Рецензент
доц. М.А.Лялинов (С.-Петерб. гос. ун-т)
Бирман M.IIL, Суслина ТА. Линейная алгебра. Вып.1. Ма-
трицы. Определители. СПб: Отдел оперативной полиграфии
НИИХ СПбГУ, 1999. - 41 с.
Линейная алгебра — один из базовых курсов, лежащих в основании ма-
тематического образования физиков. Особенно большое значение этот курс
имеет для будущих физиков-теоретиков. На физическом факультете СПбГУ
курс линейной алгебры читается на первом курсе. При этом на первый семестр
падают сравнительно элементарные вопросы: гл. 1 — теория матриц и опре-
делителей и гл. 2 - системы линейных алгебраических уравнений. Во втором
семестре читается теория линейных операторов в конечномерных простран-
ствах. Читаемый курс входит как часть в единую систему математического
образования на физическом факультете. В его содержании, построении и
изложении есть ряд особенностей. Это затрудняет использование имеющейся
учебной литературы. Выпуски учебно-методического пособия по линейной
алгебре должны облегчить студентам-физикам изучение курса. Настоящий
вып. 1 вместе со следующим вып. 2 соответствуют первым двум главам. По
техническим причинам в вып. 2 отнесены часть гл. 1 и гл. 2. Выпуск 1 со-
держит основную часть гл. 1. Предполагается, что в последующих выпусках
курс линейной алгебры будет охвачен полностью.
Пособие рекомендуется студентам 1 и 2 курсов физических и физико-
математических специальностей. Его могут использовать для справок и более
подготовленные читатели.
Печатается по решению
учебно-методической комиссии
Ученого совета
Физического учебно-научного центра
© М.Ш.Бирман
Т.А.Суслина
1999
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Выпуск I
Учебно-методическое пособие для студентов I курса
Линейная алгебра возникла как наука о решении систем
линейных алгебраических уравнений. Впоследствии предмет
линейной алгебры расширился, и сейчас она в существенном
представляет собой теорию линейных преобразований (опера-
торов) в конечномерных векторных пространствах. Точный
смысл сказанного станет ясен по мере прохождения курса, и
мы не будем входить в дальнейшие пояснения.
Предлагаемое пособие представляет собой первый выпуск
по курсу линейной алгебры для студентов физического фа-
культета СПбГУ. Этот выпуск содержит часть главы 1 курса
— "Матрицы и определители". Второй выпуск будет содер-
жать оставшуюся часть главы 1 и главу 2 курса — "Системы
линейных алгебраических уравнений". Авторы надеются впо-
следствии издать дальнейшие выпуски пособия с тем, чтобы
охватить весь лекционный курс линейной алгебры.
Предполагается, что настоящее пособие будет служить
лишь материалом для повторения. Работа над ним не может
заменить систематического слушания лекционного курса. По-
этому различные пояснения и мотивировки сведены в тексте
до минимума. Авторы считают, что строгий отбор материала и
сравнительно небольшой объем пособия создаст удобства для
слушателей курса и для читателей.
Ниже обозначение а := Ь означает, что "а по определению
равно Ь". Значок • означает конец доказательства. Дополни-
тельный (необязательный) материал помечен верхним значком
*. Как правило, этот материал не входит в лекционный курс.
3
При ссылках на формулы, теоремы и пункты из другого па-
раграфа применяется двойная нумерация, а из другой главы
— тройная.
Глава 1. Матрицы и определители
В этой главе мы познакомимся с формальным аппаратом,
используемым в линейной алгебре, — с алгеброй матриц. При
таком "предварительном" введении понятий матричной алге-
бры определения могут выглядеть недостаточно мотивирован-
ными. Однако их смысл проясняется в дальнейшем изложении
курса.
§ 1. Действия над матрицами
1. Определение матрицы. Матрицей называют прямо-
угольную таблицу чисел (вещественных или комплексных).
Эти числа1 называют элементами матрицы. Матрицу будем
записывать следующим способом
/ «11	«12	  •	«1п \
\ ^тл.1	’ * * атп /
Элементы нумеруются двумя индексами; первый из них
есть номер строки и меняется вдоль столбца, второй — но-
мер столбца, который меняется вдоль строки. Для матрицы
(1) употребляется также краткое обозначение, которое явно
указывает на ее размеры:
а	(2)
Матрица, составленная из m строк и п столбцов, называется
(т х п)-матрицей. Такая матрица возникнет, например, при
' Иногда рассматривают матрицы, составленные не из чи-
сел, а из элементов другой природы.
4
последовательном выписывании коэффициентов при неизвест-
ных в системе из т линейных алгебраических уравнений с
п неизвестными. Множество всех (ш х п)-матриц будем обо-
значать через М™'п. Наконец, условимся для элемента %
матрицы А в некоторых случаях использовать обозначение
— [А]^, i = 1,..., m; j — I,... . п.
2. Линейные действия над матрицами. Введем линейные
действия над матрицами — сложение матриц и умножение
матрицы на число.
Сложение матриц определяется только для матриц совпа-
дающих размеров: если А е Мт,п, В € Мт,п, то А + В € Мт,п,
где
[Л + B]ij = [Л]у + [В]у, i = 1,... ,m; j — 1.n. (3)
Таким образом, сложение матриц состоит в поэлементном сло-
жении.
Умножение матрицы на число состоит в умножении на
это число каждого элемента матрицы. Для произведения ма-
трицы А на число а используется как обозначение с>А, так и
обозначение До. Таким образом,
[aAjtj — [Да]у = а[А]ц, г = 1,..., т; j = 1,..., п.	(4)
Ясно, что oiA € Mm,u, если А € Мт,П.	В подробных обозначе-
НИЯХ	
	 • • ««In \
aa2i аа22	 • •	««2п
оЛ — Аа =	
\ aa„,i аа„,2	««mn /
При этом предполагается, что в случае вещественных ма-
триц их можно умножать на вещественные множители. В
классе комплексных матриц подразумевается умножение на
комплексные числа.
Перечислим свойства линейных операций в классе матриц
Л/'"’7'.
а
1.	Коммутативность сложения:
А + В = В + А.
2.	Ассоциативность сложения:
(А + В) + С = А + (В + С).
3.	Существование нуля. Существует матрица О С Мтпп,
называемая нулевой матрицей, такая, что
А + Э = А, УЛеЛГ".
Это матрица, все элементы которой равны нулю [0]»> = 0.
4.	Существование противоположной матрицы. Для любой
матрицы А е Мт'п существует матрица А е Мт,п такая, что
А + А = 0.
Матрица А, называемая противоположной к матрице А, обо-
значается —А. При этом = [--А]у = — [А]о-
5.	Дистрибутивность умножения на число относительно
сложения матриц:
а(А 4- В) — аА 4- аВ.
6.	Дистрибутивность умножения на матрицу относительно
сложения чисел:
(а + /3)А — аА + fl А.
7.	Ассоциативность относительно числовых множителей:
(a fl) А — a(flA).
8.	Особая роль числового множителя 1.
1А = А. ЧА&Мтп.
Проверка этих свойств не представляет труда, если ис-
пользовать аналогичные свойства для отдельных элементов
6
матрицы, то есть для чисел. Отметим, что именно эти восемь
свойств линейных операций в дальнейшем кладутся в основу
абстрактного понятия линейного пространства.
Разность матриц А и В определяется как сумма А и —В:
А- В := А + (-В).
3. Действия транспонирования и сопряжения. Транспо-
нированная матрица получается из данной матрицы А, если
строки и столбцы поменять ролями. Транспонированную ма-
трицу обозначают через А*. Если Л G Мт<71, то А* б Мп'т,
причем
[А*]о = [A]jf, i = l,...,n; j = l,...,m.	(5)
Отметим свойство линейности операции транспонирования:
для любых матриц А € Мт,п, В G Мт'п и любых чисел а, 0,
(аА + 0В)1 = аА' + 0В*.	(6)
Ясно также, что (А')* = А.
Для матриц с комплексными членами вводится понятие
сопряженной матрицы. Сопряженная матрица А* для данной
матрицы А получается из транспонированной матрицы А', если
все ее элементы заменить комплексно сопряженными числами.
Таким образом, если А С Мт,п, то А* е Мп-т, причем
[А*]^ = а]7, i = l, ...,n; J = l,...,rn.	(7)
Очевидно, для вещественных матриц транспонированная и
сопряженная матрицы совпадают. Операция сопряжения
обладает свойством антилинейности: для любых матриц
А € Мт'п, В е М'1’’’ и любых чисел а е С, 0 е С,
(«А + (ЗВ)* = а А* + /ЗВ*.	(8)
Отметим также, что А** := (А*)* = А.
4. Умножение матриц. Умножение матриц вводится лишь
для матриц согласованных порядков: число столбцов первой
7
матрицы должно совпадать с числом строк второй матрицы.
По определению, для А е Мт'п и В € Мп р, их произведение
С = АВ е Мт'р есть матрица с элементами
«ij — ij —	, Z — 1, Ш, j — l,...,p.	(9)
Суммирование2 ведется по второму значку для элементов А и
по первому для элементов В; согласованность порядков сказы-
вается в том, что оба эти значка меняются от 1 до п. У матрицы
С т строк (столько, сколько у А) и р столбцов (столько, сколько
у В). Формулы (9) называют "правилом умножения строки
на столбец". Именно, для получения элемента «у, стояще-
го в г-ой строке и J-OM столбце матрицы С, умножают fc-ый
элемент г-ой строки матрицы А на А:-ый элемент j-ro столбца
матрицы В, и эти произведения суммируют 3 по k от 1 до п.
Пример: т = 3, п — 2, р — 3,
(«11
«21
«31
«12
«22
«32
Ьц	Ь12 Ь1з
&21 ^22 ^23
«цЬц + «12^21
С — АВ = I «21 Ьц + «22^21
\ «31 Ьц + «32^21
«11^12 + «12&22	«11^13 + «12&23
«21^12 + «22^22	«21^13 + «22^23
«31^12 + 032^22 «31^1.3 + «32^23
Произведение С = АВ есть (3 х 3)-матрица.
Упражнение. Составьте (2 х 2)-матрицу D = В А.
2 Важно помнить, что сумма не зависит от обозначения ин-
декса (значка) суммирования. Значки суммирования иногда
называют поэтому "немыми". В нашем случае немым значком
является к.
3 Суммы (9) образуются по правилу, которое при « — 3
формально совпадает с выражением скалярного произведения
двух векторов через их декартовы координаты.
8
Умножение матриц не коммутативно даже для (2 х 2)-
матриц. Например, при
Л_ М	<0
л~ vo о/’	в	\о	1у’
ло	f0 1Л	1А
Ав= (о о)(о 1) = (о о)'
вл-Г° »П»	1)	= 1'°	°)=э
\о 1) \о о) \о оу
Этот же пример показывает существование "делителей нуля"
для матриц. Действительно, А / G1, Д 0, но В А — 'Ь-.
Исходя из определений (3)~(5), (7), (9) можно проверить
справедливость следующих свойств, в формулировке которых
порядки матриц предполагаются согласованными.
1.	Дистрибутивность умножения относительно сложения:
(А + В)С = АС + ВС. А{С + £>) = АС + AD. (10)
2.	Ассоциативность относительно умножения на число:
(аА)С = а(АС), А([ЗС) = 0(АС).	(И)
Свойства (10) и (11) вместе означают линейность произведения
матриц по каждому из сомножителей:
(аА + 0В)С = а(АС) + /3(ВС), А(аС + (3D) = а(АС) + /3(AD).
(12)
3.	Ассоциативность умножения матриц:
А(ВС) = (АВ)С.	(13)
4.	Правило транспонирования произведения матриц:
(АВУ = В'А*.	(14)
5.	Правило сопряжения произведения матриц:
(АВ)* = В* А*.	(15)
9
Докажем свойства (13) и (14). Свойства (10), (11) и (15)
докажите самостоятельно в качестве упражнения.
Доказательство ассоциативности умножения матриц.
Пусть A G Мт'п. В е Мп’р. С С Мр'г. Ясно, что тогда
А(ВС) е Mm,r, (АВ)С G Мт'г. Вычислим сначала матрицу
А(ВС’). Имеем:
р
[ВС]^ = £b<jc#, » = 1, k = l....,r,
j=i
n	n p	( 1 — i	1
[A(BC)U = £ OK(BCU = £ £ aiibijCjk,	-\	’ 7
I — 1,. . . , Г. I
»=1	»=1 J-l	k	J
(16)
Теперь вычислим (AB)C:
n
[AB]y = £	1=1.......m; j = l,....p,
i=l
p	p n	(i _ 1	1
[(AB)Cb = £[AB]bcifc = ££ан^,
j'-l	j-Ц i - l	I ’	1 J
(17)
Мы видим, что в (16), (17) правые части отличаются лишь
порядком суммирования. Однако, поскольку значки суммиро-
вания i.,j меняются независимо друг от друга, порядок сумми-
рования безразличен. Итак, матрицы А(ВС') и (АВ)С поэле-
ментно совпадают. •
Доказательство правила транспонирования произведения
матриц. При А е Л/™’" и В е Мп'р будет С = АВ е Мгп-Р,
Cf е Мр'т. Имеем:
№ = [chi =	= ELi
i = 1,... .р; j = 1,... , т.
Это и означает справедливость (14). •
10
§ 2. Квадратные матрицы. След матрицы
1. Класс квадратных матриц. Рассмотрим матрицы клас-
са Мп'п (этот класс будем более коротко обозначать через Мп),
то есть квадратные (их и)-матрицы. К таким матрицам при-
менимы все введенные выше действия над матрицами, причем
в результате снова получаются матрицы класса Мп. Особую
роль в классе Мп играют нулевая матрица 0 и единичная
матрица
°\
О
\0 О
Иногда для I будем пользоваться обозначением I — 1„, указы-
вая тем самым, что I G Мп. На главной диагонали единичной
матрицы стоят единицы, а все остальные элементы равны
нулю. Элементы единичной матрицы совпадают с символом
Кронеке.ра, который определяется формулами
А - J1
bik IО
при i — к
при г к
Имеем: [/],* — При любых А е Л/" выполнено
©Л = ЛО = G,
IA = AI = А.
Например,
Матрица
— ан? [Л]д.
j=i
(а 0 ••• 0\
О а  О
.
О 0 а/
11
класса Мп называется кратной единичной.
Упражнения.
1.	Пусть I — единичная матрица в Мп. Проверить, что
при любом т выполнено равенство IA — А для всех А е Мп'т
и BI — В для всех В е ЬГпп.
2*. Пусть A G М2 — произвольная (2 х 2)—матрица, А2 :=
АА, а = «и +«22, Д — аиа22 — ai2«2i- Проверьте справедливость
тождества4
А2 - а А + (31 - 0.
2.	Коммутатор и антикоммутатор. Отметим, что матрица
вида а! (в том числе, единичная и нулевая матрицы) ком-
мутирует с любой матрицей А е Мп. Как уже отмечалось,
две произвольные матрицы А е Мп, В е Af”, вообще говоря,
не коммутируют. Коммутатором матриц А и В называется
матрица
[А, В] := АВ-В А.
Равенство [А, В] = 0 означает, что матрицы А и В коммути-
руют.
Упражнение*. Если матрица A G Мп коммутирует с любой
матрицей В е АР, то матрица А кратна единичной. Проверьте.
Вводят также понятие антикоммутатора матриц А и В
— это матрица {А, В} := АВ + В А Если {А, В} = то го-
ворят, что матрицы А и В антикоммутируют. Отметим, что
коммутатор и антикоммутатор линейны по каждому аргумен-
ту:
[«А + 'уС, В] = а[А, В] + 7[С. В].
[А, [ЗВ + 7С] = (3[А, В] + 7[А, С];
{«А + 7С. В} = а{А, В} + 7{С. В},
{ А, [ЗВ + 7С} = 0{ А. В} + 7{ А, С}.
4 В выпуске 2 (см. п. 8.4) будет установлено более общее
тождество Кэли, справедливое для матриц класса Мп, п > 2.
12
3.	Треугольные и диагональные матрицы. Эрмитовы
матрицы. В классе квадратных матриц Мп выделяют тре-
угольные матрицы и диагональные матрицы Матрицу А е Мп
называют верхнетреуголъной, если = 0 при i > j. Ниже
главной диагонали в верхнетреугольной матрице стоят нули.
В подробной записи такая матрица имеет вид
	/ Я11	«12	«13 	'	«1п\
	0	«22	«2.4	’	•	«2п
А =	0	0	«33 '	^Зп
X о 0	0	• • • апп /
Матрицу А Е Мп называют нижнетреуголъной, если ai} = О
при i < j. Если А Е Л/" и В е Мп — две верхнетреугольных
матрицы, то «А+/ЗВ и АВ также являютя верхнетреутольными
матрицами. Докажите это самостоятельно в качестве упраж-
нения. Аналогичный факт верен и для нижнетреугольных
матриц. Операции транспонирования и сопряжения переводят
верхнетреугольные матрицы в нижнетреугольные и наоборот.
Матрица А, которая одновременно является и верхнетре-
угольной и нижнетреугольной, называется диагональной. У
такой матрицы все элементы вне главной диагонали равны
нулю:
/«п	0	0 \
0	а-22   • О
\ 0	0	• • • апп/
Для диагональной матрицы используют краткое обозначение
А = diag{an.a22, • • •
Матрица а! является диагональной. Если А € Мп, В € М” —
диагональные матрицы, то аА + /ЗВ, АВ, А1, А* — также диа-
гональные матрицы. Более того, А* = А. Проверьте, что при
умножении диагональных матриц соответствующие элементы
на главной диагонали перемножаются:
13
Отсюда сразу следует, что две диагональные матрицы всегда
коммутируют.
Еще один важный класс квадратных матриц — эрмито-
вы5 матрицы. Матрица А е Мп называется эрмитовой или
самосопряженной, если Л* — А Из определения А* следует,
что элементы эрмитовой матрицы удовлетворяют соотноше-
ниям aij — а~, i.j = 1,...,п. Это означает, что элементы на
главной диагонали — вещественные, а элементы, расположен-
ные симметрично относительно главной диагонали, комплексно
сопряжены. Для (2 х 2)-матриц общий вид эрмитовой матрицы
таков	_
А =	К 0€С.	(1)
4.	След. Каждой матрице А € Мп сопоставляют ее след
— число, равное сумме элементов [A],i главной диагонали ма-
трицы А. Обозначение:
п	п
Тг А =	= £ a,:i. A G АГ.	(2)
i=l	<=1
(Символ Тг происходит от английского слова trace — след;
иногда используют обозначение Sp — от немецкого Spur).
След обладает следующими свойствами.
1.	Линейность следа:
Ъ^аА + ЗВ) =«ТгА + /ЗТгВ.	(3)
2.	При транспонировании след не меняется:
ТгА'=ТгА	(4)
Эти свойства очевидны. Ясно также, что Тг Л* = Тг А. Менее
очевидным является следующее важное свойство.
5 Шарль Эрмит — знаменитый французский математик 19
века.
14
3.	След произведения не зависит от порядка сомножи-
телей:
Тг АВ — Тг В A, AeMw-n, ВеМ™.	(5)
Доказательство формулы (5). Вычислим сначала след
матрицы АВ е Мт.
п
= ^ajkbkj, i.j -
i=l
771	m n
Tr AB = 52 [АВ]Й = 52 52 aikbki.	(6)
г- 1	i=l k-1
Аналогично для матрицы BA € Mn имеем:
ГЛ
[BA],j = 52^a^r *, j = 1,...,/г,
ь=1
п т	т п
тг в а = 52 52= 52 52 а*ь*-
7=1 Ar=l	fc=l 7=1
Индексы i.k в (7) — немые, поэтому их можно заменить лю-
быми другими (но разными) буквами и, в частности, поменять
индексы местами: TrBA —	52Z-1 aikbki, что совпадает с
(6). •
Упражнения. 1) Пусть А Е Мт-п. Проверьте, что след
матрицы А*А (и след матрицы А А1) есть сумма квадратов всех
элементов матрицы А:
Тг А‘ А = Тг АА‘ = У2'52 afk-
i=1 i=l
Аналогично,
Tr А‘А = Tr АА* = 52	Ы2.
>=i *-=1
2)	Пусть А.Ве Мп и [А, В] = al. Докажите, что тогда а = 0.
Указание: вычислите след от обеих частей равенства.
15
Понятие следа будет неоднократно встречаться в дальней-
ших разделах курса.
5*. Матрицы Паули. Рассмотрим комплексные (2 х 2)-
матрицы
(0	1 \ Л 0	—г \	/ 1	О А
671 “ \ 1	о у	‘ 02 ~ \ i	О J	’ 67,3 — \ О	-1)	’
(8)
Эти матрицы носят название матриц Паули6 . Условимся ну-
меровать матрицы (8) индексом s "по модулю 3”. Таким обра-
зом, 04 = 01, 05 = 02 и т. п. по определению. Непосредственно
проверяются свойства
= о;*, .$ = 1,2,3,	(9)
то есть матрицы Паули эрмитовы;
<т2 = 1, s = 1,2,3;	(10)
0\,05+i = i<rs+2. .$ — 1,2,3.	(11)
Из (9)—(11) видно, что
{о\,,©4 = 26*1, s,t= 1,2,3.	(12)
В частности, любые две различные матрицы (8) антикоммути-
руют. Из (10), (11) следует также, что
<Т1 гг2<тз = П.	(13)
Матрицы (8) образуют полный набор эрмитовых матриц со
свойством (12). Более точно, справедливо следующее
6 Вольфганг Паули — знаменитый швейцарский физик-
теоретик. Матрицы (8) были введены им для нужд квантовой
механики. С их помощью Паули описал взаимодействие внеш-
него магнитного поля со спином электрона.
16
Предложение. Не существует матрицы а е М2 со свой-
ствами
а = а*.
а2 = Л
(14)
(15)
{<7,17.,} = &, « = 1.2,3.	(16)
Доказательство. В силу (14) (см. также (1)),
Тогда
а —
А
7/
0 — 01 + i02; а, 01.02,7 € R.
А2 + |А (« + 7) А
\ (« + ^0 72 + IА ) '
Это согласуется с (15) только в двух следующих случаях: а =
±/ и
a=(j -а)' «2 + 1/Я2 = 1-	(17)
Ясно, что при ст = ±1 будет {ст, ctj} = ±2сть что противоречит
(16). Пусть теперь а имеет вид (17). Тогда, очевидно, а =
/31<71 + 02&‘i + «ст3 и, в силу (12), {ст, 07} = 2011. Вместе с (16)
(при s = 1) это означает, что 01 — 0. Аналогично получаем
02 — а — 0. Но тогда ст = ®, что противоречит (15). •
§ 3. Одностолбцовые матрицы. Координатные
пространства. Линейные отображения
1. Одностолбцовую матрицу х б МпЛ можно записать в
виде
/zu\
*21
X =
\*nl /
17
Поскольку второй индекс в этом случае не несет информации,
его принято опускать, и матрицу х записывают так:
(1)
Сложение и умножение на число одностолбцовых матриц про-
изводится покомпонентно:
ох + /Зу =
/ axj + flyx
+ fiy2
\ ot,xn @уп
(2)
что соответствует общим определениям (1.3) и (1.4). При п = 3
эти операции формально совпадают с правилами сложения и
умножения на число векторов (в трехмерном пространстве),
заданных координатами в каком-либо базисе. В силу это-
го одностолбцовые матрицы тоже называют векторами (п-
мерными), а множество всех векторов вида (1) — коорди-
натным пространством размерности п. Вместо обозначе-
ния Мп'1 будем пользоваться для координатного пространства
стандартным обозначением К" в вещественном случае и С” —
в комплексном. Формула (2) задает в Ж" (или в С") действия
сложения векторов и умножения их на число. При этом для
х € Ж" допускается умножение лишь на вещественные числа,
а для х € С" — на комплексные. Пространство К1 естественно
отождествляется с множеством R всех вещественных чисел,
пространство С1 — с множеством С всех комплексных чисел.
Вектора
/Ц
О
е1 =
е2 =
\0/
/0
1
<0
(3)
18
назовем стандартными ортами в JR71. Набор (3) стандартных
ортов образует (стандартный) базис в IR’1 в том смысле, что
для любого вектора (1) справедливо представление
X -	4- х2е2 + ... 4- Хпеп.	(4)
Ясно, что коэффициенты xi,...,xn в сумме (4) определяются
единственным образом и совпадают с координатами столбца
(1).
2. Линейные отображения. Теперь мы свяжем понятие
матрицы с понятием линейного отображения7 . Если каждому
элементу х € К" поставлен в соответствие некоторый элемент
у е К"7, то говорят, что задано отображение (пребразование)
IR” в R"’. Если А — такое отображение, то пишут А : К” —»
и у = Лх. Отображение А называют линейным, если для
любых х. z € Rn и любых вещественных чисел a, fl справедливо
равенство
Л(ах 4- flz) = аАх 4- flAz.	(5)
Пусть задана вещественная матрица А £ Мтп и х G К'1.
Тогда имеет смысл произведение Лх € МтЛ — ®т. Другими
словами, матрица А класса Мт-п задает отображение коор-
динатного пространства R" в пространство IRm. При этом мы
считаем матрицу А фиксированной, а столбец х е К" — ар-
гументом, пробегающим все пространство К”. Ясно, что дей-
ствие матрицы А на векторы удовлетворяет условию (5). Это
прямо следует из формулы (1.12). Таким образом, всякая ве-
щественная матрица А Е Мт’п задает линейное отображение
Л : IR" —» Жт. В свою очередь, верно следующее утверждение.
Предложение 1. Всякое линейное отображение R” в
задается некоторой матрицей класса Мт-п, и при этом
только одной.
~ Слова "функция", "отображение", "преобразование" и т.п.
обозначают одно и то же понятие. При использовании их в раз-
личных разделах математики учитывают, что слово "функция"
имеет скорее аналитический, а "преобразование" — геометри-
ческий оттенок.
19
Доказательство. Действительно, пусть А : R" —* К”'
— линейное отображение. Рассмотрим в ИГ" векторы ai =
Ае\,..., ап = Деп, где орты в],..., ед определены в (3), и запи-
шем их в виде столбцов:
а1 =
< ап \
«21
®1п \
«2п
' ^тп /
(6)
Введем в рассмотрение матрицу А = {«у} € Мт’п. Тогда, в
соответствии с (4),
п	п
Ах — хкАек = У^хкак,
k=i	)t=i
или, в координатной записи,
_4х =
/ «11^1
«21^1
\ аГП1Ж]
4- •.. 4-
+ . . . 4" «2 г, Ж „
Ч-... 4" От,тлп
Мы видим, таким образом, что Дх = Ах. Единственность
матрицы А следует из того, что векторы Aei.Ае„ очевидно
совпадают со столбцами матрицы А:
A - (ai,a2,...,a„).
(7)
Подобным же образом комплексная матрица класса Мт,п
определяет линейное отображение С” в Ст. При этом в (5) а
и /3 — любые комплексные числа.
С точки зрения линейных отображений определения дей-
ствий над матрицами оказываются совершенно естественны-
ми. Ниже (обычно без оговорок) будем рассматривать только
линейные отображения. Пусть А : R" —» Rm, В : R" —» R”'
20
— два отображения. Их суммой называется отображение
С : К" —» Rm, действующее по формуле
у = Сх = Лх 4-Вх. х С R”.	(8)
Если теперь отображение А задано матрицей А € Мт'п, а
отображение В задано матрицей В е Мт,п, то, в соответствии
с формулой (1.10), можно записать (8) в виде
у = Сх = (А + Б)х.	(9)
Сопоставление (8) и (9) показывает, что сумма матриц С =
А + В определяет сумму С соответствующих отображений.
Пусть А : Rn —> - отображение, а 6 R. Произведением
отображения А на число а называется отображение Р : R71 —»
Rm, действующее по формуле
у = Рх = а(Лх), х е R".	(10)
Если отображение А задано матрицей А G Afm n, то, в соответ-
ствии с формулой (1.11), можно записать (10) в виде
у = Рх = (аА)х.	(11)
Сопоставление (10) и (11) показывает, что матрица D — nA
определяет произведение отображения А на число а.
Пусть теперь А : R” —> Rm, В : Rm —♦ Rp — два отображе-
ния. Их композицией называется отображение Т : R" —> Rp,
заданное формулой
у = Ух = В(Лх), X е R”.	(12)
Если отображение А задано матрицей A G Мт'п, а отображение
В — матрицей В С Мр'гп, то, в соответствии с формулой (1.13),
можно записать (12) в виде
у = Ух = (5Л)х, хег.	(13)
21
Таким образом, произведение матриц F = В A С ЛТР” опреде-
ляет композицию соответствующих отображений.
Мы видим, что действия сложения, умножения на число и
умножения матриц введены так, чтобы они порождали сумму
соответствующих линейных отображений, произведение ото-
бражения на число и композицию отображений. Этим объяс-
няется целесообразность формально введенных в § 1 действий
над матрицами.
Упражнения.
1.	Если х € R", то транспонированная матрица х' есть
матрица-строка х1 = (агц • • •, хп). Пусть В € Mv,p. Проверьте,
что х1В есть также матрица-строка; какова длина этой строки?
2.	Если х и у — векторы из R", то х'у € R1 — R, ух' € Мг‘.
Выпишите явные формулы для числа х'у и для элементов
матрицы ух'.
3.	Если x,y,z € Rn, то w — (yx')z — также вектор из R".
Покажите, что w — ay и найдите число а.
3.	Матричная запись системы линейных алгебраических
уравнений. Рассмотрим систему т уравнений с п неизвест-
ными
ОцЖ! + «12^2 +    + OynXv = /1
а21 Ху + 022X2 +   • + «2п^п = f2	/ , . ч
. “Ь аТп2Х2 + * * * + атпхп — fm
Будем рассматривать ху,..., хп как координаты неизвестного
вектора х е Rn, /1,..., fm — как координаты известного векто-
ра f € Rm. Пусть А = {oik}i~yt— матрица коэффициентов;
ясно, что А е Мт'п. Тогда систему (14) можно (и удобно)
записать в виде одного матричного уравнения
Лх = f.	(15)
Матрица А задает линейное отображение А : R" —» Rm. Ре-
шить систему — значит для заданного вектора f € Rm найти
вектор х € R", удовлетворяющий (15). Иными словами, необ-
ходимо найти прообраз вектора f при отображении А. Система
(15) разрешима тогда и только тогда, когда такой прообраз
22
существует (хотя бы один). В полезности и содержательности
такой точки зрения на систему (14) мы неоднократно убедимся
в дальнейшем.
§ 4.	Перестановки и подстановки
Здесь собран вспомогательный материал, который пона-
добится при изучении определителей.
1.	Перестановки. Перестановкой порядка п, называет-
ся набор чисел 1,2, ...,п, расположенных (переставленных) в
определенном порядке. Будем использовать обозначение
“ (Й : '^21 * • * ? ^п)>
здесь числа ix, ..г„, принимают одно из значений 1,2,.... п,
причем среди них нет повторяющихся. Если для какой-либо
пары (4, г/) при k < I окажется и > ц, то скажем, что этой паре
в перестановке I соответствует беспорядок {инверсия). Напри-
мер, в перестановке I = (3.5.2,1,4) инверсии соответствуют
парам (3,2), (3,1), (5,2), (5,1), (5.4), (2,1). В зависимости от
четности числа беспорядков перестановку называют четной
или нечетной. Тождественная перестановка I = (1,2,..., п)
— четная. Перестановка в рассмотренном примере также чет-
ная (число инверсий равно 6).
Поменяем в I местами какие-нибудь два элемента; такая
операция называется транспозицией.
Предложение 1. Всякая транспозиция меняет четность
перестановки.
Доказательство. Сначала предположим, что поменяли ме-
стами два соседних элемента г*, г\+ь Тогда либо добавится
один новый беспорядок (если 4 < 4+i), либо один беспорядок
исчезнет (если г*. > 4+1). В любом случае число беспорядков
изменится на единицу, и четность перестановки поменяется.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть переставлены ме-
стами г*, и 4+,+i, •"* > 0. Эту транспозицию можно осуществить
так. Переставим г* последовательно с ik+i, й+2,  • • • на
что потребуется (s + 1) "соседних" транспозиций. Затем цЧя+1
последовательно переставим с ?\+я.... , г\+г, ik+i, что потребует
23
еще л "соседних" транспозиций. Таким образом, четность из-
менится 2.s 4-1 раз, т.е. окажется противоположной исходной.
•
Легко понять, что любую перестановку Т можно перевести
в любую другую перестановку J некоторым числом транс-
позиций. Этот результат может быть достигнут различными
способами. Однако, если четность Т и J одинакова, то число
транспозиций обязательно четно, ибо каждая транспозиция
меняет четность. Напротив, если четность I и J различна,
то число потребных транспозиций — нечетное. В частно-
сти, любая четная перестановка получается из тождественной
четным, а нечетная перестановка — нечетным числом транс-
позиций.
Всего различных перестановок порядка п имеется п!. Ко-
личество четных и нечетных перестановок одинаково и равно
п!/2. Это следует из того, что если мы все п\ перестано-
вок одновременно подвергнем какой-нибудь одной и той же
транспозиции, то четные перестановки перейдут в нечетные и
наоборот.
Перестановкам сопоставляют знак перестановки е(Т):
с(Т) = 4-1, если I — четная; c(Z) = — 1, если I — нечетная.
2.	Подстановки. Подстановкой порядка п называется
взаимно однозначное отображение множества, состоящего из
п различных предметов, на себя. Пронумеруем эти предметы.
Пусть первый предмет отображается в предмет с номером г,,
второй — в предмет с номером z2 и т.д. Числа Т = (ц,..., i„)
образуют перестановку, которая однозначно определяет нашу
подстановку. Символически это можно записать так:
= (1)
( 1,	2,	.... п
а —	.
\»1, '<2...... ’-п
где а — рассматриваемая подстановка. Ту же подстановку
можно записать и иначе. Пусть в первый предмет переходит
предмет с номером ji, во второй — с номером jz, и т.д. Тогда
о- запишется в виде
17 =	2,’	(2)
24
Например,
1,	2.	3,	4,	5\_/4.	3,	1,	5.	2\
3,	5,	2,	1,	4/	V1'	2-	3'	4-	5 /	’
Вообще, ясно, что а можно записать в виде
<7 =
fci,
Л,
^2,
^2,
к \
7 ) = (/с, г),
/
(3)
если (3) получено из (1) применением одной и той же переста-
новки к .элементам обеих строк формулы (1). Таким образом,
подстановка а определяется парой перестановок (£,£), опре-
деленных с точностью до одной и той же перестановки над
элементами К- и £. Вместо (1)—(3) удобно коротко писать
<r =	=	!) = (£,£).
Тождественную подстановку будем обозначать через 1:
1 = (1,1) = (К, К),
где /С — любая перестановка.
Совокупность всех подстановок обозначим через "Р„. Так
как всякая подстановка единственным образом записывается
в виде (1), то множество Рп содержит п! элементов.
3.	Произведение подстановок. Выполняя последователь-
но подстановки (отображения) т и а, мы снова получим подста-
новку, отвечающую композиции этих отображений. Эта под-
становка обозначается через ат и называется произведением
подстановок т и а. Это произведение при п > 2 не коммута-
тивно: ат и та, вообще говоря, различны. При образовании
произведения ат удобно представить т и ст в виде т — (1,)С),
а = (/С, С). Ясно, что тогда ат — (1,£). Например, пусть
/1.	2,	3,	4.	ГЛ
Т ~ ^3,	5,	2,	1,	4 /	’
_ / 1,	2.	3,	4,	5\	_	/3,	5.	2,	1.	4\
\5,	3.	4,	1.	2/	\4.	2.	3,	5.	1/’
25
Тогда
(1, 2, 3, 4, 5\
аТ ~ \4, 2, 3, 5, 1/ ’
Упражнение. Найдите для этого примера подстановку тег.
Приведем свойства произведения подстановок.
1.	Ассоциативность:
^(<гг) = (ра)т.
Для доказательства представим подстановки в виде: т =
(1,1С), ст = (/С, £), р — (£,J). Тогда ат — (/,£), р(ат) =
С другой стороны, pa = (ТС, J), (ра)т = (Z, у). •
2.	Существование "единицы". Для тождественной подста-
новки и любой подстановки а, очевидно,
la = сг1 = а.
3.	Существование обратной подстановки. Для любой под-
становки а существует подстановка р, такая что
ра = ар — 1.
Подстановка р называется обратной к подстановке а и обо-
значается через а~\ Легко понять, что для а = (1,1) обратной
является подстановка <7-1 = (I. /). В частности, I-1 = 1.
Свойства 1,2,3 означают, что множество подстановок Рп с
операцией произведения образует группу, то есть множество
с ассоциативной внутренней операцией, в котором существует
единица и каждый элемент имеет обратный.
4.	Знак подстановки. Знаком подстановки а = (/С, £) на-
зывается число е(п) = e(JC)e(£). Проверим корректность этого
определения Знак е(п) зависит только от а, но не от того, ка-
кой именно парой перестановок задается а. В самом деле, если
элементы К. и £ подвергнуть одной и той же перестановке, то
четность и К., и £ либо сохранится (если выполняемая переста-
новка четная), либо изменится. В обоих случаях произведение
е(/С)е(£) останется прежним.
26
Очевидно, f(l) — 1. Покажем теперь, что
= с(<т)е(т).	(4)
Для доказательства представим подстановки в виде т = (I, /С),
а —	Тогда ат = (/, £) и е(т) = е(7)е(/С) — е(7С), е(<т) —
е(£)е(£), е(пт) = е(£). Поэтому, е(<т)е(т) = (е(£))2е(£) = е(£) =
е(<тт). •
Из (4), в частности, следует, что г(ат) — е(та). Кроме того,
е(<т-1)е(о-) = е(о--1(т) — е(1) = 1, а потому
— е(“)-
Подстановка называется четной, если е(а) = 1, и нечетной,
если е(<т) = — 1. Множество четных подстановок образует груп-
пу (подгруппу группы Р„). Множество нечетных подстановок
не образует группу, поскольку произведение двух нечетных
подстановок является четной подстановкой.
§ 5. Определители
1. Определение. Мы уже встречались с определителями
второго и третьего порядка в курсе аналитической геометрии.
Аналогичным образом определители вводятся для квадрат-
ных матриц любого порядка. Они играют существенную роль
при исследовании систем линейных уравнений, при изучении
свойств линейных преобразований координатных пространств
и в ряде других вопросов алгебры и анализа.
Пусть А е Мп, т.е.
( “п
“21
\ “nl
“12	'	' ’	“1п	\
“22	‘	'	“2п
“п2	‘	'	“пн	/
Мономом называется произведение п элементов матрицы А,
в которое входит по одному элементу из каждой строки и из
каждого столбца. Моном имеет вид
= “l/ci“2A-2 • • • “rik., “/j 1	(1)
27
Среди первых индексов ......t„ нет одинаковых, т.е. эти ин-
дексы образуют перестановку; то же относится ко вторым
индексам ji...., jr,. Далее, мы воспользовались тем, что сомно-
жители в произведении можно переставлять местами, причем
можно добиться упорядочения или по первым значкам, или по
вторым. Впрочем, можно и не стремиться к такому упорядо-
чению (см. первое выражение в (1)). Ясно, что каждый моном
определяется некоторой подстановкой а еРп :
Различных мономов столько, сколько различных подстановок,
т.е. п!. Условимся обозначать моном коротко через (<i)a:
(«)а — atljl агг12...	, а — (	j — (I. J).	(2)
3I ’ • • • i 3 n
Каждому моному (2) припишем знак е(<т) и составим сумму
всех полученных п! слагаемых вида е(<т)(а)а. Получившаяся
величина (число) называется определителем (или детерми-
нантом) матрицы А и обозначается через det А:
det Л —	e(o-)(a)ff.
иСРп
(3)
Например, при п = 2 det А = «ц«22 — ai2«2ii при п — 3
det А — аца22°33 + «12«23«31 + °13«21«32 —
—«13«22я31 — «12«21«33 ~ я11«23«32<
(4)
что совпадает с уже известными нам определениями. (При
выписывании членов мы упорядочили произведения по перво-
му значку). Для обозначения определителя пользуются также
более подробным символом
det А =
«11	<112
«21	«22
я1п
«2п
«п1	«п2
28
2. Свойства определителей. Прямое вычисление и ис-
следование определителей на основании определения (3) не
вполне удобно, так как с ростом п число слагаемых быстро
растет. Поэтому мы обсудим свойства определителей, позво-
ляющие упростить их исследование и вычисление.
1.	При замене строк и столбцов ролями определитель
матрицы не меняется. Иначе говоря,
det А1 = det А.
Доказательство. Действительно, det А и det А', очевидно, со-
ставлены из одних и тех же мономов. При этом, если в det А
моном (2) входит со знаком подстановки

Jn
то в det А1 этот же моном входит со знаком подстановки
= (J,T) = ( 31
Зп

что соответствует перемене ролей номеров строк и столбцов.
Так как е(а) = е(ст-1), то суммы (3) для det А и det А' состоят
из одних и тех же слагаемых. •
Отметим равенство, которое прямо вытекает из (5):
det А* = det А.
В дальнейшем можно все свойства формулировать и доказы-
вать только для строк (или только для столбцов).
2.	Определитель det А есть линейная однородная функ-
ция элементов фиксированной строки (столбца).
Доказательство. В каждый моном входит ровно один со-
множитель из г-ой строки. Соберем все члены суммы (3),
содержащие элемент вынесем а,( за скобки, коэффициент
при нем обозначим через А^. Тогда сумма выделенных членов
имеет вид а^А{}. Если мы (при фиксированном I) будем менять
29
j от 1 до п, то в итоге переберем в точности все слагаемые,
входящие в (3). Тот же результат получится, если мы при
фиксированном j будем менять г от 1 до п. В результате мы
приходим к равенствам
п
det Л = У^ацА^, г = 1, ...,n,	(6J
г-1
п
det А = dijAij. j — 1,..., п.	(62)
г=1
Формулы (61) (соответственно, (62)) и означают, что det А есть
линейная однородная функция элементов /-ой строки (соот-
ветственно, J-ого столбца). •
Формулы (6) представляют собой 2п различных формул
для вычисления определителя. Формула (61) дает разложение
по элементам i-ой строки, формула (62) — по элементам j-
го столбца. Формулы (6) приобретут практический смысл,
если мы найдем удобный способ вычисления коэффициентов
Atj. Это будет сделано в п. 3. Коэффициент А^ называют
алгебраическим дополнением элемента а^ матрицы А.
Пример. Разложить определитель третьего порядка по
элементам второй строки. Группируя члены в (4), получаем:
det А =
d2i(ayja,}2 — «12«зз) + и22(йцазз — «1за31) + <*2з(«12«з1 — «пязг)-
(7)
3.	Определитель матрицы, имеющей строку (столбец),
состоящую сплошь из нулей, равен нулю.
Это сразу следует из (6).
4.	Следующее свойство (правило сложения), выражаемое
формулой
а-ц	«г2	 • • ауп
пн + d«i ай + а,{2    а,-п +	—
ап2 ' ~ * ипп
30
dll ct]2	<111
<^nl &n2	' * ' ^nn <^nl
«12	’	’ *	«In
^12	*	‘ ’	«in
«n2	‘	‘ ‘	«nn
(8)
также облегчает вычисление определителей. В формуле (8) все
строки, кроме г-ой, одинаковы для всех трех определителей.
Для доказательства надо разложить определители по i-
ой строке (см. (61)). Коэффициенты Ац при элементах i-ой
строки не содержат в себе элементов этой строки. Поэтому
коэффициенты A;j во всех трех определителях в (8) одни и те
же. Имеем:
п	п	п
* Щу Aij * «i jAjj.	•
j=i	j=i	j=i
Упражнение. Сформулируйте и проверьте аналогичное
правило сложения для выделенного столбца определителя.
5.	Из элементов строки (столбца) определителя можно
выносить общий множитель:
«11	«12	«1п		«11	«12	•	«1п	
(лиц	««12	•	€Х(Цп	— а	«11	«?2		^in	(9)
ап}	«п2	&пп		«П1	«п2	‘ ^пп	
Эта формула также прямо следует из (61). Из (9), в свою
очередь, получаем
		0012	‘	• ««In		«И	«12	’	*	«1п
det (аА) =	СШ.,1	00,2	•	• пат	= ап	«11	«12	'	• «гп
		а«п2 •	 ««ЯП		«П1	«п2	^пп
31
то есть
det (<иЛ) = «"det А.	(10)
6.	При перестановке местами двух строк (столбцов)
определитель меняет знак.
Доказательство. Пусть для определенности переставлены
местами fc-ый и Z-ый столбцы матрицы Л. Полученную матри-
цу обозначим через А. Произведения (мономы) (2), входящие
в det А, при этом останутся теми же. Однако знак при каждом
мономе будет уже определяться не прежней подстановкой
( М ?	• • • 1 'hi \
1	•••• Jn /
а подстановкой а, которая получается из а одной транспо-
зицией в нижней строке: номера jk и ji должны поменяться
местами. Так как при этом знак <т, очевидно, противоположен
знаку т.е. е(<т) = — е(о-), то все члены в сумме вида (3) для
det А отличаются знаком от соответствующих членов для det А.
•
7.	Определитель матрицы с двумя одинаковыми стро-
ками (столбцами) равен нулю.
Доказательство. Если мы переставим эти строки места-
ми, то определитель должен изменить знак. Однако матрица
(и определитель) не изменится. Поэтому det А = —det А, а
следовательно, det А = 0. •
8.	Если две строки (два столбца) пропорциональны, то
определитель равен нулю.
Это сразу же следует из свойств 5 и 7.
9.	Определитель не изменится, если к какой-нибудь
его строке прибавить какую-либо линейную комбинацию
остальных строк. (Аналогично и для столбцов.)
Доказательство. Пусть, например, к г-ой строке приба-
влены остальные строки, умноженные соответственно на числа
.......а,. 1,(1,.... ап. (При этом сами эти строки на своих
местах остаются без изменений.) Тогда в г-ой строке на j-om
месте будет стоять элемент
Uij + о I a^j + . . . + «i-lQi-i J + «i+1 U; + 1,J + • • - + Onftnj.
32
Применяя формулу (8) несколько раз, представим этот опре-
делитель в виде суммы п определителей, причем первое сла-
гаемое есть det А, а остальные слагаемые представляют собой
определители с двумя пропорциональными строками. Такие
определители равны нулю. •
3. Миноры и алгебраические дополнения. Пусть в ма-
трице A G Мп вычеркнуты i-ая строка и j-ый столбец. Опре-
делитель оставшейся матрицы порядка п — 1 обозначим через
Определитель Mij называют минором, отвечающим элементу
a.ij. Мы покажем, что коэффициенты Аг] (алгебраические до-
полнения) в разложениях (6) определителя det А по элементам
г-ой строки или j-oro столбца выражаются через миноры по
формуле
Ац =	(11)
Тем самым, формулы (6) сводят вычисление det А к вычисле-
нию определителей меньшего порядка.
Доказательство формулы (11). Установим сначала, что
Апп = А1пп. Все мономы, содержащие апп, имеют вид
014^242 . . . Оп—1.;п jOnn,	(12)
где (ц, г2,... Jn-i) — произвольная перестановка индексов
1,2,..., п — 1. Знак при этом мономе определяется знаком с(п)
подстановки
<7 =
\’l-
2,
г2-
71—1,
i/1-l 
С Р„.
П
П
33
Ясно, что е(<т) = е(т), где
/1, 2, п - 1\
т =		.	•	£ Рп 1-
\	5	^2,	• • • 1 in—l /
Действительно, число инверсий в нижних строках подстановок
ст и т одинаково. Сумма всех мономов вида (12) есть anKArtrt,
где алгебраическое дополнение Апп имеет вид
Ann —	Й2л2  • 	,•
теР,,.!
Правая часть по определению есть детерминант матрицы по-
рядка п — 1, стоящей в верхнем левом углу матрицы А. Итак,
Ann — А1п„.
Пусть теперь выделен элемент а^. Переставим строки
матрицы А последовательно так, чтобы г-ая строка стала по-
следней, а остальные шли в "правильном" порядке. На это
уйдет п — i перестановок. Затем J-ый столбец также пере-
ставим на последнее место (еще п — у перестановок). В но-
вом определителе элемент займет место в правом нижнем
углу, а его лшнор останется неизменным, т.к. остальные
строки и столбцы стоят в прежнем порядке. Нужно учесть,
что новый определитель отличается от старого множителем
(„l)2n-«-j _	Одновременно и алгебраическое дополне-
ние выделенного элемента в новом определителе отличается
от старого тем же множителем. Тогда (11) следует из уже
полученного соотношения Ат — Мпп. •
Рассмотрим теперь сумму
п
"^a^Ahj.	(13)
j-i
т.е. будем умножать элементы строки на алгебраические до-
полнения "чужой" строки. Такую сумму мы получим, если
будем вычислять определитель, у которого на место А:-ой стро-
ки подставлена i-ая строка (остальные строки — те же, что
34
в исходной матрице). Тем самым, получаем определитель с
двумя одинаковыми строками, он равен нулю. Итак, сумма
(13) равна нулю. Аналогично,
71
^ij Aik = 0, к
1=1
Объединим этот результат с формулами (6), используя символ
Кронекера. Тогда получим
п	п
«ij A^j — det А.	det А. (14)
7=1	t=l
4. Примеры вычисления определителей. Вычисление
определителя упрощается, когда матрица содержит много ну-
лей. Пусть, например, матрица верхнетреугольная:
«12
«22
«1П \
«2л
\ о о
Тогда, раскрывая det А по элементам первого столбца, находим:
det А — оц
«22	«23
О «зз
а-2п
«Зп
&П71
Продолжая этот процесс, получим, что det А = щ ।  • • ат,-
Такая же формула получится для нижнетреугольной матри-
цы. Таким образом, определитель треугольной матрицы ра-
вен произведению элементов главной диагонали. В частности,
det 1 = 1.
35
Вычислим теперь определитель Вандермонда порядка п +
1:
Ап+1 — Ап+1 (*^1,	• • • •	)
1 1 1
•Е1	"	*^л+1
Л	г2	...	г2
,рП	ГП	...	'Г71
(15)
где жр л2,.... x„+i — какие-либо комплексные числа. Дока-
жем,что
Д„+1 =An+1(z!,z2...лп+1)	= JJ(x7 - лА.).	(16)
Если среди .Г1, л2,..., ,гп+1 хотя бы два числа совпадают, то
определитель (15) содержит два одинаковых столбца и, следо-
вательно, равен нулю. Формула (16) в этом случае очевидна.
Поэтому можно считать, что среди чисел xi,...,xn (без лл+1)
нет одинаковых. Рассмотрим A„+J как функцию от перемен-
ной х = лп+1 при фиксированных zi,x2,..., х.п. Раскладывая
определитель (15) по последнему столбцу, видим, что Дп+| есть
полином степени п от х\
Д„+1(Л1,. -. ,хп,х) — а„х7' 4-... + ajx + а0 := Рп(л). (17)
Коэффициент а„ при л" есть алгебраическое дополнение
An+i,„_i элемента хп, стоящего в правом нижнем углу опреде-
лителя. Очевидно,
1 1
х2
(18)
является определителем Вандермонда порядка п. Как уже
отмечалось, при х = x.j, j = 1.п, определитель равен нулю,
36
то есть числа Xi,..., хп суть корни многочлена Рп- Выпишем
разложение Рп на множители,
Гп(х) - ап(х -	- ж2) ... (ж - Хп).	(19)
Учитывая (17), (18), получаем рекуррентную формулу
Дп+1 — (жП4-1	*Е1)(.Гп-|-1	;Z>j) . . . (xn+j лп)Дп. (20)
Применяя формулу (20) последовательно п раз и учитывая,
что Л] = 1, получаем (16).
§ 6.	Теорема об определителе произведения матриц
Теорема 1. Определитель произведения матриц равен
произведению их определителей:
det АВ = det A det В, А е МТ‘, В е М”.	(1)
Мы дадим два различных8 доказательства этой фундаменталь-
ной теоремы.
Первый способ. Прямое доказательство. Пусть С — АВ.
Тогда Cij — aiki>kj- Для det С запишем выражение в виде
суммы п! мономов, упорядоченных по первому значку:
det С —	. Cnjn.
J
Здесь суммирование ведется по всем перестановкам J —
(j-i,..., jn) чисел 1,2,...,п. Подставляя вместо элементов
их выражения, получим
det С =
(71	\	/ п	\	/ п	\
I	I a2fe^2>2 /	I ar>kn^k„j„ I
Jtl—1	/	V2=l	/	Vr„ = l	/
п
—	е(ь7)	 •  Onfc.bfc; ji •  • bknj„-
J^{ji..A) ki.....fc,=l
8 При изучении курса достаточно разобрать какое-либо одно
доказательство. В руководствах по линейной алгебре можно
найти и другие доказательства соотношения (1).
37
Во внутренней сумме индексы к,,.... кп могут принимать и
совпадающие значения, в то время как во внешней сумме
значения всех индексов ji, j-j. ]„ различны. Меняя порядок
суммирования, найдем:
п
det С —
~ J alA’ia2A-2 . . - ^r<kn	.k2,...,k„ i
ki..fc„-l
где
Sk\,k2.kn —	’	(3)
•7Хв--Эч)
Поменяем в (3) какие-либо два из индексов fci,fc2............кп ме-
стами. В выражении (3) это соответствует перестановке двух
соответствующих сомножителей вида местами. Иначе
говоря, над перестановкой J —	совершается одна
транспозиция. В результате каждое слагаемое в (3) изменит
знак. Таким образом, получаем, что перестановка местами
каких-либо двух из индексов ki,.... kn приводит к измене-
нию знака у суммы (3). Отсюда следует, что Sk,.k2,....k„ = О,
если среди индексов by.... .kn найдутся одинаковые. Все это
позволяет в выражении (2) заменить суммирование по неза-
висимо меняющимся индексам ,..., кп на суммирование по
перестановкам К. = (к\...., кГ1):
det С ~
— 'У а1А'! а2к2 •  • апк„ 'У e(J')^kljif>k2j2   -^к,,!,,
КЧА-1.-Л.)	J=Gi...j„)	(4)
=	•  -апк„ 5?
AC=(A,,...,in)	J=(ji.7>.)
В последней выкладке использовано, что Е(/С)г(/С, У) —
е2(/С)е(У) = е(У). Внутренняя сумма в правой части (4) есть
38
det В. Таким образом,
det С = I ^2	£(^)ац..1а2*2 • • • апкп I det В = det A det В.
\)С=(к1,....кп')	у
что совпадает с (1). •
2. Линейные и полилинейные формы. В этом пункте
мы подготовим материал для второго способа доказательства
теоремы 1. Этот материал представляет и самостоятельный
интерес.
Линейной формой от п комплексных переменных т,,..., хп
называют линейную однородную функцию этих переменных.
Произвольная линейная форма Ф переменных xi,... ,хп имеет
ВИД
Ф(х) = <Р1Л1+<Р2-Г2 + ... + ¥’пТп.	(5)
Здесь набор xi,...,xn отождествлен с вектором х € СТ| вида
(3.1), а числа	(коэффициенты формы) фиксированы.
Подставляя в (5) х = е>.., где е*. — орт (3.3), получим:
Ф(е^) = к = 1.........п.	(6)
Таким образом, форма (5) полностью определяется своими зна-
чениями на ортах. Если заданы две формы Ф и Ф, то для их
равенства на всех х € Сп, необходимо и достаточно выполнения
п равенств
Ф(еА) = Ф(еА;), к = 1....,п.	(7)
Пусть теперь Xj,x2 6 Сп и форма Ф = Ф(х1,х2) линейна по
Xt и х2 порознь. Форма Ф тогда называется 2-формой. Ис-
пользуя разложение (3.4) для Xi и х2, находим, что фор-
ма Ф(х|,х2) полностью определяется значениями п2 чисел
Ф(е*:1,е^2), ki.k2 — 1, Аналогично определяются формы
более высоких порядков (полилинейные формы). Особое зна-
чение для нас имеют n-формы Ф(Х1..........хп). Очевидно, две
n-формы Ф, Ф совпадают тогда и только тогда, когда выполнено
пп равенств
Ф(ек1,е*г,...,еА„) - Ф(е*1,е*2,... ,efc„),
, .	,	1	(о)
Л1, fc2l..., кп = 1,... ,п.
39
Совокупность равенств (8) сводится к всего лишь одному ра-
венству, если «-формы Ф. Ф полностью антисимметричны,
т.е. меняют знак при перестановке любой пары аргументов
Xi...хп. Справедлива
Теорема 2. Две полностью антисимметричные п-формы
Ф и Ф совпадают тогда и только тогда, когда
Ф(е1?...,еп) = Ф(е1,...,е„).	(9)
Доказательство. Если среди индексов k\,..., kn в (8) есть
совпадающие, то, очевидно, обе части равны нулю. Таким
образом, достаточно считать, что индексы кЛ,..., кп в (8) обра-
зуют перестановку IC = (fej,^..kn). Переводя ее транспо-
зициями в тождественную перестановку (1,2...п), мы при-
ведем (8) к (9). •
Исходя из теоремы 2, можно дать явное описание всех
полностью антисимметричных «-форм. При этом нам сейчас
удобно записывать аргументы в виде столбцов ai,..., а„ (см.
(3.6)), объединяя их в матрицу А (см. (3.7)). Таким образом,
станем писать Ф(А) — Ф(а[..... а,,).
Теорема 3. Пусть Ф(А) — полностью антисимметрич-
ная п-форма относительно столбцов матрицы А. Тогда
Ф(А) = (det А)Ф(Г).	(10)
Доказательство. Величина det А линейно зависит от ка-
ждого из столбцов .... а„ (см. формулы (5.62)), т.е. является
«-формой. Она полностью антисимметрична (см. свойство 6 в
§5). В силу теоремы 2 достаточно проверить (10) при А = I.
Но тогда (10), очевидно, выполнено в силу равенства det / = 1.
•
3. Второе доказательство теоремы 1 (метод п-форм).
Чтобы не менять обозначений, установим (1) в эквивалентной
форме:
det A det В = det В А.	(11)
Будем считать матрицу В фиксированной. Очевидно, левая
часть в (11) — полностью антисимметричная n-форма относи-
тельно столбцов матрицы А. Проверим, что то же верно и для
лп
правой части. Обозначим через Ь,,..., bj, последовательные
строки матрицы В. Ясно, что тогда
det В А —
Ь|а! Ь‘а2 ... Ь'аг,
b2aj b2a2 ... Ь2а„
(12)
Ка, Ь*па2 ••• Ь'па„
Из представления (12) непосредственно ясно, что det .ВЛ есть
n-форма относительно векторов ai,....a„. Ясно также, что
перемена местами любых двух векторов из набора а}.....ап
приводит к транспозиции двух соответствующих столбцов в
определителе (12). Таким образом, n-форма det ВЛ полностью
антисимметрична. В силу теоремы 2, достаточно проверить
(11) при Л = I. Но при Л = I соотношение (11) очевидно. •