ffi.JM.JJtyaduc
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
АРИФМЕТИКА

В. М. БРАДИС
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
АРИФМЕТИКА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва 1954
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга написана на основе тех лекций, которые автор в тече-
ние ряда лет читал по специальному курсу элементарной математики в
Калининском государственном педагогическом институте имени М. И. Кали-
нина, н© он подверг их значительной переработке после консультации с про-
фессором Московского областного педагогического института И. К. Андро-
новым, по совету которого внесены существенные изменения и в план книги,
и в освещение многих деталей. Первый параграф первой главы полностью
написан И. К. Андроновым.
Имея в виду потребности учителя математики советской средней школы,
автор ставил себе целью дать всё самое необходимое для понимания теорети-
ческих основ арифметики как первого раздела школьного курса математики,
стремясь показать материальную базу абстрактных математических понятий
в столь простой форме, чтобы изложение было доступным даже для более
сильных учащихся старших классов средней школы. Автор отказался от рас-
смотрения многих деталей, особенно исторического характера, но надеется,
что книга всё же даст достаточно полное и ясндё изложение основ науки о
числе, науки, призванной отображать простейшие количественные отношения
действительного мира.
Автор приносит искреннюю благодарность А. Н. Барсукову, Е. Г. Шуль-
гейферу и проф. А. А. Бухштабу, взявшим на себя труд ознакомления с
рукописью и давшим ряд ценных советов, реализация которых позволила
устранить много недочётов. Автор будет весьма признателен за все дальней-
шие указания на недостатки книги и желательные изменения в ней.
Взяв много ценных мыслей проф. И. К. Андронова, которому автор обя-
зан самой глубокой благодарностью, автор изложил их по-своему, и несёт
полную ответственность за всё содержание книги.
В. Брадис.
ВВЕДЕНИЕ
Математика, по определению Ф. Энгельса, есть наука о пространствен-
ных формах и количественных отношениях действительного мира. С I по
X класс школьники изучают элементарную математику, а на физико-матема-
тическом факультете педагогического вуза студенты, готовясь быть учителями
математики и физики, изучают высшую математику. Элементарной матема-
тикой называется та часть математической науки, которая рассматривает более
простые пространственные формы и количественные отношения действитель-
ного мира, в первую очередь встречаемые человеком в его практической
деятельности. Таковы, например, простейшие фигуры — прямая, окружность,
треугольник. и т. д., таковы натуральные (целые положительные) числа,
позволяющие сравнивать различные множества (собрания) вещей по их
количеству, таковы дроби, без которых нельзя измерять, и т. д. Для эле-
ментарной математики характерны три следующих обстоятельства. Во-первых,
хотя всё в мире изменяется, течёт, элементарная математика рассматривает
его как неизменный, изучает как бы моментальные фотоснимки движущихся
вещей, а если и принимает во внимание изменения, то только количественные,
но не качественные (например, рассматривает, как меняется результат какого-
нибудь действия при изменении его данных). Во-вторых, хотя в действитель-
ном мире мы на каждом шагу встречаем бесконечные множества вещей и
бесконечные процессы, элементарная математика ограничивается изучением
конечных множеств и конечных процессов, лишь в виде исключения занимаясь
вопросами, в которых идёт речь о той или иной форме бесконечности (напри-
мер, наряду с конечными десятичными дробями она рассматривает, но зна-
чительно менее подробно, бесконечные десятичные дроби). В-третьих, зани-
маясь элементарной математикой, люди руководствуются той частью науки
о законах правильного мышления (логики), разработка которой была начата
ещё в IV в. до нашей эры греческим мыслителем Аристотелем и которая;
известна под названием «элементарной» или «общей» логики.
Дальнейшее, более глубокое изучение пространственных форм и коли-
чественных отношений действительного мира, переросшее рамки элементарной
математики, относится уже к высшей математике, имеющей следующие три
особенности. Во-первых, высшая математика учитывает всеобщую изменяе-
мость действительного мира, притом не только количественные, но и каче-
ственные изменения. Например, сближая две точки пересечения кривой и
прямой, мы сперва имеем только количественные изменения — секущая
остаётся секущей, но хорда, соединяющая точки пересечения, становится
короче; в дальнейшем меняется и качество: точки пересечения сливаются,,
секущая становится касательной. Этот скачкообразный переход от секущей
к касательной приводит к важнейшему понятию одного из основных отделов,
высшей математики, а именно математического анализа, — к понятию про-
изводной. Во-вторых, высшая математика имеет дело преимущественно с
бесконечными множествами объектов и бесконечными процессами; она рас-
сматривает многие конечные математические объекты как состоящие из бес-
конечного множества частей или как результат бесконечных процессов. Так.
обстоит дело, например, при вычислении длины дуги кривой линии, при
3
вычислении площадей фигур и объёмов тел. В-третьих, не ограничиваясь ло-
гикой Аристотеля, высшая математика постоянно использует логику диалек-
тическую, которая была научно разработана Марксом, Энгельсом, Лениным,
Сталиным.
Элементарную и высшую математику объединяет то, что обе эти части
математической науки изучают пространственные формы и количественные
отношения действительного мира, отвлекаясь (абстрагируясь) от всего того,
что не относится к этим наиболее общим его сторонам. Правильное понима-
ние содержания математики, как и всякой другой науки, возможно только в
свете теории отражения, созданной В. И. Лениным. Исключительно важным
является то научное предвидение, возможность которого обеспечивается лю-
бым шагом в деле изучения математики, начиная от простейших арифмети-
ческих операций и кончая самыми сложными разделами анализа. Осуществле-
ние на практике того, что предсказывает математический расчёт, является, с
одной стороны, лучшим средством проверки истинности математической
теории, а с другой — ценнейшим орудием в деле использования природы че-
ловеком.
Резкой границы между элементарной и высшей математикой провести
нельзя: во многих вопросах элементарной математики, изучаемых в школе,
оказывается невозможным обойтись без понятий и методов, характерных для
высшей математики. Например, в вопросах о действительном числе, о длине
окружности, о площади круга, об объёме пирамиды и многих других при-
ходится рассматривать бесконечные последовательности: высшая математика,
так сказать, врывается в область математики элементарной, причём проис-
ходит это стихийно, независимо от воли исследователей.
Тот «специальный курс элементарной математики», первой части кото-
рого («арифметике» или «теоретической арифметике») отведена настоящая
книга, занимает промежуточное положение между элементарной и высшей
математикой. Задача книги — дать будущему учителю математики те сведения
и навыки, которые выходят за рамки школьной программы, но без которых
нельзя правильно и глубоко понимать то, что учитель должен передать своим
ученикам.
Название науки «арифметика» произошло из двух греческих слов —
«аритмос» (число) и «техне» (искусство), так что первоначальный смысл
слова арифметика — искусство обращения с числами, т. е. счёт во всех его
видах. Но уже давно под арифметикой стали разуметь не столько это искус-
ство, сколько те теоретические сведения о числах, на применении которых это
искусство основано. В настоящей книге рассматриваются как эти теоре-
тические свечения (о числах натуральных, целых, рациональных, действи-
тельных), так и принципы тех усовершенствований в искусстве счёта, с ка-
кими надо быть знакомым учителю.
Здесь дан только минимум подлежащего усвоению материала. Крайне
желательно его расширение путём самостоятельного чтения дополнительной
литературы, указанной в разных местах текста книги. Изучение теоретического
материала необходимо сопровождать решением задач.
Арифметика — только первая из наук о числах. К ней непосредственно
примыкает теория чисел, изучающая более глубокие свойства целых, а затем
и других действительных чисел. С этой наукой студенты педагогических
институтов знакомятся на IV курсе. В числах разного рода нуждаются также
математический анализ и высшая алгебра, изучаемые на I курсе, и в этих
двух математических дисциплинах обычно даются главы, в которых изла-
гается арифметика действительных и комплексных чисел.
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ
ГЛАВА I
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
§ 1. Основные (неопределяемые) понятия теории множеств
1.	У великого русского поэта А. С. Пушкина есть стихотворе-
ние, начинающееся словами:
«... Вновь я посетил
Тот уголок земли, где я провёл
Изгнанником два года незаметных».
Поэт видит знакомые сосны и говорит о них:
«Они всё те же,
Всё тот же их, знакомый уху шорох, —
Но около корней их устарелых
(Где некогда всё было пусто, голо)
Теперь младая роща разрослась,
Зелёная семья; кусты теснятся
Под сенью их, как дети. А вдали
Стоит один угрюмый их товарищ,
Как старый холостяк, и вкруг него
Попрежнему всё пусто.
Здравствуй, племя
Младое, незнакомое!»
В этом отрывке имеется целый ряд слов, означающих собра-
ния (совокупности, группы) отдельных предметов: роща — соб-
рание деревьев; семья — совокупность родителей и детей;
племя — более обширная совокупность людей, связанных род-
ственными отношениями.
Рассматривая известную картину великого русского мастера —
художника В. И. Сурикова «Переход Суворова через Альпы», мы
видим на ней и отдельных героев — солдат, и группу первых
храбрецов, спускающихся в пропасть, и целое подразделение рус-
ской армии, а в нём непобедимого полководца А. В. Суворова.
Какой бы кусок окружающего нас мира мы ни взяли, всегда в
нём можно различать отдельные предметы (вещи), объединяемые
5
в те или иные собрания, совокупности, группы. Замечая сход-
ство предметов в некоторых отношениях и отвлекаясь от дру-
гих их свойств, отличающих эти предметы один от другого, народ
осуществлял подобное объединение предметов, создавая общее
понятие, выраженное надлежащим словом: растущие на более
или менее значительной площади деревья образуют «рощу» или
«лес», летящие птицы — «стаю», собрание монет — их «коллек-
цию» и т. д.
Этот процесс объединения отдельных предметов в их собрания
имеет первостепенное значение и в математической науке. Объ-
единяемые отдельные предметы, каковы бы они ни были, в мате-
матике принято называть элементами, а их собрания — множе-
ствами. Так, слово «Москва» является множеством, элементами
которого служат буквы М, о, с, к, в, а; кучу песка можно рас-
сматривать как множество, элементами которого являются отдель-
ные песчинки. Об элементах множества говорят, что они принад-
лежат этому множеству. В науке термин «множество» употребля-
ется и тогда, когда рассматривается собрание немногих предме-
тов. Так, можно сказать, что у каждого человека множество рук:
элементами этого множества являются рука левая и рука правая.
Можно говорить о множестве людей, оставшихся в классной
комнате, когда из неё уйдут все, кроме дежурного. Таким обра-
зом, множество может состоять из одного элемента.
Каждое множество можно рассматривать как элемент некото-
рого другого множества. Например, слово «Москва», представ-
ляя собой множество элементов — букв, является в свою очередь
элементом множества слов, записанных в этой книге, а книга —
элементом множества книг, хранящихся в библиотеке, и т. д.
2.	Смысл терминов «множество», «элемент множества» (или
просто «элемент»), «принадлежность» мы установили, рассматри-
вая несколько примеров: содержание понятий «множество», «эле-
мент», «принадлежность» мы раскрыли не при помощи определе-
ний, которыми пользуются для разъяснения точного смысла боль-
шинства применяемых в каждой науке понятий, а при помощи опи-
сания. Эти понятия — множество, элемент, принадлежность —
являются неопределяемыми или основными понятиями теории мно-
жеств — науки, которая существенно поможет нам при изучении
арифметики.
Множества мы будем обозначать большими буквами латин-
ского алфавита (Д, В, С,...), а элементы каждого множества —
малыми буквами преимущественно греческого алфавита (а, 0,
7,...). Запись А {а, 0, у, 5} означает множество с элементами
я, 7, а запись А {а, 0,...} — множество, которое содержит
элементы а, 0 и, кроме того, ещё какие-то элементы.
3.	Имея дело с множествами, постоянно приходится их срав-
нивать, а это можно сделать, устанавливая соответствие между
элементами различных множеств. Положим, например, что выко-
паны ямки для посадки древесных саженцев и подвезены эти са-
ь
женцы. Хватит ли ямок? Ответить на этот вопрос удобнее всего
при помощи счёта элементов множества ямок А и множества са-
женцев В. Но сделать это можно и не прибегая к счёту, т. е. не
пользуясь числами: положив около каждой ямки по саженцу, мы
сразу увидим, имеются ли лишние ямки, или их недостаточно,
или их как раз столько, сколько надо. Здесь соответствие между
элементами множеств А и В мы устанавливаем посредством опре-
делённого их размещения. В других случаях соответствие уста-
навливают иными, самыми различными способами. Например,
если ребёнок, ещё не умеющий считать, Хочет узнать, хватит ли
ему дать каждому из ожидаемых гостей по яблоку, он говорит,
откладывая по яблоку: «Это — Асе, это — Оле, это — Серёже»
и т. д. Чтобы установить соответствие между множествами всех
учащихся класса и множеством крючков на отведённой для этого
класса вешалке, пользуются ещё одним множеством — множест-
вом бумажек с фамилиями учащихся, приклеиваемых под каждым
крючком.
Как и понятия «множество», «элемент», «принадлежность»,
понятие «соответствие элементов множеств» является основным
(неопределяемым). Соответствие элементов а и o' будем указывать
двойной стрелкой: а«—> а'.
Рассмотрим ещё один, несколько более сложный пример срав-
нения двух множеств. Для настилки паркета, изображённого на
фигуре 1, требуются плитки двух сортов — большие восьмиуголь-
Фиг. 1
ные белые и малые квадратные чёрные (для заделки краёв малые
плитки разрезаются пополам и ещё пополам). Каких плиток тре-
буется больше — больших или малых? Чтобы ответить на этот
вопрос, будем считать, что каждой большой плитке соответствует
малая, примыкающая к этой большой справа снизу; например,
плитке а соответствует плитка o'. Перемещая мысленно половинки
и четверти плиток с крайнего верхнего и крайнего левого ряда вниз
7
и направо, как показано пунктиром, убеждаемся, что между боль-
шими и малыми плитками можно установить такое соответствие,
что каждой большой плитке соответствует одна и только одна
малая, а потому тех и других требуется поровну (но несколько
малых плиток придётся разрезать). Это заключение легко про-
верить непосредственным подсчётом.
4.	В некоторых случаях элементы множества берутся не как
попало, а в некотором вполне определённом линейном порядке;
в таких случаях, каковы бы ни были различные элементы а и £
этого множества, один из них предшествует другому: либо а пред-
шествует р, либо р предшествует а. Установить подобный порядок
в расположении элементов данного множества можно самыми
различными способами. Например, множество учащихся одного
класса можно расположить по алфавиту фамилий, составляя спи-
сок, или по росту, выстраивая их в шеренгу, или по их успевае-
мости и т. д. Слово «предшествует» будем заменять знаком
Понятие «предшествует» тоже принадлежит к числу основных
неопределяемых понятий теории множеств.
5.	Установив с помощью описаний основные понятия «множе-
ство», «элемент», «принадлежность», «соответствие», «предше-
ствует», мы будем в дальнейшем, раскрывать содержание каждого
нового математического понятия посредством определения. Желая
объяснить, например, что представляет собой некоторое множе-
ство Л1, указывают какое-нибудь множество Д, одним из элементов
которого является это множество Л1, и какой-нибудь признак В,
который имеется у Л4, но отсутствует у других элементов множе-
ства А («характеристический признак»). Получается «определение
через указание рода и видового отличия». Так, определяя ромб
как параллелограм с равными сторонами, мы имеем род —
параллелограм, и видовое отличие — равенство сторон.
Ясно, что определение понятия М через указание рода А и
видового отличия В только тогда раскрывает содержание поня-
тия М, когда содержание понятий А и В уже раскрыто.
Само собой разумеется, что при формулировании определения
приходится пользоваться, кроме понятий рода и видового отличия,
ещё целым рядом таких понятий, используемых в любой науке,
как «все» и «не все», «каждый» и «не каждый», «тот же самый»,
или «тождественный», и «другой», или «отличный», «единствен-
ный», «только», «кроме» и т. д.
§ 2. Некоторые производные (определяемые) понятия теории
множеств
1. Определение. Соответствие между элементами множеств
А и В называется взаимно-однозначным, если каждому элементу
А соответствует единственный элемент В и, обратно, каждому
элементу В соответствует единственный элемент А.
8
Пусть, например, магазин получил ящик стаканов и ящик:
блюдец; когда стаканы поставили на блюдца, оказалось, что нет
ни лишних стаканов, ни лишних блюдец. Здесь между элементами
множества стаканов и элементами множества блюдец имеется
взаимно-однозначное соответствие.
2. Определение. Множества А и В называются равносилье
ными (или эквивалентными), если между их элементами можно-
установить каким бы то ни было способом взаимно-однозначноо
соответствие, и неравносильными (неэквивалентными), если
такого соответствия между их элементами никаким способом
установить нельзя.
Например, множество А из студентов Иванова, Петрова и-
Михайлова, избранных в бюро кружка, и множество В должно-
стей председателя, заместителя председателя и секретаря этого*
кружка равносильны, так как возможно, притом разными спосо-
бами, такое распределение обязанностей, при котором каждый
студент получит определённую единственную должность и каждая
должность будет занята определённым единственным лицом.
Выводя из множества А одно лицо, получим новое множество,,
уже неравносильное множеству В.
Равносильность множеств обозначается знаком Запись.
А ~ В означает, что множества А и В равносильны, а запись А
не ~ В, — что они неравносильны.
3.	Определение. Множество В называется правильной частью*
другого множества А, если каждый элемент множества В принад-
лежит Л, но не каждый элемент множества А принадлежит В.
Например, множество А {а, р, у} имеет такие и только такие-
правильные части: {0, у}, {а, у}, {а, &}, {а}, {0}, {?}. Легко ви-
деть, что каждая из этих правильных частей неравносильна
множеству А.
4.	Определение. Множество называется конечным, если у
него нет правильной части, равносильной ему самому.
Только что рассмотренное множество А {а, ₽, конечно.
5.	Определение. Множество называется бесконечным, если у
него есть правильная часть, ему равносильная.
Примером бесконечного множества может служить множество»
всех точек, принадлежащих любому отрезку.
Действительно, возьмём какой-нибудь отре-
зок PQ и какую-нибудь внутреннюю его
точку S (фиг. 2). Ясно, что множество В
всех точек отрезка PS есть правильная часть
множества А всех точек отрезка PQ. Взяв
какой-нибудь отрезок P'S't равный и парал-
лельный PS, проводим прямые РР' и QS'
до их пересечения в точке О. Между точ-
ками отрезка PQ и точками отрезка ч P'S'
Фиг. 2.
можно установить взаимно-однозначное соответствие посредством,
прямых, проходящих через точку О: каждой точке К отрезка PQ
соответствует единственная точка /С' отрезка P'S't лежащая на
прямой О/С; каждой точке К' отрезка P'S' соответствует един-
ственная точка К отрезка PQ, лежащая на прямой О/С Можно
считать, что множество точек отрезка P'S' есть множество В
точек отрезка PS, только перенесённое в другое место. Таким
образом, множество В, будучи правильной частью множества А,
в то же время равносильно множеству А, а потому множество А
-бесконечно.
6. Определение. Множество называется упорядоченным, если
относительно любых различных его элементов-а и(3 установлено,
который из них предшествует другому, причём имеется свойство
транзитивности: из условий а предшествует 0 и 0 предшествует у
всегда следует, что а предшествует ?.
Пусть, например, у входа в вагон собралась толпа людей.
Это множество сделается упорядоченным, если люди станут в
очередь, когда каждый (кроме первого) будет знать, за кем он
стоит, и каждый (кроме последнего) будет знать, перед кем он
стоит. Другой пример: множество точек на прямой, расположен-
ной горизонтально, становится упорядоченным, если считать, что
каждая её точка предшествует всем её точкам, расположенным
правее. Отметим, что в этом упорядоченном множестве нет ни
первого, ни последнего элемента.
7. Определение. Говорят, что элемент а следует за элемен-
том р того же упорядоченного множества тогда и только тогда,
когда 0 предшествует а.
Слово «следует» будем заменять знаком >, т. е. перевёрнутым
знаком, заменяющим слово «предшествует». Итак, а > ₽ тогда и
только тогда, когда Р < а.
§ 3. Некоторые свойства равносильных и неравносильных
множеств
L Непосредственно из определения равносильных множеств
вытекают следующие их свойства:
рефлексивность (возвратность) — всякое множество равно-
сильно себе самому (А ~ А);
симметричность (взаимность) — если какое-либо множество А
равносильно некоторому множеству В, то и обратно, В равно-
сильно А (если А ~ В, то В ~ А);
транзитивность (переходность) — если какое-либо множество
Л равносильно некоторому другому множеству В, а множество В
в свою очередь равносильно новому множеству С, то множества
-А и С тоже равносильны.
Для доказательства свойства рефлексивности берём произ-
вольное множество А {а, £, у,...} и другое множество А', со-
стоящее из тех же элементов. Считая каждый элемент множе-
ства А' соответствующим тому же элементу множества А, убеж-
даемся, что здесь имеет место взаимно-однозначное соответствие.
10
а потому множество А' равносильно множеству А, т. е. самому
себе; из > а, Р <—> Р, у <—> у и т. д. следует А ~ Д', А' ~ А.
Свойство взаимности следует из того, что соответствие элемен-
тов обратимо: если а <—></, то —> а. Пусть даны равносильные
множества А {а, Р, у,...} и А' {а', Р', у',..причём одинаковые
буквы означают элементы, взаимно-однозначно соответствующие
друг другу: а <—> а', р <—>	То же самое выражает и запись
</<—> а, Р'<—» р,..., говорящая, что множество А' равносильно
множеству А. Таким образом, из Д ~ Д' следует Д' ~ Д.
Положим, что, кроме равносильных множеств А {а, р, у,...} и
Д' {o', Р', у',..где —> а', Р <—> Р' и т. д., имеется ещё множе-
ство А "{а", Р", у",...}, равносильное множеству Д', причём
а' <—> а", Р'<—>Р" и т. д. Установим теперь соответствие между
элементами множеств А и А", считая соответствующими их эле-
менты, обозначенные одинаковыми буквами: а<—> а", Р *-7* Р"
и т. д. Каждому элементу А соответствует в силу этого единствен-
ный элемент Д", и обратно, каждому элементу Д" соответствует
единственный элемент Д, а потому А ~ А". Тем самым свойство
транзитивности равносильных множеств доказано.
Свойство транзитивности равносильных множеств часто ис-
пользуется в практической жизни. Например, порядок при за-
нятии мест в театре обеспечивается тем, что зрители приобретают
билеты: множество мест в театре равносильно множеству билетов,
а множество билетов равносильно множеству зрителей (когда все
билеты проданы), поэтому множество мест равносильно множе-
ству зрителей.
2.	Рассматривая множества неравносильные^ легко убеж-
даемся, что свойства рефлективности и транзитивности при этом
отпадают, а свойство взаимности сохраняется: если А не ~ В, то
В не ~ Д; если Д не ~ В и В не ~ С, то возможна и равносиль-
ность, и неравносильность множеств Д и С.
3.	Вопрос о свойствах рефлексивности, взаимности и транзи-
тивности можно ставить по поводу любого соотношения между
любыми объектами, а не только множествами. Например, любые
два отрезка а и Ь либо равны (а = 6), т. е. совпадают при нало-
жении, либо неравны (а^Ь), Ясно, что все указанные выше
свойства здесь налицо: а = а; если а = 6, то Ь = а\ если а = b и
b = с, то а = с. Несколько иное имеем при рассмотрении парал-
лельности прямых. Обозначая прямые буквами а, Ь, с, а парал-
лельность знаком ||, имеем: а не || а; если а || 6, то b || а; если
а II b и b || с, причём с отлично от а, то а || с.
Как видим, соотношение параллельности прямых обладает
свойствами симметричности и транзитивности, но не обладает
свойством рефлексивности. Взяв вместо параллельности перпен-
дикулярность прямой на одной плоскости, обозначаемую симво-
лом X, теряем не только рефлексивность, так как а не | а, но и
транзитивность, так как из а | by & | с следует а || с, а не а | с,
взаимность же сохраняется: из а | с следует с I а.
И
Ещё пример: каждый человек а либо отец другого человека Ь,
либо не отец его; это соотношение «отцовства» двух людей не
обладает, как легко видеть, ни рефлексивностью, ни взаимностью,
ни транзитивностью.
4.	, Каковы бы ни были конечные множества А и В, они либо
равносильны, либо неравносильны; если они неравносильны, то
либо А равносильно некоторой правильной части В, либо В равно-
сильно некоторой правильной части А.
Для доказательства этого свойства достаточно^подумать о том,
какие случаи могут представиться при попытке установить
взаимно-однозначное соответствие элементов множеств А и В.
§ 4.	Операция соединения множеств без общих элементов
1.	Определение. Суммой данных множеств называется мно-
жество, обладающее следующими свойствами: каждый его элемент
входит по крайней мере в одно из данных множеств; в него входит
каждый элемент каждого из данных множеств.
Короче: суммой данных множеств называется такое новое
множество, которому принадлежат все элементы данных множеств
и только они одни.
Для обозначения суммы множеств будем употреблять знак 4*
(плюс). Например, сумму множеств А, В и С будем записывать,
как А 4* В 4* С.
Согласно определению, если даны множества А {а, 0} и
В {а, т, ^}, то А + В есть множество {а, 0, у, 8}. Если даны мно-
жества А {а, 0} и В {у, 8, е}, то А 4- В есть множество {а, 0, у, 8, в}.
В первом из этих примеров взята сумма множеств, имеющих
общий элемент а. В дальнейшем мы будем брать только суммы,
множеств без общих элементов.
Получение суммы данных множеств называется ^операцией их
соёдинения. Соединение множеств А и В иначе называется при-
'соедшением множества В к множеству А или множества А к мно-
жеству В.
2.	Отметим следующие свойства суммы множеств:
существование: каковы бы ни были данные множества, всегда
существует множество, представляющее собой их сумму;
единственность: каковы бы ни были данные множества, всегда
существует единственное множество, представляющее собой их
сумму;
переместительность, или коммутативность: сумма множеств не
зависит от того порядка, в каком они берутся; так, суммы 4 4-5
и В 4- А представляют собой одно и то же множество; одно и то
же множество представляют собой суммы 44-54-G44-C + 5,
в 4-л 4-с, в 4-с+ 4, с 4-4 4-в, с 4-в 4-4;
сочетательность или ассоциативность? вместо того, чтобы к
одному множеству последовательно присоединять другие, можно
12
присоединить сразу их сумму; например, (А 4~ В) 4~ С = А 4~
4~ (В 4" С), [ (А 4* В) 4" С] О = А -|- (В 4* С 4* В) и т. д.; здесь
знак равенства (=), поставленный между двумя символами мно-
жеств, означает, что слева и справа от него указано одно и то же
множество;
аддитивность: при соединении соответственно равносильных
множеств получаются равносильные множества; короче — если
А - А', В ~ В', то А + В - А' 4- В';
монотонность: если множество А равносильно некоторой пра-
вильной части множества В, а множества С и В равносильны, то
множество А + С равносильно некоторой правильной части мно-
жества В 4- D.
Доказательство всех перечисленных свойств без труда про-
водится на основании соответствующих определений. Предостав-
ляем его читателю.
3.	Отметим, что свойство единственности будет потеряно, если
определить сумму А 4- В как такое множество, каждый элемент
которого принадлежит по крайней мере одному из данных мно-
жеств, т. е. либо А, либо В, либо одновременно и А и В. Действи-
тельно, взяв, например, А {а, 0, В {5, е}, будем иметь не .одну,
а несколько сумм А + В: этому определению суммы удовлетво-
ряет не только множество {а, 0, у, 8, е}, но и множества {а, у, 3},
{а, 3, е} и т. д. Это определение необходимо дополнить так, как
это сделано выше [I, 4, I]1.
§ 5.	Операция сочетания множеств без общих элементов
1.	Определение. Сочетанием множеств А {а, р, ...} и
В {«', Р',...} называется множество, элементами которого яв-
ляются все возможные пары элементов, взятых по одному из А и
из В, а именно: пары (а, а')» (<*» ₽')>•••»	а')» (₽, Р'), • • • и т- Д-
При этом порядок, в каком берутся элементы каждой пары, зна-
чения не имеет: пары (а, а') и (а', а) считаются одной и той, же
парой.
Например, если множество А состоит из цифр I, II, III, а мно-
жество В из букв а и &, то сочетанием множеств А и В является
множество с элементами 1а, Па, Ша, 1й, 116, III6 (вместо 1а, lb
можно писать al, Ы ...).
Другой пример: имея множество А шофёров и множество В
кондукторов, ставим вопрос о множестве С способов, какими
можно образовать различные бригады, обслуживающие автобусы
(в каждую бригаду должен войти один шофёр и один кондуктор).
Это множество С представляет собой сочетание множеств А и В
1 Здесь и в дальнейшем в прямоугольных скобках даны ссылки на другие
места настоящей книги: первая (римская) цифра означает главу, вторая —
параграф, третья — пункт. Так, здесь сделана ссылка на I главу, параграф 4,
пункт 1, где дано определение суммы множеств.
13
(точнее — это множество С равносильно сочетанию множеств
А иВ). -
Операция, дающая сочетание множеств, особого названия не
получила; будем называть её операцией сочетания или просто со-
четанием.
Найдя сочетание множеств А и В, можно найти сочетание
полученного множества и какого-нибудь нового множества С; в
результате получим сочетание множеств А, В, С. Подобным образом:
можно получить сочетание любого множества множеств. Например,,
если даны множества: A {I, II, III}, В {a, b}, С {а, Р}, то сочета-
нием их является множество из элементов: 1аа, 1аР, 16а, 1бр, Паа„
Пар, Пба, П6Р, Шаа, ШаР, Шба, Шбр.
2.	Легко убедиться, что сочетание множеств имеет те же свой-
ства существования, единственности, переместительности, сочета-
тельности и монотонности, что и сумма множеств. Полные форму-
лировки этих свойств читатель получит без труда по аналогии с
теми, какие приведены в § 4.
Если хотя бы одно из сочетаемых множеств представляет собой
сумму множеств, возникает ещё одно свойство — свойство рас-
пределительности (или дистрибутивности): сочетание суммы мно-
жеств А и В и множества С есть в то же время сумма сочетаний
каждого из множеств А и В и этого множества С. Например, со-
четание суммы множеств A {I, II, III} и В {а, Ь} и множества
С {а, р} есть множество {1а, ip, Па, Пр, Ша, ШР, аа, ар, 6а, 6Р};
но это же множество получим, если найдём сочетания множеств
А и С, В и С, а именно: {la, ip, Па, Пр, Ша, ШР} и {аа, ар, 6а„
6Р}, а затем возьмём сумму этих сочетаний.
Чтобы доказать свойство распределительности, достаточно за-
метить, что любой элемент, входящий в сочетание суммы мно-
жеств А и В и множества С, входит также в сумму сочетаний
каждого из множеств А и В и множества С и что, обратно, любой
элемент этой последней суммы входит также и в сочетание суммы
множеств А и В и множества С.
ГЛАВА II
НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА,
§ 1. Классы равносильных конечных множеств
1. Возьмём какое-нибудь определённое конечное множество А
и отберём в один класс все равносильные ему множества. Взяв
какое-нибудь конечное множество В, неравносильное А, а потому
не включённое в э'гот класс, отберём все множества, равносиль-
ные В, и получим новый класс конечных множеств. Продолжая
эти операции, распределим по классам все конечные множества.
14
Все множества одного класса окажутся равносильными друг
другу, так как из условий А ~ А' и А ~ А" в силу взаимности и
транзитивности равносильных множеств следует А' ~ А", и особая
роль исходного множества А отпадает: начать можно не с него,»,
а с любого другого множества, ему равносильного: любое мно-
жество каждого класса может быть его «представителем». С дру-
гой стороны, любые два множества, попавшие в разные классы,,
неравносильны (иначе они были бы в одном классе).
2. О множествах одного и того же класса говорят, что они
имеют одинаковую мощность; множества разных классов имеют
разную мощность. Термину мощность равнозначен термин числен-
ность: все множества одного и того же класса имеют одинаковую*
численность, множества разных классов имеют разную числен-
ность. Равносильные множества иначе называются «равномощ-
ными».
§ 2. Натуральное число как характеристика мощности
(численности) класса равносильных конечных множеств
1.	Уже на самых ранних ступенях культуры люди заметили,,
что свойство численности множеств имеет большое практическое-
значение. Отсюда возникла необходимость различать численность
множеств разных классов, и каждый народ выработал особые
слова для её обозначения. Так, для выражения численности каждого-
множества, равносильного множеству рук у человека, было взято
на русском языке слово «два»; для выражения численности множе-
ства, равносильного множеству пальцев на человеческой руке, —
слово «пять». Эти термины «два», «пять», а также целый ряд.
других, принятых для обозначения численности множеств разных,
других классов, как например, термины «один», «три», «четыре»,,
«шесть» и т. д., выражают натуральные числа. Этому важнейшему
понятию арифметики необходимо дать более точное определение..
2.	Переходя от одного множества к какому-нибудь другому,,
ему равносильному, например от множества пальцев на руке к:
множеству лучей у пятиконечной звезды, мы наблюдаем изме-
нение весьма многих свойств этого множества, но свойство мощ-
ности (численности), остаётся неизменным. Отвлекаясь от этих
изменяющихся свойств, т. е. не обращая на них внимания, абстра-
гируясь от них, мы находим во всех множествах одного класса,
нечто общее, неизменное, некоторый «инвариант» этого класса
(от латинского слова ^инварианс» — неизменный).
Определение. Натуральным числом называется инвариант
класса равносильных конечных множеств.
3.	Все конечные множества разделяются на классы равно-
сильных множеств. Каждому классу соответствует одно и только-
одно натуральное число, каждому натуральному числу — один и
только один класс равносильных конечных множеств. Наряду с
IS
множеством всех классов приходится рассматривать равносиль-
ное ему множество всех натуральных чисел.
Обозначая множества большими буквами латинского алфа-
вита, мы будем обозначать соответствующими малыми буквами
этого алфавита натуральные числа, выражающие их численность:
’численность множеств А, В, С,.,. выражается соответственно
натуральными числами а, Ь, с,... .
4.	Каждому конечному множеству А соответствует одно и
только одно натуральное число а, но каждому натуральному
числу а соответствует не одно, а сколько угодно множеств А, Д',
Л*,..., равносильных друг другу. Поскольку арифметика отвле-
кается от всех их свойств, кроме численности, они могут заменять
друг друга: любое из них может быть «представителем» класса,
численность которого характеризуется натуральным числом а.
Имея какое-нибудь натуральное число, например четыре, мы мо-
жем в качестве соответствующего ему множества взять и множе-
ство ножек стула, и множество конечностей человека, и множество
еершин квадрата и т. д.
§ 3.	Равенство и неравенство натуральных чисел
1.	Определение. Два натуральных числа называются рав-
ными, если соответствующие им множества равносильны, и нерав-
ными, если эти множества неравносильны.
Пользуясь общепринятыми знаками равенства (=) и неравен-
ства (:£), можно записать это определение так: а = Ь, если
А~ В; аф Ь, если А не ~ В. Поскольку равносильным конечным
множествам соответствует одно и то же натуральное число, можно
сказать, что два натуральных числа равны тогда и только тогда,
когда представляют собой одно и то же число. Каковы бы ни были
конечные множества А и В, всегда имеет место одно и только
одно из соотношений: либо а = Ь, либо афЬ.
2.	Определение. Из двух натуральных чисел а и b первое
называется меньшим второго, если какое-либо множество Д, чи-
сленность которого выражается числом а, равносильно правильной
части какого-либо множества В* чцсдавдрсть.которого выражается
числом &. Это второе число о называется при этом большим пер-
вого числа а.
Общеприняты знаки < (меньше) и > (больше).
Каковы бы ни были конечные множества А и В, всегда имеет
место одно и только одно из трёх соотношений: либо а = Ь, либо
а < либо а > Ь.
3.	Соотношения равенства, меньше, больше обладают транзи-
тивностью: если а в 6, b = с, то а = с; если а < b, b < с, то а < с\
если а > b, b то а > с. Но соотношение неравенства этим
свойством не обладает: из того, что а ф &, Ьфс, ещё не следует,
чтоафс. Доказательство этих утверждений очевидно: надо вспом-
16
нить о транзитивности равносильных множеств [I, 3,1] и учесть то
обстоятельство, что множество Д, равносильное правильной части
множества В, которое в свою очередь равносильно правильной
части множества С, само равносильно правильной части множе-
ства С,
4.	Если а = 6, то всякие множества А и В, численность кото-
рых выражают соответственно натуральные числа а и 6, равно-
сильны. Если а < 6, то множество А равносильно некоторой пра-
вильной части множества В. Если а > 6, то множество А имеет
правильную часть, равносильную В.
§ 4.	Упорядоченность, бесконечность и дискретность
множества натуральных чисел
1.	Из двух неравных натуральных чисел будем считать мень-
шее предшествующим большему [I, 1,4], а большее следующим за
меньшим. Тем самым множество натуральных чисел становится
упорядоченным [I, 2,6]. Располагая элементы этого - множества
по порядку, т. е. так, чтобы из любых двух чисел а и b сперва
шло предшествующее (меньшее), получаем натуральный ряд, иначе
называемый натуральной последовательностью: один, два, три,
четыре и т. д. или, применяя сокращённое обозначение натураль-
ных чисел посредством цифр, 1, 2, 3, 4 и т. д. Натуральный ряд
будем для краткости обозначать буквой N.
2.	Каково бы ни было множество А численности а, к нему
всегда можно присоединить ещё один элемент; получаем новое
множество А' численности а'. Так как множество А равносильно
правильной части множества Д', то натуральное число а меньше а'.
Это натуральное число а' называется непосредственно следующим
за натуральным числом а. Для 1 непосредственно следующим
является Г = 2, для 2 — 2' = 3, для 3 — 3< = 4 и т. д. Таким
образом, для каждого натурального числа можно указать непо-
средственно за ним следующее натуральное число. Обратное утвер-
ждение верно лишь с одной оговоркой: каждое натуральное число
а, за исключением /, является непосредственно следующим за не-
которым другим натуральным числом 'а, которое называется
непосредственно ему предшествующим.
3.	Итак, упорядоченное множество натуральных чисел имея
начальный элемент 1, не имеет последнего элемента, так как у
каждого натурального числа а существует непосредственно за ним
следующее3 натуральное число а'. Выясним, можно ли * назвать
множество N бесконечным в том смысле, в каком это понятие
определено выше [I, 2,5], т. е. имеется ли у множества N правиль-
ная часть, равносильная N.
Если из N исключить начальный элемент 1, получается мно-
жество представляющее собой правильную часть N. Устано-
вим соответствие между элементами множеств N и относя
2 В. М. Брадис
17
каждому натуральному числу а как элементу множества N непо-
средственно следующее за а число а', считая а' элементом М*:
W.... 123456........а.....
ПИП	I
N*... 2 3 4 S 6 7...а’....
Как видим, соответствие между N и N* оказывается взаимно-
однозначным, N ~ N*. Множество N натуральных чисел имеет,
таким образом, равносильную ему правильную часть N*, а потому
это множество N бесконечно.
4.	Определение. Упорядоченное множество называется плот-
ным в себе, если, взяв любые два его элемента, можно указать
для них по крайней мере один промежуточный элемент этого же
множества (т. е. элемент, следующий за одним из данных эле-
ментов и предшествующий другому данному элементу). Мно-
жество называется дискретным, если не у всяких двух его эле-
ментов имеется промежуточный.
Примером плотного в себе множества может служить мно-
жество точек отрезка прямой. Множество натуральных чисел N
свойства плотности в себе не имеет: у натуральных чисел 1 и 2 нет
промежуточного натурального числа, как нет его и у чисел 2 и 3,
3 и 4 и т. д.
Итак, натуральный ряд обладает свойствами бесконечности,
упорядоченности, дискретности.
5.	Чтобы различать натуральные числа, надо дать каждому
особое название, удобное для устной речи, и особое обозначение,
удобное для записи. Бесконечность натурального ряда делает эту
задачу весьма трудной: возникает проблема устной и письменной
нумерации, которой мы будем заниматься в главе V.
§ 5.	Изоморфизм множества натуральных чисел и множества
целочисленных точек на луче
1.	Начиная от какой-нибудь точки До, будем последовательно
откладывать по прямой равные отрезки, например каждый длиной
в 1 см, отмечая концевую точку каждого отрезка буквами Ль Л2,
Аз,..., так что точка Аь окажется на расстоянии в k сантиметров
от начальной точки До. Получается числовой луч с отмеченными
на нём целочисленными точками (фиг. 3) . Здесь луч взят распо-
А° А2 Аэ А4 А6
Фиг. 3.
ложенным горизонтально и идущим слева направо, но возможно
какое угодно иное его расположение и направление, например
вертикально и вверх.
18
Взяв Ап и Д, имеем всегда один и только один из трёх воз-
можных случаев: либо эти точки совпадают, либо Л,<А, т. е.
точка Ап предшествует точке Ak (если левее Д*)» либо Ап> Ak,
т. е. точка Ап следует за точкой ДЛ (если Ач правее А>).
2.	Множество М целочисленных точек на луче обладает теми
же свойствами упорядоченности, бесконечности и дискретности,
что и множество N натуральных чисел. Но связь этих двух мно-
жеств N и М ещё глубже. Множество N имеет элементы — нату-
ральные числа, между которыми существуют три соотношения —
равно, меньше, больше. Множество М имеет элементы — точки,
между которыми существуют три соотношения, выражаемые тер-
минами совпадает, предшествует, следует.
Сопоставляя множества N и М, замечаем следующее:
а)	между элементами множества N и элементами множества
М можно установить взаимно-однозначное соответствие;
б)	между соотношениями равно, меньше, больше, имеющимися
во множестве N, и соотношениями совпадает, предшествует, сле-
дует, имеющимися во множестве М, тоже можно установить вза-
имно-однозначное соответствие: равно «—> совпадает, меньше *—►
предшествует, больше <—> следует;
в)	если два элемента множества N связаны одним из трёх
своих соотношений (равно, меньше, больше), то соответствующие
элементы множества М связаны соответствующим своим соотно-
шением (совпадает, предшествует, следует).
3. Определение. Пусть дано какое-нибудь множество А с
элементами а, Ь, с,..., которые связаны некоторыми отношениями
?, ф, X, ..., а также множество А с элементами а', 6', с', ..., кото-
рые связаны некоторыми отношениями <р', ф', х'» • • • • Эти два
множества называются изоморфными1, если выполнены три сле-
дующих условия:
а)	можно установить взаимно-однозначное соответствие между
элементами обоих множеств;
б)	можно установить взаимно-однозначное соответствие между
отношениями обоих множеств;
в)	если два элемента одного из множеств Связаны одним из
отношений этого множества, то соответствующие элементы дру-
гого множества связаны соответствующим отношением этого дру-
гого множества.
Как видим, множество натуральных чисел N и множество М
целочисленных точек на луче удовлетворяют указанным условиям;
эти два множества изоморфны.
Легко указать другие примеры изоморфных множеств. Возь-
мём, например, множество пальцев руки и установим какой-либо
определённый порядок их, хотя бы такой: сперва большой палец,
потом указательный, далее средний, безымянный, мизинец. Этому
1 От греческих слов исос — равный, одинаковый, и морфе — форма,
вид.
2*
19
множеству пальцев с соотношениями «предшествует» и «следует»
изоморфно множество натуральных чисел 1, 2,3, 4, 5 с соотно-
шениями «меньше» и «больше».
4.	Изоморфизм двух множеств означает, что количественные
соотношения между элементами каждого из них в некотором
смысле тождественны. Поэтому в математической науке, изучаю-
щей эти соотношения, такие два множества могут заменять друг
друга: изучая количественные соотношения одного множества, мы
в то же время изучаем и другое. Свойства множества целочислен-
ных точек на луче в некоторых отношениях проще, нагляднее,
чем свойства множества натуральных чисел, а потому различные
свойства натуральных чисел, например дискретность и бесконеч-
ность, полезно иллюстрировать ссылками на соответствующие
•свойства целочисленных точек.
§ 6.	Счёт
1.	Образуем такие упорядоченные конечные множества из на-
званий натуральных чисел (множества последовательных имён
числительных) на русском языке: один, один-два, один-два-три,
юдин-два-три-четыре, один-два-три-четыре-пять и т. д.
Имея какое угодно конечное множество А, легко указать рав-
носильное ему упорядоченное множество последовательных имён
числительных. Например, множество граней куба равносильно
множеству последовательных имён числительных один-два-три-
четыре-пять-шесть. Сделав это, говорят, что мы сосчитали, сколько
в множестве А элементов, или что мы выполнили счёт этих эле-
ментов, или что мы установили численность этого множества, т. е.
число его элементов, указываемое последним элементом этого
множества имён числительных (в данном случае шесть).
2.	Как мы видели выше [I, 1,3], то сравнение конечных мно-
жеств, которое в жизни так часто приходится производить, выпол-
нимо и без помощи натуральных чисел: достаточно установить со-
ответствие между элементами сравниваемых множеств. Но, научив-
шись считать, люди стали выполнять это сравнение множеств не-
сравненно проще. Представим себе взрослого человека, не умею-
щего считать. Таких людей у нас в СССР нет. но в дореволюционное
время они были, а в очень давние времена считать не умел никто.
Положим, такому человеку поручили стадо овец с тем, чтобы он пас
его в течение дня, а вечером пригнал бы обратно. Пастуху надо ве
чером убедиться, что собралось всё стадо, а для этого надо срав-
нить множество овец, принятых утром, со множеством овец, собран-
ных вечером. Не умея считать, пастух брал палку и особыми заруб-
ками отмечал на ней всех принятых овец. Получалось множество
зарубок, равносильное множеству овец. Сравнив вечером это
множество зарубок и множество собранных овец и убедившись,
что эти множества равносильны, пастух видел, что все овцы со-
20
Ораны. Таким образом, сравнение множества овец, принятых
утром, и множества овец, собранных вечером, он выполнял, и не
считая их, посредством третьего множества — множества зарубок
на палке. Научившись считать, человек уже не нуждался в таких
зарубках: сосчитав утром овец и убедившись, что их было, поло-
жим, семнадцать, пастух должен был только запомнить или запи-
сать это число и вечером убедиться, что все семнадцать овец на-
лицо, а для этого вновь пересчитать их. Пересчитать овец проще,
чем делать зарубки на палке, а помнить число легче, чем таскать
с собой эту палку весь день.
3.	Итак, сравнить два конечных множества проще всего, пере-
считывая каждое из них. Если оба раза получаем одно и то же
натуральное число, множества равносильны. Если получаются
разные числа, множества неравносильны. Сравнивая числа, мы
видим, в каком множестве элементов меньше, в каком больше.
Овладение искусством счёта было громадным завоеванием в
деле культурного развития каждого народа.
§ 7.	Количественные и порядковые натуральные числа
1.	Каждое натуральное число, выражая численность (мощ-
ность) любого множества соответствующего класса равносильных
конечных множеств, отвечает на вопрос, сколько элементов имеет
данное множество, или, иными словами, на вопрос о количестве
элементов в нём. Ввиду этого натуральные числа получили на-
звание чисел количественных. Но с помощью натуральных чисел
можно отвечать также и на вопрос о том, которое по порядку
место занимает любой элемент данного множества, если это мно-
жество упорядочить: каждое натуральное число выражает при
этом порядковый номер некоторого элемента и называется в силу
этого числом порядковым. Эти две роли натуральных чисел нашли
своё отражение в языке: когда, мы применяем натуральные числа,
чтобы установить численность (или количество элементов) мно-
жества, то мы пользуемся количественными именами числитель-
ными — рдин, два, три, четыре и т. д., а когда устанавливаем
порядковые номера элементов, то применяем имена числительные
порядковые — первый, второй, третий, четвёртый и т. д.
2.	Рассмотрим пример упорядочивания с помощью натураль-
ных чисел такого множества, которое до этого упорядоченным не
было. На вокзале в камеру хранения ручного багажа пришло
много пассажиров, желающих оставить в камере свои корзины,
чемоданы и прочий багаж. Что делается для того, чтобы легко
было найти каждую вещь, когда владелец её потребует? К ней
прикрепляется бумажка (наклейка), на которой написано нату-
ральное число, одинаковое с тем натуральным числом (номером),
какое написано на выдаваемой владельцу вещи квитанции. Но-
мера квитанций идут по порядку, упорядоченным становится и
21
множество принимаемых вещей; в этом же порядке вещи и укла-
дываются по полкам, что обеспечивает удобное их разыскание при
предъявлении квитанций.
3.	В предыдущем параграфе мы видели, как с помощью нату-
ральных чисел проводится сравнение численности различных мно-
жеств. Теперь мы убедились, что натуральные числа существенно
облегчают и другую практически важную операцию — упорядо-
чивание множеств. В первом случае натуральные числа выступали
как числа количественные, во втором — как порядковые.
§ 8.	Аксиомы арифметики натуральных чисел
1.	Если свести всё содержание арифметики натуральных чи-
сел к наименьшему возможному числу основных неопределяемых
понятий и основных предложений (аксиом), из которых все осталь-
ные понятия и предложения этой науки вытекали бы чисто ло-
гически, без обращения к опыту и наблюдению, с помощью одних
лишь рассуждений, то получится аксиоматическое изложение
этой науки. Оно имеет свои достоинства и недостатки по сравне-
нию с обычным генетическим изложением, когда допускается
более широкое использование опыта: при аксиоматическом изло-
жении полностью выясняется, что даётся на основании опыта, а
что логически из него вытекает, но теряется та наглядность, какая
свойственна генетическому изложению. Например, при аксиомати-
ческом изложении теории натуральных чисел оказывается возмож-
ным вовсе не обращаться к понятию численности (мощности) мно-
жества и вообще не выяснять конкретного смысла понятия на-
турального числа, а только установить взаимные отношения нату-
ральных чисел. Для школьного изучения аксиоматическое изло-
жение вовсе непригодно, но для учителя знакомство с ним пред-
ставляет интерес.
2.	Выявление аксиом арифметики было начато великим рус-
ским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским (1792—
1856) в его книге «Алгебра или вычисление конечных», вышедшей
в Казани в 1834 г. В дальнейшем над ними работали немецкий
математик Г. Грасман (1809—1877), итальянец Д. Пеано
(1858—1932), русский учёный С. О. Шатуновский (1859—1929)
и ряд других математиков.
Ознакомиться с аксиоматическим изложением арифметики на-
туральных чисел легче всего по книгам советского учёного
И. В. Арнольда «Теоретическая арифметика» (Учпедгиз, 1938 и
1939), «Теория чисел» (Учпедгиз, 1939), где в основу положено
следующее.
Основные понятия: основные объекты — натуральное
число, единица; основное соотношение между натуральными
числами выражается термином непосредственно следует за.
Аксиома /. Единица есть натуральное число, которое не сле-
дует непосредственно ни за каким натуральным числом.
22
Аксиома П. Каково бы ни было натуральное число а, всегда
существует одно и только одно натуральное число а\ непосред-
ственно следующее за а.
Аксиома IIL Каково бы ни было натуральное число а, от-
личное от 1, всегда существует одно и только одно натуральное
число 'а, для которого а является непосредственно следующим.
Аксиома IV. Если какое-нибудь множество натуральных чи-
сел М обладает следующими двумя свойствами: а) оно содержит
единицу; б) содержа какое-нибудь натуральное число а, оно со-
держит и непосредственно следующее за ним число а', то это мно-
жество М есть множество всех натуральных чисел N.
Эти четыре аксиомы известны в науке под названием «аксиом
Пеано».
Последнюю аксиому (IV) называют «аксиомой математической
индукции». Математическую индукцию (или переход от п к
п' = п + 1) нельзя смешивать с индукцией: индукцией называется
метод исследования, основанный на использовании наблюдения и
опыта, который противополагается дедукции — логическому вы-
воду из ранее установленных предложений. Математическая ин-
дукция — особый вид дедукции1.
3.	Выше было показано, как прийти к понятиям натурального
числа и натуральной последовательности, исходя из понятия ин-
варианта класса равносильных конечных множеств. Раз это сде-
лано, истинность только что приведённых четырёх аксиом усматри-
вается сразу: первые три очевидны, четвёртая тоже становится
очевидной, если заметить, что в силу её условий множество М со-
держит 1, содержит 2 как число, непосредственно следующее за 1,
содержит 3 как число, непосредственно следующее за 2, содер-
жит 4 как число, непосредственно следующее за 3, и так далее без
конца.
4.	Особенно важно то обстоятельство, что всю арифметику на-
туральных чисел можно развить на основе только что указанных
трёх основных понятий и четырёх аксиом, определяя каждое новое
понятие и доказывая каждое новое предложение, но вовсе не
используя то обстоятельство, что каждое натуральное число есть
инвариант класса равносильных конечных множеств. Например,
легко дать определение понятию «следует за»: натуральное число
z следует за натуральным числом а, если z есть а' или если су-
ществуют такие натуральные числа а' = b, b' — с, с' = d и т. д.,
что z является натуральным числом, непосредственно следующим
за последним из них. Легко видеть, что из условий «г следует за
#» и «у следует за х» вытекает, что z следует за х; соотношение
«следует за» обладает таким образом транзитивностью.
1 Аксиома математической индукции имеет самое широкое применение во
всех математических науках, являясь основой метода доказательства, который
называется «методом математической индукции». См., например, брошюру
И. С. Соминского под таким заглавием, изданную Государственным технико-
теоретическим издательством (ГТТИ) в 1950 г. (серия «Популярные лекции
по математике»).
23
ГЛАВА III
ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИЙ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
§ 1.	Сложение натуральных чисел
1.	Выше была рассмотрена операция соединения множеств
[I, 4], состоящая в том, что два или более данных конечных мно-
жеств соединяются в одно новое множество, называемое их сум-
мой. Легко привести сколько угодно примеров таких случаев,
когда практическая жизнь требует проведения этой операции, при-
чём обычно встаёт вопрос о том, какова численность этого мно-
жества — суммы. От операций над множествами мы переходим к
операциям над натуральными числами, выражающими числен-
ности данных множеств.
2.	Определение. Суммой данных натуральных чисел а и b
называется натуральное число с, выражающее численность мно-
жества, которое получается в результате соединения множеств А и
В, имеющих соответственно численности а и Ь, при условии, что
эти множества А и В не имеют общих элементов. Данные числа
а и Ь называются слагаемыми, операция получения суммы с по
данным а и b — сложением или действием сложения, связь между
числами а, Ь, с выражается на письме с помощью знака сложе-
ния 4- (плюс) и знака равенства = краткой записью а + b = с.
Находя сумму а + Ь, говорят, что числа а и b складываются или
что к числу а прибавляется число Ь.
3.	Если человек, не умеющий производить сложение натураль-
ных чисел, захочет узнать численность множества, которое полу-
чится от соединения двух данных множеств без общих элементов,
он должен будет фактически соединить эти множества и пере-
считать элементы нового полученного множества. Умение склады-
вать натуральные числа существенно упростит дело: человек по-
лучает возможность предвидения результата этого счёта, не вы-
полняя его.
Например, чтобы узнать численность множества, получающе-
гося в результате соединения множеств из 257 и 544 элементов,
мы не пересчитываем всё это множество, а предвидим, основы-
ваясь на правилах арифметики, что в результате такого пере-
считывания получим число 801. Разумеется, эта возможность
сложения натуральных сколько угодно больших чисел основана
на знании сумм чисел первого десятка, найденных посредством
пересчитывания.
Эта же возможность предвидения результатов операций над
множествами без фактического проведения таких операций обеспе
чивается и другими действиями над числами.
4.	Определение суммы двух натуральных чисел легко обоб-
щается на любое их число: вместо двух множеств А и,В берутся
п множеств, из которых никакие два не имеют общих эле-
ментов. Но можно обойтись и без нового обращения к множест-
24
вам, определяя а 4* b 4- с как (а 4-^)4* с, a-t-b-^c-j-d как:
(а 4- b + с) 4- d и т. д., т. е получая сумму последовательным:
прибавлением слагаемых по одному. Для краткой записи суммы
применяется знак V (греческая буква «сигма большая») г
п
0/ = 01 4" а2 4* • • • 4” Ял.
5.	Вспоминая свойства суммы множеств [I, 4, 2], устанавливаем;
следующие свойства суммы натуральных чисел:
существование: каковы бы ни были данные натуральные числа
01, 02, 0з,..., 0л, всегда существует натуральное число, пред-
ставляющее собой их сумму;
единственность: каковы бы ни были данные.натуральные числа,,
всегда существует единственное натуральное число, представля-
ющее собой их сумму;
переместительность, или коммутативность: сумма натуральных
чисел не зависит от того порядка, в каком они берутся:
0 4— Ь = Ь 4~ 0; 0 4~ 6 4~ £ == я 4~ я 4~ 6=== 6 4~ я 4~ £ == 6 4~ £ 4* я =г
= с4-я4-6 = с + б4-я и т. д.;
сочетательность, или ассоциативность: вместо того чтобы к.
одному натуральному числу последовательно прибавлять два или
более других, можно прибавить сразу их сумму; 04-& + £==я +
4-(& + с); 0 4-6 4-<?4~^ = я4-(6 4-с4-^) и т. д.;
аддитивность: если а~Ь и с = d, то а-\- с = b d, или сло-
вами: при сложении соответственно равных слагаемых получаются
равные суммы;
монотонность: если а<^Ь и с ^d, то aJ-c<^bJ-d, или сло-
вами: если к двум неравным натуральным числам прибавить по-
ровну, то получатся неравные в том же порядке. Отсюда следует»,
что если к меньшему прибавить меньшее, а к большему большее»,
то тоже получатся неравные в том же порядке.
Эти шесть свойств суммы натуральных чисел вытекают не-
посредственно из соответствующих свойств суммы множеств и
определения натурального числа как инварианта класса равно-
сильных конечных множеств. Отметим, что при сложении нату-
ральных чисел а и b берутся произвольные множества А и В со-
ответствующей численности, но это не нарушает единственности
суммы 0 4-6: заменяя А (или В) каким-нибудь другим равно-
сильным ему множеством А' (или В'), мы придём к тому же ре-
зультату.
6.	Все перечисленные свойства относятся к любому конечному
числу слагаемый: сколько бы ни было данных множеств бея
общих элементов, при их соединении в любом порядке всегда по-
лучается одно и то же множество, • принадлежащее некоторому-
определённому классу равносильных множеств, и это сразу дока^
зывает существование и единственность суммы любого числа
слагаемых, а также её переместительность. Аналогичными со-
ображениями доказываются и остальные свойства.
25:
7. Представляет большой интерес выяснение того, какое мини-
мальное количество свойств суммы надо установить, обращаясь
к множествам, чтобы вывести из них остальные её свойства чисто
логически, без обращения к определению натурального числа как
инварианту класса равносильных множеств. Оказывается, что
достаточно с помощью множеств установить существование и
единственность суммы двух слагаемых а + Ь, затем вывести от-
сюда существование и единственность суммы трёх слагаемых, что
легко сделать, основываясь на определении суммы а + b + с как
суммы а + b и с, затем опять обратиться к множествам и уста-
новить переместительность суммы двух слагаемых, т. е. равенство
«а -f- б = б + я, а также сочетательность суммы трёх слагаемых,
т. е. равенство (а + Ь) + с = а + (Ь + с). Все остальные пере-
численные свойства суммы могут быть после этого доказаны без
•обращения к множествам. Доказательство весьма громоздко, а
потому проводить его полностью мы не будем; ограничимся
только частным случаем: докажем, что а + + с = + +
Имеем:
== а (б + с)
*= (с + б) + а
= с + b + а
(по определению суммы трёх слагае-
мых),
(по сочетательности суммы трёх сла-
гаемых) ,
(по , переместительности суммы двух
слагаемых бис),
(по тому же свойству для слагаемых
а и с + б),
(по определению суммы трёх слагае-
мых) .
Чтобы доказать свойство монотонности, надо предварительно
дать определение соотношения «меньше», независящее от понятия
множества.
Вообще для математики характерно стремление по возможно-
сти уменьшить обращения к опыту, доказывать рассуждением всё
то, что можно доказать без нового обращения к опыту. Так в эле-
ментарной геометрии доказывают, например, равенство верти-
кальных (противоположных) углов, хотя это равенство усматри-
вается с одного взгляда на чертёж. Но это уменьшение потребно-
сти в опыте покупается ценой значительного усложнения рассуж-
дений, как в этом можно убедиться, доказывая на основе аксиом
Пеано некоторые свойства суммы натуральных чисел, непосред-
ственно очевидные, если исходить из понимания натурального
•числа как инварианта класса равносильных конечных множеств.
8.	Как уже было отмечено выше, возможно построение всей
арифметики натуральных чисел на основе трёх основных понятий
«и четырёх аксиом [II, 8,2] вовсе без обращения к определению
•натурального числа как инварианта класса равносильных конеч-
ных множеств. При этом даётся другое определение суммы. Рас-
смотрим его.
26
Определение. Суммой любого натурального числа а и 1 на-
зывается натуральное число а', непосредственно следующее за а;
суммой произвольного натурального числа а и натурального
числа Ь\ непосредственно следующего за другим произвольным
натуральным числом Ь, называется натуральное число (а + &)',
непосредственно следующее за а + Ъ.
Итак, по определению а + 1 = а\ а + Ь' = (а + Ь)'.
Пользуясь этим определением, легко составляем следующую
таблицу, допускающую неограниченное продолжение:
1 + 1 = 1'= 2, 2+1=2'= 3, 3+1=3' = 4, 4+1 =
= 4' = 5 и т. д.
2 + 2 = 2 + 1' = (2 + 1)' = 3' = 4, 2 + 3 = 2 + 2' = (2 +
+ 2)' = 4' = 5 и т. д.
3 + 2 = 3+ 1' = (3 + 1)' = 4' = 5, 3 + 3 = 3 +2'= (3 +
+ 2)' = 5' = 6 и т. д.
4 + 2 = 4+ 1' = (4+ 1)' = 5' = 6,	4 + 3 = 4 +2'= (4 +
+ 2)' = 6' = 7 и т. д.
При составлении этой таблицы, кроме определения суммы,
мы использовали аксиому II, которая говорит о существовании
единственного определённого числа, непосредственно следующего
за любым данным (Г = 2, 2' = 3, 3' = 4 и т. д.), и аксиому III,
которая позволяет рассматривать числа 2, 3, 4, 5,... как непо-
средственно следующие за числами 1, 2, 3, 4,... ('2 = 1, '3 = 2,
4 = 3, '5 = 4,...).,
9.	Только что приведённое определение суммы устанавливает
существование и единственность сумм вида а+ 1, где а — любое
натуральное число, а также существование и единственность
суммы а + &'= (а+ 6)' в предположении, что сумма а + & су-
ществует и единственна. Обозначив буквой М множество всех
значений второго слагаемого b в таких суммах а + 6, которые
существуют и единственны, замечаем, что это множество М со-
держит 1 и, содержа какое-нибудь натуральное число Ь, содержит
также и непосредственно следующее за ним число 6'. По аксиоме
IV (по аксиоме математической индукции) множество М со-
держит все натуральные числа. Итак, мы доказали, что сумма
любых двух натуральных чисел а + b существует и единственна.
Приведённое выше-определение суммы с помощью формул
а+1=а', а + &'=(а + &)' называется индуктивным, так как
его применение связано с аксиомой математической индукции, и
грасмановым, так как его впервые дал упомянутый . выше
Г. Грасман.
10.	Докажем, основываясь на индуктивном определении сум-
мы а + Ь, сочетательность суммы трёх слагаемых, т. е. формулу
(а + Ь) + с = а + (Ь + с), где а,Ь,с — любые натуральные числа.
При с=1 эта формула записывается в виде (а + &)' =
« а + Ъ' и является ле чем иным, как второй частью индуктив-
ного определения суммы.
27
Допуская, что формула (а + Ь) + с — а 4- (Ь + с) верна для
некоторого значения с, покажем, что она верна и для c*-=c-j- 1.
Действительно, (а + Ь) + с' = [(а +	(по второй части
индуктивного определения суммы),
— [а + (6 + с)]' (по допущению),
= а+ (6 +с)',
= а+ (Ь + с).
Последние две строки пишутся на основании двукратного при-
менения той же второй части индуктивного определения суммы
(сперва к сумме чисел а и b + с, потом к сумме чисел b и с).
Итак, формула (а + 6) + с = а + (Ь + с) верна при с = 1 и„
будучи верной для какого-нибудь значения с, верна и для г' =
= с+1- По аксиоме математической индукции она верна для
всякого натурального с.
11.	Подобным же образом доказывается и переместительность
суммы двух слагаемых, т. е. формула а + b = Ь + а, где а и b
произвольные натуральные числа. Сперва она доказывается для
b = 1 (индукция проводится по числу а):
для а = 1 формула а + 1 = 1 + а верна;
допускаем, что а + 1 = 1 + а для некоторого а\
тогда 1 + а' = (1 -}- а)' = (а + 1)' = (а')' = а' + 1.
По аксиоме математической индукции формула а -J- 1 = 1 + а
верна для всякого натурального а. Таким образом, формула
а + b = b + а для b = 1 доказана. Далее ведётся индукция по 6:
допускаем, что а 4- b = b + а для некоторого Ь;
тогда а + Ь' = а + (6 + 1) = (а + b) + 1 = 1 + (я + £>) =
= 1 + (b + a) = (1 -О) +	(6+ 1) + а = +
формула а + b — b + а верна ’ для любого натурального
числа Ь.
Итак, формула а + b = b + а доказана для всех значений
обоих слагаемых.
12.	Итак, теория сложения натуральных чисел может быть
изложена либо на основании определения натурального числа как
инварианта класса равносильных конечных множеств, либо на
основании четырёх аксиом с помощью индуктивного определения
суммы. Второй способ настолько сложен, что не может быть и
речи о его применении в школе. Изложение первым способом не-
сравненно проще и нагляднее, а потому именно он и применяется
при обучении. Ясности понимания существенно способствует при-
менение . геометрической иллюстрации: каждое натуральное
число а можно наглядно изображать отрезком, «содержащим а
сантиметров, или других единиц длины, а сумму а + Ь — сово-
купностью двух отрезков, содержащих соответственно а и Ь санти-
метров и расположенных на одной прямой так, что у них имеется
единственная общая точка, т. е. отрезком — суммой данных
отрезков.
28
Показывая два различных определения одного и того же по-
нятия, в случае, если в дальнейшем оказывается выгодным поль-
зоваться то тем, то другим, необходимо доказать равносильность
(эквивалентность) этих определений, т. е. доказать, что всякий
объект, удовлетворяющий первому определению, удовлетворяет и
второму, и обратно, что всякий объект, удовлетворяющий второму
определению, удовлетворяет и первому. Излагая в дальнейшем
учение о натуральном числе как инварианте класса равносильных
конечных множеств и только указывая на возможность его изло-
жения на основе аксиом, я опускаю подобные доказательства
равносильности определений.
§ 2.	Умножение натуральных чисел
1.	Рассмотрим три способа изложения теории умножения:
способ, основанный на обычном школьном определении произве-
дения как частного случая сложения; близкий к нему способ,
основанный на рассмотренной выше операции сочетания мно-
жеств; способ, основанный на аксиомах арифметики.
Определение. Произведением натурального числа а на 1 на-
зывается само число а; произведением а на натуральное число 6,
большее 1, называется сумма b слагаемых, каждое из которых
равно а; число а называется множимым, число Ь — множителем;
множимое и множитель имеют общее название — сомножители;
операция получения произведения по данным множимому и мно-
жителю — умножением или действием умножения; на письме это
действие изображается знаком умножения — косым крестом или
точкой (при буквенных сомножителях знак умножения можно
опускать).
Итак, а*\=а, а-6 = а + а + а + ... + а (здесь b сла-
гаемых) .
2.	Определение. Произведением трёх натуральных чисел
а, Ь, с называется произведение произведения первых двух из них
(и • Ь) на третье (г), т. е. результат последовательного умноже-
ния первого числа на два последних, так что abc = (а • Ь) • с.
Подобным же образом определяется произведение любого
числа сомножителей как результат последовательного умножения
первого данного числа на второе, полученного произведения на
третье, и т. д.; например, abcd = [(a-b) -c]-d. Для краткой за-
писи произведения применяется знак II (греческая буква «пи
большое»):
п
Па/ =
3.	Из определения произведения и тех свойств суммы, которые
были рассмотрены выше, выводятся следующие свойства произ-
ведения:
29
существование: каковы бы ни были данные натуральные числа
Ль 02, аз,..., аП9 всегда существует натуральное число, представ-
ляющее собой их произведение;
единственность: каковы бы ни были данные натуральные
числа, всегда существует единственное натуральное число, пред-
ставляющее собой их произведение;
переместительность: произведение не зависит от того порядка,
в каком берутся сомножители, так что ab = ba, abc = acb =
= bac = bca = cab = cba и т. д.;
сочетательность: вместо того чтобы одно натуральное число по-
следовательно умножать на два или более других, можно умножить
это число сразу на их произведение: abc = a(bc), abed = a(bcd)
и т. д.;
распределительность (точнее — распределительность суммы
относительно умножения): вместо того чтобы умножать сумму,
можно взять, сумму произведений каждого слагаемого в отдель-
(п \	п
i=\ J	t=\
при умножении соответственно равных сомножителей полу-
чаются равные произведения: если а = b и с = dt то ас = bd\
монотонность: если и c — d, то ac<^bd, или словами:
если два неравных натуральных числа умножить на равные, то
получаются неравные в том же порядке; если а < с и b < d, то
ab < cb < cd, ab < cd.
Существование и единственность произведения следуют в силу
определения из существования и единственности суммы.
Переместительность произведения двух сомножителей доказы-
вается так: представив ab согласно определению в виде суммы
а + а +... + а, содержащей b слагаемых, рассматриваем каж-
дое слагаемое а в виде суммы единиц; пользуясь сочетательным
свойством суммы, представляем сумму а 4- а + ... + а в виде
суммы b + b + ... 4- Ь, содержащей а слагаемых, а это, согласно
определению, есть произведение Ьа. Итак, ab = Ьа.
Приводим подробную запись для случая а = 3, 6 = 4:
3-4=34-34-3 4-3= (1 +14-1) + <1 + 1 +1)+(1 +1 +
+ 1) + (1 + 1 + 1) = (1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1 + 1) +
+ (1 + 1 + 1 + 1) = 4 + 44-4 = 4-3.
Переместительное свойство произведения ab доказывается
ещё проще, если обратиться к множеству из а каких-либо элемен-
тов, расположенных в один ряд, и взять b таких рядов. На фигуре
4 изображено множество из а = 3 кружков, повторенное Ь =4
раза. Ведя счёт не по строкам, а по столбцам, замечаем, что все
изображённое на фигуре 4 множество кружков можно рассматри-
вать как множество из b = 4 кружков, повторенное а = 3 раза,
а потому ab = Ьа.
30
Произведение abc или (ab)c представляет собой сумму с сла-
гаемых, каждое из которых равно ab, а так как ab есть сумма
слагаемых, каждое из которых равно а,
то произведение abc можно рассматривать	*	*
как сумму Ьс слагаемых, каждое из ко-
торых равно а. Но, согласно определе- •	•	•	»
нию произведения, эту сумму можно пред-
ставить в виде а(Ьс). Итак, abc = a(bc),
и тем самым доказана сочетательность •	•	•	'♦*
произведения трёх сомножителей.	фиг 4
Приводим ещё доказательство свой-
ства распределительности произведения (точнее — свойства рас-
пределительности суммы относительно умножения) для случая,,
когда множимое есть сумма двух слагаемых, используя переме-
стительное и сочетательное свойства суммы и определение про-
изведения:
(а + Ь)с= (а + Ь) + (а + Ь) +’...+ (^ + &),
= a + 6 + a + 6 + ... + a + ft,
= ci ci . “I* ci b —|- b ... —p b,
= (а + а + ... + а) + (й + 6 + ...+ 6),
= ac + be.
4.	Особого упоминания заслуживает свойство произведения^
выражаемое теоремой Архимеда: каковы бы ни были нату-
ральные числа а и Ь, всегда существует такое натуральное число
п, что Ьп>а.
Действительно, если b— 1, то Ьп = п и для получения нера-
венства Ьп > а достаточно взять п = а + 1. Тем самым для b = f
теорема доказана. Если же &>1, то из неравенства
выражающего свойство монотонности произведения, следует, что
при п = а + \Ьп > а. Итак, теорема доказана полностью.
5.	Более детальное рассуждение показывает, что, основы-
ваясь на определении произведения, достаточно доказать свой-
ства, выражаемые формулами ab = ba, abc = а(Ьс), (а-\-Ь)с=*
= ас + Ьс. Обобщение всех этих свойств на случай любого числа
сомножителей и слагаемых можно тогда выполнить уже без обра-
щения к определению произведения.
6.	Рассмотрев теорию умножения натуральных чисел, в основу
которой положено определение произведения как суммы равных:
слагаемых, посмотрим, как развить эту теорию на понятии соче-
тания множеств [I, 5].
Определение. Произведением натурального числа а на на-
туральное число b называется натуральное число с, выражающее-
численность множества С, которое получается в результате соче-
тания каких-нибудь двух множеств А и В численности соответ-
ственно а и Ь.
Например, если а = 3 и 6 = 2, можно взять множеств»
A {I, II, III} и В {а, Ь}. Тогда множество С содержит элементы^
3fc
la, Ila, Illa, 16, lift, III6 и имеет численность с=Ъ, а потому
3-2 = 6.
Используя свойства сочетания множеств, указанные выше
[I, 5, 2], мы придём к тем же свойствам произведения натуральных
чисел, что и на основе определения произведения как суммы рав-
ных слагаемых.
7.	Переходим к третьему способу изложения теории умноже-
ния натуральных чисел, а именно способу, основанному на при-
менении аксиом арифметики [II, 8]. .
Определение. Произведением произвольного натурального
числа а на 1 называется само это число а; произведением произ-
вольного натурального числа а на натуральное число 6', непо-
средственно следующее за другим произвольным натуральным
числом Ь, называется сумма ab + а.
Это «индуктивное» определение произведения позволяет на-
ходить ab't если ab известно. Применяя его, составляем следую-
щую таблицу, допускающую неограниченное продолжение:
1 . 1	=	1,	2 • 1 = 2, 3 •	1 = 3,	4 • 1 =	4	и т. д.
1 «2	=	1 •	1'= 1 • 1 + 1	= 2,	2-2	=	2-Г = 2-1+ 2 =	4,
3-2	=	3-	l' = 3- 1 4-3	= 6 и	т. д.
1.3	=	1 •	2' = 1 • 2 4- 1	= 3,	2 • 3 =	2	• 2' = 2 • 2	+ 2 =	6,
3-3 = 3-2' = 3-2+ 3 = 9 и т. д.
1 - 4 = 1 • 3' = 1 • 3 + 1 = 4,	2-4 = 2-3'= 2- 34-2 = 8,
3-4 = 3-3'= 3-3 + 3= 12 и т. д.
Об этой таблице умножения надо сказать (с надлежащими
изменениями) то же, что было сказано выше [III, 1,8] по поводу
таблицы сложения.
На основании индуктивного определения произведения при
использовании аксиомы математической индукции доказывается
существование и единственность произведения любых двух нату-
ральных чисел.
8.	Из трёх свойств произведения — переместительности, со-
четательности, дистрибутивности — докажем сперва последнее,
причём доказывать надо и распределительность справа, выражае-
мую формулой а (Ь + с) = ab + ас, и распределительность слева,
выражаемую формулой (а + Ъ) с = ас + Ьс (так как перемести-
тельность произведения ещё не установлена).
Имеем ab' = ab + а (по второй части индуктивного опреде-
ления произведения), откуда a (b + 1) = ab + а • 1 при произ-
вольных натуральных числах а и Ь (по первой части индуктивного
определения суммы и по первой части индуктивного определения
произведения).
Таким образом, для случая с = 1 формула а (& + с) — аЬ-^-ас
доказана. Допустив, что она верна при произвольных а и b для
некоторого с, берём:
32
a (& + </) =a[b+ (c+ 1)]
= a[(6 + c) + l]
= a (b + c) + a • 1
= ab + ac + a
= ab + (ac + a)
= ab + ac'
(так как с' = с + 1);
(по сочетательности суммы);
(по доказанному);
(по допущению и по определению
а • 1 = а) ;
(по сочетательности суммы);
(по определению произведения).
Итак, формула а (Ь + с) = ab + ас верна при с = 1 и, бу-
дучи верной для какого-нибудь с, верна также и для d. В силу
аксиомы математической индукции она верна для любого нату-
рального числа с.
Аналогично доказывается и распределительность произведения
слева, т. е. формула (а + b) с = ас-±* Ьс. При произвольных а
и & и при с = 1 эта формула верна в силу первой части индук-
тивного определения произведения: (а + 6) •1=а + 6 = а*1 +
Допустив, что она верна при некотором с, доказываем,
что она верна тогда и при o':
(а + Ь) с' = (а + Ь) с + (а + Ь) (по определению произведе-
ния) ;
= ас + Ьс + (я + Ь) (по допущению);
= (ас-\~а) + (Ьс + Ь) (в силу сочетательного и пере-
местительного свойства сум-
мы);
= ас' + Ьс'	(по определению произведе-
ния).
9.	Для доказательства переместительности произведения, т. е.
формулы ab = bat сперва доказываем формулу а-1=; Ьа, где
а — любое натуральное число. При а — 1 эта последняя формула;
очевидно верна: 1 • 1 = 1 • 1. Допуская, что она верна для какого-
нибудь а, доказываем её справедливость для а':
а'. 1 = (а 4- 1) • 1 = а • 1 + 1 • 1 (по распределительности слева);
= 1 • а + 1 • 1	(по допущению);
= 1’(а4-1)	(по распределительности спра-
ва) ;
= 1 • а'	(по равенству а' = а + 1).
Формула а *1 = 1 • а доказана для любого а.
Доказав эту формулу индукцией по а, переходим к формуле
ab = Ьа и доказываем её индукцией по Ь: допустив, что формула.
ab = Ьа верна для некоторого Ь, имеем ab' = ab + а = Ьа + а =*
= (b + 1) а = Ь'а, т. е. что она верна и для её справедливость
при b = 1 доказана выше, а потому она верна для всех натураль-.
ных чисел.
Доказательство сочетательного свойства произведения, выра-
жаемого формулой abc — а(Ьс), как и остальных его свойств, про-
водится аналогично и предоставляется читателю.
3 В. М. Брадис
33
§ 3.	Возведение натурального числа в степень с натуральным
показателем
1.	Рассматривая сложение равных слагаемых, мы пришли к
понятию произведения. Точно так же, рассматривая произведение
равных сомножителей, приходим к понятию степени с натураль-
ным показателем.
Определение. Произведение п сомножителей, каждый из ко-
торых равен а, называется n-ой степенью числа а и обозначается
знаком ап.
Здесь основание а —любое натуральное число, показатель п —
любое натуральное число, большее 1. Обобщая это определение,
считают само число а первой его степенью: а1 = а. Получение
числа ап по данным а и п называется возведением в степень с на-
туральным показателем.
2.	Из этого определения и свойств произведения вытекают
следующие свойства степени.
Существование и единственность: каковы бы ни были нату-
ральные числа а и. и, всегда существует единственное натураль-
ное число ап9 представляющее собой n-ую степень а.
Закон умножения степеней одного основания: каковы бы ни
были натуральные числа a, n, k, всегда а* • ak — an+k.
Монотонность: 1) если а > 1 и п > k, то ап> ak; 2) если
а > ft, то of1 > Ьп. Необходимость в первом случае оговорки а > 1
следует из того, что Iя = 1 при любом п. .
Доказательство этих свойств предоставляется читателю.
Ни переместительного, ни сочетательного свойств степень не
имеет, например, 23^=32, (23)2 ф 2(3?). Не имеет она и свойства
распределительности относительно суммы, например, (2 + 3)2=/=
ф 22 + З2, но имеет его относительно произведения: (а • 6)я =
= ап • Ь\
3.	Не лишне предостеречь от допускаемой иногда ошибки в
применении закона умножения степеней: заменяют, например,
23- 52 через (2-5)5= 105, забывая, что этот закон имеет место
только для степеней одного основания. Замена же, например,
23 • 53 через (2 • 5)3, вообще апЬп через (ab)n> правильна. Формула
(ab)n = апЬп> или, что то же, anbn= (ab)n9 легко доказываемая с
помощью переместительного и сочетательного свойств произведе-
ния, выражает известное правило возведения в степень произве-
дения. Столь же просто доказывается и правило, возведения сте-
пени в новую степень: (ап)к = ап • ап,.. ап= дМ-л-Ь•••+* =
4.	Где бы ни поставить скобки в выражении а 6 + с, смысл
его останется тем же: (а + ft) + с = а 4- (ft + с). В этом и за-
ключается сочетательное свойство суммы. Так же обстоит дело
и с произведением: (ab)c = а(Ьс), Но выражение аь приобре-
тает определённый смысл лишь после указания на то, где поста-
вить или подразумевать скобки; {аь)с в силу правила возведения
34
степени в степень есть не что иное как аЬс; выражение же а№
представляет собой результат более сложного действия — это
степень числа а с показателем, равным b в степени с. Например,
(23)2 = 23 •2 — 26 = 64, 2(з2) = 29 = 512. В различии выражений
(аь)с и и заключается указанное выше отсутствие сочетатель-
ного свойства у степени. Необходимость указания на постановку
скобок относится и к более сложным выражениям этого вида. На-
пример, в зависимости от того, где поставить скобки, выражение
22?3 имеет пять различных значений:	= 2512; [(22)3]2 = 212;
(22)(з2) = 218; [2(23)]2 = 216; 2f(23)2! = 264.
С отсутствием сочетательного свойства у степени приходится
считаться при решении известной задачи из области заниматель-
ной математики: как следует написать три цифры 9, чтобы из-
образить ими возможно большее число. Ответ 9э9 нуждается в
указании, где поставить или подразумевать скобки: х = (99)9 ==981,
г/=9(99) = 9387420489 Рекомендуется рассчитать, сколько цифр
имеет каждое из этих чисел, и выяснить, какова будет длина
полной их записи, если считать, что каждая цифра занимает, по-
ложим, 3 мм,
§ 4.	Вычитание натуральных чисел
1.	Пусть дано какое-нибудь конечное множество А числен-
ности а и некоторая правильная его часть В численности Ь, Если
удалить из А эту правильную часть В, получим новое множество
С, численность которого легко установить посредством счёта, как
это и делают дети, начинающие заниматься арифметикой. Чтобы
ответить, например, на вопрос о том, сколько из 7 птиц останется,
если 3 улетят, ребёнок отсчитает свои 7 пальцев, затем загнёт 3
из них и пересчитает остальные. Возникает вопрос: нельзя ли
предвидеть результат пересчитывания, не производя его, т. е. ука-
зать с по данным а и ft, не прибегая к пересчитыванию?
Определение. Разностью натурального числа а и меньшего
натурального числа b называется натуральное число, выражаю-
щее численность множества, которое останется, если из какого-
либо множества А численности а удалить правильную его часть В
численности Ь.
Разность чисел а и Ь<а обозначается символом а — Ь\ ра-
зыскание а — ft по данным а и ft называется вычитанием, числа
а и ft — уменьшаемым и вычитаемым,
2.	Если из множества А удалить правильную его часть В, а
затем соединить оставшееся множество С с этой правильной
частью В, то получим снова исходное множество А, Соединяемые
множества В и С общих элементов иметь не могут, а потому за-
ключаем, что сумма разности а — ft и вычитаемого ft равна умень-
шаемому а: (а — ft) -{-ft — а. Отсюда второе определение разйр-
сти натуральных чисел, как легко видеть, равносильное первому.
3*
35
но имеющее то существенное преимущество перед ним, что оно
сохраняется и для всех других чисел, изучаемых в арифметике.
Определение. Разностью двух чисел называется такое третье
число, которое, будучи сложено со вторым из данных чисел, даёт
первое данное число. Но и для натуральных чисел это второе
определение разности выгодно тем, что позволяет находить раз-
ность без нового обращения к множествам, исключительно на
основании знания сложения. Однако почти все практические при-
менения разности связаны именно с первым её определением.
Основываясь на втором определении разности, можно опреде-
лить вычитание как действие, позволяющее по данной сумме двух
слагаемых и одному из них найти другое слагаемое.
3.	Вычитание называют действием, обратным сложению, так
как последовательное вычитание и прибавление одного и того же
числа возвращает к исходному числу: (а — Ь) -}- Ь = а. Это же
возвращение к исходному числу получается и при обратном по-
рядке действий: (а 4~ b) -*• b = а.
4.	Существование разности натуральных чисел а — b при
условии а > b и её единственность очевидны, если исходить из
первого её определения. Но доказать эти два свойства разности
можно и без обращения к множествам, если исходить из второго
её определения. Проведём это доказательство, используя индук-
тивное определение суммы [III, 1, 8], аксиомы арифметики [II, 8, 2],
а также выводимые из них свойства суммы [III, 1,10—11].
Теорема. Каковы бы ни были натуральные числа aub'<a,
всегда существует единственное натуральное число с, удовлетво-
ряющее условию с 4-6 = а, а потому представляющее собой раз-
ность а — Ь.
Единственность разности следует из монотонности суммы
[III, 1,5]: если бы были две различные разности а — Ь = с и
а — b = d9 например с' > с, то мы имели бы с 4- b = а,
d -f- Ь = а, с' + Ь > с + Ь, а>а, что невозможно. Итак, если
разность а — b существует, она единственна.
Остаётся доказать, что разность а — b при условии b < а
всегда существует.
Возьмём сначала 6 = 1. Из условия а>Ь имеем а>1. Но
^акбво бы ни было натуральное число а, отличное от 1, по аксиоме
III существует единственное натуральное число, для которого а
является непосредственно следующим. Такое число называется
«непосредственно предшествующим» данному числу а; будем
обозначать его знаком 'а. Это число 'а и есть разность а— 1, так
как 'а 4- 1 = а. Итак, если а > 1, то разность а — 1 существует
и единственна: а — 1 = 'а.
Пусть, далее, b произвольное натуральное число, меньшее а,
притом такое, что Ь' тоже меньше а. Допускаем, что разность
и — b существует, т. е. что существует натуральное число с такое,
что с 4-6 = а. Может ли быть с=1? Если с=1, то а = с4-
4-6=14-6 = 64-1 = Ь', но это противоречит условию 6'<а.
36
Следовательно, сф 1,	1, а потому по аксиоме III существует
натуральное число 'с, для которого число с является непосред-
ственно следующим, так что ('с)'—с.
Далее, имеем
'с + Ъ' = ('с + Ь)'(по индуктивному определению суммы),
— (Ь +'с)'(по свойству переместительности суммы),
= b + ('с)'(по индуктивному определению суммы),
= Ь + С (в силу того, что ('с)' = с),
= c + ft (по свойству переместительности суммы),
= а (по сделанному допущению).
Итак, если ft'<a, то из допущения существования разности
а — b следует существование такого числа 'с, которое, будучи
сложено с У, даёт а, ъ е. существование разности а — Ъ . При
6=1, а>1 разность а — b существует, следовательно, по ак-
сиоме IV существует и разность а — b при любом b < а,
5.	Чтобы получить разность а — 6, зная а и b < а, доста-
точно среди сумм Г+ 6, 2 + 6,..., 'а + ft найти ту единственную,
которая равна а. Тем самым задача вычитания сводится к за-
даче сложения, и мы получаем ответ на вопрос, поставленный
выше [III, 4, 1]: удалив из множества А его правильную часть В,
нет надобности пересчитывать элементы оставшегося множества
С: его численность можно предвидеть, находя разность а — Ь.
6.	Если а > 6, то разность а — ft = с существует и единст-
венна, разность же b — а не существует: если бы существовало
натуральное число х такое, что х -]- а = 6, то мы имели бы
а<а-{-х = х^-а = Ь или а < 6, что противоречит условию
а >6.
Каковы бы ни были два натуральных числа а и 6, всегда су-
ществует, как мы знаем, единственное натуральное число а + 6.
Это свойство натуральных чисел выражают так: множество на-
туральных чисел замкнуто относительно сложения. Но относи-
тельно вычитания множество натуральных чисел незамкнуто:
разность а — Ь существует среди натуральных чисел не всегда,
а лишь при условии, что а > Ь.
7.	Вместо того чтобы вычитать последовательно два числа,
можно вычесть сразу их сумму: если а > b + с, то а — b — с =
= а — (6-{-с). Это свойство разности вытекает непосредственно
из первого её определения: вместо того чтобы из множества А
последовательно удалять правильные его части В и С, не име-
ющие общих элементов, можно сразу удалить их соединение. Но
доказательство легко провести и без обращения к множествам.
Действительно, пусть а — b — с или, что то же, (а — ft)—с
равно некоторому числу х. Тогда х + с = а — b (по определению
разности), а = (х + с) + b (по этому же определению), а = х +
+ (£ + ft) (в силу сочетательности суммы), а = х + (ft + с) (в силу
переместительности суммы), а—(Ь^с)=х (по определению
37
разности). Итак, оба числа а — Ь— с и а—равны од-
ному и тому же числу х, а потому равны друг другу.
8.	Если даны три числа а, 6, с, которые складываются или
вычитаются, имеем всего 4 формулы, которые выражают свой-
ство сочетательности суммы и разности в расширенном смысле:
a + ft4-c = a+(6 + c)...(l) a—b—c=a— (ft-f-c)... (2)
а + Ь — с== а 4-(6 — с).. .(3) а — Ь -\-с — а —(Ь — с)... (4).
Первая из этих формул верна без всяких оговорок, вторая —
при условии а > Ь + с, третья — при условии Ь > с, четвёртая —
при условии а > Ь > с.
Формулы (1) и (2) уже доказаны, формулы (3) и (4) легко
доказываются либо путём обращения к множествам, либо на
основании второго определения разности и свойств суммы. Если
читать эти формулы, поставив левую часть вместо правой, полу-
чаются правила прибавления и вычитания суммы и разности.
9.	Отметим ещё следующие свойства разности, доказатель-
ство которых любым способом предоставляется читателю.
I.	Если а = Ь и с = d, а> с, то а — с = Ь — d.
И. Если а > 6 > с, то а — с>Ь — с, а — Ь<а — с.
III. Если а >Ь, то (а + с) — (Ь-^-с) = а— Ь.
IV. Если a>b>ct то (а — с) — (Ь— с)=а — Ь.
N. Если а > 6, то а — Ь с = а + с — Ь.
VI. Если а > bt то (а — Ь) • с = ас — Ьс.
Для примера докажем, обращаясь к множествам, свойство VI,
а именно распределительное свойство разности относительно
умножения, выражаемое словами так: чтобы умножить разность,
достаточно умножить в отдельности уменьшаемое и вычитаемое
и из первого произведения вычесть второе. Предполагаем, что
имеется с множеств одной и той же численности а, и пусть из
каждого такого множества удаляется правильная его часть
численности Ь. Сколько элементов останется во всех взятых мно-
жествах вместе? В каждом множестве было а элементов, из каж-
дого удалено Ь элементов, в каждом осталось а — 6, во всех
вместе осталось (а — Ь)- с. Но подсчёт можно вести иначе: во
всех взятых множествах было ас элементов, из них удалили всего
Ьс элементов, осталось всего ас — Ьс элементов. Следовательно,
(а — Ь)-с = ас— Ьс.
Но этот результат можно получить и без нового обращения к
множествам. Действительно, имеем:
(а — Ь)^-Ь = а (по определению разности);
Ца — &)+ &]• с = ас (в силу существования и однозначности про-
изведения) ;
(а — Ь) • с + b • с = ас (по свойству распределительности суммы
относительно умножения);
(а — Ь) *с = ас — Ьс (по определению разности).
38
§ 5.	Деление натуральных чисел (деление в узком смысле)
1.	Числом, кратным данному натуральному числу а, назы-
вается произведение а на любое натуральное число. Для каждого
числа а существует бесконечное множество последовательных
кратных: а, 2а, За, 4а,... . Все остальные натуральные числа
некратны а. Натуральные числа, кратные 2, называются чётными,
некратные 2 — нечётными.
2.	Определение. Частным от деления одного данного числа
на другое данное число называется такое третье число, которое,
будучи умножено на второе данное число, даёт первое данное
число. Частное от деления а на b обозначают символом а: Ь\
разыскание а: b по данным а и b называется действием деления.
Чтобы отличить это действие от другого действия, которое тоже
именуют делением и которое будет рассмотрено в дальнейшем,
рассматриваемое сейчас деление будем называть делением без
остатка или делением в узком смысле. Число а называется де-
лимым, Ь — делителем.
Итак, если а : b — с, то cb = а: Задача деления в узком
смысле заключается в том, чтобы, зная а и Ь, найти с. Поэтому
деление можно определить как действие, позволяющее по дан-
ному произведению двух сомножителей и одному из них найти
другой сомножитель.
3.	Деление можно назвать действием, обратным умножению:
^разделив одно число на другое, а затем умножив на него же по-
лученное частное, получаем исходное число: (а : Ь) • Ь ~а. Тот
же результат получается при выполнении тех же действий в об-
ратном порядке: (а • b): Ь == а. Это следует непосредственно из
определения частного.
4.	Частное от деления одного числа на другое иногда сущест-
вует, иногда нет; например, 6:3 = 2, так как 2 • 3 = 6, но ча-
стное 7:3 не существует, так как среди чисел, кратных 3, числа 7
нет. Но если частное а: b существует, оно единственно; это сле-
дует из свойства монотонности произведения и доказывается от
противного.
5.	Теорема. Частное от деления натуральных чисел сущест-
вует тогда и только тогда, когда первое из данных чисел кратно
второму.
Действительно, если а кратно 6, т. е. если существует такое
натуральное число с, что а = bct то с и есть частное а: Ь. Если
же а некратно 6, т. е. не содержится среди чисел 6, 26, 36, 46,...,
то допущение существования частного а : 6 = с приводит к проти-
воречию: а = Ьс, а кратно 6.
Итак, существование частного а: 6 ограничено условием крат-
ности делимого а делителю 6. Множество натуральных чисел,
будучи замкнуто относительно умножения, незамкнуто относи-
тельно деления в узком смысле. Здесь аналогия со сложением
и вычитанием.
39
Отметим два следующих особенно простых случая деления:
а : 1 = at а : а — 1. Отметим также, что для существования част-
ного необходимо, но ещё недостаточно, условие а Ь.
6.	Переместительным свойством частное не обладает: если
а: b = с, а> Ь, то частное Ь : а не только не равно с, но и не
существует.
Имеет место следующее почти очевидное свойство частного
натуральных чисел: если частное от деления а на Ь существует,
то существует и равное ему частное от деления ас на Ьс, где с —
любое натуральное число, и обратно, если существует частное от
деления ас на Ьс, где a, i>, с — натуральные числа, то существует
и равное ему частное от деления а на Ь. Действительно, если
а : b = q, то а = bq, ас = bqct (ас) : (be) = (bqc) : (be) = q\ если
(ас): (be) = q, то ас = beq, откуда а = bq, а потому а : b == q. В
школе это свойство частного формулируют так: частное не ме-
няется при одновременном увеличении, а следовательно, и умень-
шении, делимого и делителя в одно и то же число раз.
7.	Вместо того чтобы последовательно делить данное число а
на данное число Ь, а результат на с, можно выполнить деление а
сразу на произведение Ьс'. если (а : Ь): с существует и равно ка-
кому-то натуральному числу х, то существует и равно тому же х
и частное а:(Ьс). Действительно, если (a:b):c = xt то по опре-
делению а: Ь = хс, а — (хс)Ь. Применяя сочетательное и пере-
местительное свойства произведения, имеем а = x(cb) = х(Ьс)9
откуда х = а : (Ьс).
8.	Если даны три числа а, Ь, с, которые умножаются и делятся,
имеем всего 4 формулы,' выражающие свойство сочетательности
произведения и частного:
abc = a(bc) .... (1) (а : b): с = а\(Ьс) .... (2)
(ab)-. с~а-(Ь : с) . . (3) (а : Ь)- с = а :(Ь : с) . . . (4).
Первая из этих формул верна при любых числах а, Ь, с; вто-
рая — при условии, что а кратно b и частное а: b кратно с\
третья — при условии, что Ь кратно с; четвёртая — при условии,
что а кратно Ь и b кратно с. Если читать эти формулы, переста-
вив правую часть каждой налево, а левую направо, получаются
известные правила умножения и деления на произведение и
частное. Формулы (3) и (4) доказываются аналогично фор-
муле (2).
9.	Пусть имеется какое-нибудь множество А численности а,
причём а кратно некоторому числу 6: а = be, а: b = с. Если
то множество А можно представить как соединение с
множеств (без общих элементов), каждое из которых имеет
численность Ъ. Например, множество А из а =12 элементов
можно представить в виде с = 2 множеств, каждое из которых
состоит из ft = 6 элементов, или в виде с = 3 множеств, каждое
из которых состоит из ft = 4 элементов и т. д. 12 человек можно
40
поставить в 2 ряда по 6 человек в каждом ряду или в 3 ряда по
4 человека в каждом ряду и т. д. Умение находить частное а: b
обеспечивает возможность предвидеть, когда такое представление
множества А в виде соединения множеств, имеющих по Ь элемен-
тов, возможно, а когда невозможно, и если возможно, то сколько*
элементов будет в каждом из соединяемых равносильных мно-
жеств. Без такого умения делить натуральные числа решение
подобных вопросов требует испытаний» тем более тягостных, чем
больше данные числа а и Ь.
Говорят, что в такого рода вопросах мы имеем дело с деле*
нием по содержанию.
Другой случай применения деления имеем тогда, когда данное
множество А численности а надо представить в виде соединения
наперед указанного числа b равносильных множеств; требуется
узнать, возможно ли такое представление, и если возможно, то»
какова будет численность с каждого из равносильных соеди-
няемых множеств (деление на части).
Всю теорию деления натуральных чисел можно построить, ис-
ходя из его определения не как действия, обратного умножению,,
а как действия, связанного с указанным представлением данного»
множества в виде соединения равносильных множеств. Это дало
бы большую наглядность, лучшее понимание практических при-
менений деления, но было бы гораздо более громоздким. Кроме*
того, и это особенно важно, при переходе от натуральных к дру-
гим числам всю теорию деления пришлось бы излагать заново, в
то время как при определении деления как действия обратного
умножению многое из теории деления натуральных чисел перено-
сится и на другие числа.
10.	Чтобы пояснить эту мысль о возможности двух подходов
к изложению свойств частного натуральных чисел, рассмотрим
два доказательства формулы (а + Ь) :с = а : с + b : с, выража-
ющей распределительность суммы относительно деления и име-
ющей *место, если речь идёт только о натуральных числах, при
условии, что числа а и b кратны с.
Обращение к множествам делает это свойство непосредственна
очевидным: представив множество А численности а как соедине-
ние с множеств, равносильных одному из них Д', а множество В
численности b как соединение с множеств, равносильных одному
из них В', мы можем представить множество А + В как соедине-
ние с множеств, равносильных множеству Д' + В'.
Но можно обойтись и без нового обращения к множествам,,
рассуждая так: полагая (а + Ь): с = х, а : с b : с = у, имеем:
хс = а + Ь, ус =(а : с + b : с)* с =(а: с) - с + (6 : с)* с = а + Ъ.
Допущения х > у или х < у в силу свойства монотонности произ-
ведения приводят к нелепым неравенствам a-\-b>a-\-b*
а + Ь < а + следовательно, х = у, (а + Ъ): с = а : с 4- b : с.
11.	Если из двух чисел а и Ь, кратных с, первое больше вто-
рого, то (а — b): с — а : с — b : с. Другими словами, распреде-
4>
длительностью относительно деления обладает не только сумма, а
и разность натуральных чисел.
Доказательство этой теоремы, вполне аналогичное только что
приведённому доказательству распределительности суммы отно-
сительно деления, предоставляется провести читателю (два спо-
соба) .
ГЛАВА IV
ВВЕДЕНИЕ НУЛЯ
§ 1.	Определение нуля. Множество целых неотрицательных
чисел
1.	Любое множество можно представить себе в виде некото-
рой оболочки, внутри которой находятся все принадлежащие
этому множеству элементы. Удаляя из, этой оболочки элементы
один за другим, мы будем получать всё новые и новые множества.
Как мы знаем, термин «множество» применяется и в том случае,
когда внутри этой оболочки остаётся единственный элемент: это
множество имеет численность 1. Но можно сделать ещё один
шаг: удалить и этот единственный элемент. Обобщая понятие
.множества, говорят, что и в этом случае у нас имеется множество,
но пустое. Пустое множество можно представлять себе в виде
оболочки, внутри которой нет ни одного элемента.
2.	Обобщая понятие равносильности множеств, считают все
’пустые множества равносильными друг другу, т. е. образующими
особый класс. То общее, что имеют все непустые равносильные
друг другу множества, называется, как мы видели выше [II, 1, 2],
численностью или мощностью каждого из этих множеств и выра-
жается натуральным числом, представляющим собой инвариант
класса. Имея класс пустых, тоже равносильных друг другу мно-
жеств, характеризуем его численность новым числом нуль (0),
уже не причисляемым к натуральным числам, но причисляемым
к целым числам, которые будут изучаться в отделе II. Термин
«нуль» происходит от латинского слова «нуллюс» — никакой.
Итак, число нуль определяется как инвариант класса пустых
множеств.
3.	Присоединяя 0 к множеству натуральных чисел, получаем
новое расширенное числовое множество, получившее название
множества целых неотрицательных чисел. Каждое натуральное
число есть в то же время целое неотрицательное число, но не
каждое целое неотрицательное число есть натуральное число:
число 0 является исключением.
§ 2.	Аксиомы арифметики целых неотрицательных чисел
1.	Натуральные числа образуют упорядоченное множество или
•«натуральный ряд» («натуральную последовательность»), в ко-
42
торой каждое число а меньше непосредственно за ним следую-
щего а'. Присоединяя новое число 0, помещают его перед 1, счи-
тая его тем самым меньшим любого натурального числа. Таким
образом, получается «расширенный натуральный ряд» («расши-
ренная натуральная последовательность»):
О, 1,2, 3,4,...,
в которой сохраняются полностью те соотношения равенства и
неравенства, какие были установлены для натуральных чисел
[II, 3].
2.	Основные свойства натурального ряда чисел 1, 2, 3, 4...
были сформулированы в виде четырёх аксиом арифметики нату-
ральных чисел [II, 8]. После введения 0 получаем четыре аксиомы
арифметики целых неотрицательных чисел, отличающиеся только
тем, что вместо 1 в них фигурирует 0, а именно: .
1)	нуль есть целое неотрицательное число, которое не сле-
дует непосредственно ни за каким целым неотрицательным
числом;
2)	каково бы ни было целое неотрицательное число а, всегда
существует одно и только одно целое неотрицательное число а',
непосредственно следующее за а, и т. д.
§ 3.	Действия с нулём
1.	Для натуральных чисел были установлены два действия —
сложение и вычитание, а также возведение в степень как ча-
стный случай умножения и два обратных действия — вычитание
и деление (в узком смысле).
Обобщая существующие определения действий над натураль-
ными числами, приходим к следующим формулам действий с чис-
лом 0 (буквой а обозначено произвольное натуральное число):
и -1- 0 = 0	и = о; 0 -|- 0 = О,
О • а = 0; а • 0 = 0; 0*0 = 0,
0д=0; а° = 1,
а — 0 = 0; 0 — 0 = 0,
0 : а = 0.
2.	Некоторые из этих формул получаются в результате приме-
нения к нулю как выражению численности пустого множества
тех определений действий, какие были установлены в главе III
для натуральных чисел. Например, формула а + 0 = а вытекает
из определения суммы	как численности соединения множеств
А 4- В [III, 1,1], если взять в качестве В пустое множество. Но в не-
которых случаях прежние определения в применении к 0 не имеют
смысла, и соответствующие формулы приходится рассматривать
как новые определения. Например, определение произведения
на натуральное число [III, 2, 1] неприменимо в случае, когда
43
множителем служит 0, и указанная выше формула а-0 = 0 яв-
ляется новым определением произведения, дополняющим для слу-
чая Ь = 0 старое определение произведения ab как суммы Ь сла-
гаемых, каждое из которых есть а (подобно тому, как формула
а • 1 = а дополняла это определение для случая b = 1). Только
при таком определении произведения а • 0 сохраняется переме-
стительное свойство произведения. Новым определением является
и формула а°= 1. Только при таком определении степени а0 со-
храняет закон умножения степеней одного основания [III, 3,2].
3.	Естественно возникает вопрос: почему в приведённом выше
списке формул действий с нулём нет формул для действий 0°>
0 — а, а: 0, 0:0? Деление на нуль вообще не рассматривается,
так как частное от деления на 0 любого числа, отличного от 0, не
существует, а частное от деления 0 на 0 — любое число (произ-
ведение любого числа на 0 есть 0). Это ограничение деления —
требование, чтобы делитель был отличен от 0 — сохраняется и
при переходе от натуральных к другим числам. Вычитание нату-
рального числа а из 0 в арифметике целых неотрицательных
чисел невозможно, так как сумма любого целого неотрицатель-
ного числа и а есть число, не меньшее, чем а, а не 0 (это действие
станет возможным при дальнейшем расширении понятия числа).
Степень 0° не допускает определения, согласного с формулами
0а=0 и а°= 1, так как при а = 0 первая из этих формул даёт
0° = 0, а вторая 0° = 1. Однако степень 0° рассматривается в
математическом анализе как предел степени когда величины
и и v стремятся к 0 каждая по своему определённому закону, при-
чём в зависимости от характера этих законов получаются раз-
личные результаты.
§ 4.	Действия над целыми неотрицательными числами
1.	Определение и свойства суммы натуральных чисел полно-
стью сохраняются и у целых неотрицательных чисел: всё сказан-
ное в § 1 гл. III сохраняет силу и в том случае, когда среди соеди-
няемых множеств имеются пустые.
2.	Первое определение произведения [III, 2, 1] при переходе
от чисел натуральных к числам целым неотрицательным нуж-
дается лишь в небольшом дополнении: если b ^2, то ab есть
сумма b слагаемых, каждое из которых есть а; а • 1 = а\ а • 0 = 0;
здесь а любое натуральное число или 0. Все свойства произведе-
ния остаются при этом без изменения за двумя исключениями: во-
первых, формулируя свойства монотонности (если а < b и с = d,
то ас < bd), надо сделать оговорку о том, что с > 0, так как а • 0 =
= 6-0; во-вторых, теорема Архимеда не имеет места при b = 0
и читается теперь так: каково бы ни было целое неотрицательное-
число а и натуральное число bt всегда существует такое натураль-
ное число п, что Ьп > а.
44
Список свойств произведения надо дополнить еще таким: про-
изведение целых неотрицательных чисел равно нулю тогда и
только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей равен
нулю. Это следует из замкнутости множества натуральных чисел
относительно умножения и определения произведения целых не-
отрицательных чисел.
3.	Возведение в степень определяется для целых неотрицатель-
ных чисел формулами ап = а • а ... а, а1 = а, а°= 1, 0а = 0, где
о и п — натуральные числа. Все свойства степени, рассмотренные
выше, сохраняются и в множестве целых неотрицательных чисел.
4.	В множестве натуральных чисел разность а — b существует
тогда и только тогда, когда а > Ь, а в множестве целых неотри-
цательных чисел тогда и только тогда, когда а g 6, так как
а— а = 0: удаляя из множества все его элементы, получаем пу-
стое множество.
5.	Обобщая для целых неотрицательных чисел понятие числа,
кратного данному, надо считать 0 кратным любому числу в силу
-формулы а • 0	0, 0*0 = 0.
Для целых неотрицательных чисел сохраняется полностью то
определение частного (в узком смысле), какое было дано выше
(III, 5, 2], но несколько меняется формулировка свойства существо-
вания: частное от деления целых неотрицательных чисел суще-
ствует и единственно тогда и только тогда, когда делитель отличен
от нуля и делимое кратно делителю. Деление на нуль вовсе исклю-
чается.
§ 5.	Расширение понятия частного (деление в широком смысле)
1.	Определив выше [III, 5, 2] деление в узком смысле как дей-
ствие, обратное умножению, мы видели, что оно выполнимо тогда,
когда делитель — число натуральное, а делимое кратно делителю.
С делением встречаемся всегда, когда данное множество прихо-
дится представлять в виде соединения равносильных множеств
(III, 5,9]. Если делимое а и делитель b таковы, что деление в узком
смысле невозможно, то на практике нередко заменяют деление а
делением другого, ближайшего меньшего к а числа, допускающего
деление на Ь. Например, если 23 человека надо расставить в ряды
по 4 человека в каждом ряду, то ввиду невозможности деления
23 на 4 расставляют по 4 только 20 человек, получая 5 таких пол-
ных рядов и один неполный ряд, содержащий «остаток» из 3 че-
ловек. Таким образом, приходим к новому действию — делению с
остатком (отличным от нуля), которое при натуральном делителе
выполнимо всегда, когда деление в узком смысле невыполнимо.
2.	Можно сказать, что и деление в узком смысле есть деление
с остатком, но этот остаток равен нулю. Оба случая деления
можно объединить в более общем понятий деления целых неотри-
цательных чисел в широком смысле.
45
Определение. Разделить целое неотрицательное число а на
натуральное вдело b — значит найти два новых целых неотрица-
тельных числа q и- г, первое из которых называется частным, вто-
рое остатком и которые обладают следующими двумя свойствами:
bq-\-r = a, r<b.
В случае г > 0 частное q часто именуют «неполным частным».
При любом г его называют также «целой частью частного а: ft».
Для обозначения деления в широком смысле применяют тот же
знак (:), что и для деления в узком смысле, но после частного
пишут в скобках остаток г, если он отличен от 0 : а : b = q (оста-
ток г). Целую часть частного а : b обозначают также посредством
прямоугольных скобок: [а : ft] = q. Вот примеры записи деления
в широком смысле: 23 : 4 = 5 (ост. 3), 3 : 5 = О (Ост. 3), 6 : 3 = 2,
0:3 = 0. Более короткая запись без указания остатка: [23 : 4] = 5„
[3:5] = 0, [6:3] = 2, [0:3] = 0.
3.	Пусть имеется какое-нибудь множество Л из а элементов,
где а — какое-нибудь натуральное число или нуль, и пусть тре-
буется представить это множество А в виде соединения равносиль-
ных множеств, содержащих каждое по b элементов, где b — не-
которое натуральное число, но не нуль. Если допустить получение
остатка г, меньшего Ь, то эта задача всегда разрешима и притом
однозначно: всегда можно указать такое натуральное число (или
нуль) q, которое показывает, сколько множеств, содержащих b
элементов каждое, можно выделить из множества А, допуская
остаток численности г < Ь\ при натуральном числе а, кратном Ь,
остатка не будет вовсе или, что то же самое, остаток равен 0.
Читатель легко приведёт ряд примеров, иллюстрирующих это само
собой очевидное утверждение. Полезно подумать о том, как на
практике поступит человек, не умеющий считать, если ему дадут
множество А из каких-либо элементов и предложат разложить их
поровну в b ящиков.
Подобное обращение к множествам вполне убеждает в воз-
можности и однозначности решения задачи о деленйи в широком
смысле любого неотрицательного целого числа а на любое нату-
ральное число Ь. Но к этому заключению можно прийти и без
такого нового обращения к множествам.
4.	Теорема. Каковы бы ни были целое неотрицательное чи-
сло а и натуральное число Ь, существует единственная пара целых
неотрицательных чисел q (частное) и г (остаток), удовлетворяю-
щих условиям a = bq + г и 0^г<Ь.
Пусть а — произвольное целое неотрицательное число, b —
произвольное натуральное число.. По теореме Архимеда суще-
ствует такое натуральное число п, что Ьп > я. Возьмём последо-
вательные кратные числа ft, т. е. произведения b -0 = 0, b • 1 = Ь.
b -2 = 2Ь, ..., b • 'п = (п — 1) ft, bn — nb. Первое из них меньше
а или равно а, последнее больше а. Возможны два и только два
случая: либо среди этих чисел, кратных ft, есть одно, равное а
(пусть это число есть qb), либо среди них равного а нет. Если
46
qb «= а, то q и есть частное от деления а на ft, причём остаток ра-
вен 0, имеем деление в узком смысле. Если же такого кратного Ьг
которое равнялось бы а, нет, то .имеются два последовательных
кратных, одно из которых, пусть qb, меньше а, следующее же, а
именно (q + l)b, больше а. Тогда qb < а < (#.+ 0 • b ил»
qb < а <С ?ft + b, откуда по II свойству разности [III, 4,9] 0 < а —
— bq <b. Разность а — qb существует, так как qb < а\ обозначив
её буквой г, имеем: а — bq — r, a = bq-\-r, 0<r<ft. Таким
образом, оба требования к числам q и г, указанные в определении
деления в широком смысле, выполнены: в этом втором случае
a: ft = q (остаток г).. Итак, если невыполнимо деление в узком
смысле, то выполнимо деление с остатком, так что деление в ши-
роком смысле выполнимо всегда (если делитель не 0).
Остаётся доказать единственность этой пары чисел q и г.
Допустим, что при делении целого неотрицательного*числа а
на натуральное число ft, кроме частного q и остатка г, можно по-
лучить ещё второе частное q' и второй остаток г', удовлетворяю-
щие тем же требованиям. Тогда а — bqг, О^г<b, a = bq'-{-г'*
Os r'^b. Если остатки различны, можно считать г'>г. Имеем
bq 4- г — bq' + г', bq — bq' = r' — г, b • (q — q') = f — г. Здесь,
справа натуральное число f — г, меньшее ft, а потому q > q', так
как при q = q' имели бы слева нуль, а при q <^q' левая часть не
выражала бы числа. Следовательно, q — q'^ 1, ft - (q — q')
Получилось противоречие: число г' — г, меньшее ft, равно числу
ft - (q — q'), которое больше или равно ft. Следовательно, остатки
f и г не могут быть различными, откуда следует и равенство част-
ных q' и q, что и требовалось доказать.
5.	Если как а, так и с кратны ft, то имеет место свойство рас-
пределительности частного: (а + с) : ft = а : ft + с : ft [III, 5, 10].
При переходе к делению в широком смысле это свойство теряется,,
но имеет место следующее: если одно слагаемое а кратно данному
числу ft и равно • ft, а другое слагаемое с меньше числа ft, то*
при делении суммы а + с на ft получается частное а и остаток с.
Действительно, оба требования, содержащиеся в определении де-
ления в широком смысле, здесь выполнены: а\Ь 4-с = а-]-с,
Это свойство распространяется и на тот случай, когда делимое
представляет собой сумму нескольких слагаемых, кратных Ь, и
одного слагаемого, меньшего ft.
ГЛАВА V
СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
§ 1.	Позиционные системы счисления
1.	Имея дело с натуральными числами, люди должны были
дать каждому из них особое название и особое обозначение. Это
сделать было нетрудно, пока приходилось иметь дело с неболь-
47
1ПИМИ числами. Но по мере развития культуры возникала необхо-
димость в применении всё больших и больших чисел, и надо было
найти способы называть и записывать весьма многие числа, обхо-
дясь небольшим количеством слов и знаков. Возникла проблема
устной и письменной нумерации, проблема создания «системы счи-
сления». Из различных систем счисления, выработанных разными
народами, наиболее совершенной оказалась общепринятая в на-
стоящее время десятичная система, представляющая собой част-
ный случай позиционной системы, к рассмотрению которой пере-
ходим.
2.	Определения. Позиционной системой счисления называют
совокупность определений и правил, позволяющих записывать лю-
бое натуральное число с помощью немногих знаков, каждый из
которых имеет различный смысл в зависимости от того места, ка-
кое он занимает (его позиции); основанием позиционной системы
счисления называется некоторое определённое натуральное число
выбираемое произвольно, но большее 1; при g = 2 получается
двоичная система счисления, npn.g = 3 — троичная, при g = 10 —
десятичная и т. д.; целые неотрицательные числа 0, 1, 2,..., g — 2,
g— 1, называются цифрами, цифрами же называются и те знаки,
какими эти числа изображаются на письме, так что в системе с
основанием g имеется всего g цифр; числа 1, g, g2, g3, ..., g^1
называются разрядными единицами соответственно первого, вто-
рого, третьего, ..., А-ого разряда (номер разряда на 1 больше
показателя степени); натуральное число, представляющее собой
сумму k слагаемых akg^1 +	• • • +	+ 0i, где каж-
дая из k букв ак, aA_i, ..., а2, fli означает одну из цифр, причём
ок ф 0, называется А-значным систематическим числом, взятым
по основанию g. В зависимости от выбора g систематическое число
называется двоичным при g = 2, троичным при g = 3 и т. д.
3.	Каково бы ни было основание g, любое натуральное число fa
представимо, притом единственным образом, в виде систематиче-
ского числа с основанием g.
Действительно, если К < g, то К = аь К — однозначное число.
Если K§rg, то делим К на g и получаем K==Kig + ai. Если
Ki <g, то полагаем Ki = а2 и имеем двузначное число K=a2g^ab
если же Ki g, повторяем деление на g и получаем К = (K2g +
+ а2) • g + аь Если К2 < g, полагаем К2 — Яз и приходим к трёх-
значному числу К = flag2 + a2g + аь а если Кя то после но-
вого деления на g получаем К == (Z£ag + аз) • g2 + а\ и т. д.
Последовательно получаемые частные Ki, К2, Кз, К*, •• • убывают,
з потому после некоторого конечного числа операций получится
частное Ka-i^g; полагая Кл_1 = яА> получим представление К
в виде А-значного систематического числа по основанию g. Един-
ственность представления К в виде систематического числа по
•основанию g следует из единственности частного и остатка при
делении в широком смысле: допустив, например, что a3g2 + a2g 4-
+ = bzg2 + b2g + bi, имеем после деления на g равенство
48
остатков ai = fti и равенство частных a3g + о2 = b3g + 62, а после
нового деления на g равенство остатков а2 = 62 и равенство част-
ных Оз = Ь3.
4.	Вместо громоздкой записи систематического числа в виде
суммы принята запись одних лишь его цифр при строгом соблюде-
нии их порядка: вместо a2g + пишут a20i, вместо a3g2 4“ a2g +
+ а — a3a20i и т. д. Черта сверху ставится для отличия от произ-
ведений a20i, а3а2а\ и т. д., если в этом есть надобность. Здесь,
таким образом, используется принцип поместного значения цифр,
гласящий, что значение каждой цифры зависит от того места, на
котором она записана; при переходе на одно место влево её зна-
чение увеличивается в число раз, равное основанию g. Если
g=£ 10, будем указывать в случае надобности основание в виде
значка справа внизу; так, запись (d4a3a2ai)e означает четырёхзнач-
ное систематическое число при основании g = 5, т. е. число а4 • 53+
а3 • 5^ 4“ ^2*5 4”
Итак, для записи любого натурального числа в виде системати-
ческого при основании g достаточно иметь g особых цифр. Тем
самым прекрасно разрешена проблема письменной нумерации.
5.	Для устной нумерации систематических чисел достаточно
иметь особые названия для g цифр и для последовательных раз-
рядных единиц gt g2, £3... и т. д. Так как разрядных единиц
бесконечно много, на практике особые названия получают лишь
несколько первых из них, последующие указываются через их
показатели степени.
§ 2.	Десятичные числа
1.	Хотя выбор основания системы счисления g ограничен
только условием 1, но все народы в конце концов приняли
£=10, и это не случайно. «Десять пальцев, на которых люди
учились считать, т. е. производить первую арифметическую опе-
рацию, представляют собой все, что угодно, только не продукт
свободного творчества разума»1. Можно думать, что если бы
человеческая рука имела другое число пальцев, мы пользовались
бы другой системой счисления.
В десятичной системе все натуральные числа изображаются
посредством десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Любое нату-
ральное число представляется в ней в виде суммы ak • 10*-14-
4- O'k-i * 10*~2 + ... 4- Дд? J02 + а2 • Ю 4- которая записывает-
ся, как akflk-i • • • a^CLi. Если число записывается не в общем
виде, а при определённых значениях букв аь а2, а3,..., то надоб-
ность в черте сверху отпадает.
2.	Особые названия имеют следующие десятичные разрядные
1 Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, Госполитиздат,* 1953, стр. 37.
4 В. М. Брадис
49
единицы: 1 — единица, 101 — десяток, 102 — сотня, 103 — тысяча,
10е — миллион, 109 — миллиард или биллион, 1012 — триллион,
1015 — квадриллион, 1018 — квинтиллион и т. д. Дело с устной
десятичной нумерацией обстоит так, как будто для чисел, мень-
ших тысячи, применяется основание 10, а для чисел, больших
тысячи, — основание 1000. Числа, меньшие 1000, принято назы-
вать числами I класса; дальше идут числа II класса (от 103 до
10е — 1), числа III класса (от 106 до 109 — 1) и т. д. Особые
названия разрядных единиц, больших 1012, на практике вовсе не
употребляются.
§ 3. Системы счисления, отличные от десятичной
В настоящее время в практической жизни, кроме десятичной
системы счисления, применяется (но несравненно реже, чем деся-
тичная) только непозиционная римская нумерация, известная из
средней школы. В теоретических работах по математике встре-
чаются случаи использования других позиционных систем, а
именно двоичной и троичной.
Ниже приведена запись нескольких последовательных нату-
ральных чисел в системах счисления от g = 2 до g = 5, а также
g= 10 и g= 12.
£=Ю	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
g- 2	1	10	11	100	101	ПО	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
£ = 3	1	2	10	11	12	20	21	22	100	101	102	ПО	111	112	120
£ = 4	1	2	3	10	И	12	13	20	21	22	23	30	31	32	33
£ = 5	1	2	3	4	10	11	12	13	14	20	21	22	23	24	30
£=12	1	2	3	4	5	6	7	8	9	а	₽	10	11	12	13
При g= 12 нужны 12 цифр, поэтому кроме обычных цифр от
0 до 9 в таблице имеются ещё цифры а и Р для обозначения чисел
10 и 11 в этой «двенадцатиричной» системе.
Чем меньше g, тем меньше общее число необходимых цифр,
но зато тем длиннее запись каждого натурального числа (начиная
с некоторого места). При возрастании g растёт и общее число
необходимых цифр, но запись каждого отдельного числа (начи-
ная с некоторого места) становится более короткой.
Представляет большой интерес вопрос о том, какие системы
счисления сменяли одна другую в ходе исторического развития
разных народов. Не имея возможности за недостатком места на
нём остановиться, отсылаем читателя к статье И. Г. Башмаковой
и А. П. Юшкевича «Происхождение систем счисления» в I томе
Энциклопедии элементарной математики (Гостехиздат, 1951) и
книгам Г. Н. Бермана «Счёт и число» (Гостехиздат, 1951) и
«Число и наука о нём» (Гостехиздат, 1949).
50
§ 4. Сложение систематических чисел
1.	В системе счисления с основанием g имеется всего g одно-
значных чисел (цифр). Взяв два однозначных числа ах и bi,
можно найти их сумму простым счётом элементов множества,
полученного через соединение множеств А и В численности ах и Ь\
без общих элементов. Каждое из g возможных значений первого
слагаемого комбинируется с каждым из g возможных значений
второго слагаемого, но в силу переместительного свойства суммы
достаточно брать	Из неравенств и b\ <g в силу
монотонности суммы следует неравенство ах + bi <2g, но g^ 2,
g* 2g (,в силу монотонности произведения), а потому ах +
+ bi < g2: сумма двух однозначных чисел всегда меньше
третьей разрядной единицы и является, следовательно, либо одно-
значным, либо двузначным числом: + bi = c2g + Сь где с2 =
= 0 или С2=1, причём в последнем случае Ci^g— 2. Запись
всех случаев сложения однозначных чисел образует так назы-
2.	Здесь сумма ai + bi записана в пересечении строки, имею-
щей в заголовке слева аь и столбца, имеющего в заголовке сверху
bi, В силу переместительности суммы каждая таблица симметрична
относительно диагонали, идущей слева направо и вниз. При
g=a 10 таблица сложения содержит 10* 10= 100 сумм, но доста-
точно найти и запомнить лишь J55 из них, что и делается детьми
на первых шагах изучения арифЖтики. Эта работа существенно
облегчается благодаря использованию сочетательного свойства
суммы: например, сложение 7 и 8 можно выполнить так: 7 + 8 =
= 7 + (3 + 5) = (7 + 3) + 5 = 10 + 5 = 15.
3.	Получение суммы двух произвольных систематических чи-
сел, взятых при одном и том же основании, сводится благодаря
переместительности и сочетательности суммы и распределитель-
ности произведения к сложению цифр, т. е. к использованию таб-
лицы сложения. Покажем это, рассматривая сумму двух дву-
значных чисел Ki = сщц и К2 = Мь
Ki + Кг = (a2g + a\)-\-(b2g + bi) = (а2 + b2)g 4* (^i + bi) =
= (d2g + di)g + (c2g + Ci) = d2g2 + (di +c2)g +ci. Здесь каж-
4*
5J
дбё из чисел d2 и с2 либо 0, либо 1. После замены di 4- с2 через
4g 4“ Л» где /2 = 0 или 1, имеем окончательно Ki 4- Kt = (*4-|-
4~ 4)g* 4" l\g 4- Ci, где сумма d2 4- 4 либо 0, либо 1 (это следует
из неравенств Ki < g\Kt < g\Ki 4* Kt < 2g2). Итак, сумма двух
двузначных чисел представляет собой двузначное или трёхзначное
число, легко получаемое с помощью таблицы сложения.
Рассмотрим пример сложения десятичных чисел:
382 4-1457 = (3 • 102 4-8 • 10 4-2)4-(103 4-4 • 102 4-5 • 10 4-7) =
= 3 • Ю2 4- 8 • 10 4- 2 + 103 4- 4 • Ю2 4- 5 • 10 4- 7 =
=1034- (3 • 1024-4 • 102) 4- (8 • 10 4- 5 • 10) 4- (2 4- 7) =
= 103 4- (3 4- 4) • Ю2 4- (8 4- 5) • 10 4- (2 + 7) =
= ю3 4-7- ю2 4- 13-104-9 =
= 103 4- 8 • 102 4- з • 10 4- 9 = 1839.
Общепринятый способ сложения многозначных чисел пред-
ставляет собой максимально сокращённую удобнейшую запись
указанных операций.
Ещё пример — сложение двоичных чисел:
10111001
4- 1110011
100101100
Проверка посредством перехода к десятичным числам:
10111001 = 1 4-8 4- 16 4-32 4- 128= 185;	1110011 = 1 4-2 4-
4-	16 4-32 4-64= 115;	100101100 = 4 4-8 4-32 4-256 = 300;
185 4-115 = 300.
4. Рек.омендуется доказать, что в результате сложения й-знач-
ного числа с числом, имеющим столько же или меньше цифр,
получается число, имеющее либо k, либо k 4-1 цифру, причём в
последнем случае цифра старшего разряда 1.
§ 5. Вычитание систематических чисел
1. Чтобы производить вычитание любых систематических чи-
сел, надо знать «таблицу вычитания», содержащую все случаи
вычитания однозначных чисел из однозначных и двузначных,
когда разность представляет собой однозначное число. Приводим
таблицы вычитания двоичных и троичных чисел:
g = 2
0 — 0 = 0	1 — 0=1
1 — 1=0 ’ 10—1 = 1
g = 3
0 — 0 = 0	1—0=1	2 — 0 = 2
1 — 1=0	2—1 = 1	10—1=2
2 — 2 = 0	10 — 2 = 1	11—2 = 2
При g— 10 таблица вычитания содержит 100 случаев вычита-
ния (от 0 — 0 = 0 до 18 — 9 = 9), а если исключить те случаи,
когда вычитаемое или разность есть 0, то 81 случай (от 2 — 1 = 1
до 18 — 9 = 9).
52
Таблицу вычитания можно составить или на основе первого
определения разности [III, 4, 1], обращаясь к множествам, или на
основе второго её определения [III, 4, 2], пользуясь таблицей сло-
жения. Второй способ приводит к цели значительно быстрее пер-
вого, но на первых шагах изучения арифметики детьми, как пока-
зывает опыт, первый способ предпочтительнее.
2. Чтобы видеть, как вычитание любых чисел сводится к ис-
пользованию таблицы вычитания, рассмотрим вычитание двузнач-
ных чисел. ______ ___________
Пусть Ki = 0201 и /G = 6261, где а2 > Ь2 или а2 = b2i
Имеем: К\ — /<2 = (a2g + аЦ — (b2g + 6j) = (а2 — b2)g + (0j —
— b\). Такова разность при	Если же а\ <bi, вычитание
в разряде единиц невозможно, приходится делать «заём» в сле-
дующем высшей разряде: Ki — /С2 = (02 — 1 — b2) g + (£ + ai —
—b\). Здесь все вычитания в скобках возможны, так как при
0i а2^> b2t а, кроме того, bi всегда меньше g. Итак, во всех
случаях вычитание двузначных чисел приводится к таким вычита-
ниям, результаты которых содержатся в таблице. То же самое
имеет место и при вычитании любых чисел.
Рассмотрим пример вычитания многозначных чисел в троичной
системе счисления:	9П. 99П9
— 201122
1111010
Проверка посредством перехода к десятичным числам:
(2012202) з = 2 4- 2 • 9 + 2 • 27 + 81 + 2 • 729 = 1613; (201122) 3=
= 24-2 - 3 4-9 4-27 + 2 - 243 = 530;	(1111010) 3 = 3 4-274-,
4-81 4- 243 4- 729 = 1083; 1613 — 530 = 1083.
§ 6. Умножение систематических чисел
1. Основываясь на определении произведения, составляем
«таблицу умножения», содержащую произведения каждых двух
В .силу переместительности произведения каждая такая таб-
лица симметрична относительно одной из диагоналей. При g = 10
53
таблица умножения содержит всего 102 = 100 произведений, но
если исключить случаи, когда один из сомножителей 0 или 1, и не
различать произведения, отличающиеся лишь порядком сомножи-
телей, то останется всего 36 случаев, в которых надо находить
произведение как сумму равных слагаемых. Эти произведения
находят и запоминают ещё на втором году обучения в, начальной
школе.
Произведение двух однозначных чисел есть число однозначное
или двузначное:	= c2g 4~ Это следует из неравенств
ai С g, b\<g> chbi<g2, так как при основании g число g2 есть
наименьшее трёхзначное4 число (100).
2. От умножения однозначных чисел переходим к умножению
«круглых» чисел, т. е. чисел вида ak'g*—1 или (ал00...0)^.
Умножение разрядных единиц легко выполняется на основе пра-
вила умножения степеней одного основания [III, 3,2]:	=
= g*+z. Таким образом, произведение двух разрядных единиц
есть тоже разрядная единица, причём,в её записи столько нулей,
сколько в обоих сомножителях вместе: 10’10= 100, 102’103 =
= 100 000 и т. д. при любом основании. Произведение круг-
лых чисел ak • g?-1 и bt • g1-1 равно (akbi) • gk+l~2 и легко на-
ходится с помощью таблицы умножения однозначных чисел.
Оно имеет всего или столько цифр, сколько их в обоих сом-
ножителях вместе (при CLkbi^g), или на одну меньше (при
Qkbi<g):
8. Умножение многозначного числа на однозначное сводится
в силу распределительности произведения к умножению круглых
чисел на однозначное, т. е. в конце концов к таблице умножения
однозначных чисел. Возьмём, например, умножение двузначного
числа на однозначное: Kb\ = (a2g 4- 0i)&i = (^bi)g + aibi =
= (d2g + di)g + fag + £i) e d2g2 4” (^i 4~ <b)g 4-ci == d2g2 4*
44	+ l\)g 4“ =(^2 + h)g2 4* kg 4- c\- Здесь d2 4- h <C g>
как это следует из неравенств /C<g2, bi<g> Kb\<Zg3 (g3 —
наименьшее 4-значное число).
4. Умножение двух произвольных многозначных чисел сво-
дится к умножению многозначного числа на два или более круг-
лых числа, т. е. в конечном счёте к таблице умножения одно-
значных чисел.
Например, найдём /С1Л2» где Ki = и К2 =b2bi: К1К2 =
= (^з£2 4- azg 4~ fli) Л2 = ^g2K2 4~ a>2gK2 4- яиКз* Здесь К2 —
= big + 61, а потому снова пользуемся распределительностью
произведения и после упрощений получаем: KiK2 = 0362g3 +
4" (^з^14"^2^2) g2 4-(^2^1 4- aib?} g 4* CL\bi.Полагая а\Ь\ = c2g 4* Сь
#2^1 4м #1^2 4“ ^2 d2g 4- d\, 0>ъЬ\ 4- #2&2 4- ^2 = lig 4* A,
Я362 4- I2 = fig 4“ /ь имеем окончательно K\K2 = fig4 + fig3 4~
4~ hg2 + dig + Ci. Числа d2 и l2 могут быть однозначными, или
двузначными.
54
Рассмотрим пример умножения чисел в двенадцатиричной си*-
стеме «числения (g=12, а — десять, р — одиннадцать):
71а.02
1238
6682
б7а58
Проверка посредством перехода к десятичным числам:
(71а) 12== 10+12 + 7 • 144 = 1030, (02)12 = 2 + 11 • 12=134,
(67а58) ,2 = 8 + 5 • 12 + 10 • 144 + 7 • 1728 + 6 • 20736 = 138020:
1030 • 134 = 138020.
5. Произведение Л-значного числа на /-значное число имеет
или k-j-l цифр или одной меньше (докажите!).
§ 7.	Деление систематических чисел
1.	Рассмотрим деление в широком смысле [IV, 5], частным слу-
чаем которого (при остатке 0) является деление в узком смысле,
т. е. разыскание сомножителя по данным произведению и дру-
гому сомножителю.
Как известно, деление на 0 исключено, а потому в дальней-
шем будем всегда считать делитель натуральным числом.
2.	Имея таблицу умножения всех однозначных чисел, легко
составить таблицу деления, содержащую все случаи деления в
узком смысле, когда делитель и частное — числа однозначные.
В двоичной системе таблица деления содержит только два слу-
чая (0 : 1 = 0 и 1 : 1 = 1), в троичной — шесть случаев (0:1=0,
1:1 = 1, 2:1=2, 0:2 = 0, 2:2=1, 11:2 = 2). В десятичной
системе таблица деления содержит, если не считать «тривиаль-
ных» случаев (деления нуля, деления на единицу, деления числа
на себя), всего 64 случая деления (от 4 : 2 = 2 до 81 :9 = 9). На
практике, зная таблицу умножения, таблицу деления особо не
запоминают, так как результат каждого табличного деления
легко устанавливается с помощью таблицы умножения (про-
бами). Деление в широком смысле при однозначных делителе и
частном тоже легко выполнимо с помощью таблицы умножения;
например, чтобы разделить 59 на 7, достаточно заметить, что
7 • 8 = 56 < 59, 7 • 9 = 63 > 59, 59 — 56 = 3, откуда видно, что
59:7 = 8 (ост. 3).
3.	Имея какой-нибудь случай табличного деления а : Ъ = с,
легко выполнить и деление на b любого «круглого» числа, отли-
чающегося от а нулями справа, а именно: числа agk или
«00... 0: (agk): b — cgk. Например, зная, что в троичной си-
стеме 11:2 = 2, имеем 110 : 2 = 20, 1100 : 2 = 200, 11000 : 2 =
= 2000 и т. д.
4.	' Деление любого числа К =	... a2Oi на разрядную еди-
ницу gn выполняется особенно просто: если п < k, надо отсчитать
55
в числе К справа п цифр; изображаемое ими число есть остаток,
а число, изображаемое остальными цифрами, — частное; если
п kt то остатком является делимое /С, частное же равно нулю.
Например, при любом g > 2, 12201:10= 1220 (ост. 1),
12201:100= 122 (ост. 1),	12201:1000= 12 (ост. 201),
12201 : 10000= 1 (ост. 2201), 12201: 100000 = 0 (ост. 12201).
Доказательство предоставляется читателю (оно сводится к
простой проверке).
5.	Чтобы данное многозначное число К разделить на данное
однозначное число ft, используют свойство частного, .указанное
выше [IV, 5, 5], представляя делимое в виде суммы, в которой
одно из слагаемых меньше делителя ft, а все остальные кратны b
и представляют собой круглые числа. Выделение таких «удобных»
слагаемых ведётся постепенно. Например, чтобы при g=10
найти 863 : 3, представляют делимое в виде суммы 6 • 102 + 263,
затем в виде суммы 6* 102 + 24* 10 + 23, наконец в виде суммы
6 • 102 + 24 • 10 + 21 + 2. Здесь все слагаемые, кроме послед-
него, кратны делителю 3, а потому искомое частное есть
2-102+ 8*10 + 7 = 287, остаток 2. Каждое выделяемое удоб-
ное слагаемое делят немедленно, и, таким образом, получается
общепринятый способ деления многозначного числа на однознач-
ное. Приводим пример деления при g = 3.
Получив частное 12101 и остаток 1,
1 O'I'2'I'O'	2 выполняем для проверки умножение этого
2	1 2 1 ОТ частного на делитель и после прибавления
1 f	остатка 1 получаем делимое. Другая про-
11	верка — переход к десятичным числам:
—2	делимое 291, делитель 2, частное 145,
2	остаток 1, как и должно быть.
-д	6. Когда и делимое К\ и делитель К2,
_	многозначны, но произведение делителя на
2	основание системы g больше делимого,
1	частное q однозначно (докажите!). Его на-
ходят немногими пробами. Например, что-
бы найти 5459 : 867, замечают, что 867 • 10 = 8670 > 5459, 800 • 6 =
= 4800, 800*7 = 5600, 867*6 = 5202, 5459 — 5202 = 257 <867,
а потому 5459 : 867 = 6 (ост. 257). Ещё пример в пятиричной си-
стеме: чтобы найти 3042 : 423, берём 400 • 3 = 2200, 400 • 4 = 3100,
423 • 3 = 2324, 3042 — 2324 = 213 < 423, 3042 : 423 = 3 (ост. 213).
Для проверки находим 423 *3 + 213 или переходим к десятичным
числам (делимое 397, делитель ИЗ, частное 3, остаток 58) и
убеждаемся, что деление выполнено правильно.
7. То же представление делимого в виде суммы удобных сла-
гаемых используется и в общем случае деления многозначных
чисел. Эти удобные слагаемые подбираются постепенно с таким
расчётом, чтобы их частные были последовательными цифрами
искомого частного. Например, выполняя общепринятым способом
деление десятичных чисел 46524 на 189, мы представляем
56
делимое суммой (2 • 189) • 102 4* (4 • 189) • 10 4~ (6 • 189) + 30 »
получаем 246 и остаток 30. Ещё пример в системе с основанием.
g = 4:
3 3 1W1'	1 3 1	Проверка: 2 0 1 2 • 1 3 1
322	2012	2012
300	12102
131	2012
1031	330232
322	4- юз
103	331001
Другая проверка через переход к десятичным числам даёт-
делимое 3905, делитель 29, частное 134, остаток 19, причём
3905 : 29 = 134 (ост. 19), как и должно быть.
8. Сколько цифр имеет частное от деления 6-значного числа
Ki =(aka/i-i... azai)g на n-значное число Кг =(bnba-i- •. 626i)r
при 6 ;> и? Чтобы ответить на этот вопрос, надо рассмотреть от-
дельно случай, когда первые (слева) п цифр делимого образуюг
число К, большее делителя Кг или по крайней мере равное Кг, и
случай, когда К' меньше Кг- Если К > Кг, то первое (наибольшее)
удобное слагаемое выделяется уже из числа •Kg*-'?, его деление--
на Кг даёт число cgk~tt, где с — первая слева цифра частного, а
потому в частном всего k — «4-1 цифра. Если же Д < Кг, то для
получения первого удобного слагаемого надо взять число»
(Kg 4* ak-n+i)gk~n~1, присоединяя к К ещё одну цифру. Деление-
первого удобного слагаемого даёт теперь число eg*-"-1, частное-
имеет k — п цифр.
Итак, частное от деления 6-значного числа на n-значное число
(при 6 п) имеет либо 6 — п цифр, либо одной больше.
§ 8. Переход от одной системы счисления к любой другой
1.	Чтобы выразить данное в десятичной системе число К в си-
стеме с основанием g 10, требуется выполнение ряда делений
десятичных чисел: K:g = Ki (ост. и), Ki’.g = Kz (ост. г2),
Кг: g = Кз (ост. г3) и т. д. Числа К, Ki, Кг • . • убывают, а потому
щрходим к такому числу Kk-i, которое меньше g, а потому
Kk-i: g = 0 (ост. г4). Тогда КА_Х =	Kk-г = Kk-x g 4- rk-i =
= fkg 4- rtt-\ и т. д., К =	4- гЛ g*-2 4~ • • • 4" г2ё + ri ==
— (ГкГк-i... г2Г1)г. Например, чтобы представить десятичное чис-
ло 2807 в троичной системе, выполняем деление 2807:3 = 935-
(ост. 2), 935 : 3 = 311 (ост. 2), 311 : 3 = 103 (ост. 2), 103 : 3 = 34
(ост. 1), 34:3=11 (ост. 1), 11:3 = 3 (ост. 2 ), 3:3=1
(ост. 0), а потому 2807 = (10211222) 3.
2.	Переход от системы с основанием g ф 10 к десятичной си-
стеме выполняется проще всего посредством умножений и сложе-
57
«ий десятичных чисел. Если дано, например, число К = big3 4*
4- big2 4* big + bi, то можно найти сперва g, g2, g3, а потом
произведения b4g3, bag2, big, наконец сумму btg3 + bag2 +
4-6ig + &i, но лучше представить К в виде [(frtg-hMg + ^Jg-h
4- bi, и найти сперва btg 4- Ьз, потом (big 4* b3)g 4- b2 и т. д. На-
пример, имея троичное число 10211222, находим 24-2-3-[-2.324-
— З3 4- З4 4- 2 - З5 4- З7 = 2 4- 6 4- 18 4- 27 4- 81 4- 486 4-
--2187 = 2807 или лучше 1-34-0 = 3, 3-34-2= 11, 11-34-
— 1=34, 34-34- 1 = 103, 103-34-2 = 311, 311-34-2 = 935,
«35-3 4-2 = 2807.
Другой способ — последовательное деление числа К, данного
в системе g =/= 10, на число 10, записанное в этой же системе.
3.	Переход от системы с основанием g=£ 10 к другой тоже
недесятичной системе с основанием h можно выполнить в два при-
ёма (сперва переход к основанию 10, потом к основанию Л), но
можно и сразу, производя деление данного числа К, записанного
по основанию g, на новое основание h, записанное в этой же си-
стеме с основанием g. Например, чтобы написать число К =
= (10211222) з, в системе с основанием Л = 12, надо делить К
последовательно на Л=(110)3. Получаем последовательные ос-
татки (102)з=11, (12)з = 5, (21)з = 7, (1)з=1, а потому
Л= (175₽)i2. Здесь буквой (3, как и раньше, обозначена цифра
двенадцатиричной нумерации, выражающая число 11.
ГЛАВА VI
свойства натуральных чисел, не зависящие от
системы счисления
§ 1.	Делимость суммы, разности и произведения
В главах VI—VII речь будет идти исключительно о натураль-
«ых числах, поэтому будем вместо «натуральное число» говорить
о них просто «число».
1.	Возвращаясь к действию деления в узком смысле (деле-
ния без остатка), вспоминаем, что частным от деления одного
данного числа а на другое данное число b называется такое
третье число с, которое, будучи умножено на Ь, даёт а [III, 5,
•а : b *= с тогда и только тогда, когда с • b = а. Частное а : Ь су-
ществует не всегда; если он® существует, оно единственно
(Ш, 5, 4]. Оно существует тогда и только тогда, когда а кратно b
(Ш, 5, 5], т. е.-когда а представляет собой произведение b на не-
которое (натуральное) число с.
Определение. Если частное а: b существует, то говорят,
что а делится на 6 и пишут а • Ь. Запись а не i b означает, что а
не делится на Ь, т. е. что частное от деления а на b не суще-
ствует.
58
Например, 12: 3, так как 12:3 = 4; 13 не :3, так как частное
13:3 среди натуральных чисел не существует (нет натурального
числа, которое при умножении на 3 давало бы 13). Ещё примеры:
каково бы ни было число а (натуральное), всегда а \ 1, всегда
а • а, так как а : 1 = а, а : а = 1.
2.	Выше была доказана распределительность суммы относи-
тельно деления [III, 5, 10]: если каждое из чисел а и Ь кратно с,
то (а + Ъ): с = а : с + b : с. Пользуясь новым термином «де-
лится», это свойство частного формулируем так: если каждое из
чисел а и Ь делится на некоторое третье число с, ъо и сумма а~\-Ь
делится на с, что кратко записывается так: если а :с и b ; с, то
а + b : с.
Применяя математическую индукцию [II, 8, 2], легко докажем,
что распределительностью относительно деления обладает сумма
не только двух, а любого числа слагаемых: если каждое из чи-
п
сел i = 1, 2, 3,... п, делится на Ь, то и сумма а делится
Л-Н	Л	/=1
на Ь. Действительно, at — £ а/ + aa+i, и, допустив, что
1=1	1=1
сумма п слагаемых делится на b и что новое слагаемое an+i
тоже на b делится, имеем в силу доказанной делимости двух
слагаемых, что и сумма а^ делится на Ь.
i=l
3.	Если ни одно из слагаемых а и b не делится на с, то отно-
сительно делимости суммы а + Ь ничего сказать нельзя: эта
сумма может делиться, а может и не делиться на с, как это
видно на примерах: 5 не.:3, 8 не :3, сумма 5 + 8=13 не:3,
но 5 + 7 = 12 делится на 3, хотя ни 5, ни 7 на 3 не делятся.
4,	Если каждое из чисел а и b делится на некоторое третье
число с, то и разность а — b на него делится.
Это непосредственно следует из доказанной выше [III, 5, 11]
распределительности разности относительно деления.
5.	Если одно из слагаемых а и b делится на некоторое третье
число с, а другое слагаемое на него не делится, то сумма а-}-Ь
на с не делится.
Действительно, если бы сумма а + b делилась на г, то из де-
лимости а на с вытекала бы делимость на с и разности
(а + Ь) — а, равной Ь, что противоречило бы условию.
Эта теорема обобщается на любое число слагаемых: если все
слагаемые за исключением одного делятся на с, а это одно не
делится на то же число с, то сумма а + & на с не делится.
Действительно, если аГ\ с, i = 1, 2, 3,..., n, ал+1 не -с, то
n	n	л+1
^aiic (см. выше пункт 2), a ^ai+a„+i=^at не делится (по
<=i	/=i	/=i
только что доказанному).
59
6.	Если хотя бы один из сомножителей делится на какое-ни-
будь число, то и всё произведение делится на это число.
Действительно, предположим, что а • с. Тогда существует та-
кое число q, что а = cq. Произведение ab делится на с, так как
с -(qb)~ cqb = ab. Это свойство произведения очевидным обра-
зом обобщается на любое число сомножителей.
Сопоставляя свойства делимости суммы, разности и произве-
дения, заключаем, что для делимости произведения достаточно
делимости какого-нибудь одного из сомножителей, а для дели-
мости суммы делимости одного слагаемого уже мало, но доста-
точно делимости каждого слагаемого (для делимости разности
достаточно делимости уменьшаемого и вычитаемого).
§ 2.	Делители, общие делители
1.	Определение. Делителем данного числа называется
всякое число, на которое это данное число делится без остатка.
Например, 1 имеет один и только один делитель (1), 2 — два
делителя (1 и 2), 3 — тоже два делителя (1 и 3), 4 — три дели-
теля (1, 2, 4), 5 — два делителя (1 и 5) и т. д. Полезно соста-
вить таблицу делителей чисел хотя бы до 20. Приводим её.
Число	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Его де- лители	1	1,2	1,3	1,2,4	1,5	1,2,3,6	1,7	1,2,4,8	1,3,9	1,2,5. 10
Число	* И	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Его де- лители	1,11	1.2Д4 6,12	1,13	1,2 7,14	1.3 5,15	1,2,4 8,16 .	1,17	1,2,3 6,9,18	1,19	1,2,4,5 10,20
Термин «делитель такого-то числа» не следует смешивать с
термином «делитель», означающим то число, на которое произво-
дится деление (независимо от величины остатка). Например»
если делят 12 на 5, то здесь 5 — делитель, но 5 не делитель
числа 12: делителями 12 являются только числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Выражение «d есть делитель числа /С» означает то же самое,
что выражение «/( делится на d», «/С кратно d». Запись К d
можно читать не только как «/С делится на d», но и как «d есть
делитель числа К».
2.	В то время как у единицы имеется только один делитель,
всякое число К > 1 имеет по крайней мере два делителя — 1 и К.
Определение. Собственным делителем данного числа назы-
вается всякий его делитель, отличный от 1 и от самого данного
€0
числа, а 1 и само данное число называются несобственными его
делителями.
Множество всех делителей любого числа К конечно, так как
все они не превосходят /С.
Определение. Число называется простым, если оно имеет
два и только два делителя (несобственных), и составным, если
оно имеет более двух делителей, т. е. если оно имеет хотя бы
один собственный делитель.
Числа 2, 3, 5, 7, 11, 13,... — простые, числа 4, 6, 8, 9,- 10,
12, 14, 15,... — составные. Число 1 не простое и не составное,
но всякое число, большее 1, либо простое, либо составное. На-
поминаем, что здесь речь идёт только о натуральных числах. О
составлении таблицы простых чисел речь будет в дальнейшем
(VI, 6].
3.	Отметим следующие свойства делителей, непосредственно
вытекающие из определения делителя.
I.	Если одно число делится на другое, а это другое делится
на третье, то первое тоже делится на третье. Другими словами:
всякий делитель любого делителя данного числа есть в то же
время делитель этого числа.
Краткая запись: если К \ d, d: d', то К 1 d'.
Действительно, если Kid, то существует такое число q, что
qd = K, а если d: d'f то существует такое числе q'9 что q'd' = d.
Отсюда имеем К — qd= q(q'd') = (qq')d'-t это показывает,
что К: d'.
II.	Частное от деления данного числа на любой его делитель
есть тоже его делитель.
Краткая запись: если K-.d9 К :d — q9 то К : q-
Действительно, если K'.d = q9 то K — dqt K'q = d9 K"*q.
Если К — dq9 то числа d и q называются взаимно-дополнитель-
ными делителями числа К-
III.	Если а • Ь, то, каково бы ни было третье число с, всегда
(ас)-(Ьс).
Это не что иное, как другая формулировка теоремы, доказан-
ной выше [III, 5, 7].
4.	Вернёмся к задаче разыскания всех делителей данного
числа, которую мы решили выше (в пункте 1) для чисел от 1 до
20, пробуя делить каждое данное число на все меньшие числа.
Только что рассмотренные свойства делителей позволяют значи-
тельно уменьшить число проб, нужных для решения этой задачи:
если данное число К не делится на какое-нибудь число а, оно не
может делиться ни на какое число Ь9 кратное а, так как, делясь
на Ь9 оно делилось бы и на всякий делитель Ь, в том числе и на а
(свойство I); если данное число К делится на а, то оно делится и
на частное от деления К на а (свойство II). Таким образом, со-
ставление списка делителей идёт сразу с двух его концов: от наи-
меньшего делителя, равного 1, и от наибольшего делителя, рав-
ного самому данному числу.
61
Пусть, например, требуется найти все делители числа 105.
Убедившись, что 105 не • 2, заключаем, что 105 не делится и ни
на одно чётное число. Найдя делители 1, 3, 5, 7, получаем сразу
и дополнительные делители 105, 35, 21, 15. Остаётся испробо-
вать деление на 9, 11, 13, на чём работа и заканчивается, так как
следующее нечётное число 15 уже имеется в списке делителей.
Приводим всю запись решения этой задачи:
Делители 105	1	3	5	7
105	35	21	15
Легко сообразить, что пробы можно прекратить, как только
в частном получится число, меньшее очередного испытуемого де-
лителя. Убедившись, например, что при деление 105 на 11 полу-
чается в частном 9 и в остатке 6, заключаем, что на 13 пробовать
уже не надо: список делителей числа 105, меньших, чем их до-
полнительные, заканчивается делителем 7.
Желая найти все делители числа 139, пробуем делить на 2,
3, 5, 7, 11. Получая остатки, отличные от 0, и частные, большие
испытуемых делителей, пробуем ещё деление на 13. Найдя част-
ное 10 и остаток 9 и замечая, что это частное меньше делителя,
дальнейшие пробы прекращаем. Число 139 не имеет других дели-
телей, кроме 1 и 139. Это число — простое.
Разыскивая делители числа 169, пробуем деления на числа
2, 3, 5, 7, 11, 13 и находим единственный собственный делитель
13, дополнительный самому себе. Делителями числа 169 являются
числа 1, 13, 169 и только они одни.
В дальнейшем будет указан более совершенный способ полу-
чения всех делителей данного числа, чем этот примитивный спо-
соб проб [VI, 9, 6].
5.	Определение. Общим делителем (сокращённо ОД) дан-
ных чисел называется число, которое является делителем каж-
дого из них.
Каковы бы ни были данные числа, у них всегда имеется ОД,
равный 1. Других ОД может и не быть, как, например, у чисел 8
и 9. Числа, у которых единственным ОД является 1, называются
взаимно-простыми. Числа же, имеющие хотя бы один ОД, отлич-
ный от 1, называются взаимно-составными; таковы, например,
числа 8 и 10.
Чтобы найти все ОД данных чисел, достаточно найти все де-
лители каждого из них, а затем отобрать общие. Так, найдя все
делители числа 108, а именно: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54,
108, и все делители числа 100, а именно: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50,
100, получаем и все ОД этих двух чисел — 1, 2, 4. В дальнейшем
будет указан гораздо более совершенный способ разыскания всех
ОД [VI, 3, 6].
6.	Если речь идёт о наибольшем общем делителе трёх и более
чисел, то различают числа, взаимно-простые в своей совокупности,
т. е. такие, у которых нет другого ОД, кроме 1, и числа попарно
62
взаимно-простые, т. е. такие, среди которых каждые два взаимно-
просты. Например, числа 10, 15, 18 взаимно-просты в своей сово-
купности, но не попарно, числа же 10, 21, 29 попарно взаимно-
просты, а вместе с тем и взаимно-просты в своей совокупности.
§ 3.	Наибольший общий делитель
1.	Конечное множество ОД двух данных чисел а и b содер-
жит один ОД, который больше всех остальных. Этот наибольший
общий делитель в научной литературе принято обозначать симво-
лом (а, Ь)\ в школе употребительна запись НОД (а, Ь). Так,.
(60, 25) =5; (12, 25)= 1. У взаимно-простых чисел НОД ра-
вен 1. Обратно, если (a, b)= 1, то числа а и b взаимно-просты.
Каковы бы ни были натуральные числа а, Ь, всегда существует
натуральное число D=(a, b), которое является наибольшим
общим делителем этих чисел.
2.	Зная все делители каждого из данных чисел а и Ь, легко»
выбрать их ОД, а следовательно, и НОД. Но существует другой,,
замечательно удобный способ получения НОД, не требующий
разыскания всех делителей данных чисел. Этот способ носит на-
звание «способа последовательного деления» или «алгоритма
Евклида»1 и основан на следующей лемме: пусть а > Ь; если
а • Ь, то (а, Ь) = Ь; если а не lb, то (а, Ь) = (Ь, г), где г остаток:
от деления а на Ь.
Действительно, если а: Ь, то b есть ОД (а, Ь). Но b не имеет
делителей, больших, чем Ь, а потому b есть (а, Ь). Пусть, далее,
a: b = q (ост. г), а = &?-|-г. Возьмём все ОД чисел а и Ь, а
именно: числа di = 1, d2, d3t..., dk, а также все ОД чисел b и г,
а именно: df = 1, d2', d3t..., dnf. Если a ! d, b i dt to r = a — b(f
тоже делится на d в силу [VI, 1, 6] и [VI, 1, 4], а потому каждый
ОД (а, Ь) содержится среди ОД (6, г). С другой стороны, если
b\d'9 г \ d', то а = bq + г тоже делится на df в силу [VI, 1, 6] в
[VI, 1, 2], а потому каждый ОД (6, г) содержится среди ОД (а, Ь)^
Таким образом, множества чисел rf2, d3i..., dk и d/, dj
d3,..., dnf тождественны, а следовательно, (a, b) = (b, г), что и»
требовалось доказать.
3.	Определение. Алгоритмом Евклида в применении к дан-
ным числам а и b называется последовательное деление а : b = q\
(ост. п), 6:г1 = ^2 (ост. г2), П‘г2 = ?з (ост. г3) и т. д. Здесь.
а > b > Г\ > г2 > г3 > • • •, а потому последовательность остатков
1 Термин «алгоритм» представляет собой искажённое сокращение имени»
крупнейшего математика Магомета ибн Муса Альхова-Резми (IX в. н. э.),
уроженца г. Хорезма (в нынешнем Узбекистане), и означает всякую сово-
купность математических операций, производимых по определённым правилам
и приводящих к некоторому определённому результату. Евклид — греческий
математик III в. до нашей эры, знаменитый труд которого «Начала», посвя-
щенный преимущественно геометрии, сохранил своё значение до настоящего*
времени.
6$
«е может быть бесконечной, она должна закончиться остатком 0.
Пусть последний отличный от 0 остаток есть г„, так что
#-я_2 : гя_1 = qn (ост. гя), rn_i: rn = q„+1 (ост. 0)..
Теорема. В результате применения к данным числам а и Ь
алгоритма Евклида получаются последовательные отличные от
О остатки г\, г2, г3.. гя_х, гп> последний из которых гп есть
наибольший общий делитель чисел а и Ь.
Действительно, основываясь на лемме, заключаем, что (а, Ь) =
Г1) = (Г1, г2)=.. .=(гя_1, гп) = г„,(а, Ь) =гп.
4.	Деления, какие приходится производить при разыскании
(а, Ь), выгодно записывать не как обычно, а несколько иначе.
Покажем их запись на частном примере.
Найти НОД чисел 39728 и 3276.
	1	1 12	7	1	7
39728	3276	416	364	52
3276	2912	364	364	Ответ: (39728,3276)= 52.
6968	364	52	0	
6552
416
Здесь частные записаны выше делителей, а последовательно
получаемые остатки — справа от соответствующих делителей.
Последний неравный нулю остаток есть искомый НОД.
5.	/ свойство НОД. Множество всех делителей наибольшего
общего делителя данных чисел а и b есть в то же время множе-
ство всех ОД чисел а и Ь.
Действительно, пусть (a, b) — D. Взяв какой-нибудь делитель
•d числа D, имеем а : D, D : d, а потому а: d, и точно так же b : D,
D id, а потому b id. Таким образом, всякий делитель числа D
есть в то же время ОД.чисел а и Ь. Немного сложнее доказатель-
ство обратного предложения: всякий ОД чисел а и b есть в то же
время делитель их НОД. Из равенств а — bqi + n, Ь =	+ г2,
-Л = г2^з + Гз, • • •, га-2 = ra-iqa + гп заключаем, что из делимо-
сти чисел а и Ь на d следует делимость на d, что из делимости
b и л на d следует делимость г2 на d и т. д., что из делимости гя_2
ш гп-1 следует, наконец, делимость гп на d. Но rn—D= (а, Ь),
а потому D : d.
6.	Задачу разыскания всех ОД данных чисел а и Ь, которую
мы решили выше [VI, 2, 5], находя предварительно все делители
каждого из этих чисел, мы в состоянии решить теперь гораздо
проще: найдя посредством алгоритма Евклида (a, b) = D, на-
ходим множество всех делителей D, которое и является в то же
время множеством всех ОД чисел а и Ъ. Так, чтобы найти все ОД
•чисел 108 и 120, находим сперва (120, 108) = 12, а затем все
делители этого числа 12, а именно: 1, 2, 3, 4, 6, 12,
7.	Н свойство НОД. Каковы бы ни были числа a, b, k,
всегда (ak, bk) — k(a, b). Иначе: при увеличении каждого из дан:
«4
ных чисел в одно и то же число раз их НОД увеличивается во
столько же раз.
Действительно, применяя алгоритм Евклида к числам ak и bk,
вместо равенств а = bqx + и, b = г^2 + r2, И = Щз + г3 и т. д.
получим равенство с лишним множителем k в каждом члене. Сле-
довательно, при тех же частных qu q2t <?з, • • • получим вместо по-
следнего остатка гп = (а, Ь) остаток krn = (ak, bk), откуда
(ak, bk) == k(a, b). -
8.	Ш свойство НОД. Если d есть ОД (а, b), то (а: d, b: d) =
= (а, b) : d. Иначе: при делении каждого из данных чисел на
какой-нибудь их ОД, их НОД уменьшается во столько же раз.
Для доказательства достаточно применить только что рас-
смотренное II свойство, заменив числа а и b числами а: d,
b : d.
9.	IV свойство НОД. Если (a, b) = D, то (а : D, b : D) = 1.
Иначе: частные от деления данных чисел, на их НОД взаимно-
просты.
Это следует из свойства III, если положить d = D.
Имеет место и обратная теорема: если a'-d,b : d, (a: d, b : d) =
==d, то d= (a, b). Иначе: если при делении двух данных чисел
на их общий делитель получаются взаимно-простые частные, то
этот их общий делитель есть их НОД.
Это доказывается с помощью II свойства: если (а: d, b : d) =
== 1, то после умножения на d имеем (a, b) = d • 1 = d.
10.	Приведённая ниже таблица содержит НОД для всех пар
чисел от 1 до 12: число (а, Ь) записано на пересечении строки,
имеющей в заголовке (слева) а, и столбца, имеющего в заголовке
(сверху) 6. Так как (а, 6) = (6, а), то в таблице даны НОД
только для таких пар, где а > Ь.
5 В. М. Брадис
65
Считая а и Ь прямоугольными координатами точки на плоско-
сти, можно рассматривать D = (а, Ь) как третью координату
точки в пространстве и изобразить эту таблицу геометрически
как некоторое множество изолированных точек в пространстве.
§ 4.	Теоремы о делимости произведения
1.	Как мы уже видели выше [VI, 1, 6], если хотя бы один из
сомножителей произведения делится на какое-нибудь число, то
и всё произведение на него делится. Короче: если а : с, то и
(ab) : с, каковы бы ни были числа а, 6, с.
Итак, делимость одного сомножителя достаточна для дели-
мости всего произведения. Нередко думают, что и обратно при
делимости произведения имеется делимость хотя бы одного со-
множителя, т. е. что делимость одного сомножителя не только
достаточна, но и необходима для делимости произведения. Оши-
бочность этого легко показать хотя бы на таком примере: если
а = 4, 6 = 9, то ab = 36 делится на с = 6, хотя ни а, ни Ь на 6
не делятся. Однако делимость сомножителя делается необходи-
мой для делимости произведения при наличии одного из допол-
нительных условий, указанных ниже в теоремах I и II.
2.	Теорема 1. Если произведение двух чисел делится на
некоторое третье число, взаимно-простое с одним из сомножите-
лей, то другой сомножитель тоже на него делится. Короче: если
ab: с, (а, с) = 1, то Ь : с.
Доказательство.
1)	(aft, be) = Ь • (а, с) = Ь • 1 = b по II свойству НОД и по
условию (а, с) = 1;
2)	ab :С (по условию), Ьс (так как Ьс:с = Ь), так что с
есть ОД чисел ab и Ьс;
3)	существует натуральное число D = (ab : с, Ьс : с), так как
ab : с, Ьс : с — натуральные числа;
4)	D = (ab : с, Ьс : с) = (ab, Ьс) : с ... по III свойству НОД;
5)	Т) = Ь : с..........после	замены (ab, Ьс) через 6;
6)	Ь : с...............так	как Ь : с = D.
3.	Теорема И. Если произведение двух чисел делится на
простое число, то по крайней мере один из сомножителей тоже
на него делится. Короче: если ab ♦ р, р — простое, то либо а \р9
либо а не : р, Ь : р.
Доказательство.
1)	Если а : р, доказывать нечего;
2)	Число р не имеет делителей, кроме 1 и р;
3)	Числа а и р не могут иметь других ОД, кроме 1 и р;
4)	Если а не 5 р, то р не есть ОД (а, р);
5)	(а,р) = 1;
66
6)	Из делимости ab на р и взаимной простоты аир следует
делимость b на р по теореме I.
4.	Следствие 1. Если произведение любого числа сомно-
жителей делится на простое число р, то по крайней мере один
из сомножителей делится на р.
Следствие 2. Если произведение любого числа простых чи-
сел делится на некоторое простое число р, то по крайней мере
один из сомножителей равен р.
Доказательство обоих этих следствий не представляет затруд-
нений и предоставляется читателю.
§	5. Кратные, общие кратные, наименьшее общее кратное
1.	Как уже было указано [III, 5, 1], число а называется крат-
ным 6, если а : 6, т. е. если а делится на b без остатка. Каково бы
ни было число а, кратными а являются числа а, 2а, За, 4а и так
далее без койца, т. е. произведения а на каждое из последова-
тельных натуральных чисел 1, 2, 3,... . Эта последовательность
чисел, кратных а, имеет первое (наименьшее) кратное, а именно
само число а, но не имеет последнего (наибольшего) кратного.
Если рассматривается не множество натуральных, а множество
целых неотрицательных чисел, то первым кратным а приходится
считать число 0, так как 0 : а = 0 при любом натуральном а. Од-
нако, говоря о числах, кратных а, обычно имеют в виду только
натуральные числа, кратные а.
2.	Определение. Если а и b два произвольных числа (нату-
ральных), то их общим кратным (сокращённо ОК) называется
любое число, кратное как а, так и Ь,
Например, ОК (6, 10) = 30, 60, 90, 120,....
Каковы бы ни были числа а и 6, всегда существует сколько
угодно их ОК. Таковыми являются, например, произведение ab
и все кратные этого произведения, но могут быть и другие общие
кратные.
Это определение распространяется на любое число данных чи-
сел аь аг, ..., ап (п 2).
3.	Среди бесконечного множества общих кратных данных чи-
сел всегда имеется одно, которое меньше всех других. Это наи-
меньшее общее кратное чисел а и b в школе записывается как
НОК (а, 6), в научной же литературе принята более краткая за-
пись [а, &]. Чтобы найти [а, 6], достаточно взять b наименьших
последовательных кратных а, а именно: а, 2а, За, 4а, ..., (Ь—1)а,
&а, и выяснить их делимость на Ь. Последнее из них всегда кратно
Ь. Если ни одно из предшествующих не делится на 6, то ab и есть
[а, 6]. Если же среди этих предшествующих имеются кратные Ь,
причём наименьшее из них есть /п, то [а, 6] = /и. Таким образом,
каковы бы ни были числа а и Ь, их наименьшее общее кратное
всегда существует, единственно и не превосходит ab.
5*	67
Например, чтобы найти [6, 10], берутся числа 10, 10 • 2 = 20,
10 • 3 = 30, 10-4 = 40, 10 • 5 = 50, 10 • 6 = 60, из которых первым
кратным 6 является число 30, а потому НОК (6, 10) =30. Вместо
последовательных кратных 10 можно было бы брать последова-
тельные кратные 6, а именно: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60,
и искать те из них, которые кратны 10, и это привело бы к тому
же самому результату.
Этот примитивный способ слишком громоздок; гораздо удоб-
нее способ, изложенный ниже и основанный на следующих двух
теоремах.
4.	Теорема I. Всякое кратное km наименьшего общего крат-
ного m данных двух чисел а и b есть их общее кратное М. Вся-
кое общее кратное М двух данных чисел а и b кратно их наимень-
шему общему кратному т. Короче: если т = [а, 6], k — нату-
ральное число, то mk есть ОК (а, Ь); каково бы ни было М =
= OK (а, b), всегда М = mk.
Доказательство первой части теоремы очевидно: если m: а,
m : b, то при любом натуральном k mk : a, mk : b.
Вторая часть доказывается от противного. Допускаем, что при
дележи какого-нибудь общего кратного М данных чисел а и b
на их наименьшее общее кратное m получилось в частном число
<7, а в остатке число г, большее нуля. Имеем Л4 = mq + г,
0 < г < т. Но как М, так* и т делятся на а, поэтому делится
на а и остаток г. Точно так же из делимости М и т на b следует
делимость на Ь и остатка г. Таким образом, число г является
общим кратным чисел а и Ь, меньшим, чем наименьшее крат-
ное т этих чисел, что невозможно. Полученное противоречие
доказывает неправильность сделанного допущения о том, что
остаток г больше нуля. Следовательно, г = 0, что и доказывает
теорему.
5.	Теорема II. Произведение наибольшего общего делителя
двух данных чисел на их наименьшее общее кратное равно про-
изведению этих чисел. Короче: (а, Ь) • [а, 6] = ab.
Доказательство.
1)	Пусть (a, b) = D, так что а • D, b .: D, а : D = b : D = Ь[.
2)	Числа fli и 61 взаимно-просты, (аь 61) = 1 (по IV свой-
ству НОД).
3)	Пусть М какое-нибудь ОК (а, Ь), так что М : а, М I Ь.
4)	Пусть М : а = g, М = aq.
5)	Так как а = Dab то М = Daxq.
6)	Замечая, что М: b и что b = Db\, убеждаемся, что
Da\q IDbi, а потому axq \bx (см. [III, 5Г 6]).
7)	Замечая, что (аь 6i) = 1, заключаем, что q : b{ (по I тео-
реме о делимости произведения).
8)	Полагая q : b\ = f, имеем q = bit, М = Daiq = Da\bit.
68
9)	Так как любое OK (a, b) —М можно представить по только
что доказанному в виде произведения Daibit, где t — некоторое
натуральное число, то наименьшее общее кратное т чисел а и b
получится тогда, когда t принимает наименьшее значение, т. е.
при t — 1. Следовательно, т = [а, 6] = Da^bi.
10)	Замечая, что Da\ = а и bj = b : D, имеем [a, b] = ccb : D,
откуда [а, 6] • (a, b) = ab.
5.	Основываясь на этой теореме, приходим к такому правилу
вычисления [а, 6]: найдя посредством алгоритма Евклида (а, Ь) =
= D, берут частное а: D и умножают его на Ь; произведение
(а : D) • b и .есть [а, д]. Вместо того чтобы брать (а : D) . Ь, можно
взять (b : D) • а, что даёт то же самое.
Пример. Найти [1073, 2701].
2701
2146
555
2
1073
555
518
1
555
518
37
1
518
37
148
148
14
37 . 2701 : 37 = 73, 1073 • 73 = 78329
Ответ: [1073, 2701] = 78329.
Для проверки берём 1073 : 37 = 29 и находим 2701 • 29, полу-
чая тот же результат 78329.
6.	Следствие. НОК двух данных чисел равно их произве-
дению тогда и только тогда, когда эти числа взаимно-просты.
Короче: если (a, b) — 1, го [a, b\ = ab; обратно, если [а, 6] = а6,
го (a, b) — 1.
Доказательство предоставляется читателю.
7.	Чтобы найти НОК трёх данных чисел, находят сперва НОК
каких-либо двух из них, а затем НОК найденного числа и третьего
из данных чисел. Короче: если [а, 6] = т, то [а, Ь, с] = [т, с].
Например, чтобы найти [24, 28, 35], находим сперва [24, 28] =
= 168, затем [168, 35] = 840.
Доказательство проводится так: взяв [а, 6] = т, рассматри-
ваем множество А всех общих кратных чисел а, Ъ, с и множество
В всех общих кратных чисел т и с; устанавливаем, что каждое
число, принадлежащее множеству А, принадлежит в то же время
множеству В и что каждое число, принадлежащее множеству В,
принадлежит в то же время и множеству А, так что множества А
и В тождественны.
Проведение деталей доказательства и его оформление предо-
ставляется читателю.
Этот способ разыскания НОК трёх данных чисел легко обоб-
щается на любое их число.
8.	Ниже приведена таблица значений НОК (а, Ь) для всех
значений а и b в пределах от 1 до 12, устроенная одинаково
69
с таблицей значений НОД, приведённой раньше. Предполагается,
что а § Ь, так как [Ь, а] = [а, Ь].
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	2 6 4 10 6 14 8 18 10 22 12	3 12 15 6 21 24 9 30 33 12	4 20 12 28 8 36 20 44 12	5 30 35 40 45 10 55 60	6 42 24 18 30 66 12	7 56 63 70 77 84	8 72 40 88 24	9 90 99 36	10 ПО 60	11 132	12
Считая а и b прямоугольными координатами точки на плоско-
сти, можно рассматривать [а, 6] как третью координату точки в
пространстве и изобразить эту таблицу геометрически в виде бес-
конечного множества изолированных точек (в пространстве).
§ 6.	Распознавание простых и составных чисел
1.	Как мы уже знаем, число называется простым, если оно
имеет два и только два делителя, и составным, если оно имеет
по крайней мере три делителя [VI, 2, 2]. Возникает вопрос, как
отличать простые числа от составных. Рассмотрим три способа
решения этого вопроса: первый из них можно назвать «способом
систематических проб»; он основан на двух теоремах, которые
будут сейчас доказаны; второй предполагает наличие специаль-
ной таблицы; третий использует различные особенности данного
числа и применим только тогда, когда такие особенности налицо.
2.	Теорема I. У всякого составного числа имеется по край-
ней мере один простой делитель.
Следующая таблица показывает правильность этого пред-
ложения для всех составных чисел, не превосходящих 32.
Составные числа		4	6	8	9	10	12	14	15	16	18
Простые делители ....	2.	2,3	2	3	2,5	2,3	2,7	3,5	2	2,3
Составные числа		20	21	22	24	25	26	27	28	30	32
Простые делители ....	2,5	3,7	2,11	2,3	5	2,13	3	2,7	23,5	2
Доказател'ьство. 1) Пусть d наименьший собственный
делитель составного числа а; 1 < d < а, а : d = с, а = de.
70
2)	Может ли d быть составным числом? Допустив, что d —
составное число, обозначаем буквой d\ его собственный делитель:
1 < d\ < d < а, 1 < di < a, d: di = d = dirb
3)	Имея a = de, заключаем, что a = d\cxc, а потому a : dlt d\ —
собственный делитель а, притом меньший, чем d.
4)	Получилось противоречие, так как по предположению d —
наименьший собственный делитель а.
5)	Число d не может быть составным. Оно больше 1, а потому
оно — простое.
3.	Теорема II. Если данное натуральное число п > 1 не
делится ни на одно из последовательных чисел 2, 3, 4,..., а — 1,
а, причём частное Ь от деления п на а меньше а, то п — число
простое.
Пример. Убедившись, что 197 не делится на числа от 2 до
15, причём 197: 15= 13 (ост. 2), 13 < 15, заключаем, что число
197 — простое.
Доказательство. 1) Допускаем, что число п удовлетво-
ряет условиям теоремы, но является составным числом, имея соб-
ственный делитель d, 1 < d < п.
2)	Число d* = п: d есть тоже собственный делитель п, так
как п = dd*, п : d*, 1 < d* < п.
3)	В силу условия теоремы d > a, d* > a>b, d*>b.
4)	Если d*> 6, то d*^b + 1.
5)	Перемножая почленно неравенства d>a, d*^& + lt
имеем по свойствам монотонности и распределительности произ-
ведения [III, 2, 3], что dd* >ab + a, n>ab 4- а.
6)	Имеем п:а = Ь (ост. г), г<а, п = ab 4- г < ab + а,
n<ab + а.
7)	Получилось противоречие (п > ab 4- а, п < ab 4- и), дока-
зывающее неправильность сделанного допущения о том, что
п — число составное. Следовательно, п — число простое.
4.	Итак, чтобы узнать, является ли данное число п простым
или составным, надо делить п на последовательные простые числа
2, 3, 5, 7, 11,... до тех пор, пока не получим остаток 0 (тогда п —
составное) или пока не получим неполное частное, меньшее дели-
теля (тогда п — простое). Пробовать делить на составные числа не
надо, так как если число не делится на простое число р, то оно
не делится ни на какое составное, кратное р [VI, 2, 3].
5.	Вместо теоремы II можно пользоваться теоремой III:
если п не делится ни на одно из последовательных простых чи-
сел р\= 2, р2 = 3, р3= 5, р4 = 7,..., Pk9 квадраты которых не
превосходят п, то п — число простое.	i
Доказательство. Пусть а2 — наибольшее квадратное
число, не превосходящее п, так что a2Sn<(a-H)2. Предполо-
жим, что п не делится ни на одно из чисел 2, 3, 4, 5,..., а— 1, а.
Если п — составное число, d — его собственный делитель, d' —
ему дополнительный собственный делитель, то d^a+L
71
d' >a+ 1, откуда dd'^(a-f- I)2,	(a-f- l)2. Получается про-
тиворечие, доказывающее, что п — простое.
Чтобы убедиться, что п не делится ни на одно из чисел 2, 3,
4,..., а—1, а, достаточно убедиться, что п не делится ни на
одно простое из них: делимость на составное число влечёт за со-
бой делимость на каждый простой делитель этого составного. Это
следует из первого свойства делителей, рассмотренного выше
[VI, 2, 3], и из того, что простой делитель, имеющийся согласно
теореме I настоящего параграфа у всякого составного числа, ра-
зумеется, меньше этого числа.
Таким образом теорема III доказана.
Пользуясь этой теоремой, сразу устанавливаем, какие дели-
тели надо пробовать. Например, если п= 149, то р* = 11, так
как 112= 121 < 149, 132= 169 > 149, и пробовать делить надо
только на числа 2, 3, 5, 7, 11. Все эти деления дают отличный от
О остаток, а потому число 149 — простое.
6.	Применяя только что рассмотренный способ систематиче-
ских проб, надо остерегаться прекращать деления слишком рано,
что нередко допускают учащиеся. Убедившись, например, что п =
= 899 не делится на 2, 3,5,7,11, 13, заключают, что это число п —
простое, тогда как 899 = 900 — 1 = 302 — 1 = (30 — 1) (30 + 1) =
= 29’31. Здесь надо пробовать все простые числа до 29 включи-
тельно, так как 292 = 841 < 899, 312 = 961 > 899.
§ 7.	Таблица простых чисел. Таблица делителей
1.	Получить сколько угодно последовательных простых чи-
сел можно вычёркиванием из последовательности 2, 3, 4, 5, 6,...
всех чётных составных чисел, идущих, начиная с 2-2 = 4 через
одно, затем всех составных чисел, кратных 3, идущих, начиная с
3-3 = 9, через каждые два натуральных числа, потом всех со-
ставных чисел, кратных 5, идущих, начиная с 5 • 5 = 25, через 4,
и т. д. При этом после вычёркивания кратных простого числа р
все оставшиеся числа, меньшие р2, — простые; например, после
вычёркивания составных, кратных 3, имеем простые числа 2, 3,
5, 7; после вычёркивания кратных 5 — ещё простые 11, 13, 17,
19, 23, меньшие 52= 25; после вычёркивания кратных 7 — ещё
простые 29, 31, 37,41,43,47, меньшие 72 = 49. Если выделены все
простые числа, меньшие р2, то вычёркивание всех чисел, кратных
Рл+1,даст дополнительно все простые числа в интервале от pl
до
Этот способ выделения последовательных простых чисел, до-
пускающий неограниченное продолжение и известный ещё в древ-
ности под названием «способа решета Эратосфена», позволяет»
таким образом, составить таблицу всех простых чисел, меньших
некоторого произвольно выбираемого данного числа. Каждый
школьный учебник арифметики содержит такую таблицу для не-
72
скольких первых тысяч. Существуют значительно более обшир-
ные таблицы простых чисел, предназначенные для использования
в научной работе и содержащие все простые числа, меньшие*
10 миллионов. Имея такую таблицу, простой справкой в ней ре-
шаем вопрос о том, является ли данное число (в пределах таб-
лицы) простым или составным.
2.	Ещё более удобными для практических применений явля-
ются таблицы, содержащие все натуральные числа, меньшие не-
которого данного числа, как простые, так и составные, с указа-
нием наименьшего собственного делителя каждого составного-
числа. Так как делители 2, 3, 5 легко определяются по записи
числа в десятичной системе счисления, то можно ограничиться
только натуральными числами, не кратными 2, 3, 5. Каждое та-
кое число а представимо в виде суммы числа 6, кратного 30, и од-
ного из остатков от деления на 30, а именно: одного из чисел
г = 1, 7r II, 13, 17, 19, 23, 29; это обстоятельство используют для
уменьшения объёма таблицы.
В конце настоящей книги (стр. 200) приведена такая таблица
чисел, меньших 15000. Она состоит из 10 частей, в каждой из ко-
торых слева записаны последовательные кратные 30, а сверху —
остатки отделения на 30 (1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29). Представив,
данное число в виде суммы одного из этих остатков г и числа Ь>.
кратного 30, ищем пересечение строки, имеющей в заголовке &
(слева), и столбца, имеющего в заголовке г (сверху). Там на-
ходим либо чёрточку, показывающую, что данное число а — про-
стое, либо наименьший собственный его делитель. Например, убе-
дившись, что число 10 753 даёт при делении на 30 остаток 13,
ищем строку с числом 10 753— 13= 10 740 слева и столбец с
числом 13 сверху, и находим там чёрточку; следовательно,
10 753 — число простое. Чтобы установить это способом система-
тических проб, надо выполнить деление на все простые числа, не
превосходящие [|Л 10 753]= 103, т. е. всего 27 делений. Если
дано число 11 303, то деление на 30 приводит к остатку 23, а
справка в таблице на строке 11 280 и в столбце. 23 показывает,
что это число составное и что его наименьший делитель 89. Чтобы
установить это систематическими пробами, понадобилось бы 24
деления.
Более обширную таблицу такого рода, а именно доведённую
до 100 800, можно найти в книге Д. А. Граве «Трактат по мате-
матическому анализу», т. II (издательство Академии наук УССР,
Киев, 1939).
§ 8.	Простые и составные числа специального вида
1.	В некоторых случаях число удаётся представить в виде,
сразу показывающем, что оно составное. Вот несколько приме-
ров.
а)	Число 899 = 302—I2 — составное: 899 = 31-29. По-
73;
добным же образом дело обстоит с каждым числом, допуска-
ющим представление в виде а2— Ь2, а3— Ь3, вообще ап — Ьп (при
•а — b > 1) ив виде а2я+14- Ь2^1 (при любых а и Ь).
б)	Если а>1, то а4-]-4 число составное (теорема Софии
Жермен). Действительно, a4 -f- 4 = (а2 + 2)2 — (2а)2 = (а2 +
+2а + 2) (а2 — 2а -f- 2). Например, число 54 + 4 = 629 есть про-
изведение 52 + 2.5 + 2= 37 и 52—2 • 5 + 2 = 17.
в)	Если число п — составное и имеет собственный делитель k,
то число 2” — 1 тоже составное и имеет собственный делитель
2*— 1 (докажите!). Например, 235 — 1 = 34 359 738 367 имеет де-
лители 25— 1=31 и 27 — 1 = 127. Отметим, что обратное пред-
ложение (если число 2" — 1 составное, то показатель п тоже
число составное) неверно; например, 2П— 1 = 2047 = 23 • 89.
Неверно поэтому и противоположное предложение (если п про-
стое, то число 2я — 1 тоже простое).
г)	Если п имеет нечётный делитель k > 1, то число 2я + 1
есть число составное. Действительно, 2я -j-' 1 =(2я:*)* + 1, как
сумма нечётных степеней, всегда делится на сумму первых сте-
пеней, т. е. на число 2я;* + 1. Например, 212 + 1 = 4097 делится на
24 + 1 = 17. Предложения обратное и противоположное (форму-
лируйте их!) здесь тоже неверны, как показывает такой пример:
число 25= 32 не имеет ни одного нечётного делителя k > 1, но тем
не менее 232-|- 1 = 4 294 967 297 число составное (есть дели-
тель 641).
2. Издавна ведутся поиски формулы вида px = f(x), которая
при х = 1, 2, 3, 4... давала бы все последовательные простые
числа: f (1) = pi =2, f (2) = р2= 3, f (3) = р3= 5, f (4) = р4= 7 и т. д.
Ни такой формулы, ни даже формулы, которая давала бы хотя бы
не все подряд, но только простые числа, не найдено, хотя легко
указать формулы, дающие много простых чисел. Например, много-
член f(x) = x24-x+17 даёт простые числа при всех целых не-
отрицательных значениях х от 0 до 15, но /(16) = 172; многочлен
_/(х) = х2—79x-f-1601 даёт простые значения при х = 0, 1, 2.
79, но /(80) = 1681 имеет делитель 41. Легко видеть, что никакой
многочлен /(х) с целыми коэффициентами не может принимать
простых значений при всех натуральных значениях аргумента х:
«ели f{x) = p число простое, то f(x-}-py) число составное при
всех целых значениях у за исключением, быть может, конечного
их числа. Доказательство предоставляется читателю (надо ис-
пользовать формулу бинома Ньютона и представить /(x-f-pi/)
в виде произведения числа р на сумму \-\-F(y), где F(y)—
многочлен той же степени, что и /(х) с целыми коэффициентами).
§ 9. Множество простых чисел
1. Множество всех натуральных чисел 1, 2, 3,... бесконечно
{II, 4, 3]; бесконечно и множество всех составных чисел, так как
бесконечно уже множество всех чётных чисел. Возникает вопрос:
74
конечно или бесконечно множество всех простых чисел Pi = 2,
Pz= 3, рз= 5, р4= 7 и т. д.? Другими словами: существует ли
простое число, которое больше всех других простых чисел? Со-
ставляя таблицу простых чисел методом решета Эратосфена
[VI, 7, 1], мы вычёркиваем с каждым последующим шагом всё
новые и новые числа; не наступит ли момент, когда все после-
дующие числа окажутся вычеркнутыми? Если наступит, то мно-
жество простых чисел, конечно, в нём есть наибольшее (последнее
по порядку) простое число.
2. Ответ на поставленный вопрос даёт теорема Евклидй:
множество простых чисел бесконечно. Другими словами: наиболь-
шего простого числа не существует.
Гениально простое доказательство этой теоремы состоит в
следующем:
а)	Допускаем, что существует наибольшее простое число Pk>
так что все числа большие pk — составные.
б)	Составляем произведение Р всех простых чисел Pi=2,
р2= 3,..pkt и рассматриваем число Р + 1 = pipz... Pk + 1.
в)	Число Р + 1 больше числа р*, а потому, если правильно
допущение пункта «а», оно составное.
г)	Всякое составное число имеет по крайней мере один про-
стой делитель [VI, 6,2]. Если правильно допущение пункта «а»,
число Р + 1 имеет простой делитель.
д)	Р делится на каждое простое число, 1 ни на какое простое
число не делится, а потому сумма Р + 1 ни на какое простое
число не делится [VI, I, 5].
е)	Последнее заключение противоречит пункту «г». Это про-
тиворечие доказывает неправильность сделанного допущения
(пункт «а») о существовании наибольшего простого числа. Тем
самым теорема Евклида доказана.
3.	Существует пара простых чисел, занимающих соседние ме-
ста в натуральной последовательности, а именно числа pi = 2 и
р2 = 3. Другой подобной пары простых чисел нет (докажите!).
Существует много пар простых чисел с разностью 2, как, напри-
мер, 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, и т. д. Каждые два таких числа назы-
ваются близнецами. Близнецы встречаются на протяжении всей
исследованной части натурального ряда. В таблице, приложенной
к настоящей книге, имеются наибольшие близнецы 14 867 и 14 869.
Однако до сих пор неизвестно, существует ли бесконечное или
только конечное число пар близнецов.
4.	Каково бы ни было число k, существуют такие пары по-
следовательных простых чисел рп и Рл-н, между которыми имеется
k или более последовательных составных чисел. Чтобы получиты
такую пару, достаточно взять какое-нибудь простое число р>£
и составить произведение Р = 2 • 3 • 5 ... р всех последовательных
простых чисел до этого числа р включительно. Числа Р + 2,
Р + 3..., Р + Р — 1, Р + Р все составные (почему?), и если рп
есть наибольшее простое число, меньшее Р + 2, то следующее за
75
рп простое число jbi+i уже больше Р + р, так что рл<Р+1,
/7д+1^^ + Р+ 1» Рл+1 — (Р + р+ 1) — (Р + 1)> «Рл+1 — Рп^
р > A, pn+i — Рп >k. Например, взяв k = 10, имеем р = 11 и
Р = 2’3’5’7*11=231О, что даёт серию из 10 последователь-
ных составных чисел от Р + 2 = 2312 до Р + р = 2321. Здесь
рп = 2311, ря+1 ==2333 (это устанавливаем с помощью таблицы)
а потому рл+1 — рп = 22, и мы нашли два простых числа, разде-
лённых серией не из 10, а даже из 21 последовательных составных
чисел. Просмотр таблицы показывает, что серии из k 10 по-
следовательных составных чисел встречаются и раньше. Первая
такая серия содержит 13 составных чисел, заключённых между
Рзо = 113 и Р31 = 127.
5.	Сопоставляя бесконечность множества простых чисел и су-
ществование сколь угодно длинных серий последовательных со-
ставных чисел, можно указать следующий эффектный образ, ил-
люстрирующий расположение простых чисел в ряду натуральных
чисел1. Пусть имеется бесконечный луч, на котором на расстоянии
метра друг от друга отмечены точки с абсциссами 1, 2, 3,..., при-
чём метки точек, абсциссы которых простые числа 2, 3, 5, ..
светятся. Двигаясь по этому лучу, мы будем встречать тёмные
интервалы различной длины, в том числе и сколь угодно длинные.
Однако как бы велик ни был такой тёмный интервал, у нас всегда
будет уверенность в том, что он при дальнейшем движении окон-
чится и что дальше будет ещё сколько угодно светящихся точек.
6.	Укажем без доказательства следующую теорему: если
п>3, то между п и 2п — 2 всегда имеется по крайней мере одно
простое число.
Следующая таблица даёт проверку этой теоремы для неболь-
ших значений п:
В интервале между п и 2л — 2	4 6	5 8	6 10	7 12	8 14	9 16	10 18	11 20
имеются простые числа	5	7	7	11	11,13	11,13	11,13,17	13,17,19
Это предложение принял без доказательства французский ма-
тематик Жозеф Бертран. Его применяли под названием «посту-
лата Бертрана», так как его истинность для всех значений п пред-
ставлялась очевидной. Но впервые доказал его в 1850 г. великий
русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821—1894).
Тем самым он дал первый после Евклида общий результат в ре-
шении труднейшего вопроса арифметики о распределении простых
чисел в натуральной последовательности. Вопрос этот, поставлен-
ный свыше 20 веков назад, не решён полностью и доныне, но ра-
боты русских и советских математиков значительно его продви-
нули. Найденное П. Л. Чебышевым доказательство постулата
Бертрана находится в его мемуаре «О простых числах» (стр. 191—
1 Принадлежит проф. И. К. Андронову.
76
207 I тома полного собрания сочинений, изданного Академией
наук СССР в 1946 г.). В более доступном виде оно изложено в
брошюре Л. Г. Шнирельмана «Простые числа» (ГТТИ, 1940).
§ 10. Разложение на простые множители и его применение
1. Теорема. Всякое составное число можно представить в
виде произведения двух или более простых чисел.
Примеры. 4 = 22, 6 = 2.3, 8 = 23, 9 = З2, 10 = 2-5, 12 = 22-3,
14 = 2-7, 15 = 3-5, 16 = 24 и т. д.
Доказательство.
1)	Каково бы ни было данное составное число а, у него всегда
имеется по крайней мере один простой делитель pi [VI, 6,2], а =
— Р\а\. Частное а:р\ = а^ — число простое или составное.
2)	Если 01 есть простое число p2i то а = рхр2 и теорема дока-
зана. Если О1 — число составное, оно имеет по крайней мере один
простой делитель р2, 01 = Рг^г, а = Р1Р2Я2. Частное Oi: р2 = о2 —
число простое или составное.
3)	Если о2 есть простое число р3, то Oi = р2р3, а = pip2p3 и
теорема доказана. Если о2 — число составное, оно имеет по край-
ней мере один простой делитель р3, а2 = р3аз, я = Р1РаРз^з- Част-
ное а : рз = а3 — число простое или составное.
4)	Продолжая рассуждение, получаем последовательно убы-
вающие составные числа а > а\ > а2 > а3 > ..., число которых
во всяком случае меньше а и не< может, следовательно, быть бес-
конечным. Следовательно, рано или поздно получится простое
частное ak_\~pki а потому а = р\р2 ... р*, что и доказывает
теорему.
2. Одно и то же число допускает различные представления
в виде произведения, например, 24 =1-24 = 2-12 = 3.8 = 4- 6 =
= 2 • 3 • 4 = 23 • 3 и др. Если же потребовать, чтобы все сомно-
жители были простыми, имеет место следующая теорема: вся-
кое составное число имеет единственное с точностью до порядка
представление в виде произведения простых чисел. Другими сло-
вами: два представления одного и того же составного числа в
виде произведения простых чисел могут различаться только по-
рядком расположения сомножителей.
Доказательство.
1)	Допускаем, что некоторое составное число а представимо
в виде двух произведений простых чисел рь р2, ..., рп и q\t q2,
Чь, так что Р1Р2 • • • Рп~\Рп= Ч1Ч2    Чь-\Чк.	(А)
2)	В равенстве (А) левая часть делится на рь поэтому правая
часть его тоже делится на р\.
3)	Число pi — простое, просты же и числа qit q2t ...,
а потому из пункта (2) следует, что среди них есть потайней
77
мере одно, равное pi [VI, 4, 4]. Меняя в случае надобности места
сомножителей, можем считать, что pi = qx.
4)	Разделив обе части равенства (А) на р\ = qu получаем
новое равенство р2рз ... рп-\Рп= 42qa... q k-iq*-
5)	Повторяя операцию, уменьшаем каждый раз число сомно-
жителей в левой и правой части на один.
6)	Возможны три и только три допущения: п > k, п	n = k.
При первом из них после k операций приходим к невозможному
равенству pn^kpn-k-\ ... pn-iPn = 1; при втором после п операции
к невозможному равенству 1 = ^_Л^А_Л_1 ... (/^^.Следова-
тельно, п = k и теорема доказана.
3.	Среди сомножителей рь р2,..., ph могут быть одинаковые.
Пользуясь записью произведения равных сомножителей как сте-
пени, приходим к так называемому каноническому (образцовому,
стандартному) представлению любого составного числа
а = р^р^...р^, .	(В>
где каждый из показателей — натуральное число, а все сомножи-
тели pi, р2, ... рп — различные простые числа; будем считать, что
Pi <С Р2 <С Рз <С • • • Рл*
Можно считать, что не только любое составное, но и любое
простое число р имеет каноническое представление в виде (В);
тогда в нём только один сомножитель с показателем 1.
Итак, для любого натурального числа, большего 1, возможно
каноническое представление вида (В), притом единственное. Ка-
ноническое представление называют в школе «разложением на
простые множители». Практические приёмы его получения рас-
сматриваются в V классе.
4.	Канонические представления любых двух чисел всегда
можно считать содержащими одни и те же простые сомножители,
добавляя в случае надобности сомножители с нулевыми показа-
телями. Например, в случае а = 23 • 5 и b = 2 -7 можно добавить
множители 7° = 1 и 5° = 1, что даёт а = 23 • 5* 7° и b = 2 • 5° • 7.
5.	Имея канонические представления двух чисел а —р*1 р*2 ••.
р*п и b = pf1 р|2 ... р$п, можно сразу сказать, делится ли первое
из них на второе или нет, основываясь на следующем общем
признаке делимости: одно число делится на другое тогда и
только тогда, когда показатели всех простых сомножителей’кано-
нического представления первого числа не меньше соответствую-
щих показателей второго числа.
Доказательство этой теоремы предоставляется читателю.
6.	Наличие канонического представления числа даёт другое
решение задачи о разыскании всех делителей данного числа, ко-
торая была решена выше [VI, 2, 4]: надо выписать все числа, кано-
нические представления которых содержат те же простые множи-
тели, что и данного числа, с показателями, не большими, чем у
него. Например, зная, что 108 = 22.33, видим, что делителями
78
108 являются числа 2° • 3° = 1, 2° • З1 = 3, 2° • З2 = 9, 2° • З3 = 27„
21 • 3° = 2, 21 • З1 = 6, 21 • З2 = 18, 21 • З3 = 54, 22 • 3° = 4, 22 • З1 =
= 12, 22 • З2 = 36, 22 • З3 = 108, и никакие другие. Впрочем, при
сколько-нибудь значительном числе простых сомножителей этот
способ мало удобен. Лучше комбинировать его с ранее рассмо-
тренным способом; канонические представления сразу показы-
вают, какие из чисел, меньшие а, являются делителями а.
7.	Составляя список делителей данного числа, полезно иметь
в виду теорему: число а = р*1 р*2... Р*п имеет всего (ъ + 1}
(«2 + 1) ... («л + 1) делителей.
Например, число 600=23 • 3 • 52 имеет всего (3+1) (1+1) (2+1) =
= 24 делителя (считая и несобственные). Для доказательства,
этой теоремы можно убедиться в её справедливости для чисел вида
а = раи а = р*1р*2, а затем применить метод математической ин-
дукции.
8.	Канонические представления данных чисел существенно'
упрощают и разыскание их НОД и НОК. Действительно, если
а = Пр*' и Ь = Пр^, i = 1, 2, 3, ..., п, то, обозначая меньшее из
чисел а/ и через min(a/,P/), а большее из них через тах(а,, (3/)^
имеем, что (а, Ь) = Пр™™?*.^.),	эд _	Зр.Это пред-
ложение обобщается на любое число данных чисел и приводит
к известным из V класса правилам: для получения НОД данных,
чисел надо разложить каждое из них на простые множители и
взять произведение общих простых сомножителей с наименьшими
показателями, а для получения НОК — произведение всех про-
стых сомножителей с наибольшими показателями, с какими они
входят во все разложения.
Разыскание НОД и НОК производится по этим правилам^
весьма просто, но большие трудности могут встретиться при раз-
ложении данных чисел на простые множители. Рассмотренные'
выше, в § 3 и § 5 этой главы, способы получения НОД и НОК на
основе алгоритма Евклида представляют то огромное преимуще-
ство, что вовсе не требуют разложения на простые множители.
Чтобы получить правильное представление о сравнительной прак-
тической ценности обоих способов, рекомендуется найти НОД.
(46 463, 24 929) сперва разложением на множители, потом по-
средством алгоритма Евклида, заметив время, которое на это*
потребуется.
§ И. Понятие о теории чисел и об успехах в ней советских
математиков
Более глубокое изучение свойств натуральных чисел ведётся*
в особой математической науке — теории чисел, которую сту-
денты специальности математика изучают в пединститутах на
79*
IV курсе. Чтобы дать некоторое представление об этой науке,
рассмотрим три частные её задачи.
1.	В учебнике А. П. Киселёва «Геометрия», ч. 1, читаем на
стр. 112 (по изданию 1949 г.) следующее.
«Прямоугольные треугольники, у которых стороны измеряются
целыми числами, носят название пифагоровых треугольни-
ков. Можно доказать, что катеты х и у и гипотенуза z таких тре-
угольников выражаются следующими формулами:
х = 2а6, у = а2 — b2, z = а2 + Ь2,
где а и b — произвольные целые числа при условии, что а > 6».
Общеизвестен «египетский» прямоугольный треугольник со
сторонами 3, 4, 5 единиц длины. Увеличивая его стороны в k раз,
где k — произвольное натуральное число, большее 1, получим
^бесконечное множество пифагоровых треугольников, подобных
египетскому. Задача заключается в том, чтобы найти все другие
пифагоровы треугольники. Как мы сейчас убедимся, рассмотрен-
ных выше сведений о натуральных ’числах достаточно, чтобы
решить эту задачу, причём оказывается, что приведённая в учеб-
нике А. П. Киселёва формулировка ответа требует некоторого ис-
правления.
Пусть имеется прямоугольный треугольник со сторонами, рав-
ными X, Y, Z единиц длины. Тогда в силу теоремы Пифагора
X2 + Y2 = Z2. Задача состоит в том, чтобы найти все решения
этого уравнения в натуральных числах.
Если НОД (X, Y, Z) =k, то X = kx, Y = ky, Z — kz, причём
{x, у, z) = 1. Каков бы ни был пифагоров треугольник со сторо-
нами X, Y, Z, существует бесконечное множество подобных ему
пифагоровых треугольников. Наименьший из них и есть тре-
угольник со сторонами х, у, z, где числа х, у, z взаимно-просты в
своей совокупности; такой пифагоров треугольник называют «соб-
ственным».
Найдя все собственные пифагоровы треугольники, мы будем
тем самым знать и все вообще пифагоровы треугольники. Итак,
задача свелась к решению в натуральных числах уравнения х2 +
+ У2 = г2, где (х, у, z) == 1.
Если (х, y)=d>l, x = dx'f y = dy'9 то из уравнения х2 +
4- у2 = z2 заключаем, что z = dz', (х, у,z) = d > 1, что противо-
речит только что установленному условию (х, у, z) == 1. Следова-
тельно, (х, у) = 1, т. е. числа х и у взаимно-просты. Точно так же
доказываем, что (х, z) = (у, z) = 1. Таким образом, числа х, у, z
для собственного пифагорова треугольника взаимно-просты не
только в своей совокупности, но и попарно.
Числа х и у не могут быть в силу этого оба чётными. Но они
не могут быть и оба нечётными, так как тогда нечётными были
бы и числа х2 и у2, а сумма х2 + У2 — & была бы числом чётным,
но не делилась бы на 4, что невозможно: если z чётно, то z2 де-
лится на 4, а если z нечётно, то г2 тоже нечётно. Итак, из двух
80
чисел х и у одно чётно, другое нечётно. Можно считать х чётным
и положить х = 2х'; тогда у и z оба нечётны.
Переписав уравнение x2 + y2 = z2 в виде x/2=-i-(z-f-
1
4-у) • -g- (z — у), замечаем, что оба сомножителя правой части —
числа натуральные, притом взаимно-простые. Действительно, по-
лагая (z + у) = т, (z — у) —п, имеем z = т -}- п, у =
= т — п. Если бы числа тип имели общий делитель 1, то
как z, так и у делились бы на d, а это невозможно, ¥ак как
(z,y) = l.
Имеем У2 = тп, причём (m, n) = 1. Каноническое разложение
числа id2 содержит все простые множители только в чётных сте-
пенях, а так как каждый такой простой множитель входит в раз-
ложение лишь одного из взаимно-простых чисел т и п, то оба эти
числа — квадраты. Полагая т = а2, п = №, имеем х'2 = а2№,
х' — ab, х = 2аЬ. Далее имеем у — т — п = а2 — b2, z = т-[-
+ п = а2 + №. Легко видеть, что а > Ь, что (a, b) — 1 и что одно
и# этих чисел а и b чётное, другое нечётное.
Итак, если существует собственный пифагоров треугольник со
сторонами х, у, z, то существуют два натуральных числа а и b
таких, что х = 2аЬ, у = а2 — №, z — а2 + Ь2, причём а^>Ь,
(а,Ь) = 1, числа а и b разной чётности.
У египетского треугольника а = 2, b == 1.
Справедливо и обратное предложение: если х — 2аЬ, у=*
*=а2 — №, z — а2 + №, где а и Ь < а, произвольные взаимно-
простые числа разной чётности, то существует собственный пифа-
горов треугольник со сторонами х, у, г. Действительно, х2 + у2 =*
» (2аЬ)2 + (а2 — №)2 = (а2 + №)2 — z2, откуда но теореме,
обратной теореме Пифагора, следует, что существует прямоуголь-
ный треугольник со сторонами х, у, г. Числа х, у, z — натураль-
ные, поэтому этот треугольник — пифагоров. Полагая (х, у, z) = d,
имеем x—2ab — x'd, у = а2— № = y'd, z = а2 + № = z’d, и за-
мечаем, что числа d, у’, г' — нечётны, а равенства а2 = — (z -f-
+ У) = ~ (z7 + y')d, № = у (z — у) =	(z' — y')d показыва-
ют, что d = 1 (при d > 1 числа а2 и №, а следовательно и числа
а и Ь, не могли бы быть взаимно-простыми). Итак, (х, у, z) = 1,
пифагоров треугольник со сторонами х, у, z — собственный.
Итак, найденными формулами х = 2аЬ, у = а2 — №, z = а.2 -|-
+ № при произвольных натуральных взаимно-простых числах а
lib < а разной чётности выражаются длины сторон всех собствен-
ных пифагоровых треугольников и только их одних.
Легко составить полную таблицу собственных пифагоровых
треугольников со сторонами, не превосходящими, например, 100:
надо брать постепенно возрастающие значения а и Ь, удовлетво-
6 В. М. Брадис	81
ряющие условиям, указанным выше, начиная с наименьших воз-
можных а = 2, b = 1. Получаем всего 16 таких треугольников:
а	2	3	4	4	5	5	6	6	7	7	7	8 1	1 8 |	1 8	9	9
b	1	2 1	1 1	3	2	4	1	5	_L	IjJ	16	. 1	1 з	5	2	4
X	4	12	1 8	24	20	40	12	60	28	1 56	84	16 I	1 48	80	36	72
У	3	5 I	1 15.	7	21	9	35	П	45	33	1 13	63	1 55	| 39	77	65
Z	5	13	1 И	25	29	41	37	61	53	65	85	65	1 73	| 89	85	97
Чтобы получить все пифагоровы* треугольники, как собствен-
ные, так и несобственные^ т. е. подобные собственным, достаточно
ввести в найденные выше формулы для х, у, z ещё множитель k,
выражающий произвольное натуральное число. Как видим, реше-
ние задачи о пифагоровых треугольниках, приведённое в учебнике
геометрии А. П. Киселёва, нуждается в исправлении: все пифаго-
ровы треугольники выражаются формулами х — 2abk, у = (а2 —
— b2)k, z= (а2 + b2)k, где a, b < a, k — произвольные натураль-
ные числа, причём а и b — взаимно-просты и имеют разную чёт-
ность. При k = 1 получаются все собственные пифагоровы тре-
угольники и только они одни. По формулам, приведённым у
А. П. Киселёва, нельзя, например, получить треугольник со сто-
ронами 9, 12, 15 (даже при отказе от требования взаимной про-
стоты чисел а и Ь), так как нет натуральных чисел а и 6, удовле-
творяющих условию а2 + Ь2 = 15.
2.	Укажем другую значительно более трудную задачу теории
чисел: доказать, что любое натуральное число представляет собой
либо квадрат, либо сумму 2, 3, 4 квадратов. Это утверждение
легко проверить для ряда последовательных натуральных чисел,
ничиная с 1: 1 = I2, 2=12+12, 3 = I2 + I2 + I2, 4 = 22, 5 =
= 12 + 22, 6 = 12+ 12 + 22, 7 = 12 + 12 + 12 + 22, 8 = 22 + 22,
9 = 32, 10 = 12 + 32, 11 = 12 + 12 + 32, 12 = 22 + 22 + 22 и т. д.
Значительно труднее доказать, что для получения любого нату-
рального числа никогда не понадобится сложения более чем
четырёх квадратов (это доказательство можно найти, например,
в книге советского математика Л. Г. Шнирельмана «Простые
числа», ГТТИ, 1940).
Переходя от квадратов в кубам, четвёртым и любым высшим
степеням, приходим к так называемой «проблеме Баринга»: дока-
зать, что любое натуральное число N представляет собой сумму
не более чем G(k) слагаемых, каждое из которых есть некоторое
натуральное число в степени k, и найти это число G(k), незави-
сящее от N. Наилучшее решение этой проблемы, как и ряда дру-
гих труднейших задач теории чисел, принадлежит ныне здрав-
ствующему советскому математику, Герою Социалистического
Труда, лауреату Сталинской премии 1-й степени, академику
Ивану Матвеевичу Виноградову (родился в 1891 г.). Его книгу
32
«Основы теории чисел» можно рекомендовать для основательного
знакомства с этой наукой.
3.	Если искать представление любого натурального числа в
виде суммы наименьшего числа простых чисел, придём к новой,
ещё более трудной задаче, которую поставил ещё в 1742 г. член
петербургской Академии наук Христиан Гольдбах и которую
после двух столетий безуспешных попыток математиков всех стран
решил в 1937 г. И. М. Виноградов: доказать, что любое нечётное
натуральное число можно представить в виде суммы не более
чем трёх простых чисел. И. М. Виноградов доказал, что этим свой-
ством обладают все натуральные числа, превосходящие некоторое
данное число. Следствием этого предложения является возмож-
ность представить любое достаточно большое натуральное число в
виде суммы не более чем четырёх простых чисел. Но до сих пор не
найдено ни одного чётного числа, превосходящего 2, которое нельзя
было бы представить в виде суммы двух простых чисел: (4 = 2 +
+ 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 =
= 34-11=7 + 7, 16 = 3+13 = 5+11 и т. д.), однако дока-
зать, что такого числа не существует, никому до сих пор не удалось.
4.	Для развития теории чисел очень много сделали дореволю-
ционные русские математики: П. Л. Чебышев (1821—1894),
А. Н. Коркин (1837—1908), Е. И. Золотарёв (1847—1878),
Г. Ф. Вороной (1868—1908), с работами которых можно ознако-
миться по книге Б. Н. Делоне «Петербургская школа теории чи-
сел» (издательство Академии наук СССР, 1947). Но ещё больше
достижений мирового значения имеют советские математики, осо-
бенно И. М. Виноградов и его ученики, а также А. Я. Хинчин,
Б. Н. Делоне, Ю. В. Линник, Б. А. Венков и ряд других. Понятие
о тех задачах, которые были ими решены, можно составить по
книге «Математика в СССР за тридцать лет» (1917—1947), вы-
пущенной в 1948 г. Государственным издательством технико-тео-
ретической литературы (ГТТИ). Необходимо, однако, иметь в
виду, что эта книга, как и упомянутая выше книга Б. Н. Делоне,
рассчитана на математически подготовленного читателя, и начи-
нающему разобраться в её статьях нелегко.
ГЛАВА VII
СВОЙСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ЗАВИСЯЩИЕ
ОТ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
§ 1.	Признак делимости Паскаля и его следствия
1.	Теорема, устанавливающая условия, необходимые и доста-
точные для того, чтобы произвольно взятое натуральное число
делилось на данное натуральное число d, называется признаком
делимости на d. Различают общие признаки делимости, имеющие
силу для любого d, и специальные признаки делимости для
6»
83
отдельных значений d. Один общий признак делимости, основан-
ный на каноническом представлении чисел, рассмотрен выше
{VI, 10, 5]. Теперь ознакомимся с общим признаком делимости,
основанным на представлении натурального числа в виде систе-
матического числа по произвольному основанию g.
2.	Пусть дано основание системы счисления g > 1 и произ-
вольное число 1. Степенными вычетами числа g по модулю d
называются остатки от деления степеней gQ = 1, g, g2, g3f... на d.
Хотя этих степеней бесконечно много, существует лишь не более
чем d различных степенных вычетов числа g по модулю d, так
как эти.вычеты представляют собой целые неотрицательные числа,
меньшие d. Обозначим их буквами r0, Л, л,..., причём остаток
ют деления gk на d будем обозначать знаком г*. Для примера
возьмём g = 10; тогда для d = 2 получим только два различных
степенных вычета 1 и 0, так как Го==1, л = г2 = г3 = ... = 0;
для d = 3 единственный степенный вычет есть 1, так как г0 = Л =
= Л = Л = • • • = 1; для d = 4 получаются вычеты 1, 2, 0, для
d «== 5 — 1 и 0, для d = 6 — 1 и 4, для d = 7 — 1, 3, 2, 6, 4, 5 и т. д.
Каждую разрядную единицу gn можно представить в виде
суммы числа, кратного d, и соответствующего степенного вы-
чета гл: gn =dq-\-rn- Взяв произвольное систематическое число
к
К =	. 0201)^ =	заменяем каждую разрядную еди-
^=1
ницу gn через gnd + гя и после простых преобразований получаем
К = Qd + s» где Q — некоторое натуральное число, as —
4- а*-1Г*^2+.. •+ a2fi + airo- Таким образом, каждое натуральное
число можно представить как сумму числа, кратного d, и числа s,
k
которое получится, если в сумме £ aigM заменить все разрядные
i=i
единицы соответствующими степенными вычетами по модулю d.
3.	Равенство К = Qd + $ показывает, что К делится на d
тогда и только тогда, когда s делится на d [VI, 1,2 и VI, 1,5]. В
этом и заключается общий признак делимости, именуемый при-
знаком Паскаля: данное систематическое число К делится на
данное число d тогда и только тогда, когда на d делится сумма
произведений s всех цифр числа К на соответствующие степенные
вычеты основания системы счисления g по модулю d.
При вычислении s можно прибавлять и отнимать любое крат-
ное d, так как /С = Qd + s = (Q + m)d + (s+ md).
Зная s, можно сделать заключение не только о том, делится
ли К на d или нет, но и о том, какой остаток получится при деле-
нии К на d: остаток от деления К на d всегда одинаков с остатком
от деления s на d.
4,	Из общего признака делимости Паскаля легко вывести ряд
специальных признаков, известных из школьного курса для деся-
тичных чисел.
84
а)	При d = 2 s = аь а потому десятичное число делится (или
не делится) на 2 тогда, когда делится (или не делится) на 2
цифра его единиц.
б)	При d = 3 s = 01 + а2 + ... + а^ а потому десятичное
число делится (или не делится) на 3 тогда, когда делится (или не
делится) на 3 сумма всех его цифр.
в)	При d = 4 s = 2а2 + оь но удобнее взять s = 10о2 + Oj =
= (hd\, добавив число 802, кратное 4. Десятичное число делится
на 4 тогда и только тогда, когда на 4 делится число, изображае-
мое двумя последними его цифрами.
г)	При d = 5 s = Oi, поэтому десятичное число делится на 5
тогда и только тогда, когда его цифра единиц есть 0 или 5.
Для d = 6 и d = 7 признак Паскаля практически удобных при-
знаков делимости не даёт. Из последующих чисел возьмём только
числа 8, 9, 10, 11.
На 8 делятся те и только те десятичные числа, у которых де-
лится на 8 число, образованное тремя последними (считая слева
направо) цифрами.
На 9 делятся те и только те десятичные числа, у которых
сумма цифр делится на 9. В дальнейшем будет использовано то
обстоятельство, что остаток от деления любого десятичного числа
на 9 равен остатку от деления на 9 суммы его цифр.
На 10 делятся те и только те десятичные числа, у которых
последняя цифра есть 0.
5. Пусть теперь d= 11. Степенные вычеты 10 по модулю 11
равны поочерёдно 10 и 1: го = 1, П = 10, r2 = 1, г3 = 10 и т. д.,
поэтому s = fli + Юа2 + Лз + 10а4 + •. • = si + Ю$2, где Si =
== Oi + 0з + 05 + ..., «2 = 02 + 04 + 06 + • • • • Уменьшая s на
lls2, что, как мы видели выше, допустимо, получаем s = si— s2.
Таким образом, чтобы получить остаток от деления данного деся-
тичного числа Д' на 11, надо найти остаток от деления на 11 раз*
ности между суммой цифр числа К, стоящих на нечётных местах,
считая справа налево, и суммой его цифр, стоящих на чётных
местах. Если si < «2, можно увеличить Si на достаточно большое
кратное 11.
Например, если Д = 71819, то si = 9 + 8 + 7 = 24, s2 = 1 +
+ 1=2, si — s2 = 22, 22 : 11 = 2 (ост. 0), поэтому К делится
на 11. Если К = 718891, то Si = 1+ 8 + 1 = 10, s2 = 9 + 8 + 7 =
= 24, Si < s2, а потому берём Si = 10 + 2 • 11 = 32, Si — «2 = 8,
остаток от деления К на 11 равен 8.
§ 2.	Признак делимости на произведение взаимно-простых чисел
1.	Теорема. Если а — произвольное число, Ь и с — взаимно-
просты, то для делимости а на произведение Ьс необходимо и до-
статочно, чтобы а делилось на каждое из чисел b и с в отдель-
ности.
85
Доказательство. Если а делится на произведение Ьс,
то а делится на каждый из сомножителей: а: (be) = q, а = bcq,
а \Ь, а: с, а : b — cq, а : с = bq. Следовательно, без делимости на
b или на с не может быть делимости на Ьс\ необходимость дели-
мости в отдельности на b и на с доказана. Допускаем далее, что
а b, ale. Полагая а : b = q, имеем а — bq, bq : с. По условию b
взаимно-просто с с, а потому по теореме I о делимости произ-
ведения [VI, 4, 2] и q с. Полагая q : с = qi, имеем q = cqb а =
= bq = bcqi, а: (be) = qi (ост. 0). Тем самым доказана и доста-
точность условия, указанного в теореме.
2.	Применяя эту теорему к частным случаям, получаем такие
специальные признаки делимости:
на 6 делятся те и только те числа, которые делятся на 2 и на
3 в отдельности;
на 12 делятся те и только те числа, которые делятся на 3 и 4
в отдельности;
на 15 делятся те и только те числа, которые делятся на 3 и 5
в отдельности;
на 24 делятся те и только те числа, которые делятся на 3 и 8
в отдельности и т. д.
Подчёркиваем важность взаимной простоты делителей b и с.
При нарушении этого условия теорема теряет силу. Например,
хотя 4 • 6 = 24, но делимости на 4 и на 6 ещё недостаточно для
делимости на 24. Так число 36, делясь и на 4 и на 6, не делится на
4 • 6 = 24.
§ 3.	Признаки делимости для недесятичных чисел
1.	Применяя общий признак делимости Паскаля к двоичным
числам, легко доказать существование следующих специальных
признаков:
а)	двоичное число делится на (10)2 = 2 тогда и только
тогда, когда последняя его цифра (считая слева направо) есть 0;
здесь аналогия с признаком делимости на 10 для десятичных
чисел;
б)	двоичное число делится на (11)2 = 3 тогда и только тогда,
когда на 3 делится разность $1 — «2, где $1 сумма цифр, стоящих
на нечетных, $2 — на четных местах; здесь аналогия с признаком
делимости для десятичных чисел на 11.
в)	двоичное число делится на (100) 2 = 4 тогда и только тогда,
когда две последние его цифры нули; здесь аналогий с признаком
делимости для десятичных чисел на 100.
2.	Для троичных чисел имеют место такце признаки дели-
мости:
а)	троичное число делится на 2 тогда и только тогда, когда на
2 делится сумма его цифр; аналогия с признаками делимости
на 3 и 9 для десятичных чисел;
86
б)	троичное число делится на 3 тогда и только тогда, когда
последняя его цифра есть 0;
в)	троичное число делится на 4 тогда и только тогда, когда на
4 делится разность $1 — s2, где Si и «2 означают то же, что и выше.
3.	Легко видеть, что особенно удобные признаки делимости
получаются при произвольном g для таких чисел d, которые яв-
ляются делителями для g, g2, g3,..., а также для d = g — 1 и
d = g--|-l. Читателю рекомендуется сформулировать и доказать
эти признаки, проверяя свои общие результаты хотя бы при
£=Ю.
ОТДЕЛ ВТОРОЙ
АРИФМЕТИКА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
ГЛАВА VIII
МНОЖЕСТВО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Целое отрицательное число как характеристика уменьшения
численности множества
' 1. Натуральное число, будучи характеристикой класса равно-
сильных конечных множеств, может служить в то же время и
характеристикой увеличения численности множества. Например,
если рабочий при норме в 750 деталей дал за смену 900 деталей,
то увеличение производительности его труда характеризуется
числом 900 — 750 = 150. Если вместо множества А численности
а мы имеем новое множество В численности Ь, где а < Ь, то этот
переход от множества А к более обширному множеству В коли-
чественно характеризуется натуральным числом b — а —с.
Подобно этому и число 0 можно рассматривать не только как
характеристику пустого множества, а и как характеристику от-
сутствия изменения численности множества.
2.	Но наряду с увеличением численности множеств постоянно
встречаются случаи её уменьшения, и возникает вопрос, как такое
уменьшение охарактеризовать количественно. Например, если ра-
бочий раньше давал за смену 30 деталей II сорта, а теперь даёт
только 10, то натуральное число 30— 10 = 20 служит характери-
стикой изменения количества деталей II сорта при наличии ука-
зания, что здесь произошло именно уменьшение, а не увеличение.
Называя увеличение и уменьшение общим термином изменение,
можно сказать, что сами по себе натуральные числа для количе-
ственной характеристики изменений численности множеств недо-
статочны: нужно ещё дополнительное словесное указание на
направление изменения.
Такое дополнительное указание станет излишним, если наряду
с натуральными числами, выражающими увеличение, ввести новые
числа, выражающие уменьшение численности множества. Такие
числа, выражающие уменьшение на 1, 2, 3, 4...называются
целыми отрицательными числами и обозначаются с помощью зна-
ка вычитания (минуса), поставленного перед натуральным
числом: —1, —2, —3, —4....Отсюда о пределение: целым отри-
цательным числом — с называется число, характеризующее умень-
88
шение численности любого множества А, численность которого не
меньше с, на с элементов, т. е. замену этого множества А числен-
ности а другим множеством В численности Ь = а — с, где а >
3.	После введения целых отрицательных чисел натуральные
числа получают новое название — целые положительные числа»
и новое обозначение — посредством знака сложения (плюса) >
поставленного спереди или подразумеваемого; последовательность
натуральных чисел 1, 2, 3,... можно записать как +1, +2, +3>
и т. д.
Целое положительное число 4~£ и целое отрицательное число
—с называются противоположными (или симметричными). Число,,
противоположное противоположному, есть по определению не что
иное, как данное: — (—с) = поэтому числа 4-с и —с назы-
ваются также взаимно-противоположными.
Число нуль считается противоположным самому себе.
Буква без знака или со знаком плюс употребляется для записи
не только положительного, но и отрицательного числа и нуля.
Тогда та же буква соизнаком минус означает противоположное
число. Например, если а = 5, Ь = —6, с = 0, то —а — —5, —b =
= 4-6, — с = 0.
Числа натуральные (целые положительные) вместе с целыми
отрицательными и с числом нуль объединяются в общем понятии
целого числа. Множество целых чисел можно указать записыа
0, 4-1, —1, +2, —2, 4-3, —3,... или, короче, записью 0, +1, +2„
+3,..., отмечая многоточием, что запись не закончена. Каждое
натуральное число является в то же время целым, но не каждое
целое является натуральным. Множество натуральных чисел
входит в множество целых чисел, будучи правильной его частью.
Как пример применения целых чисел на практике приводим
две следующие таблицы, показывающие один и тот же ход изме-
нения накопления денег (в рублях) на книжке сберегательной
кассы. В первой таблице используются только натуральные числа,,
но требуются особые графы для прихода и расхода. Во второй
таблице используются, кроме натуральных, также целые отрица-
тельные числа, и вместо этих двух граф имеется только одна
графа «изменение».
Дата	Расход	Приход	Остаток
1. I. 52			524
3. II	250	—	274
20. II		400	674
5. III,	210	—	464
19. 11Г	116	—	348
4. IV	—	500	848
16. IV	52	—	796
5. V	—	450	1246
Дата	Измене- ние	Остаток
1. I. 52		524
3. II	-250	274
20. II	4-400	674
5. III	—210	464
19. 111	—116	348
4. IV	4-500	848
16. IV	—52	796
5. V	4-450	1246
8»
4.	Абсолютным значением целого положительного натураль-
ного числа называется само это число. Абсолютным значением
целого отрицательного числа называется противоположное ему
натуральное число. Абсолютным значением нуля называется само
число нуль. Абсолютное значение числа на письме указывается
Лвумя вертикальными чёрточками, заключающими число. Так,
например, I + 31 = + 3, или 3, | — 3 |= + 3 или 3, IОI = 0.
5.	Рассматривая всевозможные конечные множества, мы уста-
новили понятие равносильности множеств и распределили все мно-
-жества на классы равносильных множеств, а затем определили на-
туральное число как инвариант класса равносильных множеств.
-Подобным же образом можно прийти и к определению целого
числа как инварианта класса равносильных изменений численности
конечных множеств. Рассматривая всевозможные изменения чис-
ленности конечных множеств, будем считать два изменения равно-
сильными, если они, во-первых, одинаково направлены, т. е. оба
представляют собой или увеличения, или уменьшения, и если, во-
вторых, равносильны множества присоединяемых или удаляемых
-элементов. Например, изменение численности множества сидящих
в* этой комнате людей, обусловленное тем, что двое из них встали,
равносильно изменению множества карандашей в коробке, если
вынуть йз неё один красный и один синий карандаши. Инвариан-
том каждого такого класса равносильных изменений численности
-множеств и является целое число, в нашем примере целое отри-
цательное число —2. Натуральное число, будучи инвариантом
класса равносильных конечных множеств, выступает теперь как
^инвариант класса равносильных изменений — увеличений.
§ 2.	Равенство и неравенство целых чисел
1.	Выше были установлены понятия равенств^ и неравенства
(меньше и больше) для натуральных чисел [II, 3], так наглядно
представляемые с помощью множества целочисленных точек на
-луче, изоморфного множеству натуральных чисел [II, 5]. Продол-
жая луч за начальную его точку Ао и откладывая на Этом втором
луче равные отрезки Ao A-i, A_i А_2,..получим числовую пря-
мую и множество целочисленных точек на ней, состоящее из точек
Al, А2, Аз, ..какие мы имели раньше, с добавлением точки Ао и
точек А _ i, А_2, А_3, ..., указателями которых служат целые отри-
цательные числа (фиг. 5). Эта числовая прямая имеет определён-
ное направление, указанное срелкой, или, как говорят, она ориен-
тирована. Ориентированную числовую прямую называют числовой
осью или просто ocbfo. Две целочисленные точки Ап и Ak на число-
вой прямой либо совпадают (при n — k), либо различны (при
л ф k). Если они различны, то первая либо предшествует второй,
как, например, точка А_б и точка А_2, либо следует за второй, как,
например, А_2 и А_б. Если прямая расположена горизонтально,
«90
предшествующей точкой обычно считают ту, которая левее, а если
вертикально, то ту, которая ниже. Таким образом, каждые две
целочисленные точки на прямой связаны одним и только одним из
-2 -1	0 +1 +2
-О	О	О	'О
+ 3
Фиг. 5.
трёх соотношений: или первая совпадает со второй, или предшест-
вует второй, или следует за второй.
Это соотношение предшествования очевидно обладает транзи-
тивностью: если точка Ап предшествует точке Л*, т. е. располо-
жена левее ДЛ, и Л* предшествует Л/, то Ап предшествует Ai.
Множество целочисленных точек на прямой в силу этого упорядо-
чено [I, 2, 6].
2.	Рассмотрим совместно множество целых чисел и множество
целочисленных точек на прямой. Эти множества окажутся изо-
морфными [II, 5, 3], если установить между целыми числами сле-
дующие соотношения, соответствующие соотношениям между точ-
ками.
Определение. Два целых числа п и k равны, если соответ-
ствующие им точки Ап и Ak совпадают, т. е. если п и k одно и то
же число. Число п меньше числа k, если точка Ап предшествует
точке Ak. Число п больше числа k, если точка Ап следует за точ-
кой Ak.
Отсюда вытекает, что всякое целое отрицательное число меньше
нуля и меньше любого целого положительного числа, а из двух
целых отрицательных чисел меньше то, у которого абсолютное
значение больше.
Разумеется, легко дать и чисто арифметическое определение
понятий «равно», «меньше», «больше» для целых чисел, не обра-
щаясь к множеству точек. Однако данное в тексте определение
обладает большей наглядностью и лучше запоминается.
3.	Установив определение соотношений равно, меньше, больше
для целых чисел, мы упорядочили множество этих чисел. Распола-
гая целые числа по порядку, так, чтобы каждое меньшее пред-
шествовало большему, можно представить множество целых чи-
сел в виде «двусторонней последовательности»
... — 5, — 4, — 3, — 2, — 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6,...,
отмечая многоточиями, что запись может быть продолжена и на-
право, и налево.
Легко проверить, что это упорядоченное множество целых чи-
сел и упорядоченное же множество целочисленных точек на пря-
мой действительно изоморфны.
91
§ 3.	Свойства множества целых чисел
1.	И множество натуральных чисел, и множество целых чисел
можно, как мы видели, упорядочить, считая каждое меньшее
число предшествующим каждому большему. Отметим одно су-
щественное различие между этими двумя множествами, упорядо-
ченными по величине: в то время как множество натуральных
чисел представляет собой последовательность, которая не имеет*
последнего элемента, но имеет первый (начальный) элемент —
единицу, двусторонняя последовательность целых чисел не имеет
ни последнего, ни первого элемента.
2.	Покажем, что множество целых чисел бесконечно в том
смысле, какой установлен определением [I, 2, 5].
Множество натуральных чисел является правильной частью-
множества всех целых чисел, но тем не менее можно установить
взаимно-однозначное соответствие между элементами этих двух
множеств, как это видно, например, из следующей записи:
1	2	3	4	5	6 . . . . 2п 2п + 1 . . .
т	т	т	т	т	т	т	т
1	4»	X	X	X	X	X	X
О -|- 1 — 1 -|- 2 — 2 -|- 3 . . . . -j- п — п . . .
Итак, множество целых чисел имеет правильную часть, равно-
сильную всему множеству целых чисел, а потому оно бесконечно-
3.	Определение. Всякое множество, равносильное множе-
ству натуральных чисел, называется счётным.
Как мы только что видели, множество целых чисел равно-
сильно множеству натуральных чисел. Отсюда теорема: мно-
жество целых чисел счётно.
4.	Вспоминая определение дискретности упорядоченного мно-
жества [II, 4, 4], легко убеждаемся, что упорядоченное множество»
целых чисел, как и множество натуральных чисел, дискретно;
каждое целое число п имеет непосредственно за ним следующее
целое число и', эти два числа не имеют промежуточных.
§ 4.	Аксиомы арифметики целых чисел
1.	Сводя к минимуму обращения к опыту, получаем аксиома-
тическое изложение арифметики целых чисел, весьма близкое к
аксиоматическому изложению арифметики натуральных чисел, по-
нятие о котором было дано выше [II, 8]. Оно несравненно менее
наглядно, чем то генетическое изложение, которое основано на
представлении целого числа как характеристики изменения числен-
ности множества, но имеет свои “достоинства.
2.	Основные (неопределяемые) понятия арифметики
целых чисел: основные объекты — целое число, нуль; основное
соотношение — непосредственно следует за.
Аксиома I. Нуль есть целое число.
32
Аксиома IL Каково бы ни было целое число п, существует
одно и только одно целое число д', непосредственно следующее
за п.
По определению 0'= 1, 1'= 2, 2'= 3 и т. д.
Аксиома III. Каково бы ни было целое число л, существует
одно и только одно целое число 'п, для которого п является не-
посредственно следующим.
По определению это число 'п называется непосредственно пред-
шествующим числу п. По определению же '0 = — 1,'(— 1)= — 2,
у(—2)= —3 и т. д.
Аксиома IV. Если какое-нибудь множество целых чисел об-
ладает следующими двумя свойствами: а) оно содержит какое-
нибудь целое число; б) содержа какое-нибудь целое число п, оно
•содержит и непосредственно следующее за п число п' и число 'п,
для которого число п является непосредственно следующим, то это
множество есть множество всех целых чисел.
Истинность этих четырёх аксиом усматривается сразу, если ис-
ходить из указанного выше представления целого числа как харак-
теристики изменения численности множества.
3.	Имея три указанных выше основных понятия я четыре пе-
речисленные аксиомы, а также определения действий, можно изло-
жить всю арифметику целых чисел, вовсе не обращаясь к множест-
вам. При этом будет точно установлено, что именно в арифметике
целых чисел взято из опыта, что является определением, что
логическим выводом. Однако такое «аксиоматическое» изложение
в силу крайней своей абстрактности и сложности вовсе непригодно
для школы, и мы ограничимся в дальнейшем лишь одним приме-
ром его применения (теорией сложения), ведя всё остальное из-
ложение на основе определения целого числа как характеристики
изменения численности множества.
§ 5.	Понятие о целом числе как паре натуральных чисел или
натурального числа и нуля
Существует другое аксиоматическое изложение теории целых
чисел, основанное на следующем определении: целым числом
называется пара (а, Ь) целых неотрицательных чисел а и 6, взя-
тых в определённом порядке. Здесь буквы а и b означают произ-
вольно взятые натуральные числа или нули.
Это множество пар становится упорядоченным в результате
введения следующего определения: целое число (а, Ь) равно
целому числу (с, d) в случае, когда а + d = b + с; (а, Ь) больше
(с, d), если а4- d>b -f- с\ (а, Ь) меньше (с, d), если а +
< b + с.
Если а Ь и с^ d, этим определениям удовлетворяют нату-
ральные числа (или нуль), представляющие собой разности а — Ь
и с — d. Если же а < 6, то пара (а, Ь) является уже не нату-
ральным числом или нулём, а некоторым новым элементом —
93
целым отрицательным числом. Вводитвя ещё ряд определений»
позволяющих построить полную теорию целых чисел, частным
случаем которых являются натуральные числа и нуль.
Эта теория носит весьма формальный характер: связи рас-
сматриваемых в ней объектов (пар) и отношений между ними с
объектами и отношениями материального мира тщательно замас-
кированы, так что начинающему все её определения представля-
ются совершенно произвольными, ни на чём не основанными.
Краткое изложение теории целых чисел как пар натуральны#
можно найти в книгах: П. Д. Беленовский «Основы теоретической
арифметики» (Учпедгиз, 1938); И. В. Арнольд «Теория чисел»
(Учпедгиз, 1939).
§ 6.	Целочисленные линейные векторы. Величины, допускающие
изменение в двух взаимно-противоположных направлениях от
начального значения
1.	Любой отрезок числовой оси, в котором различают начало
и конец («направленный отрезок»), называется «линейным век-
тором» или «вектором на прямой». Понятия длины и направле-
ния линейного вектора будем считать непосредственно очевид-
ными. Ограничиваясь только такими векторами, у которых нача-
лом и концом служат целочисленные точки («целочисленные ли-
нейные векторы»), рассмотрим множество всех таких векторов»
считая равными все векторы, имеющие одну и ту же длину и одно
и то же направление, как, например, векторы Ао А5 и А3 Л8 и
Л_8Л_3 (такие векторы называют «свободными»). Векторы одной
длины, но разного направления, называются противоположными.
Таковы, например, векторы Л0Лл и А0^-л«
Рекомендуется в виде упражнения сделать следующее.
а)	Дополнив множество линейных векторов «нуль-вектором»>
т. е. таким вектором, у которого начало и конец совпадают, по-
казать равносильность этого расширенного множества линейных
векторов множеству целых чисел.
б)	Так упорядочить множество линейных векторов, чтобы оно
стало изоморфным множеству целочисленных точек на прямой
(относительно соотношений «совпадает», «предшествует», «сле-
дует»), присоединив к указанному выше соотношению равенства
векторов ещё соотношения неравенства (меньше и больше).
в)	Показать изоморфность этого множества целочисленных ли-
нейных векторов множеству целых чисел (относительно соотноше-
ний равенства и неравенства).
г)	Выяснить возможность наглядного представления измене-
ния численности множеств посредством линейных векторов.
2.	Положив в основу понимание целого числа как инварианта
класса равносильных изменений численности множеств [VIII, 1, 5]»
мы указали два множества, изоморфных множеству целых чисел
94
относительно соотношений равенства и неравенства, а именно»
множество целочисленных точек на прямой с соотношениями
совпадает, предшествует, следует и множество целочисленных ли-
нейных векторов с соотношениями равенства и неравенства.
Можно указать ещё сколько угодно множеств, изоморфных мно-
жеству целых чисел и имеющих тот или другой геометрический
или физический смысл. Эти множества представляют собой при-
меры «величин», а их элементы носят названия «значений» этих
величин. Таково, например, множество всевозможных перемеще-
ний точки, движущейся по прямой, если эти перемещения проис-
ходят из одной целочисленной точки прямой в другую такую же-
её точку; таково множество всех возможных скоростей точки, дви-
жущейся по прямой в том или другом из двух возможных на-
правлений при условии, что за единицу времени точка проходит
некоторое натуральное число единиц длины (или нуль); таково»
множество промежутков времени, отсчитываемых от какого-ни-
будь начального момента в каких-нибудь единицах в двух проти-
воположных направлениях — в будущее и в прошедшее, и сколько-
угодно других.
3.	Полезно отметить одно различие между величинами, изме-
нение значений которых можно выразить с помощью целых чисел.
В то время как каждая из таких величин имеет среди своих зна-
чений начальное или нулевое значение, характеризуемое целым’
числом нуль, одни величины допускают изменение лишь в одном:
направлении от этого начального значения, другие же в двух на-
правлениях. Например, численность множества имеет начальное-
значение нуль (пустое множество), которое можно увеличить да
значения, выражаемого сколь угодно большим натуральным
числом, но нельзя уменьшать, так как множеств с отрицательной
численностью не существует. Множество же скоростей имеет на-
чальное значение нуль (скорость неподвижной точки), которое-
можно изменять в двух направлениях, соответственно двум на-
правлениям на прямой. Если скорости одного направления будем
выражать положительными числами, скорости другого направле-
ния будут выражаться числами отрицательными.
Необходимо иметь в виду, что это различие величин двух ука-
занных видов имеет не абсолютный, а лишь относительный ха-
рактер. Например, примером величины первого вида, а именно
величины, допускающей изменение в одном лишь направлении от
начального значения, может служить вес тела, т. е. та сила, с ко-
торой она притягивается к Земле. Но наряду с телами тяжёлыми,,
которые стремятся к центру Земли, имеются тела, обладающие при
определённых условиях подъёмной силой, как например, погру-
жённые в воду тела плотности меньшей 1. Объединяя вес и подъ-
ёмную силу в одно обобщённое понятие, которое естественно тоже
называть весом, мы приходим к новой величине, допускающей
уже изменение в двух направлениях от начального значения. По-
добным же образом можно прийти и к понятию отрицательной
95»
площади, отрицательного объёма и т. д. Умение для данной вели-
чины первого вида указать обобщённую величину второго вида
имеет большое значение для приложений математики; этому
вопросу уделяют много внимания в школе при первом ознакомле-
нии с отрицательными числами («направленные величины»).
Множество значений любой величины, допускающей изменение
лишь в одном направлении от начального значения, изоморфно
множеству линейных векторов на луче, а величины, допускающей
изменение в двух направлениях от начального значения, — мно-
жеству линейных векторов на прямой (здесь идёт речь только о
величинах, значения которых выражаются целыми числами).
ГЛАВА IX
ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ
§ 1. Сложение целых чисел
1. Одно и то же множество можно подвергнуть двум и более
последовательным изменениям, равносильным одному итоговому
изменению. Например, если сумма денег в кассе сперва увеличи-
лась на 500 руб., потом уменьшилась на 700 руб., то эти два по-
следовательных изменения равносильны одному итоговому изме-
нению — уменьшению на 200 руб.
Все изменения численности множеств, о которых будет речь
дальше, предполагаются независимыми друг от друга: каждое
последовательное изменение оказывает одно и то же влияние на
окончательный результат, какие бы другие изменения ему ни
предшествовали и за ним ни следовали.
2. Определение. Суммой двух данных целых чисел а к b
называется целое число с, выражающее такое изменение числен-
ности множества, которое равносильно двум последовательно
произведённым её изменениям, выраженным числами а и Ъ.
В зависимости от значений слагаемых а и Ь, имеем такие част-
ные случаи применения этого определения:
I.	Если а > 0, b > 0, то последовательное выполнение измене-
ний (увеличений на а и Ь) равносильно одному увеличению на
а + Ь; в применении к целым положительным натуральным
числам новое определение суммы сводится к прежнему её опреде-
лению для чисел натуральных. Например, (+5) 4-(4-4) =
= 4-(5 4-4)=4-9.
II.	Если а < 0, b < 0, то последовательное выполнение изме-
нений (уменьшений на а и Ь) равносильно одному уменьшению на
а-}-Ь. Например, (—5)4~(—4) =—(54-4)= — 9.
III.	Если а 0, b < 0, то последовательное выполнение увели-
чения на |а| и уменьшения на |&| равносильно при |а|>|&| одному
увеличению на |а|—1&|, при |а|<|6|—одному уменьшению на
96
161—|al, при |a|=|6l — отсутствию изменения (нулевому изме-
нению). Например, (+5) + (— 4)= +(5 — 4) = 4- 1; (4-5)4-
+ (-7) = —(7-5) = —2; (+5) + (-5)=0.
IV.	Если a < О, b > 0, то имеем те же три возможности, что
и в предшествующем случае. Например, (—5)+(+2) = —
-(5-2) — — 3; (—5) + (+9)=+(9 — 5)=-f-4; (-5) +
+ (+ 5) = 0.
V.	Если a = 0, b 5^ 0 или а ф 0, 6 = 0, то последовательное
выполнение одного нулевого и одного ненулевого изменения
равносильно этому ненулевому изменению, а потому 0 + b = 6,
а + 0 = а. Точно так же 0 + 0 = 0.
Итак, сложение целых чисел во всех случаях сводится к сло-
жению и вычитанию целых неотрицательных чисел.
Правило. Чтобы найти сумму двух целых чисел одного знака,
надо взять сумму их абсолютных значений с тем знаком, какой
имеет слагаемые. Чтобы найти сумму двух целых чисел разного
знака, надо взять разность их абсолютных значений с тем зна-
ком, какой имеет слагаемое с большим абсолютным значением;
если абсолютные значения двух слагаемых разного знака равны,
сумма равна нулю.
3.	Указанное определение суммы двух целых чисел обоб-
щается на случай любого числа слагаемых точно так же, как для
натуральных чисел [III, 1, 2]. Например, а + Ь 4- с = (а 4- Ь) + с,
a4-64-c4-d==(a-|-64-c)4-d и т. д.
4.	Все свойства суммы натуральных чисел, рассмотренные
выше [III, 1, 4] и полностью сохранившиеся при переходе от на-
туральных чисел к целым неотрицательным числам [IV, 4, 1], со-
храняются и при переходе к числам целым: сумма любого числа
целых слагаемых всегда существует и единственна, обладает пере-
местительностью, сочетательностью, аддитивностью, монотонностью.
Все эти свойства вытекают непосредственно из определения
целого числа как характеристики изменения численности мно-
жества, из независимости таких изменений и из определения
суммы целых чисел.
5.	Целые числа а и —а, как мы уже знаем [VIII, 1, 3], на-
зываются противоположными. Сумма двух противоположных чи-
сел равна нулю, и обратно, если сумма двух целых чисел равна
нулю, эти числа противоположны (оба эти утверждения следуют
непосредственно из определения суммы как характеристики ито-
гового изменения). Докажем ещё одно свойство суммы.
Теорема. Число, противоположное сумме, равно сумме чи-
п
сел противоположных слагаемых; короче: если s—	то
Доказательство для сокращения записи проведём для случая
п = 3 (для любого другого п оно проводится точно так же).
7 В. М. Брадис	97
Пусть ai + a2 + ^3 = s, (— 0i) + (— 02) + (— 0з) = x. Най-
дём сумму s + x, используя переместительное и сочетательное
свойства суммы:
s х = (а\ + а2 + 0з) + [(—01) + (—02) 4~ (—0з)] = 01 + 02
+ 0з + (—01) + (—02) + (—0з) = 01 + (—01) + 02 +
+ (—02) + 0з + (—0з) = [01 + (—01)] + [02 + (—02)] ~Ь
+ [0з + (— 0з)] = 0 + 0+ 0 = 0. Но если $ -(- х = 0, числа
лих противоположны, х = — $, —$=(—01)+ (—02) + (—0з)«
6. Чтобы найти сумму любого числа целых слагаемых, при-
меняются два способа. Первый состоит в последовательном при-
бавлении чисел по одному: а0 + #i = 5 Г, $1 + 02 = $2, $2 + 0з =
= «з,..0л = ‘$,л~5’ Второй способ основан на использо-
вании переместительного и сочетательного свойства суммы:
сперва вычисляется сумма $+ всех положительных слагаемых,
потом сумма $_ всех отрицательных слагаемых, наконец искомая
сумма s = s+4-s_.
7. Все свойства суммы целых чисел и правила её выполнения
приобретают полную наглядность, если выражаемые этими це-
лыми числами изменения представлять в виде линейных векто-
ров [VIII, 6]. Чтобы найти сумму двух векторов AnAk и ApAq,
достаточно заменить последний вектор равным ему вектором
АкАт и взять вектор Ап Ak + AkAm = АпАт>
8. Покажем, как изложить теорию сложения целых чисел
на основе аксиом арифметики целых чисел [VIII, 4, 2]. Начинаем
с обобщения того индуктивного определения суммы двух нату-
ральных чисел, которое было дано раньше [III, 1, 8].
Определение. Суммой двух целых чисел а и b называется
целое число, определяемое формулами а + 0 = а, а + Ь'=
= (0 + *)', a + fb='(a + b).
Напоминаем, что запись Ь' означает число, непосредственно
следующее за 6, а запись 'Ь — число, непосредственно предшест-
вующее Ь. Приведённое определение суммы имеет смысл в силу
аксиом II и III, утверждающих, что у всякого целого числа есть
непосредственно следующее и непосредственно предшествующее.
9. Основываясь на этом определении суммы, легко составить
следующую таблицу сложения целых чисел, допускающую не-
ограниченное продолжение:
0 + 0=	0,	0+1=1,	0+2=2,	0+3= 3, ...
0 + (-1) = —1,	о + (—2) = —2,	0 + (—3) = —3, ...
1 + 0=	1,	1+ 1=2,	1+ 2=3,	1+	3=4,...
1 +(-!)= 0,	1+(—2) = —1,	1+(-3) = ~2, ...
—1+0 = —1,	— 1 + 1 = 0,	— 1 + 2= 1,	—1+ 3= 2,...
—1+(—1) = —2,	—1 + (—2) = —3,	—1+(—3; = —4, ...
2 + 0=	2,	2+1=3,	2+2=4,	2+3= 5,...
2 + (-1)= 1,	2 +(-2)= 0,	2 + (—3) = —1, ...
__2 + 0 =-2, —2+	1 =-1, — 2+	2=0, ^2+	3= 1, ...
—2 + (-1) = -3, —2 + (—2) = —4, —2 + (-3) = —5, ...
98
Эта таблица составляется последовательно: каждый следую-
щий результат получается с помощью предшествующих. Напри-
мер, чтобы найти сумму 2+(—3), заменяем —3 через '(—2) и
пишем 2 + (—-3) = 2 +2) ='[2 + (—-2)] ='0 = —1, а для
получения суммы —2 + 3 заменяем 3 через 2' и пишем —2 -J- 3 =
= —2 + 2' = (—2 + 2)' = О' = 1.
Докажем теорему: каковы бы ни были два данных целых
числа а и Ь, их сумма а-\-Ь существует.
Действительно, для 6 = 0 эта теорема верна при любом а
в силу первой части индуктивного определения суммы, а +
—J— 0 = а.
Если теорема верна для какого-нибудь целого числа Ь, она
верна и для непосредственно следующего за b числа Ь' в силу
второй части этого определения: из существования а + Ь выте-
кает существование а-\-Ь' = (а 4-6)', так как по аксиоме II у
всякого целого числа есть непосредственно следующее. Она верна
также и для числа 'Ь, непосредственно предшествующего Ь в
силу третьей части определения суммы: из существования а + b
вытекает существование а + 'Ь = '(а + 6), так как епо аксио-
ме III у всякого целого числа есть непосредственно предшест-
вующее.
Таким образом, выполнены все условия аксиомы IV: множе-
ство тех значений Ь, при которых теорема верна, есть множество
всех целых чисел. Первое слагаемое а с самого начала рассуж-
дения предполагалось произвольным, а потому теорема доказана
полностью.
10.	Приведём ещё, пользуясь тем же методом математической
индукции, доказательство сочетательного свойства суммы целых
чисел, выражаемого формулой:
(a + 6)+c = a+(h+'c).	(А)
а)	При с — 0 формула (А) верна, так как по I части опреде-
ления суммы (а -|- Ь) 4- 0 = а + Ь, а 4- (Ь 4- 0) = а + Ь.
б)	Если формула (А) верна для какого-нибудь целого числа с,
она верна и для числа с', непосредственно следующего за с. Дей-
ствительно, (а + Ь) + с' = [(а Ь) 4- с]' = [а 4- (Ь 4- с)]' = a-j-
4- (b 4* с)' = а 4- (6 4* Здесь использована II часть опре-
деления суммы.
в)	Если формула (А) верна для какого-нибудь целого числа с,
то она верна и для числа 'с, непосредственно предшествующего с.
Действительно, (а 4- b) -j-'c = '[(а 4- Ь) 4- с] = '[а 4- (Ь 4- с)] =
= а 4- '(Ь 4- с) = а 4* (Ь 4- 'с). Здесь использована III часть
определения суммы.
г)	Формула (А), верная при любых а и b для с = 0 и верная
для с' и ’с всякий раз, когда она верна для с, верна для всех
целых значений с (по аксиоме IV).
7*
99
§ 2.	Вычитание целых чисел
1.	Для целых чисел сохраняет силу только второе из тех двух
определений разности, какие были установлены для натуральных
чисел [III, 4,2]: разностью двух чисел называется такое третье
Цисло, которое, будучи сложено со вторым данным числом, даёт
первое из них. *
В множестве целых неотрицательных чисел разность а — b
существует и единственна лишь при условии а Ь. Покажем, что
в множестве целых чисел разность всегда существует и един-
ственна.
2.	Единственность разности легко доказывается от противного,
если воспользоваться монотонностью суммы: допустив, что раз-
ность а — b существует и имеет два значения, с и Ci < с, имеем
c-\-b — at C\-\-b = a, с 4- 6 = или + с = + с ь а
между тем по свойству монотонности суммы из неравенства Ci < с
следует неравенство Ci 4- b < с + Ь. Точно так же опровергается и
допущение Ci > с, а потому остаётся только одно: с = Итак,
если разность а — b существует, она единственна.
3.	Каково бы ни было целое число, всегда существует противо-
положное ему целое число [VIII, 1,3]: любому натуральному
числу b противоположно целое отрицательное число —Ь\ любому
целому отрицательному числу, которое можно записать тоже
одной буквой Ь, противоположно натуральное число, которое за-
писывается как —6; число 0 противоположно самому себе. Сумма
двух любых противоположных чисел равна нулю: Ь + (—Ь) = О
[IX, 1,2].
4.	Пусть даны произвольные целые числа а и Ь. Взяв число
—Ь, противоположное второму из данных чисел, найдём сумму
а + (—Ь), что, как мы уже знаем, всегда возможно, и сложим эту
сумму с числом Ь.
[а + (—6)] 4- b = а + [(—Ь) + Ь] (по сочетательному свой-
ству суммы);
= а 4- 0 (по свойству суммы противоположных чисел);
= а.
Эта выкладка показывает, что число а 4- (—Ь) можно рас-
сматривать как разность чисел а и Ь. Отсюда и из доказанной
выше единственности разности следует, что разность целых чисел
а — b существует, единственна и равна сумме уменьшаемого а и
числа —Ь, противоположного вычитаемому Ь.
5.	Таким образом, разность целых чисел всегда можно заме-
нить суммой первого из данных чисел и числа, противоположного
второму из них: 7 — 2 = 74- (—2) = 5, 7 — (—3) =74- (+3) =
= 10, 7 — 0 = 7 4-0 = 7.. Действие вычитания сводится, таким
образом, к сложению и не требует особого рассмотрения. Оба эти
действия объединяются поэтому под общим названием «алгебраи-
100
ческого сложения», а совокупность чисел, связанных знаками
плюс и минус, получает название «алгебраической суммы».
Шесть свойств суммы натуральных чисел, рассмотренное выше
[III, 1,5], имеются и у алгебраической суммы. Так, все члены
алгебраической суммы можно менять местами, сохраняя стоящие
перед ними (или подразумеваемые) знаки + и —. Например,
а — b = — & + а, так как а — Ь = а^ (—Ь) = (—Ь) + а =
= — b + а. Но об алгебраической сумме уже нельзя сказать, что
она больше каждого из своих слагаемых: это верно для чисел
натуральных, но не всегда верно для чисел целых неотрицательных
и для чисел целых.
6.	Данное числовое множество М называется замкнутым отно-
сительно данного действия, если результат этого действия, приме-
нённого к любым числам из М, даёт число из М\ в противном
случае множество М называется незамкнутым относительно этого
действия. Выше мы уже видели, что множество натуральных чисел
замкнуто относительно сложения и умножения, но незамкнуто
относительно вычитания и деления [III, 4, 6 и III, 5, 5].
Из того что мы установили выше о сложении и вычитании це-
лых чисел, следует, что множество целых чисел замкнуто относи-
тельно обоих этих действий.
7.	Имея два неравных натуральных числа и зная, которое из
них больше, мы вычитаем из большего меньшее и узнаём, на
сколько одно больше другого. При вычитании целых чисел дело
обстоит несколько иначе: здесь не надо предварительно устанав-
ливать, какое число больше. Взяв два произвольных целых числа
а и b и найдя их разность с = а — Ь, мы по знаку этой разности
устанавливаем, какое число больше (при с > 0 а > Ь, при с < О
а <6, при с = 0 а = 6), а по её абсолютному значению — на
сколько больше.
Можно сказать, что при вычитании натуральных чисел произ-
водится только количественное их сравнение, а при вычитании
целых чисел — и количественное, и качественное.
§ 3.	Умножение целых чисел
1.	Определение. Произведением целых чисел а и b назы-
вается целое чи8ло, обозначаемое как а • b или ab и определяемое
следующими формулами: а • 0 = 0, а • 1 = а\ если b > 1, то ab *=
= а+ а + ... ,£ а (сумма b слагаемых); если 6<0, то ab =
*=-а-\Ь\.
Если условиться называть число а «суммой одного слагаемо-
го», то случаи b = 1 и b > 1 можно объединить.
Новым по сравнению с определением произведения натураль-
ных чисел [III, 2, 1] и целых неотрицательных чисел [IV, 4,2] яв-
ляется только последняя из четырёх частей этого определения; в
то время как прежние определения применимы к произведению
101
любого целого на любое целое неотрицательное число, умножение
на отрицательное число требует нового определения, которое и
даётся четвёртой частью: произведением любого целого числа а
на любое целое отрицательное число Ь называется число, противо-
положное произведению, этого целого числа на абсолютное значе-
ние множителя Ь. Только такое определение произведения на
отрицательное число сохраняет переместительное свойство произ-
ведения: чтобы иметь, например, 3 • (—2) = (—2) • 3 = (—2) +
+ (—2) + (—2) = —6, необходимо считать, что 3-(—2) =— (3*2).
2.	Непосредственно из указанного определения произведения
целых чисел вытекает известное правило знаков: произведение
двух сомножителей одного знака положительно, разных знаков
отрицательно; произведение равно нулю тогда и только тогда,
когда по крайней мере один из сомножителей равен нулю. К этому
правилу приходим, рассматривая все возможные частные случаи
!(всего 9 случаев); если буквами а и b обозначить произвольные
натуральные числа, все эти случаи можно записать в следующем
виде:
(+<0 . (+6) = +аЪ
(+а) • (—6) = — ab
(4-а) -0 = 0
(—а) • (+6) =— ab
(—а) • (—b) = +ab
(—а) -0 = 0
0-(+&) =0
о • (—6) = о
0-0 = 0'
Ограничимся рассмотрением одного из этих случаев (самого
трудного):
(—а) • (—Ь) = — [(—а) • Ь] (по четвёртой части определения
произведения);
= — [(—а) + (—а) + ... + (—а)] (по третьей его
части);
= — [—ab\ (после сложения b слагаемых, рав-
ных —а);
= (по определению противоположных чисел)
[VIII, 1,3].
3.	Произведение трёх и более сомножителей определяется на
основании определения произведения двух сомножителей форму-
лами abc = (ab) • с, abed = (abc) • d и т. д. На практике такие
произведения находят, перемножая абсолютные значения всех со-
множителей и беря полученное число со знаком плюс, если
имеется чётное число отрицательных сомножителей или их нет
вовсе, и со знаком минус, если число отрицательных сомножите-
лей нечётно.
4.	Все свойства произведения натуральных чисел [III, 2, 3] со-
храняются и у произведения целых чисел за двумя исключениями,
аналогичными тем, какие были рассмотрены при переходе к чис-
лам целым неотрицательным [IV, 4,2]. Произведение целых чисел
всегда существует и единственно, а потому множество целых чисел
относительна умножения замкнуто. Это произведение обладает пе-
реместительным, сочетательным и распределительным свойствами.
Произведения соответственно равных сомножителей равны. Новой
102
формулировки требует свойство монотонности: если а>Ь, то при
с > 0 ас > Ьс, при с = 0 ас = Ьс, при с < 0 ас < Ьс. Теорема
Архимеда на множество целых чисел не обобщается. Имеет место то
же свойство произведения, равного нулю, что и у чисел целых неот-
рицательных: произведение целых чисел равно нулю тогда и только
тогда, когда по крайней мере один из сомножителей равен нулю.
Доказательство всех этих свойств сводится к их проверке для
всех случаев, о которых говорится в определении произведения
целых чисел: каждое из данных целых чисел либо больше 0, т. е.
больше или равно 1, либо меньше 0, либо равно 0. Чтобы дока-
зать, например, переместительное свойство произведения двух
сомножителей, рассматриваем такие частные случаи: 1) оба со-
множителя положительны, 2) оба сомножителя отрицательны,
3) один из них положителен, другой отрицателен, 4) один из них
нуль. В первом из этих случаев ab = Ьа по установленному ранее,
так как оба сомножителя — натуральные числа. Во втором случае
имеем а = —аь Ь = — Ьи где а\ и Ьх натуральные числа; здесь
ab = (—ai) (—61) = + aifti, Ьа = (—bi) (—ai) = + Ь^а^ но
= 6101, а потому ab = Ьа. В третьем случае а =	6 = —6Ь
ab = ai(—bi) = —aibii ba = (—6i)ai = —6iOb а так как Oi6i =
= 6*101, то и —Oi6i = —6iOi, следовательно, об = 6o; точно так же
рассуждаем в случае о = —оь 6 = bi. В четвёртом случае о = О,
6 — любое целое число, и мы имеем ab = 0 • 6 = 0, ba = b • 0 = О,
об = Ьа, или о — любое целое, b = 0, и опять-таки об = бо.
Подобным же образом доказываются и все остальные свойства
произведения целых чисел. Ограничимся рассмотрением одного
лишь свойства монотонности.
Пусть а > б и, следовательно, о — 6 > 0. Если с > 0, то про-
изведение (о — Ь)с как произведение двух положительных чисел
само положительно, а на основании распределительного свойства
произведения имеем (а — Ь)с —ас — Ьс>0, откуда ас > Ьс.
Если с = 0, ас = О, Ьс = 0, ас — Ьс. Если с<0, то (а — Ь)с —
— ас — Ьс<0, так как произведение положительного числа а — b
на отрицательное число с отрицательно; отсюда ас < Ьс. Свой-
ство монотонности произведения целых чисел тем самым доказано.
§ 4.	Возведение целых чисел в степень
1.	Возведение целого числа в степень с целым неотрицатель-
ным показателем определяется теми же формулами ап— аа... а
(п сомножителей), а0 — 1, что и для целых неотрицательных чисел
[IV, 4, 3]. Правило знаков при умножении показывает, что поло-
жительное число в любой целой неотрицательной степени поло-
жительно, отрицательное же число при возведении в степень с
чётным неотрицательным показателем положительно, с нечёт-
ным — отрицательно. Степень равна нулю тогда и только тогда,
когда равно нулю возводимое в степень число (основание).
103
2.	Из трёх свойств степени натурального числа с натуральным
же показателем [III, 3,2] при переходе к целым числам сохра-
няются только два: степень любого целого числа а с целым неот-
рицательным показателем п существует и единственна; для таких
степеней одного основания имеет место закон умножения, выра-
жаемый формулой ап- ak= an+k. Свойство монотонности у степе-
ней целых неотрицательных чисел, как легко видеть на частных
случаях, отсутствует. Например, —2>—5, но (—2)2 < (—5)2;
(—2)5 < (—2)4, хотя показатель 5 больше показателя 4.
3.	Существует ли среди целых чисел степень целого числа с
целым отрицательным показателем? Другими словами, можно ли
дать определение степени а~п9 где основание любое целое число,
показатель любое отрицательное число, оставаясь в множестве
целых чисел? Допустим, что это возможно, что в частности суще-
ствует целое число х, равное 3~2. Легко видеть, что тогда пере-
станет быть верным закон умножения степеней одного основания:
З2 • х = З2 • 3~2=32+(“2)=3° = 1 или 9х = 1,что невозможно, еслц
х — целое число. Исключением является только случай, когда
основанием служит +1 и —1.
Итак, множество целых чисел, будучи замкнутым относительно
возведения в степень с целым неотрицательным показателем, не-
замкнуто относительно возведения в степень с целым показателем.
Среди целых чисел степени а~л, где а — целое, отличное от + 1,
и п натуральное, нет.
§ 5.	Деление целых чисел
1.	К целым числам применимо то определение частного, какое
было дано для натуральных чисел [III, 5,2]: частным от деления
одного целого числа на другое называется такое третье целое
число, которое, будучи умножено на второе, даёт первое. Отно-
сительно этого действия (деления в узком смысле) множество
целых чисел незамкнуто. Во-первых, исключается деление на нуль,
так как при аф 0 частное а: 0 вовсе не существует, а частным
О : 0 является любое число. Во-вторых, если b ф 0, то а : b суще-
ствует тогда и только тогда, когда а кратно Ь.
Частное целых чисел имеет все те свойства, какие были уста-
новлены у частного натуральных чисел [III, 5];‘ нужна лишь ого-
ворка о том, что делитель отличен от нуля. Но надо добавить
правило знаков, вытекающее из правила знаков при умножении:
частное от деления двух целых чисел одного знака положительно,
разных знаков — отрицательно. Можно сказать, что деление
целых чисел (в узком смысле) сводится к делению целых неотри-
цательных чисел с учётом правила знаков.
2.	Переходя к делению целых чисел в широком смысле, огра-
ничимся только делением на натуральные числа. Сохраняется
прежнее определение [IV, 5, 2]: разделить, целое число а на
104
натуральное число b значит найти два новых целых числа, ча-
стное q и остаток г, удовлетворяющие двум условиям: a = bq гг
О г <6. Всё сказанное о делении в широком смысле целых
неотрицательных чисел [IV, 5] сохраняет силу и тогда, когда де-
лимое произвольное целое число. Деление в широком смысле
(при натуральном делителе) выполнимо всегда и всегда даёт
единственное частное; если остаток г = 0, имеем деление в узком
смысле.
Приводим несколько примеров деления целых чисел на на-
туральное число:
17 : 5 = 3 (ост. 2), так как 3-5 + 2=17, 0 < 2 < 5;
— 17 : 5 = — 4 (ост. 3), так как (— 4) .5 + 3 =— 17, 0 < 3 < 5;
— 20 : 5 = — 4 (ост. 0), так как (— 4) • 5 = — 20.
§ 6.	Множество целых чисел как минимальное кольцо, содер-
жащее множество натуральных чисел
1.	Определение. Всякое числовое множество, замкнутое от-
носительно действий сложения, вычитания и умножения, назы-
вается кольцом.
Множество натуральных чисел, как и множество целых не-
отрицательных чисел, будучи замкнутым относительно сложе-
ния и умножения, незамкнуто относительно вычитания, а потому
не является кольцом. Но множество целых чисел относительна
этих трёх действий замкнуто и является, следовательно, кольцом.
Кольцом является и множество, состоящее из одного эле-
мента нуль, так как 0 + 0 = 0, 0 — 0 = 0, 0-0 = 0. Множества
всех чётных чисел 0, +2, +4, +6,... тоже представляет
собой кольцо (докажите!). Таково же и множество всех целых
чисел, кратных какому-нибудь определённому целому числу
а: 0, +а, +2а, +3а, ... (докажите!).
2.	Понятию кольца в современной математике придаётся
также более широкий смысл: кольцом называется всякое непустое
множество, для элементов которого установлены две операции —
сложение, относящее каждым двум элементам а и b этого мно-
жества элемент а + Ь, называемый их суммой, и умножение,,
относящее каждым двум элементам этого множества элемент ab,
называемый их произведением, причём эти операции имеют сле-
дующие шесть свойств: а) переместительность суммы двух сла-
гаемых а + b = b + а\ б) сочетательность суммы трёх слагае-
мых (а + 6) + с' = а +(6 + с); в) обратимость суммы — ка-
ковы бы ни были элементы а и 6, существует такой элемент сг
что с + b = а; г) существование нуля, т. е. элемента 0, удов-
летворяющего условиям а + 0 = 0 + а = а при любом а;
д) сочетательность произведения трёх сомножителей (ab)c =
= а(Ьс)\ е) распределительность произведения суммы (а + &)с =
= ас + Ьс.
105
Легко проверить выполнение всех этих требований в тех
числовых множествах, какие были указаны в пункте 1.
3.	Рассмотрим пример кольца, элементами которого явля-
ются не числа, а классы чисел.
Целые числа при делении на 4 дают остатки 0, 1, 2, 3, а по-
тому все целые числа можно распределить на четыре класса, от-
нося в один и тот же класс все целые числа, дающие при делении
на 4 один и тот же остаток. При этом каждое целое число по-
падёт в один и только один из этих классов: первый из этих
классов содержит число 0, + 4, + 8» вообще числа вида 4п, где
л — произвольное целое число; второй — числа 1, 5, 9,	, — 3,
— 7, — 11, ... , вообще числа вида 4n + 1; третий — числа
2, 6, 10, ... , — 2, — 6, — 10, ... , вообще числа вида 4п + 2;
четвёртый — числа 3, 7, 11,..., — 1, — 5, — 9, ..., вообще числа
вида 4п + 3. Каждый из этих четырёх классов обозначим цифрой
соответствующего остатка и рассмотрим множество М из четы-
рёх элементов 0, I, 2, 3, где эти четыре цифры означают уже не
числа, а классы чисел.
Каждый элемент множества М можно комбинировать с любым
элементом этого множества, в том числе и с самим собой, а по-
тому существует всего 4*4=16 пар его элементов. Действия
сложения и умножения элементов множества М определим
двумя следующими табличками, исчерпывающими все случаи сло-
жения и умножения элементов этого множества, взятыми по
два:
0 + 0 = 0	1+0 = 1	2 + 0 = 2	3 + 0 = 3
0+ 1 = 1	1 + 1 =2	2 + 1 =3	3+ 1 =0
0 + 2 = 2	1 +2 = 3	2 + 2 = 0	3 + 2=1
0 + 3 = 3	1+3 = 0	2 + 3=1	3 + 3 = 2
0-0 = 0
0.1=0
0-2 = 0
0-3 = 0
1-0 = 0
1-1 = 1
1.2 = 2
1-3 = 3
2-0 = 0
2-1=2
2-2 = 0
2.3 = 2
3-0 = 0
3-1=3
3-2 = 2
3-3=1
Каждое из целых чисел класса а после сложения с любым
числом класса Ь даёт в сумме число одного и того же класса г,
который и считаем суммой классов а и Ь. Это следует из вы-
кладки (4п + а) + (4иг + 6)= 4(п + П1) + (а + &) = 4п2 +
+ (а + Ь). Например, сложение каждого числа класса 2 и любого
числа класса 1 даёт в сумме число класса 3, а сложение чисел
классов 2 и 3 даёт число класса 1. Подобным же образом со-
ставлена и табличка умножения: (4n + a) (4ni + 6)= 16nni +
+ 4п6 + 4П1а + ай = 4п2 + произведение каждого числа
класса а на любое число класса b принадлежит одному и тому
же классу, который определяется остатком от деления ab на 4;
этот класс и считаем произведением классов а и 6. Например,
умножение каждого числа класса 1 на любое число класса 3
106
даёт число класса 3, а умножение чисел классов 3 и 3 даёт
число класса 1, так как 3-3 = 9, 9:4 = 2 (ост. 1).
Из таблицы сложения вытекает, следующая таблица вычи-
тания:
0—0=0	0—1=3	0—2=2	0—3=1
1—0=1	1—1=0	1—2=3	1—3=2
2—0=2	2—1=1	2—2=0	2—3=3
3 — 0 = 3	3—1=2	3 — 2=1	3 — 3 = 0.
Имея эти три таблицы, простой проверкой убеждаемся в на-
личии всех условий, перечисленных выше в общем определении
кольца. Например, замечая, что, согласно таблице сложения
0 + 1 = 14-0=1, 04-2 = 2 + 0 = 2, 04-3 = 34-0 = 3,
1 + 2 = 2+ 1 =3, 1 +3 = 3+ 1 = 0, 2 + 3 = 3 + 2=1,
устанавливаем переместительность суммы двух слагаемых. Итак,
эти четыре класса равноостаточных при делении на 4 целых чи-
сел образуют кольцо.
Отметим одно существенное отличие этого кольца от кольца
целых чисел: в то время как в кольце целых чисел произведение
равно нулю тогда и только тогда, когда по крайней мере один из
•сомножителей нуль, здесь мы имеем 2-2 = 0: произведение двух
чисел, каждое из которых чётно, но не делится на 4, уже делится
на 4, т. еч принадлежит классу 0.
4.	Если рассмотреть общую теорию колец, что можно сде-
лать ещё ничего не зная о целых числах, то теорию целых чисел
можно изложить на основе определения множества целых чисел
как минимального кольца С, содержащего множество всех нату-
ральных чисел N, т. е. как множества С, удовлетворяющего сле-
дующим условиям: 1) множество С содержит множество ЛГ;
2) С есть кольцо; 3) сложение и умножение натуральных чисел
•совпадает с одноимёнными операциями над этими числами в
кольце С; 4) кольцо С не содержит отличного от него кольца,
содержащего множество N.
Оказывается возможным доказать существование колец,
удовлетворяющих этим условиям, и их изоморфизм, а также
построить одно из таких изоморфных друг другу колец с по-
мощью натуральных чисел. Элементами этого кольца являются
разности натуральных чисел. При а > Ь разность а — b есть на-
туральное число, при а = b эта разность равна нулю, при а<Ь
представляет собой новое число (целое отрицательное число).
Присоединяя эти новые числа к множеству целых неотрицатель-
ных чисел, получаем множество целых чисел, после чего остаётся
рассмотреть свойства этого множества, в том числе теорию дей-
ствий над ними.
Этот путь изучения целых чисел рассмотрен со всеми дета-
лями в обширной статье И. В. Проскурякова «Понятия множе-
ства, группы, кольца и поля. Теоретические основы арифметики»,
107
включённой в 1-ю книгу «Энциклопедии элементарной матема-
тики», выходящей под редакцией П. С. Александрова, А. И. Мар-
кушевича и А. Я- Хинчина (ГТТИ, 1951). Другой вариант того
же изложения можно найти в книге И. В. Проскурякова «Числа
и многочлены», выпущенной издательством Академии педагоги-
ческих наук в 1949 г.
5.	Подводя итог изучению настоящего второго отдела, отме-
тим, что в нём установлена возможность четырёх существенно
различных путей изучения целых чисел: подробно рассмотрен
первый путь, основанный на определении целого числа как ин-
варианта класса равносильных изменений численности конечных
множеств, и дано понятие о трёх других путях, основанных на
обобщённых аксиомах Пеано, на определении целого числа как
пары натуральных чисел (включая нуль), на определении' мно-
жества целых чисел как минимального кольца, включающего
множество натуральных чисел.
Изучение целых чисел в школе, которое полагается вести в
VI классе, в разделе «Относительные числа», представляется
целесообразным вести первым путём, а не любым из трёх осталь-
ных.
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
АРИФМЕТИКА РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
ГЛАВА X
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ
§ 1.	Множества долей и дроби
1.	В жизни часто требуется представить данное множество в
виде соединения данного числа равносильных множеств, что при-
водит кv арифметической задаче деления одного натурального
числа на другое в узком смысле, далеко не всегда разрешимой
(III, 5]. В некоторых случаях, когда такое деление невозможно,
довольствуются делением с остатком [IV, 5], как, например, при
решении задачи о расстановке данного числа людей в ряды,
каждый из которых содержит одно и то же данное их число.
Но очень часто такое неполное деление непригодно, и требуется
замена одного или более элементов данного множества множе-
ством одинаковых долей этих элементов, как, например, в случае
необходимости разделить три яблока поровну между четырьмя
лицами. Здесь приходится каждое яблоко разрезать на четыре
равные части, заменяя тем самым множество из 3 яблок мно-
жеством из 4*3=12 одинаковых долей этих яблок, допуска-
ющим представление в виде 4 равносильных множеств: каждый
участник дележа получит 12:4 = 3 такие доли (три четверти
яблока). Отметим, что практически более удобным является дру-
гое решение задачи: разрезав все три яблока пополам, две по-
ловинки одного яблока разрезаем ещё пополам и даём каждому
по одной половине и по одной четверти яблока.
В дальнейшем мы будем рассматривать только такие множе-
ства, элементы которых допускают подобное разделение (разбие-
ние, раздробление) на равные части. Каждую из этих равных
частей будем называть долей, различия «половины» или «вторые»
доли, «трети» или «третьи» доли, вообще п-е («энные») доли,
получаемые при делении элемента на п равных частей. Легко
указать сколько угодно примеров множеств, элементы которых
можно раздроблять на равные части (доли): полоски бумаги
(прямоугольники), отрезки, углы, круги и т. д. Важно отметить,
что выполнить это раздробление на самом деле возможно бывает
лишь на сравнительно небольшое число долей, но легко предста-
109
вить себе такое раздробление на любое число долей. Например,
один рубль можно разменять, получив п долей рубля, где п —
любое из чисел 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, но легко представить
себе сколь угодно мелкие его доли, например тысячные или мил-
лионные. Природа элементов, допускающих подобное разбиение
на одинаковые доли, для арифметики безразлична. Каждый та-
кой элемент будем называть единицей. Итак, каждую единицу
можно рассматривать как множество из п одинаковых долей этой
единицы.
2.	Как мы знаем, каждое конечное множество имеет опре-
делённую мощность или численность, выражаемую некоторым
натуральным числом. Но если множество А состоит из долей
элементов другого множества, для выражения его численности
одного натурального числа уже мало: кроме числа, а, показы-
вающего, сколько долей содержит А, нужно ещё число л, пока-
зывающее, каковы эти доли.
Определение. Дробью или дробным числом называется
пара натуральных чисел а, п, характеризующих множество А
одинаковых долей единицы; первое из них (а) показывает,
сколько долей содержит А, и называется числителем дроби, вто-
рое (п) — на сколько одинаковых долей разделена единица, и
называется знаменателем дроби. Числитель и знаменатель дроби
имеют общее название — члены дроби.
Общепринята запись дроби в виде . Здесь числитель а —
любое натуральное число, знаменатель п — любое натуральное
число, большее 1. Чтобы получить более общие формулировки
свойств дробей и относящихся к ним правил, допускают для а
Л	0
также и значение 0, полагая, что дробь — при любом п выра-
жает число 0 («пустое» множество долей), а для знаменателя п
значение 1, полагая, что дробь -у- выражает натуральное число а,
т. е. считая, что «первые доли» элементов представляют собой не
что иное, как сами элементы.
Подобно тому, как каждое натуральное число можно рассма-
тривать как инвариант класса равносильных конечных множеств
любых элементов, каждую дробь можно рассматривать как ин-
вариант класса равносильных конечных множеств одинаковых
долей любых элементов.
3.	Дробь где а — любое целое неотрицательное число,
п — любое натуральное число, называется также «обыкновен-
ной дробью» в отличие от других дробей, о которых речь будет
дальше. В зависимости от того, меньше ли числитель а, чем зна-
менатель п, или нет, различают «дроби правильные» и «дроби не-
правильные». Эти термины очень неудачны, но, к сожалению,
ПО
общеприняты. Вместо того чтобы выражать численность некото-
рого множества неправильной дробью, её можно выразить по-
средством натурального числа в соединении с правильной дробью
'Г	Л 17
или одного натурального числа. Так, неправильная дробь -г-
л 1 .зо	i
выражает то же самое, что 4 —, а дробь то же самое, что 6.
4	о
Натуральное число вместе с правильной дробью называют «сме-
шанным числом»; говорят также «целое с дробью». Переход от
неправильной дроби к целому с дробью и обратный переход от
целого с дробью к неправильной дроби производятся по простым
правилам, которые считаем известными.
4.	После введения дробей задача деления в узком смысле для
натуральных чисел становится разрешимой во всех случаях без
исключения: чтобы разделить а на п, заменяем каждую единицу
делимого множеством из п «энных» долей единицы; теперь де-
лимое представляет собой множество из па «энных» долей еди-
ницы, а его можно представить как соединение п множеств,
каждое из которых содержит а «энных» долей единицы. Вся эта
па а
операция кратко записывается так: а : п = — : п —— , или еще
короче: а : п = —. Итак, частное от деления любого натурального
числа на любое натуральное есть дробь, числителем которой слу-
жит делимое, знаменателем — делитель.
Учитывая дополнительно, что 0: п = 0, можем утверждать,,
что частное от деления любого неотрицательного целого числа на
любое натуральное число существует. Вопрос о его единствен-
ности рассмотрим ниже (§2).
5.	Практическая задача деления некоторого множества эле-
ментов на данное число равных частей, о которой была речь выше
[X, 1,1], с необходимостью приводит к дроблению элементов и к
дробным числам, характеризующим мощность или численность
полученных множеств, элементами которых являются уже доли
элементов исходного множества. Но есть ещё и другая, ещё более
важная практическая задача, решение которой требует введения
долей и приводит к дробям — задача измерения таких величин,
как длина отрезка, угол, площадь, объём, масса, сила, время,
скорость и т. д.
Возьмём, например, бесконечное множество всех прямолиней-
ных отрезков. Рассматривая их как твёрдые тела, допускающие
движение в пространстве, упорядочиваем это множество, при-
нимая известный из геометрии критерий сравнения: два отрезка
равны тогда и только тогда, когда они могут быть совмещены
друг с другом; из двух неравных отрезков меньше тот, который
можно совместить с частью другого. Далее устанавливают поня-
тие отрезка — суммы двух данных отрезков (тоже с помощью дви-
жения). Огромное значение для решения самых разнообразных
lit
практических задач, в которых имеем дело с отрезками, имеет
построение системы измерения отрезков, т. е. построение множе-
ства чисел, изоморфного множеству отрезков. Эти числа должны
удовлетворять следующим условиям: 1) каждому отрезку соот-
ветствует одно и только одно число; 2) равным отрезкам соответ-
ствуют равные числа; 3) меньшему отрезку соответствует
меньшее число; 4) отрезку-сумме соответствует сумма чисел,
соответствующих слагаемым. Каждый элемент этого множества
чисел называется мерой соответствующего отрезка или его дли-
ной, или мерой длины. Очевидно, что такое построение системы
измерения отрезков возможно не одним, а бесчисленным множе-
ством способов, в зависимости от того, какому отрезку поставить
в соответствие число 1, т. е. в зависимости от выбора единицы
-измерения. Если же этот выбор сделан, если, например, за еди-
ницу длины взят метр, получается вполне определённая един-
ственная система измерения: каждому отрезку соответствует
определённое единственное число — его длина. Множество от-
резков отражено в изоморфном множестве чисел, вместо операций
над отрезками можно производить действия над числами. Чтобы
узнать, например, какой отрезок получится от продолжения
одного данного отрезка АВ на отрезок, равный другому данному
отрезку CD, нам нет надобности брать эти отрезки, а достаточно
сложить их длины.
Но это построение системы измерения отрезков выполняется
далеко не срйзу: имея только одни натуральные числа, мы полу-
чаем меры только тех отрезков, которые кратны отрезку-единице,
т. е. тех отрезков, какие можно получить, суммируя отрезки,
равные единице. Концами таких отрезков служат те целочислен-
ные точки, о которых была речь выше [II, 5, 1]. Располагая мно-
жеством всех дробей, можно измерять любой отрезок, соизмери-
мый с отрезком-единицей, т. е. отрезок, получаемый суммирова-
нием любых долей единицы. Например, отрезок, который содержит
123 сотых доли единицы, имеет длину 1,23. Тем самым множество
измеримых отрезков, состоявшее раньше только из отрезков,
кратных единице длины, заменяется несравненно более широким
множеством отрезков, соизмеримых с единицей или рациональных.
Рациональные отрезки ещё не исчерпывают собой всё множе-
ство отрезков, и для измерения всех отрезков понадобятся ещё
иные числа, отличные от дробных (об этом будет речь в даль-
нейшем) .
Подобное же положение имеет место и при измерении других
величин: имея бесконечное множество «значений» какой-нибудь
величины, для которых установлен способ их сравнения друг с
другом, а следовательно, и соотношения «равно», «неравно»,
«меньше», «больше», устанавливают способ их суммирования, а
следовательно, и понятия «сумма», «слагаемые», и выбирают одно
из этих значений в качестве единицы. Для измерения значений,
кратных единице, достаточно натуральных чисел. Раздробляя
112
единицу на равные части, получаем доли единицы, с помощью
которых можно измерять все значения величины, соизмеримые с
единицей, т. е. получаемые суммированием долей единицы, причём
будут получаться меры этих значений, выражаемые уже различ-
ными дробными числами.
§ 2.	Равенство и неравенство дробей
1.	Чтобы выполнить деление трёх яблок между четырьмя ли-
цами поровну, можно разрезать каждое на 4 равные части (доли)
3 х
и дать каждому по — яблока, но можно также разрезать каждое
4	6 9
на 8, 12, 16, 20 и т. д., вообще 4 • k дрмй и дать каждому -х-, тх,
12 15	3k	°
—,ххИ т. д., вообще -jT- долей. Отвлекаясь от вопроса о практи-
ческом удобстве такого деления, отмечаем, что количество веще-
ства, получаемое каждым при любом k, одинаково. Это даёт
^369
основание утверждать, что хотя дроби -г, -х-, ^и т. д. неодина-
ковы (нетождественны), но их надо считать равными: несмотря
на качественное различие, у выражаемых ими множеств додей
о А
одно и то же количество. Итак, имеем цепочку равенств ~ —=
9	12 15	3 3k	4 &
= Т2==:16::=:2б И Т’ Д*’ ИЛИ’ ко₽оче’ ~4 ~Tk'	~ любое
натуральное число, большее 1.
Точно так. же дело обстоит с любой дробью—: заменяя каж-
дую «энную» долю единицы двумя пбловинками этой «энной»'
доли, тремя третями, четырьмя четвертями, вообще k ’новьями
долями, где k — любое натуральное число, большее .1,. получаем.
а 2а За 4а
цепочку равенств ~ = — = — = — = ..., допускающую неогра-
ниченное продолжение. Эту цепочку равенств записывают корот;
кой формулой
a __ak
п nk'
(А)
8 В. М. Брадис
(где а — любое целое неотрицательное число, п и k — любые
натуральные числа), выражающей так называемое основное
свойство дроби: при умножении числителя и знаменателя дан-
ной дроби на одно и то ясе натуральное число получается новая
дробь, равная данной. Итак, каждую дробь можно заменить рав-
ной ей дробью, переходя от данных долей к более мелким.
Равенство (А) можно считать определением равенства дробей.
из*
2. Переписывая равенство (А) в обратном порядке, получаем
равенство
ak __ а
nk п *
(В)
говорящее, что в случае, когда числитель и знаменатель дроби
имеют какой-нибудь общий делитель k, возможно сокращение
дроби, т. е. замена данных долей другими, более крупными,
причём получается новая дробь, равная данной. Эту операцию
можно назвать также «укрупнением» долей, а предыдущую, вы-
ражаемую формулой (А), их «раздроблением». В то время как
раздробление долей возможно всегда и даёт бесконечное множе-
ство дробей, равных данной, укрупнение долей возможно только
при условии наличия у членов дроби общего делителя, отличного
от 1, и даёт столько новых дробей, равных данной, сколько таких
отличных от 1 общих делителей имеют члены дроби.
3. Итак, каждую дробь можно представить в виде любой из
бесконечного множества дробей, получаемых из данной посред-
ством операций раздробления и сокращения. Удобнее всего поль-
зоваться той из этих равных друг другу дробей, у которой
наименьший знаменатель. Такая «несократимая» дробь и является
стандартной (нормальной, образцовой, канонической) формой
дроби, которой обычно и пользуются.
4. Как видим, на вопрос о единственности частного от деления
(в узком смысле) одного натурального числа на другое, постав-
ленный выше [X, 1,4], получается такой ответ: частное от деления
одного числа (а) на другое (Ь) может быть представлено любой
из бесконечного множества дробью вида где k — любое нату-
ральное число. Но все эти дроби равны друг другу; можно ска-
зать, что это частное единственно, но допускает бесконечное мно-
жество различных представлений. Так, например, производя де-
_	, -	6
ление 6 на 15, получаем частное yg, которое можно представить
2 4 6 8 10 12 14 х 2k .	*
° ВИДВ У’ 10’ 15’ 20' 25’ 30’ 35.....В°°бие 5*’гда *-люб“
натуральное число.
5.	Возможность представления любой дроби в виде каждой
из бесконечного множества дробей с числителями и знаменате-
лями, кратными числителю и знаменателю равной ей несократи-
мой дроби, используется при приведении дробей к общему знаме-
аг do
нателю: имея две дроби — и —, всегда возможно заменить их
/21 п2
равными им дробями с одним и тем же знаменателем пг, пред-
b b
ставляющим собой НОК («ь п2), а именно: дробями — и-^, где
bi = aiki, b2 = a2k2, ki = mini, k2 = m: n2. Понятно, что это
114
приведение к общему знаменателю возможно не только для двух,
а и для любого конечного' числа данных дробей.
6.	Две дроби с одним и тем же знаменателем, например
и — , выражают численности двух множеств Аг и Д2, элементами
которых являются одинаковые («энные») доли единицы, но мно-
жество Д1 имеет ах элементов, а множество А2— а2 таких же
элементов. Таким образом, сравнение двух дробей с одним и тем
же знаменателем сводится к сравнению натуральных чисел —
числителей этих дробей ai и а2: из двух дробей с одним и тем же
знаменателем больше та, у которой числитель больше.
Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, их пред-
варительно приводят к одному знаменателю.
Иногда можно обойтись и без такого приведения. Доля, т. е.
х 1 . . 1 1
дробь —,тем меньше, чем большем: если ni>n2, то —< —.
П	Mg
Вообще из двух дробей с одним и тем же числителем больше та,
у которой знаменатель меньше: если П\ > п2, то дробь — больше
м2
дроби —. Отметим также, что дробь меньше дроби-зг-, так как
о	У
7
дробь получается отбрасыванием от 1 одной восьмой её доли,
о
а дробь — отбрасыванием от 1 одной девятой её доли, которая
у .	.	а—2	а—1
меньше, чем одна восьмая; вообще----г меньше, чем ----, так
как для получения первой из этих дробей надо отбросить одну из
а — 1 долей, составляющих единицу, а для получения второй —
одну из а равных долей единицы, но дробь больше дроби
7.	Имея две дроби — и —, заменяем их равными им дробями
О] По а2Л1	лх л2	.
—*—= и —— и заключаем, что при сщъ — a2ni данные дроби
л2 fii п%
равны; если же ain2 > а2П\, первая дробь больше, а при
а\п2 < a2Mi первая дробь меньше второй.
Итак, если даны две какие угодно дроби, всегда имеет место
одно из трёх соотношений: первая дробь либо равна, либо больше,
либо меньше второй. Считая, что всякая меньшая дробь пред-
шествует всякой большей, заключаем, что множество всех дробей
есть множество упорядоченное [I, 2,6].
§ 3. Множество рациональных неотрицательных чисел
1. Каждое натуральное число можно представить в виде
дроби, притом бесконечным множеством способов. Например, 3
8*
115
3	6	9	*	3k
можно записать в виде	или -5-	или	-	и т. д.,	вообще	как	-г-,
12	3	k
где k любое натуральное число. Таким образом, множество всех
дробей содержит в себе и все натуральные числа: множество всех
натуральных чисел есть правильная часть множества всех дробей
[I, 2,3]. Множество всех дробей имеет также другое название —
множество рациональных неотрицательных чисел. Все равные
между собой дроби рассматриваются как один элемент этого мно-
жества, допускающий представление во многих видах. Понятие
рационального неотрицательного числа объединяет, таким обра-
зом, понятия натурального числа, нуля и дроби.
2. Возьмём множество целочисленных точек числового луча
[II, 5, 1], включив в него начальную точку луча Ло. Пополним это
множество теми точками, какие получатся при делении отрезка
Л0Л1 на 2, 3, 4 и т. д., вообще на п равных частей, где п — любое
натуральной число. Если эту операцию повторить для каждого из
последовательных отрезков Л1Л2, Л2Л3 и т. д., получим множество
рациональных точек числового луча. В то время как расстояние
каждой из целочисленных точек от начала луча Ло выражается
некоторым натуральным числом, расстояние каждой из рацио-
нальных точек от Ло выражается некоторым рациональным чис-
лом, которое будем считать соответствующим этой точке. Напри-
мер, тем точкам отрезка Л3Л4, которые получились при делении
этого отрезка	на 5 равных	частей,	соответствуют	рациональные
12	3	4
числа 3-, 3 —, 3~, 3-^; концам этого отрезка соответствуют ра-
о о	о	о
циональные числа 3 и	4.	Обратно,	каждому	рациональному	не-
отрицательному числу соответствует на луче одна и только одна
рациональная его точка, удалённая от начала Ло на расстояние,
выражаемое этим числом.
' 3. Множество целочисленных точек Ль Л2, Аз,... числового
луча изоморфно, как мы в своё время установили [II, 5, 3], мно-
жеству натуральных чисел. Множество же рациональных точек
числового луча изоморфно множеству всех рациональных неотри-
цательных чисел. Это доказывается рассуждением, подобным
тому, какое было проведено выше [II, 5, 2] и устанавливало три
условия изоморфизма: 1) взаимно-однозначное соответствие
между элементами обоих множеств; 2) взаимно-однозначное соот-
ветствие между теми соотношениями, какими связаны элементы
каждого из этих множеств; 3) если какие-либо элементы одного
множества связаны одним из соотношений этого множества, то
Соответствующие элементы другого множества связаны соответ-
ствующим соотношением. Читателю рекомендуется провести это
рассуждение со всеми деталями.
Изоморфизм множества рациональных неотрицательных чисел
и множества рациональных точек луча позволяет наглядно пред-
ставлять свойства этих чисел. Рассматриваемые в математике
116
отношения между элементами этих двух Множеств одинаковы, а
потому эти множества могут заменять друг друга. Сейчас, рас-
сматривая некоторые свойства множества рациональных неотри-
цательных чисел, мы увидим несколько примеров такой замены.
4. Множество 7? всех рациональных неотрицательных чисел
содержит в себе правильную часть — множество V всех нату-
ральных чисел, но эти два множества, как мы сейчас убедимся,
равносильны. Представляя каждое рациональное число в виде
дроби с наименьшим знаменателем, назовём высотой рациональ-
ного числа сумму его числителя и знаменателя; например^ число
3	4
имеет высоту 7, число 4 или --высоту 5. Расположим все
рациональные числа в порядке возрастания высоты, а числа одной
и той же высоты — в порядке возрастания числителя, и установим
соответствие элементов множеств R и N так, как показано на
следующей схеме:
0112 131234 1 5 1	23456
1 1 2 1 3 1 4 3 2 1 5 1 6 5 4 3 2 • 1
111111111 t I	I	I	I I I I	1
ЛГ ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	12	13	14 15 16 17	18...
Здесь взяты
все рациональные числа с высотами 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7... Высоту 1 имеет единственное рациональное число -у или
1 1
0, высоту 2 — число v или 1. Высоту 3 имеют уже два числа —
12	*	13	2	1
ту и , высоту 4 — тоже два, а именно -х- и — (число = уУже
Л 1	<5	1	Л 1
было взято как число с высотой 2). Высоту 5 имеют четыре числа
1 2 3 4	с	15	2	1
Т> Т> о"» Т> а ВЫС0ТУ 6 — только два-g- и —, так как числа -т-=н*
4 о 2 1	О 1	4	*2
3	14	2.	... л	л
-~=—t — =— уже были раньше. Перебирая таким способом раз-
о	12	1
личные рациональные числа, ставим им в соответствие последо-
вательные натуральные числа. Каждое рациональное число полу-
чит при этом один и только один определённый номер в виде
соответствующего натурального числа, каждому натуральному
числу будет соответствовать одно и только одно рациональное
число.
Вспоминая определения бесконечного множества [I, 2,5} и
счётного множества [VIII, 3,2], формулируем только что получен-
ный вывод в виде следующей теоремы: множество всех рацио-
нальных неотрицательных чисел есть множество бесконечное и
счётное.
5.	Установив соотношения равно, меньше, больше для рацио-
нальных неотрицательных чисел [X, 2, 7], мы тем самым упоря?
Дочили это множество, располагая его элементы по величине,
117
причём соответствующие элементы изоморфного ему множества
рациональных точек на луче оказались упорядоченными по
направлению луча (например, слева направо). Доказывая счёт-
ность множества рациональных неотрицательных чисел, мы убе-
дились в возможности другого способа упорядочить это мно-
жество, а именно располагая его элементы в порядке возраста-
ния высоты.
6.	Вспоминая определение множества, плотного в себе [II, 4,4],
докажем теорему: множество рациональных неотрицательных
чисел плотно в себе (если упорядочить его по величине).
Возьмём два произвольных неравных рациональных числа ц
и Гг > л и приведём их к одному знаменателю /и, а затем умно-
жим числитель и знаменатель каждого на 2. Представив эти числа
2^1	2^2	,	..
в виде ri = и /г = 2^, где Ь\ < 02, замечаем, что между двумя
чётными натуральными числами 261 и 2Ь2 имеется по крайней
мере одно натуральное нечётное число. Обозначив его буквой с,
имеем неравенство Г\ гъ говорящее, что каковы бы ни
были два неравных рациональных числа и и г2 > гь всегда суще-
ствует рациональное число, заключённое между ними, т. е.
большее, чем rif и меньшее, чем г2. А в этом и состоит свойство
плотности в себе. Таким образом у множества рациональных
чисел нет того свойства дискретности [II, 4,4], каким обладают
множества натуральных чисел и целых чисел.
Соответствующее свойство множества рациональных точек
луча очевидно: каковы бы ни были две рациональные точки луча
С и D, у них всегда есть промежуточная точка (например, сере-
дина отрезка CD).
§ 4.	Сложение и вычитание дробей
1.	Каждая дробь выражает численность множества А «эн-
ных» долей единицы, содержащего а таких долей. Две дроби —
и можно рассматривать как выражения численности двух таких
множеств А\ и А2 без общих элементов. Соединяя эти два мно-
жества, получаем новое множество, содержащее уже а^ + а2
элементов, каждый из которых есть «энная» доля единицы. Чис-
ленность этого нового множества выражается, таким образом,
дробью	Вспоминая сказанное выше о соединении множеств
п
[I, 4] и о сумме натуральных чисел [III, 1], приходим к следую-
щему определению суммы дробей: суммой дробей с одним и
тем же знаменателем называется дробь с тем же знаменателем,
118
числитель которой равен сумме числителей всех данных дробей:
k
—V—=*—'—; суммой любых дробей называется
п п п п п
сумма соответственно равных им дробей с одним и тем же знаме-
нателем.
2.	Это определение суммы дробей является обобщением опре-
деления суммы натуральных чисел: рассматривая два натураль-
ai а2
ных числа ai и а2 как дроби у и , получаем согласно новому
4- С12
определению сумму------~, равную той сумме ai+a2, какую
получили бы согласно старому определению. Как легко убедиться,
сумма дробей имеет те же свойства (существование, единствен-
ность, переместительность, сочетательность, аддитивность, моно-
тонность), какие были установлены у суммы натуральных чисел
[III, 1,4].
3.	Имея дроби — и — , где ai > а2, ставим вопрос о том, как
п п
выразить численность множества, которое останется, если из мно-
жества 41, содержащего щ «энных» долей единицы, удалим пра-
вильную его часть Д2, содержащую а2 из этих долей. Основываясь
на первом определении разности натуральных чисел [III, 4,1],
убеждаемся, что ответ на этот вопрос дается дробью —1
которую и называют разностью дробей — и —. К этой же дроби
ах — а$	.	П П *
—------- придем и в том случае, если применим к дробям второе
определение разности натуральйых чисел [III, 4, 2]: разностью
двух данных дробей называется такая третья дробь, которая, бу-
дучи сложена со второй из них, даёт первую. Каждое из этих
двух определений применимо и к дробям с разными знаменате-
лями, надо лишь предварительно заменить данные дроби рав-
ными им дробями с одним и тем же знаменателем.
4.	Определение разности двух дробей с одним и тем же зна-
менателем формулой — — — = ——— тоже является обобще-
нием соответствующего определения разности натуральных чисел:
рассматривая два натуральных числа как дроби и находя раз-
ность этих дробей, мы получим дробь, равную разности данных
натуральных чисел. Разность гх — г2 дробей Г\ = ~ и г2 = — су-
ществует и единственна при условии гх г2. Она имеет все те
свойства, какие имеет разность натуральных чисел [III, 4] и це-
лых неотрицательных чисел [IV, 4].
I19
§ 5.	Умножение и деление дроби на натуральное число
1.	Определение произведения натуральных чисел как суммы
равных слагаемых, выраженное [III, 2, 1] формулами а • 1 = а,
а-6 = а + а + - — Ч“а (Ь слагаемых), сохранило силу и для
целых неотрицательных чисел [IV, 4]; потребовалось только до-
полнительное определение произведения на нуль (а* 0 = 0), кото-
рое надо было принять, чтобы сохранить и для этого случая пере-
местительность произведения. Но легко видеть, что, умея склады-
вать дроби, мы можем распространить это определение произве-
дения натуральных чисел и на тот случай, когда множимое —
любое дробное число: умножить дробь -на натуральное число 6,
Я	CL
значит взять сумму b слагаемых, каждое из которых равно—. Но
а а .	. а	а 4- а + ... 4- я ab
эта сумма —|------Р. • Н— равна дроби —-——----------или —.
tl п	п	п	л
Сохраняя прежнее определение произведения на 1 и 0, имеем
окончательно такое определение произведения любого дробного
а 1 o>b cl Л а
числа на любое целое неотрицательное число: — • b — —, — •! = -,
л л л л
— . 0 = 0. Из него вытекает правило: чтобы умножить дробь
на целое неотрицательное число, надо умножить на него её чис-
литель, оставляя знаменатель без изменения. Как всегда, надо
сделать сокращение полученной дроби, если оно возможно, при-
том лучше до фактического умножения.
Это правило, пригодное всегда, в случае, когда п кратно Ь,
заменяют другим, сразу обеспечивающим получение несократи-
мой дроби: чтобы умножить дробь (несократимую) на число,
представляющее собой делитель её знаменателя, надо разделить
на него знаменатель, оставляя числитель без изменения. Действи-
,	а , ab а а „	7 .
тельно, если п : о = с, то—-6=— = —г=—. Например, vs *4=
_	л п л:Ь с r г 12
7	7
= -  = —. Тот же результат, разумеется, получается и при
12:4 d	7	7-4	7
применении общего правила vs* 4	—, но требуется лиш-
12	12 о
няя операция — сокращение.
2.	Все свойства произведения натуральных чисел, рассмотрен-
ные выше [III, 2,3} и сохранившиеся после присоединения к мно-
жеству натуральных чисел числа 0 [IV, 4,2], сохраняются и у про-
изведения дробных чисел на целые неотрицательные. Отметим,
что распределительность произведения позволяет обойтись без
предварительного представления множимого в виде неправильной
дроби: если множимое — целое с дробью, то для умножения на
целое можно умножить отдельно целое и отдельно дробь, что
120
несколько быстрее приводит к цели, как это показывает хотя бы
такой пример:
327^ . 7 = 327- 7 + У .7 = 2289 + -^ = 2291-i,
оо	со	о о
327U.7 = 327.35+ 11.7=I1456 = 2291 1
□О	СО	о	о
3.	Как уже отмечено, использование долей и дробей делает
всегда возможным деление (в узком смысле) одного натураль-
ного числа на другое. Но тем самым обеспечена и возможность
деления на любое натуральное число любого дробного числа:
чтобы разделить дробь — на произвольное натуральное число
п ab
надо представить делимое в виде , т. е. представить множество*
из а «энных» долей в виде множества, содержащего ab таких
долей, которых в единице уже не п, a nb: каждая «энная» дол»
раздробляется на b равных частей. Но множество, содержащее ab
элементов, легко представить в виде b множеств, содержащих
a t а
каждое по а таких элементов, а потому —: b =	.
Здесь применяется, таким образом, то же самое определение
частного, что и раньше: разделить одно данное число на другое
значит найти такое третье число, которое, будучи умножено на
второе данное число, дает первое. Этому определению удовлетво-
а	а , а
ряет полученное выше числотак как^*0 = ~, но возникает
вопрос об единственности такого частного, решаемый утверди-
тельно на основе монотонности произведения: всякое число,
большее или меньшее, чем—т, при умножении на Ь дает не данное
а .	п°
делимое —, а больше или меньше.
п
Итак, получаем правило: чтобы разделить дробь на нату-
ральное число, надо умножить на него её знаменатель, оставляя
числитель без изменения (и сделать сокращение полученной
дроби, если это возможно): — :Ь=-^. В случае, когда числи-
тель а данной дробикратен данному делителю b и а:Ь = с„
можно делить числитель, оставляя знаменатель без изменения:
a t а\Ь с х
— :Ь =-----= быстрее получая тот же результат, что и по
п п п
л	а' а Ьс с
общему правилу: -:4 = jj = ^ = -.
4.	Деление дроби на натуральное число благодаря замене
одних долей другими, более мелкими, сводится к делению нату-
121
рального числа, выражающего численность множества этих более
мелких долей. Поэтому естественно, что частное от деления дроби
на натуральное число имеет те же свойства, что и частное нату-
ральных чисел [III, 5], с той лишь разницей, что отпадает ого-
ворка об условии существования: в то время как среди натураль-
ных чисел частное от деления а на Ь (в узком смысле) существует
лишь при условии кратности делимого а делителю Ь, среди дробей
всегда существует (и единственно) частное от деления любой
дроби на любое натуральное число. Особо отметим свойство рас-
пределительности частного от деления суммы и разности, выра-
жаемое формулой (—	—):&=(—:&) ±(—:Zm, правильность
\Л1— л2/	\«i /	\«2 /
которой легко доказывается умножением.
Деление целого с дробью на натуральное число можно вы-
полнить по общему правилу после представления делимого в виде
неправильной дроби, но часто выгоднее бывает, используя рас-
пределительность частного, делить отдельно целое и отдельно
дробь, как это видно хотя бы из такого примера:
2485^ : 5 = (2485 : 5) + (^: б) = 497
2485 L • 5 - 2485 • 12 + 7 • 5 - 29827 - 497 L
248b i2.5-	12	60 -4У/60’
5.	Умея умножать и делить дробь на натуральное число, мы
можем решать две практически важные задачи: находить данную
дробь от данного числа и находить число по данной его дроби.
5	4	4
Например, чтобы найти-от 16^, надо выполнить деление 16^=
о	15	15
«а 8, а полученное частное 2 умножить на 5, что даёт 10 —.
OU	V
5	11
Чтобы найти число,-х которого равны 10^, надо делить 1Ск на 5,
о	О	О
1	4
з полученное частное 2^ умножить на 8, что даёт 16
oU	10
§ 6. Умножение дроби на дробь
1. Определение произведения как суммы стольких слагаемых,
равных множимому, сколько единиц содержит множитель, не
имеет* смысла, если множитель — несократимая дробь: число
нельзя взять слагаемым, например, - раза. Надо либо отказаться
ют умножения на дробь, либо дать существенно новое определе-
ние произведения; это новое определение должно быть обобще-
нием прежнего в том смысле, что в применении к натуральным
122
числам, представленным в виде дробей, новое определение дол-
жно давать тот же результат, какой давало прежнее. Кроме того,
и это особенно важно, необходимо, чтобы существенные свойства
произведения, вытекающие из прежнего определения, сохрани-
лись и при новом определении.
При изучении дробей в V классе к новому определению про-
изведения обычно приходят, рассматривая какую-нибудь задачу
практической жизни, которая при одних числовых данных ре-
шается посредством умножения на натуральное число, а при дру-
гих — посредством деления на натуральное число или деления
на натуральное число с последующим умножением v на другое
натуральное число. Например, чтобы узнать, какой путь пройдёт
автомобиль при скорости в 30— за 1) 2 часа, 2) за часа,
2	2»
3) за—часа, 4) за 3^-часа, надо 1) умножить 30 на 2, получая
о	о
60 км; 2) разделить 30 на 2, получая 15 км; 3) разделить 30 на
5 и результат умножить на 3, получая 18 км; 4) умножить 30
на 3 и сложить полученное число 90 с тем, что даст деление
30 на 5 с последующим умножением на 2, получая в итоге
102 км (тот же результат можно получить короче, представляя
2	17
3 в виде неправильной дроби 30 : 5 = 6, 6.17 = 102). Все
о	о
эти четыре случая сводятся к одному, если назвать «умножением
на дробь» операцию разыскания данной дроби от данного числа,
выполняемую с помощью одного деления на натуральное число,
когда данная дробь имеет числитель 1, или с помощью одного
деления и одного умножения на натуральные числа, когда числи-
тель данной дроби отличен от 1.
2.	Возможен иной, более короткий путь, приводящий к тому
же определению умножения на дробь. Умея умножать дробь на
,	„ а . ab
натуральное число, т. е. располагая формулой — • b = —, поста-
вим вопрос о том, какой смысл следует придать произведению
чтобы это «обобщённое» произведение обладало, как и
произведение натуральных чисел, свойством переместительности.
rx	t а а ,	< а
Ответ очевиден: из равенства &• — == — . Ъ следует равенство о • —=
ab	п п . а Ьа	п
— —, или, что то же самое, равенство о • — = —, которое гово
п	г	п п v
рит, что произведение данного натурального числа на данную
дробь есть не что иное, как данная дробь от этого данного числа
(сперва находят, разделив Ъ на и, одну «энную» долю данного
А	к b
числа о, потом полученную дробь — умножают на а и получают
Ьа	а	£ тх
что и составляет — от числа о). Итак, приходим к такому
123
(А>
определению умножения на дробь: умножением на дробь на-
зывается совокупность двух последовательных операций — де-
ления на её знаменатель и умножения на её числитель.
Это определение применимо не только к умножению натураль-
ного числа на дробь, но и к умножению любой дроби на дробь,,
так как мы уже умеем умножать и делить дроби на натуральные
числа. Чтобы умножить дробь на —, находим сперва частное
к п
а	а	а	а .
т‘ n=i~t т. е. одну «энную» от т-, а затем произведение т— о =
п>	ntl	К	КП
ab <	и а
= т~, т. е. Ъ таких «энных» долей от у-. Окончательно имеем опре-
kn	k	r
деление произведения дробей, выражаемое формулой
а Ь____________________________ab_
k' п~ kn'
Отсюда известное правило умножения дроби на дробь. Допол-
нять определение (А) особыми формулами для случаев, когда
.	л	а	, а • 1 а	а _
множитель 1	или	0,	не надо, так как	-г	•	1 = т—т =^= -г >	т ’ ° =
_а-0_0	k	k-l	k’	k
~k> 1— k~ 01
3.	Всякое натуральное число можно записать в виде дроби,
а потому возникает вопрос, что получится, если мы найдём про-
изведение двух натуральных чисел, представив их предварительно
в виде дробей. Взяв, например, 5 • 6 = 30, представляем сомно-
5 6
жители в виде дробей. Взяв—и т-; перемножаем их согласно но-
11	5 • 6 30
вому определению произведения, получая	Равен-
ство результатов, полученных оба раза, имеет место всегда, так
< a b a*b ab
как а •. b = р • р = j—J- = — — ab, а потому новое определение
произведения является обобщением прежнего, а это прежнее —
частным случаем нового.
4.	I. Произведение двух дробей всегда существует и един-
ственно. Это следует из того, что умножение дробей сводится к
умножению и делению натуральных чисел, а произведение любых
натуральных чисел обладает этим свойством, обладает им после
введения дробей и частное натуральных чисел.
Ясно, что умение находить произведение двух дробей обеспе-
чивает и возможность получения произведения любого числа дро-
бей; например.
r r nL п2 п3	п3 П1П2П3
II.	Произведение двух дробей обладает свойством перемести-
тельности. Действительно, — • — =	, — • — =	, но a2^i3
124
= сыъ, П2П1 ti\ti2 по свойству переместительности произведе-
tZi Qn da Qr\
«ия натуральных чисел, а потому ~	.
III.	Произведение трёх дробей обладает свойством сочетатель-
нпсти . °2\ . а®____01. (°2.
nJ П3 Пг \П2 П31
Это следует из определения (А) и свойства сочетательности
натуральных чисел.
IV.	Произведение суммы дробей обладает свойством распре-
делительности. .	.
/Д1 | ^21 . #3_#3 I ^2 ^3
nJ * П3 Л1 * П3 П2* П3'
Это легко доказать, основываясь на свойстве распределитель-
ности произведения натуральных чисел.
V.	Произведение дробей обладает свойством монотонности: если
—, то —• — >—• —, где а3 предполагается большим 0.
и* п± п3 п2п3
VI. Произведение дробей равно 0 тогда и только тогда, когда
по крайней мере один из сомножителей 0.
Свойства V и VI легко доказываются с учётом того, что ска-
зано выше [IV, 4, 2] о свойствах произведения целых неотрица-
тельных чисел.
5.	Задача разыскания данной дроби от данного числа, кото-
рую мы решали раньше двумя действиями [X, 5, 5], после введения
произведения на дробь решается уже одним действием: чтобы
« а ' * *
наити — от данного числа г, безразлично натурального или дроб-
ного, надо либо выполнить последовательно деление на п и умно-
жение на а, что дает (г : п)- а = —, либо умножить г на дробь
а га
что дает то же самое: г • — = —.
п п
6.	Стоит отметить одно обстоятельство, неизменно смущающее
детей, впервые встречающихся с умножением на дробь: в то время
как умножение на натуральное число, отличное от 1, всегда даёт
произведение, превосходящее множимое, что соответствует и про-
исхождению названия действия («умножить» — «увеличить»), при
умножении на дробь произведение больше множимого только в
том случае, когда множитель — неправильная дробь; в случае,
когда множитель — правильная дробь, произведение меньше мно-
жимого. Это обстоятельство вполне объясняется определением
дроби: при умножении на правильную дробь мы находим дробь
множимого, которая меньше всего множимого; при этом делят
на знаменатель, а умножают на числитель, который меньше зна-
менателя, а потому получают произведение, меньшее, чем мно-
жимое.
125
§ 7.	Деление дроби на дробь
1.	Деление на дробь не допускает столь простого и наглядного
представления, какое мы имели при делении дроби на натураль-
ное число [X, 5, 3], рассматривая разделение множества элемен-
тов и долей элементов на две или более равные части. Однако
здесь сохраняется то определение деления как действия, обратного
умножению, какое было дано для натуральных чисел [III, 5, 2]:
частным от деления одного данного числа на другое число назы-
вается такое третье число, которое, будучи умножено на второе
данное число, даёт первое данное число.
п гт	а b
2.	Пусть требуется наити частное от деления — на где
а, п, 6, k — данные натуральные числа. Заметим прежде всего,
что не может быть двух различных частных: если частное суще-
ствует, оно единственно, так как иначе было бы нарушено свой-
ство монотонности произведения [X, 6, 4]. Допуская, что частное
х
существует, записываем его в виде — и имеем согласно опреде-
х	b	a	xb а
лению частного	равенство	—	— или	— = —,	которое	после
г	у	k	п	ykn	г
почленного	умножения	на	k и	деления на	b приводит к	равенству
.Таким образом, искомое единственное
xbk	ak	х ak
или	— = —г
у kb	nb	у nb
частное найдено:
а ' Ь_ __ ak
п' k nb'
(В)
вывод формулы (В), который предпочи-
3.	Возможен другой
тают применять в школе. Вспоминая, что умножить на дробь —
значит найти эту дробь множимого, определение частного от деле-
ния дроби на дробь можно формулировать так: разделить дробь —
л ь	_	, b п.
на дробь -г— значит найти такую третью дробь, -г которой
Л	Л
а /	5	3
равны — 1например, разделить -д на — значит наити такую
третью дробь, три четверти которой равны -х-). Но если b долей
х а	°'
искомого числа равны дроби —, то одна
а , а „	п
— : Ь = —т , а все искомое число, содержа
п	по
а	.	ak	(	3 _	  ...
nb	nb	\
5
C''*“ 8
5\
I. Но если b долей
такая его доля
k таких долей,
5
например, если -% искомого числа равны -g-, его -j-
5 о • 5	_	5	. 5.4
есть —:3 = н—к, а все искомое число х—• 4 = j—= —
О	0*0	0*0	0*00
опять приходим к формуле (В).
равна
равно
1
Г
5\ ТЛ
. Итак,
126
4.	Формула (В) выведена в предположений, что буквы а, п, Ь»
k означают произвольные натуральные числа. Если n — k=\^
она показывает, что деление натуральных чисел можно рассма-
тривать как частный случай деления дробей: формула (В) яв-
ляется обобщением формулы а : b = Формула (В) применима*
и тогда, когда а = 0, но ни одной из трёх остальных букв значе-
ния 0 давать нельзя, так как деление на нуль исключено
[IV, 3, 3]. В случае а = 0 формула (В) говорит, что частное от
деления 0 на любую дробь (отличную от 0) есть 0, что получается
и непосредственно из определения частного, если принять во вни-
мание последнее свойство произведения дробей, рассмотренное
выше [X, 6, 4].
5.	Задача разыскания числа по данной его дроби, которую
можно решить двумя действиями (делением и умножением на на-
туральные числа), как это было указано выше [X, 5, 5], с помощыо
деления на дробь решается одним действием. Действительно^,
если («бе катых» долей) какого-то неизвестного числа равньв
числу г (безразлично, натуральному или дробному), то одна такая
его доля составляет г : b = , а всё неизвестное число, содержа /г
г	rk
таких долей, равно -=-•£ = —. Но тот же результат получаем,.
Ь *	b rk
выполняя одно деление на дробь: г : -г- = -т-.
К и
в. Деление на правильную дробь даёт частное, большее дели-
rk
мого: если b < k, то -v- больше г. Это
b
уясняется, если учесть, что деление г на
есть разыскание числа, правильная дробь
3
например, — неизвестного числа составляют г, то все это неизвест-
4	4
ное число больше г, а именно -у от г. Здесь, как и при умноже-
нии на правильную дробь, имеет место противоречие с первона-
чальным смыслом термина «разделить» — «уменьшить» и привыч-
кой наблюдать уменьшение числа в результате деления его на
натуральное число, большее 1. Чтобы преодолеть эту трудность,,
полезно решить несколько задач вроде такой: сколько флажкоя
можно сделать из 15 м ткани, если на каждый идёт 0,3 ж?
7. Определение. Числом, обратным для данного числа, на-
зывается частное от деления 1 на данное число.
_	а	„ п
Так, для дроби — обратным числом является дробь —, для
П	1 и
натурального числа п обратным является дробь —. Два числа-
7Z
обстоятельство вполне*
л b
правильную дробь -у
которого есть г; если»
12Г
— и — называются взаимно-обратными, так как каждое из них
п а
обратно другому. Обратным числом обладает всякая дробь, от-
личная от 0.
Отметим возможность формулировки правила деления на
дробь с помощью термина «обратное число»: чтобы разделить на
дробь, достаточно умножить на число, обратное этой дроби. Дей-
а b ak a k k
ствительно, —-: —= —г==— •, но -- число, обратное дели-
b п k nb п b' b	г
телю -г.
к
ГЛАВА XI
СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ДРОБИ
§ 1.	Десятичная дробь как частный случай систематической дроби
1.	Принцип поместного значения цифр [V, 1, 4], обеспечива-
ющий возможность записи любого натурального числа с помощью
10 цифр десятичной нумерации ( или с помощью g цифр в пози-
ционной системе с произвольным основанием g > 1), применим
и к записи дробей: переход в записи числа на одно место влево
увеличивает значение цифры в g раз, а потому переход на одно
место вправо уменьшает её значение во столько же раз; поста-
вив справа от цифры единиц «знак дробности» (запятую), пони-
мают цифру, написанную на первом месте справа от знака дроб-
ности, как обозначение числителя дроби со знаменателем g, на
втором — со знаменателем g2, на третьем — со знаменателем g3
и т. д. Если буквы а и z со значками означают цифры, то выра-
жение	. OzOi,, Ziz2. . ,zm является записью суммы
+ Ол-1^-2 + ... + «2^+«1 + J+|^ +
легко представимой в виде дроби со знаменателем gm. Например,
при g = 3 запись 201,12202 означает число 2-32 + 0’3+1 +
1	2	2	0	2
Равное некотоР°й обыкновенной дроби со
знаменателем З5. Получаем определение: систематической
дробью по основанию g называется дробь со знаменателем
где ш — любое натуральное число, притом записанная по прин-
ципу поместного значения цифр без знаменателя. Вопрос о том,
всякое ли дробное число допускает представление в виде сйсте-
матической дроби, будет рассмотрен в дальнейшем [XI, 3].
2.	Если g = 10, то получаем систематическую десятичную
дробь
akak-i ... а2аи zxz2... zm,
128
равную обыкновенной дроби которая получается при вычисле-
нии суммы а* • 10*-1 +	. 10*—а 4- ... + «а • 10 +	+
Здесь каждая из бУкв а и z со значками
означает одну из цифр 0, 1, 2,... 9. Итак, десятичной дробью на-
зывается любая дробь со знаменателем, представляющим собой
степень 10, при условии, что эта дробь записана по принципу
поместного значения цифр без знаменателя. Придерживаясь этого
173
определения, мы должны назвать дробь обыкновенной,
дробь 0,173 — десятичной. Отметим, что часто десятичной дробью
называют всякую дробь со знаменателем 10от независимо от того,
как она записана.
Цифры справа от знака дробности называются первым, вто-
рым и т. д. десятичными знаками данной десятичной дроби. Целую
её часть, т. е. натуральное число а0 =	• 10*”1 + Qk-i • 10А~2 +
4- ... + аг • 10 + ai, иногда называют характеристикой, а дроб-
ную часть, т. е. сумму + у^ + • • • + у^» ~ ее мантиссой.
На практике применяются три способа чтения десятичной
дроби: её читают поразрядно (3,14 — три целых, одна десятая,
четыре сотых), или отдельно читают мантиссу как обыкновенную
правильную дробь (три целых и четырнадцать сотых), или читают
характеристику вместе с мантиссой как неправильную обыкно-
венную дробь (триста четырнадцать сотых).
Благодаря принципу поместного значения цифр, все операции
над десятичными дробями производятся значительно проще, чем
над дробями обыкновенными, а именно почти так же просто, как
над натуральными систематическими (десятичными) числами.
Этим и объясняется то огромное распространение, какое получили
десятичные дроби. Из всех десятичных дробей особенно часто
применяются сотые доли, получившие особое название («про-
центы») и особое обозначение (посредством знака %). Так, дробь
i/2 предпочитают представлять как 50%, дробь */4 — как 25%,
дробь ’/ю — как 10% и т. д. Особое название и особое обозначе-
ние существует также и у тысячных долей: их называют «про-
милли» и обозначают знаком °/оо, так что 0,127 можно записать
в виде 127°/оо («сто двадцать семь промиллей»). Однако чаще
применяется запись и чтение тысячных как десятых долей про-
цента (0,127= 12,7%).
3.	Приведение двух десятичных дробей к одному знаменателю
выполняется путём простого приписывания (хотя бы мысленного)
надлежащего числа нулей справа к той дроби, у которой меньше
десятичных знаков. Поэтому сравнение десятичных дробей сво-
дится к сравнению дробей с одним и тем же знаменателем и про-
изводится с одного взгляда на их запись. Две десятичные дроби
9 В. М. Брадис
129
равны, если они тождественны, т. е. имеют поровну целых, поровну
десятых, сотых и т. д. Из двух нетождественных десятичных дро-
бей больше та, у которой больше целых, а при равенстве целых —
та, у которой больше десятых, а при равенстве десятых — та, у
которой больше сотых и т. д. Отметим, что добавление нулей
справа значения десятичной дроби не меняет — оно равносильно
раздроблению долей, т. е. представлению той же десятичной дроби
в более мелких долях (иначе обстоит дело в тех случаях, когда
десятичная дробь является приближённым значением величины
(см., например, стр. 42 книги В. М. Брадиса «Средства и способы
элементарных вычислений», изд. 2, АПН РСФСР, 1951).
4.	Множество десятичных дробей есть правильная часть мно-
жества дробей вообще. Рекомендуется рассмотреть множество то-
чек числового луча, соответствующих десятичным дробям, а также
установить бесконечность, счётность, плотность в себе множества
десятичных дробей.
§ 2.	Четыре действия над десятичными дробями
1.	Правила сложения, вычитания и умножения десятичных
дробей сразу вытекают из правил тех же действий над обыкно-
венными дробями и нуждаются лишь в небольших добавлениях,
говорящих о наиболее удобной записи данных и о положении
знака дробности в результате. Так, например, находя произведе-
a a-i	aai
ние двух обыкновенных дробей*^ и равное записы-
ваем данные и результат без знаменателя и приходим к извест-
ному правилу умножения десятичных дробей. Особого упомина-
ния заслуживает умножение десятичной дроби на разрядные еди-
ницы 1, 10, 100, 1000 и т. д., так легко выполняемое простым пере-
носом знака дробности на столько же мест слева направо, сколько
нулей имеется в записи множителя, с'приписыванием в произведе-
нии в надлежащих случаях недостающего числа нулей справа.
2.	Деление одной десятичной дроби на другую, отличную от 0,
всегда выполнимо, если записать делимое и делитель в виде обык-
новенных дробей и применить правило деления обыкновенных дро-
бей. Частное получается при этом в виде обыкновенной дроби.
Но возникает вопрос, можно ли выразить это частное в виде де-
сятичной дроби. Рассмотрим сперва деление десятичной дроби,
которая в частности может сводиться и к натуральному числу (к
своей целой части — характеристике), на натуральное число.
Деление на разрядную единицу (10, 100, 1000 и т. д.) -вы-
полняется простым переносом знака дробности на столько мест
влево, сколько нулей при единице в записи делителя, с приписы-
ванием в надлежащих случаях недостающего числа нулей слева.
, Деление десятичной дроби на натуральное число, как и деле-
ние многозначного натурального числа, выполняется на основе
130
распределительного свойства частного при постепенном выделении
«удобных» слагаемых. Достаточно уяснить ход процесса делений
на каком-нибудь частном примере, хотя бы следующем:
44,688
36
“86
84
28
24
I___12
| 3,724
Проверка: 3,724
7448
3724
44,688
&
Здесь делимое представлено в виде суммы 36 + 8,4 + 0,24 +
+ 0,048 и выполнено деление каждого слагаемого в отдельно-
сти, что дало 3 + 0,7 + 0,02 + 0,004, или, короче, 3,724. Удобные
слагаемые выделяются постепенно как произведения делителя на
последовательно определяемые цифры частного.
Деление на десятичную дробь сводится к делению на нату-
ральное число посредством умножения делимого и делителя на
знаменатель делителя, что не меняет частного. Например, деление
дроби 1,0563 на 0,14 сводится после умножения делимого и дели-
теля на 100 к делению 105,63 на 14, что даёт 7,545. Отметим часто
встречающуюся ошибку, усложняющую запись: делимое и дели-
тель умножают на тот знаменатель делимого или делителя, кото-
рый больше, и сводят вопрос к делению одного натурального числа
на другое. Хотя частное при этом получается правильное, но пи-
сать приходится больше, а потому делать так не следует.
3. Выполняя указанным способом деление, часто встречаемся
со случаем бесконечного повторения одного и того же остатка или
нескольких последовательных остатков, как, например, в следую-
щих делениях: 2:3 = 0,666 .. .= 0,(6) (повторяется остаток 2, а в
силу этого и цифра 6 в частном), 50:37= 1,351351351 ... = 1,(351)
(повторяется группа из трёх остатков 13, 19, 5, а в силу этого
группа из трёх цифр 3, 5, 1 в частном, записанная в скобках),
14 : 55 = 0,2545454 ... = 0,2(54) (повторяются остатки 30 и 25),
а в связи с этим группа цифр 5 и 4 в частном, записанная в скоб-
ках). Такие бесконечные частные с повторяющимися цифрами или
группами цифр будут рассмотрены в главе XII. Строго говоря,
они уже не являются десятичными дробями, так как всякая деся-
тичная дробь имеет лишь конечное число цифр, но общепринято
их наименование «бесконечные десятичные дроби».
Сопоставляем два факта: 1) частное от деления любого де-
сятичного числа на любое десятичное число, отличное от 0, мо-
жет быть представлено некоторой обыкновенной дробью (в при-
2 50 14\
веденных выше примерах имеем частные g > 37 > 55/ 5 частное от

131
деления одного десятичного числа на другое далеко не всегда
можно выразить десятичной дробью. Отсюда следует, что вопрос
о возможности представления частного двух десятичных чисел в
виде десятичной дроби связан с вопросом о тех условиях, при ко-
торых возможно представление обыкновенной дроби в виде деся-
тичной. Переходим к нему.
§ 3.	Представление обыкновенной дроби в виде десятичной
1.	Замечая, что 10 = 2-5, 100 = 22 • 52, 1000 = 23 • 53, вообще
10*= 2* • 5*, и вспоминая основное свойство дроби [X, 2, 1], легко
убеждаемся, что всякую дробь, знаменатель которой не содержит
других простых множителей, кроме 2 и 5 (в каких угодно степе-
нях), можно представить в виде десятичной дроби: для этого до-
статочно умножить её числитель и знаменатель на надлежащее
7	7
число простых множителей 2 и 5. Например, дробь или
можно представить в виде
7-5а
2«-53
175 П1_с х 41
“"iW^0'175' ДРобь^ или
41	41-24	656 ллскс
- в виде или 11Х)0), =0,0656.
2.	Во всех случаях, когда для представления обыкновенной
дроби в виде десятичной применим только что указанный «способ
умножения», применим также «способ деления», состоящий в том,
что числитель данной дроби делят на её знаменатель, представляя
частное в виде десятичной дроби. Так, деля 7 на 40, получаем
0,175; деля 41 на 625, получаем 0,0656. Способ умножения-удоб-
нее, если числитель и знаменатель данной дроби — маленькие
числа, так что весь расчёт делается в уме. При больших числах
удобнее способ деления.
3.	Итак, если знаменатель дроби не содержит других простых
множителей, кроме 2 и 5, возможно её представление в виде де-
сятичной дроби. Теперь надо выяснить, как обстоит дело с дробью,
имеющей в знаменателе хотя бы один простой множитель, от-
личный от 2 и 5. Дробь будем предполагать несократимой. Легко
видеть, что такие дроби представления в виде десятичных дробей
тт v	«	„ а
не допускают. Действительно, возьмем несократимую дробь —,
где р — какое угодно простое число, отличное от 2 и 5, числа же
а и Ь — произвольные натуральные. Допустив, что существует
о	С	ас
равная ей десятичная дробь , получаем равенство — = ^^9
а
откуда а* 10* — Ьср. В силу несократимости дроби число а не
имеет простого множителя р, не имеет его и вся левая часть а • 10*,
132
в то время как правая часть его имеет. Основываясь на том, что
натуральное число имеет единственное каноническое разложение
[VI, 9, 2], заключаем, что равенство а • 10* = Ьср невозможно, а
потому невозможно и представление дроби £- в виде десятичной
дроби.	ЬР
Итак, представить в виде десятичной дроби можно такую и
только такую обыкновенную несократимую дробь, у которой зна-
менатель не имеет других простых множителей, кроме 2 и 5.
4.	Рекомендуется обобщить эту теорему на систематическую
дробь с произвольным основанием g. Легко убедиться, что, напри-
мер, при g — б допускают представление в виде систематических
«шестеричных» дробей те и только те обыкновенные несократимые
дроби, у которых знаменатель не содержит других простых мно-
жителей, кроме 2 и 3. При любом основании g представление в
виде систематической дроби допускают те и только те обыкновен-
ные несократимые дроби, знаменатель которых не имеет других
простых множителей, кроме тех, какие входят в разложение g.
ГЛАВА XII
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ РЯДЫ
(ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ)
§ 1.	Понятие о ряде, десятичном ряде (бесконечной десятичной
Дроби), периодическом десятичном ряде (периодической десятич-
ной дроби)
1.	Выражение ао + at + d2 + ... + ап +..., где буквы а0,
at, аг, ..., ап, ... означают числа, образованные по некоторому
определённому закону в зависимости от значения указателя п для
всех натуральных значений этого указателя, называется бесконеч-
ным числовым рядом или, короче, просто рядом. Взяв, например,
Оя 1
ап = 2я и ап =	, получаем ряды
1 +2 + 44-8+ 16 + 32 +....
1+-+- + -4—- + — + . . .
‘ 2	4	8 ‘ 16	32 '....
Числа а0, di, аг, d3... называются членами ряда.
Теория рядов изучается в курсе математического анализа, но
с некоторыми рядами мы встречаемся уже в арифметике.
2.	Ряд называется десятичным, если do — какое-нибудь нату-
ральное число или 0, а каждый последующий член ап есть дробь
с однозначным числом в числителе и со знаменателем, равным 10я,
133
так что ап = где z„— одна из 10 цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Пользуясь принципом поместного значения, десятичный ряд можно
записать как ао, Zi, z2... гп   •
Как мы видели в предшествующей главе, некоторые обыкно-
венные дроби допускают представление в виде десятичных дробей,
как, например, дроби со знаменателями 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20 и т. д.,
другие же такого представления не допускают, как, например,
дроби со знаменателями 3, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19 и т.д.
Пытаясь представить дробь с одним из таких знаменателей в виде
десятичной дроби посредством деления её числителя на знамена-
тель, получаем не десятичную дробь, а десятичный ряд; напри-
мер, деление 1 на 3 даёт 0,333 ..., деление 1 на 6 — 0,1666 ...,
деление 1 на 7 — 0,142857142857 ...
Десятичные ряды обычно называют бесконечными десятич-
ными дробями, отказываясь тем самым от первоначального опре-
, в
деления дроби — как пары натуральных чисел а и п, характеризу-
ющих множество из а долей какого-нибудь элемента (единицы),
полученных разбиением этого элемента на п одинаковых частей
[X, 1, 2]. Десятичный ряд не есть дробь в точном смысле этого
слова, но его можно рассматривать, по крайней мере в некоторых
случаях, как особый способ представления дроби. Так, десятичный
ряд 0,3333..., как мы только что видели, получается при попытке
представления обыкновенной дроби 4- в виде десятичной, а по-
d 1
тому его можно считать представляющим эту дробь -5-.
О
Если некоторый десятичный ряд получается при делении на-
турального числа а на натуральное число п, будем говорить, что
этот ряд равен дроби —. Так, десятичные ряды 0,3333...,
я	11
0,1666..., 0,142857142857... равны соответственно дробям -у» с",
।	о о
Ближайшая наша задача — выяснить, какие .десятичные ряды
равны обыкновенным дробям и как от такого десятичного ряда
перейти к равной ему обыкновенной дроби.
3.	Если в десятичном ряде ao,ZiZ2Z3 ... имеет место, начиная
с некоторой цифры, бесконечное повторение этой цифры, одной или
вместе с какой-нибудь группой последующих цифр, то такой де-
сятичный ряд называют периодическим десятичным рядом (или
бесконечной периодической десятичной дробью), а повторяющуюся
цифру или группу цифр — его периодом. Если период начинается
сразу после знака дробности, ряд называют чистым периодиче-
ским, если не сразу, — смешанным периодическим, причём цифры
находящиеся между знаком дробности и началом первого периода,
образуют предпериод. Для сокращения записи период заключают
134
в скобки и пишут его только один раз, опуская многоточие. При-
водим примеры:
= 0,333... или 0,(3)— чистый периодический ряд с перио-
дом 3;
-— = 0,1666... или 0,1(6)— смешанный периодический ряд с
о
предпериодом 1 и периодом 6;
-у- = 0,(142857) — чистый периодический ряд е периодом
142857.
Всякую десятичную дробь можно рассматривать как десятич-
ный периодический ряд с периодом 0; например 1,23 можно за-
писать как 1,23(0) и назвать десятичным периодическим рядом
(смешанным) с предпериодом 23 и периодом 0.
4.	Представляя обыкновенную дробь в виде десятичной дроби
или десятичного ряда, мы всякий раз, получая десятичный ряд,
имели в нём период. Что это не случайность, обнаруживает сле-
дующая теорема: всякая обыкновенная несократимая дробь, не
представимая в виде десятичной дроби (т. е. имеющая хотя бы
один простой множитель знаменателя, отличный от 2 и 5), пред-
ставима в виде периодического десятичного ряда, чистого или сме-
шанного.
Для доказательства возьмем несократимую дробь —, для ко-
торой деление числителя на знаменатель оказывается бесконеч-
ным. Это значит, что при делении получаются остатки, среди ко-
торых нет 0. Но при делении на п возможны только остатки,
меньшие п, а потому здесь различных остатков будет самое боль-
шее п— 1. Среди бесконечной последовательности остатков не-
избежны в силу этого повторения, но повторение какого-нибудь
остатка влечёт за собой и повторение всех последующих остатков,
а следовательно, и всех соответствующих им цифр частного. По-
лучается период, содержащий самое большее п — 1 цифру.
Поясним сказанное примерами. При делении 10 на 7 полу-
чается бесконечная последовательность остатков, но различных
из них только 6, а потому должен получиться период, содержа-
щий не больше чем 6 цифр. Получаются остатки 3,2,6,4,5,1 и опять
3 и соответствующий им период из 6 цифр частного: у= 1, (428571).
При делении 15 на 11 возмЪжны 10 различных остатков, на са-
мом же деле получаются только два — 4 и 7, которым соответ-
15	40
ствует период из двух цифр: уу = 1,(36). Дробь у^ представ-
ляется чистым периодическим десятичным рядом 3,(076923), хотя
7
здесь 12 возможных остатков, дробь же yg приводит к периоду
135
из 18 цифр» так как при делении 7 на 19 появляются последо-
вательно все 18 возможных остатков.
5.	Итак, всякий десятичный ряд, получаемый в результате де-
ления числителя обыкновенной дроби на её знаменатель, неизбежно
имеет период. Отсюда следствие: для того чтобы данный деся-
тичный ряд получался в результате деления числителя какой-ни-
будь дроби на её знаменатель, необходима периодичность этого
десятичного ряда. Таким образом, не существует ни одной дроби,
у которой деление на знаменатель давало бы непериодический
десятичный ряд. Такими рядами мы будем заниматься позже, в
отделе IV, а сейчас установим некоторые свойства периодических
десятичных рядов.
§ 2. Чистые периодические десятичные ряды (чистые периодиче-
ские десятичные дроби)
1.	Рассмотрим десятичный ряд, получаемый делением числи-
теля на знаменатель такой несократимой дроби у которой зна-
менатель, больший 1, взаимно-прост с 10. Таковы, например, дроби,
со знаменателем 3, 7, 9, И, 13, 17, 19, 21 и т. д. Выполняя такое
деление, получаем каждый раз чистый периодический ряд: по-
вторяются цифры частного, начиная с цифры десятых долей.
Оказывается, имеет место теорема: если знаменатель несокра-
тимой дроби взаимно-прост с 10 и отличен от 1, то эта дробь
представима чистым периодическим десятичным рядом (чистой
периодической десятичной дробью).
Для её доказательства рассмотрим отдельные шаги, какие при-
ходится делать при делении числителя а на знаменатель п такой
дроби. Прежде всего выполняется деление (в широком смысле)
а на п, дающее целую часть частного а0 и первый остаток гх (если
а < п, то а0 == 0 и л = а). Остаток Г\ раздробляют в десятые
доли, число Юл делят на п и получают первую цифру частного
Z\ и второй остаток г2. Затем 10г2 делят на п и получают вторую
цифру частного z2 и третий остаток г3, 10г3 делят на п и получают
третью цифру частного z3 и четвёртый остаток л и т. д. Все эти
остатки и цифры частного связаны соотношениями Юл = zxn + г2,
10г2 = z2n + r3, 10г3 = 23л + л и т. д. Ни один из остатков
Л, Л, Л, л... не равен 0 (теорема [XI, 3, 3]), среди них имеются
повторяющиеся (теорема [XII, 1, 4]).
Положим, что остатки л, г2,..., л все различны, а остаток л^х
равен одному из предшествующих, а именно л+i. Допустим, что
i > 0. Тогда у остатка есть предшествующий остаток, связан-
ный с ним соотношением Юл ж + л+ь и равенство = Л+i
можно переписать в виде Юл — лл=10л — Л л или в виде
10.1л — л1=л*1л— Zi\. Остатки л и rt различны, так как
остатки Л-f-i и л+i являются согласно допущению первой парой
136
равных, остатков, а потому обе части последнего равенства —
натуральные числа. В правой части имеем натуральное число,,
кратное п, поэтому произведение 10 • \rk — rj делится на п. Но*
первый сомножитель 10 взаимно-прост с п по условию, и на осно-
вании теоремы о делимости произведения [VI, 4,2] заключаем, что
\гк—Г/| делится на п. Однако	а потому
и натуральное число |г* —rz| меньше п, следовательно, делиться
на п оно не может. Получилось противоречие, доказывающее не-
правильность сделанного выше допущения, что первым повторился
остаток Г/+1, где i ф 0, т. е. один из остатков, следующих за пер-
вым. Отсюда вытекает, что первым повториться может только-
первый остаток и, что и доказывает теорему.
2.	Если дана обыкновенная несократимая дробь — , знамена-
тель которой не делится ни на 2, ни на 5 (но больше 1), то пред-
ставление — в виде чистого периодического десятичного ряда по-
лучаем путём простого деления а на п. Рассмотрим теперь более
трудную обратную задачу: дан чистый периодический десятичный
ряд а0, (^iz2... zk); выяснить, существует ли обыкновенная дробь^.
представимая этим рядом, и если существует, то как её получить.
Разумеется, можно полагать я0 = 0, ограничиваясь только пра-
вильными дробями.
Наиболее простое, но не вполне обоснованное решение этой’
задачи состоит в следующем.
Найдя простым делением, что 4- =0,(1),	=0,(01), q|x —
।	У	УУ	УУУ
— 0,(001), вообще jqj—- = 0,(00... 01), где период состоит из /г
цифр, из которых первые k — 1 нули, допускаем, что при увели-
чении периода во сколько-нибудь раз получается новый чистый
периодический ряд, представляющий дробь, во столько же раз-
большую, чем данный, а потому ряд 0, (zi z2... zft) представляет
дробь, в Р раз большую, чем ряд 0,(00...01). Здесь буквой Р~
обозначено натуральное число, изображаемое цифрами периода
2iZ2...Zb. Но чистый периодический ряд 0,(00...01) представ-
ляет дробь —у, а поэтому данный чистый периодический ряд.
Р	6	2
представляет дробь . Например, 0,(6) =	; 0,(42) —
_ 42	14	407	11 . n ,71.OQl-x	_ 714285	5
99 “	33’	°>(407> — 999 — 27 ’ °><714285)	999999 —	7 ’	ЧТ0
подтверждается проверкой делением.
Вывод этот теряет силу при k = 1 и Р = 9, т. е. когда период
р
состоит из одной цифры 9, так как дробь равна в этом слу-
чае натуральному числу 1. Приводя к правильным результатам^
137
приведённое рассуждение не является вполне обоснованным по
той причине, что оно предполагает наличие свойства распредели-
тельности у той суммы бесконечно большого числа слагаемых,
какой является десятичный ряд, в то время как это свойство было
нами установлено лишь для сумм конечного числа слагаемых,
какие только мы и рассматривали.
Итак, имеем правило: чтобы получить обыкновенную дробь,
дающую при делении числителя на знаменатель данный чистый
периодический десятичный ряд с периодом, отличным от 9, надо
написать период числителем, а знаменателем число, изображаемое
столькими девятками, сколько цифр в периоде.
3.	Другой вывод, тоже не вполне обоснованный, получается,
^сли допустить свойство сочетательности у той суммы бесконечно
большого числа слагаемых, какой является десятичный ряд.
Действительно, ограничиваясь случаем k = 2, имеем, обозначая
как и раньше число в периоде одной буквой P(P = zjZ2 =
— 10^1 + z2),
- & 4- Лй 4- (Л- 4- Лй -L.	_1_
— \10 +	+ \103 + 104/ + \ 105 + 10е/
То5₽^‘ 1овр"*-”'
Применяя известную формулу предела суммы членов беско-
нечно убывающей геометрической прогрессии, приходим к фор-
р
муле 0,(Р) т. е. к тому же, что и выше. Этот вывод приме-
99
няется в школьном курсе математики (в IX классе).
4.	Даём ещё третий вывод, основанный на допущении, что
дробь, представляемая данным чистым периодическим рядом
0,(Р) = O,(ziz2... Zk^-iZk), существует, и что дробь, в 10* раз
бодьшая, представляется тем же чистым периодическим рядом, но
имеющим целую часть уже не 0, а Р = ZiZ2 •. • Zk-iZk-
Обозначив буквой х дробь, представимую чистым периодиче-
ским рядом 0,(ZiZ2... Zk-iZk)t имеем на основании второго допу-
р
щения, что 10* х = Р + х, откуда х =	•
Безупречный вывод этой формулы, основанный на понятии пре-
дела, дан в школьном учебнике арифметики А. П. Киселёва, пере-
работанном профессором А. Я. Хинчиным (стр. 142—148 по из-
данию 1952 г.).
5.	Отметим одно следствие доказанной формулы: не суще-
ствует дроби, которая при делении числителя на знаменатель
давала бы десятичный ряд с периодом из одной цифры 9. Если бы
138
такая дробь существовала, она равнялась бы	—=• при Р = 9,
91	1
k = 1, т. е. уф—J = у , но деление 1 на 1 не может дать десятич-
ного ряда 0,(9).
Основываясь на понятии предела, считают 0,(9) равным 1.
Можно сказать, что чистый периодический десятичный ряд с пе-
риодом 9 есть не что иное, как особая форма представления 1.
6.	Другое любопытное следствие той же формулы: каково
бы ни было данное натуральное число п, не делящееся ни на 2 ни
на 5, всегда существует такое натуральное число k, что число
10* — 1, изображаемое одними девятками, делится на п. Действи-
тельно, дробь — представима некоторым чистым периодическим
п
десятичным рядом, имеющим период из k цифр, но всякий такой
Р	1 Р
ряд представляет дробь  ____i , а потому — = y^^zy » откУда
10*— 1 = пР. Например, для п = 3, 7, 11, 13, 17, 19 имеем соот-
ветственно k = 1, 6, 2, 6, 16, 18.
§ 3. Смешанные периодические десятичные ряды (смешанные
периодические десятичные дроби)
1.	Будем рассматривать обыкновенные несократимые дроби,
знаменатели которых, имея по крайней мере один простой множи-
тель, отличный от 2 и 5, уже не взаимно-просты с 10, а содержат
хотя бы один простой множитель 2 или 5. Таковы, например,
дроби со знаменателями 6, 12, 14, 15, 18, 22, 24, 26, 28, 30, 34 и т. д.
Каждая такая дробь даёт при делении числителя на знамена-
тель периодический десятичный ряд [XII, 1,4]. Может ли этот ряд
быть чистым периодическим? Как мы установили в § 2, чистый
периодический ряд представляет дробь со знаменателем из одних
девяток, но никакое натуральное число с цифрой единиц 9 не
делится ни на 2, ни на 5 [VII, 1,4]. Поэтому несократимая дробь
со знаменателем, содержащим хотя бы один множитель 2 или 5,
чистого периодического десятичного ряда дать не может; она пред-
ставима, таким образом, только смешанным периодическим рядом.
Правильность этого заключения проверяется на примерах:
11	7	7	Ч Ч
273=0’1^’ ^ = 2^ = °’58<3 4 *)’ й=277=0’2<1428б7>’
4	4	7	7	О Q
^=57з=°-2<6 *>- R = 2^ = °-3<8)’ й = 2?П = °’4т'
к к	17	17
Я = 2М =0.208(3). Й =	=0.28(3) к т. л.
Легко подметить такую закономерность: число цифр предпериода
139
оказывается каждый раз равным большему из показателей чисел
2 и 5 в каноническом разложении знаменателя. Например, раз-
»7
ложение 60 содержит 22 и 5, предпериод для оказался состоя-
щим из 2 цифр; разложение 24 содержит 23 и не содержит 5, пред-
5
период для gj оказался из 3 цифр. Если эта догадка верна, дробь
со знаменателем 3600 = 24.52 • З2 должна иметь предпериод из 4
цифр, что и получается, например, для дроби = 0,0002 (7).
3600
2.	Теорема. Несократимая дробь —, где п =2*-5^ • т, при
условии, что наибольший из показателей а и р есть натуральное
число у, а натуральное число m взаимно-просто с 10 и больше 1,
представима смешанным периодическим рядом, имеющим пред-
период из у цифр и период из стольких же цифр, как и чистый
периодический ряд, представляющий дробь .
Доказательство этой теоремы получается без труда, если пред-
варительно решить задачу разыскания обыкновенной дроби,
дающей данный смешанный периодический десятичный ряд, чем
сейчас и займёмся.
3.	Допускаем, что существует обыкновенная несократимая
дробь — = х, обладающая тем свойством, что деление а на п > а
п
даёт данный смешанный периодический десятичный ряд
0,2^ ... г'(Z1Z2.. .z*). Допускаем, подобно тому, как и выше
[XII, 2,4], что дробь, в 10* раз большая, даёт десятичный ряд,
получающийся из данного перемещением запятой на i мест
вправо, т. е., что дробь 10* -х даёт чистый периодический десятич-
ный ряд Q, (Z1Z2... z*), где Q есть предпериод. Но ряд
р
0,(ziZ2... z*), как мы уже знаем, получается из дроби ____р
р
гдеР— период. Итак, 10/-лс = Q 4-	’ откУда находим, что
0 г'*	z’(z,z,	+
и, ZXZ2 . . - Z, (Z1Z2 • • . Zk) —	_p e 9
где P — период, Q — предпериод данного смешанного периоди-
ческого десятичного ряда. Замечая, что сумма 10* • Q-f- Р есть не
что иное, как число, изображаемое цифрами предпериода и пе-
риода, получаем такое правило: чтобы получить обыкновенную
дробь, дающую при делении числителя на знаменатель данный
смешанный периодический десятичный ряд с целой частью 0, надо
взять числителем разность между числом, записанным цифрами
140
от знака дробности до начала второго периода, и числом, записан-
ным цифрами от знака дробности до начала первого периода, а
знаменателем число, записанное столькими девятками, сколько
цифр в периоде, в сопровождении стольких нулей, сколько цифр
ё предпериоде.
Например, имея десятичный ряд 0,46(621), находим представ-
„	Л 46621 — 46	46575	69
ляемую им дробь -9990Q- =	= 148 ’ а делением 69 на
148 проверяем правильность этого результата.
4. Если период смешанного периодического десятичного ряда
G,
состоит из одной цифры 9, то дроби —, для которой деление чис-
лителя на знаменатель дало бы этот ряд, не существует.
Действительно, если бы такая дробь существовала, она была
-	(10Q + 9) — Q Q+1
бы равна '—g  —— = —	, но эта дробь при делении чис-
лителя на знаменатель даёт не десятичный ряд, а десятичную
дробь. Смешанный периодический десятичный ряд с периодом 9
приходится рассматривать как особый способ представления де-
сятичной дроби, получаемой из десятичного ряда отбрасыванием
периодов и увеличением на 1 последней цифры его предпериода
Например, 0,34(9) есть не что иное, как особый способ представ-
ления дрови 0,35.
5. Возвращаемся к доказательству теоремы о периодическом
десятичном ряде, представляющем правильную несократимую
ДР°бь па еа—, где m^> 1 взаимно-просто с 10, а из двух целых
неотрицательных чисел а и (1 по крайней мере одно больше нуля
(XII, 3,2]. Как мы уже видели, этот периодический ряд не
может быть чистым; будучи смешанным, он имеет вид
0, z'z' ... z\ (zizt... z*). 'Пользуясь только что найденным выра-
жением для дроби, представляемой этим рядом, имеем равенство:
a _10ft-Q + P — Q
2«.5₽.от- КУ-(10*— 1) ’
Дробь в правой части может допускать сокращение, например
на 2, если период Р и предпериод Q оканчиваются цифрами оди-
наковой чётности, или на 5, если разность Р — Q кратна 5, или
на какое-нибудь другое число, но не допускает сокращения на 10.
Действительно, для возможности сокращения на 10 необходимо,
чтобы на 10 делилась разность Р — Q, а это может быть только
при равенстве последних цифр периода Р и предпериода Q, что
невозможно: если z*, то периодом является не ZiZ?...
a z*ztZ2... z*_i. Заменяя 10z через 2l • 5'и производя сокращение
на тот из множителей 2 или 5, какой имеется в числителе, получим
в знаменателе правой части один из этих множителей в степени I.
141
Число 10* — 1 не делится ни на 2, ни на 5, а так как после сокра-
щения множители 2 и 5 должны входить в оба знаменателя в
одинаковых степенях, то число цифр предпериода i должно рав-
няться наибольшему из показателей а и 0, что и доказывает
теорему.
Можно доказать, что период смешанного десятичного перио-
. л
дического ряда, представляющего дробь	» содержит
столько же цифр, как и период чистого десятичного периодиче-
ского ряда, представляющего дробь .
т
§ 4.	Множество периодических десятичных рядов (периодических
десятичных дробей)
1.	Как мы убедились, каждая обыкновенная дробь, не допу-
скающая представления в виде десятичной дроби, допускает пред-
ставление в виде периодического десятичного ряда, чистого или
смешанного. Такое представление единственно: два бесконечных
десятичных ряда, представляющих одну и ту же дробь, равны
друг другу, а потому должны иметь поровну целых, поровну деся-
тых долей, сотых долей, тысячных долей и т. д., т. е. должны быть
тождественны. Но утверждать, что каждому периодическому
десятичному ряду соответствует одна и только одна дробь, не
допускающая представления в виде десятичной, можно лишь с
оговоркой: это не относится к рядам с периодом из одной цифры 9,
которые, как мы видели выше, следует рассматривать, как пред-
ставления десятичных дробей и натуральных чисел, как, например:
0,23(9) =0,24, 0,(9) = 1, 5,(9) =6.
2.	Исключим из рассмотрения десятичные ряды с периодом 9,
но зато будем считать каждое натуральное число и каждую деся-
тичную дробь периодическим десятичным рядом с периодом 0, что
возможно; например, 5 = 5,(0), 2,38 = 2,38(0). Тогда множество
всех дробей и множество всех периодических десятичных рядов
оказываются равносильными (каждой дроби соответствует один
и только один представляющий её периодический десятичный ряд,
каждому периодическому десятичному ряду соответствует одна
и только одна представляемая им дробь); соотношения равенства
и неравенства сохраняются, а потому здесь не только равносиль-
ность но и изоморфизм. Множество периодических десятичных
рядов можно рассматривать как множество дробей, только особым
образом записанных.
3.	Убедившись, что всякий периодический десятичный ряд яв-
ляется выражением некоторой обыкновенной дроби, естественно
поставить вопрос о том, что выражает непериодический десятич-
ный ряд, т. е. такой десятичный ряд, в котором нет бесконечного
142
повторения какой-либо цифры или группы цифр, как, например,
десятичный ряд 0,101001000100001 ..., в котором без конца повто-
ряется цифра 1 в сопровождении возрастающего числа нулей.
В главе XIV мы увидим, что такие непериодические десятичные
ряды выражают длины отрезков, несоизмеримых с отрезком-еди-
ницей, и являются иррациональными числами, образующими
вместе с числами рациональными (целыми и дробными, положи-
тельными и отрицательными и нулём) множество чисел действи-
тельных или вещественных.
4.	Возможность представления любой обыкновенной дроби
бесконечным десятичным периодическим рядом, в частных слу-
чаях (когда периодом служит 0) десятичной дробью, влечёт за
собой ряд практических выгод. Так, например, с одного взгляда
на эти десятичные ряды решается вопрос о сравнении двух дробей,,
который без этого требует приведения к одному знаменателю,
столь громоздкого в случае многозначных членов дробей. Дей-
ствительно, легко усмотреть правильность следующих утвержде-
<,	v а а9
нии, позволяющих заменять сравнение дробей	сравнением
их десятичных представлений а0, Z1Z2Z3... и	. •
Для удобства формулировок будем называть элементами деся-
тичного ряда а0, Z1Z2Z3... целое неотрицательное число а0 (целая
часть этого ряда) и все однозначные числа Zi, z2,z3,... (его после-
довательные десятичные знаки).
I. Если — = ^-, то ао = ^о, z<=zt' при любом указателе
Обратно, если а0 = Zt = z\ при любом указателе I, то “ —
Короче: две дроби равны тогда и только тогда, когда все соответ-
ствующие элементы их десятичных представлений одинаковы.
Напоминаем об исключении из рассмотрения десятичных рядов
с периодом 9. Если бы это исключение не было сделано, только
что формулированное утверждение было бы не всегда истинным.
II. Еслито либо а0 >а', либо а0 = Zi >z\, либо-
а0 = а0,	= z{, z2 > z', либо а0 = а', Zi = z\, z2 = z', z3 > z^
и т. д. Короче: у большей дроби первый из неодинаковых элемен-
тов десятичного представления больше, чем соответствующий эле-
мент у меньшей. Обратно, если первый из неодинаковых элемен-
тов десятичного представления одной дроби больше, чем соответ-
ствующий элемент у другой, то первая дробь больше второй.
Аналогично формулируется предложение III: Если	Т0,
либо а0 < a’Q9 либо по = а', zi < zj и т. д.
В качестве примера возьмём задачу сравнения толщины листа
бумаги, на которой напечатаны две книги, если одна толщиной
26 мм имеет 558 страниц, а другая при толщине 15 мм имеет
14Э
382 страницы. Дело сводится к сравнению дробей и пред-
ставляемых десятичными рядами 0,093 ... и 0,078 ..., и мы сразу
видим, что во второй книге бумага тоньше. Для контроля пра-
вильности допущения о равномерности толщины листов бумаги
каждой книги полезно повторить измерения, взяв только часть
-листов каждой из этих книг. Конечно, в силу неполной точности
измерения совпадение результатов будет только приближённым.
ГЛАВА XIII
МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
:§ 1. Рациональные отрицательные числа. Равенство и неравенство
рациональных чисел
1.	Натуральное число, являясь характеристикой численности
класса равносильных конечных множеств, служит в то же время
характеристикой некоторых изменений этой численности, а именно
её увеличений. Чтобы охарактеризовать не только увеличения, а и
уменьшения, т. е. любое изменение численности множества, одних
натуральных чисел оказывается недостаточно: надо ввести целые
отрицательные числа, которые вместе с натуральными числами и
нулём образуют множество целых чисел; это было рассмотрено
-выше [VIII, 1].
Имея дело с множествами элементов, допускающих разбиение
(раздробление) на равные части (доли), встречаемся с необходи-
мостью дать количественную характеристику множеству долей.
Выше мы видели, что эта цель достигается введением дробей
:{Х, 1,2]. Знаменатель дроби п указывает, на сколько одинаковых
долей разбит каждый элемент множества, а её числитель а —
сколько таких долей взято. Таким образом, приходим к понятию
обыкновенных дробей.
Определив натуральное число как инвариант класса равно-
сильных конечных множеств, а целое число как инвариант класса
равносильных изменений численности конечных множеств, можно
определить дробь как инвариант класса равносильных конечных
множеств одинаковых долей любых элементов.
Обобщая понятие дроби, как это было сделано выше [X, 3, 1]»
приходим к понятию рационального неотрицательного числа.
Множество всех таких чисел содержит в себе все натуральные
числа, нуль и множество всех обыкновенных дробей, непредста-
вимых натуральными числами.
2.	Обыкновенная дробь, будучи характеристикой численности
конечного множества долей элементов, может служить в то же
время и характеристикой увеличения численности такого множе-
ства. Чтобы характеризовать уменьшение численности множества
Й44
долей элементов, вводятся рациональные отрицательные числа
совершенно аналогично тому, как выше [VIII, 1,2] были введены
целые отрицательные числа.
Определение. Рациональным отрицательным числом — ~
—а	п
или, что то же, , где а и п — произвольные натуральные числа,
называется число, характеризующее уменьшение любого множе-
ства «энных» долей элементов на а этих долей, т. е. замену такого
множества, содержащего с > а «энных» долей, множеством, со-
держащим с — а таких долей.
3.	После введения рациональных отрицательных чисел обык-
новенные дроби получают новое название — рациональные поло-
жительные числа, и новое обозначение — посредством знака +,
поставленного (или подразумеваемого) впереди, так что запись
а . а	_
—,	-— означает одно и то же. Рациональное положительное
п' 1 п п
а	а	.
число - и рациональное отрицательное число--(здесь а —
п	п
натуральное число или 0) называются противоположными (или
симметричными). При п = 1 рациональные числа - и — - пред-
ставляют собой не что иное, как целые числа 4-а и —а, а потому
множество всех рациональных чисел, получаемое через соединение
всех рациональных положительных чисел, всех рациональных
отрицательных чисел и числа нуль, содержит в себе и множество
всех целых чисел, как целых положительных (натуральных), так
и целых отрицательных, и нуль.
В записи вида — букву в знаменателе можно считать озна-
чающей натуральное число, букву же в числителе — любое целое
положительное, отрицательное, нуль. Например, при а = —2
а	2
запись - означает рациональное отрицательное число----> а
п	Л
а
запись----противоположное рациональное положительное число
2 п
—. Напоминаем, что вместо того, чтобы писать знаки + (плюс) и
п
— (минус) в числителе их можно писать перед всей дробью, так
3 I 3 3
что запись, например, +-=• и 2L-, означает одно и то же.
&	ООО	_
Запись ---считается равнозначащей с записью-.
—п	п
4.	Абсолютным значением положительного рационального чис-
ла называется само это число; абсолютным значением отрицатель-
ного рационального числа — противоположное ему положитель-
ное рациональное число; абсолютным значением нуля — нуль.
Ю В. М. Брадис
145
Обозначая абсолютное значение двумя вертикальными чёрточ-
О
5
3 I_3	—3 _3
5Г5’ “5" “5
ками, имеем, например,
= 0.
5.	Распространяя на множества долей элементов то определе-
ние равносильности изменений их численности, какое было дано
выше [VIII, 1,5] для множеств элементов, можем сказать, что
рациональное число есть инвариант класса равносильных изме-
нений численности конечных множеств, составленных из долей
элементов, в частности из самих элементов.
Теория целых чисел и теория рациональных чисел оказы-
ваются, таким образом, весьма сходными. Вся разница между
ними заключается лишь в том, что множество элементов заме-
няется множеством долей элементов.
6.	Вернёмся к числовой оси с отмеченными на ней целочислен-
ными точками [VIII, 2, 1]. Отметив середину отрезка между
каждыми двумя соседними целочисленными точками, получим
1	1 3
точки, соответствующие рациональным числам и —-5-, и
Злу»	z	2 z
а а
— o’»• • •, и —, .. •; отметив далее точки деления каждого
такого отрезка на 3, 4, 5,... равных частей, получим точки, соот-
ветствующие всевозможным рациональным числам со знаменате-
лями 3, 4, 5... Представив себе, что такая разметка точек на оси
выполнена для всех рациональных чисел, мы получим множество
рациональных точек на этой оси, заключающее в себе множество
целочисленных точек. Каждому рациональному числу будет при
этом соответствовать одна определённая точка оси, получаемая в
1
результате последовательного откладывания отрезка в — долю
п
взятой единицы длины а раз от начальной точки 0 направо, если
а натуральное число, и налево, если а целое отрицательное число.
Но нельзя сказать, что и обратно каждой рациональной точке
соответствует одно и только одно рациональное число: например,
середине отрезка между точками 0 и 1 соответствует счётное мно-
.„1234
жество равных друг другу дробей 77,	-к-, —,...
2	4 о о
Множество рациональных точек на оси легко упорядочить
точно так же, как было упорядочено множество целочисленных
точек этой оси [VIII, 2, 1]: предполагая ось горизонтальной, из двух
различных её точек считаем предшествующей ту, которая левее.
7.	Имея числовую ось, наглядно изображающую посредством
рациональных точек множество всех рациональных чисел, легко
признать целесообразность следующих определений, обобщаю-
щих те определения равенства и неравенства целых чисел, какие
были рассмотрены выше [VIII, 2, 2], и те определения равенства и
неравенства дробей, какие были даны в § 2 главы X: два рацио-
нальных числа равны тогда и только тогда, когда они оба поло-
146
жительны или оба отрицательны и имеют равные абсолютные
значения; из двух неравных положительных рациональных чисел
меньше то, у которого абсолютное значение меньше, а из двух
неравных отрицательных рациональных чисел меньше то, у кото-
рого абсолютное значение больше; любое отрицательное рацио-
нальное число меньше нуля и меньше любого положительного
рационального числа*
В силу этого определения равенства рациональных чисел для
, a ak
них сохраняется формула ~ =	, выражающая основное свой-
ство дроби [X, 2, 1]. Здесь п — любое натуральное число, а —
любое целое, k — тоже любое целое, но отличное от 0. В силу
этого свойства рациональные числа можно приводить к одному
знаменателю.
8.	При таком способе упорядочивания множества рациональ-
ных чисел имеет место изоморфизм между множеством всех
рациональных точек на числовой прямой, связанных соотноше*
ниями «совпадает», «предшествует», «следует», и множеством
всех рациональных чисел, связанных соотношениями «равно»,
«меньше», «больше». Действительно, рассматривая счётное мно-
жество равных друг другу рациональных чисел как одно число;
имеем взаимно-однозначное соответствие между рациональными
точками оси и рациональными числами; имеем три пары соответ-
ствующих друг другу соотношений: «совпадает» <—> «равно»$
«предшествует»*—>«меньше», «следует» <—»«больше»; если две
рациональные точки связаны одним из трёх своих соотношений,
то соответствующие рациональные числа связаны соответствую-
щим своим соотношением.
§ 2.	Рациональные линейные векторы
1.	Обобщая понятие целочисленного линейного вектора (сво-
бодного, о котором была речь выше [VIII, 6,1]), приходим к
понятию рационального линейного вектора (тоже свободного),
т. е. отрезка, соединяющего любые две рациональные точки чис-
ловой оси, причём одна из этих точек принимается за начало,
другая за конец (отрезок рассматривается как «направленный»).
Все векторы, имеющие одну и ту же длину и одно и то же направ-
ление (слева направо или справа налево), считаются равными
друг другу, так что любой вектор можно заменить равным ему
вектором, имеющим начало в начальной точке оси (возможность
такой замены и означает, что векторы «свободны»). Таким обра-
зом, каждой рациональной точке А числовой оси соответствует
один и только один рациональный линейный вектор ОА, идущий
от начальной точки оси О в эту точку А, и обратно, каждому
рациональному линейному вектору ОА соответствует одна и только
одна рациональная точка оси А. Если точка А предшествует
10*
147
точке В, т. е. если точка А расположена на горизонтальной оси
левее В, то вектор ОА будем считать предшествующим век-
тору ОВ. Таким образом, получается упорядоченное множество
рациональных линейных векторов, изоморфное множеству рацио-
нальных точек на оси, а следовательно, изоморфное и множеству
рациональных чисел.
2.	Как уже было отмечено выше [XIII, 1, 5], теория целых чисел
и теория рациональных чисел весьма близки из-за того, что целое
число есть инвариант класса равносильных изменений числен-
ности множеств любых элементов, а рациональное число —
инвариант класса равносильных изменений численности множеств
одинаковых долей любых элементов. Можно указать, сколько
угодно множеств значений различных геометрических и физиче-
ских величин, изоморфных множеству целых чисел (о них шла речь
в разделе [VIII, 6,2]). Рассматривая такие значение этих
величин, которые выражаются долями принятых единиц измере-
ния, приходим к множеству значений, которые изоморфны уже
не множеству целых, а множеству рациональных чисел.
3.	Говоря о множествах таких значений величин, которые
характеризуются рациональными числами, приходится иметь в
виду то разЛичие между величинами, о котором шла речь при
рассмотрении целых чисел [VIII, 6,3]: наряду с величинами, допу-
скающими изменение от любого своего значения, в том числе и от
начального, в двух направлениях, подобно величине перемещения
точки по прямой, существуют и величины, допускающие измене-
ние от начального значения только в одном направлении, как на-
пример перемещение точки по лучу. Рациональное число, выражая
во всех случаях изменение (в том или другом направлении) чис-
ленности множества долей элементов, лишь в некоторых случаях
выражает не только это изменение численности, но и саму эту
численность. Например, при обычном понимании понятия объёма
тела нельзя говорить об отрицательных значениях величины
объёма, но всегда можно говорить об отрицательных значениях
изменения объёма (при его уменьшении).
§ 3.	Свойства множества рациональных чисел
1.	Введя понятие высоты рационального неотрицательного
числа, мы доказали равносильность множества R всех рациональ-
ных неотрицательных чисел и множества N всех натуральных чисел
[X, 3,4], т. е. счётность множества R. Но множество R всех рацио-
нальных чисел (положительных, отрицательных и нуля) тоже
равносильно множеству N, т. е. тоже счётно. Чтобы доказать это,
достаточно повторить то же рассуждение, что и в [X, 3,4], чередуя
положительные и отрицательные рациональные числа: после каж-
-j- CL
дого рационального положительного числа -— надо ставить про-
148
тивоположное ему число-----. Получим две бесконечные последо-
вательности чисел п
р 01	11	12	21	11	12	211
^••‘I’l’	1’2’	2’1’	1’3’	3’4’	4’3’	3’5 5’'”
И	и	и	и	и	и	иг
АЛ..1,2,	3,4,	5,6,	7,8,	9,10, 11,12, 13,14,15...
В первой последовательности содержатся все неравные друг
другу рациональные числа, каждое по одному разу, во второй —
все натуральные числа, тоже каждое по одному разу.
Таким образом, доказана теорема: множество всех рацио-
нальных чисел есть множество бесконечное, а именно счётное.
Из этой теоремы следует, что рациональных чисел столько же,
сколько натуральных, что рациональных точек на прямой столько,
сколько целочисленных точек на луче и столько же, сколько цело-
численных точек на прямой. Как ни противоречат эти выводы
непосредственному восприятию, с ними необходимо примириться,
имея в виду, что мы привыкли иметь дело с конечными множе-
ствами, а бесконечные множества имеют свои особые свойства.
2.	Выше было доказано, что множество рациональных неотри-
цательных чисел, если его упорядочить по величине, обладает
свойством плотности в себе [X, 3, 6]: каковы бы ни были два не-
равных рациональных неотрицательных числа, всегда можно
указать третье'число, промежуточное между этими двумя. Свой-
ство это сохраняется, как легко видеть, и при переходе к мно-
жеству всех рациональных чисел.
Каковы бы ни были две рациональные точки числовой оси,
всегда существует рациональная точка, расположенная между
ними.
§ 4.	Действия над рациональными числами
1.	На рациональные числа полностью переносится то опреде-
ление суммы дробей, которое было рассмотрено выше [X, 4,4],
но так как числителями теперь являются уже не только натураль-
ные, а и любые целые числа, то необходимо принять во внимание
и определение суммы целых чисел, данное в [IX, I, 2].
Определение. Суммой рациональных чисел с одним и тем же
натуральным знаменателем называется рациональное число с тем
же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей:
суммой любых рациональных чисел называется сумма соответ-
ственно равных им рациональных чисел с одним и тем же знаме-
нателем.
Для двух слагаемых имеем такую запись:
«1 । а2==. Д1 + аа ai ।
п п п 9 П1
149
Здесь n, П1, n2 — любые натуральные числа, aj и а2 - любые
целые числа.
Легко видеть, что сумму двух рациональных чисел — и ~
можно рассматривать как выражение такого изменения числен-
ности множества «энных» долей каких-нибудь элементов, которое
равносильно двум последовательно произведённым её изменениям,
Un г—
выражаемым рациональными числами и — . По сравнению с
тем, что было установлено о сумме целых чисел [IX, 1,2], новым
является только переход от изменения численности множества
элементов к изменению численности долей элементов.
Сумма рациональных чисел, как нетрудно проверить, обладает
теми же свойствами, что и сумма натуральных чисел [III, 1,4],
сумма целых чисел [IX, 1, 4], сумма дробей [X, 4, 2]: сумма рацио-
нальных чисел всегда существует, единственна, обладает переме-
стительностью, сочетательностью, аддитивностью, монотонностью.
2.	Опираясь на общее определение разности, совпадающее со
вторым определением разности натуральных чисел [III, 4,2], а
именно: называя разностью двух чисел такое третье число, кото-
рое, будучи сложено со вторым из данных чисел, даёт первое из
них, доказываем единственность и существование разности любых
двух рациональных чисел, следуя тем же путём, что и при рас-
смотрении разности целых чисел [IX, 2]. Точно так же, как там,
приходим к правилу (чтобы вычесть рациональное число, доста-
точно прибавить число, ему противоположное) и к понятию алгеб-
раической суммы рациональных чисел.
3. Определение произведения рациональных чисел, как и опре-
деление их суммы, получается путём комбинирования определений
произведения целых чисел [IX, 3, 1] и дробей [X, 6, 2]. Его можно
дать в двух вариантах, основываясь либо на определении произ-
ведения целых чисел, либо на определении произведения дробей.
Определение I. Произведением рациональных чисел — и —
ах	П1
называется рациональное число ——-.
Здесь П1 и п2 — произвольные натуральные числа, ах и а2 —
произвольные целые числа. При П\ = n2 = 1 произведение рацио-
нальных чисел сводится к произведению целых чисел, а при нату-
ральных «1 и а2 — к произведению обыкновенных дробей.
Определение /I. Произведением рациональных чисел — и
lail •	П1
называется рациональное число ———, если числители а,\
W _|а | . |^|
целые числа одного знака, и рациональное число————, если
разного. Если хотя бы одно из чисел ах и а2 равно нулю, это
произведение есть нуль.
/7а
а2
и
150
Можно сказать, что это второе определение произведения сво-
дит умножение рациональных чисел к умножению обыкновенных
дробей и применению «правила знаков», формулированного выше
[IX, 3,2].
Рассматривая в отдельности случаи, когда 1) числа а\ и а% оба
положительны, 2) оба отрицательны, 3) имеют разные знаки,
4) по крайней мере одно из этих чисел есть нуль (других случаев
быть не может), легко убедиться, что оба определения I и II дают
всегда одно и то же.
4. Рассматривая рациональные числа как выражения неко-
торых изменений, легко представить те изменения, которые выра-
жаются суммой или разностью рациональных чисел: сумма двух
рациональных чисел выражает изменение, представляющее собой
результат последовательно произведённых изменений, выражае-
мых этими числами, а разность — результат последовательно про-
изведённых изменений, выражающихся уменьшаемым и числом,
противоположным вычитаемому. Труднее наглядно представить
себе связь между теми изменениями, какие выражаются сомножи-
телями и произведениями, так как произведение представляет
собой, вообще говоря, значение величины, отличной от величин,
представляемых сомножителями. Общеизвестен пример выяснения
этой связи через рассмотрение формулы равномерного движения
s = vt (для простоты можно считать, что точка движется по
прямой). Здесь мы имеем дело с тремя физическими величинами,
значения которых можно отсчитывать в двух взаимно-противо-
положных направлениях от их начальных значений: 1) скоростью
см
-о----, которая считается положительной при движении точки по
сек
прямой в одном направлении, например слева направо, и отрица-
тельной при её движении справа налево (при v = 0 точка непо-
движна); 2) временем движения t секунд, которое принимается
положительным в случае, когда рассматривается движение, кото-
рое происходит позже некоторого начального момента, характе-
ризуемого значением £ = 0, и отрицательным, если оно проис-
ходило до этого момента; 3) пермещениём s сантиметров за время
t секунд; это перемещение считается положительным, если конеч-
ная его точка находится справа от начальной точки 0, характери-
зуемой значением s = 0, и отрицательным, — если слева. Комби-
нируя три возможных значения v (у>0, р = 0, v<0) с тремя
возможными значениями t (f>0, / = 0, /<0) рассматривают
всего девять случаев истолкования произведения vt — s и пол-
ностью уясняют связь между рациональными сомножителями и
произведением для этой важной зависимости физических ве-
личин.
5. Весьма полезным для уяснения реального смысла умноже-
ния рациональных чисел является истолкование этого действия
как операции растяжения и поворота вектора. Каждое рациональ-
151
a
ное число—можно рассматривать как выражение операции растя-
жения и поворота единичного вектора: берётся единичный вектор
(начало в начальной точке О, числовой оси, конец в точке 4-1),
укорачивается в п раз, т. е. заменяется вектором, имеющим на-
чало в той же точке О, а конец в точке > а затем удлиняется
в |а| раз, т. е. заменяется вектором, идущим из точки О в точку
|а|
—; если а < 0, производится ещё поворот на угол 180° около
точки О; в конце концов получается вектор, идущий из точки О
в точку — (в случае а = 0 единичный вектор заменяется нуль-
л
вектором). Термин «растяжение» употреблён здесь в обобщённом
смысле: растяжение в буквальном смысле, т. е. удлинение век-
тора, имеет место в случае |а|	когда — > 1; при |а|
|а|	п
когда — < 1, происходит не растяжение, а сокращение единич-
п »	. .	а	, ,	.
ного вектора; при	|а|	=п, когда —равно	4- 1	или — 1,	длина век-
и d
тора не меняется.	При	а>0,	когда—>0,	имеет	место	«чистое
я	и
растяжение» (без	поворота);	при а = — п,	когда—=	—1,	—
«чистый поворот»	(без	растяжения).	п
Если вектор множимого — подвергнуть той самой операции
поворота и растяжения, какая выражается вектором множителя
ДгП	di dn	«	/Xi dn ут о
—, получим вектор-2-^, выражающий произведение — * — . Дей-
л2	\а I	пг п%
ствительно, укоротив вектор — в п2 раза, а затем удлинив ре-
II	П1 «	ч. 1^11-W	П
зультат в |а2 раза, получим новый вектор длиной 1 •••—•• . Рас-
• Л2
сматривая в отдельности каждую из четырёх комбинаций знаков
числителей at и аг и производя в случае, когда числители at и а»
имеют разные знаки, надлежащий поворот, получим при одина-
ковых знаках сомножителей положительный, а при разных —
«	di dn
отрицательный вектор .
„	ai
6.	Определяя произведения двух рациональных чисел — и —
di dn	„	П1
как рациональное число , легко убеждаемся, что произведение
Л1«2
рациональных чисел обладает теми же свойствами, как и произ-
ведение целых чисел [IX, 3, 4], и произведение обыкновенных дро-
бей [X, 6,4]: оно всегда существует и единственно, имеет свойства
переместительности, сочетательности, распределительности, равно
нулю тогда и только тогда, когда равен нулю по крайней мере
152
один из сомножителей. Свойство монотонности произведения ра-
циональных чисел формулируется так же, как произведения це-
лых чисел: если —	, и — = 0, то—L-j£ = —5-^- Доказательства
пг гц п2<	п1п^<(цп2
легко проводятся на основе соответствующих свойств произведе-
ния целых чисел. Например, чтобы доказать переместительность
произведения рациональных чисел, замечаем, что произведение
(Ц (1л (Ц Лл
-^.-£ = -±—2 не изменяется от перестановки целых сомножителей
Л1 .^2 /Zi /?2
CLa Gndi
Л1 и а2 в числителе, и л2 в знаменателе, так что —— =	.
n2nt
(1л аА
а это последнее рациональное число есть произведение — • — t
о, о2 а2 аг
следовательно, — • — = — • —.
пх п2 п2 пг
Доказав распределительность суммы рациональных чисел от-
носительно умножения, мы тем самым доказываем и распреде-
лительность разности, так как формула ( —	— = —• — +
\ZZj^ /2^ / TZa П2
1 а1 ач	а1
4—• — сохраняет силу и при замене второго слагаемого ——~
Л1	П2	Н1
числом, ему противоположным.
7.	На рациональные числа распространяется то определение
частного (в узком смысле), какое было установлено при рассмо-
трении деления натуральных чисел [III, 5,2]: частным от деления
одного рационального числа на другое называется такое третье
рациональное число, которое, будучи умножено на второе, даёт
первое данное число.
Если делимое — отлично от 0, а делитель — равен нулю, част-
ное не существует, так как любое рациональное число при умно-
жении на 0 даёт 0. О неопределённости частного от деления О
на 0 уже говорилось [IX, 5,1]. В виду этого деление рациональ-
ного числа на 0 никогда не допускается.
Если делитель — отличен от 0, то частное — : — не может
Т?2	^2
иметь более одного значения: если это частное существует, оно
единственно. Действительно, допустив существование двух не-
.	. ал	а2 а,
равных частных х и х>х, имеем хг • — = —, л> — = —, откуда
х'.—=х* —, что противоречит свойству монотонности произве-
й2 Л2	. йа йл
дения рациональных чисел: если />х и то * ’
Замечая, что	убеждаемся, что рациональное
«1^2	П1
число удовлетворяет определению частного, а потому оно
Л1#2
153.
•и является тем частным, единственность которого мы только что
установили. Итак, если делитель отличен от нуля, частное от де-
ления одного рационального числа на другое всегда существует
di dn d-i • Пл
и единственно: — : — = ——.
пг • а.2
8.	Данное выше [X, 7,7] определение числа обратного положи-
тельной дроби, распространяется на любое рациональное число,
отличное от 0: обратным для рационального числа неравного
нулю, называется частное 1 : — = —. Так как обратным для об-
а п
ратного числа является данное число, то числа — и — называются
7	9	__7
взаимно-обратными. Таковы, например, числа q-h-=-, числа
у /	у
9-9	—5	1—1
и 3^=.—, числа -о---» ^ = -5-.
Пользуясь понятием числа, обратного данному, получаем удоб-
ную формулировку правила деления рациональных чисел: чтобы
разделить одно рациональное число на другое, достаточно первое
умножить на число, обратное второму.
9.	Имеет место распределительность суммы двух рациональ-
ных чисел относительно деления, что выражается формулой
(и + г2) : г = и : г + Гъ'. г, где и и г2 — произвольные рациональ-
ные числа, аг — произвольное рациональное число, отличное от 0.
Действительно, взяв число г7, обратное числу г, имеем в силу рас-
пределительности суммы рациональных чисел относительно умно-
жения равенство (и + г2) • f = Г\. г' + г2 • г', и остаётся только
заменить умножение на f делением на обратное число г. Таким
образом, чтобы разделить сумму двух рациональных чисел, надо
разделить каждое слагаемое в отдельности. Возможность замены
второго слагаемого г2 противоположным ему числом —г2 пока-
зывает, что распределительностью относительно деления обладает
не только сумма, а и разность рациональных чисел: (гх — г2) : г =
= И : г — г2: г.
Деление в узком смысле одного рационального числа на дру-
гое однозначно осуществимо всегда, когда делитель отличен от 0.
В связи с этим отпадает надобность в том обобщении деления,
какое под названием «деления в широком смысле» было установ-
лено для чисел целых.
10.	Всё сказанное выше [IX, 4,1] о возведении целого числа
в степень с целым неотрицательным (натуральным или нулевым)
показателем сохраняет силу и для рациональных чисел. Сохра-
няется определение степени, сохраняются, как легко видеть, все
теоремы о свойствах степени. Полное определение степени рацио-
154
нального числа с целым неотрицательным показателем можно
формулировать так: если г — произвольное рациональное число,
то гп = г • г ... г при любом натуральном п, причём в случае г = О
= 0, при г > 0 всегда гп > 0, а при г < 0 гп > 0, когда п чётно,
гп <0, когда п нечётно; если г#:0, то г°= 1, а_при г = 0 выра-
жение г° не имеет смысла. Если отказаться от этого возведения
нуля в нулевую степень, степень рационального числа с целым
неотрицательным показателем всегда существует и единственна.
’Сохраняется и закон умножения степеней одного основания, выра-
жаемый формулой гп • гк = гп+к.
Как мы в своё время установили [IX, 4,3], располагая только
целыми числами, нельзя выполнять возведение в степень с целым
отрицательным показателем кроме случая, когда основание +1
или —1. Но это действие становится возможным после перехода
ко множеству рациональных чисел. Действительно, пусть гф 0 —
произвольное рациональное число, п — произвольное натураль-
ное число. Пробуем так определить смысл выражения чтобы
остался в силе закон умножения степеней одного основания:
г~л . fi = j—n+n = rQ _ i Итак, степень любово отличного от
нуля рационального числа г с целым отрицательным показате-
лем — п можно определить как рациональное число 1 : г", обрат-
ное степени того же числа г с противоположным показателем п.
Например, 2-3 = 1 : 23 = 1, (—1) = 1 :	= 1 : = 16.
Для степеней с целыми показателями сохраняется закон умно-
жения степеней, рассмотренный выше [IX, 4,2] для степеней с
целыми неотрицательными показателями, что доказывается в
школьном курсе алгебры.
§ 5. Понятие о рациональном числе, как паре целых чисел
Излагая в § 1—4 настоящей главы теорию рациональных чи-
сел, мы исходили из понимания рационального числа как ин-
варианта класса равносильных изменений численности конечных
множеств, составленных из элементов или их долей. Ограничимся
только упоминанием о другой теории рациональных чисел, постро-
енной на определении рационального числа как пары целых чисел
аналогично тому, как теория целых чисел строится на определе-
нии целого числа как пары натуральных, о чём была речь выше
[VIII, 5]. Достаточно полное представление об этой теории можно
найти в указанных там книгах П. Д. Белоновского и И. В. Ар-
нольда.
Рациональное число определяется там как пара целых чисел
(а, 6), взятых в определённом порядке, причём второе число
должно быть больше нуля. Два рациональных числа (а, Ь) и
(г, d) считаются равным тогда и только тогда, когда ad = bc\ ра-
циональное число (а, Ь) больше рационального числа (с, d) тогда
155
и только тогда, когда ad>bc. Рациональное число (а, 1) счи-
тается равным целому числу а, а потому множество рациональных
чисел включает в себя множество всех целых чисел. Далее
вводятся определения суммы и произведения рациональных чисел
формулами (a, b) + (с, d) = (ad + be, bd), (a, b) • (c, d) = (ac, bd)
и выясняются их свойства. Если целое число а кратно целому
числу Ь, то пару (а, Ь) можно понимать просто как целое число —
частное от деления а на 6. Если же а не кратно Ь, то такая пара
представляет собой элемент нового вида — дробное число. Объ-
единяя оба случая, называем рациональным числом любую
пару.
Теория рациональных чисел как пар целых чисел имеет до-
стоинства краткости и ясности, но является весьма искусственной,
старательно обходящей основной важности факт — связь рацио-
нального дробного числа с операцией деления элементов на рав-
ные части. Ни в коем случае нельзя рекомендовать такое изло-
жение теории рациональных чисел для первоначального ознаком-
ления с рациональными числами в школе.
§ 6. Множество рациональных чисел как минимальное поле,
включающее кольцо целых чисел
1.	Во втором отделе настоящей книги мы ознакомились с по-
нятием кольца [IX, 6,2] как такого непустого множества, в кото-
ром установлены операции сложения и умножения, причём сумма
и произведение элементов обладают свойствами переместитель-
ности, сочетательности, распределительности, а сумма, кроме того,
обладает свойством обратимости: каковы бы ни были элементы
а и Ь, существует такой элемент с, что с + b = а. Если а = Ь,
то этот элемент с, удовлетворяя условию с + а = а, называется
нулём кольца и обозначается знаком 0.
Рассматривая множества, элементами которых являются числа,
можно сказать, что числовым кольцом является всякое числовое
множество, замкнутое относительно действий сложения, вычи-
тания и умножения. Множество целых чисел можно определить,
как минимальное кольцо, содержащее множество всех натураль-
ных чисел [IX, 6,4].
2.	Если числовое кольцо замкнуто также и относительно де-
ления, т. е. если в нём существует единственное частное от деле-
ния любого его элемента на любой его элемент, отличный от 0,
то это кольцо получает название числового поля. Примером
числового поля может служить множество всех рациональных
чисел.
3.	В современной математике понятию поля придаётся более
широкий смысл. Полем называется кольцо элементов любой при-
роды (а не только числовое), удовлетворяющее следующим двум
требованиям: 1) в нём должен быть по крайней мере один эле-
156
мент, отличный от нуля; 2) каковы бы ни были элементы аиЬфО,
должен быть элемент с такой, что cb = а.
Выясним, является ли полем то кольцо из четырёх классов
целых чисел, которое было рассмотрено выше [IX, 6,3]? Здесь
элементами являются четыре класса чисел, условно обозначенных
цифрами 0, 1, 2, 4. Класс чисел, обозначенный цифрой 0 (это
класс всех целых чисел, кратных 4), является нулём кольца. Как
видим, существует не только один, а целых три элемента кольца,
отличных от 0 — первое указанное выше требование выполнено.
Но второе требование не выполняется: полагая, например, а = 1
и b = 2, мы не найдём элемента с, обладающего тем свойством,
что с • 2 = 1, так как 0-2 = 0, 1-2 = 2, 2-2 = 0, 3-2 = 2 (см.
таблицу умножения, данную в [IX, 6,3]). Это кольцо, следова-
тельно, не является полем. Но стоит только вместо четырёх клас-
сов целых чисел, дающих при делении на 4 равные остатки, взять
три класса целых чисел, дающих равные остатки при делении на 3,
и мы получим поле. Действительно, обозначив цифрами 0, 1, 2
классы целых чисел, дающих при делении на 3 соответственно
остатки 0, 1, 2, получаем кольцо, в котором выполняются все тре-
бования, предъявляемые к кольцу и к полю, как в этом легко
убедиться, составляя таблички сложения и умножения.
0 + 0 = 0	1+0=1	2 + 0 = 2	0.0 = 0	1-0 = 0	2-0 = 0
0+1 = 1	1 + 1 =2	2+1 = 0	0.1=0	1-1 = 1	2-1=2
0 + 2 = 2	1+2 = 0	2 + 2=1	0.2 = 0	1-2 = 2	2-2=1
Здесь налицо два элемента 1 и 2, отличных от нуля кольца, а
существование элемента с, удовлетворяющего условию cb = а при
любых значениях а и 6, видно из следующей таблички.
а	0	0	1	1	2	2
b	1	2	1	2	1	2
с	0	0	1	2	2	1
Итак, здесь мы имеем пример поля, содержащего лишь конеч-
ное число элементов. Рассматривая деление не на 3, а на любое
другое простое число р, получаем сколько угодно новых примеров,
полей, содержащих конечное число элементов.
4.	Теорию рациональных чисел можно изложить на основе
общей теории полей, если теория целых чисел уже изложена. При
этом исходят из определения поля рациональных чисел как мини-
мального поля, содержащего кольцо целых чисел. Другими сло-
вами: множество G называется полем рациональных чисел, если
I) G содержит кольцо целых чисел; 2) G является полем; 3) сло-
157
жение и умножение целых чисел совпадают с одноимёнными опе-
рациями в поле G; 4) поле G не содержит отличного от него поля,
содержащего кольцо целых чисел.
Можно доказать, что такое множество G существует, и даже
не одно, но что все такие множества изоморфны друг другу.
Теория рациональных чисел как элементов поля рациональных
чисел, основанная на этом определении, изложена со всеми по-
дробностями в уже упомянутой статье И. В. Проскурякова в
I томе Энциклопедии элементарной математики, к которой и отсы-
лаем читателя. Эта теория, подобно теории рациональных чисел
как пар, не может быть положена в основу при первоначальном
ознакомлении с рациональными числами, но её изучение следует
рекомендовать учителю.
ОТДЕЛ ЧЕТВЁРТЫЙ
АРИФМЕТИКА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
ГЛАВА XIV
ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЛИЧИН И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Измерение длины отрезка, соизмеримого с отрезком-
единицей
1. Напомним сказанное выше [X, 1,6] о длине отрезка. В прак-
тической жизни очень часто возникает задача сравнения отрез-
ков прямых линий, которая решается уже простым наложением
этих отрезков друг на друга: у отрезков есть свойство, называе-
мое их длиной и состоящее в том, что любые два отрезка либо сов-
местимы (или конгруентны), т. е. совпадают при наложении, либо
несовместимы (неконгруентны), и в этом последнем случае один
короче, другой длиннее. Но непосредственное наложение не
всегда удобно, а часто и вовсе невыполнимо. Вместо него при-
меняют косвенный способ, сравнивая числа, выражающие меры
длины отрезков. Хотя длина есть некоторое свойство отрезка^
этим же термином обозначают и число, выражающее меру длины
отрезка.
С понятием длины отрезка учащиеся встречаются уже в млад-
ших классах начальной школы. Для них длина отрезка представ-
ляется натуральным числом, показывающим, на сколько санти-
метров (или других равных друг другу отрезков, принятых за еди-
ницу длины) можно разрезать данный отрезок. На этой ступени
обучения измеримыми оказываются только отрезки, кратные от-
резку-единице. В дальнейшем, знакомясь с дробями, учащиеся
используют возможность дробления отрезка-единицы на любое
число равных долей; длина отрезка становится для них целым
или дробным (точнее — рациональным положительным) числом,
показывающим, на сколько сантиметров (или других единиц) и
их долей можно разрезать данный отрезок. Теперь допускают из-|
мерение уже не только отрезки, кратные отрезку-единице, но и
все отрезки, соизмеримые с ним, т. е. имеющие общую меру с ним
(напоминаем, что общей мерой двух отрезков называется такойг
третий отрезок, который содержится целое число раз в каждом
из них). Каждый отрезок, соизмеримый с отрезком-единицей,,
имеет определённую длину, выражаемую рациональным положи-
тельным числом; обратно, каково бы ни было рациональное
15$
положительное число, можно построить отрезок, длина которого
при данном отрезке-единице выражается этим числом.
Мы имеем, таким образом, два множества — множество L
всех отрезков, соизмеримых с отрезком-единицей, и множество R
всех рациональных положительных чисел. Каковы бы ни были два
отрезка Ц и /2 из множества L, они либо совместимы, или конгру-
ентны (совпадают при наложении), либо несовместимы, некон-
груентны, причём в последнем случае либо первый отрезок длин-
нее второго, второй короче первого, либо наоборот. Каковы бы ни
были два рациональных положительных числа и г2, они либо
нравны, либо неравны, причём в этом последнем случае либо пер-
вое больше второго, второе меньше первого, либо наоборот. Об-
щеизвестный способ измерения отрезков, основанный на разыска-
нии общей меры отрезка-единицы и отрезка измеримого, уста-
навливает такое взаимно-однозначное соответствие между отрез-
ками и числами, что всякий раз, когда какие-либо два отрезка,
соизмеримые с отрезком-единицей, связаны одним из трёх ука-
занных выше соотношений (первый отрезок конгруентен второму,
или длиннее второго, или короче его), соответствующие им рацио-
нальные положительные числа связаны одним из трёх своих со-
отношений (первое равно второму, или больше его, или меньше
‘его). Сравнение отрезков заменяется сравнением чисел, что пред-
ставляет огромные практические удобства.
Как видим, множество отрезков, соизмеримых с отрезком-еди-
ницей, и множество рациональных положительных чисел изо-
морфны (см. [II, 5,3]). Сравнивая отрезки, обычно пользуются
теми же терминами и знаками, что и при сравнении чисел (равно,
«неравно, больше, меньше, =, #=, >, <).
2. Различая два взаимно-противоположных направления у от-
резков, соизмеримых с единицей, т. е. рассматривая множество
рациональных линейных векторов, о которых шла речь выше
^ХШ, 2], мы уже видели, что это множество отрезков изоморфно
-множеству всех рациональных чисел (положительных, отрица-
тельных, нуля). Каждому такому отрезку соответствует рацио-
нальное число, которое можно считать выражением его длины и
направления («направленной длины»). Рациональное положитель-
ное число соответствует отрезку, соизмеримому с отрезком-едини-
цей и направленному в одну сторону, например по числовой оси
слева направо, рациональное отрицательное — такому же отрезку,
направленному в противоположную сторону (справа налево),
руль — нулевому отрезку, т. е. отрезку, сводящемуся к точке.
§ 2. Десятичное измерение длины отрезка в общем случае
1.	Как известно из школьного курса геометрии, не всякие два
отрезка имеют общую меру. Так, диагональ квадрата несоизме-
рима с его стороной. Какой бы отрезок мы ни приняли за единицу.
160
кроме отрезков, с ним соизмеримых, существует бесконечное мно-
жество отрезков, с ним несоизмеримых. Как быть с их измере-
нием? Когда речь идёт о каких угодно приложениях математики
на практике^ довольствуются приближённым измерением длины
отрезка: вместо отрезка, несоизмеримого с отрезком-единицей,
берут такой соизмеримый с ним отрезок, который достаточно
мало от него отличается. Но возникает теоретическая задача
точного измерения длины любого отрезка. Множество рациональ-
ных чисел для этой цели уже недостаточно. Его надо расширить,
заменяя другим, заключающим в себе множество всех рацио-
нальных чисел и изоморфным множеству всех отрезков, как со-
измеримых, так и несоизмеримых с отрезком-единицей. Как мы
сейчас убедимся, такое множество можно построить. Кроме из-
вестных уже нам рациональных чисел, оно содержит ещё беско-
нечное множество чисел иррациональных, которые объединяются
с числами рациональными под общим названием действительных
или вещественных чисел.
2.	Рассмотрим то решение геометрической задачи измерения
отрезков (не различая сперва их направления), которое лежит
в основе всех практических способов измерения длины. Пусть дан
произвольный отрезок АВ, который надо измерить, приняв за еди-
ницу другой произвольный же отрезок РО = е, и надо найти
длину х отрезка АВ,
Последовательно откладывая е по АВ, найдём такое целое
неотрицательное число ао, чтобы отрезок аое = АВо, был короче
АВ или конгруентен АВ, отрезок же (ао^\)е = АВ^, был бы
длиннее АВ, Существование такого числа а0 указывается геомет-
рической аксиомой Архимеда, с которой учащиеся знакомятся ещё
в VIII классе школы (каковы бы ни были два данных отрезка
а и Ь, всегда существует такое натуральное число п, что ап > Ь).
Если АВ = aQe, длина АВ равна х = а0 и измерение закончено,
если же а0 < АВ <(ае + 1)е, числа Го = Яо и 7?о = 0о4-1 назы-
ваются приближёнными значениями длины АВ
единицы соответственно по недостатку
аэ<х<а0+1- Если ABo = aoe<AB,
отрезок BqB короче е. Измеряем его с по-
мощью отрезка е\, представляющего собой
десятую долю отрезка-единицы е, и при-
ходим либо к равенству В$В = z{eu когда
длина отрезка В0В равна z\ • 10-1, где21—
одно из целых чисел от 0 до 9, так что
х = aQ + Zi • 10*1 = а0, Zi (этот случай по-
казан на фигуре 6 сверху, а0 = 2, Zi = 7,
х ==» 2,7), либо к неравенству , BQBX =
=	< BQB < (zi 4- 1) Ci = B0B\ , когда
отрезок BQB длиннее отрезка BQBi длины Zi • IO-1 и короче отрезка
ВоВ[ длины z't • 10-1, а измеряемый отрезок АВ длиннее t отрезка
ЛВХ длины и = ао + Z\ • Ю-^ ae, Zi и короче отрезка АВ{ длины
с точностью do
избытку. Итак,
и no
?o.d.P°
A
A
в в в;
Фиг. 6.
П В М. Брадис
161
/?i = Яо + • 10“l = a0> 2'1?так что и	На фигуре 6 снизу
показан этот случай при По = 2, Z\ — 7, когда 2,7 < х < 2,8. Ра-
циональные числа Г1 и называются приближёнными значени-
ями длины АВ с точностью до десятых (соответственно по недо-
статку и по избытку). Отложив от Во отрезок BoBj = по на-
правлению к В, измеряем оставшийся отрезок В{В, который
меньше ei с помощью отрезка е2, представляющего собой десятую
долю отрезка т. е. сотую долю отрезка-единицы е, и снова
встречаемся с одним из двух возможных случаев: либо В^В —
= z2e2i где z2 одно из целых чисел от 0 до 9, либо ВХВ2 = z2e2 <
< В{В <(z2 + 1)е2 = BiB2. В первом случае х = aQ -f- Zi • 1СН +
+ z2 • 10~2 = 0o,ZiZ2 и измерение закончено, во втором же полу-
чаем приближённые значения длины АВ с точностью до сотых
r2 = 0o,ZiZ2 (по недостатку) и R2 == a^z^ (по избытку), где
zf2 — z2 -j- 1, r'2 < х < Т?2. Измерение можно продолжать, при-
меняя уже тысячные доли отрезка-единицы. Вновь имеем один из
двух случаев: либо оставшийся отрезок В2В равен отрезку
е3 = 10-3е, повторенному z3 раз, где Z3 одно из целых чисел от 0
до 9, либо В2В3 = z3e3 < В2В <(z3 + 1)е3 = В2В'. В пер-
вом случае х = 0o,ziz2z3 и измерение закончено, во втором
гз < х < /?3, где Гз = 0o,^iz2z3, /?3 = 0o,^i^2z', г'3 = z3 + 1; измере-
ние надо продолжить, применяя уже десятитысячные доли от-
резка-единицы.
Этот процесс измерения может закончиться, если какой-нибудь
из оставшихся отрезков В/В окажется равным отрезку =
= 10“(/+1)е, повторенному z/+i раз, но может продолжаться без
конца, если при всяком i будет получаться неравенство BiB^\ =
= ^+i <BiB< (zi+x + 1) ei+i = Bt B/+i. Например, если даи-
3
ный отрезок АВ представляет собой 1отрезка-единицы е, то опи-
санный процесс десятичного измерения закончится при примене-
2
нии тысячных: х= 1,375. Но, если АВ представляет собой 1 —
о
отрезка-единицы, этот процесс окажется бесконечным: мы
получим последовательно неравенства 1<х<2; 1,6	1,7;
1,66 <х< 1,67; 1,666 <х< 1,667 и т. д. без конца. Здесь при
любом /^>1 Zi = 6.
Могут быть и более сложные случаи. Например, можно пока-
зать, что измерение диагонали квадрата, если за отрезок-единицу
принять его сторону, даёт ао=1, Z\ = 4, z2=l, z3 = 4, z4 = 2,
z5 = 1 и т. д. без конца; здесь цифры zb z2, z3... определяются
одна за другой посредством общеизвестного алгоритма извлечения
квадратного корня из чисел.
3.	Итак, применяя описанный способ «десятичного измерения»
отрезков, мы всегда придём либо к выражению его длины в виде
162
десятичной дроби х = a^z\z2 ... Zi, в частности к целому числу
х = а0, либо к бесконечной последовательности двойных не-
равенств г, < х < Rh ъ = aQt z{z2 ... ziy Ri = ri+ IO'1, где i ==
= 0, 1, 2, 3,... В этом последнем случае конечная точка В изме-
ряемого отрезка АВ оказывается принадлежащей каждому из бес-
конечной последовательности отрезков BqBq, В{В\у В2В'2, Я3Вз,
В4В4,... В/В/,... длины которых выражаются соответственно
числами 1, 1СН1,10~2,..Ю-*. Легко видеть, что каждый после-
дующий из этих отрезков представляет собой часть предыдущего
(здесь бесконечная последовательность «вложенных друг в друга»
отрезков) и что эти отрезки неограниченно убывают (каков бы ни
был произвольно заданный отрезок е, все отрезки этой последо-
вательности, начиная с некоторого отрезка ВпВ'п, короче е). От-
метим важное свойство таких последовательностей: какова бы ни
была неограниченно убывающая бесконечная последовательность
вложенных друг в друга отрезков, всегда существует единствен-
ная точка, принадлежащая им всем. Существование этой общей
точки устанавливается геометрической аксиомой, именуемой акси-
омой Георга Кантора*, а её единственность легко доказывается от
противного: если бы существовали две точки М и N, принадле-
жащие всем отрезкам последовательности, каждый из этих отрез-
ков был бы длиннее или по крайней мере не короче отрезка MN,
а это противоречит условию: данная последовательность не могла
бы быть неограниченно убывающей.
4.	Если х = Uq,ZiZ2 ... Zit измерение отрезка закончено: его
длина выражается этим рациональным числом, представленым
десятичной дробью. Как мы установили выше [XI, 3, 3], представ-
ление в виде десятичной дроби допускают те и только те обык-
новенные несократимые дроби, у которых каноническое разложе-
ние знаменателя не содержит других простых множителей, кроме
2 и 5. Следовательно, этот случай десятичного измерения отрезка
встречается при измерении длины не всякого отрезка, соизмери-
мого с единицей, а лишь такого, у которого общая мера с единицей
получается делением отрезка-единицы на п = 2а*5₽ равных ча-
стей (а и 0 — произвольные целые неотрицательные числа). Из-
мерение любого другого отрезка, как соизмеримого, так и несоиз-
меримого с отрезком-единицей, приводит, следовательно, к беско-
нечной последовательности двойных неравенств г, <С х <С где
Г/= 00,21^2 •.. Zi. Ri = Ti-\- 10’z, где i = 0, 1,2,... Числа гь г2>
г3,... называются последовательностью десятичных приближений
(длины отрезка АВ) по недостатку, числа R2; R$, ... — после-
довательностью десятичных приближений (этой длины) по из-
бытку, их совокупность — двойной сходящейся последователь-
ностью десятичных приближений (этой же длины).
* Георг Кантор (1845—1918) — выдающийся математик, впервые раз-
работавший теорию множеств; уроженец Петербурга, но жил и работал в
Германии.
11=	163
Подобная последовательность десятичных приближений вполне
определяется заданием бесконечного десятичного ряда (бесконеч-
ной десятичной дроби) ao,ZiZ2z3 . «г». Zi ..., т. е. указанием закона,
по которому определяются все цифры zb z2....... которых беско-
нечно много. Действительно, имея бесконечную последователь-
ность двойных неравенств Г/<%</?/, где r/ = a0,ZiZ2 ... zz,
/& —	10~z, / = 1, 2, 3,..., всегда можно указать такой беско-
нечный десятичный ряд, притом единственный; обратно, имея бес-
конечный десятичный ряд a0,ZiZ2 ... ZiZ^i'..., всегда можно по-
строить бесконечную последовательность двойных неравенств ука-
занного вида. Например, бесконечной последовательности двойных
неравенств, полученной выше при измерении отрезка в от-
резка-единицы, соответствует бесконечный десятичный ряд 1,666...,
в котором без конца повторяется цифра 6, а бесконечной после-
довательности двойных неравенств, полученных там же при изме-
рении диагонали квадрата его стороной, соответствует бесконеч-
ный десятичный ряд 1,41421..., в котором каждый десятичный
знак имеет вполне определённое значение, устанавливаемое с по-
мощью алгоритма извлечения квадратного корня. Имея, напри-
мер, бесконечный десятичный ряд 2,696969... или 2,(69), в кото-
ром без конца повторяется пара цифр 6 и 9, т. е. чистый периоди-
ческий десятичный ряд с периодом 69 (см. [XII, 1]), можем ука-
зать соответствующую последовательность двойных неравенств
2<х<3; 2,6<х<2,7; 2,69 <х< 2,70; 2,696<х<2,697 и т. д.
Замечая, что бесконечный десятичный ряд 2,(69) является пред-
69	23
ставлением рационального числа 2-^ = 2^, можем рассматривать
этот ряд как особого рода выражение длины отрезка, содержа-
щего два отрезка, равных отрезку-единице, и ещё 23 тридцать
третьих его доли.
5.	Когда мы рассматривали множество периодических десятич-
ных рядов [XII, 4], мы исключали ряды, в которых все цифры z,,
начиная с некоторого места (при i 2; п) представляют собой де-
вятки, так как не существует дробей, дающих при делении числи-
теля на знаменатель такой ряд. Возникает вопрос: а не может ли
процесс десятичного измерения отрезка привести к десятичному
ряду ao,ztz2 ... Zn-iZn 999 ..., в частности, не может ли получиться
ряд ао,999 ...? Если Zi = 9, то отрезки В0В'а и BiB’x имеют одну
и ту же конечную точку, а если все Zi «=9, то все отрезки ВоВо,
BiB'lt В2В'2,..Bi+iB?i+1,... оканчиваются в одной и той же
точке В*: с ней совпадают правые концы Во, Bi, В2,..., В\,
B'i+i,... всех этих неограниченно убывающих вложенных друг в
друга отрезков. Эта точка В* принадлежит им всем. Но всем им
принадлежит также точка В — правый конец измеряемого отрезка
ЛВ, а так как всякая последовательность неограниченно убыва-
164
ющих вложенных друг в друга отрезков имеет всегда одну и
только одну принадлежащую им всем точку (аксиома Кантора и
её следствие), то точка В* совпадает с точкой В\ отрезок АВ
равен отрезку АВ* и имеет длину а0+ 1, что противоречит пред-
положению о выражении длины АВ бесконечным десятичным ря-
дом. Такое же противоречие мы встречаем и при допущении, что
длина отрезка АВ выражается бесконечным десятичным рядом
a0)ZiZ2... Zn-rZn999..в котором все Zi при i > п равны 9: такой
отрезок имеет длину a^z^z^... zn-i2n> где zn = zfl + 1.
6.	Итак, оказывается, что десятичное измерение любого от-
резка АВ посредством произвольного отрезка PQ = е всегда при-
водит либо к десятичной дроби a^ZiZz • • • Zk-iZk> либо к бесконеч-
ному десятичному ряду a^Z\Z2 ... zzZ/+i .. „ где ао — любое целое
неотрицательное число, а каждая из букв zi9 Z2, ... означает лю-
бую из цифр от 0 до 9 с двумя ограничениями: 1) не может быть
одних лишь нулевых значений у всех букв 27, начиная с некото-
рого места, так как тогда этот десятичный ряд выражал бы деся-
тичную дробь, и 2) не может быть, чтобы все цифры 27, начиная с
некоторого места, были бы девятками (по той же причине). Как
мы уже знаем, бесконечный десятичный ряд может быть либо
периодическим [XII, 1,3], и является тогда не чем иным, как осо-
бого рода представлением обыкновенной дроби (положительного
рационального числа), либо непериодическим [XII, 4, 3], и ника-
кого рационального числа тогда не представляет, так как всякое
рациональное число представимо десятичной дробью или беско-
нечным периодическим десятичным рядом, чистым или сме-
шанным.
Таким образом, надо различать три следующих единственно
возможных случая десятичного измерения отрезков.
Случай I. Процесс десятичного измерения заканчивается на
той ступени, когда используется отрезок в/г, т. е. отрезок, получае-
мый путём деления отрезка-единицы PQ = e на 10Л равных частей.
Измеряемый отрезок АВ соизмерим с отрезком-единицей е, об-
щей мерой служит десятичная доля е, равная PQ: 10й. Длина
отрезка АВ выражается десятичной дробью х = aG,Z]Z2 ... zk
(в частности при k = 0 натуральным числом ао).
Случай II. Процесс десятичного измерения никогда не за-
канчивается, приводя к бесконечной последовательности нера-
венств вида х < Ri> где г, = a0,ziZ2 fa = п + 10—*,
i = 0, 1, 2, 3,..., которым соответствует бесконечный периодиче-
ский десятичный ряд, чистый или смешанный, являющийся пред-
fl	*
ставлением рационального положительного числа эту дробь
можно считать несократимой; каноническое разложение знамена-
теля п содержит хотя бы один простой множитель, отличный от
2 и 5. Измеряемый отрезок АВ в этом случае тоже соизмерим с
отрезком-единицей PQ, но общая мера, равная PQ : и, не является
165
десятичной долей отрезка-единицы. Длина отрезка АВ выра-
. а
жается дробью ~ или, что то же, десятичным периодическим ря-
дом х = ao,ziz2... Zi Zi-i-i ..., чистым или смешанным.
Случай III. Процесс десятичного измерения отрезков тоже
никогда не заканчивается, но бесконечный десятичный ряд, кото-
рый соответствует бесконечной последовательности неравенств,
периода не имеет. Этот десятичный ряд a0,ZiZ2 ... ZfZ/4-1 • • • не
представляет собой никакого рационального числа. Измеряемый
отрезок АВ несоизмерим с отрезком-единицей PQ. Рациональ-
ного числа, которое можно было бы признать длиной отрезка АВ
при единице PQ, не существует: каждое рациональное число яв-
ляется длиной одного из отрезков, десятичное измерение которого
приводит к одному из двух предшествующих случаев.
§ 3. Действительное число как десятичный ряд. Равенство и
неравенство действительных чисел
1. Перед нами теперь два пути: либо признать, что измере-
ние отрезка АВ с помощью отрезка PQ в некоторых случаях не-
возможно, отрезок АВ, несоизмеримый с отрезком-единицей PQ,
не имеет меры длины, так как никаких других чисел, кроме ра-
циональных, мы не знаем, либо построить новые числа, отличные
от рациональных, числа нерациональные или иррациональные, ко-
торыми выражались бы длины отрезков в этих случаях.
Есть много соображений в пользу избрания второго пути, что
и сделано в математике: те бесконечные непериодические де-
сятичные ряды, которые получаются в результате операции де-
сятичного измерения отрезков в случае несоизмеримости отрез-
ков, признаются числами новой природы — числами иррациональ-
ными, представляющими собой длины отрезков, несоизмеримых с
отрезком-единицей. Присоединение к множеству ранее известных
рациональных положительных чисел этих новых иррациональных
чисел позволяет каждому отрезку поставить в соответствие неко-
торое число, выражающее длину этого отрезка.
Более глубокое рассмотрение вопроса о длине отрезка отно-
сится к курсу геометрии.
Каждому иррациональному положительному числу соответ-
ствует противоположное ему иррациональное отрицательное
число, выражающее длину и направление отрезка, откладывае-
мого в противоположном направлении. Ранее известные рацио-
нальные числа, положительные, отрицательные и нуль, вместе с
новыми иррациональными числами образуют множество действи-
тельных или вещественных чисел, обычно обозначаемое буквой
С и именуемое континуумом.
2. Рассматривая десятичную дробь ao,^i^2 •.. Zk как десятич-
ный ряд a$,ziz2 ... Zk ООО ..., устанавливаем следующее опреде-
166
ление: действительным неотрицательным числом называется
всякий десятичный ряд а = a0,ZiZ2 ... ZiZ^ ..., где aQ — любое
целое неотрицательное число, а каждая из букв zb z2,... —
цифра, т. е. любое из целых чисел от 0 до 9, причём возможно
равенство нулю всех цифр, начиная с некоторого места, но невоз-
можно, чтобы все цифры, начиная с некоторого места, были
девятками. Десятичный ряд 6Z0,Z]Z2 ... z. 9999 ..., где z;^9, т. е.
периодическую десятичную дробь с периодом 9, всегда будем за-
менять, как об этом уже говорилось выше [XII, 4, 1], десятичной
дробью g0)Z]Z2 ... z/, где z'-~-=z	1. Например, 2,84(9) заме-
няется через 2,85, 6,(9) — через 7.
Число называется целой частью числа а, числа Zi, z2,. .. zz ...
соответственно первым, вторым ..., /-тым десятичным его знаком.
Целую часть и десятичные знаки удобно называть элементами
числа а.
Понятие действительного неотрицательного числа является
обобщением понятия целого неотрицательного числа (если при
любом i Zt = 0, то а = a§, т. е. при aQ > 0 — натуральное число aQl
а если, кроме того, ещё aQ — 0, то нуль), и в то же время обобще-
нием понятия обыкновенной дроби (рационального положитель-
ного числа), так как в случае, когда z, = 0 при любом i ^k, где
k — некоторое натуральное число, а также в случае наличия пе-
риода, десятичный ряд выражает некоторую обыкновенную дробь
(рациональное положительное число).
3< Имеем следующие определения равенства и неравенства
действительных неотрицательных чисел, естественно подсказы-
ваемые операцией десятичного измерения длины отрезка:
два действительных неотрицательных числа a=a0,ZiZ2... zcz^ ...
и а' =	• • • z'Zi+i • • • равны тогда и только тогда,
когда а0 — Zi = при любом i; другими словами, а = а', если
все элементы обоих десятичных рядов одинаковы;
из двух неравных действительных неотрицательных чисел
меньше то, у которого первый (считая слева направо) неодинако-
вый элемент меньше, чем соответствующий элемент другого
(«<«', если а0 < Дэ, или а0 = Дэ, Z\ < z-, или aQ —	, Z\ = zx,
z2 < z 2 и т. д.); если а < а', то а' > а.
Легко видеть, что эти определения равенства и неравенства
действительных неотрицательных чисел представляют собой обоб-
щение определений равенства и неравенства рациональных чисел:
если рациональные положительные числа представлены в виде
периодических десятичных рядов (в частности в виде десятичных
дробей), то для них имеют место те же условия равенства и не-
равенства, какие были только что сформулированы для действи-
тельных положительных чисел [XII, 4, 4].
4. Рассматривая наряду с каждым действительным ПбйоЖй-
тельным числом противоположное ему отрицательное, гтёрейоейм
167
на множество всех действительных чисел («континуум») опреде-
ления абсолютного значения числа и условия равенства и нера-
венства рациональных чисел, рассмотренные выше [в главе XIII],
сравнение действительных чисел производится по тем же прави-
лам, как и сравнение чисел рациональных.
5. Убедившись, что каждому отрезку АВ соответствует при
всяком определённом выборе единицы длины PQ некоторое опре-
делённое действительное число (рациональное в случае соизмери-
мости АВ и PQ и иррациональное в случае их несоизмеримости),
положительное, если отрезок АВ рассматривается как направлен-
ный в некоторую определённую сторону, и отрицательное, если он
направлен в сторону противоположную, выражающее длину и на-
правление отрезка АВ, мы должны теперь выяснить, верно ли
обратное утверждение: можно ли сказать, что и всякому действи-
тельному числу х соответствует при любом определённом выборе
Отрезка-единицы некоторый определённый отрезок, длина кото-
рого выражается этим действительным числом?
В случае, если х любое целое число, существование отрезка
длины х очевидно (надо только условиться называть «отрезком
длины 0» точку); столь же ясно положение для любого рациональ-
а
ного значения х===~ (надо разделить отрезок-единицу на п рав-
ных долей и отложить такую долю а раз в ту или другую сторону
по оси). Если же х есть любое действительное положительное ир-
рациональное число ao,ZiZ2...» то берём двойную последователь-
ность десятичных приближений, ему соответствующую [XIV, 2,4],
а именно: последовательность чисел r/= a0,2iZ2... Zi.. •
и чисел Pi = г/ +10~', где /=1, 2, 3,..., и откладываем
по прямой, начиная от какой-нибудь её точки А, отрезки
ABOt АВи АВъ,, ABit... длины соответственно а0, л, г2,...,
Л,..., а также отрезки АВо, АВ\, АВъ,..., АВ/,... длины соот-
ветственно До + 1, /?ь Т?2,. •.,	. Получаем, таким образом,
неограниченно убывающую последовательность вложенных друг в
друга отрезков В0Во, BjBi, В2В2, ..., В/Вх-,..., у которых в силу
аксиомы Кантора и её следствия [XIV, 2, 3] имеется одна и только
одна точка В, общая им всем. Отрезок АВ имеет длину, выра-
жаемую числом х = ao,ZiZ2, ... 2/ ... Если х есть иррациональное
отрицательное число, все отрезки АВ/ и АВ/ откладываются в
противоположном направлении.
Взяв прямую линию и две произвольные точки на ней, будем
считать одну из них начальной точкой при откладывании отрез-
ков и обозначим её цифрой 0, другую же обозначим цифрой 1 и
будем считать отрезок от точки 0 до точки 1 отрезком-единицей.
Приняв направление от точки 0 к точке 1 за положительное,
можем теперь утверждать, что всякой точке А данной прямой со-
ответствует одно и только одно действительное число х, выражаю-
щее длину и направление отрезка ОА, или, что то же, линейный
168
вектор ОА, и что, обратно, любому действительному числу х соот-
ветствует одна и только одна точка А такая, что линейный вектор-
ОА выражается этим числом х. Это число х принято называть
абсциссой точки А.
§ 4.	Понятие об измеримых величинах
1.	Мы выяснили недостаточность множества рациональных
чисел для точного измерения длины отрезков и достаточность для
этой цели множества действительных чисел. Но, кроме длины»,
приходится измерять много других величин: площади, объёмы^
веса, длительности промежутков времени, скорости, силы и т. д^
Достаточно ли множества действительных чисел для точного из-
мерения всех таких величин?
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим сперва, что такое-
величина.
2.	Понятие величины издавна считалось одним из основных
понятий математики, но в старых книгах не было точного опреде-
ления математической величины. Например, в учебнике элемен-
тарной геометрии проф. А. Ю. Давидова, имевшем огромное рас-
пространение в дореволюционной России и в первые годы после-
Великой Октябрьской революции (первое издание в 1864 г., 39-е —
в 1922 г.), читаем: «Всё, что можно увеличивать и уменьшать,,
мы Называем величиною». Это определение страдает чрезмерной
общностью, так как ему удовлетворяют такие вещи, как внима-
ние, правдивость и другие, не поддающиеся математической трак-
товке, и не даёт оснований для каких бы то ни было суждений о*
свойствах величин.
3.	В современной математике различают величины скалярные'
и векторные. Векторными величинами или короче векторами на-
зывают такие объекты, которые различаются друг от друга не*
только по численным своим значениям, но и по направлениям (на
плоскости или в пространстве), как, например, скорости, силы
и т. д.: для полной определённости указания на скорость точки
недостаточно сказать, сколько единиц скорости, например метров,
в секунду, она имеет, а надо ещё указать то направление, в каком
точка движется. Заметим, что к векторным величинам обычно-
не причисляются такие, которые имеют только два взаимно-про-
тивоположных направления по прямой — линейные векторы или*
направленные отрезки на прямой. Прямая линия, на которой каж-
дая точка отмечена некоторым числом, выражающим её расстоя-
ние от некоторой начальной точки, отмеченной числом 0, обычно-
именуется числовой осью или просто осью, но имеет также другое*
название — «шкала» или «скала». Отсюда происходит термин,
скалярная величина, означающий всякую величину, вполне харак-
теризуемую точками такой шкалы. Примерами скалярных величин
могут служить температура, отсчитываемая по шкале термометра-
160
в том или другом направлении от начальной точки, скорость точки
ври её движении по определённой прямой, -время (точнее — про-
межутки времени, отсчитываемые вперёд и назад от некоторого
начального момента) и т. д. Таким образом, приходим к следую-
щему определению: скалярной величиной называется любое
упорядоченное множество объектов, изоморфное множеству точек
числовой оси или числового луча. Указание на возможность за-
мены числовой оси числовым лучом необходимо, чтобы учесть и
"такие величины, которые принимают только положительные зна-
чения, как, например, площадь, объём, вес. Рассмотрим подробнее,
•следуя статье академика А. Н. Колмогорова*, определение такой
положительной скалярной величины.
4.	Положительной скалярной величиной называется всякое
множество объектов, в котором установлены отношения равенства
л неравенства, а также операция сложения (не чисел, а самых
объектов), если это множество удовлетворяет перечисленным
ниже 10 требованиям (если в нём выполняются 10 перечисленных
ниже аксиом).
Подчёркиваем, что здесь речь идёт о каких-угодно однородных
объектах, которые будем обозначать буквами а, Ь, с,..., называя
эти объекты а, Ь, с,... значениями рассматриваемой величины.
Например, значениями величины «длина отрезка» являются все-
возможные отрезки, значениями величины «площадь многоуголь-
ника» — всевозможные многоугольники и т. д. Отношения равен-
ства и неравенства устанавливаются путём указания на тот
способ, посредством которого можно решить для любых двух
элементов а и b рассматриваемого множества, равны ли они
(а = Ь) или неравны (а фЬ), и если неравны, то какой из них
больше, какой меньше (а > b, b <^а или наоборот а Ь, Ь>а).
Так, если речь идёт о весе, т. е. о величине той силы, с какой раз-
личные вещи притягиваются Землёй, то сравнение производится
с помощью весов, а если о длине отрезка, то посредством накла-
дывания одного отрезка на другой и т. д. Точно так же должен
^быть указан тот способ, который позволяет производить сложение
рассматриваемых объектов. Так, сложение весов а и b выпол-
няется посредством помещения на одну чашку весов обоих пред-
метов а и b одновременно, а сложение отрезков — посредством
прикладывания одного отрезка к другому так, чтобы они имели
одну и только одну общую точку и лежали на одной прямой.
^Сравнение площадей многоугольников производится посредством
их «перекраивания»: площади двух многоугольников а и b равны,
если возможно их совмещение путём наложения или если одан
из них можно разрезать на такие части, размещение которых в
другом порядке даёт многоугольник, совместимый со вторым; сло-
жение площадей двух многоугольников осуществляется посред-
* См. слово «Величина» в VII томе Большой советской энциклопедии,
•изд. 2.
170
ств.ом простого прикладывания одного многоугольника к другому
так, чтобы слагаемые не налегали друг на друга, но имели общую
сторону или часть стороны.
Итак, нельзя говорить о том, что такое-то множество объектов
является величиной, пока не установлены способы их сравнения
и сложения.
Но одной возможности сравнения и сложения ещё мало:
должны выполняться следующие 10 аксиом.
5.	Аксиома I. Каковы бы ни были а и Ь, имеет место одно и
только одно из трёх соотношений: или а = Ь, или а < Ь, или b <а.
Эта аксиома уточняет требование возможности сравнения зна-
чений величин. Она не выполняется, например, если сделать по-
пытку перенести на углы, как части плоскости, тот способ сравне-
ния площадей, какой существует для многоугольников: части
плоскости а и Ь, ограниченные каждая двумя лучами, исходящими
из одной точки и образующими равные углы, в одно и то же
время и равны, и неравны друг другу, так как их можно сов-
местить, а можно расположить и так, что одна из них совместится
с частью другой.
Аксиома II. Если а <^Ь и b < с, то а < с (свойство транзи-
тивности соотношения «меньше», «больше»).
Эта аксиома нарушается, например, при сравнении силы игро-
ков в шахматы: нередко бывает, что один игрок проигрывает
другому, этот другой — третьему, а третий — первому.
Аксиома III. Для любых двух значений величины ан b суще-
ствует однозначно определённое значение той же величины с=
= а + b — их сумма.
Эта аксиома вместе с тремя последующими уточняет* требо-
вание возможности сложения значений величины.
Аксиома IV. Сумма не зависит от того порядка, в каком
берутся слагаемые: а + b = b + а (переместительное свойство
суммы).
Аксиома V. Последовательное прибавление слагаемых даёт
то же значение величины, что и прибавление их суммы: (а + 6) +
4» с = а + (Ь + с) (сочетательное свойство суммы).
Аксиома VI. Сумма больше каждого из своих слагаемых:
a-\-b> a, a-{-b>b (свойство монотонности суммы).
Аксиома VII. Если а > Ь, то существует одно и только одно
значение той же величины с, удовлетворяющее условию а = b + с
или, что то же, с = а — b (возможность и однозначность вычи-
тания).
Аксиома VIII. Каково бы ни было значение величины а и
каково бы ни было натуральное число п, всегда существует одно
и только одно значение той же величины Ь, удовлетворяющее
условию Ьп = а (возможность и однозначность деления).
Здесь принято обозначение bn — b-\-b-{-...-{-b (справа
сумма п слагаемых).
171
Аксиома IX. Каковы бы ни были значения а и b одной и той
же величины, всегда существует такое натуральное число п, что
а<Ьп (аксиома Евдокса или Архимеда).
Аксиома X. Если две последовательности значений ап и Ьп,
п = 1, 2, 3,..., одной и той же величины таковы, что
1) а\ < ^2 < а3 < ..., 2) > 62 > Ъз > ..., 3) при любом п
ап<С 4) разность Ьп — ап при достаточно большом п меньше
любого наперёд заданного значения той же величины с, то суще-
ствует одно и только одно значение той же величины х, которое
больше всех значений ап и меньше всех значений Ьп-
Эту последнюю аксиому можно назвать аксиомой непрерыв-
ности, а всякую величину, для которой выполняются все десять
перечисленных аксиом, — непрерывной положительной скалярной
величиной.
6.	Легко видеть, что все аксиомы I—X выполняются для дей-
ствительных положительных чисел, определённых выше (в § 3 на-
стоящей главы) с помощью десятичных рядов. Таким образом,
действительные положительные числа представляют собой положи-
тельную скалярную величину (непрерывную). Аксиомы I—X вы-
полняются и для множества всех прямолинейных отрезков, а это
приводит к понятию длины отрезка, как положительной скалярной
величины (тоже непрерывной). Если какой-либо произвольно
взятый отрезок принять за единицу измерения е, то между эле-
ментами множества всех отрезков и элементами множества всех
действительных положительных чисел будет установлено взаимно-
однозначное соответствие: каждый отрезок получает определён-
ную меру длины, выраженную действительным положительным
числом, причём каждому действительному положительному числу
соответствует некоторый отрезок, имеющий мерой длины это
число. Тем самым полностью решён вопрос об измерении длины
прямолинейных отрезков.
Подобным же образом обстоит дело и с любой положительной
скалярной величиной: удовлетворяя 10 перечисленным аксиомам,
она допускает измерение с помощью действительных положитель-
ных чисел. Каждое значение величины имеет определённую меру,
выражаемую действительным положительным числом, если вы-
брана единица измерения, т. е. если произведён выбор такого зна-
чения величины, которому приписывается мера в виде числа 1.
Тем самым мы получили ответ на вопрос, поставленный в на-
чале настоящего параграфа (§ 4): достаточно ли множество дей-
ствительных чисел для измерения скалярных величин? Для поло-
жительных скалярных величин, определённых с помощью аксиом
I—X, ответ получается утвердительный.
Полезно уточнить смысл таких терминов, как «мера», «измере-
ние». Сделать это можно следующим образом. Мерой каждого
значения скалярной величины называется действительное число,
удовлетворяющее трём требованиям: каждому значению величины
соответствует одно и только одно действительное число; сумме
172
двух значений величины соответствует число, представляющее
собой сумму чисел, соответствующих слагаемым; некоторому зна-
чению величины, именуемому «единицей измерения», соответ-
ствует число 1. Операция фактического получения действитель-
ного числа, представляющего собой меру данного значения рас-
сматриваемой величины, и называется измерением этой величины.
Легко видеть, что общеизвестные понятия меры длины, площади,
объема, веса и т. д. полностью удовлетворяют перечисленным
требованиям.
Вполне наглядное представление возможности измерения по-
ложительных скалярных величин даёт их изображение с помощью
точек числового луча. Во многих случаях измерение величины
сводится к измерению длины отрезка, как, например, измерение
времени сводится к измерению длины пути, пройденного концом
стрелки часов, в особых единицах (этот путь можно представлять
себе в виде прямолинейного отрезка, изогнутого по дуге окруж-
ности) .
7.	Для многих положительных скалярных величин суще-
ствуют противоположные им величины. Величины А и Л* назы-
ваются противоположными, если выполнены следующие три усло-
вия: 1) существует объект, который можно считать нулевым на-
чальным значением как величины А, так и величины А* в отдель-
ности и который имеет те же свойства, что и число 0 в множестве
рациональных чисел; 2) наряду со способом сложения, установ-
ленным для значений величины А, и способом сложения, уста-
новленным для значений величины Л*, существует и способ сло-
жения для значений величин А и А*; 3) каково бы ни было
значение а величины А, среди значений величины А* всегда най-
дётся такое значение а*, что сумма а + равна нулю (общему
нулевому значению величин А и А*).
Если А* противоположно А, то А противоположно А*. Вели-
чины А и А* взаимно-противоположны.
Рассмотрим, например, множество А всех перемещений по не-
которой данной прямой в одном определённом направлении. Два
элемента этого множества а (из точки М в точку N) и а' (из
точки Мг в точку N') считаем равными в случае равенства отрез-
ков MN и M'Nr. Сумма а + а' определяется как перемещение из
точки М в точку N", получаемое в результате последовательного
выполнения перемещения а из точки М в точку 2V и перемещения
а", равного а', из точки N в точку N" при условии M'N' = NN".
Возьмём множество А* таких же перемещений по той же прямой,
но в противоположном направлении. Общим нулём обоих мно-
жеств А и А* можно считать перемещение на отрезок длины нуль,
т. е. отсутствие перемещения. Ясно, что каждому элементу а мно-
жества А соответствует противоположный элемент а* множества
А*, т. е. такой, что а + а* = 0, величины А и А* противоположны.
Две взаимно-противоположные величины А и А*, каждая из
которых является положительной скалярной величиной, можно
173
объединить в одну скалярную величину, которая уже не будет
положительной. Взаимно-однозначное соответствие её значений
и действительных чисел будет сохранено, если, установив соответ-
ствие между значениями А и положительными числами, будем
считать, что значениям А* соответствуют отрицательные числа.
8.	Итак, действительных чисел достаточно для измерения все-
возможных скалярных величин. Но их окажется мало для из-
мерения величин векторных. Например, если рассматривать пере-
мещения не только по одной прямой, а по всей плоскости, то по-
надобится переход от чисел действительных к числам комплекс-
ным (составным), представляющим собой пары действительных
чисел, взятых в определённом порядке. Изучение комплексных
чисел, как и дальнейших обобщений понятия числа, принадлежит
арифметике, но в нашем курсе мы им заниматься не будем.
§ 5.	Действительное число как инвариант класса равносильных
двойных сходящихся последовательностей рациональных чисел
1.	Ознакомившись с понятием действительного числа как де-
сятичного ряда, к которому столь естественно приводит задача
измерения отрезков, м& должны рассмотреть другое определение
действительного числа, которое облегчит изложение теории дей-
ствий над действительными числами. Это определение аналогично
определению натурального числа, как инварианта класса равно-
сильных конечных множеств [II, 2,2], определению целого числа
как инварианта класса равносильных изменений численности мно-
жеств [VIII, 1,5], определению дроби как инварианта класса рав-
носильных конечных множеств долей элементов [X, 1, 2], определе-
нию рационального числа как инварианта класса равносильных
изменений численности множеств долей элементов, в частности
самих элементов [XIII, 1,5].	<
2.	Занимаясь измерением длины отрезка [XIV, 2,4], мы встре-
тились с понятием двойной сходящейся последовательности деся-
тичных приближений, состоящей из возрастающей последователь-
ности десятичных приближений к длине отрезка х по недостатку
(г0 — а0, Г1 = ао, Z\, ъ — aQ, Z\Z2, r3 = aQ, ziz2z3...) и убывающей
последовательности десятичных приближений к той же длине х
по избытку (£0 = 0q = 00 + 1, £1=00,2^ R2 — 00, 2^2, £3 =
= По, 21Z223, ..., Z[ = Z\ -f- 1, 22 = 22-|- 1, 23 = z3 -J- 1, ...). Об-
общая это понятие, получаем определение: двойной сходящейся
последовательностью рациональных положительных чисел (rt-, /?,),.
Z = 1, 2, 3, ..., называется множество рациональных положитель-
ных чисел г/, Rif где указатель i принимает все последовательные
натуральные значения, удовлетворяющие следующим условиям:.
1) г^п+г, 2)	3) ri^Rj, 4) каково бы ни было ра-
циональное положительное число е, всегда можно указать такое
174
натуральное число п, зависящее от е, что при всяком i > п имеет
место неравенство Ri—
Легко убедиться, что всякая двойная последовательность де-
сятичных приближений является в то же время двойной сходя-
щейся последовательностью положительных рациональных чисел.
Действительно, если п — а0, zxz2 ...Zi, то r,-+i = а0, ztz2...	=
=	z/4-i • 10~<z+n, а потому Г/4-1 — ri = Zi+v 10-так что-
либо Г/<Сг,4.1 (когда z/±i есть одна из цифр от 1 до 9), либо-
г,- —- G-t-i (когда Zj-i-i — 0). Точно так же при Rt= а0, Z\Z2... Zi-iz/^
— zt + 1, 7?,+i= aQ, ZiZ2... Zi^i ZiZ'i+j, z'^i = zt + 1, имеем
Ri — Ri+i = i(H — z4'+, • 10-a+o = (10 - z/+i). 10-<z+i> = (9 —
— zi+i) •	так что либо Ri > 7?,+1 (когда Zi+i есть одна из.
цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), либо Ri — Ri^i (когда Zi+i =9).
Условие ri^Ri тоже выполняется, так как /?, — г,-= 10-1’ при
любом значении указателя I. Выполняется и последнее (четвёртое)
условие, так как разность /?,• — г, = IO-* при достаточно большом
значении указателя i становится меньше любого рационального-
положительного числа е и продолжает убывать при дальнейшем
возрастании i.
В то время, как всякая двойная последовательность десятичных
приближений является двойной сходящейся последовательностью
положительных рациональных чисел, обратного, разумеется, утвер-
ждать нельзя. Полагая, например, г — (I— 1) : i и Rt = (z’-J- 1) : z',
i— 1, 2, 3, ..., имеем двойную сходящуюся последовательность
рациональных чисел
0 ,1	2	3 ,	. z—1 .	/_|-1
2<3<4< '• i	I
5 .4	3	2
< 4 < 3 < 2 < 1 ’
2
так как Ri — п=-у< в, если z > п, где п — [2 : в]. Напоминаем,
I
что запись [х] означает наибольшее целое число, не превосхо-
дящее х. Эта двойная сходящаяся последовательность рациональ-
ных положительных чисел не есть двойная последовательность
десятичных приближений.
3.	Теорема /. Какова бы ни была двойная сходящаяся по-
следовательность положительных рациональных чисел (п9 Ri)t
i = 1, 2, 3,..., всегда	где i и i\ — любые натуральные
числа.
Действительно, если i = о, то ri /?/,, по условию 3 определе-
ния (г/, Ri). Если то	по условию 1 этого опреде-
ления, rZ| R^, а потому г, <с Rit, Если же I > п, то г, Ri, на
Ri<.R\ по условию*2, а потому и в этом случае ri<Rie
4.	Всякую двойную сходящуюся последовательность положи-
тельных рациональных чисел (г/, /?/), /= 1, 2, 3, ... можно на-
глядно изобразить в виде бесконечной последовательности вло-
женных друг в друга неограниченно убывающих отрезков
175
(XIV, 2,3]. Для этого достаточно откладывать по какому-нибудь
лучу с начальной точкой А рациональные, т. е. соизмеримые с
отрезком-единицей, отрезки ABi длины и, а затем рациональные
же отрезки АВ/ длины Ri. Получим бесконечную последователь-
ность вложенных друг в друга отрезков BiB^B^Bz,..., BiB'i9...,
длины которых измеряются рациональными числами — rl9
R2 — г2, ..., Ri — г» ..., а следовательно, неограниченно убы-
вают. По аксиоме Кантора и её следствию заключаем, что всякой
двойной сходящейся последовательности рациональных чисел со-
ответствует один и только один отрезок АВ взятого луча.
5.	Определения. Две двойные сходящиеся последователь-
ности положительных рациональных чисел (г»,/?/), i = 1, 2, 3, ...,
« (г/, /?/), / = 1, 2, 3, ..., называются равносильными, если при
любых значениях указателей i и / п <>R/ и г/ <LRt, и неравно-
сильными, если эти условия не выполняются хотя бы для одной
пары значений указателей i и /*.
Последовательность (г/,/?/) считается предшествующей после-
довательности (г/, R/), если неравенство r^R/ выполняется
всегда, а неравенство г/ < Ri не выполняется или выполняется
не всегда. Последовательность (г,, Ri) считается следующей за
последовательностью (г/, Rf), если неравенство rt<^R/ не вы-
полняется или выполняется не всегда, а неравенство fj<Ri вы-
полняется всегда.
Эти определения делают множество всех двойных сходящихся
последовательностей рациональных чисел упорядоченным [I, 2, 6].
Действительно, каковы бы ни были две такие двойные сходя-
щиеся последовательности (г«, Ri), i = 1, 2, 3, ..., (г/, Rj), j =
*= 1, 2, 3, ..., относительно неравенств ri<JR/, rJ<iRi всегда
можно высказать ojjho и только одно из четырёх следующих утвер-
ждений: 1) как первое, так и второе неравенство выполняются
всегда, т. е. при любых значениях указателей i и /; 2) первое
неравенство выполняется всегда, т. е. при любых значениях ука-
зателей i и /, второе не всегда (или вовсе не выполняется); 3) вто-
рое неравенство выполняется всегда, первое не всегда (или вовсе
не выполняется); 4) как первое, так и второе неравенство вы-
полняются не всегда или вовсе не выполняются. Но .легко видеть,
пто последнее утверждение никогда не может быть истинным:
-если бы было одновременно riZ>Rj,i r^>Rii9 то в силу опреде-
ления двойной сходящейся последовательности и теоремы I, до-
казанной выше в пункте 3 настоящего параграфа, мы имели бы
Z/ > Rj rjx > Rit, п > Rit, что противоречит этой теореме. Оста-
ются только первых три утверждения, возможность истинности
которых показывают следующие примеры.
ч гт	I— 1 О *+1.100	'	2/—1
а)	Пусть Г/ = -у—, Ri= -j—, 1= 1, 2, 3, ..r/= —,
♦ Термин «равносильные» употреблён здесь в смысле, отличном от того,
® каком он употреблялся в главе I по отношению к множествам.
176
/?/=2^—,/ = 1,2,3,... Здесь г,<1, Я,>1, r/< 1,
а потому п</?у, г/ <Ri, каковы бы ни были значения указа-
телей /, /, ii9 ji. Согласно определению эти две двойные сходя-
щиеся последовательности равносильны.
б)	Пусть опять Г( = ~~~, Ri =	, i = 1, 2, 3, ..., а г/ =
—1 п/ 2^ + 1 Q	..
= ——9	~ —2Г— ’ Здесь всегда Ti<zR/9 так как гг < 1>
Rt> 2, но среди чисел г,} есть такие, которые не меньше некото-
рых чисел Ri (например, Г1'=Т?2, П'> /?з). Согласно определе-
нию (г/, Ri) здесь предшествует (г/, R/).
в)	Меняя местами двойные сходящиеся последовательности
2Ж-1	2^ + 1
предыдущего примера, убедимся, что при г/== ——,Ri=——♦
г = 1, 2, 3, ..., и r/ =	> /?/ = у—,/ = 1, 2, 3, ... двойная
сходящаяся последовательность (г,, Rt) следует за (г/, /?/).
6.	Теорема II. Какова бы ни была двойная сходящаяся по-
следовательность рациональных положительных чисел (r^R), I —
= 1, 2, 3,..., всегда существует равносильная ей двойная схо-
дящаяся последовательность десятичных приближений, характе-
ризуемая десятичным рядом <х = а0, Zi^2 ..., где aQ — некоторое
целое неотрицательное число, а каждая из букв zb z2... означает
какую-либо одну из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, причём равен-
ство 9 всех этих букв, начиная с некоторого места, исключается.
Истинность этой теоремы усматривается сразу, если обратиться
к рассмотренному выше (в пункте 3 настоящего параграфа) гео-
метрическому изображению двойной сходящейся последователь-
ности рациональных положительных чисел в виде последователь-
ности неограниченно убывающих отрезков, вложенных друг в
друга. Двойной последовательности (г-, R ) соответствует одно-
значно определённый ею отрезок АВ, а способ десятичного изме-
рения длины отрезка АВ однозначно же определяет десятичный
ряд а== со, 2^2..., в котором равенство 9 всех цифр, начиная
с некоторого места, исключается (см. [XIV, 2,4]). Полагая d/ =
= с0, ZiZ2 •.. z/9	ICH, /= 1, 2, 3, ..., легко усматри-
ваем равносильность двойной сходящейся последовательности де-
сятичных приближений (dj9Dj)9 / = 1, 2, 3, ..., и данной двойной
сходящейся последовательности рациональных положительных чи-
сел (г/,/?/), i= 1, 2, 3, ...: любое из рациональных чисел г/, dj
определяет точку, принадлежащую отрезку АВ, а рациональные
числа Rf, Dj выражают точки, лежащие вне этого отрезка (или
совпадающие с точкой В), так что при всех значениях i и j имеют
место неравенства ri<J)j, dj<Ri.
Но доказательство теоремы II можно провести и без обраще-
ния к геометрическому изображению. Имея двойную сходящуюся
12 В. М. Брадяс
>77
последовательность рациональных положительных чисел (г(, /&),
i = 1, 2, 3...находим наибольшее целое число а0, удовлетво-
ряющее неравенству ао < /?, при всех значениях указателя i, так
что существует по крайней мере одно значение i такое, что
flo -f-1 = Оо > Ri", затем берём наибольшее из 10 чисел вида ао, Zi,
где Zi есть любая цифра от 0 до 9, удовлетворяющее, неравен-
ству ао, Zi Ri при всех i, так что существует по крайней мере
одно значение I, при котором ао, z{ >Rt (здесь z{ = Zi-{-\);
подобным же образом однозначно определяются и все последу-
ющие десятичные знаки z2, z2....
Итак, каждой двойной сходящейся последовательности поло-
жительных рациональных чисел (г,, R,), i = 1, 2, 3,... однозначно
соответствует некоторый десятичный ряд a0,ZiZ2z3....
7.	Теорема III. Для того чтобы двум двойным сходящимся
последовательностям рациональных положительных чисел (ъ, Rt),
i — 1, 2, 3... (г/,Rj'), /= 1, 2, 3,... соответствовал один и тот
же десятичный ряд а = ao,ziz2z3..., необходима и достаточна
равносильность (rt, Rt) и (г/, R/).
Если как (г/, Ri), так и (г/, R/) соответствует один и тот же
десятичный ряд, то обе последовательности вложенных друг в
друга неограниченно убывающих отрезков определяют один и тот
же отрезок АВ. Каждое из рациональных чисел Г/ и г/ выражает
длину отрезка, не превосходящего АВ, а каждое из рациональных
чисел Ri, Rj — длину отрезка, не меньшего АВ. Следовательно,
при всех значениях I и / имеют место неравенства ri<LRj, rf^Rt.
Необходимость указанного в теореме III условия тем самым до-
казана.
Если двойной сходящейся последовательности рациональных
положительных чисел (г{, /?,), i = 1,2,3,... соответствует деся-
тичный ряд а = а0, Z1Z2.... а другой такой же последовательно-
сти (г/, Rj), j = 1, 2, 3,... — десятичный ряд & = b0, ut и2...,
то различие хотя бы в одной какой-либо паре соответствующих эле-
ментов этих двух рядов, например ао и Ьо, или Z\ и щ, или z2 и к2
и т. д., указывает на неравносильность данных двойных последо-
вательностей. Действительно, имея, например, ао <Z Ьо, заключаем,
что наибольшее целое число Ьо, удовлетворяющее неравенству
bo^Rj при всех значениях указателя j, не удовлетворяет
аналогичному неравенству для Rt: существует по крайней мере
одно значение указателя io, такое, что bo^Rt,, а следовательно,
Ri bo при всех значениях указателя i, превосходящих io. Су-
ществует бесконечное множество значений rj, удовлетворяющих
двойному неравенству Ьо г/ < b0 + 1, а потому неравенство
rf^Ri выполняется не всегда, двойная последовательность
(О, Rt) неравносильна двойной последовательности (г/, Rj),
а именно предшествует ей (см. выше, пункт 5).
8.	Доказанные теоремы II и III позволяют распределить всё
двойные сходящиеся последовательности рациональных положй-
178
тельных чисел на такие классы равносильных двойных последо-
вательностей, каждому из которых соответствует один и только
один десятичный ряд: всем равносильным двойным последова-
тельностям соответствует один и тот же десятичный ряд, каждым
двум неравносильным двойным последовательностям соответ-
ствуют различные десятичные ряды. Тем самым установлена воз-
можность следующего определения: действительное положи-
тельное число есть инвариант класса равносильных двойных схо-
дящихся последовательностей рациональных положительных чисел
и выражается бесконечным десятичным рядом.
Рассматривая двойные последовательности рациональных от-
рицательных чисел, придём тем же путём к определению действи-
тельного отрицательного числа. Объединяя множество всех
действительных положительных чисел, действительных отрицатель-
ных чисел и число нуль, получаем множество всех действительных
(вещественных) чисел.
ГЛАВА XV
ДЕЙСТВИЯ НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
§1.	Сложение действительных чисел
1.	Имея два действительных положительных числа
а = aQ, Ui и2... и р — bo, Vi v2..., строим двойную сходящуюся по-
следовательность рациональных чисел (г/, /?7), удовлетворяющую
следующим условиям: л= 0о,ui и2...	+ bo, що2...
Ri = а0, щ и2... Ui-iUi + bo, vi v2...	u{ = Ui + 1, vl =Vz+1,
i = 1, 2, 3,... .
Действительно, rz+i — n = (tfz-i-i + t'z+i) • lO-W), Ri — R^ =
— [(9 — zzz+i) + (9 — ^z+i)]*10~(f+1), а потому числа г, с возраста-
нием указателя i не убывают, числа Ri не возрастают. При любом г
Ri — 14 = 2.10-', а потому всегда fi<^Ri, разность Ri— п при
неограниченном росте указателя i становится и остаётся меньше
любого наперёд заданного положительного числа. Таким образом,
все требования, каким удовлетворяет двойная сходящаяся после-
довательность рациональных чисел [XIV, 5, 2], выполнены.
Применяя теорему II [XIV, 5, 6], утверждаем, что существует
единственная двойная последовательность десятичных приближе-
ний, равносильная этой двойной сходящейся последовательности
рациональных чцсел (г,, Ri), характеризуемая десятичным рядом
Со, W\W2..., который представляет собой некоторое действитель-
ное число ?. Не исключена возможность того, что все цифры
...» начиная с некоторого места, окажутся рав-
ными 9, как, напр'имер, в случае а = 0,1 (2) и £ = 0,3(7), когда
7 = 0,4 (9). В этом случае, как уже было установлено выше
[XII, 4, 1 и XIV, 3,2], последняя отличная от 9 цифра увеличи-
12*
179
вается на 1, а все девятки заменяются нулями, так что, например,
7 = 0,4 (9) записывается в виде 7 = 0,5.
2.	Если а и 0 — рациональные числа, число 7 рационально и
3
представляет собой сумму a-f-0. Например, если а = —=
с	11
= 0,27272727 ..., 0 =	= 0,185185185.... то
Л = 0,3
г2 = 0,45
г3 = 0,457
г4 = 0,4578
г5 = 0,45790
г6 = 0,457912
Л = 0,4579123
га = 0,45791245
Ri = 0,5
#2 = 0,47
Яз = 0,459
= 0,4580
Т?5 = 0,45792
Яб = 0,457914
Я7 = 0,4579125
Ra = 0,45791247
7 = 0,(457912) = ^|^=^, но
тг
Как видим, получается
этому же числу равна и сумма рациональных чисел а
* 27-
Если числа а и 0, или хотя бы одно из них, иррациональны,
то число 7 является суммой чисел а и’ 0 в силу следующего
определения: суммой двух действительных положительных
чисел а = а0,щ и2... и 0 = bo, Vi v2... называется действитель-
ное число 7 = со, Wi W2..., определяемое двойной сходящейся по-
следовательностью рациональных чисел (г,, /?,), где г, =
= do, Ut U2 . .	Ьо, t»l V2 • •	Ri = do, Ui «2 • • • Ui-iUi' 4-
4" bo, Vi v2... vi 4- Vi', и/ = th 4- 1, ?’/' = Vt -|- 1, i = 1, 2, 3.
Например, если a = 0,1010010001 ..., 0 = 0,020220222..., то
a 4- 0 = 0,121221222 ...; если a = я = 3,14159265 ...,₽= j/'3 =
= t,73205081 .... to 7 = x4~ 1^3 определяется следующей двой-
ной сходящейся последовательностью рациональных чисел:
Г1 = 4,8
72 = 4,87
Гз = 4,873
rt = 4,8735
гъ = 4,87364
г6 = 4,873642
г7 = 4,8736434
Гз = 4,87364346’
= 5,0
Ri = 4,89
Яз = 4,875
Rt = 4,8737
Ro = 4,87366
Ro = 4,873644
Rr = 4,8736436
Rs = 4,87364348
Таким образом, знание а и 0 позволяет последовательно, одну
за другой, находить все цифры числа 7 = a 4* 0- Останавливаясь
на каком-нибудь значении указателя i, мы получаем два радио-
180
нальных числа и и /?/= г< + 2 • 10~f, представляющих собой при-
ближённые значения суммы а + ₽, причём г/ меньше, Ri больше
©той суммы, и каждое отличается от а + р меньше чем на 2 еди-
ницы разряда z-ro десятичного знака.
3.	Исходя из этого определения суммы действительных поло-
жительных чисел, можно доказать, что эта сумма имеет все те
свойства, какие были в своё время установлены у суммы натураль-
ных чисел [III, 1, 4] и у суммы рациональных положительных чи-
сел [X, 4, 2]: сумма действительных положительных чисел всегда
существует, единственна, обладает переместительностью, сочета-
тельностью, аддитивностью, монотонностью. Наличие этих свойств
усматривается непосредственно, если иметь в виду геометрический
смысл действительного положительного числа как меры длины
отрезка.
4.	Вводя в рассмотрение наряду с действительными положи-
тельными числами также и действительные отрицательные числа
и нуль, получаем понятие действительного числа как меры на-
правленного отрезка, и обобщаем понятие суммы действительных
положительных чисел совершенно подобно тому, как от суммы на-
туральных чисел' мы переходили к сумме целых чисел в § 1
главы IX и от суммы обыкновенных дробей к сумме рациональ*
ных чисел в § 4 главы XIII.
§ 2.	Умножение действительных чисел
1.	Имея два действительных положительных числа
а = a^U\U2... и р = &o,ujv2...» образуем двойную сходящуюся
последовательность рациональных чисел (п, /?,) по следующему
закону:	Г/==	. И/_1И/.	. Vi-xVt,
Ri = a0, а,», ... И;_1 и{ • b0,	. Vi-xvl,
где ut' = Ui 4-1,	= i>i 4-1, *=1,2,3,...
Полагая для краткости
а/=а0,«1и2	и fy = b0,	. Vi-tVi,
имеем n_i — rt = (a,^+i 4- М<-н) • 10~<'+I> 4" «z+i^+i-10~2(Z+1>,
Ri — Ri+i = a, • (9 - v/+i) • l(H'+»> 4- P* • (9—«r+i) • 10-<*+» 4-
4- (99— «i-i-i t/z+i — ul+i — vl+i) • 10-2<'+’>, Rt — n = (a,- 4- ₽/) • 10-* 4-
4-10“2Z	(a04- b0 4- 2) • 10~z 4- 10-2Z. Отсюда заключаем, что
числа г/ с возрастанием указателя i не убывают, числа Ri не
возрастают, каждое из чисел Г( меньше соответствующего числа
Ri, разности R,— л неограниченно убывают, а потому числа г,
и Ri, i = 1, 2, 3,..., действительно образуют двойную сходящу-
юся последовательность рациональных чисел.
Теорема II [XIV, 5,6] позволяет утверждать, что существует
действительное число т = W1W2W3..., однозначно определяемое
заданными действительными числами а = «1«2«з • • • и Р =
=	, которое характеризует весь класс двойных сходя-
щи'хся последовательностей рациональных чисел, равносильных
двойной последовательности (г,, Ri),
181
2.	Если « и р — -рациональные положительные числа, то у —
1	45
их произведение. Например, при а = — = 0, (3), р = — = 4, (09)
имеем:	Л о . п ,	®	11
П = 0,3 -4,0 = 1,20
г2 = 0,33 • 4,09 = 1,3497
г3 = 0,333.4,090 = 1,361970
г4 = 0,3333 • 4,0909 = 1,36349697
г5 = 0,33333 • 4,09090 = 1,3636196970
/?1= 0,4 -4,1 = 1,64
Я2 = 0,34-4,10= 1,3940
R3 = 0,334 • 4,091 = 1,366394
Т?4 = 0,3334 • 4,0910 = 1,36393940
Rs = 0,33334 • 4,09091 = 1,3636639394
Как видим, двойная последовательность (г/, /?,) определяет
4
здесь периодическую десятичную дробь 1,(36), равную 1уу, но
0	1 45	11
сотому же равно произведение	•
oil
Для общего случая устанавливается следующее определение:
произведением двух действительных положительных чисел
а = ао, «1 «2 • • • и Р = b0, Vi v2... называется действительное число
Y = Со, Wi W2..., определяемое двойной сходящейся последова-
тельностью рациональных чисел (Г/, Ri), где
П = a0,UiUi ...	. Vi-xVt,
Ri=a0,UiU„..Mi_iu/'b0,vlVi...Vi-iVi, u{ = U/+l, t>/ = vi+ 1,
i = 1, 2, 3... .
Это определение даёт возможность находить произведение лю-
бых двух иррациональных чисел и произведение иррациональ-
ного на рациональное. Например, если а = я = 3,14159265..
Р =j/3 = 1,73205081 ..., то у=ар определяется следующей
двойной сходящейся последовательностью рациональных чисел:
г, = 3,1 • 1,7 = 5,27
г2 = 3,14.1,73 = 5,4322
г3 = 3,141 • 1,732 = 5,440212
г4 = 3,1415 • 1,7320 = 5,4410780
г5 == 3,14159.1,73205 = 5,4413909595
гв = 3,141592 • 1,732050 = 5,441394423600
/?1 —3,2- 1,8 = 5,76
Я2 = 3,15- 1,74 = 5,4810
R3 = 3,142 • 1,733 = 5,445086
R< = 3,1416 • 1,7321 = 5,44156536
Rs = 3,14160 • 1,73206 = 5,4414396960
Re = 3,141593 • 1,732051 = 5,441399297242
182
В процессе получения последовательных пар чисел п, /&,
постепенно определяются, как видим, цифры произведения ар.
Останавливаясь на i — 6, имеем 3 = 5,44139....
3.	Основываясь на этом определении произведения действи-
тельных положительных чисел, можно доказать, что это произве-
дение имеет те же свойства, какие были установлены выше у про-
изведения натуральных чисел [III, 2, 3] и у произведения обыкно-
венных дробей, т. е. рациональных неотрицательных чисел [X, 6, 4]:
произведение действительных неотрицательных чисел всегда суще-
ствует и однозначно определяется своими сомножителями, обла-
дает переместительностью, сочетательностью, распределитель-
ностью, монотонностью, равно нулю тогда и только тогда, когда
равен нулю по крайней мере один из сомножителей. Не проводя
чисто арифметического доказательства, легко признать правиль-
ность этого утверждения, основываясь на понимании действитель-
ного положительного числа как меры длины отрезка, если посту-
лировать существование меры площади любого прямоугольника,
выражаемой произведением длин его основания и высоты, и меры
объема любого прямоугольного параллелепипеда, выражаемой
произведением длин трёх его измерений.
4.	Переходя от множества действительных неотрицательных
чисел к множеству всех действительных чисел, достаточно для
определения на нём операции умножения выполнить то самое об-
общение понятия произведения, какое приходилось выполнять при
переходе от натуральных чисел к целым (см. выше [IX, 3,2]), а
именно ввести «правило знаков». Сумма и произведение действи-
тельных чисел имеют те же свойства, что и сумма и произведение
рациональных чисел [XIII, 4].
§ 3.	Вычитание и деление действительных чисел
1.	Установив определения и свойства суммы и произведения
действительных чисел, мы тотчас же приходим к определениям
обратных действий: разностью двух данных действительных чи-
сел аи^ называется такое третье действительное число у, которое,
будучи сложено с р, даёт а, а частным от деления данного действи-
тельного числа а на другое данное действительное число р, отлич-
ное от 0, называется такое третье действительное число у, которое,
будучи умножено на Р, даёт а. Нетрудно доказать, что разность
любых двух действительных чисел всегда существует и однозначно
определяется заданием уменьшаемого и вычитаемого, а частное
существует и однозначно определяется заданием делимого и дели-
теля тогда и только тогда, когда делитель отличен от нуля.
2.	Имея уменьшаемое а = а0, Hi и2 ... и вычитаемое Р =
= &о, V1U2 •.., разность у=а—Р=с0, WiW2... можно найти после-
довательными систематическими пробами. Пусть, например, а =
= /18 = 4,242640.... 0	1,732050... Взяв с0 = а0 — Ьо =
183
= 4 — 1=3, находим 3 + (J = 4,73 ... > а, 2 + ₽ — 3,73 ... < а,
и видим, что с0 — 2; взяв далее с0, W| = 4,2 — 1,7 = 2,5 и находя
2,5 + ? = 4,23 ... < а, 2,6 -f- Р = 4,33 ... > а, устанавливаем, что
tt»i = 5; потом испытываем Co,tt’iO’2 = 4,24— 1,73 = 2,51 и убеж-
даемся, что wi = 1. Продолжая эти операции, последовательно
находим да3 = 0, ац = 5. Чтобы точно найти го5, данных цифр
чисел аир уже мало: взяв 4,24264 — 1,73205 = 2,51059, пробуем
о»5 = 9, получаем 2,51059 + Р = 4,242640... и не знаем, меньше
ли это число, чем а, или больше. Зная только те цифры чисел а и Р,
какие указаны выше, можно утверждать только то, что щ>3 = 9
или а»5 = 8, так как 2,51058 + Р = 4,242630 .. .< а, 2,51060 4* Р =
= 4,242650 ... > а.
Разумеется, этот процесс последовательного получения цифр
разности фактически проводить нет надобности, так как можно,
оперируя с неравенствами, сразу установить значение искомой
разности с максимальной точностью, допускаемой заданием а и р.
Имея в нашем примере по 6 десятичных знаков в каждом из
данных чисел а и Р, берём неравенство 4,242640 < а <4,242641,
1,732050 < р.< 1,732051, и получаем из них неравенство
4,242640— 1,732051 <а —р<4,242641 — 1,732050 или 2,510589<
< а — р < 2,510591, откуда видно, что Со = 2, W\ = 5, w2 = 1,
= 0, Wi = 5, a w^ либо 8, либо 9. Чтобы найти точное значе-
ние о>5 и последующих цифр Wo, w7>..надо знать больше цифр
в данных числах а и р.
Ясно, что знание всех цифр данных чисел а и Р позволяет
найти все цифры их разности одну за другой последовательно.
Например, если а и Р — рациональные числа, выраженные перио-
дическими дробями 42, (36) и 7, (074), то легко видеть, что а — р =
= 35,(289562). Здесь период получается как разность числа
363636 (трёхкратный период уменьшаемого) и числа 074074 (дву-
кратный период вычитаемого). Проверка переходом к обыкновен-
ным дробям подтверждает правильность полученного результата:
42,(36) - 7,(074) = 421-7^-42^-7^=35^ =
= 35,(289562).
Ещё пример: пусть а = 1,01001000100001 ... (после каждой
цифры 1 идёт 1, 2, 3, 4, и т. д. раза цифра 0), (5 = 0,3232232223...
(после каждой цифры 3 идёт 1, 2, 3, 4,... раза цифра 2). Здесь
можно получить сколько угодно цифр разности а — Р; огра-
ничиваясь десятью десятичными знаками, имеем неравенства
1,0100100010 < а < 1,0100100011, 0,3232232223 <Р <0,3232232224,
которые дают неравенство 0,6867867786 < а — Р < 0,6867867788.
Первые девять десятичных знаков разности тем самым вполне
определились, десятый — не вполне (он равен либо 6, либо 7).
Легко видеть, что разность а — р записывается посредством не-
184
ограниченного повторения группы цифр, первой из которых:
является цифра 6, последней — цифра 8, а между ними цифра 7К
повторяющаяся 0, 1, 2, 3, 4,... раз. Ограничиваясь первыми 20 де-
сятичными знаками, имеем:
а — 0 = 0,68678677867778677778 ....
3.	Тот же способ систематических последовательных проб поз-
воляет найти и частное двух произвольных действительных чисел.
Обращаясь к двойным неравенствам, существенно уменьшаем
количество этих проб. Зная, например, что а0, U1U2U3U4
< По, UiU2U3U'4> и'4 = U4 + 1 И ЧТО &о,	^3^4 < ₽ < &0,
v'4 = V4 + 1, получаем неравенство:

которое позволяет найти сразу несколько цифр искомого частного.
Ясно, что применение этого приёма позволяет найти любое число,
цифр этого частного.
Возьмём следующий пример, в котором частное наперёд из-
вестно (это послужит для проверки правильности ответа, найден-
ного общим приёмом). Пусть требуется найти высоту прямоуголь-
ника, имеющего площадь а =^~6 см = 2,4494897 ... и основание*
0 =/3 см = 1,7320508 ...
Неравенства 2,4494897 < а < 2,4494898 и 1,7320508 <0<
2,4494897 а 2,4494898
< 1,7320509 дают неравенство 1>732050Э< 0 <1,7320508 ИЛИ"
1,41421346... <4- < 1,41421350..., так что первые 6 десятич-
Р
ных знаков вполне определяются:
£ = -^£=1,414213...
₽“/3
Следующий, седьмой, десятичный знак определился не вполне-
(4 или. 5).
Взяв для проверки ]/"б: У3=|Л2, находим]/"2=1,4142135..^
Итак, искомая высота имеет {Ъ см) длину, выражаемую дей-
ствительным числом 1,4142135...
§ 4.	Множество действительных чисел как поле. Некоторые его
свойства
1.	Множество действительных чисел замкнуто относительно
четырёх арифметических действий: каковы бы ни были два
действительных числа а и Р, всегда существуют и однозначно
185.
определены действительные числа а + ?, « — ₽, а₽, а: £ (деле-
ние на нуль исключается). Поэтому множество всех действи-
тельных чисел (или континуум) представляет собой, как и
множество всех рациональных чисел, числовое поле (см. [XIII,
-6,2]).
2.	Множество действительных чисел упорядочено: каковы бы
ни были два действительных числа а и всегда имеет место одно
и только одно из трёх соотношений: либо а = 0, либо а < ₽, либо
Это множество бесконечно: в нём легко указать правиль-
ную часть, равносильную всему множеству действительных чисел.
Возьмём, например, отрезки АО и ОВ (фиг. 7), каждый длиной
по Г, и проведём перпендикуляр MN
—г	X к отрезку АВ, где М — любая точка
\ X. I между А и до пересечения с полу-
\	окружностью АО В, построенной на АВ
Х^_	/ как на Диаметре, а затем проведём
Qf	X ЛуЧ оу д0 пересечения в точке М' с
прямой О'Х', проведённой параллельно
Фиг. 7.	АВ и касающейся этой полуокружно-
сти. Каждой точке М отрезка АВ,
щаходящейся между А и В, соответствует одна и только одна
точка А!' с прямой О'Х', получаемая указанным построением,
ж обратно, каждой точке М' прямой О'Х' соответствует
-одна и только одна точка М отрезка АВ, находящаяся
между А и В и получаемая построением, понятным из чертежа.
Таким образом, множество всех точек отрезка АВ (за исключе-
нием концов А и В) и множество всех точек прямой О'Х' равно-
сильны, а потому множество действительных чисел, заключённых
между числами —1 и +1, равносильно множеству всех действи-
тельных чисел (прямые ОХ и О'Х' считаем числовыми осями с
началами в точках О и О').
3.	Бесконечное множество рациональных чисел, как мы видели
выше (см. [XIII, 3,1]), является множеством счётным, т. е. равно-
сильным множеству натуральных чисел: можно сказать, что
рациональных чисел ровно столько, сколько чисел натуральных,
-или что целочисленных точек на прямой ровно столько, сколько
рациональных, хотя между каждыми двумя целочисленными
точками числовой оси имеется сколько угодно рациональных
точек.
Оказывается, что этим свойством счётности континуум уже не
обладает. Имеет место теорема: множество действительных
-чисел неравносильно множеству натуральных чисел.
Доказательство этого утверждения легко проводится
методом от противного. Допуская, что множество всех действи-
"тельных чисел, заключённых между 0 и 1, равносильно множеству
всех натуральных чисел, составим следующую таблицу, устанав-
ливающую взаимно-однозначное соответствие между всеми после-
186
довательными натуральными числами и действительными чис-
лами, заключёнными между 0 и 1.
1 «—»О,Z\ Zi Zz ...~Zk ... = <хх
л и и It	It
2<—>0,24 z2 z3 ...zk ... =aa
3—*0,Zi z2 z3 ... zk ... =a3
4 — Q9z^z^z^ ...z^...=a4
Каждая из букв zfi означает здесь одну из цифр. Нижний
значок указывает её разряд, верхний — номер того действитель-
ного числа, которому эта цифра принадлежит. Исключается, как
обычно, равенство 9 всех цифр z^ при одном и том же п, начиная
с некоторого места (т. е. при k kQ).
Если допущение счётности множества всех действительных
чисел между 0 и 1 правильно, то эта таблица, содержащая столько
строк, сколько существует натуральных чисел, содержит все дей-
ствительные числа, большие нуля и меньшие единицы. Но легко
указать действительное число, заключённое в этих границах и не
содержащееся в таблице, притом не одно, а сколько угодно. Для
этого возьмём какую-нибудь цифру zi отличную от z\, какую-
нибудь цифру Z$9 отличную ОТ Zj2), какую-нибудь цифру 2з-
отличную от z'® и т. д., и составим действительное число а =
= O,Zj z* . Zn «... Это число отличается от каждого из чи-
сел «1, а2, «з,... ,ая,‘..., содержащихся в таблице, по крайней
мере одной цифрой: от он — цифрой первого десятичного знака,
от а2 — второго, от а3 — третьего, от ал — цифрой «энного» деся-
тичного знака. Число a — действительное число, большее 0 и
меньшее 1, но в таблице оно не содержится.
Допущение счётности множества всех действительных чисел
между 0 и 1 приводит, таким образом, к противоречию, что и
доказывает теорему.
Множество всех действительных чисел, как легко видеть,
равносильно множеству действительных чисел, заключённых
между 0 и 1, а потому оно тоже неравносильно множеству нату-
ральных чисел. Содержа в себе множество всех натуральных
чисел как правильную часть, континуум имеет более высокую
мощность (численность), чем множество всех натуральных чисел.
Можно сказать, что действительных чисел больше, чем натураль-
ных, больше, чем рациональных. Рациональных точек на прямой
ровно столько, сколько целочисленных, но меньше, чем всех точек
на прямой.
4.	Чтобы установить ещё одно важное свойство континуума,
надо ознакомиться с понятием сечения.
187
Имея какое угодно упорядоченное множество М, назовём се-
чением Дедекинда1 или, короче, просто сечением, всякое разбие*
ние этого множества на два подмножества М\ и М2 (два класса)
удовлетворяющее следующим трём условиям.
I.	Каждый элемент множества М принадлежит одному и
только одному из этих классов, первому (ЛЬ) или второму (М2).
II.	Каждый элемент первого класса Mi предшествует каждому
элементу второго класса М2.
III.	Классы Mi п М2 не пустые (имеется по крайней мере один
элемент в каждом из этих классов).
Вот несколько примеров сечений.
Взяв упорядоченное множество всех натуральных чисел, от*
несём в первый класс все числа, не превосходящие 100, во второй
класс все остальные. Получается сечение, причём первый класс
имеет как первый, так и последний элемент (1 и 100), второй же
класс имеет первый элемент 101, но не имеет последнего элемента.
Взяв упорядоченное множество всех рациональных чисел, от-
несём в первый класс все рациональные числа, меньшие какого-
нибудь одного из них, например 1, а во второй — все остальные.
Получается сечение, в котором первый класс не имеет ни первого
элемента, ни последнего, второй же класс имеет первый элемент,
а именно число 1, но не имеет последнего элемента.
Несколько меняя этот последний пример, а именно относя в
первый класс все рациональные числа, не превосходящие 1, полу-
чим сечение, где в первом классе есть последний элемент, а во
втором классе нет первого элемента.
Возьмём далее упорядоченное множество всех положительных
. „	а	*
двоичных дробей, т. е. рациональных чисел вида , где а и k на-
туральные числа, и отнесём в первый класс все такие числа,
1	тт 1
меньшие, например, —, а во второй — все остальные. Числа
о	4
1	13513579
Т ’ 16 ’ 16 ’ 16 ’ 32 ’ 32 ’ 32 ’ 32 ’ 32 и Т- Д- попадают’таким обРазом’
1 3 3 5 7 9 11 13 15
в первый класс, числа, g ,	ит.д.- во
второй. Но здесь первый класс не содержит последнего элемента,
al а 4а-4-1	1 /	al
так как если	, то у+з <з~ (из условия
следует, что За <2*, За 2* — 1, 12а + 4 2*+2, 12а -}- 3 <
4 а “|“ 111	„
<2* »	о"Ь a второй класс не содержит первого элемен-
2	.	1 а 1 а
та, так как в нем нет элемента, равного у, а если ’2*->y > то^*->
1 Рихард Дедекинд (1831—1916) — немецкий математик, автор пер-
вой строгой теории действительных чисел.
188
4 Л " * I /	П	*	л	О «	— К
> .1Л4-й > т Iиз условия -ль > -гг следует, что За > 2к, За — 1 i>2*,
2.К • о \	2г	о
12а — 4>2*+2, 12а — 3>2*+2, *a~ !> j-).
=	>	з/
Каково бы ни было сечение любого упорядоченного множе-
ства, в зависимости от наличия последнего элемента в первом
классе и первого элемента во втором классе возможны следующие
четыре случая (и только эти четыре).
Случай I. Первый класс имеет последний элемент а, второй
класс имеет первый элемент Ь.
Говорят, что в этом случае сечение обнаружило скачок в дан*
ном множестве от а до Ь. Действительно, между элементами а и ft
ни одного промежуточного в данном множестве нет. Легко ви-
деть, что всякое сечение во множестве натуральных чисел обна-
руживает в нём скачок,'а в множестве рациональных чисел скач-
ков нет.
Случай II. Первый класс имеет последний элемент а, но во
втором классе первого элемента нет.
Случай III. Первый класс не имеет последнего элемента, а во
втором классе есть первый элемент ft.
В случаях II и III говорят, что сечение определяет этот эле-
мент а (последнее число в первом классе или первое число во вто-
ром классе).
Случай IV. Первый класс не имеет последнего элемента, вто-
рой класс не имеет первого элемента.
В этом случае говорят, что рассматриваемое сечение обнару-
жило в данном множестве пробел. Так, в последнем разобранном
к 1	*
выше примере сечение, произведенное с помощью дроби обна-
ружило в множестве двоичных дробей пробел.	6
5.	Мы уже встречались с понятием множества плотного в себе
(или, короче, престо плотного), т. е. такого упорядоченного мно-
жества, в котором любые два элемента имеют промежуточный, и
множества дискретного, в котором не всякие два элемента имеют
промежуточный (см. [II, 4,4]). Мы видели, что множество нату-
ральных чисел и множество целых чисел дискретны, множество
же рациональных чисел плотно. Легко видеть, что плотное мно-
жество не может иметь скачков и что множество без скачков
плотно. Понятие скачка, обнаруживаемого с помощью сечения,
позволяет в силу этого дать другое определение свойствам дис-
кретности и плотности: множество называется плотным, если в
нём нет скачков, и дискретным, если скачки имеются.
Множество действительных чисел, как и множество рациональ-
ных чисел, свойством плотности обладает: каковы бы ни были
действительные числа а и (I > «, всегда существует промежуточ-
ное действительное число ?. В самом деле, взяв ?= (а + Р) :2,
имеем а < т < р.
6.	Упорядоченное плотное в себе множество называется не-
прерывным, если никакое произведённое в нём сечение не обнару-
живает в нём пробелов. Таким образом, чтобы убедиться в непре-
рывности какого-либо упорядоченного множества, надо доказать,
что всякое произведённое в нём сечение не даёт ни скачка, ни
пробела, а всегда определяет некоторый его элемент (последний
в первом классе или первый во втором). Так, множество двоичных
дробей, с которым мы имели дело выше, будучи плотным, не
является непрерывным.
Непрерывно ли множество рациональных чисел?
Легко указать сколько угодно сечений в множестве рациональ-
ных чисел, обнаруживающих в нём пробелы. Для этого достаточна
взять любое иррациональное число, т. е. непериодический десятич-
ный ряд а = а0, U1U2U3..., и отнести в первый класс все рацио-
нальные числа, меньшие а, а во второй все остальные. Пусть ка-
кое-нибудь рациональное число г представимо десятичным рядом
6о, W3... (периодическим). Если г < а, то при сравнении г и а
окажется, что 60 <С ао, или = «о,	< Hi, или = Но,
V2<ZU* и т. д., вообще существует пара таких цифр Vi и иi, чта
Vi < Ui, в то время как все предшествующие элементы попарна
равны: bo = а0, Vi = V2 = u2,..., 0,-1= нг-1-Если V/+ 1 <И/,
то увеличение на единицу последней цифры рационального числа
6о, ^2... даст рациональное число г7, тоже меньшее а, на
большее, чем г. Если -f- 1 = Ui, надо увеличить какую-либо иа
последующих цифр числа г, отличную от 9, и отбросить все следу-
ющие за ней (такие отличные от 9 цифры найдутся, так как случай
периода из одной цифры 9 исключён). Это даст нам рациональное
число г7, меньшее, чем а, а потому тоже принадлежащее первому
классу, но большее, чем г. Таким образом, последнего числа в пер-
вом классе быть не может. Подобным же образом докажем, чта
для всякого рационального числа R, большего а, можно указать
другое рациональное число 7?7, меньшее 7?, но тоже большее а;
само это число а, будучи иррациональным по условию, множеству
рациональных чисел не принадлежит. Следовательно, во втором
классе первого (наименьшего) числа быть не может. Сечение мно-
жества рациональных чисел с помощью любого иррационального
числа обнаруживает в этом множестве пробел.
Итак, множество рациональных чисел, будучи плотным, непре-
рывностью не обладает.
7.	Теорема. Множество действительных чисел непрерывно.
Чтобы доказать это, положим, что в множестве действитель-
ных чисел произведено какое-нибудь сечение. Это сечение будет
в то же время и сечением в дискретном множестве целых чисел,
а потому найдётся такое целое число а0, принадлежащее первому
классу, что ао + 1 принадлежит второму классу. Присоединим к
этим двум целым числам ао и Оо+1 ещё числа ао,1; ао,2;...;
ао, 9. Среди этих 11 рациональных чисел ’ найдётся такое числа
И = а0, in, принадлежащее первому классу, что следующее за ним
190
число 7?i=ao, w'i, где iz'i = i/i 1, принадлежит уже второму-
классу. Присоединяем к этим двум числам гх = а0, щ и /?i = aQt и'х
ещё 9 чисел aQ, u{U2, где U2 = 1, 2, 3,..., 9, находим из этих 11 чи-
сел такое число Гг = До, принадлежащее первому классу^
что следующее за ним число R2 = во,#!#'?» ^'2 = ^2+ 1, принад-
лежит уже второму классу. Повторяя эти операции, получим, как
легко видеть, двойную сходящуюся последовательность рацио-
нальных чисел (п,/?1), 1=1, 2, 3,..., определяющую действи-
тельное число а = а0,	• • • • Это число а принадлежит одному
из классов; если первому, то оно будет там наибольшим, если
второму, то оно будет там наименьшим. Таким образом, всякое
сечение во множестве действительных чисел определяет некоторое-
действительное число; пробелов в нём нет, а потому это множество»
непрерывно.
§ 5.	Извлечение корня
1.	Определение. Извлечь корень степени п, где п — любое
натуральное число, большее 1, из данного числа а — значит найти
такое число Ь, n-ая степень которого равна а. Короче: У а = 6>
если Ьп= а.
Натуральное число п называется показателем корня, а — под-
коренным числом или, короче, просто подкоренным, знак —
знаком радикала или просто радикалом, число b = у а — корнем
степени п из а.
2.	Во множестве натуральных чисел корень существует далеко*
не всегда. Так, например, существует^ 1 = 1, существует 32 =
= 2, но натурального числа, равного у 2, не существует. Если же-
натуральное число, представляющее собой корень степени п из
натурального числа а, существует, то оно единственно: из неравен-
ства 61 < 62 следует неравенство 6? < В случае существо-
вания натурального числа Ь, обладающего тем свойством, что
Ьп = а, говорят, что натуральное число а есть «точная энная сте-
пень» (при п = 2 — «точный квадрат», при п — 3 — «точный
куб», при п = 4 — «точный биквадрат»). Например, числа 1, 4,.
9, 16, 25,... являются точными квадратами, а числа 2, 3, 5, 6, 7„
8, 10,... ими не являются. Подобным же образом и рациональное*
число называется «точной энной степенью», если существует ра-
циональное число, энная степень которого равна данному рацио-
_	64
нальному числу. Так, число является точным кубом, так как.
существует рациональное число, а именно -=-, куб которого равен?
64	5
, но это последнее число не является, как легко видеть, точным:
1
квадратом.
191
3.	Во множестве рациональных чисел дело с существованием
корня обстоит несколько иначе, чем во множестве натуральных
чисел. Легко убедиться в истинности следующих утверждений:
а)	Если а — рациональное неотрицательное число, корень
чётной степени п из а существует тогда и только тогда, когда а
есть точная энная степень: в этом случае существуют два взаимно-
противоположных значения корня а и—j/ а\корень чётной
.степени из отрицательного числа среди действительных чисел не
существует.
Например, 0,49 существует и имеет два значения: +0,7 и
—0,7, так как 0,72 = 0,49, а корень четвёртой степени из этого
_же числа 0,49 не существует (среди рациональных чисел). Не
существует и квадратный корень из —1 (ни среди рациональных,
ни среди действительных чисел).
б)	Корень нечётной степени из рационального числа а сущест-
вует и имеет единственное значение тогда и только тогда, когда а
есть точная энная степень, в противном случае не существует
^среди рациональных чисел).
Например, 243 = 3,	—243 = —3, так как З5 = 243,
W
(—3)5 = —243, а]/ — не существует (среди рациональных
чисел).	У
Доказательство всех этих утверждений так просто, что чита-
тель не затруднится провести их самостоятельно.
Если подкоренное а > 0, то под знаком а обычно понимают
только положительное значение корня степени п из а (если оно
•существует) и называют это число арифметическим значением
корня. Всякий раз, когда арифметическое значение корня суще-
ствует, оно единственно.
4. Переход от чисел рациональных к числам действительным
делает всегда разрешимой задачу извлечения корня любой сте-
пени из любого натурального и любого рационального неотрица-
тельного числа. Если ограничиваться только неотрицательными
значениями, задача эта всегда имеет только одно решение.
Теорема. Каковы бы ни были натуральное число п^2и ра-
циональное неотрицательное число а, всегда существует одно и
только одно действительное (рациональное или иррациональное)
неотрицательное число, представляющее собой арифметическое
значение корня степени п из а.
Доказательство проведём для частного случая, когда
л = 3, а = 10, но оно применимо для любого натурального зна-
чения п 2 и для любого рационального и даже любого действи-
тельного положительного значения а (при а = 0 корень равен 0).
Чтобы доказать существование корня степени 3 из числа 10,
<5удем фактически вычислять цифру за цифрой бесконечной деся-
тичной дроби, обладающей тем свойством, что её куб равен 10.
192
Замечая, что 23 = 8 < 10, а З3 = 27 > 10, заключаем, что
2	10 <3, и что целая часть искомого корня, следовательно,
есть 2. Находя далее 2,13 = 9,261 и 2,23 = 10,648, убеждаемся, что
2,1 < /ЧО < 2,2 и что тем самым установлена цифра десятые,
равная 1. Вычисляя далее 2,113, 2,123,..., находим 2,153=*
= 9,938375, 2,163 = 10,077696, а потому 2,15 < у'ТО < 2,16;
таким образом, мы установили, что цифра сотых есть 5. После
этого находим кубы чисел 2,151, 2,152,... и получаем неравен-
ства 2,1543 = 9,993 < 10, 2,1553 = 10,007 ... > 10, показывающие,
что цифра тысячных есть 5. Ясно, что эти операции можно повто-
рять без конца, получая тем самым двойную сходящуюся последо-
вательность десятичных приближений или, что то же, бесконеч-
ный десятичный ряд (бесконечную десятичную дробь) 2,155...,
которая и выражает кубический корень из числа 10. Поскольку
всё это рассуждение с надлежащими изменениями применимо ко
всякому рациональному положительному (и даже ко всякому
действительному положительному) значению подкоренного а и ко
всякому натуральному значению показателя корня п 2, теорему
о существовании корня любой степени из любого рационального
положительного (и даже любого действительного положитель-
ного) числа можно считать доказанной. Единственность корня
сразу вытекает из монотонности произведения положительных
чисел: если бы существовали два неравных числа, представляю-
щих собой значения корня степени п из а, положим b и b\ > b > 0,
то мы имели бы также неравенство Ь*>Ьп, т. е. а^>а, что
нелепо.
Тот способ получения последовательных цифр корня, какой
был применён в только что проведённом рассуждении, весьма
громоздок. На практике применяются другие, быстрее приводя-
щие к цели способы: применение особых правил извлечения корня
из числа, записанного в десятичной системе счисления, использо-
вание специальных таблиц, применение графиков, приборов,
машин.
Итак, переход от множества рациональных чисел к множеству
действительных чисел делает однозначно разрешимой во всех
случаях без исключения задачу получения арифметического зна-
чения корня любой степени п > 2 из любого рационального неот-
рицательного (и даже любого действительного неотрицательного)
числа. Извлечение корня чётной степени из отрицательного числа
оказывается невыполнимым и после этого перехода: не суще-
ствует действительного числа, которое после возведения в чётную
степень давало бы отрицательное число. Чтобы сделать выполни-
мым извлечение корня и в этом случае, надо от чисел действи-
тельных перейти к числам комплексным, которых мы в настоящем
курсе не рассматриваем (их изучение ведётся в курсе высшей
алгебры).
13 В. М. Брадис
193
§ 6. Числа алгебраические и трансцендентные
1.	Всякое действительное число является либо рациональным,
целым, или дробным, либо иррациональным, представимым бес-
конечным десятичным непериодическим рядом (бесконечной деся-
тичной непериодической дробью). Каждое рациональное число
либо является натуральным, либо может быть получено из нату-
ральных посредством действий вычитания или деления (или и
вычитания и деления). Действие извлечения корня из положи-
тельных рациональных чисел приводит во многих случаях к чис-
лам иррациональным. Как мы сейчас убедимся, четырёх арифме-
тических действий (сложения, вычитания, умножения, частным
случаем которого является возведение в степень с натуральным
показателем, и деления) и пятого действия — извлечения корня —
ещё недостаточно, чтобы в результате конечного числа операций
над натуральными числами получить произвольно заданное дей-
ствительное число.
Будем рассматривать как особого рода новое действие опера-
цию решения относительно х уравнения вида
aQxn +	+ ... + Qn-i* + ап = О,
в котором показатель п — любое натуральное число, а коэффи-
циенты а0,	..., ап-г9 ап— целые числа, причём ао#О, т. е.
разыскание такого действительного значения х, которое, будучи
поставлено в левую часть уравнения, приводит к тождеству 0 = 0.
Каждое такое уравнение будем называть «алгебраическим урав-
нением степени п с целыми коэффициентами». Оказывается, рас-
смотрение таких уравнений позволит установить классификацию
иррациональных чисел и вместе с тем даст новую классификацию
всех действительных чисел.
В основу кладём следующее определение: действительное
число, удовлетворяющее некоторому алгебраическому уравнению
степени п с целыми коэффициентами и не удовлетворяющее ника-
кому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами сте-
пени ниже п, называется алгебраическим числом степени п.
Выясним, что представляют собой действительные числа по-
рядков 1, 2, 3, 4, 5 и выше.
2.	При n= 1 имеем уравнение 1-й степени («линейное урав-
нение») с целыми коэффициентами
аох +	= 0.
(1)
Оно имеет единственный корень х = —fli : aQ, представляющий
собой рациональное число. С другой стороны, любое рациональ-
а	и
ное число у, где а — произвольное целое, о — произвольное
натуральное число, можно рассматривать как корень алгебраиче-
ского уравнения первой степени с целыми коэффициентами, а
именно уравнения Ьх + (—л) = 0. Итак, множество всех алгеб-
194
раических чисел первого порядки есть не что иное, как множество
всех рациональных чисел. Всякое алгебраическое число первого
порядка рационально, всякое рациональное число есть алгебраи-
ческое число первого порядка.
3.	Почти столь же просто решается вопрос о том, что пред-
ставляют собой алгебраические числа второго порядка. При
ц = 2 имеем квадратное уравнение с целыми коэффициентами
а0х2 + ахх + а2 = 0,	(2)
два корня которого выражаются формулой х = (—а^ +	Л): 2ао>
где А = a2i — 4aQa2. Если А < 0, уравнение (2) действительных
корней не имеет. Если А — натуральное число, представляющее
собой точный квадрат, или 0, корни уравнения (2) — числа ра-
циональные, т. е. алгебраические числа первого порядка. Эти
корни являются алгебраическими числами второго порядка тогда
и только тогда, когда число А есть натуральное число, отличное от
точного квадрата.
Будем называть «квадратичной иррациональностью» всякое
число, представляющее собой сумму или разность одного рацио-
нального числа и одного иррационального, получаемого посред-
ством извлечения квадратного корня из рационального числа.
Множество всех алгебраических чисел второго порядка есть не
что иное, как множество всех квадратичных иррациональностей.
Действительно, легко убедиться, а) что всякое алгебраическое
число второго порядка можно привести к виду г±РГгь где г и
ri —рациональные числа, у'п — иррациональное число, а потому
всякое алгебраическое число второго порядка есть квадратичная
иррациональность, б) что всякая квадратичная иррацио-
нальность х = г + Г\ есть корень квадратного уравнения
(х — г)2 = п с рациональными коэффициентами, которое после
почленного умножения на НОК знаменателей коэффициентов
становится алгебраическим уравнением второй степени с целыми
коэффициентами, и в) что всякая квадратичная иррациональ-
ность не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению
первой степени с целыми коэффициентами, так как корни всех
таких уравнений рациональны.
4.	Несколько сложнее обстоит дело с алгебраическими чис-
лами III порядка. Нетрудно доказать, что всякое число вида
3/—
х=у г, где г — рациональное число, отличное от точного куба,
есть алгебраическое число III порядка. Действительно, число
х=у'г есть корень кубического уравнения х3— г = 0, которое
после умножения на знаменатель числа г становится уравнением
с целыми коэффициентами. С другой стороны, иррациональное
число у г не может удовлетворять никакому алгебраическому
уравнению 1-й степени с целыми коэффициентами, так как корни
всех таких уравнений рациональны, и никакому алгебраическому
13
195
уравнению второй степени с целыми коэффициентами, так как
корни всех таких уравнений — квадратичные иррациональности,
*	—	। г—
а допущение равенства!/ г = п + у г2 приводит к противоречию:
возведение этого равенства почленно в куб позволяет выразить
у'г2 рационально через г и и.
Итак, всякое иррациональное число вида г, где г рацио-
нально, есть алгебраическое число III порядка, но множество
алгебраических чисел III порядка числами вида у г далеко не
исчерпывается. Например, как легко убедиться, число х =
=Z3 4-j<8+y 3^ У 8 удовлетворяет кубическому уравнению
х3 — Зх — 6 = 0 и не удовлетворяет никакому алгебраическому
уравнению 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами, но его
нельзя представить в виде кубического корня из рационального
числа.
Основываясь на том, что даётся в курсе высшей алгебры,
можно доказать, что всякое алгебраическое число III порядка
можно получить из натуральных чисел, выполняя, кроме конеч-
ного числа рациональных действий (сложения, вычитания, умно-
жения, деления), не более одного извлечения квадратного корня
и не более двух извлечений кубического корня.
5.	Подобным же образом решается вопрос и об алгебраиче-
ских числах IV порядка. Можно доказать, что всякое такое число
получается в результате выполнения над целыми числами рацио-
нальных действий и не более двух извлечений кубического корня,
а также не более трёх извлечений квадратного корня.
6.	С алгебраическими числами V порядка дело обстоит суще-
ственно иначе. Хотя извлечение корня 5-й степени позволяет по-
лучить сколько угодно алгебраических чисел V порядка, как,
5/^
например, число у 2, но доказано, что существуют и такие алгеб-
раические числа V порядка, которые нельзя выразить с помощью
конечного числа рациональных действий и извлечений корня
какой бы то ни было степени. Например, таковы алгебраические
числа, представляющие собой корни уравнения х3 — 5х — 5 = 0
(это доказано, например, в книге Н. Г. Чеботарева «Основы тео-
рии Галуа», часть 1, стр. 129, изданной ГТТИ в 1934 г.). Это
обстоятельство, однако, отнюдь не препятствует возможности вы-
числения корней этого уравнения со сколь угодно большим чис-
лом десятичных знаков. Применяя тот же примитивный способ
систематических проб, что и выше [XIV, 5, 4], легко установим,
например, что одно из алгебраических чисел V порядка, удовле-
творяющих этому уравнению, есть 1,680....
Всё сказанное об алгебраических числах V порядка сохраняет
силу с надлежащими исправлениями и для алгебраических чисел
порядка VI и выше. В то время как алгебраические числа I по-
рядка представляют собой не что иное, как рациональные числа.
196
а алгебраические числа II, III, IV порядка можно получить из
натуральных чисел посредством рациональных действий и немно-
гих извлечений корней квадратного и кубического, алгебраические
числа порядка V и выше далеко не всегда можно получить по-
добным путём, каковы бы ни были показатели извлекаемых кор-
ней (но всегда можно получить посредством решения соответ-
ствующих уравнений).
7.	Естественно возникает вопрос: является ли каждое действи-
тельное число алгебраическим числом некоторого определённого
порядка, или существуют действительные неалгебраические
числа? Не вдаваясь в детали этого трудного вопроса, отметим
только результат его решения.
Можно доказать, что множество всех алгебраических чисел
счётно, т. е. равносильно множеству всех натуральных чисел,
множество же всех действительных чисел несчётно. Отсюда сле-
дует, что существуют такие действительные числа, которые не
являются алгебраическими. Действительные неалгебраические
числа называются трансцендентными.
Доказано, что число х (выражающее отношение длины окруж-
ности к длине её диаметра) есть число трансцендентное. Таким
образом, это иррациональное число не может быть вычислено как
корень алгебраического уравнения с целыми коэффициентами,
какова бы ни была степень уравнения. Точно так же трансцен-
дентным является и неперово число е, определяемое как предел
(1 V
1 + — I при оо и рассматриваемое на первых шагах при
изучении математического анализа. Указано ещё бесконечно
много других трансцендентных чисел, т. е. указаны операции, к
ним приводящие. Приводим ниже один пример, имеющий непо-
средственную связь со школьной математикой.
8.	Советский математик А. О. Гельфонд, родившийся в 1906 г.,
доказал в 1936 г., что трансцендентными являются все действи-
тельные числа вида в^, где а и 0 — алгебраические числа, причём
а отлично от 0 и 1, £ иррационально. Напоминаем, что возведение
числа в степень с иррациональным показателем определяется как
разыскание предела, к которому стремятся числа с рациональ-
ными показателями, стремящимися к этому иррациональному по-
казателю. Например, число 2^ определяется как предел последо-
вательности 2!=2, 21Л=|/~214, 21Л,=1 }^”2*41, 2I’414==1°j//~21414,... .
Согласно теореме Гельфонда, это число трансцендентно. Доказав
свою теорему, Гельфонд решил задачу, поставленную ещё в
1900 г. и получившую широкую известность под названием «седь-
мой проблемы Гильберта». Задача эта оказалась столь трудной,
что в течение 36 лет она не поддавалась решению, хотя над ней
работали весьма многие крупнейшие математики всего мира.
Отметим одно следствие теоремы Гельфонда, представляющее
интерес для школьного курса математики. Что представляет
197
собой, например, десятичный логарифм числа 2? Легко видеть, что
1g 2 — число иррациональное: если бы 1g 2 был равен рациональ-
а	-
ному числу у, то мы имели бы равенство 10* =2 и равенство
10е = 2* при натуральных значениях показателей а и Ь. Но легко
видеть, что такого равенства быть не может: число 10 во всякой
степени а является числом с последней цифрой 0, число же 2*
может оканчиваться только одной из цифр 2, 4, 8, 6. Доказав ир-
рациональность числа 1g 2, ставим вопрос о том, является ли эго
число алгебраической или трансцендентной иррациональностью.
Если бы число 1g 2 представляло собой алгебраическую иррацио-
нальность, то число 101*2 в силу теоремы Гельфоида было бы
трансцендентным, в то время как оно есть не что иное, как 2.
Следовательно, число 1g 2 трансцендентно. Трансцендентными же
являются и все иррациональные десятичные логарифмы рацио-
нальных чисел.
Для дальнейшего знакомства с алгебраическими и трансцен-
дентными числами можно рекомендовать главу VI статьи проф.
А. Я. Хинчина, напечатанной в книге 1 «Энциклопедии элементар-
ной математики», вышедшей в издании ГТТИ в 1951 г.
§ 7. Понятие о других способах изложения теории
действительных чисел
Существует целый ряд способов изложения теории действи-
тельных чисел. Обзор этих способов можно найти в книге профес-
сора Казанского Университета А. В. Васильева «Введение в ана-
лиз», выпуск II, «Обобщение понятия о числе», 1910 г.
Наиболее распространена теория Р. Дедекинда, исходящая из
понятия сечения во множестве рациональных чисел и излагаемая
во многих учебниках математического анализа и теории функций
(например, в книге академика Н. Н. Лузина «Теория функций
действительного переменного», выпущенной Учпедгизом в 1948 г.).
Было много попыток так изложить теорию Дедекинда, чтобы она
стала доступной для средней школы, но достичь этого не удалось.
Значительно ближе к школьному курсу математики стоят тео-
рии действительных чисел, данные Мере и Георгом Кантором.
Вполне доступное учащимся старших классов, но безупречно стро-
гое изложение теории действительных чисел, основанное на идеях
Мере—Кантора, имеется в книге члена Академии педагогических
наук А. И. Маркушевича «Действительные числа и основные прин-
ципы теории пределов», выпущенной издательством Академии
педагогических наук РСФСР в 1948 г.
В советской средней школе принято определение действитель-
ного числа с помощью бесконечной десятичной дроби (десятич-
ного ряда). Этот способ изложения теории действительных чисел
был разработан известным автором стабильных учебников мате-
198
матики А. П. Киселёвым (см., например, его брошюру «Иррацио-
нальные числа, рассматриваемые как бесконечные десятичные
непериодические дроби», изданную кооперативным товариществом
«Начатки знаний» в 1923 г. в Петрограде), а до него — профессо-
ром Петербургского Университета Д. Селивановым в брошюре
«Бесконечные десятичные дроби и иррациональные числа», 1907 г.
и другими авторами.
Весьма близко к теории действительных чисел как бесконеч-
ных десятичных дробей подходит изложение в книге К. Фербер
«Арифметика» (развитие понятия числа), русский перевод которой
был издан Государственным издательством в 1925 г.
Плодотворное сближение вопросов измерения геометрических
величин и вопросов теории действительных чисел проведено в
книге Г. Лебег «Об измерении величин», русский перевод которой
был выпущен Учпедгизом в 1938 г.
Данное выше (в главах XIV и XV) изложение элементов тео-
рии действительных чисел в некоторых отношениях примыкает к
тому, что содержит статья профессора П. С. Александрова и ака-
демика А. Н. Колмогорова «Иррациональные числа», напечатан-
ная в № 3 журнала «Математика в школе» за 1941 г.
ТАБЛИЦА
наименьших простых делителей натуральных чисел, меньших 15000,
не кратных 2, 3, 5 (объяснение см* на стр* 73)
	1	7	11	13	17	19	23	29			1	7	11	13	17	19	23	29
0	*									1530				29	23			7						
30		—	—	—	—	7	—	—		1560	7	——	—	11	19	—			7
60	—	—	—	—	7	—-	—	—		1590	37	—	—	7	—	—			
90	7							7		1620	—	—	7	23	—	11	31	17
120	11	—.	—	7	—	—	11	—		1650	13	—	11	—-	—		7	23
150	—	—	7	—	—	13	—	—		16S0	41	7	19			—.	—	13	—
180	* —	11	—	—			7	11		1710	29	17	—		11	7			37
210	—	7	13	—	—	—	—	—		1740	—	—-ь	17	__	7	—	41	29
240	—	13	—	11		7	——	—		1770	7	—-	13	—	—	—	11	7
270	—-	—		—	7	17	—	13		1800	—	13	—	7	23	17	—	31
300	7	—	—	—	—	11	17	7		1830	—	11	7	19		43	17	11
330	—	—	11	7	—	—,	—	—		1860							7	—
360	19	—	7	—.	13			—	—		1890	31	7			11	—	23			19
390	17	—	—	13	11	—.	7	—.		1920	17	41				13	7	29	—
420	—	7	—	—	19	—	—	—-		1950		19	37	13	7	11			—
450	11	—	—	—	—	7	11	—		1980	7	—	11	—	—	—	—	7
480	13	—	—.	17	7	—				2010			—~	43	7	—	—	19	—
510	7	11	—.	—	17	23	13	7		2040	13	23	7			И	29			—
540	—	—-	19	7	—	13		—		2070	19	31	—			—	—	7	—
570	—		7	11	—	19	—			2100	11	7					29	13	11	—
600	—	—	13	—	—	—.	7	17		2130	—	—	—	—	19	7			17
630	—	7	—	—	—	11	—	—		2160	—	11	13	41	7	—	37	И
660	—	23	И	—	—	7	—	13		2190	7	13	31	—.	—	47	—_	7
690	—	17	—	19	7	—	23	—		2220	—	17	23	7	—	—			13
720	7	—	17	—	11	—	—	7		2250	—	37	7	31	—	—	—	43
750	—	—	—	7	13	—	—	19		2280	—	——	29	—	—	11	7	—
780	11	—	7	13	—	17	11	—		2310	—	7	11	23	13	17			—
810	—	19	—	—	—	—	7	—		2340	—	—	—	13	—	7	17	23
840	29	7	23	—	——			—	11		2370		—	—	—	7	—	—	—.
870	13	—		—	—	7	19	29		2400	7	29	—	19	—	41	—	7
900	17	—	—	11	7	—	13	—		2430	И	—	——	7	—	31	11	—
930	7	—	—	23	—	13	—.	7		2460	23	—	7			—	37	13	19
960	31	—		7			11	—	23		2490	47	11	41			23	13	7	11
990	—		7	17	19		—	—		2520	—	7	—	17	43	—	—	—
1020	—	13	—	—	17	—	7	—		2550	—	—	13	11	17	7	31	—
1050	—	7	—	—	11	—	29	13		2580	29	13	—		7	23	19	—
1080	23	—	—	—	—	7	—	—		2610	7	—	—	43	37	И	—	7
1110	11	—	19	—	7	—	11	17		2640	19	—	11	7	—	—	—	17
1140	7	31	—	—	13	19	—	7		2670	—	—	7	—	—	—.	—	—
1170			11		7	—	29	—	11		2700	37	—	—	—	И	—	7	—
1200	—	17	7	—		23	—	——		2730	—	7	—	13	41	—	—	31
1230	—		17	11	29		7	—		2760	11	—	17	47	—	7	11	—
1260	13	7	31	19	—		—	—		2790		—	—	—	7	53	29	—
1290						7	13	—-		2820	7	И	19	—	—	17	—	7
1320	—	—.	11	31	7	13	17	19		2850	—	—	—	7	47	19	13	—
1350	7	23	—	29	—	37	—-	7		2880	43	—	7	11	—	13	—	—
1380	—	19	13	7	И	—	23	—		2910	41	—.	23	37	—	29	7	—
1410	17	13	7							2940	17	7	13	—	—	11	—	—
1440	11	—-	—	—	31	—	7	13		2970	—	13	11	19	29	7	41	—
1470	—	7	—	—	—	—	—	——		3000	—	31	—-	23	7	—	—.	13
1500	19	11	—	17	37	7	—	11		3030	7	—	—	17	11	—	43	7
200
	1	7	11	13	17	19	23	29
3060					37	7	17				—
3090	11	19	7	29	13	—	11	—.
3120	—	53	31	13	—	43	7	47
3150	23	7	29	—	—	—	19	11
3180	—	——	—	31	23	7	—	—
3210	13	—	—	11	7	~х	53	41
3240	7	17	—	—	—	—	13	7
3270	-—	29	17	7	19	11	37	—
3300	—	—-	.7	—	31	—	—	—
ЗЗсО	—	47	13	—	—	17	7	—
3360		7	—	—	11	31	17	—
3390	—	43	19	41	—	7	—	13
3420	11	23	47	—	7	19	11	—.
3450	7						23	7
3480	59	11	—	7	13	—	31	11
3510	—		—	7	13					—	——
3540	—	—	53	11	—			7	43
3570	—	7	—	—	17	37	—	59
3600	13	—	23	—	—	7	 —	19
3630	х_	—	11	—	7	41	13	
3660	7	19		—-	—	13	29	7
3690	—		—	7	11	—	47	—
3720	61	—	7	—	37	—	19	23
3750	11	13			53	——	—	7	—
3780	19	7	17	—	—	29	—	13
3810	37	11	—	>—	43	7	—	11
3840	23	—-	—	—	7	17	—-	53
3870	7			—	11	13	—-	17	7
3900	47	—	—-	7	—	—	—	—
3930	—	31	7	—	—	11	59	37
3960	17	—	11	29	41	23	7	—
3990	13	7	—	—	—	19	—	—
4020		—	29	37	11	7	13	—
4050	—-	—	31	17	7	13	—	
4080	' 7	61	—	—	17	—-	11	7
4110	—	23	13	7	—	—	—*	—
4140	41	11	7	—	—	—	23	11
4170	43	—	37	47	53	59	7	13
4200	—	7	—	11	—				41	—
4230	—	19	—	—-	31	7	—	—
4260	—	17	—	—	7	11	—	—
4290	,7		11	13	59	31	19	7
4320	29		-	61	7	—	—	43	—
4350	19	—	7			11	17	—	29
4380	13	41	—	23	—	53	7	—
4410	11	7	—	—.	19	43	И	23
4440	—	—			61	—	7	—	41
4470	17	11	—	—	7	67	—	11
4500	7	—	13			—	—	——	'7
4530	23	13	19	7	—			29	47
4560	—		7	17	23	19	х—	13
4590	—.	—	43	—	17	11	7	31
4620	—	7	11	41			—			
4650	—	—	59	—	13	7				
4680	31	43	—	13	7	37	—	17
	1	7	11	13	17	19	23	29
4710	7	53	-	-	29		--	7
4740	11	47	—	7	67	—.	11	19
4770	13	17	7					
4800	—	И	17	—	——	61	7	11
4830	—	7	47	29	37	13	23	43
4860	—	31	—	11	——	7	19	—.
4890	67	59	13	—	7	«м	17	XX.
4920	7	13	—	—	——	11		7
4950			—-	11	7	—	—	—	13
4980	17	—	7	—.	19	—	~х	—-
5010	—	29	—	—	11	47	7	—
5040	71	7	—	31	13	—	61	37
5070	11	—		13	—	7	11	хх
5100	—-	—	19	—-	7	—	47	23
5130	7	11	53	37	—	19	—-	7
5160	13		—	7	31	—	71		
5190	29		7	11	41	—	13	17
5220	23	—	—	—	—	13	7	29
5250	59	7	—	19	23	11	—	XX.
5280	—	17	11	67	—	7			—
5310	47	13	17			7	73	—.	19
5340	7	—	—	53	11	23	31	7
5370	41	19	—	7	—	17	——	—
5400	11	—	7			—	—	11	61
5430	—	—	—			13	—	7	53
5460	43	7	—	13	—	—	—	11
5490	17	23	—	—	—	7	37	—
5520	—	—	—	11	7	29	23	31
5550	7	—	67			19	—	—	7
5580	—	37		7	29	11	13	71
5610	31	41	7			17	13	43	XX
5640							7	—
5670	53	7	13	—	11	—	—	41
5700	—	13	——	29	—	7	59	17
5730	11	—				7	—	11	13
5760	7	73	29	23	53	—	—	7
5790	—	11	—	7	——	37	—	11
5820		—	7	19	13	—	—	—
5850	—	—	—	11		——	7	—
5880	—	7	43	71	—	17		19
5910	23	61	31	—	—	7	17	XX
5940	13	19	11	—	7	59	67	47
5970	7	43	——	31	—-	53	13	7
6000	17	—			7	11	13	19		
6030	37	—	7	—	—	23	—	73
6060	11	—	13	—	59	—	7	XX
6090	—.	7	—	17	31	41	—	29
6120	—	И	—	—	17	7	—	11
6150		47	61	—	7	31	—	37
6180	7	23	41	11			—	—	7
6210			—	—	7	13	—	23	17
6240	79	—	7	13	—-	11	—	XX
6270	—	—	11	61		19	7	—•
6300	—	7	—	59	—	71	—	XX
6330	13	—	17	—	11	7	—	—
201
	1	7	11	13	17	19	23	29
6360					23			7			13		
6390	7		37	19	43	13	11	7
6420	—			59	7	41	47	17		
6450	—	11	7	23	29	—	—	11
6480	—	13			43	73	67	7	23
6510	17	7			11	61	—	47	13
6540	31	—	—	—	79	7	—	—
6570	—		—	29	7	И	19		
6600	7			11	17	13	«м*	37	7
6630	19			29	7	17	61					
6660	—	59	7			И	—	41		
6690	—	37					19	—	7		
6720	11	7	53	—	—	23	11	17
6750	43	29	—	—	67	7	13	—
6780	—	11	—	—	7	13	—.	11
6810	7	17	19	—			—	—-	7
6840	—	41	13	7			19			
6870	—-	13	7	—	71	83	61		
6900	67	—			31	—	И	7	13
6930	29	7	11	53			17			
6960	—			—.	19	—	7	—	29
6990			—	47	7	43	—	—.
7020	7		79	13	31	—			7
7050	11			23	7	37	—	11		
7080	73	19	7	41	47	31				
7110	13	11			17			—	7	11
7140	37	7	—	23	17	—	13	67
7170	71			43	11	—	7	—	23
7200	19					7		31	—
7230	7			13				11	—	7
7260	53	13	11	7	19	29	—	37
7290	23			7	67		—	71	13
7320		17	—			11	41	7		
7350		7	17	37	53	——	73	47
7380	и	83	19	—.	13	7	11	31
7410	—	—	41	13	7	17	—	43
7440	7	11			29			__	17	7
7470	31			—	7			—	59		
7500	13			7	11			73	—		
7530	17			—	19	—	—	7	—
7560	—	7	67	—	—	11	—		
7590	—	71	11	—	—	7	23	19
7620	—	29	13	17	7	—		—
7650	7	13	47	79	11	—		7
7680							7	43					13
7710	11			7	—	—	59	11	71
7740	—	61	23	—	—	—	7	17
7770	19	7	31	43	13	«мм»	—	11
7800	29	37	73	13	—	7	—	—-
7830	41	17		11	7	47	_—	29
7860	7		17	—_	—	—	—	7
7890	13	53		7	__	11	41		
7920	89				7			—	17	13		
7950	—	73	19			31	13	7	79
7980	23	7	61	—	11	19	53	—
	1	7	11	13	17	19	23	29
8010				13	71	23	7	29		
8040	11	13	83		7			11	
8070	7	41	—	59	—			—	7
8100	—	11	—	7	—	23	—	11
8130	47	79	7	17	—	29	31	41
8160		—	—	11	13			7	19
8190	—	7	59	13	29			43	
8220	—	19	—	—-	—	7			73
8250	37	23	11	—	7					17
8280	7	—	—	—	—	43	19	7
8310	—	—	53	7	11	——	13	31
8340	19	17	7			61	13			—
8370	11	—.	17	83	—	—	7	37
8400	31	7	13	47	19	—	—	—
8430	—	11	23	—	—	7	79	11
8460	—	—	43	37	7	61	17	13
8490	7	29	—	11	47	67	—.	7
8520			—.	19	7	—	—	—	83
8550	17	43	7	—	13	11	——	23
8580	—	31	11	13	—	—	7	—
8610	79	7	37	—	——	—	89	53
8640	—-			41	17	11	7	—	
8670	13	—		19	7				—
8700	7	—	31	—	23	—	И	7
8730	—	—	—	7	—	13	—	19
8760	—	11	7	31	67	—	—	11
8790	59	19	13		—	23	7	
8820	—	7		11	—	—	37	—
8850	53	17	—		—	7	19	13
8880	83	—	17	—	7	11	29	59
8910	7	37	И	—	79	—			7
8940	—	23	—	7	13	17	—	—-
8970	—	47	7	13	11	89	17	
9000			—	—.	—	71	29	7	—
9030	11	7	—			83			11	—
9060	13	—	47	43	29	7	31	61
9090	—	11	19		7			13	11
9120	7	—-	23	—	—	13	41	7
9150	—	—	—	7	89	53	—	67
9180	—	—	7	29	17	—			—
9210	6L	13	—	23	—	11	7	—
9240			7	11	19	—	47	59	13
9270	73			—	——.	37	7	—	17
9300	71	41	—	67	7					19
9330	7	—.	—	—	13			47	7
9360	11	17			7	—	83	И	41
9390	—.			7	—	23	97	—	—
9420	—	11	—	—-	—	—	7	11
9450	13	7	—	—	——	17			—
9480	19	53	—	11	—	7	13	37
9510	—-	31	—	89	7	13	—-	—
9540	7	—	—.	41	19	11	73	7
9570	17	61	11	7		43	53	29
9600			13	7	—	59			—	—
9630	—	23	31	—	И	—	7	13
202
	1	7	и	13	17	19	23	29
9660		7	19	17					23		
9690	11	—	89	31	17	7	11	—
9720	—.	71	37	—	7	—		—
9750	7	11	43	13			—-	29	7
9780	—	—	—	7	97	41	—	17
9810		—	7	11	31	—	—	—
9840	13	43	—	59	—	—	7	71
9870	—	7	41	—	—	11	13	__
9900	—	—.	11	23	47	7		
9930		19	—	61	7			37	23
9960	7	—	13	—	11	17	67	7
9990	97	13	73	7	—	—-	17	43
10020	11	37	7	79			11	13
10050	19	89			29	——			7	—
10080	17	7	—	—	23	—	—	11
10110	—	67	29	53	13	7	—	—
10140	——	73	—	11	7	—			—
10170	7	—	—	17	61	23	—	7
10200	101	59	—	7	17	11	—	53
10230	13	29	7			—	37	—	—
10260	31	—		—	43	19	7	—
10290	41	7	—	——	11	13		17
10320	—	23	—	—	—-	7	—	79
10350	11	—	13	43	7			11	97
10380	7	13	——	19	37			101	7
10410	29	11	17	7	—-	—	—W.	11
10440	53	31	7			—	—		19
10470	/37	—.	47	11	—	17	7	__
10500	—	7	23	——	13	67	17	
10530			41	83	13	53	7	61	
10560	59	—	11	97	7	71	19	—
10590	7	——		23			103			7
10620	13	—	—	7	11	——	29	23
10650	—	—	7	—	—	47	13	59
10680	11	—	—	17	19	13	7	
10710	—	7	71	—	17	—		___
10740	23	11	13	—	31	7	47	11
10770	—	13	—	41	7			43	
10800	7	101	19	11	29	31	79	7
10830		—.	37	7	—	19	—		
10860	—		7	83	73	11				
10890	—	17	11	—	13	—	7	61
10920	67	7	17	13	—	—	31		
10950	47	—	97	19	11	7	—	—
10980	79	—	29	—	7	17			101
ПОЮ	7	23	103	73	—	41	11	7
11040	61		43	7			—	13		
11070	—	11	7	—	—	13	—	11
11100	17	29	41	—	—	—	7	31
11130	—-	7	13	11	71		19		
11160	—	13	—	—	—	7	53	67
11190	19	—.	23	17	7	11	—-	13
11220	7	103	11	47	17	__	—	7
11250	—	——	——	7	19	59	—	
11280	29	—	7	23	11	—	89	43
	1	7	11	13	17	19	23	29
11310							13	47			7	17
11340	11	7	__		41	37	11	»-
11370	83	31	19	—	59	7	—	—
11400	13	11	—	101	7	19	—	11
11430	7	—	17				107	13	7
11460	73	—	—	7	23	13	—		
11490	—	—	7			37	17	29		
11520	41	—	13	19	83	11	7	—
11550	—	7	11	31	43	23	71	—
11580	37	—	67	——	«М^К»	7	41	13
11610	17	—	—.	59	7	29			103
11640	7	19	61	43		89	107	7
11670	11	—-	—	7	13		11	—
11700	—	23	7	13	—	—	19	37
11730		11	59	—	17	31	7	И
11760	19	7	79	61	—	—	—	
11790	13	47	—	11		7			53
11820			—			—	7			13	17
11850	7	71	29	—			11	31	7
11880	109		11	7			73				
11910	43	17	7	—	—	79				
11940			13	17	—	11			7	
11970	—	7	——	23		19	67	13
12000	11				41	61	7	11	23
12030	53	—		—	7			17	31
12060	7	11				13	47	43	7
12090	107	—	—	7				—
12120	17	67	7	11	53	61	—		
12150	29	—.			—	23	43	7	19
12180	13	7	73	89	—	11			29
12210		19	11	17	—	7	13	—
12240		37		—	7	13		
12270	7	—			71	11	—	19	7
12300			31	13	7	109	97			—
12330	11	13	7			—	53	11	17
12360	47	83	89	—		«кют	7	13
12390		7	—	79	19	—			11
12420		17	31	—	—	7	23	59
12450			17	11	7	37			—
12480	7		—	13			29			7
12510			—.	19	7		11	83	
12540			—	7	—	29	19	17	—
12570	13	—	23	—	41	—	7	43
12600	—	7				11	__	13	73
12630	17					47			7	——	—
12660	11	53		19	7	31	11	
12690	7	—	13	—	97	71		7
12720	—	11	29	7	47	—	—	11
12750	41			7	—	17	113	53	13
12780	—	19			11	67			7	
12810	23	7					101	—	41	37
12840	—	29	71	—	13	7	19	17
12870	61	79	11	13	7	—		—
12900	7			—-	37	—	—	—	7
12930	67	17	—	7	11	23	—	—
203
	1	7	11	13	17	19	23	29
12960	13			7			19				31
12990	11	41	—	—	——	—	7	47
13020	29	7	83	—	—	13	—	—
13050	31	11	37	—	73	7	17	11
13080	103	23	13	—	7	—	—	—
13110	7	13	—	11	—	19	23	7
13140	17	—	—	7	59	—	—	13
13170		—	7			—	11	79	67
13200	43	47	11	73	—	—	7	—
13230	101	. 7	—	17	13	—	29	—
13260	89	—	23	13	11	7	37	97
13290	—	—	47	53	7	—	——	19
13320	7	—	—	67	—	—	11	7
13350	13	19	31	7			29	43	17
13380	—	11	7	59	—	—	13	11
13410		—	—	31	29	13	7	89
13440	—	7			11	—	43	—		
13470	19	—	13	97			7	103		
13500	23	13	59	—	7	11	—-	83
13530	7	—	11	29	19	17	—-	7
13560	71		41	7			37	17	107
13590	—	—	7	61	11	31	—	—
13620	53	—	43	—	13	23	7	—
13650	11	7	19	13	79	—	11	—
13680						7	71		
13710		11	—	—	7	—	31	11
13740	7	59		17					——	7
13770	47	23	—	7	17			13		
13800	37	—	7	19	41	13	23	—
13830		101			109	61	11	7	
13860	83	7	11	—	—			—	17
13890	29	13	—	—	—	7	—	31
13920	—	19	—			7	53	73	13
13950	7	17	23	—	—	61	89	7
	1	7	11	13	17	19	23	29
13980	11	71	17	7					11		
14010	—	107	7	37	13	—	—	101
14040	19	11	—	13	—	17	7	11
14070	—	7	—	—	—	73	17	23
14100	59			103	11	19.	7	29	71
14130	13	67	79	—	7	—	—	
14160	7	31	37	—	—	11	13	7
14190	23	—	11	7	—	13	61	59
1422Q	—	41	7	43	23	29			—
14250	—	53	13	17	11	19	7	109
14280	—	7	31	—	17	79	__	41
14310	11	103	—	—	—	7	11	13
14340	—	—	113	31	7	83	53	—
14370	7	11	73	19				37	7
14400	—	—-	—	7	13	—			47
14430	—	—	7	11	—	—	97	19
14460	—	17	29	41	31	—	7	——
14490	43	7	17	—	89	11	23	—
14520	13	73	11		—	7	—	—
14550	—-	—	—	—	7	17	13	61
14580	7	29	—	—	11	13	17	7
14610	19	47	—	7	—	—		—
14640	11	97	7	—	—	107	11	——
14670	17	13	53	—	19	37	7	—
14700	61	7	47	—	—-	41			11
14730	—	—	—.	23	—	7			—
14760	29	—	—	11	7	—			23
14790	7			19	113	13	59			7
14820	—	—	—	7	37	11	—	31
14850	—	83	7	89	—	—	107	—
14880	23					53	—-	47	7	17
14910	13	7	43	—	IL	—	109	—
14940	67	—	—-	19	—	7	13	—
14970	11	17	71	—	7	13	11	53
СОДЕРЖАНИЕ
Введение . -.................................................. 3
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ.
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ
Глава I. Некоторые понятия теории множеств
§ 1.	Основные (неопределяемые) понятия теории множеств......... 5
§ 2.	Некоторые производные (определяемые) понятия теории	множеств	8
§ 3.	Некоторые свойства равносильных и неравносильных множеств	.	.	10
$ 4.	Операция соединения множеств без общих элементов........ 12
§ 5.	Операция сочетания множеств без общих элементов.......... 13
Глава II. Натуральное число и его основные свойства
$ 1. Классы равносильных конечных множеств........................... 14
§ 2.	Натуральное число как характеристика мощности (численности)
класса равносильных конечных множеств................................ 15
§ 3.	Равенство и неравенство натуральных чисел...................... 16
§ 4.	Упорядоченность, бесконечность и дискретность множества нату-
ральных чисел........................................................ 17
$ 5. Изоморфизм множества натуральных чисел и множества целочис-
ленных точек на луче............................................ 18
§ 6.	Счёт............................................................ 20
§ 7.	Количественные и порядковые	натуральные числа.................. 21
§ 8.	Аксиомы арифметики натуральных	чисел......................... 22
Глава III. Теория действий над натуральными числами
§ 1.	Сложение натуральных чисел.................................... 24
§ 2.	Умножение натуральных чисел................................... 29
§ 3.	Возведение натурального числа в степень с натуральным показа-
телем ............................................................. 34
§ 4.	Вычитание натуральных чисел................................... 35
§ 5.	Деление натуральных чисел (деление в узком смысле)............ 39
Глава IV. Введение нуля
1. Определение нуля. Множество целых неотрицательных чисел ...	42
2. Аксиомы арифметики целых неотрицательных чисел г ? • . . .	—
205
§ 3. Действия с нулём..............................................4$
| 4. Действия иад целыми неотрицательными числами................. 44
§ 5. Расширение понятия частного (деление в широком смысле) ...	45
Глава V. Систематические числа
§ 1.	Позиционные системы счисления....................................47
§ 2.	Десятичные числа................................................. 49
§ 3.	Системы счисления, отличные от десятичной...................... 50*
§ 4.	Сложение систематических чисел.................................. 51
§ 5.	Вычитание систематических чисел................................. 52
§ 6.	Умножение систематических чисел..................................53
§ 7.	Деление систематических чисел.................................   53
§ 8.	Переход от одной системы счисления	к	любой другой.............. 5Т
Глава VI. Свойства натуральных чисел, не зависящие от системы
счисления
§	1.	Делимость суммы, разности и произведения.......................................................... 58
§	2.	Делители, общие делители.......................................................................... 60
§	3.	Наибольший общий делитель............................................................ 63
§	4.	Теоремы о делимости произведения......................................................................... 66»
§	5.	Кратные, общие кратные, наименьшее общее кратное........................................ 67
§	6.	Распознавание простых и составных чисел............................................................ 70
§	7.	Таблица простых чисел. Таблица делителей.  72
§	8.	Простые и составные числа специального вида.. 73
§	9.	Множество простых чисел.. 74
§	10.	Разложение на простые множители и его применение......................................... 77
§	11.	Понятие о теории чисел и об успехах в ней советских математиков 70
Глава VII. Свойства натуральных чисел, зависящие от системы
счисления
§ 1.	Признак делимости Паскаля и его следствия................................................................................................ 83
§ 2.	Признак делимости на произведение взаимно-простых чисел ...	85
§ 3.	Признаки делимости для недесятичных чисел................................................................................................ 85
ОТДЕЛ ВТОРОЙ
АРИФМЕТИКА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Глава VIII. Множество целых чисел
§ I.	Целое отрицательное число как характеристика уменьшения чис-
ленности множества............................................. 88
§ 2.	Равенство и неравенство целых чисел.....................  90
§ 3.	Свойства множества целых чисел........................... 92
§ 5.	Понятие о целом числе как паре натуральных чисел или натураль-
ного числа и нуля................................................ 93
§ 6.	Целочисленные линейные векторы. Величины, допускающие изме-
нение в двух взаимно-противоположных направлениях от начального
значения......................................................... 94
Глава IX. Действия иад целыми числами
§ 1.	Сложение	целых чисел....................................... 95
§ 2.	Вычитание	целых чисел......................................100
§ 3.	Умножение целых чисел...................................  .	101
206
§ 4.	Возведение целых чисел в степень.............................103
8 5. Деление целых чисел .......................................  104
§ 6. Множество целых чисел как минимальное кольцо, содержащее мно-
жество натуральных чисел.....................................105
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
АРИФМЕТИКА РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Глава X. Обыкновенные дроби
§ 1.	Множества долей и дроби.....................................109*
§ 2.	Равенство и неравенство дробей..............................113»
€ 3. Множество рациональных неотрицательных чисел.................115
§ 4.	Сложение и вычитание дробей..................................113
| 5. Умножение и деление дроби на натуральное число...............120
§ 6.	Умножение дроби на дробь....................................122*
§ 7.	Деление дроби на дробь......................................126»
Глава XI. Систематические дроби
§ 1.	Десятичная дробь как частный случай систематической дроби . . 123
§ 2.	Четыре действия над десятичными дробями......................130
§ 3.	Представление обыкновенной дроби в виде десятичной...........132
Глава XIL Периодические десятичные ряды (периодические
десятичные дроби)
§ 1.	Понятие о ряде, десятичном ряде (бесконечной десятичной дроби),
периодическом десятичном ряде (периодической десятичной дроби) 133
§ 2.	Чистые периодические десятичные ряды (чистые периодические
десятичные дроби)................................................136
§ 3.	Смешанные периодические десятичные ряды (смешанные периоди-
ческие десятичные дроби)........................................139»
§ 4.	Множество периодических десятичных рядов (периодических деся-
тичных дробей)...................................................142
Глава XIII. Множество рациональных чисел
§ 1.	Рациональные отрицательные числа. Равенство и неравенство ра-
циональных чисел.................................................144
§ 2.	Рациональные линейные векторы................................147
§ 3.	Свойства множества рациональных	чисел.................143
§ 4.	Действия над рациональными числами...........................14$
§ 5.	Понятие о рациональном числе как	паре целых чисел............155
§ 6.	Множество рациональных чисел как минимальное поле, включаю-
щее кольцо целых чисел...........................................156
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
АРИФМЕТИКА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Глава XIV. Измерение величии и действительные числа
§ 1.	Измерение длины отрезка, соизмеримого с отрезком-единицей ... 153
§ 2.	Десятичное измерение длины отрезка в общем случае............160
§ 3.	Действительное число как десятичный ряд. Равенство и неравенство
действительных чисел	в .  . > . . 166
207
5 4. Понятие об измеримых величинах . ; ? . ? ,.....................169
§ 5. Действительное число как инвариант класса равносильных двой-
ных сходящихся последовательностей рациональных чисел .... 174
Глава XV. Действия над действительными числами
§ 1.	Сложение действительных чисел.................................179
$ 2. Умножение действительных чисел.................................181
•§ 3. Вычитание и деление действительных чисел......................183
)4. Множество действительных чисел как поле. Некоторые его свойства 185
5.	Извлечение корня’.............................................191
6.	Числа алгебраические и трансцендентные........................194
7.	Понятие о других способах изложения теории действительных чисел 198
Таблица наименьших простых делителей чисел, меньших 15000, не крат-
ных 2, 3, 5..................................................  200
Владимир Модестович Брадис. Теоретическая арифметика.
Редактор Н. И. Лепёшкина. Технический редактор И. В. Рыбин.
Корректор В. А. Глебова.
<дано в набор 14/VI 1954 г. Подписано к печати 7/Х 1954 г. 60Х921/1в.
Печ. л. 13. Уч.-изд. л. 13,17. Тираж 50 000 экз. А 07059.
Учпедгиз. Москва, Чистые пруды, 6.
Заказ Ж 1464. Образцовая типография ЛРТПП г. Рига, ул. Пушкина, 12.
Цена без переплёта 3 р. 95 к. Переплёт бум. 80 к.; коленк. 1 р. 50 к.