Д.Форстер
Гидродинамические
флуктуации,
нарушенная
симметрия
и корреляционные
функции
Перевод с английского
Г. И. Бабкина и В. Я- Кравченко
МОСКВА
АТОМИЗДАТ 1980

УДК 536.75
Форстер Д. Гидродинамические флуктуации, нарушенная
симметрия и корреляционные функции: Пер. с англ. — М.:
Атомиздат, 1980. — 288 с. — Пер. изд.: США, 1975.
Изложена теория флуктуации и линейного отклика в
различных системах многих тел. В рамках единого метода
рассматриваются флуктуации в нормальных жидкостях,
сверхтекучем гелии и жидких кристаллах, в ферромагнетиках,
антиферромагнетиках и сверхпроводниках.
Для начинающих научных работников в области
теоретической физики и химии. Может быть использована
аспирантами и студентами старших курсов физических и инженерно-
физических факультетов.
Ил. 17. Библиогр. НО.
20403—010 © W. А. Benjamin, Inc., 1975
* ПЧ4ГПП яп'"~^"''704060000 @ Перевод на русский язык,
034(01)—hO ^ •- Атомиздат. 1980

МАРТЕ И ВИЛЛИ ФОРСТЕРАМ
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ
Проблема четкого и полного изложения основных
достижений в наиболее интересных и быстро развивающихся
областях физики в наши дни особенно очевидна. Бурный
рост числа специалистов, занимающихся физикой, привел
к снижению эффективности обычных способов обмена
информацией; становится все труднее справляться с потоком
литературы; начинающего же он может привести в
замешательство. Необходимы работы, содержащие
последовательное изложение какой-либо одной проблемы и отражающие
в то же время определенную точку зрения. В быстро
развивающихся областях физики строгие монографии не
удовлетворяют этим требованиям, по-видимому, более важно
то, что обзорные статьи также впали в немилость. В самом
деле, оказывается, что люди, наиболее активно
работающие в данной области, менее всего склонны подробно
писать о ней.
Выпуск серии «Новейшие проблемы физики» (НПФ)
является попыткой улучшить ситуацию в нескольких
отношениях. Прежде всего необходимо воспользоваться тем,
что в наше время ведущие физики часто организуют циклы
лекций или целые курсы и семинары по вопросам,
представляющим для них особый интерес. В таких лекциях
кратко излагается современное состояние какой-либо быстро
развивающейся отрасли знаний; иногда они могут
оказаться единственным связным изложением этого вопроса,
существующим в данное время. Часто появляются записи
лекций (подготовленные самим лектором, студентами или
аспирантами), размноженные небольшим тиражом. Одна из
основных задач серии НПФ — сделать такие записи
доступными для более широкой аудитории физиков.
Нужно подчеркнуть, что записи лекций обычно бывают
не доработаны как по стилю, так и по содержанию;
издаваемые в данной серии лекции не составляют исключения. Так
и должно быть, поскольку основная задача серии —
предложить физикам новые, оперативные, неформальные и,
будем надеяться, более эффективные способы учиться друг
у друга. Эту задачу не удастся решить, если принимать
лишь хорошо обработанные записи.

Другой^путь улучшения обмена информацией в быстро
развивающихся областях физики — публикация
сборников статей. Такие сборники полезны для специалистов,
работающих в соответствующей области. Их ценность,
однако, значительно возрастает, если они сопровождаются
вводной не очень большой по объему статьей, которая не только
объединяет воедино собранные статьи, но и непременно
содержит краткий обзор современного состояния вопроса.
Такое введение не должно быть очень строгим, но обязано
отражать все аспекты рассматриваемой проблемы.
Третий вариант книг серии НПФ можно было бы
назвать «нестрогой монографией», что определяет их
промежуточное положение между записями лекций и
монографиями в строгом смысле слова. Такой вариант предоставляет
автору возможность изложить свои взгляды на предмет,
развитие которого достигло такой стадии, когда обзор может
оказаться очень полезным, но писать строгую монографию
еще преждевременно или невозможно.
Четвертый тип изданий — современная классика. Это
статьи или лекции, представляющие собой особенно
ценный материал для изучающих физику. В них речь идет о
вопросах, которые лежат в основе большинства
современных исследований и суть которых в настоящее время твердо
установлена. В качестве примера можно привести
квантовую электродинамику или магнитный резонанс. В таких
областях, лучшие с педагогической точки зрения работы
иногда недоступны, так как существуют либо в виде давно
опубликованных статей, либо в виде лекций, которые
вообще никогда не публиковались.
а
Приведенный выше текст написан в августе 1961 г.,
но сохраняет свое значение и сейчас. Последнее
десятилетие оказалось периодом существенного прогресса в физике
конденсированного состояния, поскольку и
экспериментаторы и теоретики успешно использовали при
исследовании разнообразных свойств жидкостей и твердых тел
множество изощренных методов.
Ученые поняли, что в этой области особенно полезны
понятия корреляционных функций и функций отклика,
так как они дают простой способ описания того, что
происходит в действительности, и показывают, что'означает
использованное теоретиками приближение. Книга профессо-
6

pa Форстера, который внес существенный вклад в наши
представления о переносе и флуктуациях в таких
разнообразных системах, как классические жидкости,1 жидкие
кристаллы, ферро- и антиферромагнетики, содержит
простое введение в эти понятия, причем особое внимание
уделяется тем идеям и теоретическим методам, которые
применимы к различным физическим системам. Его книга
адресована студентам и аспирантам физических и химических
специальностей, начинающим исследования. Она написана
с ярко выраженной целью: сделать понятия корреляции,
флуктуации и нарушения симметрии легкодоступными в
равной мере и для экспериментаторов и для теоретиков.
Я разделяю надежду автора, что его книгу, которая'явля-
ется самостоятельной монографией, можно использовать
также в качестве односеместрового курса по неравновесной
статистической механике для аспирантов первого или
второго года обучения.
Дэвид Пайнс

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В последние два десятилетия ученые, занимающиеся
физикой и физической химией, поняли, что большинство
выполняемых ими экспериментов удобно обсуждать в
терминах различного рода корреляционных функций. В самом
деле, эти функции используют так часто, что вряд ли
найдется область физики конденсированного состояния,
которую в то или иное время не формулировали бы с их
помощью. Они оказываются полезными не только для систем
многих частиц. Если речь идет об отклике физической
системы на некую внешнюю силу, в особенности, как это
часто бывает, о линейном отклике, корреляционные функции
оказываются удобным понятием для выражения результатов
измерений. В статистических системах, находящихся
вблизи теплового равновесия, они дают всю необходимую
информацию о присущих системе статистических флуктуа-
циях. Они представляют собой, в частности, самый удобный
и понятный способ перехода от микроскопического
обратимого описания к необратимым макроскопическим свойствам
систем многих тел.
О нормальных классических и квантовых системах
имеется несколько превосходных книг, в которых излагается
общая теория функций отклика и обсуждаются конкретные
примеры (например, [6, 76]). Соответствующие описания
конденсированных систем, в которых подробно
рассматривается влияние нарушения симметрии на
гидродинамические флуктуации, известны многим специалистам, однако
книг иа эту тему нет. По этой причине, а также потому, что
подобные вопросы интересны и важны сами по себе,
основная часть данной книги посвящена системам с нарушениями
непрерывной симметрии.
Книга возникла на основе курса лекций для
аспирантов, который я прочел в Чикагском университете в 1972 г.,
а затем, в несколько измененном виде, в Штутгартском
университете в 1973 г. Основной задачей при оформлении
записей этих лекций в виде отдельной книги было
единообразное, простое и легкодоступное объяснение понятий о
корреляционных функциях и функциях отклика и обсуждение
в первую очередь тех простых методов, использование
которых не ограничивается какой-то одной конкретной систе-
8

мой. Это отражено в оглавлении, где перечислено
множество совершенно различных физических систем. Некоторые
из них, например нормальные жидкости или жидкие
кристаллы, лучше известны людям, занимающимся
физической химией, в то время как другие, особенно сверхтекучий
гелий, представляют интерес для ученых, занимающихся
физикой низких температур. Рассматривая все эти системы
с помощью простых и общих понятий, я надеялся сделать
доступными для более широкой аудитории их самые
важные свойства и некоторые привлекательные особенности.
Книга представляет собой самостоятельную монографию,
которую можно изучать саму по себе, а также использовать
в качестве односеместрового курса по неравновесной
статистической механике для аспирантов первого и второго года
обучения или в качестве дополнения к более
традиционным курсам по статистической механике или физике
твердого тела. Она не требует специальной подготовки и
доступна аспирантам физических и химических специальностей.
В то же время я надеюсь, что в книге содержится
достаточное количество материала, представляющего интерес для
исследователей, работающих в любой другой области и
желающих узнать, как применить методы теории
корреляционных функций к конкретным задачам или как использовать
знания и опыт, полученные при изучении сверхтекучих
жидкостей, скажем, для решения проблем жидких
кристаллов. Рассматриваемые достаточно подробно методы не
очень сложны и, безусловно, не должны привести в
замешательство экспериментаторов, так как именно для них,
в первую очередь, и была написана эта книга.
Список литературы не претендует на полноту, он был
составлен главным образом для того, чтобы перечислить
общедоступные работы, в которых рассматриваются
упомянутые в книге вопросы. По этой причине обычно
цитировались те работы, цели и методы которых сходны с
обсуждаемыми в этой книге. Я приношу извинения многим авторам,
чьи работы здесь не отражены или отражены недостаточно
полно.
Мне приятно поблагодарить Паулину Штокбауэр за
тщательную перепечатку рукописи и выразить
признательность за многочисленные полезные обсуждения моим
коллегам и студентам, чьи замечания сделали книгу лучше.
Дитер Форстер

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
В физике широко используют аналогии. Явления в
сверхтекучем гелии удается постичь, по крайней мере частично,
на основе понятий, введенных для сверхпроводников:
сверхпроводимости — с помощью методов, разработанных при
исследовании ферромагнетизма, а флуктуации в жидких
кристаллах — с помощью методов, развитых при изучении
спиновых волн в ферро- и антиферромагнетиках. Аналогия
никогда не бывает полной, но почти всегда оказывается
полезной.
Задача этой книги — ввести и применить понятия и
обсудить методы, которые делают использование таких
аналогий особенно удобным и лучше всего подходят для
описания и объяснения неравновесных явлений в
разнообразных многочастичных системах: понятия временных
корреляционных функций и теорию линейного отклика.
Работы, посвященные неравновесной статистической
механике и необратимым процессам, по традиции начинались
с вопросов принципиальных, затрагивающих честолюбие
авторов, очень интересных и чрезвычайно трудных. У
ответов на эти вопросы, зачастую противоречивых, длинная
и красочная история. Упомянем хотя бы один вопрос: как
получае^-ся, что система многих взаимодействующих
частиц, микроскопическая динамика которой инвариантна
относительно обращения времени, тем не менее,
необратимо приближается к состоянию теплового равновесия,
причем к одному и тому же равновесному состоянию (почти)
независимо от начального состояния системы? (История
частичных ответов на этот вопрос начинается со знаменитой
Н-теоремы Л. Больцмана, которой недавно исполнилось
100 лет, и продолжается в нашем веке выводом
кинетических уравнений Паули, Ван Ховом, Пригожиным и многими
другими.)
Подобные проблемы очень интересны с философской
точки зрения, но рядовой физик к ним редко обращается.
Он знает или верит, что многие системы со временем
приходят к равновесию, и это время, как правило, не очень
велико. Будучи оптимистом, он принимает неисследованные
основополагающие свойства, подобные эргодичности, без
доказательства и знает, как выбрать ансамбли для стати-
10

стического описания равновесной системы и каким образом,
по крайней мере принципиально, вычислить измеримые
равновесные характеристики такой системы. При
исследовании динамических процессов в многочастичных системах
он обычно использует в качестве зонда внешнюю силу,
которая лишь слегка выводит систему из равновесия, а затем
измеряет зависящий от времени линейный отклик на эту
силу. Большое число экспериментальных методов попадает
в эту категорию: исследования формы линии электронных,
инфракрасных и рамановских спектров; эксперименты, в
которых свет, нейтроны или электроны неупруго
рассеиваются в образце; изучение формы линии в экспериментах по
дипольной или спиновой релаксации; исследования
поглощения звука и кинетических характеристик и др. Во всех
этих экспериментах изучаются динамические
характеристики спонтанных флуктуации относительно равновесного
состояния (которое предполагается хорошо известным).
Для объяснения этих флуктуации требуется гораздо
меньше информации, чем содержится в микроскопическом
состоянии или матрице плотности. Согласно теории
линейного отклика эти флуктуации можно строго описать с
помощью зависящих от времени корреляционных функций:
парных произведений некоторых динамических
переменных А {() и В (f), взятых в различные моменты времени
^ и ^' и усредненных по каноническому ансамблю:
SABit, П = {А (0 5Ю>равн, (1.1)
где равновесное среднее обозначается скобками <...>равн-
Эти функции представляют собой мощный и гибкий
инструмент для теоретического исследования неравновесных
характеристик; значительная доля достигнутого за последние
два десятилетия прогресса в области неравновесной
статистической механики связана с их изучением.
Особый интерес представляют флуктуации измеримых
величин, зависящих от пространственных координат и
времени и описывающих в длинноволновой области
коллективное движение, характерное для многих систем. С помощью
корреляционной функции плотности частиц
8„„{г, t; г', /') = <«(г, t)n(T', /')>равн (1.2)
описывают, например, рассеяние света, рентгеновских
лучей и нейтронов, скажем, в нормальной жидкости. При
рассеянии электронов измеряется функция Spp (г, /; г', f),
11

которая получается при замене в выражении (1.2)
плотности частиц п (г, t) плотностью заряда р(г, t). В
магнитных системах при рассеянии нейтронов измеряется
корреляционная функция намагниченности М (г, f) и т. д.
Полезно поэтому обсудить общие свойства временных
корреляционных функций. Сюда относятся различные
свойства симметрии, в частности симметрия относительно
обращения времени, которая проявится впоследствии при
выводе соотношений Онсагера для коэффициентов переноса;
свойства положительности, связанные с динамической
устойчивостью системы; флуктуационно-диссипационные
теоремы, связывающие, как это следует из названия,
спонтанные флуктуации с диссипацией энергии в
термически-равновесной системе; соотношения Крамерса—Кронига,
отражающие причинность, подобные хорошо известным
соотношениям между показателем преломления и
коэффициентом поглощения; соотношения Кубо, которые в
соответствующих системах дают связь между коэффициентами
переноса и корреляционными функциями, и оказываются
чрезвычайно ценными при проведении практических расчетов на
микроскопическом уровне. Будут рассмотрены также
многочисленные правила сумм; они очень важны при
проведении приближенных расчетов, поскольку относятся к тем
немногим количественным оценкам многочастичных систем,
которые удается получить исходя из основных принципов.
Многие методы приближенных расчетов основаны на
строгих дисперсионных соотношениях, которые будут
обсуждаться довольно подробно. В частности, при введении
функций памяти и их приближенной оценке в разнообразных
конкретных примерах будет использован метод проекционных
операторов Цванцига—Мори.
Сходство различных систем (и их различия) лучше
всего проявляется при переходе к изучению коллективных
гидродинамических мод — коллективных флуктуации с
большой длиной волны, которые соответствуют когерентному
движению большого числа частиц и очень большим (в
микроскопическом масштабе) временам жизни. Существование
и структура этих коллективных мод отражают наиболее
характерные свойства системы многих тел. И хотя данная
книга не посвящена анализу исключительно этих мод, им
будет уделено мнбго внимания. В частности, будет
предпринята попытка наглядно представить при выводе основные
принципы, с которыми связано существование,
коллективных мод.
12

в гл. 2 будет подробно обсужден общий подход и
проиллюстрированы многие методы, используемые в книге,
на простом примере спиновой диффузии в жидком ^Не.
Общие свойства зависящих от времени корреляционных
функций приведены и доказаны в гл. 3, а в гл. 4 в качестве
конкретного применения обсуждается нормальная
классическая однокомпонентная жидкость. Изложение в этих
вводных главах в известной мере основано на фундаментальной
работе Каданова и Мартина [54].
Другой важный метод представлен в гл. 5, это
формализм проекционных операторов и функций памяти, впервые
введенный в работах Цванцига [108] и Мори [84]; его можно
рассматривать как обоснование теории Ланжевена для
тепловых флуктуации. В гл. 6 кратко рассмотрено броунов-
свое движение тяжелой частицы, находящейся в жидкости
легких частиц. Применение подобных методов к
нормальной жидкости отличается от описания сверхтекучей
жидкости, которая будет рассмотрена позднее. Преимущества
новых методов становятся очевидными при использовании
в системах с нарушением симметрии.
При понижении температуры многочастичные системы
обычно испытывают фазовые переходы в состояния,
отличающиеся большей упорядоченностью по сравнению с
совершенно хаотическими высокотемпературными фазами.
При наличии такой упорядоченности для описания состояния
требуется ввести новые величины — параметры порядка.
При температурах ниже температуры перехода некоторые
флуктуации коррелированы на очень больших расстояниях,
поэтому могут появиться дополнительные длинноволновые
коллективные моды. Эти понятия вводятся в гл 7, где будут
доказаны общие неравенства Боголюбова и теоремы Голд-
стоуна, на которых основан дальнейший анализ. В
последующих главах рассматривается применение этих
результатов к некоторым важным физическим системам. Дальний
магнитный порядок, а также ферро- и антиферромагнитные
спиновые волны обсуждаются в гл. 8 и 9, нарушение
калибровочной инвариантности и сверхтекучесть — в гл. 10.
В гл. И рассматриваются жидкие кристаллы, в частности
рассеивающие свет ориентационные моды в нематиках.
В последней, 12-й главе кратко обсуждаются некоторые
аспекты сверхпроводников и заряженных систем.
Для программы такого масштаба очень важно установить
пределы. Здесь будут опущены две очень интересные
области. Не будут подробно обсуждаться (за исключением ко-
13

роткого раздела в гл. 12) изменения, происходящие в
системе заряженных частиц вследствие дальнодействующего
характера кулоновских сил. Эти изменения
проанализированы в книгах [6, 76] с помощью методов, очень близких
использованным в данной книге. Не рассматривается также
обширная область фазовых переходов и критических
явлений [7, 72, 106], которой в последнее время уделяется
много внимания и в которой имеются значительные успехи. Эти
явления можно описать с помощью используемых в данной
книге понятий, однако при этом потребуется множество
методов, здесь не рассматриваемых.
Кроме того, данная книга не является учебником,
посвященным функциям Грина и различным сложным
методам, обычно рассматриваемым под этим названием (см. [4,
39]). Методы функций Грина используют для проведения
подробных вычислений на микроскопическом уровне,
подобные расчеты всегда очень сложны, и часто их трудно
проверить. Поэтому полезно и даже необходимо получить из
основных принципов границы применимости таких
вычислений. Большинство обсуждаемых здесь корреляционных
функций на самом деле тесно связаны с одно- и
двухчастичными функциями Грина. А полученные результаты (правила
сумм, выражения в гидродинамическом приближении и др.)
дают пределы применимости, которым должна удовлетворять
строгая микроскопическая теория.
Поэтому даже при рассмотрении конкретных примеров
основное внимание будет уделяться вопросам структуры
теории, результатам, обеспечивающим связь
микроскопических уравнений движения с макроскопическими
наблюдаемыми явлениями и вводящим общие понятия, с помощью
которых можно обсуждать эксперименты, выполненные
сходными методами на разнообразных физических системах,
т. е. такие понятия, которые оказались бы удобными,
например, при анализе данных по рассеянию света жидкими
кристаллами и углублении знаний об антиферромагнетиках
и сверхтекучих жидкостях. Понятие корреляционной
функции является, конечно, математическим, однако автор
старался уделять основное внимание относящимся к делу
физическим идеям и лишь слегка касаться вопросов
математической строгости. Если ему это удалось, то экспериментаторы,
выполняющие конкретную работу, найдут в книге полезный
и понятный раздел теории и, будем надеяться, получат
удовольствие от чтения.

Глава 2
ПРОСТОИ ПРИМЕР—СПИНОВАЯ
ДИФФУЗИЯ
В качестве простого примера, иллюстрирующего многие
из обсуждаемых в книге вопросов, рассмотрим жидкость
незаряженных частиц со спином 1/2 [54]. Система
оказывается особенно простой благодаря существенному
предположению, согласно которому силы взаимодействия между
частицами не зависят от скорости и спина. Подобная
ситуация осуществляется, фактически с очень хорошим
приближением, по меньшей мере в одной реальной системе — в
жидком ^Не. (Основная часть последующего анализа применима
также, например, к изотропному гейзенберговскому
парамагнетику. См. гл. 8 и работы [21, 71].)
Спин каждой частицы можно считать расположенным
либо параллельно (+) , либо антипараллельно (—)
некоторому произвольному направлению квантования. Для
упрощения будем считать спин скалярной величиной; его
векторный характер для наших целей не важен. В этом случае
намагниченность М (г, t) оказывается пропорциональной
разности плотностей п+ (г, t) и л_ (г, t) в точке г, t, т. е.
M{r,t)^li[n+{r,t)-n.{r,t)], (2.1)
где II — спиновый магнитный момент частицы. При
микроскопическом подходе этот оператор записывают в виде
М(г, 0 = S2tAS"6[r-r"(0], (2.2)
а
где подразумевается, что частица с номером а в момент
времени t находится в точке г"^ (t) и обладает спином s", равным
1/2 или —1/2. Введение б-функции означает, что
учитываются лишь те частицы, которые в момент времени t
расположены вблизи точки г. Предположение о независимости сил от
спина приводит к тому, что s" не зависит от времени.
В состоянии теплового равновесия в среднем л+ = п_,
поэтому М = 0. Предположим теперь, что в некоторый
начальный момент времени ^ = О в точке г имеется локальный
разбаланс, в результате М (г, t = 0) Ф 0. Нас
интересует изменение величины М (г, г") в последующие моменты
времени. В нашей простой модели с пренебрежением
процессами переворачивания спина зависимость М (г, t) от
времени связана с движением частиц, переносящих, спин. На
15

самом деле не очень существенно, что именно они переносят,
т. е. что обозначают понятия «спин вверх» и «спин вниз.»
Система зеленых (s"= 1/2) и красных (s"^ = — 1/2) частиц
вела бы себя точно так же.
Поскольку г"^ = ^"-Im, где р"^ — импульс частицы с
номером а, am — ее масса, из выражения (2.2) получаем
уравнение непрерывности
а,л1(г, o + v-j^i(r, 0 = 0, (2.3)
где j^ — намагничивающий ток:
j^ (г, 0 = 2 {\^s<-lm) {Г (0. ^ [г-г"(0]}- (2.4)
а
Фигурные скобки всегда будут обозначать антикоммутатор:
{А, В) ^АВ + ВА.
Разумеется, для классических частиц симметризация в
формуле (2.4) не обязательна.
Уравнение (2.3) отражает тот факт, что полная
намагниченность сохраняется:
-|-jdrM(r,0 = 0, (2.5)
Н.0 это означает наличие важного дополнительного
свойства: ток j^ (г, 0. как и намагниченность М (г, 0. является
локальной плотностью, зависящей лишь от свойств частиц,
которое в момент t находятся в некоторой малой
окрестности точки г. Дифференциальные законы сохранения,
подобные (2.3), будут играть существенную роль в большинстве
обсуждаемых в дальнейшем процессов.
2.1. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
Закон сохранения (2.3) еще не дает полного описания,
он лишь накладывает ограничения на динамику. Для того
чтобы найти М (г, 0. необходимо второе уравнение,
связывающее j^ с М. Теперь как п+ (г, t), так и п_ (г, t)
стремятся к равновесному состоянию, в котором обе величины
пространственно-однородны. Другими словами, имеется
результирующий поток намагниченности из областей с
большой М в области с малой М. Феноменологически этс
означает, что
<J^(r,0> = -^5V<M(r,0). ■ (2.6)
16

Это уравнение называют материальным. Коэффициент
переноса D называется коэффициентом спиновой диффузии, он
всегда положителен. Отметим, что в то время как уравнение
(2.3) является точным с микроскопической точки зрения,
выражение (2.6) справедливо лишь в среднем, вот почему в
нем использованы угловые скобки. Эти скобки означают,
конечно, неравновесное среднее; в состоянии теплового
равновесия <М (г, 0)равн не зависит от г, t, а <j^ (г, 0)равн =0-
Подставляя выражение (2.6) в уравнение (2.3),
получаем известное диффузионное уравнение
dt <М (г, 0) - DV^ <М (г, 0) = О, (2.7)
которое можно теперь решить. Отметим, что это уравнение
справедливо лишь в случае, если все свойства системы
медленно изменяются в пространстве и во времени. Такое
предположение неявно содержится в выражении (2.6) и будет
проанализировано несколько позже.
Нас интересуют здесь только бесконечно протяженные
системы. Поэтому граничные условия отсутствуют и
уравнение (2.7) удается решить, применяя пространственное
преобразование Фурье
^ <М(к, 0)=Ur(M(r, 0)ехр(—ik-r) (2.8а)
и преобразование Лапласа по времени
<M(k,2))=?d^<M(k, 0)exp(i20, 1^"^'% (2.86)
где к — волновой вектор флуктуации. Для того чтобы
интеграл (2.86) сходился, комплексная частота z должна
лежать в верхней полуплоскости. Затем из уравнения (2.7)
получаем решение задачи с начальным условием
<М (к, 2)) = i <М (к, t = 0)) (2 + iDk'")-^. (2.9)
Процесс диффузии приводит к появлению полюса на
отрицательной мнимой полуоси при 2 = — \Dk^. Чтобы
лучше понять значение диффузионного полюса, отметим,
что формула (2.9) соответствует выражению
<М(к, 0) = <M(k, ^ = 0))ехр(—D^^O- (2.10)
В этом выражении проявляется характерное свойство
гидродинамической моды: это коллективная флуктуация, си-

^м/^) нусоидальная в пространстве,
при больших длинах волн
"к = 2nlk экспоненциально
затухающая с временем жизни
x{k)=\IDk'', (2.11)
р„£_ 2.1 которое становится
бесконечным при ^ -^ 0.
Легко понять, что подобное поведение очень необычно
для такой хаотической многочастичной системы, как
жидкость. Для произвольной степени свободы существует
огромное число каналов, по которым она может затухать после
начального возмущения. Большинство степеней свободы
релаксирует за короткое время Тс, которое определяется
микроскопическими взаимодействиями. Для системы
классических частиц с массой т, взаимодействующих
посредством потенциала величины г и радиуса а, соображения
размерности приводят к величине Тс, равной
Те - а (т/Е)'/^ (2.12)
что дает для гелия t^ ;« 10~^^ с. Хотя в квантовой
жидкости, подобной ^Не при низких температурах, принцип Паули
значительно уменьшает число каналов затухания (теперь
для получения соотношения (2.12) можно использовать
также размерные величины А и малую тепловую энергию
квТ), микроскопические времена затухания при всех
температурах, кроме самых низких, по макроскопическим
масштабам все еще очень малы.
Особенность соответствующей М (к, t) степени свободы
состоит в том, что намагниченность — сохраняющаяся
величина. Локальный избыток этой величины не может
исчезнуть локально (что могло бы произойти быстро), а может
лишь медленно релаксировать, распространяясь по всей
системе. Синусоидальная флуктуация, изображенная на
рис. 2,1, релаксирует только посредством физического
переноса намагниченности из области избыточной в область
недостаточной намагниченности на расстояние порядка
Я./2; этот процесс требует бесконечно большого времени
при Я.-^ схз. Действительно, если процесс переноса
осуществляется благодаря случайным блужданиям, то (Дх)^ » Dx,
или ■xw'k^lD, что соответствует выражению (2.11).
Возвращаясь к соотношению (2.10), предположим, что
в начальный момент времени намагниченность отлична от

нуля только при г = о, т. е. < М (г, ^ = 0)) = Мб(г).
Тогда
<Л1 (г, 0> = М (4nD0-3/2 ехр ( — r^/Dt), (2.13)
что соответствует характерному гауссову распределению
для процесса случайного блуждания.
2.2. СПИНОВАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
(ПРИБЛИЖЕННЫЙ ПОДХОД)
Последние выражения дают решение задачи о спиновой
диффузии в бесконечно протяженных системах. Теперь,
поскольку книга посвящена корреляционным функциям,
попытаемся извлечь некоторые сведения о спиновой
корреляционной функции. Начнем с определения
корреляционной функции намагниченности
S(r,0 = <Al(r,OM(0, 0))р„„ (2.14)
где М (г, t) — использовавшийся выше оператор
намагниченности. В выражении (2.14) использовано усреднение по
состоянию теплового равновесия в отличие от усреднения
в формуле (2.6), предназначенной для описания системы,
еще не достигшей полного равновесия. Конечно, даже при
{М (г, 0)равн = о существуют спонтанные, обычно малые
локальные флуктуации. S (г, t) описывает эти флуктуации.
Благодаря магнитному взаимодействию нейтронов с
локальными флуктуациями намагниченности функцию S (г, t)
можно измерить с помощью магнитного рассеяния
нейтронов.
Предполагается, что функция S (г, t) быстро убывает
с увеличением г и (или) t, поскольку в этом случае М (г, t)
и М (О, 0) статистически-независимы; в результате <М (г, t) X
X М (О, 0)) = <М (г, t)) <М (О, 0)) = 0. Следовательно,
можно использовать преобразование Фурье
оо
5(^,0))= J d^JdrS(r, Оехр(Ы—ik-r). (2.15)
— оо
Эта функция представляет собой спектральную плотность
флуктуации намагниченности, она вещественна и
положительна. Вследствие инвариантности системы
относительно вращений функция S {k, at) зависит лишь от модуля
19

вектора к. Иногда используют также одностороннее
преобразование (Лапласа) при 1т2>0:
оо
S (k, z)=\ dtS {k, t) exp (i20. (2.16)
0
Легко показать, что
S{k,z)={^ -^^^'"^ ■ (2.17)
J 2ni CO —г
Это выражение имеет смысл для комплексных 2, лежащих
как в верхней, так и в нижней полуплоскости; S {k, z) —
комплексная функция, аналитическая по г во всей
плоскости с разрезом вдоль вещественной оси. В самом деле,
используя тождество
——^Р—±\лЬ{х), (2.18)
где г здесь и ниже обозначает положительную бесконечно
малую величину, а Р — символ главного значения в смысле
Коши, находим, что S {k, со) равна скачку вдоль линии
разреза:
S{k, (o) = lim[S(^, (o + ie) —S(^, со —ie)]. (2.19)
8->-0
Так как S {k, со) — вещественная функция, получаем более
удобное уравнение;
S(^, (o) = 2ReS(^, (o+ie). (2.20)
Теперь на основе простых соображений получим
корреляционную функцию из нашего гидродинамического анализа.
Почему мы хотим это сделать? Во-первых, потому, что
корреляционная функция представляет особый интерес для
экспериментаторов, так как она определяет распределение
интенсивности, измеряемое при неупругом рассеянии
нейтронов. Во-вторых, по той причине, что S (г, t) строго
определена математически; известно, по меньшей мере
принципиально, как проводить усреднение по состоянию
теплового равновесия в выражении (2.14). Феноменологические
флуктуации <УИ (г, t)), введенные в разд. 2.1, представляют
собой несколько более туманное понятие," поскольку
труднее строго определить неравновесное среднее.
Предположим, что материальное уравнение (2.6), а
следовательно, и диффузионное уравнение (2.7) в некотором
20

смысле справедливы даже в случае, если опустить операцию
усреднения <...), т. е. эти уравнения можно понимать как
операторные. Тогда нужно лишь умножить уравнение (2.7)
(без скобок) справа на М (О, 0), а затем усреднить по
равновесному состоянию. В результате получим
[а^—DV2]S(r, 0 = 0. (2.21)
Наше грубое предположение, следовательно, означает, что
спонтанные равновесные флуктуации, описываемые функцией
S, релаксируют в соответствии с тем же самым
диффузионным }^авнением^_что_ и_ неравновесще флуктуации, описы -
Щ|мь1£1йёд1ши«ои j^4iiw.3Ty довольно разумную"'гипотёзу'
впервые предложили Онсашр I89L- и она совершенно
правильна.
Уравнение (2.21) решается так же, как уравнение (2.7);
в результате получаем
S {k, 2) = i (2 + iD^2)-i S{k,t== 0). (2.22)
Отметим, однако, что начальное условие теперь нельзя вы
бирать произвольно, оно определяется выражением (2.14)^
Действительно, в разд. 2.4 будет показано, что 5 {k -^ 0.
/ = 0) равна произведению квТ на спиновую магнитную,
восприимчивость iU
UmS{k,t = 0) = ^-^X f-^ М '^'^|ц- (2.23)
и, следовательно, при малых k
S {k, z) = ip-i X (г + xDk')-': (2.24)
Для вычисления спектральной плотности нельзя
воспользоваться формулой (2.19), поскольку выражение (2.24),
в соответствии с его выводом, справедливо лишь при Im 2>0.
Однако можно применить соотношение (2.20) и получить
в результате
S{k, со) = ^ -~ Х- (2.25)
Значение этой формулы для эксперимента обсуждается
ниже.
Разумеется, выражение (2.25) является лишь
приближением к реальной ситуации. Оно справедливо только для
малых fen со, это означает на общепринятом, но скорее про-
фессиональном, чем литературном, языке, что ^-^ должно
быть гораздо больше «характерных размеров системы»,
21

a co~^ — значительно больше «характерных времен в
системе». Существенным размером является длина свободного
пробега, которая в жидкости по порядку величины равна
расстоянию между частицами.
Отметим, что поведение корреляционной функции при
малых ^ и со оказывается довольно сложным. Например,
lim [lim 5 {k, со)] = О, но lim [lim 5 {k, со)] = оо. Ре-
(fl-vO *->-0 *->-0 (0-»-0
зультат зависит от того, в каком порядке выполняются
операции перехода к пределу, и следует быть чрезвычайно
осторожным при разложении корреляционных с{)ункций по
^ и со. Однако величина, обратная 5 {k, z),
5-1 {k, z) = (ip-^ X)-' (2 + -^Dk^) (2.26)
оказывается гладкой функцией, совпадающей с первыми
членами ряда Тейлора по ^ и 2. Как будет показано ниже,
обычно удобнее использовать приближения в 5"^, чем в 5.
Соотношение (2.23) эквивалентно следующей формуле:
limр С dco5{k, со) = 2ях, (2.27)
которую называют термодинамическим правилом сумм,
поскольку оно связывает термодинамическую производную
X = dM/dH, равную спиновой магнитной
восприимчивости, с интегралом по частоте от корреляционной функции.
Это правило сумм является точным, и полученное в
гидродинамическом приближении выражение (2.25) ему
удовлетворяет.
Кроме того, из формулы (2.25) следует, что
plim[limco2yfe-2 5(yfe, cu)] = 2Dx, (2.28)
т. е. коэффициент спиновой диффузии D выражается через
корреляционную функцию. Это формула Кубо, хотя она,
на первый взгляд, и отличается от полученного Кубо
выражения [63].
В качестве простого и полезного упражнения читатель
может представить соотношение (2.28) в виде
Dx = (р/6) 5 dr 5^ dt <j^* (г, t) i^ (О, 0)>, (2.29a)
— oo
где использована инвариантность относительно трансляций
и поворотов. Наконец, вводя оператор полного намагни-
22

чивающего тока
получаем выражение, найденное Кубо:
оо
D%^Um{l/WkBT) Ut^{l»{t), j^^(0)}>exp(-eO,
e-vO J
2)*J>r£.'> ° (2.296)
где V — объем системы и для обеспечения сходимости при
больших t введен множитель ехр (— е^). £svS V.^
2.3. МАГНИТНОЕ РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ
До сих пор все шло довольно хорошо. На основании
простых рассуждений удалось получить корреляционную
функцию, связанную с экспериментально наблюдаемыми
величинами. Как уже упоминалось, S{k, со) можно измерить
по рассеянию нейтронов. Нейтроны обладают магнитным
моментом, который связан с намагниченностью среды
посредством магнитного дипольного взаимодействия, что
приводит к рассеянию. Жидкость облучают нейтронами с
начальной энергией е^ и импульсом pj и наблюдают за
рассеянными нейтронами с энергией е^ = Ej — ftco и импульсом
р/ = Pi — Йк. Очевидно, нейтроны отдали (или получили,
в зависимости от знака со) энергию и импульс возбуждениям
в системе, а именно коллективным флуктуациям
намагниченности (рис. 2.2). Следовательно, спектр этих
флуктуации определяет сечение неупругого рассеяния. Это
показано в Приложении. Сейчас достаточно отметить, что
интенсивность рассеянного пучка равна
1 (pi-^Pi—^k
' D п г.
' Рас
Ej ->- Ej — h(0
= [множители] 5л1м(к, со). (2.30)
Из выражения (2.25) следует, что форма линии для этого
процесса должна быть лоренцевой (рис. 2.3). Ширина
линии на уровне половины с п.
максимума равна Dk^.
Таким образом можно
измерить коэффициент СП и но- ^ „ ^^^ /iirj йк
вой диффузии, поскольку '' ' ^^ / '
[множители] не содержат
зависимости от частоты со, рис. 2.2
23

S(t(cS)
Полная площадь под кри-
,, . вой I dco5 (k, со) равна
' 2швТ1, и, если бы точно
были известны
[множители], удалось бы измерить
также и спиновую
восприимчивость. К сожалению,
абсолютные измерения
интенсивности провести
трудно, а [множители] среди
прочего содержат
магнитные форм-факторы,
которые зачастую известны недостаточно хорошо. Отметим,
наконец, что выражение (2.25) пригодно лишь для
малых ^ и со, а эту область трудно исследовать с помощью
рассеяния нейтронов. Тем не менее для демонстрации
принципов измерения корреляционных функций по
рассеянию такого примера достаточно.
Рис. 2.3
2.4. СТАТИЧЕСКАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ
В этом разделе получим соотношение (2.23), чтобы
выполнить хотя бы одно из ранее данных обещаний.
Доказательство простое. Нужно показать, что
p-iX = limCdr<M(r)M(0)>p,3Hexp(-ik-r). (2.31)
, к-*й J
Никаких временных аргументов здесь не требуется, оба
оператора Л4 (г) и Л4 (0) берутся при ^ = О, т. е. в
представлении Шредингера. Вместо дипольного момента единицы
объема М (г) можно ввести оператор полного дипольного
момента
М
полн = $йгЛ4(г)^Л4У.
(2.32)
В результате, используя трансляционную инвариантность,
получаем
Х = (р/У)<М„о,нЛ4полн>- (2.33)
Что здесь подразумевается под магнитной восприимчи-
востью X? Феноменологически это означает, что при
измерении средней намагниченности (единицы объема) <Л4>''
в присутствии постоянного магнитного поля.Л получится
<M>'' = хЛ, если внешнее поле h достаточно мало. (Вместо
24

обычного обозначения Н используется h, чтобы не путать
с гамильтонианом.) Выражаясь более строго, х нужно
определять с помощью соотношения
г^д{МуЧдк\^=, (2.34)
и производную брать при постоянных объеме и температуре.
Следовательно, нужно вычислить эту производную,
пользуясь статистической механикой. В присутствии
магнитного поля h полный гамильтониан равен
^ = Я —5^гЛ1(г)/1 = Я—ЛМполн- (2.35)
где Н — общий многочастичный гамильтониан
изолированной системы. Следовательно, средняя намагниченность
равна
^ VSpe "^-^
^ J_ 5ре-Р(^-''^цолн)Мполн /g 36)
V 5ре-Р(^-''Л^полн)
ДЛЯ канонического ансамбля. Возьмем производную по h
(это можно сделать без труда, поскольку оператор Мдолн
сохраняется и, следовательно, коммутирует с Я) и положим
Л = 0. Получим
а<м>''
_1
Spe-P^M^,,„_/Spe-P^Mno
Spe-P« \ Spe-P^
dh
или
X = (P/F) <(М„о,н- <Л4полн>Равй)='>Равн- (2-37)
Разумеется, <Л4полн) = О в отсутствие поля h,
следовательно, получено соотношение (2.23), или эквивалентное ему
(2.37).
Величина х записана в виде (2.37) с тем, чтобы явно
продемонстрировать, как восприимчивость определяется
флуктуациями намагниченности относительно ее
равновесного значения; заметим — статическими флуктуациями.
Это и неудивительно. Величина х является мерой того,
насколько легко изменяется средняя намагниченность при
помощи внешнего магнитного поля. Ясно, что это должно
осуществляться тем легче, чем больше или вероятнее
спонтанные флуктуации намагниченности относительно ее
среднего значения, Аналогичным образом позже будет показано,
25

что отклик плотности частиц на увеличение давления, т. е.
сжимаемость, определяется спонтанными флуктуациями
полного числа частиц. А теплоемкость, описывающая
изменение энергии с температурой, определяется флуктуациями
оператора энергии, т. е. величиной <Я^ — (.Ну^у, и т. д.
Иногда ситуация оказывается не такой простой, как мы
ее изобразили. При вычислении предела lim S {k, t = 0)
мы полагали, что он просто равен величине 5 (^ = О, ^ =
= 0). Иногда это не так. Например, для корреляционной
функции плотности частиц 5„„ (k) при ^ = О величина
Snn {k = 0) зависит от того, используется канонический
или большой канонический ансамбль, а предел lim 5„„ {k)
от этого не зависит. Наши рассуждения следует
пересмотреть также в случае, когда силы между частицами являются
дальнодействующими. Для диполь-дипольного
взаимодействия измеряемая восприимчивость зависит, например, от
формы образца. И наконец, даже в случае
короткодействующих сил могут иногда существовать дальние корреляции,
которые усложняют предельный переход при ife ->• 0. При
необходимости мы будем это учитывать. В *Не можно
пренебречь диполь-дипольными силами, дальний порядок
также отсутствует, поэтому не возникает никаких проблем.
2.5. ЛИНЕЙНЫЙ ДИНАМИЧЕСКИЙ ОТКЛИК
Вычисленную выше величину можно назвать линейным
термодинамическим или статическим откликом на
постоянное магнитное поле. Проанализируем теперь
динамический отклик системы на внешнее магнитное поле бЛвнешнС''. t),
которое некоторым заданным образом изменяется в
пространстве и во времени. Подобный подход объясняется,
конечно, тем, что таким образом проводится большинство
экспериментов: к системе прикладывают какую-либо внешнюю
силу, смотрят, что происходит, и делают выводы о свойствах
самой системы. Разумеется, некоторые эксперименты не
укладываются в эту схему, но многие укладываются;
невозможно охватить все сразу. В частности, при обсуждении
спиновой диффузии в разд. 2.1 предполагалось, что при
^ = О система уже находилась в некотором неравновесном
состоянии, поэтому с самого начала М (г, t) Ф 0. Такое
неравновесное состояние возникает, в лаборатории или на
бумаге, при «медленном» включении магнитного поля когда-
26

то в далеком прошлом и дальнейшем развитии системы до
тех пор, пока при ^ = О не получится в результате <Л4 (г, 0) 'уФ
Ф 0. Если затем поле выключить, то зависимость величины
<Л4 (г, 0)неравн ОТ времени должна подчиняться нашей
простой теории спиновой диффузии, если эта теория верна.
В присутствии внешнего магнитного поля бЛднешн (•"> О
гамильтониан явно зависит от времени и определяется
выражением
M{t) = H + бН^,,^, (О = Я - J drM (г) бЛз„,ш„ (г, О
(2.38)
в представлении Шредингера, когда оператор М (г) не
зависит от времени. Зависимость от времени содержится
в матрице плотности (или операторе ансамбля) p{t), которая
описывает состояние системы таким образом, что среднее
от величины М (г) или любого другого оператора равно
{M{r,t)y=:Spp{t)M{r) при Spp(0 = l, (2.39)
где Sp обозначает след квантового оператора.
Все следующее ниже полностью аналогично
традиционному выводу формулы Крамерса — Гейзенберга для
диэлектрической постоянной, которая приводится в учебниках
по квантовой механике. Нужно решить уравнение
Шредингера для матрицы плотности
ihdt р {t) = m (О, Р (01 = [Я, р (t)] + [б^^^знешн (0. Р (01
(2.40а)
при начальном условии
р(^=—оо) = рО; [Я, р'>] = 0. (2.406)
Начальное условие отражает тот факт, что до включения
бЛвнешн система стационарна; конечно, должно быть
выполнено условие, что бЛвдешн ~*" О ДО'^ЗТОЧНО быСТрО ПрИ
t-^ — оо. Для дальнейших преобразований
несущественно, какой вид имеет р", однако она предполагается
известной. Поскольку обычно система вначале находится в
равновесном состоянии, удобно выбрать в качестве р"
выражение, соответствующее каноническому ансамблю р' =
_е-ря/5ре—Р^ с фиксированным Л^, или большому
каноническому ансамблю р" -^ g—P(«-|ijv)^ jjjjjj какому-либо
другому стационарному состоянию.
'j|f Теперь нужно найти линейный (по бЛднещн) отклик. Но
в первом приближении уравнение (2.40) легко «решается».
27

A именно: p (^ = p '+ 6p (t), где
t
6p(0=^ j dTe-'^<'-^'//*[S^3„,„„(A P»]e'
— oo
(2.41)
Теперь с помощью простых преобразований легко убедиться
в том, что изменение средней намагниченности 8{М (г, t)y=
= Sp р (t) М (г) — Sp р' Л4 (г) можно записать в виде
t
б <Л4 (г, t)) = ^ dt' ^ dr' {(lib) [M{r, t), М (г', Г)]>равнХ
— оо
ХбЛзнешн(г',^'), (2.42)
где [А, В] = АВ — В А — коммутатор; <...>равн
обозначает среднее по равновесному состоянию; {А )paBii =
= Sp рМ (впоследствии индекс «равн» будем опускать).
В формуле (2.42) М (г, t) — гейзенберговские операторы
для невозмущенной системы:
M{r,t) = ё"*'f^M{r)&-'""f^. (2.42а)
Выражение (2.42) является основным результатом теории
линейного отклика. Из него следует, что функция отклика
представляет собой усредненный коммутатор, а не
корреляционную функцию 5 (г, t), как можно было бы ожидать.
Это несущественно, так как обе функции оказываются
эквивалентными.
Обычно определяют функцию отклика следующим
образом:
rMu{T,t\T',t')=^{{\l2K)[M{T,t),M{r',t)\). (2.43)
Поскольку равновесная жидкость трансляционно-инвари-
антна в пространстве и во времени: х" (г, t; г', t') = х" (•" —
— г', t — t'), можно ввести преобразование Фурье:
Х'(г-г'. (-(') =
Здесь и ниже интегрирование по частоте проводится по всей
оо
вещественной оси /dco = Jdco. Легко показать, что х" (к, со)—
— оо
вещественная, нечетная по со функция и что она зависит
лишь от k ='|к|, поскольку х" — коммутатор эрмитовых
28

X
операторов, а равновесное состояние инвариантно
относительно обращения времени и отражений и пространственно-
изотропно. Будет также показано, что для устойчивых
систем сох" {k, (о) ^ 0.
Полезной бывает комплексная функция отклика % {k, z),
определяемая выражением
^^^^^ГА^Г_(йло) (2.45)
J п w—z
Это аналитическая функция комплексной переменной z при
условии, что 1т Z Ф 0. На вещественной оси имеется
разрез. Разумеется, если z находится в верхней
полуплоскости, то X (^. 2) совпадает с преобразованием Лапласа:
X {k, z) =-- 2i ? dt ё'* x" {k, t) при Im 2 > 0. (2.46a)
0
Если 2 находится в нижней полуплоскости, х {k, z)
определяется отрицательными значениями t
о
X {k, г) = —2i Г dt ё'* х" {k, t) при Im 2 < 0. (2.466)
— оо
Физический отклик соответствует предельным значениям
X {k, z), если приближаться к вещественной оси сверху (по
«физическому листу»):
Х(^, co)slimx(^, co+ie) = x'(^. «) + ix"(^. Ч (2-47)
е-*0
где
x'(^.co) = Pf^^^5q^^; (2.47а)
Р — символ главного значения интеграла в смысле Коши,
а со — вещественная частота.
Чтобы проиллюстрировать это утверждение и объяснить
физический смысл введенных определений, возвратимся к
выражению (2.42). Отклик является сверткой по
пространственным и временной координатам. Раскладывая бЛвнешн,
а также 6<М) в интеграл Фурье
ан(г. 0= -^ -^e ^ 0/1рн,ш„(к, со),
(2.48)
получаем
б <М (к, со)> = X {К со) бЛз„,„„ (к, со). (2.49)
29
'^'^внешЕ

Следовательно, %{k, со) — комплексная динамическая
магнитная восприимчивость, которую обычно вводят в
электродинамике. Ее мнимая часть х" (^. ^)\ должна описывать
поглощение, а вещественная часть х' {k, «) — дисперсию,
как показано в учебниках. Выражение (2.47а),
связывающее обе функции, является соотношением Крамерса—Кро-
нига, которое отражает причинность, неявно содержащуюся
в выражении (2.42). А не доказанное еще утверждение о
положительности сох" (^> f^) ^ О выражает тот факт, что дис-
сипативная система многих тел получает от внешнего поля
больше энергии, чем отдает обратно.
2.6. ГИДРОДИНАМИКА И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
Теперь можно использовать более основательные
аргументы и улучшить предпринятую в разд. 2.2 попытку
установить связь между гидродинамическим уравнением
диффузии и корреляционными функциями. Рассмотрим этот
вопрос с точки зрения экспериментатора. Сначала медленно,
адиабатически, включается неоднородное в пространстве
магнитное поле бЛ (г), в результате возникает состояние с
отличной от нуля намагниченностью. При ^ = U поле
выключается и можно следить за релаксацией созданной
намагниченности при возвращении системы в равновесное
состояние. В общее соотношение (2.42) между силой и откликом
подставим внешнее поле
"Лднешн'
,в/.(г)е.. „р„ <<0; ,2.50)
I О при ^>0.
При ^ = О эта сила создает намагниченность
00
бЛ4(г, ^ = 0) = 2i fdrjdr'x"(r—r',r)e-"6/i(r'),
" (2.51а)
или
б<Л4(к, ^ = 0)> = х(^)бЛ(к), (2.516)
если использовать преобразование Фурье по
пространственным координатам, где
X(^) = limx(^,3)l =Г^^^:^. (2.52)
E-vO |Z —18 J Я (О
30

Для положительных значений ^ > О выражения (2.42)
и (2.50) дают
о
б<Л4(г, 0> =2i ^ dx\dr' х"{г—г', t—x)e^^6h{r'),
— оо
(2.53 а)
откуда с помощью преобразования Лапласа (2.86)
получаем
6 <Л4(к, г)У = Г ^ JcMfe^ g;j (к). (2.536)
J Я1 (D((D —Z)
После исключения внешнего поля и использования
соотношения (2.516) имеем
6<Л4(к, 2)> = (l/i2)[x(^, 2)х-М^)-1]й<М(к, ^ = 0)>;
(2.54)
здесь подставлена функция отклика (2.45).
Основной результат (2.54) представляет собой точное
выражение. Кроме того, он имеет такой же общий вид, как
и гидродинамический результат (2.9), и описывает тот же
самый процесс. Следовательно, при малых ^ и г, когда
применима гидродинамика, можно сравнить выражения (2.54)
и (2.9) и получить
X(^,2) = -j^^X(^). (2.55а)
В частности, положив г = со + ie i:" выделив мнимую часть,
найдем
r{k,<o)== ,^^'„" Х(^)- (2.556)
Полученная формула представляет собой правильное
предельное выражение для функции магнитного отклика. Если
все сделано согласованно, то % (k) должна переходить в
статическую восприимчивость при малых k[%^% {k-^ 0)],
поскольку в этом случае из соотношения (2.516) следует, что
б <Л4 (к)> = x8h (к) или б <Л4 (г)> = x8h (г); именно так
определяется восприимчивость. Поэтому с помощью
выражения (2.52) можно записать термодинамическое правило
сумм:
^Л1 ^iimf^r(fe.co)_ ^2.56)
= 0 ft-voj Я (О
3)
dh

Из равенства (2.556) находим
Z)X = lim[limco^-2x"(^, «)], (2.57)
Т. е. снова соотношение Кубо для коэффициента переноса.
Подчеркнем основной смысл этих результатов:
согласно выражениям (2.43) и (2.44) х" {k, «) является с
математической точки зрения строго определенной величиной.
Быть может, ее нелегко вычислить, пользуясь
микроскопической теорией, но во всяком случае точно известно, что
именно нужно вычислять (строго или приближенно). На самом
деле имеется несколько удобных методов, пригодных для
таких расчетов. Выражения (2.56) и (2.57) показывают, как
при помощи величины х" (^. ^) получить
макроскопические параметры X и D. Без сомнения, эти выражения имеют
теперь под собой более твердую основу, чем при поспешном
выводе в разд. 2.2. Покажем, что соответствующие
результаты полностью эквивалентны.
2.7. ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА
Для того чтобы убедиться в правильности приведенных
в разд. 2.2 рассуждений, т. е., например, в
согласованности выражений (2.57) и (2.28), нужно установить связь
между функциями 5 {k, со) и х" {k, со). Эту связь дает
знаменитая флуктуационно-диссипационная теорема, выведенная
в 1928 г. Найквистом [88] в виде соотношения между шумом
и диссипацией в электрических сопротивлениях. В нашем
случае эта теорема [27] утверждает, что
Х"(^. со) = (1/2Й)(1-е-^"Р)5(^, со). (2.58)
Если теорема справедлива, то соотношения Кубо (2.57)
и (2.28) действительно эквивалентны. С
термодинамическими правилами сумм (2.56) и (2.27) дело обстоит
несколько сложнее. Используя выражения (2.58) и (2.56), получаем
lim Г ^-iiiLi£L (1 _е-^<-Р) = X = lim Р f — 5 (yfe, со)..
(2.59)
Вряд ли можно сомневаться в выражениях (2.27) и (2.56),
полученных в разд. 2.4—2.6. Отметим, что если бы
выполнялось условие lim 5 {k, со)~б (со), то все было бы в по-
рядке, так как со"б (со) = О при п > О, и, следовательно,
зг

(1/Лсо) (1 — е~^^) б (со) = рб (со), поэтому совпадали бы
обе части равенства (2.59). Выполняется ли соотношение
5 {k,= О, со) ~ б (со)? В разд. 2.4 показано, что
S{k = 0,t)=^dr <Л4(г, ОМ{0, 0)> = (M^onuit)М(О, 0)>.
(2.60)
Но полный дипольный момент Л4полн (0> согласно
уравнению (2.5), сохраняется. Следовательно, 5 (^ = О, t) на
самом деле не зависит от времени и ее преобразование
Фурье
оо
5(^ = 0, со) = const j d^e'»*= const 2яб (со). (2.61)
— оо
Поэтому вопросительный знак в равенстве (2.59) не нужен
и два выражения (2.56) и (2.27) для восприимчивости
совершенно эквивалентны. Отметим, между прочим, что, если
бы величина Мдолн не сохранялась, нужно было бы
пересмотреть разд. 2.4, поскольку там предполагалось [М^олн,
Н] = 0. Такого предположения не было сделано при
выводе выражения (2.56), поэтому оно в данном случае
оказывается правильным, как можно убедиться при помощи
соотношений (2.58) и (2.36).
Поскольку вывод для х" в разд. 2.6 оказался гораздо
более убедительным, чем определение 5 в разд. 2.2,
воспользуемся первым для того, чтобы исправить второе.
Вместо выражения (2.25) должно получиться
S (k, со) = —^ ^^ л „ (2.62)
Таким образом, 5 {k, со) оказывается несимметричной по
со. При значениях со > О она несколько больше, чем при
со < 0. В самом деле, так как величина сох" (k, «) всегда
четна по со, получается, что
S{k, ~(o)^e~^"'^S{k,a). (2.63)
Этот результат приобретает особый смысл в свете
сказанного выше о нейтронном рассеянии. Согласно равенству
(2.30) 8^ = е,- — Йсо. Положительные значения частоты
соответствуют тому, что нейтрон отдает энергию системе
(создавая возбуждение с энергией Лео), в то время как
отрицательные частоты описывают процесс, в котором нейтрон
2 Зак. 1568 33

получает энергию от системы (уничтожая возбуждение).
Разумеется, уничтожить можно лишь такие возбуждения,
которые уже имеются, их относительная концентрация и
определяется множителем ё~^^. «Die Nurnberger hangen
keinen, sie batten ibn denn» (Scbinderbannes).
Асимметрия интенсивности рассеяния,
пропорциональной S {k, со), проявляется только при низких температурах
квТ < hti). В классическом пределе она отсутствует. Это
очень важный эффект в рамановских спектрах твердых тел,
где существенны оптические фононы с относительно
большой энергией. Для гидродинамических мод частота
настолько низка, что экспоненциальный множитель в равенстве
(2.62) практически равен 1.
А теперь докажем равенство (2.58). Поскольку эта
теорема часто используется, а доказательство оказывается
несложным, рассмотрим корреляции между произвольными
наблюдаемыми величинами Ai (t) и Aj (t), введя
Sij{t) = ^Ai{t) Aj{0)>~<Aj{0)y(Ai{t)y, (2.64a)
Xii{t) = <lAi{t),Aj{0)])/2h. (2.646)
В определении (2.64a) вычитается равновесное среднее,
поэтому Sij{t)-^0 при t-^oo, следовательно, должно
существовать преобразование Фурье Si] (со). Разумеется,
величина (At (t)'} не зависит от времени.
Проведем усреднение по каноническому ансамблю р =
= e~P^/Sp е-Р". Так как оператор е~Р" приводит к
сдвигу по времени на величину т = 1Щ [см. (2.42а)], то
Spe-^fiAi{t)Aj{0) = SpAi{t + ihf,)e-f^"Aj{0) =
=^-Spe-f^4Aj{0)At{t + ihf>), (2.65)
где использована инвариантность следа относительно
циклической перестановки Sp АВ = Sp В А. Вследствие
трансляционной инвариантности по времени (,Ai{t) А]{0)У =
= {Ai (0) Aj (— 0> получаем
SJ^{~t) = SiJ{t~•m = e-'^f^'^SiJit). (2.66)
Из формул (2.64) следует
2йхГ/(0 = 5о(0-5л(-0 = 11 -е-"'Рй^М5г,.(0- (2:67а)
а преобразование Фурье с учетом д(->- — ico равно
2Йх,7(со) = (1-е-й«Р)5г^(со). (2.676)
34

По существу, это—равенство (2.58). Нужно только
принять, что г, аргумент величины М (г), является индексом
оператора, подобным i. Следовательно, для
корреляционной функции намагниченности имеем уравнение
2Йхлш(г-г',со) = (1-е-й«Р)5мм(г-г',со). (2.68)
Проведя преобразование Фурье по пространственным
координатам, получим равенство (2.58), которое требовалось
доказать. Замечания по поводу этой теоремы будут приведены
в следующей главе.
2.8. ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ ВЕЛИЧИНЫ (ох'(к,(о)
В связи с уравнением (2.44) отмечалось, что
сох" (^. «) ^ О для всех ^ и со. (2.69)
Важность этого свойства ясна уже из сказанного выше.
Оно означает, как следует из равенства (2.56),
положительность спиновой магнитной восприимчивости, что является
необходимым условием термодинамической устойчивости
системы. Равенство (2.57) показывает, что это означает
также положительность коэффициента спиновой диффузии D;
подобное условие необходимо для того, чтобы система была
динамически-устойчивой [см. уравнение (2.10)]. Наконец,
поскольку вследствие флуктуационно-диссипационной
теоремы условие (2.69) равносильно утверждению, что 5 {k, со)^
^ О, оно необходимо при интерпретации функции 5 (^,со)
как спектральной плотности флуктуации.
Доказать неравенство (2.69) легко. Снова выберем
произвольный набор {Ai (t)} наблюдаемых переменных и
представим S^ {t, t') в виде
5,;(^О = <(^И0-<^|(0»(Л-(О-<^ИО»>. (2.70)
Умножая на некоторый набор функций а^ (t) и интегрируя
по достаточно большому временному интервалу, получаем
2(2Т)-1 ^ dt ^ dt'a'tit)Sij{t,t')aj{t') = {A*Ay^O,
Ч —т—т
(2.71)
где
А=^{2Т)-^/^ \dt[Ai{t)~(Ai{t)>]aAt). (2.71а)
-т
2* 35

Выбирая, в частности, «j (t) =ai exp (— iat) и вспоминая,
что Sij {t, t') = Sij {t — t'), находим в предельном случае
больших Т
(A*Ay = -^a'iSij{a)aj^O, (2.72а)
что вследствие равенства (2.676) эквивалентно условию
2й'(СохГИ«)а7>0. (2.726)
Как и ранее, индекс / оператора в рассматриваемых здесь
случаях включает непрерывную переменную г, а 2 заменя-
i
ется интегралом \dr. Выбор «£->•« (г) = ехр (ik • г) и
трансляционная инвариантность в пространстве приводят
к условию
Smm {k, со) > О или (охлгм {k, со) > 0. (2.73)
Разумеется, это доказательство нельзя считать строгим.
Его можно существенно улучшить, однако чрезмерная
математическая строгость не очень уместна, когда
рассматривают 10^* частиц. Более строгое с точки зрения физика
доказательство с динамической точки зрения, выявляющее
фундаментальную связь между неравенством (2.73) и дис-
сипативными свойствами многочастичных систем, будет
приведено в разд. 3.3.
2.9. ПРАВИЛА СУММ '
Из выражения (2.43) следует, что
(i^)V(M;r',0=<^[(i^)"M(r.O,M(r'<■)]>.
(2.74)
При совпадающих временах t = t' это означает, что
С_*£. (О" х" {k, со) = Г d (r-r') e-ik <'-'') х
x(^[MW[r,tlM{r'J)]\ (2.75)
\ ft /
где
i" MW (г, t) = (i -^X M (r, t) = ('-i-V[...[M(r, t),H]...,H].
(2.75a)
36

Таким образом, в правой части равенства (2.75) содержится
последовательность коммутаторов, взятых в один и тот же
момент времени, которую в принципе, а в некоторых случаях
и фактически, можно вычислить точно. Простейшим
является правило сумм при п = 1. (Поскольку х" {k, со) —
нечетная функция со, ясно, что все правила сумм для четных
п исчезают.) Вследствие закона сохранения (2.3) получаем
i ^x"(r-r',^-O=~V-<[J^(r,0-A4(r',O]>. (2.76)
at 2й
При совпадающих временах коммутатор легко оценить. Из
явных выражений для оператора намагниченности и
соответствующего ему тока (2.2), (2.4) находим
[]^ (г), М (г')] = iv^lm) \П [п (г) б (г-г')]. (2.77)
Это выражение является ««хорошо замаскированным
вариантом фундаментального утверждения, что коммутатор
координаты и импульса равен i^»; п (г) = 26 (г — г") —
а
ПЛОТНОСТЬ частиц (оператор). В результате получаем
правило сумм
(■ —сйх"(^,(й)=—^l2yfe^ (2.78)
J я т
Это спиновый аналог известного правила /-сумм. В
отличие от термодинамического правила сумм (2.56),
найденного ранее и справедливого только при ^ ->- О, выражение
(2.78) является точным при всех k. Можно получить и
другие правила сумм, однако вывод их становится все более
сложным.
Правила сумм дают коэффициенты разложения х {k, z)
при больших Z. Из определения (2.45) видно, что при
больших 2
1{Кг)=-У^ <"""^^)> х(^), (2.79а)
п— 1
где
<coW(;fe)>=r.J^co" X°(fe.co)rrA^x°(fe.co)1-i_ (2.796)
J П (О IJ П (О J
При выводе использовано разложение [1 — а>/г]~^ = 1 +
+ (со/г) + (со/г^) + ..., которое, разумеется, может быть
лишь асимптотическим. Оно справедливо, когда \z\
«значительно больше всех частот, имеющихся в системе», при этом
37

имеются в виду все частоты со, для которых х" {k, <»)
отлична от нуля.
Можно также связать правила сумм с разложением в
ряд Тейлора по времени t, как это следует из равенств
(2.74), (2.75). Выражение (2.79) эквивалентно равенству
t"ik,t) = ^ У _Ц^<со(''+'>(^,)>х(^), (2.80)
откуда ясно, что высокочастотное разложение
эквивалентно разложению для коротких временных интервалов.
2.10. ПРИБЛИЖЕНИЕ ВРЕМЕНИ РЕЛАКСАЦИИ
Представляется интересным уже сам факт
существования правил сумм. Термодинамическое среднее
последовательных коммутаторов, входящих в выражение (2.75),
должно существовать при всех и, и во многих случаях это
удается строго доказать. Отсюда следует, что х" {k, ^)
должна достаточно быстро убывать при больших со с тем,
чтобы все ее моменты оказались конечными.
Гидродинамическое приближение для х" {k, «) (2.556),
очевидно, не обладает этим свойством. В самом деле, хотя
для него и выполняется термодинамическое правило сумм
(2.56), оно не удовлетворяет даже первому высокочастотному
правилу с^мм (2.78). Лоренцева кривая слишком медленно
спадает на крыльях.
Ситуацию можно улучшить очень простым способом.
Поскольку явное выражение (2.556) для х" ДО сих пор
представляло собой всего лишь прихотливый способ записи
диффузионного уравнения, попытаемся теперь
усовершенствовать теорию, уточняя феноменологическое уравнение,
которое оно представляет.
Материальное уравнение
<j^(r,0> = -^V<Al(r,/)>, (2.6)
из которого мы исходим, означает, что ток мгновенно
реагирует на изменения намагниченности. Это правильно, когда
<Л1> очень медленно меняется со временем, т. е. для малых
частот. Если же <Л1 (г, ^)) изменяется достаточно быстро,
т. е. для больших частот, ток не будет успевать, и между М
и ]^ возникнет временная задержка. Поэтому вместо (2.6)
38

попытаемся написать
t
<j^ (г, 0> = -J di' D {t-n V Ш (r, t'). (2.81)
0
В этом уравнении учтена причинность: ток должен
следовать за флуктуациями намагниченности, которые его
вызывают. В качестве нижнего предела выбран момент ^ = О,
поскольку для отрицательных значений t, когда
адиабатически включается начальное возмущение, ток должен
равняться нулю. Действительно, можно показать в качестве
упражнения, что невозможно удовлетворить правилу /-сумм,
если <j'^> Ф О при ^ = 0. Вот почему неверно уравнение
Функция D {t—f), называемая функцией памяти,
учитывает все сложные быстрые процессы, вызываемые возму-
щением. Предположим для простоты, что все эти процессы
можно описать единым временем релаксации т, т. е. что
D {t — t') = (D/т) exp [— {t — t')lx\. (2.82)
Подставляя все это в уравнение непрерывности (2.3),
получаем, как и прежде,
<Al(k,2)>=i<Al(k,^=0)>[2 + iife2D/(l_i2T)]-". (2.83а)
Точно так же, как и ранее, находим функцию отклика
X {k, z) = /^ / X 2.836
z+ife^D/ll—izx)
И часть, связанную с поглощением,
(ifi-\-D^ (k^—а? % IDY
Отметим, что для функции D {t — t'), определяемой
выражением (2.82), ток можно найти из уравнения
(та, + 1) <j^ (г, 0> = - £>V <Л1 (г, ф, (2.84а)
поэтому выражения (2.83) эквивалентны
феноменологическому уравнению движения Т^/>*Ч*4'
[aH(l/T)(a,-DV'>)]<Al(r,0> = 0. (2.846)
Последние уравнения полностью соответствуют описанию
диэлектрического отклика, предло>кенному Друде и Макс-
веллом. -
.Что улучшилось? Для малых частот {(n/Dk^) сот .^ 1
выражение (2.83в) представляет собой старую лоренцеву
39

кривую гидродинамической теории. Однако теперь х" {к, со)
спадает на крыльях быстрее, достаточно быстро, чтобы
первый момент оказался конечным:
<
со(2)(у^)> = Х-Ч—'^Х"(^.») = -^-^-- (2.85)
J я т
Следовательно, выражения (2.83) дают интерполяционную
формулу, справедливую для длинных и коротких
промежутков времени, т. е. для малых и больших частот. Наконец,
потребуем, чтобы выполнялось точное правило /-сумм
(2.78); результатом будет выражение для коэффициента
спиновой диффузии:
D = n[iHlmi. (2.86)
Таким образом, получено первое правило сумм.
(Подобные идеи можно найти в работах [21, 32, 83]). Что касается
вычисления D, то на первый взгляд кажется, что результат
не оправдывает затраченных усилий, поскольку просто
заменяет один параметр (D) другим (т). Однако т значительно
"теснее связано с микроскопической динамикой. с»то следует
из природы микроскопического времени столкновений, а его
**^иЬленное значение можно оценить с помощью сечений
атомных столкновений, например в газе или, еще более грубо,
в классической жидкости. В качестве приближенной оценки
можно взять Тс из формулы (2.11). С полуколичественной
точки зрения выражение (2.86) оказывается очень полезным.
В 'Не, который при низких температурах представляет
собой вырожденную ферми-жидкость, рассеяние
значительно уменьшается вследствие принципа Паули и т -~ Т~^.
Спиновая восприимчивость сводится к хорошо известной
восприимчивости Паули и не зависит от температуры.
Поэтому из выражения (2.86) следует, что при низких
температурах D ^ Т~^ [76]; это подтверждается экспериментально.
Из выражения (2.86) вытекает также интересный
результат, касающийся поведения коэффициента диффузии
вблизи критической точки, скажем, в гейзенберговском
парамагнетике, к которому наши рассуждения можно
применить без каких-либо существенных изменений. Вблизи
ферромагнитного перехода спиновая восприимчивость % (Т)
неограниченно возрастает, однако отсюда не следует, что
сильно изменится микроскопическое время затухания т.
Следует ожидать поэтому, что коэффициент диффузии
стремится к нулю. Подобное уменьшение вблизи' критической
точки является общим явлением [см. формулу (2.10)]. Оно
40

связано, как видно из выражения (2.83в), с сильным
увеличением амплитуды спонтанных флуктуации, приводящих
к заметному рассеянию. В нормальных жидкостях вблизи
перехода жидкость—газ этим объясняется совершенно
аналогичное явление критической опалесценции (по поводу
критических явлений см. книгу [7]).
Хотя результат для х" {k, <») несколько улучшился при
переходе от выражения (2.55) к (2.83), все моменты б.ол£е
высокого порядка <(a(")(fe)> при п ^ 4 "Тгродолжают
расходиться. Теперь это легко можно исправить. Напомним,
что выражение (2.82) с временем релаксации было выбрано
лишь как частный случай. Для произвольной функции
памяти D (t) получается
Xik,z)^-= ;^:f^^; т, (2.87а)
г + 1 k^D (г)
откуда становится ясно, что «материальное уравнение с
памятью» (2.81) вводит в коэффициенты переноса зависимость
от частоты. Здесь
оо
D{z)= {dtё''D{t)={^^-^^-^, Im2>0,
J J 2я1 (В—г
О
(2.876)
оо
где D (t) и D' (со) = j'd/D (/) ехр (icot) всегда можно счи-
—оо
тать вещественными, четными функциями их аргументов.
Кроме того,
Х"(^.») =
_ 0)^2 D'(со)/2
С da' D'(a') l^
J 2я (В —со J
(2.87в)
Следовательно, функция D' (со) должна быть
положительной.
Из выражения (2.87в), а еще проще из (2.87а), видно,
что первые п моментов функции х* (^,<в) будут конечными,
если выбрать такую функцию D'{(i>), у которой конечны
первые п моментов. В частности, правило /-сумм
выполняется, если
Г^ Г ^ сох" {k,(i^) = k^\■^D^ (со) (2.88а)
41

или
D (/ = 0) = f d(x>D' (сй)/2я = «nVmx. (2.886)
Следовательно, это правило сумм всегда лишь
приписывает определенное значение функции памяти D (/) в точке
/ = 0. Подобное напоминание может оказаться полезным
для неискушенного читателя, на которого такие общие
результаты произведут, должно быть, сильное впечатление.
Сложность проблемы многих тел так просто не исчезает.
Часто предпочитают использовать «гауссову память»,
поскольку для нее конечны моменты любого порядка:
D(/) = J!!^e-"('/2-t)' или D'(со) =-^2Te-(»-t)'/rt ,
(2.89)
но подходящими могут оказаться и многие другие функции.
(Гауссовой функции отдают предпочтение по
стохастическим соображениям.)
Для больших с гидродинамической точки зрения
промежутков времени оказывается существенным лишь
интегральный эффект содержащихся в D (/) быстрых процессов. Для
произвольной функции D (/) гидродинамический
коэффициент диффузии равен
оо
D = limD(z)=fd/D(/)=—limD'(cu), (2.90)
о
что следует, например, из выражения (2.87в) и соотношения
Кубо (2.57). Это также придает более точный смысл
времени релаксации в формуле (2.86). Величина т—среднее
«время памяти»:
оо
T=D-i(/ = 0) fd/D(/). (2.91)
о
Следующий простой факт относительно зависимости D{t)
от времени известен наверняка, а именно
|D(/)|<D(/ = 0), (2.92)
что оказывается непосредственным следствием неравенства
D' (со) ^ 0. Потеря памяти с течением времени — общее
явление в природе.
42

2.11. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
ДИСПЕРСИОННОГО СООТНОШЕНИЯ
Было сказано почти все из того, что можно сказать, не
вдаваясь в более детальные микроскопические расчеты.
Однако линейное материальное уравнение (2.81) можно
несколько ушвершенствовать. Сначала в уравнении (2.6)
были учтены эффектыTmiHTH. Если, кроме того, учесть
нелокальную в пространстве связь между током и
намагниченностью (или, скорее, ее градиентом; постоянная в простран-
стве намагниченность, очевидно, не вызывает тока), то
можно получить
t
(jM(г, /)> = — f dt' j dr' D (r—r', /—/') V <iW (r', /')>.
(2.93)
Это приведет к выражению
где
0'{к,(и)=^ f d/fdrD(r,/)exp(icu/—ik-r); (2.95а)
— оо
da D'(k,a>)
D{k,z) = ^-
(2.956)
2я1 со—z
Функцию D' (к, со) можно снова считать вещественной,
четной по со и зависящей только от | к |. Ее преобразование
Гильберта D {k, z) тесно связано с величиной, которую в
теории поля обычно называют собственной энергией.
Согласно выражению (2.94) величина %" {k, со) равна
cofe^D'(fe,co)/2
~ Г С d(i) D'(ft, со) 12 ■ (2.96)
[^ + ft^coPJ —^^;i-^J+[ft^D'(ft.co)/2p
Покажем теперь, что эти формулы, заменяющие
гидродинамический коэффициент переноса величиной, зависящей
от ^ и Z, на самом деле являются общими. Поскольку
выражение (2.94) определяет функцию D {k, г) через х (^> z):
D(k z)=^[ 1 XW ]-'_ t(k,z)lk^
(2.97)
■ 43

нужно доказать только, что это выражение действительно
является аналитической функцией z при Im г -т^ О, как это
подразумевается в представлении (2.956). Теперь мы знаем,
что X (^, z) аналитична всюду, за исключением, конечно,
вещественной оси. Поэтому единственное, что могло бы
испортить дело — это обращение в нуль знаменателя
игКК г)-гт = Г^ JCli^Io (2.98)
1Z J Я1 Сй(сй—Z)
в некоторых точках z вне вещественной оси. Однако для
Z = л; + 12/ выражение
J ni Сй(сй —z) J я (со —л:)24-!/^ w
(2.99)
не может нигде обратиться в нуль {у Ф 0), так как
величина х" {k, сй)/сй неотрицательна, следовательно, равенство
(2.98) не выполняется при Imz^^O. Отсюда следует, что
определенная соотношениями (2.94), (2.97) функция D {k, z)
является аналитической и формула (2.956) —
соответствующее ее представление.
Обычно с подозрением относятся к точным, достаточно
общим результатам, когда они касаются сложной системы
многих тел. Если они настолько общие, то как можно их
практически использовать? Выше было найдено точное
дисперсионное соотношение (2.96) для %" {k, со). Однако это
не слишком много, поскольку для описания %" {k, со)
просто вводится другая неизвестная функция D' {k, со).
Действительно, можно легко получить много дисперсионных
соотношений разного вида [54]. Только что полученное,
тем не менее, полезно, поскольку в существенной области
малых ^ и со, где %" {к, со) имеет сложную аналитическую
структуру, D' {k, со), по-видимому, не имеет никаких
особенностей, а ее значение при ^ = О и со = О равно
коэффициенту спиновой диффузии:
D'(0,0) = 2D. (2.100)
Таким образом, при малых ^ и со D'{k, со) оказывается
более простой функцией, чем %" {k, со), поэтому приближенные
выражения для D' {k, со) имеют больше шансов на успех.
Все полученные выше результаты, подобные выражениям
(2.556) или (2.83в), представляют собой такие приближения.
Поучительно вывести * результат гидродинамического
приближения (2.55) из общего представления (2.94). Это
44

уравнение, или эквивалентное ему
{izf,)-^lX{k,z)-x{k)]^C{k,z) =
^\f>-'x{k)[z+\k'D{k,z)r\ (2.101)
отражает одну существенную черту динамики: закон
сохранения (2.3) приводит к появлению множителя k'^ в
(2.101), поэтому при ^ = О С {k, z) имеет полюс при z = 0.
При конечных k полюс передвигается в нижнюю
полуплоскость z, в точку Z = z" (k), которая является решением
уравнения
z<' + \k''D{k,zo)^0. (2.102)
Отметим, что в (2.102)D {k, z) нельзя рассматривать как
функцию (2.956) при Im z < 0; это — функция,
аналитически продолженная из верхней z-полуплоскости через
разрез на вещественной оси на второй лист римановской
поверхности. Для значений z, не сильно отличающихся от
решения z" {k) уравнения (2.102), можно разложить медленно
меняющуюся функцию D {k, z) и получить с точностью до
членов первого порядка
z + \k''D {k, z) = [z—zo {k)] Z-i {k),
где
Z-i {k) = l+]k''dD {k, zo)/azO; (2.103)
следовательно, вблизи z" (k)
C{k,z)=Z{k)if,-^X{k)[z-zO{k)]-^. (2.104)
Постоянная Z {k) — вычет в полюсе, она аналогична
нормировочной константе для волновой функции в теории поля.
С точностью до k'^
zo{k)^\k^D{0,0) и Z{k) = \. (2.105)
Это и есть гидродинамическое приближение, оно придает
точный смысл утверждению, что формула (2.55) представляет
собой строгое асимптотическое выражение для
корреляционной функции.
Упомянем, наконец, еще одно приближение, которое,
напротив, пригодно в случае высоких частот и коротких
интервалов времени. Оно получается при замене функции
D {k, t) ее значением при t = О, D (k). Другими словами,
можно сказать, что D {k, z) заменяется первым членом ее
высокочастотного разложения: D {k, z) = (i/z) D {k) +
45

-\-D{z~^). Постоянная D{k), как и ранее, определяется
правилом /-сумм, и равна
= -^, (2.106)
так 4ToD (k) вещественна и положительна. Подставляя этот
результат в выражение (2.94), получаем
X{k,z) = -k^D{k)x{k)[z'-k'D{k)]-\ (2.107)
Следовательно, на высоких частотах, когда справедливо
это приближение, имеет место реактивное, а не
диффузионное поведение. Существует мода, "пбДйбНЗ'й звуковой,
скорость ее распространения при малых k равна
а =ck; с^ = lim D {k) = limk-^ <cu(2) (yfe)> = -^. (2.108)
ft-*o ft-*o mi
Эта особенность — реактивное поведение на высоких
частотах — представляет собой довольно общее явление. Рас-
смотрим второй пример: нормальная жидкость, подобная
воде, на низких частотах является вязкой; она не
оказывает сопротивления медленно изменяющимся сдвиговым
силам. Если вы плавно ныряете в океан, он не причинит вам
вреда. Однако на высоких частотах жидкость становится
упругой: если вы падаете в море из высоко летящего
самолета, то вашим последним впечатлением будет, что вода как
будто заморожена.
Этим заканчивается на данный момент то, что
следовало сказать о нашем простом примере — спиновой диффузии.
Ясно, что большая часть сказанного в равной мере применима
и к другим диффузионным процессам. По крайней мере,
для спектра при малых частотах и волновых векторах был
использован, в основном, лишь факт сохранения
намагниченности. Наш подход можно полностью применить к
изотропному гейзенберговскому парамагнетику [21], который
можно описать также с помощью простого
диффузионного уравнения. (Для больших длин волн структура
решетки не имеет значения.) Разумеется, в рассмотренном
выше случае жидкости диффузия происходит благодаря
переносу спинов атомами жидкости, в гейзенберговском
парамагнетике атомы остаются неподвижными в соответствующих
узлах решетки. Диффузия намагниченности осуществляет-
46

ся за счет взаимодействия между соседями, приводящего
к перевороту спинов.
Кто-либо из читателей может поинтересоваться, почему
намагниченность считалась скалярной величиной.
Конечно, М (г, /) — (псевдо-) вектор, а jff — тензор. Однако
векторный характер М совершенно не относится к делу.
Причина в том, что гамильтониан Н сам по себе инвариантен
относительно вращений в спиновом пространстве. Благодаря
этому свойству, которое, конечно, тесно связано с
существованием закона сохранения (2.5), можно считать
величину М (г, /), которая является вектором в пространстве
спинов, скаляром в реальном пространстве. При желании
можно всюду писать Мх ^ ]^Л у- и z-компоненты подчиняются
в точности тем же уравнениям, с той же константой
диффузии и т. д.
Наш подход годится также и для множества других
процессов. Примером может служить броуновское движение
тяжелой частицы, погруженной в жидкость, состоящую из
легких частиц. В гл. 6 этот процесс будет рассмотрен в
несколько иной формулировке. В данном случае отношение
масс mIM играет роль введенного выше волнового вектора k.
Перенос поперечного импульса в нормальной жидкости
также подчиняется закону гидродинамической диффузии,
и все сказанное выше применимо, после внесения
соответствующих изменений, и к этому процессу. Однако продольные
характеристики, которые должны учитывать сжимаемость
и флуктуации температуры, усложняются из-за того факта,
что оказываются связанными несколько
гидродинамических мод. Другой, совершенно новый факт, следует
учитывать в таких системах, как гейзенберговский
ферромагнетик, сверхтекучий гелий и жидкие кристаллы. Это
упорядоченные системы, и нам придется обсудить, каким образом
наличие упорядоченности влияет на структуру мод.

Глава 3
ФОРМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ
Основная задача данной главы — собрать воедино
полученные ранее формальные результаты и обобщить их на тот
важный случай, когда нас интересуют корреляции
нескольких физических величин. В простом примере спиновой
диффузии речь шла лишь об автокорреляционной функции
^MAfif", i'> г', t') для намагниченности, т. е., по существу,
о вероятности обнаружить намагниченность в
пространственно-временной точке г, /, если известно ее значение в точке
г', /'. В случае жидкости имеются несколько величин,
представляющих интерес: плотность частиц п (г, /), плотность
импульса g (г, /), плотность энергии е (г, /) и др. Все они
динамически связаны. Локальный разбаланс плотности
энергии (т. е. неоднородность температуры) приведет,
например, к пространственному изменению плотности частиц.
Следовательно, приходится рассматривать такие
корреляционные функции, как S„e (г,/; г',/') = [<п (г,/) е (г',/')> —
— <п (г, /)><е (г', /')>], или, поскольку оказалось, что
усредненный коммутатор несколько больше относится к делу,
такие функции отклика, как х"„е (г, /; г', /') = <(1/2Й) [п (г, /),
е (г', /')]>. Следовательно, будут рассматриваться общие
свойства корреляционных функций от многих переменных,
большая .часть которых получается непосредственным
обобщением случая одной переменной. Мы будем излагать общий
квантовомеханический подход, с которым на самом деле
даже проще иметь дело, а там, где это будет необходимо,
указывать классические пределы. В этой главе мы во многом
следуем работе [76] (см. также [24]).
3.1. ЛИНЕЙНЫЙ ДИНАМИЧЕСКИЙ ОТКЛИК
Теперь нас интересует динамика некоторых
наблюдаемых величин {Aj (г, /)}. Если каждая из них связана со
слабым внешним полем баЧ"^""'(г, /), то при наличии этих
полей гамильтониан в представлении Шредингера равен
3e{f) = H-J, fdM,-(r)6a™«"'«(r,/). (3.1)
Как и в разд. 2.5, с помощью зависящей от времени теории
возмущений найдем линейный отклик. Таким образом, мы
48

хотим найти величину (В (г, /)>неравн = <В (г, /)>равн +
+ б <В (г, /)> для некоторой переменной В (г, /), если при
/ = — оо состояние было равновесным и система
развивалась под действием M{t). Рассуждая точно так же, как и в
разд. 2.5, получаем
б (В (г, /)> = 2 J dt' j dr' /-i-[B (r, /), Л^г', П]\ X
X6a«"«""'(r',/')• (3.2)
В частности, связанное с этим отличие переменной At от
ее равновесного значения таково:
б (Ai (г,/)> =2 j dt' j dr' %yJi (r, /; r', t') 8af-'-« (r', /'),
— oo
(3.3)
где функция отклика теперь является матрицей и для транс-
ляционно-инвариантной системы равна
xi;-(r,/; г', о = хг7(г-г',/-/') =
= <(1/2й)[Л,.(г,/), Л;(г',0]>. (3.4)
Если, как обычно, ввести ее преобразование Фурье
Хо-(к,со)= j d(/-О jd(r-r')exp[i©(/-/')-
— оо
-ik.(r-r')]x,v(r-r',/-/') (3.5)
и матрицу функций отклика
Хг/ (к, z) = '- , Im Z # О, (3.6)
J я со—Z
то можно записать равенство (3.3) в виде
б < Л г (к, со)> = Xij (к, со) бапнешн (к_ а), (3.7)
где
XI/(к, со) = lim Xi;(k, z) |г=ш+,-8 =
е-»-0
= p\^J^^^+iX^,0.,^ 3.7а)
J я со —со
и где, как и впоследствии, подразумевается суммирование
по повторяющимся индексам. Эти выражения совершенно
аналогичны формулам разд. 2.5. Отметим одно небольшое
49

отличие: %"/ (к, со) при / Ф ] необязательно должна быть
вещественной. Однако х,7 (к, со) всегда вещественна.
Выражение (3.7) справедливо для произвольных внешних полей;
оно определяет х^; (к, z) как матрицу динамических воспри-
имчивостей. Теперь в качестве примера снова медленно
(адиабатически) включим внешние поля и выключим их
при положительных временах:
бавнеш„(г,/) = ]^"'-('-)^*" "Р« ^<0' (3.8)
I о при />0-
При / = О такое поле (скорее, набор полей) создает
изменяющиеся в пространстве значения 6<Л/(г, / = 0)>,
преобразования Фурье для которых согласно (3.3) равны
б <Л,- (к, /= 0)> = Xi;(k) бау(к) (подразумевается 2)>
' (3.9)
где
,,,(k)^r^J^M!^. (3.10)
J я со
в предельном случае, когда Ьа (г) медленно изменяется в
пространстве, т. е. при малых к, величина х,-/ (к -^ 0)
снова сводится к набору статических восприимчивостей, или
термодинамических производных. Например, находим, что
I J я
lim
- id
г dp
(3.11)
к -». о J я СО 3[i
Однако это несколько преждевременно.
При t> О система вначале находится в неравновесном
состоянии (3.9) и предоставленная самой себе начинает
приближаться к равновесию. Если ввести
б<Л!(к,г)> = |Ле'^'б<Лг(к,/)>, (3.12)
о
то из равенств (3.3) и (3.8) получим
б<ЛИк,г)>=Г-^4^«"Ик), (3.13)
J Я1 сй(ш—г)
или, использовав приведенные выше определения и
статическое выражение (3.9), придем к фундаментальному
результату
б<Лг(к,2)>=(1/1г)[х(к,2)х-Чк)-1Ь;б<ЛЛк,/ = 0)>,
(3.14)
50

который нужно рассматривать как матричное уравнение.
Будет показано, что матрица % (к) положительна, поэтому
всегда существует матрица ей обратная.
Отметим преимущества выражения (3.14) по сравнению
с (3.13). Внешние поля баг, которые иногда трудно
реализовать физически, исключены, а процесс релаксации
представлен теперь как задача с начальным условием. Выражения
(3.13) и (3.14) являются, конечно, обобщением формул
(2.53а) и (2.54). В самом деле, в данном разделе просто
переписаны в матричном виде уравнения из разд. 2.5 и 2.6. Жизнь
так проста. Иногда.
Все рассуждения проведены с использованием
операторов, однако легко и просто можно перейти к классическому
пределу. Действительно, поскольку ft входит явно лишь
в определение функции отклика (3.4), соответствующие
классические выражения получаются заменой равенства (3.4)
следующей классической формулой:
гЫг,/; г',/') = <(i/2) \Ai (г,/), Л;(г', /')]с.п.>. (3.15)
Другими словами, все изложенное выше остается без
изменений. Как обычно, входит скобка Пуассона, которая
является классическим эквивалентом коммутатора, деленного
на Ш, если сами рассматриваемые наблюдаемые имеют
определенный смысл в классической теории [3]. Определение
скобок Пуассона стандартно. В классической теории
динамические переменные Л; (г, /) являются функциями
канонических координат г" и импульсов р" всех частиц в
некоторый, один и тот же для всех, момент времени, скажем,
/ = 0. Тогда
[Лг(г,/),Л;(г',/')]с.п.=
(3.16)
где Aj (r, /) ^ Aj (r, /; ... r", p" ...). Для проверки этих
утверждений можно воспользоваться уравнением Лиувилля
dtp{t)^[3e{t),p{t)]c.n. при р(/=-с») = ро. (3.17)
В классическом случае матрица плотности р (/)
превращается в Л^-частичную функцию распределения в фазовом
пространстве р (/) = р (/; ... г", р« ...); с ее помощью обычным
образом определяются средние:
< Л (г, /)> = Sp„^ р (/) А (г, /)/Sp^ р (/). (3.18)
51

Здесь 5р„л — классический интеграл по фазовому
пространству. Для читателя может оказаться хорошим
упражнением решить уравнение (3.17) с точностью до членов
первого порядка по внешним полям и воспроизвести тем самым
все формулы данного раздела.
3.2. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ
У матрицы функций отклика имеется несколько свойств
симметрии, которые можно непосредственно получить из
ее микроскопического определения (3.4). Вывод этих свойств
настолько прост, что мы оставляем его в качестве
упражнения. Уставшие могут воспользоваться статьей [541.
3.2.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Равновесная система инвариантна относительно
трансляций во времени, т. е.
Х,7 (г, /; г', П = хГ/ (г, г'; /-/')• (3.19)
Следовательно, можно ввести преобразование Фурье
tij (г, г'; со) по переменной, соответствующей разности
времен.
Три дополнительных свойства отражают тот факт, что
Х,7 является коммутатором эрмитовых операторов Л; (г, /),
Которые, по предположению, определенным образом
меняют знак при обращении времени. Эти свойства таковы:
Х//(г, /; г', /') = -и (г', /'; г, /) (коммутатор); (3.20а)
= —Ы; (г, /; г', /')Г (эрмитовость); (3.206)
= — е[е[хг7(г, —/; г', —/') (обращение
времени) (3.20в)
или для преобразования Фурье
хГИг,г';со) = —хНг',г;-со); (3.21а)
= -1х/Иг.г';-'й)Г; (3-216)
= -еГе[х//('-.'-';-'^)- (3.21в)
Величина е^ равна + 1, например, для плотности массы
или энергии и — 1 для плотности импульса или спина.
Равенства (3.20в) и (3.21в) справедливы для систем, у которых
как гамильтониан, так и ансамбль инвариантны по
отношению к обращению времени. Подобная ситуация встреча-
52

ется чаще всего. Разумеется, если система находится в
магнитном поле В, оно меняет знак при обращении времени.
Поэтому более общий вид равенств (3.20в), (3.21в) таков:
Xl'i{r,t;r'.t';B) = -ej ej x[i{r,-t;r',-t';-By, (3.22a)
Xo(r, r'; со; В) = -e[ e[ x//(r, r';-co;-B). (3.226)
Величина В необязательно соответствует внешнему полю.
В ферромагнетике она может описывать спонтанно
возникающее внутреннее поле. А именно, в то время как в
ферромагнетике в отсутствие внешних полей гамильтониан
инвариантен относительно обращения времени, состояние
неинвариантно. Если вы перевернете все спины, ось
спонтанной намагниченности также повернется.
3.2.2. ИЗОТРОПНЫЕ СИСТЕМЫ
Мы в основном будем иметь дело с изотропными
системами, которые, кроме того, инвариантны относительно
пространственных трансляций, вращений и отражений
(четность). Тогда
X'i (г, /; г', /') = xl'i (г-г', /-/'); (3.23)
= efefx,7 (-г. ^-.-г'. О (четность), (3.24)
где ef описывает изменение знака At (г, /) при
отражениях, т. е. е^= 1 для плотности массы, энергии, спина и т. п.,
а для плотности импульса е^ = — 1. Соответствующие
соотношения справедливы для преобразований Фурье
х//(к. со).
Полезно разделить различные свойства симметрии по
их действию на к, со и переменные индексы /, /. Получаем
Xi) (к, со) = ef ej ef ef [хГ/ (к, со)]* = ef е[ ef ef Х/" (к, со) =
= -e[ejx.7(k, -co) = ef ef хо(-к.со). (3.25)
Следовательно, %i) (к, со) при замене / ♦->■ / является либо
вещественной и симметричной, либо мнимой и
антисимметричной. Обычно справедливо первое; одна из немногих
практически используемых корреляционных функций
х" (к, со), которая оказывается мнимой, соответствует
связи между плотностью импульса g и спиновой плотностью S.
Мы еще не использовали инвариантности
относительно вращений. В этом случае из общих формул удается полу-
53

чить очень мало. Однако вопрос достаточно прост.
Например, корреляционная функция плотности Хпп (к, со) в
жидкости должна быть скаляром. Но из к можно образовать
только один скаляр: k^. Таким образом, %пп (к, со) должна
быть функцией лишь от ^ = | к |. Рассмотрим теперь
корреляционную функцию плотности импульса %"g.g. (к,со).
Она должна быть тензором. Но из к можно образовать три
тензора: Ь^, kikj и 6,-^ kf,, где 6j/—символ Кронекера,
а e,/ft — символ Леви—Чивита. Поэтому
Xg.g.(к, со) = б,-; А{k, со) + ki kjВ {k, со) + Eifhkh С{k, со),
(3.26)
где три функции А, В v С зависят только от ^ = |к|. На
самом деле С {k, со) = О, поскольку Xg-g. четна при
отражениях. Таким образом используется симметрия.
3.2.3. КРИСТАЛЛЫ
Идеальный кристалл, разумеется, инвариантен по
отношению не к произвольным трансляциям, а только к
таким, которые переводят каждый узел решетки в
эквивалентное положение. Это означает, в частности, что равенство
(3.23) теперь несправедливо. Преобразование Фурье
должно поэтому содержать два волновых вектора, один из
которых оказывается дискретным, отражая периодичность
решетки. Вопрос, в сущности, тривиален. Обычно применяют
формулу
X'iik, со) = V-1 j dr j dr' e-ik.(r-r') ^,r. (r, r'; CO). (3.27)
если используемые в экспериментах длины волн 2л/^
существенно превышают постоянную решетки.
3.3. ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ ВЕЛИЧИНЫ cux"(ft,cu)
И ДИССИПАЦИЯ
В разд. 2.8 было доказано важное свойство
положительности, а именно что величина сох" (^. ^^) неотрицательна;
приведенный там способ доказательства применим и к
функциям многих переменных. Основное утверждение
заключается В.ТОМ, что для любой устойчивой системы
величина сохТ/ (г, г'; со) является положительно определенной,
54

если ее рассматривать как матрицу с индексами /, г и /, г',
или в трансляционно-инвариантных системах
2а*сйхГ/(к,сй)а;^ О (3.28)
для произвольных Oj.
Наше прежнее доказательство было статистическим и
опиралось на флуктуационно-диссипационную теорему,
которая остается справедливой и в данном случае. Очень
поучительно, однако, подойти к этому вопросу с другой,
динамической, точки зрения, которая излагается в работе
[54] и выясняет динамический смысл неравенства (3.28).
Рассмотрим полную энергию W (/) = Sp р (/) Ж (/) и
скорость ее изменения
X -1-ба^нешн (г,/) = _2 |^Г[<Лг (г,/)>рав„ +
+ б <Лi (г, /)>] -^ 6а f"^"-" (г, /). (3.29)
Вклад дает лишь внешнее изменение '^5<ба''"^™(/).
Внутреннее изменение -- Sp р (/) Ж{0 = {Щ-'^ Sp [р (/), ^(/)] Ж (/) =
= (iS)"^ Sp р(/) {M{t), Ж (/)] обращается в нуль.
Равновесный член в среднем не дает вклада в выражение (3.29).
Полная работа, совершаемая над системой, должна быть
положительной и равной
т т
д^ = j d/ ^ = 2 j d/ ргба^нешн (г, /)^ б<ЛДг,/)>,
—г ' —г
(3.30)
где Т настолько велико, что внешние поля за пределами
интервала (— Т, Т) исчезают. Используя теорему Винера—
Хинчина [которая утверждает лишь, что \dtA* (/) В (t) =
= \ ^ Л* (со) В (со)] и общий результат (3.7), получаем
с точностью до членов порядка {ЬаУ
^W=[-^ f^(-i) 2баИк,со)(охи(к,«))баДк,(о),
(3.31)
где Хгу (к, со) определяется формулой (3.7а). Поля baj (г, /)
вещественны, поэтому Ьа) (к, со) = baj (— к, — со). Сле-
55

довательно, соответствующая интегралу в, смысле главного
значения часть выражения (3.7а), которая оказывается
нечетной при замене к, со; //-> — к,— со; /, /, не дает вклада
в равенство (3.31). Поэтому получаем выражение (3.32)
Д W = Г -^ f -^ 2 ба! (к, со) сох,-/ (к. ш) 6aj (к, со) > 0.
которое в диссипативной системе должно быть
положительным. Поскольку внешние поля можно выбирать
произвольно, отсюда следует неравенство (3.28).
Разумеется, наше утверждение относится лишь к
устойчивой системе. В теории цепей сказали бы, что оно
справедливо для «пассивной цепи». Лазер после накачки не
является диссипативной системой, и неравенство (3.28) не
годится на частоте излучения. Однако оно определенно
применимо к любой системе, находящейся в состоянии
теплового равновесия. Переохлажденные жидкости? — Да, для
них оно также справедливо. Это неравенство означает
устойчивость относительно бесконечно малых возмущений.
В этом смысле переохлажденная жидкость несомненно
устойчива (метастабильна). Чтобы она закристаллизовалась,
ее необходимо встряхнуть мягко, но довольно решительно.
3.4. ПРАВИЛА СУММ
Так же, как в разд. 2.9, из равенства (3.4) получаем
J-^ вхч(г. г";■«) = (^-^Ii»!-41 (г.0. ■4;(r-,0|)-
-/i[[...[^,(r,0.f]...,f].-4,(r-,')]>. (3.33)
Из этих выражений, которые в некоторых случаях можно
вычислить точно, получаются коэффициенты разложения
функций отклика Хг/ (^> ^) при больших z. На практике их
применяют для интерполяционных схем, как это
обсуждалось в разд. 2.10, 2.11, поскольку правила сумм
представляют собой единственный результат, используемый при
численных расчетах, который можно строго получить из
основных принципов. Самым важным правилом, подобным
уравнению (2.78), является правило/-сумм для
корреляционной функции плотности частиц:
-^ щ:п{г, г'; со) = — (V-V') (п(г)> б(г-г'). (3.34а)
я т
56
I

или г — сйх«« (к, ш) = — к^ (3.346)
J я т
для трансляционно-инвариантной системы. Его
доказательство аналогично доказательству уравнения (2.78).
3.5. ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА
Снова отметим, что вся работа уже проделана в разд. 2.7.
Если определить флуктуационные функции в состоянии
теплового равновесия равенством
S,.,.(r,r';co)= J ^(/_/')е'-»('-'')<(Л,.(г,/)-
— с»
~(Ai (г, /)» {АJ (г', t')~(Aj (г', /')»>, (3.35)
то из формулы (2.676) можно получить
Хг/ (г, г'; со) = (2Й)-1 (1 -е-й»Р) Sj, (г, г'; со), (3.36а)
или хг/(к,сй) = (2Й)-1(1—е-й»Р)5гИк,со) (3.366)
в трансляционно-инвариантной системе. Другой полезной
функцией является симметризованная с^уктуационная
(|)ункция
Фг;(г, r';t-n = <(1/2) (Л; (г, /), Aj(г', /')}>-
-<Лг(г,/)><Л,.(г',0>. (3.37)
преобразование Фурье которой (рц (г, г'; со) равно
Фг;(г, г'; со) = Й cth {Пф2) хг/(г, г'; со), (3.38)
поэтому ее свойства симметрии можно получить из свойств
Xliir, г'; со).
В классическом случае функции S и ф совпадают, а
(|)луктуационно-диссипационная теорема выглядит так:
Xi)(г, г'; со) = (Р/2)со5г; (г, г'; со) (3.39а)
или xii{r.r';t-n={^/2)\dtSij{r,r';t~t'). (3.396)
В качестве упражнения можно вывести уравнения (3.39)
на основе классической теории, не обращаясь к квантовой
механике. При этом окажется полезной работа [76].
Теперь становится понятным название этой известной
теоремы. Она связывает в любой системе, находящейся в
состоянии теплового равновесия, две физически различные
57

величины, имеющие важное значение для эксперимента.
С одной стороны, спонтанные флуктуации, возникающие
даже в отсутствие внешних сил из-за теплового движения
составляющих систему частиц. Описываемые величиной S,
эти флуктуации приводят к рассеянию нейтронов или
света. А с другой стороны — диссипативные характеристики
многочастичных систем, соответствующие тому факту, что
вся работа, совершаемая внешними силами, или ее часть,
необратимо рассеивается по бесконечно большому числу
степеней свободы систем. Это характерное свойство, как мы
видели в последнем разделе, описывается величиной %".
Первое свойство является, по существу, статистическим
(хотя и механическим по происхождению), а последнее, в
основном, механическим (хотя и не без участия статистики).
Наше доказательство проведено с использованием
канонического ансамбля '^ е—Р'^; оно переносится без
изменений и на случай большого канонического ансамбля
^e-P(H-nJV) На самом деле, как показывает обсуждение
рассеяния нейтронов, приведенное после формулы (2.63),
теорема справедлива и в более общем случае. При
динамическом доказательстве можно использовать ее
фундаментальную связь с принципом детального равновесия.
Действительно, в какой-то степени теорему можно
применять для введения температуры в описание
корреляционной функции. Именно это ее фундаментальное свойство
наиболее явно используется в методе функций Грина,
развитом в работе [73] (см. также [4]).
Это замечание существенно для таких систем, как
ферромагнетики и сверхтекучие жидкости, в которых имеется
спонтанное упорядочение. Если такие системы описывать
с помощью канонического или большого канонического
ансамбля, то флуктуационно-диссипационная теорема для
некоторых переменных оказывается непригодной. В этом
случае необходимо ограничить ансамбль (введя параметры
порядка) таким образом, чтобы теорема вновь стала справедливой.
Далее будут приведены примеры такой процедуры.
В заключение этого раздела приведем еще одно
относящееся сюда замечание. Любой теории многочастичных
систем свойственны две характерные черты: одна
механическая, связанная с уравнением Шредингера или уравнениями
движения Ньютона, а другая — статистическая,
относящаяся к рецепту усреднения по соответствующим образом
выбранному ансамблю. Первая принципиально .проста, хотя
и трудна для практического использования, последняя же
58

гораздо более запутана. Разумеется, эти два аспекта
никогда не удастся полностью разделить.
Однако, как мы отмечали выше, функция отклика
Х" (г, г'; /) является в основном механической величиной.
Об этом свидетельствует способ вывода линейного отклика,
характеризуемого величиной х"; этот вывод является чисто
механическим, лишь неявно связанным с вопросами
статистики. Это очень ясно показывает правило /-сумм (2.78),
которое справедливо для любого стационарного ансамбля
и не содержит ничего, кроме закона сохранения (2.3) и
коммутатора (2.77). Флуктуационные функции S (г, г'; /)
и ф (г, г'; /) значительно сильнее связаны со статистикой.
Даже при их определении (3.35) и (3.37) нам пришлось
вычитать постоянные величины, чтобы избежать вкладов в
спектр, содержащих б (со), и утверждать, что благодаря
статистической независимости величины А (г, /) от А (г', /') при
больших |/ — /'I эти члены равны (АУ. Такое
предположение связано со свойствами, подразумевающими
эргодичность [68], а это неясный вопрос. Поэтому лучше
строить теорию на основе более механических и простых функций
отклика х" (г, г'; /), включая впоследствии свойства
флуктуации с помощью теоремы Найквиста.
Функции отклика %" обладают дополнительным
свойством, которое очень подходит для систем с дальним порядком
(сверхтекучие жидкости и др.). Нас всегда будут
интересовать локальные наблюдаемые величины А (г), т.е.
переменные, которые зависят лишь от свойств частиц (координат,
импульса, спина) в малой окрестности точки г. Даже для
квантовых систем, в которых частицы неразличимы, это
понятие имеет смысл; А (г) зависит только от полей
рождения и уничтожения 1|з+ (г), 1|з (г') с малыми | г — г' |,
скажем, порядка радиуса действия сил. Это означает, что
коммутаторы lAi (г), Aj (г')] обращаются в нуль, когда г'
далеко отстоит от г; следовательно, функции x/J (г, г'; ^ = 0)
и их производные по времени при ^ = О или правила сумм
^(о''Х./(г.г';(о). я>0, (3.40)
п
очень быстро убывают при | г — г' | ->- оо. Они оказываются
короткодействующими. Можно доказать квантовомеханиче-
ски, что коммутаторная функция '///(г, t; г', t') должна
обращаться в нуль, если г' далеко отстоит от г, поскольку
в этом случае измерения величин Л г (г, t) и Aj (г', t')
независимы.
59
I

Это не всегда справедливо для статистических функций,
например
5гИг,г';/ = 0) = |-^5г;(г,г';(о). (3.41)
Основным свойством упорядоченных систем является то,
что некоторые функции подобного типа очень медленно
убывают при I г — г' I -> оо, как I г — г' |~* (см.
корреляционную функцию плотности импульса в сверхтекучих
жидкостях, гл. 10) или даже как | г — г' \~^ (см. корреляционную
функцию поперечных компонент спина в ферромагнетиках,
гл. 7). Этого проявления дальнего порядка, разумеется,
нельзя избежать, оно существует и очень важно для
эксперимента. Однако статическая корреляционная функция
S (г, г'; / = 0) является, в сущности, интегралом по
времени от функции х" (Г) г'; 0> это видно из формального
выражения (2.67а) или более явно из классического
уравнения (3.396). Следовательно, в теории, основанной на
величине %", дальнодействующий характер корреляций
проявляется как интегральный эффект.
В связи с этим полезно ввести еще одну корреляционную
функцию С (/), определенную таким образом, чтобы
формула (3.396) стала квантовомеханической, т. е.
id, Cij (г, г'; /) = (2/Р) Xi/ (г, г'; /). (3.42)
Это — функция Кубо [64], ее можно записать в виде
Р
Ctj (г, г'; /-/') = р-1 j dp' KAi (г, t) А J (г', /' + i^p')> -
-<Лг><Л;>], ° (3.43)
как это следует из флуктуационно-диссипационной
теоремы. Нам уже встречалось ее преобразование Лапласа:
с»
Си (г, г'; г) = j d/ е'^' C^j (г, г'; /), Im z > 0; (3.44а)
о
= 6^\ , lmz=^0; (3.446)
J ni й)(й)—г)
= (l/izP) ixijir, г'; z)-%ij (г, г'; Ю)], (3.44в)
непосредственным образом описывающее релаксацию.
Некоторые последние замечания увели нас несколько
вперед, потому что рассматриваемая в следующей главе
система — нормальная жидкость —не обладает дальним
порядком. Кто, однако, откажется от несколько
преждевременных упоминаний о предстоящих затруднениях?
60

Гл a в a 4
НОРМАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ
В этой главе развитые выше методы будут применены к
анализу флуктуации в нормальной (изотропной,
несверхтекучей) жидкости или газе. Представляют интерес
флуктуации нескольких физических величин: плотности числа
частиц, импульса, энергии, энтропии и некоторых других.
Наиболее существенными из них являются флуктуации
плотности, спектральная функция которых равна
Snnik,(o)= j d/jdre"^'-'>-'<(«(r,0-«)(«(O,O)-rt)>,
— оо
(4.1)
где п (г, /)—оператор плотности частиц; п = {п (г, /)>равн—
равновесное значение плотности.
Величину Snn (k, со) называют динамическим
структурным фактором, это одна из самых важных величин в теории
многочастичных систем. Именно спектр флуктуации
плотности измеряется в экспериментах по неупругому
рассеянию света, рентгеновских лучей и нейтронов. Здесь
перечислены лишь некоторые случаи его применения. В типичном
эксперименте по рассеянию света на кювету с жидкостью
направляют лазерный пучок с частотой coj и волновым
вектором кг и регистрируют рассеянный свет с частотой со^ =
= (Oj — (О и волновым вектором к^ = kj — к (рис. 4.1):
|k| = 2|kJsin(9/2). (4.2)
По аналогии с магнитным рассеянием нейтронов,
обсуждавшимся ранее, интенсивность рассеянного света, как
показано в Приложении, равна
' расе
кг-к
СО;
■со.
-со
= [Множители] S„n (к, со).
(4.3)
В скобках содержатся
кинематические множители,
которые для наших целей
несуш,ественны.
Эксперименты по
рассеянию света были выполне-
«У^, Ki
Рис. 4.1
61

S(Kcj)
Н^
для малого
ФиксироОанного к
сн
и
Рис. 4.2
ны на многих жидкостях и газах (см., например, книгу [25]).
При низких частотах спектр выглядит так, как показано на
рис. 4.2. Имеются три лоренцевы линии: центральная «рэ-
леевская линия» (связанная с тепловой диффузией) и две
симметрично смещенные «бриллюэновские линии»
(обусловленные звуковыми волнами). Значительная часть этой
главы будет посвящена расшифровке этого спектра.
Поскольку длина волны света существенно превышает
межатомные расстояния в жидкости, следует ожидать, что
для объяснения этого спектра достаточно континуальной
теории. Действительно, все его детали удается получить,
исходя из феноменологических линеаризованных
уравнений Навье—Стокса, описывающих динамику жидкости,
точно так же, как в гл. 2. был получен простой лоренцев
спектр для флуктуации намагниченности с помощью
уравнения спиновой диффузии (2.7). (На самом деле, как будет
ясно из дальнейшего, наш подход, соответствующий работе
[54], равносилен выводу уравнений гидродинамики; этот
факт, по-видимому, многие недооценивают.)
Рис. 4.2 содержит экспериментальное подтверждение
того, что гидродинамической теории должно быть
достаточно: измеренная ширина тред линий пропорциональна k^;
они становятся чрезвычайно узкими при рассеянии вперед,
когда ^->0. Следовательно, каждая из линий должна
отражать коллективный процесс, время жизни которого
т {k) ~ k~^ обращается в бесконечность при ^ -> О — это
признак гидродинамического процесса.
В разд. 2.1 было показано, что существует
гидродинамический процесс, связанный с каждой сохраняющейся
локальной переменной. Поэтому будем исходить из пяти уравнений
непрерывности для плотности частиц п (г, /), плотности
импульса g (г, /) и плотности энергии е (г, /):
62

dtti (г, /) + V • g (г, t)lm= О — сохранение числа частиц;
(4.4а)
^tgi (г, t) + V/T^y (г, /) = о — сохранение импульса; (4.46)
3t'e (г, /) + V • j= (г, /) = О — сохранение энергии. (4.4в)
Здесь js — микроскопическая плотность потока энергии
(оператор), а микроскопический тензор напряжений г^ —
поток импульса.
Для определенности выпишем микроскопические
выражения для этих величин, несмотря на то что их явный вид
будет использоваться редко. Рассмотрим случай «простой»
жидкости, т. е. множества тождественных точечных частиц
массы т, взаимодействующих посредством парного
центрального потенциала у(г) = у(|г)), который является
короткодействующим. Для благородных газов, подобных
аргону, это подходящее описание. Гамильтониан в этом
случае равен
Н = ^р112т + ^"'^ t;(|i--rP|). (4.5)
А микроскопические выражения для классической системы
[в случае квантовой механики их следует просто симметри-
зовать по г" и р«, как в формуле (2.4)] таковы:
rt(r,/) = S6(r-r«);
(4.6)
gi(r,0 = SPf6(r-r«);
e(r,/) = 2
pI
1
2/п 2 a-^p ^
6(r—r«);
Tu(r,0=2'^^^-^6(r-r«)-4 2 r?Pt^i(r«P)x
1
хГ^?^б|г-
0
/f(r,/)=2
m
r"+rP
Яг«Р
2 , 1 '^
- Д i ^' ^^ (^"') (^/ + ^^) f'f-^' -7'"') •
63

где r«P = r« — rP и Vi (r) = ViV (r); координаты r" и
импульсы p" всех частиц следует определять в момент
времени /. Подобные, лишь несколько более сложные
выражения можно написать для молекулярной жидкости. На
самом деле, все полученные в данной главе
гидродинамические результаты полностью справедливы также и для
изотропных молекулярных жидкостей.
Используемый в этой главе метод описан в гл. 2.
Другой подход, который будет развит в последующих главах
и применен в гл. 10 к сверхтекучим жидкостям, легко
можно приспособить и к описанию нормальных жидкостей.
4.1. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ
Уравнения непрерывности являются строгими с
микроскопической точки зрения, но они не образуют еще полной
теории. Как и в случае спиновой диффузии, их следует
дополнить макроскопическими материальными уравнениями.
Для того чтобы собрать вместе все уравнения, которые
составляют линеаризованную гидродинамическую теорию,
сначала запишем их, а затем займемся объяснением.
Законы сохранения:
dt rt (г, /) -f V • g (г, t)/m = 0; (4.7а)
dtgi{r,t)+\}r,j(r,t) = Q; (4.76)
AtBir,t)+\-mr,t) = Q. (4.7в)
Материальные уравнения:
<g(r,/)>=mrtv(r,/); (4.8а)
-(2/3) V-v (г, t) 6;;]-CV-v (г, /) б;,.; (4.8б)
<p(r,/)>=(e-fp)v;(r,/)-xVr(r,/). (4.8в)
Термодинамические соотношения:
\р (г, /) = (др/дп)г V <п (г, /)> + (др/де)^ V <е (г, /)>; (4.9а)
Vr(r, /) = (dT/dn)s\<n (г, 0> + (дТ/де)„ V <е(г, /)>• (4.96)
Здесь п, е, р — соответственно равновесные значения
плотности, плотности энергии и давления; например, п —
= {п (г, /)>равн. Величины р (г, /), Т (г, /) и V (г, t) —
локальные значения давления, температуры и (средней)
скорости в состоянии, отвечающем неравновесному потоку.
64

Коэффициенты в уравнении (4.9) — обычные
термодинамические производные. А три коэффициента переноса в
уравнении (4.8) называются сдвиговой вязкостью т), объемной
вязкостью t, и теплопроводностью X.
Это уравнения Навье—Стокса, описывающие динамику
жидкости (см., например, [5]). Они линейны, потому что
мы их сделали такими; в общем случае имеются, например,
члены '^ ViVj в Xi]. Однако величина %" соответствует
линейному отклику, поэтому для вычисления %" достаточно
линеаризованной феноменологической теории. Отметим, что
теперь система уравнений замкнута. Подставляя
выражения (4.8), (4.9) в (4.7), получаем пять связанных уравнений
для пяти плотностей <л>, <g>, <е>. Разумеется, в эти
уравнения входят несколько коэффициентов, оставшихся пока
не определенными, а именно термодинамические
производные и коэффициенты переноса. Это параметры
гидродинамической теории, точно такие же, как коэффициент спиновой
диффузии в гл. 2.
Перейдем теперь к объяснению. Гидродинамика
справедлива в том случае, когда после короткого начального
периода быстрого и сложного движения система достигла
локального рановесия, т. е. такого состояния, в котором,
например, давление в точке г, / находится в равновесии с
локальными значениями плотности и плотности
энергии.Такое положение дела, когда р (г, /) = Рравн (« (г, 0. е (г, /)),
отражено в уравнениях (4.9).
Не содержащие производных реактивные члены в
уравнениях (4.8) имеют такую же природу и могут быть
получены с помощью преобразований Галилея. В общем случае
соотношения между величинами в стационарной среде и в
среде, движущейся с постоянной скоростью v, таковы:
g (г, О = go (r-v/, f) -f vmrtO(r-v/, t); (4.10a)
r,s{r,t) = rt) + vt gl + vj g't + V, V, mno, (4.106)
n(r, t) = if + vj(xFi + en,j)+ViVjg'y)-f
+ (vV2)(g'>t + v?nOm), (4.10b)
что легко можно проверить с помощью уравнений (4.6).
Все величины с индексом О относятся к покоящейся
системе, а их аргументами служат (г — \t, /). Но в нормальной
покоящейся жидкости g" = jj = О и Х{) = p&ij. Для
системы, движущейся с локальной скоростью v (г, t), опуская
члены порядка v^, получаем реактивные члены уравнений
(4.8).
3 Зак.Ч668 65

Диссипативные члены в уравнении (4.8) учитывают тот
факт, что температурный градиент \Т(г, t), например,
вызывает поток энергии даже в том случае, когда средняя
скорость равна нулю. Аналогичным образом два члена в
уравнении (4.86), которые являются единственными
совместимыми с условием изотропности, учитывают вязкие
напряжения, связанные с градиентами скорости ViVj. Член б/^-^
-^ 'к [Vv]; допускается симметрией относительно
вращений, однако исключается из-за условия четности.
Таким образом, уравнения (4.8) представляют собой
результат разложения плотностей потока до членов первого
порядка по градиентам локальных сопряженных сил v (г, /),
Т (г, t) и р (г, /). Если это так, то нам следует оправдать
отсутствие диссипативных потоков, вызываемых градиентом
давления. В общем случае: почему отсутствуют члены вида
6g = -Kn'Vp/n+X„,\T/T- (4.11а)
8U'-(e + p)g/mn] = -\„'Vp/n, (4.116)
которые допускаются симметрией? Ответ состоит в том, что
эти члены нарушили бы условие сохранения импульса.
Доказательство этого факта представляет собой хорошее,
но не тривиальное упражнение. Отметим соотношение Он-
сагера Кпд = \п> которое будет доказано ниже. В
действительности ответить на этот вопрос гораздо легче при
помощи корреляционных функций, поэтому мы отложим его
до разд. 4.6. (Аргументы, приведенные по этому поводу в
книге [5], не совсем правильны. Действительно,
выполняется неравенство 'кппУ-Т' — ^п? ^ О, поэтому если ^-^п =0,
то и ^-„5=0. Но условие ^-„„ = 0 можно получить лишь из
того факта, что сохраняется поток плотности частиц, т. е.
поток импульса.)
4.2. РЕШЕНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
Уравнения Навье—Стокса представляют собой в общем
случае довольно сложную задачу (см., например, [28]).
Выписывая уравнения (4.7) — (4.9), мы уже чрезвычайно
упростили ее, опустив нелинейные члены. Помимо этого
исключим граничные условия, рассматривая связную среду
неограниченных размеров. В терминах преобразований
Фурье .по пространственным координатам получаем тогда
простую задачу с начальными условиями. -
66

4.2.1. ПОПЕРЕЧНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
Подставляя уравнение (4.86) в (4.76), находим
dt<e\r,t))+\p(r,t) ^±I!/L-V(V.<g(r,0»-
тп
^V='<g(r,/)> = 0. (4.12)
тп
Это уравнение разделяется на продольную и поперечную
части. Плотность импульса g, подобно любому вектору,
можно представить в виде
g(r,/) = gj(r,/) + g,(r,/), (4.13)
где
[Vg,]-0 и V-g, = 0. (4.13а)
Для поперечной компоненты имеем
(а,~^ vj<g,(r,/)>-0. (4.14)
Это уже хорошо знакомое нам уравнение диффузии. Как
и в разд. 2.1, используем для решения преобразования
Фурье—Лапласа (Im г > 0):
с»
<gi(k.z)>- {dli'» f dre-i""<g,(r,()>. (4.15)
^Ше'-j
Решение поперечной задачи с начальным условием таково:
<gt(^,z)y = \{z + \k'r]/mn)-^{gt{k,t^-0)y. (4.16)
Обратите внимание на диффузионный полюс в точке г =
= — ik\/mn в нижней полуплоскости, который
соответствует гидродинамическому времени жизни т (к) = mn/k^r\->-
-v оо при k~^ 0.
4.2.2. ПРОДОЛЬНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
Другие уравнения немного сложнее, поскольку они
связывают продольные переменные. Используя материальные
уравнения (4.8) и законы сохранения (4.7), находим
5,<rt(r,/)>+V.<gj(r,/)>/m = 0; (4.17а)
dt <gj(r, /)> + \р (г, /)-[(С+4т1/3)Мш] V (V• <gj (г, /)»=0;
(4.176)
dt<e{r,t)y+{e + p)\-{gi{r,t))/mn-yiV'T(r,t) = 0.
(4.17в)
3* 67

Второе уравнение на самом деле является скалярным,
поскольку все его члены пропорциональны V, т. е. к.
Комбинируя уравнения (4.17а) и (4.17в), получаем
dt[<е(г, t)y-±tL^n(r, t))\->iV'Т(г, /) = 0, (4.18)
откуда следует, что, по-видимому, удобнее вместо
плотности энергии ввести переменную
<7(r,0 = e(r,/)--^±^rt(r,/). (4.19)
п
Ее физический смысл становится очевидным из
термодинамических соотношений (4.9), которые после обычных,
вызывающих головную боль термодинамических
преобразований принимают вид
\р (г, /) = (dp/dn)s V <rt (г, /)> + (V/T) (dp/dS)^ V <<7(r, /)>;
(4.20а)
\Т (г, /) = (дТ/дп)з V <п (г, /)> + {V/T) (dT/dS)r, V<<7(r, /)>,
(4.206)
где S — полная энтропия. Эти уравнения определяют
q (г, /) как оператор для (умноженной на Т) плотности
энтропии. Соответствующее термодинамическое тождество
таково:
Tnd (S/N) = de—(& + р) dn/n, (4.21)
где S/N — энтропия, приходящаяся на одну частицу.
А теперь выпишем еще раз три продольных уравнения
(4.17). С учетом соотношений (4.19), (4.20) они выглядят так:
5i<rt>+V<gj>/m = 0;
[а^-[(4л/3 -f t,)/mn] vn {gi) + (dp/dn)s V <n> -f
+ (V/T){dp/dS),,W{q)^0;
[d,-yi(y/T) {дТ/dSh vn <g}~yi{dT/dn)s V\ny = Q,
(4.22)
где мы опустили аргументы (г, /). Эти уравнения снова
имеют вид (2.7) или (4.14), отличие состоит лишь в том, что
теперь имеются три связанных уравнения. Чтобы упростить
немного их внешний вид, введем несколько обозначений:
Dj = (4V3 + C)/mrt;
tnnc, = {T/V){dS/dT)^; mnCp=^{T/V){dSldT)p;
с' - {dp/dm.n)s = {ср/с,) {др/дтп)т. (4.23)
68

Величину Di называют продольным коэффициентом
диффузии; тс^ и тСр—теплоемкости, приходящиеся на одну
частицу, соответственно при постоянном объеме и давлении,
а адиабатическая сжимаемость с^ оказывается равной
(квадрату) скорости звука.
Вновь, как и в уравнении (4.15), проведем
преобразование Фурье—Лапласа. После этого уравнения (4.22)
записываются в матричном виде:
Z
—kmc^
■ иг /дТ
дп Js
—k/m
z + ik^Di
О
Т
др_
dS
^ ^^\ k
О
z + \k^
тпсу
X
X
<п(к,г)>
<gj(k,z)>
<'7(к, г)>
<п(к,/ = 0)>
(q{k,t^Q)y
(4.24)
Будем считать, что мы получили ответ, и оставим
обращение матрицы 3 X 3 в качестве домашнего задания. Однако,
для того чтобы извлечь из полученных формул физический
смысл, нам нужно найти полюса величин <л (k, г)> и других
в комплексной г-плоскости. Это означает, что следует
приравнять нулю определитель матрицы (4.24). При малых k
возникающее при этом кубическое относительно г
уравнение удается решить и найти с точностью до членов -^ k^:
Z = ± ck — ik^T/2 (звуковые полюса), (4.25а)
г = — \кЮт (тепловой полюс). (4.256)
Здесь постоянная тепловой диффузии равна
От = к/тпСр, (4.25в)
а. коэффициент затухания звука
r = Dj + Dr(-^ —1
(4.25г)
Отметим, что все три полюса лежат в нижней половине
комплексной г-плоскости (это может служить утешением для
озабоченных устойчивостью) и что все они, конечно,
являются гидродинамическими: т {к) ^ k~^.
69

4.3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРАВИЛА СУММ
Мы решили гидродинамическую задачу с начальным
условием и получили уравнения (4.16) и (4.24), которые имеют
такую же форму, что и (3.14), и, следовательно, допускают
сравнение с рассмотрением той же проблемы в терминах
корреляционных функций. Однако чтобы провести это
сравнение, нам нужно знать по меньшей мере при малых k
статические восприимчивости Хи(к)> которые не определяются
уравнениями движения. Эти восприимчивости, как уже
было показано в разд. 2.4, можно найти с помош,ью
равновесной статистической механики. Прежде чем их выписывать,
введем полезное обозначение. Уже анализировались
ограничения, накладываемые симметрией на корреляционную
функцию плотности импульса. В соответствии с этим можно
разделить ее на продольную и поперечную части:
llii, (к, со) = -^ X/ (.k, со) + (б, ~-^) xl (.k, со).
(4.26)
Ясно, что такое разделение эквивалентно проведенному в
уравнении (4.13). Величины Хи(^> со) являются веш,ествен-
ными функциями от ^ = I к I, нечетными по со.
Восприимчивости таковы:
ИтХпп(^) = ИтГ-^х;;.(^.«)/« = «(4^) : (4-27а)
k-*o ft-*oJ п \ dp IT
lim tnn (k) = lim Г -^ гч, {k, (o)/(o = mncp T; (4.276)
limx„,(^) = limr^X;;,(^.co)/co = rf-^) ; (4.27b)
Xi (^) = j" -7- X/ {k, (o)/co = mn; (4.27r)
lim %t (^) = f — XJ {k, (o)/(o = mn; (4.27д)
Xg,r.(k) = Xg,,(k) = 0. (4.27e)
Последние два уравнения (4.27e) — следствие
симметрии относительно обраш,ения времени. Согласно
уравнению (3.25) величины Xg'!(k. со)/© и Xg.</(k. со)/со
являются нечетным'и функциями от со и интегралы от-них по частоте
обращаются в нуль при всех k.
70

Уравнения (4.27а)—(4.27в) получаются в результате
анализа, аналогичного приведенному в разд. 2.4.
Рассмотрим, например, уравнение (4.27?). Флуктуационно-дис-
сипационная теорема (3.36) дает
tun {k) -\^ ^пп {k, со) (1 -е-й-Р)/йсо. (4.28)
Далее, отметим, что в предельном случае k—>- О S„„ (k, сй)'~
'^ б (со), поскольку сохраняется полное число частиц Л^ =
= [dm (г, /). Таким образом, можно записать
lim Хп„ {k) = lim р Г -^ S„„ {k, со) = lim ps„„ {k, t Ф 0),
(4.29)
или
Хпп(^ = 0) = Р<п(Л^-<Л^»> = (Р/У)<(Л^-<Л^»''>. (4.30)
Наконец, в большом каноническом ансамбле
п = -^^ = Sp е-Р (^-Ji^) Л^/Sp е-Р (Ч-v-n) (4.31а)
и, следовательно,
~\ ={^iy)i^^-i^y^ = n[^\ . (4.316)
o\i /p,v V ар JT
Последнее уравнение следует из термодинамического
тождества dp = nd[i + (5/V) dT, связывающего давление р
с химическим потенциалом ^i. Это доказывает уравнение
(4.27а). Два других термодинамических правила сумм
(4.276), (4.27в) получаются аналогичным образом после
некоторых термодинамических преобразований.
Сделаем еще два замечания. Во-первых, отметим, что
формально для любых Л и 5 имеет место соотношение
1
-^8ре-Р(^-^в)Л|х = о = 8ре-Р^Г^Р'еР'^^Ве-Р'^Л,
ол J
(4.32)
откуда следует, что
(^] =рС„„(й=0,/=0)=Г-^Х;.(^=-0,со)/со, (4.33)
где С„„ — функция Кубо, определенная равенством (3.43).
Таким образом, для доказательства уравнений (4.27) необ-
71

ходима флуктуационно-диссипационная теорема, а законы
сохранения не обязательны.
Второе замечание касается нашего выбора ансамбля.
Если бы мы опрометчиво интерпретировали выражение
(4.30) для канонического ансамбля, в котором полное число
частиц фиксировано, то получили бы %пп (k = 0) = 0.
При конечных k, когда величина fe~^ мала по сравнению
с линейными размерами сосуда, %пп (k) описывает локальные
флуктуации плотности частиц и не зависит от выбора
ансамбля (среди подходящих ансамблей —
микроканонического, канонического и т. п.), так же как йот граничных
условий. Чтобы исключить такую зависимость, следует
рассматривать бесконечную среду,т. е. сначала переходить к
пределу V-)-oo с обычным условием, что N/V = п
фиксировано, и лишь затем устремлять k к нулю. Если же в
практических расчетах мы хотим положить lim %{k) равным
%{k = 0), то это можно сделать, лишь выбрав такой ансамбль,
который допускает локальные флуктуации Л^ даже при
конечном V, т. е. как будто система заключена в объеме V,
являющемся частью значительно большей системы, с которой
она свободно обменивается частицами (и энергией). Это
как раз характерное свойство большого канонического
ансамбля.
Уравнение (4.27г) сразу же следует из правила f-сумм
(3.34), которое, в свою очередь, соответствует коммутатору
ln(r),g(r')]--i^Vn(r)6(r-r'), ' (4.34)
где величины берутся в один и тот же момент времени.
Нужно только учесть сохранение частиц
а, п(г, /) = -V.g (г, t)/m = -V-gj (г, t)/m (4.35а)
в виде
со*» %"пп (k, со) = k^ %", (k, (0)1 т\ (4.356)
чтобы из (3.34) получить уравнение (4.27г). Отметим, что
это правило сумм справедливо при любых k.
Для классических систем поперечное правило сумм
(4.27д) также верно при всех k. Согласно классической
флуктуационно-диссипационной теореме (3.39)
'хг,г,.(к) = р|-^5г.г.(к,со) =
■ =р jd-(r-r')e-"'-<'-'''<gi(r)g;(r')>. . (4.36)
72

Теперь легко вычислить классическое равновесное среднее.
В каноническом и большом каноническом ансамблях
импульсы различных частиц не коррелированы, поэтому
<P"Pf) = би^ар rnl^. Поскольку В классической теории
средние величины по координатам и по импульсам факто-
ризуются, получаем
<gi (г) g/ (г')> = би (mn/P) б (г ~г'), (4.37а)
где использованы явные выражения для плотностей;
следовательно, для любых k
Xgjg;(k) = \-^ %eig] (к. а>)1(л = тпЬ11. (4.376)
В квантовой теории поперечное уравнение (4.27д) имеет
место лишь в предельном случае ^ ->- 0. Оно справедливо в
этом случае потому, что при очень малых k, или очень
больших длинах волн, продольные и поперечные флуктуации
неразличимы.
Если не происходит ничего непредвиденного.
Разумеется, это непредвиденное происходит: в сверхтекучем
гелии, а также в сверхпроводниках, где суш,ествует
макроскопическая квантовая когерентность фаз, одним из
следствий которой является тот факт, что продольные и
поперечные флуктуации различаются даже при бесконечной
длине волны, или более точно:
lim Г—хИ^.«)/® = Ри</пп- (4.38)
ft-*0 J It
Макроскопические проявления этого свойства
сверхтекучих жидкостей очень суш,ественны, и гл. 10 будет посвяш,ена
их обсуждению. Пока же возвратимся к нормальным
жидкостям, где все довольно просто.
4.4. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ
ФУНКЦИИ
Есть два подхода к задаче о релаксации при малых
амплитудах: первый, описываемый уравнениями (4.16) и (4.24),
является макроскопическим и справедлив только в случае
малых частот и волновых векторов; второй, соответствую-
ш,ий обычно уравнениям (3.14), оказывается
микроскопически строгим для любых k а Z. Сравнивая оба подхода,
получаем предельные гидродинамические выражения для
микроскопических корреляционных функций. Простей-
73

шей из них является корреляционная функция плотности
поперечного импульса х/' (^. (^)- Из выражений (4.16) и
(3.14), используя функцию Кубо, определенную
равенствами (3.42)—(3.44), при Im г > О находим
^ ' ^ J п й)(й)-г) z+ik^r\/mn ^ '
Вычисляя мнимую часть в точке г = со + iO, получаем
— ^"^(^' '^) = .^Z^> ,. • (4-40)
Снова замечаем, что эта функция имеет знакомую
диффузионную структуру. Отметим, между прочим, что сдвиговая
вязкость т) должна, разумеется, быть положительной,
выражение (4.40) подтверждает это, поскольку щ! (k, со) ^ 0.
Продольные корреляционные функции можно получить
аналогичным способом. Конечно, теперь нам придется найти
матрицу, обратную (4.24), но при таких малых k, что
(PTk^f^c^k\ (4.41)
это не так уж страшно. Для функций Кубо получаем
выражения
ik^ Dt
c..(*.^)-iP-r(^)J—
c^k^ + izk^T
+ 1 . (4.42в)
Эти выражения являются строгими в следуюш,ем смысле:
если фуякции Кубо Q; {k, z) записаны в виде суммы
вкладов от отдельных полюсов
z\+Hk) z^-Hk)
z—ck + ik^ Г/2 z+ck — ik^ Г/2
74
(4.43)

то гидродинамика правильно определяет положения
полюсов с точностью до членов порядка k^ и вычеты Ztj с
точностью до членов '^ k. Отметим, что все отличные от нуля
восприимчивости четны по k, поэтому, например, ijin {k) =
=п idnldp) + О (k^).
Из выражений (4.42) легко находим части %" [k, со),
соответствующие поглощению:
дп \ Г (cJcp)c^k^T
a>^ + (k^DTf { ср J (a>^—c^k^f+(a)kT)^ J'
(4.44a)
± ^ {k, CO) = mncp T ^ ; (4.446)
^x:,(*,<o)=«(^)4-
(\—c„lcp)k^DT I J c^ (afi—c^k^fti^DT
.t;,{k,^) = T{^]
(5!lZ^i^!)^LD^l . (4.443)
После такого бурного натиска читатель поймет, что
корреляционные функции для плотностей действительно
имеют очень сложную аналитическую структуру при
гидродинамически малых fe и (0. Мы не выписали корреляционных
функций, содержащих плотность продольного момента
gi, поскольку для любых А
сох^'л (fe, со) = Хг;Л (fe, со) fe/m (4.45)
вследствие сохранения частиц.
Теперь попытаемся понять, что же мы получили.
Существуют два процесса: один соответствует распространению,
а другой — диффузии. С точностью до членов -^ k
диффузионная мода описывает флуктуации переменной,
отвечающей энтропии q (г, /) = е (г, /) — ^ ^ п (г, t). Как
следует из выражения (4.446), локальная флуктуация
энтропии распространяется посредством процесса
случайного блуждания с температуропроводностью Вт = к/тпСр.
Только при очень низких температурах, когда (dT/dn)s =0,
диффузионная мода представляет собой чисто
температурную флуктуацию [см. уравнение (4.206)].
Другие моды совпадают, разумеется, со звуковыми
волнами, распространяющимися с лапласовой скоростью зву-
75

ка c= {др1дтп)у^. Их затухание является вязким, как это
следует из выражения (4.25г), но содержит также и
тепловую часть '^ X. Только при очень низких температурах,
когда Ср та с„, распространяющаяся мода представляет
собой чисто механическую флуктуацию плотности.
Интересно различие между ньютоновой,
изотермической, скоростью звука с^ = {др/дтп)]/'^ и наблюдаемой
адиабатической с = (dp/dmn)y'^. Исторически теория
Ньютона, которая являлась чисто механической, могла быть
исправлена лишь значительно позже, когда было признано,
что тепловые процессы отличаются от механических.
Величина Cn превращается в с благодаря связи флуктуации
плотности и энергии. В простых микроскопических
теориях такую связь часто опускают, в результате возникает
изотермическая скорость звука. Читатель может
развлечься, выполнив интересное упражнение и повторив расчеты,
которые привели нас к выражению (2.107), применяя те же
самые рассуждения не к намагниченности, а к плотности
частиц. При этом получится дисперсионное соотношение со =
= Cn k + О (k^), означающее, что высокочастотный звук
является изотермическим.
Различие в сложности между, скажем, Хпп и %t
поразительное. Плотность поперечного импульса сохраняется, она
к тому же не связана с какими-либо другими
сохраняющимися величинами. Этот факт и дает в результате простую
диффузионную структуру. Плотность (и ее корреляционная
функция) оказывается сложнее в силу двух причин.
Во-первых, ее поток, т. е. плотность продольного импульса,
сохраняется сам по себе; вследствие этого флуктуация
плотности может «проскочить» положение равновесия и
приблизиться к равновесному состоянию осциллирующим
(распространяющимся), а не диффузионным образом. И во-вторых,
плотность связана еще и с другой сохраняющейся
величиной — плотностью энергии.
Последний член в выражении (4.44а) не очень важен,
пока речь идет об экспериментах по рассеянию света, и его
часто опускают. Однако этот член необходим для того,
чтобы величина Хпп {k, со) удовлетворяла правилу f-сумм
(3.34) и, следовательно, согласовывалась с сохранением
импульса. Кроме того,' гидродинамические выражения
(4.44) исчерпывают все термодинамические правила сумм
(4.27). Это не удивительно: наш вывод гарантирует
выполнение этих правил сумм с точностью до членов -^ k. Од-
76

нако ни одному из правил более высокого порядка, такому,
как jdco оу'х , удовлетворить не удастся. Это полностью
соответствует нашим рассуждениям в разд. 2.10;
гидродинамические корреляционные функции оказываются точными
при малых ^ и (О, но слишком медленно убывают при
высоких частотах.
4.5. РАССЕЯНИЕ СВЕТА
Выражение (4.44а) — старый, хорошо известный
результат, впервые полученный в работе [66]. Его значение
для экспериментаторов заключается в том, что величина
%пп (k, со) ИЛИ, скорее,
S„„ (k, со) = 2^ (1 ~e-ft»P)-i х'^п {k, со) - 2кв Тхпп (к, со) /со,
(4.46)
является как раз той, которую измеряют во многих
экспериментах по рассеянию света [см. формулу (4.3)]. (При
(О ^ ck, где с « 10" см/с и, скажем, k « 10* см~^,
2Л (1 — е~^Р"')~^ = 2/^(0 для достижимых температур). В
самом деле, поскольку максимальное значение величины k =
= 2ki sin (6/2) равно А^^х — ^^г ^ 10* см~^, k значительно
меньше обратной длины свободного пробега в жидкостях и во
всех, кроме очень разреженных, газах. Частота со также
мала, порядка 10*с~^ или меньше, поэтому наша
гидродинамическая теория должна быть полностью применима.
И из экспериментов по рассеянию света извлекают
множество сведений.
Чтобы показать это, рассмотрим рис. 4.3, на котором
довольно подробно представлен спектр. Прош,е всего из него
ЗШ
■ Рэлеебснай
линия
Бриллюэнобская
линия
Отношение
площадей
ы
Рис. 4.3
77

получаются следующие величины: скорость звука (по
положению бриллюэновской линии), коэффициент затухания
звука Г (по ее ширине) и температуропроводность (по ширине
центральной линии). Для определения изотермической
сжимаемости {дп/др)т или отношения теплоемкостей Ср/с„ =
= тс^ {дп/др)т, по-видимому, необходимо воспользоваться
правилом сумм (4.27а) и, следовательно, выполнить
абсолютные измерения интенсивности. Такие измерения
сложны и, кроме того, трудно получить точные сведения о
множителях, содержаш,ихся в уравнении (4.3), в частности о
поляризуемости. К счастью, для получения величины Ср/с„
достаточно относительных измерений интенсивности,
поскольку отношение половины плош,ади рэлеевской линии к
плош,ади одной из бриллюэновских линий равно {Ср/с„)—1.
Читатель может убедиться в этом с помош,ью выражения
(4.44а) или, значительно прош,е, рассмотрев вычеты в
формуле (4.42а). Итак, измеряя рэлеевское и бриллюэновское
рассеяния, получают следуюш,ие величины:
-^;№] ; Dr = -^; Z), = (-fr, + ?)/mn.(4.47)
с„ \дтп/т тпср \ 3 //
Настояш,ий урожай! Посмотрим, однако, что требуется для
этих измерений. Сдвиг частоты а ^ ck чрезвычайно мал,
^10* с~^, если сравнивать его с частотой падаюш,его света
-^ Ю^^с"^. Поэтому требуются источники света с хорошей
монохроматичностью, другими словами, лазеры.
Необходимы TaipKe очень точные измерения сдвига частоты, что
достигается с помош,ью интерференционной методики,
специально изобретенной для того, чтобы повергать в трепет
теоретиков.
Предположим, что мы смогли выполнить такие измерения
величины Хпп {k, со) или S„„ {k, со) для всех А и со. С помош,ью
рассеяния рентгеновских лучей и нейтронов, а также
машинного моделирования молекулярной динамики, пред-
ставляюш,его собой теоретический эксперимент (см. краткий
обзор [23]), можно выполнить по меньшей мере часть этой
программы. Что еш,е мы получили? Зная массу частиц т,
можно было бы найти, даже из гидродинамического спектра,
плотность массы п благодаря правилу f-сумм \d ((й/я)(йх
X Inn {k, со) = k^ (п/т). Кроме того, можно получить
статический структурный фактор S (k) ^ S„„ {k, t = 0),
поскольку
S{k) = квТ j d(ox;'„{k, (о)/Я(о (4.48)
78

для классической системы. Если известен потенциал
взаимодействия V (г), удается определить давление и энергию,
а именно из выражения (4.6) находим
^ = ±nkBT+-^n'^dTv{r)g{r); (4.49)
р^пквТ ^- n'^dTrv'{r)g{r), (4.50)
где g (г) — парная корреляционная функция;
«'g(|r-r'l) = < S б(г-г«)б(г'-гР)> =
==«' + j-^e=''(r-r')[S (&)-„] (4.51)
и v' (г) = dt) {r)ldr. Зная е, можно получить теплоемкость
тпс^ = {де/дТ)п- Поэтому теоретику следовало бы
вычислить Хпп, а еще лучше — корреляционную функцию
плотности импульса Xg.g., поскольку ее поперечная часть
Xt определяет сдвиговую вязкость т). С помощью Xg g (k, со)
удалось бы получить все термодинамические и
гидродинамические параметры для классической системы и
значительную их часть для квантовой системы.
Упомянем, наконец, особые свойства, проявляющиеся
в том случае, когда жидкость находится вблизи своей
критической точки, где {др/дп)т^-0. Имеют место три эффекта.
Во-первых, полная интенсивность рассеяния света
становится очень большой согласно термодинамическому
правилу сумм (4.27а). Это явление критической опалесценции. Во-
вторых, если при низких температурах бриллюэновские
линии выражены заметнее центральной, поскольку Cj,ivc„,
то вблизи критической точки отношение Ландау — Пла-
чека {Ср/с„) — 1 становится очень большим, потому что
Р " тп^[ дТ }п\др )т ^
Следовательно, вблизи критической точки значительная
часть интенсивности сосредоточена в центральной линии.
Энтропия сильно флуктуирует, в то время как более
механические по своей природе звуковые волны изменяются
мало, этого и следовало ожидать из физических
соображений. В-третьих, хотя полная интенсивность рэлеевской
линии возрастает, ее спектральная ширина сильно
уменьшается, так как Вт = y-lmnc-p, а Ср ->- со. Это — явление
79

критического замедления, уже встречавшееся в разд. 2.10.
Если измерения проводятся при температуре, отличающейся
от критической на 0,0Г, после каждого изменения
температуры вы можете сходить в кино, поскольку система очень
медленно возвращается в состояние равновесия.
Как уже говорилось в разд. 2.10, коэффициент переноса,
которым здесь является х, определяется локальными
быстрыми флуктуациями и потому должен быть
нечувствительным к крупномасштабной перестройке, происходящей в
критической точке. Этот аргумент, неявно содержавшийся в
ранней теории [101], качественно подтверждается: х/Ср~^ О
в точке Тс- В последнее время, однако, было обнаружено,
что X также имеет слабую сингулярность.
Экспериментальная и теоретическая ситуация в исследовании
критических явлений описана в книге [7]. С появлением идеи о
ренормализационной группе [106] в этой области
наблюдалась значительная активность, однако потребовалась бы
еще одна книга, чтобы описать ее (см., например, [72]).
4.6. ВЫРАЖЕНИЯ КУБО
ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕНОСА
Из полученных нами выражений (4.44) можно найти,
выполняя соответствующие предельные переходы,
коэффициенты переноса. Необходимые предельные переходы
соответствуют малым k и (О,когда гидродинамическая теория
становится строгой. Следовательно, соотношения ,Кубо,
которые мы получим, являются точными выражениями,
связывающими макросЧсопические измеримые величины
\у], х и т. п.) с лежащей в их основе микроскопической струк^
Из формулы (4.40) получаем сдвиговую вязкость
■П = lim [limсохГ (^, (^)/k^]. (4.53а)
й)->-0 k-*-0
Аналогичным образом из соотношения (4.44а) находим
продольную вязкость
." -1 л + ? = lim [lim т^ со^ х-шЧ^. «)/^*] =
о й)->-0 k-t-0
= nm[\im(ox1{k,(x>)/k\ (4.536)
й)->-0 k->-0
поскольку т^(х)^х"пп {k, со) = k^xJ {k, со) вследствие сохра*
нения частиц [см. выражение (4.45)]. И, наконец, корреля»
80

ционная функция энтропии (4.446) дает теплопроводность
хГ = lim [lim (OX?? (^' ^)/^^^- (4-53 в)
й)->-0 k->-0
Таким образом, все три коэффициента переноса,
встречающихся в гидродинамике нормальной жидкости, записаны
в виде выражений, имеющих одинаковую структуру,
которая нам уже встречалась в уравнении (2.57), а именно
^Ав = lim [lim сохлв{k, (o)/k^] (4.54)
й)->-0 k->-0
для коэффициента переноса Кав, связанного с
сохраняющимися величинами А, В. Оказывается, что для нормальной
жидкости достаточно диагональных величин X.
Коэффициенты Клв входят в материальные соотношения в виде
6<j^(r, 0> = -^лв^б6(г, О, (4.55)
где 8Ь — термодинамическая сила, сопряженная с
переменной б <Л>: 8Ьп = б р/п, bbq = bTjT и т. д., как будет
видно из дальнейилего более систематического изложения
(см. также работу [74]). Плотности потоков определяются
следующим образом:
а, А (г, О + Vj if (г, О = О и а, Б (г, t) + V, if (г, t) = 0.
(4,56)
Отметим, что хлв (^' «) = хЬл(^, «), если Л и Б одинаковым
образом изменяют знак при обращении времени и
отражении. Тогда
%Ав == ^вл- (4-57)
Это и есть знаменитые соотношения Онсагера.
Если воспользоваться законами сохранения (4.56) и
флуктуационно-диссипационной теоремой (3.38), то можно
выразить коэффициенты переноса через корреляции потоков,
как мы это уже делали в уравнении (2.1^bJa). В общем случае
из (4.54) получаем
?^лв = Ит[Ит-^ f dt^dre^''^^-'^-'{{if {r,t),
— oo
/f(0,0)}>, (4.58)
где ii =■■ k'j — продольная компонента плотности потока.
(Нет необходимости вычитать постоянные члены </^> </в>,
как в уравнении (3.37), поскольку их преобразование
Фурье -~ б (со) и >ie дает вклада в предельном случае
81

to-^0). Подобная процедура, с учетом инвариантности
относительно вращений, дает гидродинамические
коэффициенты переноса в инвариантной форме:
оо
й)-+о ft-+o 12йдГ J J
(4.59а)
AksT
X
г d/ fdre-'-'''-^ ^ <^im(r, 0. 't;n(0. 0)}>.
(4.596)
Эти результаты подтверждают, что не только и,т| и (4т|/3)Ч-
+ Z,, но также и t, положительны. Приятные выражения,
не правда ли? Они требуют нескольких замечаний общего
характера.
Рассмотрим формулу (4.58), выражающую коэффициент
переноса через плотности потоков сохраняющихся
переменных. Сами эти потоки (т. е. Tj^, j?) в общем случае не
сохраняются. Следовательно, флуктуации полного потока J^ (t) =
== rdr/^(r, t), как уже отмечалось в разд. 2.1, затухнут
через конечное микроскопическое время. Поэтому в
отсутствие дальнодействующих корреляций корреляционные
функции в формуле (4.58) эффективно отличны от нуля лишь
в некоторой ограниченной области переменных г и /.
Таким образом, при вычислении интеграла
оо
>^лв = ^ j d/ j dr [/-1- {jf (r, 0. if (0, 0)}\ -
0
-</f></'f>] (4.60)
не возникнет проблемы сходимости и в результате получится
конечный коэффициент переноса. Наше утверждение
сводится к тому, что предел в формуле (4.54) будет в общем
случае конечным, если величины А и В сохраняются, а
jA и jB — Hg^.^
Плотность продольного импульса gi (г, t) представляет
собой поток сохраняющейся величины — плотности массы
82

mti (г, t). Однако gi сама удовлетворяет уравнению
непрерывности с потоком т^г, если положить к = ^z. В
соответствии с изложенными выше рассуждениями компонента zz
выражения (4.596), равная (4т)/3 + Q, должна в
результате сходиться; а если вернуться назад, к уравненик
(4.536), это означает, что при малых, но конечных со
должен быть конечным lim {k ->- 0) k~*x^n (k, со). Поэтому
обращается в нуль lim (^->-0) ^"^ Хпп {k, со) и, следовательно,
;^„„ = lim [lim (охА'« {k, со) k'^] = 0. (4.61)
Кроме того.
Kg = Кп = lim [lim cox«v (^. «) ^"'1 = О- (4-62)
й)->-0 k->-0
Эти коэффициенты могли бы появиться в материальных
соотношениях в виде, соответствующем формулам (4.11). Итак,
мы получили обещанный ранее ответ. Поскольку
коэффициенты Кпп и Knq были опущены с самого начала, вряд ли
стоит удивляться тому, что наши выражения (4.44)
согласуются с равенствами (4.61) и (4.62).
Из формул (4.61) и (4.62) следует, что
lim^-2xj,(^, (o) = \imk-''xg+\n.g+).n{k, со) (4.63)
k->-0 k->-0
при любых к. Если положить ^ = (е + р)/п и вспомнить,
что согласно уравнению (4.19) 6(7 + (ё + р) б/г//г = бе, то
выражение Кубо для теплопроводности удается записать с
помощью корреляционной функции энергии
хГ = lim [lim(ok-^ Хе"е {k, со)] (4.64)
a-t-O k->-0
вместо формулы (4.53в). Этот факт, являющийся, как мы
видели, следствием сохранения импульса, тщательно
анализируется в статье [54, с. 458]), которую мы настоятельно
советуем читателю просмотреть, несмотря на то что он в
результате узнает, как много мы оттуда «стянули».
4.7. ПОВЕДЕНИЕ СВОБОДНЫХ ЧАСТИЦ
Полученные в последних разделах выражения для
корреляционных функций являются асимптотически-точными.
Они пригодны в гидродинамическом режиме, когда система
в результате множества столкновений достигла состояния
локального равновесия. В терминах частоты и волнового
вектора эти выражения справедливы при ^/<^ 1 и сот <^ 1,
83

где ; — средняя длина свободного пробега частицы, а т —
среднее время столкновений. В плотной жидкости это —
обширная область: длина свободного пробега порядка
радиуса действия межатомных сил, возможно, несколько
ангстрем, а время столкновений из соображений размерности,
использованных при выводе (2.12), также очень мало, за
исключением случая самых низких температур, когда
большинство жидкостей замерзает. В газе область
применимости гидродинамических выражений ограничивается, так
как I иг оказываются значительно больше, чем в жидкости.
Противоположным предельным случаем является
простой газ невзаимодействующих точечных частиц. Возможно,
для сравнения стоит выписать несколько выражений,
описывающих эту простую систему. Свободный классический
газ особенно прост. Поскольку уравнения движения для а-й
частицы имеют вид г" (t) = г" (0) + (р"/т) / и р" (t) =
= р" (0), легко показать, что
« /и \ -. /it П W -(co/r)„ft)«/2 ,А се \
Xnn{k,(o) = y -^:zmre ; (4-б5а)
2 mvl
Х((^, сй)=у ут/г—^е , (4.656)
где Vq = (/?iP)~'/2 — тепловая скорость. Соответствующие
выражения для невзаимодействующего ферми-газа
несколько сложнее и потому здесь не приводятся (см.,
например, [85]).
Интересно отметить, хотя это и не очень существенно, что
коэффициенты переноса обращаются в нуль. Например,
выражения Кубо (4.58) и (4.65) дают т) = О и g = О, так как
lim k'^ exp (— a/k'') = О при а > 0; подобным образом об-
ft-vO
ращается в нуль теплопроводность и. Формально
коэффициенты переноса для газа невзаимодействующих частиц
нельзя даже определить. Измерение теплопроводности,
например, возможно лишь в случае, когда квазистатически
приложен градиент температуры и во время измерения
поддерживается поток тепла. Однако квазистатический
градиент температуры удается поддерживать лишь в системе
с конечной длиной свободного пробега. Свободный газ «убе-
ял» $т^т. и стандартные измерения коэффициентов пере-
носа провести бы не удалось. Все же, возможно, кому-то
доставит удовлетворение, что в этом случае выражения
Кубо дают самый разумный результат: нуль?
84

4.8. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРАВИЛА СУММ
В этом разделе попытаемся распространить полученные
результаты [выражения (4.40) и (4.44)], относящиеся к
гидродинамическому режиму с преобладанием
столкновений, на область более высоких частот и волновых чисел.
У этого предприятия двоякая цель. Быстрые
микроскопические процессы, затухающие в течение коротких
промежутков времени, порядка времени столкновений т, содержатся
в выражениях (4.40) и (4.44) неявным образом; они
определяют численные значения коэффициентов переноса. Если
необходимо вычислить эти коэффициенты, следует более
подробно изучить высокочастотные процессы. Кроме того, их
спектр в некоторых случаях удается получить
непосредственно, например с помощью рассеяния нейтронов.
По крайней мере некоторые сведения о поведении
корреляционных функций на коротких отрезках времени легко
получить с помощью их частотных моментов. В разд. 2.9 и
3.4 было показано, как можно принципиально, а иногда и
практически вычислить правила сумм. Рассмотрим
корреляционную функцию плотности поперечного момента
X"t {k, со). Согласно выражению (3.33) ее моменты
<(ov (^)> ^ _L № «v у;; (^k, (о)/(о (4.66)
тп J п
определяются последовательными коммутаторами (в
классике — скобками Пуассона) с гамильтонианом. Для
классической системы с гамильтонианом (4.5) получаем [40]
рт <(й? (k))=k^ + n^^drg{r){l— cos (к• г))[V^ —
-{k.Vr]v{r)/2; (4.67)
^^т^ {оу} {k)) = 3k^+3nf, \drg(г) {k^V^v—2 {k-Vfv/3 +
+ sin(k-r)[V2—(k-V)2](k-V)t; + (p/3)(l —cos(k-r)) x
+ cos[k-(r —r')] —2cos(k•r)}[(V•V')' —
-(k■V)(k■V')]t;(r)t;(r'). (4.68)
где к = k/k. Эти выражения отпугивают, а моменты более
высокого порядка были бы еще ужаснее.Они приведены
здесь как раз для того, чтобы это продемонстрировать. Тем
не менее два приведенных правила сумм представляют со-
85

бой интегралы, которые можно оценить численно, если
известны межчастичный потенциал v (г) и две статические
корреляционные функции: знаменитая парная
корреляционная функция g (г), уже введенная формулой (4.51),
определяющая вероятность попадания частицы в точку г, если
другая находится в начале координат, и тройная
корреляционная функция, равная
n'g3{r,r')=- S <6(r-r«)6(r'-rP)6(rv)>. (4.69)
Сведения об этих функциях можно получить с помощью
численных машинных расчетов молекулярной динамики (см.,
например, обзор [23]). Чаще всего в таких исследованиях
используют потенциал Леннарда —Джонса (6—12):
и(г)==4е[(а/г)12-(а/г)«], (4.70)
который соответствует инертным газам. Для аргона,
например, е = 120 К, а а = 3,4 А. Следовательно, для этой
системы можно рассчитать правила сумм (4.67) и (4.68).
Численные данные для моментов <(й?> и <(й?> вблизи ^ = О
приведены в работе [40] для различных значений плотности и
температуры. Будем поэтому считать, что моменты (со^) и
{&}) известны. Однако что с ними делать?
4.8.1. ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ СДВИГОВЫЕ ВОЛНЫ
Ответ содержится в проделанной в разд. 2.10 и 2. И
работе. Гидродинамическое выражение (4.40) для х/ (^. «»)
несовместимо с правилами сумм; его нужно обобщить.
Приведенное ранее доказательство равенства (2.94) для
магнитной корреляционной функции применимо также и к х/ {k,
со). Другими словами, с помощью вещественной функции
D't{k, со), которая является положительной, четной по со и
имеет следующее комплексное преобразование Гильберта:
всегда можно написать точное дисперсионное соотношение
Ct (k, z) = '-^^^^-^ , (4.72)
совершенно аналогичное выражению (2.94). Сравнение
с равенством (4.39) показывает, что формулу (4.72) можно
интерпретировать как обобщение гидродинамического ре-
86

зультата на случай, когда вязкость зависит от частоты и
волнового числа
т] {k, z) = тп Dt {k, z). (4.73)
Выражение (4.73) поэтому было названо основным
уравнением «обобщенной гидродинамики» для поперечных волн.
Сначала совершим прыжок от самых низких к
асимптотически-высоким частотам. В разд. 2.10 было отмечено, что
функция D't {k, со) должна обладать конечными
частотными моментами, чтобы удовлетворялись конечные правила
сумм для х/ {k, со). Используя наш прежний метод —
разложение по степеням 1/z, находим, что нулевой момент
Dt{k, со) равен
,(^) = j l^-D/ {k, (0) = <(о? {k)y/k\ (4.74)
Следовательно, при очень высоких частотах, когда D^ (z) =
= i cfcx>/z, из выражения (4.72) получаем асимптотический
результат
Ct{k,z)= '^Р"Г ■ (4.75)
Снова, как и в формуле (2.107), на высоких частотах
обнаруживается реактивное поведение. Существуют сдвиговые
волны со скоростью распространения, которая при малых
k согласно соотношению (4.67) имеет вид
etc
pmcL (0) = 1 +^ /гр j drg (г) j- J/
dv{r)
(4.76)
0
Этот результат был впервые получен в работе [109], где
величина G„ = mncfcx, (0) была отождествлена с выокочастот-
ным сдвиговым модулем. Он описывает начальный упругий
отклик жидкости на внезапно приложенную сдвиговую
силу. Поскольку микроскопические выражения (4.49) и
(4.50) для плотности энергии е и давления р подобны
соотношению (4.76), можно в случае потенциала (6—12),
описываемого формулой (4.70), выразить G„ через г и р.
Результат
С^^^пквТ + Зр~ ~г (4.77)
5 5
обсуждался в работе [109]. Подобные, очень поучительные
квантовомеханические расчеты, применимые к жидкому
гелию, проведены в статье [94].
87

4.8.2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА
Теперь у нас имеются низкочастотный (4.39) и
высокочастотный (4.75) результаты. Можно ли получить что-либо
в промежутке? Разумеется, нужно быть скромными —
только подробные микроскопические расчеты могут достичь
этой цели. Для инертных газов такие расчеты осуществимы,
хотя и громоздки, так как уравнение Больцмана дает
довольно подробную картину динамики. (См. например,
работу [80] и имеющуюся там библиографию.) Для жидкости
задача оказывается неизмеримо более сложной [95]. Однако
интервал между «низкими» и «высокими» частотами в
простой жидкости не так уж велик, поскольку длина свободного
пробега и время столкновений малы. Поэтому можно
надеяться, что окажется удачной относительно простая и
более или менее подходящая к этому случаю
интерполяционная модель.
Воспользуемся снова общим представлением (4.72) в
духе наших рассуждений из разд. 2.10. Функция D' {k, со)
нам, конечно, не известна, но мы надеемся обойтись
простой подгоночной формулой. Подгоночная функция D'{k, со)
обязана быть, разумеется, четной и положительной.
Она должна к тому же быстро убывать при больших со,
чтобы существовали ее частотные моменты. Действительно,
если выбрать функцию D' {k, со), которая удовлетворяет
правилу сумм (4.74) [и, следовательно, (4.67)], то будет
гарантировано правильное поведение выражения (4.75) на
высоких частотах. При малых со и ife D'{k, со) должна быть
плавной функцией этих переменных, по существу,
константой. Представление (4,72) воспроизведет тогда
правильное гидродинамическое поведение в этой области;
сдвиговая вязкость будет равна
■П = mnDf (О, 0) = mnDt (О, 0)/2. (4.78)
Наберемся смелости и испытаем гауссову функцию
Di{k,oy) = 2cfco{k)x{k)e-^<^^''»''", (4.79)
которая удовлетворяет всем описанным выше
ограничениям. Если использовать выражение (4.78) для определения
параметра т (k) при малых k через экспериментальное
значение вязкости, т. е. положить
■П = mncfoo (0) т (0) = Goo т (0), (4.80)
88

то функция (4.79) будет представлять собой
интерполяционную модель при малых k, у которой хорошие шансы на
успех.
Разумеется, не следует очень серьезно воспринимать
зависимость функции Dt{k, со) от частоты. Гораздо более
скромным, но и более успешным будет использование этой
процедуры для проведения полумикроскопических,
свободных от подгоночных параметров расчетов, самой вязкости.
В нашем распоряжении имеется еще одна возможность, а
именно не использованное до сих пор правило сумм (4.68).
Оно преобразуется в новое правило сумм для функции
D'tik, со):
^w^Dl{k, (o)^{(o}{k))k-^—k''cL{k). (4.81)
1
Вычисляя этот интеграл с использованием функции (4.79),
можно выразить х (k) через (со* (^)> k~' и cfoo (k),
причем обе эти величины имеют конечные пределы при ^ ->- 0.
Поэтому из равенства (4.80) получаем окончательный
результат:
г]/тп-^{п/2у/2 \\mcLik)Koyt {k)y k-^]-^'^. (4.82)
ft-+0
Такой простой расчет необычайно успешен. Численные
результаты и сравнение с экспериментальными данными для
вязкости приведены в работе [40].
Методы, подобные использованным в этом разделе,
можно применять к разнообразным флуктуационным явлениям.
Сходная методика использована, например, в работе [30]
для обсуждения флуктуации плотности в области,
соответствующей рассеянию нейтронов, а также к другим флукту-
ациям в простых жидкостях.

Глава 5
ФОРМАЛИЗМ ФУНКЦИЙ ПАМЯТИ
Одно из самых фундаментальных представлений в
теории многочастичных систем состоит в том, что (почти) ни
одну из представляющих интерес физических величин
нельзя строго вычислить, исходя из основных принципов.
Будучи признанным (иногда в первый год аспирантуры),
этот факт приобретает решающее значение для тех, кто не
склонен отказываться от привычки скрывать свое
частичное незнание сложных деталей в тех случаях, где это вряд
ли причинит ущерб. Абстрактные и общие результаты или
формулировки полезны, если они указывают, как следует
поступать в таких случаях, и подсказывают, какие
величины теории, хотя и не известные точно, вероятно, окажутся
нечувствительными ко множеству сложных и не
поддающихся расчету динамических характеристик; другими словами,
если они показывают, где можно использовать
приближения, параметризацию или относительно безнаказанно
словчить.
Первым примером такого рода общих результатов
является дисперсионное соотношение (2.101) для
корреляционной функции спиновой плотности или его эквивалент
(4.72) в динамике жидкости. Само по себе оно оказывается
очень общим и строгим... и почти бессодержательным. Если,
однако, как мы предполагаем и как будет показано ниже, в
разд. 5.4, функция памяти D {k, z) не содержит в своем
спектре ни очень низких, ни слишком высоких частот, то
дисперсионное соотношение становится необычайно полезным;
несмотря на то что функция D (k, z) заключает в себе
почти всю отпугивающую сложность проблемы многих тел,
при малых частотах и волновых векторах она изменяется
медленно и ее можно заменить константой: в результате
получаются простые и интересные для экспериментаторов
гидродинамические выражения. Соответствующие
рассуждения привели нас к практически важному
высокочастотному результату. \
Поэтому в этой главе, которая во многом формальна,
будут подробнее проанализированы функции памяти.
Инструментом служит техника проекционного оператора,
введенная в работах [84, 108] (см. также [22] и обзор [24]). С
помощью этой техники дисперсионные соотношения можно
90

превратить в мощный и гибкий аппарат; это наглядно
демонстрируют последующие приложения, в особенности к
системам с нарушенной симметрией.
5.1. ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
И ФУНКЦИИ ПАМЯТИ
Чтобы не запутаться в деталях, рассмотрим сначала
формально простейший случай: флуктуации единственной
классической динамической переменной А (t). Представляющим
интерес с физической точки зрения примером такого рода
является импульс р (t) выделенной диффундирующей
частицы. Нас будет интересовать автокорреляционная
функция, усредненная по равновесному состоянию:
CAA{t,t')^C{t-t') = {A{t)A{t')). (5.1)
Без ограничения общности можно предположить, что
<Л (/)> = О, следовательно, С (/)->- О при /->- оо. Если
первоначально <Л (/)> =7^ О, то в выражении (5.1)
используем величину А (t) = А (t) — <Л (/)>. Как всегда,
работаем с преобразованием Лапласа
С(г)^Ь/е'^'С(0=р-Ч —-^^^^^^^. (5.2)
J J ni u)(w—г)
о
где первое равенство справедливо лишь при lmz>0, тогда
как второе, как и в формуле (3.446), определяет С (z) для
lmz<:0 через функцию отклика, описывающую
поглощение:
Х"(со)= ^сг(/-Г)е"-('-'')/^[Л(0,Л(Г)]с.п.\.
— оо
(5.3)
Величина со %" (со), как обычно, неотрицательна.
Поэтому можно повторить рассуждения разд. 2.11 и показать,
что всегда существует аналитическая при 1ш z # О
функция D (z), с помощью которой С (z) представляется в виде
C{z) = if,-^Xlz + iDiz)]-\ (5.4)
где
Х = рС(/ = 0)= |^х"И/со. (5.5)
Проанализируем представление (5.4).
91

Согласно классической механике величина А (t)
удовлетворяет формальному уравнению движения
-dfA (О = [А (t), Я]с.п. = \LA (t), (5.6)
где L — оператор Лиувилля — дифференциальный
оператор, который, например, для классических точечных частиц
с гамильтонианом (4.5) равен
-= 1^^-12.-,г-.,)1(^-^).
(5.7)
Он действует, разумеется, на канонические переменные
координаты и импульса, функцией которых является Л(/).
Формальное решение уравнения (5.6) А (t) = е^^' А (0) можно
подставить в равенство (5.1), тогда
С(0 = <Л(ОЛ(0)> = <Л(0)Л(-0> = <Л(0)е-'"Л(0)>.
(5.8)
Во втором уравнении (5.8) использована инвариантность
относительно трансляций во времени, которая всегда имеет
место для среднего по равновесному состоянию.
Впоследствии будем опускать аргумент О, подразумевая, что Л ^
^ А {t ~ 0). Выполняя в уравнении (5.8) преобразование
Лапласа, получаем формальное выражение
для комплексной функции релаксации.
Заманчиво считать выражение (5.9), как в квантовой
теории, матричным элементом оператора i (z •— L)~■^,
стоящего между векторами <Л | и | Л>. И ничто не мешает нам это
сделать. Можно определить гильбертово пространство
наблюдаемых I Л>, классических динамических переменных,
такое, что скалярное произведение двух «векторов» <Л | и
I В) равно произведению динамических переменных,
усредненному по равновесному состоянию:
<Л |Б> = <Л*Б>р,з.. (5.10)
Для комплексных переменных добавляется операция
комплексного сопряжения (*). Определение-(5.10) в этом случае
согласуется с основными свойствами гильбертова- прост-
92

ранства:
<Л|Л>>0;
<Л|аБ + рС> = а<Л|Б> + р<Л|С>;
<Л|Б>*=<5|Л>. (5.11)
Математик спросил бы, кроме того, является ли это
пространство сепарабельным и полным; физик же надеется, что
так оно и есть для всех практических целей. Отметим, что
согласно определению (5.10) оператор Лиувилля является
эрмитовым, в том смысле что
{A\LBy = {LA\B). (5.12)
Это вытекает из трансляционной инвариантности во
времени <Л* (О В (0)> = <Л* (0) В (— 0>.
Вернемся к выражению (5.8). Оператор e-^^■'
«поворачивает» вектор I Л>. Если не учитывать нормировочную
константу, корреляционная функция С (t) представляет
собой компоненту повернутого вектора, параллельную
первоначальному. Поэтому возникает мысль определить
оператор, проектирующий на вектор | Л>, а именно
проекционный оператор
Р^|Л><Л|Л>-ЧЛ 1=1-0, (5.13)
с которым будем обращаться так, как принято обращаться
с подобными вещами в квантовой теории. Возможно, к этому
надо привыкнуть, но это полезно. Формула (5.13),
разумеется, эквивалентна выражению
<Б|Р|С> = <Б*Л>^<Л*С> (5.14)
для произвольных переменных В, С. Ясно, что Р
действительно является оператором проектирования, поскольку
Р^ = Р и PQ = QP =0, (5.15)
к тому же оператор Р, очевидно, эрмитов.
Теперь мы хотим вычесть из оператора Лиувилля ту
часть, которая меняет лишь длину вектора |Л>.
Поскольку Р + Q = 1, запишем L = LP + LQ и посмотрим, что
из этого получится. Удобнее всего работать с выражением
(5.9). Используя операторное тождество
—!—^-! -Y—^, (5.16)
X+Y X X X+Y
93

получаем
LP- '
z—LQ—LP
а\
л\ =
(5.17)
LQ Z—LQ Z—L
Рассмотрим первый член в формуле (5.17). Он равен
A\ = ^{A\A) = ^C{tr=0).
\ z~LQ
Почему? Так как Р \А)
разложить оператор в ряд:
\Ау, то QI Л> = 0. Но если
z~LQ
Ц\ +±.LQ+~LQLQ + ..
Z I Z Z2
ТО в каждом члене, кроме первого, имеется справа Q,
который при действии на I Л> дает нуль.
Что касается второго члена в формуле (5.17), подставим
в него вместо Р выражение (5.13):
- • 'Л> = |Л> •
/А
А\
Z—L ' ' ' ' <Л I Л> \^ Z—L
= |Л>С-1(/=0)С(2).
Равенство (5.17) сводится к следующему:
' L Л\С-1(^ = 0)С(2)
С(г),= ^С(/=0)+/Л
Z—LQ
(5.18)
Начинает появляться сходство с выражением (5.4). Давайте
умножим его на z и, повозившись немного, запишем
<^
L
1
Z—LQ
= [Q-i2(z)]C(/ = 0),
a\ = (a\\\+lq
/ \ IL z—щ
L
где
Q = <Л IL I Л> C"i (/ = 0);
2=/л
LQ
Z—LQ
■L
л\с-1(^ = о).
C5.19)
(5.19a)
(5.196)
Поэтому с учетом Р С (0) = х уравнение (5.18) принимает
вид
г—Q+i2(z)
94

a это, разумеется, знакомое нам дисперсионное соотношение
(5.4) с D (z) = 2 (z) + i Q. Мы выбрали обозначение
2 (z), поскольку с помощью уравнения, подобного (5.20),
в квантовой механике обычно определяется собственная
энергия; в работах по теории поля величина, аналогичная
2 (z) + iQ, известна как массовый оператор; в
неравновесных системах 2 (z) назвали функцией памяти •— все это
одно и то же. Отметим, что согласно равенству (5.196)
2 (z) обращается в нуль при z->- оо. Поэтому выделенная
в формуле (5.19) частота Q является пределом собственной
энергии при высоких частотах z->- оо. В этом смысле Q
имеет сходство с хартри-фоковской частью собственной
энергии в теории функций Грина [4].
Множители С~^ (0) в выражении (5.19) обычно убирают,
вводя соответствующую нормировку векторов | А).
Однако в связи с дальнейшими приложениями к системам с
нарушенной симметрией этот множитель окажется
чрезвычайно полезным, поэтому мы его сохраним. С помощью
нескольких «косметических» приемов, доказательство которых
предлагается провести читателю, запишем окончательно
выражение (5.19) в виде
Й = Sx-^ и 2 (z) = а (Z) х-\ (5.20а)
где
5 = 1р<Л|Л>=|^х"(«); (5.206)
1^. (5.20в)
о(г) = Р<^Л
Q——Q
z—QLQ
Равенства (5.20) представляют собой основной результат
этой главы. В такой форме они были получены впервые в
работе [84].
С обсуждением частоты Q не возникает никаких
затруднений, поскольку в случае одной переменной она обычно
равна нулю. Это справедливо, если А определенным
образом меняет знак при обращении времени, так как тогда
<Л ( Л> = 0. Существенной величиной в равенстве (5.20)
является функция памяти 2 (z). Как показывает сравнение
выражений (5.9) и (5.20 в), 2 (z) сама обладает структурой
корреляционной функции «силы» Л. Имеются, однако, два
различия: во-первых, в определение 2 (z) входит лишь часть
Q I Л>, ортогональная к |Л>; во-вторых, динамический
оператор QLQ, определяющий частотный спектр 2 (z),
95

представляет собой не полный оператор Лиувилля, а
проекцию, соответствующую собственным флуктуациям
переменной А. Более ясное понимание этих характеристик
появится при последующем обсуждении конкретных
примеров. Здесь достаточно отметить, что в том случае, когда
представляет интерес динамика величины Л, а все другие
многочисленные степени свободы системы называют
«термостатом», часть Q I Л) определяет связь А с термостатом,
а QLQ описывает внутреннюю динамику термостата,
который своим поведением влияет на саму величину А.
Даже при таком формальном подходе можно еще кое-что
понять, рассмотрев временной эквивалент формулы (5.20).
Это уравнение является, по существу, преобразованием
Лапласа для «уравнения движения»:
[dt + ifi] С (О + f ^тГ(/—т)С(т) = 0, />0, \ (5.21)
— ' о
где 2 (z) — преобразование Лапласа от функции Г (/).
Уравнение (5.21) поясняет, почему Г (/) называют
функцией памяти; она описывает, в какой степени прошлые
значения С (t) влияют на скорость изменения ее во времени в
настоящем. Функция Г (t) равна
Г{t)x^y{t) = f,iЛ\Qe-''^^^'Q\Ay, (5.21а)
это выражение следует сравнить с (5.8). С помощью
преобразования Фурье
V(cu)= ? d/e'»'v(0
легко получить комплексную функцию памяти
а(г)^Г-^-11^1-.
J 2ni w—г
Наконец, предположим, что А — вещественная
переменная. В этом случае как сох" i^^)^ так и у (со) или Г (со) =
= у (со) %~^ вещественны и четны по со. Следовательно,
выделяя вещественную часть уравнения (5.20) при z =(о +
+ \е, получаем дисперсионное соотношение (полагаем Q =
= 0):
-^Х"(со)= _^еГМ/? . (5.22)
U-P — +[Г(а)/2^
I J 2п W—w'J

которое эквивалентно выражению (2.96). Из соотношения
(5.22) можно вывести важное свойство спектральной
функции у (со), а именно
у (со) > 0. (5.23)
5.2. МАТРИЦЫ ФУНКЦИЙ ПАМЯТИ
Уравнения последнего раздела являются общими и
строгими безотносительно к переменной А. Однако они
оказываются полезными только в том случае, когда функция
памяти 2 (z)—более простая величина, чем сама С (г). Если,
например, 2 (z) является постоянной, выражение (5.20)
дает лоренцеву форму линии для %" (со)/©.
Очень часто встречается не отдельная линия такой
формы, а другой простейший случай •— суперпозиция лоренциа-
нов. Примером может служить спектр рассеяния света,
изображенный на рис. 4.2. Феноменологически это
объясняется тем, что несколько переменных динамически
связаны. Поэтому полезно распространить наши формальные
рассуждения и на этот случай. Процедура заключается в
непосредственном обобщении разд. 5.1 путем введения
повсюду матричных индексов и сумм. Следовательно
изложение будет кратким.
Рассмотрим набор Л^ линейно-независимых
классических динамических переменных Ai (i), i = \ ....N, и
матрицу временных корреляционных функций
Cuit-n = <At (О Aj(Г)> = <Л, I е-'М^-'') I Л;>, (5.24)
где снова принято, что (Л^) = 0. Как и прежде, можно
ввести преобразования Лапласа
е., (г) = (а, -i- Л,> = р- С ^ -^. (5.25)
Матрица
хо- = J-^ гаИ/« = Р <^И А-> (5.26)
является положительно определенной, поэтому существует
обратная матрица, удовлетворяющая уравнению
где, как всегда, подразумевается суммирование по
повторяющимся индексам. Оператор Р проектирования на перемен-
4 Зак. 1568 97

ные Ai и его дополнение Q можно тогда записать в виде
Я = 21Л>Рх^Г<Л,| = 1-0. (5.27)
С его помощью удается проделать ту же процедуру, что и
прежде. Окончательные матричные уравнения,
аналогичные формуле (5.20), таковы:
[z6ift-Qift + iS,, (Z)] Chy(z) = ip-^u,
где
«),^ = ф<л,|Л^> = ^^х?/И;
ai^z) = p/^|Q—^QU^\. (5.28)
Если учитывать сделанные в разд. 5.1 замечания, эти
уравнения уже не нуждаются в комментариях. Ниже они будут
часто использоваться.
«Уравнения движения» (5.21) также легко обобщаются
на случай процессов с несколькими переменными; нужно
просто рассматривать их как матричные уравнения.
Спектральная матрица
7,Исо) = р j dtе'"'<Лг |Qe-'«"^'Q| 'А->, (5.29)
I —ОО
с помощью которой величина а^у (z) записывается в виде
j-^ViiM. (5.30)
J 2jii со—z
обладает некоторыми заслуживающими внимания
свойствами. Предположим, что Ai — вещественные переменные,
знак которых при обращении времени определяется
величиной е/, тогда свойства симметрии 7iy таковы:
71Л«) = 7я(—«) = 7/*(—«) = е[е/7«7(—«)• (5-31)
Далее, 7гу (f^) — положительная матрица в том смысле, что
У^(й'^1){(а)а)'^^ для всех со. (5.32)
Читатель заметит, что эти свойства такие же, как у
матрицы (oyJi'{(i>) [см. уравнения (3.21) и (3.28)], поэтому их
легко доказать. При малых со величина 7гХ'^) является мат-
98
Oiji

рицей коэффициентов переноса в соответствующей системе.
Таким образом, формулы (5.31) приводят к соотношениям
симметрии Онсагера (4.57), а неравенство (5.32) служит
микроскопическим обоснованием феноменологического
утверждения, что прирост энтропии в термодинамической
системе положителен.
5.3. ОБОБЩЕНИЕ НА КВАНТОВУЮ МЕХАНИКУ
Формальные рассуждения в последних двух разделах
проводились для классической системы, потому что такие
величины, как, скажем, оператор Лиувилля, обычно
встречаются в классической теории. Однако формализм
проекционных операторов можно применить также и к квантовым
системам. Все, что нужно сделать, — это выяснить, что
мы понимаем в квантовой теории под L и (А \ В}.
Рассмотрим сначала оператор Лиувилля [38]. Кванто-
вомеханическое уравнение движения для наблюдаемой
переменной А (t) в представлении Гейзенберга таково:
А = [А, HM'ih. Существенным является то, что при
заданном гамильтониане Н это — линейное соотношение между
А it) и Л (О, которое поэтому без сомнения можно записать
в виде
а,Л(0 = (1А)-ЧЛ(0, H\ = \LA[t), (5.33)
используя формальную аналогию с классическим
уравнением (5.6). Если использовать матричные элементы,
соответствующие полному набору ф„ квантовомеханических
состояний, то первая половина уравнения (5.33) будет
dt Aran (О = (i^)-' [^mv (О Н^п~Нп,^ А^п Ш (5.34а)
следовательно, матричные элементы оператора Лиувилля
равны
liL-mn, HV '^^ t'nm Onv —л vn О/пц- (0.о4б)
В уравнении (5.34а) величины А и Н рассматриваются как
матрицы с индексами m и п. В соотношении (5.346), однако,
каждая пара (тп) или (цу) считается одним индексом;
величина А теперь подобна вектору, а L — матрице. Другими
словами, обычно рассматривают наблюдаемые А или Н как
линейные операторы в гильбертовом пространстве
состояний системы — это нормальная интерпретация первой
половины равенства (5.33). Но можно ввести также другое, бо-
4* -99

лее обширное, векторное пространство, в котором
наблюдаемые А являются не операторами, а векторами, тогда как
лиувиллиан оказывается линейным оператором,
действующим на эти векторы; это отражено во втором уравнении
(5.33). (Учитывая это, читатель вычислит, что
супер-гильбертово пространство операторов имеет Л^^ измерений, если
исходное гильбертово пространство было Л^-мерным).
Формальное решение уравнений (5.33) можно теперь
записать двумя способами:
Л(/)= е"''^'^Л(0)е-''''/'^ = е'"Л(0). (5.35)
Если величина А является вектором в гильбертовом
пространстве, нужно определить скалярное произведение двух
векторов Л и В. Для этого имеется много возможностей.
Можно было бы, например, выбрать определение
<Л I В) = <Л+ В)равн = Sp р» Л+ В,
где р", как всегда, равновесная матрица плотности, а знак+
обозначает эрмитово сопряжение. Это определение
согласовалось бы с основными аксиомами (5.11), которым должно
удовлетворять скалярное произведение. А функция времени
<Л(/)|В) = <Л|е-'"(В)
была бы временной корреляционной функцией,
усредненной по равновесному состоянию, которую ранее мы
обозначали Sab (О-
Вместо этого примем следующее более полезное
определение:
Р
<Л I В) = р-1 i d\ [<Л+В (1йХ))р,з„-
0
-<^+)равн<5(1Й?^)>равн]. (5-36)
где, как обычно,
В (iAX) = е-''^ В ё-". (5.36а)
После необходимой проверки, что это определение также
удовлетворяет аксиомам (5.11), введем квантовомеханичес-
кую корреляционную функцию
Cab (t) = <А (/) | В) = <Л | е-'" |В) =
Р
= р-'|сгх[<л+(/)В(1АХ))р,з„-
-<^+(0)рав„<5(1Й?^))равн]- (5-37)
100

Выражение (5.37) встречалось нам прежде, при
рассмотрении функции Кубо (3.43). Чтобы понять, почему
необходимо такое странное определение скалярного
произведения, следует убедиться в том, что для эрмитовых
операторов А и В
-i- ^id, Слв (t) = %лв (/) = (j^ [А (/), В]\р,зн (5.38а)
или
Слв (со) = 5 сг/е'»'Слв(/) = 2х:^в(со)/Рсо. (5.386)
—оо
Доказательство с использованием флуктуационно-диссипа-
ционной теоремы оказывается очень простым.
Такая простая связь между Cab (/) = <Л (/) | В) и
функцией отклика %'ав (0> отвечающей поглощению, очень
полезна. Во-первых, в коммутаторной структуре %ав (О
заключен весь секрет правил сумм, а благодаря
соотношениям (5.38) правила сумм для %" (со) точно такие же, как
для С (со), и не содержат множителей cth (Асор/2).
Во-вторых, существенно, что формулы (5.36) и (5.37) открывают
прямой путь к динамическому отклику. Отметим, что
преобразование Лапласа для Cab (О равно
Cab (z) =/Л ^ в\ = Р- f ^ J^ . (5.39)
\ Z—L / J Я1 (О ((О—г)
Сравнивая с выражением (3.13), получаем, что Cab (z)
непосредственно описывает релаксацию после того, как
выключено внешнее адиабатически приложенное поле. Кроме
того,
Р<Л|В)=Г^Хлв(со)/со = хлв (5.40)
является обычным образом определенной статической
восприимчивостью. Наконец, в классическом пределе
определения (5.36) и (5.10) совпадают.
Трансляционная инвариантность во времени
подразумевает, что квантовомеханический лиувиллиан L эрмитов для
скалярного произведения (5.36), т. е. <Л | LB) = {LA \ В).
Таким образом, очевидно, что все рассуждения и
результаты из разд. 5.1 и 5.2 применимы также и к квантовым
системам. Больше ничего говорить не нужно.
101

5.4. СНОВА СПИНОВАЯ ДИФФУЗИЯ
После многих страниц формальных рассуждений
устроим перерыв и обратимся снова к спиновой динамике,
введенной в гл. 2, чтобы посмотреть, как можно использовать весь
этот формализм. Вновь рассмотрим корреляционную
функцию намагниченности
Х"(г-г'. /-/') = <(2й)-ЧЛ1(г, О, М{г', /')]>', (5.41)
интеграл от которой по времени, функцию Кубо, можно
теперь представить в виде
С(г—г',/-/') = <Л1(г, t)\M{r',t')). (5.42)
Немного мешают пространственные координаты. Однако,
используя трансляционную инвариантность, запишем
пространственное преобразование Фурье следующим образом:
C(^fe,/)=У-1 Jdre-'k-"-rdr'e"'-r'C(r—г', /). (5.43а)
Другими словами, с помощью коллективной переменной
Л1 (к,/) = V-1/2 Г dre'b-'-Л1 (г,/) =
= У-1/222ц8«е"'-'"(') (5.436)
а
МОЖНО написать
С [k, t) = {М (к) I е-'" I М (к)>, (5.43в)
где Л1 (к) ^ Л1 (к, / = 0). Отметим, что вследствие
трансляционной инвариантности {М (к, /)) = О при k Ф 0.
Величина С {k, t) является корреляционной функцией от
одной переменной как раз такого вида, который обсуждался
в разд. 5Л; k здесь играет роль индекса. Поэтому можно
непосредственно применить полученные выше результаты; из
формулы (5.20) получаем преобразование Лапласа:
C{k,z)= 'Р;' х(^). (5.44)
г + iS (й, г)
где
^{k,z)%{k) = a{k,z) = ^(M{k)
Q Q
(5.44а
102

и, как всегда,
X(^) = Г-^X"{k, о))/(о = f>{M{k)\M{ф. (5.446)
Член Q (k) отсутствует, поскольку М {k, t) меняет знак при
обращении времени.
Каков проекционный оператор? Непосредственно
используя выражение (5.13), запишем его в виде
Р{к) = \М (к)) Px^i (k) <Л1 (к) I = 1 - Q (к), (5.45а)
следовательно, Q (к) устраняет флуктуации
намагниченности с волновым вектором к. Но здесь нет необходимости
выделять волновой вектор к. Без'особых затруднений можно
просуммировать по всем волновым векторам и положить
P=V^-^Pik) = l-Q. (5.456)
Причина состоит в инвариантности пространства
относительно трансляций. В изотропной системе флуктуации с
различными волновыми векторами не связаны между собой,
<Л1 (^) I Л1 {k')) = О при k Ф k'. Даже если подставить в
формулу (5.44а) выражение (5.456) для Q, будет работать
лишь член Q {k). Однако Q обладает тем преимуществом, что
устраняет из лиувиллиана флуктуации намагниченности
с произвольной длиной волны; кроме того, в изотропной,
бесконечно протяженной системе Q является оператором,
инвариантным относительно трансляций и вращений.
[Небольшое^отступлениедля уставших. Обычно в
подобных случаях используют дискретные волновые векторы,
получающиеся при квантовании в ограниченном объеме, и
определяют коллективные координаты формулой
Л1к = 22ц8«е"'-г"
а
вместо (5.436). Тогда получается, например,
Р<Л1к|Л1к.> = ^х(Д:)бк.к..
Поскольку в данной книге мы работаем с непрерывными
волновыми векторами, они использованы и здесь, с введением
повсюду множителей V, чтобы уравнения оказались
правильными. Преимущество заключается в том, что при таком
определении преобразования Фурье от корреляционных
функций не содержат множителей V [см. выражение (5.43в)].
103

Условие ортогональности выглядит теперь ужасно:
Р <М (к) I М (к')) = {2nf V-1 б (к-к') %{k) =
= "8k.w"x{k),
но в выражениях для физических величин V отсутствует.
Проекционный оператор, соответствующий формуле (5.456),
можно записать в реальном пространстве
Р= 1-Q = Jdr Jdr' I М (г)) Рх-Чг-г') <Л^(г') I- (5.46)
А выражение (5.44а) для а {k, z) представляет собой
попросту определенное обычным образом непрерывное
преобразование Фурье — Лапласа от локальной функции:
у {т-т\ Z) = р <М (г) I |Qe-'«^^«' Q | М (г')). (5.47)
Вот и все отступление.]
Вернемся к уравнениям (5.44). Прежде всего напомним,
что оператор намагниченности удовлетворяет уравнению
непрерывности
di М (г, /) + V-j (г, /) = О или М (к) = ik-j (к), (5.48)
где фурье-компонента намагничивающего тока при / =0
равна
](к)=я V-i/2 2(2ns«/m)p«e"'-'"- (5.48а)
la.
Вследствие этого закона сохранения величина а {k, z)
оказывается порядка k'^ и ее можно записать в виде
а {k, z) = ki dtj {k, z) kj, (5.49a)
где
' - /,.(k)\. (5.496)
Q — Q
Момент более чем формальный. Плотность потока является
локальным оператором, ее корреляционная функция
быстро убывает с расстоянием, поэтому функция й^ {k, z)
должна быть плавной и конечной при ^->- 0. Поскольку в том
же предельном случае величина % (k) конечна и при ^ ->- О
переходит в спиновую магнитную восприимчивость, функция
D {k, Z)] = {ki dij{k, z) kj) x-^ {k), где к = k/k , (5.50)
104

также конечна при ^fe ->- 0. Подставляя выражения (5.49)
и (5.50) в (5.44), получаем снова формулу (2.101):
C{k,z)= '^Р;' х(^). (5.51)
однако теперь появление множителя k^ обосновано лучше,
чем в разд. 2.11. Согласно приведенным после соотношения
(2.101) аргументам, у величины С {k, z) имеется
гидродинамический полюс в точке
z=—ik^D{0,0)+O (А:*) (5.52)
при условии, что функция D {k, z) хорошо себя ведет при
малых k и Z, поскольку выражение (5.52) основано на
разложении в ряд Тейлора вблизи точки ^ = О и z = 0.
Хорошо ли она себя ведет?
Что касается зависимости от^, вопрос только что улажен.
В самом деле, при ^ ->- О тензор dj/ (k, z) должен быть
диагоналей, так как единственным не зависящим от k тензором
второго ранга является 6j/. Поэтому
limd|;(k, z) = d(2)6i/, (5.53)
k-*0
Q—^—Q
Z-QI.Q
i{k)^. (5.53a)
Теперь относительно зависимости от z. Нам известно,
конечно, что D {k, z) и d (z) аналитичны в верхней
полуплоскости Z. Вопрос заключается, однако, в том, имеется ли
аналитичность при z = О, т. е. на вещественной оси. Это
нетривиальный вопрос, что легко можно понять из
уравнения (5.51). А именно, в предельном случае бесконечной
длины волны корреляционная функция С {k, z) имеет полюс
при Z = О, так как
ИтС{к,г)=^1фг)-^%. (5.54)
k-*0
И, разумеется, d (z) является пределом при ^ ->- О своего
рода корреляционной функции. Однако, как мы часто
видели, даже совсем недавно, когда записывали 2 {k, z) =
= k^ {k, z), полюс (5.54) появляется потому, что
намагниченность — сохраняющаяся величина. Формула (5.54)
отражает тот факт, что
\imC{k,t) = p-^% (5.55)
ft-* о
не затухает вследствие закона сохранения.
105

Однако d (k, z) — корреляционная функция плотности
потока, а последняя не является сохраняющейся
величиной. Чтобы лучше это понять, вспомним, что когда функция
затухает как е—i"', ее преобразование Лапласа имеет полюс
в точке Z = — \у. В общем случае, если lim ехр (у/) /(/) <
00
<; оо, то функция / (z) = J dt е'^' / (/) является аналити-
0
ческой не только в верхней половине комплексной
плоскости Z, но и в полосе шириной у нижней полуплоскости
(рис. 5.1). В частности, / (z) тогда аналитична при z = О
и ее можно разложить вблизи этой точки.
Имеются основания полагать, что таким образом ведет
себя функция памяти d (z) и что ее зависящий от времени
эквивалент
d (t) = lim -f <j {k) I Qe-'«^«' Q \ j (k))
(5.56)
затухает при больших значениях / как е—'/'', гдет —
короткое, микроскопическое, время жизни. В общем случае
D {k, t) затухает, по крайней мере, как Q—UtW^ где т =
= т (^ ->- 0) конечно и определяется микроскопическими
взаимодействиями. Причина такого поведения очевидна из
самого выражения (5.56). Бесконечные времена жизни
возникают, как мы только что видели, вследствие локальных
законов сохранения, физическое объяснение дано в разд. 2.1.
/ /
/ /
I
/ область
_/_
I
/ /
7Я7 7 /
г-ппоспость
I
imz
аналитичности.
/
"/
/
Re г
/
./__/
г = - L
Рис. 5.1
106

Сложные системы многих тел чересчур хаотичны для того,
чтобы «случайно» возникла бесконечно медленная
релаксация. Из представления (5.56) видно, что d (/) — временная
корреляционная функция, имеющая, однако,
сохраняющуюся степень свободы М, спроецированную из ее динамики.
Другими словами, полный оператор Лиувилля L имеет
набор очень малых собственных значений, порядка k^ для
малых k, собственные моды которых описывает М (k), но
проекционный оператор Q (5.456) устраняет их и Q LQ
уже их не содержит. Следовательно, е~'<2^<2' описывает
лишь микроскопически быстрое затухание, а d (z) и D (k, z)
должны быть аналитическими по z вблизи z = 0.
Это утверждение оказалось многословным отчасти
потому, что оно является основой последующего изложения, а
отчасти потому, что очень трудно или даже невозможно
представить математически строгое доказательство его.
Вместо этого подумаем, где может содержаться ошибка.
Есть две основные возможности. Во-первых, могут
существовать другие сохраняющиеся величины помимо
рассмотренной здесь М (г, /), такие плотности, медленные
флуктуации которых все еще содержались бы в выражении (5.56).
До тех пор пока их число конечно, как это обычно имеет
место, они могут быть легко учтены с помощью развитого в
разд. 5.2 многомерного формализма и исключены при
использовании проекционных операторов. Нам встретится
такая возможность. Наш теперешний пример, спиновая
диффузия в жидком ^Не, на самом деле включает и другие
сохраняющиеся плотности: массы, энергии и импульса, но
они фактически не связаны вследствие симметрии с
намагниченностью и по этой причине здесь не рассматриваются.
Другая возможность неудачи заключается в том, что
помимо законов сохранения мог бы существовать второй
основной механизм, приводящий к медленному затуханию
некоторых коллективных флуктуации. Действительно, такой
механизм действует в системах с нарушением симметрии;
этот случай будет проанализирован впоследствии.
Здесь уместны еще два замечания. Во-первых, отметим,
что рассматриваются хаотические системы при конечных
температурах. При очень низких температурах тепловое
движение" становится слабым, переходные процессы
«вымораживаются» и в результате возникает множество долго-
живущих «элементарных возбуждений». Они в этой
книге не рассматриваются. Во-вторых, заметим, что если
сохраняется величина Jdr М (г, t), то, скажем, переменная
107

[J dr M (r, t)? также сохраняется. Влияние на наши
рассуждения таких членов, соответствующих связи между
модами, а в пространстве Фурье — переменных типа
М {к — к', /) и TVf (к', /), оказывается очень сложным.
Достаточно сказать следующее: есть основания считать, что
в случае двух измерений такие «многофононные» моды, все
еще содержащиеся в QLQ, так сильно связаны с
рассмотренными однофононными модами, что при этом полностью
нарушается аналитичность однофононной функции
памяти D (^, z) и гидродинамического режима не существует.
В случае трех измерений рассмотрение фазового
пространства показывает, что связь между модами оказывается
слабой и не изменяет, по существу, наших рассуждений. (Эти
многофононные моды ответственны за появление у функций
памяти скверных «временных хвостов», а также небольших
неаналитических добавок ^ z^/^ к функции D {k, z)
(см., например, работы[35, 37, ПО]). Лишь в
непосредственной близости к фазовым переходам второго рода, когда
амплитуда спонтанных флуктуации сильно возрастает, эти
процессы становятся существенными и изменяют
структуру гидродинамики (см. работы [55, 58], в которых подход
к динамическим явлениям вблизи критических точек
подобен нашему).
Этого достаточно для Кассандры, Вероятно, полезно
напомнить основные выводы. 1. Корреляционную функцию
переменной М (г, /) всегда можно записать в виде
выражения (5.44)', где функция памяти 2 {k, z) является
проекцией (или «неприводимой частью», как выражаются люди,
связанные с диаграммами) корреляционной функции. 2. Если
М (г, /) — локальная плотность сохраняющейся величины,
то 2 {k, z) = k^ D {k, z) оказывается порядка k^ при ^->- О,
что приводит к существованию долгоживущей
гидродинамической моды с временем жизни т (^) ->- с» при ^ ->- 0.
3. Если М (г, /) — единственная сохраняющаяся плотность
в системе или, по крайней мере, вследствие симметрии
другие сохраняющиеся переменные не связаны с'М, то в
D {k, z) содержатся лишь микроскопически быстрые
процессы и она оказывается плавно меняющейся вблизи z = 0.
В этом'случае величина'С {k, z) при малых ^ и z
описывается простым лоренцевым диффузионным процессом, а
коэффициент диффузии равен D = D (О, 0). Помимо
гидродинамического полюса в точке z = — i k^ D у С {k, z),
разумеется, есть и другие полюса z = а (k) — [у (k).
Однако их времена жизни у~^ (k) конечны при ^ ->- О, от-
108

носительная величина этих негидродинамических мод
оказывается порядка F и обращается в нуль при ^ ->- 0.
Нужно пояснить еще один несколько запутанный вопрос.
Из общих свойств симметрии и положительности (5.31) и
(5.32) непосредственно следует, что величина D (О, 0) =D
вещественна и положительна и что коэффициент диффузии
с учетом формул (5.50) и (5.53) можно записать в виде
оо
Dx = T;^rim[dt <i{k)\Qe-^Q'Q'Q\i{k)) . (5.57а)
о
Однако наш прежний результат (2.29а) выглядит
следующим образом:
оо
^Х = ^Ит lim rd/e-'=4j(^:)|e-'" |j(^:)). (5.576)
О
Отметим наличие множителя, обеспечивающего сходимость,
и отсутствие проекционных операторов Q. На самом деле,
оба выражения полностью эквивалентны.
Доказательство основано на формуле
Ф (г) = а (г) - i а (г) (г х)"' Ф (г), (5.58)
где а (z) определяется выражением (5.20в), а ф (z) — тем же
самым выражением, но без проекционных операторов;
ф(г) = Р('л1 —
г- L
А). (5.59)
Соотношение (5.58) — точное алгебраическое тождество.
Оно справедливо при условии, что <Л | Л> = О и Q | Л) =
= |Л>. Впервые оно было приведено независимо в
работах [22, 84], доказательство его несложно и
предоставляется читателю.
В данном случае А ^ М (k) и, поскольку М (k) =
= i к-j (k), как а {k, z), так и ф {k, z) порядка k^. Если
записать а (k, z) = k^ d {k, z) и Ф (k, z) = k^ e {k, z), с
помощью тождества (5.58) можно найти
e{k, z) = ll+iz-■^kЧ{k, z)%-^k)]-^d{k, z) (5.60)
и, следовательно,
lim d {k, z) = lim e {k, z). (5.60a)
k-*0 k-* 0
109

другими словами,
к-* о \
Q—-—Q
Z—QLQ
/. ,.ч1 1
j(^:)\ = limO-(^:)
j(^)
k-yo \ I г—Z,
(5.61)
Это доказывает эквивалентность выражений (5.57а) и
(5.576). Отметим, однако, что предел ^->-О нужно вычислять,
предполагая конечность г; формула (5.60) показывает
это достаточно ясно. Лишь найдя предел при ^ ->- О, можно
положить Z = ie->-0 и получить коэффициент диффузии,
соответствующий выражению (5.576).
Время затухания подынтегрального выражения в
формуле (5.57а) оказывается микроскопическим при любых
k, поскольку медленные флуктуации исключены. Поэтому
проблемы сходимости не возникает даже при ^ ->- О и
можно просто положить е = 0. Но корреляционная функция в
выражении (5.576), не содержащем проекционных
операторов, изменяется в соответствии с полной динамикой;
следовательно, в ней содержатся вклады, не затухающие при
^ ->- 0. Из равенства (5.61) вытекает, что величина этих
членов порядка k^, поэтому если сначала вычисляется предел
по ^, то они не дают вклада в интеграл. Вот почему при
вычислении коэффициентов переноса по формуле Кубо, в
которую входят обычные корреляционные функции,
следует сначала исключить зависимость от
пространственных координат и лишь затем — зависимость от времени.

Глава 6
БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Исследуя суспензию пыльцы растений, взвешенной в
воде, ботаник Роберт Броун увидел в микроскоп, что
мелкие частицы совершают беспорядочное, нерегулярное
движение. Это было в 1829 г., и в течение XIX века постоянно
находились люди, которые считали подобное поведение
проявлением таинственной живой силы. Почему бы и нет; в
конце концов, это движение наблюдали тогда лишь на
частицах, имеющих биологическое происхождение. Настроенные
не так мистически прагматики заметили впоследствии, что
частицы чернильной суспензии тоже беспорядочно
двигались. Физическая теория броуновского движения впервые
была построена Эйнштейном и Смолуховским, позднее она
была развита Ланжевеном и другими и по-прежнему
остается привлекательным разделом статистической физики
(подробнее см. обзор [10] и другие статьи в собрании
классических работ по стохастическим процессам [102]). В этой
главе теория броуновского движения будет
рассматриваться с принятой ранее динамической точки зрения, без
привлечения вводимых обычно априори чисто стохастических
элементов. Наш подход является скорее простым и физи-
чным применением развитого в гл. 5 формализма, чем
полной и исчерпывающей теорией броуновского движения.
Аналогичный, но более тщательный анализ содержится в
работе [69] (см. также цитированные там статьи).
6.1. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ИМПУЛЬСА
Если тяжелая броуновская частица движется со
скоростью V через стационарную жидкость легких частиц, то
она испытывает силу трения — ^v, где t,— коэффициент
трения. Следовательно, б-частица замедляется в
соответствии с уравнением
a,v(o+Sv(o = o, (6.1)
которое легко решается: v (t) = е~^'\ (0). В состоянии
равновесия с жидкостью б-частица будет в среднем покоиться,
однако имеются спонтанные флуктуации скорости.
Средний квадрат скорости определяется теоремой о равнорас-
1П

пределении:
<MuV2) = Ъкв Т./2, (6.2)
где М — масса б-частицы. Комбинируя несколько наивно
формулы (6.1) и (6.2), получаем, что затухание спонтанных
флуктуации скорости можно описать соотношением
<у(/)-у(0)) = е-У<У(0)-у(0)) = е-Е'ЗД;вТ/М. (6.3)
Получившееся в результате выражение (6.3) гораздо лучше
чем его вывод. Его мы и обсудим вначале.
Очевидно, уравнение (6.1) не может быть верным с
микроскопической точки зрения. В конечном счете,
действующая на б-частицу сила трения обусловлена частыми
столкновениями с молекулами жидкости, и ее можно представить
в виде пропорционального скорости непрерывного
сопротивления среды лишь в таких временных масштабах, которые
значительно превышают частоту и длительность отдельных
столкновений. Если выводить уравнение (6.3), пользуясь
микроскопической динамикой, следует иметь в виду, что оно
может выполняться в лучшем случае на интервалах
времени, больших по сравнению с быстрыми процессами,
характеризующими молекулярное движение частиц
жидкости. Будучи очень тяжелой, сама б-частица изменяет свою
скорость значительно медленнее. Именно это
обстоятельство — существенное различие временных масштабов ^
лучше всего подходит для применения метода функций
памяти.^
При построении микроскопической теории
броуновского движения с самого начала введем упрощение, считая
частицы жидкости и б-частицу точечными массами. Хотя это,
безусловно, не очень хорошее описание для тех больших
коллоидальных частиц, которые наблюдают в обычный
микроскоп, диффузия тяжелых точечных масс содержит самую
суть броуновской проблемы и обобщение на частицы более
сложной структуры не вызывает принципиальных
затруднений. В результате такого упрощения б-частица будет
описываться лишь двумя каноническими переменными:
координатами г" и импульсом р". Обозначим г" и р" положение и
импульс а-й частицы жидкости и запишем гамильтониан
системы в виде
а
(6.4)
2т 2 „^р 2УИ
112

где г^Р = Га — гР. Два первых члена описывают энергию
жидкости, третий член — кинетическую энергию б-части-
цы, а последний член — ее взаимодействие с каждой из
частиц жидкости. Придерживаясь предположения о то-
чечности масс, будем считать потенциалы взаимодействия
V (г) и и (г) сферически-симметричными. Довольно легко
можно написать также оператор Лиувилля
L = Lf + 8L, (6.5)
где
— лиувиллиан жидкости, а выражение
i6L=-^ ^ У Уы (/-о- ;-) (^ ^—] (6.56)
содержит взаимодействие, за исключением первого члена,
который соответствует свободно движущейся б-частице.
Поскольку квантовая механика не добавляет ничего
интересного, будем рассматривать классическую систему.
Вместо скорости рассмотрим импульс р" (/) б-частицы
и его автокорреляционную функцию
Си (О = <Р? (О pf (0) = <Р? I е-'" I р«) . (6.6)
Усреднение проводится по ансамблю, в котором б-частица
находится в равновесии с жидкостью. В такой ситуации нет
выделенного направления и потому
Cij{f) = 8ijC{t). (6.7)
Используя равновесную статистическую механику, а
именно теорему о равнораспределении, легко получаем
величину, обозначенную в гл. 5 X
p-'Ctj{0)^X„ = M8tj. (6.8)
Функция памяти, обозначенная в гл. 5 у (/), также
изотропна и формально равна
yij{t)={kB ТГ\(р? I Qe-'«^0' Q [р^у = 7(0 ^ij. (6-9)
что получается при непосредственном применении
развитого в разд. 5.1 и 5.2 формализма. Проекционный оператор
устраняет флуктуации импульса б-частицы. Его можно
представить в виде
Q = l—P^l-\po){l/MkBT)(^\. (6.10)
И

Отметим, что вследствие инвариантности относительно
обращения времени <р?р«) = 0; следовательно, определяемая
равенством (5.28) матрица частот со;; обращается в нуль.
Вводя обычным образом преобразование Лапласа С (z) и
I'
а (z) = —I d/e'^'v(0. (6.11)
т
получаем в результате непосредственного применения
выражений (5.20) или (5.28)
С (z) = Шкв Т [Z— та {z)lM\-^. (6.12)
Величина \1т введена в формулу (6.11) просто для того,
чтобы сделать безразмерным стоящий перед а (z) множитель
в выражении (6.12).
Если сравнить формулу (6.12) с (5.51) и вспомнить
приведенные там рассуждения, то дальнейшая процедура
станет довольно очевидной. Роль множителя F в
гидродинамических коллективных модах играет теперь отношение
масс mIM. Для бесконечно тяжелой б-частицы mIM = О и
С (z) имеет единственный полюс при z = 0. Этот полюс,
разумеется, описывает тот факт, что частица с бесконечной
массой неподвижна, поэтому р" (/) не зависит от времени и,
следовательно,
C{t) = const или С (z) = (i/z) const при miM ->- 0. (6.13)
Если отношение масс конечно, этот полюс сдвигается в
нижнюю половину плоскости, соответствующей частоте, а его
положение определяется обращением в нуль знаменателя
(6.12). С точностью до членов порядка /п/УИ положение
полюса
z=—ima(z)/M~ — i(m/M) lim а{<д) = ~[1„ (6.14)
т/М-*0
При условии, ЧТО а (z) не имеет особенностей при z — О, даже
если т/М ->- О [еще раз отметим, что это не относится к
корреляционной функции С (z)]. Предполагая это условие
выполненным, получаем при низких частотах
C(z) = -^^^^^4^ или С (/) = МА:вТе-£', (6.15)
где второе уравнение справедливо при больших значениях
t. Это и есть конечно, уравнение (6.3), поскольку v = р°/М
и потому <v-</) • V (0)) = 3 с (/) М-^. Из условия (6.14)
видно, что величина % вещественна и положительна. Бо-
114

прос о пригодности уравнения (6.3) свелся таким образом
к вопросу о непрерывности а (z) при z — О даже при
малых т/М. Следовательно, нам нужно проверить частотный
спектр а (г), или, что то же самое, времена релаксации,
содержащиеся в выражении (6.9) для у (/).
При рассмотрении подобного вопроса в разд. 5.4 был
указан проекционный оператор, устраняющий из
динамики у (/) медленные процессы. Здесь можно провести более
тщательный анализ, рассмотрев подробнее оператор Лиу-
вилля (6.5). Представим его в виде
L = L« + LB + Lf^B, (6.16)
где
L° = Lf-i^Vu{r» — r"')-^ (6.16а)
содержит помимо лиувиллиана жидкости еще и действие
б-частицы на жидкость, а
If^B=i2V"('-''-'-")-^- (6.166)
содержит, напротив, силы, с которыми жидкость действует
на б-частицу; величина
Ls=_i^^_ (6.16в)
описывает свободно движущуюся б-частицу. Каковы эти
члены по порядку величины?
Отметим, что б-частица движется медленнее, чем более
легкие частицы жидкости. Относительный порядок
величины их импульсов можно найти из теоремы о
равнораспределении, а именно из <ро/) = МквТ, тогда как
ipli^^mkBT (6.17)
для каждой векторной компоненты. Поэтому рЧр° «
« [тШу-!^ по порядку величины. Следовательно, Ц^в и
Lb меньше L" в (пг/М)^/^ раз. Символически записывают,
что
(LB + Lf^B)/L<'~(m/Al)>/2. (6.18)
Читатель может сделать эти рассуждения более строгими,
выразив все в безразмерных координатах и импульсах,
относя, например, импульсы к соответствующим средним
тепловым импульсам {тквТУ-'^ и {МквТу-'^, а координаты—
116

к радиусу сил взаимодействия между частицами. Во
всяком случае
L^Lo при/п/М-^-О. (6.19)
Поскольку L" не влияет на броуновские координаты, т. е.
Lo I р 0) = О, или Lo Р = О, или Lo = L0 Q, (6.20)
можно в предельном случае УИ ->- с» записать выражение
(6.9) для у (/) в виде
lim y{t)^yoo{t)= (ЗквТ)'^ Ф\e-^^' i \р<^У, (6.21)
где использован тот факт, что (р" | р") = О или (р" | Q =
= \р° \. Отметим далее, что
po = iLpo = —'^\u{rO—r°') = F (6.22)
а=1
описывает силу, с которой частицы жидкости действуют на
б-частицу. Поэтому функцию памяти для равного нулю
отношения масс можно окончательно представить в виде
Vco(/) = {SmkB Т)'"- <Fco (O-Fco (0)), (6.23)
где зависимость от времени F^{t) определяется величиной
L°. Другими словами, Fj(,i) — сила, с которой жидкость
действует на бесконечно тяжелую б-частицу. В этом
предельном случае у^ (/) содержит лишь микроскопически
быстрые динамические процессы, характерные для
внутреннего движения легких частиц жидкости, в присутствии
неподвижной в пространстве б-частицы. Следовательно, уоо (t)
будет быстро затухать со временем, а ее преобразование
Лапласа та (z) является аналитическим по z вблизи z =0.
Именно это мы и хотели выяснить.
Итак, мы показали, что корреляции скорости для очень
тяжелой б-частицы экспоненциально затухают
необратимым образом с коэффициентом трения ^, который по
порядку величины совпадает с отношением масс т/М и
согласно формулам (6.14) и (6.23) равен
1 = {т/М)и + 0{{т/Муу,
Ссо = {SmkвT)'■^'\dt(F^{t)■F^{0)). (6.24)
b
Это выражение было впервые получено в работе [61]
совершенно другим методом. Его важность для практических
\

расчетов очевидна. Чтобы найти t,^ и таким образом
получить численную информацию о движении б-частицы,
нужно только решить уравнения Ньютона для частиц
жидкости при наличии неподвижного силового центра.
Соответствующий гамильтониан дается выражением (6.4),
где нужно опустить кинетическую энергию ро/2 М. С
помощью численных методов молекулярной динамики этот
расчет можно выполнить для достаточно большого числа
частиц жидкости, скажем, для тысячи. Находят, в
зависимости от времени, положения всех частиц жидкости и
получают с их помощью действующую в момент времени /
на силовой центр силу FooW- Чтобы получить временную
корреляционную функцию, усредненную по состоянию
равновесия, Yoo (О (6,23), вообще говоря, необходимо
снова и снова решать уравнения Ньютона при произвольных
начальных условиях, по которым производится
усреднение. Вместо этого, используя предполагаемую
эргодичность динамики, находят 7оо(0 > выполняя усреднение по
времени для отдельной траектории в фазовом пространстве,
т. е.
Тсс (О = {Зкв ТТ,)-^ ]° drFco (/ + т) Fee (т), (6.25)
о
где момент Тд следует выбрать настолько большим, чтобы
интеграл (6.25) не зависел от Тд. Затем получают
величину t,^, интегрируя по времени функцию yjljt). В
неопубликованной работе А. Раман выполнил такие расчеты для
броуновского коэффициента трения (подробнее о подобных
вычислениях см. в работе [23] и цитированных там статьях).
Как уже отмечалось, теория броуновского движения
формально совершенно аналогична гидродинамической
теории, например, спиновой диффузии. Роль волнового
вектора k теперь играет отношение масс mIM. Сравнение
выражения (6.15), имеющего вид
С{г)^\МквТ[г + \т1^1Му^, (6.26)
с гидродинамическим результатом для спиновой диффузии
(2.104) или с корреляционной функцией плотности
поперечного импульса в жидкости (4.39) показывает, что t,^ фор"
мально играет роль диссипативного коэффициента
переноса, аналогичного коэффициенту спиновой диффузии D или
сдвиговой вязкости Т1. Выражение (6.24) можно
представить в виде формулы Кубо. В самом деле, с помощью рас-
117

суждений, совершенно аналогичных приведенным в разд. 5.4
и основанных на общем соотношении] (5.58), можно в
предельном случае бесконечно большой массы б-частицы М
опустить в формуле (6.9) проекционные операторы и
записать коэффициент трения в виде
оо
тСсо = —i—lim lim \dte-^'(F{t)-F {0)> , (6.27)
0
где зависимость от времени определяется полным лиувил-
лианом (6.5) и важен порядок предельных переходов. Это
выражение соответствует, например, формуле (5.576).
Наконец, функция отклика, соответствующая поглощению,
оо
Х" (со, M)=-L ^ die-' ^-^ [ро (/), ро (0)]с. п.\ (6.28)
—оо
при низких частотах и большой М равна
Х" (со, М) = mcoCoo [со^ + {m^co/Mf]-^. (6.29)
Это выражение получается, если найти действительную
часть С (z) в точке z = со. Следовательно, t^ можно
окончательно представить в (почти) стандартном виде
mCoo = limriim сох" («. Щ . (6.30)
которые МОЖНО Сравнить с равенствами (2.57) и (4.53).
Существует одно интересное и почти драматическое
разногласие между представленной здесь теорией броуновского
движения и гидродинамической теорией спиновой
диффузии, изложенной в гл. 2 и в особенности в разд. 5.4. В
обоих случаях при малых z имеется гидродинамический дис-
сипативный полюс, равный
z=—i2(z)«—i2(0). (6.31)
Полюс существует потому, что
2(z) = a(z)x-^ (6.32)
медленно меняется вблизи z = О и становится как угодно
малой, когда либо ^ -»- О для функции памяти спиновой
диффузии, либо М -*■ оо для функции памяти броуновского
импульса. В случае спиновой диффузии причиной такого
поведения является закон сохранения, благодаря
которому а (z) обращается в нуль при ^ -»- О, а % остается ко-
118

нечной. В нашей теории броуновского движения а (z)
остается конечной даже при М ->- схз, но в то же время х"^ =
= 1/УИ обращается в нуль. Оба варианта приводят к
необратимому гидродинамическому поведению. Их различие
является причиной того, что в выражении (6.30) для
коэффициента переноса нет множителя М перед %", который
соответствовал бы множителю l/k^, появляющемуся,
например, в формуле (2.57).
Мы могли бы, разумеется, формально устранить это
разногласие, изменив масштаб б-импульса броуновской
массы М, т. е. рассматривая безразмерную переменную
импульса 1" (/) = р° {1)/У^МквТ и ее корреляции.
Малый множитель пг/М в 2 (z) перешел бы тогда от х"^ к
а (z) и входил бы всюду точно так же, как в теории спиновой
диффузии. Мы предпочитаем работать с физическим
импульсом, производная которого по времени, равная силе,
действующей на б-частицу, конечна даже при М-*-оо, а
его флуктуации в состоянии теплового равновесия,
описываемые «восприимчивостью» %{М) = МквТ, неограниченно
растут при М -*■ оо , приводя тем самым к
гидродинамически медленному необратимому затуханию временных
корреляций. Обсуждавшиеся в гл. 2 и 4 гидродинамические
моды обязаны своим существованием микроскопически
точным законам сохранения. В последующих главах будут
обсуждены примеры мод, существование которых, напротив,
обусловлено бесконечно большими статическими флукту-
ациями, имеющими место для некоторых степеней свободы
в ферромагнетиках, сверхтекучих жидкостях и других
системах, где существует спонтанное упорядочение.
6.2. ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАНЖЕВЕНА
Связав необратимое затухание автокорреляционной
функции броуновского импульса с лежащими в его основе
микроскопическими принципами, возвратимся к простому
феноменологическому уравнению релаксации (6.1). В
таком виде это уравнение, очевидно, не может быть
правильным с микроскопической точки зрения. Все сложные
микроскопические детали движения частиц жидкости,
мечущихся в разные стороны и ударяющихся о б-частицу, когда им
вздумается, не могут не отражаться на поведении б-части-
цы. Как показывает вывод выражения (6.3),
уравнение (6.1) содержит основной эффект этих столкновений,
119

заметный при наблюдении б-частицы в течение
больших промежутков времени; было показано, что
выражение (6.3) справедливо на низких частотах, когда более
быстрые процессы флуктуации сглаживаются. Если
проводить наблюдения в более короткие промежутки времени, то
следует ввести в уравнение (6.1) помимо средней силы
трения — ^ M\{t) быстро осциллирующую силу f (t),
обусловленную мгновенно изменяющимся окружением из частиц
жидкости, которое фактически «видит» б-частица. Таким
образом, движение б-частицы правильнее описывается
уравнением
dt\{t) + ^\{t) = M~4{t). (6.33)
Среднее воздействие на б-частицу содержится в члене,
соответствующем трению, остаток f (t) поэтому должен в
среднем обращаться в нуль:
<f(0> = 0. (6.33а)
Он, кроме того, некоррелирован со скоростью б-частицы,
т. е.
<fi{t)vj}=0. (6.336)
Уравнение (6.33) должно приводить в результате к
экспоненциальному закону затухания для автокорреляционной
функции скорости — выражению (6.3), которое, как мы
только что показали, справедливо при достаточно низких
частотах. Наконец, поскольку сила f (t) обусловлена
чрезвычайно быстрым и хаотическим движением частиц
жидкости, которые сталкиваются друг с другом чаще, чем с б-
частицей, и, таким образом, скоро забывают о своем
прежнем поведении, f (t) коррелирована лишь в течение очень
коротких интервалов времени, и ее стохастическую
природу можно представить соотношением
{ftit)fj{ny=2mkBT8{t~t')8ij- (б.ЗЗв)
Содержащийся в нем множитель 2 ^,МквТ является
непременным следствием требования, чтобы уравнение (6.33)
описывало стационарный процесс. Для читателя не
составит труда убедиться в этом. Кубо назвал соотношение
(б.ЗЗв) второй флуктуационно-диссипационной теоремой.
Уравнения (6.33) образуют стохастическую (поскольку сила
f (t) предполагается случайным, зависящим от времени
процессом) теорию броуновского движения Ланжевена. В
следующем разделе будут получены некоторые простые и стан-
120

дартные выводы из этой теории. Однако сначала выведем ее
микроскоп ически.
В таком выводе желательно исходить из уравнения Лиу-
вилля, которое для произвольной вещественной
динамической переменной А (f) имеет вид
а, А (t) = \LA (t) или А (t) = е'" Л (6.34)
и описывает чисто механическое движение
микроскопически обратимой системы. Все силы при таком
микроскопическом описании являются механическими, а не
стохастическими. То, что силы на б-частицу в течение долгого времени
эффективно действуют стохастическим образом, быстро
забывая о прошлом, должно быть предельным следствием
уравнения Лиувилля. Для удобства будем рассматривать
уравнение (6.34) как уравнение для бра-вектора <Л {t) |,
из гл. 5, и введем преобразование Лапласа:
<Л(2)|=<Л|-^, (6.35)
где
{А{г)\=1 dte^t <,А (t)\ = Jd^e'^'<^ I е-'" .
о о
Оператор Лиувилля L в этом уравнении действует на левую
часть. Вводя оператор Р = \ —Q, проектирующий на Л, и
повторяя детально вывод, который привел нас от
выражения (5.9) к (5.20), можно легко превратить (6.35) в
«уравнение движения» вида
[2_Q + i2 (г)] <Л (г) I = i <Л I -f i </л (г) |, (6.36)
где Q и 2 (г) определяются формулами (5.19) или (5.20), а
</л(2)| = /л \^LQ= <Л Q ^Q. (6.36а)
2—ЬУ
\
-QLQ
Второе, более симметричное, уравнение (6.36а) вытекает из
первого после некоторых косметических операций, которые
легко доказать. Равенство (6.36) представляет собой
преобразование Лапласа уравнения движения для бра-вектора
<Л {f) I , которое при t>Q имеет вид
(а, + \Щ <л (О I + I dxT [t -т) <Л (т) I = </л (О I. (6.37)
о
где 2 (г) — преобразование Лапласа Г {t), определяемое
соотношением (5.21а), и
</^(Ol=<^lQe-'«^«'Q. (6.37а)
121

Это уравнение, полученное впервые в работе [84],
напоминает по форме приближенное уравнение Ланжевена (6.33)
и потому называется обобщенным уравнением Ланжевена.
Оно оказывается совершенно строгим и может быть
выведено непосредственно из уравнения Лиувилля (6.34) без
(удобного) перехода к преобразованию Лапласа. Это уравнение
разделяет динамику на три части: а) член Q,
соответствующий мгновенным осцилляциям и описывающий движение
</4 (t) I, обусловленное его внутренней динамикой; Q
обращается в нуль, если эта степень свободы определенным
образом меняет знак при обращении времени; б) сдвинутый
во времени член, соответствующий линейной памяти и
описывающий влияние прошлого поведения А (t) на его
теперешнюю скбрость изменения; этот член обусловлен связью
А со всеми другими степенями свободы (с термостатом)
и определяет поток информации о состоянии движения А (t)
к термостату, а через некоторое время снова к А (t); в)
наконец, имеется движущая сила /^ (t), внешняя
относительно степени свободы А, которая отражает
непосредственное влияние динамики внутреннего термостата на
поведение А (t). Эти рассуждения предназначены для
иллюстрации интуитивного разделения, проведенного в уравнении
(6.37); чтобы проверить их строго, потребовался бы
значительно более тщательный анализ. Отметим, однако, что
левая часть уравнения (6.37) содержит величины, а именно
Q и Г (<), которые полностью определяют динамическое
поведение! усредненной автокорреляционной функции Са{() =
= <Л (t) I А (0)>, как показывает выражение (5.21).
Оставшееся влияние на скорость изменения во времени
самой переменной А (t) описывается микроскопической
силой /^ (<), которая развивается во времени в соответствии
с модифицированным оператором Лиувилля QLQ, откуда
исключены тепловые флуктуации степени свободы А. В
случае, когда последние являются единственными медленными
флуктуациями, которые можно ожидать в системе, /^ (t)
будет изменяться со временем значительно быстрее, чем
сама А (f).
Уравнение (6.37) является, конечно, обобщением
уравнения Ланжевена (6.33), оно учитывает в последнем
эффекты памяти и дает наполовину явное выражение для
случайной силы / (t). Это выражение подтверждает два
фундаментальных свойства: во-первых, из-за наличия
проекционного оператора Q в (6.37 а) случайная.сила /^(0 при
всех t не коррелирована^ начальным значением переменной
122

л, т. е.
</л(0|Л>=0, (6.38а)
что аналогично соотношению (6.336). Во-вторых, из
выражения (6.37а) можно найти автокорреляционную функцию
силы:
<fA {t)\fA (0> =<^| Qe-'e^e('-'')Q|^> =
=T{t—t')C{<Si = kBTy{t). (6.386)
Этот фундаментальный и строгий результат представляет
собой, разумеется, вторую флуктуационно-диссипацион-
ную теорему (б.ЗЗв).
Прежде чем вернуться к броуновскому движению,
отметим мимоходом, что эта формальная схема легко
применима и в случае нескольких переменных Ai (t), i = 1, ... N.
Как и в разд. 5.2, в случае многих переменных уравнение
(6.37) нужно просто рассматривать как матричное:
t
[dt б;ft + iQ,.ft] <Лй (О I + J' dxTiu (t-r) <Лй (т) I =
==</*(0|. ° (6.39)
где матрицы частот Q,^ и памяти Гг^- (t) определяются
формулами (5.28), а «случайные силы» Д- (t) равны
l/HO> = Qe'«^«'QH,>; (6.39а)
Q — проекционный оператор (5.27). Читатель может
непосредственно вывести уравнение (6.39). Рассуждения
проводились с использованием уравнений движения для бра-
векторов <Л(0|, чтобы сохранить связь с изложением
разд. 5.1 и 5.2. Поскольку динамические переменные обычно
отождествляют с кет-векторами (это не имеет никакого
значения) и именно в таком виде эти уравнения часто
встречаются в литературе, запишем эквивалентное уравнение
t
{dt6i,,-iQtk)\A„{t)y + ^dxrh{t-r)\A„{x)y=\f,{t)y,
(6.40)
которое получается из (6.39) в результате комплексного
сопряжения. Фундаментальные свойства, соответствующие
формуле (5.38), очевидным образом обобщаются:
<h{t)\A,y=0; (6.41а)
<fiit)\fjin} = Tiu{t-t')C„j{0)^kBTyij{t-t'),{6Al6)
123

где
У и (О = (кв Т)-1 (Л; I Qe-'«^«' Q | Л,-> (6.42а
— ненормированная матрица памяти, а
СгЛО) = ;^вТхо- = <ЛгИ;> (6.426)
— статическая матрица «восприимчивости»
Уравнения этого раздела следует использовать с
некоторыми предосторожностями. Динамическая неусредненная
переменная А (t) является чисто механической величиной и
в сложной системе должна сильно флуктуировать. Во
многих случаях несколько искусственно выделять из этого
движения более регулярную часть, которая наблюдается в
среднем вблизи теплового равновесия. Хотя в нашем выводе
уравнений, подобных (6.37), нет явной ссылки на
микроскопическое состояние системы, из которого начинается это
движение, ясно, что при определении проекционного
оператора с помощью канонического ансамбля проведенное в
(6.37) разделение имеет смысл только для тех начальных
состояний, которые на самом деле близки к равновесию. При
других обстоятельствах, например в турбулентной системе,
более подходящими были бы иные определения скалярного
произведения, входящего в проекционный оператор Р.
Отметим, что абстрактный формализм оставляет нам свободу
выбора температуры, при которой вычисляются
проекционные операторы и, следовательно, функции памяти, но
физические соображения, разумеется, требуют выбора той
температуры, при которой действительно находится вся
система как целое; только в этом случае можно ожидать, что
случайная сила / (t) будет разумной. Умножая уравнение (6.37)
на Л и усредняя, непосредственно находим с помощью
выражения (6.38а), что для временной корреляционной функции,
усредненной по состоянию равновесия, снова получается
уравнение функций памяти.
6.3. ДИФФУЗИЯ ТЯЖЕЛОЙ ЧАСТИЦЫ
Было показано, что, когда масса М б-частицы велика, в
функции памяти для автокорреляционной функции
импульса 2 (z) = m а {z)/M из выражения (6.12) преобладают
быстрые процессы и ее можно заменять предельным значением
при2->-0 V
та {z)/M ~ та (0)/М = t, (6.43)
124 ^

До тех пор, пока нас интересуют более низкие частоты или
более длинные интервалы времени, чем характерные для
а (z) или у (t). Выражение (6.43) соответствует следующей
аппроксимации для у (t):
у (t) = 2та (0) б (t), (6.44)
где множитель 2 возник потому, что интеграл по времени в
формуле (6.11) содержал лишь положительные значения t.
Следовательно, если применить общую схему разд. 6.2, т. е.
выражение (6.37), к импульсу р (f) броуновской частицы,
то окажется, что общее и строгое уравнение
t
dt Pit)+M~^ j dxy{t~x)pix) = f (0, (6.45)
0
где у (t) определяется формулой (6.9), сводится при
больших t к стохастическому уравнению
dtp{t) + t,p{t) = f{t). (6.46)
В этом уравнении сила не коррелирована с начальным
импульсом
<fi{t)pjy = 0, (6.46а)
а автокорреляционную функцию силы, определяемую в
общем случае соотношением
<fiit)fjiny = kBTy{t-t')8ij,
как и в (6.416), можно заменить при больших {t — t')
выражением
<fi (О /Л^')> =2Ш/гв Т б (t-f) 8ij, (6.466)
соответствующим (6.44), если высокочастотные флуктуации
не представляют интереса. Таким образом, получаются
уравнения (6.33) теории Ланжевена. Они применимы в
любом случае, когда отношение масс тШ достаточно мало, так
как б-частица релаксирует за время, которое в М/т раз
превышает микроскопические времена жизни, характерные
для зависимости от времени у (t).
Большой интерес для экспериментаторов представляет
следующая величина, которую мы теперь в состоянии
вычислить. Это среднее расстояние Аг (t), которое проходит
б-частица за время t. Вычисления стандартны (см. [10]).
125

Из уравнения (6.46) получаем
t
Р.(0— Р(0)е-^' = fdTe-?('-^)f(T). (6.47)
о
Далее, поскольку д^ х (^ = р {t)IM, второе
интегрирование дает положение х (t) б-частицы, которая
первоначально находилась в точке х (0) и имела импульс р (0):
х(0-х(0) = р(0)-Ь^ + ^ JdTf(T)[l-e-SU-t)].
о
(6.48)
Можно легко найти среднее расстояние
[Д/-(0Р = <(х(0-х(0))2>, (6.49)
возводя в квадрат (6.48) и используя (6.46а), (6.466), а также
теорему о равнораспределении (6.8). В предельном случае
очень больших интервалов времени t '^ ^~^ находим
[Ar{t)]^ = 6Dt, (6.50)
где коэффициент диффузии D выражается через
коэффициент трения:
0 = кв TiMl = кв T/mU. (6.50а)
Равенство (6.50а) часто называют соотношением Эйнштейна.
С учетом' (6.3) оно эквивалентно выражению
оо
D = -i-j'd<<v(0-v(0)>. (6.51)
о
Уравнение (6.33) в таком виде не описывает, разумеется,
всех статистических свойств, относящихся к б-частице.
Чтобы полнее охарактеризовать стохастическую силу, следует
знать помимо дисперсии (б.ЗЗв) ее моменты более высокого
порядка: if {k)f {Q f {t,)}, if {h) f iU) f {tъ) f {к)У и т. п.
Обычно полагают (хотя в нашем выводе еще не было
показано, что это так), что случайная сила / {t) во все моменты
времени обладает гауссовым распределением. Это легче
всего записать с помощью характеристического
функционала
/.
ехр i \dt\}(t) f {t) К = exp -Я jd< U^ (t) I (6.52)
126

где Я = MkeTt,.- Вычисляя производные по произвольной
функции и {t), из выражения (6.52) получаем (б.ЗЗв) и,
кроме того, например,
</(1)/(2)/(3)7(4)> = </(1)/(2)></(3)/(4)> + </(1)/(3)>х
X</(2)/(4)>+</(l)/(4)></(2)/(3)>, (6.53)
где f (1) = f (ti). С таким предположением о гауссовой
случайной силе теория Ланжевена эквивалентна уравнению
Фоккера — Планка для функции распределения
броуновских частиц, которое рассмотрим в следующем разделе.
6.4. УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА—ПЛАНКА
До сих пор рассматривались малые флуктуации
броуновского импульса, описываемые его автокорреляционной
функцией. Более исчерпывающий подход к броуновскому
движению должен включать функцию распределения
/(г, р, t), обычно определяемую таким образом, что /(г,
р, t) dr dp равно числу б-частиц в малом элементарном
объеме drdp. Поскольку нас интересуют лишь сильно
разбавленные суспензии б-частиц, в которых они движутся
независимо друг от друга, можно вновь рассмотреть систему,
содержащую единственную б-частицу, и интерпретировать
/ (г, р, t) drdp как вероятность найти б-частицу в объеме
drdp в момент t. С помощью функции / (г, р, t) можно
получить все представляющие интерес статистические
величины, которые относятся к поведению б-частицы, в частности
уже имеющиеся результаты. Важно поэтому найти
уравнение движения для /. Искомое уравнение получили в 1917 г.
на основе статистического подхода А. Д. Фоккер и
М. Планк:
{dt +m-i p. V) 7 (г, р, t) = ^d.{p + Мкв Тд) J (г, р. О,
(6.54)
где д ^ д/др. В этой главе уравнение Фоккера — Планка
будет выведено с помощью статистической механики и чисто
механического уравнения Лиувилля (по поводу
конкретных применений уравнения (6.54) см. работу [10]).
Для начала нам нужен оператор, или динамическая
переменная, / (г, р, t), среднее от которого по некоторому
ансамблю Гиббса дает плотность вероятности / (г, р, t).
127

Искомую величину можно, очевидно, записать в виде
/(г, р, 0 = б(г-г<'(0)(р-р<'(0), (6.55)
где, как и прежде, г" (t) и р" (t) — микроскопические
координаты и импульс б-частицы в момент времени t. В
состоянии полного теплового равновесия для однородной
системы
<f{r, Р, 0>равн = ^(i^)-^^%-PP=/2A., (6.56)
откуда следует, что частица с одинаковой вероятностью
может находиться в любой точке объема V, а распределение по
скоростям является максвелловским. Наибольший интерес
представляет среднее по равновесному состоянию от
корреляционной функции:
С {г, р, t; г', р', t') = {f(r, р, t)f(r', р', Г)>р,,„ -
- </(^ Р. 0>равн </('■'. Р', <')>равн> (6-57)
которое определяет условную вероятность найти б-части-
цу в момент t в точке г с импульсом р, если известно, что в
момент f она была в точке г' и имела импульс р'. Исследуем
эту функцию. Для удобства введем обозначение "1" ^ {г,
р} и использованные ранее бра- и кет-векторы, тогда
уравнение (6.57) примет вид
C(i;i', <-г) = </(1,01/(Г,Г)> =
= </(1)|е-'М^-<')|/(1')>, (6.58)
где L — оператор Лиувилля (6.5), а / (1) ^ / (1, t = 0).
Вследствие связи между флуктуациями и линейным
откликом знание величины С, разумеется, эквивалентно знанию
плотности вероятности / = </>неРавн Д-^я любого начального
состояния, близкого к равновесному, точнее, для любого
состояния, которое можно получить, действуя на б-части-
цу произвольными внешними силами. Используем для
вычисления С формализм, развитый в гл. 5.
Легко можно найти значение С при одинаковых
временах. Оно равно
С(1,1',< = 0) = р-'Х(1. 1') = б(1, 1')</(1)>, (6.59)
где
б(1Г) = б^г-г')б(р-р').
128

Матрицу частот © также легко записать из уравнения
(5.28), поскольку
co(l,r) = iP</(l)|/(r)> = i <[/(!)./(1')1с.п.>равн.
поэтому, оценив скобку Пуассона, получим
©(1, r) = i[va'-av']</(i)>6(i, г) =
--=-ipM-VV </(!)> 6(1, Г)
и, следовательно,
Q(l, Г)=со(1,Т)х-ЧГ. r)=-i^l-VV6(l, 1'). (6.60)
Здесь х~^ матрица, обратная х. а по переменным,
отмеченным чертой, подразумевается интегрирование Jdl=JdrJdp.
Читатель без затруднений преодолеет операции, ведущие к
выражению (6.60). Этот простой результат дает, конечно,
свободное движение б-частицы, уравнение движения
которой можно теперь, по аналогии с общей формулой (5.21)
или (5.28), записать в виде
t _
(a,+M-vv)C(i, г. t) + jdTr(i, 1, t-
о
—т)С(Г, Г,т) = 0. (6.61)
В этом уравнении, разумеется, трудно определить функцию
памяти, равную в общем случае
Г(1,г,о=7(1Л,0х-ЧТ. i')=Y(i. 1'.0/р</(1')>.
■ (6.62)
где
7(1, r,0 = P</(l)|Z-Qe-'e^e'QL|/(l')>. (6.62а)
Это первое уравнение, в котором встречается
проекционный оператор Q. Поскольку нас теперь интересуют
корреляции всех свойств б-частицы, содержащихся в величине
/ (1), в соответствии с выражением (5.27) проекционный
оператор формально равен
P=l-Q = jdl Jdr|/(1)>PX-Ml. 1')</(1')|. (6.63а)
или с учетом равенства (6.59) для % можно записать
/'Л = |^1/(1)</(1)Л>р,з„/</(1)>ра8н (6.636)
5 Зак. 15§8 129

для любого микроскопического свойства Л. Для
произвольного свойства В (го, ро), зависящего только от координат
б-частицы и не содержащего переменных жидкости,
очевидно, что Р I Б> = I В}, или Q I Б> = 0.
Подставим теперь оператор Лиувилля L (6.16) в
формулу (6.62а) и рассмотрим последнюю часть QL \ />
получившегося выражения. Легко показать, что часть L" оператора
L не дает вклада:
^<'|/(Г)> = Ои </(l)|L<' = 0, (6.64)
поскольку LP действует только на частицы жидкости.
Свободное движение б-частицы также не дает вклада, потому
что Lb I / (1)> = I - Ш-^ ро v" / (1)> = iM-' Р V I / (1)>.
в результате
QLb |/(1)>=0. (6.65)
Следовательно, у нас остается
QL|/(l)>-QLf^Bl/(l)> = iQ
2vi/(r«>—г«)
X
xi^r/(i)> = ^iQ
F/(l)\, (6.66)
где использовано выражение (6.22) для силы F,
действующей на б-частицу, и вместо внутреннего градиента импульса
д/др" подставлен внешний градиент д/др со знаком минус,
что справедливо при действии на / (1). После этих
преобразований выражение (6.62а) для функции памяти принимает
вид
p-iY(l, l',t)==дiдj(Fгf{l)\Qe-^Ч^^Ч^Q\FJfiV)У (6.67)
В соответствии с результатами разд. 6.1 следует ожидать,
что уравнение (6.61) упрощается для очень тяжелой
б-частицы, когда М->• ро. Рассмотрим этот предельный случай.
Как показывает выражение (6.18), полный оператор
Лиувилля L сводится тогда к L" — лиувиллиану для
частиц жидкости в присутствии неподвижной б-частицы.
Оператор L", явное выражение для которого дает формула
(6.16а), действует лишь на частицы жидкости, поэтому
можно опустить проекционные операторы, стоящие в
показателе экспоненты (6.67). Нетрудно установить, что два
оставшихся проекционных оператора тоже можно опустить,
поскольку,
</(1) I Р/(Г)> = 6(1.1') </,(!)> <F> = О, ■
130

в рёаультате P\F f (Г)> — (^- Следойательно, когда М ->-о<5,
удается записать выражение (6.67) е' виде
p-iYoo(l, V,t) = дiд|(Fif{l)\e-^^'^\FJf{l')y. (6.68)
Так как L" действует лишь на силу F, но не на плотность
/. (Г), легко выполнить усреднение в формуле (6.68) и
найти в результате
Yoo(l, 1', О = аа'</(!)/(!')>/П7оо(0. (6.69)
где y^{t)— автокорреляционная функция силы, уже
встречавшаяся в выражении (6.23). С помощью формулы (6.59)
окончательно получаем
Гоо(1, l',t) = -{m/M)yoo{t)d{p + MkBTd)8{l, Г),
(6.70)
следовательно, при больших М
{dt + M-^p\)C{l, l',t) = (m/M)d{p +
+ AfyfesTd) j'dTVoo(T)C(l, 1', t—x). (6.71)
Оператор столкновений в правой части явно содержит
малый множитель пг/М и обращается в нуль при М-^оо.
Поэтому при большой массе б-частицы М величина С (т)
содержит времена релаксации порядка {т/М)~^, которые
значительно больше быстрых микроскопических времен,
входящих в Yoo (О и характеризующих хаотизацию частиц
жидкости. В такой ситуации в выражении (6.71) у^ (t)
можно заменить на б-функцию по времени, т. е. написать
вместо (6.71) уравнение Маркова
(aj + Af-ipV)C(l, l',t) = ^d{p + MkBTd)C{l, V,t),
(6.72)
если нас интересуют более длительные промежутки времени,
чем характерные для у^ (t). Это, конечно, уравнение
Фоккера — Планка (6.54), записанное для плотности
условной вероятности С (1, Г, t), где
00
^=^rd/Yoo(0 = -^U (6.72а)
о
— тот же самый коэффициент трения (6.24), который
встречался в разд. 6.1. Отметим, что в противовес уравнению
(6.54) уравнение (6.72) описывает математически строго
5* , 131

определенную величину, начальное значение которой вЫ'
ражается через равновесное среднее в соответствии с
формулой (6.59). Подозрительные читатели могут уточнить наш
несколько поспешный вывод, введя безразмерную
переменную канонического импульса, как это предлагалось в
связи с выражением (6.18), и обсудить более тш,ательно, чем
это сделано, порядок величины всех членов.
В качестве простейшего применения уравнения (6.72)
можно снова получить автокорреляционную функцию
импульса, поскольку
<Р(0-Р(<')>=[Ф|ф'|^г jdr'p-p'C(l, Г,0. (6.73)
как эти следует из определения (6.57) величины С. Все
интегралы, за исключением одного, можно вычислить,
непосредственно используя (6.72). А именно, функция
gi{p,t)= jdp'jdrjdr'р/с (1, Г, t) (6.74)
удовлетворяет уравнению
dtgi{p,t) = t>d{p + MkBTd)gi{p,t), (6.75а)
начальное условие для которого дает формула (6.59):
^г(р,0) = (2яЛ1/р)-з/2рге-РР^2Л1. (6.756)
Это собственная функция оператора Фоккера — Планка,
следовательно, решение уравнения (6.73)
gi{p,t) = e-Vg,{p,0), (6.76)
откуда сразу же получается прежний результат (6.15).

Глава 7
НАРУШЕННАЯ СИММЕТРИЯ
Мы проанализировали довольно подробно коллективные
флуктуации в разнообразных многочастичных системах,
относящиеся к области малых волновых чисел k или
больших длин волн % = 2я1к, где эти флуктуации включают в
себя кооперативное поведение огромного числа частиц.
Особое внимание было уделено тем модам, времена жизни
которых бесконечно увеличиваются при ^ ->• 0. Эти
гидродинамические моды наиболее полно характеризуют
макроскопические динамические свойства многочастичных систем.
Примерами служили спиновая диффузия в ^Не или в
изотропном гейзенберговском парамагнетике, или тепловая
диффузия, нормальный звук и поперечная сдвиговая диффузия
в нормальной однокомпонентной жидкости. Во всех этих
случаях существование гидродинамических долгоживущих
мод являлось прямым следствием микроскопических
законов сохранения. Читатель может припомнить дискуссию
в разд. 2.1 в связи с рис. 2.1 и более формальный анализ,
представленный в разд. 5.4. Множество других флуктуа-
ционных явлений могут быть рассмотрены таким же
образом. В бинарной жидкости, например, имеется долгоживу-
щая мода, связанная с флуктуациями концентрации [74].
В слабоангармоническом кристалле, в котором можно
пренебречь процессами переброса, фононный газ сохраняет
плотности энергии и потока тепла, что обусловливает
появление моды второго звука [65]. В молекулярной жидкости,
где межмолекулярные силы лишь немного отличаются от
центральных, существуют долгоживущие коллективные
флуктуации углового момента [И].
Имеется, однако, другая категория кооперативных
гидродинамических процессов, которые не являются прямым
следствием микроскопического уравнения непрерывности.
Сохранение спина указывает нам, что спиновая плотность в
парамагнетике подвержена процессу диффузии. Но в
ферромагнитном состоянии, описываемом тем же самым
гамильтонианом с теми же сохраняющимися величинами, существуют
долгоживущие распространяющиеся спиновые волны.
Спиновые волны возникают и в антиферромагнетике —
коллективные возбуждения «шатающегося» намагничения подреше-
ток Л^ (/-, t), величины, которая не является микроскопичес-
133

кй сохраняющейся. В нёматичёском жидком кристалле —
молекулярной жидкости с выстроенными в среднем вдоль
одного направления молекулами — имеются кооперативные
флуктуации молекулярной ориентации, затухающие
бесконечно медленно при k-y О.И, наконец, второй звук в
сверхтекучем гелии обусловливается флуктуациями фазы
макроскопической волновой функции, которая явно не является
сохраняющейся величиной. Основная причина того, почему
все эти моды остаются, тем не менее, долгоживущими в
пределе й ->• О, состоит в спонтанном нарушении непрерывной
симметрии и наличии дальнего порядка во всех этих
системах.
Механизм физически очень прост. Рассмотрим, к примеру,
ферромагнетик. В этой системе, которую мы построим из
спинов, закрепленных в узлах какой-нибудь правильной
решетки, силы между двумя спинами благоприятствуют их
параллельному расположению. Даже если эти силы
действуют только на микроскопически малых расстояниях, они
обеспечивают при достаточно низкой температуре (в
ферромагнитном состоянии) ориентацию всех спинов в среднем
вдоль некоторого общего направления. Какого именно? Если
считать, что решетка совершенно пассивна и не оказывает
ориентирующего воздействия на спины, то направление
преимущественной ориентации будет полностью
произвольным. По крайней мере, в отсутствие внешних полей
свободная энергия не зависит от этого направления. Но если
вообще не нужно расходовать энергию, чтобы повернуть
систему как целое, то необходима очень малая энергия для
создания флуктуации с очень большой длиной волны, в которой
направление спинов синусоидально меняется в
пространстве, как показано на рис. 7.1. Поэтому величина такой
спонтанно возникающей флуктуации, пропорциональная
< I Sy (k) |^>, должна стремиться к бесконечности, когда
длина волны становится бесконечно большой; в результате
получаем
Х±(/г) = Р<|5,(^)Г>=^при/г = ^-^0, (7.1)
где/? — некоторая положительная постоянная, аМо
введена для нормировки. Величина P"•^x± (k) является, конечно,
пространственным преобразованием Фурье статической
корреляционной функции
Sx (г- г') = {Sy (г) Sy (г')> -<S, (г)-> {Sy (г')>, (7.2)
134

SuM
<S> -MaZ
Рис. 7.1
где в действительности (Sy} = О, так как мы выбрали
общую ориентацию в среднем вдоль оси z. Формула (7.1)
соответствует утверждению, что для больших \ г — г' \
Sx(r-r')-
ksT
М?
4п|г—г' I
(7.3)
Расходимость статической восприимчивости x±{k) (7.1) при
малых k является выражением того факта, что корреляции
поперечной спиновой плотности Sy (г) имеют бесконечно
большой масштаб.
Предположим теперь, что флуктуация, изображенная
на рис. 7.1, возникла в момент t = О спонтанно или
вынужденно. Как она будет затухать? — Очень медленно. Дело в
том, что в любой области, малой по сравнению с Я, как это
показано стрелками на рис. 7.1, спины, в сущности,
выстроены однородно, хоть и не в направлении оси z, но любое
направление является хорошим, пока имеем дело только с
внутренними силами между этими спинами. Здесь нет
локально-активной возвращающей силы. Единственная
причина, по которой Sy {г, t) может вообще релаксировать,
состоит в том, что на удалении в полволны от данной области
ориентация спинов иная, так что спины должны
поворачиваться, чтобы в конце концов достичь равновесного
состояния однородной ориентации. В сущности, для равновесия
необходим перенос на расстояние порядка Х/2 «информации
о локальной ориентации». При Х-^ оо время, необходимое
для этого процесса, должно стремиться к бесконечности как
некоторая степень Я.
Читатель должен заметить сходство предложенного здесь
довода с тем, который использовался для сохраняющихся
плотностей на с. 18. Верно, конечно, что в изотропном
ферромагнетике рассмотренного здесь типа спиновая плотность
Sy (г, t) тоже сохраняется. Данная аргументация, однако.
135

непригодна в случаях, не связанных с переменными
«восстановления симметрии» в антиферромагнетиках,
сверхтекучих жидкостях или жидких кристаллах. Более
педагогичным был бы, видимо, выбор именно такого примера, но это
не сделано, так как предполагается, что большинство
читателей гораздо лучше знакомо с ферромагнетиками.
7.1. ДАЛЬНИЕ КОРРЕЛЯЦИИ И МЕДЛЕННЫЕ МОДЫ
Для введения формальных понятий о связи между
дальними корреляциями и гидродинамическими модами
рассмотрим динамическую переменную Л (/■,/), которая не
сохраняется (как, например, локальная молекулярная ориентация
в жидком кристалле). В таком случае микроскопическое
уравнение движения имеет обш,ий вид
dtAir,t) + \i^{r,t) = S{r,t)
или
д^ А (к, /) — ikj-^ (к, i) = S (к, /). (7.4)
Хотя это разделение А на части, связанные с переносом
(Vj) и с источником (S), не является единственным, оно
указывает, что вторая часть не выражается в виде
дивергенции локальной плотности, т. е. что S {k, i) конечна при
S =limS(^, 0)=-^rdrS(r,/)^0
ft-», о У V J
или
d
dt
-^Jdr^(r,/)|, = o^S^O. (7.5)
Корреляционная функция, определяемая, как обычно,
выражением
Саа {kz) = ГЧ -^ ХАА (М/« (« - 2), (7.6)
может быть всегда записана в форме (5.20):
Слл(^г)=-^-^-^^^. (7.7)
136

где статическая восприимчивость и функция памяти имеют
вид
Хл (^) = J-^ Хлл (М/« = Р <^ (^)М (^)>,
аА(кг) = р(^А(к)
Q
i
■Q
А{к)у
(7.76)
Z-QLQ
С обычным образом определенным проекционным
оператором Q; здесь для простоты мы предполагали тоже обычное
условие (^А (k) \ А (k)y = 0.
Если бы А (rt) являлась плотностью константы
движения, то мы имели бы а (kz) ^ k^ и, следовательно,
гидродинамический полюс в (7.7). Для несохраняющейся
переменной А, однако, предел
Q—!:77Г<Э
{\таА(кг) = ^ (^S
k-fO
s\^o
(7.8)
z—QLQ
является конечным. Если попробовать заменить а {kz)
в выражении (7.7) константой, а именно величиной
\\m.\im.aA(kz)^o\, (7.9)
г-»- о ft-»- о
всегда положительной, то выражение (7.7) примет вид
Саа (kz)
^+io%XA^(k)
(7.10)
который, можно надеяться, дает приближенное описание
при малых k и Z. Предполагая, что восприимчивость хл (k)
конечна при ^ -*- О, как это пока всегда было, и, подставляя
в соотношение (7.10) хл = lini Хл (^), получаем полюс
в точке *"*■"
Z= —'Ю%Ха^ Ф — 1Ха^,
(7.11)
который определяет конечное время жизни т^. Это
результат, соответствующий уравнению движения
а,б<л(г/)>=—5-б<л(г/)>,
(7.12)
дает адекватное феноменологическое описание множества
процессов. Например, уравнение Блоха для
намагниченности в парамагнетике в случае несохранения магнитного
момента (т. е. при учете спин-решеточного взаимодействия)
является уравнением типа (7.10) или (7.12).
137

Предположим, однако, что несохраняющаяся переменная
А (rt) имеет статические корреляции бесконечного
радиуса (в результате какого-либо нарушения непрерывной
симметрии или по другим причинам), т. е. что
Хл(^)=^,при^->0, (7.13)
где коэффициент НаМ.—"^ должен быть положительным, ij[6o
1а {Щ — положительная величина (Л1о введено для
последующего согласования). Влияние (7.13) на динамические
свойства выясняется просто. С учетом (7.13) поведение
нормированной функции памяти 2^ {kz) = 0^012)%}} (k) при
малых k оказывается таким же, как в сохраняющейся
системе, даже если б^ (kz) теперь конечна при малых k и г.
Например, в случае спинового парамагнетика (5.51) мы
имеем Хм (kz) ^ k^ при малых k, ибо уравнение
непрерывности для спиновой плотности приводит к ам (kz) '^ k^,
в то время как хм (k) остается конечной при & -> 0. Теперь
мы снова находим, что 2^i(fe;) ^ k^ ъ упорядоченной
системе, но не вследствие того, что переменная А сохраняется,
а из-за того, что она статически скоррелирована на
больших расстояниях и хл (^) ^ 1/^^- Так или иначе, но все
одинаково. Повторяя уже использовавшиеся аргументы
(см. разд. 2.11 или разд. 5.4), находим гидродинамический
полюс в Саа (kz)
z=-ia\(RAlMl)k^ (7.14)
строго с точностью до k^. функция отклика, отвечающая
поглощению
Хлл (Щ = ©р Re Саа (k, © + ie), (7.15а)
для малых Л и 0) дается выражением
— fAA (k(i>) = "-^ . (7.156)
соответствующим лоренцевой спектральной линии,
центрированной при 0) = О и имеющей полную ширину на
половине максимума, пропорциональную k^, а именно
2a%RAMo^k^. Имеется, однако, важное различие между флук-
туациями сохраняющейся плотности и «модами
восстановления симметрии», которые сейчас рассматриваются.
Полный вес хаа, т. е. площадь под кривой хлл (^©)/©, расходит-
138

i
ся при k -^ О
^Jkl^=.,,(,)=-^. (7.16)
ПО) "а''
что, конечно, обусловлено уравнением (7.13) и следует,
как это и должно быть, из соотношения (7.156). Такое
свойство характерно для упорядоченной системы. В этом,
например, состоит причина того, почему свет рассеивается
столь сильно в нематических жидких кристаллах, что мы
обсудим в гл. 11. Заметим, что выражение типа формулы
Кубо для коэффициента переноса а%, полученное из
соотношения (7.156) в виде
a%=\im\\im&x"AA{k(i>)], ' (7.17)
<л-*0 \_k-*0 J
отличается, например, от уравнения (4.54) множителем k^.
Читатель должен заметить формальное сходство выводов,
полученных в данном разделе, с результатами 'разд. 6.1
о корреляции броуновских импульсов, где роль к^ играло
отношение масс т/М. В частности, уравнение (6.8)
аналогично (7.16), а уравнения (6.29) и (6.30)—соответственно
(7.156) и (7.17).
Основное утверждение данного раздела, уравнение
(7.13), разумеется, требует доказательства для каждой
отдельной системы, к которой мы хотим применить эту
схему. Но сначала желательно подытожить главные
результаты, полученные нами в этом предварительном
обсуждении.
1. Время жизни тл(^) динамической моды Л (^,/) можно
записать в виде
rA4k)--o^{k)/xA{k), (7.18)
где а' (k) = Re a^ik, /е) — обобщенный коэффициент
переноса; Хл (k) — обобщенная восприимчивость.
2. Если А — сохраняющаяся плотность, то аД (k) ^
f^k^, так что мода является бесконечно долгоживущей при
3. Если А — переменная восстановления симметрии со
статическими корреляциями, распространяющимися на
бесконечные расстояния, то хл (^) ^ 1/^^ и снова мода
должна иметь бесконечное время жизни при ^ -> 0. Кроме того,
для малых k такая мода должна быть очень сильной.
Этого достаточно для введения. Давайте теперь
проанализируем эти утверждения более детально и, в частности,
139

докажем соотношение (7.13), на котором они основаны.
То, что мы будем устанавливать — связь между
нарушенной симметрией, дальними корреляциями и долгоживущими
модами, — было впервые сформулировано Голдстоуном
[46], который показал, что в релятивистской квантовой
теории поля должны существовать бозе-частицы с
исчезающей массой покоя, если непрерывная симметрия
лагранжиана спонтанно нарушена (см. также [47, 57]).
Приложения этой теоремы к нерелятивистской многочастичной
проблеме обсуждаются в [15, 67] и других работах.
Аналогичный подход к гидродинамическим модам привлек
гораздо меньше внимания, чем к элементарным возбуждениям,
наблюдаемым при очень низких температурах, меньше, чем
они того заслуживают.
7.2. НАРУШЕННАЯ СИММЕТРИЯ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ
Изотропный гейзенберговский ферромагнетик является
лрототипом системы, в которой нарушена симметрия. Мы
понимаем под этим, что симметрия гамильтониана —
инвариантность к вращениям — не является симметрией
состояния; ферромагнитное состояние системы
характеризуется осью преимущественной ориентации спинов и
поэтому имеет более низкую симметрию, чем ее гамильтониан.
Гамильтониан Гейзенберга, описывающий систему
взаимодействующих спинов, которые локализованы в узлах
жесткой решетки, имеет вид
Я= ~ 2 ^(|г"—rPl)S"SP. (7.19)
Здесь S"—спиновый оператор в точке г"; спины,
принадлежащие различным точкам, коммутируют, а три компоненты
спина в любой данной точке подчиняются обычным
коммутационным соотношениям для углового момента:
[Sf,Sf]=itie,j,Sf8ap. (7.20)
Величина У (| г" — гР |) — обменное взаимодействие,
зависящее от расстояния между спинами, но не зависящее от
ориентации спинов относительно решетки. Таким образом,
гамильтониан (7.19) инвариантен к обычным вращениям
всех спинов относительно фиксированной решетки. Мате-
140

Матически это означает, что оператор полного спина
S"o^=^SS" (7.21)
коммутирует с гамильтонианом:
[S"°^, H] = ih— 8"°" = О. (7.22)
dt
С одной стороны, это уравнение показывает, что полный спин
сохраняется, с другой—что гамильтониан инвариантен к
вращениям.
Действительно, уравнение
[sr,Sf] = iheij^St {все а) ' ' (7.23)
приводит в соответствие S"°" с генератором спиновых
вращений. Унитарное преобразование
и (9) = ехр [— eS"°" 1 « 1 + — 608"°^ (7.24)
поворачивает все спины на угол | в | около оси, вдоль
которой в ориентирован. Вторая часть выражения (7.24)
имеет место для бесконечно малого поворота, при этом
получаем
■ а(бв)8«^У-^(б0) = 8«-Ь 6S«,
где
6S« = 4-[(6e-S"°^), S«] = (60xS«) (7.25)
я
с учетом (7.23). Поэтому как следствие (7.22)
гамильтониан Гейзенберга инвариантен относительно
непрерывной группы преобразований U:
и(в)Ни-Цв) = Н. (7.26)
Вопреки вращательной инвариантности Н, ферромагнетик
имеет спонтанный постоянный магнитный момент. Иначе
говоря,
VMo = <S"°^>^0, (7.27)
где V — объем системы. (Мы игнорируем здесь всякую
доменную структуру, предполагая, что имеем однородно
намагниченный монокристаллический образец.) Это
означает, что матрица плотности не может коммутироватьлс
.141

§пол_ Действительно, допустим, что спонтанный момент
направлен вдоль оси г, так что
<5Г> = VMo ^ О, но iST^ = (ST"y = 0. / (7.28)
Тогда с учетом выражения [S"°", Sy°"] = ihSj получаем
(SD = sp psr = (iA)-i sp p [sr, sr] = m-' Sp X
X [p, Sr ] Sr = - m-' Sp [p, Sr] Sr ^ 0. (7.29)
Таким образом, матрица плотности не коммутирует ни с
5"°", ни с 5^°", хотя гамильтониан коммутирует. Однако
для паники нет причины. При описании состояния
ориентированного ферромагнетика (для чего используется р)
необходим такой параметр, как температура, необходимо
также конкретизировать направление спонтанной
намагниченности. Если, скажем, все спины повернуты около
оси X, то состояние системы изменится, хотя, пожалуй,
тривиальным образом.
Конечно, это означает, что канонический ансамбль
р />./ e—^^ больше не является хорошим ансамблем для
спонтанно упорядоченной системы. При усреднении по этому
ансамблю необходимо усреднить и по всем направлениям
полного спина. Канонический ансамбль хорош в
парамагнетике и пригоден для многих целей в ферромагнитном
состоянии, но было бы глупо применять его, например, для
вычисления <S"°">. Можно использовать е—^" как
статистический вес состояний различной энергии, но при этом
необходимо дополнительно учитывать, что след должен
браться только по тем состояниям, для которых S"""
направлен вдоль оси Z. Формально необходимо иметь что-то
вроде
p = const5^(S"°'')e~^^ (7.30)
где проекционный оператор 9^. (5"°") отбирает только те
состояния, для которых 8"°'" направлен по оси г. Это
называется ограниченным ансамблем, причем с ним не очень-
то легко работать.
Лучше делать то, что делают в лаборатории. Чтобы
намагнитить кусок покрытого пылью железа, его помещают в
магнитное поле 6h = бЛ • z. Когда поле выключают,
намагниченность остается ориентированной вдоль z при
отсутствии причин для поворота в каком-либо другом направ-
142

лении. Теперь в постоянном внешнем поле 6h = б/г • z
каноничебкая матрица плотности
\ -р \H-i
рт=\ ^
VSpe ^ ' J (7.31)
коммутирует <^ S" , но не с 5"° и Sy. Далее,
<S"°^> (6h) = Sp р (6h) S"°^ = Mo (бЛ) -z.
(7.32)
Конечно, при б/г -^ О в ферромагнетике должно остаться
конечное значение Мо'.
lim Мо (Щ:
6Л-*0
М,{Т)фО,
хотя при б/г = о среднее от величины, определяемой
выражением (7.32), обращается в нуль:
Мо (б/г = 0) = 0. (7.33)
Внешнее поле, каким бы слабым оно ни было, придает
состояниям с S"°" 11 Z несколько больший вес в ансамбле, чего
в ферромагнитной системе достаточно, чтобы ориентировать
все спины в направлении оси г. Содержание формулы (7.32)
иллюстрирует рис. 7.2. Конечно, одно дело установить факт
спонтанно нарушенной симметрии, как в формуле (7.32),
а другое — доказать, воспользовавшись гамильтонианом
(7.19), что имеется область температур Т < Т^ для которой
фактически получено соотношение (7.23). Это
доказательство трудное, и мы не будем пытаться его здесь выполнить,
тем более что предмет доказательства столь правдоподобен.
Вместо этого посмотрим, какие выводы можно сделать из
утверждения, что даже в отсутствие внешнего поля (вернее,
при б/г -^ 0) <S"°^> == Мо • Z ^ 0.
Ферромагнетик 1т<Тс)
Парамагнетик (т>Тс)
6h
Рис. 7.2
143

Во-первых, попытаемся показать, что x±ik) расходится.
Удобно ввести оператор локальной намагниченности
М (г/) = S S" (/) б (г—г«) / (7.34)
И его корреляционную функцию /
xJl(г, г'; /) = <(2й)-1 Ш, (г/), Mj(г' 0)]>. / (7.35)
Тот факт, что спины связаны с кристаллической решеткой,
несколько нарушает трансляционную инвариантность, но
если интересоваться главными пространственными
изменениями, то структура решетки не играет роли.
Преобразование Фурье может быть определено как
Х?/(М= f J d^e-'J drjdr'е-'^-^'-^'Ч/у^г, г';/).
(7.36)
Наш подход состоит в следующем. Мы снимаем образец с
полки в момент / = — оо, предполагая, что в это время он
был намагничен вдольнаправленияг. Потом включаем, очень
медленно, изменяющееся в .пространстве магнитное поле,
направленное вдоль х. Зависящий от времени
гамильтониан в этом поле Hu&iT вид
Я(/) = Я—jdrM^(r)6/i^(r)e^', /<0. (7.37)
Итак, мы создали ненулевую намагниченность в
направлении X. В момент / = О она равна
b(M,(k)y^X,Ak)^hAk), (7.38)
где
X=c=c(^)=J-f-x;'HMM (7.38а)
Что произойдет, если теперь внешнее поле однородно?
Конечно, так как нет поля, заставляющего систему
предпочесть направление z, то намагниченность просто полностью
повернется. В однородном поле выражение (7.38) принимает
вид (после сокращения б (k) с обеих сторон)
6{M,y = X,Ak = 0)8h, = Mo. (7.39)
Таким образом, величина б (М,;) должна быть конечной,
хотя 6hx бесконечно мало, так что Ххх (.k) будет бесконечно
велика при k = 0. Так как согласно требованиям симмет-
144

рии Хжж Ф) является четной функцией k, то самая слабая
сингулярность такова:
%,Ak^MllRk\ (7.40)
Те же самьт причины, очевидно, приводят к сингулярности
в Хуу {Щ- Расходимость, как мы видим, связана с нарушенной
симметрией, с тем фактом, что при слабом воздействии
система может поворачиваться от одного направления
(состояния) к другому.
Заметим, что нет ничего особенного в поведении Хгг (^)-
В пределе ^-> О Xzz (^) конечна, так как требуются усилия
для увеличения намагниченности в направлении 2, если
система уже была спонтанно намагничена в этом направлении.
И, конечно, Хгг (^ -> 0) = 1^1 есть нормальная
восприимчивость. На более общем языке это формулируется так:
переменная нарушения симметрии (М^), неисчезаюш,ее
ожидаемое значение которой свидетельствует о спонтанном
порядке, имеет корреляции конечного масштаба, т. е.
конечную восприимчивость даже при k = Q. Сингулярность
возникает в переменных (^Мх и My), которые изменяют
спонтанный порядок, т. е. стремятся сохранить полную
симметрию гамильтониана.
7.3. НЕРАВЕНСТВО БОГОЛЮБОВА
Мы показали правдоподобность сингулярности типа ^~^
в Хлл (^)' но использованные аргументы не отвергают
более причудливых возможностей, к примеру, k~^<^.
Теперь можно доказать, что сингулярность имеет, ио меньшей
мере, характер k~^.
Сначала отметим, что
- -^[5Г,МЛг')] = -МЛг') (7.41)
в соответствии с уравнением (7.23) и выражает тот факт, что
5|?°" генерирует спиновые враш,ения около оси у. Усредняя
(7.41), получаем
^ ^dr^dr" xl,{r, г', t = 0)=<^^x;Ak=0, а)=-Шо,
(7.42)
что является правилом сумм, которое различает
ферромагнитное (Мо :^ 0) и парамагнитное (М^ = 0) состояния.
145

Далее, воспользуемся тем, что величина
J п 0) I
определенная для любых двух эрмитовых беременных
А (г, /) и В (г, /), обладает всеми свойствами'скалярного
произведения в гильбертовом пространстве, к^к уже
отмечалось в разд. 5.3. Поэтому, в частности, имеет место
неравенство Шварца
<Л1Л><В1В>&1<Л|В>Р,
которое в более подробной записи приобретает вид
Jno) Jno) Jno)
(7.43)
Это одна из форм знаменитого неравенства Боголюбова [52].
Используем выражение (7.43) с А ijrt) ^ My (rt) и
В (rt) = М^ (rt). Так как
х^ д}^(М = «'х^ЛН.
получаем
\^^
Х"хх (*»)
= %хх{Щ\
If—X"
{Ы)
Iv
(7.44)
'Ч'ии (*•»)
Для малых k числитель равен Мо по правилу сумм (7.42).
Фактически для нашей модели решетки спинов правило
(7.42) справедливо для произвольных k.
Полный спин согласно (7.22) является константой
движения, поэтому спиновая плотность подчиняется уравнению
непрерывности
a,Mj(r/)+V;yff(rO = 0 .(7.45)
«' lly (М - h kj X/^. iJk(o) (7.45а)
имеет порядок k^. Как следствие, знаменатель в выражении
(7.44) в лучшем случае порядка k^; отсюда получаем
Xxxik)^
k^ [коэффициент]
(7.46)
146

дл^ малых, но конечных k, где [коэффициент] ^ это корре-
лж1,ионная функция тока намагничения. Мы пришли к
заключению не только о том, что Хлл {k) расходится при k =
= О, но и\ что особенность имеет, по крайней мере, вид
\lk^. Если шедположить (и это фактически всегда верно, за
исключением^ критической точки), что особенность не хуже
\lk^ в обоих случаях, т. е. что
X.. ik) = lyy (^) = ^ при ^-^ о, (7.47)
то можно найти также ограничение для положительной
константы R:
;? < lim -L С -^ «xftft {Ы). ' (7.48)
k->-o k^ J п
Доказательство (7.46) было бы полным, если бы мы
определенно показали, что интеграл в правой части (7.48) является
конечным. Мы рассматривали такие правила сумм раньше,
поэтому читателю предлагается оценить (7.48)
самостоятельно. Ответ [67] в том, что предел (7.48) конечен, если
обменные силы короткодействующие, т. е. если
jdry(r).
00. (7.49)
7.4. ТЕОРЕМА ГОЛДСТОУНА
Связь между симметрией гамильтониана, которая
нарушается физическим состоянием, и существованием
коллективных мод низкой частоты для больших длин волн
достаточно важна, так что эта тема заслуживает дальнейшего
рассмотрения. Поэтому несколько формализуем задачу,
ограничившись, однако, лишь случаем трансляционно-ин-
вариантных систем.
Во-первых, нам необходима симметрия, которая может
быть нарушена. Введем соответствующий эрмитов оператор
Q и предположим, что он выражается интегралом от
локальной плотности q (г/):
Q = ldrq{rt). (7.50)
Предположение, что Q коммутирует с гамильтонианом:
[Я,(Э] = 0, (7.51)
идентифицирует Q с генератором преобразования
непрерывной симметрии и (Ф) = ехр {[(DQ/h), оставляющим га-
147

мильтониан инвариантным: U (Ф) HU+ (Ф) = Н. Это
оаначает также, что наблюдаемая величина Q (t) сохраняется;
^Q(t) = О, или dt q irt) + V.j' irt) = 0; / (7.52)
dt
здесь У — ток, соответствующий величине QJ
Предположим, далее, что операция симметрии Q
преобразует локальную эрмитову наблюдаемую величину А (г)
в наблюдаемую величину В (г):
^[(Э,Л(г)] = В(г). (7.53)
Тогда, если ансамбль р инвариантен по отношению к Q,
т. е. [р, Q] = О, среднее от В должно обратиться в нуль.
Кроме того, если мы нашли пару операторов Л и В, таких,
что
<В(г)>.= <5>=/:0, (7.54)
то термодинамическое состояние должно нарушить Q-сим-
метрию, т. е. [р, Q] Ф 0.
Следствия этих допущений интересны для приложения
к физически реализуемым условиям. Во-первых, уравнения
(7.53) и (7.54) подразумевают, конечно, что
dr(^L[q(rt),A{r')]y = ^{By, (7.55)
тде / произвольно, так как Q (t) = Q (0) и не зависит от
зремени. Уравнение (7.55) эквивалентно уравнению
ll л (^ = О, О)) = i я <В> б (©), (7.56)
которое интересно, если справедливо заключение, что и
lim х^л (^, ©) = Ы <В> б (©). (7.57)
Если это так, то соотношение (7.57) сигнализирует о
существовании коллективной моды, энергия которой ю (^)
стремится к нулю при ^ -^ О и: (или) время жизни т {k)
стремится к бесконечности при k-^Q, т. е. для х^л {k, ©)
должно быть что-то похожее на
I
Х^л {Щ = Ы <В> б (©—©й),
или
х;А(к<о)^\(Ву—1Ц--, (7.58)
148

или комбинацию того и другого, где
lima)(;fe)==0 и Итт()^)=оо. (7.59)
Далее, вследствие неравенства Боголюбова (7.43), а
именно
С da 2
[—%ЫЩ^1аа{Щ^-^ , ■ (7.60)
f* da
{Ы)
следует ожидать, что хлл {Щ расходится по крайней мере
как \lk^, так как
■ r^a)xJ,(^) = ;fe^r^xL/,(M (7.61)
J П J ПО) « «
должно быть порядка k^ в результате закона сохранения
(7.52). Если особенность наименьшая, т. е.
Хлл(^) = ^ при ^->0, (7.62)
то «константа жесткости» Ra ограничена условием
;?л<Ит-^ Г-^а)х;ЛМ- (7.63)
Таким образом, мы нашли низкочастотные «голдстоунов-
ские моды» и дальние корреляции как результат
нарушения непрерывной симметрии.
Это формальная структура. Для полной строгости ее
следовало бы несколько украсить (см. [57, 67]). Предыдущие
рассуждения показали, что переменная «нарушения
симметрии» В (г) не обязана быть такой же, как переменная
«восстановления симметрии» А (г) (принятый язык не столь
щепетилен, чтобы их различать), и ни одна из них не
обязана совпадать с оператором симметрии Q или его
плотностью q (г), как могло показаться из примера с
ферромагнетиком. Действительно, для изотропного
антиферромагнетика Q снова является той или иной компонентой
полного спина S"°", тогда как Л и В — это компоненты
плотности N (г) «шатающейся» намагниченности подрешеток.
Для нематического жидкого кристалла Q есть полный
угловой момент (плотность которого, к сожалению, не является
локальным оператором), тогда как Л и В — компоненты
квадрупольного момента молекулярной массы, обычно
149

называемого «директором». Для сверхтекучей жидкости
нарушенная симметрия есть калибровочное преобразование,
генератор которого является оператором числа частиц N,
в то время как оператор А — это фаза квантового поля
1|) (г). Кстати, <В>2 представляет здесь плотность
конденсата /г", а «константа жесткости» Ra соответствует
плотности сверхтекучей компоненты, обычно обозначаемой ps-
7.5. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ
Этот раздел следовало бы дать мелким шрифтом, так
как в нем содержатся несколько весьма вольно связанных
замечаний, которые кое-кто из читателей, возможно,
захочет проработать в деталях, в то время как прочие
предпочтут их пропустить.
Первое замечание касается оправдания слова «если»
после формулы (7.57). Содержащееся в уравнении (7.56)
утверждение эквивалентно тому, что
-^Х"(^ = 0, a)) = i<S>; (7.64а)
п
^а)''х"(^ = 0, а)) = 0, /г>1, (7.646)
л
т. е. нарушенной симметрии, где х ^ Х?л, тогда как
важное для нас утверждение таково:
limf-^X"(^, «) = i<5>; (7.65а)
limf —©«х'Ч^. «) = 0. «>0- (7.656)
*-*о J п
Далее, преобразование Фурье
/(к) = 5^ге-"'-'/(г) (7.66а)
любой функции / (г) однородно при ^ = о, т. е.
1™ / (к) = / (к = 0) = 5 dr/ (г), (7.666)
если / (г) достаточно быстро убывает при больших г, так
что интеграл имеет конечное значение (Jdr/ (г) ■< оо).
Следовательно, уравнения (7.64а) и (7.65а) эквивалентны,
если только функция
/(0) (г) = j -^ X" {г, 0)) = Й-1 <[<7(г), А (0)]> (7.67)
150

быстро убывает при t-^oo. Это выполняется, если q (г)
и А (г) являются локальными операторами, зависящими
только от свойств (положения, импульса, спина и т. п.)
частиц в малой окрестности г, так что коммутатор (7.67)
стремится к нулю для достаточно больших г (см.
аналогичные рассуждения на с. 59).
Давайте рассмотрим также правило сумм:
/'^^ (/•) = j ^ «X" (г, 0)) = [-jJdlH, <7(/-)], Л(0)]>. (7.68)
Если все силы в системе короткодействующие, то оператор
плотности энергии е (г) (интеграл от которого е(;ть Н)
является локальным, т. е. зависящим только от свойств тех
частиц, которые находятся в области действия потенциала
вокруг точки г. При этом допущении [Н, q (г)] коммутирует
с Л (0), пока находится внутри области действия сил
вокруг точки О, и функция /~^ (г) также оказывается
локализованной в малой области, так что ее преобразование
Фурье хорошо ведет себя вблизи k = Q. Для правил сумм
более высокого порядка справедливы те же аргументы, и
это внушает доверие к тому, что справедливость основного
утверждения Голдстоуна, т. е. уравнения (7.65) или (7.57),
обеспечена, если рассматриваемая система не возмущена,
скажем, кулоновскими силами. Более строгие аргументы
приведены в работе [67].
Второе замечание относится к интерпретации (7.57)
в терминах спектра возбуждений Н. В этой книге всюду мы
рассматривали тепловые средние при конечных
температурах, так как нас в основном интересовали динамические,
даже гидродинамические, свойства при конечных Т. Новее
сказанное в разд. 7.4 в равной степени справедливо и для
Т" = О, при этом (...) просто означает квантовомеханическое
среднее для основного состояния | 0> гамильтониана Н.
В этом случае
Х^л(^«)=-^2^(«-«п)<01'7(-^)1«><«И(^)10>-
—{^^'^\ (7.69)
где Еп = h&n — энергия п-го возбужденного состояния;
q (к), А (k) — амплитуды Фурье от соответствующих
плотностей. Тогда если основное состояние нарушает
Q-симметрию и <0 | В | 0> = <В> ф О, то уравнение
151

(7.57) свидетельствует о существовании ветви
элементарных возбуждений, энергии которых Й© (k) обращаются в
нуль при ^ -> О, т. е. нет энергетической щели над
основным состоянием. И опять, как и прежде, только дальнодей-
ствующие силы могут позволить избежать этого вывода.
В физике релятивистских частиц ветвь возбуждений
представляется, разумеется, как частица —■ голдстоунов-
ский бозон, отсутствие энергетической щели приводит к
заключению, что эта частица должна иметь нулевую массу
покоя. Сейчас симметрии, и еще более нарушенные
симметрии, очень модны в теории частиц, но при этом следствие о
сопутствующих им частицах нулевой массы приводит к
затруднениям. Очень приятно, что дальнодействующие силы
(или калибровочные поля) могут ликвидировать частицы
нулевой массы. Такой механизм, называемый механизмом
Кибла — Хигса, описан в прекрасной работе Кибла [60].
Третье замечание касается выражения (7.60), на
котором основаны все гидродинамические заключения и
которое можно записать в виде
%лл(к)^^, (7.70)
где
;? = lim-Lf^a)y;,(M. (7.71)
Для многих систем, как можно доказать с помощью
примеров, аналогичных использованным после уравнения (7.68),
значение R на самом деле конечно вследствие сохранения
локальной плотности q и наличия только короткодействующих
сил. Согласно выражению (7.70), флуктуации А очень
велики, особенно для длинных волн. Вполне правдоподобно,
и это легко видеть для какой-либо конкретной системы, что
такие флуктуации, например, переносят энергию и, если
полная энергия системы остается конечной, сумма 2Хлл (к)
k
не должна расходиться. Однако в то время как сумма
конечна для трехмерной системы, если хлл (k) ^ kr-'^~"-, а<; 1,
то для двумерной системы
2х..(;^)^1<|>1^2яГ4 (7.72)
k R J k
расходится на длинных волнах. Единственным спасением от
расходимости является введение условия <В> = О, т. е.
отсутствия двумерного порядка, который разрушен сил ьны-
152

ми флуктуациями. Это краткое замечание может лишь
раззадорить случайного читателя. Подробности можно найти
в работах [52, 81] (см. также разд. 10.9).
Четвертое, и последнее, замечание имеет отношение к
феноменологической интерпретации уравнения (7.62). Для
начала отметим, что если связь А (г) с внешним полем а{г)
задана в виде
M = H—^drA{r)a{r), (7.73)
то восприимчивость %АА (г — i"')i конечно, определяется
как
(7.74)
X..(r~r')=i<A(£l>.
oa(r')
по правилам статистической механики [см. уравнение (3.9)].
В присутствии изменяющегося в пространстве поля
локально усредненная функция <Л (г)> будет иметь градиенты,
которые вносят вклад в свободную энергию. Поэтому мы
должны записать свободную энергию в виде
F = Fo + ^^drR:,[V{A{r)yf~^dra{r)ya{r) (7.75)
с точностью до более высоких порядков производных от
<Л >; здесь Fq — свободная энергия невозмущенной
системы, зависящая только от температуры и давления. Для
данного а (г) физическая конфигурация <Л (г)> находится
минимизацией F, что дает уравнение
^=-;?^УЧЛ(г)>-а(г) = 0. (7.76)
Если теперь проварьировать по а (г'), получим с помощью
соотношения (7.74)
-К'лУ'ХлА^~г') = Нг-г'), (7.77)
что аналогично уравнению (7.62) с 1^^ = 1^^ <5>^.
Интерпретация уравнения (7.76) состоит в том, что в ответ на
внешнюю силу а (г) возникает компенсирующее поле
внутренних сил:
«внутр(0 = ^?лУЧЛ(г)>. (7.78)
Это выражение объясняет принятое для i?^ название
«константы жесткости». Второй член в уравнении (7.75)
интерпретируется как упругий вклад в свободную энергию, обус-
153

ловленныи локальными изменениями параметра порядка.
Отметим в заключение, что если мы опустим <...> в
выражении (7.78) и вычислим корреляционную функцию силы,
то найдем
<«внутр (г) «внутр (Г')> =-kb TR'a V* б (Г- г'). (7.79)
Утверждение, вытекающее из уравнения (7.62), что х {Щ'^
-^ k~'^ предпочтительнее, чем /^^-2.3 [хотя последнее также
было бы совместимо с (7.60)1, отражает, как теперь видно,
убежденность в том, что корреляции параметра порядка
имеют бесконечную длину, а внутренние силы должны быть
скоррелированы только локально.
7.6. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЫ ГОЛДСТОУНА
Большая часть внимания, которое было уделено в
литературе теореме Голдстоуна, связана с элементарными
возбуждениями, т. е. с теми состояниями точного
гамильтониана, которые лежат непосредственно над
(вырожденным) основным состоянием и которые поэтому наблюдаются
лишь при очень низких температурах [17]. В данной
книге, напротив, мы имеем дело с модами,
наблюдаемыми при конечных температурах, когда система находится
в микроскопически хаотическом движении, с модами,
которые являются когерентными и долгоживушими даже при
столь коротких временах микроскопических столкновений
Тс, что (ОТ,, <^ 1. Являются ли строгими утверждения
относительно этих «гидродинамических мод Голдстоуна»? С
предельно критической позиции ответ должен быть
отрицательным. Строгий анализ можно провести, рассматривая
элементарные возбуждения, а не гидродинамические моды.
Не так легко показать, например, что второй звук в
сверхтекучем гелии является одной из этих мод. В этом разделе
проанализируем, до некоторой степени для пробы, сколь
убедительно может быть установлено сушествование
гидродинамических мод Голдстоуна. Дискуссия эта несколько
абстрактна, и читатель, возможно, захочет вернуться к
ней после того, как прочтет ту или иную из следующих глав.
По-видимому, лучше начать без дальнейших
церемоний, с приложения формализма функции памяти, который
мы отныне будем использовать снова и снова, к общему
примеру, рассмотренному в разд. 7.4. Мы имеем одну
сохраняющуюся плотность q (rt), которая приводит к медленной
моде, потому что сохраняется, и имеем переменную восста-
154

НОвлёнИя симметрии А (rt), которая должна дать вторую
медленную моду, ибо ее статическая восприимчивость
Хаа (k) расходится при k-^ 0. Обозначим эти две
плотности
{q{rt), A{rt)}^{A,{rt), A,{rt)}, (7.80)
чтобы облегчить использование матриц. Для
определенности предположим, что как q, так и Л — скалярные
плотности, q — четная функция относительно обращения
координат и времени, а Л (rt) — четная функция для обращения
координат и нечетная по отношению к обращению времени.
В этом случае матрица восприимчивости Xnv {k\ не может
иметь недиагональных элементов и с точностью до
наименьших степеней k принимает вид
/Ха,(0) О \
X^v(^)= ■ iS>l. . (7.81)
который отражает наиболее существенное свойство Л (rt) —
бесконечную протяженность ее флуктуации. В рамках гл. 5,
а именно основного уравнения (5.28), следующим объектом
рассмотрения является ненормированная частотная
матрица (o^v (k). Вследствие инвариантности к обращению
времени она не имеет диагональных элементов, недиагональные
элементы находятся из уравнения (7.55) или (7.65), так что
при k-*- 0. Если можно пренебречь диссипацией, т. е.
опустить функцию памяти в уравнении (5.28) то можно получить
матричное уравнение
[гбця—(Оцк ХняЧ C^v = iP'^Xnv, (7.83)
из которого легко найти, например,
С, (kz) ^ с. (kz) = ip- -^^^ (7.84)
и далее, взяв вещественную часть, получить функцию
отклика, отвечающую поглощению:
2х"аа (^со)/я(о = -^ [6 (со- (О (k)) 4- б (со + (О (k))], (7.85)
где
(^{k) = kc = kiRA/Xgg{0)y/'. (7.86)
155

Таким образом, йдесь Должны быть распространяющиеся
волны с большими длинами.
Конечно, нельзя так просто пренебречь величиной
^nv (^)- Общее выражение для нее дает формула (5.28),
включающая проекционный оператор Q, который устраняет
флуктуации q и А. Элемент qq в ненормированной
функции памяти
a,g{kz) = i?,{qik)\Q[z-QLQ]-'Q\qik)y, (7.87)
и так как q (rt) подчиняется уравнению непрерывности
(7.52), т. е.
9(k) = ik.f(A;), (7.88)
то Oqq (kz) определенно имеет порядок k^. Если мы
предположим, что для низких частот а^ (kz) можно заменить
величиной Oqq {k, z = 0), которая вещественна, то получим
с точностью до первых членов разложения по к
aqq{kz)^a^qik,0) = k^y + k*..., (7.89)
где у — положительный коэффициент переноса. Мы еще
обдумаем эту замену позже. А сейчас мы должны получить
Оаа (kz) л^ Олл (О, 0) = ?, (7.90
где ^ положительно и где нет множителя k в результате
того, что А (rt), по предположению, не сохраняется, так что
А (k = 0) — конечная величина. Теперь мы быстро
отделаемся от недиагональных элементов. Элемент Oq^ (kz)
только тогда даст вклад в ведущий член разложения 2
по k, если он сам не более чем первого порядка по k. Один
множитель k должен быть в нем в результате закона
сохранения. Однако, так как и q, и А предполагаются четными
по отношению к обращению координат, OqA (kz) является
четной функцией k, т. е. должна быть порядка k^ и не даст
вклада в главный член разложения 2 по k.
С помощью уравнений (7.81), (7.89) и (7.90), таким
образом, получаем
s..(M)=[<.(*,0)x-'WU = (*'f'' ,,5^°^^^,
(7.91)
где фактор k^ в 2^ обусловлен сохранением q, а в Л^^
вносится длинноволновыми корреляциями. Подставив
156

(7.91) в общее уравнение для функции памяти (5.28),
можно найти корреляционные функции С^^ (kz), например
Слл (kz) = ip-i -<^ ' + ''''^^^' , (7.92)
где
Т = У%ч<,'Ф) + 1^аКВУ\ (7.93)
Таким образом, найдена хорошо развитая мода,
распространяющаяся со скоростью с, приведенной в выражении
(7.86), и затухающая за гидродинамически малое время
жизни
Корреляционная функция Саа (kz) во всех отношениях
подобна вкладу звуковой волны в С„„(&г) в нормальных
жидкостях [см. (4.42а)], хотя физическое происхождение
распространяющихся волн весьма различно в обоих случаях.
В качестве физического примера приведенной здесь
формальной теории в гл. 9 будут рассмотрены спиновые волны
в антиферромагнетике.
Если мы не сделали ошибки при выводе (7.92), то этот
результат должен быть асимптотически строгим для малых
волновых векторов и частот. Давайте поэтому исследуем
пригодность средств, использованных для получения
выражения (7.92).
Конечно, нечего критиковать основное уравнение для
функции памяти (5.28). Оно не очень-то много дает нам, но
то, что дает, всегда правильно. Физические положения, на
которых мы основывались, следующие: это, во-первых,
тот факт, что восприимчивость А расходится при k-y 0;
во-вторых, предположение, что для малых частот z
функции памяти a^^^ (kz) являются гладкими функциями z;
в-третьих, предположение, что функции памяти а^у {k, iO)
как функции k ведут себя нормально, например не
расходятся при k-^ 0. Если согласиться с этими утверждениями,
то выводы, включающие существование гидродинамической
моды [это демонстрирует уравнение (7.92)], станут
неизбежными. В этом случае нам помогут аргументы, приведенные
в разд. 5.4.
Наличие особенности %аа (k) -~ k'"^ выявлено в разд. 7.4,
в разд. 7.5 продолжено обсуждение. Как помогла
выяснить настоящая дискуссия, этой особенностью является син-
157

гуЛярнйсть, которая ЁыЗыЁает гидродинамическую моду
Голдстоуна (неважно, возникает ли ^"^-особенность из-за
нарушенной симметрии, как это обычно бывает, или по
другой мистической причине). Мы примем это свойство как
данное.
Является ли a^v (kz) гладкой функцией z при малых z?
Очень похожий вопрос обсуждался в разд. 5.5. Мы
отмечали, что многочастичная система столь хаотична, что почти
все процессы затухают за короткое микроскопическое
время т, определяемое силами микроскопических
взаимодействий. Медленное макроскопическое затухание —
необычное явление, которое может быть вызвано только особыми
причинами: законами сохранения, нарушенной
симметрией. Динамический оператор, определяющий релаксацию,
6^^y (kz), — это не оператор Лиувилля, а его проекция
QLQ [см. (5.28) или (7.87)], из которой предполагаемые
гидродинамические флуктуации устранены. Те процессы,
которые все еще содержатся в QLQ, будут, таким образом,
релаксировать локально и быстро. Это физическое
утверждение можно сформулировать следующим образом:
QiLQ>XcK (7.95)
Если оно справедливо, то
a,,^{kz)^-^{At,{k)\Qliz-QiLQ]-^Q\A^ik)y (7.96)
будет аналитической и гладкой функцией в области
I Z I Тс С 1- Однако этот вывод не может служить
формальным доказательством; действительное формальное
доказательство, вероятно, будет устрашающе трудным. Однако
и эти слова убедят разумных физиков. Более того, такие же
рассуждения используются при выводе гидродинамики в
нормальных системах (см., например, разд. 5.4) точно
так же, как и в системах с нарушенной симметрией.
Уравнение (7.95) попросту выражает то, что в любой системе
локальное равновесие устанавливается за очень малые,
микроскопические, времена, потому что процессы,
устанавливающие локальное равновесие, не требуют переноса
на макроскопические расстояния любых сохраняющихся
величин или «информации о локальном упорядочении».
Обращаясь к третьему предположению, указанному
выше, заметим, что важным для нашего вывода является
следующее: величина
l = aAAiO,[0) = ^(Aik)\Q[\LQ]-^Q\A{k)} (7.97)
158

конечна при k-^ О, хотя мы знаем, что
%АА ik) = f>(Aik)\A (k)} = -i^ (7.98)
расходится в этом пределе. Сколь убедительно это
утверждение? И опять мы не будем пытаться доказывать из первых
принципов, что ^ конечна. Вместо этого попробуем
продемонстрировать правдоподобие этого. («Демонстрация
убеждает разумного человека, доказательство—упрямого»
[Кац, 1967]. Разумный человек рассудит, можно ли
квалифицировать последующие пробные соображения как
демонстрацию или как выражение веры.)
Мы уже отмечали, что соотношение (7.98) указывает на
присутствие корреляций бесконечного радиуса
Хлл(г-г') = ^ / (7.99)
НА 4я|г--г I
ДЛЯ больших I г — г' |. в хаотической тепловой системе с
короткодействующими силами такое поведение
невероятно; чтобы это оказалось правдоподобным, нужна особая
причина. Как мы видим, такой причиной может быть
нарушенная симметрия. Разумно поэтому предположить, что
все дальние корреляции могут быть приписаны
исключительно нарушенной симметрии, в нашем случае—неизбежно
сильным флуктуациям одной переменной восстановления
симметрии А (г). Математически это предположение
формулируется как свойство конечности модифицированной
восприимчивости для любых двух локальных переменных:
xMr-r') = f><A^ir)\QA\A,iT')y (7.100)
имеет конечную длину корреляции. Здесь Qa —
проекционный оператор, устраняющий флуктуации восстановления
симметрии, который может быть записан в виде
Ол^1-Р=1-|с(г'|с(г|Л(г)>рХлл(г-г')<Л(г')|,
(7.101)
если имеются, как в рассматриваемом теперь абстрактном
случае, только нарушенная симметрия (Q) и одна переменная
восстановления симметрии (Л).
Утверждение (7.100) есть отчасти предписание
определить и найти истинную переменную параметра порядка
А (г), с другой стороны, это, конечно, физическое допу-
159

щение, подлежащее, в принципе, микроскопической
проверке. Оно подразумевает, что преобразования Фурье
X^v (k) = X^v {k) — %A^A (k) %a'a (k) %AA^ (k) (7.1 02)
имеют конечные пределы при k-> О, хотя этого может и не
быть для отдельных членов в уравнении (7.102). Оно также
подразумевает, между прочим, что lim Xnv (k -^ 0) =
= Xnv (k = 0),так что величина предела не зависит от пути
в ^-пространстве, по которому совершается предельный
переход. Утверждение (7.100), таким образом, констатирует,
что если имеются в системе дальние корреляции, то они
относятся к простейшему возможному виду. Они могут быть
связаны с единственной переменной А (г). В применении
к сверхтекучей жидкости, например (7.100) формулирует,
что имеется одна мода — сверхтекучая компонента —
которая вводит дальние корреляции в систему, что
корреляции во всех других степенях свободы, суммируясь в
«нормальную компоненту», обладают, однако, конечной длиной,
как в нормальной хаотической системе. Но здесь мы слегка
забежали вперед.
Возвращаясь снова к выражению (7.97), заметим, что
aAA{k,iO)<f>x,(A{k)\Q\A{k)y (7.103)
вследствие условия (7.95), где проекционный оператор Q
устраняет дальнодействующие флуктуации не только
переменной восстановления симметрии А (г), но и
сохраняющейся переменной q (г). Последний факт не меняет
заключения. Мы можем теперь утвердительно ответить на
поставленный выше вопрос. Величина Оаа (k, i 0) конечна при
k ->- О, потому что она не включает флуктуации переменной
нарушения симметрии А (г), которые определенно изъяты.
Такие же соображения применимы и для других элементов
матрицы памяти Oj^v (k, i 0). В частности, можно утверждать,
что постоянная затухания у в соотношении (7.89) должна
быть конечной, так как она определяется флуктуациями
тока i''{k), из которых, однако, устранены дальние
корреляции параметра порядка.
Аргументы, столь многословные, как эти, вероятно,
допускают исключения. Из наивного, но обоснованного
вывода, который привел нас к гидродинамическому
выражению (7.92), ясно, что последнее пригодно только для
существенно малых частот со и волновых чисел k. Согласно
1Ф

нашему дальнейшему рассмотрению, оно должно
выполняться, пока
(от,С1 и kl^l, (7.104)
где Тс — время столкновений, характеризующее
микроскопическую релаксацию; /—длина, характеризующая
пространственное затухание функций Xnv (/■ — f') из уравнения
(7.100). Можно отождествить / с длиной свободного пробега.
Это расстояние, на которое частица, фонон или другое
возбуждение может распространиться, прежде чем
столкновения, которые она испытывает по пути, разрушат все
корреляции с ее начальным состоянием. При очень нцзких
температурах столкновения становятся редкими и
неэффективными, а Тс и /—столь большими, что область, в которой
гидродинамика обоснована, сокращается. Для
сверхтекучего гелия гидродинамический второй звук наблюдается
только на очень низких частотах. Если Т->- О и если
отсутствует сильное рассеяние на примесях, то Тс ->- оо и
моды, наблюдаемые в различных системах, являются не
столкновительными гидродинамическими модами (соТс <^
<^ 1), а бесстолкновительными элементарными
возбуждениями ((ОТс > 1).
6 Зак. 1668

Глава 8
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ
Теперь мы технически подготовлены к обсуждению
коллективных, и в частности гидродинамических, мод во
всех подходящих системах безотносительно к тому,
обязаны ли эти моды своим существованием микроскопическим
законам сохранения, как нормальный звук, или они
являются модами Голдстоуна, как второй звук в
сверхтекучих жидкостях. Остается только проделать серию
упражнений. В этой главе продолжим рассмотрение магнетиков
и их характеристических коллективных мод—спиновых
волн. Предлагаемая здесь трактовка не является
единственно возможной, но она больше нравится автору, ибо
показывает с наибольшей очевидностью, какие хитрости
использует природа, чтобы теоретики были заняты, а
экспериментаторы — счастливы. Аналогичный в общих чертах
подход был предложен в работах [49, 70]. Важно отметить,
что в данном случае мы не имеем дела со спин-волновыми
возбуждениями [8, 17], которые образуют низколежащие
возбужденные состояния над полностью упорядоченным
основным состоянием гамильтониана и определяют,
например, термодинамические свойства ферромагнетиков при
низких температурах. В нашей трактовке, напротив,
используются моды при конечных температурах, когда
локальное равновесие быстро устанавливается за
микроскопически короткое время т, а порядок не является полным.
Рассматриваемым здесь модам, ограниченным
гидродинамической областью частот со <^ т~', может быть дано общее
название ренормированных мод.
Эти моды могут быть исследованы без привлечения
явного вида микроскопического гамильтониана, поэтому
наши результаты относятся и к более общим системам, чем
описываемые гамильтонианом Гейзенберга (7.19). Важными
свойствами, которые будут использоваться, являются
сохранение полного спина 8"°", что исключает
спин-решеточные или спин-орбитальные взаимодействия, и
короткодействующий характер сил. Для определенности'будем
обращаться к гамильтониану Гейзенберга (7.19), но, как и
раньше, без внимания к тем в сущности тривиальным
усложнениям, которые вносит структура решетки.
162

8.1. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ
Общий анализ симметрии был проведен в разд. 3.2.
Для изотропного ферромагнетика появляются две
небольшие новые детали: независимость от вращений спинов или
решетки и наличие спонтанной намагниченности. Их легко
учесть. Вращения решетки (но не спинов) оставляют
систему физически-инвариантной. Такие вращения
воздействуют на волновой вектор к, но не на направление М,
и поэтому спиновая корреляционная функция (7.36)
является скалярной функцией k, иными словами,
1Ч{Щ ' (8.1)
есть функция только от k!^. Разумеется, х<7 (^^) является
тензором по отношению к вращениям спинов. Для
построения такого тензора мы имеем в распоряжении только Мо —
спонтанную намагниченность, из которой можно
сконструировать три тензора: Ь^, MoiMoj и etj^Moh- Следовательно,
%tj можно выразить в такой инвариантной форме:
где три функции %'[, %", %а зависят только от модуля
I <М> I, который сам зависит от температуры.
Учет симметрии к обращению времени кое-что добавляет,
ибо <М> изменяет знак при обращении времени, как было
отмечено в формуле (3.22). В итоге получаем, что
%[ {к(и) и %t (kdi) — вещественные нечетные функции,
Х2 {k(a) — вещественная четная функция. (8.3)
Нетрудно также видеть, что
сох'; (М^ 0; (ох; (kca) ^ 0; хР (Ы) ^ х^^' (ka), (8.4)
как следствие требований устойчивости (3.28).
Как обычно, введем циркулярно-поляризованные
компоненты х//-
х1(Н = Х?(М + Ха(М- (8.5а)
Очевидно, что (8.5а) — преобразование Фурье от
Х1 (г, r';i) = (^~ [М+ (г, i). М- {г', 0)]\ , (8.56)
6* 163

где
M±=^(M,±iM,), (8.5в)
если <М> ориентировано в положительном направлении г.
Кроме трех компонент М, (rt) намагниченности,
флуктуации которой несомненно гидродинамические, рассмотрим
также плотность магнитной энергии е (rt), которая
подчиняется закону сохранения и приводит поэтому к
гидродинамической моде. Для изотропного гейзенберговского
магнетика 8 (ft) может быть определена следующим образом:
е(гО = -42б(г-г°') S yClr^-rPDS^COSPCO. (8.6)
Очевидно, 8 (rt) скалярна по отношению как к
пространственным, так и к спиновым вращениям. Следовательно,
она может быть связана только с z-компонентой М, или в
инвариантной форме
ггм,(Щ = ^^^г1м(Щ, (8.7)
где XeAf (^0)), как легко показать, является вещественной
и нечетной функцией со и зависит только от k^. В
парамагнитном состоянии отсутствует псевдовектор, необходимый
для конструирования функции, х'ел*. и, следовательно, она
обращается в нуль. В этом причина того, почему в гл. 2 при
рассмотрении динамики спинов мы могли полностью
игнорировать флуктуации энергии. Даже в ферромагнетике
поперечная корреляционная функция ограничена
условием
\г1и (Щ? < гм, м, (М х^'е (k(o). (8.8)
Здесь и в дальнейшем мы берем спонтанную
намагниченность вдоль направления z : <М> = MoZ.
8.2. НЕЗАТУХАЮЩИЕ СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
Как следует из формул (8.2) и (8.7), связь между двумя
наборами гидродинамических переменных {Мх, My} и
{Mz, е} отсутствует. Рассмотрим сначала первый набор,
флуктуации в котором значительно более интересны.
Применим формализм, развитый в гл. 5. Чтобы вычислить
матрицу корреляционных функций
C^v (k,t) = {At, (k, t) I Лv (k, 0)>, (8.9a)
164

преобразование Лапласа для которых
Cuv (kz) = p-i Г -^ x/lv (М/« (со—г) (8.96)
и где
Ai = M^, A^i = My, (8.9в)
нам необходимы три матрицы Xnv (^). <^цм (k) и a^v (^).
входящие в общее уравнение (5.28). Поперечная спиновая
восприимчивость уже была дана формулой (7.47), а именно
%nik) = %2Ak) = ^il-\-0ik^)), (8.10)
в то время как Хи (k) = Х21 (^) = О из-за симметрии к
обращению времени.
Частотную матрицу co^v, входящую в выражение (5.28),
также легко найти. Ее диагональные элементы равны нулю
из-за симметрии к обращению времени, недиагональные
элементы получаются из формул (5.28) и (7.42) в виде
0)1, (k) = - (О21 (^) = j" -^ th^ My {Щ = iMo. (8.11)
Для гейзенберговской системы, в которой отсутствует
орбитальное движение, выражение (8.11) имеет место для
любых k, меньших вектора обратной решетки. Для более
общих систем с сохраняющейся намагниченностью
выражение (8.11) пригодно, по крайней мере, для достаточно
малых k, т. е. с точностью до ^^.
Нормированная частотная матрица Q^v {k) с учетом
соотношений (8.10) и (8.11) имеет с точностью до членов
порядка k^ вид
^^.{k)^[<^{k)r4k)U = -^{ ° 'У (8.12)
Мй \—\ О/
В этом приближении матрица затухания 2^v {kz) в
уравнении (5.28) может быть опущена, как мы увидим ниже, и
собственные частоты для коллективных мод определяются
из уравнения
det[z—Q(A;)] = 0, (8.13)
которое приводит к дисперсионному соотношению
z = ±(RlMo)k'' + 0{k% (8.14)
Таким образом, в системе имеется распространяющаяся
гидродинамическая мода, называемая спиновой волной, с не-
165

много необычной характеристикой: ее групповая скорость
возрастает при уменьшении длины волны. Это необычно
для коллективных возбуждений; можно сказать, что
спиновые волны имеют такой же закон дисперсии, как волны де
Бройля, соответствующие свободным массивным
частицам.
Собственные моды для спиновых волн находятся диаго-
нализацией матрицы Q. Читатель, который проделает это
упражнение, убедится, что собственные моды
определяются операторами М± из уравнения (8.5в). Например, х1
из выражения (8.5а) дается формулой
Xlik(a)=—Mo8{a — k^R/Mo) (8.15)
в пренебрежении затуханием.
8.3. ЗАТУХАЮЩИЕ СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
Чтобы учесть затухание, нужно рассмотреть матрицу
памяти Ojiv (kz), в общем виде определенную в выражении
(5.28), в частности
anikz) = ^{M,ik) Q i—Q M^k)^ , (8.16)
\
QLQ
'/
где L — квантовомеханический оператор Лиувилля;
проекционный оператор Q (явный вид которого нам не
понадобится) устраняет флуктуации переменных М и е. С учетом
сохранения намагниченности
или
ki(kt) = \kiUi(ki) (8.17)
отметим, что величина Оц должна быть по крайней мере
порядка k^. На основе рассуждений, проведенных в разд. 5.4
и 7.6, а (^, Z) можно заменить на а(^, 0) строго до членов
порядка k^ и использовать функцию памяти в виде
aii(A;,0) = a22(A;,0) = A;='a^, (8.18а)
^12 {К 0) = — Oji {k, 0) = — А;2 цМо, (8.186)
где Oj^ и fi вещественны вследствие общих требований
симметрии и вещественности для матрицы памяти и где только
Оу обязана быть положительной. Мы ввели в выражение
(8.186) множитель Mq, потому что а^^, {k, 0) должна быть
166

нечетной функцией Mo из-за свойств симметрии при
инверсии времени и обращения в нуль в парамагнитном
состоянии. Читатель должен помнить, что свойства симметрии
и вещественности функций памяти a^^^ (kz) в точности те
же самые, что и корреляционных функций C^v (kz), которые
могут быть легко найдены из соотношений (8.9) и (8.2).
Воспользовавшись значениями со, а и х в наинизшем для
каждого порядке по k, получим матрицу"
z6nv—^nv (k) + i2nv (k, z = 0) = ip-i Xnv CiTv^ (kz) =
^(z + ik'a^RMo' -ik-'iRMo')i\+\kk')\, jg.
\ik:'{RM-^)il+Hk^) z + ik*a^RMo^ )''
В дальнейшем опустим члены с fi в недиагональных
матричных элементах, с которыми, как мы видим, связаны поправки
более высокого порядка по k; эти члены будут рассмотрены
ниже. Теперь легко найти полюса
z = zik) = ± (R/Mo)k^-iaj_(R/Ml) k\ (8.20)
определяющие две распространяющиеся спиновые волны,
затухание которых порядка k*. То, что время жизни
спиновых волн пропорционально четвертой степени длины
волны X, обусловлено двумя причинами: один множитель
Х^ появляется вследствие сохранения спиновой плотности
М (rt), как это имеет место в парамагнетике (см. разд. 5.4),
другой множитель к^ возникает из-за нарушенной
симметрии и дальних корреляций спинового порядка.
Из выражения (8.19) находим комплексные
корреляционные функции:
Cii(A;z) = C22(A;z) = iP"'
Ml
г+ -г Vx **
Rk'^ z^—r^k* + ik^zy^_
(8.21а)
Ci^(kz) = — ^"'^° ^ , (8.216)
где введены обычные обозначения
г = R/Mo, у± = 2а^_ RIM%. (8.22)
Хотя и эти формулы несколько громоздки, выпишем еще
корреляционные функции, отвечающие поглощению. Из
вещественной части Сц получаем
167

a из мнимой части Cia находим
^1 (Ы)/со = <^k^l^M, 236)
Читатель может сравнить эти результаты с полученными в
гл. 2 для той же системы, но в парамагнитном состоянии,
а именно
и
X"t {Щ1а> = X ai/..пч. (парамагнетик). (2.556)
Сравнение будет более поучительным, если в выражении
(8.21а) или (8.23а) разделить вклады двух полюсов, т. е.
записать их в виде
Х( (М 1 Щ г ^V-l/2
[ (со-
2 й;^2 L (о)_г;^2)2_^(;^4.^,_^_/2;2
+
■] , (8.24)
который математически эквивалентен (8.23а).
Вместо одиночной лоренцевой линии в парамагнетике,
центрированной относительно со = О, для ферромагнетика
получена расщепленная линия, состоящая из двух лорен-
цевых симметрично смещенных от со = О и центрированных
в точках со = ± rk'''. Для очень малого волнового вектора k
эти два пика хорошо разделены, ибо их полная ширина на
половине максимума равна Yj.^*. Парамагнитный пик,
напротив, гораздо шире—его ширина равна 2Dk^. В
идеальном мире, в котором магнитную функцию отклика х" (k^)
можно измерять для сколь угодно малого волнового
вектора, следует ожидать в ферромагнитном состоянии
зависимости, изображенной на рис. 8.1, в. Если бы спектр
такого вида не удалось обнаружить, то можно было бы
сильно удивиться и забеспокоиться, так как наш результат
(8.24) основан только на очень общих принципах и должен
быть строгим для асимптотически малых k.
Увы, мир не является идеальным. Лучший
экспериментальный метод измерения х" (^^) — неупругое рассеяние
нейтронов, но так как волновой вектор К тепловых
нейтронов велик {К = 1 А"' для Т = 300 К), то трудно
измерить очень малые передачи импульса | ^ | = Kt — Kf\-
Тем не менее для ферромагнитного железа и никеля были
168

l"/(^
~JY
X'/o)
и
<J
a
Рис. 8.1.
a — парамагнетик, малые ft
б — ферромагнетик, умеренные значения ft
в — ферромагнетик, малые ft
Л
1
1
-м^
/"/<i;
(1
И
-
ъ
в '->''
'w
выполнены точные эксперименты по нейтронному
рассеянию [31, 82], из которых можно получить 5(1 {к(а),
воспользовавшись формулами рассеяния (2.30) или (П.20) для
малых значений волновых векторов k » 0,04А~^.
Наблюдаемая картина подтверждает соотношение (8.24) в
ферромагнитном и соотношение (2.556) в парамагнитном
состоянии. (В реальных железе и никеле необходимо учесть
эффекты от дальнодействующих диполь-дипольных сил,
которые мы опустили.) Заметим, что малые k означают,
разумеется, й| <£ 1, где I, — радиус статических
корреляционных функций 1 (/■), как уже кратко отмечалось в разд. 7.6.
При достижении температуры перехода Т^, безразлично
снизу или сверху, корреляционная длина ^ становится
очень большой, стремясь к бесконечности при Т^. Поэтому
вблизи Тс следует ожидать перехода картины, приведенной
на рис. 8.1, в, к картине рис. 8.1, б, что подтверждают
эксперименты. В критической области, очень близко к Т^,
корреляционная длина столь велика, что наш
гидродинамический анализ неприменим. Он должен быть заменен
более тонким методом динамического скейлинга [7,57],
который здесь не будет рассматриваться.
8.4. ПРАВИЛА СУММ И ФОРМУЛЫ КУБО
Гидродинамический результат (8.23) обладает
некоторыми из свойств уже знакомых нам более простых систем.
Так, выражение (8.23а) подчиняется термодинамическому
правилу сумм
I
—^ Х°< Ф^^) = —— (ферромагнетик)
ПО) Rk^
(8.25а)
16

в главном приближении по k^, тогда как для парамагнетика
получаем
lim I—^ хИ^'^) = Х (парамагнетик), (8.256)
где X — спиновая магнитная восприимчивость. Интегралы
в обоих случаях представляют собой в точности величину
Ct (k, t) при ^ = О, поэтому очевидно, что процедура
нахождения х" с помощью функции памяти всегда приведет
к результатам, удовлетворяющим термодинамическому
правилу сумм.
Соотношения (7.42) и (8.11) выражаются правилом сумм
вида
lim \ — Ха (koi) = Mo (ферромагнетик), (8.26)
которое тоже выполнено «по построению». В уравнении
(8.26) отражен факт нарушения симметрии, тогда как
выражение (8.25а) описывает связанное с этим наличие
дальнего порядка. В изотропном парамагнетике %а обращается
в нуль.
Имея гамильтониан, совсем нетрудно вывести другие
правила сумм с помощью процедуры, описанной в разд. 3.4.
Например, было бы полезно знать численное значение
величины
cl, =: lim -^ Г -^ cox'J ik(a) =
- -to-^ Jdr Jdr'e-'Mr-r')/l_[Af,(r), My(T')]\ ;
(8.27)
тогда, применив к заданному случаю общее соотношение
(7.63), можно было бы найти верхнюю границу для
константы жесткости R:
R < с1. (8.28)
Разумеется, гидродинамический результат (8.23а) здесь
неприменим, ибо в этом случае интеграл jid(a%'t {k(a)
расходится. Но для простого примера системы свободных
спинов, который был рассмотрен в гл. 2, правило сумм
(8.27) совпадает с правилом /-сумм, что дает с^ = п/пг
(напомним, что в этой главе мы положили величину магнит-
170

ного момента на одну частицу равной единице). Для
изотропного гейзенберговского ферромагнетика, описываемого
гамильтонианом (7.19), правило сумм (8.27) тоже может
быть вычислено и записано в виде
с1= — S (г«Р)гу°'Р< S^-SP-S°;SP>. (8.29)
Как видим, это напоминает соответствующее правило сумм
для плотности импульса в простых жидкостях (4.76).
Формула (8.29) показывает, что с« определяется ближними
корреляциями в системе.
Из гидродинамического результата (8.23а) можно извлечь
соотношение типа формулы Кубо для константы затухания
спиновой волны Yj^ или, что предпочтительнее, для а^..
Оно таково:
а^ = Ит lim—х"(М. (8.30)
й)->-0 ft->-0 k^
и, конечно, весьма похоже на соответствующее
выражение (4.53) для коэффициентов переноса в простой
жидкости. Читатель может развлечь себя доказательством
того, что выражение (8.30) фактически совпадает с (8.18а);
для доказательства необходимо использовать формулу
(5.58), чтобы исключить проекционный оператор Q,
содержащийся в микроскопическом выражении (8.16) для
Оц (kz) .
Этот проекционный оператор показывает, что коэффициент
переноса ctj^ определяется локальными и быстрыми флук-
туациями. Но локально ферромагнетик и парамагнетик не
слишком различаются. Поэтому следует ожидать, что Oj^
(8.30) для ферромагнетика и соответствующее выражение
ID%, которое получается из уравнения (2.55в) для
парамагнитного состояния, т. е.
Dx = lim lim —хИ^^) (парамагнетик), (8.31)
й)->-0 ft-»-0 k^
должны иметь одинаковый порядок величины. При
сравнении величин этих коэффициентов переноса необходимо,
конечно, внести поправку, учитывающую их температурную
зависимость по закону Аррениуса; однако в критической
области около температуры перехода Т^ такие оценки
полностью непригодны. Этот вопрос далеко не исчерпан,
однако дальнейшее обсуждение выходит за рамки данной
книги.
171

8.5. ПОПРАВКИ
В этом разделе меньше всего математических тонкостей.
Мы опустили из всех уравнений, следующих за (8.19),
недиагональный элемент матрицы памяти k^iiMo. Если его
сохранить, то дисперсионное соотношение для спиновой
волны приобретает вид
z = ±s{k)—iT{k) = ± rk^(1 + цА;2) _ J_у^k\ (8.32)
где энергия спиновой волны уточнена добавлением малого
члена, относительный порядок которого k^. С учетом этого
изменения можно записать уравнения (8.21):
Си {kz) = ip-i Xii {k) \ — + — 1 ;
(8.33a)
i/2 i/2 1
Ci2(A;z) = ip-ixii(A;)[-
\_z^e(k) + iV(k) z^&(k) + iV(k)\
(8.336)
Заметим однако, что не только член \1к^, появившийся из
выражения для ajj {k, i 0), вносит вклад в
пропорциональную ^* поправку к энергии спиновой волны. Подобный
вклад следует и из статической восприимчивости
Xii(^) = ^(l+xA;^+^*-). (8.34)
что легко доказать. Члены такого порядка представляют
определенный интерес, но это находится за пределами
вопросов, обычно относящихся к гидродинамике. Как видно из
уравнения (8.33), предыдущие результаты были связаны с
определением как вещественной, так и мнимой части
собственных частот в первом неисчезающем приближении по^,
в том же порядке определялись и значения вычетов в
соответствующих полюсах. Читатель может непосредственно
убедиться, что учет z-зависимости функций памяти
f^nv {k, z) привел бы лишь к поправкам более высокого
порядка.
8.6. «ПРОДОЛЬНЫЕ» ФЛУКТУАЦИИ
В изотропном парамагнетике намагниченность М не
связана с плотностью энергии е. Если система не
содержит других сохраняющихся величин, то М и е независимо
172

участвуют в процессах броуновской диффузии и
соответствующие корреляционные функции (а~^%'мм и о)-'хее
будут лоренцевыми функциями в гидродинамической области
малых частот и волновых векторов.
Кроме возникновения спиновых волн в поперечных
переменных Мх а My весьма примечательным в
ферромагнитном состоянии является то, что плотность энергии может
теперь быть связанной с продольной компонентой
намагниченности Mj. Например, матрица статической
восприимчивости имеет при ^ = О следующие компоненты:
д<М>
%мм
dh
T,h = 0
дТ |л = о
дМо
%Мг = XeAf = Т
дТ
(8.35)
в отсутствие внешнего магнитного поля h. Однако к
драматической развязке эта связь не приводит. Частотная
матрица обращается в нуль из-за симметрии к инверсии
времени; матрица памяти в наинизшем порядке
пропорциональна k^ вследствие сохранения спина и энергии и является
вещественной и симметричной. Вместо одной диффузионной
лоренцевой функции в продольном корреляторе (л~^%м м (ka)
возникают теперь две лоренцевы функции, обе с центрами
в точке со = О, с шириной порядка k!^ при ^ -»- О и с
положительными амплитудами. Суммарная величина обоих
лоренцианов определяется, конечно, продольной
магнитной восприимчивостью и является конечной даже при
^->-О в отличие от амплитуд поперечных спиновых волн.
Более детальный анализ этих продольных флуктуации
предлагается читателю в качестве упражнения.

Глава 9
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
В АНТИФЕРРОМАГНЕТИКАХ
Очень заманчиво применить модели ферромагнетика к
проблеме поведения социальных групп [103]. Каждый спин
выстраивается в линию со своими соседями — разве это не
напоминает адаптацию (некоторого) индивидуума в
(некотором) обществе? Если это так, общество,
соответствующее антиферромагнитному поведению, должно быть
чрезвычайно антагонистическим: в идеальном
антиферромагнетике каждый спин внимательно наблюдает, куда
нацеливаются его ближайшие соседи, — и направляется в
точно противоположную сторону. Для одномерного случая
эти построения показаны на рис. 9.1. В трехмерной простой
кубической решетке каждый спин, направленный вверх,
окружен шестью соседними спинами, направленными вниз.
Поэтому антиферромагнетик можно представить в виде
двух взаимно проникающих подрешеток, в каждой из
которых спины выстроены, как в ферромагнетике, но в одной
подрешетке противоположно относительно другой.
Разумеется, при конечной температуре Т <i Тс такое построение
не будет совершенным, точно так же как и в ферромагнетик
Tie. Однако в среднем каждый спин в антиферромагнетике
окружают спины, направленные в большинстве
противоположно, а не параллельно.
Гамильтониан для простейшего изотропного
гейзенберговского антиферромагнетика совпадает по виду с
выражением (7.19), а именно
- Я=—— 2 /«PS^-SP. (9.1)
2 а = р
Однако, если в ферромагнетике энергия связи ближайших
соседей / положительна, в антиферромагнитной системе она
отрицательна. Следовательно, состояния
антипараллельной ориентации ближайщих соседей энергетически выгодны
и при достаточно низкой температуре система стремится
стать антиферромагнитной. Это грубая, но достаточно
полная для нас картина.
Ферромагнитное состояние мы характеризовали тем,""что
даже в равновесии оно имеет спонтанную намагниченность
-(М> =5.^ 0. В нормальном антиферромагнетике, очевидно,
174

mini imitt
Антисрерроиагнетик <Рерромагнетин i
Рис. 9.1
<М> = 0; здесь нет общего макроскопического магнитного
момента. Отличной от нуля является «шатающаяся
намагниченность» подрешеток N. Вместо сложения всех спинов
(с их знаками), как мы делали при нахождении полной
намагниченности:
M"°^(/) = SS«(/), . (9.2)
а
tenepb будем суммировать, беря противоположные знаки
для двух подрешеток:
ЛГпол(/) = 2л"5«(/), (9.3)
а
где т)" = 1 для всех спинов одной подрешетки и т]" = —1
для всех спинов другой подрешетки. Тогда для
ферромагнитного порядка характерно
^Мполч,_^0 и <N"°^> = 0 (ферромагнетик), (9.4)
в то время как антиферромагнитное состояние описывают
условия
<М"°^> = 0 и <N"°^>:7^0 (антиферромагнетик). (9.5)
По аналогии с определением оператора локальной
намагниченности
М (г, /) = S S" (/) б (г—г«) (9.6)
а
МОЖНО определить локальную плотность намагниченности
подрешеток:
N(r,/) = S^"S«(/)6(r—г«). (9.7)
а
В среднем она имеет определенное отличное от нуля
значение Л'^о в некотором направлении, которое мы выберем за
ось z:
<N(r,/)>=Noz; (9.8а)
<М(г,/)> = 0. (9.86)
175

9.1. ДАЛЬНИЙ ПОРЯДОК
Ситуация не настолько проста, чтобы можно было
использовать прежние выражения, лишь заменив в них М на N.
Для антиферромагнетиков существуют два важных
отличия.
1. Как и в ферромагнетике, нарушаются два свойства
непрерывной симметрии, а именно повороты всех спинов
относительно осей х и у. Генераторами этих преобразований
являются, как и прежде, МТ" и М™", а переменными
сохранения симметрии служат Л^^; и Ny.
2. Как и ранее, полная намагниченность
микроскопически сохраняется;
-^ М"о" = — [М™", Я] = О (9.9а)
dt ih
И
dtMi(r,t)+Vj]i}{r,t) = 0, (9.96)
так как это просто следствие изотропии гамильтониана.
Однако полная намагниченность подрешеток №°" не
сохраняется:
[N""", Я] = — 2 -^"^ (^" -'П'') S" X SMO. (9.10)
Определим корреляционную функцию, как всегда,
соотношением
оо
gW —Ik(r—r')x
x(^[A{r,t),B{r',0)]\ (9.11)
И проследим за последствиями нарушения симметрии.
Генерация упомянутых выше операций вращения
■^[M-o-,Nj{r')] = euHNn{r') (9.12)
вследствие соотношений (9.8) приводит к вьфажениям
\ in * /
/_L [Мпол_ л^^(,')] \ ^ _л^^, (9.13)
176

или, что эквивалентно, к выражениям
Игл \-^ %м^м„(кы) = Шо;
lim Г-^Х^ мЛ^«) = -1Л^о> (9.14)
которые для рассматриваемого здесь простого
гейзенберговского антиферромагнетика (9.14) пригодны при любых
значениях k. Сравнивая выражения (9.13) и (7.53) и
повторяя выкладки, приведшие к (7.62), снова получаем
знакомую расходимость статических восприимчивостей при
малых k:
%M^Mjk)==X^^^^(k) = -^(\ + 0(k')), (9.15)
где R' — положительная константа. Выражение (9.15)
является антиферромагнитным эквивалентом выражения
(8.10), соответствующего ферромагнетику. Оно
показывает, что флуктуации поперечной намагниченности подреше-
ток коррелируют на больших расстояниях в пространстве;
в этом заключается главная причина того, почему
существуют, как мы далее увидим, антиферромагнитные спиновые
волны. Как и в (7.63), получаем границу значений
антиферромагнитной константы жесткости R':
;?'<lini-L Г^сйхХ, м ГА;,(о), (9.16)
или
R'^cL, (9.17)
где clo определяется формулой (8.29), которая лишь неявно
связана с конкретным типом упорядочения (ферро- или
антиферромагнитным).
Две статические функции Xn^n^ (k) и tNyNyik), равные
друг другу по соображениям симметрии, являются
единственными функциями, которые должны быть сингулярными
при ^ -> О, в силу следующих из неравенства Боголюбова
аргументов, обсуждавшихся в разд. 7.3. Для всех других
компонент восприимчивости мы предполагаем, что они
хорошо ведут себя при ^ -> 0. Действительно, если бы,
например, функция 1м^ (k) расходилась при ^->0, это
означало бы, что бесконечно малое однородное магнитное поле,
направленное вдоль х, вызывает отклик б (М^У конечной
177

величины. Последнее, однако, невозможно, так как в
антиферромагнетике отсутствует общая спонтанная
намагниченность, а чтобы ее создать, требуются определенные
затраты энергии и, следовательно, внешнее поле конечной
величины.
9.2. СООБРАЖЕНИЯ СИММЕТРИИ
Если мы хотим построить теорию гидродинамических
флуктуации, мы должны подробно рассмотреть обе
переменные М {г, ^) и N {г, t): М (г, t) потому, что она
подчиняется микроскопическому закону сохранения, а N {г, t) из-
за того, что соответствующая статическая восприимчивость
расходится как результат нарушенной симметрии.
Следовало бы включить в качестве еще одной гидродинамической
переменной плотность сохраняющейся энергии, но пока
не будем ее учитывать. Получаем три набора
корреляционных функций:
%NiN.(koi); %MiMj(koi); г'ы^м^О^т)- (9.18)
На основе тех же соображений о независимых
пространственных и спиновых вращениях, которые привели нас к
формуле (8.1), находим, что
все х" ik, со) суть функции только от k"^. (9.19)
Более того, все три набора х" представляют собой тензоры,
а так как существуют только три тензора, которые могут
быть построены с использованием единственного в системе
вектора (N>, то все компоненты х" должны выражаться
в такой инвариантной форме
Х,7(М = щ tij%"i + (8ij—ninj) %t + iefjk tij, %a, (9.20)
где /li = (Ni)/ I <Л^> |, a содержащиеся в правой части
уравнения члены с %" являются функциями от к, со и,
конечно, от температуры. Так как Xw,-Af, (к, со) =
= —XmjN, (—к, со), то остается лишь девять функций %",
которые необходимо определить. Замечая, что <N>
меняет знак при обращении времени, аналогично (8.3)
находим
три функции Xi (^й)) вещественны, нечетны по со;
три функции х< (^й)) вещественны, нечетны по со,
три функции Ха (^й)) вещественны, четны по со. (9.21)
178

Выбирая вектор <N> направленным вдоль оси z,
получаем, что корреляции между двумя наборами переменных
{Nx, Ny-, МхМу) и {Мг, Мг) отсутствуют.
Однако существует еще одно свойство симметрии.
Ясно, что безразлично, какую из подрешеток отметить знаком
■j' , а какую — знаком \ . Иными словами, замена всех т]"
В выражении (9.7) на —т]" не должна ничего изменить. Эта
операция, подобная инверсии, заменяет {N, п, М} на {—N,
—п, —М}. Следовательно, х^.лг, и 'lм^м. должны быть
четными функциями п, поэтому
Xa,NN = X^'.AfAf = 0. (9.22)
в то же время уСк,м. должны быть нечетны по
п,'следовательно
Хл NAf = Х", N.M=0. (9.23)
В итоге инвариантное представление (9.20) имеет вид
XNj Nj {kcu) = Щ tlj X/", NN (^(О) + (б;; — 111 П}) Xt,NN {.Ы\
(9.24а)
XAf,- м. (к(л) = rii rij %i. мм (к(л) + (8ij—ni tij) %", мм {к(л);
(9.246)
Xnj Mj (М = Хм. Nj {ka,) = \eijk п^ %а (^(о). (9.24в)
Остается определить лишь пять функций. Шесть
переменных М и N разделяются теперь на четыре набора:
. {N^,My}; {Ny,Mx} (9.25)
и
{МЛ; {N,}, (9.26)
которые не связаны друг с другом. Здесь нас интересует
динамика только первых двух переменных Л^,. и My.
Свойства второго набора {Ny, Мх}, естественно, те же самые.
Продольная спиновая плотность М^ сохраняется, но
соответствующая статическая восприимчивость %м м (k) при
^ -> О конечна и равна Хг- Так как М^ не связана ни с одной
из других гидродинамических переменных, ее
автокорреляции для малых k и аз будут обнаруживать обычную
диффузионную структуру:
Хм м (М = "^'^^ Хг> (9.27)
Щ

где DI — коэффициент продольной спиновой диффузии.
Вывод формулы (9.27) во всех деталях совпадает с
проведенным в разд. 5.4 для парамагнетика и не требует
дальнейшего обсуждения.
Четвертая переменная Л^^ не сохраняется, однако нет
причин, чтобы ее статические корреляции были особо
велики. Поэтому N^ не является гидродинамической
переменной и ее флуктуации затухают за микроскопические
времена. Спектр этих флуктуации, как и для других
негидродинамических переменных, не имеет универсального вида
и не особенно интересен. Лишь вблизи критической точки
мы должны пересмотреть эту оценку. Непосредственно над
Тс система все еще макроскопически изотропна и хл/ л/ (k)
должна равняться %ы n (k), которая стремится к
бесконечности при ^ -V О и Т -^ Тс. Мы, однако, будем
продолжать следовать общей политике обходить специфические
трудности, возникающие в почти критических условиях
[7].
Теперь можно обратиться к плотности энергии е (г, t),
которая, как и в ферромагнетике, может быть определена
выражением
е (г, О = 5-- 2 ^ (г—г«) 2 -^"Р S" (0-SP (t). (9.28)
Плотность 8 (/■, t) сохраняется и поэтому должна быть
включена в список гидродинамических переменных. Две
функции —Хел/. (koi) и XeAf. (koi) ЯВЛЯЮТСЯ векторами в
спиновом пространстве; так как единственный имеющийся- в
нашем распоряжении вектор п, они должны иметь вид
Хвл/, (koy) = щ Хел/ (А;со); (9.29а)
%eM{(kay)--=nt%'^M(ka). (9.296)
Поскольку 8 и М — четные функции относительно
операций замены ti„ -> ti„ и n -> n, то Хелг фактически равно
нулю.
Таким образом, плотность энергир*8 связана только с
Л^г- Но Л^г не является гидродинамической переменной, и,
следовательно, для малых k и (л N^ невозможно
качественно отличить от триллионов других быстро
флуктуирующих степеней свободы, которые дают вклад в полные
флуктуации энергии. Иначе говоря, 8 не связана ни с какой Дру-
180

гой гидродинамической переменной. И всякий раз, ,когда
это так, для малых k и (л имеем простой закон диффузии:
х;'е (М = "^'^^ Тс^, (9.30)
где От — коэффициент тепловой диффузии, а Ус^ =
= (дЕ/дТ)п — теплоемкость при постоянном и
стремящемся к нулю внешнем магнитном поле.
После этого предварительного обсуждения, которое,
несомненно, надоело одним, но, возможно, понравилось
другим, продолжим поиски гидродинамических спиновых
волн в гейзенберговском антиферромагнетике.
t
9.3. НЕЗАТУХАЮЩИЕ СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
Мы теперь готовы применить технику функции памяти
КЗ гл. 5 к двум переменным А^ (г, t), где
А, (г, t) = Л^, (г, t); А, (г, t) = My [г, t). (9.31)
Как всегда, будем анализировать матрицу корреляционных
функций Кубо
C^v(г, г'; t) = (A^{r, t)I Лv(г', 0)>, (9.32)
определенную, как и в выражении (5.37), так, что
преобразование Фурье—Лапласа от C^v связано с %" уравнением
C,v(^,2)=-r {— ^^^^'"^ • (9.33)
J ni (о((о—г)
Эта матрица подчиняется общему уравнению движения
[zl-Q{k) + i'2Jkz)UCxAkz) = i^-'%^Ak), (9.34)
отдельные члены которого приведены в соотношении (5.28).
Рассмотрим эти члены по очереди.
Матрица восприимчивости Xnv (^) Диагональна, так
как и Nx ii My меняют знак при обращении времени. Для
достаточно малых k диагональные элементы согласно
данным разд. 9.1 имеют вид
^"(^) = Т?7^ " Х22(^) = Хх> (9.35)
гДеХх = ("л/—/ _ —термодинамическая спиновая
восприимчивость, которая является конечной и, разумеется,
положительной величиной.
181

Ненормированная частотная матрица со^^ (k)
определяется в общем случае выражением
u)^v(A;) = j-^x;v(A:co); (9.36)
согласно (9.14) получаем
0)12 (k) = -0)21 i-k) = 1Л^о> (9.37)
диагональные элементы обращаются в нуль из-за
симметрии к обращению времени. В результате нормированная
частотная матрица приобретает вид
, О iA^o/Xx .
Q^v(A;)-[o)(A;)x-M^)W=[ _i^^ ^ ).(9.38)
Допуская предварительно, что в низшем порядке по k
вклад матрицы памяти 2^v(^2) пренебрежимо мал,
находим дисперсионные соотношения для мод из уравнения
det[z].—Q{k)] = 0, (9.39)
что приводит к
z=±ck, где c^ = R'/xx- (9.40)
Таким образом, имеются колебательные моды — спиновые
волны, распространяющиеся со скоростью с, которая
определяется константой жесткости R и магнитной
восприимчивостью Хх- Отметим отличие выражения (9.40) от закона
дисперсии (8.14) в ферромагнетике.
Полезно переписать уравнения и результаты в
терминах микроскопических неравновесных флуктуации
б (Л^ (г, t)y, обусловленных малым внешним полем
ба^ (г); которое было включено «в отрицательное время».
Общие результаты гл. 3, сообенно соотношения (3.13),
указывают, что линейный динамический отклик на такое
адиабатическое внешнее поле выражает соотношение
8{A^(kz)y =Cnv(A;, 2)p6av(A;). (9.41)
Таким образом, уравнение движения (9,34) является также
уравнением движения для макроскопических флуктуации
б (Л^>. Если опустить диссипативную матрицу 2^^,
вставить выражение (9.38) для Q и возвратиться в реальное
182

пространство и время, то эти уравнения примут вид
dt8(My(rt)y-R'V^8(N^{rt))/No^O; (9.42а)
dt8(NArt)y/No-%l^8(My(rt)> = 0. (9.426)
Первое из них находится, конечно, в согласии с
сохранением намагниченности. Согласно уравнению (9.426),
неоднородность в намагниченности (Му) вызывает движение
флуктуации намагниченности подрешеток (Л^ж>,
неоднородность которой, в свою очередь, возбуждает
движение (МуУ. В итоге спиновая система приобретает
«упругие» свойства, обусловленные наличием дальнего порядка.
Если в парамагнетике спиновые флуктуации возвращаются
к равновесию посредством диффузионного броуновского
движения, то в антиферромагнетике они могут
поддерживать «сохраняющийся» ток б/= —R'W8(NyNo'-. При
этом флуктуация на пути к равновесию «проскакивает»
равновесное положение, что и приводит к распространению
«упругой волны».
9.4. ЗАТУХАНИЕ СПИНОВЫХ ВОЛН
Теперь мы учтем функцию памяти 2^v (^г)- Она
определяется из общего выражения (5.28):
\{R'kVNl)a,,{kz) %l'a,,{kz)l
где ненормированная матрица 6^v имеет вид
(T,.v (kz) = f, (а^ (k) Q i—- Q Лv (A;)\ . (9.44)
\
QLQ
'/
В выражение (9.43) мы подставили значение обратной
матрицы xilv (^) в низшем порядке по k.
Чтобы получить из общей формулы (9.44) полезную
информацию, читателю следует вспомнить рассуждения,
приведенные в разд. 5.4. Проекционный оператор Q в
выражении (9,44) устраняет флуктуации переменных А^ ==
= Nx и Лг = Му. Однако здесь нет необходимости
ограничиться этим. Так как по соображениям симметрии
связь всех других гидродинамических переменных с Л^^ и
My отсутствует, то можно определить Q следующим
образом:
Q = ^ -^ f .-?^ 2 IЛ т px;rv' (k) (Л^ (k) I, (9.45)
183

где суммирование по fi и v охватывает все семь
гидродинамических переменных N, М и е. Близкая по теме дискуссия
уже проводилась в связи с уравнением (5.456), Суть ее в
том, что оператор Q (9.45) является скаляром относительно
вращений, переносов и отражений и что он в
действительности устраняет из а^у (kz) в выражении (9.44) все
медленные флуктуации. В результате (т^^ (kz) оказывается
гладкой функцией 2 вблизи 2 = 0. Далее, если использовать
формальное представление
— Vjiv (М/(со-2) (9.46)
(T^v (kz) = Г
И сравнить (9.44) с эквивалентным формальным
выражением
Cj,v(b)= <^A^,(k)
Л,(й)\, (9.47)
Z-L I "^ V
а также с (9.33), то станет ясно, что функции затухания
Vnv (koi) должны обладать в точности такой же
симметрией и такими же свойствами положительности, как функции
Xllv (каз)/аз, рассмотренные в разд. 9.2. Например, уц (ксо)
и ^22 (kw) являются вещественными и фактически
положительными четными функциями со, а 7i2 (к, «) =
= 721 (—к, —со) — чисто мнимая нечетная функция со.
Следовательно, при 2 = iO Стц (к, iO) и a^i (к, iO)
положительны, тогда как ст^г (к, iO) = — (Т21 (к, Ю) — чисто
мнимая функция. Первые вносят вклад в затухание спиновых
волн, а последние определяют поправку к энергии спиновых
волн ^coft = hck.
1Ш Важным для гидродинамики вопросом является
зависимость (T^v (k, г) от k. Замечая, что А^ ^ My
сохраняется, а'Л^ ^ Nx не сохраняется, обнаруживаем из
соотношения (9.44), что в низшем приближении по ^ и 2
Oii(k,z) = y и a22(li,z) = k^a_^, (9.48)
где 7 и (Tj^ — положительные коэффициенты переноса,
- Функции (Ti2 (к, г) и (T2i(k, 2) должны определенно иметь
величину по крайней мере порядка k, так как согласно
(9.44) в обеих содержатся факторы My — ikijyi. Отметим,
однако, что (Ti2 (к, г) и a^i (к, z) будут четными функциями
к вследствие свойств четности или вращательной
инвариантности в реальном пространстве, так что обе должны
фактически быть величинами порядка k'^. Если теперь подста-
184

вить эти результаты в выражение (9.43), получим
Отсюда ясно, что недиагональные члены имеют более
высокий, чем в гидродинамике, порядок по ^ и могут быть
опущены. Понятно также, что из-за явного наличия
множителей ^2 в 2 можно с точностью, достаточной для
гидродинамики, заменять 2 {k, z) на 2 {k, iO).
Корреляционные функции определяются, таким
образом, матричным уравнением (9.34) или
fz + \k\R'lN%)y -iNo/%^ \ ^ '
[ ik'R'/No z + \k^{aJt^)j^x "-"^
= ip-^X^^v(й), (9.50)
из которого они могут быть найдены. Они связаны со спин-
волновыми модами, закон дисперсии которых, включая
затухание, легко получается из уравнения (9.50) в виде
z = ±ck -Tk^ (9.51)
2 .
во втором порядке по k. Скорость с приведена в
соотношении (9.40), а коэффициент поглощения определен
выражением
Г= ^ + yR'/Nl (9.52)
Формула (9.51) оправдывает допущение, сделанное в
разд. 9.3, что для очень длинных волн затухание спиновых
волн несущественно. В выражении (9.52) константа
затухания разделена на два физически различных вклада, из
которых первый обусловлен диффузией спинов в системе,
где относительная ориентация ближайших соседей
сохраняется неизменной, а второй описывает процессы возврата.
Такое разделение полезно для проведения
микроскопических вычислений Г.
Решая уравнение (9.50), находим
См м фг) = ip-i хх ^+'^'(^-"xXlM ^g 53)
и соответствующие выражения для других элементов
C^v (^2). Беря вещественную часть выражения (9.53), по-
185

лучаем спиновую корреляционную функцию, отвечающую
поглощению, в виде
Следует отметить сходство этой спектральной зависимости
с бриллюэновским спектром (4.44а) звуковых волн в
нормальных жидкостях. Но аналог диффузионной рэлеевской
компоненты здесь отсутствует. Две другие
корреляционные функции таковы:
— ОСл/ N («0)1 = ,
(9.55)
— Xn м (ксй) = . (9.56)
Эти результаты согласуются, как и должно быть, с
термодинамическими правилами сумм
ft
I
imf^X^ м (А;о)) = Хх; (9.57а)
— XN,N,(M= ^(1+0(А;=')). (9.576)
I
Они согласуются также с формулировкой (9.14) факта
нарушения вращательной симметрии:
— XN Af„(A;(o) = iWo. (9.58)
Однако интеграл в выражении (9.16), определяющий
границу значений константы жесткости R', расходится, если
воспользоваться функцией (9.54): гидродинамический
результат строго справедлив для малых (о, спадание же на
крыльях кривой слишком медленное. Чтобы дополнить
обычный перечень функций, отметим, что можно получить
два соотношения, аналогичных формулам Кубо:
(Tx = Hmlim-^X^ м„(М; (9.59)
u,->Oft-+0 k^ ^ ^
y = yim\imaiXN ыА^(л)^-'-^т.^т (9.60)
Ш-+0 ft-+0 * * TWtTf
где отсутствие множителя k~'^ в выражении (9.60) снова
обусловлено тем фактом, что Л^^ (rt) испытывает
гидродинамические флуктуации, причем это — проявление даль-
нодействующих статических флуктуации, а не следствие
сохранения Л^^ (на самом деле Л^;^ не сохраняется).
186

9.5. ПАРА-, ФЕРРО- И АНТИФЕРРОМАГНЕТИКИ
Интересно сравнить поперечные гидродинамические
флуктуации в изотропном антиферромагнетике и в
соответствующем ферромагнетике, а также результаты для
парамагнитной области температуры в обеих системах. Для
удобства воспроизведем магнитные корреляционные функции,
полученные в гл. 2 и 8:
— XAf„ Af„(М = X „ , ,.„ ^,, (парамагнетик); (9.61)
— %м м («й)) = —^ = (ферро-
магнетик), (9.62)
где выражение (9.62) справедливо для идеального
ферромагнетика, ориентированного в направлении z.
Флуктуации в таких магнетиках можно зондировать нейтронами в
экспериментах по неупругому рассеянию нейтронов на очень
малые углы, т. е. для малых k, это даст возможность
измерить любую из функций (9.54), (9.61) и (9.62). Мы не
обсуждаем здесь вопрос об относительной величине констант
%, D и др, фигурирующих в этих формулах, в различных
системах и при разных температурах. Чтобы вычислить их,
потребовалось бы очень много усилий. Вместо этого
рассмотрим особенности структуры спектров, которые могут
быть обнаружены в экспериментах. Качественный характер
спектров показан на рис. 9.2 вместе с пояснениями.
Соотношения (9.54), (9.61) и (9.64) строго верны для
достаточно малых k и аз, если можно доверять
предположениям, на основании которых они выводились. Нет
сомнений, в частности, что наши результаты справедливы для
изотропных гейзенберговских магнетиков, описываемых
гамильтонианом (9.1). На самом деле они являются более
общими. Например, эти результаты пригодны в моделях
ферромагнетизма, в которых электроны, несущие спины,
скорее являются свободными, чем локализованными.
Действительно решающее допущение, на которое опираются
наши результаты, — это допущение о спиновой изотропии
(приведенный вывод имеет смысл только для систем, в
которых энергия инвариантна к одновременному повороту
всех спинов).
В реальных системах это предположение часто не
является оправданным. Взаимодействия между спинами и фо-
187

парамагнети/(
Ширина линии: ПИ^
Интенсивность;/
Антиферромагнетик
Сдвиг линии: сН
Ширина линии: Н^
Интенсидность :/^
сК
I
\
Г\
V
Ферромагнетик
Сдвиг линии: гН^
Ширина линии: Гк''
Интенсивность: M^/Rk^
Рис. 9.2. Функция w-i^^J^j j^ {km) (вертикальная ось) в
зависимости от и (горизонтальная ось) для изотропного парамагнетика,
антиферромагнетика и ферромагнетика. Единицы произвольны.
Волновой вектор k фиксирован и ka^l
нонами или примесями могут быть инвариантными к
вращениям спинов, но часто это не так. Если инвариантность
налицо, наша теория пригодна; в этом случае фононы или
примеси влияют единственно на численные значения
термодинамических и транспортных коэффициентов. Во
многих системах анизотропные части спиновых
взаимодействий велики, из-за этих членов нарушается закон
сохранения спина, и мало что можно сказать о спектре спиновых
флуктуации даже для длинных волн, не проделав
подробных микроскопических расчетов [70].
В качестве иллюстрации рассмотрим функцию
магнитного отклика Смм ikz) для парамагнетика с сильной связью
между магнитными спинами и решеткой, из-за которой
М (г, /) не сохраняется. Положим ^ = О, Смм (Oz) =
188

s; с (г) и опустим все индексы. Тогда из уравнения (5.28)
следует
C(2) = i6-i —2С (9.63)
где 2 (г) ^ Sajaj (^ = О, г) — конечная и аналитическая
для Im 2 > О функция. Резонансы определяются
уравнением
2о + i2 (2о) = 0. (9.64)
Если 2 (2) медленно меняется около 2о = —i/T, то можно
использовать (9.63) в виде
С(2) «ip-i -^ , (9.65)
получив, таким образом, лоренцеву линию с шириной 1/Т
и амплитудой, определяемой значением вычета Z в точке
2о:
Z=fl + i-El(£Ll-' . (9.66)
L Ьг \г = г.
Этот результат эквивалентен феноменологическому
уравнению Блоха вида М = —М/Т. В нашем случае нет,
однако, оснований полагать, что около точки г^ функция 2 (2)
меняется медленнее, чем сама корреляционная функция
С (г). Так, если для сохраняюш,ейся намагниченности
кривые на рис. 9.2 асимптотически являются строго лоренце-
выми, то к системам с несохраняюш,ейся намагниченностью
уравнение Блоха неприменимо. И действительно, во
многих случаях наблюдаемая форма линии ближе к гауссовой.
Точная форма зависит от взаимодействий и может быть
исследована лишь в детальной микроскопической теории.
Читатель заметил также, что, хотя для систем с несохраняю-
ш,ейся намагниченностью может быть использован
формализм функции памяти, он в этих приложениях отнюдь не
столь полезен, как для изотропных магнетиков.

Глава 10
СВЕРХТЕКУЧИЕ ЖИДКОСТИ
Жидкий *Не кипит под атмосферным давлением при
температуре 4,2 К. При этой же температуре гелиевый газ,
наоборот, сжижается. Температура может быть понижена
посредством уменьшения давления газа над жидкостью, т. е.
с помощью непрерывной откачки. В доказательном
эксперименте можно наблюдать через окошко в сосуде Дьюара,
как кипит гелий при понижении температуры. Потом
внезапно пузыри пропадают. Ниже температуры T>, = 2,18 К
жидкий *Не выглядит прозрачным и спокойным несмотря
на продолжающуюся откачку. При Г^, гелий становится
сверхтекучим.
Этот эксперимент выразительно показывает, что гелий
может существовать в виде двух физически различных
жидких фаз: гелия I, который является нормальной
жидкостью, и сверхтекучего гелия И, обладающего многими
эффектными свойствами. Фазовая диаграмма *Не
изображена на рис. 10.1. Низкотемпературная фаза называется
сверхтекучей, потому что Не-II обнаруживает свойство
протекать через узкие каналы и щели без вязкости [56].
Фундаментальные принципы сверхтекучести
описаны, например, в нескольких прекрасных статьях Пайнса
[93] и Нозьера [86] (см. также [87]). Развивая основную
тему нашей книги, обсудим в данной главе теорию
термодинамических флуктуации в сверхтекучей жидкости. Прове-
I
твердое тело
Сдерхтщчая \
жидкость \
■—1—' 1 1
Нормаль/Шя
жидкость
' Газ
1 1
^'критическая
точка
\ 1
2% 3 Ч
Температура, К
Рис. 10.1
190

дем, в частности, анализ «двухжидкостной модели»
сверхтекучести. Этот анализ, основанный на формализме
функции памяти из гл.,5, кажется новым, судя по деталям,
хотя в сущности он близок к методу, предложенному в
работе [51]. Мы сосредоточимся на таких макроскопических
свойствах сверхтекучих жидкостей, для понимания
которых требуется совсем немного подробных вычислений и
можно использовать близкую формальную аналогию с уже
проведенным обсуждением, например, ферромагнетиков.
Мы лишь слегка коснемся более микроскопических черт
Не-П, таких, как спектр и природа элементарных
возбуждений. Наш способ обсуждения, конечно, дает
ограниченное представление о Не-И. Любопытного читателя
отсылаем к литературе (например, [105]).
10.1. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И ДАЛЬНИЕ КОРРЕЛЯЦИИ
Чтобы использовать формализм нескольких
предыдущих глав, было бы весьма удобно иметь параметр порядка,
скажем, <1|з>, который обращается в нуль в нормальной
жидкости, но не равен нулю в сверхтекучей фазе в
результате нарушения симметрии. Такую величину мы введем
ниже. Однако понятия «параметр порядка» и «нарушенная
симметрия» [18, 19] не являются применительно к
сверхтекучей жидкости такими физически естественными и
наглядными, как спонтанная намагниченность и вращательная
симметрия в ферромагнетике. Поэтому мы изберем путь,
который, возможно, более извилист, но зато физически
более понятен.
Что же мы имеем в виду, говоря, что жидкость
является сверхтекучей?—Что она не кипит?—Почему бы и нет.
Но это не очень полезная характеристика. (Она, тем не
менее, интересна. Ниже 7>, кипение прекращается, потому
что в Не-11 температурные неоднородности могут
распространяться в виде волн, а именно в виде второго звука.
Второй звук — гораздо более эффективный способ
рассасывания локальных флуктуации температуры, чем медленный
процесс тепловой диффузии, который действует в
нормальных жидкостях. Поэтому сверхтекучий гелий не
перегревается локально и в нем не образуются пузыри кипения; все
испарение происходит с поверхности.) Более полезно
охарактеризовать сверхтекучесть тем, с чем связано само
название — наличием устойчивого макроскопического
течения [93].
191

Рассмотрим, например, сосуд в форме тора,
заполненный жидким *Не. Предположим, что вначале стенки сосуда
и жидкость вращаются с угловой скоростью Q, затем в
момент времейи / = О сосуд остановлен. Даже нормальная
жидкость продолжала бы, конечно, поначалу вращаться.
Однако из-за вязкого взаимодействия между жидкостью
и стенками самое большее через несколько минут все
(макроскопическое) движение прекратилось бы. При t-^oo,
что и означает через несколько минут, плотность импульса
<g> нормальной жидкости обратилась бы в нуль. Если
жидкость является сверхтекучей, то вся она или по
крайней мере ее часть будет продолжать вращаться сколь
угодно долго (что означает дни или даже годы). Даже при ^-v
-V оо плотность импульса <g> не исчезает несмотря на
присутствие неподвижных стенок. В двухжидкостной
модели при описании этого необычного поведения говорят,
что *Не ведет себя так, как будто представляет собой смесь
двух жидкостей. Одна из них, нормальная компонента,
имеет нормальное вязкое взаимодействие со стенками
сосуда и поэтому быстро останавливается; нормальная часть
составляет зависящую от температуры долю р„/р от всей
жидкости. Другая, сверхтекучая, компонента не
испытывает вязкого взаимодействия ни со стенками, ни с
нормальной частью. Эта часть, составляющая долю pjp = 1 —
— р„/р от всей жидкости, продолжает, следовательно,
двигаться беспредельно долго. (Это, конечно, лишь описание
того, что происходит. Чтобы понять, почему гелий так
себя ведет, необходимо рассмотреть микроскопически все
процессы, в которых жидкость должна обмениваться
импульсом со стенками и поэтому останавливаться.
Знаменитое рассуждение Ландау (см. [9]) показывает, что в силу
особенностей спектра элементарных возбуждений в *Не
такие процессы обмена импульсом исключаются, ибо они
противоречат законам сохранения энергии и импульса.)
Чтобы перевести эти феноменологические соображения
о сверхтекучести на математический язык, несколько
проще рассмотреть вместо тора бесконечно длинную трубку,
заполненную гелием. Вместо того чтобы, как раньше,
останавливать сосуд, удобнее полагать, что вначале, при
t = —оо, система покоилась, а затем стенки трубки
медленно ускорялись и в момент / = О достигали скорости 6v.
В случае нормальной жидкости вся ее масса в момент
/ = О будет двигаться со скоростью 6v, так что плотность
импульса б <g> будет
192

e<g>=p5v (нормальная жидкость; Т>Т\). (10.1)
В сверхтекучем гелии, однако, сверхтекучая компонента
остается неподвижной. Только нормальная компонента
увлекается сосудом, так что плотность импульса при / = О
имеет значение
5 <g> = Рп 5v (сверхтекучая жидкость; Т<.Т\), (10.2)
где р„<р.
Можно сравнить это феноменологическое утверждение
с результатами теории линейного отклика, если известен
вид гамильтониана, описывающего систему при .наличии
движущихся стенок сосуда. Понятно, что движение
последних внесет в гамильтониан жидкости член
fi^=_5».6v= —fdrg(r).6v, (10.3)
так что для / <! О полный гамильтониан можно записать в
виде
^ (^) = Я -^ j drg (г).6v (г) е"', (10.4)
учитывающем влияние изменяющейся в пространстве ско»
рости fiv (г), величина которой медленно (e-vO) нараста-
ет. Из теории линейного отклика по формуле (3.3) нахо'
ДИМ выражение для плотности импульса, действующего в
момент t:
8(gi{r,t)y= 5 dt'^dr'2i ^^i{ri, г'i')8vJ (г') е'^^', (10.5)
где
^i {rt, r'n=(^ [g, irt), g, (r' t')]\ (10.6)
есть функция корреляции плотности импульса,
усредненная по равновесному покоящемуся ансамблю. Если
гелиевая система достаточно велика, то эта функция может быть
представлена в виде
,,Иг/, г'О = J 1^е--С-') J |^е.Мг-о ,;;. (к, со).
(10.7)
Итак, плотность импульса, приобретенного системой в
момент ^ = О в точке, скажем, г = О, можно описать следую-
7 За(с. ?бб8 193

щим выражением:
8<g.->=j"d''-'j"-|^e-"'T'Xi;(k)6ti;, (10.8)
где
Xu(k) = j"^X/'/(k,co)/a) (10.9)
и fiv принята постоянной. Трансляционно-инвариантное
представление (10.7) справедливо, разумеется, только для
точек гиг', расположенных глубоко внутри жидкости. Оно
хорошо работает, пока мы интересуемся только объемными
свойствами гелия. При оценке (10.8), однако, потребуется
осторожность, ибо мы хотим сохранить достаточную
информацию о наличии стенок, чтобы, например, можно было
сравнивать ситуации в открытой и закрытой трубке.
Рассмотрим случай конкретной геометрии. Для
простоты будем считать, что жидкость заключена в
прямоугольный ящик с размерами Lx, Ly и L^. Интегрирование по
пространству в (10.8) охватывает объем, занятый жидкостью;
используя соотношение
Г dxe-'^«^= sin(fe^W2) ^2nh(kx), (10.10)
получаем |
« <g.> = ]d^k^ (kx) A {kJA (k,) %J{k) 6vx, (10.11)
где предполагалось," что скорость fiv направлена по оси х.
Испробуем нашу процедуру описания сверхтекучести,
рассмотрев, что предсказывает выражение (10.11) для
закрытой трубки. Если мы сначала устремим к бесконечности
поперечные размеры Ly и L^ а только потом положим L^-»-
-> оо, то это будет соответствовать описанию замкнутой
системы, в которой находящиеся в точках ±LJ2 стенки
сами толкают всю массу. Безотносительно к тому, является
ли в этом случае жидкость сверхтекучей или нет, следует
ожидать, что bgx = pfiy*. Замечая, что
^(kxY^bikx) при L^-^oo, (10.12)
194

находим
р = lim
k^-^O
lim x^^{k)
ft ->0
ft!U.o
(10.13)
Выражение (10.13) фактически воспроизводит правило
/-сумм (4.27). Это подтверждает, что выражение (10.3)
является гамильтонианом, подходящим для рассматриваемой
цели. Данному случаю соответствует эксперимент с тором,
в который нужно вставить жесткую разделительную
перегородку, как показано на рис. 10.2. В этом случае, если тор
приведен во вращение с угловой скоростью бй — 8v/R,
согласно соотношениям (10.8) и (10.13) жидкость должна
приобрести угловой момент 8L = /6Q, где / = pR^V —
классический момент инерции.
В случае открытой трубки продольный размер нужно
устремить к бесконечности первым. Здесь взаимодействием,
увлекающим жидкость, является вязкая сила на
поперечных стенках, и согласно выражению (10.2) мы должны иметь
8gx = Pn^Vx- Тогда из уравнения (10.11) для сверхтекучей
жидкости следует
Рп= lim
k
lim Г lim Ххх(Щ-
(10.14)
Для соответствующего эксперимента нужен открытый тор
без перегородки (рис. 10.3). Как следует из соотношения
(10.14), теперь момент инерции /„ = PnR^V> что меньше
классического значения, так как р„ < р.
"Не
^v
Рис. 10.2
7*
1Й0

.•
• •
-тЧЬт-
■=—IH-^
-/--^
-ЧЬ^-т
чь^-^
'не
Рис. 10.3
То, что мы здесь проделали, не является, конечно,
теорией сверхтекучести — это просто ее описание. Так как
неподвижный сверхтекучий *Не изотропен, то Ху имеет
вид
X// (Асо) = k kj у; (Асо) + (б^^. -ki kj) %t (Асо), (10.15)
где k = k/k; кроме того,
%ij (k) - h h %i (k) + {b,j-kt k,) tt (k). (10.16)
Правило /-сумм
-Ъ (A) = f ^ ХГ (M/« = 0 (10.17)
Эквивалентно выражению (10.13); это—прямое следствие
калибровочной инвариантности (т. е. сохранения числа
частиц) и перестановочного соотношения (4.34) и поэтому
справедливо для любой жидкости. Система будет сверхтекучей,
если
Ит Г—Х/"(М/« = Рп<р. (10.18)
ft->-oo J П
Если определить плотность сверхтекучей компоненты Ps
соотношением
Рз = р-Рп, (10.19)
то последние три уравнения можно записать в форме
yim%ij{k)^p„6ij + pjtkj. (10.20)
k-t-O
Это довольно любопытный результат. Функция Хгу (^) —
пространственное преобразование Фурье статической
корреляционной функции плотности импульса:
Xi;(k) = Jdre-""xgjg.(r).
(10.21)
196

Пока tg^g.{r) имеет конечную корреляционную длину,
предел lim %и (k) должен равняться %ij (k — 0) безотно-
сительно к направлению в к-пространстве, по которому
достигается значение ^ = 0. Так как для сверхтекучей
жидкости предел не является изотропным, то необходимо
заключить, что
Г dr Xgj g (г) = оо в сверхтекучей жидкости. (10.22)
Итак, мы получили наиболее фундаментальную
характеристику сверхтекучей жидкости: это такая система, в
которой корреляции импульса имеют бесконечную длину
(Мартин, см. [93]). Сколь велика «бесконечная» длина
корреляции? Проведем преобразование Фурье от выражения
(10.20); это просто и для нематематиков:
k^ 4я г Ann
Таким образом, для больших | г — г* | получаем
Xg.g.(r—г')»=^ ^—. (10.23)
^^i^j^ ' 4я |г-г'|з' ^ '
что согласуется с выражением (10.22).
Для классической системы мы до конца рассчитали
корреляционную функцию плотности импульса. Это оказалось
возможным, так как импульсы двух классических частиц
всегда некоррелированы. Согласно (4.37)
Xg.g.(r—г') = рб(г—r')bij (классическая система).
(10.24)
Очевидно, что сверхтекучесть здесь невозможна. Явление
сверхтекучести — это квантовый эффект.
10.2. НАРУШЕННАЯ КАЛИБРОВОЧНАЯ СИММЕТРИЯ
Мы обнаружили, что постоянное макроскопическое
течение, характеризующее сверхтекучесть, является
выражением дальних корреляций импульса. Что создает эту
необычную упорядоченность? При обсуждении магнитных
систем мы видели, что если непрерывная симметрия
гамильтониана нарушается, то возникают дальние корреляции.
Может ли сверхтекучая фаза гелия быть описана в
терминах нарушенной симметрии? — Оказывается, может. Од-
197

нако тип симметрии, которая нарушается, не входит в
число обычных операций переносов или вращений,
относительно которых сверхтекучий гелий определенно инвариантен.
Нарушается калибровочная инвариантность, генератором
которой является оператор числа частиц Л^. В этом разделе
мы выведем это свойство.
В разд. 5.1 отмечалось, что статическая
восприимчивость, подобная Хгу (^). может быть описана через
скалярное произведение в гильбертовом пространстве операторов.
Предположим, что мы выбрали базисный набор локальных
операторов Л„ (k), должным образом ортогонализованных,
и разложили по ним Хи {^):
<Si ik) I gi (A)> = 2 {gi ik) I л„ (A)> <л„ ik) I л„ (A)-'> X
n
Х<Л„(А)|^;(А)>, (10.25)
или, что эквивалентно,
Хг./(^) = 2Хй,,,л(А)Х7л'(^)ХЛй,,ДА), (10.26)
как для продольной, так и для поперечной
восприимчивости. Последний член суммы (10.25) — это вклад базисного
оператора Л„ в корреляции импульса. Большая часть
операторов An генерирует только локальные корреляции и
поэтому вносит в х; и в Х( одинаковые вклады, по крайней
мере, при А ->- 0. Но должен иметься хотя бы один оператор,
скажем, Л о, который коррелирует более сильно с gi, чем
с gt. Эта переменная Л о (г) должна быть, следовательно,
более продольной, чем поперечной, и без потери
общности можно в качестве нее выбрать чисто продольный
вектор. Обозначим Л о (г) через gs (г), так что выражение
(10.26) запишется в виде
x,(A) = x.,.,(A)xrMA)Xfi,.,+ 2 •••■'
пфО
Xt{k) = 0+^..., (10.27)
пфО
где последняя сумма 2 ... составляет ту часть, которая дает
при k-^0 одинаковые вклады в Хг и Х(- Тогда избыток
продольной части будет равен
P. = Hmx,,,,(^)X.-AW 5C.s^.(^)- (10-2S)
198

в нашем распоряжении имеется еще выбор нормировки
gg. Выберем ее так, чтобы
yi^^%e,e,{k) = Ps, (10.29а)
что также означает
limXfi,fi,(A) = Ps. (10.296)
Если имеются сверхтекучие потоки, то должна быть и
локальная наблюдаемая g^ с соответствующими свойствами.
Переформулируем задачу еще раз. Так как g^ является
чисто продольным вектором, то он может быть долучен из
оператора скалярного потенциала ф"" (г):
gsir) = Ps—V4>"4r), (10.30)
т
где введены постоянные множители, чтобы сделать
безразмерным ф"" (г); т — масса атома гелия. Выражение
(10.29а) переписывается с использованием ф следующим
образом:
Хфф(А)=С—Х;ф(М=-^ (10.31)
при А ->- 0. Мы предположили, что оператор ф"" (г), каким
бы он ни был, является локальным, и нашли, что его
корреляции имеют бесконечную длину. Выражение (10.31)
будет исходным, когда мы начнем анализировать
гидродинамические свойства сверхтекучего гелия. В настоящий же
момент более интересно соотношение (10.296). Привлекая
условие сохранения числа частиц и выражение (10.30),
получаем
%g, g, (^«) = p. ^Xfi, Ф (М = — i^wPs ХпФ (^«)
и, следовательно,
ИтГ^Х«ф(М = 1М- (10.32)
Гидродинамика сверхтекучего *Не, т. е. двухжидкостная
модель, может быть выведена из двух уравнений (10.31) и
(10.32) и обычных предположений. Конечно, такой
формальный вывод не очень-то поможет физической интуиции. Все
же мы должны установить, что в действительности означа-
199

ет, к примеру, потенциал ф"" (г). Отметим прежде всего,
что (10.32) идентично утверждению
Ит J dгe~^^^■^ <[/i (г), ф»« (г')]> = i. (10.33)
Это утверждение ставит нас перед замечательной
альтернативой. Интеграл ^d^rn (г) = Л^ является, конечно,
оператором полного числа частиц. Если можно свободно
перейти к пределу А ->- О, то получим
1=5рр[Л^,Ф»п] = 5р[р,Л^]ф"" (10.34)
из-за циклической инвариантности следа. Но «обычные»
ансамбли равновесной статистической механики, такие, как
канонический или большой канонический, описываются
матрицами плотности р, коммутирующими с оператором
числа частиц Л^. Попробуем использовать такой
канонический ансамбль. Тогда мы столкнемся с очень трудным
обстоятельством, что хотя соотношение (10.33) выполняется,
но при этом
|йг<[«(г),ф<'"(г')]>„ан=0.
Это означает, что в таком ансамбле предел при А ->- О не
может быть однородным. Если же есть необходимость
выбрать ансамбль, для которого предел А -> О будет
однородным, то приходим к заключению, что
[Рп. Л^]^0 (10.35)
для такого ансамбля (назовем его т)-ансамблем). В
дальнейшем изберем второй, гораздо более удобный, путь. Мы
будем описывать сверхтекучую фазу гелия с помощью
оператора ансамбля р,), который нарушает тот вид симметрии
гамильтониана, генератором которого является Л^. Эта
симметрия называется калибровочной.
10.3. БОЗЕ-КОНДЕНСАЦИЯ И ПАРАМЕТР ПОРЯДКА
При рассмотрении упорядоченного состояния
ферромагнетика мы обнаружили, что очень удобно характеризовать
это состояние средним значением оператора
намагниченности <М (г)>, которое обращается в нуль в
парамагнитной фазе вследствие вращательной инвариантности, но
отлично от нуля в ферромагнитном состоянии, где
вращательная симметрия нарушена. Можно ли аналогичным образом
200

описывать сверхтекучее состояние *Не? Оказывается,
можно, и мы этим сейчас займемся. Оператор параметра
порядка, который будет использован, — это оператор
уничтожения частицы г|) (г) или эрмитово-сопряженный оператор
рождения ij5+ (г) . Сверхтекучая фаза *Не может быть
охарактеризована тем, что в ней
<1^'('-)>=/МТе'Ф('>=?^0;
<1]5+(г)> = КМгТе-'Ф(^):^0, (10.36)
и это свойство может быть взято в качестве определения
сверхтекучести в том же смысле, в каком ферромагнетизм
описывался утверждением <Л1 (г)> Ф 0.
Условия (10.36) нуждаются в некотором пояснении.
Операторы ijj (г) и г|)4. (г) — это полевые операторы в
представлении вторичного квантования. (Читатель, не знакомый с
этим языком, не должен отчаиваться; мы будем
пользоваться им очень мало. В любом вводном курсе по квантовой
теории поля можно почерпнуть более чем достаточно, если
несколько следующих страниц оставят его (или ее)
неудовлетворенными; см., например, [39].) Оператор г|) (г)
устраняет частицу из точки г, а ij)+ (г) вносит ее в эту точку.
Для *Не изучаемые частицы — это, конечно, атомы гелия.
Определенные в гильбертовом пространстве операторы г|)
и ijj+ подчиняются коммутационным соотношениям
[ijj(r),ijj+(r')] = 6(r-r'),
[ijj(r),ii>(r')] = [ijj+(r),ijj+(r')] = 0, (10.37)
характеризующим систему бозонов. Наиболее важные
операторы, а именно плотность частиц п (г), плотность
импульса g (г) и плотность энергии е (г), можно записать
следующим образом:
„(r) = i^>+(r)ijj(r);
g(r) = ^ [ij5+ (г) Щ(r)-(Vi|)+ (г)) ijj(r)];
e(r) = ^Vii'+(r).V4'(r) +
4--i-j"dr'ii>+(r)i^>+(r')y(r--r')ii'(r')^'(r), (10.38)
что совпадает с соотношениями (4.6), но выражено на
другом языке. Оператор полного числа частиц, естественно,
201

имеет вид
yV = 5dm(r) = ^driij+(r)i[i(r); (10.39)
оператор полного импульса 5^ и гамильтониан Н также
являются интегралами от g и е. Читатель, не знакомый с
терминологией операторов г|), г|)+, может немного
поупражняться и доказать, что
[«(г), g (г')] = - i^V/i (г) б (г -г') (10.40а)
и
а,/1(г,0 = 1М[Я,/1(г,0] = — V-g(r,/)/m, (10.406)
как мы видели в соотношениях (4.70) и (4.34).
Неравенства (10.36) суть математическая формулировка
бозе-конденсации. Сверхтекучая фаза описывается
макроскопической волновой функцией; этой функцией служит
(■ф (г)> ^г|) (г). Квадрат ее амплитуды Пд (г) дает
плотность частиц в «конденсате». Макроскопической фазой яв-
ляется ф (г); ее градиент v^ = —'^ ф — это скорость
сверхтекучей компоненты. Как может осуществиться условие
(10.36) <Ф>=/=0?
Предположим, что атомы гелия помещены в ящик с
обычными периодическими граничными условиями. При этом
можно записать
k
ij,-h(r) = y-i/2 2e-'*^aft+. (10.41)
k
Так как операторы полного числа и импульса имеют вид
A^ = 2aft+aft,
k
S^ = ^hkaiaj,, (10.42)
k
то ясно, что at порождает частицу с импульсом Йк.
Рассмотрим теперь состояние
|Л^о>=(Л^о!)-'/^(«о)''»|0>, (10.43)
где |0> — состояние вакуума, так что йй |0> = 0. В
состоянии I Л^о) содержится Л^о частиц, все с нулевым
импульсом. Далее, можно непосредственно проверить, что
<Л^о1^('-)|Л^о> = 0. (10.44)
202

Однако для состояния
yVo>=(2m + l)-i/2 2
A^o+v>, (10.45)
которое для 1 <С m <С Л^о содержит лишь на несколько
частиц больше или меньше и не может физически суш,ествен-
но отличаться от (Л^о). имеем
(Мо\^{г)\ЪоУ = (Мо/Уу1' = У1Го- (10.46)
Такой результат получился вследствие того, что состояния
I Л^о + 'V) в выражении (10.45) складываются с
когерентными относительными фазами. Если рассматриваются
свободные бозоны, то \No) описывает основное состояние,
ибо все частицы занимают состояния с нулевым импульсом,
энергия которых является наименьшей возможной.
Величина Л^о дает полное число частиц, так что Пд ~ 10^* см~*.
Если число частиц слегка флуктуирует, то этому будет
соответствовать как раз I Л^о)- В *Не атомы
взаимодействуют достаточно сильно и такая (или примерно такая)
картина может осуществиться. При нулевой температуре в
основном состоянии находим макроскопическую долю частиц
с нулевым импульсом. Однако не все частицы
сконденсированы в I Л^о>; в действительности, для гелия Л^о при Т =
— О — только малая часть, ~8% всех атомов [59, 92].
Теперь обратимся к случаю конечных температур
0<Т<;Т;^> при этом <...> означает усреднение по
некоторому статистическому ' ансамблю. По какому
ансамблю?—В связи с этим имеется интересное замечание. Если
использовать коммутационные соотношения (10.37), то
легко увидеть, что
[N, Ц> (г)] = - г|> (г), [N, Ч'+(г)] = ii'+ (г), (10.47)
откуда следует
е'"''г^.(г)е-'«'' = 1|)(г)е-'«,
е'"^ ii>+ (г) е-'"'' = ^i>+ (г) е'", ' (10.48)
Преобразование е'"'', добавляющее фазу к полевым
операторам, называется калибровочным. Оно фактически тесно
связано с известными калибровочными преобразованиями
в электродинамике. Разумеется,
IN, Я] = О (10.49)
203

—гамильтониан инвариантен к калибровочному
преобразованию, как и все физические операторы, построенные
из одинакового числа г|) и г|)+. Как же обстоит дело с
состоянием системы? Из соотношений (10.36) и (10.47) следует,
что
<4'(/-)>=Sppii>(r)= -Spp[N, ii'(r)]=Sp[p, т^!р(г)фО.
(10.50а)
если только
[р, N] Ф 0. (10.506)
Если плотность конденсата /Iq конечна, то состояние
системы не является калибровочно-инвариантным. В бозе-кон-
денсированной системе калибровочная симметрия
нарушена.
Это, конечно, означает, что обычный канонический (с
р ^ e-P<^~^^)) ансамбль не может быть использован. Такие
ансамбли усредняют по всем фазам параметра порядка
<г|)>, тогда как нам необходимо выделить одну фазу, хотя
и произвольную. Полностью аналогичная ситуация уже
обсуждалась в разд. 7.2. Используя формальную аналогию,
мы можем ожидать, что более подходяш,им должен быть
ансамбль, в котором [ср. с выражением (7.31)] «поле
внешнего источника т) (г)» обеспечивает одной конкретной фазе
г|) (г) несколько больший вес. Поэтому будем использовать
следуюш,ий т)-ансамбль [51]:
р„ ~ ехр {_ р [Я - [xiV - J dfT]* (г) ^ (г) + т] (г) ^^ (г)]},
(10.51)
где т) (г) — комплексная функция. Так как оператотр Л^
не коммутирует с г|) (л), то он не будет коммутировать и с
Рт). Для однородной покоящейся сверхтекучей жидкости
без вихрей можно использовать вещественное значение
т]. Как и в соотношениях (7.32) и (7.33), утверждение
относительно (10.51) таково:
Пт8ррт,т^'(г)='|/л^ехр1ф:5^0, (10.52)
Т1-«-0
ХОТЯ
SppT,=oiJ4'-) = 0. (10.53)
Микроскопическая теория сверхтекучести в *Не
должна, конечно, обосновать это утверждение. Это можно
сделать, по крайней мере для слабовзаимодействующих бозо-
204

нов [26], но для реального гелия, в котором атомы
взаимодействуют весьма сильно, прогресс пока не наблюдается.
Мы изберем здесь ту же точку зрения, что была принята для
случая магнитных систем: будем считать доказанным, что
ниже T;j, гелий является бозе-конденсированным, <г|)> ф
фО, я найдем следствия из этого утверждения.
10.4. ФАЗОВАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ
НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ
Теперь мы готовы к тому, чтобы вернуться к дискуссии,
начатой в разд. 10.1 и 10.2. Рассмотрим стационарную
сверхтекучесть, при которой функция <г|) (г)> поЬтоянна в
пространстве. Этот случай мы при обсуждении *Не на время
отложили.
Уравнения
{[N, гКг)]> = -<г^.(г)>=~1/^е^
<[Л^, ii^+(r)]> = <!]?+(r)>=l/^e-"f (10.54)
определяют дальний порядок, как было показано в
разд. 7.4. Однако в обоих уравнениях (10.54) заключена
одинаковая информация, потому чтог|) и г|)+ эрмитово
сопряжены относительно друг друга. Поэтому давайте
«перемешаем» эти два оператора и определим два других
эрмитовых оператора:
ло" (г) = <г|)+ (г)> li^ (г) + <ii' (г)> ii'+ (г). (10.556)
Если удается записать оператор г|) (г) через амплитуду и
фазу (и та и другая — эрмитовы операторы) в виде
^ (г) = K/Vf fi«""e' f'^+ *'^°"^. (10.56)
то для малых флуктуации соответствующие операторы
формально даются формулами (10.55). Представление (10.56)
на самом деле проблематично, но операторы (10.55)
являются вполне определенными локальными операторами, во
всяком случае, пока п^ Ф О, т. е. пока жидкость является
сверхтекучей. Из уравнений (10.54) тогда находим
<[yV,ne"(r)]> = -2i/io <Ф»"(г)> - 0; (10.57)
<[iV, Ф»"(г)> = ^ (««"(г)) = i. (10.58)
205

Мы надеемся, что читатель помнит уроки гл. 7.
Несомненно, в нашем выводе не было ничего, относящегося
специально к /1°" (г). Вследствие равенства (ф"") = О нет
причин ожидать, что функция л"" (л) имеет корреляции
необычного радиуса — амплитуда параметра порядка является
функцией температуры, как Мд в ферромагнетиках; для ее
изменения требуются силы конечной величины. Таким
образом, /1°" (г) не является гидродинамической переменной,
она релаксирует к равновесию за время порядка
нескольких времен столкновений.
Иначе обстоит дело с оператором фазы ф"" (л).
Неравенство Боголюбова (7.60) применительно к (10.58) приводит
к условию
j^ii^^X^wJ : '^'""' . (.0.59,
Iv
«ax^ln (fe<a)
В действительности можно непосредственно вычислить
коммутатор
]'^Х"ф(М = ^-' С(1(г-г')е-'*('-'')<[«(г), Ф«"(г')]>
(10.60)
для всех А, а не только для k = 0. Поскольку знаменатель
в выражении (10.59) порядка А*, то Хфф (k) должна
расходиться по крайней мере как 1/А*. Если характер
расходимости не хуже, то можно написать
Хфф(А) = ^-^ (10.61)
И получить граничное значение
Р.^Р = -^ Г—«Хпп(М (10.62)
из правила /-сумм.
Не чудесно ли это? Из единственного предположения о
<^р!9е-хонденсации, т. е. из уравнений (10.54), мы пришли
^ <5Р0ТН0шениям (10.60) и (10.61). Последние идентичны
формулам (10.31) и (10.32), полученным ранее более
эвристическим путем. Но теперь мы, кроме прочего, узнали, что
■представляет собой оператор ф"" (г). Функция (10.61), ко-
206

торая в координатном пространстве ведет себя как
<фО"(г)фО"(г')> —<фв"(г)> <ф»"(г')> - . ' , (10.63)
Ps|r—г I
при |г—г'|->оо, указывает, что сверхтекучесть
является следствием бозе-конденсации, существования
макроскопической волновой функции <г|)> и когерентности ее
фазы на больших расстояниях. Основываясь на этом, легко
понять, как возвратиться к нашему исходному
феноменологическому утверждению относительно сверхтекучести,
а именно к выражению (10.20). С учетом сохранения числа
частиц из соотношения (10.60), находим, что
Х.,ф(^) = [—Х^,ф(М=^А|- ' (10.64)
Следовательно, флуктуации фазы вносят вклад
ХйгФ (k) Хфф* (k) Хфй/А) = рз ki kj (10.65)
в корреляции плотности импульса. Мы считаем, что здесь
нет другой независимой переменной с дальними
корреляциями, так что остаток в восприимчивости [см.
соотношения (7.100) и (7.102)]
Х.,./^) = Х,^,/А)-Х,^ф(%ф-ЛА)Хф,.(А) (10.66а)
коррелирует на малых расстояниях и при А->0 принимает
вид
lim Xfi.fi. (k) = р„ fijy, (10.666)
где p„ = p — Ps. [Вопрос, являются ли два определения
(10.18) и (10.61) строго эквивалентными, обсудим ниже,
на с. 224.1
10.5. ГИДРОДИНАМИКА БЕЗ ДИССИПАЦИИ
Обсудим теперь вопрос о гидродинамических флуктуа-
циях в сверхтекучем *Не. Мы проделаем это в рамках
формализма функции памяти из гл. 5 и 7. Результаты, которые
будут получены, конечно, не новы. Впервые их получили
Тисса [100], а в терминах корреляционных функций —
Хоенберг и Мартин [51].
Кроме сохраняющихся плотностей р, g и е в
сверхтекучем гелии имеется еще дополнительная гидродинамическая
переменная — квантовая фаза ф"". Последняя является,
207

конечно, скалярным оператором и в изотропной жидкости
не может быть связана с поперечными компонентами
плотности импульса. Вследствие этого поперечные компоненты
g подвержены такому же диффузионному движению, как
в нормальной жидкости. Как это удобно и принято для
продольных флуктуации, введем оператор скорости
сверхтекучего движения
(10.67)
который является чисто продольным вектором. Как в
гл. 4 при рассмотрении нормальных жидкостей, заменим
плотность энергии е на переменную
г+р
q{rt) = E{rt)-
9{rt),
(10.68)
Р
представляющую собой плотность энтропии. Замена
(10.68) отличается от использованной в гл. 4 лишь тем, что
придерживаясь традиции, мы обсуждаем
сверхтекучесть с помощью плотности массы р (г/) = тп (rt) вместо
плотности частиц п {rt). В итоге получаем четыре
продольные гидродинамические переменные:
{Av)^{9,q,Ub^s)- (10.69)
Все, что нам нужно, это применить общие рецепты
уравнений (5.28) для определения матрицы корреляционных
функций Кубо
C^v (Аг) = р-1 Г ^ x^v (М/« («- 2).
J П1
(10.70)
Начнем с матрицы восприимчивости Xnv (^). для
которой уже почти вся работа произведена. Эта матрица
дается выражением
Xnv Ф) =^
др )т
др \
дт)р
0
0
рСрТ
0
0
0
0
р
1
0
0
1
р
(10.71)
при k-^0. Матрица (10.71) записана правильно с
точностью до k^, поскольку все матричные элементы Xnv (^)
являются четными функция.ми k. Элементы в нижнем правом
208

углу записаны в соответствии с выражениями (10.17),
(10.61) и (10.64). Элементы из верхнего левого угла не
относятся специально к сверхтекучим свойствам; они были
вычислены в уравнениях (4.27). Наконец, нули в матрице
(10.71) являются нулями во всех порядках по k вследствие
симметрии к обращению времени.
Ненормированная матрица памяти
«nv(A)= r-^XM.v(M
такова:
«nv (k) =
О О kp k '
О О О —Tsk
Ар О О О
k —Tsk О О
(5.28)
(10.72)
где были опущены только члены порядка k^. Снова
симметрия к обращению времени исключает многие элементы,
оставляя только {р, q) или {g;, Vs}. Значение элемента
kp легко находится из коммутатора (4.34), а сору =
со,
Рй;
k следует из коммутатора (10.60). Равенство (o,g = О
вплоть до членов порядка k^ не является следствием
симметрии, оно выполняется потому, что так была определена
величина q; читатель без труда может показать, что
\imk-^a)ge{k) = \imxgr (k) = T
Правило сумм
k-*-0 J n "
д <Тзз>
дТ
0. (10.73)
(10.74)
где tns = S/N — энтропия на одну частицу, нуждается,
пожалуй, в некоторых пояснениях: Заметим, что при А ->- О
lim А-1 Г ^ хяо, (М = — lim Г -^ Х^Ф (М =
^ 1/imjdr <[(;(/■), фО«(г')]> = 1Лт<[Я—[X/V--
~Л, Ф'>"(г')]) + 1/im([^-^±^1 <[Л^, Ф»"(г')]> +
+ l/im<[A, фО«(г')]),
(10.75)
209

где Л = ] drlt]* (r}\}f (г) + т) (л) г|)+ (л)] — член в
ансамбле (10.51), связанный с источником. Усреднения в
соотношении (10.75) проводятся, конечно, с помощью т)-ансамб-
ля. Первый член в (10.75) обращается в нуль, ибо
5ррт,[Я—[xyv—Л]фв« = 5р[рт„ Я—[xiV—Л]фв« = 0.
(10.76)
Аналогично величина <[Л, ф""]) = i Re т)/<г|)>,
полученная прямым расчетом, обращается в нуль при т) ^- 0. В
результате остается лишь второй член в уравнении (10.75),
из которого с помощью соотношения (10.58) и
термодинамического тождества
i±P.= JL+Ts (10.77)
р m
получаем правило сумм (10.74).
Пришло время пожать плоды своих трудов. По крайней
мере в низшем неисчезающем порядке по k мы нашли
матрицы X и (О и, следовательно, перенормированную
частотную матрицу Q = a)x~■^, так что если матрица памяти
2 (kz) может быть опущена (она имеет более высокий
порядок по k), то мы можем рассчитать C^v (kz) из основного
уравнения (5.28), а именно из матричного уравнения
размерностью 4X4:
[гб^,;,- Q^,i, (k)] C^,v (kz) = ip-i^xnv (k). (10.78)
Сначала исследуем полюса, решая уравнение det [z —
— Q (k)] = 0. Мы получим две пары
распространяющихся решений, равных
z = ±Cik, z=±:C2k, (10.79а)
где константы определяются соотношениями
V ф Is Рп Со
с1с1 = (^] -SLit, (10.796)
К dp Jt Рп Со
Для нормальной жидкости мы имели на таком же этапе один
звуковой полюс Z = ±ick и диффузионный полюс г = о с
точностью до членов порядка k. (Результаты для
нормальной жидкости получаются, если положить р^ ^ 0). В
сверхтекучей жидкости имеются два полюса, подобных звуково-
210

му. Они называются соответственно первым и вторым
звуком. Так как *Не является сверхтекучим только при очень
низких температурах, когда Ср w с„ и (—) » (—^) » то
\dpjs \ др /т
получаем
с2 = АР- (первый звук) (10.80а)
dp
и
с2 - -^ — = —^ -^ (второй звук). (10.806)
Рп Со Рп 3(l/s)
Как показывают эти выражения, q — это скорость волны
сжатия, т. е. нормальный звук. Какова природа моды,
которая распространяется со скоростью Cj? На этот вопрос
можно ответить, если диагонализовать матрицу Сцу(^) и
найти, для какой переменной или комбинации переменных
проявляется полюс второго звука. После алгебраических
выкладок найдем, что (если Ср г~ с„)
рС,,(Ь) = 1рСрГ—^, (10.81)
как и следовало ожидать из соотношений (10.806) или
(4.426) для нормальных жидкостей. Следовательно, в то
время как первый звук является волной сжатия, второй
звук — это волна энтропии. В моде первого звука
нормальная и сверхтекучая компоненты осциллируют в фазе. В
моде второго звука две жидкости, нормальная и
сверхтекучая, движутся навстречу друг другу таким образом, что
общая плотность остается однородной, т. е. бр = fipg -f
-j- fip„ = 0. Это может служить ответом на вопрос, как
можно возбуждать и наблюдать моду второго звука.
Согласно соотношению (4.206), при бр = О флуктуации
локальной температуры и переменной q эквивалентны, а именно
8T{r.t)= ~8qir,t). (10.82)
РСр
Поэтому если создать тепловой импульс на одном конце
сверхтекучего образца, то импульс температуры не убудет
медленно диффундировать оттуда, как это происходит в
любой нормальной жидкости. Скорее, импульс тепла
возбудит волну, которая быстро распространится через
образец со скоростью Cj — температурную волну. Все, что
нужно для экспериментального наблюдения второго звука, —
211

это резонансная полость, заполненная гелием, с
нагревателем на одной стенке и термометром на другой [96]. В
действительности, уже тот факт, что гелий при откачке ниже
Я-точки не кипит, является, как отмечалось выше,
свидетельством существования температурных волн,
10.6. ДИССИПАЦИЯ
Учтем теперь вклады от матрицы затухания 2 {kz) =
= ст {kz) %~^ (k) из уравнения (5.28). Как было показано,
для Стцу (kz) в общем случае имеется формальное
представление
o^^v(Ь) = p<^Л^^(^)
Q-
z-QLQ
Q
A^ik)
\
(10.83)
в котором проекционный оператор Q исключает
флуктуации всех шести гидродинамических переменных р, 9. g и
ф"" или Vg. В то время как пять первых подчиняются
обычным уравнениям непрерывности (4.7), для функции Vs (rt)
имеет место закон квазисохранения:
а,у(лО~У^Ф«''(лО = о
или
Ve(^fe)=—ik—ф«''(^)
(10.84)
в соответствии с ее определением. Очевидно, фазовый
оператор ф"" (/", t) не сохраняется; если в дальнейшем анализе
пользоваться функцией ф"", а не v», то можно увидеть,
что соответствующий вклад в 2^^ (fe) в точности порядка
)^ из-за расходящейся восприимчивости (10.61).
Уравнение (10.84) является удобным выражением этого факта.
Ясно поэтому, что все элементы Стцу (fe) имеют порядок ^*.
Для г = iO они могут быть представлены в виде
хГ О О
cTj.v(^JO) = ^''
(10.85)
в низшем приближении по^, где индексы столбцов и строк —
это соответственно q, gj и Vs- Все матричные элементы, свя-
2К

занные с плотностью р, тождественно равны нулю.
Коэффициенты в выражении (10.85) все вещественны и
ограничены условиями
X > 0; О 0; Сз > 0; S, ^з > 1х 1^ (10.86)
и соотношением Онсагера
Si = ^4- (10.87)
Мы уже не в первый раз пользуемся матрицами памяти,
так что для пояснения выражения (10.85) хватит
нескольких коротких замечаний.
1. Так как Стцу (fe), а потому и S^v (fe) определенно
являются величинами порядка ^*, то зависимость от z может
внести вклады только более высокого порядка и поэтому
в гидродинамическом приближении Стцу (fe) можно
заменить на CTjiv (^, 0). Из-за наличия проекционного
оператора Q в выражении (10.83) следует ожидать, что ct^v (^z)
будет гладкой функцией z для малых г.
2. Так как р = ikg;, а величина g; сама по себе
сохраняется и поэтому устраняется проекционным оператором
Q, то получаем Q|p(^)> = 0. Читатель должен припомнить
несколько более утомительное рассуждение из разд. 4.6
[см. уравнения (4.61) и (4.62)], чтобы доказать, что здесь
отсутствуют коэффициенты переноса, относящиеся к
плотности частиц. Причиной этого, как и прежде, является
сохранение импульса.
3. Матричные элементы ст,^^ и ст,о^ должны быть
нечетными функциями k из-за их свойств по отношению к
пространственной инверсии и иметь по крайней мере порядок ^
в силу законов сохранения. В итоге это — элементы
порядка ti^ или выше, не участвующие в гидродинамическом {^k^)
приближении.
4. Условия (10.86) и (10.87)"" являются следствиями
свойств общей симметрии и положительности матрицы
Стцу (^(о), описываемых формулами (5.31) и (5.32). Заметив,
что Vs \г{) — нечетная функция относительно обращения
как времени, так и пространственных координат, читатель
без труда проверит это. Читатель может также заметить,
что вопреки распространенному мнению сверхтекучесть
не обладает нулевой вязкостью. В действительности вместо
двух вязкостей т] и ? в нормальной жидкости для полного
описания транспортных свойств сверхтекучего *Не
необходимы четыре коэффициента вязкости и еще, как обычно,
213

коэффициент теплопроводности. Коэффициент г\ в
выражении (10.85) является обычной сдвиговой вязкостью.
Поперечная функция памяти с точностью до k^ выражается
через Ti:
%stik,i0)=k^r\. (10.88)
На основе свойств симметрии вязкого тензора
напряжений, можно показать, что не только С2 + -тЛ. но и ^2 —
величина положительная.
Теперь можно подставить o^^^ в основное уравнение
(5.28) и вывести гидродинамические выражения для всех
интересующих нас корреляционных функций. Конечно,
это трудоемкая процедура. Поэтому мы предоставим
терпеливому читателю упражняться в обращении матриц и
приведем лишь наиболее важные результаты [51].
Корреляционные функции имеют полюса в точках, где выражение
^(kz) = {z^—c^k^' + ik^zDl){z^—clk + ik^'zD^) (10.89)
обращается в нуль. Здесь константы, характеризующие
поглощение, следующие:
^i'+i>2- —+(С2+4т1)/рп+—(pS3-2Ci);
(10.90а)
^^+■^^^2^гs^
РСр Рп Р L
pcv \ дТ /pj р„ р„ I. рс„ \дТ }р\
(10.906)
где с1 и с1 даются формулой (10.796) и использовано
обозначение с^ = (ф/ф)^. При гелиевых температурах, когда с
большой точностью Ср fn Ср, эти формулы упрощаются:
^1= (ф2+|-лУр;
Читателям, для которых эти выражения слишком
туманны, следует пропустить несколько следующих страниц.
214

Для остальных приводим несколько корреляционных
функций. Функция плотности продольного импульса:
+ ik^z{D^ + D,-yp)l^. (10.92)
Добавим без дальнейших церемоний и ее поперечный
аналог. Так как сверхтекучий порядок в *Не чисто
продольный, поперечная корреляционная функция такая же, как
в нормальной жидкости, т. е.
Q,g,(b) = ip-Vn ^.1 , . ' (10.93)
Впрочем, есть и различие. На месте р в выражении (4.39)
здесь появилась величина р„ — вследствие правила сумм
(10.18); различие невелико, но оно относится именно к тем
различиям, из которых мы, в известной мере, выводим все
другие характеристики макроскопической сверхтекучести.
! Функция корреляции плотности Срр (kz) может быть
найдена из соотношения (10.92), так как
I
г^Срр {kz) -k^ Cg^g^ (kz) = ip-i гхрр (k) ~ 'ф-^ zp (-^B-j^,
(10.94)
где последнее равенство пригодно для малых k. Уравнение
(10.94) есть просто закон сохранения массы. Функция
автокорреляции сверхтекучей скорости:
Р"^ Г,2 fc2- / 9п „2 г Pi ^*^ -Р»
С„„ {kz)= 'Р"^ Iz^—k'z
C^-U-t-i ' " t'"
Р Со Рп
2Tsps
рЧСв V 5Г/р/ р рср\
(10.95)
а Cg „ определяется выражением
^'"' ^ ' ^ л (kz) [ [с„ рп 9Cv \ дТ jpj
+ik\D^ + D^-^. (10.96)
215

Заметим, что
zCpv^{kz) = kCg^v^{kz). (10.97)
Наконец, функция автокорреляции плотности
энтропии q, описывающая распространение температурных волн,
имеет вид
+ ik^z^(Di + D^~^ — ik^y-^]. (10.98)
\ РСр/ PnJ
4
Здесь у — линейная комбинация Ci, Сз иС2+-з'ПС
довольно громоздкими коэффициентами из термодинамических
производных.
Все эти выражения, применимые, как обычно, для
1тг>0, являются асимптотически-строгими в том
смысле, который был отмечен в уравнении (4.43). Если на
практике использовать C^v (kz), чтобы, например, вычислить
0-1 Хрр (koi) = р Re Срр (k, 0 -fie), (10.99)
то гидродинамические выражения будут справедливы для
^/ <^ 1 и ©т <^ 1. Это последнее ограничение является очень
жестким для гелия. Время столкновений т определяется
взаимодействием элементарных возбуждений (ротонов и
фононов); при температуре 1 К плотности фононов и'рото-
нов столь малы, что время т становится довольно большим:
т та 10"* с. Заметим также в этой связи, что при Т =
= 7^, л* 2,18 К Рп = Р и р„/р быстро уменьшается с
понижением температуры. При Т = 1,5 К pjp = 0,11, а при
1,1 К Рп/р !^ 0,015 (в книге [34] приведено несколько
полезных таблиц). При Т = О рп = 0. Даже при таком
предостережении J гидродинамические формулы интересны.
Читатель заметит, что выше Т^,, когда р^ = О, все
выражения, приведенные нами, совпадают с полученными в гл. 4
для нормальной жидкости при использовании совсем
другой техники. Особый интерес в сверхтекучем гелии
представляет функция С„ р . Так как оператор фазы ф"" (г) и,
следовательно, скорость сверхтекучего движения Vj (г)
являются линейными функциями от полевых операторов ф (г)
И'Ф"'" (г), то можно найти выражение для полевой корреля-
216

ционной функции G (kz) . Обычное определение последней
141:
^Cd^ c^^^^,^,t-n + M.-.-)j^^j^^^^ (10.100а)
J 2п J (2п)з
C{kz)-=[^^^^. (10.1006)
J 2п г —(В
Она важна тем, что дает большую информацию о
гидродинамике и др. Используя выражение(10.55) и припоминая,
что функция п°" (г) быстро убывает с ростом г и ею можно
пренебречь по сравнению с ф"" (г), получаем
G{kz)= 4^^y,^zCv^vSk2)+\l9s], (10.101)
где опущены только члены порядка ^^ по отношению к
приведенным. При микроскопическом рассмотрении эти
члены важны; заметим, что функция (10.101) неспособна
удовлетворить фундаментальному правилу сумм [^соЛ {к(л)=2п,
ибо она дает для А {kai) нечетную по со аппроксимацию.
Результат, подобный (10.101), но более удачный, был
предложен Хоенбергом и Мартином [51]. При z = О, когда
выражение (10.101) приемлемо, оно приводит к равенству
d^ Л(М __(пФ)1^п,. (10.101а)
[
2яй ш рз k^
Это соотношение между плотностью конденсата п^,
сверхтекучей плотностью ps и спектральной функцией
флуктуации А (ko)) получено Джозефсоном [53]. Мы вернемся к
выражению (10.101а) ниже, в разд. 10.9, где будет
обсуждаться одно из его интересных следствий: невозможность бо-
зе-конденсации в двумерных системах.
10.7. СООТНОШЕНИЯ КУБО
Кроме производных термодинамических величин и
плотности массы сверхтекучей компоненты ps приведенные выше
гидродинамические уравнения содержат пять диссипатив-
ных коэффициентов: теплопроводности х, сдвиговой
вязкости г\ и три коэффициента продольной вязкости Сг. Сз и
Ci = С4. Как обычно, эти коэффициенты могут быть
строго получены как предельные значения корреляционных
217

функций. Ниже приведены соответствующие формулы Ку-
бо:
кТ = ПтПт~'^д{ка); (10.102а)
Т1= limlim -^-%t{kio); (10.1026)
t2 + ^r\ = \irnnm^Xi{ka>), (10.102в)
Сз = limlim-^ X«,t,,(M; (10.102Г)
a-»- 0 ft-» 0 «" *
С1 = ф4 = limlim-^Хй^ДМ- (10.102Д)
fi)-»oft-»0 k^ ' *
Вывод этих выражений из результатов последнего раздела
не должен представить затруднения для читателя. Кроме
того, мы можем использовать определения диссипативных
коэффициентов в терминах функций памяти a^v.
например
кТ = lim lim — Re ст. „ (k, © -f iO). (10.103)
fi)_»Oft-»0 k^
Последнее соотношение содержит проекционный оператор
Q [см. выражение (10.83)]. Однако от Q можно избавиться
с помощью общей формулы (5.58), имеющей очевидный
матричный эквивалент. Как и в случае нормальных жидкостей,
формулы для ^2 и т! объединены в соотношение (4.596), из
которого следует, что не только Т1 и Сг + -тЛ. но и
коэффициент вязкости ^2 в отдельности — положительные
величины. Более того, вследствие равенства
limlim-^^ Хрр(М = lim Ит-5^ХрЛМ = 0 (10.104)
(O-»-0ft-»-0 k^ й)-»-0 ft-»-о k^
плотность энтропии q в выражении (10.102а) может быть
заменена плотностью энергии е. Наконец, равенства
limlim^ X;g,(M= limlim-^x4(^'^) = О (^-Ю^)
a)-»Oft-»o k^ u)->-Oft-»0 k^ *
выражают общее утверждение Онсагера—Казимира о том,
что не существует диссипативных коэффициентов, которые
связывают величины противоположной четности
относительно отражения времени.
Причина того, почему все эти соотношения имеют ту же
формальную структуру, как и в нормальных системах, за-
218

ключается в том, что мы использовали псевдосохраняющую-
ся скорость сверхтекучего движения у"", а не квантовый
оператор фазы ф"", который имеет больший смысл при
микроскопическом описании. Применяя последний, мы
получаем, например,
Сз1= f—Ylimlimcox^<p(^), (10.106)
\ т j й)->.о k-t- о
где показано уже знакомое исчезновение фактора \lk}
вследствие того, что ф"" (г, /) есть переменная восстановления
симметрии, а не сохраняющаяся величина.
Мы перечислили ряд термодинамических правил сумм
в предыдущих разделах и не будем повторять их здесь.
Достаточно сказать, что выражения (10.92)—(10.98),
конечно, согласуются со всеми правилами сумм, которые
можно получить из соотношений (10.71) и (10.92).
Дополнительные правила сумм могут быть выведены и
использованы в интерполяционных схемах (см., например, [54, 94])
таким же образом, как было предложено в разд. 4.8.
10.8. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ
ДВУХЖИДКОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Гидродинамику обычно анализируют с помощью
уравнений движения для неравновесных плотностей б <р(г/)>=
= <Р ('■0>неравн—<Р>равн. как МЫ делали для
нормальных жидкостей в разд. 4.1. Хотя прямой путь к
гидродинамическим корреляционным функциям,
использованный здесь, и обладает очевидными преимуществами, имеет
смысл вспомнить и обычную формулировку 19, 36]. Наши
вычисления дают только линеаризованные уравнения
гидродинамики, хотя для гелия, как показано в работе [51],
нетрудно вывести при микроскопическом подходе и те
нелинейные дополнения, которые обычно используются.
Мы начнем с возвращения к теории линейного отклика.
Если рассматривать гамильтониан
ЬЖ(t)=-%d^rA^,(r) ба^"''"(г)е«'т1(-0. (10.107)
и
где Лц (г) теперь является полным набором
гидродинамических переменных:
{^^^^p.-z. g;v,}, (10.108)
219

a ба^йет — пока неизвестные] внешние силы, то itpH / = О
линейный отклик имеет согласно уравнению (3.9) вид
б (Ai,{r)y = x^v(^ = 0) баГ'" (г) (10.109)
в предположении, что внешние силы медленно изменяются
в пространстве. Поскольку известно, как
интерпретировать б < Лд>, и поскольку Xnv (0) выражаются через
производные от термодинамических величин, то уравнение
(10.109) может быть использовано для выявления смысла
внешних сил. Например, ба^неш — §рвнеш/р — зто
созданный внешним воздействием избыток давления, так как
согласно выражению (10.109)
б<р>=р(-|-)^баГ"= (-^)//'^'"=" . (10-110)
когда все другие силы отсутствуют.
Это наводит на мысль дать определение внутренних
зависящих от времени и координат динамических сил ба^ (rt)
в виде соотношения
ба^ (rt) =^ xiTv (^ = 0) б < Л^ (г/)>. (10.111)
Если мы запишем
бар (г, /) = р-1бр(г, /); 8ад{г, t):^-T-^ 8Т (г, t), 10.112)
то определение (10.111) гарантирует, что эти символы имеют
их обычный термодинамический смысл, когда изменения в
пространстве и времени происходят медленно. Далее, если
определить 6vn как
6<g(^0> = Pn6v„(^0 + P.6v,(r/), (10.113)
где 8vs = б < v^") является чисто продольной
величиной, то получим
,6a^(r/) = 6v„(r/);
бЧИ=РЛбУз(г/)-бу„,(г/)]. (10.114)
Для моментов времени / > О отклик на внешний
гамильтониан (10.107) имеет вид
б <Л^()fez)> = pC^v {kz)8a^'^"^ik), (10.115)
что совпадает с уравнением (3.14) [преобразования Фурье—
Лапласа определены согласно уравнению (3.12)]. Для ма-
220

Лых k и г эти величины удовлетворяют ураЁнеНйяМ
= 1б<Л^(^,/=0)>. (10.116)
Запишем теперь эти уравнения в их обычной форме,
начиная с уравнений непрерывности:
dtp + \g = 0; (10.117а)
dtgi + Wjri, = 0; (10.1176)
a,e + Vp = 0; (10.117b)
д^<,v,У + m-^\ц'^°^^ = 0. .(10.117г)
В последнем уравнении отражено только определение v^
как градиента. Система (10.116) устанавливает
соотношения между токами и внутренними силами. Величины co^v
соответствуют обратимой реакции, тогда как ct^v
описывают необратимые процессы. Используя уравнения (10.72)
и (10.85), находим
б <f > = Ws (Vs-v„) +(ii + Ts) pv„-xVT ; (10.118a)
~r\^Vi^nj+'^jVnt-~-8ij\-Vn\ ; (10.1186)
— 6r°«= — 6fi-C3Vp,(v3-v„)-C4V-v„. (10.118b)
mm
Локальное давление и химический потенциал,
фигурирующие здесь, отклоняются от их равновесных значений на
8р (rt) (10.112) и на (p/m)6[i == бр — ps6T. (Мы не
последовали обычаю обозначать через ц химический потенциал
единицы массы и расплатились за это появлением
множителей т.) Уравнения (10.117), (10.118) являются
стандартными (линеаризованными) двухжидкостными
уравнениями гидродинамики сверхтекучести. В книге [9]
Халатников применяет их в разнообразных ситуациях.
10.9. ОТСУТСТВИЕ БОЗЕ-КОНДЕНСАЦИИ
В ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
Конечно, даже эта затянувшаяся уже глава
несправедливо скупа по отношению к богатому разнообразию
явлений, наблюдаемых в сверхтекучем гелии. Мы даже не
упоминали о природе низколежащих элементарных возбужде-
221

НИИ, продольных фононов и ротонов, в терминах которых
формулируется теория Ландау. Спектр этих возбуждений
выводится, даже без детального микроскопического
расчета, из правил сумм, неявно содержащихся в уравнении
(10.71) [93, 94], и, будучи установленным, определяет
термодинамические свойства *Не при низкой температуре. Для
ознакомления со многими другими проблемами —
упомянем, как одну из самых красивых, проблему вихревых
линий и колец с квантованной циркуляцией — читатель
должен обратиться к другим книгам. Прекрасная, но, увы,
не опубликованная трактовка многих аспектов
сверхтекучей бозе-жидкости была дана Нозьером и Пайнсом [87]
(см. также [93]).
Имеется, однако, один результат, который прямо
подходит к теме данной главы. Как показал Хоенберг [52], бо-
зе-конденсация может осуществляться в трехмерных
системах, но она динамически нестабильна в двумерном мире.
Доказательство основано на неравенстве Боголюбова, из
которого мы получили, что Хфф (k) расходится по крайней
мере на l/k^ при ^ -^ О, если <\))> Ф 0. Если мы
сможем доказать, что величина По J ^^Хфф (^) Должна быть
конечной в термодинамической системе, то тем самым
исключим условие <г|з> Ф О для двух измерений, где интеграл
содержит расходящиеся на малых k вклады. Для
аккуратного доказательства полезно ввести величины
:4(г-г',/-/') = <[ф(г/),ф+(г'/')]>, (10.119)
Ф(г-г',/-/')=. ±<{^(г/),^,+ (г'/'))>-,г„ (10.120)
и их преобразования Фурье А (koa) и ф (^со). В этих
выражениях используется модифицированный гамильтониан
^ = Я —[хЛ^-|^г[т1*(г)г|)(г) + т1(г)г|)+(г)], (10.121)
определяющий обычным образом зависимость от времени:
г|)(г,/) = е^ 1}Ч/')е '^ . (10.122)
Все это нужно в основном для формального удобства. В
соответствии с предложенным определением, среднее по ti-
ансамблю <\|) (г/)> = п[1^ не зависит от времени, тогда
как <г|з (г/)> = n^J'^e-^^^^'^ зависит от / даже при "П-^ О,
что должен заметить бдительный читатель. Более того, с
222

учетом уравнения (10.122) мы, не меняя курса
доказательства, точно так же, как в разд. 3.5, убеждаемся, что флук-
туационно-диссипационная теорема
ф(^Ь(о)=Л-сШ(Й0р/2)Л(М (10.123)
имеет место и в -п-ансамбле. Так как ф (ka) является,
очевидно, положительной величиной, то отсюда следует, что
и о)Л (^со) ^ 0. Точно так же, как в разд . 7.3, мы находим
неравенства Боголюбова и среди них
I Р «" ^„ ,
0-1А (коз):
а
2пй ^ ' " С da ~„
\ Щпп(ка)
(10.124)
где тильда указывает, что плотность частиц п (rt) в этих
членах тоже имеет временную зависимость (10.122).
Читатель легко убедится, что последнее не меняет правил сумм
в правой части (10.124), и поэтому найдет, что
'^^ 0-1Л(М>-^^^^1<1'>1^- (10.125)
I
2nft ^ ' k'^p
Это по существу то же самое утверждение, что и (10.61) или
(10.101а). Если мы введем определение
n(k) = Jd(r-r')e-'Mr-r')[(^+(r')n,(r)>-„„], (10.126)
то станет ясно, что
(10.127)
где использована теорема (10.123) и тот факт, что л; cth л; ^
^ 1 для всех X. Усредненная плотность частиц п =
= <г|)+ (г)\|) (г)> находится теперь обращением (10.126):
d'^k
Г d^k n^^ С d"
п—п^= г "W=
J (2П)'' J (2я
X
X
'•^''^'"^'^^'<г^>Р—^1 (10.128)
pk^ 2
ДЛЯ d измерений. Для трех измерений интеграл в
выражении (10.128) имеет конечную величину. В случае двух из-
223

мерений, однако, он пропорционален 'j^dklk и
логарифмически расходится при малых k. (Так как /г (^) ^ О для всех
k, то вычитание члена 1/2 не устраняет расходимости.) Но
величина п — п^ является конечной. Единственный
выход — потребовать выполнения условия <г|)> = 0:
длинноволновые флуктуации в двух измерениях столь сильны,
что разрушают конденсат.
Заключительное замечание. Мы встретились с двумя
определениями сверхтекучей плотности р^. Первое из них,
выраженное соотношением (10.18), является, несомненно,
тем, к чему можно относить результаты экспериментов по
вращению гелия или по измерению скорости второго
звука. Определение Джозефсона (10.101а) извлекает р^ из
одночастичной спектральной функции А(к(л), т. е., по
существу, из спектра элементарных возбуждений. Являются
ли эти два определения строго эквивалентными? Ответ
отнюдь не очевиден; насколько известно автору, он не был
дан в опубликованной литературе. По-видимому, полезно
суммировать доказательства этой эквивалентности,
которые даются соотношениями (10.58)—(10.66). В них
содержатся три элемента: а) утверждение, что имеется скалярная
переменная восстановления симметрии ф"" (г),
обладающая флуктуациями большой длины, как в уравнении
(10.61); б) утверждение, что все другие корреляции имеют
малую длину, в частности что <^,- {r)Qgj (г')> является
короткодействующей, где Q — проекционный оператор,
устраняющий флуктуации ф"", как в уравнении (10.66а);
в) утверждение, что ф"" (г) линейно выражается через
фундаментальный полевой оператор 1|з (г), а именно что
ф"" (г) в микроскопическом подходе дается выражением
(10.55а). Трудность связана с комбинированием пунктов
«б» и «в», и, хотя в этой связи была проделана некоторая
работа и достигнут некоторый успех, нельзя считать, что
вопрос решен, в частности, для конечных температур.
Укажем источник затруднений: возможно, что оператор ф"",
который удовлетворяет требованиям «а» и «б», не является
строго линейным по г|з, но содержит вдобавок примесы|з*.
Это не повлияет на определение (10.18) Ps в терминах
корреляций токов.^но скажется на соотношении (10.101а).
Заметим, однако, что наши гидродинамические результаты
не зависят от микроскопического выражения для ф"".

Глава 11
НЕМАТИЧЕСКИЕ ЖИДКИЕ КРИСТАЛЛЫ
Вода — это газ при высоких температурах, жидкость
между 100 и 0° С и твердый лед при температуре -< 0° С.
В жидкой и газовой фазах молекулы Н^О свободно
перемещаются и вращаются, тогда как в твердом состоянии
трансляционные и вращательные степени свободы
заморожены, за исключением малых колебаний. Однако не все
вещества охватываются этой простой схемой. Например,
молекулы метана столь близки по форме к сферичеЬким, что
продолжают свободно вращаться даже в твердой фазе до
тех пор, пока при очень низкой температуре (-~20 К) не
осуществится второе замораживание — ориентационный
переход.
Жидкие кристаллы—это системы, составленные из
удлиненных органических молекул, в которых имеет место
особая последовательность фаз. Классическим примером
служит параазоксианизол (ПАЛ), химическое строение
которого изображено на рис. 11.1. Выше 135° С при
атмосферном давлении ПАА является нормальной изотропной
жидкостью, тогда как ниже 116° С — твердым веществом. В
промежуточной области температур ПАА образует
«мезоморфную фазу» — нематический жидкий кристалл.
Феноменологически жидкокристаллические фазы являются
жидкостью; например, нематики текут, как жидкости. Однако
они не изотропны. Электрические, магнитные и
механические свойства нематической мезофазы чрезвычайно
анизотропны — в большой степени одноосны. Наше теперешнее
представление о структуре нематика показано на рис. 11.2.
Молекулы ПАА подобны палочкам с длиной и шириной
приблизительно 20 и 5 А. В изотропной жидкости эти
палочки размещены и ориентированы случайным образом (см.
рис. 11.2, а), возможны лишь ближние корреляции,
молекулы переносятся и вращаются хаотически. В нематической
фазе (см. рис. 11.2, б) центры масс по-прежнему распола-
СН,-0-(^ \\ н=П е Л-О-СН;
Рис. 1М
8 Зак. 1568 225

--
\
\
/
l\
\ ^
, /
\
Рис. 11.2
гаются произвольно и молекулы трансляционно
передвигаются, как в нормальной жидкости. Однако оси молекул
выстроены, по крайней мере в среднем, вдоль некоторого
общего направления п, как в обычном кристалле. В отличие
от твердого тела, в нематике отсутствует трансляционный
порядок. Но в отличие от обычной жидкости, здесь
имеется ориентационный порядок.
Нематическая структура не является единственной,
обнаруженной в жидкокристаллических системах.
Существуют холестерики, в которых оси молекул
располагаются геликоидально, и несколько классов смектиков,
имеющих также некоторую степень трансляционного порядка.
Мы не рассматриваем их здесь, а отсылаем интересующихся
к прекрасной книге де Жена [2] и недавнему обзору [98].
Даже обсуждение одних нематиков было бы бесконечно
долгим. Как, например, в случае гелия не были
рассмотрены вихревые нити и кольца, так и здесь не рассматриваются
нитевидные макроскопические дефекты — «линии дискли-
нации», от которых нематики получили свое название
{vx\\ia — в переводе с греческого означает нить).
Обсуждены будут только гидродинамические свойства нематиков и
микроскопические принципы, из которых они следуют.
Этот подход основан на работе [42] (см. также [41]).
Холестерики, смектики и твердые кристаллы были рассмотрены
в работе [78].
11.1. СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ ИСКАЖЕНИЯ
В равновесии все молекулы выстроены в среднем вдоль
некоторого общего направления п. Что определяет это
направление? Очевидно, энергия взаимодействия между
молекулами инвариантна к вращениям. (Здесь имеется отли-
226

чие от изотропного ферромагнетика с гамиЛьтОнИанОМ
(7.19). Взаимодействие между двумя молекулами ПАА
изменяется, если мы просто поворачиваем их оси.
Инвариантно оно только тогда, когда мы, кроме того, поворачиваем
положения их центров масс.) Поэтому направление п должно
определяться внешними причинами — граничными
условиями или внешними полями. В частности, для
одноосного расположения, показанного на рис. 11.2, б, тензор в
магнитной восприимчивости должен иметь вид
%ij = X\\ninjAr%_L{8ij—ninj) (11.1)
и, следовательно, магнитная часть свободной энергии
единицы объема должна быть
(11.2)
где Ха ~ Xii — Хх — анизотропная часть %ц, обычно
положительная. В постоянном магнитном поле Н величина FJf^
минимальна, если единичный вектор п параллелен Н.
Это означает также, что медленно меняющееся
магнитное поле Н (г) искажает единообразную ориентацию.
Такое искажение будет, разумеется, вызывать внутренние
термодинамические силы, которые возвращали бы систему
к единообразию, если бы не были сбалансированы
магнитными силами [см. уравнение (11.2)]. Феноменологически
искажение можно описать с помощью изменяющегося в
пространстве единичного вектора п (г), называемого
«директором», и если п (г) в молекулярном масштабе изменяется
медленно, то мы можем получить выражение для свободной
энергии искажения, собрав все члены не более чем второго
порядка uoVitij, совместимые с одноосной симметрией.
Возможные вклады, кроме того, ограничены еще двумя
видами симметрии. Во-первых, нематики инвариантны
относительно замены г-^—г. Во-вторых, состояния пи — п
физически тождественны. В молекуле ПАА нельзя
отличить хвост от головы (см. рис. 11.1). Даже системы,
подобные МББА, с устрашающим химическим наименованием
Л^-(р-метоксибензилидин)-р-бутиланилин, молекулы
которых не являются полностью симметричными, обладают
симметрией относительно «верха» и «низа». При учете этих
видов симметрии мы имеем только три скаляра, которые
могут быть составлены из квадратичных по У;Иу членов. Они
даются первыми тремя слагаемыми в выражении для cbq-
8* 227

бодной энергий;
8F = -^^d^r[Ki (div /г)2 + ЛГг (n • rot n)" +
+ K3(nxrotnn—i-JdVXa(H-n)2. (11.3)
Три константы Id, i = 1, 2, 3, должны быть
положительными, чтобы обеспечить рост свободной энергии при
искажении. Мы выписали также вклад магнитного поля Н (г),
опустив, однако, первый член в уравнении (11.2), который
не зависит от направления молекул. Выражение (11.3)
является основной формулой в континуальной теории не-
матиков [45]. Используя результаты этой теории (см. [2]),
можно из экспериментальных данных определить три
упругие константы Ki, обычно называемые коэффициентами
Франка. Было найдено, что они приблизительно
одинаковы и по величине: -^10"" дин.
Что выражает формула (11.3) в терминах
корреляционных функций? Давайте сначала порассуждаем.
Предположим, что можно найти некоторый локальный
микроскопический вектор п"" (г), среднее значение которого есть
макроскопический директор п (г). Если для малых отклонений
от единого направления п (г) = п" + бп (г), то бп должно
быть ортогонально к п", чтобы обеспечить сохранение
модуля п^ = 1. Таким образом, бп имеет только две
поперечные (относительно п") компоненты. Рассуждая далее так
же, как мы делали после равенства (7.73), без труда
получаем, что во втором порядке по бп(г) общее выражение для
свободной энергии искажения имеет вид
bF = ^'\^d?r'j^d^r'b^{s)Kij{S-r')bnj(r'), (11.4)
где при суммировании i и / принимает лишь значения 1
2, если п" выбран в направлении z; Кц (г — г') —
матрица, обратная матрице статической восприимчивости
%п1п: (г — г') операторов п"" (г), oпp^eдeлeннoй обычным
образом [см. соотношение (3.4)]. В простейшей
координатной системе вектор п" параллелен оеи 3, а волновой
вектор к лежит в плоскости 1—3. Из сравнения выражений
(11.4) и (11.3) находим, что в отсутствие магнитного поля
Х...ЛЮ- „ ,, ' ,, ; (11-5а)
Х'..«Лк) = ——^—— . (11-56)
К, kl
228

другими Словами, мы получили, что для малых k в ориен-
тационно упорядоченной системе восприимчивость
директора расходится как llk"^. Этот результат будет отправным
пунктом для нашей теории гидродинамических
флуктуации в нематиках.
Расходимость Mk"^ появилась в теории, конечно,
вследствие требования, чтобы свободная энергия не зависела от
направления п", вдоль которого ориентировались
молекулы. В присутствии внешнего магнитного поля Н конечной
величины, параллельного п", получаем
Ум.пЛ^) = \КЛ\-\-К,Н+х,НЦ-\ (11.6)
ибо теперь необходимо затратить энергию, чтобы довернуть
п". Выражение (11.6) позволяет определить длину
когерентности I (Н) как
где К — некоторое среднее от Ki- В реальном пространстве
корреляции директора изменяются по закону
<'г1(г)/г1(0)>~^Ц^е--/£ (11.8)
4л/-
ДЛЯ больших расстояний и как \1г в свободном от поля
случае.
Свободная энергия Франка (11.3) содержит в себе
возможность интересной альтернативы. Равновесный директор
п" может быть фиксирован, например, специальной
обработкой поверхности сосуда, в котором помещен нематик.
Предположим снова, что п" направлен вдоль оси 3, но
что внешнее поле Н теперь параллельно оси 1. В этом
случае из уравнений (11.4) и (11.3) находим, что
tn.nA^) = {Kxk\ + K^xl-t,H^Y\ (11.9)
Восприимчивость Xninj(l^) должна, конечно, быть
положительной в устойчивой системе, но уравнение (11.9) нарушает
это условие для k> kc = l~■^ (Я) (предполагаем, что
Ki ~ /Сз)- Результатом является переход в состояние, в
котором п" уже не будет постоянным в пространстве. Это так
называемый переход Фредерикса (см. [2]), который
обладает рядом свойств фазового перехода. Он может быть,
например, использован для измерения коэффициентов
Франка.
229

11.2. ПАРАМЕТР ПОРЯДКА
Во всех предыдущих примерах мы характеризовали
упорядоченное состояние параметром порядка, значение
которого, не равное нулю, выделяет конкретное состояние
упорядоченной системы. Поначалу представляется, что в не-
матиках должна быть молекулярная векторная
переменная, скажем п"" (г), среднее значение которой (п"" (г)>
равно нулю в изотропной жидкости, но отлично от нуля и
пропорционально п" в мезофазе. Однако так как молекулы,
подобные ПАА, имеют центр симметрии (ответственный
за эквивалентность п" и —п"), то не существует
молекулярного вектора с не равным нулю средним значением.
Другая возможность заключается в выборе тензорного
параметра порядка. Если Rij (г) является симметричным
бесследовым тензором второго ранга, то его среднее значение
должно обращаться в нуль в изотропной системе, а в
одноосной системе оно равно
<Ru{r)y=pS(^n?nr-j-8,j^, (11.10)
где S = S (Т^ Ф О и р — плотность массы. (Более общим
будет двухосное состояние, в котором не только длинные
оси молекул в среднем параллельны, но и плоскости
бензольных колец (см. рис. 11.1) тоже параллельны одна
другой. Однако двухосные нематики пока не были
обнаружены.) Соотношение (11.10) обладает симметрией к замене
п" -^ —п". Если предполагать, что молекулы жесткие,
то можно написать молекулярное выражение для Rij (г),
т. е. тензор момента инерции [71]
Ru{r)=^m-{lf If --^ 8,jy {Г-Г-), (11.11)
где I" — единичный вектор вдоль длинной оси а-й
молекулы, имеющей массу т" и центр массы в точке г". В этом
случае находим, что
S=A(cos2e°'—1/3>, (11-12)
где 9" — угол между 1" и преимущественным
направлением п". Легко обобщить выражение (11.11) на случай
нежестких молекул произвольной формы [33, 44]. При этом S из
соотношения (11.10) по-прежнему дается формулой (11.12)
с измененным численным множителем.
230

Какой вид симметрии нарушается в состоянии с
(Rij} Ф О? Очевидно, вращательная симметрия,
генерируемая оператором полного углового момента L. За
исключением градиентных членов, средние от которых
отсутствуют в однородной системе, тензорный характер Rij
выражается соотношением
■^\и, Rjk]-eiikRik + eiuiR.n- (11-13)
Удобно ввести компоненты локального вектора
ni{rt) = Ris(rt)/pS, n^irt) = R^^{rt)/pS (11.14)
для п" в направлении оси 3 или в общем случае П( = (б^^ —
— П{ п%) Rf^inf/pS. Тогда уравнение (11.13) принимает
вид
<[Li,nj{r)]y = ifietjknl. (11.15
Это аналогично выражению (7.53). Нарушенными симмет-
риями являются вращения вокруг осей 1 и 2, генерируемые
Li и La- Операторами восстановления симметрии служат
«1 ^ ^13 и «2 ~- i?23 соответственно, играющие роль
флуктуации директора. Читатель легко убедится, что средние
от выражения (11.13) обращаются в нуль для всех других
компонент. Rij.
Было бы заманчиво теперь продолжить в духе разд. 7.4,
т. е. доказать на основе неравенства Боголюбова, что
Хп-п- {/^) должно расходиться как l/k^ для малых k. Но это
невозможно сделать [99]. Трудность связана с тем, что
формально определенный оператор плотности углового
момента 1 (к) не является локальным оператором, а зависит
от начала отсчета координат, так, что, например, его
автокорреляционная функция растет с V как 1/^/^. Из
уравнений (11.15) и (7.60) следует, что
,„^„^.(,^-0)>^^=оо (11.16)
при & = О, но мы не можем доказать большего, ибо
<k{-k)'l2{k)y- ^bTJ^oXmJM (11-17)
не является величиной порядка k^ при & ->• 0. Чтобы
получить (11.16), мы использовали выражение (11.15) и
полагались на интуитивное допущение, что молекулярные
переменные Ra {г) достаточно локальны, чтобы %пХ ока-
231

залась короткодействующей функцией. Соответствующее
обсуждение уже было проведено в конце разд. 7.5.
Читатель должен теперь понять, почему мы начали анализ с
рассмотрения макроскопического, внушающего доверие
и экспериментально проверенного выражения (11.3) для
свободной энергии Франка, а не с изучения формальных
неравенств Боголюбова.
Кроме выявления причин, почему даже для тензорного
параметра порядка имеются только две переменные Ri^ и
R^s с расходящимися при &->-0 восприимчивостями,
проделанный анализ приносит еще один результат. В
отношении локальных свойств величины Ri^ и R23, конечно,
более важны, чем /ij и п^, которые формально обращаются
в бесконечность в изотропной фазе. Запишем поэтому
уравнение (11.5) в виде
5С/г,зЙ1з('^) = ,^ /саль2 I /к- /C24J.2 • (11.18)
в изотропной фазе x^.t^ia (^ ~ 0) является конечной
константой, которая добавляется к знаменателю в выражении
(11.18). Можно полагать, что отношения Ki/S^
определяются локальной структурой с ближним порядком,
которая не очень чувствительна к температуре. И
действительно, обнаружено, что коэффициенты Франка Ki
изменяются с температурой, приблизительно как Квадрат
параметра порядка S. Поскольку Kt имеют размерность
энергии, деленной на длину, то можно рассчитывать, что
разумной оценкой для Ki/S^ будет отношение энергии связи (или
температуры упорядочения ~-400 К » 6 • Ю"^* эрг) к
средней длине молекулы ~-1 им. Это дает Ki ~' 10~* дин,
т. е. приблизительно правильную оценку.
11.3. ИНТЕНСИВНОСТЬ РАССЕЯНИЯ СВЕТА
При охлаждении ПАА ниже температуры перехода из
изотропной в нематическую фазу Т^ «? 135° С
наблюдается поразительное явление: жидкость, которая была
совершенно прозрачной при температуре выше Т^,
становится, более или менее внезапно, мутной ниже Т^. По этой
причине Тс называется точкой прояснения. Первоначально
думали, что помутнение обусловлено сильным рассеянием Тин-
даля на квазикристаллических «толпах» молекул,
находящихся во взвешенном состоянии в жидкой фазе, Но это^не
232

так. Рассмотрим физические основания для йнтенсивИогО
рассеяния света в нематиках.
В гл. 4 и Приложении показано, что свет рассеивается
вследствие флуктуации 8si] {rt) локальной диэлектрической
постоянной. Основная формула (П.28) для интенсивности
рассеяния света с исходной частотой Q, волновым вектором
К, поляризацией i, конечной частотой Q — ю, волновым
вектором К — к и поляризацией j такова:
—С»
(11.19)
В уравнении (11.19) опущены некоторые кинематические
множители. В одноосном нематике и бег; имеет осевую
симметрию, что может быть записано в виде
бе,; (гО = бе(гО bij + abRi]{rt), (11.20)
где а — величина порядка молекулярной поляризуемости.
Опуская изотропный член в выражении (11.20) и
интегрируя уравнение (11.19) по всем частотам, находим полную
интенсивность рассеяния в направлении к:
/w(к) = J-g-/w(к, О)) = a46i?^i('-) 6i?i;(0)>(к).
(11.21а)
При использовании классической флуктуационно-дисси-
пационной теоремы (при 130° С ПАА определенно является
классической системой) это дает
//^/(к) = а«&БТ50?.^/?,.(к). (11.216)
В частности, для рассеяния света с деполяризацией от
исходного направления i вдоль оси 1 к конечному
направлению j вдоль оси 3, выбранной вдоль линии ориентации
молекул, находим
В изотропной жидкости, напротив, происходит только
рассеяние i -v i, обусловленное первым членом в уравнении
(11.20). Основной вклад в бе {rt) дают флуктуации плотно-
233

сти частиц Ьп (ri), и мы получаем
/изогр(к)> а'^^БГх„„(к)«а' = ^БГ/г(-|^)^. (11.23)
где а' = де/дп—также величина порядка молекулярной
поляризуемости. Отметим важное различие: /депол (к)
расходится как k"^ при ^ -^ О, тогда как /„зотр W имеет при
этом конечное значение. Их отношение порядка
депол
(k)//изoтp(k)-l/(Ь)^ (11.24)
где а имеет размерность длины. В молекулярной жидкости
имеются следующие характерные длины: размер молекул,
расстояние между ближайшими соседями, радиус действия
сил; все они примерно порядка 10 А. (Де Жен [2] приходит
к соотношению (11.24) посредством более аккуратных
оценок. В достаточно хаотической системе соображения
размерности — самые эффективные). Так как для оптических
длин волн k '^ 10~* А~^, то рассеяние в нематической
фазе примерно в миллион раз больше, чем в изотропной
фазе. В этом состоит причина помутнения нематиков.
Физически, как отметил де Жен, это связано с тем, что
длинноволновая модуляция е в обычной жидкости вызывается
однородной дилатацией, для чего требуется конечная
упругая энергия. В нематической же жидкости флуктуации е
могут быть созданы вращением оптических осей молекул, что
при почти однородном вращении, т. е. при ^ -^ О, требует
очень мало энергии.
После проведенного обсуждения должно быть ясно, что
помутнение жидких кристаллов не связано с «толпами»
молекул, а является свойством, присущим ориентационному
порядку. Основные результаты этого раздела: во-первых,
чрезвычайно интенсивное рассеяние для скрещенных
поляризаций I и j и, во-вторых, рост рассеяния с
уменьшением k, т. е. при рассеянии вперед. Эти результаты уже
были получены экспериментально Шателеном [29] и детально
проверены группой Орсе [90, 91].
11.4. ПОПЕРЕЧНЫЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ
ФЛУКТУАЦИИ
Продолжим теперь работу по составлению уравнений
движения для медленных длинноволновых флуктуации в
нематиках. Используемая процедура является
канонической (если допустимо употребление этого напыщенного слова
234

для рецептов, применявшихся в предыдущих десяти
главах): мы берем основную формулу (5.28) и находим
выражения для матриц Xnv. ^ц\ и а^^^ для малых k и z.
Гидродинамическими переменными служат, конечно,
сохраняющиеся плотности р, g и е массы, импульса и
энергии плюс две поперечные компоненты директора п^ и п^,
последние — как локальные переменные нарушения
симметрии с большими статическими флуктуациями при
малых k. Удобнее писать л^ и Mj. чем тензорные компоненты
Ri3 и i?23- Вновь используем координатную систему, в
которой п" направлен вдоль оси 3, а к лежит в плоскости 1—
3. Отметим прежде всего свойства симметрии
этих.переменных: rii и ^2 ведут себя как компоненты вектора при
вращениях вокруг оси 3 (единственная ось симметрии в задаче)
и являются четными при обращении времени и координат
и нечетными относительно дополнительной операции
симметрии п"-»-—п". Переменные р и е, как всегда, четны
относительно обращения времени и координат, а g
нечетна; все пять переменных четны к замене п" -^ п".
Читатель теперь легко проверит, что переменные разделяются
на две независимые группы без связей между ними:
{Лц; ц,= 1... 5} = {р, е, gg, gi, nj; (11.25а)
{А,,; ti = 6, 7} = {^2. «г}, (11.256)
В этом разделе мы рассмотрим полностью поперечные
переменные ^2 и «2 и их матрицу корреляции
С^А^) = {л^{к) -^ A^ik)\ (11.26)
\
г—L
'/
(^г, V = 6,7 ), определенную, как обычно, например,
соотношением (3.44).
Диагональная вследствие симметрии относительно
обращения времени (2 х 2)-матрица восприимчивостей в
низшем по k приближении такова:
Xj,v(^)=f^ ^ V (11.27)
Нематики не являются сверхтекучими, так что Xg,g (^) =
= р. Ненормированная частотная матрица co^jv (Ife) не
имеет диагональных компонент, также из-за временной
симметрии; ее недиагональные элементы определяются скобкой
Пуассона:
«g. п. (к) = (о„,.,Дк) = i <\gl{s\ П2 (г')]с. п.> (к). (11.28а)
235

Имея явное механическое выражение для параметра
порядка «2 W "^ ^23 W. такое, как (11.11), можно оценить эту
скобку Пуассона [43]. Во всяком случае, ясно, что
^g2 "г (^) исчезает при ^ -^ О, так как нематик обладает
трансляционной инвариантностью, и единственным
линейным по k выражением, совместимым с одноосной симметрией
(cog^n,—это элемент 2, 2, 3 тензора третьего ранга) и
с симметрией к отражению координат, является
«g.n.(^)=-t^2^3. (11.286)
где \i2 вещественно, но не обязательно положительно.
В предыдущих примерах мы систематически
пренебрегали матрицей памяти о^^^ в низших приближениях по k
и получали результаты, которые соответствовали
обратимости и были асимптотически-корректны для малых k.
Попробуем сделать так и здесь (как мы увидим, это
недопустимо). Из уравнений (11.28) и (11.27) для нормированной
частотной матрицы получаем
~ ~ \р-1 О
(11.29)
Из уравнения det [z — Q (k)] = О находим затем две моды
с интересным дисперсионным соотношением
г=+^'^(ф), (11.30а)
^(ф)==}^2К/^зС052ф + /С2 51пЧ)/р]1/2, (11.306)
где ф = (к, п") — угол распространения волны. Мы
обнаружили распространяющиеся волны типа спиновых волн
в ферромагнетике с анизотропной 'эффективной массой
в придачу. Эффектный результат.
Увы, дело обстоит иначе. Использовав только условия
сохранения импульса и несохранения директора, а также
симметрию, мы нашли, что а (kz) имеет вид
c,Ak,z) = h^''+J'''' "'^•^^) (1Ь31)
при Z = iO, опущены только члены относительного порядка
k^. Вследствие общего свойства (5.32) положительности
a|xv коэффициенты вязкости v^, V3 и вращательной
релаксации Ь, положительны, тогда как величина ]х вещественна,
236

но может иметь любой знак. Читатель сразу заметит, что
ц, включается в реактивные, а не в диссипативные
свойства нематиков. (Нетрудно показать, что матрица Q (k) в
выражении (5.28) не дает вкладов в диссипацию! Однако
2 (^г) может сказываться на обратимых процессах. Это
всегда имеет место на высоких частотах, а для нематиков,
кроме того, и в гидродинамической области.) В основной
формуле (5.28) встречается на самом деле только сумма
со (k) — ia (kz) и только сумма
ii, + i:=±(X + l) . (11.32)
входит в полную гидродинамическую теорию. Если
читатель теперь воспользуется уравнениями (11.31) и (11.27),
чтобы получить матрицу 2 (kz) ^ 2 {k, iO), то сможет
вычислить исправленные дисперсионные соотношения из
уравнения det [г — Q (k) + iS (^г)] = 0. Это приведет к одной
из двух возможностей, а именно
z = ±D'k^ ~T'k\ (11.33)
где D' и Г' — вещественные функции ф, или
г=-1А:ПГЛф) или Г^(Ф)], (11.34)
реализация которых зависит от условия
(?,+ l)2A_(|/(_v/p)2>0 или <0 (11.35)
Р
(для простоты опущена угловая зависимость). Фактически
в ПАА и всех других нематиках, изученных к настоящему
времени, v^ > Кр, так что экспериментально реализуется
второй случай. С учетом угловой зависимости
коэффициентов
К (ф) = /Сг sin^ ф + /Сз cos^ ф,
'^г(ф) = ^2 51п^ф+УзС05^ф (11.36)
константы затухания определяются соотношениями
r, + Tf = vJp + lK;
r.-r^ = (v,/p)|/C + 4-(>^+l)'—cos^. (11.37)
4 р
237

в ПАА сдвиговые вязкости v^ и Vg—величины порядка 0,1
пуаз (на порядок больше, чем вязкость воды).
Коэффициент 1,'^ также имеет размерность вязкости и тот же
порядок величины. Для типичных волновых чисел k « 10*-^:
-flO* см"^ получаем быстро релаксирующий процесс с
временем релаксации Xf ?» ( ?» 10~^ Ч- 10~* с и
медленно релаксирующий процесс с соответствующим
временем Ts л^ {k^K)"^ та 10"^ Ч- 10~* с. Первый — это в
сущности обычная сдвиговая диффузия, второй описывает
ориентационную диффузию флуктуации директора.
Следуя уравнению (5.28), можно вывести
гидродинамически строгие выражения для всех поперечных
корреляционных функций. Они представляются в виде
C„v(^= '^^ r^,■,{kz), (11.37а)
где
rn.nAkz) = iz + ik^vJp)/ipKn
rg,nAkz)^-^k{X+l)cos(plp. (11.376)
Так как Fj < Г/, эти результаты можно значительно
упростить для практического применения [90], но не будем
этого делать. Так как три корреляционные функции Xg^g,,
ХпгПг И xL"! вещественны, то их можно получить, взяв
вещественную часть от pC^v (k, а). В частности, функция
корреляции директора (^''^Хп^п^ (^,а»), которая
определяется из экспериментов по упругости и деполяризации при
рассеянии света, получается в виде
со ^ ' '^ ' [co2 + (fe2r,)2][co2 + (fe2r^)2] ^
Она удовлетворяет, конечно, термодинамическим правилам
сумм:
lim llm^! Г^Х;.пЛМ = 1//С2; (11.39а)
lim lim ^1 Г-^ х;.пЛМ=1//Сз. (11.396)
238

lim^3
k-^O
Она же приводит к соотношению Кубо для коэффициента
релаксации I, имеющего ожидаемую форму
^ = limlimcox;;,„,(M- (11-40)
Заметим, однако, что если воспользоваться уравнением
(11.37) для вычисления поперечной корреляционной
функции xLnj (^«»), то' окажется, что гидродинамически
корректный результат не удовлетворяет правилу сумм
'\^~i'LnAko^)^~\^2, (11-41)
полученному из соотношения (11.28). Соответствующий
интеграл при этом равен не [i^, как в уравнении'(11.41), а
1^2-\-\1 ~ -2 (^ +.1). Различие связано с тем, что
матричный элемент Og^^ {kz) обращается в нуль при г -^ iO и
поэтому не дает вклада в правило сумм; но он не исчезает
при z->-iO и, следовательно, проявляется в гидродинамике.
Или, другими словами, только обусловленная ^^2 часть
реактивной связи между ориентациями и сдвиговыми
напряжениями является мгновенной, как это было бы в
термодинамическом среднем поле. Часть, связанная с ^г,
оказывается мгновенной, только если система исследуется на низкой
частоте; \i фактически обусловлено столкновениями, для
которых требуется конечное время, чтобы они стали
эффективными. Величина ^^2 может быть определена из
равновесной статистической механики [43]. Чтобы вычислить \i
(чего еще никто не сделал) микроскопически, необходимо
решить кинетическое уравнение типа больцмановского.
Уместно и другое замечание. Мы отметили, что обе
поперечные моды в нематиках являются диффузионными
[см. уравнение (11.34)]; здесь нет сдвиговых волн в
строгом смысле этого слова. Поучительно, однако,
представить соотношения (11.37) в форме
(11.42а)
(11.426)
которая такова, что все числители положительны.
Функции (u~^tn,n, и (o-^xLg2 — это суперпозиции двух лорен-
239

цианов: узкого Г^ и широкого Гу. В (л-^%п^„., широкая
линия проявляется как фон (с отрицательным весом),
который трудно заметить. В «"^Xg^gj. однако,
положительная широкая компонента дает главный вклад, узкая же
линия (имеющая отрицательный вес) «вырывает на ней
ямку». Это показано на рис. 11.3, где для наглядности
масштабы увеличены. К сожалению, никто не измерял a»~^Xgg по
рассеянию света. Эксперименты по отражению ультразвука
были выполнены Мартиноти и Кандау [79] и подробно
обсуждены в работе [98].
Рассмотрим, что должно было бы произойти, если бы
неравенство ^/С < vj/p было обращено, т. е., конкретнее,
если бы время вращательной релаксации было короче, чем
время сдвиговой диффузии. В этом случае появился бы
провал на основной широкой линии для функции
корреляции ориентационной плотности п /^ Rij, который можно
обнаружить по рассеянию света. Такое происходит во
многих органических (не нематогенных) жидкостях, например,
в анисальдегиде или квинолине [14, 62, 97]. Можно
спорить о том, допустимо ли называть наблюдавшийся дублет
проявлением сдвиговых волн (так как )(gg такого не
показывает), но так уж это было названо.
Выше точки прояснения в нематике ожидается наличие
такого же дублета в спектре рассеяния с деполяризацией.
Однако переход из изотропной в нематическую фазу —
почти второго рода, и именно выше Гс время вращательной
релаксации т^р [которое заменяет (k'^lK)"^ в уравнениях
(11.42)] гораздо больше времени сдвиговой диффузии
{к\/рУ^. Поэтому спектр предпереходного рассеяния
света в нематиках имеет структуру, показанную на
рис. 11.3 для всех достижимых температур выше Т^.
1^ Ann
"-'Хдд
и
Рис. 11.3
240
и

11.5. ПРОДОЛЬНЫЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ
ФЛУКТУАЦИИ
Анализ флуктуации, включающих продольные
переменные р, е, g3, gi и rii, полностью аналогичен предыдущему,
но более трудоемок, поэтому приведем только некоторые
относящиеся к делу формулы. За остальными читатель
отсылается к литературе, в которой применяется такой же,
как здесь [41, 42, 78], или альтернативный [2, 98] подход.
Нам представляется, что самый простой способ изложить
суть дела — это выписать с гидродинамической точностью
три матрицы X, (й и а. Так и поступим.
Матрица восприимчивое/пей имеет элементы:
Хрр = р(-^)^; Ъ„=9СрТ; Хр,=г(-^)^; (11.43)
%gi gj = Р^г/. Хп, п, (k) = IKi k\ + Кзк1]-\
где снова q (rt) = е (rt) — (е + р/р)р (rt) описывает
флуктуации энтропии. За исключением Xnmi' эти
термодинамические выражения такие же, как в изотропной жидкости.
Отметим, в частности, что в равновесии в нематике
действует гидростатическое давление, так что и средний тензор
напряжений <т;у> = рб^ является изотропным; нема-
тический жидкий кристалл — жидкость, а не твердое тело;
его срободная энергия не зависит от формы сосуда, в
который он помещен. Это обусловливает также наблюдаемый
факт, что звуковые волны низкой частоты
распространяются во всех направлениях с одинаковой скоростью.
Связано с этим и то, что единственные элементы % (k), не
исчезающие по соображениям временной симметрии, а
именно хрпЛ^) и %,jniik), обращаются в нуль при ^ = О,
ибо изменения давления и температуры не воздействуют на
направление нематического упорядочения.
Частотная матрица со (k) имеет в низшем порядке по
k следующие не равные нулю элементы:
«Pg;^^iP; «gan. = —t^3^i; «g. П.(^)= — ti2^3-
(11.44)
Понятно, что матричный элемент (Лд^щ '■^ ^giRi, должен
быть пропорционален /ез = (к • п"), и поскольку для к,
параллельного п°, a»g,n, = cog^n^, то коэффициент ^^2 сов-
241

падает с тем, который фигурирует в выражении (11.286).
Несколько труднее показать, что
1^2 — 1^3 = 1- (11.45)
Это равенство является следствием того, что в равновесии
жидкость вращается, как твердое тело. Из других
элементов не равны нулю (вследствие свойств симметрии
относительно обращения времени) только co^g. (k); они имеют
порядок^*, а не ^ в соответствии с определением энтропийной
переменной q (это выражает галилееву инвариантность).
Наконец, матрица памяти a^^y {k, z) л^ (J^^^ {k, iO). Ее
отличные от нуля элементы в низшем порядке по k имеют
вид:
а,, = Г(х^^!+Х||Щ
(^g, g3 = ^3 ^! + (2 vi -f 2v5 + v.^—Vi)kl;
(^g. g. = ("^2 + "^4) k\ + V3 kl; Og^ g, = (V3 + V5) ki k^,
(^n,n, = l; <7g, П, = — i^ii^; Og, „, = — i^3 il. (11.46)
Коэффициенты X||, к^_, v^, V3, 2 (v^ + v^)^+v^ —v^,
V4 (2vi + V2) — (vg — V4)^ и Ь, положительны, jx —
вещественная величина. Коэффициенты [i и ^ — те же самые, что
присутствуют в поперечных флуктуациях (см. разд. 11.4).
На этом остановимся. Читателя, который захочет
подставить выражения (11.43)—(11.46) в общую формулу (5.28),
чтобы вычислить в гидродинамическом пределе
корреляционные функции Cuv или x/Iv. ожидает кропотливая рабо'
та, но здесь нет принципиальных трудностей. Основные
результаты таковы. Те корреляционные функции, которые
связаны с директором и второй сдвиговой компонентой
плотности импульса gt (kt) = Ikagi (kt) — ^1^3 {kt)]/k, a
именно Cn^n^, C~~ и C~^ , в самом общем виде
совпадают с найденными в разд. 11.4. В частности, они содержат
два чисто диффузионных процесса, из которых один
соответствует медленной вращательной диффузии, а другой —
более быстрой, но все еще гидродинамической сдвиговой
диффузии. Наоборот, те корреляционные функции,
которые относятся к трем продольным сохраняющимся
плотностям р, q и gi = {к ■ g)/k, содержат две бриллюэновские
моды и рэлеевскую моду тепловой диффузии.
Действительно, эти функции имеют тот же вид, что и в нормальных
жидкостях, а именно (4.42) или (4.44). Скорость звука опреде-
242

лена обычно: с = {др/др)1'^. Константы поглощения Г
и Dt зависят, однако, от угла распространения ф в немати-
ках. Наконец, корреляционные функции, связывающие
эти два набора переменных, имеют пять гидродинамических
полюсов. Возникает необычная ситуация: значения
вычетов корреляционных функций, соответствующие полюсам,
не могут быть полностью определены при
гидродинамическом рассмотрении даже в низшем порядке по k; это
обстоятельство проанализировано в работе [42].
Необходимо все же объяснить соотношение (11.45).
Благодаря тому что оно выполняется, имеется только один
коэффициент, который недиссипативно связывает движение
директора и сдвиг, а именно коэффициент из уравнения
(11.32), а не два, как можно было бы ожидать в системе с
аксиальной симметрией. Суть дела очень проста. Если мы
запишем
<[^,-(r).«/(r')]c.n.>=t^,VftVft6(r-r')+VV... (11.47)
([•■Лс.п. — скобки Пуассона), то получим ii^s = ^1223 =
= \i2 и ^1311 = M'l- Плотность полного макроскопического
импульса g (г) можно представить в виде
g(0 = 2SP°"S('--'-°'')' (11-48)
а V
где г"^ и р"^ — соответственно координаты и импульс v-й
частицы в а-й молекуле. При таком определении очевидно,
что g (г) описывает как поступательное, так и вращательное
движение молекул. Для полного момента количества
движения L находим
L=^dVrxg(r). (11.49)
Этот оператор генерирует однородные вращения,
воздействие которых на п (г) отражено в уравнении (11.15). Если
теперь умножить выражение (11.47) на е^^Гп и
проинтегрировать, то получим [iiis — М'зи = \, т. е. [12 — \1з = 1-
Это соотношение имеет интересный смысл. На основе
флуктуационно-диссипационной теоремы (3.39) и закона
сохранения импульса можно установить равенство
l^ijk kk = ~P^ft <^ih (k) I njik)y =-k^ xx^^. n.(k) (11.50)
при ^ -^ 0. Здесь Tjj- (k) — полностью микроскопический
тензор напряжений, разложенный на вклады от каждой
частицы из каждой молекулы. По виду тц (k), следовательно,
243

подобен выражению (4.6) и должен быть симметричным.
(Детальное обсуждение близкого вопроса проведено в
работе [78]). Если бы функция Хх-^п. (k) была однородной
при ^->- О, то \iii3 равнялась бы ^^зи в противоречие тому,
что мы только что нашли. Следовательно, значение
Xxj.jn, (k) при ^ -^ О зависит от направления, по которому
совершается предельный переход, и это указывает на то,
что в нематике корреляции между тензором напряжений
tij и плотностью молекулярной ориентации R^ имеют
бесконечную протяженность. Последнее может
рассматриваться как фундаментальное свойство жидких кристаллов.
Мы еще коснемся этого свойства в разд. 11.7.
11.6. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ДВИЖЕНИЯ
Полезно перефразировать полученные результаты на
более традиционном языке уравнений движения для малых
макроскопических флуктуации б <р (г, /)> и т. п., по
крайней мере потому, что это позволит сравнивать различные
альтернативные, но эквивалентные формулировки
гидродинамики нематиков (см. [2] и цитированную там
литературу). Соответствующая процедура была уже объяснена в
разд. 10.8, и здесь мы будем кратки. (Многие авторы
предпочитают интерпретировать гидродинамические
результаты с помощью уравнений Ланжевена, вкратце
рассмотренных в разд. 6.2. Автор данной книги предпочитает иной
путь.)
'Микроскопически сохраняющиеся плотности
подчиняются, разумеется, уравнениям движения:
P + V-ff=0; (11.51а)
i/ + V;To=0; (11.516)
e + V-/ = 0. (11.51в)
Кроме того, имеется уравнение движения для директора
п (г, t), который вынужден быть перпендикулярным к п".
Записав уравнение
'ni+Xi=0, (11.51Г)
мы просто придумали новое обозначение, Xt (г, t), для
микроскопической величины tij {г, t). В обычной гидродинами-
244

ке малые макроскопические неравновесные флуктуации
б (g>. S <т>, б <j^> и б <Х> представляются через
градиенты «термодинамических сил» Ьa^^. Мы уже видели
в разд. 10.8, что термодинамически последовательным
определением этих сил является выражение
И (k, t) = yj^i{k) б <^v {k, t)y, (11.52)
где достаточно использовать для Xtiv (^) низшее неисче-
зающее приближение по k. Как в нормальных жидкостях,
находим бар = —, 8ад = -=г и 8ag. = би,. Силы, свя-
занные с директором, даются соотношениями
-дап, (rt) = б/ii (rt) = [Ki V! + /Са VI] би^ (rt);
-6anAri) = 8h;irt) = lK,V\ + KsVl]8n,irt). (11.53)
Локальные напряжения б/i (rt) можно вывести так же, как
мы выше получили восприимчивости директора Хп.п.(^)
из энергии Франка [90]. Из соотношений (11.53) ясно, что
эти локальные напряжения возникают в нематике только
тогда, когда линия, вдоль которой ориентированы
молекулы, искривляется.
Из приведенных результатов теперь можно получить
представление потоков через силы. Рассмотрим сначала
обратимые вклады, которые вносят матрица со (k) и
вещественная часть i а (^, iO):
6<g>R = p6v; (11.54а)
6<j^>R = (e + p)6v; (11.546)
^^...^(бЬХпо)^; (11.54b)
6<Xi>R = (nOx(o)i—ЯЛ(;П?. (11.54Г)
В последнем уравнении введены обычные обозначения
(1) (г) = -к- V X V (г) для локальной угловой скорости
вращения жидкости и Atj = Y (ViWj +V/Ui) для тензора сдви-
245

гового течения. Первые два уравнения следуют из галиле-
евой инвариантности, которая автоматически включена в
нашу процедуру. Коэффициент перед членом п" X ш
в последнем уравнении оказывается равным единице, ибо
этот член описывает вращение жидкости как твердого тела,
когда dtn + (п X (I)) = 0. Относительно тензора
напряжений б <Т;;>^ речь пойдет несколько позже. Сначала
выпишем, для полноты, диссипативные вклады в потоки:
6<g>D = 0; (11.55а)
б <j8)D = _xj^ убГ—(Х||—X J по (по У)бГ; (11.556)
о <ти>'^ = -2v, Ле;-2 (V3-V,) [А^^ п%пЧ + А^и п1 nf]-
-(V4-V2)S;;^ftft-2(Vi + V,-2v3)nfn9nb?^ft,-
-(v5-V4 + V2)[S;^nUMftz + n"n/^ftft]; (11.55в)
6<X>D = ^6h. (11.55г)
В обычной изотропной жидкости Х|| = X_L = X, Vi = V2 =
= V3 = V4 — V5 = Ti, -g- (2v4 -I- Vg) = ^ и приведенные
уравнения сводятся к полученным в разд. 4.1. Отметим, что
мы выводили только линеаризованные уравнения
гидродинамики, хотя нетрудно аналогичным путем [58] получить
и обратимые нелинейные добавки.
Читатель заметит, что диссипативная часть тензора
напряжений, приведенная выше, более громоздка, но она,
по крайней мере, симметрична в соответствии с замечанием
в конце разд. 11.5. Реактивная же часть (11.54в)
несимметрична. В чем же состоит ошибка? Этот вопрос привлек
заметное внимание и был решен следующим образом. Тензор
(11.54в) определенно не является средним значением
микроскопического тензора напряжений, ибо последнее
симметрично, но он входит в гидродинамические уравнения движения
только в виде Vj-St;;, что предоставляет возможность
выбора. Мы можем заменить (11.54в) симметричным
выражением. Если настаивать на том, чтобы такое выражение по-
прежнему давало бт в терминах сил 6h, то оно должно
включать только нелокальные члены типа VtVj/V^ '^ kikj/k!^.
Это соответствует упомянутым ранее дальним статическим
корреляциям между директором и тензором
напряжений. Выпишем симметричный вариант тензора бт'' для
простоты в нашей прежней координатной системе, где п" па-
246

раллелбн оси 3; i, j = 1 или 2)
S<Tj;>R = [p-/CiV3(V-n)l6,,.-/C,V3[V;«;+V;n;-
-2(V-n)]6;,.];
6<T,-3>''=S<T3i>R= 1-(Я+1)/СзУ1«г-
_i_(?,_l)[/C,V;(V.n)4-/C,(n»xV)i(Vxn)3];
б<Тзз>'' = р+/СзУз(У-п), (11.56)
где в правой части опущены символы б. Сущность
симметризации тензора напряжений в том, что для Т;; = tji
сохранение момента количества движения является следствием
сохранения импульса для любого образца конечных
размеров в отсутствие внешних полей и со свободными
поверхностями. Следовательно, объемные вращающие моменты
могут быть введены только внешними полями или на
поверхностях, и это правильно.
11.7. ЧТО ТАКОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО?
Нет, мы не намерены заниматься перечислением
решеточных структур, атомных расположений и т. п. Это
интересно, но нет необходимости быть осведомленным обо всем
этом для макроскопического рассмотрения. С
макроскопической точки зрения твердое тело является системой,
которая не поддается внешним напряжениям, приложенным к
поверхности, даже если эти напряжения не изменяют объема
тела. (Все физические системы, разумеется, реагируют
упруго на внешние силы, изменяющие объем). С жидкостью
дело обстоит иначе — она течет. Мы поставили здесь этот
вопрос, чтобы осветить промежуточную роль, которую
играют жидкие кристаллы между «традиционными» фазами —
жидкой и твердой.
Если к поверхности твердого тела приложена внешняя
сила SF (г), то в объеме появляются уравновешивающие
напряжения. Вклад в гамильтониан, обусловленный 8F,
имеет общий вид
б^= — ^drA(r)-6F(r), (11.57)
где А (г) — некоторая локальная переменная (смещение);
интегрирование распространяется только на поверхностную
247

область. Согласно теории линейного отклика,
результирующее напряжение б <т> в точке г внутри объема тела
б<тгЛг)> --=^Хг,^, А^{г, r')8F,ir')dr'. (11.58)
Это опять поверхностный интеграл, и, следовательно, S <т>
в глубине образца не будет обращаться в нуль лишь тогда,
когда равновесная корреляционная функция Хтл (г, г')
убывает с расстоянием не быстрее чем
Ъц А^ (г, г') --^ —- (твердое тело)". (11.59)
Посмотрим прежде всего, что мы имеем в нематическом
жидком кристалле (который, как мы уже знаем, не есть
твердое тело). С помощью коммутационного соотношения
(11.47) между плотностью импульса и параметром порядка
получаем (используя условие сохранения импульса gi +
+ VjT,-j = 0), что
^/Хх,,, п, {k) = hki п^ (k) = <^-Y lei (г), «ft ir')]yik) =
= -lifkj, (11.60)
где мы для большей четкости изменили прежнее правило
написания индексов и опустили члены порядка k'^.
Коммутатор между g{ (г) и rij (г') должен обратиться в нуль,
когда г и г' далеки друг от друга и, следовательно, ^г!?' имеет
одноосную симметрию ненапряженного нематика. Так как
нам известно, что \i[\^ — \il\^ = ^г^.з — М'Зи = 1 согласно
аргументам, приведенным после формулы (11.47), то можно
написать
Mir = t^^-'*' + e07'"/*'. (11.61)
где
ji°.(*' = ji[„i> {6j„-nJ nl) + n] (bi^-n! n'k)]; (11.61a)
Здесь константа ii = ii^ 9" • ^^тем теперь, что
коррелятор %х... пу должен быть симметричным по / и /, и так как
lij^'> Ф li<jp, то уравнение (11.60) приводит при ^-^0
248

к следующему соотношению:
У-^и, «ft (к) = - t^/V*' + (m<*' X l)t kj + (m(*) X ic); ^i,
(11.62)
где к = k/k. Это более определенно демонстрирует
справедливость сделанного в конце разд. 11.5 утверждения, что
корреляционная функция тензора напряжений Ххп (к) не
является однородной в пределе ^ ->- 0. Переходу в
реальное пространство соответствует замена ktkj-^ ViVj (—4яг)"^,
и мы получаем, что
V М - 3 (т'^'х1-)г?; + (т'^'хг);?г , , „„ч
(за исключением членов с конечным радиусом
протяженности), где г = г/г. Сравнение с выражением (11.59)
показывает с очевидностью, что нематики являются жидкостью: они
не могут передавать статические сдвиговые напряжения.
(По этой причине макроскопическое выражение (11.56) для
упругого тензора напряжений содержит только вторые
производные от бп, первые же производные отсутствуют.)
Что может передать нематик от поверхности вглубь?
Если определить плотность момента количества движения
I (г, i) соотношением
1(г, 0^rxg(r, О, (11.64)
то она будет подчиняться уравнению непрерывности
~ h (г, t) + V; Mi^ (Г, 0 = 0, (11.65а)
at
где
Mij{r,t) = e^r^xi,{r,t) (11.656)
является плотностью вращающего момента. Из уравнения
(11.63) следует, что
W
Г;—(f-m'*')n?;
XAf;. п^ in= -~ (11.66)
убывает с расстоянием только как \1г^. Таким образом,
хотя, в отличие от твердого тела, нематик не может
передавать статических сдвиговых напряжений, через него могут
быть переданы статические кручения — в отличие от
нормальной жидкости, в которой невозможен ни один из этих
249

процессов, так как корреляции тензора напряжений для
нормальных жидкостей имеют конечный и обычно очень
малый радиус. Нужно отметить, что эти утверждения были
получены здесь, в сущности, на основе уравнения (11.15)
и, следовательно, при наличии ориентационного параметра
порядка, но без явного обращения к более
феноменологической величине — свободной энергии Франка.
Вернемся теперь к выражению (11.59) и к вопросу о
твердом теле. Понятно, что для получения зависимости
Хх. А {'') '■^ /""^ необходимо, чтобы в коммутационном
соотношении между g (г) и некоторой локальной переменной
А (г) было на один фактор k меньше, чем имеется в
соотношении (11.60). Иными словами, величина kj%x-j,A^ (/")
должна быть конечной при ^ ->- О, что возможно, лишь
если преобразование Фурье от
<^-^[giir),Ajir')]y=atjbir-r') + V... (11.67)
имеет конечный предел при ^ ->- 0. Но это означает, что
(^-^[SPi, А,-{г')]\=а^,фО, (11.68)
и так как оператор полного импульса SP генерирует
бесконечно малые смещения, то мы находим, никого не удивив
этим, что в твердом теле трансляционная инвариантность
должна быть нарушена.
Рассмотрим для простоты стекло, подразумевая под этим
названием твердое тело, которое является трансляционно-
инвариантным в том смысле, что корреляции между
локальными переменными гиг' зависят только от разности
векторов г — г' (так что можно обычным образом определить
преобразования Фурье — как это возможно, мы увидим
ниже), и изотропным. В этом случае а^у = 8^, если
опустить нормировочную константу. Неравенство Боголюбова,
примененное, как в уравнении (7.60), немедленно
показывает, что функция Хаа (k) должна расходиться по меньшей
мере как l/k'^ при ^-^0, и если разделить Ха.а- на
продольную и две поперечные компоненты, то для малых k
получим
XA.Ajik) =hkjlKik^]-' + {8u-kikj)[Ktk']-\ (11.69)
где Ki ^ Kt — продольная и поперечная упругие
константы. Следовательно, три векторные компоненты А (rt) яв-
250

ляются гидродинамическими, и, применив наши
стандартные методы, читатель может вывести спектр
гидродинамических флуктуации. Он найдет, что имеется всего восемь
гидродинамических мод, из которых шесть — это
распространяющиеся продольные и поперечные звуковые волны
(z = ±ci, t k k'^Ti, tj, остальные две — диффузионные
(г = —{кЮт и г = —{кЮ'). Имеются пять диссипативных
коэффициентов: две вязкости r\i и r\t, теплопроводность к,
один параметр релаксации ^ = одд(0, iO) и константа
S = а/ 'а, (О, iO), которая связывает параметр порядка с
потоком тепла и может иметь любой знак, но ограничена
условием хТЬ, ^ С^. В кристалле (трансляционно-инвари-
антном, но не изотропном относительно вращений) число
и общая структура этих мод такие же, но число
необходимых для их описания коэффициентов гораздо больше. Хо-
лестерические и различные классы смектических жидких
кристаллов являются, в сущности, слоистыми системами,
которые обладают трансляционной инвариантностью, по
крайней мере, в некоторых направлениях, хотя не имеют
ее в других. Формально это означает, что матрица ац в
уравнении (11.67) есть матрица первого ранга в (в холесте-
риках и смектиках Л и С) и поэтому в уравнение (11.67)
должны быть добавлены некоторые градиентные члены.
Пространное обсуждение этих систем содержится в
работе [78].
Каков физический смысл переменной А (г)? В терминах
ее флуктуации реактивная часть феноменологического
тензора напряжений может быть записана в виде
б (Тг;>« = [брО+/Сг (V • 6А)] бг; + /С JVi бЛ;+
+ УубЛ,---|-бг; V-6A]. (11.70)
Продольную часть 6А можно, конечно, объединить с
давлением, переопределив последнее: бр == бр" + /СгУбА.
Поперечная часть показывает, что 6А идентична вектору
смещений, обычно обозначаемому и, который фигурирует в
континуальной теории твердых тел. Обычно, говорят, что
V • U = бр есть плотность массы. Если бы это было верно
микроскопически, то 8Ai не являлась бы независимой
гидродинамической переменной и в твердом теле существовала
бы лишь одна диффузионная мода, а именно тепловая диф-
251

фузия. Дополнительная мода с г = —i^^Z)', следовательно,
ответственна за смещения, которые не сопровождаются
переносом массы, и может быть идентифицирована с
диффузией вакансий.
Перед этой дискуссией мы предположили, что можно
записать хав (г, г') = %ав (г — г') и поэтому определить
преобразования Фурье обычным образом, несмотря на то
что уравнение (11.68) указывает на нарушение
трансляционной инвариантности. Как это понимать? Давайте
рассмотрим стекло. Микроскопическое строение, например,
аморфного Si представляет собой довольно жесткую
структуру с близкими к тетраэдрическим связями. Система раз-
упорядочена в том смысле, что нет макроскопической
разницы между ситуациями в точках г и г + |, если | гораздо
больше длины связи. Однако локальные смещения и, в
частности, бесконечно малые смещения из-за жесткой
локальной структуры требуют большой энергии и должны быть
заметны. Поэтому мы можем допустить, что для
некоторых А (г)
<Л(г + |)> = (е~'^-^"^А{г)е'^-^'^) ^ (А{г)\ (11.71)
если, скажем, | ^ ^с> хотя для бесконечно малых
смещений
б<Л(г)> = /-^[5^, Л(л)]\-б|^0. (11.72)
Другими словами, можно предположить, что матрица
плотности р инвариантна к трансляциям на большие
расстояния, даже если [р, 9^] Ф 0. Гидродинамическая теория
связана только с флуктуациями, имеющими длины волн
Я, ^ ^с- Читатель может попробовать уточнить эти
представления, построив теорию на основе «больших» переменных,
которые можно определить посредством усреднения
A(x)=lj'^d-'lA{s^\) (11.73)
по объему ^с, окружающему точку г. В таких переменных
система трансляционно-инвариантна, но <[5^, А (г)]> Ф 0.
В кристаллическом твердом теле ситуация полностью
подобна.

Глава а
СВЕРХПРОВОДНИКИ
Наверное, наиболее впечатляющим эффектом в
многочастичных системах является сверхпроводимость —
способность многих металлов проводить электрический ток без
всякого сопротивления при их охлаждении ниже некоторой
характерной температуры Т^. Как успехи
экспериментальных исследований многих замечательных аспектов
сверхпроводимости, так и достижения микроскопической теории
Бардина, Купера и Шриффера (теории БКШ), несомненно,
являются одним из величайших триумфов физики XX
века. Даже беглый обзор эффекта сверхпроводимости,
конечно, невозможен в пределах короткой главы (и,
вероятно, находится вне пределов возможностей ее автора). Цель,
данной, заключительной, главы поэтому более скромна. Мы
хотим показать аналогию между сверхпроводимостью и
сверхтекучестью, между электрическим сверхпроводящим
током в свинце и течением сверхтекучей жидкости в гелии,
между эффектом Мейснера и уменьшением момента
инерции. Так как сверхпроводимость, конечно, существенно
связана с электрическим зарядом, мы хотим также по
крайней мере отметить, что может происходить в системах, в
которых присутствуют дальнодействующие силы. Такой
способ изложения даст возможность еще раз
продемонстрировать разносторонность используемого нами на
протяжении всей книги формализма, основанного на функциях
отклика и функциях памяти.
12.1. БОЗЕ-КОНДЕНСАЦИЯ В ФЕРМИЕВСКОЙ СИСТЕМЕ
Рассматривая систему бозе-частиц, мы показали, что
макроскопические аспекты сверхтекучести можно
объяснить, если предположить, что <'ф+> ф О, где \р+ (г) —
оператор рождения частицы в точке г. Точнее говоря,
предположение, которое было проверено микроскопически, по
крайней мере, для слабых отталкивающих межчастичных
сил, состоит в том, что одночастичная матрица плотности
G(r-r')^<il.+ (r')^14r)>-v<t+(r')><^Kr)> (12.1)
не обращается в нуль, когда гиг' далеки друг от друга.
Заманчиво попробовать таким же образом объяснить свойства
253

сверхпроводников. Однако электроны в металле являются
фермионами, полевые операторы которых '^s (г) и г);/ (г)
(где спиновый индекс s принимает значение f или |)
подчиняются не соотношениям коммутации типа (10.37), а
соотношениям антикоммутации
Н\(г), ij?,4r')]+ = 6,,,6(r-r');
[fs (г), Ь' (г')]+ - [t/ (г), ^Р (г')]+ = О, (12.2)
где [Л, Б]+^ ЛБ + БЛ. При г Ф г' соответствующая
одночастичная функция 6^^- (г— г') = (■tpp (•■')4'« (•")>
должна, следовательно, быть антисимметричной к
взаимной замене г, s и г', s', так что она явно не может фактори-
зоваться на больших расстояниях и принять вид, подобный
(12Л) [107]. Физически это связано с тем ,что принцип Паули
запрещает находиться в одном и том же макроскопическом
состоянии более чем одному электрону.
Другая простая возможность для электронов — это
образование пар (куперовских). Чтобы это осуществилось,
нужна сила притяжения между электронами, которая
обеспечивается обменом фононами. Такие двухэлектронные
«молекулы» имеют свойства бозонов, и, следовательно, нет
физического противоречия в предположении, что пары
конденсируются в одном и том же макроскопическом состоянии,
как нет математического противоречия в допущении, что
{^р^ (г)г|5/' (г')> ф 0; здесь г|5+ (г)г|5+' (г') — оператор,
порождающий пару, составленную из электрона в точке г со
спином S и электрона в точке г' со спином s'. Так как
4>t (^)4>'t (•") = О' '^о спины в парах будут
противоположны. Предположим, поэтому, что в сверхпроводнике ниже
Тс
<^t (г)4'| (••')> = А('--'-')^0. (12.3)
и посмотрим, что из этого вытекает.
Читателю следует принять эти эвристические аргументы
на веру. Теория БКШ показывает, что выражение (12.3)
действительно характеризует устойчивое равновесное
состояние. Однако взаимодействие посредством фононов очень
слабо, и поэтому размер пар, который выражается
пространственной протяженностью функции Д (г—г'), очень
велик, порядка нескольких тысяч межатомных расстояний,
так что эти двухэлектронные молекулы очень рыхлые.
Заметим, далее, что в конденсированной бозе-жидкости
состояние с Д ^1^ О не может быть калибровочно-инвариант-
254

ным. Полное число электронов дает интеграл
yV = Jdm(r)=Jdr[t[4(r)tt(r) + t|(r)tl;|(r)]. (12.4)
Используя соотношения антикоммутации (12.2), легко
показать, что
<[Л^,4ч('-)^Пг')]>=-2Д(г-г')^0, (12.5)
так что матрица плотности не может коммутировать с N:
[р, yv] 1^ 0. В отличие от бозе-жидкости, мы имеем не просто
параметр порядка п°, а функцию Д (г — г'). Это неудобно
для наших целей. Но можно, однако, упростить дело
следующим способом. В теории БКШ функция щели Д (г)
является функцией s-типа, экспоненциально убывающей при
больших г. Допустим, что можно построить полный
ортогональный набор функций Дц (г), такой, что Д (г) ^ До (г)
и
(*йгДа(г)До(г) = «об^.о, (12.6)
где tif) — нормировочная константа. Если теперь
определить локальные операторы а^ (г) соотношением
(12.7)
по получим, что
[yV, ао(г)]=-2«1/2, (12.8а)
но
[yv, а^(г)] = 0, ц^О. (12.86)
Таким образом, только оператор Oq (г) и его эрмитово-сопря-
женный оператор ао (г) нарушают калибровочную
инвариантность, так что если по аналогии с (10.55) мы введем
эрмитову фазу ф"" через
2ф'"Ч0 = ,., ' —[<aJ>ao(r)-<ao>aJ(r)], (12.9)
2i <а^-> <ао>
ТО найдем
[N,(f°'4r)] = i (12.10)
аналогично (12.58). Множитель 2 в выражении (12.9)
обусловлен тем, что в фермиевской системе
конденсирующимися объектами являются пары частиц.
255

Равенство (12.10) влечет за собой фазовую когерентность
на больших длинах. Доказательство полностью
согласуется с приведенным в разд. 10.4. Оператор плотности
импульса электронов имеет вид
U(r) = ~m(r)^^i (г)^(\Г\ (r))^^t (г)] + [ t-v| ].
(12.11)
поскольку
а^п(гО + У-ё(гО/т = 0 (12.12а)
и
[rt(r),g(r')]=-i^Vrt(r)6(r-r'), (12.126)
где т — масса электрона, получаем правило /-сумм
^сох;;„(М = —^' (12.13)
я т
I
ДЛЯ любого k (п — средняя плотность электронов).
Читатель может также легко проверить соотношение
|^Х«ф(М = -^«о-Чйг|Д(г)Ре-2"<г, (12.14)
правая часть которого плавно приближается к величине
i/й при k-*-0, так как функция щели Д (г) имеет конечную
протяженность. Воспользовавшись неравенством
Боголюбова (10.59), находим, что при k-^0
Хфф(^) = ^^. (12.15)
где rts ^ п. Таким образом, мы снова обнаружили
флуктуации большой протяженности в квантовой фазе.
Параметр n-s МОЖНО представлять как концентрацию
«сверхпроводящих электронов». Продолжая далее так же, как в
разд. 10.4, находим что флуктуации фазы дают при k-^0
следующий вклад в корреляции плотности импульса:
Хггф(^)ХфФ (^)ХФЯ^ (k) = mn,kikj. (12.16)
Этот вклад является чисто продольным. Предполагая, что
все прочие флуктуации имеют короткие длины
протяженности и поэтому одинаково участвуют в продольных и
поперечных корреляциях плотности импульса, находим при
k-^ О
Xgi gj Ф) = "^nli kj + тл„ {bij—k; kj), (12.17)
256

где Пп^ п — Па есть концентрация «нормальных
электронов». Итак, ниже Т^, где tig Ф О, плотность электронного
импульса обладает корреляциями бесконечной длины.
Сверхтекучесть электронов в металлах, выражаемая
соотношением (12.17), наиболее радикально проявляется
через их электромагнитные свойства.
12.2. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ И ЭФФЕКТ МЕЙСНЕРА
Чтобы исследовать эти свойства, предположим, что на
систему электронов действует слабое внешнее
электромагнитное поле. Выберем калибровку, в которой внешний
скалярный потенциал ф^неш отсутствует, так что Е^"^™ =
= —— А=««™ и В=««™ = V X А=веш_ Тогда гамильтониан
взаимодействия при медленном включении слабого
статического внешнего поля имеет вид (для ^ <; 0):
б^= !-Гй'г7(г)бЛ™«'"(г)е^'. (12.18)
Мы пользуемся здесь рационализованной гауссовой
системой единиц, т. е. такой системой, в которой уравнения
Максвелла содержат лишь скорость света с, но не содержат
множителей 4я. Так как в присутствии А скорость
частицы с импульсом р равна не р/т, а (р—^А {rt))ltn, то
оператор плотности тока J {rt) дается выражением
J(rO = i(rO -Hrt)9(rt), (12.19)
тс
где
Mrt)=-^u(/t), (12.20а)
т
р (ft) = en (rt) (12.206)
суть плотность тока переноса и плотность заряда
соответственно [п и g даются формулами (12.4) и (12.11); в (12.19)
опущен несущественный вклад парамагнитного спинового
тока]. В данной главе обозначение р всегда будет
относиться к плотности заряда, а не к плотности массы.
В этом разделе будем предполагать, что А в уравнении
(12.19) может быть заменено на А^"^™. Такое
предположение (мы возвратимся к нему в разд. 12.4) означает, что
даже индуцированное внутреннее электромагнитное поле
9 Зак, 1568 257

рассматривается как внешнее возмущение; это
значительно упрощает дело [6]. Тогда в выражении (12.18) можно
заменить J на j и, непосредственно использовав формализм
линейного отклика, получить
б <Jr4k)y = [xi.i.(k)-ci>l8ij]-ybAr^(k), (12.21)
где сор = e^rt/m — электронная плазменная частота в
квадрате. Первый член аналогичен (3.9); второй член — это
просто среднее значение добавки к току [второго слагаемого в
уравнении (12.19)]. Читателю теперь следует припомнить
аргументы, подробно изложенные в разд. 10.1. Если
внешнее поле бА="«™(г) в формуле (12.21) медленно изменяется
в пространстве, так что важны лишь малые k, то случаю
бесконечно длинной проволоки или металлического тора
будет соответствовать такое предельное значение %и (k) —
— (i>l8ij, которое достигается при стремлении к нулю
сначала продольной компоненты k. В этом пределе из
соотношения (12.17) находим, что
lim lim x^ iM == — тп„ 8^, (12.22)
так что
б <Ли"Д> = — со? (njn) — бАвне-". (12.23)
с
Таким образом, постоянный векторный потенциал, который
не сопровождается электрическим полем (ибо Е = —А/с),
тем не менее, будет индуцировать конечный ток. И
наоборот, конечный ток по проволоке, находящийся в
стационарных условиях, будет течь вечно. Это и есть
сверхпроводимость.
Движущиеся электроны, в свою очередь, индуцируют
магнитное поле или векторный потенциал. То, на что они
реагируют, фактически является полным полем
Дпол,^^Динд)^Двнеш^ (12.24)
так что в действительности вместо выражения (12.21)
необходимо писать
б <У-Д (^)> •= [%,-. I. (k)- cD^p 8ij] ± бЛпол (^). (12.25)
В этом уравнении учитывается, очевидно, только
усредненное внутреннее поле без его флуктуации. (Последние под-
258

робно рассмотрены Пайнсом и Нозьером [6], которые
показали, что влияние флуктуации обычно мало. См.
также [75] и разд. 12.4.) Величина (Л^ид) может быть
вычислена из уравнений Максвелла, которые дают
<А''«Д(гО> = — (J^-^H) (12.26)
\±д"1 - V^
для поперечных компонент. Мы анализируем случай
стационарных долей, так что dt ^ 0. Из последних трех
уравнений находим полное поле, выраженное через
приложенное извне, а именно
(k)
.т I
1 _ X//(fe)-CD^
-1
Ao^^^ik). . (12.27)
Для малых k получаем
Апол/М= !! АоуешШ (12.28)
где
k = (mcVn,e^y/2. (12.29)
Если сверхпроводник занимает полупространство л; > О
и внешнее магнитное поле постоянно, то из уравнения
(12.28) следует, что
В™^(л;) = В«"еше-;с/\ (12.30)
Таким образом, магнитное поле выталкивается из
сверхпроводника, проникая только на глубину К. В этом состоит
эффект Мейснера. Результат (12.29) для глубины
проникновения справедлив только в лондоновском пределе, когда
к больше всех микроскопических длин, т. е. для близких к
Тс температур, где п^-»- О, или в типичных
сверхпроводниках I рода с сильной связью. Если длина когерентности
I [т. е. пространственный размер функции щели Д (г)]
превышает Я,, то нельзя в выражении для %'' (k) пренебрегать
членами порядка k^ и действительная глубина
проникновения магнитного поля имеет величину, промежуточную
между ki и |. Это, конечно, сложная тема (см., например,
[1]). Все же отметим, что очевидное обобщение изложенного
выше на случай полей, медленно изменяющихся в
пространстве и времени, приводит к уравнению Лондона
<Л(гО> = --^Ц—■А™^(гО, (12.31)
п с
которое и означает наличие нулевого сопротивления.
9* 259

12.3. кУЛОновскиЕ силы
Заманчиво теперь отправиться дальше и отыскать
коллективные гидродинамические моды в системе
сверхпроводящих электронов. Мы не будем так действовать. Дело в
том, что в присутствии дальнодействующих кулоновских
сил некоторые из предположений относительно предела
к-*- О, которые мы ранее считали допустимыми, становятся
необоснованными. Полное обсуждение специфических
трудностей (а также упрощений), возникающих в заряженных
системах, дано в прекрасной книге Пайнса и Нозьера [6].
Чтобы все же видеть, что может произойти, отметим
основанный на уравнении Пуассона У^Ф = —р (г) вывод, что
статическая зарядовая корреляционная функция
ХРР.(^) = j~ Хр'р(М = -^^( = «-^ ») (12-32)
стремится к нулю вместе с Л ->- 0. Следовательно, если
использовать общее уравнение (5.28) для двух переменных
—р и продольного тока ji, опустить матрицу памяти 2,
учесть перестановочное соотношение (12.126) и вычислить
частотную матрицу
(i>pj(k) ={-^%Р} (Ы = (^Р k, (12.33)
то из уравнения det [2% {k) — со (^)] = О можно получить
моду с законом дисперсии ~
Z = ±со^ (12.34)
при л -)- о, т. е. плазмой. Его энергия имеет конечную
величину при Л ->- О, несмотря на то что заряд сохраняется;
это обусловлено тем, что дальнодействующие кулоновские
силы приводят к конечному значению возвращающей силы,
действующей на неравновесный заряд, даже для
бесконечно длинных волн. Так как поток зарядов в общем случае
не сохраняется из-за столкновений электронов с фононами
и примесями, время жизни плазмона будет конечным и при
Л-)-О 2 = ± fi)p—iт^ф^. В нейтральной системе, где
Хпп (^->- 0) = дп/д\1 есть величина конечная,
соответствующая мода для флуктуации концентрации должна быть
гидродинамической модой с 2 = —Юк^, где D —
коэффициент диффузии. Таким образом, вследствие кулоновских сил
в сверхпроводнике нет новых гидродинамических мод
несмотря на нарушение непрерывной симметрии. Моды же,
260

которые существуют, а именно продольные фононы и
плазменные колебания, не имеют отношения к
сверхпроводимости. Все эти вопросы прекрасно изложены в работе [77].
По-иному будет обстоять дело в «нейтральном
сверхпроводнике», т. е. в конденсированной системе
электрически нейтральных фермионов. Оказывается, что при очень
низких температурах 'Не становится сверхтекучим. Кроме
того, из-за сильного отталкивания атомов ^Не на близких
расстояниях «куперовские пары» в ^Не конденсируются не
в S-, а в р-состоянии: наиболее вероятная форма функции
щели для Л-фазы *Не [13, 16]
(^\>(r)^p(r')) = ^{r-r'), ' (12.35)
где Д (г) = (х + i«/)A' (|г|) — функция, соответствующая
/ = 1, m = 1. (Спины, здесь не учитываемые, должны быть
в триплетном состоянии.) Такое состояние нарушает не
только калибровочную симметрию, но, будучи
анизотропным, оно нарушает вдобавок и вращательную симметрию
относительно осей х и у. Таким образом, имеется очень
интересная комбинация свойств обычной изотропной
сверхтекучести и свойств нематического жидкого кристалла.
Гидродинамика такой системы была разработана в книге
[48], читатель может развлечься воспроизведением
полученных там результатов с помощью формализма,
представленного здесь. Следует отметить, что возможность
экспериментальной реализации гидродинамических мод в ^Не
неясна. Л-фаза устойчива между 0,002 и 0,0027К; при столь
низких температурах столкновения редки и
гидродинамическое ограничение соТс •< 1 трудно выполнить.
12.4. ЛИНЕЙНЫЙ ОТКЛИК
В ЗАРЯЖЕННЫХ СИСТЕМАХ
Вернемся снова к системам заряженных частиц. В
разд. 12.2 мы нашли линейный электромагнитный отклик
таких систем при важном упрощающем предположении:
флуктуациями поля можно пренебречь. В изящных
работах Мартина [75, 76] проведено рассмотрение проблемы
без этого предположения и получено много
фундаментальных правил сумм. В данном, заключительном, разделе мы
воспроизведем эти результаты на основе формализма
функции памяти, который позволяет несколько дальше
проникнуть в физическую природу электромагнитного отклика.
261

в общем случае системы, состоящей из частиц
нескольких сортов с массами т^, зарядами е^ и магнитными
моментами \ii, плотность электрического тока дается выражением
^(^•^)=22-йг{р?^^^-т^^^'^)'
i а
б(г-г?(0)\ +cVxSt^iS(S?/S06(r-r«(0), (12.36)
J i а
где последний член, опущенный в уравнении (12.19), есть
вклад от спинов частиц. Выражение (12.36) является
наиболее общим для системы частиц, динамика которых может
быть рассмотрена в нерелятивистском приближении.
Плотность тока J (ft) — это оператор, фигурирующий в
микроскопических уравнениях Максвелла
V-E= —— fi,
с
V-B = —(J + E). (12.37)
с
Операторы электрического и магнитного полей следующим
образом выражаются через скалярный потенциал ф и
векторный потенциал А:
Е = ——А—Уф,
с
B = VxA. (12.38)
Всем известно, что продольная часть электрического поля,
связанная с Уф, не является независимой степенью
свободы, но может быть просто выражена через координаты
частиц с помощью уравнения
VE(лO = p(^0. (12.39)
где
Р(лО=2е'Еб(г-г«(0)
с а
— оператор плотности заряда. Поперечные же компоненты
£^ и Б^ подчиняются при совпадающих значениях времен
t коммутационным соотношениям [3]
[EJ(г), Ет. (г')] = itic [б,; б (г-г')]^ (12.40)
и коммутируют со всеми координатами частиц. Функция
[бг;б (г — r')V имеет компоненты Фурье, равные 8^ —
— kikj. Поля представляются вполне приемлемыми опе-
262

раторами, которые можно использовать для обычного
определения корреляционных функций, например:
ХЬ, в, {rt, г' П=<^^ [Вг (гО, В J (Г' П] \ =
Последнее соотношение подразумевает наличие одного
ограничения, которого в дальнейшем будем везде
придерживаться: предполагается, что мы имеем дело с трансля-
ционно-инвариантной и, конечно, изотропной системой,
так что
ХЬ; в J (М = хЬв (Ь)) (б;; -~kt kj);
%'к, Ej (Ч = х7е (Ч ^ij-ki kj) + h kj x^l (^CD). (12.42)
Из уравнений Максвелла видно, что при t = О операторы
£^ и Б не связаны с взаимодействиями частиц. Используя
соотношение коммутации (или в классическом случае
скобки Пуассона) (12.40), мы можем доказать два
фундаментальных правила сумм:
'^^ а>Х'кв{Ч = сП^; (12.43а)
1-
я
— (oYbb (М = с^ k^ (с' k' + а>1), (12.436)
я
где
Теперь мы готовы начать анализ. Для заряженной
системы естественно рассмотреть распространение и
затухание электромагнитных полей, ибо к этому относится
постановка многочисленных экспериментов. Поэтому рассмотрим
матрицу полевых корреляционных функций C^v (^2),
определенную, как обычно, соотношением
C,.(ife^) = r4— ""^'^^^'"^ ■ (12-44)
J л! со—г
И соответствующую матрицу памяти. Сначала займемся
(4 X 4)-матрицей поперечных полей Е^ и В, которые в
изотропной системе не связаны ни с какими продольными флук-
туациями.
263

12.4.1. СТАТИЧЕСКИЕ ВОСПРИИМЧИВОСТИ
Так как мы намереваемся использовать основную
формулу (5.28), то рассмотрим сначала статические
восприимчивости x^v (^)-Электрическое поле четно относительно
обращения времени, тогда как магнитное поле нечетно.
Поэтому единственные неисчезающие члены —• это %ее (k) и
%вв (k). Из (12.37) следует теперь, что
emkh%'hiE. = ~%"B^E., (12.45а)
а также
k^X'/^{k(i>) = l±.JxhB. (12.456)
Правило сумм (12.43а) поэтому сводится к
[
^х7я(М^ХЬе(^)=1. (12.46)
пригодному для любых k. Это хороший результат.
Магнитная восприимчивость несколько более сложна.
Из уравнений Максвелла следует равенство
Заметим теперь, что при совпадающих значениях времен
единственным членом в токе (12.36), не коммутирующим с
поперечным электрическим полем £^ (г), является
векторный потенциал А, и соотношение (12.40) приводит к
следующему:
j^X£;V_,(M=-ifi)|6,,, (12.48)
справедливому также для продольной части. Это правило
сумм вместе с (12.436) позволяет получить выражение
XBB(k)=^\+ -^[%^jj(k)-(ol]. (12.49)
Мы представим это соотношение в более удобной форме
ниже. Пока поспешим дальше.
264

12.4.2, ЧАСТОТНАЯ МАТРИЦА
Из-за свойств симметрии относительно обращения
времени частотная матрица со (k) имеет только недиагональные
элементы типа Е — В. Они легко вычисляются с помощью
(12.40). Находим:
Щ в J (k) = (i>Bj Е. (^) = f -^ tk Fj (^«>) = сегл l^h- (12.50)
В этом месте читатель, возможно, захочет убедиться, что
в вакууме корреляционные функции С^^ (kz) и прочие
имеют полюса при z^ = c^k^. Так оно в действительности и есть.
12.4.3. ФУНКЦИЯ ПАМЯТИ
Третий объект, необходимый нам для полного
формального представления полевых корреляционных функций, —
это матрица функций памяти, в общем случае даваемая
формулой (5.28). В нее входит проекционный оператор Q =
= 1 — Р, который можно формально записать как
Р = \Е-^)^-^ХЁ&{ЕТ\+\Ву^-^Х-вЬ{В\. (12.51)
Важное свойство Q состоит в том, что функция QA, где А
есть любой оператор, не имеет корреляций с поперечными
компонентами поля, т. е. <£^ |Q = <fi I Q ^ 0. Отметим,
что определение оператора Р = 1 — Q может включать в
трансляционно-инвариантной системе суммирование по
всем волновым векторам, как в (5.456). В изотропной
системе мы также можем с помощью проекционного оператора
устранить любые продольные флуктуации, не повлияв на
результаты для поперечных компонент.
Матричные элементы матрицы памяти o^v {kz) равны
нулю, когда какой-либо из индексов относится к
магнитному полю. Это немедленно следует из того, что Од. ^
^ <fl|Q ... '-' <V X EIQ^O согласно уравнениям
Максвелла. В итоге в поперечной матрице памяти остается
только один элемент
OEi E.{kz) = о"" {k, z){6ij-ki kj). (12.52)
Замечая, далее, что Ое. ~ <£|Q ~ <cV X В — J |Q ~
~ —<J IQ, мы можем представить о^ в виде
б,,. 0^ (kz) = р (J[ (k) Q —i—- Q Jf (k)^ . (12.53)
z~QLQ
265

Отметим, что, как и все функции памяти, о^ (kz) является
аналитической функцией частоты для 1тгфО,
вещественная и мнимая части которой связаны обычным
соотношением Крамерса—Кронига.
12.4,4, ПОПЕРЕЧНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
Теперь мы можем применить общую формулу (5.28) и
выразить корреляционные функции через а. Получаем:
Cls-P-' Г7 . (12.54а)
^ ^ ' z^-lc^ kVXBBikn + izG"^ (кг) ^ '
Что это означает? В электродинамике в случае полей столь
слабых, что материальный отклик является линейным,
локальная и зависящая от частоты проводимость Ои (ka)
определяется соотношением б {Ji (ka)} = Оц (кол)б (Ej (кол)},
или, что эквивалентно, уравнением
[со''—с^ k^ + ifi)0^ (kbi)] б <£^ (Ы)>=(начальные условия),
(12.55)
где <£> — полное поле в среде. Другими словами, а
определяется характером распространения электромагнитных
полей. Сравнивая (12.55) с выражением (12.54), мы можем
измеряемую проводимость [или диэлектрическую функцию
е^, так как е^ (kz) = 1 + (1/2)0^ (kz)] выразить в следующей
форме:
aT(kz) = ^:^[l-X^h(k)] + o''(kz). (12.56)
IZ
Первый важный результат, вытекающий из этого
выражения, состоит в том, что, подобно функции памяти 0^,
динамическая проводимость 0^ (kz) является аналитической
функцией частоты z при 1т z Ф О и поэтому точно
удовлетворяет соотношениям Крамерса—Кронига. Это
нетривиальный результат; первое действительно строгое
доказательство его, эквивалентное представленному здесь, дал
Мартин [75] (см. также [6, разд. 4.1]).
Формула (12.56) дает важное с физической точки зрения
разложение для измеряемой проводимости. Величиной,
266

обладающей свойствами коэффициента переноса, является
не 0^, а 0^. Последнюю можно считать регулярной
функцией для k и Z. стремящихся к нулю. Кроме того, равенство
(12.56) определяет точный смысл обычно используемого без
строгого обоснования утверждения, что проводимость для
системы, гамильтониан которой содержит кулоновские
взаимодействия, но не содержит магнитных, может быть
рассчитана через корреляционную функцию поперечного тока
a''(kz) = pcSy'"-'^(kz), (12.57)
так как проекционный оператор Q в выражении (12.53)
устраняет из динамики поперечные электромагнитные
флуктуации. При применении Q из формулы (12.51^ это будет
справедливо только в случае, если можно пренебречь флук-
туациями поля второго и более высоких порядков (т. е.
операторными состояниями, подобными |Б (к — к')В (к')>
и т. п.). (По несколько натянутой аналогии с теорией
связанных мод [55] можно ожидать, что такие члены имеют
значение для ферромагнетизма, обусловленного свободными
носителями, как раз выше критической точки.)
12.4.5. СВЕРХПРОВОДНИКИ
Первый член в выражении (12.56) есть
термодинамически обратимый вклад в локальную проводимость. Он
становится макроскопически важным, если статическая
локальная проницаемость \\, (k) = %вв (k) обращается в нуль при
^ = 0, т. е. если \i = 1 — j = 0. В сверхпроводниках при
^ -^ О величина
ц-1 (^)_ 1 = (о)^/с2 k^) njn (12.58)
определяет глубину проникновения Я, (12.9) в лондоновском
пределе и дает операторное определение для числа п^
сверхпроводящих электронов. Если п^ ф О, так что имеет место
эффект Мейснера, то справедливо также, что измеряемая
проводимость для ^ -^ О
0^(2)= — cup(rts/rt)+регулярные члены (12.59)
становится бесконечно большой на низких частотах, иными
словами, устойчиво поддерживаются макроскопические
токи.
267

Эти определения могут быть отнесены к нашему
микроскопическому анализу из разд. 12.2. Равенство (12.49) не
очень полезно для этого, ибо статическая корреляционная
функция тока fjj (k) все еще содержит все флуктуации
поля. Так как на нашем языке
%-'jj(k) = P{J{k)\J(k)y, (12.60а)
то получаем для проекции выражение
Xjj(k) = ^(J(k)\Q\J(k)y. (12.606)
Поскольку из х^ устранены флуктуации поперечного поля,
то эта функция гораздо ближе к той, которую мы
вычислили в уравнении (12.17) или (12.22) для эквивалентной
незаряженной системы. Вследствие того что функция xje (k)
равна нулю из-за симметрии к обращению времени, мы
имеем точное соотношение
[xJv (^)-xJv т [Sij-k kj] = ггХ^) хъЬ (k) хв^ J, (k) =
= cnH%BB{k)-l]^%bh{k){8u-hk})- (12.61)
Второе равенство легко получается из уравнений
Максвелла
XVjB^ = —X£jB^+cX(vxB)jB^ (12.62)
и правила сумм (12.50). Если подставить выражение (12.61)
в прежний результат (12.49), то получим
гss^k)^[^-'''^'^'-"-
C^k^
(12.63)
Это — строгое соотношение; соответствующий
приближенный результат приведен в уравнении (12.27). Настоящий
подход может быть полезным для понимания приближения
среднего поля, развитого в разд. 12.2, а для тех, кого это
приближение устраивает, данное рассмотрение проливает
свет на смысл проекционных операторов, когда они
появляются, как в формуле (12.60). [Соотношение (12.63) имеет
любопытное следствие. Так как %вв (k) > О для всех k, то
находим, что yjj'ik)'— сОр ^'0 при ^-^'О.'Если разделить
это неравенство на eVm^ и положить '^^ e-v О, 'то
'флуктуации поля автоматически устранятся ''и мы получим
tie (^ ->■ 0) ^ f^ti или р„ ^ р для незаряженной
изотропной однокомпонентной жидкости. В гл. 10 этот физически
268

очевидный результат был найден только с помощью
продольного параметра порядка. Так как при с-^0
поперечное электромагнитное поле не флуктуирует, то находим,
что xjg (k) <С р для всех k, если частицы не имеют
магнитного момента. Этот вывод просто показывает, что
эквивалентная заряженная система является диамагнитной.]
12.4.6. ПРАВИЛА СУММ
При 2-)- со 4- ie имеем о^ (k; со + ie) == о'^ (^со) +
+ iof"^ (^со). Мы уже отмечали, что о'^ и о'^ связаны
обычными соотношениями Крамерса—Кронига. Так как
для больших 2 0^(^2)-)-(i/2) х^ (^), то получаем хорошо
известное правило сумм для измеряемой проводимости,
пригодное для всех k:
Г^а''"(М = < (12.64)
Для физических приложений удобно переписать его через
регулярную часть о'^, ответственную за поглощение:
^а'^ (Ы) = (^>1-сЧЧ%Бк(к)-и. (12.65)
я.
Исследование правил сумм проведено в работе [6].
12,4.7. ПРОДОЛЬНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
Если применить уравнение для функции памяти (5.28)
к одиночной переменной E^■ продольного электрического
поля, то немедленно найдем
где a^' определяется соотношением
kkJO^■(kz) = p(J^(k) Q.^^.Q\jf\, (12.67)
I
С^Е (kz) = ..-^ ^ . (12.66)
\
Z-QLQ I 'X
В котором проекционный оператор Q теперь исключает
дополнительно и продольное поле E^■. (Это, как мы
упоминали, не влияет на результаты для поперечных компонент.)
В уравнении (12.67) было использовано продольное
микроскопическое уравнение Максвелла Ё^- -\- J^- = 0. В ито-
269

re наше определение «регулярной» проводимости теперь
обобщается следующим образом;
aij{kz) = ipOiik)\Qlz~QLQ]-'Q\Jj(k)y. (12.68)
Чтобы выяснить отношение (12.Ь5) и (12.68) к
измеряемым величинам, следует рассмотреть систему, которая при
/ = О' поддерживается в состоянии вынужденного
равновесия с помощью некоторой внешней силы (т. е.
электрического поля), создающей неравновесный заряд. Если при
^ = О эта сила мгновенно выключается, то возвращенце к
полному равновесию описывает уравнение для
продольного поля
<E'-(r,o> + <JЧ^O>-o
или
—i2<E^(ife2)>+<J^(ife2)> = <E^(^,^ = 0+)>, (12.69)
где
оо
<£^ (kz)y = Г dte'* (Е^- (k, 0> (12.70)
6 I
и т. д. Так как для / >• О внешнее поле отсутствует, то
можно определить измеряемую локальную проводимость как
отношение {J^■ {kz)'}l{E^- (kz)} и получить
[z + ia^■(kz)]8{E^■(kz)У = i&{E^'(k,t = 0+)). (12.71)
Такой же эксперимент описывается в общем случае
уравнением (3.14) в линейной теории отклика. В результате
можно идентифицировать измеряемую продольную
проводимость, сравнив выражения (12.71) и (12.66):
a^'(kz) = a^'(kz)xFE^^{k). (12.72)
Эта хорошо определенная микроскопическая величина
имеет все характеристики обобщенного коэффициента
переноса: a^' (kz) является аналитической функцией частоты z
для 1т Z Ф О и в случае, если корреляции статического
поля сильны, так что функция %^^ (k) велика, о^ (kz)
соответственно уменьшается в согласии с общим свойством
«критического замедления». Правило сумм
— 0'^(М = ю? (12.73а)
I
270

I
для^^ вещественной части а'^ (^со) комплексной функции
а^ {k, со + iO) справедливо при всех значениях k; читатель
распознает в (12.73а) правило продольных /-сумм. Более
полезно, однако, эквивалентное правило сумм
-^ а'ММ = (0^xEi (k), (12.736)
л
так как а^ более непосредственно относится к
эксперименту. Заметим в заключение, что согласно (12.66)
дисперсионное соотношение для флуктуации заряда таково:
(О + \о^ {k(i>) = (О + i^"- (Ы) ХЁЕ^"- (А;) = О (12.74)
или, в соответствии с обычным равенством е^ = .1 + 'юЧа,
е^(^(й)==0. В статье [75] через а' (kz) обозначена величина,
записанная в (12.70) как а^ (kz).
К сожалению, то, что мы записали в нескольких
последних формулах, не является общепринятым определением
локальной проводимости [6, 76]. В то время как формулы
(12.66) и (12.72) определяют проводимость через
8^ (kz) = 1 + — а^ (kz) ■■
' 1 XppJM
J 5C££(te)l~'
["
5C££(fe) J
(12.75)
— 1
обычно (см. [6, разд. 4.1]) используется определение с
помощью
(12.76)
8^(А;2)=1 + —a^(A;2) = [l
Хрр (kz) 1-1
где мы привлекли уравнение Пуассона V • Е = р, чтобы
заменить продольное электрическое поле плотностью
заряда. Уравнение (12.76) выведено посредством рассмотрения
линейного отклика на полное (внешнее плюс
индуцированное) электрическое поле в системе. Если бы удалось
доказать, что равенство (12.46) Х££ (Л) ^' 1 справедливо и для
продольных полей, то тогда бы два определения (12.75) и
(12.76) совпали и здесь не было бы трудностей. Но мы не
столь удачливы. Если, однако, отсутствуют полевые
флуктуации бесконечного радиуса, то тензор Хе.е- (k) должен
быть изотропным при ^ -> О, так что
limx^£(A:)-limA;-*r-^w-iXpp(M = l- (12-77)
ft->0 ft-»-0 J n
271

Это правило сумм учитывает экранирование
электрического поля. Оно нарушается только в гипотетическом
однородном совершенном изоляторе, в котором движение,
скомпенсированного заряда запрещено и корреляции^
потенциала имеют бесконечную длину. Во всех прочих
системах, включая сверхпроводники, выражение (12.79)
показывает, что по крайней мере при k-> О определения (12.75)
и (12.76) совпадают. Но остается несоответствие при
конечных k. Вследствие этого диэлектрическая функция,
определенная с помощью (12.76), не обязательно будет
удовлетворять соотношениям Крамерса—Кронига [6, 75], хотя
почти во всех системах она им удовлетворяет.
На этом дискуссия прекращается. Для ознакомления
со многими деталями и дополнительными результатами
(которые также могут быть легко получены с использованием
представленного здесь формализма) читатель должен
обратиться к цитированной выше литературе. Автор надеется,
что даже этим очень кратким и неполным изложением он
убедил читателя в том, что и заряженные системы могут быть
успешно рассмотрены и поняты в рамках универсального
формализма функций корреляции и памяти, правил
сумм, законов сохранения, нарушенной симметрии и всего
того, чем мы пользовались для анализа богатого
разнообразия физических систем и явлений.

Приложение
эффективные сечения рассеяния
в этом Приложении мы приведем стандартные выражения,
которые связывают дифференциальные эффективные сечения
рассеяния, наблюдаемые при неупругом рассеянии нейтронов, электронов
или света от многочастичных систем, с различными
корреляционными функциями, описывающими внутреннее движение этих систем.
Это проторенный путь, и мы не будем пытаться критически
анализировать или обсуждать предположения, на которых основан вывод.
Более полное обсуждение проблемы рассеяния дано, например, в
работе [76].
П.1. Электронное расеяние
Простейшим примером является рассеяние электронов на
зарядах системы, взаимодействие с которой выражается кулоновским
потенциалом:
V=2ee"V(R—г") = е rd3/-V(R_r)p(r), (П.1)
ос •'
где е, R — заряд и координаты внешнего электрона; е", г" — они
же для а-й частицы мишени, р (г) — оператор плотности системы,
служащей мишенью. Если падающие электроны достаточно быстры,
можно использовать приближение Борна, тогда частота переходов
выражается «золотым правилом» Ферми;
P,^f=-~\Vfil^6{Ef-Ei~hco). (П.2)
Здесь Ei и Ef — начальная и конечная энергия системы мишени,
Лео дает потери энергии падающего электрона. Если обозначить
изменение его импульса hk, так что
6/j=e.—йсо, к^. = к. —к, (П.З)
то матричный элемент взаимодействия V (R — г) между
состояниями электрона, описываемыми плоскими волнами, будет равен
<.ki\V(R-т)\kfУ=V(k)e-^^', (ПА)
где
V(k) = jd3re-"''V(r)='^- (П.5)
Для кулоновского взаимодействия. В итоге находим
Vif = eV(k)^dзre-^^''<i\p(т)f>■, (П.6)
последний множитель относится к состояниям мишени. Удобно
разложить fl-функцию в формуле (П.2) на ее компоненты Фурье:
оо
<i\p(r)\f>6(Ef~Ei~hai) = {2nh)~^ J d/e'"'</1 р(г, О I/> > (П'^)
ОО
273

где р (г, t) является зависящей от времени плотностью заряда в
представлении Гейзенберга. В итоге, подставляя полученные выше
выражения в соотношение (П.2) и суммируя по всем конечным/;остоя-
ниям мишени и по всем конечным состояниям электрона в dPkf,
находим
X<t|p(r,Op('-'.0)l'>- (П.8)
Наконец, усредняя эту частоту переходов по равновесному
распределению начальных состояний мишени, получаем
дифференциальное сечение электронного рассеяния:
Потокх^(т=/2Р,-^Л- (П.9)
Поток налетающих электронов равен tiki/nie. С учетом dskf =
= kf dkf dQf = — kf dbf dilf получаем окончательный результат
d2(y k. ma g2
=— S„„(to), (П.10)
VdEfdilf ki (2я)з mk* ""^ ' ^
где
Spp(^a)) = Jd((-r)j'd(r-r')e-'"('-'')-"'('-'')x
X<p(r,t)p(r' ,t')> (П.11)
является корреляционной функцией плотности заряда. (В
электрически нейтральной системе <р> = 0.) Читатель должен отметить,
что мы определили Лш и Лк в формуле (П.З) как потери энергии и
импульса рассеивающегося электрона. Многие авторы вместо этого
используют соответствующие приобретения энергии и импульса.
Определение (П.З) удобно при нашем выборе знака в
преобразовании Фурье. Так как при тепловом равновесии
Spp(^. -м) = е-РЙ«5рр(й,а)), (П.12)
электроны могут приобретать энергию только при конечной
температуре, когда имеются возбуждения в системе, способные отдать
энергию, потери же могут происходить всегда.
П.2. Рассеяние нейтронов
Нейтроны взаимодействуют с ядрами атомов или молекул в
системе посредством сил столь короткого радиуса, что можно написать
V=2V(r,^-r») = 2ae(r^-r«), (П. 13)
а а
где псевдопотенциал а определяет величину контактного
взаимодействия. Мы не будем учитывать зависимость а от спинов. Тогда
V = a j'dre(r;^-r)n(r) (П. 14)
274

и моЦно использовать наше предыдущее рассмотрение без
существенных изменений. Заменяя е/к^ на а и р {rt) на п (rf), находим
ti» а _ kf '"h \а\
VdBfdQf ki (2я)з Л5
8пп(Щ. (П. 15)
Отметим, что функция S„„ (йш) определена через флуктуации
плотности частиц. В дополнение к формуле (П. 15) имеется член,
получаемый заменой S„„ (кш) на
fd(<-r)Jd(r-r')e'""-''>-""'-''></j(r, 0> <п(г', Г)>.
(П.16)
В кристаллическом твердом теле этот член описывает упругое
рассеяние Брэгга, В трансляционно-инвариантной жидкости этот член
скажется только на расстоянии вперед. '
Учтем, наконец, что в общем случае взаимодействие зависит от
спина. Если предположить, что ядерные спнны различных атомов
некоррелированы, то получим второй вклад, который подобен
(П. 15), но в котором Snn (^ш) заменяется функцией корреляции
S(rt,r't') = /Se(r-r°'(0)6(r'-r°'(r))\. (П.17)
Этот вклад называется некогерентным, он измеряет самодиффузию
атомов. Вклад, полученный в выражении (П. 15), называется
когерентным.
П.З. Магнитное рассеяние нейтронов
Нейтроны имеют магнитный момент ц = 1,91 —-;, который ис-
пытывает магнитное дипольное взаимодействие с намагниченностью
системы. В общем случае это записывается в виде
1/=2 2ц^ Sf Vij (r^-r°') ц"' = J dr2n^ S^ Vtj (t'^~t) Mj (r).
(П.18)
Теперь можно снова вычислить сечение рассеяния с помощью общей
процедуры, предложенной в разд. П.1. Дипольное взаимодействие
дается выражением
Vij (О = - -Г- Vi V; -> kikj. (П. 19)
Если считать нейтроны неполяризованными и просуммировать по
всем конечным поляризациям, то получим
(Ра _kfiii''my
VdEfdilf ki (2п)3№ -'"^i^j
для дифференциального сечения на единицу объема.
275
kiSM,MAkm)kj (П. 20)

П.4. Рассеяние света ,
В диэлектрической жидкости свет рассеивается на локальных
неоднородностях диэлектрической постоянной, которые в поле
падающего света вызывают флуктуирующую поляризацию среды
bP(rt). Из уравнений Максвелла
(V2 +k^) £ (г. ш) = - -^ 8Р (г, ш).
0)2
где k^=—Г~®' нзходим рассеянное поле
1 dr' 6Р(т' ,а>)^
4ясО I г —г' I ^ ' ' ^ 4яс2
x5<ir'e-'''^'SP(r', ш) (П.21)
где второе равенство справедливо вдали от области рассеяния;
к =■ й (т/г) — направление наблюдения. Излученная мощность на
частоте ш^ для вектора поляризации е^, поступившая из среды
наружу, равна
N = ^} с < I e^ Е (г. ш) |^> Г-1 = й} ^ (^)' <1«/^Р (й^,(о^)Р>Г-1,
(П. 22)
где Г = ) dt — время, в течение которого происходило рассеяние.
(Рассмотрение волновых пакетов позволяет лучше управиться с этим
неопределенным параметром и дает такой же окончательный
результат.)
В поле падающей волны Е"^''=е;е ' ~"' индуцируется
поляризация среды
6^1 (г, t) = bzis(r,t)Ef''{r,t)
или
if6P(kf,(itf) = 8sfi(kf—ki,(i>f—(i>i). (П.23)
Если мы запишем
S,3(^,Q)) = Jd(<-r)Jd(r_r')e'"('-'')-"'C-'")X
X<bsfi(r, t)6efi(r',t')), (П.24)
то получим
где
k/ = kj—к, Q)/ = Q)j—ш. (П.26)
276

Если мы теперь определим сечение рассеяния соотношением
d(i)f
(Падающий поток)Хda ='Nг^ dQf —— (П.27)
и заметим, что поступающий внутрь среды поток равен с/Т/ё? то
найдем
d^a \ Yr [(OfY
с учетом выражения для S^^ (П.24) это — стандартная формула для
рассеяния света. При ее выводе, который является обычным
выводом для дипольного излучения, мы рассматривали флуктуацию
6e{j (г, t) диэлектрического тензора как нормальную локальную
переменную. В газе, атомы или молекулы которого Существенно
изолированы друг от друга, проблемы в этой связи не возникает:
диэлектрические свойства определяются поляризуемостью молекул.
В жидкости е (г, О — величина, более скоррелированная, в
частности, если молекулы имеют постоянные электрические дипольные
моменты, как во многих жидкокристаллических веществах. В этом
случае следует полагать, что протяженность тех корреляций,
которые эффективно влияют на е (г, t), мала в сравнении с длинами волн
учитываемых нами флуктуации.
В изотропной жидкости и флуктуации е являются изотропными,
т. е. 6eij— 6e6ij, так что уравнение (П.28) приводит только к не-
поляризованному рассеянию. Если предположить, что бе
флуктуирует в ответ на флуктуации локальной плотности частиц и имеет вид
6B(r,t)=(-^]bn(r,t), (П.29)
дп
то получим
d^o_ _ (± J^V f^y (^^ _.^^), ^^^ ^^^^ ^^ ^^_30)
:)з
VdQfdaf V 2 дп j \ с ) ^ " ' ' (2я):
Вклад температурных флуктуации — величина порядка (Зе/ЗГ)*,
всегда пренебрежимо малая.
В жидких кристаллах наибольший вклад в бе;у- вносят
флуктуации локальной ориентации, как отмечалось в формуле (11.20),
и при рассеянии доминирует деполяризация. В этом случае даже
равновесная диэлектрическая постоянная является одноосной, и
следует позаботиться о том, чтобы использовать обыкновенный
или необыкновенный луч для падающего и рассеянного пучков света.
Анизотропные флуктуации присутствуют даже в изотропной пред-
переходной области нематиков. Их влияние было замечено также
по деполяризации рассеяния света от многих ненематогенных
молекулярных жидкостей, которые оптически изотропны, но состоят
из анизотропных молекул.

список ЛИТЕРАТУРЫ
1. Де Жеи П. Сверхпроводимость металлов и сплавов. Пер. с англ.
М., Мир, 1968.
2. Де Жеи П. Физика жидких кристаллов. Пер. с англ. М., Мир.,
1977.
3. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. Пер. с англ.
М., Физматгиз, 1960.
4. КадаиовЛ., Бейм Г. Квантовая статистическая механика. Пер.
с англ. М., Мир, 1964.
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.,
Физматгиз, 1953.
6. Пайис Д., Нозьер Ф. Теория квантовых жидкостей. Пер. с англ.
М., Мир, 1967.
7. Стеили Г. Фазовые переходы и критические явления. Пер. с
англ. М., Мир, 1973.
8. Фейиман Р. Статистическая механика. Пер. с англ., М., Мир,
1975.
9. Халатников И. М. Теория сверхтекучести. М., Наука, 1971.
10. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и
астрономии. Пер., с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1947.
И. Ailawadi N. К., Вегпе В. J., Forster D. — Phys. Rev., 1971,
V. A3, p. 1462.
12. Allen J. F., Jones H. — Nature, 1938, v. 141, p. 243.
13. Ambegaokar V., de Gennes P. G., Rainer D. — Phys. Rev., 1974,
V. A9, p. 2676.
14. Andersen H. C, Pecora R. — J. Chem. Phys., 1971, v. 54, p. 2584.
15. Anderson P. W. —Phys. Rev., 1958, v. 112, p. 1900. (Андерсон П.
Приближение хаотических фаз в теории сверхпроводимости —
В кн.: Теория сверхпроводимости. Пер. с англ. и нем. М., Изд-
во иностр. лит., 1960.)
16. Anderson Р. W., Morel Р. — Phys. Rev., 1961, v. 123, p. 1911.
17. Anderson P; W. Concepts in Solids. N. Y., W. A. Benjamin, Inc.,
1964.
18. Anderson P. W. — In: Lectures on the Many-Body Problem.
V. 2. Ed. E. R. Caianello. N. Y., Academic Press, 1964, p. 113.
19. Anderson P. W. — In: Quantum Fluids. Ed. D. F. Brewer.
Amsterdam, North-Holland Publishing Co, 1966, p. 146.
20. Baym G. — In: Mathematical Methods of Solid State and Super-
fluid Theory. Ed R. С Clark. Edinburgh, Oliver and Boyd, 1969,
p. 121.
21. Bennet H. S., Martin P. С — Phys. Rev., 1965, v. 138A, p. 608.
22. Berne B. J., Boon J. P., Rice S. A. — J. Chem. Phys., 1966,
V. 45, p. 1086.
23. Berne B. J., Forster D. — Ann. Rev. Phys. Chem., 1971, v. 22,
p. 563.
24. Berne B. J., Harp G. D. — Advances. Chem. Phys., 1970, v. 17,
p. 63.
25. Berne B. J., Pecora R. Dynamic Light Scattering with
Applications to Chemistry, Biology and Physics. N. Y., John Wiley
&Sons„ 1975.
278

26. Bogoliubov N. — Physica, I960, v. 26, p. 1.
27. Callen H. В., Welton T. A. — Phys. Rev., 1951, v. 83, p. 34.
28. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability
Lond., Oxford University Press, 1961.
29. Chatelain P. — Acta Crystallogr., 1948, v. 1, p. 315.
30. Chung С H., Yip S. — Phys. Rev., 1969, v. 182, p. 323.
31. Collins M. F., Minkiewicz V. J., Nathans R., Passell L., Shirane G
— Phys. Rev., 1969, v. 179, p. 417.
32. De Gennes P. G. — J. Phys. Chem. Solids, 1959, v. 4, p. 223.
33. De Gennes P. G. — Phys. Lett., 1969, v. 30A, p. 454.
34. Donnelly R. J. Experimental Superfluidity. Chicago, The
University of Chicago Press, 1967.
35. Dorfman J. R., Cohen E. G. D. — Phys. Rev. Lett., 1970, v. 25,
p. 1257.
36. Enz Ch. P. — Revs Mod. Phys., 1974, v. 46, p. 705.
37. Ernst M. H., Hauge E. H., van Leeuwen J. M. J. —Phys. Rev.
Lett., 1970, V. 25, p. 1254.
38. Fano U. — Revs Mod. Phys., 1957, v. 29, p. 74.
39. Fetter A. L., Walecka J. D. Quantum Theory of Many-Particle
Systems. N. Y., McGraw Hill, 1971.
40. Forster D., Martin P. C, Yip S. — Phys. Rev., 1968, v. 170,
p. 155, 160.
41. Forster D., Lubensky T. C, Martin P. C, Swift J., Pershan P. S.
— Phys., Rev. Lett., 1971, v. 26, p. 1016.
42. Forster D. — Ann. Phys., 1974a, v. 84, p. 505.
43. Forster D. — Phys. Rev. Lett., 1974b, v. 32, p. 1161.
44. Forster D. Theory of Liquid Crystals — In: Advances. Chem.
Phys., 1975, V. 31, p. 231.
45. Frank F. С — Discussions Faraday Soc, 1958, v. 25, p. 19.
46. Goldstone J. — Nuovo cimento, 1961, v. 19, p. 154.
47. Goldstone J., Salam A., Weinberg S. — Phys. Rev., 1962,
V. 127, p. 965.
48. Graham R. — Phys. Rev., Lett., 1974, v. 33, p. 1431.
49. Halperin B. I., Hohenberg P. С — Phys. Rev., 1969, v. 188,
p. 898.
50. Halperin B. I., Hohenberg P. С — Phys. Rev., 1969, v. 177,
p. 952.
51. Hohenberg P. C, Martin P. C —Ann. Phys., 1965, v. 34, p. 291.
52. Hohenberg P. С — Phys. Rev., 1967, v. 158, p. 383.
53. Josephson B. D. — Phys. Lett., 1966, v. 21, p. 608.
54. Kadanoff L. P., Martin P. С — Ann. Phys., 1963, v. 24, p. 419.
55. Kadanoff L. P., Swift J. — Phys. Rev., 1968, v. 166, p. 89.
56. Kapitza P. L. — Nature, 1938, v. 141, p. 74.
57. Katz A., Frishman Y. — Nuovo cimento, 1966, v. 42A, p. 1009.
58. Kawasaki K. — Ann. Phys., 1970, v. 61, p. 1.
59. Kerr W. C, Pathak K. N., Singwi K. S. — Phys. Rev., 1970.
V. A2, p. 2416.
60. Kibble T. W. B. — In: Proceedings of the Oxford International
Conference on Elementary Particles, 1965. Harwell, Rutherford
High Energy Laboratory, 1966.
61. Kirkwood J. G. — J. Chem. Phys., 1946, v. 14, p. 180.
62. Kristaponis J., Forster D. (to be published).
63. Kubo R. — J. Phys. Soc. Japan, 1957, v. 12, p. 570. (Кубо P.
Статистическая механика необратимых процессов. —
279

в кн.: Вопросы квантовой теории необратимых процессов. Пер.
с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1961.)
64. Kubo R. — In: Lectures in Theoretical Physics. V. 1. N. Y.,
Interscience, 1959. (Кубо P. Некоторые вопросы статистико-ме-
ханической теории необратимых процессов. — В кн.:
Термодинамика необратимых процессов. Пер. с англ. М., Изд-во
иностр. лит., 1962.)
65. Kwok Р. С, Martin Р. С. — Phys. Rev., 1966, v. 142, p. 495.
66. Landau L. D., Placzek G. — Phys. Z. Sowjetunion, 1934, v. 5,
p. 172. (Ландау JI. Д. Собрание трудов. Т. I. М., Наука, 1969.)
67. Lange R. V. —Phys. Rev., 1966, v. 146, p. 301. (Лаиге P.
Нерелятивистский аналог теоремы Голдстоуна. — В кн.: Гугеи-
гольц Н. Квантовая теория систем многих тел. Пер. с англ. М.,
Мир, 1967.)
68. Lebowitz J. L. — In: Statistical Mechanics. Proceedings of
the Sixth lUPAP Conference. Ed. S. A. Rice. Chicago,
University of Chicago Press, 1972, p. 41.
69. Lebowitz J. L., Resibois P. — Phys. Rev., 1965, v. A139,
p. 1101.
70. Lubensky T. С — Ann. Phys., 1971, v. 64, p. 424.
71. Lubensky T. C. — Phys. Rev., 1970, v. A2, p. 2497.
72. JWa, Shang-keng. Modern Theory of Critical Phenomena. W. A.
Benjamin, Inc., Lond., 1976. CMa Ш. Современная теория
критических явлений. Пер. с англ. М., Мир, 1980.)
73. JWartin Р. С, Schwinger J. —Phys. Rev., 1959, v. 115, p. 1342.
(JHapTHH П., Швиигер Ю. Теория систем многих частиц. Пер. с
аигл. М., Изд-во иностр. лит., 1962.)
74. JHartin Р. С. — In: Statistical Mechanicsof Equilibrium and Non-
Equilibrium Ed. J. Meixner. Amsterdam, North-Holland
Publishing Co. 1965, p. 100.
75. JWartin P. С — Phys., Rev., 1967, v. 161, p. 143.
76. JWartin P. С — In: Many-Body Physics. Eds. C. De Witt and
R. Balian. N. Y., Gordon and Breach, 1968.
77. JWartin P. С — In: Superconductivity. Ed. R. D. Paries. N. Y.,
Marcel Delil^er, Inc., 1969, p. 371.
78. JWartin P. C, Parodi 0., Pershan P. S. — Phys. Rev., 1972,
V. A6, p. 2401.
79. JWartinoty P., Candau S. — Mol. Cryst. Liquid Cryst., 1971,
V. 14, p. 243.
80. JWazenkoG. F., Wei T. Y., C, Yip S. — Phys. Rev., 1972, v. A6,
p. 1981.
81. JWermin N. D. — J. Math. Phys., 1966, v. 8, p. 1061.
82. JWinkiewicz V. J., Collins M. F., Nathans R., Shirane G. —
Phys. Rev., 1969, v. 182, p. 624.
83. JWori H., Kawasaki K.— Progr. Theoret. Phys. (Kyoto), 1962,
V. 27, p. 529.
84. JVlori H. —Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 1965, v. 34, p. 423.
85. Nozieres P. Theory of Interacting Fermi Systems. N. Y., W. A.
Benjamin, Inc., 1964.
86. Nozieres P. — In: Quantum Fluids. Ed. D. F. Brewer. Amsterdam,
North-Holland Publishing Co., 1966, p. 1.
87. Nozieres P., Pines D. The Superfluid Bose Liquid (unpublished
manuscript), 1964.
88. Nyquist H. — Phys. Rev., 1928, v. 32, p. 110.
89. Onsager L. — Phys. Rev., 1931, v. 37, p. 405; v. 38, p. 2265.
280

90. Orsay Liquid Crystal Group. — Phys. Rev. Lett., 1969, v 22
p. 1361.
91. Orsay Liquid Crystal Group. — Mol. Cryst. Liquid Cryst.
1971, V. 13, p. 187.
92. Penrose 0., Onsager L. — Phys. Rev., 1956, v. 104, p. 576.
93. Pines D. — In: Proceedings of the IX International Conference
on Low Temperature Physics. Eds. J. G. Daunt, D. O. Edwards
F. J. Milford, M. Jaqub. N. Y., Plenum Press,, 1965, p. 61.
94. Puff R. D. — Phys. Rev., 1965, v. 137, p. A404.
95. Rice S. A., Gray P. The Statistical Mechanics of Simple
Liquids., N. Y., Interscience, 1965.
96. Snyder H.— Phys. Fluids, 1963, v. 6, p. 755.
97. Stegeman G. I. A., Stoicheff B. P. — Phys. Rev., 1973, v. A7,
p. 1160.
98. Stephen M. J., Straley J. P. — Revs Mod. Phys., 1974, v. 46,
p. 617.
99. Straley J. P. — Phys. Rev., 1972, v. A4, p. 675.
100. Tisza L. — Nature, 1938, v. 141, p. 913.
101. Van Hove L. — Phys. Rev., 1954, v. 95, p. 249.
102. WaxN. Noise and Stochastic Processes. N. Y., Dover
Publications, Inc., 1954.
103. Weldlich W. — Brit. J. Math. Statist. Psychol., 1971, v. 24.
p. 251.
104. Weidlich W. — In: Collective Phenomena. N. Y., Gordon and
Breach, 1972, p. 51.
105. Wilks J. The Properties of Liquid and Solid Helium. Oxford,
Clarendon Press, 1967.
106. Wilson K. D., Kogut J. Phys. Rep., 1974, v. 12C, № 2, p. 75.
(Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и е-
разложение. Пер. с англ. М., Мир, 1975.)
107. Yang С. N. — Revs Mod. Phys., 1962, v. 34, p. 694.
108. Zwanzig R. — In: Lectures in Theoretical Physics. V. 3. N.Y,
Interscience, 1961.
109. Zwanzig R., Mountain R. D. — J. Chem. Phys., 1965, v. 43,
p. 4464.
110. Zwanzig R. —In: Statistical Mechanics. Proceedings of the
Sixth lUPAP Conference on Statistical Mechanics. Eds. S. A.
Rice, K. F. Freed, and J. С Light. Chicago, University of
Chicago Press, 1972, p. 241.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автокорреляционная функция
скоростей 112
Ансамбль 72, 142, 200
Антиферромагнетики 174—189
дальний порядок 176—177
намагниченность подреше-
ток 174—175
параметр порядка 176—177
правила сумм 177
флуктуации энергии 180,
см. также спиновые волны
Галилея преобразование 65
Гейзенберга ферромагнетик 140
Гидродинамическая мода 17,
136
Гильбертово пространство
наблюдаемых 92, 99—100
Голдстоуна теорема 147—150
радиус действия сил 147,
150—152
гидродинамические моды
154—161
Блоха уравнение 137
Боголюбова неравенство 145—
147
Бозе-конденсация
в зНе 261
в 'Не 200—205
в сверхпроводниках 253—
256
отсутствие в двумерных
системах 221
Бра- и кет-операторы 92—93,
121
Бриллюэна пик 62, 77—78
в нематнках 242
Броуновское движение 111—
132
численные расчеты
динамики частиц 117
Вакансий диффузия 253
Возмущений теория 48—51
Восприимчивость обобщенная
50
Времени релаксации
приближение 38—42
Вторичное квантование 201—
203
Второй звук 191, 210—211
Высокочастотное приближение
для нормальных жидкостей
87
для спиновой
корреляционной функции 46
Высокочастотное разложение
37—38, 56
Вязкость; см. сдвиговая
вязкость, объемная вязкость
Дальние корреляции
нарушенная симметрия
133—161
свободная энергия 153
Двухжидкостная модель 192—
193, 207—221
Динамика вблизи критической
точки 108
Динамический структурный
фактор 61
для свободных
классических частиц 83—84
в гидродинамическом
пределе 74—75
Дисперсионные соотношения
для общего случая
флуктуации 96
для сдвиговой диффузии
86
для спиновых флуктуации
43—47
Диссипация и положительность
54-56
Жидкие кристаллы, см. нема-
тические жидкие кристаллы
Заряженные системы 261—272
плазмой 260
Звука коэффициент затухания
69
и рассеяние света 77
Интерполяционный метод 88—
89
Калибровочная симметрия 197—
207
282

Коммутационные соотношения
для полей 262
Крамерса—Кронига
соотношение 29—30, 266, 272
Критическая опалесценция 79
Критические флуктуации 79
Критическое замедление 40—79
Кубо корреляционные функции
61, 101
Кубо формулы
для коэффициента
релаксации директора 239
спиновой Диффузии 22,
31—32
трения 116—118
для объемной вязкости
80—83, 242
для сдвиговой вязкости
80—83, 242
для теплопроводности 80—
83, 242
и нарушенная
139
симметрия
Ланжевена уравнение 119—124
Леннарда—Джонса потенциал
86
Линейный отклик 26—30, 48—
51
Лиувилля оператор 92
для броуновского движения
113, 115—116
в квантовой механике 99
Локальные наблюдаемые
величины А (г) 59
и дальний порядок 59—60
Максвелла уравнения 259, 262
Массовый оператор 95
Материальные уравнения
для жидких кристаллов
244—247
для нормальных жидкостей
64—66
для сверхтекучего ■'Не 221
для спиновой диффузии 17
Мезоморфные фазы 225, 251
Мейснера эффект 257—259,
267—268
Молекул динамика 116—117
Навье—Стокса уравнения 64—
66
Нарушенная симметрия 133—
161
в двумерных системах 152,
221—224
в нематиках 226, 229—231
в твердых телах 250—252
в сверхпроводниках 253—
255
в сверхтекучем ^Не 260
в сверхтекучем ■'Не 197—
204
для вращений 229—231
для калибровочной
инвариантности 197—204
для спиновых вращений
139-^147, 174—JL75
для трансляций 249—252
и гидродинамические моды
136—440, 154—161
правила сумм 145
функции памяти 154—161
элементарные возбуждения
151—152
неравенство Боголюбова
145—147
радиус действия сил 147,
150—151
Нейтронов рассеяние 19, 23, 33,
274—275
Нематические жидкие
кристаллы 225—252
длина когерентности 229
директор 228
законы дисперсии мод 237
корреляционные функции
238—240
коэффициенты переноса 237
коэффициенты Франка 229,
232
параметр порядка 230
помутнение 232—234
поперечные флуктуации 234
продольные флуктуации
241—243
соотношения Кубо 238, 241,
243
тензор напряжений 243,
246—247
термодинамические
правила сумм 238
Нормальные жидкости 61—89
корреляционные функции
73—77
коэффициенты переноса
64—66, 80—83
283

правила сумм 72—73, 85—
86
рассеяние света 77^80
Обобщенная гидродинамика 87
Обращение времени 52, 53
в ферромагнетиках 163
Объемная вязкость 65
Ограниченный ансамбль 142
Онсагера гипотеза о затухании
флуктуации 21
Онсагера соотношения 81, 99
Отклика функции 29, 30
Памяти функция 39, 90—110
Парная корреляционная
функция 79, 86
Переменная восстановления
симметрии 136, 139, 149
Переменная нарушения
симметрии 136, 139, 149
Плазмой 260
Плотности матрица
для нормальных систем 27
для ферромагнетиков 142—
143
для г|-ансамбля в ■'Не 204
Полевые операторы 201—202,
254
Поперечные моды
в нематических жидких
кристаллах 234—240
в нормальных жидкостях 67
в сверхтекучих жидкостях
214
Поперечная проводимость 266—
267
Правила сумм 36—38, 56—57
для проводимости 269
для электромагнитного
поля 263
разложение для коротких
промежутков времени 38
разложение по большим z
37—38
расчеты на их основе 40,
85—86
Равнораспределения теорема
111-113
Релаксации процессы 18, 51, 60
Рэлея пик 62, 77
в нематиках 242
Сверхпроводники 253—272
дальний порядок 256—257
глубина проникновения 259,
267
параметр порядка 254
эффект Мейснера 257—259,
267
Сверхтекучий ■'Не 190—224
второй звук 211
гидродинамические моды
210, 214
дальний порядок 197
корреляции плотности
импульса 197
корреляционные функции
215—217
макроскопическое течение
191—197
нарушенная калибровочная
симметрия 197—200
плотность сверхтекучей
компоненты Ps 196, 206, 224
соотношения Кубо 217—219
фазовая диаграмма 190
Света рассеяние 276
в жидких кристаллах 232—
234
в нормальных жидкостях
61—62, 77—80
Связь между модами 108
Сдвиговые вязкости 65
волны 87
Сдвиговой модуль на высокой
частоте 87
Симметрии свойства, функций
памяти 98
корреляционных функций
52—53
Смектические жидкие
кристаллы 250—251
Собственная энергия 95
Сохранения законы
гидродинамические моды 17
функции памяти 106
Спин-волновые возбуждения
162
Спиновые волны в
антиферромагнетиках 179—189
закон дисперсии 182—185
затухание 183—185
корреляционные функции
179, 183—186
правила сумм 177, 186
рассеяние нейтронов 187—
189
формулы Кубо 186
284

Спиновые волны в
ферромагнетиках 165, 167
закон дисперсии 166—167
затухание 167—168
корреляционные функции
169—171
правила сумм 187—189
рассеяние нейтронов 169^
171
формулы Кубо 169—171
Спиновая диффузия 15—47
Спиновой диффузии
коэффициент 17, 32, 40—42
Спиновой плотности
корреляционная функция 19—23, 163—
165, 178—181, 185—186
Стохастическая сила 120—121
распределение 126
Твердые тела, характеристика
247—252
Температурные волны 211—212
Тепловая диффузия 69
и рассеяние света 78
Теплопроводность 65
в нематиках 246
Термодинамические правила
сумм 31, 70—73, 169
Термодинамические силы 220,
245
Трения коэффициент 111, 116^
118, 131
Тройная корреляционная
функция 86
Устойчивости условие 35—36,
54—55
Фермионы 254
Ферромагнетики 135, 140—147,
162—173
дальний порядок 135, 147
правила сумм 168—169
энергетические флуктуации
172—173, см. также
спиновые волны
Флуктуационно-диссипационная
теорема 32—35, 57—60
вторая 120, 123
для г|-ансамбля 223
и рассеяние нейтронов 33
Фоккера—Планка уравнение
127—132
марковский предел 131
Франка свободная энергия 228
Фредерикса переход 229
/-сумм правило
для нормальных жидкостей
57
для парамагнетизма
свободных электронов 37
для сверхпроводимости 256
для сверхтекучего *Не
195—197
для функции памяти 41
Эйнштейна соотношение 126
Экранирование 277
Энтропии плотность 68
спектр флуктуации 75, 216
Эргодичность 59
Эффективные сечения
рассеяния
для нейтронов 274—275
для света 276—277
для электронов 273—274

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора серии 5
Предисловие автора 8
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ 10
Глава 2. ПРОСТОЙ ПРИМЕР — СПИНОВАЯ ДИФФУЗИЯ 15
2.1. Гидродинамическое описание 16
2.2. Спиновая корреляционная функция
(приближенный подход) 19
2.3. Магнитное рассеяние нейтронов 23
2.4. Статическая восприимчивость 24
2.5. Линейный динамический отклик ........ 26
2.6. Гидродинамика и корреляционная функция .. . 30
2.7. Флуктуационно-диссипационная теорема .... 32
2.8. Положительность величины шх" (k, ю) . . . . ■ 35
2.9. Правила сумм 36
2.10. Приближение времени релаксации 38
2.11. Представление дисперсионного соотношения 43
Глава 3. ФОРМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ 48
3.1. Линейный динамический отклик 48
3.2. Свойства симметрии 52
3.3. Положительность величины а)%" (й, ш) и
диссипация 54
3.4. Правила сумм 56
3.5. Флуктуационно-диссипационная теорема .... 57
Глава 4. НОРМАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ 61
4.1. Уравнения динамики жидкости 64
4.2. Решение гидродинамических уравнений 66
4.3. Термодинамические правила сумм 70
4.4. Гидродинамические корреляционные функции 73
4.5. Рассеяние света 77
4.6. Выражения Кубо для коэффициентов переноса 80
4.7. Поведение свободных частиц 83
4.8. Вычисления с помощью правила сумм 85
Глава 5. ФОРМАЛИЗМ ФУНКЦИЙ ПАМЯТИ 90
5.1. Проекционные операторы и функции памяти 91
5.2. Матрицы функций памяти 97
5.3. Обобщение на квантовую механику 99
5.4. Снова спиновая диффузия 102
Глава 6. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ Ill
6.1. Автокорреляционная функция импульса . . . .111
6.2. Обобщенное уравнение Ланжевена 119
286

6.3. Диффузия тяжелой частицы 124
6.4. Уравнения Фоккера — Планка 127
Глава 7. НАРУШЕННАЯ СИММЕТРИЯ 133
7.1. Дальние корреляции и медленные моды 136
7.2. Нарушенная симметрия в ферромагнетике . . 140
7.3. Неравенство Боголюбова 145
7.4. Теорема Голдстоуна 147
7.5. Некоторые дополнительные соображения . . . 150
7.6. Гидродинамические моды Голдстоуна 154
Глава 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ 162
8.1. Свойства симметрии .• . . 163
8.2. Незатухающие спиновые волны 164
8.3. Затухающие спиновые волны 166
8.4. Правила сумм и формулы Кубо 169
8.5. Поправки 172
8.6. «Продольные» флуктуации 172
Глава 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
В АНТИФЕРРОМАГНЕТИКАХ 174
9.1. Дальний порядок 176
9.2. Соображения симметрии 178
9.3. Незатухающие спиновые волны 181
9.4. Затухание спиновых волн 183
9.5. Пара-, ферро- и антиферромагнетики 187
Глава 10. СВЕРХТЕКУЧИЕ ЖИДКОСТИ 190
10.1. Сверхтекучесть и дальние корреляции 191
10.2. Нарушенная калибровочная симметрия .... 197
10.3. Бозе-конденсация и параметр порядка .... 200
10.4. фазовая когерентность на больших
расстояниях 205
10.5. Гидродинамика без диссипации 207
10.6. Диссипация 212
10.7. Соотношения Кубо 217
10.8. Феноменологические двухжидкостные уравнения 219
10.9. Отсутствие бозе-конденсации в двумерных
системах 221
Глава 11. НЕМАТИЧЕСКИЕ ЖИДКИЕ КРИСТАЛЛЫ. . 225
11.1. Свободная энергия искажения 226
11.2. Параметр порядка 230
11.3. Интенсивность рассеяния света 232
11.4. Поперечные гидродинамические флуктуации . . . 234
11.5. Продольные гидродинамические флуктуации . 241
11.6. Феноменологические уравнения движения . . . 244
11.7. Что такое твердое тело? 247
287

Глава 12. СВЕРХПРОВОДНИКИ. . 253
12.1. Бозе-конденсация в фермиевской системе . . 253
12.2. Сверхпроводимость и эффект Мейснера .... 257
12.3. Кулоновские силы 260
12.4. Линейный отклик в заряженных системах . . 261
ПРИЛОЖЕНИЕ. Эффективные сечения рассеяния 273
П.1. Электронное рассеяние 273
П.2. Рассеяние нейтронов 274
П.З. Магнитное рассеяние нейтронов 275
П.4. Рассеяние света 276
Список литературы 278
Предметный указатель 282
ИБ № 1048
Дитер Форстер (США)
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ,
НАРУШЕННАЯ СИММЕТРИЯ
и КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Редактор Я. А. Носова
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Переплет художника О. В. Камаева
Технический редактор О. Я. Адаскина
Корректор Я. А. Мистрюкова
Сдано в набор 24.01.80. Подписано к печати 13.05.80.
Формат 34X108/32. Бумага тип. № 2.
Гарнитура литературная. Печать высокая.
Усл. печ. л. 15,12. Уч.-изд. л. 15,39. Тираж 2400 экз.
Зак. изд. 77535. Зак. тип. 1568. Цена 2 р. 60 к.
Атомнздат, J03031, Москва K-3J, ул. Жданова. 5
Московская типография № 4 Союзполиграфпромэ
при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли
139041 Москва, Б. Переяславская, ул., 46