями советских физиологов — учеников
И. П. Павлова — установлено, что в основе всей психической деятель-
ности находятся циклические, кольцевые процессы, поток информа-
ции по замкнутым путям [5].
Характерная особенность кольцевого процесса заключается в том,
что он может быть начат с любого звена цикла умозаключений
и тем не менее привести к проявлению всех элементов и связей
цикла.
Анализируя с этих позиций систему математических упражнений,
можно обнаружить в них два качественно различных вида.
Структура одних упражнений такова, что при их выполнении раз-
виваются навыки лишь в прямолинейном применении правил; выпол-
нение других неизбежно связано с осуществлением постоянного конт-
роля, проверки ответа, причем последнее нередко становится навыком
и осуществляется неосознанно.
Скажем, учащимся приходится решать на уроке один за другим
множество примеров вида (За — 2&) • (За 2&) с постепенным услож-
нением многочленов левой части. Это классическая форма упражне-
ний первого вида.
Характер мыслительных процессов резко изменится, если вместо
данного примера предложить деформированный пример
вида:
(□ — 2&) (□ + 2&) = 9а2 — □.
Проведенные эксперименты говорят, что решение второго примера
основывается на поисках недостающих звеньев замкнутого * круга умо-
заключений путем анализа всей записи, что превращает мыслительный
процесс в более сложный, более содержательный и потому лучше разви-
вающий способности ученика.
Такие задания естественным образом развивают навыки самоконт-
роля, совершающегося здесь непроизвольно и даже подсознательно.
При обычных упражнениях, как известно, самоконтроль очень
долго не становится «привычкой», навыком, осуществляемым без на-
поминания. Причину этого можно усмотреть в том, что выполнение
задания прямой структуры завершается получением ответа как бы
на пол у цикле и этап контроля, проверки выполняется лишь при спе-
циальном требовании учителя («решить и проверить»).
Совсем иное положение при выполнении деформированных уп-
ражнений: здесь контроль неизбежен как часть циклического
процесса.
Обращенные так задания являются информативно более емкими»
чем прямые: выполнение обращенных заданий в большей мере разви-
вает у школьника умение выполнять и прямые преобразования, при-
том самым экономным образом: записан один пример, а в процессе
решения его испробовано несколько вариантов, выполнено в уме, в
сущности, не менее 3—4 заданий.
Этим объясняется повышение активности учащихся при выполне-
нии обращенного задания.
31
Конкретные находки в методике математики кажутся нередко для
стороннего малозначащими «частностями». Между тем такой простой
технологический прием, как деформирование тождеств, оказался в
нашем опыте построения школьных учебников одним из важнейших
средств активизации мышления школьника. Лет 20 тому назад в
школьном учебнике арифметики для начальных классов невозможно
было найти задания на заполнение пропущенных чисел вида □ —5 4-
-Ь □ = 9; в нашем же учебнике [56] задания такого вида составляют
более половины их общего числа.
Надо отметить, что в стабильных учебниках математики для на-
чальной школы от издания к изданию постепенно увеличивается доля
таких заданий. Но в учебниках математики для IV и более старших
классов такие задания вовсе отсутствуют (?!)
Между тем в средних классах школы весьма эффективны упражне-
ния на восстановление пропущенных элементов в следующих тождест-
вах:
~ = — (сокращение дробей);
15	5
7 мм • □ = 7 дм (десятичные меры);
□ • 1000 — 53,7 (умножение десятичной дроби на круглые десятки);
(х 4“ □) (□ —4ху 4- □) == П4“П (сокращенное умножение) и т. п.
Методика таких упражнений была описана нами уже в 60-е годы
[45. 46, 59].
Примечательно в этой связи то, что в статье начальника Программ-
но-методического управления МП РСФСР тов. Броневщука С. Г.
(Начальная школа, 1982, № 8, с. 2) сообщается, что число таких
примеров («с окошечками», как он говорит) теперь существенно уве-
личено в усовершенствованных учебниках математики для начальной
школы. Есть основания прогнозировать по аналогии, что столь же
доступный, но еще более важный ускоритель усвоения знаний — со-
ставление обратных задач — также получит со временем непроиз-
вольное внедрение в школьные учебники.
Нелишне отметить, что при систематизации упражнений в большин-
стве случаев учитывается лишь количественное усложнение упражне-
ния без качественного изменения его структуры.
Наш опыт показывает эффективность «циклической полноты» уп-
ражнении, когда искомым последовательно выступает каждый эле-
мент данного выражения (данной задачи).
Приведем несколько примеров.
1)	Пусть выведена зависимость: при основании, большем (мень-
шем) единицы, большее число имеет больший (меньший) логарифм.
Возможны три вариации упражнений, которыми следует восполь-
воваться, чтобы обеспечить полноту системы упражнений по данному
вопросу.
а)	Сравнить логарифмы чисел 5 и 6 при общем основании, равном
0,6, т. е. определить знак в записи
logo., 6 □ logo,6 5.
32
б)	Дано: log0t6 а > log0>e b.
Какое число больше: а или Ь?
в)	Д а н о: logfl 5 > loga 6.
Какое число больше: 1 или а? И т. д.
2)	В курсе алгебры обычно встречается следующая задача на дока-
зательство: «Доказать, что произведение двух нечетных чисел есть не-
четное число».
Однако не менее поучительно предложить после нее задачу, в ко-
торой также достигается полнота рассмотрения вопроса: «Числа от
1 до 100 перемножили попарно друг с другом. Каких чисел среди
произведений окажется больше: четных или нечетных? Почему?»
Ученик установит все три возможных случая: четное • четное =
=четное; четное- нечетное (или наоборот)=четное; нечетное • нечетное=
=нечетное.
Вероятно, навык перебора всех возможных случаев
должен отрабатываться с младших классов*.
Экспериментальное обучение показало существенные преимуще-
ства спиральной структуры знаний, когда материал располагается
в виде развертывающейся спирали, причем каждый виток спирали
(цикл) образует внутренне целостную тему и изучается в одном клас-
се**.
Скажем, пройдя цикл «тождества, приводящие к линейному урав-
нению — линейное уравнение— линейное неравенство», мы возвра-
щаемся на следующем витке опять к уравнению, но качественно ино-
му, квадратному, сводящемуся к совокупности двух линейных урав-
нений:
(Здесь имеется в виду, что в системе упражнений должны предла-
гаться задания: написать числовое тождество, превратить его в ли-
нейное уравнение и решить его (I этап); превратить в квадратное
уравнение и решить его (И этап) и т. п.)
Таким образом, цикл должен выступать элементарной неделимой
единицей в структуре программы: если изучено, скажем, в VI классе
умножение одночленов и многочленов, то разложение на множители
вынесением за скобки и все простейшие операции над дробями, свя-
• Вот простейшая задача комбинаторного типа, которая может быть решена
уже первоклассником: «У Маши две блузки (белая и голубая) и три разные юбка
(черная, синяя и в полоску). Сколько разных костюмов может надеть Маша?»
** В литературе чаще используют термин «концентр».
2 Заказ № 3995	£3
занные с этими двумя понятиями, должны быть рассмотрены в той же
теме, в том же классе и, главное, на одних и тех же уроках. Точно
так же линейные уравнения, линейные неравенства и исследование ли-
нейных функций логично включить в один концентр, изучать их сов-
мещенно и т. п.
Расширение или сокращение программы допустимо лишь по
циклам.
Полнота системы математических упражнений обеспечивает доста-
точно богатое понятийное окружение соответствующих знаний.
Говоря словами современного французского математика Рене Тома,
важно добиваться допустимого в данной ситуации широкого словес-
ного окружения, «терминологической окрестности» понятия.
Пусть речь идет о введении уравнения окружности
х2 4- у2 = г2
с соответствующим «строгим» выводом этой формулы.
Учитель поступит правильно, если позаботится, раскрывая ближ-
нюю или дальнюю перспективу, о подкреплении содержания «офи-
циально» изучаемого понятия сообщением (иногда без доказательст-
ва!), например о внутренней и внешней областях круга (х2-|-у2	г2),
об уравнении сферы (х2 + у2 + г2 = г2), об открытом шаре (х2+у2+?2<
< г2) и т. п.
Хорошо сопровождать подобные беседы рисунками или моделями,
упомянув о порождении шара вращающимся кругом или, наоборот,
образованием круга при пересечении шара плоскостью и т. п.
Можно утверждать, что содержание понятия «круг» раскрывается
через понятие «шар», и наоборот (по Гегелю: через свое другое).
Понятийное окружение математического термина должно расши-
ряться не только в пределах данного формально-логического опреде-
ления («окружностью называется...»), но и посредством привлечения
понятий из нескольких разделов математики, нередко без точных
доказательств, в пропедевтическом плане.
Так, содержание понятия «противоречивая система двух линейных
уравнений с двумя переменными» (рис. 8)
Л1 _LA |2х+3у = 4
х4-1,5у =г 41а2х4-62у=с2
G2 = Ctyk-t ^2 —	^2
обогащается, если мы сопоставим
ему идентичные характеристики, а
именно:
Рис. 8
34
На языке алгебры
сис-
I) Главный определитель
гемы равен нулю:
2) Коэффициенты при перемен-
ных пропорциональны:
На языке геометрии
3) Соответствующие прямые па-
раллельны:
h II
4) Нормальные векторы к этим
прямым коллинеарны:
= X • п2.
gi_ у,
#2	^2
4. О МЕСТЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ПРИ ОБУЧЕНИИ
МАТЕМАТИКЕ
Для того чтобы каждая задача могла считаться
вполне решенной, необходимо решить или, по край-
ней мере, точно формулировать сущность задачи,
ей обратной.
И. Г. Чеботарев
Одной из характерных особенностей системы укрупне-
ния знаний выступает применение «метода обратных задач». Этот метод
означает, что работу над задачей нецелесообразно завершать получе-
нием ответа к ней; надо приемом обращения составлять и решать в
сравнении с исходной (прямой) задачей новую, обратную задачу, из-
влекая тем самым дополнительную информацию, заключающуюся
в связях между величинами решенной исходной задачи (см. так-
же § 1).
Для этого в условие исходной задачи вводится ее ответ, а некото-
рые числа из условия переводятся в разряд искомых.
В задаче целесообразно различать три элемента:
1)	сюжетную сторону (например, задачи на движение);
2)	числовые данные (скажем, десятичные дроби);
3)	математические зависимости и действия, посредством которых
решается задача (пропорции, действия второй ступени).
Существенным элементом, от которого зависит в основном тип (вид)
задачи, сложность ее решения, является третий элемент.
При подборе упражнений в учебниках по какой-либо теме варьи-
руют обычно сюжеты и числа, сохраняя неизменными математические
зависимости.
Это приводит к тому, что в той или иной группе задач, рассматри-
ваемых совокупно во «времени и пространстве», оказываются только
однотипные; структурно противоположные задачи зачастую рассмат-
риваются отдельно друг от друга, раздельно по времени, нередко в
виде особой темы- Между тем обращение задания позволяет сравни-
вать прямую и обратную задачи в пределах единого укрупненного
задания.
2*
35
Обратные задачи уместно вводить, начиная с элементарных зада-
ний, используемых, скажем, для проверки сообразительности- Идея
обращения всегда плодотворна.
Рассмотрим примеры-
а)	Составить последовательность неотрицательных чисел а2, #2,
..., ап так: на первом месте — любое неотрицательное число; второй
член получить из первого, увеличив его в 2 раза; третий получить из
второго, увеличив второе на 2, и т. д., т. е. член последовательности
с четным номером больше предыдущего в 2 раза: а^р =	• 2, а
с нечетным номером больше предыдущего на 2:
“Ь 2).
Например: 1, 2, 4, 8, 10, 20, 22, 44, ... .
Наблюдения показывают, что гораздо более трудны упражнения
обратной структуры, например:
б)	Даны 6 членов последовательности: 4, 7, 21, 24, 72, 75, До-
писать еще несколько членов ряда.
Впрочем, задания а) и б) не являются взаимно обратными в стро-
гом смысле слова: здесь используются разные параметры (если в пер-
вой последовательности увеличение происходит на 2 и в 2 раза, то
во второй — на 3 и в 3 раза). Поэтому можно уточнить: в данном
случае взаимно обратными являются лишь их логические струк-
туры-
Остановимся подробнее на анализе логических и психологических
особенностей метода обратных задач.
Рассмотрим задачу.
«В первый день скосили 30 га посевов, во второй день скосили в
2 раза больше, чем в первый день. В третий день скосили на 15 га
меньше, чем во второй день. Сколько гектаров скосили в третий
день?»
Схема прямой задачи: 30 га; в 2 раза; на 15 га; □.
Решение.
1) 30 • 2 = 60 (га);
2) 60 — 15 = 45 (га).
Составим теперь обратную задачу по схеме	; в2 раза; на 15 га; 45 га.
«В первый день скосили несколько гектаров, во второй — в 2 раза
больше, чем в первый, в третий — на 15 га меньше, чем во второй
день. Сколько гектаров скосили в первый день, если в третий день
скосили 45 га?»
На доске и в тетрадях немаловажно решения этих задач записать
рядом, параллельно:
Решение прямой	Решение обратной
задачи
задачи
1) 30 • 2 = 60 (га)
2) 60 — 15 = 45 (га)
1) 45 4- 15 - 60 (га)
2) 60 : 2 = 30 (га)
36
Схематически процессы решения
данных взаимно обратных задач
представлены на рисунке 9.
На этой схеме решение прямой
задачи изображено цепью тонких
стрелок, а решение обратной зада-
чи — толстыми стрелками.
Чтобы последние связи были
еще более упрочены, осмыслены и
выданы на «высшем словесном ко-
де», можно решить две другие об-
ратные задачи, которым соответст-
45
Рис. 9
вуют другие связи между теми же
элементами (рис. 9).
Признанный учителями интерес детей к приему преобразования ис-
ходной задачи в задачу обратной структуры объясняется прежде
всего тем, что такой путь устанавливает разнообразие связей, заклю-
ченных в содержании изучаемого материала*.
(Можно об этом сказать и по-другому: обращение любого задания
позволяет извлечь дополнительную информацию, а именно информа-
цию связи.)
Обратим внимание на следующие особенности решения взаимно
обратных задач (не только в арифметике).
а)	При этой методике одно и то же число, понятие, величина, фи-
гура и т. п. входит в несколько различных рассуждений и находится
существенно иными ходами мысли.
Так, в рассмотренном примере число 60 в прямой задаче находится
как произведение (30 - 2 =60), а при решении обратной задачи это
же число получается как сумма (45 + 15 = 60).
Говоря по-другому, в прямой задаче число 60 выступает как ре-
зультат увеличения числа в несколько раз; в обратной задаче число 60
выступает результатом увеличения числа на несколько единиц.
б)	В процессе преобразования прямой задачи в обратную учащий-
ся выявляет и использует взаимно обратные связи между величинами
задачи: если в прямой задаче, скажем, определялась стоимость по
цене товара и его количеству, то в. обратной задаче определяется цена
или количество товара.
в)	Решая обратную задачу, учащиеся самостоятельно перестраи-
вают суждения и умозаключения, использованные при решении пря-
мой задачи. При этом они овладевают практически как новыми свя-
зями между известными им мыслями, так и новыми, более сложными
формами рассуждений.
* Уместно отметить, что метод обратных задач был нами описан уже в работах
1953 г. (Математика в школе, 1953, № 4; Начальная школа, 1953, № 10). Эффектив-
ность этого метода позднее была подтверждена также в лабораториях Л. В. За л ком
(1964), П. Я. Гальперина (1975), Л. М. Фридмана (1983). Остается лишь сожалеть,
что и эта методическая находка, найдя признание в программах и учебниках началь-
ной школы, не находит своего места в учебниках IV—VIII классов
(как стабильных, так и пробных).
37
Таким образом, ценны для развития мышления не прямые и обрат-
ные задачи, взятые как таковые сами по себе; наиболее важный позна-
вательный элемент заключается здесь в процессе преобразования одной
задачи в другую, т. е. в тех «невидимых» и трудноуловимых при логи-
ческом анализе элементах мысли, которые связывают процессы реше-
ния обеих задач.
Благодаря этой особенности метод обратных задач выполняет наи-
более сложную и ценную функцию обучения, содействуя становлению
зачатков диалектического мышления учащихся.
г)	Важно отметить и другую структурную особенность подобных
укрупненных упражнений: совокупность прямой и обратной задач,
каждая из которых есть, скажем, задача в 2—3 действия, в дидактиче-
ском плане есть не только всего лишь две отдельные задачи в 2—3 дей-
ствия; по существу, это двуединое, качественно новое упражнение
в 4—6 действий; вторая часть такого сложного упражнения целиком
выступает продуктом творчества учащихся, будучи логическим про-
должением первой части.
Как показывает наша практика, целесообразно распространить
понятие «обратная задача» на случай более сложных алгебраических
задач, когда не одно, а 2—3 числа из ответа замещают столько же чи-
сел, данных в условии исходной задачи.
Рассмотрим в качестве примера задачу на нахождение двух чисел
по их разности.
«В мастерской Катя сшила 3 платья, а Нина — 12 таких платьев.
Поэтому Нина израсходовала ткани на 36 м больше, чем Катя. Сколь-
ко метров ткани израсходовала каждая из них?»
Если ответ задачи (числа 48 м и 12 м) ввести в условие этой задачи,
а соответствующие числа 12 пл. и 3 пл. сделать искомыми, то мы по-
лучим обратную задачу того же типа.
Условия задач и их решения удобно записать рядом в следующей
схеме:
Прямая задача
Нина — 12 пл. □
Катя — 3 пл. □
Больше на |36 м
Решение
1) 12 —3 = 9 (пл.)
2) 36 : 9 = 4 (м)
3) 4 - 12 = 48 (м)
4) 4 • 3 = 12 (м)
Проверка
48м — 12 м = 36м
Обратная задача
Нина □	148 м
Катя □______[12 м____
Больше на 9 пл.|
Решение
1)	48 — 12 = 36 (м)
2)	36 : 9 = 4 (м)
3)	48 : 4 = 12 (пл.)
4)	12 : 4 = 3 (пл.)
Проверка
12 пл. — 3 пл. = 9 пл.
Методически ценно здесь еще и то, что понятие «обратная задача»
позволяет с некоторой общей позиции подойти к распределению мате-
риала по классам.
>8
Прием составления новых задач, обратных данным, является почти
универсальным: он применим для любых разделов математики и
всегда приводит ученика к постановке новых проблем, получению
существенно иных разновидностей задач. Умение решать прямую и
обратную задачи является важным критерием достигнутой учеником
глубины понимания изучаемого раздела математики. Имеет поэтому
смысл рассматривать в методике математики составление и решение
обратных задач как достаточно простой и удобный критерии развития
творческого мышления, как один из путей саморазвития ума уча-
щихся.
В старших классах школы этим путем удается выяснить содержа-
ние логических категорий «необходимые» и «достаточные условия».
Рассмотрим несколько характерных примеров.
1а. Дано уравнение первой степени 5х —2а = ах— 3. Требуется
определить область изменения параметра а, если данное уравнение
имеет решение: 2<х<8.
От в ет. 3,25< а< 4,3.
16. (О б р а т н а я задача.) В уравнении 5х — 2а = ах — 3
параметр а изменяется на промежутке 3,25<а<4,3. Определить
соответствующую область изменения значении корня.
Ответ. 2 < х < 8.
Решение данной пары задач показывает, что изменение корня (х)
линейного уравнения на определенном промежутке является необхо-
димым и достаточным условием для изменения параметра (а) на со-
ответствующем промежутке.
Пусть решена следующая задача на неравенства.
2а- В каком промежутке должно изменяться число а, чтобы оба
корня уравнения х2 — 2ах + а2 — 1 =0 были заключены между
—2 и 4?
Ответ. —3<а<5.
Интересно рассмотреть обратную задачу.
26. Дано уравнение х2 —2ах + а2 — 1 =0.
В каких пределах будут изменяться корни уравнения» если пара-
метр а изменяется в пределах 3 < а < 5?
Решив вторую пару задач, можно убедиться, что здесь необходимое
условие отнюдь не совпадает с достаточным условием.
За. Если а2, ft2, с2 составляют арифметическую прогрессию, то
числа —?—, —5—, —-— составляют тоже арифметическую прог-
t + с с -f- а а b
рессию (а, Ь, с — числа положительные).
36. (Обратная задача.) Если—-—, —-—, —?— сос-
Ь-}-сс-\-аа + Ь
тавляют арифметическую прогрессию, то числа а2, Ь\ с2 тоже состав-
ляют арифметическую прогрессию.
Мы проанализировали выше процесс преобразования задач число-
вой природы в обратные. Столь же логически содержательным и ди-
дактически эффективным оказывается метод обратных задач примени-
тельно к геометрическим задачам.
39
Г РАФ-СХЕМА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Рис. 10
Рассмотрим следующие взаимно обратные теоремы (рис. 10).
Прямая теорема
В равнобедренном треуголь-
нике высоты, проведенные к бо-
ковым сторонам, равны.
Обратная теорема
Если в треугольнике равны
две высоты, то этот треугольник
равнобедренный.
Следует отметить, что становление укрупнения единицы усвоения
как закономерности ускоренного и экономного обучения длится уже...
добрых два десятка лет (1964—1984). Тем не менее в настоящее время
наиболее разработан в этой проблеме дидактический (точнее, техноло-
гический) аспект ее. Остается актуальным для науки выявление пси-
хологических особенностей процесса усвоения укрупненной учебной
информации и конкретных приемов укрупнения знаний.
Обратимся к анализу доказательств указанных взаимно обратных
теорем, изображенных в общей граф-схеме.
40
Заметим, что при подборе буквенных обозначений для оснований
высот лучше использовать индексы: AAi и ССг — суть симметричные
высоты треугольников.
Символические записи последовательности суждений удобно раз-
вертывать для зрительной ориентировки в вертикальном направле-
нии, например: сплошная толстая стрелка (сверху вниз) информирует
о прямой теореме; штриховая тонкая (снизу вверх) — о доказательст-
ве обратной теоремы. Мы здесь добиваемся максимума информатив-
ности противопоставляемых знаков-стрелок: они различаются по
трем параметрам (по непрерывности, толщине и направлению). Чем
больше признаков, по которым различается написание знаков, тем
быстрее опознаются контрастные носители информации и тем успеш-
нее совершается автоматическая перекодировка, т. е. перевод графи-
ческой информации в словесную, речевую.
Граф-схема позволяет увидеть детали доказательства, которые ос-
таются в тени при ограничении лишь словесным доказательством.
Скажем, двойная стрелка в схеме
2_Л=2_С	АС = АС	(II)
-----И—1
А АА1.С	CCtA	(III)
означает выполнение «условий равенства прямоугольных треуголь-
ников по гипотенузе и острому углу» (т. е. по двум парам равных
элементов).
Правее граф-схемы показано, как связь между верхней и нижней
строками образует силлогизм (или простейший логический элемент
доказател ьства).
Однако, как известно, всякий силлогизм состоит из трех частей:
большой посылки, малой посылки и заключения. На приведенной
граф-схеме показаны из них лишь две части (малая посылка и заклю-
чение).
Сравнивая доказательства взаимно обратных теорем, мы видим:
доказательство прямой теоремы
состоит из цепи трех силлогиз-
мов (x->y->z) (читая сверху
вниз):
х (или I -> II)
у (или П->Ш)
г (или III->IV)
доказательство обратной теоремы
состоит также из цепи трех со-
ответственно обращенных силло-
гизмов (читая снизу вверх):
|л/(или I ч- II)
у7 (или II ч-III)
I 2' (или III Ч- IV)
Граф-схемы рассуждений позволяют ученику увидеть как бы ато-
марное строение рассуждения; это важно, коль скоро мы ставим целью
в своем анализе добраться до ее исходных составных элементов, кир-
пичиков живой человеческой мысли.
Однако проследим за последовательностью развертывания силло-
гизмов, образующих доказательства данных взаимно обратных теорем:
41
I. Силлогизм x (сверху вниз)
(1->П) а) В треугольнике
против равных сторон лежат рав-
ные углы.
б) В А АВС против сторо-
ны АВ лежит угол С; против
равной ей стороны ВС лежит
угол А.
в) Значит, А С = А А.
I
II. Силлогизм у
(П->Ш) а) Если гипотену-
за и острый угол одного треуголь-
ника равны гипотенузе и острому
углу другого треугольника, то
эти треугольники равны.
б) В треугольниках АСАх и
САСх отрезок АС — общая ги-
потенуза; А ВАС = A ВСА.
в) Значит, A АСАх =ЛСАСг-
I
III. Силлогизм Z
(III -> IV) а) В равных тре-
угольниках против равных углов
лежат равные стороны.
б) Против угла Л в А САС±
лежит сторона ССЪ а против рав-
ного ему угла С в треугольнике
ACAi лежит сторона ААх-
в) Значит, ССх = ААх-
III. Силлогизм л/ (снизу
вверх)
(I ч- II) а) В треугольнике
против равных углов лежат рав-
ные стороны.
б) В А АВС против угла А
лежит сторона ВС а против рав-
ного ему угла С — сторона АВ.
в) Значит, АВ = ВС.
II. Силлогизм у'
(II ч- III) а) В равных тре-
угольниках против равных сто-
рон лежат равные углы.
б) Против стороны А Ах в тре-
угольнике АСАх лежит угол С,
а против равной ей стороны CCj
в треугольнике САС{ лежит £Л.
в) Значит, А С = А А.
t
I. Силлогизм 2/
(III ч— IV) а) Если гипотену-
за и катет одного треугольника
равны гипотенузе и катету дру-
гого треугольника, то эти два
треугольника равны.
б) В прямоугольных треуголь-
никах АСАх и САСх АС — общая
гипотенуза; ААх = ССх (по ус-
ловию).
в) Значит, А АСАх —АСАСх-
На приведенной выше граф-схеме показано, как можно добиться
краткой и емкой записи доказательства, когда каждая стрелка (пере-
ход от строки к строке) характеризует силлогизм, причем доказатель-
ства взаимно обратных теорем совмещены визуально, пространствен-
но. При таком способе записи информации знаки импликации (стрел-
ки) предельно наглядно изображают как отличие, так и сходство про-
цессов доказательства прямой и обратной теорем.
Сходство. В обоих доказательствах используется одна и та
же совокупность понятий и высказываний (равные треугольники,
отрезки и углы).
Различие. Высказывание, носящее логическую функцию
основания в доказательстве прямой теоремы, становится заключением
в обратной теореме, и наоборот.
Таким образом, при совместном доказательстве пары основных
взаимно обратных теорем (в данном случае о признаке и свойстве рав-
42
нобедренного треугольника) попутно происходит актуализация и
вспомогательных пар взаимосвязанных теорем (например, равенство
прямоугольных треугольников «по гипотенузе и острому углу» — в
доказательстве прямой теоремы и равенство их по гипотенузе и кате-
ту — в доказательстве обратной теоремы).
Иначе говоря, сознательное (или произвольное, как говорят пси-
хологи) противопоставление понятий в доказательстве взаимно обрат-
ных теорем о равнобедренном треугольнике вызывает непроизволь-
ное противопоставление других, более простых предложений о при-
знаках равенства прямоугольных треугольников.
Далее. Только при совместном изучении взаимно обратных теорем
становится возможным постичь движение и диалектику мыслей.
Так, при переходе от силлогизма х к силлогизму у в доказательстве
прямой теоремы углы А и С вначале выступают как «углы при осно-
вании» равнобедренного треугольника АВС, а затем как «острые
углы прямоугольных треугольников» ААГС и CCjA. Точно так же при
превращении третьего силлогизма z в доказательстве прямой теоремы
в первый силлогизм z' в доказательстве обратной теоремы отрезки
ААг = CCY выступают как «равные катеты» прямоугольных треуголь-
ников, а затем как «равные высоты» равнобедренного треугольника
АВС
Понимание перехода одного понятия в другое (связанных единым
чертежом — общим носителем информации) есть наиболее ценное
«приращение ума», приносимое интеллекту ученика благодаря укруп-
нению знаний.
Учитель поступит правильно, если найдет иногда время обратить
внимание учащихся на эту поучительную «игру логических форм», на
изменчивость суждений и понятий.
В данном параграфе мы попытались показать логические особен-
ности укрупнения геометрических знаний при сравнительном рас-
смотрении доказательств взаимно обратных теорем.
Для полноты картины рассмотрим также характеристику этого
явления через понятие «необходимые и достаточные условия».
Как известно, всякую теорему А -> В можно характеризовать
двояко, а именно:
А есть достаточное основание для В;
В есть необходимое следствие из А.
В сложившейся математической терминологии основание теоремы
(суждение Д) принято называть кратко «достаточным условием», а
заключение теоремы (суждение В) называют «необходимым условием».
Пусть дана какая-либо теорема Д-> В, например:
«Если треугольник равнобедренный (Д), то высоты, опущенные на
его боковые стороны, равны (В)».
В терминах «необходимо» и «достаточно» содержание этой прямой
теоремы может быть выражено в двух логически равносильных фор-
мах:
43
л->с
Равнобедренность треуголь-
ника (Л) есть достаточное усло-
вие того» чтобы высоты, опущен-
ные на боковые стороны, были
равны (В).
□ ->В
Равенство двух высот тре-
угольника (В) есть необходимое
условие того, чтобы этот тре-
угольник был равнобедренным
(Л).
Нелишне указать учащимся и такой мнемонический ориентир:
«начало стрелки Л —достаточное условие НА -> □)».
«конец стрелки В — необходимое условие (*□ —> В)».
Чтобы учащиеся освоились с обеими эквивалентными формами вы-
ражения одной и той же теоремы, целесообразно чаще трениро-
вать учащихся в подобной замене формулировок: «достаточное» че-
рез «необходимое» и наоборот.
Проведем такую замену для обратной теоремы В-> Л:
«Если в треугольнике две высоты равны (В), то он — равнобедрен-
ный (Л)».
Переформулируем эту теорему в терминах «достаточно» и «необхо-
димо»:
Равнобедренность треуголь-
ника (Л) есть необходимое усло-
вие того, чтобы высоты, опущен-
ные на его боковые стороны,
были равны (В).
Равенство двух высот тре-
угольника (В) есть достаточное
условие того, чтобы этот тре-
угольник был равнобедренным
(Л).
В случае, когда истинны и прямая и обратная теоремы (Л В)
(как в нашем случае), любое из двух данных суждений Л и В явля-
ется одновременно и необходимым и достаточным условием для дру-
гого. В этом случае говорят, что найдено характеристическое свойст-
во.
Установление характеристического свойства числа (функции, фи-
гуры и т. п.) обогащает фонд математических знаний весьма крупной
действенной единицей информации.
Вот некоторые примеры таких характеристических свойств: 1) для
параллелограмма: равенство противоположных углов (рис. 11);
2) для трапеции: треугольники, образованные частями диагоналей и
боковыми сторонами, равновелики (рис. 12); 3) для вписанного четы-
рехугольника ABCD (у которого диагонали пересекаются в точке М):
равенство произведений отрезков диагоналей (рис. 13).
44
Рис. 12
Рис. 13
Итак, доказать характеристическое свойство фигуры — это зна-
чит доказать прямую и обратную теоремы (либо прямую и противо-
положную теоремы).
Рассмотрим это для второй пары теорем.
Прямая теорема
Если в трапеции А В CD про-
вести диагонали, то треугольни-
ки, прилежащие к боковым сто-
ронам, равновелики.
Доказательство
Д/IBD и ДДCD, имеющие об-
щее основание и общую высоту,
равновелики.
Если из этих равновеликих фи-
гур удалить один и тот же
треугольник 710D, то получим в
остатке равновеликие треуголь-
ники:
Обратная теорема
Если диагонали четырех-
угольника, пересекаясь, обра-
зуют равновеликие треугольни-
ки, прилежащие к боковым сто-
ронам, то он является трапецией.
Доказательство По
условию Д АОВ и Д OCD
равновелики. Если к равновели-
ким треугольникам присоеди-
нить один и тот же треугольник
AODf то получим в сумме равно-
великие фигуры:
I Д АОВ — OCD
° Д AOD ~~ % AOD
С _____ Q
ДЛСО
45
с	— V
__ ABD ~~ ACD
Q	— 9
Л. AQD	% AQD
°Д АОВ A OCD
Однако полученные треуголь-
ники, будучи равновеликими,
имеют к тому же общее основание
AD. Значит, у них равны и вы-
соты! Иначе говоря, точки В и С
удалены на одно и то же расстоя-
ние от AD. Значит, ВС || AD,
т. е. ABCD — трапеция.
Мы уже отмечали, что такой простой и доступный прием само-
наращивания знаний, как обращение задач, ныне остановился перед
IV классом, перед входом в среднюю школу.
Между тем метод обратных задач в нашем опыте доказал свою при-
ложимость в практике обучения даже высшей алгебре, аналитической
геометрии, математическому анализу...
В практике школьной математики имеются трудные места, методи-
ческое решение которых — как это ни удивительно — до сих пор еще
не найдено.
Одна из таких проблем — проблема изучения в школе квадратич-
ной функции у = ах2 + Ьх г, график которой (посредством выде-
ления полного квадрата) может построить мало кто из окончивших
школу.
Пусть требуется построить график функции
у = Зх2 —24х -J- 46.	(1)
Изложенный в учебниках алгебры алгоритм решения этой задачи
таков:
1)	Выносим за скобки коэффициент при х2:
у = 3 [х2 — 8х + —-]•
2)	Внутри квадратных скобок выделяем полный квадрат:
У = з [(х2 — 2 • 4х + 16) — 16 -Ь 15 —
3
Дальнейшее ясно нам, но, увы, далеко не каждому школьнику
В самом деле, выделим полный квадрат:
3)	у = з [(х - 4)2 - -А].
4)	Раскроем квадратные скобки:
у = 3 (х — 4)2 — 2.	(2)
В психологическом отношении представление второго члена в виде
удвоенного произведения половины второго коэффициента на неиз-
вестное (8х = 2 • 4 • х), а затем запись «плюс и минус квадрат этой
половины» (4-42 — 42) и т. д. означают достаточно искусственную, а
потому трудную для запоминания последовательность операций не
только для школьника, но и для первокурсника.
Следующая трудность —это построение самой параболы по пре-
образованной формуле вида: у = а (х — х0)2 + у0, или, в нашем
случае, у = 3 (х — 4)2 —2. Трудность определения координат (х0, у0)
46
вершины искомой параболы заключается в контрастности ассоциатив-
ного строя двух суждений, а именно: свободный член в уравнении—
«минус два» и вершина параболы должна быть на 2 единицы ниже на-
чала координат (ассоциация «минус — ниже» легко запоминается).
В той же формуле имеется выражение (х — 4)2 — «минус четыре».
Мы должны сообразить, что вершина параболы находится правее
начала координат на 4 единицы.
Итак, вижу «минус четыре»— ищу на оси абсцисс точку «плюс четы-
ре». В этом сложность психологической перестройки суждений и из-за
этого возникает противоречивое сочетание двух ассоциаций («минус —
ниже» и «мийус — правее»); оно порождает неизбежные ошибки при
построении параболы. Наложение двух трудностей (выделение пол-
ного квадрата и построение вершины параболы общего вида) — вот
причина не преодоленного в методике «парадокса параболы».
В нашем опыте сочетание прямой и обратной задач и «алгоритма
переноса на вектор» дало, наконец, технологическое решение «пара-
докса параболы».
Изложим эту методику.
1)	Вначале решается стандартная задача:
«Построить график квадратичной функции, данной в каноническом
виде: у = а • х2».
Пусть для конкретности дана функция у = Зх2.
Составляем таблицу координат симметричных точек:
у = Зх?
О
3
12
27
«параболы-прообраза» у = Зх2 рас-
По таблице видим, что точки
полагаются симметрично относительно оси Оу (рис. 14).
2)	Теперь рассмотрим следующую (прямую) задачу:
«Перенести график функции у = Зх2 (параболу-прообраз) на век-
тор	= написать уравнение параболы-образа» (рис. 15).
Решение.
Сначала построим вектор переноса р =* 00' = I L Конец век-
тора — точка О7 — вершина перенесенной параболы. Проведем через
точку О' прямые, параллельные осям координат. Чтобы найти урав-
нение перенесенной параболы, используем общий алгоритм получе-
ния уравнения перенесенной кривой по уравнению прообраза и коор-
динатам вектора переноса р = [ °|.
\Уо/
Прообраз
(до переноса)
Образ
(после переноса)
у = f W
у = Зх*
У — Уо = f (х — х0)
у — у0 = 3 (х — х£)«
у + 2 = 3 (х — 4)»
у = Зх* — 24х + 46.
П
Рис. 14
Рис. 15
Раскрыв скобки в предпоследнем уравнении» получаем искомое
уравнение (1) параболы-образа.
3)	Составляем и решаем обратную задачу:
> «Дано уравнение параболы общего положения:
у = 3х2—24x^46	(1)
Требуется построить график этой функция».
Решение.
Рассуждаем так:
Искомый график получится в результате переноса графика функции
канонического вида у = Зх2 (у == ах2) на вектор р = Требует-
ся найти числа х0» у0, т. е. координаты вершины перенесенной пара-
болы, или координаты вектора переноса (это одно и то же).
Данное уравнение (1) представляем в общем виде:
у — Уо == з (х — Хо)2,	(2)
или [
У = Зх2 — бх^х + Зхо + у0,	(3)
у = Зх2 — 24х 4- 46-
Под уравнением в общем виде (3) подписываем данное уравнение.
Приравнивая в уравнениях (3) и (1) коэффициенты при одних и
тех же степенях неизвестного л, находим значения х01 Уо:
48
—6х0 = —24; откуда х0 = 4.
Зхо 4~ Уо 46.
3 - 42 + 4/0 = 46.
Уо = —2.
Итак, мы нашли координаты вектора переноса (вершины параболы):
уравнение у = Зх2 —24х + 46 мы заменим равносильным уравнением
у + 2 = 3(х —4)2	(4)
Замечание. Применяя так метод неопределенных коэффи-
циентов, мы избегаем подводных камней традиционного метода и со-
здаем следующие связи мыслей:
если в уравнении (4) мы видим числа (—4) и (4-2), то координа-
тами вектора переноса являются соответственно противоположные
им числа:
/ х0\ =s (
\Уе/ \— 2J
Построение искомой параболы очевидно:
а)	сначала строим стандартную параболу у = Зх2;
б)	построенную параболу переносим на вектор р = f
Тем же приемом удается построить график кубического четырех
члена: у = ах3 4- Ьх2 4“ сх 4- d (рис. 16).
Сравним графики следующих функций:
у = (х — 2) • х- (х 4~ 2) = х3 — 4х;
у ~ (х — 0,2) х (х 4- 0,2) =
=х3 — 0,04х;
у = (х — 0,02) х (х 4- 0,02) =
= Xs — 0,0004х;
у == Xs.
Заметим, что при а -> 0 функ-
ция у = х3 — ах переходит в функ-
цию у = х3.
Мы видим: кубическая парабо-
ла у = х3 является предельным
случаем параболы у = х3 — ах
(а > 0) при а 0.
При а =/= 0 функция у =х3—ах
имеет точку перегиба (0; 0) и два
симметричных относительно нача-
ла координат экстремума (макси-
мум и минимум).
При а -> 0 точки экстремума
функции у = х3 — ах стремятся к
Рис. 16
49
Рис. 17
началу координат; в этом случае
точки экстремума исчезают (слива-
ются с точкой перегиба, с началом
координат).
Рассмотрим прямую задачу:
«Построить график функции —
прообраза у = х3 — 4х. Перенести
затем график на вектор р = I ).
Написать уравнение перенесен-
ной линии»:
Образ, у = х3 — 4х.
Прообраз.
у + 3 = (х — 2)8 — 4(х — 2),
у = х3 — 6х2 + 8х — 3.	(А)
Через прямую задачу мы выяв-
ляем способ решения основной зада-
чи, а именно:
«Пусть требуется построить
график кубической функции
у = Xs — 6х2 4-8% — 3» (рис. 17).
Ранее мы не встречали решения такой задачи.
Но вот метод неопределенных коэффициентов помогает нам сделать
это.
Пусть график функции (А) является результатом переноса графи-
ка функции
у = х3 — ах (а > 0)	(В)
на некоторый вектор
Р = М
\Уо)
Требуется найти координаты вектора переноса, или, что то же
самое, координаты точки перегиба (х©, у©), кубической параболы.
Уравнение перенесенного графика будет иметь вид:
У — Уо = (* — *о)3 — а (ж — х0).
Упростив это выражение, получаем:
так: у = х3 — Зх0 - х2 + (Зхр — а) - х + У© — *о + ох©.	(Q
у = л8 — 6х2 + 8У — 3.	(А)
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной в
эквивалентных уравнениях (А) и (С), получим систему трех уравне-
ний для определения трех неизвестных: а9 х©, у©.
-Зх© = -6
4” Зхо — а = 4“®
Уо — хо4-ох© =— 3
|х© — 2|
12 —а = 8;
Уо =	3 +
60
Итак, мы нашли исходную функцию у = л* — 4х и вектор, на ко-
торый перенесен ее график.
Что делать дальше, мы знаем по решению предыдущей «прямой»
задачи.
5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО — ВЫСШАЯ
ФОРМА САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ МЫШЛЕНИЯ
УЧАЩИХСЯ
Математический опыт учащегося нельзя считать
полным, если он не имел случая решить задачу,
изобретенную им самим.
Д. Пойа
Один из крупных специалистов по психологии обучения
Л. Секей справедливо сетует на то, что в «практике обучения в странах
Европы ... фактически господствует чистейшее заучивание». И дейст-
вительно, сложившаяся ныне система учебников математики, подбор
упражнений в них, дидактика урока математики в средней школе
оставляют крайне мало возможностей для проявления инициативы
и творчества обучающегося, для саморазвития его знаний для того,
чтобы изучение науки выступало поистине «игрой его интеллектуаль-
ных сил» (К- Маркс).
Проблема развития самостоятельности мышления учащихся в про-
цессе обучения математике является острой, еще не разрешенной проб-
лемой методики математики.
Анализ характера умственной деятельности учеников на различных
уроках, в разных классах показал, что лишь 15—20% учебного вре-
мени тратится на самостоятельную работу, при этом, чем старше
класс, тем меньше занимаются учащиеся различными видами само-
стоятельных работ. Упражнения по самостоятельному составлению
задач, уравнений, их систем и т. п. исчезают вовсе из стабильных
учебников математики для IV—X классов.
Создается ненормальное положение: с возрастом учащиеся, конеч-
но, становятся более способными к самостоятельной работе, а им пре-
доставляют для этого все меньше возможностей.
В литературе понятие «самостоятельность» толкуют часто нечетко»
основываясь лишь на внешней стороне деятельности учащихся.
Одно дело, когда школьник без помощи учителя решает ту или
иную готовую задачу, например устанавливает (на кружковом заня-
тии) делимость данного многочлена на (х—2), пользуясь теоремой
Безу.
Однако характер мышления ученика изменяется коренным образом»
если ему предложить, скажем, составить многочлен третьей степени»
делящийся на (х—2).
Такое упражнение выполняется тривиально: достаточно умно-
жить этот множитель на любой квадратный трехчлен, например:
(х — 2) (х2 + Зх — 6) - Xs + х2 — 12х + 12.
Sf
Самое неожиданное в психологическом отношении здесь заклю-
чается в том, что, коль скоро подобные задания полностью отсутствуют
в практике обучения, у рядового ученика такая простая мысль сама
по себе и не возникает (!?). Творческое задание, подобное приведен-
ному, вполне доступно любому обучающемуся и в принципе должно
встречаться на каждой странице учебника математики в силу своей
совершенной необходимости для нормального развития ума обучаю-
щегося...
Если в числе тренировочных упражнений преобладают однотип-
ные, при решении которых ученик ограничивается лишь получением
ответа и сверкой его с готовым ответом, то такие упражнения не на-
правляют усилия ученика на разрешение иных, нешаблонных заданий,
с чем ему придется встречаться в жизни.
Знания ученика будут прочными, если они приобретены не одной
памятью, не заучены механически, а являются продуктом собственных
размышлений и проб и закрепились в результате его собственной
творческой деятельности над учебным материалом.
Эту важную роль самостоятельности мышления для дальнейшего
приобретения и применения знаний отмечали известные ученые.
Так, акад. С. Г- Струмилин в своих воспоминаниях писал, что
сначала он решал содержавшиеся в журнале задачи, а затем сам стал
корреспондентом журнала, отсылая туда самостоятельно составленные
задачи и теоремы. «И хотя это было еще весьма скромное творчество, —
заключает он, — но все же я считаю его началом научной самодея-
тельности» [37, с. 38].
Характерен в этом смысле также стиль работы над новым материа-
лом проф. А. Я- Хинчина; он писал, что для него лучшей формой
усвоения нового является самостоятельный вывод того или иного
результата и по возможности путем, отличным от изложенного в
книге.
Творческое мышление есть высшая ступень самостоятельности;
иначе говоря, не всякую самостоятельную работу можно назвать
творческой работой.
При обсуждении вопросов обучения математике весьма важно учи-
тывать то, что решение учениками предложенной задачи и составление
ими аналогичной задачи в каком угодно классе суть процессы, взаимно
дополняющие друг друга и диалектически противоречивые, ибо при-
меняемые в них формы «анализа — синтеза» коренным образом раз-
личаются.
Отшлифованное доказательство той или иной «книжной» теоремы,
краткое лаконичное изложение решения чужой задачи — это суть
исполнения чужих команд. Мыслящий разум должен познать и изви-
листый путь познания, который привел первооткрывателя к теореме
(задаче). Объективировать эту оборотную сторону математики —
главная задача методики. Не случайно Леонард Эйлер полагал, что,
кроме описания результатов своих исследований, обогативших нау-
ку, ему надо для общей пользы чистосердечно изложить и процесс
искания истины со всеми его зигзагами и затруднениями.
52
Многие формы математических упражнений нередко мало чем могут
помочь развитию творческих начал: в них как бы спрятаны все кон-
цы, дана уже готовая схема, знания представлены в статическом со-
стоянии в завершенных формах, и поэтому они трудноуловимы па-
мятью.
Относительно так называемых творческих упражнений сущест-
вуют в методике две крайности.
Одни полагают, что обычно ученик не может сам ставить перед со-
бой проблему. Отсюда делают вывод, что в школьных условиях уже
достаточно, если ученик сможет решить готовую задачу, предложенную
ему учителем.
К- Э. Циолковский писал, что сначала он делал открытия, извест-
ные всем, затем — известные немногим и, наконец, никому не извест-
ные.
Обучение математике в школе вполне можно и нужно строить так.
чтобы оно представлялось для учащегося серией маленьких открытий
по ступенькам которых ум ученика может подняться к высшим
LilGMJ
щениям.
По любому разделу математики можно сконструировать такое син-
тетическое упражнение, задание, адресованное школьнику, выполне-
ние которого действительно содержало бы различные элементы твор-
чества.
Обычное дело, когда ученик, скажем, выучивший признак дели-
мости на 9, решает типичную задачу на прямолинейное применение
правила: разделится ли без остатка на 9, скажем, число 2207?
Совсем иное дело, если пятикласснику предложено деформирован-
ное число 35DC6; требуется добавить в середине две цифры, так,
чтобы число разделилось без остатка на 9.
Ход мыслей ученика здесь примерно таков:
«Найду сумму имеющихся цифр 3 + 54-6= 14. Ближайшее
к 14 число, делящееся на 9, — это 18, следующее —27.
Не хватает 4 (18 — 14 =4). Две Цифры надо подобрать так, чтобы
их сумма была равна 4». Возможны варианты: 4 и 0; 3 и 1; 2 и 2. Во
втором случае сумма двух недостающих цифр должна составить
27 — 14 = 13 = 4 + 9 (4 и 9; 5 и 8; 6 и 7).
«Сколько же разных решений можно найти?» — спрашивает учи-
тель. Коллективно исчерпываются все возможные варианты для
первого случая: 35406, 35046, 35316, 35136, 35226, затем — варианты
для второго случая. Попутно выясняется, что следующее за 27 число,
кратное 9 (36) рассматривать не надо, так как наибольшая сумма двух
однозначных чисел 9 + 9 = 18, а 36 — 14 = 22.
Вывод. Всего искомых чисел существует 11.
Такая работа не основывается уже на прямолинейном применении
правила (установления того, делится или не делится данное число
на 9), а идет несравненно более сложным путем.
Размышляя и опираясь на правило, ученик в этом случае встре-
чается и с комбинаторикой, и с перечислением всех возможных ре-
шений.
53
Это, несомненно, математическое творчество, пусть и элемен-
тарное!
Различные синтетические упражнения по составлению уравнений,
задач и т. п. обладают для учащихся качествами новизны и оригиналь-
ности полученных результатов; поэтому есть все основания отнести
подобные упражнения к творческим.
Нельзя также согласиться с другой крайностью, с ограниченным
толкованием понятия математического творчества учащихся, когда
под ним разумеют только изящное, чем-то необычное, отличное от
стандартного решения все той же готовой задачи, составленной кем-то
другим (не учащимся) -
Конечно, нельзя отрицать наличия элементов творчества и в такой
преимущественно аналитической деятельности, но важно учитывать
при обучении следующее положение.
Творчество (какое бы оно ни было — техническое, музыкальное,
математическое и т. д.) всегда означает созидание, синтез чего-то су-
щественно нового; не может быть настоящего творчества там, где
деятельность не носит прежде всего конструктивного характера.
Отметим в данной связи и психологическую сторону вопроса.
Самостоятельно составленная и решенная задача запоминается
полнее и прочнее, чем просто решенная [35, с. 262].
В опыте нашей методической системы одним из основных методи-
ческих средств выступает наличие в составе «укрупненного упражне-
ния» задания по составлению школьниками своих примеров, задач,
уравнений, функций и т. п., удовлетворяющих поставленным усло-
виям.
С точки зрения кибернетики условие любой задачи содержит в
закодированном виде программу для логических операций, приводя-
щих к ответу; в этом смысле процесс составления задач подобен про-
цессу программирования работы некоторой вычислительной машины,
причем оказывается, что количество информации, содержащейся в
условии задачи, больше, чем ее количество в полученном ответе [12,
с. 18].
Велико количественное и качественное различие между информа-
цией, использованной в процессе составления задач, с одной стороны,
н содержащейся в условии составленной задачи — с другой: только
незначительная часть информации, использованной при составлении
задачи, включается в условие задачи. Поэтому составление задач осу-
ществляется на основе более широкого набора логических операций,
чем решение готовой задачи.
В школах почти не уделяется внимания заданиям, подобным сле-
дующим:
«Найти целые числа х, у, 2, такие, чтобы их наибольшим общим
делителем была 1. Как называются такие числа?
НОД (х, у, z) = 1»;
«Наименьшее общее кратное двух чисел равно 12. Назвать такие
пары чисел. Сколько всего решений? НОК (□,□)= 12»;
«Составить и решить систему двух уравнений второй степени,
имеющую данные решения»;
64
«Составить задачу, решаемую квадратным уравнением, такую,
чтобы она имела два решения»;
«Решено логарифмическое уравнение; составить аналогичное
уравнение с корнями:	= —2; х2 = 4-1»;
«Составить неравенство второй степени, имеющее решения:
3 < х < 5»;
«Составить убывающую геометрическую прогрессию, такую, чтобы
сумма ее членов была равна 20» и т. п.*.
Решение готовой задачи представляется часто тривиальным, однако
составление аналогичной задачи, удовлетворяющей определенным ус-
ловиям, по новизне применяемых при этом логических средств пред-
ставляет вначале значительные трудности, ибо требует совершенно
иных умений.
В* то же время — и это очень важно! — трудность составления
задачи является временной, относительной: показ учителем способа
составления превращает это задание в обычное, доступное всем уча-
щимся.
Чтобы подтвердить сказанное, приведем один характерный пример.
Несложно научить учащихся решать задачу составлением квад-
ратного уравнения.
Это, так сказать, распространенная «классическая» форма упраж-
нения, необходимость которого очевидна.
Но вот другое задание: составить задачу, которая решается с по-
мощью следующего тождества или уравнения:
Последнее уравнение приводится к квадратному с корнями
хг = 2; х2 = —5.
Возможно углубиться в структуру уравнения и составленной на
его основе задачи, например потребовав, чтобы оба корня были
положительны (или чтобы оба решения удовлетворяли условию
задачи).
Последнее задание уже требует непростого исследования. Такое
усложнение задания означает также тренировку в творческом мыш-
лении.
Интересно отметить, что вначале приведенное задание казалось
не всегда выполнимым даже учителям-математикам.
* Чтобы убедиться в степени новизны подобных заданий, пусть читатель, вы-
полнив какое-нибудь из этих заданий, сравнит потраченные усилия и время с теми,
которые нужны для выполнения соответствующих аналитических заданий по ре-
шению готовых задач того же рода.
55
Но после того как учитель показал выполнение данного задания
посредством метода неопределенных коэффициентов, учащиеся легко
справились с заданием (см. также § 7).
Точно так же задание составить систему двух уравнений первой
степени с данным решением (х == 2, у = 3) вызывает иногда недоуме-
ние даже у студентов пединститута, хотя научить этому нетрудно и
семиклассника:
/□•2 + D- 3==D	{ 3 • 2 + 4 • 3 = 18 / Зх + 4у = 18
(□ • 2 + □ • 3 = □	1—1-24-2-3 = 4	1—х + 2у = 4
Введение синтетических упражнений надо начинать с элементар-
ных форм; очень важно, например, приучить учеников иллюстриро-
вать правила и определения соответствующими примерами.
Но часто учителя забывают требовать это.
В практике обучения принято решение нового вида упражне-
ний (например, задачи нового типа) начинать с анализа готового усло-
вия.
Наш опыт показывает» что нередко более целесообразно поступать
иначе: учитель, привлекая к работе учеников, составляет задачу но-
вого вида, а затем школьники решают составленную задачу коллек-
тивно. При таком методе учащиеся наблюдают сначала процесс син-
теза, а затем — анализа; здесь синтез пролагает путь анализу в со-
ответствии с логикой вопроса. При этом ученики усваивают во взаимо-
связи оба пути мышления: обучаются и составлению задач, и реше-
нию их
В литературе встречается мнение: внедрение синтетических упраж-
нений равносильно добавлению новых разделов в программу и
поэтому якобы потребует дополнительного времени.
Это имело бы место тогда, когда учитель знакомил бы учащихся
с приемами составления совершенно независимо от приемов решения
(скажем, сначала закончили бы решение всех видов линейных урав-
нений и лишь после этого приступили бы к составлению некоторых из
них).
Но если решение каждого нового вида уравнения (неравенства,
задачи и т. д.) сразу на том же уроке органически сопровождать со-
ставлением аналогичного (либо показать процесс составления нового
вида упражнения, дабы затем научить детей решать его), то дополни-
тельного времени не потребуется: в этом случае оба процесса, один
помогая другому, образуют логическое единство.
Указанное возражение связано также и с тем, что не учитывается
сущность синтетических упражнений: во-первых, составляются за-
дачи по тем же самым разделам» по которым раньше давались исклю-
чительно готовые задачи; во-вторых, составление какого-либо упраж-
нения завершается решением его.
Стало быть, синтетическое упражнение содержательнее аналитиче-
ского, первое включает в себя второе.
56
Составленную самим задачу решить легче, нежели готовую, чужую
задачу, продукт мысли другого лица.
«Поскольку знаем, как был завязан узел и затянута петля, по*
стольку нам будет легче развязать этот узел»*.
Составление и решение одной задачи дидактически гораздо ikf
учительнее, чем решение двух готовых задач того же вида, причем
первое осуществляется, в общем, за меньшее время; первый путь —
углубление в структуру задачи, второй — всего лишь тренаж.
Поэтому, как это и обнаружилось в нашем опыте, правильное со-
четание синтетических и аналитических упражнений в итоге сокра-
щает время изучения материала. Парадоксально, но факт!
Например, сравнительно прочное усвоение восьмиклассниками
темы «Квадратное уравнение» имеет одной из причин то, что здесь
ученики выполняют структурно взаимно обратные упражнения, а
именно: решение (по теореме Виета) и составление (по обратной ей
теореме) квадратных уравнений (этого пока нельзя утверждать отно-
сительно других разделов алгебры).
Составление задач и их решение всегда приводит к возникновению
циклических связей мыслей (на основе перерастания прямой связи
(Л В) в обратную (В Л) и появления замкнутой связи (А В -►
-> Л). Подтвердим сказанное, для чего проанализируем несколько
примеров.
Пусть решается алгебраическим способом следующая задача:
«Отец и сын вместе заработали 60 руб., причем заработок отца
больше заработка сына в два раза. Сколько заработал каждый из
них?» (3).
Решение сводится к составлению уравнения
2х + х = 60.	(У)
(Ответ. 40 руб. и 20 руб.)
Проверка ответа, в сущности, сводится к установлению тождества:
20 • 2 + 20 = 60.	(Т)
Таким образом, трехчленная абстрактная схема обычных упраж-
нений по решению задач алгебраическим способом выглядит так:
задача (3) уравнение (У) -> тождество (Т).
Можно решить сотню таких задач, но от этого мышление не обога-
тится обратимыми связями типа: тождество -> уравнение -> задача.
(Примечателен в этом отношении следующий факт: восьмиклассники
обнаруживали непонимание смысла тождества, не умели конструиро-
вать тождество, пока не выполняли упражнений по преобразованию
тождества в уравнение.)
Чтобы довести одностороннюю незамкнутую связь (3) -> (У)
* Еленська J1. Методика арифметики и геометрии в первые годы обуче-
ния. М., Учпедгиз, 1960.
57
-> (Т) до циклической связи (3) -> (У) -> (Т) -> (У)-> (3)9 надо сра-
зу же вслед за решением предыдущей задачи предложить школьникам
составить аналогичную задачу» исходя» например» из следующего
тождества:
30 • 4 + 30 = 150.	(Tj)
Ученики обнаружат одинаковую роль чисел 20 и 30 соответственно
в тождествах (Т) и (TJ и перейдут от тождества (Tj) к уравнению
(Ух), совершив переход от числа 30 к переменной а, одним из значений
которой является число 30:
4а + а = 150.	(Ух)
Дальше остается к уравнению (Ух) подобрать соответствующее ус-
ловие задачи (30, т. е. от символической записи перейти к словесному
оформлению мысли:
«Учительница принесла тетради в клетку и в линейку — всего
150 штук. При этом оказалось, что тетрадей в клетку было больше,
чем тетрадей в линейку, в 4 раза. Сколько было тетрадей в клетку
и сколько — в линейку?»
Практика обучения, предусматривающая сравнение процессов
решения и составления задач, показывает, что при такой методйке дети
значительно быстрее овладевают не только программным умением ре-
шать задачи, но, сверх того, и «внепрограммным» умением конструи-
ровать алгебраическую задачу.
Составление задачи с наперед заданным решением требует приме-
нения знаний в иных связях, чем это бывает при решении готовой
задачи, хотя и составление задач, и решение готовой, задачи, как пра-
вило, выполняются на основе одной и той же суммы знаний.
Однако в первом случае нужно владеть еще особыми приемами
конструирования задачи, комбинирования ее элементов, многие из
которых намечаются с большой долей произвольности. При этом ча-
сто приходится искать необычные связи, идти непроторенными путя-
ми, пока не будет найдено удачное сочетание элементов задачи. По-
следнее, собственно, и означает развитие самостоятельного мыш-
ления.
Умение решать школьные задачи и умение составлять таковые —
совершенно разные умения. Из первого отнюдь не вытекает второе,
но лишь второе раскрывает возможности подлинного познания первого.
Разведенность во времени контрастных знаний и отсутствие твор-
ческих упражнений приводит к крупным, но скрытым от поверхност-
ного анализа прорехам в математической подготовке учащихся.
Беда эта имеет первопричиной не столько учителя, «передатчика»
знаний, сколько структурные недостатки действующих учебников.
Упражнения на составление задач и примеров надо ввести в прак-
тику обучения как равноправные (как наиболее ценные?) среди дру-
гих упражнений.
Некоторые полагают, что составление задач и примеров очень
58
сложно и не под силу даже учителю, а потому ради его «облегчения»
это дело следует якобы целиком отдать на откуп авторам задач-
ников.
Не будем греха таить, иногда начинающие (да и не только начинаю-
щие) учителя недостаточно владеют навыками составления тех или
иных упражнений, удовлетворяющих определенным дидактическим
требованиям (хотя бы для контрольных или самостоятельных пись-
менных работ).
Но это печальное обстоятельство возникает не по их вине.
Студентов, будущих учителей математики, не тренируют специально
в составлении задач, что возможно и должно; в соответствии с изменя-
ющимися целями обучения полагается им пользоваться задачниками,
издающимися под разными и многообещающими названиями: сборни-
ков задач «для повторения», «дополнительных», «для самообразова-
ния», «повышенной трудности», «на соображение», «конкурсных задач»,
«для устного счета» и т.д.
Не отрицая несомненного значения этих пособий, мы желаем ак-
центировать внимание на том, что нельзя ориентировать учителя
только на готовые сборники, что и сам учитель должен научиться
составлять задачи. Специфика обучения математике такова, что уме-
ние учителя вовремя сообразить, иногда экспромтом привести харак-
терный пример, составить удачную задачу играет подчас решающую
роль в срочном образовании нужной ассоциации у учащихся, в ус-
воении ими новой идеи, в схватывании учащимися существенных
сторон излагаемого материала.
Деятельность передовых учителей математики характерна тем, что
они сами составляют задачи, используемые на занятиях с учащимися,
а не ограничиваются только подбором их из различных источников;
многие из учителей участвуют в традиционных конкурсах по решению
задач с составлением своих оригинальных задач, часть которых пред-
лагается в качестве конкурсных в методических журналах.
На основе занятий со студентами университета и учителями на
летних курсах мы убедились в том, что способы составления всех ви-
дов упражнений школьного курса на изложенных в данной книге
принципах вполне доступны и целесообразны. Исходя из запросов
учителя математики, мы видим, насколько назрела необходимость
освоения учителем приемов составления основных разновидностей
упражнений по школьному курсу математики.
Однако главное в данной проблеме, повторяем, — внедрение син-
тетических упражнений в школе и вузе и — на основе этого — посте-
пенное доведение простейших форм этой работы до учащихся.
Как и в случае использования приема противопоставления, внед-
рение синтетических упражнений связано с ломкой методических
шаблонов, стандартов, поскольку в существующей учебной литерату-
ре этот вид упражнении практически отсутствует.
Хотя методика упражнений, построенная в основном на аналити-
ческих упражнениях (готовых наборах заданий), «проста» для учи-
теля, но от этого в накладе оказывается в конечном счете школьник,
59
ибо в силу присущей этой методике ограниченности вовлекаемых ло-
гических средств познания он усваивает знания односторонне, по-
верхностно, почему «пройденный» материал и быстро выветривается
из памяти*.
6. ОБОБЩЕНИЕ И АНАЛОГИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ
МАТЕМАТИКЕ
л. Аналогия иногда бывает так поразительна, что
трудно подвергать сомнению вывод, которому она
благоприятствует. Если же отказаться от ее посо-
бия, то часто надобно будет отказаться от всякого
положительного вывода.
Н. Г. Чернышевский
Обобщение — это, вероятно, самый легкий и самый
очевидный путь расширения математических зна-
ний.
У. Сойер
Обобщение означает переход знания на более высокий
уровень на основе установления для данных объектов общих свойств
или общих отношений.
Обобщение связано с аналогией.
Схема же умозаключения по аналогии такова:
Первая посылка. Предмет А обладает свойствами at b9 с, х.
Вторая посыл ка. Предмет В обладает свойствами а, Ь, с.
Заключение. Вероятно, предмет В обладает и свойством х.
Суждения, полученные по аналогии, проблемны и подлежат иссле-
дованию и доказательству.
Умозаключения по аналогии являются непременной составной
частью творческого мышления, так как этим путем мысль человека
выходит за пределы известного, пролагая путь к неизвестному.
Об аналогии отзывался в поэтически восторженной форме знамени-
тый ученый Кеплер, первооткрыватель законов небесной механики:
<Я больше всего дорожу Аналогиями, моими самыми верными учите-
лями. Они знают все секреты Природы, и ими меньше всего следует
пренебрегать» [28а, с. 31].
Умственное развитие учащихся, которыедолжны подготавливаться
п--------
* Отрадно видеть, что проблеме составления задач по математике, как главному
средству развития самостоятельного мышления учащихся, кроме наших работ
!« 46, 59, 77, 56—58], посвящен ряд кандидатских диссертаций (Е. Н. Тальянова,
Ф. Ф. Семья, Э. А. Страчевский, А. В. Ефремов). В книге А. Б. Василевского «Уст-
ные упражнения по алгебре н началам анализа» (Минск, Народная асвета, 1981,
с. 4) приведены конструктивные упражнения для старших классов, причем автор
справедливо утверждает, что «обучающее значение их исключительно велико».
Психолог Л. М. Фридман уделяет достойное внимание такому виду учебной
деятельности, справедливо считая его «диагностическим средством становления
учебной деятельности и мотивации школьников» (Фридман Л. М.,Буй Ван
X у э. Об одной методике диагностики учебной деятельности. — Вопросы психоло-
гии. 1978, № 2).
61
уже в период школьного обучения к роли творчески мыслящих ак-
тивных деятелей, не может быть полноценным, если их не научат в
школе специально применению приема аналогии.
Простое применение аналогии дает упражнение, подобное, одно-
порядковое с исходным. От него следует отличать составление задачи
обобщением, когда новая задача оказывается в том или ином отноше-
нии сложнее исходной. Процесс обобщения основывается на примене-
нии аналогии, но не сводится полностью к ней.
Применение обобщения связано с преобразованием мыслей, с ум-
ственным экспериментированием; оно есть одно из самых важных
средств самообучения, автодидактики, т. е. самостоятельного расшире-
ния и углубления имеющихся знаний.
Для достижения глубокого усвоения нового понятия, способа
решения нельзя обходиться задачами одного уровня трудности, а еще
лучше дать учащимся возможность самим обобщить решенную задачу,
чтобы затем решить составленную задачу, видоизменяя, если нужно,
прежний способ.
Нельзя признать удачной распространенную практику дачи зада-
ний учащимся, когда как в I, так и в X классе (без учета определив-
шихся склонностей учащихся старших классов) всем учащимся пред-
лагается одно и то же задание.
Наличие сплошь высоких баллов при тестовой проверке знаний
или поголовный неуспех в контрольной работе — вот явные признаки
потери меры учителем.
В практике обучения общее классное задание рассчитано на сред-
него ученика; а для расширения познавательных способностей более
сильных учащихся необходимы дополнительные задания по самостоя-
тельному обобщению и решению составленных так задач.
Если, скажем, готовую задачу решают все учащиеся класса в ос-
новном одинаковой последовательностью рассуждений, то с обобще-
нием уже управляется не всякий*; результат обобщения зависит не
столько от суммы знаний (примерно одинаковой для всех учащихся
класса), сколько от умения комбинировать, связывать эти знания по-
новому, заглядывать за обычные пределы, т. е. от индивидуальных
способностей человека.
Структура упражнений, выполняемых в классе, должна отразиться
и на характере контрольных и проверочных работ: чему обучают, то
и следует проверять.
Наша практика говорит, что синтетические упражнения целесооб-
разно включать в контрольные и проверочные письменные работы
учащихся, хотя и в меньшем количестве, чем аналитические.
Всякая математическая задача поистине неисчерпаема в своих
связях с другими задачами; после решения задачи почти всегда можно
найти предмет размышлениям, найти несколько направлений, в кото-
рых удается развить и обобщить задачу, найти затем решения создан-
ных таким образом новых проблем.
* В таких случаях задание по обобщению упражнений должно быть адресовано
особо интересующимся математикой.
61
Рис. 18
Работу по обучению приемам
обобщения удобно начинать с упраж-
нений тестового характера.
Вот пример подобного простей-
шего задания.
Даны три рисунка: Л, J>, а
(рис. 18).
Требуется нарисовать (или ото-
брать из нескольких предложенных
рисунков) такой рисунок б, чтобы
а относилось к б так же, как А от-
носится к Б*.
Решающий данную задачу обнаруживает для двух пар фигур сход-
ство отношений: объемлющая меняется местом с объемлемой (или про-
исходит перекодировка: овал внутри прямоугольника, прямоуголь-
ник внутри овала).
Результаты обобщения учащихся бывают различной сложности;
даже при выполнении простейших синтетических заданий проявляет-
ся резкая разница в силе воображения учащихся.
Например, когда шестиклассникам было предложено записать
выражение 6х2 в виде произведения двух множителей, то большинство
учащихся ограничилось тривиальными ответами: 2х • Зх; 6х2 - 1;
6 • х2; лишь некоторые учащиеся, отличающиеся от своих сверстни-
ков в большей мере комбинаторскими способностями, придумали раз-
1	3
ложения: 12х2 • —; — • 8х2; только один «ухитрился» использовать
буквенные показатели: —х* • 72х2~л; и никто не дал общей фор-
12
мулы разложения хотя бы в виде: 6х2 = [ ~х2~л) • (nxft).
\ п ]
На этом простейшем примере мы видим, какой широкий диапазон
комбинаций открывается перед учащимися, когда они получают зада-
ния по синтезу тех или иных выражений.
Пусть решена задача на среднее арифметическое:
«Смешали 3 кг сушеных яблок ценой по 60 коп. и 7 кг сушеных
груш ценой по 50 коп. Сколько стоит килограмм фруктовой смеси?»
Решение.
60 - 3 + 50 -7
3 + 7
Недостающим элементом данного укрупненного упражнения былб
бы задание составить и решить аналогичную задачу по обобщенной
формуле:
а - Л + 6  В + с - С
Л+В + С
* Интересно отметить, что дети и взрослые мало чем отличаются по успешности
решения таких логических упражнений. Примечательно то, что уже созданы про-
граммы, по которым вычислительные машины решают подобные задачи на анало-
гию.
62
В практике обучения очень часто упускают возможность самостоя-
тельного обобщения учащимися математических предложений.
Рассмотрим примеры обобщения задач, взятых из самых различных
областей математики.
1.	Пусть учащиеся V класса ознакомились с приемом устного ум-
ножения на 11:
«Чтобы умножить число на 11, надо приписать к нему нуль и за-
тем сложить его с первоначальным числом» (34 • 11 = 340 + 34=374).
При умелом руководстве учителю удается направить мысль уча-
щихся на обобщение этого правила для случаев умножения на 101,
1001 и т. д. Обобщенные правила могут сформулировать сами уча-
щиеся.
Разумеется, такая группа упражнений, полученных обобщением
исходного «затравочного» задания, образует своеобразную познава-
тельную целостность, некоторую крупную единицу усвоения.
2.	Пусть шестиклассники вывели формулу квадрата двучлена:
(а + fe)2 = д2 + 2аЬ + Ь2.
Они же выполняют много упражнений по умножению многочлена
на многочлен.
Учитель мог бы предложить учащимся вычислить (а + &4-с)х
X (а + Ь + с) и попытаться найти общее правило возведения в квад-
рат любого трехчлена:
(а + b + с)2 = а2 + Ь2 4- с2 + 2ab + 2ас + 2Ьс.
Старшие школьники освоят и «предельное обобщение» его со спе-
циальной символикой, что само по себе важно:
(П \2 п	П
2 1 = 2 -ь 2 •	2 oflj.
3.	Школьников знакомят с признаком делимости на 9 = 10 — 1.
Уместно обобщить этот признак, а именно установить признак дели-
мости на 99 = 102 — 1, 999 = 10® — 1 и вообще на числа вида 10"—1.
Число делится на 9, 99,..., 10" — 1, если соответственно сумма
чисел, содержащихся в одно-, двух-,..., л-цифровых гранях, взятых
справа налево, делится на 9, 99,..., 10" — 1. (Например, 907 092 де-
лится без остатка на 999, так как 907 + 092 = 999.)
4.	Пусть учащиеся в классе доказали неравенство:
а -|- b с УоЬ + V^bc -|- ]^са,
где а, Ь, с — положительные числа.
Решение. (УаГ— У6)2	0,
а + b 2Уа&.
Аналогично имеем:
b + с 2УЛс,
с + а > 2)/са.
63
Сложив почленно левые и правые части этих неравенств и разде-
лив обе части на 2, получим доказываемое неравенство
а + Ь + с УаЬ + Vbc + Уса.
Учитель далее ставит проблему: обобщить доказанное неравенство
на 4, 5, ...» и членов. Итак, как же составить аналогичное неравенство
с четырьмя членами?
Запишем левую часть обобщаемого неравенства: a -f- Ъ + с Ц- d.
Это сумма четырех чисел. А как записать правую часть?
Какую закономерность можно заметить в правой части неравен-
ства?
(Подкоренное выражение есть произведение двух рядом стоящих
членов левой части, взятых последовательно, а также первого с пос-
ледним.) Вероятно, таково же должно быть строение обойденного не-
равенства.
Отметим, что такое переосмысливание структуры выражения ста-
новится возможным лишь после предъявления задания составить
новое выражение, аналогичное исходному.
Итак, предположим:
a +	+ j/ofc + Kfec + j/cd Ц- УИа.
Доказательство строится аналогично:
а + Ь > 2КаЬ;
Ь 4- с 2\^Ьс,
с + d
d 4- а > 2j/da.
Сложив левые и правые части отдельно, получим обобщенное не-
равенство, являющееся плодом творчества самих учащихся. Более
смышленые из них могут пойти дальше, обобщив неравенства на п
членов:
+ Оз + —+ оЛ > КохОз + Ка2Яз + — + У <№•
В этом случае они могут применить для доказательства метод ма-
тематической индукции.
5.	На уроках геометрии учащиеся могут посредством обобщения
получить новые соотношения, а затем доказывать их.
Например, от соотношения — + — + — = —,	верного для
г
треугольника, учащийся может перейти к соотношению------1- -—|-
hj Л2
-J---1— = —, верному для тетраэдра (Ль Л2, Л8,	— соот-
^3^4	Г
ветственно высоты треугольника и тетраэдра, г — радиус вписанной
окружности, сферы) и т. д.
Докажем теорему для треугольника (рис. 19).
64
at - = 2S
af h2 = 2S
a3-h3 = 25
Qi _ 1
2S hi
Qu _ 1
2S
o3 _ 1
2S ft,,
Рис. 19
Сложив три равенства почленно, получим:
Выразим площадь треугольника через его полупериметр и радиус
вписанной окружности:
•r = S,
откуда
дя Q3____Д
2S ~ г
(П)
Приравняв правые части (I) и (II), мы получаем доказываемое
соотношение:
Доказательство теоремы для тетраэдра, основанное на аналогии
понятий («треугольник — тетраэдр», «площадь — объем» и т. п.), до-
ставляет истинное удовольствие любознательному школьнику.
6.	Пусть требуется составить квадратный трехчлен, достигающий
максимума, равного 6, в точке х = 3.
Для этого достаточно написать любое выражение вида у — 6 —
= а (х — З)2, где а < 0, г затем, если нужно, привести его к стандарт-
ному виду, раскрыв скобки.
Если бы речь шла о минимуме функции с теми же условиями, то в
том же самом выражении следует взять а > 0.
Однако задание можно обобщить на аналогичную функцию двух
(и больше) переменных (рис. 20).
Парабола
у — 6 = — 2 (х — З)2,
Ушах
при X = 3.
Параболоид
г — 6 = —2 (х — З)2 — 4(у4-2/,
^тах ==
при х = 3, у = —2.
Соответственно для минимума функции:
при х = 3.
Z — 6 = 2 (х — 3)*+ 4 (у -J-2)2,
7 • = 6
cmin —
при х = 3, у = —2-
3 Заказ №3995
65
Рис. 20
Дальнейшим обобщением данной задачи будет утверждение:
п
«Функция у — с= y\at (xt — Ь^, где at > 0, р — целое положи-
1—1
тельное число, достигает минимума у = с при xt = bp.
Нет ничего хуже, когда в таких удобных случаях учитель отни-
мает у учащихся самое интересное, а именно: опустив процесс обобще-
ния (либо взяв его на себя), предлагает учащимся снова готовое обоб-
щенное соотношение, оставляя детям лишь концовку процесса (дока-
зательство, решение).
Применению аналогии и обобщения надо учить особо, на специаль-
ных упражнениях, так же как и иным логическим операциям: индук-
ции и дедукции, анализу и синтезу*.
Нельзя думать, будто ознакомление с обобщением и аналогией
надо вести на одних лишь положительных примерах.
Напротив, в обучении важно показывать, что истинность и лож-
ность суждений идут в мышлении рядом.
Полезно сравнивать верные соотношения с неверными, имеющими
с первыми по форме внешнюю, неглубокую аналогию:
* Вопросу о месте аналогии при обучении математике посвящены наши книги
[47, 631. Весьма основательный анализ данной проблемы дан в известных работах
Д. Пойа [28, a, 6.J
66
5 • 3 = 3 • 5; но 53 =/= Зь.
ab = Ь • а, но log (ab) ф log а - log Ь,
abx = Ьах, но a sin =/= Ъ sin ах и т. Д.
Очевидно, некритическое использование аналогии может приво-
дить к ошибкам, если только забыть, что вывод, полученный по ана-
логии, необходимо завершать проверкой, доказательством.
Аналогия, хотя и вводит иногда в заблуждение, все же остается
лучшим средством, выводящим на путь истины.
Упражнения по обобщению решенных задач могут найти место пря
изучении самых разнообразных тем, в особенности на факультативных
занятиях или на занятиях кружка.
Цепь обобщений может содержать три, четыре и больше звеньев,
пока мы не достигаем конечного пункта, где утверждение сменяется
отрицанием. Приведем соответствующие примеры.
7. а) Дан прямоугольник со
сторонами 4X9- Разделить его
на 2 части такие, чтобы из них
можно было сложить квадрат
6x6. (Решение показано на
рисунке 21.)
б) Дан прямоугольник со сто-
ронами 4,5 х 8. Разделить его
на 2 части такие, чтобы из них
можно было сложить квадрат.
(Решение объяснить по рисун-
ку 22.)	1
Рис. 21
Рис. 22
Отчего же зависит число ступенек лестницы в фигурах? При ка-
ком отношении сторон исходного прямоугольника задача не имеет
решения?
в) Предлагаем читателю обобщить задачу а) на пространство.
Каково наименьшее число частей, на которые нужно разрезать прямо-
угольный параллелепипед 32 X 75 х 90 так, чтобы из них можно
было сложить куб 60 х 60 х 60?
3*
67
8. а) В ящике находятся яб-
локи двух сортов. Указать наи-
меньшее число яблок, которые
нужно вместе взять из ящика,
чтобы среди них были хотя бы
2 яблока одного сорта.
Ответ. 3 яблока.
в) Обобщим задачу, изменяя
другой параметр:
«В ящике находятся яблоки п
сортов. Требуется указать наи-
меньшее число яблок, взятых од-
новременно, чтобы среди них на-
верняка оказалось хотя бы k
яблок одного сорта».
Ответ, (k — 1) • п Ц- 1.
*
9. а) Требуется расставить
в квадрате 4 белых, 4 красных,
4 синих, и 4 желтых квадратика
так, чтобы ни в одном горизон-
тальном, вертикальном и диаго-
нальном ряду не повторялись
цвета (рис. 23).
б) Решить задачу при тех же
требованиях (чтобы в наборе ока-
залось 2 яблока одного сорта),
если в ящике имеются яблоки
трех сортов; четырех сортов; п
сортов.
Ответ. «4-1 яблоко.
г) Предлагаем читателю обоб-
щить задачу дальше:
«... чтобы среди вынутых сразу
яблок было наверняка по k яб-
лок каждого из двух сортов (чис-
ло яблок в ящике неограничен-
но)».
Не есть ли это предельное
обобщение, когда задача уже не
имеет решения?
б) Имеем 16 фигур: четыре
окружности, столько же квадра-
тов, ромбов, треугольников. Фи-
гуры одинаковой формы отлича-
ются одна от другой цветом; бе-
лая, красная, синяя, желтая.
Требуется разместить фигуры в
квадрате 4x4 так, чтобы ни в
одном из рядов не повторялись
ни форма, ни цвет фигуры.
Решение задачи сводится к
отражению матрицы самой на се-
бя от одной из диагоналей, при-
чем большими буквами мы мо-
жем закодировать один признак
(фигуры), малыми буквами —
другой признак (цвет).
в) Предлагаем решить задачу, обобщенную на три параметра.
Пусть даны 64 фигуры, различающиеся-
Ок	Кб	Рс	Тж
Тс	Рж	Кк	Об
Кж	Ос	Тб	Рк
Рб	Тк	Ож	Кс
Рис. 23
68
Рис. 24
1)	по форме: 16 прямоугольников, 16 треугольников, 16 окруж-
ностей, 16 овалов;
2)	по окраске: 16 белых, 16 красных, 16 синих, 16 желтых;
3)	по материалу: 16 картонных, 16 железных, 16 деревянных»
16 стеклянных.
Каждая фигура, таким образом, обладает тремя признаками. Тре-
буется расставить их по одной в ячейках куба 4x4x4 так, чтобы
ни в одном из трех направлений не повторялся ни один из признаков.
Задача имеет простое решение, сводящееся к наложению матриц, рас-
смотренных в задачах а), б).
10.	Метод, использованный в предыдущей задаче, может оказаться
полезным при обобщении магических квадратов. Магический квадрат
3x3, как известно, может быть обобщен как на квадраты 4 ,< 4»
5 х 5 и т. д., так и на шестиугольник (рис. 24).
Представляет также интерес построение магического куба 3 у 3 х 3»
такого, чтобы числа от 1 до 27, расположенные в его ячейках, в любом
из трех направлений давали единую сумму 42 (рис. 25)*. (Приводится
решение О. Эрдниева.)
11.	Пусть вершины многоугольника расположены в ячейках
квадратной сетки.
Предположим некоторую ли-
нейную зависимость между искомой
площадью многоугольника и чис-
лом граничных точек (Г) и внутрен-
них точек (В); иначе говоря, ищем
формулу площади в следующем
виде:
S = к • Г + у • В + г, (I)
* Магический шестиугольник был
составлен любителем Адамсом после 47-
летних стараний! Предлагаем заполнить
пропущенные числа в этом шестиугольни-
ке и кубе (постоянная сумма в этих фигу-
рах соответственно 38 н 42).
69
Рве. 26
где х, у, г — некоторые коэффици-
енты.
Чтобы определить значения пос-
ледних трех параметров, проведем
математичексий эксперимент: под-
считаем значения S, Г, В для трех
конкретных фигур (рис. 26).
Подставив эти значения в (I)f
получим систему трех уравнений
относительно х, у, z:
I5 = x-16-f-y*84-z
4 = х • 8 4- у • 1 4-z
14 = х • 18 + У • 6 + 2
Решив эту систему» находим значения параметров х, у, г и иско-
мую формулу:
5 = 0,5- ГЦ-В- 1.	(II)
Предлагаем читателю проверить формулу (II) для любых иных
многоугольников с вершинами в ячейках координатной сетки."
Хорошо, если у читателя появится желание найти обобщенную
формулу уже для многогранника, вершины которого располагаются
в ячейках кубической сетки.
Действуя по аналогии, будем искать формулу объема снова в виде
линейной зависимости:
V = x • Р + у • П + В 4-Г,
где х, у, z, t — некоторые коэффициенты, Р — число точек на ребрах
многогранника, П — число точек на плоских гранях многогранника
(но не на ребрах), В — число внутренних точек тела.
Подсчитав значения V, Р, В, П для четырех разных фигур и под-
ставив эти значения в уравнение (III), мы получим систему четырех
уравнений с четырьмя переменными. Решив последнюю систему»
мы придем к следующей формуле:

0,5 • П + В — 1.	(III)
Предлагаем читателю проверить
обобщенную формулу (III) на не-
которых простейших многогранни-
ках (рис. 27).
12.	Вспомним ряд Фибоначчи:
1, 1,2» 3, 5, 8» 13, 21, ...
(последующий член равен сумме
двух предыдущих).
Числа этого ряда позволяют по-
строить парадокс с «исчезновением!
(«появлением» лишнего) квадрати-
ка (рис. 28).
70
Рис. 28
Рис. 29
Откуда появился лишний квадратик на рисунке 28?
Ученику нелегко бывает выяснить, почему в правом прямо-
угольнике, сложенном из «тех же» четырех частей, что и левый квад-
рат, площадь неожиданно увеличилась на один квадратик (?)
Обобщим эту задачу, воспользовавшись следующим членом ряда
Фибоначчи (рис. 29).
Куда исчез один квадратик на рисунке 29?
13.	Обобщение задачи о точке Торричелли. Точкой Торричелли
многоугольника называется такая точка Т, что сумма расстояний от
нее до всех вершин многоугольника минимальна.
Доказана теорема:
Точка* из которой каждая сто-
рона треугольника видна под уг-
лом радиана* является его
точкой Торричелли.
В одной из своих книг* мы
обобщили эту теорему.
Точка* из которой каждая
грань тетраэдра видна под те-
лесным углом в л стерадиан,
является его точкой Торричелли.
* Эрдниев П. М. Сравнение и обобщение при обучении математике. Мм
Учпедгиз, 1960.
71
D
T£ABC=> T-/.BCA = TLABD-T'lDBC=7T(Cf7?epa0uaHaM)
Рис. 30
Изящное доказательство дан-
ной теоремы приведено в книге
Г. Радемахера и О. Теплиц «Чис-
ла и фигуры» (М., 1966, с. 46).
Обобщение задачи на плоскост-
ной четырехугольник тривиаль-
но (точка Торричелли совпадает
с точкой пересечения диагона-
лей).
В указанной книге мы.опи-
сали решение задачи для некото-
рых случаев тетраэдра (напри-
мер, для правильного тетраэдра).
Общая постановка задачи в
синтетической геометрии нам не-
известна (рис. 30).
14.	Если дан многоугольник, то векторы, образованные его
сторонами (и направленные последовательно), дают в сумме нуль-
вектор.
Верно и обратное.
Пусть дана, например, сумма четырех неколлинеарных векторов:
a-l-fe-j-c4-d = 0, Тогда, последовательно пристраивая эти век-
торы один к другому, получим замкнутый
. многоугольник.
jx	На основе данной зависимости также мож-
у/	но полУчить серию обобщенных задач.
L	а) Т е о р е м а. Из медиан треугольника
можно построить треугольник (рис. 31).
/1^'	Дано: АВ 4- ВС -J- СА = 0;
А В/ С или: с _j_ а __ о.
Рис. 31	Доказать: AAr BBV -f- ССг == 0.
72
Доказательство:
АА± = с + —а,
1	2
BBt = а + ~ 6,
1	2
CCi
ЛЛ14-ВВ1 + СС1=-(а + Ь + с) =--б = б.
2	2
Что и требовалось доказать.	Рис. 32
б) От каждой вершины треугольника отло-
жим на стороне или на ее продолжении последовательно третью -
(четвертую, десятую, ...» и-ю) часть этой стороны- Концы отрезков
обозначим буквами Дь Вх, С1в
Доказать: AAt 4- BBi 4- СС\ = 0.
в) Обобщить предыдущую задачу на плоский пятиугольник, сое-
диняя вершины с соответствующими точками через одну вершину
(рис. 32) (затем через две вершины).
г) Обобщить задачу на произвольный пространственный много-
угольник.
Учащийся, будучи предоставлен полету своей фантазии, может
выйти и «за пределы доступного».
Например, слишком широкие обобщения приводят к формулиров-
ке задач, не разрешимых известными им средствами. Отрицательного
в этом ничего нет, лишь бы школьник сумел отличить правильное от
неправильного, возможное от невозможного: пусть математика пред-
стает перед изумленным взором ученика не как набор давно решенных
задач, а как «живое» и вечно строящееся здание, в сооружении кото-
рого (не только для себя!) может принять посильное участие и
школьник.
Ведь нетрудно показать и пятиклассникам, как путем обобщения
французский математик Ферма загадал человечеству свою «великую
теорему».
Очевидно: 3 Ц-4 — 7.
Ясно: З* 2 4-42 = 5а.
Доказано: с? Ц- Ь2 с3.
Еще не доказано: найдутся ли такие а, 6, с, что ап 4- Ьп ==»
= или всегда ап -\-Ьп	с'1 (п — любое целое число, большее 3;
а, 6, с — натуральные).
7. ВЗАИМОСВЯЗЬ ИНДУКЦИИ И ДЕДУКЦИИ
В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
Индукция и дедукция связаны между собой столь
же необходимым образом, как синтез и анализ.
Вместо того чтобы односторонне превозносить одну
из них до небес за счет другой, надо стараться
применять каждую на своем месте, а этого можно
добиться лишь в том случае, если не упускать из
виду нх связь между собой, их взаимное дополне-
ние друг друга.
Ф. Энгельс
Индукция и дедукция представляют взаимосвязанные
логические категории, помогающие характеризовать мысль с точки
зрения ее возникновения. Как и в случае анализа и синтеза, здесь
также особо важно учитывать момент связи между этими поня-
тиями.
Индукцией называют движение мысли от частного к общему, де-
дукцией — движение мысли от общего к частному.
Для практики обучения геометрии характерна некоторая одно-
сторонность, заключающаяся в увлечении дедуктивными доказатель-
ствами теорем за счет заметного умаления роли индуктивных процес-
сов; доказательства теорем выполняются обычно по чертежам, выпол-
ненным наскоро, от руки, либо вовсе без них.
Разумеется, логически доказанное утверждение является «истиной
безупречной» в том смысле, что она не нуждается в проверке на опы-
те; в лучших канонах формальной логики осуществление логического
доказательства вообще исчерпывает учебную задачу.
Однако психологическая картина усвоения отнюдь не столь прос-
та. Генетически аксиомы и теоремы геометрии возникали в истории
мышления индуктивно, на практической почве. Ленин указывал, ак-
сиомы логики потому сейчас принимаются без доказательства, что они
миллиарды раз подтверждались в предыстории человечества.
Знания, вошедшие в сознание без должной эмпирической базы,
без необходимых визуальных подкреплений, рискуют стать недей-
ственными и непрочными, хотя и были доказаны логически безу-
пречно.
В младших (да и в средних) классах «практическая проверка» не-
которых теорем возможно более точными построениями, измерениями
и вычислениями (с последующей обработкой числовых данных соглас-
но правилам приближенных вычислений) является комплексной фор-
мой упражнений, имитирующих реальный опыт, лабораторную
работу.
Приведем примеры. Пусть доказана теорема: «Угол между двумя
секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности углов
между радиусами, проведенными в концы большей и меньшей дуг,
заключенных между сторонами угла» (рис. 33).
74
Рис. 33
ОА  0At = ОВ  0Bf
В
Рис. 34
Школьник приобретает немало полезного, «проверив» для кон-
кретных углов равенство
Выполняя это, он должен точно провести циркулем окружность,
измерить транспортиром возможно точнее величину центральных уг-
лов, найти соответствия дуг углам и т. д.
Не беда, если при числовом подсчете не будет «точного» совпаде-
ния значений левой и правой частей равенства: это даст учителю лишь
повод провести полезную беседу о точности измерений, о существен-
ном отличии практически добываемых приближенных результатов и
гипотетических суждений от истин, доказываемых с помощью рас-
суждений, как и связей между ними-
Аналогично сказанному нелишне иногда удостовериться в спра-
ведливости теоремы Пифагора (а* = Ь2 с2), произведя измерения
сторон произвольного прямоугольного треугольника с точностью до
миллиметра.
Округляя вычисленные квадраты чисел до 10, 100, показываем
еще раз сущность приближенных построений и измерений.
Ученику, ознакомившемуся с правилами умножения приближен-
ных чисел, нетрудно уже в V классе выполнить лабораторную работу
по теореме: «Если хорды окружности пересекаются, то произведение
длин их отрезков постоянно» (рис. 34).
Можно поручить восьмикласснику составить построениями на мил-
лиметровой бумаге двузначную таблицу тангенсов для углов 10°, 20°,
30°, 40°, 50°, 60°, 70°; полученные значения удобно затем сравнить с
табличными, округленными предварительно до двух знаков (рис. 35).
В IV—V классах учащиеся накапливают комплекс геометрических
знаний опытным путем, подходя к геометрии, как к физике.
В этой связи понятна особая роль индуктивного (пропедевтическо-
го) накопления важных геометрических фактов на уроках геометрии.
Так, даже учащиеся IV класса, вооружившись транспортиром и
линейкой, самостоятельно проверяют зависимость между сторонами
75
Рис. 36
и углами треугольника. В треугольнике против большей стороны
лежит больший угол (и обратно). При этом особой заботы заслужи-
вает оформление рисунков и символов.
На рисунке 36 рядом с символической записью отношений длин
отрезков составлен бланк со свободными клетками, внутри которых
записываются значения величин, полученных измерениями элементов
треугольника АВС. Так обобщенная запись подкрепляется конкрет-
ными неравенствами.
Научившись аккуратно делить угол пополам с помощью циркуля и
линейки, школьнику полезно путем построения биссектрис убедиться
в том, что три биссектрисы треугольника действительно пересекаются
в одной точке. Такую работу выгодно проводить в V классе, до начала
систематического курса геометрии. Проводя пропедевтику «замеча-
тельных точек треугольника», не забудем того, что гимназист Эйн-
штейн удивлялся тому факту, что три высоты треугольника пересе-
каются в одной точке.
£M=LN=LK=60°
Рис. 37
Мы видим, что индуктивная под-
готовка теорем приносит школь-
нику чувство восторга, восхище-
ния красивыми, неожиданными со-
отношениями, в которых нетрудно
убедиться с помощью циркуля и
линейки (или перегибанием листа
бумаги).
При умелом проведении такой
беседы факт этот выглядит для
школьника поистине интригующим!
Теорема Морлея (обобщение
предыдущей теоремы), по-видимо-
му, была обнаружена индуктивным
путем (рис. 37):
«Точки пересечения трисектрис
внутренних или внешних углов
треугольника являются вершина-
ми правильного треугольника».
76
Многие считают эту теорему са-
мой красивой теоремой современной
элементарной геометрии.
На занятиях математического
кружка рассмотрение ряда занима-
тельных задач удобно начинать, с
того, что сначала (возможно, более
точным построением) убеждаются
в вероятной правильности форми-
рующегося высказывания; следую-
щий за этим шаг — поиск логиче-
ского доказательства —вызывает у
человека уже спортивный инте-
рес!
Вот еще одна задача, поража-
ющая неожиданностью результата
даже зрелое мышление.
На двух произвольных прямых
взято также произвольно по три
точки (Л, В» Си А19 Bi, Ci) (рис.
38).
Находим две точки пересечения
пар прямых:
X = АВХ П ВЛь
Y = ВС. П СВЬ
Проводим прямую XV.
Удивительный результат: точка
пересечения третьей пары прямых
(Z = A Ci f] СЛ1) оказывается на
той же прямой ХУ1
Так можно ознакомить школь-
ника с основной теоремой проек-
тивной геометрии, открытой и до-
казанной Паскалем в 14-летнем
возрасте.
Поистине жаль, что эта теорема
до сих пор не включена даже в
программы математического факу-
Рис. 38
льтета университета, хотя интуити-
вно в ее истинности может убедиться даже третьеклассник с по-
мощью одной линейки (!!).
Аналогичными построениями можно обнаружить справедливость
этой теоремы и применительно к окружности.
Такой прием убеждает быстро и зримо в том, что «пара прямых»
есть частный случай кривой второго порядка, как и окружность
(рис. 39). Парадоксальное для школьника родство «кривой и
прямой».
77
В геометрии выводится условие
перпендикулярности двух векто-
ров: «Если скалярное произведение
двух ненулевых векторов равно
нулю, то они взаимно перпендику-
лярны (и наоборот)».
Психологически оправдано со-
проводить эту теорему несложной
конструктивной работой.
Пусть дан вектор а — ( 3 ).
\ 4 /
Требуется подобрать такие ко-
ординаты вектора Ь, чтобы векторы
а и b были взаимно, перпенди-
кулярны.
Пусть 1)=( 6 ) (одна координата
\У/
второго вектора — абсцисса 6
намечена нами произвольно).
Решение, a _L b
-	4
а • b = 3 • 6 4- 4 • у = О
Из последнего уравнения нахо-
дим искомую ординату второго век-
тора: 18 -f- 4у = 0; у = —4,5.
Итак, второй вектор определен:
( 6 I
I-4,5/
ри	Остается теперь убедиться пост-
°	роением: нелишне все-таки увидеть
«перпендикулярность наяву», неже-
ли ограничиваться одними вычислениями, что так распространено в об-
щепринятой практике (рис. 40).
«В математике есть нечто, вызывающее человеческий восторг!»
(Хаусдорф).
Удивительное — рядом всюду, в частности и в математике. «В ма-
тематике важнее всего способ преподавания» (Н. И. Лобачевский).
Ценное чувство удивления можно вызвать даже у учащихся млад-
ших классов, сообщая им суждения, содержание которых несложно
пояснить на примерах, хотя логически доказывать их еще рано.
В системе математических знаний учащихся должны быть не одни
только доказанные истины: пусть там находят свое место незавершен-
ное, гипотетическое, постоянно будирующее ум ученика.
Такова, например, теорема Эйлера, выражающая топологическое
свойство выпуклых многогранников*.
• Психологами обнаружено, что некоторые топологические свойства простран*
ства усваиваются детьми лучше, чем метрические.
78
В+Г=Р+2
4+±~б+2
«Сумма числа вершин (В) и числа граней (Г) на 2 больше числа
ребер (Р) выпуклого многогранника: В Г = Р + 2».
Справедливость теоремы легко устанавливается прямым подсчетом
элементов любого многогранника (рис. 41).
В школьную программу эта теорема не входит; она также есть
пример загадочной изюминки, которая так возбуждает интерес детей
к математике: соотношение простое, а представить его справедливость
для всех мыслимых многогранников трудно!
Далее. Научив строить касательную к окружности, возможно
проверять построением свойства описанного и вписанного четырех-
угольников:
В OI1HCaHHO2L четырехугольнике суммы противоположных
вписанном
равны-
Обучение в школе алгебре, в противовес геометрии, в
мере страдает, напротив, недостатком дедуктивных рассуждений, ко-
торый целесообразно восполнять практикой решения задач на дока-
сторон
углов
известной
зательство.
Пусть предложена задача:
а)	Доказать, что произведение двух последовательных натуральных
чисел всегда делится на 2.
В самом деле, одно из этих чисел — либо предыдущее, либо по-
следующее — четно. Следовательно, и произведение четно.
Что же получится, если взять произведение трех последователь-
ных чисел? Заметим: 1 • 2 • 3 « 3! — 6. '
Удобно идти индуктивным путем, т. е. провести вначале несколько
«контрольных опытов» (математический эксперимент):
1 -2-3 = 6 (делится на 6);
2 • 3 • 4 = 24 (тем более делится на 6);
3.4 • 5 = 60 (то же самое!).
6:6=1.
24 : 6 = 4.
60:6= 10.
б)	Формулируем гипотезу:
«Произведение любых трех последовательных натуральных чисел
делится на 6».
А затем ищем дедуктивное доказательство. Приведем его.
Возможны всего три случая:*
D Первое число кратно 3, тогда из двух последующих одно обя-
зательно четное. Значит, произведение кратно 6-
2) Последнее число кратно 3. тогда из двух предыдущих одно
четное.
3) Среднее число кратно 3.
Итак, имеем:
(3k _ 1) • 3k (3k + 1) = 3 • k • (9Л2 — 1).
Далее возможны два подслучая:
За) k 2р. Теорема доказана.
36) Л 2р + 1.
Имеем:
(9Л2 — 1) • 3k = 3 • [9 (2р + I)8 — 1] • (2р + 1).
Множитель в квадратных скобках — четное число.
Теорема доказана полностью.
в) Обобщим решенную задачу на произведение четырех последова-
тельных чисел.
Чему оно кратно?
Заметим: 2! = 2; 3! = 6; 4! == 24.
Но не зря говорят: знаки умнее нас!
Так мы приходим к теореме: «Произведение п последовательных
чисел кратно п-факториалу (п!). (Предлагаем доказать эту теорему
методом математической индукции.)
Полезно научить учащихся доходить индуктивным* путем до пре-
дельного обобщения или доводить до гипотезы, разрешить которую
они пусть пока не в силах. Знать свой «потолок» всегда полезно: при-
ходит желание повысить его.
В беседах учителя, в работе кружков многие проблемы теории чи-
сел могут стать также предметом индуктивной «обработки».
Вот проблема: «Между натуральными числами п и 2п содержится
хотя бы одно простое число» (n 1).
Проверяем последовательно:
между 2 и 4 есть простое число 3;
между 3 и 6 есть простое число 5;
между 30 и 60 есть простое число 31;
между (2100 4- 1) и 2 • (2100	1) тоже должно быть хотя бы одно
простое число!
Утверждение в общем виде доказать отнюдь не легко.
Из предыдущего изложения мы видим: индукция всюду там, где
совершается обобщение математического суждения.
* Этот перебор всех возможных случаев называется в логике индукцией про-
стым перечислением (или несовершенной индукцией).
80
8. СОЕДИНЕНИЕ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА
КАК УСЛОВИЕ ГИБКОСТИ И ПРОЧНОСТИ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ /
... Анализ, который приводит нас к продуктам,
утратившим свойства, присущие целому, ... не
является с точки зрения той проблемы, к решению
которой он прилагается, анализом в собственном
смысле этого слова.
... Более того, непланомерно применяемый психо-
логией анализ этого рода приводит к глубоким
заблуждениям, игнорируя момент единства и целост-
ности изучаемого процесса и заменяя внутренние
отношения единства и целостности изучаемого
процесса внешними механическими отношениями
двух разнородных и чуждых друг другу процессов.
Л. С. Выготский
Проблема анализа и синтеза —одна из стержневых
проблем теории познания, психологии, а потому и дидактики.
В предыдущем изложении мы не раз убеждались в том, что в со-
временной методике обучения, унаследовавшей принципы от прошед-
шей эпохи, господствует почти безраздельно аналитизм.
Это явление не случайное. Оно имеет исторические причины.
В XVII—XVIII вв. химики изучали преимущественно свойства
отдельных классов веществ, изолированных элементов, а физики изу-
чали механические явления отдельно от тепловых (последние, в свою
очередь, — обособленно от электромагнитных явлений) и т. п.
Однако, как указывает ак#д. Б. М- Кедров, именно с той поры
метод аналитического разложения предмета исследования на части
был односторонне закреплен и возведен в «единственную и конечную
цель всего научного познания вообще»*.
Эта ограниченная в своих истоках методологическая тенденция
не могла не отразиться на методах обучения, созданных педагогами,
сынами своей эпохи, в период становления классно-урочной системы
обучения.
В традиционной педагогике понятия «анализ» и «синтез» рассмат-
риваются, по существу, рядоположно, одно подле и после другого; в
привычной формуле «анализ и .синтез» союзу «и» придается большей
частью разделительный смысл.
Многие, по существу, исходят из того представления, будто бы
аналитическому и синтетическому методам познания можно научить,
не изменяя радикально структуры самих упражнений.
Однако, по словам В. И- Ленина, «это вовсе не «дело нашего про-
извола», применять ли аналитический или синтетической метод (как
обычно говорят) —это зависит «от формы самого подлежащего позна-
нию предмета» [1, с. 225].
* Кедров Б. М. О марксистской истории естествознания. М., Знание,
1968, с. 41.
81
* Иначе говоря, недостаточно всего лишь ратовать за «соединение
анализа и синтеза», а необходимо включить в учебники такие упраж-
нения, чтобы их выполнение требовало совокупного применения ана-
литических и синтетических ходов мысли.
В методической литературе детально разработаны в отдельности
так называемые аналитический и синтетический способы решения
задач, аналитические и синтетические доказательства теорем, но, к
сожалению, без достаточного раскрытия теснейшего переплетения и
взаимопроникновения этих методов в реальном думании.
Прописной истиной считается утверждение, что любая мыслитель-
ная операция человека аналитическая и синтетическая одновременно.
Скажем, произнесение каждой фразы, безусловно, связано с «ана-
лизом» мозговыми механизмами словарного запаса*в целях отбора
нужных слов, чтобы затем выдать отобранные слова во внешней речи
в должной последовательности; однако говорение уже есть синтез
«отобранных» слов в структурно-высшую смысловую единицу — пред-
ложение.
Такая популярная трактовка проблемы «анализа —синтеза»
схватывает лишь внешнюю, не главную сторону дела.
Она противоречива в том смысле, что подразумеваемые тут анализ
н синтез—разнопорядковые; если тут анализом «добываются» от-
дельные слова, то синтезируется нечто более сложное — целая фра-
за»*. Между тем важно, чтобы оба метода были приложены к общему
объекту (скажем, задача и решалась бы и составлялась!).
Связь между этими основными познавательными процессами можно
уввдеть при условии, когда от формулы «анализ и синтез» переходим
к психологической формуле «анализ через синтез» (С. Л. Рубинштейн)
или, еще лучше, к циклической трехчленной формуле «анализ —син-
тез — анализ».
Из последней формулы следует необходимость акцента на перехо-
ды от одаопГпроцесса к другому или, что то же самое, целесообраз-
ность сознательного сравнения этих во многом противоположных про-
цессов, полезность даже наложения, слияния, намеренного «столкно-
iK-ния» анализа с синтезом.
Чтобы убедиться в познавательном значении двусторонних пере-
ходов «анализ синтез», начнем с рассмотрения процессов решения
и составления уравнения.
Решение уравнения
(уравнение корни)
Приведем пример.
Требуется решить логариф-
мическое уравнение:
1g (2 (х + 1))
3)
- 2.	(А)
Составление
уравнения
(корни -► уравнение)
Пусть предложено учащимся
составить аналогичное уравнение,
имеющее, скажем, корень х = 5.
Внимательный анализ хода ре-
шения уравнения (А) и проверки
82
Уравнение имеет смысл при
1g (2 (х + 1)) = 21g (х - 3),
2х + 2 = (х — З)2,
2х + 2 = X® — 6х 4* 9,
х2 — 8х + 7 = О,
xt = 7, хг = 1.
Проверка (корня *1=7)
1g (2 (7+ 1))
1g 16
ig£
lg4
2 = 2.
x2 — 1 < 3 не удовлетворя-
ет уравнению (при этом значе-
нии переменной знаменатель не
существует). Уравнение имеет
один корень: хх = 7.	,
корня Хх = 7 позволяет осуще-
ствить противоположный пере-
ход «тождество — уравнение»,
например:
21g 6	9
lg6
1g 36	9
lg6
Введем в числитель и знамена-
тель число 5 (значение будущей
неизвестной х):
lg(4.5+16)	2
lg(2-5—4)
Наконец, составим искомое урав-
нение, заменив 5 буквой х:
lg(4x+16) _2
lg(2x —4)
При желании форму получен-
ного уравнения можно услож-
нить и дальше:
|g 4 + 1g (х ±4) = 2 Б.
1g 2 + lg (х - 2)
Решая составленное уравнение
(Б), ученик получит намеченный
заранее корень х = 5.
Нетрудно видеть, что «соединение анализа и синтеза» до-
стигается при работе над таким двойственным заданием (составление -f-
+ решение составленного).
Напротив, решая даже сотню готовых (хотя и различных, но одно-
типных) уравнений из задачника, ученик ни на йоту не продвигается
в направлении познания путей синтеза уравнений, ибо природа мате-
матических упражнений такова, что возрастание количества одно-
образных упражнений не приводит само по себе к качественному обо-
гащению логических приемов мышления.
Примечательно следующее.
Один из наших оппонентов-методистов спрашивал: зачем же еще
составлять уравнения, если в задачниках их имеется достаточный на-
бор для того, чтобы можно было «выбрать» для работы в классе на
любой вкус и решать их. Однако что же интереснее: решить, скажем,
четыре однотипных готовых уравнения или решить одно такое урав-
нение да еще самому составить и решить похожее уравнение?
(В смысле качественного приращения ума второй вариант занятий
несравненно предпочтительнее в силу наличия синтетических ходов
мысли в выполнении конструктивного задания вообще.
Наиболее простой способ составления уравнений — это осуществ-
ление перехода от соответствующего тождества к уравнению, напри-
мер:
а)	составление квадратного уравнения:
(б2 + 3 • 5 — 40 = 0) -> (х2 + Зх — 40 = 0)
(при решении составленного так уравнения один из корней будет 5,
второй корень становится известным лишь после решения этого урав-
нения);
6)	составление системы двух линейных уравнений с двумя перемен-
ными:
5 + 3-2 = 11 (х + Зу = 11
6 • 5 — 10 • 2 = 10	}6х — 10у == 10
(решив систему, мы приходим к намеченному заранее единственному
решению: х = 5; у = 2);
в)	составление системы двух уравнений, из которых одно второй
степени:
f 52 + 3 • 2 = 31	(х2 + Зу = 31
(6 • 5 — 10 - 2 = 10	(6х— 10у = 10
(решив составленную систему, находим два ее решения, одно из кото-
рых заранее было намечено:
-Ч = 5, >1 = 2;
xs = □, у2 = □).
При всей простоте описанного приема составления (тождество по-
рождает уравнение!) эти упражнения открывают школьнику неизве-
данный мир представлений, поскольку он выступает в роли «творца».
Мы выше рассматривали лишь простейшие приемы составления
уравнений. Однако эти приемы позволяют получать задания достаточ-
ной сложности (впору для математических кружков и экзаменацион>
ных тестов!).
В «Комсомольской правде» от 2 марта 1963 года в конкурсе для
выпускников предлагалось решить уравнение с параметром:
(х2 — а)2 — 6х2 + 4х + 2а = 0.	(1)
Один из способов решения данного уравнения заключается в том,
что сначала его рассматривают как квадратное, но относительно пара-
метра а:
х? — 2ах2 + а2 — 6х2 + 4х + 2а = 0;
о2 — 2 (х2 — 1) д + X4 — бх2 + 4х = 0;
= х2 — 1 ± J^x4 — 2х2 + 1 — х4 + 6х2 — 4х;
а == л2 — 1 ± К4х2 — 4х + I;	(2)
= х2 ~ 1 ± (2х — 1).	(3)
Таким образом, уравнение (1) распадается на два квадратных
уравнения относительно х:
х2+2х — а—2=0;	(4)
х2 — 2х — а = 0.	(5)
64
Решив (4) й (5), получим четыре корня исходного уравнения:
х1>2 = —1 ± Уа + 3;
х8>4 = 1 ± Va + 1.
Ответ. Уравнение (1) имеет:
1)	четыре действительных корня х19 х2, х8, х4 при а > — 1;
2)	два действительных корня х19 х2 при —3 < а < —1;
3)	три корня при а = —1;
4)	один корень при а = —3;
5)	не имеет действительных корней при а < —3.
На занятиях в кружке интересно рассмотреть вопрос о составлении
уравнения вида (1), т. е. решаемого тем же приемом.
Рассматривая этапы решений уравнения (1) с конца, мы увидим,
что следует начинать с составления выражения вида (3), например:
fe12 = x2 + 2 ± (Зх — 1).	(ГН)
Далее записываем два квадратных уравнения с параметром Ь:
х2 + Зх — Ь + 1 = 0;
х2 — Зх — Ь + 3 = 0.
Перемножив левые части этих уравнений, получим’уравнение чет-
вертой степени относительно х:
х4 — (5 + 2Ь)х2 + 6х + ft2 — 4Ь + 3 = 0,
или
(х2 — Ь)2 — 5х2 + 6х — 4fe + 3 = 0.	(IV)
Уравнение (IV) по сложности вполне «олимпиадного» вида, и оно
решается тем же приемом, что и уравнение (1).
Составление уравнений специальных видов тем еще полезно, что
при этом используется метод неопределенных коэффициентов, о кото-
ром мы не раз говорили выше.
(Понятие «Метод неопределенных коэффициентов» должно быть
упомянуто хотя бы в объяснительной записке к школьным програм-
мам.)
Составим, например, иррациональное уравнение, приводящееся
к квадратному, когда задан, например, лишь один из возможных
корней (пусть Xi = 5).
Подобное задание можно выполнить так:
4	-3	=1;
К16	— V9-	= 1;
F3. 5 + 1 — К5 + 4	= 1;
КЗх +1	— Ух + 4	== I.
Решив последнее уравнение, найдем два числа, одно из которых
обязательно будет намеченным корнем 6^ = 5).
Пусть далее требуется составить иррациональное уравнение вида
Усх + + Vex + d = 6,	(А)
которому удовлетворяли бы два заданных корня х± = 1, х2 =2.
85
Введем новые параметры*:
Va* + b = u; Vex + d =v9
причем наметим:
(VaXi + b = Ui = 4
I ax2—|— b —- u2 —— 5
Vcx± + d =	= 2 (Ui +=6)
+ d = v2 = 1 (u2 + v2 = 6)
Составим две системы уравнений:
а*! + b = 16 = ui	text + d = 4 = и?
ax2 J- b = 25 = ul	\cx2 + d == 1 = v2
Подставив в данные системы значения корней хг = 1, х2 «= 2,
получаем две системы линейных уравнений, каждая с двумя перемен-
ными:
(а • 1 + b = 16 (с • 1	= 4
(а • 2 4- Ь = 25 (с • 2 + d = 1
Решив эти системы, получаем искомые значения четырех парамет-
ров:
(а = 9 (с = —3
\Ь = 7 [d = 7	(Б)
Подставив значения (Б) в уравнение (А), мы получаем искомое
иррациональное уравнение, обладающее двумя корнями (л^ = 1,
х2 = 2):
у 9x4-7 4- У—Зх + 7 = 6.	(В)
Пусть теперь требуется составить уравнение вида (А) такое, чтобы
решение его завершилось получением квадратного уравнения с кор-
нями хх== 1, х2 = 2, но чтобы оба эти значения уже не удовлетворяли
исходному уравнению (А).
Поступим так:
В составим уравнение (В), имеющее это решение;
2) составим сопряженное ему уравнение:
У 9x4- 7 — Зх 4- 7 = 6.	(Г)
Уравнение (Г) уже не имеет ни одного решения, ибо оба получен-
ных при его решении значения неизвестного (xi = 1, х2 = 2) не удов-
летворяют данному уравнению (Г), поскольку они удовлетворяют со-
пряженному уравнению (В).
Подход со стороны «соединения анализа и синтеза» к одному и
тому же предмету познания приобретает первостепенное значение и
при работе над теоремами или задачами на доказательство.
• О психологической сложности этой задачи, вызванной, в сущности, только
необычностью для школы (в том числе и для учителей) синтетических приемов рас-
суждений, можно судить по тому, что она была опубликована нами в журнале «Ма-
тематика в школе» в качестве конкурсной (условие задачи — №6 за!960 г., решение—
Ns 3 за 1961 г.).
86
Рассмотрим простейший пример.
Пусть требуется доказать неравенство: среднее арифметическое
двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического.
Особенно поучительно дока-
зательство, которое именуется в
логике аналитическим. Исходим
из того, что данное высказывание
истинно. Идя сверху вниз
(против направления стрелок), мы
осуществляем анализ доказа-
тельства
(I Ч- II ч- III Ч- IV Ч- V),
перебираясь каждый раз от за-
ключения силлогизма к его ос-
нованию (чтобы доказать (I), надо
сначала доказать (II) и т. д.).
Иначе говоря, мы создаем здесь
цепь необходимых условий: каж-
дое верхнее суждение есть необ-
ходимое условие' для нижнего.
Анализ	'
Теперь остается дидактически
завершить процесс — от анализа
перейти к синтезу; учащийся ве-
дет рассу>вдение снизу вверх,
нанизывая последовательно цепь
достаточных условий (от основа-
ния к заключению). Вот вторая
половина рассуждения (читать
снизу вверх (от V к I), по на-
правлению стрелок).
Синтез
(читай сверху вниз)
Требуется доказать:
(1 -> II) Возведем обе
части в квадрат и за-
тем умножим их на 4:
(а
4- fc)2 > tab
(I)
(ID
(читай снизу вверх)
Неравенство доказано.
(II -* I) Разделим обе
части на 4 и извле-
чем квадратные корни.
(II —III) Раскроем
скобки в левой части:
Перене-
в левую
Предста-
a*—2ab+b2^0
It
(III IV)
сем 4 ab
часть:
(IV^V)
вим левую часть в
виде квадрата раз-
ности:
А последнее выраже-
ние есть истинное
суждение:	квадрат
любого числа неот-
рицателен.
(a— fe)2>0
(П1)
(IV)
(V)
(III II) Предста-
вим левую часть в ви-
де квадрата суммы.
(IV —*-111) Прибавим
к обеим частям по
4аЬ.
(V IV) Раскроем
скобки в левой части.
(V) Напишем нера-
венство, верное для
любых действитель-
ных чисел.
Сравнение двух путей рассуждения уже тем полезно, что в них
встречаются взаимно обратные операции, например: если при анализе
возводим в квадрат, то при синтезе мы извлекаем квадратные корни
87
из обеих частей; если в первом случае мы вычитаем по 4аЬ, то во
втором случае прибавляем по 4аЬ к обеим частям неравенства, и т. д.
Эти противоположные рассуждения ценны сами по себе для логи-
ческой тренировки учащихся.
Итак, в данной задаче мы убедились в преимуществах выполне-
ния замкнутого цикла переходов: (I) -> (V)	(I).
4 Выясним, в чем же психологические достоинства осуществленного
нами слева аналитического доказательства неравенства.
Аналитическое
доказательство
°-±^ > /я	(I)
t
(Ч^)2 >оЬ	(П)
Здесь есть от чего оттолкнуть-
ся (отправляемся от доказывае-
мого), есть связь между доказы-
ваемым суждением (I) и началом
доказательства (II).
Суждение (II) не нужно «по-
мнить, его можно вывести из (I).
Формально-логически этот путь
кажется «сложнее», психологиче-
ски же он оказывается проще.
Увы, на практике учитель пред-
почитает излагать готовое син-
тетическое доказательство, при-
веденное справа.
Синтетическое
доказательство
a-±*^VSb (I)
(а — Ь)8 >0	(V)
Здесь нет записи начала мыс-
ли. Нет связи между доказывае-
мым (I) и началом синтетическо-
го доказательства (V).
Велик промежуток между дан-
ным суждением (I) и долженст-
вующим (V). Суждение (V) надо
во что бы то ни стало запомнить,
иначе нам не с чего начинать
доказательство. Формально-ло-
гически этот путь выглядит
?проще», но психологически про-
стота оказалась обманчивой.
Суждение (V) не связано непо-
средственно с (I), и дети часто
забывают его.
Одним из характерных недостатков обучения геометрии также ос-
тается односторонность «логической обработки» теорем: в подавляю-
щем большинстве случаев учитель сообщает готовое доказательство,
изложенное в учебнике; анализ, поиски доказательства не излагаются
ни в одном учебнике геометрии, и потому, естественно, учитель об-
ходит этот «каверзный» этап работы над теоремей-
Между тем здесь верно правило: лучше доказать одну теорему, по-
тратив специально время на проведение анализа доказательства, т. е.
поиска путей доказательства, чем обучить за то же время готовым
синтетическим доказательствам двух различных теорем.
Доказательства теорем, приведенные в учебниках геометрии, ока-
зываются не всегда удобными с точки зрения проведения анализа.
Говоря по-другому, правильно проведенный анализ зачастую по-
зволяет найти более прозрачное доказательство, чем приведенное в
том или ином учебнике.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу на доказатель-
ство: «Если] две стороны одного треугольника равны двум сторонам
38	?
другого треугольника, то Против
большего угла, заключенного меж-
ду ними, лежит большая сторона».
Дано: АВ = АхВ^ АС—А&й
Z— ВАС > X ВХАХС1.
Доказать:	ВС
(рис. 42).
Доказательство (1-й
способ).
Переместим А АхВ^ на А АВС
так, чтобы совпали равные сто-
роны (АС = /41CJ.
А ОАВ ~ АОАВХ, откуда ВО ~ В±О-
последовательно:
Проведем АО — биссектрису /LBABX.
Рис. 42
Имеем:
Из треугольника ОВ^С> имеем
ОС+ОВХ> В&
ОС + ОВ> ВгС\
ВС > ВА.
Доказательство (2-й способ).
Проведем сначала анализ условия и поищем другой путь доказа-
тельства теоремы. Наложим А AiBiCx на А АВС так, чтобысовпали
равные стороны: АС — AjC^
Анализ (рис. 43).
1.	Надо доказать, что BOBiC. В каких случаях один отрезом
бывает больше по длине другого отрезка?
2.	Чтобы сравнить длины отрезков, удобно рассмотреть треуголь-
ник, сторонами которого являются сравниваемые отрезки (А ВВХС).
Рис. 44
89
3.	При каком условии в треугольнике одна сторона бывает больше
другой стороны? (При условии, когда эта сторона лежит против боль-
шего угла.)
4.	Сторона ВС лежит против угла ВВ^С, сторона СВГ лежит про-
тив угла BtBC. Значит, надо предварительно'доказать следующее:
В±ВС < ZL. ВВ£.
5.	равнобедренный, так как АВ = ЛВХ. Поэтому
АВВ± = 2» ABiB =
21 ВВхС = 21 1 + 21 ДВхС;
21 ВХВС = 21 1 — 21ЛВС.
Сравним правые части последних двух равенств:
211 + 21 ДВ1С >1—21 две, или 21 ВВуС > Л BtBC.
Доказательство
ВС > В£ = ВХСХ
cn
X
CI
CD
X
t
A CBtB > СВВг
t
Z. ABfi +Z.4 >Z_ ABiB-r-Л. 3
t
Z_ABBi = Z_ABiB = £_\
AB = ДВд
CD
Ф
X
После этого учащемуся нетрудно провести рассуждения в обратной
последовательности, т. е. осуществить синтетическое доказательство.
Противоположность аналитического и синтетического ходов мысли
в одном рассуждении удобно изобразить на одной схеме (на одном
рисунке).
В одной цепи рассуждений, двигаясь сверху вниз (против направ-
ления стрелок), мы осуществляем анализ, поиск доказательства; под-
нимаясь снизу вверх (по направлению стрелки), мы осуществляем
логическое завершение найденного анализом хода доказательства (де-
дуктивное доказательство).
В практике обучения часто ограничиваются однонаправленным
процессом — повторением и заучиванием готового синтетического
доказательства теоремы по учебникам.
Между тем наиболее ценный развивающий элемент заключается
именно в той части, когда мы ведем мысль ученика по замкнутому
пути (по циклу), завершая анализ синтезом.
90
Преимущества описанного подхода выступают, не только в методи-
ке упражнений, в доказательствах (кай мы это видели), но и при реше-
нии структурных вопросов программы.
Так, в нашем эксперименте оказалось выгодным и доступным д.1Я
учащихся сочетать векторный подход с координатным, т. е. вводить
понятие вектора одновременно с понятием координаты точки уже в V
классе.
Такая ранняя пропедевтика понятия «вектор» облегчает последую-
щее подробное изучение теории векторов в старших классах (рис. 44).
Предельно обобщенное геометрическое понятие вектора (вектор
как направленный отрезок) получает столь необходимую конкретиза-
цию через его характеристику в числах. Это позволяет обращаться с
векторами как с' числами, находя их точные суммы, точное произве-
дение вектора на число и т. п.'
Так еще раз подтверждается значимость великой идеи Декарта,
объединившей «число и точку» («алгебру с геометрией»); к тому же здесь
лучшим образом восстанавливается связь исторического и логическо-
го: понятие «вектор» (XIX век) возникло двумя веками позже поня-
тия «координата» (XVII) и оно не может успешно работать, если си-
стематически и с самого начала не основывается в соответствии с исто-
рией вопроса на оперировании с координатами (числами).
9. ИНФОРМАЦИОННЫЙ АСПЕКТ УКРУПНЕНИЯ
ЕДИНИЦ УСВОЕНИЯ ЗНАНИЙ. ФЕНОМЕН
СВЕРХСИМВОЛА
... Треугольник более не рассматривается в себе и
сам по себе, а берется в связи с некоторой другой
фигурой — кругом.
Это развитие тригонометрии из синтетической гео-
метрии является хорошим примером диалектики,
рассматривающей вещи не в их изолированности,
а в их взаимной связи.
Ф. Энгельс
Существует простой физический опыт, иллюстрирую-
щий процесс уплотнения в расположении молекул: если к 1 л воды
прилить 1 л спирта, то в итоге образуется раствор объемом менее
двух литров.
91
Еще более выразителен пример из химии: если 1 л водорода со-
единить с 1 л хлора, то образуется снова 1 л газа — хлористого
водорода: каждая молекула нового газа состоит из пары молекул
газов, вступивших в реакцию.
Приведенные грубые аналогии показывают своеобразие процесса
возрастания «информативного веса» каждого элементарного носителя
сообщений (знака, символа, слова, фразы, раздела), имеющего место
при обучении методом укрупнения.
В теории информации доказано существование оптимального (са-
мого экономного) кода для передачи тех или иных сообщений опреде-
ленной природы*.
Указанная закономерность имеет и теоретическое значение при
решении вопросов об экономной коммуникации информации вообще.
Обратим здесь внимание на тот важный момент, что резкого умень-
шения числа символов при сохранении содержания сообщения удается
достичь там, где вероятность появления элементарных носителей ин-
формации неодинакова.
Таковы человеческие языки.
Слишком избыточна существующая практика обучения с фетиши-
зацией лозунга «повторение — мать учения»**.
Найдено, что эволюция языков идет по линии уменьшения их из-
быточности, увеличения информативной емкости единиц сообщения
(тенденция к сокращению слов в современном английском языке и
т. п.).
Разумеется, информационный подход есть лишь один из приемов
анализа процесса обучения, так как не всякая информация есть зна-
ние, но всякое знание является информацией.
Важнейшей заслугой кибернетики как нового научного направле-
ния надо признать установление ею громадной роли обратных связей
для устойчивости процессов управления, к которым относится,'в ча-
стности, и процесс обучения.
Понятие «обратная связь» превращается в настоящее время из уз-
коспециального кибернетического в общенаучное понятие, в новую
философскую категорию.
Содержание данного понятия существенно меняется, как только
оно прилагается к сфере той или иной конкретной науки.
Например, обратная связь в физиологических процессах, обратная
связь в психологических явлениях или обратная связь в технических
системах имеют лишь тот формально общий момент, что в них поток
информации носит характер, в чем-то противоположный движению
информации в предшествовавшем процессе.
Способы же передачи и переработки информации в приведенных
* Математик Клод Шенной нашел общее решение этой задачи, доказав теорему,
легшую в основу теории информации.
Результат Шеннона был назван специалистами сверхъестественным (Пирс
Дж. Сигналы. Символы. Шумы. М., Мир, 1967, с. 186).
** Есть основания верить преобразованной сентенции: «Преобразование— мать
учения»!
92
примерах, ее кодировки и перекодировки — да и характер и слож-
ность самих обратных связей — оказываются сугубо различными
|27].
Обратная связь в физиологических процессах исследовалась раньше
других школой И. П. Павлова.
Согласно результатам акад. П. К. Анохина, ученика И. П. Пав-
лова, осуществление организмом какого бы тони было действия (в том
числе и психического) возможно лишь на основе непрерывной сигна-
лизации в головной мозг о процессе выполнения как бы заранее
запрограммированных в головном мозге последовательностей опера-
ций [5].
Простейшая схема процесса с отрицательной обратной связью та-
кова (рис. 45).
Под ячейками А и В здесь подразумеваются любые искусственные
или живые органы переработки информации.
Информация, попавшая в ячейку А, подвергается переработке
(или перекодированию) и затем передается в ячейку В. После ячейки
В информация не идет сразу на выход, а снова возвращается в ячейку
А, где имеется некоторый аппарат сравнения, сопоставления проме-
жуточных результатов с соответствующими показателями.
Под эту абстрактную схему проявления обратных связей можно
подвести, в частности, и операции, связанные с проверкой ответа пря-
мой задачи решением обратной задачи (например, проверку сложения
вычитанием и наоборот, умножения делением и наоборот; интегри-
рования дифференцированием и наоборот и т. д.).
Рациональная “методическая система должна облегчать проявление
обратных связей в процессах мышления, т. е. в процессах переработ-
ки информации.
Там, где облегчается возникновение обратных связей и где дости-
гается возможно большее разнообразие этих связей (такие условия
создаются при совместном изучении взаимно обратных действий, т. е.
при укрупнении единиц усвоения), общее количество информации в
системе не теряется (не уменьшается), но имеет возможность накапли-
ваться (увеличиваться), поскольку при этом «проходящая» информа-
ция превращается в «связанную» информацию, становящуюся при-
обретением долговременной памяти [27].
Приведенная выше схема процесса с обратной связью позволяет
обнаружить некоторые существенные особенности выполнения так
называемых деформированных упражнений вида □ а3 = а8, кото-
рые решаются первоначально, вероятно, серией проб, подбором про-
пущенного элемента.
Особенности решения такого деформированного задания Присущи
Рис. 45
98
вообще работе над любым упражнением, полученным из обычного
обращением, т. ,е. исключением одного из элементов упражнения (и
превращением этого элемента в искомый) и включением ответа исход-
ного упражнения в условие нового преобразованного задания.
Хронометрические измерения, проведенные нами, говорят о том,
что на решение деформированного упражнения в среднем тратится
времени в 1,5 раза больше, чем при решении обычного упражнения.
Можно полагать, что в первом случае перерабатывается и пропорцио-
нально больше информации.
Поучителен также и логический анализ процесса выполнения де-
формированного примера.
Так, задание а3 • □ == а3 представляет поистине «живое противо-
речие», ибо оно сочетает в себе воедино, диалектически, — несколько
операций: его можно назвать примером на умножение (поскольку на-
ходится неизвестный сомножитель по известному произведению а* и
известному сомножителю о8), примером на деление, а также примером
на разложение на множители. Решение деформированного задания
как бы равносильно одновременной тренировке во всех этих трех опе-
рациях.
В системе обучения методом укрупнения работа над деформирован-
ными упражнениями становится одним из главнейших методических
стержней.
Где выполняется деформированное упражнение, там срабатывает
механизм обратной связи; а там, где есть непрерывная подсознатель-
ная коррекция и исправление ошибок, там и достигается глубина и
прочность знаний.
Применительно к вопросу о математических упражнениях можно
сделать следующий практический вывод. Функционирование обрат-
ных связей неизбежно при сочетании упражнений со структурно-
обратными им («метод обратных задач»). Поэтому в комплексе заданий
по тому или иному разделу целесообразно иметь деформированные
упражнения на всех уровнях, на разных ступенях обобщения.
Выясним некоторые информационные особенности метода обратных
задач.
Пусть речь идет о совместном изучении взаимно обратных задач на
проценты, вкупе образующих некоторую укрупненную «порцию»
знаний.
Нахождение процента
от числа
(прямая задача)
100% — 300 руб.
7% — х руб.
Решение
1. 300 : 100 = 3 (руб.).
2. 3-7 = 21 (руб.).
х =21 руб.
Нахождение числа
по проценту
(обратная задача)
100% — у руб.
7% —21 руб.
Решение
1. 21: 7=3 (руб.).
2. 3 • 100 = 300 (руб.).
у = 300 руб.
94
Рис. 46
Дальше будем рассуждать намеренно формализованно: условие
прямой задачи, решавшейся первой, изображено с помощью 18 от-
дельных символов низшего уровня (букв, цифр) (рис. 46).
Условие же обратной задачи, составляемой и решаемой на основе
решения прямой задачи, воспринимается иначе, а именно: 15 символов»
общих для исходной и преобразованной задач, образуют некое един-
ство, «сверхсимвол» А.
Итак, обратная задача, возникшая из прямой задачи, представле-
на всего лишь четырьмя символами (один «сверхсимвол» А да три но-
вых символа у, 2,1). Далее проявляется парадоксальный «эффект
сверхсимвола»: на восприятие одного сверхсимвола тратится времени
почти столько же, сколько на один обычный символ, который является
элементом сверхсимвола.
В рассматриваемом случае на изображение условия исходной за-
дачи «тратится» 18 символов, а на восприятие этой же задачи в паре с
обратной задачей, в сущности, тратится не 18 • 2 = 36 символов (что
бывает при раздельном изучении задач), а всего лишь 18 -J- 4 = 22
символа!
Это означает: при совместном изучении прямой и обратной задач
на проценты времени будет затрачено по крайней мере в — «1,7
раза меньше, чем при общепринятом раздельном изучении этих задач!
Экономия в расходе носителей информации разительная. И так
бывает всегда при сознательном укрупнении порций знаний.
Благодаря образованию укрупненной единицы и исходная задача
обретает иное качество. «Сверхсимвол Л», связывая прямую и обрат-
ную задачи, порождает двуединство данных задач, выступающих
тем самым в психике не изолированно друг от друга, а в живом един-
стве, в превращении одной в другую.
Эту метаморфозу задач, т. е. самую интимную сторону процесса
укрупнения мыслительной задачи, наглядно можно представить в
виде схемы (см. рис. 46).
Реальная практика обучения действительно убеждает в выгод-
ности совместного изучения всех трех видов задач на проценты, при-
чем они решаются единым алгоритмом — составлением пропорции.
Обсуждаемая в книге методическая система основала на том, что
95
ученик многократно совершает выбор между двумя или больше воз-
можностями: положительное или отрицательное число; прямая или
обратная (противоположная) теорема; прямая или обратная функция
(например, показательная или логарифмическая); придаточное пред-
ложение условия или причины; тепловой эквивалент работы или
механический эквивалент теплоты и т. п.
Стало быть, при этой системе извлекается учеником дополнитель-
ная информация, поскольку соответствующие семейства упражнений
(вместо единичных, изолированных при обычной системе) вынуждают
ученика непроизвольно выполнять в большом числе выбор действий,
знаков, понятий, суждений, ходов мыслей из нескольких возможных.
Но природа информации такова, что она извлекается там, где есть
выбор, и извлекается тем больше, чем чаще делается этот выбор.
В обучении важно использовать внутренние информационные связи
между началом и концом мысли, между текстом и контекстом, между
текстом и подтекстом, между словесным и символическим (логическим
и образным) оформлением одной и той же мысли и т. д.
Так, начальные буквы слова или начальные слова фразы пред-
определяют соответственно последние буквы слова или окончание фра-
зы и облегчают их угадывание.
Поэтому-то человек при быстром чтении лишь схватывает начала
слов и даже фраз; остальное же домысливается на подсознательном
уровне за счет предыдущего опыта многолетней учебы, за счет ранее
накопленной информации. Рассмотрим пример. Формула умножения
одночлена на многочлен а (х —2у)=ах —2ау несет в себе значитель-
ную часть информации, необходимой для изучения противоположной
операции разложения многочлена на множители вынесением за скоб-
ки: ах — 2ау = а (х — 2 у); свойство фигуры: «В параллелограмме
противоположные стороны равны» — содержит значительную часть
информации, необходимой для составления обратной теоремы, т. е.
соответствующего признака параллелограмма («Если в четырехуголь-
нике противоположные стороны попарно равны, то он является па-
раллелограммом») и т. д.
При подъеме мысли с нижнего «этажа» вверх память оперирует
сокращениями первичных носителей информации, при этом символы
высшего кода как бы представляют целую «цитату» из предшествовав-
шего текста.
Поясним эту мысль на анализе приведенного выше примера.
Закодируем слова прямой теоремы порядковыми номерами слов в
предложении:
Основание (условие)	1	2	3 Если четырехугольник является параллело- 4 граммом,	4 слова.	... 43 буквы
следствие (заключение)	5 6 7	8	9	10 то в нем противоположные стороны равны	6 СЛОВ,	zrj\ 39 букв	w
96
Запоминание обратной теоремы согласно этим представлениям со-
вершается иначе, чем прямой теоремы. А именно: во втором случае не
повторяются те же 43 4~ 39 = 82 буквы (элементарных носителей
информации); для этого достаточно запомнить лишь изменившуюся
последовательность аббревиатур (символов высшего кода), т. е. номеров
слов (1 — 6 — 2а — 8 — 9 — 10 — 5 — 7а — 3 — 4), что заменяет
фразу:
16	2а	8	9	10	5 7а
«Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то он-
3	4
является параллелограммом».
Эффект укрупнения здесь основан на том, что одни и те же слова,
входящие в состав как прямой, так и обратной теорем, фиксируются
в памяти как бы однократно; преобразование же теоремы в обрат-
ную сводится, как мы показали выше, к перестановке «номеров» уже
воспринятых слов, и поэтому формулирование и доказательство обрат-
ной теоремы осуществляются в несколько раз быстрее, чем прямой
теоремы.
Здесь происходит то же самое, что бывает при предварительной
передаче поздравительных телеграмм по стандартным текстам: за
каждым «номером» скрывается целая «цитата» — слова (или даже сло-
восочетание, фраза, абзац).
Итак, суть дела заключается в том, что запись обратной теоремы
(но поданной сразу же после прямой теоремы!) осуществляется, минуя
нижний, буквенный код, сразу на втором (верхнем), словесном коде с
помощью команд, отсылающих, скажем, к номерам «аббревиатур»
(всего 13 знаков — условных носителей информации второго кода).
Учителям известно, что при раннем использовании символического
изображения прямой и обратной теорем может совершаться еще более
экономный «скачок», подъем уже через два уровня в иерархии кодов.
Если, скажем, запоминание прямой теоремы (а —Ь) требовало
восприятия и записи в памяти 82 букв (на уровне знаков) или 10 слов
(на уровне слов), то обратная теорема — заметим, изучаемая на этом
же уроке! — уже записывается посредством всего лишь трех знаков
(а ч- Ь), где b — основание, а — заключение теоремы.
а
(Любая пара взаимно обратных теорем записывается так всего
лишь четырьмя знаками.)
Изучая на малом интервале времени, чаще всего в пределах одно-
го урока, группы взаимосвязанных понятий, преобразований, теорем,
определений, связанных друг с другом формально и по содержанию,
мы осуществляем — на языке кибернетики! — передачу информации
как бы законченными фразами или более длинными последователь-
ностями символов, что должно повышать надежность передаваемой
информации, т. е. сохранность в памяти и действенность знаний.
4 Предельно упрощая суть дела, можно сказать так: при обучении
надо возможно больше составлять семейства взаимосвязанных упраж-
нений из небольшого числа носителей информации (букв, цифр, слов,
4 Заказ № 3995
97
линий, знаков), меняя разве лишь комбинацию или пространственное
положение их, иногда вводя минимум новых элементов. Итак, совмест-
ное решение взаимосвязанных упражнений приводит к возникновению
обобщенного знания, крупной единицы усвоения, приводящей к эко-
номному обучению.
Данный вывод подтверждается на практике: при рассматриваемой
системе учащиеся меньше допускают ошибок, быстрее продвигаются
в учении, прочнее запоминают материал, развивается самостоятель-
ность их мышления.
Приведем в заключение несколько примеров, в которых показано,
как следует совмещать сходные или контрастные суждения, т. е. поль-
зоваться свернутыми формами умозаключений:
1	сторон параллелограмма
1.	Сумма квадратов ——----------------£---- равна сумме квадра-
-ребер параллепипеда
тов его диагоналей.
о Сумма	слагаемых
2.	i---------- не изменяется от перестановки мест ------------------
Произведение	сомножителей
3.	Если при увеличении значения одной величины в несколько раз
v увеличивается
значение другой —--------------- во столько же раз, то эти величины
уменьшается
прямо
пропорциональными.
показательной .	выше
-------------- функции располагается 	
логарифмической	правее
называются
обратно
4. График
оси абсцисс
оси ординат
5 Синусом
Косинусом
дуги единичной окружности называется
ордината
абсцисса
конца подвижного радиуса.
с. гх* ее сопротивление	последовательно
6. Общ— --------—---------проводников, соединенных-------------------,
ая	проводимость	параллельно
__о	сопротивлений _	л
равн— сумме •—с------------— этих проводников.
а	проводимостей
7. —— медианы тРеУГОЛЬ1У>^. пересекаются в одной точке
Четыре	тетраэдра
И т. п.
Разумеется, на уроке эти сдвоенные суждения прочитываются
(анализируются) дважды, читаются нередко разными учащимися:
однако важно фиксировать соответствующую буквенную информацию
начиная с низшего кода (на уровне знаков!) в подобной экономной
форме (на доске, в тетрадях, в учебниках): повторяющиеся слова запи-
сываются (стало быть, воспринимаются зрительно) лишь один раз.
Через экономию числа букв, знаков, линий и других элементарных
носителей информации мы приближаемся к осуществлению доброго
старого афоризма: «... чтобы словам было тесно, а мыслям просторно».
Мы до сих пор рассматривали особенности обучения укрупнением
единицы усвоения в плане информационных представлений. Рассмат-
ривая данную проблему в системе понятий формальной логики, мы
98
найдем, что укрупнение единицы усвоения знания достигается прежде
всего применением обращения или обобщением суждений.
Нередко оказывается вподне уместным и выгодным использование
обоих приемов в одном комплексном задании.
Например, в опыте экспериментального обучения по нашим учеб-
никам оказалось весьма эффективным сочетать изучение во II классе
единой таблицы умножения и деления в пределах 100 с одновременным
выполнением тех же действий с круглыми десятками (в пределах
•1ft
и над соответствующими именованными числами.
По этой системе на одном и том же уроке решаются примеры и ва-
дачи, сводящиеся к следующим операциям:
6- 4
60 * 4
60 коп. • 4
4 кг • 60
24 : 6
240 : 6
2 руб. 40 коп. : 6
2 ц 40 кг : 60
24 : 4
240 : 40
2 руб. 40 коп. : 40 коп.
2 ц 40 кг : 4 кг
(На базе четырех цифр: 0, 2, 4, 6 — выполнены умножение и деле-
ние как отвлеченных, так и именованных чисел, как в пределах 100,
так и в пределах 1000.)
В нашей практике обучения в школе и в университете геометри-
ческие образы рассматривались сразу на плоскости и в пространстве.
Пусть решена следующая пря-
мая задача:
1а. Дана прямая уравнением
2х — Зу 6 = 0. Найти недо-
стающие координаты точек
(—2; уО, А2 (х2‘, 4), лежащих
на этой прямой.
На основе решенной прямой
задачи составляется и решается
обратная задача как дидактиче-
ское продолжение прямой аада-
чи:
16. Найти уравнение прямой,
проходящей через точки
л*(3;4).
\ о /
Ответ.
л (-2> I); л® (3; 4)-
\	V /
Первокурсник при такой постановке задачи преодолевает поистине
«интригующую ситуацию»: получим ли мы при решении обратной
задачи долженствующее быть уравнение прямой 2х — Зу -f- 6 = 0?
Однако же и этого мало. Студенты далее самостоятельно (на том
же занятии) обобщают обе задачи на три измерения.
2а. П р я м а я задача '
Дана плоскость уравнением
2х — Зу + z = 0 и три точки "
этой плоскости, каждая своими
двумя координатами из трех:
Дх ( 2;	—; Zij, А2 (3; у2; —6),
Д8 (*з: I: 9).
Найти недостающие третьи
координаты этих точек.
26. Обратная задача
Даны три точки:
Ai (~2;	°)’
(3; 0; —6),
Ля(—3; 1; 9).
Написать уравнение плос-
кости, проходящей через эти
три точки.
Математическая операция усваивается лучше всего не повторением
однообразных примеров, а выделением структурных связей внутри
элементарного знания, выявлением многообразия в едином посредст-
вом изменения исходной формы упражнения.
Подобно тому как при раскалывании ядра урана выделяется внут-
риядерная энергия, так и изменение структуры задачи (ее деформа-
ция) приводит к постижению дополнительных знаний.
Такой метод имеет особо важное значение на первых уроках, на
начальных этапах усвоения основных правил и результатов, входящих
в фонд оперативной памяти (таблицы сложения и умножения, произ-
водных и интегралов, канонических уравнений линий и поверх-
ностей и т. п.).
Например, для лучшего запоминания таблицы сложения в I классе
совершенно недостаточно повторения результатов вида 1+2=3,
1 + 3 = 4 и т. д.; гораздо эффективнее метод, когда поочередно каж-
дый элемент записи (суждения) становится искомым: 2 + □ =5;
□ + 3 = 5; 2 □ 3 = 5; 2 + 3 □ 5 и т. д.
Психологами описано явление так называемого импринтинга, а
именно: запечатление в мозгу первой встречи иногда бывает особенно
прочным, неизгладимым.
Отсюда уже недалеко и до понимания необходимости особо тщатель-
ной подготовки первого урока, первой лекции.
Мы же желаем подчеркнуть еще раз, что вопреки сложившемуся
«здравому смыслу» («тише едешь — дальше будешь», «от простого к
сложному») весь арсенал дидактических приемов укрупнения едини-
цы усвоения должен быть использован именно в начале изучения той
или иной темы.
Это объясняется тем, что именно начало тейы или раздела обеспе-
чивает овладение азбукой укрупнения, т. е. основными алгоритмами,
посредством которых затем осваивается весь раздел, вся глава.
10. ВЗАИМОСВЯЗЬ СЛОВЕСНОГО
И СИМВОЛИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ В ПЛАНЕ '
УКРУПНЕНИЯ ДИДАКТИЧЕСКИХ ЕДИНИЦ
... Нормальный человек, хотя он и пользуется
вторыми сигналами, которые дали возможность
ему изобрести науку, усовершенствоваться и т. д.,
будет пользоваться второй сигнальной системой
только до тех пор, пока она постоянно и правильно
соотносится с первой сигнальной системой, то есть
с ближайшим проводником действительности.
И, П. Павлов
Плохая система обозначений может сделать хоро-
шее изложение плохим, а плохое — еще ухуд-
шить.
77. Р. Холмом
Известно, что человеческий мозг перерабатывает ин-
формацию двумя сигнальными системами: первой (доречевой систе-
100
мой, общей у человека и животных) и второй (посредством слов и
речи)*.
Интересно отметить, что животные, не обладая второй сигнальной
системой, могут нередко осуществлять деятельность, сходную с мыс-
лительной деятельностью человека. Так, перелетные птицы опреде-
ляют направление по Солнцу и звездам; макака различает числа 3 и
4; шимпанзе различает треугольники по их форме; у дельфинов чрез-
вычайно быстро, с одного предъявления, вырабатываются сложнейшие
|>ефлексы; в новых исследованиях показано, что человек может об-
мениваться логической информацией с обезьянами, вести с ними
диалог.
Интересно отметить, что Ф. Энгельс и И. П. Павлов считали, что
животные способны совершать такие мыслительные операции, как
анализ и синтез, индукция и дедукция и т. п.
Надо полагать, что различение чисел 3 и 4 бессловесной обезьяной
и ребенком, обладающим речью, вероятно, совершается хотя и каче-
ственно различно, но во многом при участии однотипных механизмов
низшего уровня.
И обычное речевое мышление человека, выполняемое с помощью
логических рассуждений, видимо, подготавливается (какосновой) дея-
тельностью указанных выше подсознательных, доречевых механизмов
переработки информации.
Всякая мысль, прежде чем обрести словесное обрамление, прохо-
дит через этапы первой сигнальной системы — ближайшего провод-
ника действительности.
В мозгу обнаружены нейроны, фиксирующие элементарные конт-
растные характеристики раздражителей — прямизну и кривизну
линий, вертикальные и горизонтальные направления, свет и темноту,
сплошность и прерывистость, острый и тупой углы и вообще изменения
интенсивности любого качества, такие, как степень новизны, перио-
дичности и т. п. Словом, носители информации низших кодов обраба-
тываются (опознаются) сразу по множеству признаков.
К этому же роду явлений имеют отношение интуитивные открытия,
совершаемые людьми при выключенном сознании: химик Кекуле
открыл во сне формулу бензола: Пушкин сочинял во сне стихи. Най-
дено далее: что человек воспринимает подпороговые раздражения,
которые, хотя и не замечаются сознанием, суммируясь, оставляют
такой значимый след, что влияют неожиданным для самого субъекта
образом на поступки и поведение человека.
Установлено, что переработка информации зачастую начинается
еще до ее поступления в мозг; например, селекция зрительной инфор-
мации осуществляется уже в сетчатке глаза, причем на сетчатке
«встречаются» Ъак воспринимаемые извне образы, так и образы из
• Полагают, что словесное мышление осуществляется нейронными механизма-
ми, расположенными в «новой коре» больших полушарий толщиной в несколько
миллиметров; подавляющая часть массы мозга занята переработкой подсознательной
информации. Последнее объяснимо: если возраст человечества считают равным
2—3 млн. лет, то членораздельная речь возникла у человека 50 000 лет назад.
101
долговременной памяти мозга («внутренние» образы, результат преж-
него опыта).
Для теоретического осмысления проблемы рационализации обу-
чения заслуживает серьезного внимания характеристика процесса
мышления, выдвинутая лауреатом Ленинской премии проф.
Н. М. Амосовым.
Согласно этой концепции, мозг человека перерабатывает информа-
цию этажной системой (иерархией) кодов, которые по отношению друг
к другу не только находятся в субординации (в соподчинении), но и
обладают известной функциональной самостоятельностью (код зву-
ков и знаков код слов -> код фраз -> код смысла). Иначе говоря, в
процессе мышления значительный объем информации перерабатывает-
ся и усваивается именно на нижних этажах кодовой системы, независи-
мо от словесных уровней.
Опытный учитель, встретившись со случаем непонимания учащим-
ся изучаемого материала, всячески упрощает объяснение, спускаясь
на нижние уровни информационной лестницы и подбирая все более
понятные упрощенные толкования изучаемого вопроса.
Так, при изучении правила умножения одночленов вида с? • а2 =
«= п3+2 ж= а6 уместно иногда указать, что в этом случае «складываются
числа, расположенные на верхней линии» (в подкрепление обычного
правила о сложении показателей при общих основаниях).
Разъяснение последовательности операций одновременно на выс-
ших и низших кодах облегчает неосознанную подспудную работу
мозга по формулировке и совместному усвоению пары правил (напри-
мер, умножение и деление степеней):
с? • а2 = а3+2. | аъ: а2 = а*"2.
Процесс одновременного (по-видимому, различие в миллисекундах)
усвоения взаимосвязанных операций, предложенных рядом, выгля-
дит упрощенно следующим образом:
1.	Код знаков: + и — (воспринимаются графические образы зна-
ков, состоящих из одной и двух черточек; слова «плюс» и «минус» или
«сложить» и «вычесть» в этот момент еще не реализуются).*
2.	Код слов: «плюс» и «минус» (нет еще осознания связи действий
умножения И деления, нет еще осознания понятий «степень», «пока-
затель» и др.).
3.	Код фраз: «Умножение степеней сводится к сложению показате-
лей, а деление — к вычитанию их».
4.	Код смысла: «Действия второй ступени над степенями с общим
основанием сводятся к соответствующим действиям первой ступени
над показателями».
В начале изучения темы важно использовать все указанные коды
одновременно.
* Сейчас в начальной школе умножение обозначают точкой, а не косым кре-
стиком (X), как было до этого. Это не мелочь! Такое упорядочение символики
существенно облегчает подсознательную работу нервных механизмов, четко фикси-
рующих различие: из «палочек» (—, +) состоят знаки действий первой ступени,
из точек (., :) — знаки второй ступени.
102
Поучительно в этой связи отметить, что академик Бехтерева Н. П.
отмечает, что первоначальное освоение даже простейших числовых
результатов (например, 3 + 2 = 5) у первоклассника требует работы
нсех отделов мозга.
Вывод таков: противопоставление на низшем коде неизбежно
влечет противопоставление на высшем коде (и наоборот).
Нередко понимание дела наступает с восприятием удачной формы
записи или иллюстрации, т. е. сразу на низшем коде, одномоментно,
симультанно, до перекодировки на словесном уровне.
Сравним две записи таблицы умножения:
2-3 = 6
2-4 = 8
2-5 = 10
3 = 6
•4 = 8
5= 10
Большая цифра 2 во второй таблице одной своей величиной» за-
хватывающей все строки, неотразимо выполняет «свою информирую-
щую роль»: число 2 есть общий множитель для всех трех примеров.
Очевидно то, что очам видно!
От удачного информационного оформления мысли на нижних
уровнях зависит скорость «подъема мысли» по лестнице кодов, т. е.
успешность обучения в целом, прочность запоминания материала и
сознательность усвоения*.
Успешность обучения укрупненными единицами в немалой степени
обеспечивается, по-видимому, равномерным распределением нагрузки
между кодовыми системами мозга, т. е. разгрузкой «перегруженных»
верхних уровней (обобщенных кодов) и догрузкой «недогруженных»
нижних (конкретных кодов).
Пусть речь идет об усвоении детьми алгоритма перехода от умно-
жения к делен ию:
Позиции	I	II	III	IV	V
Было Стало	2 12	• • •	6 6	—	12 2
Если бы такие переходы осуществлялись только «сознательно», на
уровне высшего кода, т. е. на базе полных логических правил, то это
выглядело бы достаточно «нерентабельно»; например, при этом при-
шлось бы формулировать следующие цепи суждений: «Чтобы соста-
вить обратный пример к примеру на умножение (2 • 6 = 12), надо
произведение (12) сделать делимым, множитель (6) сделать делителем;
тогда множимое первого примера (2) превращается в частное второго
примера» и т. щ
* Сравним данное явление с феноменом импринтинга (запечатления); только
что вылупившийся птенец моментально привыкает к первому движущемуся объекту,
постоянно следуя за ним, как за матерью-наседкой.
103
Учителям известно, что ученик, моментально справляющийся с
преобразованием первого примера во второй, затрудняется формули-
ровать в словах то. что уже сделано символически.
Здесь происходит естественное опережение речи мыслью и потому
излишне требование объяснять каждый раз вещи, которые «и так яс-
ны» (такой неумеренной логизацией иногда страдают учебники началь-
ной школы).
Как же все-таки происходит в подсознании замена одного примера
на умножение (2 • 5 = 10) соответствующим примером на деление
(10 :2 = 5)?
Специализированные* функциональные системы мозга (группы
нейронов) вырабатывают команды, чтобы одна точка на II позиции
первого примера заменялась двумя точками во втором примере (нет
тут еще проявления словесных ассоциаций о названии действий, точ-
ками обозначаемых,—о переходе от «умножения» к «делению»!);
чтобы знаки (не числа даже!), стоящие на I и V позициях, поменялись
местами.
Этот этап переработки информации может быть выполнен, в сущ-
ности, и машиной, умеющей распределять запись исходного примера
по пяти позициям и снабженной упомянутыми командами вида:
1) (•)	(:).	1. Заменить точку на двоеточие.
2) I -> V 2. Поменять взаимно местами элементы I и V по-
и т. п. зиций и т. п.
Разумеется, математическая информация не остается на этой при-
митивной дологической стадии, а оформляется почти сразу же на выс-
шем коде, если нужно, обретая словесную форму. Но важно здесь
заметить следующее: вход любой сложной информации в сознание,
начальный этап ее переработки не может избежать обработки ее ком-
понентов на низших дословесных, дологических уровнях.
В математике трудно назвать такой раздел, чтобы при его изуче-
нии нельзя было улучшить информационные «детали» нижних этажей,
далеко не маловажные (иногда даже решающие!) для усвоения содер-
жания.
При введении взаимно обратных (вообще парных) операций или
преобразований сознательному усвоению знаний, несомненно, помо-
гают элементы автоматического (бессознательного) симметричного
изменения положений некоторых символов в двух строках записи,
расположенных друг под другом.
Математик Хал мош справедливо указывает: «Плохая система обо-
значений может сделать хорошее изложение плохим, а плохое — еще
ухудшить»*.
В идеале математические иллюстрации или записи на доске (рисун-
ки, схемы, символы, графики и т. п.) должны быть осмысливаемой
цветной картиной.
• X а л м о ш П. Р. Как писать математические тексты. — Успехи матема-
тических паук, т. XXVI, 1971, № 5, с. 249.
104
Пусть требуется обозначить буквами три медианы треугольника
АВС. Одно дело — пометить основания медиан первыми попавшимися
буквами, скажем X, 7, К\ другое дело — последними буквами латин-
ского алфавита в привычной последовательности: X, Y, Z; но лучше
всего достигают цели обозначения с индексами: AAlt BBlt CCt. Мате-
матики не зря любят индексы: они автоматически указывают на вза-
имное соответствие элементов записи.
Вот еще пример.
Пусть дана совместная запись двух формул:
а8 ± Ь3 = (а ± b) (az + ab + fe*).
Такая запись с двумя знаками четко информирует о соответствии
членов пары противоположных понятий: суммы и разности кубов.
Рассмотрим следующую совмещенную запись переместительного
закона для сложения и умножения:
Л + В = В + Л.	'
Общность букв в двух последних формулах сама по себе (помимо
и до словесных пояснений!) обеспечит понимание того, что сложение
и умножение сходны относительно свойства перестановочности ком-
понентов (коммутативности).
При подобных совмещениях носителей информации во времени и
пространстве достигается органическое взаимодействие нижних и
верхних кодовых систем (дословесных и словесных средств переработ-
ки информации).
В учебниках и справочниках смелее надо использовать вообще
сдвоенные правила и формулы, специально выделяя их цветом, шриф-
том и т. п. Такие записи лучше обеспечивают дифференциацию и
обобщение понятий.
Нельзя думать, будто школьная математическая терминология и
символика не нуждаются в дальнейшем улучшении. Даже небольшое
усовершенствование символа, записываемого, быть может, сотни раз
на каждом уроке, заметно снижает утомление (то же самое верно от-
носительно термина).
Рассмотрим примеры.
Льюис Кэррол предлагал синус и косинус не записывать тремя
буквами, а обозначать специальными знаками — соответственно ори-
ентированными полукругами: проекция окружности, дающая значе-
ния синуса, перемещается по вертикальной оси, а проекция окруж-
ности, дающая значения косинуса, перемещается по горизонтальной
оси. /
Понимал толк в символах автор знаменитой «Алисы»!
Неудобно для многократной записи рукой и изображение вектора
стрелкой, которое требует четырех (!) движений пера. Не лучше ли
условиться вектор обозначать просто чертой, поставленной над бук-
вой, как это делается в большинстве книг? (Рис. 47.)
Значение символики или даже разумной компоновки математиче-
ского текста подчеркивается самими математиками.
105
tax - &-n*. - В x	Удачная символика, введенная Лейб-
ccsx ~	ницем для математического анализа, уско-
рила в свое время во многом получение
важных результатов в новой тогда отрас-
_	_________ли математики.
Обычно пишут: п -> оо, е -> 0.
Эти ассоциации обретают силу безус-
Рис- 47	ловкого рефлекса.
К записи е -> оо при п -> 0 никаких
формально-логических придирок предъявлено быть не может, однако
же такой произвол с употреблением символов означает для мышления
математика поистине кошмар.
Аналогично этому замена термина, взятого из родного языка
(«равно»), а потому обеспеченного мощной ассоциативной базой «зна-
комости», иноязычным труднопроизносимым («конгруэнтно») сущест-
венно ухудшила понимание геометрии.
Зрительное восприятие пары графиков или пары формул стано-
вится толчком к последующей серии противопоставлений вплоть до
высшего кода.
Так, сравнивая графики взаимно обратных функций у = sin х
и у = arcsin х внимательным зрительным анализом, можно получить
много важных соответствий (рис. 48).
Существуют значительные возможности насыщения информацией
графических изображений (рис. 49).
106
На том же рисунке,' при одной
и той же системе координат возмож-
но выполнить построение графиков
семейства усложняющихся функ-
ций:
у =2х; у = 12х|;
у = |2 (х + 4)1 и т. д.
Исходным пунктом такой груп-
пы упражнений выступает наиболее
простое каноническое задание; да-
лее, усложняя каждый шаг, мы по-
лучаем цепь все более сложных за-
даний, которые разрешаются все с
меньшей тратой сил. Последнее объ-
ясняется фактом уплотнения ин-
формации, ибо ассоциации, воз-
никшие при решении предыдущих
этапов, полностью используются в
свернутом виде в решении после-
дующих упражнений. Такое явле-
Рис. 49
ние уместно обозначить термином
«цепное ветвление упражнений».
Приобретает психологическое оправдание создание своеобраз-
ных учебных пособий, в которых специально делается упор «не на
доказательство, а на пояснение при помощи примеров». (Такова,
например, книга акад. Я- Б. Зельдовича «Высшая математикадля на-
чинающих» (Физматгиз, 1963).)
Неверные связи в мышлении иногда появляются на уровне «кода
символов», чему виной бывают неудачные в психологическом отноше-
нии обозначения в некоторых учебных руководствах.
Так, почти во всех учебниках аналитической геометрии коэффици-
енты уравнения прямой обозначают строчными буквами (ах + by -|-
+ с = 0), а коэффициенты уравнения плоскости принято обозначать
.почему-тэ... заглавными (Ах + By -j-Cz + D = 0)*
И вот закономерное следствие: у студента в неведомых глубинах
мозга спонтанно (самопроизвольно) зарождается представление, что
будто первое уравнение якобы никогда не может быть уравнением
плоскости. («Ведь коэффициенты уравнения плоскости специально
обозначены заглавными буквами!»)
Отсюда становится понятной исключительная важность тщательно
продуманного единства символики и терминологии в учебниках. Не-
редко оказывается нужным в процессе обучения ввести новые симво-
лы (пусть вр€менные, в учебных целях).
* Отметим также неблагозвучность чтения этих букв: «а малое, А большое»
и т. п.
107
Известный физик-педагог, лауреат Нобелевской премии Р. Фейн-
ман считает нужным предупредить слушателей о таких «мелочах» в
системе обозначений:
«Значок Д в выражении Ду не множитель; sin х — это не произ-
ведение четырех чисел s • i * п • х, потому нельзя «сократить» на Д
дробь — и «получить» —». (Фейнман Р. и др. Фейнмановские лек-
ции по физике. М., Мир, 1965, с. 149).
Так предупреждается возможность неадэкватной автоматической
пер работки информации на низших кодах, поскольку при использо-
вании знакомых символов и форм (букв, дробной черты и т. д.) в них
теперь вкладывается новое содержание.
Неосознанное возникновение ассоциаций (верных, 'а иногда и не-
верных) встречается в процессе рассуждения каждого школьника.
Успех обучения начинается нередко с тех деталей, на которые
иные учителя не обращают внимания, как на несущественные «мелочи».
Опытный учитель как раз добивается успехов, своевременно пред-
отвращая подобные нежелательные уходы мысли в сторону, в умении
незаметно выводить нить рассуждения на дорогу истинности.
Приведем тому примеры.
М. Я- Выгодский в своем многократно издававшемся справочнике
по высшей математике пишет: «Нуль-вектор обозначается так же, как
число нуль (знаком 0)» (1970, с. 118).
Эта «частность» становится зачастую роковой причиной неправилы
ного течения мыслей в подсознании читателя: ассоциация, закрепив-
шаяся ранее в течение десятилетия («знак 0 — число»), оказывается
превалирующей в сознании и студенты продолжают путать два важ-
ных понятия: «нуль-число» (0) и «нуль-вектор» (0).
(В подсознании срабатывает «аксиома»: если обозначения совпа-
дают, то обозначаемые понятия тождественны.)
Но достаточно условиться, скажем, с самого начала вектор обо-
значать стрелкой (или чертой) вверху, а число писать без такого до-
полнительного отличающего знака, как все становится на свое место,
и студенты безошибочно различают случаи умножения с нулем:
1)	произведение числа нуль на числом равно числу нуль (0 • а=0);
2)	произведение нуль-вектора на число а равно нуль-вектору
(0 • а = б):
3)	произведение числа нуль на вектор а равно нуль-вектору
(0-?=б);
4)	скалярное произведение нуль-вектора на вектор а равно числу
нуль (0 - а = 0) ит. п.
Освоение школой новых программ по математике основано прежде
всего на овладении новым символическим языком. В литературе со-
ответствующие процессы обозначают (притом не без основания!) спе-
циально понятием «символическое мышление». Отбор символов, т. е.
кратких обозначений, терминов и соответствующих им понятий, —
чрезвычайно ответственный этап в обучении.
108, .
Исторически символы возникли в иероглифической письменности
как упрощенные изображения соответствующих предметов или услов-
ных знаков, их заменяющих.
Так, знак отрицания в математической логике (черточка, минус)
возник как идеограмма, обозначающая жест отрицания («развернутые
руки»).
В современной письменной речи наиболее практичными оказались
прямые сокращения слов (аббревиатуры), для чего оставляются лишь
первые буквы соответствующих слов: МГУ (Московский государствен-
ный университет). Этот путь образования символов кажется нам само
собой разумеющимся.
Говорят, что мышление возникло из видения.
Чем непосредственнее, автоматичнее переход от зрительного обра-
за к слову, понятию, тем естественнее и экономнее само мышление.
Но здесь возникают неожиданные затруднения психологического
характера.
Дело в том, что научная терминология, ставшая международной,
преимущественно основана на латинских корнях: «трансляция» (пе-
ренос), «спин» (вертушка), «реальные» (действительные) числа и т. д.
Отсюда и некоторые неудачные символы: перенос часто обозначают
буквой Т (трансляция), множество действительных чисел — буквой R
(реальные и т. д.).
В ходе составления новых учебников по математике был пра-
вильно сделан акцент на то, чтобы закрепить, начиная с младших
классов, наиболее употребительные термины, основанные на обиход-
ных словах, взятых из родного языка.
Это существенно облегчает возникновение необходимого клубка
осмысленных ассоциаций, содержательно связанных с богатым жиз-
ненным опытом школьников.
Короче говоря, имеются значительные возможности дальнейшего
улучшения школьной математической терминологии и символики.
Так, для обозначения отображений в геометрии были взяты оби-
ходные слова: «перенос» (а не «трансляция»), «вращение», «перемеще-
ние» и др.
В учебной литературе по математике некоторые термины еще не
устоялись. Например, перемещение иногда называют движением.
Некоторые термины, основанные на латинских корнях, на пер-
вых порах уместно сопровождать пояснениями на родном языке
(например, «равные фигуры» — «совмещающиеся при наложении
фигуры»).
В решении вопроса о взаимосвязи символа и термина в настоящее
время еще не преодолена половинчатость: поворот (вращение) обозна-
чают начальной буквой соответствующего... латинского термина,
т. е. буквой R (Roteichn), аналогично симметрию и гомотетию обо-
значают латинскими буквами S и Н9 в то время как гораздо выгоднее
использовать на первых порах начальные буквы тех же слов в русском
написании: С (симметрия), Г (гомотетия), П (перенос).
Резонно, конечно, мнение о пользе раннего перехода на «междуна-
родную» символику, в частности Математическую.
109
Между тем рациональным решением данного вопроса может быть
компромиссное: сначала использовать сокращение терминов, приня-
тых на базе родного языка, затем по мере изучения учащимися ино-
странного языка ознакомить (в старших классах) с общепринятыми
сокращениями на латинской основе.
(Поучительно здесь отметить, что К. Э. Циолковский предпочитал
в своих исследованиях обозначать физические величины русскими
буквами*.)
Вопрос о выборе терминов и обозначений, об удобстве символов
должен решаться чрезвычайно внимательно, с учетом психо-физиоло-
гических закономерностей переработки знаковой информации.
В литературе нередки необоснованные «новации» в этом вопросе.
Так, скалярное произведение векторов в большинстве пособий обо-
значается просто и экономно: а • Ь. (Знак умножения —точка! Здесь
сохраняется преемственность: точкой ведь обозначается и умноже-
ние чисел.)
Чтобы добиться абсолютного различения трех признаков равенства
(подобия) треугольников, удобно каждый признак обозначать аббре-
виатурами слов «сторона» (С) и «угол» (У), причем уместно восполь-
зоваться ассоциативным родством номера признака с числом сторон
треугольника.
Признаки
	первый	второй	третий
равенства	УСУ	СУС	ссс
подобия	УУ	СУС	ссс
В символическом оснащении учебников, которыми пользуются
миллионы учащихся, важно добиться предельной наглядности, а
именно слитности слова-термина и соответствующего знака-символа;
последнее возможно тогда, когда символ вначале выступает как аб-
бревиатура соответствующих терминов в алфавите родного языка.
В плане обсуждаемого примечательно следующее наблюдение.
Мы предложили студентам объяснить, какая мысль «зашифрована»
в следующей записи:
(А > G) ~ (АВ > СВ).
Был получен ответ: если обе части неравенства (Л > С) умно-
жить на одно и то же положительное число (В > 0), то знак нера-
венства сохранится.
Однако никто не обратил внимания на знак двусторонней импли-
кации и не сформулировал обратного предложения: если обе части
неравенства (ВС < АВ) разделить на одно и то же положительное
число (В > 0), то знак неравенства сохранится (С < Л)-
* См.: Космодемьянский А. А. Константин Эдуардович Циолков-
ский. М., Наука, 1976, с. 291.
НО
В другой группе та же формула была предложена в вертикальной
записи:
А >С
АВ > СВ
Студенты сразу же нашли адекватный ответ:
если обе части неравенства Умножить на одно и то же положи-
разделить
тельное число, то знак неравенства не изменится*.
Второе обозначение имеет перед первым преимущество в несколь-
ких отношениях.
1.	В первом — 13 знаков, во втором — 10 знаков.
2.	Первое записано в строчку, второе — компактно и потому лег-
че воспринимается сетчаткой глаза (подобно иероглифу).
3.	Второе обладает симметрией в записи (информация считывается
не только по строкам, но и по столбцам).
4.	Раздвоение знака равносильности во второй записи (две стрелки)
непосредственно информирует о наличии двух теорем (две противо-
направленные стрелки лучше одной двусторонней стрелки).
Как много можно сказать об организации визуальной информации
одной несложной формулы!
Знаменитый физик Энрико Ферми говорил, что простота обозна-
чений имеет первостепенное значение в теоретической физике.
Опытный учитель, учитель-мастер искусно учитывает эти техноло-
гические «детали» дела, тонкости своего ремесла, тщательно и созна-
тельно оформляя записи и иллюстрации, рисунки, что содействует
четкости и соответствующих словесных пояснений!
Большим подспорьем для развития мышления служит своевремен-
ное внедрение тщательно обдуманных математических символов.
Позволим здесь себе небольшой экскурс в психофизиологию.
В опытах по дрессировке обезьян было установлено, что они лучше
различают сигналы, состоящие из двух знаков, в том случае, если эти
ом, а друг под другом!
мысли:
Символическая форма
знаки расположены не друг за дру
Сравним две формы выражения
Словесная форма
Если число делится на 6» то
оно делится на 3.
Если число делится на 3, то
отсюда не следует, что оно делит-
ся всегда на 6.
Здесь три точки — знак де-
лимости. Стрелка — знак следо-
вания. Иногда переход от ниж-
ней строки к верхней изображают
направленной вверх штрихо-
вой стрелкой (знак «исследова-
ния»).
• Возможна и другая интерпретация: в треугольнике против большего угла
лежит большая сторона.
111
По программе знак следования появляется лишь в VII классе,
а противоположный знак (не следования) вообще редко употребляется
в математике. «Нарушение» этой традиции пойдет лишь на пользу
делу, так как использование их рядом доступно уже в IV—V классах!
Посредством знаков импликации и антиимпликации удобно вво-
дить пропедевтику необходимых и достаточных условий:
а)	делимость числа на 6 есть достаточное, но не необходимое усло-
вие для делимости его на 3;
б)	делимость числа на 3 есть необходимое, но не достаточное усло-
вие для делимости его на 6.
Еще пример. Сущность теоремы о сравнении среднего арифметиче-
ского и среднего геометрического прозрачнее всего передается не под-
робнои записью: —*---=--------• ал, а более свер-
п
1 п	п 1
нутой записью: — • У > (П а^п .
п £1
Почему?
Потому, что при второй записи немедленно улавливается анало-
гия между обеими частями формулы: число — слева выступает как
множитель, а справа — как показатель степени*.
Крупные французские математики, объединившиеся под псевдо-
нимом Бурбаки, указывают, что практика печатания бок о бок, в двух
лежащих рядом столбцах «двойственных» теорем бесспорно сыграла
большую роль в развитии проективной геометрии.
Укрупнению единиц усвоения также благоприятствует располо-
жение записей структурно связанных упражнений в двух параллель-
ных столбцах, друг против друга. То, что зрительно воспринимается
рядом, легче противопоставить и связать логически, словесно.
Рассмотрим две взаимно обратные теоремы.
Свойство
параллелограмма
Если четырехугольник явля-
ется параллелограммом, то в нем
противоположные углы равны.
Признак
параллелограмма
Если в четырехугольнике
противоположные углы равны, то
он является параллелограммом.
Схематическая запись условий этих теорем может быть следующая:
Прямая теорема
Дано: АВ Ц CD; ВС || AD.
Доказать: А. А = ZdC\
2LB=Z_D.
Обратная теорема
Дано: Z-Д = Z.C;
Доказать: АВ || CD;
ВС || AD.
Однако выгодно здесь перейти к еще более емкой, информационно
насыщенной, совместной записи обеих теорем:
♦ Поучительно также сопоставление символов: «сигмы» 2 (сумма) и «пи» П
(произведение).
412
AB || CD\-+l/LA = ZLC\
ВС И AD)+-\Z_B==Z_D)
(Заметим: здесь одна только нижняя стрелка информирует о со-
держании обратной теоремы!)
В практике экспериментального обучения был такой случай.
У учительницы Н. М. Щеголевой, проводившей эксперимент по укруп-
ненному усвоению математики во II классе (г. Ставрополь, средняя
школа № 6), несколько учеников почему-то плохо понимали, как
следует из прямой задачи получать обратную задачу. Внимательно
рассматривая записи в тетрадях, мы обнаружили простую причину
этого явления: учащиеся вопреки требованиям учительницы записы-
вали решение взаимно обратных задач не рядом друг с другом, в двух
параллельных столбцах, а друг за другом или даже на разных страни-
цах тетради.
Когда же они стали записывать решения прямой и обратной задач
рядом, они быстрее усвоили данный материал.
Многозначителен факт, что при первой встрече с противополож-
ными правилами, контрастными по содержанию мыслями нередко
ученик ищет опору в первосигнальных элементах знаний, «материаль-
ных» подкреплениях смысловых связей.
Так пятиклассник, затрудняющийся сформулировать правила
умножения и деления дробей, говорит: «Умножить — так (произво-
дит рукой два параллельных движения, соответственно расположению
числителей и знаменателей умножаемых дробей), разделить — так
(производит рукой в воздухе два крест-накрест маха)». Два пра-
, 3	2	3-2	3	2	311
вила — два движения! — • — =-------; — : ~	.
7	11	711	7	11	7-2
Вывод таков: о противопоставлении, укрупнении знаний надо
заботиться с самого начала процесса обработки материала; укрупне-
ние задания надо начинать с того, чтобы исходными контрастными
первосигнальными раздражителями выступали пары символов, по
возможности моделируемых движениями, перемещениями, если нуж-
но, выполняемыми въявь.
Говорят, что театр начинается с вешалки.
Подобно этому, математика начинается с символики и соответству-
щей терминологии.
Говорят также, что грамм профилактики дороже килограмма ле-
чения.
Предотвратить неудачные словесные обобщения легче всего на
исходном этапе, заботясь о семантической, фонетической и символи-
ческой четкости математической информации.
Иерархия кодовых систем начинается с символов (букв, знаков)
и как бы ими же завершается: наиболее сложные обобщения человече-
ской мысли обретают лаконичность и доступность снова с помощью
символов (уравнения Эйнштейна, Шредингера в теоретической фи-
зике).
Умелое использование взаимопереходов между образным, симво-
лическим и словесным — вот важнейший секрет обучения!
113
Удобные символы делают понятия или упражнения информацион-
но емкими и психологически четкими.
Изучив теорему Пифагора и соответствующие формулы для косо-
угольных треугольников, важно свести эти теоремы к триединой ем-
кой записи:
(Z. С190°) Ч* (с2= о2 + и.
Одна эта формула выражает шесть теорем!
В печати сообщалось, что абитуриенты, легко решавшие тригоно-
метрическое уравнение sin х = 0,5, становились в тупик перед не-
равенством sin х > 0,5. В чем же причина?
В отсутствии укрупненного подхода к теме!
Используя тригонометрический круг, удается без труда выпол-
нить цепь последовательно «укрупняющихся» заданий (рис. 50).
Замена записей даже традиционных теорем, формул и т. п. более
удобными дает заметное улучшение сохранности знаний, полноты и
целостности представления.
Так в учебниках и справочниках теорему синусов записывают в
виде ряда равных отношений:
sin Л sin В __sin С	дх
а “ Ъ ~ с
По этой записи улавливается прежде всего пропорциональность
сторон треугольника синусам противолежащих углов.
Однако формула (I) не содержит наиболее ценного, диалектического
аспекта, а именно того, что имеется в виду не просто треугольник, а
треугольник, вписанный в окружность.
Не запамятуем: лишь совместное рассмотрение треугольника и
описанной около него окружности породило тригонометрию.
-5- = — =	= 2R.	(II)
sin Л sin В sin С
Однако и запись (II)—в силу несимметричности его компонентов—
не достигает полностью цели предельной наглядности (в записи (I)
диаметр описанной окружности вовсе отсутствует).
Рис. 50
114
Наиболее информативным оказалось матричное (I) оформление
рассматриваемого соотношения:
@/sin А \
= 2R sin В I.	(Ill)
\sin С/
Запись (III) имеет следующие преимущества перед обычной за-
писью (I): а) в ней линейные элементы о» fc, с выступают в двоякой
роли: как стороны треугольника и как хорды описанной окружности;
б) в ней дана зависимость не только между двумя величинами
(стороной и углом), но и между тремя величинами: стороной, углом и
диаметром описанной окружности.
Б. П. Эрдниевым испытано в обучении студентов университета
«символическое» обновление аналитической геометрии; так на опыте
удалось обнаружить, что вместо обычной записи уравнения прямой,
проходящей через две точки, в виде
/ —Xj _ у - У!
х2 -хх у2 — У£
целесообразнее запись I у — ух ] = 1 I у2 — I,
\z — Zi) \z2—zj
облегчающая векторное осмысление зависимости (коллинеарность
трехмерных векторов представляется тремя строками в столбце).
Пусть речь идет о записи уравнений, характеризующих прямую
проходящую через две точки в’ пространстве.
Последовательностью обратимых суждений (I) (VII) мы дока-
зываем взаимно обратные теоремы (рис. 51):
«Всякой прямой (0, проходящей через две точки Л4Х и Л42, соот-
ветствует единственное векторное уравнение (одного их видов)
(IV—VII)» и обратно: всякому векторному уравнению (IV—VII)
соответствует единственная прямая (0>.
Указанная граф-схема исключительно информативна, например:
если точки и М2 расположены на координатной плоскости, то эта
же схема дает взаимно обратные теоремы для прямой, расположен-
ной на плоскости. (В этом случае не учитывается третья строка в
координатной записи вектора z = z1 = z2 = 0.)
Сравним следующие умозаключения:
1)	Правило силлогизма:
а)	куб — правильный многогранник (х cz у);
б)	правильный многогранник можно вписать в сферу (у cz z).
Значит, куб можно вписать в сферу.
Символически: (х су; у с г) (х с г).
2)	Транзитивность отношения параллельности (а || b\ b ||
3)	Сложение векторов: АВ + ВС = АС.
4)	Умножение дробей особого вида: — •
115
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
(I)
Л
(п)
Рис. 51
(V
116
		
		Ь2з
				
				(-25
t______I
Рис- 52
г
5)	Умножение матриц (рис. 52).
6)	Свойство логарифмов: logc b • log6 с = logn с.
7)	Дифференцирование сложной функции: zy • ух = zx.
Что же в этих правилах можно заметить общего?
Во всех семи правилах нет никаких совпадающих логических мо-
ментов; однако общий нелогический (но информационный!) фактор хо-
рошо усматривается: в результате каждой операции средний (повто-
ряющийся) элемент выпадает.
При введении какой-либо сложной операции (например, дифферен-
цирования сложной функции) полезно указать на наличие внешней
аналогии этой операции с какой-нибудь из предыдущих.
11. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ АСИММЕТРИЯ
ГОЛОВНОГО МОЗГА И ПРИНЦИП
ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ В ОБУЧЕНИИ
Самое лучшее в моей книге: 1) подчеркнутый уже в
первой главе двойственный характер труда, смотря
по тому, выражается ли он в потребительной или
в меновой стоимости (на этом основывается все
понимание фактов); ...
К. Маркс
В современной гносеологии как одно из важнейших
общенаучных понятий рассматривается принцип дополнительности,
введенный Нильсом Бором.
Этот принцип позволил физикам выяснить полные диалектических
противоречий сущности микромира, выражаемые парами понятий:
волна и частица, точечный заряд и бесконечное поле, положение и
импульс и т. п.
Главная особенность подобных пар категорий заключается в том,
что содержание одного термина пары невозможно разъяснить без
привлечения другого (вспомним гегелевскую формулу «через свое
другое»).
117
Как отмечает чл.-кор. АН СССР М. Э. Омельяповский, дополни-
тельность представляет собой специфическую форму выражения
диалектического противоречия (см.: Вопросы философии, 1977, № 2.
с. 70).
Многочисленные исследования советских философов приводят к
выводу о том, что принцип дополнительности находит полезное при-
ложение «в качестве некоторого регулятивного принципа построения
знания вообще, в качестве основы современного представления о
целостности объекта и знания».
Логично полагать, что приложение принципа дополнительности
к частному виду познания — к обучению — не может не принести
специфического приращения собственно дидактических или методиче-
ских знаний.
Принцип дополнительности тесно связан с содержанием основных
парных категорий диалектики, таких, как анализ и синтез, индукция
и дедукция, логическое и историческое и т. п.
Парные, полярные категории диалектики, будучи применены
совокупно к исследованию процесса познания (в своей извечной не-
разрывной и противоречивой связи), действительно помогают добыть
«глубокие истины»; например, категория «форма и содержание» по-
рождает* новое понятие — «сущность»; сущность же не может быть
постигнута при раздельном или даже отставленном друг от друга при-
менении указанных категорий к изучению явления или объекта.
Только при взаимном оборачивании соответствующих методов
«форма становится содержательной, а содержание — формированным».
В этой связи обретают неожиданно глубокое звучание в дидакти-
ке двойственные суждения: «познавать часть через целое», «выполнять
анализ через синтез», «постичь структуру через функцию»; приме-
чательно, что все эти положения стали предметом внимания педагогов
лишь в последние годы.
В указанных положениях в скрытом виде содержится все та же
дополнительность в сложном явлении обучения.
«Учение — обучение» представляет внутренне противоречивый про-
цесс, объединяющий деятельность наставника и обучаемого; особую
актуальность приобретает проблема взаимосвязи и группировки кон-
кретных приемов обучения с учетом принципа дополнительности.
Становится необходимым преодолеть столь часто встречающийся
формально-логический подход к классификации методов, радополож-
ное (количественное) их рассмотрение, дабы найти общенаучные
критерии для «стыковки» взаимно дополнительных подходов к обу-
чению в целях повышения качества знаний.
В современных работах по дидактике предпринята успешная по-
пытка дихотомического рассмотрения самих принципов дидактики:
научности и доступности; систематичности и системности и т. п.
Каждый из этих принципов в изоляции от функционально-допол-
нительного принципа ограничен в раскрытии содержания дидактиче-
ского понятия.
Именно поэтому вполне оправданным становится в современной
ПК
дидактике «рабочий» вопрос: каким дополнительным методом (упраж-
нением) следует подкрепить результат применения того или иного
Метода (выполнения упражнений)?
В настоящее время из школьного обихода исчезли слова «ариф-
метика», «тригонометрия». Учебники для I—V классов называются
одним словом — «математика»; проф. М. И. Башмаков издал единый
учебник математики для ПТУ. Можно смело прогнозировать, что
Вскоре и для VI—X классов появится единый учебник математики,
Включающий также и черчение, а возможно, и механику. Гораздо
раньше было достигнуто совместное изложение в одной книге теории
и практики математики (правил и упражнений), что позволило преодо-
леть в значительной степени неоправданную избыточность информа-
ции в учебной книге. ,
В большинстве вузов сейчас стало общепризнанным совместное
изложение линейной алгебры и аналитической геометрии, хотя, к
сожалению, у иных авторов эти курсы, оказавшись под одной облож-
кой, по-прежнему сохраняются в отдельных главах! Между тем наи-
Гюльший дидактический эффект получается при создании специфи-
чески нового учебного предмета, когда основные теоремы геометрии
сопровождаются немедленно алгебраическим толкованием и наоборот,
а традиционные алгебраические понятия получают геометрические
интерпретации. На этом пути появятся новые возможности отбора
информации, отделения основного от второстепенного [85].
Приведем пример. Если классифицировать системы двух линей-
ных уравнений с двумя переменными без обращения к геометричес-
ким толкованиям, то приходится различать 5 их видов, включая в
такую систему: (0 • х 4- 0 • у = О
(О • х + 0 • у = 0, которой удовлетворяют координа-
ты любой точки плоскости Л).
Короче говоря, такая система уравнений не имеет точной геомет-
рической интерпретации.
Если же указанные системы уравнений сопровождались бы гео-
метрическими образами, то авторы книг пришли бы к мысли ограни-
чиваться всего лишь тремя видами систем, имеющих реальные геомет-
рические трактовки на плоскости: пересече-
ние прямых (I), параллельность прямых (II),
совпадение прямых (III) (рис. 53).
На рисунке
Рис. 53
119
С = 13 + 1 = 1(Ш)’
I— 6+ 4
Мы видим, что истинное слияние линейной алгебры и аналитиче-
ской геометрии должно пониматься как возникновение новой мате-
матической дисциплины, названной нами «линейной математикой».
Возвращаясь к проблеме учебников, хотим обратить внимание на
то, что в школах ряда стран (ЧССР, ГДР и др.) созданы единые учеб-
ники математики для всех классов. (У нас в Эстонской ССР также
же используются единые учебники математики.)
Создание единых учебников математики для всех классов средней
школы является сейчас неотложной задачей педагогики. Эта проблема
может быть решена только на основе преодоления «АГ-конфликта»
(«алгебра — геометрия»-конфликта).
Проблема дополнительности методов обучения базируется на психо-
физиологических открытиях последнего времени.
Так, органическое сочетание образного и логического компонентов
информации как главное физиологическое условие прочности знаний
следует в конечном счете из недавно открытой асимметричности полу-
шарий мозга (правое полушарие — средоточие образов, эмоций, ви-
зуального мышления, первых сигналов, опыта, прошлого времени,
а левое — речи, логики, счета, второй сигнальной системы, будущего
времени, прогноза)*.
Для левого полушария мозга характерна последовательная обра-
ботка информации, в нем раскрывается логико-знаковый контекст,
и здесь создается внутренне непротиворечивая формализованная
модель мира.
Для правого полушария мозга характерно одномоментное целост-
ное схватывание объекта, в нем раскрывается образный контекст,
и здесь создается диалектически подвижная и диалектически противо-
речивая в своих проявлениях модель мира.
В теоретических работах, анализирующих асимметрии мозга,
приходят к выводу о необходимости разработки «новых методов
преподавания, основанных на максимальном использовании образного
типа переработки информации» (Вопросы философии, 1984, № 4.
с. 86).
Поучительно отметить, что в так называемой «трансформацион-
ной логике» проблема дополнительности исследуется собственно-ло-
гическими средствами.
В одноименной книге академика АН Армянской СССР Г. А. Бру-
тяна приводится следующее рассуждение:
* Обнаружение асимметричности полушарий человеческого мозга еще раз
продемонстрировало гениальность предвидений И. П. Павлова, который писал о
функциональных особенностях двух типов людей (художественного и логического).
Открытие асимметричности считают самым крупным открытием в физиологии после
работ И. П. Павлова.
120
А
писатели
поэты
Рис. 54
формальной логики полу-
F «Некоторые писатели — поэты.
(Некоторые А суть В.)»*
Из этого суждения согласно законам
чаем частноутвердительное суждение:
«Некоторые поэты — писатели.
(Некоторые В суть Л.)»
Это заключение удовлетворяет законам формальной логики; но
здравомыслящий человек такого вывода не делает, а делает правиль-
ный вывод:
«Все поэты — писатели» (рис. 54).
В подобных случаях в сознании человека реализуются правила
трансформационной логики, ибо в мышлении человека всегда присут-
ствует элемент дополнительности (т. е. работает логика подтекста и
логика контекста).
Пусть изучается суждение:
«Во всяком треугольнике против равных углов лежат равные сто-
роны».
Учитель поступит правильно, если эту мысль тут же свяжет с дру-
гой мыслью: «Во всяком треуголь-
нике против равных сторон лежат
равные углы» (с. 33 указанной
книги).
Учет асимметричности полуша-
рий мозга при решении проблем
обучения математике приводит к
выводу о важности «геометризации»
математических знаний.
В результате подключения тем
самым парных механизмов мыш-
ление как бы обретает новое ка-
чество, а доказательства — боль-
шую убедительность.
Рассмотрим ряд следующих за-
нимательных сумм (рис. 55):
1+2+1= 4 = 22
1+2+3 + 2 + 1- 9 = З2
/+2*3*2*/
* Брутян Г. А. Трансформацион-
ная логика. Ереван, 1983.
Рис. 55
ill
Рис. 56
14-2+3 + 44-3 + 24-1 = 16 --= 42 и т. д.
• • • • • • • • • • • • • •
Вывод суммы такого ряда алгебраическим путем (вычислением
суммы двух прогрессий) несложен, но невыразителен.
Однако, применив к этому ряду рисуночный подход (и подключив
тем самым правополушарный механизм переработки информации), мы
видим чрезвычайно убедительный вывод суммы ряда.
Пусть требуется вычислить сумму бесконечного ряда:
Геометрическая прогрессия изучается в VIII классе; однако удач
ный рисунок убеждает даже четвероклассника, что сумма бесконеч
ного числа уменьшающихся слагаемых в данном случае равна 1
(рис. 56).
Здесь систематически увеличивающаяся заштрихованная часть квад-
рата означает сумму конечного числа членов, а неограниченно умень-
шающийся белый прямоугольник — нулевой предел бесконечного
числа членов остаточного ряда.
Кинематографический эффект тающего на глазах белого остаточ-
ного прямоугольника несравним по своей убедительности ни с каким
формально-логическим доказательством для интуитивного постиже-
ния сущности таких сложнейших абстракций, как «предел, равный
нулю», «верхняя граница», «бесконечно малая величина», «бесконеч-
ное число членов» и т. д.
Акад. П. Л. Капица как-то сказал: «Теория —это хорошая вещь,
но правильный эксперимент остается навсегда» (Вопросы философии,
1974, № 9, с. 166).
Перефразируя это, скажем так: логическое рассуждение — хо-
рошая вещь, но правильный чертеж, иллюстрация остается навсегда
в памяти.
Увлечение одними логическими доказательствами вырабатывает
излишний критицизм, перерастающий иногда в скептицизм.
Правы те, которые считают, что надо уважать математическое
доказательство, но и относиться к нему с... подозрением.
Логическое доказательство, состоящее из последовательно напи-
санных или произнесенных слов, одномерно, линейно, а рисунок
(схема, чертеж, график) разгружает аппарат логики, ибо, будучи
двумерным носителем информации, он включает особые механизмы
целостной переработки информации.
Известно, что индийские математики, найдя логически прозрачное,
122
зримое доказательство теоремы Пи-
<|шгора, рядом с соответствующим
рисунком писали лаконичное: «Смо-
три» (рис. 57).
Внимательно рассматривая два
равновеликих квадрата со сто-
роной а + Ь9 мы видим: если из
первого квадрата удалить 4 равных
прямоугольных треугольника (по
одному из каждого угла), а из вто-
рого квадрата удалить те же4 тре-
угольника, но сложенных попарно
в виде прямоугольников, то и остав-
шиеся фигуры будут равновелики.
Итак, индийское доказательство
основано на аксиоме:
«Если от равных отнять равные,
то останутся равные».
Площадь заштрихованного квад-
рата со стороной с (левый рису-
нок) будет равна сумме площадей
двух меньших квадратов соответст-
венно со сторонами а и b (правый
рисунок).
Полезно сравнить данное доказа-
тельство с другим доказательством,
основанным на понятии равнососта-
вленность: квадраты, построенные
на катетах прямоугольного треу-
гольника, разделены соответственно
на 2 и 3 части; из этих 5 много-
угольников складывается квадрат,
построенный на гипотенузе (рис. 58).
Приведенные выше доказатель-
ства существенно отличаются от
алгебраического доказательства теоремы Пифагора, основанного на
понятии «подобные фигуры» и использовании пропорций.
Это доказательство воспринимается проще, если записи пропор-
ций расположить симметрично (рис. 59):
Д АССг Д АВС
!
ACj __ АС
АС АВ
А(\- АВ=АСг=&
Д ВССХ оо Д ВАС
4
BCt _ ВС
ВС ~ АВ
ВС1 . АВ = В& = с?
п
АВ G4G + BCJ — с? + Ь2
123
Наиболее ценный момент для развития мышления учащихся за-
ключается в данном случае в сравнении двух или больше способов
доказательств теоремы Пифагора, поскольку каждое из них основы-
вается на существенно различных геометрических понятиях (равно-
великость, равносоставленность, подобие фигур).
Доказательство трех прямых теорем, связанных с пифагоровым
треугольником, представляет интересное упражнение для учащихся.
Здесь можно найти несколько подходов.
1-й способ. Используем теорему:
«Если две стороны одного треугольника соответственно равны
двум сторонам другого треугольника, то против большего угла, за-
ключенного между ними, лежит большая сторона» (рис. 60).
Соответствующее доказательство трех прямых теорем дано на ри-
сунке 61.
Мы видим, как при сохранении площадей квадратов, построенных
на двух сторонах, площадь квадрата, построенного на третьей стороне
(против угла С), изменяется.
2-й способ. Поучительно также интерпретировать три прямые
теоремы, сравнивая суммы площадей прямоугольников с площадями
тех же двух квадратов (рис. 62).
Идея доказательства заключается в том, что во всех трех случаях
в пределах данного треугольника мы строим два треугольника, по-
добных данному:
А САгВ А СЛВ;
А САГА &САВ и т. д.
Пусть' доказаны три прямые теоремы
(Z. С190°) -> (с2 | а2+ Ь2)-
Соответствующие обратные теоремы доказываются методом от
противного.
Докажем, например, теорему, обратную теореме Пифагора:
«Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадра-
Рис. 60
124
ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
Рис. 62
125
тов двух других его сторон, то против этой стороны лежит прямой
угол».
(Z.C = 90°) «-(<? = о2 + Ь2).	'
Доказательство- Нам нужно доказать, что Z_C прямой.
Допустим противоречащее: пусть этот угол не прямой (Z_ С =# 90°).
Тогда могут быть два случая:
1) либо zl С > 90°;
2) либо Z_ С < 90°.
Если выполняется первый случай (zl С > 90°), то согласно пер-
вой прямой теореме квадрат стороны, лежащей против этого угла,
должен быть больше суммы квадратов двух других сторон (с2 >c2-j-b2).
Но это противоречит условию доказываемой теоремы (с8 =а2 + Ь2).
Если же выполняется второй случай (Z_ С < 90°), то согласно
третьей прямой теореме квадрат стороны, лежащей против этого
угла, должен быть меньше суммы квадратов двух других сторон, что
также противоречит условию доказываемой теоремы.
Итак, остается принять последнюю возможность:
Z_C = 90°.
В данной связи поистине поучительно, что Нильс Бор отнюдь не
ограничивал роль дополнительности сферой одной физики; он писал:
«...такие слова, как «мысль и чувства», одинаково необходимые для
описания объема и богатства сознательной жизни, употребляются в
дополнительном смысле» (Бор Нильс. Атомная физика и человече-
ское познание. М., Изд-во иностранной литературы, 1961, с. 76).
Успех обучения обеспечивается не обилием методов, их количест-
венным разнообразием, а в первую очередь их противоречивым един-
ством, качеством их взаимодополнительности, парности.
Можно, например, избежать чрезмерного выпячивания роли обоб-
щенного и абстрактного знания, если соответственно не упускать
роли диалектического антипода — частного и конкретного знания
в целостном процессе обучения.
Так, в настоящее время для дидактики математики весьма остро
встал вопрос о соотношении алгоритмического и эвристического под-
ходов в обучении, аксиоматического и эмпирического начал, доказа-
тельных и правдоподобных рассуждений и т. п. В данной связи от-
нюдь не случайным является, скажем, успех нашего опыта построе-
ния геометрии на основе сочетания аналитического и геометрического
определения вектора: а) как упорядоченной последовательности дей-
ствительных чисел (координат); б) как направленного отрезка.
Учебник или урок, построенный только на одном из этих логиче-
ских эквивалентных определений, одинаково ограничен в плане ди-
дактики и всегда приводит к ущербным знаниям.
Эффект применения таких взаимно дополнительных определений,
правил, упражнений сравним с бинокулярным зрением (видением
двумя глазами). (Наложение изображений от двух глаз, различаю-
щихся лишь в «неуловимых» деталях, в специфических группах нейро-
нов, как раз и обеспечивает объемность воспринимаемого пространства.)
126
Ограничение одним из взаимодополнительных методов объясне-
ния (изложение в каком-либо одном коде) порождает так называемое
«заблуждение единственной системы отсчета» (Принцип дополнитель-
ности и материалистическая диалектика. М., Наука, 1976, с. 77).
При выполнении взаимодополнительных упражнений второе из
них зачастую выполняет функцию коррекции, исправления ошибок
первого кода. Несоблюдение принципа дополнительности приводит
в дидактике к заметным издержкам.
Так, увлечение линейностью в расположении материала в ущерб
концентричности привело к задержке в развитии школьника, ибо
это противоречит циклическому характеру развития знания (например,
действующие программы I класса напрасно ограничиваются изуче-
нием лишь действий первой ступени — только сложением и вычита-
нием, повисающими в воздухе вне перехода в свернутые формы тех же
действий, т. е. в действия второй ступени).
Почти всеми преподавателями школы и вуза молчаливо принята
формула: «Обучение математике — это решение готовых задач», не
допускающая и мысли о существовании дополнительной формы, а
именно упражнений по конструированию задач.
Сознательное приложение принципа дополнительности к обучению
может дать многообразные положительные результаты.
Так главное средство совершенствования учебника и урока заклю-
чается в умении подавать математическую информацию, как правило,
одновременно на двух кодах: словесном и рисуночном. Здесь — ши-
рокое поле усовершенствования процесса обучения математике.
В наших экспериментальных учебных пособиях укрупнение зна-
ний достигается посредством обеспечения связей между числовым
и буквенным выражениями, между числом и рисунком, между ри-
сунком и формулой. Приведем несколько примеров такой визуализа-
ции знаний.
На рисунке 63 в двух парал-
лельных колонках проиллюстриро-
ваны переместительные законы сло-
жения и умножения, завершающи-
еся объединенной формулой.
Правило округления удается
изобразить наглядно с помощью
стрелок: тонкая стрелка — округ-
ление с недостатком, толстая
стрелка — округление с избытком
(рис. 64).
Или еще: с помощью стрелок
удается сделать предельно нагляд-
ным правило умножения и деле-
ния десятичной дроби на круглое
число (рис. 65).
Чтобы -УУ1***?*1*1* десятичную
разделить
ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЕ ЗА КОНЬ!
СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
Рис. 63
127
О
избытком
10
с недостатком
Рис. 64
2,367-100 = 236,7
236,7:100 = 2,367
I
4
дробь на 10, 100, 1000 ит. д., до-
вправо
статочно перенести запятую ——
влево
на столько цифр, сколько нулей
множителе
В	
делителе
Далее. Известно, что алгоритм
сложения обыкновенных дробей
усваивается четвероклассниками со
значительным трудом:
2	1 _ 3*2 + 2- 1 __ 6 + 5 _ 11
5 + 3 ""	5-3	15 ~ 15*
Однако непростая последователь-
ность преобразований числовых
выражений обретает конкретное
смысловое толкование, если изоб-
разить этот процесс в рисунках
(рис. 66).
У опытного учителя урок мате-
матики не только рассказывается,
но запечатлевается на доске и в тет-
радях рисованной цветной карти-
ной. Так открывается путь к пир-
шеству образной мысли, к деятель-
ности правополушарных механизмов
мозга, корректирующих логико-
знаковый код левого полушария.
Высшим проявлением дополни-
тельности в учебно-познавательном
процессе (как и в познании вооб-
ще!) может служить диалогический
путь достижения истины.
Диалог — это подступ к диалек-
тике знания.
История мышления учит, что
активизация познания наступала
в споре рассудка и разума (у Канта), в столкновении догматического
и опытного начал на заре новой физики (у Галилея), в диалоге Бора
и Эйнштейна, заложившем фундамент квантовой физики, и даже в
вечном внутреннем разговоре раздвоенных личностей в романах
Достоевского.
«Мыслить — значит говорить с самим собой...» (Кант, цитировано
по кн.: Б и б л е р В. С. Мышление как творчество. М., 1976,
с. 5).
Диалогические отношения, подчеркивает М. Бахтин, почти уни-
версальное явление, пронизывающее всю человеческую речь и все
Рис. 65
2
3
Рис. 66
128
отношения' и проявления человеческой жизни, вообще все, что имеет
смысл и значение (там же, с.5). Завершая краткое обсуждение темы
«дополнительности в дидактике», скажем так: дихотомия и диалог —
вот соответственно наиболее очевидная (грубая) и наименее заметная
(тонкая) форма приложения дополнительности в системе учебного
познания.
Есть основания утверждать, что результативность обеих форм
предсказана теоретически и доказана практикой. (Например, в по-
следнее время интенсивно разрабатывается метод диспута учащихся
на уроке как метод обучения в школе.)
12. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ
И МАТЕМАТИЧЕСКИХ УПРАЖНЕНИЯХ
Человек начинает действовать осознанно тогда,
когда имеют место одновременно по меньшей мере
два процесса, причем они могут происходить как
в самом мозге, так и вне его.
Г. Паск
В теоретическом аппарате собственно философии такие
понятия, как «противоречие», «противоположность», «противопостав-
ление», употребляются чрезвычайно часто.
Но эти понятия фразеологически (одно против другого!) предпола-
гают наличие полюсов одного объекта, двух характеристик одного явле-
ния.
Самостоятельный интерес представляет вопрос о возникновении
в науках категории двойственности, являющейся неразвитой формой
диалектического противоречия.
В познавательном отношении понятие «двойственность» примыкает
к принципу дополнительности, будучи как бы ее грубой зародышевой
формой.
В истории мышления, а именно в зачатках математического мыш-
ления сначала возникло противопоставление одного многому.
Всякое множество с числом элементов, большим чем один, восприни-
малось как «много предметов».
Психологический процесс освоения множества, состоящего из
двух элементов, т. е. «двойственного множества», был, видимо, дли-
тельным и нелегким.
Этап дифференцирования трех понятий — единственного, двойст-
венного и множественного — представляется важным этапом в логи-
ческом освоении мира человеком.
Два объекта, порознь воспринимаемые, должны объединиться в
сознании в целостное единое множество, дабы обрести новое качество
«двуединства»*.
* Примечательно, что в русском языке сохранились остатки формы двойствен*
ного числа: один стул, два три четыре стула, но пять стульев.
5 Заказ № ЗМб
129
Арнольд Зоммерфельд писал, что «задачей будущего Канта станет
создание такой теории познания, в которой оба представления фигу-
рировали бы на равных правах и взаимно дополняли друг друга»*.
Выявление двойственности явлений в науках означало крупное
теоретическое свершение.
Таково, например, обнаружение физического и морального старе-
ния техники (в политэкономии), корпускулярно-волнового дуализма
(в физике), электрической и магнитной составляющих во фронте
волны; даже изобретение двойственной итальянской бухгалтерии
(«дебет-кредит») представляется как крупное достижение теоретичес-
кой мысли в соответствующей области.
Любопытные проявления двойственности обнаружены в психоло-
гии восприятия и мышления.
Пбистине, не может быть понятия «голод» без понятия «сытость»,
«мы» без «они», «способный» без «неспособный».
Взаимно двойственны математические суждения с использованием
контрастных понятий вида «над — под», «возрастает — убывает»,
«максимум — минимум», «точка — прямая» (или «точка — плоскость»)
в проективной геометрии и т. п.**.
Проведем несложный психологический опыт.
Если рассматривать долго рисунок, состоящий из двойного квадра-
та (черный внутри белого), то независимо от
нашей воли мы попеременно будем видеть то
черное Дно ямы (колодца), то черную крыш-
ку ящика (рис. 67).
На втором же рисунке с промежутками в
3—5 с попеременно возникают то образ ста-
рухи, обращенной к вам, то образ молодой
женщины, отвернувшейся от вас (рис. 68).
Данные рисунки с очевидностью доказы-
вают, что кора головного мозга работает как
бы по принципу контраста, периодически
«освещая» объект то в одном,то в другом ло-
гическом плане, извлекая каждый раз взаимо-
Рис. 67
Рис. 68
дополнительную информацию.
В любом понятии можно обнаружить связь
между частным и общим. Говоря по-друго-
му, каждое слово обобщает.
Рассмотрим два суждения:
«Число 16 есть кратное числа 2», «Число 2
есть делитель числа 16».
На первый взгляд кажется, что второе
суждение по отношению к первому не несет
• Зоммерфельд А. Пути познания в фи-
зике. М., Наука, 1973, с. 124.
точки
Например: «Три---------
плоскости
определяют единст-
плоскость
вениую--------------
точку
130
новой информации: его содержание как будто «вытекает» из первого,
является его следствием или даже тавтологией.
Однако такие пары мыслей связаны подобно негативу с позитивом,
причем они далеко не эквивалентны содержательно; смысл одном
формы проявляется через сравнение с другой*.
По Гегелю, второе суждение есть по отношению к первому его
инобытие, не тождественное с ним в познавательном отношении.
И. П. Павлов писал, что наши контрастные переживания суть
явления взаимной индукции**.
Подобно тому как один проводник с током индуцирует ток в дру-
гом замкнутом проводнике, одну форму мысли полезно намеренно
сочетать с двойственной ей формой, помогающей глубже познать
изучаемое.
Принцип двойственности является важнейшим для структуры та-
ких отраслей математики, как проективная геометрия, топология,
теория множеств, математическая логика, линейное программирова-
ние и др- Вот пример двойственной теоремы:
,,	го периметра
«Изо всех прямоугольников равно— —----------—
й площади
паи
меньшим
площадью обладает квадрат».
периметром
Взаимно двойственными теоремами являются знаменитые теоремы
Паскаля и Брианшона:
_	описан
«Если шестиугольник -------, то
вписан
прямые, соединяющие
—----------------- противопо-
точки пересечения
ные вершины _	„	точку z
лож-----------, определяют единственную ---------—» (рис. 69).
ных сторон	прямую
А вот сходные свойства двойственных друг другу операций дизъ-
юнкции и конъюнкции:
Дизъюнкция ложна	ложны
«----------------, если все высказывания -----------
Конъюнкция истинна	истинны
Дизъюнкция истинна	-
«-=----------------, если хотя бы одно из данных высказыва-
Конъюнкция ложна
v истинно
НИИ --------->.
ложно
* Примечательно в этом плане и двойственное определение Энгельсом пары
понятий: «удар — это мгновенное трение, трение — это длящийся удар», «явление
существенно, а сущность является», «форма содержательна, а содержание — фор-
мировано» и т. п.
*♦ Согласно учению И. П. Павлова понятие взаимной индукции заключается в
следующем: при работе клеток мозга одного участка одновременно возникает воз-
буждение или торможение и в других частях мозга. В этой связи показателен один
классический опыт.
Было найдено, что в случае предъявления одного из двух слов противоположного
смысла в подавляющем большинстве случаев называлось парное ему слово («вверх» —
«вниз», «мать» — «отец», «прибавить» — «отнять» и т. п.). По-видимому, такие пар-
ные понятия «хранятся» в «кладовых памяти» вместе, почему и проявляются одно-
временно.
Примечательно в данной связи и другое явление, обнаруженное физиологами:
центры противоположных чувств (жажды и насыщения, боли и удовольствия и т. п.)
расположены в мозгу очень близко, лишь в нескольких миллиметрах друг от друга.
5*	>31
М = А/В/ Л А2В2Л AjBj
Рис- 69

Чтобы получить из первого суждения второе, достаточно заменить
понятия им парными «дизъюнкция — конъюнкция», «все — хотя бы
одно», «истина — ложь».
Двойственный характер математических знаний должен учиты-
ваться и при обучении математике.
Так, имеются значительные возможности сделать предметом раз-
мышлений учащихся уже младших классов двойственность содержа-
ния простейших «суждений отношения», памятуя, что из малого рож-
дается великое.
Высказывание
1)	5 < 7.
2)	36 : 3.
3)	К (4) с К (2).
4)	(х : 4) (х • 2).
Читаем слева
направо
Пять меньше семи.
36 — кратное 3 (трех).
Множество чисел,
кратных четырем, со-
держится во множе-
стве чисел, кратных
двум.’
Делимость числа на 4
есть достаточное ос-
нование для дели-
мости его на 2.
Читаем справа
налево
Семь больше пяти.
3—делитель 36.
Множество чисел,
кратных двум, со-
держит множество
чисел, кратных 4.
Делимость числа на
2 есть необходимое
следствие делимости
его на 4.
(Обратим внимание на то, что последние примеры выражают одну
и ту же мысль символически и терминологически в теории множеств
(пример 3) и логике предикатов (пример 4).)
Опыт экспериментального обучения показал эффективность при-
132
ема, когда решенная исходная задача преобразовывается не только в
обратную, но и в двойственную задачу.
Двойственные задачи можно составлять по отношению как к пря-
мой, так и к обратной задаче. Рассмотрим четверку задач:
а)	Исходная задача
В первый день скосили 40 га
посевов, во второй день — в 2 раза
больше, чем в первый день.
Сколько гектаров скосили во
второй день?
Решение
40 • 2 = 80 (га).
в) Задача, двойствен-
ная исходной*
В первый день скосили 40 га,
что было меньше' в 2 раза, чем
во второй день.
Сколько гектаров посевов ско-
сили во второй день?
Решение
40 - 2 = 80 (га).
б)	Обратная задача
В первый день скосили несколь-
ко гектаров, во второй день — в
2 раза больше, чем в первый 1ень.
Сколько гектаров скосили в пер-
вый день, если во второй день
скосили 80 га?
Решение
80 : 2 = 40 (га).
г) Задача, двойствен-
ная обратной
В первый день скосили в 2 ра-
за меньше, чем во второй день.
Сколько гектаров скосили в
первый день, если во второй день
скосили 80 га?
Решение
80 : 2 = 40 (га).
Основная же особенность взаимно двойственных задач: условия
их выражены различными наборами понятий, но решение их одина-
ково. Такие задачи суть выражение одной и той же информации
двумя различными способами (в явной и неявной форме).
Важным средством обновления структуры и углубленного усвое-
ния материала является иногда «расщепление» изучаемой темы в
плане «активного» и «пассивного» подходов к объекту познания.
Математические понятия входят в обиход не изолированно, а в
определенной соотнесенности к другим понятиям, которую выгодно
раскрыть как в пассивном, так и в активном планах.
Сначала рассмотрим простейший пример (рис. 70).
Активный подход
Пассивный подход
9
> —
О 1
X
Рис. 70
А
-ь
3
Активно
Дано начало координат —
точка О и единица масштаба.
Построить точки с координатами
хг = 3; х2 = 5.
Пассивно
Даны две точки А (3), В (5).
Найти начало координат.
* Двойственная задача часто называется в методике начального обучения кос-
венной задачей.
133
Учитель поступит правильно, если при обучении найдет место
задачам обоих видов. Так, построение точек на оси по заданным коор-
динатам — это типовая задача по откладыванию одного и того же еди-
ничного отрезка на координатной оси; пассивная же форма задания
требует деления отрезка АВ между точками с пометками 3 и 5 на две
равные части, с тем чтобы найти величину масштабной единицы. Об-
ращение задания всегда поучительно в информационном плане.
Пусть теперь речь идет об изучении гомотетии фигур.
Если считать активной формой упражнение на построение нового
треугольника, гомотетичного исходному (в одной системе координат),
то пассивной формой можно считать изменение масштаба осей коор-
динат при неизменности самой фигуры.
Активная точка
зрения
Одна система координат
XOY, но два множества точек
АВС и AAG; каждая точка
плоскости имеет один набор ко-
ординат (рис. 71).
Пассивная точка
зрения
Одно множество точек АВС,
но две системы координат XOY
и XjOiYt с общим началом; со-
ответственно каждая точка пло-
скости имеет два набора коорди-
нат (в разных системах коорди-
нат).
Целесообразно также графики некоторых функций при их пре-
образовании рассматривать двояко: при общей мере по осям коорди-
нат (два графика) и при различных единицах масштаба (один график
для двух систем координат) (рис. 72).
Ё*(ДАВС) = Д НЕЕ
(2;<)
0 =
0=45У
В~(1;2) ; ® »(2;4)
Рис. 71
134
Рис. 72
По мнению известного американского математика Стоуна, «коли-
чественные или числовые аспекты следует считать не главными или
характеристическими, а скорее второстепенными для математики в
целом»*.
Данное обстоятельство надобно учитывать в системе упражнений,
акцентируя в необходимых случаях внимание на качественной стороне
математических предложений.
Общепринято, например, ограничиваться графиком функций вида
у = +2х + 5, но никогда не строят графики функций у = 2000х +
4- 500 или у = 0,002*+ 0,05: дело в том, что в школе мало практи-
куются разномасштабные по осям графики.
Вот два задания, предназначенные для уяснения качественной
информации (рис. 73).
1. Построен график линейной функции без указания масштаба
на осях. Прямая характеризует функцию с точностью до знаков ко-
эффициентов (например: у = 2* + 10 или у = 0,02 х + 3).
2. Придумать линейную функцию с такими параметрами, чтобы
ее бесконечные лучи располагались во II и IV четвертях (в I и III
четвертях).
Или известно: а > 0, b > 0; построить примерное положение пря-
мой у = ах + b относительно осей координат.
Постоянное сравнение геометрического и аналитического — одно
из важнейших условий углубленного усвоения математики.
Многие вопросы дидактики, которые затруднительно решать од-
ними логическими средствами, ус-
пешно разрешаются, если найде-
ны удачные графические иллюс-
трации.
Нередко Ь школьные или вузовс-
кие программы по математике не по-
падают некоторые центральные теоре-
мы лишь потому, что еще не найде-
ны «удобные пути» усвоения их преж-
де всего правым полушарием мозга.
* Цит. по кн.: Шусторович Е.
Химическая связь. М., Наука, 1973, с. 4.
Рис. 73
Рис. 74
Рассмотрим несколько характерных теорем, логические доказа-
тельства которых существенно проясняются благодаря удачной ви-
зуализации.
1. Законы Де-Моргана в теории множеств и логике высказыва-
ний. Сначала рассмотрим конкретное толкование одного соотно-
шения.
Условимся о следующем. Пусть множество натуральных чисел
(1, 2, 3, ...) означает квадрат.
Левая, зачерненная часть квадрата означает подмножество четных
чисел, а правая половина будет тогда подмножеством нечетных
чисел.
Разделим тот же квадрат (универсальное множество) на подмно-
жество кратных трем (верхняя половина) и некратных трем (нижняя
половина). Наложив мысленно нижний квадрат на верхний, получим
пересечение двух подмножеств чисел, одновременно кратных как
двум, так и трем (т. е. кратных шести (рис. 74)).
Сформулируем двойственные предложения теории множеств и ло-
гики высказываний.
Пусть речь идет о разъяснении основной теоремы теории множеств
о численности (мощности) множеств (рис. 75).
Пусть на фоне равных квадратов, разделенных на 16 клеток, вы-
делено своим положением и числом клеток в первом случае множество
А (6 клеток), во втором случае множество В (9 клеток).
Накладывая первый квадрат на второй (разумеется, без измене-
ния ориентации), изобразим пересечение множеств А и В (2 клетки)
и объединение тех же множеств (13 клеток).
Теперь можно убедиться в справедливости основной формулы
теории множеств для численностей конечных множеств:
И1+ |В| = иивнип В|.
136
ЗАКОН ДЕ-МОРГАНА
Рисуночное доказательство
АПВ=АЦВ
алЬ = avb
avb = алЬ
Логическое доказательство
Рис. 75
Сумма численностей двух множеств равна сумме численностей объеди-
нения этих множеств и пересечения этих множеств.
Рисунок позволяет создать ассоциации понятия «численность
(мощность) множества» с понятием «площадь фигуры».
2. Закон контрапозиции в математической логике.
«Прямая теорема эквивалентна обратной противоположной».
Словесное доказательство этого закона (в лучших канонах фор-
мальной логики) достаточно абстрактно» что и мешает его официаль-
137
Рис. 76
ному введению (как и логического квадрата) в курс математики сред-
ней школы.
Рисуночный код позволяет доказать эту теореэду поистине «играю-
чи»* .
Начинаем с простейших наблюдений (рис. 76).
Пусть сумма двух изменяющихся слагаемых постоянна:
6 4-4 = 1
(6 4-2) 4-(4-2)= II I
84-2=
Проведем начальные наблюдения:
(6 4- а) + (4 - а) = Ю
Или: если первое слагаемое увеличится на несколько единиц,
а второе слагаемое уменьшится на столько же единиц, то сумма не
изменится (и наоборот).
Далее переходим к языку теории множеств.
Разъяснить доступно учащимся закон контрапозиции чрезвычайно
важно. Для доходчивости разъяснений удобно использовать удобные
графические иллюстрации. Начнем с наблюдения простейших зависи-
мостей, готовящих последующие ассоциации.
В правом верхнем углу показано: если при постоянной сумме
двух слагаемых 10 первое слагаемое увеличить на 2 единицы (6 < 8),
то второе слагаемое уменьшится на столько же единиц(4 > 2) (рис. 76).
На рисунке 77 слева изображены друг под другом три квадра-
та; каждый из них представляет множество натуральных чисел Н.
Пусть квадрат разделен на две части так, что правая, заштрихо-
ванная часть означает множество чисел, кратных двум (К (2)), а левая
часть означает множество чисел, не кратных двум (К (2)).
Изобразим под этим квадратом иное разбиение того же множества
натуральных чисел: кратных четырем (К (4)) и не кратных четырем
W))-
* Неудачи с введением в школу понятий теории множеств и математической
логики объясняются недостаточной методической обработкой вводимых понятий,
т. е. отсутствием разработанной технологии введения этих понятий. Успех дела
обеспечивается тогда, когда учащимся будут объяснены основные теоремы этих
дисциплин (закон Де-Моргана, формула численности множеств, теоремы логического
квадрата и закон контрапозиции); этого удается добиться, используя рисуночные
интерпретации основных теорем математики.
1ЗД
Имеем: К (2) (J К (2) = Н = К (4) (J К (4).
Нетрудно понять, что множество чисел, кратных четырем, седер
жится во множестве чисел, кратных двум:
К (4) с К (2)
(х;4)->(^5 2)
a-* b
Нижнюю запись читаем в терминах математической логики: «Из
кратности числа четырем следует крат-
ность его двум» (пусть это будет прямая
теорема).
Наблюдая на рисунках взаимное по-
ложение множеств-дополнений К (2) и
К (4), получаем суждение новой струк-
туры: К(4) => О).
«Множество чисел, не кратных че-
тырем, содержит множество чисел, не
кратных двум».
КТ4)=> КД2)
(%: 4)ч- (х;2)
а+- b
Или: если число не делится на 2, то оно
не делится на 4.
(Относительно прямой теоремы дан-
ная теорема будет обратной противо-
положной.)
Все эти изменения форм одной и
той же мысли последовательно изобра-
жены с помощью различной символики
на рисунке 77.
Однако верхнее суждение К (4) cz
cz К (2) является основанием для
нижнего суждения К (4) zd К (2) (и
наоборот); таким образом, данные суж-
дения суть равносильные суждения.
Это и есть выполнение закона кон-
трапозиции для логического квадрата:
прямая теорема и обратная противопо-
ложной теорема одновременно истинны
(или одновременно ложны).
Мы видим: уяснению этих непрос-
тых логических соотношений помогает
К(2)и*К(2)=Н
K(4)UK(4)=H
К(4) <= К(2)
К(4) =» К(2)
опять же визуализация; так, скажем,
при переходе от множества К (2) к мно-
жеству К (4) заштрихованный прямо-
угольник уменьшается по ширине {это
означает: К (4) с К(2); соответствен-
Рис. 77
139
fr(m} = 0^
Рис. 78
но незаштрихованный белый прямоугольник К (4) шире соот-
ветствующего прямоугольника К (2) (это и означает:
К (4) э К (2)).
Рисуночный код — вернейшее средство сделать понятным и до-
ступным основные теоремы, которые не входят в содержание школь-
ных программ лишь потому, что они не нашли соответствующего тех-
нологического оформления.
3. На студентов оказывает неизменное сильнейшее впечатление
геометрический способ получения теоремы Лагранжа (одной из основ-
ных теорем анализа) из теоремы Ролля (рис. 78).
Чтобы получить геометрическую интерпретацию теоремы Лагран-
жа, достаточно повернуть рисунок дуги кривой для теоремы Ролля
на некоторый угол относительно осей координат.
Теорема Ролля
(аналитическая формулировка)
Если функция f (х) дифферен-
цируема на отрезке [а, Ь] и ее
значения на концах отрезка рав-
ны, то существует такая точка
М на этом отрезке, что произ-
водная в ней равна нулю.
Теорема Лагранжа
(аналитическая формулировка)
Если функция f (х) диффе-
ренцируема на отрезке [а, &] и
ее значения на концах отрезка
не равны, то существует такая
точка М. на этом отрезке, что
производная в ней равна отно-
шению приращения функции в
концах отрезка к приращению
аргумента.
Понятно поэтому, что геометрическое толкование данных родст-
венных теорем совпадает, почему и легко улавливается как индук-
140
тивный процесс
бобщения теоремы Ролля в
теорему Лагранжа, так и дедуктивный про-
цесс (выведения теоремы Ролля как частного
случая теоремы Лагранжа):
«Если дана всюду гладкая дуга ДВ, то на
ней найдется такая точка М9 что касательная
к кривой в этой точке (МК) параллельна хор-
де А В».
Достойно внимания следующее: аналити-
ческий термин «дифференцируемость» функ-
ции переводится на геометрический язык тер-
мином «гладкость» соответствующего графи-
Рис. 79
ка. Поэтому истинное понимание содержания теоремы психологичес-
ки недоступно, если только не использовать взаимопереходы двух
понятий, выражаемых терминологически как «гладкость кривой»
(геометрия) и «дифференцируемость функции» (математический
анализ).
В восточной философии существует эмблема двойственности —
«инь-ян» (рис. 79). Она изображается «совершенной фигурой» — кру-
гом, символизирующим исходную целостность. Круг разделен плав-
ной линией на белую и черную центрально-симметричные половинки,
представляющие единства всех противоположностей мира (добра И
зла, истины и лжи, земли и неба, темноты и света, положительного и
отрицательного и т. п.). Внутри каждой половины имеется кружок
другого цвета, что означает: противоположное начало возникает в
недрах каждого из членов пары, противоположности проникают друг
в друга.
Половинки круга равны, что соответствует внешней, формальной
тождественности противоположностей; контрастируя цветом, эти
половинки означают полярности по содержанию, по существу.
Рассматривая проблему рационализации обучения математике,
целесообразно учитывать двойственную природу учения, частного
вида познания; говоря конкретнее, уточним эту мысль так: доказа-
тельное и гипотетическое, образное и речевое, словесное и символиче-
ское, теоретическое и практическое, частное и общее, абстрактное и
конкретное, историческое и логическое, геометрическое и аналитичес-
кое, расширение знаний и углубление знаний, активный и пассивный
подходы, количественные и качественные задачи, линейность и кон-
центричность знаний и, наконец, психологическое и логическое —
элементы подобных пар должны проходить в системе методов и прие-
мов обучения различенные, но в неразрывной связи, совместно и од-
новременно, поскольку они реализуются в конечном счете в пределах
одной головы как бы двумя взаимодействующими кодами.
Наиболее значительные дидактические достижения имеют точкой
роста именно уловление перехода одного из членов перечисленных
пар понятий в сопряженный ему, дабы обеспечить понимание проти-
воречивости знаний в единстве его полярностей.
13. МАТРИЦА УПРАЖНЕНИЯ КАК СРЕДСТВО
УКРУПНЕНИЯ ЗНАНИИ
Нервные привычки... не ложатся в нас отдельно,
но парами, рядами, вереницами, сетями...
К. Д. Ушинский
Из изложенного в предыдущем параграфе вытекает, что
одной из характерных особенностей человеческого мышления являет-
ся особая склонность его как бы «к раздвоению единого», поиск во
всем как бы «обратной стороны медали», склонность к парным или
даже четверным мыслительным конструкциям.
Проблема ассоциаций (связей мыслей!) весьма интересна в гносео-
логическом отношении, и здесь многое еще не исследовано.
На самой заре человечества возникли понятия о четырех странах
света и четырех временах года.
Философская система древних строилась на четырех началах:
земле, воде, воздухе и огне.
Склонность человека к делению объектов или явлений по четырем
группам находит и историческое объяснение.
Бинарные (двойственные) или четверные структуры, сходные с
теми, которые выявляются в естественном языке, обнаружены в си-
стеме ритуала, обряда первобытных племен, делении некоторых об-
ществ на четыре клана, в истории культуры.
В современной психологии различают:
а)	четыре «врожденных стремления»: к сохранению своей жизни,
к продолжению рода, к деятельности, к общению;
б)	четыре эмоциональных состояния: чувство, аффект, страсть,
настроение;
в)	опять же четыре вида темперамента, учитывающие силу и инер-
цию психических реакций; сангвинистический — холерический,
флегматический — меланхолический.
По-видимому, приращение или утеря знаний любого рода осу-
ществляется группами, парами. В этом многозначителен следующий
факт: при некоторых ранениях головы больной не различает смысла
пар слов вида «рот — род» или содержание пар понятий, не имеющих
даже сходных фонем, но содержательно близких, таких, как «ста-
рость — младость».
Не только различение сходных фонем, но и различение сходных
по смыслу слов осуществляется пространственно близкими нейронными
механизмами.
Акад. А. Н. Колмогоров указывает, что применение дихотомии
(т. е. деления рассматриваемого множества на два подмножества) су-
щественно облегчает переработку информации* — машиной или моз-
гом безразлично.
Рассмотрим пример простейшей логической операции — класси-
фикации понятий.
• См.: Колмогоров А. Н. Кибернетика. — БСЭ, т. 51.
142
Обычно в школе треугольники делят сразу на три вида: тупоуголь-
ный, прямоугольный, остроугольный.
Гораздо понятнее и полезнее обучать детей применению двух
последовательных дихотомий:
(Вопрос
Название треугольника)
(При такой классификации в практику мышления вводится поня-
тие непрямоугольного треугольника.)
Человеческие знания, слова-понятия — многомерны, многокаче-
ственны.
Например, слово «корень» может означать «корень уравнения»,
«корень глагола», «корень растения»; грамматическая характеристика
этого слова тоже многообразна: существительное 2-госклонения един-
ственного числа; слово это в предложении может нести функцию под-
лежащего или дополнения и т. п.
Способ же передачи человеческих знаний посредством речи одно-
линеен: слова располагаются в фразе во времени одно за другим, по-
добно химическим основаниям в нити наследственного вещества (аде-
лин, тимин, цитозин, гуанин).
Однако информация, передаваемая в мозг основным каналом
зрительной системы, по меньшей мере двумерна.
Известный французский математик Р. Том предпринял топологи-
ческий анализ лингвистических явлений. Он указывает на связи
между следующими, на первый взгляд весьма далекими друг от друга
системами: 1. Во французском языке слог редко содержит более четы-
рех фонем, а слово — более четырех слогов. 2. Генетическая инфор-
мация записывается алфавитом из четырех элементов. 3. По правилу
фаз Гиббса в равновесии может находиться не более четырех незави-
симых физических систем (см.: Топология и лингвистика. — Успехи
математических наук, т. 30, 1975, вып. 1, с. 181).
Мы позволим себе продолжить данную гипотетическую цепь ассо-
циаций: наибольшая прочность освоения достигается при подаче
143
учебной информации одновременно на четырех кодах: рисуночном,
числовом, символическом и словесном. Раннее увлечение одним выс-
шим (словесным) кодом часто приводит к отвлеченным, неточным
знаниям, к «отлету мысли от действительности». Иные даже выдвигают
формулу «сначала — теоретическое, потом — практическое», или по-
другому: «от общего к частному». Между тем успех обучения дости-
гается через взаимосвязь этих категорий, в переходах одного в дру-
гое. Упражнение, главный нерв учения, обретает системное качество
тогда, когда оно содержит в своем составе четыре компонента: а) ис-
ходную задачу; б) обратную задачу; в) составление и решение задачи,
аналогичной исходной; г) обобщенную задачу (причем главной целью
выступает то, чтобы с процессами б), в), г) ученик справлялся само-
стоятельно).
Чл.-кор. АПН СССР проф. В. П- Зинченко пишет: «Визуальное
мышление — это человеческая деятельность, продуктом которой яв-
ляется порождение новых образов, создание новых визуальных форм,
несущих определенную нагрузку и делающих значение видимым»
(Современные проблемы образования и воспитания. — Вопросы фило-
софии, 1973, № 11, с. 46).
Визуальное мышление обладает известной автономностью.
Иначе говоря, всзникновение полезных ассоциаций возможно
не только между понятиями (словами), но и между наглядными обра-
зами.
Возникновение комплекса внутрисистемных ассоциаций между
«носителями информации» одного уровня удается обеспечить спе-
циальными формами упражнений.
В опыте экспериментального обучения Б- Эрдниевым были испы-
таны матрицы (таблицы) задач, графиков и чертежей как емкого носи-
теля информации.
Эффективность этого приема концентрации знаний объясняется в
конечном счете тем, что в них удачно используется способность зри-
тельного анализатора различать четко и очень быстро направления
(влево — вправо, вниз — вверх, на себя — от себя, выше — ниже),
а также способность специализированных нейронов мозга быстро
дифференцировать контрастные раздражители, как-то: дуги и отрез-
ки, острые и тупые углы, толщину и цвет линий и т. п.
Умелое использование комплекса графических образов в качест-
во целостного задания увеличивает определенным образом пропускную
способность мозга, убыстряет протекание на этой базе сложных логи-
ческих рассуждений. Объяснение этому можно найти хотя бы в том,
что зрительные каналы переработки информации в 100 раз мощнее
слуховых.
Имеющиеся в иных книгах графические изображения зачастую
информируют лишь об одном случае из нескольких взаимосвязанных,
поэтому соответствующее явление понимается неполно, статично, вне
изменения и движения.
Работая над системой задач, расположенных в таблице, школьник
постигает динамику явления и полноту представлений, — это и есть
один из методов приобщения к диалектике мысли.
144
(6 = 3 + 3; 9 = 3*3 ит. д.);
Матричность мышления как познавательный принцип имеет зна-
чительную общность: толчком к открытию периодической системы
элементов Д- И. Менделеева послужила привычка великого химика
раскладывать пасьянс.
«Двумерный подход» к знаниям полезно культивировать, начиная
с простейших примеров.
Пусть уже в начальной школе дети приучаются пользоваться при
изучении сложения и умножения хотя бы таблицами Пифагора
(рис. 80).
Внимательно рассматривая эти простейшие матрицы, можно по-
лучить дополнительную информацию, которую трудно добыть при за-
писи таблицы в виде столбца примеров, как-то:
ч	суммы
а)	в клетках главной диагонали располагаются----------равных
произведения
слагаемых
множителей
б)	клетки, симметричные относительно главной диагонали, ха-
рактеризуют переместительность —СУММЫ — (3 _|_ 4 = 4 _|_ 3 = 7.-
произведения
3.4 = 4.3 = 12 и т. д.).
Логично предположить, что работа с таблицами (матрицами) по-
тому более результативна, что в усвоении соответствующих знаний
участвуют особые ансамбли нейронов, улавливающих некоторые со-
ответствия между пространственными и содержательными отношения-
ми элементов таблицы.
Матричность оказывается полезной при обучении и в малом, и в
большом.
1.	Особенно употребительны в обучении простейшие матрицы 2x2.
Четверка примеров:
2 + 3 = 5	5 — 3 = 2
3 + 2 = 5	5 — 2 = 3
2.	Удобно предложить учащимся найти суммы или произведения
четырех чисел двумя способами:
145
г.	* 5	10
25 <	1	4^.	100
	20	1000
Рис, 8!
а)	сначала по столбцам, потом по строкам;
б)	сначала по строкам, потом по столбцам.
Для умножения это выглядит так (рис- 81):
I способ: 2 • 5 = 10; 25 • 4 = 100; 10 • 100 = 1000;
11 способ: 2 • 25 ~ 50; 5 • 4 = 20; 50 • 20 = 1000.
Совпадение результатов, полученных при разном порядке слагае-
мых (сомножителей), еще раз демонстрирует справедливость перемес-
тительного закона для этих действий.
3-	Рассмотрим четверку задач.
«В первый день скосили 40 га посевов; во второй день — в 2 раза
больше	у	, - больше
	, чем в первый день. В третий день скосили на 15 га 	,
меньше---------------------------------------------------меньше
чем во второй день. Сколько гектаров скосили в третий день?»
Решение всех задач выгодно записать компактно опять же в мат-
рице:
ненной информационной единицы, которая, вероятно, кодируется наи-
более компактно и в пространстве мозга.
Говоря по-другому, мозг, проработавший над какой-либо одной
задачей из данной четверки, как бы самопрограммируется на синтези-
рование и решение соседних задач наиболее экономичным путем; при-
мечательно здесь еще и то, что возникновение новой задачи, родствен-
ной исходной, и ее разрешение требуют времени (на порядок!)
меньше, чем было нужно для исходной задачи. Причиной же такого
ускорения переработки информации опять же выступает подключение
специфического механизма правополушарного (неречевого!) мышле-
ния» способного на моментальное (симультанное) схватывание исти-
ны. Поистине матрица — более хитрое изобретение человеческого
ума, чем формула!
146
4.	Весьма поучительно решение следующей четверки задач, ис-
черпывающей все возможные комбинации направлений движения
пух тел относительно друг друга (рис. 82).
Вопрос для всех задач общий: «Через сколько секунд велосипеди-
гы А и В окажутся, рядом?»
5.	Пусть характеристическим свойством, влияющим на форму
роектируемого объекта, будет противопоставление: «видимые — не-
видимые линии» (графически: «сплошные — штриховые линии»)
(рис. 82).
Так мы получаем следующую четверную схему: (И — горизон-
тальная проекция, V — вертикальная проекция).
Сочетая проекции, мы получаем четыре вида; учащиеся проводят
сравнения соседних видов, описывая словами, в чем сходны и чем отли-
чаются члены пары: 1а и 16 (по горизонтали), 1а и 2а (по вертикали),
1а и 26 (по диагонали) (рис. 83).
По такой матрице рисунков удается проводить интересную бесе-
ду, например:
а)	указать вид тела, у которого обе проекции содержат невидимые
линии;
Рис. 82
Ш
J
Рис. 83
Рис. 84
148
Рис. 85
б)	указать вид тела, открытый спереди и сбоку. Будут ли в его
проекциях невидимые линии? Почему? И т. п.
6.	Пусть речь идет об изучении поведения функции в точке в зави-
симости от знака первой и второй производной (рис. 84).
Изучая взаимное расположение элементов матрицы, учащиеся
приходят к следующим выводам:
1) верхняя строка сравнивается с нижней — возрастание функции
(у' > 0) противопоставляется убыванию функции (у' < 0);
2) левый столбец сравнивается с правым — вогнутость (у" > 0)
противопоставляется выпуклости (у" < 0) и т. д.
Надо отметить, что матрицы 2x2 представляют наглядную клас-
сификацию понятий сразу по двум признакам: в рассматриваемом
примере таковыми выступают знаки первой и второй производных
функций (т. е. сочетания возрастания и убывания с вогнутостью и
выпуклостью).
Чтобы научить учащихся быстро различать особенности аналити-
ческих записей основных понятий: точка, плоскость, прямая, вектор,
отображение, — выгодно использовать в качестве канонических наи-
более удобные формы записи алгебраических выражений. На следую-
щем примере покажем, насколько велика геометрическая информа-
ция, связанная даже с единственной точкой, заданной своими коор-
динатами (проекциями) на плоскости и в пространстве (рис. 85).
Точка А = (3; 4).
(Прямая А А у); у
(Прямая ААЛ); х
(Прямая ОА); =
В простр ан<
Точка А = (3; 4; 2).
Вектор О А =
(Pi = пл. AXAVA *, или пря-
мая ЛЛЛ,).
X . Z ___ |
149
(Прямая АлАу);
(Р2 = пл. ОААХ); — = —
\	у* ’ 4	2
(4— прямая А^Ау^);
4 ~	П Р г
(Прямая О Л) ~ =
Пусть далее требуется найти уравнение плоскости ОЛул Лху =
= Р^
Рассмотрим общее уравнение плоскости:
ах + by 4- cz 4- d = 0.
Искомая плоскость Р4 проходит через начало координат (х=/= у ==
= z=0)» поэтому свободный член будет равен нулю (d = 0).
Значит, уравнение искомой плоскости мы должны искать в форме:
2L+JL + ±=o.
т п k
Подставим в это уравнение координаты трех точек О, Ayv Ау^
т — 3, п = —4, k = 2.
Итак, искомое уравнение найдено:
(Р4 = Ш1. ОАугАху); ±-^+|=0.
'	о *	£
Пусть требуется написать уравнение плоскости, проходящей через
проекции точки А на координатные плоскости:
Ръ = пл. AxyAyZAZK (рис. 86).
Поскольку данная плоскость пересекает оси координат, то будем
искать ее уравнение в отрезках:
-4-^- + —= 1.
т п k
Чтобы определить значения трех параметров, достаточно подста-
вить в искомое уравнение координаты
трех данных точек:
150
Итак, уравнение плоскости Рь найдено:
Обратим здесь внимание на то, что координаты точек пересечения
плоскости Ръ с осями координат могут быть определены и точными
построениями в координатном пространстве.
В этих задачах числовыми параметрами служат координаты одной
точки, которую, кстати, и легко изобразить в виде вершины парал-
лелограмма (параллелепипеда), противостоящей началу координат.
Так, на базе точки А = (3, 4, 2) нам удалось создать «минигеометрию»
и написать уравнение пяти различных плоскостей и двух прямых в
пространстве.
Каждое из этих уравнений информационно связано с другими,
ибо является раскрытием одной из сторон содержания общего поня-
тия «точка в координатном пространстве», которое, как мы видим,
оказываётся «неисчерпаемым атомом» структуры геометрии.
В начале изучения графиков линейных функций также дидакти-
чески важно «накопить» зрительные образы различных прямых, удов-
летворяющих определенным условиям.
В этих целях удобно использовать графики прямых с различными
угловыми коэффициентами и свободными членами, причем уместно
использовать угловые коэффициенты даже в виде «неудобных» дробей,
например:
Для построения прямых, заданных уравнениями такого вида,
пользуемся следующими алгоритмами (рис. 87):
1)	Строим систему координат ОХУ и наносим на осях целочислен-
ные деления.
Рис. 87
151
2)	Строим точку А (0; 1) на оси СУ с ординатой, равной значению
свободного члена (у = 1).
3)	В точке А строим прямоугольник ABCD (2 единицы влево,
3 единицы вверх) или прямоугольник AD^Bi (2 единицы вправо, но
зато 3 единицы вниз).
4)	Проводим прямую АС (или ЛСх), которая удовлетворяет урав-
нению у =-----х 4- 1.
Л 2
Описанный прием быстрого построения прямых хорошо усваиви»
ется учащимися или студентами; этим приемом они достаточно точно
(пусть от руки) могут построить много прямых, позволяющих полу-
чить качественную зрительную информацию (например, о взаимном
положении прямых, о влиянии на положение прямых значения углово-
го коэффициента, значения свободного члена и т. п.).
Умелое использование достаточно значительного числа графических
образов увеличивает пропускную способность мозга, убыстряет про-
текание соответствующих сложных логических рассуждений, облег-
чает математические обобщения.
Так, в шестых классах графически решается система линейных
уравнений с двумя переменными, а системы соответствующих линей-
ных неравенств оставляют на старшие классы.
В нашем опыте, пользуясь одними и теми же графическими обра-
зами, удалось успешно изучить системы линейных уравнений и нера-
венств с двумя переменными в одной теме VI класса (рис. 88).
На рисунке показано, как вначале были построены две прямые,
представляющие систему двух линейных уравнений с двумя*перемен-
ными.
Прямая МК имеет уравнение х + у = 2, а прямая МА — уравне-
ние х = —1.
На втором рисунке показано на основе тех же изображений пря-
мых решение системы неравенств:
х > —1 (заштрихована полуплоскость правее штриховой прямой
Л4Л); это — первое неравенство (строгое неравенство); второе (не-
строгое) неравенство системы х + у 2 имеет решением полуплос-
кость, заштрихованную под сплошной прямой МК-
На третьем рисунке показано с
юмощью тех же прямых и еще оси
)Х решение системы трех нера-
енств с двумя переменными.
Решениями систем будут: в пер-
ом случае — точка М (—1; 3),
о втором — открытая бесконечная
бласть (Z_ АМК), в третьем —
ткрытая конечная область
ДЛ/ИК).
Предлагаем читателю написать
истему четырех неравенств с тре-
1Я «переменными»» выражающих
гножество точек «замкнутого»
етраэдра О А ВС, изображенного
а рисунке 89.
Рис. 89
Удобным средством плотной «упаковки» знаний на небольшом
[ространстве является матрица изображений, которая вносит не
олько системность в знания, но и помогает добыть недостающую
скрытую) информацию.
Знание вне матрицы — внесистемное знание, неполное знание.
Так, при изучении асимптот полезно изобразить четыре возмож-
ых случая сближения кривой с осью абсцисс (рис. 90).
Логика распространенных упражнений по математике такова,
то классификация объектов обычно ограничивается лишь одной ди-
отомией, например: натуральное число либо кратно двум» либо не
ратно двум; в другом случае множество натуральных чисел разби-
Рис. 90
!53
вают на два подмножества, но уже по делимости, скажем, на число
пять:
К (5) U К (5)= Н, К (5) П К (5) = 0.
Однако более поучительным оказывается деление множества на
четыре подмножества (т. е. одновременно по двум основаниям клас-
сификации).
Пусть речь идет о классификации множества всех натуральных
чисел от 1 до 20 по делимости и неделимости на 2 и на 5.
Решение удобно представить опять же матрицей 2x2.
	*:2	х- 2 •
х • 5	и на 2 и на 5	на 5, но не на 2
*: 5	на 2, но не на 5	ни на 2, ни на 5
С использованием понятия «численность множества» становится
возможным решать группу содержательных задач.
Приведем пример.
«В школе (Ш) всего 400 учащихся. Из них в музыкальных круж-
ках (М) занимаются 130 человек, а в спортивных кружках (С) — 190
человек. Известно, что одновременно и спортом и музыкой (М П С)
занимаются 40 человек. Сколько человек занимается только в одном
кружке?»
Решение подобных задач существенно облегчается, если вначале
представить ее условие в виде матрицы:
Ш= 400	М= 130	м = п
С= 190	М П С= 40	МГ)С=П
с= □	М П С = С	м п с = п
В таблице мы разместили все данные числа. Каждая пустая клет-
ка может быть заполнена (может стать вопросом задачи).
Нахождение чисел для пустых клеток матрицы упрощается, если
учесть, что на входах матрицы указаны числа, являющиеся суммами
двух других чисел, отмеченных внутри матрицы в клетках одного
ряда или одного столбца.
Рассматриваем, например, первый столбец:
Всего школьников 400 человек, или Ш = 400. Из них спортом
занимаются 190 человек: С = 190.
Тут же возникает вопрос: сколько человек не занимается спортом?
Решение. С = Ш— С = 400 — 190 = 210 (чел.) и т. д.
Найдем теперь, сколько человек занимается хотя бы в одном круж-
ке. Руководствуясь составленной матрицей, получаем последова-
тельно:
154
1)	Не занимаются музыкой: М = Ш — М = 400 — 130 = 270.
2)	Не занимаются музыкой, но занимаются спортом:
Мр С = С — МП С = 190 — 40= 150.
3)	Не занимаются ни музыкой, ни спортом:
М П С=М —М П С = 270— 150= 120.
4)	Занимаются хотя бы в одном кружке:
Ш — М П С = 400 — 20 = 380. И т. д.
Структурной особенностью таких задач является то, что~в них
явно используется понятие «численность (конечность) множества», а
также символы перечисления, объединения и дополнения множеств.
К тому же такое упражнение допускает множество вопросов, выявляю-
щих смысл логических связок «только», «хотя бы» и т. д.
Если бы освоение главных идей теории множеств в школе базиро-
валось на решении подобных целесообразных задач с конечными мно-
жествами, то судьба данного нововведения, несомненно, была бы более
удачной.
Мы здесь снова убеждаемся в прозорливости великого революцио-
нера в науке Н. И. Лобачевского, сказавшего: «В математике важнее
всего способ преподавания».
14. СИСТЕМНОСТЬ ЗНАНИЙ КАК РЕЗУЛЬТАТ
УКРУПНЕНИЯ ДИДАКТИЧЕСКОЙ ЕДИНИЦЫ
Порядок или организация у целого или системы
выше, чем у изолированных частей.
Л. Берталанфи
... Крупные структуры имеют большую устойчи-
вость.
А. А. Ляпунов
В последние годы в ходе развития кибернетики успешно
развивается новое научное направление — общая теория систем*.
Примерами систем могут служить: автоматизированные заводы,
энергосистемы, всемирная метеорологическая служба и, конечно,
центральная нервная система, а также функциональные системы ор-
ганизма, в частности мозга, и др.
Разумеется, есть смысл говорить о системе знаний человека, ска-
жем о системе математических знаний. Возникновение системного
* О значимости н размахе этого научного направления говорит следующее.
В 1973 г. организован Международный институт прикладного системного анализа
(МИПСА), членом которого стала АН СССР. Одна из проблем указанного института —
«Оптимизация и управление сложными динамическими системами» (см. Вестник
АН СССР, 1974, № 6).
1Б5
качества знаний зависит от множества факторов: от порядка располо-
жения изучаемых разделов и их
эзга
рмления в учебнике; от структу-
ры упражнений на уроке и наличия информационных связей между
соседними заданиями; от логики объяснений учителя и т. п.
Несколько забегая вперед, отметим: если освоение знаний осуще-
ствляется укрупненными порциями, то создаются лучшие условия для
возникновения и системного качества знаний, ибо элементы знания
образуют укрупненную единицу усвоения лишь благодаря много-
образным связям между этими элементами.
Общее понятие «система» (так же как и «информация»), хотя еще
и Tie получило в науке общепризнанного определения, но находит
полезное применение в теоретическом анализе сложных явлений.
Основоположник общей теории систем биолог Л. Берталанфи
системой называет «комплекс взаимодействующих компонентов»*.
Однако, как справедливо было отмечено П. К. Анохиным, понятие
«взаимодействие» в силу чрезвычайной его абстрактности не может
выявить роли системообразующего фактора. (В самом деле, не осо-
бенно много информации содержат прописные истины того рода, что
любой атом притягивает любой другой атом Вселенной или что любое
знание взаимодействует с любым другим знанием, имеющимся в одной
и той же голове.)
П. К. Анохин предложил более содержательное определение:
«Системой можно назвать только такой комплекс избирательно во-
влеченных компонентов, у которых взаимодействие и взаимоотноше-
ние приобретают характер взаимосодействия компонентов на полу-
чение фокусированного полезного результата»**.
Учебный предмет, производимый от соответствующей науки, по
отношению к ней выступает в роли подсистемы, обладающей опреде-
ленной автономностью***.
Процесс отражения структуры науки в системе учебного предмета
не простой, а творческий, в известном смысле скрытый от поверхност-
ного анализа.
Так, сравнивая учебники математики разных стран, мы обнару-
жим чрезвычайную пестроту как в отборе материала, так и в структуре
упражнений, и в порядке изучения разделов, хотя, вообще говоря,
в них речь идет в основном об одном и том же традиционном наборе
подлежащих изучению базисных понятий математики (целые и рацио-
нальные числа, простейшие уравнения и их графики и т. п.).
Упрощенно говоря, из одних и тех же элементарных знаний можно
образовать различные системы знаний.’
* Берталанфи Л. Общая теория систем (критический обзор). — В сб.:
Исследования по общей теории систем. М., Прогресс, 1969.
•* Анохин П. К. Принципиальные вопросы общей теории функциональ-
ных систем. — В сб.: Принципы системной организации функций. М., Наука, 1973,
с. 28.
♦** Уже появились сочинения, посвященные системному изложению отдель-
ных отраслей знаний, например: МоскальскийО. И. Проблемы системного
описания синтаксиса. М., Высшая школа, 1974; Платонов К. К. О системе
психологии. М., Мысль, 1972.
156
Даже при общности программ и учебников (но под руководством
разных наставников!) возникают неидентичные системы знаний с
разной устойчивостью к сохранению во времени, с разным уровнем
обобщенности и с разными потенциями к саморазвитию. (Мы здесь
намеренно отвлекаемся от влияния на результаты усвоения способ-
ностей учащихся.)
По-видимому, ведущим системообразующим фактором (созидаю-
щим системное качество знаний) в обучении выступает прежде всего
технология обучения, применяемая педагогом.
Исследователи справедливо подчеркивают примат метода над пред-
метом изучения, считая, что для развития мышления важно не столько
то, чему учат, сколько то, как учат.
Однако симптоматично, что психологи отмечают унылое одно-
образие современных методов обучения: «В школах стран Европы
господствует чистейшее заучивание» (С е к е й Л. Знания и мышление.
В сб.: Психология и мышление. Сборник переводов с немецкого и
английского. М., Прогресс, 1966, с. 382).
В методике обучения надо разграничивать понятия «систем-
ность знаний» и «систематичность знаний».
Под последним обычно понимают строгое следование последова-
тельности изучения тем и разделов, предусмотренных программой
или учебником.
Однако не всякое систематическое изложение приводит к систем-
ности знаний.
Знания, получаемые школьником, по ряду причин могут не обре-
сти системного качества и оставаться неорганизованным набором
сведений, вследствие чего память детей переполняется осколками раз-
розненных знаний.
Сравним внимательно решение двух задач на построение циркулем
и линейкой:
а)	деление отрезка пополам;
б)	опускание перпендикуляра на прямую из точки, данной вне
прямой (рис. 91).
В обоих случаях в конечном счете строится одна и та же фигура —
ромб.
Этот чертеж является моделью конструктивного решения почти
всех основных задач на построение с помощью циркуля и линейки,
предусмотренных школьной программой, а именно:
1)	прямого угла ВОС;
2)	взаимно перпендикулярных прямых (AC I BD);
3)	перпендикуляра ОВ к прямой АС, проходящей через точку О
(данную на прямой Л С);
4)	перпендикуляра ОВ к прямой АС, проходящего через точку В
(данную вне прямой АС);
5)	середины отрезка АС;
6)	половины угла ВАС;
7)	половины дуги ВАС;
8,	9) прямоугольного треугольника АОВ по его катетам ОА и ОВ
(и прямоугольника по его двум сторонам);
157
АО = ОС
ВО LAC
Рис. 91
10,	11) прямоугольного треугольника АОВ по гипотенузе и катету
ОА (и прямоугольника по диагонали и катету);
12)	ромба по двум его диагоналям АС и BD;
13)	ромба по его стороне АВ и одной из диагоналей АС. И т. п.
В действующих школьных учебниках все эти задачи на построение
излагаются порознь, даже в разных главах или книгах, причем нигде
не указано на общность решения этих задач.
В нашем опыте решение нескольких задач на построение, имею-
щих такой общий чертеж, осуществляется совместно и одновременно.
15»
Различие решений заключается зачастую лишь в последователь-
ности операций, а завершается получением одной и той же конфигу-
рации из прямых и окружностей.
Очевидно, в подобных случаях системность знаний достигается
прежде всего благодаря общности чертежа (изображения).
Соответственно этому решение таких задач удобно назвать решением
методом ромба, ибо фигура ромб выступает моделью семейства задач.
Системные представления помогают теоретически предвидеть пре-
восходство одной последовательности знаний перед другой.
Рассмотрим пример.
Линейное уравнение (I) (2х —3 = 0) связано как с обобщенным поня-
тием высшего уровня — квадратным уравнением (II) (ах2 + bx J- с = 0),
так ис понятием того же уровня: линейной функцией (III) (у = kx + р)»
линейными неравенствами с одной переменной (IV) 2х — 3 = 0, линей-
ными неравенствами с двумя переменными (у) у = 2х — 3.
При составлении программы приходится решать вопрос: чему от-
дать предпочтение — или после линейного уравнения (I) изучать квад-
ратное уравнение (II), затем (III)» (IV), или объединитьв единой ук-
рупненной теме «Линейные функции, уравнения и неравенства» ком-
поненты (I), (HI), (IV), (V), перенеся (II) к следующему циклу знаний*.
Оставаясь на позициях формальной логики («чистого математика»),
мы бессильны решать подобные дидактические задачи.
Традиционное обсуждение вопроса в пределах «самой в себе
дидактики» также не обнаруживает здесь проблемы.
Пресловутый «здравый смысл» твердит: не все ли равно, что за
чем изучать, какой раздел совмещать с каким—лишь бы не было во-
пиющих ошибок типа 2-2=5.
На этом примере хорошо видно то, что компонентами системного
знания выступают логически разнородные понятия: функция (у =
— 2х — 3), неравенство (2х — 3 >0), уравнение (2х — 3 = 0)**.
Заметим, что эти понятия записаны с помощью небольшого количества
общих символов — букв, цифр (2, х, 3).
Соответствующие задания, предложенные в совместной записи
(2х — 3 = 0 и у =2х — 3) и наглядно реализуемые на одном рисун-
ке, несомненно, выступают в качестве не только и не столько взаимо-
действующих, сколько взаимосодействующих компонентов. Одно
из этих знаний помогает, содействует удержанию в памяти другого
родственного знания (рис. 92).
В самом деле, из того, что неравенство 2х — 3 > 0 имеет решение
х > 1,5, автоматически вытекает («видно из положения графика»)
решение соответствующих:
* Стало быть, невыгодно изучать в отдельных темах только уравнения или
только неравенства. По аналогии квадратные функции, уравнения и неравенства
тоже выгодно объединить в «системный блок» (в одну тему).
•• Подобно тому как молекула воды образуется из разнородных атомов кисло-
рода и водорода.
Ж
(левее)	(правее)
2х-3<0 2х-3=0 2х-3>0
уравнения
2х — 3 = О,
х = 1,5;
неравенства
Рис. 92
2х — 3 < О,
х < 1,5.
Разумеется, описанное здесь —
не более чем упрощенная модель
сложного явления: в математике
слишком многие элементы изучают-
ся порознь, вместо того чтобы в со-
ответствии с логикой их связей изу-
чаться совместно, дабы образовать
систему знаний, которая, подобно
живому кристаллу, была бы устой-
чива по отношению к разрушающе-
му воздействию времени.
Знания, образовавшие систему,
выступают в новом свете: из одного
компонента системы, потенциально
содержащего информацию о всей
системе, часто бывает легко вывес-
ти соседние элементы, подвергшие-
ся забвению по той или иной при-
чине. Одно звено (ячейка) вытяги-
вает всю цепь (сеть) знаний.
При решении структуры расположения материала особенно важ-
ным представляется выбор стержневого понятия темы, или, в терми-
нах теории систем, системообразующего фактора. Мы выше указали,
что в символическом плане таким фактором может выступать общность
значения параметров в родственных упражнениях и неравенствах.
Мы видим, как отвлеченные представления о системности могут
нам помочь при решении сугубо методических проблем, например:
темы о линейных уравнениях, неравенствах и функциях надо строить
вокруг логического стержня — построения графика линейной функ-
ции, которая должна быть первым параграфом данного концентра
знаний.
Сказанное верно прежде всего потому, что построение графика и
оперирование им означает подключение правополушарных механиз-
мов переработки информации.
Главным системообразующим фактором, несомненно, служит гра-
фик функции; поэтому также построение параболы должно предварять
и сопровождать соответственно решение квадратных уравнений и
неравенств на всем протяжении изучения этих вопросов.
Простейшая система — парная, состоящая из двух компонентов,
противоположных в каком-либо отношении, но содержащих также
общие носители информации. Метод противопоставления в обучении
160
оказывается действенным, в сущности, потому, что он содействует
возникновению исходных парных (системных) знаний, составных еди
ниц усвоения (скажем, сложение и вычитание, изучаемые совместно
образуют обобщенное понятие «действия первой ступени»).
Главнейшей особенностью укрупненной единицы усвоения явля
ется то, что она создает лучшие условия для постижения богатств:
связей и переходов между компонентами единого знания.
Чтобы проиллюстрировать последнее, рассмотрим различные ком
бинации множеств точек, выраженных условиями: у = х; х2-}- у2 = 1.
На данном примере (рис. 93) хорошо видно то, как матричност!
6 Заказ № 3993
Рис. 93
161
представлений выступает модным стимулом возникновения систем-
ности знаний. В самом деле, изображенные в клетках подмножества
точек образуют универсальное множество точек плоскости. Это мно-
жество может быть разбито на три подмножества точек двумя спосо-
бами: если рассматривать множества точек по каждой из вертикалей,
то получим соответственно: «открытый круг» (х2 + у2 < 1), окруж-
ность (х2 + у2 =» 1), в сумме дающие замкнутый круг (х2 + у2 1),
и, наконец, дополнение замкнутого круга до плоскости (х2 + у2 > 1).
По горизонтали изображены иные подмножества точек, а именно:
открытые полуплоскости соответственно без -ниж-е- границы и пря-
верхней
мой у = X.
Рис.94
Рис 96
162
Резюмируем: системное знание—
это такое знание, в котором воз-
никает как бы двумерная (много-
мерная) упорядоченность знаний и
при котором одно и то же знание
входит компонентом в несколько
систем или подсистем.
Поясним сказанное.
Прямая у = 2х —3 может быть
элементом следующих систем:
1)	множества параллельных
прямых: у = 2х + с (при с 3)
(рис. 94);
2)	множества пучка прямых,
проходящих через точку М (1,5; 0),
1	1.5 ,
а именно: у = — х--------(при
k = 0,5) (рис. 95);
3)	множества пучка прямых,
проходящих через точку (0, —3):
у = kx — 3 (при k = 2) (рис. 96);
4)	множества всех прямых плос-
кости, заданных общим уравнением
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Рис. 98
(рис. 97).
Системность знаний достигается
и благодаря использованию граф-
схем.
Рассмотрим, например, теоремы
о трех перпендикулярах.
Взаимообратность этих теорем
становится наиболее наглядной,
если мы составим объединенную
граф-схему доказательства этих
теорем.
Структура данных взаимно об-
ратных теорем позволяет написать
их формулировки воедино (рис. 98):
«Если из некоторой точки А про-
ведены к плоскости а перпендику-
ляр ААг и наклонная Л В и в этой
плоскости проведена прямая CD,
перпендикулярная к ------наклонной АВ---
проекции наклонной
___________	проекции наклонной AYB
соответственно перпендикулярна к —-------------------—
наклонной АВ
Сравним словесное изложение доказательств обеих теорем, которое
также можно записать совместно:
, то данная прямая CD
163
1.	Так как по условию прямая ЛЛХ перпендикулярна к плоскос-
ти, то она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плос-
кости, в частности и к прямой CD.
2.	Прямая CD, перпендикулярная к двум прямым	dd1-?—t
ААг и АгВ
перпендикулярна к плоскости 0 = (ЛЛ1В), образуемой этими пря-
мыми.
3.	Но в плоскости 0 лежит третья	к которой будет
прямая АВ
перпендикулярна прямая CD.
Благодаря граф-схеме можно увидеть, что записи доказательств
данных взаимно обратных теорем отличаются всего лишь одной де-
отсутствнем
талью------------- индекса
наличием
Примечательно, что учителя математики постоянно ищут разные
способы доказательства этой теоремы, публикуя в журналах все но-
вые варианты.
По-видимому, граф-схема позволила здесь достичь предельной на-
глядности доказательства. (Толстые сплошные стрелки — прямая
теорема, тонкие штриховые — обратная теорема.)
при букве А.
15.	САМОУКРУПНЕНИЕ ЗНАНИЙ
... Главное внимание устремляется именно на по-
знание источникя<само»движення».
В. И. Ленин
В опыте экспериментального обучения по нашим учеб-
никам было замечено, что при этой системе учащиеся на уроках боль-
ше рассуждают, больше производят самостоятельно мыслительных
операций.
Это объяснимо дидактически: укрупнение единиц усвоения обяза-
тельно приводит к возрастанию информационного потока, проходя-
щего в единицу времени через органы восприятия школьника.
Однако интересно то, что, по-видимому, позитивный эффект (ко-
нечно, выраженный значительно слабее) имеет место и в том случае,
когда достигается ускорение подачи учебной информации и другими
путями, чем обсуждаемая в книге целенаправленная система укрупне-
ния дидактических единиц.
Начнем с описания фактов.
В известных исследованиях Л. В. Занкова была установлена
эффективность принципа обучения быстрым темпом, который при-
водит, естественно, к усвоению большего числа слов, понятий, логиче-
ских и фразеологических оборотов задач за урок по сравнению с тра-
диционной методикой.
В исследованиях учителей была также установлена возможность
ускоренного ознакомления с большей, чем обычно, дозой теоретичес-
164
кого материала, когда на одном уроке рассматривается материал двух-
трех обычных уроков.
Этот подход применяется, однако, без изменения последователь-
ности тем в действующих учебниках, без внедрения структурно-
новых форм упражнений, т. е. приемов укрупнения дидактических
единиц.
Даже такое «сжатие гармошки» изучаемого материала без его пере-
структурирования имеет следствием сокращение времени усвоения
программного материала.
Далее. Еще Ньютон указывал, что примеры учат лучше теории.
На значимость метода накопления фонда решенных задач проли-
вают свет и воспоминания акад. Г- Н. Лузина о своих гимназических
годах. Он писал: «Учителя по математике, по геометрии особенно,
заставляли учить наизусть теоремы и доказательства.
Механическая память у меня была слабая, и я стал все отставать и
отставать. Учился я средне из-за «фантастики» и отсутствия механиче-
ской памяти, т. е. способности «зазубривания». Я стал приносить из
гимназии отметки по математике 4, потом 3, потом 2. Здесь отец на-
нял мне репетитора... Студент, благодаря моей судьбе, оказался очень
даровитым. Он заметил мою неспособность к механическому запоми-
нанию и поставил дело на дальнейшее развитие фантазии, оплодотво-
ренной логикой. Именно он прямо заставил меня решать задачи из
задачника Рыбкина по тригонометрии и геометрии. Когда же я стал
возражать, говоря, что для этого надо знать теорию, т. е. «зубрить»,
он отвечал: «Ну, она-то вам и будет ясна из практики». Короче, я,
минуя всякую схоластику и зубрежку, прямо начал под его наблюде-
нием решать задачи, справляясь с теорией по мере лишь необходимо-
сти и беря из нее лишь то, что непосредственно нужно было для реше-
ния задачи и получения ответа, указанного в задачнике. Этот метод
позволил мне познакомиться с теорией не путем зазубривания, а со-
вершенно реально, как с ресурсом необходимости. Мои отметки по
математике стали повышаться, возвратилась «тройка», потом «четвер-
ка», а через год и «пять». Я стал лучшим «решателем задач» в классе.
Но, хотя теорию (алгебры и геометрии) я знал, однако все же не пони-
мал ее внутренне: у меня уже стал появляться научный вкус» (Мате-
матика. Сборник научно-методических статей. М., Высшая школа,
1972, с. 114).
Имеются основания полагать, что благодаря большому числу ре-
шенных задач у Лузина-школьника возник своеобразный качествен-
ный скачок в знаниях.
Решение конкретной задачи служило у него как бы центром кон-
денсации необходимых теоретических знаний.
(В школе же распространен единственный вариант — «от теории
к практике» вместо варианта «практика — теория — практика».)
Феномен непроизвольного расширения знаний установлен и в
опытах по усвоению иностранного языка, когда учительница, созна-
тельно увеличивая лексический диапазон каждой группы слов, доби-
валась того, что дети изучали за то же время в четыре раза больше
165
терминов, чем предусмотрено по программе (Кривонос И. Никакого
гипноза. — Учительская газета, 1977, 8 марта).
Во всех перечисленных случаях мы встречаемся с неизвестным
ранее в теории новым дидактическим явлением, которое мы решимся
назвать «самоукрупнением знаний», совершающимся непроизвольно,
спонтанно, на уровне подсознательной информации.
Педагоги-теоретики отмечали случаи, когда новое качество в обу-
чении или воспитании возникает как бы неожиданно, скачкообразно,
как результат накопления малозаметных положительных сдвигов в
знаниях.
Самоукрупнение знаний выступает как одно из проявлений диа-
лектического положения о саморазвитии мысли человека, которому,
очевидно, благоприятствуют указанные выше новаторские поиски.
Дабы уяснить сущность самоукрупнения, используем отдаленные
аналогии на основе модельных представлений.
Первая модель. Наиболее грубой моделью самоукрупне-
ния знаний может быть обычная утряска вещей. Если набросать, ска-
жем, в мешок в беспорядке предметы разных конфигураций и не-
сколько раз встряхнуть его, то объем, занимаемый содержимым, не-
много уменьшится (ранее не соприкасающиеся предметы вступают в
связь— механическое зацепление— и занимают теперь гораздо мень-
ше пространства, чем до встряхивания).
При этом связи и зацепления между предметами, возникшие по
закону случая, нередко оказываются устойчивыми; так, вытряхивая
содержимое мешка, мы насчитываем меньшее число «укрупнившихся
субъединиц».
Проводимое нами планомерное укрупнение знаний удобно сопо-
ставить с иной моделью (по организации более высокого ранга); эф-
фект укрупнения в нашем опыте подобен сознательному монтажу це-
лых агрегатов из деталей по заданной программе, в то время как про-
цесс самоукрупнения внешне похож на самоукладку деталей...
«встряхиванием».
Вторая модель. Американский генетик Пенроуз проводил
успешные опыты по моделированию процесса самовоспроизведения в
биологии. В этих целях он брал пластмассовые фигуры двух видов
Л и В, которые могут конструктивно соединяться только двумя спо-
собами (АВ или ВЛ).
Если среди одинарных фигур случайно образуется хотя бы одно
сочетание АВ, то вскоре в результате дальнейших столкновений
фигур вокруг исходной пары АВ образуется последовательность иден-
тичных пар АВ — АВ — АВ — АВ\ однако при этом никогда не об-
разуется другое сочетание — ВА\
Если же, напротив, первым образовалось сочетание ВА, то оно
инициирует возникновение подобных же пар ВА — ВА — BA — ВА
(но тут уже не возникает сочетания АВ) (см. Математика в современ-
ном мире. М., Мир, 1967, с. 129).	।
Методически важна здесь возможность механической демонстра-
ции самопроизвольного укрупнения фигур, складывающихся из бо-
лее мелких частей. (Биологи исходят из того, что возникновение пер-
166
вичных органических веществ в теплых водах Земли носило примерно
такой же случайный, но в итоге и неизбежный характер. Жизнь не
могла не зародиться, коль скоро существовали соответствующие усло-
вия!)
Разумеется, понимание сущности процесса укрупнения знаний
требует даже в модельном представлении гораздо более тонких ана-
логий, чем описанные выше.
Третья модель. В последние годы некоторые исследователи
предприняли попытку объяснить характер бессознательных мысли-
тельных процессов, уподобляя соответствующие нервные процессы
квантовым физическим явлениям (см. Прогресс биологической и ме-
дицинской кибернетики. М.» Медицина, 1974, с. 275).
В познавательном отношении чрезвычайно интересен понятий-
ный аппарат, связанный с понятием квазичастицы (см.: Кога-
нов М. И., Л и ф ш и ц И. М. Квазичастицы, идеи и принципы
квантовой физики твердого тела. М., Наука, 1976, с. 75).
Понятие квазичастицы, введенное И. Я- Френкелем, отражает
коллективное взаимодействие группы элементарных частиц вещества.
Если представить теоретически это взаимодействие группы частиц
стремящимся к нулю, то квазичастица переходит в частицу.
Понятие «квазичастица» позволило объяснить некоторые сложные
физические явления, не поддававшиеся ранее теоретическому анализу.
Так, состояние сверхпроводимости оказалось связанным с тем,
что в потоке электронов возникают более крупные образования —
квазиатомы, представляющие пары электронов, движущихся в преде-
лах пары скоррелированно. Своеобразное притяжение (единство)
отталкивающихся частиц!
Удивительно то свойство подобной пары электронов, что неболь-
шое притяжение между ними оказывается существеннее большого
электростатического отталкивания одноименных зарядов (электроны
пары находятся на расстоянии, в тысячи раз (!) превышающем разме-
ры всего атома).
Если столь «странным» оказывается поведение пары простейших
частиц вещества (электронов) по сравнению с поведением не связан-
ных частиц, то позволительно ожидать, что совместное функциониро-
вание укрупненной совокупности знаний (хотя бы пары понятий или
суждений) принесет не меньшие неожиданности для наших привычных
представлений, ибо практикой УДЕ установлен факт резкого уско-
рения процесса усвоения соответствующих знаний.
Если согласиться с тем, что многие явления в психической жизни
человека носят квантовый характер (неожиданные озарения в твор-
честве и т. д.), то не исключено, что окажутся полезными и отдален-
ные аналогии между переходами «частица -> квазичастица» в теоре-
тической физике и «знание -> укрупненное знание» в психологии.
Далее. Обычная проводимость вещества объясняется беспорядоч-
ным движением электронов, перемещающихся в веществе «каждый сам
по себе».
В особых же условиях (при сверхнизких температурах) возникают
качественно новые условия и попарная группировка электронов;
167
благодаря этому движение их в электронном газе становится более
упорядоченным; возникшее состояние вещества и означает сверхпро-
водимость.
Парадокс здесь заключается в том, что там, где труднее было «про-
ск акивать» через барьер одиночным электронам, там легче проходят
«нары электронов»!
Логично предположить, что и в мире мыслей также возникает ана-
логичная ситуация самопроизвольной «группировки мыслей», чем,
видимо, и объясняется заметное возрастание скорости усвоения зна-
ний в исследованиях Занкова, Лозанова и др.
Однако предварительным условием такого самоукрупнения зна-
ний выступает «наполнение головы» соответствующими элементарны-
ми знаниями по меньшей мере.
Говоря иначе, нет смысла встряхивать пустой мешок!
Приведенные выше рассуждения касаются неорганизованного ук-
рупнения знаний, когда обучение проводится без существенного из-
менения последовательности разделов и тем и структуры упражнений,
принятых в действующих учебниках.
Наш же опыт экспериментального обучения основан; напротив,
на сознательно измененной технологии обучения на базе новых раз-
делов и упражнений, т. е. на структурно преобразованном учебном
предмете.
16.	О ДИАЛЕКТИЧЕСКОМ ХАРАКТЕРЕ ЗНАНИИ,
УСВАИВАЕМЫХ БЛАГОДАРЯ УКРУПНЕНИЮ
ДИДАКТИЧЕСКИХ ЕДИНИЦ
...Грубиянский характер «здравого человеческого
смысла»... сказывается в том, что там, где ему уда-
ется заметить различие, он не видит единства,
а там, где он видит единство, он не замечает раз-
личия.
К. Маркс
...Уже и низшая математика кишит противоре-
чиями.
Ф- Энгельс
Диалектическая логика в отличие от формальной иссле-
дует вопрос о том, «как выразить в человеческих понятиях движение,
развитие, внутренние противоречия явлений, их качественное изме-
нение, переход одного в другое» (Энгельс Ф. Анти-Дюринг. М.,
1950, с. 114).
В педагогической и философской литературе пока еще мало уде-
ляется внимания гносеологическому анализу процесса обучения,
оценке тех или иных систем обучения, методических идей с точки зре-
ния общих категорий марксистско-ленинской философии*.
* Следует отметить как показательный факт то, что в 1973—1974 гг. журнал
«Вопросы философии» провел «круглый стол» по философским проблемам воспитания
и обучения.
1QB
Нередко можно встретить утверждения, которые способны лишь
сдерживать творческие поиски педагогов и часто противоречат резуль-
татам экспериментальных данных, полученных педагогами в послед-
нее время.
Так в одной из книг по диалектической логике говорилось, что
«дети не способны понять вещи как единство противоположных сторон
и свойств», поскольку якобы «это не совпадает с их непосредственными
восприятиями, с их ограниченной практикой»*.
Имеются серьезные основания сомневаться в существовании та-
ких «границ» для развития теоретического мышления наших школь-
ников хотя бы потому, что даже учащиеся младших классов хорошо
понимают такие «внутренне противоречивые» факты, как, скажем,
то, что любой магнит имеет северный и южный полюсы, причем нельзя
оторвать, отделить один полюс от другого и т. п.
Слов нет, в практике обучения встречается немало случаев, когда
учитель принужден (зачастую по обстоятельствам, от него не завися-
щим) пользоваться метафизическими приемами обучения, отнюдь не
содействующими развитию активного конструктивного мышления.
Так, скажем, из-за раздельного изложения в учебнике свойства и
признака параллелограмма в разных параграфах он лишается возмож-
ности укрупненного подхода к материалу, не может сравнить эти вза-
имно обратные теоремы, вывести вторую из первой, изобразить дока-
зательства этих теорем в одной граф-схеме и т. п.
При решении ряда вопросов обучения надобно учитывать ленин-
ский тезис о том, что всему познанию человека вообще свойственна
диалектика!
Диалектическое видение мира не противопоказано ни для какого
возрастного уровня, если только будет найдена для этого адекватная
методика обучения.
В последние годы в дидактике оживленно обсуждается вопрос о
проблемном обучении, вопрос о развитии знаний через преодоление
диалектических противоречий в ходе работы над учебным материалом.
Правильная методика, стремящаяся заложить основы диалектиче-
ского образа мышления, не может избегать противоречий, трудностей
познания; напротив, нужно в разумных формах намеренно создавать
«ситуации затруднения», иногда доводя их до парадокса, коль скоро
только на путях преодоления (снятия) этих противоречий познания и
развивается само мышление**.
К сожалению, при анализе проблем дидактики или частных мето-
дик стало чуть ли не правилом не выходить при обсуждении за преде-
лы формально-логических соображений.
* Розенталь М. М. Принципы диалектической логики. М., 1960,
с. 106.
*• Мы имели случай наблюдать, как четвероклассники долго и серьезно размыш-
ляли над апорией Зенона «Ахиллес и черепаха». Быстроногий Ахиллес догоняет
черепаху. Сначала Ахиллес пробегает половину расстояния между ними. За это
время черепаха уползает вперед на некоторое расстояние. Затем Ахиллес пробегает
половину оставшегося, черепаха опять ушла вперед. Этот процесс продолжается
бесконечно, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Почему?
169
Иллюстрацией к сказанному могут служить материалы дискуссии,
проводившейся в свое время на страницах журнала «Математика в
школе», о понятиях уравнения и тож; ?ства в курсе математики.
Участники диспута больше акцентировали внимание на том, что
уравнение и тождества суть «различные, несравнимые между собой
понятия», что нельзя применять формулировки вида «уравнение обра-
щается в тождество», что тождественные преобразования должны
изучаться независимо от уравнения*.
Беда в том, что ограниченность этих суждений невозможно «опро-
вергнуть» в споре, коль скоро обсуждение ведется в сфере понятий
формальной логики.
Такова, увы, распространенная картина «теоретического» обсуж-
дения тех или иных методических новаций вообще.
Никто из участников дискуссии не обратил тогда должного внима-
ния на происхождение данных понятий, на то, что тождество, урав-
нение и неравенство связаны теми же узами возникновения системы
форм, как куколка, гусеница, бабочка.
Однако, как только мы становимся на эту единственно верную
диалектическую позицию, так напрашивается вывод о необходимости
изучения указанных понятий в их генезисе, превращая тождество в
уравнение, а уравнение в задачу и т. д., преимущества подобной ме-
тодики действительно четко проявились в нашей экспериментальной
практике [55—59].
Передовые учителя умеют создавать условия для самовыражения
интеллекта ученика, самодвижения его мыслей (или в более специаль-
ном толковании — усиления роли элементов самостоятельности и
творчества в обучении).
Будущий учитель обязательно должен научиться деланию задачи,
дабы научить этому главному искусству в математике своих воспитан-
ников (а не только умению решать готовые задачи).
Рассмотрим картину «превращения» тождества в уравнение» а
уравнения в задачу.
Задача	Задача
Тетрадей первого сорта купили
больше, чем второго, на 6 штук.
За первые уплатили на 22 коп.
больше, чем за вторые. Сколько
денег истратили на тетради каждо-
го сорта, если цена тетради первого
сорта 3 коп., а второго сорта
2 коп.?
(Задача сводится к уравнению
первой степени.)
Тетрадей первого сорта ку-
пили больше, чем второго, на
6 штук. За первые уплатили
30 коп., за вторые — 8 коп. Ка-
кова была цена тетради каждого
сорта, если цена тетради первого
сорта была на 1 коп. дорож’е
цены тетради второго сорта?
(Задача сводится к уравнению
второй степени.)
х х — 22
* См.: Новоселове. И. О трактовке понятия уравнения. — Математика
в школе, 1959, № 1,с. 74.
170
Мы видим: одно числовое равенство породило в конечном счете
две задачи (на линейное и квадратное уравнения). Решив эти задачи»
мы, конечно, получим в числе ответов и намеченные заранее. Так за-
мыкается цикл: тождество — уравнение — задача — проверка от-
вета (сведение к тождеству).
На занятиях в любом классе следует пользоваться приемом «остра-
нения», превращая известное» простое в непонятное, «странное»,
когда объект, якобы уже «познанный без остатка», вдруг предстает в
новом свете, далеко еще не исчерпанным, становясь источником новых
размышлений и дополнительной информации.
Переходы от аналитических упражнений к синтетическим, пере-
ход от индукции к дедукции и наоборот, от решения готовой задачи к
составлению подобной и наоборот, от единичной связи к множествен-
ным связям и наоборот, от незамкнутой связи «задача — уравне-
ние» к замкнутой циклической связи «задача — уравнение — за-
дача», перерастание эвристических приемов мышления в алгоритми-
ческие, монологических ответов учащихся в диспут (диалог) между
школьниками и другие активные приемы укрупнения знания потому
и ценны для развития мышления, что глубоко диалектичны в своей
основе.
В данной связи особо важно обратить внимание на то общее, что
роднит указанные выше парные характеристики знания: при укруп-
нении знаний происходит раздвоение единого, нахождение полярных
компонентов в прежнем изолированном («атомарном») знании, казав-
шемся далее неделимым.
Точкой роста укрупненного знания становится связь между гене-
тически родственными понятиями: если решено уравнение, то надобно
сопоставить его с одноименным неравенством; если решена задача, то
важно исследовать обратную задачу; если выполнено тождественное
преобразование в буквах, то проверить его подстановкой числовых
значений; если же закон интерпретирован в числах, то, напротив,
важно дорастить его до буквенных обобщений, и т. п. и т. д.
Отражение такой линии составителями программ и учебников,
осуществление на основе этого соответствующей методики широким
кругом учителей — нелегкое, но благородное дело: оно окупается
сторицей успехами наших учеников!
Проф. М. А. Данилов справедливо отмечал, что «обучение оказы-
вает большое воспитательное влияние», что «воспитание всегда вклю-
чено в обучение» [39, с. 215].
В сознании учащихся не только закрепляется совокупность зна-
ний, но и фиксируются наиболее общие методы логического исследова-
ния явлений природы и общества.
Поэтому немаловажное значение в формировании совокупного
продукта обучения и воспитания, а именно диалектико-материалисти-
ческого мировоззрения учащихся, имеет методика укрупнения в наи-
более общей характеристике содержания, заключенного в этом
термине.
Достойно внимания в этом плане следующее веяние: на между-
народных конференциях по методике математики все чаще высказы-
171
вается мнение о решающем влиянии на развитие математической дея-
тельности не столько содержания программы (чему учить?), сколько
метода обучения (как учить?).
Ученые-педагоги не без основания приходят к выводу: «При всех
обстоятельствах в математике следует придерживаться принципа
«лучше меньше, да лучше».
В этой связи небезынтересен афоризм: «Образование есть то, что
остается после того, как будет забыто все, что было выучено». Те или
иные конкретные теоремы, задачи, знания со временем могут подверг-
нуться забвению; но общий способ овладения и пользования этими
знаниями, общие логические приемы наблюдения, исследования (не
только запоминания) есть приобретение ума, отличное от самих зна-
ний, более устойчивое, чем знания; оно играет отнюдь не последнюю
роль (наряду с общественной практикой личности) в развитии позна-
вательных способностей человека, с одной стороны, и в становлении
мировоззрения — с другой.
Влияние методов обучения на формирование черт личности гораздо
серьезнее, чем это принято думать.
Оно тем сложнее и важнее, что зримо проявляется уже после окон-
чания школы в период сознательной жизни взрослого.
Философские понятия выступают для дидактики, как и для любой
другой частной науки, своеобразными ориентирами, играют, так
сказать, наводящую роль.
Без притока новых понятий, содержательных идей со стороны диа-
лектической логики дидактика и методика рискуют превратиться во
внутренне замкнутую систему представлений, которые в силу этой
замкнутости не могут в полной мере разрешить задачи раскрытия и
преодоления ранее неизвестных противоречий учебного познания,
вызванных освоением базисных программ.
Заключая, скажем так:
главным результатом перестройки обучения математике на рель-
сах укрупнения дидактических единиц выступает обретение знаниями
диалектических черт, а именно способности знаний к саморазвитию.
Благодаря применению конкретных приемов укрупнения, знания
подвергаются качественному преобразованию — от уровня разрознен-
ности к уровню целостности: движение мысли при этом совершается
как бы по циклам восходящей спирали.
Тем самым укрупнение единиц усвоения, будучи новой законо-
мерностью обучения, обладает и силой дальнодействия, закладывая
в ученике черты деятельного интеллекта, полнокровно раскрывающе-
гося впоследствии. Укрупнение единиц усвоения содействует станов-
лению активной личности.
Диалектический метод ждет своего часа у входа в дидактику, ждет
конкретной реализации в программах, учебниках и на уроках.
А осуществляется это прежде всего через сознательное и плано-
мерное укрупнение изучаемого материала, через развитие соответст-
вующих умений и навыков учащихся, через создание учебников, по-
строенных на укрупненном подходе как на одном из главных дидак-
тических требований.
172
17.	О ВЗАИМОСВЯЗИ логики
И ПСИХОЛОГИИ В РЕШЕНИИ ПРОБЛЕМЫ
УКРУПНЕНИЯ ДИДАКТИЧЕСКОЙ ЕДИНИЦЫ
Метод открытия и изобретения у всех один и тот же,
та же интуиция, ибо при помощи логики никто ни-
чего не открывает.
В. А. Стеклов
Методика — это наука психологическая.
Д. Д. Мордухай-Болтовской
При решении проблемы укрупнения дидактических еди-
ниц возникает естественное противоречие между дидактической целе-
сообразностью совместного рассмотрения различных сторон одного
и того же программного знания, причем па небольшом временном ин-
тервале (на одном занятии, в пределах одного параграфа учебника),
с одной стороны, и логической сложностью конкретного отражения
этих моментов в какой-либо определенной схеме, с другой стороны.
Вот тому характерный пример.
В начальной главе систематического курса геометрии, изучаемой
в VI классе, имеются две различные темы, разведенные друг от друга
материалом, инородным по отношению к этим вопросам.
Например, между доказательством трех признаков равенства тре-
угольников и решением соответствующих задач на построение тре-
угольников по заданным элементам проходит в VI классе несколько
недель.
В плане логики эти темы существенно разные вопросы.
Если в первом случае должно быть освоено логически безупречное
доказательство признаков равенства (осуществляемое обычно по не-
точным приближенным чертежам), то цель второго — научить сконст-
руировать на плоскости треугольник чертежными приборами.
Если доказательство теоремы означает освоение цепи силлогизмов,
то с построением фигуры ученик может справиться, ничего не рас-
сказывая вслух, лишь правильно манипулируя приборами в подра-
жание действиям учителя на доске.
| В интересах укрупнения единицы усвоения выгодно и поучительно
создать целостную систему представлений «все о равных треуголь-
никах», куда входят знания и умения по двум указанным выше
ЛИНИЯМ.
В этой связи возкчкает отнюдь не простая проблема о месте, объе-
ме и технологии выработки пропедевтических знаний по математике
(в данном случае о равных треугольниках).
Отмеченное выше противоречие учебного познания преодолевается
так: задолго до систематического изучения теорем оказывается вы-
годным сообщить уже в IV—V классах значительную часть информа-
ции о равных треугольниках (без доказательства).
Так, на уроке, проведенном в экспериментальном IV класса учи-
тельница провела следующую работу.
173
21 A] Bf CJ — A Ay В2 £?
Рис. 99
Из красного и синего листов бумаги, наложенных друг на друга,
однократным разрезанием ножницами она получает два разносторон-
них треугольника; очевидно, красный треугольник равен синему: при
наложении они совпадают. То же делает каждый из школьников.
Затем учитель показывает, как можно построить треугольник по
заданным элементам циркулем и линейкой.
Строятся рядом к каждой задаче по два треугольника, которые
равны.
Учитель читает соответствующий признак равенства, формулиро-
вание которого легко заучивается школьниками вместе с символиче-
ской записью. Например, второй признак равенства треугольников —
СУС (сторона — угол — сторона):
«Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного тре-
угольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключен-
ному между ними, другого треугольника, то эти треугольники равны»
(рис. 99).
Так уже в IV классе в предварительном плане дети знакомятся с
тремя кодами
33
рмления теоремы: словесным, рисуночным и симво-
лическим. (Появляется здесь впервые и знак импликации, т. е. стрел-
ка, связывающая основание суждения с его заключением.)
Учащимся, конечно, сообщается, что доказательство сформулиро-
ванного признака они изучат через два года, когда будут изучать
геометрию в VI классе. На других уроках, посвященных геометриче-
скому материалу, дети знакомятся по той же схеме с другими призна-
ками равенства:
угол — сторона — угол (УСУ),
сторона — сторона — сторона (ССС).
Пусть теперь наступает время изучения признаков равенства тре-
угольников в курсе геометрии VI класса. Коль скоро учащиеся уме-
ют формулировать теорему строить (вырезать) равные треугольники,
то учителю нетрудно создать целостную систему знаний «все о равных
треугольниках», дорастив, наконец, пропедевтические знания логиче-
скими рассуждениями (силлогизмами).
174
Если же в предыдущей практике обучения у школьников не эыло
случая такого предвосхищающего знакомства с необходимыми терми-
нами, символами и т. п., то создать укрупненную единицу со всеми
относящимися сюда умениями (не только знаниями) бывает затрудни-
тельно из-за недостатка времени.
Вывод таков: разумная пропедевтика некоторых базисных поня-
тий в младших классах (без строгого доказательства, на уровне прак-
тических манипуляций, зрительных восприятий, подстилающих гря-
дущие логические доказательства) облегчает создание в систематиче-
ском курсе целостных и прочных знаний, устойчивых к сохранению^
памяти.
Аналогично сказанному нуждается в пропедевтическом подкрепле-
нии работа на счетной линейке.
В традиционной системе обучения логарифмическая линейка про-
ходит эпизодом в связи с изучением логарифмической функции в VIII
классе. Ни до и ни после этой темы этим прибором на уроках факти-
чески не пользуются.
В нашем опыте экспериментального обучения мы убедились в том,
что умножение и деление чисел на счетной линейке осваивают уже
пятиклассники; при изучении алгебры в VI—VII классах линейка
удачно используется для составления таблиц и графиков степеней
и корней и т. п.
Для приобретения пропедевтики весьма актуально решение во-
проса об уровне строгости доказательства в математическом образо-
вании вообще.
Доказательства в математике впервые появились в работах грече-
ских математиков (прежде всего в геометрии Евклида).
Поучительно то, что математики Китая и Индии уделяли большее
внимание математическим фактам, нежели доказательным рассужде-
ниям.
Важно здесь также учитывать методологическое положение о
том, что «абсолютная строгость» изложения математики в принципе
вообще недостижима*.
Проблема «строгости доказательства» имеет связь с таким новым
явлением в развитии математики, как возникновение пары понятий
«чистая математика» и «прикладная математика».
«Чистую математику», рассматриваемую вне аспекта ее примене-
ния в жизни, иные специалисты считают не более чем роскошью, кото-
рую «может себе разрешить современная цивилизация».
Как указывает акад. Л. С. Понтрягин, «некоторые разделы мате-
матики, посвященные лишь ее внутренним проблемам, оставаясь
«вещью в себе», постепенно вырождаются и почти наверняка в конце
концов оказываются ни для чего не нужными»**.
* Гедель доказал, что в любой непротиворечивой формально системе можно
сформулировать суждение, недоказуемое в пределах этой логической системы. В
этом смысле всякое математическое доказательство, в сущности, является нестрогим.
♦* Понтрягин Л. С. О математике и качестве ее преподавания. — Ком-
мунист, 1980, № 14, с. 103.
175
В настоящее время образцом логической строгости в школе вы-
ступает аристотелевская силлогистика: незыблемым считается поря-
док, когда из двух посылок (большой и малой) выводится одно
заключение.
Между тем защита строгости математики во что бы то ни стало (на
всех уровнях обучения) является слепой данью традиции, защитой
идеала, сформулированного в другую эпоху.
Полагают, что в будущем «математическая теория, узаконивающая
заведомо нестрогие переходы, будет лучше соответствовать реальному
процессу»*.
«...Стремление насытить школьные учебники математики пред-
ставлениями и понятиями, относящимися к проблеме глубокого обос-
нования этой науки, нанесло огромный ущерб нашей школе»**.
В дидактическом плане понятно, что степень строгости изложения
математики должна повышаться постепенно в соответствии с возрастом
обучаемого, с целями обучения, с требованиями специальности и про-
фессии.
Психологи различают несколько последовательных уровней освое-
ния математических знаний, такие, как уровень знакомства (I), уро-
вень применения знаний по образцу (II), уровень «творческого при-
менения» знаний (III).
Естественным является порядок, когда в младших классах дети
осваиваю!' начатки математических знаний теми же путями, на основе
конкретных наблюдений, как и любое иное содержание осмыслен-
ных слов: «Здесь 2 яблока», «Это круг, а это квадратик», «Это куб»
и т. д. , •
В указанном смысле математическое знание ничем не отличается
от любого иного знания: отличительные признаки квадрата от круга
двухлетний ребенок постигает безо всяких логических определений
(дефиниций), без словесных пояснений, как, скажем, отличия кошки
от собаки, которые он попросту видит, а потому и различает.
В таких процессах первоначального познания участвуют механиз-
мы дословесной, подсознательной переработки информации.
Первоначальное зрительное освоение математической действи-
тельное!!!, сопровождаемое по возможности соответствующими ри-
сунками, простейшими чертежами, упражнениями с листом бумаги
(перегибами и разрезаниями), изготовлением и склеиванием моделей
геометрических тел, прямыми измерениями, взвешиванием и другой
подобной практической деятельностью с вещами и приборами, — обо-
гащает исходный набор представлений и сеть ассоциаций, лежа-
щих в основе овладения любыми знаниями, в том числе и математи-
ческими.
Пропедевтическое (подготовительное) сообщение знаний (на уров-
не знакомства) существенно облегчает последующее развертывание
логической системы знаний с соблюдением строгости доказательства.
* См.: Беляев Е. А., Перминов В. Я. Философские и методологи-
ческие проблемы математики. Изд-во МГУ, 1981, с. 133.
••Акад. В. А. Амбарцумян, из статьи вж-ле «Коммунист», 1980, № 18, с. 119.
176
Например, уже в III классе сообщает правила действий над
десятичными дробями (которые вообще не изучались) следующим об-
разом:
«Так как 1 м3дм+2м4дм = 3м7 дм,
то значит: 1,3 м + 2,4 м = 3,7 м»
(запись одна под другой).
Здесь смысл запятой между цифрами, означающими целые метры
и десятичные доли метра, постигается без всякой теории, еще до вве-
дения понятия дроби.
Такие опережающие пояснения на основе простейших аналогий
создают благоприятную перспективу для основательного и уже
«доказательного» изучения вычислений над дробями в IV—V клас-
сах.
В школах некоторых европейских стран широко используется со-
общение значительного объема математических знаний на уровне на-
глядного предварительного знакомства (см. Ермолаева Н. А.
Англо-советский семинар по математическому образованию школь-
ников. — Математика в школе, 1972, № 4).
Нельзя в этом факте видеть одни только отрицательные моменты.
Соблюдение требований логики — лишь одна из сторон сложной
картины успешного обучения.
«Неумеренное» поклонение строгой логике в известной мере сход-
но с тем, когда учитель ботаники объясняет строение растения в по-
следовательности его частей, наблюдаемых на мертвом экземпляре...
гербария: корень — стебель — листья.
Однако же, строя учебный предмет, есть резон следовать этапам
роста живого растения, а именно; начавшись с ростков семени, содер-
жащего лишь потенциально структуру и функции будущего зрелого
организма, растение осваивает окружающее пространство вниз н
вверх одновременно.
Для нашей аналогии это означает: уровень строгости математики,
аксиоматическая безупречность ссылок должны достигаться посте-
пенно и соразмерно тому, сколько новых фактов (теорем, фигур, поня-
тий) осваиваются на том или ином этапе ее изучения.
Ныне до VIII класса включительно мысли учащихся не выходят
из прокрустова ложа планиметрии, т. е. из пределов плоскости (т. е.
придуманного Евклидом двумерного «мира без толщины»).
Мы не догадываемся о масштабах ущерба, который наносится нор-
мальному развитию пространственного воображения школьника из-за
такой искусственной и длительной изоляции его психики от соотноше-
ний реального трехмерного мира.
Психофизиологам известно, что ориентировка в трехмерном про-
странстве изначально запрограммирована в психике человека.
Могут ли дидакты преодолеть это вековое противоречие между
логикой и психологией?
Представим такую ситуацию: геометрию VI класса сразу строим
не на двух понятиях: «точка» и «прямая», — как это сейчас делается,
а на трех: «точка», «прямая» и «плоскость» (и их взаимосвязях),
t При таком начале невозможно оставаться в области «чистой тео-
177
1
рии» (среди воображаемых линий),
ибо здесь нам поневоле придется
опираться на первосигнальные ис-
точники информации о пространст-
ве, постигая ценные сведения на
уровне знакомства, во многом под-
сознательно, на до-логических уров-
нях переработки информации, про-
водя опыты и наблюдения над те-
лами.
Н.И. Лобачевский учил студен-
тов по написанному им единому
учебнику геометрии.
Непрерывные переходы мыслей
в таком курсе от двумерной плос-
кости к трехмерному пространству
обеспечили бы и мощное развитие
интуиции школьника.
Нетрудно научить уже млад-
ших школьников изображать куб,
параллелепипед, изображать фор-
мы параллельных проекций прос-
тейших фигур (рис. 100).
Пятиклассник может изобразить на клетчатой бумаге параллеле-
пипед и представить на каркасной модели по рисунку взаимные поло-
жения прямых в пространстве.
При таком начале геометрии прямые выступают не содержательно
худосочным понятием как линии, которые могут, пересекаясь, всего
лишь «образовать точку», а осваиваются как идеализированные эле-
менты реальной трехмерной фигуры (ребра, вершины и т. п.).
Занимательно, например, составить таблицу взаимных положе-
ний прямых а и b в пространстве (совпадают =, перпендикулярны _L,
параллельны || , пересекаются П, скрещиваются А).
Нередко посредством несложных, в сущности, наглядных средств
удается сделать доступными вопросы, кажущиеся сложными лишь по
традиции. Так, двумерные векторы рассматриваются ныне в VII клас-
се, трехмерные — через год.
Между тем, пользуясь цветными кубиками и плоским зеркалом,
удается предельно четко уяснить смысл трехмерного вектора.
Чтобы «приручить» в школе новое для нее понятие—«вектор», важно
его увидеть в реальном параллелепипеде, как отрезок, соединяющий
его противоположные вершины.
«Мы не можем представить трех измерений пространства, — пи-
сал Кант, — не проводя из одной точки трех перпендикулярных друг
другу линий».
Пользование рисуночной моделью трехмерных координат делает
зримым, понятным единство базисных понятий, изолированных ны-
не друг от друга в учебниках математики разных классов, таких, как:
плоскость, прямая, точка, вектор, координаты (рис. 101).
178
Содержание этих взаимосвязанных понятий уясняется вполне
диалектически (одно через другое): два пересекающихся ребра опреде-
ляют вершину (точку), два параллельных ребра параллелепипеда
определяют грань (плоскость) и т. д.
Психика человека генетически ориентирована на целостное по-
знание таких «единств многообразия», качественно крупных единиц
знания.
Непростое это дело — так обучать (той же математике), чтобы до-
ступная строгость сочеталась с интересным восприятием материала
учащимися. (Проблема развития интереса — согласится читатель —
проблема уже психологическая, так как строго логичное большей
частью малоинтересно.)
Послушаем, что говорит по этому поводу один из видных «потре-
бителей» математики: «Нет ничего более отталкивающего для нор-
мального человека, чем клиническая последовательность определений
аксиом и теорем, порождаемая трудами чистых математиков» (Зай-
мам Дж. Современная квантовая теория. М., Мир, 1971, с. 9).
Отнюдь не шуточным является наше беспокойство: неумеренная
«логизация» преподавания математики, если вовремя не учесть от-
резвляющих психофизиологических закономерностей работы живого
мозга, поистине угрожает сделать воспитанников «однополушарными»
субъектами с обедненным миром эмоций и образных представлений.
Отметим, что на путь антифизиологизма в обучении нередко стано-
вятся и маститые ученые.
Так, известный французский математик Ж- Дьедонне написал
курс элементарной геометрии без единого чертежа!
При обсуждении вопросов о месте и границах логики в решении
педагогических вопросов важно различать «можно» и «нужно ли».
Логика по своей природе никаких запретов не ставит на методы
обучения, лишь бы не было ошибок типа 2 х 2 — 5; физиология и
психология, напротив, постоянно предупреждают о возможном вреде
увлечений, о границах целесообразного в любом «нововведении».
Рис. 101
179
Итак, структуру предмета «методика математики» нельзя замы-
вать рамками самой в себе математики и отнюдь не всесильной (в осо-
бенности для судеб методики) формальной логики.
Доказательство есть рассуждение, которое убеждает, говорил
Л. Н. Толстой. Убеждение шире доказательства.
Мы видим, что непросто провести четко границы между рассужде-
ниями, которые можно считать доказательством в широком смысле
и которые нельзя считать таковыми.
Мы выше обсуждали пользу раннего сообщения некоторых фунда-
ментальных математических истин уже в младших классах, без стро-
гого формального доказательства.
В этой связи необходимо помнить, что эмоция удивления (по Пав-
лову — ориентировочный рефлекс «что такое?») возникает при встре-
че с неожиданным, загадочным, вначале «непонятным...».
Доказанная истина, переводя знание в категорию бесспорных,
одновременно и снимает ореол незнакомости, инициирующей активное
отношение к предмету или явлению.
Интеллектуальное развитие школьника, несомненно, получит до-
полнительный импульс к развитию, если он ознакомится (по возмож-
ности раньше) в той или иной нестрогой форме с фактами математики,
вызывающими «человеческий восторг» (Хаусдорф).
В учебнике геометрии А. В. Погорелова хорошо сделано, когда
важнейшие задачи с решениями помещены в основном тексте (боль-
шим шрифтом).
Теорему Пифагора и золотое сечение математики называют двумя
драгоценностями геометрии.
Золотое сечение, не упомянутое специально в программе, заслу-
живает того, чтобы стать предметом обязательного рассмотрения в
теме «Подобие фигур».
Вспомним этот несложный вопрос.
Задача. Требуется отрезок единичной длины {АВ = 1) разде-
лить в среднем и крайнем отношении. — = — (рис. 102); у==------•
Оказывается, что размеры прямоугольной формы предметов (окон,
дверей, формата книги, рамки картин) наиболее удобны для восприя-
тия, если ширина составляет от длины ... иррациональное число
х=1(/5- 1) = 0,618...
Такова одна из тайн человеческой психики.
В связи с этим уместно выяснить со школьниками: почему красив
правильный пятиугольник?
Ответ на этот вопрос они найдут на рисунке 103.
A ADN со A NCD со A DCE
DN _СР _СЕ
РА DN — CD
I |
АС ' АВ ВС n	^-1
~ - — - - г • VyOlv ••• 1 г  ~
AD АС АВ	2
180
Рис. 102
Рис. 103
Итак, правильный пятиугольник потому красив, что в нем каждый
луч дважды поделен в отношении золотого сечения.
Итак, красота связана с иррациональным числом 5!
Приведенное несложное рассуждение о золотом сечении, конечно,
украсит учебник и урок геометрии, «укрупнив» тему «Подобие» эмо-
циональным приращением знаний.
Важно также красоту добыть собственными руками: как можно
раньше следует научить строить правильный пятиугольник циркулем
и линейкой.
Парадоксально, что такие математические изюминки с высоким
логическим и эмоциональным зарядом обычно оказываются вне школь-
ной и даже университетской программы; к ним можно отнести теорему
Эйлера о многогранниках, задачу Паскаля о проективном свойстве
прямых, теоремы логического квадрата, закон Де-Моргана, формулы
численности множеств, закон контрапозиции, золотое сечение и не-
которые другие (не так уж и много!).
Интересное, занимательное, удивительное в математике подчас не
находит места в учебнике.
Сомнительна уже установка, что эти наиболее информативные и
драгоценные достижения человеческой мысли должны сообщаться
вне и после уроков (т. е. лишь небольшой части учащихся, в необяза-
тельном плане).
Акад. А. Д. Александров справедливо указывает по этому поводу:
«Почему занимательные задачи могут предлагаться только на
кружках и факультативах? Те, кто на них ходят, уже так или иначе
заинтересованы математикой.
А остальные, которых большинство, — с ними как?»*
• Александров А. Д. и др. О пробном учебнике «Начала стереомет-
рии». — Математика в школе, 1982, № 4, с. 57.
181
Всюду в подобных ситуациях, в особенности при обсуждении
проблемы ускоренного обучения на основе укрупненных единиц ус-
воения, возникает борьба мотивов в каждом учителе между формаль-
но-логической тенденцией обеспечения строгой системы доказанных
истин и учетом психологических резервов освоения знаний, предла-
гаемых на уровне знакомства или конкретных фактов.
Формальная логика изучает мыслительные акты «со стороны их
логической структуры или формы, т. е. отвлекаясь от конкретного
содержания мыслей и вычленяя лишь общий способ связи частей этого
содержания» (Философский словарь. 3-е изд., Политиздат, 1975,
с. 442).
Логика необходима для упорядочения изучаемого материала, но
она бессильна доказать или опровергнуть целесообразность того или
иного методического пути изучения отобранного программного мате-
риала.
Одна логика (формальная) не способна привести никого к новым
методическим идеям, подобно тому как одна грамматика никого не
способна вдохновить на создание поэмы (хотя польза грамматики»
равно и логики, для оформления мыслей очевидна).
Взаимоотношение логики и психологии отнюдь нельзя уподоблять
некоему нейтральному «сосуществованию» в представлениях методи-
ста или учителя.
На самом же деле, как отмечал проф. Мордухай-Болтовской, при
решении конкретных вопросов методики приходится преодолевать
«антагонизм» психологических и логических требований*.
Разумеется, формальная логика и психология, рассматриваемая
абстрактно, являются науками, как бы не зависящими друг от друга.
Наивным выглядит поэтому вопрос, что из них важнее для судеб
методики математики, ибо учителю полезны и нужны и логические, и
психологические знания.
В определенной мере справедливо суждение, что изучение мате-
матики само по себе развивает человека и логически (однако нельзя
здесь добавлять: «и психологически»!)-
Надо признать, что серьезным недостатком подготовки учителя
математики, является дефицит психологических знаний вообще (по
психологии обучения математике в особенности).
В весьма оригинальной уже по названию работе («Логика против
педагогики») известный педагог-математик Морис Клайн выражается
весьма определенно: «Знание достигается интуитивно, и логическое
изложение в лучшем случае является подчиненной и дополнительной
помощью при обучении, а в худшем — решительным препятствием»
(Клайн М- Логика против педагогики. — Математика. Сб. на-
учно-методических статей, вып. 3. М.. Высшая школа, 1973).
* Минковский В. Л. Д-Д. Мордухай-Болтовской (к 100-летию со
дня рождения). — Математика в школе, 1976, № 4, с. 81.
182
Между тем в данном деле недостаточно, по меткому выражению
Н. Винера, «объединить два мозга в одной комнате—необходимо их
объединить в одной голове»*; учитель должен сам становиться посте-
пенно хотя бы немного психологом, немного филос
м
Данный параграф можно резюмировать так: создание технологии,
психологии и философии укрупненного знания позволяет создать в
свою очередь и логику укрупненного знания.
18.	ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕТОДОЛОГИИ
И ТЕХНОЛОГИИ ПРИ УКРУПНЕНИИ
ЕДИНИЦ УСВОЕНИЯ
... Ввести педагогическую практику студентов пе-
дагогических институтов и педагогических отделе-
ний (факультетов) университетов с I по IV (V) кур-
сы...
(Из постановления ЦК КПСС и СМ
СССР «О мерах по совершенствованию
подготовки, повышению квалификации
педагогических кадров системы просве-
щения и профессионально-техническо-
го образования и улучшению условии их
труда и быта*.)
Очень важно, что, говоря о закономерности движе-
ния научного познания, Маркс вскрывает его трех-
фазный ритм...
Б. М. Кедров
Укрупнение единиц усвоения означает в конечном счете
создание новой структуры учебника и урока, коренное изменение
методики обучения.
Термины «методика» и «методология» одного корня.
Методология — это философское учение о методах познания и
преобразования действительности.
Основательность всякой научной концепции (в данном случае
идеи укрупнения единиц усвоения) достигается характеристикой изу-
чаемого явления в системе парных категорий материалистической
диалектики.
Так в предыдущих главах мы рассмотрели особенности эффекта
укрупнения знаний сквозь призму понятий «анализ — синтез», «ин-
дукция — дедукция», «обобщение — конкретизация» и т. п.
Развитие современной науки привело к возникновению обще-
научных понятий, занимающих промежуточное место между философ-
скими и частнонаучными понятиями, а именно: информация, система,
обратная связь и некоторые другие, нашедшие также применение в
раскрытии темы данной книги.
* Редчайшим сочетанием подобных качеств обладал профессор механики Анд-
рей Петрович Минаков (см.: Ляшевский В. П. Педагогическое мастерство
ученого. М., Наука, 1975).
183
Рассмотрим некоторые примеры.
Действующие программы по математике для начальной школы
таковы, что на первом году обучения дети «пробавляются» только двумя
действиями арифметики (сложением и вычитанием).
Такого не было в истории нашей школы.
Этот дефект прежде всего методологический: он возник из-за того,
что составители учебника запамятовали философский принцип цело-
стности, т. е. то, что даже «мини-математика» шестилетних должна
основываться на четырех действиях арифметики, образующих фунда-
мент для последующего возведения всего здания математики.
Педагоги не могут прийти к единому мнению относительно того,
какие дроби следует изучать преимущественно вначале: десятичные
дроби (как в стабильных учебниках IV класса Виленкина Н. Я. и др.)
или обыкновенные дроби (как это было ранее).
Не поможет здесь делу и упрощенная ссылка на категории «исто-
рического и логического»; если обыкновенные дроби были известны
древним египтянам, то десятичные дроби изобретены только в XVII
веке.
В наших экспериментальных учебниках удалось найти «третье»
решение проблемы: одноименные действия над обыкновенными и де-
сятичными дробями изучаются в одних и тех же параграфах, укруп-
ненно, хотя изложение всегда начинается с объяснения на обыкновен-
ных дробях. Такое своеобразное проявление принципа историзма
оказалось и дидактически оправданным. На путях укрупнения возни-
кают трудности «принятия решения» в тех случаях, когда имеет место
и дидактика «случайного и необходимого».
Рене Декарт, изобретая новое методологическое оружие для мате-
матики, написал свою аналитическую геометрию только для плоскости.
Эту традицию не могут преодолеть и в новейших программах и учеб-
никах, когда по раскладке часов между дву- и трехмерными коорди-
натами проходит целый учебный год.
В современных учебниках стереометрии, как и во времена Евкли-
да, встречаются сотни рисунков, чрезвычайно бедных информацией,
по которым невозможно выполнять точные построения, измерения или
вычисления; последние становятся реальными при долженствующем
быть изложении единой геометрии в координатном пространстве.
На рисунке слева дано традиционное изображение параллельности
двух плоскостей, а справа — то же отношение, но в координатном про-
странслве (рис. 104). (Преимущества второго изображения очевидны.)
Раньше школьники в младших классах, осваивая счет в пределах
100, считали на русских счетах; в действующих ныне учебниках от
этого отказались, дети приучаются «сразу же» к словесным правилам.
Хороша или плоха такая технология освоения счета и почему?
Второй путь иные педагоги оправдывают «методологически», как
якобы кратчайший путь познания истины («от общего к частному»).
Между тем наш опыт показывает, что элементарной целостностью
процесса обучения должен выступать в системе упражнений трех-
фазный и двухпереходный цикл вида «частное — общее — частное».
Поясним сказанное.
>84
«И»/
a || a,
Рис. 104
Выполним сложение на счетах (23 4- 45), называем словами сумму
и записываем ее (68), чтобы тут же осуществить обобщение приема,
вычислив опять же на счетах слегка измененные результаты с вы-
ходом в концентр тысячи (230 4~ 450, 680 — 230) и т. д.
В главах данной книги, посвященных методике составления и ре-
шения задач, мы также отмечали наличие двух последовательных
переходов между тремя понятиями:
«Тождество — уравнение — задача».
Вывод об актуальности вообще таких трехфазных процессов как
ключевых для дидактики навеян нам знаменитой формулой Маркса
«товар — деньги — товар» (Ti — Д — Т2)» названной им «первой
элементарной целостностью экономических категорий» (Архив Марк-
са и Энгельса, т. IV, Политиздат ЦК ВКП (б), 1935, с. 171).
Категории общего и частного проявляются на любом этапе усвое-
ния знаний: в методике упражнения, в форме определения понятий, в
оформлении теорем. Так, академик А. Н. Тихонов анализирует
решение простейшей задачи в I классе.
«Мальчику дали 20 копеек и послали в магазин купить булку
за 13 коп. Сколько он должен получить сдачи?»
Такую задачу ныне рекомендуется решать в школе с помощью
уравнения. Так, 13 4- х = 20; х = 20 — 13; х = 7.
Однако же, как указывает академик, важнее приучить маленького
человека с первых же шагов обучения к краткому способу получения
ответа, записав сразу: 20 — 13 = 7 (коп.).
Раннее навязывание человеку общего алгоритма решения задачи
уравнением не облегчает развития естественного интеллекта.
А. Н. Тихонов справедливо замечает по этому поводу:
«Обращение к алгебре и алгебраическим методам решения должно
прийти уже при некотором опыте решения задач и стать потребно-
стью.
185
Школа призвана развивать жизненный опыт и жизненную практи-
ку, а не идти где-то сбоку» (Тихонов А. Н. Математика в нашей
жизни. — Комсомольская правда, 1979, 12 сект.).
Несоблюдение трехфазности в обработке математической инфор-
мации — весьма распространенный недостаток в постановке математи-
ческого образования вообще.
Так, в подготовке самих лекций, в структуре учебников математи-
ки для вузов опять же заметно господство «подхода от общего»: иногда
целый семестр студент слушает суждения, скажем, только об эн-
мерных пространствах (векторах, матрицах, определителях), ни разу
не спускаясь к столь реальному и понятному в своих приложениях и
иллюстрациях двумерному случаю.
Искусственный отрыв общего от частного может отрицательно
сказаться как в теоретическом анализе самих проблем обучения, так
и в практической организации дела образования.
В исследованиях последнего времени все настойчивее звучит тезис
о необходимости подкрепления методических поисков разработкой
соответствующей технологии обучения.
Корни слов «технология» и «техника» также общие. Передовая
технология патентуется, она обеспечивает успех в экономическом
соревновании...
В Советском энциклопедическом словаре дается следующее разъяс-
нение этого термина:
«Задача технологии как науки — выявление физических, хими-
ческих, механических и других закономерностей с целью определе-
ния и использования на практике наиболее эффективных и экономич-
ных производственных процессов» (Советский энциклопедический
словарь, 1981, с. 133).
Понятие «технология», имеющее отношение прежде всего к произ-
водству вещей, может быть использовано при обсуждении проблем
«производства и потребления» знаний.
Понятия «методология обучения» и «технология обучения», будучи
взаимодополнительными, находятся в таких же содержательных свя-
зях друг с другом, как понятия «частица» и «волна» в физике.
Если методология педагогики зиждется прежде всего на наиболее
общих принципах марксистско-ленинской философии, то технология
обучения приземлена, она от практики, она более предметна, чем
методика обучения. Без опытного исследования, без эксперименталь-
ного испытания в классах передовую технологию обучения (скажем,
эффективные учебники) создать невозможно!
Технология обучения напрямую связана с предельно конкретными
деталями процесса обучения: порядок расположения записей, правил,
компонентов тем и параграфов; подбор задач; рисунков, чисел, таб-
лиц; выбор символов и терминов; создание удачных обозначений,
графиков, упражнений, моделей и приборов; использование несловес-
ной информации (толщина линий, цвет, формы знаков); конкретные
приемы контроля знаний и т. п. - все это в совокупности обеспечи-
вает эффективность технологии того или иного нового научного на-
правления в дидактике.
186
Верное технологическое решение означает нахождение оптималь-
ной последовательности фаз обучения во времени и пространстве уро-
ка и учебника.
Короче говоря, под технологией обучения мы здесь понимаем ма-
териализацию дидактической идеи в предельно конкретных рекомен-
дациях, доступных для исполнения рядовым учителем.
Среди педагогов живуче представление, что будто путь учителя
к освоению новой (более эффективной) методической системы лежит
через теорию к практике: сначала, скажем, надо убедить учителя
теоретически в выгодах укрупнения, потом уж он сам возьмется за
укрупнение знаний на своих уроках.
Такой путь внедрения передового опыта имеет, конечно, место в
жизни, но он встречается редко, обычно среди тех, кто специально
интересуется литературой по современным направлениям науки об
обучении.
Увы, таких учителей немного и общий путь распространения но-
вых приемов обучения противоположный — «от практики к теории»,
от наблюдений передовой технологии на уроке новатора к подража-
нию на своих уроках, а затем уж к теоретическому «осмыслению со-
вершенного» по литературе.
В этой связи понятно, почему вводимая теперь непрерывная прак-
тика в школах студентов — будущих учителей имеет поистине колос-
сальное значение для коренного улучшения их профессиональной
подготовки.
В предыдущем изложении мы показали различные технологические
приемы укрупненного освоения математической информации, такие»
как:
1.	Совместное и одновременное изучение взаимосвязанных поня-
тий и операций, например сложения и вычитания векторов:
©
а 4- Ь = с и с — Ь = а
дифференцирования и интегрирования функций:
(х3 + с) = Зх2 и J 3x2dx = х3 + с.
9
2.	Обращение задач (теорем, функций) и сравнение соответствую-
щих суждений в процессе выполнения упражнений.
3.	Составление упражнений, аналогичных решенным.
4.	Использование в системе упражнений противоположных кодо-
вых переходов мысли (от рисунка к слову и наоборот).
5.	Параллельная запись сравниваемых правил (задач, преобразо-
ваний), в частности двойственных суждений (рис. 105).
Например:
Две точки А и В определяют Две прямые а и Ь определяют
одну прямую т.	одну точку М.
Ает	Вет
1 и 1
АВ = т
aflb=M
Рис. 105
6.	Двухэтажная запись некоторых аналогичных высказываний.
Например, при повторении:
Если три стороны одного треугольника	соответ-
ственно сторонам другого треугольника, то эти треугольники
равны
подобны
(рис. 106).
Проблема улучшения процесса обучения отнюдь не обеспечивается
обсуждением нерешенных проблем дидактики только на «высших поня-
тийных уровнях, выдвижением «оригинальных» рекомендаций общего
и абстрактного характера, сочинениями об «уроках вообще» и т. д.
AB=AiB, ВС=В,С, СА=С,А,
1
Л ABC « AAfBfCf
Рис. 106
188
Успех обучения решается (как и в -промышленности!) в конечном сче-
те технологически, т. е. на нижних уровнях реализации идеи, кон-
струированием конкретных приемов, отшлифованных деталей урока,
филигранной разработкой разворота страниц учебника и т. п.
Главный тезис технологии обучения звучит оптимистично: всякий
прием (способ) обучения можно улучшить, умело учитывая время,
место и условия его применения.
Пусть речь идет о записи эквивалентности (равносильности) двух
высказываний а и Ь, которую можно выполнить многими способами:
1.	а = b
2.	а = Ь
3.	а *-* &
4.	а фф b
Сравнивая эти символические реализации простой мысли, мы
заметим, как постепенно возрастает информационная выразитель-
ность знака от первого к шестому варианту.
В последних двух вариантах знака эквивалентности достигнута
предельная контрастность двух стрелок, изображающих противо-
положные высказывания. Эти стрелки могут различаться, например,
по четырем признакам*: левая, красная, толстая, сплошная стрел-
ка — прямая теорема; правая, синяя, тонкая, штриховая стрелка —
обратная теорема.
Чем больше различительных признаков в сравниваемых знаках,
тем точнее и быстрее они распознаются мозгом человека!
Или еще. Импликацию (следование) суждений выгодно обозна-
чать не двойной стрелкой, а одинарной, а векторы выгодно обозначать
не стрелкой, а просто черточкой, написанной над одной строчной
буквой или над двумя заглавными буквами:
а = ВС.
Упорядочение символики — одно из элементарных, но важных
требований технологичности (экономности) методов обучения. Однако
как часто и без нужды нарушают это правило авторы сочинений по
математике!
Одним из авторов данной книги был издан курс аналитической
геометрии для университетов, в котором осуществлено совместное
изложение геометрии плоскости и геометрии пространства на основе
синтеза координатного и векторного методов. Данная учебная дис-
циплина, открывая курс математики в вузе, обладает рядом преем-
ственных линий со школьным курсом (см.: Б. П. Э р д н и е в. Аналити-
ческая геометрия в укрупненном изложении. Элиста, 1972).
Это пособие обеспечивает не только приобретение студентом ранее
неизвестной ему собственно математической информации, предусмот-
ренной программами, но и «попутное» овладение будущими учителями
конкретной технологией рационального построения соответствующих
* В теории информации об этом говорят так: «цена знака» — 4 выбора или 4
бита информации.
глав и школьного курса геометрии. На занятии по аналитической гео-
метрии мы иногда рассматриваем детали возможного урока в школе,
знакомим со структурой удачного упражнения, поучительной и для
школьника, и для студента.
Так достигается постижение будущим учителем сложной природы
математического знания, выполняющего две функции: прирост спе-
циальной системы знаний по данной отрасли науки и усвоение техно-
рмления этих знаний в формах, наиболее удобных для пере-
логии

дачи знаний ученику или для изложения в школьном учебнике.
Разумеется, те же математические знания должны приобрести
иную «двойственность» на занятиях, проводимых с будущими инжене-
рами, агрономами и т. п.
Технологические (т. е. предельно конкретные, Детализированные)
особенности указанного курса аналитической геометрии наглядно
видны на рисунках, показывающих решение в двух параллельных
колонках, на клетчатой бумаге (в координатах!) аналогичных задач
на плоскости и в пространстве (причем координаты соответствующих
точек или уравнений линий записываются на основе прямых измере-
ний на масштабном рисунке!). Здесь клетчатая бумага выступает...
вычислительным прибором, т. е. средством реального синтеза алгебраи-
ческого и геометрического (нахождение координат точным построе-
нием и проверка ответа решением соответствующего уравнения и
наоборот). ।
Описываемый курс аналитической геометрии, в котором изложен
традиционный комплекс знаний, усваивается с экономией 20% учеб-
ного времени и качественно высокими показателями благодаря соче-
танию следующих технологических деталей, не встречающихся в дру-
гих пособиях по этому предмету (см. рис. 107):
Рис. 107
190
а)	сохранение направления осей ОХ и ОУ;
б)	направление третьей оси OZ (к себе) по диагоналям клеток;
в)	специальный подбор масштабных единиц (1 1 У 2);
г)	обозначение тремя числами (координатами соответствующих
точек векторов) для пространственного рисунка, что облегчает возник-
новение ориентировочных ассоциаций, например:
А (3; 0; 0) — две нулевые координаты — точка лежит на оси ОХ\
В (3; 4; 0) — одна нулевая координата — точка лежит в плос-
кости XOY и т. п.;
д)	использование удобной формы уравнений прямой и плоскости
в отрезках;
е)	столбцовая запись координат вектора противопоставляется
строчечной записи координат точки.
Говоря по-другому, в указанном пособии осуществляется идея
фузионизма, выдвинутого еще Лобачевским и Клейном, которая, бу-
дучи верна в методологическом плане, не нашла до сих пор реализа-
ции в школе из-за неразработанности соответствующей технологии
учебника геометрии.
Указанные выше технологические детали, будучи использованы
совместно и систематически, подключают к усвоению информации
резервные механизмы мышления, которые обеспечивают познание
диалектики переходов между парами понятий: точка — число, об-
раз — символ, сознательное — подсознательное.
Психофизиологическое объяснение феномена ускоренного и ос-
новательного освоения знаний в нашем курсе мы видим в создании
условий для совокупной обработки информации лево- и правополу-
шарными механизмами мозга, о чем мы указывали и в других местах
данной книги.
Итак, эффективную технологию обучения возможно создать, учи-
тывая современные достижения системы наук о деятельности голов-
ного мозга: философии, физиологии, психологии, информатики. Здесь
опять же видим неразрывные связи технологии с методологией. Так,
учебник будет признан и принят школой, если он не только мето-
дологически обоснован, но и технологически совершенен.
Имеется основание выдвинуть общее технологическое требование
к учебным книгам по математике, чтобы они были столь же читабель-
ны (понятны), как... художественный текст (!); учебник математики
может служить источником знаний для всех, если он вполне выпол-
няет функции самоучителя по математике.
В выступлениях артистов слово, интонация и мимика несут соот-
ветственно 50, 30, 20 процентов всей сообщаемой информации.
Аналогичное верно и для обучения: мы видим, как важно и как
непросто добиться здесь предельной информативности (безотказности
восприятия) даже одного математического символа!
Укрупненное знание создает условия для создания оптимальной
технологии обучения, и наоборот: во многих случаях только благода-
ря технологическим ухищрениям удается актуализировать неожидан-
ные ассоциации, удается создать качественно новый комплекс представ-
лений — крупную единицу усвоения.
191
... В современной психологии различают сознаваемый и неосозна-
ваемый компоненты в мышлении человека.
Чл.-кор. АН СССР П. В. Симонов разъясняет это следующим об-
разом: «Если человек перечисляет детали предъявляемой ему сюжетной
картинки, а спустя некоторое время называет фрагменты, отсутствую-
щие в первом отчете, мы имеем все основания говорить о наличии не-
осознаваемого восприятия и непроизвольной памяти, то есть о следах
лишь позднее проникающих в сферу сознания» (Симонов П. В.
Неосознаваемые психологические: подсознание и сверхсознание. —
Природа, 1983, № 3, с. 25).
Когда у человека «что-то вертится на языке», а высказать словами
он не может — это и означает созревание будущей мысли в сфере под-
сознания. Сфера осознанной информации составляет лишь неболь-
шую часть всей информации, подобно надводной части айсберга.
Многое человек усваивает, наблюдая и подражая, как говорится
без теории и без заучиваемых правил.
Так, уже дошкольник учится говорить грамматически правильно
задолго до того, когда он осознает эти правила на школьных уроках.
Проблема подсознательного получает признание и интенсивную
разработку в психологии лишь в последние годы.
В данной связи весьма многозначительно следующее явление, об-
наруженное при изучении механизмов подсознательной переработки
информации человеческим мозгом. В материалах тбилисского симпо-
зиума по проблеме бессознательного сказано:
«Испытуемым давалось правильно опознать пары антонимных слов
совершенно незнакомого им языка в количестве, которое превышает
возможное количество случайных совпадений» (в сб. «Бессознатель-
ное». Тбилиси, 1978, т. Ill, с. 193).
По-видимому, смысловая контрастность понятий кодируется в зву-
ковом оформлении языка на уровне каких-то физических параметров
(скажем, частот колебаний и т. п.), равно проявляющихся на любом
языке! Подобные факты фундаментальны.
Примечательны в данной связи следующие сопоставления: с по-
мощью лишь четырех оснований генетического кода записывается на-
следственность всего биологического мира; с помощью 32 букв рус-
ского алфавита записывается любая мысль; комбинациями не более
100 видов электромагнитных колебаний записывается в нейронах
головного мозга любая информация... (Цыбульский В. Код
памяти. —Советская Россия, 1982, 10 июля).
В этой связи достойно внимания и другое: контрастные понятия
в разных языках выражаются звуками, преимущественно различными,
например:
длинный — короткий (русский язык),
ланг — курц (немецкий язык),
ут — ахр (калмыцкий язык),
узун — кысха (казахский язык).
Указанные факты говорят о базальной (безотказной) природе прие-
ма противопоставления: оно, как это точно указал И. П. Павлов,
192
должно облегчать и ускорять мышление, совершающееся на любом
языке, во всех случаях. Понятно отсюда, почему противопоставление
контрастных единиц знания — без чего не мыслится укрупненная
единица усвоения— является главным условием передовой техноло-
гии обучения.
19. ФАКТОР ВРЕМЕНИ
В ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОМ ИССЛЕДОВАНИИ
ПРОБЛЕМЫ УКРУПНЕНИЯ ЗНАНИИ
Практика выше (теоретического) познания, ибо
она имеет не только достоинство всеобщности, но
и непосредственной действительности.
В. И. Ленин
Проблема укрупнения единиц усвоения исследуется
нашим коллективом уже добрых два десятка лет.
В возникновении данного научного направления центральную
роль сыграл тезис И. П. Павлова: «Противопоставление облегчает,
ускоряет наше здоровое мышление».
Логика противопоставления неизбежно приводит к выводу о не-
обходимости такого расположения взаимосвязанных знаний, чтобы
обеспечивалась совместность их в пространстве классной доски (или
страницы учебника) и одновременность их рассмотрения на уроке, лек-
ции.
Примечательно, что одна из наших ранних книг с изложением
новой методики так и называлась: «Обучение методом противопо-
ставления на уроках арифметики в I классе» (Просвещение, 1966).
Однако монографии и методические сочинения — это только подсту-
пы к решению значительной дидактической проблемы.
Велика опасность остановиться на этом подготовительном уров-
не, запамятовав тезис профессора Л. В. Занкова: лишь создание
школьного учебника венчает сколько-нибудь серьезный дидактический
поиск!
Верховные судьи методическим системам — это в конечном счете
учитель и класс, вооруженные общим орудием — учебником, вопло-
тившим сущность той или иной дидактической идеи: учебник, про-
шедший горнило школы, в диалоге школьника с учителем, единствен-
но и способен окончательно утвердить дидактическую идею.
Дидактическому поиску сопутствуют организационные трудности, и
тем большие, чем больше он завоевывает сторонников. Результаты
наших исследований заинтересовали не только учителей, но и работ-
ников министерств просвещения.
...Президиум Академии педагогических наук СССР по предложе-
нию Министерства просвещения РСФСР провел «решающий экспери-
мент» для проверки основных рекомендаций методической системы
укрупнения единиц усвоения на предмет внедрения их в массовую
школу.
7 Заказ № $995
193
В этих целях программы и опытные учебники по математике для
начальных классов, составленные нами, испытывались в течение трех
лет (1977—1980) в экспериментальной школе № 82 АПН СССР (пос.
Черноголовка Ногинского района Московской области). Исследова-
нием было охвачено всего 21 контрольный и экспериментальный
класс с 745 учащимися. Сравнение показателей успешности усвоения
знаний проводилось по текстам, подготовленным руководителем ис-
следования, Научно-исследовательским институтом содержания и ме-
тодов обучения АПН СССР, а также Программно-методическим уп-
равлением МП РСФСР.
Приведем выдержки из текста постановления Президиума Акаде-
мии педагогических наук СССР от 27 августа 1980 г. об итогах про-
верки методической системы, в котором говорилось: «Подтверждена
целесообразность применения в школе основных приемов укрупнения
дидактических единиц (совместного изучения взаимосвязанных вопро-
сов, составления обратных задач, деформированных упражнений)».
И далее: «Президиум АПН СССР постановляет:
1.	.НИИ содержания и методов обучения (т. Кашину М. П.)
~ при корректировке типовых программ по математике и созда-
нии учебников для начальной школы учесть результаты, полученные
в ходе экспериментальной работы;
—	продолжать экспериментальную проверку учебных пособий
П. М. Эрдниева для II и III классов с целью их усовершенствования;
—	провести проверку влияния обучения по методике П. М. Эрд-
ниева на последующее обучение в IV классе.
2.	Рекомендовать т. Эрдниеву П. М. переработать эксперимен-
тальные учебные пособия по математике для I, II, III классов в проб-
ные учебники с учетом результатов эксперимента и критических за-»
мечаний учителей; подготовить методические пособия для учителей и
набор необходимых дидактических материалов для учащихся, согла-
сованных с комплектом учебников...»
Генеральная проверка программ и учебных пособий, созданных
на идее укрупнения, осуществленная Президиумом АПН СССР, имела
для судеб исследования решающее значение, поскольку математика
в начальной школе является как бы моделью всего математического
образования.
Испытание укрупнения в старших классах показало преемствен-
ность методических установок укрупнения знаний в старших классах
школы и даже в вузовском обучении. В предыдущем изложении мы
обосновали в основном теоретически идею укрупнения знаний, про-
анализировав ее методические и технологические аспекты.
Однако главным аргументом в пользу укрупнения единиц усвое-
ния выступает фактор времени, когда улучшение качественных по-
казателей достигается при значительном сокращении расхода учеб-
ного времени*.
• См. наши статьи, напечатанные в ж-лах «Вопросы философии» (1974, № 4) и
«Начальная школа» (1983, № 2).
194
Обратим внимание читателей на то место постановления Президиу-
ма, где показано, что в I экспериментальном классе программный
материал изучен с экономией 14% годовой нормы учебного времени.
Этот показатель, характеризующий экономию времени при под-
ведении годовых итогов, носит глобальный характер, по мере про-
должения экспериментального обучения этот годовой процент эконо-
мии возрастает в старших классах.
Нелишне здесь отметить, что в публикациях методистов, перепро-
веряющих в различных условиях обучения в разных учебных заведе-
ниях систему укрупнения знаний, приводятся аналогичные пока-
затели.
Заведующий Воркутинским гороно Коротяев Б. И. писал, что
при совместном изучении взаимно обратных действий тема была изу-
чена за 10 часов против 17 часов по плану, причем качество знаний в
этом классе оказалось самым высоким; экономия составила более 40%
(Народное образование, 1964, №, 5 с. 31).
Доц. Глущенко А. Г. (Славянск) сообщил, что благодаря совмест-
ному изучению сложения и вычитания учебную тему удалось изучить
за 12 часов вместо 20 часов по норме; экономия составила 40% (Ра-
дяньска школа, 1967, № 8).
Мы видим, как укрупнение единиц усвоения, будучи экономной
системой обучения, обретает социальное звучание: каждый сэконом-
ленный учебный час является реальным богатством ученика, учителя
и родителя.
Трудно переоценить этот факт при учете масштабов внедрения
системы в массовую школу нашей страны, причем временной аспект
этого процесса проявляется многообразно.
Учителя-экспериментаторы младших классов пишут о том, что
любой ученик успевает составить и решить 3—4 взаимно обратных за-
дачи в течение 10—15 минут (в то время как при обычной системе не
всегда успевают решить за урок больше одной задачи).
Другим важным ускорителем в постижении математических зна-
ний по этой системе является прием «деформации» вычислительных
упражнений.
Лет 20 назад в учебниках математики начальной школы нельзя
было найти задания следующего вида:
□ 4- 2 = 10; □ • 2 = 12.
Справедливости ради отметим, что доля таких деформированных
заданий в стабильных учебниках начальной школы увеличивается
сейчас с каждым переизданием.
Учителя, использующие этот, в сущности, нехитрый прием дефор-
мации равенств, замечают резкое возрастание интереса детей к таким
заданиям. Почему бы это? Хронометраж времени показывает: если
на решение примера тратится 1 единица времени, то на решение со-
ответствующего деформированного (□ -J- 6 = 10) времени тратится
1,5 единицы времени, причем решение последнего означает, в сущ-
ности, перебор в уме до десяти (!!) различных вариантов обычных
заданий: (1 4“ 6 =/= 10; 2 -J- 6 =/= 10; 3 4~ 6 =/= 10; 4 4-6= 1Q)« Стало
7*
195
быть, решение деформированных заданий означает многократное
увеличение количества информации, перерабатываемой мозгом в еди-
ницу времени.
Достойно особого внимания следующее явление, еще не описан-
ное в психологии обучения.
В школе № 82 мы провели специальную контрольную работу с
целью определить скорость актуализации у учащихся верных число-
вых ассоциаций*.
В контрольной предлагались 20 заданий типа следующих:
8 - 6—27 =
□ 6—10 = 44
(20 + □) • 8 = 720
(□ — 200) : □ = 90 и т. п.
Экспериментатор, принимая работы от учащихся, отмечал на каж-
дой из них время, за которое была завершена работа учеником. (По-
вторная проверка учеником ответов после окончания всей работы не
разрешалась.)
Результаты контрольной приведены в следующей таблице (решен-
ных примеров на человека в минуту).
III класс (27 ноября 1979 г.).
	Эксперименталь- ные классы	Контрольные классы
Всего Верно Неверно	1.27 1.12 0,15	1.47 1.21 0,26
Коэффициент эффективности	Ц? = 88% 1,27	МТ"82*
Проанализируем данную таблицу.
Рассматривая первую строку, мы видим: в экспериментальных
классах на человека в минуту примеров решено меньше, чем в кон-
трольных (1,27 и 1,47).
Сравнив числа второй строки, мы видим: в экспериментальных
классах на человека в минуту появляется среди написанных ответов
относительно меньше верных ответов (??), чем в контрольных классах
(1,12 и 1,21).
Так в чем же превосходство экспериментальных классов перед
контрольными — вправе спросить читатель!
Истина здесь оказалась спрятанной глубже.
Вычислим, какую долю составляет число верных ответов от коли-
чества всех зафиксированных ответов за одно и то же время. Для
экспериментальных классов этот показатель составляет 88%, а для
контрольных классов — 82%. Разница в 6%.
• Эксперимент проведен сотрудником лаборатории экспериментальных учеб*
ников АПН СССР Жирковой С. А.
196
Мы докопались до истины: в экспериментальных классах не «вооб-
ще меньше ошибок», а’ меньше ошибок допускается в среднем «на од-
ного ученика в единицу времени».
Факты, как говорится, не только упрямая вещь, но и доказатель-
ная вещь.
Более высокий коэффициент эффективности в экспериментальном
классе доказывает то, что методика укрупнения дидактических единиц
содействует выработке таких качеств личности, как меньшая опромет-
чивость и скоропалительность в суждениях и поступках, большая
обдуманность умозаключений и контрольных операций, большая
частота верных ответов в экспериментальных классах по сравнению
с контрольными классами.
Мы видим, что внедрение укрупненных упражнений связано с пе-
рестройкой глубинных психологических процессов, благодаря чему
оно содействует упрочению как бы специфических механизмов симуль-
танного (одномоментного) освоения информации.
Если бы мы в данном исследовании ограничились — как это обыч-
но делается в методических исследованиях — лишь абсолютными
числовыми показателями успешности решения задания (решено —
не решено) вне учета расхода учебного времени каждым школьником
и суммарно всем классом, мы не обнаружили бы глубинной сущности
явления.
В коэффициенте эффективности (как в физическом понятии скоро-
сти) незримо присутствует характеристика явления через учет расхода
времени.
В докладе на Президиуме АПН СССР 27 августа 1980 г. об итогах
трехлетиего экспериментального испытания своих программ и учеб-
ников в экспериментальной школе № 82 Московской области (1977—
1980) с учетом прежних результатов экспериментальных классов
Элисты за 1964—1974 г. мы осмелились наконец на прогноз. Мы зая-
вили, что эффект данной дидактической системы будет проявляться
отчетливо и в последующие годы, даже после прекращения обучения
по нашим учебникам, ибо она не столько ускоряет усвоение знаний,
сколько должна создать общие умения, положительно влияющие на
успешность обучения любым учебным предметам.
Говоря образно, влияние укрупнения знаний сопоставимо с пло-
дами многолетнего растения или, по-другому, с явлениями остаточ-
ного магнетизма в физике.
Прогноз в известном смысле подтвердился.
Приведем таблицу* качества успеваемости пятых классов по класс-
ным журналам за 1981/82 учебный год.
Экспериментальное обучение по математике в школе № 82 было
завершено в 1980 г. Однако коллективы классов, обучавшихся по
нашей системе, не были распущены, а сохранены в IV и V классах,
где обучались уже по стабильным учебникам, как правило, одним и
тем же учителем, который не применял приемов укрупнения знаний
* Данные младшего научного сотрудника лаборатории экспериментальных
учебников АПН СССР Жирковой С. А.
197
и не имел такого опыта и раньше. В руках одного учителя оказывал
ся один бывший экспериментальный класс и один обычный класс.
В следующей таблице приведено сравнение числа годовых оценок
выставленных в параллельных классах. Многозначительно здес!
также и то, что высокое качество знаний (на 10%) сохранилось и пс
русскому языку, литературе и истории.
Классы	Всего учащихся	Математика на «4» и «5»	Русский язык, ли- тература и история на «4» и «5» (в сред- нем)
Бывшие эксперименталь- ные Бывшие контрольные	106 154	66% 60%	73% 63%
Превышение		на 8%	на 10%
Мы видим, что качество знаний учащихся по математике в экспери-
ментальных классах (через два года после завершения эксперимента
в начальных классах!) оказалось выше на 8% против бывших конт-
рольных классов.
Итак, предположение о последействии системы УДЕ подтвердилось
на убедительном языке цифр.
Важно здесь отметить также наличие благотворного влияния
системы укрупнения знаний не на отдельного ученика («сильного»
или «слабого»), а на классные коллективы в целом или на группы
классов.
В предыдущем изложении мы описали, так сказать, глобальные
проявления системы укрупнения знаний, а именно: экономия расхода
учебного времени учителем за год — 14%; феномен последействия
укрупненных упражнений, заключающийся в количественном превы-
шении качества знаний школьников бывших экспериментальных клас-
сов по сравнению со сверстниками из неэкспериментальных классов
через два года после окончания эксперимента, — на 8—10%; более
высокий коэффициент эффективности, т. е. процент верных ассоциа-
ций на школьника в минуту, — на 6%.
Эти числовые показатели, носящие усредненный характер, означа-
ют практическое доказательство реального превосходства системы
укрупнения знаний против существующей, общепринятой системы,
где господствует аналитизм, элементаризм, раздельное изучение
взаимосвязанных разделов.
Методика укрупнения несомненно обладает силой общности; так
нами испытаны на основе длительного обучения с положительным
исходом совместное изучение обыкновенных и десятичных дробей
(в IV—V классах), взаимно обратных геометрических теорем (в IV—X
классах), умножения полиномов и разложения их. на множители в
VI—VII классах и т. п.
198
Методическая система укрупнения знаний находится в соответст-
вии с современной тенденцией интеграции наук вообще, с возникно-
вением единого курса математики не только для школы, но и для
вузов. (Такая линия постепенно получает признание не только для
технических вузов, но и для университетов и педвузов.)
Сейчас можно смело предсказать, что эффективные учебники мате-
матики будущего могут быть созданы лишь на основе укрупненного
изложения теории, на основе укрупненных упражнений.
20.	УКРУПНЕНИЕ ЗНАНИЙ ПРИ ПОВТОРЕНИИ
ПРОЙДЕННОГО
Понятие в абсолютном методе сохраняется в своем
инобытии, всеобщее — в своем обособлении, в суж-
дении и реальности: на каждой ступени дальней-
шего определения всеобщее поднимает выше всю
массу его предшествующего содержания и не толь-
ко ничего не теряет вследствие своего диалектиче-
ского поступательного движения и не оставляет
ничего позади себя, но несет с собой все приобре-
тенное, и обогащается и уплотняется внутри себя.
Гегель
В проблеме практического использования приемов ук-
рупнения знаний надобно выделить два момента:
а)	применение методической системы при объяснении нового ма-
териала;
б)	применение конкретных способов укрупнения известных зна-
ний при повторении.
Осуществление первого пути в большей мере зависит от структуры
программ и учебников: лишь в редких случаях учителя-энтузиасты
решаются излагать новый материал в укрупненных блоках, т. е. ина-
че, чем это сделано в учебнике, коль скоро в действующих учебниках
господствует изучение обязательно в разных темах (на разных уроках!)
сложения и вычитания, прямой и обратной теорем и т. п. (нет в них
заданий на составление упражнений, нет в учебниках граф-схем дока-
зательства и т. п.).
Однако подробная технология укрупнения математических зна-
ний, описанная в данной книге, может быть использована каждым
учителем при организации повторения материала. Проблема повторе-
ния пройденного постоянно занимала умы педагогов.
К- Д. Ушинский отмечал необходимость такой организации по-
вторения, чтобы оно содействовало установлению связей ранее изучен-
ного с новым материалом.
Однако сложившаяся (метафизическая во многом) система раз-
дельного изучения родственных вопросов наложила отпечаток анали-
тичности и изорванности и на практику повторения материала.
В методической литературе ныне в ходу термины «растянутое по-
вторение», «распределенное повторение», «систематическое повторё-
199
ние», «повторение на уроке», «повторение в конце изучения темы (раз-
дела)», «повторение материала за четверть, за учебный год».
В этих понятиях видна попытка решить проблему односторонне»
количественно; известный математик А. Я- Хинчин имел основание
Отвергать формы механического повторения, когда писал:
«Кошмар! Вместо бесконечных повторений нельзя ли учить так,
чтобы материал не забывался» (X и н ч и н А. Я- Педагогические
статьи. М., Изд-во АПН РСФСР, 1963, с. 18).
В настоящее время школьные программы выделяют почти 10%
учебного времени специально на повторение.
Принципиальным недостатком сложившейся практики повторе-
ния является то, что оно преимущественно понимается всего лишь
как точное воспроизведение ранее изученных правил, определений,
приемов решения, без их усложнения, преобразования, т. е. вне само-
развития знания-
Как следствие этого в ходу молчаливо принятое представление
о том, что будто повторять следует как можно чаще, причем повто-
рять можно что угодно на уроке, зачастую и никак не связанное с
изучаемым на данном уроке.
Преодоление этой застарелой традиции, конечно, непросто; оно
возможно лишь после того, как будет понята методологическая ущерб-
ность тривиально принимаемого тезиса «повторение — мать учения»,
когда понятие «повторение» отождествляют с «повторением того же
самого», без видоизменения структуры и логики ранее изученного,
создающего новые связи между знаниями, т. е. вне самонаращива-
ния знаний в ходе повторения.
В связи со сказанным становится понятным, почему приемь/ ук-
рупнения знаний являются диалектическим средством активного по-
вторения через преобразование, изменение, обобщение ранёе
известного.
Пусть умножение и деление дробей (полиномов, иррациональнос-
тей ит- п.) были изучены в согласии с действующими учебниками по-
рознь, на разных уроках. Когда же приходит пора повторения, учи-
тель должен (мы не говорим: может!) идти по пути создания учени-
ком новой информации, а именно: на основе одних и тех же элемен-
тарных знаний создается укрупненная система взаимосвязанных опе-
раций, постигаются связи и переходы между знаниями, усвоенными в
разное время.	•
Пусть при повторении в соответствующих классах мы ранее вы-
полняли умножение:
дробей: 3,7 • 0,4 = 1,48;	(I)
или полиномов: (а — 2b) * ЗЬ2 == ЗаЬ2 — 6Ь3; _ (II)
или иррациональностей: (уЛ2 — 1)31/2 = 6 — 3К2.	(III)
Учитель, знакомый с теорией укрупнения знаний и уверовавший
в его пользу, не поспешит в соответствующих случаях к другим зада-
ниям того же рода (на умножение!); он преобразует только что выпол-
200
ненное задание в иную форму, например в уравнение с теми же ком-
понентами:
3,7 • х = 1,48;	(1а)
(а - 2fc) • х = ЗаЬ2 - 6/;	(Па)
(1/2—1)х = 6 — 3/2.	(IHfl)
Решение уравнения поневоле заставляет школьника повторить
родственные операции из логически общей совокупности, например:
деление десятичных дробей (1а); разложение полинома на множители
вынесением общего множителя за скобки (Не); вынесение числа из-
под радикала (II 1а).
При такой организации повторения неизбежно возникает «крупная
единица усвоения», т. е. осмысливается общность родственных опера-
ций, состоящая в рассмотренном случае из умножения, деления, ре-
шения уравнения, нахождения неизвестного компонента, проверки
корня, разложения на множители, сокращения дроби и т. п.
Комментируя эти операции, школьник не перескакивает от «пра-
вильной дроби» к «единице объема» — как это стало нормой при су-
ществующей «методике повторения», — а вспоминает, уточняет, про-
веряя одно правило через другое, превращая умножение в деление,
устанавливая связи между знаниями, не связанными при первоначаль-
ном изучении.
Так мы убеждаемся в содержательно новой формуле: «Повторе-
ние— через преобразование знания, через его укрупнение».
Сказанное можно уточнить так:
Лучший способ повторить умножение — это через его инобытие,
выполняя деление (ибо деление есть скрытое, переиначенное умноже-
ние).
Кто не знает умножения, тот и не сумеет выполнить без ошибки
деление.
Разумеется, такое повторение лучше всего осуществляется в том
случае, если умножение и деление изучались ранее в младших классах
совместно, на одном уроке.
Однако в настоящее время, когда идея укрупнения знаний еще не
получила отражения в действующих учебниках, существенно возрас-
тает роль тематического повторения как важного средства создания
новых целостных знаний.
Примеры укрупненного повторения читатель может извлечь бук-
вально из каждого параграфа данной книги.
Рассмотрим еще один пример (из геометрии).
Пусть в декабре месяце было рассмотрено доказательство теоремы
«Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую
сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам». Повто-
ряя эту теорему в марте, учитель (и даже ученик) может нарастить на
нее новую информацию, а именно доказать (пользуясь той же граф-
схемой) обратную теорему или доказать ту же теорему другим спо-
собом.
S01
Z/=Z2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть указанная теорема была доказана ранее для биссектрисы
внутреннего угла; повторив этр доказательство, учитель может пред-
ложить найти самостоятельно-совершен но аналогичное доказательство
теоремы для биссектрисы внешнего угла (рис. 108).
В этих целях достаточно построить рядом другой чертеж, расста-
вив в нем соответственным образом номера углов: одна и /а же граф-
202
схема будет обслуживать доказательство теоремы для двух случаев
(буквы By и Cy на чертеже перемещаются на новые места).
Если в ходе изучения нового материала решалась лишь готовая
задача, то при повторении выгодно составлять подобную задачу, с тем
чтобы затем ее решить, осуществив тем самым анализ зависимостей в
задаче через ее синтез, создав циклическую полноту знаний: «состав-
ление — решение — составление». (Сооружая целое, мы поневоле по-
знаем роль каждой части, входящей в это целое.)
Части постигаются через целое!
Точно так же, чтобы повторить логарифмирование, надо больше
решать примеры на потенцирование, ибо последние включают в себя
(в снятом виде, как говорят философы) и логарифмирование. По той
же причине интегрирование удобно проверять — для повторения —
дифференцированием, а логарифмических уравнений должно быть
решено больше показательных и т. д. и т. п.
Рассмотрим подробнее еще один пример «укрупненного повторе-
ния».
Пусть учащиеся изучали в разных разделах учебника графики и
свойства показательной и логарифмической функции (рис. 109).
При повторении этих вопросов в конце учебного года совершен-
но необходимо установить попарные связи между свойствами этих
функций:
(х 10) -+ (2* | 1) (х | 1) -> (log2 X | 0).
При таком укрупненном повторении возникают двусоставные суж-
дения, содержащие результаты сравнения свойств взаимосвязанных
функций, например:
Рис. 109	Рис. 110
203
существования показательной функции 2Л
Областью	——;— --------------------—--------т-п является мно-
изменения логарифмической функций 1о^х
жество действительных чисел.
~ -	существования логарифмической функции logo*
Областью —----------------—----------—--------— является мно-
изменения показательной функции 2*
жество положительных чисел.
Подвергнув отражению оба графика относительно, скажем, оси
абсцисс, получаем интересное упражнение, позволяющее школьнику
овладеть кодовым переходом от «образа к слову».
Так по рисунку 110 школьники устанавливают уравнения функ-
ций, соответствующие отраженным линиям (в) и (г).
Разнообразие вопросов для систематизации знаний увеличится
еще более, если четыре графика подвергнуть отражению от оси Оу.
Центральным пунктом «укрупненного повторения» является уяс-
нение вопроса: почему, скажем, для повторения сложения 3 4-2 = 5
выгоднее решить уравнение х 4- 2 = 5, а последнее иногда достигается
через решение... неравенства х 4- 2 < 5?
Или: почему восстановление в памяти разрозненных знайий, изу-
чавшихся порознь островками в течение, быть может, целого года,
достигается через соединение их в целостные комплексы, в укрупнен-
ные единицы?
Понять это — значит уяснить гносеологическую сущность разви-
вающегося знания, чему поможет нам блестящая характеристика яв-
ления, данная философом Гегелем (см. эпиграф к данному параграфу).
21.	ПРОБЛЕМЫ ВНЕДРЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ УДЕ
... Совершенствовать методы и средства обучения,
выдвигая на передний план активные его формы...
(Из постановления ЦК КПСС и СМ
СССР «О дальнейшем совершенствова-
нии общего среднего образования моло-
дежи и улучшения условий работы
общеобразовательной школы».)
В предыдущем изложении мы рассматривали большей
частью теоретические аспекты методической системы укрупнения ди-
дактической единицы, которая оформилась в итоге длительного экспе-
риментально-теоретического поиска, осуществленного вначале в Став-
ропольском педагогическом институте (1958—1964), а затем в Калмыц-
ком университете (1964—1983).
Мы показали, почему укрупнение знаний является на практике ре-
зультативным, почему этот подход, отражая объективные тенденции
в развитии обучения, со временем становится все более главенствую-
щим при решении многообразных вопросов учебного познания.
Надо отметить, что внедрение в практику учебных заведений линии
укрупнения знаний стало сейчас общепризнанным фактом, но по ло-
гике вещей оно нашло разный уровень отражения применительно к
программам и учебникам, а также к школам разных ступеней.
204
I
1 В не д ре н и е в начальн у*ю школу
В действующих программах по математике для начальных клас-
сов (1971) в соответствии с нашими предложениями (1963) были
включены положения, отсутствовавшие в предыдущих программах
(1961), а именно: о методе противопоставления, о взаимно об-
ратных задачах, о сближении прямых и обратных действий и
т. п.
Значение идеи укрупнения при переходе от программы начальном
школы 1961 г. к программе 1971 г. конкретно видно из приведенного
ниже сопоставления основных позиций двух программ с теми предло-
жениями, которые были опубликованы нами в журнале «Начальная
школа» (1963, № 10) (причем до выхода данной статьи не было извест-
но в печати подобных суждений по структуре начального обучения
математике).
1961	1963	1971 в
Программы начальной школы 1961 г.	Предложена П. М. Эрд- ниевым и описана им со- ответствующая методика (Начальная школа, 1963, № 10).	Реализовано в про- граммах начальной-шко- лы 1971 г.
1.	Не было вообще по- нятия «обратная задача». • 2.	Уменьшение и уве- личение — в 1 классе, разностное сравнение — во II классе. 3.	Сложение, вычита- ние, умножение и деле- ние изучались в разных темах в IV классе. И т. п.	Обучать преобразова- нию в обратные задачи как основному средству рационализации обучения арифметике. Подобные циклы из трех задач изучать в одной теме. Изучать сложение и вычитание — в одной теме, умножение и деле- ние — в другой теме. И т. п.	Обеспечено противо- поставление задач взаим- но обратных. В одной теме: «Уве- личение, уменьшение на несколько единиц и раз- ностное сравнение — в I классе». Сложение и вычита- ние — в одной теме, ум- ножение и деление — в другой теме.
Внедрение в среднюю школу
В базисных программах по математике для средней школы, со-
ставленных АН СССР и АПН СССР, высказан близкий нам тезис:
«Материал для изучения в каждой группе классов распределен по
содержательным линиям, объединяющим близко связанные между со-
бою темы курса» (Математика в школе, 1981, № 4, с. 48).
Базисные программы предусматривают — в отличие от «функцио-
нальных» программ — укрупненные темы «Пропорции и проценты»,
«Уравнения и неравенства», «Координаты и векторы».
205
Внедрение в высшую школу
В программе курса «Методика преподавания математики»,утверж-
денной Минвузом СССР в 1975 г- для физико-математических факуль-
тетов университетов нашей страны, на основе данных кафедры алгеб-
ры, геометрии и методики математики Калмыцкого университета вклю-
чены тезисы о конкретных приемах укрупнения математических зна-
ний, которые целесообразно использовать при подготовке учителей
математики в университетах и которые все еще отсутствуют в дейст-
вующих сейчас аналогичных программах для пединститутов, а именно:
о «принципе обратной связи в методике», «о совместном изучении
взаимосвязанных вопросов», «о составлении взаимно обратных задач»
и др.*.
В соответствии с решением Минвуза СССР 1978 г. наша кафедра
осуществляет университетскую специализацию по методике препо-
давания математики.
Внедрение укрупненных знаний на уровне учебников, уроков и
упражнений реализовано в наших пробных учебниках математики для
I—VI классов, а также в содержании спецкурсов на математическом
факультете Калмыцкого университета по указанной выше специали-
зации.
Следует отметить, что конкретные приемы укрупнения дидактиче-
ских единиц, получив признание в базисных программах (1981 г.),
находят пока слабое отражение в стабильных учебниках для IV—X
классов (в системе упражнений, в построении конкретного урока).
22.	ОПЫТ ПОСТРОЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА
«ЛИНЕЙНАЯ МАТЕМАТИКА»
Математическая истина только тогда должна счи-
таться вполне обработанной, когда она может быть
объяснена всякому из публики, желающему ее
усвоить. Я думаю, что если возможно приближе-
ние к этому идеалу, то только со стороны геомет-
рического толкования или моделирования.
Н. Е. Жуковский
Главенствующей тенденцией современной математики
как учебного предмета является интеграция родственных разделов
науки в синтетических учебных курсах.
К сожалению, усилия большинства авторов в этом >направлении
* а) Программы пединститута по методике преподавания .математики. М„
Просвещение, 1970.
б) Программы курса «Методика преподавания математики» для государствен-
ных университетов. Индекс УМУ-20-У-52. Составлена комиссией в составе: проф.
П. М. ’Эрдниева, доц. Н. В. Метельской и др. Утверждена 7 июля 1975 г. учебно-
методическим управлением по высшему образованию Министерства высшего и сред-
него специального образования СССР (Изд-во МГУ, 1978).
206
пока не идут дальше установления «единства логических принципов»
различных отраслей математики*.
Так, в книгах, носящих половинчатое название «Аналитическая
геометрия и линейная алгебра», под одной обложкой обычно сосуще-
ствуют без взаимовлияния главы, в которых по традиции раздельно
и независимо излагаются вопросы геометрии и алгебры. Нами пред-
принято создание учебного предмета, который удобно назвать «Ли-
нейной математикой», поскольку в ней осуществляется действитель-
ное слияние обеих ветвей математики.
Авторы данной книги исходят из того, что установление двойст-
венной природы знаний в «Линейной математике» означает постиже-
ние качественно более высокого уровня информации, а именно струк-
турной информации науки.
Осуществленная в таком учебном предмете новая технология по
непрерывному кодированию геометрического через алгебраическое
(и наоборот!) является ныне объективно необходимой, ибо она на-
ходится в согласии с важнейшей физиологической закономерностью,
а именно открытием функциональной асимметрии мозга.
В этой связи важно учитывать то, что понимание есть «разговор
двух кодов в пределах одной головы»: геометрическое понимается
через алгебраическую символизацию, а алгебраическое — через гео-
метрическую интерпретацию.
В практике обучения математике в вузе общепринято следующее:
если обсуждаются, скажем, геометрические понятия «прямая»,
«плоскость», их взаимное положение, то не рассматривается характе-
ристика соответствующих утверждений через «собственно алгебраиче-
ское» понятие: линейная зависимость векторов, ранг, матрица и др-
(и обратно).
Так, совершенно необычны задания, когда требуется дать геомет-
рическое толкование, скажем, следующему упражнению: построить
матрицу размерности 3x5, чтобы ее ранг был равен двум! (Дня ре-
шения достаточно построить в трехмерном пространстве пять конкрет-
ных векторов, расположенных в одной плоскости.)
Или еще: мало кто из учителей может дать геометрическое объяс-
нение тому, почему значение определителя не изменяется при при-
бавлении одной строки к другой!
Главная особенность описываемой методической системы — это
подача учебной информации укрупненными дидактическими единица-
ми, а именно: *
1)	двумерные и трехмерные векторы рассматриваются совместно,
что позволяет записывать в параллельных колонках аналогичные
суждения для плоскости и пространства; понятие вектор вводится на
координатной основе посредством точного построения трехмерных
векторов на клетчатой бумаге по значению координат;
* Кострикий А. Н., Манин Ю. И. Лмнейййя алгебра - и геометрия.
Изд-во МГУ, 1980, с. 5.
207
2)	доказательство взаимно обратных теорем дается совместно* в
одних и тех же граф-схемах;
3)	сочетаются индуктивные и дедуктивные пути изложения мате-
риала (например, в одних случаях формула для пространства полу-
чается как обобщение формулы для двумерного случая; в других
случаях — формула для плоскости выводится как частный случай
соответствующей формулы для пространства);
4)	используется метод обращения (или обратных задач);
5)	используются элементы конструктивного подхода к математи-
ке, который психологически обеспечивает трехфазный целостный под-
ход к знаниям («частное — общее — частное», «конкретное — абстрак-
тное — конкретное»).
Лучшим упражнением в данной системе изложения является та-
кое, когда читатель сам составляет упражнение, удовлетворяющее
определенным условиям, чтобы затем, решивши самостоятельно со-
ставленное задание, убеждаться в правильности конструкции и мето-
да решения, ибо в ответе получается долженствующий быть резуль-
тат.
Такое замыкание цикла ассоциаций в мыслительной деятельности
обеспечивает «чувство комфорта», вызывает положительную эмоцию
удовлетворения выполненной работой.
Составление чисел, функций, теорем, матриц, систем векторов и
т. п., удовлетворяющих определенным условиям, — это тайное тай-
ных автодидактики математики! Подобно тому как в средние века
мастер хранил секреты цеха, так и сейчас авторы школьных и вузов-
ских учебных пособий дружно не пускают эту форму упражнений на
страницы учебников и задачников, на уроки и лекции по математике.
В данной главе описана методика использования аналогии свойств
между плоскостными и пространственными фигурами.
Опытное обучение показывает, что широкое использование рису-
ночной информации обеспечивает широкую читабельность такого
учебного пособия по математике, приближающуюся по усвояемости
при должных условиях к доступности художественной литературы.
Особенность построения линейной математики — это также опо-
ра на визуальное мышление: важно не только высчитывать, измерять
и проверять те или иные утверждения по данным рисункам, но и са-
мому выполнять точные построения конкретных фигур, соблюдая
условия и размеры фигур; при этом должная скорость и точность
построений в пространстве достигается при специальном пользова-
нии клетчатой бумагой как своеобразным вычислительным аппаратом
(как номограммой, дающей приближенные числовые ответы).
Настоящая глава представляет реализацию итогов исследований
авторов по проблеме учебного предмета математики для факультетов,
готовящих учителей математики.
Один из выводов этого поиска заключается в том, что для успеш-
ности обучения важно осваивать знания одновременно на нескольких
кодах: на числовом и буквенном, на символическом и словесном, на
рисуночном (наглядном) и обобщенном (понятийном).
208
Поэтому в линейной математике уделяется специальное внимание
таким технологическим находкам в оформлении математической ин-
формации, как подбор букв для обозначений, параллельное располо-
жение записей, графическое выделение отдельных элементов в рисун-
ках и формулах, развертывание цепи суждений (силлогизмов) по вер-
тикалям граф-схем доказательства и др.
Курс линейной математики у нас возник в итоге многолетнего
испытания методической системы на практике обучения математике
в Калмыцком университете (1970—1984); отдельные положения дан-
ной системы испытывались как Б. П. Эрдниевым, так и учителями и
студентами старших курсов Калмыцкого университета пол его руко-
водством на занятиях в средних школах и ПТУ г. Элисты.
В данной главе мы описываем наиболее характерные в методиче-
ском отношении параграфы курса линейной математики, которые мо-
гут быть использованы в той или иной мере при обучении математике
в школе, ПТУ и техникуме.
Координаты и векторы. Линейная математика строится на коор-
динатно-векторной основе*.
Метод координат, изобретенный Декартом, устанавливает попар-
ное соответствие между базисными понятиями математики, такими,
как:
Геометрия
точка
вектор
линия
поверхность
пересечения линий (поверхно-
стей) и т. п.
Алгебра
число
набор чисел (координат)
уравнение
уравнение
решение системы уравнений
и т. п.
Координатный метод основан на взаимно однозначном (изоморф-
ном) соответствии между:
а)	множеством точек числовой (координатной) оси и множеством
действительных чисел;
б)	множеством точек координатной плоскости и множеством пар
действительных чисел (их координат);
в)	множеством точек координатного пространства и множеством
троек действительных чисел (их координат).
Положение точки относительно начала координат удобно предста-
вить радиус-вектором, т. е. отрезком, направленным из начала коор-
динат в данную точку пространства. Соответственно этому радиус-
вектор точки удобно обозначить одним (двумя, тремя) координатами
конца вектора, записанными в виде столбца чисел.
—с--------
* Исторически открытие координатного метода геометрии предшествовало
созданию векторного аппарата. Последовательное применение только координатного
метода приводит к растянутому изложению, к излишнему размельчению материала;
при такой системе затрудняется понимание переходных путей, связей между род-
ственными понятиями и образами, так как они попадают в разные разделы курса,
изучаются изолированно со значительным разрывом между ними во времени.
209
В этой связи хорошие возможности для укрупненного изучения
открывают базисные программы по математике для средней школы,
составленные специалистами АН СССР и АПН СССР. В базисных
программах имеется раздел «Координаты и векторы».
В «Линейной математике» эти понятия рассматриваются не только
совместно, но сразу на прямой, плоскости и в пространстве.
Исключительно важное значение для усвоения линейной матема-
тики имеет специальная технология точного изображения трехмер-
ного вектора двумерным рисунком, когда единичными векторами
(ортами) служат стороны и диагональ клетки. (Масштаб |/| : |/|: |Л|=
= 1 : 1 : Г2-)
На рисунке 111 показано два способа точного построения на клет-
чатой бумаге трехмерного вектора: посредством построения парал-
лелепипеда и замкнутой пространственной ломаной.
Пользуясь этой технологией, удается проводить лабораторные
работы по линейной математике. Конкретные численные результаты
получаются измерением длин линий с учетом разных масштабов
по координатным осям (рис. 112).
Свойства векторов. В нашем курсе линейной алгебры используется
такой технологический прием, как координатная запись вектора,
причем координаты записываются столбцом.
Эта деталь существенно облегчает доказательства теорем, которые
развертываются в виде равенств, записанных друг под другом.
Приведем один пример:
(X 4- р) g = 1а 4- ра.
Рис. 111
210
Читая равенство слева на-
право, получаем:
Чтобы умножить сумму ска-
ляров на вектор, достаточно ум-
ножить на этот вектор каждый
скаляр в отдельности и получен-
ные произведения сложить. (Это
есть дистрибутивный закон для
произведения суммы скаляров на
вектор.)
Читая равенство справа на-
лево, получаем:
Если все векторы-слагаемые
имеют общий векторный множи-
тель, то его можно вынести за
скобки.
Доказательство
fill
Линейная зависимость векторов. Эта тема центральная для линей-
ной алгебры; на ее основе вводятся в алгебре такие понятия, кай «ранг
матрицы», «определитель, равный нулю» и др.
В общепринятой системе изложения аналитической геометрии
это понятие линейной зависимости векторов не используется.
Студент, окончив математический факультет, так и не знает, что
компланарные векторы (изучаемые в курсе геометрии) есть не что иное,
как линейно зависимые векторы трехмерного пространства.
Рассмотрим кратко методику и технологию изучения этой темы
в курсе линейной математики.
Определение. Система векторов аъ а2, ..., ап называется
„ зависимой	существует	-
линейно--------, если —--------- ненулевой набор соответст-
независимой не существует
вующих скаляров таких, чтобы сумма произведений этих скаляров на
соответствующие векторы была равна нуль-вектору'. кхаг +
+ •• + Крп = 0.
Об этом короче можно сказать так:
Система векторов называется линейно зависимой, если какая-
нибудь их линейная комбинация равна нуль-вектору, причем хотя бы
один из коэффициентов не равен нулю.
Рассмотрим теоремы, в которых раскрывается содержание поня-
тия «линейная зависимость векторов».
Теорема 1.
Коллинеарные векторы aub (т. е. расположенные на одной прямой)
всегда линейно зависимы-
По-другому: один из этих векторов можно выразить единственным
образом линейно через другой (как произведение этого вектора на
некоторый скаляр).
Сл едствие. Неколлинеарные векторы АВ и АС суть линей-
но независимые векторы, так как нельзя один из них выразить линейно
через другой'.
АВ^АС-
Очевидно, что векторы, лежащие на пересекающихся прямых, не-
коллинеарны (линейно независимы).
Например, два единичных вектора — орта i и / — на координат-
ных осях являются линейно независимыми (неколлинеарными)
(рис. 113).
Теорема 2.
Три двумерных вектора а, Ь, с (т. е. расположенные на одной плос-
кости) линейно зависимы (рис. 113).
Доказательство.
Пусть все три вектора а, Ь9 с имеют различные направления. Для
удобства построим эти векторы с общим началом О. Проведем через
* '»
212
а = ОА
й = ОВ
с~ос
0At-2,5a
ОВ, = 2Ь
0At+ ОВ,=ОС = С
2.5а+2Ь-Т=0
а, Ь, с-линейно зависимые векторы
(К, ^2.5 ; 7г=2; Л3 = -/)
Рис. 113
конец одного вектора (например, с) прямые, параллельные двум дру-
гим векторам ОА и ОВ.
CBi || ОА, СА11| ОВ.
Эти прямые пересекут продолжение векторов а и b в единственных
точках (т^ и Вх). Соответственно векторы ОЛх и 0Вх выражаются
единственным образом через базисные векторы а и Ь.
В параллелограмме ОВ^САг вектор ОС = с является его диаго-
налью, т. е. вектор с есть сумма векторов ОАх и ОВг. Значит, три дву-
мерных вектора а, Ь, с, расположенных в одной плоскости, линейно
зависимы.
Об этом еще говорят так: вектор с разложен единственным образом
по базису из двух векторов а, Ь.
(Базисом двумерных векторов являются любые два неколлинеар-
ных вектора.)
213
Замечание. Если среди тройки векторов а, 6» с имеется па-
ра коллинеарных векторов (расположенных на одной прямой)» (на-
пример» а = Xfe), то доказательство линейной зависимости трех век-
торов тривиально:
а — Xfe + 0 - с = 0.
Следствие 1. Система, из трех, четырех и больше двумерных
векторов всегда линейно зависима.
Об этом можно сказать по-другому:
Если система векторов а, Ь, с линейно зависима» то соответст-
вующая надсистема векторов а, Ь, с, d, е и т. д. также линейно
зависима.
Определение. Векторы, расположенные на одной плоскос-
ти, называются компланарными.
Векторы, которые невозможно расположить в одной плоскости,
называются некомпланарными.
Можно сказать теперь так: три двумерных вектора всегда компла-
нарны.
Теорема 3.
Четыре трехмерных вектора a, b, c,d (т. е. расположенные в од-
ном пространстве) линейно зависимы (рис. 114).
Доказательство.
Пусть среди четверки векторов нет ни одной тройки линейно за-
висимых векторов (т. е. никакие три из них не лежат в одной плос-
кости).
а, Я(а,Б)
а2\\(Ь,с)
а3\\(с,3)
ОА, =
OBj —
ОС, =Х3с
Рис. 114
214
Построим все четыре вектора с общим началом:
а = ОА
Ь=ОВ
с = ОС
d=OD.
Через конец одного из векторов (например, OD = d) проведем
плоскость alt параллельную плоскости, образованной векторами а и 6.
(Аналогично проведем две другие плоскости а2, а3.)
Эти плоскости пересекают прямые, на которых лежат векторы, в
единственных точках.
Согласно построению» пары векторов на ребрах параллелепипеда
коллинеарны: ОА1 = 11а и т. д.
Так как OD является диагональю параллелепипеда, то он равен
сумме векторов, представляющих ребра данного параллелепипеда:
ОЛ1 + OBi + OCi = С© = Л
Об этом говорят еще и так:
вектор OD есть линейная комбинация трех базисных (некомпла-
нарных) векторов а. Ь, с.
Или: четыре трехмерных вектора a, fe, с, d всегда линейно зави-
симы.
k^d О (Х^	—1).
Следствие 1. Система из четырех^ пяти и больше трехмер-
ных векторов всегда линейно зависима.
Об этом можно сказать и так: если система трех векторов а, &, с
линейно зависима, то надсистема векторов a, b, с, d, е и т. д. также
линейно зависима.
Следствие 2. Три некомпланарных вектора суть линейно
независимые векторы, так как нельзя один из них выразить линейно
через два других.
Например, три орта х, /, k координатного пространства линейно
независимы, 'так как
-> -► -►
/ =/= X/ + рА
Определение. Базисом
ранства называется система
двух
трех
дву
трех
мерного векторного прост-
векторов, через которые линей-
но выражается любой вектор этого пространства.
215
Если, например, векторы ап, п, р являются базисом трехмерного
пространства, то это значит, что любой другой вектор а этого про-
странства можно представить так:
а = Xi/п + Z2n + ^зР-
Поучительно сравнить следующие два суждения:
если система векторов линейно
зависима
независима *
то
векторов наследует линейную
зависимость
независимость
надсистема
-------------- этих
подсистема^
. Это означает, на-
пример, следующее: если система трех ортов линейно независима,
то любая пара этих ортов тоже линейно независима (неколлинеарна).
Например,

Базис и ранг системы векторов. Понятия «базис» и «ранг системы
векторов» обычно рассматриваются только в курсе линейной алгебры
и не рассматриваются в главах классической аналитической геометрии.
Преимуществом учебного предмета линейной математики является
возникновение качественно нового укрупненного знания, включаю-
щего в себя следующие понятия (вовсе не соприкасающиеся в мышле-
нии при общепринятой практике обучения высшей математике): ли-
нейная зависимость системы векторов, базис и ранг системы векторов,
умножение матриц, разложение вектора по базису.
Наиболее ценное в таком комплексном изложении — это усвоение
связей между понятиями, изолированными друг от друга при клас-
сическом раздельном изложении глав линейной геометрии и линейной
алгебры.
Сначала введем понятие матрицы (системы векторов).
Пусть мы построили два век-
тора:
= 21 — 3j,
а2 = 4/ — 6/.
Если мы построим эти векто-
ры, то увидим, что они колли-
неарны — располагаются на од-
ной прямой.
В других случаях этого не бы-
вает: векторы не коллинеарны.
Пусть мы решали систему
двух линейных уравнений с дву-
мя переменными:
2х — Зу = —4,
4х — бу = —8.
Данная система имеет беско-
нечное множество решений, на-
пример,
*1 = 1. У1 = 2,
*2 = 0, Уг=-г,
х3 = —2, Уз = 0.
В других случаях система име-
ет единственное решение или не
имеет решений.
От чего же зависит взаимное
положение векторов?
Оно зависит от свойств мат-
рицы координат вектора, т. е.
от взаимосвязи элементов прямо-
угольной таблицы координат век-
тора:
Отчего зависит число решений
системы уравнений?
Оно зависит от свойств мат-
рицы коэффициентов системы
уравнений:
/2 —3\
\4 —6/
В обоих случаях мы получили одну и ту же матрицу координат
системы векторов (коэффициентов системы уравнений).
Матрицей размерности т х п называется система каких-либо
элементов, расположенных в прямоугольной таблице с т строками и
п столбцами.
Великое открытие Д. И. Менделеева — это создание матрицы (таб-
лицы) химических элементов.
В курсе алгебры изучаются свойства матрицы и действия над ними.
Иногда производят сложение матриц одинаковой размерности,
например:
72 —3\ । /1 0\ = /2 + 1 —3 + 0\	/3 —3\
\4.—6/	W V V* + 0 —6 + V ~ И —5/
Пусть дана следующая матрица М размерности 3x2:
М =
Данную матрицу можно представить условно как матрицу трех-
мерных векторов-строк:
= (xlt уи zj,
Gs = (x2, yit Z2).
Ту же матрицу можно представить как матрицу трех двумерных
векторов-столбцов:
ъ=(гЛ
\У2]	\~Ъ/
которую удобно записать так:
М = (Ьь Ьл, =
\Л2У2С2/
Итак,
--- (^1> ^2»	--

Пусть рассматриваются совместно т векторов размерности л;
взаимные положения этих векторов, образующих систему, характе-
ризуются свойствами матрицы координат этих векторов размерностя
п х т.
21»
Пусть даны два неколлинеарных (линейно независимых) вектора:
«1 и а2.
Векторы Ci, назовем базисом системы п векторов Ьп, если каж-
дый вектор есть линейная комбинация векторов базиса:
bf — \	-f- p/z2.
Говорят: вектор bf порождается векторами аи а2 (есть их линей-
ная комбинация). Поучительно двоякое определение базиса:
Определение
Базисом данной системы век-
торов называется наиболь-
шее число линейно независимых
векторов этой системы, порож-
дающих данную систему.
Определение
Базисом данной системы век-
торов называется наимень-
шее число векторов системы,
порождающих данную систему
векторов. (В этом определении не
используется понятие «линей-
ная независимость векторов».)
В алгебре применяется следующее правило умножения матриц,
которое можно образно представить так (рис. 115).
Иначе говоря, элементом матрицы-произведения является сумма
произведения элементов строки матрицы-множимого на элементы со-
ответствующего столбца матрицы-множителя.
218
Связь таких преобразований можно записать в ваде произведе-
ния взаимно обратных матриц:
М /И"1 = £.
При умножении матрицы М на обратную матрицу М 1 в произве-
дении должна получиться единичная матрица.
Убедимся в этом по правилу умножения матриц. И действительно»
Интересно отметить, что произведение определителей взаимно
обратных матриц равно единице:
2	2
О —3
Определитель единичной матрицы равен единице:
10 =1.
О 1
Мы видим: определители взаимно обратных матриц суть взаимно
обратные числа (а • — =
\ а )
На рисунке представлено геометрическое решение взаимно обрат-
ных разложений векторов: а, Ь через базис i, / (рис. 115) и обратно
(рис 116).
Остается заметить, что система неколлинеарных векторов а, b
имеет ранг, равный двум, так же как и система ортов Z, /.
Разумеется, изложенное здесь обобщается на квадратные матрицы
большей размерности. Итак, мы нашли геометрический смысл умно-
жения двух матриц:	!
если матрица М означает разложение двух векторов а, Ь через
базис 1, /, то обратная ей матрица Л4-1 означает разложение векторов
I, / через базис а, Ь.
Перевод мысли, выраженного в алгебраических терминах (умно-
жение матриц), на язык геометрических понятий (разложение векто-
ров по базису) есть качественно новая информация, приносимая созда-
219
A
0Ay Q.y	0^2	by
OA-j = Qj	OB3 — b}
Рис. 117
нием синтетической учебной дисцип-
лины — линейной математики.
Рассмотрим следующую удивитель-
ную теорему о свойстве матрицы:
«При транспонировании матрицы (т. е.
при замене строк матрицы столбцами)
ранг матрицы не изменяется».
Покажем справедливость теоремы
на системе векторов ранга, равного
единице (рис. 117).
Возьмем три вектора, расположен-
ных на одной прямой линии:
aY = 1 • i + 2 • j + 0 • k9
Заг = а2 = 31 + 6/ + 0 • Л,
а3 = 4аг = 4i + 8/ -f- 0 • к.
Из координат векторов а19 а29 а3
составим матрицу А9 а затем эту мат-
рицу транспонируем в матрицу В
(т. е. строки заменим столбцами):
Построим в координатном пространстве сначала векторы а19 а2, а3
(рис. 118), они расположены на одной прямой; когда построим на том
же рисунке векторы bt9 Ь29 Ь39 мы увидим, что эти векторы также
расположатся на одной прямой (но другой)!
«1. «2» Оз 6 ОЛ
_ It
bi, € ОВ
Заметим, что векторы сц лежат в плоскости XOY, а векторы bt
не лежат в этой плоскости.
Итак, мы показали: если векторы, образующие строки матрицы,
располагаются на прямой, то векторы, образующие столбцы матри-
цы, также располагаются на одной прямой.
Об этом можно сказать по-другому: система трех векторов, ле-
жащих на одной прямой, имела ранг, равный единице: после тран-
спонирования три образовавшихся вектора Ьъ Ь»9 Ь3 также образуют
систему векторов ранга, равного единице, ибо они также располага-
ются на одной прямой.
220
Rg («ь «2» a3) == 1
Rg (^1» &2» ^з) — 1
При изучении данного раз-
дела поучительно выполнять
аналогичные упражнения по ге-
ометрической интерпретации со-
хранения ранга матрицы систе-
мы двумерных или трехмерных
векторов, которые строятся в
трехмерном пространстве.
Пусть даны три компланарных
вектора (рис. 119):
ar = h* -р 2/ + 3k
а2 = 2i + Oj + k
Оз = ci + с2 = Si + 2/+ 2k
(третий вектор — линейная ком-
бинация первых двух векторов).
Напишем матрицу этой системы
векторов:
Требуется доказать:
Rg(au 02» Os) =2
N
Rg (bu b2, b3) = 2
Из этого построения мы видим:
вектор а3 есть линейная комбина-
ция двух других векторов: а3 =
= 1 • fli + 1 - а2.
Итак, по условию три вектора
«!• «г» Оз располагаются в одной
плоскости, так как ранг матрицы
этой системы равен двум.
Докажем, что ранг транспо-
нированной матрицы В также
будет равен двум.
d,=(W ON,)~
0К, = kOMf* fi-ONf
OHi^a
Л
Rgffit^Z
0N2^ 20N1=2a
eM2=0t50M^2b
Рис. 118
СА2II ОА,
С^СА2
Soa^ = S°CAi
Рис. 119
221
Для этого надо доказать, что один из векторов транспонированной
матрицы, например Ь8, есть линейная комбинация двух других:
Ь3 = Xfei +
Определим X, р методом неопределенных коэффициентов. В самом
деле,

3I=—1
1 (I)
^р-г**л—г	qjj
—-4-2ц=3
F=-^
откуда опять р = .
Из двух соотношений (I) и (II) мы получим одно и то же значение
Р — у- Итак, действительно вектор есть линейная комбинация
двух других векторов:
3 з з 2’
Значит, векторы транспонированной матрицы В лежат в одной
плоскости, определяемой базисом &х, b2t т. е. ранг этой системы так-
же равен 2. Что и требовалось доказать.
Полезно упрочить это суждение следующей цепью ассоциаций:
координатная плоскость двумерного пространства; прямоугольники
имеют два измерения, плоскость определяется двумя прямыми (дву-
мя радиусами-векторами); базис координатной плоскости — два не-
коллинеарных вектора (например, орты Z, /)• Значит, ранг всевоз-
можных векторов, расположенных на плоскости, — это число 2.
На рисунке 118 построены в пространстве два вектора ах = ON =
, 6X= OM
7 I. На этом же рисунке показана плоскость а,
3/
порожденная базисом alt bt. В плоскости а располагается любой век-
тор ОК %, являющийся линейной комбинацией векторов ах, bt.
Нахождение ранга матрицы. В учебных пособиях по алгебре не-
редко используется следующее собственно алгебраическое определе-
ние понятия ранга матрицы:
222
«Рангом матрицы А называется наибольшее натуральное число Л»
для которого существует не равный нулю определитель k-го поряд-
ка, порождаемый матрицей Д» (Бугров Я- С., Николь-
с к и й С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геомет-
рии. Наука, 1980, с. 17).
Приведем отрывок из этой Книги, йоСвященный определению ранга
матрицы.
«Задача № 28. Определить ранг матрицы А размерности 4x3.
а) Объяснить решение задачи по следующим записям преобразо-
вания исходной матрицы».
Решение дается в указанной книге посредством следующего пре-
образования исходной матрицы (см. с. 224).
Мы показали в сравнении решение прямой задачи (определение
ранга матрицы) с решением обратной задачи (с составлением матри-
цы, удовлетворяющей определенным условиям).
Однако эти решения выполняются на основе собственно алгебраи-
ческих соображений. Наиболее прозрачны решения обратной задачи
на основе геометрических представлений.
Пусть даны два неколлинеарных трехмерных вектора:
i = (о),	* -
Эти векторы неколлинеарны, так как коэффициенты при ортах
непропорциональны. Ранг двух неколлинеарных векторов равен
двум:
Rg («ь «г) = 2.
Добавим к этим двум векторам еще два вектора, являющихся ли-
нейными комбинациями векторов аг и а2-
Оз = аг — За2 = I 0 I + I —3 | = I —3 I,
V/ \ 0/ V 1/
Ранг матрицы четырех векторов будет равен двум:
_	/1 2 —5 3\ |
Rg (ai> «2» Цз» = Rg I 0 1 —3 1=2.
\1 0	11/
Это означает, что четыре данных вектора компланарны (лежат в
одной плоскости).
Поучительно это утверждение проверить, а именно: преобразова-
ниями матрицу размерности 3x4 привести к единичной матрице
второго порядка:
223
Геометрический смысл преобразования определителя. Поучительно
рассмотреть геометрический смысл следующего свойства определителя:
Читай сверху
вниз:
1.	Вычтем элемен-
ты первой строки из
Ни в одной книге
нам не приходилось
встречаться с зада-
нием обращенным;
например, составить
матрицу размерности
4x3, чтобы ее ранг
был равен 2 (ч и-
тай снизу
вверх).
ментов третьей строки
(получаем матрицу
А).
2.	Удвоенный пер-
вый столбец отни-
мем от второго столб-
ца; первый столбец
отнимем от третьего и
четвертого столбцов
(получаем матрицу
Да)-
3.	Вторую строку
прибавляем к третьей
строке (получаем
матрицу Д3).
4.	Опускаем ну-
левую третью строку
(получаем Д4).
5.	Отнимем второй
столбец из третьего и
четвертого столбцов
(получаем Д^.
6.	Опускаем нуле-
вые столбцы (третий и
четвертый).
7.	Получаем еди-
ничную матрицу А6
второго порядка.
Ранг ее равен 2.
/1 2 1 1\
А = 0 111
V1 1 о О/
It
/1	2	1 1ч
л;= о 11 1)
\0 —1 —1 —1 /
It
/1 О О 0\
Д, = |0	1	1	1
\0 —1 —1 —1 /
It
/1 0 0 0\
Дз= I О 111]
\о о о о/
It
й __ /1 0 0 0\
4	\0 1 1 1/
It
л _ /1 0 0 0\
6	\0 1 о о)
Re <А)= Re (А) =2
1.	Прибавим пер-
вую строку к третьей
строке (получим мат-
рицу Д).
2.	Прибавим пер-
вый столбец дважды
к второму столбцу;
прибавим первый
столбец к третьему и
четвертому столбцам
(получим матрицу Дх).
3.	Вычтем вторую
строку из третьей
строки (получим мат-
рицу Д2).
4.	Допишем третью
нулевую строку (по-
лучим матрицу Д3).
5.	Прибавим вто-
рой столбец к третье-
му и четвертому столб-
цам (получим мат-
рицу Д4).
6.	Добавим нуле-
вые столбцы: третий
и четвертый (полу-
чим матрицу Дб).
7.	Напишем еди-
ничную матрицу Дв
ранга, равного двум
(т. е. размерности
2 X 2).

224
1. Если к любой строке определите-
ля прибавить линейную комбинацию
других строк определителя, то значе-
ние определителя не изменится. Так,
например, для определителей второго по-
рядка справедливо равенство:
01^1
аг 4- Хах
Содержание данной теоремы прове-
рим сначала на конкретных примерах.
Пусть дан определитель второго порядка:
4 2
=20—2= 18.
ДА(М2-> ДЛ1СВ (X = 1).
at 6t __ 4	2
^2 “I-	5-J-2
Рис. 120
= 28 - 10 = 18.
Д Д^Дг-* Д Д10С (X = —1.5).
61
02—1,50! &2—1.56i
= 8 + 10 = 18-
Возникает вопрос: почему же при таких преобразованиях матрицы
значение соответствующего определителя не изменяется?
Каков геометрический смысл такого преобразования?
При таком преобразовании определителя A AjQA2 переходит в
равновеликий ему А Аг0В (или А АгОС) (рис. 120).
В самом деле, перемещение точки А2 можно охарактеризовать с
помощью векторов следующим образом:
0А2 + ОЛ1 = 0А2 + дЭ = дв.
Аналогично сказанному при К = —1,5 имеем следующее преобра-
зование матрицы:
4 2).
\0Д2/	\0С /	4 5 2/
Говоря по-другому, при X = —1,5 вершина треугольника Да пере-
ходит в положение С:
ос = <Й, + «Й - (>) - 1,5 («) - (>) + (4) - (-S).
Итак, вершина С (—5; 2), как и вершина В (5; 7), оказывается на пря-
мой A2S, параллельной основанию треугольника 0Ах.
Треугольники 0AtA29 OAtB, 0АгС и т. д., имеющие общее осно-
вание OAi и общую высоту Л, имеют одну и ту же площадь!
Вот почему величина определителя не изменяется при прибавле-
нии к элементам одной из его строк соответственно элементов другой
8 Заказ № 3995
225
строки, умножив их на одно и то же число 1:
С2
«1 Ь{
Аг 4" “hdi bz 4” Х&1
Для определителей третьего порядка верно следующее равенство:
ci Ьг Q
^2 bz Cz
#3 Ьз cs
at	bi	Ci
Qz	b2	Cz
Og 4~ (^#1 4” рАг) &з 4~ № -|" l^bz) c3 4- (Лх?14~Р^2)
Пусть дан тетраэдр ОАВС (рис. 120).
В точке С построим векторы С А' = ОЛ; СВ' = ОВ.
Произвольная линейная комбинация этих векторов ССп =
= ХОА 4- рОВ, будучи прибавлена к вектору ОС, образует плоскость
СА'В\ параллельную основанию тетраэдра О АВ.
Тетраэдры ОАВС, ОАВСп, имея общим основанием треугольник
ОАВ и общую высоту Л, будут иметь один и тот же объем.
Поэтому при указанном преобразовании определителя его значе-
ние не изменяется.
На языке векторов сказанное означает переход от одной матрицы
векторов к другой матрице:
'САЛ /	OAi
О А 2 I' ’* I	0/1%
<ОД8 /	\0А3 4- ЮА1 4- рОД2
Проверим сказанное на конкретном определителе третьего порядка.
Пусть вычислен следующий определитель:
0 0 4
4 2 1
1 5 3
=ж 4
1 5 = 4 (20 - 2) = 72.
Прибавим к
второй строк:
элементам третьей строки сумму элементов первой и
0 0 4
4 2 1
5 7 8
0
4
1+(0+4)
0
2
Б-Н04-2)
3+(4+1)
Мы видим: при таком преобразовании значение определителя
третьего порядка и в самом деле не изменилось!
Прибавив к третьей строке линейную комбинацию первой и вто-
рой строк, мы переносим вершину С тетраэдра в одну из точек плос-
кости а, параллельной плоскости ОАВ.
226
Замечание. Определитель, у которого одна из строк (стол-
бец) состоит только из нулей, равен нулю.
Это означает, что соответствующая матрица состоит из линейно
зависимых векторов (если речь идет об определителе второго поряд-
ка, то при этом треугольник вырождается в отрезок: все его вершины
оказываются на одной прямой; если речь идет об определителе
третьего порядка, то соответственно тетраэдр вырождается в тре-
угольник и все его четыре вершины оказываются на одной плоскости,
и т. д.).
Верно и обратное: если определитель третьего порядка не равен
нулю, то в соответствующей матрице — три линейно независимых
вектора (ранг матрицы — не меньше трех), и т. д.
Аналогия в курсе линейной математики. Курс линейной математи-
ки, как мы указывали выше, дает замечательную возможность трени-
ровки мышления в применении умозаключений по аналогии.
Сходные по структуре суждения развертываются в форме пере-
хода от прямой к плоскости, от двумерных векторов (матриц, опреде-
лителей) к трехмерным векторам (матрицам, определителям).
В условиях проведения занятий со студентами этот подход создает
условия для самостоятельного восполнения ими недостающих звеньев
в цепи умозаключений.
а) Центры тяжести (центроиды) отрезка,
треугольника и тетраэдра (рис. 123)
Сначала введем следующие понятия:
1.	Пусть точка Ц2 делит отрезок АХА2 пополам.
Середину отрезка Ц2 называют центром тяжести отрезка.
2.	Пусть точка Ц3 есть точка пересечения трех медиан треуголь-
ника АхА2А3. Точку пересечения медиан треугольника называют
центром тяжести треугольника.
(Замечание. Медианой треугольника называется отрезок,
соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей
стороны.)
3.	Пусть точка Ц4 есть точка пересечения медиан тетраэдра (че-
тырехгранника) AiA2A3A4. Точку пересечения медиан тетраэдра на-
зывают центром тяжести тетраэдра.
Существует следующая красивая теорема о центре тяжести:
«Вектор, соединяющий произвольную точку М пространства с
центром тяжести
отрезка
треугольника
тетраэдра
, равен
ров, соединяющих ту же точку М с вершинами
суммы векто-

половине
трети
четверти
отрезка
треугольника
тетраэдра
Докажем теорему о центроиде отрезка (о середине отрезка)
(рис. 121).
8*
227
Рис. 121
Пусть точка Ц2 делит отрезок Д1Л2 пополам:
Д1Ц2 — ЦгДг-
Из произвольной точки пространства О проведем векторы в эти
точки.
Требуется доказать: ОЦ2 == —1 °2 .
Согласно «правилу треугольника» для сложения векторов имеем:
Д1Ц» — Ц2Д2 — b
0Д1 +_д1ц2 = ОЦ2
at 4- Д>Ц2 = ОЦ2
с, = ОЦ2 - b (I)
ОЦ2 4~ 1Д2Д2 — 0Д2
0Ц2 4- Ь = ot
а, = 0Цг4-ИП)
Сложив по частям уравнения (1) и (П), имеем:
°х + аг = 2ОЦ2.
Или:
дц2 = Ц^ь.
Предлагаем читателю вывести аналогичные формулы для центрои-
дов треугольника и тетраэдра.
б) Матричные уравнения прямой
на плоскости и плоскости в пространстве
Выведем теперь матричное уравнение плоскости.
Пусть четыре точки лежат на одной плоскости т.
Л4, Л4Ь Л12> М3 6 т
__ _Jt _
MiM, МгМ2, MiMs € Т.
It
228:
Лйм = (х — хЛ i + (у — У1)/ + (z — zj k
MlMz = (x? — xji + (y2 — У1)/ + (Z2 — ’i) k
Л^М3 = (*з ~ *1)»
+ (Уз — У1) 7 + 0» — г>)
It
cx + 6y4-cz4-d==O
JU)
(IV)
(V)
(VI)
(VII)
Отсюда следует компланарность (линейная зависимость) трех век -
торов: AfjAf, МГМ2, MLM3.
Если три вектора трехмерного пространства линейно зависимы,
то определитель, составленный из их коэффициентов, равен нулю.
Раскрыв этот определитель по элементам первой строки, получим
линейное уравнение первой степени с тремя переменными (VII). Од-
нако полученное матричное уравнение (III) можно представить в бо-
лее удобной форме.
Для этого сначала запишем (III) в виде определителя четвертого
порядка (IV), который эквивалентен рассматриваемому определителю
третьего порядка (III).
Помножив в (IV) элементы последнего столбца последовательно
на х, у, г, прибавим их соответственно к первому (второму, третьему)
столбцам; так получим матричное уравнение (V).
Поменяв местами в (V) вторую строку с четвертой, а затем третью
строку с четвертой, получим, наконец, матричное уравнение плос-
кости (VI).
229
Докажем, что полученное матричное уравнение (VI) действительно
является уравнением плоскости, проходящей через три точки Мь
Мъ М3.
В самом деле.
Раскрыв определитель (VI) по элементам первой строки, также
получим линейное уравнение с тремя переменными (VII).
Значит, уравнение (IV) действительно есть уравнение плоскости.
Покажем, что уравнению (IV) действительно удовлетворяют коор-
динаты точек Мь М2, М3.
Подставив, например, координаты точки Мг (xlt ylt zj в уравнение
(VI), увидим, что первая и вторая строки совпадают, т. е. определитель
равен нулю.
Аналогично можно убедиться в том, что уравнению (II) удовлетво-
ряют координаты точки М2 и точки М3.
Уравнение (VII) удобно для запоминания: каждая строка опре-
делителя состоит из координат подвижной М и фиксированных
М2, М3 точек плоскости т.
Если в уравнении (VI) строку (например, третью) заменить произ-
вольными параметрами alt а2, аз, то получим уравнение (VIII) мно-
жества плоскостей, проходящих через две фиксированные точки Мх и
М2 (т. е. через прямую М±М2). При любом наборе значений этих па-
раметров, раскрыв определитель одной части, получим линейное
уравнение с тремя переменными, т. е. уравнение связки плоскостей,
проходящих через прямую
/Мл.
\M2/’
х у г 1
*1 У1 1
*2 Уг г2 1
ах а2 «з 1
= 0.
(VIII)
Придавая в уравнении (VIII) произвольные значения шести парамет-
рам ах, а2, Og, Pi, р2» Р3 (двум строкам), мы получим уравнение пуч-
ка плоскостей, проходящих через одну данную точку Мг (IX).
<Mj>;
X у Z 1
*i У1 1
в] а2 «э 1
Р1 р2 Рз I
= 0.
(IX)
Предлагаем читателю такими же рассуждениями вывести матрич-
ное уравнение прямой на плоскости X0Y, проходящей через две точ-
ки Mi (Xi, У1) и М2 (х2, у2), в следующем виде:
X у 1
У1 1 = 0.
Уг 1
После этого несложно разъяснить смысл следующих матричных
уравнений прямых:
230
<Л,>;
2> /А
0 7 1
Л|Л2 = t',
= 0;
х
3
0
Или:
6 0 1
(4 П 4 = Т.)
Ответы. 1) Уравнение пучка прямых, проходящих через точ-
ку Лг (3; 4). 2) Уравнение прямой, проходящей через две точки:
Дх (3; —4) и Л2 (0; 7). 3) Уравнение пучка прямых, проходящих через
точку Т пересечения двух прямых t± и /2-
По аналогии с третьей задачей нетрудно написать уравнение связ-
ки плоскостей, проходящих через прямую пересечения двух плоско-
стей:
х у г 1
Х1 ух Zx 1
Х2 У2 *2 1
•*з Уз гз 1
X у Z 1
Xi Ул ^4 1
хь Уъ 1
хв Уе ze 1
= 0.
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через точку пересече-
ния трех плоскостей Т — tx П т2 П т8, будет иметь, например, вид:
(охХ 4- />ху + CiZ + di) 4- р (агх 4- &2х c2z 4~ <4) 4-
4- ₽ (аз* + Ь3у 4- V + 4з) в О-
в) Аналогии между алгебраическими линиями
и по верхно стями первого и второго порядка
Уравнение прямой, проходящей через
А2 (х2, Уг), можно записать так:
две точки (л*, ух)
и
У=У£-
+ у2-
О)
И действительно, подставив в формулу (I) координаты точки
получаем: у (xj = ух • 1 4- у2 • 0 = yv
Ль
Подставив в
мулу (I) координаты точки Л2, получаем:
У (xj = yi • 0 4- у2 • 1 = у2.
Интересно обобщить эту строчечную запись.
Пусть речь идет об уравнении параболы, проходящей через три
заданные точки: Ат (х19 yj, Аг (х2, у2) и Л3 (х3, у3).
Это уравнение записывается так:
v (* —х3) 1_ .. (х —Х1)(х —х3) .	(*——*я)
У — У1";	Т~.—- -Г у2-----—----~г Уз“---------г- 1*1,
(Х1	Х2) (Х1	Х3)	(х2	Х|) (х2	х3)	(х3 — Х1) (х3 — Xg)
И действительно, если в последнем уравнении раскрыть скобки,
то получим квадратный трехчлен вида: у 4- Ьх 4- с9 которому
соответствует парабола.
231
Подставляя в последнее уравнение координаты трех данных точек,
получим:
У (*1) = У1 • 1 + У2 • о + у8 • 0 = ylt
У (*2) = У1 • о + у2 • 1 + Уз • 0 = У2,
У W = У1 • о + у2 • о + Уз • 1 = у3.
Отметим большую общность матричного
рмления условий
хождения линий или поверхностей через заданные точки.
про-

Пусть даны три точки на пло-
скости:
(*». У1); (х2, у8); (х3. Уз).
Уравнение окружности, про-
ходящей через три точки» запи-
сывается так:
х1 2 4- у2 х у 1
X? + УI *1 У1 1
4 + У?	У г 1
4 + У? хз Уз 1
= о. (III)
Пусть даны четыре точки в
пространстве:
(хй Уь Zj), (х2; у2; /г),
(Х3; Уз; Zs), (х4; у4; г4).
Уравнение сферы, проходя-
щей через четыре точки, выгля-
дит так:
х2 + у2 + z2	х у z 1
4 + у t 4- Z?	Xi у4 zt 1
Докажем, например, последнее утверждение.
Раскрыв определитель пятого порядка по элементам первой стро-
ки, получим уравнение второго порядка в следующем виде:
& + У2 + & + ах + ^У +	+ d = 0-
Это означает, что матричное уравнение (IV) есть уравнение
сферы.
Подставив, например, в уравнение (IV) координаты точки
Ai (%1, yn zj, имеем: в определителе (в левой части) уравнения (IV)
две строки совпадают; значит, определитель равен нулю.
То же самое верно и для трех других точек.
г) Длина отрезка. Площадь треугольника.
Объем тетраэдра
1) Запишем формулу определения длины отрезка, расположенно-
го на оси абсцисс (рис. 122).
। _________Ai	А?
0	X,	Хг	X
Рис 122
232
2) В линейной математике вы-
водится формула вычисления пло-
щади треугольника ДрДгЛз, распо-
ложенного на плоскости XOY*.
xi У1 1
*2 Уг 1
хз Уз 1
X
(Рис. 123.)
3) Формула объема тетраэдра
расположенного в ко-
ординатном пространстве, следу-
ющая:
Ау
(Рис. 124.)
Хг У1 Zi 1
х8 у2 г2 1
хз Уз гз 1
х4 у4 z4 1
Математик Феликс Клейн наз-
вал красивой аналогию этих вы-
ражений для характеристики про-
стейших фигур, а именно: длины
отрезка, площади треугольника,
объема тетраэдра:
Рис 123
Рис. 124
1
LA,A, — н
*1 У1
*2 Уг
*з Уз
xi
Ха
xi У1 Zi 1
х2 Уг гг 1
хз Уз *з 1
х4 у4 г4 1
4W
О
1
1
1
»
Научить удивляться симметрии этих форм, красоте аналогии
мыслей, зафиксированных в форме определителей, — наша задача.
Лабораторные работы. Материал, охватываемый «линейной мате-
матикой», изучается на I курсе в курсах линейной алгебры и аналити-
ческой геометрии.
Эти вопросы (теория прямых и плоскостей и соответственно систем
линейных уравнений) встречаются в том или ином виде и в курсе ма-
тематики старших классов средней школы.
В этой связи методическую ценность приобретают лабораторные
работы по проверке (конкретизации) центральных теорем линейной
математики на основе точных построений и измерений.
Рассмотрим примеры лабораторных работ по линейной математике.
233
А. Построение прямой (плоскости),
проходящей через данную точку
а)	Построить прямую АВ,
проходящую через точку с це-
лочисленными координатами
(рис. 125):
Т (2; 4).
Написать уравнение этой пря-
мой в отрезках.
Проверить вычислением пра-
вильность составленного урав-
нения прямой.
Решение
Для удобства возьмем на оси
ОХ вторую точку прямой АТ,
также с целочисленными коорди-
натами: А (5; 0).
Найдем точку пересечения:
В = ДТП OY.
Найдем по рисунку коорди-
наты точки В (6,3; 0).
Напишем уравнение прямой
АТ = ВТ,
^ + ^=1.
5	6,3
б)	Построить плоскость АВС,
проходящую через точку с цело-
численными координатами
(рис. 126):
Т (2; 4; 5).
Написать уравнение этой пло-
скости в отрезках.
Проверить вычислением пра-
вильность составленного уравне-
ния плоскости.
Решение
Для удобства построения и
вычислений возьмем на оси ОХ
вторую точку плоскости с цело-
численными координатами —
А (12; 0; 0). На оси OY — третью
точку плоскости — В (0; 8; 0).
Итак, требуется точно по-
строить плоскость АВТ.
При решении таких задач на-
до всегда помнить следующее:
если дана точка Т (2; 4; 5) в
пространстве, то тем самым од-
новременно даны три проекции
Рис. 125
234
Подставим в это уравнение
координаты данной точки
этой точки на координатные пло-
скости:
В самом деле
Тхг (2> 0, 5),
Тху (2; 4; 0),
Tzy (0; 4; 5).
Или по-другому: если дан
Мы убедились в приближен-
ном равенстве левой и правой
частей равенства.
вектор ОТ=
то тем самым
даны проекции прямой ОТ на
координатные плоскости. Даль-
нейшие построения проводим в
следующей последовательности:
1.	Проводим OTXZ cz XOZ.
2.	НаходимВ1 = ВТ Q OTXZ.
3.	Находим С = ЛВХ П OZ.
4.	Проводим прямые СВ и ВА.
Плоскость АВС построена.
Найдем координаты точки по
рисунку: С (0; 0; 11).
Пишем «уравнение в отрез-
ках» плоскости АВС:
Для проверки правильности
уравнения подставим в него ко-
ординаты точки Т (2; 4; 5):
+-? 1(1,06» 1).
12	8	11	'	'
Приближенное равенство уста-
новлено.
Б. Прямоугольный треугольник.
Прямоугольный тетраэдр
Пусть даны два вектора: = xxi + yj 4- z^,
я2 = x2i + У 2] +
Проведем по одной схеме доказательство взаимно обратных теорем:
прямой теоремы (сверху вниз), обратной теоремы (снизу вверх).
Прямая теорема
Если два вектора ортогональ-
ны, их скалярное произведение
равно нулю. (|)
Обратная теорема
Если скалярное произведение
двух векторов равно нулю* то
эти векторы ортогональны. (|)
235
I.	Если векторы ортогональ-
ны, то угол между ними равен
90°.
II.	Косинус прямого угла ра-
вен нулю.
III.	Произведение трех сом-
ножителей, один из которых нуль,
равно также нулю.
IV.	V. Значит, скалярное
произведение векторов равно
нулю.
VI. Представим скалярное
произведение в координатах.
_L а2	(I)
ц
(fllf а2) = 90°	(II)
It Л
cos (оь а^—0	(III)
toll • |a2|-cos (аъ Оа) == 0 (IV)
It - _
Oj • g2 ——* 0
It
хгх2 + У1У2 + z±z2 = О (VI)
Обратная теорема доказывается рассуждением снизу вверх по на-
правлению (VI) (I).
Обе теоремы можно сформулировать совместно:
«Для того чтобы два вектора были ортогональны, необходимо и
достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю».
(Я1 J_ аг) (О1 • а2 = 0).
Данную теорему удобно сопроводить лабораторной работой на
тему «Построение прямого угла на плоскости и в пространстве».
Пусть требуется составить два (двумерных) вектора ах и а2 таких,
чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
Убедиться построением, что данные векторы ортогональны.
Пусть
= 3/ + 4/,
. а2 = —4t + у г • /.
Требуется определить у2-
Подставим координаты векторов в условие перпендикулярности:
3 • (-4) 4- 4 • у2 = 0.
Отсюда
у2 = 3.
Итак,
Ci = 3i 4- 4/,
а2 = —4/ 4- 3/.
Проверка. Построив эти векторы на координатной плоскости,
мы видим, что они и в самом деле перпендикулярны: ах X а2.
236
а) Вычислим косинус угла между векторами:
cos^i, а9)= •	;
V *1+у? -V 4 + У2
Г	3 • (— 4)+4.3
cos(alt Os) =----—
>25 - У25
Значит, Cx-LOa; или (а19 aj — 90е.
Отсюда следует: (аъ а2) = 90°.
б) Построить векторы аг = 2i — 3/,
а2 = i + 4/.
Вычислим величину угла между этими векторами.
Ответ проверить, измерив угол транспортиром.
в)'Построить вектор at = 3i, расположенный на оси ОХ.
Построить вектор а2 = 2/ + 5 k, расположенный на плоскости
YOZ.
Вычислить величину угла между этими векторами.
Почему угол оказался равным 90°?
г)	Требуется построить трехгранный прямой угол 0AiA2A3 сле-
дующим образом.
Подберем два ортогональных вектора, например:
«1 =
И действительно,
• а2 =
(х*\
Подберем третий вектор as = I у3 I такой, чтобы он был перпенди-
\ZJ
кулярен двум первым:
Gi . а3 = х3 + Зу3 + 2za = 0,
а2 • а3 = х3+ Зу8 — 5z3 f= 0.
Пусть z3 = 0. Тогда х3 + Зу3 = 0; пусть х3 = —6. Тогда у3 = 2.
Итак, мы определили третий вектор а3 =| 2 I.
\ 0/
Докажем, что построенный нами трехгранный угол 0AtA2A3
прямоугольный.
237
В самом деле,
=0,
— 0, Gi • Qq
3
=0.
д)	Итак, в точке О построен трехгранный прямой угол:
Z. А.ОА2 = А Л2ОЛ8 = Z. Л80Лг= 90°.
Доказать на основе теоремы, обратной теореме Пифагора, что все
три угла в вершине О прямые.
Для доказательства рассуждаем так.
Даны координаты четырех точек: О, А., Л2, А3.
Вычислим длины ребер трехгранного угла: OAlt ОЛ2, ...» ЛдЛ^
Далее достаточно установить равенство:
ЮЛ^Ч- |ОЛ2|2= M^2|2,
IОА 2|2+ |ОЛзГ= |Л2Л8|2,
I ОЛ|2 + | ОА. I2 = |Л8ЛХ|2.
В. Определение отклонения точки от прямой
и плоскости
Первая часть
Рис. 127
Дана прямая АВ своим урав-
нением (рис. 127).
й + i -1 «>
4х.+5у — 60=0. (И)
- К*
Найти отклонения от нее точек
О (0; 0) и К (12; 10) двумя спосо-
бами (построением и вычисле-
нием).
Решение (I способ)
1.	Строим прямую по уравне-
нию в отрезках (рис. 127).
238
2.	Из точек О и К опустим цир-
кулем и линейкой перпендикуляры:
OP J_ АВ; ККг ± АВ.
3.	Измерим в тех же единицах
(длина клетки=1 ед.) длины отрез-
ков: ОР « 8; /</<! = 6.
Решение (II способ)
Умножим обе части уравнения
(II) на нормирующий множитель:
Напишем нормальное уравнение
прямой t:
Подставим в левую часть нормального уравнения (III) координаты
точек О и К, получим:
|б(О)|=^«9.
|6(X)|=-^L. 12 + -^. ю—
1/41	)/41	J/41
Эти числа близки по величине к тем» которые получены первым спо-
собом (построением).
Вторая часть
Дана плоскость т= (АВС) своим уравнением в отрезках:
- + - 4- - = 1 (IV) и точка М (7; 5; 4).
10	8	6
Определить отклонение точки М от плоскости т.
/ способ (построением) (рис. 128)
Построим в координатном пространстве плоскость т» точку М и ее
проекцию на плоскость XOZ, т. е. точку Мхг (7; 0; 4).
Построим прямую OMXZ в плоскости X0Z и плоскость ММхг0.
Найдем в плоскости X0Z точку
Дальнейшие построения долж-
ны быть проведены в плоскости
р = (£Ю7И), в которой располо-
жены прямые ВО, ВК, ВМ.
Перпендикуляр ММХ, опу-
щенный из точки М на плоскость
т, будет также перпендикуляром
к прямой ВК, принадлежащей
плоскости р.
пересечения К = OMXZ П АС.
мм^во-^^вом^
I г
м
як ер
*1 г1
MMid-BK
S39
Треугольник BMXZO виден на нашем рисунке 129 сбоку, в иска-
женном виде, поэтому длины отрезков на плоскости Р также иска*
жены.
Задача заключается в том, чтобы на плоскости построить в нату-
ральную величину взаимное положение прямой ВК и точки М а
затем циркулем и линейкой точно построить ММ! I В К-
Чтобы это сделать, надо построением на рисунке найти проек-
ции точки К на оси ОХ и OZ. Для этого надо сначала провести:
KKZ II ОХ и ККХ II 0Z.
Согласно масштабам на осях найдем координаты точки К (4,6;
2,8).
На рисунке 129 откладываем сначала катет |0/<J^4,6; затем
катет \КХК1 = 2,8.
Отрезок ОК на рисунке 130 имеет натуральную длину этого от-
резка, видимого сбоку на рисунке 129.
На том же рисунке 129 построен в натуральную величину отрезок
омхг.
На рисунке 130, изображающем натуральный вид плоскости
BOMVZ, перенесены циркулем на ось OMXZ отрезки ОК и OMXZ в на-
туральную величину.
Строим перпендикуляр ОВ к прямой OMXZ9 а именно MXZM _L
I OMXZ. Отложим OB = 8; MXZM = 5. Наконец, циркулем и ли-
нейкой опускаем из точки М. перпендикуляр на прямую ВК.
Измерив ММХ в натуральном масштабе (на нашем рисунке сторона
клетки равна 1 единице), находим приближенно: /W/Mi » 4,3.
Что и требовалось.
II способ
Преобразуем уравнение в от-
резках в общее уравнение плос-
кости:
Общее уравнение преобразу-
ем в нормальное уравнение, ум-
12* + 15у + 20г — 120 = 0.
12л+ 15y + 2Qz — 120
/122	152	203
240
ножив его на нормирующий мно-
житель:
Подставив в функцию левой ча-
сти координаты точки М, полу-
чим отклонение этой точки от
плоскости. Этот вычислительный
результат близок к первому ре-
зультату» полученному на основе
построений.
в(Ч) =
12-7+ 15 - 5 4-20  4—120
/122 4- 152 4-20?
б (Mj) 4»4.
Выполнение подобных лабораторных работ» связанных с приемами
начертательной геометрии, в определенной мере помогает учителю на-
выками» необходимыми для проведения в школе уроков черчения.
23. ИНФОРМАЦИЯ И «ШУМ» В ОБУЧЕНИИ
МАТЕМАТИКЕ
Одной из характерных особенностей эпохи НТР счи-
тают двойственный процесс математизации гуманитарных наук и
гуманитаризации самой математики.
В последнее время заметно возрастание интереса к проблемам ма-
тематического образования как самих профессионалов — математи-
ков и преподавателей, так и широких слоев педагогической и роди-
тельской общественности.
Нередко авторы книг, написанных для детей, не могли устоять
перед некоторыми модными веяниями, которые затем не выдержали
испытания временем.
Возникла ситуация, когда инженеру с высшим образованием от-
нюдь не просто оказать помощь своему сыну — шестикласснику
из-за неудачных новшеств в символике и терминологии учебного
пособия.
В свое время проф. И. В. Арнольд писал о том вреде, который
могут принести установившиеся «иногда по случайным причинам спо-
собы обозначения и выражения, нередко заимствованные из иностран-
ной литературы и в корне противоречащие как духу русского языка»
так и психологии восприятия учащимися основных математических
понятий» (Арнольд И. В. Оперативное истолкование числа в
курсе элементарной математики. — Известия АПН РСФСР, 1946»
№ 4, с. 21).
Известный советский математик Ю. И. Манин справедливо указы-
вает на вред увлечения лишь формой высказывания в ущерб его со-
держанию. Так, он пишет: «Кочующие по учебникам примеры типа
«если снег черен, то 2 х 2 = 5» способны лишь дезориентировать,
ибо выражения с такой семантикой не реализуются ни в одной под-
системе языка» (М а н и н Ю. И. Доказуемое и недоказуемое. —
М.: Советское радио, 1979, с. 41).
И действительно, одно время увлечением иных авторов стало
подобное «озадачивание» читателя нелепыми логическими рассужде-
241
ниями, содержательно противоречащими ассоциативному строю здра-
вого смысла.
Приведем несколько примеров.
Н. Я. Виленкин утверждает, что в реальном мышлении может
встретиться случай, когда «в одном и том же рассуждении пойдет речь
о множестве всех комплексных чисел и о множестве... всех китов в
океане» (?!) (Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. — М.:
Наука, 1969, с. 26). Между тем при всем уважении к маститому автору,
нельзя согласиться с правомерностью такого надуманного сопостав-
ления.
М. И. Моро начинает свою книгу (Моро М. И. Математика в
картинках. — М.: Просвещение, 1975) стихотворением:
«Здравствуй, Энык,
Здравствуй, Бенык,
Энык — Бенык Колобок.
Будь мне другом,
Энык — Бенык,
Дай скакалочки кусок».
В книге нет пояснений, как связан герой этого стихотворения с
Колобком из красивой сказки.
Но главное недоумение вот в чем: как можно дать «кусок скака-
лочки»? Это же уничтожение вещи?! Да и куска некоторых предметов
вообще не бывает!
А вот «Считалочка» из той же книги:
«В Москве, в Ташкенте, в Костроме считайтесь — мне не жалко».
Не жалко чего? Почему? Где смысл?
Подобные фокусы с логикой и грамматикой могут иметь дальним
следствием умаление конкретных начал мысли и в итоге привести к
ее отрыву от действительности.
Вообще, как нам кажется, структурная информация нарушается,
если не соблюдается следующий порядок в названиях теорем: свой-
ство фигуры — прямая теорема; признак фигуры — обратная
теорема.
К сожалению, этот порядок не соблюден в школьных учебниках
геометрии.
Информация школьного учебника близка к уровню категорич-
ности. Часто ученик, не понимая, может принимать информацию на
веру.
При высокой степени запечатления изучаемого и при понятной не-
развитости у школьника критического отношения к учебной инфор-
мации становится актуальной задача повышения качества учебной ин-
формации, соответствия ее оптимальным закономерностям высшей нерв-
ной деятельности школьника.
Поиск новых вариантов изложения у иных авторов учебников
приводит к выбору неудачных определений базисных понятий. Отда-
вая дань попытке построить школьный курс геометрии на современной
научной основе, предпринятой проф. В. Г. Болтянским, тем не менее
нельзя не удивиться, скажем, такому определению:
242
«Четырехугольник, имеющий центр симметрии, называется парал-
лелограммом» (БолтянскийВ. Г. и др. Геометрия. Пробный
учебник для 6—8 классов. — М.: Просвещение, 1979, с. 57).
В другом пробном учебнике, изданном в 1984 году, вводится
иное определение, опять же отличающееся от общепринятого:
«Четырехугольник, у которого противоположные стороны равны,
называется параллелограммом» (Александров А. Д. и др.
Геометрия. Пробный учебник для 6 класса средней школы. — М.:
Просвещение, 1984, с. 74).
Покажем на примере этих определений, насколько нужна осто-
рожность при обращении с устоявшимися понятиями школьной ма-
тематики.
Разумеется, в принципе иногда определение и теорема могут по-
меняться местами в руках того или иного автора, но вряд ли это мож-
но счесть уместным в данном случае.
Указанные определения не удовлетворяют требованиям... линг-
вистики (т. е. языковой практики). В самом деле, как можно «парал-
лелограмм» определять без указания на параллелность сторон, ведь
эти термины одного корня!
Приняв такое определение параллелограмма, авторы вынуждены
доказывать отдельной теоремой, что в параллелограмме противопо-
ложные стороны параллельны.
Для структуры многих пособий по математике характерен анали-
тизм, когда основным средством развития навыков считают только
повторение простейших операций типа следующих:
1.	Прочитать данное число.
2.	Изобразить число на координатной оси.
3.	Упростить выражение.
4.	Выполнить сложение.
5.	Разложить на множители.
6.	Сократить дробь.
7.	Построить график функции и т. п.
Подобные изолированные задания, будучи главенствующими, не
удовлетворяют методологическому принципу «высокого уровня труд-
ности» (Л. В. Занков), «необходимого уровня сложности», осуществля-
емого, например, в наших учебниках.
Успешность обучения математике во многом зависит от оптималь-
ной последовательности разделов в учебниках (не только от отоб-
ранного набора понятий и операций), т. е. от. структурной инфор-
мации.
При произвольном изменении последовательности разделов учеб-
ного предмета структурная информация может выродиться в «шум»
и мешать усвоению новых знаний.
Немаловажно, например, определить, что должно предшествовать
в школьных учебниках: функция «многочлену» или «многочлен»
функции; изучать вслед за линейным уравнением квадратное уравне-
ние или линейное неравенство (памятуя, что однотипные уравне-
ние и неравенство можно изобразить одним и тем же графиком)
и т. п.
243
Постигая учебный материал, школьник осваивает информацию как
явную, текстовую, так и неявную, содержащуюся в тексте или кон-
тексте.
Произвольное изменение последовательности логически взаимо-
связанных разделов может нанести урон знаниям тем более серь-
езный, что такая потеря связана со структурной (неосознаваемой)
информацией, с информацией целого, трудно уловимой при анализе
явления с «близкого расстояния». Отрицательные последствия подоб-
ных структурных «новаций» могут проявиться через несколько лет,
уже в сознательной жизни человека, в виде бессистемности представле-
ний (и уже не только математических!). Это должно насторожить
каждого автора учебника, учитывая аналогию с тем, что произволь-
ные манипуляции с генетическим материалом могут закончиться ре-
зультатом, противоположным ожидаемому.
В недавнем прошлом школьные учебники геометрии строились в
сугубо евклидовском духе (вне координат и числовой характеристи-
ки фигур).
Правильная методологическая установка на необходимость все-
объемлющего использования декартова метода координат (кстати, ма-
териализованного ныне массовым выпуском клетчатых тетрадей) мо-
жет существенно повысить качество знаний; именно на этом пути до-
стижимо, на наш взгляд, создание, единой учебной дисциплины «ма-
тематика» для школы, соединяющей в себе нынешние алгебру, геомет-
рию, возможно, и черчение (а быть может, и механику).
В школьном учебнике геометрии А. В. Погорелова рассматрива-
ются не только фигуры, но и уравнения прямой линии, окружности,
плоскости.
Такое проникновение методов аналитической геометрии в элемен-
тарную, конечно, достойно всяческой поддержки.
Однако методологическое значение чисел (координат) как важ-
нейшей модели математического знания столь значимо, что оно долж-
но учитываться с первых шагов обучения этой науке.
Пусть речь идет о введении понятия «равные треугольники»; на
этих начальных уроках геометрии зачастую обходятся построением
фигур на глаз, без использования координат и чисел.
Часто бывает и так, что точное построение равных треугольников
циркулем и линейкой рассматривается через неделю после (??) дока-
зательства соответствующих теорем о признаках равенства, вместо
того чтобы стать предметом действий ученика на тех же уроках,
когда изучаются эти теоремы.
В лучшем случае учитель ограничивается на этих начальных уро-
ках геометрии вырезанием ножницами двух фигур из наложенных
друг на друга листов цветной бумаги и показом факта «равенства»
их классу.
Однако в этой теме поучительно воспользоваться координатным
пояснением понятия «равенства фигур», а именно: «многоугольники
(треугольники), у которых соответствующие вершины имеют совпа-
дающие координаты, являются равными».
244
А(-^;0)
В(0;3)
С (2; О)
У|
М(-4;0)
N(0;3)
К{2,0)
AB=MN BC=NK
1—
AABC = AMNK
СА=КМ
Рис. 131
Для графического подкрепления строим точно равные треуголь-
ники. Для этого на клетчатой бумаге сначала строим две системы ко-
ординат хОу.
На первом чертеже намечаем три произвольные точки Л, В, С (для
быстроты построений лучше точки взять на осях), а на втором рисун-
ке намечаем точки М, N, К по тем же координатам, что и на первом
рисунке (рис. 131).
Важнейшее средство «координатизации» начальных глав геомет-
рии — это возможно раннее осуществление параллельного переноса
точек и фигур на один и тот же вектор.
Пусть дан «вектор переноса» р — (*°) =
Перенесем, например, на
Л1В1С> в положение А^В^С*.
Замечаем следующее:
«Если к абсциссам вер-
шин многоугольника приба-
вить одно и то же число х0,
а к их ординатам прибавить
одно и то же число у0, то фи-
гура-прообраз будет равна
фигуре-образу» (рис. 132).
Предлагаемое начало кур-
са геометрии означает вве-
дение новых аксиом, в роли
которых выступают признаки
равенства треугольников; бла-
годаря этому геометрия об-
ретает качество «практической
науки» (наподобие физики).
этот
вектор
вершины треугольника
ПР (fif) - Л
AAfBfCj -ДА^С^
Рис. 132

245
А АВС-равнобедренный
Рис. 133
При изучении четырехугольников весьма поучительно наряду с
евклидовой характеристикой их через стороны и углы давать (также
на основе точных построений!) декартову характеристику фигур в
их каноническом (основном) положении относительно осей коорди-
нат, например:
«Если вершина В треугольника АВС расположена на оси Оу,
а две другие вершины Л и С располагаются на оси Ох и имеют про-
тивоположные координаты, то такой треугольник равнобедренный».
Или по-другому:
«Равнобедренный треугольник можно расположить так, что вы-
сота, опущенная на основание, располагается на оси Оу, а вершины
основания будут иметь противоположные абсциссы» (рис. 133).
Координатная характеристика узловых точек фигуры плодотворна
и при изучении четырехугольников.
♦
АВ II CD AD И ВС
_________I__________
I АВСВ-параллелогранм\
ОД'
f
ABCD-ромБ
I
Рис. 135
Так, стандартное положение параллелограмма таково, что его
центр симметрии совпадает с началом координат. При этом абсциссы
и ординаты противоположных вершин параллелограмма являются
противоположными числами.
И обратно: «Если координаты противоположных вершин четырех-
угольника являются противоположными числами, то четырехуголь-
ник — параллелограмм» (рис. 134).
Ученик может выполнить упражнения:
1)	Вершины четырехугольника имеют координаты
М (—3; 0), N (0; 5),
L (0; —5), К (3; 0).
Назвать вид четырехугольника.
Ответ: ромб (рис. 135).
2)	Вершины четырехугольника располагаются на осях коорди-
нат и отстоят от начала координат на 1,5 см. Назвать вид четырех-
угольника.
Ответ: квадрат (рис. 136).
♦
ABCD-квадрат
Рис. 136
у*
(+5;0
Л(Г);0 D(U;o)
I
A BCD-трапеция
Рис. 137
3)	Вершины четырехугольника имеют координаты
(-3; 2), (1; 2),
(—4; 0), (3; 0).
Является ли этот четырехугольник трапецией?
Ответ: да (рис. 137).
Особенно ценна в данной технологии ее «практическая» направлен-
ность: координатные свойства фигур позволяют ученику быстро и
точно строить эти фигуры на клетчатой бумаге.
Точное же построение фигуры учеником с помощью чертежных
приборов должно сопровождаться подсознательным анализом этих
рисунков на параллельность отрезков, на симметрию, на равенство
отрезков и углов, подзаряжая тем самым механизмы визуальной пере-
работки информации. Дело в том, что геометрические знания отнюдь
не сводятся к умению всего лишь грамотно излагать доказательство
цепью силлогизмов, но и включают элементы практические, конст-
руктивные.
Правильно построенная фигура (подобно филигранной обработке
поверхности детали) воспитывает не только логику, но и чувство кра-
соты, положительные эмоции.
Так возникает дополнительный психологический фактор, обеспе-
чивающий основательное усвоение математических знаний благодаря
неожиданно найденной «подручной» технологии, основанной на образ-
ной информации, т. е. на правополушарном мышлении.
В подобных упражнениях подтекстом, повышающим сознатель-
ность знаний, выступают в конечном счете числа, выполняющие конт-
ролирующую функцию.
Мы пытались показать выше, как освоение понятия «равные фигу-
ры» (треугольники) сводится в конечном счете к понятию «равные
числа» (координаты). Числа, на наш взгляд, здесь убеждают сильнее,
основательнее словесных рассуждений Л ибо числовые соотношения
усваиваются начиная с I класса на уровне аксиоматических истин.
248
Взаимосвязь числа и мысли хорошо раскрыта в следующем рас-
суждении акад. Б. М. Кедрова*:
«Число питает мысль, служит пищей для ее работы, для размышле-
ний. Оно подготовляет для нее почву, фактическую основу, не дает
возможности ей стать парящей в воздухе, беспочвенной; число, пред-
положенное мыслью, в случае его последующего обнаружения под-
тверждает особую правильность того, что мы угадали мыслью».
Интенсификация обучения математике предполагает использова-
ние фигуры и числа как взаимосвязанных моделей знаний: один —
инобытие другого.
Любая книга для чтения по математике выигрывает, если она
оснащается примерами информативными как по форме, так и по содер-
жанию; особенно изящны те соотношения, которые сопровождаются
убедительным рисунком.
Практичны в этой связи так называемые коллективные тесты,
когда каждый ученик получает различные значения параметров по
одной задаче.
Пусть речь идет о контрольной работе по вычислению элементов
треугольника (либо по трем сторонам — в школе, либо на основе
векторного произведения — в университете).
Пусть вершина треугольника совпадает с началом координат, а
две другие вершины имеют целочисленные координаты, кочующие
соответственно вокруг значений Ai и
Тогда Иванов вычисляет элементы ДОА^В^ Сидоров — ДОАВ^
Орлов — ДОЛ2В3 и т. п.
Контрольный тест не только лишает возможности списывания,
но и позволяет организовать взаимоконтроль: у всех 81 (!) треуголь-
ников значения длин соответствующих сторон, величины углов, пло-
щади должны быть близки; на основе таких упражнений возможно
вычислить средние значения, погрешность и т. п.
Число само по себе может выступать как носитель концентриро-
ванной информации.
Выпускник средней школы должен хранить в своей памяти не-
сколько характерных числовых соотношений, издавна поражавших
воображение людей, например:
1)	Магические фигуры с постоянной суммой по всем направлениям
(квадрат, куб, шестиугольник).
2)	Школьник должен помнить несколько замечательных величин
посредством мнемонических приемов:
л = 3,1415... («Что я знаю о круге?»);
е = 2,7182... («Ты запомни и припомни ты»);
Д = 0,618... («Фигура я красивая») (отношение золотого сечения).
3)	Полезно запомнить формулы длины окружности площади
круга и объема шара с приближенными коэффициентами:
L = 2nR ~ 6,28/?;
* К е д р о в Б. М. Число и мысль в истории науки. «Число и мысль»,
выл. 6. — М.; Знание, 1983, с. 2.
249
S -=nR2^ 3.14R*;
V = -л/?3 « 4.189Я3.
3
4)	Нелишне помнить некоторые замечательные числовые равенства:
З2 + 42 = 52, I2 + 22 + 22 = За,
З3 + 4s 4- 53 = 63 и т. п.
5)	В учебнике обычно приводятся для запоминания наизусть
значения тригонометрических функций для следующих углов:
0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
В глаза бросается неполнота ряда аргументов, где необходимо
соблюсти разность прогрессии в 15°. Так, получаем следующую таб-
лицу:
а	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°
sin а	0	4	1 2	2	Уз 2	V6+/2 4	1
cos а	1	/б+/2	/3	К2	1 2	Уб—У2	0
		4	2	2		4	
Эстетический элемент этой таблицы заключается не только в сим-
метричности значений, но и в возможности получения одного резуль-
тата разными способами:
sin 15° = sin (60° — 45°) =	;
. 1СО .30° I Г2— /3
sin 15 = sin-у = I/ —~.
Можно далее проверить, означают ли два различных выражения
для величины sin 15° одно и то же действительное число.
В тезаурусе современных сочинений по дидактике и частным мето-
дикам все еще не употребляется понятие «технология обучения» в
качестве главного условия решения конкретных вопросов усовер-
шенствования обучения.
Этот факт объясняет, почему в методической литературе так силь-
но увлечение суждениями общего характера и внимание учителя не-
достаточно акцентируется на технологических приемах эффективного
и экономного обучения, дабы избавиться от ненужной информации,
от «шума» и добиться того, чтобы процесс обучения был экономным-
Работая учителем в школе, один из авторов этих строк пришел к
выводам о необходимости дополнительных технологических ново-
введений (по некоторым классам):
Первый класс- Изучать не только количественные, но и порядко-
вые числа (дни недели, номера квартир в доме, домов на улице и т. п.).
250
Ввести четные и нечетные номера (страниц, домов и т. п.). Сложение
и вычитание выполнять столбцом. В системе упражнений чаще прак-
тиковать действия над числами, образующими арифметическую про-
грессию (3; 5; 7; 9; 11 и т. п.).
Второй класс. Сложение и вычитание чисел только столбцом.
Табличные упражнения с двумя входами. Специальные обозначения
времени: четверть девятого, половина восьмого. Измерение площади
прямоугольника в квадратных сантиметрах.
Четвертый-пятый классы. Обратная задача. Матричные упраж-
нения. Составление задач. Измерение угла в градусах и круговые
диаграммы. Сквозная тема «Проценты».
Восьмой класс. Выработать основной навык — решение квадрат-
ных уравнений в приведенной форме. Составление задач. Практи-
ковать повторное решение задач сюжетных линий, встречавшихся в
младших классах, но, разумеется, с другим набором значений и ве-
личин.
В учебниках математики достичь осуществления содержательного
обновления упражнения и принципа «жесткого минимума упражне-
ний», выполняемых в определенной последовательности.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Истинное внедрение новой системы обучения даже в
малом (разделе, теме, предмете) связано с необходимостью преодоле-
ния давних взглядов, позиций, программных установок, субъектив-
ных привычек самого учителя.
Чтобы доказать преимущества новой методической системы обуче-
ния и убедить в его выгодах учительство и заинтересованные ведомст-
ва, недостаточно одной «настойчивости» самих новаторов; необходи-
мо встречное понимающее содействие руководителей народного об-
разования.
Школа не есть закрытая система, и судьба открытий в методологии
и технологии обучения в немалой степени зависит от общественного
мнения, т. е. от того, в какой степени удалось новаторам привлечь
внимание общественных организаций и родителей к своим предложе-
ниям, найти поддержку печати и т. п.
У нас имеются достаточные основания утверждать, что экспери-
ментально-теоретическое исследование проблемы укрупнения еди-
ницы усвоения достигло сейчас такого уровня, что при должной орга-
низационной поддержке оно обернется ощутимым добром для обучаю-
щих и обучающихся, экономией миллионов человеко-часов учебного
труда. Ныне главное звено настоящего исследования — это доведе-
ние до широкого учительства пробных учебников математики, по-
строенных на вдее укрупнения, которые могут принести — у нас те-
перь появились основания для такого заявления! — подавляю-
щему большинству учащихся, образно говоря, повышение уровня
знаний на один балл!
Роль укрупнения дидактических единиц как фактора экономной
организации обучения особенно велика в период начавшейся сейчас
реформы общеобразовательной школы.
252
ЛИТЕРАТУРА
1.	Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29.
2.	Л е н и н В. И. Поли. собр. соч., т. 5.
3.	Ле н ин В. И. Поли. собр. соч. т. 42.
4.	Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 20.
5.	Анохин К. А. Физиология и кибернетика. — В сб.: Философские вопросы
кибернетики. М., Соцэкгиз, 1961.
6.	Баранова И. В., Борчугова 3. Г. Математика, 4 класс. Пробный,
учебник. М.» Просвещение, 1968.
7.	Богоявленский Д. Н., Менчинская Н. А. Психология усвое-
ния в школе. М., Изд-во АПН РСФСР, 1959.
8.	В а й м а н А. А. Шумерно-вавнлонская математика. М., Изд-во восточной
литературы, 1961.
9.	3 а н к о в Л. В. Дидактика и жизнь. М., Просвещение, 1968.
10.	Зельдович Я. Б. Высшая математика для начинающих. М., Физматгиз,
1963.
11.	Кабанов а-М е л л е р Е. Н. Психология формирования знаний и на-
выков у школьников. М., Изд-во АПН СССР, 1962; Она же. Обучать уча-
щихся разумно учиться. — Среднее специальное образование, 1965, § 8.
12.	Калмыкова 3. И. Психологический анализ формирования понятия о
типе задачи. —Известия АПН РСФСР, 1947, № 12.
13.	Китов А. И., Кривицкий Н. А. Электронные вычислительные маши-
ны. М.» Изд-во АН СССР, 1958.
14.	КолмогоровА. Н. О профессии математика. 3-е изд., доп. Изд-во МГУ,
№ 959.
15.	КолмогоровА. Н. Кибернетика. — БСЭ, т. 51.
16.	Колмогоров А. Н. Новые программы и некоторые основные вопросы
усовершенствования курса математики в средней школе. — Математика в шко-
ле, 1967, № 2.
17.	Колмогоров А. Н. Знания, навыки, способности И конкурсные экзаме-
ны. — Литературная газета, 1967, № 2.
18.	Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников.
М., Просвещение, 1968.
19.	Латышев В. Руководство к преподаванию арифметики. М., 1968.
20.	Менчинская Н. А. Психология обучения арифметике. М., Учпедгиз,
1955.
21.	Менчинская Н. А. Психологические вопросы развивающего обучения
н новые программы.,— Советская педагогика, 1968, № 6.
22.	МоносзонЭ. И. Методика и результаты изучения знаний учащихся. —
Советская педагогика, 1962, № 9.
23.	Натансон П. Н. Курс высшей математики. М., Наука, 1968.
24.	Новиков П. Н. Учите мыслить. — Учительская газета, 1966, 6 июля.
25.	Организация урока в передовых школах Липецкой области. Сб. статей. Липецкое
книжное нзд-во, 1962.
26.	П а в л о в И. П. Полное собрание сочинений, 1951, т. 1П, с. 1.
253
27.	ПетрушенкоЛ. А. Философское значение понятия «обратная связь»
в кибернетике. — Вестник Ленинградского университета, 1960, № 17, вып. 3.
28.	П о й а Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., Изд-во иностран-
ной литературы, 1967; О н ж е . Как решать задачу. М., Учпедгиз, 1959.
29.	П р и н ц е в Н. А. и др. Математика, 4 класс. Пробный учебник. М., Про-
свещение, 1968.
30.	Программы начальной школы. М., Просвещение, 1969.
31.	П ч е л к о А. С., М о р о М. И. О новой программе по математике для
I—III классов. — Начальная школа, 1967, № 6.
32.	Р а с с о х и н В. В., Целинский Н. А. Неполные изображения в
ортогональных проекциях. М., Учпедгиз, 1960.
33.	Рыбников К- А. История математики. Изд-во МГУ, 1960.
34.	Самарин Ю. А. Очерки психологии ума. М., Изд-во АПН РСФСР, 1962.
35.	Смирнов А. А. Развитие памяти. — Психологическая наука в СССР, т. I.
М.» Изд-во АПН РСФСР, 1959.
36.	Соколова А. В. Итоги контрольных и экзаменационных работ за 1965/66
учебный год. — Математика в школе, 1967, № 4.
37.	СтрумилинС. Г. Учитель в моей жизни. — Народное образование, 1964,
№ 4.
38.	С т р о й к Д. Краткий очерк истории математики. М., Наука 1964.
39.	Толстой Л. Н. Педагогические сочинения. М., Учпедгиз, 1948.
40.	Ф р и д м а и Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике
в школе. М., Просвещение, 1983.
41.	Хабиб Р. А. Организация учебно-познавательной деятельности учащихся
(на материале математики). — М.» Педагогика, 1979.
42.	X и н ч и и А. Я. Педагогические статьи. М., Изд-во АПН РСФСР, 1963.
43.	Чеботарев Н. Г. Математические автобиографии. — Успехи математиче-
ских наук, 1947, т. IV, с. 27.
44.	Эрдниев П. М. Проверка решения как необходимый элемент обучения
математике. — Математика в школе, 1953, № 4. О и же. Обратная задача в
курсе арифметики начальной школы. — Начальная школа, 1960, № 6.
45.	Э р д н и е в П. М. Об изучении тождественных преобразований. — Матема-
тика в школе, 1960, № 1.
46.	Эрдниев Ж- М. Составление уравнений как творческая форма работы уча-
щихся. — Математика в школе, 1у61, № 1.
47.	Э р д и и е в П. М. Сравнение и обобщение при обучении математике. М.,
Учпедгиз, 1960.
48.	Э р д н и е в П. М. О научных основах построения упражнений по предметам
физико-математического цикла. —Советская педагогика, 1962, № 7.
49.	Эрдниев П. М. Обучать математике активно, творчески, экономно. —
Народное образование, 1962, № 9.
50.	Э р д н и е в П. М. О прямых и обратных связях, возникающих при обучении
химии. — Химия в школе, 1962, № 4.
51.	Э р д н и е в П. М. К изучению взаимно обратных явлений и понятий. — Фи-
зика в школе, 1962, № 5.
52.	Э р д н и • в П. М. О роли прямых и обратных связей при обучении математи-
ке. — Вопросы психологии, 1962, № 6.
53.	ЭрднневП. М. Это не парадокс. — Учительская газета, 1963, 25 мая.
54.	Э р д н и е в П. М. Об использовании приема противопоставления на уроках
русского языка (некоторые замечания о структуре упражнений). — В сб.:
Из опыта работы по русскому языку в восьммлетней школе. М., Учпедгиз, 1963.
55.	Э р д н и е в П. М. Метод противопоставления на уроках арифметики в пер-
вом классе. М., Просвещение, 1966.
56.	Эрдниев П. М. Математика. Экспериментальное учебное пособие для
I класса. М., Педагогика, 1977.
57.	Эрдниев П. М. Математика. Экспериментальное учебное пособие Для
III класса-М.» Педагогика, 1974.
58.	Эрдниев П. М. Математика. Учебные материалы для V, VI классов. Элиста,
Калмиздат, 1971—1973.
254
59.	Эр д н ие в П. М. Взаимно обратные действия в арифметике. М., Просвеще-
ние, 1969.
60.	ЭрдниевП. М. О структуре дидактической единицы усвоения знаний. —
Вестник высшей школы, 1968, № 10.
61.	Э р д н и е в П. М. Системные исследования и проблемы ускоренного обуче-
ния. — Природа, 1971, № 7.
62.	Э р д н и е в П. М. Фактор времени в процессе обучения н проблема «укруп-
нения единицы усвоения знаний». — Вопросы философии, 1974, № 4.
63.	Э р д н и е в П. М. Аналогия в математике. М., Знание, 1971.
64.	Эрдниев Б. П., Эрдниев П. М. Азбука рассуждения. Элиста, Калм-
университет, 1971.
65.	Э р д н и е в Б. П. (в соавторстве). Число 4 — удивительное. Техника молоде-
жи, 1974, № 7.
66.	Ю н г Дж. Как преподавать математику, 1912.
67-	Я р о щ у к В. Л. Роль осознания типовых признаков при решении арифмети-
ческих задач определенного типа. — Вопросы психологии, 1958, № 1.
68.	Э р д н и е в П. М. О рациональном изложении материала в учебниках мате-
матики. — В сб.: Проблемы школьного учебника. М., Просвещение, 1975
(вып. 3).
69.	Эрдниев Б. П. Упражнения с матрицами при изучении функций. — В сб.:
Активизация обучения математике в сельской школе. М., Просвещение, 1975.
70.	Эрдниев П. М. Книга об уникальном опыте педагога. — Вестник Акаде-
мии наук СССР, 1977, № 2.
71.	Эрдниев П. М., Эрдниев Б. П. Укрупнение дидактических единиц
как средство достижения системности знаний. — Современная высшая школа.
Международный журнал социалистических стран. Варшава, 1977, № 1,
с. 133—147.
72.	Е г d п у е w Р. М. Cbungsformen im. Mathematik-unterricht. Volk und Wissen
Volkseigener Verlag. Berlin, 1977.
73.	Эрдниев П. M. Методика упражнений по математике. М., Просвещение,
1970.
74.	Э р д н и е в Б. П., Эрдниев П. М. Системность знаний и укрупнение
дидактических единиц.—Советская педагогика, 1975, № 10.
75.	Эрдниев П. М. Преподавание математики в школе. М., Просвещение,
1978.
76. Эрдииев П. М. Математика. Экспериментальное учебное пособие для
IV класса. Элиста, Калмиздат, 1980.
77.	Укрупнение дидактических единиц. Материалы третьей научно-практической
конференции. Ч. I и II. Элиста, 1982.
78.	Эрдниев П. М. Фактор времени в экспериментальном исследовании проб-
лемы укрупнения знаний. — Начальная школа, 1983, № 2.
79.	Э р д н и е в Б. П. О специальности и профессии учителя. — Вестник высшей
школы, 1982, № 5.
80.	Эрдниев Б. П. Удивительное рядом и в математике. —Семья и школа,
1982, № 1.
81.	Эрдниев Б. П. Магия чисел и фигур. — Семья и школа, 1982, № 10.
82.	Эрдниев Б. П. Диплом без гарантии. — Советская Россия, 1983, 25 авг.
83.	Эрдниев Б. П. Специалист без профессии. — Учительская газета, 1983,
19 сент.
84.	Э р д н и е в Б. П. (в соавторстве). Лабораторные работы по методике препо-
давания математики. Элиста, 1982—1983.
85.	Эрдниев Б. П. Подготовка учителя: профессия и специальность Совет-
ская педагогика, 1985, № 5.
Пюрвя Мучкаевич Эрдниев
Батыр Пюрвяевич Эрдниев
УКРУПНЕНИЕ ДИДАКТИЧЕСКИХ ЕДИНИЦ
В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
Зав. редакцией Р. А. Хабиб
Редакторы Г. С. Уманский, Р. А. Хабиб
Младшие редакторы Л. Е. Козырева, Е, А. Сафронова
Переплет художника А. Е. Тачкова
Рисунки В. В. Костина
Художественный редактор Е. Н, Карасик
Технический редактор В. Ф. Коскина
Корректор Н. В. Бурдина
ИБ № 9672
Сдано в набор 15.07.85. Подписано к печати 02.04.86. Формат 60X90l/ij- Бумага ки.-жури.
отечеств. Гарнит. литер. Печать высокая. Усл. печ. л. 16. Усл. кр.-отт. 16. У4;-изд. л. 27,10:
Тираж 60 000 экз. Заказ № 3995. Цена 80 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного кемите-
та РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва. Э*и про
езд Марьяной рощи. 41.
Отпечатано с матриц Саратовского ордена Трудового Красного знамени полиграфического
комбината в областной типографии управления издательств, полиграфии и книжной тор
говлв Ивановского облисполкома, 153628, г. Иваново, ул. Типографская, 6.
БЕСПЛАТНЫЕ
УЧЕБНИКИ!
ВРЕМЕН СССР
БОЛЬШАЯ БИБЛИОТЕКА
НА САЙТЕ
«СОВЕТСКОЕ ВРЕМЯ»
sovietime.ru
СКАЧАТЬ