Author: Райзер Ю.П.
Tags: электричество магнетизм электромагнетизм физика
ISBN: 5-02-014615-3
Year: 1992
Text
ю. п. РАЙ3ЕР
физи
rA30BOrO
РА3Р
ИЗДАНИЕ BTOPO
,
П:СРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННО:С
lФJ
l\fOCHBA «(НАУНА»
r
ТТАВНАЯ РЕДАНЦИЯ
(1)11 311[,-0 М
Trl\I i\ТИЧЕСhОЙ ЛИТУ РАТУРЫ
1992
r;J)I 22 33
Р18
Yl(l\ 537(075.8)
Pe1iOJteпaOlJano Fосударствеппым ' ОМИ1 ето.м, CCGP
по пародllОМУ образованию
для использования в учебном процессе
студептами физических специальностей
высших учебпых заведепvй
р ( I е н з е н т
, ()I\ 1 Jp фИЗИКО 'lате'lатпчеСJ{ИХ наун: А В Елецкий
р d 11 '3 ерЮ П Физика rаЗОВJIО разряда: Учеб ру-ководство: ДЛЯ BY
.JOB 2 е изд, перераu и ДОП м На)Ба. rл. ред. физ. мат. лит, 1992
536 с ISB 5 02 014615 3.
н а современно\! уровне раССМОl peTI ТIIИрОБИЙ Kpyr проGлем физики ra
.JOBOJ о ра 1ряда: зле11:ентарные нроцессы, взаимодействие постоянноrо и пе
j>рмеПIIЫХ злектричес-ких нодеЙ с ')Л RТРОlIами плазмы, разряды всеВОЗМОjН
пыл типов и друrие Цель руковод с rna разъяснить СУЩIIОСТЬ явлений, об
леrчить изучение специальной литературы. дать необходимые сведения длJ.t
исследоватеЛЬСl\.ОИ работы, 1J;ЛЯ чеl оприводится MHoro Ф8Rтических и спра
почны"\. данных, фОРМУ,ТIЫ доведены цо расчетноrо вида Новое издание
(1 е изд 1987 1) существенно переработано и дополнено результатами
последнеrо времени за счет сокращения вrпомоrательноrо материала.
Для студентов и аСlIирантов физических и техничеСl\Ил специальностей
ВУ'30В, а также для научно технических работников в области тазовой эле-кт
ровики и физиЬ.и плазмы
Таuл 28 Ил 269. Библиоrр : 217 назв
у tleOHoe ИЗJ;r1.ниr
РАЙ3ЕР Юрии" Пеrрйзuч
С11l1ВИI{Л rA30BOrO РАЗРЯДА
{ 1веДУЮЩI й }1rдаhцией ..'1 р! 1"' Л2д прва
РrдаhТОры Н А l\Jl1J.. а.л и на, Д А Лfuртова, Л П Русаhова
:м JaДШИЙ редаитор В А Нузnецова Художественный редантор Т. 1\1 Коровина
'](ХIJ [чеСI"\ Й lelahTop.71 В .7ТUХl,'чевfl HOPPP'-\lOp Т 11 Rap.ivl.ahYOДOGa
111) \ '11213
( t.lIl() II набор 09 1)9 ql Подписано н печаТII 2Q 10 92 ФОр'\1dТ 60х90п6 Бумаrа
11111 '\ 2 r.1РНИТ, ра оБЫhновенная Печать ВЫСОl\ая Усл печ 1 33,5 Уел ир
1) I ( V'I [11;1. 1 6,.З Т:ираrН 1026 31\3 Jаhаз .1\'0 1006 c Н),2
11 щ.11 (' 11 ( IШ 1( I ю 11 L() 1. птпенное II [,НИIотолrовое объединен Ie « Нс1 УН:}»
1" r.IBf{.IH " t II\( ( Н (1 f {!{о '\1аТР\lатичесной литературы
1170/1 l\lo( 1\111 B 71 [( НИНСRПЙ проспеRТ, 15
11/ "Н' '" I Н 1 1111t)f Р I '11 , ндательства «(Науна»
( 11077 1 IIIIil/H llfilll (! ул Сrанн(,лаnскоrо, 2;)
1 (,OlaO!)OOOO ОП2
р ()!)а (() ) H Ht) !)1
"с) «(Наука» (f)и:зматлит 19'С;
с И31V1СНСНИЛМII, 1992
I BN 5 02 () 1'" () 15 3
оrЛАВЛЕНИЕ
11редисловие hO БIОрОl\IУ издачr-но
Предисловие 1\ пеРВО\1:У издаПИIО
8
9
11
11
12
14
15
r л а в а 1 Введение
Э 1 Что И1учает Физит,-а 1 а 10noro разряда
Э 2 Типичные разрпды в ПОСТОППIIОМ Jлен:тричеСI(ОМ поле
3 НлаССИфИJ(ацип раJрЯДП ЫЛ процессон
q HOpOTJ\O О[) истории ИСlледонзпия разрядов
ч \ С Т Ь 1 ЭЛЕ\iIЕНТАРIfЫЕ ПРОЦЕL{ Ы И 3ЛI:МЕIIТЫ Р A3PHД
НЫХ ПРОЦЕССОВ
r л а в а 2 LТОЛl\новения злеl\ТрОflОВ 11 ионов С аТОl\lа IИ., l\IОТIеl\улаМII
и др) r с друrом J' 18
Э 1 Основные попнrин фИJНI и: атомных СТОЛl ilовеНИLI и 1 ИIfLТИ
чеСТ"'\ОlI rеории 1 азов 18
Э 2 "\ ПРУI ое рассеяние Jлет тропов пеl1траЛhПР\Пf аТО\lа\ВI 11 '10
леI"'\ула:ми .. 22
Э 3 Столкновения ионов с пеllтральными (1)(1 НЦ l\1И 26
1, Упруrие СТОЛhПОВtJl1fН '\ll 1 Y 1аIНJ/I,еппыми Чdстицами 29
t:j HeYllPYL ие СТОЛНПОПLПН,r )лет\.тропов с аТОУdvlИ и :м:олет\.ула
И 32
r л а в а 3 Дрейq), знерrия и ДИФФУЗIIЯ заряженных частиц в I10( ТОНН
ном поле 40
Э 1 ДРСIl(Р "эле! троп')в в сла()оиопизоваппом rазе 41
2 ПрОnОДИl\IОСТЬ ИОПИЗ0ваПIIоrо rаза 44
3 Энерrия JлеRТрJНОВ 45
Э 4 Диффузия )ле{\ТРОIIОВ 51
5 IIоны 5
6 А \fUИПО ТIнрпая (иффу {ия 58
Э 7 Протекание ;)ПОКl рИЧССf\Оl о TOha в плаЗ\lе в присутствии про
дольны,- rрадиентов II ТIОТНОСТИ зарядов 61
Э 8 rИДрОr:J;ипа'\1ичеLhое описание электронов 64
9 ДвvмеI.lие зарядов в rазе в присутствии "\r3Iнитноrо поля 65
r л а в а 4. Образование и rllБР;IЬ заряженных частиц в rазе 68
Э 1 Ионизация JлектронныIf ударом в ПОСТОЯННОМ ПО..lе 68
g 2 Друrие 'lехаНИ1'fЫ IlОНИJации 75
Э 3 Объе\Iпая реКО\IОIIпация 77
3
()(ip I I() В Н IIH 11 ра JРУLuепие отрицательных ИОНОВ
r) J иФФу 11101111 ЫL Il()тери :зарядов
6 JМ:ИСLИП Jлектронов из rвердых тел
9 7 РаЗМIIОiнение зарНJ ОВ в rазе через ВТОРИЧПУIО )ми( СИIО
r л а в а 5 ВзаИ\lодействи:с электронов ИОНИЗ0ваНllоrо fdза с перемеll
НЫМII Э1JеhrричеСIНI"\IИ ПОЛЯМII JI леI\ТрО'\.J(lI НИ111ЫМII излучениями
s
8
1 Колебания злектронов в осциллирующем поле
2 Эперrия 1леh rpOHOB
3 Основные уравнения )лектродинамини СIIJIОIПIIЫХ cpe;J;
4 Высокочастотные проводим:ость и диэле-ктричес-кал проницае
мость плазмы
5 Распространение электромаrнитных волн в Jlлазме
6 Полное отражение электромаrнитноii волны от плазмы
7 ПJlазменные hолеuанил и волны
8 Обмен ьванта\fИ \fe.ih.1Y поле'f изчучения и свободными
электронами в rазе
9 ПОЛУЬЛ,lСLичеСl).fiЙ способ на хождения кнантовых коэффици
ентов
Фаh тические rраницы ПрИ"\lенимости нлассическС'rо ПОД:\О
да 1.... )ффент 'I взаИМО,J,еl1LТВИН
э
э
э
g
s
э 10
1 л а в а 6 Излучение 11 поr1JОЩРНllе света плазмой
Э 1 Типы радиационных пере"Ходов
Э 2 lopM03Hoe излучение при СТОЛhновепиях )лектронов с
ионами
3 Реь.ом:бипац.иОНlIое иgлучение
Э 4 Полное испусь.ание в непрерывном спентре
Э r') Поrлощение в непрерывном спеI\тре
Э 6 IIзлучение CHeI", тра тIьныI:л ЛИI 1 иlr
Э 7 СелеI\ТЧllчое ПОL "Iощепие
8 МолеКУ1:ярпые спеI).ТРЫ
9 Перепос излуче нин вы,-од ero из плазменноrо объе\fа ра
диациопные потери
Э 10 П рипцип деиствия ла 1ера
Ч А С Т Ь 11 ФУНДАl\fЕНТА IЫIЫЕ fLТОДЫ ТЕОРЕти:чьскоrо
И ЭКСПLРИ ЕНТАльноrо ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗРЯДНОИ
ПЛАЗМЫ
r л а Б а 7 RинетичеСhОС уравнение для злекrронов в СЛdбоионизо
BaHHO'1 rазе. находящемся в 110;Je
1 Описапиr JлеhТрОIIНЫ пrоцессов при ПОМОIЦИ ФУНRЦИИ
распреТ(,t пенин по СhОр'JСТЯ't
2 ФОР"'УЧИРОВhа hипетиqеСhоrо уравнения
Прпf) IИ I llIие для уrЛОВОJ1 ависимости функции рас,преде
чеlllОI
'J \ 1) ,В II( 111,. лн энерrетичеСhоrо спектра злеНТРОlIОВ
) 1\IH11( рИJ1 (1IравеДЛИВОСТtI уравнения для СПСRтра
(, (р I BII( IIIH III J{оrорыл выводов вытеhающи"\. И1 КИIIетичеСhО
J () \ р 11111 IИН С реЗУJIыатами злементарнои теории
4
НО
Н')
"'Н
(, I
()
95
97
101
.
104
109
111
113
117
121
123
123
124
125
128
130
135
140
142
145
152
155
155
155
156
161
164
169
172
7 Стационарпый спектр элеRТРОНОВ в поле при действии oд
них УПРУI'Ил. потерь 174
8. Численные расчеты для азота и воздуха. 177
9. ПросrрапствеПRQ пеоднородные поля произвольноfi силы 182
10. КваНТОБое уравнение для электронноrо спе-ктра и переход
R илаССИI-\е 184
r л а в а 8. Электрические зонды
1. Введение. Схема ЭRсперчмента
g 2. Воль т амперная xapa-ктеРИСТИRа ОДИIIочноrо зонда
3. Теоретические основы иаrНОСТИRИ разреiнепной плазмы по
зле-ктропноыу току
4. Техника измеренип фУЛI\ЦИII распределения
5. Ионный ток на JОНД в разреженной плазме
S 6. Тон в вакуумном диоде и слой прострапственноrо заряпа OHO
ло заРЯiRенноrо тела
g 7. Двойной зонд .
g 8. Зонд в ила зме повыIепIIоrоo давления
187
187
189
191
195
197
.
I
.
.
.
.
.
.
.
.
199
203
206
Ч А С Т Ь 111. РАЗРЯДЫ РАЗIIЫХ ТИПОВ .
212
r л а в а 9. Пробой rазов в полях раЗЛIIЧНЫХ частотных диапазонов 212
1. Сущность явления 212
2. Пробой и зажиrание самостоя тельноrо разряда в постоянном
однородном fJоле при не слишком больших произве,n;епиях
давления на длину промежутка 214
3. JRспери'lСНТЫ по пробою в СВЧ полях 223
Э 4. 1111терпретация реЗУЛЬТ(}IIfОВ ;)Rспериментов по СВЧ проБОIО
на основе ;)лементарноiI теории' 2 G
t 5. Вычисление частот ионизации и пороrов пробоя на основе RИ
нетическоrо уравнения 231
6. ОптичеСf\ИЙ пробой 2;17
s 7. Способы воз()уа{дения ВЫСОRочастотноrо поля в разрядпом
объеме 245
g 8. ПробоЙ в поллх ВЫСОI\очастотвоrо и НИЗRочаСТОТПОI'О диапа
ЗОIlОВ 247
r л а в а 10. Стабильный тлеЮIЦИЙ разряд . 252
1. Общая структура и внешниЙ вид 252
2. Вольт амперная хара-ктеристина разряда между электродами 258
3. Темный разряд и роль пространственных зарядов в образо
вании натодноrо слоя 260
4. На тодныЙ слой 264
Э 5. Переходная область между натодным слоем и однородным
положительным столбом . 277
6. Поло}нительныЙ столб 280
7. Влияние HarpeBa rаза на поле и ВАХ ПОЛОI:I ительноrо
столба 286
8. Плазма Jлс-ктроотрица тельных rазов 292
9. Разряд в быстром потоке rаза 297
10. Анодный слой 299
5
J' JI " В а 11. )I('Y(IToii '111 ноет" тл ющеrо раарЯД8 и их поrЛ<'Д(IТIIII JI
1. ОТ '1('1'0 ВО:НII1I\ают И Т\ чему НРИВ()J J1Т l1С'устоi1ЧИВО('ТН
2. l\вааистаl ИОl1арпыс JJc1pfiMeTpbI .
3. ВО3МУIЦС1JЙН НОЛЯ И ;)леl:ТРОIlIlОЙ температуры в УСJIОВИН \ ('('
-квазисrационарносrи . .
4. IIонизационно переrревная пеустоЙчивость
5. Прилипательная неустойчпвостъ
Э 6. Не-которые друrие часто действующие дестабилизирующие
фаRТОрЫ
7. Страты
Э 8. I онтраRЦИЯ поло:ю:и: rеЛI,ноrо стодоа
r л а в а 12. Дуrовые разряды
Э 1. Определение и отличите;Iьпые признаки дуrи
Э 2. Виды дуr
3. 3аrниrание ДУl И
1. ,УrQльная Ayra в "сво бодном воздухе
5. Прикатодные працессы в дуrе с rОРЯЧИl\I натодом
Э 6. На тодные пятна и ваf\уумная дуrа
7. Анодная об.l:ас rb
Э 8. Дуrа низ-коrо ;J;апления с искусственным паRалом катода
Э 9. ПоложитеJIЬНЫИ столб дуrи ВЫСОRОI'О давления (экспери:м:еп
тальные факты)
Э 10. Темпера тура пла:змы и ВАХ столба дуrи высокоrо давления
Э 11. Отрыв эле-ктропноЙ и rdJОВОЙ тем:пuратур в равновесной
плаз:м:е
r л а в а j 3. Поддержанне JI rенРрзция раВJlовесной плазмы в разря
дах различных частотных диапазонов
Э 1. Введение. Баланс знерI'ИИ пJlазмы
2. Столб дуrи в постоянно \1 поле
Э 3. ВысокочастотныЙ индунционный разряд
It. СвеРХВЫСОRочастотные разряды
5. flепрерьпзный uпrитз:еский разряд
6. reHepa торы плотной НИ3I{отемпера турной плазмы плазмо
троны
7. Не-которые общие черты равновесных разрядов в потоке rаза
r л а в а 14. Искровой I1 J\OpOHHbIii разряды
1. ОбlIIие представления
Э 2. Одиночная элентронная лавина
3. Поняrие остримере
-1. Пробой и стример в элеRТрООТрИЦ8тельных. rазах (воздухе)
в не очень длинных промежутках с однородным полем .
;). 11cI{POBoiI -канал
в. I\opoHHbIii разряд
7. Модели распространения стримера . .
к 11 ро()оЙ ДЛИНПl":>IХ ВОЗДУJJ1НЫХ промеiНУТI{ОВ с сильно Heoд
IIОрОДПЫМ полем (эксперимент)
) ,11 L') (,рllыi1 механизм пробоя длинных промеiКУТКОВ
10. ()r;paTIlf1H волна (возвратныЙ удар)
11. \10JlIIИН
12. () IIНII аrаJ]ЬПЫЙ ступенчатый лидер
.
G
:1t )()
Эt Н)
: it )"
307
:)09
313
315
317
327
332
332
333
335
337
338
345
353
355
358
362
373
376
376
378
379
387
393
403
408
412
412
417
423
427
431
433
440
449
453
460
461
66
r л а в а 15 Высо[,,"очастотный еl\1RОСТНЫЙ разряд 46ts
1 Дреифовые начапия Jлеhтронноrо rаза 468
S 2 ИдеаЛИdированна q "\10дель проте-кания быстропеременноrо то
-ка через длIIнныII плоt.,ЬИИ промеtНУТОК при повышенных
давлениях 471
3 ВА Х однородноrо ПОЛОrЬительноrо столба 475
S 4: ЭнсперИ\19ПТ о двух фОР'lах существования ВЧЕ раЗрЯ1;ОВ
и постоянном положительном потенциале пространства 478
s 5 Эле-ктричеСRие IIpoцeccы в неПРОВОД,Iщем приэлеКТРОДIIОМ
слое и "\IехаНИ3"\1 амыкания тона 486
s 6 Постоянныи положитрльныIи: потенциал пла 'н1ыI слаботочно
ro ра зряда 490
s 7 Сильноточный реН\И\1 492
8 Структура ра зряда среднеrо давления по результа там ЧИG
леННОI о '10 еЛАравания 49<)
S 9 IIормальная LIЛОТIIОСТЬ тона в слаботочном ре,-киме и преде
ль! e:ro существования 503
r л а в а 16 Р d.-3рЯДЫ n ощны СО 2 лззерdХ непрерЫВНОI о дейстrия 505
1 П ринцип работы эле-ктроразрядноrо лазера на СО 2 505
S 2 Дна типа ла epOB ра1личаIОЩИХСН спосо(}ом теплоотвода 507
S 3 сносо()ыI борьбы с неустоичивостями 511
-1 IIути ар анизации разряда R больших об ье:мах с протоъ.о'\/[
rаза 514
д о п о л JI С П и е ПрИНЦllП работы маrнитоrидродинамичеСI оrо reHe
ратора 521
п РИЛОiкение
Список литературы
ПримеЧdНИЯ при Konpel\rype
523
528
535
11РЕl ИСЛОВIIЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
За тоды, истеRшие со времени подrОТОВRИ первоrо издания,
появились новые результаты, автор ознаRОМИЛСЯ с рядом преж
них, отвечающих строю Rниrи, но выпавших тоrда из ero поля
зрения, у Hero ваЗНИRЛО более ясное понимание неRОТОрых об...
суждаемых вопросов *). Для отражения Bcero ,этоrо требовался
дополнительный объем. Ме}нду тем, издательство настаивало на
сокращении Rниrи, 13 :конечном счете па 13 О/о.
Чтобы выйти из положения, ПРИIПЛОСЬ изъять материал, Me
Ilее обязательный для ПРОНИRновения в суть самих разрядных
явлений. Опущены rлавы о незондовых методах диаrНОСТИRИ
плаз:м:ы, о термодинамичеСRИХ и переносных свойствах paBHO
весноЙ плазмы, СОRращено разъяснение заRономерностей раз...
JIичноrо рода СТОЛRповений между частицами, эмиссии элеRТРО
нов из твердых тел. ОднаRО фаRтичеСRИЙ и справочный матери...
ал по элемептаРПЫl\1 процессам, нужный для эрудиции и работы
в области rазовых разрядов, сохранен п даже пополнен.
rлавы, посвященные поведению заряженных частиц в поле,
зондам, излучению плазмы, непосредственно разрядным явлени...
ям и процессам, не ТОЛЬRО не СОRращены, но в соответствии
со СRазанным в той или иной степени раСIIIирены. В наибольшей
мере последнее относится R ИСRРОВОМУ, тлеющему, ВЫСОRочастот",
IIОМУ eMRocTHOMY разрядам, в чем СRазались нынешние привя",
занности автора при невозможности объять необъятное. MHoro
HOBoro по сравнению с первым и/зданием содержится в 8, 9
rл. 7, 9 4 7 rл. 10, rл. 11,95,7 rл. 13, 9 7 9 rл. 14, 4,
7 9 r.ТI. 15 (по нумерации BToporo издания).
В :качестве руноводства для занимающился разрядами второе
издание, будем надеяться, ОRажется более полезным, чем первое.
Но студенту, начпнающему с азов, реRо:мендуем не пренебреrать
п первыIM (в неRОТОрых местах мы R нему отсылаем:).
Автор признателен А. В. ЕлеЦRОМУ, прочитавшему РУRОПИСЬ
nTop(H O издания, за мноrие полезные замечания и э. М. Баlзе...
.T11I 1 r у .Ja ценные обсуждения обновленной r лавы об ИСRРОВОМ
pfl. pSlHC.
*) (:\1 11 ри \ll''lc\IIIHI при ) oppeT{Type n конце !{пиrи.
8
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ II3ДАНJIЮ
Науна о rазовых разряда'\. неоБХОДИl\lа мноrим фИЗИRЗ:М. Uпа
нужна инженерам, специализирующимся по эле:ктротехни:ке, ра.
ДlIотехпи:ке, энерrети:ке, эле:КТрОНИI\е, светотехни:ке, лазерам,
нлазмохимии, свар:ке IIdучаlОТ rаJОВЫИ разряд по нес:кольн:им
Rllиrам из числа приве1денных в СПИСRе литературы ПОД началь..
пыми номерами К тем же Rниrам обращаIОТСЯ за разъяснеIIИЯ
ми и справ:ками в процесс е работы I1 хотя :книrп эти приобрели
заслуженную популярность, неизбежно с:казывается давность их
написания Дело не в TOl\I, что устарел и потеря'! ценность co
держащийся в ппх материал это произошло ЛИПIЬ внеболь...
пrоЙ степени Сама па):ка СИЛЫIО продвинулась в «ширину и
rлуuину», и в неи пеСRО IЬТ{О Сj\fеСТIIТIИСЬ а:кцепты.
Журнальная литература по разрядам выросла необозримо,
r.-l0ноrрафическая, напротив, KY дна, но и та и друrая чаще Bcero
трудны для восприятия, в осоuенп{)сти :коrда дело Rасается Teo
рии, тем f)олее что rазоразрядпые эерфеRТЫ на редность сложны,
:МIIоrоrранны и запутаны Нужны новые руноводства, систrма
тичес:ки охватываIОIцие ШИрОI ИП Rpyr вопросов, :которыlI ныне
J10днлючеп к физике rазовоrо раdряда, ясные, доступные мало
подrотовлеНIIОl\IУ читате:IIО, студенту, и вместе с тем пеСУIцие
СfОЛЬКО И, rлавное, той информации, :которая будет полезна и:
работающим специалистам.
Та:кими качествами мы стара IИСЬ в рамнах отпущенноrо объ
ема наделить предлаrаеl\IУЮ :книrу, Rоторая по замыслу должна
служить учеБНИ:КО\f и руноводство:м Большое внимание в пей
уделяется чет:кости изложения фа:ктон, разъяснению физической
сущности явлениЙ и заRономерностеlI Из необъятноrо материала
010арано по возможности то, что способствует уrлуБЛСНIIО\IУ
пониманию фИ3ИRИ и: с чем чаще приходится стал:киваться co
временному исследоватеЛIО Мы стре:мились в:ключить в :квиrу
:на:к можно больше полезных для работы сведений: э:ксперимен
тальпых фа:ктов и результатов расчетов, хара:ктерных значений
различных величин, данных справочноrо хара:ктера, выбирая из
всей их массы то, что удобнее иметь собранными в одном томе
под руной Все нужные для оцено:к формулы доведены до ясноrо
расчетноrо вида.
9
11а 1." OI'PHIIII'It'IIIIO('l'H об')рма о JIСf\ОТОрых видах раарJl)(а
11 Рlllll,Jlоrь l'O'BOpll J'I) мРнес подрuбно, чем они TOL О З3СJJУ/I\ll BHIO 1,
с' IIPHOTOplJ)X, мснсс распространенных форм не J\<lсаться BOO()II P,
1ЪL СОЧ ]И цеJIесообразным полностью отказаться от paCCMOTpc
ппя iIIран:тичеСRИХ Cx.eIM, техники, методики (но не идейной сто...
ропы) экспериментов и измерений, чтобы сосредоточиться па
физине самих исследуемых процессов. По той же причине мы
по затраrиваем чисто техпичесних приложений rазовоrо разряда.
ССЫLIКИ на ориrипальные статьи даются только при изло
,нении чьих то конкретных результатов не очень давнето Bpe
мени и.'Iи указаний на таковые. В остальных случаях чаще всето
указываются книrа или обзор, тде ССЫЛRИ имеются, или же
откуда был взят какой то rрафик или друrой справочный MaTe
риал. При таком охвате тематики давать сколько нибудь полную
()иблиоrрафию было бы немыслимым. Достаточно СRазать, что
в нпиrе Н. А. Капцова 1950 т. содержится 2524 ссылки. Сейчас
при таJ{ОЙ же полноте цитирования их было бы на ПОрЯДОR
()ольше.
Автор rлуБОRО блаrодарен А. В. Елецкому и л. Д. Цендину,
которые прочли рукопись и сделали мното полезных замечаний,
а таRже Н. М. СеРИRОВОЙ за БОЛЬШУIО помощь при ее подrОТОВRе.
Октябрь 1986 r.
r л а в а 1. ВВЕДЕНИЕ
9 1. Что изучает физика rазовоrо разряда
Термин «rазовыЙ разряд» ПРОИСХОДИТ от обозначения ироцесса
разрядки конденсатора через цепь, включающую в себя rазовый
промеЖУТОR между электрода:ми. При достаточно высоком IIа
пряжепии в rазе происходит пробой и возникает ионизованное
состояние. Со временем разрядом стали называть всякиЙ: про
цссс протекания электрическоrо тока через ионизованный rаз"
а также любой процесс ВОЗНИI\новепия ионизации под действием
приложенноrо электрическоrо поля. ПОСI{ОЛЫ{У в достаточноЙ CTe
пени ионизованныЙ rаз свстится, стали rоворить: зажиrается раз..
ряд, rорит, raCHeT.
Протекание элеI\трпчеСRоrо тока обычно ассоципрустся с
представлепием о цепи, составленной из ПРОВОДIIИКОВ. Но В бы--
стропеременных электричес их полях, а тем более в поле элеR
тромаrнитных излучений для наIфавленноrо движения зарядов,
Т. е. элекrричеСRоrо тока, вовсе не требуется присутствия 'зам
нпутоii цепи и электродов. Пместе с тем мноrие эффекты, KO
10рыle паUJllодаlоrся в rазс при дсЙствии персмеНIIЫХ полеи и
ЭЛСI-\тромаrпитпых волн: пробоЙ, поддержание состояния иони
ЗRЦИП, диссипация энерrии поля, в припципе не отличаются от
Toro, что происходит в постоянном поле. Все подобные процессы
теперь называют разрядными и включаIОТ в физику rа;з()воrо
разряда. ВооБJце факт протекания незаМКIIУТЫХ электрпчеСI{ПХ
токов в полях электро:маrНИТIIЫХ волн не имеет никакоrо зна
чепия. О ДПССIJпации энерrии поля в этих случаях rоворлr не
Rан о выдеЛ II:ИИ джоулева fепла электрическим током, а нак
о поrлощении излучения.
ИтаR, современная физика rазовоrо разряда изучает процес
СЫ, связанные с протеканием электрическоrо тока в rазах, с воз
викновением и поддержанием под действием поля самой спо...
собности rаза ПРОВОДIIТЪ электричество и поrлощать электромаr
нитные излучения.
Фпзика rазовоrо разряда охватывает великое множество слож-
ных, запутанных, мноrоrранных явлений, насыщена невообрази--
мым КОЛlIчеСТВОl\I экспериментальных фактов и теоретических
построений. Приступая R их изучению, целесообразно выделить
основные типы разрядных процессов и Rлассифицировать их.
11
э 2. Типичные разряды
в IIOeT()1111110M =электрическом поле
( IIP( 1,0 III)I,IIМИ ВdжнеИ1UIIМП видами разрядов мо}нно позна
J\.(),tllll)(}J IIpll нuмощи сравнительно простоrо ЭRсперимента. Два
MPI(' 1111111(1('1,11\ )лентрода А и К, ПОДКЛlочаемых R ИСТОЧНИRУ по
С) O})JlIIO) () lIdllряжепия, вводят в стеклянную трубку (рис. 1.1).
r1'PJ f)) y М(»)ННО отначиваrь и наполнять разными rазами при ра 3
JlЫ \. ДdВ JI СIlИЯХ При проведенип опыта IIзмеРЯIОТ напряжение
на элен. rродах и ток в цепн. Это J{лассическое устройство уже
150 .пет служит для изучения разрядных процеССОБ и не YTpa
тила cBoero значения и попыне.
Если подать па электроды неБОЛЫlIое напряжение, скаже"\f
,.тн:сятки вольт, никаких видимых эффектов не ПРОИ1011дет. но
,
сверхчувствительныи приоор dареrистрирует протекание чрезnы
ча.пно слабоrо TOI(a, может быть 10 15 А. llод действием hОСМИ..
ЧССБоrо излучения и естественноп радиоактивностп в rазе обра
зуются 2аряды. Поле вытяrивает их к электродам протпвополож
Horo знака, что дает ток. Можно получить ток до 10 6 А, если
специально облучать rаз радиоантивным или реНТJ'еНОБСНИМ ис
точнином. Но все равно соответствующая ионизация слишком
Iнала, чтобы rаз светился. Разряд и элентричесний тон, которые
вознинают только блаrодаря действию постороннеrо ионизую
Iцеrо areHTa или в результате эмиссии электронов или ионов
с электродов ПОД действием посторонних причин (например,
вследствие накаливания катода), называI{)Т иесаМостоятельnыМU.
При увеличении напряжения несамостоятрльный ток сначала
возрастает, TaR нак все большую часть зарядов удается вытя
путь па элентроды до Toro, кан они прореномБИНИРУIОТ. НО HOJ'
да поле успевает вытяrивать все образующиеся заряды, ток
перестает расти и: достиrает насыщения, ибо он лимитируется
скоростью образования ионов
Далее, если увеличивать напряжение, IПрИ некотором ero BHa
чепии ток реЗI\О возрастает и появляется свечение Это проис
ло,];ит пробой один Иl3 важнеЙIIIИХ разрядных процессов 11 ри
даВ.J:ении р "" 1 торр == 1 мм рТ. ст. И межэлеI{ТРОДНОМ расстоя
нии L "" 1 см напряжения пробоя составляют несколько сотен
вольт. Пробой начинается с neROToporo числа случайных или
искусственно впрыснутых элеI ТРО
нов, коrда хотят стимулировать
процесс Но разряд немедленно
приобретает самосrоятельnость и
не нуждается больше в посторон
пен поддержке. В поле элентрон усноряется и набирает энерrию.
Достиrнун потенциала ионизации атомов, он вырывает друrой
ЭЛf'нтротr, .затрачивая на это приобретенную энерrию. В резуль
TdTC 1HI(01'0 пита ионизации появляются два медленных ЭЛОJ{Т
РОllЗ 01111 llОПТОРЯIОТ тот же цикл, и т. д. TaI{ развивается элеп
ТрОНllая лавunа и происходит размnожеиuе электронов За 10 7..........
2Rt
Рис 1 1 rазоразрядная трубка
12
10 3 С rаз ионизуется заметным образом, II элеI\трический ток
вырастает на неСI ОЛЬКО порядков.
ДальнеЙший xO;J; процесса зависпт от ряда условий. Прп He
больших давлениях (например, 1 10 торр) и большо:м: элек
1 рическом сопротпвлении внеПIней цепи, ноторое не позволяет
течь большому току, в результате пробоя зажиrается тлеющий
разряд один из наиболее распространенных и важных типов
разряда. Для Hero хараl\терны небольшая сила тока (i "" 10 b
10 ] А в трубках радиусом R,....." 1 см) и довольно высокое' Ha
пряжени:е (сотни и тысячп вольт). в достаточно длинной тру6не
(сиажем, L 30 см) при р 1 торр образуется ОДIIОрОДНЫЙ по
Д:1ине, красиво светящиiiсн стол(). rraK делаJОТ красочные peK
ламные трубки для улиц.
Практически ПUВСIОДУ, .за IIсt :1точеНIIеl\I приэлектродпых 06
лас rей, ионизованный rаз н столf)() электропеi1тралрн, т. е. пред
с f() П. Iяет COOOIO плазму. Это 1 а 1, называемыii поло:Jlсиrелы-lыlu
. столб тлеющеrо разряда. Плаз:ма в нсм ионизована очень слабо
До степеНII lIонизации 10 8 10 6, 1I в двух отношениях не рап
повесиа. Электроны, пепосреДСТВРl1 JlО прпобретаIОlцие эпсрrИIО от
поля, оuладают средней эперrиеi, 1 э 13 II темпера 1 урой 1'е
104 К. l\Iежду тем температ) P,l ['аза, n том числе и и:онпв.
т не на мноr реВЫТlIает температуру ОI ружатощеii среды 300 К.
'Tal\oe H paB весное состояние с сильным OTpывo. электронноЙ
и rазовои те ператур поддерживается пз за малои: скорости BЫ
деления джоулева тепла при ОТНОСIIтельно БО.I'>IIIИХ теплоемТ\ости
rаза и СI ОрОСТИ ero eCTeCT IIlIoro охлаЖДРIIIIН. Неравповеспа
н степень ионизации. Она па мпоtq ПОрЯДI\ОВ Ilиже термодипа
1\1ичеСI\II равновесноЙ величины. соотвеТСl n IОlцей температуре
J.leI{TpOHOB. Это происхuдит 1I.{ .H:l f)ОЛЫIIОй С I\ОрОСТИ rиf)сли за
рядов в холодном rазе.
.Если давление rаза ВЫСОI О, JlОрЯДI\а атмосqJсрпоrо, а сопро
ТlIВ.тrенпе внешнеii цепи мало, 1 (11 \lTO цепь Iожет пропустить
СП.IЫIЫЙ ток, всноре после проf)оя обычно зажиrается дУ20вой
разряд. Для дуrи харантерны СИЛI ПЫЙ тон (i>1 А), НИЗRое
напряжение (деСЯТRИ вольт) JI ярко светящиЙсн столб. В дуте
f;ыделяется болыпал МОIЦНОС1Ь, стенлянная труБI а довольно CKO
1'0 раЗРУПlается от переrрева. Поэтому, зажпrая дуrовой разряд
в за iКНУТОМ сосуде, НУЛiНО позаботиться об интенсивном отводе
теП.:'Iа от ero степок. Дуrу часто зажиrаIОТ прямо в открытом
воздухе. Тоrда тепло рассеивается в пространстве. В дуrе aTMO
сферноrо давления обычно образуется термодинамически paB
новесная, TaR называемая l-lUЗ1iСТР.}'vtпераТУРl-lая плазма с Т'е
т 104 К И соотвеТСТВУlощей T2TaIM температура:м равновесной
степенью ионизации 10 3 10 1. Дуrовой разряд существенно OT
личается от тлеющеrо мехаНИЗМОl\l э rte'/i;TPOl-ll-lОЙ эмиссии с Rатода
(без :катодной эмиссии не мот бы течь постоянный TOR). В тле
IomeM разряде элеRТРОНЫ вырываются с поверхности холодноrо
:металла ПОД действием выТЯrивае:м:ых на Rатод положительных
ионов. В дутовом разряде из..,за сильноrо TORa Rатод ра'зоrревает
13
ел .тtl1f)o но nсеЙ I1()13срлIIОСТИ, J[ИVО .пона.II,IIО, и ПРОИСХОДИТ Tep
.мUЗЛСfiТ ро1t1tая ;УЖИ ссия.
При давлеНIlН р 1 атм, раССТОЯНJlН\ между электродаМ!1
L > 1 О см и достаточно ВЬJСОНПХ паПРЯJнепиях пропсходит ис-к
ровой разряд. Пробой при этом осуществляется путем быстроr()
прорастания плазмеНlIоrо канала от одноrо электро а н друrО IУ.
Потом происходит как бы RopoTHoe замыкание электродов СИЛЬ'"
JIоионизованным иснровым каналом. rрандиозной формой ИСН рО
Boro разряда является молния, для которой «электродами» слу
жат заряженное электричеством облаRО и зем:ля. В сильно He
однородных полях, недостаточных для пробоя Bcero промежутка,
:может возникнуть '/i;OP01t1tblU разряд. Светящаяся корона появ
ляется около остриЙ, тде :концентрируется поле, проводов, нахо--
дящп:лся под напряжением:, около линиЙ электропередач.
3. Классификация разрядных процессов
Разряды в постоянном поле можно разделить на 1tеса.мостоя
тель1tые и самостоятельные. Последние rораздо более распро...
странены, разнообразнее и ооrаче физическими эффектами. И lИ
:м:ы и будем заниматься. Среди стационарных или квазистаЦIIО
нарпых самостоятельных разрядов постояпноrо тока выделяются
тлеющие и дУ20вые. Принципиально они различаются катодными
процессами, как отмечалось в 2. I\ тлеющему разряду OTHO
сlIтелыIo близок те.iЧНЫЙ таупсендовскuй разряд. Ток в нем COB
сем слабый (катод, естественно, холодный). Особняком стоит
-коронный разряд, TOiKe самостоятельныЙ II слаботочный. I op()Ha
у катода имеет оuщие черты с тлеющим и: темным разрядами.
Среди быстротечны,- разрядов резко выделяется искровой.
l\1ноrие черты объемных плазм:енпых (т. е. пеэлектродпых)
процессов, характерных для пробоя в постоянном элеRтрическом
поле, Д:JЯ тлеющеrо и ;J;yroBoro разрядов, свойственны разряда:м
в быстропеременных полях, rде присутствие электродов вообще
не ЯВ.JIяется обязательным. Поэтому целесообразно провести TaK
;I\е классификацию, минуя признаки, связанные с электродными
эффектами. В основу классификации положим два признака:
состояние ионизованноrо таза и частотный диапазон приложен
ното поля.
По первому признаку будем различать: 1) пробой таза,
2) поддержание поле I перавновесной плазмы, 3) поддержание
равповеспой плазмы. По признаку частоты 1) постоянные, низ
RочаСТОТlIые И не слишком кратковременные импульсные элеR
трические поля, 2) вЫСf)кочаСТОТНЬLе поля, в зарубежной литера
туре ИХ пазыйают радиочастотпые (частоты f 105 108 rц),
3) сверхвысокочастотные, или микроволновые (/ "" 109 1011 rц;
ДЛИНЫ волн л 102 10 1 см), 4) оптичеС'/i;ие (от далеRОТО ин
фраRраСIIоrо до у.пьтрафиолетовоrо). Поля каждоrо из диапазонов
MOlrYT Rзаимодеиствовать с Rаждым из типов разрядной плазмы.
r cero получается 12 вариантов. Все ОБИ реализуются на опыте,
14
IIпоrие нашли широкое прим:енение в фИЗИLIеском эксперименте
и технине. Типичные условия, в :которых проявляется каждый
из вариантов, сведены в табл. 1.1. БОЛЫIIИНСТВО из указанных
вариантов будет рассматриваться в соответствующих rлавах, ХОТЯ
оrраниченность объема вынуждала нас ПрОХОДIIТЬ мимо большоrо
IiОJIичества фактов из практики rазовоrо разряда и теории. 110
ТОЙ же причине :м:ы не касаемся разрядов и поведения плазмы
R маlrнитном поле. Маrпитное поле не частый атрибут в Tpa
ДIIЦИОННЫХ вид:ах разряда (da исключением маrIIIIтоrИДрОДИIIа
т а G л и Ц а 1 1. Н. h r аrСИфИRации раJрЯ-ДОП
ЧастотныЙ диапазон
приложенноrо поля
Состояни) }lОНИ30ВdНJlО[О 1.1 М
пробоЙ
Н( P,l ПНОВ('( Н(lН
11 'а1ма
Р(l 1'11 () [Н ( I1,\Н Пvl.1 3М,l
ПUСТОЯННОО И 1111
КОЧdС'1UТНО('
.) I('F{ I РПЧССR()(\
ноле
НЫСОI-\И(} Чi\С'101 Ы
СВЧ ДИdПазон /
ОJ[ТIfЧССКИИ Дll(III,\
.\ОН
3diНИfdНПР ТЛ('Ю
lцеrо p,-11рЯД(1 в
трубhР
(\/l\III (lIIlН' Н {I
Р(l р51 1 ,\ В t (,{ \
r d <. р.. ' (',1\('11
IIЫ'\l J (\ H "
l} роооп в во ! 1l0BO
Д,\\ И ,)(' ()HaIO
р"'"-
111'0()0I1 1 ,1.10 В ..
\Ррны \1 И Hl Ч('
JIj С\\
Ilo!JO,H'" I{\JrЫ ЫН
1""
CIO 10 IлеЮJI ('!О
р, \ \ I )j i Д ()
11 о J О i 1, И I (' Т! Ы JJ ,/ Jf
(101() I Vlll BIJ
<. OI,OJ () ,\B H'IlIJH
н '1 ("II,f)( IIlI,JP ре\
р51 Ы 1 Р(\ Р('
,1,(}IJJlI)I\. I(I "
IIII) \ {;I lf(Hfll(IH
JII(}1 fPlIlI(\H 10
p(lJ\ H.d
( (Р' Р(. {РН,IJ)I Н СВ'! JIЛ(l,3МО1РUIr
р(} JJН"'\{'ННЫ'\ J (1
\(\
.),IВ('llllаJOII с1Я C1,l fil'llрРрЫВlП)I11 опд
r ИН ОlIПIЧlСI,,(JJО 'lИЧl'('IНIН р(\. ря
1""
'] 11 ОООН
1\111 [IССНИХ rеператоров). Пла.зма в маrпитном поле, выс()Т\uтемпе
ра rурная плаdм:а с Т 106 I\., НРl'дпаJпаченпая для тсрмоядср
i'" ..
поrо Сl1нтеза, все зто стало о }')ектом специально и паУН:ll
фuзu'/i;U плазмы. Впрочем, чеТI\() разделить сферы влияния фи
зики плазмы и физики rазовоrо разряда не все,rда RОЗМОЖIIО.
Все же если обратиться h оrJIавлепиям l\I1иr по фИ3ИI\е плазмы,
разделение просматринается, и в ту область мы вторrаться не
будем.
9 4. Коротко об истории исследования разрядов
Если не считать молнии, людп впервые столкнулись с разря
дами, Rоrда заметили, что заряженные трением изолированные
IIРОБОДНИКИ постепенно теряют заряд. Это наблюдали еще в
1GOO Т. В 1785 Ir. Кулон опытам:и дон азал, что заряд уходит
через воздух, а не вследствие несовершенства изоляции. Теперь
l\IЫ знаем, что здесь происходит несамостоятельный разряд. В Te
чение XVIII в. проводили отдельные опыты с искрами, которые
получали, заряжая тела при помощи электростатических машин,
а та:кже обращаясь :к атмосферному элеRтричеству.
15
IЗ начале XIX в. появились достаточно мощные электриче
СI\ИР ()атареи и был отнрыт дутовой разряд. В. В. Петров, pa
UоТаВII1l1И в Санкт ПетерБУРТСRОЙ меДИJ\о хирурrичеСRОЙ aRa;J;e
:мии, сообщил об этом в 1803 Т. Дута получалась при соприкос...
)JОВРfIИ J[ И послеДУlощем разведении уrольных электродов, ПОJ;--
C()(\ III1C 11I1ЫХ к батарее. Через несколько лет дуту в воздухе IIО
JlY.,II.1 Н исследовал ДЭВII в АНfЛИИ. Разряд был назван
ДУ['()ВЫМ, тан как ярно светящиЙся торячиii столб ИЗIиба.nся,
НСJl.1[ъ[ван своей серединоЙ по действием архимедовой силы.
II 1831 1835 тт. Фарадей открыл и исследовал тлеющий раз
ряд. Фарадей работал с трубками, откачанными до р "" 1 торр,
И источниками напряжения до 1000 В.
JIсrория фИЗИRИ rазовоrо разряда конца XIX начала ХХ вв.
не отделима от истории атомной физики. Опыты RpYRca с Ha
тодными луча lИ, установление Дж. Дж. Томсоном отношения
е/т привели к пониманию тото q)aKTa, что ток в rазе перено
сится тлавным образом электронами. Изучение явлениЙ в раз
рядных трубках д;ало МНОТО сведений об элементарных процессах
с участие:м злектронов, иопов, атомов, в том числе и возбуж
денных, свеТОБоrо излучения.
Начиная с 1900 т., учеНИR Дж. ДrК. Томсона Таунсепд, oc
нователь школы фпзикп rазовото разряда, установил заhОН{)
мерности ионизации 11 ОДНОрОДIlОТО (ето называют TaYHceHДOB
СКИJ\1:) пробоя rаза в электрпческом поле. Накапливались мноrие
:Jкспериментальпые данные по сечениям различных элеRТРОН
атомных СТОЛRновенпй, сноростям дреЙфа электронов и ионов,
ИХ рекомбинации и т. д. Все это составило основу современното
справочноrо :маrериала, без ROToporo немыслима работа иссле
дователя в области разрядов. Понятие плазмы было введено в
1928 r. ЛэнrМIОРОМ и Тонксом. ЛЭНfМЮР оставил большой след
в фИЗИRе rазовоrо разряда: зондовыЙ метод исследования плаз:мы
и :м:нотое друтое.
Что Rасается различных 'Частотных диапазонов, то хроноло",
rичеСRИ освоение тенераторов поля и изучение соответствующих
разрядов шло в порядке следования диапазонов. ВЫСОRочастот"
ныЙ разряд наблюдал Тесла в 1891 r. Разряд летко получить,
еСЛlI внутрь СО ТIеноида поместить откачанныЙ сосуд и пропу
стпть через катушку тон высокоЙ частоты. Под действием: элек
тричесноrо поля, ипдуцировапноrо переменным маrнитны {, в oc
таточном тазе ВОЗНИRает пробой и зажиrается разряд. Однан.о
:механизм зажиrания разряда стал в достаточной мере понятным
значительно по'зже, фаRтичеСRИ в результате работ Дж. Дж. TOM
сона 1926 1927 rr. ИНДУRционные разряды мощностью в дe
сятни ниловатт были получены R 1940 r. r. и. Бабатом в Ле
ниптраде.
Ра.знити(\ рuдарноЙ техники вызвало БОJIЬШОЙ интерес R ЯВ
JlРНИЯМ В СЕЧ диапазоне. С конца сороковых rодов С. Браун
в ( ШЛ начал систематическое исследование МИRроволновоrо про
GOH. l)а;JРЯДI 1 в пптическом диапазоне были получены только
16
после изобретения лазеров. Коrда луч руБИНОБоrо лазера, даю
Iцеrо TaR называемый rиrаНТСRИЙ импульс (мощностью более
10 МЕт) СфОRусировали дипзои, в Bo дyxe вспыхнула ИСRра..
Этu было в 1963 r.
Непрерывпыil оптичесниil разряд, в нотором происходит ста..
циоварное поддержание плотнuй равновесной плазмы, питаемой
эперrиеЙ излучения, был впервые создан в 1970 r. при ПОМОЩII
лазера пепрерывноrо деЙствия на уrлеRИСЛО:М: rазе (СО2 лазера).
Оптичесние разряды, названные TaR вследствие бuльшой общно
сти их эффентов с обычны:ми разрядными явлениями, с Cal\HH'U
начала привлеRЛИ R себе пристальное вниманпе. Как и разряды
в СЕЧ диапазоне, они изучены не в меньшей степени, че:м раз
ряды в ПОСТОЯННО I элентричеСRОМ поле, ноторыми СНРУНУЛ83НU
занимаются чуть ли не сто лет.
ФИ3IIна тлеIощеrо разряда, одноrо пз самых старых и, Ra
залось бы, изученных, в после пие 20 лет испытала небывалыЙ
ПQдъем, вскрывший массу новых сторон этоrо явления. Подъем
связан с использованием тлеlощеrо разряда в элеI\трораЗРЯДIIЫХ
лазерах, в особенности мощных на СО 2 , предназначенных для
лазерной технолоrии. ПодоБIIЫ 1 же оuразом стимулом для pac
IlIирения и уrлубления IIсследований дуrовоЙ плазмы с р "'" 1 aTl\I,
т 104 К И ан л rичных разрядов во всех..частотных диапаЗОIIа
явилось приме ние I'енераторов плотнои низкотемпературнои
плазмы плаз отронов в металлурrии, плазмохимии, для плаз
менной сварки и резки и др. Это таRже ПрОИЗОIlIЛО в последние
десятилетия. Требования соврем нной энерrеТИRИ и техники BЫ
соких напряжений (в частности, задачи МОЛIIиезащ;иты) сти
мулировали уrлуGленное изучение ИСRровоrо разряда, l{стати,
одноrо из самых сложных и трудно постиrаемых явлений в
· области rазовых разрядов. Отмеченные и мноrие друrио праI{
тичеСRие приложепия фИЗИRИ rазовоrо разряда поставили ее в
.РЯД HaYR, Rоторые являются фундаментом современной техники.
На приложениях rазовоrо разряда, за исключением СО2 лазеров
и плазмотронов, мы останавливаться не будем. ОчерR Техпиче....
сних приложениii rазовоrо разряда имеется в [11].
2 ю. п Райзер
lf а с т ь 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ЭЛЕМЕIIТЫ
р А31)ЯДНЫХ ПРОЦЕССОВ
r л а в а 2 СТОЛКНОВЕНИЯ ЛЕКТРОНОВ И ИОНОВ
С А ТОМАМ_И МОЛЕI }'" f)Т{А 1\'111 11 друr с друrом
Э 1. Основные понятия физики атомных столкновений
и l инетичеСRОЙ теории rазов
Столкновения ато:м:ных частиц MorYT иметь yпpyzиu и 1le
yпpyzuu :характер. При упруrом соударении меняются направле
ния движения партнеров, происходит обмен Иl\IПУЛЬСОМ и Кине
тической эперrией, но внутренние энерrии и состояния частиц
остаются неизменными. При неупруrом ударе внутренняя энер
rия и состояние одной из частиц (реже обеих) изменяются.
Формально к неупруrим можно отнести и такие столкновения,
ноторые сопровождаются не только превращением энерrии, по и
превr>ащениями самих частиц, например ионизацией атома.
1.1. ЭффеRтивное сечение. Для характеристики вероятности
СТОЛ:hновении частиц в rазе служат такие величины, нак длunа
свободnоzо пробеzа, средnее время .л-tежду соудареlluя tи, частота
СТОЛ7inовеnuй. Все они зависят как от свойств частицы, так й
от плотности rаза.
Мерой вероятности индивидуальпоrо акта определенноrо рода
(скажем, упруrоrо соударения, ионизации и т. д.) является co
о rветствующее эффе7iтuвnое сечеnuе. Это понятие вводится сле
дующим образом. Представим себе, что на одну чаСТИЦУ МИlпень
налетает однородный в пространстве поток ударяющих частиц
со скоростью относительно мишени и' [см/с] и плотностью
N 1 [CM 3]. Вообразим, далее, что выбитая со cBoero места пли
претерпевшая какое либо изменение частица мишень немедленно
заменяется новой. Число ударов определенноrо рода, которое
испытывает такая «неуязвимая>} мишень в 1 С, '\'2 [c 1] тем боль
111е, чем больше проходит за это время частиц через 1 см 2 . Число
соударений пропорционально именно плотности потока частиц
ЛТ1v' в месте расположения мишени, а не полному потоку. В ca
мом деле, если увеличить полный поток вдвое, но пропустить
в ropYlo партию значительно дальше от мишени, чем первую,
число ударов практически не изменится. Коэффициент пропор
I ИОJН1ЛЬНОСТИ cr между V2' и N 1 v',
V2 == crN 1 v', cr == '\'2!N 1 v' [см 2 ], (2.1)
18
имеющиЙ размерность плuщаДl1, называется эффективным сече....
ни ем данноrо процесса или, для краткости, просто сечением.
Сечение зависит от ИН,J,ИВИ;Iуальных особенностей партнеров, за
I
ионов их взаимодеиствия и СRОрОСТИ относительноrо движения v "
Физическип см:ысл эффентивноrо сечения выступает особеll....
но явственно на примере соударения твердых Iпаров радиусаМJiI
71 и Т2 (рис. 2.1). Чтобы налетаIОЩИЙ
шар 1 задел шар мпшень 2, линия движе
нил ето центра должна пройти от центра
мишени па расстоянии, не преВЫlпtlIощем
rl + r2. Значит, в секунду произойдет '\'2 ===
==л(rl + r2)2N}v' ударов и сечение столкно
вения есть cr === Jt (rl + r2) 2. Если налетаlО
щий шар очень маленький (rl« r2), он дол
жен попасть в площадь диаметральноrо ce
чения МИIIIени (J Лf ТаI ИМ ооразо:м, эф Рис 2 1 Схема, полс
фективное сечение процссса численно COB няк)щая понятпе эф
феК1 HBHoro сечения
падает с площадью дпамстральното сечения,
которой должна была бы обладать частица...
мишень, чтобы попадание в зтот НРУЖОR точечнои ударяющей
частицы приве 1:0 1\ ожидае 10МУ результату.
Модель T e ! ы\.. шаров удобна для оrrпсания 2аЗОКllllf r / ческит
столпnовеНllU, т. е. упруrих соудареНИII мотrекул в rазе, так H aK
неплохо имит IpyeT этот процесс В rазе из частиц одпоrо сорта
rl == r2 и а == лd 2 , тде d эффективный диаметр молеRУЛЫ. Тео..
ретичесн ое вычисление эффентltВIIЫХ сечениЙ па основе за1\ОIIОВ
взаимодействия сталкиваIОIЦИлСЯ час!иц составляет .задачу ме...
лаНИRИ, нлаССIIчеСRОИ или иван rовоЙ, в зависимости от HOHKpeT
IIoro процесса, рода частиц, ил сТ\оростп. Разумеется, без теории
нельзя оБОIlТИСЬ, КOI'да нужно попять, "как проислодит сам aI\T
столкновения. Но Rоrда, кан в физике разряда, треБУIОТСЯ НОПI ...
ретные числовые данные по сечениям, как правило, прибеrаIОТ
не R теоретическим вычислениям, ноторые чаще Bcero сложны
1I несовершенны, а R результатам измерений. Часто для оире...
..........
d, 10 8('M 10 15 (м 2 1, 10 3 СМ 1 04 (м/с v, 106 c l
rаз а, l' , т, 10
...........
Не 2,15 1 ,41) 13,2 12,0 g 09 1
Ne 3,54 3,9'3 й 41 5,3 5,68 ,
1,
Ar 3,58 4,02 4,76 3,80 7,98 1,
1-J 2 2,70 2,2Q 8,41 16,() 21,1 О,
N 2 3,70 4,31 4,47 4,53 1(),1 n
(\ 3,56 3,98 4 81 4,25 8,83 ,
1,
ТаБЛIlца 21
rа30RIIНОТПЧРСRIН? Пdрd'1(IТрЫ *)
"....
,,/
/
/
I
I
I
\
\
\
"
"'-
..........
""""'7 с
10
94
25
54
99
13
*) Представлены эфФентивные диаметры моленул d, найденные из даппы
НОСТJI, rаз инетичесние сечения а, средние длины свободноrо пробеrа 1, среДНИе e O J1f1:З...
с:норости v, частоты rазонинетичес:ких сталннавений ", времена Между сталино JJ:oBhle
при т == о ОС и р == 1 тарр Belllifl:l\tli 't
2*
1Н
J(<'ЛСНИЯ сечений служат косвенные пути. Например, rазокинети"
ч('с r ие сечения находят из измерений ВЯdКОСТИ rазов (табл. 2.1).
;)ти цифры полезны для дальнейшеrо в том числе и тем,
1I I () CJIYrI\aT ориентиром для суждениЙ о вероятностях различных
Jr рОЦОССОВ. Котда rоворят, что «сечение TaKoro TO процесса мало»,
1 о :М:ЫСJIепно сравнивают ero с rазокинетическим. « Большое се...
чс ((не» Idпачит, порядка или больше rазокинетическоrо.
1.2. Частота столкновений. Число соударений определенноrо
рода, которые данная частица (назовем: ее 1) в среднем совер..
lIIaeT в 1 с, двитаясь в rа'зе из частиц мишеней 2, называют
частотой СТОЛ'/i;nовеnuй. Чтобы наЙти это число, представим себе,
подобно предыдущему, что пучок частиц 1 со средней плот
IIОСТЬЮ N 1 И скоростью и' налетает на rаз из неподвижных ча..
стиц мишеней со средней плотностью N 2 . В соответствии с (2.1)
в 1 см 3 Р 1 с происходит N 2 V2 === N 1 N 2 v'cr(v') актов соударений.
Каждая из налетающих частиц 1 совершает в 1 с
Vl === N 2 v' а (и')
(2.2)
Y,J,apoB. Выражения (2.1) и (2.2) симметричны, ПОСRОЛЬКУ ча
стоты СТОЛНlIовений, испытываемых соударяющимися частицами,
пропорциональпы плотностям партнеров, а в остальном зависят
от взаимной величины скорости относи:тельноrо движения.
В общем случае формула (2.2) еще не решает поставленной
задачи. rоворя о частоте столкновений, которые испытывает дан..
пая частица, подразумевают, что это частица с определенной
зперrпей или скоростью движения в системе координат, rде по..
ноятся не отдельные молекулы, а rаз в целом. Поэтому выра..
тение (2.2) нужно усреднить по СfiОрОСТЯМ частиц мишеней,
:которые на самом деле совершаIОТ тепловое движение. Проще
}'CelfO дело обстоит, котда речь идет о частоте столкновениЙ элек
трона. Иlз за малости массы электрона т даже при сравнимых
знерrиях ero скорость rораздо болыпе скоростей тяжелых частиц,
поэтому и' практически совпадает со скоростью электрона, и ira..
стота ето столкновений есть
v===Nva(v),
(2.3 )
r;:(e для общности опущены все индексы.
В случае rазокинетических столкновений молекул друт с цру..
rOM произведение и'а(и') усредняется по скоростям относитель
Horo движения. Распределение частиц массы М по абсолютным
сноростям описывается ма'/i;свелловс'/i;ОЙ фУn'/i;цuей. Число частиц
R 1 см 3 , обладающих скоростями в интервале от v до v + dv,
раnпо
( М 3/2 ( М v 2 ) 2
ер (и) dv === N. 4л 2лkТ ехр 2kT v dv,
(2.4)
rде Т термодинамическая температура, k постоянная Больц..
20
IaHa. Средняя тепловая скорость молекулы равна
v === (8kТ/лМ) 1/2.
(2.5 )
Распределение по относительным скоростям и' определяется той
же функцией (2.4), если заменить М на прuведеппую .iJtaccy М' ==
=== М 1 М 2 / (Мl + M z ). При столкновении одинаI\ОВЫХ частиц М 1 ==
=== М 2 === М, M' === М/2 и средняя скорость ОТIIосительноrо движе
пия v' === 112 v. Для молекул твердых шаров эффективное ce
чение равно <J (и') === const === nd 2 . При усреднении, которое обо
зва чим ут ловыми СI\обкам:и, получим < и' <J (и') > == V' а. Средпян
частота аЗОКИllотических столкповепий в rазе из молекул OДHO
['О сорта равна
\' == Nv' лd 2 === r 2 Nvлd 2 === 11 2 1Vv<J.
.
(2.6 )
. Среднее время между столкновониями есть l' === v l. I{оrда таз
состоит из частиц разных сортов или пре ставляет интерес ча
с rOTa неСКОЛЬКIIХ видов столкновениЙ (например, частота во,зБУj-К
депий неско.rJЬКПХ молекулярных уровней), следует сумм:и:роватrJ
парциалыIеe частоты: v -== N{ "a'L.
1.3. Длина свободноrо пробеrа. Если частица движетсн в l a
зе со скоростью/v и совершает в среднем v СТОЛIПIовеннй в 1 с,
то на пути 1 c она испытывает v/v СТОЛНIIовений. Между СТОЛI\
lIовеПИЯМII она проходит расстояние
l == v/v === === 1/N<J,
(2.7)
-
I OTopoe называlОТ дvLUnОЙ свободnоzо 'пробеzа (по ОТIIОIuеПJlIО к
I\акому либо процессу). Соотношение (2.7) между длиноЙ CBO
бодпоrо пр()uеrа и сечением cTporo справедливо лишь для бы
стрых частиц, в частности злеКТРОIIОВ, I\оrда нет вопроса об
усреднении по СI\ОрОСТЯМ: чаСТИЦ МИПlенеи.
В rаlЗОI\инетпческоЙ теорип длина пробеrа определяется при
менителыIo I\ МО.JIеI\уле, движущеЙся со среднеЙ тепловоЙ c]\o
ростыо v. Для молекул твердых шаров соr;ттаспо (2.о)
1 == v/v :::=: 1/112 N<J === 1/11 2 Nлd 2 .
(2.8 )
13 смеси rазов СУМ:М:ИРУIОТСЯ обратные длины: l ==( N'Lai) l.
В силу случайноrо характера столкновениft, вероятность частице
пройти путь х без столкновения равна ехр ( x/l), а вероятность
осуществления свободноrо пробеrа от х до х + dx ехр ( x/l) dx/l.
1.4. Числа столкновений при нормальных условиях. В лите
ратуре по разрядам сечения СТОЛRновениЙ часто заменяют OДHO
значно связанными с ними числами Р столкновений, которые ча
стица испытывает на пути 1 см, если плотность ['аза COOTBeTCTBY
ет давлению р === 1 м:м рт. ст. == 1 торр И температуре Т === О ос,
N o === 3,54 . 1016 CM 3:
р === 3,54 . 10 16 а CM l. TOPP l, <J == 2,83 . 10 17p см 2 . (2.9)
21
Величину Р называют ве ро.яТftОСТЬЮ СТОЛ1iftовеllUй. ПЛОТIIОСТЬ,
j;оторая выраJhается большими числами, очень удобно xapaH:Te
pil JOBaTb давлением в. торрах. В этом и состоит целесообразность
ВВРДРПНП Р; длина пробеrа в санти:метра\: тоrда просто paUHa
l==l/Pp[TOPP] см. (2.10)
Но необходимо помнить о том, что однозначное соответствие
N и р и буквальное выполнение формулы (2.10) требуют ОДIlО
значности температуры. Фиrурирующее в формуле давление, KO
торое отнесено 1{ Т === О oc называют пpueeaeftftbl t. 11ноrда про
исходит небольшая путаНIIца, ибо передко указывают реальное
давление, Jioropoe скорее соответствует комнатной температуре
20 oc а не О ос. Тоrда давлению 1 1'орр отвечает HeMHoro меIIЬ
llIая плотность N 20 == 3,30 . 1016 CM 3. Вообще,
р (ПрIIве нное) == р (истинное) (273fT [I{] ). (2.11)
9 2. У пруrое рассеяние электронов
нептральными атомами и: молекулами
2.1. ,Сечения упруrllХ столкновений. Эти сечения, IiaK праВИJlО,
rораздо больше сечсниii н упруrих СТОЛI\повений. Сечения
упруrих столкновениii ас заВJIСЯТ от скорости v (илп анерrпи е ===
::::::: ти 2 /2) э..еRтрона II опредеЛЯJОТСЯ деЙствием на электрон
Pc,CM f.TOfJfJ ' I J SСJtо fбсм2
n -f 1
fJC,CM 'тодд , I
50
, ""f7 1б 2
I I <5 с ,l(.1 СМ
I 40 (2
,
I
3б 1
!
30 ,
...j
24
80
'/0
120
40
о
ч 8 12 15 20 24 28 е,.эfJ
Рис. 2.2. Вероятности и сечения уп
руrих столкновений электронов с
атомами инертных тазов в зависимо
сти от энерrии электронов [24]
S"J3 j
I ..L...........t J
О ч. 8 12 16 2и 2/ 28 32 55
Рис. 2.3. Вероятности и сечения
упруrих столкновениЙ в Н 2 \и Не
в зависимости от энерrии элект
ронов [24]
с.пО}НIIоrо силовоrо поля атома, молекулы. Рассмотрение этоrо"
эф(реJ\та и вычисление сечений составляет предмет KBaHTOBO Me
хапичосной теории столкновений, так как при типичных энерrиях
f '" 1 эВ дебройлевсная длина волны электрона сравнима с раз
мерами атома.
22
В практическоЙ работе, как правило, ПОЛЬЗУются сеЧеgn
u ( ЦЛМЦ
для электронов, которые наидены опытным путем рис. 2.2 2.4)
С помо ью этих данных летко сосчитать частоты Упруrих CTOJIK
lIовении:
'V c === Nva c == 5,93 . 10 7 у Е [эВ] РСР [торр] c 1
(2.12)
(рис. 2.5). в области энерrиЙ в десятки элеКТ Б РОIIВОЛЬТ YIIPYtrae
сечения всеrда уменьшаются с ростом 8 олее эверrичIIыIй
Ре, CM 1.TOPP 1
I
1"0
2000
1600
800
'-100
а
g[}
10
10 О
б
70 N 2 0
1..70
30
б
8
7{}
/7)
10
О
2
ч
24.1
2JO
150
120
80
о
2
ч.
40
О
Рис. 2.4. Вероятности упруrи:.х столкновений в зависимости от «скорости»
:Jле:ктровов: а в 02, N 2 И со; б в СО 2 И 1 20; в в парах щелочных Me
таллов; z в парах Hg, Zn и Cd [6]
электрон труднее «сбить с пути»; укорачивается и длительность
действия молекулярнorо поля. у некоторых атомов и Молекул
наблюдаются rлубокие Минимумы сечений в области энерrий 8
23
0,1 1 эВ; это называют эффе1iТОМ РаJrlзауэра, :который оuпа....
ружи.J минимумы в 1923 r., измеряя сечения на опыте. В cy
Jцествовании мини:мумов ПРОЯВЛЯIОТСЯ волновые своЙства э.тrеI\---
трона.
'3J c /p, 10 9с f. торр 1
t
,1.....J I ! L...
О'-/.8 12 16 20 24 28 3? 76 О .-12 i6 2J 24 28 32 30"'
Рис. 2 5 'Частоты упруrих: СТОЛRновении в sаВИСИМОС1И ОТ .)нерrии lЛ RТрО
НОВ (р == 1 торр): а в Н 2 И Не, б в инертны\. тазах; штри\овые ли
нии удобная аППРОf{си.мация при расчста [241
2.2. Транспортное сечение 11 потери импульса. IIри упруrом
стол:кновении с атомом элентрон может отклониться от направ...
.1Jения своеЙ начальноii скорости v на разныо уrлыI 8. BepOHT
ность рассеяния на уrол 8, илп дифференциаJIьное сечение da ===
== (da/dQ) dQ, rде ао == 2л sin ede элемент телеспоrо уrла, обыч
но СЛОЖНЫ I образо:м: зависит от уrла рассеяния (рис. 2Jj). Что
бы выяспить, как сказывается уrловое распреде.тrение на резуль
тирующем эффекте мноrих
столкновении, реПIИМ r.лав
выЙ вопрос, da которыЙ He
сут ответственность упруrие
столкновения: как бысrро
Э.ТIектрон растрачивает СВОI0
направленную скорость, свой
им:пульс. Имея в виду, что
электрон rораздо леrче и ro
раздо быстрее движется, чем
молекула, будем считать по
с::rедние неподвижпыми.
В результате рассеяния
снорость электрона становит
... ,
ся равнои v , а импульс Me
нлется на p === т (v' v).
Скорость изменения ИМПУЛЬ
са, обязанная упруrим
сто.пнновениям, (dp/dt)c равняется векторной сумме p по BcelVI
СТОJIIОIОllепиям, которые электрон совершает в единицу времени.
Проводить такое суммирование точно было бы не реальным, по
этому подойдем R вопросу статистически. "Усредним p по все1\{
а
Н 2
---- ---
4-
Не
2
45 80 135 180
Рис. 2.6. Дифференциальное сечение уп
pyroro рассеяния злеl\ТрОНОВ в СО 2 В
зависимости ОТ уrла рассеяния [6]
24
25 l' I
Хе 01
---1
1J
l
Ne
8,эВ
столкновениям, т. С по всеВОЗМОiННЫМ: yr laI\1 рассеяния в одном
,акте, II умножим результат на число актов в единицу времени
(на частоту столкновений " с ) :
(dpjdt) с == т< v>'Vc == т(v' v>v c .
Чтобы произвести усреднение, разложим вектор v' на COCTaB
1J'Iяющие, параллеЛЬНУIО и перпеНДIIКУЛЯРНУЮ направлению Ha
чальной скорости v, которая фиксирована и усреднеНИIО не под
, , ,
лежит. v == v 11 v . Отклонения вправо и влево на один и тот
же уrол 8 равновероятны, т. е < v ) о. Как будет по ка за но
в п 2 3, вследствие большоrо разлпчия масс электрона и моле
нулы, электрон теряет при упруrОI\I соударении ничтожную IIО
лю своен эперrии. flоэтому значение ето скорости при рассеянии
остается поч ти п епзменным, II < V I)=== v cos 8 . Средний носинус утла
рассеЯНIIЯ cos 8 пало.тIИТСЯ путем усреднениЯ cos 8 по телесному
уrлу с учетом yr.тJoBoro распределения рассеяния.
Вве я величины
(J t,
s (1 CO О) : d 2 (J' L ( 1 cos О ),
'т
'c(1 cos8 ),
(2.13)
представим исБо,ыIй результат в ви де
(dp/dl) с === тv(1 cos 8)\с === тVVт === pv'm
..
n NVCJ,r ..........
L)еЛИЧИIIУ (Jlr IldЗЫВdIОТ TpaпCпOpTllblJrt сечеНZlеМ. а '\'m............
эффе1iтивпой частотой стОлriповепuй О сечении (Jtr И соотв ф ет ф ств u У
а уз
Iощей длине пробеrа [т === 1/ Na tr иноrда' rоворят, HaI () u aC
OJll-lblХ или для передачи u.мnульса Все влияние уrло воrо р L:l
Р оМ coS v.
предеJlепия рассеяния учитывается ОДНИ I парамет
(2.14)
",'" ')
1 , 10 ОС"'!
.q. Ptr,CM Т ОРР бс,сStr' I
Не б Ne Ar Z,..
2:; б ас ,.
2fJ I ,
I \ 18
I \
j I \
Jз 1 \
",....-................. I \ 12
,
10 " --.... , ,
10 3 40 , ,
.....
I ............
б
"
ZD
чо
20
pfl
оПJзlе ь е
Рис 2 7 Вероятности упруrи\. стол-кновенпй Jле-ктронов (шТРlI (CIlJl0I1llIbI
вые) и вероятности, соответствующие транспортным сеченияМ r2 ]
кривые), в Не, Ne 1J Ar в заВИСИМОСТII ОТ энерrии леКТРОlIОВ
20
!о
ои
...,.}
о
6]
о
о
25
Еслп рассеяние И З0ТРО ППО (или симметрично) относительно пло
сности 8 === 90°, cos 8 === О, atr == ас, \'т == V c . Если элентрон pac
СРlIвается преимущественно вперед, cos 8 1, \'т «: V c и требуется
Mlloro столкновений, чтобы электрон растратил свой нача льный
и:мпульс. Если элентрон рассеивается CTporo назад, cos е == 1,
снорость потери импульса вдвое больше, чем при изотропном
рассеянпп. У большинства rазов при энерrиях элентронов в
"'-' 1 10 эВ, харантерных для разрядов, транспортные сечеНIIЯ
па 1 10 О/о меньше истинных, в области более ВЫСОRИХ энер
I'ИЙ раза в полтора (рис. 2.7).
2.3. Упруrие потери энерrии. Эти потери хотя и малы, но во
мноrпх случаях иrраIОТ важную роль, определяя снорость пере
дачи энерrИII от элентронов rазу тяжелых частиц. J{оrда при
рассеянии элентрон теряет импульс p, моленула таной же им
пульс приобретает. Если моленула вначале поко:ила<;ь, вместе
с ИМПУ JЬСО I она получит энерrию ё == ( p) 2/2М, ноторую элек
трон теряет. Поступая тан же, нак и при вычислении (dp/dt) с,
заПИIIIем скорость у:меньшеНIIЯ энерrии элентрона за счет упру
rих потерь в виде
( )с 2 ! ф р)2> V c « V)2>vc, L'\.v == у' у.
Проведем усреднение с учеТО I тото, что элеRТРОН
одном анте тольно очень малую долю своей энерrии:
« V)2> == v'2 2v,иcos8 и2==2и2(1 cosO ),
( (18 ) 2пl ( ) 2т
==--- 1 cos 8 ёV == ё V т
dt с Аl с М .
В Баждо:м соударении элентрон теряет в среднем долю
(2т/М) (1 cos 8) ОТ своей энерrИII В, а R :каждо:м «эффектпв
ном» соударении долю 2т/М. Величина эта очень 1\Iала, порядна
10 4. Чтобы отдать значительную часть сеоеЙ энерrии атомам,
лентрон О:Iжен соверIlIIIТЬ поряд:ка М/т "'-' 104 упруrих стол:кпо
вениЙ. В ЭТО l нроется причина Toro, что температура эле:кт
ронов, :которые ФаI{тичесни только II получают энерrию от поля,
сильно превышает температуру (rаза, а выравниваются темпера
туры довольно медленно.
теряет в
(2.15)
9 3. Столкновения ионов с нейтральными частицами
3.1. Поляризационное сечение. Сечения упруrоrо рассеяния
медленных ионов с энеРLrИЯIМИ порЯ\д:ка тепловой (,ка:к это чаще
HCOI"() бывает в условиях разряда) определяются поляризациОll
III)l.МIl СllЛGJ1UI. Взаи:модеiiствие частиц можно рассматривать на
ОСllОВР нлаССIlчесноЙ: механики, та:к ка:к длины волн де БроЙля
в на 111101\1 случае MHoro меньше xapaHTepHoro радиуса взаимо
деЙСТВIIН.
26
Находясь на расстоянии r от м:олекулы, однозарядный ион
своим электрическим полем e/ индуцирует в молекупе диполь
вый момент d === ae/r2, rде а поляризуемость молекулы
(табл. 2.2). ПОЛОiнительный ион подтяrи:вает молекулярные элек
троны ближе к себе, отрицательный отодвиrает их от себя.
ИОН притяrивается К молекуле полем диполя 2d/l 3, обладаю
ЩИМ потенциалом ер === ae/2r4. Обозначим через ро расстояние,
т а б l 1f Ц а 2 2 Поляри YC'10CTЬ а dTO\IOB II '10 H T-{Y! В ОСНОВНОЧ ('О('ТОЯ
ПНИ И Дt{ПОТIЬНЫЙ МО'lСНТ d u 'JОi(!RУЛ *)
Атом
a/a:-J
о
Моле
Ry;;:ra
а/аЗ
о
do/(Qo I
А том
а./а 1
О
MO.JH:'
t, У .1 а
а/а 1
о
(! о/еа о
н 4,5 H 5,52 О О 512 С0 2 17. ()
Не (118) 1,30 N 2 11,8 О 1\;е 2.7() l1 J) ,8 1 ,84
Hp(2 1 S)**) 800 ()2 1 О f) (\ А, 11 ,1 NI1 15,4 1,46
11o(2 3 S)* *) 31ь СО 13,1 () . J Kr' 1 (),Н
N 7,() () 11 ,3 О.lН АР 7 ,
*)Взлто III :КЮПН [26]
* *) Для сравненин привещ'пы orpoMHIJH" НО""] при J УР\10( ти в()')буждеины'{ атомов
rе;IИЯ TaRoro}ht' IlОрНДНд. п ПО I нризуем()( ти а101\10/l ЩРJIOЧНЫХ металлов в ос иовном
состопнии
на K(ITOPOM кин т чес кап энерrия относIIтелыlrоo движения иона
и молекулы е,' А;) , и' 2/2 равняется потепциаль пой е I ер I , ро ===
=== (ае 2 /2в') 1/4. Е ли ион подлетает R молекуле с прицеЛЬ1-lЫ.}t pac
СТОЯ1-luе:м *) р < ро, ОН ПОДRерrает я сильному воздействию И pac
сеивается на значительный yroJI, ес IИ р > ро ион подверrается
слабому воздеЙСТВИIО и рассеиваетси па малыЙ УLrОЛ. По ПОРЯДКУ
Н8ЛИ(IИIIЫ транспортное сечение рассеЯI{ИЯ равно а tr лr . С уче
том УТОЧПЯЮlцеrо оценку множителя 2 Jl2 [2О]
Utr === 2л V ае 2 /е' 2 V2Лf1 V(a/ag) ([и/с').
(2.1(э)
D последнем преобразовании мы rырази.пи е 2 через БОрОВСI\ИЙ
радиус ао == п 2 /те 2 == 0,529 . 10 8 СМ И потенциал ионизации aTO
ма водорода [н === е2/2ао == 13,6 эВ, чтобы выделить ларактерный
:масштаб сечений атомных столкновений площадь первоЙ боров
ской орбиты ла :=:: 0,880. 1 o 16 см 2 .
При поляризационном взаимодействии сечение (j tr /"00./ 1/v', а ча
стота столнновений 'V rn === Nv' (j (v') === const. Коrда при увеличе
нии снорости (знерrии) иона харантерныЙ радиус поляризацион
ных сил ро становится меньше размеров молекулы, а COOTBeT
СТВУЮlцее сечение меньше rазокипетическоrо, рассеяние проис
ходит при «соприносновеНIIИ» частиц. ПодяризаЦИОНIIое сечепиэ
*) Та-к называется МИНИМdJIьное расстояние, н.} -котором частица про
шла бы мимо мишени, если бы между ними не было взаимодействия
27
сменяется [3 :НJItинетичесним, ноторое от и' зависит слабо. тепе р ь
, ,
" т "'-' и. В Не, Ar, N 2 , 02 это ПрОИС"\.ОДIIТ при 8' > Е1\
O,!) 0,6 эВ, в N е В Н 0,15 эВ, в Н 2 0,9 эВ. Та ним обра..
iЗОМ, ,. dJ[ыIдеиствующееe притяжение уступает близнодействую
1I (ЭМУ uттаЛI-tиванию при температурах примерно выIеe 4000 К.
llесимметричные моленулы обладают постоянным ДИПОЛЬНЫ f
:моментом: d o (табл. 2.2). На ион со стороны :моленулы действуют
поля ПОСТОЯНIIоrо и индуци
pOBaHHoro MO\fellTOB То из
них, которое онажется более
сильным, и определяет ce
чение рассеяния. ОцеНI\У
\10ЖIIО сделать тан же, нак
II ВЬПllе (см. 1 e изд., с. 46).
в случае постоянноrо MO
мента (Jtr I"'J 1/и'2, Т. е. при
достаточно малых энерrиях,
t'" u
преооладает деиствие посто
япноrо момента В СО, NO
это происходит при энерrи
ях мепыuе тепловых, т. е.
сечение всеrда ПОJIяризаци
ОНIIое НО R парах воды
при f' < 2,3 эВ.
3.2. Резонансная пере за...
рядка. Двиrаясь в собствен
ном rазе (IIe+ в Не, Ni в
N 2), ионы интенсивно теря
ют импульс в реJультате pe
зопапСftой пе резарядкu. У c
RоренныlI полем ион на
лету отбирает элентрон у
пейтраЛЬНОJI моленулы и
нейтрализуется Это проис
ходит тан быстро, что новый
ион (бывшая моленула) не
успевает «сдвинуться с Me
ста». Сечение перезарЯДRИ
О'пер обычно да}ке больше
сечеНIIЯ упруrих СТОЛRнове
ний (рис 2 8). Оно медлен
НО уменьшается с ростом
скорости (см. 1 e изд., с. 49).
В системе центра масс MO
ленула и ион движутся с
O) II (1 а ,\()выми скорост ями: навстречу друr друrу, а после
IJРР(\ Jt1 f Н1 ДНИ аряд с той же сноростью движется в противопо
ЛОil\llОМ II(НI равдопии. Это эквивалентно рассеЯНИIО на 1800, по
TOMY 11 Рll пере зарядне O'tr === 20'пер. Резонансная перезарЯДRа
fJ,CM 1 Topp , 1
3
10 5CM 2
,
Не
100
30
2
20
AI'%. о
б: С T . у о
150
Ne
40
IJO
50
о
зсо
3
8!)
Ar I
200
2
f
100
I
)
I
5
I
10
УЕ, эВ f/2
I I
15 20
Рис 2 8 ВерОЯТНОСТII и сечения
СТОЛКНОВt\НИИ ионов в инертных ra
18Х в заВИLИМОСТИ от энерrии элект
рОllОВ 1 упруrое рассеяние, 2
(Н реза рядка, 3 их сумма [15]
28
сильно влияет на скорость потери импульса ионов и существенно
уменьшает их подвижность в собственном rазе.
ПерезаРЯДRа возможна и в случае разнородных частиц, но Ta
Roro типа акты чаще Bcero являются одноразовыми. Действи
телыI,, если потенциал ионИ\зации атома А больше потенциала
ионизации атома В, то перезарядка А + + в ---+ А + В+ энер/rети
чески позволена, а В+ + А ---+ В + А + нет. Перезарядка ионов
в собственном rазе тем и замечательна, что, подобно упруrим
СТОЛRновениям, не сопровождается превращениями энертии и по
своему результату вполне эквивалентна упруrому удару.
3.3. Потери импульса и обмен энерrией при упруrих столк..
новениях. В случае ионов реlIIение этих вопросов не столь про
стое, как для электронов, из за сравнимости масс иона М 1 и мо'"
JIеRУЛЫ М. Отсылая за выводами формул к 1 MY изд., приведем:
лишь результаты, нужные для И1зучения дрейфа ионов в поле
( 5 rл. 3). Скорость потери импульса Рl === M1v t иона (dpl/ dt ) с
определяотся величиноЙ N jJJ' <у' v' (Jtr (v') ), rде усреднение прово..
дится по теП:IОВЫМ скоростя:м молекул при фИRсированной CKO
расти иона У 1 . ДЛЯ поляризационных сил, коrда (Jtr /"00./ 1/и' и ча
стота СТОЛНlIовениЙ 'V m === Nv' (Jtr не зависит от СRОрОСТИ, <у') === V t И
( d р.) d t ) с === М' v 1 V 111 . ( 2. 1 7 )
Формула (2.17) отличается от (2.14) ЛИIJ1Ь тем, что в пеЙ стоит
приведенная Ma W . В случае М 1 М, коrда М' === М 1 , она пре
вращается в (2.1 ).
Энерrии ион в в разрядных словиях из за IIнтенспвноrо O()
мена чаще Bcero мало отличаются от ЭIIсрrий моленул. Обмен
имеет двусторонний apaHTep, т. е. при СТОЛI\IIовепиях и ион
может отдавать часть энерrии м()ле!5уле, и молекула иону,
все зависит от СООТНОIIlения скоростей партнер ов . llри условии
" т === const скорость изменения среJ,пей энерrии В 1 иона за счет
упруrих столкновений с молекулами равняется
( dё ) 2М7М ( )
d/ с C (М, + м)2 ti f M \'т, (2.18)
rде вм === ( 3/2 ) kT средняя тепловая энерrия молекул. В случае
М 1 « jJJ и: В 1 ВМ (2.18) превращается в (2.15)*).
э 4. Упруrие столкновения между заряженными часrицами
Из всех сил нзаимодействия между атомными частицами Meд
леннее Bcero спадают с расстоянием (как 1/r2) пУЛО1-l0вспие cи
ЛЬ . ОНИ облад ают наиБОЛЬШII 1 даЛЬ1-l0действиеМ. Это практич
*) В п. 2.3 предполаl алось, что .)нерrия эле-ктрона Lели-ка по сравнению
с те:мпсратуроЙ rаза, как это всеrд:J. бывает в слабоионизованном rазе, Ha
одящемся в IJоле. При выключении поля или в сильноионизованной плазме-
\нерrии электронов становятся сравнимыми с энерrиями атомов, ионов
В этом более общем случае и в формулу (2.15) вместо Е следует ввести
Е (З/2)kТ или (3/2) (Те Т). Об ЗТО\{, как и об истоках формулы (2.18)"
см. 1 e ИЗД., 5 rл. 2.
29
сни единственный вид взаимодействия, при котором столкнове
i 111 Н С f)()ЛЫlIИ IИ прицельными расстояниями, приводящие к pac
соя IIИТО на малые уrлы, вносят rлаВIIЫЙ вклад в потерю им
пульса частицы, причем интеrрал транспортноrо сечения (2.13)
(I)opMaJff)lIo ОI{азывается uеснонечным. Реальные транспортные
СС'IРНИЯ, н:оторые, нан :м:ы увидим, конечны, во мноrих пранти
'1rСI\И важных случаях оказываются rораздо больше rазоки:не
IичеСRИХ. JTO значит, что еще при далено не полной :ионизации
rаэа среди столнновений элентрона с тяжелыми частицами на
первыЙ план выступают столнновения с имеющимися в неболь
lПОМ ноличестве ионами.
4.1. Дифференциадъное сечение. Оценим зто сечение приме
Ilительно н рассеянию элентрона :ионом при пролете элентрона
па большом прицельном: расстоянии р, коrда уrол рассеяния в
:м:ал. В течение времени взаимодействия t ""' p/v на элентрон дей
ствует сила F ""' е 2 /р2, которая сообщает ему поперечную направ
лению v снорость v..L. "Уlrол отклонения 8 связан с р СООТIIОlпе
IIием
v L Ft е 2
8
') ,
v ти ти"р
<)
d8 dp
J J ·
ти" Р""'
(2.1 Й)
Элентрон рассеивается в интервал уrлов от 8 до 8 + (18, Hor;J;a
попадает в нольцевую ПЛОJцадну с радпусаМII р и р + dp. ДИlf>фе
ренциалыIеe сечение рассеяния равно
da ( е2 2 а8 ( е2 ) 2 dQ
da == dQ dQ 2лр dp 2л ) 3 .
тпи 8 ти е
(2.20)
Точное Еычисление Д 1:Я любых номбинаций заРЯJненных частиц
ПрИВО;J;IIТ к извеСТНОlI фор:муле Резерфорда:
( е 2 ) ' 2 dQ / е 2 ) 2 dQ
da ! ,
2М'и'2. sin 4 (х/ 2 ) \ 48' sin 4 (Х/2)'
(2.21)
rде Х уrол рассеяния в системе центра масс. Для электрон
ионных столкновениЙ на малые уrлы (М' == т, v' == v, Х == 8« 1)
оценна (2.20) меньше (2.21) в четыре раза.
4.2. КУЛОIIОВСRllе радиус и лоrарифм. Как мы сейчас увидим,
осповной ВRлад в транспортное сечение дают малые уrлы. По
этому в общую формулу (2.13) для (jtr можно подставить yr
JJOBYIO зависимость дифференциалыIrоo сечения рассеяния (2.20),
справедливую для малых уrЛОВ, распространив интеrрал до He
I\O'loporo значения 8тах""' 1, до HOToporo еще можно экстраполи
ронать оценочное соотношение (2.20). Рассеянию на большие
1'.1 Ы 8 1 соответствует пролет элентрона на расстояниях р,
МРIIIJIlJИХ тан называемоrо пУЛО1-l0вС О20 радиуса ro. Ему отвечает
"ри'морное равеНСТЕО нинетичесной mv 2 /2 и потенциальноЙ e1.J r o
,)IIPPI'II ij ;)лектрона. Точное определение нулоновсноrо радиуса
) 1[ ' ,2 t"':
"0 е""' / j и для ОtJщеrо случая соответствует рассеянию парт...
Н('рОВ lJa уrол 900 в системе центра масс. Заметив, что 1 cos 8
за
82/2, и введя для расходящеrо со стороны малых уrлов ин
Terpa.1:a условныЙ предел 8 ffi1n , Ртах, найдем
8 та ",\: ::::::: 1 РП1ах
( е'"' ) S d8 2 dp 2 Ртах
atr л 2 8 лrо . === :rtrO ln .
\ти · Р 1 О
8 m1n То
(2.22)
Масштабом сечения служит площадь кружка с КУЛОНОВСКIIМ pa
диусом, что и естественно (ср. с. п. 3.1), но численно atT может
оказаться сколь уrодно большим из за лоzариф.мичес-поzо .м1/;O
;Jlсителя.
Фактическим верхним пределом в интеrрале (2.22) служит
то расстояние, до KOToporo простирается Rулоновское поле дaH
ното заряда в плазме. Заряд своим полем поляризует окружаIО
щую ПЛаЗМУ, от чеrо поле поляризации уничтожает поле дaH
поrо заряда на расстояниях r;a d. Потенциал заряда с учетом:
экранпровки сосеДЯМII спадает уже не по кулоновско:му Jdr OHY
e/r, а как r l exp( r/d) . Величина
V h Т е ( Те [I{] ) 1/2 ( Те [э В] ) 1/2
d == 6 90 == 7 1 3
2 '
4ле п е п е пе
(2.2:1)
l18зывается дебае в CYi-и.;"tt радиусо.м *). Подставив Ртах === d II заме
нив М' и'2 на 3kT получим
d 3 (kTe) 3/2
ln А === ln === y 3 1/2 . 7,47 t 1,51g Те IЩ O,51g п е .
ro 2 л е п е
(2.2q)
,
Для разрядных условий ln Л 4 11. . Таково примерное COOTHO
11lение вкладов далеких и близких столкновений в транспортное
сечение.
4.3. RУЛОНОБское сечение. Для частиц со среднсЙ тепловоЙ
энерrией это сечение равно
4л е 4 ln А 16 2 I 1 н ) 2 А 2 8 1 ) 14 ] А ( Т } .J ) () 2
акул 9 (kT)2 ==""""9 лао kT In , 7. ( П 1,) Jj CM .
(2.25)
Применительно к элеКТРОН ИОННЫl\1 и электрон электропным
столкновениям под Т следует понимать температуру электропnв
Те. Ifапример, при Те === 1 эВ === 11 600 К и п е === 1014 см З, 111 1\ g
*) Дебаевскии радиус выодитснH из реПlения уравнения Пуассона дли:
самосоrласованноrо поля ер (1) вокру!' данноrо заряда, которое создается
этим зарядом и ero окружением IIри этом считается, что соседние заряды
распределяются в саМОСОI\1dСОВr!lIПО'1 поле по t)f)льцмаНОВСhОМУ закону ТИ
па п е === п 00 ехр (е<:р! kT е). Величина ( .23) соответствует неравновесной плаз
:ме, в I\ОТОрОИ Те » т, и плотность малоподвижных ионов с НИЗhОЙ теМIIе
ратуроЙ считается неИТ\IенноЙ (п+ -== COllst == п оо ). ЕС.JIИ посчитать, что и:
п+ == п оо ехр ( e<:p/kT), что, быть MOil\eT, имеет смысл для равновеснои
плазмы с Т =-= Т е, то для d по.lУЧ,Jе rCH величина, в V2 раз меньшая (2.23).
31
'и ОI:УЛ 2,3 . 10 13 см 2 . Это па два ПОРЯДН:Н иол ьше обычных ra.
З0кинетичеСRИХ срчрпиi1 и М(\Н'СIIМс\ЛI.III)IХ СUЧl'lIИЙ упруrих столк--
новений Э'nР1\ТрОIlОВ с H'IOMctMI1 IIIIРРIIIЫХ I'азов.
4.4. ОБМ{ lr Зllерl'lIt' Й М( jI\ДУ лектронами 11 ионами. Если
т е Т, то СНОрОСТh передачи энерrии от электронов ионам в плаз
ме определяется формулой (2.15) с " т == 'У е1 == n+Vе(JI<УЛ. При про--
п;:знольном соотношении температур в соответствии с замечанпем
на с. 29 (СМ. сноску)
ат е Т Т е 1 2т
-"/ \"
си === 't обм ' 1" ос м -"/ М e'l,
(2.26)
250А (Те [И))3/2 3, 15.10 8 А (Те [эв])3/2
т б с,
о м n+ ln А n+ 111 А
(['де А атомная масса иона. Наприм:ер, при А === 40 (aprOH), т е ==
== 104 К, n+ === 1015 CM 3 Т()(М == 1,7 М:КС. Уравнение (2.26) было
.получено в 1936 r. Л. д. Ландау.
э 5. Неупруrие столкновения электронов
с атомами и l\lолекулами
5.1. Ионизация. Чтобы вырвать электрон из атома (молеиулы),
IIеобходимо затратить энерrию, равную энерrии ero связи в атоме.
Эту величину называют потеllцuало.м UОlluзацuи 1 (табл. 2.3).
На рис. 2.9 2.11 представлены измеренные на опыте сечения
ионизации (на практике обычно ПОЛЬЗУIОТСЯ именно экспери
мептальными сечениями). Особый интерес для разрядных про
цессов предстаВЛЯIОТ сечения, соответствующие пебольшим пре
вышениям энерrии электрона е над пороrовым значением е == 1
Таблпца 2 3 П )ТI'НЦ Id' IIOtf 1 aц HJ И IIс1НТ"[ОН сеч"нии lIОIIИJации
вб ТПfЗИ пороrа
Атом, C l , Область А10М, С,. \ Об:тасть
моле 1) )B 10 17иH2/ n примеиимо('т:и MO '1e 1, В 17 / В примеиимо( ти
Н) .тra е, эВ ну Iа 10 ('м 2 Э е) эВ
Н 13,6 fIg 2,7 10,5 28
IIe ::4 6 0,13 24.6 35 Н 2 15,4 U,59 1 o 25
Ne 21 ,6 0,16 21 ,6 40 1'2 15.6 0,85 16 30
Ar 15,8 2,0 15 25 02 12,2 0,68 13 40
Kr 14,0 СО 2 13.8
Хе 12,1 СО О,и7 14 25
N 14,5 0,59 15 зп Na 5,1
О 13,6 0,6 14 2c) К 4,3
Hg 10,4 7,9 10,5 1:1 Cg 3,9
(рис. 2.11). В БОЛЫПИIIстве случаев очень энерrичных электро--
нов в rазе бывает мало, и потому их роль в ионизации чаще
Bcero невелика. Впрочем, встречаются ситуации (например, в ка..
тодном слое тлеющеrо разряда), коrда электроны достиrают
зперrиii, значительно превышающил потенциал IIонизацпи.
32
Вблизи пороrа сечения неплоло аППРОRСИМПРУЮТСЯ прямой
чем пользуются при расчетах СRОрОСТИ ионизации (п. 1.2 rл. 4).
IJ ри маRсвеЛЛОВСRОМ спеRтре масштабом сечения a служит зна
чение a при 8 1 + kTe, а ПОСRОЛЬRУ чаще Bcero Те 1 эВ, то
численно a C , если C выражено в см 2 /эВ (табл. 2.3).
в IТРRОТОрЫХ условиях существенную роль иrрает ионизация
} озбужденных атомов, состаВЛЯlощая зан лючительныЙ aRT CTY
пеnчатой uоnuзацuu (сначала леRТрОНЫ возбуждают атомы, по
том ионизуют). ЭнерrетичеСRИХ выrод это не дает, суммарная
энерrия возбуждения и послед)
ющей ионизации псе равно раЕ
на 1. Но оба aRTa MorYT COBep
шать более медленные э.лентроны,
и сечения ионизации возбужден
ных атомов при неболыпом пре
вышении 8 над пороrом значи
тельно большr, чем неВОdбуждсп
ных (рис. 2.12, 2.13).
5.2. Возб)тждение электронных
состояний. про rэ ссы эти важны
как первичный этап ступенчатоЙ
ионизации, иак ИСТОЧIIИН потерь"
энерrии элеRТРОНОВ, RaR одна
ИЗ причин свечения плазмы. Cpe
ди: возбужденных атомов и MO - .0
лекул выдеЛЯIОТСЯ метастабuль
/l [Jle частицы. Самопроизвольный
нереход из мета стабильных co
стояний в нижнее энерrетичеСRое
еr)стояпие, сопровождаIОЩИЙСЯ
пзлучением иванта, заПр Iцен,
Т. е. имеет чреЗВI Ч'1ЙП() q ТТ'Т10
вероятность. Метастабильная частица может ,кить долrо,
пока не дезаRтивируется ударом элеRтрона или атома, не перей
дет в более высоиое состояние, не ионизуется или не поrибнет
па стеннах.
Времена жизни мета стабильных состояний по отношению R
высвечиванию превышают 10 4 с и достиrают в некоторых слу
чаях сеиунд (табл. 2.4), тоrда иак обычные возбужденные aTO
мы и молеRУЛЫ высвечиваются через 10 8 10 7 с (если не будут
до это о дезаRтивированы ударом). Особенно веЛИRа роль MeTa
стабильных частиц для процесса ступенчатой ионизации, так
I\aK они живут долrо и «ожидают» ионизующе о удара.
Самый нижний из не метастабильных уровней называют
резоnаnс1iыM (табл. 2.4). Возможен таRОЙ процесс: атом излу
чает нвант света, возвращаясь в основное состояние. Этот ивант
a === C (8 1) ,
3 ю. п РайзеI1
8 I
,
(2.27)
10
2
!i .
.......... v.c...
..............",
........
.. .....
1
Не
100
150 8,э8
Рис. 2 9. Вероятности и сечения
ионизации атомов :Не, Ne, Ar и
молекул 11, N 2 электронным yдa
ром в широком диапазоне энер
rии электронов [14 J
33
Pi,CH 1 TOPp !
15
9
3
о
300
€,эf3
500
Рис 2.10. Вероятности ионизации различных молеRУЛ элеRтронами в зави
симости от энеРl'ИИ последних [15]
C3'l / c
ЦОб
0,04
0,02
о
fб
20
24
28
Рис 2 11. Поведение сеченпя
ионизации элеRтронныM ударом
вблизи пороrа; представлены OT
ношения сечении ионизации и уп
руrих СТОЛRновений (последние
ДаНЫ на рис 2 2 11 2 3) в завиrи
мости ОТ энерrии Jлектронов r 15]
с БОЛЫIIОЙ вероятностью поrлощается соседним атомом, ПОСRОЛЬ
ну происходит резоnаnсное поелощеnие, и переводит ero на тот
iRe самый резонансный уровень. Второй атом излучает нвант,
и Т. д. Так происходят блуждание (диффузия) резоnаnСJiОZО из
луче1tuл и периодичеСRое появление и исчезновение резонанс но
БоаGуждепных атомов. Процессу препятствует дезактивация (7 y
1.ир", l1С) ррзопапсно ВО;:J()ужденных атомов удара.;1си вто рое о poda.
34
fо fбсм2
l'
1.;
2
с з!3
IJ ...L
Ч б 8 J I? 1,.. A
Рис 2 12 Сечения ионизации B03
бужденных атомов Не (238)
')лектронами в зависимости от
их энерrии. сплошная Бривая.....
Jксперимент, штриховая Teo
рин [12]
(5l,fо fбсм2
4-
2
u
5"
f)
?'7
Рис 2 13 Сечения ионизации B()3
бужденных метастабильных aTO
:МОВ N е (1s s ) электронами в зави
симости от энерrии последних
(теория) [12]
т а б л и ц а 2 )!I nrл [НИ КfИх. м(\тастаf)И1ЬНЫл II резонансных УРОВПlИ
В')СМ:Я fl\И1НП MCTdC 1 а()Иl1РИ, срчснис возбуждрния *)
А том молек па
«(t стояние)
dнерrи -1
Бозбун дени-я,
H
Нр( МН
}I И3НИ, (,
ИН rерпо НIЦИЯ CYMMdJHloro
Cl чения: во:.збушдснил вБJIИ зи
noporOB а*, rCM2J, е, [эВj
11(21 S)
н (2Р)
11l(2 3 S})
j : J(2 1 S 0 )
11 }
r ()
( 1( () '(
1 ( )
1 -r
2- )
I 21
1 () () 2 *
1 () 7 *
1Ь,б5
11,5;) *
11,61
11,72 *
9,Q1 *
10,02
10,5 *
ь, i2 *
8,4 rэ
9,4 *
4,6 *
4,87
5,4 *
6,7
8,7 *
11,5
6,2 *
8,4 *
0,08 *
1 ,64 *
о
Ar(4 S P2)
}\f
ле
Hg
J 12
N2(Аз t)
1 "" )
N 2 (a и
02(1 b)
()2(Ь 1 ;)
( I I )
.",
( , 1()
) 10
-
>1,3
>1,3
1 ,3 2 6
О,!)
2,7 103
12
25 1 О 18 (f, 1 О)
}4,6 10 18 (8 20)
},5 10 18 (1: 16)
}7 10 18 (8 11,5)
!а::Зах 1,7 1() 16 При
} 7 ,6 1 О 18 (8 8 i I
е :::::: 6, 5
б lе ур овни помечены звездоч и ой.
*) Метаста идьнь
5*
35
)ффективное сечеnuе возбуждеnuя а* (8) электронноru co
стояпия называют ИНОfда функцией возбуждения В зависимо
СТИ от нерrии электрона сечение возбуждеппя ведет себя в Ka
чеСIвепном отношении так JIi.e, RaR и сечение ионизации, только
максимум распо Iаrается ближе к пороrу возбуждения Е*
(рис 2 14 2 16) Для HeH OTOpы атомов суммарные сечения воз
буждепия М1l0rих уровнеlI недалеко от пороrов можно rрубо
IIнтерпотrировать прямыми типа (2 27) это бывает полезным
для оценок потерь энеРLrИИ на возбуждение *) Надо сказать, что
из:мерение сечений возбуждения составляет rораз о более TPYД
ную задачу, чем исс ледован:ие :ИОНIIзацпп, ПО31 ому данные о н l t \
значите ьно скуднее
5.3. Удары BToporo рода. Сталкиваясь с возбул-\денными aTO
:м:а'1l1, '1 iеъ.Троны мотут дезаl ТИ} пропать -П ПРJJоGреmая- П\ "ПlР
rПIО возб у JЬдепия TO пазываIОТ неу пр) rпми У)JJ.ра\tIи вт( poro
рода (в западнои литературе сверхупруrИ IИ) Сечение ЭТОl о
процесса 0'2 моя-\:но оценить, воспользовавшись при:нципом e
та 1IЬНОТО равновесия и сечение ! возбуждения в форме а'* (р ) ===
;::=: с* (8 Е*), как в табл 2 q Это дает а2 ( 8 ) С* ( 8 --i Е*) g а/ g*,
rAe ga :и g* статист:ичеСhпе веса HeBOJO\ жденн()то и ВО ОУ}l-\:
депноrо aTo IoB При ТИПИЧНLIХ дЛЯ разрядJ. эперrирх t "'" 1 ;)П«
« Е* "'" 1 О эВ 02 С* Е* ga/ g* И слабо ззьисит от 1IНЧ r ПР С 1 [ас.
но даННЫl\f табл 2 4 а2 "'" 10 16 С'I?
5.4. Возбуждение молеI{УЛЯРНЫХ Rолебаний. Этот процесс
итрает ИСhлючптельно важную роль в разрядах, происходящих
10.Jlеъ.у лярных rазах, будучи славnЫ.l'vt .7J1lехаnuз.!'rtОМ передачи
11 е[rпи от ЭЛ8hТРОНОВ молеh J лам 11роцесс возбуж;rения электро
НdМИ hолебании в молекулах N 2 и СО 2 лежит в основе работы
этrеhтрораЗРЯ;J;НЫХ rазовых СО 2 лазеров Аналоrичным образом
рdботаIОТ и СО лаrзеры При эперrиях э leKTpoIIa е;::::::; 1 5 эВ
сечения ВО5БУiI{деНIIЯ Rотrебанпй довольно БотIыlие,, в Мdксимуме
они даже превосходят сечения электронноrо воrзбуждрния и Bcero
на ПUрF;J,ОЬ. :мепьше сечении упруrих СТОЛI,-повепии (рис 2 17
2 20) -у молекул N 2 , Н 2 , СО, К н( торым ОТНОСiJТСЯ- rра(рини,
энеРlrИП hолебательных квантов равны 0,29, 0,53, 0,27 эВ C()OT
ветственно В молекулах возбуждаются не только первые, но и
выrwие колебательные состояния, правда, в случае Н 2 врро Il
ности возбуждения высши"Х: состояний убывают с ростом HBaH
товото ЧИСТlа v
:Казалось бы, об:меII энерrией :меЖ1У леrким элеъ.ТРОНОМ и HO
лебательными степенями свободы тяжелых ядер должен БЬJТЬ
затруднен так же, как и обмен hинетической энерrией, а rapMO
пичеrкии осциллятор вообще воспринимает энерrию по одному
J BdIITY Парадонс разреlпается следующим образо\! Процесс воз
буждения молекулярных колебаний электронным ударо\tI идст
*) в н( посредственной близости R пороrу по нвантовои ме:ланике G f. /""V
"'" 11 g y i: ПО JId IIrрающие OCHOllHJ ю роль ЗRс1чения 8 Е* ;::::::; 1 B J ( r
закон ун\е, по ВИДИМОvrу, не распростра {летел
J6
через промежуточпое состояпие. На первом этапе электрон объ
единяется с молекулой, образуя молеRУЛЯРНЫЙ ион: N;-, Н;-,
CO . Будучи неустойчивыми, перечисленные отрицательные
ионы через коротное время распадаются, освобождая элеRТРОН
с энерrией меньшей, че:м начальная. МолеRула при этом оста....
ется в возБУjl\денном колебательном состоянии, причем это со....
стояние может соответствовать различным уровням. В пользу
10 3
150 s,эВ 1
Рис. 2 1 . Сечения возб ждения длектронами различных уровней атомов
\ Не (а) п e Lf5)
этоrо предположения товорит и тот фаRТ, что в азоте, например,
резкий рост сеченпя возбуждения начинается не от энерrетиче...
CKoro пороrа е ==:17 ЫЫН! == 0,29 эВ, 11 от .rораздо более ВЫСОRОЙ
нерrии е 1,8 эВ. По видимому, пороr определяется не столько
передаваемой в копечно:м
счете энерrиеи колеба
тельноrо кванта, СRОЛЬКО
энерrиеiI активации, IIеоб
ходимой ДЛЯ образова
ния N .
Электроны возбул-\:дают
и вращательные состоя
ния молекул, но этот про
цесс иrраеr обычно 3Ha
чительно меньшую роль,
чем возбуждение Rолеба
ний.
5.5. Диссоциация моле
кул. Диссоциация не
ОRазывает существенноrо
влияния на энерrетиче
ский баланс элеRТРОНОВ в
разряде, уступая в этом отношении возбуждению Rолебательных
уровней молеRул. Но в определенных условиях диссоциация МО"
б* 10 1б СМ 2
,
а
5
100
10 1
10 2
3
10
tO 4
О
50
100
{.,
с5 *, 10 tf С"1 2
10 '1 I , I
---т--- I I r,...,....,
Тра'- [П{l[}'Пное
......,.., ИDнизация
! '
/.......
/ л, "'
t-- ---- .. I
'"",,: <2:,У
I /YB/ ......... .......... .
r q- Щqо4' ...................
t ........ . ...........!:.bNoe
5 . ,
11 2р 3р ......... ,
I . ,.
I! s,зВ '
I
10 1
10 2
102
10
б * ,o 16CH 2
,
0,8
вJЛ g
0,4
о
5 10 15 20 2 I а, эВ
Рис. 2.15. Сечения возБУj-кдения электро--
нами различных уровней мо.чекулы N 2
37
* 1 1
Р ,РЕ, см .торр
1,5
1,2
0,8
O,4 f I I
0,8
I
I
/p l
I
I
I
I
А}'" I
I
/ He .
I
I
р* I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
,
I
/
/
JI/ I
р* // /
и;4 ,
,
I
О I
8 12
Н 2
,
/'
/
,-
/
I
"tо fб'см2
,
1,5
I
2,0 2,5 0,0 €,зВ
Рис. 2.17 . Суммарное ce
чение возбуждения пер
вых восьми колебатель
пых уровней N 2 ударами
электронов [2.1]
15
2ft
s,эВ
24
Рис. 2.16. Вероятности возбуждения и ионизации вблизи пороrов: mтрихо
вые кривые Ar и Н 2 , сплопmые Ne и Не [6]
леRУЛ ИМеет большое непосредственное значение, будучи началь
ным и наиБОJIее отвеТственным этапом в цеПОЧRе последующих
химических превращений. ПлаЗМQхu.мия, т. е. получение химиче...
СRИХ соединений в плазменных условиях при помощи разря
дов,......... новое важное направление в химической технолоrии. Для
мноrих реакций «УЗRИМ местом», определяющим СRОрОСТЬ Bcero
процесса, является образование из молеRУЛ атомов и свободных
раДИRалов, которые потом уже достаточно быстро реаrируют с
друrими Rомпонентами. Прохождению
этоrо этапа и способствует диссоциация
молеRУЛ ударами электронов в разряде.
KaR и возбуждени е колебаний, диссо....
циация идет двухсrупеuчать"tМ путем, но
не через захват электрона, а через воз
буждение электронных или элеRТРОННО
Rолебательных состояний молекулы с
последующим распадом возбужденной мо....
леRУЛЫ на атомы. И пороr у сечения оп
ределлется не потенциалом диссоциации,
а потенциалом возбуждения низшеrо He
стабильноrо электронно о состояния
(рис. 2.21).
5.6. Замечание о возбуждении и ио-
низации ионами. Неупруrие столкновения
ионов с атомами и молекулами сколь
нибудь значительной роли в разрядах
не иrрают. Даже обладая эперrиеи, дo
статочной для возбуждения или ионизации, ион проле...
тает мимо атома слишком медленно. Своим полем он медлеIl
по (адиабатичеспи) деформирует элеRТРОННУЮ оболоч:КУ, ROTO
Q
2
f
38
Рис 2.18 Сравнение сечений различ
ных процеССОБ при столкновениях
Jлектронов с молекулами N 2 r2.1] :
а tr упруrое транспортное, а46 и
064 вращательные сечения возбуж.
дения с уровня J == 4 на уровень
7 == 6 и дезактивации (Т == 77 К,
теория), a v суммарное сечение
возбуждения восьми колебательных
уровней, Ое суммарное сечени
возбуждения элеRТРОННЫХ уровнен
с 1нерrиями ОТ 5 До 14 эВ, а1. ce
чение ионизации
6': 10 f5cH2
0,5
.....,
"
"
"
"
"
"
0,4-
tl,2
о 2
Рис 2 19. Сечения возбу
и 2 ro колебательных
[2 1]
10 f6cM2
,
1
10
100
10 1
б цб
10 2
10 3
{o 3
10 2 10 1
&,э8
(5*10 1б'см 2
,
8
б
4-
2
о
(,0 2,0
I'Ис. 2.20. Суммарное сечение Bo:r
буждения первых восьми колеб
тельных уровней СО [19]
со
о 10 20 30 40 50
Рис. 2 21. Полные сечения ;:I;иссоциации молекул электронным ударом че-
рез возбуждение различных электронных состояний [2.2]
рая, после удаления иона, возвращается в прежнее состояние.
Вероятность неупруrих ударов значительна только тоrда, коrда
скорость иона сравнима со скоростью движения электронов в
атоме, v 108 см/с, для чеrо ион должен обладать энерrией БОJlее
10 кэВ. В исКлючительных случаях при пересечении термов :ква..
зимолекулы возмоЖНа Ионизация и медленными тяжелыми ча--
стицами [18].
39
r л а в а 3. ДРЕИФ, ЭНЕрrия и ДИФФУЗИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В ПОСТОЯННО I ПОЛЕ
1. Дрейф элеRТрОНОВ в слаБОИОНИЗ0ванном rазе
в период между столкновениями электрон УСRоряется вдоль
линии электричеСRоrо поля Е. При СТОЛRновении он резко и слу
чаЙным образом меняет направление CBOelrO движения, потом
ускоряется вновь и т. д. В слабоионизованном rазе встречи заря
женных частиц друr с друrом редки, стаЛRивается элеRТРОН в
основном с нейтральными молеRУ лами (атомами), причем столк
новения эти чаще Bcero оказываются упруrими. СистематичеСI\ое
движение вдоль направления действия внешней силы на фоне
беспорядочноrо движения называется дрейфом. В rл. 3, 5 пове..
дение элеRТРОНОВ в поле рассматривается на основе эле.мептарпой
теории. Суть ее состоит в том, что внимание Rонцентрируется на
одном «среднем» электроне. Рассматривается HeRoe усредненное
поведение одноrо элеRтрона, а Ko дa требуется вычислить RаRие
то величины, относящиеся R электронному rаlЗУ в целом, все
элеRТРОНЫ считаются одинаRОВЫМИ. Строrий подход основан на
использовании 1iUllетuчеС1iОZО уравпепuя для ФУll1iЦUU pac
пределеnuя эле1'iтроnов по СRОрОСТЯМ И энерrиям, чему будет по
священа rл. 7.
1.1. Уравнение усредненноrо движения. ART рассеяния длится
мrновение /по сравнению со средним временем Те между СТОЛRНО
вениями *). Поэтому уравнение для истинной СRОрОСТИ данноrо
элеRтрона V e можно записать в виде
т e== eE + т v б(t ti),
i
,
Vi == Ve Ve,
(3.1)
rде V1. изменение BeRTopa скорости при i M СТОЛRновении, RO
,
торое происходит в момент t1.; б дельта ФУНRЦИЯ, V e СRОрОСТЬ
после СТОЛRновения. Усредним уравнение, ПОСRОЛЬRУ следить за
судьбой индивидуальной частицы просто немыслимо. Истинная
СRОрОСТЬ V e lПревращается при этом в среднюю СRОрОСТЬ v. Сумма
усредняется по моментам времени СТОЛRновений и уrлам pac
,
сеяния 8 между векторами V e И V e . Она приобретает смысл cpeд
пеrо Иlзменения импульса в единицу времени т< V>Ve, ROTOpOe
ВЫЧИСJIЯЛОСЬ в ,п. 2.2 rл. 2. Это есть сила трения (сопротивление),
которая действует на элеRТРОН со стороны среды. Подставив ее
по формуле (2.14), получим уравнение для средней СRОрОСТИ
mV === eE mVV т , " т == " с (1 cos 8) ,
(3.2 )
rде " т , напомним, эффеRтивная частота столкновений.
*) Размер атома а /'OV 10 8 см, скорость электрона при е 1 эВ v
rov 108 см/с, время взаимодействия а/и "'" 10 I6 с.
40
1.2. Скорость дрейфа. Проинтеrрируем уравнение (3.2):
v (t) === (eE/п vm) [1 ехр ( vmt) ] + v (О) ехр ( vтt). (3.3)
После нескольких СТОЛRновениЙ начальная направленная CKO
рость элеRтрона v (О) исчезает (она хаотизируется). Средняя CKO
рость приобретает значение
V д == eE/тvm,
(3.4 )
:которое и представляет COUOIO снорость дрейфа. Эле:ктричеСRая
сила при дреЙфе Rомпенсирует силу трения. Все предыдущие
рассуждения справедливы для эле:ктронов с определенным значе
нием хаотичссной скорости v. Вообще rоворя, сечение и частота
стол:кновениЙ сложным образом зависят от энерtrии электрона
Е === тv 2 /2 (см. рис. 2.1 2.5, 2.7), и формула (3.4) нуждается в
усреднении по спектру.
Последовательный подход к вычислению скорости дрейфа
основан на рассмотрении кинетическоrо уравнения для функции
распреде Тlения электронов iПО скоростям. Такой путь указывает,
как нужно правильно усреднять формулу типа (3.4). При этом
о:казывается, что допущение о независимости эффективной часто
ты СТОЛRновений от скорости, во мноrих случаях вполне приемле
:мое, в точности сводит CTp oe выражение для v д к формуле (3.4),
KOTOPYIO тоrда вообщ е нужно усреднять. Это обстоятельство
служит весьма песним оправданием TOJi широчаЙlпей распростра
ненности, котuрую получила предельно простая формула (3.4)
т а () JI И Ц а 3 1. Оц('ночные значrния ПОДВIПIПIОС1И ЭЛ('RТРОНОВ, эq феН'1 ИlJ
ной частоты с rO:I кновениiт, ПрОВОJ{ИJ\fО('ТИ, _;rJЛИНЫ. пробrrа *)
['аз
L( 1/ ,
10 f (1\12. T oP P
В. (
Vт/p, (J'jJ/llc,
]
10 D (C.TOIJI) 10 13T OPP'(l\1)
Ом
с })
р , (,М [орр
1}/ ,
10 2(M.TOPP-
Нр о () 2,0 1 ,4 \\ () 10 ()
C 1 ;) 1 ,2 2 (),'! 2 12
, -4
Ас 0.1:1 5.3 ().53 1 13 3
J1 2 (1.1"; 4,8 0,58 4 30 2
N 2 (),'t 1. ') () ,f57 2 50 3
Lt,.....
ЕО3ДУХ О,.);) .1, 9 () ,72 4 O .1
СО 2 1J 1,R 1 ,8 з зо 3
СО 0,31 5,7 0,5 5 5O :2
*) ПОДВИi1ПIОСТИ найдены путем аППроНtимаЦllИ ЭI<сперимента lЬНЫХ иривых
Vд(Е/р) заноном Vд==J.tеЕ, V m и (J вычислены по J.te. Длины пробеrа 1 == (N(Jtr) l относятся
R энерrиям ЭJIентvонов в 1 1 О эВ, харантерным для положительноrо (,толба тлеюще
1'0 разряда
ари теоретичеСRИХ построениях и оценнах. Для численных oцe
нок проще Bcero, пользуясь экспериментальными данными о
(Jtr (Е), относить V m К средней энерrии электрона. Последняя за
висит от ПОЛЯ, но па этот счет имеется справочный материал,
и можно делать оценки (g 3).
41
о 1,0 2,0 3,0 4,О О 4 8 12 16 20
0,8[2] 02
б ОА 12
О 0,4 1, 2
4 Н 2 ...,
u
2 4
Е/р,fЗ/(сН тоар)
IJ 4 8 12 15 20 О 4 8 12 15 20
Рис. 3 1. Скорость дрейфа электронов в Не, N е, Ar, Н 2 , N 2 И 02 как функция
ОТНОfЛВНИЯ Е/р [6]
lJ A ,100CM/C
10 ВозiJух 12
8
fj О 0,4 0,8 1,2 1,8 2,0
4
2
О 4- 8 /2 15 20 О 10 20
Е/р,В/(см ТDРР)
jD 40 50
Рис. 3.2. Скорость дрейфа электронов в воздухе и молекулярных rазах как
функция отношения Е/р [6]
v А, 106'с/'1/С
Не
4
2
о
1,0
2,0 3,0 4,0
1,6
0,8
42
5.0 о
1,6
0,8
0,4
Ц8
1.,2
2
r
J
1.3. Подви» ность. ПОДВИЖНОСТЬЮ называется
нропорционаJIЬНОСТИ между величинами скорости
женной чаСТИIl Ы и ПОJIЯ. Подвижность электронов
е 1,76.1015 см 2
11. v 11. Е
r e тv f 1 1 В.с' д ,,,е ·
т "т с
Rоэффициент
дрейфа заря
равна
(3.5)
ПОСRОЛЬКУ средняя энерrия электронов зависит от поля, зависи
масть и д от Е не является cTporo линейной, и подвижность, опре
деленная формулой (3.5), зависит от поля. Но при теоретиче
с:ком рассмотрении различных разрядных nроцессов, как прави
ло, пользуются удобной для этой цели линейной СВЯ l 3ЬЮ (3.5)
С Jle:::=: const. Для численных оценок подбирают разумное эффеR
тивное значение J.te (табл. 3.1). Обычно это не нарушает IRаче
ственных выводов теории, хотя в некоторых случаях пеЛиней
ность ФУНRЦИИ V д (Е) является IПрИ'ЧИНОЙ явно выраженных эф
фектов (п. 4.4).
V А' СМ/С
{о 4
.,
105
т,к
. 195
. 300
- .. 368
Е/р,8/(СМ'ТОРР)
10 4 10 5 (o 2 {o 1
рис 3 3 Скорость дреифа электронов в Ar, Kr, Хе как ФУНRЦИЯ ОТПОlIlРlllfН
Е/р [15]
10 "3
1.4. Подобие, результаты измерений, дрейф в смесях rазов.
Частота СТОЛRновений V m пропорциональна плотности [['аза N или
ero давлеНИIО р. Если частота постоянна, f..te "" p l И и д "" Е/р.
Эверrетический спентр и средняя энерrия элеRТрОВОВ также за
висят от Ь 1 И N или р не \порознь, а от :комбинации Е/р ( 3 и
rл. 7). Поэтому в любом случае с:корость дрейфа является ФУНR
циеи отношения Е/р. Законы подобия, кав: мы увидим, IIIРОЯВЛЯ
lОтся ВО мвоrих заRономерностях rазовоrо раЗрЯДа. Они имеют
болыпое значение. Б:Iаrодаря подобию СОRращается объем изме
рений и результаты представляются не в виде функции двух
переменных, СRажем Е и р, а в виде функции Е/р, подобно V д :::::
=== vA(Ejp).
Скорость дрейфа всеrда растет с увеличением отношения Е I р
(рис. 3.1 3.3), во не всеrда этот рост БЛИ30R R прямой nponop
'3.
циональности, что связано с зависимостью V m И и д от электрон
Horo спектра. Так, например, в aproHe наблюдается аномально
быстрый дрейф при значениях Е/р rOJ 10 3 10 1 В/(см. торр),
для которых характерные энеprии электронов приходятся на об
ласть рамзауэровскоrо минимума сечения СТОЛRновений (п. 2.1
r.'r. 2). Оценивая СRОрОСТИ дрейфа в смесях тазов, следуе'т ycpeд
пнть с учетом процентноrо содержания компонент не сами c:кo
рости или подвижности, а их обратные величины «<Сlпротивле
ння» ), так кан в см:еси СУММИРУIОТСЯ частоты СТРЛRновений. При
эrом неизбежна неболыпая ошибка, связанная с тРм, что элек
тронный спектр в смесн отличается от спектров в состаВЛЯIОЩИХ
ее тазах.
э 2. Проподимость ионизованноrо rаза
2.1. Слабоионизованная плазма. fIодвижности массивных ионов
в сотни раз меньше подвижностей леrких электронов. Поэтому
вклад ионов в электрический ток пренебрежимо мал, за ИСRЛЮ
чением тех нечастых случаев, котда плотности ионов п+, п
в соuтветствующее число раз превышают плотность элеRТРОНОВ п е .
В плазме, rде п е rOJ п+, пЛОТ1tОСТЬ To a j 11 проводимость (J равны
j == епеи д == eпe eE == аЕ, (3.6)
2 :i ]
р п е Пе [CM
(j == e eпe== mv =- 2,82.1 O 4 t 1] OM 1. CM i. (3.7)
т 'v "" С
Проводимость слабоионизованноrо аза определяется в основном
степенью ero ионизации пe/N.
2.2. Сильноионизованная плазма. Рассеяние электрона иона
ми тан же мешает ero дрейфу вдоль поля, нан и рассеяние моле
кулами. При не СЛИIlIRОМ сла!оои ионизаЦИII II n+ == п е
V m == i\!vatr + пеvа нул ,
(3.8 )
rде а«ул сечение электрон ионных СТОЛRновений, которое OIпре
деляется кулоновскими силами (э 4 rл. 2). Из за большой Be
личины кулоновскоrо сечения электрон ионпые столкновения cy
щественны уже при степенях ионизации больше 10 3.
При еще больших степенях ионизации они иrрают rлавенст
вующую роль. ПОСRОЛЬКУ В этом случае V m rOJ п е , проводимость от
плотности электронов не зависит (точнее, зависит очень слабо
через КУЛОНОВСRИЙ лоrарифм). По формуле (2.25) найдем про
водимость:
2
е
9 (kTe)2
2
4ле ти ln А
{Т [эВ] } 3/2
1,9.102 e 1nA OM 1.CM 1. (3.9)
а
п uаl\УЛ
в численной формуле подставлена средняя тепловая скорость
электронов по (2.5) и уточнен примерно вдвое [3.1] н:оэффициент.
44
2.3. Почему электрон..электронные столкновения не вносят
вклада в электрическое сопротивление. Дело в том, что СОПрОТИВ4
ление (или трение) при дрейфе электрона связано с потерей прп
рассеянии импульса, направленноrо вдоль поля. Но суммарный
импульс любой пары в(заИ 10действующих электронов (mVl + mV2)
IПрИ рассеянии сохраняется, хотя скорости Rаждоrо из них меня
IОТСЯ и по величине, и по направлению. ОТСlода следует, что при
СТОЛI"\новении не изменяется суммарный элен:тричесн:ии «то:к»
пары eVl eV2. Значит, если бы электрон не испытывал ни:ка
н:их иных столн:новений, кроме н:ак с дру['ими эле:ктронами, дви
жение электронноrо Rолле:ктива в поле было бы в среднем YCKO
репным:, что и означает отсутствие электрическоrо сопротивле
ния. Заметим, что :косвенным образом эле:ктрон эле:ктропные
стол:кновения мотут по' .лиять па проводимость череlЗ воздейст
вие на энерrетическпIi спеI-\ТР ЭJlектронноrо rаза (ero «ма:ксвел
Lпзацию» ) .
э 3. Энерrия электронов
3.1. Джоулево тепло. IIад электроном, движущимся со CKO
ростью V e , В единицу времени поле совеРlпает ра1боту еЕу е .
Представим с:корость электрона в виде суммы хаотической v и
дрейфовой V Д состаВЛЯЮIЦИХ: V e == V + УД. ПО самому опреJ(елению
в среднем по мноrим электронам <f> == о и <Ve> == УД. Работа по
ля в среднем равна <eEv A > == еЕи д . При протекании то:ка в
1 см 3 rаза в 1 с выделяется энерrия еЕидп е === jE. Это и есть д;нcoy
лево тепло тока. Работа ПО:IЯ за'fpачивается на преодоление си
.тты трения. Джоулево тепло равняется диссипации эперrии ПОJIЯ,
ВЬJ:званной существованием трения (сопротивления).
3.2. Среднее приобретеlIие нерrии электроном в одном зффек"
тивиом столкновении. Это приобретение энерrии есть
еЕи д е 2 Е 2 2
eE == == ти д (:1.10)
V m mV m
и ПО ПОРЯДI{У величины совпадает с «н:инетическоЙ ЭIlсрrиеЙ дре:Й
фовоrо дви}нения» ти /2. Полная кипетичесн:ая энерrия элен:тро
на в cpeДHe I с:кладывается J!ТЗ хаотичес:коЙ ;: и дреЙфовой ти /2
состаВЛЯЮЩIIХ:
/ пlу 2 " / 2'\. mv 2 ти 2
е '\. ту" д д О
'" 2 / == ""2// + 2""" == е + , (VV д ) == .
Результат (3.10) качественно можно тра:ктовать следующим
образом. Сразу после очередноrо столкновения «<эффеRтивноrо»)
скорость электрона полностью хаотизировапа вектор ее в cpeд
нем равен нулю. R следующему столкновению электрон набирает
в поле направленную дрейфовую с:корость и соответствующую ки
петическую энерrию. При столн:новонии: эти новые порции та:кже
45
переходят в хаОТlIчеСКУIО часть в электронное «тепло» и нсе
начинается снача.7Iа.
3.3. Истинные изменения энерrии элеRтрона при СТОЛRнове..
ниях. Формула (3.10) отражает лишь конечный, результирующий
эффе:кт различных, II притом резко противоположных СИ1 уат,пЙ,
которые возникают в нон:кретны;х столкновениях. На самом деле
в период между двумя столкновениями электрон может и ycпo
ряться полем и тормозиться, II набирать энерrию и терять ее. Все
зависит от Toro, ПРИIIIЛОСЬ ли е:м:у начать движение после столк
новрния В сторону деlIСТВИЯ силы или против нее, с большоЙ CKO
ростью или С малой. Поясним это на простейшем примере.
3афи:ксируем внимание на двух электронах, :которые сразу
ПОС.1:е столкновения ооладают одинаковыми по величине CKOpO
стями V И летят параллельно полю, НО в противоположных на..
прав ениях. Начальные кинетические энертип у них одина:ковы,
ти 2 /2 Тот элеI-\ТрОН, :которыЙ движется в направлении денстпия
силы (против [[оля), :к следующему сто IRновенпю набирает CI\O
рость V + еЕ/тУт === v + и д и приобретает дополнитеЛЬНУIО энерrию
т (и +Рд)2 ти 2 ml,2
ё + 2 ;[" Пl ии д \ т.
Тот, НОТОрЫII начал свое ДВIIжение по полю, сначала, а Mo :кeT
и все время, тормозится и к следующему столкновению дости",
raeT СRОрОСТИ V + и д . Он приобретает ДОПОЛНIIтельную энерrию
т( V+Vд)2 ти 2 , ти;
ДE == 2 2 == тии д т ,
которая оказывается отрицательной, еслп v > и д /2. В этом случае
электрон энерrию теряет. Именно такая ситуация типична, ибо,
как мы увидим в п. 3.6, хаотические с:корости v rора(здо !больше
дрейфовой.
В среднем по двум рассмотренным вариантам электрон полу
чает дополнительную энерrию
( 8+ + 8 ) 2
2 ти д ,
].;'()Тl>рая не зависит от v всеrда ПОЛОЖIIтеJIьна JI совпадает с (3.1 О) .
Ясно, что ЭЛС1\ТрОНЫ С JIюбыми на чаЛЬНЫМII веl торами v можно
разuить на аналоrичные пары с противоположно направленными
скоростями и по."lУЧИТЬ, по крайнеЙ мере по поряд:ку величины,
тот же результат.
Поскольку, как отмечалось со ссылкой на п. 3.6, средняя хао..
тичеСI\ая снорость v и д , результирующий эффект приобретения
энерrии из расчета на одно столнновение представляет собою
маЛУIО разность относительно больших истинных приобретений
2
И пот(\рr), }\оторыс имеют порядок I e + I тии д eE== ти д . Сами
,не ис (1llIные памененил энерrии I E:!: I в свою очередь малы по
cpaBHPlllflO со средней энерrией электрона Е тv 2 /2. "Указанные
46
величины относятся :ка:к
BE I B + I
I""'J
I B:I: I в
V д
I""'J
,
r;
E ( Vt у.
(3.11 )
3.4. Уравнение баланса энерrии элеRтрона. Получая энерrию
QT поля, электрон lIIередает ее атомам и молекулам. При слабой
ионизации плотность то:ка и выделение джоулева те\IIла малы.
rаз при этом наrревается мало. Но средняя энерrия (или темпе
ратура) электронов в разряде не может стать слишком НИ I 3:КОЙ.
Электроны тоrда не cMorYT ионизировать атомы и поддерживать
в rаlзе ПрОБодящее состояние. В таких случаях Те Т, И обмен
знерrией при упруrих столкновениях имеет односторонний xapaK
тер толь:ко от электронов rазу. Восполнзовавшись формулой
(2.15) для средней потери энерrии электрона при УlПруrом столк
новении с молекулой и обозначив д === 2т/M запишем уравнение
баланса энерrии «среднеrо» э.тrеI{трона, иопытывающеrо тольно
пру ие столкновения:
ае ( е2 Е 2 )
==( eE де) "'т === 2 де "'т.
mV m
(3.12)
в разрядной плазме средние энерrии электронов обычно дале
ни от довольно высоких потенциалов возбуждения атомов Е* и
иони'зации, 1 /'ov 10 эВ, и соотвеТСТВУlощие неупруrие потери энер
тии малы. ИОНIIЗИРУЮТ rаз «сверхзц,ерrичные» эле:ктроны, ноторых
очень мало. Поэтому в одноатомных rазах основным механизмом
передачи энерrии от электронов rазу являются именно упруеие
потери. "
В моле:кулярных rазах электроны. растрачиваIОТ приоGретае
мую энерrию в осповном путем ВО3 1 буждения колебаниЙ (и Bpa
щений) молекул (п. 5.4 rл. 2). Передача энерrии моле:куле в акте
возбуждения Н:ОЛ8lбаний несравненно больше средней Уlпруrой
передачи Е)пр === (2т/М) е /'ov 10 4 эВ. Она составляет один два
колебательных кванта, Т. е. нес:колько десятых элентронвольта.
И хотя дале:ка не наждое столн:новение оказывается неупруrим,
все равно доля энерrии д, передаваемой молекуле из расчета на
одно Лlобое (Т. е. фантичес:ки на одно упруrое) СТОЛ:КIIовепие,
значительно больше д упр === 2т/М. Уравнение (3.12) можно co
хранить и для моле:кулярных rазов, причем О /'OV 10 3 10 2, но
вычислить д теоретичес:ки с та:ко:Й же Леr:костью, кат\: для упру
rих потерь, не удается. Обычно ее оценивают косвенным образом
из э:кспериментальных данных (п. 3.5) или путем расчетов на
основе кинетичес:коrо уравнения.
3.5. Средняя энерrия. У стаНОВIIвшееся значение энерrии
«среднеrо» электрона, которое соответствует компенсации при
обретения энерrии потерями, в да нн ом приближении можно pac
сматривать как среднюю энерrИIО 8 эле:ктронов в поле (cTporoe
вычисление этой величины требует решения кипетическоrо ypaB
пения; см. rл. 7). Посчитаем не зависящими от энерrии коэф
47
фициент 6 и сечение рассеяния atr, т. е. Д:IИНУ пробеrа элен rрJНОВ
1 == (1У Otr) 1. При этом '\1т 15 Il /'OJ 1" E Положи:м также для опре..
ле:rенности Jпo 2 === (16/3л) е, как было бы в случае максвеллов...
cHoro cneJ{Tpa. 11риравняв НУЛIО npaBYIO часть (3.12), найдем
11 Зл eEl eEl е Е
f, 4 ,/ 0,8 ,/ 0,8 1I ' (3.13)
v б v б а tr б N
Средняя нерrия пропорциональна E/N и в 1/1 6 раз больше
энерrии eEl, KOTOPYIO электrон приобретает на длине пробеrа,
двпrаясь в направлении действия электричеСRОЙ сплы. ДОПУJце
ПИJО о постоянстве длины npooera соответствует Борневая зави
си:мость снорости дрейфа от поля. Дей ствите ль но, подставляя
в V m /\ O(Jtr значение среднеЙ скорости V === (16е/3лт) 1/2 и опре
делян 1J с ПОМОIЦЫО (3.13), по формуле (3.1) найдем
( 3л б 1/4 еЕ \ 1/.а """ О ()Оl/4 ( e11J' ) 1/2
и;J. 16) 711 а tr N ) """, t..- та trJ.V .
(;).14)
с друrоЙ стороны, допущеНИIО о постоянстве частоты СТОЛRНО
вениЙ, Rоrда Ме === сопst п И д "'" E/N, отвечает квадратичная зави
симость энерrии or поля (если 6 == const). Из (3.12) в этом слу
чае вытекает
, )
6"'E
е2 ( ) 2
бт v 2 N '
w
V m
V m == N .
(:1.15)
Е===--
8mv 2
т
ТаRИ I образом, прп выборе Iодели мы оназываемся перед ди
лем:мой: либо счптать
'\1т, Ме == const, ид /"OJ E/N, е /"OJ 6 1 (E/N) 2,
либо считать
OtT, l === const, и д /"OJ 61/4 (E/ V) 1/2, е б 1/2 (E/N).
РеаЛЬНЫt заВИСИ:МОСТlI и д и е от отношения E/IV, наЙАенные
ИJ опыта (п. .2) или полученные путем реЛlения кинетпчеСRоrо
,..,
уравненин, ()оычно сложны И В ЛУЧlпем: случае на отде.7lЬНЫХ
учаСТКflХ Е, N в тех или иных rазах хорошо аППРОRСИМИРУЮТСЯ
той п и иной моделью. IIоэтому при теоретическом исследовании
различных эффеRТОВ, выяснении соотношениЙ I{ачественноrо xa
рантера, направлеННО\I на более rлуБОRое понимание ФИkЗики про
цессов, выбирают тот вариант, который удобнее для анализа.
Если эффекты определяются дрейфом, электрическим тоном,
,..,
целесооuразно считать постоянными подвижность, проводимость.
Если внимание сосредоточено на энерrетичесних аспектах пове
дения электронов в поле, нан в этом параrрафе, лучше !пользо
ватьсн l1РИUJIижением l == const и очень наrлядной формулой
(3.13), как мы и ЛОСТYJIIим НИЖе.
48
Формула (3.13) дает разумные числовые значения. Например,
в rелии ({):=::: 2,7 . 1 O 4), rде транспортное сечение мало меняется
в характерном диапазоне энерrий и равно примерно (Jtr
5,5 . 10 16 CJM 2 (l О,О55/Р [торр] м),приЕIN == 3,3 .10 17 В · с:м 2
iE! р ::::::: 1 В! (см. торр)) получим е === 2,5 эВ. Из опыта следу ет
в 2 эВ. В случае моле:кулярных rазов запросто вычислить 8
не удается, так }{ак имеются значительные трудности в опреде,Т"(е
нии коэффпциента потерь (). Одна:ко от :)Toro формула (3.13)
не лишается ценности. Напротив, она открывает возможность
оценивать О, поско.тrьну существует независимый способ опреде
л ения;: (п. 4.2). ТаЕ, например, n азоте при Е!р==3 В/(см . торр)
е 1,5 эВ; сечение в хара:ктерном диапазоне энерrи:й имеет по
рядок (Jtr 10 15 см 2 (l O,03!p[TOpp] см) И (3.13) дает б
2,1 . 10 3, что соrласуется с результатом, полученным друrим
путем. l\оэффициент упруrих потерь в азоте 2т! М === 3,9 . 10 5
rораздо меньше.
.3.6. Соотношение между хаотичеСRОЙ и дрейфовоii СRОРОСТЯ-
ми. Это соотношение непосредственно вытекает из фОрl\1УЛ (3.5)
и (3.13):
=== еЕ! == 1/зл lr ( ) 8 lr
2 4 У u , v U,
1) mv
v
V д
1,2
1/8 .
(З.1(j)
Элс}{трон набирает в поле xaorII cKYJO сн:орость, I{оторая в
1/ 11 () (т. е. в десятки и сотни раз) больше дрейфовоЙ. СООТНОlпе
ние ( 3.1 О), проясняюп ее фИlзичес:кий смысл порядна малости
Vд/V, тесно УВЯ1зано с [lо:казателнми иорядка малости энерrетиче
ских характеристик электронов. При столкновении электрон при
обретает ли(бо теряет энерrию порядка I e:f: I 1" б eEl, I ()TO
рая соответствует проходимоЙ: им в том или ином направлении
разности потенциалов на длине свободноrо пробеrа. Энерrия E+
чуть больше (Lle t на величину Ll8E l' бt L1e:i: [, KOTOPYIO элеI{ТРОН
в среднем и набирает в одном столкновении.
Несколько слов о пределах применимости по.'Тученных COOTHO
mений. Со стороны очень сла1бых Iполей она оrраничена допуще
нием об одностор он нем XapaI{TCpe обмена энерrией между элек..
тронами II rазом, е» kT. Ведь в отсутствир поля электроны Tep
мализуются Il приобретают температуру rada Т, если только до
эт оrо не rиuнут. В слабоионизованной раI3РЯ(ДНОЙ плазме условие
в kT обычно ВЫ1полняется с большим запасом. В сильных по
лях вступают в иrру значительные неупруrие потери на воз
о
оуждение электронных состоянии, что происходит при энерrиях
электронов в;а 10 эВ. Даже из чисто формальноrо перехода в
(3.13), ( 3.16) к пределу максимально возможных потерь () 1
видно, что нашравленная и хаотическая составляющие скорости
становятся сравнимыми, стало быть, ВОЗНИItает сильная асиммет
рия и в движении, и в обмене энерrией между электронами и
полем. Эле\RТрОН набирает на пробеrе значительную энеprию"
4 ю. п Райзер
49
возбуждает или ионизует атом, теряя ее, и устремляется вперед
дальше. Это уже не совсем та картина, которая просматривалась
до сих пор. Подобные явления MorYT происходить в катодном
слое тлеющеrо разряда, однако здесь на этом мы останавливаться
не будем.
3.7. Релаксация энерrИJI; критерии постоянства и однородно-
сти поля. Величину " и === БV т называIОТ частотой потерь энерzuu.
Эа время поряд:ка
1
'Т и == '\'и == Tm/u,
(3.17)
Т. е. примерно за 1/б эффе:КТIIВНЫХ стол:кновений, эле:ктрон pac
трачивает свою энерrию, если «MrHOBeHHO» выключить поле.
За такое же примерно время очень медленный электрон набирает
в поле положенную энерrию, та:к :ка:к в одном столкновении он
прио(ретает долю О от нее. Как видно из уравнения (3.12),
'Ти вообще характеризует спорость установления стационарной
энерrии в данном поле. Это есть время релапсацuu энереuu. Если
поле меняется за время Т и мало, средняя энерrия, а по существу,
и энерrетическиЙ спектр электронов «следят» за изменениями
поля, т. е. являются Rвазистационарными; если быстро следить
не успевают. Таким образом, :критерий «постоянства» поля можно
оформулировать в виде условия
(dE/dt) Т и « 1.
Пос:кольку электроны в среднем систематически сдвиrаются
в направлении действия силы, процесс установления энерrии про
текает не толь:ко во времени, но и в пространстве. За время pe
;Iаксации Ти электроны сдвиrаются вс;rедствие дрейфа на pac
стояние
Ли == идТи 0,81 б vтт/б == 0,8// 1/ 6 .
(3 18)
Эту величину можно назвать длuной установленuя или длu
пой релапсацu1!.. Э7iереuu. В отличие от времени она не в 1/6,
а только в 1/1 о раз больше длины пробеrа эле:ктрона. Соrласно
(3.13), (3.18)
е === еЕЛ и ,
(3.19 )
Т. е. свою среднюю энерrию электрон ПРИО1бретает, пройдя раз
ность потенциалов на длине Ли.
Постоянное поле можно рассматривать как однородное, если
оно мало fеняется на расстоянии порядка i\u, т. е. при условии
(dE/dx)A u « 1.
n ТlроrИВОПОЛОi-КНОМ случае сильно неоднородных полеЙ спектр
п )lrсрrlIЯ эле:ктронов уже не являются функциями тольrn:о ло
К<tJlI,поrо ОТНОlпения E/N. Энерrия может определяться, напри
Ml'p, раЗlIОСТЫО потенциалов, пролодимой электроном от точки
pOi-I\дения.
50
n уравнении баланса энерrпи (3.12) CJIaraeMOe потерь в СRоб
ItaX растет с ростом Е, а слаrаемое приобретений, в общем,
уменьшается; в предположении l === const как 1/Е. Значит,
энерrия электронов всеrда стремится R стационарному значению Е.
Еслп Е < 8, то dE/dt> о; если Е > Е , то dE/dt < о. Это свидетель
ствует об устойчивости ста ци онарноrо состояния, так как при
случайном ОТRлонении 8 ОТ 8 энерrия будет неизменно B03Bpa
щаться R Е (со скоростью релаксации).
s 4. Диффузия электронов
4.1. Уравнение непрерывности. !\оrда плотность частиц, Haxo
дящихся в среде друrоrо rаза, неоднородна в пространстве, B03
НИRает дUФФУ3UОUllЫЙ потоп, \Который стремится ее выровнять.
Полный пото:к СRладывается из дреЙфО8ЬLХ и дUффУ3UОflflЬLХ co
став.ляющих. IIлотности потоков положительно и отрицательно
зарнженных частиц равны *)
r:!: === + nl-1E DVn. (3.20)
Уlндексы + у n, Il, D опущены. Rоэффициенты диффузии равны
D === (v 2 /3v т ) l75/3, D 1/р. (3.21)
Плотности частиц удовлетворяют Ур(JJISllеllUЯМ пспреРЫ8пости
an/at + div r == q, (3.22)
:которые обобщают обычное уравнеНИ6 диффузии; q число а:ктов
рождения или rибели частиц в 1 см З В 1 с (источники).
4.2. Соотношение между Rоэффициентами диффузии, подвиж-
ностью и средней знерrией. В предположении о постоянстве ча
стоты СТОJ[Rновений соrласно (3.5), (3.21) имеем
De/ e === т v'l/ 3e === (2/3) Е/ С,
(3.23)
rде Е истинно средняя энерrия эле:ктронов, прзависимо от их
энерrетичес:коrо спектра.
Если Qпектр маRсвеЛЛОВСRиi, равенство (3.23) оораведливо
при любой зависимости У т (v). НУЖIIО только подставить в пеrо
cTporoe выражение для J.!ч вытекающее из кинетическоrо ypaB
пения (п. 6.1 тл. 7). Это и естественно, ибо в этом случае ==
== (3/2)kTe, и (3.23) сводится R СООТflошеuuю ЭЙllштейnа
D/Jl === kT / е,
(3.24 )
:которое имеет общий териодинаМIIчеСRИЙ характер. Действитель
но, в состоянии термодинаМИ"tJес:коrо равновесия потоки OTCYTCT
вуют, а плотности зарядов в поле Е === Vcp (ер потенциал)
*) Если rаз течет со скоростью U, к r добавляются еще конвективные
потоки nu.
4*
51
10 4 fO "3
101
Е/р, В/(сн-торр)
10 2 10 f 10 о 10 1
+ >8 о
;,+r
+*
+0><
;
+
+ Х
i
Ne
100
f(} 1
+
+
+
+
++
+
+++
10 2
100
..1 I I I I II I
IO 20 10 19 1J f8 Ifj 17 10 1б
f 10 4 1D 3 117 2 10 ! 100 101
10 П.,.... , I I I I '1 .............,....................... r r I I 'e .!'Ra Al
f Ar. 1
. t..#
t- е{+
/
6?
х/О
)(0
Ха
)(
+
:-
)(
Т., К
х 300
6 288
о 87
+ 77
. 77
10 !
fO 2
I111 I I 1,1 I .u l I I l , !....l .......J,......
10 20 10 f9 f!J 18 10 17 fо 1б 10 1S
10 2 10 1 10 о 101
(Т'"IIl I l' I i ' I I " 1 1 I C'l
I K ("Ipr!
I cl 3Й,) се 2 ov CJ
r u I
ryl + 19j I
t,r;L ' б I ), .J" j
, о с I
т 1 ff
f '.
r !,> fL J
.. \1 ор, 'J 1&1 а G 'I!J! f С" f/f'" t<:' .:' u / 2
I а !'"' I I I J' r"' M
".. \ +"&v .;"" \( /'.... ( t \с I п ., J u
...J.......J. ............".\,... .,
;''] 4':; 11.J ' t!J i Jl I J 1...
tO 21
1.1
Рис 3.4 Отношение коэффициента диффузии :к подвижносТИ эле:ктронов,
ларантерИJУIощее температуру ;:>леRТрОНОВ, :как фун:кция Е/р и E/N в Ne,
Ar и СО 2 [20]
52
удовлетворяют заRОНУ Больцмана п:!:. /"V ехр ( + effJ/kT) , отсюда и
получается (3.24).
При немаRсвелловском апеRтре элеI\ТРОНОВ и vm(v) =1= const, KaJK
обычно и бывает в слаБОИОНИЗ0ванном rазе, находящемся в по
ле, величина (3/2)De/Jle также характеризует среднюю энерrию
элентронов, но не совпадает с нею точно. Отношение De/f.!e, co
ОТВСТСIвующее электронноЙ «температуре», н(}зываlоr xapaпTepu
стuчеСhОЙ эnерсuей. Она, l1\aR и спентр, зависит от Е/р.
ОТНОlпение D/-/'tle измеРЯIОТ на опыте, реrистрируя диффузи
овное расплывание элеНТРОНОБ, дреИфУЮIЦИХ в поле Е. На pac
стоянии х::::= Vдt от Mecra старта э.лентронов пучок раСllIи ряет ся
в поперечном на правлении до радиуса J' -у Dpt ==== ]1 Dех/v д ==
=== 1 (De/ te) (х/Е). На рис. 3.4, 3.5 показаны ЭI\спериментальные
I Те/Т Те,ЗL.J
с:; а (]
50
40
30
20
10
О 4
1,2
о,8 5о
40
0,4
20
Е/р,В/(сн торр)
"
8
12
15 20
о
2
4
б
8
10
Рис 3 5 Отношение температуры электронов к температуре rаза как фуп-к
ЦИЯ отношения Ejp: а в N 2t И Возду"\е, G в Н 2 И D 2 rbj
зависиМОСТИ De/fle от Е/р. Для Np и Н 2 В Типичных для тлею...
щеrо разряда диапазонах Е/р их удается с разумным прmближе
нием аППРОRСIIмировать законом пропорциональности. При по
мощи (3.19) так можно получить представление о Длинах релак
сации j\u энерrии элентронов. Имеем
Ne: в 9.7 (Ejp) эВ, Ejp /"8v 0,1 1,2 Bj(CM. торр); ЛИ 9,7 см
Р [ТОРР] ,
Н : в о 17 (Е/р) эВ, Е/р 0,5 13 В/(см. торр); Ли 0,17 см
2 ' Р [т орр] ·
В молекулярноМ rазе водороде релаксация происходит ro
раздо быстрее, чем в атомарном неоне, что является следстви
ем интенсивноrо возбуждения молекулярных колебаний (п. 3.4).
4.3. Нахождение Rозффициентов дифф зии. Измерение CKOpO
стеи дрейфа и характеристических энерrии электронов представ
ляет вполне доступную задачу. Измерить прямым путем ноэф
53
фициенты диффузии в присутствии поля, напротив, чрезвычайно
трудно. Фактически в прямом экаперименте измерялись только
коэффициенrы диффузии термалuзоваН71ЫХ э.чеКТРОRОВ, пришед
ших в тепловое равновесие с rазом в отсутствпе поля. При :КOM
патной температуре Dетеп===К(105jр[торр]) CM 2 jc, причем в Не
К == 2, Ne 20, Ar 6,3, Н 2 1,3, N2 2,9, 02 12.
Величины De можно оценивать на основе данных [[о и д И
De/ e. НаПРИ Iер, в Ne при Е/р::=: 1 В/ (см. торр) V д === 1,46 .10 6 CMjc,
Те 5,5 эВ, откуда De идТе/Е 8 . 10 6 /р см 2 /с. В воздухе лри
Е/р === 20, V д == 8 5 . 106, Те 1,5 De 6,3 . 10 5 /р см 2 /с.
4.4. Продольная и поперечная диффузии. Отношения De/Jle,
измеренные по ДИФФУ1ЗИОННОМУ размытию па:кета электронов
вдоль направления их дреЙфа, системаТИЧССI{И отличаЮ1СН от
величин, полученных путем реrистрации поперечноrо расплыва
ния. Физичесная причина различия IRоэффициентов продолыlйй
D L и поперечnой D T диффузии коренится в зависимости чаСТОТIА
СТОЛRновений V m от энерrии элеRТРОНОВ е [3.2]. Соrласно (3.20)
средняя скорость электрона складывается из дрейфовой и диф
фузионноЙ ооставляющих:
v == re/п e == V д De vпe/п e е= V д + VДИФ,
причем в нулевом приближении De ..........«обычНый» коэффициент,
которыЙ хара:ктеризует диффузию в поперечном дрейфу направ
лении. Rоrда имеется rрадиент п е вдоль поля, поле СQвершает над
электроном дополнительную по сравнению с дрейфовоЙ COCTaB
ляющей работу еЕvдиф == eD( (EVп e ) /п е . Средняя энерrия эле:ктро--
на В получает приращение ДВ, пропорциональное проеIЩИИ rpa
диевта на направление BCI Topa Е, v11п e . ЕСЛII, нак это чаlЦС всеI'О
бывает, V m возрастает с РОСТО:М Е, подвижность уменыпаетсн па
величину Дf..tе, пропорционаЛЬНУIО v1,п e . Но это по своему эффекту
равносильно том:у, как ес.1.П бы скорость дрейфа осталась преж
ней, а с:корость продольной диффузии Vд.ФI! == De v"пe/п e получи
ла приращение, пропорциональное J.te Vl!п e . Это в свою очередь
означает уменьшение :коэффициента продольной диффузии. в Iпер
вом при\ближении по малоЙ величине rраДJlента получим [3.2]
( ;т ) alnvт
п т --== De, DL == 1 ....... De; V т == д 1 ·
1+2Р т ne
(3.23)
Лоrарифмпчес:кая прои водная У т харантеризует нрутизну Функ
ЦИН. Так, если У т В\ 'V m == k. На опыте наблюдается уменыuение
D L ПО сравнению с Dr до двух раз.
5. ИОНI)I
5.1. ПОДВИiКНОСТЬ 11 несильных полях. Имея в виду выраже...
вие (2.17) ДЛЯ скорости потери импульса иона при столкнове
виях с МОЛРRУJIами, запишем уравнение для средней скорости
54
ПOiложительноrо иона, аналоrmчное (3.2):
.
M1v t == еЕ Jf'v1'V т , М' === M1M/ (M i + М). (3.26)'
Для леrких ионов в тяжелом rазе М1.« М, и уравнение (3.26)
превращается в (3.2), толь:ко с друrим знаком у заряда. Для
устанозившеrося движения, приравнивая силы трения и поля,
получим скорость дрейфа и ПОДВИiI\НОСТЬ ионов, аналоrичные
(3.4), (3.5):
V 1Д == еЕ/М' 'V т , f.t 1 === е/М' 'V т .
J3 отсутствие резонансноЙ перезарядки с ЧIIСТО
пымM сечением (2.16) находим
2,7.104 Y1+1l1/M'L 36 Y1+MjM i
.
, Y(a/a )Ap[TOPP] V(a/ag)AP[aTM]
тде А молярная масса rаза. Формула (Э.28) с пемпоrо отлича
ЮЩИl\fСЯ Rоэффициептом была получена в 1905 r. Ланжевеном.
(3.27)
поляризацион
см 2
В.С '
(3.28)
Она хорошо
соrлаrуется с опытом, правильно описывает влияние
fli р, (см 2. атм)/(В .с)
\ .
4,0
7 Х: Н 3
и,2 \
N а х AL
'к'хх Nа(NН з )
'-......х....... R Ь ,. Х е.
G-a Kr )(""" Ва
In )(6)(
N 2
.,
2,4
О 20 80 100 11.;.0 180 M i
Рис. 3.6. Зависимость ПОДВИfIПIОСТИ иопов (IT IР. ]\1ttссы при дрейq)с в N 2 r61
массы ионов на их подвижность в одно:м: II том же rазе (рис. 3.6).
Из общеЙ закономерности f..tl (Mt) соrласно (3.28) систематичес:ки
выпадает только случай дреЙфа ионов в собственном Irазе: J.1t cy
щественно меньше, но таИjI{е не зависит от поля. Это связано
с сильным влиянием перезарядки. Такое расхождение и ,привело
в свое время к теории дрейфа с перезаряд1iои, :которая все по
ставила на свои места (Л. л. Сена, 1946 r.).
ИОНЫ часто склонны объединяться с ;молекулами и атомами
в Rомплексы типа N:, о:, Nei, Не: (последние, в отличие от
N e 2, Н е 2, достаточно устойчивы). Это влияет на подвижность,
так как отключает перезарядку (рис. 3.7, 3.8).
Рассмотрим в :качестве примера дрейф Nei в Ne. У Ne
а/ ag === 2,76. Соrласно (3.28) 1 == 4,5 . 10 3 /р [торр] см 2 / (В . с).
Опытное значение tl == 5 .10 3 /р. в характерном для тлеющеrо
разряда поле Е / р === 1 В / (см . торр) V 1Д ::::: 50 м/с. При Т::::: 300 К
тепловая с:корость V ZT == 400 м/с.
55
5.2. Средняя знерrия. Составим уравнение для средней энер
rии иотта 81, аналотичное (3.12). Работа поля над положительным
ионом в 1 с есть eEv 1 , или в среднем по V 1 еЕv,щ. Скорость по
терь энерrии при jпруrих столкновениях с моле:кулами выража
ется формулой (2.18). Подставляя V'tД соrласно (3.27), получим
уравнение Iбаланса энерrии «среднеrо» иопа:
de1. е 2 Е 2 2М' ( )
d М " + М Е1 ВМ V т ,
t == M'v 2 "
т
(3.2 )
тде 8 м == (3/2) kT. В случае леrких ионов в тяжелом тазе M « lJ;J
и при условии р 1 kT (3.29) не отличастсп от (3.12) с f) ===
=== б упр === 2т/М.
I Р, (см 2 аrм)/(8 с) I
б
....-(
t ou-. ..... e +
р,:р,(см 2 aтM)/(f} С) +
Не2
15
Не+
8 Е/р,!3/(СМ торр)
О 4- 8 12 16'
J
с О r / t1 "рр)
l
I ЗU
L l
Рис. 3.7. ПОДВИЖНОСТIl Ne+ и Ne!
нан фУВНЦИЯ отноmения Е/р l1рИ
дрейфе в N е, Т === 300 К. подвqж
ность атомарных ионов меньше из за
действия резонансной перезаРЯДRИ
[15]
Рис 3 8 Подвижности Не+ и Не!
в Не, 1\aI{ фУНКЦИЯ 01ношения Е/р
[6]
УстаНОВИВIuаяся энерrия ионов равняется
3 (1+Mi/M)3 е 2 Е 2
E' 2kT+ 2(MjM) 2 ' (3.30)
'1 M",V m
'f" "11, у " fir - k . f. r j ....
в не очень сильных полях она лишь HeMHoro превышает тепло..
вую 3kT /2. ЭЛ8НТрОНЫ, очень плохо обменивающиеся энерrией
с тазом, термализуются только в чрезвычайно слабых полях при
E/p 10 3 10 2 В/(см.торр). Но ионы из за сравнимости масс
M и М обладают температурой rа\За и в нем алых полях при
Е/р 1 10 В/(см. торр).
В сильном поле, Rоrда ион на длине свободноrо rпробеrа l на.
бирает энерrию eEl, rораздо большую Ем, ero энерrия E отрыва....
ется от теПЛОВОII Сечение столкновений при этом буlдет уже
порядка rаЗ0:кинетичес:коrо и l const. Например, при (J ==
== 3 . 10 15 см 2 l 1 0 2/p [торр] см. При :комнатной температуре
eEl превышает 108м 0,4 эВ, если Е/р > 40 В/ (см торр). Та:кие
56
условия характерны для катодноrо слоя тлеющеLI'О разряда. Рас.
пространим приБЛИiRенно формулу (3.30) и на случай, Rоrда не
'V m === const, а l == con st. При этом 'V m === v/l /"'V v. Заменив прибли..
женно v на V 2E / 1V1 , найдем
(1 + M /M)3/2
8 / eEl. (3.31)
2 (Ml,jM)l 2
В пределе М 1 « М (3.31) превращается в (3.13) и Bt
(1/2) (MIM 1 ) 1/2 e El eEl. Леrкий ион в тяжелом тазе, как и
;) [ектрон, накапливает хаотическую энерrию, Iполучая ее ПРИ
сrОЛRновениях от поля. Ион с массой М1. /"'V М энерrии не наRап
ливает, он «сбр сывает» ее при каждом столкновении, и потому
81 eEl.
ВыражеНИIО (3.30) для средней энерrии иона можно придать
характерныЙ ВИД, нри котором ВЫСТУlпают различные ее COCTaB
лпющие (Ванье, 1953 r.). ИСI{J1IОЧИМ поле Е из (3.30), выразив
е.l'О чероз СRоросrь дрейфа (3.27) в неСIIЛЬНЫХ ПОЛЯХ. Получим
3 Мv;д М1,v;д
L1, == '2 kT + 2 .
Средняя энерrия иона складывается..из трех 'Частей: общей с MO
.nекулами II uезотпосительнои 1\ значению поля энерrии тепло
пс \ro ДВИ}Rения, энерrии направленноrо дрейфовоrо движения
(третье слаrаемое) и дополнительной энерrии беспорядочпоrо дви
жеНIIЛ, связанноЙ с действием поля (второе слаrаемое). I3 напоЙ
пропорции распределяется работа иоля между энерrиями направ
лрнноrо и хаотичесиоrо движения зависит от соотношения масс
111t И М. При одинаRОВЫХ массах она раапределяется пор овну.
Леrкие ионы в ТЯ}Rелом rазе, кан уже rоворилось, наRапливатот
хаотичеСНУIО ::энРрrИIО, которая Оf азывается MHoro болыпе энерrии
дрейфа. НR.против, энерrия, соо6Iцаемая тяжелым ионам, в леr
КОМ rаЗ8 хаотизируется слаоо ударами леrких молекул трудно
«сбить с пути» массивную разrонлемую полем частицу.
5.3. Дрейф в сильных полях. Полаrая " т === vfl с l::== const,
lJыражая скорость v через 81, как при пы-воде форму ль! (3 31) ,
и п{)дстаВJIЯЯ в (3 27), находим спорость дрейфа:
( !f ) 1/4 ( ,1/4 1/ eEl
и 1д /"00-/ М 1 + м I Jt М .
2
(3.32)
Она пропорциональна не Е/р, RaR в несильных полях, а 7f!P. П ри
lIТ1. М и 1д примерно совпадает со скоростью иона v V 28 1/ M i ,
птвечающей ero средней нерrии, так как движение иона имеет
резко направленный характер. ОднаRО леrкие ионы в тяжелом
I азе даже в сильном: поле дреЙФУIОТ м едлен нее, чем движутся
хаотически: V1Д/v [МJ(М1.+М)]1/2 УМJМ (ер. с форму
JIОЙ (3.16)).
57
Переход от заRона подвижности V 1Д Е/р R закону V 1Д r Е/р
происходит постепенно (рис. 3.9). Он начинается при таRИХ по
лях, при которых нерrии ионов достиrают Iпорядка 1 эВ и [JОЛЯ
1"" u
ризаЦИОIlные силы сменяются ОЛИ3Rодеиствием, а сечение eTaHO
вится rазонинетическим; \при движении ионов в собственном rазе
и Iпреобладании перезарядки коrда энерrи:я иона заметно пре
ВЫIпает тепловую.
UiA,10 ч. см/с
50
ч
Не + 8 Не
40
20
10
8
fj
А
p ТОРД
Не Ne A
. 1,575 о 50 оо,бfi8
6 3,52 Ч,fО О, 82 3
о 8,50 о О, 72ч. · 2,97
. 12, 72 о 8, 28
022,2
Е/Д,8/(см.торр)
2
5
10 f
2
5
102
2
5
103
Рис. 3.9. Спорость дрейфа собственных атомов ионов в Не, N е и Ar кат{
функция отношения Е/р, Т == 300 К; штриховые привые слева COOTB eTCT
вуют нормальному дрейфу (v 1 д Ejp), справа аномальному (и 1д -УЕ/р)
[15]
5.4. Диффузия. В несильных полях, ноrда ионь находятся
в тепловом равновесии с ra l 30M и их средняя энерrия 81 (3/2) kT,
справедливо соотношение Эйнштейна (3.24). Прямые исследова
ния диффузии ионов далеко не так мноrочисленны, как измере
ния подвижности, поэтому коэффициенты диффузии D 1 обычно
находят именно таким путем. При умеренных отношениях Е/р
D i меняются с Е/р столь же мало, нак и J.11. Для ионов азота в
азоте, например, 1-11 1,5 . 10 3 /р [торр] см 2 / (В . с), Dl 40/р см 2 /с.
(Подробнее о диффузии ионов см:. 1 e И3Д., п. 6.4, 6.3 rл. 4).
6. Амбиполярная диффузия
J I ри O'IPIII) нн,н{оII плотности заряженных частиц nе, n+ 8аря
ДЫ рааlIыl .Hlal{OB дпффундируют независимо друт от друrа этu
наdываетсн свободной диффузией. Более подвижные электроны
58
диффундируют быстрее и при наличии rрадиента IПЛОТНОСТИ заря-
дов в плазме MorYT оставить далеко позади своих менее подвиж-
ных партнеров. ОднаRО, коrда плотности nе, n+ не малы, в ре..
зультате разделения зарядов образуется значительный простран
сrвенный заряд и вознинающее поле поляри\зации /препятствует
дальнейшему нарушению электроней
тральности (рис. 3.10). Разделение заря
дов и поле поляризации автоматичеСRИ
так подстраиваются друт к друrу, чтобы
поле сдерживало убеrающие электроны,
ПО;J;тяrивало к ним тяжелые ионы и за п+
t>O +++
ставляло их диффундировать только «BMe П е
сте». Такая диффузия называется амбu
пОЛЯРftой. Это попятие было ввведено
Шоттки 13 1924 r.
6.t. Коэффициент амбиполярной диф..
фузии. Обратимся к общим выражениям
(.3.20) для плотностей потоков ааРЯJRен
пых частиц. Будем интересоваться случая
ми либо отсутствия внешнеrо поля, либо
диффузии в поперечном ему Н3JIравлении.
Тоrда поле Е, фиrурирующее в этих фор
мулах, связано ИСКЛIочительно с поляри
зацией плазмы. Оно удовлетворяет ypaB
вонию электростатики
div Е === 4пе (n+ п е ).
(3.33 )
t=D
а
ё Р Е
а
Рис. 3.10. Поляризация
плазмы при наличии
rрадиептов плотностей
элеRТРОПОВ и ионов: а
на (lальные распределе
пил п е === п+; б pac
пределен ия п е , п+ и
плотности объемноrо за
ряда р === е (п+ п е )
спустя некоторое время.
Стрелки УI{азывают Ha
правление поля поляри
зации
Пусть разделение зарядов, мало:
I n+ nе I п е п + n. Чтобы оно не Ha
растало заметным образом, плотности потоков (или просто пото
J И) электронов и ионов также должны быть почти одипаио.выми:
r(X r +х r х, rде ось хнаправлена перпеНДИRУЛЯРНО внешнему
IJОЛЮ, если таковое присутствует. ИСRЛЮЧИМ поле поляризации
из выражений
дп дп
r x МеЕх п De дх ' r x +Exп D+ дх '
(3.34)
для чеrо разделим первое на ""'е, второе на ,.,.,+ И потом сложим.
В результате найдем, что поток заряженных частиц Toro и друrо
ro знака записывается в обычной для ди\ффузии форме
дп D +f.le + D ef.l +
r х Da дх ' Da === l1e + 11+ ' (3.35)
с неким: эффективным Rоэффициенто:м: Da nоэффициеliТОМ aJtt
биполярuой диффузии. Поскольку f..te» 11+, De D+, величина
пa п+ +De(""'+/ e) больше D+, но меньше De, в соответствии
со СRазаННЫJ\I выше о «подтяrивании» ионов и «сдерживании»
лектронов. В равновесной плазме, тде температуры электронов Те
И ионов Т одинаковы, с помощью соотношений Эйнштейна (3.24)
59
наЙдем, что Da === 2D+. Внеравновесной пла l зме, rде «температу
ра» электронов существенно выше ионной, :которая совпадаеr с
температурой rаза, ПОЛУЧИМ
l+ Те (kTe ) 2
Па ;-::; De fl; D+ т f.t+ \.7 :3 f.t+Ee [эВ]. (3.36)
6.2. При Rаких условиях диффузия амбиполярна? Этот вопрос
очень BaJHeH, ибо КО ффIJциенты свободноЙ и: амбиполярноiJ диф
фузип в неравновесноЙ плазме различаются в десятии раз. Чтобы
неС IОТРЯ на сильные неравен:ства De D+, J.le» t+, поток re по
фОр 1У Л8 (3.3 f) не превышал Iпотока r +х, диффузионный И дрей
фовый члепы в r ех, которые имеют противоположные знаКII,
должны компенсировать друr друrа с точностью до относительно
малой веJIИЧИНЫ l +x. Значит, то поле поляризации, которое aBTO
матичесии устанавливается при амбиполярноЙ диффузии, равно
пе 1 оп kTe 1 дп kTe
Е == (3.37)
Х f.le п дх е п дх eR '
rде R длина, харантеризующая масштаб традиента плотности
зарядов. На этом расстоянии плотность меняется значительным
образом. Например, если плазма находится в трубке, R ее pa
диус, так как плотность на оси значительно lоольше, чем на CTeH
ках трубки, rде заряды нейтрализуются.
Поле поляризации образуется в результате разделения заря
дов, которое в свою очередь вызвано беспорядочным (те\пловым)
движением более быстрой компоненты электронов и вознинает
за счет их тепловой энерrии. И деЙствительно, разность потен
циалов поля поляризации на всей длине R, rде оно существует,
такова, что электричес:кая энерrил заряда, приобретаемая на пей,
порядка тепловой энерrии элеитрона: еоср eExR "" kTe. Поле по
ляризации создается объемным зарядом ебn == е (n+ n е ), ПОрЯДОI
величины KOToporo соrласно (3.33) определяется из соотношения
Ex/R "" 4ле.оп 4пеп (бп/п).
с помощью (3.37) найдем
бп /"'-/ kTe == ( ) 2 d ( kTe ' ) 1/2
/"'-/ 2 () Л , \ 2 . (3.38)
п 4ле п Л'" 4ле п
Величина d, KaI м:ы уже знаем (п. 4.2 rл. 2), представляет
соБОIО дебаевский радиус плазмы. Он Бак раз и харантеризует те
расстояния, на которых возможны сильные разделения зарядов и
поляриаация плаа:мы. Если R d, т. е. заметный перепад плот
ности Jарядов случается на расстояниях, больших дебаевскоrо
радиуса, бп/n« 1, нарушение лектронейтральности мало и диф
LРУЗИЯ И:МРРТ а:мбипо:rярный харантер. При условии R d эле:к
ТрОIIЫ 11 '!()НЫ диффундируюl' незаВlIСИМО. НаПРИi\1ер, при Те ===
-== 1 .)T , I!/ === 108 CM: 3, R == 1 см d === 0,052 см и оn/п === 2,5 . 10 3,
Т. Р. t (/(IHI) JИН ЯПНО амбиполя 'ия. ля тех же Те И R толькп при
IIcJH 1 !IOC l'lI п е < 1 Об CM 3 заРЯДIJi ;J;I,fффУНДИРУЮТ свободно.
60
6.3. Определение понятия «плазмы». Условие (d/R) 2 1, rде
R харантерный раз:мер области си:льноrо перепада плотности
зарядов, является именно той НОЛIIчественной мерой, ноторая OT
личает «плазму», нан элентронейтральную ионизованную среду,
от иных случаев присутствия зарядов в rазе.
7. ПротеRание элеRтричеСRоrо TORa в плазме
в присутствии продольных rрадиентов плотности зарядов
7.1. Уравнение непрерывности для элеRтричества. Если R плаз
ме приложено внешнее элентричесное потrе и идет тон, плотности
потонов электронов и ионов в отлпчие от п. 6.1 не одинановы.
Плотность тона j === е (r + re). Из уравнениЙ непрерывности
(3.22) для частиц данноrо сорта и Toro фанта, что положптель
ные и отрицательные заряды рождаются и исчезают толы\о па
рами (п отсутствие отрпцател:ьных ионов qe === q+), вытсиает ypaB
нение непрерывности для элентричества:
ap/at+divj===O, p-==e(п+ пe). (3.39)
в элеRтронейтральноЙ срсде, а в стационарных условиях вообп е
всеrда, TOR не имеет IIСТОЧНИRОВ .,
div j === о.
( 3.10)
в одномерном плосном случае вдолъ На/прав пения тона z d] / dz == О,
J (z) === const, Т. е. плотность тона неизменна. Обычно ('на ОН LH' rc
ляеrся не лональными харантеристинами, а условиями во всей
системе в целом, внлючая внеПIНIОIО ff!o отношению R разряду
цепь. -
7.2. Диффузионный TOR И ИСRажение поля rрадиентами. В yc
ловиях I\вазинейтральности, Rоrда п с п+ п, соrласно (3.20)
j/e == r + r е === (De D+) \7 п (f.!e f.!+) Еп, (3.41)
E j D(' D+vп ( 3 2 )
e(f..t,+ +)п p + п · .1
Элентричесное поле снладывается из «внеIпнеrо», блаrодаря HO
торому течет тон, и поля поляризации, вызванноrо присутствием
rрадиентов *). Эти состаВЛЯlощие, нонечно, неразличимы изме
ряя [[оле в данном месте, снажем, при помощи зонда (rл. 8), мы
будем финсировать полное поле (3.42).
Сильное падение плотности зарядов в направлении, протино
положном внешнему ПОЛIО, может привести к полному уничтоже
нию лоследнеrо и даже н изменению направления поля по OTHO
шению н тону **). Элентричесний тон, с которым соrласно (3.40)
*) Вообще товорн, существуют еще потоки, связанные с rрадиентаl\lИ
температуры термодиффузионные, но они обычно иrрают меньшую роль,
чем просто диффузионные.
**) Такие эффекты иноrда наблюдаются в тлеющем разряде, низко
вольтной дуте и др.
Сl
при этом ничеrо не ПРОИСХОДИТ, переносится в этом месте бла
I одаря диффузии электронов: при Е === О по (3.41) с учетом
De D+ плотность тока j eDevп. Диффузия при этом происхо
ДИТ свободно (амбиполярная электричества не переносит) . Дей
ствительно, если нет поля, элентроны не тянут за собою ионы.
Однако такое положение не может сохраняться на СЛИIIIНОМ
большом отрезке, 'Что видно ИЗ (3.42). Заметим, что коэффициент
диффузии De зависит от элентронноrо спентра, который в поле
устанавливается на длине релаксации энерrии электронов Ли ==
=== l/lI б l (п. 3.7). Строто rоворя, это ужесточает обычное усло
вие применимости диффузионных понятий малость /перепада п
на длине l, во всяно:м случае требует проявления осторожности
при раСС1мотрении диффузии в резно неоднородном поле.
7.3. Уравнение ДЛЯ плотности плаЗIНЫ. Подставляя (3.42)
в выражения (3.20) для re, r + И имея в виду определение (3.35),
находим
lle j fl + j
re === DaVп + r + == Da\п + + (3.43)
lle Ao+ е lle 1-1+ е
Потони элентронов и ионов складываются из одинаковых амбипо
лярных диффузионных (они MorYT иметь составляющую и вдоль
тона) и потонон, обусловленных протенанием тона. Последние,
в отличие от амбиполярных, различаются сильно, в J.le/J.l+» 1 раз.
Подставляя любое из выражений (3.43) в соответствующее ypaB
пение непрерывности (3.22) и имея в виду (3.40), ПrJлучаем 06
щее уравиение баланса чuсла заря;)/сенных частиц в плазме
aпjat Da п == q, п п е п+. (3.44)
Оно имеет вид обычноrо уравнения ДИФФУЗIIИ (с амбип()лярпь т м
Rоэ-ффициентом) в присутствии объемных источнинов частиц и не
содержит нинаних признанов тото, что в среде может течь элен
тричесний тон. Последний сназывается не на балансе, а на пото
ках зарядов (3.43). Баланс не зависит от тон:а, потому что, о раз
но rоворя, скольно элентр:ичества втекает в HaHoe TO место, ровно
стольно соrласно (3.40) и вытекает.
7.4. Критерий элеRтронейтраЛЬНОСТII. Он разлпчен для двух
ситуаций. Если тона нет или он есть, но мал по сравнеНИIО с диф
Фузионным тоном электронов (поле поляризации БОЛЬПlе «FHeIII
иеrо» в (3.42)), мы возвращаемся н ситуации, рассмотренной
в п. 6.2, и нритерию (3.38) (d/R) '1 1. Если дрейфовый тон силь
нее диффузионноrо, соrласно (3.42) j eJ.leEп и в соответствии
с (3.40), (3.33) имеем
Evп == п div Е == 4леп(п+ nе) == 4леnбn;
б п Е' kT е е Е d 2 ( d ) 2 L (3.45)
/'-" 4лепL /'-" 4ле п h т e L """ L/\u """ L Ли '
rде Ан ДЛl1l1а установления элентронной температуры (средней
энррrни злсн:тронов) (3.18), (3.19), а L длина вдоль поля, на
6'2
iКоторой сильно (меняютClЯ плотность элеRТрОНОВ и IПРОВОДИIМОСТЬ.
ДебаеВСRИЙ радиус следует сравнивать со средним rеометриче
СRИМ между L и Ли. Будет ли критерий (3.45) жестче или мяrче
(3.38), зависит от ноннретных условий, нан и то, что сильнее
нарушает элеRтронейтральность rрадиенты вдоль тона или
попереR.
7.5. Амбиполярный ПОТОR зарядов вдоль неоднородноrо поля.
В отличие от ДИФФУЗИОIIноrо. а \{БИ:ПОJIЯРНЫЙ IПОТОR пмеет дрейфо
вую природу и обусловлен присутствием пространственноrо за
ряда [3.3]. Подставим в уравнения непрерывности (3.22) для
п е , п+ выражения (3.20) дЛЯ ПОТОRОВ re, r +. Умножив уравнение
для п е на J.t+/1J.e и положив для простоты J.te, J.t+ постоянпы:ми,
сложим результат с уравнением для п+. Интересуясь действием
пространственноrо заряда, Rотпрый даже в нвазинейтральной
(в смысле бпjп« 1) плаЗlме может быть сам по сеое значитель
ным, сохраним при суммировании дрейфовых ПОТОRОВ «:малую»
разность бп. Подставляя бп === (4ле) 1 div Е и пренебреrая члена
ми,- пропорциональными J.t+/J.te < 10 2, получаем уравнение
+ 1 . ( I ll+ . )
at (lV DaV n ' 4ле Е CllV Е === q, п п е п+, (3.46)
.,
уточненное по сравнеНИJО с (3.44). Наряду с потоком амбипо
лярной диффузии появляется ПОТОR «амбиполярноrо дрейфа».
В ОДНОj\Iерном случае последниii равен ( +/8'Ле) дЕ2/ дх.
С плотностью зарядов он непосредственно не связан. Однано в
силу постоянства тона вдоль ero направления, j eпe cE COllst,
rрадиент поля неизбежно сопровождается rрадиентом плотности
плазмы. Поэтому амбuпОЛЯРJiЫЙ дРr!йфовый потоп ЭRвивалентен
неноему диффузионному
11. 2 11. Е,2 Е 2
дЕ r + дп D дп D f-1+
8ле дх 4леп dx Е дх ' Е 4леп
lЗ.47)
с эффеRТИВНЫМ Rоэффициентом диффузии DE' RОТОРЫЙ СRлаlдыва
ется с Da [3.4]. Сравнительная роль двух ПОТОRОВ хараRтеризу
ется отношением
DE/Da === Е2/4лпkТ е == {Е [В/СМ] }2/1,8 . 10 6пTe [эВ], (3.48)
ноторое ПОрЯДRа (втрое больше) отношения энерrии элеRтриче
CRoro поля и тепловой энерrии элеRТРОНОВ. Например, при п ==
=== 6 . 109 CM 3, Те === 1 эВ амбиполярный дрейф преобладает над
амбиполярной диффузией, если Е > 102 В/см или, с учетом xapaK
терных для плазмы значений Е / р ,...., 1 1 О В/ (см. торр), при р >
> 102 10 торр. Блаrодаря обоим эффентам, плазма переRачива
ется из мест с более ВЫСОRОЙ ,плотностью и 'более слабым сполем
н места с пониженной плотностью и более сильным полем. О при..
менении уравнения (3.46) ом. п. 6.6 rл. 10.
63
э 8. rидродинамичеСRое описание элеRrронов
Частично ИОНИlзованный таз представляет собою трехкомло
нентную смесь, состоящую из электронов, ионов и нейтральных
частиц. Ее поведение в поле можно описывать на основе обычных
уравнениI1 rазовоЙ динамики. Мы остановимся на упрощенном
и более употребительном ДЛЯ ус овий разряда варианте ypaBHe
ний, считая rаз в целом ПОRОЯЩИМСЯ, слаБОIIОНИЗ0ванным и KBa
Jине:птральным. Тоrда в сущности достаточно заlписать уравнеНlIЯ
для одноrо лпшь элепТРОllflО20 еаза. Ero состояние характеризу
ется плотностью электронов п е , вектором маRроскопической CKO
расти У е II Т(\j\iпераТУРОII Т'е (или давлением ре == nekTe).
8.1. Уравнеппл: непрррывности и движения. Первое уже запи
сывалось раньше (3.22); в нем re =::: пeV e . Второе им:еет вид
dV e dV e ov,
тп е dt === neeE Y Pe nelпVcVт, ""di == dt + (VeV) V e . (3.49)
Фактически, результат, вытекаIОЩИЙ из (3.49), таRже использо
вался ВЫПlе. Из за существования больших кулоновских сил,
обеспечиваЮIЦИХ квазинейтральность п азмы (из за ВОЗНИRнове
ннн по тrяризационноrо поля), элеRТРОННЫЙ rаз не может замет
ным образо:м УСRОРЯТЬСЯ относи rельно ионпоrо IIначе происходи
ло бы нарастающее со вреJ\ilеием: разделение зарядов. Эначит,
ускорение dve/dt близко к ускореНИI{) ионноrо ra.3a dY i /dt, ко' орое
подчиняется аналоrичному уравнеНИIО двп/нсппя
Mп dv /dt == п eE vp п M'v vm , n 1 п(.
Поскольку в правых частях уравнений движеНIIЯ стоят одипа}{о
вые по величине электрические силы, инерционныЙ член в элеR
тронном уравнении (3.49) ИIЗ--'3а крайне малой массыI элеКТрlна
можно опустить. Но тоrда (3.49) сводится R выражению (3.2n)
для плотности потока re === пeV e с учетом (3.21), (3.24), отлпча cь
от (3.20) rолы{о Iприсутствием дополнительноrо теР.Jlrtодиффузuоп
1/;080 потопа, пропорциона.тrьното V Те. Последний чаще Bcero
меньше ДИФФУЗИОНlIоrо из за малости температурны rpH ц еп
тов, поэтому мы ero там и не УlЧитывали.
8.2. Уравнение энерrии. Оно имеет вид [27]
: ( пekTe) diVF== пee(Eve) пekTevи qI, (:1.50)
F 5 ' T ' '1 Т 5 k D * )
.2 п е l е'\е I've\l e Л е 2 nе е ·
(3.51 )
Плотность ПОТОRа электронной энерrии F складывается из rидро
*) Выражение для пev e , которое получается из (3.49) без инерциои
Horo члена, а также (3.51) длf.I F И Л е вытекают из кинетичеСКОI'О уравне-
Р!' (f J 'H )Л8КТрОIIОВ, еСЛ1f посчитать функцию распределения максвеллов-
CI<:OI1 и У т == const При l === const(\'m I'"OJ -Уе ) коэффициент термодиффузии
пи 1\ Ч,Н?1СЯ вдвое меНЫIIИЧ [3.5], а RОJффициент 5/2 в (3.51) заменяеr
ел на 2.
(' ,
v 1:
; инамическоrо потона энтальпии и потока теплопроводности;
Л е элепТРОJ-tJ-tая теплопроводпостъ. СJIаrаемые с кинетической
энерrиеЙ злентронов ти;/2 kTe опущены: соrласно (3.16)
V е V v. Потери энерrии элентронов при столнновениях с MO
.1 ВНУ лами записаны в (3.50) в соответствии с (3.12), (3.17). По
С. rедний член в (3.50) описывает затраты энерrии на рождение
новых электронов; q результирующая снорость рождения, KO
1 ()рая фиrурирует в уравнении непрерывности (3.22), 1 потен
циал ионизации.
Из комбинации (3.50), (3.51), (3.49), (3.22) вытенает ypaB
нение для СНОрОСТИ наrревания движущейся «частицы» элентрон"
Horo rаза:
.3 d Т р 3 1.
k == е (ЕУ е ) 2 kTevu (}lV pgYe +
2 dt п е
+ diy ЛеVТ е I 1 j I Te ) !L, (3.52)
п е \ п е
rде dTe/dt субстапЦUОliальJ-tая ПРОИЗDодная типа (З. 9). Оно
обобПJ;ает уравнение (3.12) учетом эффентов, связанных с пpo
CTpaHCTBetlllOи неодliородJ-tостью: ра(fотой сил давления, теJIЛОПрО
водностью. Последний член, описывающий r.затраты энерrии па
l онизацию и сообщение рожденному электрону тепловой эпеРI'ИИ,
обычно мал по сравнению с ФИI'УРИРУЮЩИМ И В (3.12) слаrаемым,
ПрQlпРрционаJIЬНЫМ V u .
8.3. П. азма с ТОКОМ. Снорость V e или (потон пeV e в уравнениях
(3.50) (3.52), (3.22) целесообразно цредставить в виде (3.43),
l'де из r е выделен тон j, удовлетворf.Iющий уравнению (3.40). Без
J чета амбuпОЛЯРJ-tО20 термодuффузuоJ-tJ-tО20 потопа и с учетом
t+ « e
пeV e === j/e Da Vп e , div j === о. (3.53)
:JХОДЯlцее в (3.50), (3.52) лоле в плазме соrласно (3.42), (3.24)
с той же точностыо есть
Е === j/el-l пe (kTe/e) (vпe/п e ).
( 3.54 )
Рассмотренная здесь система уравнений будет ИСПОЛЬ1зована в
7 тл. 11.
э 9. Движение зарядов в rазе
в присутствии маrнитноrо поля.
Нельзя сказать, чтобы внешнее маrнитное поле было частым
атрибутом в иоследованиях и приложениях «обычноrо» rаЗовоrо
ра1зряда. Это при создании «термоядерной» плазмы не обходятся
без Hero. Однано в таной важной области /приложений физин:и
раIЗрЯДОВ, нан ма2НUТО2uдродuJ-tамuчеспuе 2е1lераторы, а таRЖе в
неноторых rазоразрядных приоорах и опытах маrНИтное поле
присутствует. Поэтому рассмотрим, RaI( оно влияет на дрейф,
1.0. п Рdйзер 65
электричеСRИЙ тон, диффУЗИIО зарядов, тем более что в сильных
маrНИТIIЫ'- полях характеристики этих процессов изменяются CY
щестnенным образом.
9.1. Дрейф в электрическом поле. Пусть на :ионизованный
таз наложено ПОС10ЯННО8 однородное маrнитное поле Н Введем
в уравнение движения электрона (3 2) лоренцеву силу, с которой
оно де:иствует на движущи:ися заряд:
mv eE (е/с) [vH] тvv п . (3 55)
Еслп поля Е II Н параЛТIfЛЬНЫ, то никакоrо влияния на дрейф
маrнитное поле не ОFазывает, так как vl'EIIH ПОСhОЛЬКУ ypal1HeHlIU
линейно и вектор II рсеrда можно представить в виде CYM ItJI Пd
Z раллельной и перпеНДИRУЛЯРНОЙ Е составля
t ющих, достаточно рассмотреть случай cпpe
Н щепных полей, нотда Н Е. Направим ось х
вдоль Е, а ось z вдоль Н (рис 3 11) и OT
У несе\{ (3 55) к уста:НОВИВlпемуся состоянию
, /. '- ' -== о. Тоrда v представляет собою снорость
х , Е и д дрейфа V Д . Спроецируем уравнение на KOOp
ДIIпатные оси.
Рис 311 Дрейф
эле-ктронов в ('нре eE"C --+-- е (и'1,у/ с) II z ти д ,\- V т == О,
щеНl1Ы-Х: полях
e (и дх / с) Н z ти 1у \; '11 === О,
v (L О
СостаВЛЯlощпе СR()РОСТИ дреифа равны
F х (f)H/ V т
,'дх 'e 2 / 2 ' IJ ду ).1е 2 / 2 Е х,
1 t Шн v m 1 + Ш н 'т
е
I{
l' е ПJV '
т
rде 'L ооычная подвижность в отсутствпе маrнитноrо поля, а
u) Н == е 1/ 1 76. 1 О 7 Н [Э ] с 1
/пс '
(3.5В)
Ta { называемая сuромаснитная, или цuпЛОТрОНllая, частпта.
С такой частотой электрон вращается в пустоте вокрут маIНИТ
ното вентора, если у Hero есть JIерпендикулярпая этому вектору
составляющая СI\ОрОСТИ. Это леrко J смотреть из уравнения (3.5r:.)"
положив в не,! '\I m -== о.
Итак, в снреlценныx полях ск рость дреифа П\1еет иное IIа
правленпе, че I ;Jлектричесное поле, т е подвиЖflОСТЬ является
те} зоро,)}t Подвижность элеRТРОНОВ в НaJправлении электричеСI О
ro поля \iеныIеe оБЫЧНОll. ВОЗНIIкает дреЙф в направлении, пер
пrНДИRУЛ:ЯРНОМ обои'1 ПОtJIЯМ В направлении маrнитноrо поля
,,(реифов()I'О движения нет. Поперечная обоим полям скорость иду
ПОЯВJIяетсп под действием Лvренцеnой силы. Снорость ид"С вдоль Е
у:мепынается И3 Jа тато, что лоренцева сил:а все вре\IЯ стремится
отктrонить дреl1фуrОЩИlI вдоль Е электрон в сторону. Тем ca:MI1\{
nO\lll \1:0 сто JТIотовении создается д""полн:ительная помеха уско e
НИ10 'ряда ;)J(рН'rрпческим полем.
tJ6
Количественное влпяние маrнитноrо IПОЛЯ характеризуется
отношением ffiII/'V m . В С:Iабом маrни:тном поле (юн " т ) подвиж
ность вдоль Е уменьшается HeMHoro и появляется лишь леrний
црейф в СТОР()НУ. В сильном маrнитном поле подвижность вдоль
Ь падает нак H 2, а скорость lIIоперечноrо н Е и Н движения не
.3(lВИСИТ от частоты столнновений и падает нан H l. В последнем
с rучае роль столнновений, ноторые :м:ешают УСRореПИIО заряда
1ftl этот раз лоренцевои силой, полностью берет на себя маrнит
н)е поле. dзкручиваlощее частицу.
Значение маrНИТНОlI наПРЯJненносrи Не, ноторая служит rpa
,..
рацеп между «слаоы:ми» п «СИJIЫIЫМИ» полями, определяется из
Р-1венства юн === " т , откуда Не === C/'tle. Прп ТIIПИЧНОЙ частоте столн:
новений электронов " т 2 . 109 Р fTOPP] c l Не 100 р [т ОРР ] э. IЗСf\
С 1 азанное остается в силе и для ионов, следует только заменить
7 z, на М' и поменять знаки у и д :>", иду. rраничпое поле ДНЯ ионов
J {1, :::= с /1l1 В l1e/I1I' т. е. примерно на два ПОРЯДI{а UОЛЫIТР 11 ( .
9.2. ПрОБОДИМОСТЬ и ток Холла. Плотность элеI\тричеСl оrо тона
j === Pпe v д не совпадает с направлением Е. IIроводимос r 1), ]\(Н\ И
подвижность, являртся тРнзором. Проводимости вдоль .) I{\I ТJ)J'ЧР
С Roro поля (a ll ) и в поперечном Е Н направл е нии (а J) ; a IОТС н
t ыражениями
а (jJ н 1\' m е 2 пе
(т 11 2 2' о' J... :::::... а 2 / 2' а -== ,
1 + (f)ll/vm 1 ---{ Юн V m тV rn
I:(e а пrоводимость н оrсутствие маrНИТНОl10 поля. ;)"IUI\ТРП ЧР
С [{ий ТО1\, ВОЗIIикающии: в СI рещенных полях в направлении, П(\Р
пендинулярном Е и Н, j J.. :::= crJ..E, flазыIаетсяя топом Холла. 31 u r
"- (рфект, носящий имя cBoero пеРВООТI{рывателя, был оtGПdРУJI\РI[
\.оллом В 1880 r. в металлах. Дiн:оулева тепла :ЛUJIJlОВСIОllt 1 ОН.
1'8 выделяет, а IIОСНОЛЬКУ продольныЙ ток В присутствии I1()П(\
,..
речноrо маrнитноrо поля становится меньше, уменыпастсн ОlНЦРР
)нерrовыделение. Величину ===ffiH/Vm==H/He называют пapaMe/
i ом Холла.
9.3. Диффузия. В диффузионном потоке заРЯiI\еНIIые частицы
(jолацаJОl ОТJIИЧНЫ:М от пуля BeJ{TOpOM среднеи снорости. и В этом
отношении действие rрадиента плотности эквивалентно деl1СТВИЮ
Э.Jlентричесноrо поля. Значит, маrнитное Iполе влияет на диффу
JИЮ тан же, нан и па дрейф. Если rрадиент направлен вдuль Н,
IIикакоrо воздействия нет, если лерпендикуллрно занручива
Пlе частиц лоренцевой силой создает помеху для диффузии вдоль
=-радиента, появляется дополнительный поток в наlправлении де:И
ствия лоренцевой силы перпендинулярном rрадиенту 1I Н (aHa
лоr холловсноrо тока). :Коэффициент диффузии становится
1 ензором.
ЭКВИВ:lлептное лектричесное поле Е', которое создает такую
/не среднюю скорость движения заряда v, что и rрадиент П.JIотно
сти, определяется из равенства
, V п Е , АТ + V n
V == + f-1i Е :i DIп' + С*"п'
( I r: ..... )
.' )/
(3.58)
5*
67
l'де D, 1-1. Т относятся н случаю отсутствия маrнитноrо ПОЛЯ,
а знани соответствуют положительным и отрицательным зарядам.
По порядну величины 'Е'I kT/eR отвечает разности потенциа
лов kT / е на длине R перепада плотности, что вполне естественно,
если учесть теlПЛОВУЮ природу диффузии (ср. с п. 6.2).
Остается повторить вынладни п. 9.1 примени:тельно н «дрей
фу» в энвивалентном ПО.-1е Е/. Если направить ось z вдоль BeHTO
ра Н, а ось х вдоль вентора rрадиента JIЛОТНОСТИ, то для COCTaB
ЛЯIОЩИХ потона частиц получим
D+ dп D+(f)H/Vт dп
rx::l:: == 1 + ;: / 2 dx ' r y + == + 1 + 2 / 2 dx ' rzt == О. (3.59)
Шн V m Шн V m
Вдоль маrнитноrо ПО.тrя частицы диффундируют IПрИ наличии
продольноrо вентору Н rрадиента так же, кан и без поля. В попе
речном Н направлении rрадпента они ,IJИФФУНДИРУJОТ с RОЭффИ
циентом D .l + D + (11 WiI/V ) 1. в очень СИЛЬНf)М поле, ноrда
(o1 v;', и для электронов и для ионовD.l+ D+'\':n/(J)h.но цик
лотронная частота обратно пропорциональна массе частицы. По
этому поперек очень сильноrо маrнитноrо поля ионы диффунди
руют быстрее элентронов, вдоль поля М8;J;леннее, нан обычно.
На самом деле в присутствии сильноrо маrПИТllоrо поля все
происходит rораздо сложнее, чем это рассназывалось здесь; тут
появляется :масса топких эффентов и запутанных взаим:освязей,
но ) тлj бляться В это не будем:.
r JТ а в а 4. ОБРАЗОВАfIИЕ И rfIБЕЛЬ 3АРЯjН ЕННЫХ ЧАСТИЦ
В r АЗЕ
э 1. IIонизация элеRТРОННЫМ ударом в постоянном поле
1.1. IСRОрОСТЬ и частота ионизации. Ионизация невозбужден
ных атомов и мо:rенул ударами элентронов важнейший Mexa
иизм рождения зарядов в объеме rазовоrо разряда. Обозначим
п (8) d8 число элентронов в 1 см 3 С энерrиями от в ДО 8 + d8 ;
п (8) это фуннция распределения элентронов по энерrиям, HOp
м:ированная на плотность элентронов ; пусть а 1 (8) эффентивное
сечение ионизации атомов, находящихся в основном состоянии,
r леRтронами С энерrией Е === ти 2 /2 (см. п. 5.1 rл. 2 и рис. 2. g
2.11). Снорость ионизации, т. е. число антов ионизации, произво
димых ;Jлентронами в 1 см 3 В 1 с, равна
00
( dп \ f
d: !, ==. Nva, (Е) п(Е)аЕ == k,Nп e == V,п e .
о
(4.1 )
Коэффициент k 1 при плотностях частиц, участвующих в pe
акции, назынается константой скорости реакции (это относится
н ЛЮUI,ТМ реанциям); V 1 === k 1 N частота ионизации, т. е. число
68
ионизаций, ноторое элеRТРОН в среднем ПРОИ1ЗВОДИТ в 1 с. Ин..
теrрирование по энерrиям в (4.1) фаRтичеСRИ начинается не
от 8 === О, а от потенциала ионизации 1, тан: нак а 1 === О при 8 1.
ИОНИIЗУIОЩУЮ способность элеRТРОНОВ в данных условиях обыч..
но хараRтеРИЗУIОТ частотой ионизации. Она пропорциональна
плотности rаза и определяется энерrетичеСRИМ спеRТРОМ элек
тронов:
V 1 === N j 1 Gi (е) п (е) de (j п (1') de ) 1 === N (иа 1 > == Nk 1 ; (4.2)
утловыми скобками обозначено усреднение по спеRТРУ. В слабо
ионизованноЙ плазме, находящей'ся в поле, элеRТРОННЫЙ спектр
зависит от МIIоrих процессов упруrих и неупруrих столкновений.
lIacToTY ионизации для этих условий находят путем решения
кинетическоrо уравнения для п ( 8 ) (r л. 7) по формуле ( 4.2)
с известным экспериментальным сечением ионизации или же оп
ределяют из опыта. Если ионизация элеRтронами происходит при
неИlз:менных условиях, так что "1 === const, и rибель электронов
:можно не учитывать, электроны раамножаются во времени по
ЭRСП оненциальн ому 3 анону: п е === п е (О) ехр ( "1t ). Развив а ется элеJ'i,
т ро J-t1-lая лав иl! а.
1.2. Частота ионизации при М8ксвелловском спектре. MaH
свеЛЛОВСi\ИЙ спеRТР устанавливается, Rоrда степень ионизации
не СЛИПIRОМ мала и существенны СТОЛRновения электронов друr
с друrом. IIри маRсвелловском спектре
00
2п е 1/е ( 11 Е )
п (е) 1/31: ( kT e)3/2 е.лр kTe '
S п (е) de === п е
о
(4.3)
зависимость V 1 от поля и процеосов столкновений с молеRулами
неявно заключена в элеRТРОННОЙ температуре, от которой и за
висит частота ионизации. Обычно температура rазоразрядной
плазмы СУII ественно меныпе потенциала ИОНИlзации 1, тан: как
эаметная ионизация наступает при kTe, в 5 10 раз меньших 1.
Ионизуют атомы высоноэперrичные элентроны с 8 kTe, при
надлежащие хвосту максвеЛЛОВСRоrо распределения. ПОСRОЛЬКУ
при этом п (ё) спадает реЗRО, в интеrрал (4.2) MOrRHO подставить
линейный заRОН (2.27) для сечения а 1 (Е), RОТОрЫЙ неплохо ие..
редает поведение сечения при небольших превышениях 8 над
пороrом. Это дает
"1 == N15C 1 (1 + 2 kT e)exp ( I/kTe),
15 == (8kТ е /лт) 1/2,
(4.4 )
( 4.5 )
!'де v средняя тепловая снорость, а нонстанты С 1 представле
пы в табл. 2.3.
Например,
== 6,7 . 107 см/с,
в Ar С 1 === 2 . 1 O 17 см 2 / эВ. При Т е == 1 эВ 15 ===
k 1 == <иа 1 > == 3 . 10 16 см 3 /с. Если р == 50 торр И
69
1 == 300 1(, N == 1,7 . 1018 CM 3. Получаем '\71 == 510 C l. PaBHOBec
ная степень ионизации при таRИХ Те И N равна (п е ) p/N == 0,021.
1.3. I10низац:ионный I оэффициент Таунсенда. В постоянном
nO.Jle электронная лавина, вызванная первичным электроном, раз
вивается не ТОЛЬRО во времени, но и в пространстве вдоль Ha
правления дрейфа рождаЮIЦИХСЯ элеRТРОНОВ, потому что все они
дnи:жутся с одной СRОрОСТЬЮ вдоль поля. Поэтому целесообраl3
нее хараl rеризовать снорость ионизации не частотой \'1, а иoпи
аациоппым nоэффициеJ-tТОМ а числом ионизаций, совершаемых
:-.леRТРОНОМ на пути в 1 см вдоль поля. Очевидно,
а === 'V 1 /V д ,
'\71 === а.и д .
( 4. 6)
Следует подчеРRНУТЬ, что первичной и всеобъемлющей xapaK
теристикой скорости ионизации является не а, а частота \' .
11MeHHo она, нак и снорость дрейфа, вычисляется при помощи
функции распределения. Ионизационный коэффициент а вели
чипа производная. Она находится по формуле (4.6). в быстро
неременных полях а вообще особоrо смысла не имеет. Но, с дpy
rой стороны, в опытах с постоянным полем непосредственно
измеряют не ,, , а именно а.
1.4. Измерения а и заRОНЫ подобия. Поместим ПЛОСRие элеR
троды на расстоянии d, приложим R ним напряжение V и будем
облучать натод ультрафиолетовым излучением, вырывающим К)
злеRТРОНОВ в 1 с. Число электронов в лавине растет в направ
l
1 ( /р
1 7б,5{j/(СМ ТОРР)
// <, f)
fСЧ / / /35,0
v Y,ff// 33 :,o
'J if /' 3А,5
I / 3f,D
302 'O
ю ю 2 O
d,CM
" 2 :3 4
( 2
()
«/р, СМ 1 Торр 1
10 2
10 1
М 2
"0 3
E/'l, IЗ/(см ТОРР)
I I I
40 50 бй 70
Рис. 4.2. liJонизационный коэф
фициент Таунсенда а в N 2
как функции отношения Е/р
по разным измерениям
Рис. 4 1 Экспериментальный rрафик, дe
монстрирующий постоянство ионизациоН
поrо КОJффициента а и экспоненциальный
характер нарастания тока в разрядном
промежутке; ионизационные коэффициен
ты определяются наклонами прямых [6]
70
а/р, см 1 торр 1
Не
100
10 f
10 2
10 3
100
10 2
10 3
O 5
1, I I
б
101
102
о
I
8
10
0,016
еозаух
0,012
0,008
0,004
32
Jб
чО
100
10 '
10 2
/fJ,fj/(CM ТО/" 1
I I J
80 12
I
40
Рис. 4 3 ИонизационныIi коэф(рициент в Не, воздухе, Ar, N 2 как функция
оrношения Е/р [26]
. / f 1
а/д, см торр I
а
10
8
е
4
2
о
200
fJозrJ!/;(
600
t5
Хе
101
100
10 1
Н 2
10 2
1 '0 3
L//J.tJ/(CM ТОрр)
10 4 I 1 1.
10(}О 2 ч 10 2 4 102 2 4 1!J 3 2
Рис. 4.4. IIонизационнып КОдффициент а в широном диапазоне значений
Е/р: а ЬН 2 , N 2 И В воздухе; 6 в инертных rазал [6]
71
JIСНИИ К аноду по 13акону
dK/dx == аК,
к (х)== Ко ехр (схх).
(4.7}
н а анод поступает электронный ток i == еК о ехр (ad). В стацио"
нарном состоянии рождающиесн в разрядном промежутке поло-
жительные ионы поступают на катод в том же количестве, что
и электроны на анод. Ток во всей замкнутой цепи одинаков
и равен i. Малоподвижные ионы скапливаIОТСЯ в промеЖУТRе
1\1ежду электродами в rораздо большем количестве, чем быстро
ВЫТЯlrиваемые полем электроны. Поэтому в промежутке cocpeдo
тачивается положительный прострапстве1-U-(;ЬLй заряд. Однако при
пебольших токах вызванное им искажение поля мало, и поле
/! === V/d однородно и известно. Меняя d и V, измеряя i и строя
I'рафик ln i в зависимости от d при неизменном Е, можно по
наклону получающейся прямой ln i const + ad определить
а (Е).
Спектр, средняя энерrия электронов, скорость дрейфа явля
IОТСЯ функциями отношения Е/р (п. 1.4, 3.5 тл. 3). Значит, дЛЯ
V 1 И а справедлив закон подобия типа а == pf(E/p). Поэтому на
опыте можно менять не d, а р, сохраняя неизменным отношение
Е / р: ln i const + ( а/ р) (pd). Опыт покаlзывает, что до изврстно
ro предела по pd ТОЧRИ хорошо ложатся на прямые линии
(рис. 4.1). Так были измерены а для мноrих rазов (рис. 4.2
4.5), хотя и имеются расхождения в результатах разных
авторов.
а/р, см f торр 1
Н2 ,/ Х
iI><'
А/
/
10 3
СО 2
2,Ч-
10 2
1,0
I
20
I
25
30
c/p,B/(CI-, ТОРР)
10 14 18
Рис 4: 5. Ионизационный коэффициент как функция отношения Е/р в Н 2
[26] и co z [6]
1.5. Интерполяционная формула для а. При теоретических
и численных исследованиях раl3рЯДОВ широко 'пользуются удоб
ной эмпирической формулой, предложенной Таунсендом,
а === Ар ехр ( Bp/E). (4.8)
Постоянные А и В определяют путем аппроксимации экспери
ментальных l рИВЫХ (табл. 4.1). Закономерности (4.8) в ряде
72
случаев можно приписать неRоrорыи физичеСRИЙ смысл. Допу
стим, что элеRТрОН испытывает ТОЛЬRО ионизующие СТОЛRнове
пия. 3то имеет неRИЙ смысл при больших Е/р и энерrиях элеR
тронов. На пути свободноrо пробеrа х электрон набирает энер
rию еЕх, иемноrо превышающую потенциал ионизации 1. Be
роятность Toro, что он пройдет путь х === 1/ еЕ без столкновения
и потом совершит ионизирующее столкновение на пути dx, рав-с
на adx === l 1 елр( I/еЕl)dх, тде 1 === ll/P средняя длина пробе
ra. IIолучаем формулу (4.8) с А == Z-;I, В === I/ell. При (J ==
=== 5 . 10 16 см 2 II === 0,06 см. торр. Если 1 == 15 эВ, имеем А == 17,
В === 250. Это похоже на табличные значения.
При ма:ксвелловском спектре доля электронов, способных
:ионизовать атом, пропорциональна exp( I/kTe). Если Te E/p
(п. 3.5 ТЛ. 3), снова получаем зависимость 'V 1 и а, от Е типа
( 4.8), но с друrим смыслом постоянной В. l\ак будет показапо
в п. 4.7 lrл. 9, приближенное решение RинетичеСRоrо уравнения
с учетом большой роли неупруrих потерь энерrии элеRТРОНОВ
н'а возбуждение также ПрИllОДИТ к закономерности типа (4.8) ,
но снова с друrим смыслом В. В.случае инертных тазов иноrда
применяют формулу 1 q.1]
а === Ср ехр [ D (pjE) 1/2] ,
(4. )
ноторая лучпто описывает ЭRспериментальные данные, чем (4.8),
хотн для теории она мепее удобна (табл. 4.1). Отметим полез
пую эмпиричеСI УЮ формулу для воздуха при не очень больших
Е/р (см. таRже табл. 14.1)
-
а/р === 1,17 10 4 (Е/р 32,2)2 CM l Topp l,
Е/р === 1" 176 В/(СМ торр).
(4 10)
т а () I И Н d 4 I )\fIlИРИЧССI{IIР -КОНСТ3НIЫ n ФОРМУJJ()\ Д71Н ИОJlll (1I 110H
НО' () К )JффlIl(ИСН ra и of) 1<1('1 и пrНf\fРНПМОСТИ
rаз
..-4
I
о..
о
r.
о.
ре
о
""'"'
ре
ос
о
Е-<
..-4
I
........
р..
ос
о
Е-<
C'J
"-..
с... р..
,-,,;:l.
..;;:;- о
Q Е-<
..----..
..,
А
о
Е-<
V.,;.
R,c..>
........"
r
-S
с..>
......,
.."-..
R,-">
........
.
..
Q-S
Н(1 3 Э;j 20 150 4.4 1 100
Np 4 1ОО 1 ()O 4()O Н,2 17 2!)0
Ar 12 180 1 OO 600 2П,2 26,6 70п
Kr 17 240 1 OO 10()O 35,7 28,2 g()()
Хе 26 Я!)О 200 800 0;-) ,Э 3Н , 1 1200
Hg 2 ) ПО OO 600
Н 2 5 130 1 !)0 600
N 2 12 :142 1 OO 60(}
N 2 "" 8,8 275 27 200
воздух 15 365 100 800
СО 2 20 46п 5()0 1000
Н 2 О 13 2 H) 150 1000
73
1.6. Оптимальные условия для ионизации. ПрОХОДЯ в OДHO
родном поле разность потенциалов 1 В, электрон рождает а/Е
элеь.тронов (пар ионов) Для рождения одной пары он должен,
следовательно, приобрести от поля энерrию W === еЕ/а Функция
W(E/p) Иl\;Iеет минимум В приближении (48) Wm1п===ееВ/А
uри (Е / р) п == В тде е === 2 72 Даже при '=} rих, наиболее блаrо
приятных для размножения условиях на рождепие одной пары
иопов затрачивается энерrия TV l111Il (понстанта Столетова), KO
тарая в несколько раз преВЫШJ.ет потенциал ИОНИdации При
чина в том, что электрону приходится тратить мното энерrии
на возбуждение атомов В воздуле, например, vV 1 == 66 'ЭВ на l1J.p)
иопов при (Е/р)1n === 365 В/ (см торр) *)
1.7. Очень сильные поля. Формула Таунсенда (1: 8) неПРIIме
нима h очень СИЛЬНЫl\1 полям Она приводит R монотонному на
рdстаПIIЮ а от Е/р и при Е/р 00 дает а)р А Между тем,
в очень сильныл полял электрон приобретает больш) ю энерrию,
которая переваливает за максим:ум RрИВОЙ сечения IIОIIизаl ИИ
а 1 ( 8) (п 5 1 r т[ 2), и тот да ионизационная способность с ростом
поля падает МаRСИМУМЫ а на опыте наБЛlодаIОТСЯ ПрII Е/р
"'-' 1000 В/ (см торр) I\опечно, СТО1:Ь БО-ТТЫIIие значения Е/ р для
разрядов пе типичны, но в некоторыл УСЛОВИЯл (например в Ka
тодном слое аномалыlrоo тлеющеrо разряда и др) встречаются
В очень сильных полях не ЛИlпено смысла приближение «MO
llоэнерrетичеСRИХ» электронов Предполаrdется, что в каждой
точке пространства вдоль оси х направления поля Е(х) присут
ствуют электроны ОДНО Й вп олне определенноЙ энерrии и летят
они со скоростью v === У28/т вперед в направлении оси х При
01:ижение это оправдывается отчасти тем что пра БОЛЫlIИХ энер
rиях 8 100 эВ сечения неупруrих СТО.JIRновепии болыпе сече
пии упруrих ас, и рассеиваются электроны при упруrих столкно
вениях в основном вперед, так что транспортные сечения atT еще
меньше ас При неупруrих столкновениях элеЬТРОII теряет энер
rию возбуждения или ионизации и также продолжает лететь
вперед
В указаННОl\;1 приближении ионизационный коэффициент в
данной точке х просто совпадает с обратной величинои длины
пробеrа электрона для ионизации Zl при соответствующей этой
точке энерrии в (х):
а == Nva1, (8)/и == N 0'1, == z;l, l1, === l1, [8 (х)] (4 11)
Саму энерrию в (х) можно определить из приближенноrо урав...
пения
dB/dx === е I Е (х) I L (8), L == N 0'1,1 t- N О':Ь:,
(4 12)
*) Не следует путать эту цифру с друrои часто встречающейся вели
чинои 33 ::эВ на пару ионов ПослеДНIОЮ тратит быс rрый электрон с энерrией
Е > 4 к::эВ, которыи замедляется в воздухе Потери на возбуждение у быст
рых электронов меньше
74
r;J;e L (8) фУl-tпцuя l-teynpyzux потерь, связанныIx с ионизацией
и возбуждением всеВ()IЗ:М:ОЖНЫХ уровней атомов *).
Ход функции потерь L (8) леirКО себе представить, мысленно
ПрОСУМl\lировав все пеупруrие сечения на рис. 2.14, 2.15 (по
*
СJtОЛЬКУ всеВOIЗlможные потенциалы Е п , 1 разнятся не очень
*
сильно). Как и все сечения О'п, O'i, функция L (8) имеет макси
мум при энерrиях 8 т порядна нескольких десятков электрон"'
Bo,тrЬT. Это зна чит, что, ;rnпrаясь в поле Е > ЕI Р === e 1 Lmex, элек
трон будет неуклонпо ускоряться, несмотря на неупруrие потери
эперrии. Этот эффект называется убеzанuем элепТРОl-tов. В азоте,
например, критическая для убеrания величина (Е/р)кр
365 В/(СМ.ТОРР), в rелии 63 В/(см.торр) [4:2]. в протя
тенном сверхкритическом поле убеrающие электроны MorYT в
rазе (не в вакууме!) приобретать весьма большую энерrию
порядка 103 эВ.
1.8. Ступенчатая ионизация. В слаБОИОНИЗ0ванном rазе атомы
ионизуются преимущественно I)1З OCHoBHoro состояния. При зпа
чительной степени ионизации образуется MHoro возбужденных.
атомов и молекул и может преобладать ступенчатая ионuзация.
r\ТОМЫ сначала возбуждаIОТСЯ электронным ударом, а потом ио
IIИЗУЮТСЯ последующими. БОЛЬПIУЮ роль при этом и рают дол
rоживущие метастаGильные возбужденные частицы (табл. 2.4).
Сечения IIОНИ1ации их довольно велики (рис. 2.12, 2.13). Вклад
ступенчатоЙ Ilонизации :1атзпсит от концентрацип присутст ПУJОIЦ I j Х
В rазе MeTacTaf)I1JIeii. 110следняя определяется не только CHO
ростью их рождения, но II скоростыо rиGели за счет дезактива
ции ударами элеКТРОIIОВ, молекул и атомов, диФФузионноrо yxo
да па стенки. Один ИЗ с.тrучаев,'- коrда ступенчатая ионизация
иrрает ваЖНУIО роль, будет рассмотрен в 6, 7 rл. 11. Надо
сназать, что ступенчатая ИОНIIзация чаще Bcoro преобладает над
I10низациеЙ J1J OCHOBТfoTo состояния в си. fl>IIОIIОППЗ0ваппоЙ I1лаз
:ме. Но R этом СЛУЧ<ll\ степеlIl) нонизации оf)ыtllrо бывает uлизной
I{ термодипаМПЧРСI 11 равповеСНОll веЛИЧИllС, н вопрос о т{ипетине
110НИ1ации не столь ан:туалеп.
2. Друrие :мехаIJИЗМЫ ИОllизаЦИII
2.1. Фотоионизация. Конкурировать с ионизацией элеКТРОIl
ным ударом в УС.'IОВИЯХ разрядuв фотоионизация не в состоя
нии. Но иноrда она служит источником затравочl-tых электронов,
ОТ которых нач ипаJОТСЯ электронные лавины, в част-ности при
*) В сущности, уравнение (4.12) ЭКВFвалентно уравнению (3.12) при
условии, что и д === и, так как ttg!dt === Vдdg!dх. Уравнение (3.12) тоже запи
сывается для единстпенноп (средней) энерrии электронов, которые счита
ются как бы моноэнерrетическими. Но в слабых ПОЛНл, rде средняя энер
rия g меньше потенциала ионизации 1, приближение моноэнерrетичности
не позволяет находить скорость ионизации. Ионизуют в слабых полях не
«средние» электроны, }{ак в сильных, а те немноrир, что обладают энерrией,
значительно большей средней. Тут без анания спен rpa п (е) НИRак не обой
тись.
75
распространении стриМеров (rл. 14). Сечения ФОТОИОНИl3ации у
пороrа довольно велики (табл. 4.2), но обычно в rазе бываеТ
мало квантов с энерrиями ПФ > 1, способных произвести фото..
эффект.
т а б .-ТI II Ц а 4.2. Сечение фотоионизации атомов и мnлеI{УЛ из OCfТOBHoro
('остонния у 1 rf)pora
rаз
пш==I,эВ
о
Л, А G v ' 1 o 18 см 2 rаз
nш==I, эВ
о
Л, А (Jv, 1 О 18 см!
н
н
N
АI
N
К
13,6 12 5,3 C ,R9 318)
е 24,6 5С', 7,4 N 14,6 852
с 21.6 575 4.0 О 1 ; , () Я10
15,8 787 35 02 12,2 10 o
а 5,14 2412 (),12 N 2 1 ;) , t)8 798
4,34 2860 О,О! 2 112 1 ,4 НО,)
I
0,22
й
2,Н
1
2t,
7
2.2. Ионизация возбужденными атомами. Даже БОЛЪJпая НИ
нетичеСRая энерrия медленных тяжелых частиц не эффеRтивна
н отношении ионизации. Для иониаации нужны СRОрОСТИ атомов
II ионов, сравнимые со cHopocTыo элеRтропа в атоме 108 см/с,
чему соответствуют не реаЛИЗУlощиеся в разрядах энерrии 1И
100 кэВ. Напротив, энерrия возбуждения Е* атома леrко затра
чивается на отрыв электрона от друтото атома, если, конечно,
она преПЫllIает ето потенциал ионизации 1. Особенно эффектив
I'ы в этом ОТНОlпении реlзонансно возбуждеIIные атомы. Так, се...
чения ионизации Ar, Kr, Хе, N 2 , 02 атомами Не (2 1 P) с Е* ==
=== 21,2 эВ (а 2 . 10 14 см 2 ) rораздо БОЛLlпе rаЗ0кинетических
[18]. Меныпе сечения ионизации метастабильными атомами TaK
же с Е* > 1 (эффепт П eJ-lltU/-tzа), но зато метастабильпые атомы
присутствуют в rазе в rораздо большем количестве, чем быстро
высвечивающиеся резонансные. Сечения ионизации Ar, Хе, N 2 ,
СО 2 метастабильными ато:мами Не (238) с Е* === 19,8 эВ достиrают
значений 10 15 см 2 , а сечение ионизации Hg исключительно боль
ПIое, 1,4 . 10 14 см 2 [18].
2.3. Ассоциативная ионизация. Процесс типа А А * А: +
+ е, обнаруженный Корнбеком и Молнаром в 1951 т., ипоrда
иrрает заметную роль в инертных rаlзах. Отрыву элеRтрона от
возбужденн:оrо а тома способствует выделение небольшой энерrии
снязи порядка 1 эВ при объединении иона и атома в моле...
НУJIЯРНЫЙ ион. В rелии реакция идет с участием атомов, B03
буж денных до состояний с rлавным квантовым числом п === 3,
у которых эн:ерrии связи электрона равны 1,52 1,62 эВ. Энерrия
связи Hei 2,23 эВ немното больше, и это обеспечивает отрыв
электрона. Сечения реаRЦИИ при Т === 400 К состаВЛЯIОТ 2 . 10 lб
2 . 10 15 см 2 . В парах ртути ассоциативная ионизация идет с уча
стием двух возбужденных атомов:
Hg (63Рl) + Hg (6ЗРо) Hgi + е,
76
причем первый находится на резонансном уровне с энерrией.
возбуждения Е; == 4,9 эВ, а второй на метастабильном с Е: ==
== 4,7 эВ. Суммарной энерrии 9,6 эВ не хватает для ИОНИ1зации
атома (1 Hg == 10,4 эВ), но вместе с энерrией связи Hgi 0,15 эВ
ее достаточно для ионизации молекулы (Iпg 2 == 9,7 эВ). Ассоциа...
тивная ионизация иноrда иrрает роль при раСПрОС1ранении волп
ионизацuи и uсnровыlx разрядов в местах, rде эле:ктронов еще
очень мало. Возбужденные атомы образуются там в результате
поrЛОlп;ения фотонов, излучаемых в уже ИОНИЗ0ванных обла
ст ях.
9 3. Объемная рекомбинация
3.1. Распад плазмы. В отсутствие поля плотность зарядов
в плазме, лишенной эле:ктроотрицательных :компонент, YMeHЬ
Jllаетсл с течением времени по за:кону
( dп e ) Н п п пе == п
dt Т === t-' е + , А ·
1 + п t t oo ..,t
IIапример, при nоэффuцuе1-lте элеnтроп uоппой реnо.мбuпацuи
===: 10 7 см 3 /с и начальной плотности плазмы п === 1010 CM 3 xapaK
терное время распада '(рек 10 3 с. I-\оэффициент рекомбинации
можно определить из опыта, измерив п е (t) и построив rрафик
п;l в зависимости от t. Наклон прямоЙ дает .
3.2. Диссоциативная рекомбинация. Она идет по схеме А:! +
е А + А *. Это наиболее быстрый механизм объемпои pe
номбинации в слаБОИОIlизоваНlIОЙ IIлазме, например в тлеющем
разряде. В этом случае rald холодный и в плазме, пак правило,
присутствуют молекулярные ионы. Выделяющаяся эперrия СВЯ
эи переходит в основном в эпсрrИIО возбуждения aTOl\Ia. Ко;)ф
фuциеllТ диссоциатuвпой реnомБUllацuи дие """ 10 7 см 3 /с, ОН
уменьшается при температурах от комнатной до неСI\ОJТЬКИХ I\И
T 1/2 с-: r
локеЛЬВПIIОВ пропорциопально е , а при \Jолре ВЫСОНIIХ oы
стрее, пропорциопалыIo т-;3/2 (рис. 4.6). Даже в слабоионизо
ванных инертных rазах и парах металлов рекомбинация идет
именно таким путе:м. Молекулярные иопы образуются из рож
дающихся при ионизации атомарных в ходе реакции nопверсиu
А + + А + А А: + А. Снорость реакции конверсии
( dN + j dt ) == kl\oHBN A + N ОТНIОДЬ не мала (табл. 4.3). Так,
А 2 НОНВ
при р 10 торр время жизни aTOMapHoro иона по ОТНОIП8НИIО 1\
J{онвеРСИИLl\онв==(kl\онвN ) 1 1() 4 с, при 100 торр 10 6 с. Если
п е 1010 CM 3 И ди(, 10 7 смЗ/с, LIЮНВ« Lдие 10 3 с. Конверсия
«MrHoBeHHo» пополняет запас молекулярных ионов, не задержи
вая диссоциативноЙ рекомбинации. В rелии дис в 10 100 ра(з
меныпе, чем в друrих rазах. Конверсия приводит и к образо...
ваНИIО сложных иоппых nомплеnсов Ot, N.i и др.
(4.13)
77
;ЗАис,10 7сrvt3Iс ...
2r f ,>t : + С
1 xf r .! о
Ц6 r I f!"X х 1
ас, Т+ I х
I t t I
ТА!
I f. .
[ / ' t.
1..
8
б
I
4
· 1
л
о J
JT re
JC
r
L
1х
. Х
.1
1
0,8
0,6
х О. L;.
,
х
0,2
о r'/... f ?
,
rl """'
f + :;
I
'1-
1
r
l.
I
б 8 J
A}"' +e
t.L tt 2
а\
D
t+
.., "1
'" ..
11 '1 Н
111 f
111 .:r
tl!'1iI
'$
;х:
...
}T==300 К
!l
JT==Te
2 2
I- 2
.1 i5
2
111
.
I-----&-i
I
...J.....,................ ...... .............. ......
I
J
1
ч
Чr т 1
IrIIl
3.3. ФотореКQмбинация. Сечения фотозахвата электронов в
реакции А + + е А + 17 U) очень малы, аф I""OJ 1 0 21 см 2 . COOTBeT
С"r 1 1 еино МдcJI п 110эффицuепт фотореnомбul-tацuи [27]
Pv === <иа. > 2,7 10 13{T( [эВ] } 3/4 см 3 /с 10 12 см 3 /с (q 14)
1 .........,... '1
I I ,.-r
, \ j -' i о l' i + е
\ I i .р!-т .J rт
\ I !Т
4 r. r !...7Л r
О 2L \ I L U! 1
D/ ; \ J CSt : т
C[J t .. с l ,J o.4 1 u J '-
. L fu> r T е ',1 1
"', L.... L... o,zL , Te,f03 к
О L 74- 0,6 f 2 ц. t..c, Ь {и r 4) v П О, L О, + tJ, (! О, 8 1 2 4- б
Рис 4 6 3dВИСИМОСТЬ l\.ОJфф'1:ЦИ:С:НТ3 диссоциативнои РСRомбинации N еТ,
Art, N 2 , ot и '::Hle1\TpOHa от температуры леК1 ронов по различным дан
ным [18]
r ,п тrиц 1 4 3 И1'lrр нчrJIР I\ОНСI(LН1Ы СН:ОРО(,Тl1 hОНl(РСИИ А+ В [";в
Тр(jI[ИЫХ СТОЛIПIОЫ'НИНХ С аТО\lа ПI А при Т 'iO() К [181
ra'3
31
R ионв , 10 СМ6/С
rаз
31
R ионв ' 10 см 6 /с
J1p
1\(\
Лr
r
()63 1,15
O,42 O,7g
1 46 з,q
19 2 7
, ,
ле
Hg
Cs
3,6
1 (Т === 700 К)
150
78
Чаще электроны захватываются на основной уровень атома с
:испусканием кванта NШ 1 в области BaKYYMHoro ультрафиолета
о
Л 1000 А. Но возможны захваты и на ВЫСОRие уровни с излу
о
чением видимоrо света, длина волны KOToporo Л 4000 7000 А.
В rазоразрядной плазме фоторекомбинация, если и важна, то
1-'
не как Rанал rиоели электронов, а KaR :механизм излучения СЕета.
3.4. Ударно"радиационная реRомбllнация в тройных Столкно"
вениях. JTOT процесс, идущий по схеме А + + е + е +-- А + е, яв
ляется основным в плотной НИ3Rотемпературпой равновесной
П. [азме, rде Т Те "-/ 104 К И концентрация молекулярных иопов
СJIИIIIНОМ мала, чтобы Iпла диссоциативпая рен омБИIIация.
JЗ TpoilIIbIX столн новеIIИЯХ ЭJТеI\ТрОНЫ захватываются иопами па
()tJОПЬ высон:пе уровни ато:ма с эперrиеii связи порядка 1fT. Ra
ТРМ возбужденный атом: постепенно деза КТII вируется удара ПI
э ТI 8НТрОН:ОВ, «спускаясь -вниз» по уровням, и, паI\онец, ИЗ lJижнеrо
поаБУ/RдеПlIоrо состояния переходит II основное путем радиациоп
H0ro перехода. Этим IзаверПlается процесс рен:омбинацип. ноэ(I)
фи ЦИСI1Т нотороЙ равен [27]
rv == 8,75 . 10 27{Te [эВ] } 9/2пc == 5,2 . 10 23{Te [103 К] } 9/2пe см 3 /с.
(1.15 )
Соrласно (4.14), (4.15) оп превышает ноэффициент фотореном
бинации, если
п е > 3,1 . 10 13 {Т е [эВ] '3,75 === 3,2 . 10 9 {Т е [103 К] }3,75 CM 3. (4.16)
!{онстапта СКОРОСТИ реномбипации в тройных СТОJТКНОПОIlИЯХ
с участием атома в начестве третьей частицы ( /N) в 10/
106 раз меньше TP/пe соrлаСIlО (1:.15). Процесс этот пе типичон
для разрядных условий и может проявиться лишь при очень
слабой ионизации и высоких давлениях.
3.5. Ион-ионная рекомбинаЦIIЯ. Она служит rлаВIIЫМ мелаппз
МОМ lIейтрализацuu зарядов в I'ar ax, rде происходит интенсивное
прилuпаl-tuе электронов с образованием отрuцательl-tыxx ионов.
ТаБЛlIна 1:1
Т == зuо К
[\О)=Р р II\IH\HTlэI 11 \ рlIОЙ ИОН ИОНIIОIt Р('({О\Ir)инап НИ llрИ
ИоНЫ
f)i' 10 7 см3/е
11
ИОНЫ
В 1 , 10 7 см'/с
Н+ H
0+ + O
N+ + o
O
02 I 2
Nt + 0;-
З,q
2,7
2,6
4,2
1,6
0+ O
I 2
о; + O
NO+ + o
NO+ + NO
2
SF+ I SF
5 I 6
2
1
4,9
5,1 1,8
() ,39
79
Для нее (dп-x/dt)r === lп+п . Если n( п , то n+ п
п /(1+ ln() t). При низких давлениях реномбинация протеJ аст
J3 парных столкновениях типа А + В+ А + В* (табл. 4.4). П po
исходит нечто вроде переJарядпu. Выделяющаяся энерrия идет
па возбуждение бывшеrо иона В. Потом возБУ)Rдение снимается
при столкновениях. При средних давлениях рекомбинация идет
в тройных столкновениях типа л + В+ + С А + в + с (теория
То:мсона, 1924 r.). Rоэфq>ицпент рекомбинации 1 === k TplV "'-' р.
НОIIстанта СRОРОСТИ рекомбинации ионов O . ()t в кислороде
k з 1.55 . 10 25 см 6 /с при р 100 торр. Для ионов NO+. N"O
н кислороде k3 3.4 . 1 o 26 с "1tI 6 j с,
В a, OTe 1,0 . 10 25 CNI 6 / с, все зпаче
п ff T даны при Т === 300 I{.
При высоких давлениях частые
столкновения ионов с молеI(У лами
r
:мешают ПРИОЛИЗIIТЬСЯ им друr н
;з;руrу, что необходимо для взаимной
нейтрализации. Ионы дреЙФУIОТ по
направлеНИIО друr R друту в поле
взаимноrо притяжения Е :::::::: e/r 2 .
1,5 6;4 р,атн Скорость сближения партнеров в
этом приближении равна
dr / d t == ( + + Jl ) е 2 / r 2 , ( 4. 1 7)
/1, {o 5CM %
2
t
0,5
0,25
0,1
0,4
Рис. 4.7. J\оэффициент иоп
HoiI рекомбинации в возду
хе в зависимости от давления:
кривая расчет, точки ЭКС
перимент 1181
тде р +, fl их подвижности. Bpe
мя сближения с расстояния r}, paB
НОТО среднему расстоянию :мrжду
ионами n rазе, можно рассматривать как время жизни, СI\ажем,
положительноrо иона по отношеНIIЮ н рекомбинации с отрица
тельным: Т рен ::::= ( 1п ) 1. Интеrрируя (4.17) и замечая, что по
определению 4лr п /3 == 1, находим формулу Ланжевена (1903 r.)
\ 4ле (J.L+ + ) p l. (4.18)
Таким образом. справеттливый при средних давлениях rH1I\OH
I "'-' Р при } ЬiСОIЛIХ смепнется па 1 p l. Максимальное значе
вие nЧ "'-' 1 O 6 см: 3 / с достиrRется при р "'-' 1 атм (рис. 4.7).
"'. Образование и раЗРУlпение отрицательных ионов
11.1. Механизмы и сечения прилипания. Некоторые атомы и
:молеJ{улыI: О, Н, 02, Н 2 О, Hg, Cs, rалоrены Cl, С1 2 и др., rа.ло
rОНСОДОрiRащиf' соединения CC1 4 , SF 6 И др. обладаIQТ сродством
элет{трону с знерrиями связи 0,5 3 эВ. П рu.лuпаJ-luе (attac11
ment) Э.I:РRтропа R атомам или молекулам является важным,
а ипоrда даже rлавным механизмом rибели электронов в элеп
ТрООТрllцатеЛЬ'UJll' rазах или rазах с элентроотрицательными дo
Gавнами. 11ри.ЛИllапие затрудняет пробой, прохождение тока, под
дерiI аIIПС ИОПИ.{овапноrо состояния. Ипоrда этим намеренно поль--
80
зуются для повышения И30ЛИ:Рj ющих свойств rа1за, для сн:орей
IITero устранения элен:тронов в счетчин:ах ядерных частиц.
В rазе И3 простых молен:ул прилипанпе идет либо в трой",
ных столкновениях, либо диссоциативным путем.
В холодном воздухе в отсутствие поля элен:троны прилипают
R моленулам нислорода в тройпых столпповепuях:
е + 02 + M O М, М == 02' N 2 , Н 2 О,
(dп,jdt)a == kMпeNo N M ,
2
ko == 2,5 .10 ЗО см 6 /с, k N == 0,16.1 о зо см 6 /с, k и 0== 14.1 0 30,CM6/c.
2 2 2
Приведенные нонстанты сн:оростей k M относятся R 1'е == т == 300 К.
Плотность электронов уменьшается по зан:ону
(dпe/dt)a == Vant, п е == n е\.р ( "at).
( 4.19)
(fL.20)
в сухом воздухе при р == 1 атм частота прилипаНИЙ'\'а === ko NЪ +
2 2
+.kN N o NN 0,9.108 c l, время жизни элентрона по OTII()IIJP
2 2 2
нию К прилипанию 1'0 \, 1 1, 1.10 8 с.
Для дuссоцuатuвпоzо прuлuпапuя н: молекулам 02, (:02, 1120,
ноторые сильно связаны, элен:троп ДОJ1жен обладать ДОВОJIЬНО
значительной энерrией. Реанции идут по схемам
е + 02 + 3,6 эВ О + o , е + С0 2 + :З,Н5 со + o ,
е + Н20 + 4,25 ОН + H , е + Н 2 О + 3,6 112 + o , (1:.21)
е + Н 2 О + 3,2 *Iq + OII
с сечениями, показанными на рис. 4.8 1.11. В ра1зрядах из за
присутствия поля имеются достаточно энерrичные электроны,
и эти процессы обычно идут быстрее, чем ПРИJIипавие в тройных
столн:новениях. llри ПОВЫIIlении температуры rаза, начиная с
температуры Т 1000 К, пороr реаRЦИЙ (4.21) понижается,
а сечение прилипания при данной энерrии элен:трона становится
больше (рис. 4.11) . Это объясняется включением в реакцию
I\олебательно возбужденных молекул, эперrия ноторых TaHiI e
расходуется на превращепие. Наличие нижней температурной
rраницы эффен:та связано с необходимостыо появления R Irазе
достаточноrо ноличества НОJlебательно возf)ужденных МОJlенул.
IЗ отличие от перечисленных молекул, потенциалы диссоциа
ЦИН моленул rалоrенов очень малы (1,5 2,5 эВ). Энерrии cpoд
TBa электрона хватает на то, чтобы происходило диссоциаТИВIIое
прилипание типа е + C12 Cl + Cl . В иоде, например, при Те ===
=== 300 К сечение прилипания а а 3,2 . 10 15 см 2 И константа CKO
рости прилипания ka V<J a 3,4 . 10 8 см 3 /с. Прилипание в трой
IIЫХ столкновениях, для KOToporo " а р2, может преВЗ0ЙТИ днс",
социативное с " а р лишь при р 100 атм.
R СЛОЖ1iЬz"м, молекулам электрон может прилипать в napпь x
столкновениях без разрушения молекулы. Выделяющаяся энерrия
6 ю. п Райзер
81
f$a, 1О 19 см 2
02+e o +
12,5
5 COz+e O +...
\
I 1 I 1"1
H20'e H + : H20+e o +...
21
J
о О
:0 /i- 8 .R
t,Эи
Рис. 4.9. Сечение диссоциативноrо ПРИлипанил в Трех возможных реакциц
с Н 2 О в зависимости от :энерrии элеВ:Трона [12]
о Ll,
4 е
8
9
U;ч
k a ,CH3;c
10 11
10 12
1
2
Рис. 4.8. Сечение диссоциатипно
ro ПРИЛипаиил в реакции с 02 И
С0 2 В заВIIСИмости от 3нерrии
JлеI\ТРона [12]
б
8
f5a,tO f8CM2
3
1,5
O
5
2 3 ч. 5 б
Рис. 4.10. КОIlстанта скорости дис
СОЦиаТИвпоrо ПРИЛипания в pe
акции с 02 В зависимости от эвер
rии электрона [12]
<)')
Рис. 4.11. Сечение диссоциативно
ro прилипания в реакции с 02 В
зависимости от энерrии электро
на при разных температурах ra
за [18]
(,ВЯ II прп этом тотчас распределяется по ее -колебательным
степеням свободы, и заI ОfТ сохранения импульса не нарушается,
I aK было бы в случае превращРния энерrии связи в кинетиче
С 1 {УЮ Поэтому Rаждый захват эчектрона в парном СТОЛRновении
всдет r образованию стабильноrо отрицателыIrоo иона У наибо
лее активных молекул CC1 4 , SF в при энерrии элеI\трона Е ==
=== 0,05 эВ а а 1,2 10 14 см 2 , причем а а 1/8 Этому COOTBeTCTBY
ет нонстанта скорости прилипания ka === 'YalN 1,6 10 7 Cl\I/C
В принципе энерrия, пыделяющаяся при прилипании, может
vноситься и фотоном, Kah при фотореhомбинации Однано сече
пия этоrо процесса очень малы, 10 21 10 23 см 2 , и В лаборатор
нои плазме он роли не иrрает То же относится и R прилипаНИIО
в троиных СТОЛRновепиях с участием электрона в качестве TpeTЬ
еи частицы (см 1 e изд, Э 8 rл 5)
4.2. Коэффициент прилипания. Подобно ионизации прилипа
ние электронов в постояпном поле ПРОllСХОДИТ на фоне их дреи
фа J( оэффuцие1tТ при flипа1tuл а === Vа/Vд, апалоrичпый а, дает чис
ло прплипаниЙ па 1 С\1: путп вrrоль потrл )J-ття диссоциаТИRпоrо
прилипанпя справедлив тот же закон подобия а pf( /p)
11 случае троипых СТОЛRповепии, :которые преобладаIОТ в очень
с [абых полях, а === p2f} (Е! р) (рис 4 12 4 15) Р а 3'lIIОЛ\('lПlе
;:>леНТРОIIОВ в лавине определяется эффеRТИВНЫ М Rоэффициептом
аJф === а а Если а < а, Ч10 бывает при Е/р меныIеe определен
Horo Jрrл даПIIоrо rаза значения, размножение вообrце певозмож
по (п 25rл 9)
4.3. Отлипание (detacl1ment) Опыт показывает что для под
держания стационарной спабоиопизоваНIIОЙ плазмы в элентроот"
рицательных rазах треБУIОТСЯ ЗНdJlитеЛЫIО меньшие -:значения
Е/р, чем для поддержания кратковременных импульсны," разря
дов Это rоворит о том, что в длительно СУJцествующих ра 1рЯ
дах панапливаIОТСЯ активные частицы, скорее Bcero возбужден
пые молеRУЛЫ, которые при столкновениях с отрицательными
иопами освобождаIОТ электроны Частота '\'d и константа снорости
hd отлипания (разрушения) определяются равенствами
(dne/dt) d === (dп /dt)d == Vdn == kdNn .
ИЗ расчета на одну аКТИВIIУIО молекулу kd 10 lO CM 3 jc
(табл 4 5) В воздухе и лазерных смеся:л С0 2 , N 2 , Не, по види
MO Y, эффеRТIIВIIО Д8ИСТВУЮТ метастаuильные молеRУЛЫ
N2(Аз t), в воздухе также молеRУЛЫ 02(bl ) (табл 24)
I{опстант kd для них, по видимому, нет, но надо попаrать, что
они имеют тот же порядок По ьосвенным данным (п 8 4 rл 10)
в разрядах из расчета на одну любую молекулу kd 10 14 CMJjC
Если k dакт 10 lO, Rонцентрации активных частиц COCTaB
ляют 10 4
Ионы o , образующиеся в лазерных смесях и воздухе, в ходе
реакций
O + С0 2 + M----+cO + М, k === 1,1.10 27 CM 6 jc ДЛЯ М == С0 2 ,
o + 02 т М ...-+ 0;- + м, k === 1 ,05 .10 30 см 6 /с для М 02, (4.22)
6* 83
а/р,СМ 1'TOPP 1
fO f
5
10 2. fJ,rojJp
o 7,5
tl 10.5
5 '
х 15..0
.. 25,0
. 44,0
L . 54,0
3
10 ...u.... 1 I I
0,05 0..1 0,5
Рис. 4.12. Ко;)ффициент прилипани:я
электронов как функция отношения
Е I р в чистом кислороде при Т == 300 К
и разных давлениях [13]
a/p,fO 3 CM 1'Topp 1
24-
5
I
I
I
I
I
I
I
16
Ее 300/5
х 300/fO
8
1
о
ар,fЗ!(см.торр)
30 '-10 БО
10 20
Рис. 4.14. Коэффициент ПРИЛllпанин
электронов как функция отношения
Е I р во влажном воздухе при разных
еодержаниях паров воды: 1 сухой
воздух, 2 150/2,5 (общее давление
150 торр, давление паров воды
2,5 торр), 3 150/5, 4 150/9, 5
150/15, 6 и 7 воздух С незначитель
ныии следами паров [13)
84
h 10 4
,
б
4
р == 10 торр
2 5
3
О ч 8 Е/р,В/(см.торр)
Рис. 4.13. Вероятность h rибеJ1:tJ
электрона вследствие ПРИJIипаlIJ{
при столкновении с молеКУJ10 J
Н 2 О в парах воды при развъ 1 $
давлениях [61
alp, 10 3 CM f TOpp f
15
10
I
/\
+
/1
/+
+
I
,
о 20
Е/р,В/(см торр)
40 50
5
30
Рис. 4.15. Коэффициент ПРИJIипанnf
электронов как функция oTRomeHnf
Е/р в СО 2 ; данные на кривой 2 по
лучены в диапазоне давлений 25......
100 торр [14]
Т а б л и ц а '1 5. Константы СRоростей раЗРУПlения отрицательных ионов
при Т == 300 К
Реаицил
Выделение
энерrИИ,
эВ
Нонстанта сиорости
Rd' 1 O lOCM3 /с
() () 02 е
() t NO + е
() j NO N0 2 Р
() j со С0 2 +
() + со" СО] е
o t 02(lДg) О,З + r *)
0;-1 02 02 1 02 Р
() N l 02 ]\Т , е
O j N ()2 1 С
O I OAIL\g) 02 +02 J е
JI 1 н Н 2 1 f\
H 02 Н 2 () (\
OII t О 1102 е
OII t Н tI 2 0 О
3.fl
5 1
1,
4
<О
О,!)
() ,43
0,4:1
1,1
0,6
3,
1 ,:23
О.Я
r),2
*) oo)e g) см rаб.1 2!i
2
2
1,6
,
I
10 3
3
2,2 1 o 8, з. 1 О 1( т НПО К)
1,8.10 6(T (100 К)
5
2
1:1
12
2
10
превращаются в более устойчивые Rомпленсы 1iласrерЬt O ,
со;. RaI{ установлено, и это существенно для лазерных разря
дов, молекулы СО, хорошо раЗРУlпаl0щие ионы o , очень плохо
разрушаIОТ иопы со;.
Заметим, что электронными уда ми отрицательные иопы не
рааРУПlаются, вернее, сечение TaRoro процесса значительно толь
Н'о при энерrиях 8 r-../ 100 эВ. Так происходит потому, что свобод
JlЫЙ электрон отталкивается отрицательным иопо:м. Фотоотрыв
(аналоr фотоионизации) в лабораТОРIJОИ плазме особой роли
не Иlrрает
э 5. Диффузионные потери зарядов
При пробое и в разрядах Низкоrо давления БОЛЬШУIО роль
обычно IIrрают потери электронов, связанные с их диффузией
н стеннам. Оттуда они уже не возвращаются: в металл уходят,
к диэлектрикам прилипают, потом рекомбинируют там с ионами.
Среднее время жизни электрона по отношению к диффузионно",
му уходу равно Lдиф Л 2 jD, rде Л длина порядка мини:м:аль
ных размеров объема, D Rоэффициент свободной, или амбипо..
лярпой. диффузии. Для простейших rеометрий величину А мож'"
ПО уточнить, решая стационарное уравнение диффузии типа
(3.44) с учетом источников ионизацпп:
Df1п e + v 1 п e === о.
Положим, что поле однородно, т. е. V (r) == const, а на стенках
85
nе == о. Получается задача на собственные значения. Решао-rся
она :м:етодом разделения переl\tIенных. Напримор, в цилиндре pa
диуса R и ДЛИНЫ L пе",-,J'J(2,4r/R)соs(пz/L); Jо функция Бсс
селя, z отсчитывается от середины осп. Стационарное рСIненпо
СУlцествует только при условии '\\ == 'Vдиф == D/Л 2 , rде
(1/Л) 2 == (2,4/R) 2 + (л/L) 2 цилиндр,
(1/Л)2==(л/R)2, Л==R/л шар, (4.23)
(1/ Л) 2 == (л/ L]) 2 + (л/ L 2 )2 + (л/ L з ) 2 параллелепипед
(L 1 2 3 ДЛИНЫ сторон). По Сl\tIЫСJIУ 'Vдиф=== т дi- Ф средняя частота
дuффузuоnnых уходов; А хараптерnая дuФФувuоnnая дЛUflа.
tIапример, в положительном столбе тлеЮlцеrо равряда в азоте
при Р == 10 торр коэффициент а:м:биполярноЙ диффузии Dd ==
== 200 см 2 / с.
Если разряд ПРОИСХОДИТ в длинноЙ трубке радиуса R == 1 см,
Л == R/2,4 == 0,42 см. Частота диффузионных уходов 'V'дпф ==
== 1,1 . 1 03 c 1. Заряды диффундируют к стенка:м: в сре;J;пе:м: .:за
время L пф == 0,9 . 10 3 с. По формуле VДИф == DjЛ 2 С Л по (4.2Э)
l\IOiHIIO оценив а ть скорость диффузионных потерь ( dne/ dt) дпф ==
== VД:Ифnе И В более сложных и нестационарных случаях. Так,
если источник равном:ерно распределен по оси ДЛИIIноrо ЦИЛИIIД
ра, время диффузии частиц н стенкам Bcero в (2,4/2) 2 == 1, './1: pa
за больше предыдущеrо.
э 6. Эмиссия электронов из твердых тел
6.1. Работа выхода. Возможность протеканпя постоянноrо TO
ка в самостоятельном разряде обеспечивается эмиссией электро
1l0в с пове рхnости waToaa. Для извлечения электрона из мрталла
необходимо Iзатратить энРрrПI0, минимальное значение I ОТОрОЙ
называется работой выхода (табл. 4.6). Она зависит от состоянпя
поверхности, ее чистоты, Iпероховатости, у монокристаллов Me
пяется от rрани к rрани в пределах 1 В. Энерrию связи ЭJIек
трона в металле е<р можно трактовать как работу e 2 j4a против
притяrивающей силы изображения e2/41 , которую нужно затра
титъ при удалении электрона с расстояния а порядка :мсжатом
Horo расстояния на бесконечность. Если имеется внешнее ВhIТЯ
rиваЮIl ее поле Е, на электрон действует суммарная сила F ==
=== e'2/4r 2 еЕ. Начиная с расстояния r Hp == (ej4E) 1/2, rде F === о,
и далыпс внеIпнее вытяrивающее воздействие превышает силу
притпл<сния к поверхности. Значит, чтобы выбраться И3 тела,
элентропу нужно преодолеть лишь расстояние r Hp и энертию при
тяжепия
Tk Tk
5 \ ( 2 ) 2
е е 3/2 1/2
F dr == L 4r 2 еЕ dr == 4а ...... е Е ·
а а
86
Работа выхода уменьшается по сравнению со случаем отсутствия
поля на
e cp == е 3 / 2 Е1/2 == 3,8 · 10 4{E [/В/см] }1/2 эВ. (4.24)
Это явление называют эффектом Шотткu (1914 r.).
6.2. Термо леRтронная эмиссия. Эта эмиссия происходит при
паrрЕ'Т эпии металла, котда неьоторые ::>лектроны приобретают
.тепловую энерrпю, достаточную для вылета из потенциальной
нмы, кановоll является для них lVIеталл. В отсутствие виеlIIиеrо
пиля вылетаЮЩИЕ электроны скапливаIОТСЯ у поверхности и 'по
лом cBoero объеМIIоrо аряда меlпаlОТ вылету друrих. Объемный
зарнд леrко устраняется неБОJIЬШИ:М вытяrиваlОЩ'им полем. Слу
Ч8IО uеспреПЯТСТВСIIпоrо вылета cOOTBeTcTRyeT ток llасыщепuл
А 4лтеk2 К ')
i T === AoDT2 e p ( eqJ/kT), о 3 == 120А/(см:- ) .
1"
В этой формуле Ричардсона ДЭIllмапа числовоЙ множитель D
учитывает отражение ЭJIеRтрона назад в металл от стенки по
тенциальноЙ ямы. Реально коэффициент Аl == AoD лежит в пре
долах 15 300 (табл. 4.6, рис. 4.16). Электроны вылетают Н1
т а б л и Ц а 4 (1 Работа выхода ДЛЯ по I,fKP rCT(-1ЛЛНЧОС1 ИХ ВОЩ{'С1 Е II по
СТОЯННdЯ тррм:оэлеК1 роннои ,)'VlИС,ИИ *)
Элемент e{J), эВ А., А/(см К) l Э<Тf'мrнт e{J), эВ А., Aj(CM К)2
с 4.7 30 170 1\10
Al 4,25 .,3 сl
Ре ч,31 60 700 W
Ni 4,5 30 50 Pt
u 4,4 60 100
4,3 60 150
2,49 60
-4 ,54 40 1 00
5,32 1 O 170
*) 3наченин (J) реномендоnаны в спраВОЧНПhе [4 ] НС! О( новании анализа измерений,
ВЬПlOлненНЫХ мноrими авторами.
. 2
JT A см 1"" Т-------
1и п
1,0
10 1
10 2
10 a
600 14С2 2200
Рис. 4.16. Зависимость плотносrи тока '1 ермоэлектронной эмиссии от темпе
ратуры для нескольких материалов [4.4]
металла со средней энеРLfией 2kT. Эффект Шоттки может сильно
влиять на термоэмиссионный ток (табл. 4.7). Термоэлектронная
эмиссия действует в дуrовых разрядах.
87
r а б л и Ц а 4.7. СЧИЖGНJfе ра(;оты выхода и тони термоэлектронной i't,
9nтоэлеJ,ТРОННОЙ 7 <\ и теrмоантоэле:КТрОflНОЙ jTA эмисспй *)
о
0,8
1,7
2,3
2,8
3,3
.6.ср, В jT' А/см 2
() 1,3.102
1,07 R,2.10 3
1,5п 5,2.101
1 ,81 1, .105
2,О1 3,О.1О 5
2,18 6,0.105
j А' А/см},
iTA' А/см 2
Е, 107 В/см
о
2.1 0 20
2,2 .10 4
1,3. 100
1 ,3.102
4,7.103
о
1,2.104
1,0.105
2,1.101
0,8.106
2 , 1 . 106
*) в расчетах принято: Т === 3000 К, ер === 4 В, А 1 == 80 А/(см 2 .К2), BF == 7 эВ.
6.3. Автоэлектронная эмиссия. Вытяrивающее электроны поле
превращает потенциальную яму в потенциальный барьер конеч
ной ширины (рис. 4.17 а), и это дает электрону возможность
выйти из ХОЛОДIlоrо металла путем туннельноrо эффекта. Это
s
е
о
Термо
х
Терма
с зфф. ШоттК{f
ТврмоаОто
Адто
с эфф.
ШоттkU
4
1
о
3
2
а
Рис. 4.17. Потенциальная зверrия ::>лектрона при llаЛОiRРНИИ на метаJIJI
впешнеrо поля: а без учета силы И10браiI\еНИiI: б с учеl0:\tI силы изо
бражения; схема ИЛЛIострирует нвления anTO и термоавто.)леJ ТРОППОЙ
JМИССИЙ
явление называется автоэлектроnnой эмиссией. Ток эмиссии да--
ется формулой Фаулера Нордrейма (1928 r.) ; в числеННОl\I виде:
= С . 2 . 1 () 6 (в р/ср)1/2 Е 2 ( 6,85.10 7 (p3/2 ) А/ 2
jл ), + ехр l' C I. ( .25)
E F
Здесь Ер [В] rраничная энерlrиЯ ФеР:МII, ер [В] не возмущен
ная полем работа выхода, ( cp/cp) поправочныи Rоэффициент,
учитывающий ее снижение; Е [В/с\м]. Ниже )дан поправочный
множитеJJЬ н формуле фауJIера.......... Нордrеiiма, учитывающий сни"
жепие работы выхода [4]:
L\(f/CP О 0,2 0,3 0,4 0,5 О,О 0,7 0,8 О, 9 1
1 О,Н5 0,9 0,85 0,78 0,70 0,60 0,50 0,34 О
Реально заметный ток получается при полях Е 106 В/си, В де...
88
СЯТRИ раз меньших, чем это следует из (4.25) и табл. 4.7. При....
чина в резком усилении приложенноrо поля около МИКрОСRО"
пичеСRИХ выступов, всеrда присутствующих на поверхности ме...
талла (п. 6.1 rл. 14). Автоэлектронная эмиссия обуславливает
пробой вакуумных промеЖУТRОВ.
6.4. ТерМО8втоэлеRТрОНН8Я эмиссия. Rоrда у наrретой поверх-
пости металла имеется сильное вытяtТивающее поле, оба факто...
ра высокая температура и поле оказывают влияние на выI''
.;reT электронов, причем дело не оrраничивается механизмами,
рассмотренными выше. На рис. 4.17 б все возможные энерrети",
ческие состояния электрона в металле разбиты на 'четыре rруп...
пы. При Т == О электроны занимают состояния 1 с Е Ер. При
l' > О заПОЛНJ1ЮТСЯ все четыре rруппы, хотя число электронов
быстро падает по мере превышения Е над Ер. Электроны rруп...
пы 1 испытывают автоэлектронную эмиссию, как и при Т == о.
Электроны rруппы 4 вылетали бы путем термоэлеRТРОННОЙ эмис
сии даже в отсутствие поля. Электроны rруппы 3 за счет тепло...
пой энеРlrИИ перепрыrивают через барьер, ПОНИЗИВIIIИЙСЯ в ре...
,Jультате действия поля. Что же касается элеI\ТРОНОВ rруппы 2,
rущеСТВУIОIЦИХ то:тько при паrревании, то они имеют поВышен....
ную, по сраннеНИIО с электронами rруппы 1, вероятность про...
никнуть туннельным эффеI\ТОМ через барьер, который для них
же и ниже.
ВЫ,1:ет этих элен тронов и дает ток термоавтоэлеКТРОliltой эмис
('ии [ ]. ТIросты:ми формулами он не выражается. Величины
!тл, представлеllНЫ(З в табл. 4.7, Иlзвлечены из результатов чис
,"'rеннь]х расчетов [4, 5, 8], сделанных на ЭВМ дЛЯ каТОДIIоrо
пятна дуrи. Тfри T==; OOO К и Е#>О,8 .107 В/см преобладает
термоавтоэлектронтrая :)МIIССИЯ, причем тем сильнее, чем ООЛЫIIС
ноле. IIри Е < 0,5 . 107 В/см вылетают в основном элеRТрОIlЫ
rруппы 3, что описывается формулой Ричардсона ДЭIIlМ:lпа
уч 1 UM эффекта ШОТТRИ.
6.5. Вторичная миссия. Она происходит под действием по
.тIОЖИТ8ЛЬНЫХ понов, возбужденных атомов, электронов, а таRже
(ротонов. Вторичная эмиссия с холодltО20 катода обеспечивает
Hpo(o T ра.зрядпых промеЖУТ1\ОВ и протекание неболыних посто
ннных ТОКОЕ, которые не в состоянии сильно раЗОlrреть катод,
а танже привестп н возникновению настоль-ко вьтсокоrо поля
у катода, чтобы вызвать термоавтоэлектронную эмиссию.
ВажнеЙIIIИМ из вторичных механизмов является UОllllо элеw
ТрОltная эмиссия. О»а характеризуется коэффициепто:м: 11 чис
лом эмиттированных электронов из расчета на один падающиЙ
ПОЛОjRитеЛЬНЫII ИОН. Небольшая кинетическая энерrия, которую
ноны приобретают в разрядах, не эффективна в отношении BЫ
рывания электронов. Основным является потеltциалыlеe выpывa
llue (Пеннинr, 1928 r.). Приближаясь к поверхности на расстоя
пие атомных размеров, иоп своим полем трансформирует побли
зости потенциальную яму и потенциальный барьер (рис. 4.18).
Барьер получается низким и узким, ибо поле orpOMHoe, по
89
рЯДRа внутриатомноrо. Электрон И3 металла туннельным эффеI{
том немедленно переходит R иону И нейтрализует ero. Если Bы
деляющаяся при этом энерrия 1 еср превышает е<р, она может
IIОIIТИ на вырывание BToporo (эмпссионноrо) электрона. Для чи
стых поверхностеЙ действует эмпирическая формула "(
0.016{(I 2ecp) [эВ]} (с потрешностью порядка 500/0). Тан,
а
(f)
rJ
<t>
Рис. 4 18 Схема взаимодейст
вил электрона с металлом II
ионом, иллюстрирующая Про
цесс потенциальноrо Bыыыa
НИfI: а элентрон из метаЛла
,..,
переходит на Бозоужденвый
уро:зень атома; б атом пере
ходит в основное СОС10ЛНI1:е
,
а выделяющался энерrил Пе
редается 2 MY электрону Ме..
талла
для W и Не+ 11 0,21, для Ne+ 0,30, Ar+ 0,09, Хе+ О 02
причем вплоть до энер.rий ионов 81 "'" 1 кэЕ 11 мало зависит' о;
Б [4.4]. Для платины и ионов tI+, Ht 1' 3. 1 (J-- З , дЛЯ N+, :к:t..........
5.10 3, 0+, 0: 5.10 4 при Б 0 10 эВ [6].
I I I I l
f' t /lrl
\ ......... Но
". .........., I
/ ' T I
f I'J Eg W Pd '""'\sh 1
Cd I
Afi./
Лg
I
1
У»
(o '!
(o 2
10 б
10 Ч
10 5 P"t
(o 6
10 7
5
Рис -119 I-iОlффициент фОТО )леRТРОННОП эмиссии (квантовыЙ вы
pd ЛlIЧIIЫ'" металлов в .Jав:иrИ'10СТИ от Jнерrии фотонов [26] :Ход) Па
ОЧ('III) аффективны м:етастаuильные атомы инертных
ДJIН Нр (2 J S) И Pt коэффициент 1т 0,24, для Не (218) и Pt rазо:в.
r\r* И Cs O,1i [4.4]. Разность энерrий E* ecp ПО"'!Учае .......... 0,4,
бождеПIlЫЙ ЭJI()(\ТРОII. ДЛЯ Hg* и Ni I\Оэффициент 1", 10 2 ОСпа.
90
Фотоэффек,т с поверхности при пю > еср характеризуется
/i;ea1-tтоеыlM выходом числом электронов на один фОТОН 1
(рис. 4.19). Для света в видимой и ближней ультрафиолетовой
о{)ластях спектра коэффициент фотоэлектронной эмиссии "{V
10 3, для дальнеrо ультрафиолета "{V 10 2 10 1. В первых
двух областях 1v очень чувствителен к состоянию и чистоте по
I)ерхности и сильно снижается отражением. При пробое фото
;JМИССИЯ часто иrрает определяющую роль. При пробое вакуума'
высокочастотными полями существенна вторичная элепТРОНllая
,... ....
3с1 tиссия колеолющиися электрон поочередно ударя т то в одну,
1О В друrую стенку. Для разных металлов коэффициенты BTO
ричной эмиссии 1е 0,4 1,6 при Ее до нескольких килоэлектроп
вольт [4.4J. Электроны выбиваIОТСЯ и с поверхности диэлектри
r OB. Для стекла, кварца "{ е 1 3, максимальные значения л е...
жат при Ее 300 400 эВ. При Ее < 40 60 эВ "{е < 1 [7]. Па
дающие электроны к диэлеI\ТРИI{У прилипают, так что при "{е < 1
поверхность заrЯII{ается отрицательно, при "(е > 1 положи...
тельно.
s 7. Размножение зарядов в rазе через вторичную эмиссию
7.1. Влияние вторичной эмиссии на усиление топа первичных
злептронов. Верне:мся к опыту по измерению иопизаЦИОIIноrо
l оэффициента а (п. 1.4). Если с катода выходит фототок io ==
еКо, то в отсутствие вторичной э:миссии на анод поступает
ток l === loexp(ad). ВышеДlпиiI с катода лектрон рождает в про
Iежутне ехр {ad) 1 положительны опов, и все они прихонят
па катод. В стационарном состоянии и на катоде ток равен io +
+ io [ехр (ad) 1] === i. Зависимость ln i от (1 при Р, Е == const яв
.'lяется линеЙнои. IIри ПОВЬПllепии Е или d размножение быстро
возраСТQет и на значении TOI{a начинает сказываться вторичная
1\IИССИЛ электронов с катода. Пусть это будет иоппо элеКТРОIIная
;)миссия. Каждый из ехр (ad) 1 ионов, рожденных ОТ ОJЦlоrо
электрона, вылетевшеrо с катода, попадая на катод, вырывает 11
э ектропов, и этот ток вторичиы У электронов добаЕЛЯЭТСР к TO
I\j lo первичных ОТ внешнеrо ИСТОЧНИ:hft. Суммарный электронный
ток i 1 с катода определяется из уравненин i 1 === io + 1 Jl [ехр (ad)
1]. На анод и во внешнюю цепь поступает ток (индекс у 11
['пустим)
i == i 1 e ad == ioe ad / [1 "( ( e ad 1) ] .
( 4.26)
Формула подобноrо типа была впервые выведена Таунсендом
(1902 r.) для объяснения процесса зажиzа1-tия са:мостоятеЛЬ1-tоzо
разряда. Блаrодаря вторичной эмиссии, ln i после участка линей
Horo нарастания с увеличением d резко устремляется вверх
(рис. 4.20). Это ПРОИСХОДIIТ, коrда знаменатель (4.26), не отли
чающийся от единицы при небольших коэффициентах усиления
ad, по мере роста ad приближается к нулю. Обращение знаме
нателя в нуль знаменует осуществление пробоя и зажиrание
91
самостоятельноrо разряда: формально «l == О/О == const» при lO ==
=== О ( 2 rл 9) Достичь этоrо на опыте можно, ПОВЫlпая Ha
пряжение на электродах Чтобы следовать вдоль определенной
нривой Е ---== const на рис 4 20, ИуrRНО наращивать V и d OДHO
временно и пропорционально Анализируя такой rрафик с по
МОЩЬЮ формулы (4 26) и известноrо значения а, найденноrо по
нанлону линейноrо участка кривой, можно определить число "( *).
7.2. ФОТОЗ:МИССИЯ и зф..
A Ф
E/ = 38 n/(СН торр) еRТИВIIЫЙ коэффициент 1.
В условиях разряда холод
45 441:3 J2 J У1!"чо ный катод может Э\IИТТИрО
W / /' / ' вать электроны под дейстьи
'/ ем всех возможных areHToB,
(5 ' б 0/ / И установить, какой И1 них
I является rлаВIiЫМ в каждом
I
I " //// /// ноннретном случа , далено
fo f2 I I /:/ // d,CM не всеrда оказываетсп воз
t 2 3 Lf можпым ПОЭТО\1:У обычно
пользуются некоторым эф
(IJен:тивным коэффициентом
RТUРИЧНОИ Э'1ИССИИ "{, pac
считанным на один ион Он
характеризует весь сложный
процесс в целом, в отличие от тех характеристик элементарных
актов "(1' 1v И дру;rих, которые находят, бомбардируя МИПIени
пучками частиц и фотонов определенной энерrии
Пусть на пути в 1 см вд ль поля электрон СО1дает столько
возбужденных атомов, что в результате высвечивания появляется
CX v фотонов, способных вызвать ЭМИССИIО Полное число тан:их
фотонов, рожденных в конечном счете от одноrо вышедшеrо С
:катода электрона, равно
d
J /"x av dx а; (e ad 1).
о
10 9
10 10
fo tf
Рис 4 20 Влияние вторичной элект
РОННОII эмиссии на усиление тока в
разрядном промежутке длинам d (воз
дух, р === 200 торр) [14 1]
ЕСJIИ кванты слабо поrпощаIОТСЯ в rазе, что случается при He
больших давлениях, и средняя вероятность ПОПdдания их на
:катод, то число вторичных электронов, э:митт:ироваппых с катода
нз расчета па один первичный, составляет (1vav/a) [елр(аd) 1].
l обавляя эту величину к "{1[exp(ad) 1], обязанную положи
*) с 1'-i r <1) псепд Д) \f<1Л, чrо tl""ОРИЧНЫМ пrоцf'ССОМ f..оторый обеспе
ЧИР..1еl по 3МОi{\НОСТЬ пере"' ода несам( Сl0лтеJIьноrо разряда с ЭRспоненциаль
ным ус 11 JI ( Н IH М фОТОТОhа 70 в са \lОСТОНТt ЛЬНЫИ, является ионизация aTO
мов r( )(1 у (1 p(lM И ПОЛОiкительных ионов В теории наряду с сх фиrурировал
второ 1 ИОII 11 (H'I10HHЫ f ко )ффицисн r для ионов ВIJосле,r:rствии мноrочис
леНРЫМt1 Оllыrд.МИ БЫJIО доказано, чrо н:онизация rаза ионамч: в разряде He
B(JJYO)H.II(I (но н[)ичине ука:JаНПОI1 -в иаqа ТIe п 2 2) О r «СХ, » перешли и
«сх, "( » теории
92
тельным ионам, получим ту же формулу (4.26) с эффеНТИВRЫМ
коэффициентом
'у == 'у t + "{ vsav}a.
( 4.27)
Анало['ичным путем можно добавить к "{ Вклад метастабильных
атомов.
7.3. Результаты измерений 1. Положительные ионы Или фо-
тоны? Результаты определения эффеКтивноrо коэФФициента "(.
методом, изложенным в п. 7.1, собраны в [6, 21] и ИЛЛюстриру
ются рис. 4.21 и табл. 4.8. Интерпретировать их нелеrко. Метод
0,01
0,08
0,04
7
-::
а
о
Си
Ar
0,1
0,1
"
,
"
о П-Z
,:.JV
, ""
, ....
\
'\ '....
, ..... ....
:\ ' ....
10
0,01
,
:\
,
,
,
" .... ... f е
(1,005
1 700 10
100
30
100
300
о
400
Рис. 4.21. Зависимость коэффициента ИОННО IЛ('ктронной эмиссии от OTHO
шения Е/р, определенная из разрядноrо эксперимента (п. 4.1): а медн .
катод в инертных rазах; -6 раЗЛичные металлы в Ar; в........... раЗЛИЧНые ЬПJ
таЛJIЫ в N z [6] Ме..
не ПОзволяет отделить раЗличные механизмы. RОЭФФИЦиеnт
нереrулярным образом зависит от Ejp, весьма ЧУВСТВителеn
СОСтоянию поверхности катода. В РЯДе случаев "( СОвпадает по
порядку величины со значениями "(" полученными в опытах n
бомбардировке мишеней ИОнными пучками. "Указание па ),{exa
93
Иизм эмиссии удается получить, исследуя на опыте нестацио--
нарный процесс появления вторичных, третичных и т. д. элеR
тронов (вернее лавин) после выхода первичных, посн:ольку
времена прихода на катод ионов и фотонов существенно раз
личны (п. 1.2 rл. 14).
Из совокупности данных можно сделать следующие ориенти
ровочные заключения. При pd /'-/ 1 10 см торр, для которых
:ларактерны большие значения Е/р 100 200 В! (см. торр), по
видимому, преобладает ионно электронная эмиосия с "( 10 1
10 3. Так бывает при пробое разреженных ra30B и в катодном
т а б JI II ][ а 4 S
ff rРННЫХ и ВЫСОRИ Х
) -р )0 r Iндые }-\')эфrpfIIl 1 /fенты RТОРИЧНОЙ 'Э\IИССИИ при
q r Н rях n РJядт{а JT lcJcmepHoro *)
Условия в r:1ЗР
Таз
Состояние
Натод Поверх Е/р
ности В!(СМ.ТОРР)
pd,
(''\1 1 орр
v
Механизм
ВО3Дул l PPtJ1 { зq 45 8 10 a 1,5 10 4
:N 2 l' 1 f)L..ЧП\ зq 1:t; 1 3 10 4 3 7 10 1
, ,
N 2 ('11 ()Ч 1 Н1( ....р 1 S 10 6 I1LJIIЫ
N) (и OhllCJI { J >1 () 3 ионы
02 ..... ] 35,4 45 10 2
02 CIl ОЧ ;П ........1 j) 7
02 ('tl оч. ТС' ')1) 10 I 1 Н l
,
Н 2 NI 0(1 1 If 20,3 25,1 d 2 j ) ') I ( ) ()1UНЫ
--' .l
Н 2 Сп ОЧИlJ SU '"'" 1 U 6 t \НОНЫ
Н 2 Сп ОКН(' .,rT 50 ;j 10 5 фа L ОНЫ
орrапика:
спирт, метан, /'-/ О 9
метилаль
*) ссыIни В [7 ]
слое тлеющеrо разряда. В инертных rазах n случае чистото
(отожженноrо) I атода 1 11 И при высоких даВJfениях. Ц r J пе
очищеннои поверХIlОСТII значения "(1 реиКО YMeI ыI ютс}1 Jll на
первый план часто выступает фОТОЭМИССIIЯ При давлеЬ.JIЯХ по
рядка атмосферпоrо и отношениял Е/ р '"'" 0 40 В (см торр),
хараК1ерных для пробоя плотных rазов, в большинство rазов,
за исключением инертных, действует фотоэмиссия ВОЗ l!)ЖНО.
вторичные элеI{ТРОНЫ появляются блаrодаря фотопроцесса 1 в ca
м:ом Irазе (п. 1.3 rл. 14). Данные по "{ несовершенны и часто
противоречивы. Однако неуверенность, :которую обычно прихо
дится испытывать, коrда нужно выбра ь "( для расчета или aHa
лиза ЭI сперимента, с:мяrчается тем обстоятельством, что '[ обыч--
но входит R формулы ТОЛЬRО под знаком лота рифма (п. 2.4 rл. 9,
п 4 2 1 Т 1 О) Ll() це Bcero полаrают "( /'-/ 10 1..........10 2.
94
r л а в а 5. В3АИlVIОДЕИСТВИЕ ЭJIЕКТРОНОВ
ИОНИЗОВАН110rо r АЗА
с ПЕРЕ IЕIIНЫl\Ill ЗЛЕКТР:И'ЧЕСНIIМИ ПОЛЯМИ
и ЭЛЕRТРОl\IАrнитными ИЗЛУЧЕНИЯМИ
э 1. Колебания электронов в осциллирующем поле
и уравненпя электродина1\IИКИ, и уравнение движении злеR
трона линейны относительно полей Е, Н и скорости электрона У.
ПОЭТОМУ дЛЯ них справедлив nринциn суnерnозuцuu. Поскольку
любое периодическое поле можно представить в виде совокуп
ности еаРМОNuчесJti,UХ компонент, достаточно рассмотреть CUftlj
соидаЛЬNое, тем более, что на практи:ке чаще Bcero имеют дело
именно с МОNохроматuчеспuмu полями и волнами. Для нереля
ТИВIIСТСКИХ движений маrнитная сила волны е (и/ С) Н rораздо
меньше электрической еЕ. Кроме Toro, в разрядных процессах
амплитуда колебаний электронов обычно мала по сравнеНИIО с
длиной волны л. ПОЭТОМУ будем считать, что на электрон B03
действует однородное в пространстве электрическое поле Е
=== Ео sin w t с Ео === const.
1.1. Свободные колебания. Допустим, что электрон не испы...
тывает СТОЛI{новений. Это имеет смысл, еСЛlI частота колебаниЙ
столь высока или столкновения столь реДI{И, что за время мел{ду
СТОЛRновеНJIЯМ:И электрон успевает совершить MHoro ОСЦИЛЛЯЦИlf,
w V m . Проинтеrрируем уравнение беССТОЛRНОВIIтельпоrо ДIНIFКС
ния
.
mv === eEo sin rot, r === v,
Боторое и:меет решение
еЕ
v === .........Q с о S (J) t + v о ,
,пш
11 .
еЕ о .
r === Sln wt + vot.
тш
(5.1)
Электрон осциллирует с частотой поля на фоне поступатель
Horo движения с произвольной СКОРОСТЬ!а vo. Амплитуды смеще
ния и колебательной скорости равны
а === еЕ о /тш 2 , U == еЕо/тro. (5. )
Смещение находится в фазе с поле:м:, а СI{ОРОСТЬ сдвинута по
фазе на л/2. ПредеЛliНЫИ случай «бесстолкновительных» Rолеба
ний приближенно реализуется на оптических частотах, а также
в СВЧ диапазоне при низких давлениях р 10 торр.
1.2. Влияние столкновений. Столкновения нарушают cTporo
rармонический режим hолебаний электрона, «сбивая» их фазу.
РеЗI{ое изменение направления движения при рассеянии мешает
электрону приобрести полный размах смещений (5.2), KOTOpbIii
может вызвать приложенная сила, так как после Rаждоrо столн.
новения электрон начинает раскачиваться как бы заново: с HO
вой фазой, под новым уrлом по отношению к MrHoBeHHoMY Ha
правлению скорости. Чтобы учеСТI.. TO обстоятельство, включим
95
в уравнение движения «среднеrо» электрона эффективную CK
рость потери импульса, связанную с действием столкновении.
Как и в случае постоянноrо поля (п. 1.1 rл. 3), запишем урав'"
ненио для средней скорости
.
mv еЕо sin (f)t тVV т , r == v.
Реlпепие этих уравнений имеет вид
(5.3 )
V==
еЕ
о cos ((f)t + ер),
пl 1/ ш 2 V
'V m
ер === arctg ro'
еЕ
r == о sin (wt + ер).
тш V (f)2 + 'V
Амплитуды смещения и скорости электрона в V 1 + V / ro 2 раз
меньше, чем для свободных.. колебаний. Они тем меньше, чем
больше эффективная частота столкновений V m (последняя опре
деляется скоростью хаотическоrо движения, которая в разрядах:
rораздо больше колебательной; СМ. 9 2). Смещение сдвинуто по
фазе относительно поля. ФазовыЙ сдвиr возрастает от О до л/2
при возрастании относительной роли столкновенпl}: 'Vm/(f) от О
до 00.
Колебательные смещение и скорость (5.4) всеrда можно пррд
ставить в виде двух составляющих, одна из Боrорых пропорцио
нальна самому полю Е == Ео sin (f)t, а друrая скорости eI'o И.l
менения Е == roЕо cos (f)t:
(5.4)
еЕ о . v m еЕ"
r == ( 2 ') ) sш wt + (2 ) COS (J)t,
т w + "';n (J) т w + V
шеЕ о vmeE{) .
V == ( 2 ') ) COS(f)t ( ) 2 ) SLn(ot.
т (() +V т W""+v т
(5.5)
Соотношение составляющих определяется относительноЙ
ролью столкновениЙ и однозначно связано с фазовым СДlJпrом ер.
Эта форма записи решения придаст большую наrлядность p'J
зультатам последующих параrрафов.
Из выражениЙ (5.4), (5.5) видно, что роль столкновений
характеризуется соотношением между эффективной частотой v п
и круrовой частотоЙ поля ro == 2лf, которая почти на порядок
больше собственно частоты f *). в пределе 'V ы2 СОотношенил
(5.4), (5.5) приближаются к формулам (5.1) для свободны'\:
кол:баний. Для иллюстрации чисел припедем ПрИl\iер, оrнося
щиися К этому случаю: СВЧ излучение частоты f 3 l rц;
*) При выяснении степени пространственной «однородности» поля
элекзромаrнитпои волны амплитуду смещения следует сопоставлять не е
длин(;и волны Л == C/j, а с IIJ == л/(2л): а/А -=== еЕ о /(тш 2 J:...) === и/с.
96
л == 10 см, (J) === 1,9 1010 c l Пусть Р === 1 торр, ТО1'да " т
3 109 C l ш; Ео == 500 В/см, что примерно соответстиуеr
ПОРО1'ам СВЧ пробоя при таких давлениях По формулам (5 2)
а == 2,5 10 3 см, и === 4,7 107 см/с Видно, что а л == 1,6 см, т. е.
поле в электрома1'НИТНОЙ волне «однородно»
1.3. Дрейфовые колебания. В пределе очень частых СТОЛRПOW
вений или относительно небольших частот поля, ,,:п» ш 2 , коло
бательная скорость становится равной
еЕ о еЕ (t)
V Sln (J)t == == f.!eE (t) == V д (t). (5 6)
mV m mV m
СЕОрОСТЬ Rолебательно1'О движения в наiНДЫЙ :м:омент времени
совпадает со скоростью дрейфа, соответствующей вектору поли
в этот момент Такие колебания электрона в режиме ПОДВIIМНО
сти для краткости будем называть дрейфовыми Электрон ведет
себя так же, как в постоянном поле, оп «следит» за e1'o относи
тел:ьно медленной эволюцией Колебательное смещение электрон(}
r А cos wt, А == eE'J/тvт(J) == f.1eEo/ (J) (5 7)
имеет амплитуду А, которая в "т/ш 1 раз меньше аМ:ПЛПТУДJJI
свободных колебаний в том же поле
Колебания электронов имеют дрейфовый xapahTep в BЫCOKO
частотном диапазоне полей (и, разумеется, при более НIIЗI И\.
частотах) Так, например, при f 10 мrц частота столкновениЙ
" т 3 10 9 р c l превышает w 108 c l, начиная с весьма НИJ
НИ\. давлений р 0,03 торр Для поддержания слаБОИ:ОНIIзовап
нои плазмы невысокоrо давления ВЧ полем обычно треБУIОТСЛ
значения Ео/р TaKoro же порядка, как и Е/р в ПОСТОЯПНОl\I поле
Значит, при f 10 мrц 11 Eolp 10 В/(см торр) А 0,1 см He
заВlIСИМО от давления.
2. Энерrия электронов
2.1. БесстолкновителыIеe движение. В отсутствие столкнове...
нии поле в среднем по времени работы над электроном не co
вершает соrласно (5 1)
< eEv) == (еЕ /тш) (Slll wt cos U)t) еЕо v о (Slll wf) == о
Электрическая сила ЛIJШЬ однажды, в стадии включения,
раСhачивает электрон, после че1'О энерrия электрона ти'2/2 ПУЛL
сирует, в среднем оставаясь неизменной Средняя по Bpe"\ieHII
энерrия <ти'2/2> складывается из энер1'ИИ поступательно1'О ДBII
жения ти /2. которая соответствует средней СhОрОСТИ Vo == <v(t) >,
и Rолебательной. Последняя для свободных колебаний равна
Е св hОЛ == е2Е /4тш2 == тu 2 j4. (5 Е)
В примере, приведенном в конце п 1 2, f == 3 rrц, Ео =----
== 500 В/с, энерrия колебаниЙ 8 св кол == 0,31 эВ Она существенно
7 10 П Райзср
97
меньше тех средних энерrий хаотичеСRоrо движения 8 "'" 1 1 О эВ,
:которые нужны для поддержания разрядов. Итак, :котда Her
столкновений, нет диссипации энерrии поля, нет выделения энер
rи:и в веществе.
2.2. Приобретение энерrИl1 от поля. СистематичеСRая пере
дача энерrии электронам, сопровождаемая диссипацией ЭJlерzuи
поля, осуществляется блаrодаря актам рассеяния эле:hТРОНОВф
Соrласно (5.5) средняя за период колебаний ежесекундная ра
бота поля над электрон м
2 E t)
е ..
< eEv) == о "т == EEVт
2т ( (о.. + " )
(5.9)
определяется той составляющеii БолебатеЛЬНОll скорости, KOTO
рая осциллирует в фазе с ИЗ);Iенением поля II пропорционаЛh
на "т. Слаrаемое, сдвинутое по фазе на л/2, вклада в работу n
среднем за период не дает. Постоянное (хаотичеСI{ое) ДВIIже
ние также. В одном эффективном: столкновении элеI\ТРОН при
обретает в среднем: энерrию ёE, которая вдвое больше средней
Rинетической энерrии :колебательноrо движения:
е 2 Е 2 ') /ти2
Д8Е 0== 2т (wl; V ) == "" ,,""""2/ == 28 мл . (5.10)
Этот результат можно интерпретировать сп:еДУЮЩИl\I обраЗОl\f.
В про:м:ежутке между столкновениям:и электрон под денствием
электрическоЙ силы приобретает некую кинетическую энерrию,
в среднем порядка 8 кол . Если за период l\Iежду столкновениями
электрон успевает совершить мното колебаниЙ, то это величина
порядка энерrии свободных :колебаний (5.8). в акте упрутото
рассеЯНIIЯ атомом электрон реЗRО меняет направление CBoero
движения без изменения абсолютноrо значения скорости и энер
ТИН. После этоrо поле начинает раскачивать элентрон в ново?\{
по отношенпю к скорости направлении, т. е. KaI{ бы заново сооб
щает ему энерrию порядка 8 h01 . Таким образо:м:, в ка}кдом акте
рассеяния порция энерrии, в среднем приобретенной от поля с
MOlVleHTa предыдущеrо столкновения, переходит в энерr:ию посту
пательноrо, :хаотичеСI{оrо движения. Ма:кроскопическп работа
поля затрачивается на преодо;rенпе силы трения, вызванной
столкновениями электрона. Все происходит так же, как п в по
стоянно:м поле (п. 3.2 rл. 3), ТО.IЬКО роль энерrии ;::t;pellcpa BЫ
полняет энерrия колебаний.
2.3. БалаIIС энерrии электрона. Этот. баланс складывается И3
приобретения энерrии от поля II передачи ее тяжелым частицам
в результате упруrих и неупруrих потерь. Если при БаЖДОl\i к
столкновении электрон теряет ДОЛЮ {j от своеЙ энерrпи 8. то
de [ е2Е2 J
dt == (МЕ б8) V m == (2 2 ) б8 V m ,
т (() +v т
(5.11)
98
{'де вместо амплитуды Ео введено средпепвадратичпое поле Е,
ноторое определяется равенством Е2 == (Е2 (t) === E /2. При ш2
" уравнение (5.11) превращается в (3.12). Роль постояв...
Horo поля в пределе (() о выполняет среднеквадратичное
поле Е.
2.4. Средняя установившаяся энерrия. В стационарных уело....
виях, :коrда электроны отдают всю ту энерrию, которую получа
ют от поля, у ни\. устанавливается средняя энерrия
8 === fЕjб == 28 КО :I'б === е 2 Е2jтб (ш2 + " ). (5.12)
Поля НIIЗКИ\. частот ш2« '\;1, не отлпчаIОТСЯ от постоянноr()
(9 3 ТЛ. 3); имеется подобие € === f (Е/р). На больших частотах,
(й2 :?> \;n' средняя энерrия элеI{ТРОНОВ не зависит от '\'т, р 11 BЫ
полняется закон подобия по частоте поля: 8" === 11 (Е I u) ). Если
{j === const, "'-' (Е! ш) 'l. В ЭКВIIвалентных ситуациях Е "'-' ш. IIмеп
но по этой причине для пробоя rаза па оптических частота
(() "'-' 1 О 15 c 1 треБУIОТСЯ оrромные поля н световои волне Е "'-'
"'-' 107 В/см:, которые реализуются только при фокусировке rи
rантскп лазерны\. импульсов (9 6 rл. 9). Beдь, чтобы раJвива
лась электронная лавина, энсрrИII электронов и 8 ДОЛ,I\ПЫ БЫ1 Ь
порядка 1 "'-' 10 эВ.
2.5. IIстинные изменения знерrии ЭJlеRтрона при СТОЛRнове..
ниях. В этом отношении ситуация в переменном поле также
аналоrпчпа тому, что ПрОIIСХОДИТ В постоянном (п. 3.3 rл. 3).
в отдельныIx столкновения"\. ЭJlектрон может Kal ПрIIобротаrь
энерrИIО от поля, так и отдаватt ее полю, причем ПОрЦИЯМlr,
которые значительно превышают средний по MIIOrI1M столкнов
ниям прпрост 8E. Приобретет электрон энерrию или потеря f,
заВИСIIТ от соотношения между направлениями ДfНIJI\еПIlЯ и полн
и от фазы колебаний поля в момент столкновения. Этот фаl r
имеет прпнципиальное значение. В нем заКЛlочен классическиIi
аналоr таПIIХ, Rазалось бы, чпсто квантоныл. явлениЙ, как иCTи!'
ное пО2лощепие II выnужде71ное ucпYCri,aпue фОТО710в (т. с. испу
сканпе, стимулированное прпсутстви:ем внешпеrо поля той a c
частот ы; см. 9 9).
Пояснпм сказанное, ВЫЧIIСЛИВ прямым: путем изменение энер
rии электрона в результате СТОЛRновения. Пусть электрон IIСПЫ
тал поrледнее (эффективное) столкновение в момент tl п сразу
после рассеяния обладал скоростью Vl и энерrпеЙ ё 1 == mvi/2.
Поскольку в результате «эффективных» столкновениii, ПрОIIСХО
дящи\.. с частотой " т , скорость :каждый раз приобретает совер
тенно произвольное направление, Е 1 есть энерrпя хаотичеСI{О['О
движения в момент столкновения t1. В период t2 t t 1 вплоть
до мо:мента t2 следующеrо ст()лкновения электрон движется под
действпем силы eEo sin u)t со СI\ОрОСТЬЮ
v(t) === u(cos u)t cos u)t 1 )+ Vl, u == eEojтw.
7* 99
Ero энерrия 8 === ти 2 /2 в Rаждый момент этоrо периода равна
e(t) == (т/2) [vi + 2v 1 u(cosU)t COSffit 1 ) +
+ и 2 (cos 2 ffit .......... 2 cos ffit cos U)t 1 + cos 2 U)l1)].
в момент снорость снова приобретает произвольное направле
ние, но вместе с энерrией практически не меняется по величпне.
Новое движение электрон начнет с энерrией 8 (t 2 ), RОТОрУЮ, haK
и 81, следует рассматривать :как энерrию лаотическоrо ДВIIЖС
ния. Значит, изм:енение хаотической энерrии от столкновения
1\ столкновению есть
8(tl, t2)=== 8(t2) 81 === тVIU(COS U)t2 cos ffit 1 ) +
+ (ти 2 /2) (cos 2 ffit2 2 COS ffit 2 COS U)t 1 + cos 2 U)t 1 ).
Допустим для простоты, что столкновения редки: " т « (t).
Тоrда за время между столкновениями t2 t 1 совершается MHoro
Rолебаний и, в силу случайноrо характера столкновений, между
фазами поля в моменты столкновений ffit 1 , U)t2 корреляция исче
зает. Эти фазы MorYT быть любыми. В этом случае изменение
t заключено в интервале между максимальным приобретенпем:
энерrИИ 8+ 2тиlи и максимальной потерей € 2тVlи,
причем наибольшим значениям отвечают параллельность ChO
ростей Vl и U и определенные фазы ffitt, U)t z , такие, чтобы RОСИ
нусы превращались в + 1. Значения €::!: выписаны с точностыо
до малых величин порядка ти 2 (как уже было сказано, и« и).
При усреднении t по мноrим столкновениям, т. е. по момента1\!
t2, t 1 , первое слаrаемое более высокоrо порядка, тии, исчезает 11
остается ТОЛЬRО второе, положительное. Такп:м образом, в cpeд
нем электрон приобретает энерrпю, причем в количестве
PE == < p (t 1 , t 2 )t 1 ,t 2 == mu 2 j2 == 2ё св НОЛ,
:которое найдено выше путем вычисления средней работы поля *) .
ПОСRОЛЬКУ и/и <:g:: 1, истинные изменения энерrии электрона при
столкновении, положительные и отрицательные, имеют первыii
порядок малости по отношению R самой энерrии, I E:!:1/8 "'-' и/о,
а результирующее положительное 8E/8 "'-' (и/и)}. второй. Оно
представляет собою маЛУIО разность двух относительно больших
величин; символически eE "'-' ( 8+ 1 8 1).
2.6. Почему электрон элеRтронные еТОЛRновения не приводят
к диссипзцип энерrии поля. В слабоионизованном rазе электро
ны испытывают столкновения с атомами и молекулами. В силъ
ноионизованном с ионами 11 друr с друrом, причем примерно
*) в общем случае \'т "'-' W только одна из фаз является произвольнои,
ибо между моментами последочателъных столкновений существует Koppe
ляция Вероятность интервала t z '1 равна ехр [ vт (t2 t 1 ) ]vmdt2. С учо
том корреляции при усреднении в ДЕр появляется дополнительный мно.tБи
тель 002/( (й2 + V ); см. (5 10). lIре, остаа"1яем читателю Cal\fO'fY проделать
это полезное для понимания дффекта вычисление.
100
с одинаковыми частотами. Однако при рассмотрении эффеI\ТОВ
взаимодействия с полем следует учитывать одни ЛИIПЬ электров
ионные столкновения.
Для выяснения причины этоrо рассмотрим электронный rаз
(можно даже более общий случай rаз И3 частиц с одинаКОВЫl\{
ОТНОIПением е/т) и допустим, что электроны сталкиваются ТОЛЬ
ко друr с друrом. Просуммируем по всем электронам уравнение
. ..
движения mv == eEo sin ffit + РСТ, rде РСТ скорость изменения
импульса электрона вследствие столкновений. Поскольку сум..
марный импульс взаимодействующих частиц сохраняется, полный
импульс rаза mv осциллирует как cos ffit, будучи сдвинутым
по фазе относительно поля на 'Jtj2. Принимая во внимание, что
суммарная энерrия частиц при упруrих столкновениях также
сохраняется, найдем скорость изменения энерrии rаза:
2 == тy == ( Ео sin ffit)( ту )'"'-'si ffit cos ffit'"'-'sin 2о>е.
Суммарная энерrия частиц меняется периодически с YДBoeH
ной частотой, как при бесстолкновительном движении, и в сред..
нем по времени остается неизменной. Диссипации энерrии поля
нет. Напоминаем, что в случае постоянноrо поля элеКТрОН ;):Iек
тронные столкновения в сопротивление и выделение джоулева
тепла вклада также не вносят (п. 2.3 rл. 3). Как и в том случае,
электрон электронные столкновения MorYT повлиять на ДИССII
пацию косвенным образом, оказывая влияние на энерrетический
спектр электронов и "т.
"
э з. Основные уравнения злектродинамИRИ сплошных сред
в э 1, 2 было рассмотрено, что происходит с электроиаl\IИ
ИОНИЗ0ванноrо rаза в присутствии nepeMeHHoro электричеСRоrо
поля. Обратимся к друrой стороне вопроса о взаи:м:одеЙствии
электронов с полем: как влияет ионизоваRное состояние на по
ведение переменных полей и распространение электромаrвит--
ных волн.
3.1. Уравнения Максвелла. Электромаrнитное поле и СОСТОЛ
ние среды описываются векторами напряженностей Е, Н, Э.7Iек
трическим смещением D и маrнитной индукцией В. По опреде..
лению D == Е + 4пР и В === Н + 4лМ, rде Р и М электричесюrй
и маrнитный дuполънъzе JrtoMeHTbZ единицы объема. Векторы Е,
Н, D, В удовлетворяют системе уравнений Максвелла
rotH ===(4n/c)j + c l aD/at,
rot Е == c l aB/at,
div В == О,
div D === 4лр,
(5.13 )
( 5.14)
(5.15 )
(5.16 )
rде р плотность свободноrо объемноrо электрическоrо заряда.
101
Система эта не в(полне OIпределена, ибо электрический тон j,
nоляризоваnnость Р и nа:маеnичеnnость М, ,которые вызываются
полем, зависят от свойств вещества. И опыт, и теория rоворят
о том, что в постоянных и не слишком быстро меняюп ихся
полях действуют законы прямой пропорциональности: Р === хЕ,
М === хН, j === аЕ. В:м:есто диэлектрической (х) и маепитпой (х)
восприимчивостей вводят диэлектрическую (8 === 1 + 4лх) и :мa2
нитную (1-1 === 1 + 4лх) nроницае.мости. Вместе с уравнениями
связей
j === аЕ,
D === вЕ
,
в === мН,
(5.17 )
rде l\Iатериальные нонстанты ё, f.l и проводимость а считаются
известными, система (5.13) (5.17) является замкнутой. В ra
зах и плазме с оrромной точностью f.l === 1 и В === Н.
3.2. ТОКИ смеп енил, поляризации, проводимости, зарядов.
Правую часть уравнения (5.13) можно трактовать как некую
плотность тока
· r 1 aD . f дР + 1 дЕ
] 1 4л dt ] I dt 4л дt'
(5.18)
ПОJ\1:ноженную на 4л/ с. Величина (1/4л) aD/ at, добавленная MaKC
веллом к току проводимости В порядке постулата, была названа
11М ТОКО:М с:меzцения. Без тока смещения уравнения (5.13), (5.16)
не соrласуются с незыблемым законом сохранения заряда (3.39).
В переменном поле меняется во времени поляризация веще..
ства, которая заключается в смещении отрицательных зарЯДJВ
относительно положительных под действием электрической силы.
Но Лlобое перемещение зарядов в пространстве есть ток, так чrо
слаrаемое дР / at в TOI{e смещения и в самом деле представляет
соБОI{) плотность тока топа поляризации. Вместе с топом npJ
водU.iчости j, они образуют nОЛnЬLЙ топ зарядов jt. Слаrаемое
(1/4п) дЕ/ at, никак не связанное с движением зарядов, «током»
в буквальном смысле не является *) .
Полный ток зарядов был разделен на две части: ток прово
димости И ток поляризации, исключительно для удобства прп
менения уравнений к идеальным диэлектрикам, rде а, j === о. Ta
1\ое разделение вовсе не является обязательным. Для люБОl!
элентронейтральной среды можно определить вектор полной по
ляризованности P t , причем он связан с полным током зарядов jt,
та1\ что достаточно оперировать одной из этих величин. В самом
деле, по определению
Pt == е 1 т 1 , е 1 == о; jt === е 1 У 2 === aPt/at, (5.19)
rде r 1 радиус вектор заряда е 1 , V 1 === r 1 ero скорость и CYMMII
ровапие распространяется на абсолютно все заряды (свободные,
связанные, злектроны, ядра), содерmащиеся в единице объем:}.
3.3. Разложение на rаРМОНИКII. В достаточно быстро J\fеняю...
II,ИлСЯ полях уравнения (5.17) теряют силу. Вследствие uнер
*) о ето смысле ещо пойдет речь в S 5 rл. 15.
102
циальnости те реальные процессы в среде, в результате которых
возникают поляризация и ток, не успевают «следить» за из:м:е..
нениями поля. Поляризация и ток в момент tl определяются
теперь не только и даже не столько значением Е (t 1 ), сколы о
эволюцией Е (t) в предыдущий период t < t 1 . Например, если в
течение длительноrо времени поле Е было направлено в одну
сторону, а потом ero направление внезапно изменилось на про
тивоположное, ток в течение HeRoToporo времени, пока заряды '
не затормозятся, еще будет течь по прежне:му против «ново..
ro » поля.
Задача установления уравнений связи с учетом эффеf ТОВ
запаздЬLваnия сильно облеrчается, поскольку движение заряцов
в веществе описывается линейными относительно Е, r, v ypaBH8
НIIЯМИ. Поскольку уравнения Максвелла также ЛIIпейны, ВСС
зависящие от времени величины можно разложить на rармони"
ни n ряд или интеrрал Фурье, п в силу ПрИlIципа суперПО3IIЦИИ
оперировать только rармоническими компонентами, как это уже
БыIоo сделано в 9 1, 2. Эволюция rармоничесних величин пол..
ностью определяется тремя параметрами: амплитудой, частотой
II фазой, и потому весь эффект запаздывания УRладывается: в
соотношения между этими параJ\1:етрами для м:атериальных вели
чин и Поля. Если для определенной rармоники поле Еro ==
== Еroо sin ffit, то полный ток jtffi == jtroo sin (ffit + <p(J)), причеl\'I ]t<uo
:и еры являются функциями E(Uo II (й. Эти функции и задают не..
обходимую связь.
3.4. Уравнение связи ДЛЯ rармоничеСRИХ Rомпонент. Ему
можно придать удобный и наrлядный вид, если сохранить ПрlI
вычные из практики обращения с .постоянными полями понятия
проводимости и диэлектрической проницаемости. Полный TOR ]tф
представляется в виде линейной комбинации sin ffit и cos (J)t, что
отвечает линейной I\омбинации Е и дЕ/ at. Возращаясь н перво
начальны1M понятиям о тоне проводимости аЕ п токе поляриза
ции дР/дt, который в случае медленно меняющихся полеЙ равен
[(Е 1)/4л]дЕ/дt, и снабжая новые козффициенты 0", е индеR
сом Ю, поскольку они зависят теперь от частоты, запишем ypaB
нение связи в виде
]tffi === a(UE(U [(Ей) 1)/qл] дЕ(U/дt, E(U === E(Uo sin ffit. (5.20)
Величины О"ы, е ы называются высокочаСТОТllыми проводи.;ио
стью и диэлектрической проnицаемостью среды. Именно эти ха..
раRтеристики среды оказывают влияние на поведение в неЙ пе...
ременных полей.
3,5. Уравнение заRона сохранения энерrии. "Умножим (5.13)
скаляр но на Е, а (5.14) на В и вычтем потом друr из друrа.
Поскольку Н rot Е Е rot В === div [ЕВ], пр:и условии линейпы)\
свдзей D и Е, В и В получим соотношение
!!.. ED + ИВ + d . [ЕН] === . Е
д t 8л 1 V 4;[ ] ·
(5.21 )
.1 ()3
Оно выражает за]t;Оll сохранения энереии эле]t;тро:маенитноео по...
.ля. Величина (ED) /8л представляет собой плотность электриче...
екоЙ энерrии, (ИВ) /8л маrнитной,
S === :л [ЕИ] (5.22)
......... плотность потока электромаrнитной энерrии (вектор Умова
Поiiнтинrа), зЕ выделение энерrии в 1 см 3 среды в 1 с, равное
уБЫ:IИ электромаrнитной энерrии. В rармонических полях n
среднем по времени диссипация энерrии поля обязана ТОЛЬRО
тону проводимости. Ток поляризации к диссипации не ПрИВОДIlТ,
таl\ как он сдвинут по фазе относительно поля на л/2,
а <sin wt cos wt) === О (ср. с результатами п. 2.1, 2.2).
э 4. Высокочастотные проводимость
11 диэлектрическая проницаеМОСfЬ плазмы
Результаты 9 1 позволяют вычислить эти величины HeMeд
ленно. Сделаем прежде две оrоворки. Будем считать ионы IHJ.
подвижными, не учитывая их вклада в ток проводимости и lIО
ляризацию. Далее, выделим и опустим слаrаемое ем 1 в е(1) 1,
которое дают электроны, связанные в молекулах и ионах. По по...
рЯДRУ величины оно такое же, как и в неонизованных rазах (раз---
ве что поляризуемость присутствующих в плазме возбужденных
молекул больше, чем невозбужденных). В воздухе при нормал; ..
вых условиях ем 1 === 5,28 . 10 4, в Н2 2,65 . 10 4, в Не
0,67 . 10 4, при низких давлениях еще меньше, так нак 8 м L
пропорционально плотности. Эти цифры относятся к видимой
области спектра и более визким частотам. При сколько нибудь
заметной ионизации вклад молекулярной части в объемную по
ляризуемость плазмы очень мал.
4.1. Вычисление Ою и ею. Подставим общее выражение (4.5)
для средней скорости электрона v в формулу (5.19) для тока
зарядов jt. Заменяя суммирование по всем электронам усредпе
ние:м с умножением на п е и сопоставляя полученное выражение
с (5.20), находим
a(U === e 2 п e v т /т ((02 + V ),
f(U == 1 4ле 2 п е /т (ш2 + "' ).
(5.23)
( 5.24)
Эти формулы имеют фундаментальное значение для фИЗИК!I
взаимодействия электромаrнитных полей с плазмой. Соотношение
аМП;IИТУД токов проводимости и поляризации
jпров о/jполяр О === 4ЛО"(1)/(ОI€ю 11 == vm/(jJ (5.23)
определяется отношением частот столкновений и поля.
4.2. Предел «больших» частот «<беССТОЛRновительная» плаз-
ма). Оп наступает, коrда (02 v , т. е. реально при не очень
больших частотах. Даже при атмосферном давлении это СВЧ
104
или очень далекий инфракрасный диапазоны. Между тем, :моле
нулярная поляризуемость большинства диэлектриков и неИОНII30.
ванных rазов сохраняет свое значение, характерное для постояв-
HorQ поля, вплоть до оптических частот. В пределе БОЛЬШfС'
частот
2
е п е
аф === V т ,
тш
4пе 2 п е
e(t) === 1 2 ,
тю
(5.26
Т. е. проводимость пропорциональна частоте столкновений, а ди
электрическая проницаемость от нее не зависит. Ток ПРОВОДII-
мости соrласно (5.25) мал по сравнению с током поляризаUIIИ
Этому пределу отвечает модель «бесстолкновительной» плаЗJ.\;IЬ
(п. 1.1, 2.1).
4.3. СтатпчеСRПЙ предел. При условии (й2 v получим
2
е п е
a(t) == ,
mV m
2
4ле пF!
ею === 1 2 .
mV m
( 5.27
Проводимость не отличается от обычной проводимости ИОНIIЗО
BaHHOrO rаза для постоянноrо тока. Диэлектрическая ПРОНIIцае
мость также приобретает предельное, не зависящее от часrоть
поля значение. Ток поляризации мал по сравнению с ТОБОl\
проводимости И В пределе исчезает совсем.
4.4. Почему у дизлеRТрИRОВ обычно 8 > 1, а у плазмы 8 < 1
Все дело в том, что у диэлектриков электроны связаны в атома)
и молекулах, а в плазме (и металлах, rде также е < 1) часть И'
свободна. Абсолютно свободный, не, испытывающий СТОЛRновениi
электрон колеблется в фазе с полем (формула (5.1)). Оп cJ.\;le
щается от центра «равновесия» в направлении вектора Е, ПРОТПI
направления действия электрической силы. Обладая отрицатель
ным зарядом, он придает среде отрицательную поляризуе:МОСТJ
и Е < 1.
Электроны в молекулах можно уподобить частицам, на :кото
рые при смещении действует упруrая возвращающая сила. ЕСЛI
(()о частота собственных колебаний упруrо связанноrо элентро
на, т о
.. еЕ
+ 2 () .
r ffior == Sln шt,
т
еЕ() .
r == ( 2 l. ) Sln ffit.
т ffi Ш
о
в статическом поле и при частотах, меньших собственной часто
ты (а последние обычно лежат в оптическом диапазоне), смеще
ние направлено против Е, так что поляризуемость положитель
на *), у жидких и тверlДЫХ диэлектриков е обычно состаВ:lяе
несколько единиц.
*) При (j) > Ша происходит обратное; с этим связано явление аномал!
воЙ дисперсии света.
10
5. Распространение злектромаrнитных волн в плазме
В случае идеальных диэлектриков, rде нет тока проводимостп
и свободных зарядов, система уравнений Максвелла приводит к
вОJlновьzJrt, уравнениям для Е II Н. Они описывают распростра
пение электромаrнитных волн. В случае монохроматическоrо по
ЛЯ аналоrичные уравнения получаются для электронейтральной
проводящей среды, кановой является плазма. Проще Bcero это
сделать, если перейти R комплексному представлению rармони
чеСБ:ИХ величин. Это вообще целесообразнее при наличии фазо--
вык сдвиrов, так как избавляет от необходимости все время опе
рировать Rомбинациями синусов и косинусов.
5.1. Комплексная диэлектрическая проницаемостъ. В случае
]\{онохроматическоrо поля Е, Н,...., ехр ( i(J)t) первое уравнение
Мансвелла (5.13) вместе с уравнением связи (5.20) приобретает
вид
rot Н === (4л! с) аЕ i (ше! с) Е; о' == а оо , е == 800
(5.28 )
(пндексы ffi У 0'00, е оо больше писать не будем). В (5.28) удобно
избавиться от тока проводимости, введя формально комплепсну;о
диэлептрическую nроницае.мость
е' ===Е +i(4ла/ffi). (5.2а)
Получающееся при этом уравнение
rot Н === i (юе' jc) Е
(5.30 )
внешне не отличается от соответствующеrо уравнения для ди
элентрика, rде о' === О, 8' === е.
5.2. Пдоская элеRтромаrIIитная волна. Подставим в (5.14)
aB/at === i(J)H. Взяв от получившеrося уравнения rot, полъзуясь
соотношением rot rot Е === E + grad div Е, замечая, что соrлаСlIО
(5.16) при р==О divE==O, 11 подставляя rotH соrласно (5.30),
получим уравнение
д Е + (е' ffi 2 j с?) Е === о.
(5.31 )
Фактически это есть результат подстановки Е ,...., ехр ( i(J)t) в BO.JI
новое уравнение для Е. Ис:ключив из (5.13), (5.14) не Н, а Е,
с ПО1\10ЩЬЮ (5.15) получим такое же уравнение (5.31) для 11.
Уравнение (5.31) допускает решение типа беrущей плоскоЙ ВОЛ
ВЫ Е, Н,...., ехр ( iffit + ikr), rде k волновой вептор. RОЭффИЦII
ентами при Эl\спонентах служат некоторые постоянные :комплекс--
ные числа, хараRтеризующие амплитуды полей и фазовый сдвиr
между ними. Подставляя эти выражения в исходные уравнения
(5.13) или (5.30) и (5.14), найдем
[kH] == (ffie'jc) Е, [kE] === (wjc)H. (5.32)
Из этих равенств следует, что при е' 9= О все три вектора Е,
Н, k взаимно перпендикулярны, так как волна является пoпe
речной. Если Е' === О (что соответствует е == О в слабопроводящЕ'П
1{)6
среде, rде а О), уравнения допускают существованпе продоль..
ных чисто электрических волн с Н:=:::: О, Е 11 k. Это плазJrtеnные
вОЛnЬL (см. 9 7).
5.3. ПОRазатели преломлеНIIЯ и затухания волны. Из равенств
(5.32) вытекает зависимость волновоrо вектора от частоты (дис...
персиоnное соотnошенuе), а также соотношение между комплекс
ными амплитудами полей:
k===«(J)/c)Vf', Н==У е' Е.
(5.33 )
Волновой вектор величина :комплексная, поскольку е' I\ОМП
лексна. Чтобы найти k == k 1 + zk 2 , введем: безразмерные числа п
11 х по формуле ck/ ы === п + ix == "УЕ'"'. Возведя это равенство в
:квадрат, подставив е' соrласно (5.29) и приравняв действитеЛJ)
ные и мнимые части, найдем:
п 2 х 2 == е, 2пх === 4па! ю,
п ye
х == v е + V e + (4ла/w)J (5.34)
v р2 + (4ла/w)2
2
Физический смысл величин п и х ясен из выражения для
беrущеи волны:
Е, Н ехр ( iffit + lkx) == е"Хр [ LЫ (t пх/с) хых/с] .
Число п определяет фазовую скорость cjn и длину волны л === ло/п
в среде (Ло === 2лс/ (J) длина волны в вакууме). Оно соотве r
ствует попазателю прело;млеnuя. Число х характеризует затуха
пие волны: амплитуда ее падает в е раз на пути x === о/2лх
или в е Х раз на расстоянии 1..0. t1исла п и х определяют COOT
ношение между амплитудами полеи и фазовыи сдвиr между
ними:
Н === (п + ix)E === 1"п 2 + х? е l1Р Е, 'Ф === arctg(x/п).
5.4. 3aRoII ослабления ПОТОRа знерrии. ПрактичеСRИЙ интерес
представляет лишь среднее за период колебаний значение плот
насти потока энерrии. Чтобы вычислить среднее от произведения
rармонических величин заданных в комплексной форме, нужно
взять половину действительноЙ части произведеНIIЯ одноrо из
сомножителей на комплексно сопряженное друrоrо *). В одно..
роднои среде плотность потока энерrии волны затухает по экспо..
ненциальному закону:
S 4 · + Re (ЕН*) ЕЕ* ;: I Е (О) 12 e /lwx, (5.35)
*) в самом деле, если А == Ао COS (шt + СРА), в == ВО CO (wt + ерв). то
<АВ) == (1/2)АоВо cos (ерв ерА).
в RО"\1плеRСНОМ представлении А == ..10 ехр ( lwt + lepA), в == Во ехр ( i(J)t+
+ lepB) Отсюда
(1/2) Не (АВ*) === (1/2)АоЕоНе [ехр ( l (ерв ерА))] ==
== (1/2)АоВо cos (ерв ерА) == <АВ).
107
,
rде. знак усреднения у S опущен, Е (О) амплитуда в точке
х == О,
116) == 2хю/с == 4'Лcr/пс
( 5.36)
....... I\оэффициент поrлощения. Поток энерrии уменьшается в е раз
......1
па длине !-tro .
Как следует из (5.35), а также из уравнения (5.21), если
произвести ero усреднение по времени за период, для изменения
плотности потока энерrии вдоль пути распространения волны
справедлив закон Буrера
dS/dx == JlшS. (5.37)
В 1 см 3 В 1 с диссипируется элеRтромаrнитная энерrия
<jE) == а<Е2) == JlшS, и эта энерrия выделяется в среде. Пропор
циональность между коэффициентом поrлощения и проводп
мостью вполне соrласуется с пропорциональностью между про
водимостью и скоростью выделения джоулева тепла.
В пределе непроводящей среды а === О, диэлектрическая про
ницаемость 8'::::::: 8 действительная величина, п === 1"8, х === О,
Ilu> == о. Среда абсолютно прозрачна. Волна в ней не затухает,
таБ как ток поляризации джоулева тепла в среднем за период
не выделяет.
5.5. Коэффициент поrлощения волны в плазме. Если мнимая
часть 8' rораздо меньше действительной, 4'Ла!ro8 1, причем t
величина положительная, по формулам (5.34) получается п -у е
11 х 2'Л(J!roп «1. Среда обладает обычным для диэлектрика по
:казателем преломления, но слабым поrлощением, слабым в том
с:мысле, что волна лишь HeMHoro затухает на пути порядка 1_.
Rоэффициент поrлощения определяется формулой (5.36), в KOTO
рую можно подста ить п === 1"е. Этот случай обычно реализуется
при распространении света, а отчасти и СВЧ (микроволновоrо)
ИЗJучения в лабораторной плазме *).
к оэффuцuеnт поелощеllUЯ электромаrнитной волны в ионизо...
ванном rазе соrласно (5.36), (5.23) равен
4ле 2 п е "т "т
l-1 === 0,106п е 2 2 CM l. (5.38)
u) === те ( ш2 + ,, ) (й + "т
Здесь положено п -у 8 1, как это чаще Bcero бывает в Te
условиях (слабая ионизация, слабое поrлощение), коrда Форму
*) Как ясно из предыдущеrо, для существования поrлощения не обя
зательно присутствие свободных электронов. Достаточно, чтобы по любо!!
прпчине диэлектричес-кая проницаомость содержала небольmую мнимую
часть. Так и получается в реа.льных диэлектрических материалах из за cy
щ ствования HeKoToporo «трения», которое испытывают молекулярные элек
троны при колебаниях. IIаrревание изоляционных материалов в перемен
ных полях характеризуется отношением мнимой и действительной частей
в', ноторое называеrся таllzечсо,7'rf, уела потерь: tg б == ё ним/ ё ейств. "у CTe
нол, керамик в БЧ диапазоне tg б ....... 10 3 1C 2.
108
ла (5.38) достоверно справедлива. Коэффициент поrлощения
пропорционален плотности электронов. В пределе больших частот
002 v для коэффициента поrлощения характерна обратная
квадратичная частотная зависимость: Jloo""" (u 2 ,...., Л, 2. RОРОТRпе
волны лучше проходят через плазму, чем длинные.
5.6. Квазистационарное поле и СRИН"СЛОЙ. Допустим, что мни..
мая часть Е I rораздо больше действительной, точнее, ее абсолют
Horo значения, так KaR в подобных случаях обычно Е < О. Tal{
по;rучается в хороших проводниках в полях не слишком боль..
тих частот. При этом TOR проводимости сильно преобладает над
TOROM смещения:
I j ПрОБ I j / jсмещ I === 8 ним/ 18 ейств I == 4ла jw 18/ 1.
в этом пре)J;ельном случае соrлаСIIО (5.34) п х V2ла/ю и
поле сильно затухает на расстоянии порядка длины волны. ro
ворить при этом О беrущей волне, о распространении волны нет
с:мысла. Существование электром:аrнитных волн обеспеЧIIвается
током смещения. Если ero нет, как в данном предельном случас,
максвелловское уравнение (5.13) не отличается от уравнении
для маrнитноrо поля постоянноrо тока. Это есть предел квазu
стациоnаРnО20 поля.
Эффективная rлубина проникновения квазистационарноrо по
ля в проводник получается из формул для электромаrнитной
ВО:IНЫ как расстояние, на котором амплитуда «волны» с чисто
u I
IНИМОИ Е уменьшается в е раз:
б == C == 5,03
шх V 2ЛGW {а l OM l. CM l J f [мrц]}1/2 C I.
(5.39)
Эта величина называется ТОЛЩUllОЙ скиn слоя. В :хороших про
водниках переменный ток течет только в повер ностном
( «скин>} ) слое. Например, у меди а === 6 . 105 OM l. CM l II при
f === 10 мrц б:::::: 2 . 10 3 см. Однако рассм"атриваемый предельныЙ
случай осуrцествляется не только в металлах, но и в достаточно
сильно ионизованной плазме в ВЧ диапазоне полей (g 3 rл. 13).
э 6. Полное отражение электромаrнитной волны от плазмы
6.1. Непоrлощающая среда с отрицательной диэлектрической
проницае:м:остью. Пусть в среде € < О, а проводи:мость а, если -п
не равна нулю, то столь мала, что выполняется условие
4лаjwlеl « 1. По формулам (5.34) в такой среде п О, х 1"
Нак и в случае чисто мнимой 8', электромаrнитная волна в Ta
RУЮ среду не проникает, хотя II по друrой причине. Фазовая
скорость и длина волны стремятся к бесконечности при (j ---+- О,
поле осциллирует только во времени и экспоненциально YMeHЬ
шается по амплитуде при уrлублении в среду. Однако энерrпя
поля не диссипируется, в отличие от случая xopomero провод
ника, коrда амплитуда поля от rраницы уменьшается IIз за СИЛL
109
Horo llО2лощеnuя энерrии. rлубина проникновения в среду с
Е < О, а О не зависит от а и равна Л о / VI8I. Рассмотренная
ситуация соответствует llОЛnО:МУ отражеnuю электромаrНIIтноii
волны. Она нередко реализуется в «бесстолкнов:ительной» плаз
ме, коrда "' (й 2 . Пусть, например, частота волны f == 3 rrц,
ло == 10 см, р === 0.,1 торр (N === 3.3 . 1015 CM 3). При слабой IIОНII
заци:и, коrда электроны сталкиваются только с ато:мами, 'V m
3 . 108 c l И ",:п/ш 2 /'-' 10 4. Дело, стало быть, только за тем,
чтобы плотность электронов была больше некоторой величины.
6.2. RритпчеСRая плотность электронов. [[редставим диэлек
трическую проницаемость (5.24) для беССТОЛКНОВIIтельной плаз
мы в виде
B:::;:::1 ш /ш2, ш === (4ле 2 п е /т)1/2 === 5 65.104п;/2C 1. (5.40)
Она отрицательна, если частота волны ю < Юр или плотносrь
электронов больше критичеСКОIl величины
llеир == тw?/4ле 2 === 1,24 .10 4 {![мrц]}2 ===
=== 1,11 .1013{ло[см]} 2 Cl\1 3. (5.41)
Для paCCMOTpeHHoro примера llе ир == 1,1 . 1011 CM 3. В область с
большей плотностью электронов волна ЛО === 10 см проникнуть
не может, она испытывает от нее полное отражение. Если llе Ha
растает в плазме в направлении оси х и в ту же сторону по
плазме распространяется электро:маrнитная волна, то она, rpyoo
rоворя, дойдет до места, rде п е === п е ир, а оттуда отразится II по}i
дет назад. При этом в случае плоской симметрии имеет силу за
нон отражения rеометричеСI{ОII оптики, соrласно которому yrOJI
падения равен уrлу отражения (рис. 5.1).
х
Рис 5.1 Схема ()тражения эле:ктромаrнитноii вол
ны от плазмы tlарастание плотности 1лектронов
СНИ У ввер"\. передается сrуrцением rОРИЗ0нталь
Hыx линии: луч поворачивает назад приб:rизи
TP.ТIЬHO в rOM мРсте, rде плотность ;)лекrронов
равна I{ритическои для ча С1 оты волны
Этот эффект имеет orpoMHoe практическое значение, он JIIИ:
роко используется в физическом эксперименте и технике. Он
положен в основу одноrо из весьма действенных методов диаr
ностики плазмы, лабораторной и ионосферной. Посылая в плаJ
му сиrналы разной частоты, реrистрируют, какие частоты через
нее проходят (ю > Сйр), а какие нет (ю < Юр). По частоте «OT
сечки» ю === Юр налодят llе С помощью (5.40). ЛабораТОРНУIО
плазму НСRысоноrо давления ( «бесстолкновительную» ) с llе "'"
"'" 1011 1015 CM 3 можно диаrносцировать СВЧ излучением с
ЛО /"ov 10 0, 1 см. Эффект лежит и в основе техники дальней pa
ДIIОСВЯЗИ в средневолновом радиодиапазоне. В ионосфере llе /"OV
110
104 105 CM 3 И волны С частотами f::( 1 мrц и длинами
больше нескольких сотен метров от нее отражаются. Отражаясь
и от Земли, они зиrзаrообразным путем MorYT оrибать 3еМ:ЛIО,
проникая в области, лежащие далеко за пределаМII прямой ви
ДИМОСТII.
7.1. Плазменная частота. Как отмечалось в п. 5.2, уравнения
элеRтродинамики допускают существование продольных волн
элеRтричеСRоrо поля при условии е I === о. Колебания реализуются
в бесстолкновительной плазме на частоте Ш р , определяемой фор
мулой (5.40) (бесстолкновительной в смысле " т « Ш р ). Частота
Ш р , :которая зависит только от плотности электронов, называеrс
плаЗ,7 tеп1l0Й или лэнz;мюровС1iОU. Она пред
став:rяет собой частоту собстве нн ых 1iолеба.
пий эле1iтропов в плазме (Тонке и Лэнr
МI0р, 1929). Действительно, вооuразим пло
сиий слой однородной электронеlIтральной
плаЗ IЫ с плотностями электронов и поло
jI-\ите:IЬНЫХ ионов п е == п+. Допустим, что в
нача.lЫIЫЙ момент под действием :кан:оЙ то
внешнеЙ импульсноЙ силы все электроны
он:азались сдвинутыми вправо ОТНОСIIтельно
ИОНОВ (рис. 5.2). Вследствие разделения
зарядов немедленно возникает :ку оновская
сила их притяжения, которая стремится
вернуть заряды «на место». 110 будучп
разоrнапными этой силой, элеJtТРОНЫ «прос:кан:иваIОТ» положе
вие равновесия II смещаются отнuсительно ионов влево, и т. д.
Возникают собственные колебания эле:ктронноrо rаза ка:к целоrо
относительно ионов, Rоторые с большой степеныо ТОЧНОСТII
можно считать неподвижными.
Частоту колебаний леrко вычислить с помощыIo схемы
рис. 5.2. Если X Сl\lещение электронов из положения paHHO
весия, то плотность nOBepXHoCTHoro заряда на rраницах слол
равна еп е /1х, а напряженность электростатичес:коrо поля поллрп.Jt
заЦИII Е === 4леп е /1х. Возвращающая сила пропорциональна CMe
щению, следовательно, уравнение дВижения электрона
mtJ.x === еЕ === 4ле2пе Х, (O X === О,
э 7. Плазменные Rолебания и волны
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
ё
J.
.1х
х
Рис. 5.2. Схема, пояс
няющая возникнове..
ние плазменных KO
лебаний и вывод
формулы для плаз
менноЙ частоты
описывает rаРМОНIIческие колебаНIIЯ с частотой Юр по (5.40).
Плаз:менная частота, дебаевс:киiI радиус и тепловая СКОрОСТЬ
элентронов связаны соотношение 1
( 4ле2п kT ) 1/2 ( kT ) 1/2
(ор d == е 2 е === === О,62и.
т 4ле п . т
е
(5.42)
Скорость направленноrо движения электронов, совершаIОЩИХ KO
111'
... u
леuания, хаотизируется с частотои столкновении " т , которая xa
рантеризует, следовательно, скорость затухания свободных ноле..
баний. rоворить о колебаниях имеет смысл, если " т Ш р , илп
п е 2 . 109 (р торр) '} CM 3. Плазменные нолебания были обнару
жены на опыте Пеннинrом (1926 r.) и с тех пор MHoro IIЗУ
чались.
7.2. Волны. :Колебания электронов MorYT приводить R волнам
поля и объемноrо заряда. Рассмотренные в п. 6.3 колебания
эдектронноrо rаза RaK целоrо соответствуют бесконечной длине
волны. Рассмотрим волны малой амплитуды на основе rидроди
намическоrо приближения (9 8 rл. 3). в Н8возмущенном состоя
нии Е === О, и е === О, п е === п+ == const. Считая малыми возмущения
Е, и е , бп === п е п+, 5Те по отношению к невозмущенной темпера
туре Те, линеаризуем уравнения (3.49), (3.50), (3.22) с r:=:: IZ е У(,
(3.33). Опустим в них также все члены, связанные со столкно
вениями электронов. Положим Е, и е , бп, ВТ е '"'" ехр (iffit iKx) .
Подставив это в линеаризованные уравнения, в результате po
шения найдем дисперсионное соотношение, которое связывает '1(\-
стоту колебаний ffi с абсолютным значением волновоrо вектора К.
Здесь, однако, следует принять во внимание одну тонкость.
В отсутствие всяких столкновений при сжатии (разрежении)
электронноrо rаза в продольной волне, движущейся в направле
нии х, работа сил давления затрачивается на адиабатическое
изменение только х составляющей тепловой энерrии электронно
ro rаза (работа поля величина BToporo порядка малости). По
перечные y , z составляющие скорости хаотичеСRоrо ДВИiнения
изменений не претерпевают. Поэтому возмущение тепловой знер--
тии составляет не (3/2)kБТ е , как обычно, а только (1/2)kБТ е .
(К вариации давления ре === nekT e это не относится.) Учитыван
указанное обстоятельство при дифференцировании, найдем
(й2 == (й + 3К2 (kTe/т).
( 5.43)
Без ero учета получили бы то же самое только без тройни, Roro
рая автоматически получается из решения на основе кинеТIIЧ --
cRoro уравнения. В пределе длинных волн л ==: 2л/ К-----+-ОО ИЛlI
«холодных» электронов (Т е -----+- О) ffi -----+- Ш р , а фазовая скор ост ь
волны Vф === ш/ к 00.
7.3. Затухание Ландау. Плазменные волны MorYT затухать и
в отсутствие всяких СТОЛI{новений (Ландау, 1946). Эффект СВЯ--
зан с существованием распределения электронов по скоростям:
".;
и, следовательно, выходит за рамки rидродинамическоrо ПрIIОЛII
жения. Дело в том, что электроны, имеющие продольные сно--
рости и х < V ф , увлекаются волной, а имеющие скорость V x > V ф
удерживаются ею. Коrда V ф и, что соrласно (5.43), (5.42)
справедливо, если л d, большинство электронов увлекается II
ускоряется, а волна теряет энерrию.
112
* 8. Обмен !{вантами между полем излучения
и свободными электронами в rазе
8.1. Классический и квантовый подходы к проблеме взаllМО-
действия. Все предыдущее раСС lотрение взаимодеЙствия эдек'"
тронов с электромаrнитным излучением было сделано на основе
чисто классической электродинамики. Использование классиq ...
ских представлений о механической работе, совершаемой силой
поля над движущимся зарядом, является вполне оправданныI,'
пока порции энерrии, RОТОРЫМИ обмениваются поле II электроны
в элементарных актах, HaMHoro превышают энерrию RBaHTa пзлу
чения Пffi. Скажем, Rванты СВЧ излучения с л == 10 см, равные
Пffi === 1,24 . 10 5 эВ, столь малы по сравнению с передачей эн р'"
rии элеRТРОНУ, рассчитанной на одно СТОЛRновение, dE E по фор..
муле (5.10), что сомнения в каком либо несовершенстве Rлассп...
Rи в данном случае не MorYT и ВОЗНИRНУТЬ. Более Toro, при pe
альных значениях полей неравенство dE E > nш выполняется да...
же в далеком инфракрасном диапазоне частот, которому принад
лежит излучение используемоrо в rазоразрядном ЭБсперИ lенте
и на праRтике СО2 лазера (л===10,6 мкм, пw 0,117 3]3).
Однако в районе видимой части оптическоrо дпапавона для
излучения неодимовоrо (л === 1,06 мкм, Пffi === 1,17 эВ) п рубино.
о
Boro (л === 6943 А == 0,694 мкм, ПW === 1,78 эВ) лазеров соотноше
ния между eE и Пffi становятся иными. TaR, в СфОRусиропанном
rиrантском импульсе рубиновоrо лазера, который вызывает про
бой в rазах, электричеСRое поле световой волны имеет порядок
107 В/см. При амплитуде Ео == 107 В/см величина dE E === 0,024 ,)[3,
вычисленная по (5.10), в 74 раза :меньше nШ (при вычислеНИlI
,
учтено, что ш 2 » v ). Но, соrласно общим положениям квантовоЙ:
физики, минимальная энерrия, которая может быть передана (yr
излучения веществу (и обратно), составляет Пй). Значит, B03
:можность использования выводов RлассичеСRОЙ теорпи примени
тельно R оптическому диапазону полей станЬвится по меньше
мере проблематичной. Во всяком случае, ЛIобая ПОПЫТRа обосно
вать таRУЮ возможность, которая, как мы увидим в 10, в He
которых случаях все же имеется, требует рассмотреНIIЯ зффектов
с Rвантовых позиций.
Основным механизмом нарастания знерrпи свободноrо злеI\
трона в поле cBeTOBoro излучения является пО2лощеnuе квантов
при столкновениях электрона с атомами (в сильноионизованной
плазме c -ионами). Как и в классической теории, столкновенин
иrрают в этом отношении решающую роль. Изолированный элек
трон не может поrлощать кванты энерrии это несовместимо с
законом сохранения импульса. В самом деле, приобретая энер
rию Пffi, электрон получает и импульс порядка nш/и, rде V ero
скорость. Между тем импульс фотона пffi/с чрезвычайно Ma.JI.
Следовательно, в aRTe ero поrлощения непременно должна yqa
ствовать еще одна частица, которая воспринимала бы импульс
отдачи.
8 ю. П. Райзср
113
Наряду с антами поrлощения происходят и акты вЪU--tуждеlL
пО2и (стuмулuроваli1-l0Z0) uсnуск,аliUЯ RBaHToB, также при СТОЛR
новениях электрона с атомом, ионом. Соrласно общим положе..
НИЯj\I квантовой теории, вынужденное излучение имеет точно
таRие же характеристики, что и Бынуждающее, Т. е. испускается
:квант тех же частоты, направления, поляризации, что :И: в no;re
присутствующеrо в среде излучения Бнешнеrо источника. Разу--
меется, электрон, оставаясь свободным, не может испуска rь
:квант энерrии ПЮ, превыmающий ero кинетическую энерrию
8 == тv?j2, поэтому вынужденное ИСПУСRание при столкновениях
с атомами возможно только при условии, что кванты внешнеrо
поля пш < Е.
11 те и друrие акты поrлощения квантов, Бынужденноrо
испускания :имеют случайный характер. Вероятности их про
ПОРЦIIональны интенсивности света плотности потока энерrип
в световой волне. Результирующий эффект, который проявляется
в нарастании энерrии электрона и ослаблении cBeToBoro потока,
определяется разностью между средними скоростями поrлощеНИiI
и вынужденноrо испускания квантов, приобретения и отдаqrr
экерrии элеRТРОНОМ при столкновениях. В качественном OTHO
шении ситуация, как видим, имеет большое сходство с тем, что
ПрОlIСлОДИТ в условиях справедливости классин:и, коrда eE "'"
E+ ! e ! (п.2.5).
8.2. Интенсивность излучения, RОЭффИЦllенты поrлощения,
вын)жденноrо и самопроизволыlrоo испускания. Введем эти ос...
ловные понятия, с помощью !{оторых :количественно описываюr
ея эффекты взаимодействия излучения с веществом" Пусть
1 (j) (Q) dffi dQ энерrия излучения в спектральном интервале от
w до (j) + dw и малом телесном уrле dQ около направления pac
пространеНIIЯ О, проходящеrо в 1 с через площадку 1 см 2 ,
перпендикулярную направлению распространения. Величина
1 (j) эрr/ (с . см 2 . rц . ср) называется Uliтеliсuвностью uзлученuя.
Для плоской монохроматической волны интенсивность формаль--
но бесконечна, так RaK интервалы dw, dQ нулевые. Физическпй"
СМЬJСЛ имеет Rонечное произведение 1 (J) dw dQ 'Jpr/ (с . СМ?), KOTO
рое совпадает с nЛОТflОСТЬЮ nOT01'ia Эliер2UU uзлучеliUЯ s. В квап--
товых терминах величина F === S /п (j) c 1 . CM 2 nЛОТliОСТЬ потопа
фотопов.
Вероятности поrлощения и Бынужденноrо испускания кванта
пропорциональны потоку фотонов (или интенсивности излуче--
ния) и вероятности столкновений электрона с ато:мсм, IIпПО'\f.
Пос. еДние, естественно, зависят от скорости электрона. Пуст,=>
Q)(l))dv число электронов в 1 с}!3 со скоростями от v до v+dL',
00
S qJ (l') dv п е .
о
ЭнерrIIЮ излучения из интервала dw dQ, которая поrлощается
114
в 1 см 3 В 1 с электронами указанных скоростей, можно заПIIсаrь
в ВIIде
Iw dffi dQN([J(v)dvaw(v) эрr/(с. см 3 ),
( 5.44)
rде коэффициент пропорциональности аы(и) представляет coGOff
"Коэффициеит истиИ1l0Z0 поzлощеиия света, рассчитанный на пДИll
электрон и один атом. Совершенно аналоrично вынужденное
испускание квантов определяется выражением
Iw dffi dQNep(v')dv'bw(v') эрr/(с. см 3 ), (5.45)
rде Ь Ы (и') 1'iоэффuциеllТ вЫllуждеИllОZО uспус-каиuя квантов hffi,
также из расчета на один электрон и один атом. Для процессов,
обратных друr друrу, скорости и' и v связаны законом coxpaHe
ния энерrии:
ти'2/2 == ти 2 /2 + nш, и' dv' == v dv:
([) .46)
Электрон, обладающий энерrией е > Izw, может испускать
нванты Пffi и са.мопроuзвОЛЬ1l0 (спОllтаИllО), вне всяной связи С
присутствием внешнеrо излучения. Это ТО1н:е происходит npJf
столкновениях с тяжелыми частицами (э 9). Такое излучение
называется тор.мозны.м потому, что электрон «ТОРМОЗIIТСЯ » при
столкновении с частицей, теряя скорость и часть КIIнетичеСI{ОЙ
энерrии, которая расходуется на излучение. Обозна qйм:
dQw [эрr/ с] количество энерrии частоты ш, которое излучается
одним электроном скорости и' в 1 с в спектральный интервал d(J)
во всех направлениях. В квантовы-х терминах dQw/nffi c l Be
роятность самопроизвольноrо испускания квантов с знерrПЯМli[
от Пffi до Пffi + dПffi. Вероятность удобно характеризовать сечени
ем ИСПУСRания аа ы (и') === (daw/dw) аш при помощи оuычноrо опрс
деления:
dQw === nwN и' da w (и') эрr/ с.
(3./1:7)
Испуснание в различных направлениях Jз среднем paBHOBC
роятно, так что в интервал dQ попадает доля dQ/4л от dQw. Ta
ким образом, в 1 см 3 В 1 с электронами со скоростями от и' Д(}
v' + dv' в интервал аш dQ самопроизвольно излучается знерrин
dQюqJ (и') dv' == T/(J)N и' da ю (и') qJ (и') dv' зрr /( С. см 3 ). (5.18)
8.3. Принцип детальноrо равновесия и соотношения между
:коэффициентами. В условиях термодинамическоrо равновесия
испускание света, самопроизвольное плюс вынужденное, КОl\lпен
сируется поrлощением, а интенсивность излучения описывается
фУИ1'iцией П лаllха:
'fiw 3 1
1 шравн 4л3 с2 en<u/kT 1 .
(5.49}
Приравнивая сумму (5.48) и (5.45) выражению (5.44), подстав
ляя максвелловсное распределение ер (и) сх) v2e тv2/2kT, планков
8*
115
с:кое (5.49) и принимая во внимание (5.46), получим соотноше..
вне между тремя Rоэффициентами а ф , Ь ф , d(Jф/dw:
,2 da w (и') 0)2 e 1iw / kT va w (и) v'b w (и')
v
dro л 2 с 2 e пw / kT 1 ·
Оно должно БЫПОЛНЯТЬСЯ при любой температуре. Но поскольку
коэффициенты, хараRтеризующие элементарные а:кты, от темпе..
ратуры не зависят, последняя должна Быпасть из равенства. OT
сюда следует еще одно соотношение
, v ( Е ) 1/2
b w (v ) == l7 a w (v) == в + 1iro a w (v),
(5.50)
ROTopoe называется именем Эйнштейна *) .
Коэффициент вынужденноrо излучения
самопроизвольноrо излучения равенством
2 2 , da ( , )
Ь ( ' ) == Jt С V w v
w{; 2 d ·
ro u)
связан с сечением
(5.51)
Полное испускание складывается из спонтанноrо (5.48)
НУiliденноrо (5.45) с учетом (5.51):
da w (v') dQ [ 4л3 с 2 ]
nw N и' d ер (и') dv' dw 4 1 + 3 1 w эрr /( с. Cl\1 3 ).
ro л 1im
II BЫ
(5.52)
Спонтанная составляющая здесь соответствует единице в скоб
мах, вынужденная второму слаrаемому, :которое имеет физи
чеСRИЙ смысл числа фотонов пф определенной частоты ш, Ha
правления Q :и поляризации в одной фазовой ячейке. Скорости
Бынужденноrо и самопроизвольноrо эффектов относятся как
п(jJ : 1. Если интенсивность излучения равновесна, это отношение
равно (ef7.W/kT 1) 1. Малые кванты (пш kT) излучаются в
основном вынужденным путем, пф: 1 kT/nw » 1, большие квап
ты (nш» kT) самопроизвольно, пш: 1 e пw/kT 1.
8.4. Результирующее поrлощение световой волны. При БЫ
нужденном испускании, которое, ка:к и поrлощение, пропорцио
нально интенсивности, излучаются в точности такие же фотоны,
R3l\ и те, что присутствуют в световом луче. Различить и:х не..
воз:можно. Если, скажем, несколько квантов вынужденно излу
ЧИ.J:ось И СТОЛЬRО же одновременно поrлотилось, то нельзя при..
ду:мать эксперимент, который бы показал, происходило это ИЛ1[
нет. Реально проявляется только разница между IIСТПННЫ:М: rтo
rлощением и вынужденным испусканием.
Результирующий :квантовый коэффициент поrлощения света
свободными элеRтронами, ноторым определяется ослабление по
*) Еще задолrо до создания :квантовой механики, :которая дает обосно"
ванне существованию вынуждеНlIоrо излучения, Эйнштейн постулиропал
таную возможность и с помощью припципа детальноrо равновесия вывел
формулу Планка, получив связь коэффициентов (5.50).
116
тока излучения, описываемое законом (5.37), равен
flroив === N [ 5 <р (v)dv аф (v) 5 <p(v') dv'b(jJ (V') ] ,
о 'Vmin
(5.53)
!'де
V m ln === "У2пюjт
наименьшая скорость, обладая RОТОрОЙ лектрон может излу-
чить квант nro. Если спектр электронов равновесный, Т. е. макс..
веЛЛОВСRИЙ с температурой Те, то
fl(J)l\B == !l(J)ист(1 e 1i(J)/kTe), !lroист === Nne (аш(и), (5.54)
rде !-troист коэффициент истинноrо поrлощения на единице дли
НЫ, усредненный по МаI свеллу. Вынужденное испускание при
ЭТО I уменьшает поrлощение универсальным (не зависящим от
мсханизма взаимодействия) множителем 1 e h(J)/kTe. Для боль
тих квантов (пю kTe) эффект вынужденноrо испускания
ЭRспоненциально мал. Вынужденное испускание малых квантов
(h(i) kTe) почти полностью компенсирует истинное поrлощение,
так что реЗУЛЬТИРУlощее nоrлощение составляет лишь долю
nu)J kT е « 1 от истинноrо.
8.5. ПРIlобретение энерrии злеRТРОНОМ. В поле l\{онохроматиче
ской электромаrнитной волны частоты ю электрон, Оlбладающий
:Jнерrией е :=::: ти 2 /2 > пю, в 1 с tJ1риобретает энерrию
( dE / dt ) Е === S lУ [а ro ( и) Ь ro ( и) ] , ( 5.55 )
которая пропорциональна плотности потока энерrии S в волне
и определяется разностью между скоростями истинноrо поrлоще
ния II вынужденноrо испускания квантов.
Танова простейшая схема описания обмена энерrпей между
излучением и свободными электронами в rазе, коrда их взаимо
деЙствие имеет Rпантовый xapaRTep. Дело 'Теперь за явными BЫ
рая,ениями для коэффициентов потлощепия .и: испускания.
э 9. ПОЛУRлассический способ нахождения
квантовых Rоэффициентов
Нахождение Rоэффициентов a ro , b w , dаюf dю требует расемотре--
ния KOHRpeTHoro мехаНИ3l\lа взаимодеЙствия, причем: достаточно
вычислить только один из них. CTporo rоворя, это (Должно быть
сде:rано квантово механическими методами. Подобные расчеты
СJlОЖНЫ и мало На!rлядны. Возможен, однако, хотя и не слишком
С1роrий, но зато простой и наrлядный полуклассичеСRИЙ подход
1\ этой задаче, RОТОРЫЙ дает вполне удовлетворительные результа
ты. Смысл ero состоит в том, чтобы вычислить скорость тормоз--
нота излучения dQro по :классической электродинамике, а [[отом
с определенной оrоворкоЙ перейти к се ению самопроизвольноrо
испускания кванта по связующеfr формуле (5.47). :Коэффициенты
117
b w , a w после этоrо немедленно находятся по формула I (5.30) t
(5.51) .
Мы здесь моrди бы поступить даже еще проще, поскольку пу
тем рассмотрения механизма взаимодействия выше уже был най
ден классический коэффициент [Iоrлощения IlWhЛ формула (5.: 8).
ТОрМОЗIIое излучение dQw можно вычислить и при помощи пр.иН
ципа детальноrо равновесия, но только, в отличие от п. 8.3, сфор
мулированноrо на чисто Rлассической основе. Одна:ко ввиду
ПРИНЦИlпиальной важности вопроса мы найдем dQw незаВИСIIМЫМ
путем, а принцип детальноrо равновесия используем для дpy
той цели.
9.1. Тормозное излучение. Соrласно выводам l\лассичеСRОЙ
электродинами:ки, излучение системы зарядов определяется Bro
рой производной ее дипольноrо момента d. При рассеянии элек
трона «неIПОДВИЖНОЙ» тяжелой частицей, атомом, поном d ===
=== er== ew, rде w(t) ус:корение электрона*). В 1 с YCKopeH
НО движущийся электрон излучает энерrию 2e 2 w 2 /3c 3 . За все Bpe
МЯ взаимодеЙствия с рассеиваЮЩIIМ центром электрон излучает
энерТИIО
00
f5 == + ;: S lw (t)]2 dt.
oo
Если нас интересует спектральный оостав излучения, нужно
подставить сюда разложение функции w (t) в интеrрал Фурье и
произвести интеrрирование по вре lени. В результате получи\{ [t;
в виде интеrрала по частотам. ПОДЫIIтеrра.льное выражение и
даст :количество энерrии, излученное в частотныЙ интервал от
w до ffi + dffi:
00
8 2
d л е I 1 2 d
(!)(J) ЗзW(J) ш,
с
w === J:.. S W ( t ) e i(J)t dt
(J) 2л '
oo
rде W ro фурье RОl\1Iпонента вектора ускорения.
Будем интересоваться излучениеJ\1 частот ffi V т . Тоrда эфq)е:к
ты последовательных относительно редких столкновений можно
считать независимыми. Имея в виду, что сам ант рассеяния про
исходит очень быстро по сравнению с периодом осцилляций \поля,
лредставим w(t) в виде дельта функции времени: ,v(t)== vб(t),
rде v изменение вектора скорости при рассеянии (ср. с ypaB
нением (3.1)) **). Тоrда Ш ro == v/2л и
2
d15 (J) == 3 ( V)2 dffi. (3.56)
л с
*) JлеRтрон электронные СТОЛRновения к излучению не ПРИВОДЯТ:
.. .... ....
d === erl er2 === (e/п ) (т.l + тV2) == О
в силу сохранения И:МПУЛLса 7пУl - тV2 == const (ср. с п. 2.6).
**) Время взаимодействия порядка 10 16 С, тоrда RaK даiRе для видимо..
ro света 2л/ш ,....., 10 15 с.
118
ЧТобы найти энерrию, которую электрон излучает (за 1 cj в спек--
тральный интервал d(f) во всех направлениях, нужно просуммиро--
вать dФ о) ;ПО вс8'М столкновениям, происходящим в течение 1 с,
Т. е. усреднить (5.56) по всевозможным уrлам рассеяния е и YM
ножить на частоту столкновений 'VCA
На самом деле классическая теория излучения таит в се1бе
,.,
rлуоо:кое и неразрешимое в ее рамках противоречие, ROTopoe в
данном случае проявляется в том, что полное излучение во всем
CnttRTpe, т. е. интеrрал от dФ о} по (f) от О до 00, оказывается бес
:конечным:. Этот результат, который в истории физики IПОЛУЧИЛ
название ультрафиолетовой J:i,атастрофь , в свое время явился
ОД И:М из серьезных побуждений к пересмотру классической фи--
зини. Противоречие устраняется Rвантовой теорией, которая ут--
верждает, что свободный электрон, имеющий скорость и, не MO
жет излучать кванты, большие e(ro энерrии, Т. е. частоты (f) >
> (J)шах == ти 2 /2п.
, Если учесть это обстоятельство и не применять формулу (5.56)
:к частотам (J) > Шта'\:, ею можно с успехом пользоваться, о чем
свидетельствует сопоставление с результатом Rвантово механиче
CKuro расчета. Ifнтеrрал от dФ (j) по частота I следует оrраничить
верхним пре;::I;ел:ом Штах, И тоrда Iполучается прави:льное значение
Dолноrо ПЗJучения во всем спектре. Излучаемая энерrия оказы
вартся малой не только по сравнению с энерrией электрона, но
даже по сравнению с небольшой упруrой потерей энерrии при
рассеянии. Поэтому при усреднении ( v) 2 абсолютное значение
скорости V м ожно считать неиз менны м, что дает < ( v) 2) ===
:=:.2V2(1 cos8). Помня, что "c(1.-соs8)==V m (п. 2.2 rл. 2), по
луч:им *) -
2 2
4 l V V m mv 2
dQ(J) == Эл с 3 а(!) эрr/с, dQ(j) == О hри (J) > 21i . (5.57)
9.2. Закон Rирхrофа. Такое название носит принцип деталь
noro равновесия для излучения в классической физике. В УСЛОВII
ях термо инамическоrо равновесия тормозное излучение компен
сир:у"ется поrлощением. IB классике существует е\диный механизм
поrаощеНIIЯ э.lеJ{тромаrнитноЙ ВОЛНЫ свободными электрона:м:и,
описываемып :коэффициентом IlШI{Л по формуле (5.38). Волна по
rлощается не отдельными электронами, как н:ванты, а электрон--
HЫ 1 rаЗО 1 в целом, так что выражение для Ilо}кл, в которое входит
величина Vm(V), следует усреднить по спектру электронов. 3Ha
ЧИТ, с поrлощением следует сопоставлять тормозное излучение,
таRже усредненное по СRОрОСТЯМ электронов. В условиях paBHO
весия распределение :м:ан:свеЛЛОВСI\ое и
< dQro) п е == 1 roравн аш dQ </lroRЛ) эрr /( с. си 3 ), (5.58)
*) в случае u) /"'V V m реЗУЛ1)таты последовательных столкновениЙ не яв"
ляютсл независи:мыми и в формуле появляется знакомый нам множитель
(i)2 j( (02 + \' ).
119
тде 1 ыравн интенси:вн{)сть равновесното излучения, но не плаН....
:КОВСRая (5.49), а та, Rоторая следует иlз RлассичеСRОЙ фпзики
и дается формулой Рдлея Джинса: Iюравн == ffi 2 kТ/4л 3 с 2 (R ней
сводится (5.49) при nffi« kT). Если ПQдставим в (5.58) выра Jt{\e
ния (5.57) и (5.38) с (02)> " , убедимся в том, что при постонн",
ной часто'те СТО."ТJRIIовений " т (и) == const равенство (5.58) деЙстви...
тельно выполняется « ти 2 ) == 3kT). Оlrраничение " т (и) == const, не
случайно: вырал\ения (5.38) для J.!roнл, (5.23), (5.24) для а ы .. Ею
являются приближенными. Они совпадают со строrими соо rпо
шениями, вытеRающими из решения кинетическоrо уравнения,.
ТОЛЬRО при условии " т == const (п. 6.1 rл. 7).
9.3. I-(паитовые Rоэффициеиты. Пользуясь выражением (5 57)
для dQ(j), по формуле (5.47) найдем сечение самопроизвольноr()
TOpMo3Horo излучения квантов пffi элеRтронами скорости и:
d 4 e 2 l? mv 2
О'С!) 3 3 О'т dw, nffi 2 ·
л с 1ioo
(5.59)
Оно пропорционально транспортному сечению рассеяния элеRТрО
на. Это и естественно, ведь квант излучается ТОЛЬRО при СТОЛRНО'"
вении электрона с тяжелой частицей. По формулам (5.51), (5 50)
найдем Rоэq)фициенты Ью, a ro . Выпишем только один из них.......
:коэффицпент истинноrо JJоrлощения (на один элеRТРОН и один
атом) при ш 2 " :
2 Е + "IiOJ Е + 1ioo а т (Е + 1iro)
а ( и ) а
W (ОН:! 3 Е 1i 00 G т (Е) ,
а WНЛ == I1WНЛ/ N п е === 4ле 2 VО'т (и)/тсш 2 .
Мы намеренно так сrруппировали мно}кители, чтобы выделить
:классичеСRиii Rоэффициент. На рис. 5.3 представлены результаты
(5.60)
З9 5
Оы, Ь(д,10 см
а ы
10
Рис. 5.3. Коэффициенты I1С
тинноrо поrлощенил аы и
ВЫНУiБденноrо испускания
Ью квантов NЮ == 1,78 эВ,
рассчитанные на один
электрон и один атом Ar и
Не [25]
30
20
ё, .э!З
о
10
20
вычисления а ы п Ью для атомов aprOHa и rелия и частоты руби
HOBoro лазера в диапазоне энеprий электронов, отвечаЮll ем усло
виям оптическоrо пробоя этих rазов.
120
9 10. Фактические rраницы примеНllМОСТИ
классическоrо подхода R эффектам взаимодействия
10.1. Предельный переход от квантовой теории к классической.
Привлекательные своей простотой и наrлядностью формулы клас
сической теории открывают больше возможностей для аналити
'Ческоrо ИСС.JIе,];ования закономерностеЙ явлений, чем более слож
вые форму:ты и зачастую нерешаемые уравнения квантовой Teo
РИИ. Поэтому важно знать истинные пределы примеНIIМОСТИ
классики с тем, чтобы, с одной стороны, не выйти за эти rрани
ЦЫ, а с друrой не обмануться, :коrда на [первый взrляд пред
ставляется, будто обращение к квантовому описанию является
неизбежным. Как мы сейчас увидим, в вопросе об обмене энертией
между излучением и своiбодными электронами в слабоионизован
но:м rазе леrко совершить перестраховку, OTBeprHYB возможность
использования классических выражений.
В соответствии с квантовой трактовкой эффеI ТОВ взаимодей
ствия, п{)r:rощение световой волны свободными электронами в
ионизованном rазе описывается реЗУЛЬТИРУIОЩИМ КQэффициентом
поrлощения (5.53), а приобретепие энерrии электроном в поле
волны формулой (5.55), rде I вантовые коэффициенты а ы и Ь rл
определяются ПРИ1ближенными формулами (5.60), (5.50). ПереЙ
дем R классическому пределу пю ---+ О, дЛЯ чеrо проведем: во всех
формулах разложение по малому параметру пЮ/Е« 1. Получим,
что с точностыо до малых (порядка пЮ/Е предельные коэффици
енты истинноrо iпоrлощения и вынужденноrо испускания одина
:ковы и равны
аы(Е) Ьы(е) (2E/31l(f))a IOНJ1 <х> ю 3.
Такая зависимость характерна для !{вантовы-х: ТОр IОЗНЫХ процес
сов *). Разность коэффициентов в пределе составляет ОТНОСIIтель
но малую величину:
. [ a(J) (е) da(J) ]
11nl [a(J) (Е) b(J) (Е)] == пю 2 + d === а(J)КЛ I""'V (o 2,
ы o е е Ы O
В точности равную классическому коэффициенту. Поскольку S ==
=== сЕ2/4л, скорость приобретения энерrии (5.55) ,принимает клас
сическое значение ДВЕV т (СМ. (5.10), (5.11)); нужно только иметь
,., 2 2
Б ВЦДУ, что мы С самото начала ПОВСIОДУ отuрасывали V m В (f) +
2
+ "т.
Предельное значение KBaHToBoro коэффициента результи:рую
щеrо поrлощения получается равным
00
1 . 4ле2 S , ( ) 3 d ( ) d
1ffill(J)ИВ == 2 Vm V V d 2 v.
(J) O 3тсю v v
О
*) Процесс поrлощдния излучения, обратный тормозному испусканию,
часто для краткости называют тормозпым поелощеlluе t, хотя буквально Ta
ное словосочетание пеприемлемо: при поrЛОlцении электрон не тормозится,
а ускоряется.
121
В случае постоянной частоты СТОЛRновений 'V m == const интеrри
рование по частям с ер ( 00 ) === о дает Rлассическое значение !-lcuкл,
которое как раз и: справедливо при условии
" т == const *).
10.2. Критерий при:меНИМОСТII формул классической теории.
Нак ПОRазали чисто формальные вычисления предыдущеrо раз
дела, :квантовые формулы для llюнв и: (dE/ dt) Е превратились в K,Т{ac
сичеСRие при условии пю« Е. 3наЧIIТ, для справедливости K:IaC
сичеСRИХ формул вовсе не требуется, чтобы значение нванта БЫJIО
мало по сравнению с энерrией ДЕЕ, Rоторая в средне'1: переда
ется элеRТРОНУ при СТОЛRновении (энерrией колебанпй элеRТрО
на). Не обязательно, чтобы нвант был меНЫ11е и тех порций
энерrий I ДЕ+ 1, которыми электрон на самом деле обменивается
с полем в индивидуальных СТОЛRновениях с атомами. Достат()ч
но, чтобы значение нванта \было l\1:ало лишь по сравнеНПIО с самой
энерrией элеRТРОНя. Е, а это условпе \Значительно мяrче, ибо
Е » I Д Е:!: I » Д Е Е "'"' € но 'I .
Однако сделанное заRлючение арrументируется доводами
лишь математическоrо, но не физическоrо характера, и заранее
вряд ли можно было бы на нем настаивать. Так уж получается,
что и при квантовом процессе резу.:ТIЬТИРУlощая СI\Орость нараста..
ния энерrии элеRтрона совпадает с классической. Фпзическая
сущность процесса, безусловно, остается квантовой: в каждом
IIндивидуальном анте энерrия э;rеRтрона изменяется в ту или
друrУIО стороцу на пю **).
10.3. Статистическая трактовка К:Iассическоrо выражения в
суrубо квантовом случае. Ноrда ДЕЕ < Izю, равенству (dE/dt)E ==
== ДЕЕV т можно придать статистическую интерпретацию, как
это часто бывает при квантовом толковании результатов каасси
ческой физики. Поясним это на примере, который приводился
В л. 8.1. В поле излучения рубиновоrо лазера при Ео == 107 B/c'i 2 ,
чему соответствует плотность ПОТОRа энерrпи: S == 5 . 1010 BT/Cvr 2 ,
элеRТРОН при столкновении приобретает в среднем ЭНерrпю EE ==
== 0,024 эВ, которая в 74 раза м:еньшр энерrии кванта пю ==
== 1,78 эВ. Если энерrия элеRтрона Е 10 эВ, как это получается
при оптичеСRОМ пробое ['азов, формальное условие ПРИl\1:енимости
классических формул Е» пю с :каноЙ то степеныо приближения
можно считать выполненным. «Противоречие» ДВЕ« пю разре
шается так: в действительности электрон испытывает 73 столкно
вения, не ОТIf)ирая от IПОЛЯ НИRаRОЙ энерrии, а на 7 4 й раз ПО)JУ
чает сразу полную ПОрЦИIО пю == 74,1Ев.
*) Выписанное предельное интеrралъное выражение является более
общим JT\feHHO оно получается из раССl\r10трения нинетическоrо уравнения.
**) Предельноrо перехода от истинноrо поrлощения и вынужденноrо
ИСПУСRанин к соответствующим 1\лассическим величинам b+, 8 нет. IIз
ложенная кваНfовал теория оперирует только одноквантовыми. процесса...
МИ, тоrда иак классичеСI{ие llОрЦИИ 1нерrии I e:i: I включзют в себя 'MHOfO
квантов.
122
Оптический пробой rазов (во всяком случае, излучениями
неUДIIМОБоrо и рубиновоrо лазеров) принадлежит к числу тех
квантовых процессов, \тде допустимо пользоваться классикой, ибо
характерные энерrии элеI{ТРОНОВ заметно больше nы. в rл. 6 мы
познакомимся с друrим случаем. При расс:мотрении тепловоrо
излучения, поrлощения света и лучистоrо теплообмена в низко
u
температурнои плазме классика аОСОЛIОТНО неприменима, так как
основную роль иrрают кванты энерrии NШ порядка нескольких
kl'c 1 эВ. Роль вынужденноrо излучения при этом экспоненци
ально мала, и фактический, квантовый, коэффициент поrлощения
JlШИВ ,......,. ю 3 имеет существенно IIHYIO частотную зависим:ость, чем
классический I-tШl{Л"""'" (j) 2.
r д а в а 6. :ИЗЛУЧЕJIИЕ и поr ТIОIЦЕIIИЕ СВЕТА. ПЛАЗМОl:t
Свойство разрядной плазмы светиться, быть IIСТОЧПИКОМ излу
чениЙ различных диапазонов с давних пор широко используется
в физическом эксперименте, в спектроскопии, в осветительных
приборах и др. IIотери энерrии плотноЙ ни\зкотемпературной плаз
мы на пзлучение нередко ВЛПЯIОТ на ее энерrетический баланс,
температуру, а следовательно, и на протекание
разрядноrо процесса. Все это ставит вопрос
об оптических свойствах плазмы в ряд важ
неЙших ддя физики rазовоrо разряда.
Световые кванты появляются и исчезаIОТ
при радиациОNNЫХ переходах электр нов из oд
них энерrетических состояний в друrие, и нлас
си<IJицпровать механизмы излучеНIIЯ и lIоrло
щения удuбнее всето, перебирая llОЗМОЛ НЫС
варианты переходов. Плотная равновесная
плазма является более мощным излучателем,
чем слабоионизованная, и в отличие от послед
ней взаимодействие электронов с ионами иrра
ет в ней очень БОЛЬШУIО роль, в том числе п в
отношении излучения. Что I асается Jлен:трон
Jлентронных столкновений, то, как объясня
лоrь в сноске на с. 118, нн IIзлучения, ни пu
rлоп ения света при этом не происходит.
Рассмотрим систему, СОСТОЯЩУIО из элеБ
трона и «aToMHoro остатка» или положитель
Horo иона. На рис. 6.1 изображена cxe
ма энерrетических состояний (уровней) элентрона. Энерrия OT
считывается от rраницы непрерывноrо спектра, раздеЛЯЮII ей
своБО,J;пые п связанные состояния. Уровни связанных состояний
к rранице сrущаются. Нижний ооответствует OiСНОВНOIМ:У состоя
НИIО атома. Стрелками Iпоказаны возможные тиlпы переходов:
свободflо свободNые, св.язаNJlо свободNые, св.язаllNо св.язаNllые. Пе
123
э 1. Типы радиационных переходов
" С600 сеоо
"
Сбяз сбоб
ССяз с5яз
JJ
Рис. 6 1. Схема
:::>Н срrети ЧРСRИХ
УРОВНСН И перехо
дов элеRтрона в
поле положитель
Horo иона
реходы сверху вниз сопровождаются излучением кванта энерrии
пю, равной разности между энерrиями BepXHero и нижнеrо со...
стоянии; переходы снизу вверх поrлощением.
Свободно свободные переходы представляют собой тормоз1tое
uзлучеNuе при кулоновских столкновениях электронов с ионами
и обратные процессы TOpM03NOZO поzлоще1tuя. О природе ТОр fОЗ
ных процессов rоворилось в Э 9 rл. 5, правда, в применении к
столкновениям электронов с нейтраЛЬНЫ1МИ атомами, но существа
дела это не меняет. СвязаННО СВOIбодные переходы это процессы
ФОТОUОlluзацuu и фотозахвата. О них шла речь в п. 2.1, 3.3 r:I. 4
как о l\fеханизмах рождения и rибели электронов. Свободно сво",
бодные и связанно---свободные переходы даIОТ 1teпpepbleNble спект..
ры, или Iiоптипуум, поскольку либо начальное, либо конечное,
либо оба этих состояния электрона лежат в непрерывном энерrе...
тическом спектре. Связанно связанные \Переходы электрона между
дискретными уровнями в атоме приводят к излучению и поrло..
щению спептраЛЬNЫХ ЛUNUЙ. Разновидностью ЛUllейчатых спект..
ров ЯВЛЯIОТСЯ полосатые спектры молекул, которые также обяза..
ны своим происхождением связанно связанным переходам:. На..
сыщенность молекулярных спектров линиями, которые внутри
полосы располаrаIQТСЯ очень тесно, обусловлена сложностью си...
стемы энерrетических уровней молекулы. Ка,ндому электронному
СОСТОЯНИIО соответствует множество колебательных и: вращатель--
ных, и возможно MHoro вариантов лереходов между ними.
Свободно свободные и связанно вободные переходы происхо--
дят и при взаимодеЙствии электронов с неЙтральными атома:м:и.
Тормозное поrлощение TaKoro рода является rлавным мехаНИIЗ--
мом диссипации энерrии электроматнитных волн и внешних из..
лучений в слаБОИОIlИЗ0ванном rазе (Э 9, 10 rл. 5). Тормозное
излучение в оптическом диапазоне в слабоионизованном rазе яв--
ляется крайне слабым из за малости числа электронов.
О связанно свободных переходах в поле неЙтральных частиц
также упоминалось в Э 4 rл. 4 как о возможных механизмах
образования и разрушения отрицательных ионов (фотопрuлuпа..
пие, фотоотрыв ). в качестве механизмов излучения и поrЛОlцения
света роль этих лроцессов в азоразрядной плазме не очень зна--
чительна (в отличие от звездных фотосфер). Необходимые для
дальнеЙшеrо общие IПОНЯТИЯ теории излучения: uпTeNCUe1tOCTU
излучения, выпуждеппоzо и cпoпTaппozo испускания, RОЭффИЦИ
ента поzлощеllUЯ света, запопа Кuрхzофа, выражающеrо принцип
детальноrо равновесия для излучения, и друrие были введены
в Э 8, 9 rл. 5.
S 2. Тормозное излучение при сrолкновениях
злеRТрОIIОВ с ионами
В п. 9.1 rл. 5 рассматривалось тормозное излучение электрона
при СТОЛRновениях с атомами. На основе чисто классической
электродинамики в приближении мrновенности акта рассеяния
была вычислена спектральная излучательная способность элек..
124
трона dQro [эрr/с] (см. (5.57)). Потом при помощи определяюще
то СООТНОПlения (5.47) был сделан переход от dQ(jj к сечению da(J}
иопускания квантов энерrии пю в интервал dю (CiМ. (5.59)).
Выражения (5.57), (5.59) для dQro, da ro можно с успехом при
менить и к случаю рассеяния электрона ионами. Следует лишь
заменить частоту " т И сечение а т столкновениЙ с атомами на
величины, описывающие кулоновс:кие столкновения с ионами:
'v НУ л === п + V а НУ ТI ( и) , а НУ л ( и) == л [2 r НУ л ( и) ] 2,
rде Т нул (и) === Ze 2 /тv 2 характерный радиус кулоновскоrо взапмо
действия электрона с ионом, заряд KOToporo равен Ze *). Та ой
простой подход IПрИВОДИТ К величинам dQro, da ro , Bcero в 'Л/1'3 ==
== 1,8 раз меньше тех, которые дает вычисление на основании
фактическоrо заI\она ускорения электрона в поле иона. С учетом
уточняющеrо множителя 'Л/у 3 для дифференциальноrо сечения
тормозноrо излучения получим
16л Z 2 e 6
da (i) === v 3 9 d(f) · ( 13. t)
33т с и'""пШ
В 1 см 3 В 1 с в спектральный интервал dю тормозным меха..
визмо:м: излучается энерrия
dJ roторм ==
00 5 z2п+пe ( пш )
== пюп+пеCfJ (и) v dv dcrU) (и) == С Т 1 / 2 ехр kT dю, (6.2)
11 m 111
16 ( 2л ) 1/2 е6 38 1/2 '
С == 3 3 т3/2c3kl/2 == 1.08-10 эрr. см 3 . К ,
rде ер (и) dv нормированная на единицу функция маI{свеллов
ското распределения электронов, Vml n === (2nю/т) 1/2 напменьшая
скорость, имея которую электрон может испускать квант энер
тии nю. Спектр тормозното излучения определяется 1\1:ножителем
ехр ( nю/kТ). в основном излучаIОТСЯ кванты энерrии (порядка
kT. Больших I\BaHToB с энерrиеii nю kT излучается мало: их
способны испускать только очень энерrичпые электроны, принад
лежащие хвосту маRсвелловскоrо распределения.
Э 3. Рекомбинационное излучение
3.1. Сечение фотозахвата. При радиационном захвате электро
на сwорости v В связанное состояние с отрицательной энерrией
Еn из::rучае-rся квант энерrии
NЮ === IEnl + ти 2 /2. (6.3)
Найrдем сечение это:rо шроцесса аси, лрименив слеДУIОЩИЙ, не
слишком строrи й, но оправдывающий себя прием. Справе,ДЛИ"
*) В этой rлавf' при раСС\10rрении радиационных процессов мы будем
учитывать множитель Z, имел в виду, что псе результаты применимы и к
мноrозарлдным ионам.
125
вость выражения (6.1), если рассматривать ero как дифференци
альное сечение тормозноrо излучения, оrраничивается маRСИ:
мальным квантом пю mах == ти 2 /2, испуская который электрон еще
остается свободным. Распространим формулу (6.1) и на испу
скапие квантов большей энерrии. ЭлеhТРОН в таких слу/чаях OCTa
ется с отрицательноЙ энерrией, т. е. оказывается в СВЯlзанном
СiOстоянии. Если превышение пю над пю шах невелико, электрон за
хватывается на верхние возбужденные уровни атома.
Но при с}уиксированной начальной энерrии электрона Е == ти 2 /2
испускаются кванты с дискретными значениями энерrий (6.3),
тоrда как dо ш это сечение испускания :квантов в сплошной
спектра2IьныIr интервал dю. Чтобы выйти из Iположения, ВОСIПОЛЬ
1"'"
зуемся тем оостоятельством, что верхние уровни атома распола
rаются очень близко друr к друrу, и будем интересоваться CYM
марным сечением испускания квантов в малый, но конечныЙ
интервал ю около ю. Электрон попадает при этом на один из
n уровней, принадлежащих энерrетическому интервалу ;j,E::=:
===1z1.ю около Еn==Е пю. Если ;j,E4:..IE n l, захваты на все эти
n уровнеЙ почти равновероятны. Следовательно,
da(J)
d ;j,ю == О'сnд.n,
Ш
da(J) E
cr ==
сп dш 1i!1n.
(6.4)
Будем рассматривать водородоnодоБныle системы. Электрон в
такой спстеме ДВlо-кется в поле ТОЧ8lчноrо заряда Ze, и для нее
Еn === IHZ2/n2, rде n rлавное квантовое число. Полаrая E/д.n
:dEn/dп! == 21 H Z 2 /n 3 , замечая, что l и === те 4 /2п 2 , и пользуясь
фор !уло:Й (6.1), получим сечение захвата:
16л e 1 0Z 4 1 2,1.10 22(IHz)2 ')
cr сп == V 3 4 2 о == 3 C I'" ·
3 ;) с1iП V(J)n.) е1iшn
(6.5)
СУ Iмирование по n с учетом: (6.3) и усреднение IПО v И приводят
К оцеНОЧНОll форм:уле (4.14) для коэффициента фоrореко !бипаЦИII.
Использованный для вывода Осп прием может показаться He
сколько авантюристическим. Но он имеет некие обоснования, свя
занные, в частности, с квазиклассичностыо движения электрона
".,
по ороитам с оольшими квантовыми числами n, и соr,,'!асуетсл
с TaR называемым принципом спеliТРОСliопuчесYiОй устойчивости.
3аЛIечательно, что кра:Йне rромоздкая формула, которая получа
ется в результате прямоrо квантово механическоrо вычисления
сечения фотозахвата электрона кулоновским центром, в Iпределе
п 1 в точности превращается в (6.5). Еще более поразителен
ТОТ факт, что классичесная в своей основе формула (6.5), KOTO
рая выведена для больших квантовых чисел n, XOPOIUO соrласу
ется с нвантово механическим результатом даже в случае захвата
на OCIIOBllOiI уровень n::::::= 1. И этот факт не единичен: СIПЛОШЬ и
рядом простые и наrлядные формулы излаrаемой \здесь полу
I Jl[lССIIчеiCl ()ii теории излучения оказываются приrОДНЫМII и в
1.26
«суrубо квантовых» условиях. В этом оостоит одно из больших
достоинств этой теории.
3.2. IIзлучательная способность. В результате фотозахвата
электронов со скоро тями ОТ v до v+dv на п й уровень атомов
в 1 см 3 В 1 с излучается энерrия
J (Оп == fU.i)n+пe(Jen ер (и) v dv ==
Z2 п + пр rL(i)JkT Х п ( 2Х п ) 1 и Z2
::::= С I е е dю, Х п === 2 ' ( 0.6 )
т 1 2 п ""Т п
rде константа С дается формулой (6.2). Первое выражение в (G.6)
раскрыто путем подстановки максвелловст(ой функции ер (и), а сn
по формуле (6.5) и \Замены v на ю \IIO формуле (6.3); тиаи==
17 dю.
Кванты определенной энерrии пю MorYT излучаться при за
хвате электрона на самые различные уровни, только ero :Jперrия
должна иметь избранные значения, per
ламентируемые равенством (6.3). По J wpeK
этому, ИIIтересуясь излучателыIйй спо
собпостыо rаза в данном спектральном
:интервале, выражение (6.6) следует
просуммпроrзать по всем тем уронням.
захват па иоторые MOiReT привести R из
лучению кванта данной энсрrии. В И3
лучении иваптов nю > / Е 1/ MorYT участ
вовать все уровни от п === 1 до 00. Излу
чить же нвант пю < IE 1 1 элеRТРОН может
только при захвате на достаточно BЫ O
нпе уровни с п п*. СамыЙ пижний
пз них, п* Й, определяется условием
/Е п * I < [Нй < I Eп* ll. Тан:им образом, в результате ВСР\ возмож
пых фотозахватов в 1 см 3 В 1 с в интервал dю И3JIучаотсн энерrия:
........
11.
..
(r) 17
Ып 1
Рис G 2, СпеI{ТР ре-комби
п аЦИОIIlIоrо ИЗЛУЧСНИЯ иаl{
сумма J wп (ПIтриховые I\rи
вые)
00
J ffipeK du) == dOJ J (i)n. «().7)
п*{ (i)
3.3. У среДIIение спектральной ФУНКЦIIИ. СпеI{ТР рено,,1tБUllаци
опНО20 излучения, которыЙ дается функцией (6.7), ПОI{аlзан на
рис. 6.2. При повышснии частоты, начиная от KaKoro To значения
ю п === I Е п ! /п, число слаrаемых в сумме сначала сохраняется II из
лучательная способность падает блаrодаря :множителю
ехр ( hu)lkT), которыЙ присутстnует в каждом слаrаемом J шп. КalК
только Ю достиrает значения Юп 1, В излучение включаIОТСЯ за
хваты на п 1 Й уровень, к сумме добавляется еще одно слаrае
мое и J шрек испытывает СRачок, тем болыпий, чем ниже уровень,
т. е. чем больше ю. Лишь после последнеl'О скачка IПрИ ю == Фl
испускание уменьшается монотонно до самorо ;конца.
В области относительно малых квантов энерrии, т. е. п* 1,
аубцы и впадины спеRтральноrо «частокола» чередуются столь
насто, что нет смысла «разрешать» TaKYlo сложную спеитральную
127
функцию. Ее естественно ycpea1tUTb, С2ладuть, что автоматичес:ки
получается, если Iзаменить суммирование по п IIнтеrрированием:
х n ( 2Х n ) X r n* Хп Х
е п '- е dx n е 1,
n* О
пШ
Х === kY.
(6.8)
Здесь, в соответствии с определением п *, положено, что х n *
IEn*l/kT х. Энерrетический разрыв между вторым и первы:м
уровнями велик, и при nю > IE 2 1 приближение (6.8) теряет
смысл. В протяженной области Х2 < Х < ХI сум:ма остается IПОСТО
янноЙ. При Х > ХI основной вклад в сумму вносит слаrаемое с
п == 1, которое необходимо учитывать индивидуально. При х > Х2
имеем
2: """ { е Х2 1, Х 2 < Х < Х 1 ,
""" е Х2 1 + 2х 1 е Хl, х> х 1 .
Вообще, чем больше слаrаемых в сумме (6.8) учптывать ин
ДИВIIдуально, тем лучше будет описание истинной спектральной
функции.
(6.9)
э 4. Полное испускание в непрерывном спектре
4.1. Спе:ктральная излучательная способность. Она СRладыва
ется из тор.JtО3НОЙ (6.2) и реnомбu1tаЦUОN1tой (6.7) составляющих
и с учет о}! (6.8), (6.9) определяется следующей пр:wближенной
фОр fУЛОЙ:
Z2 п + пe ( 1iW ) 3 8
J u) dю == С 1/2 чr kT dю ЭрI /( с. см 3 ), С === 1,08. 1 O , (6.1 О)
{Т [К]}
1, х == nw/kT < Xg == I Eg I kT,
(x g)
'у (х) == е, Xg<X< Х 1 ,
(x Xg) (X Xl)
е + 2х 1 е , Х > Х 1 === IjkT.
Il0rкольку на практике формулы подобноrо типа применяют для
сложных (неводородоподобных) атомов, rде понятия rлавноrо
RBaHToBoro числа недостаточно для характеристики уровня, энер
rия связп НИi-кнеrо ВОЗlбуждеНlIоrо состояния обозначена IEg\ BMe
сто IE 2 1, а вместо /E11 введен потенциал ионизаЦИII 1.
В области не очень больших квантов nю < /Egl ВRлады CBO
бодно связанных и свободно свободных переходов в излучатель
I'!'
ПУIО Ciпосооность относятся !{ак
J юрек : Iюторм [ехр (nюjkТ) 1] : 1.
(6.11 )
'Следовательно, кванты NЮ < 0,7 kT излучаются в основном TOp
MOdHbIM механизмом, а пю > 0,7kT рекомбинационным. При
128
т === 104 К кванты NЮ === 0,7 kT == 0,6 эВ (л === 2 мкм) принадлежат
инфракрасной области спектра. Они существенно меньше 3Rаче
ния /EgJ, ноторое для водорода, например, составляет Iн/4 ===
о
=== 3,37 эВ (л === 3700 А; это область БЛижнеrо ультрафиолета).
Значит, соrласно (6.11) излучение праRтически Bcero спектра, за
исключением инфракрасной области, обусловлено рекомбинацион
ным механизмом. Таное положе
ние типично для низкотемператур
вой плазмы. Тормозные процессы
иrрают там не60ЛЬШУЮ роль и BЫ 3
ступают на первый план лить
при излучении в довольно дале
ком инфракрасном и СВЧ диапа
зонах.
4.2. Уточнения. Изложенная
простая теория служит идейной
Основой для последующих уточне
ний и усовершенствований, HOTO
рые имеют rлаВIIОЙ целью при
ложение ее R неводородоподобным
атомам. Результаты кваIIтово ме
ханических расчетов сечений с 1,5
привлечением спеНТРОСRопических
данных об уровнях знерrии aTO
мов в конечном счете представля O
ютсн в виде поправочноrо множи
теля S ( ffi ) R выражению (6.1 О) .
в пределе малых частот, которые
излучаются при захвате элеRТРО 0,5
нов па самые верхние уровни,
1, поскольку верхпие уровни
всеrда водородоподобны. ИМ COOT
ветствуют орбиты большоrо pa
диуса, rде поле aToMHoro OCTaT
на RУЛОНОВСRое. Поправочные
мнОжители меняются от атома R
атому нереrулярным образом и
при росте частоты в диапаЗОllе
видимоrо света имеют значения
от 1/5 до 3 (рис. 6.3). При деталь
lСЫХ расчетах неСRОЛЬRО нижних уровней учитывают индивиду
<1 съно. nроме Toro, вводят поправочный множитель e tix llОрЯДRа
Рl ИНИЦЫ, учитывающий снижение rраницы непрерывноrо спектра
и з за Rулоновскоrо взаимодействия заряженных частиц в плазме
и СЛияния уширенных верхних уровней Это снижение определя...
ется формулой Инrлиса Теллера (1939 Т.) (см. п. 6 5):
f1E 1,0. 10 п:/15 эВ, ДХ:== 0,1211 :/15/ т (К J;
нодробное об усовершенствованиях теории см. в [6.1].
!) [О П Рай зер
"
"
Хе /"
"
"
"
/ " "
"
,," Kr
,
А,...
........
..........:::.-.:-
" 51.
2
2,07
4,14
17)), з/J
0,5
1,0
v 101(; f
,
....Не
.;:.:-.:::: ....Hg
.................... '..,...... ... .... L 1.
... ....
............Mg
....""С
"
'"
,," "N
.... "
, ,, 0
.......<" ,
.... ". ...... ""
........ .... ......Не
!J
0.5
1. О 1.' 10 1S C 1
, ,
Рис 6 3 Частотная зависимость
поправочноrо множителя, на HO
торыи следует умножать RОЭффИ
цивиты поrлощения и излучения
для атома водорода, если приме
пять множитель R реальным aTO
мам [6 1]
129
4.3. Интеrральное излучение. Если интересоваться потерями
эnер2UU плазмы на тепловое uзлучеnuе, выражение (6.10) сле
дует проинтеirрировать ло всему спектру. Здесь, однако, необхо
димо сделать СУll ественную O\rOBopKY. Кванты, превышающие по
тенциал ионизации атома, tКoTOpыe излучаются очень интенспвно
при захвате электрона на основной уровень, столь же интенсивно
поrлощаются неВОЗ1бужденными атомами ( 5). При тех те:мпе
ратурах, при которых вообще существуrот неионизованные атомы,
подавляющее болыuинство их пребывает в основном состоянии..
Поэтому Еванты пю > 1 не мотут далеRО уйти от места CBoeI'O
рождения, ра\зве если таз очень сильно разрежен. Значит, pac
очитывая потери энертии плазмы, чаще Bcero не следует вклю
чать в них энерrию, уносимую «нежизнеспособными)} квантами
энерrии пю > 1. Эта энерrия тут же по соседству возвращается
в rаз. По этой причине мы проинтеLrрируем (6.10) не до 00, а толь
ко до (f) === I/n. Получим, что 1 см 3 плазмы в 1 с излучает в He
прерывном С\пектре энерrию
Х 1
kT 1/2 S
J == С 1i Z2n+ne чr (х) dx
о
1 ,42 .10 37 {Т lK]}1/2 Z2n+ne (1 Xg) KBTjCM 3 , (6.12)
rде Xg === IEgl/kT. Единица в окобках соответствует вкладу в J
участка спектра от О до частоты (f)g === I Eg/ /n, которую на,зывают
zраnuчnой. Слаrаемое Xg в скюбках, обычно порядка нескольких
единиц, описывает вклад частот от (f)g ДО Ю1. В то же врем:л
единица соответствует вкладу тормозноrю излучения во всем
опектре от О до 00, а Xg Вiкладу ре:кюмбинационноrо, от О ДО Ю1.
ЭТО видно, если проинтеrrрировать (6.2).
Приведем пример оценки радиационных потерь. Рассмотрим
aproH при р === 1 атм, Т === 12 000 К. При термодинамичеCJКОМ paB
новесии по формуле Саха (см. Приложение) nе == n+ ===
=== 6,7 . 1016 CM 3 (Z === 1). Энерrия связи нижнеrо возбужденноrо
состояния /E g / == 4,3 эВ, TaR что Xg == 4,1. По формуле (6.12)
1 === 0,36 BT/CM3. Чтобы ощутить масштаб этой величины, допу
стим, rчто плазма остывает за счет высвечивания. Тоrда pCpdT / dt ===
=== l (Т), тде С р удельная теплоемкость при постоянном дав:rе
нии, р плотность. При начальной температуре рС р ===
=== 1,9 . 10 7 кДж/ (см 3 . К). Масштаб времени для заметноrо пони
жения температуры составляет t == РСрТ/! === 6,3 . 10 3 с. На самом
деле радиационные потери MorYT быть в 2 3 раза больше из за
излучения в линиях.
э 5. Поrлощение в непрерывном спеRтре
Принцип детальноrо равновесия устанавливает связь между
характеристиками излучения и поrлощения света. Поэтому все,
что касается лоrлощения при свободно..,свободных и связанно
130
свободных переходах, можно получить, располаrая результата...
ми Э 2 4.
5.1. Тормозное поrлощение. Соотношения ( 5.50), (5.51) для
'Тормозных Rоэффициентов, рассчитанных на элеlментарный aRT,
оправедливы и в случае столкновений элеRТРОНОВ с ионами. С по
мощью выражения (6.1) для d(Jw найдем Rоэффициент истинноrо
llоrлощения RBaHToB пю, рассчитанный на один электрон CROpO
сти v И один ион:
16л 3 Z 2 e 6
аш (и) == y 2 3 '
33т c1i (J) V
(6.13)
Эта формула была выведена Крамерсом в 1923 Т. и историчеСRИ
послужила основой для раlзвертывания всей IПОЛУRлассичеСRОЙ
1'еории излучения Iплазмы в неlпрерывном спеRтре. "Умножая
a w (и) на п+п е и усредняя по СRОрОСТЯМ v С маRсвелловским рас...
пределением, получим Rоэффициент TOpMo3Horo поrлощения света
Б плазме:
z2 п + пe 1
'Хшторм === С 1 Tl/2V 3 СМ ,
4 ( 2 ) 1/ l 6 /
С 1 ==="3 з'Л т3/2eCkl/21 == 3,69.108 см 5 /(с 3 .К 12 ).
(6.14)
в численной формуле мы перешли к частоте v === (fJ/2л в c l, KO
торой чаще пользуются в литературе при сообщении Clправочных
данных. .
Для небольших по сравнеНИIО с kT RBaHToB, n частности, при...
менительно к инфраRрасной области спеRтра, в формулу (6.14)
1Звuдят уточняющий множитель фап7 ар ТаУllта:
уз 4kT ( 1") . 1 )
g == ln e2пl/3 == 1,27 3, и8 +]g т [К] -зlgпе .
е
в условиях плотной НИ3RотеМJIературной плазмы g 1,5 2,5.
5.2. Сечение фотоионизации. Оlбозначим a vn сечение для aro
МО:В, пребывающих в п M состоянии; N n их плотность. В 1 см 3
В 1 с происходит 4л (lw/h(fJ) d(fJ(JvnN n актов фотоионизации IIЗ п ro
состояния, совершаемых квантами пю в интервале d(fJ. При этом
рождаются электроны со скоростями v в интервале d,v, тде v
определяется равенством (6.3), и mvdv === hd(fJ. На п й уровень
птом:ов в 1 см 3 В 1 с захватывается
п+песр (и) иаиа сn (1 + 4л 2 с 2 1 ю/П(fJ3)
1'<1.НИХ электронов. Второе слаrаемое в скобках описывает вынут..
) (\пные акты фотозахвата. Приравнивая скорости прямых и об...
ратных процессов, подставляя максвелловскую функцию ер (и) ,
IIланковС/кую интенсивность lrop и заменяя комбинацию пeп+/N n
).
131
по формуле Саха Больцмана, в RОТОрОЙ Iп == IEnr*), получим
общую связь сечений фотоионизации и фотозахвата:
(Jvn === (g +/ g n) (тvcjh (fJ ) 2асn. (6.16)
"у водородоподобноrо аТOIма gn == 2п 2 , g+ === 1, асn
мулой (6.5). Отсюда сечение ФОТОИОНlfзации
8л e 1 0mZ 4 18 п ( Ш n ) 3 ')
а"n == V 6 3 5 === 7,9.10 ""2 CM ,
3 3 c1i ffi п Z W
дается фор
(6.17)
rде юn === IEnl/п rраничная частота, ниже которой вырывание
электрона с п o уровня атома невозможно. Сечение фОТiOэффекта:
падает с увеличением: частоты от Iпороrа юn как ю 3. Сечение BЫ
рывания электрона из невозбужденноrо атома водорода (Z == 1,.
п === 1) имеет у пороrа ПОРЯДОК 1 o 17 см 2 . Как и сечение фОТО
захвата (6.5), сечение фотоионизации (6.17) полностью оов'па
дает с результатом квантово механичесН!оrо расчета при п 1.
Неlплохая точность получается даже для п === 1. 3КСlперименталь
ные данные по фотоионизации неВOIЗ1бужденных атомов и моле
кул приводились в табл. 4.2.
5.3. Полный Rоэффициент поrлощения. Он складывается И3
Rоэффициентов тормозноrо (6.14) и фотоионизационноrо Хwф по
rлощения:
00
Xw == 'XWTOPM + Хwф, Хwф == N navn.
n*( ш)
(6.18)
Последний представляет собою су\мму парциальных Iкоэффициен
тов, которые относятся к атомам, преiбываЮЩИIМ в различных
квантовых состояниях. Самый нижний уровень Е n *, -который
еще участвует в поrлощении данноrо кванта пш, определяете н
так же, как и для фотозахвата (п. 3.2). Сlпектр поrлощения, как
и спектр и/злучения, имеет характер «частокола» по мере YBe
личения частоты в поrлощение ВRлючаются все менее и менее
возбужденные атомы.
Подставим в (6.18) сечения (6.17) и выразим с помощью ф'ор
мулы Саха БОЛЬЦiмана плотности N n череlЗ лроизведение пеп+,
*) Формулой Саха Больцмана называют комбинацию формул Сала
и Больцмана, из котороЙ исключена плотность нейтральных а томов Фор...
мула связывает равновесн.ые числа п е , п+ и заселенность N n п ro уровня
атома. В rазе с одним сортом ионов
пп g I ( 1 )
== ....i.. АТ; 2 ехр ,
N n gn kTe
А == 2 ( 2'JПnk ) 3/2
,,,2 ,
rде gn, g+ статистические веса атома в п OM состоянии и иона. Формула
содержит именно JлеRТрОННУЮ теипературу. Блаrодаря этому она применТI
ма и при Те -::/= Т, так как заселенность вер:лних уровней атомов находится
в равновесии со свободными ,)лектронаl\fИ, даже если плотность последних
не равновесна.
132
'чтобы привести %U>ф R виду, подобному %ЫТОРМ. В выражении для
%Wф при этом выделяется множитель С 1 , который фиrурирует в
(6.14), а сумма приобретает вид (6.8). Применительно к квантам
ПW < IE 2 1 сrладим «частокол» путем замены суммирования инте
rрированием, как в (6.8). Для KBaH
тов пw> 'Е 2 1 воспользуемся прибли
жением (6.9). В результате этих
операций получим
z2 п + пe х
%(U С 1 1/2 3 е чr (х) ==
Т v
Z2 п п х \ 1 ' ( )
=== 4 05.1() 2'3 + е е х CM 1
, {Т [К)}7/2 х 3 '
(6.19)
тде функция чr (х) дается формула
ми (6.10). В последнем выражении
(6.19) частотная зависимость Хы цe
ликом представлена в безразмерной
форме, х === пw/kТ, что удобно для
вычислений. Вклады фотоионизаци
OHHoro и тормозноrо механизмов в
поrлощение при пw < IEgl xapaKTe
ризуются тем же соотношением
( 6. 11 ): ( е Х 1): 1.
При не слишком высоких темпе
ратурах, коrда степень ионизации
мала, произведение п+п е в (6.19)
удобно выразить с помощью форму
ль! Саха через плотность атомов N,
Rоторая в этом случае непосредствен
но определяется давлением р === Nkт.. Для не очень большпх
ивантов (12ю < IEgl) получим
)с === 16л Z 2 e 6 kT N g+ ех ( 1 "fiW ) ===
(u 3 VЗ "fi4cffi3 ga р kT
Z 2 N g ех р [ ( Х x\ l
=== 1 n5.10 7 .....:!: 1 J CM \ (6.20)
, {Т [к]}2 ga х 3
;с "'-> ф / /V, CI.f 2
t \"'" 1"',..
11<.;, I \ I '...
5 ч ,'- i'
I ".\ "
I \ I "'" '
Zj ::..ooи['-\ "
" I
r "' "'
L I I . , " j
' \ I \ I '-..1' "-
, 1, "-
/п 2C 1..,
u I ,
'1 ,
\ "
; L \! \110000 к",
3 v, 1О.] СМ -f
I I I I
10 20 30
Рис 6.4. Rоэффициент фото..
ионизационноrо ноrлощенил
квантов в ксеноне из расчета
на один атом. Сплошные кри"
вые получены путем замены
суммирования по уровням ин-
теrрированием, u{триховые
путем непосредственноrо сум..
мирования с учетом фактиче-
скоп сА емы уровне й [6 1]
тде хl === I/kT, g+, ga статистические веса иона и атома. Эта фор
мула называется формулой Уltзольда Крамерса (1938 т.). CTe
лень приближения сrлаженноЙ спектральной функции типа
(6.19), (6.20) к ФактичеCJКОМУ «частоколу», рассчитанному с уче-
том KOHrкpeTHЫx особенностей системы уровней атомов, иллю...
стрируется рис. 6.4 на примере ксенона *).
*) В спектроскопии частоту света часто измеряют в CM l, заменяя ее
обратной длиной волны л 1 === v/c; 1 CM 1 соответствуют v === 3 . 1010 C I,
1i (j) === 1,24 . 10 4 эВ, п (J) / k === 1,1:4 l{; 1 эВ соответствует л 1 == 806 7 CM 1.
133
Формулами (6.19), (6.20) обычно ThОЛЫЗУЮТСЯ для оценок ко..
эффициента !поrлощения света наrреТЫIМ тазом *). Рассмотрим
о
для примера, как поrлощается [Красный свет л == 6500 А врав...
новееной водородной плазме атмосфеРНОI\О давления. Пусть Т ===
=== 104 К. При этом nе «: N, N 7,7 . 1017 CM 3, Х == 2,2 и по фор
муле (6.20) с Z === 1, g+ == 1, ga === 2 Xw == 5,5 . 10 5 CM I. Длина
/пробеrа кванта до поrлощения % ш 1 180 м Ка\К видим, плазм:а
сильно прозрачна (в непрерывном спектре). При Т === 2 . 104 К
ионизация сильная и целесообра/знее пользоваться формулой
(6.19), так как плотносrь оставшихся атомов N все равно при
шлось бы вычислять. Имеем: nе === n+ === 2,0 . 1017 CM 3, Х == 1,1 и
%w=== 3,2 . 10 3 CM 1. В этом случае заметна поправка на вьu/;ужде1t
1toe иcnycпa1tue и реальное поrлощение описывается Rоэффициен
том (п. 8.4 rл. 5)
X == XU) [1 ехр ( 1i(j)/kT)J -== XU) [1 ехр ( х)].
Длина пробеrа излученпя (X ) 1 4,8 м.
Поrлощение света резко возрастает при наrревании rаза. Этю
связано с наличием множителя ехр [ (! пш) /kT] в формуле
(6.20), который имеет ясное происхождение. ПQ1rлощение оБЯlза
но в основном фотоэффекту. Нвант пш может вырвать электрон
только из атомов с энерrией возбуждения не менее J пш. Число
их по закону Больцмана пропорционально указанной экспоненте.
5.4. Квантовая форма закона Кирхrофа. Коэффициент поrло...
щения (6.19) можно получить чисто формаЛЬНЫIМ (путем из из
лучательпой опособности (6.10) IПрИ помощи соотношения, KOTO
рое в кванrловой физике является эквивалентом закона Кирхrофа
(п. 9.2 rл. 5). Проделанный выше вывод (6.19) имел единствен
ноЙ целью сделать воз\можно более ясным содержание ЭТОII важ
ноЙ формулы. Обозначим jw количество энерrии, которюе излуча
ется спонтанно в 1 см 3 В 1 с в единичный интервал частот (j) и в
единицу телесноrо уrла: jw === J w /4Jt. Как отмечалось в п. 8.3 rл. 5,
\IIодное испускание складывается из спонтанноrо и вынужденноrо
1""
и всеrда для люооrо механизма составляет
jw (1 + 4Jt 3 c 2 Jw/h(j)3) эрr/ (с . см 3 . fц . ср). (6.21)
В условиях термодинамическorо равновесия испускание (6.21)
компенсируется поrлощением %wJ w, а интенсивность IIзлучения
имеет планков скую величину (3.49), откуда
3
. 1 ( 1 nU)/kT ) пЫ 'v nU)/kT
JU) U)pxU) е ""U)e ·
4л с
(6.22)
в этом равенстве предполаrается наличие термодинамическоrо
равновесия в самом веществе, точнее, в тех степенях свободы,
с которыми взаимодействует Иlзлучение, электроны, воз\бужден
) Формула (6.1 g) обладает большей общностью, чем (6 20). Ее, в OT
личие от (6 20), можно применять и при неравновесной ионизации, пони...
мал под Т длектронную температуру.
134
вые состояния атомов. Ведь в (6.22) фиrурирует температура,
с учетом последней оrоворки электронная температура; о том,
что оказывается возможным в особом случае неравновесной cpe
ДЫ, см. в 1 О
Из заRона Rирхrофа, в частности, вытекает, что любые по
правочные множители, которые 1П0являются при уточнениях Teo
рин (п. 4.2) в равной мере относятся R j(iJ И X(iJ.
э 6. Излучение спектральных линий
rлядя на светящуюся плазму, мы во мноrих случаях воспри
нимаем не непрерывный спектр, а наиболее интенсивные ЛUliuи.
Именно линии придают разрядам цветовое мноrообразие и под
час dавораживающую красоту. Например, положительный столб
тлеющеrо раlзряда в ap:roHe имеет теrмНО Rрасный цвет, в неоне.........
кирпично красный, в парах натрия i-нелтый, калия зелеН1..IИ,
ртути зеленоватыЙ. Источником линейчатых спектров для экс
периментальных исследований, как правило, служит разряд в тех
или иных rазах. На измерениях !параметров линий основаны IПИ
роко распространенные и эффективные методы диаrНОСТИRИ плаз..
мы. Работами сравнительно недавнеrо времени (шестидесятых
rодов) было llоказано, что излучение в линиях вносит сущест"
венный энерrетический вклад в радuацuо1tliыle потери плаЗ\1Ы.
6.1. Вероятности радиационных переходов. При самопроиз"-
вольном переходе атома из BepxHero, n ro энерrетическоло состоя..
ипя в нижнее, k e, излучается квант, пffink === Еn Ek (см. рис. 6.1).
Скорость испускания атома в данной линии S [эрr/с] (сила, ип..
re1tCueliOCTb линии) определяетсJf вероятностыо радиационно о
перехода Ank [c l]. По квантовой механике
4
А 4 (J)пk d 2 3
/; == nШпk nk 3 З:-- I nk I , (G.2 )
rде d nk матричный элемент дипольноrо \момента атома d. Мат..
ричные элементы удается вычислить ЛИIIIЬ дЛЯ простейших си..
стем типа атома водорода. Для сложных атомов вероятности Ank
находят из опыта. В табл. 6.1 представлены данные для некото"
рых сuльпых линий, лежащих в видимой области спектра. Обрат..
A 1 u
ная пеличина 't === nп представляет сооои время жизни атома
в n OM возбужденном состоянии [10 отношеНИIО R радиационТIОМУ
переходу п ----+ k.
Вероятности переходов имеют масштаб 108 c l, времена жиз..
ни 10 8 с. Такие величины :можно получить из (6.23), полаrая,
что квадрат матричноrо элемента дипольноrо момента атома имеет
порядок среднеrо квадрата этой величины, Т. е. порядок ( еа о)2,
а частота ffi Iи/h.
6.2. Классическая модель излучающеrо атома. Если ие под--
ставлять цифры, а раскрыть буквенные выражения для боров..
CI{OrO радиуса ао и постоянной Ридберrа 1 н/ h, увидим, что из Mac
135
штаба величины S вы1адаетT постоянная Планка. Значит, эта
величина должна иметь определенный «классический» смысл.
И действительно, классика придает ей исключительно наrлядное
физическое толкование и, вообще, позволяет уяснить мноrие cy
щественные Iза:кономерности явления.
т а б л 11 Ц d 6.1. Ilapa\-lетрbl некоторых сильных аТОМНЫХ линиЙ в ВИЦИ
МОМ спектре
Атом, о
Л, А Переход W, эВ gn gh j 1
ЛИНИЯ Aпn., е
На 6563 2s 3р 2 (),425 2,2.107
2р 3s 12,оа 6 0,014 4,2.106
2р 3d 6 0,695 6,4.107
Наеред 6563 2 3 18 8 0,641 4,4.107
НВ 4861 2s 1р 12,75 2 0,102 Н,5.10 6
2р 4s 6 О ,ооз 1 8.103
,
2р 4d 6 0,122 2,0.107
Н Веред 4861 2 4 32 8 0,119 8,4.106
Не 5 76 2 р ЗРО 3d 3 D 23,1 15 9 0,62 7,1.107
Ar 6965 4s 4р 13,3 3 6 8. 106
,
Al' 4259 4s 5р 14,74 1 4 1 .106
,
Na 5890 3s 2р 2 0,98 6,2.106
5896
Hg ;)461 6s6p 6р7 s 9 0,08 2,П.10 7
5791 6s6p 6s6d 3 0,7 9,0.107
lVlоделью излучающеrо атома в Rлассической фИlзике служит
упрусо связаli1tыlй элеIКТРОН, который совершает колебания около
положения равновесия (осциллятор). Эта схема не так уж далека
от нвантовых представлений Oiб электронном строении атома.
Вращение ЭЛ8Rтрона по орбите можно разложить на колебания
вдоль декартовых осей около Toro же центра (ядра) с той же ча..
стотой. В нулевом приближении Уlпруrо связанный электрон со...
вертает rаРМОНИ1ческие колебания с собственной частотой шо
и обладает энерrией W === т(() <r 2 ), дe r радиус вектор, отсчи
тываемый от точки равновесия. Ero квадрат У1средняется по
вреl\tIени за период. Осциллирующий электрон движется с YCKO
рением И, следовательно, излучает электромаrнитную волну, при
чем той самой частоты, с которой он колеблется. Как rоворилось
в п. 9.1 тл. 5, в 1 с излучается энерrия
2 2 ш 4 2е 2 ш 4
S == /d 2 "- <d 2 ) === <r2).
3с 3 " / 3 с 3 3с 3
( 6.24)
!\лаСlсичеСR<1Я формула (6.24) очень похожа на Rвантово механи
ческую (6.23): удвоенному значению квадрата матричноrо эле...
136
(l\iIeHTa дипольноrо момента соответствует средний за Iпериод KBaд
рат момента.
В результате излучения энерrия осциллятора убывает с Te
чением времени IПО закону
dИ//dt === s === lW; W === vVoe rt,
у == 2е2юб/Зтс3 == 2 47.10 22",gc 1, "'о === 00 2л.
(6.25)
Здесь W o начальная энерrия колеба:ний. Величина "{, которая
характеризует время потери энерrии т === 1 1, Нalзы-вается поста--
линой затухапuя. По своему смыслу она соответствует веРОЯ7liО--
сти радиационной потери возбуждения Ank и для типичных атом..
ных частот '" 1015 c 1 ИJVIеет правильный IIIОрЯДОR "'( 108 c l.
о
Например, для фиолетовоrо света л === 4000 А, v === 7,5. 1014 c l,
"'( == 1,4 . 108 c l. Условие слабоrо затухания 1« Vo, которое лежит
в основе вывода (6.25), выполняется с большим запасом.
6.3. Естественные ширина и форма ЛИIIИИ. Поскольку воз--
бужденное состояние атома не является cTporo стационарным,
а имеет конечное время жизни 1', знерrетическии уровень Еn, со--
rласно кваlIтово механическому принципу нео\пределенности, раз--
1tIЫТ на величину E -п/1'. Следовательно, частоты излучения
в линии имеIОТ разброс порядка ДШ E lti l' l А n( . Эта
ширина линии, СУIцествующая Н8зависимо от внешних ВЛИЯНl'лUr,
назьfвается естествеllпой. Она очень мала: 0 108 c I« 0
1015 c l.
В классической модели линия также пмеет ширину, причем
теория позволяет леrко определить распреде.ление излучения в
линии по частотам. Колебания э'Лектрона, rаРМОIlические ЛИJlIЬ
в HY:IeBoM приблпжеНIIИ, на самом деле слабо затухают: r ==
=== ro ехр ( lt/2) sin OOot, тде fo а:мплитуда в момент t == О, соот--
ветствующая начальноЙ энерrии W o . Но затухающим колебаниям
отвечает не единственная частота 00, а НОкий спектр. Цуr сипу--
соидальных колебании имеет теперь конечную длитеJIЬНОСТЬ по--
рядка l' == 1 1. Это значит, что Rолебанил разных частот в резуль
тате СЛОJI-\ения должны уничтожить друr друrа при t> Т. ДЛЯ
этоrо за время l' они должны набрать фазовый сдвиr примерно Л,
откуда ют "'" Jt или u) "'" "{.
Сlпектральный состан излучения можно определить изложен
БЫМ в п. 9.1 тл. 5 стандартным методом путем разложения в
интеrрал Фурье вектора ускорения r. Нак дает вычисление, за
время полноrо затухания от t === О до t == 00 в определенный ча
стотный интервал d0 излучается следующая доля начальной
энерrии осциллятора W o :
do w у dw
== F L (ю) d0 2 2 . (6.26)
о Jt (00 (00)2 + (у/2)
Функция F L (ю ), нормированная в (6.26) на единицу по частоте
00, характеризует форму естественной линии, ее называют лореп..
137
цевой. Она ,покаlзана на рис. 6.5. Частотная шuрu1tа пU1l,a IПО по...
лувысоте равняется 0 == 1. В шкале длин волн ширина не зави
о
сит от частоты и составляет Дл == сДvlv == 4ле 2 /3тс 2 1,2.10 4A
Rвантовая механика также дает для естественной линии лорен
цеву форму (6.26); ширина 1 определяется сум:марно:Й шириноЙ
уровней п и k.
6.4. Уmирение линий. В реальных условиях липии, как пра
Вило, rораздо шире естественных. Тому есть несколько причин:
столкновения,. тепловое движение, эффект
Штарка. При столкновении с ка:кой нибудь ча
стицей колебания «осциллятора» сбиваются
случайным образом. Rолебания после столкно",
вения никак не скоррелированы с предыдущи
ми, т. е. фактически цуr синусоидальных коле...
баний имеет Rонечную длительность порядка
среднеrо времени между СТОЛRновениями aTO
ма в тазе '"['с. Эффект столкновений внекотором
см:ысле равносилен деЙСТВИIО затухания, также
оrраничивающеrо длительность I\олебаний. По
Рис. 6.5. Форма ec этому не удивительно, что линия, уширенная
тественной спеRТ столкновениями, имеет лоренцеву форму (6.26),
ральной линии а ширина ее Уэф складывается из естествонной
У и столкновительной ДШ С "'-" 'Т 1. Последняя
пропорциональна плотности (давлению) и в не чрезмерно разре...
женном rазе превышает естественную.
При высоких температурах rаза преобладает доплеровский
механизм. Если излучатель движется со скоростью и навстречу
приемнику, ero частота увеличивается на 0 === (и/с) 0, если от
нето уменьшается. Случайный характер тепловоrо движения
атомов приводит к СПЛОШНОМУ раlЗМЫТИЮ линии. Блаrодаря мак--
свелловскому распределению по скоростям, линия приобретает
rayccoBY форму с относительной шириной по Iполувысоте
uv/G'l' тих
I
I
I
1
I
I V o I
I I v/2тr
I 11
>1 1<
v
u)D/0 === /1ЛD/Л == 7,16 . 10 711 Т [К] /А,
rде А атомная масса. Этой формулой пользуются для оценки
температуры rаза путем измерения IIlИРИНЫ линий (предвари
тельно убеДИВIIIИСЬ в ТО;\1, что уширение имеет и:м:енно доплеров
скую природу ) .
Штарковское уширение связано со снятием вырождения и pac
щеплением уровней атомов под влиянием статистических полей
соседних заряженных частиц. Эффект наиболее силен для атома
водорода и некоторых уровней rелия, коrда расщепление лропор
ционально первой степени IПОЛЯ Е. В подавляющем большинстве
остальных случаев эффект квадратичен по Е и слабее, так как
фактически речь идет о стеlпени отношения Е \К внутриатомному
полю Ео == е 2 /а; === 5,14.109 В/см, и Е/Ео« 1.
Разность энерrий между наиболее удаленными компонентами
расщеплепното п терма водорода ооставляет /1 Е == 3еЕаоп (п 1) .
138
ФизичеСRИ она определяется разностью потенциалов, которая со...
здается полем Е в крайних точках п й атомной орбиты cp
Еаоп 2 . В плазме поле создается ближайшими зарядами и по
Е 2 2/3 1/3
порядку величины равно ;"-/ e/r "-/ еп е , r;ue r;"-/ п е сред...
нее расстояние между заряженными частицаlМИ. В силу стати...
стическоrо характера полеи, возможны разнообразные расще\п
ления, поэтому излучающий уровень и сам:а линия оказываются
размытыми. Частотное штарковское уширение имеет порядок
\'B "'" 8/h. Для линии H f ) с п === 4 уширение в шкале длин волн
имеет порядок
'1 2 3е 2 а п (п 1 ) л 2 о
Л'i Л ;"-/ О 2/3"-/ 0 t:::. 10 10 2/3 А
jjl'vS ti'Vs h пe;"-/,J п е .
с с
На самом деле такая оценка верна для описания действия
поля иовов, которые движутся медленно, в силу чеrо их поля
являются квазистатичеQКИМИ. Воздействие же свободных электро"
нов имеет ударныЙ характер. "Ударное уширение пропорционально
плотности электронов и лоrарифмиrческому множителю, который
уменьшаеrrся с ростом п е . Результирующее уширение довольно
2/3
хорошо аППРОRсимируется тем же законом п е , но ero значение
раза в четыре болыпе, чем [10 приведенной оценке. Коэффициент
при п;/3 слабо зависит от Т и п е . В диапаJоне Т "'" 5000 40 000 К
при изменении п е от 1014 до 1017 CM 3 штарковская ширина ли
нии Hf3 ПО уровню половинной интенсивности меняется винтер...
вале
ЛS (1,8 2,3).10 10п;13A.
"
Этой формулой наряду с теорией штарКОВQRОI'О контура линии
широко пользуются для измерония плотности электронов в плаз--
ме. В исследуемый rаз подмешивают пемноrо водорода, СIIиматот
контур линии Hf3 и измеРЯIОТ се ширину. Метод применим, ссли
IlIтаРКОВСRИЙ механизм Уlпиренил преобладает над доплеРОВСRИМ.
ПеРВЫI1 не зависит 01' температуры, второй от электронной
плотности. Для линии Н В , например, при Т === 104 К И п L
о о
=== 1014 CM 3 Лs === 0,42 А, ЛD === 0,35 А; при Yle === 1017 CM 3 Лs ==
о
=== 48 А. Таким образо:м, для такой типичной температуры, как
1 эВ, измерение п е возможно, если п е > 1015 CM 3.
6.5. Сдвиr rраницы серии. Исследуя спектры излучения мот [10
.заметить, что число линий в серии, соответствующеЙ переходам
электрона из состояний с различными п в определенное нижнее
состояние, оrраничено. Это связано со снижением rраницы He
прерывноrо спектра из..,за кулоновскоrо взаимодействия заряжРн
ных частиц и слияния уширенных уровней. Это снижение дается
формулой Инrлиса Теллера (п. 4.2). Они определяли снижение
из условия равенства IlITapKoBcKoro расширения водородноrо
уровня 8 3еЕаоп2 (п. 6.4) и расстояния между уровнями
21 н/п 3 === e2/a п3. "Уточненное по сравнению с п. 6.4 значение cpeд
139
Hero полs в плазме с однокраlТНО ионизованными атомами есть
Е 3,7е(п е + п+)2/3. Отсюда получается связь rлавноrо KBaHTO
Boro числа caMoro ВЫСОRоrо еще дискретноrо уровня пma с плот
востью эле.RТРОНОВ в плазме
п е [2 (3. 3, 7)3J2a n i] 1 О, 91.1023n mi /2
и снижением rраницы непрерывноrо спектра д.Е === IH/n ax (см.
л. 4.2).
6.6. Излучательная способность. В 1 см З В 1 с в линии п k
излучается энерrия J nk === h ffinkAnkN n. Обозначая через F ( ш) HOp
мированную на единицу функцию формы любым обраЗОl\f уши
ренной линии, мы можем записать спектральную излучательную
способность rаза, обязанную данной линии, в виде
J(J)dffi === (4л) l1iffinkAnkN nF (ш) dffi эрr/ (с . см 3 . ср).
(6.27)
По существу, в этой записи отражен тот фундаментальный фа\кт,
что уширение линии не меняет ее площади, т. е. площади кривой
рис. 6.5, уменьшается высота пика. Физически это объясняется
тем:, что полное излучение в линии, т. е. интеrрал от (6.27) по ш,
определяется вероятностью самопроизвольноrо внутриатомноrо
перехода, которая Iпрактически не зависит от внеIIIНИХ влияний.
Последние (например, неупруrие удары) MorYT СLКазаться лишь
на числе N n атомов, подrотовленных к данному переходу. По
дроБIlее о сохранении площади линии будет рассказано в сле..
дующем паратрафе.
s 7. Селективное поrлощение
7.1. Эффективное сечение поrлощения в линии, уширеНIIОЙ
столкновениями. Под действием поля электромаrнитной волны
Е === Ео sin ffit упруrо связанный электрон совершает выlуждеп
l-tble колебания с частотой поля. При ;ЗfОМ он непрерывно теряет
энер\rию на излучение. Кроме TO O, при каждом столкновении
происходит «сбоЙ» колебаний, и ЭЛ8lКТрОН каждый раз как бы
раскачивается полем заново. Обе причины вызывают необходи
мость в восполнении энерrии электрона, которая черпается у по
ля. Следовательно, электромаrнитная волна поrлощается. Точнее,
к поелощепuю, т. е. диссипации энерrии в тепло, IПрИВDДЯТ только
СТОЛ1l,повепuя. Затухание, в сущности, приводит R рассеяпuю CBe
та, так :как энерrия волны переизлучается практически на тоЙ
же частоте.
Рассмотрим этот процесс так же, как в п. 1.2, 2.2 л. 5, исходя
из уравнения движения электрона с учетом усредненных Iпотерь
ero импульса (действия «сил трения»), вызванных затуханием и
рассеянием при столкновениях:
т . + тffi r === ....... еЕо sin ffit тr. 'Vэф, 'Vэф === 'V + 't;l.
(6.28)
140
Решение ЭТОIrО уравнения 'ес1'Ь
еЕ о sin (wt + ер)
r :::::=
т V ( ш 2 (U )2 + m21' ф ,
ш1' эф
ер == arctg 2 2 .
m w
о
в среднем за период поле ежесекундно совершает над электро--
. .
ном работу < eEr) === туэф<r 2 ). Такую энерrию волна теряет в
1 с. Поделив ее на среднюю плотность потока энерrии сЕ /8л,
получим, по определению, сечение а оо поrлощения волны осцил
лятором. Для частот Ю, близких к реЗО1tа1tС1tОЙ, I ffi (йоl « (йа,
найдем
ле 2 1'эф
а ffi :::::= ..
те (ш ш о )2 + (1'Эф/2)2
Линия поrлощения имеет лореицеву форму, в отсутствие столк
новений (у 9ф === 'у) совпадающую с (6.26), что и не удивительно,
ибо это следует из закона Кирхrофа *). в центре (ш === (йа) ес..
тественноЙ линии сечение поrлощения имеет колоссальное по
атомным масштабам значение а оо тa === 3л 2 /2л /"'v 10 9 см 2 для ви
димоrо света. Если липия сильно уширена столкновениями, ce
чение падает с ростом давления: а оо """" "Се ,......, p l.
7.2. Площадь «классической» линии. Из расчета на один
осциллятор площадь линии равняется универсальной величине,
RОТОрУЮ, следуя традиции, приведем в виде интеrрала по v:
5 аы dv (2л) 1 5 fJ ы dш :2 2,64 .10 2 CM 2 jc. (6.30)
(6.29)
Поясним качественно, почему площадь линии не зависит от ча
стоты столкновений. При ffi (йа раскачка колебаний электрона
полем имеет почти резонансный характер, а в этом случае амп
ТIитуда колебаний ra растет пропорционально t от начала pac
качки, т. е. от момента последнеrо столкновения. Значит, к MO
менту следующеrо столкновения электрон набирает колебатель
пую энерrию W сх) r сх) 'Т , И она (в среднем!) переходит в xao
-тическую. В 1 с от поля отбирается знерrия W/t e , так что CL) СХ>
(х) 1iV jT e 00 Те. Между тем (O сх) Т-;\ откуда (jоо ffi (х) const. YpaBIIe
пие (6.28), в котором потеря импульса при столнновепии «раз
:мазапа \) по времени, не описывает зтото процесса в деталях,
а фиксирует лишь ero средний результат. I-Ia рассматриваемую
-ситуацию распространяются все те соображения о возможности
приобретения и отдачи :Jнерrии полю при индивидуальном столк
новении и о классическом анаЛОLrе эффектов истинноrо поrло
*) Осциллятор излучает 'Yd 00 [эрr/с], поrлощает 4лlu)dWG оо . В равенство
этих величин нужно подставить рэлеiI ДЖИНСОВСКУЮ интенсивность и W o ==
== 3kT (осциллятор трехмерный!). При действии столкновений осциллятор
излучает 'УэфdlC 00, причем 'У в d 00 TaKiKe следует заменить на 'Уэф. Заметим,
что, более cTporo, 1' ф == '\' + 2T 1.
141.
щения и вынужденноrо испускания, которые выказыыалисьь в
п. 2.5 rл. 5.
7.3. Сила осциллятора. Количество энерrии, которое вне за
писимости от характера уширения поrлощается в данной линии
в 1 см 3 В 1 с,
s 4лI w dwxw 4лI wnh N k 5 О'ы dw,
определяется площадью липии позлощепия (N k плотность aTO
мов поrлотителей). Именно эта величина служит мерой поrло
щательной способности вещества в линии *) .
При помощи соотношения (6.22), выражения (6.27) и больц
мановской связи между плотностями N n , N k ее можно выразить
через вероятность излучательноrо перехода:
gn л 2 с 2
а (u === Аnп Р (ю),
gh (i)
S gn лс 2
a(U dv == 2 """"""'"2 Аnпе
f< k (i)
(6.31)
Площадь линии очень удобно представлять в безразмерном ви
де, взяв в качестве единицы измерения универсальный Mac
штаб площадь линии одноrо классическоrо осциллятора (6.30).
Выраженная в :JТИХ единицах площадь реальной линии, т. е.
число воображаемых RлассичеСRИХ осцилляторов, ноторое обеспе
чило бы точно такое поrлощение, как и реальная линия, назы
вается силой осциЛЛЯтора f (для поrлощения). Для одноэлек
тронных переходов в атоме силы осциллятора меньше единицы
и приближаются к еДинице для наиболее сильных линий. Они
представлены в табл. 6.1.
э 8. Молекулярные спектры
Внутренняя энерrия молекулы складывается ив электронной
(как у атома), Rолебателъной и вращательной. Каждый энерrе
тический уровень характеризуется набором элептроп1tЫХ KBaHTO
вых чисел ( обозначим наборы символически А, В, ...), полеба
телыllмM числом v и вращательпы:м j. При переходе Bv'j'
--+ Av" j" излучается определенная спектральная липия
(рис. 6.6). Линии, отвечающие одинаковым Bv', Av", но разным
i', j", образуют полосу. Разности вращательных энерrий столь
малы, что линии внутри полосы располаrаются чрезвычайно-
*) в свое время при построении феноменолоrической теории излучения
и поrлощепил света Эйнштейн BBP I равноценную величину
B kn == (1i.U)nk) l 5 о"ы dv.
Величины Ank, В яn , а таI\же ВnА (для вынужденноrо излучения; см 9 10}
называются к,оэффиЦ1.lеllтами Э,lншrейна.
{42
близко друт к друrу, на расстояниях л,......, 1 А в шкале длин
волн (рис. 6.7). При слабом разрешении реrистрирующей аппа
ратуры вращательная структура полосы вообще не различается
и спектр в ней кажется сплошным.
Рис. 6.6. Схема уровней и
радиацпонных переходов в
:молекуле. Вертикальными
линиями псказаны различ
ные полосы
OJ
.. 2
. ,
J . I
.....................
о
........... - б
...........
'"
I I I ...............
I <'\J f-l) ................
.
. "
j
,
v
7'
"
v
4
;)
2
1
О
A
Совокупность полос, отвечающих определенному электронному
1Iереходу В А, но различным v', v", называется системой пo
лос. Наиболее важные системы имеют общепринятые названия,
например полосы Шумана PYHre кислорода (переход B322
Х 3 22;), вторая положительная система азота (С 3 П и В 3 П g ).
Спентр испускания в последней fIоказан на рис. 6.8. Полосы,
Irринадлежащие одной системе, также rруппируются, образуя
последовательnости полос, каждой из которыIx отвечает \)преде
л ' "и б I
ленная разность tl v === v v . .1 ,-оrда коле ательные чпсла v ,
v" пробеrают ряд значений, но разность их фИКСIIрована, раз
ности знерrий уровней отличаются меньше, поэтому полосы
одной последовательности располаrаl0ТСЯ ближе друт 1ft друrу,
че t( полосы разных. Еслп бы частоты колебаний моленулы в
электронных состояниях А и В были cTporo один3.ковыми и KO
лебательные уровни были эквидистантными, как у идеаль
Horo rармоническоrо осциллятора, все полосы последователъно
сти Dообще накладывались бы друт на друrа (рис. 6.6). IIa ca
мом деле колебательные частоты различаются и проявляется
анrармоничность колебаний, поэтому полосы последовательности
раздвиrаются.
OrpoMHoe множество всевозможных комбинаций из квантовых
:.чисел BepxHero и нижнеrо состояний оrраничивается правилам и
отбора, соrласно которым вращательное число может изменять
я при переходе только на j' j" == О, + 1. Столь же cTpo oro
4Iравила отбора на колебательные числа нет, но среди возмож"
IIыx комбинаций v', v" наиболее вероятными являются пере
.ходы, которым отвечает вертикальное перемещепие из одноrо
143
состояния в друrое на схеме потенциальных кривых моле
кулы. Это положение называется прuпцuпО.Jl;l Фраllка КО]l
дона [27].
Наиболее резко ПрОЯВЛЯIощееся отличие молекулярных линий
от атомарных заключается в оrромной разнице их высот, т е.
R . 'l/J} . 25 :2:9
р JJff t11 J.tJл 11 О 11 LI1J 11 l б.t
у о
1; >105, D А
о'
'3 tSb 4 А
Рис 6 7 Спектр испускания в полосе O 2 ВТОрОlI положительно и систе
мы N 2 Наждая из ЛИНИt[ Врdщательнои. структуры состоит из трех, в COOT
ветствии с мультиплетным расщеплением уровней
<'"
""'"
rt:) """
ч Q:) "1- ч) t" $ \)
("\1 ф 1 0'''- "
4 N) 1'0 te J
t .
j>
Рис 68 Спектр испуснания сиете\fЫ 2(2+) (Cl\11 c\e"\IY Jровней 1\2 Пd
рис 7.11)
абсолютных значений сечений поrлощения или излучательных
способностей в центре линии. Дело в том, что однои атомной
линии, которая возникает при определенном электронном пере
ходе, Т. е. фиксированных В, А, соответствует множество моле
кулярных, различающихся параметрами колебательных и вра--
... " " " Н
щателыIхx СОСТОЯНIIИ V , J V , J. о вероятность радиацион--
Horo перехода и сила осциллятора определяюrся преимуществен--
но свойствами именно электронных структур, а не колебатель--
БЫМ или вращательным движением ядер. Поэтому, труб о rоворя,
одна и та же «площадь линии», В случае атома сконцентриро
ванная в единственном пике, у молекулы распределяется между
orpOMHbl:M числом линий, которое реально насчитывает десятки
144
тысяч. Ширины атомарных и моленулярных линий в общем име
lOT одипановый порядок величины, силы осцилляторов тоже.
Значит, высоты моленулярных линий на 4 5 ПОРЯДНОВ меньше
атомарных. Если в цеlrтрах атомарных линиЙ лабораторная плаз
м:а часто бывает непрозрачной, в :моленулярных полосах она
обычно прозрачна. По этой причине моленулярное и/злучение,
заполняя большие спектральные интервалы, вносит существен
ВЫЙ, иноrда даже определяющий вклад в nотери энерrии на
излучение плазмы азота, воздуха и др.; подробнее об оптических
свойствах молекулярных rазов см., например, [27]. Некоторые
фантические данные будут приведены в Э 9.
9 9. Переное излучения, выход ero IIЗ плазменноrо объема,
радиационные потери
9.1. Уравнение переноса излучения. При диаrпостике плазмы
спентральными методами, исследовании энерrетическоrо баланса
разряда неИ1змеНIIО возникает вопрос, сколько излучения выходит
с поверхности излучающеrо объема. В общем случае для Ha
хождения интенсивности излучения служит уравнение, которое
мы сейчас сформулируем. Интенсивность излучения Iш (r, !!),
распространяющеrося в направлении Q, ослабеваеr вдоль пути s
вследствие поrJIощения и нарастает в результате испускания
средой, с\поптанноrо и вынужденноrо *). Стационарное распреде
ление 1 (j) в пространстве устанавливается при:мерIIО за вромя
пролета света через среду, Т. е. MrHoBeHHo по ОТНОlпению к лю
бым нестационарным процессам в. самой среде. Поэтому явной
зависимости Iш от t можно не учитывать. Из СI\азаНIIоrо следует,
что
dI ( 4 3 2 ) ( 4 3 2 )
w. ,Л С . ЛС.
d Jw 1 r 3 IU) xU)Iw==JU) IU) xU) Jw .
s 1i (J) 1i (J) .
Исключив j(ij с помощью занона Кирхrофа (6.22), получим ypaв
непие nерепоса uалуче1tuя **):
,
d/ w/ds == XU) (1 (Ор / (О),
(6.32)
, ( 1 1iU)/kT ) П u
тде XU) === XU) е . ервое слаrаемое в ето правои части
описывает спонтаНllое испуснание, второе поrлощение за вы..
четом ВЫIIуждеННOlrо испуснания. От местной температуры за
, ,
висят Iшр и XU), от местных оптических свойств хш. Эти вели..
чины, разумеется, MorYT меняться и во времени.
*) Расселние в плазме чрезвычайно мало по сравнению с поrлощением.
**) В равновесной среде; о нераВlIовесной СМ. в 10.
10 ю. п Райзер
145
9.2. Интенсивность на выходе из тела. Будем реrистрировать
с позиции А интенсивность излучения 1 (й , выходящеrо из опро
деленной ТОЧКИ О поверхности излучающеrо объема (рис. 6.9).
lIаправим ось х вдоль луча ОА, отсчитывая координату от точ
1\И О В \rлубь тела, и введем оптическую Koopauпary
Проинтеrрируем
х
/
/
/
сА
Рис. 6.9. R вопросу о
.выходе излучения из
HarpeToro тела
х
.\ x (х) dx,
о
,
d ==- X(U dx.
(6.33)
получающееся из (6.32) уравнение dIU)/d; IО) ==
== I(ijp. Учитывая, что с задней поверхно
сти х === d свет в тело не поступает и там
1 U) === О, и относя решение R точке О, найдем
L(U
1(1)0 === 5 1(1)p[T( )Je Sd ,
о
d
1'(1) == 5 x dx, (6.34)
о
rде 'ТО) оптическая толщипа тела в IдаlI
Hыx луче и спектральном участке.
9.3. Прозрачное тело. Если тело оптиче
спи TOпw,oe (LU)« 1), в луче просто СУММИ
руется испусн ание с Rаждоrо отрезка пу
ти dx:
L(U 'Сш d
1 (1)0 .\ 1 (l)Р d == 5 1 (l)рХ dx == .\ j(l) dx. (6.35)
о о о
Все излучение, рожденное в объеме, беспрепятственно выходит
наружу. Если температура и оптические свойства везде оди
иаковы,
1 шо j(U d === 1 (йpX d === 1 wpT(U 1 (йр.
Интенсивность составляет малую долю 'ТО) 1 от равновесной,
плаНRОВСКОЙ величины 1 U)p. Rоrrда тело прозрачно во всеМ c:reRT
ре, потери ero энерrии на излучение имеют чисто об'ЪеМ1-iыи ха..
paI\Tep II полностью определяются интеrральНоЙ по спектру из
луча тельной способностыо 4л \ jw dw.
9.4. Абсолютно черное Te o. Пусть тело обладает большОЙ
Оптической толщиной LU) 1 (пепрозрачпо) и темп ратура ето
повсюду одинакова. На оптические коэффициенты %(U, j(U такотО
оrрапичения не накладываем. Сотласно (6.34) 1 U)O === 1 U)P, Т. .
с по ерхпости во всех направлениях выходит излучение однои
и тои Жо, плаНRОВСКОЙ интенсивности. Тело излучает как абсо
ЛЮТflО черnое *). с 1 см 2 поверхности абсолютно черноrо тела
*) Если пет не учтенноrо нами отражения от поверхности. В плазме
в оптическом диапазоне отражение и в самом деле ничтожНО.
146
Б 1 с выходит энерrия
Sp == 5 d(J) S / юр cos {} dQ S п/ юр d(J)== аТ4[эрrj(см 2 . с)), (6.36)
(2Л)
rде {t уrол между направлением {! определенноrо луча и HOp
малью к поверхности; интеrрирование ведется по полусфере; (J
постоянпая Стефапа Больцма1-iа. Полная потеря энерrии телом
на излучение в 1 с равна aT4 , rде площадь ero IIоверхно
сти. Этот привлекательный своей простотой вариант, который не
требует знания оптических свойств вещества, в разрядах прак
тически не реализуется плаlзма обычно празрачпа для излуче
ния в непрерывном спектре *) .
9.5. Самопоrлощение. В общем случае полупрозрачпоzо тела
на интенсивности выходящеrо излучения сказывается действие
зффекта самопоzлоще1-iUЯ (реа6сорбцuu). Излучение, рожденное
в точке х (рис. 6.9), частично поrлощается по пути. Поверхно
сти достиrает лить ero доля ехр ( ), тем меньшая, чем с боль
шеЙ rлубины оно идет, что и зафиксировано в формуле (6.34).
Последняя упрощается, если тем:пература тела постоянна, и уп
роп ается еще больше, если постоянен также коэффициент по
rлощения:
( 't(O ) ( X (l )
1 (00 1 (ОР (Т) 1 е 1 (ОР 1 е . (6.37)
11нтенсивность у поверхности монотонно нарастает при увели
чении оптической толщины тела, стремясь к планковской. 13ы
расти больше ей не позволяет самопоrлощение.
Как правило, разрядная плазма бывает прозрачной в непре
рывном спектре, но довольно час о непрозрачной в линиях,
точнее, в центральных областях достаточно сильных линии.
Здесь происходит реабсорбция, которая приводит н: uс а;J1сеnuю
ФОРМ9L наблюдаемой линии по сравнению с излученной. Пик OHa
зывается срезанным до планковской величины, тотда как крылья
сохраНЯIОТ свою первозданную форму. Избежать такой деформа
ции линии можно лишь путем уменьшения оптическоЙ толщи
ны плазмы, либо за счет сокращения размеров, либо понижая
плотность rаза. Эффекту реабсорбции линий приходится уделять
MHoro внимания при использовании методов спектральной диаr
ностики, при расчетах потерь на излучение теплообмена.
9.6. Степень черноты. Спектральный поток излучения Soo с
поверхности полупрозрачноrо тела, который определяется aHa
лоrично (6.36) интеrрированием интенсивности на ПOlлусфере,
зависит от rеометрии тела. Это видно из рис. 6.10а, rде изобра
жен плоский слой. Для косых лучей слой менее прозрачен, чем
для нормальных к поверхности. Самым простым является случай
полусферическоrо тела, еали интересоваться ВЫХОДОМ излучения
,
из центра основания (рис. 6.106). В этом случае, если Т, %00 ===
*) Исключение составляют лишь некоторые дуrи сверхвысокоrо дав--
ленил.
10*
147
== const,
оптическая толщина для всех лучей одинакова и
С ( X d )
S 6) == J 1 6)0 cos {} dQ == S 6)р 1 е ,
(2:rt )
УДе Sюр == Л/юр спектральный поток с поверхности черно[['о тела.
Удобной мерой интеrральноrо потока излучения с поверхно
сти полупрозрачноrо тела является степепь чер1tоТЫ е OTHO
шение фактическоrо потока во всем
спектре к стефан больцмановскому. Ею
часто оперируют при представлении
результатов расчетов, измерений. Ka
чественная зависимость степени черно
ты от оптических свойств, давления,
размеров хорошо просматривается, ec
ли вычислить ее для центра полусфе
рическоrо объема серО20 тела. Серой
называется идеализированная среда,
у которой коэффициент поrлощения х' не зависит от частоты.
Из (6.38) для этоrо случая получим
1 S x'd
е ат 4 S 6) аш ===- 1 е .
vtl:d/cOS"
а
tf
Рис. 6.10. R вопросу о CTe
пени черноты: а плоский
.слой; б полусферическое
тело
(6.38)
(6.39)
9.7. Суммарные спектры и интеrральное излучение. CYM:мap
пьиtи называют полные спектральные излучательные и поrло
щательные способности, обусловленные всеми действующими в
плазме механизмами, иптеzралыiLмuu величины, относящиеся
ко всему спектру в целом. В конце пятидесятых, шестидесятых
rодах были подробно изучены радuацuоп1tыle свойства воздуш
ной плазмы. Стимулировали эти исследования потребности pa
кетной техники: коrда космический аппарат с большой CKO
ростью движется в плотных слоях атмосферы, воздух перед ним
сильно наrревается и излучает. Попадая на поверхность аппара
та, излучение поrлощается, и это предъявляет дополнительные
требования к ero теплозащите. Полученные в ходе этих иссле
дований результаты вполне применимы и к разрядной плазме.
Приведем некоторые данные для воздуха :и азота, полученные
в работах л. М. Бибермана и ero сотрудников [6.2].
На рис. 6.11 показаны коэффициенты поrлощения воздуха
при Т === 6000 К и нескольких давлениях. Этот рисунок интере
се н, в частности, тем, что на нем ука1заны спектральные участн и,
в которых определяющий вклад в поrлощение вносят те или
иные молекулярные системы полос. За исключением области
БОЛЬПIИХ квантов, которые ПOlrлощаются в результате фотоиони--
зации невозбужденных частиц, во всем остальном спектре при
столь низкой температуре поrлощение (а значит, и излучение)
имеет молекулярную природу. На рис. 6.12 даны коэффициенты
поrлощения воздуха при р == 1 атм и Т == 8000, 14000 К. Второй
ИЗ них демонстрирует вклад атомарных линий. Степень соrласия
148
!
Х Ы , СМ I
1
111 / А У
I I
\L;(
f 111 ';
/ I I J"',(v
100 I Ш ' IUt I
I I 1M I I
I',!I II,!IIJ
([,,'1 I .t 1 1 I 11 [rY
/ ,\, y 11 \1111 I У
) [III /
!
8 N\) 1,D g,01 атм
10 Z, ' 1;
(} ;д Lf(} ШJ 00 100
102
tO 2
1.0
I
10 Ч
fо б
+ +
f N.21 ,NzM
,
2 H22, N z 1
3 N ft'7' о, в
4 N Б ;<
2
l' 10 О см t
,
120
140
-q') 6 11 Частотная завиСИМОСТЬ КОJ фф ициента поrлощения воз ду ха , т ==
НС. . .
""" 6000 К. отмечсНЫ участкИ спектра, {де определяюЩИЙ вклад вносят
некоторые молекулярные полосы r 6 . 2 ]
о
а 102
101
100
10 !
10 2
10 3
10 4
50 70
Рис 6 12. Частотная завиСИМОСТЬ коэффициента поrлощения воздуха, р ==
=== i атм. а т === 8000 К; б Т == 14000 К, uштриховаи криваи без уче-
, та спектральных лИВИИ [6.2]
f
)/6) . СМ
10 t
tO f
10 3
10 5
О
20
40
V, 103 СМ 1
90
110
149
юстрируется рис. 6.13. На рис. 6.1 i
расчетов с экспериментом илл слоя воздушной плазмы тол
показана степень черноты плоскоrо р 6 15 дает
... d 1 см Она мала плаЗМа прозрачпа. пс.. Я
щинои . ение сло
п едставление о вкладе различных механизмов в ИЗЛ ения Ca
Риной d == 1 см азотной плазмы атмосферноr.? да . т
: окаlзательное здесь роль атомарных линии, которые даю
большой вклад в интеrральное излучение.
f)..,,!З'll/(СМ 2 C/J.IvfK/vf) I I I
103
100 r
...- .-.--.,
.....,
....
....
"
....
....
....
"
"
" Q 8 ....
d uC' "
2 A; ""
1!..... I 4 \ 9 .... ...." \l
\ " '\ . 'J'Y ""
\ --. 'v ....
"
,....,}/"" \ ""' :::' ',
9/ 1\ 16 ::.':. 'J i. ",
1.:) .... '\ \; "" "'''''+' i.t : + "
"'''' +.. ,
., .
1 ::'
I "",,-- ,..
б'
ч
I
..{
10'
/. o 1
I
'7 J..
....,
I I I I
б
10 2
0,2
I
с.в 1,0
lIJ:loiJ
Рис. 6.13. Спектральная интенсивность излучения слоя воздуха ТОJl злу
d == 1 см, Т == 8000 К, р == 35 атм [6.1]. Численно она совпадает с pac
чательной способностью ]). [ВТ/ (см 3 . ср . II1КМ)]. :Кривые с цифраМ 6 _____ nO
четные вклады различных процессов: 1 полосы 02; 2, 3, 8 10, pOf!a
лосы NO; 4, 5 пОлосы 2; 6, 7 полосы Nt; 11 прилипание ЭJlекТ Jle S
к о; 12 то же для ; 13 тормозное ирекомбинационное ИЗJlуче;е Nz.
поле NO+; 14 то же для N+, 0+; 15 тормозное излучение в по II1TpJif
суммарная раС'IеТная интенсивность, ' то же для р == 38 аТМ ВООО 1<,
Хавая кривая 0,1 интенсивности ИЗJlучения черноrо тела с Т "'"
ТОЧЕН - ЭIiспеРИl\Iенты при р === 38 ат:м
r'"
д ...... б J lIJ1ep
ля оценки интеrральнои излучательнои спасо ностИ c y
ных ra30B с учетом вклада Всей соВоКупности линий MOjJ{eT JlJlp1$
ЖИТЬ ФОРМула, предложенная В [6.3] на основе опредеJ1 еgоii
теоретических соображений. Она ОТЛичается от (6.12) за }Ja t1
МНОЖителя 1+X g ==1+IE g l/kT на exp(IE I/kT), rде gO a
, соТ
rраНИЧная эНерrия Е g вьrбирается так, чтобы обеспеЧИТЬ а'1'Ъ JlB
сие с r\спериментом. Для этоrо rраничным следует c-qи:Т rpyJ1
ПИЖнии возбужденный УРоВень Eg, а тесно расположеВВУj E \
пу вторых возбужденных р уроВней атомов. V aprOBa
150
=== 2,85 эВ, тотда как IEgl === 4,3 эВ *). При Т === 12000 К, р
=== 1 атм получается J == 1,1 квт/смз, тоrда как оценка в п. 4.3
по формуле (6.12), относящейся к непрерывному спектру, дала
О,36 кВт/см 3 . На рис. 6.16 показано интеrральное излучение
aproHa. Надо сказать, что данные
экспериментов весьма разноречивы.
9.8. Лучистый теплообмен. He
редко случается, в то:и числе и в Ta 10 2
зоразрядных условиях, что И3lлуче
Еие, рожденное в местах, rде TeM
пера\тура высока, поrлощается в co
седних, более холодных слоях, и это
приводит к их наrреванию. Так ocy
ществляется лучистьzй теплообмен
перенос энерrии в среде излучени
ем. Бывает, что действие этоrо Me
ханизма даже превышает эффект
7еплопроводности вещества. Энер
rетическое воздействие излучения
на среду определяется в конечном
счете разностью между тем, сколько эверrии поrлощается,
.н тем, СТ\ОЛЬRО излучается:
с,
р :=:-100 атн
10
1
h
.fO 4-
/ I /
I /
10 БL
4 8 12
Рис. 6.14. Степень черноты
плоскоrо слоя воздуха ТОЛIЦи
но 11 d == 1 см при разных дaB
лениях [6.2]
00
q .\' dCt)x .\ dQ (1 fiJ 1 ыр) эрr/( с. см 3 ).
О ( 4n)
Эта инте ральная по уrлам и по спектру величина представляет
собой плотность источников энерrи, в веществе. Как следует
Рис. 6.15. Внлад энерrии раз
ЛИЧНI>IХ процессов в изучение
плоскоrо слоя азота при р ===
== 1 а ТМ: (сплошные кривые)
и р == 0,1 атм (штриховые)
r28]: 1 моленулярные поло
сы If тормозное излучение в
поле нейтральных частиц; 2,
j рекомбинационное и TOp
мозное излучения в поле
ионов; 4 линии атомов с л >
о
> 2000 А; 5 линии атомов с
о
Л < 2000 А; 6 линии ионов.
Внлад, обозначенный цифрой,
характеризуется участком
меiНДУ ближаЙшими кривыми
1 О r::--:;.. ;; ....:... t Ь...:;:,.. А.......... '
" t::::....... .........--
....
.... ' ? "z
...., '\ '" , v
, \
'\
........, \
\I..t..\
\ \
, \
\ \
5 \ \
\ \
\ \
\ \
\ \
,
"::>
0,8
с::,
"'
Q)
fJ 0,5
::t:
С"]
(6.40)
4-
aL/
' I
о. I L "
r "
, " 5
"
"
"
о
8 10 1L 14 15
Т, 103 К
18 20
из уравнения переноса (6.32), q === div S, тде S вектор плот--
ностп интеrральноrо по спектру потока энерrии излучения.
*) УНе I Е;\ == 3,6 эВ, у Ne 3,1 эВ, у Хе 2,5 эВ.
151
Но если лучистый теплообмен оказывает существенное эвер'"
rетическое воздействие на среду, т.. е. на распределение темпе
ратуры, то уравнение переноса, в которое эта температура вхо",
;:J;ИТ, теряет свою самостоятельность. Оно образует с уравнениями,
описывающими поведение вещества, единую систему. Решение
задач подобноrо рода, :как правило, представляет очень болыпие
вычислительные трудности. Физическое существо процесса, а бла
rодаря этому и математическое ero описание, упрощаются в слу
чаях, котда неравномерно наrретая плазма сильно непрозрачна
J,8mj(CM 3.ср) ,
103
102
(О
14
+ 1
. x 2
3
о 4
o 5
. б
. 7
o 8 ]
.. 8
g 10
I
18 T 100 К
Рис. 6.16. Интеrральнал
по спеитру излучатель..
нан способность aproHa
р === 1 атм r28]: 1, 6
только континуум, рас-
чет; 2, 5 с учетом ли
ний, расчет; 3 э«спе
римент без Ea«yYMHoro
ультрафиолета, 0,2 <
< л < 6 мкм; 7 то же,
0,2 < л < 22 мим; 4, 8,
9 измерения; 10 --- е
учетом BaR:YYMHoro Уl1ЬТ-
рафиолета, оценка по
данным эксперимента
и Интенсивность И 1 злучения повсюду близка к равновесной ве...
ЛИЧИне, отвечающей местной температуре. Плотность ПОТОRа из
ЛУчения S при этом ОRазывается пропорциональной rрадиенту
M epaTYPЫ, и перенос излучения приобретает характер лучu
ТОи теплопроводnости. В rазовом разряде подобные условия
ВСтречаются реIДКО; подробнее о ЛУЧИСТОfМ теплообмене СМ. в [27].
ОчеРR спеКТРОСRопичеСRИХ (и друrих) методов диаrНОСТИRИ плаз
:мы ИМеется -в 1 M изд., тл. 12. Там же рассматриваются ОТJ{ЛО
пения плазмы от равновесия, ВЬLзванные выходом излучения !f3
ее объема.
э 10. Принцип действия лазера
10.1. Инве р сия и У силение. Toro что рассказывалось в этой
rЛа ' v
ве, ВПолне Д остаточно чтобы У яснить принцип лазерuои ee
ие р ,
ации. Сделать это тем более уместно, что использование ra..
ЗОВоrо разряда для создания аптuвuой лазерnой cpeabL является
одним ИЗ важнейших ето современных приложений (rл. 16).
:R Рассмотрим радиационный переход п --+ k Б атоме или моле
J/JIe. Выразим выписанную Б п. 5.4 скорость Бынужденноrо
СПУСRавил через сечение аьы ЭТОLrО процесса:
j (iJ (4л 3 с 2 jtНj)3) [(iJ == N n(Jb(iJ[ (iJ эрr/ (с . ем 3 · fц . ер). (6.41)
152
Если среда равновесна, излучательная способность j(J) связана
с коэффициентом Х ю и сечением поrлощения <J аю (%со == Nk<J аю ) за...
коном I\ирхrофа (6.22), причем плотности N n , N k удовлетворяют
.закону Больцмана. Отсюда вытекает связь сечений аью И ,аасо:
аьсо ==(N,JNn)paBH exp( п(J)/kT)aa(J) ===(gJga)aa(J) *). (6.42)
Уравнение переноса излучения (п. 9.1), взаимодействующеrо
атомами в п и k состояниях, в отсутствие равновесия в среде
IIMeeT вид
d/(J)/ds == jю + Nn<JЬ(J)I ю Nk(Jаюl ю == j(J) + (N 2 N 1 )gk<J а (fJl ю , (6.43)
тде N 2 == Nn/g n , N 1 === Nk/g k плотности атомов, которые занима..
ют определенные квантовые состояния, принадлежащие энерrе..
тическим уровням n, k. В равновесном rазе плотность N 2 ==
=== N 1 ехр ( п(J)lkT) < N 1 , излучение поrл.ощается с Rоэффициен
том X , исправленным на вынужденное испускание, и (6.43) сов..
падает с (6.32). Если же в верхнем состоянии атомов больше,
чем в нижнем N 2 > N 1 , что называется иnверсnой заселеnnостью,
то излучение, проходя через среду, не поrлощается, а усuлива
ется. Интенсивность ивлучения в подобных случаях очень ве..
«JJ"ТIика, и вынужденное испускание HaMHoro превышает спонтанное
(п. 10.3). В однородной среде с N 2 N 1 === const интенсивность
нарастает вдоль луча по закону
1 ю == 1 юоеG-S, (6.44)
тде а === (N 2 N 1) g kааю nоэффициеnт усuлеnuя.
10.2. Условие rенерации. Создание инверсной заселенности на
Бакой нибудь паре уровней, что об спечивает усиление излуче..
НIIЯ вместо обычноrо поrлощения, первое необходимое условие
азерной rенерации. Второе заклю
чается в том, чтобы степень инверс 2
1I0СТИ и коэффициент усиления пре
вышали определенный минимум.
Нужно, чтобы усиление преобладало
над потерями интенсивности, кото..
рые ВС8Юда существуют вслеlдствие
рассеяния излучения, неполноrо OT
ражения от поверхностей и т. д.
Тоrда интенсивность начальнО\rо,
случайноrо луча света (скажем, теп
eQlтroBoro происхождения) будет Hapa
стать. Окончательная интенсивность будет тем выше исходной,
чем больший путь пройдет луч света в усиливающей среде. По....
Э10МУ активную среду помещают в резоиатор, часто просто об..
разовапный двумя параллельными зеркалами (рис. 6.17). Луч,
1
4-
Рис. 6.17. Принципиальная
схема лазера: 1 активная
среда, 2 полностью отража
10щее «<rлухое») зеркало, 3......
11 I)лупрозрачное зеркало, 4........
луч
*) Таково же соотношение площадей линий вынужденноrо :испускания
и поrлощения и соответствующих коэффициентов йнmтейна: Bnk ==
=== (gk/gn)Bkn (см. сноску В п. 7.3).
153
испытывая отражения, MHoro раз проходит через среду. Одно.
зерRало делают полностью отражающим, друrое полупрозрач
llЫМ, чтобы выпускать усиленное излучение наружу. Такова
принципиальная схема лазера.
10.3. Температура лазерноrо излучения. Излучению данной
частоты можно приписать температуру Т ю, определив ее TaK t
чтобы ФУНRЦИЯ ПлаНRа (5.49) с Тю давала фаRтическую интен
сивность I ю . Температура лазерноrо излучения имеет фантасти
чески оrромную величину. Пусть Р лазерная мощность, d
диаметр параллельноrо лазерноrо луча, 8 уrол ero расходимо
сти, который для и/злучения ВЫСОRоrо качества БЛИ30R к дифрак
ционному 8 "л/d, ы частотная ширина лазерной линии. Име
ем (с учетом kT ю » пы)
р == лД2 S S 1 u,dQd(f) лd 2 1 ю 82 ш л,d2 :: ( у ш == k Т ю (f).
-у хорошеrо рубиновоrо лазера ширина линии ы 1010 c )
о
(. Л 10 1 10 2 А). При Р === 10 МВт === 1014 эрr/с Тю 1020 Kf
В поле лазерноrо излучения спонтанное ИСПУСRание мерннет П
сравнению с вынужденным:
jЮСПОIlт/jювын === ехр (пw/kT ro ) 1 пwjkT ro 10 L6.
Ч а с т ь 11. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
ТЕОРЕТИЧЕскоrо и ЭКСПЕРИМЕНТАльноrо
I;JССЛЕДОВАНИЯ РАЗРЯДНОЙ ПЛАЗМЫ
r л а в а 7. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ
В СЛАБОИОНИ30ВАННОМ r АЗЕ, НАХОДЯЩЕМСЯ В ПОЛЕ
э 1. Описание электронных процессов
при помощи функции распределения по СRОрОСТЯМ
Поведение электронов в ионизованном rазе в присутствии по
.стоянно['о И переменноrо электрических полей рассматривалось
в rл. 3 и 5 в рамках эле.меnтариой теории. Все внимание в ней
Rонцентрируется на одном отдельном электроне. а при переходе
к макроскопическим величинам считается, что все электроны
ведут себя одинаково. Такой подход позволяет приближенно BЫ
числить MHoro важных характеристик ионизованноrо таза: элеR
rrрическую проводимость и диэлектрическую проницаемость, KO
эффициент поrлощения электромаrнитных волн, скорость Harpe
ванил электронов в поле. На основе этих результатов можно изу
чать мноrие конкретные процессы: 1эазряды разных типов, pac
пространение радио и световых волн в плазме и др. В далыIй
тем мы не раз будем обращаться к простым и наrллдным пред
ставлениям элементарной теории.
Однако указанный подход является весьма несовершенным.
В особенности это проявляется, коrда возникает необходимость
в анализе более ТОНRИХ и сложных ффектов: ионизации и воз
буждения атомов электронным ударом, возбуждения колебаний
молекул в молекулярных лазерах и т. д. Здесь просто нельзя
оБОllТИСЬ без знания фуипцuи распределеnuя элептроиО6. Такое
знание позволяет значительно полнее и детальнее описывать
всевозможные эффекты взаимодействия электронов не только с
ато:мами и молекулами, но и с самим полем.
ФУНRЦИЯ распределения электронов по скоростям f{t, r, v)
определяется следующим образом. Величина fdrdv есть число
з."1ектронов, находящихся в момент t в элементе объема dr ==
== d:::;dydz около точки r и обладающих компонентами скорости
от и х до и х + аи х и Т. д., причем dv == dvxdvydv z . Интеrрал от f
по все:м скоростям равен плотности электронов п е (t, r). Посколь
l\Y В пространстве имеется выделенное направление электриче
CI\oro вектора Е, скорость целесообразнее выражать не в дeKap
товых, а в сферических координатах. Вектор v характеризуется
155
значением v, уrлом наклона ,э. R полярной оси Е и азиМуталь....
ным уrлом ер (рис. 7.1) . При этом dv === v 2 dvdQ, rде dQ ==
== sin ttdf}dep элемент телесноrо уrла около направления v.
От функции f(v) леrко перейти к функциям распределения
по абсолютным зна чениям скорости ер (и) и по энерrиям п (Е ) :
п (е) ае == ср(и) аи == v 2 dv 5 j(v)dQ. (7.1)
Они такл-\е нормированы на плотность электронов п е . свяlзь меж
ду ними вытекает из равенства е === mv 2 j2:
Е
" ер
....
"
....
....
" I
"{
"
Рис. 7.1. Вектор
СRОРОСТИ в сфери
ческих координа
тах
n(e)===ep(v)jmv, <p(v)===n(e)1I2тe. (7.2)
Зная функцию распределения, можно, в прин
ципе, вычислить любую величину, ОТНосящу
юся к электронному rазу. Частота ионизаЦИII
атомов и молекул выражается формулой (4.2).
Аналотичными формулами, но со СВОИми ce
чениями выражаются частоты любых неупру
rих столкновений, любых реакций. ПIЛОТНОСТЬ
полното электрическоrо тока, переНОСIIмоrо:
электронами, ееть
jt == е S vj(v)dv.
(7.3}
Отсюда последуют выражения для проводимо...
СТИ И диэлектричеСRОЙ ПроНИцаемости. Они из...
бавлены от неопреД,еленности в выборе частоты столкновениЙ'
электронов, которая присуща формулам (5.23), (5.24) элемен
тарной теории.
2. Формулировка кинетичеСRоrо уравнения
Кинетическое уравнение для электронов представляет собой
частный случай общеrо инетичеcrИ20 уравнеНия БОЛЬЦМана Для
функции распределения частиц в rазе. По СВоему смыслу оно
выражает балаnс числа частиц в точке фазовозо прОСТраliств
2.1. равнение баланса числа частиц. Выделим о:коло Фи:кс:
рованнои точки фазовоrо пространства r, v элементарный объ
(<Rубичес:кой» формы. ПОСIЮЛЬ:КУu нарисовать шестимерный :кe
невозможно, изобразим обычныи трехмерный ({ р ис 7 2) J
б б ' . . , но
призвав Ни а ПОМОЩЬ ВОО ражени ,. удем себе ПреДста'вллть ше
стимерныи с КОО б рдинатаМИ б ОДНОИ d И r l3 «вершин» х, у, z, их, и у v
В момент t в ку ическом о ъеме == dxdydzdv dv dv Нах ' z.
Ф х у z ОДИтся
tdr частиц, так что ункция распределения f И Меет
' смысл
пЛОТ1l0сти в фазовом пространстве.
Даже D отсутствие стол:кновений число частиц в :кубе меня
ется с течением времени. Обладая Скоростью v ====; час ти
u , ца Me
вяет свое положение. r, а подверrаясь деиствию силы F, ИСПЫТЫ
вает ускорение w === v }l меняет свою скорость v Ч а
. СТИЦа ДВИ....,
156
жется в фазовом пространстве, и, ПОСКОЛЬНУ плотность 1 меняется
от точ:ки н точке, через одну «rрань» :куба в нето, вообще rOBo
ря, втекает частиц больше или меньше, чем вытекает через
противоположную. Так ПрОИСХОДИТ накопление или убыль частиц
в объеме. Столкновения приводят к тому же.
Одни частицы покидают объем вследствие рез
ката изменения вентора СRОрОСТИ или rибели,
друrие попадают в Rero после столкновения
или в результате рождения.
Через определенную трань куба (ncero их
12), например НИЖнюю заштрихованную на У
рис. 7.2, в 1 с в объем dr втекает
(fv z ) zdxdydvxdvydv z
J;
Рис. 7.2. R ВЫВОДУ
частиц. Индекс z у z составляюmеii плотности уравнения балан--
потока fv z означает, что значение потока бе са числа частиц
рется в точке z оси, «перпендикулярной» Tpa
ни. Произведение пяти дифференциалов это площаlДЬ rpани
(rрань rtятu.мерnа). Через противоположную трань (верхнюю за
II1трихованную) в 1 с вытекает
(fv z ) z+dzdxdydvxdvydvz
частиц. Разница между втеканием и вытеканием
[ (fv z ) z (fv z ) z+dz] dxdydvxdvydv z == [д (fv z ) /az] dr
дает свой вклад в скорость накопления частиц в кубе (aj/at)dr.
Аналоrичным образом поступаем и с остальными пятьт{) парами
u ,
rранеи.
Что :касается столкновений, то их вклад в с:корость измене
нил числа частиц в объеме dr пропорционалеп самому объему;
обозначим это символически как (rlf/dt)cTdr. Собирая все члены
и сокращая па общий для всех множитель dr, получаем ypaB
нение баланса числа частиц:
!!l + [ д (jv x ) I + д (jw x ) + 1 :=="" ( df ) ( , . /. )
at дх 1..' ди х . . . J dt СТ. Lf
Оно вполне аналоrично обычному уравнению непрерывности при
наличии источников, роль которых иrрает член столкновений.
13 прямоуrольных скобках стоит шестимерная диверrенция «плот
пости пото:ка». Введе:м: в (7.4) производную df/dt вдоль TpaeKTO
рии определенной труппы частиц в фазовом пространстве. Это
:м.ожно сделать, рассматривая f :как сложную функцию времени:
dj д! + д! dx + дт dv x
d t . д t д х d t . . . + 'д v х dt + . . . ==
д! д!
=== дt + и х дх +
+ lV x д д f + . . .
и х
Операция d/dt соответствует субстаnЦUОJ-tа.ль1tОЙ производной в
157
тидродинамике. Получим
df f av x aw x ] ( df )
dt + f L ах + · · · + av x + · .. == dt и. (7.5)
Пары величин и х и хит. д. это независимые координаты
в фазовом пространстве, и и х не является функцией х. Если в
,..,
ооычном пространстве имеется силовое поле F (r), J'lCкорение
w ==== F/т функция координат х, у, Z, но не скорости. Даже
в присутствии маrнитноrо поля лорепцева сила F <.х) [v Н], и co
ставляющая Ш Х зависит от и у , v z , но не зависит от и х и т. д.
Стало быть, диверrенция «скорости» дих/дх + ... + дшх/ди х + ... === о.
Уравнение баланса (7.5) превращается в равенство
df/dt === (df/dt) СТ. (7.6)
В отсутствие столкновений «плотность» в определенной ['руппе
flастиц не меняется с течением времени вдоль траектории пере
мещения этих частиц в фазовом про
странстве, df/dt === о. «Среда» в фазо
вом пространстве является при этом
nесжимаемой.
2.2. Теорема Лиувилля. Проследим
х за совокупностью частиц, которые в
момент t занимали небольшой фазовый
объем r. в отсутствие столкновений,
число частиц в rруппе остается He
изменным: d(f r)/dt === о. Но соrласно
предыдущему, df/dt === о. Следователь
но, d r/dt == о. в отсутствие столкно
вений фазовый объем, занимаемый
даННОII СОПОI\УПНОСТЬЮ частиц, перемещается в фазовом про
странстве, деформируется, но по величине не изменяется. Это
положение носит название reopeMbl Лuувuлля. Оно наrлядно по
яспяется рис. 7.3, RоторыiI относится I\ одномерному случаю
х, их, Rоrда фазовое пространство УRладывается на плоскости
рисунка.
2.3. Уравнение баланса применительно R электронам в поле.
11e будем расс:матриваrь случаи, коrда приложено сильное Mar
нитное поле ( 9 rл. 3), хотя это и не составляет труда. В полях
'Электромаrнитных волн лоренцева сила оБЫЧIIО ничтожна по
сравнению с элентрической. С F === eE перепишем общее ypaB
нение баланса для фУНRЦИИ распределения электронов (7.6)
в виде
+ vVf e Vvf == ( : )СТ' (7.7)
rде СllМВО.по м v' v обозначен rрадиент в пространстве СRоростей.
Раснроем cro теперь в сферических координатах:
д 1 д 1 д
V v == еV"д"V е" att + еср v sin {} дер '
rде e v \t,CP единичные векторы направлений (рис. 7.1) . Будем
t VX
80 СО tз{ cf
Ш Vt; V
Ао ДО А 1 lJ t
82
V
А 2 1J 2
Рис 7 3 Пояснение Teope
мы Лиувилля Прямоуrоль
ная в :момент t o оБJlасть в
следующие моменты t l , t2
превращается в параллело
rраммы тои же площади
158
рассматривать только поля, однородные в пространстве. В случае
ЭJIектромаrнитных волн это приближение оправдывается тем, что
амплитуды колебаний электронов обычно малы по сравнению с
длинами волн ( 1 тл. 5) В однородном поле зависимость t
от пространственных координат может быть связана лишь с при
c J тствием стенок, диффузионных потоков, вызванных rрадиента
i\lИ Чтобы не отвлекалось внимание от пашей основной задачи
выяснения влияния поля и столкновений на функцию распреде
JIенир, положим, что все в пространстве однородно Влияние
диффУЗИОННЫХ потоков можно будет потом учесть простыми Me
тодами Таким образом,
д! еЕ [ COS i} д! sln 2 i} д! 1 ( dj )
at т ди I v d(cos{t) dt СТ.
(7 8)
От yr ла ер фУНRЦИЯ f (t, v, 'it) не зависит, ибо на\Правление Е
ось симметрии.
2.4. Разделение столкновений на упруrие и неупруrие. 3ай
мемся правой частью равенства (7 8). Будем считать rаз иони
зованным слабо и пренебрежем столкновениями электронов с
друrими электронами и ионами, учитывая только СТОЛRновепия
с нейтральными атомами. Это очень важное допущение, оно
чрезвычайно облеrчает задачу решения кинетическоrо уравнеНИЯ t
тан нан делает ero лuJ-tейJ-tы:м Обычное уравнение Больцмана для
rаза нелинейно, так как в ero правую часть входят члены, опи
сываЮIЦие СТОЛRновения частиц исследуемоrо сорта друr с дpy
rOM В эти члены, естественно, входят произведения фУНRЦИЙ
распределения сталкиваюIЦИХСЯ частиц В нашем случае элек
троны стаЛRиваются с посторон ими частицами тяжелыми
«ПОRОЯЩИМИСЯ» атомами, у КОТОРЫХ, кан мы считаем, «пет» pac
пределения. Вклады столкновений каждоrо рода в изменение
функции распределения просто СУММИРУIОТСЯ Разделим все
столкновения на yпpyzue и иeyпpyzue:
( d j ) === ( d f ) + ( df ) == 1 (f) t Q (f). (7 Я
dt СТ dt упр dt неупр
R rруппе неупруrих СТОЛRновепий, помимо процессов возбужде
ния атомов и молекул, отнесем рождение НОВЫХ электронов при
ионизации, возможные процессы исчезновения. Неупруrие столк
новения иrрают большую роль в формировании Эliерzетuчес-поzо
спе-птра элеRТРОНОВ, но случаются они rора до реже, чем упру
rие, и потому практичеСRИ не влияют на взаимодействие элеR
тронов с полем и на изменения скорости и энерrии электронов
ПОД действием поля Неупруrие процессы не влияют, следова...
тельно, на установление аСU.мметрuчиой части функции распре
l еления, которая связана с направленным действием поля и ча
стыми упруrими столкновениями Поэтому пока мы не будем
раснрывать выражение Q (f) == (df/dt) неупр И сделаем это лишь
Jlосле Toro, KaR перейдем от фУНRЦИИ распределения по венто",
рам скоростей к распределению по энерrиям электронов.
159
2.5. Интеrрал столкновений. Так называется слаrаемое 1 (/),
описывающее действие упруrих столкновении Будем считать aTO
мы покоящимися и, кроме TOtI'O, пока пренебрежем величинами
порядка т/М, полаrая м === 00 в этом приближении абсолютное
значение скорости электрона v и ero энерrия Е при рассеянии
-в точности сохраняются В дальнейшем, коrда мы выведем OKOH
чательное уравнение для спектра электронов, мы учтем упруrие
потери При помощи простоrо физическоrо рассуждения мы дo
бавим к уравнению дополнительный член УПРУlrИХ потерь, при
чем этот результат будет точным Между тем если учитывать
И3\1енение v при рассеянии с caMoro начала, то это не слишком
,существенное уточнение заметно усложняет вывод интеrрала
стольновений
Иllтезрал СТОЛ-';1l0веllUй 1 [! (v)] учитывает изменение числа
электронОВ с данным вектором скорости v вследствие ухода элек
тронов в друrие точки фазовоrо пространства
,
с друrим вектором v в результате рассеяния
на атомах, а также вследствие прихода из
всех друrих точен v' в v Поскольку модуль
скорости, соrласно нашему допущению, при
рассеянии не меняется, С:RОрОСТЬ v достаточно
характеризовать единичным вектором направ
ления Q Имея в виду, что все функции со..
держат еще в качестве арrумеита одно и то
же абсолютное значение скорости и, вместо
f(v) === f(v, Q) будем писать просто 1(О) ИJ
данноrо телесноrо уrла dQ около рассматри--
рис 7 4 Схема BaeMoro направления скорости Q в 1 с вслед
рассея; в на ствие рассеяния уходит j(Q)dQvc(v) электро
нов, rде '\с частота столнновений Уходят
во все возможные ДРJ'!rие направления {1'. Пусть
ОНИ
(v g g') dQ' вероятность Toro, что при столкновении элек
'1 o е1евший в направлении и, приобретает направление !l'
;р Jlн ервале dQ' ПОСhОЛЬКУ КaIюе нибудь направление электрон
Р ассеянии непременно приобретает, то
ори п
j q (Q, Q') dQ' == 1
Q
dQ
Число уходящих электрочов можно подробно расписать в видр
f (Q) dQv c == "с \ t (О) dQq (О, Q') dQ'
Q'
Й.3 друrих направлении й' в данное Q в тот же интервал в 1 с
J1РИ:Х О ДИТ
электРОНОВ
[[j(O)]dQ
160
V c \ j(Q')dQ'q(Q'. Q)dQ
Q'
Разность между приходом и уходом и дает нам
11 режде чем выписывать разность, заметим, что вероятность
рнееояния из одноrо направления в друrое зависит не от самих
JlНllравлений, а только от уrла между ними уrла рассеяния е
(рис. 7.4). Поэтому q(Q, Q') q(Q', Q) q(e), и вероятность
мо,нно с равным успехом интеrрировать как по конечным !',
'1 а I{ и: по начальным Q направлениям. Тоrда, сокращая на диф
(f)('ренциал dQ, по которому не ведется интеrрирования, оконча
тuльно получаем
1 (f) V c (и) .\ [! (Q') t (Щ] q (8) dQ'.
и'
(7.1 О)
11нтеrрирование здесь ведет\ся по всем направлениям Q' при
фиксированном Q. Уравнение (7.8) с правой частью (7.9), в KO
торой интеrрал столкновений 1 дается формулоЙ (7.10), а член
неупруrих СТОЛI повений Q будет раскрыт ниже, представляет
собою искомое пuпетuчеспое у рав пение.
э 3. Приближение для уrловой зависимости
ФУНRЦИИ распределения
Кинетическое уравнение, будучи интеrро дифференциальным
по уrлу 1t, в математическом отношении очень СЛОiННО. Причи:
ной, по которой функция распределения зависит от направления
скорости, т. е. от 1t, является поле. В ero отсутствие распреде
.тrение было бы ИЗ0ТРОПНЫМ. Ускоряя отрицательные заряды в
направлении, обратном направлению Е, поле создает ИЗUЫТОI(
электронов, движущихся в этом направлении, и недостаток
-
в противоположном.
3.1. Симметричная и асимметричная части ФУНRЦИИ распре
деления. Допустим, что поле не очень сильное и вызванная им
апUЗ0тропuя функции распределения невелика. Учтем ее прибли
тенно в виде поправпи к основной, сu.м.метрuчпой части Функ
ции. Если совершать эту операцию математически cTporo, сле
t ует представить уrловую Iзависимость / (t, и, {t) в виде разло
,I{ения в ряд ПО функциям, наилучшим образом описываIОЩИМ
псе усложняющуюся по мере уточнения асимметрию / ({t) . При
1\1t'НЯТЬ дЛЯ разложения нужно только систему ортоrональных
11 lIормированных функций. Для уrловой зависимости таковой
JI В.Jfяется система полиномов Лежандра: РО 1, P 1 COS {t и Т. д.
l' Ilорядке приближения о)rраничимся первыми двумя членами
I 111 , ,]I ожения
/(t, и, б)===/о(t, V)+/l(t, v)cost},
(7.11)
I ДР /0 и /1 новые искомые функции, для которых необходимо
roc' 1 а вить уравнения.
Ilовые функции имеIОТ определенный физический смысл. Пер
"оН II.J них, сu.м.метрuчпой частью, определяется эперzетuчеспuй
f ",' f,' "Р электронов. Cor JIaCHO (7.1)
n(e)de cp(v)dv === 4Jtv 2 /0(v)dv.
(7.12)
161
. t 10, If. Райзср
Асu.мжетрuчnая часть 11 cos'i} определяет эле-птрuчесr;uй ток.
Вследствие осевой симметрии / (v) тон направлен вдоль поля.
Соrласно (7.3), (7.11)
t t == е S S v cos 2 it!1 · 2лv 2 dv sin itdit == 4 е S и 3 ! l dv . (7.13)
I
Приближение (7.11) допустимо тольно в случае достаточно
слабой анизотропии фуннции распределевия, т. е. при не слиm
БОМ сильных полях. Количественный критериЙ понятия «не
слишном сильное» станет ясным после Toro, нан мы найдем
поправну /1 н основной части / и потребуем, чтобы /1 /0
(п. 5.1). Лоренц сформулировал нинетичесное уравнение дтrя
элентронов в постоянном поле и на основе приближения (7.11) ,
Боторое называют лорепцевым, уточнил формулу (3.7) для про
водимости.
3.2. Уравнения дЛЯ ФУНRЦИЙ 10,11. Проще Bcero эти фуннции
вывести, воспользовавшись методом «моментов». Исходное ypaB
нение для / умножается на полипом Лежандра и интеirрируетсл
по уrлам с учетом свойств полиномов. В данном случае ДOCTa
точно сделать это дважды: один раз просто проинтеrрировать.
уравнение (7.8) по телесному уrлу dQ, тан нан нулевой полином
РО == 1, а второй раз умножить (7.8) на Рl == cos tt и снова
Проинтеrрировать. В результате первоrо интеrрировапия (то чнее,
усред нения, т. е. операции \ dQ/4л с учетом Toro, что cos it О,
cos 2 tt == 1/3, sin 2 t} === 2/3) найдем
д/о еЕ ( af1 + 2f1 ) == Q (/ ) .
at т 3 av 3и о
Интеrрал S 1 dQ в правой части автоматически обращается
в нуль. Он представляет собою изменение в результате упруrих
столкновений числа электронов, движущихся во всех направле
пиях. Но упрyrие соударения не меняют полноrо числа элеR
тронов. Член неупруrих столнновений линеен по f, и вообще pe
зультат неупруrих соударений от направлений снорости не за
nисит, а зависит тольно от энерrетичесноrо спентра. Поэтому
понятно, что он превратился просто в фУННЦИIО от симметричной
части /0. ПреобраЗ0вав выражение в снобнах, перепишем полу
чевное уравнение в виде
af o == еЕ д (v 2 f1) + Q (f ) (7.14)
д t т 31)2 ди о .
При втором усреднении нинетичесноrо уравнения с весом
cos tt получим
a: t1 ;: : O == S cos itdQ S [f (й') ! (0)] q (8) dQ', (7.15)
rде мы ПОRа просто переписали выражение (7.10), не используя.
162
.( 7.11), а внладом неупруrих столнновений в правую часть пре
lIебреrли по сравнению с вкладом УПрУI'ИХ.
Займемся правой частью (7.15). Внутренний интеrрал по dQ'
берется по всем направлениям g' при финсированном Q. Но при
интеrрировании по уrлам {!' вовсе не обя-- Q
зательно выбирать в начестве полярноц оси
13eRTOp Е, нан это было сделано при COCTaB
лении исходноrо кинетичесноrо уравнения.
В данном случае rОDаздо удобнее вапра
Вить полярную ось по Q (рис. 7.5) и опи
сывать направление g' уrлами 8 и ер', OT
считывая азимут ер' от финсированной пло
скости, ноторая проходит через венторы g
и Е. В этих координатах элемент телесноrо
уrла
Рис. 7 .5. Направле
ния напряженности
поля и скоростей до
и после рассеяния
dQ' dep' sin 8d8,
что очень удобно, поснольну сомножитель q под знаном инте
rрала есть функция нан раз 8. Подставив теперь (7.11), запп
шем внутренний интеrрал
J 5 1I (О') 1 (Щ] q (8) dQ' 11 5 (cos t}' cos t}) q (8) d<p' sin 8d8,
r;J;e уrол {t финсирован. Подставим сюда cos t}', выраженный
по известной формуле сферичесной триrонометрии,
cos ,з,' === cos {t cos 8 + sin t}- sin 8 cos ер' .
Учитывая, что при интеrрировании по ер' слаrаемое с cos <{/ ис...
,
чезнет, находим
J == /1 cos t} S (cos 8 1) q (8) d<p' sin 8d8 11 cos t} (cos () 1).
Здесь cos 8 по определению средпий осuпус уzла рассеяпuя,
'Тан нан cos 8 усредняется в соответствии с вероятностыо рассея
1 )IlfЯ q (8), нормированной по уrлам на е дини цу. Вводя эффентив
iIую частоту столнновений 'У т === V с (1 cos 8) (заметим, что мы
тольно что проделали строrий вывод этой величины), подстав
.JIЯЯ внутрrнний интеrрал J в (7.15) и проделывая еще интеr
:рирование по dQ, получаем второе из исномых уравнений:
a/ 1 еЕ д/о
дi + V m fl == т av .
(7.16)
Итан, вместо интеrро дифференциальноrо по уirлам ypaBHe
ния (7.8) мы получили два дифференциальных уравнения для
Фуннций /0 и /1, аППРОRСИМИРУЮЩИХ истинную фуннцию pac
пределения равенством (7.11). Эти уравнения справедливы для.
ЛIобой зависимости Е (t) и для постоянноrо поля, и для пере
MeHHoro.
11*
t63
э 4. Уравнение для знерrетичеСRоrо cneRTpa злеRТрОНОВ
4.1. Приближенное интеrрирование уравнения ДЛЯ 11. Для
Toro чтобы продвинуться дальше, необходимо Rоннретизировать
зависимость поля от времени. Рассмотрим: lrармоничесное поле
Е === Ео sin шt. Точное реJпение системы (7.14), (7.16) найти, HO
нечно. невозможно, поэтому поступим следующим образом. По
правна 11 н симметричной части фуннции распределения связана
с действием поля, ноторое периодичесни меняет свое направле....
ние. С той же частотой осциллирует и поправна: сначала боль
Iпе элентронов идет в одном направлении Вiдоль поля, через пол
периода в противоположном.
Следовательно, соrласно (7.14) зависимость основной, симмет
ричной фуннции 10 от времени снладывается из двух частей.
С одной стороны, это сравнительно медленная зависимость, свя
занная с установлением энерrетичесноrо спентра элентронов
вследствие различных неупруrих процессов, рождения и исчез
новения элентронов, а танже, нонечно, и набора эперrии от поля.
Поснольну 11 тоже rармоничесная фуннция и она пропорцио
нальна Ео, первый член в правой части (7.14) имеет среднюю
за период составляющую, пропорциональную E , и осциллиру
IОЩУЮ составляющую. Средняя составляющая и обеспечивает
набор энер/rии. С друrой стороны, 10 содержит осциллирующую
часть, ноторая вызвана осциллирующей составляющей первоrо
члена в правой части (7.14). Она, нан «мелная рябь», наRлады
вается на медленное изменение 10 (t). Ясно, что ноrда мы ин
тересуемся энерrетичесним спентром элентронов при достаточно
больших частотах (нритерий в п. 5.2), нас не должны волпо
вать нолебания спентра в течение периода, т. е. УRазаппая
«мелная рябь». Физичесний интерес представляет сrлаженная
фуннцил </0>, усредненная Iза период нолебаний поля.
При интеrрировании уравнения (7.16) подставим ycpeДHeH
ную за период ФУНRЦИЮ <a/o/av>. ВЫСОRочастотная состаВЛЯIощая
дала бы в 11 член ВЫСПIеrо порядка по Е. ПренебреLrая медлен
ной зависимостью от времени величины <alo/av> по сравнению
с sin шt, проинтеrрируем (7.16) нан линейное уравнение, в HOTO
ром <alo/av> не зависит от времени. Получим
еЕ о /al o "" .
11 == (2 2) " д /(U)соsU)t VmsшU)t).
т ffi + V m "и
(7.17)
Это выражение можно представить в виде
eE o /д/ о .
f 1 == " а; /Slп(шt а),
. т V ы2 + V "
ffi
а == arctg . (7.18)
V m
Видно, что 11 (х) Е осциллирует с частотой ш, но сдвинуто по
фазе относительно поля.
164
1\ IIpt'HC\III,IIOM (',11)"111(' ((1,/('01',111 'IH('IOI' C') V;:t ('HBItI' 110 (1).,,10
а л/'2 11
е /"0 / () 1 о"" / d 10""
/ 1 I}tШ ао / COS wt == u av / COS wt.
1Jo порядну величины д/о/ди,......, /о/и, rде v наная то xapaH:Tep
пая средняя снорость хаотичеСRоrо движения. Соrласно (5.2)
еЕо/ты == u представляет собой амплитуду нолебательной сноро",
сти элентрона в ОСЦИЛЛИРУIощем поле, так что по порядну Be
личины
/1"""" (и/и)/о.
(7.19)
в противоположном предельном случае 1/;из их частот ы 2 v;'
сдвИtr по фазе а мал и
еЕ о / al o . еЕ al o
/1 '\. / SIIl wt .
mV m '\. dv u) o mV m ди
Леrно видеть, что то же самое получается непосредственно И3
уравнения (7.16), если с caMoro начала считать пО\ле постоян....
ным. Асимптотичесное постоянное значение /1, ноторое уста пав...
ливается примерно через время одноrо столнновения, есть
eE al o v д
11 == mv д-;; 10' (7.19')
т
rде соrласно (3.4) V l1 == eE/тv m абсолютное значение снорости
дрейфа элентронов. Формулы (7.19) дают нритерий малости
fl//O (п. 5.1).
4.2. Уравнение ДЛЯ ФУНRЦИИ f о: Теперь, после Toro кан мы
выразили поправну /1 через основную фуннцию /0, остается сде...
лать последний ша(r подставить ее в уравнение (7.14), и тоrда
мы получим уравнение для симметричной части q}УНRЦИИ рас....
пределения, ноторая однозначно связана с энерrетичесним спент'"
РО:М. В случае rармоничесноrо поля подставим (7.17) в (7.14}
и усредним полученное уравнение по времени за период осцил
.:rIяций для Toro, чтобы избавиться от «ряби» и выделить «мед...
ленную» временную зависимость спентра, ноторая тольно и пред
ставляет интерес. Замечая, что
<COS u)t sin wt) == О, <SiJl2 юt) == 1/2,
п ОПУСRая знан усреднения < ) у /0, находим уравнение для
функции /o(t, и).
дl о == .! [ е 2 Е2 V m (v) и 2 a 1 o ] , Q (/ ) (7.20)
at и 2 ди 3т 2 ш2 + V av I О ,
rде мы подставили вместо амплитуды Ео средненвадратичное по...
ле Е == Ео/У 2. в случае постоянноrо поля при подстановне
(7.19') в (7.14) получается то же самое уравнение (7.20), но С
165
ffi === о Иными словами, возможен точный предельный переход
от случая rаРМОliическоrо поля R случаю постоянноrо, если при
ffi О заменить среднеквадратичное поле постоянным, что, KCTa
ти сказать, и интуитивно представляется естественным
4.3. Уравнение ДЛЯ фУНRЦИИ п(в). Если в уравнении (7 20)
перейти к новой независимой переменной 8 === mv 2 j2, d8 === mvdv
и заменить функцию to(t, и) на функцию распределения по
энерrиям n(t, 8) с помощью соотношения (712), найдем ypaB
нение для энерrетичеСRоrо спектра
А == 2е 2 Еl. V m
3т ш2 + V
дп д ( 3/2 д п )
дt де Ав де е 1 / 2 + Q (п),
2 2
е Ео V m
3т ш2 + V
(7 21)
Случай постоянноrо поля также получается, если положить (U ===
== о и посчитать среднеhвадратичное поле постоянным
4.4. Диффузионный характер уравнения. Раскроем производ
ную от n8 1/2 в уравнении (7 21) и перепишем ето, введя обо
значения для определенных комбинации величин
anjat === aJja8 + Q,
q) == А8
,
J == !lf)aп/a8 + пОИ,
ou === А/2
(7 22)
"Уравнение (7 22) по своей структуре совершенно аналоrично
) равнению одпоме рпой диффузии частиц В самом деле, 8 это
:координата, п плотность частиц, J поток, Q источник, 2f)
коэффициент диффузии, которыи, правда, зависит от «точки»
(такое тоже можно себе представить скажем, плотность OCHOB
HOtI'O та за через Rоторыii ДИФФУНДИРУIОТ частицы, меняется по
координате) ии скорость «кинетическоrо» потока, т е систе
матическоrо движения в одну сторону, например «сноса», KOTO
рый может быть вызван течением среды
Физический С\iЫСЛ диффузионноrо характера набора энерrии
в поле т е диффузиопноrо движения элентрона по «энерrетиче
скои оси», весьма наrляден В п 3 3 rл 3 и п 2 5 rл 5 rOBO
РИТIось о том что в индивидуальных столкновениях электрон MO
жет как приобретать энерrию от поля, так и терять ее причем
порциямп, по порядку вечичины равными m-иu, тде v сьорость
хаотичеСhоrо движения, а и скорость направленноrо движения,
вызванното полем В высокочаСТОТНО"1 случае и амплитуда KO
лебnтельной скорости электрона, в постоянном поле и == и д
сьорость дрейфа Поскольку приобретения и потери в среднем
происходят почти равновероятно изменение энерrии электрона
имеет стохастический характер блужданий по оси 8 КОЭффII
циент обычной диффузии, который появляется при paCC MOTp e
нии одномерных блужданий частицы, равен примерно D ДхL/т,
тде ДХ скачок по оси Х, а 't среднее время между скачками.
{66
Применительно R нашему случаю
q) (тии )2 Vm .
Подставляя сюда и == еЕо/тю в высоночастотном случае ю2» v
или и == и д == eEjmv m (СНОрОС1Ь дрейфа) в низночастотном случае
ю2 " И учитывая, что 8 == mv 2 j2, получим для этих предель--
ных случаев коэффициент диффузии, определенный формулами
(7.22), (7.21) (с точностью до несущественноrо числовоrо мно'"
жителя) .
Физичесний смысл имеет и снорость «сноса» ou. Положитель--
НЫЙ нинетичесний потон, направленный в сторону увеличения 8,
связан с преобладанием набора энерrии при столнновении по
сравнению с ее отдачей. В п. 3.3 rл. 3 и п. 2.5 rл. 5 мы видели,
что в среднем по мнотим столнновениям прирост энерrии боль...
ше, чем отдача на величину Д8Е /"'v тu 2 , ноторая в и/и раз MCHЬ
те самих средних сначнов в ту или друrую сторону тии. Сно'"
рость систематичесноrо движения вверх по энерrетичесной оси
ou ,....., Ll8EV m И В самом деле порядна
rJU /"'v mu 2 V m /"'v (тии )2 Vm / mV 2 /"'v q)J8,
нак было [lОЛ1учено формальным путем при выводе формулы
(7.22).
4.5. Учет упруrих потерь. После сделанных замечаний отпоси",
тельно ДИФФYJзии по энерrетиrчесной оси леrно ввести в уравне...
ние для энерrетическоrо спентра член, описываIОЩИЙ упруrие по...
тери. Ведь упруrие потери танже вызываIОТ потон по энерrетиче
сной оси, причем всеrда направлеIШЫЙ в сторону уменьшения Е.
Средняя энерrия, ноторую элеНТРОII теряет при ynpyroM СТОЛНIIО...
вении, нан было вычислено в п. 2.3 rл. 2, равна
L\8 упр == (2т! М) (1 cos 8) 8.
На стольно электрон смещается «вниз» по оси 8 при нал{:дом
столкновении. Время между столнновениями 'Те V l. Следова...
тельно, соответствующая снорость движения «ВНИЗ » равна
OU упр == L\8упр/тс == 1(2тIM)'Vm8,
а отвечающий ей нинетичесний поток есть пOU упр . Ero и добавим
R потону J в формуле (7.22). Возвращаясь теперь от (7.22) обрат...
но к исходным уравнениям (7.20), (7.21), запишем их уже с уче--
том члена упруrих потерь:
д/о 1 д [ e2F2 v m v 2 д/о Jn ]
дt =="""2 dv 3 2 + 2 ди + M VтV3fo + Q(fo)'
v m ffi V rn
дп д ( 3/2 д п 2т )
1ft === де А8 де е 1 / 2 + м 8V т n + Q (п),
2 2 V
А === 2е Е т
3т (1)2 + V ·
(7.23)
(7 . 24)
167
Любопытно, что наше простое рассуждение привело н точному
учету упруrих потерь. Если бы мы с caMoro начала составляли
интеrрал столнновений с учетом нонечности массы атома, мы по
лучили бы в результате те же са\1ые уравнения (7.23), (7.24).
4.6. Слаrаемое неупруrих СТОЛRновений. Раснроем содержание
величины Q, в которую мы внлючили все процессы, не связанные
с действиями поля и упруrил столнновений. Улод элентронов в 1 с
в 1 см 3 из энерrетичесноrо интервала d8, вызванный антами B03
буждения и ионизации атомов, равен п (8) d8V* (Е) И п (Е) d8V t (8) ,
rде 'у* (8), v t (8) частоты возбуждения соот-ветствующеrо уровня
и ионизации при данной энерrии электрона 8. В анте возбуждения
электрон теряет энерrИIО Е*, равную потенциалу возбуждения,
плюс еще неболыпую энерrию, которая идет на сообщение атому
таной скорости, чтобы Lуммарный ИМПу.льс электрона и атома не
изменялся. Эта дополнительная потеря энерrии, нак и при упру
rOM рассеянии, очень мала; по сравнению с Е* ею можно пре
небречь. Если неупруrое столкновение испытал элентрон, обла
давшиЙ энерrией 8' == 8 + Е* в интервале d8' == а8, то после поте
ри он попадает в рассматриваемый интервал d8 около точки 8.
Таним образом, слаrаемое в Q (п), связанное с возбуждением
определенноrо уровня, можно приближенно представить в виде
Q*(n)== п(8)'V*(8)+ п(8 + E*)V*(8 + Е*), (7.25)
причем v* (8) == О, если 8 < Е*. TaHoro же харантера выражения
описывают и возбуждение нолебательных уровней в моленулах.
Полная величина Q представляет собой сумму TaHoro типа сла
rаечых по всем уровням атомов и моленул, которые иrраIОТ роль.
Сложнее выrлядит слаrаемое Qt (п), описывающее ИОНИЗУlощие
столнновения. Пусть электрон обладает энерrией 8' > 1. На OT
рыв электрона от атома он затрачивает энерrию 1, остатон 8' 1
раопределяется между ним и вновь рожденным (передача энер
rии иону ничтожна мала). Пусть Ф (8', 8) а8 вероятность Toro,
что вырванный из аТома электрон получит энерrию от 8 ДО 8 +
+ d8, т. е.
b' I
5 Ф(е', E)de 1.
о
В тот же интервал попадает и ионизующий элентрон, если
новый получает энерrию от 8' 1 8 d8 до 8' 1 8. Вероят
ность '1 aHoro события есть Ф (8', 8' 1 8) d8. Составив Q t d8 из
членов [Прихода и ухода элентронов в интервале от 8 \ДО В + d8 и
поделив на d8, найдем
00
Q == п (с) v (8) + п (с') 'Y (8') [Ф (ё'. 8) Т Ф (с', 8' 1 8)] dc'.
е+I
(7.26)
Выражение (7.2а) приобретает форму (7.25), если допустить, что
f68
ионизационный переход, как и возбуждение, принадлежит дисн
ретному спентру. Действительно, если новые элентроны рождают
ел содинановой энерrией 80 и в' > ] + 80, то Ф ( 8', 8) == б (е 80) ,
rде 6 дельта фуннция. В этом случае С 11 === 1 + 80
00
Q i === п (е) V i (е) + п (е + 11) V, (е + 11) + б (е 100) 5 п (е') V i (е') de' .
11
(7.26')
Третий дополнительный член описывает ИСТОЧНИR новых элеRТ
ронов.
Потери, связанные с рекомбинацией или прилипанием элеRТ
ронов, учитываются в Q элементарно, например слаrаемым
п(8)V a (8), Lrде Vа(8) частота прилипаний н атомам или МО"
ленулам.
4.7. Пространственная диффузия электронов. Ее можно учесть
CTporo, если оставить в левой части исходноrо уравнения (7.8)
член v grad f, ноторый присутствует в (7.7). Мы этоrо не сде.ла
ли, чтобы не заrромождать вынладок и сосреДОТОfLIИТЬ внимание
на эффектах взаимодействия с полем. В онончательном ypaBHe
нии для спектра диффувионные потери электронов можно учесть
приближенным образом, включив в Q слаrаемое типа
Qd == п (8 )Vd/(8),
rде Vd === п/А2 «частота ДИфlфУ3ИИ», т. е. величина, обратная
харантерному времени диффузионноrо ухода электронов из pac
сматриваемоrо об'ьема; D == и2/3 т ноэффициент диффузии
(в обычном пространстве!), Л характерная ди,ффузионная дли
на (g 5 rл. 5).
э 5. Критерии справедливости уравнения для спектра
5.1. По величине поля. Лоренцево приближение (7.11), HOTO
рое было положено в основу вывода уравнения, справедливо при
слабой асимметрии функции распределения f(v), ноrда 11//0« 1.
Соrласно (7.19), (7.19') так бывает, ноrда направленная вдоль
поля скорость элентрона (амплитуда нолебательной скорости u в
случае быстроосциллирующеrо поля или дрейфовая и д в случае
постоянноrо) rораздо меньше хаотической снорости и. Члены с
высшими rармонинами в разложении / по полиномам Лежандра
пропорциональны соответствующим степеням отношений и/и или
ид/и. Эти отношения и служат теми малыми параметрами, по
ноторым производится разложение функции раопределения f в
ряд. В большинстве прантически интересных случаев уназанные
условия выполняются. В самом деле, в однородном постоянном
поле, коrда электрон при столкновении теряет лишь малую ДОЛIО
своей энерrии б, ид/и 1"6 « 1 (см. (3.16)). Совершенно аналоrич
169
ное соотношение и/и У6 вытекает и из формул (5.2), (5.12)
для быстроосциллирующеrо поля.
Условия нарушаются, и функция распределения становится
существенно асимметричной (электроны движутся преимущест
венно вдоль поля), котда электрон при столкновении теряет зна
чительную часть своей энертии (формально 6 ,......, 1). Так происхо
дит, котда на длине пробеrа l или в колебаниях электрон при--
обретает от поля энерrию, большую днерrии возбуждения элект
ронных уровней или ионизации атома, скажем eEl 1. ТаRие
сптуации встречаются в чрезвычайно сильных полях: в катодном
слое тлеющеrо разряда, при фокусировании сверхмощных опти
ческих импульсов. Уравнения (7.23), (7.24) имеIОТ rраницы при
менимости и со стороны малых Е. В очень слабом поле «темпера
тура» элеRТРОНОВ может оказаться сравнимой с температурой
rаза Т, которая считалась равной нулю. Кинетическое уравнение
с Т =F О рассматривалось Б. и. Давыдовым (1936 т.).
5.2. По частоте поля. В ходе вычислений в п. 4.1 мы иrнори
ров али модуляцию спектра с частотом поля Ш, усреднив симмет
ричную часть функции распределения 10 по времени за период
осцилляций. Это допустимо, если поле осциллирует быстро по
сравнению с временем установления энерrетическоrо спектра
электронов. Тотда на набор энерrии в поле и на спектр оказывает
влияние только среднеквадратичное поле. Иными словаМIf, усло
вием ПРИМeJIИМОСТИ данното приближения является неравенство
1
ffi » "и === 'Vmu, тде Ти == "и в ремя рела сациu cпe Tpa, равное Aa
рактерному времени для передачи энерrии от электронов молеку
лам (п. 3.7 rл. 3). Указанное неравенство лучше выполняется
в атомарных rазах, чем в молекулярных. В СВЧ и, тем более,
в оптическом диапазоне частот оно выполняется практически
всеrда. В ВЧ диапазоне для атомарных rазов почти всетда;
в случае же молекулярных rазов далеко не всеr1да. Например,
в азоте " т 4,2 109 р C \ б === 2,7 · 10 3, " и 1,1 .107 Р c l;
на частоте 1 == 13,6 мrц, ffi === 0,85 . 108 C l приближение справед
ливо лишь при р 10 торр.
В противоположном предеЛЬНО"\f случае U) Vтб энерrетиче
ский спектр и средняя энерrия электронов пульсируют вместе с
колебаниями поля, «следя» за ето сравнптольно «медленными»
изменениями. В разрядном практике прпменяется диапазон t "'"
,......, 10 н.rц, например в лазерах на «переменном токе» (п. 4.6
тл. 16). В этом случае поле является квазистационарным. Пре
дельный переход от переменноrо поля к постоянному в п. 4 1
путем наложения более мяrкоrо условия ffi« " т вместо U)
« vтб был сделан чисто формально.
5.3. ПО пространственной однородности. Котда rруппа электро
нов дреифует в постоянном поле, энерrетичеСRИЙ спектр в не й
устанавливается на длине рела сации энереии Ли l/v б
(п. 3.7 rл. 3). Поэтому постоянное поле должно быть OДHOpOД
ным на такои длине, иначе спектр будет зависеть не только от
170
значения поля, но и от распределения потенциала в простран
стве (такая иелопальиость спектра проявляется в катодном слое
тлеющеrо разряда). :Н:вазистационарное в смысле ш« V u поле в
отношении Iдлины волны Л заведомо однородно, TalK ,кан л===л/2л:»
Ли (с Уб/v) Ли. Влиянием вариаций поля на длине волны на
энерrетический спектр электронов в электромаrнитны волнах
больших частот часто можно пренебречь, но «бдительности» Te
рять не следует.
5.4. По степени :ионизации. Одно из важнейших допуrцений,
сделанных при рассмотрении Rинетическоrо уравнения, это
пренебрежение столкновениями электронов друr с друrом, бла
rодаря чему уравнение является линейным. МежэлеRтронные
взаимодействия, как II в обычном rазе, способствуют установлеНlIIО
маRсвеЛЛОВСRоrо распределения (.маJt;свеллuзации элентронов ).
Именно так обстоит дело в достаточно сильно ионизованной, плот
ной низкотемпературной плазме. При столкновеlНИЯХ друr с дpy
rOM электроны обмениваются порциями энерrии, которые порядка
самих энерrий. Большие порции, таRже сравнимые с самими
энерrиями, теРЯIОТ электроны при неупруrих столкновениях с aTO
мами и молекулами. Значит, в тех случаях, котда возможны
неу'пруrие удары, межэлектронными столкновениями можно пре..
небречь, если их частота V ee === пеV(Jкул (п. 4.3 rл. 2) rораздо MeHЬ
те частоты 'Vне)пр. При энерrиях электронов Е /"'V 5 10 эВ и боль
те, достаточных для электронноrо возбуждения молекул и aTO
МОВ (и ионизации), условие V ee « 'Vне)пр выполняется вплоть до
весьма значительных степеней ионизации пe/N /"'V 10 4 10 3. 1"а
же оценка аправеrдлива и при меlJЬШИХ энеРlrИЯХ (Е /"'V 1 5 эВ)
в случае молекулярных rазов, rде электроны возбуждают колеба
ния молекул. R этому факту можно подойти и с цруrой стороны:
неупруrие столкновения сильно нарушаI{)Т максвелловское pac
пределение электронов, уменыпая о носительное число энерrич
ных электронов.
Иначе обстоит дело в атомарных rазах при энерrиях ниже
потенциала возбуждения Е* атомов (в инертных rазах Е* /'-/
/"'V 1 О эВ ). Здесь, в особенности в тяжелых rазах, действуют толь
I O очень слабые упруrие потери энерrии, и обмен энерrией при
межзлектронных столкновения:л. активно включается в процесс
формирования спеRтра при rораздо меньших степенях ионизации.
В области энерrий Е < Е* условие при:менимости линейноrо кине
тическоrо уравнения выrлядит примерно так: V ee (т/М) '\ т,
пe/N < 10 6IA, rде А атомная масса. При не очень слаб НI
ионизации в стационарных условиях спектр в зоне Е < Е* может
приближаться IК максвелловскому, и только при Е > Е* он спа
дает rораздо быстрее последнеrо. Но рассмотрение этих эффектr)в
требует усоверте(нствования кинетическоrо уравнения путем YHe
та межэлектронных столкновений.
171
э 6. Сравнение некоторых выводов,
вытекающих из кинетическоrо уравнения,
с результатами элементарной теории
6.1. Проводимость и диэлектрическая проницаемость. Подста
ВИм в (7.13) /1 по формуле (7.17). Та часть тока, которая Haxo
дится в ,фазе с полем, Т. е. пропорциональна sin ffit и Е, представ
ляет собой ток проводшпостu. Слаrаемое, пропорционалыное cos ffit,
Т. е. aE/at, это топ полярuзацuu. Сопостави\м реiзультат с фено
меНОЛОlrической формулой (5.20) и приравняем по отдельности ела
таемые, пропорциональные sin ffit и cos ffit, подобно тому как это
было сделано в Э 4 rл. 5. Полученные таким путем строrие Bыpa
жения для выlопочастотliыыx ПРОБОДИМОСТИ <J(J) и диэлектрической
проницаемости o(J) имеют вид
00
4ле 2 \ "т (v) v з ( alo ) .
а (() 3 2 2 д dr; ,
т . ш +" v
о т
(7.27)
00
16л 2 е 2 f vз ( дl О )
Е(() == 1 3 2 2 д dv.
т . ffi +" v
о т
(7.28)
в общем случае они зависят от энерrетическоrо опектра злект
РОНОВ. Однако если частота столкновений Vm(V) не зависит от
скорости, содержащие 'V m множители можно вынести за знак
интеrрала. Интеrрируя оставшееся выражение по частям и ПрII
нимая во внимание, что электронов с бесконечной энерrиеЙ нет,
Т. е. /0 ----+ О при V ----+ 00, а также условие нормировки функ
ции /о(и),
00
.\ 4лv 2 dv/ o (v) == п е ,
о
(7.29)
получаем формулы (5.23), (5.24) элементарной теории. Послед
ние оправедливы при лю(бом спектре, если 'Vm(V)== const. Прово
димость В постоянном поле автоматически получается из (7.27),
если положить (U === о:
00
4ле 2 j " иЗ ( д f О )
(J aV dv.
=== 3т "т (и)
О
(7.30)
На практике, конечно, как правило, пользуются элементарны
ми формулами (5.23), (5.24), (5.27), подбирая из тех или иных
соображений наиболее правдоподобное для реалЬ\Ноrо спектра
значение характерной частоты столкновений. НО котда известен
спектр, формулы (7.27), (7.28), (7.30) позволяют осуществить
правильный выбор этой величины. Ими пользуются в точных
теориях и для установления поправочных коэффициентов к эле
ментарным формулам.
172
6.2. Скорость иЗМенения средней энерrии спектра. По опреде
.J"1ению средняя энерrия электронов равна
Е === \' Еп (Е) dE ( S п (Е) dE ) l === n;-l S Еп (Е) dE. (7.31)
о о о
СостаВИ\I уравнение для скорости ее и менения, отвлекаясь от
влияния неупрутих потерь и уqитывая только действия поля и
упруrих потерь. Для этоrо умножим на 8 уравнение (7.24), а еще
лучше (7.22) с добавочным слаrаемым пOU упр в выражении для
потока J, и [lроинтеrрируем по всему спектру. Член неу!пруrих
столкновений Q опустим. Проrnнтеrрировав два раза по частям с
учетом условий п О, J О при 8 00 и поделив на п е , получим
22 )
de d!J) е Е ( "т 2т
dt === de + UU + UU упр === 002 + v;" М (VmE),
тде черта означает усреднение по спектру. При " т (в) == const это
выражение в точности совпадает с формулой (5.11) элементарной
теории для скорости изменения энерrии «среднето» электрона
(поскольку речь идет об одних лишь УПРУlrИХ потерях, в (5.11)
=== 2т / М). Снова условие постоянства частоты столкновений
обеспечивает строrую правильность элементарной теории.
6.3. 3аI(ОНЫ подобия. Соотношения подобия для скорости дрей
фа (п. 1.3 rл. 3), средней энерrии электронов ([1. 3.5 rл. 3, п. 2.4
rл. 5), ионизаЦИОННОLrО коэффициента (п. 1.4 rл. 4) и друrих Be
личин находят в кинетическом уравнении свое подтверждение и
стротое обоснование. Рассмотрим с.ц.учай постоянноrо поля 0 == о.
Частоты любых неyrпрутих столкновений, как и упруrих, пропор
циопальны плотности rаза N. ДОПУСТИМ, что пространственных
rрадиентов нет. Рекомбинация при малой степени ионизации роли
не иrрает. Тотда Q "'" N. Поделив уравнения (7.23) и (7.24) на N,
ВИДИМ, что функции распределения 10 (и) и п (в) содержат пара
метры Е и N только в виде комбинации E/N. 13 нестационарном
случае
\ 7.32)
п (t, 8, Е, -. ) === п (Nt, Е, Е/ N).
При увеличении плотности rаза времена пропорцианально COKpa
щаются, чrо и естественно, ибо все процоссы связаны со столкно
веНИЯМII .
В поле больших частот 02 "
n(t, Е, Е, N, 0)==n(Nt, 8, Е/0),
Т. е. стационарный спектр от плотности вообще не зависит и о\Пре
деляется отношением Е/ ю. В приближении постоянства частоты
столкновений "т(и) == const и при условии 0 »'Vmб (п. 5.2) Iкине
тическое уравнение и спектр для переменноrо поля со cpeДHe
квадратичной величиной Е или амплитудой Ео === 12Е тождествен
173
вы уравнению и Qпектру в постоянном эффективном поле
Е эф == Е [Vin/(ffi2 + V )]1/2<E. (7.33)
Это позволяет иноrда при исследовании разрядов в быстропере
менных полях пользоваться имеющимися в большом количествр
расчетными и экопериментальными данными, полученными для
постоянных; для этоrо нужно сделать соответствующий пересчет
по формуле (7.33).
э 7. Стационарный спектр электронов в поле
при действии одних упруrих потерь
Результаты п. 6.1, 6.2 в общем свидетельствовали о высокой
эффективности элементарной теории. Теперь рассмотрим пример,
который демонстрирует ее несовершеnство, оrраниченность воз
можностей по сравнению с теми, которые предоставляет кинети
ческое уравнение.
Представим себе ионизованный rаз, находящийся в перемен
ном или постоянно:м поле, и отвлечемся от действия неупруrих
столкновений. Рассмотрим стационарный спектр электронов, KOTO
рый В конце концов устанавливается в результате точной компен
сации набора энерrии под действием поля и упруrих потерь.
Нельзя сказать, чтобы такая ситуация была чересчур абстрактной.
НеЧl0 подобное реализуется, если одноатомный (чтобы не было
возбуждения молекулярных колебаний) СJlабоионизованный rаз,
эанимающий большой объем, находится в слабом поле. Из за
больших размеров диффузионные потери электронов невелики,
тем более, что при сколько нибудь заметной ионизации диффузия
электронов имеет амбиполярный характер ( 6 rл. 3) и происхо
дит rоразДО медленнее свободной. Для компенсации небольших
потерь электронов, что необходимо для поддержания стационар
ното состояния, достаточно медленной ионизации, которую и обес
печивает сравнительно слабое поле. Энерrии электронов, следо
вательно, в основном небольшие, и очень мало электронов обла
дает энерrиями, достаточными для возбуждения и ионизации
атомов. Значит, влияние неупруrих столкновений на спектр не
очень существенно.
7.1. Что дает элементарная теория. Посмотрим сначала, что
дает применительно к данной ситуации элементарная теория,
в которой рассматривается поведение одноrо, «среднето» электро
на и СОСтояния всех электронов считаются одиl1аковыми. Энер
rия электрона в меняется во времени по закону (5.11) с
б === 2т/ М:
de [ е2 Е 2 2т J
dt == ( eE еупр) V m == т( ш2 + v;;) М е V m .
Приобретение энерrии от поля в одном СТОЛRiновении ё,E от
не зависит, УПру1rая потеря вупр 00 8. Следовательно, энерrия
174
электрона достиrает величины
ДеЕ === L\е упр ,
Вшах,
апредешяемой равенством
М е 2 Е 2
Етах === 2т ( 2 + 2 ) '
m (i) "т
(7.34)
и потом остается постоянной. Действительно, если по случайной
приrчине анерrия электрона станет меньше е шах , он сразу начнет
набирать энер ию, de/ dt > о; превысив е шах , электрон будет Te
ря ть энерrию (dE/ dt < О). Стационарному (и притом устойчивому)
состоянию соответствуют de/dt === О и делъта обра31{ая функция
распределения: все электроны имеют одинаковую энерrию е ===
=== е mах . В силу исходноrо предположения значение Вшах должно
быть меньше потенциалов возбуждения, а тем более потенциа
ла ионизации атомов, иначе все будут определять не «упруrие»,
а «неупруrие» потери. Но тотда возникает вопрос, как же Bce
1 ани происходит ионизация, если в rазе нет ни одното электрона,
обладающеrо достаТОЧIНОЙ энерrией? Ведь какая то, пусть медлен
ная, ионизаЦ1ИЯ должна протекать, иначе вследствие всетда cy
ществующих потерь все электроны постеlпенно исчезнут, т. е. не
бу ет стационарноrо состояния. Элементарная теория здесь CTa
новится в тупик.
7.2. Решение кинетическоrо уравнения (7.23). В стационар
ном случае дlо/ at === О и без учета неупруrих процессов (Q == О)
выражение в скобках (7.23) (<поток») константа. Но при
v ----+ 00 10 и поток отсутствуют, значит, эта константа равна нулю.
Потока нет в каждой точке энерrетической оси; при каждой
энерrии е набор энерrии от поля в тоrчности компенсируется упру
rими потерями. Второе интеrрировf1ние (7.23) дает
[ v ]
3п 3 2 2 .
1 о == Сехр 2 2 S V (ш + V m ) dz; ,
МеЕ
о
(7.35)
тде постоянная интеrрирования С определяется условием норми
ровки (7 .2g). Функция распределения (7.35) приобретает особен
но простую форму в случае V m (и) == const, нотда она получается
максвелловской:
r 3т2 ( ш2 + ,, ) mv 2 1 ( е )
10 Се,р Me E 2 J Сехр kTe '
(7.30 )
с теМlпературой Те И средней энерrией 8, равны!ми
3 М е 2 R 2
€ 2" kTe === 2 ( 2 ) €тax. (7.37)
m m Ш + "т
Средняя энерrия совпадает с единственной энерrией электрона
8тах, которую дает элементарная теория. Точное совпадение про
изошло более или менее случайно, при друrих предположениях
II()тносительно функции V m (и) совпадение е с Вшах получается лишь
ПО порядку величины.
175
Ка:к видим, «истинный» спектр размыт около Втах; В нем при
сутствуют электроны с большими энерrиями (<хвост» максвеллов
скота распределения), которые обеспечивают ионизацию и под
держание стационарноrо состояния; есть и электроны с в < Втах.
Причина появления в стационарном Сiпектре электронов с отлич
ными от Bтa энерrиями связана с тем, что в кинетическом ypaB
нении строто учтено силовое воздействие поля на электроны, KO
торое, как мы видели в п. 2.5 rл. 5, ДО[lускант возможность боль
тих приобретений энертии, превышающих среднее ДЕЕ, а также
отдачу больших порций энерrии при столкновениях. Энерrичные
электроны с в >Bтa «живут» за очет таких «индивидуальных»
приобретений ДВ ДВЕ, медленные, с В < Bтax, блаrодаря боль
тим «индивидуальным» потерям.
7.3. Распределение Дрюйвестейна. В фИЗИI е rазовоrо разряда
чаще рассматривается друrой частный случаfI распределения
(7.35), в котором не зависящей от энертии считается не частота
столкновений, а длина свободноrо пробеrа электрона l == V/V m ,
т. е. транспортное сечение. В этом предположении V m (Х) V (Х) 11 8
И интеrрирование в (7.35) дает
f о == С елр [ 3 3 2 2 (v 4 f 2V2ШЧ2) ] .
4.Nl е Е l
Это так называемое распределепие Mapzeпay (1946 т.), на KOTO
ром мы останавливаться не будем.
В случае лостоянноrо поля распределение apTeHay превра
щается в распределепие Дрюйвестейпа (1930 Т.):
10 с== с ехр ( 3; : ), 100 =сс eEl, (7.39)
:которое в свое время было получено прямым путем. Параметр 80
представляет собою энерrию, которую электрон приобретает от
поля на длине пробеrа. Средняя энер
тия В, как следует из (7. 39) , при
обретается примерно на 11 М/т про
беrах (ср. с (3.13)). Леrко ВИIДеть,
что по [[ОРЯ1дку величины она та:кже
совпадает с той единственной энерrи
,
ей е шах , которую может приобрести
z электрон по ЭЛelментарной теории.
,
Только теперь сама величина Вшах
отличается от (7.34), ибо д.ВЕ ==
===e2E2/тv 1"J 1/в.в отличие от BЫCOKO
частотноrо случая, котда ДВЕ == const.
Для раCiпределения Дрюйвестейна xa
рактерно rораздо более быстрое спадение числа электронов в
«хвосте», чем в мarксвелловско/м расшределении (82 В КСАпоненте
вместо 8); см. рис. 7.6.
'7
е
Рис. 7.6. Функции распределе
ния :эле-ктронов по энерrия:м:
Максвелла nм(е) и Дрюйвес
теина nд(Е)
176
(7.38)
7.4. Указание о приближенном аналитическом реmении для
атомарных rазоь в случае преобладания неупруrих потерь. Pe
шение будет получено в 9 5 rл. 9 при рассмотрении пробоя. Оно
примечательно использованным приближением «бесконечноrо
стока». В определенном смысле этот случай противоположен pac
смотренному в п. 7.2, 7.3.
9 8. Численные расчеты для азота и воздуха
Для получения аналитических решений кинетическоrо ypaB
нения (7.23) всетда лри одится цдти на существенные упрощения
:и ДQlпущения, как в 9 7 (СМ. также 5 rл. 9). В случае молеку
лярных rазов, тде, помимо электронноrо, необходимо учитывать
колебательное и вращательное возбуждение, на аналитическое
решение и вовсе не остается надежд. Однако возмоЖности COBpe
менной вычислительной техники делаIОТ доступным численное
интеrрирование, хотя такие расчеты требуют известных квалифи
каЦJIИ и затрат труда. Из вопросов физическоrо характера на
первый план здесь выступает анализ IIодлежащих учету процес
сов и выбор наиболее достоверных данных по сечениям. Имеются
довольно значительные расхождения между результатами разных
авторов, что связано со сложностью соответствующих эксперимен
тов. Именно недостаточность сведении о сечениях служит rлав
ным источником поrрешностей прп решении кинетичеСКОI'О
уравнения.
Действенным стимулом для производства расчетов ЯВИЛIIСЬ
потребности современной техники чолекулярных лазеров. В этой
связи проведены вычисления для мноrих смесей типа СО 2 + N 2 +
+ Не (CIM. 9 8 rл. 1 О). НаряlдУ с лазерными смесями исследова
лись и такие широко употребляемые в разрядной практике моле
кулярные тазы, как азот и воздух. Результаты расчетов для азота
[7.1] и для воздуха [7.2] приведем здесь и в целях иллюстрации
применения кинетическоrо уравнения, и как представляющие
практический интерес для изучения разрядов.
Численно интеrрировалось уравнение (7.23) для стационарных
условий и постоянноrо поля (из соображениЙ удобства чуть пре
образованное) .
8.1. Колебательно невозбужденные rазы. Результаты для азо
та представлены на рис. 7. 7 7.10. Набор заложенных в расчеты
сечений близок к показанным на рис. 2.15, 2.17, 2.18. На рис. 7.7,
построенном в полулоrарифмической шкале, даны энерrетические
спектры электронов. Отложена функция 'Ф === E 1/2п(E)/пe. Смысл
ее делается наrлядным, если учесть, что в случае максвелловско
то распределения функция 'Ф(Е)=== 2л 1/2(kТе) 3/2 exp( E/kTe) с
точностью до постоянното множителя есть больцмановская экспо
вента. На рассматриваемом полулоrарифмическом трафике она
дала бы прямую линию, тем больше наклоненную к торизонтали,
чем меньше Те.
12 ю. п Райзер
f77
{7 a ) рис. 7.8 пред тавлены рассчитанные по формулам (7 30)
. скорость д реllфа, электронная «температура» как 2/3 o
реднеи энерrии Е и характеристическая энерrия равная о
шению коэффициента поперечной диффузии к' подвижн :т ;
</)(Е;).зд 3/2 (п. 4.2 р л. 3). Коэффициент диффу
1.0 зии определен \как < v2fv m > , подвиж
, ность как ид/Е. Отличие Те от De/lle
связано с немаксвеЛЛОВСRИМ xapalKTe
ром апентра.
На рис. 7.9 показана константа
скорости ионизации k , вычисленная
при помощи формryлы (4.2), и коэф
фициент Таунсенда. На рис. 7.10
доли энерrии, которые \передаются от
оле\ктронов в разные степени свобо
щы. Вищно, что В широком диаlпазоне
E/N ПQдавляющая часть работы поля
превращаетс\я в знерrИIО МОЛ8lКУЛЯр
ных коле\баний. Это фан т припци
пиальпоrо значения. На этом свой
стве слабоионизованной плазмы в
поле основана работа электроразряд
пых молекулярных лазеров.
Для раЗЛИJчноrо рода вычислений
Рис 7.7. ФУНRЦИЯ распределе и оценок полезны построенные в
ЕИЯ электронов в азоте 'Ф (8) == [7.3] по результатам расчетов Интер
=== E I/2п(e)/пe [Jоляционные формулы для КОнстант
с-короrтей k ряда реакций *). Прив()
дим k для ИОНИI3ации из OCHoBHoro (k,) и метастабильнorо
A3 (k iA ) состояний, а также для возбуж\дения ука(заННOIrо Ме...
тастабильноrо (k )и В 3 П g (k ) состояний (рис. 7.11). Из Послед
Hero молекула чер з изл чение кванта быстро перехцдит в MeTa
стабильное А состояние (эти данные дают возможность оцеНивать
роль ступенчатой ионизации; см. 6 il'Л. 10).
19 k, == 8,3 34,8 (N'E), 19 k iA === 6,1 27,5 (N/E),
19 k == 8,35 14,9 (N/E), 19 k == 8,2 15,6 (N/E). (7.40)
E/N, 10 16 В . см 2 ; k, смЗ/с.
На рис. 7.12 7.14 [{оказаны некоторые результаты расчетов
для cyxoro воздуха без учета паров воды, содержание которых
может менятЬСЯ от опыта к опыту. Функции распределения Ka
чествен но поХоЖИ на азотные.
8.2. Колебательно-возбужденный азот. При значительном выI
делении дя{оулева тепла в азоте образуется MHoro колебатеЛЬRО
10 f
"О 2
I
!
/0
J
10
*) в статье [7 3] да!! ПОДР )бпый обзор расчетоВ ;)лектропныл cneRTpOB
в разных rазах.
f78
возбуждеиныIx молекул. Высокой их концентрации способствует
замедленный характер колебательной релаксации, блаrодаря чему
нередко возникает ситуация, КОТДа колебательная температура
т v в азоте на поря/док Iпревыmает ПОСТУlпательную. Вообще rоворя,
распределение молекул по высшим колебательным СОСТОЯНИЯ I
Ид, см/с
107
8
б
4-
, I I
2
106
1
Е/N.10 1б В см 2
10
Л е /;l е , f} ,
61
4.
I I
2
1,0
0,8
0,6
0,4
1
E/N .10 1б В см 2
2
4
б 8 70 20
Рис. 7 8. Зависимость скорости дрейфа Vд эле-ктронов (а), \ аrан:теристиче
скои ;)нерrии De/Ile и дЛВRТРОННОЙ температуры Те (6) от оrношения E'/N
в азоте; точ-ки э-ксперимрнт
ki,tO 15CN)/C a/N,10 15('N2
I I I I
100 lи С
10 1 105
"
10 2 104
10 3 103 O
10 4 102
10 5 101
ю 5 тО
1 2 4 б /0 20 40 102
E/N, 10 1б В.СН 2
Рис. 7.9. Зависимость KOH
станты скорости ионизации
ki == < a и> и коэффициента
Таунсенда a/N == k /vд от
отношения E/N в азоте
?
L
/;
Рис. 7.10. Зависимость доли энерrии
в азоте, которая передается элект
ранами во вращения (1), колеба
ния (2), затрачивается на электрон
ное возбуждение (3), ионизацию (4),
от отношения E/N
v 1 не больцмановское, но под Т v можно подразумевать вели
чину, опреДеляющую отношение чисел молекул на уровнях с v == 1
и v == О, z == ехр ( n(fJ}{/kTv), тде (fJи частота колебаний молеку
лы. Так, в азоте nro K == 0,29 эВ и z == 0,5 при Tv == 4906 К.
12*
179
Присутствие колебательно возбужденных молекул уменьшает
потери энерrии электронов на возбуждение колебаний, что обоrа
щает спектр энерrичных электронов. Кроме Toro, пороrи электрон
Horo возбуждения и ионизации у колебательно возбужденных MO
ле:кул ниже, чем у невозбужденных. Все это приводит к YCKope
Е
103CM ! э8
16
80 10 9,76
r==
I
,
1=
I
8 :
60 3 l
: I
251
.L.. :()
;::::
I
.()
::::i
I?S
lIS
I I
'1::s
>;:;
.............. :cs .";::::
.............. ()
c:::,1:::)
............с::::: с::::::
120
100
40
20
2
#2+ Ig r
I 2 IJ+ 2 П
/4 1 if 4 p. y(fiig)
7 J '!l:! 1 J :"JJ..( Zg2. ........ 48+ 2р
С Hц ' ,...! 1х ' 3 +
, л Ха
ь ' 2:; qf f n : Пр ч- +2
f2 ;fi I J,: ,lJ 77I i g "1 4 c7? S JJ
ЬН 't:s I:t: 1
U .1/, I , ..() ,
''!L.. 2 1' =
':::S I 1::--
сь ' t--. П
С J ---> ==. .c
.... I tj == сь
е I ==Пр t:: ч. +Ч"S
8....L.. "1 == s
If, .()
t::: ==Ct:. , <:::> с:::>
11= I ==
а 11 w 1 ==
I I t:x:
1f. ==C'\J
J .У2 у 1 ; 1: д зпi
I (:) +
А 3Х а
л f
1
f
'1::s
ci:
«J
c..s
с 3 Ни
б
4.
2
о х 2:+
g
Рис. 7.11. Cxe Ia уровней молекулы азота
НИЮ И С сВО [7.3] зф
онизации и электронноrо возбуждения. о ла
фект ОПИсывается интерil.IОЛЯЦИОННОЙ формулой (7 41)
19 [k (Tv) /k (О) ] '=: 43,5z (N/E) 2, z === ехр ( п(i)jkTv), '.,
аведЛ:И:ВОU
едnной Для Всех k ( E /N 10 16 В . см 2 ) И сИР
До Т & 500 измеряется
Н "'" О К. ул ах (7.40) ,
(7 41 а ) До сказать, ЧТо ошибка в расчетах и форМ к в спектре
· резко ВОзрастает при уменьшении E/N, таК :ка
180
при этом остается все меньше энерrичных электронов, способных
производить электронное возбуждение и ионизацию (рис. 7.7).
При E/N (3 -7- 20) . 10 16 В. см 2 относительная поrрешность
расчетов и формул для k оценивается в 100 О/о, при еще меньших
VA,CM/C
I , JJe/Pe' 8
I I
107
10
10 б
1,0
105
0..1
E/N, 10 fб f}. СМ 2
1,0
0,1
Рис 7 12. Зависимость скорости
дрейфа и характеристической
энерrии De/Jle от отношения E/N
в воздухе: 1 расчет, 2 и 3
экспеrимент
a/N, 1О 1б см 2
10 :5
10 4
10 5
5 10
E/N, 10 tб lЗ'см 2
20 30
Рис 7.13. Ионизационный
коэффициент Таунсенда
а/ N в воздухе нак Функция
отношения E/N
E/N она значительно больше. Между тем, именно маЛые 3Ha
чения Е / N /"'00/ (1 --;... 6) 1 o 16 В . см 2 р ализуется в ПОЛОЖительном
-столбе тлеющеrо разряда и представляют наибольший Интерес.
.это сильно усложняет задачу выяснения роли механизмов, Влилю
щих на ионизацию: ступенчатых процессов, натреВа rаза, :КоЛеба
тельноrо возБУiЖдения, ассоциативной ионизации ( 6, 7 rл. 10).
Рис. 7.14. Зависимость доли энерrии в
во.здухе, которая передается :)лектрона
ми в колебания 02 (1), вращения 02 и
'\I 2 (2), упруrие потери (3), колебания
N 2 (4), затрачивается на электронное
возбуждение N 2 (5) и 02 (6), иониза
цию 02 и N 2 (7)
Из за крайне резкой завиCiИМОСтИ скоростей реШIЩИй от EIN
тически леrче установить, какая в данной ситуации ДОЛЖJlат оре
скорость ионизацLИИ, чем указать точное значение EIN ыIьь
б Э ' :кото р а
ее о еспечивает. то ТИПичная ТРУДНОСТЬ в теории СЛа\б е
зованной плазмы. onOIIlI
181
э 9. ПростраНСfвенно неоднородные поля
произвольнои СИЛЫ
В слабоионизованном rазе сильные неоднородные )поля во.з
ника ют в катодном слое тлеющеrо разряда (rл. 10), в приэлект
родных слоях высокочастотноrо eМJKOCTHOro разряда (rл. 15),
в высоковольтных импульсных разрядах. Рассматривавшееся до
сих пор лоренцево приближение при этом теряет силу, так как
функция распределения электронов оказывается сильно анизо
тролной. Кроме Toro, спектр приобретает нелональный характер
(э 5). Это вынуждает вернуться к исходному общему кинетиче
скому уравнению. rлавная трудность ero решения связана
с уrловой зависимостью функции распределения и интеrро
дифференциальным характером уравнения по уrлу. На пре
одоление именно этой трудности и направлено лоренцево при
ближение.
Наиболее под:лодящим способом решения кинетическurо ypaB
нения общеrо вида в настоящее время признан метод MOHTe Kap
ло. Это вычислительная процедура, которая с помощью ЭВJ\f
ВОClпроизводит запечатленный в кинетическом ура13нении сто:ла
стический процесс блуждания частицы в фазовом пространстве
при задаваемых распределении поля, вероятностях столкновениЙ
и сопровождающих их изменениях направления СRОрОСТИ и энер
rии частицы. Расчеты методом Монте Rарло (с их результатами
мы познакомимся в Э 5 rл. 10) очень сложны, требуют больших
затрат машинноrо времени и мало кому доступны. В качестве
альтернативы методу Монте Rарло может быть предложен упро
щенныи подход R задаче, так же как и лоренцев, основанный на
приближенном описании уrло оrо распределения электронов.
Задача при этом uводит6я к вполне ДОСТУ1ПНЫМ уравнениям, не
более сложным, чем уравнения лоренцев а приближения. Будучи
приrодным для рассмотрения поведения электронов в любых по
лях, сильных и слабых, неоднородны'- и однородных, с coxpaHe
нием всех качественных особенностей и следствий cTpororo ypaB
нения, упрощенный способ дает более оперативный, чем метод
Монте Rарло, инструмент для исследования указанных выше раз
рядных явлений.
Упрощенное уравнение формулируется в приближении «впе
реlд назад». Считается, что все электроны движутся вдоль Ha
правления поля (вдоль оси х). При упруrих столкновениях они
расоеиваются либо вперед, либо с вероятностью назад. При He
упруrих столкновениях: возбуждающих, ионизующих электроны
теРЯIОТ энерrию, но не ОТКЛОНЯIОТСЯ от направления CBoero перво
начальноrо движения. Тоrда функция рас'пределения по CKOpO
стям состоит ИЗ двух составляющих. Вперед в положительном
НЭJправлении оси х (Е == Ех < О) со скоростями от v до v + dv ле
тит ер1 (и, х, t) dv электронов в 1 см 3 . Назад, с той же скоростью
v по величине, СР2(и, х, t)dv. Плотности электронов п е , П(УIОRа
182
r е И электронно,rо тока j е опре еляются фОрlмула ми
00
00
п е (х, t) == \' (<JJl + <Р2) dv,
.
о
re == i; == S (<JJl <Р2) v dv. (7.42)
о
Уравнения /для ФУНrRЦИЙ ,ерl, qJ2 ле,rко составить, повторяя вывод
Rинетическоrо уравнения для настояrцей функции распределения
(9 2). Можно поступить и чисто формально, подставив в cTporoe
уравнение (7.8) функцию распределения f(v, {}) в вид суммы
б фУRКЦИЙ по {} при {} === О, л. Нужно только в (7.8) сохранить
опуrценное там слаrаемое с пространственным rрадиеНТОIМ
vocaf/ax == v cos {}af/ax. Раскрывая интеrрал сто.mкновений (7.10),
находим
дср! дср] еЕ aCPl 1
"'7it + v dx ди == 2" V m (ер2 ер!) + Q (ер!),
дСР2 дСР2 е Е дСР2 1
дt v дх + rп: ди == 2 V m (ер! ер2) Q (<Р2)'
(7.43)
причем роль эффекти\вной частоты стол но ений иrрает величи
На V m === 2Nv(Jc(v) . Вероятность следует выбирать, и сходя из
реальноrо среднеrо косинуса уrла рассеяния: == (1 cos 8) /2.
На\Пример, при изотропном зан:оне рассеяния == 1/2 и V m == V C .
лен упруrих потерь энерrии введем в уравнение для энерrети
ческоrо спектра, как и в п. 4.5. Слаrаемые неупруrих столкнове
пий Q опредеЛЯЮТ1СЯ так же, как и в уравнении лоренцева при
ближения в п. 4.6.
IIерейдем к раCiпределениям ЭЛ КТРОНОtВ, летяrцих вперед и
назад, по энерf'\ИЯМ:
nl,2(B)dB == <Pl,2(V)dv, r 1 ,2(8)== пl,2(в)и <Рl,2(и)/т,
ТДе r 1 ,2 односторонние спектральные потоки. С учетом упру
ТИх потерь энерrии уравнения для спектральных функций при
обретают вид:
оп! ar 1 д ( 2т Е ) 1
7ft + дх + дЕ eEr 1 м lm r 1 2l m (r 2 r 1 ) + Q(r 1 ),
дп 2 ar 2 д ( 2т Е ) 1 (7.44)
7ft дх + дЕ eEI'2 м lm r 2 2l m (r 1 r 2 ) + Q(r 2 ),
тде lm == (2N(Jc ) 1 == v/v m длина пробеrа для передачи импуль
са, определяемая транспортным сечением а т == 2 ac. Система
(7.44) для двух спектральных ,функций пl, п2 и подлежит реше
пию, подобно системе (7.14), (7.16) для двух фУНКЦIИЙ 10, /1-
В пределе слабых полей, коrда ускорение электронов полем
вперед мало, а расселние назад деЙ1ствует в полную силу, спект
ральные потоки вперед и назад мало отличаются друr от друrа.
При этом сумма r 1 + r 2 === пи (rде п == пl + п2 C[Jектральная
плотность) соответствует симметричной части лоренцевой функ
183
ции распределения, а разность r == r 1 r 2 (или спектральныи
поток) малой асимметричной части. Поскольку энерrии элект
ронов в слабом поле в основном малы, частоты упруrих столкно
вений rorpаздо больше частот неупруrих, а также обратноrо Bpe
мени установления спектра. Вычитая уравнения (7.44) и опуская
малые величины, получим приближенно
r l . дп + El дпи
ти е
дх rY1 де
(7.45)
в полной аналоrии с лоренцевой связыо типа (7.19/). Первое сла
raeMoe определяет диффузионный ПОТОR, которыи В (7.19/) был
опущен, второе дрейфовый.
Интеrрирryя (7.45) по спектру для случая "т(и)=== const и имен
в виду, что пи 2 О при V ----+ О, находим выражение дЛЯ ПЛОТНО
сти потока
re === <V 2 /V m >aп e /ax (eE/тv m ) п е ,
(7.46 )
которое совпадает с (3.20). Выражецие для СRОрОСТИ дрейфа по
лучается тачным, а Rоэффициент диффузии втрое больше Ha
стоящеrо, так как ,-аотичеСRое движение не трехмерно, а OДHO
мерно *). Подробности см. [7.4]; результаты расчета приводятся
в 5 rл. 10.
В очень сильных и достаточно протяженных полях элеRТРОНЫ
разrоняются до больших энерrий, неупруrие столкновения проис
ходят чаще упруrих, рассеиваются электроны преимущественно
вперед. Из двух уравнений (7.44) в этом случае [Можно оставить
ТОЛЬRО первое, 6еlЗ члена упруrих столкновений. Из Hero вытекает
уравнение ( 4.12), записанное в приближении «l\10НО1н рrетпче
СRИХ» электронов, если под Е подразумевать среДНЮIО энерr:ию.
10.1. Формулировка уравнения. Как и в случае «классиче...
и переход к классике
10.1. Формулировка уравнения. Как и в случае «Rлассиче
CKOrO» взаимодействия электронов с полем электромаrнитной вол
ны, cTporoe описание эффектов взаимодействия с полем фоrоnов
требует решения соответствующеrо кинетичеСRоrо уравнения для
функции распределения электронов по энерrиям п (Е, t). На опы
те квантовые эффекты проявляются в основном при взаимодей
СТБИИ электронов с лазерным излучением. В этом случае спон
танное излучение пренебрежимо мало (п. 9.3 rл. 5). Взаимодей
ствие состоит в обмене квантами энерrии пы в актах истинноrо
поrлощения света и вынужденноrо испускания. Опуская индекс
ffi у коэффициентов а ro , Ь ro , рассчитанных на один электрон и один
*) По СТ рОТ ОМ У определению D==(v /'Vm) V / 'Vm. НО V == и ==...== v 2 /з.
у нас же v == р 2 .
184
атом ( 8 rл. 5), запишем кинетическое уравнение
оп/ at === FN [ a (е) п (е) + Ь (8 I--- пы) п (в + пы)
Ь(в)п(е)+а(в пы)п(в пю)]+ Ql, (7.47)
rде F [c 1 CM 2] плотность потока фотонов, N [CM 3] плотность
атомов. В Ql включено то, что не имеет отношения к взаимощей
ствию электронов с полем излучения: Y1IIруrие потери, действие
неупруrих ударов, рождение, rибель электронов. Смысл слаrае
мых в скобках ясен: уход электрона из состоян\ия С данной энер
rией е в состояние с в + nю вследсrnвие поrлощения кванта энер
rии, приход «сверху» в результате вынужденноrо испускания
RBaHTa, yxQД «вниз», приход «снизу».
В результате случайных актов поrлощения и вынужденноrо
испускания квантов электрон «блуждает» вдоль энерrетической
оси В, совершая случайные скач'Ки то вверх, то вниз на величину
B === nю. Интервалы между скачками 'Та, 'Ть характеРИЗУIОТСЯ
частотами
1 L N
V a === 'Та === l' а,
Vb === 1';1 F !...ть,
(7.48)
которые весьма близки друr к друrу. Например, для света руби
HOBoro лазера NЮ === 1,78 эВ, aprOHa с плотностью N ==
=== 5,3 1019 CM 3, (р === 1,5 атм), потока квантов F ===
=--= 3,4 1 029 c 1 . eM 2, ПРИ котором происходит пробой в таких
условиях (среднеквадратичное поле в световой волне Е==
=== 6 · 106 В/см), и энерrии электронов в == 10 эВ по данным
рис. 5.3 V a 'Vb 5,4 . 1011 c l, 'Та 'Ть 1,8 . 10 12 с. Хотя вероят
насти скачков вверх и вниз по оси энерrии более или менее оди
иаковы, в cpeДHe электрон все же движется вверх, т. е. набира
ет энерrию от поля. Этот процесс вполне анаЛОl ичен одnо.ме рпой
диффузии частицы в rазе от не[lроницаемой стенки, коrда с тече
нием времени частица в среднем удаляется от нее. Роль «стеНRИ»
здесь иrрает нуль энерrии электрона.
10.2. Диффузионное приб.т.ижение. КонеЧIIо разностное ypaB
нение (7.47) можно существенно упростить, превратив ero в ДИlф
ференциальное, если функция распределения п(в) мало меняется
на длине одноrо скачка пw по оси В, т. е. ПрlИ условии, что NЮ
значительно меныпе типичных значений е, например среднеЙ
энерrии опектра. Вместе с тем операция над уравнением, связан
ная с использованием условия малости кванта энерrии, должна
приближать нас к Rласаике. Сейчас мы убедимся в том, что это
действительно так и есть на самом деле. Прежде, однано, заме
тим, что неравенство NЮ е реализуется в наиболее интересном
с;rучае. KBaHToBoro рассмотрения тре\бует в первую очередь ис
следование пробоя rазов под действием лазерноrо излучения
(Э 6 rл. 9). Для Toro чтобы произошел пробой, т. е. развилась
элеRтронная лавина, необходимо, чтобы энерrия электронов дo
стиrJIа величины, превышающей потенциал ионизации атомов.
у aproHa, например, 1 === 15,8 эВ, у rелия 24,6 эВ. Эти значе
185
ния на порядок превышают энерrии Евантов рубиновото
(пы == 1,78 эВ) и тем более неодимовоrо (1,17 эВ) лазеров, так
что с разумным приближением J11словие пы 8 можно считать
выполненным.
ПОЛЬ3УЯIСЬ этим неравенством, разложим в уравнении (7.47)
все фУНКЦИiИ от артументов е + NЮ в ряд окол:) точки 8, сохранив
члены второто порядка малости по nш/е. Опуская члены более
высоното порядка малости, чем (n ю/ 8) 2, получим дифференциаль
ное уравнение второто порядка для функции распределения
п (t, 8), которое, так же как и в классическом случае, имеет вид
уравнения диффузии по оси энерrии, но с иными коэффициен
тами:
дп aJ + Q J == т' дп + пИU'
at de l' де'
Ю' (1 /2) F N (hffi ) 2 [а (8) + Ь (f) J ,
ии' == F N (пы) [а (8) Ь (t:)] dq)' /dE.
(7.49)
(7.50}
Мы отметили q)' и ии' штрихом, чтобы не путать их с «клас
сичес,кими» коэ/ффициентами (7.22). Квантовые коэффициент диф
фузии q)/ И снорость Rинетическоrо потока ии/ имеют очень яс
ную /физичеСRУЮ интерпретацию. Действительно, веЛlичина
F N (а + Ь) == т а ь 1 это вероятность электрону либо поrлотить, ли
бо исп"J1ст\ить нвант энерrии и совершить скаrчок по координате.
Следовательно, ТаЬ среднее время ето жизни по отношению к
такому шаrу. Квант NЮ это значение скаЧiRа, rи q)/ ===
== (пы) 2/2т а ь это IПрОС точное t3наlчение коэффициента OДHO
мерной диффу ии D === 8х 2 /2т. Далее, nю/т а это средняя CHO
рость одностороннето движения вверх по оси 8, nю/ть iВниз.
Разность этих скоростей
n ю/ Та nю/ ТЬ == FNnw (а Ь)
характеризует системаТlическое движение вверх, в сторону увели
чения энерnи:и. Кроме Toro, е(сли коэффициент диф/фузии зависиr
от ТОЧJки, то В обычном диффузионном потоке частиц
J == a(Dп)jax == Daп/ax naD/ax
появляется составляющая ТИ1па Rинетическоrо потока со CHO
ростью, равной aD/ax. Для суммарной скорости ии/ получаем
в точности выражение (7.50).
10.3. Предельный переход. Остается сделать еще один шат
перейти к пределу nю -----+ О В значениях квантовых коэффициен
тов q)/ и ии', и мы завершим переход к Rласс\ике. Прежде всето,
независимо от конкретното вида коэффициентов поrлощения и
вынужденноrо испускания, в пределе n w е с помощью общеrо
соотношения (5.50) между а и Ь находим
т/ == ]?N (пы) 2а (8), OU/ == FN (nю) 2а (в )/28 === q)/ /2е.
Связь величин ии/ и q)/ получается точно такой же (7.22), как
186
:в ,классике. Если [[одетавить сщда (коэффициент ИСТИ1Iноrо П()
rлощения а(е) по формуле (5.60) и перейти R пределу пю/в О,
заметив, что пwF == сЕ2/4л, получим н:лассические выражения
(7.22) для q) и иu.
Тан:им образом, в добавление к 10 rл. 5 мы еще раз пока
зали, те(перь уже с помощью кинет[Ичесн:оrо уравнения, что клас
сической теорией взаимодействия электромаrнитной волны с
электронами в ионизованном rазе формально можно ПОЛЬЗ0вать
ея при условии пы е, а не при условии пю « Виол, как это Ka
залось сначала (п. 8.1 rл. 5). Это весьма СУЩ1ественный резуль
тат, он служит обоснованием возможности пр[Именения (с извест
ными оrоворн:аМIИ) классической теории к такому, казалось бы,
типично «н:вантовому» процессу, как пробой rаза излучениями
оптичеС О20 диапазопа. Если же условие пю« в нел:ызя очитать
выполненным, KarK, наiIlример, в слу'чае н:вантов ультрафlИолетово
ro диапазона, необходимо пользоваться квантовым уравнени
€ 1 (7.47).
r л а в а 8. ЭЛЕКТРИЧЕСКIIЕ 30lJДЫ
э 1. Введение. Схема эксперимента
Все методы диаrностики плазмы Пpiизваны определять на опы
те ее параметры. rлавные задачи состоят в измерении плотности
элен:тронов п е , их температуры Те, еСЛIИ таковой они обладаIОТ,
:в общем случае 'функции распред ления /0 (и). Для Иlсследова
ний разря\да большой интерес представляют распределения по
rенц,иала и электрическоrо поля в пространстве. При блаrоприят
ных условиях эти задачи решает зопдовЬLй метод, развитый в
1923 r. ЛенrМIОРОМ. 30НДОВЫЙ метод (практически единственный
реди всех диаrностических приемов) позволяет непосредственно
ва ,"одить лон:аЛЬЕ:ые хара ктеристин:и плаз'Мы, т. е. пространствен
ное распределение параметров, и в этом состоит ero особая
ценность.
При зондовом исследовании в определенное место плазмы
ВВОДИТiСЯ электрод, на который подаются различные потенциалы.
Это металлический проводник, почти до конца покрытый изоля
цией. Оrоленной поверхности зонда, которая соприкасается с
плазмой, придают разные формы: ПЛОСКУIО, цилиндрическую,
шарообразную. Потенциал зонда, задаваемый источником напря
жения, qJИRсируется относительно опОРnО20 электрода: анода, Ka
тода или заземленной металлической стенки разрядной камеры,
если таКОrвая имеет(ся.
На рис. 8.1 изображена схема измерений. В данной схеме
зондовый ток замыкается через анод А, IПОЭТОМУ полярность
источника напряжения для зонда выбрана так, чтобы потенциал
.зонда был ниже потенциала aHoдa, промежуточным между по
187
теНЦ1Иалами анода и катода К, как в плазм . II0тенциал зонда
варьируется при помощи потенциометра. Эксперимент заключает
ся в измерении токов, протекающих через зонд, и приложенных
R нему напряжений в снятии зоnдовой вольт а.мперnой xapa7'1t
теристи-ки (БАХ).
На рис. 8.2 показано несколько вариантов КОНСТРУRЦ)ИЙ зон
Дов. ИзrотаВЛИiвают зонды преимущественно !из туrоплаВJ\ИХ Me
таллов: вольфрама, М()iлибде
на, тантала; цилиндрическин
зонды из проволоки диа--
:м:етром O,5 O,05 IMIM. В ка--
честве изолятора ИСlПользуют
специальные сорта стеRла,
:которым мOlЖНО 1IОКРЫТЬ про..
волоку, керамику, :КBapц
алунд (99 О/о АlzО з ) и др.
Правильная rконструкция
зонда (рис. 8.2в) в ОТЛИЧИЕ
Рис. 8.1. Схема зондовых измерений от неправилыIйй (рис. 8.2 )
уменьшает влияние краевы\
эффектов. Ведь при абрабоТ!ке результатов ИIЗlмерений приходится
задаваться значением площади ток,особuрающей поверхности. PaJ
меры сферических и плоских зондов имеют ПОрЯIДОК 1 мм.
Простота технических средств и эксперимента являются дo
стоинствами зондовоrо метода. Недостаток ero в сложности
теории, с помощью которой из.-
данных измерений извлекаются
характеристики плаJМ:Ы. Пра
вильпее сказать так: лишь в
оrраниченном Iдиа[lазоне усло
вий теория не чре!Зlмерно СЛОrИ
Рис. 8.2. l\онструнции зондов: а на. За пределами этоrо диапазо
в правильная, е неправильная; на сложность ее TalKoBa, что
1 зонд, 2 изолятор становитс\Я iЗНalчительной вероят
ность не корректных из\мерений
или ошибочной интерпретации их результатов. При И1змерении Ka
(Кой нибудь величины всеrда сл дует стремиться к тому, 'Чтобы в
основе метода лежала простая, не вызывающая сомнений теория с
МИНИМУIМОМ iд()[Iущений и нече'Лких orранwчений. В TOM отношении
ЗОНIДОВЫЙ метод работает с достаточной надежностью лишь в слу
чае разреженноrо rаза, коrда длина свободноrо пробеrа зарЯjRен
ных частиц больше характерных размеров зонда и возмущенной
области плазмы BOKpyr Hero *). Но в принципе с помощью зондов
v
vp
1
1 1
;1 aW
2
а
2
о
*) Именно к этому случаrо ОТНОСtIтсл теория Ленrмюра. Зонды вводили
в разрядную плазму и раньше, еще в начале века. ЭJlе-ктростатическими
способами измРряли разность 1[Оlенциалов :между зондом и катодом или
анодом. IJo потом C'1aJIo ясно, что поrенциалы зонда и плаdМЫ не совпада
ЮТ, хотя раJПОСТЬ IIотРнциалов между соседними точками так определять
можно ЛИIIIЬ '1 еория Ленr:мюра сделала зонды эффективным методом KO
личественнои диаrностиl.iИ.
188
MOjHHO исследовать плазму в весьма широком диапазоне условий:
р /"'0./ 10 5 102 торр, nе '" 106 1014 CM 3.
Если в плазме присутствует маrнитное поле, теория сильно
усложняется и интерпретировать измерения бывает трудно. То же
относится и к случаю, нотда имеются отрицательные ионы. В OT
сутствие опорноrо электрода, как, например, в безэлеRТРОДНОМ
высокочастотном разряде или в распадающейся плазме с отклю
ченным полем, оди1tоч1tЬ Й зонд ничеrо не дает. В этих случаях
пользуются двойnы.ми ЗОНlдами (э 7).
э 2. Волът амперная характеристика одиночноrо зонда
На рис. 8.3 представлена неlСКОЛЬRО идеализ)ированная зоnдо
вал характеристипа зависимость электрическоrо тока i, проте
кающеrо через ПЛОСRИЙ зонд, от ето потенциала v. Откуда отсчи
тывать потенциал значения не имеет, лишь бы ТОЧRа отсчета
была четко фиксированной. Именно для этой цели и служит
опорный электрод. Дадим Rачественную интерпретацию зависимо
СТИ i (V). ДО\IIУСТИМ, IЧТО В отсутствие
зодда [JлаЗlма электронейтральна, п е ==
=== n+ === по. Потенциал плаЗIМЫ (про
странства) в тО\м IMecTe, lкуда помещен
ЗОIJ1Д, обозначим V s и будем отсrqиты
вать ето от опорнorо электрода. Пусть
V s \мало меняется на Iпротяжении той
области, которая возмущена присут
ствием зонда, т. е. iпотенциал ближай
u u _
IIIеи неВОЗiмущеннои Iплазмы вокрут 30H Рис. 8.3. Типичная 30HДO
да равен V s . Из/меряемый на опыте по вал характеристика
тенциал зон,да относительно опорноrо
элеRТРОlда есть V === V р + v 5, тде V р потенциал ЗОllда относи
тельно невозмущенной плазмы в ето окрестности (рис. 8.1).
Зонд только собирает заряды из плазмы. Он их не испускает.
Будем О'пеРИРОlвать абсолютными значениями электронноrо и
ионноrо токов на зонд ie, i+. Условимся О таком знаке зондовоrо
тока: i === ie i+, ему соответствует ориентация кривой рис. 8.3.
Если потенциал зонда совпадает с потенциалом пространства и
ТОRосооирающая поверхность параллельна направлению внешнеrо
поля между анодом и каТОДОIМ, заряды попадают на зонд исклю
чительно блаrодаря своему тепловому движению. Но электроны
движутся rораздо быстрее ионов, тем более что их температура
в слаБОiИОНИЗОlВанной пла;3lме rораздо больше ионной (rазовой) Т.
Поэтому при V === V s ЗОНДовый ток практически совпадает с
электронным: i ie. Подчеркнем сам факт: в отсутствие разности
потенциалов между проводником и Оiкружающей ллазм:ой провод
ник собирает электрический ток (элеRТРОНОВ).
Котда на зонд подан положительный относительно плазмы по
тенциал V > V s , ионы отталкиваютlCЯ от зонда, ионный ток исче
t 1
I
I
I
I
/»
I Vf'
А
v
Е
189
-зает, а электроны притяrиваются. Около зонда образуется слои
отрицательноrо объеМ1-l0ео заряда, который экранирует потенциал
V р. Падение потенциала от V до V s и поле зонда сосредотачи
ваются в области слоя пространственноrо заряда, асимптотически
исчезая при переходе в невозмущенную плазму. Эффект co:вep
тенно аналоrичен полярuзаЦ 7 lU плазмы BOKpyr заряда и экрани
ровке поля заряда в плазме на расстояниях, больших дебаевско
то радиуса.
Введем условную внешнюю поверхность слоя rраницу, даль....
те которой плазму можно приближенно считать нейтральной,
а поле отсутствующим. Электроны попадают извне на rраницу
слоя, а потом и на зонд, в основном блаrодаря тепловому дви
жению, чем и определяется их поток, который слабо зависит от
потенциала зонда. 30НДОВЫЙ ток совпадает с более или менее
постоянным электронным током 7iасыlе7iuяя leHac. Этому COOTBeT
ствует верХ7iЯЯ полоеая часть ВАХ АВ. В идеальном случае «без
rраничной» плоскости i eHac == const и эта часть ВАХ была бы ro
ризонтальной. В случае небольшоrо зонда ток нарастает с ростом
положительноrо потенциала, но медленнее, чем в крутой час
ти ВАХ.
Если создать на зонде отрицательный относительно плазмы
потенциал, электронный ток резко падает по мере возрастания
I V р 1, так как все меньше электронов обладает скоростями, ДOCTa
точными для преодоления тормозящеrо поля. Так ВОЗНИRает пpy
тая часть хара теристики с. Место верхнето «uзло.ма» ВАХ (точ
ка В, соответствующая V p О) фиксирует потенциал простран
ства V s . Ero так и можно найти на опыте. Передвиrая зонд, по
разности потенциалов V s в соседних точках определяют элеRТРИ
ческое поле.
При некотором отрицательном потенциале V p == V f (точка D
lIa рис. 8.3) тон исчезает. В этом состоянии поток на зонд He
больтоrо Rоличества энерrичных элеRТРОНОВ, способных преодо
леть тормозящий потенциал, компенсирует [10ТОН ионов. Такой ПО 04
тенциал V f (он называется плавающu:м) приобретает помещенное
в плазм:у uзолuроваliliое тело. Возвращаясь к сноске в 1,
можно сказать, что в опытах с зондом без питания измеряли
не потенциал плазмы, а более отрицательный плаваlОЩИЙ: по
тенциал.
При еще больших отрицательных потенциалал зонд отталки
вает практичеClliИ все этrектроны. Ионы он ПРИТЯlrивает. 30HI.д OKPy
жает UО7i7iЫЙ СЛОЙ положительноrо объемноrо заряда, который
экранирует большой отрицательный потенциал V p . Ток на зонд
является чисто ионным, причем определяется он потоком ионов,
попадаJОЩfИХ на rраницу слоя из окружающей плазмы. ПОТОR
этот мало зависит от потенциала зонда, RОТОРЫЙ заэкрани
рован, т. с. зондовый ток меняется медленно и совпадает с
иО7i7iЫ.м топом nасыще7iUЯ. Этому соответствует 7iUЖ7iЯЯ полоеая
часть ВАХ.
190
3. Теоретические основы диаrностики
разреженной плазмы по электронному току
3.1. Электронная температура. Рассмотрим RРУТУЮ часть зон...
давай хараRтеРИСТИRИ С, rде тон элеRТРОННЫЙ, а потенциал для
электронов тормозящий. Пусть электроны пересеRают слой по
ложительноrо объемноrо заряда без столкновений. При напряже
ниях на зонде, соответствующих RРУТОЙ части хараRтеРИСТИRИ,
толщина сЛоя имеет ПОрЯДОR дебаевскоrо радиуса. При Те 1 эВ,
п е 109 CM 3 по формуле (2.23) d 10 2 см. Если, нан обычно,
длина пробеrа элеRТРОНОВ le танова, что leP 0,03 O,01 см . торр,
то le > d при Р < 10 1 1 торр. ВЫЧИIСЛИМ элеRТРОННЫЙ ток на
зонд, для простоты полаrая, что слой 'тонкий по сравнению с
радиусом кривизны или размерами ТОRособирающей поверхности.
В этом случае задачу можно считать плосной. В п. 3.4 будет по
казана, что полученный результат справедлив для любой выпук
лой поверхности, например для малеНЬRоrо сферичеСRоrо зонда.
Полаrаем, что поверхность :м:еталла полностью поrлощает (не-
отражает) заряrды.
Электрон, попадаIОЩИЙ с тепловой СRОрОСТЬЮ из неlвозмущен
ноц плазмы на внешнюю rраницу слоя, подверrается тормозяще
му действию нормальноrо к поверхности поля, Е === dcp/ dx"
В соотве'DСТВИИ с уравнением движения
dv x d тv а<р
т dt == dx 2 == е ах
он может достичь поверхности зонда, только если обладает в Ha
'61
чале составляющей СRОрОСТИ V x таRОЙ, что ти /2 е I V р I === ти;/2,
Т. е. и х Vt ===(2eIV p l/т) 1/2. Если на внешней /rранице СЛОК
фУНRЦИЯ распределения электроноrв есть f (и х , V y , V z ), то плот
насть тона на зонд равна
00 00 00
je e S dV y .\ dU z .\ f(v x , vy,vz)vxdv x CM 2.c 1 (8.1)
oo oo Vt
Интеrрируя (8.1) с маRсвеЛЛОВСRИМ раСlпределением (см. прило
жение) и умножая результат на площадь поверхности S, нахо/дим
З0НДОВЫЙ ток:
i == S(eпove/4)exp(eVp/kTe), v e === (8kТ е /лт) 1/2. (8.2)
Эта фор/мула, описывающая RРУТУЮ часть ВАХ, была получена
Лэнrмюром и широко применяется на праRТИRе. Сняв зондовую
хараRтеристику и построив !rрафик ln i в зависимости от V, по
уrлу наклона получающейся прямой можно определить ЭЛе\Ктрон
ную температуру Те. Вместе с тем линейность заВИСIИМОСТИ ln i от
1/ свидетельствует о маRсвелловском характере распределенил.
электронов.
3.2. Ток насыщения; потенциал и плотность зарядов в плаз....
1\le. Место BepxHero излома БАХ, как отмечалось выше, определя
191
ет потенциал пространства V S . При V > V s , коrда поле становится
У'С'норяющим, формула (8.2) теряет силу, так как по и х в (8.1)
'теперь нужно интеrри:ровать от нуля незаВИСIИМО от V р. 30НДОВЫЙ
ток при этом СОВlIIадает с электронным током насыщения, KOTO
рый отвечает отсутствию поля, т. е. V p == о в (8.2):
i === ie нас === Seп o v e /4.
(8.3)
Эта веЛИЧIIна соответствует плотности потона частиц в rазе, пере
секающих площадну с одной стороны, пv/4. Один из множителеЙ
1/2 в 1/4 появляется ИЗ--1за Toro, что тольно половина всех частиц
летит в нужную сторону, друrой в результате усrpеднения по
полусфере Rооинуса уrла tt между направлением снорости v и
нормалью н площадке. Зная тепловую скорость ЭЛ8lНТРОНОВ V e из
измерения Те по крутой части ВАХ и значение тона в точне В
излома ВАХ, по формуле (8.3) можно найти плотность зарядов
в плазме по.
3.3. Критерий «разреженности» плазмы. Чтобы по можно бы
ло Tpa TOBaTЬ нан плотность электронов в невозмущенной плазме,
необходимо, чтобы присутствие зонда не нарушало по в точнах
последнеrо столнновения, после HOToporo электроны приходят к
зонду. Они отстоят от зонда на расстоянии порядна длlины про
беrа. Но плотность частиц в накой то точне формируется в ре...
зультате прихода их из сферы с раlдиусом ПОРЯlдка l. Своей по
верхностью S зонд «затемняет» долю S/4л1 2 этой сферы, тем ca
.L\{ым обедняя источник ,формирования плотности. Нужно, чтобы
эта доля была малой; S/4лI 2 « 1, т. е. чтобы длина пробеrа l бы
ла больше xapaHTe'pHoro линейноrо размера зонда -у s. Друrим
условием разреженности плаlЗМЫ является малость размеров слоя
объемноrо заряда по сравнению с 1.
3.4. Нахождение функции распределения электронов. В слу
чае произвольнarо, но почти изотропноrо распределения элентро
нов в невозмущенной плазме, f(v x , и у , vz) fo(v), в выраженИ1И
(8.1) для потона элентронов на поверхность зонда целесообразнее
оперировать значением скорости v и уrлом ее наклона к BHYTpeH
ней нормали R поверхности tt. 3а l мечая, что и х === v cos tt, предста
вим (8.1) в виде
2 00
je е 5 cos {}. 2л sin {} dtt v з /0 (и) dv.
о Vt/cosf}
(8.4)
еняя порядон интеrрирования с сохранением области, OXBaTЫ
ваемой двойным интеrралом, проинтеrрируем (8.4) по Jl. == cos б:
1 00 00 1
j. ==о 2ле S /l d/l .\' vЗ!о (и) dv 2ле J v з ! о (и) dv S /l d/l ==о
о Vt/ Vt Vt/ V
00
2ле 5 ( mv2 )
==т 2 elVpl v/o(v)dv.
Vt
(8.5)
192
МаксвеЛОВCJКая фУНtнция 10 === (т/2лkТ е ) :i/:l ехр ( тv /2k-l е) lll' '"
вращает (8.5) в (8.2). КЗJК и (8.2), формула (8.5) справедли...
Ва тольно при V p о. Если V p > О, интеrрировать по v в (8.4)
следует от нуля независимо от V p . Это дает ток насыщения (8.3)
с немансвелловокой средней оноростью V e .
Продифференцировав (8.5) по V p два раз а, полу чим
d 2 , 2ле 3 /2е I V р I
== s /0 (Vt), Vt === V . (S.6)
dV. т т
р
Для на хождения фуннции распределения элентронorв следует
снять зондовую харантеристику, дважды продифференцировать ее
в каждой точн:е HpYToro участна и приписать точне потенциал V p ,
отсчитанный от точни В BepxHero излома. Вторая производнал
даст число /о(и) при V == (2el V p l/nl,) 1/2.
Этот метод, впервые примененный
Дрюйвестейном (1930 r.), с HeKOTOpы
ми усовершенствованиями и ныне ис
пользуется на практике (9 4).
3.5. При:менимость теории крутой
части ВАХ l' зондам малых размеров.
Покажем, что основная для диаrности
ки формула (8.5), выведенная выше
путем рассмотрения «плоской» reoMeT
рии, справедлива и в случае зондов, .мa
---
лых по сравнению с размерами оола
сти объемноrо заряда. Необходимо толь
но, чтобы зон(,Цовая поверхность б:m:ла
выпуJ'i,ДОЙ. B03MOJKHOCTb применения He
больших зондов крайне блаrоприятна,
ибо они :м:еньше нарушаIОТ eCTeCTBeH
ныр условия В исследуеlМОЙ плазме. Необходимость в
ПЛ,13му один из существенных недостаl1КОВ Зондов !Оржения в
Не все из тех элентронов, ноторые влетают в сл и еТОДИRII.
заряда, окружающий зонд конечных размеров, ПOiП ; ъеИноrо
Часть пролетает мимо (рис. 8.4). Задача не Пло На зонд.
вывод формулы (8.3) нужно пересмотреть Спе л скан, ПОЭтому
[8 2] O · аем ЭТо сл
. . оозначим: r p ноординаты точки ЗОНДов ... , едун
V p и f(r p , V p ) СIШрОСТЬ И Функция распределен:: пorверхности,
поверхности. Плотность тока на зонд в ТОЧRе 'р есть элеRТРОНОВ у
Л/2 00
je е S S и р cos ft f (rp, V р) 2л sin ft dftv 2 d
о о р V p .
:.
Рис 8 4. Траектории части
около оттаЛкивающе Ф Ц
ричеСкоrо или цили; д о р с e
иче...
CKoro ЗОНДа
(8.7)
Вследствие выпунлости электроны приходят На
всей полусферы О {} л/2 *) . Поверхность со
*) I-Ia воrнутых участках пеI{сторые уrлы
ПУRЛОСТЯ-М:И, и их нужно выдеЛН1'Ь I1З ИнrеrраЛа. «затенены» Соседними
Bы
13 ю. п РаЙlер
193
В ТОЧI{У rp со скоростью v p , направленноЙ к поверхности, эл('К....
трон приходит без столкновения из накои то точни r невозмущен
ной плазмы, rде он обладал сноростью v. Вследствие потенциаль
нато характера тормозящей силы изменение кинетической энерrии
элентрона на этом пути не зависит от пространственноrо распреде
ления потенциала и формы траектории:
тv;/2 == тv 2 j2 е I V р 1.
I-Io соrласно (7.6) в отсутствие столrнновений функц я распреде.1:е
ния не меняется вдоль трае\ктории частицы в фазовом простраII
стве. В невозмущенноЙ плазме она изотропна и равна J() (и). Сле
довательно, f(r p , У р )== f(r, у)== fo(V). Заменяя в (8.7) f на fo(V),
v по формуле (8.8), vpdv p на vdv и интеrрируя по 1t, получаем
последнее выражение (8.5). Плотность тока на всех участнах
выпуклоrо зонда одинанова, т. е. i == Sje, rде S ПЛОЩадь поверх
ности зонда.
3.6. Почему не насыщается ток на маленький зонд. В идеаль
ном плосном случае, реально если толщина слоя объемноrо за
ряда мала по сравнению с радиусом нривизны и размерами TOKO
собирающеЙ поверхности, достаточно подать на зонд неБОЛЫIIОЙ
положительный потенциал V р, чтобы электронный ток достиr не
зависящеrо от потенциала значения (8.3), соответствующеrо Ha
сыщению. Если размеры зонда малы по сравнению с размерами
(ра\диусом) области оБЪ8lмноrо заряда
элеlR ТрОННЫЙ ток продолжает расти при
увеличении положительноJ'О потенци
ала, хотя и медленнее, чем в крутой
части ВАХ, отвечающей уменьшению
тормозящеrо потенциа1ла. Причина TaKO
то поведения ,ВАХ состоит в том, что
не все элентроны, влетающие в слои
объемноrо заряда, IIЩе они подверrаются
действию притяrивающеrо поля, попа
дают на зонд. Часть из них пролетаеr
мимо и вылетает из елоя, не За/дев 30H
да. Но, нонечно, чем выше УОНОРЯЮIЦИЙ
потенциал V р, тем сильнее элект рон ьТ
притяrиваются н зонду, тем болыпая их
часть, вступив в слоЙ, собирается 30H
ДО\1 растет и ток.
Это положение ИЛЛIострируется рис. 8.5, на нотором схемати
чесни поназаны траентории частиц в притяrивающем поле сфе
ричеокоrо