/
Author: Журавлев Е.В.
Tags: математика учебные пособия и учебники по математике линейная алгебра учебное пособие теория матриц точные науки
ISBN: 978-5-7904-0699-8
Year: 2008
Text
Федеральное агентство по образованию
Алтайский государственный университет
Е.В. Журавлев
Задачи по линейной алгебре:
матрицы, определители
Учебное пособие
Барнаул
Издательство Алтайского
государственного университета
2008
УДК 51
ББК 22.1я7
3154
Рецензент:
доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой
алгебры и теории чисел Алтайского государственного
университета Ю.Н. Мальцев
3154 Журавлев Е.В.
Задачи по линейной алгебре: матрицы, определители:
учебное пособие / Е.В. Журавлев. - Барнаул: Изд-во
Алт. ун-та, 2008. - 53 с.
ISBN 978-5-7904-0699-8
Пособие охватывает следующие разделы линейной алгебры:
матрицы, определители, системы линейных уравнений. По каждой
теме приводятся необходимые теоретические сведения, подробные
решения типовых задач и упражнения для самостоятельной работы.
Предназначено для студентов первого курса физико-
технического факультета Алтайского государственного
университета
УДК 51
ББК 22.1я7
ISBN 978-5-7904-0699-8
© Журавлев Е.В., 2008
© Оформление. Издательство
Алтайского государственного
университета, 2008
СОДЕРЖАНИЕ
1. Матрицы ...................................4
2. Определители .............................16
3. Системы линейных уравнений,
случай однозначной разрешимости ..............36
4. Ответы и указания.........................48
5. Библиографический список..................52
§1. Матрицы
Основные понятия и теоремы
1. Понятие матрицы. Прямоугольная таблица вещественных
или комплексных чисел
«21
А =
(Z12 . . . й,1п
«22 • •
(l'ml О m2
называется числовой матрицей (или просто матрицей). Числа
называются элементами матрицы. Первый индекс i обозначает но-
мер строки, а второй индекс j - номер столбца, на пересечении ко-
торых стоит элемент а^.
Матрица А имеет т строк и п столбцов. Поэтому ее называют
матрицей порядка т х п. Для матрицы А порядка т х п использу-
ется краткое обозначение (ciijmxn, а если порядок матрицы заранее
оговорен, то, не указывая его, будем писать (а^).
При т = п матрица называется квадратной матрицей порядка п.
Матрица порядка 1 х п называется матрицей-строкой, а матрица
порядка т х 1 - матрицей-столбцом.
Элементы Оц, 022, • , a-kk, где k = называются диа-
гональными, а их совокупность - главной диагональю матрицы А.
Квадратная матрица А = (а.^)Г11Хц, называется диагональной, если
все ее элементы, кроме диагональных, равны нулю, т.е.
(а^ 0 ... О
О 0.22 • • О
А= . . . .
\ о 0 ... аппу
Две матрицы А = (о^)шХп и В = (Ьг/)тХг1 называются равными,
если их элементы соответственно равны: = bjj, i = 1....т,
j — 1,... ,п.
4
Прямоугольные матрицы вида
/«11 «12 «13 «1т • «1п \
0 «22 «23 «2т «2п
0 0 «33 «Зт «Зп
к 0 0 0 . «тт атп/
у которых элементы, расположенные под главной диагональю, рав-
ны нулю, называются верхними трапециевидными. Матрицы
^«11 0 «12 «22 «1п^ «2п И «11 «21 0 . «22 • 0 . 0
\ 0 0 . «77 П / \«П1 «п2 «пп /
называются соответственно верхними треугольными и нижними
треугольными матрицами.
2. Сумма и разность матриц. Суммой (разностью) матриц
А = (а^)тхп и В = (bij)mxn называется матрица С = (cij)mxn,
элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих эле-
ментов матриц АиВ: Cij = + b{j (cij = — bij).
Обозначение: С = A + В (С = А — В).
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой'.
Матрица X такая, что X + А = О, называется противоположной
матрице А и обозначается символом —А. Заметим, что
А-В = А + (-В),
где -В = (-bij)mxn.
5
Для любых матриц А, В. С одинакового порядка т х п справед-
ливы равенства:
1°. А + В = В + А (коммутативность сложения);
2°. (А + В) + С — А + (В + С) (ассоциативность сложения);
3°. если О - нулевая матрица порядка тхп, то А + О — О + А — А,
А + (-А) = О.
3. Произведение матрицы на число. Произведением ма-
трицы А — (aij)mxn на число а называется матрица В = (^j)mxn;
элементы которой равны произведениям соответствующих элемен-
тов матрицы А на число а, т.е. bij = a-aij. Обозначение: В = а-А.
Для любых матриц А, В, С одинакового порядка т х п и любых
чисел а и /3 справедливы равенства:
1°. «.(ДА) = («Д)-А;
2°. «-(А -|- В) — «-А -|- соВ;
3°. (<г + /?)‘А = «-А -|- {З'А.
Операции сложения и умножения на число называют линейными
операциями над матрицами.
4. Умножение матриц. Произведением матрицы А = (а(?)ТОхп
на матрицу В = (&ij)nXfc называется матрица С = (Q7).m,Xfc, элемен-
ты которой определяются формулой
п
Cij — ац b\j -|-ci^b^j -|-... -|-ainbnj — bij. — 1,.... ггц j — 1,..., к.
1-1
Другими словами, элемент матрицы С является скалярным про-
изведением г-ой строки матрицы А на J-ый столбец матрицы В. Обо-
значение: С — А-В.
Условие, когда произведение матриц определено, а также разме-
ры произведения двух матриц, удобно изобразить при помощи схе-
матического рисунка
6
A
В
n =
AB m
Рис. 1
Заметим, что произведение матриц АиВ определено только,
если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие на главной
диагонали, равны единице, а остальные — нулю, т.е. матрица вида
Е =
\о О ... 1/
называется единичной матрицей.
Умножение матриц обладает следующими свойствами. Для лю-
бых матриц А, В, С и любого числа а справедливы равенства (пред-
полагается, что размеры матриц А, В, С таковы, что левые и правые
части равенств определены):
1°. А-(В-С) — (А-ВуС (ассоциативность умножения);
2°. А-(В + С) = АВ + А-С, (А + В)-С = А-С + В-С (свойство
дистрибутивности);
3°. (скА)-В = А-(скВ) = ск(А-В);
4°. А-Е = Е-А = А,
где Е - единичная матрица того же порядка, что и А.
Отметим, что умножение матриц не обладает свойством комму-
тативности. То есть возможно A-В ф В-А (даже для квадратных
матриц одного порядка).
7
5. Транспонированная матрица. Расположим строки матри-
цы А = (aij)mxn в виде столбцов, не меняя их порядка. Получится
матрица, которая называется транспонированной по отношению к
матрице А и обозначается Ат, т.е.
«11 «21
«12 «22
«ml
«m2
\«1п «2п
Для любых матриц А и В порядка т х п и любого числа о спра-
ведливы равенства:
1°. (А + В)Т = Ат + Вт,
2°. (а-А)т = а-Ат.
Кроме того, для любых матриц А = (о^}гпхп и В = (В^)„х^
справедливо равенство:
3°. (А-В)г = Вт-Ат.
6. Возведение матрицы в натуральную степень. Мно-
гочлен от матрицы. Натуральная степень квадратной матрицы
вычисляется по формуле:
Ат = А • А • .. • А.
m раз
Следовательно, если f(x) — ао + а-^х + а^х2 +... +amxm - многочлен
m-ой степени относительно х, то
f (А) = «оВ + fli А + 0,2А2 + ... + о ,,, Аг".
где А - квадратная матрица порядка п и Е - единичная матрица
того же порядка.
8
Примеры решения задач
1. Даны матрицы А =
/3 1
2 -1
V 7
2\ /4 3 б\
4 и В = 1 2 О
3/ \7 5 2у
Найти: а) А + В; Ь) ЗА; с) А В; d) В А; е) Ат.
Д а) По определению суммы матриц
/3 + 4 1 + 3 2 + б\
А + В = 2 + 1 -1 + 2 4 + 0
\5 + 7 7 + 5 3 + 2/
/ 7 4 8\
3 1 4
Д2 12 5;
Ь) По определению произведения матрицы на число
/З-З 31 3-2\
ЗА = 3-2 3 • (—1) 3-4
\3•5 3-7 3-3/
/9 3 б\
6 3 12 .
Д5 21 9/
с) По определению произведения матриц
А-В =
/ 3 1 2 \
2-14
\5 7 з)
/3-4 + 1- 1 + 2-7
2-4-1-1 + 4-7
^5-4 + 7-1 + 3- 7
3-3 + 1-2 + 2-5
2-3-1-2+4-5
5-3 + 7-2 + 3-5
3 • 6 + 1 • 0 + 2 • 2\
2-6-1-0 + 4-2 =
5-6 + 7-0 + 3-2/
/27 21 22
= 35 24 20
\48 44 36
d) По определению произведения матриц
/4 3
В А = 1 2
V 5
б\ /3 1 2\
0 - 2 1 4
2/ \5 7 3/
/ 4 3 6 \
1 2 0
V 5 2/
9
/4-3 + 3-2 + 6-5 4-1 +3-(-1)+ 6-7 4-2 + 3-4 + 6-3\
1-3+ 2-2+ 0-5 1 - 1+ 2 • (-1)+ 0 • 7 1-2 + 2-4 + 0-3 :
\7-3 + 5-2 + 2-5 7 -1 + 5•(—1) + 2 7 7-2 + 5-4 + 2-3/
/48 43 38'
= 7 -1 10
\41 16 40
е) По определению транспонированной матрицы
/3 1 2\
Ат = 2-14
V 7 3/
/3 2 б\
1—17-4-
\2 4 3/
2. Вычислить произведения матриц:
3
1
4
2
1
3
/1 2 1>
0 5 2
\3 4 -2;
/о 2 7\
Ь) 0 0 4
\0 0 0/
/1 -3 2\
е) 3-4 1
\2 -5 3/
g) (З 2 -1)
1 ;
V/
4 ;
V2/
/3-1+4-0 + 1-3 3-2 + 4-5 + 1-4 3 • 1 + 4 • 2 + 1 • (-2)
^l-l + 2-О + З-З 1-2 + 2-5 + 3-4 1 1 + 2 2 + 3 • (-2)
30
24
6
10
10
b)
о
о
о
О 4
О Оу
/о 2 7\ 2 /о 2 7\
0 0 4 -0 0 4
\0 0 0/ \0 О О/
/о О 8\ /о 2 7\
0 0 0-0 0 4
\о о о/ \о о о/
/о о
о о
\о о
о
о
о
2 • (-5) + 1-1
-7-(-5)+3-1
6 I -
3/
2 - 4+ 1 • (-1)
-7-4 + 3 • (-1)
2-6 + 1-3
7 6 + 3-3
7
31
7-13-2
—21 + 1*2
7-33-7
2-3 + 1-7
1
О
О
1
/1 3 2\ /2\
е) 3 —4 1 • 1
\2 -5 3/ \3у
/1-2 3-1 + 2-3\ /б\
3-2 4-1 + 1-3 I = 5
\2-2-51 + 3-3/ \8у
f) (2 1 4)
/5 8 -4\
6 9 5
V 7 3/
(2-5 + 1-6 + 4-4
2-8 + 1-9 + 4-7
2 • (-4) + 1 • 5 + 4 • з) =
= (32 53 9) ;
g) (З 2 -1) •
4 = (3 • (—5) + 2 • 4 — 1 • (—2)) = (—5).
11
h)
' (2 3 “0
/-4-2 4-3 —4 • (-1)\
5-2 5-3 5 • (—1)
\ 7-2 -7-3 —7-(—l)y
-8
10
-14
-12
15
-21
4\
-5
3. Найти значение многочлена f (х') — 7.r2 — 2х 4- 5 от матрицы
/12 з\
А = 1—5 0 2 .
\ 4 ! -7)
/12 3\
ft А2 = 1—5 0 2
\ 4 ! -7)
/ 1 2
-5 0
\ 4 1
/ 3 5 —14\
3 8 29 ,
^—29 1 63/
/ 21 35 -98'
7 • А2 = 21 56 203
\ 203 7 441
/—2 —4 -б\
-2 • А = 10 0-4
^—8 —2 14/
/1
ЬЕ = Ъ- 0
\о
О о\ /5 0 о\
1 0 = 0 5 О
0 1/ \0 о ь)
f(A) = 7-А2-2-А + 5Е =
/ 21 35 —98\ /-2 —4 /5 0 °\
21 -56 -203 + 10 0 -4 + 0 5 0
^-203 7 441} 2 14^ 0 5/
/ 24 31 —104\
31 -51 -207
^—211 5 460/
12
Задачи для самостоятельной работы
/25 -3\
1. Даны матрицы А = 7 0 8
\ 1 2 5;
/ 1 ° 7\
и В = —2 3 1
^ 4 5 9/
Найти: а) А + В; Ь)ЗА + 4ВГ; с) А В; d) ЗА В - 7АТ + 5В.
2. Вычислить произведения А • В и В А, где:
/4\
Ь) А= 2
V/
В = (-3 5 о);
/1
е) А = 2
V
2
1 о
1
/1 1 з\
В = 2 1 2
\3 2 1J
3. Вычислить произведения матриц:
5
d) 1
\ /1 0 2 5
4-
/ \7 3 1 6
2 5
/ з\
-1 ;
\ 2/
1 Х):
13
g) -1 1
5
-5
-3 2 0
3 1 7
/ 8\
h) —4
1
/12 3
i) (2 -3 0) • 2 3 4
\3 4 1
/2 3 1\
k) 5 2 1
^6 5 2;
5 2\
9 6 ;
8 5/
0
0
/ 1 -6 5 8\
2 3 4 6
5-467
\ 3 4 7 5/
/22 1 0\
11 3 -5 1
3 5 7 4
\-l 0 2 3/
/—5 -3 1 0\
0 2 4 -2
7 3 4 0
\ 3 2-1 3/
/-1 5 -3\
2 6 7
3 0 1
\ 4 2 5/
4. Найти значение многочлена f(x) от матрицы А:
/3 4 -5\
а) f (ж) = х‘2 + 5ж + 6, А = 1 —3 2 ;
\з 5 -1)
/2 5 7\
Ь) /(^) = 2ж3 — 5ж2 + х — 3, А = 6 3 4 ;
\5 2 3/
5. Найти матрицу X из уравнения:
1 0
0 1
14
/1 2 з\
d) X • 3 4 1
\2 3 4/
1 6
3 8
О
2
. / COS (р — Sin Р 1
6. Дана матрица А(сД = . Докажите, что:
\ sin р cos р I
а) А&) • АУФ) = Щф + 'ФУ
b) А(-<Д А(Д| = Е-
с) АТ<х) = Е-
7. Вычислить А1999, А2000, А2001, если
8. Найти АД п = 2, 3,..если
9. Даны матрицы
/ 2 1 3\ /-3 1 -5\
А = —1 0 2, В= 03-2
\ 5 —3 4/ \ 1 0 4/
0 2\
3 3
2 5/
Найти:
а) {А-В)- С и А - (В-С);
b) А - (В + С) и А-В + А-С;
с)(А + В)-С и А-С + В-С; d) (А + В)т и Ат + Вт;
е) (А В)г и Вт Ат.
15
§2. Определители
Основные понятия и теоремы
1. Понятие определителя. Всякое расположение натураль-
ных чисел 1,2,3,... в определенном порядке называют переста-
новкой из п чисел. Из п чисел можно образовать п! различных пере-
становок, где п\ — 1-2-3-... -(п — 1)-тг. В общем случае перестановку
записывают в виде матрицы-строки (оц, гы. , «п)- Перестановку
(1, 2,..., п) называют нормальной.
Два числа аг и оу в перестановке а = (оц, а2,..., од) образуют
инверсию, если а-ь > aj, но при этом a.j стоит в перестановке правее
ср, т.е. i < j. Общее количество инверсий в перестановке а обознача-
ют |о|, и если это число четное, то перестановку называют четной,
а если оно нечетное - нечетной.
Подстановкой п-й степени на множестве {1, 2, 3,..., п} называют
взаимно однозначное отображение этого множества на себя. Под-
становка задается прямым указанием замен для каждого элемента
посредством записи образа под прообразом:
/ 1 2 ... 77. — 1 77А
у<т(1) <т(2) ... а(п — 1) ст(тг)у ’
то есть таблицей из двух перестановок. Например, запись
_ /1 2 3 4
67 \4 3 5 1 2J
задает подстановку, которая заменяет элементы 1, 2, 3, 4, 5 соответ-
ственно на 4, 3, 5, 1, 2. В частности, <т(1) = 4, сг(2) = 3, <т(3) = 5,
.7(4) = 1, <7(5) = ‘i-
Подстановка называется нормальной, если ее первая строка явля-
ется нормальной перестановкой. Нормальная подстановка называет-
ся четной, если ее вторая строка является четной перестановкой, и
нечетной в противоположном случае. Число различных подстано-
вок п-й степени равно п!. Множество всех подстановок n-й степени
обозначается Sn.
16
Определителем квадратной матрицы
А =
' «11 «12 • • «1п
«21 «22 «2п
\«П1 «п2 «пп /
порядка п называется сумма п! слагаемых
det(A) = (-l)H«Mi) ’ «2а(2) • • • •
которая берется по всевозможным подстановкам вида
_ ( 1 2 ... п \
\у(1) <т(2) ... ст(п)у
Заметим, что каждое слагаемое определителя есть произведе-
ние элементов матрицы А, находящихся в разных строках и разных
столбцах. Знак слагаемого зависит от четности соответствующей
ему подстановки: для четных ” + ”, для нечетных ” — ”.
Определитель матрицы А также называют определителем п-го
порядка, или детерминантом, и обозначают одним из следующих
символов:
«11 «12 «1п
«21 «22 «2г;
det(A) = |А| = «п1 «г/2 «пп
Матрица А называется матрицей определителя, а строки, столб-
цы и элементы матрицы А называются также строками, столбцами
и элементами ее определителя.
Непосредственно из определения получаем следующие формулы
для вычисления определителей малых порядков
|«11| — ail.
«11 «12
«21 «22
— «11 «22 — «12 «21 у
17
«11 «12 «13
«11«22«33 + «12«23«31 +«13«21«32
«21 «22 «23 —
«13«22«31 ~ «12«21«33 ~ «И«23«32-
«31 «32 «33
Для запоминания формулы вычисления определителя третьего
порядка используют правило треугольников:
Рис. 2
Произведение элементов, стоящих на главной диагонали, а так-
же произведения элементов, являющихся вершинами двух треуголь-
ников на рисунке 2а, берутся со знаком плюс, а произведение эле-
ментов, стоящих на побочной диагонали, а также произведения эле-
ментов, являющихся вершинами двух треугольников ни рисунке 2Ь,
берутся со знаком минус.
2. Свойства определителя.
1°. При транспонировании матрицы величина ее определителя не
меняется, т.е.
det А = det АТ.
Следовательно, любое утверждение, справедливое для столб-
цов определителя, справедливо также и для строк.
2°. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель ме-
няет знак на противоположный.
18
3°. Определитель равен нулю, если он имеет:
(а) нулевую строку (или столбец);
(Ь) хотя бы две одинаковые строки (или столбца);
(с) хотя бы две строки (или столбца), элементы которых про-
порциональны;
(d) хотя бы одну строку (или столбец), являющуюся линейной
комбинацией других строк (или столбцов).
4°. Общий множитель элементов строки или столбца может быть
вынесен за знак определителя. Для умножения определителя
на число достаточно умножить на это число элементы любой
строки или любого столбца. То есть
Иц «12 • Q'ln «и «12 • «1п
А-Щ1 А’«г2 X'Clin = А • «г1 0>i2 «гп
О?г1 «п2 й'пп O'nl С1п2 • - ^пп
5°. Если элементы какой-нибудь строки (или столбца) матрицы
представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель
этой матрицы можно представить в виде суммы двух опреде-
лителей, а именно:
С1ц «12 - - «1п
«(1 + (1^2 Т «(2 • • ‘ ain Т а'/п =
«п1 «712 • • • ^ПП
«11 «12 «1п «11 «12 «1п
а(1 а(2 • ain + «"1 а"2 а"
«Zll «п2 • • • й'пп «п.1 «П.2 • • • ^пи
19
6°. Если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить
соответствующие элементы любой другой строки (столбца), ум-
ноженные на одно и то же число, то определитель не изменится:
Oil 012 • • Oln Oil 012 Oln
0*1 0*2 • • • Ctin Oil 0*2 & in
«Л Oj2 • • • U'jn aji + Aon Oj2 + Ao^2 cijn H- Ao?n
Onl O«2 • • Onl On2 • • • Onn
7°. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен
произведению ее диагональных элементов, т.е.
On 012 • aln Oil 0 . . 0
0 «22 a2n O21 «22 • . 0
— Оц ' 022 ' ’ Chin
0 0 o**n Onl On2 or) n
8°. Если А и В - квадратные матрицы одного порядка, то
det (А В) = det(A) det (В).
3. Алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.
Пусть А = (a.jj)mXzt - некоторая матрица. Выберем в матрице
А произвольные к строк с номерами zi,z2, - • и & столбцов с но-
мерами ,jk- На пересечении этих строк и столбцов стоит
матрица порядка к, определитель которой называется минором по-
рядка к матрицы А (или ее определителя). Для указания положения
рассматриваемого минора в матрице А используется обозначение
aiij2
ahjk
aikji
20
Если А - квадратная матрица, то, вычеркивая из нее строки с но-
мерами il, i2, Ак И столбцы С номерами ji, J2, • ,jki МЫ получим
матрицу, определитель которой называется дополнитель-
ным минором для минора Алгебраическим дополнением
минора Мгд\2"л-к называется число
где вм = ii + г2 + ... + ik + ji + .7’2 + • • • + jk- Если выбранные стро-
ки и столбцы матрицы заранее оговорены, то и "Лк
обозначают соответственно М и М'. Алгебраическое дополнение Aj
минора Мг- называют алгебраическим дополнением элемента a^j и
обозначают
А, =
Теорема Лапласа. Пусть в квадратной матрице А = (щ7)пхп
произвольно выбраны к строк (или к столбцов), 1 < к < п — 1.
Тогда определитель матрицы равен сумме произведений всех мино-
ров порядка к, содержащихся в выбранных строках, на их алгебра-
ические дополнения.
Частным случаем теоремы Лапласа являются следующие утвер-
ждения:
1°. Определитель квадратной матрицы А — (аг1)пхп равен сумме
произведений элементов какой-либо строки на алгебраические
дополнения этих элементов, т.е.
п
det(A) = aijAij = ац Аг± + Щ2 А2 + • • • + агпА{п.
Это равенство называется разложением определителя по эле-
ментам i-u строки. Аналогично получаем разложение опре-
делителя по элементам j-го столбца
п
det(A) = atjAjj = a±jA±j + Q>2jA2j + ... + anjAnj.
г-1
21
2°. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на
алгебраические дополнения соответствующих элементов дру-
гой строки (столбца) равна нулю, т.е.
п
^ijAfaj — A ®г2 Afc2 А • • • A (lin-Akn — 0? 7“
J=1
п
^2 aijAik = + 0>2jA2k + • • • + UnjAnk =0, j Ф k-
г—1
4. Обратная матрица.
Квадратная матрица А называется вырожденной, если det(A) = 0,
и невырожденной - в противном случае.
Квадратная матрица В — (bij)nxn называется обратной по отно-
шению к матрице А = (a<ij)nXn, если
А-В = В-А = Е.
Обратная матрица обозначается символом А С Кроме того, для
к G N полагают А к = (А 1 )к.
Теорема (об обратной матрице). Для того чтобы матрица А
имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы матрица
А была невырожденной. Обратная матрица единственна и вычисля-
ется по формуле
1
det(A)
/ Ац A2i
А12 А22
\Ain А2п
Ani\
АП2
где Aij - алгебраическое дополнение элемента матрицы А.
Для любых обратимых матриц А и В справедливы равенства:
1°. (А-В)-1 = В^-А"1,
3°. (А-1)-1 = А,
5°. (А-1)” = (АП)Л
2°. det(A-r) = (det(A))-1,
4°. (АД-1 = (А-1)71,
22
Примеры решения задач
1. Определить четность перестановки (1, 5, 9, 7, 3, 2, 8, 4, 6).
ft Укажем все инверсии данной перестановки: (5,3), (5,2), (5,4),
(9,7), (9,3), (9,2), (9,8), (9,4), (9,6), (7,3), (7,2), (7,4), (7,6), (3,2),
(8,4), (8,6). Их число равно 16. Следовательно, |а| = 16 и переста-
новка является четной, ft
/1 2 3 4 5 б\
2. Определить четность подстановки I I •
ft Определим четность перестановки (3, 4. 6, 1, 2, 5) (вторая строка):
(3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (6,1), (6,2), (6,5). Всего 7 инверсий. Пе-
рестановка является нечетной. Следовательно, подстановка также
нечетна, ft
3. Вычислить определитель Д =
2
4
ft В силу определения Д = 7 • 4 — 2 • (—3) = 28 + 6 = 34. ft
2 3 5
4. Вычислить определитель Д = -1 7 —2
4 3 1
ft По правилу треугольников
Д = 2-7-1+3-(—2)-4-|-5-(—1)-(—3)—5-7-4—3-(—1)-1 — 2-(—2)-(—3) =
= 14 - 24 + 15 - 140 + 3 - 12 = -144. ft
5. Для матрицы
/ 1 —3 4 0\
„ 2 5 3 1
А =
4 7 4 3
\—2 6 5 7/
найти: а) М^з и ^lil? b) -^2 3 4 и ^2 3 4, с) ^13 и ^1з! d) ^2 и A3 2
23
ft а) Вычислим определитель матрицы третьего порядка, элементы
которой находятся на пересечении первых трех строк и столбцов:
М123
2 3
1-3 4
2 5-3
4 -7 —4
= 1 • 5 • (-4) - 3 • (-3) 4 + 4 2 • (-7) - 4-5-4-
- (-3) • 2 • (-4) - 1 • (-3) (-7) = -20 + 36 - 56 - 80 - 24 - 21 = -165.
Вычеркиваем из матрицы А выбранные строки и столбцы и на-
ходим определитель получившейся матрицы:
Mitt = |7| = 7.
Находим алгебраическое дополнение минора М[Ц:
А}23 = (-i) 1+2+3+1+2+3 . = i . 7 = 7.
Ь) Вычислим определитель матрицы третьего порядка, элементы
которой находятся на пересечении первой, третьей, четвертой строк
и второго, третьего, четвертого столбцов:
- 0 • (-4) • 6 - 4 • (-7) • 7 - (-3) • 3 • 5 = 84 + 72 + 0 - 0 + 196 + 45 = 397.
Вычеркиваем из матрицы А выбранные строки и столбцы и находим
определитель получившейся матрицы:
М'У,4 = |2| = 2, = (-1) 1+3+1+2+3+4 . мпз4 = . 2 = _2
с) Аналогично предыдущим пунктам получаем, что
А2з = (-1)2+4+1+3 . М{234 = 1 - (-9) = -9.
24
d) Находим элемент, стоящий на пересечении третьей строки и
второго столбца
М23 = I - 7| = -7,
Вычеркиваем из матрицы А третью строку и второй столбец и на-
ходим определитель получившейся матрицы:
М'3 =
1 4 0
2 -3 -1
-2 5 7
= 1 (-3) 7 + 4 • (-1) • (-2) + 0-2-5—
- 0 • (-3) • (-2) - 4 • 2 • 7 - 1 - (-1) 5 = -21 + 8 + 0- 0-56 + 5 = -64.
Так как А32 — А^ то
1
Л32 = (-1)3+2 -Mf = (-1)3+2
4 0
3 -1
5 7
= (-1) • (-64) = 64.
2
6. Вычислить определитель Д =
2 3 5
1 7 2 , используя форму-
4 3 1
какой-либо строки или
лы разложения определителя по элементам
столбца.
ft I способ. Разложим определитель по элементам первой строки:
Д — (2ц • Ац + (212 ' -4.12 + «13 А13 —
= 2 • (7-1 — (—2) • (—3)) — 3• ((—1) • 1 — (—2)-4)+ 5 • ((—1) • (—3) — 7-4) =
= 2 - 21 - 125 = -144.
Аналогично определитель раскладывается по элементам второй и
третьей строк.
25
II способ. Разложим определитель по элементам второго столбца:
Д — 012 ^412 + «22 • ^22 + «32 ‘ ^32 —
1 2
4 1
2 5
4 1
3+2
2 5
-1 —2
= -3 • (-1 • 1 - (-2) • 4) + 7 • (2 • 1 -
5-4)+ 3-(2-(-2)-5-(-1)) =
= -21 - 126 + 3 = -144.
Аналогично определитель раскладывается по элементам первого и
третьего столбцов. ft
7. Вычислить определитель Д =
3 2
9 -8
5 -8
6 -5
2
5
5
4
2
10
8
7
Выберем, например, вто-
ft I способ. Применим теорему Лапласа.
рую и третью строки и найдем произведения всех миноров второго
порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические
дополнения.
А/?3
Д/f23 —
Л713 —
Д/Г23
11 4
М23 =
Л/23 —
л72 4 —
м23 —
л73 4 —
-8
-8
-8
-8
-8
-8
= -32,
= 20,
10
8
= 22,
- 0.
10
8
= 16,
л23
^12
2+3+1+2
а2| = (—i)2+3+x+3
Д2 3 _ (_-j^2—3—1—1
Д-З _ (_1)2+3+2+3
Д23
/12 4
2+3+2+4
= 6.
10
8
= -10,
уД2 3 — (_j^2+3+3+4
2
-5
2
-5
= -24,
= 18,
- 9,
= 0,
2
-5
= -27.
9
5
9
5
9
5
5
5
5
5
5
5
2
4
3
6
3
6
3
6
2
7
2
7
2
4
2
7
2
4
26
Далее,
| А| = ЛД223 Л12 + М123 • ^13 + М14 • Л14 +
+ МЦ АЦ + Mil АЦ + Л723 • А23 = -6.
II способ. Разложим, например, определитель по элементам пер-
вой строки:
Д — йц • Ац + 0,12 -^-1 2 + «13 • Ai 3 + 014 Л14 —
-8 5 10 9 5 10
= ЗД-1)1+1- -8 5 8 + 2 • (-1)1+2 5 5 8 +
-5 4 7 6 4 7
9 8 10 9-8 5
+ 2 (-1)1+3 • 5-8 8 + 2- (-1)1+4 • 5-8 5 =
6-5 7 6-5 4
= 3 • 1 • (—14) + 2 • ( -1) Д-8)+ 2-1 Д-18)+2 •(-!)•(- -28)
III способ. Разложим, например, определитель по элементам тре-
тьего столбца:
Д — Й-13 • А13 + Й23 А.23 + йзз • А33 + Й43 А43 —
9 -8 10 3 2 2
= 2 (-1)1+3 5—8 8 + 5 Д-1)2+3 5—8 8 +
6-5 7 6-5 7
3 2 2 3 2 2
+ 5 Д-1)3+3 - 9 -8 10 + 4 • (-1)4+3 • 9 -8 10 =
6 -5 7 5 -8 8
= 21- (-18) + 5 • (-1) • 24 + 5 • 1 • (-18) + 4 (-1) • (-60) = -6.
IV способ. Используя свойства определителя, преобразуем его
таким образом, чтобы все элементы первого столбца, кроме йц, ста-
ли равными нулю. С этой целью из второй строки вычтем первую,
умноженную на 3, из третьей строки вычтем первую, умноженную
27
5
на -
О
а из четвертой строки вычтем первую, умноженную на 2 (при
этом значение определителя не изменится). Получим, что
3 2 2 2 3 2 2 2
0 -14 -1 4 _ 1 0 -14 -1 4
д = 0 34 5 14 “ 3 ’ 0 34 5 14
3 т 0 -9 0 3
0 -9 0 3
Разложим определитель по элементам первого столбца:
Д = Пц • Ац + ft2i - А21 + Й31 • А31 + а.41 Ди =
= |-з-(-1)1+1
о
-14 -1
34 5
9 О
4
14
3
= 1-31 (-6) = -6.
Аналогично можно было преобразовать второй, третий, четвер-
тый столбцы или одну из строк.
варительно умноженную
V способ. Продолжим преобразования определителя, начатые
в предыдущем способе. Приведем матрицу определителя к верхне-
треугольному виду. Вычтем из третьей строки вторую строку, умно-
34
женную на —, и вычтем из четвертой строки вторую строку, пред-
9
на —. Получим, что
А = -
3
3
О
О
О
2
-14
2
-1
52
т
9
14
30
Т
6
14
111
3 ’ 7 ’ 14
3
О
о
о
2
-14
О
0
2
-1
52
9
2
4
30
6
О
О
2
4
Далее, вычтем
9
на —. Получим, что
0^
из
четвертой строки третью строку, умноженную
28
д=|
1 1
7 14
В частности, мы
2
4
30 =
21
26
1
“ 3 ‘
воспользовались
2
14
0
2
1
52
1
14
1
14
1
26
1
26
3
о
о
о
2
14
0
0
2
1
52
0
2
4
30
21
1
7
свойствами определителя 4, 7. ft
• 3 • (-14) -52-21
= 6.
8. Найти обратную матрицу для матрицы А =
г 2
2 -1
\3 -5
1\
1
2/
ft Вычислим определитель матрицы А:
-1 1
-5 2
2 -1
3 -5
3
о
о
о
о
о
3
1
7
+ 2 • (-1)1+2 -
2
3
1
2
= 1 • (-2 + 5) - 2 • (4 - 3) - (-10 + 3) = 3 -
2 + 7 = 8.
Так как |А| 0, то матрица А невырожденна и, следовательно, имеет
обратную.
Найдем алгебраически е дополнения элементов сц7 матрицы А
= (-1)1+1 ft ) = з, л12 = (-i)1+2 • 2
-5 2 3 2
т-Н ю 1 1 см со + 7 II ГС = -7, А21 = (-1)2+1 • _ 2 -1 5 2 -1’
А22 = (-1+2 . 1 1 о £ = 5, Л23 = (-1)2+3 - * 2 - И, -5
Л31 = (-1+1 . ft J = 1. а32 = (-1)3+2 • * 1 1 _-3,
Лз = (-1)’+’ • ) = -5.
29
Применяем формулу для нахождения обратной матрицы:
/ 3 1 1\
-1 5 -3
\-7 11 —5/
По определению обратной матрицы А А 1 — А 1 • А — Е. Сде-
лаем проверку:
А-А-1
/1 2 -Л / 3 1 1\
2-1 11 53
^3—5 2/ \-7 11 -5;
/8 0 0\
0 8 0
\0 0 8у
/1 ° 0\
0 10.
ftO ° 1/
Аналогично проверяем, что А 1 А — Е. -ft
8. Решить матричное уравнение А • X = В:
7 11\ х= 1 2
35/ \3 4
ft Так как |А| = 2 ф 0, то матрица А является невырожденной.
Вычислим обратную матрицу .4 1:
Яц = (~1)1+1 • |5| = 5, Л12 = (~1)1+2 • |3| = -3,
Ди = (-1)2+1 • |11| = -И, Аю = (-1)'2+2 |7| = 7.
= рн Л21\ 1 / 5 -1Л = / 2,5 -5,5\
НГ \.412 А22) 2 Д-З 7у \-1,5 3,5Д
Обе части уравнения умножаем слева на матрицу А-1. Получаем
А-1 А- X = А ] в.
Так как А 1 А = Е и Е • X = X, то
X = А”1 - В =
1
3
2
4
2,5
1,5
-5,5
3,5
-14
9
17
11
4
30
9. Решить матричное уравнение А-Х-В — С:
1
1
3 8 11\
-3 6 8
5 2 3/
4 12
9 2 5
ft С помощью алгебраических дополнений находим А 1 и В 1:
/ \ / 1 -1 -Л
/ 2 —I
.4-1 = , В-1 = 24,5 -23 -28,5 .
1-1 1/
\ \ -18 17 21/
Умножаем обе части уравнения слева на матрицу А1 и справа на
матрицу В-1. Получаем
А '-А-Х-В-В ] = А~1-С-В~1,
1
О
о о\
1 о = А~1-С-В-1,
0
X = А ^С-В 1 =
/ 2
\ 1
4
9
1
2
1
-23 -28,5
17 21/
17
-24,5
16
23
31
Задачи для самостоятельной работы
1. Выяснить, какие из приведенных ниже произведений входят в
определители соответствующих порядков и с какими знаками:
а) Я13 «24 0-33 «45 0-51;
b) «16 а-23 «35 «42 «51 «645
с) «12 «25 «34 «47 «56 «61 «73!
d) «54 «12 «45 «23 «31!
е) «21 «45 «12 «34 «43!
f) «44 «61 «55 «27 «72 «16 «33?
2. Вычислить определители: -11 —2 4 1 3 -3 ; с) ; g) -5 7 9 2 1 -3 1 1 2 5 3 2 2 4 7 1 —4 3 ; d) ; h) 6 5 0 1 8 1 7 1 5 7 2 3 1 4 5 64 49 25
а) е) 12 4 0 -5 7 3 6 2 5 7 3 ; ь) ; f) 8 3 1 10 0 6 3 2 2 2 4 2
7 5 8 2 3 —8 -
4 8 -8 3 —4 3 5 6 -3 2 4 9
7 3 5 7 -5 4 7 8 3 —4 5 2
i) ; 1 ; к)
2 5 7 9 5 —7 5 2 4 3 7 5
4 8 -5 6 8 5 3 3 8 5 -5 3
6 4 5 — 6 —7 2 5 3 0 -8 7 0
4 5 2 7 1 0 - 3 0 2 5 —4 1
1) ; ш ) и)
3 7 3 5 —2 0 4 0 -5 3 2 4
7 3 5 5 5 3 1 — 2 0 4 1 0
1 2 3 4 -4 3 5 6 4 3 9 6
2 3 4 1 2 -5 7 5 3 7 4 2
°J 3 4 1 2 7 PJ 3 3 5 8 ! 5 7 8 7 7
4 1 2 3 -5 4 7 8 3 —2 9 3
32
r) t) 5 12-3 4 —2 13-6 5 2-37-5 0 -1 0 1 6-4 -52357 4 6 -9 8 — -5 4-1 7 - 5-4 3-7 -3 3 5 6 2 3 -5 4 - 1 3 5 2 2
5 8
2 7
s) 1 4
3 6
4 7
—2
11 1 4
5 9 1
2 5 9
9 1 2
10 1 3
5 —4
3 —2
2 3
-3 -3
—4 2
7 7
6 2
4 -1
-1 5
-8 1
3. Вычислить определители:
а)
sin ct
— cos о
coso tg ct
5 b) n
sina — 1
1
tgQ
sin ct cos ct
sin /3 cos /3
Q, + Ь a — b l + \/2 2 - A /5 X 1
d) a — b ci + b ! 6) 2+75 1 - A /2 , I) x2 + X
a + x X X sin a cos 0 1
g) X b + x X ; h) sin (3 cos (3 1 j
X X C + X sin 7 cos 7 1
sin2 a cos2 ct cos 2ct
i) sin2/? cos2 3 cos 2(3
sin2 7 cos2 7 cos 27
X 1 1 1
1 1 - X 1 1
1 1 1 + y 1
1 1 1 i-y
4. He раскрывая определители, доказать равенства:
1
1
1
b
be
ca
ab
= (b-а) (с-b) (с-а);
b)
1
1
1
a,
b
a3
b3
= (а+b+c) (b-а) (с-а) (c-b);
33
с)
d)
f)
g)
h)
1 1 1
а b с
а2 Ь2 с2
а3 Ь3 с3
fti
ft2
ft3
bi
Ь2
Ьз
«1 — xbi
а2 - xb2
ft3 - хЬ3
fti И- xbi
ft2 4- xb2
a3 4- xb3
О
о
1
d
d2
d3
= (6 — а) (с — a)(d — «) (с — b)(d — b)(d — с);
ci + а±х + biy
с2 + а2х + Ь2у
сз + «Зт + Ь3у
di 4- xbi
«2 - xb2
а2 - xb2
ftlT +
ft2T + b2
а3х + Ь3
Cl
C2
C3
C‘2
C3
tii
ft'2
ft3
bl
&2
Ьз
ft I
У
У
C‘2
c3
= 2x
ft2
ft3
bl
Ьз
C2
C3
ftl
ft2
«3
bi
b2
Ьз
C‘2
C3
У
z
z
О
О
О
1
1
1
1
0
z2
У2
1
>2
0
‘2
1
У2
^,2
о
а
ь
а
b + с
2
2
а
b
ci 4~ b
2
1
1
1
1
= 0;
5. Решить уравнения и неравенства:
х 4- 5
3
2
— 0: Ь)
3
—7
х - 10
- 0;
с)
x — 3 — у — 5
у 4- 5 x — 3
— 0;
d)
7
3
-2
11
х — 7
19
— 0;
2x1
3
5 1
—6 Зх
—3 х
— 0;
f)
-1
2 - Зх
3
3
о
2
2
5
1
g)
6
2т
4
3
1
х — 1
О
2
0.
34
6. Найти обратную матрицу и сделать проверку:
3 2\ /7 12 \ / 9 —4\ / sin ci cos а
1 J;bHq J;CH in d)
14/ \3 5/ \ —10 5/ \ —cos a sin a
/ 9 13 8\ /7 11 s\ /1 2 А
е) -3 5 3 ; /) 2 7 2 ; д') 2 6 4 ;
VI 8 5/ \9 -5 10/ \3 10 ч
/1 2 -3^ \ /-2 2 -А |<1 2 4\
h) 3 2 -4 ; г) 5 -3 7 ; Л 3 1 -5 ;
\2 1 0? \ 3 1 6/ ^3 2 Ч
/з 1 / 1 1 -Л /2 4 3\
А:) 1 1 3 3 Z) 4 3 1 ; т) 3 9 7
\4 1 2/ \8 1 ч \° 4 1)
/-3 13 5 3\ /2 6 —2 1\ /з 1 2 7\
х 14 21 13 8 ч 3 7 -8 0 5 4 0 2
п) ; °) ; р)
17 7 8 5 0 2 15 4 3 6 2
\ 9 9 13 8/ \1 —2 -3 4/ ц 2 4 3/
7. При каких a следующие матрицы имеют обратные:
а)
2 \
а — 5 /
Ь)
cos а
sin а
sin а
cos а
(7 а + 9 а — 1 \
8 7 a- 1 ?
-3 а+ 2 0/
8. Решить матричные уравнения:
а)
/ 6
—7
\ 6
8 б\
9 7
8 бу
/ Л
-3
\ V
/3 2 -А /5 /2 0\
4 1 -2 Л 4) = И -1
\5 2—3/ V ' \4 3/
35
§3. Системы линейных уравнений,
случай однозначной разрешимости
Основные понятия и теоремы
1. Правило Крамера. Рассмотрим систему п линейных алге-
браических уравнений с п неизвестными х±, Х2,.... хп
<ЗцХ1 + <312X2 + ... + ainx„ — bi,
<321X1 + (З22Х2 + • - - + <32«Xfi = f>2?
^<3niXi + an2x2 + ... + annxn — bn.
Числа ttij G Ж называются коэффициентами системы. Их индек-
сы соответствуют номеру уравнения и номеру неизвестного. Числа
bi,b2,... ,Ьп называют свободными членами уравнений. Если 1ц —
62 = - - - = Ьп = 0, то система называется однородной, иначе - неод-
нородной. Матрицы
/ ап <312 • <31„\
<3'21 <3-22 - <3-2п
А = <3эт 1 ап2 аПп /
И
/ <2ц
«21
<312
«22
0-1п
0-2 п
Лп2
61 \
62
ьп/
А =
называются соответственно матрицей системы и расширенной ма-
трицей системы, а столбцы
- соответственно столбцом свободных членов системы и столбцом
неизвестных системы. В данных обозначениях система линейных
уранений может быть записана в так называемой матричной форме
А-Х — В,
36
Решением системы называется такой набор значений неизвестных
: • • -, 1 ПРИ подстановке которых каждое уравнение системы
превращается в верное числовое равенство.
Рассмотрим ситуацию, когда матрица А системы является невы-
рожденной, то есть det (А) 0. Тогда существует обратная матрица
А-1 и система имеет единственное решение
X = А-1 • В.
Причем в случае однородной системы это единственное решение оче-
видно: Х± = Т'2 = ... = хп = 0.
Следствием вышесказанного является следующая теорема:
Теорема (правило Крамера). Система линейных уравнений с
невырожденной квадратной матрицей А имеет единственное реше-
ние. Это решение можно записать в виде
_ А1 _ А2 _ Х„
Х1 д 1 Х2 д ; . . . , Хп д ,
где А = |А| - определитель матрицы системы, а А^ (к = 1. 2,..., п) -
определитель матрицы, которая получается из матрицы А заменой
А;-го столбца на столбец свободных членов, то есть
61 0.12 • • O1 п Оц bl . • Cbln 0'11 012 • • bi
Ь2 «22 d2n О21 Ь2 . • (^2п О21 О22 • 1>2
Ai = : А2 = , ... , хп =
Ьп О"п2 апп ап1 • • <hin О»,1 оп2 • Ьп
2. Метод Гаусса. Суть данного метода, который также назы-
вают методом последовательного исключения неизвестных, заклю-
чается в приведении невырожденной матрицы системы к верхнетре-
угольной форме.
37
Рассмотрим систему линейных уравнений
«11^1 + H12^2 + Й13Ж3 + . . . + ttinXn = 61,
«21^’1 + «22^2 + «23^-3 + • • • + &2пХп = &2)
4 «31ж1 + «32^'2 + «33ж3 + • • + С13пХп = Ьз,
J7,ni.Ti + ап2^'2 + «п3«;3 + • • + «пп^’п = Ьп.
с невырожденной квадратной матрицей А. Следующие преобразо-
вания переводят данную систему в равносильную:
1°. Перестановка двух уравнений системы;
2°. Умножение обеих частей одного из уравнений системы на лю-
бое число, отличное от нуля;
3°. Почленное сложение одного уравнения системы с другим, умно-
женным на любое число.
Предположим, что ац 0 (если яц = 0, то переставим уравне-
ния, выбрав первым такое уравнение, в котором коэффициент при ац
не равен нулю). Коэффициент ац называется ведущим элементом
первого шага.
I шаг. Вычтем из обеих частей второго уравнения соответству-
«21
ющие части первого, умноженные предварительно на —, затем из
«и
обеих частей третьего уравнения соответствующие части первого,
«31 _
умноженные на ---- и т.д. В результате получим систему
«11
' (1) I (1) I (1) I I (1) 7(1)
«11яд + «12^2 + «13^3 + • • + а\^хп = 01 ,
«22 ^2 + «23^3 + • • • + а2пХп = Ь^\
< г/11,- I ДЩ.. — lO)
«32 «"2 “г «33 «Л “Г • • • + й3пХп — 03 ,
а^х2 + я^я;3 + • • • + а(ппхп = Ьп’,
38
(1) (1) (1) (1) 1.(1) L
где ац = a12 = a13 = a^, ..., aln = сфф = Щ и
(1) Ojl 1.(1) L z. г»
an~aij---------aij- Щ -bi------------Ob 2 < г, j < n.
3 an an
II шаг. Так как матрица А является невырожденной, то среди
коэффициентов а^2\ i > 2, есть отличные от нуля. Предположим,
что 7^ 0 (иначе переставим нужным образом уравнения систе-
мы). Вычтем из обеих частей третьего и последующих уравнений
обе части второго, умноженные соответственно на числа
.(1) '32 (1) 0-42 (1) ап2
(1) ’ Л1) ’ ' ' ' ' „(1)
'22 ®22 0'22
Получаем систему вида
' (2) । (2) . (2) . । (2) V (2)
ai/Ti + а12х2 + «13^3 + ... + a)^®n = Щ ,
а22 Х2 + а23 Х3 + • • + а<2пХп ~ ’
< а^т3 + ... + 42>п = 6з2)>
k “S-T3 + • - + (1^ппхп — ty?,
в которой коэффициенты определяются аналогично предыдущему
шагу. Коэффициент а22 называется ведущим элементом второго
шага.
Продолжая таким образом, за (п — 1) шагов система уравнений
приведется к виду
( П — 1 ) I ( п - ail Х1 + П|2 1) , (п - ’х2 + Щ13 1) Х3 +. • + а1п 1)™
(п- «22 -1) . (п- Х2 + ®23 -!) Х3 +. “Ь V>2n = б!,-1’
IO - азз х3 +. • + а3п ‘>ж„ = б<—*>
ч “пп ’Г! ’и ‘
где все коэффициенты а^-1) ф 0 в силу невырожденности матри-
цы А. Решение такой системы единственно: из последнего уравнения
однозначно находим хп, подставляя его в предпоследнее уравнение,
однозначно находим хГ1-± и т.д.
39
Примеры решения задач
1. Решить систему линейных уравнений
4я?1 — Х‘2 + З^з = 8,
З.Т1 + 2x2 + хз = 13,
2xi + х2 - 5х3 — 2
а) по правилу Крамера;
Ь) с помощью обратной матрицы;
с) методом Гаусса:
'[У а) Вычислим определитель матрицы системы:
И1 =
4 -1
3 2
2 1
3
1
-5
= { разложим определитель по 1-й строке }
2 1
1 -5
3 1
2 -5
3 2
2 1
= 4*(—10 - 1) - (—1)*(—15 - 2) + 3-(3 - 4) = -44 - 17 - 3 = -64.
Так как |А| 0, то система имеет единственное решение, которое
может быть найдено по правилу Крамера или с помощью обратной
матрицы. Вычислим определители Д1? А2 и A3:
Д1=
8
13
2
-1
2
1
1 = 8-2-(—5) —1-1-2+ЗТЗ-1—3-2-2 —( —1)-13-(—5)—8ТТ =
-5
3
= -80 - 2 + 39 - 12 - 65 - 8 = -128.
4
3
2
Д2_
8
13
2
3
1
-5
= 4-13-(—5) + 8-1-2 + 3-3-2 —3-13-2 —8-3-(—5) —4-1-2 =
= -260 + 16 + 18 - 78 + 120 - 8 = -192.
40
4 1
8
Дз= 3
2
1
13 = 4-2-2 - 1-13-2 + 8-3-1 - 8-2-2 - (—1)-3-2 - 4-13-1 =
2
2
= 16 - 26 + 24 - 32 + 6 - 52 = -64.
Д1 Д2 Дз
Таким образом, = 2, ад = — =3, ад = — = 1.
Ь) Запишем систему в матричном виде: А-Х = В, где
д 1 з\ / ад
А - 3 2 1 , X = яд
1 —5/ \яд
Найдем А 1
Лц — (-1)1 + 1 • 2 1 - 1 5 = -П,
Аез — ("1)1 + 3 ’ 3 2 2 1 = -1,
А‘22 — (-1)2+2 1 СМ 3 5 = -26,
^31 — (_1)3+1 . -1 2 3 1 - —7,
4 33 — (-1)3+3 • 4 - 1 - 11.
3 2
4 12 — (-l)W . 3 2 - 1 5 = 17,
^21 — (-1)2+1 • 1 1 3 5 - —2
^23 — (-1)2+3 - 4 - 2 1 1 = -6,
4 32 — (-1)3+2 - 4 3 3 1 5,
Т 1 ^.ц -4-21 >1з1^ 1 /-И 2 -7
А “1 — . IAI >112 А22 +432 “ ~64 ’ 17 26 5
I-1 ^13 ^23 >1зз ) -1 -6 11
Находим решение системы:
X = А~ГВ = - —
64
/11 —2 7\
17 -26 5
1 6 11/
Следовательно, ад = 2, ад = 3, ад = 1.
41
с) Решим систему методом Гаусса (в два шага).
I шаг. Первое уравнение оставим без изменений. Вычтем из обеих
частей второго уравнения соответствующие части первого, умножен-
3 .
ные предварительно на -, затем из обеих частей третьего уравнения
2
умноженные на
вычтем соответствующие части первого.
' 4х± — + Зж3 = 8,
11 Т х'2 “ 5 4 Хз ~ 7,
8 3 - Х2 — 2 13 ~2Хз = —2.
II шаг. Первое и второе уравнения оставляем без изменений. Вы-
чтем из обеих частей третьего уравнения
, 3 11 6
второго, умноженные на дробь - : — = —
соответствующие части
4Ж1 — Х2 + Зжз —
11 5
4 4 3
64
----—
11
8,
7,
64
ТТ
5
4
Следовательно,
.т3 = 1,
4
•г-2 - Jj
ц = (8 - З.г3 + 22,) = (8 - 3-1 + 3) = 2. JJ.
2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Зад + 2x2 — Хз — Х4 — —6,
5zi — Х‘2 — 6ж3 = 7,
— Тад + х'2 — 2.т3 + 4.Т4 = 1,
—2,/д + 2х2 + З.т3 + 2.т4 = 3.
42
ft Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к тра-
пециевидной форме, используя преобразования метода Гаусса. При
этом матрица А системы примет верхнетреугольную форму.
( 3 2 -1 -1 с\
5 -1 6 0 7
А =
-7 1 —2 4 1
2 2 3 2 3/
I шаг. Первую строку оставляем без изменений. Из второй стро-
ки, умноженной на 3, вычтем первую строку, умноженную на 5.
К третьей строке, умноженной на 3, прибавим первую строку, умно-
женную на 7. К четвертой строке, умноженной на 3, прибавим пер-
вую строку, умноженную на 2. Получим матрицу
/3 2 -1 -1 -6\
А = 0 13 13 5 51
0 17 -13 5 -39
\0 10 7 4 -з/
II шаг. Первую и вторую строки оставляем без изменений.
К третьей строке, умноженной на 13, прибавим вторую строку, умно-
женную на 17. К четвертой строке, умноженной на 13, прибавим
вторую строку, умноженную на 10. Получим матрицу
(3 2 1 1 6\
А = 0 -13 -13 5 51
0 0 390 150 360
\0 0 -39 102 471/
III шаг. Первые три строки оставляем без изменений. Вычтем
из четвертой строки, умноженной на 10, третью строку. Получим
матрицу
/з 2 1 1 6\
А = 0 13 13 5 51
0 0 390 150 360
0 0 870 4350/
43
Таким образом,
4350 г
хл — --- — 5,
870
Хз = -Т. (360 - 150т,) = -Т. (360 - 150-5) = 1,
оУи оУи
х2 = -~(51-5х4 + 13х3) = --’-•(51-5-5+13-1) = -3,
1О 1О
1 1
Xi — -• (-6 + ж4 + хз - 2х2) — -• (-6 + 5 + 1 - 2-(-3)) = 2.
0 О
Ответ: (2, —3, 1, 5) JJ-.
3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
4ж1 + 2х2 — х3 + я>'4 — 9,
5х-1 + Зх‘2 + Хз — 8х'4 = 6,
3.7'| + 8.7'2 + 2.7'3 — 7.Т4 — 2.
ч .Т1+4;Г2— .Тз+Зж4= 0.
ft Расширенная матрица системы имеет вид
А = /4 2—1 1 5 3 1-8 3 8 2 -7 \1 4 -1 3 9\ 6 —2 0/
I шаг. Для простоты вычислений
меняем местами первую и че-
твертую строки:
/1
\4
4 -1
3 1
8 2
2 1
3
-8
-7
1
°)
6
—2
9/
Первую строку оставляем без изменений. Вычтем из второй строки
первую строку, умноженную на 5. Вычтем из третьей строки пер-
вую строку, умноженную на 3. Вычтем из четвертой строки первую
строку, умноженную на 4. Получим матрицу
44
/1 4-1 3
О -17 6 —23
0 4 5 16
\0 -14 3 -11
°\
6
—2
9/
II шаг. Первые две строки оставляем без изменений. Из тре-
тьей строки, умноженной на 17, вычтем вторую строку, умножен-
ную на 4. Из четвертой строки, умноженной на 17, вычтем вторую
строку, умноженную на 14. Получим матрицу
Л 4 -1 3 о\
А = 0 -17 6 23 6
0 0 61 -180 -58
\о 0 -33 135 69/
III шаг. Первые три строки оставляем без изменений. К четвер-
той строке, умноженной на 61, прибавим третью строку, умножен-
ную на 33. Получим матрицу
Л 4 -1 3 °\
А = 0 17 6 23 6
0 0 61 -180 -58
\о 0 0 2295 2295/
Таким образом,
2295 ,
Х‘4 = ----- = 1,
2295
хз = лу- (-58 + 180ж4)
1. (-58+ 180-1) = 2,
х2 = (6 + 23х4 - 6х3) = (6 + 23-1 - 6-2) = -1,
xi = — З.Т4 + хз — 4^2 = -3-1 + 2 — 4-(— 1) = 3.
Ответ: (3, —1, 2, 1) JJ-.
45
Задачи для самостоятельной работы
1. Решить системы линейных уравнений:
1) по формулам Крамера;
2) с помощью обратной матрицы;
3) методом Гаусса:
4xi - 2х2 = 2, 5xi +3х2 = -1,
Ь) <
—Xi + Зх2 = 7; 1 2xi +
х2 = 0;
7.Т1 + 11х2 = 1,
+ 4х2 = -1;
3xi
I 4xi — 5x2 + 2х3 = 1,
d) < 5xi — 6х2 + 4х3 = 3,
I 3xi - Зх2 + 2х3 = 2;
I Х1 - 2х2 +
е) < 4xi - х2 +
хз =
Хз =
2xi + Зх2 - 2х3 =
4,
И,
15;
Х1 + 2х2 + Зх3 = 4,
3xi + Зх2 4- 2х3 = 7,
2xi + х2 - х3 = 5;
{2X1 — 3X2 — х3 =
3X1 + 4х2 + Зхз =
Т1 + х2 + Х3 =
-6,
-5,
—2;
h)
2xi — Зх2 — х3 = 4,
Xi — 2х2 + 2х3 = 5,
3xi 4х2 — 5х3 = 2;
{Х1 +2х2 + Х3 =
3xi - 2х2 - Зхз =
3xi - 4х2 + 5х3 =
8,
-5,
Ю;
Xi + х2 + х3 = 0,
Зхх - х2 + 2х3 = 0.
Xi + Зх2 + Зх3 = 0;
к)
—3x1 + 7х2 + 2х3 = 1,
Xi + 2х2 — х3 = 8,
3xi - 5х2 - Зх3 = 4;
Xi + 2x2 + Зх3 = 3,
+ 10х2 + 8х3 = 21,
+ 6х2 + 4х3 = 6;
3xi
2.Т1
2xi + х2 + х3 =
Xi + Зх2 + 2х3 =
Xi + х2 =
3,
-1,
5;
Х1
З.Т1
+ 4x2 - х3 = 6,
5х2 + 4х3 = -20,
- 2х2 + 5х3 = -22;
{Xi + Зх2 - 6х3 =
3xi + 2x2 + 5х3 =
2xi + 5х2 - Зх3 =
12,
-10,
6;
2xi + Зх2 — х3 = 7,
р) \ Xi - х2 + 2х3 = 6,
3xi + 5х2 - 7х3 = 0;
{5xi + 2х2 — х3 = —4,
—3x1 - 4х2 + 2х3 = 1,
2xi + Зх2 - 2х3 = -3.
46
2. Решить системы линейных уравнений:
2x1 — х2 4- 2х3 — 3,
2х4 4- х2 4- 4х3 4- 8x4 = —1.
Х'1 + Зх'2 — 6x3 + 2х4 = 3.
k3xi - 2х2 + 2х3 - 2х4 = 8;
( Xi + 2х2 — Зх3 + 4x4 = —13,
| 3xi 4- 4х*2 Ч- 5х3 = 11,
I —Xi И- х2 4~ 2х’4 = —1,
[ 5xi 4- 6x2 4- 7хз — 2x4 = 19;
( Зх'1 4~ 7х2 — х3 4- 2х4 — 14,
| 6x1 4- 5х2 + 4х3 — 5х4 = 7,
I 12xi 4~ х*2 — Зх'з 4~ х4 = —24,
[—3x1 — 2х34-4х4 = 4;
( 4xi 4~ х2 4~ Зх3 — х’4 — 19,
| 2xi + 4x2 4~ 6х3 4- х‘4 = 18,
| — 2х2 4- 6x3 4- 4х'4 = —6,
[ llxi ~ 5х2 — 2х3 4- 2x4 — 17;
( 2х‘1 — 3x2 + 4х3 — 5х'4 = 2,
| —х’1 — 2х2 + х’з = —8,
I — 4x2 4~ 4~ 7х'4 = —5,
[ — 5xi4-3x24- х34-2х4 = — 7;
( —6x‘i 4- 3x2 — 9х‘з 4- 7х4 — О,
| 2х‘1 4- 5x2 — х3 4- Зх’4 = —2,
I 4xi 4~ х'2 — 2х3 4~ 3x4 = —4,
[ -2xi 4- 4х2 — х3 4- 5х4 = —9;
d)
h)
2х'1 4~ х3 4~ 3x4 — —5,
2x’i — Х2 — х3 — 2x4 = 8?
Х1 - х2 4-4х4 = -9,
к Xi 4- 2х2 4- х3 4- Зх4 = -2;
г6х4 — 5х2 4- 4х3 + 7x4 = 28,
3xi 4- 2х2 4“ 2х3 +
5x'i — 8х*2 4~ 5х3 4~
2x4 = 2,
8x4 = 36,
49xi — 8x2 4- 5х3 4- 1Ох4 = 42;
2xi + 6х2 4- х3 — О ,
3xi 4~ х'з 4~ 2х4 — О ,
| —Xi 4- 4х*2 4- 5х’з — х4 = О ,
[ Xi 4- 2x2 - 2х3 4- Х4 = О ;
Xi 4~ Зх’2 4- 2х3 4~ 4х’4 — 3,
х2 + Зх3 4- 5х4 — 9,
2x'i 4“ 2x2 + 2х’з 4- .х4 = —8,
47xi + х34-Зх4= 2;
3X1 + Х2 — Х3 4“ Х'4 — О,
2X1 + Зх’2 — Х’4 = О,
Xi 4- 5x2 — Зх3 = 7,
3xi + 2x2 4- Х4 = 2;
9xi — 2х2 + Зх'з — 5х4 = —7 ,
8xi + 2х3 — 6x4 = —2 ,
7х'1 4- Зх‘2 + 4х3 — 2х4 = 3 ,
Xi — х2 — Х4 = — 1 ;
3xi 4- 2х2 4- х3 — 5х'4 4- 2xs = 9,
2х’1 — 5x2 4“ Зх3 4- 2х4 4- X5 = 9,
Х1 — Х2 4- Х3 - Х'5 = 5,
Х’1 + Х‘2 — х4 =4,
m) \ 5xi 4“ 2х2 — х3 + 2х4 4- Зхд = 3, n) < xi + х2 4- х3 4- Х5 = 7,
2xi — х2 — 5х3 — 5х4 — Х5 = 2,
4xi 4- Зх2 4- 2х3 + х4 — х$ = 1;
хх + 2х2 4- Х3 - х4 + х5 =9,
— х3 — Х5 = 5.
47
Ответы и указания
§1.
1. а)
/3
5
\3
5 4\ /ю 7 7\ /—20 0 -8
3 9 ; Ь) 21 12 44 ; с) 39 40 121
7 14/ ^25 10 51/ 31 40
/—69 —49 18'
d) 72 135 354
\ 86 62 130
( \ / —6
2. а) АВ = (-3), В А =
} \ / 2
-9\
3 /’
/-12
Ь) АВ = 6
\ -з
20 0\
10 0
5 0/
В А = (-2
„АЛД ( 6 7 \ тз д I г20 35 \
С Ап — \ 3 54/ /3 40/ ’
/ -1 -1 1 \ / 3 4 2\
d) АВ = 1 \ 11/ , ВА = 9 14 1
\ 2 11 / 25 -10 V
е) АВ = / 8 5 8\ 4 3 8 , В А = ^12 8 8/ /б 6 6 7 у8 9
10
8
6
ч /32 36 \
3. а) ; Ь) 33 12
\ 9 11 V
14 49
d) (11); е) (17 17); f)
3\ а
—2 / ’
/5-3
-10 6
\ 15 9
29
3
5
-1
6
13
10
7^
7
0>
/ 8 48\
h) —4 -24
\ 5 30/
—4 -5
О
О
/13 25
k) 1 1
^-15 31
27\
27 ;
52/
48
о
о
m)
/-57 35 9 25 82 23 38\ 37 ; п) Р4 -16 -43 8 Д 8
-43 8 71 41 -13 53 4
\ 66 53 42 47/ \ 16 33 19/
/19 -5 -27\
4. а) 11 14 -3
\26 17 3/
/192 654 918'
Ь) 748 363 490
\682 291 440
/ —2
5. а) I 5
\ 7
-1
-1
1
3
ь) f ° XY f1 °\
J у-1 о/ у О 1J
А
о/’
(1 А , . п-ап . /cosrw — sinrw
; b) ; с) w
0 1/ \ 0 ап / \ siring cosrup
Л (2 -Л
а) при п четном, при п нечетном.
^0 1J \3 -2 J
/—28 15 -2i\ /ю 14 1б\ /-12 2 —18\
9. а) 45 23 78 ; b) 1 3 21 ; с) -12 9 11
^61 -18 -25/ \29 5 36/ 50 7 61/
/-3 5 -11'
е) 5 -1 —4
\ 0 13 -3
§2.
1. а) не является членом определителя; b), с), d) входит со
знаком минус; е) не является членом определителя; f) входит со
знаком плюс.
49
2. a) -202; b) -242; c) 0; d) 201; e) 151; f) -12; g) 90; h) -6;
i) -669; j) 29; k) -3178; 1) 544; m) -26; n) 60; o) 160; p) -17;
q) -150; r) 6824; s) 0; t) -84; u) -43.
3. a) 1; b) ——; c) sin(o— J); d) 4a6; e) 0; f) -1; g) abc +
cos2 o
x(ab + be + co)] h) sin(/3 — 7) + sinfq — a) + sin(a —/3); i) 0; j) x2y2.
5. a) x = 13; b) aq = 7, x% = 3; c) x = 3, у = —5; d) x± = 3, = 2;
e) xi = —0, 5, X2 = 1; f) x € (—сю; 19]; g) x € (—сю; —4) U (1; 2).
л / 0,4 —0.2\ 1 4 / 5 121
6. a) ; ь I;
\ 0,1 0,3/ \ 3 -7/
1 °’8v
2 1,8/’
I sin a — cos a
d)
\ cos a sin a
( 1 -1 "Л
e) 48 -43 -51
79 71 84;
/ -40 -35 39\
f) 11-1
\36,5 32 35,5/
c 4 7
3 2 3 1 3 1 /-4 3 -2\ / 2,5 1,5 -0,5\
g) 3 6 3 ; h; -8 6-5; i) 0,9 0,3 0,1
1 2 1 \-7 5 4/ V 1,4 -0,8 0,4/
I 3 ~3 3/
3 _ 10 14X / 3 4 9 \ / L A A\
У 3 — 23 - 23 23 19 38 38
13 17 10 2 7 6 11 7
j) 4 У у ;k) 23 23 23 ’ 19 38 ~38
1 4 5 11 7 10 10 7_ 1
± 3 3/ \ 23 23 23/ \ 19 38 38/
/ 37 __8_ 1 \
26 “13 26 / 2,4 2,2 2,4 -0,2\
3 1 5 -1 1 -1 0
26 13 26 J 207,4 -189,2 199,4 —13,2
L A 4 3 ^—338,6 308,8 325.6 21,8^
\ 13 13 13/
50
/ 1 8 0 11 40 _19\ — 40
/277 -146 -173 147\ 7 1 9 17
4 1 -17 27 41 -47 — 32 4 - 32 32
o) J 263 89 64 29 14 ; p) 1 1 53 3
l-U 2 42 W 64 ~ 8 320 320
1 1 1
\ 8 0 — 8 8/
7. a) ct 3, ct 7^ 2, a G Kt;
b) ct e Kt, ct Ф — + —fc, fceZ;
c) x 7^ 1, x 7^ —2, cl.
/ 2 _1\
35 7
23 31
70 14
_17 15
\ 70 14/
§3.
1. a) (2, 3); b) (L -2); c) (-3, 2); d) (1, 1, 1); e) (0, 7, 18);
f) решений нет; g) (—2, 1, —1); h) (1, —1, 1);
/73 71 89\
’’ \38’ 38’ 38/
m) (3, 2, -5);
j) (0, 0, 0); к) (з,
1) (-17, 4, 4);
n) (1, 0, -5); o) (0, 0, -2); p) (3, 1, 2); q) (-1, 3, 5).
Л-”, d) (2, -3, 2, -1); e) (-2, 3, 1, 0);
' C 18 18 18 6 ) ' ' ’ 7
f) (0, 0, 0, 0); g) (3, 2. 1, -2); h) (-1, -2, -3, 4); i) (4, 3, 2, 1);
/ 7 9 1 13\
j) 7. 7. T ; k> (°’ ~2’ ~3); (-2, 1. 1. -2);
\ 5 5 5 5 /
m) (1, -1. 1, -1, 1); n) (2, 4, 4. 2. -3).
51
Библиографический список
Учебники и учебные пособия
1. Лашкеева В.Д., Мальцев Ю.Н. Высшая алгебра и аналитиче-
ская геометрия. Барнаул: Изд-во АлтГУ, 2000. 321 с.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965. 432 с.
3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. 2-е изд. СПб.: Лань, 2002.
416 с.
4. Киркинский А.С. Линейная алгебра и аналитическая геоме-
трия. М.: Академический проект, 2006. 256 с.
5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 3-е изд. М.: Наука, 1967. 576 с.
6. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.
Задачники
1. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:
Наука, 1984. 336 с.
2. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. СПб.:
Лань, 1999. 288 с.
3. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. М.: Наука, 1975.
320 с.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математи-
ка в упражнениях и задачах: В 2 т. 4-е изд. М.: Высш, шк.,
1986. 304 с.
5. Бутузов Б.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгеб-
ра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2002. 248 с.
6. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия.
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 388 с.
52
Учебное издание
Евгений Владимирович Журавлев
Задачи по линейной алгебре:
матрицы, определители
Учебное пособие
Редактор: Н.Я. Тырышкина
Подготовка оригинал-макета:
Е.В. Журавлев
Издательская лицензия
ЛР 020261 от 14.01.1997 г.
Подписано в печать 25.02.2008. Формат 60х841/1б.
Бумага офсетная. Печать Riso. Усл. печ. л. 3.3.
Тираж 100 экз. Заказ 62.
Издательство Алтайского государственного университета
Типография Алтайского государственного университета:
656049, Барнаул, ул. Димитрова, 66